Автор: alexxlab

как найти общее решение системы линейных уравнений

Вы искали как найти общее решение системы линейных уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как найти общее решение системы линейных уравнений».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти общее решение системы линейных уравнений,найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений,найти общее решение системы линейных уравнений найти частное решение,общее и частное решение системы линейных уравнений,общие и частные решения отличаются по,системы линейных уравнений частное и общее решение,слау примеры решения,частное и общее решение системы линейных уравнений. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти общее решение системы линейных уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, найти общее решение системы линейных уравнений найти частное решение).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти общее решение системы линейных уравнений Онлайн?

Решить задачу как найти общее решение системы линейных уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

2.3.6. Примеры решения задач по теме «Системы уравнений общего вида. Мет

Задача 1.

Указать базисный минор матрицы

Указание

Определите вначале ранг матрицы А, а затем найдите ненулевой минор, порядок которого равен R(A).

Решение

Определим R(A). Вторая и четвертая строки А равны, поэтому после вычитания из 4-й строки 2-й получаем:

Вычислим минор полученной матрицы, составленный из первых трех столбцов:

Таким образом, найден минор максимально возможного (3-го) порядка, не равный нулю. Следовательно, ранг матрицы А равен рангу преобразованной матрицы, то есть равен 3, а рассмотренный минор является базисным.

Ответ:

Задача 2.

Определить количество решений системы линейных уравнений

.

Указание

Сравните ранги матрицы системы и расширенной матрицы.

Решение

Сравним ранги матрицы системы

И расширенной матрицы

.

Для удобства вычислений будем искать ранг матрицы А1, отделив ее последний столбец вертикальной чертой. Тогда столбцы, стоящие слева от черты, образуют матрицу А, и мы одновременно найдем ранги обеих матриц.

А1 ~ .

Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – первую, умноженную на 3:

А1 ~ ~ .

Таким образом, R(A) = 2, a R(A1) = 3, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система несовместна.

Задача 3.

Найти общее решение линейной системы

.

Указание

Убедившись в том, что система совместна, определите базисные и свободные неизвестные и выразите базисные неизвестные через свободные.

Решение

Найдем R(A) и R(A1):

Итак, R = R(A) = R(A1) = 2, а число неизвестных П = 5. Следовательно, R < N, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена).

Число базисных неизвестных равно R, то есть двум. Выберем в качестве базисных неизвестных Х1 и Х2, коэффициенты при которых входят в базисный минор преобразованной матрицы А: .

Соответственно Х3, Х4, Х5 – свободные неизвестные.

Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы:

И выразим базисные неизвестные через свободные:

.

Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: Х3 = Х4 = Х5 = 0. Тогда

Ответ:

Задача 4.

Найти общее решение системы, выразив в ответе первые неизвестные через последние:

Указание

Приведите расширенную матрицу к виду

Решение

Минор, состоящий из первых трех столбцов полученной матрицы,

Поэтому R(A) = R(A1) = 3, выбранный минор является базисным, а Х1, Х2, Х3, коэффициенты при которых составляют базисный минор, – базисными неизвестными. Тогда свободное неизвестное – Х4, и система, равносильная исходной, имеет вид:

Откуда

Ответ:

Задача 5.

Найти фундаментальную систему решений однородной линейной системы

Указание

Количество решений, образующих фундаментальную систему, равно числу

Свободных неизвестных. Задайте свободным неизвестным значения 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1 и вычислите соответствующие значения базисных неизвестных.

Решение

Матрица А1 отличается от матрицы А только добавлением нулевого столбца свободных членов, поэтому все ее ненулевые миноры являются минорами матрицы А, то есть R(A) = R(A1). Найдем R(A):

Выберем в качестве базисного минора

Значит, R(A) = 2. Пусть Х4, Х5 – базисные неизвестные, Х1, Х2, Х3 – свободные неизвестные. Запишем для них новую систему:

Откуда

Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных:

1) Х1 = 1, Х2 = Х3 = 0.

Тогда Х4 = -0,2, Х5 = 1,2, и решение можно записать в виде столбца

2) Х1 = 0, Х2 = 1, Х3 = 0.

При этом Х4 = 1,2, Х5 = 3,8, и следующее решение системы имеет вид

3) Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1. Отсюда Х4 = -0,8, Х5 = -0,2, и последний столбец

Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать

При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.

Ответ:

Задача 6.

Составить однородную систему из двух уравнений, для которой столбцы

Образуют фундаментальную систему решений.

Указание

Пусть искомая система имеет вид:

Подставьте вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3 и решите полученную систему уравнений для коэффициентов Aij.

Решение

Определим вначале, из какого наименьшего числа уравнений может состоять такая система.

Число элементов каждого столбца равно пяти, следовательно, в системе пять неизвестных (П = 5). Количество столбцов, составляющих фундаментальную систему, равно трем, то есть N – R = 3, поэтому R = 5 – 3 = 2. Значит, матрица А должна иметь по крайней мере 2 строки. Следовательно, система уравнений с заданной фундаментальной системой решений может состоять из двух и более уравнений.

Пусть искомая система имеет вид:

Подставим вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3. Получим:

Разобьем полученные 6 уравнений на две системы, одна из которых содержит A1I, а вторая – A2I:

Найдем какое-либо частное решение этой системы. Приведем ее матрицу к треугольному виду:

Откуда

Следовательно,

Выберем А14 = А15 = 4, тогда А11 = 0, А12 = 8, А13 = -4.

2) Так же выглядит общее решение системы для A2I:

Выберем свободные неизвестные так, чтобы получить решение, линейно независимое с предыдущим.

Пусть А24 = 4, А25 = 0, тогда А21 = 5, А22 = 5, А23 = -3.

Итак, используя найденные значения коэффициентов, можно составить линейную однородную систему:

Фундаментальная система решений которой имеет вид, приведенный в условии задачи.

Ответ:

Задача 7.

Найти общее решение неоднородной линейной системы

С помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.

Указание

Убедитесь в том, что система совместна. Затем составьте соответствующую однородную систему и найдите для нее фундаментальную систему решений. Далее используйте то, что общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Решение

Убедимся в том, что система совместна:

Итак, R(A) = R(A1) = 2 – система совместна.

Составим по преобразованной матрице однородную систему:

И найдем для нее фундаментальную систему решений:

Фундаментальная система решений может быть выбрана так:

Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы

Положим Х3 = Х4 = Х5 = 0, тогда . Следовательно,

и общее решение системы имеет вид:

Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3 + Хчастн, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные.

Ответ:

Задача 8.

Решить систему методом Гаусса:

.

Указание

Поменяйте местами 1-е и 2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице, а затем исключите Х из второго и третьего уравнений.

Решение

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами 1-е и

2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице:

Теперь исключим Х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2:

Далее можно легко исключить Z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе:

Из последнего уравнения получаем, что У = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: Z = 3, Х = 1.

Ответ: Х = 1, У = 0, Z = 3.

Задача 9.

Решить систему методом Гаусса:

Указание

Исключите Х2 из 2-го и 4-го уравнений, используя 1-е уравнение, а затем вычтите из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3.

Решение

Исключим Х2 из 2-го и 4-го уравнений. Для этого из 2-го уравнения вычтем 1-е, а к 4-му прибавим 1-е, умноженное на 2:

Вычтем из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3:

Теперь вычтем из 4-го уравнения удвоенное 3-е:

Из последнего уравнения находим . Тогда из 3-го уравнения Х1 = 0, из 2-го , из 1-го Х2 = 2.

Ответ:

Как решать однородные слау. Что такое однородная система линейных уравнений? Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

Системы линейных уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называются однородными :

Любая однородная система всегда совместна, поскольку всегда обладает нулевым (тривиальным ) решением. Возникает вопрос, при каких условиях однородная система будет иметь нетривиальное решение.

Теорема 5.2. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы меньше числа ее неизвестных.

Следствие . Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Пример 5.6. Определить значения параметра l, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:

Решение . Эта система будет иметь нетривиальное решение тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю:

Таким образом, система нетривиальна, когда l=3 или l=2. При l=3 ранг основной матрицы системы равен 1. Тогда оставляя только одно уравнение и полагая, что y =a и z =b , получим x=b-a , т.е.

При l=2 ранг основной матрицы системы равен 2. Тогда, выбирая в качестве базисного минор:

получим упрощенную систему

Отсюда находим, что x=z /4, y=z /2. Полагая z =4a , получим

Множество всех решений однородной системы обладает весьма важным линейным свойством : если столбцы X 1 и X 2 — решения однородной системы AX = 0 , то всякая их линейная комбинация aX 1 + bX 2 также будет решением этой системы . Действительно, поскольку AX 1 = 0 и AX 2 = 0 , то A (aX 1 + bX 2) = aAX 1 + bAX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Именно вследствие этого свойства, если линейная система имеет более одного решения, то этих решений будет бесконечно много.

Линейно независимые столбцы E 1 , E 2 , E k , являющиеся решениями однородной системы, называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений, если общее решение этой системы можно записать в виде линейной комбинации этих столбцов:

Если однородная система имеет n переменных, а ранг основной матрицы системы равен r , то k = n-r .

Пример 5.7. Найти фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений:

Решение . Найдем ранг основной матрицы системы:

Таким образом, множество решений данной системы уравнений образует линейное подпространство размерности n — r = 5 — 2 = 3. Выберем в качестве базисного минор

Тогда оставляя только базисные уравнения (остальные будут линейной комбинацией этих уравнений) и базисные переменные (осталь-ные, так называемые свободные, переменные переносим вправо), по-лучим упрощенную систему уравнений:

Полагая, x 3 = a , x 4 = b , x 5 = c , находим

Полагая a = 1, b = c = 0, получим первое базисное решение; полагая b = 1, a = c = 0, получим второе базисное решение; полагая c = 1, a = b = 0, получим третье базисное решение. В результате, нормальная фундаментальная система решений примет вид

С использованием фундаментальной системы общее решение однородной системы можно записать в виде

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Отметим некоторые свойства решений неоднородной системы линейных уравнений AX=B и их взаимосвязь соответствующей однородной системой уравнений AX = 0.

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы AX = 0 и произвольного частного решения неоднородной системы . Действительно, пусть Y 0 произвольное частное решение неоднородной системы, т.е. AY 0 = B , и Y — общее решение неоднородной системы, т.е. AY = B . Вычитая одно равенство из другого, получим
A (Y-Y 0) = 0, т.е. Y — Y 0 есть общее решение соответствующей однородной системы AX =0. Следовательно, Y — Y 0 = X , или Y = Y 0 + X . Что и требовалось доказать.

Пусть неоднородная система имеет вид AX = B 1 + B 2 . Тогда общее решение такой системы можно записать в виде X = X 1 + X 2 , где AX 1 = B 1 и AX 2 = B 2 . Это свойство выражает универсальное свойство вообще любых линейных систем (алгебраических, дифференциальных, функциональных и т.д.). В физике это свойство называется принципом суперпозиции , в электро- и радиотехнике — принципом наложения . Например, в теории линейных электрических цепей ток в любом контуре может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.

Линейная система называется однородной , если все ее свободные члены равны 0.

В матричном виде однородная система записывается:
.

Однородная система (2) всегда совместна . Очевидно, что набор чисел
,
, …,
удовлетворяет каждому уравнению системы. Решение
называетсянулевым илитривиальным решением. Таким образом, однородная система всегда имеет нулевое решение.

При каких условиях однородная система (2) будет иметь ненулевые (нетривиальные) решения?

Теорема 1.3 Однородная система (2)имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда рангr ее основной матрицыменьше числа неизвестныхn .

Система (2) – неопределенная
.

Следствие 1. Если число уравненийm однородной системы меньше числа переменных
, то система является неопределенной и имеет множество ненулевых решений.

Следствие 2. Квадратная однородная система
имеет ненулевые решения тогда и тогда, когда основная матрица этой системывырождена, т.е. определитель
.

В противном случае, если определитель
, квадратная однородная система имеетединственное нулевое решение
.

Пусть ранг системы (2)
т. е система (2) имеет нетривиальные решения.

Пусть и- частные решения этой системы, т.е.
и
.

Свойства решений однородной системы

Действительно, .

Действительно, .

Объединяя, свойства 1) и 2), можно сказать, что если

…,
— решения однородной системы (2), то и всякая их линейная комбинация- также является ее решением. Здесь
— произвольные действительные числа.

Можно найти
линейно независимых частных решений однородной системы (2), с помощью которых можно получить любое другое частное решение данной системы, т.е. получить общее решение системы (2).

Определение 2.2 Совокупность
линейно независимых частных решений

…,
однородной системы (2) таких, что каждое решение системы (2) можно представить в виде их линейной комбинации, называетсяфундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы (2).

Пусть

…,
— фундаментальная система решений, тогда общее решение однородной системы (2) можно представить в виде:

Где

.

Замечание. Чтобы получить ФСР, нужно найти частные решения

…,
, придавая поочередно какой-либо одной свободной переменной значение «1», а всем остальным свободным переменным – значения «0».

Получим ,, …,- ФСР.

Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы, предварительно поставив на первое место последнее уравнение системы, и приведем ее к ступенчатому виду. Поскольку правые части уравнений в результате элементарных преобразований не меняются, оставаясь нулями, столбец

можно не выписывать.

̴
̴
̴

Ранг системы где
— число переменных. Система неопределенная, имеет множество решений.

Базисный минор при переменных
отличен от нуля:
выбираем
в качестве базисных переменных, остальные
— свободные переменные (принимают любые действительные значения).

Последней в цепочке матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

(3)

Выразим базисные переменные
через свободные переменные
(обратный ход метода Гаусса).

Из последнего уравнения выразим :
и подставим в первое уравнение. Получим. Раскроем скобки, приведем подобные и выразим:
.

Полагая
,
,
, где
, запишем

— общее решение системы.

Найдем фундаментальную систему решений

,,.

Тогда общее решение однородной системы можно записать в виде:

Замечание. ФСР можно было найти другим путем, без предварительного отыскания общего решения системы. Для этого полученную ступенчатую систему (3) нужно было решить трижды, полагая для:
; для:
; для:
.

Однородная система всегда совместна и имеет тривиальное решение
. Для существования нетривиального решения необходимо, чтобы ранг матрицыбыл меньше числа неизвестных:

.

Фундаментальной системой решений однородной системы
называют систему решений в виде векторов-столбцов
, которые соответствуют каноническому базису, т.е. базису, в котором произвольные постоянные
поочередно полагаются равными единице, тогда как остальные приравниваются нулю.

Тогда общее решение однородной системы имеет вид:

где
— произвольные постоянные. Другими словами, общее решение есть линейная комбинация фундаментальной системы решений.

Таким образом, базисные решения могут быть получены из общего решения, если свободным неизвестным поочередно придавать значение единицы, полагая все остальные равные нулю.

Пример . Найдем решение системы

Примем , тогда получим решение в виде:

Построим теперь фундаментальную систему решений:

.

Общее решение запишется в виде:

Решения системы однородных линейных уравнений имеют свойства:

Другими словами, любая линейная комбинация решений однородной системы есть опять решение.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Решение систем линейных уравнений интересует математиков несколько столетий. Первые результаты были получены в XVIII веке. В 1750 г. Г.Крамер (1704 –1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы. В 1809 г. Гаусс изложил новый метод решения, известный как метод исключения.

Метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. Такие системы позволяют последовательно находить все неизвестные в определенном порядке.

Предположим, что в системе (1)
(что всегда возможно).

(1)

Умножая поочередно первое уравнение на так называемые подходящие числа

и складывая результат умножения с соответствующими уравнениями системы, мы получим эквивалентную систему, в которой во всех уравнениях, кроме первого, будет отсутствовать неизвестная х 1

(2)

Умножим теперь второе уравнение системы (2) на подходящие числа, полагая, что

,

и складывая его с нижестоящими, исключим переменную из всех уравнений, начиная с третьего.

Продолжая этот процесс, после
шага мы получим:

(3)

Если хотя бы одно из чисел
не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система (1) несовместна. Обратно, для любой совместной системы числа
равны нулю. Число- это ни что иное, как ранг матрицы системы (1).

Переход от системы (1) к (3) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из (3) – обратным ходом .

Замечание : Преобразования удобнее производить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы (1).

Пример . Найдем решение системы

.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Прибавим к строкам 2,3,4 первую, умноженную на (-2), (-3), (-2) соответственно:

.

Поменяем строки 2 и 3 местами, затем в получившейся матрице добавим к строке 4 строку 2, умноженную на :

.

Прибавим к строке 4 строку 3, умноженную на
:

.

Очевидно, что
, следовательно, система совместна. Из полученной системы уравнений

находим решение обратной подстановкой:

,
,
,
.

Пример 2. Найти решение системы:

.

Очевидно, что система несовместна, т.к.
, а
.

Достоинства метода Гаусса :

Менее трудоемкий, чем метод Крамера.

Однозначно устанавливает совместность системы и позволяет найти решение.

Дает возможность определить ранг любых матриц.

Решение находим с помощью калькулятора . Алгоритм решения такой же, как и для систем линейных неоднородных уравнений.
Оперируя только со строками, находим ранг матрицы, базисный минор; объявляем зависимые и свободные неизвестные и находим общее решение.

.
Зависимые переменные – x 2 , x 3 , x 5 , свободные – x 1 , x 4 . Из первого уравнения 10x 5 = 0 находим x 5 = 0, тогда
; .
Общее решение имеет вид:

Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=3, следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми. Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2. Достаточно придать свободным неизвестным x 1 и x 4 значения из строк определителя второго порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 2 , x 3 , x 5 . Простейшим определителем, отличным от нуля, является .
Таким образом, первое решение: , второе – .
Эти два решения составляют фундаментальную систему решений. Заметим, что фундаментальная система не единственна (определителей, отличных от нуля, можно составить сколько угодно).

Пример 2 . Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
Решение.

,
отсюда следует, что ранг матрицы равен 3 и равен числу неизвестных. Значит, система не имеет свободных неизвестных, а поэтому имеет единственное решение – тривиальное.

Задание . Исследовать и решить систему линейных уравнений.
Пример 4

Задание . Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Выпишем основную матрицу системы:

Задача . Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.

Линейное уравнение называется однородным , если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема . Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных .

Доказательство : Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1 : Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство : Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2 : Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство : Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .

Однородная система линейных алгебраических уравнений .

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A (n. Всякая лин. комбинация

решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.

Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме

общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.

7.Линейные пространства. Подпространства. Базис, размерность. Линейная оболочка. Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов ).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Частное решение — это… Что такое Частное решение?

Частное решение

        дифференциального уравнения F (x, y, y’,…, у ⁽ⁿ⁾) = 0, решение у = φ(х), получающееся из общего решения (См. Общее решение) у = φ(х, C₁,…, C_n) этого уравнения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных C₁,…, C_n. Например, общее решение уравнения у» + у = 0 есть у = C₁cosx + C₂sinx; полагая C₁ = 2, C₂ = —1, получим Ч. р. этого уравнения у = 2cosx — sinx.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

• Частное право
• Частный поверенный

Смотреть что такое «Частное решение» в других словарях:

• ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных …   Большой Энциклопедический словарь

• частное решение — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN partial solutionparticular solutionspecific solution …   Справочник технического переводчика

• частное решение — дифференциального уравнения, решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных. * * * ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения, решение, получающееся из общего решения при некотором …   Энциклопедический словарь

• частное решение — atskirasis sprendinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. partial solution; particular solution vok. Einzellösung, f; Partiallösung, f; partikuläre Lösung, f rus. частное решение, n pranc. solution particulière, f …   Fizikos terminų žodynas

• ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения, решение, получающееся из общего решения при нек ром конкретном выборе произвольных постоянных …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Частное решение — Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество на интервале . См. также Общее решение дифференциального уравнения …   Википедия

• Частное решение — особый вид решения на охрану ГГ, принимаемый начальником (командиром) пограничного соединения, воинской части в случае изменения обстановки на охраняемом участке ГГ. Оформляется приказом (распоряжением), в котором ставятся новые или уточняются… …   Пограничный словарь

• Частное решение дифференциального уравнения — Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция , которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество на интервале . Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое… …   Википедия

• Решение систем линейных алгебраических уравнений — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример …   Википедия

• Решение СЛАУ: ФСР — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример 2 Неоднородные системы …   Википедия

Общее решение системы линейных уравнений — Студопедия.Нет

Решение систем линейных уравнений

Дана  система  линейных уравнений с  неизвестными:

где  — коэффициенты, стоящие перед неизвестными;  — свободные члены системы ( ).

       Прямоугольная таблица чисел:

,

составленная из коэффициентов, стоящих перед неизвестными, называется матрицей системы.

       Матрица, получаемая приписыванием к матрице системы столбца свободных членов, называется расширенной матрицей:

       Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, то такая система будет совместной. Совместной называется система, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система может иметь либо одно решение (называется определенной), либо бесконечно много решений (называется неопределенной). Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной. Если система уравнений содержит уравнение:

называемое противоречивым, то она несовместна.

       Две системы, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Если в системе вычеркнуть одно или несколько уравнений:

называемых тривиальными, то получим систему уравнений, равносильную исходной.

Рассмотрим решение системы уравнений тремя способами: по формулам Крамера, матричным способом и методом исключения неизвестных – методом Гаусса.

       Формулы Крамера

       Система линейных уравнений, имеющая число уравнений, равное числу неизвестных , и определитель матрицы системы, отличный от нуля, имеет единственное решение.

Определитель, элементами которого являются коэффициенты, стоящие перед неизвестными, называется определителем системы:

       Вспомогательные определители:  …,  составляются путем замены в определителе системы соответствующего столбца столбцом, состоящим из свободных членов:

Решение системы уравнений находится по формулам Крамера:

    …,

       Если определитель системы , то система имеет единственное решение (совместна и определенна). Если определитель системы  и все вспомогательные определители  …,  также равны нулю, то такая система является совместной и имеет бесконечно много решений (неопределенна). Если определитель системы , но хотя бы один из вспомогательных определителей  …,  отличен от нуля, то такая система не имеет решений (несовместна или противоречива).

       Пример 3.1. Решить систему уравнений:

       Решение. Вычислим определитель системы уравнений:

       Определитель системы отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.

Вычислим вспомогательные определители:

       По формулам Крамера находим решение системы:

       Матричный способ

       Запишем матрицу системы, т.е. матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных

матрица, составленная из величин ,  называется матрицей-столбцом свободных членов. Составим еще матрицу-столбец неизвестных:  

Тогда система уравнений в матричной форме примет вид:

Если  то получим решение матричного уравнения:

На данной формуле и основан матричный способ решения систем линейных уравнений.

       Пример 3.2. Решить матричным способом систему уравнений:

       Решение. Для данной системы

Матрица, обратная к матрице , имеет вид:

Подставляя в формулу для решения матричного уравнения, имеем:

       Таким образом,

       Метод исключения неизвестных – метод Гаусса

       Рассмотрим систему m – линейных уравнений с n – неизвестными:

Суть метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к равносильной матрице ступенчатого (треугольного или трапецеидального) вида. Это и есть прямой ход метода Гаусса.

       На основании полученной ступенчатой матрицы составляется новая система уравнений, равносильная исходной, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, находятся все неизвестные; это суть обратного хода метода Гаусса.

       Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

или

где  – числа, отличные от нуля.

       Элементарные преобразования матрицы:

1) отбрасывание строки, в которой все элементы равны нулю;

2) умножение всех элементов строки матрицы на число, не равное нулю;

3) изменение порядка строк матрицы;

4) прибавление к каждому элементу одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на любое число.

Пример 3.3. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:

 вычитая из элементов 3-й строки элементы 1-й, а из элементов 2-й строки элементы 1-й, умноженные на два, получим:  Вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й, умноженные на семь, и поменяем местами 2-ю и 3-ю строки:  Запишем систему уравнений с новыми коэффициентами:

Применим обратный ход метода Гаусса:

Решение системы:

Общее решение системы линейных уравнений

Неизвестное  называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит  с коэффициентом единица, а во всех остальных уравнениях системы неизвестное  не содержится, т.е. содержится с коэффициентом нуль.

Система уравнений называется разрешенной, если каждое ее уравнение содержит разрешенное неизвестное. Например, система уравнений:

является разрешенной, так как неизвестные ,  и   – разрешенные.

       Если из каждого уравнения разрешенной системы уравнений выбрать по одному разрешенному неизвестному, то получим набор разрешенных неизвестных. Все остальные неизвестные будут называться свободными. В данной системе уравнений  и  – свободные неизвестные.

       Общим решением совместной системы уравнений называется равносильная ей разрешенная система, в которой разрешенные неизвестные выражены через свободные. Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение данной системы, называемое частным.

       Общее решение системы уравнений можно получить с помощью формул Крамера или методом Гаусса.

       Пример 3.4. Исследоватьнасовместность,найти общее решение и одно частное решение системы уравнений с помощью формул Крамера:

       Решение.

1.Запишем расширенную матрицу, найдем ее ранг и одновременно ранг матрицы системы уравнений:

 ~  ~

       Таким образом, ранги матриц совпадают и равны 2. Следовательно, система уравнений является совместной.

2.Выберем минор , составленный из коэффициентов, стоящих перед неизвестными  и  первого и третьего уравнений. Этот минор отличен от нуля и его порядок равен рангу матрицы системы.

3.Выпишем первое и третье уравнения данной системы, содержащие строки минора M:

В этих уравнениях оставим в левой части неизвестные  и , а остальные неизвестные перенесем в правую часть:

       4.Решим полученную систему уравнений по формулам Крамера:

Запишем общее решение данной системы уравнений:   Если свободные неизвестные положить , , то из общего решения находим , . Следовательно, , , ,  – частное решение исходной системы уравнений.

       Пример 3.5. Найти с помощью метода Гаусса общее решение и одно частное решение системы уравнений:

       Решение. Запишем систему уравнений в виде таблицы:

       1.Данная система не содержит противоречивых и тривиальных уравнений. Первое уравнение не содержит разрешенного неизвестного. Неизвестное  входит в это уравнение с коэффициентом единица. С помощью элементарных преобразований исключим из других уравнений  и получим следующую систему уравнений:

2.Полученная система не содержит противоречивых и тривиальных уравнений. Третье уравнение содержит неизвестное  с коэффициентом единица. Исключим неизвестное  из остальных уравнений с помощью элементарных преобразований:

       3.Данная система уравнений не содержит противоречивых и тривиальных уравнений. Она не является разрешенной, так как второе уравнение не содержит разрешенного неизвестного. Разделим это уравнение на -3:

       С помощью элементарных преобразований исключим неизвестное  из третьего и четвертого уравнений:

Запишем полученную разрешенную систему:

в которой , ,  –разрешенные неизвестные, а ,   – свободные неизвестные. Общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

       Если положить = =0, то частное решение исходной системы будет выглядеть следующим образом: = — 2; = 5; = 0; = -3; = 0.

Задания для самостоятельного решения:

Решить следующие системы уравнений:

3.1.              3.2.          3.3.

3.4.               3.5.              3.6.      

3.7.       3.8.          3.9.

3.10.     3.11.          3.12.

3.13.           3.14.          3.15.

3.16.           3.17.           3.18.

3.19.             3.20.      3.21.

3.22.              3.23.       3.24.

3.25.            3.26.        3.27.

3.28.        3.29.       3.30.  

3.31.        3.32.          3.33.

3.34.       3.35.             3.36.

3.37.    3.38.             3.39.

3.40.        3.41.             3.42.

3.43.         3.44.    3.45.

3.46.     3.47.          

Общее решение системы уравнений

В ваших классах алгебры, если система уравнений имеет бесконечно много решений, вы просто напишете «бесконечно много решений» и перейдете к следующей задаче. Однако когда мы говорим «бесконечно много решений», происходит гораздо больше. В этой статье мы рассмотрим эту идею с общими решениями.

реклама

Содержание:

1. Написание общего решения
2. Нахождение конкретных решений на основе общего решения
3. Краткое описание шагов

Выписка общего решения

Во-первых, давайте рассмотрим, как записать общее решение данной системы уравнений.Для этого рассмотрим пример.

Пример

Найдите общее решение системы уравнений:

\ (
\ begin {array} {c}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11 \\
x_1 + x_2 + 5x_3 + 11x_4 = 10 \\
\ end {array} \)

Как и в любой системе уравнений, мы будем использовать расширенную матрицу и сокращение строки.

\ (
\ left [
\ begin {array} {cccc | c}
1 & 2 & 8 & 18 & 11 \\
1 & 1 & 5 & 11 & 10 \\
\ end {array}
\ right ]
\ sim
\ left [
\ begin {array} {cccc | c}
1 & 0 & 2 & 4 & 9 \\
0 & 1 & 3 & 7 & 1 \\
\ end {array}
\ right]
\)

Теперь запишите уравнения из этой сокращенной матрицы.

\ (
\ begin {array} {c}
x_1 + 2x_3 + 4x_4 = 9 \\
x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 1 \\
\ end {array} \)

Обратите внимание на матрицу, что ведущие единицы (первая ненулевая запись в каждой строке) находятся в столбцах для \ (x_1 \) и \ (x_2 \).

Найдите эти переменные.

\ (
\ begin {array} {c}
x_1 = 9 — 2x_3 — 4x_4 \\
x_2 = 1 — 3x_3 — 7x_4 \\
\ end {array} \)

Остальные переменные — это свободных переменных , что означает, что они могут принимать любое значение.Значения \ (x_1 \) и \ (x_2 \) основаны на значениях этих двух переменных. В общем решении вы хотите это отметить.

Общее решение:

\ (
\ boxed {
\ begin {array} {l}
x_1 = 9 — 2x_3 — 4x_4 \\
x_2 = 1 — 3x_3 — 7x_4 \\
x_3 \ text {is free} \\
x_4 \ text { бесплатно} \\
\ end {array}
}
\)

Существует бесконечно много решений этой системы уравнений, все из которых используют разные значения двух свободных переменных.

Поиск конкретных решений

Предположим, вы хотите привести пример конкретного решения системы уравнений выше. Их бесконечно много, так что у вас есть большой выбор! Вам просто нужно рассмотреть возможные значения свободных переменных.

Пример решения

Лет:

\ (
\ begin {array} {l}
x_3 = 0 \\
x_4 = 1 \\
\ end {array}
\)

Не было особой причины выбирать 0 и 1. Опять же, это будет работать для ЛЮБОГО значения, которое вы выберете для этих двух переменных.

Используя эти значения, решение:

\ (
\ begin {array} {l}
x_1 = 9 — 2x_3 — 4x_4 = 9 — 2 (0) — 4 (1) \\
x_2 = 1 — 3x_3 — 7x_4 = 1 — 3 (0) — 7 (1) \\
x_3 = 0 \\
x_4 = 1 \\
\ end {array}
\ rightarrow
\ boxed {
\ begin {array} {l}
x_1 = 5 \\
x_2 = -6 \\
x_3 = 0 \\
x_4 = 1 \\
\ end {array}
}
\)

Чтобы убедиться, вы можете проверить эти значения в исходной системе уравнений:

\ (
\ begin {array} {l}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11 \\
x_1 + x_2 + 5x_3 + 11x_4 = 10 \\
\ end {array}
\ rightarrow
\ begin {array} {l}
(5) + 2 (-6) + 8 (0) + 18 (1) = 11 \ text {(true)} \\
(5) + (-6) + 5 (0) +11 (1) = 10 \ text {(true)} \\
\ end {array}
\)

Поскольку оба уравнения верны для этих значений, мы знаем, что нашли одно из многих, многих решений.Если бы мы хотели найти больше решений, мы могли бы просто выбрать разные значения для двух свободных переменных \ (x_1 \) и \ (x_2 \).

объявление

Краткое описание шагов

Для данной системы уравнений шаги для написания общего решения следующие:

1. Строка уменьшения расширенной матрицы для системы.
2. Запишите уравнения матрицы с сокращенной строкой.
3. Найдите переменные, у которых есть ведущая в столбце.
4. Обозначьте остальные переменные как свободные.

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Однородные и неоднородные системы

Однородные и неоднородные системы

Однородная система линейных уравнений — это одна в котором все постоянные члены равны нулю.Однородная система всегда хотя бы одно решение, а именно нулевой вектор. Когда строковая операция применительно к однородной системе новая система остается однородной. это Важно отметить, что когда мы представляем однородную систему в виде матрицы, мы часто опускаем последний столбец постоянных условий, так как применяя операции со строками не изменят этот столбец. Итак, мы используем обычную матрицу вместо расширенной матрицы. Конечно, ища решение, важно учитывать постоянные нулевые члены.

Неоднородная система имеет связанную однородную систему, который вы получаете, заменяя постоянный член в каждом уравнении нулем. Раздел 1.I.3 в учебнике посвящен пониманию структуры множества решений однородных и неоднородных систем. Основные теоремы которые подтверждены в этом разделе:

Теорема: множество решений однородная линейная система с $ n $ переменными имеет вид $ \ {a_1 \ vec v_1 + a_2 \ vec v_2 + \ cdots + a_k \ vec v_k \, | \, a_1, a_2, \ dots, a_k \ in \ R \} $, где $ k $ — количество свободных переменных в эшелонированной форме система и $ \ vec v_1, \ vec v_2, \ dots, \ vec v_k $ являются [постоянными] векторами в $ \ R ^ n.$

Теорема: Рассмотрим систему линейных уравнений в $ n $ переменных и предположим, что $ \ vec p $ — решение системы. Затем множество решений системы имеет вид $ \ {\ vec p + a_1 \ vec v_1 + a_2 \ vec v_2 + \ cdots + a_k \ vec v_k \, | \, a_1, a_2, \ dots, a_k \ in \ R \} $, где $ \ {a_1 \ vec v_1 + a_2 \ vec v_2 + \ cdots + a_k \ vec v_k \, | \, a_1, a_2, \ dots, a_k \ in \ R \} $ — множество решений ассоциированной однородной системы. (Итак, $ k $ по-прежнему количество свободных переменных в эшелонированной форме системы.)

Вектор $ \ vec p $ во второй теореме называется частное решение системы. (Помните, что для неоднородного системы, возможно, что не существует конкретного решения, а набор решений пуст.) Однородная система всегда имеет частным решением $ \ vec 0 $, а вторая Теорема применяется к однородным системам, взяв $ \ vec p = \ vec 0 $. Обратите внимание, что для данной системы векторы $ \ vec p $ и $ \ vec v_i $ не уникальны. Может быть много разных последовательностей операций со строками, которые можно использовать привести систему в эшелонированную форму.$ \ Vec p $ и $ \ vec v_i $, которые вы получите может зависеть от конкретной последовательности операций со строками, которые вы используете. Однако вы можно получить только разные способы написания одного и того же набора решений. (Возможно Удивительный факт, который еще не доказан, заключается в том, что независимо от того, в какой последовательности операций со строками, которые вы используете для приведения системы в эшелонированную форму, вы всегда получаете такое же количество свободных переменных. Это означает, что число $ k $ в система однозначно определяется системой.)

Эти теоремы на самом деле не меняют способ решения линейной системы, но это помогает нам понять структуру набора решений системы, и, в частности, геометрия множества решений.п $ это содержит происхождение. Добавление вектор $ \ vec p $ ко всем точкам в этом линейном пространстве дает «параллельную» линейную пространство, содержащее $ \ vec p $. Увидеть вторая картина в предыдущем разделе].

Другой важной темой в Разделе 1.I.3 учебника является особые и невырожденные матрицы. Это проблема только для квадратных матрицы. (Квадратная матрица — это матрица, в которой количество строк равно количеству столбцов.) Квадратная матрица — это ассоциированная матрица некоторой однородной системы.Поскольку матрица квадратная, однородная система имеет то же количество уравнений, что и переменные. Однородная система либо будет иметь единственное решение $ \ vec 0 $, либо у него будет бесконечное количество решений. Матрица называется невырожденный, если система имеет единственное решение. Она называется сингулярной, если система имеет бесконечную количество решений. (Только термины «единственное» и «неособое» применяются к квадратным матрицам.) Отметим, что по приведенным выше теоремам квадратная матрица является особенным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна свободная переменная, когда она помещается в форме эшелона, что, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда эшелон Форма матрицы имеет как минимум одну строку, содержащую только нули.n $ размерности $ n-1 $ (если уравнение не является тривиальное уравнение, $ 0 = 0 $.) И поскольку $ \ vec 0 $ является решением, это линейное пространство проходит через начало координат. Набор решений для всей системы: пересечение множеств решений для всех индивидуальных уравнений; то есть это пересечение $ n $ линейных пространств размерности $ n-1 $.

Например, если $ n = 2 $, мы смотрим на пересечение двух линий через начало координат; возможности заключаются в том, что линии пересекаются только в начале координат [невырожденная матрица] или что линии на самом деле идентичны [сингулярная матрица].Конечно, если вы выберете две строки наугад, маловероятно, что они идентичны. Это означает, что если вы выберете случайную матрицу $ 2 \ times2 $, это маловероятно. что это будет особенным.

Для $ n = 3 $ мы пересекаем три плоскости, содержащие начало координат. В пересечение двух плоскостей через начало координат является линией, если плоскости не происходят быть идентичным. Когда вы добавляете третью плоскость к перекрестку, вы скорее всего, пересекая эту плоскость линией, в результате получится один точка (а именно, начало координат), за исключением маловероятного случая, когда линия происходит полностью лежать в плоскости.n $ размерности $ n-1 $. Взяв пересечение этого пространства с множеством решений второе уравнение, вероятно, даст линейное пространство размерности $ n-2 $. Поскольку набор решений для каждого уравнения добавляется к пересечению, размер перекрестка, вероятно, уменьшится на единицу. Когда вы получаете до пересечения множеств решений для всех $ n $ уравнений, вы вероятно, будет пространство нулевого измерения — единственная точка, а именно источник. Опять же, если вы выберете случайную матрицу $ n \ times n $, это будет очень вряд ли будет единичным.(Слово «единственное число» означает «особенно необычный».)

Если посмотреть на неоднородную линейную систему $ n $ уравнений от $ n $ переменных, вы пересекаете множества решений, которые не обязательно содержат начало координат. Наиболее вероятная возможность пересечения — все еще одна точка, и бесконечное пересечение все еще возможно. Но у вас также есть возможность пустого перекрестка — нет решения — как, например, если бы вы пересекаете две параллельные линии.

Мы также можем подумать о том, что происходит, когда мы применяем сокращение строк к поместите матрицу $ n \ times n $ в эшелонированную форму.Рассмотрим матрицу как матрица однородной линейной системы, записанная без постоянного нуля члены из правых частей уравнений. $$ \ begin {pmatrix} c_ {11} & c_ {12} & \ cdots & c_ {1n} \\ c_ {21} & c_ {22} & \ cdots & c_ {2n} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ c_ {n1} & c_ {n2} & \ cdots & c_ {nn} \ end {pmatrix} $$ Помните, что матрица квадратная, с тем же количеством строк, что и столбцов. Матрица формы эшелона, полученная в результате сокращения строк, будет иметь вид $$ \ begin {pmatrix} d_ {11} & d_ {12} & \ cdots & d_ {1n} \\ 0 & d_ {22} & \ cdots & d_ {2n} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & d_ {nn} \ end {pmatrix} $$ где все элементы ниже диагонали равны нулю (и некоторые из $ d_ {ij} $ также могут быть нулевыми).Но может быть нулевые строки внизу. То есть $ d_ {nn} $ может быть нулевым. Если $ d_ {nn} \ ne0 $, то свободных переменных нет, а однородные система имеет $ \ vec 0 $ в качестве единственного решения. Если $ d_ {nn} = 0 $, там — это хотя бы одна ненулевая строка, и не более $ n-1 $ из $ n $ строк ненулевые. Итак, существует не более $ n-1 $ ведущих переменных, что означает наличие хотя бы одной свободной Переменная; система имеет бесконечное количество решений.

Теперь предположим, что у нас есть неоднородная система с тем же матрица коэффициентов.Расширенная матрица для неоднородных система имеет вид $$ \ left (\ begin {array} {cccc | c} c_ {11} & c_ {12} & \ cdots & c_ {1n} & a_1 \\ c_ {21} & c_ {22} & \ cdots & c_ {2n} & a_2 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ c_ {n1} & c_ {n2} & \ cdots & c_ {nn} & a_n \ end {array} \ right) $$ Если мы применим метод Гаусса, используя те же строковые операции, что и для однородной системы получаем матрицу вида $$ \ left (\ begin {array} {cccc | c} d_ {11} & d_ {12} & \ cdots & d_ {1n} & b_1 \\ 0 & d_ {22} & \ cdots & d_ {2n} & b_2 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & d_ {nn} & b_n \ end {array} \ right) $$ Теперь в случае $ d_ {nn} \ ne0 $ свободных переменных нет, и мы можем решить систему, чтобы получить уникальное решение.(Таким образом, линейная система, матрица коэффициентов которой квадратная, невырожденная матрица всегда будет иметь единственное решение.) В случае $ d_ {nn} = 0 $ мы должны учитывать постоянные сроки. Когда $ d_ {nn} = 0 $ и $ b_n \ ne 0 $, мы имеем уравнение вида $ 0 = k $, где $ k \ ne 0 $, и решения нет. Когда $ d_ {nn} = 0 $ и $ b_n = 0 $, у нас есть строка со всеми нулями. Однако, решения может все еще не быть, потому что одно из предыдущих уравнений может по-прежнему иметь вид $ 0 = k $, где $ k \ ne0 $. Однако мы можем говорят, что если таких строк нет, то мы имеем разрешимую систему с хотя бы одна свободная переменная, а количество решений бесконечно.

(к оглавлению)

Неоднородная система — обзор

Решение

В матричной форме система эквивалентна X ′ = 21−8−2X + sin3t0. Находим общее решение соответствующей однородной системы X ′ = 21−8−2X с DSolve.

Прозрачный [ x , y , xh, xp] homsol = DSolve [{ x ′ [ t ] == 2 x [ t ] + y [ t ] ], y ′ [ t ] == — 8 x [ t ] −2 y [ t ]}, { x [ t ], y [ t ]}, t ]

{{x [t] → 12C [2] Sin [2t] + C [1] (Cos [2t] + Sin [2t]), y [t] → C [2] (Cos [2t] −Sin [2t]) — 4C [1] Sin [2t]}}

Эти результаты показывают, что общее решение соответствующей однородной системы:

Xh = cos2t + sin2t12sin2t4sin2tcos2t − sin2tc1c2.

Таким образом, ищем частное решение неоднородной системы вида Xp = asin3t + bcos3t, где a = a1a2 и b = b1b2. После определения A = 21−8−2 и Xp = asin3t + bcos3t, мы подставляем X _p в неоднородную систему.

capa = {{2, 1}, {−8, −2}}; MatrixForm [capa]

21−8−2

XP [t _] = {{a1}, {a2}} Sin [3 t ] + {{b1}, {b2}} Cos [3 t ]; MatrixForm [xp [ t ]]

b1Cos [3t] + a1Sin [3t] b2Cos [3t] + a2Sin [3t]

step1 = xp ′ [ t ] == capa.xp [ t ] + {{Sin [3 t ]}, {0}}

{{3a1Cos [3 t ] −3b1Sin [3 t ]}, {3a2Cos [3 t ] −3b2Sin [3 t ]}} == {{b2Cos [3 t ] + Sin [3 t ] + a2Sin [3 t ] +2 (b1Cos [3 t ] + a1Sin [3 t ])}, {−8 (b1Cos [3 t ] + a1Sin [3 t ]) — 2 (b2Cos [3 t ] + a2Sin [3 t ])} }

Результат представляет собой систему уравнений, которая верна для всех значений t .В частности, замена t = 0 дает

eq1 = step1 /. t → 0

{{3a1}, {3a2}} == {{2b1 + b2}, {−8b1 — 2b2}}

, что эквивалентно системе уравнений

3a1 = 2b1 + b23a2 = −24b1 + b2.

eq2 = step1 /. t → Pi / 2

{{3b1}, {3b2}} == {{−1 — 2a1 −a2}, {8a1 + 2a2}}

, что эквивалентно системе уравнений

3b1 = −1−2a1 − a23b2−2−4a1 − a2.

coeffs = Solve [{eq1, eq2} ]

{{a1 → −25, a2 → 85, b1 → −35, b2 → 0}}

, а затем подставьте эти значения в X _p , чтобы получить конкретное решение для неоднородной системы .

XP [t _] = XP [ t ] /. Coeffs [[1]]

{{−35Cos [3t] −25Sin [3t]}, {85Sin [3t]}}

A в целом решение неоднородной системы тогда дается формулой X = X _h + X _p .

xh [ t ]

{{12C [2] Sin [2t] + C [1] (Cos [2t] + Sin [2t])}, {C [2] (Cos [2t] −Sin [2t]) — 4C [1] Sin [2t]}}

x [t _] = xh [ t ] + xp [ t ]

{{−35Cos [3t] + 12C [2] Sin [2t] + C [1] (Cos [2t] + Sin [2t]) — 25Sin [3t]}, {C [2] (Cos [2t] −Sin [2t]) — 4C [1] Sin [2t] + 85Sin [3t]}}

Для решения задачи начального значения мы применяем начальное условие и решаем для неизвестных констант.

x [0]

{{−35 + C [1]}, {C [2]}}

cval = Решить [ x [0] == {{0}, {1}}]

{{C [1] → 35, C [2] → 1}}

Мы получаем решение задачи начального значения, подставляя эти значения обратно в общее решение.

x [t _] = x [ t ] /. Cvals [[1]] // Свести // Упростить

{110 (6Cos [2t] −6Cos [3t] + 11Sin [ 2t] −4Sin [3t]), Cos [2t] −175Sin [2t] + 85Sin [3t]}

Мы подтверждаем этот результат, построив графики x ( t ) и y ( t ) вместе на рисунке 6-19 (a), а также параметрически в B.

Рисунок 6-19. (а) x ( т, ) и x ( т, ). (b) Параметрический график x ( t ) по сравнению с y ( t )

p1 = График [Вычислить [ x [ t ]]], { t , 0, 4Pi }, PlotRange → {−2Pi, 2Pi}, AspectRatio → 1, PlotLabel → «(a)»]

p2 = ParametricPlot [ x [ t ], { t , 0, 4Pi}, PlotRange → {{- 6, 5}, {−5, 6}}, AspectRatio → 1, PlotLabel → «(b)»] Показать [GraphicsRow [{p1, p2}]]

Наконец, отметим, что DSolve может найти общее решение неоднородной системы

Очистить [ x , y , t ] Очистить [ x , y , xh, xp] homsol = DSolve [{ x ′ [ t ] == 2 x [ t ] + y [ t ], y ′ [ t ] == — 8 x [ t ] −2 y [ t ]}, { x [ t ], y [ t ]}, t ] 9 0003

{{x [t] → 12C [2] Sin [2t] + C [1] (Cos [2t] + Sin [2t]), y [t] → C [2] (Cos [2t] -Sin [2t]) — 4C [1] Sin [2t]}}

, а также решить задачу начального значения.

Прозрачный [ x , y , xh, xp] homsol = DSolve [{ x ′ [ t ] == 2 x [ t ] + y [ t ] ], y ′ [ t ] == — 8 x [ t ] −2 y [ t ], x [0] == 0, y [0] == 1}, { x [ t ], y [ t ]}, t ]

{{x [t] → 12Sin [2t], y [t] → Cos [2t] −Sin [2t]}}

Системы линейных уравнений: две переменные

Результаты обучения

• Решайте системы уравнений с помощью построения графиков, подстановок и сложений.
• Определить несовместимые системы уравнений, содержащие две переменные.
• Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей две переменные, в стандартных обозначениях.

Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок. Производитель отслеживает свои затраты, то есть сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он получает от продажи своих плат. Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов необходимо произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.

(предоставлено Thomas Sørenes)

Введение в системные решения

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтборда, нам необходимо признать, что мы имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, более чем с одним уравнением. Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 15 \\ [1 мм] 3x-y & = 5 \ end {align} [/ latex]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс] (4,7) [/ латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы поиска такого решения, если оно существует.

[латекс] \ begin {align} 2 \ left (4 \ right) + \ left (7 \ right) & = 15 && \ text {True} \\ [1 мм] 3 \ left (4 \ right) — \ left (7 \ right) & = 5 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. Согласованная система уравнений имеет по меньшей мере одно решение. Согласованной системой считается независимая система , если она имеет единственное решение, такое как пример, который мы только что исследовали.Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости. Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые точки пересечения y . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию. Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии.Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.

Общее примечание: Типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

• Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.
• Несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.
• Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Ниже приводится сравнение графических представлений каждого типа системы.

Как сделать: для данной системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.

1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
2. Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.

Пример: определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] решением данной системы уравнений.

[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 8 \\ 2x-9 & = y \ end {align} [/ latex]

Подставьте упорядоченную пару [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} \ left (5 \ right) +3 \ left (1 \ right) & = 8 \\ [1mm] 8 & = 8 && \ text {True} \\ [3mm] 2 \ left (5 \ right) -9 & = \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 1 & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому это решение системы.

Анализ решения

Мы можем ясно увидеть решение, построив график каждого уравнения. Поскольку решение представляет собой упорядоченную пару, удовлетворяющую обоим уравнениям, это точка на обеих прямых и, следовательно, точка пересечения двух прямых.

Попробуйте

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (8,5 \ right) [/ latex] решением следующей системы.

[латекс] \ begin {align} 5x-4y & = 20 \\ 2x + 1 & = 3y \ end {align} [/ latex]

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графика

Решите следующую систему уравнений, построив график. Определите тип системы.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ x-y & = — 1 \ end {align} [/ latex]

Решите первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ y & = — 2x-8 \ end {align} [/ latex]

Решите второе уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} x-y & = — 1 \\ y & = x + 1 \ end {align} [/ latex]

Изобразите оба уравнения на одном и том же наборе осей:

Кажется, что линии пересекаются в точке [латекс] \ влево (-3, -2 \ вправо) [/ латекс].Мы можем убедиться, что это решение системы, подставив упорядоченную пару в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} 2 \ left (-3 \ right) + \ left (-2 \ right) & = — 8 \\ [1 мм] -8 = -8 && \ text {True} \\ [ 3 мм] \ left (-3 \ right) — \ left (-2 \ right) & = — 1 \\ [1 мм] -1 & = — 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex], поэтому система независима.

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений, построив график.

[латекс] \ begin {собрано} 2x — 5y = -25 \\ -4x + 5y = 35 \ end {собрано} [/ latex]

Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-5,3 \ right) [/ latex].

Вопросы и ответы

Можно ли использовать построение графиков, если система непоследовательна или зависима?

Да, в обоих случаях мы можем построить график системы для определения типа системы и решения. Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна.Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.

Попробуй

Постройте три различных системы с помощью онлайн-графического инструмента. Отнесите каждое решение к категории согласованных или несовместимых. Если система непротиворечива, определите, является ли она зависимой или независимой. Возможно, вам будет проще построить график каждой системы по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую.
1)
[латекс] 5x-3y = -19 [/ latex]
[латекс] x = 2y-1 [/ латекс]

2)
[латекс] 4x + y = 11 [/ latex]
[латекс] -2y = -25 + 8x [/ latex]

3)
[латекс] y = -3x + 6 [/ latex]
[латекс] — \ frac {1} {3} y + 2 = x [/ latex]

1. Одно решение — последовательное, независимое
2. Нет решений, непоследовательные, ни зависимые, ни независимые
3. Множество решений — последовательные, зависимые

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод.Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Как: дана система двух уравнений с двумя переменными, решите, используя метод подстановки.

1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем решите для оставшейся переменной.
3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ 2x-5y & = 1 \ end {align} [/ latex]

Сначала мы решим первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ y & = x — 5 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы можем заменить выражение [latex] x — 5 [/ latex] на [latex] y [/ latex] во втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} 2x — 5y & = 1 \\ 2x — 5 \ left (x — 5 \ right) & = 1 \\ 2x — 5x + 25 & = 1 \\ -3x & = — 24 \\ x & = 8 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы подставляем [latex] x = 8 [/ latex] в первое уравнение и решаем относительно [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} — \ left (8 \ right) + y & = — 5 \\ y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение — [латекс] \ left (8,3 \ right) [/ latex].

Проверьте решение, подставив [latex] \ left (8,3 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ — \ left (8 \ right) + \ left (3 \ right) & = — 5 && \ text {True} \\ [3mm] 2x — 5y & = 1 \\ 2 \ left (8 \ right) -5 \ left (3 \ right) & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} x & = y + 3 \\ 4 & = 3x — 2y \ end {align} [/ latex]

[латекс] \ влево (-2, -5 \ вправо) [/ латекс]

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится ~ 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений.Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы подытожить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений — это метод сложения , этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю.Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения умножением, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Как: решить систему уравнений методом сложения.

1. Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
2. Напишите одно уравнение над другим, выровняв соответствующие переменные.Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите вторую переменную.
5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент [латекс] x [/ латекс] во втором уравнении, –1, противоположен коэффициенту [латекс] x [/ латекс] в первом уравнении, 1.Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить [latex] x [/ latex] без умножения на константу.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \\ \ hline 3y & = 2 \ end {align} [/ latex]

Теперь, когда мы удалили [latex] x [/ latex], мы можем решить полученное уравнение для [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3y & = 2 \\ y & = \ dfrac {2} {3} \ end {align} [/ latex]

Затем мы подставляем это значение для [latex] y [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = 3 \\ -x + \ frac {2} {3} & = 3 \\ -x & = 3- \ frac {2} {3} \\ -x & = \ frac {7} {3} \\ x & = — \ frac {7} {3} \ end {align} [/ latex]

Решение этой системы — [латекс] \ left (- \ frac {7} {3}, \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Проверьте решение в первом уравнении.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ \ left (- \ frac {7} {3} \ right) +2 \ left (\ frac {2} {3} \ right) & = \\ — \ frac {7} {3} + \ frac {4} {3} & = \\ \ — \ frac {3} {3} & = \\ -1 & = — 1 && \ text {True} \ end {align} [/ латекс]

Анализ решения

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление.Посмотрите на график ниже, чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ x — 2y & = 11 \ end {align} [/ latex]

Добавление этих уравнений в представленном виде не устраняет переменную.Однако мы видим, что первое уравнение содержит [latex] 3x [/ latex], а второе уравнение содержит [latex] x [/ latex]. Итак, если мы умножим второе уравнение на [latex] -3, \ text {} [/ latex], термины x прибавятся к нулю.

[латекс] \ begin {align} x — 2y & = 11 \\ -3 \ left (x — 2y \ right) & = — 3 \ left (11 \ right) && \ text {Умножаем обе стороны на} -3 \ \ -3x + 6y & = — 33 && \ text {Использовать свойство распределения}. \ end {align} [/ latex]

А теперь добавим их.

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ −3x + 6y & = — 33 \\ \ hline 11y & = — 44 \\ y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

На последнем этапе мы подставляем [latex] y = -4 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ 3x + 5 \ left (-4 \ right) & = — 11 \\ 3x — 20 & = — 11 \\ 3x & = 9 \\ x & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение — упорядоченная пара [латекс] \ left (3, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте решение в исходном втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} x — 2y & = 11 \\ \ left (3 \ right) -2 \ left (-4 \ right) & = 3 + 8 \\ & = 11 && \ text {True} \ конец {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x — 7y & = 2 \\ 3x + y & = — 20 \ end {align} [/ latex]

[латекс] \ влево (-6, -2 \ вправо) [/ латекс]

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = — 16 \\ 5x — 10y & = 30 \ end {align} [/ latex]

Одно уравнение имеет [латекс] 2x [/ латекс], а другое — [латекс] 5x [/ латекс].Наименьшее общее кратное — [latex] 10x [/ latex], поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Давайте удалим [latex] x [/ latex], умножив первое уравнение на [latex] -5 [/ latex], а второе уравнение на [latex] 2 [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -5 \ left (2x + 3y \ right) & = — 5 \ left (-16 \ right) \\ -10x — 15y & = 80 \\ [3 мм] 2 \ left (5x — 10y \ right) & = 2 \ left (30 \ right) \\ 10x — 20y & = 60 \ end {align} [/ latex]

Затем мы складываем два уравнения.

[латекс] \ begin {align} -10x-15y & = 80 \\ 10x-20y & = 60 \\ \ hline -35y & = 140 \\ y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = -4 [/ latex] в исходное первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3 \ left (-4 \ right) & = — 16 \\ 2x — 12 & = — 16 \\ 2x & = — 4 \\ x & = — 2 \ end {align} [ / латекс]

Решение: [латекс] \ left (-2, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} 5x — 10y & = 30 \\ 5 \ left (-2 \ right) -10 \ left (-4 \ right) & = 30 \\ -10 + 40 & = 30 \\ 30 & = 30 \ end {align} [/ latex]

Пример: использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} & = 3 \\ [1 мм] \ frac {x} {2} — \ frac {y} {4 } & = 1 \ end {align} [/ latex]

Сначала очистите каждое уравнение от дробей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

[латекс] \ begin {align} 6 \ left (\ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} \ right) & = 6 \ left (3 \ right) \\ [1 мм] 2x + y & = 18 \\ [3 мм] 4 \ left (\ frac {x} {2} — \ frac {y} {4} \ right) & = 4 \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 2x-y & = 4 \ end {align} [/ latex]

Теперь умножьте второе уравнение на [latex] -1 [/ latex], чтобы мы могли исключить x .

[латекс] \ begin {align} -1 \ left (2x-y \ right) & = — 1 \ left (4 \ right) \\ [1 мм] -2x + y & = — 4 \ end {align} [/ латекс]

Сложите два уравнения, чтобы исключить x , и решите полученное уравнение относительно y .

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 18 \\ −2x + y & = — 4 \\ \ hline 2y & = 14 \\ y & = 7 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 7 [/ латекс] в первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + \ left (7 \ right) & = 18 \\ 2x & = 11 \\ x & = \ frac {11} {2} \\ & = 7.5 \ end {align} [/ latex]

Решение: [латекс] \ left (\ frac {11} {2}, 7 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {2} — \ frac {y} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {\ frac {11} {2}} {2} — \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {11} {4} — \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {4} {4} & = 1 \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = 8 \\ 3x + 5y & = 10 \ end {align} [/ latex]

[латекс] \ влево (10, -4 \ вправо) [/ латекс]

В следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Классифицируйте решения по системам

Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместимых систем. Напомним, что несовместимая система состоит из параллельных линий, которые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения [латекс] y [/ латекс]. Они никогда не пересекутся. При поиске решения несовместимой системы мы получим ложное утверждение, например [latex] 12 = 0 [/ latex].

Пример: решение несовместимой системы уравнений

Решите следующую систему уравнений.

[латекс] \ begin {собрано} & x = 9 — 2y \\ & x + 2y = 13 \ end {собрано} [/ latex]

Мы можем подойти к этой проблеме двумя способами. Поскольку одно уравнение для [латекс] x [/ латекс] уже решено, наиболее очевидным шагом является использование замены.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = 13 \\ \ left (9 — 2y \ right) + 2y & = 13 \\ 9 + 0y & = 13 \\ 9 & = 13 \ end {align} [/ latex]

Ясно, что это утверждение противоречит тому, что [латекс] 9 \ ne 13 [/ латекс].Следовательно, у системы нет решения.

Второй подход заключается в том, чтобы сначала манипулировать уравнениями так, чтобы они оба были в форме пересечения наклона. Мы манипулируем первым уравнением следующим образом.

[латекс] \ begin {собрано} x = 9 — 2y \\ 2y = -x + 9 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \ end {собрано} [ / латекс]

Затем мы преобразуем второе уравнение в форму пересечения наклона.

[латекс] \ begin {собрано} x + 2y = 13 \\ 2y = -x + 13 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2} \ end {собрано} [ / латекс]

Сравнивая уравнения, мы видим, что они имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .Следовательно, линии параллельны и не пересекаются.

[латекс] \ begin {gather} y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2 } \ end {gather} [/ latex]

Анализ решения

Запись уравнений в форме пересечения наклона подтверждает, что система несовместима, потому что все линии в конечном итоге будут пересекаться, если они не параллельны. Параллельные линии никогда не пересекаются; таким образом, у этих двух линий нет общих точек. Графики уравнений в этом примере показаны ниже.

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {собрано} 2y — 2x = 2 \\ 2y — 2x = 6 \ end {собрано} [/ latex]

Нет решения. Это противоречивая система.

Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащих две переменные

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют собой одну и ту же линию.Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии. После использования замены или добавления результирующее уравнение будет идентичным, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].

Пример: поиск решения зависимой системы линейных уравнений

Найдите решение системы уравнений с помощью метода сложения .

[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]

С помощью метода сложения мы хотим исключить одну из переменных, добавив уравнения.В этом случае давайте сосредоточимся на удалении [латекс] х [/ латекс]. Если мы умножим обе части первого уравнения на [latex] -3 [/ latex], то мы сможем исключить переменную [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 2 \\ \ left (-3 \ right) \ left (x + 3y \ right) & = \ left (-3 \ right) \ left (2 \ right) \\ -3x — 9y & = — 6 \ end {align} [/ latex]

Теперь сложите уравнения.

[латекс] \ begin {align} −3x − 9y & = — 6 \\ + 3x + 9y & = 6 \\ \ hline 0 & = 0 \ end {align} [/ latex]

Мы видим, что будет бесконечное число решений, удовлетворяющих обоим уравнениям.

Анализ решения

Если бы мы переписали оба уравнения в форме пересечения наклона, мы могли бы знать, как будет выглядеть решение перед добавлением. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы преобразуем систему в форму с пересечением наклона.

[латекс] \ begin {align} \ begin {gather} x + 3y = 2 \\ 3y = -x + 2 \\ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ конец {собрано} \ hspace {2cm} \ begin {gather} 3x + 9y = 6 \\ 9y = -3x + 6 \\ y = — \ frac {3} {9} x + \ frac {6} {9} \ \ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {gather} \ end {align} [/ latex]

Посмотрите на график ниже.Обратите внимание, что результаты такие же. Общее решение системы — [латекс] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Написание общего решения

В предыдущем примере мы представили анализ решения следующей системы уравнений:

[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]

После небольшой алгебры мы обнаружили, что эти два уравнения в точности совпадают. Затем мы записали общее решение как [latex] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].Зачем нам писать решение именно так? В некотором смысле это представление о многом говорит нам. Он говорит нам, что x может быть любым, x — x . Это также говорит нам, что y будет зависеть от x , точно так же, как когда мы пишем правило функции. В этом случае, в зависимости от того, что вы добавили для x , y будет определено в терминах x как [латекс] — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [ /латекс].

Другими словами, существует бесконечно много пар ( x , y ), которые удовлетворяют этой системе уравнений, и все они попадают на линию [латекс] f (x) — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [/ латекс].

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {собрано} y — 2x = 5 \\ -3y + 6x = -15 \ end {собрано} [/ latex]

Система зависима, поэтому существует бесконечно много решений вида [латекс] \ left (x, 2x + 5 \ right) [/ latex].

Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела.Функция дохода производителя скейтбордов — это функция, используемая для расчета суммы денег, которая поступает в бизнес. Это может быть представлено уравнением [латекс] R = xp [/ latex], где [latex] x = [/ latex] количество и [latex] p = [/ latex] цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на графике ниже.

Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как аренда и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги.Функция стоимости показана синим цветом на графике ниже. Ось x представляет количество в сотнях единиц. Ось y представляет собой стоимость или доход в сотнях долларов.

Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности . Из графика видно, что если произведено 700 единиц, стоимость составит 3300 долларов, а выручка также составит 3300 долларов. Другими словами, компания сломается, даже если произведет и продаст 700 единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль. Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания терпит убытки. Функция прибыли — это функция дохода за вычетом функции затрат, записываемая как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex]. Очевидно, что знание количества, при котором затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.

Пример: определение точки безубыточности и функции прибыли с помощью замещения

Дана функция стоимости [латекс] C \ left (x \ right) = 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] и функция дохода [latex] R \ left (x \ right) = 1,55x [/ latex], найдите точку безубыточности и функцию прибыли.

Напишите систему уравнений, используя [latex] y [/ latex], чтобы заменить обозначение функции.

[латекс] \ begin {align} y & = 0,85x + 35 {,} 000 \\ y & = 1,55x \ end {align} [/ latex]

Подставьте выражение [latex] 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] из первого уравнения во второе уравнение и решите относительно [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {собрано} 0.85x + 35 {,} 000 = 1,55x \\ 35 {,} 000 = 0,7x \\ 50 {,} 000 = x \ end {в собранном виде} [/ latex]

Затем мы подставляем [латекс] x = 50 {,} 000 [/ latex] либо в функцию стоимости, либо в функцию дохода.

[латекс] 1,55 \ слева (50 {,} 000 \ справа) = 77 {,} 500 [/ латекс]

Точка безубыточности — [латекс] \ left (50 {,} 000,77 {,} 500 \ right) [/ latex].

Функция прибыли находится по формуле [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex].

[латекс] \ begin {align} P \ left (x \ right) & = 1.55x- \ left (0,85x + 35 {,} 000 \ right) \\ & = 0,7x — 35 {,} 000 \ end {align} [/ latex]

Функция прибыли [латекс] P \ left (x \ right) = 0,7x — 35 {,} 000 [/ latex].

Анализ решения

Стоимость производства 50 000 единиц составляет 77 500 долларов США, а выручка от продажи 50 000 единиц также составляет 77 500 долларов США. Чтобы получить прибыль, бизнес должен произвести и продать более 50 000 единиц.

Как видно из графика ниже, функция прибыли имеет отрицательное значение до тех пор, пока [latex] x = 50 {,} 000 [/ latex] не пересечет ось x .Затем график переходит в положительные значения y и продолжает движение по этому пути, поскольку функция прибыли представляет собой прямую линию. Это показывает, что точка безубыточности для предприятий наступает, когда функция прибыли равна 0. Область слева от точки безубыточности представляет работу с убытками.

Написание системы линейных уравнений для ситуации

Редко можно получить уравнения, которые четко моделируют поведение, с которым вы сталкиваетесь в бизнесе, скорее, вы, скорее всего, столкнетесь с ситуацией, для которой вы знаете ключевую информацию, как в приведенном выше примере.Ниже мы суммируем три ключевых фактора, которые помогут вам преобразовать ситуацию в систему.

Как сделать: в ситуации, которая представляет собой систему линейных уравнений, напишите систему уравнений и найдите решение.

1. Определите входные и выходные данные каждой линейной модели.
2. Определите наклон и пересечение y каждой линейной модели.
3. Найдите решение, установив две линейные функции равными другой и решив для x , или найдите точку пересечения на графике.

А теперь давайте попробуем применить эти ключевые факторы на практике. В следующем примере мы определяем, сколько разных типов билетов продано, учитывая информацию об общей выручке и количестве билетов, проданных на мероприятие.

Пример: запись и решение системы уравнений с двумя переменными

Стоимость билета в цирк составляет 25 долларов для детей и 50 долларов для взрослых. В определенный день посещаемость цирка составляет 2000 человек, а общий доход от ворот составляет 70 000 долларов.Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?

Пусть c = количество детей и a = количество взрослых, посещающих школу.

Общее количество человек — 2000 человек. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение для количества людей в цирке в тот день.

[латекс] c + a = 2 {,} 000 [/ латекс]

Доход от всех детей можно найти, умножив 25 долларов США на количество детей, [латекс] 25c [/ латекс]. Доход от всех взрослых можно найти, умножив 50 долларов.00 по количеству взрослых, [латекс] 50а [/ латекс]. Общий доход составляет 70 000 долларов. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение дохода.

[латекс] 25c + 50a = 70 {,} 000 [/ латекс]

Теперь у нас есть система линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {собрано} c + a = 2,000 \\ 25c + 50a = 70 {,} 000 \ end {собрано} [/ latex]

В первом уравнении коэффициент обеих переменных равен 1. Мы можем быстро решить первое уравнение для [латекса] c [/ латекса] или [латекса] a [/ латекса].Решим за [латекс] [/ latex].

[латекс] \ begin {собрано} c + a = 2 {,} 000 \\ a = 2 {,} 000-c \ end {собрано} [/ latex]

Подставьте выражение [latex] 2 {,} 000-c [/ latex] во второе уравнение для [latex] a [/ latex] и решите относительно [latex] c [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 25c + 50 \ left (2 {,} 000-c \ right) & = 70 {,} 000 \\ 25c + 100 {,} 000 — 50c & = 70 {,} 000 \ \ -25c & = — 30 {,} 000 \\ c & = 1 {,} 200 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [latex] c = 1 {,} 200 [/ latex] в первое уравнение для решения относительно [latex] a [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 1 {,} 200 + a & = 2 {,} 000 \\ a & = 800 \ end {align} [/ latex]

Мы обнаружили, что 1200 детей и 800 взрослых купили в тот день билеты в цирк.

Попробуйте

Билеты в цирк стоят 4 доллара для детей и 12 долларов для взрослых. Если было куплено 1650 билетов на питание на общую сумму 14 200 долларов, сколько детей и сколько взрослых купили билеты на питание?

Иногда система уравнений может помочь в принятии решения. В следующем примере мы помогаем ответить на вопрос: «Какая компания по аренде грузовиков предоставит наилучшую стоимость?»

Пример: построение системы линейных моделей для выбора компании по аренде грузовиков

Джамал выбирает между двумя компаниями по аренде грузовиков.Первый, Keep on Trucking, Inc., взимает предоплату в размере 20 долларов, затем 59 центов за милю. Второй, Move It Your Way, требует предоплаты в размере 16 долларов США, затем 63 цента за милю. Когда компания Keep on Trucking, Inc. станет лучшим выбором для компании Jamal?

Двумя важными величинами в этой задаче являются стоимость и количество пройденных миль. Поскольку нам нужно рассмотреть две компании, мы определим две функции.

Линейная функция имеет вид [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]. Используя скорости изменения и начальные расходы, мы можем записать уравнения

[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) = 0,59d + 20 \\ M \ left (d \ right) = 0,63d + 16 \ end {align} [/ latex]

Используя эти уравнения, мы можем определить, когда Keep on Trucking, Inc. будет лучшим выбором. Поскольку все, что нам нужно сделать, это затраты, мы ищем, когда Move It Your Way будет стоить меньше, или когда [латекс] K \ left (d \ right)

Эти графики схематично изображены выше, причем K ( d ) выделены синим цветом.

Чтобы найти пересечение, мы приравниваем уравнения и решаем:

[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) & = M \ left (d \ right) \\ 0,59d + 20 & = 0,63d + 16 \\ 4 & = 0,04d \\ 100 & = d \ \ d & = 100 \ end {align} [/ latex]

Это говорит нам о том, что стоимость проезда для двух компаний будет одинаковой, если проехать 100 миль.Либо посмотрев на график, либо отметив, что [латекс] K \ left (d \ right) [/ latex] растет медленнее, мы можем сделать вывод, что Keep on Trucking, Inc. будет дешевле, когда больше, чем Проехано 100 миль, то есть [латекс] d> 100 [/ латекс].

Приложения для систем кажутся почти бесконечными, но мы просто покажем еще одно. В следующем примере мы определяем количество 80% раствора метана, которое нужно добавить к 50% раствору, чтобы получить окончательный раствор 60%.

Пример: решение проблемы химической смеси

У химика есть 70 мл 50% раствора метана.Сколько 80% раствора она должна добавить, чтобы окончательный раствор состоял из 60% метана?

Мы воспользуемся следующей таблицей, чтобы помочь нам решить эту проблему со смесью:

Начнем с 70 мл раствора, и неизвестное количество может быть x .Часть представляет собой проценты или концентрацию раствора 0,5 для начала, 0,8 для доп.

Добавьте столбец суммы, чтобы получить окончательную сумму.Часть этого количества равна 0,6, потому что мы хотим, чтобы окончательный раствор содержал 60% метана.

Умножьте сумму на часть, чтобы получить сумму.обязательно распределить по последнему ряду: [латекс] (70 + х) 0,6 [/ латекс].

Если мы сложим начало и добавим записи в столбце «Итого», мы получим окончательное уравнение, которое представляет общую сумму и ее концентрацию.

[латекс] \ begin {align} 35 + 0,8x & = 42 + 0,6x \\ 0,2x & = 7 \\ \ frac {0,2} {0,2} x & = \ frac {7} {0,2} \\ x & = 35 \ конец {align} [/ latex]

35 мл 80% раствора необходимо добавить к 70 мл 50% раствора, чтобы получить 60% раствор метана.

Тот же процесс можно использовать, если к начальной и конечной сумме привязана цена, а не процент.

Ключевые понятия

• Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
• Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо.
• Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместимые с отсутствием решения.
• Один из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными — построение графиков. В этом методе мы строим уравнения на одном и том же наборе осей.
• Другой метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы решаем одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение.
• Третий метод решения системы линейных уравнений — это сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавив противоположные коэффициенты соответствующих переменных.
• Часто бывает необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы упростить исключение переменной при сложении двух уравнений.
• Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместимых систем, потому что они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются.
• Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, потому что оба уравнения описывают одну и ту же линию.
• Системы уравнений могут использоваться для решения реальных задач, которые включают более одной переменной, например, относящиеся к выручке, затратам и прибыли.

Глоссарий

метод сложения алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в которых уравнения складываются таким образом, чтобы исключить одну переменную, позволяя решить полученное уравнение для оставшейся переменной; затем используется подстановка для решения первой переменной

точка безубыточности точка, в которой функция затрат пересекает функцию дохода; где прибыль равна нулю

согласованная система система, для которой существует единственное решение для всех уравнений в системе, и это независимая система, или если существует бесконечное количество решений, и это зависимая система

функция затрат функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса; обычно состоит из двух частей: постоянных затрат и переменных затрат

зависимая система система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений для зависимой системы

несовместимая система система линейных уравнений без общего решения, поскольку они представляют собой параллельные линии, не имеющие общей точки или прямой

независимая система система линейных уравнений с ровно одной парой решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]

функция прибыли функция прибыли записывается как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex], выручка минус затраты

функция дохода функция, которая используется для расчета дохода, просто записывается как [латекс] R = xp [/ latex], где [latex] x = [/ latex] количество и [latex] p = [/ latex] цена.

метод подстановки алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором одно из двух уравнений решается для одной переменной, а затем подставляется во второе уравнение для решения для второй переменной

система линейных уравнений набор из двух или более уравнений с двумя или более переменными, которые должны рассматриваться одновременно.

Линейные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения

Система дифференциальных уравнений, которую можно записать в виде:

{y1 ′ = a1 & InvisibleTimes; 1 & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y1 + a1 & InvisibleTimes; 2 & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y2 +… + a1 & InvisibleTimes; n & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; (t) & InvisibleTimes; y1 + a2 & InvisibleTimes; 2 & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y2 +… + a2 & InvisibleTimes; n & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; yn = h3 & ApplyFunction; (t) ……………………………………………………………… ; 1 & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; yn + an & InvisibleTimes; 2 & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y2 +… + an & InvisibleTimes; n & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; yn = hn & InvisibleFunction; (t) (LS) & Z

будем называть системой линейных дифференциальные уравнения.

Функции ai & InvisibleTimes; j & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace; называются коэффициентами, а функции привет & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace; называются бесплатными условиями системы.

Систему (LS) часто записывают в матричной форме:

y⃗ ′ = A & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y⃗ + h⃗ & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;

куда:

y⃗ ′ = [y1′y2 ′… yn ′], A & ApplyFunction; (t) = [a1 & InvisibleTimes; 1 & ApplyFunction; (t) a1 & InvisibleTimes; 2 & ApplyFunction; (t)… a1 & InvisibleTimes; n & ApplyFunction; (t) a2 & InvisibleTimes; ; 2 & ApplyFunction; (t)… a2 & InvisibleTimes; n & ApplyFunction; (t) ………… an & InvisibleTimes; 1 & ApplyFunction; (t) an & InvisibleTimes; 2 & ApplyFunction; (t)… an & InvisibleTimes; n & ApplyFunction; (t)], h⃗ & ApplyFunction; (t)], h⃗ & ApplyFunction; (t)], h⃗ & ApplyFunction; (t)], h⃗ & ; (t) h3 & ApplyFunction; (t)… hn & ApplyFunction; (t)] & ZeroWidthSpace;

Пример .Матричная форма системы:

x ′ = t & InvisibleTimes; x − 2 & InvisibleTimes; y + ety ′ = x + t & InvisibleTimes; y − sin & ApplyFunction; t & ZeroWidthSpace;

является:

[x′y ′] = [t − 21t] & InvisibleTimes; [xy] + [et − sin & ApplyFunction; t] & ZeroWidthSpace;

Упражнение . Запишите каждую из следующих систем в матрицу форма:

а) {x ′ = 3 & InvisibleTimes; x − 1t & InvisibleTimes; y + t2y ′ = — x + 4 & InvisibleTimes; y − tb) {x ′ = x − yy ′ = — x + 2 & InvisibleTimes; y + 1c) {x ′ = x− y + z + ty ′ = 2 & InvisibleTimes; x + 3 & InvisibleTimes; y − 5 & InvisibleTimes; z + 4z ′ = — 4 & InvisibleTimes; x + 2 & InvisibleTimes; y + 2 & InvisibleTimes; z + 3 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;

ОТВЕЧАТЬ

Следующая теорема устанавливает достаточные условия для начального значения проблема, связанная с (LS), чтобы иметь единственное решение.

Теорема . Предположим, что функции ai & InvisibleTimes; j & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace; и привет & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace; (i, j = 1,…, n & ZeroWidthSpace;) непрерывны на интервале (а, б). & ZeroWidthSpace; Тогда для каждого t0 & Элемент; (a, b) & ZeroWidthSpace; и каждый y10, y20,…, yn0 & Element; R & ZeroWidthSpace; существует единственное решение y⃗ & ApplyFunction; (t) = (y1 & ApplyFunction; (t),…, yn & ApplyFunction; (t)) & ZeroWidthSpace; системы (LS), удовлетворяющей начальным условиям y⃗ & ApplyFunction; (t0) = (y10, y20,…, yn0).& ZeroWidthSpace;

Решение линейных систем — метод исключения

Метод исключения заключается в приведении системы п & ZeroWidthSpace; дифференциальные уравнения в одно дифференциальное уравнение порядка n & ZeroWidthSpace ;. Следующий пример объясняет это.

Пример. Рассмотрим систему:

(S) {x ′ = t & InvisibleTimes; x − y + 1y ′ = 2 & InvisibleTimes; x + t & InvisibleTimes; y − et & ZeroWidthSpace;

Если мы решим первое уравнение (S) в y & ZeroWidthSpace ;, мы получили

y = x ′ + t & InvisibleTimes; x + 1 & ZeroWidthSpace;

и следовательно,

у ‘= х’ ‘+ х + т & InvisibleTimes; х’ + 1.& ZeroWidthSpace;

Подставляю сейчас y & ZeroWidthSpace; и y ′ & ZeroWidthSpace; таким образом выраженный x & ZeroWidthSpace; во второе уравнение получаем:

x ′ ′ + x + t & InvisibleTimes; x ′ + 1 = 2 & InvisibleTimes; x + t & InvisibleTimes; (x ′ + t & InvisibleTimes; x + 1) −et & ZeroWidthSpace;

После упрощения последнее уравнение принимает вид:

x ′ ′ — (t2 + 1) и InvisibleTimes; x − t − 1 + et = 0 и ZeroWidthSpace;

Таким образом, мы превратили систему (S) в единую систему второго порядка. линейное уравнение.

Следует отметить, что, наоборот, каждое линейное уравнение второго порядка может быть превращается в систему двух линейных уравнений первого порядка. Чтобы увидеть это, рассмотреть уравнение

(*) y ′ ′ + p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y ′ + q & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y = h & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;

Обозначение y ′ & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace; по x & ApplyFunction; (t), & ZeroWidthSpace; мы вводим новую функцию х, & ZeroWidthSpace; чья производная x ′ = y ′ ′ & ZeroWidthSpace ;.Тогда уравнение (L) принимает вид

x ′ + p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; x + q & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y = h & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;

который вместе с заменой у ‘= х, & ZeroWidthSpace; дает следующую систему:

(**) {x ′ = — p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; x − q & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y + h & ApplyFunction; (t) y ′ = x & ZeroWidthSpace;

Пример .Решим систему:

(S) {x ′ = x − y + ety ′ = x + 3 & InvisibleTimes; y & ZeroWidthSpace;

с начальными условиями x & ApplyFunction; (0) = y & ApplyFunction; (0) = 0. & ZeroWidthSpace;

РЕШЕНИЕ

Решая первое уравнение для y & ZeroWidthSpace ;, мы получили y = x − x ′ + et. & ZeroWidthSpace; Следовательно y ′ = x′ − x ′ ′ + et. & ZeroWidthSpace;

Подстановка y & ZeroWidthSpace; и y ′ & ZeroWidthSpace; во втором уравнении получаем:

x′ − x ′ ′ + et = x + 3 & InvisibleTimes; (x − x ′ + et) и ZeroWidthSpace;

Итак, после упрощений получаем:

(R1) x ′ ′ — 4 & InvisibleTimes; x ′ + 4 & InvisibleTimes; x = −2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;

Мы получили линейное уравнение второго порядка в Икс.& ZeroWidthSpace; Соответствующее однородное уравнение:

(R2) x ′ ′ — 4 & InvisibleTimes; x ′ + 4 & InvisibleTimes; x = 0 & ZeroWidthSpace;

Характеристическое уравнение (R2) имеет вид λ2−4 & InvisibleTimes; λ + 4 = 0. & ZeroWidthSpace; Имеет двойной корень λ1,2 = 2 & ZeroWidthSpace ;.

Таким образом, общее решение (R2) есть x = (C1 + C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t. & ZeroWidthSpace;

Теперь мы найдем частное решение (R1) методом неопределенных коэффициенты.Ищем решение в виде xp = A & InvisibleTimes; et. & ZeroWidthSpace;

После дифференцирования получаем xp ′ = xp ′ ′ = A & InvisibleTimes; et. & ZeroWidthSpace; Подстановка xp, xp ′ и ZeroWidthSpace; и xp ′ ′ & ZeroWidthSpace; в уравнении (R1) получаем:

A & InvisibleTimes; et − 4 & InvisibleTimes; A & InvisibleTimes; et + 4 & InvisibleTimes; A & InvisibleTimes; et = −2 & InvisibleTimes; et, & ZeroWidthSpace; следовательно А = -2.& ZeroWidthSpace;

Таким образом, мы получили общее решение (R1):

(X) x = (C1 + C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t − 2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;

Из первого уравнения системы (S), x ′ = x − y + et, & ZeroWidthSpace; мы нашли y = x − x ′ + et. & ZeroWidthSpace;

Из (X) следует, что x ′ = (C2 + 2 & InvisibleTimes; C1 + 2 & InvisibleTimes; C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t − 2 & InvisibleTimes; et.& ZeroWidthSpace; Следовательно

y = x − x ′ + et = (C1 + C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t − 2 & InvisibleTimes; et− (C2 + 2 & InvisibleTimes; C1 + 2 & InvisibleTimes; C2 & InvisibleTimes; times & evisibleTimes; ;

и после упрощений

(Y) y = (- C1 − C2 − C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t + et & ZeroWidthSpace;

Таким образом, общее решение системы (1):

x = (C1 + C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t − 2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;

y = (- C1 − C2 − C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t + et & ZeroWidthSpace;

Применяя начальные условия x & ApplyFunction; (0) = y & ApplyFunction; (0) = 0 & ZeroWidthSpace; к полученному выше x & ZeroWidthSpace; и y, & ZeroWidthSpace; мы получили

{C1−2 = 0 − C1 − C2 + 1 = 0 & ZeroWidthSpace;

Следовательно C1 = 2 & ZeroWidthSpace; и С2 = -1.& ZeroWidthSpace;

Решение системы (S) с заданными начальными условиями:

x = (2-t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t-2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;

y = (t − 1) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t + et & ZeroWidthSpace;

Упражнение . Найдите решение системы:

(S) {x ′ = x + y − ety ′ = — x − y + et & ZeroWidthSpace;

с начальными условиями x & ApplyFunction; (0) = y & ApplyFunction; (0) = 1.& ZeroWidthSpace;

ОТВЕЧАТЬ

x = −et + 2 & InvisibleTimes; t − 2 & ZeroWidthSpace;

y = et − 2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;

РЕШЕНИЕ

Решая первое уравнение в y & ZeroWidthSpace ;, у нас есть y = x′ − x + et. & ZeroWidthSpace; Следовательно y ′ = x ′ ′ — x ′ + и т.д. & ZeroWidthSpace; Подстановка y & ZeroWidthSpace; и y ′ & ZeroWidthSpace; полученное таким образом ко второму уравнению, получаем

x ′ ′ — x ′ + et = −x− (x′ − x + et) + et & ZeroWidthSpace;

После упрощений получаем

x ′ ′ = — et & ZeroWidthSpace;

Последнее уравнение дает

x ′ = — et + C1 & ZeroWidthSpace;

и следовательно,

(X) x = −et + C1 & InvisibleTimes; t + C2 & ZeroWidthSpace;

Следовательно y = x′ − x + et = & ZeroWidthSpace;

−et + C1 — (- et + C1 & InvisibleTimes; t + C2) + et & ZeroWidthSpace;

После упрощений получаем

(Y) y = et-C1 & InvisibleTimes; t + C1-C2 & ZeroWidthSpace;

Применяя начальные условия к (X) и (Y) соответственно, получаем

-1 + C1 = 1 & ZeroWidthSpace;

1 + C1-C2 = 1 & ZeroWidthSpace;

следовательно С1 = С2 = 2.& ZeroWidthSpace;

Требуемое решение:

x = −et + 2 & InvisibleTimes; t − 2 & ZeroWidthSpace;

y = et − 2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;

Упражнение . Найдите решение системы:

(S) {x ′ = x + yy ′ = 1t & InvisibleTimes; y + t & ZeroWidthSpace;

с начальными условиями x & ApplyFunction; (1) = y & ApplyFunction; (1) = 0. & ZeroWidthSpace;

ОТВЕЧАТЬ

x = & ZeroWidthSpace; x = -t2-t-1 + 3 & InvisibleTimes; et-1 & ZeroWidthSpace;

y = t2 − t & ZeroWidthSpace;

РЕШЕНИЕ

Обратите внимание, что второе уравнение включает y & ZeroWidthSpace; только, поэтому мы можем решить его как одно уравнение.

Перезапись y ′ = 1t & InvisibleTimes; y + t & ZeroWidthSpace; в виде

(EY) y′ − 1t & InvisibleTimes; y = t, & ZeroWidthSpace;

мы идентифицируем его как линейное уравнение первого порядка.

Умножая обе части (EY) на интегрирующий коэффициент e∫ (−1t) & InvisibleTimes; dt = 1t, & ZeroWidthSpace; у нас есть

1t & InvisibleTimes; y′ − 1t2 & InvisibleTimes; y = 1 & ZeroWidthSpace;

(1t & InvisibleTimes; y) ′ = 1 & ZeroWidthSpace;

1t & InvisibleTimes; y = t + C & ZeroWidthSpace;

y = t2 + C & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;

Начальное состояние y & ApplyFunction; (1) = 0 & ZeroWidthSpace; подразумевает 0 = 1 + C, & ZeroWidthSpace; следовательно С = -1.& ZeroWidthSpace; Следовательно y = t2 − t. & ZeroWidthSpace;

Теперь заменяем y = t2 − t & ZeroWidthSpace; в правой части первого уравнения (S), и получим:

x ′ = x + t2 − t & ZeroWidthSpace;

или

(EX) x′ − x = t2 − t & ZeroWidthSpace;

Это снова линейное уравнение первого порядка. Умножая обе стороны (EX) интегрирующим множителем e∫ (-1) & InvisibleTimes; dt = e-t, & ZeroWidthSpace; у нас есть

e − t & InvisibleTimes; x′ − e − t & InvisibleTimes; x = (t2 − t) & InvisibleTimes; e − t & ZeroWidthSpace;

(e-t & InvisibleTimes; x) ′ = (t2-t) & InvisibleTimes; e-t & ZeroWidthSpace;

e − t & InvisibleTimes; x = — (t2 + t + 1) & InvisibleTimes; e − t + C & ZeroWidthSpace;

следовательно

x = −t2 − t − 1 + C & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;

Начальное состояние x & ApplyFunction; (1) = 0 & ZeroWidthSpace; подразумевает 0 = −3 + C & InvisibleTimes; e, & ZeroWidthSpace; следовательно C = 3e.& ZeroWidthSpace;

Следовательно x = −t2 − t − 1 + 3 & InvisibleTimes; et − 1. & ZeroWidthSpace;

Решение системы (S) с заданными начальными условиями:

x = & ZeroWidthSpace; x = -t2-t-1 + 3 & InvisibleTimes; et-1 & ZeroWidthSpace;

y = t2 − t & ZeroWidthSpace;

Упражнение . Решите систему:

(S) {x ′ = y − ty ′ = x + t & ZeroWidthSpace;

с начальными условиями x & ApplyFunction; (1) = y & ApplyFunction; (1) = 0.& ZeroWidthSpace;

ОТВЕЧАТЬ

x = −t + 1 & ZeroWidthSpace;

y = t − 1 & ZeroWidthSpace;

РЕШЕНИЕ

Решая первое уравнение для y & ZeroWidthSpace; дает y = x ′ + t, & ZeroWidthSpace; следовательно y ′ = x ′ ′ + 1. & ZeroWidthSpace;

Второе уравнение теперь принимает следующий вид:

x ′ ′ + 1 = x + t & ZeroWidthSpace;

или

(EX) x ′ ′ — x = t − 1 & ZeroWidthSpace;

Однородное уравнение, связанное с (EX):

(EXH) x ′ ′ — x = 0 & ZeroWidthSpace;

Корни его характеристического уравнения λ2−1 = 0 & ZeroWidthSpace; являются λ1 = -1 & ZeroWidthSpace; и λ2 = 1.& ZeroWidthSpace;

Поэтому общее решение (EXH):

x = C1 & InvisibleTimes; e − t + C2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;

Мы ищем частное решение (EX) в виде:

xp = A & InvisibleTimes; t + B & ZeroWidthSpace;

У нас есть xp ′ = A & ZeroWidthSpace; и xp ′ ′ = 0. & ZeroWidthSpace; Уравнение (EX) теперь дает:

−A & InvisibleTimes; t − B = t − 1 и ZeroWidthSpace;

Следовательно A = -1 & ZeroWidthSpace; и B = 1, & ZeroWidthSpace; так xp = −t + 1 & ZeroWidthSpace;

Таким образом, мы получили общее решение (EX): x = C1 & InvisibleTimes; e − t + C2 & InvisibleTimes; et − t + 1.& ZeroWidthSpace; Следовательно x ′ = — C1 & InvisibleTimes; e − t + C2 & InvisibleTimes; et − 1. & ZeroWidthSpace;

Из первого уравнения (S) имеем y = x ′ + t = & ZeroWidthSpace; −C1 & InvisibleTimes; e − t + C2 & InvisibleTimes; et − 1 + t. & ZeroWidthSpace;

Общее решение (S):

x = C1 & InvisibleTimes; e-t + C2 & InvisibleTimes; et-t + 1 & ZeroWidthSpace;

y = & ZeroWidthSpace; −C1 & InvisibleTimes; e − t + C2 & InvisibleTimes; et + t − 1 & ZeroWidthSpace;

Применяя начальные условия x & ApplyFunction; (1) = y & ApplyFunction; (1) = 0, & ZeroWidthSpace; мы получили:

0 = C1 + C2 & ZeroWidthSpace;

0 = −C1 + C2 & ZeroWidthSpace;

следовательно С1 = С2 = 0.& ZeroWidthSpace;

Требуемое решение (S) тогда:

x = −t + 1 & ZeroWidthSpace;

y = t − 1 & ZeroWidthSpace;

Упражнение . Решите систему:

{x ′ = y + 1y ′ = — x − 2 & InvisibleTimes; y & ZeroWidthSpace;

с начальными условиями x & ApplyFunction; (0) = y & ApplyFunction; (0) = 0. & ZeroWidthSpace;

ОТВЕЧАТЬ

х = -2 & InvisibleTimes; e-t-t & InvisibleTimes; e-t + 2 & ZeroWidthSpace;

у = е-т + т & InvisibleTimes; е-т-1 & ZeroWidthSpace;

Упражнение .Решите систему:

{x ′ = x + 2 & InvisibleTimes; yy ′ = — x − y & ZeroWidthSpace;

с начальными условиями x & ApplyFunction; (0) = y & ApplyFunction; (0) = 1. & ZeroWidthSpace;

ОТВЕЧАТЬ

x = cos & ApplyFunction; t + 3 & InvisibleTimes; sin & ApplyFunction; t & ZeroWidthSpace;

y = cos & ApplyFunction; t − 2 & InvisibleTimes; sin & ApplyFunction; t & ZeroWidthSpace;

(PDF) Определение частного решения для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Международная конференция ОРГАНИЗАЦИЯ НА ОСНОВЕ ЗНАНИЙ

Vol.XXIII № 3 2017

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНКРЕТНОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Василе Церняшу

«Николае Бэлчешу

« Николае Бэлчешу »,

, Румыния,

u,

.com, Land Forces Academy, Siba0003. Аннотация: Как и в случае линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, решаемая задача

связана с определением частного решения, а затем с использованием общего решения присоединенной однородной системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянные коэффициенты, чтобы записать общее решение

изначально заданной системы.Для однородных систем линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами определение общего решения представляет собой метод исключения или сокращения

, который превращает систему в линейное дифференциальное уравнение того же порядка, что и

системы, и его К методам ее решения применяется или метод собственных значений и векторов. Если система

неоднородна, то мы также должны определить конкретное решение, которое может быть выполнено в

таким же образом, как и в случае дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, если метод

Независимо от метода

, использованного для определения общего решения присоединенной однородной системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами, использовался метод редукции или исключения или метод вариации констант.Какой бы метод не использовался, определить конкретное решение

для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами сложно, в этом исследовании

предлагается метод, аналогичный методу линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами

.

Ключевые слова: системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,

однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,

частное решение, общее решение

1.Введение

В этом исследовании представлен простой и практичный метод

для определения конкретного решения для

системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

, и начинается с наблюдения

о том, как можно получить конкретное решение

. к линейному дифференциальному уравнению

n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Свободные члены системы могут быть частью

того же класса функций, что свободный член

может быть частью для линейных

дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами

, а именно комбинацией таких как:

DOI: 10.1515 / kbo-2017-0152

© 2017. Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 3.0.

Без аутентификации

Дата загрузки | 28.07.17, 7:01

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение дифференциальных уравнений

Теперь, разобравшись с основными терминами, приступим к решению! Предположим, у нас есть две зависимые переменные, x и y , представляющие популяцию криля и яков.Представьте себе скорость изменения яков d x / d t , отрицательно зависящую от количества крилей. Точно так же в этом гипотетическом мире скорость изменения криля, d y / d t , отрицательно зависит от количества яков. Таким образом, наша гипотетическая связанная система линейных дифференциальных уравнений:

Два неизвестных и два уравнения предлагают метод исключения из алгебры. Как мы увидим, запись d x / d t как D x выглядит так, как будто D умножает x .D, однако, является оператором на x , где операция дифференцирования. Фактически, даже умножение, как 4 умножение x на 4 x , является 4, действующим на x .

В систему криль-як!

Шаг 1. Используйте обозначение D для производной.

Заменить d x / d t на D x и d y / d t на D y :

Шаг 2. Составьте уравнения.

Положив сначала x , мы получим следующее изменение:

Шаг 3: Решить методом исключения.

Умножая уравнение 2 на D, получаем:

Умножая уравнение 1 на 4, получаем:

Как видите, теперь мы исключаем 4D x из уравнения:

Вычитая одно уравнение из другого, мы удалили 4D x .

Шаг 4. Решите дифференциальное уравнение.

Как решить это уравнение?

1. Сначала пусть y = e при .
2. Используя оператор дифференцирования D на y , мы получаем y = a e at .
3. Это дает нам D2 y = a 2 e at .

Подставляя в -36 y + D2 y = 0, получаем:

-36e при + a 2 e при = 0.

Разделив на «есть», мы получим:

-36 + a 2 = 0.

Решив для a , получим:

a = ± 6.

Таким образом:

y = c 1 e6 t + c 2 e-6 t .

Шаг 5: Используя исключение, найдите другие переменные.

Это повторение шага 3, но y исключены.

Умножение уравнения 1 на D:

Умножение уравнения 2 на 9:

Удаление 9D y дает -36 x + D2 x = 0.

Форма этого уравнения в x такая же, как и для y . Таким образом, решения для x и y одинаковы, за исключением индексов у констант:

x = c 3 e6 t + c 4 e-6 t .

Шаг 6: Используя начальные условия, найдите константы.

Начальные условия — это переменная и значения ее первой производной в момент времени t = 0.

Представьте себе в начале, y = 0 и d y / d t = 12.

Подставляя t = 0 в это

получаем:

Поскольку, e0 = 1,

y = ( c 1) 1 + ( c 2) 1.

В момент времени t = 0, y = 0.

Таким образом:

c 1 + c 2 = 0.

Теперь для начального состояния на d y / d t , которое вы можете увидеть здесь:

При t = 0 получается следующее:

В момент времени t = 0, d y / d t = 12:

6 c 1-6 c 2 = 12.

Разделив на 6, получим:

c 1 — c 2 = 2.

Отлично! Два уравнения и два неизвестных:

c 1 + c 2 = 0

c 1 — c 2 = 2

Решая для c 1 и c 2, получаем:

c 1 = 1 и c 2 = -1.

Таким образом:

Решение для y используется для нахождения c 3 и c 4 в решении x .

Продифференцируйте решение для x и подставьте в уравнение 1, D x = -9 y , которое вы можете увидеть здесь:

Приравнивая члены e6 t , получаем:

6 c 3 = -9 или c 3 = -3/2.

Приравнивая члены e-6 t , получаем:

-6 c 4 = 9 или c 4 = -3/2.

Таким образом:

Шаг 7. Проверьте решение.

Если выражения для x и y верны, обратная подстановка в исходную систему уравнений делает эти уравнения истинными.

Мы собираемся проверить, удовлетворяется ли исходная гипотетическая связанная система этими значениями x и y .

и

удовлетворяет

У нас есть LHS (левая сторона):

Упрощение до:

-9e6 t + 9e-6 t .

И у нас есть наша правая часть (правая часть), в которую мы подставляем -9 y , чтобы получить:

-9e6 t + 9e-6 t .

Проверить!

Для второго уравнения:

LHS: d y / d t = 6e6 t + 6e-6 t .

RHS: замените на -4 x , чтобы получить

, что упрощается до

6e6 t + 6e-6 t .

Отлично, мы получили!

Шаг 8: Составьте график и прокомментируйте решение:

График популяции криля x показывает начальное состояние x = 0 и положительный наклон. Это население растет в геометрической прогрессии. С другой стороны, популяция яков, и , начинается с -3 (мы не уверены, как будут функционировать яки с популяцией -3), с наклоном 0 и продолжает экспоненциально уменьшаться.

Конечно, эта связь между яком и крилем чисто гипотетическая. Естественные хищники криля — тюлени, киты, пингвины, а не яки. Тем не менее, график показывает решение, согласующееся с уравнениями и начальными условиями, и это самое главное!

Резюме урока

Хорошо, давайте уделим пару минут, чтобы повторить, так как это было совсем немного! Как мы узнали, дифференциальное уравнение просто содержит производные. Мы также узнали, что если нет произведений зависимых переменных и если все производные и зависимые переменные возведены в первую степень, то дифференциальное уравнение будет линейным .С двумя или более уравнениями это система , а когда разные зависимые переменные появляются в одном и том же уравнении, система связана .

Первый замечательный предел

Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части данного урока. Для решения задач путём приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости, поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики.

Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:

Приведённое выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых . Следовательно, верно равенство и следующего отношения:

.

Это разновидность первого замечательного предела.

Переходим к решению задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательнному пределу.

При решении не обойтись без преобразований выражений. Для этого обязательно потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 1. Найти предел .

Решение. Подстановка вместо x нуля приводит к неопределённости:

.

В знаменателе — синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:

.

В знаменателе — синус трёх икс, а в числителе всего лишь один икс, значит, нужно получить три икс и в числителе. Для чего? Чтобы представить 3x = a и получить выражение .

И приходим к разновидности первого замечательного предела:

,

потому что неважно, какая буква (переменная) в этой формуле стоит вместо икса.

Умножаем икс на три и тут же делим:

.

В соответствии с замеченным первым замечательным пределом производим замену дробного выражения:

.

Теперь можем окончательно решить данный предел:

.

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 2. Найти предел .

Решение. Непосредственная подстановка вновь приводит к неопределённости «нуль делить на нуль»:

.

Чтобы получить первый замечательный предел, нужно, чтобы икс под знаком синуса в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть этот коэффициент будет равен 2. Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как и далее, производя действия с дробями, получаем:

.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При подстановке вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:

.

Наверное, вам уже понятно, что из исходного выражения можно получить первый замечательный предел, умноженный на первый замечательный предел. Для этого раскладываем квадраты икса в числителе и синуса в знаменателе на одинаковые множители, а чтобы получить у иксов и у синуса одинаковые коэффициенты, иксы в числителе делим на 3 и тут же умножаем на 3. Получаем:

.

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Предел

Пример 4. Найти предел .

Решение. Вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:

.

Можем получить отношение двух первых замечательных пределов. Делим и числитель, и знаменатель на икс. Затем, чтобы коэффициенты при синусах и при иксах совпадали, верхний икс умножаем на 2 и тут же делим на 2, а нижний икс умножаем на 3 и тут же делим на 3. Получаем:

Пример 5. Найти предел .

Решение. И вновь неопределённость «нуль делить на нуль»:

.

Помним из тригонометрии, что тангенс — это отношение синуса к косинусу, а косинус нуля равен единице. Производим преобразования и получаем:

.

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 6. Найти предел .

Решение. Тригонометрическая функция под знаком предела вновь наталкивает на мысль о применении первого замечательного предела. Представляем его как отношение синуса к косинусу.

.

Так как , то и

Пример 7. Найти предел .

Решение. И вновь неопределённость «ноль делить на ноль» и синус под знаком предела. Значит надо приводить к первому замечательному пределу. Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое числителю и получим

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 8. Найти предел .

Решение. Бороться с неопределённостью «ноль делить на ноль» будем приведением к первому замечательному пределу. Вспоминаем формулу тригонометрической единицы и подставляем её. Потом вспоминаем, что косинус в квадрате нуля и просто косинус нуля равны единице, а они у нас с противоположными знаками, значит взаимно уничтожаются. Затем умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю. И дальнейшие преобразования. Всё вышеописанное выглядит так:

Начало темы «Предел»

Что такое предел функции и как его найти

Продолжение темы «Предел»

Второй замечательный предел

Бесконечно малые

Первый и второй замечательный предел

Найти замечательные пределы трудно не только многим студентам первого, второго курса обучения которые изучают теорию пределов, но и некоторым преподавателям.

Следствия первого замечательного предела запишем формулами
1. 2. 3. 4. Но сами по себе общие формулы замечательных пределов никому на экзамене или тесте не помогают. Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти. И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы. Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.

Пример 1. Найти предел функции sin(7*x)/(5*x)
Решение: Как видите функция под пределом близка к первому замечательному пределу, но сам предел функции точно не равен единице. В такого рода заданиях на пределы следует в знаменателе выделить переменную с таким же коэффициентом, который содержится при переменной под синусом. В данном случае следует разделить и умножить на 7

Некоторым такая детализация покажется лишней, но большинству студентов которым трудно даются пределы поможет лучше понять правила и усвоить теоретический материал. 2
Решение: При проверке подстановкой получим неопределенность 0/0. Многим неизвестно, как свести такой пример до 1 замечательного предела. Здесь следует использовать тригонометрическую формулу

При этом предел преобразится к понятному виду

Нам удалось свести функцию к квадрату замечательного предела.

Пример 4. Найти предел
Решение: При подстановке получим знакомую особенность 0/0. Однако переменная стремится к Pi, а не к нулю. Поэтому для применения первого замечательного предела выполним такую замену переменной х, чтобы новая переменная направлялась к нулю. Для этого знаменатель обозначим за новую переменную Pi-x=y

Таким образом использовав тригонометрическую формулу, которая приведена в предыдущем задании, пример сведен к 1 замечательному пределу.

Пример 5. Вычислить предел
Решение: Сначала неясно как упростить пределы. Но раз есть пример, значит должен быть и ответ. То что переменная направляется к единице дает при подстановке особенность вида ноль умножить на бесконечность, поэтому тангенс нужно заменить по формуле

После этого получим нужную неопределенность 0/0. Далее выполняем замену переменных в пределе, и используем периодичность котангенса

Последние замены позволяют использовать следствие 1 замечательного предела.

Это классика к которой в реальных задачах на пределы не всегда легко прийти.
В вычислениях Вам понадобятся пределы — следствия второго замечательного предела:
1. 2. 3. 4.
Благодаря второму замечательному пределу и его последствиям можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль, единица в степени бесконечность, и бесконечность разделить на бесконечность, да еще и в таком же степени

Начнем для ознакомления с простых примеров.

Пример 6. Найти предел функции
Решение: Напрямую применить 2 замечательный пределу не получится. Сначала следует превратить показатель, чтобы он имел вид обратный к слагаемому в скобках

Это и есть техника сведения к 2 замечательному пределу и по сути — вывода 2 формулы следствия предела. (x-2)
Решение: Имеем особенность типа 1 в степени бесконечность. Если не верите, можете везде вместо «икс» подставить бесконечность и убедиться в этом. Для возведения под правило поделим в скобках числитель на знаменатель, для этого предварительно выполним манипуляции

Подставим выражение в предел и превратим к 2 замечательному пределу

Предел равен экспоненте в 10 степени. Константы, которые являются слагаемыми при переменной как в скобках так и степени никакой «погоды» не вносят — об этом следует помнить. А если Вас спросят преподаватели — «Почему не превращаете показатель?» (Для этого примера в x-3), то скажите что «Когда переменная стремится к бесконечности то к ней хоть добавляй 100 хоть отнимай 1000, а предел останется такой как и был!».
Есть и второй способ вычислять пределы такого типа. О нем расскажем в следующем задании.

Пример 9. Найти предел
Решение: Теперь вынесем переменную в числителе и знаменателе и превратим оду особенность на другую. Для получения конечного значения используем формулу следствия 2 замечательного предела

Пример 10. Найти предел функции
Решение: Заданный предел найти под силу не каждому. Для возведения под 2 предел представим, что sin (3x) это переменная, а нужно превратить показатель

Далее показатель запишем как степень в степени

В скобках описаны промежуточные рассуждения. В результате использования первого и второго замечательного предела получили экспоненту в кубе.

Пример 11. Вычислить предел функции sin(2*x)/ln(3*x+1)
Решение: Имеем неопределенность вида 0/0. Кроме этого видим, что функцию следует превращать к использованию обеих замечательных пределов. Выполним предыдущие математические преобразования

Далее без труда предел примет значение

Вот так свободно Вы будете чувствовать себя на контрольных работах, тестах, модулях если научитесь быстро расписывать функции и сводить под первый или второй замечательный предел. Если заучить приведенные методики нахождения пределов Вам трудно, то всегда можете заказать контрольную работу на пределы у нас.
Для этого заполните форму, укажите данные и вложите файл с примерами. Мы помогли многим студентам — сможем помочь и Вам!

свойства 1 и 2, определение, как решать, примеры с доказательством

Первый замечательный предел

Понятие «замечательные пределы» используется в математике для объяснения известных тождеств со взятием предела.

Лемма

Предел отношения синуса к его аргументу равняется единице в случае стремления аргумента к 0.

Данная лемма служит основой для вычисления производных тригонометрических функций, которые содержат синус, арксинус, тангенс и арктангенс.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В записи тождество математического анализа имеет следующий вид:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x=1\)

Доказательство

Предположим, что A и B принадлежат окружности с центром в точке С и радиусом, равным R. 2}<\left|AB\right|<\left|\overset\frown{ADB}\right|\)

\(\left|AH\right|<\left|\overset\frown{ADB}\right|\)

Подставим:

\(\left|AH\right|=R\sin\left(\alpha\right),\;\left|\overset\frown{ADB}\right|=R\alpha\)

\(R\sin\left(\alpha\right)<R\alpha\)

Разделим на число с положительным значением Rα:

\((a)\;\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha<1\)

Для дальнейшего доказательства необходима лемма.

Лемма

Верхняя грань множества длин всех ломанных, вписанных в дугу окружности, называется длиной этой дуги.

\(\left|\overset\frown{AB}\right|=\underset{A_i\in\overset\frown{AB}}{sup}\;l_{AA_1A_2…A_nB}\)

Согласно этому утверждению:

\(\left|\overset\frown{ADB}\right|<\left|EB\right|\)

Подставим в это неравенство:

\(\left|\overset\frown{ADB}\right|=R\alpha\)

\(\left|EB\right|<R\;\tan\left(\alpha\right):\)

\(R\alpha<R\;\tan\left(\alpha\right)=R\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)}\)

Выполним умножение на положительное число:

\(\frac{\cos\left(\alpha\right)}{R\alpha}:\)

\((б)\;\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha\)

Из (а) и (б) следует, что при 0<α<π/2:

\((в)\;\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha<1\)

Доказательство при отрицательных значениях: −π/2<α<0

В этом случае β=−α, β>0. Подставим в двойное неравенство (в) и воспользуемся четностью косинуса и нечетностью синуса:

\(\cos\left(\beta\right)\;<\frac{\sin\left(\beta\right)}\beta<1\)

\(\cos\left(-\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(-\alpha\right)}{-\alpha}<1\)

\(\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{-\sin\left(\alpha\right)}{-\alpha}<1\)

\(\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha<1\)

Отсюда следует, что двойное неравенство (в) выполняется для положительных и отрицательных значений 0<|α|<π/2:

\((г)\;\cos\left(\alpha\right)\;<\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha<1\)

при 0<|α|<π/2.

Из-за непрерывности функции косинус:

\(\lim_{\alpha\rightarrow0}\cos\left(\alpha\right)=\cos\left(0\right)=1\)

Перейдем в неравенстве (г) к пределу α→0. Используем теорему о промежуточной функции и получим:

\(\lim_{\alpha\rightarrow0}\frac{\sin\left(\alpha\right)}\alpha=1\)

Теперь обозначим α буквой x и получим:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x=1\)

Первый замечательный предел доказан.

Примеры решений

Задача 1

Найти предел:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}\)

Решение

В исходное выражение подставим вместо переменной x значение, равное нулю. Выполнив это, получим:

\(\left[\frac00\right]\)

Далее выполним преобразования, чтобы применить первый замечательный предел. Для этого тангенс представим в виде отношения синуса к косинусу:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\times\frac1{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\times\frac1{\cos\left(x\right)}\)

Свойства пределов позволяют вынести константу за знак предела, а также произвести замену предела произведения произведением пределов (при существовании последних):

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\times\frac1{\cos\left(x\right)}=\frac12\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x\times\lim_{x\rightarrow0}\frac1{\cos\left(x\right)}\)

Первый предел последнего выражения является первым замечательным пределом, который равен:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x=1\)

Подставим во второй предел x=0:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}=\frac12\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x\times\lim_{x\rightarrow0}\frac1{\cos\left(x\right)}=\frac12\times1\times\frac1{\cos\left(0\right)}=\frac12\times1\times\frac11=\frac12\)

Ответ: \(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan\left(x\right)}{2x}=\frac12. 0}2=1\)

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{th(x)}x=\lim_{x\rightarrow0}\frac{sh(x)}{x\;ch(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac1{ch(x)}\times\frac{sh(x)}1\right)=1\times1=1\)

Докажем следующее:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{arsh(x)}x=1\)

Заменим переменную t=arsh x. Тогда при х и t, стремящихся к нулю и не равных ему: x=sh arsh x=sh t.

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{arsh(x)}x=\lim_{t\rightarrow0}\frac t{sh(t)}=\lim_{t\rightarrow0}\frac1{\frac{sh(t)}t}=\frac11=1\)

Докажем, что верно равенство:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{arth(x)}x=1\)

Заменим переменную t=arth x. Тогда при x и t, стремящихся к нулю и не равных ему, а также при |x|<1, x=th arth x=th t:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{arth(x)}x=\lim_{t\rightarrow0}\frac t{th(t)}=\lim_{t\rightarrow0}\frac1{\frac{th(t)}t}=\frac11=1\)

Следствие 4 доказано.

Техника вычисления пределов. | Методическая разработка по алгебре (10 класс):

Теория пределов. Основные понятия и формулы.

Определение: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих условиюδ , выполняется неравенство ε .  
Предел функции в точке а обозначается .

Основные теоремы о пределах:

1.  ;
2.  ; 
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  

Примечание: Все правила имеют смысл, если пределы функций f(x) и g(x) существуют.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Следствия из первого замечательного предела

1.   

2.   

3.     

4.     

Пример1.

Найти предел  

Разложим tgx на sinx и cosx и воспользуемся свойствами пределов.

= ====

===

Ответ: = 

Второй замечательный предел   

Следствия из второго замечательного предела

1.   

2.    

3.    

4.    

5.   

6.    

Пример2.

Найти предел

Подставим , получим неопределённость и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

=

Ответ:.

Техника вычисления пределов

а) Чтобы раскрыть неопределенность типа ,  необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной.  
б) Чтобы раскрыть неопределенность типа , где под знаком предела стоит рациональная дробь, достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности. 
в) Чтобы раскрыть неопределенность типа, если под знаком предела стоит иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель и сократить множитель, приводящий к неопределенности. 
г) Необходимо помнить, что 

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как

, ,   и т.д.

Пределы с неопределенностью вида      и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример3.

        Вычислить предел

 Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида .

Для того, чтобы раскрыть неопределенность   необходимо разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени.

==(*)

Разделим числитель и знаменатель на x

(*)====

Ответ: 

Пример 4.

Найти предел   
В числителе и знаменателе находим x в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае 4
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности   делим числитель и знаменатель на  .

Полное оформление задания может выглядеть так:

==(*)

Разделим числитель и знаменатель на  

=====0

Ответ: 0

Пример 5.

Найти предел 
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (x можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

==(*)

Разделим числитель и знаменатель на 

(*)====

Ответ: 

Под записью   подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число (.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида  у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида    и метод их решения

Пример 6. 

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь: = 
В данном случае получена так называемая неопределенность
 

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. 

==(*)

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

(*)===

Ответ:

Пример 7.

Вычислить предел 

Сначала «чистовой» вариант решения

(*)

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: 
Знаменатель:

(*)22

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. 

 встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).

, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Пример 8.

Найти предел 

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела 

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

(*)

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

(*)

=

Ответ:

Пример 9.

Найти предел 

Окончательное решение примера может выглядеть так:

=(*)

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

(*)=

Ответ: 

Правило (теорема) Лопиталя.

Пусть функция и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2)  и в этой окрестности;

3)

4) существует, конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено, при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.

Замечание: Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа  при

Применение правила Лопиталя на практике.

Пример 10.

Найти предел

Получаем неопределенность:

(*)

Воспользуемся правилом Лопиталя:

(*)

Ответ: 0

Замечание:

Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену  и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

Замечание: Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.

Замечание: Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями  и, неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.

Пример 11.

Найти предел

Получаем неопределенность не подходящую под правило Лопиталя

 (*)

Приведем ее к нужному виду

(*) (*)

 и для решения воспользуемся правилом Лопиталя

(*)

Ответ: 

определение, формулы и примеры решения

Содержание:

• Раскрытие неопределенностей
• Основные пределы
• Основные виды неопределенностей: $\left\lceil\frac{0}{0}\right\rceil$ , $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ , $[0 \cdot \infty]$ , $[\infty-\infty]$ , $\left[1^{\infty}\right]$ , $\left[0^{0}\right]$ , $\left[\infty^{0}\right]$

Определение

При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. {0}\right]$

Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.

Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

1. упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
2. замечательные пределы — первый замечательный предел и второй замечательный предел;
3. правило Лопиталя;
4. эквивалентные бесконечно малые функции.

Основные пределы

1. Первый замечательный предел: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$

Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}$

Решение. Получим неопределенность, сделаем замену. При $x \rightarrow 0$: $\sin x \sim x$, $\arcsin x \sim x$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{7 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3}{7}=\frac{3}{7}$

Ответ. {2}-5 x+6}=-4$

Читать дальше: понятие непрерывности функции в точке.

Как найти предел последовательности?

А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:

Всего лишь степени двойки

И. Акулич
«Квант» №2, 2012

Давайте рассмотрим последовательность чисел, первое из которых равно 1, а каждое последующее вдвое больше: 1, 2, 4, 8, 16, … Используя показатели степени, ее можно записать в эквивалентном виде: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, … Называется она вполне ожидаемо: последовательность степеней двойки. Казалось бы, ничего выдающегося в ней нет — последовательность как последовательность, не лучше и не хуже других. Тем не менее, она обладает весьма примечательными свойствами.

Несомненно, многие читатели встречали ее в классической истории об изобретателе шахмат, который попросил у правителя в награду за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, всё время удваивая число зерен. Понятно, что суммарное их количество равно

S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2⁶³. (1)

Но так как эта сумма неимоверно велика и во много раз превосходит годовой урожай зерновых по всему миру, вышло, что мудрец ободрал правителя как липку.¹

Однако зададимся сейчас другим вопросом: как с наименьшими затратами труда подсчитать величину S? Обладатели калькулятора (или, паче того, компьютера) вполне могут за обозримое время выполнить перемножения, а затем сложить полученные 64 числа, получив ответ: 18 446 744 073 709 551 615. А поскольку объем вычислений немалый, то и вероятность ошибки весьма велика.

Кто похитрей, могут углядеть в этой последовательности геометрическую прогрессию. Не знакомые же с этим понятием (или те, кто попросту забыл стандартную формулу суммы геометрической прогрессии) могут использовать следующие рассуждения. Давайте-ка умножим обе части равенства (1) на 2. Так как при удвоении степени двойки ее показатель увеличивается на 1, то получим

2S = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2⁶⁴. (2)

Теперь из (2) вычтем (1). В левой части, понятное дело, получится 2S – S = S. В правой же части произойдет массовое взаимное уничтожение почти всех степеней двойки — от 2¹ до 2⁶³ включительно, и останется лишь 2⁶⁴ – 2⁰ = 2⁶⁴ – 1. Итак:

S = 2⁶⁴ – 1.

Что ж, выражение заметно упростилось, и теперь, имея калькулятор, позволяющий возводить в степень, можно найти значение этой величины без малейших проблем.

А если и калькулятора нет — как быть? Перемножать в столбик 64 двойки? Еще чего не хватало! Опытный инженер или математик-прикладник, для которого главный фактор — время, сумел бы быстро оценить ответ, т.е. найти его приближенно с приемлемой точностью. Как правило, в быту (да и в большинстве естественных наук) вполне допустима погрешность в 2–3%, а если она не превосходит 1% — то это просто великолепно! Оказывается, подсчитать наши зерна с такой погрешностью можно вообще без калькулятора, и всего за несколько минут. Как? Сейчас увидите.

Итак, надо возможно точней найти произведение 64 двоек (единицу в силу ее ничтожности отбросим сразу). Разобьем их на отдельную группу из 4 двоек и еще на 6 групп по 10 двоек. Произведение двоек в отдельной группе равно 2⁴ = 16. А произведение 10 двоек в каждой из остальных групп равно 2¹⁰ = 1024 (убедитесь, кто сомневается!). Но 1024 — это около 1000, т.е. 10³. Поэтому S должно быть близко к произведению числа 16 на 6 чисел, каждое из которых равно 10³, т.е. S ≈ 16·10¹⁸ (ибо 18 = 3·6). Правда, погрешность здесь все же великовата: ведь 6 раз при замене 1024 на 1000 мы ошибались в 1,024 раза, а всего мы ошиблись, как легко видеть, в 1,024⁶ раз. Так что теперь — дополнительно перемножать 1,024 шесть раз само на себя? Нет уж, обойдемся! Известно, что для числа х, которое во много раз меньше 1, с высокой точностью справедлива следующая приближенная формула: (1 + x)ⁿ ≈ 1 + xn.

Поэтому 1,024⁶ = (1 + 0,24)⁶ ≈ 1 + 0,24·6 = 1,144. Посему надо найденное нами число 16·10¹⁸ умножить на число 1,144, в результате чего получится 18 304 000 000 000 000 000, а это отличается от правильного ответа менее чем на 1%. Чего мы и добивались!

В данном случае нам крупно повезло: одна из степеней двойки (а именно — десятая) оказалась весьма близка к одной из степеней десятки (а именно — третьей). Это позволяет нам быстро оценивать значение любой степени двойки, не обязательно 64-й. Среди степеней других чисел подобное встречается нечасто. Например, 5¹⁰ отличается от 10⁷ также в 1,024 раза, но… в меньшую сторону.² Впрочем, это того же поля ягода: поскольку 2¹⁰·5¹⁰ = 10¹⁰, то во сколько раз 2¹⁰превосходит 10³, во столько же раз 5¹⁰меньше, чем 10⁷.

Другая интересная особенность рассматриваемой последовательности заключается в том, что любое натуральное число можно построить из различных степеней двойки, причем единственным способом. Например, для номера текущего года имеем

2012 = 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰.

Доказать эти возможность и единственность не составляет особого труда. Начнем с возможности. Пусть нам надо представить в виде суммы различных степеней двойки некоторое натуральное число N. Сначала запишем его в виде суммы N единиц. Так как единица — это 2⁰, то первоначально N есть сумма одинаковых степеней двойки. Затем начнем объединять их по парам. Сумма двух чисел, равных 2⁰, — это 2¹, так что в результате получится заведомо меньшее количество слагаемых, равных 2¹, и, возможно, одно число 2⁰, если ему не нашлось пары. Далее попарно объединяем одинаковые слагаемые 2¹, получая еще меньшее количество чисел 2² (здесь тоже возможно появление непарной степени двойки 2¹). Затем снова объединяем равные слагаемые попарно, и так далее. Рано или поздно процесс завершится, ибо количество одинаковых степеней двойки после каждого объединения уменьшается. Когда оно станет равным 1 — дело кончено. Осталось сложить все получившиеся непарные степени двойки — и представление готово.

Что касается доказательства единственности представления, то здесь хорошо подходит метод «от противного». Пусть одно и то же число N удалось представить в виде двух наборов различных степеней двойки, которые не полностью совпадают (т. е. имеются степени двойки, входящие в один набор, но не входящие в другой, и наоборот). Для начала отбросим все совпадающие степени двойки из обоих наборов (если таковые имеются). Получатся два представления одного и того же числа (меньшего или равного N) в виде суммы различных степеней двойки, причем все степени в представлениях различны. В каждом из представлений выделим наибольшую степень. В силу изложенного выше, для двух представлений эти степени различны. То представление, для которого эта степень больше, назовем первым, другое — вторым. Итак, пусть в первом представлении наибольшая степень равна 2^m, тогда во втором она, очевидно, не превышает 2^m–1. Но поскольку (и мы с этим уже сталкивались выше, подсчитывая зерна на шахматной доске) справедливо равенство

2^m = (2^m–1 + 2^m–2 + … + 2⁰) + 1,

то 2^m строго больше суммы всех степеней двойки, не превосходящих 2^m–1. По этой причине уже наибольшая степень двойки, входящая в первое представление, наверняка больше суммы всех степеней двойки, входящих во второе представление. Противоречие!

Фактически мы только что обосновали возможность записи чисел в двоичной системе счисления. Как известно, в ней используются лишь две цифры — ноль и единица, и каждое натуральное число записывается в двоичной системе единственным способом (например, упомянутое выше 2012 — как 11 111 011 100). Если пронумеровать разряды (двоичные цифры) справа налево, начиная с нуля, то номера тех разрядов, в которых стоят единицы, как раз и будут показателями степеней двоек, входящих в представление.³

Менее известно следующее свойство множества целых неотрицательных степеней двойки. Давайте некоторым из них произвольным образом присвоим знак «минус», т. е. из положительных сделаем отрицательными. Единственное требование — чтобы в результате и положительных, и отрицательных чисел оказалось бесконечное количество. Например, можно присвоить знак «минус» каждой пятой степени двойки или, допустим, оставить положительными только числа 2¹⁰, 2¹⁰⁰, 2¹⁰⁰⁰, и так далее — вариантов здесь сколько угодно.

Как ни удивительно, но любое целое число можно (и притом единственным способом) представить в виде суммы различных слагаемых нашей «положительно-отрицательной» последовательности.⁴ И доказать это не очень-то сложно (например, индукцией по показателям степеней двоек). Главная идея доказательства — наличие сколь угодно больших по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных слагаемых. Попробуйте выполнить доказательство сами.

Интересно понаблюдать за последними цифрами членов последовательности степеней двойки. Так как каждое последующее число последовательности получается удвоением предыдущего, то последняя цифра каждого из них полностью определяется последней цифрой предыдущего числа. А так как различных цифр ограниченное количество, последовательность последних цифр степеней двойки просто обязана быть периодической! Длина периода, естественно, не превышает 10 (поскольку именно столько цифр мы используем), но это сильно завышенное значение. Попробуем оценить его, не выписывая пока саму последовательность. Ясно, что последние цифры всех степеней двойки, начиная с 2¹, четные. Кроме того, среди них не может быть нуля — потому что число, оканчивающееся нулем, делится на 5, в чем заподозрить степени двойки никак нельзя. А так как четных цифр без нуля имеется всего четыре, то и длина периода не превосходит 4.

Проверка показывает, что так оно и есть, причем периодичность проявляется почти сразу: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … — в полном соответствии с теорией!

Не менее успешно можно оценить и длину периода последней пары цифр последовательности степеней двойки. Так как все степени двойки, начиная с 2², делятся на 4, то и числа, образованные их последними двумя цифрами, делятся на 4. Не более чем двузначных чисел, делящихся на 4, имеется всего 25 (для однозначных чисел предпоследней цифрой считаем ноль), но из них надо выбросить пять чисел, оканчивающихся нулем: 00, 20, 40, 60 и 80. Так что период может содержать не более 25 – 5 = 20 чисел. Проверка показывает, что так и есть, начинается период с числа 2² и содержит пары цифр: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, а затем опять 04 и так далее.

Аналогично можно доказать, что длина периода последних m цифр последовательности степеней двойки не превышает 4·5^m–1 (более того — на самом деле она равна 4·5^m–1, но доказать это значительно сложнее).

Итак, на последние цифры степеней двойки наложены довольно жесткие ограничения. А как насчет первых цифр? Здесь ситуация практически противоположная. Оказывается, для любого набора цифр (первая из которых — не ноль) найдется степень двойки, начинающаяся с этого набора цифр. И таких степеней двойки бесконечно много! Например, существует бесконечное количество степеней двойки, начинающихся с цифр 2012 или, скажем, 3 333 333 333 333 333 333 333.

А если рассмотреть только одну самую первую цифру различных степеней двойки — какие значения она может принимать? Нетрудно убедиться, что любые — от 1 до 9 включительно (нуля среди них, естественно, нет). Но какие из них встречаются чаще, а какие реже? Как-то сразу не видно причин, по которым одна цифра должна встречаться чаще другой. Однако более глубокие размышления показывают, что как раз равной встречаемости цифр ожидать не приходится. Действительно, если первая цифра какой-либо степени двойки есть 5, 6, 7, 8 или 9, то первая цифра следующей за ней степени двойки будет обязательно единицей! Поэтому должен иметь место «перекос», по крайней мере, в сторону единицы. Следовательно, вряд ли и остальные цифры будут «равнопредставленными».

Практика (а именно — прямой компьютерный расчет для первых нескольких десятков тысяч степеней двойки) подтверждает наши подозрения. Вот какова относительная доля первых цифр степеней двойки с округлением до 4 знаков после запятой:

1 — 0,3010
2 — 0,1761
3 — 0,1249
4 — 0,0969
5 — 0,0792
6 — 0,0669
7 — 0,0580
8 — 0,0512
9 — 0,0458

Как видим, с ростом цифр эта величина убывает (и потому та же единица примерно в 6,5 раз чаще бывает первой цифрой степеней двойки, чем девятка). Как ни покажется странным, но практически такое же соотношение количеств первых цифр будет иметь место почти для любой последовательности степеней — не только двойки, но, скажем, и тройки, пятерки, восьмерки и вообще почти любого числа, в том числе и нецелого (исключение составляют лишь некоторые «особые» числа). Причины этого весьма глубоки и непросты, и для их уяснения надо знать логарифмы. Для тех, кто с ними знаком, приоткроем завесу: оказывается, относительная доля степеней двойки ⁵, десятичная запись которых начинается с цифры F (для F = 1, 2, …, 9), составляет lg (F + 1) – lg (F), где lg — так называемый десятичный логарифм, равный показателю степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.⁶

Используя упомянутую выше связь между степенями двойки и пятерки, А. Канель обнаружил интересное явление. Давайте из последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …) выберем несколько цифр подряд и запишем их в обратном порядке. Оказывается, эти цифры непременно встретятся тоже подряд, начиная с некоторого места, в последовательности первых цифр степеней пятерки.⁷

Степени двойки также являются своеобразным «генератором» для производства широко известных совершенных чисел, которые равны сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. Например, у числа 6 четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Отбросим тот, который равен самому числу 6. Осталось три делителя, сумма которых как раз равна 1 + 2 + 3 = 6. Поэтому 6 — совершенное число.

Для получения совершенного числа возьмем две последовательные степени двойки: 2^n–1 и 2ⁿ. Уменьшим большую из них на 1, получим 2ⁿ – 1. Оказывается, если это — простое число, то, домножив его на предыдущую степень двойки, мы образуем совершенное число 2^n–1 (2ⁿ – 1). Например, при п = 3 получаем исходные числа 4 и 8. Так как 8 – 1 = 7 — простое число, то 4·7 = 28 — совершенное число.⁸ Более того — в свое время Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют именно такой вид. Нечетные совершенные числа пока не обнаружены (и мало кто верит в их существование).

Тесную связь имеют степени двойки с так называемыми числами Каталана, последовательность которых имеет вид 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429… Они часто возникают при решении различных комбинаторных задач. Например, сколькими способами можно разбить выпуклый n-угольник на треугольники непересекающимися диагоналями? Всё тот же Эйлер выяснил, что это значение равно (n – 1)-му числу Каталана (обозначим его K_n–1), и он же выяснил, что K_n = K_n–1·(4n – 6)/n. Последовательность чисел Каталана имеет множество любопытных свойств, и одно из них (как раз связанное с темой этой статьи) заключается в том, что порядковые номера всех нечетных чисел Каталана являются степенями двойки!

Степени двойки нередко встречаются в различных задачах, причем не только в условиях, но и в ответах. Возьмем, например, популярную когда-то (да и поныне не забытую) Ханойскую башню. Так называлась игра-головоломка, придуманная в XIX веке французским математиком Э. Люка. Она содержит три стержня, на один из которых надето n дисков с отверстием в середине каждого. Диаметры всех дисков различны, и они расположены в порядке убывания снизу вверх, т. е. самый большой диск — внизу (см. рисунок). Получилась как бы башня из дисков.

Требуется перенести эту башню на другой стержень, соблюдая такие правила: перекладывать диски строго по одному (снимая верхний диск с любого стержня) и всегда класть только меньший диск на больший, но не наоборот. Спрашивается: какое наименьшее число ходов для этого потребуется? (Ходом мы называем снятие диска с одного стержня и надевание его на другой.) Ответ: оно равно 2ⁿ – 1, что легко доказывается по индукции.

Пусть для n дисков потребное наименьшее число ходов равно X_n. Найдем X_n+1. В процессе работы рано или поздно придется снимать самый большой диск со стержня, на который первоначально были надеты все диски. Так как этот диск можно надевать только на пустой стержень (иначе он «придавит» меньший диск, что запрещено), то все верхние n дисков придется предварительно перенести на третий стержень. Для этого потребуется не меньше X_n ходов. Далее переносим наибольший диск на пустой стержень — вот еще один ход. Наконец, чтобы сверху его «притиснуть» меньшими n дисками, опять потребуется не меньше X_n ходов. Итак, X_n+1 ≥ X_n + 1 + X_n = 2X_n + 1. С другой стороны, описанные выше действия показывают, как можно справиться с задачей именно 2X_n + 1 ходами. Поэтому окончательно X_n+1 =2X_n + 1. Получено рекуррентное соотношение, но для того чтобы его привести к «нормальному» виду, надо еще найти X₁. Ну, это проще простого: X₁ = 1 (меньше просто не бывает!). Не составляет труда, основываясь на этих данных, выяснить, что X_n = 2ⁿ – 1.

Вот еще одна интересная задача:

Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.

Давайте проверим сначала наименьшие числа. Ясно, что число 1 в указанном виде непредставимо. Зато все нечетные, которые больше 1, представить, конечно, можно. В самом деле, любое нечетное число, большее 1, можно записать как 2k + 1 (k — натуральное), что есть сумма двух последовательных натуральных чисел: 2k + 1 = k + (k + 1).

А как обстоят дела с четными числами? Легко убедиться, что числа 2 и 4 нельзя представить в требуемом виде. Может, и для всех четных чисел так? Увы, следующее же четное число опровергает наше предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Зато число 8 опять не поддается. Правда, следующие числа вновь уступают натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, а вот 16 — вновь непредставимо.

Что ж, накопленная информация позволяет сделать предварительные выводы. Обратите внимание: не удалось представить в указанном виде только степени двойки. Верно ли это для остальных чисел? Оказывается, да! В самом деле, рассмотрим сумму всех натуральных чисел от m до n включительно. Так как всего их, по условию, не меньше двух, то n > m. Как известно, сумма последовательных членов арифметической прогрессии (а ведь именно с ней мы имеем дело!) равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество. Полусумма равна (n + m)/2, а количество чисел равно n – m + 1. Поэтому сумма равна (n + m)(n – m + 1)/2. Заметим, что в числителе находятся два сомножителя, каждый из которых строго больше 1, и при этом четность их — различна. Выходит, что сумма всех натуральных чисел от m до n включительно делится на нечетное число, большее 1, и потому не может быть степенью двойки. Так что теперь понятно, почему не удалось представить степени двойки в нужном виде.

Осталось убедиться, что не степени двойки представить можно. Что касается нечетных чисел, то с ними мы уже разобрались выше. Возьмем какое-либо четное число, не являющееся степенью двойки. Пусть наибольшая степень двойки, на которую оно делится, это 2^a (a — натуральное). Тогда если число поделить на 2^a, получится уже нечетное число, большее 1, которое мы запишем в знакомом виде — как 2k + 1 (k — тоже натуральное). Значит, в целом наше четное число, не являющееся степенью двойки, равно 2^a (2k + 1). А теперь рассмотрим два варианта:

1. 2^a+1 > 2k + 1. Возьмем сумму 2k + 1 последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно 2^a. Легко видеть, что тогда наименьшее из них равно 2^a – k, а наибольшее равно 2^a + k, причем наименьшее (и, значит, все остальные) — положительное, т. е. действительно натуральное. Ну, а сумма, очевидно, составляет как раз 2^a(2k + 1).
2. 2^a+1 < 2k + 1. Возьмем сумму 2^a+1 последовательных натуральных чисел. Здесь нельзя указать среднее число, ибо количество чисел четное, но указать пару средних чисел можно: пусть это числа k и k + 1. Тогда наименьшее из всех чисел равно k + 1 – 2^a (и тоже положительное!), а наибольшее равно k + 2^a. Сумма их тоже равна 2^a(2k + 1).

Вот и всё. Итак, ответ: непредставимые числа — это степени двойки, и только они.

А вот еще одна задача (впервые ее предложил В. Произволов, но в несколько иной формулировке):

Садовый участок окружен сплошным забором из N досок. Согласно приказу тети Полли Том Сойер белит забор, но по собственной системе: продвигаясь всё время по часовой стрелке, сначала белит произвольную доску, затем пропускает одну доску и белит следующую, затем пропускает две доски и белит следующую, затем пропускает три доски и белит следующую, и так далее, каждый раз пропуская на одну доску больше (при этом некоторые доски могут быть побелены несколько раз — Тома это не смущает).

Том считает, что при такой схеме рано или поздно все доски будут побелены, а тетя Полли уверена, что хотя бы одна доска останется непобеленной, сколько бы Том ни работал. При каких N прав Том, а при каких — тетя Полли?

Описанная система побелки представляется довольно хаотичной, поэтому первоначально может показаться, что для любого (или почти любого) N каждой доске когда-нибудь достанется своя доля известки, т. е., в основном, прав Том. Но первое впечатление обманчиво, потому что на самом деле Том прав только для значений N, являющихся степенями двойки. Для остальных N найдется доска, которая так и останется навеки непобеленной. Доказательство этого факта довольно громоздко (хотя, в принципе, несложно). Предлагаем читателю выполнить его самому.

Вот каковы они — степени двойки. С виду — проще простого, а как копнешь… И затронули мы здесь далеко не все удивительные и загадочные свойства этой последовательности, а лишь те, что бросились в глаза. Ну, а читателю предоставляется право самостоятельно продолжить исследования в этой области. Несомненно, они окажутся плодотворными.

¹ Впрочем, действительно ли правитель согласился выплатить требуемое, история умалчивает. Более вероятно, что для мудреца все закончилось длительным тюремным заключением по статье «за наглость».
² Для любопытных вот еще одно хорошее совпадение: 6⁹ = 10 077 696, в котором относительное расхождение с ближайшей степенью десятки всего около 0,8%, что примерно втрое меньше, чем для 2¹⁰.
³ Повсеместно используемая десятичная система устроена по такому же принципу. Только вместо степеней двойки используются степени десятки (потому она так и называется), а цифры в записи показывают, в каком количестве очередную степень десятки надо прибавлять.
⁴ При этом число 0 (ноль) представляется как полное отсутствие слагаемых (т.е., формально говоря, нулевое их количество).
⁵ И не только двойки, как было отмечено ранее!
⁶ Жаждущие подробностей могут прочесть статью В. Болтянского «Часто ли степени двойки начинаются с единицы?» («Квант» №5 за 1978 г.), а также статью В. Арнольда «Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира» («Квант» №1 за 1998 г.).
⁷ См. задачу М1599 из «Задачника «Кванта» («Квант» №6 за 1997 г.).
⁸ В настоящее время известны 43 совершенных числа, наибольшее из которых равно 2^30402456(2^30402457 – 1). Оно содержит свыше 18 миллионов цифр.

Таблица степеней 2 (двойки)

НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ НА ЧЕРТЕЖЕ. (Размеры; Методы нанесения размеров ; Правила нанесения размеров; ГОСТ 2.307-68.)

ГБПОУ ВО «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПРОМЫШЛЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

ПРОМЫШЛЕННОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Инженерная графика

Практическая работа №2

НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ

Размеры;

Методы нанесения размеров ;

Правила нанесения размеров;

ГОСТ 2.307-68.

Воронеж 2018

СОДЕРЖАНИЕ

1.      НАЗНАЧЕНИЕ РАЗМЕРОВ…………….….…………………….3

2.     МЕТОДЫ НАНЕСЕНИЯ РАЗМЕРОВ…………………………..3

3.     ПРАВИЛА НАНЕСЕНИЯ РАЗМЕРОВ…………………………5

4.     ПОЛОЖЕНИЯ ГОСТА 2.307-68  ……………………………….8

5.     ЗАДАНИЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ………………….…..11

6.     КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ……………………………………18

7.     УПРАЖНЕНИЯ…………………………………………………..17

8.     СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………16

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

Тема: Нанесение размеров на деталях простой конфигурации по ГОСТ 2. 307-68.

Цель: Приобретение навыков быстрого и правильного выполнения размерных линий и определения линейных размеров.

НАЗНАЧЕНИЕ РАЗМЕРОВ

Для определения величины изображенного изделия или какой-либо его части но чертежу на нем наносят размеры.

Размеры разделяют на линейные и угловые. Линейные размеры характеризуют длину, ширину, толщину, высоту, диаметр или радиус измеряемой части изделия. Угловые размеры характеризуют величину углов.

Линейные размеры на чертежах указывают в миллиметрах, но обозначение единицы измерения не выносят. Угловые размеры указывают в градусах, минутах и секундах.

Общее количество размеров на чертеже должно быть наименьшим, но достаточным для изготовления и контроля изделия.

МЕТОДЫ НАНЕСЕНИЯ РАЗМЕРОВ

 Способы нанесения размеров на чертеже зависят от последовательности обработки поверхностей детали. В практической работе конструкторы применяют три метода нанесения размеров – цепной, координатный и комбинированный.

Цепной метод – размеры наносят по одной линии, цепочкой, один за другим (рис. 5) размеры А, А1, А2, А3, А4. За технологическую базу принята торцовая поверхность вала. Метод характеризуется постепенным накоплением суммарной погрешности при изготовлении элементов детали. Значительная суммарная погрешность может привести к непригодности изготовлен- ной детали (А*- размер для справки).

 Координатный метод – все размеры Б1, Б2, Б3, Б4, Б5 наносят от одной и той же базовой поверхности (см. рис. 3). Этот метод отличается значительной точностью изготовления детали. При нанесении размеров этим методом необходимо учитывать повышение стоимости изготовления детали.

Рис.3

Комбинированный метод – простановка размеров осуществляется цепным и координатным методами одновременно (рис. 4). Этот метод наиболее оптимален. Он позволяет изготавливать более точно те элементы детали, которые этого требуют.

Рис.4

Размерные линии предпочтительно наносить вне контура изображения, располагая по возможности внутренние и наружные размеры деталей по разные стороны изображения.

При неполном изображении симметричного контура, а также при соединении вида и разреза размерные числа ставят со стороны вида для наружных и со стороны разреза для внутренних элементов изделия.

При этом размерную линию обрывают дальше линии разграничения вида и разреза (рис.5,а) или за осью симметрии (рис. 5,б).

Рис. 5

ПРАВИЛА НАНЕСЕНИЯ РАЗМЕРОВ

Размеры на чертежах указывают размерными числами и размерными линиями. Для этого сначала проводят выносные линии перпендикулярно отрезку, размер которого указывают (рис. 6, а). Затем на расстоянии не менее 10 мм от контура детали проводят параллельную ему размерную линию. Размерная линия ограничивается с двух сторон стрелками. Какой должна быть стрелка, показано на рисунке 6, б. Выносные линии выходят за концы стрелок размерной линии на 1…5 мм. Выносные и размерные линии проводят сплошной тонкой линией. Над размерной линией, ближе к ее середине, наносят размерное число.

Рис. 6. Нанесение линейных размеров

Если на чертеже несколько размерных линий, параллельных друг другу, то ближе к изображению наносят меньший размер. Так, на рисунке 6, в сначала нанесен размер 5, а затем 26, чтобы выносные и размерные линии на чертеже не пересекались. Расстояние между параллельными размерными линиями должно быть не менее 7 мм.

Для обозначения диаметра перед размерным числом наносят специальный знак — кружок, перечеркнутый линией (рис. 7). Если размерное число внутри окружности не помещается, его выносят за пределы окружности, как показано на рисунке 7, в и г. Аналогично поступают при нанесении размера прямолинейного отрезка (см. рис. 6, в).

Рис. 7. Нанесение размера окружностей

Для обозначения радиуса перед размерным числом пишут прописную латинскую букву R (рис. 8, а). Размерную линию для указания радиуса проводят, как правило, из центра дуги и оканчивают стрелкой с одной стороны, упирающейся в точку дуги окружности.

Рис. 8. Нанесение размеров дуг и угла

При указании размера угла размерную линию проводят в виде дуги окружности с центром в вершине угла (рис. 8, б).

Перед размерным числом, указывающим сторону квадратного элемента, наносят знак «квадрата» (рис. 9). При этом высота знака равна высоте цифр.

Рис. 9. Нанесение размера квадрата

Если размерная линия расположена вертикально или наклонно, то размерные числа располагают, как показано на рисунках 6, в; 7; 8.

 Если деталь имеет несколько одинаковых элементов, то на чертеже рекомендуется наносить размер лишь одного из них с указанием количества. Например, запись на чертеже «3 отв. 0 10» означает, что в детали имеются три одинаковых отверстия диаметром 10 мм.

При изображении плоских деталей в одной проекции толщина детали указывается, как показано на рисунке 6, в. Обратите внимание, что перед размерным числом, указывающим толщину детали, стоит латинская строчная буква 5.

Допускается подобным образом указывать и длину детали (рис. 10), но перед размерным числом в этом случае пишут латинскую букву

Рис. 10. Нанесение размера длины детали

ПОЛОЖЕНИЯ ГОСТА 2.307-68 

При нанесении размера радиуса перед размерным числом помещают прописную букву R. 
Если при нанесении размера радиуса дуги окружности необходимо указать размер, определяющий положение ее центра, то последний изображают в виде пересечения центровых или выносных линий.

При большой величине радиуса центр допускается приближать к дуге, в этом случае размерную линию радиуса показывают с изломом под углом 90° (рис.11).

Если не требуется указывать размеры, определяющие положение центра дуги окружности, то размерную линию радиуса допускается не доводить до центра и смещать ее относительно центра (рис. 12).

Рис.11,12.

При проведении нескольких радиусов из одного центра размерные линии любых двух радиусов не располагают на одной прямой (рис. 13а). При совпадении центров нескольких радиусов их размерные линии допускается не доводить до центра, кроме крайних (рис. 13б).

Рисунок 13. Нанесение нескольких радиусов из одного центра.

Задание №1

Выполнить чертеж плоской детали в указанном масштабе, определяя размеры по клеткам. Сторона клетки равна 5 мм. Проставить размеры. Работа выполняется на листе формата А4

Вариант задания получить у преподавателя.

Пример выполнения

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.      Приведите пример условных обозначений применяемых на чертеже.

2.     Назовите и охарактеризуйте методы нанесения размеров.

3.     В каких случаях на чертежах при нанесении размеров ставят знак Ø и знак. R?

4.     Что называют масштабом чертежа?

5.     Как наносится размерное число на заштрихованном поле?

6.     Как проставляют размеры углов?

7.     В каких единицах выражают линейные размеры на машиностроительных чертежах?

8.     Какой толщины должны быть выносные и размерные линии?

9.     Какое расстояние оставляют между контуром изображения и размерными линиями? между размерными линиями?

10. Как наносят размерные числа на наклонных размерных линиях?

11. Какие знаки и буквы наносят перед размерным числом при указании величины диаметров и радиусов?

Упражнение №1

Перечертите в рабочую тетрадь, сохраняя пропорции, изображение детали, данное на рисунке 14, увеличив его в 2 раза. Нанесите необходимые размеры, укажите толщину детали (она равна 4 мм).

Рис. 14

Упражнение №2

Начертите в рабочей тетради окружности, диаметры которых равны 40, 30, 20 и 10 мм. Нанесите их размеры. Начертите дуги окружности с радиусами 40, 30, 20 и 10 мм и нанесите размеры.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Аристов, В.М. Инженерная графика: Уч. пос. для вузов / В.М. Аристов, Е.П. Аристова. — М.: Альянс, 2016. — 256 c.

2.     Белякова, Е.И. Инженерная графика. Практикум по чертежам сборочных единиц: Учебное пособие / П.В. Зеленый, Е.И. Белякова, О.Н. Кучура . — М.: НИЦ ИНФРА-М, Нов. знание, 2013. — 128 c.

3.     Боголюбов, С.К. Инженерная графика: учебник для средних специальных учебных заведений. / С.К. Боголюбов. — М.: Альянс, 2016. — 390 c.

4.     Большаков, В.П. Инженерная и компьютерная графика: Учебное пособие / В.П. Большаков. — СПб.: BHV, 2014. — 288 c.

5.     Емельянов, С.Г. Начертательная геометрия. Инженерная и компьютерная графика в задачах и примерах: Учебное пособие / П.Н. Учаев, С.Г. Емельянов, К.П. Учаева; Под общ. ред. проф. П.Н. Учаева. — Ст. Оскол: ТНТ, 2013. — 288 c.

6.     Кочиш, И., И. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Уч. пособие, 3-е изд., стер. / И. И. Кочиш, Н. С. Калюжный, Л. А. Волчкова и др.. — СПб.: Лань, 2016. — 308 c.

7.     Крундышев, Б.Л. Инженерная графика: Учебник. 6-е изд., стер. / Б.Л. Крундышев. — СПб.: Лань, 2016. — 392 c.

8.     Куликов, В.П. Инженерная графика: Учебник / В.П. Куликов, А.В. Кузин.. — М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 368 c.

9.     Пуйческу, Ф.И. Инженерная графика: Учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования / Ф.И. Пуйческу, С.Н. Муравьев, Н.А. Чванова. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 320 c.

10. Сорокин, Н.П. Инженерная графика: Учебник. 6-е изд., стер / Н.П. Сорокин, Е.Д. Ольшевский, А.Н. Заикина, Е.И. Шибанова. — СПб.: Лань, 2016. — 392 c.

11. Учаев, П.Н. Инженерная графика в учебных дисциплинах: Учебное пособие / П.Н. Учаев, С.Г. Емельянов. — Ст. Оскол: ТНТ, 2013. — 352 c.

12. Чекмарев, А.А. Инженерная графика 12-е изд., испр. и доп. учебник для прикладного бакалавриата / А.А. Чекмарев. — Люберцы: Юрайт, 2016. — 381 c.

13. Чекмарев, А.А. Инженерная графика. Машиностроительное черчение: Учебник / А.А. Чекмарев. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 396 c.

Построение третьего вида по двум данным. Часть 4.

Рассмотрим пример к графической работе №5.  Дается задание: «Постройте третий вид детали по двум данным. На чертеже проставьте  размеры.  УГОЛЬНИК.  СТАЛЬ».

Следующий этап – это нанесение размеров на чертеже детали. 

КОМПАС-3D позволяет создать в графическом документе любой из предусмотренных стандартом вариантов размеров. Возможна простановка нескольких типов линейных, уг­ловых, радиальных размеров, диаметрального размера, размеров высоты и дуги. Кроме того, доступен специальный способ простановки размеров, при котором тип размера ав­томатически определяется системой.

Команды простановки размеров сгруппированы в меню Инструменты — Размеры, а кнопки для вызова команд — на панели Размеры.

Общая последовательность действий при простановке большинства размеров следую­щая:

1. Вызов команды простановки размера нужного типа или команды автоматической про­становки размеров.

2. Указание объектов (объекта), к которым требуется проставить размер.

3. Настройка начертания размера с помощью вкладок Панели свойств.

4. Редактирование (при необходимости) размерной надписи и задание ее положения.

Для определения величины изобра­женного изделия или какой-либо его части по чертежу на нем наносят размеры. Размеры разделяют на линейные и угловые. Линейные размеры характеризуют длину, ширину, толщину, вы­соту, диаметр или радиус измеряемой части изделия. Угловой размер характеризует величину угла.

Линейные размеры на чертежах указывают в миллиметрах, но обозначение единицы измерения не наносят. Угловые размеры указывают в градусах, минутах и секундах с обозначением еди­ницы измерения.

Общее количество размеров на чертеже должно быть наимень­шим, но достаточным для изготовления и контроля изделия.

Правила нанесения размеров установлены стандартом. ГОСТ 2.307-68. ЕСКД.

1. Размеры на чертежах указывают размерными числами и размерными линиями. Для этого сначала проводят выносные ли­нии перпендикулярно отрезку, размер которого указывают. Затем на расстоянии не менее 10 мм от контура детали про­водят параллельную ему размерную линию. Размерная линия ог­раничивается с двух сторон стрелками. Выносные линии выходят за концы стрелок размерной линии на 1…5 мм. Выносные и размер­ные линии проводят сплошной тонкой линией. Над размерной линией, ближе к ее середине, наносят размерное число.

2. Если на чертеже несколько размерных линий, параллель­ных друг другу, то ближе к изображению наносят меньший раз­мер. Расстояние между параллельными размерными линиями должно быть не менее 7 мм. (см. п. 1).

3. Для обозначения диаметра перед размерным числом нано­сят специальный знак — кружок, перечеркнутый линией. Если размерное число внутри окружности не помещается, его вы­носят за пределы окружности. Аналогично поступают при нанесении размера прямолинейного отрезка.

4. Для обозначения радиуса перед размерным числом пишут прописную латинскую букву R. Размерную линию для указания радиуса проводят, как правило, из центра дуги и оканчивают стрелкой с одной стороны, упирающейся в точку дуги окружности.

5. При указании размера угла размерную линию проводят в виде дуги окружности с центром в вершине угла. 

6. Перед размерным числом, указывающим сторону квадрат­ного элемента, наносят знак  ò. При этом высота знака равна высоте цифр.

7. Если размерная линия расположена вертикально или на­клонно, то размерные числа располагают над размерной линией или с левой стороны размерной линии. (см. п: 1, 2, 3, 4, 5, 6).

8. Если деталь имеет несколько одинаковых элементов, то на чертеже рекомендуется наносить размер, лишь одного из них с указанием количества. Например, запись на чертеже «6 отв. Ø10» означает, что в детали имеются шесть одинаковых отверстия диаметром 10 мм.

9. При изображении плоских деталей в одной проекции тол­щина детали указывается латинской буквой s и рядом пишется размерное число, указывающим тол­щину детали. (см. п. 8).

10. Допускается подобным образом указывать и длину детали, но перед размерным числом в этом случае пишут ла­тинскую букву l.

Каждый размер на чертеже указывают только один раз. В то же время чертеж должен содержать все размеры, необходимые для изготовления предметов.

На чертежах обязательно наносят габаритные размеры. Габаритными называют размеры, определяющие предельные (наибольшие и наименьшие) величины вершин (и внутренних) очертаний изделий. Без габаритных размеров чертеж не закончен.

При нанесении размеров меньшие размеры располагают ближе к изображению, а большие – дальше.

Размеры надо наносить так, чтобы удобно было читать чертеж и при изготовлении детали не выяснять что-либо путем подсчетов.

Размеры наносят, как правило, вне контура изображения и так, чтобы размерные линии по возможности не пересекались между собой.

Осевая (штрихпунктирная) линия должна выходить за контур изображения примерно на 3 мм и не пересекать размерное число.

По возможности, при нанесении размеров, равномерно распределить их на видах чертежа.

Чертежно-конструкторская система КОМПАС-График поддерживает все преду­смотренные ЕСКД типы размеров и позволяет значительно сократить время на простановку размеров за счет автоматического измерения их значений.

Принципы ввода простановки размеров в КОМПАС-График едины для всех типов. Если при построении размера его значение не соответствует заданно­му, то вы ошиблись при построении. Текст размерной надписи может быть отредактирован с помощью диалогового окна Задание размерной надпи­си.   

Размеры выражают основные геометрические характеристики объектов и наносятся в соответствии с общими правилами нанесения размеров по ГОСТу 3.307-68 Нанесение размеров и предельных отклонений.

Имеются три режима нанесения размеров: автоматический, полуавтоматиче­ский и ручной.

В автоматическом режиме процесс простановки достаточно прост. После вы­зова команды конструктор указывает нужный элемент объекта, и система автоматически вписывает в размерную надпись номинальное значение. Это применяется в том случае, когда не нужно вписывать значение квалитета и предельных отклонений, или они все одинаковые.

В основном применяется полуавтоматический режим простановки размеров. В этом случае система автоматически вписывает номинальное значение раз­мера, а конструктор настраивает параметры размера с помощью вкладок Па­нели свойств и устанавливает размерное число в нужную точку.

При ручном вводе отключается автоматическое создание объектов, и конст­руктор самостоятельно вводит номинальное значение с допусками.

Команды простановки размеров сгруппированы в Строке меню в пункте Ин­струменты — Размеры, а кнопки для вызова команд — на инструменталь­ной панели инструментов Размеры.

Линейные размеры

В большинстве случаев измерения производится парал­лельно осям X, Y. То есть объекты на чертеже измеряются вдоль этих осей. И, хотя сами объекты могут быть наклонными, размеры все равно определя­ются по вертикали (ось X) или горизонтали (ось Y). В КОМПАС-График та­кие размеры называются линейными.

Для простановки линейных размеров на инструментальной панели инстру­ментов имеется выпадающая панель расширенных команд с кнопкой Линей­ный размер.

Линейные размеры делятся на горизонтальные, вертикальные, параллельные и повернутые, в зависимости от их ориентации. Точки т1 и т2—точки привязки (точки выхода основных линий). Система автоматически располагает выносные линии параллельно друг другу, а размерную линию перпендикулярно им. Если длина размерной линии меньше суммарной длины двух стрелок, стрелки автоматически будут сфор­мированы снаружи выносных линий. На расстоянии от 6 — 10 мм от контура детали про­водят параллельную ему размерную линию.

На Панели свойств по умолчанию на вкладке Размер в группе переключа­телей Тип всегда активна кнопка Параллельно объекту.

Параллельные размеры измеряются и вычерчиваются вдоль стороны вы­бранного объекта или вдоль расстояния между указанными точками. При этом размерная линия всегда параллельна стороне объекта. Чтобы постро­ить вертикальный или горизонтальный размер, необходимо активизиро­вать соответствующий переключатель в разделе Тип;

Проставляем остальные размеры. Общее количество размеров на чертеже должно быть наимень­шим, но достаточным для изготовления и контроля изделия. Равномерно распределяем размеры на все виды. Осталось проставить размер окружности.

На всех разрабатываемых чертежах есть окружности и дуги, значит, необхо­димо поставить значение диаметра или радиуса. В КОМПАС-График проста­вить диаметральные размеры достаточно просто. Для ввода диаметрального размера необходимо указать ловушкой объект. Размерная линия строится через центр окружности или дуги и точку положения размерной линии. По­следовательность выбора параметров размера такая же, как при простановке линейных размеров. Знак диаметра проставляется автоматически. Способ нанесения размера при различных положениях размерных линий определяет­ся наибольшим удобством чтения.

На панели инструментов Геометрия щелкните левой кнопки мыши по кнопке Диаметральный размер. По умолчанию на Панели свойств открыта вкладка Размер, на которой в группе переключателей Тип имеется две кнопки: Полная размерная линия, Размерная линия с обрывом.   Выберите кнопку Полная размерная линия.

Подведите курсор мышки окружности (она становится красной) и щелкните левой кнопки мыши. Появился фантом диаметрального размера, кото­рый плавно перемещается при движении мыши. Обратите внимание на положение размерного числа: то в центре размерной линии, то сдвигается вправо или влево. В данный момент система, как в случае линейного раз­мера, ожидает указания точки положения размерной надписи. Нельзя фиксировать текст внутри окружности, тогда он належится на осевые ли­нии окружности, что противоречит требованиям ГОСТ ЕСКД.

Если необходимо, щелкните в окне Текст или просто нажмите любую клавишу и отредактируйте размерную надпись в диалоговом окне Зада­ние размерной надписи;

 

На вкладке Параметры (элементы ее управления точно такие же, как при установке начертания линейного размера) установите местоположение  текста: На полке, вправо. В большинстве случаев диаметральные и радиусные размеры ставятся на полках и выносятся за пределы контура дета­ли, чтобы не перекрывать основной контур детали. Местопо­ложение размера определяется наличием свободного места.

Щелкните левой стороной мыши в точке, где будет положения размерной линии и надписи. Размер построен. Обратите внимание, что знак диаметра система устано­вила автоматически.

Заполняем основную надпись чертежа. Название детали Угольник, изготовлен из Стали, масштаб изображения 1:1, № работы 5. Чертеж построен.

Урок черчения по теме «Нанесение размеров. Масштабы». 8-й класс

Цель урока: Познакомить с правилами нанесения размеров на чертеже ГОСТ 2.307-68, с выполнением размерных стрелок, выносных линий, размерных чисел и знаков, с масштабами увеличения и уменьшения ГОСТ 2.302-68

Оборудование: чертежные инструменты, учебник, мультимедиа.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие, проверка готовности к уроку.

II. Повторение изученного материала.

Можно вызвать учащегося к доске и попросить начертить линии чертежа, назвать их назначение и размеры.

III. Знакомство с новым материалом

1. Вводная беседа.

(Учитель показывает чертеж детали без размеров)

— Можем ли мы определить величину изображенного изделия по данному чертежу?

Для определения величины изображенного изделия и его элементов служат размерные числа, нанесенные на чертеже.

Исключение составляют случаи, когда величину изделия или его элементов определяют по изображениям, выполненным с достаточной степенью точности.

2. Объяснение нового материала.

Слайд 1 Записываем в тетрадке шрифтом 5 тему урока: “ Нанесение размеров”

Правила нанесения размеров установлено стандартом ГОСТ 2.307 – 68.

Слайд 2 Размеры изделия разделяются на линейные и угловые.

— Как вы думаете, что характеризуют линейные размеры детали? (ответы учеников)

Линейные размеры характеризуют длину, ширину, высоту, толщину, диаметр или радиус детали. Линейные размеры на чертежах указывают в миллиметрах, без обозначения единицы измерения.

— А что характеризуют угловые размеры? (ответы учеников)

Угловые размеры характеризуют величину угла и указывают в градусах, минутах и секундах с обозначением единицы измерения.

Общее количество размеров должно быть минимальное, но достаточное для изготовления и контроля изделия.

Слайд 3 Размеры на чертежах указывают размерными числами и размерными линиями.

При нанесении размера прямолинейного отрезка размерную линию проводят параллельно этому отрезку, а выносные линии — перпендикулярно размерным. Размерную линию с обоих концов ограничивают стрелками, упирающимися в выносные линии.

Размерные линии предпочтительно наносить вне контура изображения.

Выносные линии должны выходить за концы стрелок размерной линии на 1 . . 5 мм.

Минимальное расстояние между размерной линией и линией контура — 10 мм.

Необходимо избегать пересечения размерных и выносных линий.

Не допускается использовать линии контура, осевые, центровые и выносные линии в качестве размерных.

Величины элементов стрелок размерных линий выбирают в зависимости от толщины линий видимого контура и вычерчивают их приблизительно одинаковыми на всем чертеже.

Размерные числа наносят над размерной линией возможно ближе к ее середине. Предложить детям перечертить изображение в тетрадь, измерить размерную линию и записать размерное число в мм.

Слайд 4 Минимальные расстояния между параллельными размерными линиями должны быть 7 мм.

При нанесении нескольких параллельных размерных линий размерные числа над ними рекомендуется располагать в шахматном порядке.

Слайд 5 При нанесении размера диаметра перед размерным числом помещают специальный знак – кружок, перечеркнутый линией под углом 60 град.

Если для написания размерного числа недостаточно места над размерной линией, то размеры наносят, как показано на чертеже на продолжении размерных линий или на полке выноске. Если недостаточно места для нанесения стрелок, то их наносят с наружной стороны окружности.

Слайд 6 При нанесении размера радиуса перед размерным числом помещают прописную букву R . Размерную линию для обозначения радиуса проводят из центра дуги и оканчивают стрелкой с одной стороны. Такое обозначение используют когда на чертеже дона только часть окружности, а не целая окружность.

Запишите обозначение: радиус 15. (R15)

Слайд 7 Размерные числа линейных размеров при различных наклонах размерных линий располагают над размерной линией.

Слайд 8 Угловые размеры наносят так: В зоне, расположенной выше горизонтальной осевой линии, размерные числа помещают над размерными линиями со стороны их выпуклости; в зоне, расположенной ниже горизонтальной осевой линии — со стороны вогнутости размерных линий. В заштрихованной зоне наносить размерные числа не рекомендуется. В этом случае размерные числа указывают на горизонтально нанесенных полках.

Слайд 9 Если в детали присутствует квадратный элемент, то перед размерным числом, указывающим размер этого элемента наносят знак ?, причем высота этого знака равна высоте цифры. Запишите обозначение стороны квадрата 45. (?45)

Слайд 10 Допускается подобным образом указывать длину детали, но перед размерным числом пишут латинскую букву ?. Запишите обозначение длина 80. (?80)

Слайд 11 Выполнить упражнение в тетрадке с последующей проверкой.

Слайд 12. Записать в тетрадях заголовок “Масштабы” и предложить вспомнить определение изученное на уроках географии.

Слайд 13. Стандарт устанавливает следующие масштабы: уменьшения, натуральная величина и масштаб увеличения.

Слайд 14. Следует помнить, что, в каком бы масштабе ни выполнялось изображение, размеры на чертеже наносят действительные.

Масштаб указывают прописной буквой М, если масштаб указывают в основной надписи, то букву М не пишут.

IV. Подведение итога урока.

Запишите в тетрадях, упражнение стр.28 п.1

Слайд 15. По центру тетрадного листа выполняем чертеж плоской детали в М 2:1, работу выполняем карандашом средней твердости, заточенным под конус.

1. По центру листа провести, горизонтально, тонкую штрихпунктирную линию.
2. Начертить в М 2:1 прямоугольник, предварительно измерив его на рис. 34
3. С правой стороны делаем вырез половины окружности, в масштабе, предварительно измерив, радиус дуги на рисунке.
4. С левой стороны вырезаем прямоугольник, в масштабе, предварительно измерив, прямоугольник на рисунке 34.
5. Размеры наносим в обратном порядке, как строили геометрические фигуры.
6. (дуга, прямоугольник, прямоугольник, толщина детали.)
7. При нанесении размеров не забывайте правила, и проверяйте правильность выполнения с доской.
8. Обвести видимые контуры детали мягким карандашом заточенным лопаткой.

Домашнее задание.

Параграф 2, стр.28 п.2 (письменно)

На следующем уроке графическая работа, подготовьте формат А4.

Нанесение размеров — Всё для чайников

Подробности

Категория: Инженерная графика

Содержание материала

• Нанесение размеров
• НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ НА ЧЕРТЕЖАХ ДЕТАЛЕЙ
• Все страницы

Страница 1 из 2

Автор видеоурока: к.пед.н., доцент кафедры ИГиСАПР Кайгородцева Н.В.

 

 

 

ПРАВИЛА НАНЕСЕНИЯ РАЗМЕРОВ

 

 

Правила нанесения размеров и предельных отклоне-ний на чертежах и других технических документах устанавливает ГОСТ 2.307—68 (СТ СЭВ 1976—79, CТ СЭВ 2180—80).

В данном параграфе указаны только те правила, ко торые необходимы при выполнении чертежей общей части курса черчения.

Размеры на чертежах указывают размерными числами и размерными линиями. Размерные числа должны соответствовать действительным размерам изображаемого предмета, независимо от того, в каком масштабе и с какой точностью выполнен чертеж.

Размеры бывают линейные — длина, ширина, высота, величина диаметра, радиуса, дуги и угловые — размеры углов.

Линейные размеры указывают на чертеже в миллиметрах, единицу измерения на чертеже не указывают.

 

Стрелки, ограничивающие размерные линии, должны упираться острием в соответствующие линии контура или в выносные и осевые линии (рис. 37, а). Выносные линии должны выходить за концы стрелок размерной линии на 1…5 мм (рис. 37, ).

 

Величина стрелки выбирается в зависимости от толщины s линий видимого контура и должна быть одинакова для всех размерных линий чертежа. Форма стрелки и примерное соотношение сс элементов показаны на рис. 37, б. Размерные и выносные линии выполняют сплошными тонкими линиями. В пределах одного чертежа размерные числа выполняют цифрами одного шрифта (чаще применяют шрифт размером 3,5). Размерные числа ставят над размерной линией, параллельно ей и возможно ближе к середине.

Минимальное расстояние между параллельными размерными линиями должно быть 7 мм, а между размерной линией и линией контура — 10 мм.

Необходимо избегать пересечения размерных и выносных линий.

При нанесении нескольких параллельных или концентричных размерных линий на небольшом расстоянии друг от друга размерные числа над ними рекомендуется располагать в шахматном порядке (рис. 38).

 

 

 

При недостатке места для стрелок на размерных линиях, расположенных цепочкой, стрелки допускается заменять засечками (размеры 2; 1; 2 на рис. 38), наносимыми под углом 45° к размерным линиям, или четкими точками (размеры 6; 4; 2 на рис. 38). В местах нанесения размерного числа осевые, центровые линии и линии штриховки прерывают (размер 50 на рис. 38).

При изображении изделия с разрывом размерную линию не прерывают и наносят действительный размер (рис. 39, а). Если стрелки размерных линий пересекают расположенные близко друг к другу контурные линии, то эти линии допускается прерывать (рис. 39,б). В случае, показанном на рис. 39, в, размерную и выносные линии проводят так, чтобы они вместе с измеряемым отрезком образовали параллелограмм.

 

 

Если наклон размерной линии к вертикали менее 30°, то размерное число наносят на полке линии-выноски (рис. 40, а).

Способ нанесения размерного числа при различных положениях размерных линий на чертеже определяют наибольшим удобством чтения чертежа. Если для нанесения размерного числа недостаточно места над размерной линией, то размеры наносят, как показано на рис. 40, б; если недостаточно места для нанесения стрелок, то их наносят, как показано на рис. 40, в.

 

 

При указании размера радиуса перед размерным числом ставят прописную букву R. На рис. 41, а показаны примеры нанесения размеров радиусов.

При большой величине радиуса допускается центр приближать к дуге, в этом случае размерную линию радиуса показывают с изломом под углом 90° (R 90 на рис. 41, а). Если не требуется указывать размеры, определяющие положение центра дуги окружности, то размерную линию радиуса допускается не доводить до центра и смещать ее относительно центра (R  250 на рис. 41, а).

Перед размерным числом диаметра ставят знак Ø (рис. 41, б), высота которого равна высоте цифр размерных чисел. Знак представляет собой окружность, пересеченную косой чертой под углом 45° к размерной линии.

 

 

 

При указании размера диаметра окружности размерную линию можно проводить с обрывом, при этом обрыв размерной линии следует делать несколько дальше центра окружности (Ø50 на рис. 41, б).

Если недостаточно места для нанесения стрелок или размерного числа над размерной линией, то размеры диаметров наносят, как показано на рис. 41, б, Ø15; Ø12.

При указании радиуса или диаметра сферы также пользуются знаками R и Ø. В случаях, когда на чертеже трудно отличить сферу от других поверхностей, допускается надпись «Сфера» или знак О, например, «Сфера Ø30» или О R12».

Размеры квадрата наносят, как показано на рис. 41, в. Высота знака □ должна быть равна высоте размерных чисел на чертеже (ГОСТ 2.307—68).

Угловые размеры наносят так, как показано на рис. 41, г. Для указания размера угла размерная линия проводится в виде дуги с центром в его вершине, а выносные линии — радиально. В зоне, расположенной выше горизонтальной осевой линии, размерные числа помещают над размерными линиями со стороны их выпуклости; в зоне, расположенной ниже горизонтальной осевой линии, — со стороны вогнутости размерных линий (рис. 41, г).

В заштрихованной зоне наносить размерные числа не рекомендуется. В этом случае размерные числа должны расположиться на горизонтально нанесенных полках (рис. 41, г, размеры 30 и 40°).

 

В случаях, когда надо показать координаты вершины скругляемого угла или центра дуги, выносные линии проводят от точки пересечения сторон скругляемого угла (размер 45 на рис. 42, а) или от центра дуги скругления (размер 17 на рис. 42, а).

Размеры контура криволинейного профиля наносят, как показано на рис. 42, 6,

 

 

• Вперёд

Урок 07. Нанесение размеров в AutoCAD

Антон Школьный 23.09.2013 Уроки AutoCAD 1

Чертеж детали неприемлем без нанесенных на него размеров. Размеры должны полностью определять величину изделия. Их должно быть достаточное количество, но лишних размеров наносить также не нужно.

Размеры на чертеже могут быть линейные, угловые, радиальные. А так же советую почитать статью «Три типа размеров в AutoCAD» Линейные размеры определяют длину, ширину, высоту изделия и указываются в миллиметрах без обозначения единицы измерения. Угловые размеры измеряются в градусах, минутах, секундах с обозначением единицы измерения. Радиальные размеры указывают длину радиусов или диаметров дуг и кругов. Размер состоит из:

• Выносных линий, проведенных перпендикулярно отрезку, которые измеряется. Выносные линии угловых размеров проводят радиально, а при нанесении размера дуги — перпендикулярно ее хорде или радиально .
• Размерных линий, проведенных параллельно отрезку, размер которого определяется на расстоянии не менее 10 мм от контура детали. Концы размерных линий ограничиваются стрелками насечками или точками. Выносные линии выходят за размерные на 1 — 5 мм. При нанесении нескольких параллельных размерных линий ближе к контуру наносится меньший размер. Размерными линиями угловых размеров являются дуги с центром в вершине угла или дуги.
• Размерных чисел, которые указывают величину изделия.

В зависимости от изделия и ориентации выносных линий размеры могут быть горизонтальными, вертикальными, параллельными, повернутыми, ординатными. Можно проставлять размеры от общей базы и образовывать размерные цепочки.

Нанесение размеров можно выполнить одним из двух методов. Первый состоит в том, что  после введения команды курсором мышки указывается объект, размер которого измеряется и задается положение размерной линии. При использовании второго метода курсором мышки указываются начальные точки выносных линий и положение размерной линии. В последнем случае рекомендуется включить режим объектной привязки.

Варианты нанесения размеров или их редактирования содержатся в команде меню Dimension, а также в виде кнопок на панели Dimension.

 

AutoCAD создает ассоциативные размеры. Ассоциативность заключается в том, что при изменении объектов командами редактирования элементы размеров автоматически обновляются.

Вид размера на чертеже зависит от выбранного стиля. По умолчанию предлагается стиль ISO-25, предназначенный для машиностроительного черчения. AutoCAD предоставляет возможность вносить изменения в существующие стили, а также создавать собственные стили. От выбранного размерного стиля зависит отображения выносных линий, размер и положение текста, длина и тип стрелок, базовый интервал между размерными линиями и т. и др. Руководят процессом нанесения размеров размерные переменные, значения которых можно изменить при помощи соответствующими командами или в диалоговом окне Dimension Style Manager. Внесение изменений в существующий стиль происходит в диалоговом окне Modyfy Dimension Style. На соответствующих вкладках данного окна можно изменить значение размерных переменных. Вызывается окно нажатием кнопки Modify в окне Dimension Style Manager.

Для создания нового стиля нажать кнопку New в окне Dimension Style Manager в поле New Style Name ввести имя стиля и нажмите кнопку Continue. После чего на вкладках окна Modyfy Dimension Style задать характеристик размеров.

 

На вкладке Line и вкладке Symbols and Arrows задается цвет, толщина и другие характеристики размерных и выносных линий. Выбирается тип и размер стрелок. На этой же вкладке выбирается отображать или не отображать маркеры в центре круга, а также их размер.

На вкладке Text выбираются параметры размерного текста : цвет, стиль, выравнивание.

На вкладке Fit осуществляется управление взаимным размещением размерных, выносных линий и текста, а также масштабом размеров.

На вкладках Primary Units и Alfernate Units определяется формат единиц измерения, задается точность.

На вкладке Tolerance определяется формат и точность допусков.

Нанесение линейных размеров

 

                Линейные размеры могут быть горизонтальными, вертикальными, ординатного, образовывать стабильные цепи или могут быть нанесены от общей базы. Команда DIMLINEAR (DLI) ( Линейный ) Способы ввода команды:

• Набрать с клавиатуры команду DIMLINEAR.
• Вызов из меню: Dimension ? Linear.
• Кнопка на панели Dimension.  

Ввести команду одним из перечисленных способов. Система выдаст запрос: Specify first extension line origin or <select object> Чтобы измерить размер первому методу: 1) Нажмите Enter . 2) На запрос Select object to dimension : графическим курсором показать объект и точку, через которую пройдет размерная линия. Чтобы измерить размер вторым методом: 1) включить режим объектной привязки; 2) графическим курсором показать первую начальную точку выносной линии; 3) по запросу Specify second extension line origin — показать вторую начальную точку выносной линии; 4) задать положение размерной линии на запрос Specify dimension line location or [ Mtext / Text / Angle / Horizontal / Vertical / Rotated ] или ввести одну из предложенных системой опций:

• Mtext. Откроется окно многострочного текстового редактора Multiline Text Editor, в котором можно внести изменения в размерный текст. Угловые скобки < > обозначают размерное число, определенное системой.
• Text. Позволяет внести изменения в размерный текст, воспользовавшись редактором однострочного текста. При внесении изменений можно набирать определеные последовательности символов, чтобы вставить перед размерным числом знак диаметра ( %%с ), вставить в текст знак градуса ( %%d ) и т.д.
• Angle. Можно изменить угол наклона размерного числа или размерного текста. После выбора данной опции система выдаст запрос на значение угла: Specify angle of dimension text :
• Horizontal. Используется для нанесения горизонтального размера. Система выдаст запрос относительно положения размерной линии : Specify dimension line location or [ Mtext / Text / Angle ] :
• Vertical. Используется для нанесения вертикального размера. Система выдаст запрос на положение размерной линии : Specify dimension line location or [ Mtext / Text / Angle ] :
• Rotated (Повернутый). Используется, если необходимо задать угол наклона размерной линии. Система выдаст запрос на значение угла: Specify angle of dimension line <0 > : и запрос относительно положения размерной линии : Specify dimension line location or [ Mtext / Text / Angle ] :

Диалог при нанесении повернутого размера:

Command : _dimlinear	Команда Линейный
Specify first extension line origin or < selectobject > :	Указать первую точку выносной линии
Specify second extension line origin:	Указать вторую точку выносной линии
Specify dimension line location or[ Mtext / Text / Angle / Horizontal / Vertical / Rotated ] r	Указать положение размерной линии или выбрать опцию. Выбрать опцию Rotated
Specify angle of dimension line <0 > : 121	Ввести значение угла наклона размерной линии
Specify dimension line location or	Указать положение размерной линии

При нанесении размеров AutoCAD строит выносные линии перпендикулярно размерной. Однако в случае, если выносные линии ухудшают читаемость других элементов чертежа, угол их наклона можно изменить уже после создания размера.

Для изменения наклона выносных линий:

1. Построить линейный размер.

2. Из меню Dimension выбрать Oblique.

3. Выбрать размер или размеры. Нажать ENTER.

4. Ввести значение угла наклона или указать две точки.

• Набрать с клавиатуры команду: DIMALIGNED.
• Вызов меню : Dimension ? Aligned.
• Кнопка на панели Dimension. 

Данной командой строится размерная линия, угол наклона которой совпадает с углом наклона выбранного объекта. Размер наносится аналогично линейному.

  Команда DIMBASELINE (DBA) (Базовый) Способы ввода команды:

• Набрать с клавиатуры команду DIMBASELINE.
• Вызов меню: Dimension ? Baseline.
• Кнопка на панели Dimension. 

Ряд размеров ( линейных, угловых, ординатных) наносится от общей базовой. За базовую принимается первая выносная линия размера, проставленного предварительной командой, или можно выбрать другую базовую линию. Запрос, относительно положения размерной линии не выдается, поскольку базовый интервал определяется размерным стилем. Выполняется команда в том случае, когда на чертеж нанесен хотя бы один размер, любой из команд DIMLINEAR, DIMORDINATE или DIMANGULAR.

Система поддерживает такой диалог:

Command : _dimbaseline	Команда Базовый.
Specify a second extension line origin or[ Undo / Select ] <Select> :	Указать вторую исходную точкувыносной линии или нажатьEnter, чтобы выбрать базовую линию.
Select base dimension :	Выбрать базовую линию.
Specify a second extension line origin or[ Undo / Select ] <Select> :	Указать вторую исходную точкувыносной линии.
Dimension text = 172.47	Выводится размерный текст.

 

Команда DIMCONTINUE ( Продолжить ) Способы ввода команды :

• Набрать с клавиатуры команду DIMCONTINUE.
• Вызов меню:  Dimension ? Continue.
• Кнопка на панели Dimension. 

Команда создает размерную цепочку, в которой вторая выносная линия предыдущего размера является исходной для размера, который проставляется. Размерные линии принадлежат одной прямой и запросы по их положение не выдаются. Работа команды аналогична работе предыдущей команды DIMBASELINE.

Команда DIMORDINATE ( Ординатный ) Способы ввода команды:

• Набрать с клавиатуры команду DIMORDINATE .
• Вызов меню: Dimension ? Ordinate .
• Кнопка на панели Dimension.  

Ординатные размеры указывают координаты X или Y точек относительно базовой точки.  Базовой точкой, как правило, левый нижний угол детали. Центр системы координат перед простановкой ординатных размеров можно переместить в базовую точку командой UCS с опцией New. Ординатный размер задает расстояние точки до базовой точки соответственно вдоль оси Х или по оси Y и состоит из выносной линии и значение расстояния. Вдоль какой оси проставить значение расстояния, система определяет автоматически.

Для нанесения координатного размера ввести одним из способов команду, а дальше поддерживайте диалог:

Command : _dimordinate	Команда Ордината.
Specify feature location :	Выберите точку объекта.
Specify leader endpoint or[ Xdatum / Ydatum / Mtext / Text / Angle ] :	Указать точку выносной линии или выбрать опцию.
Dimension text = 23.0000	Выводится значение расстояния вдоль соответствующей оси.

Нанесение радиальных размеров

                Размер дуги или окружности определяется значением радиуса или диаметра. Для этих объектов существует также возможность нанесения маркеров центра и центровых линий. Команда DIMDIAMETER ( Диаметр ) Способы ввода команды:

• Набрать с клавиатуры команду DIMDIAMETER.
• Вызов меню: Dimension ? Diameter.
• Кнопка на панели Dimension.  

Для нанесения диаметра ввести команду одним из способов. На запрос: Select arc or circle : показать перекрестком любую точку объекта. AutoCad позволяет создать размерную линию произвольной длины и разместить ее под любым углом. Пользуясь опциями команды, можно редактировать размерный текст, а также изменить угол его наклона . Перед значением диаметра AutoCad автоматически вставляет символ . Размерная линия для данного размере не должна быть вертикальной или горизонтальной.

Команда DIMRADIUS ( Радиус ) Способы ввода команды:

• Набрать с клавиатуры команду DIMRADIUS.
• Вызов меню: Dimension ? Radius Dimension.
• Кнопка на панели Dimension.  

Нанесение радиуса осуществляется аналогично нанесению диаметра. Перед значением радиуса AutoCad автоматически вставляет символ R.

 

Нанесение угловых размеров

                Угловые размеры можно определить для дуги, двух отрезков, трех точек, которые не принадлежат прямой. Выводятся угловые размеры с обозначением единицы измерения ^о (градус). Размерной линией углового размера является дуга, с центром в вершине угла, выносные линии формируются автоматически. Угловые размеры можно наносить от общей базы, а также создавать размерную цепь. Команда DIMANGULAR (Угловой) Способы ввода команды:

• Набрать с клавиатуры команду DIMANGULAR.
• Вызов меню: Dimension ? Angular Dimension.
• Кнопка на панели Dimension.  

Нанесение угловых размеров сопровождается диалогом:

Command: _dimangular	Команда Угловой.
Select arc, circle, line, or <specify vertex>:	Указать дугу, окружность, линию или <параметр по умолчанию>: От данного выбора зависят, которые запросы система выдаст дальше.
Select second line:	Указать вторую линию.
Specify dimension arc line location or [Mtext / Text / Angle]: m	Определить положение размерной линии или выбрать параметр. Выбрать функцию Mtext для редактирования размерного текста.
Specify dimension arc line location or[Mtext / Text / Angle]:	Определить положение размерной линии.
Dimension text = 36	Система выдает значение размерного текста.

 

На этом изучение методов нанесения размеров окончено. А в следующем уроке мы расскажем о работе с текстом в AutoCAD.

About Антон Школьный

web page exampleweb page exampleweb page exampleweb page example <a title=»web page example» href=»http://mercedes-club.by/forums/viewtopic.php?f=14&t=5526&p=54825#p54825web page example <a title=»web page example» href=»http://forums.vpn.by/viewtopic.php?f=89&t=2855&p=18805#p18805web page example <a title=»web page example» href=»http://www.fiatclub.by/foroom/viewtopic.php?f=32&t=42688web page example <a title=»web page example» href=»http://lowcarbzone.ru/viewtopic.php?f=163&t=757&p=104027#p104027web page example <a title=»web page example» href=»http://forum.dsmogilev. by/showthread.php?t=11&page=13web page example <a title=»web page example» href=»https://superforum.diva.by/threads/%D0%9A%D0%B0%D0%BA-%D0%B2%D1%8B-%D1%83%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%B5%D1%82%D0%B5-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8B-%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B-%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8B-%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B.159/page-10web page example <a title=»web page example» href=»http://sfc.by/forum/viewtopic.php?p=440828#440828web page example

View all posts by Антон Школьный →

AutoCAD

Как сделать удобной работу в Autodesk Inventor

Полилиния или отрезок?

Построение правильных многоугольников — техническое черчение. Построение правильных многоугольников Начертить 8 угольник с помощью циркуля

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего прово­дим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В черчении зачастую требуется строить положительные многоугольники. Так, скажем, положительные восьмиугольники применяются на щитах дорожных знаков.

Вам понадобится

• – циркуль
• – линейка
• – карандаш

Инструкция

1. Пускай задан отрезок, равный длине стороны желанного восьмиугольника. Требуется возвести верный восьмиугольник. Первым шагом постройте равнобедренный треугольник на заданном отрезке, применяя отрезок, как основание. Для этого вначале постройте квадрат со стороной, равной отрезку, проведите в нем диагонали. Сейчас постройте биссектрисы углов при диагоналях (на рисунке биссектрисы указаны синим), на пересечении биссектрис образуется вершина равнобедренного треугольника, стороны которого равны радиусу окружности, описанной вокруг верного восьмиугольника.

2. Постройте окружность с центром в вершине треугольника. Радиус окружности равен стороне треугольника. Сейчас разведите циркуль на расстояние, равное величине заданного отрезка. Отложите это расстояние на окружности, начиная от всякого конца отрезка. Объедините все полученные точки в восьмиугольник.

3. Если же задана окружность, в которую должен быть вписан восьмиугольник, то построения будут еще проще. Постройте две перпендикулярные друг другу осевые линии, проходящие через центр окружности. На пересечении осевых и окружности получатся четыре вершины грядущего восьмиугольника. Осталось поделить расстояние между этими точками на дуге окружности напополам, дабы получить еще четыре вершины.

Верный треугольник – тот, у которого все стороны владеют идентичной длиной. Исходя из этого определения, построение сходственной разновидности треугольник а является нетрудной задачей.

Вам понадобится

• Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

Инструкция

1. Взять лист чистой бумаги, разлинованной в клеточку, линейку и подметить на бумаге три точки так, дабы они находились на идентичном друг от друга расстоянии (рис.1)

2. С подмогой линейки объединить подмеченные на листе точки ступенчато, друг за ином так, как это показано на рисунке 2.

Обратите внимание!
В верном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.

Полезный совет
Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это обозначает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Всякий положительный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное заявление не правильно.

Восьмиугольник – это, по своей сути, два квадрата, смещенных касательно друг друга на 45° и объединенных на вершинах цельной линией. А потому, для того дабы положительно изобразить такую геометрическую фигуру, нужно твердым карандашом дюже опрятно, по правилам начертить квадрат либо круг, с которыми и проводить последующие действия. Изложение ориентировано на длину стороны, равной 20 см. А значит, при расположении чертежа рассматривайте, дабы вертикальная и горизонтальная линии длиной 20 см умещались на листе бумаги.

Вам понадобится

• Линейка, прямоугольный треугольник, транспортир, карандаш, циркуль, лист бумаги

Инструкция

1. Метод 1. Начертите внизу горизонтальную линию длиной 20 см. После этого с одной стороны подметьте транспортиром прямой угол, тот, что составляет 90°. То же самое дозволено сделать с поддержкой прямого треугольника. Проведите вертикальную линию и подметьте 20 см. Проделайте те же самые манипуляции с иной стороны. Объедините две полученные точки горизонтальной линией. В итоге получилась геометрическая фигура – квадрат.

2. Для того дабы возвести 2-й (смещенный) квадрат, потребуется центр фигуры. Для этого поделите всякую сторону квадрата на 2 части. Объедините вначале 2 точки параллельных верхней и нижней сторон, а потом точки боковых сторон. Проведите через центр квадрата 2 прямые линии, перпендикулярные касательно друг друга. Начиная от центра, отмерьте на новых прямых длину по 10 см, что в результате даст 4 прямые линии. Объедините 4 полученные наружные точки между собой, в итоге чего получится 2-й квадрат. Сейчас всякую точку из 8 полученных углов объедините между собой. Таким образом, будет начерчен восьмиугольник.

3. Метод 2. Для этого потребуется циркуль, линейка и транспортир. От центра листа с поддержкой циркуля начертите круг диаметром 20 см (радиус 10 см). Через центральную точку проведите прямую линию. После этого начертите вторую перпендикулярную ей линию. То же самое дозволено исполнить с подмогой транспортира либо прямого треугольника. В итоге круг будет поделен на 4 равные части. Дальше всякий из секций поделите еще на 2 части. Для этого также дозволено воспользоваться транспортиром, отмеряя 45° либо прямоугольным треугольником, тот, что приложите острым углом в 45° и проведите лучи. От центра на всякой прямой линии отмерьте по 10 см. В итоге получатся 8 «лучиков», которые объедините между собой. В итоге получится восьмиугольник.

4. Метод 3. Для этого так же начертите круг, проведите через середину линию. После этого возьмите транспортир, поставьте его на центр и отмеряйте углы, рассматривая, что всякий секция восьмиугольника имеет в центре угол 45° . Позже этого на полученных лучах отмерьте длину в 10 см. и объедините их между собой. Восьмиугольник готов.

Полезный совет
Делайте чертеж твердым карандашом, побочные линии на котором после этого легко дозволено будет удалить

Верный восьмиугольник – это геометрическая фигура, у которой всякий угол составляет 135?, и все стороны между собою равны. Эта фигура дюже зачастую используется в архитектуре, к примеру, при постройке колон, а также при изготовлении дорожного знака STOP. Как же нарисовать положительный восьмиугольник?

Вам понадобится

• – альбомный лист;
• – карандаш;
• – линейка;
• – циркуль;
• – ластик.

Инструкция

1. Нарисуйте вначале квадрат. После этого проведите окружность так, дабы квадрат оказался внутри круга. Сейчас проведите две осевые серединные линии квадрата – горизонтальную и вертикальную до пересечения с кругом. Объедините прямыми отрезками точки пересечения осей с кругом и точки прикосновения описанной окружности с квадратом. Таким образом, получите стороны верного восьмиугольника.

2. Нарисуйте верный восьмиугольник иным методом. Вначале начертите окружность. После этого проведите горизонтальную линию через ее центр. Подметьте точку пересечения крайней правой границы окружности с горизонталью. Эта точка будет являться центром еще одной окружности, радиусом равным предыдущей фигуре.

3. Проведите вертикальную линию через точки пересечения 2-й окружности с первой. Поставьте ножку циркуля в точку пересечения вертикали с горизонталью и начертите небольшой круг радиусом, равным расстоянию от центра крошечной окружности до центра начального круга.

4. Начертите прямую линию через две точки – центр начального круга и точку пересечения вертикали и крошечной окружности. Продолжите ее до пересечения с рубежом изначальной фигуры. Это будет точка вершины восьмиугольника. Циркулем подметьте еще одну точку, проведя окружность с центром в точке пересечения крайней правой рубежом начального круга с горизонталью и радиусом, равным расстоянию от центра к теснее имеющейся вершине восьмиугольника.

5. Проведите прямую линию через две точки – центр начального круга и последнюю новообразованную точку. Продолжите прямую линию до пересечения с границами первоначальной фигуры.

6. Объедините прямыми отрезками ступенчато: точку пересечения горизонтали с правой рубежом начальной фигуры, после этого по часовой стрелке все образовавшиеся точки, включая точки пересечения осей с первоначальной окружностью.

Видео по теме

Куклин Алексей

Работа носит реферативный характер с элементами исследовательской деятельности. В ней рассматриваются различные способы построения правильных n-угольников. В работе содержится подробный ответ на вопрос о том, что всегда ли можно построить n-угольник с помощью циркуля и линейки. К работе прилагается презентация, которую можно найти на данном мини-сайте.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Построение правильных многоугольников Работу выполнил: ученик 9 класса «В» МБОУ СОШ № 10 Куклин Алексей

Правильные многоугольники Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Перейти к примерам Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Назад Правильные многоугольники

Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые. Одними из них были Архимед и Евклид.

Доказательство существования правильного n-угольника Если n (число углов многоугольника) больше 2, то такой многоугольник существует. Попробуем построить 8ми угольник и доказать это. Доказательство

Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Разделим её на некоторое число равных дуг, в нашем случае 8. Для этого проведем радиусы так, чтобы получилось 8 дуг, и угол между двумя ближайшими радиусами был равен 360°: количество сторон (в нашем случае 8), соответственно каждый угол будет равен 45°.

3. Получаем точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник. Назад

Построение правильного многоугольника по стороне с использованием поворота Правильный многоугольник можно построить, зная его углы. Мы знаем, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n — 2). Из этого можно вычислить угол многоугольника, разделив сумму на n. Углы Построение

Угол правильного: 3-угольника равен 60° 4-угольника равен 90° 5-угольника равен 108° 6-угольника равен 120° 8-угольника равен 135° 9-угольника равен 140° 10-угольника равен 144° 12-угольника равен 150° Градусная мера углов правильных треугольников Назад

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников, если выполняется равенство, где n – количество углов, а k-любое натуральное число. Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 равных частей. В 1836 году Ванцель доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя. Теорема Гаусса

Построение треугольника Построим окружность с центром в точке О. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящую через точку О.

3. Соединим центры окружностей и одну из точек их пересечения, получив правильный многоугольник. Назад Построение треугольника

Построение шестиугольника 1. Построим окружность с центром в точке О. 2. Проведем прямую линию через центр окружности. 3. Проведем дугу окружности того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.

4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью. 5. Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью и получаем правильный шестиугольник. Построение шестиугольника

Построение четырёхугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).

Построение четырёхугольника 4. Проводим прямые через точки пересечения окружностей. 5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности и получаем правильный четырехугольник.

Построение восьмиугольника Можно построить любой правильный многоугольник у которого в 2 раза больше углов, чем у данного. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника. Соединим противоположные вершины четырехугольника. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями.

4. Соединим точки, лежащие на окружности, получив при этом правильный восьмиугольник. Построение восьмиугольника

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Построение десятиугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Разделим радиус окружности пополам и из получившейся на нем точки проведем окружность проходящую через точку О.

Построение десятиугольника 4. Проведем отрезок из центра маленькой окружности к точки в которой большая окружность касается своего радиуса. 5. Из точки соприкосновения большой окружности и её радиуса проведем окружность так, что она будет соприкасаться с маленькой.

Построение десятиугольника 6. Из точек пересечения большой и полученной окружностей проведем окружности построенные в прошлый раз и так будем проводить до тех пор пока соседние окружности не соприкоснутся. 7. Соединим точки и получим десятиугольник.

Построение пятиугольника Для построения правильного пятиугольника нужно во время построения правильного десятиугольника соединить поочередно не все точки, а через одну.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера Построим 2 окружности проходящие через центр друг друга. Соединим центры прямой, получив одну из сторон пятиугольника. Соединим точки пересечения окружностей.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 4. Проведем еще одну окружность того же радиуса с центром в точке пересечения двух других окружностей. 5. Проведем 2 отрезка как указано на рисунке.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 6. Соединим точки соприкосновения этих отрезков с окружностями с концами построенной стороны пятиугольника. 7. Достроим до пятиугольника.

Приблизительное построение правильного пятиугольника методами Коваржика, Биона

Круг

Круг сделать легко: Нарисуйте кривую на расстоянии «радиуса» от центральной точки. И так: Все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Вы можете нарисовать это сами

Вставьте булавку в доску, наденьте на нее петлю из веревки и вставьте в петлю карандаш. Натяните нить и нарисуйте круг!

 

изображений/circle-prop. js?mode=radius

Играй с этим

Попробуйте перетащить точку, чтобы увидеть, как изменяются радиус и длина окружности.

(Посмотрите, сможете ли вы сохранить постоянный радиус!)

Радиус, диаметр и длина окружности

Радиус — это расстояние от центра наружу.

Диаметр проходит прямо по кругу, через центр.

Окружность — это расстояние, пройденное один раз по окружности.

А вот это действительно круто:

Когда мы делим длину окружности на диаметр, мы получаем 3,141592654…
, что является числом π (Pi)

Итак, когда диаметр равен 1, длина окружности равна 3,141592654…

Мы можем сказать:

Окружность = π × Диаметр

Пример: Вы идете по кругу диаметром 100 м, какое расстояние вы прошли?

Пройденное расстояние = длина окружности = π × 100 м

= 314 м (с точностью до м)

Также обратите внимание, что диаметр в два раза больше радиуса:

Диаметр = 2 × Радиус

Так что это тоже верно:

Окружность = 2 × π × Радиус

Вкратце:

× 2	× π

Радиус

Диаметр

Окружность

Вспоминая

Длина слов может помочь вам запомнить:

• Радиус — кратчайшее слово и кратчайшая мера
• Диаметр длиннее
• Окружность самая длинная

Определение

Круг представляет собой плоскую фигуру (двухмерную), поэтому:

Окружность : множество всех точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от центра.

Зона

Площадь круга равна π умножить на квадрат радиуса, который записывается:

А = π r ²

Где

• А это район
• r радиус

Чтобы помочь вам вспомнить, подумайте «Пирог квадратный» (хотя пироги обычно круглые):

Пример: Какова площадь круга с радиусом 1,2 м?

Площадь = πr ²

 = π × 1,2 ²

 = 3,14159… × (1,2 × 1,2)

 = 4,52 (до 2 знаков после запятой)

Или, используя Диаметр:

А = ( π /4) × D ²

 

Площадь по сравнению с квадратом

Круг имеет около 80% площади квадрата такой же ширины.
Фактическое значение (π/4) = 0,785398… = 78,5398…%

 

И кое-что интересное, что вы можете попробовать: Обвести площадь линиями

Имена

Из-за того, что люди тысячелетиями изучали круги, появились специальные названия.

Никто не хочет говорить «та линия, которая начинается с одной стороны круга, проходит через центр и заканчивается на другой стороне» , когда они могут просто сказать «Диаметр».

Итак, вот наиболее распространенные специальные имена:

строк

Линия, которая «просто касается» окружности при прохождении, называется касательной .

Линия, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей .

Отрезок, идущий от одной точки окружности к другой, называется хордой .

Если он проходит через центр, он называется Диаметром .

А часть окружности называется Дугой .

Срезы

Есть два основных «среза» круга.

Фрагмент «пицца» называется сектором.

А срез, сделанный хордой, называется Сегментом.

Общие секторы

Квадрант и Полукруг — это два особых типа Сектора:

Четверть круга называется Квадрантом .

Половина круга называется Полукружностью.

Внутри и снаружи

У круга есть внутренняя и внешняя стороны (конечно же!). Но у него также есть «включено», потому что мы можем оказаться прямо на круге.

Пример: «A» вне круга, «B» внутри круга и «C» внутри круга.

Эллипс

Окружность является «частным случаем» эллипса.

 

765, 766, 767, 768, 769, 1764, 3232, 3233, 3234, 3235

Деятельность: Приблизительное значение для Pi

Принципы определения размеров | Технический проект

Алфавит линий

Какой главный образ мы используем во всех наших проектах, проектах, чертежах?

Это строка !

В практике графической коммуникации существует целый набор различных линий, которые используются для рисования.

Алфавит линий представляет собой набор стандартных типов линий, установленных Американским национальным институтом стандартов (ANSI) для технического черчения. Алфавит линий и приблизительные размеры, используемые для создания различных типов линий, при использовании с САПР обозначаются как стилей линий .

Стандартные типы линий, используемые в технических чертежах:

Осевые линии используются:

• для представления симметрии,
• для представления путей движения,
• для обозначения центров окружностей и осей симметричных деталей, таких как цилиндры и болты.

Линии разрыва используются , чтобы показать, где объект разрывается, чтобы сэкономить место на чертеже или показать внутренние элементы.

Разрывные линии бывают двух видов:

• толстая линия от руки и
• длинная тонкая линия с зигзагами.

Размерные и выносные линии используются для обозначения размеров элементов на чертеже.

Линии сечения (штриховка) используются в разрезах для представления поверхностей объекта, разрезаемых секущей плоскостью.

Виртуальные линии используются для представления подвижного элемента в различных положениях.

Линии стежков — для обозначения процесса шитья или сшивания.

Видимые линии используются для представления элементов, которые можно увидеть в текущем виде.

Скрытые линии , как вы уже знаете, используются для представления объектов, которые не видны в текущем виде.

Линии секущих плоскостей используются на чертежах в разрезе, чтобы показать расположение секущих плоскостей.

 

В некоторых случаях также используются линии:

Линии цепи — для обозначения дополнительной обработки поверхности.

Линии симметрии — как ось симметрии конкретного вида.

 

При подготовке чертежей необходимо соблюдать правила, установленные для техники линий .

Каждая линия должна иметь одну из двух толщин, толстую или тонкую, и соотношение толщин должно быть не менее 2:1. Во многих учебниках (особенно американских авторов) вы встретите толщину линий: 0,3 мм и 0,6 мм . В общих случаях это достаточно хорошо для практической работы.

Алфавит линий определяет толщину каждой линии и не может быть произвольно изменен.

В случаях, когда , отличные от показанных типов линий , используются для специальных чертежей (например, электрических чертежей, схем трубопроводов или строительных чертежей), принятые условные обозначения должны быть четко указаны путем ссылки на конкретные стандарты или в примечаниях к чертежам .

Для всех видов одной детали или сборки в одном масштабе толщина линий должна быть одинаковой. Средние и очень толстые линии следует использовать только в особых случаях.

Минимальное расстояние между параллельными линиями никогда не должно быть меньше двойной толщины самой толстой линии. Рекомендуется, чтобы эти зазоры были 0,7 мм или больше.

На видах с торца круглых элементов точка пересечения двух осевых линий должна быть показана двумя пересекающимися короткими штрихами, за исключением очень маленьких кружков, как показано:

Линии разрыва используются для сокращения вида длинных однородных или конусообразных секций или когда необходим только частичный вид, и используются как на чертежах деталей, так и на сборочных чертежах.

Тонкая линия с зигзагами от руки рекомендуется для длинных разрывов и может использоваться для сплошных деталей или для сборок, содержащих открытое пространство.

Толстые линии от руки используются для коротких разрывов

и зубчатые линии для деревянных деталей.

Специальные толстые линии разрыва, показанные для цилиндрических и трубчатых деталей, полезны, когда не показан вид с торца, но в других случаях достаточно толстой линии разрыва от руки.

Обратите внимание, что все эти разрывные линии были предназначены для подготовки чертежей по старинке с использованием чертежной доски. Иногда инженеры и дизайнеры до сих пор работают над чертежами карандашами и линейками. Однако современное программное обеспечение 3D CAD, которое преобладает в наши дни, может предложить другие типы линий для линий разрыва на компьютерных чертежах.

Практика простановки размеров

После определения формы детали с помощью орфографического чертежа (т. е. в проекциях) добавляется информация о размерах в виде размеров .

Элементы размеров

Нанесение размеров на чертеж также определяет допуск (или точность), необходимый для каждого размера.

1. Размер — числовое значение, определяющее размер, форму, местоположение, текстуру поверхности или геометрическую характеристику элемента.
2. Базовый размер — числовое значение, определяющее теоретически точный размер, положение или ориентацию относительно системы координат. Основные размеры заключены в прямоугольную рамку и не имеют допусков.
3. Справочный размер — числовое значение, заключенное в круглые скобки, предназначено только для информации.
4. Размерная линия — тонкая сплошная линия, показывающая протяженность и направление размера.
5. Стрелки — символы на концах размерных линий, показывающие пределы размерных линий, выноски и линии секущей плоскости.
6. Выносная линия — тонкая сплошная линия, перпендикулярная размерной линии, указывающая, какой элемент связан с размером.
7. Видимый зазор — между углами элемента и концом выносной линии должен быть видимый зазор 1 мм.
8. Линия выноски — тонкая сплошная линия со стрелкой, проведенной под углом и указывающая элемент, с которым связан размер или примечание.
9. Пределы размера — максимально допустимый размер и минимально допустимый размер объекта.
10. Плюс и минус измерения — допустимое положительное и отрицательное отклонение от указанного измерения.
11. Символ диаметра — символ, указывающий, что размер показывает диаметр окружности. Используемый символ — греческая буква фи Ø.
12. Символ радиуса — символ, указывающий, что размер показывает радиус окружности. Используемый символ радиуса — заглавная буква R.
13. Допуск — величина, на которую может отличаться конкретный размер.

Основные понятия и принципы

• Единица измерения для определения размеров должна соответствовать политике пользователя. На чертеже для использования в американской промышленности для производства все размеры указаны в дюймах , если не указано иное.
• В большинстве стран за пределами США, включая Канаду, используется метрическая система измерения или международная система единиц (СИ), основанная на метре.

Общепринятой метрической единицей измерения на технических чертежах является миллиметров , сокращенно мм .

Иногда вам придется размещать размеры в двух единицах измерения одновременно!

Размеры должны быть размещены в наиболее наглядном представлении объекта.

Если вид переполнен разными размерами, можно создать два и более отдельных чертежа с одним и тем же видом.

Размещение размерного текста

Текст размеров может быть размещен по-разному:

• размер внутри выносными линиями, со стрелками внутри или снаружи; и
• размер снаружи выносные линии, со стрелками снова внутри или снаружи.

В условиях ограниченного пространства выносные линии могут быть проведены под углом:

Выносные линии не должны пересекать размерные линии и, по возможности, не должны пересекаться с другими выносными линиями. Когда выносные линии пересекают линии объекта или другие выносные линии, они не должны прерываться. Когда выносные линии пересекаются или находятся близко к наконечникам стрелок, они должны быть разорваны для наконечника стрелки.

Простановка размеров без стрелок

Чтобы избежать большого количества размеров, отходящих от детали, можно использовать простановку размеров без стрелок.

1. «нулевые» линии представляют вертикальную и горизонтальную исходные линии,
2. каждый из размеров, показанных без стрелок, указывает расстояние от нулевой линии.

• Никогда не должно быть более одной нулевой линии в каждом направлении.
• Простановка размеров без стрелок используется для позиционных размеров ряда элементов, таких как отверстия и прорези.

Все размеры и текст примечаний должны быть ориентированы так, чтобы их можно было читать снизу чертежа. Это называется однонаправленным определением размеров .

Метод выравнивания (когда текст размещается параллельно размерной линии) можно увидеть на старых чертежах или архитектурных чертежах, но он не утвержден текущим стандартом ANSI.

Групповые размеры

В стандартной практике размеры группируются на чертеже для единообразия внешнего вида.

Избегайте использования линий объекта в качестве выносных линий для размера.

Размеры должны быть вынесены за пределы вида, где это целесообразно.

Размеры могут располагаться последовательно и параллельно.

• Когда ряд размеров применяется по принципу «точка-точка», это называется цепочка размеров .

Первый размер в ряду должен быть привязан к базовой линии.

Недостаток этой системы: это может привести к нежелательному накоплению допусков между отдельными элементами.

• Когда несколько размеров начинаются с общей точки отсчета или линии, метод называется измерением общей точки или параллельным измерением .

Базовая линия может быть продолжением контура исходной точки, базовой линией или системной линией.

Базовая поверхность — это внешняя поверхность детали, которая должна быть обработана в первую очередь.

Размеры могут располагаться параллельно или последовательно, но во всех случаях они должны относиться к базовой (базовой) поверхности.

Смещение размеров

Общей практикой является размещение размерного текста на нескольких параллельных измерениях.

Размер размерный

Размеры можно классифицировать по видам размеров:

• Горизонтальный — расстояние слева направо относительно листа чертежа. Здесь ширина является единственным размером горизонтального размера.
• По вертикали — расстояние вверх и вниз относительно чертежного листа. Здесь высота и глубина оба являются вертикальными размерами, даже если они находятся в двух разных направлениях на детали.
• Диаметр — полное расстояние по окружности, измеренное через центр.
• Радиус —расстояние от центра дуги до любой точки дуги. Радиус обычно используется для дуг меньше половины окружности.

Размеры расположения и ориентации

Размеры можно классифицировать по типу расположения или ориентации:

• Горизонтальное положение — определяет положение элемента в горизонтальном направлении относительно основания;
• Положение по вертикали – определяет положение элемента по вертикали относительно основания e ;
• Угол – дает угол между горизонтальной плоскостью и наклонной поверхностью.

Угловые единицы

1. Угловые размеры отображаются либо в десятичных градусах, либо в градусах, минутах и ​​секундах.
2. Если указаны только минуты и секунды, количеству минут или секунд предшествует 0 ⁰ .

Также хорошо иметь изометрический вид детали на ее чертеже. Не обязательно, но предпочтительнее для сложных деталей.

На изометрическом виде не должны отображаться никакие размеры. Масштаб должен быть указан, если он отличается от общего.

Детальное определение размеров (Как определить размеры различных элементов)

• Отверстия обычно имеют размеры на виде, который лучше всего описывает форму отверстия. Диаметры должны быть обозначены символом диаметра перед числовым значением. Если размеры отверстий указаны с помощью линии выноски, эта линия должна быть радиальной.

A радиальная линия e — линия, проходящая через центр окружности или дуги, если ее продолжить.

• Символы могут использоваться для прицельной поверхности , цековки и потайных отверстий . Эти символы всегда предшествуют символу диаметра.

Символ глубины может использоваться для обозначения глубины отверстия. Символ глубины ставится перед числовым значением.

• Когда указывается глубина глухого отверстия , это относится к глубине полного диаметра отверстия.

• Фаски измеряются либо углом и линейным размером, либо двумя линейными размерами.

Фаски 45 ⁰ могут быть указаны в примечании.

• Отверстия с прорезями могут иметь любой из нескольких размеров в зависимости от того, какой из них наиболее подходит для применения.

• Можно указать уклон линии или плоской поверхности:

( a ) по углу; ( b ) как отношение в сочетании с символом уклона; ( c ) размерами, показывающими разность высот двух точек от базовой линии и расстояние между ними; ( г ) по символу уклона, длине базовой линии и высоте уклона.

• Определение размеров хорд, дуг и углов

• Шпоночные гнезда и шпоночные канавки , которые являются крепежными устройствами, имеют особые размеры, поскольку они создают некоторые необычные проблемы.

Высота самого шпоночного гнезда не измеряется, потому что после того, как верхняя часть вала срезана, не остается ничего, что можно было бы измерить.

Также размеры односторонние :

• для шпонки, размер минимальный;
• для шпоночного паза, размер максимальный.

Это необходимо для обеспечения помех после того, как ключ будет вставлен между частями.

Размеры повторяющихся элементов

• Повторяющиеся элементы и размеры могут быть указаны с помощью « X » в сочетании с цифрой для обозначения « количество раз » или « мест » они обязательны. Между « X » и размером объекта оставлено полное пространство.

« X » иногда используется для обозначения « BY » между размерами координат, указанными в форме примечания. В этом случае между « X » и размерами остается пробел.

Чтобы избежать повторения одного и того же размера или длинных линий выноски, мы можем использовать рекомендательные письма в сочетании с пояснительной таблицей или примечание .

• Обозначение отверстий одинакового размера

• Размеры шестерен

Шестерня представляет собой механическое устройство с зубчатым колесом, используемое для передачи мощности и движения между частями машины. Обычно вал используется как для подачи, так и для приема мощности от шестерен.

Когда две шестерни разных размеров входят в зацепление, большая из них называется 9-й.0046 шестерня и меньшая шестерня .

Обычно чертежи зубчатых колес включают таблицу данных, называемых режимами резания, для изготовления. Детальный чертеж шестерни также будет включать другие размеры, не указанные в таблице (диаметр основания, диаметр отверстия, размеры шпоночной канавки).

В качестве альтернативы, шестерни и шлицы могут быть показаны сплошной линией, представляющей основной контур детали, и более светлой линией, представляющей основание зубьев.

Линию основного тона можно добавить, используя стандартную центральную линию. Это то же соглашение, что и для винтовой резьбы.

TYP и REF. определение размеров на чертежах

TYP и REF. определение размеров на чертежах

Служба членства

Форум по механическому проектированию, производству и проектированию

[ Главная ] [ Поиск ] [ Машиностроение и проектная база данных ] [ Продукт каталог услуг] [Инженерный Форум ] [ Обучение DFM DFA и тренеры ] [ Обучение GD&T Тренеры GD&T ] [ Рекламировать ]

[ Архив#1 ] [ Архив #2 ] [Архив #3] [ Калькуляторы ]

Модераторы форума: randykimball, Администратор

TYP и REF. определение размеров на чертежах
	Опубликовать ответ		Форум

Разместил: doctorf 07.04.2005, 08:52:24 Автор Профиль Написать автору Редактировать

Здравствуйте. Кто-нибудь может объяснить мне упоминание TYP. и ссылка. определения размеров на чертежах. Спасибо.

Сообщение Ответить | Рекомендовать | Оповещение

Посмотреть все

| Далее |

Ответы на это сообщение

Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — doctorf	Опубликовать ответ	Верхняя часть резьбы	Форум

Добавил: arifjc 20.04.2005, 08:12:06 Автор Профиль Написать автору Редактировать

TYP означает «типичный»

Ответить | Рекомендовать | Оповещение

Где я? Оригинал Начало темы

Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — doctorf	Опубликовать ответ	Верхняя часть резьбы	Форум

Добавил: Cragyon 16.04.2005, 19:53:56 Автор Профиль Написать автору Редактировать

Я считаю, что Туналовер прав, говоря, что TYP не признается ASME, однако я не вижу каких-либо серьезных отраслевых проблем с использованием этого на инженерных чертежах. Хорошей практикой проектирования является использование элементов одинакового размера на детали, когда это целесообразно. Например, проектирование в радиусе R.250 на части, которая может иметь ~ 250 или более элементов радиуса, является отличной идеей. Использование TYP для обозначения того, что радиус 0,250 используется по всей детали, может сэкономить значительные средства/время при подсчете радиуса. Подсчет радиуса может фактически вызвать проблему при производстве или проверке, поскольку, если подсчет будет неправильным, это может привести к инженерным изменениям. Как правило, уведомления об инженерных изменениях требуют времени и денег.

Сообщение Ответить | Рекомендовать | Оповещение

Где я? Оригинал Начало темы

| |

Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — Cragyon	Опубликовать ответ	Верхняя часть резьбы	Форум

Разместил: Туналовер 17. 04.2005, 11:29:26 Профиль автора Написать автору Редактировать

докторф- У нас есть способ обработки времени, когда многие внутренние радиусы удерживаются одним значением: Добавьте примечание о том, что, ЕСЛИ НЕ УКАЗАНО ИНОЕ, ВНУТРЕННИЙ РАДИУС ДОЛЖЕН БЫТЬ .06. Аналогичным образом, если на одном и том же чертеже многие внешние радиусы имеют одинаковое значение, то, ЕСЛИ НЕ УКАЗАНО ИНОЕ, РАДИУСЫ ДОЛЖНЫ БЫТЬ 0,06.

Сообщение Ответить | Рекомендовать | Оповещение

Где я? Оригинал Начало темы

Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — doctorf	Опубликовать ответ	Верхняя часть резьбы	Форум

Разместил: Tunalover 16.04.05, 17:21:23 Профиль автора Написать автору Редактировать

TYP не признается стандартом размеров и допусков ASME Y14.5M-1994 или чертежным стандартом ASME Y14.100 в качестве допустимого метода определения количества мест, к которым применяется требование (или размер, или что-то еще). На мой взгляд, это старомодно, небрежно и показывает, что чертежник слишком ленив, чтобы считать, сколько раз применяется требование (или размер, или что-то еще). REF иногда используется для предоставления «мягкой» выноски, предназначенной только для совета. Использование REF должно быть сведено к минимуму, и никакие решения не должны основываться на нем (его часто пропускают, когда вносятся изменения в «жесткую» выноску). Другой способ указания справочной информации заключается в заключении ее в круглые скобки.

Сообщение Ответить | Рекомендовать | Оповещение

Где я? Оригинал Начало темы

| |

Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — doctorf	Опубликовать ответ	Верхняя часть резьбы	Форум

Разместил: bjhughes 07.04.2005, 11:15:53 ​​ Профиль автора Написать автору Редактировать

ТИП на чертежах обычно определяется как ТИПОВОЙ. Это часто используется, когда есть похожие функции, и чтобы избежать ненужных размеров чертежником. ССЫЛКА на чертежах обычно определяется как ССЫЛКА. Эти размеры должны использоваться только в качестве справки. Надеюсь, эта информация поможет. Будьте осторожны.

Сообщение Ответить | Рекомендовать | Оповещение

Где я? Оригинал Начало темы

| |

Создано инженерами Edge

© Copyright 2000–2022, Engineers Edge, LLC. Все права защищены. Отказ от ответственности

Рисование окружности — диаметр, радиус, дуга и сегмент с использованием модуля Python Matplotlib | by Nutan

В этом блоге мы нанесем точку в начале координат, а затем обведем. После этого мы построим диаметр, радиус, дугу и сегмент (хорду), используя библиотеку Matplotlib.

Создано Nutan

Круг

Круг — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от данной точки, центра; эквивалентно, это кривая, описываемая точкой, которая движется по плоскости так, что ее расстояние от данной точки постоянно. Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом.

Окружность

Расстояние по окружности.

Центр

Точка, равноудаленная от всех точек окружности.

Диаметр

Диаметр отрезок, концы которого лежат на окружности и который проходит через центр; или длина такого отрезка. Это наибольшее расстояние между любыми двумя точками на окружности.

Радиус

Расстояние между любой точкой окружности и центром называется радиусом.

Дуга

любая соединенная часть окружности. Указание двух конечных точек дуги и центра позволяет использовать две дуги, которые вместе составляют полный круг.

Хорда

Отрезок, концы которого лежат на окружности, таким образом, делит окружность на два сегмента.

  импортировать matplotlib.pyplot как plt 
 импортировать numpy как np 
 из numpy import sin, cos, pi, linspace  

  #draw point at origin (0, 0) 
 plt.plot(0,0, color = 'красный', маркер = 'o') 
 plt.show()  

Вывод :

Точка начала координат (0, 0)

Добавить аннотацию и установить xlim и ylim

 #draw point at origin (0, 0) 0) 
 plt.plot(0,0, цвет = 'красный', маркер = 'o') 
  plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1 ), xycoords='data', fontsize=10)   plt.xlim(-2, 2) 
 plt.ylim(-2, 2) 
 plt.gca().set_aspect('equal')  
 plt. show() 

Вывод :

Точка с аннотацией

 # точка рисования в начале координат (0, 0) 
 plt.plot(0,0, цвет = 'красный', маркер = 'o') 
 plt.gca( ).annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)  #нарисовать круг 
 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 )   xs = cos(angles) 
 ys = sin(angles)   plt. plot(xs, ys, color = 'green')  plt.xlim (-2, 2) 
 plt.ylim(-2, 2) 
 plt.gca().set_aspect('equal') 
 plt.show() 

Выход :

Цикл

 plt.plot(0, 0, цвет = 'красный', маркер = 'o') 
 plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='данные', fontsize=10)#нарисовать круг 
 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100) 
  r = 1,5 
 xs = r * cos(углы) 
 ys = r * sin(углы)  plt.plot(xs, ys, color = 'green')plt.xlim(-2, 2) 
 plt.ylim(-2, 2) 
 plt.gca().set_aspect('equal') 
 plt.show() 

Вывод :

Круг с радиусом 1,5

 #точка рисования в начале координат 
 plt.plot(0,0, color = ' красный', маркер = 'o') 
 plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)# нарисовать круг 
 углов = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 ) 
 r = 1,5 
 xs = r * cos(углы) 
 ys = r * sin(angles)plt.plot(xs, ys, color = 'green')  #draw daimeter 
 plt. plot(1.5, 0, marker = 'o', color = 'blue') 
 plt .plot(-1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot([1.5, -1.5], [0, 0]) 
 plt.gca().annotate('Диаметр' , xy=(-0,5, -0,25), xycoords='data', fontsize=10)  plt.xlim(-2, 2) 
 plt.ylim(-2, 2) 
 plt.gca().set_aspect( 'равно') 
 plt.show() 

Вывод :

Диаметр

Диаметр вытягивания от 90 градусов

 #точка вытягивания в начале 
 plt.plot(0,0, цвет = 'красный', маркер = 'o') 
 plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1) , xycoords='data', fontsize=10)#draw circle 
 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 ) 
 r = 1.5 
 xs = r * cos(angles) 
 ys = r * sin(angles )plt.plot(xs, ys, цвет = 'зеленый')#draw daimeter 
  plt.plot(0, 1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot([0, 0], [1.5, -1.5]) 
 plt.gca().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, - 0,25), xycoords='data', размер шрифта=10, поворот = 90)  plt. xlim(-2, 2) 
 plt.ylim(-2, 2) 
 plt.gca().set_aspect('equal') 
 plt.show() 

Выход :

Диаметр

 # точка рисования в начале 
 plt.plot(0,0, цвет = 'красный', маркер = 'o') 
 plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1 , 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle 
 r = 1.5 
 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 ) 
 xs = r * cos(angles) 
 ys = r * sin(angles)plt.plot(xs, ys, color = 'green')#draw daimeter 
 plt.plot(0, 1.5, marker = 'o', color = 'blue') 
 plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot([0, 0], [1.5, -1.5]) 
 plt.gca().annotate(' Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', fontsize=10, вращение = 90)  #draw radius 
 plt.plot(0, 0, marker = 'o', color = 'purple ') 
 plt.plot(1.5, 0, маркер = 'o', цвет = "фиолетовый") 
 plt.plot([0, 1.5], [0, 0], цвет = "фиолетовый") 
 plt.gca ().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='data', fontsize=10)  plt. xlim(-2, 2) 
 plt.ylim(-2, 2) 
 plt .gca().set_aspect('равно') 
 plt.show() 

Вывод :

Радиус

 # Точка рисования в начале координат 
 plt.plot(0,0, color = 'red', marker = 'o') 
 plt.gca().annotate( 'O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle 
 r = 1.5 
 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi , 100 ) 
 xs = r * cos(углы) 
 ys = r * sin(углы)plt.plot(xs, ys, color = 'green')#draw daimeter 
 plt.plot(0, 1.5, marker = ' o', цвет = 'синий') 
 plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot([0, 0], [1.5, -1.5]) 
 plt.gca().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', размер шрифта=10 , вращение = 90) # радиус рисования 
 plt.plot (0, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') 
 plt.plot (1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') 
 plt.plot([0, 1.5], [0, 0], color = 'фиолетовый') 
 plt.gca().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='данные' , fontsize=10)  #draw arc 
 arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) 
 arc_xs = r * cos(arc_angles) 
 arc_ys = r * sin(arc_angles) 
 plt. plot(arc_xs, arc_ys, color = 'red', lw = 3) 
 plt.gca().annotate('Arc', xy=(1.5, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, вращение = 120)  plt.xlim(-2, 2) 
 plt.ylim(-2, 2) 
 plt.gca().set_aspect('equal') 
 plt.show() 

Выход :

Дуга

Нарисуйте радиус от 0 до pi/4 и завершите дугу

 plt.figure(figsize = (18, 7))#draw point at orgin 
 plt.plot(0,0, color = 'red', marker = 'o') 
 plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle 
 r = 1,5 
 углов = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 ) 
 xs = r * cos(angles) 
 ys = r * sin(angles)plt.plot(xs, ys, color = 'green' )#draw daimeter 
 plt.plot(0, 1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt. plot([0, 0], [1.5, -1.5]) 
 plt.gca().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', размер шрифта=10, вращение = 90)#draw radius 
 #plt.plot(0, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') 
 plt. plot(1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') 
 plt.plot([0, 1.5], [0, 0], color = 'фиолетовый') 
 plt.gca().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='данные' , fontsize=10)#draw arc 
 arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) 
 arc_xs = r * cos(arc_angles) 
 arc_ys = r * sin(arc_angles) 
 plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'red', lw = 3) 
 plt.gca().annotate('Arc', xy=(1.5, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, rotate = 120)  #нарисовать другой радиус 
 plt.plot(r * cos(pi/4), r * sin(pi/4), маркер = 'o', цвет = 'красный') 
 plt.plot([0, r * cos(pi/4)], [0, r * sin(pi/4)], color = "фиолетовый")  plt.xlim(-2, 2) 
 plt. ylim(-2, 2) 
 plt.gca().set_aspect('equal') 
 plt.show() 

Вывод :

Дуга

Запись аннотации дуги

 plt.figure(figsize = (18, 7))#точка рисования в начале 
 plt.plot(0,0, цвет = 'красный', маркер = 'o') 
 plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=( 0 - 0,1, 0 + 0,1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle 
 r = 1,5 
 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100) 
 xs = r * cos(углы) 
 ys = r * sin(углы)plt. plot(xs, ys, color = 'green')#draw daimeter 
 plt.plot(0, 1.5, marker = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot([0, 0], [1.5, -1.5]) 
 plt.gca ().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', fontsize=10, rotate = 90)#draw radius 
 #plt.plot(0, 0, marker = 'o ', color = 'фиолетовый') 
 plt.plot(1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') 
 plt.plot([0, 1.5], [0, 0], color = 'фиолетовый ') 
 plt.gca().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='data', fontsize=10)#draw arc 
 arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) 
 arc_xs = r * cos(arc_angles) 
 arc_ys = r * sin(arc_angles) 
 plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'red', lw = 3) 
  #plt.gca().annotate('Arc ', xy=(1.5, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, вращение = 120) 
 plt.gca().annotate(r'Arc = r * $\theta$', xy=(1.3, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, rotate = 120)  #нарисовать другой радиус 
 plt.plot(r * cos(pi/4), r * sin(pi/4), marker = 'o' , цвет = 'красный') 
 plt. plot([0, r * cos(pi/4)], [0, r * sin(pi/4)], color = "purple")  # рисуем тета-угол и аннотацию 
 r1 = 0,5 
 arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) 
 arc_xs = r1 * cos(arc_angles) 
 arc_ys = r1 * sin(arc_angles) 
 plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'green', lw = 3) 
 plt.gca().annotate(r'$\theta$', xy=(0,5, 0,2), xycoords='data', размер шрифта=15, вращение = 90) 
 plt.gca().annotate('< ----- r = 1,5 ---->', xy=(0 - 0,2, 0 + 0,2), xycoords='data', размер шрифта=15, поворот = 45)  plt.xlim(-2, 2) 
 plt.ylim(-2, 2) 
 plt.gca().set_aspect('equal') 
 plt.show() 

Выход :

Дуга с аннотацией

 plt.figure(figsize = (18, 7))#точка рисования в начале координат 
 plt.plot(0,0, color = 'red', marker = 'o') 
 plt.gca().annotate('O ( 0, 0)', xy=(0 - 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle 
 r = 1.5 
 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100) 
 xs = r * cos(angles) 
 ys = r * sin(angles)plt. plot(xs, ys, color = 'green')#draw daimeter 
 plt.plot(0, 1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') 
 plt.plot([0 , 0], [1.5, -1.5]) 
 plt.gca().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', fontsize=10, вращение = 90)#draw радиус 
 #plt.plot(0, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') 
 plt.plot(1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') 
 plt.plot([ 0, 1.5], [0, 0], color = 'фиолетовый') 
 plt.gca().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='data', fontsize=10)# нарисовать дугу 
 arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) 
 arc_xs = r * cos(arc_angles) 
 arc_ys = r * sin(arc_angles) 
 plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'red', lw = 3) 
 #plt.gca().annotate('Дуга', xy=(1.5, 0.4), xycoords='data', размер шрифта=10, вращение = 120) 
 plt.gca().annotate(r'Дуга = r * $\theta$', xy=(1.3, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, rotate = 120)#нарисовать другой радиус 
 plt.plot(r * cos(pi/4), r * sin(pi/4), маркер = 'o', цвет = 'красный') 
 plt. plot([0, r * cos(pi/4)], [0, r * sin(pi/4)] , color = "purple")# нарисуйте тета-угол и аннотацию 
 r1 = 0,5 
 arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) 
 arc_xs = r1 * cos(arc_angles) 
 arc_ys = r1 * sin(arc_angles) 
 plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'green ', lw = 3) 
 plt.gca().annotate(r'$\theta$', xy=(0,5, 0,2), xycoords='data', размер шрифта=15, вращение = 90) 
 plt.gca( ).annotate('<----- r = 1.5 ---->', xy=(0 - 0.2, 0 + 0.2), xycoords='data', размер шрифта=15, вращение = 45)  #draw сегмент 
 r2 = 1,5 
 segment_angles = линейное пространство (3/4 * 2 * пи, 2 * пи, 100) 
 segment_xs = r2 * cos(segment_angles) 
 segment_ys = r2 * sin(segment_angles)   plt.plot(segment_xs, segment_ys, color = 'yellow')   plt.plot([1.5, 0], [0, - 1.5], color = 'желтый') 
 plt.gca().annotate('Сегмент', xy=(0.5, -1.2), xycoords='data', размер шрифта=15, вращение = 45) 
 seg_x_p1 = r2 * cos(2 * pi)  plt.xlim(-2, 2) 
 plt. ylim(-2, 2) 
 plt.gca().set_aspect('equal') 
 plt.show() 

Выход :

Сегмент(аккорд)

Вот и все. Спасибо за чтение.

Простановка размеров на инженерном чертеже — № 1 Подробное руководство

Содержание

Что такое проставление размеров на инженерном чертеже?

Размеры на инженерных чертежах представляют собой числовые значения, указанные графически в соответствующих единицах измерения на инженерном чертеже с помощью линий, символов и примечаний.

Они указываются на техническом чертеже для определения размерных характеристик, таких как длина, высота, ширина, диаметр, радиус, угол и т. д.

Бюро индийских стандартов (BIS) рекомендует общий принцип определения размеров в инженерных чертежах в своем бюллетене IS 11669:1986 (подтверждено в 1999 г.).

Важность размеров в инженерных чертежах

Чтобы обеспечить четкое и полное описание особенностей объекта, необходимы правильные размеры в технических чертежах.

Типы размеров на технических чертежах:

Размеры подразделяются на следующие типы:

1. Функциональные размеры.
2. Нефункциональные размеры.
3. Дополнительные размеры.

Функциональные размеры (F)

Это размеры в инженерном чертеже, которые важны для функции детали или пространства.

Нефункциональные размеры (NF)

Это размеры в техническом чертеже, которые не важны для функции детали или пространства.

Дополнительные размеры (AUX)

Размеры на техническом чертеже, которые даны только в информационных целях. Он выводится из других значений, показанных на чертеже или в соответствующих документах.

Вспомогательный размер дан в безродительском формате, и к нему не применяются допуски.

Терминология простановки размеров

Различные термины, связанные с простановкой размеров в технических чертежах, следующие:

Размерное значение

размерный. Размеры выражены в конкретных единицах на чертеже с соответствующей информацией.

Размерные линии

Размерные линии представляют собой тонкие непрерывные линии, показывающие протяженность и направление размера. Эти линии должны располагаться на расстоянии от 8 до 10 мм от контура чертежа и должны располагаться равномерно на расстоянии от 6 до 8 мм друг от друга. Значения размеров предпочтительно размещать рядом с серединой размерных линий.

Линии проекций

Линии проекций представляют собой тонкие непрерывные линии, вытянутые из контуров для определения размеров и выступающие на 2–3 мм за пределы размерных линий. Они должны быть нарисованы в направлении, перпендикулярном элементу, размер которого необходимо измерить. Линии размеров и линии проекций не должны пересекаться с другими линиями, за исключением случаев, когда это неизбежно.

Но в случае особых обстоятельств линии проекций могут быть проведены косо, но параллельно друг другу.

Выноски

Выноски представляют собой тонкие непрерывные линии, оканчивающиеся стрелкой или точкой, обозначающей элемент и примечание. Рисунок и примечания пишутся над расширенной размерной линией.

Во избежание путаницы выноски не должны быть –

1. наклонены под углом менее 30°
2. параллельно соседним линиям проекций.
3. параллельные или смежные размеры.

Выноски никогда не рисуются горизонтально, вертикально, изогнуто или от руки. Обычно их рисуют под любым удобным углом 30°, 45° и 60°. Обычно избегают длинных лидеров.

Стрелки

Окончание размерных линий указано стрелками. Наконечники стрелок могут быть открыты под удобным углом от 30° до 90°, закрыты заполненными или закрытыми пустыми. Закрытые заполненные наконечники стрел имеют длину, примерно в три раза превышающую ширину/глубину, и обычно предпочтительны на инженерных чертежах.

Обычно длина наконечника стрелки для мелкого рисунка составляет 3 мм, а для большого рисунка длина наконечника стрелки составляет 5 мм.

Если места для окончания наконечников стрелок недостаточно, можно использовать косую черту и точки.

Способы нанесения размеров на инженерном чертеже:

Размеры наносятся на чертеже одним из следующих способов, рекомендованных СП 46-2003.

SP 46 (2003): Практика инженерного черчения для школ и колледжей.

Ниже приведены две рекомендуемые системы нанесения размеров:

Выровненная система размеров на инженерном чертеже:

При этом способе нанесения размеров размерный текст размещается параллельно размерной линии и желательно над ней в середине.

Тексты размеров размещены таким образом, чтобы их можно было прочитать либо снизу, либо с правой стороны чертежа.

Линейные размеры

Угловые размеры

Однонаправленная система размеров на техническом чертеже:

При однонаправленном методе размеров размеры указаны таким образом, что их можно нанести только в горизонтальном направлении.

Линейные размеры

Угловые размеры

Расположение размеров

Если на инженерном чертеже необходимо разместить несколько размеров, эти размеры должны быть расположены таким образом, чтобы они давали однозначное объяснение.

Классификация размеров на основе расположения следующая.

Цепное или непрерывное определение размеров

В этом методе последовательные размеры располагаются в виде непрерывной прямой линии.

Параллельное нанесение размеров или последовательное нанесение размеров

В этом методе ряд отдельных размеров, параллельных друг другу, размещаются из общего начала. Этот метод применяется, когда ряд измерений имеют общее происхождение. Накопленной ошибки можно избежать, следуя этому методу.

Текущие размеры или наложенные размеры

В этом методе размеров все размеры начинаются от общего начала, которое обозначено маленьким кругом диаметром 3 мм, и заканчиваются стрелками, где заканчивается отдельный размер.

Тексты размеров повернуты на 90° и размещены на одной линии с линией разложения или над линией размера рядом со стрелкой.

Комбинированное нанесение размеров

При таком расположении размеров на одном чертеже одновременно используются параллельные, цепные и непрерывные размеры.

Простановка размеров в координатах

Всякий раз, когда деталь имеет слишком много размеров, легче читать чертеж с помощью метода простановки размеров в координатах.

Пример : Пластина с большим количеством отверстий может быть легко прочитана с помощью метода измерения координат. Другие стили определения размеров в этом случае дадут чрезмерно загроможденный результат.

В этой системе происхождение и другие особенности должны быть численно нивелированы. Координатная таблица содержит все размерные детали, которые должны быть размещены рядом с чертежом.

Правила нанесения размеров в инженерном чертеже

Соблюдение набора стандартных правил определения размеров очень важно, поскольку размеры используются для определения характеристик размера нарисованного объекта, таких как длина, высота, ширина, радиус, диаметр, угол и т.  д. с линиями, примечаниями и символами.

Бюро индийских стандартов (BIS) предлагает правила определения размеров в инженерных чертежах в своем бюллетене IS 11669:1986 (подтверждено в 1999 г.).

ИС 11669: 1986 (подтверждено в 1999 г.): Общие принципы нанесения размеров на технические чертежи

Правила нанесения размеров:

При нанесении размеров необходимо соблюдать следующие правила размеров:

1. Однако в случае простановки радиуса дуги или окружности он может быть показан внутри.

2. Правила определения размеров для круга: Размер круга должен быть обозначен символом диаметра Ø. Символ Ø  должен располагаться перед значением размера.

Размер дуги должен быть обозначен символом радиуса R .

3. Правила определения размеров осевой линии: 

i. Ось или осевая линия не должны использоваться в качестве размерной линии со стрелками на концах.

ii. Оси или осевые линии должны выходить примерно на 3 мм за границу детали, детали которой они обозначают.

III. Отметка размера от осевой линии неверна , за исключением случаев, когда осевая линия проходит через центр отверстия.

Кроме того, удлиненная осевая линия может использоваться в качестве удлинительной линии.

4. Правила простановки размеров отверстий: 

Расстояние между центрами отверстий должно быть равно размеру на виде, на котором отверстия видны.

5. Размеры должны быть сделаны по видимым линиям , а не по невидимым или скрытым линиям.

6. Значение размера должно располагаться примерно на 2 мм выше размерной линии.

7. Выносная линия должна выходить за размерную линию на 2 мм.

8. Правила определения размеров конической секции: 

Размер конической сужения по диаметру должен быть указан, как показано на рисунке.

Коническая конусность = (D-d)/L= 1 дюйм n

9. Правила нанесения размеров для заштрихованной части: 

При проставлении размеров в заштрихованной части чертежа линия штриховки не должна пересекать размерный текст.

10. Правила определения размеров повторяющихся элементов: 

Насколько это возможно, избегают измерения повторяющихся элементов одного размера.

Заметки должны быть написаны горизонтально. Линии выноски должны быть наклонены под углом 30°, 45° и 60° к горизонтали.

11. Общие правила определения размеров: 

Габаритные размеры должны располагаться вне промежуточных размеров.

Меньшие размеры должны располагаться ближе к виду, а большие — дальше, чтобы выносные линии или линии проекций не пересекали размерные линии.

12. Правила нанесения размеров ломаного элемента:

Размерная линия должна быть показана сплошной там, где фигура, которую она представляет, показана ломаной.

13. Если размерную линию невозможно полностью провести до ее нормальной точки окончания, свободный конец должен заканчиваться двойной стрелкой.

14. Насколько это возможно, все размеры на конкретном чертеже должны быть указаны только в одной единице.

15. Размеры, указанные на одном виде, не обязательно повторять на другом виде, за исключением случаев ясности и идентификации.

16. Размеры должны быть размещены на том виде, который наиболее четко показывает соответствующие элементы.

17. Линия чертежа никогда не должна использоваться в качестве размерной линии или не должна совпадать с размерной линией. Размерная линия должна располагаться равномерно по всему чертежу. Размерные линии должны быть на расстоянии 8–10 мм от контура чертежа и на расстоянии 6–8 мм друг от друга.

18. Размерный текст желательно располагать ближе к середине. Если это неизбежно из-за нехватки места, размерный текст может быть размещен над расширенной частью размерной линии за пределами стрелок, предпочтительно с правой стороны.

Определение размеров – Базовое чтение чертежей

• Цифры
• Размеры
• Удлинительные линии
• Наконечники стрел
• Фигуры с размерами
• Изометрические размеры
• Орфографические размеры

Если рисунок должен быть завершен, чтобы объект, представленный на рисунке, мог быть выполнен так, как задумал дизайнер, он должен рассказывать две полные истории. Об этом говорит просмотров , которые описывают форму объекта, а также с размерами и примечаниями , в которых указаны размеры и другая информация, необходимая для изготовления объекта.

Таким образом, ваш следующий шаг — изучить основы простановки размеров. Таким образом, вы поймете не только, как интерпретировать рисунок, чтобы получить необходимую информацию, но и как определить размеры ваших эскизов, чтобы их можно было использовать для передачи информации о размерах другим.

Цифры

Это может показаться немного простым, но перед определением размеров следует выполнить несколько упражнений с фигурами чисел. Причина такого пересмотра просто в том, что неправильно или небрежно нанесенные цифры на чертеже или эскизе могут быть легко неверно истолкованы кем-то на работе. Это может дорого обойтись.

Таким образом, изучение форм чисел оправдано.

Представленные здесь числовые формы признаны наиболее разборчивыми и используются в промышленности по всей стране. Стандартизированные в США вертикальные числа 1/8” правильно формируются следующим образом:

Размерные линии

Размерная линия представляет собой тонкую темную сплошную линию со стрелками на каждом конце. Указывает направление и протяженность измерения. В машинных эскизах и чертежах, в которых дроби и десятичные знаки используются для размеров, размерная линия обычно прерывается около середины, чтобы освободить место для цифр размера. На архитектурных и конструктивных эскизах и чертежах цифры обычно располагают над сплошной размерной линией.

 

В любом случае ближайшая к объекту размерная линия должна располагаться примерно на расстоянии

1/2″. Другие размеры за пределами первого измерения (если есть) должны быть разделены примерно на 3/8″. Вам не обязательно помнить об этом, но вы должны помнить, что размерные линии не должны сгущаться, а расстояние между ними должно быть одинаковым.

Самое главное, чтобы чертеж был «чистым», а размеры располагались в пространстве, где их нельзя было бы спутать с поверхностью, для которой они не предназначены.

Вот как должны быть нарисованы размерные линии:

 

Примечание. Размеры менее шести футов (72 дюймов) указаны в дюймах. Размеры свыше шести футов обычно указываются в футах и ​​дюймах. Убедитесь, что понятно, как вызываются размеры. При вызове размеров, которые превышают 12 дюймов, убедитесь, что ВСЕ размеры указаны в дюймах или футах в дюймах по всему чертежу. Либо 4 фута-5 дюймов, либо 53 дюйма, они оба означают одно и то же, но если есть сочетание размеров, может быть легко посмотреть на 4 фута-8 дюймов и увидеть 48 дюймов.

Выносные линии

Выносные линии на чертеже — это тонкие, темные, сплошные линии, которые выходят наружу из точки на чертеже, к которой относится размер. Обычно размерная линия пересекается с выносной линией под прямым углом. Должен быть зазор около 1/16″ там, где выносная линия будет встречаться с контуром объекта, а выносная линия должна выходить за крайний наконечник стрелки примерно на 1/8″. Также не должно быть пробелов в местах пересечения выносных линий. Обратите внимание, что в этом примере большие размеры правильно размещены снаружи или за пределами более коротких размеров, и что размеры желательно не наносить на сам объект. Однако иногда необходимо нанести размер на объект.

 

 

Важно не забывать размещать размеры на видах в двух- или трехвидовом чертеже, где их будет легче всего понять. Избегайте нанесения размеров по скрытой линии и избегайте дублирования размеров. Используй здравый смысл; размеры должны быть максимально четкими и простыми. Помните, что человек, читающий ваш рисунок, должен четко понимать, что делать дальше. В противном случае дорогостоящее время и материалы будут потрачены впустую.

Существует два основных метода нанесения размеров на эскиз. Их можно разместить так, чтобы они читались снизу эскиза (однонаправленные размеры) или снизу и справа (выровненные размеры). Однонаправленная система обычно лучше, потому что она легче читается рабочими.

 

 

Когда размеры не помещаются в пространстве обычным способом, используются другие методы для четкого определения размеров, когда существуют условия тесноты.

 

 

Наконечники стрелок

Наконечники стрелок размещаются на каждом конце размерных линий, на направляющих линиях и т. д. пока они широкие. Обычно у них есть небольшая зазубрина, очень похожая на рыболовный крючок.

Чтобы ваш рисунок выглядел четким, используйте один и тот же стиль во всем рисунке или наброске.

 

Цифры размеров

Цифры, используемые для обозначения размеров объекта, обычно имеют высоту около 1/8 дюйма.

Когда размер включает дробную часть, дробная часть имеет высоту примерно 1/4″, что делает дробные числа немного меньше, чтобы обеспечить пространство над и под дробной линией.

Опять же, особенно важно, чтобы числа и дроби, которые вы можете нанести на эскиз или рисунок, были разборчивыми. Неаккуратные числа могут привести к дорогостоящим ошибкам.

 

Примечания

Примечания используются на чертежах для предоставления дополнительной информации. Они должны быть краткими и тщательно сформулированными, чтобы избежать неправильного толкования, и располагаться на эскизе в малолюдном месте. Линии выноски, идущие к ноте, должны быть короткими. Примечания обычно добавляются после того, как на эскизе были нанесены размеры, чтобы избежать помех с размерами.

 

 

Викторина

 

Указания: Измерьте примеры, как указано.

 

Измерьте этот прямоугольник 3 ¼ x 6 15/32 в одном направлении сверху и справа.

 

 

С примечанием покажите просверленное отверстие 5/16.

 

 

Измерьте этот объект. Более короткие линии имеют длину 3 дюйма.

 

 

Измерьте этот объект. Используйте линейку или шкалу, чтобы определить длину линий.

 

Наклонное определение размеров

Косое определение размеров в основном связано с тем, чтобы не наносить размеры на сам объект (когда это возможно) и использовать принципы определения размеров, основанные на здравом смысле. Также обычно лучше всего считывать размеры снизу (в одном направлении), как показано здесь.

 

 

Хотя лучше не наносить размеры на сам вид, обычно принято размещать размеры диаметра и радиуса на видах, если позволяет место.

Иногда пространство и время ограничены, и вам, возможно, придется изменить типичные правила рисования и определения размеров. Самое главное, чтобы рисунок был чистым, лаконичным, старайтесь не повторять размеры, а давать все необходимые.

Направления: Заполните, как указано.

Измерьте этот трехдюймовый куб.

 

 

 

Более короткая часть этого стержня имеет диаметр 5/8 дюйма и длину 2 1/8 дюйма. Более длинная секция имеет диаметр 7/8 дюйма и длину 3 ½ дюйма. Размер чертежа.

 

 

Изометрические размеры

При нанесении размеров в изометрическом эскизе важно, чтобы размеры не касались самого объекта, а размер располагался в той же плоскости, что и поверхность измеряемого объекта. Вы, вероятно, обнаружите, что для правильного измерения в изометрии потребуется некоторая практика.

Размещайте заметки на изометрическом чертеже без оглядки на размещение их на той же плоскости, что и с размерами. Это легче сделать, и легче читать.

 

 

Изометрические заметки не обязательно должны быть в одной плоскости.

 

Обратите внимание, что в приведенном выше примере часть каждой линии выноски к примечаниям нарисована приблизительно под углом 15, 30, 45, 60 или 75 градусов. Это сделано для того, чтобы избежать путаницы с другими линиями. Никогда не рисуйте линии выноски полностью горизонтально или вертикально .

 

Викторина

Направления: выполните, как указано.

Измерьте этот чертеж. Размеры: 3 дюйма в длину, 2 1/8 дюйма в ширину, 1 5/8 дюйма в высоту и угол 45◦ ½ дюйма в глубину. Угол начинается как середина размера длиной 3 дюйма.

 

 

Измерьте этот чертеж. Основание квадратное ½” x 1 ½”. Цилиндр имеет диаметр 1 дюйм. x 1-1/8”
длин. Просверленное сквозное отверстие ∅5/8”.

 

 

 

Викторина

  Указания: Вам дадут объект для эскиза и измерения.

Орфографические размеры

Когда вы смотрите на объект в виде ласточкиного хвоста несколько страниц назад, легко заметить, что изометрический эскиз может быстро загромождаться размерами. Из-за этого более сложные наброски и рисунки имеют размерность в орфографии. Этот метод обеспечивает наилучший способ четкого и подробного определения размеров.

Вот семь общих правил, которым необходимо следовать при определении размеров.

• Покажите достаточное количество размеров, чтобы предполагаемые размеры можно было определить, не заставляя рабочего рассчитывать или принимать какие-либо расстояния.
• Четко укажите каждое измерение, чтобы оно понималось только одним способом.
• Покажите размеры между точками, линиями или поверхностями, которые имеют необходимую взаимосвязь друг с другом или которые определяют расположение других компонентов или сопряженных частей.
• Выберите или расположите размеры, чтобы избежать накопления размеров, которые могут привести к неудовлетворительному сопряжению деталей. (Другими словами, предусмотрите наращивание допусков, как в примере ниже.

• Показать каждое измерение только один раз.