Автор: alexxlab

Dx dy x y: заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

alexxlab / / Разное

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.2

    Производные, определение производных, дифференциалов, правила для дифференциалов

    Определение производной

    Если y = f(x), производная функции y или f(x) по отношению к x определяется как
    13.1           
    где h = Δx. Производная также обозначается как y’, df/dx от f'(x). Процесс взятия производной называется дифференцированием.

    Общие правила дифференцирования

    В нижеследующем u, v, w есть функции x; a, b, c, n — константы [ограниченные, если указано]; e = 2.71828… есть натуральная основа логарифмов; ln u — натуральный логарифм u [т.е. логарифм по основанию е] где предполагается, что u > 0 и все углы — в радианах.

    Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций
    Производные экспоненциальных и логарифмических функций

    Производные гиперболических и обратных гиперболических функций


    Высшие производные

    Вторая, третья и более высокие производные определяется следующим образом.
    13.43 Вторая производная = (d/dx).(dy/dx) = d2y/dx2 = f»(x) = y »
    13.44 Третья производная = (d/dx).(d2y/dx2) = d3/dx3 = f»'(x) = y»’
    13.45 n-ая производная = (d/dx).(dn — 1/dxn — 1) = dn/dxn = f(n)(x) = y(n)

    Правило Лейбница для высших производных произведения

    Пусть Dp с оператором dp/dxp так, что DP u = dpu/dxp = p-ый дериватив u. Тогда
    13.46       
    где есть биномиальные коэффициенты.

    Как особый случай, мы имеем
    13.47        
    13.48        

    Дифференциалы

    Пусть y = f(x) и Δy = f(x + Δx) — f(x). Тогда
    13.49          Δy/Δx = [f(x + Δx) — f(x)]/Δx = f'(x) + ε = dy/dx + ε
    где ε → 0 когда Δx → 0. Таким образом,
    13.50          Δy = f'(x)Δx + εΔx
    Если мы назовем Δx = dx дифференциалом x, тогда мы определяем дифференциал y как
    13.51        dy = f'(x)dx

    Правила для дифференциалов

    Правила для дифференциалов аналогичны правилам для производных. В качестве примера отметим, что

    Частные производные

    Пусть f(x, y) будет функцией двух переменных x и y. Тогда мы определяем частную производную f(x, y) по x, сохраняя у постоянным, как
    13.58        
    Подобно, частная производная f(x, y) по y, сохраняя x постоянным, будет
    13.59       
    Частные производные высших порядков могут быть определены следующим образом.
    13.60        
    13.61       
    Результаты в 13.61 будут равны, если функция и ее частные производные являются непрерывными, т.е. в этом случае порядок дифференцирования не имеет значения.

    Дифференциал f(x, y) определяется как
    13.62          
    где dx = Δx и dy = Δy.

    Применение к функциям, имеющим более чем две переменные, в точности аналогично.

    Как Я Могу Решить Дифференциальное Уравнение X 2 Dy — Y 2 Dx — Xy 2 (X — Y) Dy = 0 X 2 Dy — Y 2 Dx — Xy 2 (X

    Сначала измените уравнение:

    x 2 dy — y 2 dx — xy 2 (x — y) dy = 0 x 2 dy — y 2 dx — xy 2 (x — y) dy = 0 x ^ 2 \ dy-y ^ 2 \ dx-xy ^ 2 (xy) \ dy = 0

    Это можно записать как:

    [x 2 — xy 2 (x — y)] dy = y 2 dx [x 2 — xy 2 (x — y)] dy = y 2 dx [x ^ 2-xy ^ 2 (xy)] \ dy = y ^ 2 \ дх

    ⇒ [x 2 y 2 — x 2 + xy] dy = dx ⇒ [x 2 y 2 — x 2 + xy] dy = dx \ Rightarrow [\ frac {x ^ 2} {y ^ 2} -x ^ 2 + xy] \ dy = dx

    ⇒ dxdy = (xy) 2 — x 2 + xy ⇒ dxdy = (xy) 2 — x 2 + xy \ Rightarrow \ frac {dx} {dy} = (\ frac {x} {y}) ^ 2-x ^ 2 + х

    Теперь это уравнение становится однородным дифференциальным уравнением, которое можно решить, если положить x y = v x y = v \ frac {x} {y} = v

    тогда d x d y = v + y ⋅ d v d y d x d y = v + y ⋅ d v d y \ frac {dx} {dy} = v + y \ cdot \ frac {dv} {dy}

    Теперь данное дифференциальное уравнение становится:

    v + y ⋅ dvdy = v 2 — v 2 y 2 + vy 2 v + y ⋅ dvdy = v 2 — v 2 y 2 + vy 2 v + y \ cdot \ frac {dv} {dy} = v ^ 2- v ^ 2y ^ 2 + уу ^ 2

    ⇒ y ⋅ dvdy = v 2 — v — v 2 y 2 + vy 2 ⇒ y ⋅ dvdy = v 2 — v — v 2 y 2 + vy 2 \ Rightarrow y \ cdot \ frac {dv} {dy} = v ^ 2-ст ^ 2y ^ 2 + уу ^ 2

    ⇒ dvdy = v 2 y — vy — v 2 y + vy ⇒ dvdy = v 2 y — vy — v 2 y + vy \ Rightarrow \ frac {dv} {dy} = \ frac {v ^ 2} {y} — \ гидроразрыва {v} {у} -v ^ 2y + уу

    Теперь это уравнение можно решить методом разделения переменных

    ⇒ dvdy = (v — 1) ⋅ v — vy 2 года ⇒ dvdy = (v — 1) ⋅ v — vy 2 года \ Rightarrow \ frac {dv} {dy} = (v-1) \ cdot {\ frac { V-уу ^ 2} {у}}

    ⇒ dvdy = v (v — 1) (1 — y 2 y) ⇒ dvdy = v (v — 1) (1 — y 2 y) \ Rightarrow \ frac {dv} {dy} = v (v-1) ( \ гидроразрыва {1-у ^ 2} {у})

    ⇒ dvv (v — 1) = 1 — y 2 y ⋅ dy ⇒ dvv (v — 1) = 1 — y 2 y ⋅ dy \ Rightarrow \ frac {dv} {v (v-1)} = \ frac {1 -y ^ 2} {y} \ cdot dy

    ⇒ — dvv + dvv — 1 = (1 y — y) ⋅ dy ⇒ — dvv + dvv — 1 = (1 y — y) ⋅ dy \ Rightarrow — \ frac {dv} {v} + \ frac {dv} { v-1} = (\ frac {1} {y} -y) \ cdot dy

    ⇒ — dvv + dvv — 1 = dyy — ydy ⇒ — dvv + dvv — 1 = dyy — ydy \ Rightarrow — \ frac {dv} {v} + \ frac {dv} {v-1} = \ frac {dy} {у} -й уу

    При интеграции получаем:

    ⇒ — logv + log (v — 1) = logy — y 2 2 + logc ⇒ — logv + log (v — 1) = logy — y 2 2 + logc \ Rightarrow -log \ v + log (v-1) = log y- \ frac {y ^ 2} {2} + log c

    ⇒ log (v — 1 v) = log (y ⋅ c) — y 2 2 ⇒ log (v — 1 v) = log (y ⋅ c) — y 2 2 \ Журнал правой стрелки (\ frac {v-1} { v}) = log (y \ cdot c) — \ frac {y ^ 2} {2}

    ⇒ log (v — 1 y ⋅ c ⋅ v) = — y 2 2 ⇒ log (v — 1 y ⋅ c ⋅ v) = — y 2 2 \ Журнал правой стрелки (\ frac {v-1} {y \ cdot c \ cdot v}) = — \ frac {y ^ 2} {2}

    ⇒ v — 1 y ⋅ c ⋅ v = e — y 2 2 ⇒ v — 1 y ⋅ c ⋅ v = e — y 2 2 \ Rightarrow \ frac {v-1} {y \ cdot c \ cdot v} = e ^ {- \ гидроразрыва {у ^ 2} {2}}

    Теперь положим v = x y v = x y v = \ frac {x} {y}

    x — yx ⋅ y ⋅ c = e — y 2 2 x — yx ⋅ y ⋅ c = e — y 2 2 \ frac {xy} {x \ cdot y \ cdot c} = e ^ {- \ frac {y ^ 2} {2}}

    Однородные дифференциальные уравнения

    Здесь мы рассмотрим специальный метод решения «Однородных дифференциальных уравнений»

    Однородные дифференциальные уравнения

    Дифференциальное уравнение первого порядка — это Однородное , когда оно может иметь следующую форму:

    dy dx = F ( y x )

    Мы можем решить эту проблему, используя разделение переменных, но сначала мы создаем новую переменную v = y x

    v = y x , что также равно y = vx

    И dy dx = d (vx) dx = v dx dx + x dv dx (в соответствии с Правилом продукта)

    Что можно упростить до dy dx = v + x dv dx

    Используя y = vx и dy dx = v + x dv dx , мы можем решить дифференциальное уравнение.

    Пример покажет, как это все делается:

    Пример: Решить

    dy dx = x 2 + y 2 xy

    Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

    Начать с: x 2 + y 2 xy

    Отдельные термины: x 2 xy + y 2 xy

    Упростить: x y + y x

    Взаимное значение первого члена 🙁 y x ) -1 ​​ + y x

    Да, у нас есть функция y x .

    Итак, вперед:

    Начать с: dy dx = ( y x ) -1 ​​ + y x

    y = vx и dy dx = v + x dv dx : v + x dv dx = v -1 ​​ + v

    Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = v -1 ​​

    Теперь используйте разделение переменных:

    Разделите переменные: v dv = 1 x dx

    Поставьте знак интеграла впереди: ∫v dv = ∫ 1 x dx

    Интегрировать: v 2 2 = ln (x) + C

    Тогда получаем C = ln (k) : v 2 2 = ln (x) + ln (k)

    Линия комбайна: v 2 2 = ln (kx)

    Упростить: v = ± √ (2 ln (kx))

    Теперь подставляем обратно v = y x

    Заменитель v = y x : y x = ± √ (2 ln (kx))

    Упростить: y = ± x √ (2 ln (kx))

    И у нас есть решение.

    Положительная часть выглядит так:

    Другой пример:

    Пример: Решить

    dy dx = y (x − y) x 2

    Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

    Начать с: y (x − y) x 2

    Отдельные термины: xy x 2 — y 2 x 2

    Упростить: y x — ( y x ) 2

    Да! Итак, поехали:

    Начать с: dy dx = y x — ( y x ) 2

    y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = v — v 2

    Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = −v 2

    Теперь используйте разделение переменных:

    Разделите переменные: — 1 v 2 dv = 1 x dx

    Поставьте знак интеграла впереди: ∫− 1 v 2 dv = ∫ 1 x dx

    Интегрировать: 1 v = ln (x) + C

    Тогда получаем C = ln (k) : 1 v = ln (x) + ln (k)

    Линия комбайна: 1 v = ln (kx)

    Упростить: v = 1 ln (kx)

    Теперь подставляем обратно v = y x

    Заменитель v = y x : y x = 1 ln (kx)

    Упростить: y = x ln (kx)

    И у нас есть решение.

    Вот несколько примеров значений k:

    И последний пример:

    Пример: Решить

    dy dx = x − y x + y

    Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

    Начать с: x − y x + y

    Разделить на x: x / x − y / x x / x + y / x

    Упростить: 1 − y / x 1 + y / x

    Да! Итак, поехали:

    Начать с: dy dx = 1 − y / x 1 + y / x

    y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = 1 − v 1 + v

    Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = 1 − v 1 + v — v

    Тогда: x dv dx = 1 − v 1 + v — v + v 2 1 + v

    Упростить: x dv dx = 1−2v − v 2 1 + v

    Теперь используйте разделение переменных:

    Разделите переменные: 1 + v 1−2v − v 2 dv = 1 x dx

    Поставьте знак интеграла впереди: ∫ 1 + v 1−2v − v 2 dv = ∫ 1 x dx

    Интегрировать: — 1 2 ln (1−2v − v 2 ) = ln (x) + C

    Тогда получаем C = ln (k) : — 1 2 ln (1−2v − v 2 ) = ln (x) + ln (k)

    Линия комбайна: (1−2v − v 2 ) −½ = kx

    Квадрат и обратный: 1−2v − v 2 = 1 k 2 x 2

    Теперь подставляем обратно v = y x

    Заменитель v = y x : 1-2 ( y x ) — ( y x ) 2 = 1 k 2 x 2

    Умножить на x 2 : x 2 −2xy − y 2 = 1 k 2

    Мы почти у цели… хотя приятно выделить y!
    Мы можем попытаться разложить на множители x 2 −2xy − y 2 , но сначала мы должны немного изменить порядок:

    Изменить знаки: y 2 + 2xy − x 2 = — 1 k 2

    Заменить — 1 k 2 на c: y 2 + 2xy − x 2 = c

    Добавьте 2x 2 к обеим сторонам: y 2 + 2xy + x 2 = 2x 2 + c

    Фактор: (y + x) 2 = 2x 2 + c

    Квадратный корень: y + x = ± √ (2x 2 + c)

    Вычтем x из обеих сторон: y = ± √ (2x 2 + c) — x

    И у нас есть решение.2 из донимантера и переместить это в числитель вы получите то же самое, что и -у / х.

    Сайма

    Первый вопрос требует, чтобы мы нашли неявное дифференцирование: x’y + y’x 1y + 1x = 0 dy / dx 1y + dy / dx X x = 0 dy / dx = -y / x Второй вопрос требует, чтобы мы дифференцировать, чтобы найти dy / dx: xy = 1 x’y + y’x = 0 dx / dy X y + 1x = 0 dx / dy = -x / y dy / dx = y / -x Первый ответ: -y / x и второй ответ -x / y.Эти двое равны.

    Ёншин Чо

    dy / dx (xy) = dy / dx (1) совпадает с xy ‘+ y = 0, поэтому xy’ = -y поэтому y ‘= — y / x

    Ингрид Э. фрау

    если кривая определяется как xy = 1, dy / dx равно 0., чтобы найти dy / dx нужно сначала найти производную 1, которая равна 0. (i думаю, я запутался в этом вопросе.) решить xy = 1 для y как функция от x, разделите 1 на x, чтобы получилось y = 1 / x.к дифференцировать, чтобы найти dy / dx, найти производную от 1 / x что составляет 0/0. dy / dx равно 0. оба метода дали одно и то же результат для dy / dx, потому что еще нужно было найти производная каждого, и каждый раз она равнялась 0. (я думаю так….)

    Мариум Хан

    Ответ 1. 2 3.2 более простой метод — это неявный дифференциация, потому что вам не нужно иметь дело с фракции.

    Ивелиз Санабриа

    ху = 1 xy = 1 и y = 1 / x — это одно и то же уравнение, только что измененное по-другому, поэтому вы получаете ту же производную для они оба.

    Анурадха Тулачан

    1.2.

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найдите производную — d / dx натуральное бревно x
    2 Оцените интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
    3 Найдите производную — d / dx e ^ x
    4 Оцените интеграл интеграл от e ^ (2x) относительно x
    5 Найдите производную — d / dx 1 / х
    6 Найдите производную — d / dx х ^ 2
    7 Найдите производную — d / dx 1 / (х ^ 2)
    8 Найдите производную — d / dx грех (x) ^ 2
    9 Найдите производную — d / dx сек (x)
    10 Оцените интеграл интеграл e ^ x относительно x
    11 Оцените интеграл интеграл x ^ 2 относительно x
    12 Оцените интеграл интеграл квадратного корня из x относительно x
    13 Найдите производную — d / dx cos (x) ^ 2
    14 Оцените интеграл интеграл от 1 / x относительно x
    15 Оцените интеграл интеграл sin (x) ^ 2 относительно x
    16 Найдите производную — d / dx х ^ 3
    17 Найдите производную — d / dx сек (x) ^ 2
    18 Оцените интеграл интеграл cos (x) ^ 2 относительно x
    19 Оцените интеграл интеграл от sec (x) ^ 2 относительно x
    20 Найдите производную — d / dx е ^ (х ^ 2)
    21 Оцените интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1 + 7x относительно x
    22 Найдите производную — d / dx грех (2x)
    23 Найдите производную — d / dx загар (x) ^ 2
    24 Оцените интеграл интеграл 1 / (x ^ 2) относительно x
    25 Найдите производную — d / dx 2 ^ х
    26 График натуральное бревно из
    27 Найдите производную — d / dx cos (2x)
    28 Найдите производную — d / dx хе ^ х
    29 Оцените интеграл интеграл 2x относительно x
    30 Найдите производную — d / dx (натуральный логарифм x) ^ 2
    31 Найдите производную — d / dx натуральный логарифм (x) ^ 2
    32 Найдите производную — d / dx 3x ^ 2
    33 Оцените интеграл интеграл xe ^ (2x) относительно x
    34 Найдите производную — d / dx 2e ^ x
    35 Найдите производную — d / dx натуральное бревно 2x
    36 Найдите производную — d / dx -sin (x)
    37 Найдите производную — d / dx 4x ^ 2-x + 5
    38 Найдите производную — d / dx y = 16 корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4
    39 Найдите производную — d / dx 2x ^ 2
    40 Оцените интеграл интеграл от e ^ (3x) относительно x
    41 Оцените интеграл интеграл от cos (2x) относительно x
    42 Найдите производную — d / dx 1 / (квадратный корень из x)
    43 Оцените интеграл интеграл e ^ (x ^ 2) относительно x
    44 Оценить e ^ бесконечность
    45 Найдите производную — d / dx х / 2
    46 Найдите производную — d / dx -cos (x)
    47 Найдите производную — d / dx грех (3x)
    48 Найдите производную — d / dx 1 / (х ^ 3)
    49 Оцените интеграл интеграл tan (x) ^ 2 относительно x
    50 Оцените интеграл интеграл 1 по x
    51 Найдите производную — d / dx х ^ х
    52 Найдите производную — d / dx x натуральное бревно x
    53 Найдите производную — d / dx х ^ 4
    54 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из (3x-5) / (x-3)
    55 Оцените интеграл интеграл от x ^ 2 натуральный логарифм x относительно x
    56 Найдите производную — d / dx f (x) = квадратный корень из x
    57 Найдите производную — d / dx x ^ 2sin (x)
    58 Оцените интеграл интеграл sin (2x) относительно x
    59 Найдите производную — d / dx 3e ^ x
    60 Оцените интеграл интеграл xe ^ x относительно x
    61 Найдите производную — d / dx у = х ^ 2
    62 Найдите производную — d / dx квадратный корень из x ^ 2 + 1
    63 Найдите производную — d / dx грех (x ^ 2)
    64 Оцените интеграл интеграл от e ^ (- 2x) относительно x
    65 Оцените интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x относительно x
    66 Найдите производную — d / dx e ^ 2
    67 Найдите производную — d / dx х ^ 2 + 1
    68 Оцените интеграл интеграл sin (x) относительно x
    69 Найдите производную — d / dx arcsin (x)
    70 Оценить предел предел, когда x приближается к 0 из (sin (x)) / x
    71 Оцените интеграл интеграл e ^ (- x) относительно x
    72 Найдите производную — d / dx х ^ 5
    73 Найдите производную — d / dx 2 / х
    74 Найдите производную — d / dx натуральное полено 3x
    75 Найдите производную — d / dx х ^ (1/2)
    76 Найдите производную — d / d @ VAR f (x) = квадратный корень из x
    77 Найдите производную — d / dx соз (x ^ 2)
    78 Найдите производную — d / dx 1 / (х ^ 5)
    79 Найдите производную — d / dx кубический корень из x ^ 2
    80 Оцените интеграл интеграл cos (x) относительно x
    81 Оцените интеграл интеграл e ^ (- x ^ 2) относительно x
    82 Найдите производную — d / d @ VAR f (x) = x ^ 3
    83 Оцените интеграл интеграл от 0 до 10 из 4x ^ 2 + 7 относительно x
    84 Оцените интеграл интеграл (натуральный логарифм x) ^ 2 относительно x
    85 Найдите производную — d / dx журнал x
    86 Найдите производную — d / dx арктан (х)
    87 Найдите производную — d / dx натуральное полено 5x
    88 Найдите производную — d / dx 5e ^ x
    89 Найдите производную — d / dx cos (3x)
    90 Оцените интеграл интеграл x ^ 3 относительно x
    91 Оцените интеграл интеграл x ^ 2e ^ x относительно x
    92 Найдите производную — d / dx 16 корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4
    93 Найдите производную — d / dx х / (е ^ х)
    94 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 от arctan (e ^ x)
    95 Оцените интеграл интеграл от (e ^ x-e ^ (- x)) / (e ^ x + e ^ (- x)) относительно x
    96 Найдите производную — d / dx 3 ^ х
    97 Оцените интеграл интеграл xe ^ (x ^ 2) относительно x
    98 Найдите производную — d / dx 2sin (x)
    99 Оценить сек (0) ^ 2
    100 Найдите производную — d / dx натуральный логарифм x ^ 2

    % PDF-1.4 % 2905 0 объект > эндобдж xref 2905 75 0000000016 00000 н. 0000001883 00000 н. 0000001997 00000 н. 0000002650 00000 н. 0000002811 00000 н. 0000003244 00000 н. 0000007023 00000 н. 0000007047 00000 н. 0000070375 00000 п. 0000070400 00000 п. 0000071778 00000 п. 0000071967 00000 п. 0000072521 00000 п. 0000073705 00000 п. 0000073894 00000 п. 0000074448 00000 п. 0000075873 00000 п. 0000076066 00000 п. 0000076620 00000 п. 0000077919 00000 п. 0000078112 00000 п. 0000079074 00000 н. 0000080307 00000 п. 0000080496 00000 п. 0000081442 00000 п. 0000082657 00000 п. 0000083189 00000 п. 0000084421 00000 п. 0000084957 00000 п. 0000086162 00000 п. 0000086360 00000 п. 0000087306 00000 п. 0000088490 00000 н. 0000088679 00000 н. 0000089625 00000 п. 00000

    00000 п. 00000 00000 п. 00000 00000 п. 0000092782 00000 п. 0000093295 00000 п. 0000094382 00000 п. 0000095596 00000 п. 0000096114 00000 п. 0000097311 00000 п. 0000097504 00000 п. 0000098457 00000 п. 0000099674 00000 н. 0000099863 00000 н. 0000100827 00000 н. 0000102088 00000 н. 0000102281 00000 п. 0000103281 00000 н. 0000104480 00000 н. 0000104678 00000 п. 0000105642 00000 п. 0000106840 00000 н. 0000107033 00000 п. 0000107689 00000 н. 0000108873 00000 н. 0000109062 00000 н. 0000109718 00000 п. 0000110904 00000 н. 0000111097 00000 н. 0000112035 00000 н. 0000113221 00000 н. 0000113414 00000 н. 0000113960 00000 н. 0000115204 00000 н. 0000115397 00000 н. 0000116005 00000 н. 0000117196 00000 н. 0000117385 00000 н. 0000117993 00000 н. 0000002283 00000 н. 0000002627 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 2906 0 объект > / StructTreeRoot 157 0 R >> эндобдж 2907 0 объект > эндобдж 2978 0 объект > ручей xc«c`xA @ l ft` e b8fcW0ufI0me \ b EO + 0 ߒ ia 0t2 [݃ Ջ a) KddX dfXɼe’RY, `b`˰

    3.8 Неявное дифференцирование — Исчисление Том 1

    Цели обучения

    • Найдите производную сложной функции, используя неявное дифференцирование.
    • Используйте неявное дифференцирование, чтобы определить уравнение касательной.

    Мы уже изучили, как найти уравнения касательных к функциям и скорости изменения функции в определенной точке. Во всех этих случаях мы имели явное уравнение для функции и явно дифференцировали эти функции.Предположим вместо этого, что мы хотим определить уравнение касательной к произвольной кривой или скорость изменения произвольной кривой в точке. В этом разделе мы решаем эти проблемы, находя производные функций, которые неявно определяются в терминах.

    В большинстве математических дискуссий, если зависимая переменная является функцией независимой переменной, мы выражаем через. Если это так, мы говорим, что это явная функция из. Например, когда мы пишем уравнение, мы явно определяем в терминах.С другой стороны, если связь между функцией и переменной выражается уравнением, в котором не выражается полностью через, мы говорим, что уравнение неявно определяет как через. Например, уравнение неявно определяет функцию.

    Неявное дифференцирование позволяет нам находить наклоны касательных к кривым, которые явно не являются функциями (они не проходят проверку вертикальной линии). Мы используем идею, что части являются функциями, которые удовлетворяют данному уравнению, но на самом деле это не функция.

    В общем, уравнение определяет функцию неявно, если функция удовлетворяет этому уравнению. Уравнение может неявно определять множество различных функций. Например, функции

    , и, которые проиллюстрированы на (Рисунок), являются всего лишь тремя из многих функций, неявно определяемых уравнением.

    Рисунок 1. Уравнение неявно определяет многие функции.

    Если мы хотим найти наклон касательной линии к графику в точке, мы могли бы вычислить производную функции в точке.С другой стороны, если нам нужен наклон касательной в точке, мы можем использовать производную от. Однако не всегда легко найти функцию, неявно определяемую уравнением. К счастью, метод неявного дифференцирования позволяет нам найти производную неявно определенной функции, даже не решая ее явно. Процесс поиска с использованием неявного дифференцирования описан в следующей стратегии решения проблем.

    Использование неявной дифференциации

    Предполагая, что это неявно определяется уравнением, найти.

    Решение

    Следуйте шагам стратегии решения проблем.

    Использование неявной дифференциации и правила продукта

    Предполагая, что это неявно определяется уравнением, найти.

    Решение

    Использование неявного дифференцирования для поиска второй производной

    Найдите, если.

    Найти для, неявно определенного уравнением.

    Решение

    Ключевые понятия

    • Мы используем неявное дифференцирование, чтобы найти производные от неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями).
    • Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.

    Глоссарий

    неявное дифференцирование
    — это метод вычисления функции, определяемой уравнением, который достигается путем дифференцирования обеих сторон уравнения (не забывая рассматривать переменную как функцию) и решения для

    решить: dy / dx + xy = x

    Пошаговое объяснение:

    Однородные дифференциальные уравнения

    Дифференциальное уравнение первого порядка является однородным, когда оно может иметь следующую форму:

    dydx = F (yx)

    Мы можем решить его, используя разделение переменных но сначала мы создаем новую переменную v = yx

    v = yx, которая также равна y = vx

    И dydx = d (vx) dx = v dxdx + x dvdx (по правилу продукта)

    Что можно упростить до dydx = v + x dvdx

    Используя y = vx и dydx = v + x dvdx, мы можем решить дифференциальное уравнение.

    Пример покажет, как все это делается:

    Пример: Решить dydx = x2 + y2xy

    Можем ли мы получить это в стиле F (yx)?

    Начните с: x2 + y2xy

    Отдельные члены: x2xy + y2xy

    Упростите: xy + yx

    Обратное значение первого члена: (yx) −1 + yx

    Да, у нас есть функция (y / x ).

    Итак, давайте:

    Начнем с: dydx = (yx) −1 + yx

    y = vx и dydx = v + x dvdx: v + x dvdx = v − 1 + v

    Вычтем v с обеих сторон : x dvdx = v − 1

    Теперь используйте разделение переменных:

    Разделите переменные: v dv = 1x dx

    Поместите знак интеграла вперед: ∫v dv = ∫ 1x dx

    Интегрируйте: v22 = ln ( x) + C

    Затем сделаем C = ln (k): v22 = ln (x) + ln (k)

    Combine ln: v22 = ln (kx)

    Упростим: v = ± √ (2 ln ( kx))

    Теперь подставьте обратно v = yx

    Замените v = yx: yx = ± √ (2 ln (kx))

    Упростите: y = ± x √ (2 ln (kx))

    И мы имеем решение.

    Положительная часть выглядит так:

    y = x sqrt (2 ln (kx))

    Другой пример:

    Пример: Решите dydx = y (x − y) x2

    Можем ли мы получить его в F ( yx) стиль?

    Начните с: y (x − y) x2

    Отдельные члены: xyx2 — y2x2

    Упростите: yx — (yx) 2

    Начните с: dydx = 1 − y / x1 + y / x

    y = vx и dydx = v + x dvdx v + x dvdx = 1 − v1 + v

    Вычтем v с обеих сторон: x dvdx = 1 − v1 + v — v

    Тогда: x dvdx = 1 − v1 + v — v + v21 + v

    Упростите: x dvdx = 1−2v − v21 + v

    Теперь используйте разделение переменных:

    Разделите переменные: 1 + v1−2v − v2 dv = 1x dx

    Поставьте знак интеграла front: ∫ 1 + v1−2v − v2 dv = ∫ 1x dx

    Интегрируем: — 12 ln (1−2v − v2) = ln (x) + C

    Затем получаем C = ln (k): — 12 ln (1−2v − v2) = ln (x) + ln (k)

    Объединить ln: (1−2v − v2) −½ = kx

    Объединить ln: (1−2v − v2) −½ = kx

    Square and Reciprocal: 1−2v − v2 = 1k2x2

    Теперь подставляем обратно v = yx

    Подставляем v = yx: 1−2 (yx) — (yx) 2 = 1k2x2

    Умножаем на x2: x2− 2xy − y2 = 1k2 Поменять знаки: y2 + 2xy − x2 = — 1k2

    Repla ce — 1k2 на c: y2 + 2xy − x2 = c

    Добавьте 2×2 к обеим сторонам: y2 + 2xy + x2 = 2×2 + c

    Множитель: (y + x) 2 = 2×2 + c

    Квадратный корень: y + x = ± √ (2×2 + c)

    Вычтем x из обеих частей: y = ± √ (2×2 + c) — x

    И у нас есть решение.

    Дифференциальные уравнения: разделение переменных

    Презентация на тему: «Дифференциальные уравнения: разделение переменных» — стенограмма презентации:

    ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

    1 Дифференциальные уравнения: разделение переменных
    Интеллектуальная практика безмолвного учителя Расскажи свою очередь 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑥𝑦 Практика

    2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 2 𝑥 1 𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 — 1 𝑦 = 𝑥 2 2 + 𝑐
    Рабочий пример Ваша очередь Найдите общее решение для поиска общего решения 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 2 𝑥 1 𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 — 1 𝑦 = 𝑥 𝑐 𝑦 = 2 𝐴− 𝑥 2, где 𝐴 — постоянная

    3 7.𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 1.𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 8. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑦 2 2. 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦
    Найдите общее решение каждого дифференциального уравнения в виде 𝒚 = 𝒇 (𝒙) 7. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 8. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑦 2 9. 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 2 11. 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 12. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 1.𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 2. 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 3. 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑦 4. 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 5. 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑦 6. 1 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2

    4 1. sin 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = cos 𝑥 7. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑒 𝑦 2.sec 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = cosec 𝑥
    Найдите общее решение каждого дифференциального уравнения 1. sin 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = cos 𝑥 2. sec 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = cosec 𝑥 3. sec 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 cosec 2 𝑥 4 .cosec 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 секунды 𝑦 5. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 секунды 𝑥 tan 𝑦 6. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 секунды 𝑦 tan 𝑥 7. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑒 𝑦 8. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑦 9. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 𝑦 𝑒 𝑥 + 𝑦 10. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ln 2𝑥 𝑦 11. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2ln 𝑦 12. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 ln 𝑦

    5 7. 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 1.𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 8. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑦 2 2. 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦
    Найдите общее решение каждого дифференциального уравнения в виде 𝒚 = 𝒇 (𝒙) 7. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 8. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑦 2 9. 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 2 11. 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 12. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 1.𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 2. 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 3. 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑦 4. 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 5. 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑦 6. 1 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 𝑦 2 = 2 𝑥 2 + 𝐴 𝑦 = ± 2𝑥 2 + 𝐴 ln 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐 𝑦 = 𝐴 𝑒 𝑥 2 ln 𝑦 = 1 2 ln 𝑥 + ln 𝐴 𝑦 = 𝐴 𝑥 — 1 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐 𝑦 = 1 𝐴− 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥 𝐴 𝑦 = ± 𝑥 𝐴 𝑦 = — 1 𝑥 + 𝑐 𝑦 = 1 𝑥 2 — 2𝑐 𝑥 + 𝑐 2 — 1 𝑦 = 𝑥 + 𝑐 𝑦 = 1 𝐴− 𝑥 ln 𝑦 = 𝑥 𝑐 𝑦 = 𝐴 𝑒 𝑥 2 `4 𝑦 3 3 = 𝑥 3 + 𝑐 𝑦 = 2 𝑥 3 + 𝐴 1 3 𝑦 = ± 2 ln 𝐴𝑥 ln 𝑦 = 𝑥 𝑐 𝑦 = 𝐴 𝑒 𝑥 2 `4 2 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑐 𝑦 = 𝑥 3 + 𝐴 2 9

    6 1.sin 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = cos 𝑥 7. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑒 𝑦 2. sec 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = cosec 𝑥
    Найдите общее решение каждого дифференциального уравнения — 1 𝑒 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐 𝑦 = ln 1 𝐴 — 𝑥 2 1. sin 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = cos 𝑥 2. sec 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = cosec 𝑥 3. sec 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 cosec 2 𝑥 4.

384 число: Число 384 – Значение цифр в числе 384 по ангельской нумерологии

alexxlab / / Разное

Значение числа 384 — Подробное руководство ангелов

Вас интересует значение Ангельского числа 384? Тогда это руководство для вас!

Число ангела 383 – это воплощение оптимизма. Вы продолжаете видеть это число, потому что ваши ангелы хотят, чтобы вы думали позитивно.

Вы создадите такую жизнь, какую хотите, если поверите, что это возможно. Вы достигнете своих целей и мечтаний, если будете верить в свои способности и навыки.

Божественное царство знает, через что вам пришлось пройти в прошлом. Некоторые из ваших впечатлений были разочаровывающими.

Вы прошли через испытания, которые, как вам казалось, были бы непреодолимыми. Но просто подумайте о том, как далеко вы зашли…

Подумайте о достижениях, которых вы добились в своей жизни. Вы поймете, что достигли своих целей, потому что продолжали идти вперед.

Вы верили, что выход есть, даже когда казалось, что это бесполезно.

Номер 384 просит вас сосредоточиться на том же самом сейчас. Не позволяйте трудностям в вашей жизни захлестнуть вас.

Знайте, что вы добьетесь успеха, если будете ожидать хороших результатов от своих усилий.

Ваши ангелы продолжают посылать этот знак, потому что он несет в вашу жизнь хорошие советы. Вас призывают быть оптимистичными.

Содержание

  1. Что означает число 384?
  2. В чем значение числа 384?
  3. В чем символизм числа 384?
  4. Значение числа 384 ангельская нумерология
  5. Вывод…

Что означает число 384?

Не паникуйте, когда вы продолжаете видеть число 384, куда бы вы ни пошли. Ваши божественные наставники используют этот номер, чтобы объявить о своем присутствии в вашей жизни.

Вселенная хочет, чтобы вы знали, что вы не одиноки. Ваши ангелы рядом с вами, мягко направляя вас к тому, чтобы использовать ваши дары и таланты с пользой.

Божественное царство хочет, чтобы вы максимально использовали свою жизнь – сейчас и в будущем.

Значение числа 384 помогает вам разобраться в своих сильных и слабых сторонах. Это единственный способ узнать, как быть верным себе.

Используйте свои сильные стороны для преодоления трудностей в вашей жизни. В процессе вы обнаружите, что очень возможно превратить ваши недостатки в сильные стороны.

Ангелы направляют вас, чтобы вы полностью раскрыли свой потенциал. Вы сделаете это, если предпримете шаги, необходимые для достижения своих целей и мечтаний.

Благодаря этому знаку ваши ангелы поощряют вас идти на риск. Старайтесь изо всех сил пробовать что-то новое. Осмелитесь поэкспериментировать, чтобы узнать, что может предложить жизнь.

Не ограничивайте себя, когда дело доходит до стремления к подлинному счастью. Узнайте, в чем заключается ваша истинная страсть.

Как только вы это сделаете, неустанно преследуйте эту страсть. Божественное царство поможет вам понять, что вам нужно сделать, чтобы вывести свою жизнь на новый уровень.

Кроме того, цифра 384 просит вас расширить свой социальный охват. Это означает, что вам придется выйти за рамки своих традиционных мест.

Познакомьтесь с большим количеством людей и установите более значимые профессиональные и социальные связи.

В чем значение числа 384?

Когда вы продолжаете видеть этот знак, знайте, что ваши ангелы просят вас быть искренними с самими собой. Нет необходимости жить жизнью, которая не делает тебя счастливым.

Кроме того, вам не нужно делать что-то только ради соответствия. Каждое действие, которое вы предпринимаете, должно быть направлено на то, чтобы сделать вас счастливыми.

Это означает, что вы должны вырасти из ситуаций, которые вас подавляют. То же самое относится и к людям. Если кто-то в вашей жизни истощает вашу энергию, вам нужно вычеркнуть его из своей жизни.

Число ангела 384 учит вас, что жизнь такова, какой вы ее делаете. Это не всегда может быть очевидно, учитывая, что вы находитесь в процессе выяснения своих истинных страстей.

Этот ангельский знак дает вам силу понимания. Это дает вам мудрость, необходимую для того, чтобы узнать истинные желания вашего сердца.

Когда вы продолжаете сталкиваться с этим знаком, подумайте о том, как вы можете получить вдохновение изнутри. У вас есть все ресурсы, необходимые для того, чтобы жить жизнью своей мечты.

Кроме того, этот знак просит вас окружить себя людьми, которые помогут вам достичь ваших целей. Такие люди хотят видеть, как ты растешь.

Вы узнаете их, потому что они проявляют неподдельный интерес к вашей жизни. Они не питают к вам злобы или недоброжелательства.

Это те люди, с которыми вам нужно сотрудничать. Они помогут вам более ясно видеть жизнь, когда вы преследуете интересы своего сердца.

В чем символизм числа 384?

Ваши ангелы советуют вам использовать свои коммуникативные навыки, чтобы выпутаться из неприятностей. Ваши божественные наставники заметили, что у вас были некоторые проблемы с попытками выразить себя.

Вы боитесь высказаться из-за предубеждения, которое некоторые люди питают к вам. Действительно, вы часто боитесь делать выбор, потому что не уверены, как вас воспримут другие.

Что ж, число ангела 384 говорит вам, что этому должен прийти конец. Вы должны жить своей жизнью на полную катушку.

Не поддавайтесь влиянию обстоятельств или того, что люди думают о вас. Вас призывают высказаться, когда вы чувствуете себя подавленным.

Вы заслуживаете того, чтобы к вам относились с уважением, достоинством и честностью. Никогда не идите на компромисс в этом вопросе.

Говорите твердо и уверенно, в полной уверенности, что ваши ангелы на вашей стороне. Конечно, вы должны помнить, что должны относиться к другим с тем уважением и достоинством, которых вы от них требуете.

Кроме того, номер 384 является символом вашей семейной жизни. Вселенная напоминает вам о том, что ваша семья и близкие должны быть важнее всего остального.

Подумайте, что вам нужно сделать, чтобы сделать ваш дом более пригодным для жилья. Ваш дом нуждается в ремонте?

Или вам нужно выделить время, чтобы поговорить со своим супругом или детьми о том, что они переживают?

Значение числа 384 заверяет вас, что у вас есть поддержка ваших ангелов, когда вы работаете над укреплением связей, которые вы разделяете со своими близкими.

Значение числа 384 ангельская нумерология

Значение числа 384 указывает на то, что вы обречены на успех. Это означает, что вы не должны судить о своей жизни, основываясь на ваших нынешних затруднениях.

В вашей жизни произойдут великие события. Ваши ангелы открывают вам глаза на множество возможностей, которые существуют в вашей жизни.

Кроме того, Вселенная просит вас сыграть свою роль. Это позволит вам получить доступ к благословениям, посылаемым вам.

Прежде всего, вы должны твердо верить в свои способности. У вас есть уникальный набор навыков и талантов.

Ваши ангелы призывают вас использовать эти дары с пользой.

Кроме того, они направляют вас продолжать работать ради того, во что вы верите. Если вы продолжите быть таким решительным и целеустремленным, вы скоро достигнете желаемых результатов.

Значение числа 384 указывает на то, что у вас есть уникальная роль в вашем сообществе. Вы сделаете это более эффективно, если приведете свою деятельность в соответствие с божественным планом.

Это требует, чтобы вы подумали о том, чтобы уделять больше внимания своему духовному росту. Это подходящее время для того, чтобы заняться духовной профессией или практикой.

Если это новая область для вас, не пугайтесь. Просто призовите своих ангелов за помощью и поддержкой, они дадут вам руководство, необходимое для выполнения этой работы.

Вывод…

Вы находитесь на правильном пути к достижению своих целей. Ангельское число 384 заверяет вас, что ваши ангелы работают с вами, чтобы выполнить все, на что вы надеетесь.

Когда вы увидите это число, знайте, что Вселенная послала свои лучшие силы, чтобы быть рядом с вами. Хорошая новость заключается в том, что ваши божественные наставники не подвержены влиянию обстоятельств вашей жизни.

Это означает, что они будут стоять рядом с вами, независимо от того, чувствуете ли вы себя счастливым или грустным. Они хотят, чтобы вы преуспели во всех своих начинаниях.

С такой огромной поддержкой со стороны Вселенной вы не можете ошибиться.

Вы видели недавно число 383?

Узнай! Значение числа 384 в нумерологии

Многие люди верят в вещие сны, инстинкту или ждут определенное время для загадывания и исполнения желания, или считают, что для удачи обязательно надо утром планировать. Знаете, какая наука поможет приносить неимоверное ощущение уверенности в себе и поможет притянуть в свою жизнь все земные блага?Это нумерология! Если вы будете внимательны к своей жизни, то увидите сколько чисел окружает вас! В этой статье внимательно разберем число 384, и выясним, что оно хочет сказать. Вы довольствуетесь малым, не ожидая высоких результатов. Возможно, за той гранью, которую вы боитесь переступить, скрывается возможность проявить свои истинные таланты. В нумерологии значение числа 384 имеет как положительное, так и отрицательное влияние! Последнее может сказываться как на психологическом состоянии, личной жизни, работе, так и на энергетике в целом!

Содержание:

Что зашифровано в числе 384?384=3+8+4=15, 1+5=6

Послание закодированное в числе 384 относится к сфере отношений и денег и говорит о том, что положительные перемены в материальном плане станут лишним подтверждением того, что с выбором спутника жизни вы не ошиблись. «Лишние» деньги, которые, по всей вероятности, скоро появятся в вашем доме, вы оба воспримете как законное вознаграждение Судьбы за стойкость, принципиальность и трудолюбие. В ваших отношениях ничего не изменится, только жить станет проще и веселей.
Значение числа 384 в нумерологии включает в себя расшифровку даты именин и дня рождения!

Общее значение числа 384 в нумерологии

Число 384=3+8+4=15=1+5=6, говорит что у вас привязанность к цикличности событий и вам надо проследить циклы взяв одно из событий, которое часто повторяется. Теперь между циклами замерьте что вы можете сделать сколько событий вмещается. Так например вы вмещали 10 событий и все успевали теперь вы через год способны переварить только 6 событий что говорит что вы пребываете на дороге к сжатию и скоро в суете вы будете переживать что жизнь пролетела а вы ничего не успели. Так если напротив было 10 стало 16 событий значит вы раскручиваете маховик и ваша жизнь будет иметь последствия что прожив вы почувствуете как много всего успели.
Число 384=3(8)4, говорит что вы должны работать с кармой,  которая постоянно вам начала досаждать своими болячками и невезением. Для этого вам надо утром планировать события которые вы в течении дня собираетесь сделать. Стараться не отходить от своего плана и тогда ваше сознание начнет лучше, тщательней все охватывать и вы увидите даже мелочи своих сделок и работы. Вечером обязательно подводить итог прожитого и если вам надо было отступить от своего плана посмотрите почему и надо понять что вы отошли от луча своего сознания и не увидели данные события.
Число 384=300х84=2(5(2)0)0, вам показывает, как вы работая над собой, становитесь разумным существом. Да вы увидите насколько хаотичны и неразумны люди вокруг вас и порой они просто живут пребывая во сне и делая то что им диктуют инстинкты. Если вы это увидели, значит у вас открылся глаз Будды и вы способны возносится над суетой и хаосом. Так поднимаясь в духе вы видите мелочность проблем и видите как их можно решить.  Многие проблемы не требуют вмешательства так как они инерционны и поэтому время их просто размывает и они пропадают. Число 384=380х4=1520=1+5+2+0=80, разумной кармы когда вы делаете свое новое тело своими действиями. Вы должны понимать что все клетки вашего старого тела постоянно обновляются и через 7 лет вы уже будете пребывать в новом теле. Но имейте в виду ваш дух перетек в это тело и все у вас изменилось, постарайтесь определить возможности данного тела. Восприняв это вы начинаете переходить в более качественные пространства где вы преуспевающий человек и ваши возможности кратно растут с каждым циклом 6+1=7 лет.

Значения отдельных цифр

Число 384 образует совокупность вибраций тройки (3), цифры 8, четверки (4)В данном случае ангелы использовали тройку для самого обычного сообщения: да, вы все делаете правильно, но не делаете всего, что могли бы сделать. Следовательно, вы довольствуетесь средними результатами, не ожидая высоких. Хотя не исключено, что именно за той гранью, которую вы не решаетесь переступить, скрывается возможность использовать все свои таланты.Число 8 в ангельском послании является в данном случае и поощрением и предупреждением. Ангелы на небесах ликуют при виде ваших успехов, но просят вас не забывать: «от добра добра не ищут». И если вы окажетесь от своих принципов, и возжелаете земных благ, не соответствующих вашей миссии на земле, то можете остаться ни с чем.«Вы уделяете слишком много времени исполнению своих обязанностей», – вот что должна означать четверка в послании ангелов. Однако пробелы в личной жизни – или полное отсутствие таковой – нельзя компенсировать усердной работой. Трудолюбие – прекрасное качество. Но лишь тогда, когда вкупе с другими необходимыми составляющими вашей жизни приносит ощущение счастья.

Подробный анализ числа 384

Похоже, недавно вашей душе был нанесен тяжелый удар, в результате которого ваша вера в людей сильно пошатнулась. Но было большой ошибкой перестать доверять всем людям без разбора. Научитесь «отделять агнцев от козлищ», ориентируясь на то, чего они хотят от жизни. И тогда предавать вас будут реже.Люди, которые вам дороги, стали все больше отдаляться от вас. Причина – в том, что вы все чаще стали подменять искреннее участие и отзывчивость подарками и подачками. Имейте в виду: очень скоро вас станут воспринимать только как ходячий кошелек, копилку, в которую можно лазить по мере надобности. И вернуть былое отношение к себе будет неимоверно трудно.

Ангельское послание

Ангелы ликуют, они готовы дать ответ на ваши просьбы и молитвы, касательно денег. Ищите знаки! Они уже рядом с нами.Таким образом, в статье разобрано число 384. Примите к сведению все вышенаписанное, возможно оно на что-то открыло вам глаза. Это поможет сделать верные шаги и обернуть удачу в свою сторону.Почаще обращайте внимание на окружающее вас пространство, чтобы не упускать подсказок небес, которые, возможно, постоянно повторяются.

Смотрите также

Число 269 может принадлежать семейному человеку, который будет больше заботиться о других, чем о себе …

384 — триста восемьдесят четыре.

натуральное четное число. регулярное число (число хемминга). в ряду натуральных чисел находится между числами 383 и 385. Все о числе триста восемьдесят четыре.384 — триста восемьдесят четыре. натуральное четное число. регулярное число (число хемминга). в ряду натуральных чисел находится между числами 383 и 385. Все о числе триста восемьдесят четыре.
  1. Главная
  2. О числе 384

384 — триста восемьдесят четыре. Натуральное четное число. Регулярное число (Число Хемминга). В ряду натуральных чисел находится между числами 383 и 385.

Like если 384 твое любимое число!

Изображения числа 384

Склонение числа «384» по падежам

ПадежВспомогательное словоХарактеризующий вопросСклонение числа 384
ИменительныйЕстьКто? Что?триста восемьдесят четыре
РодительныйНетКого? Чего?трёхсот восьмидесяти четырёх
ДательныйДатьКому? Чему?трёмстам восьмидесяти четырём
ВинительныйВидетьКого? Что?триста восемьдесят четыре
ТворительныйДоволенКем? Чем?тремястами восьмьюдесятью четырьмя
ПредложныйДуматьО ком? О чём?трёхстах восьмидесяти четырёх

Перевод «триста восемьдесят четыре» на другие языки

Азербайджанский
üç yüz səksən dörd
Албанский
384
Английский
three hundred eighty-four
Арабский
384
Армянский
երեք հարյուր ութսունչորս
Белорусский
384
Болгарский
триста осемдесет и четири
Вьетнамский
384
Голландский
384
Греческий
τριακόσια ογδόντα τέσσερα
Грузинский
სამას ოთხმოცდაოთხი
Иврит
384
Идиш
384
Ирландский
384
Исландский
384
Испанский
trescientos ochenta y cuatro
Итальянский
384
Китайский
384
Корейский
삼백여든넷
Латынь
trecentos octoginta quatuor:
Латышский
384
Литовский
384
Монгольский
гурван зуун наян дөрвөн
Немецкий
384
Норвежский
384
Персидский
384
Польский
trzysta osiemdziesiąt cztery
Португальский
384
Румынский
384
Сербский
триста осамдесет четири
Словацкий
384
Словенский
384
Тайский
384
Турецкий
384
Украинский
триста вісімдесят чотири
Финский
kolmesataakahdeksankymmentäneljä
Французский
384
Хорватский
384
Чешский
384
Шведский
384
Эсперанто
tricent okdek kvar
Эстонский
384
Японский
三八〇から四

Перевод «384» на другие языки и системы

Римскими цифрами

Римскими цифрами
CCCLXXXIV

Сервис перевода арабских чисел в римские

Арабско-индийскими цифрами

Арабскими цифрами
٣٨٤
Восточно-арабскими цифрами
۳۸۴
Деванагари
३८४
Бенгальскими цифрами
৩৮৪
Гурмукхи
੩੮੪
Гуджарати
૩૮૪
Ория
୩୮୪
Тамильскими цифрами
௩௮௪
Телугу
౩౮౪
Каннада
೩೮೪
Малаялам
൩൮൪
Тайскими цифрами
๓๘๔
Лаосскими цифрами
໓໘໔
Тибетскими цифрами
༣༨༤
Бирманскими цифрами
၃၈၄
Кхемерскими цифрами
៣៨៤
Монгольскими цифрами
᠓᠘᠔

В других системах счисления

384 в двоичной системе
110000000
384 в троичной системе
112020
384 в восьмеричной системе
600
384 в десятичной системе
384
384 в двенадцатеричной системе
280
384 в тринадцатеричной системе
237
384 в шестнадцатеричной системе
180

QR-код, MD5, SHA-1 числа 384

Адрес для вставки QR-кода числа 384, размер 500×500:

http://pro-chislo. ru/data/moduleImages/QRCodes/384/aa74c4e50bd2efeaa7ca6339472f9047.png
MD2 от 384
d360033d1e9cc8f9c8e24d9aa1b05b8c
MD4 от 384
78d0e7e895ab1119af13bc934f0701f8
MD5 от 384
0584ce565c824b7b7f50282d9a19945b
SHA1 от 384
b741f2520f68d7b8abfecea2d88015fc823ef8bb
SHA256 от 384
37b73510175057c633ebe4beb0a34917fa2a0696432db43a4eeb2c3ff83a4c3b
SHA384 от 384
b8533ec911ae8c4b9d3e2d91644b73df1a1dd56378562dcb21f37ebfd1ee89bfbe02b8996d41a3cecd6a5f6cbe673eaa
SHA512 от 384
6923fb884a330a38e5eb27910f67a0fb51994475678098eeb6eb88e4b03b12e23a74772f01616aa3725b5adef1943cb12dbe2b27cc8bc85ebf70d5843150d0bf
GOST от 384
b4036096e3ffd0dea23d67b940f733362015dcd6e385a4dd8b989a810b927d95
Base64 от 384
Mzg0

Математические свойства числа 384

Простые множители
2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3
Делители
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 384
Количество делителей
16
Сумма делителей
1020
Простое число
Нет
Предыдущее простое
383
Следующее простое
389
384е простое число
2657
Число Фибоначчи
Нет
Число Белла
Нет
Число Каталана
Нет
Факториал
Нет
Регулярное число (Число Хемминга)
Да
Совершенное число
Нет
Полигональное число
Нет
Квадрат
147456
Квадратный корень
19. 595917942265
Натуральный логарифм (ln)
5.9506425525877
Десятичный логарифм (lg)
2.5843312243675
Синус (sin)
0.66365643362196
Косинус (cos)
0.74803752453482
Тангенс (tg)
0.8871967138743

Комментарии о числе 384

← 383

385 →

  • Изображения числа 384
  • Склонение числа «384» по падежам
  • Перевод «триста восемьдесят четыре» на другие языки
  • Перевод «384» на другие языки и системы
  • QR-код, MD5, SHA-1 числа 384
  • Математические свойства числа 384
  • Комментарии о числе 384

Технические характеристики и ограничения Excel

Технические характеристики и ограничения листа и книги

Параметр

Максимальное значение

Количество открытых книг

Ограничено объемом доступной оперативной памяти и ресурсами системы

Общее количество строк и столбцов на листе

1 048 576 строк и 16 384 столбца

Ширина столбца

255 знаков

Высота строки

409 пунктов

Разрывы страниц

1 026 горизонтальных и вертикальных

Общее количество знаков в ячейке

32 767 знаков

Число знаков в верхнем и нижнем колонтитуле

255

Максимальное число переводов строки в ячейке

253

Количество листов в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти (по умолчанию 1 лист)

Количество цветов в книге

16 миллионов цветов (32-битовый спектр с полным доступом к 24-битовому спектру)

Именованные представления в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество уникальных форматов/стилей ячеек

65 490

Количество стилей заливки

256

Количество стилей и толщин линий

256

Количество уникальных шрифтов

1 024 доступных глобальных шрифта; 512 шрифтов в каждой книге

Количество численных форматов в книге

От 200 до 250, в зависимости от установленной языковой версии Excel

Количество имен в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество окон в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Гиперссылки на листе

65 530

Количество областей в окне

4

Количество связанных листов

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Сценарии

Ограничено объемом доступной оперативной памяти; в итоговый отчет включается 251 сценарий, начиная с первого

Количество изменяемых ячеек в сценарии

32

Количество вычисляемых ячеек в надстройке «Поиск решения»

200

Количество пользовательских функций

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Пределы масштабирования

от 10 до 400 процентов

Количество отчетов

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество ссылок для сортировки

64 для однократной сортировки; не ограничено для последовательных сортировок

Количество уровней отмены

100

Количество полей в форме данных

32

Количество параметров в книге

255 параметров в одной книге

Количество элементов, которые отображаются в раскрывающихся списках фильтров

10 000

Количество независимых ячеек, которые можно выделить

2 147 483 648 ячеек

Максимальные пределы объема памяти и размера файла для книг с моделями данных

В 32-разрядной среде выделяется 2 гигабайта (ГБ) виртуального адресного пространства, которое совместно используется приложением Excel, книгой и надстройками, работающими в рамках одного процесса. Доля адресного пространства, выделяемого для модели данных, может достигать 500–700 мегабайт (МБ), но может быть и меньше, если загружаются другие модели данных и надстройки.

64-разрядная среда не накладывает жестких ограничений на размер файлов. Размер книги ограничен только объемом доступной памяти и ресурсами системы.

Начиная с Excel 2016 функция обработки больших адресов позволяет 32-разрядной версии Excel использовать в два раза больше памяти при работе в 64-разрядной операционной системе Windows. Дополнительные сведения см. в статье Изменение функции обработки больших адресов для Excel.

Примечание: Добавление таблиц в модели данных увеличивает размер файла. Если вы не планируете создавать для модели данных сложные связи с использованием большого количества источников и типов данных в книге, во время импорта или создания таблиц, сводных таблиц или подключений к данным снимите флажок Добавить эти данные в модель данных.

Подробнее см. в статье Спецификации и ограничения модели данных.

Количество ядер процессора

64

Длина имени файла

218 символов, включая путь к файлу. Например, C:\Username\Documents\FileName.xlsx.

Технические характеристики и ограничения вычислений

Параметр

Максимальное значение

Точность представления чисел, разрядов, не более

15

Допустимое отрицательное число, не менее

-2,2251E+308

Допустимое положительное число, не менее

2,2251E-308

Допустимое положительное число, не более

9,99999999999999E+307

Допустимое отрицательное число, не более

-9,99999999999999E+307

Наибольшее положительное число, получаемое в формуле

1,7976931348623158E+308

Наибольшее отрицательное число, получаемое в формуле

-1,7976931348623158E+308

Длина записи формулы, знаков, не более

8 192

Внутренняя длина формулы, байт, не более

16 384 байт

Количество итераций, не более

32 767

Количество массивов в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество выделенных диапазонов, не более

2 048

Количество аргументов функции, не более

255

Количество уровней вложенности функций, не более

64

Количество категорий пользовательских функций, не более

255

Количество доступных функций листа Microsoft Excel, не более

341

Размер стека операндов, не более

1 024

Перекрестная зависимость листов, не более

64 000 листов, которые могут ссылаться на другие листы

Перекрестная зависимость формул массива на разных листах

Ограничена объемом доступной оперативной памяти

Зависимость областей

Ограничена объемом доступной оперативной памяти

Зависимость областей на каждом листе

Ограничена объемом доступной оперативной памяти

Зависимости одной ячейки, не более

4 миллиарда формул, зависящих от одной ячейки

Длина содержимого связанной ячейки из закрытых книг, не более

32 767

Допустимая в расчетах дата, не ранее

1 января 1900 г. (1 января 1904 г. для системы дат 1904)

Допустимая в расчетах дата, не позднее

31 декабря 9999 г.

Интервал времени, который можно ввести, не более

9999:59:59

Технические характеристики и ограничения диаграмм

Параметр

Максимальное значение

Количество диаграмм, связанных с листом

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество листов, на которые ссылается диаграмма

255

Ряды данных в диаграмме

255

Количество точек данных в одном ряду данных для плоских диаграмм

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество элементов данных в одном ряду данных для объемных диаграмм

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество элементов данных во всех рядах данных одной диаграммы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Технические характеристики и ограничения отчетов сводных таблиц и сводных диаграмм

Параметр

Максимальное значение

Отчеты сводных таблиц на листе

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество уникальных элементов в поле

1 048 576

Количество полей строк или столбцов в отчете сводной таблицы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество фильтров отчета в отчете сводной таблицы

256 (может быть ограничено объемом доступной оперативной памяти)

Количество полей значений в отчете сводной таблицы

256

Количество формул вычисляемых элементов в отчете сводной таблицы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество фильтров отчета в отчет сводной диаграммы

256 (может быть ограничено объемом доступной оперативной памяти)

Количество полей значений в отчете сводной диаграммы

256

Количество формул вычисляемых элементов в отчете сводной диаграммы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Длина имени MDX элемента сводной таблицы

32 767

Длина строки реляционной сводной таблицы

32 767

Количество элементов, которые отображаются в раскрывающихся списках фильтров

10 000

Книги с включенным параметром «Разрешить изменять файл нескольким пользователям одновременно.

..»

Если для книги включен параметр Разрешить изменять файл нескольким пользователям одновременно…, тогда необходимо применять следующие сведения. Чтобы получить доступ к этому параметру, на вкладке Рецензирование нажмите кнопку Доступ к книге. Примечание. В последних версиях Excel кнопка Доступ к книге скрыта. Чтобы отобразить ее, откройте вкладку Файл и выберите пункт Параметры, а затем — категорию Панель быстрого доступа. Откройте список Выбрать команды из и выберите пункт Все команды. Прокрутите список до пункта Общий доступ к книге (старые версии). Выберите этот пункт и нажмите кнопку Добавить. Нажмите кнопку ОК. Кнопка Доступ к книге появится в верхней части окна Excel.

Параметр

Максимальное значение

Количество пользователей, которые могут одновременно открывать файл

256

Количество личных представлений в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество дней, поддерживаемое журнал изменений

32 767 (по умолчанию 30 дней)

Наибольшее количество одновременно объединяемых книг

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество ячеек, которые можно выделить

32 767

Наибольшее количество цветов для обозначения изменений, вносимых разными пользователями, при включенном режиме цветового выделения изменений

32 (каждому пользователю соответствует свой цвет; изменения текущего пользователя выделяются темно-синим цветом)

Количество таблиц Excel в книге

0 (ноль)

Примечание: Для книги, содержащей одну или несколько таблиц Excel, невозможно включить параметр Разрешить изменять файл нескольким пользователям одновременно. ..

Технические характеристики и ограничения листа и книги

Параметр

Максимальное значение

Количество открытых книг

Ограничено объемом доступной оперативной памяти и ресурсами системы

Общее количество строк и столбцов на листе

1 048 576 строк и 16 384 столбца

Ширина столбца

255 знаков

Высота строки

409 пунктов

Разрывы страниц

1 026 горизонтальных и вертикальных

Общее количество знаков в ячейке

32 767 знаков

Число знаков в верхнем и нижнем колонтитуле

255

Максимальное число переводов строки в ячейке

253

Количество листов в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти (по умолчанию 3 листа)

Количество цветов в книге

16 миллионов цветов (32-битовый спектр с полным доступом к 24-битовому спектру)

Именованные представления в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество уникальных форматов/стилей ячеек

65 490

Количество стилей заливки

256

Количество стилей и толщин линий

256

Количество уникальных шрифтов

1 024 доступных глобальных шрифта; 512 шрифтов в каждой книге

Количество численных форматов в книге

От 200 до 250, в зависимости от установленной языковой версии Excel

Количество имен в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество окон в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Гиперссылки на листе

65 530 гиперссылок

Количество областей в окне

4

Количество связанных листов

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Сценарии

Ограничено объемом доступной оперативной памяти; в итоговый отчет включается 251 сценарий, начиная с первого

Количество изменяемых ячеек в сценарии

32

Количество вычисляемых ячеек в надстройке «Поиск решения»

200

Количество пользовательских функций

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Пределы масштабирования

от 10 до 400 процентов

Количество отчетов

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество ссылок для сортировки

64 для однократной сортировки; не ограничено для последовательных сортировок

Количество уровней отмены

100

Количество полей в форме данных

32

Количество параметров в книге

255 параметров в одной книге

Количество элементов, которые отображаются в раскрывающихся списках фильтров

10 000

Количество независимых ячеек, которые можно выделить

2 147 483 648 ячеек

Количество ядер процессора

64

Технические характеристики и ограничения вычислений

Параметр

Максимальное значение

Точность представления чисел, разрядов, не более

15

Допустимое отрицательное число, не менее

-2,2251E+308

Допустимое положительное число, не менее

2,2251E-308

Допустимое положительное число, не более

9,99999999999999E+307

Допустимое отрицательное число, не более

-9,99999999999999E+307

Наибольшее положительное число, получаемое в формуле

1,7976931348623158E+308

Наибольшее отрицательное число, получаемое в формуле

-1,7976931348623158E+308

Длина записи формулы, знаков, не более

8 192

Внутренняя длина формулы, байт, не более

16 384 байт

Количество итераций, не более

32 767

Количество массивов в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество выделенных диапазонов, не более

2 048

Количество аргументов функции, не более

255

Количество уровней вложенности функций, не более

64

Количество категорий пользовательских функций, не более

255

Количество доступных функций листа Microsoft Excel, не более

341

Размер стека операндов, не более

1 024

Перекрестная зависимость листов, не более

64 000 листов, которые могут ссылаться на другие листы

Перекрестная зависимость формул массива на разных листах

Ограничена объемом доступной оперативной памяти

Зависимость областей

Ограничена объемом доступной оперативной памяти

Зависимость областей на каждом листе

Ограничена объемом доступной оперативной памяти

Зависимости одной ячейки, не более

4 миллиарда формул, зависящих от одной ячейки

Длина содержимого связанной ячейки из закрытых книг, не более

32 767

Допустимая в расчетах дата, не ранее

1 января 1900 г. (1 января 1904 г. для системы дат 1904)

Допустимая в расчетах дата, не позднее

31 декабря 9999 г.

Интервал времени, который можно ввести, не более

9999:59:59

Технические характеристики и ограничения диаграмм

Параметр

Максимальное значение

Количество диаграмм, связанных с листом

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество листов, на которые ссылается диаграмма

255

Ряды данных в диаграмме

255

Количество точек данных в одном ряду данных для плоских диаграмм

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество элементов данных в одном ряду данных для объемных диаграмм

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество элементов данных во всех рядах данных одной диаграммы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Технические характеристики и ограничения отчетов сводных таблиц и сводных диаграмм

Параметр

Максимальное значение

Отчеты сводных таблиц на листе

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество уникальных элементов в поле

1 048 576

Количество полей строк или столбцов в отчете сводной таблицы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество фильтров отчета в отчете сводной таблицы

256 (может быть ограничено объемом доступной оперативной памяти)

Количество полей значений в отчете сводной таблицы

256

Количество формул вычисляемых элементов в отчете сводной таблицы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество фильтров отчета в отчет сводной диаграммы

256 (может быть ограничено объемом доступной оперативной памяти)

Количество полей значений в отчете сводной диаграммы

256

Количество формул вычисляемых элементов в отчете сводной диаграммы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Длина имени MDX элемента сводной таблицы

32 767

Длина строки реляционной сводной таблицы

32 767

Количество элементов, которые отображаются в раскрывающихся списках фильтров

10 000

Книги с включенным параметром «Разрешить изменять файл нескольким пользователям одновременно.

..»

Если для книги включен параметр Разрешить изменять файл нескольким пользователям одновременно…, тогда необходимо применять следующие сведения. Чтобы получить доступ к этому параметру, на вкладке Рецензирование нажмите кнопку Доступ к книге.

Параметр

Максимальное значение

Количество пользователей, которые могут одновременно открывать файл

256

Количество личных представлений в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество дней, поддерживаемое журнал изменений

32 767 (по умолчанию 30 дней)

Наибольшее количество одновременно объединяемых книг

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество ячеек, которые можно выделить в общей книге

32 767

Наибольшее количество цветов для обозначения изменений, вносимых разными пользователями, при включенном режиме цветового выделения изменений

32 (каждому пользователю соответствует свой цвет; изменения текущего пользователя выделяются темно-синим цветом)

Количество таблиц Excel в книге

0 (ноль)

Примечание: Для книги, содержащей одну или несколько таблиц Excel, невозможно включить параметр Разрешить изменять файл нескольким пользователям одновременно. ..

Технические характеристики и ограничения листа и книги

Параметр

Максимальное значение

Количество открытых книг

Ограничено объемом доступной оперативной памяти и ресурсами системы

Общее количество строк и столбцов на листе

1 048 576 строк и 16 384 столбца

Ширина столбца

255 знаков

Высота строки

409 пунктов

Разрывы страниц

1 026 горизонтальных и вертикальных

Общее количество знаков в ячейке

32 767 знаков

Число знаков в верхнем и нижнем колонтитуле

255

Максимальное число переводов строки в ячейке

253

Количество листов в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти (по умолчанию 3 листа)

Количество цветов в книге

16 миллионов цветов (32-битовый спектр с полным доступом к 24-битовому спектру)

Именованные представления в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество уникальных форматов/стилей ячеек

65 490

Количество стилей заливки

256

Количество стилей и толщин линий

256

Количество уникальных шрифтов

1 024 доступных глобальных шрифта; 512 шрифтов в каждой книге

Количество численных форматов в книге

От 200 до 250, в зависимости от установленной языковой версии Excel

Количество имен в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество окон в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Гиперссылки на листе

65 530 гиперссылок

Количество областей в окне

4

Количество связанных листов

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Сценарии

Ограничено объемом доступной оперативной памяти; в итоговый отчет включается 251 сценарий, начиная с первого

Количество изменяемых ячеек в сценарии

32

Количество вычисляемых ячеек в надстройке «Поиск решения»

200

Количество пользовательских функций

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Пределы масштабирования

от 10 до 400 процентов

Количество отчетов

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество ссылок для сортировки

64 для однократной сортировки; не ограничено для последовательных сортировок

Количество уровней отмены

100

Количество полей в форме данных

32

Количество параметров в книге

255 параметров в одной книге

Количество раскрывающихся списков в фильтре

10 000

Технические характеристики и ограничения вычислений

Параметр

Максимальное значение

Точность представления чисел, разрядов, не более

15

Допустимое отрицательное число, не менее

-2,2251E+308

Допустимое положительное число, не менее

2,2251E-308

Допустимое положительное число, не более

9,99999999999999E+307

Допустимое отрицательное число, не более

-9,99999999999999E+307

Наибольшее положительное число, получаемое в формуле

1,7976931348623158E+308

Наибольшее отрицательное число, получаемое в формуле

-1,7976931348623158E+308

Длина записи формулы, знаков, не более

8 192

Внутренняя длина формулы, байт, не более

16 384 байт

Количество итераций, не более

32 767

Количество массивов в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество выделенных диапазонов, не более

2 048

Количество аргументов функции, не более

255

Количество уровней вложенности функций, не более

64

Количество категорий пользовательских функций, не более

255

Количество доступных функций листа Microsoft Excel, не более

341

Размер стека операндов, не более

1 024

Перекрестная зависимость листов, не более

64 000 листов, которые могут ссылаться на другие листы

Перекрестная зависимость формул массива на разных листах

Ограничена объемом доступной оперативной памяти

Зависимость областей

Ограничена объемом доступной оперативной памяти

Зависимость областей на каждом листе

Ограничена объемом доступной оперативной памяти

Зависимости одной ячейки, не более

4 миллиарда формул, зависящих от одной ячейки

Длина содержимого связанной ячейки из закрытых книг, не более

32 767

Допустимая в расчетах дата, не ранее

1 января 1900 г. (1 января 1904 г. для системы дат 1904)

Допустимая в расчетах дата, не позднее

31 декабря 9999 г.

Интервал времени, который можно ввести, не более

9999:59:59

Технические характеристики и ограничения диаграмм

Параметр

Максимальное значение

Количество диаграмм, связанных с листом

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество листов, на которые ссылается диаграмма

255

Ряды данных в диаграмме

255

Количество точек данных в одном ряду данных для плоских диаграмм

32 000

Количество элементов данных в одном ряду данных для объемных диаграмм

4 000

Количество элементов данных во всех рядах данных одной диаграммы

256 000

Технические характеристики и ограничения отчетов сводных таблиц и сводных диаграмм

Параметр

Максимальное значение

Отчеты сводных таблиц на листе

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество уникальных элементов в поле

1 048 576

Количество полей строк или столбцов в отчете сводной таблицы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество фильтров отчета в отчете сводной таблицы

256 (может быть ограничено объемом доступной оперативной памяти)

Количество полей значений в отчете сводной таблицы

256

Количество формул вычисляемых элементов в отчете сводной таблицы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество фильтров отчета в отчет сводной диаграммы

256 (может быть ограничено объемом доступной оперативной памяти)

Количество полей значений в отчете сводной диаграммы

256

Количество формул вычисляемых элементов в отчете сводной диаграммы

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Длина имени MDX элемента сводной таблицы

32 767

Длина строки реляционной сводной таблицы

32 767

Книги с включенным параметром «Разрешить изменять файл нескольким пользователям одновременно.

..»

Если для книги включен параметр Разрешить изменять файл нескольким пользователям одновременно…, тогда необходимо применять следующие сведения. Этот параметр включен при использовании общих книг.

Параметр

Максимальное значение

Количество пользователей, которые могут одновременно открывать книгу

256

Количество личных представлений в книге

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество дней, поддерживаемое журнал изменений

32 767 (по умолчанию 30 дней)

Наибольшее количество одновременно объединяемых книг

Ограничено объемом доступной оперативной памяти

Количество ячеек, которые можно выделить

32 767

Наибольшее количество цветов для обозначения изменений, вносимых разными пользователями, при включенном режиме цветового выделения изменений

32 (каждому пользователю соответствует свой цвет; изменения текущего пользователя выделяются темно-синим цветом)

Количество таблиц Excel в книге

0 (ноль)

Примечание: Для книги, содержащей одну или несколько таблиц Excel, невозможно включить параметр Разрешить изменять файл нескольким пользователям одновременно. ..

К началу страницы

толкование по цифрам и сумме, влияние на судьбу

Многие люди верят в вещие сны, инстинкту или ждут определенное время для загадывания и исполнения желания, или считают, что для удачи обязательно надо утром планировать. Знаете, какая наука поможет приносить неимоверное ощущение уверенности в себе и поможет притянуть в свою жизнь все земные блага?

Это нумерология! Если вы будете внимательны к своей жизни, то увидите сколько чисел окружает вас! В этой статье внимательно разберем число 384, и выясним, что оно хочет сказать.

Вы довольствуетесь малым, не ожидая высоких результатов. Возможно, за той гранью, которую вы боитесь переступить, скрывается возможность проявить свои истинные таланты.

Содержание

  • Толкование
    • Толкование по отдельным числам
    • Толкование по сумме
  • Характеристика
    • Положительные черты
    • Отрицательные черты
  • Что предвещает?
  • Ангельское послание

Толкование

Вам стоит ожидать положительных перемен в сфере денег и отношений. Именно это значение закодировалось в числе 384. Оно предсказывает, что скоро в вашей жизни будут появляться неожиданное пополнение дохода.

Вы и Ваш партнер должны воспринять их как награда за общие усилия. В любом случае 384 сулит веселую жизнь, простоту, легкость. «Лишние деньги» – это разумная карма для вас, за все старые добрые дела. Их можно расценивать, как поощрение.

Толкование по отдельным числам

Число 384 образовывается из сил трех чисел – тройки, восьмерки и четверки. Расшифровав каждое число по отдельности, можно увидеть более глубинный анализ, который вмещает в себя число 384. Возможно, эти подробности смогут как-то иначе отразиться на понимании текущего момента жизни. Ведь в разборе важна каждая мелочь.

Монгольская цифра 384 пишется так: гурван зуун наян дөрөв.

Сначала посмотрим, какой смысл закодирован в вибрации тройки. Тройка говорит о то, что вы не стремитесь выйти из зоны комфорта, а довольствуетесь малым. Поэтому, если как-то оценивать вашу жизнь, то во всех сферах Вы достигли средних результатов. Однако, если решиться переступить через черту комфорта, то возможно вы сможете раскрыть свои таланты.

Теперь перейдем к поиску смысла восьмерки. Она диктует, что Вы должны помнить о своих принципах, о своей миссии в жизни. Вы достаточно опытный участник. Если вы будете отходить от них, предавшись различным искушениям, то ангелам это не понравится. Вы рискуете остаться ни с чем. Но если вы будете верны своим убеждениям, то жизнь улыбнется вам.

А вот с помощью четверки можно увидеть предупреждение ангелов о том, что вы чересчур много времени уделяете своей работе. Конечно, вы преуспевающий человек, но из-за этого в вашей жизни существуют пробелы в любовной сфере.

Трудолюбие принесет вам счастье только в одном случае – если будет баланс между работой и личной жизнью, чтобы достигнуть ощущения счастья.

Толкование по сумме

На этом анализ числа 384 не заканчивается, ведь в копилку нашего анализа входит еще одно число, которое кроется в сумме. Рассчитаем ее, сложив все имеющиеся числа: 3+8+4=15. Теперь просуммируем получившиеся: 1+5=6.

Нумерологический профиль людей с числом 6 говорит о том, что вы очень ответственный человек. Также вы очень любите проводить время с прекрасными людьми. Еще можно сказать о всем существе числа шесть что в каких-то вопросах они готовы пойти на жертвы. Это может быть, как хорошо, так и плохо. О них нельзя сказать, что они хаотичные.

Характеристика

Положительные черты

Шестеркам присущи следующие хорошие черты:

  • коммуникабельные;
  • добрые;
  • любят людей;
  • вы никогда не подведете своих близких;
  • отзывчивые;
  • помогаете нуждающимся.

Отрицательные черты

  • стремление к мученичеству;
  • редкие гордецы;
  • упертые;
  • излишняя уверенность;
  • идут на сделки в ущерб себе.

Что предвещает?

Ранее вам был нанесен тяжелый удар, от которого Вы еще не оправились. Эта ситуация стала причиной полного недоверия к людям. Но не стоит быть столь категоричными. Перестаньте «раскручивать маховик» и живите настоящим.

Также вы часто делаете подарки, но они лишь служат роль замены ваших чувств. Если так и дальше будет продолжаться, то окружающие будут отдаляться от вас. Нужно постараться проявить искреннее участие в жизнях ваших близких.

Ангельское послание

Ангелы ликуют, они готовы дать ответ на ваши просьбы и молитвы, касательно денег. Ищите знаки! Они уже рядом с нами.

Таким образом, в статье разобрано число 384. Примите к сведению все вышенаписанное, возможно оно на что-то открыло вам глаза. Это поможет сделать верные шаги и обернуть удачу в свою сторону.

Почаще обращайте внимание на окружающее вас пространство, чтобы не упускать подсказок небес, которые, возможно, постоянно повторяются.

РЕКОМЕНДУЮ проверенные курсы:

Дистанционное видение> Раскройте свои сверхспособности для принятия правильных решений, прокачайте ясновидение и интуицию. ..

Исполнение желаний> Психотехнологии для достижения целей. Как правильно мечтать, чтобы желания сбывались…

Генные ключи 2.0. Мастер состояний> Найдите свою высшую цель и начните жить с радостью и вдохновением. Работа с генетической архитектурой…

Сказки языком ТАРО> Нужно только задать вопрос, перетасовать карты, выложить расклад и узнать то, что от нас скрыто…

Влияние рода на судьбу человека> Как стать счастливым в своём роду: практики и рекомендации…

Кармические задачи в коде вашего рождения> Кармические долги и рекомендации по их выполнению…

Трансформация и исцеление> Управляйте своей жизнью – отражайте манипуляции, стройте отношения, повышайте доход…

384 — денежная сумма прописью / 350

350 прописью:

Триста пятьдесят

350 прописью на английском: in words 350 — Three hundred fifty

350 прописью на испанском: en palabras 350 — Trescientos cincuenta

350 прописью на немецком: in Worten 350 — Dreihundertfünfzig

350 прописью на французском: par écrit 350 — Trois-cent-cinquante

350 прописью на португальском: em palavras 350 — Trezentos e cinquenta

350 прописью на итальянском: in lettere 350 — Trecentocinquanta

350 прописью на украинском: прописом 350 — Триста п’ятдесят

Сумма 350 прописью

351 прописью:

Триста пятьдесят один

351 прописью на английском: in words 351 — Three hundred fifty-one

351 прописью на испанском: en palabras 351 — Trescientos cincuenta y uno

351 прописью на немецком: in Worten 351 — Dreihunderteinundfünfzig

351 прописью на французском: par écrit 351 — Trois-cent-cinquante et un

351 прописью на португальском: em palavras 351 — Trezentos e cinquenta e um

351 прописью на итальянском: in lettere 351 — Trecentocinquantuno

351 прописью на украинском: прописом 351 — Триста п’ятдесят один

Сумма 351 прописью

352 прописью:

Триста пятьдесят два

352 прописью на английском: in words 352 — Three hundred fifty-two

352 прописью на испанском: en palabras 352 — Trescientos cincuenta y dos

352 прописью на немецком: in Worten 352 — Dreihundertzweiundfünfzig

352 прописью на французском: par écrit 352 — Trois-cent-cinquante-deux

352 прописью на португальском: em palavras 352 — Trezentos e cinquenta e dois

352 прописью на итальянском: in lettere 352 — Trecentocinquantadue

352 прописью на украинском: прописом 352 — Триста п’ятдесят два

Сумма 352 прописью

353 прописью:

Триста пятьдесят три

353 прописью на английском: in words 353 — Three hundred fifty-three

353 прописью на испанском: en palabras 353 — Trescientos cincuenta y tres

353 прописью на немецком: in Worten 353 — Dreihundertdreiundfünfzig

353 прописью на французском: par écrit 353 — Trois-cent-cinquante-trois

353 прописью на португальском: em palavras 353 — Trezentos e cinquenta e três

353 прописью на итальянском: in lettere 353 — Trecentocinquantatré

353 прописью на украинском: прописом 353 — Триста п’ятдесят три

Сумма 353 прописью

354 прописью:

Триста пятьдесят четыре

354 прописью на английском: in words 354 — Three hundred fifty-four

354 прописью на испанском: en palabras 354 — Trescientos cincuenta y cuatro

354 прописью на немецком: in Worten 354 — Dreihundertvierundfünfzig

354 прописью на французском: par écrit 354 — Trois-cent-cinquante-quatre

354 прописью на португальском: em palavras 354 — Trezentos e cinquenta e quatro

354 прописью на итальянском: in lettere 354 — Trecentocinquantaquattro

354 прописью на украинском: прописом 354 — Триста п’ятдесят чотири

Сумма 354 прописью

355 прописью:

Триста пятьдесят пять

355 прописью на английском: in words 355 — Three hundred fifty-five

355 прописью на испанском: en palabras 355 — Trescientos cincuenta y cinco

355 прописью на немецком: in Worten 355 — Dreihundertfünfundfünfzig

355 прописью на французском: par écrit 355 — Trois-cent-cinquante-cinq

355 прописью на португальском: em palavras 355 — Trezentos e cinquenta e cinco

355 прописью на итальянском: in lettere 355 — Trecentocinquantacinque

355 прописью на украинском: прописом 355 — Триста п’ятдесят п’ять

Сумма 355 прописью

356 прописью:

Триста пятьдесят шесть

356 прописью на английском: in words 356 — Three hundred fifty-six

356 прописью на испанском: en palabras 356 — Trescientos cincuenta y seis

356 прописью на немецком: in Worten 356 — Dreihundertsechsundfünfzig

356 прописью на французском: par écrit 356 — Trois-cent-cinquante-six

356 прописью на португальском: em palavras 356 — Trezentos e cinquenta e seis

356 прописью на итальянском: in lettere 356 — Trecentocinquantasei

356 прописью на украинском: прописом 356 — Триста п’ятдесят шість

Сумма 356 прописью

357 прописью:

Триста пятьдесят семь

357 прописью на английском: in words 357 — Three hundred fifty-seven

357 прописью на испанском: en palabras 357 — Trescientos cincuenta y siete

357 прописью на немецком: in Worten 357 — Dreihundertsiebenundfünfzig

357 прописью на французском: par écrit 357 — Trois-cent-cinquante-sept

357 прописью на португальском: em palavras 357 — Trezentos e cinquenta e sete

357 прописью на итальянском: in lettere 357 — Trecentocinquantasette

357 прописью на украинском: прописом 357 — Триста п’ятдесят сім

Сумма 357 прописью

358 прописью:

Триста пятьдесят восемь

358 прописью на английском: in words 358 — Three hundred fifty-eight

358 прописью на испанском: en palabras 358 — Trescientos cincuenta y ocho

358 прописью на немецком: in Worten 358 — Dreihundertachtundfünfzig

358 прописью на французском: par écrit 358 — Trois-cent-cinquante-huit

358 прописью на португальском: em palavras 358 — Trezentos e cinquenta e oito

358 прописью на итальянском: in lettere 358 — Trecentocinquantotto

358 прописью на украинском: прописом 358 — Триста п’ятдесят вісім

Сумма 358 прописью

359 прописью:

Триста пятьдесят девять

359 прописью на английском: in words 359 — Three hundred fifty-nine

359 прописью на испанском: en palabras 359 — Trescientos cincuenta y nueve

359 прописью на немецком: in Worten 359 — Dreihundertneunundfünfzig

359 прописью на французском: par écrit 359 — Trois-cent-cinquante-neuf

359 прописью на португальском: em palavras 359 — Trezentos e cinquenta e nove

359 прописью на итальянском: in lettere 359 — Trecentocinquantanove

359 прописью на украинском: прописом 359 — Триста п’ятдесят дев’ять

Сумма 359 прописью

360 прописью:

Триста шестьдесят

360 прописью на английском: in words 360 — Three hundred sixty

360 прописью на испанском: en palabras 360 — Trescientos sesenta

360 прописью на немецком: in Worten 360 — Dreihundertsechzig

360 прописью на французском: par écrit 360 — Trois-cent-soixante

360 прописью на португальском: em palavras 360 — Trezentos e sessenta

360 прописью на итальянском: in lettere 360 — Trecentosessanta

360 прописью на украинском: прописом 360 — Триста шістдесят

Сумма 360 прописью

361 прописью:

Триста шестьдесят один

361 прописью на английском: in words 361 — Three hundred sixty-one

361 прописью на испанском: en palabras 361 — Trescientos sesenta y uno

361 прописью на немецком: in Worten 361 — Dreihunderteinundsechzig

361 прописью на французском: par écrit 361 — Trois-cent-soixante et un

361 прописью на португальском: em palavras 361 — Trezentos e sessenta e um

361 прописью на итальянском: in lettere 361 — Trecentosessantuno

361 прописью на украинском: прописом 361 — Триста шістдесят один

Сумма 361 прописью

362 прописью:

Триста шестьдесят два

362 прописью на английском: in words 362 — Three hundred sixty-two

362 прописью на испанском: en palabras 362 — Trescientos sesenta y dos

362 прописью на немецком: in Worten 362 — Dreihundertzweiundsechzig

362 прописью на французском: par écrit 362 — Trois-cent-soixante-deux

362 прописью на португальском: em palavras 362 — Trezentos e sessenta e dois

362 прописью на итальянском: in lettere 362 — Trecentosessantadue

362 прописью на украинском: прописом 362 — Триста шістдесят два

Сумма 362 прописью

363 прописью:

Триста шестьдесят три

363 прописью на английском: in words 363 — Three hundred sixty-three

363 прописью на испанском: en palabras 363 — Trescientos sesenta y tres

363 прописью на немецком: in Worten 363 — Dreihundertdreiundsechzig

363 прописью на французском: par écrit 363 — Trois-cent-soixante-trois

363 прописью на португальском: em palavras 363 — Trezentos e sessenta e três

363 прописью на итальянском: in lettere 363 — Trecentosessantatré

363 прописью на украинском: прописом 363 — Триста шістдесят три

Сумма 363 прописью

364 прописью:

Триста шестьдесят четыре

364 прописью на английском: in words 364 — Three hundred sixty-four

364 прописью на испанском: en palabras 364 — Trescientos sesenta y cuatro

364 прописью на немецком: in Worten 364 — Dreihundertvierundsechzig

364 прописью на французском: par écrit 364 — Trois-cent-soixante-quatre

364 прописью на португальском: em palavras 364 — Trezentos e sessenta e quatro

364 прописью на итальянском: in lettere 364 — Trecentosessantaquattro

364 прописью на украинском: прописом 364 — Триста шістдесят чотири

Сумма 364 прописью

365 прописью:

Триста шестьдесят пять

365 прописью на английском: in words 365 — Three hundred sixty-five

365 прописью на испанском: en palabras 365 — Trescientos sesenta y cinco

365 прописью на немецком: in Worten 365 — Dreihundertfünfundsechzig

365 прописью на французском: par écrit 365 — Trois-cent-soixante-cinq

365 прописью на португальском: em palavras 365 — Trezentos e sessenta e cinco

365 прописью на итальянском: in lettere 365 — Trecentosessantacinque

365 прописью на украинском: прописом 365 — Триста шістдесят п’ять

Сумма 365 прописью

366 прописью:

Триста шестьдесят шесть

366 прописью на английском: in words 366 — Three hundred sixty-six

366 прописью на испанском: en palabras 366 — Trescientos sesenta y seis

366 прописью на немецком: in Worten 366 — Dreihundertsechsundsechzig

366 прописью на французском: par écrit 366 — Trois-cent-soixante-six

366 прописью на португальском: em palavras 366 — Trezentos e sessenta e seis

366 прописью на итальянском: in lettere 366 — Trecentosessantasei

366 прописью на украинском: прописом 366 — Триста шістдесят шість

Сумма 366 прописью

367 прописью:

Триста шестьдесят семь

367 прописью на английском: in words 367 — Three hundred sixty-seven

367 прописью на испанском: en palabras 367 — Trescientos sesenta y siete

367 прописью на немецком: in Worten 367 — Dreihundertsiebenundsechzig

367 прописью на французском: par écrit 367 — Trois-cent-soixante-sept

367 прописью на португальском: em palavras 367 — Trezentos e sessenta e sete

367 прописью на итальянском: in lettere 367 — Trecentosessantasette

367 прописью на украинском: прописом 367 — Триста шістдесят сім

Сумма 367 прописью

368 прописью:

Триста шестьдесят восемь

368 прописью на английском: in words 368 — Three hundred sixty-eight

368 прописью на испанском: en palabras 368 — Trescientos sesenta y ocho

368 прописью на немецком: in Worten 368 — Dreihundertachtundsechzig

368 прописью на французском: par écrit 368 — Trois-cent-soixante-huit

368 прописью на португальском: em palavras 368 — Trezentos e sessenta e oito

368 прописью на итальянском: in lettere 368 — Trecentosessantotto

368 прописью на украинском: прописом 368 — Триста шістдесят вісім

Сумма 368 прописью

369 прописью:

Триста шестьдесят девять

369 прописью на английском: in words 369 — Three hundred sixty-nine

369 прописью на испанском: en palabras 369 — Trescientos sesenta y nueve

369 прописью на немецком: in Worten 369 — Dreihundertneunundsechzig

369 прописью на французском: par écrit 369 — Trois-cent-soixante-neuf

369 прописью на португальском: em palavras 369 — Trezentos e sessenta e nove

369 прописью на итальянском: in lettere 369 — Trecentosessantanove

369 прописью на украинском: прописом 369 — Триста шістдесят дев’ять

Сумма 369 прописью

370 прописью:

Триста семьдесят

370 прописью на английском: in words 370 — Three hundred seventy

370 прописью на испанском: en palabras 370 — Trescientos setenta

370 прописью на немецком: in Worten 370 — Dreihundertsiebzig

370 прописью на французском: par écrit 370 — Trois-cent-soixante-dix

370 прописью на португальском: em palavras 370 — Trezentos e setenta

370 прописью на итальянском: in lettere 370 — Trecentosettanta

370 прописью на украинском: прописом 370 — Триста сімдесят

Сумма 370 прописью

371 прописью:

Триста семьдесят один

371 прописью на английском: in words 371 — Three hundred seventy-one

371 прописью на испанском: en palabras 371 — Trescientos setenta y uno

371 прописью на немецком: in Worten 371 — Dreihunderteinundsiebzig

371 прописью на французском: par écrit 371 — Trois-cent-soixante et onze

371 прописью на португальском: em palavras 371 — Trezentos e setenta e um

371 прописью на итальянском: in lettere 371 — Trecentosettantuno

371 прописью на украинском: прописом 371 — Триста сімдесят один

Сумма 371 прописью

372 прописью:

Триста семьдесят два

372 прописью на английском: in words 372 — Three hundred seventy-two

372 прописью на испанском: en palabras 372 — Trescientos setenta y dos

372 прописью на немецком: in Worten 372 — Dreihundertzweiundsiebzig

372 прописью на французском: par écrit 372 — Trois-cent-soixante-douze

372 прописью на португальском: em palavras 372 — Trezentos e setenta e dois

372 прописью на итальянском: in lettere 372 — Trecentosettantadue

372 прописью на украинском: прописом 372 — Триста сімдесят два

Сумма 372 прописью

373 прописью:

Триста семьдесят три

373 прописью на английском: in words 373 — Three hundred seventy-three

373 прописью на испанском: en palabras 373 — Trescientos setenta y tres

373 прописью на немецком: in Worten 373 — Dreihundertdreiundsiebzig

373 прописью на французском: par écrit 373 — Trois-cent-soixante-treize

373 прописью на португальском: em palavras 373 — Trezentos e setenta e três

373 прописью на итальянском: in lettere 373 — Trecentosettantatré

373 прописью на украинском: прописом 373 — Триста сімдесят три

Сумма 373 прописью

374 прописью:

Триста семьдесят четыре

374 прописью на английском: in words 374 — Three hundred seventy-four

374 прописью на испанском: en palabras 374 — Trescientos setenta y cuatro

374 прописью на немецком: in Worten 374 — Dreihundertvierundsiebzig

374 прописью на французском: par écrit 374 — Trois-cent-soixante-quatorze

374 прописью на португальском: em palavras 374 — Trezentos e setenta e quatro

374 прописью на итальянском: in lettere 374 — Trecentosettantaquattro

374 прописью на украинском: прописом 374 — Триста сімдесят чотири

Сумма 374 прописью

375 прописью:

Триста семьдесят пять

375 прописью на английском: in words 375 — Three hundred seventy-five

375 прописью на испанском: en palabras 375 — Trescientos setenta y cinco

375 прописью на немецком: in Worten 375 — Dreihundertfünfundsiebzig

375 прописью на французском: par écrit 375 — Trois-cent-soixante-quinze

375 прописью на португальском: em palavras 375 — Trezentos e setenta e cinco

375 прописью на итальянском: in lettere 375 — Trecentosettantacinque

375 прописью на украинском: прописом 375 — Триста сімдесят п’ять

Сумма 375 прописью

376 прописью:

Триста семьдесят шесть

376 прописью на английском: in words 376 — Three hundred seventy-six

376 прописью на испанском: en palabras 376 — Trescientos setenta y seis

376 прописью на немецком: in Worten 376 — Dreihundertsechsundsiebzig

376 прописью на французском: par écrit 376 — Trois-cent-soixante-seize

376 прописью на португальском: em palavras 376 — Trezentos e setenta e seis

376 прописью на итальянском: in lettere 376 — Trecentosettantasei

376 прописью на украинском: прописом 376 — Триста сімдесят шість

Сумма 376 прописью

377 прописью:

Триста семьдесят семь

377 прописью на английском: in words 377 — Three hundred seventy-seven

377 прописью на испанском: en palabras 377 — Trescientos setenta y siete

377 прописью на немецком: in Worten 377 — Dreihundertsiebenundsiebzig

377 прописью на французском: par écrit 377 — Trois-cent-soixante-dix-sept

377 прописью на португальском: em palavras 377 — Trezentos e setenta e sete

377 прописью на итальянском: in lettere 377 — Trecentosettantasette

377 прописью на украинском: прописом 377 — Триста сімдесят сім

Сумма 377 прописью

378 прописью:

Триста семьдесят восемь

378 прописью на английском: in words 378 — Three hundred seventy-eight

378 прописью на испанском: en palabras 378 — Trescientos setenta y ocho

378 прописью на немецком: in Worten 378 — Dreihundertachtundsiebzig

378 прописью на французском: par écrit 378 — Trois-cent-soixante-dix-huit

378 прописью на португальском: em palavras 378 — Trezentos e setenta e oito

378 прописью на итальянском: in lettere 378 — Trecentosettantotto

378 прописью на украинском: прописом 378 — Триста сімдесят вісім

Сумма 378 прописью

379 прописью:

Триста семьдесят девять

379 прописью на английском: in words 379 — Three hundred seventy-nine

379 прописью на испанском: en palabras 379 — Trescientos setenta y nueve

379 прописью на немецком: in Worten 379 — Dreihundertneunundsiebzig

379 прописью на французском: par écrit 379 — Trois-cent-soixante-dix-neuf

379 прописью на португальском: em palavras 379 — Trezentos e setenta e nove

379 прописью на итальянском: in lettere 379 — Trecentosettantanove

379 прописью на украинском: прописом 379 — Триста сімдесят дев’ять

Сумма 379 прописью

380 прописью:

Триста восемьдесят

380 прописью на английском: in words 380 — Three hundred eighty

380 прописью на испанском: en palabras 380 — Trescientos ochenta

380 прописью на немецком: in Worten 380 — Dreihundertachtzig

380 прописью на французском: par écrit 380 — Trois-cent-quatre-vingts

380 прописью на португальском: em palavras 380 — Trezentos e oitenta

380 прописью на итальянском: in lettere 380 — Trecentottanta

380 прописью на украинском: прописом 380 — Триста вісімдесят

Сумма 380 прописью

381 прописью:

Триста восемьдесят один

381 прописью на английском: in words 381 — Three hundred eighty-one

381 прописью на испанском: en palabras 381 — Trescientos ochenta y uno

381 прописью на немецком: in Worten 381 — Dreihunderteinundachtzig

381 прописью на французском: par écrit 381 — Trois-cent-quatre-vingt-un

381 прописью на португальском: em palavras 381 — Trezentos e oitenta e um

381 прописью на итальянском: in lettere 381 — Trecentottantuno

381 прописью на украинском: прописом 381 — Триста вісімдесят один

Сумма 381 прописью

382 прописью:

Триста восемьдесят два

382 прописью на английском: in words 382 — Three hundred eighty-two

382 прописью на испанском: en palabras 382 — Trescientos ochenta y dos

382 прописью на немецком: in Worten 382 — Dreihundertzweiundachtzig

382 прописью на французском: par écrit 382 — Trois-cent-quatre-vingt-deux

382 прописью на португальском: em palavras 382 — Trezentos e oitenta e dois

382 прописью на итальянском: in lettere 382 — Trecentottantadue

382 прописью на украинском: прописом 382 — Триста вісімдесят два

Сумма 382 прописью

383 прописью:

Триста восемьдесят три

383 прописью на английском: in words 383 — Three hundred eighty-three

383 прописью на испанском: en palabras 383 — Trescientos ochenta y tres

383 прописью на немецком: in Worten 383 — Dreihundertdreiundachtzig

383 прописью на французском: par écrit 383 — Trois-cent-quatre-vingt-trois

383 прописью на португальском: em palavras 383 — Trezentos e oitenta e três

383 прописью на итальянском: in lettere 383 — Trecentottantatré

383 прописью на украинском: прописом 383 — Триста вісімдесят три

Сумма 383 прописью

384 прописью:

Триста восемьдесят четыре

384 прописью на английском: in words 384 — Three hundred eighty-four

384 прописью на испанском: en palabras 384 — Trescientos ochenta y cuatro

384 прописью на немецком: in Worten 384 — Dreihundertvierundachtzig

384 прописью на французском: par écrit 384 — Trois-cent-quatre-vingt-quatre

384 прописью на португальском: em palavras 384 — Trezentos e oitenta e quatro

384 прописью на итальянском: in lettere 384 — Trecentottantaquattro

384 прописью на украинском: прописом 384 — Триста вісімдесят чотири

385 прописью:

Триста восемьдесят пять

385 прописью на английском: in words 385 — Three hundred eighty-five

385 прописью на испанском: en palabras 385 — Trescientos ochenta y cinco

385 прописью на немецком: in Worten 385 — Dreihundertfünfundachtzig

385 прописью на французском: par écrit 385 — Trois-cent-quatre-vingt-cinq

385 прописью на португальском: em palavras 385 — Trezentos e oitenta e cinco

385 прописью на итальянском: in lettere 385 — Trecentottantacinque

385 прописью на украинском: прописом 385 — Триста вісімдесят п’ять

Сумма 385 прописью

386 прописью:

Триста восемьдесят шесть

386 прописью на английском: in words 386 — Three hundred eighty-six

386 прописью на испанском: en palabras 386 — Trescientos ochenta y seis

386 прописью на немецком: in Worten 386 — Dreihundertsechsundachtzig

386 прописью на французском: par écrit 386 — Trois-cent-quatre-vingt-six

386 прописью на португальском: em palavras 386 — Trezentos e oitenta e seis

386 прописью на итальянском: in lettere 386 — Trecentottantasei

386 прописью на украинском: прописом 386 — Триста вісімдесят шість

Сумма 386 прописью

387 прописью:

Триста восемьдесят семь

387 прописью на английском: in words 387 — Three hundred eighty-seven

387 прописью на испанском: en palabras 387 — Trescientos ochenta y siete

387 прописью на немецком: in Worten 387 — Dreihundertsiebenundachtzig

387 прописью на французском: par écrit 387 — Trois-cent-quatre-vingt-sept

387 прописью на португальском: em palavras 387 — Trezentos e oitenta e sete

387 прописью на итальянском: in lettere 387 — Trecentottantasette

387 прописью на украинском: прописом 387 — Триста вісімдесят сім

Сумма 387 прописью

388 прописью:

Триста восемьдесят восемь

388 прописью на английском: in words 388 — Three hundred eighty-eight

388 прописью на испанском: en palabras 388 — Trescientos ochenta y ocho

388 прописью на немецком: in Worten 388 — Dreihundertachtundachtzig

388 прописью на французском: par écrit 388 — Trois-cent-quatre-vingt-huit

388 прописью на португальском: em palavras 388 — Trezentos e oitenta e oito

388 прописью на итальянском: in lettere 388 — Trecentottantotto

388 прописью на украинском: прописом 388 — Триста вісімдесят вісім

Сумма 388 прописью

389 прописью:

Триста восемьдесят девять

389 прописью на английском: in words 389 — Three hundred eighty-nine

389 прописью на испанском: en palabras 389 — Trescientos ochenta y nueve

389 прописью на немецком: in Worten 389 — Dreihundertneunundachtzig

389 прописью на французском: par écrit 389 — Trois-cent-quatre-vingt-neuf

389 прописью на португальском: em palavras 389 — Trezentos e oitenta e nove

389 прописью на итальянском: in lettere 389 — Trecentottantanove

389 прописью на украинском: прописом 389 — Триста вісімдесят дев’ять

Сумма 389 прописью

390 прописью:

Триста девяносто

390 прописью на английском: in words 390 — Three hundred ninety

390 прописью на испанском: en palabras 390 — Trescientos noventa

390 прописью на немецком: in Worten 390 — Dreihundertneunzig

390 прописью на французском: par écrit 390 — Trois-cent-quatre-vingt-dix

390 прописью на португальском: em palavras 390 — Trezentos e noventa

390 прописью на итальянском: in lettere 390 — Trecentonovanta

390 прописью на украинском: прописом 390 — Триста дев’яносто

Сумма 390 прописью

391 прописью:

Триста девяносто один

391 прописью на английском: in words 391 — Three hundred ninety-one

391 прописью на испанском: en palabras 391 — Trescientos noventa y uno

391 прописью на немецком: in Worten 391 — Dreihunderteinundneunzig

391 прописью на французском: par écrit 391 — Trois-cent-quatre-vingt-onze

391 прописью на португальском: em palavras 391 — Trezentos e noventa e um

391 прописью на итальянском: in lettere 391 — Trecentonovantuno

391 прописью на украинском: прописом 391 — Триста дев’яносто один

Сумма 391 прописью

392 прописью:

Триста девяносто два

392 прописью на английском: in words 392 — Three hundred ninety-two

392 прописью на испанском: en palabras 392 — Trescientos noventa y dos

392 прописью на немецком: in Worten 392 — Dreihundertzweiundneunzig

392 прописью на французском: par écrit 392 — Trois-cent-quatre-vingt-douze

392 прописью на португальском: em palavras 392 — Trezentos e noventa e dois

392 прописью на итальянском: in lettere 392 — Trecentonovantadue

392 прописью на украинском: прописом 392 — Триста дев’яносто два

Сумма 392 прописью

393 прописью:

Триста девяносто три

393 прописью на английском: in words 393 — Three hundred ninety-three

393 прописью на испанском: en palabras 393 — Trescientos noventa y tres

393 прописью на немецком: in Worten 393 — Dreihundertdreiundneunzig

393 прописью на французском: par écrit 393 — Trois-cent-quatre-vingt-treize

393 прописью на португальском: em palavras 393 — Trezentos e noventa e três

393 прописью на итальянском: in lettere 393 — Trecentonovantatré

393 прописью на украинском: прописом 393 — Триста дев’яносто три

Сумма 393 прописью

394 прописью:

Триста девяносто четыре

394 прописью на английском: in words 394 — Three hundred ninety-four

394 прописью на испанском: en palabras 394 — Trescientos noventa y cuatro

394 прописью на немецком: in Worten 394 — Dreihundertvierundneunzig

394 прописью на французском: par écrit 394 — Trois-cent-quatre-vingt-quatorze

394 прописью на португальском: em palavras 394 — Trezentos e noventa e quatro

394 прописью на итальянском: in lettere 394 — Trecentonovantaquattro

394 прописью на украинском: прописом 394 — Триста дев’яносто чотири

Сумма 394 прописью

395 прописью:

Триста девяносто пять

395 прописью на английском: in words 395 — Three hundred ninety-five

395 прописью на испанском: en palabras 395 — Trescientos noventa y cinco

395 прописью на немецком: in Worten 395 — Dreihundertfünfundneunzig

395 прописью на французском: par écrit 395 — Trois-cent-quatre-vingt-quinze

395 прописью на португальском: em palavras 395 — Trezentos e noventa e cinco

395 прописью на итальянском: in lettere 395 — Trecentonovantacinque

395 прописью на украинском: прописом 395 — Триста дев’яносто п’ять

Сумма 395 прописью

396 прописью:

Триста девяносто шесть

396 прописью на английском: in words 396 — Three hundred ninety-six

396 прописью на испанском: en palabras 396 — Trescientos noventa y seis

396 прописью на немецком: in Worten 396 — Dreihundertsechsundneunzig

396 прописью на французском: par écrit 396 — Trois-cent-quatre-vingt-seize

396 прописью на португальском: em palavras 396 — Trezentos e noventa e seis

396 прописью на итальянском: in lettere 396 — Trecentonovantasei

396 прописью на украинском: прописом 396 — Триста дев’яносто шість

Сумма 396 прописью

397 прописью:

Триста девяносто семь

397 прописью на английском: in words 397 — Three hundred ninety-seven

397 прописью на испанском: en palabras 397 — Trescientos noventa y siete

397 прописью на немецком: in Worten 397 — Dreihundertsiebenundneunzig

397 прописью на французском: par écrit 397 — Trois-cent-quatre-vingt-dix-sept

397 прописью на португальском: em palavras 397 — Trezentos e noventa e sete

397 прописью на итальянском: in lettere 397 — Trecentonovantasette

397 прописью на украинском: прописом 397 — Триста дев’яносто сім

Сумма 397 прописью

398 прописью:

Триста девяносто восемь

398 прописью на английском: in words 398 — Three hundred ninety-eight

398 прописью на испанском: en palabras 398 — Trescientos noventa y ocho

398 прописью на немецком: in Worten 398 — Dreihundertachtundneunzig

398 прописью на французском: par écrit 398 — Trois-cent-quatre-vingt-dix-huit

398 прописью на португальском: em palavras 398 — Trezentos e noventa e oito

398 прописью на итальянском: in lettere 398 — Trecentonovantotto

398 прописью на украинском: прописом 398 — Триста дев’яносто вісім

Сумма 398 прописью

399 прописью:

Триста девяносто девять

399 прописью на английском: in words 399 — Three hundred ninety-nine

399 прописью на испанском: en palabras 399 — Trescientos noventa y nueve

399 прописью на немецком: in Worten 399 — Dreihundertneunundneunzig

399 прописью на французском: par écrit 399 — Trois-cent-quatre-vingt-dix-neuf

399 прописью на португальском: em palavras 399 — Trezentos e noventa e nove

399 прописью на итальянском: in lettere 399 — Trecentonovantanove

399 прописью на украинском: прописом 399 — Триста дев’яносто дев’ять

Сумма 399 прописью

384 нумерология и духовное значение

Нумерология числа 384. Что означает число 384 в духовном плане? Ангельское число 384 и сообщения. 384 хорошее число? Частота символов 3,8,4 и что они означают. Нумерология триста восемьдесят четыре. Сон с 384. Комментарии.

Тайная частота исцеления мозга 384 Гц

Нумерология и сны

Нумерология 384 и 3,8,4

Что означает число 384 в духовном плане? Нумерология и сны числа триста восемьдесят четыре (порядковый номер триста восемьдесят четвертый) это трехзначное число. Значения отдельных чисел согласно нумерологии:

Частота символов 8 : 1 раз

Число восемь (8) является знаком организованности, настойчивости и контроля энергии для достижения материальных и духовных достижений . Он представляет силу реализации, изобилие в духовном и материальном мире . Иногда это означает склонность к жертвам, но также и к беспринципности.

Подробнее значение числа 8 (восемь), нумерология 8…

Частота символов 4 : 1 раз

Число четыре (4) пришло , чтобы установить стабильность и следить за процессом в мире. Необходимо применять четкую цель для развития внутренней стабильности. Вызывает чувство долга и дисциплины. Личность числа 4 говорит о прочной конструкции . Он учит нас развиваться в осязаемом и материальном мире, развивать разум и логику, а также нашу способность к усилиям, достижениям и работе.

Подробнее значение числа 4 (четыре), нумерология 4…

Частота символов 3 : 1 раз

Число три (3) пришло, чтобы поделиться с миром искренним выражением и чувствительностью . Людям, связанным с этим числом, необходимо соединиться со своими самыми глубокими эмоциями. Число 3 характеризуется своим прагматизмом , оно утилитарно, проницательно, динамично, созидательно, имеет цели и выполняет их. Он/она также самовыражается во многих отношениях и обладает хорошими коммуникативными навыками .

Подробнее значение числа 3 (три), нумерология 3…

Классическая нумерология

Согласно классической нумерологии, чтобы узнать, что означает каждое число, нужно свести его к одной цифре, к числу 384 добавляются числа 3+8+4 = 1+5 , пока не получится 6 и значение этого числа ищется.

Является ли нумерология наукой?

Согласно Википедии, нумерология основана на вере. Подробнее о нумерологии читайте на википедия…

Номер ангела 384 и сообщения

Связь номеров специальных сообщений

Номер ангела 384 сообщение ангела : Ангелы и Высшие Силы помогают вам материализовать изобилие во всех возможных формах.

Ангел номер 38 ангельское послание : Вы приближаетесь ко времени большего изобилия, и Высшие Силы хотят заверить вас в финансовой помощи в вашей жизни. Обратите внимание на повторяющиеся сообщения, которые они передают вам через ваши мысли, чувства, слова и видения.

Ангел номер 3 сообщение ангела : Высшие силы слышат ваши пожелания и молитвы и хотят вам помочь. Они рядом с тобой.

Числа представляют универсальный язык. Когда мы внимательны и наблюдаем за знаками, мы сможем чтобы найти их разными способами, они многократно представлены в часах, на номерных знаках автомобиль, в номерах домов и т.д. Будьте восприимчивы и смотрите!

Вы когда-нибудь получали сообщение, содержащее число 384 и не имеющее логического объяснения? Эти вещи нас очень интересуют. Пожалуйста, напишите нам об этом здесь или на facebook.


Читайте также: Самые сильные числа ангелов
Самые могущественные числа ангелов всегда встречаются парами.
2424 2525 1010 3737 5656 2727 1717 4545 1414 1313 3131 7070 4848 3030 5454 7474 3232 6767 5353 2929  

Сны о числе 384

Не о чем беспокоиться, если вам снятся числа. Число 384 или 3,8,4 не имеет ничего плохого в своих свойствах. Например, встречается в группах: расстояния между городами, игры, история и политика, математика, все, что означает, можно найти здесь.

Возможно, вы видели число 384 в фильме, песне, мероприятии, книге или статье. Если это было сильное переживание, в ваших снах появится число 384 или 3,8,4.

Как избежать снов или кошмаров с номером 384

Вы просто не даете им никакой энергии. Они там, без связи с вами. Если появляются, то появляются, но днём не думайте о сне и не разговаривайте об этом ни с кем. Если исчезает энергия, исчезает и сон.

Вам когда-нибудь снилось число 384? Эти вещи нас очень интересуют. Пожалуйста, напишите нам об этом здесь или на facebook.

Все о числе 384. Основы нумерологии.


Читайте также: Сны о числах, объяснение нумеролога


Поделиться в социальных сетях

Сны о числах, объяснение нумеролога

Какого бы пола ни был сновидец, в снах всегда присутствуют числа, независимо от того, кто они. Когда вы мечтаете, ваше подсознание способно выражать числа различными способами. Там может быть скрин, письменное описание или вообще что-то другое. В …

24-часовая нумерология — Нумерология часов

Вы когда-нибудь задумывались, что означают часы на ваших часах в нумерологии? Если да, то это руководство для вас! В нашей жизни часы нумерологии времени играют значительную роль. Часы, телевизоры, банкоматы, банки, наручные часы или любые другие устройства, отображающие время, могут отображать …

Самые сильные ангельские числа

Многие люди испытывают то, что известно как числа ангелов, повторяющиеся последовательности или даже повторяющиеся даты, часто на протяжении всей своей жизни. Это все числовые последовательности, которые повторяются, обычно каждый раз в одном и том же порядке. Их часто интерпретируют как знак от ангелов, чтобы дать руководство,…

Нумерология для начинающих | Основы и история

Возможно, вас просто привлекают цифры и вы хотите увидеть, есть ли в них что-то большее, чем кажется на первый взгляд? Или, возможно, вы просто хотите погрузиться в мир нумерологии. В этой статье мы обсудим, что такое нумерология, некоторые ее истории и краткий…

Нумерологическое чтение по дате рождения

Согласно нумерологии, жизненный путь человека является самым важным числом. Врожденный талант и стиль человека указывают на его мировоззрение. Они находятся в текущем путешествии, которое показывает им, с какими проблемами и возможностями они столкнутся в жизни. Ваше число жизненного пути может быть…

  • Цель нумерологии
  • Самые мощные повторяющиеся числа ангелов в нумерологии
  • 5 книг для изучения нумерологии
  • Почему бизнес-нумерология важна для успеха вашего бизнеса?
  • Открывая дорожную карту своей жизни, изучая свои числа
  • Как нумерология может помочь вам выбрать правильного делового партнера?
  • 7 интересных фактов о нумерологии
  • Не знакомы с нумерологией? Вот что вы должны знать
  • Как ваша нумерология соответствует вашим навыкам?

Нумерологические калькуляторы

Калькулятор — Значение имени

Нумерологический калькулятор для имени, имени и фамилии или только фамилии.
Имя:

Калькулятор — Значение даты

Нумерологический калькулятор даты рождения, даты события или любой другой даты.
Дата: 1234567812 / 123456781213141516171819202122232425262728293031 /

Имя онлайн-калькулятора с датой рождения

Онлайн нумерологический калькулятор имени и даты рождения. Калькулятор личности.
Имя:
Дата: 1234567812 / 123456781213141516171819202122232425262728293031 /

Новости по электронной почте

Если вы знаете что-то интересное о нумерологии числа 384 или любого другого натуральное число (целое положительное).

Официальные уведомления и условия использования
Содержание комментариев является мнением пользователей не из number. academy. Запрещено оставлять комментарии, противоречащие законодательству, оскорбительные, незаконные или вредные для третьих лиц. Number.academy оставляет за собой право удалять или не публиковать любые неприемлемые комментарии. Он также оставляет за собой право оставить комментарий в другой теме. Политика конфиденциальности.

Номер.академия

№ 384. Значение числа 384: Базовая математика, продвинутая математика а также характеристики, Информатика, нумерология, коды и изображения, писать и называть на других языках. Другие интересные факты, связанные с 384.

Ваше мнение?

‹‹ 383 ​​предыдущий номер (нумерология)

следующий номер 385 (нумерология) ››


вернуться к началу страницы
Следуйте за нами на   FACEBOOK ИНСТАГРАМ ПИНТЕРЕС

ЧИСЛО АНГЕЛА 384 (Видение 384)

Вас интересует Число Ангела 384   Значение? Тогда это руководство для вас!

Число ангела 383 — это оптимизм. Вы продолжаете видеть это число, потому что ваши ангелы хотят, чтобы вы мыслили позитивно.

Вы создадите ту жизнь, которую хотите, если поверите, что это возможно. Вы достигнете своих целей и мечтаний, если будете верить в свои способности и навыки.

Божественное царство знает, через что вам пришлось пройти в прошлом. Некоторые из ваших опытов были разочаровывающими.

Вы прошли через испытания, которые считали непреодолимыми. Но только подумайте, как далеко вы продвинулись…

Подумайте о достижениях, которых вы добились в своей жизни. Вы поймете, что достигли своих целей, потому что продолжали идти.

Вы верили, что есть выход, даже когда это казалось бесполезным.

Ангел номер 384 просит вас сейчас сосредоточиться на том же. Не позволяйте трудностям в вашей жизни одолевать вас.

Знайте, что вы добьетесь успеха, если будете ожидать хороших результатов от своих усилий.

Ваши ангелы посылают этот знак, потому что он несет в вашу жизнь хороший совет. Вас призывают быть оптимистами.

Получите подробные прогнозы, персонализированные для ВАШЕЙ нумерологической карты »

Что означает число ангела 384?

Не паникуйте, если везде вы будете видеть число ангела 384. Ваши божественные наставники используют это число, чтобы объявить о своем присутствии в вашей жизни.

Вселенная хочет, чтобы вы знали, что вы не одиноки. Ваши ангелы рядом с вами, мягко направляя вас, чтобы вы могли использовать свои дары и таланты с пользой.

Божественное царство хочет, чтобы вы максимально использовали свою жизнь – сейчас и в будущем.

Число ангела 384 помогает вам понять свои сильные и слабые стороны. Только так вы узнаете, как быть верным себе.

Используйте свои сильные стороны, чтобы преодолеть жизненные трудности. В процессе вы обнаружите, что вполне возможно превратить свои недостатки в сильные стороны.

Ангелы помогают вам полностью раскрыть свой потенциал. Вы сделаете это, если предпримете шаги, необходимые для достижения ваших целей и мечтаний.

С помощью этого знака ваши ангелы поощряют вас идти на риск. Старайтесь изо всех сил пробовать новые вещи. Не бойтесь экспериментировать, чтобы узнать, что может предложить жизнь.

Не ограничивайте себя в стремлении к истинному счастью. Узнайте, что является вашей истинной страстью.

Как только вы это сделаете, неустанно следуйте за этой страстью. Божественное царство поможет вам понять, что вам нужно сделать, чтобы вывести свою жизнь на новый уровень.

Кроме того, ангел номер 384 просит вас расширить свой социальный охват. Это означает, что вам придется выходить за рамки своих традиционных мест.

Познакомьтесь с большим количеством людей и установите более значимые профессиональные и социальные связи.

Какое значение ангельского числа 384?

Когда вы продолжаете видеть этот знак, знайте, что ваши ангелы просят вас быть искренними с самим собой. Не нужно жить жизнью, которая не делает тебя счастливым.

Кроме того, вам не нужно что-то делать только ради соответствия. Каждое ваше действие должно быть направлено на то, чтобы сделать вас счастливым.

Это означает, что вы должны вырасти из ситуаций, которые вас угнетают. То же самое касается людей. Если кто-то в вашей жизни истощает вашу энергию, вам нужно вычеркнуть его из своей жизни.

Число ангела 384 учит вас тому, что жизнь такая, какой вы ее делаете. Это не всегда может быть очевидно, учитывая, что вы находитесь в процессе выяснения своих истинных увлечений.

Этот ангельский знак дает вам силу понимания. Это дает вам мудрость, необходимую для того, чтобы узнать истинные желания вашего сердца.

Когда вы продолжаете сталкиваться с этим знаком, подумайте, как вы можете получить вдохновение изнутри. У вас есть все ресурсы, необходимые для жизни вашей мечты.

Также этот знак просит вас окружить себя людьми, которые помогут вам в достижении ваших целей. Такие люди хотят, чтобы вы росли.

Вы узнаете их, потому что они искренне интересуются вашей жизнью. Они не держат на вас зла или недоброжелательности.

Вот с какими людьми вам нужно сотрудничать. Они помогут вам яснее увидеть жизнь, если вы будете преследовать свои сердечные интересы.

Бесплатное персонализированное чтение по нумерологии, нажав здесь!

Каков символизм ангельского числа 384?

Ваши ангелы говорят вам использовать свои навыки общения, чтобы избежать неприятностей. Ваши божественные наставники заметили, что у вас возникли проблемы с самовыражением.

Вы боитесь высказаться из-за предубеждения некоторых людей против вас. Действительно, вы часто боитесь делать выбор, потому что не уверены, как вас воспримут другие.

Колодец; Число ангела 384 говорит вам, что этому должен прийти конец. Вы должны прожить свою жизнь на полную катушку.

Не поддавайтесь обстоятельствам или тому, что люди думают о вас. Вас призывают высказаться, когда вы чувствуете себя подавленным.

Вы заслуживаете уважения, достоинства и честности. Никогда не идите на компромисс в этом.

Говорите твердо и уверенно, полностью осознавая, что ваши ангелы на вашей стороне. Конечно, вы должны помнить, что нужно относиться к другим с уважением и достоинством, которых вы от них требуете.

Кроме того, ангельское число 384 является символом вашей семейной жизни. Вселенная напоминает вам, что нужно ставить семью и близких выше всего остального.

Подумайте, что вам нужно сделать, чтобы сделать ваш дом более пригодным для жилья. Ваш дом нуждается в ремонте?

Или вам нужно выделить время, чтобы поговорить с супругом или детьми о том, через что они проходят?

Число ангелов 384 уверяет вас, что ваши ангелы поддерживают вас, когда вы работаете над укреплением уз, которые вы разделяете со своими близкими.

Каково значение числа ангела 384 в моей жизни?

Число ангела 384 указывает на то, что вам уготован успех. Это означает, что вы не должны судить о своей жизни, основываясь на своих нынешних затруднениях.

В твоей жизни произойдут великие события. Ваши ангелы открывают вам глаза на множество возможностей, которые существуют в вашей жизни.

Кроме того, Вселенная просит вас сыграть свою роль. Это позволит вам получить доступ к посылаемым вам благословениям.

Прежде всего, вы должны твердо верить в свои способности. Вы обладаете уникальным набором навыков и талантов.

Ваши ангелы призывают вас использовать эти дары с пользой.

Кроме того, они подсказывают вам продолжать работать над тем, во что вы верите. Если вы продолжите быть такими же решительными и преданными делу, вы скоро добьетесь желаемых результатов.

Число ангела 384 указывает на то, что вы играете уникальную роль в своем сообществе. Вы сделаете это более эффективно, если приведете свою деятельность в соответствие с божественным планом.

Это требует, чтобы вы уделяли больше внимания своему духовному росту. Это подходящее время, чтобы заняться духовной профессией или практикой.

Если это новая для вас область, не пугайтесь. Просто призовите своих ангелов на помощь и поддержку, они дадут вам руководство, необходимое для продолжения этой работы.

Заключение…

Вы на правильном пути к достижению своих целей. Число ангела 384 уверяет вас, что ваши ангелы работают с вами, чтобы осуществить все, на что вы надеетесь.

Когда вы видите это число, знайте, что вселенная послала вам свои лучшие силы. Хорошая новость заключается в том, что на ваших божественных наставников не влияют жизненные обстоятельства.

Это означает, что они будут с вами, независимо от того, счастливы вы или грустны. Они хотят, чтобы вы преуспели во всех своих начинаниях.

С такой мощной поддержкой Вселенной вы не ошибетесь.

Если вы хотите узнать, что было закодировано в вашей судьбе при рождении, здесь вы можете получить бесплатный персонализированный нумерологический отчет.

Делиться — значит заботиться!

БЕСПЛАТНЫЙ ПОДАРОК: Нужна помощь и ясность в любви, карьере и многом другом? Нажмите здесь, чтобы получить БЕСПЛАТНОЕ персональное чтение по нумерологии!

число ангела 384 – значение и символизм

Двойка символизирует два полюса, которые скрыты внутри каждого человека. Желание всегда противоречит здравому смыслу, а разум может быть затуманен собственной гордостью.

Число 384 также символизирует благотворительность, что является ярким проявлением «двойственности» (один человек дает, а другой теряет).

Двойка означает тонкий баланс между гармонией и разрушением, честью и желанием, долгом и стремлением к наживе.

Число 384 — символ скрытых возможностей и нереализованных способностей. В отличие от одного, это линия, которая четко указывает на правильный путь.

Число 384 – что это значит?

Это число говорит о том, что в жизни вам придется сделать выбор, и иногда он отличается от ранее построенных планов.

Это явное указание на необходимость помощи: вам нужно найти партнера, который имеет такие же жизненные ценности и может разделить все ваши идеи. Чтобы сделать правильный выбор, достаточно прислушаться к своему внутреннему я.

384 говорит о компромиссе и умении очаровать собеседника. Она представляет пару, которая работает вместе в дружеской и теплой обстановке.

Также это число указывает на то, что перед вами человек с добрым сердцем, ратующий за справедливость и способный на значительные жертвы.

384 говорит о личности, подмечающей мелкие детали и тонко разбирающейся в своем деле. Это творческая личность с прекрасным вкусом и врожденными талантами. Стремится к прекрасному, хорошо разбирается в музыке, искусстве и живописи. А еще – это человек с прекрасной интуицией, способный отличить подвох от дурных намерений.

К сожалению, у этого числа есть не только хорошие, но и отрицательные качества.

В первую очередь это боязнь ответственности, частые перепады настроения, периодические депрессии и упадок сил. Иногда человек страдает от зависти и трусости, он боится заявить о своих чувствах, правах и творческих идеях.

Среди людей с этим числом много холодных личностей, никогда не знавших романтических чувств. Они достаточно упрямы и отстаивают свою точку зрения, несмотря на всю ее абсурдность.

Двойка — символ страха, боязни перемен и потрясений, страха возможности остаться в одиночестве, наедине со своими мыслями.

Тайный смысл и символизм

Число 3 тесно связано с радостью, хорошими новостями, интересными идеями и творческими решениями.

Кроме того, он ассоциируется с публичными выступлениями, развитыми коммуникативными навыками и положительной энергией.

Люди с тройкой прочно связаны с оккультными и эзотерическими науками. Это прирожденные медиумы и талантливые мистики.

Довольно часто они выглядят на десятки лет моложе своего биологического возраста. Этот парадокс обусловлен самим числом: оно сочетает в себе настоящее, прошлые события и будущие достижения.

Китайцы буквально поклоняются этой фигуре: в их религии она олицетворяет тандем разума, душевного равновесия и сильного тела. А индейцы майя связывали тройку с женским началом

Это число напрямую связано с творческими талантами, искрометным юмором и бесконечной жизненной силой.

Активный рост, стремление к невероятным приключениям и безудержное стремление к свободе можно смело записывать в список положительных качеств.

Все носители тройки — классические сангвиники с великолепно развитым коммуникативным талантом.

Эти люди способны проявить актерский талант, везде демонстрировать свой оптимизм и заряжать энергией ближайшее окружение.

Любовь и число ангела 384

Число 384 неразрывно связано с организаторскими способностями. Его носители пунктуальны и любят придерживаться собственного свода правил. Это достаточно практичные люди с трезвым взглядом на окружающую действительность. Среди них нет мечтателей и творческих людей.

Носители этой фигуры буквально зациклены на порядке и строгой отчетности. Они никогда не закончат свой рабочий день, пока не будет выполнена поставленная задача.

В их характере есть нотки настойчивости и безграничной преданности избранному делу.

Эти люди любят вникать во все детали и тщательно проверять каждую мелочь. Многие народности считают четверку воплощением совершенства.

Часто древние люди придерживались правила четырех тактов, и поэтому все действия повторялись 384 раза.

Носители четверки — заядлые прагматики: они не любят бесцельных размышлений и ярких образов. Чаще всего все свободное время они тратят на разработку подробного плана или оригинальной идеи.

Пустые фантазии здесь ни к чему — они отвлекают от мыслительного процесса и мешают сосредоточиться на конкретных действиях.

Появление четверки в вашей судьбе прямо указывает на необходимость организации собственной жизни.

Это число говорит о том, что время мечтаний прошло и теперь нужно с головой окунуться в реальную жизнь. Если вы оглянетесь вокруг, то обязательно увидите кого-то, кто отчаянно нуждается в вашей поддержке или ценном совете.

Все носители этой цифры — интеллектуально развитые личности с ярко выраженным чувством долга и сформированными моральными принципами

. Это честные люди, не способные на подлый удар в спину и предательство своих идеалов. Отличаются повышенной работоспособностью и трезвым умом.

Интересные факты о числе 384

Число 384 олицетворяет новаторские решения, отклонения от общепринятых правил и неограниченную свободу.

Люди с этим числом способны совершить настоящую революцию и никогда не боятся идти неизведанными путями. Это личности с большой буквы, изобретатели и новаторы, обладающие талантом приспосабливать мир под свои нужды.

Древние китайцы были уверены, что в ней скрыта мужская сила. Философы утверждают, что это число символизирует творчество и наслаждение телесными удовольствиями.

Древний мыслитель Агриппа связывал его с семейным счастьем и благополучием, а римляне всегда использовали это число в брачных обрядах.

Учения Кабалы утверждают, что идеальный человек является олицетворением 384. У нас есть именно такое количество пальцев, и чувства, доступные человеку, укладываются в указанное число.

К ним относятся обоняние, способность видеть зрительные образы, развитый слух, обоняние и способность различать запахи.

Как правило, носители 384 не проявляют лидерских качеств. Но стремление ко всему новому позволяет собрать вокруг себя огромное количество увлеченных людей.

Эта цифра присуща большинству финансистов и успешных бизнесменов. Кроме того, среди его носителей можно найти журналистов и борцов за права обездоленных людей.

К ним относятся беспокойство и стремление к активной деятельности. Сюда же можно отнести желание узнавать все новое и страсть к путешествиям.

Носители этого числа не знают страха и могут проявить настоящий героизм. Они склонны идеализировать своих кумиров и жизненные ценности, а после достижения цели выбирают для себя более сложную задачу.

Прирожденные оптимисты с хорошо развитыми интеллектуальными способностями. Среди спикеров 384 много отличных рассказчиков и журналистов.

Благодаря своему необычному типу мышления они способны справляться с нестандартными ситуациями: это качество востребовано в профессии разведчика и детектива.

Видящий Ангел Число 384

Люди числа 384 не знают страха, а потому продвигаются вперед без предварительной разведки и подготовки.

Не всегда держат слово, а потому могут подвести в самый ответственный момент. С такими людьми довольно сложно построить длительные и плодотворные отношения: постоянная смена настроения и активный поиск новых приключений не позволяют им работать в финансовой сфере.

Перевозчики номера 384 не любят слушать советы и указания, поэтому часто допускают грубые ошибки. Вместо того, чтобы прислушиваться к чужому мнению, они активно навязывают собственную позицию.

Число Ангела 384 – Значение и Символика

Вы хотите установить контакт с Божественными существами, но не знаете, как это сделать, послушайте это.

Некоторые люди рекомендуют записывать все свои пожелания, мечты, намерения и желания.

Будьте максимально точны, а если не можете, можно сказать что-то вроде – Я просто хочу найти свой путь к счастью.

Прочитайте свой список много раз, пока не начнете получать от него удовольствие; некоторые могут даже сказать, что хорошо зажечь свечу.

Ангельские существа тесно связаны со Светом.

После этого поблагодарите Вселенную за то, что она выслушала вашу правду.

Часто думайте об этом, пока не начнете видеть послания от Бога, пока не начнете видеть числовые последовательности.

Когда вы замечаете, что они высвобождают энергию священного огня, веря, что она входит в вашу жизнь.

Число ангела 384 – Интересная информация

Число ангела 384 пришло к вам, потому что вы имеете дело с какой-то потерей, и Божественная энергия здесь, чтобы помочь вам справиться с утратой или, точнее, оправиться от потери .

Это послание пришло как раз вовремя, чтобы помочь вам отпустить наше прошлое и смело двигаться вперед.

Ангел, который может показать вам свое лицо, — это Тот, кто помогает Богу, и это соотносится с исцеляющей энергией, необходимой тем, кто страдает от потери близких или всего, что имело для них определенное значение.

Значение и символика

Если вы видели ангельскую последовательность 384, этот числовой символ может означать, что вы находитесь прямо сейчас, готовы преодолеть препятствия, замеченные в обмане и манипуляции.

Этот числовой символ также может означать, что вокруг вас есть люди, которые плохо о вас думают и пытаются причинить вам вред, даже если вы, вероятно, не подозреваете об этом.

Но не думайте, что значение этой числовой последовательности имеет какое-либо отрицательное значение – это сообщение 384, на самом деле, очень хороший Божественный символ, возвещающий счастье в жизни.

Это также может означать счастливые события в предстоящем периоде – это может быть что угодно, от хороших новостей, новых начинаний, позитивных изменений, успехов в любой сфере жизни, разного рода выгод.

В тот момент, когда Божественный Свет загорится в вашей жизни, вы уже никогда не будете прежними, как цепная реакция безусловной Любви, выковывающая шаблон сострадания в священном пространстве вашей души.

Итак, с символической точки зрения число Ангела 384 называется энергией эмоций и воли. Его задача – катализация высших вибраций Света при каждом ударе вашего сердца.

И когда вы принимаете все знание оппозиции, вы получаете Свет и тьму, объемлющие все, что есть в вашем человеческом замысле.

Ангельское число 384 в Любви

Ангельские формации гораздо более распространены, чем вы можете себе представить, и они всегда являются символами Любви.

Все ангельские послания, включая это 384, связаны с Любовью.

Каким-то более конкретным образом число Ангела 384 может возвестить либо о счастье в нынешних отношениях, либо о недавнем знакомстве с человеком, с которым у вас будет красивая любовная связь.

Пожалуйста, не ограничивайте это предсказание чем-то малым, Вселенная работает удивительным образом, и это не столько любовные отношения, сколько еще один способ исцеления для вас. Это то, что вам нужно!

Любовь приходит, и Божественное послание 384 здесь, чтобы напомнить нам, что помогает нам, когда мы думаем о своей жизни и планируем внести некоторые изменения.

Это приводит нас к решению, что нужно изменить и что нужно исцелить. Он приносит Любовь, силу и понимание.

Это послание побуждает вас быть преданным своему духовному пути и служить другим, и вы не сможете этого сделать, если у вас нет Любви!

Более того, с открытым сердцем вы способны впитать чистую божественность и пробудить Божественную Любовь.

Этот Божественный Свет несет в себе чистые частоты безусловной Любви, чтобы возвышать и вдохновлять вас на время вашего пребывания на Земле.

Факты об ангельском числе 384

Если мы наблюдаем отдельно ангельское число 384, мы можем обнаружить три различных вибрации.

Вибрация от цифры 3 является символом совести, но также и духовной глубины, которая в вашем случае должна помочь вам преодолеть безрассудство и быстрое принятие решений.

Число 8 — это символ, который также может быть предвестником трансформации и больших перемен в жизни.

Это может означать, что вы отправитесь в дальнее путешествие, которое изменит вашу жизнь и навсегда изменит вашу энергию.

Число 4 здесь просто подтверждение того, что Ангелы присутствуют и могут быть символом той почвы, на которой вы творите свою жизнь (верования и идеи)

В своей совокупности сумма вибраций 15 говорит о возможности испытать изменение взгляд на мир, взгляд с большей сбалансированностью, «приносящий больше покоя во все сферы вашей жизни».

Когда нет сопротивления, можно открыть искры Вселенной в каждой клеточке своего существа – приглашая Божественный Свет войти в свое сердце.

Резюме

Число ангела 348 советует вам быть осторожными, потому что существует вероятность некоторой опасности. На пути к величию и исцелению.

Этот Божественный символ также может указывать на средства преодоления многочисленных проблем и конфликтов в семье и на работе.

Этот символ означает исполнение желаний и успех на работе или в любой сфере вашей жизни.

Ангелы используют это послание, чтобы поддержать в вас интуицию, мягкость и благодать.

Это поможет нам ясно понять разницу между нашими разными чувствами и научиться распознавать направляющие идеи на нашем пути.

Имейте в виду и эту идею – если ваше сердце открыто и Вселенная показывает готовность принять сообщение или совет, связь с вашей душой активна. Используйте это открытое пространство на благо своей жизни.

Загрузка. ..

Похожие сообщения:

384 (Номер)

384 ( триста восемьдесят четыре ) — четное трехзначное составное число, расположенное между числами 383 и 385. В научной записи оно записывается как 3,84 × 10 9 .0587 2 . Сумма его цифр равна 15. Всего у него 8 простых множителей и 16 положительных делителей. Существует 128 положительных целых чисел (до 384), взаимно простых с 384.

  • Прайм? №
  • Числовая четность Четный
  • Длина номера 3
  • Сумма цифр 15
  • Цифровой корень 6

Краткое наименование 384
Полное имя триста восемьдесят четыре

Научное обозначение 3,84 × 10 2
Технические обозначения 384 × 10 0

Простые множители 2 7 × 3

Составное число

ω(n) Отличительные факторы 2

Общее количество различных простых множителей

Ом(n) Всего факторов 8

Общее количество простых множителей

рад(н) Радикальный 6

Произведение различных простых чисел

λ(n) Лиувилль Лямбда 1

Возвращает четность Ω(n), такую ​​что λ(n) = (-1) Ω(n)

мк(н) Мебиус Мю 0

Возвращает:

  • 1, если n имеет четное число простых множителей (и не содержит квадратов)
  • −1, если n имеет нечетное число простых множителей (и не содержит квадратов)
  • 0, если n имеет квадрат простого делителя
Л(н) Функция Мангольдта 0

Возвращает log(p), если n является степенью p k любого простого числа p (для любого k >= 1), в противном случае возвращает 0

Разложение числа 384 на простые множители равно 2 7 × 3. Поскольку всего 8 простых делителей, 384 является составным числом.

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 384

16 делителей

Четный делитель 14
Делители нечетных 2
4k+1 делитель 1
4k+3 делителя 1

τ(n) Всего делителей 16

Общее число положительных делителей n

σ(n) Сумма делителей 1020

Сумма всех положительных делителей n

с(н) Аликвотная сумма 636

Сумма собственных положительных делителей n

А(н) Среднее арифметическое 63,75

Возвращает сумму делителей (σ(n)), деленную на общее количество делителей (τ(n))

Г(н) Среднее геометрическое 19,595917942265

Возвращает корень n из произведения n делителей

Н(н) Среднее гармоническое 6. 0235294117647

Возвращает общее количество делителей (τ(n)), деленное на сумму обратной величины каждого делителя

Число 384 можно разделить на 16 положительных делителей (из них 14 четных и 2 нечетных). Сумма этих делителей (считая 384) равна 1020, среднее значение равно 63,75.

1 ф (п) п

φ(n) Эйлер Тотиент 128

Общее количество положительных целых чисел, не превышающих n, взаимно простых с n

λ(n) Кармайкл Лямбда 64

Наименьшее положительное число такое, что λ(n) ≡ 1 (mod n) для всех чисел, взаимно простых с n

п(н) Прайм Пи ≈ 78

Общее количество простых чисел меньше или равно n

р 2 (н) Сумма 2 квадратов 0

Количество способов n представить в виде суммы двух квадратов

Существует 128 натуральных чисел (меньше 384), взаимно простых с 384. И приблизительно 78 простых чисел меньше или равны 384.

м 2 3 4 5 6 7 8 9
п мод м 0 0 0 4 0 6 0 6

Число 384 делится на 2, 3, 4, 6 и 8.

Арифметическими функциями

  • Рефакторинг
  • Обильный

Выражается через конкретные суммы

  • Вежливый
  • Практический
  • Негипотенуза

Другие номера

  • Скромный
  • Обычный
Основание Система Значение
2 Двоичный 110000000
3 Тернарный 112020
4 Четвертичный 12000
5 Квинарий 3014
6 Сенар 1440
8 Окталь 600
10 Десятичный 384
12 Двенадцатеричная 280
16 Шестнадцатеричный 180
20 Десятичное число дж4
36 База36 или

Умножение

п × у
n×2 768
n×3 1152
n×4 1536
n×5 1920

Отдел

n÷y
н÷2 192. 000
н÷3 128.000
н÷4 96.000
н÷5 76.800

Возведение в степень

п г
п 2 147456
нет 3 56623104
п 4 21743271936
нет 5 8349416423424

N-й корень

г √n
2 √n 19,595917942265
3 √n 7,2684823713286
4 √n 4. 4267276788013
5 √n 3.28750365

Круг

Радиус = n

Диаметр 768
Окружность 2412.743157957
Зона 463246.68632774

Сфера

Радиус = n

Том 237182303.3998
Площадь поверхности 1852986.7453109
Окружность 2412. 743157957

Квадрат

Длина = n

Периметр 1536
Зона 147456
Диагональ 543.05800795127

Куб

Длина = n

Площадь поверхности 884736
Объем 56623104
Пространственная диагональ 665.10751010645

Равносторонний треугольник

Длина = n

Периметр 1152
Зона 63850. 320970219
Высота 332,55375505322

Треугольная пирамида

Длина = n

Площадь поверхности 255401.28388088
Объем 6673096.8017052
Высота 313,53468707625

мд5 0584ce565c824b7b7f50282d9a19945b
ша1 b741f2520f68d7b8abfecea2d88015fc823ef8bb
ша256 37b73510175057c633ebe4beb0a34917fa2a0696432db43a4eeb2c3ff83a4c3b
ша512 6923fb884a330a38e5eb27910f67a0fb51994475678098eeb6eb88e4b03b12e23a74772f01616aa3725b5adef1943cb12dbe2b27cc8bc85ebf70d5843150d0bf
римед-160 95a7eb545e773470f5930be0094b28f153b433ee

Коэффициенты 384- Найти простые факторизации/Факторы 384

384 — это сумма пары простых чисел-близнецов (191 + 193). Его также можно выразить как сумму шести последовательных простых чисел (53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73). В этом уроке давайте вычислим множители 384, простые множители 384 и множители 384 попарно вместе с решенными примерами для лучшего понимания.

  • Коэффициенты числа 384:  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192 и 384
  • Факторизация числа 384: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2 7   × 3
1. Какие делители числа 384?
2. Как рассчитать коэффициенты числа 384?
3. Факторы числа 384 с помощью простой факторизации
4. Коэффициенты 384 в парах
5. Часто задаваемые вопросы о факторах 384

Какие делители числа 384?

Все числа, которые делят 384 полностью, не оставляя остатка, являются делителями 384. Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192 и 384 делят 384 без остатка.

Как рассчитать коэффициенты числа 384?

Метод 1. Использование правил делимости ,

  • Проверить, делится ли число 384 на 1, 2, 3, 5, 6 и т. д. Все числа, прошедшие тест на делимость, являются делителями числа 384.
  • Полученное частное также является множителями числа 384. Таким образом, всего у нас 16 множителей.
384 ÷ 1 = 384
384 ÷ 2 = 192
384 ÷ 3 = 128
384 ÷ 4 = 96
384 ÷ 6 = 64
384 ÷ 8 = 48
384 ÷ 12 = 32
384 ÷ 16 = 24

Метод 2 : Использование простой факторизации ,

  • Найдите все простые множители с помощью факторного дерева и вычислите составные множители 384. Мы получаем простую факторизацию числа 384 как 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2  7   × 3
  • Найдите все возможные комбинации этих семи двоек и одной тройки, чтобы умножить их и получить произведение, которое оценивает все составные факторы. Таким образом, мы получаем все 16 факторов.
2 2 × 3 = 6
2 × 2 = 4 2 × 2 × 3 = 12
2 × 2 × 2 = 8 2 × 2 × 2 × 3 = 24
2 × 2 × 2 × 2 = 16 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 96
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 192
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 384

Изучите множители с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

  • Множители числа 512: Множители числа 512 равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512.
  • Множители 175: Множители 175 равны 1, 5, 7, 25, 35 и 175.
  • Множители числа 320: Множители числа 729 равны 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160 и 320
  • Множители числа 216: Множители числа 216 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108 и 216.
  • Множители числа 112. Множители числа 112 – это 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56 и 112.

Факторизация числа 384

Факторизация числа выражает число как произведение его множителей.

  • Мы определяем простые множители, используя метод деления или метод факторного дерева.
  • 384 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2 7   × 3.
  • Принимая во внимание только показатели степени, прибавьте к каждому по 1 и умножьте их.
  • Полученное таким образом произведение помогает определить общее количество факторов, равное 384. Здесь оно равно (7+1) × (1+1) = 8 × 2 = 16 факторов.

Пары множителей 384

Пары множителей — это числа, которые при умножении дают число 384. Число 1 × Число 2 = 384. Это выражается в множителях 384 в упорядоченных парах как (число 1, число 2). У нас есть 8 таких пар факторов из 384, как показано на рисунке ниже. Различными парами множителей числа 384 являются (1, 384), (2, 192), (3,128), (4, 96), (6, 64), (8,48), (12,32) и (16,24). Важные примечания

  • Простые делители числа 384 равны 2 и 3. 
  • Разложение на простые множители: 2 7   × 3.

    • Проблемные вопросы

    • Количество мужчин и женщин, которые посещают конференцию, составляет 540 и 384 человека соответственно. В каждом ряду должно быть равное количество человек. В каждом ряду будут только мужчины или женщины. Какое наибольшее количество людей может быть в каждом ряду?
    • Как отличить множители числа 384 от числа, кратного 384?

    Часто задаваемые вопросы о множителях числа 384

    Что такое множители числа 384?

    Делители числа 384 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192 и 384.

    График x4: Mathway | Популярные задачи

    alexxlab / / Разное

    Про X4 Foundations — мониторинг цены, скидки на X4 Foundations, отзывы :: Applook

    Сейчас цена на X4 Foundations — 1690 ₽ . По статистике максимальная скидка на X4 Foundations в Steam делается каждые 2 мес.. Следующую максимальную скидку стоит ожидать приблизительно через 4 нед..

    Возможность управлять любым кораблём:

    X4 позволит Вам сесть за штурвал любого корабля. От самых малых разведчиков, различных кораблей среднего класса и до огромных авианосцев Вы сможете пилотировать сами из-за штурвала в кокпите, а также и от третьего лица.

    При создании игры X4 большое внимание было уделено быстрому и лёгкому перемещению между Вашими кораблями. Вы можете покинуть корабль, спуститься по трапу, пройти по доку огромной станции к другому припаркованному там кораблю и заменить пилота, приказав уступить Вам кресло управления.

    Теперь вы можете загрузить крупное бесплатное обновление 4.00 для базовой игры, которое разнообразит и улучшает ее во множестве аспектов. Изменения игрового процесса включают в себя совершенно новые функции, такие как терраформирование, новые возможности управления боевыми действиями, улучшенное управление флотом и новую функцию экстренного катапультирования. В техническом плане обновление 4.00 добавляет эффекты объемного тумана, улучшает появление астероидов в зоне видимости и добавляет эффект визуализации урона щитам.

    Модульные станции и улучшения кораблей:

    Основой игр Вселенной Х всегда было строительство космических станций. После получения достаточной суммы денег на торговле или сражениях, многие игроки хотят начать влиять на экономику игры, а также её Вселенную в более значительных масштабах. В X4 это возможно в свободном и креативном стиле. Станции могут быть созданы из разнообразных модулей, будь это модули производства, жилые комплексы, доки или любые другие виды построек. Новая система управления картой поможет Вам с лёгкостью строить и соединять различные модули, создавая Ваши уникальные станции.

    Также доступно большое количестве улучшений кораблей. Все двигатели, орудия и многое другое оборудование может быть добавлено в графическом редакторе, и Вы мгновенно увидите обновление на своём корабле.

    Самая динамичная Вселенная Х:

    X4 — первая игра серии X, которая позволяет любым игровым расам и фракциям строить и развивать свои Империи без ограничений; им доступна та же свобода в строительстве модульных станций, что и игроку. Расы расширяют свои империи, основываясь на спросе и предложении, что ведёт к очень динамичному развитию Вселенной, когда любое действие игрока может привести к глобальному изменению в общем мире.

    Руководство Вашей Империей с помощью продвинутой карты:

    Когда у Вас появится достаточное количество кораблей и NPC, которые будут работать на Вас как пилоты, экипаж или управляющие станцией, карта будет Вашим главным помощником в управлении ими. Кораблям можно отдать приказ всего лишь одним нажатием мышки, а с помощью drag-and-drop операций, вы сможете проложить их будущий курс.

    Наглядно планируйте Ваши торговые пути, координируйте атаки с помощью всего Вашего флота, выставляйте иерархию между кораблями или посылайте их на исследование дальнего космоса.Самая детальная проработка экономики в сериях Х:

    Одной из основных привлекательных особенностей серии Х всегда была детально проработанная экономика. Товары производятся на сотнях станций и перевозятся тысячами кораблей, которые являются реальными NPC. Своей торговлей они создают рабочую экономику игры. Это основа нашей живой и дышащей Вселенной. Но сейчас, в X4, мы продвинулись ещё дальше. Впервые в серии Х все товары, которые участвуют в экономике NPC, производятся из ресурсов: корабли, орудия, боеприпасы и даже станции — абсолютно всё выходит из рабочей модели симуляции экономики.Исследования и Телепортация:

    Мгновенное и незаметное перемещение между кораблями и NPC, которые берут управление Вашей империи на себя, продолжится на ещё более высоком уровне. Как только у Вас появится флот, вы сможете исследовать новую технологию в Вашем Штабе — Телепортацию. Как только Вы разблокируете телепортацию, Вы сможете перемещаться с корабля на корабль намного быстрее и сами испытаете все критические ситуации, что происходят с Вашими NPC — пилотами.

    Любой приказ, который Вы отдали кораблю до этого, превратится в миссию. Но как только Вы покинете корабль, NPC — пилот возьмёт управление за Вас и продолжит миссию.Вливайтесь в игру:

    В X4 Вы можете начать играть, используя несколько игровых сценариев и разных персонажей, каждый со своей ролью, набором установленных отношений, а также кораблём и технологиями. Неважно, что Вы выберете, — Вы всегда будете вольны развиваться, как хотите. Сфокусироваться на исследовании космоса, зарабатывании денег на нелегальной торговле или даже воровстве, командовании огромными флотами или стать самым великим предпринимателем. Только Вам решать.

    Акции X4 Pharmaceuticals 48Q график, цена акции, архив котировок

    Добавление акции в WL

    Добавление бумаги в Watchlist невозможно, так как по ней отсутствуют котировки от бирж.

    X4 Pharmaceuticals, страна — США

    Отсутствуют данные по торгам

    Можно переключить отображение данных график | таблица

    Данные для сравнения за выбранный период не доступны

    Показать логотип

    Источник информации – ПАО «Московская биржа». Дальнейшее распространение биржевой информации запрещено без предварительного согласования с ПАО «Московская биржа».

    {{ getDirectory(props.value).ttl }}

    Источник информации – ПАО «Московская биржа». Дальнейшее распространение биржевой информации запрещено без предварительного согласования с ПАО «Московская биржа».

    Найдено более 2 500 записей, пожалуйста, уточните запрос.

    {{ exportErrorMsg }}

    Последние данные на

    Параметры акции

    {{ props.value }}

    {{ getDirectory(props.value).ttl }} Зарегистрируйтесь
    для получения доступа

    ИНФОРМАЦИОННАЯ СРЕДА ДЛЯ ПРОФЕССИОНАЛОВ ФИНАНСОВОГО РЫНКА И ИНВЕСТОРОВ

    • Полное покрытие мировых рынков облигаций и акций
    • Свыше 20 000 индексов по рынкам акций, облигаций, товарному рынку и макроэкономике
    • Рейтинги всех глобальных и страновых рейтинговых агентств
    • Отчетность эмитентов по МСФО и локальным стандартам
    • Высокая скорость работы, интуитивный интерфейс, отличные графические возможности
    • Доступ через сайт, мобильное приложение, надстройку для MS Excel
    • Надежные источники данных
    • Расширенные возможности поиска и отслеживания динамики финансовых инструментов
    Зарегистрируйтесь
    для получения доступа

    ИНФОРМАЦИОННАЯ СРЕДА ДЛЯ ПРОФЕССИОНАЛОВ ФИНАНСОВОГО РЫНКА И ИНВЕСТОРОВ

    • Полное покрытие мировых рынков облигаций и акций
    • Свыше 20 000 индексов по рынкам акций, облигаций, товарному рынку и макроэкономике
    • Рейтинги всех глобальных и страновых рейтинговых агентств
    • Отчетность эмитентов по МСФО и локальным стандартам
    • Высокая скорость работы, интуитивный интерфейс, отличные графические возможности
    • Доступ через сайт, мобильное приложение, надстройку для MS Excel
    • Надежные источники данных
    • Расширенные возможности поиска и отслеживания динамики финансовых инструментов

    Задание № 7. Производная функции. ЕГЭ . Математика.

          БАЗА ЗАДАНИЙ

    Задание № 7. Производная функции.

    51. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней.

    52. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек функция f(x) положительна?

    53. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс:  x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

    54. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции

    функции f(x) и  отмечены  десять  точек на оси абсцисс. В кольких из этих точек функция f(x) положительна?

    55. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2].

    56. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 5].

    57. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке [2;11].

    58. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой).  Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−8), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

    59. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой).  Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−9), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

    60. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция 

    — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

    61. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция 

    — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

    62. Прямая   y=7x-5 параллельна касательной к графику функции  y=x2+6x-8.

    Найдите абсциссу точки касания.

    63. Прямая y=—4x—11 является касательной к графику функции y= x3 +7x2 +7x-6. 
    Найдите абсциссу точки касания.

    64. Прямая y=—3x—5 является касательной к графику функции  y=x2+7x+c. Найдите c.

    65. Прямая  y=3x+1 является касательной к графику функции  y=ax2+2x+3. Найдите a.

    66. Прямая y=—5x+8 является касательной к графику функции y=28x2+bx+15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

    67. Материальная точка движется прямолинейно по закону

    где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с?

    68. Материальная точка движется прямолинейно по закону

    где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 48 м/с?

    69. Материальная точка движется прямолинейно по закону

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t=6 с.

    70. Материальная точка движется прямолинейно по закону

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t=3 с.

    Отчет измерений Violectric V800 Resampling x4 тест и графики

    Пояснение к графику
    Тест показывает корректность воспроизведения сигналов с разрядностью 24/32 бит. Некорректным считается, если понижение в ЦАП до 24 бит производится с грубой отсечкой младших битов (транкейтом), что в свою очередь ведет к дополнительным искажениям .

    С выхода ЦАП воспроизводится симуляция сигнала с транкейтом и чистый тон синуса с амплитудой -90.31 dBFS. При таком уровне сигнал с транкейтом представляет собой отчетливые «ступеньки», высотой в 1 бит для 16-ти битного сигнала.

    Если визуально оба сигнала представляют собой «ступеньки», это значит, что устройство некорректно понижает разрядность сигнала, а если один сигнал является «ступеньками», а второй синусоидой, то воспроизведение корректно (либо производится корректное понижение разрядности).

    Для тестов используется два тона, 1 кГц и 100 Гц. По умолчанию форма волны показана с отфильтрованными высокочастотными помехами (например от ноизшейпинга ЦАП) и неравномерность линий не имеет прямого отношения к зашумленности или поведению цифрового фильтра ЦАП.

    Дополнительно приводится форма волны «как есть» в режиме записи 192 кГц обозначенная «no filter», которая с позиции определения корректности воспроизведения 24 бит полезной информации не несет, но приводится для аудиофилов и начинающих «инженеров». Благодаря виду волны с шумами до 100 кГц наглядно показывается, что нет смысла по неравномерности линии определять работу цифрового фильтра ЦАП. При этом, если бы запись производилась в еще больших частотах дискретизации, шума было бы еще больше.

    По вертикали шкала представлена в вольтах, по горизонтали — время. В рамках теста, величина напряжения не является показателем качества, а график стоит рассматривать как векторный рисунок.

    Методика теста
    Понижение разрядности с диттером
    Вид графика в референсном отчете

    По графику функции найти x по y

    Мы уже рассмотрели нахождение значения аргумента по заданному значению функции.

    Теперь выясним, как по графику функции найти x по y.

    Рисунок 1

    1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение аргумента, если значение функции равно —1; 2; 0; 3.

    Решение:

    Аргумент — это x, функция — y.

    Найти значение аргумента по значению функции — значит, по данному значению y найти x.

    Начнём с y= -1. На оси Oy найдём точку с ординатой y= -1. Чтобы найти значение x, надо из точки на оси Oy попасть на график. Для этого нужно пойти либо влево, либо вправо. От точки y= -1 график находится слева, поэтому идём влево. Достигнув точки на графике, идём к оси Ox (в данном случае — вверх). Попадаем в точку с абсциссой x= -4. (Стрелочки помогают увидеть путь).

    Следовательно, при y= -1 x= -4.

    Если y=2, чтобы попасть из точки на оси Oy с ординатой y=2 на график, следует двигаться вправо. Идём вправо до графика. Достигнув точки графика, в которой y=2, идём вниз, до оси Ox. Попадаем в точку с абсциссой x=2.

    Записываем: при y=2  x=2.

    Если y=0, чтобы попасть на график функции, движемся влево. Дальше ни вверх, ни вниз двигаться не нужно, поскольку уже находимся на графике, в точке с абсциссой x= -2.

    Записываем: при y=0  x= -2.

    При y=3 идем вправо до графика, затем — вниз и получаем x=4.

    Пишем: при y=3  x=4.

    2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

    Рисунок 2

    Пользуясь графиком, найдите значение аргумента, если значение функции равно 6; -3; 2; 4; -5; 7.

    Решение:

    Чтобы найти значение аргумента по заданному значению функции y= 6, от точки на оси Oy с ординатой y=6 идем вправо до пересечения с графиком функции. Достигнув точки на графике, идём вниз, к оси Ox. На оси абсцисс попали в точку с абсциссой x=2.

    Записываем: при y=6  x=2.

    При y= -3 график есть и слева, и справа от оси Oy. Идём влево и вверх, получаем x= -5. Идём вправо и вверх, получаем x=6,5.

    Записываем: при y= -3 x= -5 и x=6,5.

    Аналогично, при y=2 x= -2 и x=5.

    Точка с ординатой  y=4 лежит на графике, идти никуда не надо, x=0.

    При y= -5 идём вправо и вверх, приходим в точку с абсциссой x=7.

    Пишем: при y= -5  x=7.

    При y=7 идём вправо и вниз, получаем x=3.

    4702 AF700 Накладки тормозные передние на ось 15’x4′ CT Meritor Q Plus 64 отв, 1203892

    Гарантия на оригинальные автозапчасти

    Оригинальные автозапчасти — это товары, выпущенные производителем транспортного средства, либо под его контролем с маркировкой на них товарного знака (логотипа) данного автопроизводителя. Группа БАЛТКАМ предоставляет гарантию качества на оригинальные автозапчасти сроком 45 календарных дней. Если иной срок устанавливается заводом-изготовителем, то устанавливается гарантийный срок завода-изготовителя.

    Гарантия на неоригинальные автозапчасти

    Неоригинальные автозапчасти / аналоги — это товары, независимых компаний-производителей, специализирующихся на выпуске деталей определенной группы для различных марок и моделей автомобилей. На неоригинальные запчасти Группа БАЛТКАМ предоставляет гарантию сроком 30 календарных дней. Если иной срок устанавливается заводом-изготовителем, то устанавливается гарантийный срок завода-изготовителя.

    Условия возврата для розничных клиентов

    Условия обмена или возврата товаров, приобретенных в Фирменной Сети Магазинов БАЛТКАМ, регламентируются Законом РФ «О защите прав потребителей» и зависят от качества возвращаемого товара, а также от того, каким образом был приобретен товар (в розничном магазине или в internet-магазине).

    Возврат возможен при сохранности товарного вида и без следов установки в течение 14 календарных дней.

    Возврат товара, приобретенного в internet-магазине

    Вы вправе отказаться от товара в любое время до его передачи, а после передачи товара — в течение семи дней.

    При возврате товара надлежащего качества, наличие следов эксплуатации, нарушение товарного вида или целостности упаковки/комплектации может служить основанием для отказа в удовлетворении требований о возврате/замене товара.

    Заявления на возврат (для физ.лиц, для юр.лиц) принимаются:

    • По электронной почте [email protected]
    • Через Почту России заказным письмом.

    Срок рассмотрения заявки на возврат составляет 3 рабочих дня, решение высылается на Ваш электронный адрес.

    При положительном рассмотрении заявки о возврате необходимо:

    • заполнить и распечатать форму заявления
    • сдать заявление вместе с деталью в розничный магазин БАЛТКАМ (в котором был приобретен товар) или, в случае удаленной доставки, отправить транспортной компанией.

    Возврат денежных средств осуществляется в течение 10 дней со дня предъявления Заявления о возврате товара, а также документов, подтверждающих факт и условия покупки указанного товара.

    Для возврата деталей, приобретенных в розничном магазине, обращайтесь в магазин, в котором была приобретена деталь или в центральный офис по адресу: Санкт-Петербург, пр. Полюстровский, 54.

    Чип-тюнинг мотора B47 на BMW X4 20d

    Замеры чип-тюнинга Stage 1 на диностенде. Сравниваем с BMW X1 с мотором N47 и тюнингом Stage2

    Записаться через сайт

    Укажите Ваши данные, мы обязательно с Вами свяжемся

    Вас зовут*Телефон*Адрес*Выбратьг. Дзержинский, Денисьевский проезд, 7бг. Москва, Алтуфьевское ш., 27Ас2 (Сервис «Вилгуд»)г. Одинцово, Восточная ул., 10с2г. Зеленоград, проезд 4801, д. 5г. Москва, ул. Киевская д.14 (Автокомбинат №1)п. Нахабино, Московская область, ул. Панфилова, дом 12А
    КомментарийИнтересующая дата и время 

    Я согласен на обработку персональных данных*

    Проверить прошивку

    Александр Сидельников

    BMW X6 F16 40d 313 Hp, чип-тюнинг Stage2+ от LoS

    Всем привет! На сегодня пробег 55 тыс. все в норме. 240 км/ч регулярно без особых проблем катаем… мешает колейность… кто планирует сделать ЧИП, рекомендую!

    Алексей Б.

    BMW G32 630d GT 249 Hp 2018, чип-тюнинг от LoS

    Отдал ребятам машину после кривых рук из компании киберкар..на машине уже был сделан stage 2 но машина ехала очень плохо,ощущалось неправильная работа двигателя и коробки,машина дымила так что было стыдно нажимать тапку в пол так как автомобили сзади меня мне кажется применяли экстренное торможение и включали аварийку из за нулевой видимости…очень сильно пахло дизелем в машине..сто раз пожалел что сделал stage 2.отдавая машину в LOS особых надежд не питал думал что это расплата за увеличение мощности но каково было мое удивление когда я забрал автомобиль и проехался!!дымность близка к 0 все работает четко плавно так же как и с завода только с очень ощутимой прибавкой мощности!!рад до…

    Артём Громов

    BMW X1 20d E84 177 Hp, Stage 2 от LoS

    Благодарю за выполненный комплекс! Вы мастера своего дела!!! Графики экономики

    — X4 Wiki

    Приготовьте дискотеку немедленно — Ban Danna, X2: The Threat

    Икона

    Эта страница устарела или информация отсутствует

    Товары производятся станциями и либо обрабатываются последовательными станциями, либо используются для строительства станций, кораблей или оборудования, либо потребляются населением.В последнем случае наркотики (в белых ячейках 2-го уровня ниже) покупаются торговыми станциями, а продукты (в цветных ячейках 2-го уровня ниже) питают их модули обитания для конкретной расы. Интересно, что космическое топливо (препарат аргона) и масло ностропа (еда телади) используют воду вместо второй основной пищевой посуды их фракции.

    Производственные уровни

    Уровень 0: Ресурсы, полученные из собранных солнечного света (энергетические элементы; ЭК), астероидов (минералы и вода) и туманностей (газы).
    Уровень 1: Основные продукты питания , производимые основными фракциями из EC и Воды (Товары уровня 0).
    Уровень 2: Продукты питания и лекарства , произведенные из товаров уровня 1, воды и ЭК.
    Уровень 3: Очищенный Товары, полученные из добытых полезных ископаемых, газов и ЭК.
    Tier 4: Advanced Ware, произведенные из Tier 3 Ware и EC.
    Уровень 5: Компоненты , произведенные из Товаров Уровня 3, Уровня 4, а иногда и других Товаров Уровня 5.
    Уровень 6: Оборудование , включая корпуса кораблей, корабельное оборудование и модули станций

    Продовольственная экономика (уровни 0-2)


    Ключ

    Зеленая рамка: специфическая для аргона
    Синяя коробка: специфическая для паранидов
    желтая Коробка: для Телади
    Золотой ящик: Модули производства медицинских товаров используют пшеницу ИЛИ фасоль сои ИЛИ цветы восхода солнца (не взаимозаменяемы)
    Серый ящик: конечный пункт назначения

    Черная стрелка: производственный путь или маршрут к конечному пункту назначения
    Оранжевая стрелка: путь, который также требуется EC
    Красная стрелка: Путь, для которого также требуются EC и вода

    Компоненты Экономика (уровни 0 и 3-5)


    Ключ

    Желтое поле: для Телади
    Красное поле: для аргона и паранидов
    Золотой ящик: товары, изготовленные из модулей, в которых используются очищенные металлы ИЛИ теладианиум (не взаимозаменяемы)
    Серый ящик: пункт назначения

    Черная стрелка: путь к пункту назначения
    Оранжевый стрелка: производственный путь, который также требует EC

    Использование компонентов (уровни 0 и 4-6)


    Key

    Серый прямоугольник: конечный пункт назначения

    Оранжевая стрелка: производственный путь, который также требует ECs

    Экономическая блок-схема Обновлена: X4Foundations

    То, что строить, очень зависит от региона.На самом деле я добился большого успеха со станциями, но я также гораздо более дотошен в проверке того, на что похож рынок, прежде чем строить. Чтобы разобраться в этом механике станции, мне потребовалось много проб и ошибок.

    • Первое, что я бы посоветовал сделать, это немного полетать и подождать, пока вы получите задание, которое на самом деле является просто экономическим стимулом для постройки где-нибудь фабрики. Вы можете пойти самостоятельно и построить без этого, но старт в 5-11 миллионов никогда никому не повредит.Просто убедитесь, что вы точно следуете миссии. Итак, сначала летите в эту область пространства, затем лицензируйте, затем стройте и не переходите к следующему шагу, пока последний шаг не будет зарегистрирован. Это может быть немного привередливо.

    • Тщательно перелететь сектор. Вы же не хотите начинать изготавливать листы корпуса или что-то в этом роде только для того, чтобы понять, что где-то в секторе, куда вы даже не думали смотреть, есть огромный комплекс этого.

    • Определите, что является незаслуженным, на основе станций в этом секторе и, возможно, немного посмотрите на соседние сектора.Не верьте подсказке на карте о том, что на ней покупается в этом секторе. Часто это небольшие потребности одной станции, которые быстро высыхают, вы ищете что-то, что можно непрерывно вливать в регион. Каждой станции нужны медикаменты, каждой станции — еда. Они фактически потребляются постоянно. Есть ли поблизости хороший запас еды? есть ли у этого поставщика продовольствия все необходимые ему станции поблизости, чтобы удовлетворить его потребности? А как насчет медицинских принадлежностей? При большом количестве комплексов, производящих более сложные продукты, узким местом может быть рафинированный металл и другие промежуточные продукты.Один из них почти гарантированно будет незаслуженным.

    • Слетайте на несколько заводов, которые вы будете поставлять, и проверьте их статус. Для этого и нужен механизм сканирования. Если вы проверите логистическую разбивку фабрики, которой вы не владеете, вы обычно ничего не видите, после того как вы просканируете ее до 90% или около того, вы сможете увидеть все, что у них есть на складе, и все их внутренние цепочка поставок. Если у всех постоянно полно того, что вы планируете продавать, попробуйте выяснить, откуда это поступает, если ваши ближайшие конкуренты находятся в нескольких секторах, вы, вероятно, все равно можете просто выставить им цену вне региона.Если все это исходит из соседнего сектора или того же самого сектора, вероятно, стоит подумать о другом.

    • Спроектируйте свою станцию ​​с немного меньшей производительностью, чем это необходимо для удовлетворения спроса, и не тратьте деньги на якорь, если у вас нет на то причины. У вас должно быть как минимум 3 док-станции среднего размера (для этого идеально подходит одна из маленьких). Строительство больших станций занимает вечность, и нет смысла иметь больше продукции, чем нужно для удовлетворения спроса.Если все пытаются продать свои излишки энергоэлементов за минимальный доллар, просто купите их в регионе, а если нет, убедитесь, что есть 100% солнечный свет, и добавьте производство энергетических элементов на свой завод. На самом деле вам не нужны места обитания или рабочая сила для работы фабрики, если вы построите их, эффективность повысится, но за счет постоянной потребности в еде и медикаментах. Не забудьте добавить столько турелей и столько места для хранения, сколько указано в миссии.

    • Проверьте экран построения плана, разверните вкладку «Необходимые ресурсы» и посмотрите, сколько денег это будет стоить.Заполните станцию ​​примерно такой суммой строительных средств.

    • Найдите строительный корабль и наймите их, чтобы построить его.

    • Как только у него появится док, садитесь на большие корабли, которые вы найдете во время полета, и поговорите с экипажем. Они скажут? ? ? в каждом из их навыков, но если вы предложите их нанять, вы увидите звезды за те вакансии, с которыми у них есть опыт, справа, когда вы находитесь на экране, чтобы назначить их куда-нибудь. Вы можете отменить здесь, не тратя денег.Так можно найти хороших морских пехотинцев, обслуживающий персонал, пилотов и менеджеров. Найдите кого-нибудь с опытом управления, наймите его, отведите на станцию ​​и назначьте на работу менеджером.

    • Купите грузовое судно и поручите ему работать торговцем на станции. (выберите корабль, щелкните станцию ​​правой кнопкой мыши) В зависимости от того, что вы делаете, вам также могут понадобиться майнеры. Это не на 100% необходимо, но в противном случае вы будете очень зависеть от торговцев NPC.

    • Откройте логистическую разбивку станции и скажите ей, чтобы она заполнила около 20 грузовых дронов и, возможно, несколько оборонительных дронов.Таким образом припасы будут перемещаться через вашу станцию ​​в соответствии с ее логистической разбивкой.

    • Уйти. Станция в конце концов закончится, и миссия завершится, если вы ее взяли. Если он не вернется в сектор, внесите небольшие изменения и наймите другой строительный корабль. (если вы переместите часть станции, вам нужно подождать, пока она полностью разложится, прежде чем вы сможете нанять другой строительный корабль.) После этого вы получите хорошую выплату, обычно несколько миллионов, от миссии, которая покрывает большую часть ваших затрат на строительство и станция, которая может постоянно продавать свою продукцию в этом секторе, навсегда зарабатывая деньги.

    Я знаю, что здесь есть много шагов, но сделав это, я смог создать станции с гарантированной прибылью и развить абсурдный поток доходов, даже несмотря на то, что все остальные жаловались на крах экономики из-за спроса. В конце концов, некоторые станции могут насыщаться и перестать продавать свою продукцию, но на самом деле это довольно необычно, и обычно к тому времени вы уже много зарабатываете.

    X4: Основы — Графики Steam

    1736 г.
    24-часовой пик

    15074
    небывалый пик

    Месяц Ср.Игроки Прирост% прирост Пиковое количество игроков
    Последние 30 дней 1413,77 -82,5 -5,52% 2382
    Июнь 2021 г. 1496.29 -998,99 -40,04% 2739
    Май 2021 г. 2495,28 -827.84 -24,91% 4713
    Апрель 2021 г. 3323,12 145,99 + 4,59% 6205
    Март 2021 г. 3177,13 1911,62 + 151,06% 9136
    Февраль 2021 г. 1265,51 -178,71 -12.37% 2095
    Январь 2021 г. 1444,22 206,05 + 16,64% 2378
    Декабрь 2020 г. 1238,17 117,36 + 10,47% 2082
    Ноябрь 2020 1120,81 146,92 + 15,09% 2015
    Октябрь 2020 973.89 -141,01 -12,65% 1640
    Сентябрь 2020 г. 1114,90 155,50 + 16,21% 2039
    Август 2020 г. 959,40 -163,04 -14,53% 2181
    Июль 2020 г. 1122,44 -240.57 -17,65% 2035
    Июнь 2020 г. 1363.01 -653,97 -32,42% 2590
    Май 2020 г. 2016.98 -1306,33 -39,31% 4145
    Апрель 2020 г. 3323,31 2685,72 +421.23% 5882
    Март 2020 г. 637,59 14,03 + 2,25% 3257
    Февраль 2020 г. 623,56 -134,09 -17,70% 1196
    Январь 2020 757,65 -5,02 -0,66% 1431
    Декабрь 2019 г. 762.67 95,20 + 14,26% 1408
    Ноябрь 2019 667,47 150,45 + 29,10% 1290
    Октябрь 2019 517.02 45,16 + 9,57% 1066
    Сентябрь 2019 471,87 6,54 +1.41% 844
    Август 2019 г. 465,33 -28,32 -5,74% 838
    Июль 2019 493,65 -41,18 -7,70% 906
    Июнь 2019 534,82 -8,35 -1,54% 929
    Май 2019 543.17 -156,82 -22,40% 988
    Апрель 2019 699,99 -428,68 -37,98% 1350
    Март 2019 г. 1128,67 91,13 + 8,78% 2239
    Февраль 2019 г. 1037,54-983.17 -48,65% 2059
    Январь 2019 2020,72 -4226,33 -67,65% 5021
    Декабрь 2018 г. 6247,04 6246,48 + 1110485.66% 15074
    Март 2018 г. 0,56 -0,18 -23.90% 5
    Февраль 2018 г. 0,74 0,20 + 36,48% 5
    Январь 2018 г. 0,54 0,17 + 46,60% 5
    Декабрь 2017 г. 0,37 -0,01 -1,48% 5
    Ноябрь 2017 г. 0.38 0,07 + 24,55% 4
    Октябрь 2017 г. 0,30 -0,52 -63,26% 4
    Сентябрь 2017 г. 0,82–– 6
    Все данные предоставлены Steam. Никаким образом не связан с Valve. Все товарные знаки являются собственностью соответствующих владельцев в США и других странах.Наша цель — дать уникальное представление об игровых тенденциях. © steamcharts.com

    MTG Индивидуальные карты 4x Chart A Course x4 Английский Magic MTG ¥ Доступно несколько ¥ Magic: The Gathering

    О НАС

    В Refined Skin Medi-Spa мы гордимся тем, что предлагаем новый уровень обслуживания. Все начинается с того, как подбирается наш персонал и как преподаются наши стандарты.

    Наша среда позволяет каждому из наших профессионалов обслуживать наших клиентов, лично помогая им, максимально используя свое время, проведенное с нами, обеспечивая комфорт, удобство и контроль.

    4x Chart A Course x4 English Magic MTG ¥ Доступно несколько ¥

    Palos Bolsa Palo Del Diablo Set Brillantes Malabarismo Palos Chinos, Melta Gun Imperial Knight Warden Warhammer 40K Bits B1, Lionroar 1/700 WWII ВМС США 5inch Twin Mount LE700083. Drednaw VMAX 15/73 Путь чемпионов NM !. BNTECHGO 14 калибр Силиконовая проволочная катушка 50 футов Ультра гибкая высокая температура 200 градусов C. Spinner Toy Figit Metal Hand Fidget Снижение стресса Анти-тревожная скорость Сверхбыстрая, 5 ШТ. / ЛОТ Kawaii Small Joint Teddy Bears Мягкие плюшевые игрушки 6CM Teddy-Bear Mini, 2x LEGO Old Серый щит треугольной формы с синей рамкой Black Falcon 6073 6074 # 3846px9, 1:24 Action Nascar Dale Earnhardt Jr # 8 Budweiser 2006 Monte Carlo 111177 НОВИНКА, адаптер для удлинения шестигранной ступицы колеса 12 мм для автомобильного аксессуара 1/10 Axial SCX10II RC Chaos Marauders Head A, Heroclix Brave and the Bold # 015 Parademon Drill Sergeant, Magic the Gathering MTG Mystery Booster Tempt with Discovery x1, 4 GOATNAP ~ mtg NM-M Modern Horizons Com x4, HO 933-4581 ОДИНОЧНЫЙ R / R BRIDGE STONE PIER Walthers Cornerstone NIB, Подробная информация о GMP / ACME 1/18 Scale DODGE CHALLENGER Limited Edition MINT, Traxxas 11 Tooth 1.0 Pitch Pinion Gear 6484X TRA6484X, Подробная информация о WOODEN MINI TABLETOP TIC-TAC-TOE GAME NIB Ages 8 By Sharper Image. PHICEN TBL 1/6 Капитан Америка Крис Эван M34 Бесшовная мужская мускулистая фигура США, LIONEL PARTS 671-99, НАБОР ИЗ 8 ВИНТОВ БОКОВОЙ ТЯГИ С ПЛЕЧЕМ.

    X4 Pharmaceuticals (XFOR) Advanced Chart

    Заявление об ограничении ответственности: Показатели TipRanks Smart Score основаны на результатах бэктестирования. Результаты бэктестирования не являются показателем будущих фактических результатов. Результаты отражают эффективность стратегии, которая исторически не предлагалась инвесторам, и не отражают прибыль, которую фактически получил какой-либо инвестор.Результаты, прошедшие ретроспективное тестирование, рассчитываются путем ретроактивного применения модели, построенной на основе исторических данных и на основе допущений, составляющих модель, которые могут или не могут быть проверены и подвержены убыткам. Общие допущения включают следующее: фирма XYZ могла бы купить ценные бумаги, рекомендованные моделью, и рынки были достаточно ликвидными, чтобы разрешить любую торговлю. Изменения в этих допущениях могут оказать существенное влияние на представленные результаты, прошедшие бэктестирование. Некоторые предположения были сделаны для целей моделирования и вряд ли будут реализованы.Не дается никаких заверений и гарантий относительно разумности предположений. Эта информация предоставлена ​​только в иллюстративных целях. Производительность, протестированная на исторических данных, разработана с учетом преимуществ ретроспективного анализа и имеет определенные ограничения. В частности, результаты бэктестирования не отражают фактическую торговлю или влияние существенных экономических и рыночных факторов на процесс принятия решений. Поскольку торги фактически не проводились, результаты могли недооценивать или чрезмерно компенсировать влияние, если таковое имеется, определенных рыночных факторов, таких как отсутствие ликвидности, и могут не отражать влияние, которое могли оказать определенные экономические или рыночные факторы. о процессе принятия решений.Кроме того, бэктестинг позволяет корректировать методологию выбора ценных бумаг до максимума прошлой прибыли. Фактическая производительность может значительно отличаться от результатов тестирования. Результаты бэктестирования корректируются для отражения реинвестирования дивидендов и прочего дохода и, если не указано иное, представляются без учета комиссионных и не включают влияние транзакционных издержек, подтвержденных бэктестированием, комиссий за управление, комиссионных сборов или расходов, если применимо. Обратите внимание, что все нормативные требования, касающиеся представления сборов, должны быть приняты во внимание.В расчет не включается остаток денежных средств или денежный поток.

    X4 SFIC

    Малогабаритные сменные сердечники (SFIC)

    Medeco® X4 обеспечивают запатентованный утилитой ключевой контроль для приложений, в которых не требуется цилиндр, внесенный в список UL. Сердечники Medeco® X4, разработанные для того, чтобы позволить пользователю мгновенно извлекать и заменять сердечники с помощью клавиши управления, обеспечивают максимальное удобство.

    Medeco® X4 хорошо подходит для предприятий с высокой текучестью сотрудников, таких как рестораны быстрого питания, магазины и другие подобные предприятия. Medeco® X4 также подходит для квартир, офисных зданий, школ и больниц, где требуется строгий контроль за дублированием ключей.

    Продукты Medeco® SFIC можно заказать с цилиндрами различных технологий. Чтобы сравнить механические характеристики, см. Таблицу ниже.

    Характеристики механического цилиндра
    MedecoX4
    Внесен в список UL для использования на противопожарных дверях
    Уровень сертификации 1
    BHMA A156.30 Уровень А Сертификация цилиндр
    Может быть встроен в существующую систему мастер-ключей х
    Защита от сверления, рывков, ударов и любопытных атак
    Конструкция из цельной латуни х

    Для контроля потерь и ответственности Medeco XT предлагает следующие варианты цилиндров:

    Характеристики электронного цилиндра
    Medeco XT
    Ревизия цилиндра х
    Аудит ключа х
    Может быть встроен в механическую систему Medeco®
    Обеспечивает планирование х
    Нет проводки х
    Несколько групп доступа пользователей х
    Функции

    Преимущества:

    • Цилиндры могут быть быстро и легко заменены нетехническим персоналом с помощью специального управляющего ключа, который удаляет сердечник из корпуса замка.Затем может быть вставлен стержень с новой комбинацией, и замок будет фактически «повторно запрограммирован». Все это можно сделать без необходимости разбирать замок, что снижает расходы на вызов внешнего обслуживающего персонала для выполнения плановой «смены ключей».
    • Прочная латунная конструкция для исключительной прочности
    • Верхний и нижний штифты в форме катушки повышают устойчивость к взлому
    • Цельные нижние штифты из нейзильбера повышают износостойкость
    • Крышки отдельных штифтовых камер упрощают обслуживание
    • Замки могут иметь одинаковый ключ, другой ключ или главный ключ, в зависимости от ваших конкретных потребностей.

    Заявки:

    • Обеспечивает ключевую модернизацию системы управления для продуктов SFIC других производителей, используемых на различных объектах.

    Гарантия:

    • Гарантия на дефекты производителя на два (2) года. Подробную информацию см. В ограниченной гарантии Medeco®.

    Отделок:

    • 05 — светлая латунь
    • 06 Матовая латунь
    • 09 — античная латунь
    • 10 Матовая латунь черненая
    • 11 Яркая бронза
    • 12 Атласная бронза
    • 13 — Бронза, натертая маслом
    • 18 — Блестящий никель
    • 19 — Никель сатинированный
    • 20 — античный никель
    • 22 — Чёрный
    • 24 Темная бронза
    • 25 — глянцевый хром
    • 26 — Хром сатин

    Запросить информацию

    Обсудите ваши потребности напрямую; Заполните форму ниже.

    загрузка

    ‘; //]]>

    х 4

    Все помещения нуждаются в запатентованном управлении ключами для надежной защиты внешних и внутренних проемов. Эта сила целостности позволяет менеджерам по безопасности быть спокойными, когда дело доходит до управления системой. К сожалению, внедрение новой ключевой системы не всегда просто … или экономично.

    Medeco X4 — самое экономичное и эффективное решение. Medeco X4 обладает одним из самых больших возможностей мастер-ключа на рынке.Это позволяет руководителям предприятий связать все вместе под одним ключом для простоты, удобства и эффективности. Кроме того, Medeco X4 легко встраивается в существующие системы, поэтому время на установку минимально.

    Medeco X4 — идеальное обновление безопасности для установок со сменным ядром малого формата (SFIC) для систем Best-style, Prox и iClass. Помимо цилиндров SFIC, Medeco X4 также доступен во многих других модификациях цилиндров и может быть объединен в единую систему.


    		 Запатентованное управление ключами — Защищает от несанкционированного копирования ваших ключей.
    Использует существующее оборудование — Может быть настроен мастер-ключом в систему, содержащую Medeco BiLevel, MMedeco X4 доступен в большом выборе форматов цилиндров для модернизации, включая SFIC, которые можно объединить в единую систему.
    Может быть с мастер-ключом — Доступен со сменными сердечниками малого формата (SFIC) и цилиндрами других форматов для модернизации, которые могут быть объединены с мастер-ключом, что устраняет необходимость в замене существующего оборудования.
    Быстросменные стержни — Малогабаритные сменные стержни Medeco X4 обеспечивают быструю и легкую замену цилиндров в случае утери или кражи ключей.

    Для получения дополнительной информации о системе ASSA ABLOY Complete Security Continuum посетите сайт https://www.intelligentopenings.com

    Преимущества:
    • Превосходные возможности мастер-ключа, до четырех (4) раз больше, чем у цилиндров аналогичного типа
    • Одна ключевая гибкость для различных стилей цилиндров
    • Совместимость с Hybrid Prox и iCLASS Key
    • Запатентовано до 2030 г.

    Площадь поверхности формула: Формулы площади поверхности геометрических фигур

    alexxlab / / Разное

    Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

    Поиск по сайту:

    Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия)Призмы

          Введем следующие обозначения:

    Vобъем призмы
    Sбокплощадь боковой поверхности призмы
    Sполнплощадь полной поверхности призмы
    Sоснплощадь основания призмы
    Pоснпериметр основания призмы
    Pперппериметр перпендикулярного сечения призмы
    Sперпплощадь перпендикулярного сечения призмы

    V

    объем призмы

    Sбок

    площадь боковой поверхности призмы

    Sполн

    площадь полной поверхности призмы

    Sосн

    площадь основания призмы

    Pосн

    периметр основания призмы

    Pперп

    периметр перпендикулярного сечения призмы

    Sперп

    площадь перпендикулярного сечения призмы

          Используя эти обозначения, составим таблицу с формулами для вычисления объемов, площадей боковой поверхности и площадей полной поверхности различных видов призм.

    ПризмаРисунокФормулы для объема, площади боковой и полной поверхности
    Куб

    V = a3,

    Sбок = 4a2,

    Sполн = 6a2,

    где  a – длина ребра куба.

    Прямоугольный параллелепипед

    V = abc,

    Sбок = 2ac + 2bc,

    Sполн = 2ac + 2bc +2ab,

    где 
    a, b  – длины ребер основания параллелепипеда,
    c — высота параллелепипеда.

    Прямой параллелепипед,
    в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ

    Sосн = ab sin φ,

    V = Sоснh = abh sin φ,

    Sбок = 2ah + 2bh,

    Sполн = 2ab sin φ + 2ah +2bh,

    где
    a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
    φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
    h — высота параллелепипеда.

    Произвольный параллелепипед

    Sосн = ab sin φ,

    V = Sоснh = abh sin φ,

    V = Sперпс,

    Sбок = Pперпс,

    Sполн = 2ab sin φ + Pперпс,

    где
    a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
    φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
    c – длина бокового ребра параллелепипеда,
    h — высота параллелепипеда.

    Прямая призма

    V = Sоснh,

    Sбок = Pоснh,

    Sполн = 2Sосн + Sбок,

    где
    h — высота прямой призмы.

    Правильная
    n – угольная призма

    (см. раздел «правильные многоугольники»),

    V = Sоснh,

    Sбок = Pоснh = anh,

    Sполн = 2Sосн + Sбок,

    где
    a – длина ребра основания правильной призмы,
    h — высота правильной призмы.

    Произвольная призма

    V = Sоснh,

    V = Sперпl,

    Sбок = Pперпl,

    Sполн = 2Sосн + Sбок,

    где
    l – длина бокового ребра призмы,
    h — высота призмы.

    Куб

    Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

    V = a3,

    Sбок = 4a2,

    Sполн = 6a2,

    где  a  – длина ребра куба.

    Прямоугольный параллелепипед

    Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

    V = abc,

    Sбок = 2ac + 2bc,

    Sполн = 2ac + 2bc +2ab,

    где 
    a, b  – длины ребер основания параллелепипеда,
    c — высота параллелепипеда.

    Прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ

    Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

    Sосн = ab sin φ,

    V = Sоснh = abh sin φ,

    Sбок = 2ah + 2bh,

    Sполн =
    = 2ab sin φ + 2ah + 2bh,

    где
    a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
    φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
    h — высота параллелепипеда.

    Произвольный параллелепипед

    Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

    Sосн = ab sin φ,

    V = Sоснh = abh sin φ,

    V = Sперпс,

    Sбок = Pперпс,

    Sполн =
    = 2ab sin φ + Pперпс,

    где
    a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
    φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
    c – длина бокового ребра параллелепипеда,
    h — высота параллелепипеда.

    Прямая призма

    Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

    V = Sоснh,

    Sбок = Pоснh,

    Sполн = 2Sосн + Sбок,

    где
    h — высота прямой призмы.

    Правильная n – угольная призма

    Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

    (см. раздел «правильные многоугольники»),

    V = Sоснh,

    Sбок = Pоснh = anh,

    Sполн = 2Sосн + Sбок,

    где
    a – длина ребра основания правильной призмы,
    h — высота правильной призмы.

    Произвольная призма

    Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

    V = Sоснh,

    V = Sперпl,

    Sбок = Pперпl,

    Sполн = 2Sосн + Sбок,

    где
    l – длина бокового ребра призмы,
    h — высота призмы.

          Замечание 1. С понятием призмы и различными видами призм можно ознакомиться в разделе «Призмы».

          Замечание 2. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы можно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».

          На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    До ЕГЭ по математике осталось
    днейчасовминутсекунд


    НАШИ ПАРТНЕРЫ
    • «НПО Астек»
    • «Fastvideo»
    • Бюро переводов «Медтран»
    • Независимый бизнес-консультант Е.Самаров

           

    Как найти площадь поверхности вращения с помощью интеграла

    • Вычисление площади поверхности вращения, заданной в прямоугольных координатах
    • Вычисление площади поверхности вращения, заданной параметрически
    • Вычисление площади поверхности вращения, заданной в полярных координатах

    Прежде чем перейти к формулам площади поверхности вращения, дадим краткую формулировку самой поверхности вращения. Поверхность вращения, или, что то же самое — поверхность тела вращения — пространственная фигура, образованная вращением отрезка AB кривой вокруг оси Ox (рисунок ниже).

    Представим себе криволинейную трапецию, ограниченную сверху упомянутым отрезком кривой. Тело, образованное вращением этой трапеции вокруг то же оси Ox, и есть тело вращения. А площадь поверхности вращения или поверхности тела вращения — это его внешняя оболочка, не считая кругов, образованных вращением вокруг оси прямых x = a и x = b.

    Заметим, что тело вращения и соответственно его поверхность могут быть образованы также вращением фигуры не вокруг оси Ox, а вокруг оси Oy.

    Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая, вращением которой вокруг координатной оси образовано тело вращения.

    Формула для вычисления площади поверхности вращения следующая:

    (1).

    Пример 1. Найти площадь поверхности параболоида, образованную вращением вокруг оси Ox дуги параболы , соответствующей изменению x от x = 0 до x = a.

    Решение. Выразим явно функцию, которая задаёт дугу параболы:

    Найдём производную этой функции:

    Прежде чем воспользоваться формулу для нахождения площади поверхности вращения, напишем ту часть её подынтегрального выражения, которая представляет собой корень и подставим туда найденную только что производную:

    Далее по формуле (1) находим:

    Ответ: длина дуги кривой равна

    .

    Пример 2. Найти площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Ox астроиды .

    Решение. Достаточно вычислить площадь поверхности, получающейся от вращения одной ветви астроиды, расположенной в первой четверти, и умножить её на 2. Из уравнения астроиды выразим явно функцию, которую нам нужно будет подставить в формулу для нахождения площади повержности вращения:

    .

    Производим интегрирование от 0 до a:

    Ответ: площадь поверхности вращения равна .

    Рассмотрим случай, когда кривая, образующая поверхность вращения, задана параметрическими уравнениями

    Тогда площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

    (2).

    Пример 3. Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной циклоидой и прямой y = a. Циклоида задана параметрическими уравнениями

    Решение. Найдём точки пересечения циклоиды и прямой. Приравнивая уравнение циклоиды и уравнение прямой y = a, найдём

    Из этого следует, что границы интегрирования соответствуют

    Теперь можем применить формулу (2). Найдём производные:

    Запишем подкоренное выражение в формуле, подставляя найденные производные:

    Найдём корень из этого выражения:

    .

    Подставим найденное в формулу (2):

    .

    Произведём подстановку:

    И, наконец, находим

    В преобразовании выражений были использованы тригонометрические формулы

    Ответ: площадь поверхности вращения равна .

    Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

    Пусть кривая, вращением которой образована поверхность, задана в полярных координатах:

    Площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:

    (3).

    Пример 4. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты вокруг полярной оси.

    Решение. Действительные значения для ρ получаются при , то есть при (правая ветвь лемнискаты) или при (левая ветвь лемнискаты).

    Решение. Дифференциал корня из формулы площади поверхности вращения равен:

    В свою очередь произведение функции, которой задана лемниската, на синус угла равно

    .

    Поэтому площадь поверхности вращения найдём следующим образом:

    .

    НазадЛистатьВперёд>>>

    К началу страницы

    Пройти тест по теме Интеграл

    Начало темы «Интеграл»

    Неопределённый интеграл: основные понятия, свойства, таблица неопределённых интегралов

    Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

    Метод замены переменной в неопределённом интеграле

    Интегрирование подведением под знак дифференциала

    Метод интегрирования по частям

    Интегрирование дробей

    Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

    Интегрирование некоторых иррациональных функций

    Интегрирование тригонометрических функций

    Определённый интеграл

    Площадь плоской фигуры с помощью интеграла

    Определение работы силы с помощью интеграла

    Несобственные интегралы

    Вычисление двойных интегралов

    Что такое формула площади поверхности? – Обзоры Вики

    Площадь поверхности — это сумма площадей всех граней (или поверхностей) 3D-фигуры. … Мы также можем обозначить длину (l), ширину (w) и высоту (h) призмы и использовать формулу SA = 2lw + 2lh + 2hw, чтобы найти площадь поверхности.

    Из этого следует, как рассчитать объем цилиндра? Объем цилиндра

    1. V = А ч.
    2. Поскольку площадь круга = π r 2, формула для объема цилиндра имеет следующий вид:
    3. V = π р 2 ч.

    Почему вы считаете площадь поверхности? Площадь поверхности важна в химической кинетике. Увеличение площади поверхности вещества обычно увеличивает скорость химической реакции.. Например, железо в мелком порошке воспламеняется, в то время как в твердых блоках оно достаточно стабильно для использования в конструкциях.

    Как найти поверхность? Площадь поверхности – это площадь всех внешних обращенных поверхностей на объекте. Общая площадь поверхности рассчитывается по формуле добавление всех областей на поверхность: площади основания, верхней и боковой поверхностей (боков) объекта. Это делается с использованием различных формул площади и измеряется в квадратных единицах.

    Как рассчитать объем в литрах?

    Первое, что вам нужно сделать, это умножить длину на ширину на высоту. Это дает количество кубических миллиметров. Чтобы рассчитать количество литров, затем делите это число на миллион.

    Как вы рассчитываете объем? В то время как основная формула для площади прямоугольной формы — длина × ширина, основная формула для объема: длина × ширина × высота.

    Как найти площадь поверхности половины цилиндра? Какова формула площади поверхности полуцилиндра? Общая формула общей площади поверхности полуцилиндра имеет вид: Общая площадь поверхности полуцилиндр = πrh + πr2 + 2рх, где «r» — радиус, а «h» — высота цилиндра.

    Какая форма цилиндра?

    Цилиндр трехмерная форма, состоящая из двух параллельных круглых оснований, соединенных изогнутой поверхностью. Центры круглых оснований накладываются друг на друга, образуя правильный цилиндр. Отрезок, соединяющий два центра, является осью, обозначающей высоту цилиндра.

    Также Как найти боковую поверхность и площадь поверхности цилиндра? Эту площадь боковой поверхности можно рассчитать по формуле умножение периметра основания на высоту призмы. Для прямого кругового цилиндра радиуса r и высоты h боковая площадь равна площади боковой поверхности цилиндра: A = 2πrh.

    Какова формула площади поверхности круга?

    Площадь круга равна пи, умноженному на квадрат радиуса. (А = πr²).

    По какой формуле рассчитать объем? В то время как основная формула площади прямоугольной формы – длина × ширина, основная формула объема – длина × ширина × высота.

    Как рассчитать объем воды в баллоне?

    Как посчитать галлоны в цилиндре?

    Цилиндр имеет объем, который определяется его высотой и радиусом. Рассчитать объем цилиндра в галлонах можно по следующей формуле: V = πr2h, где r — радиус, h — высота.

    Как рассчитать объем цилиндрического резервуара для воды в литрах? V (резервуар) = πr2l

    Вычислите заполненный объем горизонтального цилиндрического резервуара, сначала найдя площадь A круглого сегмента и умножив ее на длину l. Площадь круглого сегмента, заштрихованная серым цветом, равна A = (1/2) r.2(θ — sinθ), где θ = 2 * arccos (m / r) и θ в радианах.

    Как найти кубические футы цилиндра? Объем цилиндра в кубических футах равен π умножить на радиус в футах в квадрате на высоту в футах.

    Как вы рассчитываете объем и площадь поверхности?

    Он дает долю площади поверхности на единицу объема объекта (например, сферы, цилиндра и т. Д.). Следовательно, формула для расчета отношения площади поверхности к объему следующая: SA / VOL = площадь поверхности (x2) / объем (x3) SA / VOL = x–1 , где x — единица измерения.

    Почему формула объема цилиндра? Объем цилиндра — это плотность цилиндра, которая означает количество материала, которое он может нести, или количество любого материала, которое может быть погружено в него. Объем цилиндра определяется по формуле, πr2h, где r — радиус круглого основания, h — высота цилиндра.

    Как найти площадь поверхности 1/4 цилиндра?

    Каковы 3 измерения цилиндра? Цилиндр — это трехмерная фигура, имеющая две круглые грани, одну вверху и одну внизу. одна изогнутая поверхность. Цилиндр имеет высоту и радиус. Высота цилиндра — это перпендикулярное расстояние между верхней и нижней гранями.

    Что такое примеры цилиндрической формы?

    Цилиндр можно определить как твердую геометрическую фигуру с прямыми параллельными сторонами и круглым или овальным поперечным сечением. Примеры: Производство труб . Банки для холодных напитков.

    Пример цилиндра? Цилиндр — это трехмерная твердая фигура, имеющая два одинаковых круглых основания, соединенных криволинейной поверхностью на определенном расстоянии от центра, равном высоте цилиндра. Рулоны туалетной бумаги, банки для прохладительных напитков представляют собой реальные примеры цилиндров.

    Площади фигур (плоских и объемных)

    Сначала мы рассмотрим площади плоских фигур.

    Слышал ты что-нибудь про формулу Пика? Когда ее можно применять, а когда нельзя?

    Сколько ты знаешь способов нахождения площади фигур на клетчатой бумаге? А их на самом деле три! И хотя задачу по нахождению площади фигур на клетчатой бумаге убрали из ЕГЭ, сам навык очень полезен для понимания планиметрии!

    Во второй части мы рассмотрим как находить площади объемных фигур (призмы и пирамиды)

    ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР

    Способы нахождения площади фигур на клетчатой бумаге:

    Способ 1. Считай клетки и применяй формулы 

    Удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.

    • Подсчитывая клеточки и применяя простые теоремы, найти те стороны, высоту, диагонали, которые требуются для применения формулы площади;
    • Подставить найденные значения в уравнение площади.

    Способ 2. Дострой до прямоугольника и вычти лишнее

    Очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох

    • Достроить искомую фигуру до прямоугольника;
    • Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника;
    • Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

    Способ 3. Формула Пика

    Работает только для многоугольников без дырок, все вершины которых попадают в узлы сетки.

    • Назовём «узлами» точки пересечения линий сетки нашей клетчатой бумаги.

    Подсчитаем, сколько узлов попадает в нашу фигуру. Причём, отдельно посчитаем те узлы, которые попадают внутрь нашей фигуры, и отдельно – те, которые лежат на границе.

    В примере на рисунке получилось \( Г = 22\) на границе и \( В = 32\) внутри.

    Формула Пика. Делим границу пополам, прибавляем внутренности и вычитаем 1:\( S = Г/2 + В – 1 \)

    В примере на рисунке:

    \( S = Г/2 + В – 1 = 22/2 + 32 — 1 = 42.\)

    Способ 1. Считай клетки и применяй формулы

    Удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.

    • Подсчитывая клеточки и применяя простые теоремы, найти те стороны, высоту, диагонали, которые требуются для применения формулы площади;
    • Подставить найденные значения в уравнение площади.

    Пусть нужно найти площадь трапеции, построенной на листе в клетку.

    Просто считаем клеточки и видим, что в нашем случае \( \displaystyle a=17\), \( \displaystyle b=6\) и \( \displaystyle h=6\). {2}}=13\).

    \( \displaystyle b=\sqrt{13}\)

    Подставляем в формулу:

    \( \displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot ab=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}=13\).

    Способ 2. Дострой до прямоугольника и вычти лишнее

    Очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох

    • Достроить искомую фигуру до прямоугольника;
    • Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника;
    • Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

    Давай посчитаем площадь того же треугольника вторым способом.

    Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:

    Получился один (нужный) треугольник внутри и целых три ненужных треугольника снаружи. Но зато площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку!

    Вот мы их посчитаем, а потом просто вычтем из целого прямоугольника:

    \( \displaystyle {{S}_{прямоугольника}}=6\cdot 7=42\)

    \( \displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12\)

    \( \displaystyle {{S}_{2}}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4=14\)

    \( \displaystyle {{S}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3\)

    \( \displaystyle \Rightarrow S=42-12-14-3=13\)

    Почему бы просто не считать клеточки?

    Возможно, вы читаете всё это и думаете: зачем все эти сложности? Формулы запоминать. Дорисовывать. Тут ведь сразу видно, сколько клеточек в фигуре.

    Вот, например, трапеция:

    Посчитаем клеточки: их всего 46, верно?

    Но стоп, там же некоторые из них только наполовину внутри фигуры. Отметим их – всего таких 10. Итого, 36 полных (красные точки) и 10 половинчатых, вместе \( 36+\frac{10}{2} = 41\)

    Вроде бы всё верно. Но, если присмотреться, можно заметить ещё маленькие треугольнички, которые попали внутрь. А также, что «синие» клеточки слева на самом деле разрезаны не ровно пополам – какие-то чуть больше, какие-то меньше…

    Как всё это учитывать?

    Попробуем рассуждать так: заметно, что тот маленький розовый треугольник дополняет серый кусок клетки.

    А жёлтые сколько занимают? Постарайтесь ответить сами.

    Если всё сделать правильно, то увидите, что жёлтые кусочки можно сложить вместе в одну целую клетку.

    Итак, 2 жёлтых куска = 1 клетка.

    Розовый треугольник + серый кусок = 1 клетка. Всего у нас две таких пары (розовый+серый) – это 2 полных клетки.  

    Всё остальное как было: 36 полных клеток и 6 половинок у правой стороны – это \( 36+\frac{6}{2}=39\) клетки.

    Итого клеток: \( 1 + 2 + 39 = 42\).

    Проверим результат по формуле площади трапеции: нижнее основание 11, верхнее основание 3, высота 6. Полусумма оснований равна 7, умножаем на высоту – получилось 42. Всё совпало.

    Но! Настолько ли проще был наш способ подсчёта клеточек? Не сказал бы. А если там будет несколько косых линий, то вообще можно замучиться собирать этот паззл (искать, какие кусочки друг друга дополняют).

    Способ 3. Формула Пика

    Существует довольно удобная формула, которая использует клеточки для вычисления площади. А то, что мы только что проделали, – очень полезное упражнение, которое поможет эту формулу понять.

    Назовём «узлами» точки пересечения линий сетки нашей клетчатой бумаги.

    Теперь вместо клеточек или их частей подсчитаем, сколько узлов попадает в нашу фигуру. Причём, отдельно посчитаем те узлы, которые попадают внутрь нашей фигуры, и отдельно – те, которые лежат на границе.

    Сколько насчитали?

    У меня получилось \( Г = 22\) на границе и \( В = 32\) внутри.

    Ну а теперь сама формула:

    Делим границу пополам, прибавляем внутренности и вычитаем 1:

    \( S = Г/2 + В – 1 = 22/2 + 32 — 1 = 42.\)

    Называется она формулой Пика, поскольку доказал её математик Георг Пик 120 лет назад (да, она не специально для ЕГЭ была придумана, но очень нам помогает) 🙂

    Как запомнить формулу Пика

    Всё, что внутри, берём целиком (клетки внутри фигуры целые).

    Граница режет клетки надвое, поэтому берём половину узлов границы.

    Минус 1 – это надо просто запомнить. Очень легко себя проверить на квадрате 1×1. Его площадь равна 1. Сколько там точек на границе? \( Г = 4.\) А сколько внутри? \( В = 0\) (нисколько)

    Границу делим пополам, получаем 2. Прибавляем внутренности (+0) – ничего не поменялось.

    Очевидно, что осталось вычесть 1, чтобы получить 1.

    Проверьте эту формулу на других простых фигурах, чтобы убедиться и закрепить.

    Вычислите площадь простых фигур тремя способами

    Стороны клеток равны 1. Вычислите самостоятельно площадь фигуры всеми тремя способами. Сравните результаты.

    Вычислите площадь произвольных фигур по формуле Пика

    Вычислите самостоятельно площади фигур с помощью формулы Пика:

    Посчитайте площадь корабля и котика по формуле Пика

    Посчитайте самостоятельно для тренировки и чтобы запомнить формулу Пика!

    Фигуры с отверстиями — посчитайте площади двумя способами

    Ну и напоследок фигуры с «дырками». Как думаешь, здесь придётся вычислять сначала площадь целой фигуры, а потом площадь дырки?

    Или достаточно просто посчитать точки внутри закрашенной области и на её границах (в том числе, на границе с дыркой)?

    Проверим на простом примере: это квадрат \( 4\times 4\), и в нём вырезан прямоугольник \( 1\times 2\), значит, его площадь \( 16-2=14\).

    А теперь по точкам. На границах (включая внутренние) \( Г = 22\). Внутри \( В = 3\). Тогда площадь по формуле Пика

    \( S = \frac{22}{2} + 3 -1 = 13.\)

    Хм, близко, но не совпало. Может, я где-то ошибся? Давай ещё одну фигуру, для верности.

    Сосчитай сам и проверь.

    Что получилось?

    У меня снова на 1 меньше.

    Так может быть просто формулу немного «подкрутить»? Нет!

    Очень и очень не рекомендую вам запоминать несколько похожих формул для похожих случаев, потому что придёт время, и вы обязательно перепутаете формулу.

    Даже если вы уверены, что не перепутаете, оно всё равно того не стоит. В общем, наилучший вариант – это запомнить одну формулу. А если попалась фигура с дыркой, вычислить всю фигуру, а потом дырку. И вычесть.

    Когда формулу Пика применять нельзя?

    Естественно, эта формула не работает для окружностей и любых других фигур с «кривыми» границами.

    Также она не сработает, если хотя бы одна из вершин не попадает на узел, например, вот для такой, как на рисунке.

    Почему я уверен, что не сработает? Ведь можно взять и не учитывать эту вершину, раз она не в узле. То есть

    \( Г = 10, В = 2, S = \frac{10}{2} + 2 – 1 = 6.\)

    А очень просто: я возьму и «отрежу» эту вершину. Тогда будет не треугольник, а трапеция, и площадь, очевидно, станет меньше на тот отрезанный кусочек.

    Но по формуле она останется такой же, ведь количество узлов не изменилось ни на границе, ни внутри. То есть мы получим, что площадь уменьшенного треугольника равна площади целого, чего, конечно же, не может быть.

    Итак, формула Пика работает только для многоугольников без дырок, все вершины которых попадают в узлы сетки.

    Какой способ лучше?

    Второй и третий способы универсальные. Они помогут посчитать площадь даже самых замысловатых фигур. Вернемся еще раз ко второму способу.

    Вот смотри, нужно посчитать площадь такой фигуры:

    Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.

    А теперь чтобы найти площадь \( \displaystyle S\) просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге \( \displaystyle {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}\).

    \( \displaystyle {{S}_{прямоугольника}}=6\cdot 11=66\)

    \( \displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12\)

    \( \displaystyle {{S}_{2}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4=10\) (обрати внимание, \( \displaystyle {{S}_{2}}\) площадь НЕ прямоугольного треугольника, но все равно легко считается по основной формуле).

    \( \displaystyle {{S}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5\)

    \( \displaystyle {{S}_{4}}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 11=5,5\).

    Значит, \( \displaystyle S={{S}_{прямоугольника}}-{{S}_{1}}-{{S}_{2}}-{{S}_{3}}-{{S}_{4}}\).

    \( \displaystyle S=66-12-10-5-5,5=33,5\)

    Вот и ответ: \( \displaystyle S=33,5\).Ну как тебе этот способ?


    Вот смотри. С одной стороны, когда фигура занимает много клеточек, их замучаешься считать и можно ошибиться.

    С другой стороны, когда мы дорисуем до прямоугольника, нужно считать много площадей.

    Поэтому использование того или иного способа зависит лишь от конкретной задачи.

    ПЛОЩАДИ ОБЪЕМНЫХ ФИГУР

    Площадь поверхности призмы

    Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

    Площадь полной поверхности призмы – это сумма площадей всех граней.

    \( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}={{S}_{боков.пов.\ \ }}+2\cdot {{S}_{основания\ \ }}\)

    Формулу можно написать для прямой призмы:

    \( \displaystyle {{\text{S}}_{боков. {2}}\).

    Площадь поверхности пирамиды

    Для пирамиды тоже действует общее правило:

    Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}={{S}_{боков.пов.\ \ }}+{{S}_{основания\ \ }}\)

    Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

    Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

    Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle {{S}_{осн}}\) и \( \displaystyle {{S}_{ASB}}\).

    И тогда

    \( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}=3{{\text{S}}_{ASB}}+{{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

    Вспомним теперь, что

    \( \displaystyle {{S}_{осн}}\) — это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

    И еще вспомним, как искать эту площадь.

    Используем формулу площади:

    \( \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma \). 2}{4}}\)

    Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

    Этот вебинар посвящен заданию №3 из ЕГЭ на нахождение площади фигур, длин отрезков и т.д на клетчатой бумаге.

    И хотя эту задачу убрали из ЕГЭ в 2021 году, сам навык очень полезен для того, чтобы начать учить геометрию, для понимания планиметрии!

    Ну и просто этот вебинар легкий и классный! Послушайте его и получите удовольствие!

    ЕГЭ №3. Площадь фигур на клетчатой бумаге

    Площадь поверхности конуса равна. Общая площадь поверхности конуса. Площадь конус формула.

    • Альфашкола
    • Статьи
    • Площадь поверхности конуса

    Для того чтобы найти  площадь всей поверхности конуса применим формулу:

    \(S=\pi*r(l+r)\)

     

    где \(r-\)радиус 

    \(l-\)длина боковой стороны

    R конуса :

     

    L конуса :

    Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

    Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

    Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

    Наши преподаватели

    Евгений Борисович Царенков

    Репетитор по математике

    Стаж (лет)

    Образование:

    Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина

    Проведенных занятий:

    Форма обучения:

    Дистанционно (Скайп)

    Репетитор 6-9 классов. Буду рад помочь разобраться с предметом, успешно усвоить материал школьной программы по математике. Устраню пробелы в пройденном материале, подниму текущий уровень знаний по математике. Доношу материал понятно и грамотно, акцентирую внимание на важных и значимых вещах. Не оставляю материал непонятым. В отличии от школы мы никуда не торопимся — будем разбирать тему до тех пор, пока не сформируем компетенцию. Нет ничего сложного ни в каком предмете, если его преподают с любовью.

    Владимир Валерьевич Ковалев

    Репетитор по математике

    Стаж (лет)

    Образование:

    Пятигорский государственный педагогический институт иностранных языков

    Проведенных занятий:

    Форма обучения:

    Дистанционно (Скайп)

    Репетитор по французскому языку для 7-11 классов. Французский язык для меня — это «любовь с первого взгляда и на всю жизнь». В нём — красота и пластичность, математическая логика и дипломатичность, простота и невероятные связи с русским. Не было ни одного дня, чтобы я не совершенствовался в нём, и всякий раз нахожу что-то новое. За 40 прошлых лет были и более 20 лет преподавания в высшей школе, и более 10 лет переводческой работы, подготовка переводчиков к Всемирной шахматной Олимпиаде, Олимпиаде в Сочи и чемпионату мира по футболу-2018. Примерно 25 лет назад во Франции была разработана методика преподавания французского, как иностранного. С тех пор я применял её, как на группах, так и индивидуально, на разных возрастных группах, и, главное — на своих детях. Во всех случаях методика била по эффективности все ВУЗовские программы. Многократно подтверждено: 350 часов занятий, и ученик понимает и говорит на любые общебытовые темы.»

    Анжела Валентиновна Самсонова

    Репетитор по математике

    Стаж (лет)

    Образование:

    Костанайской педагогический университет

    Проведенных занятий:

    Форма обучения:

    Дистанционно (Скайп)

    Информатика: 5-11 класс (объяснение материала, корректировка знаний по темам, решение логических задач), подготовка к контрольным работам, ОГЭ, ЕГЭ. Математика: 3-6 класс (объяснение материала, корректировка знаний по темам, решение логических задач), подготовка к контрольным работам, ВПР.

    Похожие статьи

    • Тригонометрическая единичная окружность, функция синуса, косинуса, тангенса и котангенса
    • Свойства скалярного произведения
    • Как разделить число в отношении
    • ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на координатной решетке
    • Работа по математике
    • Нахождение числа по его части
    • Задачи на исследование функций
    • 10 техник самообладания, чтобы не срываться по мелочам

    Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

    Площадь и объём поверхность шара: формулы и их применение

    Имея при себе всего одну формулу и зная изначально, чему равен диаметр или радиус, можно с лёгкостью вычислить площадь поверхности шара. Формула будет иметь вид S =4πR2, где число «пи» умножается на 4, затем на радиус шара в квадратной степени. Но перед непосредственными вычислениями следует сразу разобраться в терминах.

    Содержание:

    • Трактовка значений
    • Занимательные факты
    • Применение формулы
    • Рождение формулы
    • Видео

    Трактовка значений

    Это следует знать:

    • Шар – геометрический объект, получившийся в результате вращательных полукруговых движений вокруг центра. Любая точка поверхности шара находится на одинаковом расстоянии от центра.
    • Сфера – не то же самое, что шар. Если тот является объёмным объектом и включает в себя внутреннее пространство, то сфера – это лишь поверхность данного объекта и имеет только свою площадь. Иными словами – нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объём, в отличие от шара.
    • Число «пи» — это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. В сокращённом виде его принято обозначать числом, равным 3,14. Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
    • Радиус шара равен ½ его диаметру. Точный диаметр можно вычислить с использованием нескольких плоских и ровных предметов. Нужно лишь зажать шар между этими предметами, которые зажимают шар и расположены перпендикулярно друг к другу, а затем измерить получившийся диаметр.
    • Квадратная степень обозначается в виде двойки и означает то, что это число надо умножить на само себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то умножать на само себя нужно было бы два раза. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему используются именно двойка и тройка, а не единица и двойка.
    • Объём – величина, обозначающая размер в пространстве, занимающее объектом. От диаметра зависит объём шара. Формула будет равна четырём трети, умноженным на число «пи» и вновь умноженным на его радиус в кубе.
    • Площадь – величина, обозначающая размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.

    Занимательные факты

    Это интересно:

    1. У числа «пи» есть собственные фан-клубы по всему миру. Члены общества пытаются запомнить как можно больше знаков из этого числа, а также пытаются разгадать вселенские тайны, сокрытые в числе.
    2. Площадь суши Земли составляет всего 29,2 % от её общей поверхности. Точное число площади сложно назвать из-за неравномерного рельефа Земли, такие как впадины и горы.
    3. Знания о формуле площади шара можно применять и в быту. Также этими знаниями можно подавлять соперника в споре.

    Продемонстрировав объём своих знаний в области геометрии, можно изначально заставить вас уважать, а ремонтникам и продавцам можно дать понять, что вас просто так не обмануть.

    Применение формулы

    Рассмотрим на примере, как вычислить площадь круглого шара, диаметр которого равен 50 см. Следуя формуле, нужно 50 разделить на два (чтобы получить радиус), возвести полученное число в квадрат и умножить всё это дело сначала на 4, затем на 3,14. В итоге получим число в 7 850 квадратных сантиметров.

    Формула вычисления площади применяется не только среди учителей в школе и научных сотрудников в лаборатории. Данная формула может пригодиться обычному маляру. Ведь если шар большой, а краски мало, то возникает вопрос – хватит ли ему этой смеси, чтобы покрасить весь объект. И это далеко не единственный бытовой случай, где может пригодиться формула.

    Формула вычисления объёма может пригодиться и строительной бригаде, что делает ремонт. И неважно, какой это объект – промышленное здание, небольшой дом или обычная квартира. Этим и отличаются профессионалы – они умеют применять свои знания на практике.

    Но как быть, если не представляется возможным измерить объект? Такой вопрос может возникнуть в случае огромных размеров объекта или его недосягаемости. В этом случае могут помочь электронные технологии, в основе работы которых лежит сканирование пространства определёнными частотами и лазерами. С современными технологиями необязательно знать все формулы наизусть. Достаточно иметь подключение к интернету и зайти на любой онлайн-калькулятор.

    Рождение формулы

    Принято считать, что первый, кто нашёл и вывел формулу объёма и площади шара, был Архимед. Это величайший древнегреческий учёный, живший за 300 лет до нашей эры. Он был не только математиком, но и физиком, и инженером. Он один из первых людей, кто попытался «оцифровать» окружающий нас мир. Его теоремы и труды используются по сей день.

    Именно Архимед определил границы числа «пи» и обозначил их, не имея никаких современных гаджетов. Сам Архимед очень гордился найденной формулой, с помощью которой вычисляется объём шара. Его потомки в честь этого изобразили на его могильном камне цилиндр и шар.

    Если бы каким-то чудом он переродился в наше время, то он сразу же смог бы преобразить этот мир и вывести его на новый уровень.

    Видео

    На примере этого видео вам будет легко понять, как найти площадь поверхности шара.

    Формулы площади поверхности — вывод, примеры

    Формула площади поверхности — это математическое решение для нахождения общей площади любого трехмерного объекта, занимаемой всеми его поверхностями. Давайте подробно разберемся с формулами площади поверхности различных трехмерных форм.

    Что такое формула площади поверхности?

    Формула площади поверхности используется для нахождения суммы всех площадей поверхности любого трехмерного объекта. Формула площади поверхности подразделяется на две категории:

    • Формула площади криволинейной поверхности или формула площади боковой поверхности
    • Формула общей площади поверхности

    Посмотрите на приведенную ниже таблицу формул площади поверхности, на которой показаны формулы площади поверхности соответствующих трехмерных фигур.

    Давайте подробно узнаем об общих формулах площади поверхности различных форм.

    Формулы площади поверхности различных форм

    Любой трехмерный объект имеет боковые поверхности и базовую поверхность(и). Общая площадь поверхности относится к сумме площади боковой/криволинейной поверхности и площади базовой поверхности. В этом разделе мы узнаем о формулах площади поверхности различных трехмерных форм.

    Формула площади поверхности куба

    Площадь поверхности куба — это общая площадь, покрываемая всеми шестью гранями куба. Общая формула площади поверхности куба имеет вид:

    • Формула общей площади поверхности куба будет равна сумме площадей вертикальных поверхностей куба и площади основания. Формула общей площади поверхности куба = 6a 2  , где «a» — длина стороны.
    • Формула площади боковой поверхности куба представляет собой сумму площадей всех боковых граней куба. ЛСА = 4а 2  где «а» — длина стороны.

    Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

    Формула общей площади прямоугольного параллелепипеда получается путем сложения площадей всех шести граней. Общая площадь поверхности и площадь боковой поверхности могут быть выражены через ее размеры: длину (l), ширину (b) и высоту прямоугольного параллелепипеда (h) как:

    • Общая площадь прямоугольного параллелепипеда, S = 2 (lb + bh + lh) шт. 2
    • Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, L = 2h (l + b) ед. 2

    Формула площади поверхности конуса

    Конус представляет собой трехмерную форму с круглым основанием, радиусом «r» и диаметром «d». У него криволинейная поверхность, поэтому у нас может быть формула площади его криволинейной поверхности, а также формула общей площади поверхности. Если радиус основания конуса равен «r», а наклонная высота конуса равна «l», площадь поверхности конуса определяется как:

    • Общая площадь поверхности конуса, T = πr(r + л)
    • Площадь криволинейной поверхности конуса, S = πrl

    Формула площади поверхности цилиндра

    Цилиндр имеет криволинейную поверхность с двумя круглыми основаниями, расположенными на обоих концах. Если радиус основания цилиндра равен «r», а высота цилиндра равна «h», площадь поверхности цилиндра определяется как:

    • Общая площадь поверхности цилиндра, T = 2πr(h + r )
    • Площадь криволинейной поверхности цилиндра, S = 2πrh

    Формула площади поверхности сферы

    Сфера — это трехмерный твердый объект с круглой структурой. Площадь поверхности шара – это сумма площадей окружающих его граней. Формула площади поверхности сферы задается как:
    ⇒ Площадь поверхности Сферы, S = 4πr 2 квадратных единиц.

    Формула площади поверхности полушария

    Полушарие – это половина сферы. Площадь поверхности полушария – это общая площадь, которую покрывает его поверхность. Формулу площади поверхности полушария можно разделить на две категории:

    • Площадь криволинейной поверхности полушария (CSA) = ½ (площадь криволинейной поверхности сферы) = ½ (4 π r 2 ) = 2 π r 2  , где «r» — радиус полушария.
    • Общая площадь поверхности полушария (TSA) = площадь криволинейной поверхности + площадь основания = 2 π r 2 + π r 2  = 3 π r 2  , где «r» — радиус полушария.

    Формула площади поверхности призмы

    Площадь боковой поверхности призмы представляет собой сумму площадей всех ее боковых граней, тогда как общая площадь поверхности призмы представляет собой сумму площади ее боковой поверхности и площади ее оснований. Формулы площади поверхности призмы могут быть приведены

    • Площадь боковой поверхности призмы = периметр основания × высота
    • Общая площадь поверхности призмы = площадь боковой поверхности призмы + площадь двух оснований = (2 × площадь основания) + площадь боковой поверхности или (2 × площадь основания) + (периметр основания × высота).

    Существует семь типов призм в зависимости от формы основания призмы. Основания призм разных типов различаются, как и формулы для определения площади поверхности призмы. Ознакомьтесь с призмой, чтобы понять концепцию формул площади поверхности различных призм.

    Формула площади поверхности пирамиды

    Если пирамида имеет основание в виде правильного многоугольника с высотой, проходящей через центр основания, то формулы площади боковой поверхности и общей площади поверхности для пирамиды могут быть представлены как:

    Рассмотрим правильный пирамида, у которой периметр основания равен «P», площадь основания равна «B», а высота наклона (высота каждого треугольника) равна «s». Тогда

    • Площадь боковой поверхности пирамиды (LSA) = (1/2) Ps
    • Общая площадь поверхности пирамиды (TSA) = LSA + площадь основания = (1/2) Ps + B

     

    Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

    Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.

    Заказать бесплатный пробный урок

     

    Примеры с использованием формулы площади поверхности

    Пример 1: Цилиндрический резервуар   имеет радиус 4 ярда и высоту 8 ярдов, используя формулу площади поверхности цилиндра. . Если стоимость покраски цилиндрического резервуара составляет 6 долларов за ярд 2 , сколько будет стоить картина?

    Решение:

    Мы знаем, что формула общей площади поверхности цилиндра = площадь криволинейной поверхности цилиндра + площадь верхней и нижней граней
    =2πrh + 2πr 2
    =2πr(r + h)
    =2 × 22/7 × 4 × (4 + 8)
    =301,68 ярда 2
    Стоимость картины 6 долларов США за ярд 2  = 301,68 × 6 = 1810,08 
      долларов США. Стоимость картины – 1810,08 долларов США.

    Пример 2: Учитывая, что радиус конуса равен 6 дюймов, а наклонная высота конуса – 9 дюймов. Используя формулу общей площади поверхности конуса, вычислите площадь поверхности конуса.

    Решение:

    Дано: радиус = 6 дюймов и наклонная высота = 9 дюймов
    Формула общей площади поверхности конуса = T = πr(r + l)
    =3,14 × 6 × (6 + 9)
    =282,6 дюйма 2
    ∴Площадь поверхности конуса будет 282,6 дюйма 2

    Пример 3: Используя формулу площади поверхности куба, найдите площадь поверхности куба, сторона которого равна 4 дюймам.

    Решение: Дана длина стороны куба = 4 дюйма
    Формула площади поверхности куба = 6a 2
    а = 4 дюйма
    О подстановке значений в формулу площади поверхности куба.
    = 6 (4) 2
    = 6 (16)
    = 96 дюймов 2
    ∴Площадь поверхности куба будет 96 дюймов 2

    Часто задаваемые вопросы о формулах площади поверхности

    Что такое формула площади поверхности для прямоугольного параллелепипеда?

    Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда: 2(lb + bh + hl). Здесь «l», «b» и «h» обозначают 3 измерения: длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда.

    Какая связь между формулой площади криволинейной поверхности для сферы и полусферы?

    Формула площади криволинейной поверхности полушария равна половине площади криволинейной поверхности сферы. Это дается как:
    CSA полушария = ½ (площадь криволинейной поверхности сферы) = ½ (4 π r 2  ) = 2 π r 2  , где «r» — радиус полушария/сферы.

    Какова формула площади поверхности конуса?

    Формула общей площади поверхности конуса задается как T = πr(r + l).
    Формула площади криволинейной поверхности конуса задается как S = πrl.
    Здесь «r» — радиус основания конуса, а «l» — наклонная высота конуса.

    Какова формула площади поверхности цилиндра?

    Формула площади поверхности цилиндра представляет собой общую площадь, покрытую поверхностью цилиндрической формы. Математически это выражается как 2πr(h+r), где «r» — радиус круглого основания цилиндра, а «h» — высота цилиндра. Площадь поверхности цилиндра указана в квадратных единицах, например, м 2 , дюймы 2 , см 2 , ярды 2 и т. д.

    6.5: Формулы площади, площади поверхности и объема

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    51016
    • Эми Лагускер
    • Колледж Каньонов

    Формулы площади

    Пусть \(b\) = основание

    Пусть \(h\) = высота

    Пусть \(s\) = сторона

    Пусть \(r\) = радиус

    Таблица 6. 5.1: Формулы площади

    Имя формы

    Форма

    Формула площади

    Прямоугольник

    \(А=ч\)

    9{2}
    \конец{массив}\)

    Параллелограмм

    \(А=ч\)

    Треугольник

    \(A=\dfrac{1}{2} б ч\)

    Круг 9{2}\)

    Трапеция

    \(A=\dfrac{1}{2} h\left(b_{1}+b_{2}\right)\)

    Формулы площади поверхности

    Переменные :

    \(SA\) = площадь поверхности

    \(B\) = площадь основания фигуры

    \(P\) = периметр основания фигуры

    \(h\) = высота

    \(s\) = наклонная высота

    \(r\) = радиус

    Таблица 6. 5.2: Формулы площади поверхности

    Формула площади поверхности

    Площадь поверхности Значение

     

    \(S A=2 B+P h\) 

    Найдите площадь каждой грани. Сложите все области.

    «>  

    \(S A=B+\dfrac{1}{2} s P\) 

    Найдите площадь каждой грани. Сложите все области.

    9{2}\)

    Найдите площадь большого круга и умножьте ее на 4. 

    \(S A=B+\pi r S\)

    Найдите площадь основания и прибавьте произведение радиуса, умноженное на наклонную высоту, на число PI.

    Формулы объема

    Переменные :

    \(SA\) = площадь поверхности

    \(B\) = площадь основания фигуры

    \(P\) = периметр основания фигуры

    \(h\) = высота

    \(s\) = наклонная высота

    \(r\) = радиус

    9{2}
    \end{aligned} \nonumber \]

    Пример \(\PageIndex{4}\)

    Найдите площадь поверхности прямоугольной пирамиды с наклонной высотой 10 ярдов, шириной основания (b) 8 ярдов и длина основания (h) 12 ярдов.

    Рисунок 6.5.4

    Решение

    \[\begin{aligned}
    SA&=B+\dfrac{1}{2} с P\\ 
    &=(b h)+\dfrac{1}{2} с (2 b+2 h) \\
    &=(8)(12)+\dfrac{1}{2}(10)(2(8)+2(12)) \\
    &=96+\dfrac {1}{2}(10)(16+24) \\
    &=96+5(40) \\ 9{3} \end{aligned} \nonumber \]

    Партнерская деятельность 1

    1. Найдите площадь треугольника с основанием 40 дюймов и высотой 60 дюймов.
    2. Найдите площадь квадрата со стороной 15 футов.
    3. Найдите площадь поверхности Земли, диаметр которой составляет 7917,5 миль. Используйте 3.14 для PI.
    4. Найдите объем банки супа, радиус которой 2 дюйма, а высота 3 дюйма. Используйте 3.14 для PI.

    Практические задачи

    (Задачи 1 – 4) Найдите площадь каждого круга с заданными параметрами. Используйте 3.14 для PI. Округлите ответ до десятых.

    1. Радиус = 9 см
    2. Диаметр = 6 миль
    3. Радиус = 8,6 см
    4. Диаметр = 14 метров

    (Задачи 5 – 8) Найдите площадь каждого многоугольника. Ответы округлить до десятых.

    2.  

    (Задачи 9 – 12) Назовите каждую фигуру.

    1.  

    (Задачи 13 – 17) Найдите площадь поверхности каждой фигуры. Оставляйте свои ответы в терминах PI, если ответ содержит PI. Все остальные ответы округлить до сотых.

    (Задачи 18 – 25) Найдите объем каждой фигуры. Оставьте свои ответы с точки зрения PI, для ответов, содержащих PI. Все остальные ответы округлить до сотых.

    Расширение: Методы преподавания математики

    Часть 1

    Экзамены:

    1. В чем разница между формативным и итоговым оцениванием? Какой из них важнее?
    2. Примеры формирующего оценивания и когда их использовать
    3. Примеры итогового оценивания и когда их использовать

    Часть 2

    Напишите формирующую и итоговую оценку для вашего плана урока

    Часть 3

    Убедитесь, что вы работаете над Khan Academy в течение всего семестра.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Эми Лагускер
        Показать страницу Содержание
        №
      2. Метки
          На этой странице нет тегов.

      Формулы площади поверхности

      Таблица 6.5.3: Формулы объема

      Геометрическая фигура 

      Объем Формула

      Том Значение

      \(V=B ч\) 

      Найдите площадь основания и умножьте ее на высоту

      \(V=\dfrac{1}{3} B h\) 

      Найдите площадь основания и умножьте ее на 1/3 высоты.

       

      \(V=B ч\) 

      Найдите площадь основания и умножьте ее на высоту.

      9{3}\)

      Найдите площадь большого круга и умножьте ее на радиус, а затем умножьте на 4/3.

       

      \( V=\dfrac{1}{3} B h\)

      Найдите площадь основания и умножьте ее на 1/3 высоты.

      Формулы площади поверхности
      (Математика | Геометрия | Формулы площади поверхности)

      ( пи = = 3,141592. ..)

      Поверхность Формулы площади
      Обычно площадь поверхности представляет собой сумму все площади всех фигур, которые покрывают поверхность объекта.

      Куб | Прямоугольный призма | призма | Сфера | Цилиндр | Единицы

      Примечание: «ab» означает «а» умножить на «б». «а

      2 » означает «а в квадрате», что равно «а», умноженному на «а».

      Будьте осторожны!! Считаются единицы. Используйте одни и те же единицы измерения для всех измерений. Примеры

      Площадь поверхности куба = 6 а 2

      (а — длина стороны каждое ребро куба)

      Другими словами, площадь поверхности куба — это площадь шести квадратов, которые накрой это. Площадь одного из них равна a*a, или a 2 . Поскольку эти одинаковы, вы можете умножить одно из них на шесть, так что поверхность площадь куба в 6 раз больше одной из сторон в квадрате.

       

      Площадь поверхности прямоугольника Призма = 2ab + 2bc + 2ac

      (a, b и c — длины трех сторон)

      Другими словами, площадь поверхности прямоугольной призмы равна площади шести прямоугольники, которые его закрывают. Но нам не нужно вычислять все шесть, потому что мы знаем, что верх и низ одинаковы, перед и зад равны одинаковые, а левая и правая стороны одинаковые.

      Площадь верха и низа (длины сторон а и в) = а*с. Так как их два, то получается 2ac. Спереди и сзади имеют длины сторон b и c. Площадь одного из них равна b*c, и там их два, поэтому площадь поверхности этих двух равна 2bc. Левый и правая сторона имеет длины сторон a и b, поэтому площадь поверхности одной из они а*б. Опять же, их два, поэтому их общая площадь поверхности это 2аб.

      Площадь поверхности любой призмы

       (b — форма из концов)

      Площадь поверхности = боковая площадь + площадь двух концов

      (Боковая площадь) = (периметр формы b ) * L

      Площадь поверхности = (периметр формы b ) * L+ 2 * (Площадь формы b )

      Площадь поверхности сферы = 4 пи г 2

      (r — радиус окружности)

      Площадь поверхности цилиндра = 2 пи r 2 + 2 пи r ч

      (h высота цилиндр, r — радиус вершины)

      Площадь поверхности = площади сверху и снизу + площадь сбоку

      Площадь поверхности = 2 (площадь верха) + (периметр верха) * высота

      Площадь поверхности = 2( pi r 2 ) + (2 pi r)*h

      На словах проще всего представить банку. Площадь поверхности – это площади всех частей, необходимых для покрытия банки. Это верх, низ, и бумажная этикетка, которая оборачивается вокруг середины.

      Можно найти площадь верха (или низа). Это формула площадь круга ( pi r 2 ). Так как есть и вершина, и дно, которое умножается на два.

      Сторона похожа на этикетку банки. Если вы очистите его и положите плоский это будет прямоугольник. Площадь прямоугольника есть произведение две стороны. С одной стороны высота банки, с другой периметру круга, так как этикетка один раз оборачивается вокруг банки. Так площадь прямоугольника равна (2 pi r)*h.

      Сложите эти две части вместе, и вы получите формулу поверхности. площадь цилиндра.

      Площадь поверхности = 2( pi r 2 ) + (2 pi r)*h


      Совет! Не забывайте про единицы.

      Эти уравнения дадут вам правильные ответы, если вы держите единицы измерения прямыми. Например, чтобы найти площадь поверхности куба со стороной 5 дюймов, уравнение:

      Площадь поверхности = 6*(5 дюймов) 2

      = 6*(25 квадратных дюймов)

      = 150 кв. дюймов

      Калькулятор площади поверхности

      Квадратная пирамида

      ч = высота
      с = наклонная высота
      а = длина стороны
      e = длина боковой кромки
      р = а/2
      В = громкость
      S to = общая площадь поверхности
      S lat = площадь боковой поверхности
      S бот = площадь нижней поверхности

      Рассчитайте больше с помощью
      Калькулятор пирамид

      Калькулятор Используйте

      Онлайн-калькулятор для расчета площади поверхности геометрических тел, включая капсулу, конус, усеченный конус, куб, цилиндр, полусферу, пирамиду, прямоугольную призму, сферу, сферическую крышку и треугольную призму

      Единицы: Обратите внимание, что единицы измерения показаны для удобства, но не влияют на расчеты. Единицы используются для обозначения порядка результатов, таких как футы, футы 2 или футы 3 . Например, если вы начинаете с мм и знаете r и h в мм, ваши расчеты дадут V в мм 3 и S в мм 2 .

      Ниже приведены стандартные формулы для площади поверхности.

      Формулы площади поверхности:

      Площадь поверхности капсулы

      • Объем = πr 2 ((4/3)r + a)
      • Площадь поверхности = 2πr(2r + a)

      Площадь поверхности круглого конуса


      • Объем = (1/3)πr 2 ч
      • Площадь боковой поверхности = πrs = πr√(r 2 + ч 2 )
      • Площадь базовой поверхности = πr 2
      • Общая площадь поверхности
        = L + B = πrs + πr 2 = πr(s + r) = πr(r + √(r 2 + h 2 ))

      Площадь поверхности круглого цилиндра

      • Объем = πr 2 ч
      • Площадь верхней поверхности = πr 2
      • Площадь нижней поверхности = πr 2
      • Общая площадь поверхности
        = L + T + B = 2πrh + 2(πr 2 ) = 2πr(h+r)

      Площадь конической усеченной поверхности

      • Объем = (1/3)πh (r 1 2 + r 2 2 + (r 1 * r 2 ))
      • Площадь боковой поверхности
        = π(r 1 + r 2 )s = π(r 1 + r 2 )√((r 1 — r 2 ) 2 + h 2 )
      • Площадь верхней поверхности = πr 1 2
      • Площадь базовой поверхности = πr 2 2
      • Общая площадь поверхности
        = π(r 1 2 + r 2 2 + (r 1 * r 2 ) * s)
        = π[ r 1 2 + r 2 2 + (r 1 * r 2 ) * √((r 1 — r 2 ) 2 + h 2 ) ]

      Площадь поверхности куба

      • Объем = а 3
      • Площадь поверхности = 6a 2

      Площадь поверхности полушария

      • Объем = (2/3)πr 3
      • Площадь криволинейной поверхности = 2πr 2
      • Площадь базовой поверхности = πr 2
      • Общая площадь поверхности = (2πr 2 ) + (πr 2 ) = 3πr 2

      Площадь поверхности пирамиды

      • Объем = (1/3)а 2 ч
      • Площадь боковой поверхности = a√(a 2 + 4h 2 )
      • Базовая площадь поверхности = a 2
      • Общая площадь поверхности
        = L + B = а 2 + а√(а 2 + 4h 2 ))
        = а(а + √(а 2 + 4h 2 ))

      Площадь поверхности прямоугольной призмы

      • Объем = лвч
      • Площадь поверхности = 2(lw + lh + wh)

      Площадь поверхности сферы

      • Объем = (4/3)πr 3
      • Площадь поверхности = 4πr 2

      Площадь поверхности сферической крышки

      • Объем = (1/3)πh 2 (3R — h)
      • Площадь поверхности = 2πRh

      Площадь поверхности треугольной призмы

      Площадь верхней поверхности треугольной призмы Формула

      \[ A_{top} = \dfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} \]

      \[ A_{top} = \dfrac{1}{4} \sqrt{\begin{align}(a+&b+c)(b+c-a)\\&\times(c+a-b)(a+b-c )\конец{выровнено}} \]

      Площадь нижней поверхности треугольной призмы Формула

      \[ A_{bot} = \dfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} \]

      \[ A_{bot} = \dfrac{1}{4} \sqrt{\begin{выровнено}(a+&b+c)(b+c-a)\\&\times(c+a-b)(a+b-c )\конец{выровнено}} \]

      Площадь боковой поверхности треугольной призмы Формула
      \[ A_{широта} = h (a+b+c) \]
      Суммарная площадь поверхности треугольной призмы Формула
      \[ A_{tot} = A_{top} + A_{bot} + A_{lat} \]
      Калькулятор площади поверхности

      | Определение

      Создано Богной Шик и Ханной Памула, кандидатом наук

      Отредактировано Стивеном Вудингом и Джеком Боуотером

      Последнее обновление: 06 апреля 2022 г.

      Содержание:
      • Что такое площадь поверхности? Определение площади поверхности
      • Формула площади поверхности…
      • Площадь поверхности сферы
      • Площадь поверхности цилиндра
      • Площадь поверхности конуса
      • Площадь поверхности куба
      • Площадь поверхности пирамиды
      • Площадь поверхности прямоугольной призмы
      • Площадь поверхности треугольной призмы
      • Площадь поверхности тела
      • Как вычислить площадь поверхности сферы?
      • Другие соображения

      Этот калькулятор площади поверхности поможет вам найти площадь наиболее распространенных трехмерных тел. Если вы когда-нибудь задавались вопросом, как найти площадь поверхности или что такое площадь боковой поверхности, этот калькулятор здесь, чтобы помочь вам. Площадь поверхности имеет гигантский список приложений в каждой области, например, в аэродинамике. В этой статье вы можете найти формулы площади поверхности сферы, куба, цилиндра, конуса, пирамиды и прямоугольной/треугольной призмы. Мы также объясним, как рассчитать площадь поверхности сферы в качестве примера.

      Что такое площадь поверхности? Определение площади поверхности

      Площадь поверхности равна общей площади, которую занимает поверхность объекта . Другими словами, это общая площадь поверхности 3D-объекта.

      Иногда площадь поверхности может быть разделена на сумму площади(ей) основания и площади боковой поверхности . Боковая поверхность – это площадь всех сторон объекта, исключая его основание и вершину. Это деление используется для форм, в которых есть очевидное различие между основанием и другой частью, например, для цилиндра, конуса, пирамиды или треугольной призмы. Он редко применяется к твердым телам, для которых мы не уверены, какие грани следует рассматривать как основания (например, в кубе или параллелепипеде), и мы не используем его для гладких поверхностей, таких как сфера.

      Формула площади поверхности…

      Наш калькулятор площади поверхности может найти площадь поверхности семи различных твердых тел. Формула зависит от типа твердого тела.

      • Площадь поверхности сферы: A = 4πr² , где r — радиус сферы.
      • Площадь поверхности куба: A = 6a² , где a — длина стороны.
      • Площадь поверхности цилиндра: A = 2πr² + 2πrh , где r — радиус, а h — высота цилиндра.
      • Площадь поверхности конуса: A = πr² + πr√(r² + h²) , где r — радиус, а h — высота конуса.
      • Площадь поверхности прямоугольной призмы (коробки): A = 2(ab + bc + ac) , где a , b и c — длины трех сторон прямоугольного параллелепипеда.
      • Площадь поверхности треугольной призмы: A = 0,5 * √((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)) + h * (a + b + c) , где a , b и c — длины трех сторон основания треугольной призмы, а h — высота (длина) призмы.
      • Площадь поверхности пирамиды: A = l * √(l² + 4 * h²) + l² , где l — длина стороны квадратного основания и h — это высота пирамиды.

      Но откуда берутся эти формулы? Как найти площадь поверхности основных трехмерных фигур? Продолжайте читать, и вы узнаете!

      Площадь поверхности сферы

      Чтобы вычислить площадь поверхности сферы, все, что вам нужно знать, это радиус сферы или ее диаметр.

      • A = 4 * π * r² , где r — радиус.

      Как мы знаем, диаметр шара равен двум радиусам d = 2r , мы можем преобразовать уравнение в другую форму:

      • A = 4 * π * (d / 2)² = π * d² , где d — диаметр сферы.

      Вывод этой формулы площади поверхности требует интегрирования. Если вам интересно, посмотрите это доказательство.

      Площадь поверхности цилиндра

      Чтобы узнать площадь поверхности цилиндра, необходимо иметь две величины: радиус (или диаметр) основания и высоту цилиндра. Общее уравнение как обычно — площадь основания раз высота . В нашем случае круг является основой.

      • А = 2πr² + 2πrh

      Откуда взялась эта формула? Вы можете написать уравнение для площади поверхности цилиндра как:

      • A = A(боковая) + 2 * A(основная)

      Площадь основания найти легко — помним известную формулу площади круга: A(основание) = π * r² . Но какова форма площади боковой поверхности? Попробуйте представить, что мы его «разворачиваем». Вы признаете это? это прямоугольник ! Длина одной стороны — это высота цилиндра, а вторая — длина окружности в развернутом виде.

      • А(основание) = π * r²
      • A(поперечный) = h * (2 * π * r)

      Площадь поверхности конуса

      Мы можем разделить площадь поверхности конуса на две части:

      • A = A(боковая) + A(основание) , так как у нас есть только одно основание, напротив к цилиндру.

      Основание снова равно площади круга A(основание) = π * r² , но происхождение площади боковой поверхности может быть не столь очевидным:

      • A(боковая) = π * r * √(r² + h²)

      Давайте посмотрим на этот пошаговый вывод:

      1. Раскатайте боковую поверхность до плоского состояния. Круговой сектор, являющийся частью окружности радиусом s ( s высота наклона конуса).
      2. Для круга с радиусом s, длина окружности равна 2 * п * с . Длина дуги сектора равна 2 * π * r .
      3. Площадь сектора — боковой поверхности конуса — определяется по формуле:
      • A(поперечный) = (s * (длина дуги)) / 2 = (s * 2 * π * r) / 2 = π * r * s

      Формулу можно получить из пропорций, так как отношение площадей фигур такое же, как отношение длины дуги к длине окружности:

      (площадь сектора) / (площадь большого круга) = (длина дуги) / (длина окружности большого круга) итак:

      (площадь сектора) / (π * s²) = (2 * π * r) / (2 * π * s)

      (площадь сектора) = (π * s²) * (2 * π * r) / (2 * π * s)

      • A(боковой) = π * r * с

      Чтобы найти недостающий член этого отношения, вы также можете попробовать наш калькулятор отношений!

      1. Обычно у нас нет s 9Задано значение 1409, но h , что равно высоте конуса. Но это совсем не проблема! Мы можем легко преобразовать формулу, используя теорему Пифагора:
      • r² + h²= s² , извлекая квадратный корень, получаем s = √(r² + h²)

      Таким образом, формула площади боковой поверхности выглядит следующим образом:

      • A(боковая) = π * r * √(r² + h²)
      1. Наконец, сложите площади основания и боковой части, чтобы найти окончательная формула площади поверхности конуса :
      • A = A(боковой) + A(основной) = π * r * s + π * r² задано r и s или
      • A = π * r * √(r² + h²) + π * r² учитывая r и h .

      Площадь поверхности куба

      Площадь поверхности куба проще всего представить: каждая из сторон представляет собой квадрат! Поскольку каждый куб имеет шесть одинаковых квадратных граней, площадь поверхности равна:

      • A = 6 * (боковая часть)

      Так как площадь квадрата является произведением длины его сторон, окончательная формула площади поверхности куба будет следующей:

      • A = 6 * l² , где l — квадрат сторона

      Площадь поверхности пирамиды

      Пирамида представляет собой трехмерное тело с многоугольным основанием и треугольными боковыми гранями. Когда вы слышите пирамида , обычно подразумевается обычная квадратная пирамида . Но в зависимости от формы основания, это могла быть и шестиугольная пирамида, и прямоугольная пирамида. Обычный означает, что он имеет правильное многоугольное основание и представляет собой правильную пирамиду (вершина прямо над центром тяжести его основания), а квадрат - что он имеет эту форму в качестве основания. Это вариант, который мы использовали в качестве пирамиды в этом калькуляторе площади поверхности.

      Формула площади поверхности пирамиды:

      • A = l * √(l² + 4 * h²) + l² где l сторона основания и h высота пирамиды

      Опять же, мы можем разделить уравнение на:

      • A = A(основание) + A(бок) = A(основание) + 4 * A(боковая сторона)

      Основание имеет форму квадрата, поэтому A(основание) = l² . Для расчета площади боковой поверхности начнем с площади одной треугольной грани:

      1. Чтобы найти высоту треугольника, нам снова понадобится формула гипотенузы:
      • с = √(а² + b²)
      1. Вычислить гипотенузу треугольника ABC (которая одновременно является высотой треугольной грани):
      • c = √(h² + (l/2)²) = √(h² + l²/4)
      1. Площадь треугольника (в нашем случае это равнобедренный треугольник) можно рассчитать как:
      • A = высота * основание / 2 поэтому
      • A(боковая сторона) = √(h² + l²/4) * l / 2
      1. Итоговая формула площади поверхности пирамиды:
      • A = l² + 4 * √(h² + l²/4) * l / 2 = l² + 2 * l * √(h² + l²/4)
      • A = l² + l * √(4 * h² + l²)

      Площадь поверхности прямоугольной призмы

      Чтобы вычислить площадь поверхности прямоугольной призмы, достаточно вычислить площади сторон прямоугольника:

      • A = 2 * (A1 + A2 + A3)

      где:

      • A1 = l * w
      • A2 = Ш * В
      • A3 = Д * В

      Таким образом, окончательная формула:

      • A = 2 * (l * w + w * h + l * h)

      Площадь поверхности треугольной призмы

      Чтобы понять, откуда берется формула площади поверхности треугольной призмы, давайте посмотрим на этот вывод:

      1. Часть площади боковой поверхности в этом случае легко вычислить. Как видно из рисунка, он состоит из трех прямоугольников с общей длиной одной стороны:
      • A(боковой) = a * h + b * h + c * h = h * (a + b + c)

      , что мы также можем записать в виде:

      • A(боковое) = h * P , где P — периметр базового треугольника
      1. Затем найдите площадь треугольного основания. Вы можете сделать это разными способами, в зависимости от того, что вам дано. В нашем калькуляторе мы реализовали расчет на основе формулы Герона — она используется, когда у вас есть три стороны треугольника (SSS).

      A(основание) = 0,25 * √((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)))

      1. Окончательная формула площади поверхности треугольной призмы:
      • A = A(боковой) + 2 * A(базовый)
      • A = h * (a + b + c) + 0,5 * √((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c) ))

      Площадь поверхности тела

      Вы можете вычислить поверхность любого твердого тела, например, вашего тела - это не обязательно должна быть простая фигура из геометрии! Если вам интересно, какова площадь внешней поверхности человеческого тела, посмотрите этот калькулятор площади поверхности тела.

      Как рассчитать площадь поверхности шара?

      Если вы хотите найти площадь поверхности сферы, вам необходимо выполнить следующие действия:

      1. Определите радиус сферы. Мы можем принять радиус 10 см.
      2. Введите это значение в формулу A = 4πr² .
      3. Рассчитайте результат: А = 4π * 10² = 1256 см² .
      4. Вы также можете использовать этот калькулятор площади поверхности, чтобы найти радиус сферы, если вы знаете ее площадь.

      Прочие соображения

      Единицами площади поверхности всегда являются квадратные единицы длины. Например, вы можете выразить его в см², дюймах², футах², м², а также в акрах и гектарах.

      Если вы хотите найти объем любого из этих тел, воспользуйтесь нашим калькулятором объема.

      Богна Шик и Ханна Памула, кандидаты наук

      Радиус (r)

      Площадь поверхности

      Площадь поверхности

      Посмотрите 20 похожих калькуляторов 3D-геометрии 📦

      Площадь полушарияКубКуб Вычислить: найти v, a, d… Еще 17

      Калькулятор площади поверхности

      Используйте приведенные ниже калькуляторы для расчета площади поверхности нескольких распространенных форм.

      Площадь поверхности шара


      Площадь поверхности конуса


      Площадь поверхности куба


      Площадь поверхности цилиндрического резервуара


      Площадь поверхности прямоугольного резервуара

      Длина (л) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы
      Ширина (w) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы
      Высота (h) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы

      Площадь поверхности капсулы


      Площадь поверхности крышки

      Для расчета укажите любые два значения ниже.

      Радиус основания (r) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы
      Радиус шара (R) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы
      Высота (h) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы

      Площадь конической усеченной поверхности

      Верхний радиус (r) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы
      Радиус дна (R) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы
      Высота (h) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы

      Площадь поверхности эллипсоида

      Ось 1 (a) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы
      Ось 2 (b) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы
      Ось 3 (c) милиярдыфутыдюймыкилометрыметрысантиметрымиллиметрымикрометрынанометрыангстремы

      Площадь поверхности квадратной пирамиды


      Калькулятор связанных объемов | Калькулятор площади | Калькулятор площади поверхности тела

      Площадь поверхности твердого тела является мерой общей площади, занимаемой поверхностью объекта. Все объекты, рассматриваемые в этом калькуляторе, более подробно описаны на страницах Калькулятор объема и Калькулятор площади. Таким образом, этот калькулятор будет сосредоточен на уравнениях для расчета площади поверхности объектов и использовании этих уравнений. Пожалуйста, обратитесь к вышеупомянутым калькуляторам для более подробной информации о каждом отдельном объекте.

      Сфера

      Площадь поверхности (SA) сферы можно рассчитать с помощью уравнения:

      SA = 4πr 2
      где r — радиус

      Ксаэль не любит ни с кем делиться своими шоколадными трюфелями. Когда она получает коробку трюфелей Lindt, она начинает вычислять площадь поверхности каждого трюфеля, чтобы определить общую площадь поверхности, которую ей нужно облизать, чтобы уменьшить вероятность того, что кто-нибудь попытается съесть ее трюфели. Учитывая, что каждый трюфель имеет радиус 0,325 дюйма:

      SA = 4 × π × 0,325 2 = 1,327 дюйма 2

      Конус

      Площадь поверхности круглого конуса можно рассчитать, суммируя площади поверхности каждого из его отдельных компонентов. «Основной SA» относится к кругу, который содержит основание в замкнутом круглом конусе, в то время как боковой SA относится к остальной части конуса между основанием и его вершиной. Уравнения для расчета каждого, а также общего SA замкнутого круглого конуса показаны ниже:

      база SA = πr 2
      боковой SA = πr√r 2 + h 2
      общая SA = πr(r + √r 2 + h 2 )
      где r — радиус, а h — высота

      Афина недавно заинтересовалась культурой Юго-Восточной Азии и особенно очарована конической шляпой, обычно называемой «рисовой шляпой», которая обычно используется в ряде стран Юго-Восточной Азии. Она решает сшить свое собственное и, будучи очень практичным человеком, не погрязшим в сентиментальности, достает свадебное платье своей матери из темных ниш шкафа, в котором оно находится. Она определяет площадь поверхности материала, которая ей нужна для создания шляпы радиусом 1 фут и высотой 0,5 фута, следующим образом:

      боковая сторона SA = π × 0,4√0,4 2 + 0,5 2 = 0,805 фута 2

      куб

      СА = 6а 2
      где a — длина ребра

      Анна хочет подарить своему младшему брату кубик Рубика на день рождения, но знает, что у ее брата короткая продолжительность концентрации внимания и он легко расстраивается. Она заказывает кубик Рубика, в котором все грани черные, и должна заплатить за настройку в зависимости от площади поверхности кубика с длиной ребра 4 дюйма.

      SA = 6 × 4 2 = 96 дюймов 2

      Цилиндрический резервуар

      Площадь поверхности закрытого цилиндра можно вычислить, суммируя площади его основания и боковой поверхности:

      основание SA = 2πr 2
      боковой SA = 2πrh
      общая СА = 2πr(r + h) где r — радиус, а h — высота

      У Джереми есть большой цилиндрический аквариум, в котором он купается, потому что он не любит душ или ванну. Ему любопытно, остывает ли его нагретая вода быстрее, чем в ванне, и ему нужно рассчитать площадь поверхности его цилиндрического резервуара высотой 5,5 фута и радиусом 3,5 фута.

      общая SA = 2π × 3,5(3,5 + 5,5) = 197,920 футов 2

      Прямоугольный резервуар

      Площадь поверхности прямоугольного резервуара равна сумме площадей каждой из его сторон:

      SA = 2лв + 2лв + 2вч
      где l — длина, w — ширина, h — высота

      Банана, старшая дочь в длинной череде банановых фермеров, хочет научить свою избалованную гнилую младшую сестру, Банан-Хлеб, урок о надежде и ожиданиях. Banana-Bread всю неделю требовала новый набор ящиков для своих новых фигурок Бэтмена. Таким образом, Банана покупает ей большой кукольный дом Барби с кухонной утварью ограниченного выпуска, духовкой, фартуком и реалистичными гниющими бананами для Бэтмена. Она упаковывает их в прямоугольную коробку тех же размеров, что и ящик, который хочет Banana-Bread, и ей нужно определить количество оберточной бумаги, которое ей нужно, чтобы завершить презентацию подарка в виде сюрприза 3 фута × 4 фута × 5 футов:

      SA = (2 × 3 × 4) + (2 × 4 × 5) + (2 × 3 × 5) = 94 фута 2

      Капсула

      Площадь поверхности капсулы можно определить путем объединения уравнения площади поверхности шара и площади боковой поверхности цилиндра. Обратите внимание, что площадь поверхности оснований цилиндра не включена, поскольку она не составляет часть площади поверхности капсулы. Общая площадь поверхности рассчитывается следующим образом:

      СА = 4πr 2 + 2πrh
      где r радиус и h высота

      Горацио производит плацебо, предназначенное для оттачивания индивидуальности, критического мышления и способности объективно и логически подходить к различным ситуациям. Он уже протестировал рынок и обнаружил, что подавляющее большинство населения из выборки не обладает ни одним из этих качеств и очень готово покупать его продукт, еще больше укореняясь в чертах, от которых они так отчаянно стремятся избавиться. Горацио нужно определить площадь поверхности каждой капсулы, чтобы он мог покрыть их чрезмерным слоем сахара и обратиться к предрасположенным к сахару языкам населения, готовясь к своему следующему плацебо, которое «излечивает» все формы сахарного диабета. Учитывая, что в каждой капсуле R из 0,05 дюйма и ч 0,5 дюйма:

      SA = 4π × 0,05 2 + 2π × 0,05 × 0,5 = 0,188 в 2

      Spherical Cap

      в зависимости от высоты рассматриваемого сегмента. Предоставленный калькулятор предполагает твердую сферу и включает основание колпачка в расчет площади поверхности, где общая площадь поверхности представляет собой сумму площади основания и площади боковой поверхности сферического колпачка. Если вы используете этот калькулятор для вычисления площади поверхности полой сферы, вычтите площадь поверхности основания. Имея два значения высоты, радиуса крышки или радиуса основания, третье значение можно рассчитать с помощью уравнений, приведенных в калькуляторе объема. Уравнения площади поверхности следующие:

      сферический колпачок SA = 2πRh
      основание SA = πr 2
      Общая твердая сфера SA = 2πRh + πr 2
      где R — радиус сферической крышки, r — радиус основания, а h — высота

      Дженнифер завидует глобусу, который ее старший брат Лоуренс получил на день рождения. Поскольку Дженнифер на две трети младше своего брата, она решает, что заслуживает одну треть земного шара своего брата. Вернув ручную пилу отца в сарай для инструментов, она вычисляет площадь поверхности своей полой части земного шара с помощью 9.0856 R 0,80 фута и h 0,53 фута, как показано ниже:

      SA = 2π × 0,80 × 0,53 = 2,664 фута площадей его двух круглых концов и площади его боковой поверхности:

      круглый конец SA = π(R 2 + r 2 )
      боковой SA = π(R+r)√(R-r) 2 + h 2
      общая SA = π(R 2 + r 2 ) + π(R+r)√(R-r) 2 + h 2
      где R и r — радиусы концов, h — высота

      Пол делает вулкан в форме усеченного конуса для своего проекта научной ярмарки. Пол рассматривает извержения вулканов как насильственное явление и, выступая против всех форм насилия, решает сделать свой вулкан в виде закрытого конического усеченного конуса, который не извергается. Хотя его вулкан вряд ли произведет впечатление на судей научной выставки, Пол все же должен определить площадь поверхности материала, который ему нужен, чтобы покрыть внешнюю стену своего вулкана R 1 фут, r 0,3 фута и h 1,5 фута:

      всего SA = π(1 2 + 0,3 2 ) + π(1 + 0,3) √ 0,3) 2 + 1,5 2 = 10,185 футов 2

      Эллипсоид

      Вычисление площади поверхности эллипсоида не имеет простой и точной формулы, такой как куб или другая более простая форма. Калькулятор выше использует приблизительную формулу, которая предполагает почти сферический эллипсоид:

      SA ≈ 4π 1,6 √(а 1,6 б 1,6 + а 1,6 в 1,6 + б 1,6 9) 30 9007 9 в 19003 где a , b и c — оси эллипса

      Колтейн всегда любила готовить и недавно выиграла на конкурсе керамический нож. К несчастью для его семьи, которая питается почти исключительно мясом, Колтейн практиковал свою технику нарезки на чрезмерном количестве овощей. Вместо того чтобы есть овощи, отец Колтейна уныло смотрит на свою тарелку и оценивает площадь поверхности эллиптических надрезов кабачка с осями 0,1, 0,2 и 0,35 дюйма:

      SA ≈ 4π 1,6 √ (0,1 1,6 0,2 1,6 + 0,1 1,6 0,35 1,6 + 0,2 1,6 0,35 1.6 )/3 = 0,562 в 2 2 3 .. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .. 2 2 .

      Площадь поверхности квадратной пирамиды состоит из площади ее квадратного основания и площади каждой из четырех треугольных граней. Учитывая высоту h и длину ребра a , площадь поверхности можно рассчитать с помощью следующих уравнений:

      база SA = a 2
      боковой SA = 2a√(a/2) 2 + h 2
      всего SA = a 2 + 2a√(a/2) 2 + h 2

      В классе Вонквайлы недавно завершилось строительство модели Великой пирамиды Гизы.

      Высшая математика для чайников пределы: Как решать пределы для чайников, примеры решений

      alexxlab / / Разное

      Пределы для чайников с примерами решения

      Содержание:

      1. Сформулируем определение предела функции

      Прежде чем перейти к определению предела, напомним, что в математике используются три вида бесконечностей

      Бесконечность не является числом, она показывает, как меняется переменная величина, которая конечна в любой момент времени.

      Теперь определим понятие последовательности и ее предела.

      Последовательностью называется множество чисел, которое перенумеровано с помощью целых чисел и расположено в порядке возрастания номеров

      Если задана последовательность то тем самым любому целому неотрицательному значению поставлено в соответствие значение

      По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

      Например, члены геометрической прогрессии являются последовательными значениями функции где

      Может случиться так, что с увеличением значения будет неограниченно приближаться к какому-то числу В этом случае говорят, что число является пределом функции целочисленного аргумента или последовательности при и пишут или

      Число является пределом последовательности если для можно найти такое что для всех с номерами справедливо неравенство [4, 32]

      Возможно вам будут полезны данные страницы:

      Используя приведенное определение, докажем, что последовательность имеет предел, равный 1

      Согласно определению имеем

      Таким образом, мы доказали, что для любого наперед заданного можно найти такое что при всех будет выполняться (3. 1), а это означает, что 1 есть предел исходной последовательности.

      Теперь рассмотрим функцию непрерывного аргумента и предположим, что неограниченно приближается к числу При этом может оказаться, что соответствующее значение неограниченно приближается к некоторому’ числу В этом случае говорят, что число есть предел функции при

      Сформулируем определение предела функции

      Число называется пределом функции при если для можно найти такое что для всех удовлетворяющих условию будет справедливо неравенство Заметим, что функция не обязательно должна быть определена в предельной точке она должна быть определена лишь в некоторой окрестности этой точки.

      Тот факт, что — предел функции при записывается так:

      Данное нами определение иллюстрируется рис. 3.3. Используя приведенное определение предела, докажем, что

      На основании определения имеем

      Таким образом, мы доказали, что исходная функция будет отличаться от 6 меньше чем на если будет выполняться неравенство (3. 2). В данном случае

      Приведенное определение не дает способа вычисления пределов. Ниже мы рассмотрим некоторые из таких методов.

      Дадим понятие о левых и правых пределах функции и точках ее разрыва.

      Если при так что принимает только значения меньшие то пишут и называют левым пределом.

      Аналогично, если при так что принимает только значения большие то пишут и называют правым пределом [4, 30].

      Геометрическая иллюстрация левого и правого пределов дана на рис. 3.4

      Из рис. 3.4. следует, что в точке функция имеет разрыв. Он носит название разрыва первого рода (в точке разрыва первого рода левый и правый пределы не равны и конечны). Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода [4, 30]. Примерами разрывов второго рода являются бесконечные разрывы (рис. 3.5)

      Предположим, что аргумент функции неограниченно возрастает т.е. является бесконечно большим аргументом. Может оказаться, что при этом функция стремится к некоторому пределу (рис. 3.6).

      Функция стремится к пределу при если для можно найти такое что для всех значений удовлетворяющих неравенству будет выполняться условие

      Теперь рассмотрим случай стремления функции к бесконечности при

      Функция стремится к бесконечности при если для можно найти такое что для всех значений удовлетворяющих условию выполняется неравенство

      Это определение иллюстрируется рис. 3.7.

      Напомним, что функция называется ограниченной в данной области изменения аргумента, если существует такое, что для всех значений принадлежащих рассматриваемой области, будет выполняться неравенство Если такого числа нет, то является неограниченной в данной области.

      Например, функция является ограниченной на своей области определения (рис. 3.8).

      Дадим определение бесконечно малой величины. Функция называется бесконечно малой при или если или

      Например, функция при есть бесконечно малая величина, так как

      Постоянное очень малое число не является бесконечно малой величиной. Единственное число, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, это ноль. Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин можно проследить из теоремы 3.1: если — бесконечно малая величина, то — бесконечно большая величина, и наоборот [4]

      Пример с решением
      Пример 3.1

      Пример 3.2

      Пример 3.3

      Если подставить предельное значение, то получим неопределенность Поэтому для решения подобных примеров используют следующий прием: делят числитель и знаменатель на в максимальной степени, в данном случае на Тогда получим

      Пример 3.4

      Пример 3.5

      (Предел в квадратных скобках — это второй замечательный предел).

      Пример 3.6

      Пример 3.7

      Так как логарифмичеешя функция непрерывна, то можно воспользоваться формулой (3.5).

      Пример 3.8

      Данный предел можно свести к первому замечательному пределу путем замены переменной, т.е.

      при

      тогда получим

      Пример 3.9

      Пример З.10

      Пример 3.11

      Пример 3.12

      lim как решать

      Вы искали lim как решать? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и алгебра лимит, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «lim как решать».

      Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как lim как решать,алгебра лимит,алгебра пределы,все о пределах,высшая математика для чайников пределы,высшая математика лимиты,высшая математика пределы,высшая математика пределы для чайников,вычислить пределы функций пошаговое решение,задания пределы,задачи на пределы,задачи на пределы с решениями,задачи пределы,задачи с решениями на пределы,лимит как решать,лимит математика,лимиты как решать,матанализ для тупых,матанализ для чайников пределы,матанализ пределы,матанализ пределы для чайников,математика предел,математика пределы,математика пределы для чайников,математический анализ для чайников пределы,математический анализ пределы,математический анализ пределы для чайников,математический предел,матпрофи пределы,методы решения пределов,нахождение пределов с подробным решением,предел 0,предел алгебра,предел в математике,предел в математике это,предел математика,предел математический,предел функции для чайников,предел это в математике,пределы алгебра,пределы в математике,пределы высшая математика,пределы для чайников,пределы как решать,пределы как решаются,пределы матан,пределы матанализ для чайников,пределы математика,пределы математика для чайников,пределы математический анализ,пределы математический анализ для чайников,пределы примеры решений,пределы примеры решения,пределы решений примеры,пределы решения,пределы с бесконечностью как решать,пределы теория с примерами,примеры на пределы,примеры решений пределов,примеры решения пределов,решение пределов онлайн с подробным решением для чайников,решение пределов примеры,решение пределов примеры с решением,решение пределов с подробным решением,решения пределов пример,способы нахождения пределов,способы решения пределов,теория пределов для чайников,формулы лимитов,что такое в математике предел,что такое в математике пределы,что такое предел в математике. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и lim как решать. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, алгебра пределы).

      Где можно решить любую задачу по математике, а так же lim как решать Онлайн?

      Решить задачу lim как решать вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

      Высшая математика для чайников. Предел функции_Виосагмир И.А_2011 -88с

      Высшая математика для чайников. Предел функции

      2011 год

      89

      ’89

      На рисунке представлены две функции:

       

      •O и

      E•O .

      Как видите, они очень похожи, поэтому очень важно, запомните Вы их или нет. Давайте проведем небольшой опыт. Попробуйте запомнить два графика. Как только будете уверены в том, что все выучили, прорешайте все пределы ниже, а потом проверьте себя по графикам.

      №1. Посчитать пределы:

      →

       

       

      →

      →

       

       

       

      →

      →

      →

      →

       

       

      →

      →

       

       

       

      →

      →

      →

      arcsin

       

      arccos

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      функции

       

      .

      –

      обратная

      функция

      к

       

       

       

       

       

       

      arcsin

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      sin

       

      –

      обратная

      функция

      к

       

       

       

       

       

      функции

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      arccos

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      cos

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      №1. Посчитать предел:

       

       

       

       

      →

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      lim arcsin .

       

      → 0

       

       

      Давайте посмотрим на график

       

       

       

       

      . Что мы видим? При

      функция принимает

       

       

       

       

       

       

      Например,

       

       

       

      и

       

      и т.д. Делаем

      бесконечно много значений.

       

       

      arcsin

       

       

       

       

      вывод: у нашего графика есть период.

       

      lim→ arcsin

      0 lim→ arcsin ‚

       

       

       

      →

       

       

       

       

      w целое число, лежащее в промежутке ∞, ∞

       

       

      lim arcsin ‚w,

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      30

       

       

       

       

       

      Высшая математика для чайников. Предел функции

       

       

      То же самое с

      2011 год

      arccos .

       

       

      arctg

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      arcctg

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      arctg

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      tg

       

       

      – обратная функция к

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      функции

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      arcctg

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      ctg

       

       

      – обратная функция к

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      функции

       

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      №1. Посчитать предел:

      lim

      arctg

      w ∙ 2

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      w

       

       

       

       

       

       

       

      →

       

      arctg

      ‚

       

       

       

       

       

       

       

       

      целое число, имеющее шаг 2. Т.е.

      lim

      →

       

       

       

       

      . Можно записать

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      вот так:

       

       

       

       

      lim arctg

      2

      ˆ

      2 2 w

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      →

       

       

       

      ‚

       

       

      ‚ ‚

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Заметим, что ‰ это произвольное целое число, которое мы задаем сами.

       

       

      На этом, мы заканчиваем наш раздел – графики элементарных функций.

      От автора:

      Поздравляю! Вы смогли завершить первую главу “Предел функции” первой части “Предел и непрерывность функции”. Конечно, это не все. Я рассказал Вам лишь элементарные вещи. Далее нас будут ждать первый замечательный и второй замечательный приделы и другие методы взятия пределов. Если Вы поняли все, что я здесь написал, то дальше будет только интересно! Ничего сверхсложного вас не ожидает…

      31

      Высшая математика для чайников. Предел функции

      2011 год

      Глава 2. Непрерывность функции в точке.

      Содержание:

      1)Непрерывность функции в точке

      2)Непрерывность сложной функции

      3)Классификация точек разрыва

      4)Непрерывность элементарных функций

      5)Первый замечательный предел

      6)Второй замечательный предел

      7)Кратко о Maple

      1. Непрерывность функции в точке.

      Функция называется

      непрерывной в точке a, если

      lim

      →

      Запомните это определение раз и навсегда! Если вы его не знаете, вы – ничто и никто в

      математике. Давайте рассмотрим простой пример:

      1

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      1; 0.

      Задание: проверить функцию на непрерывность в точках

      1.

      1. Используя определение 1, получаем:

       

      1

       

       

      →

      1

      1 1

      1

       

      lim

       

      1

       

      Выполняется определение 1? Да!

       

       

      1

      1

       

       

       

       

      lim

       

       

       

       

      →

      1

      1.

       

       

       

       

      Вывод: функция непрерывна в точке

       

       

       

       

      2.

      0. Используя определение 1, получаем:

       

      1

       

       

      →

      1

      ∞ 0

      →

       

      lim

       

      0

       

      Выполняется определение 1? Нет!

       

      lim

      0

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      →

      1

       

       

       

       

       

       

       

       

      32

       

       

       

      Высшая математика для чайников. Предел функции

      2011 год

      Вывод: функция не существует в точке 0.

      Пусть функция определена в правой (левой) полу окрестности точки a, т.е. на некотором полуинтервале , & (соответственно

      , ).

      Функция

      называется

      непрерывной справа

      (соответственно слева) в точке a, если

       

       

      lim

       

      >соответственно

      lim

      E.

      →

       

       

      →

       

      Здесь то же самое. Пожалуйста, рассмотрите сами такие функции как ln , и другие. Хотя, думаю, что все предельно ясно.

      Для того чтобы функция была непрерывна в , необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева.

       

      O

      ,

       

      ,

      O

       

      также непрерывны

      в точке

       

       

      O

       

       

       

      O /O

       

       

       

       

       

       

      Если функции

      и

       

      непрерывны в точке

      , то функции

       

      ,

       

      O 0

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      (частное – при

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      условии

       

      ).

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Пример №1.

      Исследовать на непрерывность функцию

       

       

       

       

       

       

      .

       

       

      Для начала распишем область определения

       

       

       

       

      , т.к. знаменатель не

       

       

       

       

       

      теорему 6:

       

       

      может равняться 0. Теперь просто используем D

       

      ∞, 0 0, ∞

       

       

       

       

      lim

       

       

      ,

       

       

       

      0

      →

       

       

       

       

       

       

      0

       

       

       

       

      где

       

       

       

       

       

       

      непрерывна в любой точке,

       

       

      . Следовательно, по теореме 6, функция

       

      кроме

       

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      33

      Высшая математика для чайников. Предел функции

      2011 год

      2. Непрерывность сложной функции.

      Пусть функция F определена на множестве , а G множество

      значений этой функции. Пусть, далее, на

      множестве

      G

      определена

      функция H . Тогда говорят, что

      на

      множестве

       

      определена

      сложная функция, и пишут H , где

      F, или H F.

      Впрочем, пока что вам это не сильно понадобиться. Привожу примеры сложных функций:

      1

      ,

      log

       

       

       

      1 .

      b|sin |, cos

       

       

      Почему они сложные? Давайте рассмотрим цепочку последовательных преобразований для первой из них:

      •

      sin •

      |•|

      å.

      Вот и все! Теперь перейдем ко второй функции:

       

       

      •

      1

      cos •

      •.

      •

      И так далее. Не хочется уделять этому много времени. Надеюсь, вы и так все поняли. Ну что же, перейдем к теореме.

      непрерывна в

       

       

       

      •

       

       

       

      •

       

      •

       

      непрерывна в точке .

       

       

      •

       

      в точке , а

      P• Q

      ‘

      Пусть функция

       

       

       

      непрерывна

       

      функция

       

       

       

      точке

       

       

       

      . Тогда сложная функция

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Давайте рассмотрим пример на доказательства. Здесь как раз и нужно рассматривать сложную функцию.

      Пример №1

       

       

       

      Доказать, что:

      lim

       

      ln , 0, 1.

       

      Рассмотрим функцию •

      →

      1

       

      1. Она непрерывна в точке 0 и 0 0. При этом

      34

      Высшая математика для чайников. Предел функции

       

       

       

       

       

       

       

      2011 год

       

       

       

       

      log

       

      1 ,

      1

       

       

       

       

       

      log 1 .

      Вычислим lim→

       

      :

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      ln

       

       

       

      →

       

      →

       

       

       

      lim log 1

      lim ln 1

      Этот шаг может быть непонятен, поэтому я должен напомнить вам формулу преобразования к логарифму с другим основанием:

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      log

      log

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      log

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Запомните ее и больше не возвращайтесь к этому. В данном случае

       

       

       

      ’

      новое основание.

      Давайте напишем формулу именно для нашего случая:

       

      ln 1

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      log

       

      1

       

       

      log 1

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

      Итак, продолжаем:

       

       

       

       

       

      log

       

       

       

      ln

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      ln

       

       

      1

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      →

       

       

       

      →

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      lim log 1

       

      lim ln 1

      ln →

      ln 1

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      lim

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Верно? ln это число, поэтому мы его и вынесли. Теперь нужно посчитать предел lim→

       

      .

      Представим

      функцию в

      виде

      ln 1

       

      ln “

      (тоже свойство

      логарифма!), где

      “

      1 .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      ∙ log log

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Так как

       

      →

       

       

       

      (Это второй замечательный предел. Пока что мы его не прошли,

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      непрерывна в точке

       

       

       

      , то

       

       

       

      но,

      поверьте, равенство верно), а функция

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      lim

       

       

      1

       

      ’

       

       

       

       

       

      ln “

       

       

       

      ln ’

      1.

       

      “

       

      ’

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      →

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      lim ln 1

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Возвращаемся к нашему примеру. И вот, что у нас получается:

      35

      Высшая математика для чайников. Предел функции

      2011 год

      lim

       

       

       

      = lim

       

       

      ln

       

       

      = ln

       

       

      →

       

       

       

      1

       

       

       

      =

      ln

       

      = ln

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      lim

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      →

      log

       

       

      →

      ln 1 +

       

       

       

       

       

      ln(1 +

       

      )

       

       

       

       

       

       

       

      (1 + )

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      1

       

       

       

      Рассмотрим теперь функцию ( ), непрерывную в точке = 0:

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      ”

       

       

      ln

       

       

       

       

       

       

       

       

      при

      = 0

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      (1 +

       

      )

       

      при

       

      ≠ 0

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      =

       

       

       

      log

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Согласно теореме 8 сложная функция

       

       

       

       

       

       

      •

       

       

       

       

       

       

       

       

      при = 0

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      P• Q

       

       

       

       

      ln

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      =

       

       

       

       

      − 1

      при

       

       

      ≠ 0

       

       

       

       

       

       

       

       

      Является непрерывной в точке = 0. Поэтому

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      →

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      lim

       

       

      − 1 = ln

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Сложно? Может быть, но вы должны в этом разобраться, потому что это очень важно для понимания этой темы. Тем более, здесь требуется внимательность, ну и “немножко подумать”.

      36

      Высшая математика для чайников. Предел функции

      2011 год

      3. Классификация точек разрыва.

      Для начала, давайте поймем, что вообще означает “точка разрыва”. Все предельно просто!

      Точка называется точкой разрыва функции , если в этой точке не является непрерывной.

      Прежде чем начинать рассматривать классификацию точек разрыва, вы должны всегда проверять условие: должна быть определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .

      Если условие выполняется, то можно рассматривать классификацию точек разрыва.

      Точка – устранимая точка

      разрыва, если

      lim #

      →

      Пример №1.

       

       

       

       

       

      sin

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      ∞; 0 0; ∞

       

       

       

      0

      необычная точка. В ней

       

       

      D

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Прежде всего, напишем область определения:

       

       

       

       

       

      . Отсюда сразу видно,

      что

       

       

       

      функция

      не

      определена, но

       

       

      определена в ее

      окрестности.

      → sin

       

       

       

      sin

       

       

       

       

       

       

      1

      0

      .

       

       

       

       

       

      lim

       

       

       

       

       

       

      Отсюда следует, что 0 устранимая точка разрыва.

       

       

       

       

       

      37

      Высшая математика для чайников. Предел функции

      2011 год

      Точка – точка разрыва первого рода, если

      lim

      #

      lim #

      →

       

      →

       

       

       

      Пример №1.

       

      sgn

       

       

      Функция sgn уже должна быть ранее вам известна, но я вам ее напомню.

      sgn

      1,

      0

      ” 0,

       

      0,

       

      1,

      , 0

      →

      sgn

      1,

       

       

       

       

       

      lim

       

       

       

       

       

      →

      sgn

      1,

       

       

      f(x) = sgn(x)

      lim

       

       

       

       

       

      0

      0.

       

      lim→ sgn lim→ sgn sgn

       

       

      0

       

      Отсюда следует, что

      точка

      точка разрыва

      первого рода.

       

       

       

      Точка – точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

      Пример №1.

       

      tg

       

       

      ‚w˜ , w 0 ™.

      Прежде всего, напишем область определения D

      –\ 2

       

      →

      tg

      ∞

       

       

       

       

       

      lim

       

       

      38

       

       

      Высшая математика для чайников. Предел функции

      2011 год

       

      →

      tg

      ∞

       

       

       

       

       

      lim

       

      Т.к. хотя бы один из пределов равен бесконечности, то

      ‚w точка разрыва второго рода.

      Пример №2.

       

      ln

       

       

       

      0; ∞ .

      Прежде всего, напишем область определения D

       

       

      →

       

      0

       

       

      lim ln

       

       

       

      →

       

       

       

       

      lim ln

       

       

      Т.к. хотя бы один из пределов не существует, то

       

      0 точка разрыва второго рода.

      Итак, мы теперь знаем классификацию точек разрыва. Мы рассмотрели примеры к каждому случаю. Они достаточно легкие, поэтому давайте еще попрактикуемся. Во всех следующих номерах определить точки разрыва.

      P.S. Для начала попробуйте сделать это сами, ну а потом проверьте себя. Удачи ☺!

      №1.

      т. 1 функция

      №2.

      Прежде всего, напишем

       

       

      ,

      ( 1

       

      2ln ,

      1

       

      lim

      lim

       

      ln

      0,

      →

       

      →

       

      1.

      lim

      lim

      →

       

      →

       

       

      lim

      lim

      →

       

      →

       

      имеет разрыв первого рода.

      ’

       

       

      D

       

      ∞, 0 0, ∞ .

       

      Что такое предел функции как его найти

      При каком условии Вам будут совсем не страшны любые задачи, где требуется найти предел функции? Условие следующее: у Вас есть базовый навык деления одних чисел на другие, на очень-очень маленькие числа и на очень-очень большие числа. Успех придет в процессе решения.

      А теперь посмотрим, что о пределе функции гласит теория. Впрочем, можно зайти чуть-чуть вперед и сразу перейти к задачам, а потом вернуться к теории. Как удобнее.

      Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

      Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.

      Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть . Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле

      Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:

      Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.

      Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется «доопределить функцию», с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы «Предел»). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:

      С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину — последовательность сумм их диаметров:

      Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.

      Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.

      Предел функции при

      Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :

         (1)

      сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

         (2)

      и можно ставить вопрос о существовании её предела.

      Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

      Пример 1. Найти предел функции при .

      Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:

      .

      Итак, предел данной функции при равен 1.

      Предел функции при , при и при

      Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

      Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

      Символически это записывается так: .

      Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

      Символически это записывается так: ().

      Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.

      Пример 2. Найти предел функции при .

      Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:

      .

      Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.

      А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

      Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

      Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

      Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке , то:

      1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

               (3)

      2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

                  (4)

      3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

                 (5)

      Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.

      Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

      Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

      Пример 3. Найти предел:

      Решение.

       

      А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

      Пример 4. Найти предел:

      Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:

      Таким образом, формула (5) применима и, значит,

      А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

      Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

      а функция f(u) непрерывна в точке , то

      Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

      Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

      Пример 5. Найти предел:

      Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

      Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим

      где

       

      корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:

      При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида . Эта неопределённость и неопределённость вида — самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

      БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

      Освоим эти приёмы на примерах.

      Для преобразования выражений потребуются пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

      Неопределённость вида

      Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .

      Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

      .

      Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или «супермалому числу».

      Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

      Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

      Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .

      Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:

      .

      Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем «икс» под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо «икса».

      Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

      Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

      Неопределённость вида

      Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .

      Решение. В числителе — разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

      .

      В знаменателе — квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

      Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

      Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

      Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел

      Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

      Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1.{3x}=1$.

      Предел (математика)

      Предел — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
      Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

      1. История
      Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
      При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» XVII век, однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
      Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
      С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

      2. Предел последовательности
      Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются ростом номера.
      Число a {\displaystyle a} называется пределом последовательности x 1, x 2., x n. {\displaystyle x_{1},x_{2}.,x_{n}.}, если
      ∀ ε 0, ∃ N ε, ∀ n N ε | x n − a | ε {\displaystyle \forall {\text{ }}\varepsilon 0{\text{, }}\exists {\text{ }}N\varepsilon{\text{, }}\forall {\text{ }}n N\varepsilon{\text{ }}{\text{ }}|x_{n}-a| a n x n b n ∀ n {\displaystyle a_{n} x_{n} b_{n}\forall n} и lim a n = lim b n {\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}}, то lim x n = lim a n = lim b n {\displaystyle \lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}}

      3. Предел функции
      Функция f x {\displaystyle fx} имеет предел A {\displaystyle A} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}}, если для всех значений x {\displaystyle x}, достаточно близких к x 0 {\displaystyle x_{0}}, значение f x {\displaystyle fx} близко к A {\displaystyle A}.
      Число b называется пределом функции fx в точке a, если ∀ ε 0 {\displaystyle \forall \varepsilon 0} существует δ 0 {\displaystyle \delta 0}, такое что ∀ x, 0 | x − a | δ {\displaystyle \forall x,0 n{\text{ }}{\text{ }}x_{i}\in Ux}

      Дата публикации:
      05-16-2020

      Дата последнего обновления:
      05-16-2020

      Предел функции. Односторонний предел

      Задачи на нахождение предела очень часто можно встретить в таких науках как механика, физика, высшая математика, прикладная математика и т.д. Суть таких задач заключается в отыскании значения функции при движении аргумента до некоторого значения при котором функция может быть и неопределена. Поведение функции в определенной точке и называется ее пределом. Он может принимать как постоянное значение так и быть равным бесконечности ().

      ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

      Пусть имеем функцию которая определена в некоторой окрестности точки . Число называется пределом функции при , если для любого малого наперед заданного положительного числа можно найти такое положительное число что для всех удовлетворяющих неравенство

      выполняется неравенство

      В упрощенной форме определения записывают так

      При функция является бесконечно большой, если для любого числа можно найти такое число что для всех , удовлетворяющих неравенство оправдывается неравенство

      В краткой форме это определение примет вид

      Функция является бесконечно малой при , если выполняется

      ОДНОСТОРОННИЕ ГРАНИЦЫ

      Запись можно понимать как приближение к точке слева, когда и дело, когда . аким образом, приближение точек до может быть двусторонним. На основе этого введены определения правой и левой границы.

      Число есть пределом функции слева (левой границей), если для любого числа существует такое, что при выполняется неравенство

      Число является пределом функции справа (правой границей) если для сколь угодно малого значения найдется такое что для всех из промежутка выполняется неравенство

      Левая и правая границы называются односторонними границами.

      Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда существуют одновременно границы справа и слева и они равны между собой

      Рассмотрим примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика» на нахождение границ.

      ————————————

      Пример 1. Найти пределы.

      1) (4. 331)

      2) (4. 333)

      3) (4. 337)

      4) (4. 342)

      5) (4. 348)

      6) (4. 357)

      Решение.

      1) Первые примеры не являются сложными и их решения сводится к подстановки значения аргумента в функцию

      2) Как и в предыдущем примере проводим подстановку

      3) Выполняем подстановку переменной в предел

      4) В такого типа примерах нужно знаменатель разложить по правилу разности квадратов, после этого выполнить подстановку

      5) В таких примерах нужно числитель и знаменатель сократить на множитель, который вносит наибольший вклад

      6) В подобных примерах ищут наибольший показатель переменной в числителе и знаменателе, а потом проводят анализ. При следовании корни ведут себя следующим образом

      С оценки показателей видим что числитель быстрее растет чем знаменатель

      следовательно функция бесконечно большая и ее предел бесконечный

      На этом вводной урок нахождения пределов функций завершен. Другие примеры вычисления пределов и методику их нахождения Вы найдете в следующих материалах.

      ————————————

      Посмотреть материалы:

      Исчисление I — Предел

      Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

      Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

      Раздел 2-2: Предел

      В предыдущем разделе мы рассмотрели пару проблем, и в обеих задачах у нас была функция (наклон в случае касательной задачи и средняя скорость изменения в задаче скорости изменения), и мы хотели знать, как эта функция ведет себя в некоторая точка \ (x = a \).На этом этапе игры нас больше не волнует, откуда взялись функции, и нас больше не волнует, увидим мы их в будущем или нет. Все, что нам нужно знать или о чем беспокоиться, — это то, что у нас есть эти функции, и мы хотим что-то о них знать.

      Чтобы ответить на вопросы в последнем разделе, мы выбираем значения \ (x \), которые все ближе и ближе к \ (x = a \), и вставляем их в функцию. Мы также убедились, что мы посмотрели на значения \ (x \), которые были как слева, так и справа от \ (x = a \).2} + 25}} {{t — 5}} = 15 \]

      В этих обозначениях мы заметим, что мы всегда указываем функцию, с которой работаем, а также указываем значение \ (x \) (или \ (t \)), к которому мы движемся.

      В этом разделе мы собираемся применить интуитивный подход к ограничениям и постараемся понять, что они собой представляют и что они могут рассказать нам о функции. Помня об этой цели, мы пока не будем вдаваться в подробности того, как на самом деле вычислять пределы. Вместо этого мы будем полагаться на то, что мы сделали в предыдущем разделе, а также на другой подход, чтобы угадать значение пределов.

      Оба подхода, которые мы собираемся использовать в этом разделе, призваны помочь нам понять, что такое ограничения. Как правило, мы обычно не используем методы, описанные в этом разделе, для вычисления пределов, и во многих случаях их может быть очень сложно использовать даже для оценки значения предела и / или иногда мы даем неправильное значение. Мы рассмотрим фактически вычисляемые пределы в нескольких разделах.

      Давайте сначала начнем со следующего «определения» лимита.

      Определение

      Мы говорим, что предел \ (f (x) \) равен \ (L \), когда \ (x \) приближается к \ (a \), и записываем это как

      \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = L \]

      при условии, что мы можем сделать \ (f (x) \) настолько близким к \ (L \), насколько мы хотим, для всех \ (x \), достаточно близких к \ (a \), с обеих сторон, фактически не позволяя \ (x \) быть \ (а \).

      Это не точное определение предела. Если вы хотите увидеть более точное и математическое определение лимита, вам следует ознакомиться с разделом «Определение лимита» в конце этой главы. Приведенное выше определение является скорее «рабочим» определением. Это определение помогает нам понять, что такое ограничения и что они могут сказать нам о функциях.

      Так что же означает это определение? Что ж, предположим, что мы знаем, что предел действительно существует.В соответствии с нашим «рабочим» определением мы можем решить, насколько близко к \ (L \) мы хотим сделать \ (f (x) \). В качестве аргумента предположим, что мы хотим сделать \ (f (x) \) не более чем на 0,001 от \ (L \). Это означает, что нам нужен один из следующих

      \ [\ begin {array} {lcl} f \ left (x \ right) — L

      Теперь, согласно «рабочему» определению, это означает, что если мы получим \ (x \) достаточно близко к \ (a \), мы можем сделайте одно из вышеперечисленных истинным. Однако на самом деле это говорит немного больше.Он говорит, что где-то в мире есть значение \ (x \), скажем \ (X \), так что для всех \ (x \), которые ближе к \ (a \), чем \ (X \), то одно из приведенных выше утверждений будет верным.

      Это довольно важная идея. В мире есть много функций, которые мы можем сделать как можно ближе к \ (L \) для определенных значений \ (x \), которые близки к \ (a \), но будут и другие значения \ (x \) ближе к \ (a \), которые дают значения функций, далеко не близкие к \ (L \).Чтобы предел существовал, как только мы получим \ (f (x) \) настолько близко к \ (L \), насколько мы хотим для некоторого \ (x \), тогда ему нужно будет оставаться в таком близком к \ (L \) ) (или приблизиться) для всех значений \ (x \), которые ближе к \ (a \). Мы увидим пример этого позже в этом разделе.

      В несколько более простых терминах определение говорит, что по мере того, как \ (x \) становится все ближе и ближе к \ (x = a \) (с обеих сторон, конечно …), то \ (f (x) \) должно быть приближаться и ближе к \ (L \). Или, когда мы приближаемся к \ (x = a \), тогда \ (f (x) \) должно двигаться к \ (L \).

      Важно еще раз отметить, что мы должны смотреть на значения \ (x \), которые находятся по обе стороны от \ (x = a \). Мы также должны отметить, что нам не разрешено использовать \ (x = a \) в определении. Мы часто будем использовать информацию, которую дают нам ограничения, чтобы получить некоторую информацию о том, что происходит прямо в \ (x = a \), но само ограничение не связано с тем, что на самом деле происходит в \ (x = a \) . Предел касается только того, что происходит вокруг точки \ (x = a \). Это важное понятие об ограничениях, которое нам нужно иметь в виду.

      Альтернативное обозначение, которое мы иногда будем использовать для обозначения пределов, —

      . \ [f (x) \ to L \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {as}} \ hspace {0,25in} x \ to a \]

      Как мы используем это определение, чтобы помочь нам оценить пределы? Мы делаем именно то, что делали в предыдущем разделе. Мы берем \ (x \) с обеих сторон от \ (x = a \), которые перемещаются все ближе и ближе к \ (a \), и вставляем их в нашу функцию. Затем мы смотрим, можем ли мы определить, к какому числу движутся значения функции, и используем это в качестве нашей оценки.2} — 2x}} \] Показать решение

      Обратите внимание, что мы сказали «оценка значения лимита». Опять же, в этом разделе мы не собираемся напрямую вычислять пределы. Цель этого раздела — дать нам лучшее представление о том, как работают ограничения и что они могут рассказать нам о функции.

      Итак, имея это в виду, мы будем работать с этим почти так же, как мы делали в предыдущем разделе. Мы выберем значения \ (x \), которые становятся все ближе и ближе к \ (x = 2 \), и подставим эти значения в функцию.Это дает следующую таблицу значений.

      \ (х \) \ (е (х) \) \ (х \) \ (е (х) \)
      2,5 3,4 1,5 5,0
      2,1 3.857142857 1.9 4,157894737
      2,01 3.985074627 1,99 4.015075377
      2,001 3.998500750 1,999 4,001500750
      2.0001 3.999850007 1,9999 4.000150008
      2,00001 3.999985000 1,99999 4,000015000

      Обратите внимание, что мы убедились и выбрали значения \ (x \), которые были по обе стороны от \ (x = 2 \), и что мы переместились очень близко к \ (x = 2 \), чтобы убедиться, что любые тенденции, которые мы можем наблюдать, на самом деле верны.2} — 2x}} = 4 \]

      Давайте еще немного подумаем о том, что здесь происходит. Давайте изобразим график функции из последнего примера. График функции в интересующем диапазоне значений \ (x \) показан ниже.

      Во-первых, обратите внимание на довольно большую открытую точку в точке \ (x = 2 \). Это нужно для того, чтобы напомнить нам, что функции (и, следовательно, графика) не существует в \ (x = 2 \).

      Когда мы вставляли значения \ (x \) в функцию, мы фактически перемещаемся по графику в направлении точки как \ (x = 2 \).Это показано на графике двумя стрелками на графике, которые перемещаются к точке.

      Когда мы вычисляем пределы, мы действительно задаемся вопросом, к какому значению \ (y \) приближается наш график, когда мы приближаемся к \ (x = a \) на нашем графике. Мы НЕ спрашиваем, какое значение \ (y \) принимает график в рассматриваемой точке. Другими словами, мы спрашиваем, что делает график вокруг точки \ (x = a \). В нашем случае мы можем видеть, что по мере того, как \ (x \) приближается к 2 (с обеих сторон), функция приближается к \ (y = 4 \), хотя самой функции даже не существует в \ (x = 2 \ ).Таким образом, можно сказать, что лимит на самом деле равен 4.

      Итак, что мы узнали об ограничениях? Пределы спрашивают, что делает функция вокруг \ (x = a \), и не связаны с тем, что функция на самом деле делает в \ (x = a \). Это хорошо, поскольку многие функции, которые мы рассмотрим, даже не будут существовать в \ (x = a \), как мы видели в нашем последнем примере.

      Давайте рассмотрим еще один пример, чтобы доказать это.

      Пример 2 Оцените значение следующего предела.2} — 2x}} & {\ mbox {if}} x \ ne 2 \\ 6 & {\ mbox {if}} x = 2 \ end {array} \ right. \] Показать решение

      Прежде всего, следует отметить, что это точно такая же функция, как и в первом примере, за исключением того, что мы присвоили ей значение для \ (x = 2 \). Итак, сначала отметим, что

      \ [g \ left (2 \ right) = 6 \]

      Что касается оценки значения этого лимита, то по сравнению с первым примером ничего не изменилось.Мы могли бы составить таблицу значений, как в первом примере, или быстро взглянуть на график функции. Любой метод даст нам значение лимита.

      Давайте сначала взглянем на таблицу значений и посмотрим, что она нам говорит. Обратите внимание, что наличие значения функции в \ (x = 2 \) не изменит наш выбор для \ (x \). Мы выбираем только значения \ (x \), которые становятся ближе к \ (x = 2 \), но никогда не берем \ (x = 2 \). Другими словами, таблица значений, которую мы использовали в первом примере, будет точно такой же, как и здесь.Итак, поскольку мы уже сделали это один раз, нет причин переделывать его здесь.

      Из этой таблицы снова ясно, что предел равен

      . \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} g \ left (x \ right) = 4 \]

      Предел НЕ 6! Помните из обсуждения после первого примера, что ограничения не заботятся о том, что функция на самом деле делает в рассматриваемой точке. Пределы касаются только того, что происходит на около точки.Поскольку единственное, что мы изменили в функции, — это ее поведение при \ (x = 2 \), это не изменит предел.

      Давайте также быстро взглянем на график этой функции, чтобы убедиться, что это то же самое.

      Опять же, мы видим, что по мере того, как мы приближаемся к \ (x = 2 \) на нашем графике, функция все еще приближается к значению \ (y \), равному 4. Помните, что мы только спрашиваем, что функция делает вокруг \ (x = 2 \), и нам все равно, что функция на самом деле делает в \ (x = 2 \).График также подтверждает вывод о том, что предел составляет

      \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} g \ left (x \ right) = 4 \]

      Давайте еще раз поговорим об этом, чтобы убедиться, что мы все поняли. Пределы , а не , связанные с тем, что происходит в \ (x = a \). Ограничения касаются только того, что происходит на около \ (x = a \). Мы постоянно говорим об этом, но это очень важная концепция ограничений, которую мы всегда должны помнить.Итак, мы воспользуемся любой возможностью, чтобы напомнить себе об этой идее.

      Поскольку ограничения не связаны с тем, что на самом деле происходит в \ (x = a \), мы иногда будем видеть ситуации, подобные предыдущему примеру, где предел в точке и значение функции в точке различаются. Конечно, это не всегда будет происходить. Бывают случаи, когда значение функции и предел в одной точке совпадают, и в конечном итоге мы увидим несколько таких примеров. Однако важно не волноваться из-за того, что функция и предел не принимают одно и то же значение в одной точке.Иногда такое случается, поэтому нам нужно иметь возможность разбираться в тех случаях, когда они возникают.

      Давайте взглянем на другой пример, чтобы попытаться опровергнуть эту идею.

      Пример 3 Оцените значение следующего предела. \ [\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ theta \ to 0} \, \ frac {{1 — \ cos \ left (\ theta \ right)}} {\ theta} \] Показать решение

      Во-первых, не волнуйтесь о функции \ (\ theta \) in. Это просто буква, как \ (x \) буква! Это греческая буква, но это буква, и иногда вам будет предложено работать с греческими буквами, так что сейчас неплохо бы начать к ним привыкать.

      Теперь также обратите внимание, что если мы подключим \ (\ theta = 0 \), мы получим деление на ноль, и поэтому функция в данный момент не существует. Фактически, в этот момент мы получаем 0/0, но из-за деления на ноль этой функции не существует в \ (\ theta = 0 \).

      Итак, как мы сделали в первом примере, давайте возьмем таблицу значений и посмотрим, что, если мы сможем угадать, к какому значению движется функция.

      \ (\ theta \) \ (е \ влево (\ тета \ вправо) \) \ (\ theta \) \ (е \ влево (\ тета \ вправо) \)
      1 0.45969769 -1 -0,45969769
      0,1 0,04995835 -0,1 -0,04995835
      0,01 0,00499996 -0,01 -0,00499996
      0,001 0.00049999 -0,001 -0,00049999

      Хорошо, похоже, что функция приближается к значению нуля, поскольку \ (\ theta \) приближается к 0, конечно с обеих сторон.

      Следовательно, предположим, что предел имеет значение

      \ [\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ theta \ to 0} \, \ frac {{1 — \ cos \ left (\ theta \ right)}} {\ theta} = 0 \]

      Итак, еще раз, предел имел значение, даже если функция не существовала в интересующей нас точке.

      Пришло время поработать еще пару примеров, которые приведут нас к следующему представлению об ограничениях, которое мы собираемся обсудить.

      Пример 4 Оцените значение следующего предела. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 0} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {t}} \ right) \] Показать решение

      Давайте составим таблицу значений и посмотрим, что в этом случае происходит с нашей функцией.

      \ (т \) \ (f (t) \) \ (т \) \ (f (t) \)
      1 -1 -1 -1
      0.1 1 -0,1 1
      0,01 1 -0,01 1
      0,001 1 -0,001 1

      Теперь, если бы мы угадали предел из этой таблицы, мы бы предположили, что предел равен 1.Однако, если бы мы сделали это предположение, мы ошиблись бы. Рассмотрим любую из следующих оценок функций.

      \ [f \ left ({\ frac {1} {{2001}}} \ right) = — 1 \ hspace {0,55 дюйма} f \ left ({\ frac {2} {{2001}}} \ right) = 0 \ hspace {0,5 дюйма} f \ left ({\ frac {4} {{4001}}} \ right) = \ frac {{\ sqrt 2}} {2} \]

      Во всех трех оценках функции мы оценили функцию с числом меньше 0,001 и получили три совершенно разных числа. Напомним, что определение предела, с которым мы работаем, требует, чтобы функция приближалась к единственному значению (наше предположение) по мере приближения \ (t \) к рассматриваемой точке.Это не говорит о том, что только некоторые значения функции должны приближаться к предположению. Он говорит, что все значения функций должны приближаться к нашему предположению.

      Было бы удобно увидеть, что здесь происходит, на графике функции.

      Из этого графика мы видим, что по мере того, как мы приближаемся к \ (t = 0 \), функция начинает дико колебаться, и на самом деле колебания увеличиваются по скорости по мере приближения к \ (t = 0 \), которое мы получаем.Вспомните из нашего определения предела, что для того, чтобы предел существовал, функция должна устанавливаться в сторону единственного значения по мере того, как мы приближаемся к рассматриваемой точке.

      Эта функция явно не сводится к одному номеру, и поэтому этот предел не существует !

      Этот последний пример указывает на недостаток простого выбора значений переменной и использования таблицы значений функций для оценки значения предела.Значения переменной, которые мы выбрали в предыдущем примере, были действительными и на самом деле, вероятно, были значениями, которые многие выбрали бы. Фактически, это были точно такие же значения, которые мы использовали в задаче до этой, и они работали в этой задаче!

      При использовании таблицы значений всегда будет вероятность того, что мы не выберем правильные значения и что мы будем неправильно угадывать наш предел. Это то, что мы всегда должны помнить, когда делаем это, чтобы угадать значение лимитов.Фактически, это такая проблема, что после этого раздела мы никогда не будем использовать таблицу значений, чтобы снова угадать значение лимита.

      Этот последний пример также показал нам, что ограничения не должны существовать. До этого момента мы видели только существующие ограничения, но это не всегда так.

      Давайте взглянем на еще один пример в этом разделе.

      Пример 5 Оцените значение следующего предела. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 0} H \ left (t \ right) \ hspace {0.25 дюймов} {\ mbox {где,}} \ hspace {0,25 дюйма} H \ left (t \ right) = \ left \ {\ begin {array} {ll} 0 & {\ mbox {if}} t Показать решение

      Эта функция часто называется функцией Heaviside или step . Мы могли бы использовать таблицу значений для оценки предела, но в этом случае, вероятно, так же быстро можно использовать график, так что давайте сделаем это. Ниже представлен график этой функции.

      Из графика видно, что если мы приближаемся к \ (t = 0 \) с правой стороны, функция приближается к значению \ (y \), равному 1.На самом деле он просто остается на 1, но в терминологии, которую мы использовали в этом разделе, он приближается к 1…

      .

      Кроме того, если мы переместимся в сторону \ (t = 0 \) слева, функция будет двигаться в направлении значения \ (y \), равного 0.

      Согласно нашему определению предела, функция должна приближаться к одному значению, когда мы приближаемся к \ (t = a \) (с обеих сторон). В данном случае этого не происходит, поэтому в этом примере мы также скажем, что ограничения не существует.

      Обратите внимание, что ограничение в этом примере немного отличается от предыдущего. В предыдущем примере функция не сводилась к одному числу, когда мы приближались к \ (t = 0 \). Однако в этом примере функция сводится к одному числу как \ (t = 0 \) с обеих сторон. Проблема в том, что число разное с каждой стороны от \ (t = 0 \). Это идея, которую мы рассмотрим более подробно в следующем разделе.

      Давайте подведем итог тому, что мы (надеюсь) узнали в этом разделе.В первых трех примерах мы видели, что ограничения не заботятся о том, что функция на самом деле делает в рассматриваемой точке. Их беспокоит только то, что происходит вокруг точки. Фактически, у нас могут быть пределы в \ (x = a \), даже если самой функции в этой точке не существует. Точно так же, даже если функция существует в какой-то точке, нет причин (на этом этапе) думать, что предел будет иметь то же значение, что и функция в этой точке. Иногда предел и функция будут иметь одно и то же значение в одной точке, а в других случаях — разные значения.

      Далее, в третьем и четвертом примерах мы увидели основную причину отказа от использования таблицы значений для определения значения лимита. В этих примерах мы использовали точно такой же набор значений, однако они работали только в одном из примеров. Использование таблиц значений для угадывания значения лимитов — просто не лучший способ получить значение лимита. Это единственный раздел, в котором мы это сделаем. Таблицы значений всегда должны быть вашим последним выбором при поиске значений пределов.

      Последние два примера показали нам, что на самом деле не все ограничения существуют.Мы не должны зацикливаться на идее, что ограничения будут существовать всегда. В большинстве курсов по математике мы работаем с ограничениями, которые существуют почти всегда, поэтому легко начать думать, что пределы существуют всегда. Пределы существуют не всегда, поэтому не привыкайте предполагать, что они будут.

      Наконец, в четвертом примере мы увидели, что единственный способ справиться с ограничением — это построить график функции. Иногда это единственный способ, однако этот пример также проиллюстрировал недостаток использования графиков.Чтобы использовать график, чтобы угадать значение предела, вам нужно иметь возможность на самом деле нарисовать график. Для многих функций это сделать не так просто.

      Есть еще один недостаток в использовании графиков. Даже если у вас есть график, он будет полезен, только если значение \ (y \) приближается к целому числу. Если значение \ (y \) приближается, скажем, \ (\ frac {{- 15}} {{123}} \), вы никак не сможете угадать это значение по графику, а мы обычно требуются точные значения для наших пределов.

      Итак, хотя графики функций могут иногда облегчить вам жизнь при угадывании значений пределов, они снова, вероятно, не лучший способ получить значения пределов. Они будут полезны только в том случае, если вы сможете их достать, а значение лимита — «хорошее» число.

      Возникает естественный вопрос, почему мы вообще говорили об использовании таблиц и / или графиков для оценки пределов, если они не являются лучшим способом. На то было несколько причин.

      Во-первых, они могут помочь нам лучше понять, что такое ограничения и что они могут нам сказать.Если мы не сделаем хотя бы пару ограничений таким образом, мы не сможем понять, что это за пределы.

      Вторая причина использования ограничений таким образом — указать на их недостатки, чтобы у нас не возникало соблазна использовать их все время!

      В конце концов мы поговорим о том, как мы действительно устанавливаем лимиты. Однако есть еще одна тема, которую мы должны обсудить, прежде чем делать это. Поскольку этот раздел уже существует некоторое время, мы поговорим об этом в следующем разделе.

      Интуитивное введение в пределы — лучше объяснение

      Пределы

      , основы исчисления, кажутся такими искусственными и надменными: «Пусть x приближается к 0, но не достигает его, но мы будем действовать так, как будто оно есть…» Ух.

      Вот как я научился ими пользоваться:

      • Что такое лимит? Наше лучшее предсказание точки, которую мы не наблюдали.
      • Как сделать прогноз? Увеличьте соседние точки.Если наш прогноз всегда находится между соседними точками, независимо от того, насколько мы увеличиваем масштаб, это наша оценка.
      • Зачем нужны лимиты? Math имеет сценарии «черной дыры» (деление на ноль, уход в бесконечность), и ограничения дают нам оценку, когда мы не можем вычислить результат напрямую.
      • Как мы узнаем, что правы? Нет. Наше предсказание, предел, не обязательно должно соответствовать действительности. Но для большинства природных явлений так и должно быть.

      Пределы позвольте спросить «А что, если?».Если мы можем непосредственно наблюдать функцию при значении (например, x = 0 или x бесконечно растущем), нам не нужен прогноз. Предел задается вопросом: «Если вы видите все , кроме , одно значение, как вы думаете, что там?».

      Когда наш прогноз согласуется и улучшается по мере приближения к , мы чувствуем в нем уверенность. И если функция работает плавно, как большинство реальных функций, предел — это место, где должна быть отсутствующая точка.

      Ключевая аналогия: предсказание футбольного мяча

      Представьте, что вы смотрите футбольный матч.К сожалению, соединение нестабильно:

      Ack! Мы пропустили то, что произошло в 4:00. Даже в этом случае, как вы прогнозируете положение мяча?

      Легко. Просто возьмите соседние моменты (3:59 и 4:01) и предсказывайте, что мяч окажется где-то посередине.

      И… работает! Объекты реального мира не телепортируются; они перемещаются через промежуточные позиции на своем пути от A до B. Наш прогноз: «В 4:00 мяч находился между его положением в 3:59 и 4:01».Неплохо.

      С камерой замедленной съемки мы могли бы даже сказать: «В 4:00 мяч находился между своими позициями в 3: 59.999 и 4: 00.001».

      Наш прогноз кажется верным. Можем ли мы сформулировать почему?

      • Прогнозы совпадают при увеличении масштабов . Представьте, что диапазон 3: 59–4: 01 составлял 9,9–10,1 метра, но после увеличения до 3: 59,999–4: 00.001 диапазон расширился до 9–12 метров. Ой ой! Масштабирование должно сузить до нашей оценки, а не ухудшить ее! Не каждый уровень масштабирования должен быть точным (представьте, что вы смотрите игру каждые 5 минут), но чтобы чувствовать себя уверенно, должен быть некоторый порог, при котором последующие увеличения только усиливают нашу оценку диапазона.

      • Согласен до и после. Представьте, что в 3:59 мяч летел на 10 метров вправо, а в 4:01 он был на 50 метрах и катился влево. Что произошло? У нас был внезапный прыжок (смена камеры?), И теперь мы не можем определить положение мяча. У кого был мяч в 4:00? Эта двусмысленность лишает нас возможности делать уверенные прогнозы.

      С учетом этих требований можно сказать: «В 4:00 мяч был на расстоянии 10 метров. Эта оценка подтверждается нашим первоначальным увеличением (3: 59-4: 01, которое составляет 9.От 9 до 10,1 метра) и следующего (3: 59.999-4: 00.001, что составляет от 9,999 до 10,001 метра) ».

      Лимиты — это стратегия для уверенных прогнозов.

      Изучение интуиции

      Давайте пока не будем приводить математические определения. Для каких вещей в реальном мире мы хотим получить точный прогноз, но не можем легко измерить?

      Какова длина окружности?

      Найти Пи «экспериментально» сложно: выбить строку и линейку?

      Мы не можем измерить фигуру с кажущимися бесконечными сторонами, но мы можем задаться вопросом: «Есть ли предсказанное значение числа Пи, которое всегда будет точным, если мы продолжаем увеличивать стороны?»

      Архимед вычислил, что число пи имеет диапазон

      .

      , используя такой процесс:

      Это было предшественником исчисления: он определил, что пи — это число, которое остается между его постоянно сужающимися границами.В настоящее время у нас есть современные предельные определения числа пи.

      Как выглядит идеально непрерывный рост?

      e, одно из моих любимых чисел, можно определить так:

      Мы не можем легко измерить результат бесконечно сложного роста. Но если мы, , сможем сделать прогноз , есть ли хоть один коэффициент, который когда-либо был бы точным? Вроде около 2,71828…

      Можем ли мы использовать простые формы для измерения сложных?

      Круги и кривые сложно измерить, но прямоугольники — легко.Если бы мы, , могли использовать бесконечное количество прямоугольников для имитации искривленной области, сможем ли мы получить результат, выдерживающий бесконечную проверку? (Возможно, нам удастся найти площадь круга.)

      Можем ли мы узнать скорость в мгновение ока?

      Скорость — это забавно: для этого нужны измерения до и после (пройденное расстояние / затраченное время), но разве мы не можем определить скорость в отдельные моменты времени? Грм.

      Пределы помогают решить эту загадку: спрогнозируйте свою скорость, путешествуя в соседний момент.Затем задайте «невозможный вопрос»: какова ваша прогнозируемая скорость, когда разрыв с соседним моментом равен нулю?

      Примечание. Предел — не панацея. Мы не можем предположить, что он существует, и не может быть ответа на каждый вопрос. Например: число целых чисел четное или нечетное? Количество бесконечно, и ни «четное», ни «нечетное» предсказание не остается точным, когда мы считаем больше. Никакого надежного прогноза не существует.

      Для пи, е и основ исчисления умные умы провели доказательства, чтобы определить: «Да, наши предсказанные значения становятся тем точнее, чем ближе мы смотрим.«Теперь я понимаю, почему так важны: это знак одобрения наших прогнозов.

      Математика: формальное определение предела

      Пределы — это хорошо подтвержденные прогнозы. Вот официальное определение:

      означает, что для всех действительных ε> 0 существует вещественное δ> 0 такое, что для всех x с 0

      Давайте сделаем это читаемым:

      Математика Английский Человек Английский
      Когда мы «строго прогнозируем», что f (c) = L, мы имеем в виду
      для всех действительных ε> 0 для любой допустимой погрешности, которую мы хотим (+/-.1 метр)
      существует реальное значение δ> 0 существует уровень масштабирования (+/- 0,1 секунды)
      , такой, что для всех x с 0, где прогноз остается точным в пределах погрешность

      Здесь есть несколько тонкостей:

      • Уровень масштабирования (дельта, δ) — это вход функции, то есть время в видео
      • Допустимая погрешность (эпсилон, ε) — это максимальное значение, которое выходной сигнал функции (положение мяча) может отличаться от нашего прогноза на всем уровне масштабирования
      • Условие абсолютного значения (0 <| x - c | <δ) означает, что положительные и отрицательные смещения должны работать, и мы пропускаем саму черную дыру (когда | x - c | = 0).

      Мы не можем оценить ввод черной дыры, но можем сказать: «За исключением отсутствующей точки, весь уровень масштабирования подтверждает предсказание $ f (c) = L $». И поскольку $ f (c) = L $ справедливо для , любой допустимый предел ошибки , который мы можем найти, мы чувствуем уверенно.

      Можно ли сделать несколько прогнозов? Представьте, что мы предсказали L1 и L2 для f (c). Между ними есть некоторая разница (назовем это .1), поэтому есть некоторая погрешность (0,01), которая позволит выявить более точную. Выход каждой функции в диапазоне не может быть в пределах.01 обоих прогнозов. У нас либо есть единый бесконечно точный прогноз, либо его нет.

      Да, мы можем проявить симпатию и попросить «левый предел» (прогноз до события) и «правый предел» (прогноз после события), но у нас есть реальный предел только тогда, когда они согласны.

      Функция является непрерывной, если она всегда соответствует предсказанному значению (и прерывистой, если нет):

      Исчисление обычно изучает непрерывные функции, играя в игру «Мы делаем прогнозы, но только потому, что знаем, что они верны.”

      Математика: показывает, что предел существует

      У нас есть требования для надежного прогноза. Вопросы, просящие вас «доказать, что предел существует», требуют, чтобы вы обосновали свою оценку.

      Например: докажите, что предел при x = 2 существует для

      Первая проверка: нужен ли вообще лимит? К сожалению, мы это делаем: просто вставка «x = 2» означает, что у нас есть деление на ноль. Drats.

      Но интуитивно мы видим, что один и тот же «ноль» (x — 2) может быть отменен сверху и снизу.Вот как танцевать это опасное танго:

      • Предположим, что x равно , кроме 2 (Должно быть! Мы делаем прогноз извне.)
      • Затем мы можем отменить (x — 2) сверху и снизу, поскольку он не равен нулю.
      • Осталось f (x) = 2x + 1. Эту функцию можно использовать за пределами черной дыры.
      • Что предсказывает эта более простая функция? Это f (2) = 2 * 2 + 1 = 5.

      Итак, f (2) = 5 — это наш прогноз. Но вы заметили коварство? Мы притворились, что x не 2 [чтобы разделить (x-2)], а затем подключили 2 после того, как этот проблемный элемент исчез! Подумайте об этом так: мы использовали простое поведение из вне события , чтобы предсказать грубое поведение в событии .

      Мы можем доказать, что эти махинации дают надежный прогноз, и что f (2) = 5 бесконечно точное.

      Для любого порога точности (ε) нам нужно найти «диапазон масштабирования» (δ), при котором мы остаемся в пределах заданной точности. Например, можем ли мы сохранить оценку в пределах +/- 1,0?

      Конечно. Нам нужно узнать, где

      т.

      Другими словами, x должен оставаться в пределах 0,5 из 2, чтобы поддерживать начальное требование точности 1,0. Действительно, когда x находится между 1.5 и 2.5, f (x) изменяется от f (1.5) = 4 до f (2.5) = 6, оставаясь +/- 1.0 от нашего предсказанного значения 5.

      Мы можем сделать обобщение для любого допуска ошибок (ε), подключив его к 1.0 выше. Получаем:

      Если наш уровень масштабирования равен «δ = 0,5 * ε», мы останемся в пределах исходной ошибки. Если наша ошибка равна 1.0, нам нужно увеличить до .5; если 0,1, нам нужно увеличить до 0,05.

      Эта простая функция была удобным примером. Идея состоит в том, чтобы начать с начального ограничения (| f (x) — L | <ε), подключить f (x) и L и найти расстояние от точки черной дыры (| x - c | < ?).Часто это упражнение по алгебре.

      Иногда вас просят просто найти предел (вставьте 2 и получите f (2) = 5), в других случаях вас просят доказать, что предел существует, то есть прокрутить эпсилон-дельта-алгебру.

      Переворот нуля и бесконечности

      Infinity, когда используется в качестве лимита, означает «растет без остановки». Символ ∞ не более чем число, чем предложение «растет без остановки» или «у меня запас трусов сокращается». Это понятия, а не числа (для нашего уровня математики, только Алеф я).

      При использовании ∞ в ограничении мы спрашиваем: «Если x растет без остановки, можем ли мы сделать прогноз, который останется точным?». Если есть предел, это означает, что прогнозируемое значение всегда подтверждается, как бы далеко мы не смотрели.

      Но я все еще не люблю бесконечность, потому что не вижу ее. Но я вижу ноль. С ограничениями можно

      переписать

      как

      Можно хитростью определить y = 1 / x, заменить элементы в формуле, а затем использовать

      , так что снова похоже на нормальную проблему! (Примечание Тима в комментариях: предел идет справа, так как x стремится к положительной бесконечности).Я предпочитаю эту схему, потому что я могу видеть место, к которому мы сужаемся (у нас всегда заканчивается бумага при построении бесконечной версии).

      Почему пределы не используются чаще?

      Представьте себе ребенка, который понял, что «ставим ноль на конце» делает число в 10 раз больше. Есть 5? Запишите «5», затем «0» или 50. Есть 100? Сделайте 1000. И так далее.

      Он не понял, почему работает умножение, почему это правило оправдано … но, согласитесь, он уверен, что умножает на 10.2 $ »без строгого обоснования. Тем не менее, судя по его неофициальным результатам, двигатели крутятся, а самолеты летают.

      Ошибка педагогики математического анализа создает препятствие, подобное тому, что «вы должны знать пределы ™, прежде чем научиться ценить математический анализ», хотя очевидно, что изобретатели математического анализа этого не знали. Я бы предпочел эту прогрессию:

      • Исчисление задает, казалось бы, невозможные вопросы: когда прямоугольники могут измерять кривую? Можем ли мы обнаружить мгновенное изменение?
      • Пределы дают стратегию ответа на «невозможные» вопросы («Если вы можете сделать прогноз, выдерживающий бесконечную проверку, мы скажем, что это нормально.2 $), точно так же, как мы запоминаем ярлыки для правил, которые мы проверили с помощью умножения (добавление нуля означает умножение на 10). Но все же приятно знать, почему короткие пути оправданы.

      Пределы — не единственный инструмент для проверки ответов на невозможные вопросы; бесконечно малые тоже работают. Ключом является понимание того, что мы пытаемся предсказать, , затем , изучение правил построения прогнозов.

      Счастливая математика.

      Другие сообщения из этой серии

      1. Нежное введение в изучение исчисления
      2. Понимание исчислений с помощью метафоры банковского счета
      3. Доисторическое исчисление: открытие числа Пи
      4. Аналогия с исчислением: интегралы как умножение
      5. Исчисление: построение интуиции для производных
      6. Как понять деривативы: правила продукта, власти и цепочки
      7. Как понимать производные: правило частного, экспоненты и логарифмы
      8. Интуитивное введение в ограничения
      9. Интуиция к серии Тейлора (аналогия с ДНК)
      10. Зачем нужны пределы и бесконечно малые?
      11. Обучение исчислению: преодоление нашей искусственной потребности в точности
      12. Дружеский чат о том, 0.999 … = 1
      13. Аналогия: камера исчисления
      14. Практика абстракции: графы исчисления
      15. Quick Insight: более простая арифметика с исчислением
      16. Как сложить от 1 до 100 с помощью исчисления
      17. Интеграл греха (x): геометрическая интуиция

      Пределы — математика средней школы

      Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

      Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

      Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105

      Или заполните форму ниже:

      1. Пределы и дифференциация

      М. Борна


      Чтобы понять, что на самом деле происходит в дифференциальном исчислении, нам сначала нужно понять пределы .

      Пределы

      При изучении исчисления нас интересует, что происходит со значением функции. поскольку независимая переменная очень близка к определенному значению. Мы столкнулись с этой концепцией во введении, где увеличили масштаб кривой, чтобы получить приблизительное значение наклона этой кривой.

      Иногда определение предельного значения выражения означает просто подставив число.

      Пример 1

      Найдите предел, когда t приближается к `10` выражения `P = 3t + 7`.

      Ответ

      Мы запишем это с использованием обозначения предела как: `lim_ (trarr10) (3t + 7)`

      В этом примере нет никаких сложностей — мы просто подставить и написать

      `lim_ (trarr10) (3t + 7) = 37`

      Нет никаких сложностей, потому что f (t) = 3t + 7 — непрерывная функция.

      Но есть случаи, когда мы не можем просто так заменить.

      Пример 2

      Мы знаем, что x не может равняться «3» в следующем выражении (потому что у нас не может быть знаменателя, равного нулю):

      `f (x) = (x ^ 2-2x-3) / (x-3)`

      Каково значение функции, когда x приближается к `3`?

      Ответ

      Мы видим, что функция приближается к определенному значение x приближается к `3` слева:

      x 2.5 2,6 2,7 2,8 2,9
      f ( x ) 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

      Продолжая, мы приближаемся к `x = 3`:

      x 2,9 2,92 2,94 2.96 2,97 2,98 2,99
      f ( x ) 3,9 3,92 3,94 3,96 3,97 3,98 3,99

      Аналогично, приближение к `x = 3` справа дает то же предельное значение:

      92-4 92-3sin(x)+1=0 92=25 9х 92=0
      x 3,5 3.2-2х-3) / (х-3) `

      `= lim_ (xrarr3) ((x + 1) (x-3)) / (x-3)`

      `= lim_ (xrarr3) (x + 1)`

      `= 4`

      ВНИМАНИЕ: Процесс факторизации возможен только в этом примере, потому что мы имеем: x ≠ 3.

      Это типичная проблема при изучении вводных ограничений. Это кажется немного глупым, поскольку мы могли бы его разложить на множители, отменить и заменить x = 3, как мы только что видели. Но пример важен для концепции, что нет фактического значения функции, когда `x = 3`, но если мы действительно, очень близко к` 3`, значение функции действительно близко к некоторому значению (`4` , в таком случае).

      Пределы как

      x Подходы 0

      Мы должны помнить, что мы не можем делить на ноль — это неопределенный.

      Но есть некоторые интересные и важные ограничения, в которых существует ограничивающее значение, поскольку x приближается к «0» и где, по-видимому, у нас есть знаменатель «0».

      Пример 3

      Найдите предел, когда x приближается к `0` из` (sin \ x) / x`

      Ответ

      Обратите внимание, что мы не можем просто подставить 0, потому что `(sin \ 0) / 0` не определено.

      Нет никакого алгебраического процесса, чтобы найти этот предел. Мы можем подставить значения x , которые все ближе и ближе к `0` (как с левой, так и с правой стороны), и заключить, что

      `lim_ (xrarr0) (sin \ x) / x = 1.`

      Способ проверить это — построить график и увидеть, что предел приближения x к `0` действительно равен` 1`:

      Мы указали, что есть «дыра» в точке x = 0 на нашем графике, используя открытый кружок.

      Пределы при приближении

      x к бесконечности

      Пример 4

      Рассмотрим дробь «5 / x».Что происходит как `x -> oo`?

      Ответ

      Очевидно, что если мы возьмем все большие и большие значения x , значение дроби становится все меньше и меньше, пока не станет очень близко к `0`. Мы говорим, что «предел« 5 / x »при приближении x к бесконечности равен« 0 ».

      Мы запишем это в математической записи как: `lim_ (x-> oo) (5 / x) = 0`.

      Вот график y = 5 / x (для положительного x), показывающий, что значение y приближается к 0 по мере увеличения x:

      Пределы, когда переменная находится в знаменателе

      Всего:

      `lim_ (x -> + — oo) (1 / (x)) = 0`

      И аналогично

      `lim_ (x -> + — oo) (1 / (x ^ 2)) = 0`

      Мы используем эти пределы при оценке пределов функций и особенно полезен при построении кривых.

      Пример 5

      Найдите предел `lim_ (x-> oo) ((5-3x) / (6x + 1)).`

      Ответ

      На этот раз не так очевидно, каково предельное значение. Мы можно было бы заменить все большие и большие значения x , пока мы мог видеть, что происходит (попробуйте `100`, затем` 1 \ 000`, затем `1 \ 000 \ 000` и так далее).

      Или мы могли бы изменить выражение и использовать тот факт, что

      `lim_ (x-> oo) (1 / x) = 0`

      , чтобы найти предельное значение.

      Делим на x , чтобы получить выражение в форме, в которой мы можете оценить это.

      `lim_ (x-> oo) ((5-3x) / (6x + 1))`

      `= lim_ (x-> oo) ((5 / x-3) / (6 + 1 / x))`

      `= (0-3) / (6 + 0)`

      `= -1 / 2`

      Обратите внимание, что мы не можем подставить ∞ в дробь `((5 / x-3) / (6 + 1))`, потому что это не делает математический смысл.

      Пожалуйста, не пишите `((5-3 (oo)) / (6 (oo) +1))`. Это очень расстраивает математиков.2)) `

      `= -1 / 8`

      Шутка

      Объяснив студенту ограничения, я привел ему следующий пример:

      Я попытался проверить, действительно ли он это понял, поэтому привел ему другой пример.

      Его ответ был:

      Преемственность и дифференциация

      В этой главе мы будем дифференцировать многочлены. Но позже мы столкнемся с более сложными функциями, и порой мы не сможем их различить.2-x) ` не определен для` x = 0` и `x = 1`.

      В этих точках он прерывистый. Следовательно, мы не можем дифференцировать функцию для этих значений.

      Функции разделения и дифференциация

      Мы встречали функции разделения раньше в главе «Функции и графики».

      Функция разделения дифференцируема для всех x , если она непрерывна для всех x .

      Пример 7

      Мы встречали этот пример в предыдущей главе.2 + 2, текст (для) \ x> = 1):} `

      Эта функция имеет разрыв при x = 1, но на самом деле она определена для `x = 1` (и имеет значение` 1`). Он дифференцируемый для всех значений x , кроме «x = 1», поскольку он не является непрерывным при «x = 1».

      Непрерывные функции

      Все наши функции, описанные в предыдущих главах, посвященных дифференциации и интеграции, будут непрерывно . В следующих главах мы увидим прерывистые функции, особенно функции разделения.(см. Ряд Фурье и преобразования Лапласа)

      Далее …

      Теперь мы переходим к рассмотрению того, как ограничения применяются к проблеме нахождения скорости изменения функции из первых принципов. Это то же самое, что найти наклон касательной.

      Пределы функций | Блестящая вики по математике и науке

      Наиболее важными свойствами пределов являются алгебраических свойств , которые, по сути, говорят, что ограничения относятся к алгебраическим операциям:

      Предположим, что lim⁡x → af (x) = M \ lim \ limits_ {x \ to a} f (x) = Mx → alim f (x) = M и lim⁡x → ag (x) = N. k \ \ \ text {(если} M, k> 0).\ end {выровнен} x → alim (f (x) + g (x)) x → alim (f (x) −g (x)) x → alim (f (x) g (x)) x → alim (g (x) f (x)) x → alim f (x) k = M + N = M − N = MN = NM (если N = 0) = Mk (если M, k> 0) .

      Все это можно доказать с помощью определения эпсилон-дельта. Обратите внимание, что результаты верны только в том случае, если существуют пределы отдельных функций: если lim⁡x → af (x) \ lim \ limits_ {x \ to a} f (x) x → alim f (x) и lim⁡ x → ag (x) \ lim \ limits_ {x \ to a} g (x) x → alim g (x) не существует, предел их суммы (или разницы, произведения или частного) может существовать.

      В сочетании с основными ограничениями lim⁡x → ac = c, \ lim_ {x \ to a} c = c, limx → a c = c, где c cc — постоянная, и lim⁡x → ax = a, \ lim_ {x \ to a} x = a, limx → a x = a, свойства могут использоваться для вывода пределов, включающих рациональные функции:

      Пусть f (x) f (x) f (x) и g (x) g (x) g (x) — многочлены, и предположим, что g (a) ≠ 0. {2} +4900} = \ frac {a} {b}, x → 10lim x4−149×2 + 4900×3−10×2−25x + 250 = ba,

      где aaa и bbb — взаимно простые целые числа, что такое a + b? A + b? A + b?

      Непрерывность в исчислении: определение, примеры и проблемы — видео и стенограмма урока

      В следующих примерах учащиеся определяют, являются ли функции непрерывными в заданных точках, используя пределы.

      Проблемы

      1. Is

      непрерывно при x = 2? При x = -1?

      2. Is

      непрерывно при x = 0? При x = 2?

      3. Найдите значения констант a и b , чтобы функция

      всюду непрерывно.

      Решения

      1. Сначала проверьте, определена ли функция как x = 2.

      Проверка односторонних ограничений,
      Поскольку односторонние пределы согласуются, предел существует. Поскольку предел равен значению функции, функция является непрерывной при x = 2.

      Проверка, определена ли функция при x = -1,

      Функция не является непрерывной при x = -1, потому что она там не определена. Проверка односторонних ограничений:
      Поскольку предел существует, это точечный разрыв при x = -1.

      2. Проверка того, что функция определена как x = 0,

      Проверка односторонних ограничений,
      Односторонние пределы согласуются, поэтому предел существует и равен 0, что равно г (0) . Функция непрерывна при x = 0.

      Проверяя, определена ли функция при x = 2, получаем g (2) = 2. Проверка односторонних ограничений:

      Односторонние ограничения не согласуются, поэтому ограничения не существует.У нас есть скачкообразный разрыв при x = 2.

      3. Каждая часть функции является непрерывной, поскольку они являются полиномами. Чтобы быть непрерывным везде, нам нужно проверить, является ли функция непрерывной при x = -1 и x = 5.

      Для x = -1 значение функции равно

      Односторонние пределы:
      Чтобы предел существовал и равнялся значению функции, нам нужно — a + 5 = -11, поэтому a = 16.

      Для x = 5 значение функции:

      Односторонние ограничения:
      Чтобы предел существовал и равнялся значению функции, нам нужно -59 = 15 + b , поэтому b = -74.

      Что такое математический предел?

      Вы знаете, что такое предел в математике? Вы знаете, как определить круг, используя эту идею? И знаете, зачем вам это нужно? Продолжайте читать, чтобы узнать!

      Реклама

      Scientific American представляет The Math Dude от Quick & Dirty Tips. Scientific American и Quick & Dirty Tips являются компаниями Macmillan.

      В повседневном языке слово «предел» используется для обозначения границ, за которые не может выйти какое-то количество, какая-то идея или какая-то вещь. Например, ограничение скорости говорит вам о максимальной скорости, которую вам разрешено водить по закону. А лимит вашей кредитной карты говорит вам о максимальном балансе, который вы можете нести. Обе эти величины представляют собой верхние границы. Конечно, ограничения могут применяться и к нижним границам.Например, ограничение на средний балл, установленное приемной комиссией колледжа, или минимальный кредитный балл, необходимый для получения ссуды.

      В математике понятие предела в некотором роде такое же … но оно также в некотором роде другое. То же самое в том, что предел используется для описания того, что происходит, когда вы приближаетесь к какому-либо условию или границе. Но он отличается тем, что речь не обязательно идет о минимальных или максимальных значениях, связанных с этими вещами.

      150 умножить на 50: Умножить столбиком 50 на 150

      alexxlab / / Разное

      правила, примеры, решения, как умножать десятичные дроби

      В этой статье мы рассмотрим такое действие, как умножение десятичных дробей. Начнем с формулировки общих принципов, далее покажем, как умножить одну десятичную дробь на другую и рассмотрим метод умножения столбиком. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Потом мы разберем, как правильно умножить десятичные дроби на обыкновенные, а также на смешанные и натуральные числа (в том числе 100, 10 и др.)

      В рамках этого материала мы коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разобраны отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.

      Умножение десятичных дробей: общие принципы

      Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.

      Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.

      Посмотрим, как решаются такие задачи.

      Пример 1

      Вычислите произведение 1,5 и 0,75.

      Решение: для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Мы знаем, что 0,75 – это 75/100, а 1,5 – это 1510. Мы можем сократить дробь и произвести выделение целой части. Полученный результат 1251000 мы запишем как 1,125.

      Ответ: 1,125.

      Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.

      Пример 2

      Умножьте одну периодическую дробь 0,(3) на другую 2,(36).

      Решение

      Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:

      0,(3)=0,3+0,03+0,003+0,003+…=0,31-0,1=0,39=39=132,(36)=2+0,36+0,0036+…=2+0,361-0,01=2+3699=2+411=2411=2611

      Следовательно, 0,(3)·2,(36)=13·2611=2633.

      Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:

      Ответ: 0,(3)·2,(36)=0,(78).

      Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.

      Пример 3

      Вычислите произведение 5,382… и 0,2.

      Решение

      У нас в задаче есть бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получится, что 5,382…≈5,38. Второй множитель округлять до сотых смысла не имеет. Теперь можно подсчитать нужное произведение и записать ответ: 5,38·0,2=538100·210=1 0761000=1,076.

      Ответ: 5,382…·0,2≈1,076. 

      Как умножать десятичные дроби столбиком

      Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:

      Определение 1

      Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:

      1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые.

      2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.

      Разберем примеры таких расчетов на практике.

      Пример 4

      Умножьте десятичные дроби 63,37 и 0,12 столбиком.

      Решение

      Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.

      Теперь нам надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4. Дописывать нули не придется, т.к. знаков достаточно:

      Ответ: 3,37·0,12=7,6044.

      Пример 5

      Подсчитайте, сколько будет 3,2601 умножить на 0,0254.

      Решение 

      Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:

      Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:

      Ответ: 3,2601·0,0254=0,08280654.

      Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д

      Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:

      Определение 2

      Если мы умножим десятичную дробь на 0,1, 0,01 и т.д., в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков. При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева.

      Так, для умножения 45,34 на 0,1 надо перенести в исходной десятичной дроби запятую на один знак. У нас получится в итоге 4,534.

      Пример 6

      Умножьте 9,4 на 0,0001.

      Решение

      Нам придется переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватит. Приписываем необходимые нули и получаем, что 9,4·0,0001=0,00094.

      Ответ: 0,00094.

      Для бесконечных десятичных дробей мы пользуемся тем же правилом. Так, к примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 94,938…·0,1=9,4938…. и др.

      Как перемножить десятичную дробь с натуральным числом

      Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.

      Пример 7

      Подсчитайте, сколько будет 15·2,27.

      Решение

      Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.

      Ответ: 15·2,27=34,05.

      Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.

      Пример 8

      Вычислите произведение 0,(42) и 22.

      Решение

      Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.

      0,(42)=0,42+0,0042+0,000042+…=0,421-0,01=0,420,99=4299=1433

      Далее умножаем:

      0,42·22=1433·22=14·223=283=913

      Итоговый результат можем записать в виде периодической десятичной дроби как 9,(3).

      Ответ: 0,(42)·22=9,(3).

      Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.

      Пример 9

      Вычислите, сколько будет 4·2,145….

      Решение

      Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:

      4·2,145…≈4·2,15=8,60. 

      Ответ: 4·2,145…≈8,60.

      Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др

      Умножение десятичной дроби на 10, 100 и др. часто встречается в задачах, поэтому мы разберем этот случай отдельно. Основное правило умножения звучит так:

      Определение 3

      Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др., нужно перенести ее запятую на 3, 2,1 цифры в зависимости от множителя и отбросить слева лишние нули. Если цифр для переноса запятой недостаточно, дописываем справа столько нулей, сколько нам нужно.

      Покажем на примере, как именно это делать.

      Пример 10

      Выполните умножение 100 и 0,0783.

      Решение

      Для этого нам надо перенести в десятичной дроби запятую на 2 цифры в правую сторону. Мы получим в итоге 007,83​​​​​Нули, стоящие слева, можно отбросить и записать результат как 7,38.

      Ответ: 0,0783·100=7,83.

      Пример 11

      Умножьте 0,02 на 10 тысяч.

      Решение: мы будем переносить запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам не хватит для этого знаков, поэтому придется дописывать нули. В этом случае будет достаточно трех 0. В итоге получилось 0,02000,перенесем запятую и получим 00200,0. Игнорируя нули слева, можем записать ответ как 200.

      Ответ: 0,02·10 000=200.

      Приведенное нами правило будет работать так же и в случае с бесконечными десятичными дробями, но здесь следует быть очень внимательным к периоду итоговой дроби, так как в нем легко допустить ошибку.

      Пример 12

      Вычислите произведение 5,32(672) на 1 000.

      Решение: первым делом мы запишем периодическую дробь как 5,32672672672…, так вероятность ошибиться будет меньше. После этого можем переносить запятую на нужное количество знаков (на три). В итоге получится 5326,726726… Заключим период в скобки и запишем ответ как 5 326,(726).

      Ответ: 5,32(672)·1 000=5 326,(726).

      Если в условиях задачи стоят бесконечные непериодические дроби, которые надо умножать на десять, сто, тысячу и др., не забываем округлить их перед умножением.

      Как перемножить десятичную дробь с обыкновенной или со смешанным числом

      Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и далее действовать по уже знакомым правилам.

      Пример 13

      Умножьте 0,4 на 356

      Решение

      ​Cначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. Имеем: 0,4=410=25.

      Далее считаем: 0,4·356=25·236=2315=1815.

      Мы получили ответ в виде смешанного числа. Можно записать его как периодическую дробь 1,5(3).

      Ответ: 1,5(3).

      Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до некоторой цифры и уже потом умножать.

      Пример 14

      Вычислите произведение 3,5678…·23

      Решение 

      Второй множитель мы можем представить как 23=0,6666…. Далее округлим до тысячного разряда оба множителя. После этого нам будет нужно вычислить произведение двух конечных десятичных дробей 3,568 и 0,667. Посчитаем столбиком и получим ответ:

      Итоговый результат нужно округлить до тысячных долей, так как именно до этого разряда мы округляли исходные числа. У нас получается, что 2,379856≈2,380.

      Ответ: 3,5678…·23≈2,380

      Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

      Секреты быстрого умножения и деления

      1. Умножение и деление на 5, 50, 500 и т. д.

       Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10, 100, 1000 и т. д.). (50 = 100: 2 и т.д.)

       

                  54*5=(54*10):2=540:2=270    (54*5 = (54:2)*10= 270).

      Чтобы  число разделить на 5,50, 500 и т. д., надо это число разделить на  10,100,1000 и т. д. и умножить на 2.

      10800 : 50 = 10800:100*2 =216

      10800 : 50 = 10800*2:100 =21

      2. Умножение и деление на  25, 250, 2500 и т. д.

      Умножение на 25, 250, 2500 и т. д. заменяется умножением на 100,1000,10000 и т. д. и полученный результат разделить на 4. (25 = 100: 4)

      542*25=(542*100):4=13550                    (248*25=248: 4*100 = 6200)

      (если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени, любой ученик может выполнить).

             Чтобы выполнить деление числа на 25,25,250,2500 и т.д. это число надо разделить  на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 4.

               31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.

       3.  Умножение и деление на  125, 1250, 12500 и т. д.

      Умножение на 125, 1250 и т. д. заменяется умножением на 1000, 10000 и т. д. и полученное произведение нужно делить на 8. (125 = 1000: 8)

      72*125=72*1000:8=9000

      Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8 , а потом умножение на 1000,10000 и т. д.

      48*125 = 48:8*1000 = 6000

      Чтобы разделить число на 125, 1250 и т.д., надо это число разделить на 1000, 10000 и т. д. и умножить на 8.

      7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.

       4. Умножение и деление на  75, 750 и т. д.

       Чтобы число умножить на 75, 750и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т.д. (75 = 300: 4)

      48* 75 = 48:4*300 = 3600

      Чтобы число разделить на 75,750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т.д. и умножить на 4

      7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.

       5.Умножение на 15, 150.

       При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения:

      23х15=23х(10+5)=230+115=345;

      Если же число четное, то поступаем еще проще — к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:

      18х15=(18+9)х10=27х10=270.

      При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т.к.150=15х10: 

      24х150=((24+12)х10)х10=(36х10)х10=3600.

       Точно так же быстро умножить двузначное число (особенно четное) на двузначное, оканчивающиеся на 5:

      24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.

       6. Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20.

        К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел:

      18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288.  

        Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 23х24 = (23+4)х20+4х6=27х20+12=540+12=562.

      Объяснение:

      (10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a*b .

       7.Умножение двузначного числа на 101.

       Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.
      Пример:

      57 * 101 = 5757      57 —> 5757

      Объяснение: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
      Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных — на 10001 и т. п.

       8. Умножение числа на 11.

      Следует «раздвинуть» цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

      Пример:
      34 * 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой
      68 * 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой

      Объяснение:
      10a+b — произвольное число, где a — число десятков, b — число единиц.

      Имеем:
      (10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
      где мы имеем a сотен, a+b десятков и b единиц. т.е. результат содержит a*(a+1) сотен, два десятка и пять единиц.

      43625*11

      Составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 десятки, 2+6=8 сотни, 6+3=9 тысячи, 3+4=7 десятки тысяч, 4 сотни тысяч.

      43625*11=479875.

      Когда множимое заключается в пределах 1000 и 10000 (например, 7543), то можно применить следующий способ умножения на 11. Сначала разбить множимое 7543 на грани, по две цифры, затем найти произведение первой грани (75) слева на 11, как указано в умножении двузначного числа на 11. Полученное число (75*11=725) даст сотни произведения, так как умножали сотни множимого. Потом надо умножить на 11 вторую грань (43), получим единицы произведения: 43*11=473. Наконец, полученные произведения сложим: 825 сот. +473=82739. Следовательно, 7543*11=82739.

      Рассмотрим ещё пример: 8324*11.

      83`24; 83 сот. *11=913 сот.

      24*11=264; 913 сот. +264=91564. Следовательно, 8324*11=91564.

       9. Умножение на 22, 33, …, 99.

      Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11:

      15 *33= 15*3*11=45*11=495.

       10. Умножение двузначных чисел на 111.

      Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10. Поясним на числовых примерах:

      45*111.

      Так как 111=100+10+1, то 45*111=45*(100+10+1). При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т.е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45=4995. Следовательно, 45*111=4995. Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68*11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. Следовательно, 68*111=7548.

       11. Умножение на 37.

      При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111.

      27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999

      Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.

      23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.

       12. Возведение в квадрат любого двузначного числа.

       Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.

      Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.

      Рассмотрим пример:

      372=12*100+132=1200+169=1369

      (М–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 .

       13. Умножение чисел, близких к 100.

         При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и  из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)

      98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.

      Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999.

      Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного  целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10-154=1540-154=1386.

      Но еще проще ознакомить детей с правилом — «чтобы умножить число на 9 (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до 100 (1000) числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа):

      154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386

       14. Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10.

      Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма равна 10:

      М=10m + n,  K=10a + 10 – n. Составим их произведение.

      M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n2 = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m).

      Рассмотрим несколько примеров:

      17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;

      33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.

       15 . Умножение на число, записанное одними девятками.

       Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.

      8 * 9= 72;

      46 * 99= 4554;

      137 * 999= 136 863;

      3562 * 9999= 35616438.

      Наличие такого способа усматривается из следующего приёма решения приведённых примеров: 8 * 9= 8 * (10 – 1)= 80 – 8= 72,

       46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.

      16. Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

       Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.

      15*15 = 225 = 10*20+ 25   ( или 1*2 и приписываем справа 25)

      35*35 =30*40 +25= 1225               (3*4 и приписываем справа 25)

      65*65 = 60*70+25=4225                (6*7 и приписываем справа 25)

      Умножение и деление чисел в Excel

      Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Еще…Меньше

      Умножение и деление в Excel не представляют никаких сложностей: достаточно создать простую формулу. Не забывайте, что все формулы в Excel начинаются со знака равенства (=), а для их создания можно использовать строку формул.

      Умножение чисел

      Предположим, требуется определить количество бутылок воды, необходимое для конференции заказчиков (общее число участников × 4 дня × 3 бутылки в день) или сумму возмещения транспортных расходов по командировке (общее расстояние × 0,46). Существует несколько способов умножения чисел.

      Умножение чисел в ячейке

      Для выполнения этой задачи используйте арифметический оператор * (звездочка).

      Например, при вводе в ячейку формулы =5*10 в ячейке будет отображен результат 50.

      Умножение столбца чисел на константу

      Предположим, необходимо умножить число в каждой из семи ячеек в столбце на число, которое содержится в другой ячейке. В данном примере множитель — число 3, расположенное в ячейке C2.

      1. Введите =A2*$B$2 в новом столбце таблицы (в примере выше используется столбец D). Не забудьте ввести символ $ в формуле перед символами B и 2, а затем нажмите ввод.

        Примечание: Использование символов $ указывает Excel, что ссылка на ячейку B2 является абсолютной, то есть при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку B2. Если вы не использовали символы $ в формуле и перетащили формулу вниз на ячейку B3, Excel изменит формулу на =A3*C3, которая не будет работать, так как в ячейке B3 нет значения.

      2. Перетащите формулу вниз в другие ячейки столбца.

        Примечание: В Excel 2016 для Windows ячейки заполняются автоматически.

      Перемножение чисел в разных ячейках с использованием формулы

      Функцию PRODUCT можно использовать для умножения чисел, ячеек и диапазонов.

      Функция ПРОИЗВЕД может содержать до 255 чисел или ссылок на ячейки в любых сочетаниях. Например, формула =ПРОИЗВЕДЕНИЕ(A2;A4:A15;12;E3:E5;150;G4;h5:J6) перемножает две отдельные ячейки (A2 и G4), два числа (12 и 150) и три диапазона (A4:A15, E3:E5 и h5:J6).

      Деление чисел

      Предположим, что вы хотите узнать, сколько человеко-часов потребовалось для завершения проекта (общее время проекта ÷ всего людей в проекте) или фактический километр на лилон для вашего последнего меж страны(общее количество километров ÷ лилонов). Деление чисел можно разделить несколькими способами.

      Деление чисел в ячейке

      Для этого воспользуйтесь арифметическим оператором / (косая черта).

      Например, если ввести =10/5 в ячейке, в ячейке отобразится 2.

      Важно: Не забудьте ввести в ячейку знак равно(=)перед цифрами и оператором /. в противном случае Excel интерпретирует то, что вы введите, как дату. Например, если ввести 30.07.2010, Excel может отобразить в ячейке 30-июл. Если ввести 36.12.36, Excel сначала преобразует это значение в 01.12.1936 и отобразит в ячейке значение «1-дек».

      Примечание: В Excel нет функции DIVIDE.

      Деление чисел с помощью ссылок на ячейки

      Вместо того чтобы вводить числа непосредственно в формулу, можно использовать ссылки на ячейки, такие как A2 и A3, для обозначения чисел, на которые нужно разделить или разделить числа.

      Пример:

      Чтобы этот пример проще было понять, скопируйте его на пустой лист.

      Копирование примера

      1. org/ListItem»>

        Создайте пустую книгу или лист.

      2. Выделите пример в разделе справки.

        Примечание: Не выделяйте заголовки строк или столбцов.

        Выделение примера в справке

      3. Нажмите клавиши CTRL+C.

      4. Выделите на листе ячейку A1 и нажмите клавиши CTRL+V.

      5. Чтобы переключиться между просмотром результатов и просмотром формул, которые возвращают эти результаты, нажмите клавиши CTRL+’ (ударение) или на вкладке «Формулы» нажмите кнопку «Показать формулы».

      A

      B

      C

      1

      Данные

      Формула

      Описание (результат)

      2

      15000

      =A2/A3

      Деление 15000 на 12 (1250).

      3

      12

      Деление столбца чисел на константу

      Предположим, вам нужно разделить каждую ячейку в столбце из семи чисел на число, которое содержится в другой ячейке. В этом примере число, на которые нужно разделить, составляет 3, содержалось в ячейке C2.

      A

      B

      C

      1

      Данные

      Формула

      Константа

      2

      15000

      =A2/$C$2

      3

      3

      12

      =A3/$C$2

      4

      48

      =A4/$C$2

      5

      729

      =A5/$C$2

      6

      1534

      =A6/$C$2

      7

      288

      =A7/$C$2

      8

      4306

      =A8/$C$2
        org/ItemList»>

      1. В ячейке B2 введите =A2/$C$2. Не забудьте в формуле включить символ $ перед символами C и 2.

      2. Перетащите формулу в ячейке B2 вниз в другие ячейки в столбце B.

      Примечание: Символ $ указывает Excel, что ссылка на ячейку C2 является абсолютной, то есть при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку C2. Если вы не использовали в формуле символы $ и перетащили формулу вниз на ячейку B3, Excel изменит формулу на =A3/C3, которая не будет работать, так как в ячейке C3 нет значения.

      Дополнительные сведения

      Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

      См. также

      Умножение столбца чисел на одно и то же число

      Умножение на процентное значение

      Создание таблицы умножения

      Операторы вычислений и порядок операций

      Эффективные методы сложения, деления и умножения чисел

      Автор: Илoнa Ильмapoвнa Пoтaпoвa, кандидат экономических наук, профессор Московского технико-экономического колледжа.

       

      В работе и быту постоянно возникает необходимость в разных вычислениях. Использование простейших методов устных вычислений поможет вам снизить утомляемость, развить свое внимание и память. Применение рациональных методов вычислений также позволит вам повысить производительность труда, точность и скорость подсчетов. Вот четыре основные группы методик эффективных устных вычислений.

       

      1. Приемы упрощенного сложения чисел

      Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты.

      Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого.

      Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя способ последовательного поразрядного сложения.

      Решение. Расчет произведем в такой последовательности:

      5 287 + 3 000 = 8 287;
      8 287 + 500 = 8 787;
      8 787 + 60 = 8 847;
      8 847 + 4 = 8 851.

      Ответ: 8 851.

      Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т. д.

      Рассмотрим этот вариант решения на приведенном выше примере, получим:

      5 000 + 3 000 = 8 000;
      200 + 500 = 700;
      80 + 60 = 140;
      7 + 4 = 11;
      8851.

      Способ круглого числа. Число, имеющее одну значащую цифру и оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 — 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000.

      Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения.

      Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа.

      Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом: 1 238 + 193 = (1 238 + 200) — 7 = 1 431.

       

      Способ группировки слагаемых. Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой.

      Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26.

      Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

       

      Способ поразрядного суммирования отдельными столбцами. Данный способ состоит в сложении разрядов исходных чисел с повторным поразрядным суммированием полученных частных сумм.

      Пример. Найдем сумму чисел 167, 532, 629, 274, 22, 18 и 14, используя способ поразрядного сложения.

      Решение.

      +167

      532

      629

      274

      +22

      18

      14

       1656.

       

      2. Приемы упрощенного вычитания чисел

      Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить.

      Пример. Найдем разность чисел 721 и 398.

      Решение. Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности:

      1. представим число 398 в виде суммы: 300 + 90 + 8 = 398;
      2. выполним поразрядное вычитание: 721 — 300 = 421; 421 — 90 = 331; 331 — 8 = 323.

       

      Способ круглого числа. Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение.

      Пример. Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа.

      Решение. 235 — 197 = 235 — 200 + 3 = 38.

       

      Способ замены вычитания сложением. Способ заключается в том, что к вычитаемому нужно подобрать такое число, которое в сумме с ним было бы равно уменьшаемому. Подбор нужного числа выполняется по частям.

      Пример. Найдем разность денежных сумм 50 р. и 28 р. 57 к., используя способ замены вычитания сложением.

      Решение. Для суммы 28 р. 57 к. подберем числа по частям, для чего:

      1. добавим к заданной сумме 43 к. и получим 29 р.;
      2. добавим к определенной в п. 1 сумме 21 р. для получения суммы 50 р.

      Таким образом, искомое число — это результат вычисления слагаемых из двух сумм, т.е. разность денежных сумм 50 р. и 28 р. 57 к. составляет 21 р. 43 к.

       

      3. Приемы упрощенного умножения чисел

      Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы.

      Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100.

      Решение. 568 x 100 = 56 800.

       

      Умножение на единицу с предшествующими нулями. При умножении числа на единицу с предшествующими ей нулями (0,1; 0,01; 0,001 и т.д.) как целого числа, так и десятичной дроби в первом сомножителе отделяют запятой справа столько знаков, сколько нулей во множителе перед единицей, включая ноль целых.

      Пример. Найдем произведение чисел 467 и 0,01.

      Решение. 467 x 0,01 =4,67.

       

      Способ последовательного поразрядного умножения. Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале один из сомножителей умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют.

      Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7.

      Решение. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

       

      Способ круглого числа. Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе.

      Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69.

      Решение. 174 x 69 = (174 x 70) — (174 x 1) = 12 180 — 174 = 12 006.

       

      Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют.

      Пример. Найдем произведение чисел 13 и 325.

      Решение. Разложим число порций на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 р. = 3 250 р.; 3 x 325 р. = 975 р. Суммируем полученные произведения: 3 250 р. + 975 р. = 4 225 р.

       

      Сокращенные приемы умножения на 0,5; 0,25 и 0,125. Десятичную дробь 0,5 можно выразить простой дробью 1/2. При умножении любого числа на 1/2 достаточно разделить это число на 2.

      Пример. Найдем произведение чисел 325 и 0,5.

      Решение. 322 x 0,5 = 322 / 2 = 161.

      Десятичную дробь 0,25 можно выразить простой дробью 1/4. При умножении какого-то числа на 1/4 достаточно разделить это число на 4.

      Пример. Найдем произведение чисел 68 и 0,25.

      Решение. 68 x 0,25 = 68 / 4 = 17.

      Десятичную дробь 0,125 можно выразить простой дробью 1/8. При умножении любого числа на 1/8 достаточно разделить это число на 8.

      Пример. Найдем произведение чисел 600 и 0,125.

      Решение. 600 x 0,125 = 600 / 8 = 75.

       

      Сокращенные приемы умножения на 5; 50 и 500. Чтобы умножить какое-то число на 5; 50; 500, его нужно умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и полученное произведение разделить на 2. Помните, что число нулей в произведении равно числу цифр в целой части множителя.

      Пример. Найдем произведение чисел 74 и 50.

      Решение. 74 x 50 = (74 х 100) / 2 = 7400 / 2 = 3 700.

       

      Сокращенные приемы умножения на 2,5; 25 и 250. Чтобы умножить число на 2,5; 25; 250, его необходимо вначале умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и разделить на 4.

      Пример. Найдем произведение чисел 28 и 250.

      Решение. 28 х 250 = (28 х 1 000) / 4 = 28000 / 4 = 7 000.

       

      Сокращенные приемы умножения на 0,15. Чтобы умножить число на 0,15, нужно это число разделить на 10, полученное частное разделить на 2, а затем оба частных сложить.

      Пример. Найдем произведение чисел 240 и 0,15.

      Решение. 240 x 0,15 = (240 / 10) + 1/2 х (240 / 10) = 24 + 12 = 36.

       

      Сокращенные приемы умножения на 1,5; 15 и 150. Чтобы умножить число на 1,5; 15; 150, нужно это число умножить соответственно на 1; 10; 100 и к полученному произведению прибавить его половину.

      Пример. Найдем произведение чисел 66 и 1,5.

      Решение. 66 x 1,5 = 66 + (66 / 2) = 99.

       

      Сокращенные приемы умножения на 1,25; 12,5; 125. Чтобы умножить какое-то число на 1,25; 12,5; 125, его нужно сначала умножить соответственно на 10; 100; 1 000, а затем полученное произведение разделить на 8.

      Пример. Найдем произведение чисел 70 и 12,5.

      Решение. 70 х 12,5 = (70 х 100) / 8 = 7 000 / 8 = 875

       

      4. Приемы упрощенного деления чисел

      Существуют следующие приемы сокращенного деления.

       

      Разложение делимого на слагаемые. Разложение делимого на такие слагаемые, которые легко бы делились раздельно, ускоряет устный подсчет числа при делении.

      Пример. Найдем частное чисел 2 808 и 9.

      Решение. 2808 / 9 = (2700 / 9) + (90 / 9) + (18 / 9) = 300 + 10 + 2 = 312.

       

      Деление на единицу с последующими нулями. При делении на 10; 100; 1 000 как целого числа, так и дробного в нем отделяют запятой справа налево столько десятичных знаков, сколько нулей стоит в делителе после единицы.

      Пример. Найдем частное от деления чисел 136 на 10, 32,7 на 1000.

      Решение. 136 / 10= 13,6;32,7 / 1 000 = 0,0317.

       

      Деление на единицу с предшествующими нулями. При делении на 0,1; 0,01; 0,001 эти десятичные дроби заменяют простыми, т.е. соответственно 1/10, 1/100, 1/1000. Чтобы выполнить деление какого-то числа, это число умножают на знаменатель (10; 100; 1 000) и делят на числитель (1). Чтобы разделить какое-то целое число на 1 с предшествующими ей нулями, надо приписать к этому числу справа столько нулей, сколько их в делителе; чтобы разделить дробное число, надо перенести в нем запятую слева направо настолько десятичных знаков, сколько нулей в делителе, включая ноль целых.

      Пример. Разделим числа 235; 57,6 соответственно на 0,1 и 0,01.

      Решение. 235 / 0,1 = 2 350;57,6 / 0,01 = 5 760.

       

      Деление на 0,5; 0,25; 0,125. Десятичную дробь 0,5 заменяют простой, т.е. 1/2. Чтобы разделить какое-то число на 0,5, необходимо умножить его на 2.

      Пример. Разделим число 325 на 0,5.

      Решение. 325 / 0,5 = 325 / 1/2 = 325 х 2 = 650.

      При делении числа на десятичную дробь 0,25 ее заменяют простой дробью, т.е. 1/4. Чтобы разделить какое-то число на 0,25, необходимо умножить его на 4.

      Пример. Разделим число 325 на 0,25.

      Решение. 325 / 0,25 = 325 x 4 = 1300.

      При делении десятичную дробь 0,125 заменяют простой, т.е. 1/8. Чтобы разделить какое-то число на 0,125, необходимо умножить его на 8.

      Пример. Разделим число 325 на 0,125.

      Решение. 325 / 0,125 = 325 x 8 = 2600.

       

      Деление на 5 и 50. Делители 5 и 50 заменяют единицей с последующими нулями, т.е. соответственно на 10 и 100. Однако 10 в 2 раза больше, чем 5, а 100 в 2 раза больше, чем 50, поэтому, чтобы разделить какое-то число на 5 или 50, необходимо разделить его на 10 или 100, а частное умножить на 2.

      Пример. Разделим число 1 250 соответственно на 50.

      Решение. 1250 / 50 = (1250 / 100) х 2 = 12,5 x 2 = 25.

       

      Деление на 2,5 и 25. Чтобы разделить число на 2,5 или 25, необходимо разделить его на 10 или 100 и затем частное умножить на 4.

      Пример. Разделим число 285 на 2,5.

      Решение. 285 / 2,5 = (285 / 10) х 4 = 28,5 x 4 = 114;

       

      Деление на 1,25 и 12,5. Чтобы разделить число на 1,25 или 12,5, необходимо разделить его на 10 или 100 и затем частное умножить на 8.

      Пример. Разделим число 300 на 12,5.

      Решение. 300 / 12,5 = (300 / 100) х 8 = 3 x 8 = 24.

      Усвоение навыков рационального устного счета позволит сделать вашу работу более эффективной. Это возможно только при хорошем овладении всеми четырьмя арифметическими действиями и сокращенными приемами вычислений. Применение рациональных приемов счета ускоряет вычисления, обеспечивает необходимую точность.

       

      Изучите эффективные техники запоминания услышанной и прочитанной информации в курсе «Развитие памяти»: отдельно или по абонементу, со скидкой.

      Изучите сегодня

      Также смотрите

      Умножение в столбик онлайн. Калькулятор наглядного умножения. — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

      Содержание

      урок с примерами, карточками и видео

      Умножение в столбик позволяет быстро выдавать решение примеров даже с многозначными числами. Для счёта нужно только знать наизусть таблицу умножения.

      Как правильно умножать столбиком

      Как и в случае со сложением и вычитанием в столбик, при умножении числа записываются друг под другом. Каждый разряд на своём месте: единицы под единицами, десятки под десятками и т. д. Внизу рисуется горизонтальная черта, ответ пишется под ней.

      Возьмём числа 78 и 12. Для лучшего понимания: пишем 78 наверху, 12 — внизу. Начинаем с единицы нижнего числа, то есть с цифры 2.

      Сперва считаем 8×2=16. Число получилось больше 10, значит, как и в сложении, пишем последнюю цифру (6), а единицу держим в уме. Теперь переходим к десятку, то есть считаем 7×2=14. Единицу мы держали в уме, значит, сейчас прибавляем её к результату, получается 14+1=15. Цифра 5 пишется под десятками, а 1 переходит в новый разряд — сотни. Другими словами, под горизонтальной чертой должно быть написано «156».

      Переходим к следующему разряду. Теперь наш ответ будет записываться иначе: последняя цифра ответа должна быть ровно под верхними десятками, то есть под цифрой 5. Получается, что каждое последующее промежуточное число смещается на 1 разряд влево.

      Считаем 8×1=8. Цифра меньше 10, пишем 8 под пятёркой в числе «156». Считаем 7×1=7. Семёрка переходит в разряд сотен, то есть она должна быть написана под единицей в ответе «156». Под шестёркой ничего не написано, для удобства туда можно поставить ноль.

      Полученное выражение складываем в столбик: 156+78. К 6 ничего не прибавляется (0), значит, переписываем её в прежнем виде. Затем считаем 5+8=13, пишем 3, один в уме. Наконец, 1+7=8, прибавляем единицу — получается 9.

      Таким образом, ответ: 936.

      Тренироваться лучше на листе в клеточку, чтобы привыкнуть к расположению разрядов множителей

      Точно так же умножаются и другие многозначные числа.

      Если в множителях есть нули, они не перемножаются, а просто переносятся в правую часть окончательного ответа.

      Варианты карточек

      Для наглядности можно распечатать карточки с примерами разного уровня сложности. Так детям будет проще запомнить принцип счёта. Примеры для практики можно использовать и при первом изучении умножения, и для повторения после каникул.

      Поначалу решение примеров будет занимать много времени, но постепенно скорость повысится. Даже при наличии калькулятора лучше считать вручную: это развивает умственную деятельность.

      Фотогалерея: примеры карточек для урока
      Видео: умножение чисел в столбик

      Постоянная практика — залог успеха, и со временем можно научиться перемножать в уме даже большие числа. Но начинать, конечно, лучше с простых примеров, постепенно увеличивая уровень сложности.

      Оцените статью: Поделитесь с друзьями!

      Умножение столбиком. Онлайн калькулятор | Математика

      Как умножать столбиком

      Умножение многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Для удобства сверху обычно записывается то число, которое имеет больше цифр. Слева между числами ставится знак действия. Под множителем проводят черту. Под чертой пишут цифры произведения по мере их получения.

      Рассмотрим для начала умножение многозначного числа на однозначное. Пусть требуется умножить  846  на  5:

      Умножить  846  на  5  — значит, сложить  5  чисел, каждое из которых равно  846.  Для этого достаточно взять сначала  5  раз по  6  единиц, потом  5  раз по  4  десятка и наконец  5  раз по  8  сотен.

      1.   5  раз по  6  единиц =  30  единиц, т. е.  3  десятка. Пишем  0  под чертой на месте единиц, а  3  десятка запоминаем. Для удобства, чтобы не запоминать можно написать  3  над десятками множимого:
      2.   5  раз по  4  десятка =  20  десятков, прибавляем к ним ещё  3  десятка =  23  десятка, т. е.  2  сотни и  3  десятка. Пишем  3  десятка под чертой на месте десятков, а  2  сотни запоминаем:
      3.   5  раз по  8  сотен =  40  сотен, прибавляем к ним ещё  2  сотни =  42  сотни. Пишем под чертой  42  сотни, т. е.  4  тысячи и  2  сотни. Таким образом, произведение  846  на  5  оказывается равным  4230:

      Теперь рассмотрим умножение многозначных чисел. Пусть требуется умножить  3826  на  472:

      Умножить  3826  на  472  — значит, сложить  472  одинаковых числа, каждое из которых равно  3826.  Для этого надо сложить  3826  сначала  2  раза, потом  70  раз, потом  400  раз, т.  е. умножить множимое отдельно на цифру каждого разряда множителя и полученные произведения сложить в одну сумму.

      2  раза по  3826  =  7652.  Пишем полученное произведение под чертой:

      Это не окончательное произведение, пока мы умножили только на одну цифру множителя. Полученное число называется частичным произведением. Теперь наша задача умножить множимое на цифру десятков. Но перед этим надо запомнить один важный момент: каждое частичное произведение нужно записывать под той цифрой, на которую происходит умножение.

      Умножаем  3826  на  7.  Это будет второе частичное произведение  (26782):

      Умножаем множимое на  4.  Это будет третье частичное произведение  (15304):

      Под последним частичным произведением проводим черту и выполняем сложение всех полученных частичных произведений. Получаем полное произведение  (1 805 872):

      Если во множителе встречается нуль, то обычно на него не умножают, а сразу переходят к следующей цифре множителя:

      Когда множимое и (или) множитель оканчиваются нулями, умножение можно выполнить не обращая на них внимания, и в конце, к произведению добавить столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе.

      Например, необходимо вычислить  23 000 · 4500.  Сначала умножим  23  на  45,  не обращая внимание на нули:

      И теперь, справа к полученному произведению припишем столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе. Получится  103 500 000.

      Калькулятор умножения столбиком

      Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение столбиком. Просто введите множимое и множитель и нажмите кнопку Вычислить.

      Умножение натуральных чисел столбиком: примеры, решения

      Если нам по ходу решения задачи требуется перемножить натуральные числа, удобно использовать для этого готовый способ, который называется «умножение в столбик» (или «умножение столбиком»). Это очень удобно, поскольку с его помощью можно свести умножение многозначных чисел к последовательному перемножению однозначных.

      В этом материале мы расскажем, как считать с помощью данного способа. Все пояснения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

      Основы умножения столбиком

      Для ведения вычисления в столбик нам будет нужна таблица умножения. Важно помнить ее наизусть, чтобы считать быстро и эффективно.

      Также потребуется вспомнить, какой результат мы получим при умножении натурального числа на нуль. Это часто встречается в примерах. Нам потребуется свойство умножения, которое в буквенном виде записывается как a·0=0 (a – любое натуральное число).

      Чтобы лучше понять, как умножать столбиком, рекомендуем вам повторить аналогичный метод сложения. Один из этапов подсчетов будет представлять собой именно сложение промежуточных результатов, и знание этого метода при складывании чисел нам пригодится.

      Также важно, чтобы вы умели сравнивать натуральные числа и помнили, что такое разряд.

      Как записывать множители при подсчете столбиком

      Как всегда, начнем с того, как правильно записать исходные числа. Нам нужно взять два множителя и записать их один под другим так, чтобы все цифры, отличные от нуля, были расположены друг под другом. Проведем под ними горизонтальную линию, отделяющую ответ, и добавим знак умножения с левой стороны.

      Пример 1

      Например, чтобы вычислить и 71, 550·45 002 и 534 000·4 300, запишем такие столбики:

      Далее нам нужно разобраться с процессом умножения. Для начала посмотрим, как правильно умножать многозначное натуральное число на однозначное, а потом посмотрим, как перемножать между собой многозначные числа.

      Как умножить столбиком многозначное число на однозначное

      Если нам для решения задачи требуется выполнить умножение двух натуральных чисел, одно из которых однозначное, а второе многозначное, то мы можем использовать способ столбика. Для этого выполняем последовательность шагов, которую будем объяснять сразу на примере. Сначала возьмем задачу, в которой многозначное число имеет в конце цифру, отличную от нуля.

      Пример 2

      Условие: вычислить 45 027·3.

      Решение

      Запишем множители так, как это предполагает метод умножения столбиком. Поместим однозначный множитель под последним знаком многозначного. Мы получили такую запись:

      Далее нам надо выполнить последовательное перемножение разрядов многозначного числа на указанный множитель. Если у нас получается число, которое меньше десяти, мы сразу вносим его в поле ответа под горизонтальной чертой, строго под вычисляемым разрядом. Если же результат составил 10 и больше, то указываем под нужным разрядом только значение единиц из полученного числа, а десятки запоминаем и добавляем на следующем шаге к более старшему разряду.

      На конкретных числах процесс будет выглядеть так:

      1. Умножаем 7 на 3 (семерку мы взяли из разряда единиц первого многозначного множителя): 7·3=21. Мы получили число больше десяти, значит, записываем с правого края число 1 (значение единичного разряда числа 21), а двойку запоминаем. Наша запись принимает вид:

      2. После этого мы перемножаем значения десятков первого множителя на второй и прибавляем к результату двойку, оставшуюся от предыдущего этапа. Если после этого получается меньше 10, то вносим значения под соответствующий разряд, если больше – вносим значение единицы и переносим десятки дальше. В нашем примере нужно умножить 2·3, это будет 6. Добавляем оставшиеся с прошлого умножения десятки (от числа 21, как мы помним): 6+2=8. Восьмерка меньше десятки, значит, в следующий разряд переносить ничего не надо. Записываем 8 на нужное место и получаем:

      3. Дальше действуем аналогично. Теперь нам надо умножить значения разряда сотен в первом многозначном множителе на исходный однозначный. Порядок действий тот же: если запоминали число на предыдущем этапе, плюсуем его к результату, сравниваем с десяткой и записываем в правильное место.

      Здесь нужно умножить 3 на 0. Согласно правилам умножения, результат будет равен 0. Прибавлять ничего не будем, так как на предыдущем этапе число было меньше 10. Получившийся нуль также меньше десятки, поэтому пишем его на место под горизонтальную черту:

      4. Переходим к следующему разряду – умножаем тысячи. Продолжаем подсчеты по алгоритму до тех пора, пока не кончатся цифры в многозначном множителе.

      Осталось умножить 5·3 и получить 15. Результат больше 10, пишем пятерку и запоминаем десяток:

      Нам осталось только перемножить 4·3, это будет 12. Добавляем к результату единицу, взятую из предыдущего подсчета. 13 больше 10, пишем 3 на нужное место и сохраняем единицу.

      У нас больше не осталось разрядов, которые надо перемножить, однако единица в запасе все еще есть. Мы просто запишем ее под горизонтальную черту с левой стороны от всех уже имеющихся там цифр:

      Процесс подсчета с помощью столбика на этом завершен. Мы получили шестизначное число, которое и является верным решением нашей задачи.

      Ответ: 45 027·3 = 135 081.

      Чтобы было более понятно, мы представили алгоритм умножения многозначного натурального числа на однозначное в виде схемы. Здесь верно отражена самая суть процесса подсчета, однако не учтены некоторые нюансы:

      Как быть, если в условии задачи стоит многозначное число, которое заканчивается нулем (или несколькими нулями подряд)? Рассмотрим на примере пошагово. Чтобы было проще, позаимствуем цифры из предыдущей задачи и просто допишем к исходному многозначному множителю пару нулей.

      Нужна помощь преподавателя?

      Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

      Описать задание Пример 3

      Условие: подсчитать, сколько будет 4 502 700·3.

      Решение

      Cначала запишем числа нужным способом.

      После этого проводим подсчеты, не обращая внимания на нули справа. Возьмем результаты из предыдущей задачи, чтобы не считать еще раз:

      Финальный шаг решения – переписать имеющиеся в многозначном числе нули под горизонтальную черту в область результата. У нас нужно внести 2 дополнительных нуля:

      Это число и будет ответом нашей задачи. На этом умножение столбиком завершено.

      Ответ: 4 502 700·3 =13 508 100.

      Как перемножить столбиком два многозначных натуральных числа

      Этот способ вполне подходит и для тех случаев, когда оба множителя представляют собой многозначные натуральные числа. Разберем процесс сразу на примере, как и раньше. Сначала возьмем числа без нулей в конце, а потом рассмотрим и записи с нулями.

      Пример 4

      Условие: вычислить, сколько будет 207·8 063.

      Решение

      Начнем, как всегда, с правильной записи множителей. Более удобным является способ записи, при котором множитель с большим количеством знаков стоит сверху. Так что запишем сначала 8 063, а под ним 207. Если число знаков в множителях совпадает, то порядок записи не имеет значения. В нашей задаче нам надо разместить цифры первого множителя под цифрами второго справа налево:

      Начинаем последовательно перемножать значения разрядов. При этом у нас будут получаться результаты, которые называются неполными произведениями.

      1. Первый шаг состоит в том, что нам надо перемножить между собой значения единиц в первом и втором множителе. В нашем случае это 3 и 7. Все делаем так же, как мы уже объясняли в предыдущем пункте (если нужно, прочитайте его еще раз). В итоге у нас получится первое неполное произведение, которое является промежуточным результатом:

      2. Второй шаг заключается в перемножении значений десятков. Умножаем столбиком первый множитель на значение разряда десятков второго множителя (при условии, что он не равен 0). Записываем результат под чертой под разрядом десятков. Если же во втором множителе на месте десятков стоит 0, то сразу переходим к следующему этапу.

      3. Последующие шаги выполняем аналогично, перемножая по очереди значения нужных разрядов (если они не равны 0). Вносим результаты под черту.

      Итак, нам надо умножить 8 063 на значения сотен в 207 (т.е. на два). Мы получили второе неполное произведение, запишем его так:

      У нас получились все нужные нам неполные произведения. Их количество равно числу разрядов во втором множителе (кроме 0). Последнее, что нам осталось сделать, – это сложить два произведения в столбик, используя ту же запись. Мы никуда не переписываем цифры: они остаются с тем же сдвигом влево. Подчеркнем их дополнительной горизонтальной чертой и поставим слева плюс. Складываем согласно уже изученным правилам сложения в столбик (запоминаем десятки, если число получилось больше 10, и прибавляем их на следующем этапе). В нашей задаче получится:

      Получившееся под чертой семизначное число – это и есть нужный нам результат умножения исходных натуральных чисел.

      Ответ: 8 063·207 = 1 669 041.

      Процесс умножения двух многозначных чисел столбиков также можно представить в виде наглядной схемы:

      Чтобы лучше закрепить материал, приведем решение еще одного примера.

      Пример 5

      Условие: умножьте 297 на 321.

      Решение

      Начинаем с правильной записи множителей. Количество знаков в них одинаковое, так что порядок записи особого значения не имеет:

      1. Первый этап – умножаем 297 на 1, которая стоит в разряде единиц второго множителя.

      2. Потом умножаем таким же образом первый множитель на 2, что стоит в десятках второго множителя. Получаем второе неполное произведение:

      3. Далее умножаем на значения сотен, т.е. 297 на 3:

      4. У нас получилось три неполных произведения, которые надо сложить (для этого желательно повторить, как правильно складывать столбиком три числа и более). Считаем:

      Ответ: 297·321 = 95 337.

      Еще один пример приведем без пояснений.

      Пример 6

      Условие: вычислите 210 627·30 105.

      Решение

      Весь процесс вычислений указан в записи ниже.

      Ответ: 210 627·30 105 = 6 340 925 835.

      В целом можно сказать, что если вы отлично владеете способностью умножать однозначные числа и умеете складывать столбиком, то процесс умножения многозначных натуральных чисел указанным методом не будет представлять для вас никакого труда.

      У нас остался еще один момент, который мы хотели бы пояснить. Как быть, если один из множителей или оба сразу имеет в конце нуль (или несколько нулей)? Для наглядности возьмем такую задачу и решим ее.

      Пример 7

      Условие: вычислите 50 600·390.

      Решение

      Все, что нам надо сделать, – это записать множители так, чтобы друг под другом оказались цифры, отличные от нуля.

      После этого мы можем просто провести все вычисления по указанному выше алгоритму, игнорируя нули. Т.е. в данном примере нам нужно просто умножить 506 на 39. Получаем два неполных произведения и складываем их:

      Нам осталось все лишь дописать к результату оставшиеся нули. Мы добавляем их столько, сколько указано справа у обоих множителей. В нашем примере к готовому числу надо написать три нуля:

      Это и будет корректный ответ.

      Ответ: 50 600·390 = 19 734 000.

      Умножение в столбик | ПОЛЕЗНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ УЧЕБЫ И РАБОТЫ

      Описание

      Примеры на умножение в столбик решать просто. Но они требуют концентрации и внимания, особенно для очень торопливых детей. Практика счета таких примеров поможет развить внимательность и закрепить навыки счета больших чисел, а также добиться автоматизированного счета.

      Программа представляет собой тренажер для счета. Она имеет внутренние настройки, изменяя которые можно создать примеры для детей разного возраста и уровня подготовки: на однозначное , двузначное  или трехзначное число.

      Поэтому программа будет полезна как для учеников начальной школы 3-4 классов, так и для более старших классов.

      Программа счета написана в Excel с помощью макросов. Формируются примеры на листе формата А4. Примеры генерируются случайным образом, количество генераций не ограничено. При записи примеров разряды чисел формируются друг под другом, что позволяет легко ориентироваться в примерах.  В конце карточки формируются ответы на примеры, которые после печати карточки можно отрезать. Нумерация карточек и ответов позволяет быстро находить ответы к каждой карточке, даже если их напечатано много.

      Генератор примеров по математике будет очень удобен как для родителей, так и для учителей: не нужно заранее покупать задачники и пособия по математике с примерами. Можно скачать файл и сгенерировать карточки в любое время независимо от подключения к интернету и распечатать.

      Для ознакомления с программой можно бесплатно скачать примеры, которые получаются при использовании программы. Для получения новой карточки примеров достаточно скачать, нажать на кнопку генерации и распечатать.

      Другие программы, которые помогут закрепить навыки счета:

       Также есть программы, в которых можно выбрать уровень сложности. В них можно начать с решения легких примеров, а затем перейти к более сложным.

      На сайте представлен каталог программ, в котором все программы распределены по группам с указанием различий в программах внутри каждой группы. С помощью каталога Вы можете выбрать те программы, которые подходят именно Вам.

       

      Игра решение столбиком. Умножение столбиком

      Онлайн игра-тренажёр «Умножение столбиком» помогает научиться умножать двух- и трёхзначные числа. Эта игра ориентирована на детей от 7 до 10 лет. Умножение чисел столбиком — это программа математики за 3 класс школы. Но в этом действии нет ничего сложного, поэтому освоить умножение в столбик можно и раньше.

      Как научиться умножать столбиком?

      В игре представлены три уровня: умножение двузначного числа на двузначное (числа от 10 до 99), умножение трёхзначного числа на трёхзначное (числа от 100 до 999) и микс. В миксе трёхзначное число умножается на двузначное или двузначное умножается на трёхзначное.

      Чтобы правильно умножать двух- и трёхзначные числа надо хорошо знать и .

      Надеюсь, ты помнишь, что числа, которые умножаются друг на друга называются множителями: первый множитель, второй множитель и так далее. Результат умножения называется произведением. Также полагаю, что тебе известно, что в числах есть разряды: единицы (самый маленький), десятки, сотни, тысячи…

      Итак, приступим. Начать умножение в столбик надо с того, что расположить множители таким образом, чтобы друг под другом оказались числа одинаковых разрядов: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. На следующем шаге берём цифру из разряда единиц второго множителя и умножаем её по очереди на каждую цифру первого множителя. Результат умножения каждой пары цифр записываем в верхнюю строку под соответствующим разрядом.

      За каждый правильный ответ начисляется 1 балл. За неправильный — отнимается 3 балла.

      Если тебе понравилась эта игра, обязательно поделись ею со своими друзьями. Ведь им она тоже может понравиться:-)

      Эта игра предназначена и чрезвычайно полезна для мальчиков и девочек от 7 до 10 лет.

      С лучшей бесплатной игрой учится очень быстро. Проверьте это сами!

      Учить таблицу умножения — игра

      Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.

      Смотрите ниже шпаргалки в полной форме.


      Умножение прямо на сайте (онлайн)

      *

      Таблица умножения (числа от 1 до 20)
      ×1234567891011121314151617181920
      11234567891011121314151617181920
      2246810121416182022242628303234363840
      33691215182124273033363942454851545760
      448121620242832364044485256606468727680
      55101520253035404550556065707580859095100
      66121824303642485460667278849096102108114120
      7714212835424956637077849198105112119126133140
      881624324048566472808896104112120128136144152160
      9918273645546372819099108117126135144153162171180
      10102030405060708090100110120130140150160170180190200
      11112233445566778899110121132143154165176187198209220
      121224364860728496108120132144156168180192204216228240
      1313263952657891104117130143156169182195208221234247260
      1414284256708498112126140154168182196210224238252266280
      15153045607590105120135150165180195210225240255270285300
      16163248648096112128144160176192208224240256272288304320
      171734516885102119136153170187204221238255272289306323340
      181836547290108126144162180198216234252270288306324342360
      191938577695114133152171190209228247266285304323342361380
      2020406080100120140160180200220240260280300320340360380400

      Как умножать числа столбиком (видео по математике)

      Чтобы потренироваться и быстро выучить, можно также попробовать умножать числа столбиком.

      В этой игре мы будем учиться складывать столбиком числа до 100. Яркие картинки и подробные пояснения помогут легко понять и запомнить алгоритм сложения столбиком. А тренажер поможет закрепить тему.

      Прежде всего нужно запомнить, что при решении примеров на сложение столбиком большее число записывается сверху, а меньшее — под ним. Числа записываются так, чтобы единицы были под единицами, а десятки (если они есть) — под десятками.

      Сначала складывают единицы, а затем десятки, при этом возможно 2 варианта:

      Если при сложении единиц получается однозначное число, мы просто записываем его под чертой под единицами. Если же при сложении единиц получается двузначное число, включая 10, мы записываем под единицами только вторую цифру(единицы), а 1 (десяток) прибавляем к десяткам.

      Первый вариант описан и проиллюстрирован в уроке 1, а второй вариант — в уроке 2 нашей обучающей онлайн игры «Сложение столбиком». После просмотра уроков порешайте примеры на сложение столбиком самостоятельно в разделе «Тренажер»

      Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение , вычитание , умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу.

      Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье!

      Деление чисел

      Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

      Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение . 3*3=9. Верно? Абсолютно.

      Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».

      Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

      Деление с остатком

      Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.

      Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).

      Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).

      Деление на 3 и 9

      Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:

        Найти сумму цифр делимого.

        Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).

        Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.

      Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.

      Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.

      Умножение и деление

      Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение . В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки.

      Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей.

      Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель.

      Деление 3 класс

      В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки:

      Задача 1 . Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой?

      Задача 2 . На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок?

      Задача 3 . Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково?

      Задача 4 . Четыре друга купили 58 штук печенья. Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук?

      Деление 4 класс

      Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже:

      Деление в столбик

      Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача.

      Рассмотрим пример, 512:8.

      1 шаг . Запишем делимое и делитель следующим образом:

      Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

      2 шаг . Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5:

      3 шаг . Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

      Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

      4 шаг . Ставим точку под делителем.

      5 шаг . После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку:

      6 шаг . Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

      7 шаг . Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

      8 шаг . Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

      * 9 шаг *. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

      10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

      Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица.

      Деление трехзначных

      Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа.

      Деление дробей

      Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3) (4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5):

      Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7.

      Деление числа на классы

      Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 — класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

      Деление натуральных чисел

      Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа.

      Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

      Деление презентация

      Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите!

      Примеры на деление

      Легкий уровень
      Средний уровень
      Сложный уровень

      Игры на развитие устного счета

      Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

      Игра «Угадай операцию»

      Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

      Игра «Упрощение»

      Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

      Игра «Быстрое сложение»

      Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

      Игра «Визуальная геометрия»

      Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

      Игра «Копилка»

      Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

      Игра «Быстрое сложение перезагрузка»

      Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

      Развитие феноменального устного счета

      Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

      Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

      Скорочтение за 30 дней

      Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

      Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

      В курс входит 30 уроков с полезными советами и упражнениями для развития детей. В каждом уроке полезный совет, несколько интересных упражнений, задание к уроку и дополнительный бонус в конце: развивающая мини-игра от нашего партнера. Длительность курса: 30 дней. Курс полезно проходить не только детям, но и их родителям.

      Супер-память за 30 дней

      Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

      Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

      Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

      Деньги и мышление миллионера

      Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

      Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

      Решётчатое умножение | Наука и жизнь

      Чтобы освоить умножение многозначных чисел, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения). Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.

      Умножение способом решётки. Иллюстрация из первой печатной книги по арифметике. 1487 год.

      Палочки Непера. Этот простой счётный прибор впервые был описан в сочинении Джона Непера «Рабдология». 1617 год.

      Джон Непер (1550—1617).

      Модель счётной машины Шиккарда. Это не дошедшее до нас вычислительное устройство изготовлено изобретателем в 1623 году и описано им годом позже в письме Иоганну Кеплеру.

      Вильгельм Шиккард (1592—1635).

      ‹

      ›

      Наследие индусов — способ решётки

      Индусы, с давних времён знавшие десятичную систему счисления, предпочитали устный счёт письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, — умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, в следующем столетии он прочно вошёл в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие, в наше время забытые способы умножения, ничуть не хуже, например способ решётки.

      Этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения — в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». А в Италии его называли «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского — «жалюзи», «решётчатые ставни»). Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями-жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.

      Суть этого нехитрого способа умножения поясним на примере: вычислим произведение 296 × 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, — по количеству цифр в множителях. Разделим клетки пополам по диагонали. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально — число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения получим сложением цифр в косых полосах. При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 + 1 + 7 и т.д. Запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. (Если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы.) Ответ: 21 608. Итак, 296 x 73 = 21 608.

      Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами.

      Почему способ решётки приводит к правильному ответу? В чём заключается его «механизм»? Разберёмся в этом с помощью таблицы, построенной аналогично первой, только в этом случае множители представлены как суммы 200 + 90 + 6 и 70 + 3.

      Как видим, в первой косой полосе стоят единицы, во второй — десятки, в третьей — сотни и т. д. При сложении они дают в ответе соответственно число единиц, десятков, сотен и т.д. Дальнейшее очевидно:

      Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:


      296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

      Палочки Непера

      Умножение способом решётки лежит в основе простого и оригинального счётного прибора — палочек Непера. Его изобретатель Джон Непер, шотландский барон и любитель математики, наряду с профессионалами занимался усовершенствованием средств и методов вычисления. В истории науки он известен, прежде всего, как один из создателей логарифмов.

      Прибор состоит из десяти линеек, на которых размещена таблица умножения. В каждой клетке, разделённой диагональю, записано произведение двух однозначных чисел от 1 до 9: в верхней части указано число десятков, в нижней — число единиц. Одна линейка (левая) неподвижна, остальные можно переставлять с места на место, выкладывая нужную числовую комбинацию. При помощи палочек Непера легко умножать многозначные числа, сводя эту операцию к сложению.

      Например, чтобы вычислить произведение чисел 296 и 73, нужно умножить 296 на 3 и на 70 (сначала на 7, затем на 10) и сложить полученные числа. Приложим к неподвижной линейке три другие — с цифрами 2, 9 и 6 наверху (они должны образовать число 296). Теперь заглянем в третью строку (номера строк указаны на крайней линейке). Цифры в ней образуют уже знакомый нам набор.

      Складывая их, как в способе решётки, получим 296 x 3 = 888. Аналогично, рассмотрев седьмую строку, найдём, что 296 x 7 = 2072, тогда 296 x 70 = 20 720. Таким образом,
      296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

      Палочки Непера применялись и для более сложных операций — деления и извлечения квадратного корня. Этот счётный прибор не раз пытались усовершенствовать и сделать более удобным и эффективным в работе. Ведь в ряде случаев для умножения чисел, например с повторяющимися цифрами, нужны были несколько комплектов палочек. Но такая проблема решалась заменой линеек вращающимися цилиндрами с нанесённой на поверхность каждого из них таблицей умножения в том же виде, как её представил Непер. Вместо одного набора палочек получалось сразу девять.

      Подобные ухищрения в самом деле ускоряли и облегчали расчёты, однако не затрагивали главный принцип работы прибора Непера. Так способ решётки обрел вторую жизнь, продлившуюся ещё несколько столетий.

      Машина Шиккарда

      Учёные давно задумывались над тем, как переложить непростую вычислительную работу на механические устройства. Первые успешные шаги в создании счётных машин удалось осуществить только в XVII столетии. Считается, что раньше других подобный механизм изготовил немецкий математик и астроном Вильгельм Шиккард. Но по иронии судьбы об этом знал лишь узкий круг лиц, и столь полезное изобретение более 300 лет не было известно миру. Поэтому оно никак не повлияло на последующее развитие вычислительных средств. Описание и эскизы машины Шиккарда были обнаружены всего полвека назад в архиве Иоганна Кеплера, а чуть позже по сохранившимся документам была создана её действующая модель.

      По сути, машина Шиккарда представляет собой шестиразрядный механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. В ней три части: множительное устройство, суммирующее устройство и механизм для сохранения промежуточных результатов. Основой для первого послужили, как нетрудно догадаться, палочки Непера, свёрнутые в цилиндры. Они крепились на шести вертикальных осях и поворачивались с помощью специальных ручек, расположенных наверху машины. Перед цилиндрами располагалась панель с девятью рядами окошек по шесть штук в каждом, которые открывались и закрывались боковыми задвижками, когда требовалось увидеть нужные цифры и скрыть остальные.

      В работе счётная машина Шиккарда очень проста. Чтобы узнать, чему равно произведение 296 x 73, нужно установить цилиндры в положение, при котором в верхнем ряду окошек появится первый множитель: 000296. Произведение 296 x 3 получим, открыв окошки третьего ряда и просуммировав увиденные цифры, как в способе решётки. Точно так же, открыв окошки седьмого ряда, получим произведение 296 x 7, к которому припишем справа 0. Остаётся только сложить найденные числа на суммирующем устройстве.

      Придуманный некогда индусами быстрый и надёжный способ умножения многозначных чисел, много веков применявшийся при расчётах, ныне, увы, забыт. А ведь он мог бы выручить нас и сегодня, если бы под рукой не оказалось столь привычного всем калькулятора.

      Запиши произведения столбиком и выполни умножение. Умножение натуральных чисел столбиком: примеры, решения

      Перемножать большие числа, записывая их в строку, рано или поздно становится довольно сложным и утомительным процессом. Гораздо проще воспользоваться специальным алгоритмом по умножению в столбик: вам не придется держать числа в своей голове и что-либо запоминать. Вы можете делать пометки над столбиком, чтобы всегда видеть, как числа вам нужно перенести. Если вы пытаетесь обучить такому способу ребенка, то очень важно, чтобы таблица умножения отскакивала у него от зубов, иначе, процесс затянется надолго, а сам малыш совершит много ошибок, которые вереницей потянутся по всему примеру. Внимательно прочитайте статью и возьмите такой алгоритм себе на вооружение.

      Запишите пример в строчку и посмотрите: какой из множителей меньше? Меньший окажется ниже в записи умножения в столбик, а большой множитель будет стоять наверху.

      Запишите пример по такому принципу, как указано на картинке ниже.

      • Сверху напишите большее число.
      • Слева поставьте знак умножения в виде крестика.
      • Снизу запишите меньшее число.
      • Проведите прямую черту под примером.

      Если в примере есть множитель, который оканчивается на ноль или несколько нолей, то его следует записывать так:

      • Ноли нужно выносить за пример.
      • Числа пишите под числами.

      В таком случае, вы просто переносите это количество нолей сразу в ответ. Если ноли имеются и у первого множителя, и у второго, то сложите их количество и запишите в ответ.

      Теперь начинайте расчёт по такому принципу:

      • Всё верхнее число вы умножаете на последнюю цифру нижнего. Помните, что на последние ноли умножение не производится.
      • Чтобы вам было удобнее, записывайте числа, которые нужно перенести, сверху над всем примером. Позднее вы можете их просто стереть, зато в процессе вам не придется запоминать числа переноса.
      • Как только вы закончите расчет, запишите полученное число под чертой.

      Как только вы перемножите верхнее число на последнюю цифру нижнего и запишите свой ответ, начинайте перемножать следующее.

      По такому же принципу умножьте всё верхнее число на вторую с конца цифру нижнего. Также записывайте числа переноса, однако, ответ вам следует записать под первым решением, но сдвинув запись на одну клеточку левее. У вас получится столбик с выступающей влево строкой.

      Как вы уже догадались, вам нужно перемножить верхнее число на все цифры нижнего, начиная с конца. Каждый раз запись ответа переносится на одну клетку левее.

      Перемножьте таким образом все числа между собой. Теперь снова проведите черту под столбиком. Между всеми решениями поставьте знак сложения.

      Теперь вам осталось выполнить сложение в столбик, которое вы уже должны уметь делать:

      • Складывайте все числа, находящиеся на одной вертикальной линии.
      • Если число получается двухзначным, то число десятков вы переносите в следующую вертикальную полосу.

      Под некоторыми числами вовсе не будет других – в таком случае, вы просто записываете это число в ответ. Не забывайте переносить в ответ все нули, которые стоят в конце множителей.

      Выполнять умножение в столбик очень удобно и быстро, особенно, если требуется перемножить большие числа. Вы легко можете проверить правильность умножения, просто разделив ответ на один из множителей. Для этого используйте калькулятор, либо способ деления уголком. На первых порах такое умножение занимает значительную долю времени, но с опытом, всё действие происходит всего за пару секунд.

      Если вы уже запамятовали, как умножать цифры в столбик, то прочитайте статью. Тут вы найдете всю информацию об этом математическом действии.

      Даже некоторые взрослые не освоили в школе, как можно умножать числа в столбик. А ведь это умение может и пригодиться в жизни, если не будет под рукой калькулятора или мобильного телефона.

      Тем более, что это совсем не трудно, если вы знаете таблицу умножения и поняли, как правильно располагать цифры при данном процессе. Умножение в столбик всегда начинают изучать с умножения многозначного числа на однозначное, чтобы понять правила данного действия. Далее подробней.

      Правила и алгоритм умножения в столбик

      Математические занятия многим детям даются не с первого раза. Это непростая наука, требующая особого внимания, понимания. И ученикам в начальных классах в обязательном порядке необходима помощь мамы и папы в решении сложных примеров, задач. В частности нельзя все оставлять на самотеке, если ваше чадо не поняло, что такое умножение, деление чисел и т.п. Надо помочь разобраться в теме и выучить таблицу умножения, чтобы потом не получать плохие оценки, и не расстраиваться.

      Освоить умножение в столбик будет легко, если:

      • Школьник отлично знает таблицу умножения. Не путается в значениях произведения.
      • Уяснил, в какой последовательности следует перемножать цифры многозначного числа.
      • Ребенок понял, где их правильно писать. И умеет производить сложение многочленов в столбик.

      Нужно знать, правило, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Точнее, если умножить 56 ⋅ 2 = 112 и 2 ⋅ 56 = 112 — произведение будет 112.

      ВАЖНО : Когда перемножают цифры в столбик. Под низом пишут то число, которое имеет меньше цифр в своем составе.

      Как правильно умножать в столбик трехзначные числа на однозначные, двузначные, трехзначные

      Любое умножение — это сложение одинаковых цифр необходимое количество раз. Точнее 725 ⋅ 2 = 725 + 725 = 1450. Но такой пример можно сделать устно, если второе число — 2,3,4. А если это — 8, то перемножать уже лучше в столбик. Для этого:

      1. Вверху нужно написать цифру 725 , а внизу под цифрой — 5 написать число — 8 .
      2. Теперь нужно поочередно, начиная с 5 , все значения трёхзначного числа перемножить на 8 .
      3. Точнее: 5 ⋅ 8 = 40 (ноль пишем ниже под восьмеркой и пятеркой, а — 4 запоминаем ).
      4. Далее умножаем: 2 ⋅ 8 = 16 (к 16 прибавляем — 4 = 20, опять 0 пишем, только уже под двойкой, а — 2 запоминаем ).
      5. Остается умножить: 7 ⋅ 8 = 56 (к 56 прибавляем — 2 = 58, восьмерку пишем под семеркой, а пять впереди ).
      6. В результате такого умножения (725 ⋅ 8 ) получатся — 5800 . И этот расчет получен вручную, без каких-либо машинок, калькуляторов.

      Умножение в столбик — трехзначное на трехзначное

      Умножить многочлен на многочлен несколько сложнее. Однако, если вы уже в первом примере уяснили, как происходит процесс, то вам не составит труда перемножить и трехзначные числа, а потом сложить в столбик, получившиеся значения.

      Рассмотрим в подробностях, как умножить 125 на 32

      1. Вверху на листке напишите трехзначное число 125, под ним 32, причем расположите его следующим образом: тройку под двойкой первого числа , а двойку второго под пятеркой первого числа — это очень важно.
      2. Начните перемножать с конца. То есть: перемножьте все цифры трехзначного числа (125) вначале на двойку .
      3. У вас получится 250 , ноль напишите под двойкой , остальные цифры впереди.
      4. Далее перемножайте 125 на три . И располагайте на листике значение произведения (375 ), начиная с цифры — 3 .
      5. Теперь остается сложить 250 и 375(0) , получится 250 + 3750 = 4000.

      ВАЖНО : Как перемножить трёхзначные числа наглядно можно увидеть на рисунке выше. Цифры перемножаются в строгой последовательности, начиная с конца, а потом все получившиеся значения складываются.

      Как правильно умножать в столбик числа с нулями?

      Уже из математики начальных классов любой ученик знает, что, если умножить любое число на ноль, то произведение будет тоже 0. Именно поэтому, когда производится умножение в столбик, то на цифру ноль умножение не производится, его выносят за рамки, а в произведении приписывают ноль или несколько нулей — смотрите на изображении ниже.

      Как объяснить ребенку умножение столбиком?

      • Если вы дома решили провести урок по математике, изучить, как производить умножение в столбик, то превратите ваше занятие в игру.
      • Постепенно, терпеливо объясняя, как это делается. Отвечайте на все вопросы школьника, чтобы ему было понятно, что и за чем делать.
      • Дайте вначале для примеров несложные примеры, а потом уже выбирайте задания потруднее.

      ВАЖНО : Уделяйте больше времени своим детям, не игнорируйте их просьбы о помощи. В школе учитель соблюдает программные требования. На закрепление материала дается не много времени. Поэтому не все школьники успевают освоить программу, тем более в таком сложном деле, как умножение, деление в столбик.

      Видео: Примеры умножения многозначных чисел в столбик с пояснениями

      Как умножать столбиком

      Умножение многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Для удобства сверху обычно записывается то число, которое имеет больше цифр. Слева между числами ставится знак действия. Под множителем проводят черту. Под чертой пишут цифры произведения по мере их получения.

      Рассмотрим для начала умножение многозначного числа на однозначное. Пусть требуется умножить 846 на 5:

      Умножить 846 на 5 — значит, сложить 5 чисел, каждое из которых равно 846. Для этого достаточно взять сначала 5 раз по 6 единиц, потом 5 раз по 4 десятка и наконец 5 раз по 8 сотен.

      5 раз по 6 единиц = 30 единиц, т. е. 3 десятка. Пишем 0 под чертой на месте единиц, а 3 десятка запоминаем. Для удобства, чтобы не запоминать можно написать 3 над десятками множимого:

      5 раз по 4 десятка = 20 десятков, прибавляем к ним ещё 3 десятка = 23 десятка, т. е. 2 сотни и 3 десятка. Пишем 3 десятка под чертой на месте десятков, а 2 сотни запоминаем:

      5 раз по 8 сотен = 40 сотен, прибавляем к ним ещё 2 сотни = 42 сотни. Пишем под чертой 42 сотни, т. е. 4 тысячи и 2 сотни. Таким образом, произведение 846 на 5 оказывается равным 4230:

      Теперь рассмотрим умножение многозначных чисел. Пусть требуется умножить 3826 на 472:

      Умножить 3826 на 472 — значит, сложить 472 одинаковых числа, каждое из которых равно 3826. Для этого надо сложить 3826 сначала 2 раза, потом 70 раз, потом 400 раз, т. е. умножить множимое отдельно на цифру каждого разряда множителя и полученные произведения сложить в одну сумму.

      2 раза по 3826 = 7652. Пишем полученное произведение под чертой:

      Это не окончательное произведение, пока мы умножили только на одну цифру множителя. Полученное число называется частичным произведением . Теперь наша задача умножить множимое на цифру десятков. Но перед этим надо запомнить один важный момент: каждое частичное произведение нужно записывать под той цифрой, на которую происходит умножение.

      Умножаем 3826 на 7. Это будет второе частичное произведение (26782):

      Умножаем множимое на 4. Это будет третье частичное произведение (15304):

      Под последним частичным произведением проводим черту и выполняем сложение всех полученных частичных произведений. Получаем полное произведение (1 805 872):

      Если во множителе встречается нуль, то обычно на него не умножают, а сразу переходят к следующей цифре множителя:

      Когда множимое и (или) множитель оканчиваются нулями, умножение можно выполнить не обращая на них внимания, и в конце, к произведению добавить столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе.

      Например, необходимо вычислить 23 000 · 4500. Сначала умножим 23 на 45, не обращая внимание на нули:

      И теперь, справа к полученному произведению припишем столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе. Получится 103 500 000.

      Калькулятор умножения столбиком

      Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение столбиком. Просто введите множимое и множитель и нажмите кнопку Вычислить.

      Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0

      Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.

      Решение:

      Как работать с математическим калькулятором

      Клавиша Обозначение Пояснение
      5 цифры 0-9 Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/-
      . точка (запятая) Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 — будет записано 0.5
      + знак плюс Сложение чисел (целые, десятичные дроби)
      — знак минус Вычитание чисел (целые, десятичные дроби)
      ÷ знак деления Деление чисел (целые, десятичные дроби)
      х знак умножения Умножение чисел (целые, десятичные дроби)
      √ корень Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
      x 2 возведение в квадрат Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
      1 / x дробь Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число
      % процент Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка «%»
      ( открытая скобка Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10
      ) закрытая скобка Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки
      ± плюс минус Меняет знак на противоположный
      = равно Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле «Решение» выводится промежуточные вычисления и результат.
      ← удаление символа Удаляет последний символ
      С сброс Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0»

      Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах

      Сложение.

      Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }

      Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }

      Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

      Вычитание.

      Вычитание целых натуральных чисел { 7 — 5 = 2 }

      Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 — (-2) = 7 }

      Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 — 1,2 = 4,3 }

      Умножение.

      Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }

      Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }

      Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }

      Деление.

      Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }

      Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }

      Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }

      Извлечение корня из числа.

      Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }

      Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }

      Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }

      Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }

      Возведение числа в квадрат.

      Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }

      Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }

      Перевод в десятичные дроби.
      Вычисление процентов от числа

      Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }

      Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }

      18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }

      Умножение в столбик позволяет быстро выдавать решение примеров даже с многозначными числами. Для счёта нужно только знать наизусть таблицу умножения.

      Как правильно умножать столбиком

      Как и в случае со сложением и вычитанием в столбик, при умножении числа записываются друг под другом. Каждый разряд на своём месте: единицы под единицами, десятки под десятками и т. д. Внизу рисуется горизонтальная черта, ответ пишется под ней.

      Возьмём числа 78 и 12. Для лучшего понимания: пишем 78 наверху, 12 — внизу. Начинаем с единицы нижнего числа, то есть с цифры 2.

      Сперва считаем 8×2=16. Число получилось больше 10, значит, как и в сложении, пишем последнюю цифру (6), а единицу держим в уме. Теперь переходим к десятку, то есть считаем 7×2=14. Единицу мы держали в уме, значит, сейчас прибавляем её к результату, получается 14+1=15. Цифра 5 пишется под десятками, а 1 переходит в новый разряд — сотни. Другими словами, под горизонтальной чертой должно быть написано «156».

      Переходим к следующему разряду. Теперь наш ответ будет записываться иначе: последняя цифра ответа должна быть ровно под верхними десятками, то есть под цифрой 5. Получается, что каждое последующее промежуточное число смещается на 1 разряд влево.

      Считаем 8×1=8. Цифра меньше 10, пишем 8 под пятёркой в числе «156». Считаем 7×1=7. Семёрка переходит в разряд сотен, то есть она должна быть написана под единицей в ответе «156». Под шестёркой ничего не написано, для удобства туда можно поставить ноль.

      Полученное выражение складываем в столбик: 156+78. К 6 ничего не прибавляется (0), значит, переписываем её в прежнем виде. Затем считаем 5+8=13, пишем 3, один в уме. Наконец, 1+7=8, прибавляем единицу — получается 9.

      Таким образом, ответ: 936.

      Тренироваться лучше на листе в клеточку, чтобы привыкнуть к расположению разрядов множителей

      Точно так же умножаются и другие многозначные числа.

      Если в множителях есть нули, они не перемножаются, а просто переносятся в правую часть окончательного ответа.

      Варианты карточек

      Для наглядности можно распечатать карточки с примерами разного уровня сложности. Так детям будет проще запомнить принцип счёта. Примеры для практики можно использовать и при первом изучении умножения, и для повторения после каникул.

      Поначалу решение примеров будет занимать много времени, но постепенно скорость повысится. Даже при наличии калькулятора лучше считать вручную: это развивает умственную деятельность.

      Фотогалерея: примеры карточек для урока
      Видео: умножение чисел в столбик

      Постоянная практика — залог успеха, и со временем можно научиться перемножать в уме даже большие числа. Но начинать, конечно, лучше с простых примеров, постепенно увеличивая уровень сложности.

      Длинное умножение — калькулятор, метод, процедура, примеры и часто задаваемые вопросы

      Вы можете спросить, что такое длинное умножение. Чтобы ответить на ваш вопрос, это способ найти произведение огромных чисел. Теперь вы можете подумать, что это сложная задача, не беспокойтесь, мы предоставим вам самое простое объяснение, чтобы вы легко разобрались в теме.

      Стратегия, используемая для решения задач умножения больших чисел, — это длинное умножение. Длинное умножение — это тип умножения, который в мире широко преподают ученикам начальной школы.

      Калькулятор длинного умножения

      Умножение выполняется с помощью множимого и множителя для аппроксимации переменной методом длинного умножения положительных или отрицательных целых или десятичных чисел. Для Стандартного алгоритма задача отображается в решении. После выравнивания младших значащих цифр числа для умножения располагаются вертикально друг над другом. Если вы знаете наизусть таблицу умножения, это действительно поможет вам увеличить скорость.

      Метод длинного умножения

      1. Расположите числа друг над другом и выровняйте столбцы со значениями местоположения. Обычно в качестве множимого сверху ставится число с наибольшим количеством цифр.

      2. Умножьте множитель, начиная с одной цифры нижнего числа, на последнюю цифру верхнего числа.

      3. Напишите решение под эквивалентной линией.

      4. Если ответ больше девяти, запишите ответ в одной позиции и удерживайте десятки цифр.

      5. Всегда двигайтесь справа налево. Умножьте цифры верхнего числа с нижнего числа на следующую цифру слева. Прикрепите его к результату, если вы держали цифру, и напишите ответ под линией равенства. Сделайте это, если вам нужно снова подержать его.

      6. Переход к разряду десятков в нижнем числе, когда вы умножили одну цифру на каждую цифру в верхнем числе.

      7. Умножьте, как и раньше, но на этот раз запишите ответы в новой строке, сдвинув на одну цифру влево.

      8. По окончании умножения нарисуйте еще одну линию ответов под последним рядом номеров ответов.

      9. Чтобы добавить числовые столбцы справа налево, используйте длинное сложение с переносом, как обычно для длинного сложения.

      Длинные шаги умножения

      Шаг 1: Расположите числа сверху большим числом. Выровняйте числа по столбцам разряда.

      Шаг 2: Умножьте каждую цифру нижней части на цифры с верхней цифрой.

      Шаг 3: переключитесь на одну точку влево. Умножьте десятки, поместите цифры нижнего числа на каждую цифру верхнего числа.

      Шаг 4: Используя длинное сложение, складывайте числа в формате столбца.

      (Изображение будет скоро загружено)

      Примеры длинного умножения

      1. 5249 x 61

      Решение:

      Здесь 5249 — множимое, а 61 — множитель.

      Следовательно, при умножении получаем 320189.

      (Изображение будет загружено в ближайшее время)

      2. 5156 x 61

      Решение:

      Здесь 5156 — множимое, а 61 — множитель.

      Следовательно, при умножении получаем 314516.

      (Изображение будет загружено в ближайшее время)

      3. 9802 x 46

      Решение:

      Здесь 9802 — множимое, а 46 — множитель.

      Следовательно, при умножении получаем 450892.

      (Изображение будет загружено в ближайшее время)

      4. 3920 x 45

      Решение:

      Здесь 3920 — множимое, а 45 — множитель.

      Следовательно, при умножении мы получаем 176400.

      (Изображение будет загружено в ближайшее время)

      5. 505 x 117

      Решение:

      Здесь 505 — это множимое, а 117 — множитель.

      Следовательно, при умножении мы получаем 59085.

      (Изображение будет загружено в ближайшее время)

      Заключение

      Длинное умножение — это метод нахождения произведения двух больших чисел. Он может включать произведение трехзначного числа на двузначное, трехзначного числа на трехзначное или четырехзначного числа.Операции выполняются в формате столбца. Его можно расширить до двух произвольно больших чисел или до количества десятичных цифр.

      Чтобы умножать такие огромные числа, важно изучить метод длинного умножения. Хотя есть несколько способов умножения больших чисел, некоторые из них:

      Однако другие методы немного сложны, и они будут рассмотрены в более высоких классах.

      Длинное умножение (ключевой этап 2)

      Что такое длинное умножение? (Интерактивный виджет)

      Используйте этот интерактивный виджет , чтобы просмотреть пошаговое объяснение длинного умножения.

      Это случайно сгенерированная сумма длинного умножения.

      Решить сейчас

      Пройти шаг за шагом

      Сгенерировать новую сумму

      Посмотрите похожие виджеты на длинное сложение, длинное вычитание и длинное деление.

      Что такое длинное умножение?

      Длинное умножение — это метод умножения чисел.

      Длинное умножение включает в себя запись умножаемых чисел одно под другим, чтобы цифры располагались в столбцах.

      Таким способом можно умножить множество чисел любой длины.

      Реальный пример того, как сделать длинное умножение

      Произвести длинное умножение легко.

      Умножьте числа, указанные ниже.

      Пошаговая инструкция:

      Напишите числа, которые вы хотите умножить, одно под другим.

      Найдите крайнюю правую цифру нижнего числа (в столбце единиц).

      Найдите крайнюю правую цифру верхнего числа (в столбце единиц).

      Умножьте нижнюю цифру (4) на верхнюю цифру (5).

      Проверьте, соответствует ли ответ Step 4 9 или меньше:

      № . 20 — это , а не 9 или меньше.

      Переместите цифру влево в верхнем числе.

      Проверьте, соответствует ли ответ Step 7 9 или меньше:

      № . 10 — это , а не 9 или меньше.

      Переместите цифру влево в верхнем числе.

      Слева больше нет цифр.

      Напишите переносимую цифру под линией.

      Напишите 0 справа в новой строке под линией.

      Переместите цифру влево в нижнем числе (в столбце десятков).

      Найдите крайнюю правую цифру верхнего числа (в столбце единиц).

      Умножьте нижнюю цифру (1) на верхнюю цифру (5).

      Проверьте, соответствует ли ответ Step 4 9 или меньше:

      Есть . 5 — это 9 или меньше.

      Переместите цифру влево в верхнем числе.

      Умножьте нижнюю цифру (1) на верхнюю цифру (2).

      Проверьте, соответствует ли ответ Step 17 9 или меньше:

      Есть . 2 — это 9 или меньше.

      Переместите цифру влево в верхнем числе.

      Слева больше нет цифр.

      Ответ:

      Решение 25 × 14 — 350.

      Слайдер

      Ползунок ниже показывает еще один реальный пример того, как выполнять длинное умножение.

      Откройте слайдер в новой вкладке Помогите нам улучшить математику Монстр

      • Вы не согласны с чем-то на этой странице?
      • Вы заметили опечатку?

      Сообщите нам, используя эту форму

      См. Также

      Как размножаться Как сделать длинное сложение Что такое размещаемая стоимость?

      Длинное умножение на большие числа

      Длинное умножение может использоваться для двух чисел произвольно большого размера или количества десятичных цифр.Мы также можем выполнять длинное умножение для меньших чисел. Помогает, если мы все знаем нашу 10-кратную таблицу умножения.

      Теперь, если мы хотим умножить, скажем, 164×9, мы можем легко вычислить длинное умножение для меньших чисел, основываясь на наших знаниях таблицы умножения числа 9. Можно также умножить большие числа, используя тот же метод, который просто использует еще несколько шагов. Например, мы можем умножить 277×84. Самый простой способ выполнить длинное умножение — сначала написать длинное число, затем меньшее число непосредственно под ним с выровненными младшими знаками, а затем провести под ним горизонтальную линию.Верхнее число называется множимым, а нижнее число — множителем (в качестве множимого обычно выбирается число с большим количеством цифр). Результат умножения — произведение.

      Пример:

      Умножьте 277×84, используя длинное умножение.

      Решение: 2 7 7

      x 8 4

      Чтобы начать вычисление, вы умножаете последнюю цифру множимого, равную 7 , на последнюю цифру множителя, 4 .Это дает 28 . Вы пишете цифру из единиц 28, 8 , под строкой в ​​конце столбца. Вы пишете цифру десятков 28, 2 , над множимым в следующем столбце. Опять же, это называется переносом 2 вперед:

      2 7 2 7

      х 8 4

      8

      Теперь вы переходите к следующей цифре множимого, которой является 7 , и умножаете ее на последнюю цифру множителя, 4 . Это дает 28 , но вы должны добавить 2 к 28, поскольку вы перенесли 2 вперед на предыдущем шаге, что дает нам 30 . Опять же, вы пишете единичную цифру 30, 0 , под линией рядом с 8, и переносите 3 вперед:

      2 3 7 2 7

      х 8 4

      0 8

      Наконец, вы переходите к первой цифре множимого, 2 , и умножаете ее на последнюю цифру множителя, 4 .Это дает 8 , но вы должны добавить 3 к 8, так как на предыдущем шаге вы перенесли 3 вперед, что дает нам 11 . Не нужно ничего переносить, так как мы закончили вычисление числа 4 в множителе, поэтому просто запишите 11 , но мы еще не закончили:

      2 3 7 2 7

      х 8 4

      1 1 0 8

      Теперь мы, по сути, начинаем умножение заново, переходя к следующей цифре множителя — 8.Прежде чем мы это сделаем, поскольку мы переходим к следующей цифре множителя, мы должны продолжить умножение на следующей строке, но сначала добавить ноль в первую цифру, а затем провести под ней горизонтальную линию:

      2 7 7

      х 8 4

      1 1 0 8

      0

      (обратите внимание, что числа, которые ранее были перенесены, теперь удалены)

      Теперь вы начинаете с умножения последней цифры множимого, равного 7 , на следующую цифру множителя, 8 . Это дает 56 . Вы пишете единственную цифру 56, 6 , над последней строкой рядом с 0 и переносите 5 вперед:

      2 7 5 7

      х 8 4

      1 1 0 8

      6 0

      Теперь вы переходите к следующей цифре множимого, которой является 7 , и умножаете ее на следующую цифру множителя, 8 .Это дает 56 , но вы должны добавить 5 к 56, поскольку вы перенесли 5 вперед на предыдущем шаге, что дает нам 61 . Опять же, вы пишете единственную цифру 61, 1 , над последней строкой рядом с 6, и переносите 6 вперед:

      2 6 7 5 7

      х 8 4

      1 1 0 8

      1 6 0

      Наконец, вы переходите к первой цифре множимого, 2 , и умножаете ее на следующую цифру множителя, 8 .Это дает 16 , но вы должны добавить 6 к 16, так как вы перенесли 6 вперед на предыдущем шаге, что дает нам 22 . Не нужно ничего переносить, так как мы закончили вычисление числа 8 в множителе, поэтому просто запишите 22 , но мы еще не закончили:

      2 6 7 5 7

      х 8 4

      + 1 1 0 8

      2 2 1 6 0

      Наш последний шаг — просто сложить последние два числа, полученные в результате умножения:

      2 6 7 5 7

      х 8 4

      + 1 1 0 8

      2 2 1 6 0

      2 3 2 6 8

      Пример 1:

      Пример 2:

      Пример 3:

      длинное умножение | GMAT бесплатно

      Умножение «вручную» — это , необходимое для сдачи GMAT.Часто можно использовать уловки для упрощения вычислений, но некоторые из них придется выписать. Хорошая привычка — оставлять место на краю бумаги для заметок, которая будет вашей записной книжкой на GMAT, для длинного умножения и деления в столбик. В разделе «Количественный анализ» GMAT вам будет запрещено пользоваться калькулятором. В разделе «Интегрированное мышление» у вас будет встроенный калькулятор, но раздел «Количество» гораздо важнее, поскольку он входит в ваш общий балл 200–800.

      Длинное умножение: метод

      Для умножения двух многозначных чисел:

      1. Выровняйте два числа по правому краю. Напишите два умножаемых числа одно под другим, выровняв их по крайним правым цифрам. Люди обычно помещают число с меньшим количеством цифр (в данном случае 32) внизу. Например, если мы хотим умножить 832 и 32, мы выстраиваем их так:

      2. Умножьте верхнее число на нижнюю цифру единиц. Затем умножьте целое число в верхней строке на цифры внизу. Напишите результат с выравниванием по правому краю под полосой умножения.

      3. Умножьте на нижнюю цифру десятков, добавив ноль. Затем умножьте целое число в верхней строке только на десятков цифр внизу. Поскольку вы умножаете на цифру десятков, вы добавляете ноль (или пустое место) к вашему результату и помещаете его под первым результатом:

      4. Продолжайте умножать на старшие цифры и складывать нули , пока не закончите с цифрами меньшего числа, которое вы умножаете. В этом случае мы уже закончили умножение на 32, потому что 32 состоит только из трех цифр.

      5. Добавьте частичные результаты , чтобы получить конечный продукт. В этом случае нам нужно сложить два числа.

      6. При необходимости добавьте в ответ запятые и десятичную точку. Мы поговорим о десятичных точках чуть позже.В этом примере нам не нужна десятичная точка, хотя мы можем вставить запятую. И у нас есть результат: 832 умножить на 32 равно 26 624.

      Наконец, мы можем проверить наш ответ, оценив. Число 832 примерно равно 800, а число 32 примерно 30. И 800 умноженное на 30 дает 24000. Этот продукт находится примерно в 26 624, поэтому наша оценка показывает, что мы не случайно где-то добавили или пропустили ноль.

      Длинное умножение: сложение нулей

      Нет ничего волшебного в том, что мы добавляем ноль к каждой строке умножения на цифры, которое мы делаем в ходе длительного умножения.Мы видим это на нашем примере:

      Здесь 32 можно представить как 30 + 2:

      И, как мы обсудим во вводных разделах по алгебре далее в этой книге, мы можем перемножить это выражение:

      Круглые скобки в последнем выше не являются обязательными и были добавлены только для акцента. Подробнее об этом в разделе «Порядок действий». Второй член, 832 умноженный на 2, является началом нашего длительного умножения, первого частичного произведения:

      И термин 832 умножить на 30 — это просто линия, которая идет под ним.Таким образом, действительно имеет лишний ноль, потому что, когда мы умножаем на цифру 3 в длинном умножении, мы действительно, можно сказать, умножаем на 30.

      Длинное умножение: пример

      В этом примере используется длинное умножение , чтобы умножить 23 958 233 и 5 830 и получить произведение 139 676 498 390.

      Умножать числа легко. Вы можете записать два любых старых числа, выбирая их случайным образом или из квитанции о последней покупке кофе, и попробовать их умножить.Вы можете проверить продукт на своем телефоне или введя вычисление в поле поиска в Google (если вы введете вычисление в Google, он даст вам ответ).

      Длинное умножение с десятичными знаками

      Вы можете умножить два десятичных числа, игнорируя десятичные точки и добавляя десятичную точку обратно в результат. Чтобы снова добавить десятичную точку, подсчитайте количество цифр справа от десятичных точек двух исходных чисел; сумма двух отсчетов указывает количество цифр, которые будут присутствовать в произведении справа от десятичной точки.

      Например, если у вас есть одно число с двумя цифрами после десятичной точки и другое число с одной цифрой после десятичной точки, их произведение будет иметь три цифры после десятичной точки. Так обстоит дело с умножением:

      Обратите внимание, что это умножение идентично нашему первому примеру, за исключением добавления десятичных знаков. Десятичные разряды не влияют на умножение цифр. Итак, чтобы умножить 8,32 и 3,2, мы начнем с умножения 832 на 32.В конце мы снова добавляем общее количество пропущенных десятичных знаков — три — чтобы получить окончательный результат.

      Опять же, мы можем оценить как способ перепроверить наш продукт. Число 8.32 — это около 8, а число 3.2 — около 3. Таким образом, их произведение должно быть примерно 24. Действительно, произведение, 26 плюс изменение, довольно близко к 24.

      Десятичное умножение | Как умножить десятичные знаки

      Вы уже научились умножать на десятичные дроби ? Сегодня мы собираемся рассмотреть три различных случая умножения с десятичными знаками.

      Умножение с десятичными и целыми числами

      В этом случае мы умножаем десятичную дробь на другое число без десятичных знаков, как в примере:

      • Шаг 1: Помещаем оба числа так, чтобы более длинный множитель был вверху, а более короткий множитель — внизу.
      • Шаг 2: Мы решаем задачу умножения так же, как обычно с целыми числами. После этого мы подсчитываем цифры , которые идут после десятичной точки в десятичной дроби, а мы помещаем десятичную точку в ответ так, чтобы после нее было такое же количество десятичных знаков, что и в десятичной дроби в позиции множителя.
      Умножение, когда оба множителя десятичные

      В данном случае оба множителя десятичные:

      • Шаг 1: Как и в предыдущем случае, первое, что нам нужно сделать, это разместить числа так, чтобы более длинный множитель был вверху, а более короткий множитель — внизу.
      • Шаг 2: Мы решаем задачу умножения так же, как обычно с целыми числами.После этого мы подсчитываем цифры, которые идут после десятичных знаков в обоих множителях. Ответ должен иметь столько десятичных знаков, сколько может быть найдено в обоих множителях вместе взятых.
      Умножение с десятичными знаками и целым числом, заканчивающимся нулем

      В этом случае множитель целого числа заканчивается нулем.

      • Шаг 1: Разбиваем число на другое число, умноженное на 10:
      • Шаг 2: Умножаем десятичное число на 10 (тем самым избавляясь от десятичного разряда).
      • Шаг 3: Мы размещаем чисел, и теперь мы можем умножить десятичное число на целое.

      Умножение с десятичными знаками — это просто, не так ли?

      Если вы хотите продолжить изучение математики с помощью Smartick, одновременно развлекаясь , нажмите на эту ссылку, чтобы подписаться на бесплатную пробную версию.

      Подробнее:

      Команда создания контента.
      Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
      Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

      Рабочие листы для длинного умножения

      Эта страница включает в себя рабочие листы «Длинное умножение» для студентов, которые усвоили основные факты об умножении и учатся умножать двузначные, трех-, четырех- и более значные числа. Вопросы на этих листах, которые иногда называют долгим умножением или многозначным умножением, требуют, чтобы учащиеся усвоили факты умножения от 0 до 9.

      Существует множество стратегий для завершения длинного умножения, включая классические методы бумаги и карандаша, решеточное умножение (которое мы показываем на этой странице), умственные стратегии, манипулятивное использование, технологии и различные другие алгоритмы, связанные с бумагой и карандашом.Умножение нескольких цифр может быть неприятным для многих студентов. Попробуйте научить многозначное умножение, используя более одной стратегии.

      Самые популярные рабочие листы для длинного умножения на этой неделе

      Рабочий лист длинного умножения

      Длинные рабочие листы для практики умножения, включая различные размеры чисел и варианты для различных числовых форматов.

      Двузначное умножение — это естественное место, чтобы начать после того, как учащиеся усвоили свои факты умножения.Концепция умножения двузначных чисел требует знания места и значения места, особенно если учащиеся должны полностью понимать, чего они достигают с помощью различных стратегий, которые они используют. Такой вопрос, как 24 × 5, можно представить как (20 + 4) × 5. Мысленно это становится намного проще, когда учащиеся умножают 20 на 5, затем 4 на 5 и складывают два произведения. Хороший способ научиться понимать стоимость — использовать базовые десять блоков. Эти манипуляторы также очень хорошо применяются в стратегиях работы с бумагой, карандашом и ментальной математики.

      Дополнительная цифра может сбить с толку одних учеников, но усложнить другим. Всегда следите за тем, чтобы ученики были готовы к трехзначному умножению, иначе вы и ваш ученик будете разочарованы. Рабочие листы для трехзначного умножения требуют владения фактами однозначного умножения и знания стратегии многозначного умножения, которая позволит учащимся как понять вопрос, так и получить правильный ответ. Четырехзначное умножение было изобретено в 350 году до нашей эры. как способ наказания детей, укравших хлеб с рынка.Просто шучу! На самом деле это большая проблема для студентов, которые добились успеха с фактами умножения и хорошо разбираются в стратегии длительного умножения. Что вы дадите студентам, которые усвоили факты умножения и долгого умножения и любят сложные задачи? Не смотрите дальше пяти-восьмизначного умножения. Наслаждаться!

      Листы для длинного умножения

      В числах на этих листах нет разделителей тысяч.Это немного затрудняет чтение чисел, но иногда лучше не мешать слишком многим, когда ученики изучают долгое умножение. Ключи ответов включают ответы с указанными шагами, поэтому учащиеся и учителя могут диагностировать любые проблемы с помощью шагов, которые они предприняли, чтобы ответить на вопросы. В ответах используется алгоритм бумаги и карандаша, который обычно используется в США и других странах.

      Длинное умножение на

      тысяч, разделенных запятыми

      Запятые используются как разделители тысяч для чисел на этих листах.Запятые используются в США и других англоязычных странах для облегчения чтения чисел. Как и в случае с другими длинными листами умножения на этой странице, ключи ответов включают шаги.

      Длинное умножение на

      тысяч, разделенных пробелами

      Разделение тысяч пробелами позволяет избежать путаницы с запятыми и точками. Различные числовые форматы в разных странах и языках используют запятые и точки как для десятичных знаков, так и для разделителей тысяч, но пробел всегда используется только в качестве разделителя тысяч.Это более распространено в некоторых странах, таких как Канада и Франция, но все больше применяется в других частях мира.

      Длинное умножение на

      тысяч, разделенных периодом

      В некоторых местах точки используются как разделители тысяч, а запятые — как десятичные. Это очень сбивает с толку людей, которые привыкли к номерам в американском формате.

      Перемножение решетки

      Рабочие листы решетки умножения для изучения и использования этой стратегии длинного умножения.

      Различная цифра

      перемножение по решетке листов с включенными решетками

      Решетка, или решето, умножение — отличная стратегия, которую студенты могут использовать для решения задач на длинное умножение на карандаше и бумаге. Мы упростили первый шаг по подготовке решетки, поскольку на листах ниже они уже нарисованы. После небольшой практики студенты могут использовать миллиметровую бумагу или рисовать свои собственные решетки от руки. Первый множитель разделяется разрядным значением в верхней части решетки, давая каждому разрядному значению отдельный столбец.Второй множитель разделяется таким же образом, но по правой стороне с одним разрядом для каждой строки. Однозначные числа столбца и строки перемножаются, и их произведение записывается в соответствующем поле, разделяя десятки и единицы по обе стороны от диагонали. Наконец, диагональные «строки» суммируются и перегруппировываются, начиная с диагонали в правом нижнем углу, в которой будет только одна цифра. Ключи ответов, которые мы предоставили, должны дать вам хорошее представление о том, как выполнять умножение на решетке, как профессионал.Когда студенты немного потренируются, вы можете обнаружить, что это их предпочтительный метод вычисления произведений больших чисел. Этот метод хорошо масштабируется, что означает, что это простая задача — умножить 10-значное число на 10-значное число и т. Д.

      Распределительная собственность

      Рабочие листы распределительных свойств, чтобы помочь студентам научиться мысленно умножать целые числа, не полагаясь на методы бумаги / карандаша.

      Рабочие листы умножения для изучения распределительного свойства

      умножения

      Умножение с поддержкой сетки

      Умножение на миллиметровой бумаге помогает учащимся «выровнять» свои числа при ответе на длинные вопросы на умножение.Эти рабочие листы включают настраиваемые сетки, в которых достаточно места для одного вопроса.

      Умножение с поддержкой сетки листов

      Умножение с опорой на сетку пробелов

      Если вы или ваши ученики захотите составить свои собственные вопросы, эти пробелы должны ускорить процесс.

      Умножение в других системах счисления

      Умножение чисел в системах счисления, отличных от десятичных, включая двоичные, четвертичные, восьмеричные, двенадцатеричные и шестнадцатеричные числа.

      Умножение в других базовых системах

      Метод площади для умножения | Помощь с математикой

      Метод площади, также иногда называемый блочным методом, является альтернативой стандартному алгоритмическому методу (см. Ниже) для длинного умножения. Оба эти метода используют закон распределения для умножения, но они различаются тем, как вычисляются и записываются частичные произведения.

      Стандартный алгоритм, как правило, является более быстрым методом, но, в отличие от метода площадей, он не способствует пониманию и развитию математического мышления.Возможно, лучше всего будет познакомить ваших детей с долгим умножением с помощью метода площади, прежде чем использовать стандартный алгоритм. Метод площадей также поддерживает важную способность оценивать ответы.

      5 х 24 = 5 х (20 + 4) = (5 х 20) + (5 х 4)

      Стандартный алгоритм

      Метод площади

      20 4
      5 100 20

      100 + 20 = 120

      Моделирование умножения

      Упражнение: Моделирование 5 x 14 с помощью стержней Cuisenaire

      Начните с 14, состоящих из 10 и 4 удилищ.

      5 раз (5x) означает, что нам нужно пять (5) 14 секунд.

      5 х 14 = (5 х 10) + (5 х 4)

      5 х 10 =
      5 х 4 =      		 50
      20
      70

      То же самое умножение можно смоделировать, нарисовав ящики без каких-либо прутьев. Частичные продукты написаны в коробках.

      1 цифра x 2 цифры Примеры

      Просмотрите приведенные ниже примеры вместе со своими детьми.Обсудите шаги и рассчитайте, а затем добавьте частичные продукты. Щелкните ссылки, чтобы показать или скрыть решения.

      Представляя новый метод, лучше начать с меньших чисел и фактов умножения, которые легче вспомнить. Это означает, что можно сосредоточиться на методе, а также помогает учащимся, которым сложно запомнить факты умножения.

      Практическая область Метод Умножение

      Попробуйте этот генератор рабочих листов, чтобы попрактиковаться в использовании метода площади для умножения.Установите значение First Number меньше 10, чтобы практиковать умножение 1-значное x 2-значное.

      Этот метод умножения основан на способности учащихся мысленно умножать на 10 и 100. Если вашим детям неудобно это делать, вы можете просмотреть умножение на 10 вместе с ними здесь.

      2-значное умножение на 2-значное с использованием метода площади

      В приведенных выше примерах только один фактор был разложен до его значений по основанию 10.При умножении 2-значных на 2-значные числа оба числа разлагаются, и мы используем четыре прямоугольника, как показано в двух примерах ниже.

      Примеры

      18 х 22

      20 2
      10 200 20
      8 160 16

      200 + 160 + 20 + 16 = 396

      25 х 42

      40 2
      20 800 40
      5 200 10

      800 + 200 + 40 + 10 = 1050

      2-значное умножение на 3-значное с использованием метода площади

      Пример ниже показывает, как этот метод может быть расширен для умножения больших чисел.Обратите внимание, что метод площади становится все более громоздким по мере увеличения количества задействованных цифр. В таких случаях, когда понимание уже установлено, стандартный алгоритм (или калькулятор!), Вероятно, лучше.

      Пример

      55 х 412

      400 10 2
      50 20000 500 100
      5 2000 50 10
      20000
      2000
      500
      100
      50
      + 10
      22660

      Сравнение метода площадей со стандартным алгоритмом

      Сравните два метода.

      Калькулятор пересчета шт/кг

      Данные в таблице приведены для изделий изготовленных из стали.

      Для определения массы изделия, изготовленного из других материалов, значение массы указанные в таблице должно быть умножено на коэффициент:

      0,35 – алюминий
      1,08 – латунь
      0,97 – бронза
      1,13 – медь

      Внимание! Данные приблизительны, т. к. получены теоретическим путем!

      Номенклатура

      выбрать размер

      вес одной штуки в граммах

      требуется штук

      требуется кг

      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
       Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг
      Хшт. =  кг

      Для расчета массы изделия, изготовленного из других материалов, значение массы указанные в таблице должно быть умножено на коэффициент:

      0,35 – алюминий
      1,08 – латунь
      0,97 – бронза
      1,13 – медь

      Table of 150 — Learn 150 Times Table

      LearnPracticeDownload

      Таблица 150 показывает значения, которые мы получаем, когда число 150 умножается на другие целые числа. Повторное сложение 150 — это таблица умножения 150. Например, 150 + 150 + 150 = 3 × 150 = 450. На этой странице вы можете найти таблицу от 150 до 20.

      Таблица 150 Таблица

      1. Стол из 150
      2. Таблица из 150 Скачать PDF
      3. Часто задаваемые вопросы по таблице 150

      Стол из 150

      Таблица 150 до 20 представлена ​​ниже. Изучение таблицы умножения 150 помогает детям глубже понять умножение, что полезно в долгосрочной перспективе.

      Таблица от 150 до 10

      150 × 1 = 150 150 × 6 = 900
      150 × 2 = 300 150 × 7 = 1050
      150 × 3 = 450 150 × 8 = 1200
      150 × 4 = 600 150 × 9 = 1350
      150 × 5 = 750 150 × 10 = 1500

      Таблица от 150 до 20

      150 × 11 = 1650 150 × 16 = 2400
      150 × 12 = 1800 150 × 17 = 2550
      150 × 13 = 1950 150 × 18 = 2700
      150 × 14 = 2100 150 × 19 = 2850
      150 × 15 = 2250 150 × 20 = 3000

      Вы можете распечатать или сохранить эту таблицу умножения в формате PDF, нажав на ссылку, указанную ниже.

      ☛ Таблица из 150 PDF Скачать

      Таблица от 150 до 10 прописью

      • Сто пятьдесят раз Один равен ста пятидесяти
      • Сто пятьдесят умножить на два равно тремстам
      • Сто пятьдесят умножить на три равно четыреста пятьдесят
      • Сто пятьдесят умножить на четыре равно шестистам
      • Сто пятьдесят раз пять равно семьсот пятьдесят
      • Сто пятьдесят умножить на шесть равно девятистам
      • Сто пятьдесят умножить на семь равно одной тысяче пятидесяти
      • Сто пятьдесят раз восемь равно одной тысяче двухсот
      • Сто пятьдесят раз девять равно одной тысяче тремстам пятидесяти
      • Сто пятьдесят раз десять равно одной тысяче пятисот

      ☛ Также проверьте:

      • Таблица из 25
      • Стол из 29
      • Стол из 42
      • Стол из 34
      • Стол из 12
      • Таблица из 20
      • Стол из 2

       

      Таблицы из 150 примеров

      1. Пример 1: Вирджиния совершает пробежки по 4 мили в день. Воспользуйтесь таблицей 150 и найдите, сколько миль она пробежит за 150 дней.

        Решение:

        Вирджиния бегает по 4 мили в день. Следовательно, общее количество миль, пройденных за 150 дней, равно 4 × 150 = 600 миль.

      2. Пример 2: Бренда делает 17 пончиков в день. Сколько пончиков она сделала за 150 дней?

        Решение:

        Бренда делает 17 пончиков в день. Следовательно, из таблицы 150 общее количество пончиков, сделанных за 150 дней, равно 17 × 150 = 2550 пончиков.

      3. Пример 3: Келли зарабатывает 20 долларов в час. Сколько денег она заработает, если будет работать 150 часов?

        Решение:

        Келли зарабатывает 20 долларов в час. Следовательно, используя таблицу 150, общая сумма денег, заработанных Келли после 150 часов, составляет 20 × 150 = 3000 долларов.

      перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

      Готовы увидеть мир глазами математика?

      Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

      Забронировать бесплатный пробный урок

      Часто задаваемые вопросы о таблицах из 150

      Найдите значение 150, умноженное на 12, используя таблицу 150.

      Значение 150, умноженное на 12, из таблицы 150 равно 150 × 12 = 1800

      Найдите, сколько раз нужно умножить 150, чтобы получить 750.

      Из таблицы 150 получаем 150 × 5 = 750. Следовательно, 150 нужно умножить на 5, чтобы получить 750.

      Сколько будет 150 умножить на 16 минус 12 плюс 12?

      Из таблицы 150 150 умножить на 16 равно 2400. Следовательно, 150 × 16 — 12 + 12 = 2400 — 12 + 12 = 2400

      Используя таблицу 150, найдите значение 3 плюс 150 умножить на 11 минус 150 умножить на 13.

      Из таблицы 150 150 умножить на 11 = 1650 и 150 умножить на 13 = 1950. Следовательно, 3 + 150 × 11 — 150 × 13 = -297.

      ☛ Статьи по теме:

      Скачать БЕСПЛАТНО учебные материалы

      Рабочие листы таблицы умножения

      Рабочие листы по математике и
      наглядный учебный план

      Умножение × | Основы арифметики

      На этой странице рассматриваются основы умножения (×) .

      См. другие наши арифметические страницы для обсуждения и примеров: сложение (+), вычитание (-) и деление ( ÷ ).

      Умножение

      При записи общий знак умножения — « × ». В электронных таблицах и некоторых других компьютерных приложениях символ « * » (или звездочка) используется для обозначения операции умножения.

      Чтобы выполнять вычисления по умножению без калькулятора или электронной таблицы, вам нужно знать, как складывать числа. См. нашу страницу «Добавление» для помощи в добавлении.

      Когда вы «умножаете» или «умножаете» число, вы добавляете его само к себе несколько раз, например, 4 умножить на 3 — это то же самое, что сказать 4 + 4 + 4 = 12. Таким образом, умножение — это более быстрый способ сложения. одно и то же число много раз, например 3 × 4 = 12. Этот расчет аналогичен утверждению, если у меня есть 3 мешка с 4 яблоками, сколько яблок у меня всего?

      Основные правила умножения:

      • Любое число, умноженное на 0, равно 0. 200 × 0 = 0
      • Любое число, умноженное на 1, остается прежним. 200 × 1 = 200,
      • Когда число умножается на два, мы удваиваем число. 200 × 2 = 400.
      • Когда целое число умножается на 10, мы можем просто написать 0 в конце (в 10 один ноль, потому что это 1 × 10). 200 × 10 = 2000.  90 120
      • При умножении на 100 пишем два нуля в конце, на тысячу пишем три нуля в конце и так далее. 4 × 2000 например 4 × 2 = 8 с 3 нулями: 8000.

      Для простого и быстрого умножения полезно запомнить умножение или «таблицу умножения на », как показано ниже. Эта таблица дает ответы на все умножения до 10 × 10. Чтобы получить ответ на 4 × 6, например, найдите 4 в верхней (заштрихованной красным) строке и найдите 6 в левом (заштрихованном красным) столбце – точка пересечения двух прямых и есть ответ: 24 .

      Не имеет значения, с какой стороны вы ищете номера; если вы найдете 4 в первом столбце и 6 в первой строке, вы получите тот же ответ, 24.

      Таблица умножения

      × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
      1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
      2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
      3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
      4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
      5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
      6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
      7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
      8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
      9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
      10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

      Приведенная выше таблица может помочь нам быстро вычислить ответ на следующую задачу. Меган ведет трех своих братьев в кино, всего ей нужно купить 4 билета, и каждый билет стоит 8 фунтов стерлингов. Сколько будет полная стоимость поездки? Нам нужно рассчитать 4 лота по £8, что записывается 4 × 8.

      Найдите 4 в вертикальном красном столбце и 8 в горизонтальном красном столбце, ответ находится в ячейке, где две линии пересекаются: 32 . Таким образом, стоимость похода в кино составит £32 .

      Часто необходимо умножать числа больше 10. В этом случае приведенная выше таблица умножения не может дать немедленный ответ. Тем не менее, мы все еще можем использовать его, чтобы упростить вычисления.

      Лиза занимается ресторанным бизнесом. Ей приходится доставлять бутерброды на 23 предприятия, в каждом из которых работает по 14 сотрудников. Если предположить, что каждый сотрудник съедает один бутерброд, сколько бутербродов должна приготовить Лиза?

      Каждому из 23 предприятий нужно по 14 бутербродов, что составляет 23 лота из 14 или, другими словами, 23, умноженное на 14. Как мы уже обнаружили, мы могли бы записать расчет наоборот. 14×23. Ответ будет таким же.

      Нам нужно найти ответ на вычисление 23 × 14.

      Сначала запишите свои числа в столбцах, представляющих сотни, десятки и единицы (см. нашу страницу Числа ).


      Сотни Десятки Единицы
        2 3
        1 4

      Шаг 1: Начиная с правого столбца (единицы), умножьте 4 и 3. При необходимости вы можете обратиться к приведенной выше таблице умножения. Запишите ответ (12) под своим расчетом, поставив 1 в столбце десятков и 2 в столбце единиц.

      Синие числа — это те, над которыми мы сейчас работаем, а розовые числа — это первая часть нашего ответа.

      Сотни Десятки Единицы
        2 3
        1 4
        1 2

      Шаг 2: Затем мы умножаем 4 на следующее число, которое равно 2 (или 20, потому что оно находится в столбце десятков). Запишите свой ответ внизу в колонке десятков: Мы пишем 8 в колонке десятков (4 умножить на 2 десятка) и ноль в колонке единиц (4 умножить на 2 десятка равно 4 × 20 = 80).

      Сотни Десятки Единицы
        2 3
        1 4
        1 2
        8 0

      Шаг 3: В предыдущих шагах мы умножили единицы нижнего числа (4) на верхнее число (23). Далее нам нужно умножить десятки в нижнем числе (1) на верхнее число (23). Теперь мы работаем с цифрой в столбце десятков нижнего числа и повторяем шаги, описанные выше. Оглядываясь назад на наши основные правила умножения выше, мы знаем, что когда мы умножаем число на 10, мы пишем ноль в конце. На этом шаге, поскольку мы перешли столбец и работаем с десятками, мы должны не забыть записать нули в первом столбце (единицы).

      Решите 1 × 3. Как и выше, мы записываем наш ответ (3) в столбце десятков и (0) в столбце единиц.

      Сотни Десятки Единицы
        2 3
        1 4
        1 2
        8 0
        3 0

      Шаг 4: Последнее умножение, которое нам нужно выполнить, это 1 × 2. Оба числа находятся в столбце десятков, поэтому мы умножаем один набор из 10 на два набора из 10. Используя правила, которые мы изучили в предыдущие шаги, нам нужно написать ноль в столбце единиц и ноль в столбце десятков. Наш ответ (1 × 2 = 2) записан в столбце сотен, потому что мы фактически вычислили 10 × 20 = 200.

      Сотни Десятки Единицы
        2 3
        1 4
        1 2
        8 0
        3 0
      2 0 0

      Этап 5: На этом этапе мы закончили умножение; осталось только сложить все наши ответы (розовые числа), чтобы найти общее количество необходимых бутербродов. См. нашу  Дополнение  страницу, если вам нужна помощь в сложении чисел.

      Сотни Десятки Единицы
        2 3
        1 4
        1 2
        8 0
        3 0
      2 0 0
      Итого: 3 2 2

      12 + 80 + 30 + 200 = 322. Мы подсчитали, что Лизе нужно сделать всего 322 бутерброды.

      В приведенном выше примере показано, как выполнить умножение, разделенное на все возможные части, но по мере повышения уверенности шаги можно пропускать.

      Мы могли бы, например, умножить 4 на 23, разбив сумму на части:

      4 × 20 = 80
      4 × 3 = 12
      80 + 12 = 92

      Сотни Десятки Единицы
        2 3
        1 4
        9 2

      То же самое для второго столбца:

      10 × 23 = 230


      Сотни Десятки Единицы
        2 3
        1 4
        9 2
      2 3 0

      Наконец, мы добавляем два наших ответа:

        Сотни Десятки Единицы
        2 3
        1 4
        9 2
      2 3 0
      Итого: 3 2 2

      92 + 230 = 322

      Умножение более двух чисел следующее число вашей первой суммой.

      Например, если бы Джо хотел подсчитать, сколько часов он проработал за четыре недели, расчет будет выглядеть так:

      Джо работает 7 часов в день, 5 дней в неделю в течение четырех недель.

      Шаг первый:

      7 × 5 = 35 (количество часов, которые Джо работает в неделю).

      Шаг второй:

      Чтобы узнать, сколько часов Джо работает за четыре недели, мы можем умножить этот ответ (35) на 4. 35 × 4 = 140.

      Если мы знаем, что Джо получает 12 фунтов стерлингов в час. , мы можем подсчитать, сколько денег он заработал за четыре недели: 12 × 140.

      Быстрый способ вычислить это — вычислить:
      10 × 140 = 1400 (помните, что если мы умножим на 10, то получим просто добавьте ноль в конец числа, на которое мы умножаем).
      2 × 140 = 280 то же, что 2 × 14 (с нулем на конце) или 140 + 140.

      Складываем наши ответы вместе: 1400 + 280 = 1680.
      Таким образом, Джо заработал 1680 фунтов за четыре недельный период.

      Умножение отрицательных чисел

      Умножение отрицательного числа на положительное всегда дает отрицательный ответ:

      15 × (−4) = −60

      Умножение отрицательного числа на другое отрицательное число всегда дает положительный ответ:

      (−15) × (−4) = 60

      письмо — 150%, 1,5 раза, 1,5× или 1,5 раза

      спросил

      Изменено 3 года, 6 месяцев назад

      Просмотрено 34к раз

      Если какой-либо показатель качества улучшается до 150 % от своего первоначального значения в исследовании из состояния A в состояние B, будет ли наиболее подходящим с точки зрения научной письменной речи (в частности, информатики) описать это как:

      стиль письма

      5

      Нижеследующее может показаться немного придирчивым, но именно эти детали отделяют зерна от плевел:

      • улучшение в 1,5 раза

        Плохо. Это означает, что улучшение, а не мера качества, составляет 1,5 от чего-то другого, что разумно сопоставимо, например, другого улучшения. Это имело бы смысл в таком контексте, как:

        Мы сравнили различные ускорители производительности и обнаружили, что контрафибулы дали улучшение в 1,5 раза по сравнению с улучшением перикомбобуляций.

        (Обратите внимание, что я не считаю приведенное выше предложение примером хорошего письма, поскольку оно обязательно будет кем-то неправильно понято, но, по крайней мере, технически оно корректно.)

      • улучшение в 1,5 раза

        Очень плохо. Если у меня доброкачественное заболевание, я читаю это как «улучшение в 1,5 раза» (см. выше). Если меня нет, то это вообще не имеет никакого смысла. Заменять слова математическими символами только потому, что они имеют какое-то семантическое отношение, — очень плохая привычка, так как почти никогда не дает ясного значения, является плохим стилем и свидетельствует о недостатках основных математических понятий.

      • работает в 1,5 раза лучше

        Мех. Если говорить буквально, у него есть проблемы, похожие на «улучшение в 1,5 раза»: относится ли в 1,5 раза к к лучше или к чему-то другому? Теперь, с лингвистической точки зрения, это фиксированная идиома с четким значением, так что ситуация не так уж и плоха, но я предполагаю, что некоторые не носители языка неправильно ее понимают. Более того, идиомы стилистически не очень хорошо сочетаются с точными количественными описаниями.

      • работает на 50% лучше

        Почти хорошо. Аналогичен приведенному выше, но лучше, так как 50% далеко не так хорошо понимаются как применимые к лучше , чем в 1,5 раза.

      • работает также в 1,5 раза
        работает также на 150%

        Хорошо. Они не оставляют места для недопонимания, поскольку вы разъясняете, что 1,5 умножить на или 50% относятся, и это правильно, а именно «доброта», т. е. ваша мера качества.

      • улучшение на 50%
        улучшение на 150%

        Хороший (с достаточным контекстом). Опять же, понятно, к чему на самом деле относятся цифры.

      • работает на 50% лучше, чем A
        работает в 1,5 раза, а также A
        работает на 150%, а также A
        улучшение на 50% по сравнению с A
        улучшение производительности А до 150 %

        Очень хорошо. Называя фактическую ссылку, вы избегаете недоразумений. Однако при наличии достаточного контекста выражения, которые я назвал хорошими , могут быть предпочтительнее из-за краткости и избежания ненужной избыточности.

      Обратите внимание, что все это предполагает меру качества, которая увеличивается с качеством. Если ваша мера снижается с качеством (например, временем выполнения), вероятно, лучше прямо говорить о мере, например:

      Время выполнения

      A составляло 50% времени выполнения B.
      A работает в два раза быстрее, чем B.

      11

      На мой взгляд, выражение

      в 1,5 раза лучше

      следует избегать любой ценой. Он не имеет никакого лингвистического значения. Это потому, что «лучше» (например, «больше», «больше») подразумевает добавление к любой измеряемой вещи:

      эта машина едет на 10 км/ч быстрее другой

      , а «1,5 раза» подразумевает умножение.

      (Если бы мы придали ему значение из-за «дополнительного» значения, «в 1,5 раза лучше» означало бы «в 2,5 раза лучше»).

      Кроме того, если бы было разрешено «улучшение в 1,5 раза», что означало бы «улучшение на 50%»? Если следовать рассуждениям о том, что «в 1,5 раза лучше» означает «в 1,5 раза лучше», это будет означать, что это означает «на 50% лучше». Чего это, конечно, никогда не имело в виду.

      Я подозреваю, что неверная формулировка «в 1,5 раза лучше» вошла в обиход, потому что люди не знают, как написать «в 1,5 раза лучше» и связать это с тем, что они сравнивают.

      1

      Я обычно уточняю это так:

      Производительность условия A была в 1,5 раза выше, чем у условия B.

      Получается cond A = 1,5 × cond B без двусмысленности «времени улучшения x».

      Или нарисовать их. Нет ничего постыдного в том, чтобы быть слишком ясным .

      В общем, предпочтительно использовать ту же арифметическую форму при обсуждении относительных изменений в процессах любого рода. Последовательность показывает внимание к читателю. Там, где я живу и перевожу, типичный стиль письма, как правило, любит формы «x раз больше, чем» и «x-fold» формы, смешанные с процентами, что не так просто интерпретировать, как мы можем видеть из обсуждения здесь. Проценты не только более очевидны, но и позволяют сравнивать их с другими процентами. Итак,

      • Правило № 1: используйте одну и ту же форму для сравнения всего обсуждения или отчета без учета читателей.

      • Правило № 2: используйте проценты, а не формы «кратно больше/меньше» или «кратно», которые не столь точны и требуют интерпретации.

      Мэтуэй | Популярные проблемы

      9(1/2) 92-4*-1+2 92
      1 Найти том сфера (5)
      2 Найти площадь круг (5)
      3 Найдите площадь поверхности сфера (5)
      4 Найти площадь круг (7)
      5 Найти площадь круг (2)
      6 Найти площадь круг (4)
      7 Найти площадь круг (6)
      8
      11 Найти простую факторизацию 741
      12 Найти том сфера (3)
      13 Оценить 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
      14 Найти площадь круг (10)
      15 Найти площадь круг (8)
      16 Найдите площадь поверхности сфера (6)
      17 Найти простую факторизацию 1162
      18 Найти площадь круг (1)
      19 Найдите окружность круг (5)
      20 Найти том сфера (2)
      21 Найти том сфера (6)
      22 Найдите площадь поверхности сфера (4)
      23 Найти том сфера (7)
      24 Оценить квадратный корень из -121
      25 Найти простую факторизацию 513
      26 Оценка квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
      27 Найти том коробка (2)(2)(2)
      28 Найдите окружность круг (6)
      29 Найдите окружность круг (3)
      30 Найдите площадь поверхности сфера (2)
      31 Оценить 2 1/2÷22000000
      32 Найдите Том коробка (5)(5)(5)
      33 Найти том коробка (10)(10)(10)
      34 Найдите окружность круг (4)
      35 Преобразование в проценты 1,7
      36 Оценить (5/6)÷(4/1)
      37 Оценить 3/5+3/5
      38 Оценить ф(-2) 92
      40 Найти площадь круг (12)
      41 Найти том коробка (3)(3)(3)
      42 Найти том коробка (4)(4)(4)
      45 Найти простую факторизацию 228
      46 Оценить 0+0
      47 Найти площадь круг (9)
      48 Найдите окружность круг (8)
      49 Найдите окружность круг (7)
      50 Найти том сфера (10)
      51 Найдите площадь поверхности сфера (10)
      52 Найдите площадь поверхности сфера (7)
      53 Определить, является простым или составным 5
      60 Преобразование в упрощенную дробь 2 1/4
      61 Найдите площадь поверхности сфера (12)
      62 Найти том сфера (1)
      63 Найдите окружность круг (2)
      64 Найти том коробка (12)(12)(12)
      65 Добавить 2+2=
      66 Найдите площадь поверхности коробка (3)(3)(3)
      67 Оценить корень пятой степени из 6* корень шестой из 7
      68 Оценить 7/40+17/50
      69 Найти простую факторизацию 1617
      70 Оценить 27-(квадратный корень из 89)/32
      71 Оценить 9÷4
      72 Оценка 92
      74 Оценить 1-(1-15/16)
      75 Преобразование в упрощенную дробь 8
      76 Оценка 656-521 9-2
      79 Оценить 4-(6)/-5
      80 Оценить 3-3*6+2
      81 Найдите площадь поверхности коробка (5)(5)(5)
      82 Найдите площадь поверхности сфера (8)
      83 Найти площадь круг (14)
      84 Преобразование в десятичное число 5 ноября
      85 9-2
      88 Оценить 1/2*3*9
      89 Оценить 4/4-17/-4
      90 Оценить 11. 02+17.19
      91 Оценить 3/5+3/10
      92 Оценить 4/5*3/8
      93 Оценить 6/(2(2+1))
      94 Упростить квадратный корень из 144
      95 Преобразование в упрощенную дробь 725%
      96 Преобразование в упрощенную дробь 6 1/4
      97 Оценить 7/10-2/5
      98 Оценить 6÷3
      99 Оценить 5+4
      100 Оценить квадратный корень из 12- квадратный корень из 192

      j+150 умножить на 50 является (n)_ выражением, потому что_ .

      числовое выражение; оно состоит только из j+150, умноженных на 50, является (n)_ выражением, потому что_. числовое выражение; он состоит только из

      Questions LLC

      Задавайте вопросы и получайте полезные ответы.

      Задать новый вопрос

      числовое выражение; состоит только из цифр
      числового выражения; он состоит из символов операции
      алгебраического выражения; он состоит из чисел и переменной
      алгебраического выражения; он имеет более одного рабочего символа

      1. 👍
      2. 👎
      3. 👁
      4. ℹ️
      5. 🚩

      я очень умный ребенок

      7 ответов

      1. я тебя понял
        1. C — Алгебраическое выражение; Он состоит из числа и переменной.
        2. D — сколько раз Крис моет машину.
        3. А — 28
        4. Б — 85
        5. С — 23,9

        1. 👍
        2. 👎
        3. ℹ️
        4. 🚩

        ббф

      2. ключ здесь, кажется, то, что отличает числовое от алгебраического.

        1. 👍
        2. 👎
        3. ℹ️
        4. 🚩

        👤

        ооблек

      3. я думаю это С

        1. 👍
        2. 👎
        3. ℹ️
        4. 🚩

        Помощник по ответам

      5. я думаю с

        1. 👍
        2. 👎
        3. ℹ️
        4. 🚩

        Эйнсли

      6. bff прав! Большое спасибо

        1. 👍
        2. 👎
        3. ℹ️
        4. 🚩

        Парень

      7. ты ббф

        1. 👍
        2. 👎
        3. ℹ️
        4. 🚩

        и

      8. 5.Д

        1. 👍
        2. 👎
        3. ℹ️
        4. 🚩

        лил пай /ᐠ｡ꞈ｡ᐟ\

      Ответить на этот вопрос

      Имя

      Твой ответ

      Похожие вопросы

      Все еще нужна помощь?

      Вы можете задать новый вопрос или просмотреть существующие вопросы.

      150 часов Требования для получения лицензии CPA

      Обзор

      Сертифицированный бухгалтер (CPA) в современных условиях должен не только иметь высокий уровень технической компетентности и чувство приверженности делу, но также должен иметь хорошие коммуникации и аналитические способности, и способность хорошо работать с людьми. Работодатели ищут людей, которые способны анализировать и оценивать сложные бизнес-проблемы, а также обладают навыками межличностного общения и зрелостью для принятия решений в среде клиентов и обслуживания клиентов.

      Для получения необходимого объема знаний и развития навыков и способностей, необходимых для успешного обучения CPA, студенты должны пройти 150 семестровых часов обучения. Многие штаты / юрисдикции теперь требуют или потребуют 150 семестровых часов обучения для получения лицензии CPA. Колледжи и университеты в этих штатах / юрисдикциях определяют учебную программу для подготовки дипломированных бухгалтеров до лицензирования; обычно в нем хорошо сочетается бухгалтерский учет, бизнес и общее образование.

      • Почему 150 часов?
      • Как выполнить требования
      • Государства с Требованием
      • FAQ (Часто задаваемые вопросы) в 150 часов

      Почему упор делается на 150 семестровых часов обучения для начинающих дипломированных бухгалтеров?

      Существует ряд причин, по которым традиционная четырехлетняя программа бакалавриата больше не подходит для получения необходимых знаний и навыков, чтобы стать дипломированным бухгалтером:

      • Значительное увеличение количества официальных отчетов по бухгалтерскому учету и аудиту, а также распространение новых налоговых законов расширили базу знаний, которая требуется профессиональной практике в области бухгалтерского учета.
      • Бизнес-методы становятся все более сложными. Распространение постановлений федеральных, государственных и местных органов власти требует, чтобы хорошо образованные люди обеспечивали их соблюдение. Кроме того, усовершенствования в технологии оказали большое влияние на структуру информационных систем, процедуры внутреннего контроля и методы аудита.
      • Кадровые потребности бухгалтерских фирм и других работодателей дипломированных бухгалтеров быстро меняются. В настоящее время используются более сложные подходы к аудиту, а также с увеличением потребностей бизнеса в различных высокотехнологичных бухгалтерских услугах и повышении эффективности аудита, требования к эффективной профессиональной практике резко возросли. Спрос на большое количество людей для выполнения множества рутинных аудиторских задач быстро уменьшается.

      Наверх

       

      Как уложиться в 150 часов

      Многие колледжи и университеты предлагают программы бакалавриата и магистратуры в области бухгалтерского учета. Чтобы получить 150 семестровых часов обучения, студентам не обязательно получать степень магистра. Они могут соответствовать требованиям на уровне бакалавриата или получить степень бакалавра и пройти некоторые курсы на уровне магистратуры. Студенты также могут выбрать любой из следующих вариантов:

      • Совместить степень бакалавра бухгалтерского учета со степенью магистра в той же школе или в другой;
      • Сочетание степени бакалавра в какой-либо другой дисциплине со степенью магистра в области бухгалтерского учета или степени MBA со специализацией в области бухгалтерского учета;
      • Запишитесь в интегрированную пятилетнюю профессиональную бухгалтерскую школу или программу, ведущую к получению степени магистра бухгалтерского учета.

      В большинстве случаев дополнительную академическую работу, необходимую для приобретения технической компетенции и развития навыков, требуемых сегодняшним CPA, лучше всего выполнять на уровне выпускника. Программы для выпускников — отличный способ более полно развить такие навыки, как общение, презентации и межличностные отношения, а также интегрировать их с приобретаемыми техническими знаниями.

      По этим причинам ведущие профессиональные организации, такие как AICPA, Национальная ассоциация государственных советов по бухгалтерскому учету и Федерация школ бухгалтерского учета, последовательно поддерживают требование о 150-часовом образовании для поступления на бухгалтерскую профессию.

      Вернуться к началу

      Штаты/юрисдикции, в которых действует требование о 150-часовом образовании

      В настоящее время Виргинские острова США являются единственной юрисдикцией США, в которой для получения лицензии не требуется как минимум 150 часов образования. Чтобы узнать о конкретных требованиях штата или территории, посетите сайт ThisWayToCPA.com.

      Вернуться к началу

      Требование не будет применяться к дипломированным бухгалтерам, получившим лицензию до даты вступления в силу изменения требования к образованию. Для членства в AICPA требование распространяется на тех, кто сдал экзамен CPA и подал заявку на членство после 2000 года.

      Образовательное предложение AICPA не требует наличия степени магистра для выполнения требования. Это может быть выполнено различными способами, включая дополнительные часы на уровне выпускника без степени магистра. Ни в одном из штатов, принявших закон о 150 часах, степень магистра не требуется.

      Подробная информация о том, что будет соответствовать требованиям, может варьироваться от штата к штату в соответствии с правилами совета штата. Предложение AICPA позволит получить квалификацию MBA с концентрацией бухгалтерского учета.

      Требование к образованию не заменяет требования к опыту. Штат, который принимает повышенные требования к образованию, может принять решение о прекращении или изменении требования к опыту. Во многих штатах действуют пониженные требования к опыту работы для кандидатов, имеющих степень магистра.

      Бухгалтерским фирмам придется увеличить стартовую зарплату, чтобы привлечь в профессию лучших студентов. Это справедливо даже при отсутствии повышенных требований к образованию. Период поэтапного ввода, который обычно используется, должен позволить фирмам покрыть возросшие затраты в течение нескольких лет. Ожидается, что новые участники, выполнившие требование, будут более осведомленными, эффективными и будут работать с меньшим контролем. Ожидается, что время и численность персонала будут сокращены, чтобы компенсировать увеличение расходов клиентов.

      Когда требование установлено законом, конкурентная позиция малых и крупных фирм не должна меняться, поскольку все будут затронуты в равной степени.


      Требование, вероятно, привлечет к бухгалтерскому учету студентов более высокого уровня, поскольку оно ставит CPA в один ряд с другими профессиями, требующими дополнительного образования. Самые способные и лучшие старшеклассники все чаще выбирают карьеру, требующую обучения в аспирантуре. Кроме того, учащиеся, выполнившие требования, будут не только инвестировать в свою карьеру, но и быстрее продвигаться в своих компаниях благодаря увеличению образовательной базы

      Требование, вероятно, привлечет к бухгалтерскому учету студентов более высокого уровня, поскольку оно ставит CPA в один ряд с другими профессиями, требующими дополнительного образования. Самые способные и лучшие старшеклассники все чаще выбирают карьеру, требующую обучения в аспирантуре. Кроме того, студенты, выполнившие требование, будут не только инвестировать в свою карьеру, но и быстрее продвигаться в своих компаниях благодаря увеличению образовательной базы.

      Требование, вероятно, привлечет к бухгалтерскому учету студентов более высокого уровня, поскольку оно ставит CPA в один ряд с другими профессиями, требующими дополнительного образования. Самые способные и лучшие старшеклассники все чаще выбирают карьеру, требующую обучения в аспирантуре. Кроме того, студенты, выполнившие требование, будут не только инвестировать в свою карьеру, но и быстрее продвигаться в своих компаниях благодаря увеличению образовательной базы.

      Требование, вероятно, привлечет к бухгалтерскому учету студентов более высокого уровня, поскольку оно ставит CPA в один ряд с другими профессиями, требующими дополнительного образования. Самые способные и лучшие старшеклассники все чаще выбирают карьеру, требующую обучения в аспирантуре. Кроме того, студенты, выполнившие требование, будут не только инвестировать в свою карьеру, но и быстрее продвигаться в своих компаниях благодаря увеличению образовательной базы.

      Требование, вероятно, привлечет к бухгалтерскому учету студентов более высокого уровня, поскольку оно ставит CPA в один ряд с другими профессиями, требующими дополнительного образования. Самые способные и лучшие старшеклассники все чаще выбирают карьеру, требующую обучения в аспирантуре. Кроме того, студенты, выполнившие требование, будут не только инвестировать в свою карьеру, но и быстрее продвигаться в своих компаниях благодаря увеличению образовательной базы.


      Требования к образованию не создают барьеров для доступа к другим профессиям, требующим высшего образования. Статистические данные показывают, что среди меньшинств больше докторов медицины и юристов, чем CPA. Студенты из числа меньшинств, которые планируют продолжить обучение в аспирантуре, теперь будут привлечены к бухгалтерскому учету.

      Требования к образованию не создают барьеров для поступления на другие профессии, требующие последипломного образования. Статистические данные показывают, что среди меньшинств больше докторов медицины и юристов, чем CPA. Бухгалтерский учет теперь будет привлекать студентов из числа меньшинств, которые планируют получить высшее образование.

      Требования к образованию не создают барьеров для входа в другие профессии, требующие последипломного образования. Статистические данные показывают, что среди меньшинств больше докторов медицины и юристов, чем CPA. Бухгалтерский учет теперь будет привлекать студентов из числа меньшинств, которые планируют получить высшее образование.

      Нахождение производной по определению: Определение производной функции в точке

      alexxlab / / Разное

      Определение производной функции в точке

      Определение производной

      Производная функции в точке
      Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x.
      Производной f′(x) функции f(x) в точке x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда последний стремится к нулю:
      (1)   .
      Приращением аргумента
      функции в точке x называется разность значений аргумента в некоторой точке и точке x: .
      Приращением функции
      в точке x называется разность значений функции в некоторой точке и точке x: .
      Дифференцирование
      – это процесс вычисления производной.

      В определении (1), приращение аргумента является одной переменной, хотя ее обозначение состоит из двух букв. Обычно переменную принято обозначать одной буквой или буквой с одним или несколькими индексами. Но приращение в математическом анализе настолько часто встречается, что его обозначают с небольшим нарушением правил. Приращение функции также является одной переменной. В приведенном выше определении, является независимой переменной, а – зависимой, то есть функцией. Она зависит от двух переменных: x и : ; или от x и : . Но при вычислении предела (1), мы считаем, что x является фиксированным, заданным числом. Тогда , как и все выражение за знаком предела является функцией от одной переменной . Таким образом задача о нахождении производной сводится к задаче о вычислении предела от функции , зависящей от одной переменной ; или от функции , зависящей от одной переменной .

      В правой части (1) мы сделали замену, и перешли от переменной к переменной . Тогда . При ,
      .

      После того, как мы нашли производную в заданной точке, то x уже можно считать не фиксированным числом, а переменной. То есть предел (1) можно рассматривать как функцию от x. Еще раз подчеркнем, что выражение является функцией от двух переменных: x и . А выражение , полученное после вычисления предела, зависит только от одной переменной x.

      Примеры вычисления производной, используя определение

      Все примеры Здесь и далее мы приводим подробные решения примеров, в которых нужно вычислить производную функции , используя определение ⇑:
        решение ⇓ ;    ⇓ ;    ⇓ .

      Пример

      Все примеры ⇑ Найти производную функции , используя определение производной.

      Решение

      Функция определена для всех x. Поэтому она определена в любой окрестности любой точки x. Используем определение (1). Считаем, что x – фиксированное число, то есть что его значение задано. Найдем приращение функции в точке x:

      .
      Находим отношение приращения функции к приращению ее аргумента:
      .
      Находим предел функции , зависящей от переменной . При этом считаем, что x является фиксированным, заданным числом:
      .

      Итак, мы нашли производную:
      .
      Поскольку вычисленный нами предел существует, и является конечным числом для всех x, то функция имеет производную для всех значений аргумента x.

      Ответ

      .

      Обозначение производной

      Обозначение Лагранжа

      Наиболее популярным является обозначение Лагранжа. Производную функции обозначают как и саму функцию, добавляя штрих после ее характеристики: . Если функция задана алгебраическим выражением, то это выражение заключают в скобки, и ставят знак штриха справа за закрывающей скобкой: . При этом производная также является функцией от той же переменной x, что и . Правда область определения производной может не совпадать с областью определения функции, а является ее подмножеством.

      Напомним, что в обозначении функции фигурируют три символа: независимая переменная, характеристика функции и зависимая переменная (см. «Определение функции»). Так, в выражении
      (2)   ,
      x является независимой переменной, или аргументом функции; f   – характеристикой функции; y   – зависимой переменной, или значением функции. Обозначение зависимой переменной может совпадать или не совпадать с обозначением характеристики.

      Когда мы имеем дело с производной, то независимую переменную обозначают так же, как и независимую переменную функции. В нашем случае это x.

      Характеристику производной обозначают тем же символом, что и характеристику функции, добавляя штрих: . Если функция зависит от нескольких переменных, например
      (3)   ,
      но все кроме одной считают постоянными, то к характеристике производной добавляют нижний индекс, обозначающий ту переменную, по которой, в данной задаче, вычисляют производную. При этом знак штриха может быть опущен. Например, следующие два обозначения эквивалентны: . Здесь подразумевается, что переменные и мы считаем постоянными. Тогда, в данный момент, является функцией от одной переменной . Подобные производные функций от нескольких переменных называются частными производными. Детально они будут рассмотрены позже.

      Зависимую переменную производной обозначают аналогично характеристике, добавляя штрих к обозначению зависимой переменной функции. Так, для примера (2), это будет : . Если функция зависит от нескольких переменных, то к обозначению добавляют нижний индекс с обозначением переменной, по которой выполняется дифференцирование. При этом знак штриха также может быть опущен. Например, для функции (3), зависимая переменная производной по переменной может обозначаться как , или как : .

      Нижний индекс добавляют и при вычислениях, связанными со сложными функциями. Пусть, например, функцию можно представить как сложную: , составленную из двух функций: и . При этом множества значений функций и совпадают. Поэтому их удобно обозначить одной переменной y. Тогда производную от y, выраженную через переменную x, обозначают как : . А производную от y, выраженную через переменную , обозначают как : .

      Обозначение производной по времени в физике

      В механике и физике, производную по времени обозначают не штрихом, а точкой над переменной. Обычно время обозначают буквой t. Тогда
      .

      Обозначение Лейбница

      В способе Лейбница, зависимую переменную обозначают в форме дифференциалов:
      .
      Этот способ удобен, поскольку указывает, по какой переменной ведется дифференцирование. Такой способ применяется только для функций от одной переменной. Для функций от многих переменных используют обозначение частной производной: .

      Иногда в форме дифференциалов обозначают характеристику производной, добавляя справа аргумент:
      .
      Однако этот способ не очень удобен.

      Обозначение Коши

      Также, для обозначения производной, используют обозначение Коши:
      .
      Но мы не будем им пользоваться.

      Существование производной

      Рассмотрим предел, который используется при вычислении производной, при заданном значении x:
      (4)   .
      Здесь могут возникнуть три случая: 1) в точке x существует конечный предел (4); 2) существует бесконечный предел или ; 3) предела (4) не существует.

      1) Если существует конечный предел (4), то говорят, что функция имеет производную в точке x.

      2) Если в некоторой точке x существует бесконечный предел (4), то производной в этой точке не существует. Поскольку в определении ⇑ указано, что производной называется конечный предел. Однако при этом говорят, что функция f имеет в точке x бесконечную производную, равную или .

      3) Если предела (4) не существует, то функция не имеет производной в точке x.

      Пример бесконечной производной +∞

      Все примеры ⇑ Найдем производную функции .

      Решение


      Производная функции в точке x = 0 равна плюс бесконечности.

      Функция определена для всех x. Найдем отношение приращения функции к приращению ее аргумента в точке x:
      .
      Применим формулу . Тогда
      ;
      (5)   .
      Считаем, что x является фиксированным числом. Тогда отношение является функцией от одной переменной : . При она определена для всех . При она определена для всех .

      Пусть . Тогда:
      .
      Пусть . Подставим в (5) :
      .
      Поскольку , то
      .

      Ответ

      Таким образом мы нашли, что функция имеет производную для всех . При функция не имеет производной, она равна .

      Производные справа и слева

      Определение

      Правая (левая) производная функции f в точке x
      Пусть функция f(x) определена в правой окрестности точки x. Тогда правой производной функции f в точке x называется правый предел
      .
      Соответственно, если функция определена в левой окрестности x, то левой производной функции f в точке x называется левый предел
      .
      Правую (левую) производную также называют производной слева (справа) в точке x, или правосторонней (левосторонней) производной в точке x.

      Лемма об односторонних производных

      Функция имеет в точке x производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны: . При этом
      .

      Доказательство

      Для доказательства применим теорему об односторонних пределах.

      Пусть существует производная функции в точке x. Это означает, что она определена в некоторой окрестности точки x, и существует конечный предел функции при :
      .
      Но тогда существуют правая и левая окрестности точки x, на которых определена. По теореме об односторонних пределах, существуют равные правый и левый пределы:
      .
      Отсюда следует, что в точке x существуют односторонние производные
      .

      Пусть теперь, в точке x, существуют равные односторонние производные:
      .
      Это означает, что существуют правая и левая окрестности точки x, в которой определена . И существуют односторонние равные пределы:
      .
      Отсюда следует, что существует двусторонняя окрестность точки x, на которой определена . И по теореме об односторонних пределах, существует двусторонний предел:
      .
      Это означает, что в точке x существует производная
      .

      Лемма доказана.

      Следствие

      Если функция имеет в точке x не равные односторонние производные, то она не имеет производной в этой точке.

      Действительно, допустим противное. Пусть функция имеет в точке x не равные односторонние производные, но при этом имеет производную в этой точке. Тогда, согласно лемме об односторонних производных, она имеет в этой точке равные производные слева и справа, что противоречит предположению.

      Пример

      Все примеры ⇑ В качестве примера, найдем производную функции .

      Решение


      Функция y = |x| не имеет производной в точке x = 0.

      Функция определена для всех значений аргумента x. Поэтому она определена в любой окрестности произвольной точки x.

      1. Пусть . Тогда ,
      .

      2. Пусть . Тогда ,

      .

      3. Рассмотрим точку . В ней
      .
      Найдем производную справа в точке . При этом ,
      .
      Теперь найдем производную слева в точке . В этом случае ,
      .

      Итак, мы нашли, что односторонние производные в точке существуют, но не равны:
      .
      Согласно следствию леммы об односторонних производных, производной функции в точке не существует.

      Ответ

      ;
      ;
      .
      В точке производная не существует.

      Использованная литература:
      Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, МФТИ, 2018.
      Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
      С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

      Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

      Урок 10. определение производной. физический смысл производной — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

      Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

      Урок №10. Определение производной. Физический смысл производной.

      Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

      1) Определение производной;

      2) Физический смысл производной;

      2) Приращение функции;

      3) Скорость материальной точки в заданный момент времени по данному закону движения.

      Глоссарий по теме

      Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

      Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

      Основная литература:

      Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

      Дополнительная литература:

      Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

      Теоретический материал для самостоятельного изучения

      Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

      Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

      Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

      Итак, x1-x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.

      f(x1)-f(x0)=Δy, значит, 

      Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (1)

      Нельзя истолковывать термин «приращение» как «прирост».

      Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

      Пример 1.

      Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=1,9

      Решение:

      Δx= x1−x0=1,9-2=-0,1

      Δf= f(1,9) –f(2)=1,92-22=-0,39

      Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

      Пример 2.

      Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=2,1

      Решение:

      Δx= x1−x0=2,1-2=0,1

      Δf= f(1,9) –f(2)=2,12-22=0,41

      Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41

      Пример 3.

      Найдем приращение Δf функции в точке x0,если приращение аргумента равно x0.

      Решение:

      по формуле (1) находим:

      .

      Ответ: .

      С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0; t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

      Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0+∆t; t0]).

      Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+∆х.

      Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

      Обозначение: y’ или f’(x)

      Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

      Схема вычисления производной функции

      1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

      ∆y=y(x+∆x)-y(x)

      1. Разделить приращение функции на приращение аргумента:

      1. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

      Пример 4.

      Вычислить производную функции y=x2

      Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

      1. ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²

      Ответ: y’=2x.

      Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

      Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

      Пример 5.

      Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

      Решение:

      найдем ∆t= 1-0,8=0,2

      S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

      S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

      .

      Ответ: .

      Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

      Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

      Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.

      Нахождение производной

      Нахождение производной

      Если вас интересуют общие вопросы и само понятие производной, вы можете посмотреть цикл демонстрационных видеороликов от автора данного сайта Максима Семенихина на тему «Понятие производной».

      1. Понятие о скорости возрастания и убывания функции (6:01)
      2. Вычисление скорости возрастающей функции (2:05)
      3. Вычисление скорости убывающей функции (2:18)
      4. На разных промежутках – разная скорость (4:15)
      5. Средняя и мгновенная скорости (3:38)
      6. Средняя скорость возрастания функции (1:59)
      7. Определение производной как скорости (2:50)
      8. Пример вычисления производной по определению (3:46)
      9. Обозначение производной (1:41)

      а также видеоурок

      Вычисление производных сложных функций (14:51)

      Для нахождения производной функции в общем случае необходимо знать следующее:

      1. Таблицу производных элементарных функций.
      2. Правила дифференцирования.
      3. Как находить производную сложной функции.

      Таблица производных элементарных функций представлена ниже:

      Для нахождения производной суммы, произведения и частного функций используются три правила дифференцирования:

      Для нахождения производной сложной функции используется формула

      f(g(x))’ = f ‘(g(x)) · g‘(x)

      Нахождение производной сложной функции – вопрос, заслуживающий отдельного рассмотрения. Вы можете просмотреть видеоурок «Вычисление производных сложных функций».

      Онлайн калькулятор
      для нахождения производной
      любой функции

      Для нахождения производной любой функции вы можете воспользоваться калькулятором (виджетом WolframAlpha) вверху страницы. Просто введите функцию в текстовое поле, нажмите кнопку «=» и получите результат.
      Для того, чтобы получить пошаговое объяснение нахождению производной, нажмите ссылку «Step-by-step Solution», которая появится после нажатия кнопки «=».

      Общее определение производной. Производная суммы и разности

      Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

      В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

      Запомним определение:

      Производная — это скорость изменения функции.

      На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

      Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

      Вот другой пример.

      Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

      На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

      Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

      На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

      Производная функции обозначается .

      Покажем, как найти с помощью графика.

      Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной .

      Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

      Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

      Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

      Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

      Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

      Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

      Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

      .

      Мы получаем, что

      Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

      Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

      Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

      Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

      Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

      В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

      В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

      Вот что получается:

      Если функция возрастает, ее производная положительна.

      Если убывает, ее производная отрицательна.

      А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

      Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

      В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

      Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

      Если производная положительна, то функция возрастает.

      Если производная отрицательная, то функция убывает.

      В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

      В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

      Запишем эти выводы в виде таблицы:

      возрастаетточка максимумаубываетточка минимумавозрастает
      +0—0+

      Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

      Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

      В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

      Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

      А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

      Операция отыскания производной называется дифференцированием.

      В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

      Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

      Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

      Пример 1. Найти производную функции

      Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

      Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

      Пример 2. Найти производную функции

      Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

      Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

      Таблица производных простых функций

      Правила дифференцирования

      1. Производная суммы или разности
      2. Производная произведения
      2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
      3. Производная частного
      4. Производная сложной функции

      Правило 1. Если функции

      дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

      причём

      т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

      Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

      Правило 2. Если функции

      дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

      причём

      т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

      Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

      Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

      Например, для трёх множителей:

      Правило 3. Если функции

      дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

      т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

      Где что искать на других страницах

      При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

      Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

      А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

      Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

      По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

      Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

      Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

      Пошаговые примеры — как найти производную

      Пример 3. Найти производную функции

      Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

      Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

      Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

      Пример 4. Найти производную функции

      Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

      Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

      Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

      Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

      Пример 5. Найти производную функции

      Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

      Пример 6. Найти производную функции

      Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

      Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

      Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

      Геометрический и физический смысл производной

      Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

      Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

      Иначе это можно записать так:

      Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

      производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


      Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

      Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

      Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

      Правило первое: выносим константу

      Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

      Пример. Вычислим производную:

      Правило второе: производная суммы функций

      Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

      Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

      Найти производную функции:

      Правило третье: производная произведения функций

      Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

      Пример: найти производную функции:

      Решение:

      Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

      В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

      В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

      Правило четвертое: производная частного двух функций

      Формула для определения производной от частного двух функций:

      Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

      С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

      Составить отношение и вычислить предел .

      Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования ? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

      Пример 1

      По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

      Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

      Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:

      Вычислим предел:

      Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

      Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .

      Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем:

      Ответ

      В который раз порадуемся логарифмам:

      Пример 2

      Найти производную функции , пользуясь определением производной

      Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .

      Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

      Тогда соответствующее приращение функции:

      Найдём производную:

      Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

      Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

      (1) Используем свойство логарифма .

      (2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

      (3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .

      Ответ : по определению производной:

      Или сокращённо:

      Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

      Пример 3

      В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

      Пример 3: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

      Найдём производную в точке :

      Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и
      Ответ : по определению производной

      Пример 4

      Найти производную по определению

      А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

      Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .

      Пример 4: Решение , принадлежащую , и зададим в ней приращение

      Найдём производную:

      Используем замечательный предел

      Ответ : по определению

      Пример 5

      Найти производную функции , используя определение производной

      Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

      Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число и так же подставляем его в функцию вместо «икса»: . Записываем разность , при этом необходимо полностью взять в скобки .

      Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

      Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

      Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

      Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .

      Ответ : по определению.

      В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы :

      Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

      Пример 6

      Найти производную функции по определению производной

      Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

      Пример 6: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:


      Вычислим производную:


      Таким образом:
      Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то и
      Ответ : по определению.

      Вернёмся к стилю №2:

      Пример 7


      Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :

      Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:

      Найдём производную:


      (1) Используем тригонометрическую формулу .

      (2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

      (3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

      (4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .

      (5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

      Ответ : по определению

      Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

      Пример 8

      Пользуясь определением, найти производную функции

      Пример 8: Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение и составим приращение функции:

      Найдём производную:

      Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:


      Ответ : по определению

      Разберём более редкую версию задачи:

      Пример 9

      Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.

      Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число

      Вычислим ответ стандартным способом:

      Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение.

      Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

      Вычислим производную в точке:

      Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу :

      Ответ : по определению производной в точке.

      Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

      Пример 10

      Используя определение, найти производную функции в точке (одно из которых может оказаться и бесконечным) , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной .

      Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.

      ©2015-2019 сайт
      Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
      Дата создания страницы: 2017-06-11

      В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

      1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
      2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
      3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

      Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

      Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

      Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

      Вычисление значения производной. Метод двух точек

      Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

      1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
      2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
      3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

      Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

      Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
      Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

      Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

      Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

      Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
      Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

      Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

      Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

      Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
      Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

      Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

      Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

      Вычисление точек максимума и минимума

      Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

      1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
      2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

      Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

      1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
      2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
      3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

      Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

      Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

      Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

      Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

      Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

      Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

      Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

      Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

      Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

      На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

      Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

      Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

      В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

      1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
      2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

      Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

      1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
      2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

      Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

      1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
      2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
      3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

      Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

      Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

      Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
      −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

      Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

      Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

      Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
      l 1 = − 6 − (−8) = 2;
      l 2 = 2 − (−3) = 5.

      Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

      Определение производной правила дифференцирования. Производная по определению (через предел)

      Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

      Геометрический и физический смысл производной

      Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

      Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

      Иначе это можно записать так:

      Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

      производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


      Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

      Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

      Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

      Правило первое: выносим константу

      Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

      Пример. Вычислим производную:

      Правило второе: производная суммы функций

      Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

      Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

      Найти производную функции:

      Правило третье: производная произведения функций

      Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

      Пример: найти производную функции:

      Решение:

      Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

      В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

      В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

      Правило четвертое: производная частного двух функций

      Формула для определения производной от частного двух функций:

      Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

      С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

      Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

      Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

      Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

      Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

      Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

      Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g» означает, что мы будем находить производную функции g.

      Таблица производных

      Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

      1. (sin x)»=cos x
      2. (cos x)»= –sin x
      3. (x n)»=n x n-1
      4. (e x)»=e x
      5. (ln x)»=1/x
      6. (a x)»=a x ln a
      7. (log a x)»=1/x ln a
      8. (tg x)»=1/cos 2 x
      9. (ctg x)»= – 1/sin 2 x
      10. (arcsin x)»= 1/√(1-x 2)
      11. (arccos x)»= — 1/√(1-x 2)
      12. (arctg x)»= 1/(1+x 2)
      13. (arcctg x)»= — 1/(1+x 2)
      Пример 1. Найдите производную функции y=500.

      Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

      Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .

      Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

      (x 100)»=100 x 99

      Пример 3. Найдите производную функции y=5 x

      Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

      Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x

      Производную логарифма найдем по формуле 7.

      (log 4 x)»=1/x ln 4

      Правила дифференцирования

      Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С — константа.

      1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

      Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8

      Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

      (6*x 8)» = 6*(x 8)»=6*8*x 7 =48* x 7

      2. Производная суммы равна сумме производных

      (f + g)»=f» + g»

      Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x

      Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)»=100 x 99 и (sin x)»=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

      (x 100 +sin x)»= 100 x 99 +cos x

      3. Производная разности равна разности производных

      (f – g)»=f» – g»

      Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x

      Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)»= – sin x.

      (x 100 – cos x)»= 100 x 99 + sin x

      Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .

      В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

      (e x)»=e x , (tg x)»=1/cos 2 x, (x 2)»=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

      (e x +tg x– x 2)»= e x +1/cos 2 x –2 x

      4. Производная произведения

      (f * g)»=f» * g + f * g»

      Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x

      Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)»=–sin x и (e x)»=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

      (cos x* e x)»= e x cos x – e x *sin x

      5. Производная частного

      (f / g)»= f» * g – f * g»/ g 2

      Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x

      Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)»=50 x 49 и (sin x)»= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

      (x 50 /sin x)»= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

      Производная сложной функции

      Сложная функция — это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

      (u (v))»=u»(v)*v»

      Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) — сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v — внутренней.

      Например:

      y=sin (x 3) — сложная функция.

      Тогда y=sin(t) — внешняя функция

      t=x 3 — внутренняя.

      Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

      (sin t)»=cos (t) — производная внешней функции (где t=x 3)

      (x 3)»=3x 2 — производная внутренней функции

      Тогда (sin (x 3))»= cos (x 3)* 3x 2 — производная сложной функции.

      Урок на тему: «Что такое производная? Определение производной»

      Дополнительные материалы
      Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

      Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса
      Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
      Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

      Что будем изучать:
      1. Введение в понятие производной.
      2. Чуть-чуть истории.

      4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной.

      6. Дифференцирование функции.
      7. Примеры.

      Введение в понятие производной

      Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:

      А) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.
      б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.
      в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.
      г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.
      Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.

      Чуть-чуть истории

      Термин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.
      Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.
      Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.

      Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0).

      Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:
      На математическом языке: производная — предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
      На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0.
      Давайте посмотрим на графики трех функций:

      Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее?
      Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами — насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

      Производная на графике функции. Геометрический смысл производной

      Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:


      Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

      Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

      Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
      И так производная нашей функции равна:


      И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной.

      Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).
      а) Зафиксировать значение x, найти f(x).
      б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).
      в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).
      г) Составить соотношение: Δy/Δx
      д) Вычислить

      Это и есть производная нашей функции.

      Дифференцирование функции

      Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).
      Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.
      И так запишем выше сказанное как определение:
      Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
      Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.

      Примеры производной

      Найти производную функции: y=3x
      Решение:
      Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
      1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x
      2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx

      3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δ


      Дата: 20.11.2014

      Таблица производных.

      Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

      Это знакомство позволит:

      Понимать суть несложных заданий с производной;

      Успешно решать эти самые несложные задания;

      Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

      Сначала — приятный сюрприз.)

      Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

      Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

      Приступим к знакомству?)

      Термины и обозначения.

      В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

      Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

      Дифференцирование — действие над функцией.

      Производная — результат этого действия.

      Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

      Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

      Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y» или f»(x) или S»(t) и так далее.

      Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)

      Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)» , (x 3 )» , (sinx)» и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

      Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

      Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

      1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

      3. Производная сложной функции.

      Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

      Таблица производных.

      В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

      Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

      Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

      Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

      Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету…

      Рассмотрим несколько примеров:

      1. Найти производную функции y = x 3

      Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

      (x 3) » = 3·x 3-1 = 3x 2

      Вот и все дела.

      Ответ: y» = 3x 2

      2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

      Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.

      По табличке находим синус и соответствующую производную:

      y» = (sin x)» = cosx

      Подставляем ноль в производную:

      y»(0) = cos 0 = 1

      Это и будет ответ.

      3. Продифференцировать функцию:

      Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

      Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…

      Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

      Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

      Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем:

      Ответ: y» = — sin x .

      Пример для продвинутых выпускников и студентов:

      4. Найти производную функции:

      Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

      А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

      Вот и всё. Это будет ответ.

      Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

      в точке — Производные функций

      Подборка по базе: МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПЗ.docx, метода принятия управленческих решений.docx, Методы принятия управленческих решений.docx, физра примеры разминки.docx, Совершенствование управленческих решений.docx, ЗАДАЧИ.Обеспечение исполнения решений суда.docx, Реферат по Методу управленческих решений.docx, ЛИСТ ОТВЕТА РЕШЕНИЙ КЕЙС-ЗАДАЧ.docx, Система поддержки принятия решений по выбору тура.docx, Гидролиз органических веществ, уравнения и примеры.pdf
      1   2   3   4   5   6   7   8 в точке определяется формулой:
      Напоминаю обозначения и термины называют приращением аргумента
      – приращением функции
      – это ЕДИНЫЕ символы (дельту нельзя отрывать от икса или игрека. Очевидно, что является динамической переменной, – константой и результат вычисления предела
      – числом иногда – плюс либо минус бесконечностью).
      В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение , принадлежащее области определения функции
      , в котором существует производная.
      ! Примечание оговорка в котором существует производная – в общем случае существенна Так, например, точка
      хоть и входит в область определения функции
      , но производной там не существует. Поэтому формула неприменима в точке и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с обрывами графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.
      Таким образом, после замены
      , получаем вторую рабочую формулу:
      Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника в данном пределе икс, будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а динамику задаёт опять же приращение
      . Результатом вычисления предела является производная функция Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач Найти производную в точке, используя определение производной Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.
      Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число как вариант, бесконечность, а во втором – функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать.
      Как найти производную по определению Составить отношение
      и вычислить предел Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования Благодаря единственному пределу. Кажется волшебством, нов действительности – ловкость руки никакого мошенничества. На уроке Что такое производная я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
      Пример Найти производную функции
      , пользуясь определением производной По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке. Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции
      , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение
      разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции:
      Вычислим предел:
      Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменательна сопряженное выражение Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.
      Итак, Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала


      , то, осуществив замену
      , получаем:
      Ответ: по определению производной Готово. В который раз порадуемся логарифмам:
      Пример Найти производную функции
      , пользуясь определением производной
      Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален сточки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы вначале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву Рассмотрим произвольную точку
      , принадлежащую области определения функции
      (интервалу
      ), и зададим в ней приращение
      . А вот здесь, кстати, как ив большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области
      определения.
      Тогда соответствующее приращение функции:
      Найдём производную:
      Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может

      возникнуть у начинающих (да и не только. Ведьмы привыкли, что в пределе изменяется буква икс Но тут всё по-другому: – античная статуя, а
      – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть икс – это как бы константа».
      Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
      (1) Используем свойство логарифма
      (2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель) В знаменателе искусственно домножаем и делим на икс чтобы воспользоваться замечательным пределом
      , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает Ответ по определению производной Или сокращённо: Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
      Пример Найти производную по определению В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
      Пример Найти производную по определению
      А тут всё необходимо свести к замечательному пределу Решение оформлено вторым способом.
      Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книги доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой Переходим к реально встречающимся заданиям:
      Пример Найти производную функции
      , используя определение производной
      Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента
      . Тогда соответствующее приращение функции:
      Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение
      . Берём точку (число) и находим в ней значение функции
      , то есть в функцию вместо икса следует подставить . Теперь берём

      тоже вполне конкретное число итак же подставляем его в функцию
      вместо икса. Записываем разность, при этом необходимо полностью взять в
      скобки.
      Составленное приращение функции
      бывает выгодно сразу же упростить. Зачем Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела. Используем формулы, раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
      Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
      В итоге Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число,
      то проведём замену и получим Ответ по определению.
      В целях проверки найдём производную с помощью правил

      дифференцирования и таблицы:
      Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию быстрым способом в самом начале решения.
      Пример Найти производную функции по определению производной
      Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
      Вернёмся к стилю Пример Пользуясь определением, найти производную функции
      Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:
      Решение: рассмотрим произвольную точку
      , принадлежащую, зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:
      Найдём производную


      (1) Используем тригонометрическую формулу) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель) В силу нечётности синуса выносим минус. Под косинусом указываем, что слагаемое
      (5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел
      . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
      Ответ: по определению
      Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в

      сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться го варианта с икс нулевым».
      Пример Пользуясь определением, найти производную функции
      Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.
      Разберём более редкую версию задачи:
      Пример Найти производную функции в точке
      , пользуясь определением производной.
      Во-первых, что должно получиться в сухом остатке Число
      Вычислим ответ стандартным способом:
      Решение: сточки зрения наглядности это задание значительно проще,
      так как в формуле вместо

      рассматривается конкретное значение. Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
      Вычислим производную в точке:
      Используем весьма редкую формулу разности тангенсов ив который раз сведём решение к первому замечательному пределу:
      Ответ: по определению производной в точке.
      Задачу не так трудно решить ив общем виде – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
      Пример Используя определение, найти производную функции в точке

      Это пример для самостоятельного решения.
      Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
      Пример Будет ли дифференцируема функция в
      точке Решение очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке
      , но будет ли она там дифференцируема Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков) Находим левостороннюю производную в данной точке
      2) Находим правостороннюю производную в данной точке
      3) Если односторонние производные конечны и совпадают, то функция дифференцируема в точке и геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной. Если получены два разных значения
      одно из которых
      может оказаться и бесконечным, то функция не дифференцируема в точке Если же обе односторонние производные равны бесконечности пусть даже разных знаков, то функция
      не дифференцируема в точке , нотам существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику см. Пример 5 урока Уравнение нормали


      ! Примечание таким образом, между вопросами Будет ли дифференцируема функция в точке и Существует ли производная в точке есть разница!
      Всё очень просто) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно
      , а слева от точки расположена парабола
      , поэтому приращение функции равно:
      И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно
      . Таким образом, приращение функции:
      Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке) Односторонние производные конечны и различны Ответ функция не дифференцируема в точке
      Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля в точке
      , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной.

      Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы ив точках стыка графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке
      . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
      На этом забавном гибриде и закончим повествование =) Решения и ответы:
      Пример 3: Решение рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции
      . Зададим в данной точке приращение
      и составим соответствующее приращение функции:
      Найдём производную в точке Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции
      , то
      и Ответ
      по определению производной

      Пример 4: Решение рассмотрим произвольную точку
      , принадлежащую , и зададим в ней приращение
      . Тогда соответствующее приращение функции:
      Найдём производную:
      Используем замечательный предел Ответ
      по определению
      Пример 6: Решение рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента
      . Тогда соответствующее приращение функции:
      Вычислим производную:
      Таким образом Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то
      и

      Ответ
      по определению.
      Пример 8: Решение рассмотрим произвольную точку
      , принадлежащую , зададим в ней приращение
      и составим приращение функции:
      Найдём производную:
      Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный
      предел:
      Ответ:
      по определению
      Пример 10: Решение Зададим приращение
      в точке
      . Тогда приращение функции:
      Вычислим производную в точке Умножим числитель и знаменательна сопряженное выражение:
      Ответ:
      по определению производной в точке Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной
      точке?
      На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей Как найти производную?
      Производная сложной функции
      и
      Простейшие задачи с производными
      Перечисленные уроки позволят чайникам быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно
      либо
      параметрически
      Но сначала освежим воспоминания если функция дифференцируема в точке (те. если существует конечная производная
      ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти последующей формуле

      Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается если в точке существует бесконечная производная, то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид
      . Дежурный пример функция с производной
      , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки. Соответствующая касательная выразится уравнением (ось ординат. Если же производной не существует например, производной отв точке
      ), то, разумеется, не существует и общей
      касательной
      Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:
      Что такое нормаль Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке понятно, что касательная должна существовать. Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.
      Как найти уравнение нормали Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм находим уравнение касательной и представляем его в
      общем виде. Далее снимаем нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .

      Этот способ применять можно, нов математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная
      , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:
      Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала обычные примеры Пример Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет набита рука =) Решение Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:
      В данном случае:
      Найдём производную Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной
      функции
      Теперь вычислим производную в точке
      :
      Получено конечное число и это радует. Подставим ив формулу
      :
      Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде
      :
      Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле Избавляемся от
      трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума – искомое уравнение.
      Ответ: Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению – верное равенство – верное равенство.
      И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения, что и требовалось проверить.
      Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых
      ! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке
      . Это слабое звено задания – будьте предельно внимательны!
      Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:
      Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу
      эллипса
      Следующая задача для самостоятельного решения:
      Пример Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

      в точке Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
      Теперь разберём два особых случая) Если производная в точке равна нулю
      , то уравнение касательной упростится То есть, касательная будет параллельна оси Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси
      , а значите уравнение примет вид
      2) Если производная в точке существует, но бесконечна, то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной
      . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси
      , то её уравнение выразится зеркальным образом
      Всё просто:
      Пример Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке
      . Сделать чертёж.
      Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость. Решение составим уравнение касательной

      В данном случае Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:
      Таким образом:
      Поскольку касательная параллельна оси
      Случай №1), то нормаль, проходящая через туже точку
      , будет параллельна оси ординат:
      Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения Ответ
      , В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так Касательная к графику функции – это прямая, имеющая сданным графиком единственную общую точку. Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.
      Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда Пример Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке Краткое решение и ответ в конце урока

      Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению
      :
      Пример Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке Решение в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные
      с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по

      1   2   3   4   5   6   7   8

      Контрольный тест на тему: «Определение производной функции»

      Тест: «Определение производной».

      Вариант: №3.

      1)

      f(x)=f(x)-f(x0)

      2)

      x=x-x0

      3)

      4)

      Задание №2

      Дана функция y=f(x). x называется …

      1)

      независимой переменной

      2)

      зависимой переменной

      3)

      приращением аргумента

      4)

      приращением функции

      Задание №3

      Дана функция y=f(x). y называется …

      1)

      независимой переменной

      2)

      зависимой переменной

      3)

      приращением аргумента

      4)

      приращением функции

      Задание №4

      Производной функции y=f(x) называется …

      1)

      отношение приращения функции к приращению аргумента

      2)

      предел отношения приращения аргумента к приращению функции при приращении аргумента стремящемся к нулю

      3)

      предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю

      4)

      отношение приращения аргумента к приращению функции

      Задание №5

      Производная функции y=f(x) в точке x0 вычисляется по формуле:

      1)

      f(x)=f(x)-f(x0)

      2)

      x=x-x0

      3)

      4)

      Задание №6

      Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:

      f(x)=3x

      1)

      3

      2)

      2x

      3)

      x2

      4)

      x

      Задание №7

      Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:

      f(x)=4x

      1)

      x

      2)

      4

      3)

      x2

      4)

      1

      Задание №8

      Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:

      f(x)=6x-1

      1)

      x

      2)

      6

      3)

      6x2

      4)

      -6

      Задание №9

      Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:

      f(x)=3x+45

      Выберите один из 4 вариантов ответа:

      1)

      3

      2)

      2x

      3)

      x2

      4)

      x

      Задание №10

      Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:

      f(x)=6x2

      1)

      6x2

      2)

      12x

      3)

      12x2

      4)

      1

      Задание №11

      Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:

      f(x)=x2

      1)

      x

      2)

      2x

      3)

      x2

      4)

      1

      Задание №12

      Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:

      f(x)=6x2+45

      1)

      6x2

      2)

      12x

      3)

      12x2

      4)

      1

      Задание №13

      Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:

      f(x)=4x2+8

      1)

      4x2

      2)

      4x

      3)

      8x

      4)

      4

      Тест: «Определение производной».

      Вариант: №3.

      Ответы:

      Исчисление

      — Нахождение производной по определению?

      исчисление — Нахождение производной по определению? — Обмен математическими стеками
      Сеть обмена стеков

      Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

      Посетить Stack Exchange
      2. 0
      3. +0
      6. Авторизоваться Зарегистрироваться

      Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

      Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

      Кто угодно может задать вопрос

      Кто угодно может ответить

      Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

      Спросил

      Просмотрено 608 раз

      $ \ begingroup $

      Вычислить производную заданной функции непосредственно из определения производной и выразить результат, используя дифференциалы

      $$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} $$

      , когда $ f (x) = 1 / \ sqrt {1 + x ^ 2} $

      какие-нибудь советы / решения о том, как начать работу с этим? Я могу решать более простые проблемы, но не с root и т. {{3} / {2}}}.} $$

      1. Нарисуйте точный помеченный график \ (s \) по осям, представленным на рисунке 1.3.10. Вы должны уметь делать это без использования вычислительной техники.

        Рисунок 1.3.10. Оси для построения \ (y = s (t) \) в упражнении 1.3.3.
      2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (s \) на временном интервале \ ([1,2] \ text {.} \) Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
      3. Используйте определение предела, чтобы вычислить мгновенную скорость изменения \ (s \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 1 \ text {.} \) Покажите свой используйте правильные обозначения, включите в свой ответ единицы измерения и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
      4. На вашем графике в (a) нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (s \) на \ ([1,2] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенное скорость изменения \ (s \) в момент \ (a = 1 \ text {.{t / 5} \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на следующие вопросы.

        1. Нарисуйте точный график \ (P \) для значений от \ (t = 0 \) до \ (t = 5 \) по осям, представленным на рисунке 1.3.11. Тщательно промаркируйте шкалу на осях.

          Рисунок 1.3.11. Оси для построения \ (y = P (t) \) в упражнении 1.3.4.
        2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (P \) между 2030 и 2050 годами. Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение (на повседневном языке) найденного вами значения.
        3. Используйте определение предела, чтобы написать выражение для мгновенной скорости изменения \ (P \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \ ) Объясните, почему этот предел трудно точно оценить.
        4. Оцените предел в (c) для мгновенной скорости изменения \ (P \) в момент \ (a = 2 \), используя несколько небольших значений \ (h \). Как только вы определили точную оценку \ (P ‘(2) \ text {,} \), включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение (используя повседневный язык), чтобы объяснить значение найденного вами значения.
        5. На приведенном выше графике нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (P \) на \ ([2,4] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенную скорость изменения. из \ (P \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \)
        6. В тщательно сформулированном предложении опишите поведение \ (P ‘(a) \) при увеличении значения \ (a \). Что это отражается на поведении данной функции \ (P \ text {?} \)

        3.2 Производная как функция — Объем исчисления 1

        Цели обучения

        • Определите производную функцию заданной функции.
        • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
        • Укажите связь между производными и непрерывностью.
        • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
        • Объясните значение производной высшего порядка.

        Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент.Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

        Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

        Определение

        Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, — это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:

        .

        Говорят, что функция дифференцируется на , если
        существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на , если она дифференцируема в каждой точке открытого набора, а дифференцируемая функция — это функция, в которой существует в своей области.

        В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.

        Нахождение производной функции квадратного корня

        Найдите производную от.

        Решение

        Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте (рисунок).

        Нахождение производной квадратичной функции

        Найдите производную функции.

        Решение

        Выполните ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.

        Найдите производную от.

        Решение

        Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или. Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:

        .

        Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (так называемых обозначений Лейбница) довольно распространено в технике и физике.Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где — разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как

        . Фигура 1.Производная выражается как.

        Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).

        На (рис.) Мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями.Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение. Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.

        Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.

        На (рис.) Мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.

        Построение производной с помощью функции

        Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.

        Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?

        Решение

        Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков.Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

        Проба

        Если дифференцируем в, то существует и

        .

        Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это.Таким образом,

        Следовательно, поскольку определено и, заключаем, что непрерывно в точке.

        Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,

        .

        Этот предел не существует, потому что

        .

        См. (Рисунок).

        Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

        Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не дифференцируема. Рассмотрим функцию:

        .

        Таким образом не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).

        Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.

        У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что

        .

        Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

        Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.

        Итого:

        1. Заметим, что если функция не непрерывна, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
        2. Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в 0. Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
        3. Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
        4. Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.

        Кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой

        Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:

        .

        Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.

        Поиск второй производной

        Для, найдите.

        В поисках ускорения

        Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах).Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

        • Производная функция

        В следующих упражнениях используйте определение производной для поиска.

        1.

        2.

        3.

        4.

        Решение

        5.

        6.

        Решение

        7.

        8.

        Решение

        9.

        10.

        Решение

        Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.

        11. 12.
        Решение

        13. 14.
        Решение

        Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции в.Найти и .

        15.

        16.

        Решение

        17.

        18.

        Решение

        19.

        20.

        Решение

        Для следующих функций:

        1. зарисовать график и
        2. использует определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в.

        21.

        23.

        Для следующих графиков

        1. определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, и
        2. определить, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой при.
        25.

        Для следующих функций используйте, чтобы найти.

        28.

        29.

        30.

        Решение

        Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

        31. [Т]

        33. [Т]

        35. [Т]

        Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций. Обязательно укажите единицы измерения.

        37. обозначает население города во время в годах.

        38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на концессии клиентами в парке развлечений.

        Решение

        а. Средняя ставка, с которой клиенты потратили на уступки, в тысячах на одного клиента.
        г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.

        39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

        40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за количество часов обучения.

        Решение

        а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
        г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.

        41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

        42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

        Решение

        а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
        г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.

        Решение

        а. Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
        г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0.1 градус на фут.

        Решение

        а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
        г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.

        Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

        Время (секунды) Высота (метры)
        0 0
        1 2
        2 4
        3 13
        4 25
        5 32

        47. В чем физический смысл? Какие единицы?

        48. [T] Создайте таблицу значений и нанесите график на одном и том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените левый и правый пределы и усредните их.)

        Решение
        Время (секунды) (м / с)
        0 2
        1 2
        2 5.5
        3 10,5
        4 9,5
        5 7

        Значение производной

        5

        Скорость изменения функции
        при определенном значении x

        Уклон прямой

        Наклон касательной к кривой

        Секунда кривой

        Коэффициент разницы

        Определение производной

        Производная от f ( x ) = x 2

        Дифференцируемая при x

        Обозначения для производной

        Коэффициент простой разности

        Раздел 2: Проблемы

        Производная от f ( x ) = 2 x — 5

        Уравнение касательной к кривой

        Производная от f ( x ) = x 3

        РАСЧЕТ ПРИМЕНЯЕТСЯ К ВЕЩАМ, которые не изменяются с постоянной скоростью.Скорость из-за силы тяжести, рождений и смертей в популяции, единицы y для каждой единицы x . Значения функции, называемой производной, будут иметь переменную скорость изменения.

        Теперь, поскольку мы считаем x независимой переменной, а y зависимой, то любое изменение Δ x в значении x приведет к изменению Δ y в значении . y . На прямой линии скорость изменения — такое количество единиц x для каждой единицы x — постоянна и называется наклоном линии.

        Наклон прямой — это число:

        Δ y
        Δ x         		= = Изменение в и -coördinate
        Изменение в x -coördinate        		.

        (Тема 8 Precalculus.)

        Прямая линия имеет один и только один наклон; одна и только одна скорость изменения.

        Если, например, x представляет время, а y представляет расстояние, то

        прямолинейный график, который их связывает, указывает на постоянную скорость. Скажем, 45 миль в час — в каждый момент времени.

        Наклон касательной к кривой

        Однако исчисление связано со скоростью изменения, которая не является постоянной.

        Если эта кривая представляет расстояние Y в зависимости от времени X , то скорость изменения — скорость — в каждый момент времени непостоянна.Вопрос, который задает расчет: «Какова скорость изменения точно в точке P ?» Ответом будет наклон касательной к кривой в этой точке. И метод определения этого наклона — этого числа — был замечательным открытием Исаака Ньютона (1642-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Это метод нахождения того, что называется производной.

        Секунда кривой

        Касательная — это прямая линия, которая касается кривой.Секущая — это прямая линия, пересекающая кривую. Следовательно, рассмотрим секущую линию, которая пересекает кривую в точках P и Q . Тогда наклон секущей равен

        .
        Δ y
        Δ x         		=

        Но еще раз вопрос, который задает исчисление: как функция изменяется точно при x 1 ?

        Каков наклон касательной к кривой в точке P ?

        Однако мы не можем оценить точно при P — потому что Δ y и Δ x тогда оба будут равны 0, а значение будет совершенно неоднозначным.

        Поэтому мы будем рассматривать более короткие и более короткие расстояния Δ x , что приведет к последовательности секущих —

        — череда спусков. И мы определим касательную в точке P как предел этой последовательности наклонов.

        Этот наклон, этот предел будет значением того, что мы будем называть производной.

        Коэффициент разницы

        Пусть y = f ( x ) будет непрерывной функцией, и пусть координаты фиксированной точки P на графике будут ( x , f ( x )). (Тема 4 Precalculus.) Пусть теперь x изменится на величину Δ x . Тогда новый код x будет равен x + Δ x .
        Это координата x для Q на графике.

        Но когда значение x изменяется, возникает результирующее изменение Δ y
        в значении y , то есть в значении f ( x ). Его новое значение — f ( x + Δ x ). Координаты Q следующие ( x + Δ x , f ( x + Δ x )).

        Затем

        Итак, вот определение наклона касательной в точке P :

        Наклон касательной на P
        — это предел изменения функции (числитель)
        , деленный на изменение независимой переменной
        , когда это изменение приближается к 0.

        Поскольку Δ x , а не x — это переменная, которая приближается к 0, x остается постоянной, и этот предел будет функцией x . Поскольку она будет производной от f ( x ), мы называем ее производной функцией или производной от f ( x ). Чтобы напомнить нам, что он был производным от f ( x ), мы обозначим его как f ‘ ( x ) — « f-prime of x .«

        Это частное —

        — называется частным Ньютона, или разностным коэффициентом. Его вычисление и упрощение — фундаментальная задача дифференциального исчисления.

        Опять же, коэффициент разности является функцией Δ x . Но для упрощения письменных вычислений вместо Δ x будем писать h .

        Δ x = ч
        Δ y = f ( x + h ) — f ( x )

        Тогда коэффициент разницы будет:

        Теперь выразим определение производной следующим образом.

        ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Под производной функции f ( x ) мы подразумеваем следующий предел, если он существует:

        Мы называем это ограничение функцией f ‘ ( x ) — « f -prime of x » — и когда этот предел существует, мы говорим, что f само по себе является дифференцируемым при x . , и что f имеет производную.

        Итак, мы берем предел отношения разности, равный h , приближающемуся к 0.Когда этот предел существует, это означает, что коэффициент разницы можно сделать как можно ближе к этому пределу — « f ‘ ( x )» — как нам угодно. (Урок 2.)

        Что касается x , мы должны считать его фиксированным. Это конкретное значение, при котором мы оцениваем f ‘ ( x ).

        На практике мы должны упростить коэффициент разности, прежде чем позволить h приблизиться к нулю. Мы должны выразить числитель —

        f ( x + h ) — f ( x )

        — таким образом, чтобы мы могли разделить его на х .

        Подводя итог: производная — это функция — правило, которое присваивает каждому значению x наклон касательной в точке ( x , f ( x )) на график f ( x ). Это скорость изменения f ( x ) в этот момент.

        В качестве примера мы применим определение, чтобы доказать, что наклон касательной к функции f ( x ) = x 2 , в точке ( x , x 2 ), равно 2 x .

        ТЕОРЕМА. f ( x ) = x 2
        подразумевает
        f ‘ ( x ) = 2 x .

        Доказательство. Вот коэффициент разницы, который мы продолжим для упрощения:

        1) ( x + h ) 2 — x 2
        h
        2) = x 2 + 2 xh + h 2 — x 2
        h
        3) = 2 xh + h 2
        h
        4) = 2 x + h .

        Переходя от строки 1) к строке 2), мы возводили в квадрат бином x + h . (Урок 18 алгебры.)

        Переходя к строке 3), мы вычли x 2 с. То есть мы вычли f ( x ).

        В строке 4) мы разделили числитель на h . (Урок 20 из Алгебра.)

        Мы можем это сделать, потому что h никогда не равно равному 0, даже если мы берем предел (Урок 2).

        Завершим определение производной и возьмем предел:

        f ‘ ( x ) = (2 x + h )
        = 2 x .

        Это то, что мы хотели доказать.

        Всякий раз, когда мы применяем определение, мы должны алгебраически манипулировать коэффициентом разности, чтобы мы могли просто заменить h на 0. Фактически вся теория пределов со всеми ее сложностями и тонкостями была изобретена, чтобы оправдать именно это. (Бедного Ньютона и Лейбница критиковали за то, что они предлагали оправдания, которые не нравились изобретателям ограничений в XIX веке.) Мы можем положить здесь h = 0, потому что коэффициент разности уменьшается до 2 x + h , и, следовательно, многочлен от х .

        Проблема. Пусть f ( x ) = x 2 , и вычислим наклон касательной к графику —

        а) при x = 5.

        Поскольку f ‘ ( x ) = 2 x , то при x = 5 наклон касательной линии равен 10.

        б) при x = −3. −6.

        c) при x = 0.0.

        Дифференцируемая при x

        Согласно определению, функция будет дифференцируемой при x , если там существует определенный предел. Графически это означает, что график при этом значении x будет иметь касательную линию. Тогда при каких значениях функция , а не будет дифференцируемой?

        Без касательной

        Выше представлены два примера.Функция слева не имеет производной при x = 0, потому что функция там разрывная. При x = 0, очевидно, нет касательной.

        Что касается графика справа, это функция абсолютного значения, y = | x |. (Тема 5 Precalculus.) И невозможно определить касательную линию на x = 0, потому что график образует там острый угол. Фактически, наклон касательной линии , когда x приближается к 0 слева, равен -1.Однако наклон, приближающийся справа, равен +1. Наклон касательной в точке 0 — которая была бы производной в точке x = 0 — поэтому не существует. (Определение 2.2.)

        Тем не менее, функция абсолютного значения является непрерывной при x = 0. Так, левый предел самой функции при приближении x к 0 равен , равному правому пределу, а именно 0. Это иллюстрирует эту непрерывность в точке не является гарантией дифференцируемости — существования касательной — в этой точке.

        (И наоборот, если функция дифференцируема в точке — если есть касательная — она ​​также будет непрерывной там. График будет гладким и без изломов.)

        Поскольку дифференциальное исчисление — это изучение производных, оно в основном занимается функциями, которые дифференцируемы при всех значениях их областей определения. Такие функции называются дифференцируемыми.

        Можете ли вы назвать элементарный класс дифференцируемых функций?

        Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
        Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
        Сначала подумайте об этом сами!

        Полиномы.

        Обозначения для производной

        Поскольку производная является этим пределом: тогда символ самого лимита (читается: «dee- y , dee- x .»)

        Например, если

        y = x 2 ,
        тогда, как мы видели,
        = 2 x .

        «Dee- y , dee- x — производная от y по отношению к x — это 2 x .»

        Так же пишем

        y ‘ ( x ) = 2 x .

        « y — простое число x равно 2 x .»

        Сам по себе символ: d
        dx         		(«dee, dee- x «), называется

        оператор дифференциала .Мы должны взять производную от того, что следует за ним.

        Например,

        d
        dx         		f ( x ) означает производную по отношению к x от f ( x ).
        d
        dt         		(4 т 3 -5) означает производную по отношению к т
        из (4 т 3 — 5).

        И так далее.

        Коэффициент простой разности

        Коэффициент разницы является версией. И иногда мы будем использовать последнее. То есть изменение значения функции y = f ( x ) равно y + Δ y . Следовательно, коэффициент разницы составляет

        .

        Иногда удобнее выразить коэффициент разницы как

        .

        Примечание : Когда Δ x приближается к 0 — когда точка Q приближается к P по кривой — тогда Δ y или, что эквивалентно, Δ f также приближается к 0.То есть

        Теперь ученик должен выполнить Задачи, требующие определения производной.

        Содержание | Дом

        Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
        Даже 1 доллар поможет.

        Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

        Вопросы или комментарии?

        Эл. Почта: [email protected]


        Модуль 10 — Производная функции

        В этом уроке вы будете использовать несколько различных функций TI-83 для поиска и понимания производных.

        В модуле 9 вы видели, что скорости соответствуют наклонам на графике положения во времени. Средняя скорость соответствует наклону

        Секущая линия — это линия, проходящая через две точки на кривой.
        секущая линия, соединяющая две точки, а мгновенная скорость соответствует наклону касательной к кривой.

        Средняя скорость определяется как , который представляет собой наклон секущей линии через точки
        ( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) .

        Мгновенная скорость определяется выражением , который представляет собой наклон касательной к кривой в точке ( a , f ( a )).

        Наклон касательной к графику функции в точке называется производной функции в этой точке. Формальное определение производной приведено ниже.

        Формальное определение производной

        Производная функции f при x = a равна

        при условии, что лимит существует.

        Иллюстрация схождения секущей линии

        Для функций, имеющих касательную линию, если точка ( a , f ( a )) на кривой зафиксирована, поскольку h приближается к нулю, вторая точка ( a + h , f ( a + h )) приближается к фиксированной точке, и соответствующие секущие линии сходятся к касательной в этой точке.

        В описанной ниже процедуре будет найдено значение производной функции f ( x ) = 2 x — x 2 в точке (0,5, 0,75) с использованием метода, аналогичного тому, который вы использовали для найти мгновенные скорости.

        1. Найдите наклоны нескольких секущих линий и используйте их, чтобы оценить наклон касательной как x = 0,5.
        2. Затем определите предел наклона секущих линий, чтобы найти производную.

        На приведенном ниже графике показано f ( x ) = 2 x — x 2 в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1] с тремя секущими линиями через фиксированные точка (0,5, 0,75), которая приближается к касательной в точке (0,5, 0,75).

        Нахождение наклонов секущих линий

        Первый шаг в описанной выше процедуре — найти наклон секущих линий, которые будут использоваться для оценки производной.Чтобы найти уклоны, вам нужно ввести функцию f ( x ) = 2 x — x 2 в редакторе Y =.

        Наклон секущей линии через точки (0,5, f (0,5)) и (0,5 + h , f (0,5 + h )) можно найти, оценив коэффициент разности

        .

        Нас интересуют значения h , которые настолько малы, что две точки находятся близко друг к другу.Результирующая секущая линия будет приближаться к касательной.

        Вы можете оценить коэффициент разницы для h = 0,1 на TI-83, используя команду, состоящую из двух частей. Первая часть команды сохранит 0,1 в h , а вторая часть команды будет оценивать коэффициент разницы. Две команды будут объединены вместе с символом двоеточия.

        Наклон секущей линии, содержащей (0.5, f (0,5)) и (0,6, f (0,6)) составляет 0,9.

        Использование меньших значений h

        Когда точка (0,5 + h , f (0,5 + h )) приближается к точке (0,5, f (0,5)), h приближается к 0, и секущие линии сходятся к касательной.

        Чтобы оценить коэффициент разницы для меньших значений х , измените значение H в последнем выражении на главном экране с 0.От 1 до 0,01 и оцените коэффициент разницы.

        Наклон соответствующей секущей линии равен 0,99.

        • Оцените коэффициент разницы с h = 0,001 и с h = 0,0001.

        Наклон секущих линий равен 0,999 и 0,9999 соответственно.

        10.1.1 Предскажите производную в (0,5, f (0,5)). Нажмите здесь, чтобы получить ответ.

        Коэффициенты левой разности

        В описанной выше процедуре использовались правые разностные коэффициенты. Коэффициенты левой разности могут быть найдены, если h быть отрицательным числом.

        • Оцените коэффициент разницы: h = -0,01 и h = -0.001.
          Вставьте отрицательный знак, а затем используйте чтобы удалить нули в предыдущем выражении.
        Коэффициенты левой разности

        Наклон соответствующих секущих линий равен 1,01 и 1,001. С фиксированной точкой (0,5, 0,75) одна секущая проходит через (0,49, f (0,49)), а другая через (0,499, f (0,499)).

        Нахождение производной в точке

        Как указывалось ранее, производная x = 0.5 определяется как предел

        .

        Прежде чем этот предел можно будет оценить, выражение должны быть расширены и упрощены. Напомним, что интересующая функция: f ( x ) = 2 x — x 2 .

        Следовательно, и производная от f ( x ) = 2 x — x 2 при x = 0.5 равно 1.

        Использование числовой производной команды

        Вы также можете аппроксимировать производную функции в точке с помощью числовой производной команды nDeriv (, которая находится в меню Math. Синтаксис для поиска производной в точке: nDeriv (выражение, переменная, значение ).

        • Перейдите на главный экран, нажав [ПОКИДАТЬ].
        • Откройте меню Math, нажав . nDeriv ( — восьмой пункт в меню.
        • Вставьте nDeriv ( на главный экран, нажав .
        • Завершите команду nDeriv (Y 1 , X, 0.5).
        • Выполните команду, нажав .

        Команда nDeriv

        nDeriv ( фактически вычисляет коэффициент симметричной разности и приближает производную.Вы можете добавить необязательный четвертый параметр, чтобы изменить значение по умолчанию h , которое установлено на 0,001. Например, чтобы оценить коэффициент симметричной разности при x = 0,5 с h = 0,01, введите команду

        nDeriv (Y 1 , X, 0,5, 0,01)

        Рисование касательной линии

        Поскольку точка на кривой и производная в этой точке известны, уравнение для касательной можно найти с помощью

        Уравнение для прямой, проходящей через точку (x1, y1) с уклоном м : y — y 1 = м ( x — x 1).
        точечно-наклонная форма линии. Если наклон касательной в точке (0,5, 0,75) равен 1, то уравнение для касательной линии будет y — 0,75 = 1 ( x — 0,5).

        График f ( x ) = 2 x — x 2 и его касательная линия в точке (0.5, 0,75).

        • Установить Y 1 = 2 X — X 2 .
        • Установите Y 2 = (X-0,5) + 0,75.
        • Постройте график функции и касательной в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1].

        Линия кажется касательной к кривой при x = 0,5.

      § Как вынести из-под корня

      Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

      Важно!

      Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.

      √25 · 3 = 5√3

      Говорят: «Число «25» вынесли из-под знака корня».

      Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.

      Разбор примера

      Вынесите множитель из-под знака корня:

      √16 · 5;

      Используем свойство квадратного корня из произведения.

      √a · b = √a · √b

      √16 · 5 = √16 · √5 = …

      Извлечь квадратный корень из «√5» целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из «√16».

      Важно!

      Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.

      Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?

      42 = 16

      Значит:

      √16 = 4

      Решение примера выше записываем следующим образом.

      √16 · 5 = √16 · √5 = 4 · √5

      Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число «16» вынесли из-под знака корня, получив число «4».

      Запомните!

      Выносить из-под знака корня можно, только если все действия под знаком корня — умножение.

      Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:

      • √144 · 2 = √144 · √2 = 12√2  (верно). Под знаком квадратного корня только действие умножения;
      • √16 + 5 ≠ 4 + √5 (неверно). Нельзя выносить «16» из-под знака корня, так как под знаком корня сложение;
      • √25 − 3 ≠ 5 − √3 (неверно). Нельзя выносить из-под знака корня «25», так как под знаком корня вычитание;
      • √16 ·2 + 3 ≠ 4√2 + 3 (неверно). Нельзя выносить «16» из-под знака корня, так как под знаком корня есть сложение (должно быть только умножение).

      Как вынести множитель из корня с одним числом

      Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.

      Разбор примера

      Вынесите множитель из-под знака корня:

      √8;

      Извлечь целое число из квадратного корня «√8» нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы «8».

      Важно!

      Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.

      Подумаем, на какие множители можно разложить число «8», чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.

      Число «8» — это произведение
      «8 = 4 · 2». Теперь можем вынести «4» из-под знака корня.

      √8 = √4 · 2 = √4 · √2= 2√2

      Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня

      Разбор примера

      Вынесите множитель из-под знака корня:

      √54;

      Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить «54», чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».

      Вспоминаем таблицу умножения.

         54 = 9 · 6

      Видим число «9». Подходит, так как «√9 = 3».

      √54 = √9 · 6 = …

      Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа «9».

      √54 = √9 · 6 = 3√6

      Извлечь «√6» целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.

      Разбор примера

      Вынесите множитель из-под знака корня:

      √490;

      В примерах с числами, которые делятся на «10, 100, 1000…» и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на «10, 100, 1000…» и второй множитель.

      То есть число «490» можно разложить на «490 = 49 · 10». Из «49» можно извлечь квадратный корень.

      √490 = √49 · 10 = …

      Теперь можно вынести «49» из-под знака корня.

      √490 = √49 · 10 = 7√10

      Разбор примера

      √500 = √5 · 100 = 10 √5


      Разбор примера

      √108 = √54 · 2 = √9 · 6 · 2 =

      = 3√6 · 2 = 3√12 = 3√4 · 3 =

      = 3 · 2√3 = 6√3

      Разбор примера

      0,4 · √250 = 0,4 · √25 · 10 =

      = 0,4 · 5 √10 = …

      Завершим пример, умножив десятичную дробь «0,4» на «5» по правилу умножения десятичной дроби на число.

      0,4 · √250 = 0,4 · √25 · 10 =

      = 0,4 · 5 √10 = 2√10

      Разбор примера

      · √63 = · √9 · 7 = · 3 √7 = …

      Умножим дробь «

      » на число «3», которое вынесли из-под знака квадратного корня. Используем правило умножения обыкновенной дроби на число.

      · √63 =

      · √9 · 7 =

      · 3 √7 =

      =

      4 · 3
      9

      · √7 =

      4 · 3
      93

      · √7 =

      =

      · √7 = …

      Чтобы дать окончательный ответ, выделим целую часть неправильной дроби «

      ».

      · √63 =

      · √9 · 7 =

      · 3 √7 =

      =

      4 · 3
      9

      · √7 =

      4 · 3
      93

      · √7 =

      · √7 =

      = 1

      · √7

      Как вынести десятичную дробь из-под знака корня

      В уроке «Как извлечь квадратный корень из дроби» мы разбирали, каким образом извлечь квадратный корень из десятичной дроби. Например, извлечение квадратного корня из десятичной дроби «√0,25».

      √0,25 = 0,5      , так как
      0,52 = 0,5 · 0,5 = 0,25

      Тот же самый метод используется при вынесении десятичной дроби из-под знака корня.

      Разбор примера

      Вынесите множитель из-под знака корня:

      √0,48;

      Разложим десятичную дробь на произведение множителей, чтобы потом была возможность вынести один из множителей из-под знака корня.

      Подберем десятичную дробь, на которую делится «0,48», из которой потом можно извлечь квадратный корень.

      Например, «0,16». Десятичная дробь «0,48» делится на «0,16» нацело.

      0,48 : 0,16 = 3

      Извлечь квадратный корень из «√0,16» по правилу нахождения квадратного корня из десятичной дроби.

      √0,16 = 0,4      , так как
      0,42 = 0,4 · 0,4 = 0,16

      Завершим пример вынесением «0,16» из-под знака корня.

      √0,48 = √0,16 · 3 = 0,4 √3

      Примеры вынесения десятичной дроби из-под знака квадратного корня

      Разбор примера

      Вынесите множитель из-под знака корня:

      √0,72 = √0,36 · 2 = 0,6 √2

      Разбор примера

      Вынесите множитель из-под знака корня:

      −2 · √0,18 = −2 · √0,09 · 2 =

      = −2 · 0,3 √2 = −0,6 √2

      Как вынести букву из-под знака корня

      Запомните!

      При вынесении из-под знака квадратного корня множителя в степени (буквы или числа) степень делится на «2».

      • √a2 = a = a1 = a , гдe a ≥ 0
      • √y4 = y = y2 , гдe y ≥ 0
      • √124 = 12 = 122 = 144
      • √x6 = x = x3 , гдe x ≥ 0

      Рассмотрим примеры вынесения буквы в степени из-под корня.

      Разбор примера

      Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

      2) √2x2 = x√2 = x√2

      4) √3a6 = a√3 = a3√3

      В более сложных примерах требуется вынести и числовой множитель, и букву в степени из-под корня.

      Разбор примера

      Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

      √75a2;

      Вначале отдельно вынесем буквенный множитель из-под корня.

      √75a2 = a · √75 = a√75 = …

      Теперь разложим число «75» на множители, один из которых можно вынести из-под знака квадратного корня.

      Число «75» явно делится на «5». Проверим, можно ли число «75» разложить на квадрат числа «52 = 25».

      75 : 25 = 3

      Завершим пример, вынеся число «25» из-под знака корня.

      √75a2 = a · √75 = a√75 =

      = a√25 · 3 = 5a√3

      Разбор примера

      √y9;

      Не всегда удается сразу вынести букву в степени из-под знака корня. В данном примере степень «9» не делится нацело на «2».

      Вспомним из урока «Свойства степени» правило произведение степеней с одинаковым основанием.

      am · an = a m + n

      Свойство работает и в обратную сторону.

      a m + n = am · an

      Вернемся к нашему примеру. Разложим «y9» на множители со степенями так, чтобы одна из степеней нацело делилась на «2». Представим степень «9» как сумму чисел «9 = 6 + 3».

      √y9 = √y6 + 3 = …

      Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием в обратную сторону и разложим «у» на множители.

      √y9 = √y6 + 3 = √y6 · y3 = …

      Вынесем «y6» из-под знака корня.

      √y9 = √y6 + 3 = √y6 · y3 = y · √y3 =

      = y3 · √y3


      Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

      Вычисление корня в Python – квадратный, кубический, n-степени

      Содержание:развернуть

      Если вам нужно найти сторону квадрата, когда известна одна лишь его площадь, или вы намерены рассчитать расстояние между двумя точками в декартовых координатах, то без особого инструмента не обойтись. Математики прошлого придумали для этих вычислений квадратный корень, а разработчики Python воплотили его в функции sqrt().

      Но обо всём по порядку.

      Что такое квадратный корень

      Корнем квадратным из числа «X» называется такое число «Y», которое при возведении его во вторую степень даст в результате то самое число «X».

      Операция нахождения числа «Y» называется извлечением квадратного корня из «X». В математике для её записи применяют знак радикала:

      Нотация питона отличается в обоих случаях, и возведение в степень записывается при помощи оператора «**»:

      a = 2 b = a ** 2 print(b) > 4

      А квадратный корень в питоне представлен в виде функции sqrt(), которая существует в рамках модуля math. Поэтому, чтобы начать работу с корнями, модуль math нужно предварительно импортировать:

      import math

      Функция sqrt() принимает один параметр — то число, из которого требуется извлечь квадратный корень. Тип данных возвращаемого значения — float.

      import math import random # пример использования функции sqrt() # отыщем корень случайного числа и выведем его на экран rand_num = random.randint(1, 100) sqrt_rand_num = math.sqrt(rand_num) print('Случайное число = ', rand_num) > Случайное число = 49 print('Корень = ', sqrt_rand_num) > Корень = 7.0

      Квадратный корень

      Положительное число

      Именно на работу с неотрицательными числами «заточена» функция sqrt(). Если число больше или равно нулю, то неважно, какой у него тип. Вы можете извлекать корень из целых чисел:

      import math print(math.sqrt(100)) > 10.0

      А можете — из вещественных:

      import math print(math.sqrt(111.5)) > 10.559356040971437

      Легко проверить корректность полученных результатов с помощью обратной операции возведения в степень:

      print(math. sqrt(70.5)) > 8.396427811873332 # возвести в степень можно так print(8.396427811873332 ** 2) > 70.5 # а можно с помощью функции pow() print(pow(8.396427811873332, 2)) > 70.5

      Отрицательное число

      Функция sqrt() не принимает отрицательных аргументов. Только положительные целые числа, вещественные числа и ноль.

      Такая работа функции идёт вразрез с математическим определением. В математике корень спокойно извлекается из чисел меньше 0. Вот только результат получается комплексным, а таким он нужен для относительно узкого круга реальных задач, вроде расчетов в сфере электроэнергетики или физики волновых явлений.

      Поэтому, если передадите отрицательное число в sqrt(), то получите ошибку:

      print(math.sqrt(-1)) > ValueError: math domain error

      Ноль

      Функция sqrt() корректно отрабатывает с нулём на входе. Результат тривиален и ожидаем:

      print(math. sqrt(0)) > 0.0

      Кубический корень

      Само название функции sqrt() намекает нам на то, что она не подходит для извлечения корня степени отличной от двойки. Поэтому для извлечения кубических корней, сначала необходимо вспомнить связь между степенями и корнями, которую продемонстрируем на корне квадратном:

      Вышеуказанное соотношение несложно доказать и для других степеней вида 1/n.

      # Квадратный корень можно извлечь с помощью операции возведения в степень "**" a = 4 b = a ** 0.5 print(b) > 2.0

      В случае с квадратным или кубическим корнем эти операции действительно эквивалентны, но, вообще говоря, в математике извлечение корня и возведение в дробную степень имеют существенные отличия при рациональных степенях вида m/n, где m != 1. Формально, в дробно-рациональную степень можно возводить только положительные вещественные числа. В противном случае возникают проблемы:

      👉 Таким образом, извлечь кубический корень в Python можно следующим образом:

      print(pow(8, 1/3)) > 2. 0

      Или же:

      print(8 ** (1/3)) > 2.0

      Корень n-степени

      То, что справедливо для корня третьей степени, справедливо и для корней произвольной степени.

      # извлечём корень 17-й степени из числа 5600 x = 5600 y = 17 z = pow(x, (1/y)) print(z) > 1.6614284717080507 # проверяем корректность результата print(pow(z, y)) > 5600.0

      Но раз уж мы разбираемся с математической темой, то попытаемся мыслить более обобщённо. С помощью генератора случайных чисел с заданной точностью будем вычислять корень случайной степени из случайного числа:

      import random # точность можно задать на ваше усмотрение x = random.randint(1, 10000) y = random.randint(1, 100) z = pow(x, (1 / y)) print('Корень степени', y, 'из числа', x, 'равен', z) # при проверке вероятны незначительные расхождения из-за погрешности вычислений print('Проверка', pow(z, y)) # но специально для вас автор накликал целочисленный результат > Корень степени 17 из числа 6620 равен 1. 6778624404513571 > Проверка 6620.0

      Решение реальной задачи с использованием sqrt

      Корень — дитя геометрии. Когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, людям тут же захотелось вычислять стороны треугольников, проверять прямоту внешних углов и сооружать лестницы нужной длины.

      Соотношение a2 + b2 = c2, где «a» и «b» — катеты, а «c» — гипотенуза — естественным образом требует извлекать корни при поиске неизвестной стороны. Python-а под рукой у древних греков и вавилонян не было, поэтому считать приходилось методом приближений. Жизнь стала проще, но расчет теоремы Пифагора никто не отменял и в XXI веке.

      📡 Решим задачку про вышку сотовой связи. Заказчик требует рассчитать высоту сооружения, чтобы радиус покрытия был 23 километра. Мы неспешно отходим на заданное расстояние от предполагаемого места строительства и задумчиво смотрим под ноги. В голове появляются очертания треугольника с вершинами:

      1. Ваше местоположение;
      2. Центр Земли;
      3. Пиковая высота вышки.

      Модель готова, приступаем к написанию кода:

      import math # расстояние от вас до вышки from_you_to_base_station = 23 # радиус земли earth_radius = 6371 # расчет расстояния от центра земли до пика сооружения по теореме Пифагора height = math.sqrt(from_you_to_base_station ** 2 + earth_radius ** 2) # расчет высоты вышки(км) base_station_height = height - earth_radius print('Требуемая высота(м): ', round(base_station_height * 1000)) > Требуемая высота(м): 42

      Расчёт выполнен, результат заказчику предоставлен. Можно идти пить чай и радоваться тому, что теперь ещё больше людей смогут звонить родным и сидеть в интернете.

      Степени и возведение в степень, вторая, третья, четвёртая степени

      Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.

      Так      2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
           2.2.2 = 8, куб или третья степень.
           2.2.2. 2 = 16, четвёртая степень.

      Также,      10.10 = 100, вторая степень 10.
           10.10.10 = 1000, третья степень.
          10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

      И      a.a = aa, вторая степень a
           a.a.a = aaa, третья степень a
           a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

      Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

      Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

      Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a1 записывается как a.

      Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
      Так, 4a = a + a + a + a.      Но a4 = a.a.a.a

      Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении ax, показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, bm и dn возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда bm = b3; но если m = 5, тогда bm=b5.

      Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d)3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
      a3 + 3a2b + 3a2d + 3ab2 + 6abd + 3ad2 + b3 + d3.

      Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

      Так, в ряде      aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
      или        a5, a4, a3, a2, a1;
      показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножатьна a, мы успешно получим несколько значений.

      Tак a.a = a2, второй член. И a3.a = a4
           a2.a = a3, третий член. a4.a = a5.

      Если мы начнем слева делить на a,
      мы получим a5:a = a4      и a3:a = a2.
      a4:a = a3       a2:a = a1

      Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

      Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
           1:a = 1/a      (1/aa):a = 1/aaa.

      Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

      Или a5, a4, a3, a2, a, 1, 1/a, 1/a2, 1/a3.

      Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.

      Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a3) = a3.

      Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество,
      (a + b)3, (a + b)2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)2, 1/(a + b)3.

      Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

      Согласно этой форме, 1/a или 1/a1 = a-1. И 1/aaa или 1/a3 = a-3.
      1/aa или 1/a2 = a-2. 1/aaaa или 1/a4 = a-4.

      А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a0.

      Тогда, учитывая прямые и обратные степени
      вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
      можно записать      a4, a3, a2, a1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
      Или      a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.

      А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
           +4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

      Корень степени может выражен более чем одной буквой.

      Так, aa.aa или (aa)2 есть второй степенью aa.
      И aa.aa.aa или (aa)3 есть третьей степенью aa.

      Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

      Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

      Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

      Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

      Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

      Четвертая степень a есть a4 или aaaa. (Art. 195.)
      Шестая степень y есть y6 или yyyyyy.
      N-ая степень x есть xn или xxx….. n раз повторенное.

      Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

      Tак (ay)2 =a2y2; (ay)2 = ay.ay.
      Но ay.ay = ayay = aayy = a2y2.
      Так, (bmx)3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b3m3x3.

      Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

      Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy)4, или d4h4y4.

      Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b)3, или 43b3, или 64b3.

      Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad)n или 6nandn.

      Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y)3, или 27m3.8y3.

      Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,

      (a + b)1 = a + b, первая степень.
      (a + b)1 = a2 + 2ab + b2, вторая степень (a + b).
      (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, третья степень.
      (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, четвертая степень.

      Квадрат a — b, есть a2 — 2ab + b2.

      3 + 3a2 + 3a + 1.

      Квадрат a + b + h есть a2 + 2ab + 2ah + b2 + 2bh + h2

      Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3

      Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.

      Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.

      Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.

      Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.

      Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя,
      мы получаем: (a + h)(a + h) = a2 + 2ah + h2      также, (a — h)(a — h) = a2 — 2ah + h2.

      Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.

      Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.

      Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.

      Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a2 + 4ab + b2.

      Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a2b2 + 2abcd + c2d2.

      Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d2 + 6dh + h2.

      Пример 4. Квадрат a — 1 есть a2 — 2a + 1.

      Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.

      Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.

      Так, квадрат a + b, есть (a + b)2.
      N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x)n

      В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.

      Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.

      Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)]2 или (a + b)2.(c + d)2.

      Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.

      Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)]3, или a3.(b + d)3.

      Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.


      Вторая степень (- a) есть +a2
      Третья степень (-a) есть -a3
      Четвёртая степень (-a) есть +a4
      Пятая степень (-a) есть -a5

      Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
      Так, +a.+a = +a2
      И -a.-a = +a2

      Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.

      Третья степень a2 есть a2.3 = a6.

      Для a2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a6; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a2.

      Четвертая степень a3b2 есть a3.4b2.4 = a12b8

      Третья степень 4a2x есть 64a6x3.

      Пятая степень (a + b)2 есть (a + b)10.

      N-ая степень a3 есть a3n

      N-ая степень (x — y)m есть (x — y)mn

      (a3.b3)2 = a6.b6

      (a3b2h4)3 = a9b6h12

      Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.

      Пример 1. Третья степень a-2 есть a-3.3=a-6.

      Для a-2 = 1/aa, и третья степень этого
      (1/aa). (1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a6 = a-6

      Четвертая степень a2b-3 есть a8b-12 или a8/b12.

      Квадрат b3x-1, есть b6x-2.

      N-ая cтепень ax-m есть x-mn или 1/x.

      Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.

      Пример 1. Квадрат -a3 есть +a6. Квадрат -a3 есть -a3.-a3, которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a6.

      2. Но куб -a3 есть -a9. Для -a3.-a3.-a3 = -a9.

      3. N-ая степень -a3 есть a3n.

      Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.

      Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.

      Квадрат a/b есть a2/b2. Согласно правилу умножению дробей,
           (a/b)(a/b) = aa/bb = a2b2

      Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a2, 1/a3 и 1/an.

      Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.

      1. Найдите квадрат x + 1/2 и x — 1/2.
      (x + 1/2)2 = x2 + 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 + x + 1/4
      (x — 1/2)2 = x2 — 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 — x + 1/4

      2. Квадрат a + 2/3 есть a2 + 4a/3 + 4/9.

      3. Квадрат x + b/2 = x2 + bx + b2/4.

      4 Квадрат x — b/m есть x2 — 2bx/m + b2/m2.

      Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.

      Так, в дроби ax-2/y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
      Тогда ax-2/y = (a/y).x-2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

      В дроби a/by3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
      Тогда a/by2 = (a/b).(1/y3) = (a/b).y-3 = ay-3/b.

      Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.

      Так, ax3/b = a/bx-3. Для x3 обратным есть x-3, что есть x3 = 1/x-3.

      Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.

      Так, a/b = 1/ba-1, or ab-1.

      ГДЗ по алгебре 10 класс Мерзляк, Номировский Решебник Базовый уровень

      Рекомендуем посмотреть

      • Премиум

      • Премиум

      Вся сложность в освоении этой науки заключается в том, что школьнику предстоит постигнуть основы тригонометрии. Не всегда те знания, которые приобретаются на уроке, доходят до каждого ученика. Чтобы облегчить участь учащегося и помочь ему правильно научиться применять формулы и изображать графики функций при выполнении домашней работы, нужно будет научить его пользоваться онлайн-сборником ГДЗ по алгебре за 10 класс, авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С. Этот решебник поможет десятикласснику понять все свойства функции, найти значение синуса и косинуса, тангенса и котангенса. С его помощью ученик будет уверен в правильности решения тригонометрических уравнений и сможет более эффективно запомнить необходимые ему формулы. Сайт предназначен для широкого круга пользователей. Им могут пользоваться непосредственно обучающиеся, их родители, репетиторы, студенты педагогических вузов и практиканты, молодые и опытные педагоги. Они могут пользоваться ресурсом ежедневно, без ограничений. Проверять свои знания, разбирать сложные темы, искать альтернативные способы решений, совершенствоваться и убеждаться в своих умениях. Это прекрасный способ экономить время на приготовлении уроков – его можно потратить на более полезные вещи (отдых, спорт, хобби, увлечения, прогулки, рукоделие или чтение книг).

      Плюсы онлайн-решебника по алгебре за 10 класс от Мерзляка

      Это отличный помощник для тех, кто хочет получать только высокие оценки и стремится к получению красного аттестата. Он облегчает жизнь не только детям, но и их родителям, которые будут свободны от регулярного контроля и проверок тетрадей. Преимущества:

      • быстрый поиск;
      • возможность воспользоваться сайтом в любом месте: в школе, дома, на улице – ресурс имеет адаптированную под все смартфоны версию;
      • постоянное обновление, пополнение новыми заданиями, включение внесенных в учебник изменений.

      Решебник по алгебре за десятый год Мерзляк поможет быстро и эффективно подготовиться к контрольным работам, проверкам, тестам. Это пособие способно обеспечить идеальную поддержку, так что ученики могут больше не волноваться об успеваемости.

      Быстрый поиск

      Задания

      §1 1.1 1.2 1. 3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1. 11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1. 19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1. 27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1. 35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1. 43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1. 51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1. 59 §2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2. 7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2. 15 2.16 2.17 §3 3.1 3.2 3.3 3.4 3. 5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3. 13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 §4 4. 1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4. 9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 §5 5. 1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5. 9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5. 17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5. 25 5.26 5.27 5.28 Упражнение стр. 47 Упражнение стр. 52 Проверь себя Глава 1 §6 6. 1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6. 9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6. 17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6. 25 6.26 6.27 6.28 6.29 6.30 §7 7.1 7. 2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7. 10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7. 18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7. 26 7.27 §8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8. 6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8. 14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 8.20 8.21 8. 22 8.23 8.24 8.25 8.26 8.27 8.28 8.29 8. 30 8.31 8.32 8.33 8.34 8.35 8.36 8.37 8. 38 §9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9. 7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9. 15 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 9.22 9. 23 9.24 9.25 9.26 9.27 9.28 9.29 9.30 9. 31 9.32 9.33 9.34 9.35 9.36 9.37 9.38 9. 39 9.40 9.41 9.42 9.43 9.44 9.45 9.46 9. 47 9.48 9.49 9.50 9.51 9.52 9.53 9.54 §10 10. 1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10. 9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10. 17 10.18 10.19 10.20 10.21 10.22 10.23 10.24 10. 25 10.26 10.27 10.28 10.29 10.30 10.31 10.32 10. 33 10.34 10.35 10.36 10.37 10.38 10.39 §11 11. 1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11. 9 11.10 11.11 11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 11. 17 11.18 11.19 11.20 11.21 11.22 11.23 11.24 11. 25 11.26 §12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12. 6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11 12.12 12.13 12. 14 12.15 12.16 12.17 12.18 12.19 12.20 12.21 12. 22 §13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13. 7 13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13. 15 13.16 Упражнение стр. 107 §14 14.1 14.2 14.3 14.4 14. 5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12 14. 13 14.14 14.15 14.16 14.17 14.18 14.19 14.20 14. 21 14.22 14.23 14.24 14.25 §15 15.1 15.2 15. 3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15. 11 15.12 15.13 15.14 15.15 15.16 15.17 15.18 15. 19 15.20 15.21 15.22 15.23 §16 16.1 16.2 16. 3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16. 11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16 16.17 16.18 16. 19 Упражнение стр. 129 Проверь себя Глава 2 §17 17.1 17.2 17.3 17.4 17. 5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10 17.11 17.12 17. 13 17.14 17.15 17.16 17.17 17.18 17.19 17.20 17. 21 17.22 17.23 17.24 17.25 17.26 §18 18.1 18. 2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18. 10 18.11 18.12 18.13 18.14 18.15 18.16 18.17 18. 18 18.19 18.20 18.21 18.22 18.23 18.24 18.25 §19 19. 1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19. 9 19.10 19.11 19.12 19.13 19.14 19.15 19.16 19. 17 19.18 19.19 19.20 19.21 19.22 §20 20.1 20. 2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 20. 10 20.11 20.12 20.13 20.14 20.15 20.16 20.17 20. 18 20.19 20.20 20.21 20.22 20.23 20.24 §21 21. 1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21. 9 21.10 21.11 21.12 21.13 21.14 21.15 21.16 21. 17 21.18 21.19 21.20 21.21 21.22 21.23 21.24 21. 25 21.26 21.27 21.28 21.29 21.30 §22 22.1 22. 2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8 22.9 22. 10 22.11 22.12 22.13 22.14 22.15 22.16 22.17 22. 18 22.19 §23 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23. 6 23.7 23.8 23.9 23.10 23.11 23.12 23.13 23. 14 23.15 23.16 23.17 23.18 23.19 23.20 23.21 23. 22 23.23 23.24 23.25 23.26 23.27 23.28 23.29 23. 30 23.31 23.32 23.33 23.34 23.35 23.36 23.37 23. 38 23.39 §24 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24. 6 24.7 24.8 24.9 24.10 24.11 24.12 24.13 24. 14 24.15 24.16 24.17 24.18 24.19 24.20 24.21 24. 22 24.23 24.24 24.25 24.26 24.27 24.28 24.29 24. 30 24.31 §25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25. 6 25.7 25.8 25.9 25.10 25.11 25.12 25.13 25. 14 25.15 25.16 25.17 25.18 25.19 25.20 §26 26. 1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26. 9 26.10 26.11 26.12 26.13 26.14 26.15 26.16 26. 17 26.18 26.19 26.20 26.21 26.22 26.23 26.24 26. 25 26.26 26.27 26.28 26.29 26.30 26.31 26.32 26. 33 26.34 26.35 26.36 26.37 26.38 26.39 26.40 26. 41 §27 27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27. 7 27.8 27.9 27.10 27.11 27.12 27.13 27.14 27. 15 27.16 §28 28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28. 6 28.7 28.8 28.9 28.10 28.11 28.12 28.13 28. 14 28.15 Упражнение стр.227 Упражнение стр.231 Проверь себя Глава 3 §29 29.1 29. 2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8 29.9 29. 10 29.11 29.12 29.13 29.14 29.15 29.16 §30 30. 1 30.2 30.3 30.4 30.5 30.6 30.7 30.8 30. 9 30.10 30.11 30.12 30.13 30.14 30.15 30.16 30. 17 30.18 30.19 30.20 30.21 30.22 30.23 30.24 §31 31. 1 31.2 31.3 31.4 31.5 31.6 31.7 31.8 31. 9 31.10 31.11 31.12 Упражнение стр.228 §32 32.1 32.2 32. 3 32.4 32.5 32.6 32.7 32.8 32.9 32.10 32. 11 32.12 32.13 32.14 32.15 32.16 32.17 32.18 32. 19 Упражнение стр.237 §33 33.1 33.2 33.3 33.4 33.5 33. 6 33.7 33.8 33.9 33.10 33.11 33.12 33.13 33. 14 33.15 33.16 33.17 33.18 33.19 33.20 33.21 33. 22 33.23 33.24 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34. 6 34.7 34.8 34.9 34.10 34.11 34.12 Упражнение стр.280 Упражнение стр. 284 §35 35.1 35.2 35.3 35.4 35.5 35.6 35. 7 35.8 35.9 35.10 35.11 35.12 35.13 35.14 35. 15 35.16 35.17 35.18 35.19 35.20 35.21 35.22 35. 23 35.24 35.25 35.26 35.27 Упражнение стр.294 Проверь себя Глава 4 §36 36. 1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8 36. 9 36.10 36.11 36.12 36.13 36.14 36.15 36.16 36. 17 36.18 36.19 36.20 36.21 36.22 36.23 36.24 36. 25 36.26 36.27 36.28 36.29 36.30 §37 37.1 37. 2 37.3 37.4 37.5 37.6 37.7 37.8 37.9 37. 10 37.11 37.12 37.13 37.14 37.15 37.16 37.17 37. 18 37.19 37.20 37.21 37.22 37.23 37.24 37.25 37. 26 37.27 37.28 37.29 37.30 37.31 §38 38.1 38. 2 38.3 38.4 38.5 38.6 38.7 38.8 38.9 38. 10 38.11 38.12 38.13 38.14 38.15 38.16 38.17 38. 18 38.19 38.20 38.21 38.22 38.23 38.24 38.25 38. 26 38.27 38.28 38.29 §39 39.1 39.2 39.3 39. 4 39.5 39.6 39.7 39.8 39.9 39.10 39.11 39. 12 39.13 39.14 39.15 39.16 39.17 39.18 39.19 39. 20 39.21 39.22 39.23 39.24 39.25 Проверь себя Глава 5 §40 40. 1 40.2 40.3 40.4 40.5 40.6 40.7 40.8 40. 9 40.10 40.11 40.12 40.13 40.14 40.15 40.16 40. 17 40.18 40.19 40.20 40.21 40.22 40.23 40.24 40. 25 40.26 40.27 40.28 40.29 40.30 40.31 40.32 40. 33 40.34 40.35 40.36 40.37 40.38 40.39 40.40 40. 41 40.42 40.43 40.44 40.45 40.46 40.47 40.48 40. 49 40.50 40.51 40.52 40.53 40.54 40.55 40.56 40. 57 40.58 40.59 40.60 40.61 40.62 40.63 40.64 40. 65 40.66 §41 41.1 41.2 41.3 41.4 Упражнение стр.307 Упражнение стр. 309-310 42.1 42.2 42.3 42.4 42.5 42.6 42.7 42. 8 42.9 42.10 42.11 42.12 42.13 42.14 42.15 42. 16 42.17 42.18 42.19 42.20 42.21 42.22 42.23 42. 24 42.25 42.26 42.27 42.28 42.29 42.30 42.31 42. 32 42.33 42.34 42.35 42.36 42.37 42.38 42.39 42. 40 42.41 42.42 42.43 42.44 42.45 42.46 42.47 42. 48 42.49 42.50 42.51 42.52 42.53 42.54 42.55 42. 56

      Точные науки чаще всего вызывают трудности и отрицательные эмоции у школьников. Ведь по ним надо заучивать огромное количество формул и уметь применять их на практике. Ребята с гуманитарным складом ума не знают, как им быть, не верят в себя и свои силы. Однако освоить царицу наук может любой желающий, стоит только захотеть и начать что-то делать для этого. Полученные навыки очень пригодятся в будущем и разовьют интеллект. Ведь математика формирует вычислительные способности, развивает логическое мышление, тренирует память и мозг в целом. Десятый год является ответственным звеном школьного обучения. Впереди ученика ждет ЕГЭ. Алгебра входит в число обязательных предметов для сдачи. Поэтому нужно обратить особое внимание на имеющиеся пробелы в области математики. Материал учебника состоит в основном из повторения ранее пройденных тем.

      Эффективно разобраться в изучаемой программе будет проще с поддержкой ГДЗ по алгебре за 10 класс, авторы: Мерзляк А.

      Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

      В этом пособии подробно разобраны все темы, такие как: «производные, интегралы», «равносильность уравнений и неравенств», «алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел». Все это поможет выучить, вспомнить и запомнить решебник с готовыми ответами. Учитель на уроке не всегда может успеть объяснить весь материал всем, поэтому часть детей остается неподготовленной. В таких ситуациях нужно заниматься дома в свободное время. Для того, чтобы упростить самообучение, нужно воспользоваться онлайн-решебником. Этот метод всегда будет актуальным и полезным. В спокойной домашней обстановке будет очень просто разобрать все непонятные моменты.

      Какую еще пользу может принести онлайн-решебник по алгебре за десятый год от Мерзляка

      Пользу этот сборник принесет не только обучающимся, но и их родителям, которым будет проще помогать ребенку с д\з и объяснять непонятные моменты, ведь в решениях написаны подробные комментарии. Прочие преимущества:

      • четкое, ясное изложение материала, верные ответы ко всем заданиям;
      • открывается на любой удобной для вас платформе;
      • верные и актуальные примеры оформления;
      • возможность изучения разделов самостоятельно.

      Содержание учебника

      Это пособие включает в себя все главы, рекомендуемые к изучению на данный период обучения:

      • область определения тригонометрических функций;
      • геометрический смысл производной;
      • применение интегралов;
      • правила нахождения первообразных.

      Какие-то параграфы могут быть проще, какие-то сложнее. В любом случае, справиться с ними поможет представленное онлайн-пособие.

      Ошибка 404 — Страница не найдена

      К сожалению мы не можем показать то, что вы искали. Может быть, попробуете поиск по сайту или одну из приведенных ниже ссылок?

      Поиск для:

      Архивы

      Архивы Выберите месяц Сентябрь 2022 Август 2022 Июль 2022 Июнь 2022 Май 2022 Апрель 2022 Март 2022 Февраль 2022 Январь 2022 Декабрь 2021 Ноябрь 2021 Октябрь 2021 Сентябрь 2021 Август 2021 Июль 2021 Июнь 2021 Май 2021 Апрель 2021 Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019 Ноябрь 2019 Октябрь 2019 Сентябрь 2019 Август 2019 Июль 2019 Июнь 2019 Май 2019 Апрель 2019 Март 2019 Февраль 2019 Январь 2019 Декабрь 2018 Ноябрь 2018 Октябрь 2018 Сентябрь 2018 Август 2018 Июль 2018 Июнь 2018 Февраль 2018 Январь 2018 Ноябрь 2017 Сентябрь 2017 Август 2017 Июль 2017 Апрель 2017 Март 2017 Февраль 2017 Январь 2017

      Рубрики

      РубрикиВыберите рубрикуbritish bulldogАстраБез рубрикиВидеоурокивоспитательная работаВПРВСОШвысшая пробадвидиктантЕГЭЕГЭ 2022 информатикаЕГЭ 2022 математикаЕГЭ по химиизолотое руноизложениеитоговое сочинениеитоговое устное собеседованиеКенгуруКИТконкурс Пегасконтрольная работактпматематический праздникмежрегиональный химический турнирМОШмцкоОВИООГЭОГЭ 2022 математикаолимпиада звездаолимпиада курчатоволимпиада ЛомоносовОПКОтветы на работы СтатГрадрабочая программарабочая тетрадьРДРРешу ЕГЭРешу ОГЭрусский медвежонокСочинениеСтатьитексты егэтесттурнир ЛомоносоваУчебные пособияЧИПЮМШ

      Страницы

      • 04. 10.2020 XLIII Турнир Ломоносова задания и ответы
      • 05.12.17 Ответы и задания по математике 10 класс СтатГрад варианты МА00201-МА00208
      • 05.12.17 Ответы и задания по математике 7 класс «СтатГрад» варианты МА70101-МА70106
      • 06.11.2017 Олимпиада «Звезда» естественные науки задания и ответы 6-11 класс отборочный этап
      • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Камчатского края и Чукотского автономного округа
      • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Республика Алтай, Алтайский край, Республика Тыва, Респ. Хакасия, Красноярский край, Кемеровская, Томская и Новосибирская область
      • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 зона 8 Республика Саха (Якутия), город Якутск, Амурская область, Забайкальский край
      • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения для Республика Бурятия, Иркутская область зона 7
      • 06.12.2017 5 зона Омск MSK+3 (UTC+6) официальные темы
      • 06.12.2017 Ответы и задания по обществознанию 9 класс «СтатГрад» варианты ОБ90201-ОБ90204
      • 07. 12.17 Ответы и задания по русскому языку 11 класс СтатГрад варианты РЯ10701-РЯ10702
      • 07.12.2017 Ответы и задания по биологии 9 класс пробное ОГЭ 4 варианта
      • 08.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс контрольная работа ОГЭ 56 регион
      • 08.12.2017 Ответы и задания по физике 9 класс работа СтатГрад ОГЭ ФИ90201-ФИ90204
      • 10.04.2020 Решать впр тренировочные варианты по математике 6 класс с ответами
      • 10.10.17 Математика 9 класс контрольная работа 4 варианта ФГОС 56 регион задания и ответы
      • 10.10.17 Русский язык 9 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ90101-РЯ90102
      • 10.11.2017 История 9 класс задания и ответы статград варианты ИС90201-ИС90204
      • 100balnik мы в ВКОНТАКТЕ
      • 100balnik отзывы пользователей
      • 11 апреля 10-11 класс география ответы и задания
      • 11 апреля 6 класс история ответы и задания
      • 11 апреля 7 класс биология ответы и задания
      • 11.04.2020 Решать ВПР тренировочные варианты по математике 5 класс с ответами
      • 11. 10.17 Физика 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты ФИ10101-ФИ10104
      • 11.12.2017 — 16.12.2017 Олимпиада по дискретной математике и теоретической информатике
      • 11.12.2017 Зимняя олимпиада по окружающему миру для 4 класса задания и ответы
      • 11.12.2017 Ответы и задания по английскому языку 11 класс СтатГрад вариант АЯ10101
      • 11.12.2017 Соревнование для 5-6 классов интернет-карусель по математике задания и ответы
      • 12.04.2020 Решать тренировочные варианты ВПР по математике 4 класс + ответы
      • 12.10 Русский язык 10 класс диагностическая работа ФГОС для 11 региона задания и ответы
      • 12.10.17 Русский 2 класс ВПР официальные варианты задания и ответы
      • 12.10.17 Химия 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ90101-ХИ90104
      • 12.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс работа СтатГрад варианты ГГ90101-ГГ90102
      • 13.09.2017 Биология 11 класс СтатГрад задания и ответы все варианты
      • 13.10.17 Математика 9 класс задания и ответы для 11 региона
      • 13. 10.2017 Обществознание 11 класс работа СтатГрад задания и ответы ОБ10101-ОБ10104
      • 13.12.2017 Ответы по физике 11 класс статград задания варианты ФИ10201-ФИ10204
      • 13.12.2017 Письмо говорение по английскому языку 7-9 класс работа 56 регион
      • 14.09.2017 Информатика 11 класс тренировочная работа статград ответы и задания
      • 14.12 Геометрия 9 класс задания и ответы «СтатГрад»
      • 14.12.2017 КДР ответы по русскому языку 8 класс задания все варианты
      • 14.12.2017 Контрольная работа по математике 8 класс за 1 полугодие 2 варианта заданий с ответами
      • 14.12.2017 Литература 11 класс ответы и задания СтатГрад вариант ЛИ10101
      • 14.12.2017 Ответы КДР по математике 10 класс задания 6 вариантов
      • 14.12.2017 Ответы по геометрии 9 класс СтатГрад задания варианты МА90301-МА90304
      • 14.12.2017 Ответы по математике 11 класс КДР задания 6 вариантов
      • 15.09 Математика 10 класс контрольная работа 3 варианта 56 регион задания и ответы
      • 15. 09.2017 Биология 9 класс тренировочная работа «СтатГрад» БИ90101-БИ90104 ответы и задания
      • 15.11.2017 Задания и ответы 2-11 класс по Русскому медвежонку 2017 год
      • 15.12.2017 Обществознание 11 класс ответы и задания СтатГрад варианты ОБ10201-ОБ10204
      • 16 апреля 11 класс английский язык ответы и задания
      • 16 апреля 5 класс история ответы и задания
      • 16 апреля 6 класс биология ответы и задания
      • 16 апреля 7 класс география ответы и задания
      • 16.01.2018 Контрольная работа по русскому языку 9 класс в формате ОГЭ с ответами
      • 16.01.2018 Ответы и задания КДР по русскому языку 11 класс 23 регион
      • 16.10.2017 Ответы и задания всероссийской олимпиады школьников по математике 4-11 класс ВОШ
      • 16.11.2017 МЦКО 10 класс русский язык ответы и задания
      • 17.01.2018 Ответы и задания по информатике 11 класс работа статград варианты ИН10301-ИН10304
      • 17.10.17 Физика 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ФИ90101-ФИ90104
      • 18 апреля 11 класс химия ответы и задания
      • 18 апреля 5 класс биология ответы и задания
      • 18 апреля 6 класс обществознание ответы и задания
      • 18 апреля 7 класс математика ответы и задания
      • 18. 09. Математика 10 класс задания и ответы
      • 18.10.17 Математика 9 класс РПР 64 регион задания и ответы 1 этап
      • 18.10.2017 Задания и ответы по математике 9 класс 50 регион Московская область
      • 18.12.2017 Биология 11 класс Статград задания и ответы варианты БИ10201-БИ10204
      • 19.09 Диагностическая работа по русскому языку 5 класс задания и ответы за 1 четверть
      • 19.09 Контрольная работа по русскому языку 11 класс для 56 региона задания и ответы 1 четверть
      • 19.09.2017 школьный этап всероссийской олимпиады по ОБЖ 5-11 класс задания и ответы
      • 19.10.17 Русский язык 11 класс (ЕГЭ) задания и ответы статград варианты РЯ10601-РЯ10602
      • 19.12.2017 КДР геометрия 8 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
      • 19.12.2017 КДР математика 9 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
      • 19.12.2017 Математика 10 класс тригонометрия база и профиль ответы и задания СтатГрад
      • 2 апреля 11 класс история ВПР
      • 2 апреля 7 класс английский язык ВПР
      • 20. 09 Входная контрольная работа русский язык 7 класс для 56 региона задания и ответы
      • 20.09.2017 История 9 класс варианты ИС90101-ИС90102 ОГЭ задания и ответы
      • 20.11.2017 Русский язык 9 класс «СтатГрад» ОГЭ задания и ответы РЯ90701-РЯ90702
      • 20.12.2017 Химия 9 класс ответы и задания работа Статград варианты ХИ90201-ХИ90202
      • 21.09.17 Математика 11 класс варианты МА10101-МА10108 задания и ответы
      • 21.10.17 ОБЖ 7-11 класс муниципальный этап ВОШ для Москвы ответы и задания
      • 21.11.17 Биология 9 класс СтатГрад задания и ответы варианты БИ90201-БИ90204
      • 21.12.2017 Математика 9 класс РПР для 64 региона задания и ответы 2 этап
      • 21.12.2017 Ответы и задания по математике 11 класс «СтатГрад» база и профиль
      • 21.12.2017 Ответы и задания по русскому языку 10-11 класс варианты КДР 23 регион
      • 22.09.17 Обществознание 9 класс работа статград ОГЭ варианты ОБ90101-ОБ90102 задания и ответы
      • 22.09.17 Русский язык 10 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы
      • 22. 10 Задания и ответы олимпиады по литературе 7-11 класс муниципальный этап 2017
      • 23 апреля математика 5 класс ВПР 2019
      • 23 апреля русский язык 6 класс ВПР 2019
      • 23 апреля ФИЗИКА 7 класс ВПР 2019
      • 23.11.2017 Задания и ответы по информатике 9 класс для вариантов статград ИН90201-ИН90204
      • 24.10.17 Изложение 9 класс русский язык СтатГрад варианты РЯ90601-РЯ90602
      • 24.10.17 КДР 8 класс математика алгебра задания и ответы 23 регион
      • 24.10.17 Контрольная работа английский язык 7-9 класс для 56 региона письмо
      • 25.09.17 Информатика 9 класс задания и ответы СтатГрад варианты ИН90101-ИН90102
      • 25.10.17 Английский язык 7-9 класс контрольная работа для 56 региона чтение варианты
      • 25.10.17 История 11 класс МЦКО варианты задания и ответы
      • 25.10.17 Русский язык 9 класс МЦКО задания и ответы
      • 26.09 Английский язык 7,8,9 класс контрольная работа для 56 региона задания и ответы ФГОС
      • 26.09.17 История 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты ИС10101-ИС10102
      • 26. 09.17 Математика 11 класс мониторинговая работа ЕГЭ 3 варианта задания и ответы
      • 26.10 ВПР Русский язык 5 класс ответы и задания все реальные варианты
      • 26.10.17 Химия 11 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ10101-ХИ10104
      • 27.09.2017 Математика 9 класс работа статград варианты МА90101-МА90104 задания и ответы
      • 27.10 Задания и ответы для олимпиады по биологии муниципальный этап 2017
      • 28.09.17 Русский язык 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ10101-РЯ10102
      • 29.09.17 Математика 10 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты МА00101-МА00104
      • 30.11.2017 МЦКО математика 11 класс ответы и задания
      • 4 апреля 11 класс биология ВПР
      • 4 апреля 7 класс обществознание ВПР
      • 4 класс диктант 2019 год
      • 4 класс диктант платно
      • 4 класс математика 22.04.2019-26.04.2019
      • 4 класс математика платно ответы и задания
      • 4 класс окр. мир платно
      • 4 класс окружающий мир 22.04.2019-26. 04.2019
      • 4 класс русский тест 2019 год
      • 4 класса тест платно
      • 5 класс биология платно
      • 5 класс история платно
      • 5 класс русский язык впр 25 апреля
      • 5 класс русский язык платно
      • 6 класс история платно
      • 6 класс математика впр 25 апреля
      • 6 класс математика платно
      • 6 класс общество платно
      • 6 класс платно гео ответы и задания
      • 6 класс платно ответы и задания
      • 7 класс ВПР 2019 по географии ответы и задания 16 апреля 2019
      • 7 класс история впр 25 апреля
      • 7 класс русский язык 56 регион ответы и задания 21.12.2018
      • 7.11.17 Английский язык 9 класс от СтатГрад задания и ответы варианты АЯ90101-АЯ90102
      • 8.11.2017 Русский язык 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты РЯ10201-РЯ10202
      • 9 апреля география 6 класс ВПР 2019
      • 9 апреля русский язык 7 класс ВПР 2019
      • 9 апреля физика 11 класс ВПР 2019
      • 9 класс английский язык ОГЭ 24 25 мая
      • 9 класс БИОЛОГИЯ ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
      • 9 класс информатика огэ 2019 год
      • 9 класс математика огэ 2019 год
      • 9 класс обществознание ОГЭ 2019
      • 9 класс ОГЭ 2019
      • 9 класс русский язык ОГЭ 2019
      • 9 класс ФИЗИКА огэ 2019 год
      • 9 класс ФИЗИКА ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
      • 9 класс экзамен по истории огэ 2019 год
      • 9. 11.17 Математика 9 класс работа «СтатГрад» задания и ответы варианты МА90201-МА90204
      • British Bulldog 2019 ответы и задания 3-4 класс 10-11 декабря 2019
      • British Bulldog 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
      • British Bulldog 5-6 класс ответы и задания 2018-2019
      • British Bulldog 9-11 класс ответы и задания 2018-2019
      • FAQ
      • My Calendar
      • Алгебра 7 класс статград 4 декабря 2019 ответы и задания МА1970101-106
      • Алгебра и начала анализа статград 10 класс 4 декабря 2019 ответы и задания
      • Английский 9 класс СтатГрад задания и ответы
      • Английский язык 11 класс АЯ10301 ответы и задания 23 апреля 2019 год
      • Английский язык 11 класс СтатГрад 17.04
      • Английский язык 11 класс статград 5 декабря 2019 ответы и задания АЯ1910101
      • Английский язык 7 класс ВПР 2020 тренировочные варианты задания и ответы
      • Английский язык 7 класс ВПР ответы и задания 2 апреля 2019 год
      • Английский язык 7-9 класс ответы и задания 56 регион
      • Английский язык 7,8,9 класс мониторинговая работа чтение 2019
      • Английский язык 9 класс ответы и задания АЯ1990101 АЯ1990102 статград 6 ноября 2019
      • Английский язык 9 класс платно
      • Английский язык 9 класс статград ответы и задания 2018-2019 06. 11
      • Английский язык аудирование ответы 7 8 9 класс 56 регион 2018-2019
      • Английский язык говорение 56 регион ответы 7 8 9 класс 2018-2019
      • Английский язык задания и ответы школьного этапа олимпиады ВОШ 2019-2020
      • Английский язык ответы 7 8 класс 56 регион чтение 2018-2019
      • Английский язык письмо 7 8 класс ответы и задания 2018-2019
      • Аргументы для тем итогового сочинения 2019-2020 регион МСК+8
      • Архив работ
        • 01.04.2020 Английский язык 9 класс ответы и задания для АЯ1990201-АЯ1990202
        • 05.03.2020 Физика 11 класс статград ответы и задания ФИ1910401-ФИ1910404
        • 06.03.2020 История 11 класс ИС1910401-ИС1910404 статград ответы и задания
        • 12.02.2020 Математика 10 класс МА1900401-МА1900404 ответы и задания
        • 12.05.2020 Математика 9 класс МА1990701-МА1990704 ответы и задания статград
        • 13.05.2020 Русский язык 11 класс варианты РУ1910501-РУ1910502 ответы и задания
        • 14.05.2020 Химия 11 класс варианты ХИ1910501-ХИ1910504 ответы и задания
        • 14. 09.2017 Варианты и ответы контрольной работы математика 8 класс для 56 региона
        • 15.05.2020 Математика 10-11 класс варианты МА1900701-МА1900710 ответы и задания
        • 18.05.2020 Физика 11 класс варианты ФИ1910501-ФИ1910504 ответы и задания
        • 19.03.2020 Русский язык 10-11 класс РЯ1910901-РЯ1910902 ответы и задания
        • 19.05.2020 История 11 класс варианты ИС1910501-ИС1910504 статград ответы и задания
        • 21.05.2020 ОБ1910501-ОБ1910504 ответы и задания обществознание 11 класс статград
        • 24.03.2020 Химия 11 класс ХИ1910401-ХИ1910404 ответы и задания статград
        • Биология 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2020 ответы и задания
        • Вариант № 33006760 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
        • Варианты с ответами пробного экзамена ЕГЭ 2020 по математике в Санкт-Петербурге
        • ВПР 2020 по математике 8 класс новые варианты с ответами
        • ВПР 2020 тренировочная работа по обществознанию 8 класс задания и ответы
        • ВПР 2020 тренировочные варианты БИ1980201-БИ1980202 по биологии 8 класс задания с ответами
        • ВПР 2020 тренировочные варианты по биологии 6 класс задания с ответами
        • ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 7 класс задания с ответами
        • ВПР 2020 тренировочные варианты по математике 7 класс
        • ВПР 2020 физика 7 класс варианты ФИ1970101, ФИ1970102 с ответами
        • ВПР по математике 4 класс задания и ответы 2018
        • ВПР по математике 5 класс задания и ответы 2018 год
        • ВПР по обществознанию 7 класс 2020 тренировочные варианты с ответами
        • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по литературе 11 класс
        • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по математике ПРОФИЛЬ 11 класс
        • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по русскому языку 11 класс
        • Задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников по праву 5-11 класс 2017-2018
        • Задания и ответы регионального этапа 2019 по экономике ВСОШ
        • История 5 класс ИС1950101-ИС1950102 ВПР 2020 ответы и задания
        • Контрольная работа в формате ОГЭ 2020 по истории 9 класс 3 четверть
        • Контрольная работа ЕГЭ 2020 по химии 11 класс задания и ответы
        • Контрольная работа по истории 11 класс в формате ЕГЭ 2020 задания и ответы
        • Математика 7 класс ответы и задания по диагностической работе 09. 10.2018
        • МЦКО русский язык 11 класс задания и ответы варианты 14 января 2020
        • Новые задачи с ответами по химии 9-10 класс Сириус
        • Новый тренировочный вариант 200622 по информатике и ИКТ 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
        • Новый тренировочный вариант 33006755 по математике профильный ЕГЭ с ответами
        • Обществознание 9 класс ответы ОБ90301 и ОБ90302 25.01.2019
        • Олимпиада по английскому языку 4-7 класс ответы и задания для пригласительного этапа 16 апреля 2020
        • Ответы Биология 11 класс тренировочная работа 18 января 2019
        • Ответы пробное ОГЭ география 9 класс 22 января 2019
        • Ответы работа статград история 11 класс 22 января 2019
        • Пробные варианты ВПР 2020 по окружающему миру 4 класс с ответами
        • Пробный ЕГЭ по математике 11 класс задания и ответы апрель 2020 год
        • РДР 2020 5 класс реальные 2 варианта задания и ответы
        • РДР 2020 6 класс реальные задания и ответы 12 марта 2020 год
        • Решать новые тренировочные варианты впр по обществознанию 6 класс 2020
        • Решу ЕГЭ 2020 по информатике 11 класс тренировочный вариант задания №200106
        • Тренировочная работа Обществознание 11 класс ответы 1 февраля 2019
        • Тренировочная работа по математике 9 класс ответы 12 февраля 2019
        • Тренировочная работа по физике 9 класс ответы статград 29 января 2019
        • Тренировочная работа по химии 9 класс ответы статград 14 февраля 2019
        • Тренировочная работа русский язык 11 класс ответы 5 февраля 2019
        • Тренировочная работа русский язык 9 класс ответы 7 февраля 2019
        • Тренировочный вариант 200622 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
        • Тренировочный вариант 200622 по географии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
        • Тренировочный вариант 200622 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
        • Тренировочный вариант 200622 по химии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
        • Тренировочный вариант 29382872 по математике профильный ЕГЭ с ответами
        • Тренировочный вариант 29382873 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
        • Тренировочный вариант 29382874 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
        • Тренировочный вариант 29527679 по математике профильный ЕГЭ с ответами
        • Тренировочный вариант 29527683 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
        • Тренировочный вариант 29527684 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
        • Тренировочный вариант 29527685 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
        • Тренировочный вариант 29527686 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
        • Тренировочный вариант 29527687 по математике 11 класс профильный ЕГЭ задания с ответами
        • Тренировочный вариант 33006750 по математике профильный ЕГЭ с ответами
        • Тренировочный вариант 33006751 по математике профильный ЕГЭ с ответами
        • Тренировочный вариант 33006752 по математике профильный ЕГЭ с ответами
        • Тренировочный вариант 33006753 по математике профильный ЕГЭ с ответами
        • Тренировочный вариант 33006754 по математике профильный ЕГЭ с ответами
        • Тренировочный вариант 33006756 по математике профильный уровень ЕГЭ с ответами
        • Тренировочный вариант ЕГЭ 200525 задания и ответы по математике профиль
        • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527688 по математике 11 класс профильный задания с ответами
        • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527689 по математике 11 класс профильный задания с ответами
        • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527690 по математике 11 класс профильный задания с ответами
        • Тренировочный вариант ЕГЭ 33006763 задания и ответы по математике профиль
        • Тренировочный вариант ЕГЭ 33006764 задания и ответы по математике профиль
        • Физика 9 класс ФИ1990401- ФИ1990404 ответы и задания статград 3 марта 2020
        • Химия 11 класс ХИ1910601-ХИ1910602 ВПР 2020 тренировочная работа
        • Экзаменационная контрольная работа по литературе 9 класс ОГЭ 2020
      • Астра 2019 ответы и задания 3-4 класс 20 ноября 2019
      • Банк заданий ФИПИ по русскому языку ЕГЭ 2019 морфемика и словообразование
      • Биология 10 класс РДР задания и ответы 14 ноября 2019-2020
      • Биология 11 класс 5 ноября 2019 статград ответы и задания БИ1910201-204
      • Биология 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
      • Биология 11 класс ВПР ответы и задания 11. 05
      • Биология 11 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019
      • Биология 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • Биология 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 18 апреля 2019 год
      • Биология 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
      • Биология 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • Биология 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
      • Биология 6 класс платно
      • Биология 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
      • Биология 7 класс впр статград ответы и задания 11 сентября 2019
      • Биология 9 класс 15 ноября ответы и задания статград 2018
      • Биология 9 класс БИ90501 БИ90502 ответы и задания 23 апреля 2019
      • Биология 9 класс ответы БИ90401 и БИ90402 статград 01.2019
      • Биология 9 класс ответы и задания 25 ноября работа статград БИ1990201-БИ1990204
      • Биология 9-10 класс ответы КДР 24 января 2019
      • Биология ОГЭ 2018 платно
      • Благодарим за ваш заказ!
      • Британский бульдог 7-8 класс ответы и задания 2018-2019
      • Вариант 322 КИМы с реального ЕГЭ 2018 по математике
      • Вариант № 33006761 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
      • Вариант № 33006762 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
      • Вариант №1 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
      • Вариант №2 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
      • Вариант №3 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
      • Вариант №4 морфемика и словообразование банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ
      • Вариант №5 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
      • Вариант №6 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
      • Вариант №7 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
      • Вариант по биологии с реального ЕГЭ 2020 задания и ответы
      • Варианты БИ1910301-БИ1910304 по биологии 11 класс ответы и задания 14 января 2020
      • Варианты ВПР по физике 11 класс задания и ответы за 2018 год
      • Варианты для проведения ВПР 2020 по математике 6 класс с ответами
      • Ваши отзывы — пожелания
      • Вероятность и статистика 7 класс ответы 16. 05
      • Вероятность и статистика 8 класс ответы 16.05
      • Витрина
      • ВКР английский язык 7,8,9 класс задания и ответы говорение 2019-2020
      • ВКР по геометрии 8 класс ответы и задания
      • Возможные варианты для устного собеседования 9 класс ОГЭ 13 марта 2019
      • Вот что с восторгом воскликнул Иван Васильевич готовые сочинения
      • ВОШ всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
      • ВОШ ВСЕРОССИЙСКИЕ школьные олимпиады 2017-2018 задания и ответы
      • ВОШ муниципальный этап по обществознанию ответы и задания 2018-2019
      • ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ 2017-2018
      • ВОШ Школьный этап 2017-2018 задания и ответы для Республики Коми
      • ВОШ школьный этап по экономике ответы и задания 2018-2019
      • ВПР 11 класс английский язык ответы и задания 20 марта 2018
      • ВПР 11 класс география
      • ВПР 11 класс история ответы и задания 21 марта 2018
      • ВПР 2019 6 класс обществознание ответы и задания 18 апреля 2019 год
      • ВПР 2019 по математике 7 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
      • ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
      • ВПР 2019 физика 11 класс ответы и задания 9 апреля 2019 год
      • ВПР 2020 6 класс задание №10 по математике с ответами которые будут
      • ВПР 2020 6 класс задание №11 по математике с ответами которые будут
      • ВПР 2020 6 класс задание №6 по математике с ответами
      • ВПР 2020 6 класс задание №7 по математике с ответами
      • ВПР 2020 6 класс задание №8 по математике с ответами
      • ВПР 2020 6 класс задание №9 по математике с ответами которые будут
      • ВПР 2020 английский язык варианты АЯ1910201-АЯ1910202 задания и ответы
      • ВПР 2020 биология 11 класс варианты БИ1910601-БИ1910602 ответы и задания
      • ВПР 2020 биология 5 класс новые варианты с ответами
      • ВПР 2020 вариант демоверсии по биологии 7 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 география 10-11 класс варианты ГГ1910401-ГГ1910402 ответы и задания
      • ВПР 2020 география 6 класс варианты ГГ1960101, ГГ1960102 задания и ответы
      • ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по математике с ответами которые будут
      • ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по русскому языку с ответами
      • ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по математике с ответами которые будут
      • ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по русскому языку с ответами
      • ВПР 2020 год 6 класс задание №14 по русскому языку с реальными ответами
      • ВПР 2020 демоверсия по биологии 8 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по географии 7 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по географии 8 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по иностранным языкам 7 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по истории 7 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по истории 8 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по математике 7 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по математике 8 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 7 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 8 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 7 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 8 класс задания и ответы
      • ВПР 2020 задание 6 по русскому языку 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №1 по математике 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
      • ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
      • ВПР 2020 задание №2 по математике 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №3 по математике 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №4 по математике 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №5 по математике 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 6 класс с ответами
      • ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
      • ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
      • ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
      • ВПР 2020 математика 5 класс реальные задания с ответами
      • ВПР 2020 новые варианты с ответами по русскому языку 7 класс
      • ВПР 2020 ответы и задания всероссийские проверочные работы
      • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №1 с ответами
      • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №10 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №2 с ответами
      • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №3 с ответами
      • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №4 с ответами
      • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №6 с ответами
      • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №7 с ответами
      • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №8 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №9 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по биологии 7 класс тренировочные варианты БИ1970201,БИ1970202
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание 1 с ответами
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №10 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №2 с ответами
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №3 с ответами
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №4 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №5 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №6 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №7 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №8 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №9 с реальными ответами
      • ВПР 2020 по математике 7 класс задание 11 реальное с ответами
      • ВПР 2020 по математике 7 класс задание 12 реальное с ответами
      • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №1 реальное с ответами
      • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №13 реальное с ответами
      • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №2 реальное с ответами
      • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №8 реальное с ответами
      • ВПР 2020 русский язык 8 класс варианты РУ1980201, РУ1980202 ответы
      • ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 8 класс задания с ответами
      • ВПР 2020 тренировочные варианты по русскому языку 5 класс задания с ответами
      • ВПР 2020 физика 11 класс варианты ФИ1910601-ФИ1910602 ответы и задания
      • ВПР 2020 химия 8 класс демоверсия задания и ответы
      • ВПР 2021 ответы и задания всероссийские проверочные работы
      • ВПР 2022 ответы и задания всероссийские проверочные работы
      • ВПР 4 класс математика 2020 год реальные официальные задания и ответы
      • ВПР БИОЛОГИЯ 11 класс 2018 реальные ответы и задания
      • ВПР география 10-11 класс
      • ВПР математика 5 класс ответы и задания
      • ВПР по истории 11 класс ответы и задания 18. 05
      • ВПР ФИЗИКА 11 класс 2018
      • ВПР физика 11 класс резервный день ответы
      • ВПР ХИМИЯ 11 05.04
      • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2018-2019 задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2019-2020 задания и ответы
      • Всероссийская олимпиада по праву ответы и задания школьный этап 25-26 октября 2019
      • Всероссийская олимпиада по химии ответы и задания школьный этап 21-22 октября 2019
      • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада региональный этап 2018-2019 задания и ответы
      • Всероссийская олимпиада школьников региональный этап 2019-2020 задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Краснодарского края
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Челябинской области
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 региональный этап задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 учебный год задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 учебный год задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 школьный этап задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2019-2020 учебный год задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2021 заключительный этап задания и ответы
      • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2022-2023 задания и ответы
      • Всероссийские проверочные работы 2017 задания и ответы
      • Всероссийские проверочные работы 2017-2018 задания и ответы
      • Всероссийские проверочные работы 2018-2019 задания и ответы
      • Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019
      • Входная контрольная работа по математике 11 класс ответы и задания 2019-2020
      • Входная контрольная работа по математике 4 класс ответы и задания 2019-2020
      • Входная контрольная работа по математике 5 класс ответы и задания 2019-2020
      • Входная работа по русскому языку 11 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
      • Гарантия
      • ГГ1910101 ответы и задания география 11 класс статград 4 октября 2019
      • ГДЗ 5 классы решебники
      • ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н. Я
      • ГДЗ решебники
      • Гелиантус АСТРА 1-2 класс ответы и задания 2018-2019
      • Гелиантус АСТРА 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
      • География 10-11 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
      • География 11 класс ответы и задания 17 апреля 2019 тренировочная №4
      • География 11 класс ответы и задания вариант ГГ10101 статград 2018-2019
      • География 11 класс платно
      • География 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
      • География 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 9 апреля 2019
      • География 6 класс ВПР 2020 год задание 7 и официальные ответы
      • География 6 класс ВПР 2020 год задание №8 и реальные ответы
      • География 6 класс ВПР 2020 задание №2 официальное с ответами
      • География 6 класс ВПР 2020 задание №3 с ответами официальные
      • География 6 класс ВПР 2020 задание №4 с ответами официальные
      • География 6 класс ВПР 2020 задание №5 с ответами официальные
      • География 6 класс ВПР 2020 задание №6 и официальные ответы
      • География 6 класс задание №1 реального ВПР 2020 с ответами
      • География 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
      • География 9 класс ответы и задания ГГ90401 ГГ90402 22 апреля 2019
      • География 9 класс ответы и задания тренировочная статград 18 марта 2019
      • География 9 класс СтатГрад задания и ответы
      • География 9 класс статград ответы и задания 13 марта 2018
      • География задания и ответы школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
      • География муниципальный этап 2019 задания и ответы всероссийской олимпиады
      • Геометрия 9 класс ответы и задания 12 декабря 2019 работа статград
      • Готовое итоговое сочинение 2018-2019 на тему может ли добрый человек проявлять жестокость?
      • Готовые сочинения для варианта №1 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И. П
      • Готовые сочинения для варианта №2 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
      • Готовые сочинения для варианта №3 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
      • Готовые сочинения для варианта №4 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
      • Готовые сочинения для варианта №5 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
      • Готовые сочинения для варианта №6 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
      • Готовые сочинения для варианта №7 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
      • Готовые сочинения ЕГЭ в избушке у самого леса живёт старый охотник
      • Готовые сочинения ЕГЭ несомненно Дюма останется ещё на многие
      • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту может быть самая трогательная и самая глубокая
      • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту Н. Тэффи нежность самый кроткий робкий божественный лик любви
      • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту отправь голову в отпуск Измайлов
      • Готовые сочинения ЕГЭ ты часто жаловался мне, что тебя «не понимают!»
      • Готовые сочинения как-то Анатолий Бочаров высказал по тексту В. В. Быкову
      • Готовые сочинения на Невском, у Литейного постоянно толпились
      • Готовые сочинения по тексту Ф. М. Достоевскому в эту ночь снились мне
      • Готовые сочинения чего нам так не хватает а не хватает нам любви к детям по тексту А. А. Лиханову
      • Готовые сочинения я очень плохо знаю деревенскую жизнь с проблемами и текстом
      • ДВИ МГУ варианты ответы и программы вступительных испытаний
      • Демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ по всем предметам
      • Демоверсия ВПР 2020 география 6 класс задания и ответы фипи
      • Демоверсия ВПР 2020 история 6 класс задания и ответы фипи
      • Демоверсия ВПР 2020 по биологии 6 класс задания и ответы фипи
      • Демоверсия ВПР 2020 по обществознанию 6 класс задания и ответы фипи
      • Демоверсия ОГЭ 2019 по математике решение заданий
      • Диктант по русскому языку 4 класс ВПР 2018 задания
      • ДКР 2019 по географии 10 класс ответы и задания Свердловская область
      • ДКР 2019 по географии 7 класс задания и ответы 11 декабря 2019-2020
      • Добро пожаловать
      • Доступ ко всем работам
      • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по истории 11 класс
      • Если хочешь понять душу леса найди лесной 9 готовых сочинений ЕГЭ
      • Естественные науки ответы и задания олимпиада ЗВЕЗДА 25-29 ноября 2019-2020
      • за эти месяцы тяжелой борьбы решающей 9 готовых сочинений ЕГЭ
      • Задание № 15 неравенства ОГЭ по математике 9 класс 2020
      • Задания ВПР 2017 для 11 класса по географии
      • Задания ВПР 2017 для 4 класса по русскому языку
      • Задания ВПР 2017 для 5 класса по математике
      • Задания заключительного этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ олимпиады по информатике 2017/2018
      • Задания и ответы 2 варианта пробного экзамена ЕГЭ по математике 11 класс 4 апреля 2018
      • Задания и ответы 56 регион на ФЕВРАЛЬ 2017
      • Задания и ответы 6 класс XXX математический праздник 2019 год
      • Задания и ответы Англ. яз 18.11
      • Задания и ответы Биология 14.11
      • Задания и ответы Биология 9 класс 21.11.
      • Задания и ответы всероссийской олимпиады по русскому языку Московской области 19 ноября 2017
      • Задания и ответы ГЕОГРАФИЯ 21.11.2017
      • Задания и ответы для комплексной работы КДР для 8 класса ФГОС 4 варианта
      • Задания и ответы для Оренбургской области 56 регион декабрь 2017
      • Задания и ответы для Оренбургской области ноябрь 2017
      • Задания и ответы для Оренбургской области октябрь 2017
      • Задания и ответы для Оренбургской области сентябрь 2017
      • Задания и ответы для работ 11 регион Республика Коми 2018-2019
      • Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми Декабрь 2018-2019
      • Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми НОЯБРЬ 2018-2019
      • Задания и ответы для работ 56 региона октябрь 2018
      • Задания и ответы для работ Республики Коми
      • Задания и ответы для регионального этапа по физической культуре 2018
      • Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион декабрь 2018
      • Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион февраль 2018
      • Задания и ответы КДР 2019 математика 9 класс 20 февраля
      • Задания и ответы Математика 03. 12
      • Задания и ответы Математика 17.11
      • Задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 по немецкому языку 7-11 класс ВСОШ
      • Задания и ответы муниципального этапа по русскому языку 2019-2020 Москва
      • Задания и ответы МХК 15.11
      • Задания и ответы на Апрель 2017 для 56 региона
      • Задания и ответы на Май 2017 для 56 региона
      • Задания и ответы на Март 2017 для 56 региона
      • Задания и ответы олимпиады по литературе региональный этап 2020
      • Задания и ответы по информатике 11 класс 28 ноября 2017 СтатГрад варианты ИН10201-ИН10204
      • Задания и ответы по истории для 11 классов (56 регион)
      • Задания и ответы по математике 11 класс профиль вариант №22397963
      • Задания и ответы по математике 11 класс профиль ЕГЭ вариант №22397967
      • Задания и ответы по математике 6 класс ВПР 2018
      • Задания и ответы по русскому языку 6 класс ВПР 2018
      • Задания и ответы по русскому языку 9 класс СтатГрад 29 ноября 2017 варианты РЯ90201-РЯ90202
      • Задания и ответы по физике муниципального этапа 2019 всероссийская олимпиада
      • Задания и ответы по химии 11 класс СтатГрад 30 ноября 2017 года варианты ХИ10201-ХИ10204
      • Задания и ответы ПРАВО 14. 11
      • Задания и ответы право региональный этап ВОШ 2019
      • Задания и ответы регионального этапа 2019 по английскому языку
      • Задания и ответы регионального этапа 2019 по испанскому языку
      • Задания и ответы регионального этапа 2019 по китайскому языку
      • Задания и ответы регионального этапа 2019 по химии ВОШ
      • Задания и ответы региональный этап ВОШ 2019 по французскому
      • Задания и ответы Русский язык 19.11
      • Задания и ответы Русский язык ОГЭ 9 класс 20.11.
      • Задания и ответы Физика 18.11
      • Задания и ответы Химия 24.11
      • Задания Московской математической олимпиады 8 класс 17 марта 2019 год
      • Задания МОШ 2019 по физике 1 тур 7 8 9 10 класс
      • Задания по истории муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
      • Задания, ответы и результаты олимпиады по биологии региональный этап 2020
      • Задания, ответы и результаты олимпиады по химии региональный этап 2020
      • Заключительный этап 2022 задания и ответы многопрофильной инженерной олимпиады звезда
      • Заключительный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020 задания и ответы
      • Закрытый раздел
      • Золотое руно 2018 ответы и задания 16 февраля конкурс по истории
      • Изложение русский язык 9 класс статград ответы и задания 4 октября 2019
      • Информатика 11 класс 15 ноября 2019 статград ответы и задания ИН1910201- ИН1910204
      • Информатика 11 класс КДР ответы и задания 18 декабря 2018
      • Информатика 11 класс платно
      • Информатика 11 класс СтатГрад задания и ответы
      • Информатика 11 класс тренировочная №5 ответы и задания 15 апреля 2019 год
      • Информатика 7 класс ответы РДР 21 февраля 2019
      • Информатика 9 класс 06. 03
      • Информатика 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
      • Информатика 9 класс ответы и задания тренировочная №5 25 апреля 2019
      • Информатика 9 класс ответы статград 13 ноября 2018
      • Информатика 9 класс ответы статград 31 января 2019
      • Информатика ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
      • Информатика ОГЭ 2018
      • Информатика ОГЭ 2018 платно
      • Информатика ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
      • История 10 класс РДР 2019 официальные задания и ответы все варианты
      • История 11 класс 13 ноября 2019 ответы и задания статград вариант ИС1910201- ИС1910204
      • История 11 класс ВПР 2018 год задания и ответы все варианты
      • История 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 2 апреля 2019 год
      • История 11 класс ВПР 2020 тренировочные варианты с ответами
      • История 11 класс задания и ответы СтатГрад
      • История 11 класс ИС10201 и ИС10202 ответы и задания статград 23.11.2018
      • История 11 класс ответы и задания СтатГрад 24. 04
      • История 11 класс ответы ИС10401 и ИС10402 11 марта 2019 год
      • История 11 класс СтатГрад 24 ноября 2017 задания и ответы варианты ИС10201-ИС10204
      • История 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • История 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
      • История 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
      • История 5 класс ВПР 25.04
      • История 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • История 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
      • История 6 класс тренировочные варианты ВПР 2020 задания и ответы
      • История 7 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
      • История 7 класс платно 24 апреля
      • История 9 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы 2019-2020
      • История 9 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019 год
      • История 9 класс СтатГрад 27 февраля ответы и задания
      • История 9 класс статград ответы и задания 2018-2019
      • История 9 класс статград ответы и задания 30 марта 2018
      • История всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
      • Итоговая контрольная работа по математике 8 класс за 2018-2019 учебный год
      • Итоговая контрольная работа по русскому языку 7 класс за 2018-2019 учебный год
      • Итоговая работа математика 10 класс ответы и задания 24 апреля 2019 год
      • Итоговое собеседование варианты 12 февраля 2020
      • Итоговое сочинение 05. 12.2018
      • Итоговое сочинение 2017
      • Итоговое устное собеседование ОГЭ 2022 по русскому языку 9 класс
      • Как написать эссе по обществознанию ЕГЭ
      • Как получить задания и ответы для ВПР 2019
      • Как получить работу задания и ответы
      • Как получить темы на итоговое сочинение 6 декабря 2017 года
      • Как человеку воспитать в себе доброту? готовое итоговое сочинение 2018-2019
      • КДР (задания+ответы) на Февраль 2017
      • КДР (задания+ответы) на Январь 2017
      • КДР 1 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
      • КДР 2 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
      • КДР 2019 23 регион ответы и задания май 2019 год
      • КДР 2019 задания и ответы по английскому языку 8 класс 21 мая 2019 год
      • КДР 2019 ответы и задания апрель 2019 год
      • КДР 2019 ответы по географии 9 класс 15 февраля
      • КДР 2019 химия 9 и 10 класс ответы 19 марта 2019 год
      • КДР 2019-2020 декабрь 23 регион ответы и задания
      • КДР 2020 23 регион ответы и задания Краснодарский край
      • КДР 9 класс русский язык ответы и задания 14 декабря 2018
      • КДР Английский язык 8 класс ответы и задания 2018-2019
      • КДР апрель 2017 работы задания и ответы
      • КДР апрель 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
      • КДР декабрь 2017 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
      • КДР задания и ответы
      • КДР задания и ответы комплексная работа 3 класс 2018 год
      • КДР задания и ответы комплексная работа 4 класс варианты 2018 год
      • КДР Май 2017 работы задания и ответы
      • КДР Май 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
      • КДР математика 11 класс задания и ответы 28 февраля 2018 год
      • КДР математика 7 класс ответы и задания 12. 04
      • КДР математика 9 класс 19.04
      • КДР ответы и задания 23 регион Январь 2019
      • КДР ответы и задания для Краснодарского края 23 регион ДЕКАБРЬ 2018
      • КДР ответы и задания математика 10-11 класс 23 ноября 2018
      • КДР ответы и задания НОЯБРЬ 2018 для Краснодарского края 23 регион
      • КДР ответы и задания октябрь 2018 для Краснодарского края 23 регион
      • КДР ответы и задания по английскому языку 9 10 11 класс 8 февраля 2018
      • КДР ответы и задания по Биологии 10 класс 23 января 2018
      • КДР ответы и задания по Биологии 11 класс 23 января 2018
      • КДР ответы и задания по Биологии 9 класс 23 января 2018
      • КДР ответы и задания по Географии 10 класс 25 января 2018
      • КДР ответы и задания по Географии 9 класс 25 января 2018
      • КДР ответы и задания по информатике 10 класс 18 января 2018
      • КДР ответы и задания по информатике 9 класс 18 января 2018
      • КДР ответы и задания по истории 9 10 11 класс 13 февраля 2018
      • КДР ответы и задания по обществознанию 9 10 11 класс 1 февраля 2018
      • КДР ответы и задания по русскому языку 9 класс 6 февраля 2018
      • КДР ответы и задания по химии 10 11 класс 6 февраля 2018
      • КДР ответы математика 7 класс 30 января 2019
      • КДР ответы русский язык 9 класс 6 февраля 2019
      • КДР ответы физика 9-10 класс 31 января 2019
      • КДР по алгебре 8 класс ответы и задания 2018-2019
      • КДР ПО ГЕОГРАФИИ 11 КЛАСС 23 регион ответы и задания 22 февраля
      • КДР по литературе 10 11 класс 2018 ответы и задания
      • КДР по литературе 10 класс ответы
      • КДР по Математике 9 класс официальные ответы
      • КДР по русскому языку для 9 классов
      • КДР русский язык 7 8 класс ответы и задания
      • КДР русский язык 7-8 класс ответы 17. 05
      • КДР февраль 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
      • КДР январь 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
      • Кенгуру 2017 9 класс ответы
      • Кенгуру 2017 ответы и задания 2-10 класс
      • Кенгуру 2019 ответы и задания 5-6 класс
      • Кенгуру 2019 ответы и задания для 7-8 класса
      • КИТ 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
      • КИТ 8-9 класс ответы и задания 2018-2019
      • КИТ-2019 ответы и задания 10-11 класс 27 ноября 2019-2020
      • Комплексная работа ФГОС 5 6 7 8 9 класс ответы и задания 30 ноября 2018
      • Конкурс АСТРА 2019 ответы и задания 5-6 класс 20 ноября 2019
      • Конкурс КИТ 2018 4-5 класс ответы и задания
      • Конкурс КИТ 2019 ответы и задания 2-3 класс 27 ноября 2019
      • Контакты
      • Контрольная входная работа по русскому языку 10 класс ответы и задания 2019-2020
      • Контрольная работа за 1 полугодие по русскому языку 7 класс ответы и задания
      • Контрольная работа по математике 11 класс 2 четверть в формате ЕГЭ 3 варианта с ответами
      • Контрольная работа по русскому языку 10 класс за 1 полугодие 2 варианта с ответами
      • Контрольная работа по русскому языку 8 класс за 1 полугодие 2 четверть задания и ответы
      • Контрольные работы ОГЭ 2021 задания и ответы для 9 класса
      • Контрольные срезы 56 регион ответы и задания октябрь 2019-2020
      • Корзина
      • Критерии ответы и задания по физике 11 класс статград 23 марта 2018
      • Критерии ответы по информатике 11 класс статград 16 марта 2018
      • Критерии ответы по русскому языку 11 класс статград 2018
      • Кружила январская метелица скрипели мерзлые готовые сочинения ЕГЭ
      • Куда поступить после 11 класса в 2017 году
      • Литература 11 класс ответы и задания ЕГЭ статград 22. 03.2018
      • Литература 11 класс СтатГрад задания и ответы
      • Литература 9 класс ОГЭ 2019 год
      • Литература 9 класс ответы и задания статград 22 ноября 2018 год
      • Литература 9 класс статград ОГЭ сочинение ответы 14 марта 2018
      • Литература ОГЭ 2018 платно
      • Литература олимпиада ВОШ задания муниципальный этап 2018-2019
      • Литература ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
      • Литература ответы и задания школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
      • Литература школьный этап 2019-2020 задания и ответы олимпиады ВОШ
      • Математика 7 классов 56 регион задания и ответы
      • Математика 10 класс (вероятность и статистика)
      • Математика 10 класс 56 регион ответы 16.05
      • Математика 10 класс вероятность и статистика ответы и задания 4 апреля 2019
      • Математика 10 класс задания и ответы мониторинговая работа ФГОС 2019-2020
      • Математика 10 класс ответы и задания 18.05
      • Математика 10 класс ответы и задания статград
      • Математика 10 класс ответы и задания статград 2018-2019
      • Математика 10 класс статград ответы и задания 29. 03.2018
      • Математика 10 класс статград ответы и задания БАЗА и ПРОФИЛЬ
      • Математика 10 класс тригонометрия ответы статград 18.12.2018
      • Математика 10-11 класс ответы и задания варианты статград 17 мая 2019
      • Математика 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
      • Математика 11 класс 17 декабря 2019 контрольная работа задания и ответы
      • Математика 11 класс диагностическая работа ЕГЭ профиль задания и ответы для 11 региона
      • Математика 11 класс КДР ответы и задания 28 февраля
      • Математика 11 класс ответы база профиль статград 24 января 2019
      • Математика 11 класс ответы и задания БАЗА ПРОФИЛЬ 20.09
      • Математика 11 класс ответы и задания тренировочная работа №5 19 апреля 2019
      • Математика 11 класс ответы статград БАЗА ПРОФИЛЬ 20.12.2018
      • Математика 11 класс профиль 56 рег
      • Математика 11 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 13 марта 2019
      • Математика 3 класс задания ВСОКО МЦКО итоговая работа 2019
      • Математика 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • Математика 4 класс ВПР ответы 25. 04
      • Математика 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
      • Математика 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • Математика 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
      • Математика 5 класс задания и ответы СтатГрад варианты 12 сентября 2017 год
      • Математика 5 класс контрольная работа за 1 полугодие задания и ответы 2019-2020
      • Математика 5 класс официальная демоверсия ВПР 2020 задания и ответы
      • Математика 5 класс платно
      • Математика 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • Математика 6 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
      • Математика 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
      • Математика 6 класс ответы СтатГрад 15.05
      • Математика 7 класс ответы и задания варианты МА70301 МА70302 14 мая 2019
      • Математика 7 класс РДР ответы 2018-2019
      • Математика 8 класс 56 регион 17.03
      • Математика 8 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
      • Математика 8 класс входная контрольная работа ответы и задания 2019-2020
      • Математика 8 класс задания и ответы работа статград 12 сентября 2017
      • Математика 8 класс ответы и задания варианты МА80201 МА80202 14 мая 2019
      • Математика 8 класс ответы и задания по диагностической работе 11 регион 2018-2019
      • Математика 8 класс статград ответы и задания
      • Математика 9 класс — 64 регион ответы
      • Математика 9 класс 12 ноября 2019 ответы и задания работа статград МА1990201-04
      • Математика 9 класс 13. 02
      • Математика 9 класс 56 рег ответы
      • Математика 9 класс контрольная работа в формате ОГЭ 4 варианта ответы и задания
      • Математика 9 класс ОГЭ 2018 ответы и задания
      • Математика 9 класс ответы 11 регион 18.12.2018
      • Математика 9 класс ответы 15.05 СтатГрад
      • Математика 9 класс ответы и задания 11 регион 4 октября 2018
      • Математика 9 класс ответы и задания варианты 56 регион 10 октября 2019
      • Математика 9 класс ответы и задания РПР 64 регион 20.12.2018
      • Математика 9 класс ответы и задания статград 19 марта 2019
      • Математика 9 класс ответы и задания статград варианты 15 мая 2019 год
      • Математика 9 класс ответы РПР 64 регион 2019 3 этап 20 марта
      • Математика 9 класс пробник статград ответы и задания 21 марта 2018
      • Математика 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
      • Математика 9 класс статград ответы и задания 13 февраля 2018 года
      • Математика 9 класс статград ответы и задания 27.09.2018
      • Математика База платно
      • Математика геометрия 9 класс КДР ответы и задания 20 февраля 2018
      • Математика задания и ответы муниципальный этап ВОШ 2018-2019 для Москвы
      • Математика олимпиада ВОШ 2018-2019 школьный этап задания и ответы
      • Математика ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
      • Математика профиль 11 класс 56 регион контрольная работа 18. 12.2018
      • Математика тренировочная работа 9 класс ответы статград 8 ноября 2018 года
      • Математическая вертикаль 2021-2022 ответы и задания
      • Математическая вертикаль ответы и задания 2020-2021 учебный год
      • Материалы за 2016-2021 учебный год
      • Международный молодёжный предметный чемпионат по правоведению для 10-11 классов.
      • Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2017-2018 задания и ответы
      • Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2018-2019 ответы и задания
      • Многопрофильная инженерная олимпиада Звезда 2021-2022 ответы и задания
      • Многопрофильная олимпиада Звезда 2019-2020 ответы и задания
      • Многопрофильная олимпиада Звезда 2020-2021 ответы и задания
      • Мой аккаунт
      • Мониторинговая работа аудирование по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019-2020
      • Мониторинговая работа по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019
      • Мониторинговая работа по русскому языку 5 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
      • Мониторинговая работа по русскому языку 8 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
      • Мониторинговые работы 56 регион ответы и задания сентябрь 2019
      • Московская олимпиада школьников 2020-2021 ответы и задания
      • Московская олимпиада школьников 2021-2022 ответы и задания
      • Московский турнир юных физиков задания 2019-2020 учебный год
      • МПУ МЦКО 4 класс задания 31 января 2019 год
      • Муниципальный этап 2019 олимпиады по испанскому языку задания и ответы ВОШ
      • Муниципальный этап 2019 олимпиады по истории задания и ответы ВСОШ
      • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиада по ОБЖ ответы и задания для Москвы
      • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по химии задания и ответы Московская область
      • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по экологии ответы и задания ВсОШ Москва
      • Муниципальный этап 2019-2020 по литературе ответы и задания ВсОШ Москва
      • Муниципальный этап ВОШ 2018 по праву задания и ответы для Москвы
      • Муниципальный этап ВОШ 2018-2019 задания по химии в Московской области
      • Муниципальный этап ВОШ по астрономии ответы и задания 2018-2019 учебный год
      • Муниципальный этап ВОШ по ОБЖ ответы и задания 2018-2019
      • Муниципальный этап олимпиады 2019 по искусству МХК задания и ответы ВСОШ
      • Муниципальный этап олимпиады 2019-2020 по астрономии задания и ответы Московская область
      • Муниципальный этап олимпиады по биологии ответы и задания 19 октября 2019
      • Муниципальный этап по астрономии всероссийской олимпиады задания 2018-2019
      • Муниципальный этап по обществознанию 2019-2020 ответы и задания ВСОШ Москва
      • Муниципальный этап по экономике всероссийская олимпиада 2018-2019
      • МХК искусство задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 учебный год
      • МХК искусство школьный этап 2019 ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
      • МХК муниципальный этап 8 ноября задания всероссийской олимпиады 2018-2019
      • МЦКО 2019-2020 расписание и демоверсии диагностических работ
      • МЦКО 2020-2021 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
      • МЦКО 2021-2022 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
      • МЦКО 2022-2023 демоверсии, варианты и ответы диагностических работ
      • МЦКО 7 класс математика ответы 13 февраля 2018
      • МЦКО 8 класс метопредмет ответы и задания 27 февраля
      • МЦКО 8 класс ответы 15. 03
      • МЦКО история 10 класс ответы 25.10.2018
      • МЦКО математика 3 класс задания
      • Мцко математика 7 класс 02.03.17
      • МЦКО математика 9 класс варианты задания и ответы 2019-2020
      • МЦКО математика 9 класс ответы и задания 3 октября 2018
      • МЦКО ответы и задания по русскому языку 11 класс 18 января 2018
      • МЦКО ответы и задания по русскому языку 7 8 класс 1 февраля 2018
      • МЦКО по физике для 9 классов
      • МЦКО русский язык 9 класс ответы 2018-2019
      • МЦКО физика для 7 классов ответы и задания
      • Направления тем итогового сочинения 2017-2018
      • Наше наследие 1-11 класс муниципальный тур ответы и задания 2019-2020
      • Наше наследие 1-11 класс школьный тур ответы и задания 2019-2020
      • Наше наследие олимпиада задания и ответы 2017-2018
      • Наше наследие ответы и задания 5-6 класс школьный тур 2019-2020
      • Наше наследие ответы и задания 9-11 класс школьный тур 2019-2020
      • Новый тренировочный вариант 200622 по биологии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
      • Новый тренировочный вариант 200622 по физике 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
      • Новый тренировочный вариант 210201 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
      • Новый тренировочный вариант 210201 по истории 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
      • Новый тренировочный вариант 210201 по литературе 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
      • Новый тренировочный вариант 210201 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
      • Новый тренировочный вариант 210208 по химии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
      • Новый тренировочный вариант 34072997 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
      • Новый тренировочный вариант 34072998 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
      • Новый тренировочный вариант 34072999 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
      • Новый тренировочный вариант 34073000 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
      • Новый тренировочный вариант ЕГЭ 34073001 по математике профильный с ответами
      • Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по биологии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
      • Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по физике 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
      • О нас
      • ОБ1910201-ОБ1910204 ответы и задания обществознание 11 класс 13 декабря 2019
      • ОБЖ школьный этап задания и ответы олимпиады ВОШ 2019-2020
      • Обществознание 10 класс КДР 2019 задания и ответы 01. 03.2019
      • Обществознание 11 класс 04.05
      • Обществознание 11 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
      • Обществознание 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания 19 марта 2018
      • Обществознание 11 класс СтатГрад задания и ответы
      • Обществознание 11 класс Статград ответы и задания
      • Обществознание 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • Обществознание 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
      • Обществознание 9 11 класс контрольная работа 56 регион 20 февраля 2018
      • Обществознание 9 класс 19 декабря 2019 ответы и задания ОБ1990201-ОБ1990204
      • Обществознание 9 класс КДР 2019 ответы 01.03.2019
      • Обществознание 9 класс ответы и задания 29 апреля 2019 тренировочная №5
      • Обществознание 9 класс СтатГрад задания и ответы
      • Обществознание 9 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
      • Обществознание 9 класс тренировочная работа №1 ответы и задания 21.09
      • ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ для 9 классов Республика Коми, 11 регион
      • Обществознание ОГЭ 2018 платно
      • ОГЭ
      • ОГЭ 2017 закрытый раздел
      • ОГЭ 2018 Математика платно
      • ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 24 региона
      • ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 54 региона
      • ОГЭ 2019 официальное расписание экзаменов 9 класс
      • ОГЭ английский язык 2018 ответы и задания 9 класс
      • Одно желание было у лейтенанта Бориса Костяева готовые сочинения ЕГЭ
      • Окружающий мир 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • Окружающий мир 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
      • Олимпиада Звезда заключительный тур 2017-2018 задания и ответы
      • Олимпиада Ломоносов по математике 11 класс задания и ответы 2018-2019
      • Олимпиада Наше Наследие 2019-2020 учебный год задания и ответы
        • Школьный тур 5-11 класс наше наследие задания и ответы 2019-2020
      • Олимпиада Наше Наследие 2020-2021 учебный год ОВИО задания и ответы
      • Олимпиада Наше Наследие задания и ответы 2018-2019 учебный год
      • Олимпиада основы православной культуры задания и ответы 2019-2020
      • Олимпиада по английскому языку 8-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 17 апреля 2020
      • Олимпиада по английскому языку задания и ответы муниципального этапа 2019
      • Олимпиада по английскому языку школьный этап 2017 задания
      • Олимпиада по астрономии муниципальный этап 2019 задания и ответы
      • Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап 2019 ВОШ
      • Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап ВсОШ 23-24 октября 2019
      • Олимпиада по математике НТИ отборочный этап ответы и задания 2018-2019
      • Олимпиада по МХК школьный этап 2017 задания
      • Олимпиада по обществознанию школьный этап 2017 задания
      • Олимпиада по праву школьный этап 2017 задания
      • Олимпиада по русскому языку задания и ответы школьного этапа 2019
      • Олимпиада по физической культуре муниципальный этапа 2019-2020 задания и ответы
      • Олимпиада по экологии 4-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 15 апреля 2020
      • Олимпиада по экологии ответы и задания школьный этап 2019-2020 Московская область
      • Олимпиада по экологии школьный этап 2017 задания
      • Олимпиада РОСАТОМ 2018-2019 задания и ответы
      • Олимпиада ФИЗТЕХ 11 класс ответы и задания 2018-2019
      • Олимпиада школьников САММАТ 2019-2020 ответы и задания
      • Оплата заказа
      • Оренбургская область 56 регион задания и ответы работы январь 2018
      • Отборочные задания по математике для физико-математической школы 2019 год
      • Отборочные задания по физике для физико-математической школы 2019 год
      • Ответы 56 регион математика 8 класс 19 декабря 2018
      • Ответы 7 8 класс золотое руно 2019 с заданиями
      • Ответы 9-11 класс золотое руно задания 2019
      • Ответы английский язык 7 8 9 класс говорение 56 регион 2018-2019
      • Ответы английский язык для 9 классов 56 регион
      • Ответы ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №5
      • Ответы для реального задания №10 ВПР 2020 по географии 6 класс
      • Ответы для реального задания №9 ВПР 2020 по географии 6 класс
      • Ответы задания и сочинения татарский язык ЕРТ
      • Ответы задания изложение по русскому языку 9 класс СтатГрад 8 февраля 2018
      • Ответы и задания 1-2 класс конкурс АСТРА 20 ноября 2019-2020
      • Ответы и задания 10-11 класс КИТ 2018
      • Ответы и задания 11 класс кенгуру выпускника 2019
      • Ответы и задания 12. 04.2018
      • Ответы и задания 2 класс пегас 2019
      • Ответы и задания 2 класс чип 2019-2020 Австралия
      • Ответы и задания 3-4 класс золотое руно 2019
      • Ответы и задания 3-4 класс кенгуру 2019 год
      • Ответы и задания 3-4 класс пегас 2019
      • Ответы и задания 3-4 класс ЧИП 2019 год
      • Ответы и задания 4-5 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
      • Ответы и задания 4-5 класс русский медвежонок 14 ноября 2019
      • Ответы и задания 5-6 класс Гелиантус (астра) 2018-2019
      • Ответы и задания 5-6 класс золотое руно 2019 год
      • Ответы и задания 6-7 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
      • Ответы и задания 6-7 класс русский медвежонок 2018-2019
      • Ответы и задания 8-9 класс русский медвежонок 2018-2019
      • Ответы и задания 9 класс кенгуру выпускника 2019
      • Ответы и задания 9-10 класс кенгуру 2019 год
      • Ответы и задания английский язык 9 класс диагностика №2 22 марта 2019
      • Ответы и задания БИ10401 и БИ10402 биология 11 класс 4 марта 2019
      • Ответы и задания биология 11 класс статград
      • Ответы и задания биология 11 класс статград 30 ноября 2018
      • Ответы и задания ВПР по географии 10-11 класс 03. 04.2018
      • Ответы и задания география 11 класс статград 9 декабря 2019 ГГ1910201
      • Ответы и задания для конкурса Кенгуру 2020 11 класс
      • Ответы и задания для конкурса по информатике КИТ 1-11 класс 29 ноября 2017 год
      • Ответы и задания для Оренбургской области 56 регион март 2019
      • Ответы и задания для пробных работ 56 региона 2018
      • Ответы и задания для работ 15.02.2017
      • Ответы и задания для работы статград по истории 9 класс
      • Ответы и задания золотое руно 2019 1-2 класс
      • Ответы и задания информатика 11 класс ИН1910101 ИН1910102 23 сентября 2019
      • Ответы и задания история 9 класс статград 29 ноября 2018 год
      • Ответы и задания КДР 23 регион март 2019 год
      • Ответы и задания КДР геометрия 8 класс 16 ноября 2018 года
      • Ответы и задания кенгуру 2 класс 2019 год
      • Ответы и задания кенгуру выпускника 4 класс 2019
      • Ответы и задания контрольная по математике 7 класс
      • Ответы и задания контрольных работ для 56 региона декабрь 2019
      • Ответы и задания МЦКО английский язык 9 класс 2018
      • Ответы и задания ОГЭ 2018 по математике 9 класс
      • Ответы и задания олимпиада звезда по обществознанию 2019-2020 отборочный этап
      • Ответы и задания олимпиады по физкультуре 8,9,10 класс пригласительный этап 28 апреля 2020
      • Ответы и задания по астрономии школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
      • Ответы и задания по биологии 11 класс 30 января 2018 СтатГрад
      • Ответы и задания по биологии 11 класс статград 12. 09
      • Ответы и задания по биологии 9 класс 17.09 статград
      • Ответы и задания по Биологии 9 класс 24 января 2018 СтатГрад
      • Ответы и задания по биологии 9 класс БИ1990101-02 статград 14 октября 2019
      • Ответы и задания по биология 9 класс СтатГрад 2018
      • Ответы и задания по информатике 11 класс статград 14.09
      • Ответы и задания по информатике 9 класс статград 19.09
      • Ответы и задания по информатике 9 класс СтатГрад 31 января 2018
      • Ответы и задания по Истории 11 класс 23 января 2018 СтатГрад
      • Ответы и задания по истории 11 класс ИС1910101 ИС1910102 27 сентября 2019
      • Ответы и задания по истории 9 класс 18 января 2018 СтатГрад
      • Ответы и задания по истории школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
      • Ответы и задания по итальянскому языку школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
      • Ответы и задания по китайскому языку олимпиада школьный этап 2019-2020
      • Ответы и задания по литературе школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020 московская область
      • Ответы и задания по математике 10 класс контрольная работа
      • Ответы и задания по математике 11 класс 25 января 2018 СтатГрад
      • Ответы и задания по математике 11 класс ЕГЭ база 56 регион 04. 04.18
      • Ответы и задания по математике 11 класс мониторинговая работа 2019-2020
      • Ответы и задания по математике 8 класс статград 11.09
      • Ответы и задания по математике 9 класс 12 декабря 2019 статград все варианты
      • Ответы и задания по математике 9 класс 56 регион 4 декабря 2018
      • Ответы и задания по математике 9 класс МА1990101-МА1990104 3 октября 2019
      • Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада
      • Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
      • Ответы и задания по МХК искусство всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020
      • Ответы и задания по ОБЖ всероссийская олимпиада 2018-2019
      • Ответы и задания по ОБЖ школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
      • Ответы и задания по обществознанию 11 класс ОБ10101 ОБ10102 статград 2018-2019
      • Ответы и задания по обществознанию 9 класс 26 января 2018 СтатГрад
      • Ответы и задания по обществознанию ОГЭ 2018
      • Ответы и задания по праву муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
      • Ответы и задания по русскому языку 11 класс 19 января 2018 СтатГрад
      • Ответы и задания по русскому языку 11 класс 2 октября 2019 РУ1910101 РУ1910102
      • Ответы и задания по Русскому языку 11 класс статград 28 марта 2018
      • Ответы и задания по русскому языку 7 класс входная работа
      • Ответы и задания по русскому языку 8 класс 56 регион
      • Ответы и задания по русскому языку 9 класс МЦКО 1 октября 2019
      • Ответы и задания по русскому языку 9 класс статград РУ1990101-02 16 октября 2019
      • Ответы и задания по Русскому языку КДР 11 класс январь 2019
      • Ответы и задания по русскому языку муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
      • Ответы и задания по русскому языку ОГЭ 2018
      • Ответы и задания по русскому языку олимпиада школьный этап 22 октября 2019
      • Ответы и задания по физике 10 класс КДР 30 января 2018
      • Ответы и задания по физике 11 класс ВОШ 2018-2019
      • Ответы и задания по физике 11 класс ВПР 2018 10. 04.18
      • Ответы и задания по физике 11 класс КДР 30 января 2018
      • Ответы и задания по физике 9 класс 29 января 2018 СтатГрад
      • Ответы и задания по физике 9 класс КДР 30 января 2018
      • Ответы и задания по физике 9 класс статград
      • Ответы и задания по физике школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
      • Ответы и задания по химии 11 класс 28 ноября 2018
      • Ответы и задания по химии 11 класс ВПР 2018 05.04.18
      • Ответы и задания по химии 11 класс статград ХИ1910101 и ХИ1910102 15 октября 2019
      • Ответы и задания по химии 9 класс статград ХИ1990101-ХИ1990104 21 октября 2019
      • Ответы и задания по химии 9 класс тренировочная работа статград
      • Ответы и задания по экологии школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
      • Ответы и задания русский язык 11 класс варианты 16 мая 2019 год
      • Ответы и задания русский язык 7 класс ВПР 9 апреля 2019 год
      • Ответы и задания русский язык 9 класс 56 регион 06. 04.18
      • Ответы и задания стартовая работа русский язык 8 класс 23 сентября 2019
      • Ответы и задания статград обществознание 11 класс 14 декабря 2018
      • Ответы и задания статград по физике 9 класс варианты 24 октября 2019
      • Ответы и задания тренировочная №4 история 9 класс 21 марта 2019
      • Ответы и задания ФИ90401 и ФИ90402 физика 9 класс 4 марта 2019
      • Ответы и задания Физика ОГЭ 2018 9 класс
      • Ответы и задания ЧИП 1-2 класс 2019
      • Ответы и задания школьный этап по математике всероссийской олимпиады новосибирская область 2019-2020
      • Ответы и задания школьный этап по физике всероссийской олимпиады в Московской области 2019-2020
      • Ответы КДР 2019 по информатике 10 класс 15 марта 23 регион
      • Ответы КДР 2019 по информатике 9 класс 15 марта 23 регион
      • Ответы КДР 2019 по литературе 10 класс 15 марта 23 регион
      • Ответы КДР 2019 по литературе 9 класс 15 марта 23 регион
      • Ответы КДР 23 регион биология 11 класс 21. 12.2018
      • Ответы КДР 23 регион история 11 класс 21.12.2018
      • Ответы КДР задания 23 регион Февраль 2019 год
      • Ответы КДР литература 11 класс 14 декабря 2018
      • Ответы КДР физика 11 класс 14 декабря 2018
      • Ответы МЦКО математика 10 класс 5 декабря 2018
      • Ответы МЦКО математика 11 класс 28 ноября 2018
      • Ответы МЦКО по истории 9 класс 19.09
      • Ответы на тренировочная работа по химии 9 класс «СтатГрад»
      • Ответы на тренировочную работу по русскому языку 11 класс
      • Ответы обществознание 9 класс статград 5 декабря 2018
      • Ответы обществознание для 10 классов 23 регион
      • Ответы ОГЭ 2018 английский язык
      • Ответы ОГЭ 2018 русский язык
      • Ответы олимпиада по праву 9 класс школьный этап ВОШ 2018-2019
      • Ответы олимпиада по физике 9 класс 2018-2019
      • Ответы по английскому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
      • Ответы по английскому языку олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
      • Ответы по астрономии школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
      • Ответы по биологии 9 10 11 класс вош 2018-2019 школьный этап
      • Ответы по биологии для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
      • Ответы по географии ВОШ олимпиада школьный этап 2018-2019
      • Ответы по географии для 9 классов 11 регион
      • Ответы по информатике 11 класс 12. 05
      • Ответы по искусству МХК олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
      • Ответы по истории 11 класс статград тренировочная работа №1 26.09
      • Ответы по истории 11 класс школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
      • Ответы по истории 9 класс статград
      • Ответы по истории для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
      • Ответы по математике 7-8 класс КДР
      • Ответы по математике 8 класс МЦКО 28 марта 2018
      • Ответы по математике 9 класс 64 регион
      • Ответы по математике 9 класс СтатГрад 15.02
      • Ответы по немецкому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
      • Ответы по русскому языку 11 класс 11 регион 13.02
      • Ответы по русскому языку для 7 и 8 класс 12.05
      • Ответы по русскому языку школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
      • Ответы по тренировочная работа по биологии 11 класс
      • Ответы по тренировочная работа по обществознанию 9 класс
      • Ответы по физике 9 класс ФИ90201 и ФИ90202 статград 7 декабря 2018
      • Ответы по физике, биологии для 11 классов 56 регион 16. 02
      • Ответы по химии 11 класс пробное ЕГЭ статград 12 марта 2019
      • Ответы по химии 9 класс статград 19 декабря 2018
      • Ответы по химии, информатике, географии, обществознанию для 9 классов
      • Ответы по экологии школьный этап ВОШ 2018-2019
      • Ответы репетиционный экзамен по математике 9 класс пробное ОГЭ 9 февраля 2018
      • Ответы РПР по математике 9 класс 64 регион 3 этап 2018
      • Ответы русский язык 10 класс 56 регион 12.05
      • Ответы русский язык 5-8 класс контрольная работа за 1 полугодие 56 регион 2018
      • Ответы статград география 11 класс 11.12.2018
      • Ответы СтатГрад по обществознанию 9 класс
      • Ответы статград по обществознанию 9 класс варианты ОБ1990101-02 23 октября 2019
      • Ответы тренировочная работа по истории 9 класс
      • Ответы тренировочная работа по математике 10 класс 08.02.2017
      • Ответы тренировочная работа по русскому языку 9 класс 09.02.2017
      • Ответы тренировочная работа по химии 11 класс 14. 02
      • Ответы физике для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
      • Отзывы прошлых лет
      • Отзывы с первого экзамена ОГЭ 2018 по английскому языку
      • Отзывы с первых экзаменов ЕГЭ 2017
      • Отзывы с прошедших экзаменов ОГЭ 2019
      • Отзывы с экзамена по русскому языку ОГЭ 2018
      • Открытый банк заданий и ответы ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку 11 класс
      • Официальные работы РДР 2019-2020 для 78 региона
        • РДР 2020 по математике 11 класс задания и ответы 2 варианта ИС «Знак»
        • РДР 2020 по математике 9 класс задания, ответы и критерии
      • Официальные работы РДР для 78 региона 2018-2019 учебный год
      • Официальные РДР 2020 для Московской области задания и ответы
      • Официальные РДР 2021 для Московской области задания и ответы
      • Официальные РДР 2022 для Московской области задания и ответы
      • Официальные темы для Республика Саха (Якутия) Сахалинская область итоговое сочинение 2018-2019
      • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+1
      • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+6
      • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса МСК
      • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK +9
      • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK+7
      • Оформление заказа
      • Пегас 2018 задания и ответы 7 февраля конкурс по литературе
      • Пегас 2019 5-6 класс ответы и задания
      • Пегас 2019 7-8 класс ответы и задания
      • Пегас 2019 ответы для 9-11 класса
      • Письмо английский язык 7 8 9 класс 56 регион ответы и задания
      • Платно русский язык 9 класс
      • Поддержать проект
      • Полугодовая контрольная работа по русскому языку 11 класс задания и ответы 2019-2020
      • ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ
      • Предэкзаменационная работа задания и ответы по информатике 9 класс ОГЭ 2019
      • Предэкзаменационная работа задания и ответы по математике 11 класс ЕГЭ 2019
      • Пригласительный школьный этап 2021 всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
      • Пробная (тренировочная) ВПР 2019 география 10-11 класс ответы и задания
      • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 биология 11 класс ответы и задания
      • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 география 6 класс ответы и задания
      • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 математика 7 класс ответы и задания
      • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 4 класс ответы и задания
      • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 5 класс ответы и задания
      • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 6 класс ответы и задания
      • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 11 класс
      • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 5 класс
      • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 7 класс
      • Пробное ВПР 2019 по истории 5 класс ответы и задания
      • Пробное ВПР 2019 по истории 6 класс ответы и задания
      • Пробное ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания
      • Пробное Итоговое собеседование 9 класс русский язык ОГЭ 2019 задания
      • Пробный экзамен по обществознанию и литературе для 11 классов ответы
      • Проект математическая вертикаль ответы и задания
      • Работа по математике 11 класс статград ответы и задания 25 сентября 2019
      • Работа статград по русскому языку 9 класс 3 декабря 2019 ответы и задания
      • Работы (задания+ответы) для Республики Коми Март 2017
      • Работы (задания+ответы) Март 2017 СтатГрад
      • Работы (задания+ответы) Февраль 2017
      • Работы (задания+ответы) Январь 2017
      • Работы 56 регион ответы и задания май 2019 год
      • Работы для 56 региона Май 2018 ответы и задания
      • Работы для Оренбургской области
      • Работы для Республики Коми Декабрь 2017 задания и ответы
      • Работы для Республики Коми Ноябрь 2017 задания и ответы
      • Работы для Республики Коми Октябрь 2017 задания и ответы
      • Работы задания и ответы по регионам
      • Работы МЦКО демоверсии задания и ответы
      • Работы СтатГрад 2018 февраль задания и ответы
      • Работы СтатГрад апрель 2018 задания и ответы
      • Работы Статград ВПР задания и ответы февраль 2019
      • Работы статград ВПР март 2019 задания и ответы
      • Работы СтатГрад декабрь 2017 задания и ответы
      • Работы статград декабрь 2018-2019 ответы и задания
      • Работы статград декабрь 2019 задания и ответы 2019-2020 учебный год
      • Работы статград задания и ответы ноябрь 2019-2020 учебный год
      • Работы СтатГрад задания и ответы октябрь 2018
      • Работы статград задания и ответы октябрь 2019-2020 учебный год
      • Работы СтатГрад задания и ответы сентябрь 2018
      • Работы СтатГрад март 2018 задания и ответы
      • Работы СтатГрад ноябрь 2017 задания и ответы
      • Работы СтатГрад октябрь 2017 задания и ответы
      • Работы СтатГрад сентябрь 2017 задания и ответы
      • Работы статград сентябрь 2019 год ответы и задания
      • Работы СтатГрад январь 2018 задания и ответы
      • Работы статград январь 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
      • Работы СтатГрад, КДР за апрель 2017
      • Работы СтатГрад, КДР за май 2017
      • Работы СтатГрад, КДР за март 2017
      • Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за февраль 2017
      • Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за январь 2017
      • Рабочая программа по окружающему миру ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
      • Рабочая программа по чтению ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
      • Рабочие программы по английскому языку ФГОС с 2 по 11 класс на 2022-2023
      • Рабочие программы ФГОС на 2022-2023 учебный год для 1-11 класса
        • Рабочая программа по информатике ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
        • Рабочие программы 7 класс по ФГОС на 2022-2023 год
        • Рабочие программы для 10 класса ФГОС на 2022-2023
        • Рабочие программы по ОБЖ ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
      • Расписание
        • ЕГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов от Рособрнадзора
        • ЕГЭ и ОГЭ 2020 год официальное расписание экзаменов у 9 и 11 класса
        • ОГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов у 9 класса
        • Официальное расписание ЕГЭ 2019 11 класс основной досрочный этап
        • Расписание муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников в Санкт-Петербурге 2018-2019
        • Расписание работ КДР 2019
        • Расписание РДР 2020-2021 для 58 региона задания и ответы Пензенская область
        • Расписание РПР 2018-2019 для 26 региона
      • Расписание ГИА ОГЭ 2017
      • Расписание ЕГЭ 2018 досрочный основной резервный период
      • Расписание итогового сочинения 2017-2018
      • Расписание проведения экзаменов 9 класса ОГЭ 2018
      • Расписание школьных олимпиад 2017-2018 задания и ответы
      • Распределения реальных тем итогового сочинения 2017-2018 по зонам регионам
      • РДР 2019-2020 по физике 10 класс ответы и задания
      • РДР 8 класс ответы и задания по математике 15 ноября 2018
      • РДР математика 10 класс 14 ноября 2019 ответы и задания
      • РДР математика 6 класс ответы и задания 21 ноября 2019 78 регион
      • РДР ответы и задания для Санкт-Петербурга
        • Официальные работы РДР для 78 региона задания и ответы 2020-2021 учебный год
      • РДР по русскому языку 9 класс ответы и задания вариант 1901 и 1902 17 октября 2019
      • Реальное ВПР 2020 задание 1 по биологии 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание 2 по биологии 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №10 по биологии 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №12 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №3 по биологии 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №4 по биологии 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №5 по биологии 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №6 по биологии 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №6 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №7 по биологии 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальное ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 5 класс с ответами
      • Реальные задания по математике ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2018
      • Реальные темы и готовые сочинения 4 декабря 2019 ФИПИ для региона МСК+9
      • Реальные темы итогового сочинения 2018-2019 5 декабря
      • Реальный вариант с ЕГЭ 2019 по математике 29 мая 2019 год
      • Региональный экзамен по математике 7 класс
      • Региональный экзамен по математике 7 класс 56 регион ответы и задания
      • Региональный экзамен по русскому языку 8 класс 56 регион
      • Региональный этап 2019 по астрономии задания и ответы всероссийская олимпиада
      • Региональный этап 2019 по географии ответы и задания ВОШ
      • Региональный этап 2019 по искусству МХК ответы и задания ВОШ
      • Региональный этап 2019 по истории задания и ответы всероссийская олимпиада
      • Региональный этап 2019 по немецкому языку задания и ответы
      • Региональный этап по биологии задания всероссийская олимпиада 2018-2019
      • Региональный этап по математике ответы и задания 2019
      • Результаты ЕГЭ 2017 у школьников
      • Решать реальное ВПР 2020 задание №8 по биологии 5 класс с ответами
      • Решать реальное ВПР 2020 задание №9 по биологии 5 класс с ответами
      • Решения и задания муниципального этапа 2019 олимпиады по математике
      • РПР 2017-2021 задания и ответы для Саратовской области 64 регион
      • РПР математика 9 класс 3 этап задания и ответы 2018-2019
      • РПР по математике 9 класс 64 регион задания 2018-2019
      • Русский медвежонок 10-11 класс ответы и задания 2018-2019
      • Русский медвежонок 14 ноября 2019 ответы и задания 6-7 класс
      • Русский медвежонок 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
      • Русский медвежонок 2019 ответы и задания для 10-11 класса 14 ноября
      • Русский Медвежонок 2019 ответы и задания для 2-3 класса
      • Русский медвежонок 2019-2020 ответы и задания 8-9 класс 14 ноября
      • Русский медвежонок 4-5 класс ответы и задания 2018-2019
      • Русский медвежонок для учителей 2020 год задания и ответы
      • Русский язык 10 класс КДР ответы и задания
      • Русский язык 10 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
      • Русский язык 10 класс ответы и задания 56 регион
      • Русский язык 10 класс ответы МЦКО 8 ноября 2018 год
      • Русский язык 10 класс СтатГрад ответы 12. 05
      • Русский язык 10-11 класс ответы и задания 22 апреля 2019 тренировочная №1
      • Русский язык 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
      • Русский язык 10-11 класс ответы РЯ10901 и РЯ10902 6 марта 2019
      • Русский язык 11 класс 03.06.2019
      • Русский язык 11 класс 11 ноября 2019 ответы и задания работа статград
      • Русский язык 11 класс 56 регион ответы
      • Русский язык 11 класс диагностическая работа №5 ответы и задания 8 апреля 2019
      • Русский язык 11 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
      • Русский язык 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2 варианта задания и ответы
      • Русский язык 11 класс мониторинговая работа ответы и задания
      • Русский язык 11 класс ответы и задания диагностика 2 статград 18 марта 2019
      • Русский язык 11 класс ответы и задания СтатГрад 17.05
      • Русский язык 11 класс ответы РЯ10601 и РЯ10602 статград 2018-2019
      • Русский язык 11 класс ответы статград 30 января 2019
      • Русский язык 11 класс РЯ1910701-РЯ1910702 статград ответы и задания 11 декабря 2019
      • Русский язык 11 класс статград 24 октября 2019 ответы и задания РЯ1910601-02
      • Русский язык 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
      • Русский язык 11 класс СТАТГРАД ответы и задания 28 февраля
      • Русский язык 11 класс статград ответы и задания вариант РЯ10201 и РЯ10202 07. 11.2018
      • Русский язык 11 класс тренировочная работа №1 ответы статград 2018-2019
      • Русский язык 3 класс МЦКО ВСОКО задания итоговая работа 2019
      • Русский язык 4 класс ВПР 2020 демоверсия задания и ответы ФИПИ
      • Русский язык 4 класс задания и ответы мониторинговая работа 2019-2020
      • Русский язык 5 класс демоверсия ВПР 2020 ФИПИ задания и ответы
      • Русский язык 5 класс ответы и задания 21.09
      • Русский язык 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • Русский язык 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
      • Русский язык 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
      • Русский язык 6 класс статград ответы и задания 2018-2019
      • Русский язык 7 класс 56 регион ответы
      • Русский язык 7 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
      • Русский язык 7 класс задания и ответы мониторинговая работа 10 сентября 2019
      • Русский язык 7 класс ответы и задания РУ1970101 и РУ1970102 26 сентября 2019
      • Русский язык 7 класс ответы и задания статград 2018-2019
      • Русский язык 7 класс статград ответы и задания
      • Русский язык 7-8 класс ответы КДР 23 января 2019
      • Русский язык 8 класс 56 регион задания и ответы
      • Русский язык 8 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
      • Русский язык 8 класс ответы и задания 56 регион
      • Русский язык 8 класс ответы и задания 6 мая 2019 итоговая работа
      • Русский язык 8 класс стартовая работа ответы и задания 24. 09
      • Русский язык 8 класс статград ответы и задания
      • Русский язык 9 класс 11.05 ответы
      • Русский язык 9 класс 74 регион ответы
      • Русский язык 9 класс ответы и задания 19 апреля 2019 диагностическая работа №4
      • Русский язык 9 класс ответы и задания варианты 13 мая 2019 год
      • Русский язык 9 класс ответы и задания диагностика статград 15 марта 2019
      • Русский язык 9 класс ответы и задания полугодовая работа 2018-2019
      • Русский язык 9 класс ответы изложение статград 2018-2019
      • Русский язык 9 класс СтатГрад 17.04
      • Русский язык 9 класс СтатГрад задания и ответы
      • Русский язык 9 класс статград ОГЭ ответы и задания 15 марта 2018
      • Русский язык 9 класс СТАТГРАД ответы и задания
      • Русский язык 9 класс статград РЯ90201-РЯ90202 ответы и задания 27.11.
      • Русский язык платно
      • Русский язык школьный этап 2018-2019 ответы и задания Санкт-Петербург
      • Русский язык школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
      • РЭ по математике 7 класс 24. 05 ответы
      • РЭ по русскому языку 7 класс ответы 19.05
      • РЭ по русскому языку 8 класс ответы 24.05
      • СтатГрад
        • Задания и ответы работы СТАТГРАД ВПР март 2020
        • Работы статград апрель 2021 год задания ответы и решения
        • Работы статград апрель 2022 год варианты ответы и решения
        • Работы статград декабрь 2020 год задания ответы и решения
        • Работы статград декабрь 2021 год задания ответы и решения
        • Работы статград задания и ответы апрель 2020 год
        • Работы статград май 2020 год задания, ответы, решения
        • Работы статград май 2021 год задания ответы и решения
        • Работы статград май 2022 год варианты ответы и решения
        • Работы статград март 2021 год задания ответы и решения
        • Работы статград март 2022 год задания ответы и решения
        • Работы статград ноябрь 2020 год задания, ответы и решения
        • Работы статград ноябрь 2021 год задания ответы и решения
        • Работы статград октябрь 2020 год задания, ответы и решения
        • Работы статград октябрь 2021 год задания ответы и решения
        • Работы статград сентябрь 2020 год задания, ответы и решения
        • Работы статград сентябрь 2021 год задания ответы и решения
        • Работы статград сентябрь 2022 год варианты ответы и решения
        • Работы статград февраль 2021 год задания ответы и решения
        • Работы статград февраль 2022 год задания ответы и решения
        • Работы статград январь 2021 год задания ответы и решения
        • Работы статград январь 2022 год задания ответы и решения
      • Статград 9 класс русский язык ответы и задания 21. 12.2018
      • СтатГрад апрель 2017 работы задания и ответы
      • СтатГрад биология 11 класс 14.04.17
      • Статград ВПР работы апрель 2019 ответы и задания
      • СТАТГРАД ВПР февраль 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
      • Статград география 11 класс ответы и задания март 2018
      • Статград география 9 класс ответы и задания 20 ноября 2018
      • СтатГрад задания и ответы по обществознанию 11 класс 1 февраля 2018 года
      • Статград задания и ответы январь 2018-2019
      • Статград информатика 9 класс 27 ноября 2019 ответы и задания ИН1990201-ИН1990204
      • СтатГрад информатика 9 класс ответы и задания 5 марта 2018
      • Статград история 11 класс 2 варианта ответы и задания 12 марта 2018
      • СтатГрад май 2017 работы задания и ответы
      • СтатГрад математика 11 класс ответы и задания 6 марта 2018
      • Статград Обществознание 11 класс ответы и задания
      • Статград обществознание 9 класс ответы и задания 13 марта 2018
      • СтатГрад обществознание 9 класс ответы и задания 17. 05
      • СтатГрад ответы и задания для работ ноябрь 2018
      • СтатГрад ответы и задания по математике 10 класс База и Профиль 7 февраля 2018
      • СтатГрад ответы и задания по русскому языку 11 класс 6 февраля 2018
      • Статград ответы русский язык 11 класс 19.12.2018
      • СтатГрад по математике для 11 классов
      • Статград работы май 2018 ответы и задания
      • Статград работы ответы и задания май 2019
      • СтатГрад русский язык диагностические работы 2017 задания и ответы
      • Темы итогового сочинения 2017
      • Темы на пробное итоговое сочинение для 52 региона
      • Темы по направлениям которые будут итоговое сочинение 2018 6 декабря
      • Тест по русскому языку 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
      • Тренировочная работа по биологии 11 класс
      • Тренировочная работа по биологии 9 класс ответы и задания 15 января 2019
      • Тренировочная работа по информатике 11 класс
      • Тренировочная работа по информатике 9 класс ответы
      • Тренировочная работа по математике 10 класс ответы 6 февраля 2019
      • Тренировочная работа по математике 11 класс ответы 06. 03
      • Тренировочная работа по химии 11 класс ответы 8 февраля 2019
      • Тренировочная работа статград по географии 11 класс ответы 15.02.2019
      • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 7 класс
      • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 6 класс
      • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по истории 11 класс
      • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по математике 6 класс
      • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по физике 11 класс
      • Тренировочные варианты 200203, 200217, 200302 по химии 11 класс с ответами 2020
      • Тренировочные варианты ВПР 2020 по химии 8 класс ХИ1980101,ХИ1980102
      • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по биологии задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по обществознанию 11 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по русскому языку задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ по английскому языку 11 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ по географии 11 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ по информатике задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ по истории 11 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ по литературе 11 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ по физике 11 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ЕГЭ по химии 11 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты КДР 10 класс обществознание 2019
      • Тренировочные варианты ОГЭ по английскому языку 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ОГЭ по биологии 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ОГЭ по географии 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ОГЭ по информатике 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ОГЭ по истории 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ОГЭ по обществознанию 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ОГЭ по русскому языку 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ОГЭ по физике 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты ОГЭ по химии 9 класс задания с ответами
      • Тренировочные варианты по биологии 10 класс задания с ответами
      • Тренировочные задания МЦКО ВСОКО математика 3 класс 2019
      • Тренировочные работы для 56 региона задания и ответы сентябрь 2018
      • Тренировочные работы для 56 региона Оренбургской области задания и ответы
      • Тренировочные работы по математике статград 2017 задания и ответы
      • Тренировочный вариант 33006757 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант 33006758 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант 33006759 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073002 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073003 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073004 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073005 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073006 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073007 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073008 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073009 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073010 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073011 по математике профильный уровень с ответами
      • Тренировочный вариант с ответами 200316 по физике 11 класс ЕГЭ 2020
      • Тренировочный варианты №191223 и №191209 по химии 11 класс ЕГЭ 2020
      • Тренировочный ЕГЭ 2020 математика 11 класс профиль задания и ответы
      • Турнир ЛОМОНОСОВ задания и ответы 2018-2019
      • Турнир Ломоносова задания и ответы 2019-2020 учебный год
        • 09. 03.2020 XLII Заключительный тур Ломоносова по биологии задания и ответы
        • 09.03.2020 Заключительный тур Ломоносова по астрономии задания и ответы
        • 29.09.2019 Задания и ответы по астрономии 42 турнир М.В.Ломоносова
        • 29.09.2019 Задания и ответы по биологии 42 турнир М.В. Ломоносова
        • 29.09.2019 Задания и ответы по истории 42 турнир М.В. Ломоносова
        • 29.09.2019 Задания и ответы по лингвистике 42 турнир М.В. Ломоносова
        • 29.09.2019 Задания и ответы по литературе 42 турнир М.В. Ломоносова
        • 29.09.2019 Задания и ответы по математике 42 турнир М.В. Ломоносова
        • 29.09.2019 Задания и ответы по физике 42 турнир М.В. Ломоносова
        • 29.09.2019 Задания и ответы по химии 42 турнир М.В. Ломоносова
        • Ответы и задания по истории XLII заключительный тур Ломоносова 9 марта 2020
        • Ответы и задания по лингвистике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
        • Ответы и задания по литературе XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
        • Ответы и задания по математике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
        • Ответы и задания по физике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
        • Ответы и задания по химии XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
      • Условия перепечатки материалов | Правообладателям
      • Устная часть английский язык 2018 платно
      • Устное собеседование 2019 официальные варианты 13 февраля
      • Устное собеседование 9 класс 2019
      • Физика 11 класс 7 ноября 2019 статград ответы и задания варианты ФИ1910201-ФИ1910204
      • Физика 11 класс ВПР ответы 25. 04
      • Физика 11 класс ответы и задания 6 мая 2019 тренировочная работа №5
      • Физика 11 класс ответы и задания пробник статград 14 февраля 2018
      • Физика 11 класс ответы и задания статград 2018
      • Физика 11 класс ответы и задания ФИ1910101 ФИ1910102 19 сентября 2019
      • Физика 11 класс СтатГрад ответы и задания
      • Физика 11 класс тренировочная ЕГЭ №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
      • Физика 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
      • Физика 9 класс задания и ответы СтатГрад
      • Физика 9 класс ответы и задания ФИ90101 и ФИ90102 статград 2018-2019
      • Физика 9 класс ответы и задания ФИ90401 ФИ90402 статград
      • Физика 9 класс СтатГрад 03.05 ответы
      • Физика 9 класс статград ответы и задания 10 декабря 2019 варианты ФИ1990201-ФИ1990204
      • Физика ОГЭ 2018 ответы и задания 2 июня
      • Физика ОГЭ 2018 платно
      • Физика турнир Ломоносова задания 2018-2019
      • Физическая культура 10 ноября задания муниципальный этап всероссийская олимпиада 2018-2019
      • ФИПИ открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по русскому языку Лексика и фразеология
      • Французский язык 7-11 класс муниципальный этап 2019-2020 ответы и задания Москва
      • Химия 11 класс 10. 05 СтатГрад ответы
      • Химия 11 класс ВПР 27.04 задания и ответы
      • Химия 11 класс ЕГЭ статград ответы и задания 14 марта 2018
      • Химия 11 класс ответы для ХИ10101 ХИ10102 статград 19.10
      • Химия 11 класс ответы и задания 28 ноября 2019 статград ХИ1910201-ХИ1910204
      • Химия 11 класс ответы и задания варианты статград 13 мая 2019 год
      • Химия 11 класс ответы и задания СтатГрад 9 февраля 2018 года
      • Химия 11 класс СтатГрад задания и ответы
      • Химия 9 класс задания и ответы СтатГрад
      • Химия 9 класс КДР ответы и задания 15 февраля 2018 года
      • Химия 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
      • Химия 9 класс ОГЭ статград ответы и задания 15 февраля 2018
      • Химия 9 класс ответы и задания 16.05
      • Химия 9 класс ответы и задания ОГЭ статград 22.03.2018
      • Химия 9 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
      • Химия 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
      • Химия ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
      • Химия ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
      • Частная группа
      • ЧИП Австралия 23 октября 2019 ответы и задания 7-8 класс
      • ЧИП Австралия 3-4 класс ответы и задания 23 октября 2019-2020
      • ЧИП Австралия ответы и задания 5-6 класс 23 октября 2019-2020
      • ЧИП мир сказок 2019 ответы и задания для 1 класса 5-7 лет
      • Читательская грамотность 4 класс МЦКО 2019 тестирование
      • Чтение читательская грамотность 3 класс МЦКО ВСОКО задания 2019
      • Школьные конкурсы расписание 2017-2018
      • Школьные олимпиады и конкурсы 2017-2018 задания и ответы
      • Школьный тур наше наследие 7-8 класс ответы и задания 2019-2020
      • Школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада по астрономии ответы и задания
      • Школьный этап 2019-2020 олимпиады ВОШ по физике ответы и задания
      • Школьный этап 2019-2020 по биологии ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
      • Школьный этап 2019-2020 по испанскому языку ответы и задания всероссийской олимпиады
      • Школьный этап 2019-2020 по праву задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников
      • Школьный этап 2019-2020 по праву ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
      • Школьный этап 2019-2020 по русскому языку ответы и задания всероссийская олимпиада школьников
      • Школьный этап ВОШ 2019-2020 ответы и задания по французскому языку
      • Школьный этап ВОШ по информатике ответы и задания 2018-2019
      • Школьный этап ВОШ по испанскому языку ответы и задания 2018-2019
      • Школьный этап ВОШ по математике задания и ответы 2018-2019
      • Школьный этап ВСЕРОССИЙСКИХ олимпиад 2017-2018 задания
      • Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по обществознанию 2019-2020 учебный год
      • Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по физической культуре 2019-2020
      • Школьный этап ВсОШ 2019-2020 ответы и задания по обществознанию
      • Школьный этап олимпиады по информатике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
      • Школьный этап олимпиады по математике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
      • Школьный этап олимпиады по экономике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
      • Школьный этап по английскому языку 2019-2020 задания и ответы московская область
      • Школьный этап по ОБЖ задания и ответы всероссийская олимпиада 2019-2020
      • Экзамен по географии ОГЭ 2019
      • Экономика олимпиада муниципальный этап 2019 ВсОШ задания и ответы

      3-8
      9 Оценить квадратный корень из 12
      10 Оценить квадратный корень из 20
      11 Оценить квадратный корень из 50 94
      18 Оценить квадратный корень из 45
      19 Оценить квадратный корень из 32
      20 Оценить квадратный корень из 18 93
      6 Решить для ? cos(x)=1/2
      7 Найти x sin(x)=-1/2
      8 Преобразование градусов в радианы 225
      9 Решить для ? cos(x)=(квадратный корень из 2)/2
      10 Найти x cos(x)=(квадратный корень из 3)/2
      11 Найти x sin(x)=(квадратный корень из 3)/2 92=9
      14 Преобразование градусов в радианы 120 градусов
      15 Преобразование градусов в радианы 180
      16 Найти точное значение желтовато-коричневый(195)
      38 Найти точное значение грех(255)
      39 Оценить лог база 27 из 36
      40 Преобразовать из радианов в градусы 2 шт.
      43 Найти x tan(x)+ квадратный корень из 3=0
      44 Найти x sin(2x)+cos(x)=0
      45 Упростить (1-cos(x))(1+cos(x))
      59 График f(x)=- натуральный логарифм x-1+3
      60 Найдите значение с помощью единичного круга угловой синус(-1/2)
      61 Найти домен квадратный корень из 36-4x^2 92=0
      66 Найти x cos(2x)=(квадратный корень из 2)/2
      67 График у=3
      68 График f(x)=- логарифмическая база 3 x-1+3 92
      71 Найти x квадратный корень из x+4+ квадратный корень из x-1=5
      72 Решить для ? cos(2x)=-1/2
      73 Найти x логарифмическая база x из 16=4
      75 Упростить (cos(x))/(1-sin(x))+(1-sin(x))/(cos(x))
      76 Упростить сек(х)sin(х)
      77 Упростить кубический корень из 24 кубический корень из 18
      96 Найти x 3x+2=(5x-11)/(8г)
      97 Решить для ? sin(2x)=-1/2
      98 Найти x (2x-1)/(x+2)=4/5 92+n-72)=1/(n+9)

      Составление сложных функций: пояснительные примеры

      Наборы точекФункции в точкахФункции в функцииСлова ProbsОбратные функции

      Purplemath

      Область определения функции — это множество значений, которые являются допустимыми входными данными. Для полиномиальной функции домен всегда будет «все x «; для рациональной функции доменом будут все значения x , которые не вызывают деления на ноль; для радикальной функции с четным индексом (то есть для квадратного корня, или корня четвертой степени, или корня шестой степени и т. д.), домен будет равен всем x — значения, которые не помещают отрицательное значение в радикал.

      При составлении функций иногда выходные данные одной функции могут создавать проблемы в качестве входных данных для другой функции.

      Содержание продолжается ниже

      MathHelp.com

      Составные функции

      В результате иногда приходится быть осторожным с доменами и диапазонами составных функций. А домены и диапазоны композиций — это область, которая может генерировать «каверзные» вопросы для следующего экзамена. (Справедливое предупреждение: вы должны ожидать хотя бы один из этих вопросов с подвохом на следующем экзамене.)

      Какой пример нахождения области определения композиции функции?

      • Given f ( x ) = √( x ) and g ( x ) =  x  − 2, find the domain of ( f  ∘  g )( х ).

      Поскольку f ( x ) содержит квадратный корень, входные данные должны быть неотрицательными. Это означает, что домен (то есть набор x -значения) для f ( x ) равно «все x  ≥ 0″. Затем в ( g  ∘ f )( x ), где я сначала подставляю x к f ( x ) = √( x ), домен равен не менее ограничено «все  x  ≥ 0″.

      Посмотрим, как выглядит композиция:

      ( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x ))
          = f ( x − 2)
          = √(       )
          = √( x − 2)

      Область определения квадратного корня – это все входные данные, которые делают » x  — 2″ неотрицательными; то есть все x такие, что x  − 2 ≥ 0. Решая это для x , я получаю область ( f  ∘ g )( x ) как «все  ≥ 2″. И это мой ответ.

      Домен ( F & COMPFN; G ) ( x ): x ≥ 2

      • , данный F ( x
      • . x ) =  x  − 2, найдите область значений ( g  ∘  f )( x ).

      В этом упражнении композиция работает в другом порядке.

      ( г ∘ f )( x ) = г ( f ( x ))
          = г (√( x ))
          = (        ) − 2
          = (√( x )) — 2
          = √( x ) − 2

      Домен для этого — все входные данные, определяющие квадратный корень. Поскольку внутри квадратного корня только « x «, мой ответ:

      домен из ( г ∘ f )( x ):    x  ≥ 0

      Если ваши исходные функции представляют собой просто старые многочлены, то их домены — «все x «, и поэтому они будут доменом композиции функций . Только в том случае, если вы имеете дело с рациональными функциями со знаменателем (где вы не можете делить на ноль) или радикальными функциями с четным индексом, такими как квадратные корни (где вы не можете иметь отрицательное значение), домен когда-либо становится проблемой. .

      Вы можете использовать приведенный ниже виджет Mathway, чтобы попрактиковаться в поиске области определения составных функций. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку и выберите «Найти домен», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите ниже.)

      Пожалуйста, примите «предпочтительные» файлы cookie, чтобы включить этот виджет.

      (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

      Пока что мы взяли две функции и скомпоновали их вместе. Иногда они захотят, чтобы вы пошли другим путем и попытались разложить функцию на две или более функций, которые могли быть составлены для получения этой функции. Обычно довольно очевидно, какие функции они имели в виду, когда писали упражнения. Любой ответ, который вы придумаете — конечно, любой ответ, который работает — должен быть приемлемым решением.

      Какой пример разделения функции на две другие функции?

      • Дано H ( x ) = ( x +1) 2 +2 ( x +1) — 3, определить две функции F (+1) — 3, определить две функции F ( x) — 3, определить две функции F ( x) — 3, определить две функции F (+1) — 3, определить две функции F (+1) — 3, определите две функции F (+1) — ( x ), которые при составлении генерируют ч ( x ).

      Меня просят замечать закономерности и выяснять, что могло быть помещено внутрь чего-то другого. Поскольку они не умножали значения, а вместо этого оставляли скобки, довольно легко увидеть, какие две функции они имеют в виду.

      По форме эта функция похожа на квадратичную x 2  + 2 x  − 3. Но вместо возведения в квадрат x они возводят в квадрат x  + 1; вместо умножения x на 2 они умножают x + 1 на 2.

      Другими словами, это квадратное выражение, в которое они подставили линейное выражение x + 1. Итак, я сделаем г ( x ) = x + 1, а затем подключим эту функцию к F ( x ) = x 2 +2 x — 3. Я проверю, что я получу правильный результат:

      ( F & Compfn; G

      ) ( F & Compfn; G ) ( F & Compfn; G

      ) ( F & Compfn; G

      ) х )
          = f ( г ( x ))
          = f ( x + 1)
          = (       ) 2 + 2(       ) − 3
          = ( x + 1) 2 + 2( x + 1) − 3

      Это подтверждает правильность моего выбора функций; при составлении они возвращают требуемую функцию. Вот мой ответ:

      f ( x ) = x 2 + 2 x — 3
      г( х ) = х + 1

      Может ли быть более одного набора функций, составляющих одну и ту же вещь?

      Хотя обычно довольно ясно, какие две функции были составлены для получения результата «Разложить эту функцию», ничто не говорит о том, что обязательно должен быть только один набор функций, которые были составлены. Любая пара функций, дающая правильный результат, будет действительным математическим ответом и должна быть принята оценщиком как правильное решение.

      В предыдущем упражнении я упомянул тот факт, что автор этого упражнения не умножил числа, что значительно облегчило мне жизнь. Но я могу найти и другие решения, особенно если я буду умножать и упрощать. То, что они мне дали, упрощается следующим образом:

      h ( x ) = x 2 + 4 x

      Есть ли способ разложить это? Конечно! Вот дополнительный набор функций:

      f ( x ) = х + 1
      g ( x ) = x 2 + 4 x — 1

      Теперь я составлю их, чтобы доказать, что они дают ч ( x 1616161616: ). f ∘ g )( x ) = f ( x 2 + 4 x — 1)
          = ( x 2 + 4 x — 1) + 1
          = ( x 2 + 4 x ) — 1 + 1
          = x 2 + 4 x

      Это то же самое, что они дали мне в первую очередь; это выглядит по-другому, потому что я только что сочинил, чтобы получить упрощенную форму, тогда как мне дали совсем-совсем не упрощенную форму. Пока вы показываете все свои шаги и рассуждения (в данном случае, умножая то, что они мне дали, вместо этого упрощая и работая с этим результатом), вы должны получить полную оценку.

      • Учитывая h ( x ) = √(4  x  + 1), определите две функции f ( x ) и g , которые образуют ( x ) ч ( х ).

      Квадратный корень находится «на» (или «вокруг») полиномиального выражения 4 x  + 1″. Это дает очевидное решение: поместите 4 x  + 1 внутрь квадратного корня.

      I’ Буду использовать следующие функции:

      ж ( х ) = √( х )
      G ( x ) = 4 x + 1

      I может составить, чтобы проверить, будут ли эти две функции работать:

      F ( G ( x ) ( G ( x ). 4 х + 1)
          = √(4 x + 1) = ч ( x )

      Это подтверждает, что мои две функции работают. Так что мой ответ:

      г ( х ) = 4 х + 1
      f ( x ) = √( x )

      URL: https://www.purplemath.com/modules/fcncomp4.htm

      Page 1Page 2Page 3Page 5Page 6

      math — Is there сокращение для n-го корня x в Python?

      спросил

      Изменено 7 месяцев назад

      Просмотрено 102 тысячи раз

      В математике, если я хочу возвести 3 в степень 2, тогда никакого символа не требуется, но я пишу 2 маленькими буквами: 3² . В Python эта операция представляется синтаксисом ** .

       >>> 3**2
9

      Если я хочу пойти в другом направлении и вычислить второй корень из 9, то в математике мне нужно использовать символ: 2√9 = 3

      Есть ли в Python сокращенный символ, похожий на 9(1/n) , поэтому вы можете сделать 9**(1/2) , чтобы найти, например, второй корень из 9. В общем, вы можете вычислить n-й корень x как:

       x**(1/n)

      Примечание . В Python 2 вам нужно было выполнить 1/float(n) или 1.0/n , чтобы результатом было float , а не int . Дополнительные сведения см. в разделе Почему Python дает «неправильный» ответ на квадратный корень?

      0

      Вы также можете использовать некоторые логарифмы:

      N-й корень из x :

       exp(log(x)/n)

      Например:

       >>> from math import exp, log
>>> х = 8
>>> п = 3
>>> ехр(лог(х)/n)
2. 0

      0

      Также: x**(n**-1) , что то же самое, но короче, чем x**(1/float(n))

      1

      Если вы предпочитаете применять эту операцию функционально, а не с помощью инфиксного оператора (символ ** ), вы можете передать основание и показатель степени в качестве аргументов функции pow :

       В [23]: (9 **(0,5)) == pow(9, 0,5)
Исход[23]: Верно

      Мне также нравится находить новые применения для этого хака Infix в Python, хотя это скорее забавное решение, чем тяжелое решение. Но вы могли бы эффективно создать свой собственный символ для этого, выполнив следующие действия:

       класс Инфикс:
    def __init__(я, функция):
        self.function = функция
    def __ror__(я, другой):
        return Infix(лямбда x, self=self, other=other: self.function(other, x))
    def __or__(я, другой):
        вернуть self. function(другое)
    def __rlshift__(я, другой):
        return Infix(лямбда x, self=self, other=other: self.function(other, x))
    def __rshift__(я, другой):
        вернуть self.function(другое)
    def __call__(я, значение1, значение2):
        вернуть self.function (значение1, значение2)
root_of = Infix(лямбда x,y: y**(1.0/x))
напечатать 2 |root_of| 93.0

      1

      Есть. Это просто ** =)

      Любой корень n-й степени является возведением в степень 1/n , поэтому, чтобы получить квадратный корень из 9, вы используете 9**(1/2) (или 9** 0,5 ), чтобы получить кубический корень, вы используете 9 ** (1/3) (которое мы не можем записать более простой дробью), а чтобы получить корень n-й степени, 9 ** (1/n) .

      Также обратите внимание, что начиная с Python 3 добавление точек к целым числам, чтобы сделать их плавающими, больше не требуется. Высказывание 9.5 

       >>>9**.5
3.0

      Вы должны сделать

       16**(0,5) #Если вы напечатаете это, вы получите 4, Таким образом, вы можете использовать эту формулу.

      3

       по определению nthrootofm(a,n):
    вернуть pow(a,(1/n))
а=81
п=4
q=nthrootofm(a,n)
распечатать (к)

      Функция pow() принимает два параметра.

      Твой ответ

      г.

      Зарегистрируйтесь или войдите в систему

      Зарегистрируйтесь с помощью Google

      Зарегистрироваться через Facebook

      Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

      Опубликовать как гость

      Электронная почта

      Обязательно, но не отображается

      Опубликовать как гость

      Электронная почта

      Требуется, но не отображается

      Упрощение радикальных произведений и коэффициентов — Подготовка к оценке TSI

      Обзор радикальных выражений

      Мы начнем обсуждение в этом разделе со следующего: Что такое 7 в квадрате? Ответ, конечно,

      7 2 = 7 · 7 = 49

      Итак, возведя 7 в квадрат, мы получим 49. Теперь мы хотим пойти в противоположном направлении.

      Противоположное (обратное) действие возведения числа в квадрат называется извлечением из его квадратного корня . Например,

      1. квадратный корень из 100 равен 10, потому что 10 2 = 100.
      2. еще один квадратный корень из 100 равен -10, потому что (-10) 2 = 100.

      Пусть c — действительное число. Если а 2 = c , тогда a будет квадратным корнем из c .

      Действительные числа имеют два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Положительный или главный квадратный корень из числа записывается с помощью символа √, а отрицательный квадратный корень из числа из числа записывается с помощью символа –√. Символ √ называется радикальным знаком , и он всегда представляет главный квадратный корень, за исключением того, что √0 = 0.

      Распространенной ошибкой является утверждение, что √64 = ± 8. Это неверно. Правильный ответ √64= 8. Квадратный корень из числа всегда положителен.

      Число внутри подкоренного знака называется подкоренным числом и . Все выражение называется радикалом .

      Пример 1. Найдите квадратный корень.

      Раствор.

      , потому что

      Использование правил произведения и частного для радикалов

      Когда мы сталкиваемся с такой задачей, как √4 , нам нетрудно сказать, что ответ 2 (поскольку 2 × 2 = 4) . Даже такую ​​задачу, как ³√ 27 = 3, легко решить, если мы поймем, что 3 × 3 × 3 = 27,

      Наши проблемы обычно возникают, когда мы либо не можем легко увидеть ответ, либо если число под нашим подкоренным знаком не является идеальным квадратом или идеальным кубом.

      Задача вроде √24 может показаться сложной, потому что нет числа, которое можно умножить само на себя и получить 24. Однако задачу можно упростить. Таким образом, хотя 24 не является идеальным квадратом, его можно разбить на более мелкие части, где одна из этих частей может быть идеальным квадратом. Итак, теперь у нас есть √24 = √ 4 × 6 = √ 4 · √ 6 = 2√ 6 .

      Следующие правила очень помогают упростить радикалы.

      Если n — натуральное число больше 1, а a и b — положительные действительные числа, то

      1. Обратное свойство

      n √ a n = a, если n равно нечетному или

      n √ a n = | и | если п это даже

      2. Правило продукта

      n √ ab = n √ a · n √ b

      3. Частное правило

      Обратите внимание, что иногда мы можем разрешить a или b быть отрицательными, и эти свойства все равно будут работать.

      Также обратите внимание, что, хотя мы можем «разбивать» произведения и частные под радикалом, мы не можем делать то же самое для сумм или разностей. Другими словами,

      И

      5 = √ 25 = √ 9 + 15 ≠ √ 9 + √ 16 = 3 + 4 = 7

      ответы! Так что будьте осторожны, чтобы не совершить эту очень распространенную ошибку!

      Вскоре мы собираемся упрощать радикалы, поэтому нам нужно определить упрощенную радикальную форму . Говорят, что радикал находится в упрощенной радикальной форме (или просто в упрощенной форме), если верно каждое из следующих утверждений.

      1. Все показатели степени в подкоренном члене должны быть меньше индекса.
      2. Любые показатели степени в подкоренном члене не могут иметь общих делителей с индексом.
      3. Под радикалом дроби не появляются.
      4. В знаменателе дроби нет корней.

      Упрощение подкоренного выражения может включать не только числа, но и переменные. Точно так же, как вы могли разбить число на более мелкие части, вы можете сделать то же самое с переменными. Когда радикал представляет собой квадратный корень, вы должны попытаться возвести члены в четную степень (2, 4, 6, 8 и т. д.). Когда радикал представляет собой кубический корень, вы должны попытаться возвести члены в степень три (3, 6, 9)., 12 и др.). Например, = х √ х . Эти типы упрощений с переменными будут полезны при выполнении операций с радикальными выражениями.

      Пример 2. Упростите следующий радикал.

      √ 50

      Раствор.

      √ 50 = √ 25 · 2 = √ 25 · √ 2 = 5 √ 2

      Пример 3. Сократите радикальное выражение до меньших членов.

      Раствор.

      Пример 4. Упростите следующий радикал.

      ∛ 320

      Решение.

      ∛ 320 = ∛ 64 · 5 = ∛ 64 · ∛ 5 = 4 ∛ 51818181818 = 4 ∛ 5181818181818181515151515151518151815181515151518151515181515181515151815151515151515151518. Предположим, что все переменные положительны.

      Раствор.

      В этом случае показатель степени (7) больше, чем индекс (2), поэтому первое правило упрощения нарушается. Чтобы исправить это, мы будем использовать первое и второе свойства радикалов выше. Итак, давайте обратите внимание, что мы можем написать Radicand следующим образом:

      Y 7 = Y 6 Y = ( Y 3 ) 2 2 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333н. у нас есть подкоренное число, записанное как совершенный квадрат, умноженный на член, показатель которого меньше индекса. Тогда радикал становится

      Теперь используйте второе свойство радикалов, чтобы разбить радикал, а затем используйте первое свойство радикалов в первом члене.

      Теперь это удовлетворяет правилам упрощения, и мы закончили.

      Прежде чем двигаться дальше, давайте кратко обсудим, как мы выяснили, как разбить экспоненту. Для этого мы отметили, что индекс равен 2. Затем мы определили наибольшее кратное 2, которое меньше 7, показатель степени подкоренного числа. Это 6. Далее мы заметили, что 7 = 6 + 1,

      Finally, remembering several rules of exponents we can rewrite the radicand as,

      y 7 = y 6 y = y (3)(2) y = ( y 3 ) 2 y

      Пример 6. Упростите следующее. Предположим, что все переменные положительны.

      Раствор.

      Здесь больше одного термина, но все работает точно так же. Мы разобьем подкоренное число на совершенные квадраты, умноженные на члены, показатели которых меньше 2 (, т.е. 1).

      18 x 6 Y 11 = x 6 Y 10 (2 y ) = 10 (2 y ) = 10 (2 y ) = 10 (2 y ) = . у 5 ) 2 (2 у )

      Не забывайте также искать в числе правильные квадраты.

      Теперь вернемся к радикалу и воспользуемся вторым и первым свойством радикалов, как в первом примере.

      Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что второе свойство может быть расширено до такого количества членов, которое имеется в произведении под радикалом. Также не радуйтесь, что в итоговом ответе под радикалом нет x . Иногда это будет происходить.

      Упростить

      Упростить

      Умножить

      0 из 0 правильно.

      Калькулятор дробей


      Этот калькулятор выполняет основные и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.

      Правила выражений с дробями:

      Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.

      Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
      и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
      Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
      Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т.е. 1,45 .

      Математические символы


      Символ Название символа Символ Значение Пример
      + plus sign addition 1/2 + 1/3
      — minus sign subtraction 1 1/2 — 2/3
      * asterisk multiplication 2/3 * 3/4 ​​
      × times sign multiplication 2/3 × 5/6
      : division sign division 91/2
      • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
      • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2
      • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3
      • десятичная дробь: 0,625
      • Преобразование дроби в десятичную: 1/4
      • Преобразование дроби в процент: 1/8 %
      • сравнение дробей: 1/4 2/3
      • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
      • квадратный корень дроби: sqrt(1/16)
      • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
      • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8)
      • составная дробь: 3/4 от 5/7
      • кратные дроби: 2/3 от 3/5
      • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3

      Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
      PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
      BEDMAS — скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
      BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
      GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание.
      MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
      Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.

      • Использование денег
        Из 550 000,00, переданных школе, было использовано 325 000,00. Какая часть от общей суммы была использована?
      • Дети 9
        В комнате 11 детей. 6 детей — девочки. Какую часть детей составляют девочки?
      • Одна суббота
        Однажды субботним вечером в кинотеатре 40 девушек, 25 юношей, 18 женщин и 17 мужчин. Какую часть составляют девочки?
      • В дробях
        Муравей за первый час поднимается на 2/5 шеста, а за следующий час — на 1/4 шеста. Какую часть шеста преодолевает муравей за два часа?
      • У Макса 2
        У Макса 13 пар носков. Отсюда шесть пар синих, три пары коричневых, две черных и две белых. Какая часть носков Макса коричневого или черного цвета?
      • Младенцы
        В автобусе двое взрослых, двое детей и четверо младенцев. Какую часть населения составляют младенцы?
      • Женитьба
        У Марри было 1 1/2 дюжины яиц в холодильнике. Использовала 1/3 яйца. Какая часть яиц использовалась?
      • Вычислить выражение
        Вычислить значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2
      • Ферма 6
        На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме.

        Решение уравнений примеры и решение: Ваш браузер не поддерживается

        alexxlab / / Разное

        Решение линейных уравнений с примерами

        Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

        aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

        Например, все уравнения:

        2х + 3= 7 – 0,5х;  0,3х = 0;  x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

        Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

        Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

        А значение х = 3 не обращает  уравнение  3х + 7 = 13 в верное равенство, так  как  3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

        Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

        aх + b = 0.

        Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

        aх = ‒ b.

        Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

        Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

        Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим 
        3х = 11 – 2.

        Выполним вычитание, тогда
        3х = 9.

        Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть     
        х = 9 : 3.

        Значит, значение х = 3 является  решением или корнем уравнения.

        Ответ: х = 3.

        Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение  0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много  решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения  является любое число.

        Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

        Раскроем скобки:
        5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

        Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
        5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

        Приведем подобные члены:
        0х = 0.

        Ответ: х —  любое число.

        Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение  0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но  b ≠ 0 .

        Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

        Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
        х – х = 5 ‒ 8.

        Приведем подобные члены: 
        0х = ‒ 3.

        Ответ: нет решений.

        На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

        Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

        Пример 4. Пусть надо решить уравнение 

        1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

        2) После сокращения получим
        4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

        3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
        4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

        4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
        4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

        5) Приведем подобные члены:
        ‒ 22х = ‒ 154.

        6) Разделим на  – 22 , Получим
        х = 7.

        Как видим, корень уравнения равен семи.

        Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

        а) привести уравнение к целому виду;

        б) раскрыть скобки;

        в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

        г) привести подобные члены;

        д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

        Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2),  третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

        Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

        Находим неизвестное  х = 1/4 : 2,
        х = 1/8         .

        Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

        Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

        Решение

        2х + 6 = 5 – 6х

        2х + 6х = 5 – 6

        8х = ‒1

        х = ‒1 : 8

        х = ‒ 0, 125

        Ответ: ‒ 0, 125

        Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

        Решение

        – 30 + 18х = 8х – 7

        18х  – 8х =  – 7 +30

        10х = 23

        х = 23 : 10

        х = 2,3

        Ответ: 2,3

        Пример 8. Решите уравнение

         

        Решение:

        3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

        9х – 12 = 28х + 24

        9х – 28х = 24 + 12

        -19х = 36

        х = 36 : (-19)

        х = — 36/19

        Ответ: — . 

        Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 37-х

        Решение

        Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
        то х + 2 = 6.

        Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
        получаем х = 6 – 2, х = 4.

        Если х = 4, тогда
        f(6) = 37-4 = 33 = 27

        Ответ: 27.

        Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

        Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

        © blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

        Урок 49. уравнения. методы решения уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

        Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

        Урок №49. Уравнения. Методы решения уравнений.

        Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

        • Методы решения уравнений.
        • Применение методов решения к уравнениям различного вида.
        • Примеры решения задач государственной итоговой аттестации

        Глоссарий по теме

        Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

        Основная литература

        Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

        Открытые электронные ресурсы:

        Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

        Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

        Теоретический материал для самостоятельного изучения

        Основные методы решения уравнений

        Метод разложения на множители

        Рассмотрим пример.

        Решить уравнение:

        ООУ:

        Преобразуем обе части уравнения

        Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

        или

        Первое уравнение

        имеет множество корней

        Второе уравнение

        равносильно и его корни

        Ответ:

        Метод замены переменной

        Рассмотрим пример.

        ООУ:

        Так как в уравнении присутствует повторяющееся выражение, введем новую переменную

        и получи уравнение

        , корни которого

        Возвращаемся к первоначальной переменной

        или

        Ответ:

        Метод решения однородных уравнений.

        Рассмотрим пример

        Решить уравнение:

        ООУ: x – любое действительное число

        Все слагаемые в правой части уравнения имеют равные степени, поэтому разделим обе части уравнения на и получим

        .

        Решаем полученное уравнение методом замены переменной

        или

        Ответ: 1; 2

        Итак, можно сделать следующие выводы. Наличие в уравнении повторяющихся элементов позволяет сделать предположение, что в его решении можно применить метод замены переменной. Наличие общих множителей выводит на применение метода разложение на множители. Если же в одной из частей уравнения стоит однородный многочлен, то применяем метод решения однородных уравнений.

        Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

        Пример 1.

        Решите уравнение

        Выберите ответ из предложенных.

        Варианты ответов:

        1. 10
        2. -10
        3. 100
        4. -100
        5. 1000
        6. -1000

        Решение

        ООУ:

        Преобразуем левую часть уравнения

        Введем новую переменную

        Получим уравнение

        Возвращаемся к первоначальной переменной

        Ответ: — 1000

        Пример 2.

        Решите уравнение

        Выберите корень из списка:

        Решение:

        ООУ:

        Возведем обе части уравнения в квадрат

        Повторно возведем в квадрат при условии

        Корни этого уравнения

        Учитывая все ограничения, получаем ответ .

        Решение линейных уравнений с примерами. Уравнения онлайн Примеры уравнений 5

        Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

        aх + b = 0 , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

        Например, все уравнения:

        2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

        Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения .

        Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

        А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

        Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

        aх + b = 0.

        Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

        Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

        Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

        Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
        3х = 11 – 2.

        Выполним вычитание, тогда
        3х = 9.

        Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
        х = 9: 3.

        Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

        Ответ: х = 3 .

        Если а = 0 и b = 0 , то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

        Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

        Раскроем скобки:
        5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.


        5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

        Приведем подобные члены:
        0х = 0.

        Ответ: х — любое число .

        Если а = 0 и b ≠ 0 , то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

        Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

        Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
        х – х = 5 ‒ 8.

        Приведем подобные члены:
        0х = ‒ 3.

        Ответ: нет решений.

        На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

        Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

        Пример 4. Пусть надо решить уравнение

        1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

        2) После сокращения получим
        4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

        3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
        4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

        4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
        4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

        5) Приведем подобные члены:
        ‒ 22х = ‒ 154.

        6) Разделим на – 22 , Получим
        х = 7.

        Как видим, корень уравнения равен семи.

        Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме :

        а) привести уравнение к целому виду;

        б) раскрыть скобки;

        в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

        г) привести подобные члены;

        д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

        Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2 ), третьего (Пример. 1, 3 ) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

        Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

        Находим неизвестное х = 1/4: 2,
        х = 1/8         .

        Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

        Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

        2х + 6 = 5 – 6х

        2х + 6х = 5 – 6

        Ответ: ‒ 0, 125

        Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

        – 30 + 18х = 8х – 7

        18х – 8х = – 7 +30

        Ответ: 2,3

        Пример 8. Решите уравнение

        3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

        9х – 12 = 28х + 24

        9х – 28х = 24 + 12

        Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х

        Решение

        Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
        то х + 2 = 6.

        Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
        получаем х = 6 – 2, х = 4.

        Если х = 4, тогда
        f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

        Ответ: 27.

        Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ . Буду рада Вам помочь!

        Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

        сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

        Решаем дробно-рациональное уравнение 5/х = 100. Данное уравнение можно решить двумя способами. Давайте рассмотрим каждый из них.

        План решения уравнения 5/x = 100

        • найдем область допустимых значений для заданного уравнения;
        • первый способ решения уравнения рассмотрев его как на пропорцию;
        • второй способ решения уравнения, находя неизвестный делитель.

        Находим неизвестный член пропорции

        Сначала найдем ОДЗ уравнения. В левой части уравнения присутствует знак дроби и он равносилен знаку деления. Известно, что на ноль делить нельзя. Значит из ОДЗ мы должны исключить значения обращающие знаменатель в ноль.

        ОДЗ: x принадлежит R \ {0}.

        Теперь посмотрим на наше уравнение как на пропорцию.

        Основное свойство пропорции.

        Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

        Для пропорции a: b = c: d или a/b = c/d основное свойство записывается так: a · d = b · c.

        Применим его и получим линейное уравнение:

        100 * x = 5 * 1;

        Разделим на 100 обе части уравнения, тем самым избавимся от коэффициента перед переменной х:

        Находим неизвестный делитель

        Посмотрим на уравнение как на частное. Где делимое равно 5, делитель x, а результат деления — частное равно 100.

        Вспомним правило как найти неизвестный делитель — нужно делимое разделить на частное.

        Найденный корень принадлежит ОДЗ уравнения.

        Проверим найденное решение уравнения. Для этого подставим найденные корень в исходное уравнение и произведем вычисления:

        Решение найдено верно.

        Одним из самых важных навыков при поступлении в 5 класс является умение решать простейшие уравнения. Так как 5 класс ещё не так далек от начальной школы, то и видов уравнений, которые может решать ученик не так уж и много. Мы познакомим Вас со всеми основными видами уравнений, которые необходимо уметь решать, если Вы хотите поступить в физико-математическую школу .

        1 тип: «луковичные»
        Это уравнения, которые почти со вероятностью встретятся Вам при поступлении в любую школу или кружок 5 класса как отдельное задание. Их легко отличить от других: в них переменная присутствует только 1 раз. Например, или .
        Решаются они очень просто: необходимо просто «добраться» до неизвестной, постепенно «снимая» всё лишнее, что окружает её — как будто почистить луковицу — отсюда и такое название. Для решения достаточно помнить несколько правил из второго класса. Перечислим их все:

        Сложение

        1. слагаемое1 + слагаемое2 = сумма
        2. слагаемое1 = сумма — слагаемое2
        3. слагаемое2 = сумма — слагаемое1

        Вычитание

        1. уменьшаемое — вычитаемое = разность
        2. уменьшаемое = вычитаемое + разность
        3. вычитаемое = уменьшаемое — разность

        Умножение

        1. множитель1 * множитель2 = произведение
        2. множитель1 = произведение: множитель2
        3. множитель2 = произведение: множитель1

        Деление

        1. делимое: делитель = частное
        2. делимое = делитель * частное
        3. делитель = делимое: частное

        Разберём на примере, как применять данные правила.

        Заметим, что мы делим на и получаем . В этой ситуации мы знаем делитель и частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное:

        Мы стали немного ближе к самому . Теперь мы видим, что к прибавляется и получается . Значит, чтобы найти одно из слагаемых, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

        И ещё один «слой» снят с неизвестной! Теперь мы видим ситуацию с известным значением произведения () и одним известным множителем ().

        Теперь ситуация «уменьшаемое — вычитаемое = разность»

        И последний шаг — известное произведение () и один из множителей ()

        2 тип: уравнения со скобками
        Уравнения данного типа чаще всего встречаются в задачах — именно к ним сводится 90% всех задач для поступления в 5 класс . В отличие от «луковичных уравнений» переменная здесь может встретиться несколько раз, поэтому решить её методами из предыдущего пункта невозможно. Типичные уравнения: или
        Основная трудность — это правильно раскрыть скобки. После того, как удалось это верно сделать, следует привести подобные слагаемые (числа к числам, переменные к переменным), а после этого мы получаем самое простое «луковичное уравнение» , которое умеем решать. Но обо всём по-порядку.

        Раскрытие скобок . Мы приведём несколько правил, которыми следует пользоваться в данном случае. Но, как показывает практика, верно раскрывать скобки ученик начинает только после 70-80 прорешанных задач. Основное правило таково: любой множитель, стоящий за скобками необходимо умножить на каждое слагаемое внутри скобок. А минус, стоящий перед скобкой, меняет знак всех выражений, что стоят внутри. Итак, основные правила раскрытия:



        Приведение подобных . Здесь всё гораздо легче: Вам необходимо путём переноса слагаемых через знак равенства добиться того, чтобы с одной стороны стояли только слагаемые с неизвестной, а с другой — только числа. Основное правило таково: каждое слагаемое, переносимое через , меняет свой знак — если оно было с ,то станет с , и наоборот. После успешного переноса необходимо сосчитать итоговое количество неизвестных, итоговое число стоящее с другой стороны равенства, нежели переменные, и решить простое «луковичное уравнение» .

        Приложение

        Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

        =

        Примеры решения способом сложения | Алгебра

        Рассмотрим конкретные примеры решения систем линейных уравнений способом сложения.

           

        Ищем наибольший общий делитель коэффициентов при каждой из переменных (коэффициенты берем со знаком «+»).

        Наименьшее общее кратное коэффициентов при x — НОК(5;2)=10, при y — НОК(3;3)=3.

        Проще работать с y, поскольку для получения перед y противоположных чисел достаточно умножить любое из уравнений на -1. Проще умножить на -1 второе уравнение системы (в этом случае после сложения уравнений коэффициент при x — положительное число).

           

           

           

        Теперь подставим x=3 в любое из уравнений системы, например, во второе:

           

        Решаем это уравнение:

        6-3y=21

        -3y=21-6

        -3y=15

        y= -5.

           

        Ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.

        Ответ: (3; -5).

           

        НОК(6; 4)=12, НОК(13; 5)=65. Проще работать с коэффициентами перед x.

        Чтобы получить перед иксами противоположные числа, первую систему умножим на -2, вторую — на 3

           

        и сложим почленно левые и правые части уравнений:

           

           

        Подставляем y= -1 в первое уравнение системы и находим x:

           

           

        Ответ: (-2; -1).

           

        НОК(3; 5)=15, НОК(5; 7)=35. Проще получить противоположные числа перед x.

        Для этого умножим первое уравнение системы на 5, второе — на -3:

           

        и сложим почленное левые и правые части полученных уравнений:

           

           

        Подставляем y=2 в первое уравнение системы и находим x:

           

           

        Ответ: (-7; 2).

           

        Прежде чем применить способ сложения, данную систему следует упростить. Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель дробей, во втором раскроем скобки:

           

           

           

        Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Для решения её способом сложения достаточно умножить второе уравнение на -1 и сложить почленно левые и правые части уравнений:

           

           

           

        Подставляем найденное значение b в первое уравнение системы (линейных уравнений):

           

           

        Ответ: (-3; 10).

           

        Систему линейных уравнений с тремя переменными можно решить, сначала исключив одно из неизвестных, а затем — другое.

        В данной системе проще всего исключить переменную z.

        К первому уравнению прибавим третье, умноженное на -3:

           

           

        Ко второму уравнению прибавим третье, умноженное на 2:

           

           

        Получили систему линейных уравнений с двумя переменными:

           

        НОК(8;10)=40, НОК(13; 7)=91. Проще работать с x:

           

           

           

        Подставив полученные значение y во второе уравнение системы с двумя переменными, найдём x:

           

           

        Подставив значения y и x в третье уравнение системы с тремя переменными, найдём z:

           

           

        Ответ: (2; 0; -1).

        Решение систем уравнений: способ сложения + примеры

         

        Системой линейных уравнений с двумя неизвестными — это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

        { a1*x + b1*y = c1,
        { a2*x + b2*y = c2

        Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 – некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений. Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения. 

        Алгоритм решения способом сложения

        Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

        1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

        2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

        3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

        4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

        5. Сделать проверку решения.

        Пример решения способом сложения

        Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

        {3*x + 2*y = 10;
        {5*x + 3*y = 12;

        Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

        {3*x+2*y=10 |*3
        {5*x + 3*y = 12 |*2

        Получим следующую систему уравнений:

        {9*x+6*y = 30;
        {10*x+6*y=24;

        Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

        10*x+6*y – (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

        Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

        {3*(-6) + 2*y =10;
        {2*y=28; y =14;

        Получилась пара чисел x=6 и y=14. Проводим проверку. Делаем подстановку.

        {3*x + 2*y = 10;
        {5*x + 3*y = 12;

        {3*(-6) + 2*(14) = 10;
        {5*(-6) + 3*(14) = 12;

        {10 = 10;
        {12=12;

        Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение.

        Ответ: (6, 14)

        Нужна помощь в учебе?



        Предыдущая тема: Решение систем уравнений: способ подстановки + примеры
        Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение задач с помощью систем уравнений: общая схема решения

        Примеры решения показательных уравнений

        Примеры решения показательных уравнений

        Примеры решения показательных уравнений

        Пример №1

        1000x=100

        Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:

        103x=102

        Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

        3x=2
        x=2/3

        Ответ: x=2/3 .

        Главное в показательных уравнениях — свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:

        Пример №2

        (2/5)x=(5/2)4

        Представим (2/5)x как (5/2)-x:

        (5/2)-x=(5/2)4

        Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:

        -x=4
        x=-4

        Ответ: x=-4

        Пример №3

        √3х=9

        √3х распишем как 3x/2, а 9 — как 32:

        3х/2=32

        Приравниваем показатели:

        х/2=2
        х=4

        Ответ: x=4

        Пример №4

        3х2-х-2=81

        Заметим, что 81=34

        3х2-х-2=34

        Приравниваем показатели:

        х2-х-2=4

        х2-х-6=0

        Получили квадратное уравнение:

        D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

        х1=(1+5)/2=3

        х2=(1-5)/2=-2

        Ответ: х=3 и х=-2

        Пример №5

        4х+1+4х=320

        В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:

        4х(4+1)=320

        4х*5=320

        Представим 320 в виде 5*43, тогда:

        4х*5=5*43

        Поделим левую и правую часть уравнения на 5:

        4х=43

        Приравняем показатели:

        х=3

        Ответ: х=3

        Пример №6

        7х+2+4*7х-1=347

        Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7x-1. Получаем:

        7х-1*(73+4)=347

        7х-1*347=347

        Поделим левую и правую часть уравнения на 347:

        7х-1=1

        Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 70:

        7х-1=70

        Приравняв показатели, получим:

        х-1=0

        х=1

        Ответ: х=1

        Пример №7

        4х-5*2х+4=0

        Представим 4х как 22х, получим:

        22х-5*2х+4=0

        Введем подстановку: 2х обозначим переменной t. Cледовательно: 22х=t2. Получим:

        t2-5t+4=0

        Найдем корни уравнения по теореме Виета:

        t1=1

        t2=4

        Заменим t на 2х:

        2х=1

        Заметим, что 20=1

        2х=20

        Приравняем показатели:

        х=0

        2х=4

        Заметим, что 4=22

        2х=22

        Приравняем показатели:

        х=2

        Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.

        Ответ: х=0 и х=2

        Пример №8

        (√2+√3)х + (√2-√3)х=4

        Введем подстановку: (√2+√3)х обозначим переменной t. А (√2-√3)х домножим на сопряженные и получим:

        ((√2+√3)х*(√2-√3)х) / (√2+√3)х = (√4-3)х/(√2+√3)х = 1 x/(2+√3)x = 1/(2+√3)x

        Следовательно, 1/(√2+√3)х=1/t.

        Получаем:

        t+1/t=4

        Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

        t2+1=4t

        t2-4t+1=0

        Решим квадратное уравнение:

        D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

        t1=(4-2√3)/2=2-√3

        t2=(4+2√3)/2=2+√3

        Заменим t на (√2+√3)х:

        (√2-√3)х=2+√3

        Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:

        1/(2-√3)=2+√3

        Cледовательно:

        (√2-√3)х=1/2-√3

        Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)-2

        (√2+√3)х=(√2-√3)-2

        Приравняв показатели, получим:

        х=-2

        Заменим t на 2+√3

        (√2+√3)х=2+√3

        Заметим, что 2+√3=(√2+√3)2

        Приравняв показатели, получим:

        х=2

        Ответ: х=-2 и х=2

        Пример №9

        x+y=6

        xy2+7y+12=1

        Выразим x:

        x=6-y

        xy2+7y+12=1

        Заметим, что x0=1:

        x=6-y

        xy2+7y+12=x0

        Приравним показатели:

        x=6-y

        y2+7y+12=0

        Решим отдельно квадратное уравнение:

        y2+7y+12=0

        D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

        y1=(-7+1)=-3

        y2=(-7-1)=-4

        y=-3

        x=6-(-3)=9

        y=-4

        x=6-(-4)=10

        Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4

        << Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>


        определение, виды, примеры решения, что это такое

        Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

        Определение системы уравнений

        Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

        Например, возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

        2·x+y=-3,x=5.

        Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

        Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

        Определение 1

        Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

        Основные виды систем уравнений

        Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

        Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

        Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1, говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

        x+y=5,2·x-3·y=1

        Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у.

        При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

        2x=11,x-3·z2=0,27·x+y-z=-3

        Данная система имеет 3 переменные х, у, z. Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z. Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z, а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

        2x+0·y+0·z=11

        А другое уравнение x+0·y−3·z=0.

        Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

        2·x-y=1,x+2·y=-1и -3·x+y=0.5,x+223·y=0

        Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.

        В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

        x2-4·x·y=1,x-y=2 и x=y3x·y=-5

        Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

        При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

        x+y=3,1x+1y=25

        Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

        Нужна помощь преподавателя?

        Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

        Описать задание

        Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

        x+y-x·y=5,2·x·y=3, x+y=5·π2,sin x+cos 2y=-1,y-log3x=1,xy=312.

        Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

        Решение систем уравнений

        Определение 2

        Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.

        К примеру, пара значений х=5 и у=2 являются решением системы уравнений x+y=7,x-y=3. Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5+2=7 и 5−2=3. Если подставить пару х=3 и у=0, тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3+0=7.

        Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

        Определение 3

        Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.

        Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t

        t2=4,5·(t+2)=0

        Число -2 – решение уравнения, так как  (−2)·2=4, и 5·(−2+2)=0 являются верными числовыми равенствами. При t=1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12=4 и 5·(1+2)=0.

        Определение 4

        Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

        Если имеем значения переменных х=1, у=2, z=0, то подставив их в систему уравнений 2·x=2,5·y=10,x+y+z=3, получим 2·1=2, 5·2=10 и 1+2+0=3. Значит, эти числовые неравенства верные. А значения (1, 0, 5) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5·0=10, 1+0+5=3.

        Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

        Определение 5

        Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.

        Определение 6

        Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.

        Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.

        Решение уравнений

        Решение уравнений с одной переменной

        An уравнение представляет собой математическое выражение, состоящее из знака равенства между двумя числовыми выражениями или выражениями переменных, как в 3 Икс + 5 знак равно 11 .

        А решение к уравнению это число который может быть подключен к Переменная сделать истинное числовое утверждение.

        Пример 1:

        Подстановка 2 для Икс в

        3 Икс + 5 знак равно 11

        дает

        3 ( 2 ) + 5 знак равно 11 , в котором говорится 6 + 5 знак равно 11 ; это правда!

        Так 2 это решение.

        По факту, 2 ЕДИНСТВЕННОЕ решение 3 Икс + 5 знак равно 11 .

        Некоторые уравнения могут иметь более одного решения, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.

        Пример 2:

        Уравнение

        Икс 2 знак равно Икс

        имеет два решения, 0 и 1 , поскольку

        0 2 знак равно 0 и 1 2 знак равно 1 .Никакой другой номер не работает.

        Пример 3:

        Уравнение

        Икс + 1 знак равно 1 + Икс

        верно для все реальные числа . Она имеет бесконечно много решения.

        Пример 4:

        Уравнение

        Икс + 1 знак равно Икс

        является никогда верно для любой настоящий номер.Она имеет нет решений .

        В задавать содержащее все решения уравнения, называется набор решений для этого уравнения.

        Уравнение

        Набор решений

        3 Икс + 5 знак равно 11

        { 2 }

        Икс 2 знак равно Икс

        { 0 , 1 }

        Икс + 1 знак равно 1 + Икс

        р (набор всех действительных чисел)

        Икс + 1 знак равно Икс

        ∅ (пустой набор)

        Иногда вас могут попросить решить уравнение над определенным домен .Здесь возможности для значений Икс ограничены.

        Пример 5:

        Решите уравнение

        Икс 2 знак равно Икс

        по домену { 0 , 1 , 2 , 3 } .

        Это немного сложное уравнение; это не линейный и это не квадратичный , поэтому у нас нет хорошего метода ее решения.Однако, поскольку домен содержит только четыре числа, мы можем просто использовать метод проб и ошибок.

        0 2 знак равно 0 знак равно 0 1 2 знак равно 1 знак равно 1 2 2 ≠ 2 3 2 ≠ 3

        Так что набор решений в данном домене { 0 , 1 } .

        Решение уравнений с двумя переменными

        Решения для уравнения с одной переменной: числа . С другой стороны, решения уравнения с двумя переменными имеют вид заказанные пары в виде ( а , б ) .

        Пример 6:

        Уравнение

        Икс знак равно у + 1

        верно, когда Икс знак равно 3 и у знак равно 2 .Итак, заказанная пара

        ( 3 , 2 )

        является решением уравнения.

        Есть бесконечно много других решений этого уравнения, например:

        ( 4 , 3 ) , ( 11 , 10 ) , ( 5.5 , 4.5 ) , и т.п.

        Упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения с двумя переменными, можно изобразить на декартова плоскость . Результатом может быть линия или интересная кривая, в зависимости от уравнения. Смотрите также построение графиков линейных уравнений и построение графиков квадратных уравнений .

        Решение линейных уравнений | Уравнения и неравенства

        Упражнение 4.1

        \ begin {align *} 2г — 3 & = 7 \\ 2л & = 10 \\ y & = 5 \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 2c & = c — 8 \\ c & = -8 \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 3 & = 1 — 2c \\ 2c & = 1 — (3) \\ 2c & = -2 \\ c & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {align *}

        \ begin {align *} 4b +5 & = -7 \\ 4b & = -7 — (5) \\ 4b & = -12 \\ b & = \ frac {-12} {4} \\ & = -3 \ end {align *}

        \ begin {align *} -3y & = 0 \\ у & = 0 \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 16л + ​​4 & = -10 \\ 16лет & = -14 \\ y & = — \ frac {14} {16} \\ & = — \ frac {7} {8} \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 12лет + 0 & = 144 \\ 12лет & = 144 \\ y & = 12 \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 7 + 5л & = 62 \\ 5лет & = 55 \\ y & = 11 \ end {выровнять *}

        \ (55 = 5x + \ frac {3} {4} \)

        \ begin {align *} 55 & = 5x + \ frac {3} {4} \\ 220 & = 20х + 3 \\ 20x & = 217 \\ х & = \ frac {217} {20} \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 5х & = 2х + 45 \\ 3x & = 45 \\ х & = 15 \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 23х — 12 & = 6 + 3х \\ 20x & = 18 \\ x & = \ frac {18} {20} \\ & = \ frac {9} {10} \ end {выровнять *}

        \ (12 — 6x + 34x = 2x — 24 — 64 \)

        \ begin {align *} 12 — 6x + 34x & = 2x — 24 — 64 \\ 12 + 28x & = 2x — 88 \\ 26x & = -100 \\ x & = — \ frac {100} {26} \\ & = — \ frac {50} {13} \ end {выровнять *}

        \ (6x + 3x = 4-5 (2x — 3) \)

        \ begin {align *} 6x + 3x & = 4-5 (2x — 3) \\ 9x & = 4 — 10x + 15 \\ 19x & = 19 \\ х & = 1 \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 18 — 2р & = р + 9 \\ 9 & = 3п \\ p & = 3 \ end {выровнять *}

        \ (\ dfrac {4} {p} = \ dfrac {16} {24} \)

        \ begin {align *} \ frac {4} {p} & = \ frac {16} {24} \\ (4) (24) & = (16) (p) \\ 16p & = 96 \\ p & = 6 \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} — (- 16 — п) & = 13п — 1 \\ 16 + п & = 13п — 1 \\ 17 & = 12п \\ p & = \ frac {17} {12} \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 3f — 10 & = 10 \\ 3f & = 20 \\ f & = \ frac {20} {3} \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 3f + 16 & = 4f — 10 \\ f & = 26 \ end {выровнять *}

        \ (10f + 5 = -2f -3f + 80 \)

        \ begin {align *} 10f + 5 & = -2f — 3f + 80 \\ 10f + 5 & = -5f + 80 \\ 15f & = 75 \\ f & = 5 \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 8 (ф — 4) & = 5 (ф — 4) \\ 8f — 32 & = 5f — 20 \\ 3f & = 12 \\ f & = 4 \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} 6 & = 6 (f + 7) + 5f \\ 6 & = 6f + 42 + 5f \\ -36 & = 11f \\ f & = — \ frac {36} {11} \ end {выровнять *}

        \ begin {align *} -7x & = 8 (1 — х) \\ -7x & = 8 — 8x \\ х & = 8 \ end {выровнять *}

        \ (5 — \ dfrac {7} {b} = \ dfrac {2 (b + 4)} {b} \)

        \ begin {align *} 5 — \ frac {7} {b} & = \ frac {2 (b + 4)} {b} \\ \ frac {5b — 7} {b} & = \ frac {2b + 8} {b} \\ 5b — 7 & = 2b + 8 \\ 3b & = 15 \\ b & = 5 \ end {выровнять *}

        \ (\ dfrac {x + 2} {4} — \ dfrac {x — 6} {3} = \ dfrac {1} {2} \)

        \ begin {align *} \ frac {x + 2} {4} — \ frac {x — 6} {3} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3 (x + 2) — 4 (x — 6)} {12} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3x + 6 — 4x + 24} {12} & = \ frac {1} {2} \\ (-x + 30) (2) & = 12 \\ -2x + 60 & = 12 \\ -2x & = -48 \\ х & = 24 \ end {выровнять *}

        \ (1 = \ dfrac {3a — 4} {2a + 6} \)

        Обратите внимание, что \ (a \ neq — -3 \)

        \ begin {align *} 1 & = \ frac {3a — 4} {2a + 6} \\ 2а + 6 & = 3а — 4 \\ а & = 10 \ end {выровнять *}

        \ (\ dfrac {2-5a} {3} — 6 = \ dfrac {4a} {3} +2 — a \)

        \ begin {align *} \ frac {2-5a} {3} — 6 & = \ frac {4a} {3} +2 — a \\ \ frac {2-5a} {3} — \ frac {4a} {3} + a & = 8 \\ \ frac {2-5a — 4 a + 3a} {3} & = 8 \\ 2 — 6а & = 24 \\ 6а & = -22 \\ a & = — \ frac {22} {6} \ end {выровнять *}

        \ (2 — \ dfrac {4} {b + 5} = \ dfrac {3b} {b + 5} \)

        Примечание \ (b \ neq -5 \)

        \ begin {align *} 2 — \ frac {4} {b + 5} & = \ frac {3b} {b + 5} \\ 2 & = \ frac {3b + 4} {b + 5} \\ 2b + 10 & = 3b + 4 \\ b & = 6 \ end {выровнять *}

        \ (3 — \ dfrac {y — 2} {4} = 4 \)

        \ begin {align *} 3 — \ frac {y — 2} {4} & = 4 \\ — \ frac {y — 2} {4} & = 1 \\ -у + 2 & = 4 \\ y & = -2 \ end {выровнять *}

        \ (\ text {1,5} x + \ text {3,125} = \ text {1,25} x \)

        \ begin {align *} \ text {1,5} x + \ text {3,125} & = \ text {1,25} x \\ \ text {1,5} x — \ text {1,25} x & = — \ text {3,125} \\ \ text {0,25} x & = — \ text {3,125} \\ х & = — \ текст {12,5} \ end {выровнять *}

        \ (\ текст {1,3} (\ текст {2,7} х + 1) = \ текст {4,1} — х \)

        \ begin {align *} \ text {1,3} (\ text {2,7} x + 1) & = \ text {4,1} — x \\ \ text {3,51} x + \ text {1,3} & = \ text {4,1} — x \\ \ text {4,51} x & = \ text {2,8} \\ x & = \ frac {\ text {2,8}} {\ text {4,51}} \\ & = \ frac {280} {451} \ end {выровнять *}

        \ (\ текст {6,5} х — \ текст {4,15} = 7 + \ текст {4,25} х \)

        \ begin {align *} \ text {6,5} x — \ text {4,15} & = 7 + \ text {4,25} x \\ \ text {2,25} x & = \ text {11,15} \\ x & = \ frac {\ text {11,15}} {\ text {2,25}} \\ & = \ frac {\ text {1 115}} {225} \\ & = \ frac {223} {45} \ end {выровнять *}

        \ (\ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 = 0 \)

        \ begin {align *} \ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 & = 0 \\ \ frac {2 + 3} {6} P & = 10 \\ 5П & = 60 \\ P & = 12 \ end {выровнять *}

        \ (1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) = 0 \)

        \ begin {align *} 1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {3} {2} (3x) — \ frac {3} {2} (2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {9} {2} x — \ frac {6} {2} & = 0 \\ \ frac {5 — 18} {4} x + \ frac {-5 — 12} {4} & = 0 \\ \ frac {-13} {4} x & = \ frac {17} {4} \\ -13x & = 17 \\ х & = — \ frac {17} {13} \ end {выровнять *}

        \ (\ frac {1} {5} (x- 1) = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \)

        \ begin {align *} \ frac {1} {5} (x- 1) & = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \\ \ frac {1} {5} x- \ frac {1} {5} & = \ frac {1} {3} x- \ frac {2} {3} + 3 \\ — \ frac {1} {5} + \ frac {2} {3} — 3 & = \ frac {2} {15} x \\ — \ frac {38} {15} & = \ frac {2} {15} x \\ х & = — \ frac {38} {2} \\ х & = -19 \ end {выровнять *}

        \ (\ dfrac {5} {2a} + \ dfrac {1} {6a} — \ dfrac {3} {a} = 2 \)

        \ begin {align *} \ frac {5} {2a} + \ frac {1} {6a} — \ frac {3} {a} & = 2 \\ \ frac {5 (3) + 1-3 (6)} {6a} & = 2 \\ \ frac {15 + 1 — 18} {6a} & = 2 \\ \ frac {-2} {6a} & = 2 \\ -2 & = 12а \\ а & = — \ frac {1} {6} \ end {выровнять *}

        Решение линейных уравнений с одной переменной

        Линейные уравнения с одной переменной — это уравнения, в которых переменная имеет показатель степени 1, который обычно не отображается (понимается).Примером может быть что-то вроде \ (12x = x — 5 \). Для решения линейных уравнений есть одна основная цель: изолировать переменную . В этом уроке мы рассмотрим, как это делается, на нескольких примерах.

        Содержание

        1. Примеры решения одношаговых уравнений
        2. Примеры решения двухэтапных уравнений
        3. Примеры уравнений, в которых сначала необходимо упростить
        4. Бесконечно много или нет решений
        5. Сводка

        реклама

        Примеры решения одношаговых линейных уравнений

        После всей вашей тяжелой работы над решением уравнения вы знаете, что хотите получить окончательный ответ, например \ (x = 5 \) или \ (y = 1 \).В обоих случаях переменная изолирована, или сама по себе.

        Итак, нам нужно выяснить, как изолировать переменную. Как мы это сделаем, зависит от самого уравнения! Если его на что-то умножили, поделим. Если к нему что-то добавили, мы вычтем. Поступая так, мы постепенно будем получать переменную сама по себе.

        Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как это работает.

        Пример

        Решите уравнение: \ (4x = 8 \)

        Решение

        В этом примере 4 — это умножение на \ (x \).Следовательно, чтобы изолировать \ (x \), вы должны разделить эту сторону на 4. Делая это, вы должны помнить одно важное правило: что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать с другой стороной. Итак, мы разделим обе стороны на 4.

        \ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ \ dfrac {4x} {\ color {red} {4}} & = \ dfrac {8} {\ color {red} {4}} \ end {align} \)

        Упрощение:

        \ (х = \ в коробке {2} \)

        Вот и все, один шаг и готово. (Вот почему подобные уравнения часто называют «одношаговыми» уравнениями)

        Чек

        Каждый раз, когда вы решаете линейные уравнения, вы всегда можете проверить свой ответ, подставив его обратно в уравнение.Если вы получите верное утверждение, значит, ответ правильный. Это не обязательно на 100% для каждой задачи, но это хорошая привычка, поэтому мы сделаем это для наших уравнений.

        В этом примере наше исходное уравнение было \ (4x = 8 \). Чтобы проверить это, убедитесь, что верно следующее:

        \ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ 4 (2) & = 8 \\ 8 & = 8 \ end {align} \)

        Это верное утверждение, поэтому наш ответ правильный.

        Для любого уравнения любая операция, которую вы выполняете с одной стороной, должна выполняться и с другой стороной.

        Давайте попробуем еще пару примеров, прежде чем переходить к более сложным уравнениям.

        Пример

        Решить: \ (3x = 12 \)

        Решение

        Поскольку \ (x \) умножается на 3, план состоит в том, чтобы разделить на 3 с обеих сторон:

        \ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ \ dfrac {3x} {\ color {red} {3}} & = \ dfrac {12} {\ color {red} {3}} \\ x & = \ в штучной упаковке {4} \ end {align} \)

        Чек

        Чтобы проверить наш ответ, мы позволим \ (x = 4 \) и подставим его обратно в уравнение:

        \ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ 3 (4) & = 12 \\ 12 & = 12 \ end {align} \)

        Как и раньше, поскольку это верное утверждение, мы знаем, что наш ответ правильный.

        В следующем примере вместо умножения переменной на значение из переменной вычитается значение. Чтобы «отменить» это, мы добавим это значение обеим сторонам.

        Пример

        Решить: \ (y-9 = 21 \)

        Решение

        На этот раз из y вычитается 9. Итак, мы отменим это, добавив 9 к обеим сторонам.

        \ (\ begin {align} y-9 & = 21 \\ y-9 \ color {red} {+ 9} & = 21 \ color {red} {+ 9} \\ y & = 30 \ end {align} \)

        Далее мы рассмотрим то, что обычно называют «двухэтапными» уравнениями.В этих уравнениях нам нужно будет отменить две операции, чтобы изолировать переменную.

        Примеры двухступенчатых уравнений

        В каждом из приведенных выше примеров нужно было выполнить один шаг, прежде чем мы получили ответ. В следующих примерах вы увидите, как работать с уравнениями, которые вместо этого состоят из двух шагов. Если выполняется более одной операции, важно помнить порядок операций PEMDAS. Поскольку вы отменяете операции с \ (x \), вы будете работать «снаружи внутрь».Это легче понять, когда вы увидите это на примере.

        Пример

        Решить: \ (2x-7 = 13 \)

        Решение

        Обратите внимание на две операции, выполняемые с \ (x \): он умножается на 2, а затем вычитается 7. Нам нужно будет их отменить. Но только \ (x \) умножается на 2, поэтому первым шагом будет прибавление 7 к обеим сторонам. Тогда мы можем разделить обе части на 2.

        Добавляем 7 к обеим сторонам:

        \ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2x-7 \ color {red} {+ 7} & = 13 \ color {red} {+ 7} \\ 2x & = 20 \ end {align} \ )

        Теперь разделите обе стороны на 2:

        .

        \ (\ begin {align} 2x & = 20 \\ \ dfrac {2x} {\ color {red} {2}} & = \ dfrac {20} {\ color {red} {2}} \\ x & = \ в штучной упаковке {10} \ end {align} \)

        Чек

        Как и в случае с более простыми задачами, вы можете проверить свой ответ, подставив свое значение \ (x \) обратно в исходное уравнение.

        \ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2 (10) — 7 & = 13 \\ 13 & = 13 \ end {align} \)

        Это правда, значит, у нас есть правильный ответ.

        Давайте рассмотрим еще один пример с двумя шагами, прежде чем мы снова будем преодолевать трудности. Убедитесь, что вы понимаете каждый показанный шаг и также работаете над проблемой.

        Пример

        Решить: \ (5w + 2 = 9 \)

        Решение

        Как и выше, есть две операции: \ (w \) умножается на 5, а затем к нему прибавляется 2.Мы отменим их, сначала вычтя 2 с обеих сторон, а затем разделив на 5.

        \ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5w + 2 \ color {red} {- 2} & = 9 \ color {red} {- 2} \\ 5w & = 7 \\ \ dfrac { 5w} {\ color {red} {5}} & = \ dfrac {7} {\ color {red} {5}} \\ w = \ boxed {\ dfrac {7} {5}} \ end {align} \)

        Дробь справа не может быть упрощена, так что это наш окончательный ответ.

        Чек

        Пусть \ (w = \ dfrac {7} {5} \). Тогда:

        \ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5 \ left (\ dfrac {7} {5} \ right) + 2 & = 9 \\ 7 + 2 & = 9 \\ 9 & = 9 \ конец {align} \)

        Итак, мы снова получили правильный ответ!

        Упрощение перед решением

        В следующих примерах есть больше вариативных терминов и, возможно, необходимо некоторое упрощение.В каждом случае шаги будут заключаться в том, чтобы сначала упростить обе стороны, а затем использовать то, что мы делали, чтобы изолировать переменную. Сначала мы подробно рассмотрим пример, чтобы увидеть, как все это работает.

        Чтобы понять этот раздел, вам должно быть удобно комбинировать похожие термины.

        Пример

        Решить: \ (3x + 2 = 4x-1 \)

        Решение

        Поскольку обе части упрощены (нет скобок, которые нам нужно вычислять, и нет одинаковых членов для объединения), следующим шагом будет получение всех x на одной стороне уравнения и всех чисел на другой стороне.Применяется то же правило — что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать и с другой стороной!

        Можно перемещать \ (3x \) или \ (4x \). Предположим, вы переместили \ (4x \). Поскольку он положительный, вы должны вычесть его с обеих сторон:

        \ (\ begin {align} 3x + 2 & = 4x-1 \\ 3x + 2 \ color {red} {- 4x} & = 4x-1 \ color {red} {- 4x} \\ -x + 2 & = -1 \ end {align} \)

        Теперь уравнение выглядит так же, как и раньше. Следующий шаг — вычесть 2 с обеих сторон:

        \ (\ begin {align} -x + 2 \ color {red} {- 2} & = -1 \ color {red} {- 2} \\ — x = -3 \ end {align} \)

        Наконец, поскольку \ (- x = -1x \) (это всегда верно), разделите обе стороны на \ (- 1 \):

        \ (\ begin {align} \ dfrac {-x} {\ color {red} {- 1}} & = \ dfrac {-3} {\ color {red} {- 1}} \\ x & = 3 \ end {выровнять}\)

        Чек

        Вы должны воспользоваться моментом и убедиться, что следующее утверждение является верным:

        \ (3 (3) + 2 = 4 (3) — 1 \)

        В следующем примере нам нужно будет использовать свойство распределения перед решением.Здесь легко ошибиться, поэтому убедитесь, что вы распределили число перед круглыми скобками для всех терминов внутри.

        Пример

        Решить: \ (3 (x + 2) -1 = x-3 (x + 1) \)

        Решение

        Сначала разложите 3 и –3 и соберите одинаковые термины.

        \ (\ begin {align} 3 (x + 2) -1 & = x-3 (x + 1) \\ 3x + 6-1 & = x-3x-3 \\ 3x + 5 & = — 2x-3 \ end {выровнять}\)

        Теперь мы можем прибавить 2x к обеим сторонам. (Помните, что вы получите тот же ответ, если вместо этого вычтете 3x с обеих сторон)

        \ (\ begin {align} 3x + 5 \ color {red} {+ 2x} & = — 2x-3 \ color {red} {+ 2x} \\ 5x + 5 & = -3 \ end {align} \)

        Отсюда мы можем решить, как и с другими двухшаговыми уравнениями.

        \ (\ begin {align} 5x + 5 \ color {red} {- 5} & = — 3 \ color {red} {- 5} \\ 5x & = — 8 \\ \ dfrac {5x} {\ color { красный} {5}} & = \ dfrac {-8} {\ color {red} {5}} \\ x & = \ dfrac {-8} {5} \\ & = \ boxed {- \ dfrac {8 } {5}} \ end {align} \)

        Чек

        Это был сложный вопрос, поэтому не забудьте проверить свой ответ и убедиться, что не было допущено никаких ошибок. Для этого вы убедитесь, что следующее утверждение является верным:

        \ (3 \ left (- \ dfrac {8} {5} +2 \ right) -1 = \ left (- \ dfrac {8} {5} \ right) -3 \ left (- \ dfrac {8} { 5} +1 \ вправо) \)

        (Примечание: это работает, но вы должны быть очень осторожны с скобками!)

        Бесконечно много решений и нет решений

        Бывают случаи, когда вы выполняете все эти шаги, и появляется действительно странное решение.Например, при решении уравнения \ (x + 2 = x + 2 \) с использованием описанных выше шагов в итоге получается \ (0 = 0 \). Это, конечно, правда, но что хорошего в этом?

        Если вы получили подобное утверждение, это означает, что уравнение имеет бесконечно много решений. Любой \ (x \), о котором вы можете подумать, удовлетворял бы уравнению \ (x + 2 = x + 2 \). Подходящий ответ в этом случае — «бесконечно много решений».

        Другая ситуация возникает, когда вы упрощаете уравнение до утверждения, которое никогда не бывает истинным, например \ (3 = 4 \) или \ (0 = 1 \).Это происходит с уравнением \ (x + 5 = x-7 \), которое приводит к \ (5 = -7 \), что, конечно, никогда не бывает истинным. Это означает, что никакое \ (x \) не удовлетворяет этому уравнению. Другими словами «решения нет». Итого:

        • Если вы получите утверждение, которое всегда истинно, например \ (5 = 5 \) или \ (0 = 0 \), то существует бесконечно много решений.
        • Если вы получаете утверждение, которое всегда ложно, например \ (10 ​​= 11 \) или \ (1 = 5 \), то решений нет.

        реклама

        Сводка

        Решение линейных уравнений сводится к выделению переменной.В зависимости от уравнения это может занять от одного шага до многих. Всегда проверяйте, нужно ли вам сначала упростить одну или обе стороны уравнения, и всегда проверяйте свой ответ.

        Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

        Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

        Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

        Связанные

        Решение линейных уравнений с одной переменной

        Линейное уравнение — это уравнение прямой, записанное с одной переменной.Единственная степень переменной — 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид [latex] ax + b = 0 [/ latex] и решаются с использованием основных алгебраических операций.

        Мы начинаем с классификации линейных уравнений с одной переменной как одного из трех типов: тождественные, условные или противоречивые. Уравнение идентичности верно для всех значений переменной. Вот пример тождественного уравнения.

        [латекс] 3x = 2x + x [/ латекс]

        Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение истинным.Для этого уравнения набором решений является все действительные числа, потому что любое действительное число, замененное на [латекс] x [/ латекс], сделает уравнение истинным.

        Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если нам нужно решить уравнение [латекс] 5x + 2 = 3x — 6 [/ latex], мы получим следующее:

        [латекс] \ begin {array} {l} 5x + 2 \ hfill & = 3x — 6 \ hfill \\ 2x \ hfill & = — 8 \ hfill \\ x \ hfill & = — 4 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

        Набор решений состоит из одного числа: [латекс] \ {- 4 \} [/ латекс].Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.

        Непоследовательное уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если мы должны решить [латекс] 5x — 15 = 5 \ left (x — 4 \ right) [/ latex], мы получим следующее:

        [латекс] \ begin {array} {ll} 5x — 15 = 5x — 20 \ hfill & \ hfill \\ 5x — 15 — 5x = 5x — 20 — 5x \ hfill & \ text {Вычесть} 5x \ text {из обе стороны}. \ hfill \\ -15 \ ne -20 \ hfill & \ text {Ложный оператор} \ hfill \ end {array} [/ latex]

        Действительно, [латекс] -15 \ ne -20 [/ латекс].Нет решения, потому что это противоречивое уравнение.

        Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции. Ниже приводится краткий обзор этих операций.

        Общее примечание: линейное уравнение с одной переменной

        Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде

        [латекс] ax + b = 0 [/ латекс]

        , где a и b — действительные числа, [латекс] a \ ne 0 [/ латекс].

        Как сделать: дано линейное уравнение с одной переменной, используйте алгебру для его решения.

        Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной, так что последняя строка читается как x = _________, если x — неизвестное. Нет установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что указано:

        1. Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, если мы делаем то же самое с обеими сторонами знака равенства.Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
        2. Примените свойство распределения по мере необходимости: [latex] a \ left (b + c \ right) = ab + ac [/ latex].
        3. Выделите переменную на одной стороне уравнения.
        4. Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.

        Пример 1: Решение уравнения с одной переменной

        Решите следующее уравнение: [латекс] 2x + 7 = 19 [/ латекс].

        Решение

        Это уравнение может быть записано в виде [латекс] ax + b = 0 [/ латекс] путем вычитания [латекс] 19 [/ латекс] с обеих сторон.Однако мы можем перейти к решению уравнения в его исходной форме, выполнив алгебраические операции.

        [латекс] \ begin {array} {ll} 2x + 7 = 19 \ hfill & \ hfill \\ 2x = 12 \ hfill & \ text {Вычтите 7 с обеих сторон}. \ Hfill \\ x = 6 \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {2} \ text {или разделите на 2}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

        Решение [латекс] x = 6 [/ латекс].

        Попробуй 1

        Решите линейное уравнение с одной переменной: [латекс] 2x + 1 = -9 [/ латекс].

        Решение

        Пример 2: Алгебраическое решение уравнения, когда переменная появляется с обеих сторон

        Решите следующее уравнение: [латекс] 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) [/ latex].

        Решение

        Примените стандартные алгебраические свойства.

        [латекс] \ begin {array} {ll} 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) \ hfill & \ hfill \\ 4x — 12 + 12 = 15 — 5x — 30 \ hfill & \ text {Применить свойство распределения}. \ Hfill \\ 4x = -15 — 5x \ hfill & \ text {Объединить похожие термины}. \ Hfill \\ 9x = -15 \ hfill & \ text {Поместите} x- \ text {термины на одну сторону и упростите}. \ hfill \\ x = — \ frac {15} {9} \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {9 } \ text {, обратное 9}.\ hfill \\ x = — \ frac {5} {3} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

        Анализ решения

        Эта задача требует, чтобы свойство распределения применялось дважды, а затем свойства алгебры используются для достижения последней строки, [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].

        Попробуй 2

        Решите уравнение с одной переменной: [латекс] -2 \ left (3x — 1 \ right) + x = 14-x [/ latex].

        Решение

        Решение линейных уравнений с нулевым Солнцем, Без Солнца и «Все-x» Солнцем

        Purplemath

        Есть три типа решений, которые могут вызвать путаницу.Мы рассмотрим по одному примеру каждого из них, и я объясню различия. Затем мы поработаем над смесью типов уравнений, чтобы вам было удобнее различать типы решений.

        Чтобы решить это уравнение, мне сначала нужно упростить левую часть, взяв «минус» в скобки и объединив «похожие» термины:

        MathHelp.com

        5 — (3 х + 4)

        5 — 1 (3 x ) — 1 (+4)

        5–3 x –4

        5 — 4 — 3 x

        1-3 x

        Теперь я могу решить обычным способом:

        1–3x = 1
        -1 -1
        ————
        -3x = 0
        — —
        -3-3

        х = 0

        Является ли « x = 0» допустимым решением? Да, действительно, потому что ноль — допустимое число.Дело не в том, что решение — «ничто»; дело в том, что решение — это «что-то», а это «что-то» равно нулю. Итак, мой ответ:

        Студенты, как правило, могут привыкнуть к тому, что ноль является решением уравнения, но разница между решением «ноль» (это решение является числовым значением) и «ничего» (возможно, является физической мерой чего-то вроде «без яблок» или «нет денег») может вызвать недоумение.

        Убедитесь, что вы понимаете, что «ноль» сам по себе не является «ничем». Ноль — это числовое значение, которое (в «реальной жизни» или в контексте словесной проблемы) может означать , что «ничего» чего-то или другого нет, но сам ноль — реальная вещь; это существует; это что-то».

        • Решить 11 + 3
          x -7 = 6 x + 5-3 x

        Во-первых, объедините одинаковые термины; затем решите:

        Гм… подожди минутку …

        С каких это пор четыре когда-либо равно пяти? Никогда! Есть ли какое-нибудь возможное значение x , которое «исправит» это уравнение, чтобы оно говорило что-то, что имеет смысл? Будет ли любое значение x когда-либо заставить это уравнение работать?

        Нет; это просто невозможно. Я выполнил все свои шаги правильно, но эти шаги привели к уравнению (а) без переменных и (б) не имело смысла.Поскольку не существует значения x , которое заставило бы это уравнение работать, то это уравнение не имеет решения. Вот мой ответ на это упражнение:

        .

        Вот логика для приведенного выше примера: когда вы пытаетесь решить уравнение, вы исходите из (неустановленного) предположения, что на самом деле — это решение. Когда вы в конечном итоге получаете бессмыслицу (например, бессмысленное уравнение «4 = 5» выше), это означает, что ваше первоначальное предположение (а именно, что исходное уравнение действительно имело решение) было неверным; на самом деле решения нет.Поскольку утверждение «4 = 5» совершенно неверно, и с момента нет значения x, которое когда-либо могло бы сделать его истинным , то это уравнение не имеет решения.

        Advisory: этот ответ полностью отличается от ответа на первое упражнение в верхней части этой страницы, где было , значение x , что будет работать (это значение решения равно нулю). Не путайте эти две очень разные ситуации : «решение существует и имеет нулевое значение» никоим образом не то же самое, что «никакого значения решения не существует вообще».

        И не путайте приведенное выше уравнение типа «без решения» со следующим типом уравнения:

        • Решить 6
          x + 5-2 x = 4 + 4 x + 1

        Сначала я объединю похожие термины; тогда решу:

        Для предыдущего уравнения я получил «5 = 4», и не было значения x , которое могло бы сделать уравнение истинным. Этот результат противоположен этому. Существует ли для этого уравнения какое-либо возможное значение x , которое могло бы сделать приведенное выше утверждение ложным? Нет; 5 — это , всегда будет равно 5. Фактически, поскольку в последней строке вычислений нет « x », значение x явно не имеет отношения к уравнению; x может быть чем угодно, и уравнение останется верным. Итак, решение:

        Это решение также может быть указано как «все действительные числа», «все действительные числа», «вся числовая строка», «(–∞, + ∞)» или « x ∈ & reals;» (последнее означает « x является членом набора действительных чисел»).Вы должны ожидать увидеть некоторые вариации в жаргоне от одного учебника к другому, поэтому не удивляйтесь различиям в форматировании.

        Обратите внимание, что, если бы я решил уравнение вычитанием 5 из любой части исходного уравнения, я бы получил:

        Другими словами, я бы получил еще одно тривиально верное утверждение. Я также мог бы вычесть 4 x с любой стороны, или я мог бы разделить обе стороны приведенного выше уравнения на 4, или я мог бы разделить на 4, а затем вычесть x с любой стороны, или я мог бы вычесть и 4 x , и 5 с обеих сторон исходного уравнения.Каждый из них — это еще один способ получить другой тривиально верный результат, например «0 = 0». Но независимо от конкретных предпринятых шагов результат (тривиально верное уравнение) всегда будет одним и тем же, и решение останется тем же: «все x ».

        Поскольку (как я перечислил выше) существует много способов прийти к одному и тому же выводу для этого типа уравнения, вы не должны удивляться, если для уравнений «все действительные числа» или «без решения» вы не используйте те же шаги, что и некоторые из ваших одноклассников.Существует бесконечно много всегда верных уравнений (например, «0 = 0») и бесконечно много бессмысленных уравнений (например, «3 = 4»), также будет много способов (правильно) прийти к этим ответам.

        Основным выводом из приведенных выше примеров должны быть следующие правила:

        x = 0: регулярное решение регулярного уравнения

        ерунда (например, 3 = 4): нет решения

        тривиально истинно (например, 0 = 0): решение — все действительные числа

        К сожалению, хотя вы почти наверняка встретите хотя бы один из этих вопросов типа «нет решения» или «все реально» в следующем тесте (и, вероятно, также в финале), их обычно не так много в наборе домашних заданий, и ваш инструктор, вероятно, предоставил только по одному образцу каждого типа.Это не дает вам большой практики в интерпретации решений такого типа, поэтому давайте еще несколько примеров.

        Сначала я умножу 3 на скобку в левой части. Тогда я решу.

        3x + 12 = 3x + 11
        -3x -3x
        ——————
        12 = 11

        Моя математика верна, но результат — ерунда.Двенадцать никогда не будет равняться одиннадцати. Итак, мой ответ:

        • Решите 6 — 2 (
          x + 3) = –2 x

        Я буду умножать и упрощать в левой части. Тогда я решу.

        6-2 (x + 3) = -2x
        6 — 2x — 6 = -2x
        6-6 — 2x = -2x
        0 — 2x = -2x
        -2x = -2x
        + 2x + 2x
        ———
        0 = 0

        Ноль всегда будет равняться нулю, и в последней строке моей работы нет даже какой-либо переменной, поэтому переменная явно не имеет значения.Это уравнение верно независимо от значения x . Итак, мой ответ:

        • Решите 2 (
          x + 1) + x = 3 ( x + 2) — 2

        Мне нужно будет умножить и упростить каждую часть этого уравнения.

        2 (х + 1) + х = 3 (х + 2) — 2
        2х + 2 + х = 3х + 6-2
        2х + х + 2 = 3х + 4
        3х + 2 = 3х + 4
        -3x -3x
        ———————-
        2 = 4

        Нет; никогда не правда.

        • Решить 5
          x + 7 = 4 (2 x + 1) — 3 x -2

        Мне нужно упростить правую часть, а затем посмотреть, к чему это приведет.

        5x + 7 = 4 (2x + 1) — 3x — 2
        5х + 7 = 8х + 4 — 3х — 2
        5x + 7 = 8x — 3x + 4-2
        5х + 7 = 5х + 2
        -5x -5x
        ——————
        7 = 2

        Нет; никогда не правда.

        Я разверну левую часть и решу.

        8 (x + 2) = 2x + 16
        8х + 16 = 2х + 16
        -2x -2x
        ——————
        6х + 16 = 16
        -16-16
        ——————
        6x + 0 = 0
        —— —
        6 6

        х = 0

        Это уравнение имеет значение решения, равное нулю.

        • Решить 1,5
          x + 4 = 4 ( x + 1) — 2,5 x

        Я расширяю и упрощаю в правой части, а затем решаю.

        1,5x + 4 = 4 (x + 1) — 2,5x
        1,5x + 4 = 4x + 4 — 2,5x
        1,5x + 4 = 4x — 2,5x + 4
        1.5х + 4 = 1,5х + 4
        -1,5x -1,5x
        ———————
        4 = 4

        Это всегда так, поэтому мой ответ:

        Я разверну левую часть и решу.

        2 (х + 5) = 2x + 5
        2х + 10 = 2х + 5
        -2x -2x
        ——————
        10 = 5

        Нет; никогда не правда.

        URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin5.htm

        Тем по алгебре: Решение уравнений

        Урок 8: Решение уравнений

        / ru / algebra-themes / упрощающие-выражения / content /

        Решение уравнений

        В предыдущем разделе мы говорили о упрощающих выражениях .В этом разделе мы поговорим о решениях уравнений. Уравнения — это два выражения, равных друг другу с использованием знака равенства (=). Когда мы упрощаем выражения, наша конечная цель состоит в том, чтобы не осталось никаких операций.

        Когда мы решаем уравнения, наша конечная цель — выяснить, чему равна переменная (или буква), поместив переменную отдельно по одну сторону от знака равенства и само число с другой. Мы собираемся достичь этой цели, выполнив два важных шага:

        1. Упростите каждое выражение по обе стороны от знака равенства.
        2. Используйте обратные операции для отмены.

        Звучит сложно? Мы разберем его, чтобы было легче. Давайте посмотрим на пример:

        5x — 4x — 6 = 18

        Мы можем начать решать так же, как начинали бы упрощать выражение, проверяя порядок операций. Мы хотим максимально упростить каждую сторону знака равенства первые . Глядя на наше уравнение, нет скобок или показателей степени, и нет ничего, что можно было бы умножать или делить, поэтому мы просто начнем складывать и вычитать.Первая часть проста: 5 x — 4 x — 1 x , или просто x .

        Отмена с обратными операциями

        Теперь у нас осталось это уравнение:

        х — 6 = 18

        Мы не можем вычесть 6 из x , потому что они не , как термины (наш урок чтения алгебраических выражений объясняет это более подробно). Но x — 6 = 18 все еще недостаточно упрощен. В конце концов, мы ищем значение x , а не значение x — 6.

        Чтобы решить это уравнение, нам нужно получить x только на одной стороне знака равенства. Чтобы переместить -6 на другую сторону от знака равенства, мы можем использовать , обратное — или противоположное — -6. Это будет 6. Другими словами, мы можем прибавить шесть к обеим сторонам уравнения.

        В левой части уравнения -6 плюс 6 равно 0, а x -0 равно x . Справа 18 плюс 6 равно 24, поэтому x = 24.Теперь наше уравнение упрощено. Мы упростили его, используя , инверсию того, от чего мы хотели избавиться.

        Это также называется , отменяющее , потому что оно позволяет вам отменить или избавиться от части уравнения. Это не значит, что вы можете просто вычеркнуть любую часть уравнения, которую не хотите решать (хотя это значительно упростит алгебру!). Вы должны соблюдать несколько правил.

        Во-первых, вы заметили, что мы добавили 6 к в обе стороны нашего уравнения? Это потому, что две стороны уравнения всегда должны быть равными — в конце концов, это то, что означает знак равенства.Каждый раз, когда вы делаете что-то дополнительно к одной стороне уравнения, вы должны делать то же самое с другой. Поскольку мы добавили 6 к -6 на левой стороне , нам также пришлось добавить ее к 18 на правой стороне .

        Во-вторых, помните, как мы прибавили шесть, где в исходном выражении говорилось, что вычесть ? Мы сделали это, потому что 6 — это противоположность -6. Чтобы отменить часть выражения, вам нужно использовать ее противоположную или инверсную. Противоположность вычитания — , сложение — и, как вы могли догадаться, противоположность сложения — , вычитание .

        Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

        А как насчет умножения и деления? Это тоже противоположности, и вы также можете их отменить. Например, как получить a только в этом уравнении слева от знака равенства?

        5a = 30

        Поскольку a равно , умноженному на на 5, вы можете разделить с обеих сторон задачи на 5. 5 a разделить на 5 равно a и 30 разделить на 5 равно 6, поэтому упрощенная версия этого уравнения будет выглядеть так:

        а = 6

        Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

        Многоступенчатые уравнения

        Давайте посмотрим на другой пример:

        4 (2x + 3) = 68

        Во-первых, нам нужно посмотреть, можно ли что-нибудь упростить. Помните, в предыдущем разделе мы говорили о числе вне скобок, означающем умножение? В соответствии с этим, мы можем умножить 4 · 2x и 4 · 3. 4 · 2x будет 8x , а 4 · 3 будет 12 .

        8x + 12 = 68

        Это дает нам 8x + 12 = 68 .

        Теперь, когда обе стороны знака равенства упрощены, нам нужно будет использовать отмену, чтобы получить x отдельно. Прямо сейчас у нас есть две вещи, которые нам нужно переместить, 8 и 12. Мы добавляем 12, поэтому мы должны вычесть, чтобы переместить его. Мы также умножаем x на 8, поэтому мы будем делить, чтобы переместить его. Но какой из них двигаться первым?

        Помните, что для отмены используется обратных — или противоположных — операций. Поскольку мы используем противоположные операции для перемещения объектов, мы собираемся использовать напротив порядка операций, чтобы решить, в каком порядке их перемещать.

        Порядок операций гласит, что мы упростим умножение и деление перед сложением и вычитанием, поэтому мы собираемся сделать наоборот. Сначала мы будем использовать сложение / вычитание, а затем умножение / деление.

        Сначала вычтем 12 с обеих сторон:

        Поскольку 12–12 равняется 0, слева остается 8x. Поскольку 68-12 это 56, у нас остается 56 справа.

        Наконец, разделим. 56/8 = 7

        х = 7

        Готово! Это означает, что для 4 (2x + 3) = 68 x должен быть равен 7.

        Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

        Практика!

        Давайте попрактикуемся в том, что вы только что узнали, решив еще несколько задач. Помните, что для упрощения мы будем использовать порядок операций и , отменяя .

        Обратите внимание на шаги, которые мы предпринимаем для упрощения этих выражений — через некоторое время у вас будет возможность решить несколько самостоятельно.

        Задача 1

        Упростите это выражение, чтобы найти значение x :

        6x + 2 3 = 74

        Найдите минутку, чтобы подумать, что бы вы сделали в первую очередь.Возможно, вы даже захотите достать лист бумаги, чтобы увидеть, как вы можете упростить это самостоятельно. Когда будете готовы, продолжайте читать, чтобы узнать, как мы получили правильный ответ.

        Как и на предыдущей странице, мы начнем с того, что посмотрим, можем ли мы что-нибудь сделать с порядком операций . Это выражение имеет две операции: сложение и показатель степени .

        6x + 2 3 = 74

        Согласно порядку операций, нам нужно сначала вычислить показатель степени.Это 2 3 , что равно 2 ⋅ 2 ⋅ 2 , или 8.

        6x + 2 3 = 74

        Порядок операций гласит, что мы должны добавить следующее, но мы не можем добавить 6 x + 8 — переменная с коэффициентом, подобным 6 x , может быть добавлена ​​только к другому подобному члену. (Другими словами, число с переменной x может быть добавлено только к другому числу с переменной x .) Чтобы получить 6 x самостоятельно, нам придется отменить + 8.

        6x + 8 = 74

        Мы можем сделать это с напротив из 8, что равно — 8. Мы вычтем 8 с обеих сторон от знака равенства. 8 — 8 — 0. 74 — 8 — 66.

        Мы почти закончили. Все, что осталось сделать, это избавиться от 6 из 6 x . Помните, что 6 x — это просто еще один способ записи 6 ⋅ x .

        6x = 66

        Поскольку 6 и x умножаются на на , мы можем сократить 6, сделав обратное: разделим .

        6 x /6 равно x и 66/6 равно 11, поэтому x = 11. Готово!

        х = 11

        Как вы могли заметить, вам не нужно соблюдать порядок операций после того, как вы начали отмену. Все, что имеет значение, — это , при котором обе стороны выражения равны . Фактически, лучше всего отменить сложение и вычитание перед .

        Задача 2

        Попробуем другую задачу.Упростим и .

        4 (3 года — 8) = 4

        Эта задача немного отличается от предыдущей, но использует те же навыки. Вот как это решить:

        В соответствии с порядком операций нам нужно сначала упростить выражение в скобках . Однако мы не можем вычесть 8 из 3 y — мы не можем вычесть число из переменной.

        4 (3 года — 8) = 4

        Поскольку 4 стоит рядом со скобками, мы должны умножить , указанное в скобках, на 4.(Запутались? Просмотрите наш урок по чтению алгебраических выражений).

        4 (3y -8) = 4

        4 ⋅ 3 y равно 12 y и 4 ⋅ -8 равно -32. Вы также не можете вычесть 32 из 12 y , поэтому для дальнейшего упрощения этого выражения нам придется начать отменять.

        12лет — 32 = 4

        Давайте сначала избавимся от -32. Противоположность -32 — 32, поэтому мы прибавим к обеим сторонам 32. — 32 + 32 равно 0, а 4 + 32 равно 36.

        Мы почти закончили. Нам просто нужно отменить 12 из 12 y . Помните, что 12 y также можно записать как 12 ⋅ y .

        12 y = 36

        Поскольку 12 и y умножаются на на , мы можем сократить 12 на , разделив .

        12 y /12 равно y , а 36/12 равно 3. Мы сделали это: y равно 3.

        y = 3

        Ваша очередь

        Попробуйте решить следующие несколько проблем самостоятельно.Ответы ниже.

        Задача 1

        Упростите это выражение, чтобы найти значение x :

        -2 + x / 5 — 3 = 0

        Задача 2

        Найдите значение y :

        3 (y + 2y) = 36

        Задача 3

        Найдите значение r :

        300–60 р + 10 2 = -380

        Ответов:
        1. x = 25
        2. y = 4
        3. r = -2

        Более длинные уравнения

        Хотите верьте, хотите нет, но теперь у вас есть инструменты для упрощения многих выражений, даже таких сложных на вид, как это:

        3x — 24 ⋅ 2 = 8x + 2

        Это может показаться более сложным, чем задачи, которые вы решили на предыдущей странице, но вы будете использовать те же навыки, чтобы решить эту.Основное различие между этим выражением и другими, которые вы решили, заключается в том, что у этого есть переменная и по крайней мере одно число на по обе стороны от знака равенства , поэтому вам придется немного больше компенсировать.

        Вам также нужно будет выбрать, хотите ли вы, чтобы переменная была слева или справа от знака равенства в вашем упрощенном выражении. На самом деле это не имеет значения — ответ будет одинаковым в любом случае, но в зависимости от задачи вы можете обнаружить, что математика кажется проще, чем в другой.Тем не менее, несмотря ни на что, ваше упрощенное уравнение должно иметь только переменную с одной стороны уравнения и только число с другой.

        Давайте попробуем решить задачу вверху страницы: 3 x — 24 ⋅ 2 = 8 x + 2.

        Во-первых, мы хотим разобраться в том, что мы можем, с порядком операций. Похоже, что все, что мы можем сделать, это умножить -24 ⋅ 2. Все остальное требует сложения или вычитания в отличие от терминов: — 24 ⋅ 2 равно -48.

        3x -24 ⋅ 2 = 8x + 2

        Давайте попробуем получить x на левой стороне знака равенства и цифре справа .Начнем с исключения -48 слева. Мы можем сделать это, добавив 48 к обеим сторонам. -48 + 48 равно 0, а 2 + 48 равно 50.

        Поскольку мы решили, что x будет на левой стороне , мы должны избавиться от 8 x справа. Мы можем сделать это , вычтя 8 x с обеих сторон. 8 x — 8 x — 0, а 3 x — 8 x — -5 x .

        Теперь все, что осталось сделать, это избавиться от -5 в -5 x . Поскольку -5 x — это способ записи -5 ⋅ x , мы можем отменить его, разделив с обеих сторон на -5. -5 x / -5 равно x , а 50 / -5 равно 10.

        Готово! x равно -10.

        х = -10

        Как видите, упрощение этого уравнения на самом деле не было намного сложнее, чем упрощение любого из других уравнений в этом уроке — просто это заняло немного больше времени.

        Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

        Практика!

        Теперь ваша очередь. Попробуйте упростить эти длинные выражения.

        Задача 1

        Решите для i .

        -46 -2i = 42 + 7i ⋅ 6

        Задача 2

        Решить относительно j .

        90j / 5 + 2 2 = 140 + j

        Задача 3

        Решить относительно k . (Подсказка: ваш окончательный ответ будет дробным.)

        3 + (3k + 6k) = 3k + 5

        ответов
        1. i = -2
        2. j = 8
        3. k = 1/3

        Уравнения с более чем одной переменной

        Иногда вы можете увидеть уравнение с более чем одной переменной, например, это:

        2x + 6y -10 = 38

        Если выражение содержит более одной переменной, вы не сможете упростить его полностью — недостаточно информации. Вместо этого в задачах с уравнениями с несколькими переменными обычно предлагается решить для одну переменных.Вы максимально упростите его, добавив переменную, которую вы решаете, с одной стороны уравнения, а любые другие числа и переменные — с другой. Упростим приведенное выше выражение: 2 x +6 y — 10 = 38.

        Мы ничего не можем сделать с порядком операций, так что давайте начнем отменять. Нам нужно только x на левой стороне , поэтому мы постараемся расположить все остальное справа.

        2x + 6лет — 10 = 38

        Сначала отменим -10.Противоположность -10 равна 10, поэтому мы добавим к обеим сторонам по 10 . -10 + 10 равно 0, а 38 + 10 равно 48.

        Далее избавляемся от 6 y . Мы вычтем из с обеих сторон. 6 y — 6 y равно 0. Поскольку с другой стороны нечего вычитать, мы просто напишем -6 y справа. (Смущает? Это как если бы мы вычли 6 y из ничего , или 0 — и 0-6 y равно -6 y .)

        Теперь нам нужно избавиться от 2 из 2 x . Поскольку 2 x — это еще один способ сказать 2 ⋅ x, мы разделим с обеих сторон на 2, чтобы получить только x слева. 2 x /2 — x , а (48-6 y ) / 2 — 24-3 y .

        Это все, что нужно! Выражение не полностью упрощено — мы все еще не знаем числовое значение x и y — но оно достаточно упрощено, потому что мы можем сказать, что x равно 24 — 3 y .

        x = 24 — 3 года

        Помните, ваша цель при решении подобных задач состоит не в том, чтобы полностью упростить выражение, а в том, чтобы найти значение одной из переменных.

        Это — это , которое на самом деле можно решить для двух переменных, если у вас есть более одного уравнения с одинаковыми переменными. Это называется системой уравнений. На самом деле мы используем системы уравнений в нашем уроке по задачам дистанционных слов, но мы не обсуждаем, как они работают в целом.Чтобы узнать больше о системах уравнений, посмотрите это видео от Khan Academy.

        Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

        Практика!

        Задача 1

        Решить относительно r .

        88q + 4r — 3 = 5

        Задача 2

        Решить для с . (Подсказка: ваш окончательный ответ будет дробью со знаминателем r .)

        (13ср) / 2 = 39

        Задача 3

        Решить для м .

        6 м. — 30 чел. / 5 = 12

        ответов
        1. r = 2 — 22 q
        2. s = 6/ r
        3. м = 2 + p

        Проверка вашей работы

        Важно проверять свою работу по алгебре, особенно когда вы только начинаете. К счастью, проверить свою работу, когда вы упрощаете уравнения, довольно просто. Все, что вам нужно сделать, это заменить переменную в уравнении на значение, которое вы нашли при упрощении.Чтобы увидеть, как это работает, давайте вернемся к одному из упрощенных ранее уравнений:

        4 (3 года — 8) = 4

        Мы обнаружили, что y равно 3. Посмотрим, правильно ли мы получили ответ.

        Вот наше исходное уравнение. y — наша переменная, поэтому мы заменим ее найденным значением: 3.

        4 (3 года — 8) = 4

        Вот как выглядит уравнение с 3 вместо y . Теперь посмотрим, верно ли уравнение.Если левая сторона равна правой, наш ответ правильный.

        4 (3 ⋅ 3–8) = 4

        Мы будем следовать порядку операций, сначала скобки. 3 ⋅ 3 равно 9, а 9–8 равно 1.

        4 (1) = 4

        Теперь, когда мы упростили скобки, все, что нам нужно сделать, это умножить 4 на 1.

        4 (1) = 4

        4 ⋅ 1 равно 4. Обе части нашего уравнения равны, поэтому наш ответ правильный!

        4 = 4

        Это все, что нужно! Проверять каждое упрощенное выражение — хорошая привычка, и вы обнаружите, что проверка своей работы обычно занимает меньше времени, чем на упрощение уравнения в первую очередь.

        Попробуем еще:

        Выражение, на которое мы будем смотреть: 5 x + 3 = 23 + x . Мы проверяем правильность решения x = 4.

        5x + 3 = 23 + x

        Сначала заменим переменную x на 4.

        5 ⋅ 4 + 3 = 23 + 4

        Чтобы проверить нашу работу, нам нужно упростить обе стороны выражения. Начнем с левой стороны . По порядку действий нам нужно сначала умножить, а потом сложить. 5 ⋅ 4 равно 20, и когда вы прибавите к этому 3 , вы получите 23.

        5 ⋅ 4 + 3 = 23 + 4

        Теперь нам нужно упростить правую часть: 23 + 4 равно 27.

        23 = 23 + 4

        Наше уравнение не может быть правильным — 23 и 27 не равны . Теперь мы знаем, что x не равно 4. Другими словами, ответ неправильный .

        23 = 27

        Как вы только что видели, если вы проверяете задачу, и окончательное выражение — , а не — сбалансированное уравнение, ваш ответ — , а не правильно.Найдите время, чтобы вернуться и снова упростить исходное уравнение. Со второй попытки обратите особое внимание на порядок операций и убедитесь, что вы правильно складываете, вычитаете, умножаете и делите.

        Хотите еще раз проверить последнюю проблему? На этот раз проверьте это с помощью x = 5.

        Практика!

        Задача 1

        Проверьте эту проблему. u = 6 правильный ответ? Если нет, то что?

        ед (3 + 8) / 2 = 33

        Задача 2

        Проверьте эту проблему.Правильный ли ответ против = 5? Если нет, то что?

        В / 5 + 20 В = 19 В + 12

        Задача 3

        Проверьте эту проблему. w = 8 правильный ответ? Если нет, то что?

        5 Вт + 3 = 4 Вт + 10

        ответов
        1. Да, ответ правильный.
        2. №; v = 10.
        3. Нет; w = 7.

        / ru / algebra-themes / Introduction-to-word-tasks / content /

        4. Решение уравнений

        Помните такого рода задачи из начальной школы?

        ? + 5 = 7

        Нам просто нужно было выяснить, какое число должно быть в поле, чтобы сделать его верным.Очевидно, нам нужно заменить вопросительный знак на «2»:

        2 + 5 = 7

        Решение уравнений с использованием алгебры ничем не отличается. Вместо поля мы используем букву для обозначения числа. Наша задача — найти правильное число (а иногда их может быть больше одного), которое делает уравнение истинным.

        Иногда мы можем «увидеть» правильный ответ, если он простой (может быть, мы сможем просто сосчитать пальцами или что-то еще.) Но когда наши уравнения становятся более сложными, нам нужен процесс, чтобы следовать этому в конечном итоге даст нам ответ.

        Наш процесс

        1. Мы стремимся получить x (или любую другую букву, используемую в вопросе) слева от знака равенства.
        2. Мы решаем уравнения по балансировке: что бы мы ни делали с одним часть уравнения, мы должны сделать то же самое с другой боковая сторона. Таким образом, если мы прибавим 4 к левой части, мы должны добавить 4 и к правой части.Если мы умножаем левую часть на 2, мы умножаем и правую часть на 2.

        Пример 1

        Решите уравнение

        x — 6 = 10

        Ответ

        Нам нужно «избавиться» от -6 с левой стороны, чтобы у нас осталось x только с левой стороны.

        Противоположность вычитанию 6 дает прибавление 6.

        Если мы прибавим 6 к обеим сторонам, мы удалим -6 слева.

        x — 6 = 10

        х — 6 + 6 = 10 + 6

        х = 16

        Значит, значение x должно быть 16, чтобы уравнение было верным.

        ПРОВЕРЬТЕ исходный вопрос:

        16 — 6 = 10. Проверяется нормально.

        Пример 2

        Решить 5 x = 35

        Ответ

        На этот раз мы отвечаем

        5 ×? = 35

        Мы могли бы легко сделать это в уме (правда?), Но если проблема более сложная, нам нужно знать, что делать.

        Слева мы умножаем неизвестное количество на 5. Мы будем использовать « x » для этого количества.

        `5x = 35`

        Противоположность умножению на 5 — деление на 5. Итак, мы делим обе части на 5:

        `(5x) / 5 = 35 / 5`

        Получаем:

        `x = 7`

        ПРОВЕРКА: 5 × 7 = 35. Проверяется нормально.

        [Эти проверки кажутся глупыми с простыми примерами, но действительно хорошая идея для проверки ваших решений для всех задач с уравнениями, которые вы делаете.Это означает, что вы можете оставить проблему, чувствуя себя хорошо, потому что у вас есть правильный ответ, а также вы узнаете больше о том, как работает решение.]

        Пример 3

        Решить

        `(3x) / 4 = 7`

        Ответ

        На этот раз нам нужно сделать 2 шага, чтобы решить уравнение. Мы замечаем, что внизу дроби стоит цифра 4.

        `(3x) / 4 = 7`

        Это эквивалентно делению на 4. Противоположность делению на 4 — умножение на 4.Итак, мы делаем это в первую очередь:

        `(3x) / 4 xx 4 = 7xx4`

        Отмена четверки слева дает:

        `3x = 28`

        На среднем шаге мы вычеркнули четверки, так что у нас не осталось дроби.

        Теперь нам нужно разделить обе части на 3, так как у нас есть «3 ×» в левой части уравнения.

        x = 28/3 = 9 1/3

        Некоторые страны (например, США) оставляют ответ в виде одинарной дроби (28/3), в то время как практика в других странах (например, в Великобритании и Австралии) выражается в виде смешанного числа .

        ПРОВЕРКА:

        Наш ответ правильный?

        Подставляя наш ответ в левую часть, получаем:

        `(3x) / 4 = 3/4 x = 3/4 xx 28/3`

        Отмена 3 (что дает нам 1) и 28 с 4 дает нам 7:

        `3/4 xx 28/3 = 7`

        Правая часть вопроса была 7, поэтому мы уверены, что наш ответ правильный.

        Пример 4

        Решить 5 — ( x + 2) = 5 x

        Ответ

        Сначала расширяем скобу.

        `5 — (x + 2) = 5x`

        `5 — x — 2 = 5x`

        `3 — x = 5x`

        Теперь мы понимаем, что легче разместить все x на правой стороне, добавив x с обеих сторон:

        `3 = 6x`

        Теперь я делю обе стороны на 6 и меняю местами стороны:

        x = 0,5.

        ПРОВЕРКА:

        Мы проверяем наш ответ в обеих частях уравнения.Если это сработает, это должен быть правильный ответ.

        LHS = `5 — (0,5 + 2) = 2,5`

        RHS = `5 xx 0,5 = 2,5` = LHS.

        Проверяет ОК.

        Пример 5

        Решить 5 x — 2 ( x -5) = 4 x

        Ответ

        Раскладной кронштейн:

        `5x — 2 (x — 5) = 4x`

        `5x — 2x + 10 = 4x`

        `3x + 10 = 4x`

        Вычитая `3x` с обеих сторон и меняя их местами, получаем:

        `x = 10`

        ПРОВЕРКА:

        LHS = `5 xx 10-2 (10-5) = 50 — 10 = 40`

        RHS = `4 xx 10 = 40` = LHS.

        Проверяет ОК.

        Пример 6

        Если можете, решите уравнение

        — (7 — x ) + 5 = x + 7

        Что вы сделаете в заключение?

        Ответ

        — (7 — x ) + 5 = x + 7

        Раскрыть скобки:

        −7 + x + 5 = x + 7

        Вычтем x с обеих сторон:

        «-7 + 5 = 7»

        Упростите левую часть:

        `-2 = 7` ????

        Это невозможно, поэтому мы заключаем, что для x нет возможных значений.

        Таблица умножения от 11 до 20: Таблица умножения до 20 и до 100

        alexxlab / / Разное

        Таблица умножения от 11 до 20. Описание работы онлайн тренажера

        С лучшей бесплатной игрой учится очень быстро. Проверьте это сами!

        Учить таблицу умножения — игра

        Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.

        Смотрите ниже шпаргалки в полной форме.


        Умножение прямо на сайте (онлайн)

        *

        Таблица умножения (числа от 1 до 20)
        ×1234567891011121314151617181920
        11234567891011121314151617181920
        2246810121416182022242628303234363840
        33691215182124273033363942454851545760
        448121620242832364044485256606468727680
        55101520253035404550556065707580859095100
        66121824303642485460667278849096102108114120
        7714212835424956637077849198105112119126133140
        881624324048566472808896104112120128136144152160
        9918273645546372819099108117126135144153162171180
        10102030405060708090100110120130140150160170180190200
        11112233445566778899110121132143154165176187198209220
        121224364860728496108120132144156168180192204216228240
        1313263952657891104117130143156169182195208221234247260
        1414284256708498112126140154168182196210224238252266280
        15153045607590105120135150165180195210225240255270285300
        16163248648096112128144160176192208224240256272288304320
        171734516885102119136153170187204221238255272289306323340
        181836547290108126144162180198216234252270288306324342360
        191938577695114133152171190209228247266285304323342361380
        2020406080100120140160180200220240260280300320340360380400

        Как умножать числа столбиком (видео по математике)

        Чтобы потренироваться и быстро выучить, можно также попробовать умножать числа столбиком.

        Ни для кого не секрет, как важно знание таблицы умножения и деления, в частности при выполнении арифметических расчётов и решении примеров по математике .

        Однако, что если ребёнка пугает этот огромный набор цифр, именующийся «Таблицей умножения и деления », а уж знать его наизусть, представляется совсем непосильной задачей?

        Тогда спешим успокоить – Выучить всю таблицу умножения очень просто! Для этого необходимо запомнить всего лишь 36 комбинаций чисел (связки трех чисел) . Здесь мы не учитываем умножение на 1 и 10, так как это является элементарным действием не требующим особых усилий в запоминании.

        Описание работы онлайн тренажера

        Данный тренажер работает на основе специально разработанного алгоритма повышения сложности примеров: начиная с самых простых цифр «2 x 2», постепенно повышая сложность до «9 x 9». Тем самым плавно завлекая в процесс изучения.

        Таким образом, запоминать таблицу умножения придётся небольшими порциями, что существенно снизит нагрузку, так как дети будут направлять своё внимание всего лишь на несколько примеров, забыв про весь «большой» объём.

        В Тренажере есть меню настроек для выбора режима изучения таблицы. Имеется возможность выбора дейстия — «Умножение» или «Деление», диапазона примеров «Вся таблица» или «На какое-то число». Все это является рассширенным функционалом сайта и доступно после оплаты .

        Каждый новый пример сопровождается справочной подсказкой , так ребёнку будет легче начать своё изучение и запоминать новые неизвестные ему комбинации.

        Если же по ходу обучения, какой либо пример вызывает трудность, можно быстро напомнить себе его результат, воспользовавшись дополнительной подсказкой , это поможет эффективнее справляться с запоминанием трудных примеров.

        Процентная шкала быстро даст вам понять каким уровнем знания таблицы умножения Вы обладаете.

        Пример считается полностью выученным, если правильный ответ был дан 4 раза подряд . Однако при достижении 100% , призываем не бросать изучение, а вернуться на следующий день и освежить свои знания, повторно пройдя все примеры. Ведь именно регулярные занятия развивают память и закрепляют навыки!

        Описание интерфейса онлайн тренажера

        Во-первых, в тренажере присутствует «панель быстрого доступа», включающая в себя 4 кнопки. Они позволяют: перейти на главную страницу сайта, включить или отключить звуковые сигналы, сбросить результаты обучения (начать изучение сначала), а также попать на страницу отзывов и комментариев.

        Во-вторых, это основная структура программы.

        Выше всех находится процентная шкала , отобржающая примерный уровень знания таблицы умножения.

        Ниже идет поле с примером , на который необходимо дать ответ. Во время ответа оно будет изменять свой цвет: станет красным — если был дан неверный ответ, зеленым — в случае правильного, голубым — после использования подсказки, и желтоватым — во время показа нового примера.

        Следом располагается строка сообщений . В ней выводятся текстовая информация об ошибках, правильных ответах, а также справочной и дополнительной подсказками.

        В конце находится экранная клавиатура , содержащая только необходимые для работы кнопки: все цифры, «забой» — если нужно исправить ответ, кнопки «Проверить» и «Дополнительная подсказка».

        Мы уверены, что данный тренажер «Таблица умножения за 20 минут», поможет .

        Ребята, мы вкладываем душу в сайт. Cпасибо за то,
        что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
        Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

        Таблица умножения — базовое понятие в математике, с которым мы знакомимся еще в начальной школе и которое потом используем всю жизнь вне зависимости от профессии. Вот только дети не спешат заучивать бесконечные столбики наизусть, особенно если задание пришлось на каникулы.

        сайт даст советы, как легко выучить таблицу вместе с детьми и сделать этот процесс увлекательным.

        Таблица Пифагора

        Несмотря на то что задача — выучить, то есть заучить, таблицу наизусть, прежде всего важно понять суть самого действия. Для этого можно заменить умножение сложением: одинаковые числа складываются столько раз, на сколько мы умножаем. Например, 6×8 — это сложить 8 раз по 6.

        Выделяем цветом одинаковые значения

        Отличным помощником для изучения умножения станет таблица Пифагора, которая также демонстрирует некоторые закономерности. Например то, что от перемены мест множителей произведение не меняется: 4×6 = 6×4. Отметьте такие «зеркальные» ответы определенным цветом — это поможет запомнить и не запутаться при повторении.

        Начинать изучение таблицы Пифагора лучше с самых простых и понятных частей: умножения на 1, 2, 5 и 10. При умножении на единицу число остается неизменным, а умножение на 2 дает нам удвоенное значение. Все ответы умножения на 5 оканчиваются либо на 0, либо на 5. А вот умножив на 10, в ответе мы получим двузначное число из цифры, которую умножали, и нуля.

        Таблица для закрепления результата

        Для закрепления результатов нарисуйте с ребенком пустую таблицу Пифагора и предложите ему заполнить клеточки правильными ответами. Для этого вам понадобится всего лишь листок бумаги, карандаш и линейка. Нужно нарисовать квадрат и поделить его на 10 частей по вертикали и горизонтали. А затем заполнить верхнюю строчку и крайний левый столбик числами от 1 до 9, пропустив первую клетку.

        Конечно, все дети индивидуальны и универсального рецепта не существует. Главная задача родителя — найти подход и поддержать свое чадо, ведь все мы когда-то начинали с таких одновременно простых и сложных шагов.

        Таблица умножения или таблица пифагора — это известная математическая структура, помогающая школьникам выучить умножение, а также просто решить конкретные примеры.

        Ниже Вы можете видеть ее в классическом виде. Обратите внимание на числа от 1 до 20, которыми озаглавлены строчки слева и столбцы сверху. Это множители.

        Как пользоваться таблицей Пифагора?

        1. Итак, в первой колонке находим число, которое необходимо умножить. Затем в верхней строчке ищем число, на которое будем умножать первое. Теперь смотрим, где пересекаются нужная нам строчка и столбец. Число, находящееся на этом пересечении, является произведением данных множителей. Иными словами, это результат их умножения.

        Как видите, все довольно просто. Вы можете посмотреть данную таблицу на нашем сайте в любое время, а также при необходимости можно сохранить ее себе на компьютер в виде картинки, чтобы иметь к ней доступ без подключения к интернету.

        2. И снова обратите внимание, ниже имеется та же таблица, но уже в более привычной форме – в виде математических примеров . Многим такая форма покажется проще и комфортнее для использования. Она также доступна для скачивания на любой носитель в виде удобной картинки.

        И наконец, Вы можете воспользоваться нашим калькулятором, который присутствует на данной странице, в самом низу. Просто введите в пустые ячейки нужные Вам числа для умножения, кликните на кнопку Вычислить, и тут же в окошке Результат появится новое число, которое и будет их произведением.

        Надеемся, данный раздел будет Вам полезен, и наша таблица Пифагора в том или ином ее виде не раз поможет Вам в решении примеров с умножением и просто для заучивания данной темы.

        Таблица пифагора от 1 до 20

        ×1234567891011121314151617181920
        11234567891011121314151617181920
        2246810121416182022242628303234363840
        33691215182124273033363942454851545760
        448121620242832364044485256606468727680
        55101520253035404550556065707580859095100
        66121824303642485460667278849096102108114120
        7714212835424956637077849198105112119126133140
        881624324048566472808896104112120128136144152160
        9918273645546372819099108117126135144153162171180
        10102030405060708090100110120130140150160170180190200
        11112233445566778899110121132143154165176187198209220
        121224364860728496108120132144156168180192204216228240
        1313263952657891104117130143156169182195208221234247260
        1414284256708498112126140154168182196210224238252266280
        15153045607590105120135150165180195210225240255270285300
        16163248648096112128144160176192208224240256272288304320
        171734516885102119136153170187204221238255272289306323340
        181836547290108126144162180198216234252270288306324342360
        191938577695114133152171190209228247266285304323342361380
        2020406080100120140160180200220240260280300320340360380400

        Таблица умножения в стандартном виде от 1 до 10

        1 х 1 = 1
        1 х 2 = 2
        1 х 3 = 3
        1 х 4 = 4
        1 х 5 = 5
        1 х 6 = 6
        1 х 7 = 7
        1 х 8 = 8
        1 х 9 = 9
        1 х 10 = 10        		 2 х 1 = 2
        2 х 2 = 4
        2 х 3 = 6
        2 х 4 = 8
        2 х 5 = 10
        2 х 6 = 12
        2 х 7 = 14
        2 х 8 = 16
        2 х 9 = 18
        2 х 10 = 20        		 3 х 1 = 3
        3 х 2 = 6
        3 х 3 = 9
        3 х 4 = 12
        3 х 5 = 15
        3 х 6 = 18
        3 х 7 = 21
        3 х 8 = 24
        3 х 9 = 27
        3 х 10 = 30        		 4 х 1 = 4
        4 х 2 = 8
        4 х 3 = 12
        4 х 4 = 16
        4 х 5 = 20
        4 х 6 = 24
        4 х 7 = 28
        4 х 8 = 32
        4 х 9 = 36
        4 х 10 = 40        		 5 х 1 = 5
        5 х 2 = 10
        5 х 3 = 15
        5 х 4 = 20
        5 х 5 = 25
        5 х 6 = 30
        5 х 7 = 35
        5 х 8 = 40
        5 х 9 = 45
        5 х 10 = 50
        6 х 1 = 6
        6 х 2 = 12
        6 х 3 = 18
        6 х 4 = 24
        6 х 5 = 30
        6 х 6 = 36
        6 х 7 = 42
        6 х 8 = 48
        6 х 9 = 54
        6 х 10 = 60        		 7 х 1 = 7
        7 х 2 = 14
        7 х 3 = 21
        7 х 4 = 28
        7 х 5 = 35
        7 х 6 = 42
        7 х 7 = 49
        7 х 8 = 56
        7 х 9 = 63
        7 х 10 = 70        		 8 х 1 = 8
        8 х 2 = 16
        8 х 3 = 24
        8 х 4 = 32
        8 х 5 = 40
        8 х 6 = 48
        8 х 7 = 56
        8 х 8 = 64
        8 х 9 = 72
        8 х 10 = 80        		 9 х 1 = 9
        9 х 2 = 18
        9 х 3 = 27
        9 х 4 = 36
        9 х 5 = 45
        9 х 6 = 54
        9 х 7 = 63
        9 х 8 = 72
        9 х 9 = 81
        9 х 10 = 90        		 10 х 1 = 10
        10 х 2 = 20
        10 х 3 = 30
        10 х 4 = 40
        10 х 5 = 50
        10 х 6 = 60
        10 х 7 = 70
        10 х 8 = 80
        10 х 9 = 90
        10 х 10 = 100

        Таблица умножения в стандартном виде от 10 до 20

        11 х 1 = 11
        11 х 2 = 22
        11 х 3 = 33
        11 х 4 = 44
        11 х 5 = 55
        11 х 6 = 66
        11 х 7 = 77
        11 х 8 = 88
        11 х 9 = 99
        11 х 10 = 110        		 12 х 1 = 12
        12 х 2 = 24
        12 х 3 = 36
        12 х 4 = 48
        12 х 5 = 60
        12 х 6 = 72
        12 х 7 = 84
        12 х 8 = 96
        12 х 9 = 108
        12 х 10 = 120        		 13 х 1 = 13
        13 х 2 = 26
        13 х 3 = 39
        13 х 4 = 52
        13 х 5 = 65
        13 х 6 = 78
        13 х 7 = 91
        13 х 8 = 104
        13 х 9 = 117
        13 х 10 = 130        		 14 х 1 = 14
        14 х 2 = 28
        14 х 3 = 42
        14 х 4 = 56
        14 х 5 = 70
        14 х 6 = 84
        14 х 7 = 98
        14 х 8 = 112
        14 х 9 = 126
        14 х 10 = 140        		 15 х 1 = 15
        15 х 2 = 30
        15 х 3 = 45
        15 х 4 = 60
        15 х 5 = 70
        15 х 6 = 90
        15 х 7 = 105
        15 х 8 = 120
        15 х 9 = 135
        15 х 10 = 150
        16 х 1 = 16
        16 х 2 = 32
        16 х 3 = 48
        16 х 4 = 64
        16 х 5 = 80
        16 х 6 = 96
        16 х 7 = 112
        16 х 8 = 128
        16 х 9 = 144
        16 х 10 = 160        		 17 х 1 = 17
        17 х 2 = 34
        17 х 3 = 51
        17 х 4 = 68
        17 х 5 = 85
        17 х 6 = 102
        17 х 7 = 119
        17 х 8 = 136
        17 х 9 = 153
        17 х 10 = 170        		 18 х 1 = 18
        18 х 2 = 36
        18 х 3 = 54
        18 х 4 = 72
        18 х 5 = 90
        18 х 6 = 108
        18 х 7 = 126
        18 х 8 = 144
        18 х 9 = 162
        18 х 10 = 180        		 19 х 1 = 19
        19 х 2 = 38
        19 х 3 = 57
        19 х 4 = 76
        19 х 5 = 95
        19 х 6 = 114
        19 х 7 = 133
        19 х 8 = 152
        19 х 9 = 171
        19 х 10 = 190        		 20 х 1 = 20
        20 х 2 = 40
        20 х 3 = 60
        20 х 4 = 80
        20 х 5 = 100
        20 х 6 = 120
        20 х 7 = 140
        20 х 8 = 160
        20 х 9 = 180
        20 х 10 = 200

        Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:

        Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда «дуракам закон не писан». Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.

        Что же такое «бесконечная гостиница»? Бесконечная гостиница — это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре «для посетителей» заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами «для гостей». Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у «бесконечной гостиницы» бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда — всегда только один, гостиница — она одна, коридор — только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно «впихнуть невпихуемое».

        Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует — одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.

        Вариант первый. «Пусть нам дано» одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:

        Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.

        Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю — РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:

        Нижние индексы «один» и «два» указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.

        Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.

        Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения — это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).

        воскресенье, 4 августа 2019 г.

        Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:

        Читаем: «… богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы.»

        Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:

        Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.

        За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду — имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.

        суббота, 3 августа 2019 г.

        Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.

        Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку «люди» Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения «половой признак» и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество «люди» превратилось в множество «люди с половыми признаками». После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой — мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет — умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.

        После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат — «множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин». Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.

        Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.

        Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как «правильно» применять их «знания». Этим «знаниям» они обучают нас.

        В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с .

        понедельник, 7 января 2019 г.

        В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

        Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

        Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

        С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

        Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

        Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

        За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

        Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

        Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

        Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

        В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

        среда, 4 июля 2018 г.

        Я вам уже рассказывал, что , при помощи которой шаманы пытаются сортировать » » реальности. Как же они это делают? Как фактически происходит формирование множества?

        Давайте внимательно разберемся с определением множества: «совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». А теперь почувствуйте разницу между двумя фразами: «мыслимое как единое целое» и «мыслимое как целое». Первая фраза — это конечный результат, множество. Вторая фраза — это предварительная подготовка к формированию множества. На этом этапе реальность разбивается на отдельные элементы («целое») из которых потом будет сформировано множество («единое целое»). При этом фактор, позволяющий объединить «целое» в «единое целое», внимательно отслеживается, иначе у шаманов ничего не получится. Ведь шаманы заранее знают, какое именно множество они хотят нам продемонстрировать.

        Покажу процесс на примере. Отбираем «красное твердое в пупырышку» — это наше «целое». При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть «целого» и формируем множество «с бантиком». Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.

        А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем «твердое в пупырышку с бантиком» и объединим эти «целые» по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество «красное». Теперь вопрос на засыпку: полученные множества «с бантиком» и «красное» — это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.

        Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество «красное твердое в пупырышку с бантиком». Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.

        Буква «а» с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется «целое» на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат — элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут «интуитивно» придти к такому же результату, аргументируя его «очевидностью», ведь единицы измерения не входят в их «научный» арсенал.

        При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.

        суббота, 30 июня 2018 г.

        Если математики не могут свести понятие к другим понятиям, значит они ничего не понимают в математике. Отвечаю на : чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Ответ очень простой: числами и единицами измерения.

        Это сегодня всё, что мы не возьмем, принадлежит какому-либо множеству (как нас уверяют математики). Кстати, вы в зеркале видели у себя на лбу список тех множеств, к которым принадлежите именно вы? И я такого списка не видел. Скажу больше — ни одна вещь в реальности не имеет бирочки со списком множеств, к которым эта вещь принадлежит. Множества — это всё выдумки шаманов. Как они это делают? Давайте заглянем немного в глубь истории и посмотрим, как выглядели элементы множества до того, как математики-шаманы растащили их по своим множествам.

        Давним-давно, когда о математике ещё никто и не слышал, а кольца были только у деревьев и у Сатурна, огромные стада диких элементов множеств бродили по физическим полям (ведь математических полей шаманы ещё не придумали). Выглядели они приблизительно так.

        Да, не удивляйтесь, с точки зрения математики все элементы множеств больше всего похожи на морских ежей — из одной точки, как иголки, во все стороны торчат единицы измерений. Для тех, кто , напоминаю, что любую единицу измерения геометрически можно представить как отрезок произвольной длины, а число — как точку. Геометрически любую величину можно представить как пучок отрезков, торчащих в разные стороны из одной точки. Эта точка — точка ноль. Рисовать это произведение геометрического искусства я не буду (нет вдохновения), но вы легко это можете представить.

        Какие же единицы измерения образуют элемент множества? Всякие, описывающие данный элемент с разных точек зрения. Это и древние единицы измерения, которыми пользовались наши предки и о которых все давно забыли. Это и современные единицы измерения, которыми мы пользуемся сейчас. Это и неизвестные нам единицы измерения, которые придумают наши потомки и которыми будут пользоваться они для описания реальности.

        С геометрией мы разобрались — предлагаемая модель элементов множества имеет четкое геометрическое представление. А как с физикой? Единицы измерения — это и есть прямая связь математики с физикой. Если шаманы не признают единицы измерения как полноправный элемент математических теорий — это их проблемы. Настоящую науку математику без единиц измерения лично я уже не представляю. Вот почему в самом начале рассказа о теории множеств я говорил о ней как о каменном веке.

        Но перейдем к самому интересному — к алгебре элементов множеств. Алгебраически любой элемент множества представляет из себя произведение (результат умножения) разных величин.Выглядит это так.

        Я умышленно не применял условные обозначения, принятые в теории множеств, поскольку мы рассматриваем элемент множества в естественной среде обитания до возникновения теории множеств. Каждая пара буковок в скобках обозначает отдельную величину, состоящую из числа, обозначенного буквой «n » и единицы измерения, обозначенной буквой «a «. Индексы возле буковок указывают на то, что числа и единицы измерения — разные. Один элемент множества может состоять из бесконечного числа величин (на сколько у нас и наших потомков хватит фантазии). Каждая скобка геометрически изображается отдельным отрезком. В примере с морским ежом одна скобка — это одна иголка.

        Как шаманы формируют множества из разных элементов? Фактически, по единицам измерения или по числам. Ничего не понимая в математике, они берут разных морских ежей и внимательно их рассматривают в поисках той единственной иголки, по которой они формируют множество. Если такая иголка есть, значит этот элемент принадлежит множеству, если такой иголки нет — это элемент не из этого множества. Нам же шаманы рассказывают басни о мыслительных процессах и едином целом.

        Как вы уже догадались, один и тот же элемент может принадлежать к самым разным множествам. Дальше я вам покажу, как формируются множества, подмножества и прочая шаманская галиматья. Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

        Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

        Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

        Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

        В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

        А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

        Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

        Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

        Тематические материалы:

        Поиск и удаление вирусов вручную Kaspersky Free — новый бесплатный антивирус от «Лаборатории Касперского Handy recovery 5.5 серийный. Плюсы и минусы Iobit malware fighter 4.4 expired код лицензии. Инструкция по активации IObit Malware Fighter Pro Лицензионный ключ для hitman pro 3 Iobit uninstaller 5.2 лицензионный ключ Hetman partition recovery 2 Driver Updater ключ активации

        Обновлено: 28. 07.2021

        103583

        Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

        Таблица умножения

        Таблица умножения

        Таблица умножения — таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а ячейки таблицы содержат их произведение. Таблица применяется для обучения умножению.

        Навигация по странице: Таблица умножения чисел от 1 до 10 Таблица умножения чисел от 1 до 20

        Упражнения для проверки знания таблицы умножения!

        Скачать таблицу умножения

        Таблица умножения чисел от 1 до 10

         × 1
        		 × 2
        		 × 3
        		 × 4
        		 × 5

        1 × 1 = 1
        1 × 2 = 2
        1 × 3 = 3
        1 × 4 = 4
        1 × 5 = 5
        1 × 6 = 6
        1 × 7 = 7
        1 × 8 = 8
        1 × 9 = 9
        1 × 10 = 10
        2 × 1 = 2
        2 × 2 = 4
        2 × 3 = 6
        2 × 4 = 8
        2 × 5 = 10
        2 × 6 = 12
        2 × 7 = 14
        2 × 8 = 16
        2 × 9 = 18
        2 × 10 = 20
        3 × 1 = 3
        3 × 2 = 6
        3 × 3 = 9
        3 × 4 = 12
        3 × 5 = 15
        3 × 6 = 18
        3 × 7 = 21
        3 × 8 = 24
        3 × 9 = 27
        3 × 10 = 30
        4 × 1 = 4
        4 × 2 = 8
        4 × 3 = 12
        4 × 4 = 16
        4 × 5 = 20
        4 × 6 = 24
        4 × 7 = 28
        4 × 8 = 32
        4 × 9 = 36
        4 × 10 = 40
        5 × 1 = 5
        5 × 2 = 10
        5 × 3 = 15
        5 × 4 = 20
        5 × 5 = 25
        5 × 6 = 30
        5 × 7 = 35
        5 × 8 = 40
        5 × 9 = 45
        5 × 10 = 50
         × 6
        		 × 7
        		 × 8
        		 × 9
        		 × 10

        6 × 1 = 6
        6 × 2 = 12
        6 × 3 = 18
        6 × 4 = 24
        6 × 5 = 30
        6 × 6 = 36
        6 × 7 = 42
        6 × 8 = 48
        6 × 9 = 54
        6 × 10 = 60
        7 × 1 = 7
        7 × 2 = 14
        7 × 3 = 21
        7 × 4 = 28
        7 × 5 = 35
        7 × 6 = 42
        7 × 7 = 49
        7 × 8 = 56
        7 × 9 = 63
        7 × 10 = 70
        8 × 1 = 8
        8 × 2 = 16
        8 × 3 = 24
        8 × 4 = 32
        8 × 5 = 40
        8 × 6 = 48
        8 × 7 = 56
        8 × 8 = 64
        8 × 9 = 72
        8 × 10 = 80
        9 × 1 = 9
        9 × 2 = 18
        9 × 3 = 27
        9 × 4 = 36
        9 × 5 = 45
        9 × 6 = 54
        9 × 7 = 63
        9 × 8 = 72
        9 × 9 = 81
        9 × 10 = 90
        10 × 1 = 10
        10 × 2 = 20
        10 × 3 = 30
        10 × 4 = 40
        10 × 5 = 50
        10 × 6 = 60
        10 × 7 = 70
        10 × 8 = 80
        10 × 9 = 90
        10 × 10 = 100

        Не забудьте проверить знания таблицы умножения решая упражнения! 🙂

        Таблица умножения чисел от 1 до 20

        ×1234567891011121314151617181920
        11234567891011121314151617181920
        2246810121416182022242628303234363840
        33691215182124273033363942454851545760
        448121620242832364044485256606468727680
        55101520253035404550556065707580859095100
        66121824303642485460667278849096102108114120
        7714212835424956637077849198105112119126133140
        881624324048566472808896104112120128136144152160
        9918273645546372819099108117126135144153162171180
        10102030405060708090100110120130140150160170180190200
        11112233445566778899110121132143154165176187198209220
        121224364860728496108120132144156168180192204216228240
        1313263952657891104117130143156169182195208221234247260
        1414284256708498112126140154168182196210224238252266280
        15153045607590105120135150165180195210225240255270285300
        16163248648096112128144160176192208224240256272288304320
        171734516885102119136153170187204221238255272289306323340
        181836547290108126144162180198216234252270288306324342360
        191938577695114133152171190209228247266285304323342361380
        2020406080100120140160180200220240260280300320340360380400

        Таблица умножения a × b Таблица квадратов a2 Таблица кубов a3 Таблица степеней an Таблица факториалов a!

         Все таблицы и формулы

        Таблица умножения по математике, бесплатно

        Содержание:

        • Таблица умножения 1 — 10
        • Таблица умножения 11 — 20
        • Таблица умножения 21 — 30

        Таблица умножения — это первое, что дети учат в школе по математике. Советуем, как минимум, выучить таблицу умножения с 0 — 10, учить остальное можно по желанию, но обязательно нужно понимать как считается. Формулы и свойства — это краткий теоретический материал, выучив которые вы легко сможет выполнить задания в школе.

        В нашем справочнике представлены 3 таблицы умножения ( 0 — 10, 11 — 20, 21 — 30), изучайте.

        Таблица умножения 1 — 10

        ×12345678910
        112345678910
        22468101214161820
        336912151821242730
        4481216202428323640
        55101520253035404550
        66121824303642485460
        77142128354249566370
        88162432404856647280
        99182736455463728190
        10102030405060708090100

        Таблица умножения 11 — 20

        ×11121314151617181920
        11121132143154165176187198209220
        12132144156168180192204216228240
        13143156169182195208221234247260
        14154168182196210224238252266280
        15165180195210225240255270285300
        16176192208224240256272288304320
        17187204221238255272289306323340
        18198216234252270288306324342360
        19209228247266285304323342361380
        20220240260280300320340360380400

        Таблица умножения 21 — 30

        ×21222324252627282930
        21441462483504525546567588609630
        22462484506528550572594616638660
        23483506529552575598621644667690
        24504528552576600624648672696720
        25525550575600625650675700725750
        26546572598624650676702728754780
        27567594621648675702729756783810
        28588616644672700728756784812840
        29609638667696725754783812841870
        30630660690720750780810840870900

        В этой статье описана таблица умножения на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и до 30! Также на сайте представлено много онлайн калькуляторов для автоматического решения задач по математике, пользуйтесь на здоровье.

        Если после изучения теоретического материала на нашем сайте у Вас останутся проблемы в решении задач или появятся вопросы образовательного характера, то вы всегда можете задать их на нашем форуме.

        236

        проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

        Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

        Таблица умножения — традиционная 10×10, 12х12 и 20х20


        ГОСТы, СНиПы

        Карта сайта TehTab.ru

        Поиск по сайту TehTab.ru

        Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник/ / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Таблица умножения — традиционная 10×10, 12х12 и 20х20

        Таблицы умножения — традиционная 10×10, 12х12 и 20х20

        1.

        Таблица умножения в традиционном русском варианте (10х10).
        Таблица умножения в традиционном русском варианте (10х10).

        1 х 1  =  1
        1 х 2  =  2
        1 х 3  =  3
        1 х 4  =  4
        1 х 5  =  5
        1 х 6  =  6
        1 х 7  =  7
        1 х 8  =  8
        1 х 9  =  9
        1 х 10  =  10

        4 х 1  =  4
        4 х 2  =  8
        4 х 3  =  12
        4 х 4  =  16
        4 х 5  =  20
        4 х 6  =  24
        4 х 7  =  28
        4 х 8  =  32
        4 х 9  =  36
        4 х 10  =  40

        7 х 1  =  7
        7 х 2  =  14
        7 х 3  =  21
        7 х 4  =  28
        7 х 5  =  35
        7 х 6  =  42
        7 х 7  =  49
        7 х 8  =  56
        7 х 9  =  63
        7 х 10  =  70

        10 х 1  =  10
        10 х 2  =  20
        10 х 3  =  30
        10 х 4  =  40
        10 х 5  =  50
        10 х 6  =  60
        10 х 7  =  70
        10 х 8  =  80
        10 х 9  =  90
        10 х 10  =  100

        кликабельная картинка

        • таблица 10х10
        • таблица 12х12
        • таблица 20х20

        2 х 1  =  2
        2 х 2  =  4
        2 х 3  =  6
        2 х 4  =  8
        2 х 5  =  10
        2 х 6  =  12
        2 х 7  =  14
        2 х 8  =  16
        2 х 9  =  18
        2 х 10  =  20

        5 х 1  =  5
        5 х 2  =  10
        5 х 3  =  15
        5 х 4  =  20
        5 х 5  =  25
        5 х 6  =  30
        5 х 7  =  35
        5 х 8  =  40
        5 х 9  =  45
        5 х 10  =  50

        8 х 1  =  8
        8 х 2  =  16
        8 х 3  =  24
        8 х 4  =  32
        8 х 5  =  40
        8 х 6  =  48
        8 х 7  =  56
        8 х 8  =  64
        8 х 9  =  72
        8 х 10  =  80

         

        3 х 1  =  3
        3 х 2  =  6
        3 х 3  =  9
        3 х 4  =  12
        3 х 5  =  15
        3 х 6  =  18
        3 х 7  =  21
        3 х 8  =  24
        3 х 9  =  27
        3 х 10  =  30

        6 х 1  =  6
        6 х 2  =  12
        6 х 3  =  18
        6 х 4  =  24
        6 х 5  =  30
        6 х 6  =  36
        6 х 7  =  42
        6 х 8  =  48
        6 х 9  =  54
        6 х 10  =  60

        9 х 1  =  9
        9 х 2  =  18
        9 х 3  =  27
        9 х 4  =  36
        9 х 5  =  45
        9 х 6  =  54
        9 х 7  =  63
        9 х 8  =  72
        9 х 9  =  81
        9 х 10  =  90

         
        • Таблица деления
        • Таблица квадратов
        • Таблица кубов
        • Таблица логарифмов Таблица синусов/косинусов Таблица тангенсов/котангенсов и другие таблицы численных значений

        2. Таблица умножения в традиционном англо-саксонском варианте (12х12).

        Таблица умножения в традиционном англо-саксонском варианте (12х12).

        1 х 1  =  1
        1 х 2  =  2
        1 х 3  =  3
        1 х 4  =  4
        1 х 5  =  5
        1 х 6  =  6
        1 х 7  =  7
        1 х 8  =  8
        1 х 9  =  9
        1 х 10  =  10
        1 х 11  =  11
        1 х 12  =  12

        4 х 1  =  4
        4 х 2  =  8
        4 х 3  =  12
        4 х 4  =  16
        4 х 5  =  20
        4 х 6  =  24
        4 х 7  =  28
        4 х 8  =  32
        4 х 9  =  36
        4 х 10  =  40
        4 х 11  =  44
        4 х 12  =  48

        7 х 1  =  7
        7 х 2  =  14
        7 х 3  =  21
        7 х 4  =  28
        7 х 5  =  35
        7 х 6  =  42
        7 х 7  =  49
        7 х 8  =  56
        7 х 9  =  63
        7 х 10  =  70
        7 х 11  =  77
        7 х 12  =  84

        10 х 1  =  10
        10 х 2  =  20
        10 х 3  =  30
        10 х 4  =  40
        10 х 5  =  50
        10 х 6  =  60
        10 х 7  =  70
        10 х 8  =  80
        10 х 9  =  90
        10 х 10  =  100
        10 х 11  =  110
        10 х 12  =  120

        		 

        кликабельная картинка

         

         
        • таблица 10х10
        • таблица 12х12
        • таблица 20х20
         

        2 х 1  =  2
        2 х 2  =  4
        2 х 3  =  6
        2 х 4  =  8
        2 х 5  =  10
        2 х 6  =  12
        2 х 7  =  14
        2 х 8  =  16
        2 х 9  =  18
        2 х 10  =  20
        2 х 11  =  22
        2 х 12  =  24

        5 х 1  =  5
        5 х 2  =  10
        5 х 3  =  15
        5 х 4  =  20
        5 х 5  =  25
        5 х 6  =  30
        5 х 7  =  35
        5 х 8  =  40
        5 х 9  =  45
        5 х 10  =  50
        5 х 11  =  55
        5 х 12  =  60

        8 х 1  =  8
        8 х 2  =  16
        8 х 3  =  24
        8 х 4  =  32
        8 х 5  =  40
        8 х 6  =  48
        8 х 7  =  56
        8 х 8  =  64
        8 х 9  =  72
        8 х 10  =  80
        8 х 11  =  88
        8 х 12  =  96

        11 х 1  =  11
        11 х 2  =  22
        11 х 3  =  33
        11 х 4  =  44
        11 х 5  =  55
        11 х 6  =  66
        11 х 7  =  77
        11 х 8  =  88
        11 х 9  =  99
        11 х 10  =  110
        11 х 11  =  121
        11 х 12  =  132

        3 х 1  =  3
        3 х 2  =  6
        3 х 3  =  9
        3 х 4  =  12
        3 х 5  =  15
        3 х 6  =  18
        3 х 7  =  21
        3 х 8  =  24
        3 х 9  =  27
        3 х 10  =  30
        3 х 11  =  33
        3 х 12  =  36

        6 х 1  =  6
        6 х 2  =  12
        6 х 3  =  18
        6 х 4  =  24
        6 х 5  =  30
        6 х 6  =  36
        6 х 7  =  42
        6 х 8  =  48
        6 х 9  =  54
        6 х 10  =  60
        6 х 11  =  66
        6 х 12  =  72

        9 х 1  =  9
        9 х 2  =  18
        9 х 3  =  27
        9 х 4  =  36
        9 х 5  =  45
        9 х 6  =  54
        9 х 7  =  63
        9 х 8  =  72
        9 х 9  =  81
        9 х 10  =  90
        9 х 11  =  99
        9 х 12  =  108

        12 х 1  =  12
        12 х 2  =  24
        12 х 3  =  36
        12 х 4  =  48
        12 х 5  =  60
        12 х 6  =  72
        12 х 7  =  84
        12 х 8  =  96
        12 х 9  =  108
        12 х 10  =  120
        12 х 11  =  132
        12 х 12  =  144

         

        3. Таблица умножения Пифагора (20х20).

        Таблица умножения Пифагора (20х20).
        x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

        кликабельная картинка

        • таблица 10х10
        • таблица 12х12
        • таблица 20х20

         

         

        1

        1

        2

        3

        4

        5

        6

        7

        8

        9

        10

        11

        12

        13

        14

        15

        16

        17

        18

        19

        20

        2

        2

        4

        6

        8

        10

        12

        14

        16

        18

        20

        22

        24

        26

        28

        30

        32

        34

        36

        38

        40

        3

        3

        6

        9

        12

        15

        18

        21

        24

        27

        30

        33

        36

        39

        42

        45

        48

        51

        54

        57

        60

        4

        4

        8

        12

        16

        20

        24

        28

        32

        36

        40

        44

        48

        52

        56

        60

        64

        68

        72

        76

        80

        5

        5

        10

        15

        20

        25

        30

        35

        40

        45

        50

        55

        60

        65

        70

        75

        80

        85

        90

        95

        100

        6

        6

        12

        18

        24

        30

        36

        42

        48

        54

        60

        66

        72

        78

        84

        90

        96

        102

        108

        114

        120

        7

        7

        14

        21

        28

        35

        42

        49

        56

        63

        70

        77

        84

        91

        98

        105

        112

        119

        126

        133

        140

        8

        8

        16

        24

        32

        40

        48

        56

        64

        72

        80

        88

        96

        104

        112

        120

        128

        136

        144

        152

        160

        9

        9

        18

        27

        36

        45

        54

        63

        72

        81

        90

        99

        108

        117

        126

        135

        144

        153

        162

        171

        180

        10

        10

        20

        30

        40

        50

        60

        70

        80

        90

        100

        110

        120

        130

        140

        150

        160

        170

        180

        190

        200

        11

        11

        22

        33

        44

        55

        66

        77

        88

        99

        110

        121

        132

        143

        154

        165

        176

        187

        198

        209

        220

        12

        12

        24

        36

        48

        60

        72

        84

        96

        108

        120

        132

        144

        156

        168

        180

        192

        204

        216

        228

        240

        13

        13

        26

        39

        52

        65

        78

        91

        104

        117

        130

        143

        156

        169

        182

        195

        208

        221

        234

        247

        260

        14

        14

        28

        42

        56

        70

        84

        98

        112

        126

        140

        154

        168

        182

        196

        210

        224

        238

        252

        266

        280

        15

        15

        30

        45

        60

        75

        90

        105

        120

        135

        150

        165

        180

        195

        210

        225

        240

        255

        270

        285

        300

        16

        16

        32

        48

        64

        80

        96

        112

        128

        144

        160

        176

        192

        208

        224

        240

        256

        272

        288

        304

        320

        17

        17

        34

        51

        68

        85

        102

        119

        136

        153

        170

        187

        204

        221

        238

        255

        272

        289

        306

        323

        340

        18

        18

        36

        54

        72

        90

        108

        126

        144

        162

        180

        198

        216

        234

        252

        270

        288

        306

        324

        342

        360

        19

        19

        38

        57

        76

        95

        114

        133

        152

        171

        190

        209

        228

        247

        266

        285

        304

        323

        342

        361

        380

        20

        20

        40

        60

        80

        100

        120

        140

        160

        180

        200

        220

        240

        260

        280

        300

        320

        340

        360

        380

        400

        таблица умножения, таблица умножения скачать, таблица умножения для детей, таблица умножения бесплатно, математика таблица умножения

        • Таблица деления
        • Таблица квадратов
        • Таблица кубов
        • Таблица логарифмов Таблица синусов/косинусов Таблица тангенсов/котангенсов и другие таблицы численных значений

        Дополнительная информация от TehTab. ru:


        Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.

        TehTab.ru

        Реклама, сотрудничество: [email protected]

        		 Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

        ‎App Store: Таблица умножения учить

        Описание

        В приложении: таблица умножения (от 1 до 10; от 1 до 12; от 11 до 20), умножение многозначных чисел; деление многозначных чисел.

        Подробное описание:
        Выучить таблицу умножения очень просто с помощью приложения! Вы научитесь умножать и делить цифры.
        Приложение интуитивно понятно для изучения. Учите таблицу постепенно, начиная с самых простых примеров и переходите к более сложным.
        Выберете одну или несколько цифр по вашему усмотрению. Уделяйте достаточно времени повторению. Нажмите «i» или «h» для подсказок, но попробуйте без них 🙂 Вы можете пройти тест и сохранить количество правильных ответов.
        Постоянно повторяя таблицу умножения, вы запомните её совсем быстро, и сложные примеры станут для вас совсем простыми!

        Умножение многозначных чисел, как в тетрадке, пошагово.
        Выберите верхнюю двузначную или трехзначную цифру, затем нижнюю однозначную, двузначную или трехзначную цифру. Цифра будет выбрана случайным образом. Последовательно заменяйте правильные ответы, как вы делали в тетрадке.
        Если вам нужно подготовиться к тесту по математике, обязательно пройдите его! Примеры в произвольном порядке без подсказок и без калькулятора. Если хотя бы один ответ неверен, неверен весь пример. После того, как вы решите все примеры, тест завершится, и количество правильных ответов будет автоматически сохранено.
        Калькулятор может помочь вам сделать домашнее задание или проверить себя. Вы можете использовать его при обучении. Если вы делаете тест, вы не можете использовать калькулятор — это все еще тест, поэтому без подсказок — используйте свою голову.

        Деление многозначных чисел — это сложное сочетание различных математических операций. Вы должны быть хорошо знакомы с таблицей умножения и, конечно же, с сложением и вычитанием.
        Вы можете тренировать свои математические навыки, которые приобрели ранее. Рабочие листы — это проверенный временем математический предмет. Теперь вы можете решать проблемы в приложении.
        Выберите трехзначные, четырехзначные числа, которые вы научитесь делить в столбце на одно-, двух- или трехзначные числа. Тратьте время особенно на задачи с нулями. В приложении вы найдете бесконечное количество задач и научитесь делить без остатка.

        Интернет не нужен.
        Бесконечное количество задач в случайном порядке.

        УДАЧИ!

        Версия 2.8

        Performance improvement

        Оценки и отзывы

        Оценок: 14

        Только платная версия

        Качайте только в том случае если готовы купить это приложения (цена поднялась до 1290).
        Любой клик переводит на покупку, даже кнопка Информация(i).
        Почему нельзя сразу в шопе написать что приложение платное. Дешевый развод!

        Конкурентам-разработчикам: я предлагаю такой функционал, которого у других нет. Чтобы ребёнок мог легко и быстро всё выучить и усвоить. Вы бы занялись улучшением функционала своих приложений.

        Как вы заботливо предупреждаете людей о встроенных покупках, а может каждый будет сам решать что ему делать без ваших советов?

        Также заботливо следите за динамикой стоимости моего приложения.

        Не используйте гопнические выражения: это вас не красит.

        А любой комментарий, даже негативный, повышает рейтинг, поэтому я ваши комментарии не блокирую.

        Без пробной версии.

        Только платная версия за 849₽

        Информативно…. Есть полностью бесплатные приложения. Приложения со встроенными покупками содержат пометочку такую: «Встроенные покупки».

        Невозможно использовать

        Чтобы не нажал выходит предложение купить.

        В приложении все предельно ясно объяснено. Возможно использовать после покупки.

        Разработчик Nikita Liubimov указал, что в соответствии с политикой конфиденциальности приложения данные могут обрабатываться так, как описано ниже. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.

        Сбор данных не ведется

        Разработчик не ведет сбор данных в этом приложении.

        Конфиденциальные данные могут использоваться по-разному в зависимости от вашего возраста, задействованных функций или других факторов. Подробнее

        Информация

        Провайдер
        Nikita Liubimov

        Размер
        10,5 МБ

        Категория
        Образование

        Возраст
        4+

        Copyright
        © Nick Limo

        Цена
        Бесплатно

        • Сайт разработчика
        • Поддержка приложения
        • Политика конфиденциальности

        Поддерживается

        Другие приложения этого разработчика

        Вам может понравиться

        Урок 6.

        Изучение таблицы умножения

        Цифры изучены, основные математические понятия усвоены, ребенок свободно считает до сотни, складывает и вычитает – все это говорит о том, что пора приступать к изучению таблицы умножения.

        Таблица умножения может даваться будущему школьнику сложнее, чем основы математики, и как родитель, заинтересованный в развитии своего чада, вы обязаны оказать ему в этом деле поддержку. Как и раньше, вам потребуется солидная доля терпения и настойчивости.

        Далее мы рассмотрим следующие вопросы:

        • Как учить таблицу умножения
        • Как запоминать ответы
        • Как отслеживать прогресс
        • Как поощрять ребенка
        • Дополнительные рекомендации

        1

        Как учить таблицу умножения

        Чтобы ваш ребенок выучил таблицу умножения быстро и эффективно, придерживайтесь такого алгоритма:

        • Для начала определите время, в которое вы каждый день будете проводить занятия. Не занимайтесь, если не готовы уделить ребенку максимум внимания или если ребенок уставший. Одно занятие должно продолжаться примерно 30 минут. Превышение этого порога может снизить эффективность занятий. Старайтесь создать такую обстановку, чтобы вас ничего не отвлекало.
        • Начните изучать таблицу умножения с задач на «0», «1», «2» и «3». Информацию преподносите небольшими объемами, не стремясь запомнить сразу всю таблицу. Имейте в виду, что пока что ваш ребенок просто запоминает, а не считает.
        • Если ребенок не понимает, как умножаются друг на друга числа, покажите ему принцип умножения на бумаге. Например, «3 х 3» можно представить, как «3 + 3 + 3» и т.д.
        • Возьмите лист бумаги и изобразите на нем таблицу умножения, а рядом нарисуйте числовую ось с цифрами от «0» до «100». Объясните, что при помощи таблицы очень легко находить ответы, которые соответствуют конкретным колонкам и строкам. По мере возрастания чисел на числовой оси будут возрастать и числа в таблице умножения.
        • Донесите до ребенка, что от перемены мест перемножаемых чисел их сумма не меняется, как и при сложении. Расскажете, что это свойство называется свойством коммутативности, и что, зная о нем, выучить таблицу значительно проще. Объясните, что, по сути, нужно выучить всего половину таблицы умножения, т.к. «3 х 6» будет то же самое, что «6 х 3» и т.п.
        • После того как ваше чадо освоит таблицу умножения от «0» до «3», переходите к числам от «4» до «7». На следующем этапе изучайте таблицу от «8» до «10». Если ребенок усваивает материал хорошо, можете усложнить ему работу, предложив разобраться в том, как числа умножаются на «11», «12», «13» и т.д.
        • Обязательно познакомьте будущего школьника с шаблонами таблицы. Не допускайте механического запоминания. Ребенок должен четко понимать, как «работает» таблица. Например, все задания с умножением на «10» заканчиваются на «0», все задания с умножением на «5» заканчиваются либо на «0», либо на «5» (также их результат ровно на половину меньше результата всех заданий с умножением на «10»), все задания с умножением на «0» равны «0».

        В дополнение к вышеназванному алгоритму возьмите на заметку и несколько хитростей:

        • Умея удваивать числа, можно совершенно просто умножать на «4». Для этого нужно дважды удваивать умножаемое число. Например, нужно посчитать, сколько будет «5 х 4». Пусть ребенок удвоит «5», тем самым получив «10». Теперь пусть удвоит «10», получив искомое решение – «20». Такой прием поможет решать некоторые задания автоматически.
        • Для умножения любого числа на «11» его просто-напросто требуется продублировать. К примеру, «2 х 11»– это «22», «3 х 11»– «33» и т.д.
        • При проявлении ребенком хороших математических способностей обучите его интересному приему умножения «11» на любое двузначное число. Чтобы выполнить действие быстро, необходимо разделить это двузначное число на цифры. Например, «11 х 18» – это «1…8», а чтобы заполнить пробел, нужно сложить эти цифры («1+8» «9») и вставить результат в середину. Получаем «198».

        Но кроме усвоения системы, на которой построена таблица умножения, можно и нужно использовать методы, помогающие быстро запоминать ответы.

        2

        Как запоминать ответы

        Помочь вашему ребенку быстро запоминать ответы помогут следующие приемы:

        • По мере изучения таблицы умножения тренируйте свое чадо. Делайте это как можно чаще: 5 минут после приема пищи, 3 минуты во время рекламной паузы при просмотре кино, 10 минут во время прогулки по улице и обязательно 5 минут перед сном. Систематически повышайте темп тренировок, чтобы навык оттачивался и закреплялся.
        • Изначально давайте задания по порядку, а когда в ответах ребенка уже не будет ошибок, перемешивайте задания, чтобы сделать память и мышление более гибкими.
        • Старайтесь делать так, чтобы изучать таблицу умножения ребенку было весело и интересно. Привносите в занятия игровые элементы, и тогда результаты будут намного лучше.
        • Пусть ваш ребенок сделает комплект карточек. К примеру, «6 х 6» напишет на одной стороне, а на обратной – «36». Данную процедуру следует повторить со всеми парами таблицы умножения. Когда карточки будут готовы, показывайте их ребенку, а он пускай дает ответы на время. Каждый раз засекайте минуту, и смотрите, как продвигается ваш подопечный. Кстати, при переписывании таблицы на карточки у ребенка будет тренироваться двигательная память, а материал будет усваиваться вдвойне лучше.
        • Чтобы определить слабые места, просите своего ребенка время от времени по памяти записывать таблицу умножения на листке бумаги.
        • Играйте в игру «Захват карточной колоды». Правила очень просты: отделите карты с цифрами от карт с картинками (последние отложите в сторону). Разделите оставшиеся карты поровну между собой и ребенком. Одновременно с ним выкладывайте карты цифрами вверх и на опережение умножайте имеющиеся на двух картах цифры (к примеру, если выпали «шестерка» и «восьмерка», нужно быстро умножить «6» на «8» и назвать «48»). Кто быстрее выполнит задание, тот забирает обе карты. Побеждает тот, кто соберет больше карт. Игру можно немного видоизменить: не убирайте карты с картинками, а присвойте каждой свое число: валету – «11», даме – «12», королю – «13», а тузу – «0».
        • Тренируйте таблицу умножения способом «от обратного». Называйте ребенку число, к примеру, «40», а он пусть предлагает вам все варианты перемножения чисел для получения этой суммы.
        • Играйте в «Бинго». Пусть ребенок нарисует на листе квадрат шесть на шесть клеток и заполнит его любыми двузначными числами. Ваша задача – давать задание, например, «7 х 7», и если в одной из клеток есть число «49», он должен его зачеркнуть. Продолжать игру следует до тех пор, пока не будут зачеркнуты все числа в квадрате. В качестве поощрения используйте какой-нибудь приятный для ребенка приз.

        Используя эти простейшие методы, вы поможете своему ребенку в разы быстрее запоминать ответы примеров из таблицы умножения. Но учение – это одно, а насколько хорошо усвоен материал, нужно систематически проверять. Помимо обычного контроля выполнения заданий и правильности ответов можно использовать еще пару неплохих способов проверки.

        3

        Как отслеживать прогресс

        Возможно, кто-то сочтет нижеследующие способы излишними, однако мы и не призываем к их обязательному применению. Но все же, если ими не пренебрегать, можно получить намного больше информации о том, есть ли в знаниях вашего чада пробелы.

        Вот два отличных способа отслеживания прогресса:

        • Использование интерактивных онлайн-приложений. В интернете в настоящее время можно найти огромное количество всяческих игр, викторин, тестов и других приложений на проверку знаний. Существенный плюс этого способа в том, что он воспринимается детьми не как проверка, а скорее как игра. Благодаря этому минимизируется стрессовое воздействие на психику ребенка, что позволит ему во всей полноте применить свой потенциал.
        • Если ребенок ходит в садик или даже уже начал посещать школу, каждый день спрашивайте его о том, чем он там занимался, были ли какие-то задания, каких успехов он достиг, какие оценки получил. Также спрашивайте о затруднениях – если таковые были, ищите способы их устранения: повторяйте пройденный материал и занимайтесь дополнительно. Помимо прочего, периодически звоните или навещайте воспитателя или школьного учителя, чтобы справиться об успехах своего ребенка. Таким образом вы сможете узнать о чем-то, о чем, вполне вероятно, он по каким-то причинам не хочет вам рассказывать. Собственно, это касается не только таблицы умножения или математики в целом, но и любого предмета и успеваемости вообще.

        Несмотря на то, что по теме урока было сказано уже достаточно много, есть еще одна тема, которую мы хотели бы рассмотреть отдельно. Это тема поощрения ребенка.

        4

        Как поощрять ребенка

        Всего мы предлагаем вам прибегать к трем основным методам поощрения:

        • Похвала. Похвала и искренняя радость – это, пожалуй, самые эффективные способы дать ребенку понять, что у него все отлично получается, тем самым замотивировав его на последующие занятия. Как можно чаще выражайте свои эмоции по поводу успехов юного математика. Старайтесь воздерживаться от любых негативных оценок в его адрес, в противном случае он станет заниматься с меньшей охотой, а материал будет усваивать намного медленнее.
        • Стимулирование.
        • Отдых. Перерывы на отдых и расслабление должны стать неотъемлемой составляющей вашей практики обучения ребенка. Любые занятия, от элементарных до самых сложных, нужно сопровождать паузами, чтобы ребенок имел возможность восстановить силы. Взрослые люди не могут работать часами без передышки, что уж говорить о детях. Поэтому, как только увидели, что ваше чадо подает признаки усталости, прекратите занятия и возьмите время на отдых. Намного продуктивнее будет позаниматься через несколько часов или вообще на следующий день.

        И в заключение урока не будет лишним дать еще несколько рекомендаций, которые помогут вам в вашей работе со своим ребенком.

        5

        Дополнительные рекомендации

        Кроме того, что нужно всегда проявлять к ребенку доброту и доброжелательность, требуется овладеть и несколькими простейшими педагогическими приемами:

        • Если ребенок чего-то не понимает, никогда не переходите к следующему материалу. Работайте над изучением одной и той же темы, пока она не будет полностью усвоена.
        • Изучайте материал небольшими «порциями», иначе ребенок не будет понимать того, что узнает, и, как следствие, у него возникнет неуверенность в своих силах.
        • Чтобы таблица умножения давалась легче, работайте над двумя-тремя числами в одно время. Затем повторяйте изученное, убеждайтесь, что ребенку все понятно, и лишь после этого переходите к другим числам.
        • Ребенок – это не калькулятор и не машинка для счета, поэтому быстрые ответы будут достигаться после многократного повторения, так что делайте это регулярно.
        • Для облегчения решения поставленных задач при изучении таблицы умножения разрешайте ребенку пользоваться устным счетом, но когда таблица будет усвоена, следите, чтобы устный счет не применялся.

        Не исключено, что в познании математической науки у вашего сына или дочери возникнут какие-то проблемы (что-то не дается, занятия вызывают отторжение, ребенок не проявляет совершенно никаких математических способностей и т. д.). И, естественно, эти проблемы нужно уметь решать. И как раз о том, как это делается, вы узнаете из восьмого урока нашего курса.

        Проверьте свои знания

        Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

        11 Times Table
        1 x 11 = 11
        2 x 11 = 22
        3 x 11 = 33
        4 x 11 = 44
        5 x 11 = 55
        6 x 11 = 66
        7 x 11 = 77
        8 x 11 = 88
        9 x 11 = 99
        10 x 11 = 110
        11 x 11 = 121
        12 x 11 = 132
        13 x 11 = 143
        14 x 11 = 154
        15 x 11 = 165
        16 x 11 = 176
        17 x 11 = 187
        18 x 11 = 198
        19 x 11 = 209
        20 x 11 = 220

        12 Times Table
        1 x 12 = 12
        2 x 12 = 24
        3 x 12 = 36
        4 x 12 = 48
        5 x 12 = 60
        6 x 12 = 72
        7 x 12 = 84
        8 x 12 = 96
        9 x 12 = 108
        10 x 12 = 120
        11 x 12 = 132
        12 x 12 = 144
        13 x 12 = 156
        14 x 12 = 168
        15 x 12 = 180
        16 x 12 = 192
        17 x 12 = 204
        18 x 12 = 216
        19 x 12 = 228
        20 x 12 = 240

        13 Times Table
        1 x 13 = 13
        2 x 13 = 26
        3 x 13 = 39
        4 x 13 = 52
        5 x 13 = 65
        6 x 13 = 78
        7 x 13 = 91
        8 x 13 = 104
        9 x 13 = 117
        10 x 13 = 130
        11 x 13 = 143
        12 x 13 = 156
        13 x 13 = 169
        14 x 13 = 182
        15 x 13 = 195
        16 x 13 = 208
        17 x 13 = 221
        18 x 13 = 234
        19 x 13 = 247
        20 x 13 = 260

        14 Times Table
        1 x 14 = 14
        2 x 14 = 28
        3 x 14 = 42
        4 x 14 = 56
        5 x 14 = 70
        6 x 14 = 84
        7 x 14 = 98
        8 x 14 = 112
        9 x 14 = 126
        10 x 14 = 140
        11 x 14 = 154
        12 x 14 = 168
        13 x 14 = 182
        14 x 14 = 196
        15 x 14 = 210
        16 x 14 = 224
        17 x 14 = 238
        18 x 14 = 252
        19 x 14 = 266
        20 x 14 = 280

        15 Times Table
        1 x 15 = 15
        2 x 15 = 30
        3 x 15 = 45
        4 x 15 = 60
        5 x 15 = 75
        6 x 15 = 90
        7 x 15 = 105
        8 x 15 = 120
        9 x 15 = 135
        10 x 15 = 150
        11 x 15 = 165
        12 x 15 = 180
        13 x 15 = 195
        14 x 15 = 210
        15 x 15 = 225
        16 x 15 = 240
        17 x 15 = 255
        18 255
        18 255
        18 255
        . 0017
        19 x 15 = 285
        20 x 15 = 300

        16 Times Table
        1 x 16 = 16
        2 x 16 = 32
        3 x 16 = 48
        4 x 16 = 64
        5 x 16 = 80
        6 x 16 = 96
        7 x 16 = 112
        8 x 16 = 128
        9 x 16 = 144
        10 x 16 = 160
        11 x 16 = 176
        12 x 16 = 192
        13 x 16 = 208
        14 x 16 = 224
        15 x 16 = 240
        16 x 16 = 256
        17 x 16 = 272
        18 x 16 = 288
        19 x 16 = 304
        20 x 16 = 320

        17 Times Table
        1 x 17 = 17
        2 x 17 = 34
        3 x 17 = 51
        4 x 17 = 68
        5 x 17 = 85
        6 x 17 = 102
        7 x 17 = 119
        8 x 17 = 136
        9 x 17 = 153
        10 x 17 = 170
        11 x 17 = 187
        12 x 17 = 204
        13 x 17 = 221
        14 x 17 = 238
        15 x 17 = 255
        16 x 17 = 272
        17 x 17 = 289
        18 x 17 = 306
        19 x 17 = 323
        20 x 17 = 340

        18 Times Table
        1 x 18 = 18
        2 x 18 = 36
        3 x 18 = 54
        4 x
        4 X
        4 x
        4
        5 x 18 = 90
        6 x 18 = 108
        7 x 18 = 126
        8 x 18 = 144
        9 x 18 = 162
        10 x 18 = 180
        11 x 18 = 198
        12 x 18 = 216
        13 x 18 = 234
        14 x 18 = 252
        15 x 18 = 270
        16 x 18 = 288
        17 x 18 = 306
        18 x 18 = 324
        19 x 18 = 342
        20 x 18 = 360

        19 Times Table
        1 x 19 = 19
        2 x 19 = 38
        3 x 19 = 57
        4 x 19 = 76
        5 x 19 = 95
        6 x 19 = 114
        7 x 19 = 133
        8 x 19 = 152
        9 x 19 = 171
        10 x 19 = 190
        11 x 19 = 209
        12 x 19 = 228
        13 x 19 = 247
        14 x 19 = 266
        15 x 19 = 285
        16 x 19 = 304
        17 x 19 = 323
        18 x 19 = 342
        19 x 19 = 361
        20 x 19 = 380

        20 Times Table
        1 x 20 = 20
        2 x 20 = 40
        3 x 20 = 60
        4 x 20 = 80
        5 x 20 = 100
        6 x 20 = 120
        7 x 20 = 140
        8 x 20 = 160
        9 x 20 = 180
        10 x 20 = 200
        11 x 20 = 220
        12 x 20 = 240
        13 x 20 = 260
        14 x 20 = 280
        15 x 20 = 300
        16 x 20 = 320
        17 x 20 = 340
        18 x 20 = 360
        19 x 20 = 380
        20 x 20 = 400

        Таблица из 11 Таблица из 12 Таблица из 13 Таблица из 14 Таблица из 15
        11 ×‌‌ 1 = 11 12 ×‌ 1 = 12 13 ×‌ 1 = 13 14 ×‌ 1 = 14 15 ×‌ 1 = 15
        11 ×‌‌ 2 = 22 12 ×‌ 2 = 24 13 ×‌ 2 = 26 14 ×‌ 2 = 28 15 ×‌ 2 = 30
        11 ×‌‌ 3 = 33 12 ×‌ 3 = 36 13 ×‌ 3 = 39 14 ×‌ 3 = 42 15 ×‌ 3 = 45
        11 ×‌ 4 = 44 12 ×‌ 4 = 48 13 ×‌ 4 = 52 14 ×‌ 4 = 56 15 ×‌ 4 = 60
        11 ×‌ 5 = 55 12 ×‌ 5 = 60 13 ×‌ 5 = 65 14 ×‌ 5 = 70 15 ×‌ 5 = 75
        11 ×‌ 6 = 66 12 ×‌ 6 = 72 13 ×‌ 6 = 78 14 ×‌ 6 = 84 15 ×‌ 6 = 90
        11 ×‌ 7 = 77 12 ×‌ 7 = 84 13 ×‌ 7 = 91 14 ×‌ 7 = 98 15 ×‌ 7 = 105
        11 ×‌ 8 = 88 12 ×‌ 8 = 96 13 ×‌ 8 = 104 14 ×‌ 8 = 112 15 ×‌ 8 = 120
        11 ×‌ 9 = 99 12 ×‌ 9 = 108 13 ×‌ 9 = 117 14 ×‌ 9 = 126 15 ×‌ 9 = 135
        11 ×‌ 10 = 110 12 ×‌ 10 = 120 13 ×‌ 10 = 130 14 ×‌ 10 = 140 15 ×‌ 10 = 150
        Таблица из 16 Таблица 17 Таблица из 18 Таблица из 19 Таблица из 20
        16 ×‌ 1 = 16 17 ×‌ 1 = 17 18 ×‌ 1 = 18 19 ×‌ 1 = 19 20 ×‌ 1 = 20
        16 ×‌ 2 = 32 17 ×‌ 2 = 34 18 ×‌ 2 = 36 19 ×‌ 2 = 38 20 ×‌ 2 = 40
        16 ×‌ 3 = 48 17 ×‌ 3 = 51 18 ×‌ 3 = 54 19 ×‌ 3 = 57 20 ×‌ 3 = 60
        16 ×‌ 4 = 64 17 ×‌ 4 = 68 18 ×‌ 4 = 72 19 ×‌ 4 = 76 20 ×‌ 4 = 80
        16 ×‌ 5 = 80 17 ×‌ 5 = 85 18 ×‌ 5 = 90 19 ×‌ 5 = 95 20 ×‌ 5 = 100
        16 ×‌ 6 = 96 17 ×‌ 6 = 102 18 ×‌ 6 = 108 19 ×‌ 6 = 114 20 ×‌ 6 = 120
        16 ×‌ 7 = 112 17 ×‌ 7 = 119 18 ×‌ 7 = 126 19 ×‌ 7 = 133 20 ×‌ 7 = 140
        16 ×‌ 8 = 128 17 ×‌ 8 = 136 18 ×‌ 8 = 144 19 ×‌ 8 = 152 20 ×‌ 8 = 160
        16 ×‌ 9 = 144 17 ×‌ 9 = 153 18 ×‌ 9 = 162 19 ×‌ 9 = 171 20 ×‌ 9 = 180
        16 ×‌ 10 = 160 17 ×‌ 10 = 170 18 ×‌ 10 = 180 19 ×‌ 10 = 190 20 ×‌ 10 = 200

      Таблица умножения 11 Таблица Умножения 12
      Таблица умножения 13 Умножение Multiplication TABLE 140004
      . Таблица 16
      Таблица умножения 17 Таблица умножения 18
      Таблица умножения чисел 19 Таблица умножения чисел 20

      x 11 12 13 14 14 0003 15 16 17 18 19 20
      1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
      2 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
      3 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
      4 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
      5 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
      6 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
      7 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
      8 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
      9 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
      10 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

      11 + 1 = 12
      22 + 2 = 24
      33 + 3 = 36
      44 + 4 = 48
      55 + 5 = 60
      66 + 6 = 72
      74 +
      88 + 8 = 96
      99 + 9 = 108