Рубрика: Разное

Как вычислить площадь поверхности куба, используя объем

Если вам известен объем куба, вы можете преобразовать его в длину одной стороны. Затем вы можете использовать длину стороны для расчета общей площади поверхности.

Используйте длину ребра, чтобы вычислить площадь поверхности одной стороны, затем умножьте эту площадь на  6 . Это дает вам общую площадь поверхности куба с использованием объема.

Что если вам сообщат общую площадь поверхности  всего куба? Сможете ли вы найти объем?

Да, общая площадь поверхности включает площади всех шести конгруэнтных граней. Найдите площадь одной грани, а затем выполните действия, описанные выше, чтобы найти объем:

1. Разделите заданную общую площадь поверхности на шесть, чтобы получить площадь одной грани

2. Найдите квадратный корень из площади одной грани, чтобы получить длину любой стороны, 9029{3}V=s3

Примеры объема куба

Если у вас есть трехмерное тело с шестью гранями, а стороны помечены  4′ ,  6′ и 8′ .

Достоверно

Вадим Ольшевский

Математика

74

Профессор математики университета Коннектикута. Член редколлегии ряда математических…  · 25 июн 2021

Вначале считается чсило сочетаний, количество всевозможных способов выбрать 4 знака из 20. Вот формула:

Вероятность выигрыша = 1/4845. Одна правильная комбинация знаков из 4845 возможных.

2 эксперта согласны

20,7 K

Комментировать ответ…Комментировать…

Илья Евсеев

27

Любознательный студент, имеющий интерес ко всему)  · 28 июн 2021

На самом деле это простая математическая задачка, впрочем Вадим вам уже её пояснил, но, если вы интересуетесь реальной возможностью выигрыша, то математика здесь уже ни к чему. ..

Ведь основная идея организаторов лотерей это заработок для самих себя. Поэтому говорить о реальном выигрыше вряд ли стоит.

Комментировать ответ…Комментировать…

Даша Клиценко

6

бровист  · 26 июн 2021

Никакой. У меня есть знакомый и он говорит, что там устроено все как у игровых автоматов. Компьютер не даст никогда выиграть.

Можно и самим глянуть на статистику выигрышей. Всегда ЛОТО в жирном +.

Сергей С.

28 июня 2021

А выигрывают всегда родственники или хорошие знакомые. Короче, разогнать бы их, да некому. Видно отстёгивают… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Первый

Василий Нарыкин

1

4 июл 2021

Выиграть можно, если Вы организатор лотереи; если Вам выпал Джек- пот по теории вероятности, при этом Вы организатор лотереи; если розыгрыш ведут с помощью ручного барабана и детишек. которые достают номера в прямом эфире, но последнее уже никто не допустит. Поэтому оставь надежду всяк сюда входящий…

Комментировать ответ…Комментировать…

Первый

александр иванович

2

4 июл 2021

Не каких шансов, это точно!!! На новый год купил 120 билетов в надежде на выигрыш, вернул 4 тысячи из 12 вложенных, так что и не каждый второй билет выигрывает.

Комментировать ответ…Комментировать…

Первый

Илья Куликов

-25

Человек  · 26 июн 2021

Шанс есть всегда, это ж лотерея, тут всегда 50 на 50, повезет — выиграете. Мне повезло, я выигрываю частно, как раз в такие лотереи. И в 4 из 20 в том числе выигрывал.

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

Таблицы вероятности или вероятность выигрыша в лотереях

Вероятность или шанс угадать комбинацию, развёрнутую ставку, группу чисел —
в зависимости от количества выбранных номеров, для лотерей 5 из 36, 6 из 45, 7 из 49, 6 из 49, 4 из 20, Рапидо —
смотрим по этой ссылке

В лотереях 5 из 36 и Рапидо самое малое количество комбинаций — практически не видно на фоне остальных. Если учитывать призовой фонд, то в лотереях Рапидо, 4 из 20, — он самый большой (67% призового фонда), следовательно, выигрыши в низших категория будут чаще, если это можно назвать «выигрышем»… — на дистанции «слив» всё равно обеспечен, если, конечно, не «словится» суперприз! Тем не менее, чем больше возврат при длительной игре, тем больше можно ставить комбинаций, тем вероятней суперприз. По вероятности выиграть суперприз, лотерея 5 из 36 считается лучшей из всех (без дополнительного), — сейчас «приз», который может достигать десятков миллионов. Далее по популярности у игроков следует лотерея 6 из 45, в которой шансы 1 на 8 миллионов комбинаций. Лотерея 6 из 45 отличается ещё от остальных неплохой выплатой за приз второй категории, по такому параметру (вероятность-выплата) При выборе лотереи желательно учитывать потенциальную выплату за приз второй категории, угадать который более реально. Для этого нужно просмотреть выплаты на сайте лотерей. Вероятность второй категории лучше не превышать 1: 100 000. В этом плане, например, лотереи 7 из 49 и 4 из 20 выглядят не очень привлекательно, у них вероятность второй категории практически сравнима с первой категорией приза лотереи 5 из 36 (1: 376 992). В какую лотерею играть, решает каждый сам!

Подробные правила игры, видео, архивы тиражей, стоимость ставок —
на сайте лотерей stoloto.ru

5 из 36

Тиражи проходят ежедневно. Розыгрыши проходят в лотерейном центре «Столото».
Выигрышная комбинация определяется при помощи ГСЧ и состоит из 5 номеров для поля 1 и одного номера для поля 2.
Трансляция розыгрышей проводится на сайте stoloto.ru

6 из 45

Тиражи проводятся ежедневно. Розыгрыши проходят в лотерейном центре «Столото».
Выигрышная комбинация определяется при помощи лототрона и состоит из 6 номеров.
Прямая трансляция розыгрышей проводится на сайте stoloto. ru

7 из 49

Тиражи проводятся ежедневно.
Розыгрыши проходят в лотерейном центре «Столото» .
Выигрышная комбинация определяется при помощи лототрона и состоит из 7 номеров.
Прямая трансляция розыгрышей проводится на сайте stoloto.ru

6 из 36

Розыгрыши проводятся еженедельно после подсчета размера призового фонда.
Трансляции розыгрышей проходят по субботам, на канале НТВ в программе «Зарядись удачей»!
Выигрышная комбинация определяется при помощи лототрона.

Рапидо

Тиражи проходят ежедневно. Выигрышная комбинация определяется в течение нескольких секунд.
Если розыгрыш пересекается по времени с «Гослото «4 из 20», то тираж «Рапидо» не проводится.
Выигрышная комбинация состоит из 8 + 1 числа и определяется при помощи лотерейного оборудования «Генератор случайных чисел» (ГСЧ).
Трансляция розыгрыша проводится на сайте stoloto.ru

12 из 24

Тиражи проходят ежедневно. Если розыгрыш пересекается по времени с
«Гослото «5 из 36», то тираж «12/24» не проводится. Комбинация тиража состоит из 12 неповторяющихся чисел.
Для ее определения используется «Генератор случайных чисел».
Трансляция розыгрыша проводится на сайте stoloto.ru

4 из 20 x2

Тиражи проводятся каждый день. Розыгрыши проходят в лотерейном центре «Столото».
Выигрышная комбинация определяется при помощи лототрона и состоит из 4 чисел в диапазоне от 1 до 20 для первого поля
и 4 чисел в диапазоне от 1 до 20 для второго поля. Прямая трансляция розыгрышей проводится на сайте stoloto.ru

калькулятор вероятностей (android версия)

комбинаторика — Распределение и количество уникальных комбинаций

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 5 месяцев назад

Изменено 2 года, 5 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Я биолог, и мои математические способности немного заржавели, поэтому буду признателен за любую помощь. Я хотел бы знать, как рассчитать, сколько комбинаций существует при любом заданном количестве комбинаций и сколько из них уникальны.

Мне очень хотелось бы знать, как вычислить это для любого количества комбинаций (не только 0-9, а например 20 или 30) и чисел в комбинациях (1-1 или 1-1-1 или 1-1-1 ). В этом сценарии 1-2-2 и 2-1-1 и 2-2-1 идентичны (= 1-2), поэтому номер позиции в цифре не важен, и учитываются только неизбыточные числа.

пример данных, сделанных перебором в R для чисел 0-9:

• 1 число в комбинации (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9):
• 10 возможностей и 10 уникальных возможностей

2 числа в комбинации (0-1,0-2,0-3,0-4…):

• 100 вариантов (10 комбинаций только по 1 цифре и 90 комбинаций из 2 разных цифр)
• 55 уникальных (10 комбинаций из 1 и 45 из 2 (потому что 1-2 и 2-1 одинаковы)

3 числа в комбинации (0-0-1,0-0-2,0-0-3…):

• 1000 вариантов (10+270+720) и 175 уникальных (10+45+ 120)

4 номера в комбинации (0-0-0-1,0-0-0-2. ..):

• 10000 вариантов (10+630+4320+5040) и 385 уникальных (10+45+120) +210)

Но какой будет общая формула для расчета этих чисел (т.е. для 4-значных комбинаций о том, как рассчитать, что это было 10 630 4320 5040 для комбинаций и 10 45 120 210 для уникальных комбинаций с 10 номерами на цифру, но что такое поисковое пространство для 30 цифр в позиции цифры и 16 цифр в каждой комбинации?

• комбинаторика

$\endgroup$

$\begingroup$

В первом случае сумма проще компонентов; во втором компоненты легче суммы.

Предположим, вы выбираете $m$ раз из $n$ возможных цифр, и вас интересуют случаи, когда вы получаете $k$ различных цифр.

В первом случае упорядоченных цифр, возможно с дубликатами:

94=10000$

• Есть ${n \выберите k} k! \lbrace\textstyle{m\atop k}\rbrace$ возможных вариантов с $k$ различными цифрами, где ${n \choose k}$ — биномиальный коэффициент, а $\lbrace\textstyle{m\atop k}\rbrace$ является числом Стирлинга второго рода: например, с $n=10$ и $m=4$ и $k=2$ у вас есть $45 \times 2\times 7=630$

Во втором случае неупорядоченных дедуплицированных цифр:

• Существует $\displaystyle {n \choose k}$ возможных вариантов с $k$ различными цифрами (хотя вам нужно $k \le m$: например, с $n =10$ и $m=4$ и $k=2$ у вас есть $45$ 9n-1$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Предположим, что цифр $d$, и мы рассматриваем комбинации длины $n\in\{1,\dots,d\}$. k$.

Затем вы переходите к комбинации, которая отличается двумя аспектами: во-первых, повторение запрещено, а во-вторых, порядок не имеет значения. Их количество равно ${n \choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}.$ Интуиция несколько сложнее. Во-первых, предположим, что порядок имеет значение, но повторения не допускаются (это перестановки). Затем вы можете выбрать первое число $n$ способами, следующее $n-1$ способами (без повторения!) и т. д., последний $k$-й элемент $n-k+1$ способами. Итак, у вас есть $n\cdot(n-1)\ldots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} $ способов.

Теперь вы хотите, чтобы порядок не имел значения. Для каждой $k$-длинной перестановки (например, 123) у вас есть $k!$ возможных версий (например, 123 132 231 213 312 321). Поэтому вам нужно разделить последний результат на $k!$, чтобы получить то, что вам нужно. Всего у вас есть $n \выберите k$ возможностей.

То, что вы называете «уникальной комбинацией», на самом деле является суммой всех комбинаций (в математическом смысле) длины $\leq k$. k{n \выбрать i}$$

В R наверняка есть команда для $n \choose k$, вам просто нужно суммировать ее.

$\endgroup$

Калькулятор комбинаций (nCr, nPr)

Количество элементов (n)

Элементы для выбора (r)

Порядок важен:
Порядок не имеет значения
Комбинации

Без повторений

Идентичные предметы
Все предметы уникальны

Combinations Formulas

nCr formula

Комбинации с

Permutations Formulas

nPr formula

Комбинация — это выбор r элементов из набора из n элементов, порядок выбора которых не важен.

Примеры комбинаций

Комбинации без повторений

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов. 123
Сколько уникальных комбинаций у нас будет, если мы не сможем повторить шары?

3 разных способа. Наши варианты: RG, RP и GP.
121323

Мы можем подсчитать количество комбинаций без повторений, используя формулу nCr, где n равно 3, а r равно 2.

Примеры такого типа комбинаций мы можем увидеть при подборе команд на спортивную игру или на задание. Мы не можем выбрать члена команды более одного раза (поэтому у нас не может быть команды с Дэнни, Дэнни и мной), и нам все равно, кто будет выбран первым в команду (поэтому, если я в команде с Бобом и Томом для меня это то же самое, что быть в команде с Томом и Бобом).

Комбинации с повторениями

Допустим, нам нужно выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов 123
Если каждый раз, когда мы выбираем мяч, мы кладем его обратно в мешок, сколько уникальных комбинаций мы получим?

6 разных способов. Наши варианты: RR, RG, RP, GG, GP и PP.
111213222333

Количество комбинаций с повторениями можно подсчитать математически, используя формулу комбинаций с повторениями, где n = 3 и r = 2.

Примеры такого типа комбинаций можно увидеть при покупке мороженого в магазине мороженого, поскольку мы можем выбирать вкусы более одного раза (я мог бы получить две, три или даже четыре шарика шоколадного мороженого, если бы я хотел), и мне все равно, какая ложка будет сверху (поэтому шоколад сверху и ваниль снизу для меня то же самое, что ваниль сверху с шоколадной основой).

Калькулятор перестановок

Что такое перестановка?

Перестановка — это выбор r элементов из набора из n элементов, где важен порядок, в котором мы выбираем наши элементы.

Примеры перестановок

Перестановки без повторений

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов 123
Сколько уникальных перестановок получится у нас есть, если мы не можем повторить шары?

6 разных способов. Наши варианты: RG, GR, RP, PR, GP и PG.
122113312332

Мы можем показать это математически, используя формулу перестановок с n = 3 и r = 2

Мы можем видеть примеры этого типа в реальной жизни в результатах беговых забегов (при условии, что два человека не могут занимать одно и то же место), поскольку нам явно небезразлично, придем ли мы первым, а наш конкурент — вторым или если это наоборот.

Перестановки с повторениями

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов. 123
Если каждый раз, когда мы выбираем мяч, мы кладем его обратно в мешок, сколько уникальных перестановок мы получим?

9 разных способов. Наши варианты: RR, RG, GR, RP, PR, GG, GP, PG и PP.
111221133122233233

Мы можем показать это математически, используя формулу перестановок с повторениями с n = 3 и r = 2,
# permutations = n ^r = 3 ² = 9

Мы можем видеть это в реальной жизни по количеству кодов на сейфе — мы можем повторять числа, если хотим (и иметь пароль, например, 1111) и мы заботимся о порядке чисел (поэтому, если 1234 откроет сейф, 4321 не откроет).

Объяснение формул комбинаций и перестановок

Сколько у нас есть способов упорядочить n шаров?

Если у нас есть 3 шара красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цвета, то есть 6 различных способов. У нас есть 3 варианта для первого цвета, затем 2 варианта для второго цвета и один вариант для последнего цвета. Поэтому у нас есть 3*2*1 разных вариантов или 3! На 4 мяча у нас 4! доступны различные перестановки. На 5 мячей у нас 5! разные варианты и т.д. Для n шаров имеем n! параметры.

Объяснение формулы перестановок

Сколько существует перестановок для выбора 3 шаров из 5 без повторений? Мы можем выбрать любой из 5 шаров в первом выборе, любой из 4 оставшихся во втором выборе и любой из 3 оставшихся в третьем выборе. Это 5 * 4 * 3, что можно записать как 5!/2! (что равно n! / (n — r)! с n=5, r=3).
Существует также альтернативный способ выбрать набор из 3 шаров. Допустим, мы хотели выбрать 123 шара. Затем мы могли бы также выбрать оставшиеся 2 шара. Это дало бы нам возможные перестановки 12345 и 12354. Мы видим, что их 2! (то есть 2) различные способы выбора 5 шаров, если мы хотим, чтобы 123 были первыми 3 вариантами выбора. Следовательно, мы можем получить количество выборов 3 шаров из 5 шаров, разделив 5! (общее количество выборов) на 2! (перестановки в списке из 5! вариантов, которые начинаются с 123 или любых других 3 шаров, которые вы можете выбрать). . Сколько 5 перестановок шара он начнет? Ну 2! потому что для этой подборки у вас осталось два шара и их можно разложить по 2! разными способами (как мы видели выше). Следовательно, чтобы получить количество перестановок 3-х шаров, выбранных из 5-ти шаров, нужно разделить 5! на 2!.

Объяснение формулы комбинаций

Каждая комбинация из 3 шаров может представлять 3! разные перестановки. Следовательно, мы можем вывести формулу комбинаций из формулы перестановок, разделив количество перестановок (5!/2!) на 3! чтобы получить 5! / (2! * 3!) = 10 разных способов. Это обобщается и на другие комбинации и дает нам формулу #combinations = n! / ((n — r)! * r!)

Объяснение перестановок с помощью формулы повторений

Если мы снова выбрали 3 из 5 шаров, но с повторениями, то у нас есть 5 вариантов для каждого выбора, что дает нам 5 * 5 * 5 = Всего 125 вариантов. Таким образом, общая формула такова: #permutations = n ^р .

Объяснение комбинаций с формулой повторений

Посмотрим, сколько существует комбинаций для выбора 3-х шаров из 5 (красный (R), зеленый (G), фиолетовый (P), бирюзовый (T) и желтый (Y)) с повторения. Вы заметите, что наш трюк с формулой обычных комбинаций не работает. Например, если мы посмотрим на комбинацию двух красных шаров и одного зеленого шара, у нас будет только 3 возможных перестановки (RGG, GRG, GGR) вместо 3! = 6, так как зеленый появляется дважды. Поэтому мы не можем просто разделить количество перестановок на 6! и быть сделано. Вместо этого мы будем использовать красивое представление, чтобы упростить нашу задачу. Мы можем представить выбор в виде таблицы, поэтому, если мы хотим выбрать 2 красных и зеленый шар, мы можем отметить это как: R | г | П | Т | Д
ОО | О | | |
Что можно записать более компактно, опустив заголовок и ненужные пробелы, как OO|O|||
и выбор одного зеленого, одного фиолетового и одного желтого шара можно записать как:
R | г | П | Т | Y
| О | О | | O
, который может быть записан более компактно как |O|O||O
Наконец, выбор 3 бирюзовых шаров может быть записан в виде следующей таблицы:
R | г | П | Т | Y
| | | | ООО
, которое может быть записано как ||||ООО
Каждая строка из 4 | и 3 О соответствует выбору и наоборот. Следовательно, количество способов выбрать 3 шара из 5 с повторением и там, где порядок имеет значение, такое же, как количество способов написать строки из 4 символов «|» и 3 «О». Чтобы выяснить, сколько их, мы можем начать с 7! а потом видим, что надо делить на 4! потому что мы повторяем строки 4! из-за | повторение (поскольку изначально мы рассматриваем 4 | как отдельные символы) и делим на 3! так как мы повторяем строки 3! раз из-за повторения O. Следовательно, существует 7!/(4!3!) различных комбинаций = (n + r — 1)! / ((n — 1)! * r!), что является формулой, которая нам нужна.

Комбинации и перестановки, в чем разница?

Разница в том, заботимся ли мы о заказе. В комбинациях порядок не имеет значения. Если бы нам нужно было выбрать спортивную команду, то порядок, в котором мы выбираем игроков, не имеет значения. Если мы заботимся о порядке, то мы выбираем перестановку. Если вместо спортивной команды посмотреть на результаты бегового забега, то порядок становится важным. Нам не все равно, придем ли мы первыми, а наш главный соперник вторым или наоборот, даже если они будут частью одной и той же комбинации.

Как пользоваться калькулятором комбинаций и перестановок?

Порядок важен : определяет, хотите ли вы использовать калькулятор комбинаций (когда он не активен) или калькулятор перестановок (когда он активен).

С повторениями : позволяет выбирать комбинации и перестановки с повторениями (активно) или без (неактивно).
Это относится как к калькулятору комбинаций , так и к калькулятору перестановок .

Идентичные элементы : позволяет указать, есть ли в вашей задаче повторения элементов, но не бесконечная замена (активно) или нет (неактивно). Когда он активен, вы можете указать количество повторений для каждого элемента. Обратите внимание, что в этом случае текстовое поле количества элементов будет представлять количество уникальных элементов.
Переключатель одинаковых предметов актуален как для калькулятора комбинаций , так и для калькулятора комбинаций .

Задача 2

Задача

Найти частные производные функции .

Решение

Найдём частную производную функции по независимой переменной :

Функция является сложной. Производной показательной функции с основанием является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что является константой и равна . Производная функции равна произведению и . В результате получаем:

.

Найдём частную производную функции по независимой переменной :

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции и показателя её степени :

Считая постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу :

.

Ответ

.

Задача 3

Задача

Найти частные производные функции .

Решение

Частная производная функции по независимой переменной будет равна производной от . Производная от слагаемого при этом будет равна нулю как производная от константы.

Частная производная функции по независимой переменной находится аналогичным образом, при этом предполагается, что является константой.

Ответ

Задача 4

Задача

Найти частные производные функции .

Решение

Частная производная функции по независимой переменной определяется слагаемым . Производная второго слагаемого – равна нулю, как производная от константы.

В свою очередь, частная производная функции по независимой переменной будет определяться обоими слагаемым:

Таким образом, окончательно получаем:

Ответ

Задача 5

Задача

Найти частные производные функции .

Решение

При нахождении производной по независимой переменной , функцию следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

Производная по независимой переменной находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т. к. переменная входит в показатель степени виде функции .

Производная показательной функции равна:

Производная показателя степени равна:

В результате получаем:

Ответ

Задача 6

Задача

Найти частные производные функции .

Решение

Частная производная по независимой переменной находится как сумма слагаемых:

Частная производная по независимой переменной находится как сумма слагаемых:

Ответ

Задача 7

Задача

Найти частные производные функции .

Решение

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая как независимый аргумент:

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – следует домножить на производную подкоренного выражения: .

Рассматривая в качестве независимого аргумента, получаем:

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – следует домножить на производную подкоренного выражения: .

Ответ

Задача 8

Задача

Найти частные производные функции .

Решение

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: . В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: . Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: и .

Нахождение частной производной функции по аргументу :

Нахождение частной производной функции по аргументу :

Ответ

Задача 9

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции .

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу :

Найдём частную производную второго порядка по аргументу :

Найдём частную производную первого порядка по аргументу :

Найдём частную производную второго порядка по аргументу :

Ответ

Задача 10

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции .

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу :

Найдём частную производную второго порядка по аргументу :

Найдём частную производную первого порядка по аргументу :

Найдём частную производную второго порядка по аргументу :

Ответ

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 6

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

25127

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Полезно

Исчисление III — Частные производные

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 13.2: Частные производные

Теперь, когда у нас есть краткое обсуждение пределов, мы можем перейти к получению производных от функций более чем одной переменной. Прежде чем мы действительно начнем брать производные функций более чем одной переменной, давайте вспомним важную интерпретацию производных функций одной переменной.

Напомним, что для функции одной переменной \(f\left( x \right)\), производная \(f’\left( x \right)\) представляет скорость изменения функции как \(х\) меняется. Это важная интерпретация производных, и мы не собираемся терять ее с функциями более чем одной переменной. Проблема с функциями более чем одной переменной заключается в том, что существует более одной переменной. Другими словами, что нам делать, если мы хотим, чтобы изменилась только одна из переменных, или если мы хотим изменить более одной из них? На самом деле, если мы позволим измениться более чем одной переменной, у нас будет бесконечное количество способов их изменения. Например, одна переменная может изменяться быстрее, чем другие переменные в функции. Заметьте также, что вполне возможно, что функция будет изменяться по-разному в зависимости от того, как мы позволяем изменяться одной или нескольким переменным.

Нам нужно разработать способы и обозначения для работы со всеми этими случаями. В этом разделе мы сосредоточимся исключительно на изменении только одной из переменных за раз, в то время как остальные переменные остаются фиксированными. Мы рассмотрим возможность изменения нескольких переменных в следующем разделе.

Поскольку мы позволим изменяться только одной из переменных, получение производной теперь станет довольно простым процессом. Давайте начнем это обсуждение с довольно простой функции. 93}\) и определим скорость изменения функции в точке \(\left( {a,b} \right)\), если зафиксировать \(y\) и разрешить \(x\ ) изменяться, и если мы будем считать \(x\) фиксированным и позволять \(y\) изменяться.

Начнем со случая, когда \(y\) остается фиксированным, а \(x\) изменяется. Поскольку нас интересует скорость изменения функции в точке \(\left({a,b} \right)\) и мы фиксируем \(y\), это означает, что мы всегда будем иметь \(y = б\) (если бы этого не было, то со временем \(y\) пришлось бы изменить, чтобы добраться до сути…). Это даст нам функцию, включающую только \(x\), и мы можем определить новую функцию следующим образом:3}\]

Теперь это функция одной переменной, и на данный момент все, что мы просим, ​​это определить скорость изменения \(g\left( x \right)\) при \(x = a\). Другими словами, мы хотим вычислить \(g’\left( a \right)\), и поскольку это функция одной переменной, мы уже знаем, как это сделать. 3}\] 92}\]

Обратите внимание, что эти две частные производные иногда называют частными производными первого порядка . Как и в случае с функциями одной переменной, мы можем иметь производные всех порядков. Мы рассмотрим производные более высокого порядка в следующем разделе.

Обратите внимание, что обозначения частных производных отличаются от обозначений производных функций одной переменной. С функциями одной переменной мы могли бы обозначать производную одним штрихом. Однако с частными производными нам всегда нужно помнить переменную, по которой мы дифференцируем, и поэтому мы будем индексировать переменную, по которой мы дифференцируем. Вскоре мы увидим некоторые альтернативные обозначения для частных производных. 92}\]

Теперь, как показал этот быстрый пример, получение производных от функций более чем одной переменной выполняется почти так же, как получение производных от одной переменной. Чтобы вычислить \({f_x}\left( {x,y} \right)\), все, что нам нужно сделать, это рассматривать все \(y\) как константы (или числа), а затем дифференцировать \(x\ ) как мы всегда делали. Точно так же, чтобы вычислить \({f_y}\left( {x,y} \right)\), мы будем рассматривать все \(x\) как константы, а затем дифференцировать \(y\), как мы привык делать.

Прежде чем приступить к работе с любыми примерами, давайте отвлечемся от формального определения частной производной, а также от некоторых альтернативных обозначений.

Поскольку мы можем думать о двух приведенных выше частных производных как о производных функций с одной переменной, неудивительно, что определение каждой из них очень похоже на определение производной для функций с одной переменной. Вот формальные определения двух частных производных, которые мы рассмотрели выше.

\[{f_x}\left( {x,y} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left({x + h,y} \right) — f\left( {x,y} \right)}}{h}\hspace{0,5in}{f_y}\left( {x,y} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x,y + h} \right) — f\left( {x,y} \right)}}{h}\]

Если вы помните определение предела в Исчислении I, они должны показаться вам знакомыми, поскольку они очень близки к определению в Исчислении I с (возможно) очевидным изменением.

Теперь давайте кратко рассмотрим некоторые из возможных альтернативных обозначений частных производных. Учитывая функцию \(z = f\left( {x,y} \right)\), следующие все эквивалентные обозначения:

\[\begin{align*}{f_x}\left( {x,y} \right) & = {f_x} = \frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {x,y} \right)} \right) = {z_x} = \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = {D_x}f\\ {f_y}\left( {x,y} \right) & = {f_y} = \frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{\partial}{ {\ partial y}} \ left ( {f \ left ( {x, y} \ right)} \ right) = {z_y} = \ frac {{\ partial z}} {{\ partial y}} = {D_y }f\конец{выравнивание*}\]

При записи дроби для частной производной обратите внимание на разницу между частной производной и обыкновенной производной из исчисления с одной переменной.

\[\begin{align*} & f\left( x \right)\hspace{0.25in} & \Rightarrow & \hspace{0. 25in}& f’\left( x \right) & = \frac{{df }}{{dx}}\\ & f\left( {x,y} \right)\hspace{0.25in} & \Rightarrow & \hspace{0.25in} & {f_x}\left( {x,y} \right) & = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\,\,\,\& \,\,\,{f_y}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\end{align*}\]

Хорошо, теперь давайте поработаем над некоторыми примерами. При работе с этими примерами всегда помните, что нам нужно уделять очень пристальное внимание тому, по какой переменной мы дифференцируем. Это важно, потому что мы будем рассматривать все остальные переменные как константы, а затем будем работать с производной, как если бы она была функцией одной переменной. Если вы помните это, то обнаружите, что вычисление частных производных ненамного сложнее, чем вычисление производных функций одной переменной, как мы это делали в Исчислении I. 93}\]

Обратите внимание, что в этом случае второй и третий члены дифференцируются до нуля. Должно быть ясно, почему третий член продифференцирован до нуля. Это константа, а мы знаем, что константы всегда дифференцируются до нуля. Это также является причиной того, что второй член продифференцирован до нуля. Помните, что, поскольку здесь мы дифференцируем по \(x\), мы будем рассматривать все \(y\) как константы. Это означает, что термины, включающие только \(y\), будут рассматриваться как константы и, следовательно, будут дифференцироваться до нуля. 93} + 43x — 7\tan \left( {4y} \right)\) Показать решение

С помощью этой функции нам нужно вычислить три производные первого порядка. Сначала найдем частную производную по \(x\). Поскольку мы дифференцируем по \(x\), мы будем рассматривать все \(y\) и все \(z\) как константы. Это означает, что второй и четвертый члены будут дифференцированы до нуля, поскольку они включают только \(y\) и \(z\).

Этот первый член содержит как \(x\), так и \(y\), поэтому, когда мы дифференцируем по \(x\), \(y\) будем рассматривать как мультипликативную константу и таким образом, первый член будет дифференцирован так же, как будет дифференцирован третий член.

Здесь частная производная по \(x\).

\[\frac{{\partial w}}{{\partial x}} = 2xy + 43\]

Теперь продифференцируем по \(y\). В этом случае все \(x\) и \(z\) будут рассматриваться как константы. Это означает, что третий член будет дифференцироваться до нуля, поскольку он содержит только \(x\), тогда как \(x\) в первом члене и \(z\) во втором члене будут рассматриваться как мультипликативные константы. Вот производная по \(y\). 93}}}\) Показать решение

Теперь мы не можем забыть правило произведения с производными. Здесь правило произведения будет работать так же, как и с функциями одной переменной. Нам просто нужно быть осторожными, чтобы помнить, по какой переменной мы дифференцируем.

Начнем с дифференцирования по \(x\). В этом случае и косинус, и экспонента содержат \(x\), поэтому у нас действительно есть произведение двух функций, включающих \(x\), и поэтому нам нужно умножить это произведение. {е \ влево ( х \ вправо)}} \] 92}}}\) Показать решение

Теперь нам нужно быть осторожными, чтобы не использовать правило частного, когда в нем нет необходимости. Однако в этом случае у нас есть частное, поскольку \(x\) и \(y\) появляются только в числителе, а \(z\) появляются только в знаменателе, это действительно не так. проблема с частным правилом.

Сначала выполним производные по \(x\) и \(y\). В обоих этих случаях \(z\) являются константами, поэтому знаменатель здесь является константой, и поэтому нам не нужно слишком беспокоиться об этом. Вот производные для этих двух случаев. 9{ — \frac{1}{2}}}\end{align*}\]

Итак, есть несколько примеров частных производных. Надеюсь, вы согласитесь, что до тех пор, пока мы помним, что другие переменные следует рассматривать как константы, они работают точно так же, как и производные функций одной переменной. Итак, если вы умеете вычислять производные в исчислении I, у вас не должно возникнуть особых трудностей при вычислении основных частных производных. 6} = 5\] 93}}}\]

Теперь мы решили эту задачу, потому что неявное дифференцирование работает точно так же с функциями многих переменных. Если у нас есть функция в терминах трех переменных \(x\), \(y\) и \(z\), мы будем считать, что \(z\) на самом деле является функцией \(x\) и \ (у\). Другими словами, \(z = z\left({x,y} \right)\). Затем всякий раз, когда мы дифференцируем \(z\) по \(x\), мы будем использовать цепное правило и добавлять \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\). Точно так же всякий раз, когда мы дифференцируем \(z\) по \(y\), мы добавляем \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\). 92}\cos\left( {2y — 5z} \right)\left( { — 5\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right) = — y\sin \left( { 6zx} \right)\left( {6z + 6x\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)\]

Не забудьте использовать цепное правило для каждой триггерной функции, и когда мы дифференцируем внутреннюю функцию по косинусу, нам также нужно будет использовать правило произведения. 2} \cos\left( {2y — 5z} \right) — 6yx\sin \left( {6zx} \right)}}\end{align*}\] 92}\cos\left( {2y — 5z} \right)}}\end{align*}\]

Над ними нужно поработать. В следующем разделе мы увидим более простой способ неявного дифференцирования.

Примеры частных производных — Math Insight

Видео-введение

Примеры частных производных.

Подробнее о видео.

Как только вы поймете концепцию частной производной как скорости изменения чего-либо, вычисление частных производных обычно не составит труда. (К сожалению, есть особые случаи, когда вычисление частных производных затруднено.) Как показывают эти примеры, вычисление частных производных обычно ничем не отличается от вычисления обычной производной в исчислении с одной переменной. Вам просто нужно помнить, с какой переменной вы берете производную. 92$. Вычислите $\displaystyle \pdiff{f}{x}(x,y)$.

Решение . Чтобы вычислить $\displaystyle \pdiff{f}{x}(x,y)$, мы просто просматриваем $y$ как фиксированное число и вычислить обыкновенную производную с помощью относительно $x$. 3x. \конец{выравнивание*} 92)/(x_1x_2x_4)} + 5x_1x_3x_4 \конец{выравнивание*} вычислить $\displaystyle \pdiff{f}{x_3}(a,b,c,d)$.

Решение : хотя сначала это выглядит сложно, на самом деле все просто проблема. Уродливый член не зависит от $x_3$, поэтому при вычислении частная производная по $x_3$, мы рассматриваем ее как константу. Производная константы равна нулю, поэтому этот член выпадает. производная — это просто производная от последнего члена по $x_3$, то есть \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x_3}(x_1,x_2,x_3,x_4) = 5x_1x_4 \конец{выравнивание*} Подставляя значения $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(a,b,c,d)$, получаем окончательный ответ \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x_3}(a,b,c,d) = 5ad. \конец{выравнивание*}

Пример 5

Пусть \начать{выравнивать*} p(y_1,y_2,y_3) = 9\frac{y_1y_2y_3}{y_1+y_2+y_3} \конец{выравнивание*} и вычислить $\displaystyle \pdiff{p}{y_3}(y_1,y_2,y_3)$ в точке $(y_1,y_2,y_3)=(1,-2,4)$.

Решение : При вычислении частных производных мы можем использовать все правила для обычных производных.

Похожие статьи

• Формулы параболы
• Примеры решения неравенств
• Как перевести центнеры в граммы?
• Решение показательных уравнений
• НИУ ВШЭ: вступительные испытания и проходные баллы
• Решаем ОГЭ по математике. Задание №5. 2
• ОГЭ по математике, базовый уровень. Системы неравенств
• Как организовать режим школьника на каникулах, чтобы потом было легче снова идти в школу

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Внеклассный урок — Система уравнений с двумя переменными.

Уравнение может содержать не одну, а две переменных. Понятно, что такие уравнения называются уравнениями с двумя переменными.

Система уравнений – это два и более уравнений, которыми можно манипулировать для нахождения общих решений. Система из двух уравнений вкючает в себя две переменных, значения которых являются общими для обоих уравнений. С помощью одного уравнения системы решается другое, а в итоге решаются оба уравнения системы.

Способы решения системы уравнений первой степени.

1. Решение методом подстановки.

Суть в том, что в системе уравнений выбираете наиболее простое, в котором одну переменную выражаете через другую. Результат подставляете во второе уравнение, благодаря чему преобразуете его в более простое уравнение с одной переменной. Вычисляете это уравнение и получаете значение одной из переменных. Подставляется его в первое уравнение и получаете значение второй переменной. Так вы решаете всю систему уравнений.

Пример: Решим систему уравнений

│x + y = 1
│2x – y = 2

Решение:

Первое уравнение системы проще второго – его и используем.
Выразим в нем x через у:

x = 1 – y

Подставляем это значение x в наше второе уравнение и находим значение y:

2(1 – y) – y = 2

2 – 2y – y = 2

2 – 3y = 2

3y = 2 – 2

3y = 0

y = 0.

Мы получили значение y. Подставляем его в наше первое уравнение и находим теперь уже значение x:

x + 0 = 1

x = 1

Мы нашли значения обеих переменных.

Ответ:

│x = 1
│y = 0

2. Решение методом сложения.

Этот метод целесообразно применять, если при сложении одно из неизвестных пропадает.

Пример 1: Решим систему уравнений

│x + y = 5
│x – y = 1

Решение.

Сложим (вычтем) почленно оба уравнения системы:

│(x + y) + (x – y) = 5 + 1
│(x + y) – (x – y) = 5 – 1

Раскрываем скобки в обоих уравнениях и сводим подобные члены. В результате в первом уравнении пропадает у, во втором х. Мы получаем уравнения с одной переменной, которые проще решать:

│ x + y + x – y = 6
│ x + y – x + y =  4

↓

│2x = 6
│2y = 4

↓

│x = 6 : 2
│y = 4 : 2

↓

│x = 3
│y = 2

Пример решен.

Необязательно производить взаимное сложение и вычитание двух уравнений системы. Часто достаточно бывает произвести одно из двух действий, чтобы вычислить значение одной из двух переменных. А зная одну переменную, мы уже легко сможем найти и вторую.

Пример 2. Решить систему уравнений

│2х + 4у = 26
│8х + 4у = 44

В обоих уравнениях есть число 4у. Значит, можем применить метод сложения. При этом произвести не взаимное сложение, а совершить лишь одно действие: вычесть из первого уравнения второе, чтобы 4у исчезло и чтобы в результате мы получили уравнение с одной переменной:

2х + 4у – 8х – 4у = 26 – 44.

-6х = -18

х = -18 : (-6)

х = 3

Теперь можем найти и значение у, подставив значение х в любое из двух уравнений системы:

2 · 3 + 4у = 26

6 + 4у = 26

4у = 20

у = 20 : 4

у = 5

Ответ: х = 3, у = 5.

Однако рассмотрим еще один пример.

Пример 3: Решим систему уравнений

│3х + 5у = 21
│8х – 3у = 7

Здесь нет переменных с одинаковыми коэффициентами, чтобы при вычитании они исчезли. Что делать в этом случае? Для таких случаев придумано оригинальное решение: умножим почленно первое уравнение на 3, а второе на 5. От этого истина не пострадает, потому что мы просто получим равносильные уравнения. Зато благодаря этому приему у нас появятся одинаковые переменные 15у:

│(3х + 5у = 21) · 3
│(8х – 3у = 7) · 5

↓

│3 · 3х + 3 · 5у = 3 · 21
│5 · 8х – 5 · 3у = 5 · 7

↓

│9х + 15у = 63
│40х – 15у = 35

Итак, у нас появились одинаковые переменные и мы можем сложить два уравнения, чтобы прийти к уравнению с одной переменной:

9х + 15у + 40х – 15у = 63 + 35

49х = 98

х = 2

Осталось найти значение второй переменной, подставив значение х, например, в первое уравнение системы:

3 · 2 + 5у = 21

6 + 5у = 21

5у = 21 – 6

5у = 15

у = 3.

Ответ: х = 2; у = 3.

Опять же не всегда нужно преобразовывать оба уравнения системы так, как было в предыдущем примере. Бывает и так, что достаточно изменить лишь одно из уравнений.

Пример 4. Решим систему уравнений:

│3х – 4у = 7
│х + 3у = 11

Здесь достаточно второе уравнение умножить на –3. Тогда мы получим число –3х, а при сложении двух уравнений придем к уравнению с одной переменной.
Итак, умножаем второе уравнение на –3:

(х + 3у = 11) · (–3)

–3х – 9у = –33

Теперь складываем два уравнения, приходим к уравнению с одной переменной у и решаем его:

3х – 4у –3х – 9у = 7 – 33

–13у = –26

у = 2.

И находим значение х. Это проще сделать во втором уравнении:

х + 3 · 2 = 11

х + 6 = 11

х = 5.

Ответ: х = 5; у = 2.

3. Решение методом введения новой переменной.

Пример. Решить систему уравнений

│       2                   3
│———— + ———— = 2
│   х – 3у          2х + у
│
│       8                  9
│———— – ———— = 1
│   х – 3у          2х + у

Перед нами система сложных уравнений, осложненных дробными числами. Наша задача – упростить их, чтобы потом решить. Если применить какой-нибудь из первых двух методов, получатся еще более сложные уравнения. Зато хорошо подходит метод введения новой переменной, благодаря которому мы целую дробь можем заменить одной переменной. Как это сделать?

Обратите внимание: у первых чисел обоих уравнений одинаковые знаменатели х – 3у, при этом их числители делятся на 2. У вторых чисел тоже одинаковые знаменатели 2х + у, а их числители делятся на 3. Этим и воспользуемся.

1) Выпишем снова нашу систему уравнений, разложив на множители числители второго уравнения и вынеся их за дробь:

│       2                   3
│———— + ———— = 2
│   х – 3у          2х + у
│
│            2                       3
│4 · ———— – 3 · ———— = 1
│         х – 3у             2х + у

Теперь в обоих уравнениях у нас абсолютно одинаковые первые дроби и абсолютно одинаковые вторые дроби.

2) Заменим эти дроби новыми переменными a и b следующим образом:

       2                          3
———— = а,    ———— = b.
   х – 3у                 2х + у

Так мы существенно упрощаем уравнения, которые обретают совсем иной вид:

│ а + b = 2
│4а – 3b = 1

3) Применяем уже известный нам метод подстановки.

Первое уравнение проще, поэтому сначала выражаем в нем а через b:

а = 2 – b.

Подставляем полученное значение а во второе уравнение, раскрываем скобки, приводим подобные члены и вычисляем численное значение b:

4 · (2 – b) – 3b = 1

8 – 4b – 3b = 1

8 – 7b = 1

7b = 8 – 1

7b = 7

b = 1

Раз нам известно численное значение b, то мы легко можем найти и численное значение а. Это проще сделать с помощью первого уравнения:

а + b = 2

а + 1 = 2

а = 2 – 1

а = 1.

Итак:

а = 1,  b = 1.

Вписываем в дроби эти значения а и b:

│       2
│———— = 1
│  х – 3у
│
│       3
│———— = 1
│  2х + у

4) Преобразуем эти уравнения по известному вам правилу: неизвестные влево, известные вправо:

│ х – 3у = 2 : 1
│2х + у = 3 : 1

↓

│ х – 3у = 2
│2х + у = 3

5) Решаем эту систему уравнений снова с помощью метода подстановки. Для этого в первом уравнении х выражаем через у:

х = 2 + 3у.

Подставляем во второе уравнение и находим у:

2 · (2 + 3у) + у = 3

4 + 6у + у = 3

7у = 3 – 4

7у = –1

у = –1/7

И с помощью первого уравнения находим х:

х – 3у = 2

х – 3 · (–1/7) = 2

х + 3/17 = 2

х = 2 – 3/7

х = 11/7.

Мы нашли значения х и у в нашей исходной системе уравнений – а значит, решили ее.

Ответ: х = 11/7, у = –1/7

ПРИМЕЧАНИЕ.

Как видно из этого примера, нередки случаи, когда при решении системы уравнений надо последовательно применить сразу несколько методов.

Решение систем уравнений (одновременных уравнений)

Если у вас есть два разных уравнения с одними и теми же двумя неизвестными в каждом, вы можете решить для обоих неизвестных. Есть три распространенных метода решения: сложение/вычитание, замена и построение графика.

Метод сложения/вычитания

Этот метод также известен как метод исключения.

Чтобы использовать метод сложения/вычитания, сделайте следующее:

1. Умножьте одно или оба уравнения на какое-либо число (числа), чтобы сделать число перед одной из букв (неизвестных) одинаковым или прямо противоположным в каждом уравнение.
2. Сложите или вычтите два уравнения, чтобы исключить одну букву.
3. Найдите оставшееся неизвестное.
4. Найдите другое неизвестное, подставив значение найденного неизвестного в одно из исходных уравнений.

Пример 1

Найдите x и y .

Добавление уравнений устраняет y ‐членов.

Теперь подставив 5 вместо x в первое уравнение, мы получим следующее:

Ответ: x = 5, y = 2 

Заменив в исходных уравнениях каждые x на 5 и каждые y на 2, вы увидите, что каждое уравнение станет верным.

В Примере и Примере существовал уникальный ответ для x и y , который делал каждое предложение верным одновременно. В некоторых ситуациях вы не получаете уникальных ответов или не получаете ответов. Вы должны знать об этом, когда используете метод сложения/вычитания.

Пример 2

Решите для x и лет.

Сначала умножьте нижнее уравнение на 3. Теперь y предшествует цифра 3 в каждом уравнении.

Уравнения можно вычесть, исключив члены y .

Вставьте x = 5 в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .

Ответ: х = 5, y = 3 

Конечно, если число перед буквой в каждом уравнении уже одно и то же, вам не нужно изменять ни одно из уравнений. Просто добавьте или вычтите.

Чтобы проверить решение, замените каждое x в каждом уравнении на 5 и замените каждое y в каждом уравнении на 3. 

Пример 3

Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание, что получится.

Теперь, если вы должны вычесть одно уравнение из другого, результат будет 0 = 0.

Это утверждение всегда верно .

Когда это происходит, система уравнений не имеет единственного решения. На самом деле, любая замена на и на , которая делает одно из уравнений верным, также делает верным другое уравнение. Например, если a = -6 и b = 5, то оба уравнения выполняются.

[3(– 6) + 4(5) = 2 И 6(– 6) + 8(5) = 4]

На самом деле у нас есть только одно уравнение, записанное двумя разными способами. В этом случае второе уравнение фактически является первым уравнением, умноженным на 2. Решением для этой ситуации является либо исходное уравнение, либо упрощенная форма любого уравнения.

Пример 4

Найдите x и y .

Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание, что получится.

Теперь, если вы вычтете нижнее уравнение из верхнего уравнения, результат будет 0 = 1. Это утверждение равно 9.0023 никогда не верно . В этом случае система уравнений не имеет решения.

В примерах 1–4 только одно уравнение умножалось на число, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными. Иногда каждое уравнение нужно умножать на разные числа, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными.

Найдите x и y .

Обратите внимание, что нет простого числа, на которое можно умножить любое уравнение, чтобы получить числа перед 9.0023 x или y , чтобы стать одинаковыми или противоположными. В этом случае сделайте следующее:

1. Выберите букву для исключения.
2. Используйте две цифры слева от этой буквы. Найдите наименьшее общее кратное этого значения в качестве желаемого числа, которое должно стоять перед каждой буквой.
3. Определите, на какое значение нужно умножить каждое уравнение, чтобы получить это значение, и умножьте уравнение на это число.

Предположим, вы хотите исключить x . Наименьшее общее кратное 3 и 5, число перед x , равно 15. Первое уравнение нужно умножить на 5, чтобы получить 15 перед x . Второе уравнение нужно умножить на 3, чтобы получить 15 перед x .

Теперь вычтите второе уравнение из первого уравнения, чтобы получить следующее:

В этот момент вы можете либо заменить y на и найти x (метод 1 ниже), либо начать с исходного два уравнения и исключить y , чтобы вычислить x (способ 2 ниже).

Метод 1

Используя верхнее уравнение: Замените y на и найдите x .

Метод 2

Исключите y и найдите x .

Наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12. Умножьте верхнее уравнение на 3, а нижнее на 2.

Теперь сложите два уравнения, чтобы исключить y .

Решение x = 1 и .

Метод подстановки

Иногда система легче решается методом подстановки . Этот метод включает подстановку одного уравнения в другое.

Пример 6

Решите для x и лет.

Из первого уравнения подставьте ( y + 8) вместо x во второе уравнение.

( у + 8) + 3 г = 48 

Теперь найдите г. Упростите, объединив и .

Теперь подставьте y значение 10 в одно из исходных уравнений.

Ответ: y = 10, x = 18 

Проверьте решение.

Пример 7

Найдите x и y методом подстановки.

Сначала найдите уравнение, в котором перед буквой стоит либо «1», либо «– 1». Решите для этой буквы через другую букву.

Затем действуйте, как в примере 6.

В этом примере в нижнем уравнении стоит «1» перед y .

Найдите y через x .

Подставьте 4 x – 17 вместо y в верхнем уравнении, а затем найдите x .

Замените x на 4 в уравнении y – 4 x = –17 и найдите y .

Решение: x = 4, y = –1.

Проверить решение:

Графический метод

Другой метод решения уравнений состоит в построении каждого уравнения на координатном графике. Координаты пересечения и будут решением системы. Если вы не знакомы с построением координатных графиков, внимательно изучите статьи по координатной геометрии, прежде чем пытаться использовать этот метод.

Пример 8

Решите систему с помощью графика.

Сначала найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. (Хотя для определения прямой линии необходимы только две точки, нахождение третьей точки является хорошим способом проверки.) Ниже приведены таблицы значений x и y :

x
и
 | 4 | 0
 | 2 | –2
 | 5 | 1

x
и
 | 1 | -1
 | 4 | 0
 | 7 | 1

Теперь начертите две линии на координатной плоскости, как показано на рис. 1. 

Точка пересечения двух прямых (4, 0) является решением системы.

Если прямые параллельны, то они не пересекаются, а значит, у этой системы нет решений.

Рис. 1. График линий х = 4 + y и х – 3 y = 4 с указанием решения.

Пример 9

Решите систему с помощью графика.

Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению.

3 x + 4 y = 2 6 x + 8 y = 4

Ниже приведены таблицы значений x и 4 y 9002. См. рис. 2. 

x
и
 | 0 |
| 2 | – 1
| 4 |

x
и
 | 0 |
| 2 | – 1
| 4 |

Обратите внимание, что одинаковые точки удовлетворяют каждому уравнению. Эти уравнения представляют одну и ту же прямую.

Следовательно, решение не является единственной точкой. Решением являются все точки на прямой.

Следовательно, решением является любое уравнение прямой, поскольку они оба представляют одну и ту же прямую.

Это похоже на пример, когда это было сделано с использованием метода сложения/вычитания.

Рис. 2. График линий 3 x + 4 y = 2 и 6 x + 8 y = 4 с указанием решения.

Пример 10

Решите систему с помощью графика.

Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. См. следующие таблицы значений x и y :

x
и
 | 0 | 1
 | 2 |
| 4 | -2 

x
и
 | 0 | 2
 | 2 |
| 4 | -1 

Обратите внимание, что на рисунке 3 два графика параллельны. Они никогда не встретятся. Следовательно, для этой системы уравнений решения нет.

Для этой системы уравнений не существует решений.

Это похоже на пример, выполненный с использованием метода сложения/вычитания.

Рис. 3. График линий 3 х + 4 у = 4 и 6 х + 8 у = 16, обозначающий решение.

Решение систем уравнений с двумя переменными (Алгебра 2, Как решить систему линейных уравнений) – Mathplanet

Система линейного уравнения состоит из двух или более уравнений, и одно из них ищет общее решение уравнений. В системе линейных уравнений каждому уравнению соответствует прямая линия, и нужно найти точку, в которой две линии пересекаются.

Пример

Решите следующую систему линейных уравнений:

$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right .$$

Поскольку мы ищем точку пересечения, мы можем изобразить уравнения:

Здесь мы видим, что прямые пересекаются друг с другом в точке x = 2, y = 8. Это наше решение и мы можем назвать это графическим решением задачи.

Но как найти решение, если линии никогда не пересекаются? Нельзя, система уравнений не имеет решения.

Правильный ответ можно также получить с помощью метода исключения (также называемого методом сложения или методом линейной комбинации) или методом подстановки.

При использовании метода подстановки мы используем тот факт, что если два выражения y и x имеют одинаковое значение x=y, то x может заменить y или наоборот в другом выражении без изменения значения выражения.

Пример

Решить системы уравнений методом подстановки

$$\left\{\begin{matrix} y=2x+4\\ y=3x+2\\ \end{matrix}\right.$$

Заменим y в верхнем уравнении выражением для второго уравнения:

$$\begin{array}{lcl} 2x+4 & = & 3x+2\\ 4-2 & = & 3x-2x\\ 2 & = & x\\ \end{array }$$

Чтобы определить значение y , мы можем подставить наше значение x в любое из уравнений. Выбираем первое уравнение:

$$y=2x+4$$

Подставляем x=2 и получаем

$$y=2\cdot 2+4=8$$

Таким образом, мы пришли к точно такому же ответу, как и в графическом решении.

Метод исключения требует, чтобы мы складывали или вычитали уравнения, чтобы исключить x или y , часто нельзя приступить к сложению напрямую, не умножив первое или второе уравнение на некоторое значение.

Пример

$$2x-2y=8$$

$$x+y=1$$

Теперь мы хотим сложить два уравнения, но ни одно из них не даст x или y удаляются. Следовательно, мы должны умножить второе уравнение на 2 с обеих сторон и получить:

$$2x-2y=8$$

$$2x+2y=2$$

Теперь попробуем сложить нашу систему уравнений. Начнем с x -термов слева, затем y -термов и, наконец, с чисел справа:

$$(2x+2x)+(-2y+2y)=8+ 2$$

Члены y теперь исключены, и теперь у нас есть уравнение только с одной переменной:

$$4x=10$$

$$x=\frac{10}{4}=2,5$$

После этого для определения y -значения подставляем x =2,5 в одну уравнений.