4x + y = 7 2x + 5y = -1 Этот вопрос касается алгебраического решения линейных систем
Выберите область веб-сайта для поиска
MathAllУчебные пособияПомощь по выполнению домашних заданийПланы уроков
Искать на этом сайте
Цитата страницы
Начать эссе
значок-вопрос
Задайте вопрос
Начать бесплатную пробную версию
Скачать PDF
PDF
Цитата страницы
Цитировать
Поделиться ссылкой
Делиться
Ссылайтесь на эту страницу следующим образом:
«4х + у = 7
2x + 5y = -1 Этот вопрос касается алгебраического решения линейных систем» eNotes Editorial , 17 октября 2012 г. , https://www.enotes.com/homework-help/4x-y-7-2x-5y-1 -367481.
По состоянию на 8 мая 2023 г.
Ответы экспертов
4x + y = 7
2x + 5y = -1
Чтобы решить эту систему алгебраически, используйте замену.
Решите первое уравнение для y.
4x + y = 7
y = 7 — 4x
Подставьте это выражение вместо y во второе уравнение и найдите x.
2x + 5y = -1
2x + 5(7 — 4x) = -1
2x + 35 — 20x = -1
-18x + 35 = -1
-18x = -36 9 0907
х = 2
Теперь замените x на 2 in в первом уравнении и найдите y.
4x + y = 7
4 * 2 + y = 7
8 + y = 7
y = -1
Решение этой системы {x = 2, y = -1}. Подставьте эти значения во второе уравнение, чтобы проверить точность.
2x + 5y = -1
2 * 2 + 5 * -1 = -1
4 + -5 = -1
-1 = -1
Решение {x = 2, y = -1 } верно.
См. eNotes без рекламы
Начните 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые наши эксперты ответили.
Получите 48 часов бесплатного доступа
Уже зарегистрированы? Войдите здесь.
Утверждено редакцией eNotes
Задайте вопрос
Похожие вопросы
Просмотреть все
Математика
Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.
Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?
14 Ответы педагога
Математика
Последний ответ опубликован 25 февраля 2016 г. в 18:48:45.
Сколько времени (в часах) займет ваше путешествие, если вы проедете 350 км со средней скоростью 80 км/ч? Какова формула с данными: время, расстояние, скорость или скорость?
Все значения, которые принимает независимая переменная $x$ (аргумент), называют областью определения функции.
Другими словами, множество всех допустимых значений аргумента $х$ называется областью определения функции.
Она обозначается как $D(f)$ или $D(y)$.
Рассмотрим, например, функцию $у =\frac{2}{x}$.
Так как на ноль делить нельзя, $x$ не может быть равен $0$.
Область определения можно записать следующим образом:
$D\left(у\right): x ≠ 0$ или $x ≠ 0$.
Рассмотрим функцию $y = 2x$. Переменная $x$ может принимать любые значения, поэтому область определения этой функции будут все числа:
$D\left(у\right) = (-\infin;+\infin)$
Область значений
Все значения зависимой переменной входят в область значений функции.
Другими словами, множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $у$, называют областью значений функции. 4$. При возведении любого (даже отрицательного) числа в степень с четным показателем мы получим положительное число (или ноль, если основание степени $x = 0$). Следовательно область значения нашей функции можно записать так:
$Е(y): y ≥ 0$
Рассмотрим функцию $y = 5x$. Переменная $y$ может принимать любые значения, также как и $x$. Запишем область значения функции:
$E\left(y\right) = (-\infin;+\infin)$
{"questions":[{"content":"Множество всех допустимых значений аргумента $x$ называется [[fill_choice-1]] Множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$, называют [[fill_choice-3]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["областью определения функции","областью значений функции"],"answer":0},"fill_choice-3":{"type":"fill_choice","options":["областью определения функции","областью значений функции"],"answer":1}}}]}
5
Оценить урок
Поделиться уроком →
Что можно улучшить?
Изложение материала
Непонятное объяснение
Урок неполный, не хватает
информации
Урок перегружен, слишком много
информации
Тесты плохого качества
Тестов недостаточно
Тестов слишком много
Тесты слишком легкие
Тесты слишком сложные
Изображения
Изображения плохого качества
Изображений недостаточно
Изображений слишком много
Другое
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Следующий урок
Способы задания функций. График функции
Функции — что это, определение и ответ
Функция – это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент второго множества.
СУТЬ ФУНКЦИИ:
Чтобы понять суть функции, можно рассмотреть формулу периметра квадрата. Мы знаем, что периметр квадрата находится так: \(P = 4a\), где a – это сторона квадрата.
Мы можем сами подставить любую длину стороны квадрата, чтобы получить соответствующий ей периметр. Если между двумя какими-либо величинами есть такое соответствие, то между ними существует функция.
Рассмотрим это соответствие на примере квадрата:
Если \(а = 1\), то \(Р = 1 \bullet 4 = 4\)
Если а\(= 2\), то \(Р = 2 \bullet 4 = 8\)
Если \(а = 3\), то \(Р = 3 \bullet 4 = 12\)
и так далее.
Мы говорим, что чтобы получить периметр квадрата, нужно его сторону умножить на 4. Это будет верно для любой стороны квадрата, которую мы сами зададим.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЕЙ:
Величина, которую мы подставляем в формулу, называется переменной величиной или аргументом.
Та величина, которая получается в итоге преобразования переменной, называется зависимой величиной или значением функции.
Закон (или принцип) по которому меняется переменная, превращаясь в зависимую, называется функцией.
В нашем примере a – это переменная, P – это зависимая, а действие ( \(\bullet 4\)) – функция.
В общем виде переменную, зависимую и функцию записывают следующим образом:
\(y = f(x)\)
Она означает, что чтобы получить y, нужно преобразовать x по функции f. Такую запись можно читать как «\(y\ \)равен \(f\) от\(\ x\)».
При этом не только сама закономерность, по которой меняется \(x\), называется функцией. Для краткости функцией называют всё выражение, в котором есть зависимость. То есть мы можем сказать, что \(Р = 4a\) – это функция, хотя формально это выражение, содержащее аргумент, зависимую и функцию.
Далее, когда мы будем говорить о функции, мы будем иметь в виду целое выражение, подобно формуле площади квадрата, а не только действие преобразования аргумента.
Также каждая функция имеет свою область значений и область определения.
Область определения – это множество чисел, которые могут являться аргументами данной функции.
Область значений – это множество чисел, которые могут являться значением функции.
Например, в случае с периметром квадрата мы можем точно сказать, что сторона квадрата должна быть положительным числом. Потому что длина не может иметь отрицательное значение и не может быть равна 0, ведь в таком случае, квадрата не получится.
А если аргумент функции должен быть положительным, то при умножении положительного числа на 4 получится тоже только положительное число.
Таким образом область значений и областью определений в данном примере являются множества положительных чисел.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ:
Описать суть функции можно по-разному. Также можно по-разному описать зависимость, чтобы какую-либо функцию задать.
Рассмотрим различные способы задания одной и той же функции.
Словесный способ задания функции.
«У Даши есть яблоки. При этом у её старшего брата Вани всегда на два яблока больше.»
Чтобы словесно задать функцию, нужно описать, как изменяется аргумент. В данном случае в описании ситуации уже словесно задана функция словами «у Вани всегда на два яблока больше, чем у Даши». Эти слова определяют конкретную зависимость количества яблок у Вани от количества яблок у Даши.
Табличный способ задания функции.
Посмотрим на таблицу аргументов и зависимых от них величин.
Можем заметить, что каждый y больше своего x на 2. Эта зависимость есть у каждой из пар «аргумент – значение функции».
Способ задания функции формулой.
Этот способ мы рассматривали ранее через формулу периметра квадрата. Рассмотрим более общий вид функции, заданной формулой – через \(x\ \)и \(y\):
\(y = x + 2\)
По формуле мы видим, что каждый y на 2 больше, чем соответствующий ему x.
Пример №1
Найдите значение функции:
\(y = \frac{x\ –\ 2}{5}\) при \(x = 2;\ x = 27\).
1. Чем являются значение и аргумент функции мы знаем, это y и x. А вот именно функцией является более сложное действие – «вычесть 2, разделить на 5». Найдем значение этой функции при \(x = 2\):
\(y = f(x) = \frac{x\ –\ 2}{5}\)
\(f(2) = \frac{2\ –\ 2}{5} = \frac{0}{5} = 0\)
Таким образом мы узнали, что аргументу 2 соответствует значение функции 0.
2. Аналогично найдем значение функции при \(x = 27\):
\(f(27) = \frac{27\ –\ 2}{5} = \frac{25}{5} = 5\)
Значит аргументу 27 соответствует значение функции 5.
Ответ: 0; 5.
ГРАФИК ФУНКЦИИ:
Любую функцию можно изобразить на координатной плоскости. Если координатная плоскость состоит из точек, каждая из которой имеет две координаты, то одна координата будет равна аргументу, а вторая координата значению функция, который ей соответствует.
Из этого следует, что точка принадлежит графику некоторой функции, если её координаты равны аргументу и соответствующему ей значению функции.
Пример №2:
Постройте график функции \(y = x + 2.\)
1. Для построения графиков удобнее всего задавать функцию таблицей. Выберем несколько любых аргументов и найдем для них значения функции:
2. У нас есть координаты для четырех точек – А\((–2;\ 0)\), В(\(0;\ 2),\) С\((3;\ 5)\), D\((6;\ 8). {2}–\ 4.\)
1. Выберем любые аргументы и найдем им соответствующие значения функции. Запишем их в таблице:
2. Построим и соединим на координатной плоскости получившиеся точки:
На данном графике мы видим что одно значение функции может быть у двух аргументов, например точки В\((–2;\ 0)\) и F(\(2;\ 0)\) или С\((–1;\ –3)\) и Е(\(1;\ –3)\) имеют разные аргументы, но одинаковые значения функции. Это не противоречит определению функции.
Для разных аргументов могут совпадать значения функции
Но при этом, НЕ может быть такой ситуации, когда одному аргументу соответствуют несколько значений функций. Так нарушается принцип соответствия и рисунок на координатной плоскости перестает быть графиком функций по определению
Для одного аргумента НЕ может существовать несколько значений функции
Например, вот такой график нельзя назвать графиком функций, потому что одному аргументу соответствует несколько значений:
Пример №4:
Определите без построения графика, принадлежат ли точки А\((2;\ 10)\) и В(\(–3;\ 6)\) графику функций \(y\ = \ 8\ + \ x\)?
1. Точка принадлежит графику функций, если её координате x соответствует координата соответствует координата y именно как \(y\ = \ 8\ + \ x.\)
2. Определим принадлежность точки А к графику данной функции. Для этого подставим координату её абсциссы в функцию и найдем соответствующее ей значение:
\({y = 8 + x }{y\left( 2 \right) = 8 + 2 = 10}\)
Мы получили некую точку графика с координатами \((2;\ 10)\). Такие же координаты и у точки А Получается, что точка А\((2;\ 10)\) – это точка графика функции. Значит А принадлежит графику.
3. Аналогично определим принадлежность точки В к графику функции.
\({y = 8 + x }{y(–3) = 8\ –\ 3 = 5}\)
Мы получили точку графика \((–3;\ 5),\) а у точки В координаты \((–3;\ 6)\), значит тока В НЕ принадлежит графику.
Ответ: да; нет.
Функция | Определение, типы, примеры и факты
кубическое уравнение
Просмотреть все СМИ
Ключевые люди:
Поль Пенлеве
Карл Вейерштрасс
Эмиль Борель
Эдвард Чарльз Титчмарш
Питер Густав Лежен Дирихле
Похожие темы:
специальная функция
корень
преемственность
Дзета-функция Римана
рекурсивная функция
Просмотреть весь связанный контент →
функция , в математике выражение, правило или закон, определяющий связь между одной переменной (независимой переменной) и другой переменной (зависимой переменной). Функции повсеместно используются в математике и необходимы для формулирования физических отношений в естественных науках. Современное определение функции впервые дал в 1837 году немецкий математик Петер Дирихле:
Если переменная y так связано с переменной х , что всякий раз, когда числовое значение присваивается х , существует правило, согласно которому определяется уникальное значение y , тогда y называется функция независимой переменной x .
Это отношение обычно изображается как y = f ( x ) — что называется « f из x » — и y и 9 0026 x связаны так, что на каждые x , есть уникальное значение y . То есть f ( x ) не может иметь более одного значения для одного и того же x . Говоря языком теории множеств, функция связывает элемент x с элементом f ( x ) в другом наборе. Набор значений x называется доменом функции, а набор значений f ( x ), порожденных значениями в домене, называется диапазоном функции. В дополнение к f ( x ), другие сокращенные символы, такие как g ( x ) и P ( x ), часто используются для представления функций независимой переменной x , особенно когда характер функция неизвестна или не определена.
Общие функции
Многие широко используемые математические формулы являются выражениями известных функций. Например, формула площади круга: A = π r 2 дает зависимую переменную A (площадь) как функцию независимой переменной r (радиус). Функции, включающие более двух переменных (называемые многомерными или многомерными функциями), также распространены в математике, как это видно из формулы площади треугольника A = b h /2, которая определяет A в зависимости от b (основание) и h (высота). В этих примерах физические ограничения заставляют независимые переменные быть положительными числами. Когда независимым переменным также разрешено принимать отрицательные значения — таким образом, любое действительное число — функции известны как функции с действительными значениями.
Викторина «Британника»
Числа и математика
Формула площади круга является примером полиномиальной функции. Общая форма для таких функций: P ( x ) = a 0 + a 1 x + a 90 129 2 х 2 +⋯+ а n x n , где коэффициенты ( 0 , 1 , 2 ,…, n ), x может быть любым действительным числом, и все степени числа x — это счетные числа (1, 2, 3,…). (Когда степени x могут быть любым действительным числом, результат известен как алгебраическая функция. ) Полиномиальные функции изучались с древнейших времен из-за их универсальности — практически любое отношение, включающее действительные числа, может быть точно аппроксимировано с помощью полиномиальная функция. Полиномиальные функции характеризуются наибольшей степенью независимой переменной. Для таких степеней от одного до пяти обычно используются специальные названия: линейная, квадратичная, кубическая, квартическая и квинтическая для высших степеней, равных 1, 2, 3, 4 и 5 соответственно.
Полиномиальные функции могут иметь геометрическое представление с помощью аналитической геометрии. Независимая переменная x откладывается по оси x (горизонтальная линия), а зависимая переменная y откладывается по оси y (вертикальная линия). Когда график отношения между x и y строится в плоскости x — y , отношение является функцией, если вертикальная линия всегда проходит только через одну точку графической кривой; то есть была бы только одна точка f ( x ) соответствует каждому x , что является определением функции. Затем график функции состоит из точек с координатами ( x , y ), где y = f ( x ). Например, на рисунке показан график кубического уравнения f ( x ) = x 3 − 3 x + 2.
Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подписаться сейчас
Другим распространенным типом функций, которые изучались с древних времен, являются тригонометрические функции, такие как sin x и cos x , где x — мера угла ( см. рисунок ) . Из-за своего периодического характера тригонометрические функции часто используются для моделирования повторяющегося поведения или «циклов».
Показательная функция представляет собой соотношение вида y = a x , с независимой переменной x , расположенной по всей линейке действительных чисел как показатель степени положительного числа a . Вероятно, наиболее важной из экспоненциальных функций является y = e x , иногда пишут y = exp ( x ), в которой e (2,718 2818…) является основой природного система логарифмов (ln). По определению x — это логарифм, и, таким образом, существует логарифмическая функция, обратная экспоненциальной функции. В частности, если y = e x , тогда x = ln y . Неалгебраические функции, такие как экспоненциальные и тригонометрические функции, также известны как трансцендентные функции.
Сложные функции
Практические приложения функций, переменными которых являются комплексные числа, не так просто проиллюстрировать, но тем не менее они очень обширны. Они встречаются, например, в электротехнике и аэродинамике. Если комплексная переменная представлена в виде z = x + i y , где i — мнимая единица (квадратный корень из −1), а x и y — действительные переменные (900 26 см. 2$ в $\R$.
Возможно, вы сталкивались с функциями в более абстрактных условиях, таких как
хорошо; это наша цель. В нескольких последних разделах главы мы
использовать функции для изучения некоторых интересных тем теории множеств.
С помощью функции из множества $A$ в множество $B$ мы
означает назначение или правило $f$ такое, что для каждого
$a\in A$ существует единственный $b\in B$ такой, что $f(a)=b$. Множество $A$
называется областью $f$, а множество $B$
называется кодовым доменом . Мы говорим, что две функции $f$
и $g$ равны , если они имеют один и тот же домен и одинаковые
codomain, и если для каждого $a$ в домене $f(a)=g(a)$.
(В интересах полного раскрытия пакостей следует упомянуть
что последний абзац вообще не определение!
Проблема в том, что слова «назначение» и «правило» являются синонимами
«функции». Эту проблему можно «решить», определив функции
с точки зрения множеств, но у нас нет удовлетворительного определения
из «набора». На данный момент все
необходимо интуитивное понимание концепции и способа
показывает, что две функции равны.)
Мы часто пишем $f\colon A\to B$, чтобы указать, что $f$ является функцией
от $A$ до $B$. Иногда слово «карта» или
«отображение» используется вместо «функция». Если
$f\colon A\to B$ и $f(a)=b$, мы говорим, что $b$ является образом $a$ при $f$ , а $a$ является прообразом $b$ до $f$ . Когда функция ясна
исходя из контекста, фразу «менее $f$» можно опустить.
Пример 4.1.1. Вы знакомы со многими функциями $f\colon \R\to \R$:
Полиномиальные функции, тригонометрические функции, экспоненциальные функции,
и так далее. Часто вы имели дело с функциями с кодоменом $\R$
доменом которого является некоторое подмножество $\R$. Например, $f(x)=\sqrt x$ имеет
домен $[0,\infty)$ и $f(x)=1/x$ имеет домен $\{x\in \R : x\ne 0\}$.
Легко видеть, что подмножество плоскости есть граф
функция $f\colon \R\to \R$ тогда и только тогда, когда каждая вертикальная линия
пересекает его ровно в одной точке. Если эта точка $(a,b)$, то
$f(a)=b$. $\квадрат$
Пример 4.1.2. Функции на конечных множествах можно определить, перечислив все
задания. Если $A=\{1,2,3,4\}$ и $B=\{r,s,t,u,v\}$, то
«$f(1)= t,f(2)= s,f(3)= u,f(4)= t$»
определяет функцию от $A$ до $B$. Задание можно выполнить вполне
произвольно, без обращения к какой-либо конкретной формуле.
$\квадрат$
Пример 4.1.3 Следующие функции не являются функциями из $A=\{1,2,3,4,5\}$ в
$B=\{r,s,t,u\}$:
$$ \matrix{f(1)= t & \quad & g(1)=u\cr f(2)= s
& \quad & g(2)=r\cr f(3)= r & \quad & g(4)=s\cr f(3)= u & \quad &
g(5)=t\cr f(4)= u & \quad & \cr f(5)= r & \quad & \cr}
$$
Проблема в том, что $f$ отображает $3$ в два значения, а $g$ не отображает $3$.
к любым значениям. При перечислении назначений функции
элементы домена должны встречаться ровно один раз. (Элементы
codomain может появляться более одного раза или не появляться вовсе. В
пример 4.1.2, элемент $t$ домена кода
имеет два прообраза, а $r$ и $v$ не имеют ни одного. мы обсудим это
ситуация подробно описана в следующих разделах. ) $\square$
Пример 4.1.4. Если $A$ и $B$ непустые множества
и $b_0$ — фиксированный элемент $B$, мы можем определить константу функцию $f\colon A\to B$ по формуле $f(a)=b_0$ для всех $a\in
$. Постоянных функций от $A$ до $B$ столько, сколько
элементы $B$.
$\квадрат$
Пример 4.1.5. Для множества $A$ определим тождество функцию $i_A\colon A\to A$ по правилу $i_A(a)=a$ для
все $a\in A$. Другими словами, функция тождества отображает все
элемент на себя. Хотя это кажется довольно тривиальной концепцией,
это полезно и важно. Функции тождества ведут себя почти так же,
так, как 0 делает по отношению к сложению или 1 по отношению к
умножение.
$\квадрат$
Пример 4.1.6. Если $A\subseteq B$, определить функцию включения $f\colon A\to B$ на
$f(a)=a$ для каждого $a\in A$. Это очень похоже на $i_A$; единственный
разница в кодовом домене.
$\квадрат$
Определение 4.1.7. Если $f\colon A\to B$ и $g\colon B\to C$ — функции, определим
$g\circ f\colon A\to C$ по правилу $(g\circ f)(a)=g(f(a))$ для всех
$а\в А$. Это называется композиция из
две функции. Заметьте, что $f$ — это первая функция, которая
применяется к элементу $a$, хотя он указан справа. Этот
нарушение обычного правила слева направо иногда вызывает
путаница. $\квадрат$
9+\cup\{0\}\to \R$ определяется выражением
$(g\circ f)(x)=\sin\sqrt x$. Обратите внимание, что $(f\circ g)(x)=\sqrt{\sin x}$
имеет смысл только для таких $x$, что $\sin x\ge 0$.
В общем, $f\circ g$ и $g\circ f$ не обязательно равны, и (поскольку
в этом случае) их не обязательно определять в одних и тех же точках.
$\квадрат$
Пример 4.1.9
Если $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{r,s,t,u\}$, $C=\{\$,\%,\#,\&\ }$ и
$$
\matrix{ f(1) & = u &\quad g(r)&= \%\cr
f(2) & = r &\quad g(s)&= \#\cr
f(3) & = s &\quad g(t)&= \$\cr
f(4) & = u &\quad g(u)&= \$\cr }
$$
затем
$$
\eqalign{ (g\circ f)(1) & = \$ \cr
(g\circ f)(2) & = \% \cr
(g\circ f)(3) & = \# \cr
(g\circ f)(4) & = \$ \cr}
$$
$\квадрат$
Пример 4. 1.10. Если $A\subseteq B$, $f\colon A\to B$ является функцией включения
(пример 4.1.6) и $g\colon B\to C$ — функция, то
$g\circ f\colon A\to C$ называется ограничением от $g$ до $A$ и обычно записывается
$г\верт_А$. Для всех $a\in A$
$$ г\верт_А(а)=г(ф(а))=г(а),
$$
поэтому $g\vert_A$ — это та же самая функция, что и $g$, но с меньшим
домен.
$\квадрат$
Следующее простое, но важное наблюдение:
Теорема 4.1.11 Если $f\colon A\to B$, то $f\circ i_A=f=i_B\circ f$.
Доказательство. Все
три функции имеют домен $A$ и кодовый домен $B$. Для каждого $a\in A$
$$
(f\circ i_A)(a)=f(i_A(a))=f(a)=i_B(f(a))=(i_B\circ f)(a).
$$$\qed$
Аналогичный аргумент показывает, что всякий раз, когда он определен,
композиция функций ассоциативна, т. е. $(f\circ g)\circ
h=f\circ (g\circ h)$ (см. упражнение 7).
Пример 4.1.1 Решите, определяют ли следующие назначения функции из
$A=\{1,2,3,4\}$ в
$B=\{r,s,t,u,v\}$.
$$
\matrix{f(1)=s &\quad & g(1)= t &\quad & h(1)=v \cr
f(2)=t &\quad & g(2)= r &\quad & h(2)=u \cr
f(4)=u &\quad & g(3)= s &\quad & h(3)=t \cr
&\quad & g(4)= r &\quad & h(2)=s \cr
&\quad & &\quad & h(4)=r \cr }
$$
1.1. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству:
1.2. В выпуклом четырехугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трех остальных углов также равняться m?
1.3. Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы любые два соседних числа отличались или на 2, или в два раза?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. (sinx, siny, sinz) – возрастающая арифметическая прогрессия.
Может ли последовательность (cosx, cosy, cosz) также являться арифметической прогрессией?
2.2. Диагонали четырехугольника АВСD пересекаются в точке О, М и N – середины сторон ВС и AD соответственно. Отрезок MN делит площадь четырехугольника пополам. Найдите отношение ОМ : ОN, если AD = 2BC.
2.3. Число 1047 при делении на A дает остаток 23, а при делении на A + 1 – остаток 7. Найдите A.
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
3.1. Пусть a, b, c, d – действительные числа, удовлетворяющие системе равенств:
Какие значения может принимать выражение ?
3.2. Все грани треугольной пирамиды SABC – остроугольные треугольники. SX и SY – высоты граней ASВ и BSС.
Известно, что четырехугольник AXYC – вписанный. Докажите, что прямые AC и BS перпендикулярны.
3.3. Кодовый замок откроется, если в каждой клетке квадрата размером 4×4 набрать число от 1 до 16 (не повторяясь) так,
чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2×2 была кратна 17. Можно ли открыть такой замок?
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).
4.1. Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке. Какие числа могут быть записаны?
4.2. Трапеция с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, E – точка пересечения ее диагоналей. Докажите, что угол AED – тупой.
4.3. В правильном 21-угольнике 6 вершин покрашены красным цветом, а 7 вершин – синим.
Обязательно ли найдутся два равных треугольника, один из которых с красными вершинами, а другой – с синими?
Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
5.1. Решите уравнение:
5.2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках М и N так,
что АВ – биссектриса треугольника МАN. Докажите, что отношение отрезков ВМ и BN равно отношению радиусов окружностей.
5.3. Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел m и n, если известно,
что при увеличении числа m на 6 он увеличивается в девять раз?
Синус, косинус, тангенс, котангенс / Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов / Справочник по геометрии 7-9 класс
Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
Синус, косинус, тангенс, котангенс
Введем прямоугольную систему координат . В верхней полуплоскости координатной плоскости рассмотрим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, её называют единичной полуокружностью. Из точки О(0; 0) проведем луч и отметим точку , в которой данный луч пересекает единичную полуокружность. Пусть — угол между лучом и положительной полуосью абсцисс (при совпадении данного луча с положительной полуосью абсцисс будем считать, что = 00):
Пусть 900, тогда из прямоугольного треугольника ЕОМ получаем:
, .
Учитывая, что ОМ= 1, МЕ= , ОЕ = , получим:
, . (1)
То есть синус острого угла равен ординате точки М, а косинус — абсциссе точки М.
Формулы (1) справедливы и в том случае, если угол прямой, тупой и развёрнутый (на рисунке выше АОС, АОF и АОВ). Значит, для любого угла из промежутка 00 1800синусом угла называется ордината точки М, а косинусом угла — абсцисса точки М.
Если — произвольная точка единичной полуокружности, то -1 1 и 0 1, тогда для любого угла из промежутка 00 1800 имеем:
-1 1 и 0 1.
Лучи ОА, ОС и ОВ соответствуют углам, которые равны 00, 900 и 1800 соответственно. Точки А, С и В имеют координатыА(1; 0), С(0; 1) иВ(-1; 0), поэтому
(2)
Тангенсом угла ( 900) называют отношение , т. е.
(3)
Так как 900 = 0, то знаменатель в формуле (3) обращается в нуль, значит, при = 900 не определён.
Котангенсом угла (00 1800) называется отношение . Котангенс угла обозначается символом . Таким образом,
. (4)
Так как 00 = 0 и 1800 = 0, то знаменатель в формуле (4) обращается в нуль, значит, при = 00 и = 1800 не определён.
Советуем посмотреть:
Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.
Формулы для вычисления координат точки
Теорема о площади треугольника
Теорема синусов
Теорема косинусов
Решение треугольников
Измерительные работы
Угол между векторами
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение в координатах
Свойства скалярного произведения векторов
Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
Синус, косинус и тангенс – это три основные функции тригонометрии, посредством которых формируются тригонометрические тождества, тригонометрические функции и формулы. Тангенс определяется как отношение длины противоположной стороны или перпендикуляра прямого угла к углу и длине прилежащей стороны. Функция касательной в тригонометрии используется для вычисления наклона линии между началом координат и точкой, определяющей пересечение гипотенузы и высоты прямоугольного треугольника. В этой статье мы обсудим значения тангенса 0 и как получить значение тангенса 0 градусов.
Чему равно значение Tan 0 градусов?
Значение Tan 0 градусов равно нулю.
Вывод тангенса 0 градусов
Как мы знаем, синус, косинус и тангенс являются тремя основными функциями тригонометрии. Обозначим все три основные функции с помощью прямоугольного треугольника.
(изображение скоро будет загружено)
Что такое синусоидальная функция?
Функция синуса утверждает, что для данного прямоугольного треугольника Sin угла θ определяется как отношение длины противоположной стороны треугольника к его гипотенузе.
Sin θ = противолежащая сторона/гипотенуза.
Что такое функция косинуса?
Функция косинуса утверждает, что для данного прямоугольного треугольника косинус угла θ определяется как отношение длины прилежащей стороны треугольника к его гипотенузе.
Cos θ = Смежная сторона / Гипотенуза.
Что такое касательная функция?
Функция касательной утверждает, что для данного прямоугольного треугольника косинус угла θ определяется как отношение длины противоположной стороны треугольника к углу и прилежащей стороне.
Tan θ = Противоположная сторона / Гипотенуза.
Найти Tan 0°, используя Sin и Cos
Кроме того, значения sin 0° и cos 0° используются для нахождения значения tan 0°, но при условии, что sin 0°, а cos 0 ° должен быть из того же треугольника. Это очень простая концепция тригонометрии, чтобы найти тангенс угла, используя синус и косинус угла. Известно, что отношение синуса и косинуса одного и того же угла дает тангенс этого же угла. Итак, если у нас есть значение sin 0° градусов и cos 0° градусов, то значение tan 0° градусов можно вычислить очень легко.
Соответственно, Tan θ = Sinθ/ Cosθ
Tan 0 градусов в дробях можно выразить как
Tan 0 градусов равно Sin 0° / Cos 0°
Мы знаем, что Sin 0° = 0 и Cos 0° = 1
Следовательно, Tan 0 равен 0/1 или 0.
Отсюда следует, что Tan 0 равен 0.
Тригонометрические уравнения на основе функции тангенса
Различные формулы тангенса могут быть сформулированы с помощью касательная функция в тригонометрии. Основная формула тангенса, которая в основном используется для решения вопросов,
Tan θ = перпендикуляр/основание или Tanθ = Sinθ/Cosθ или Tanθ = 1/Cotθ.
Другие формулы тангенса:
Tan (a+b) равно Tan (a) + Tan (b)/1- Tan (a) Tan (b)
Tan (90 +θ) = Cot θ
Tan (90 — θ) = — Cotθ
Tan (-θ) = Tanθ
Тригонометрическая таблица соотношений различных углов
Угол
0°
30°
45°
60°
90°
9008 0
180°
270°
360°
sin
0
\ [\ frac {1} {2} \]
\ [\ frac {1} {\ sqrt {2} \]
\ [\ frac {\ sqrt {3}}{2}\]
1
0
-1
0
cos
1
\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\frac{ 1}{\sqrt{2}}\]
\[\frac{1}{2}\]
0
-1
900 02 0
1
желтовато-коричневый
0
\[\frac{1}{\sqrt{3}}\]
1
\[\sqrt{3}\]
∞
0
9 0083
∞
1
детская кроватка
∞
\[\sqrt{3}\]
1
\[\frac{1}{\sqrt{2}}\]
9 0002 0
∞
0
∞
csc
∞
2
\[\sqrt{2}\] 9 0003
\[\frac{2}{\sqrt{3}}\]
1
∞
-1
∞
9 0079
сек
1
\[\frac{2}{\sqrt{3}} \]
\[\sqrt{2}\]
2
∞
-1
∞
1
90 345
Вопросы, требующие решения
Оцените следующие вопросы, приведенные ниже-
Вопрос 1) Тан (90- 45)°
Решение: Как мы знаем, Tan (90-θ) = Cot θ
Tan (90 — 45) =Cot 45°
Cot 45° = 1
Итак, соответственно,
Tan (90 — 45)° = 1
Следовательно, значение Tan (90 — 45)° равно 1,
Вопрос 2) Найдите значение Tan 150°
Решение: Tan 150° = Tan (90 + 60)°
Как известно,
Tan (90 + θ) = Cosθ
Tan (90 + 45) ) = Cos 45°
Cos 45° = 1
Соответственно,
Tan (90 + 45)° = 1.
(Изображение будет загружено в ближайшее время)
Tan 0 Значение
Три основные функции тригонометрии являются синус, косинус и тангенс, посредством которых формируются тригонометрические тождества, тригонометрические функции и формулы. Тангенс можно определить как отношение длины противоположной стороны или перпендикуляра прямого угла к углу и длине прилежащей стороны. Функция касательной используется для вычисления наклона линии между началом координат и точкой, определяющей пересечение гипотенузы и высоты прямоугольного треугольника.
Сторона гипотенузы: В прямоугольном треугольнике это сторона, противоположная прямому углу. Гипотенуза — самая длинная сторона любого прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Сторона, противоположная углу интереса, называется противоположной стороной, а оставшаяся сторона называется смежной стороной, где она образует сторону как прямого угла, так и угла интереса.
Происхождение Тан 0 Степени.
Функция синуса и функция косинуса используются для нахождения значения тангенса 0 градусов, поскольку функция тангенса представляет собой отношение функции синуса и функции косинуса.
Значения градусов тангенса можно найти с помощью функций синуса и косинуса. Зная значение функций синуса, мы сможем найти значения функций cos и tan.
Значения sin 0° и cos 0° используются для нахождения значения tan 0° при условии, что sin 0° и cos 0° принадлежат одному и тому же треугольнику.
Формулы тангенса можно сформулировать с помощью функции тангенса. Основная формула тангенса, которая в основном используется для решения вопросов,
Tan θ = перпендикуляр/основание или Tanθ = Sinθ/Cosθ или Tan Θ = 1/Cosθ.
Другие формулы тангенса:
Tan (a+b) равно Tan (a) + Tan (b)/1- Tan (a) Tan (b)
Попытка факторинга путем разделения среднего члена
Первый член , x 2 его коэффициент равен 1 . Средний член равен -2 x , его коэффициент равен -2 . Последний член, «константа», равен +2
Шаг-1: умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 2 = 2
Шаг-2: найдите два множителя 2, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -2 .
-2
+
-1
=
— 3
-1
+
-2
=
-3 900 05
1
+
2
=
3
900 03
2
+
1
=
3
Наблюдение: Невозможно найти два таких фактора!! Вывод: Трехчлен нельзя разложить на множители
Уравнение в конце шага 1 :
x 2 - 2x + 2 = 0
Шаг 2 :
Парабола, поиск вершины :
2. 1 Найдите вершину y = x 2 -2x+2
Параболы имеют наивысшую или низшую точку, называемую вершиной . Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.
Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы, Ax 2 +Bx+C, x-координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата x равна 1.0000
. Подставив в формулу параболы 1.0000 вместо x, мы можем вычислить координату y: y = 1.0 * 1.00 * 1.00 — 2.0 * 1.00 + 2.0 или y = 1,000
Парабола, график Вершина и X-перехваты:
Корневой график для: y = x 2 -2x+2 Ось симметрии (пунктирная) {x}={ 1,00} Вершина в {x,y} = {1,00, 1,00} Функция не имеет действительных корней
Решить квадратное уравнение, заполнив квадрат
2.2 Решение x 2 -2x+2 = 0, заполнив квадрат.
Вычтите 2 из обеих частей уравнения: x 2 -2x = -2
Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент x , равный 2, разделите на два, получите 1, и, наконец, возведите его в квадрат, получив 1
Добавьте 1 к обеим частям уравнения: В правой части имеем: -2 + 1 или (-2/1)+(1/1) Общий знаменатель двух дробей равен 1 Сложение (-2/1)+(1/1) дает -1/1 Таким образом, добавление к обеим сторонам мы окончательно получаем : x 2 -2x+1 = -1
Добавление 1 завершило левую часть в полный квадрат: x 2 -2x+1 = (x-1) • (x-1) = (x-1) 2 Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу. Поскольку x 2 -2x+1 = -1 и x 2 -2x+1 = (x-1) 2 тогда, согласно закону транзитивности, (x-1) 2 = -1
Это уравнение будем обозначать как уравнение #2.2.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из (x-1) 2 равен (x-1) 2/2 = (x-1) 1 = x-1
Теперь, применяя Принцип квадратного корня в уравнении #2.2.1 получаем: x-1 = √ -1
Добавьте 1 к обеим частям, чтобы получить: x = 1 + √ -1 В математике i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет i 2 =-1. И i , и -i являются квадратными корнями из -1
Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное, x 2 — 2x + 2 = 0 имеет два решения: x = 1 + √ 1 • i или x = 1 — √ 1 • i
Решите квадратное уравнение, используя квадратную формулу
2. 3 Решение x 2 -2x+2 = 0 по квадратичной формуле .
Согласно квадратичной формуле, x , решение для Ax 2 +Bx+C = 0 , где A, B и C – числа, часто называемые коэффициентами, определяется следующим образом: — B ± √ B 2 -4AC x = ———————— 2A
В нашем случае A = 1 B = -2 C = 2
Соответственно, B 2 — 4AC = 4 — 8 = -4
Применение формулы квадрата 2
В множество действительных чисел, отрицательные числа не имеют квадратных корней. Был изобретен новый набор чисел, называемый комплексным, чтобы отрицательные числа имели квадратный корень. Эти числа записываются (a+b*i)
Оба i и -i являются квадратными корнями из минус 1
Соответственно, √ -4 = √ 4 • (-1) = √ 4 • √ -1 = ± √ 4 • i
Банка √ 4 быть упрощенным?
Да! Первичная факторизация 4 это 2•2 Чтобы иметь возможность удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат, то есть второй корень).
Степенные и функциональные ряды могут быть сходящимися на множестве действительных чисел, на определенном интервале, или быть расходящимися. Установка радиуса сходимости и области сходимости ряда является важным при исследовании рядов. Радиус сходимости равный половине ширины области сходимости. На практике обе характеристики найти не трудно и Вы в этом скоро убедитесь.
Пример: 3.6 Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов: а) Вычисления: Для оценки сходимости ряда составим ряд с модулей членов заданного ряда, то есть ряд с последующим общим членом
Далее, исходя с того что полученный ряд имеет положительные члены — исследовать его на сходимость будем с помощью признака Даламбера:
Для этого выписываем следующий после общего член ряда
и подставляем в формулу предела. Вид членов ряда непрост, поэтому будьте внимательны при упрощении предела
Наконец приходим к экспоненте и функциональному множителю. Если граница меньше единицы
то ряд сходится по теореме Даламбера, причем абсолютно. Отсюда составляем ограничения на допустимые «иксы»
— область сходимости ряда. Итак, ми нашли — радиус сходимости и — область сходимости ряда в виде интервала. Для себя запомните, что радиус сходимости функционального ряда равен половине расстояния между крайними точками области сходимости. б) Вычисления: Составим ряд из модулей членов заданного ряда, то есть с общим членом
Нетрудно видеть что такой прием позволяет получить ряд с положительными членами и при этом исследовать его на сходимость с помощью признака Даламбера. Для предела нам еще нужен следующий член ряда
Подставляем члены ряда в предел и вычисляем
При пределе меньшей единицы — ряд убывает за Даламбером. Из этого условия находим — область сходимости в виде ограничений переменной. В итоге мы нашли R=4 — радиус сходимости ряда и его область сходимости
Пример: 3. 11 Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда: а) Вычисления: Члены заданного функционального ряда
определены на всей действительной оси, то есть область определения следующая
Составляем ряд из модулей членов заданного ряда
Его общий член может бить выражен формулой
Поскольку новый ряд имеет положительные члены — исследуем на сходимость по Даламберу:
При — ряд совпадает по теореме Даламбера, то есть необходимо, чтобы выполнялись условия
Отсюда находим R = 2 — радиус сходимости ряда и (0; 4) — область сходимости. б)
Вычисления: Члены заданного функционального ряда
определены для всех действительных переменных то есть область определения следующая
Составим ряд из модулей членов заданного ряда
Снова применяем признак Даламбера для исследования ряда на сходимость
За Даламбером при пределе меньше единицы — ряд убывает. Отсюда находим область сходимости
и R=1/3 радиус сходимости. Из приведенных примеров Вы могли увидеть такую закономерность что значение которое ограничивает модуль с переменной и является радиусом сходимости ряда. Область сходимости имеет в два раза большую длину и определяется раскрытием модуля.
Пример: 3.17 Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов: а) Вычисления: Члены функционального ряда
определены при то есть Составим ряд из модулей членов заданного ряда
то есть
Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера. Выписываем следующий после общего члена ряда
и подставляем в предел
При 3|x|<1 — ряд убывает, отсюда находим – область сходимости ряда. Все что находится справа от модуля это R = 1/3 — радиус сходимости ряда, а ограничения на «икс» – это область сходимости. б) Вычисления: Члены функционального ряда
определены на всей действительной прямой , их область определения имеет вид . По схеме составляем ряд из модулей членов заданного ряда
и получаем ряд со следующим общим членом
Образованный ряд будем анализировать на сходимость по признаку Даламбера Выписываем следующий член ряда
и подставляем в предел
При 2|x|<1- ряд будет сходящимся. Раскрываем модуль и находим — область сходимости и R=1/2 – радиус сходимости. В виде интервала записываем область сходимости ряда
Пример: 3.27 Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда а) Вычисления: Члены функционального ряда определены на действительной оси Сначала составим ряд из модулей членов этого ряда
Общий член задается формулой
Исследуем ряд с модулей на сходимость по признаку Даламбера: Находим предел отношения следующего члена ряда общему
Поскольку A=0<1 то ряд сходится при всех действительных переменных, то есть имеет неограниченную — область сходимости. Ряд имеет бесконечный радиус сходимости. б) Вычисления: Члены ряда определены на множестве действительных чисел
Построим ряд с модулей членов ряда:
Далее записываем общий и следующий после него члены ряда
и подставляем в предел
По теореме Даламбера ряд сходится при 3|x|<1. Из этого условия определяем — область сходимости ряда и R=1/3 – радиус сходимости. В виде интервала записываем в ответ область сходимости Теперь Вы знаете как найти область сходимости и радиус сходимости ряда. Пользуйтесь приведенными формулами и успешной Вам сдачи сессии.
Наш калькулятор радиуса сходимости специально разработан для расчета радиуса сходимости любого заданного степенного ряда.
Что такое конвергенция?
В математике сходимость определяется как:
«Свойство, которое используется для приближения к пределу все более и более абсолютно по мере увеличения или уменьшения переменной функции или по мере увеличения числа членов степенного ряда».
Например;
Рассмотрим функцию ниже;
$$ y=\frac{1}{x} $$
Эта функция сходится к нулю, если мы продолжаем увеличивать значение x. Хотя едва ли возможно сделать y точно равным нулю, предельное значение y приближается к нулю, потому что мы можем сделать y настолько малым, насколько это возможно, выбрав большие значения x.
Сходящийся ряд:
В сходящемся ряду для любого заданного значения x, лежащего между -1 и +1, ряд 1 + x + x2 +⋯+ xn всегда стремится к пределу 1 / (1 -x) по мере увеличения числа членов (n) . Вы можете определить радиус сходимости сходящегося ряда с помощью бесплатного онлайн-калькулятора радиуса сходимости
Графическое представление сходящегося ряда:
Прежде чем двигаться дальше, давайте посмотрим, как члены сходящегося ряда отображаются на графике.
Визуализируя приведенный выше график, мы видим, что по мере увеличения числа членов частичная сумма ряда приближается к определенному числу.
Посмотрим, как изменится сумма по мере добавления членов:
Термины
Сумма
1 / 2
1 / 2 = 0,5
1/2 + 1/4
3 / 4 = 0,75
1/2 + 1/4 + 1/8
7/8 = 0,87
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
15/16 = 0,93
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
63 / 64 = 0,98
Отсюда мы можем сказать, как сходящийся ряд приближается к определенному значению, если мы продолжаем добавлять частичные члены один за другим. 94+…. $$
Для приведенного выше степенного ряда, когда мы положили x = 0 , ряд рассчитывается как 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … и сходится к 1 и не превосходит ряд за пределами 1, поскольку он сделает ряд расходящимся. Однако онлайн-калькулятор радиуса и интервала сходимости находит диапазон ряда, для которого он сходится.
Радиус сходимости:
Когда степенной ряд сходится на некотором интервале, расстояние от центра схождения до другого конца называется радиусом схождения. Вы можете использовать наш бесплатный онлайн-калькулятор радиуса сходимости для накопления радиуса заданного ряда Тейлора.
Тест отношений:
Тест отношений — это один из тестов, используемых для определения сходимости, расхождения, радиуса сходимости и интервала сходимости степенного ряда.
$$ L=\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}} {a_n} $$
Как найти радиус сходимости?
Давайте решим пример, чтобы понять, как определить радиус сходимости:
Пример № 01:
Найдите радиус сходимости r ряда ниже. 9{1}}{1}* \frac{∞}{\left(x-3\right)}] $$
$$ \left|x-3\right| $$
Теперь этот ряд будет сходиться, только если x-3 < 1 . В противном случае при x-3 > 1 ряд расходится.
Итак, радиус сходимости равен 1.
Теперь, взяв любое из приведенных выше неравенств, мы можем определить интервал сходимости.
$$ \left|x-3\right|≤1 $$
$$ -1<\left|x-3\right|<1 $$
$$ -1+3
$$ 2
Каков интервал сходимости данного ряда.
Вы можете упростить любой ряд, используя калькулятор свободного радиуса сходимости рядов Тейлора.
Как работает калькулятор радиуса сходимости?
Если вы хотите определить радиус сходимости с помощью бесплатного онлайн-калькулятора решений степенных рядов, вам необходимо выполнить следующие шаги.
Ввод:
Напишите уравнение степенного ряда
Выберите переменную, для которой вы хотите найти радиус сходимости
Нажмите «Рассчитать»
Вывод:
Для введенного ряда мощности калькулятор вычисляет:
Радиус сходимости
Пошаговые расчеты
Часто задаваемые вопросы:
Что нам говорит радиус сходимости?
Радиус сходимости дает нам половину длины интервала сходимости.
Можем ли мы вычислить бесконечный радиус сходимости?
Мы можем вычислить радиус сходимости как бесконечный только в том случае, если ряд сходится для всех комплексных чисел z.
Что такое корневой тест сходимости?
Корневой тест — это простой тест, который говорит нам, что ряд определенно сходится к некоторому значению.
Может ли радиус сходимости быть равен нулю?
Когда степенной ряд сходится в одной точке, то можно сказать, что радиус сходимости равен нулю.
Может ли радиус быть отрицательным?
Да, радиус может быть отрицательным, что означает, что он измеряется на стороне, противоположной стороне окружности. Кроме того, окружность с нулевым радиусом — это всего лишь одна точка. Нахождение радиуса сходимости даст вам возможность определить радиус данного степенного ряда.
Заключение:
Радиус сходимости фактически представляет собой расстояние от середины степенного ряда до конечных точек. Каждый степенной ряд является рядом Тейлора, но следует помнить, что ряды Тейлора связаны с абсолютной функцией.
Косинус угла альфа плюс бета равен косинус альфа умножить на косинус бета минус синус альфа умножить на синус бета. Косинус угла альфа минус бета равняется произведению косинус альфа на косинус бета плюс произведение синус альфа на синус бета. cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Знаешь ответ? Добавь его сюда!
Последние вопросы
Математика
3 часа назад
что лучше андертейл или дельтарун?
Математика
19 часов назад
Для строительства детской площадки рабочие проводили измерительные работы. Они подготовили две площадки квадратной формы. Найди их периметр, если известно, что величина периметра каждого из них меньше 90 м. Если цифры в записи одного периметра поменять местами, то получится периметр второго участка. Как записать решение?
Математика
1 день назад
Запишите решение в столбик и ответ.
Русский язык
1 день назад
Рус.яз 9 класс
Физика
1 день назад
Металлический шар массой 880 грамм падает на земл с высоты 3м. Какую работу при этом совершает сила тяжести
Физика
1 день назад
Процесс появление электрической дуги, ее физическое явление, способы гашения дуги
Математика
1 день назад
Нужна формула расчета
Русский язык
1 день назад
Русский язык 8 класс
Русский язык
1 день назад
Вставте пропущенные буквы в словах
Геометрия
1 день назад
Задача по геометрии
Биология
1 день назад
Биология дз срочно
Химия
1 день назад
1. Назовите групповой реагент и перечислите катионы, входящие в IV группу.
2. Укажите цвет гидроксидов катионов IV
История
1 день назад
Что произошло в риме после смерти Цезаря
География
1 день назад
Расположите регионы России в той последовательности, в которой их жители встречают Новый год.
Русский язык
1 день назад
Подскажите пожалуйста с заданием по русскому языку, дать характеристику предложению
How much to ban the user?
1 hour
1 day
100 years
Тригонометрические формулы
Тригонометрические формулы — часто встречающиеся математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента.
Навигация
Тригонометрические функции
Основные тригонометрические формулы
Тригонометрические функции суммы и разности углов
Тригонометрические функции двойного угла
Формулы тройного угла
Формулы понижения степени
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
Формулы преобразования произведений функций
Универсальная тригонометрическая подстановка
Тригонометрические функции
sin α,
cos α
tg α =
sin α
, α ≠
π
+ πn, n є Z
cos α
2
ctg α =
cos α
, α ≠ π + πn, n є Z
sin α
sec α =
1
, α ≠
π
+ πn, n є Z
cos α
2
cosec α =
1
, α ≠ π + πn, n є Z
sin α
Основные тригонометрические формулы
sin2 α + cos2 α = 1
tg α · ctg α = 1
1 + tg2 α =
1
cos2 α
1 + ctg2 α =
1
sin2 α
Тригонометрические функции суммы и разности углов
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β
tg(α + β) =
tg α + tg β
1 – tgα · tg β
tg(α – β) =
tg α – tg β
1 + tgα · tg β
ctg(α + β) =
ctgα · ctg β — 1
ctg β + ctg α
ctg(α — β) =
ctgα · ctg β + 1
ctg β — ctg α
Тригонометрические функции двойного угла
sin 2α = 2 sin α · cos α
cos 2α = cos2 α — sin2 α
tg 2α =
2 tg α
1 — tg2 α
ctg 2α =
ctg2 α — 1
2 ctg α
Формулы тройного угла
sin 3α = 3 sin α — 4 sin3 α
cos 3α = 4 cos3 α — 3 cos α
tg 3α =
3 tg α — tg3 α
1 — 3 tg2 α
ctg 3α =
3 ctg α — ctg3 α
1 — 3 ctg2 α
Формулы понижения степени
sin2 α =
1 — cos 2α
2
cos2 α =
1 + cos 2α
2
sin3 α =
3 sin α — sin 3α
4
cos3 α =
3 cos α + cos 3α
4
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
sin α + sin β = 2 sin
α + β
cos
α — β
2
2
sin α — sin β = 2 sin
α — β
cos
α + β
2
2
cos α + cos β = 2 cos
α + β
cos
α — β
2
2
cos α — cos β = -2 sin
α + β
sin
α — β
2
2
tg α + tg β =
sin(α + β)
cos α · cos β
tg α — tg β =
sin(α — β)
cos α · cos β
ctg α + ctg β =
sin(α + β)
sin α · sin β
ctg α — ctg β =
sin(β — α)
sin α · sin β
a sin α + b cos α = r sin (α + φ),
где r2 = a2 + b2, sin φ =
b
, tg φ =
b
r
a
Формулы преобразования произведений функций
sin α · sin β =
1
(cos(α — β) — cos(α + β))
2
sin α · cos β =
1
(sin(α + β) + sin(α — β))
2
cos α · cos β =
1
(cos(α + β) + cos(α — β))
2
Универсальная тригонометрическая подстановка
sin α =
2 tg (α/2)
1 + tg2 (α/2)
cos α =
1 — tg2 (α/2)
1 + tg2 (α/2)
tg α =
2 tg (α/2)
1 — tg2 (α/2)
ctg α =
1 — tg2 (α/2)
2 tg (α/2)
Формулы сокращенного умножения (a ± b)2
Формулы и свойства степеней an
Формулы и свойства корней n√a
Формулы и свойства логарифмов loga b
Формулы и свойства арифметической прогрессии an
Формулы и свойства геометрической прогрессии bn
Тригонометрические формулы sin x cos x
Обратные тригонометрические формулы arcsin x
Таблица производных ddx
Таблица интегралов ∫x dx
Всі таблиці та формули
Дополнительные тождества
Фундаментальные (базовые) тождества, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, включали только одну переменную. Следующие тождества с двумя переменными называются тождествами тригонометрического сложения .
Эти четыре тождества иногда называют тождеством суммы для синуса , тождеством разности для синуса , тождеством суммы для косинуса и тождеством разности для косинуса 9.0010 соответственно. Проверка этих четырех тождеств следует из основных тождеств и формулы расстояния между точками в прямоугольной системе координат. Пояснения к каждому шагу доказательства будут даны только для первых нескольких следующих примеров.
Пример 1 : Преобразование sin 80° cos 130° + cos 80° sin 130° в тригонометрическую функцию с одной переменной (рис. 1).
Рисунок 1 Чертеж для примера 1.
Дополнительные тождества могут быть получены из тождеств суммы и разности для косинуса и синуса.
Пример 2: Убедитесь, что cos (180° − x ) = − cos x
Пример 3: Убедитесь, что cos (180° + x ) = − cos x
Пример 4: Убедитесь, что cos (360° − x ) = cos x
Предыдущие три примера проверяют три формулы, известные как формулы приведения для косинуса . Эти формулы приведения полезны при переписывании косинусов углов, превышающих 90 °, как функций острых углов.
Пример 5: Убедитесь, что sin (180° − x ) = sin x
Пример 6: Убедитесь, что sin(180° + x ) = − sin x
Пример 7: Убедитесь, что sin (360° − x ) = − sin x
Предыдущие три примера проверяют три формулы, известные как формулы приведения для синуса . Эти формулы приведения полезны при переписывании синусов углов, превышающих 90 °, как функций острых углов.
Напомним, что ниже приведены формулы приведения (тождества) для синуса и косинуса. Они действительны как для степени, так и для радиана.
Пример 8: Убедитесь, что sin 2 x = 2 sin x cos x .
Пример 9: Запишите cosβcos(α − β) − sinβsin(α − β) как функцию одной переменной.
Пример 10: Запишите cos 303° в виде sinβ, где 0 <β< 90°.
Пример 11: Запишите sin 234° в виде cos 0 <β < 90°.
Пример 12: Найдите sin (α + β), если sin (α + β), если sin α = и α и β являются углами четвертого квадранта.
Сначала найдите cos α и sin β. Синус отрицательный, а косинус положительный в четвертом квадранте.
Использование формул сложения синуса и косинуса для доказательства тождеств.
Задача 3
Вот особенно сложный, но интересный пример, в котором используются формулы синуса и косинуса разности. В задаче говорится: вывести тангенс разностной идентичности, что означает вывести тангенс тангенса альфа минус бета.
Теперь первое, что я знаю о тангенсе, это то, что тангенс представляет собой синус относительно косинуса, так что это синус альфа минус бета относительно косинуса альфа минус бета, и тогда я могу использовать синус и косинус наших формул разности, чтобы заполнить это. У меня есть синус, косинус, косинус, синус; синус альфа, косинус бета минус косинус альфа, синус бета больше и для косинуса у меня есть косинус, косинус, синус, синус. Косинус альфа, косинус бета упс и минус становится плюсом, синус альфа, синус бета.
Теперь это беспорядок, и для упрощения требуется хитрость, и хитрость заключается в том, чтобы умножить верх и низ на 1 на косинус альфа, косинус бета, 1 на косинус альфа, косинус бета, и это даст нам действительно хороший результат, смотреть, что здесь происходит. Таким образом, эта 1 над косинусом альфа и косинусом бета будет распределена по обоим этим терминам в числителе: синус альфа, косинус бета над косинусом альфа, косинус бета косинус бета отменит, и у меня будет синус альфа над косинусом альфа минус . Вот что происходит с первым сроком.
Второе слагаемое, я получаю косинус-альфа, синус-бета над косинусом-альфа, косинус-бета, косинус-альфа отменяется, и у меня остается синус-бета над косинусом-бета, это хорошо. Первый член в знаменателе косинус альфа, косинус бета над косинусом альфа косинус бета 1 плюс и, наконец, синус альфа синус, синус бета над косинусом альфа, косинус бета. Синус альфа, синус бета ничто не отменяет здесь косинус альфа, косинус бета, но вот что мы получаем, это тангенс альфа, тангенс бета больше 1 плюс тангенс альфа умноженный на тангенс бета, и это наш тангенс формулы разности. Тангенс альфа минус бета равен тангенсу альфа минус тангенс альфа больше 1 плюс тангенс альфа тангенс бета.
Давайте воспользуемся этим на очень простом примере. Задача говорит найти тангенс 15 градусов? Итак, сначала вы хотите выразить 15 градусов как некоторую разницу, которая включает в себя хорошие углы, особые углы. Например, тангенс 45 минус 30. На самом деле позвольте мне пойти с 60 минус 45, позвольте мне сказать вам, почему. Если вы помните тангенс 30 градусов, это 1 над корнем 3, а тангенс 60 градусов это корень 3, я не хочу, чтобы в моих ответах была 1 над корнем 3, поэтому я собираюсь держаться подальше от этого, но даст мне немного более приятный ответ, так что это тангенс 60 градусов минус 45 градусов.
Теперь из формулы тангенс альфа минус тангенс бета так что тангенс 60 минус тангенс 45 на 1 плюс произведение двух, тангенс 60, тангенс 45 и это даст мне тангенс 60 это хорошо, это корень 3, тангенс 45 — это 1, 1 плюс, а затем корень 3 раза 1, а не bas, это довольно хороший ответ, но обычно нам не нравится иметь радикалы в знаменателе, поэтому давайте рационализируем это.
Итак, чтобы рационализировать знаменатель, вы помните прием умножения на сопряженное? Это то, что мы собираемся сделать здесь, за исключением того, что я собираюсь умножить в форме, давайте посмотрим 1 минус корень 3, 1 минус корень 3.
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности
Иррациональные неравенства – методическая разработка для учителей, Казекешева Гульнара
Цели обучения, которые будут достигнуты с помощью данного урока
АУ 11.4 Умеет выводить алгоритмы решения иррациональных уравнений и неравенств вида √f(x)=c, √f(x)=√g(x), √f(x) >c, √f(x) .
АУ 11.5 Применяет алгоритмы решения иррациональных уравнений и неравенств вида √f(x)=c, √f(x)=√g(x), √f(x) >c, √f(x) .
Цели урока
1. Познакомить с иррациональными неравенствами и методами их решения;
2. Ввести алгоритм решения иррациональных неравенств методом интервалов;
3. Познакомить с нестандартными методами решения иррациональных неравенств.
Критерии успеха
Знают понятие равносильной системы
Знают область определения иррационального уравнения
Знают разницу между рациональными и иррациональными неравенствами.
Видят различие между разными методами решения иррациональных неравенств.
Умеют использовать разные алгоритмы решения иррациональных неравенств.
Используют ОДЗ при составлении равносильной системы
Знают метод интервалов
Исключают интервалы, не входящих в ОДЗ
Развивают умение обобщать и правильно отбирать способы решения иррациональных неравенств.
Языковые цели
Используют и понимают математические термины для описания решения иррациональных неравенств
Привитие ценностей
Уважение, сотрудничество, открытость, труд и творчество, обучение на протяжении жизни
Межпредметные связи
Информатика
Навыки использования ИКТ
Интерактивная доска, Bilimland. kz, PowerPoint
Предварительные знания
Знание иррациональных уравнений, способов их решения. Знание из курса 8 класса нахождение ОДЗ уравнений и неравенств. Умение исключать не допустимые интервалы неравенства.
Этапы урока
Содержание
Ресурсы
Начало урока
2 минуты
Организационный момент.
Вспомнить материал предыдущего занятия. Проверить домашнее задание.
Провести устный опрос:
— какова была цель прошлого урока, что мы изучали?
— что мы понимаем под неравенством?
— какие методы и приёмы решения неравенств Вы знаете?
— какие виды уравнений Вы ещё знаете? (н/р, иррациональные)
Сообщить учащимся тему и цель сегодняшнего урока. (Слайд 1 и слайд 2)
Слайд 1 – 2
Середина урока
4 минуты
Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными.
Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени — в куб и т.д. Однако возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе или к совокупности систем рациональных неравенств.
Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством.
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Вспомним нахождение области определения функции.
Посмотреть видео № 1 и выполнить упражнение № 1. (рис 1, 2)
М.И. Сканави Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗЫ, М.2015
Работа в группе
2 минуты
рис 1
Методы решения иррациональных неравенств
3 минуты
Рассмотрим как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.
I.Неравенства вида
Если лежит в ОДЗ: , то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех , являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то ,.
Следовательно, обе части неравенства неотрицательны. Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности.
Просмотрим видео № 2 (рис 3)
Слайд 3 Методы решения иррациональных неравенств
Работа с классом
5 минут
Пример № 2. Решить неравенство
Решение
Перейдём к равносильной системе: Рассмотрим каждое неравенство по отдельности, затем получим единое решение неравенства
Ответ:(1/2;5/2]
Слайд 4
Работа с классом
10 минут
II. Неравенства вида
Просмотрим видео № 2 (рис 4)
Пример № 3. Решить неравенство
Решение
Перейдём к равносильной системе:
Объединим результаты пунктов I и II, получаем:
Ответ:
Слайд 5
Методы решения иррациональных неравенств
Слайд 6
Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева Математика: алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Обратная связь
— Что нового Вы узнали?
— Что большего всего Вам понравилось?
— Какие виды неравенств Вам сложнее удались?
Домашнее задание.
1. Упражнение № 7,8,9 с сайта bilimland.kz
2. № 169 (1 столбец)
Слайд 9
Приложение 1
Используемые ресурсы:
1. М.И.Сканави Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗЫ. М.,2015
2. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева Математика: алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
3. И.П.Рустюмова, С.Т.Рустюмова. Тренажер по математике для полготовки к ЕНТ, А., 2013г.
4. презентация
5. bilimland.kz
учебник
учебник
учебник
Приложение 2
Веб-сайт
Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?
Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?
Здоровье и соблюдение техники безопасности
Работа в паре, разделить учащихся так, чтобы в одной паре был более сильный учащийся и медлительный учащийся
После каждого пройденного раздела задавать вопросы, проводить минитест.
Здоровье сберегающие технологии. Используемые физминутки и активные виды деятельности.
Рефлексия по уроку
Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?
Все ли учащиеся достигли ЦО?
Если нет, то почему?
Правильно ли проведена дифференциация на уроке?
Выдержаны ли были временные этапы урока?
Какие отступления были от плана урока и почему?
Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.
Общая оценка
Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?
1:
2:
Общая оценка
Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?
1:
2:
Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?
1:
2:
Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?
Приложение 1
Домашняя работа
Тема: «Иррациональные неравенства»
Упражнение № 7. Найдите решения заданных неравенств.
1)
2)
Упражнение № 8. Решите неравенства.
1)
2)
Упражнение № 9. Решите неравенство
1)
2)
Упражнение № 169 (1 столбец)
1)
2)
Архивы алгебраических выражений, уравнений и неравенств
Алгебраические выражения, уравнения и неравенства, главы, 10 класс, математика, закономерности, функции и алгебра
Привет, учащиеся 10-го класса по математике (и учителя математики тоже) ищут пособие по алгебре для 10-го класса. Итак, вы попали на урок математики и хотите сделать все возможное! Лучший способ сделать это — убедиться, что вы понимаете алгебру. Алгебра используется не только в разделе алгебры, […]
Читать далее →
Опубликовано в Алгебраические выражения, Уравнения и неравенства, Главы, 10 класс, Математика, Закономерности, Функции и алгебра
| Метки: пособие по алгебре для 10 класса
Алгебраические выражения, уравнения и неравенства, закономерности, функции и алгебра, техническая математика
, https://www.enotes.com/homework-help/4x-y-7-2x-5y-1 -367481.
По состоянию на 8 мая 2023 г.
График функции
Такую запись можно читать как «\(y\ \)равен \(f\) от\(\ x\)».
{2}–\ 4.\)
Точка принадлежит графику функций, если её координате x соответствует координата соответствует координата y именно как \(y\ = \ 8\ + \ x.\)
Функции повсеместно используются в математике и необходимы для формулирования физических отношений в естественных науках. Современное определение функции впервые дал в 1837 году немецкий математик Петер Дирихле:
Набор значений x называется доменом функции, а набор значений f ( x ), порожденных значениями в домене, называется диапазоном функции. В дополнение к f ( x ), другие сокращенные символы, такие как g ( x ) и P ( x ), часто используются для представления функций независимой переменной x , особенно когда характер функция неизвестна или не определена.
В этих примерах физические ограничения заставляют независимые переменные быть положительными числами. Когда независимым переменным также разрешено принимать отрицательные значения — таким образом, любое действительное число — функции известны как функции с действительными значениями.
) Полиномиальные функции изучались с древнейших времен из-за их универсальности — практически любое отношение, включающее действительные числа, может быть точно аппроксимировано с помощью полиномиальная функция. Полиномиальные функции характеризуются наибольшей степенью независимой переменной. Для таких степеней от одного до пяти обычно используются специальные названия: линейная, квадратичная, кубическая, квартическая и квинтическая для высших степеней, равных 1, 2, 3, 4 и 5 соответственно.
Затем график функции состоит из точек с координатами ( x , y ), где y = f ( x ). Например, на рисунке показан график кубического уравнения f ( x ) = x 3 − 3 x + 2.
Вероятно, наиболее важной из экспоненциальных функций является y = e x , иногда пишут y = exp ( x ), в которой e (2,718 2818…) является основой природного система логарифмов (ln). По определению x — это логарифм, и, таким образом, существует логарифмическая функция, обратная экспоненциальной функции. В частности, если y = e x , тогда x = ln y . Неалгебраические функции, такие как экспоненциальные и тригонометрические функции, также известны как трансцендентные функции.
2$ в $\R$.
Возможно, вы сталкивались с функциями в более абстрактных условиях, таких как
хорошо; это наша цель. В нескольких последних разделах главы мы
использовать функции для изучения некоторых интересных тем теории множеств.
На данный момент все
необходимо интуитивное понимание концепции и способа
показывает, что две функции равны.)
Если эта точка $(a,b)$, то
$f(a)=b$. $\квадрат$
) $\square$
Это называется композиция из
две функции. Заметьте, что $f$ — это первая функция, которая
применяется к элементу $a$, хотя он указан справа. Этот
нарушение обычного правила слева направо иногда вызывает
путаница. $\квадрат$
9+\cup\{0\}\to \R$ определяется выражением
$(g\circ f)(x)=\sin\sqrt x$. Обратите внимание, что $(f\circ g)(x)=\sqrt{\sin x}$
имеет смысл только для таких $x$, что $\sin x\ge 0$.
В общем, $f\circ g$ и $g\circ f$ не обязательно равны, и (поскольку
в этом случае) их не обязательно определять в одних и тех же точках.
$\квадрат$
1.10. Если $A\subseteq B$, $f\colon A\to B$ является функцией включения
(пример 4.1.6) и $g\colon B\to C$ — функция, то
$g\circ f\colon A\to C$ называется ограничением от $g$ до $A$ и обычно записывается
$г\верт_А$. Для всех $a\in A$
$$ г\верт_А(а)=г(ф(а))=г(а),
$$
поэтому $g\vert_A$ — это та же самая функция, что и $g$, но с меньшим
домен.
$\квадрат$
Можно ли открыть такой замок?
Докажите, что отношение отрезков ВМ и BN равно отношению радиусов окружностей.
Пусть — угол между лучом и положительной полуосью абсцисс (при совпадении данного луча с положительной полуосью абсцисс будем считать, что = 00):
е.
Скалярное произведение векторов
Тангенс определяется как отношение длины противоположной стороны или перпендикуляра прямого угла к углу и длине прилежащей стороны. Функция касательной в тригонометрии используется для вычисления наклона линии между началом координат и точкой, определяющей пересечение гипотенузы и высоты прямоугольного треугольника. В этой статье мы обсудим значения тангенса 0 и как получить значение тангенса 0 градусов.
Известно, что отношение синуса и косинуса одного и того же угла дает тангенс этого же угла. Итак, если у нас есть значение sin 0° градусов и cos 0° градусов, то значение tan 0° градусов можно вычислить очень легко.
1 Найдите вершину y = x 2 -2x+2
В нашем случае координата x равна 1.0000 
Поскольку 
3 Решение x 2 -2x+2 = 0 по квадратичной формуле .
11 Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда:
Из приведенных примеров
Из этого условия определяем
Хотя едва ли возможно сделать y точно равным нулю, предельное значение y приближается к нулю, потому что мы можем сделать y настолько малым, насколько это возможно, выбрав большие значения x.
. 
В противном случае при x-3 > 1 ряд расходится.
Назовите групповой реагент и перечислите катионы, входящие в IV группу.
2. Укажите цвет гидроксидов катионов IV
Следующие тождества с двумя переменными называются тождествами тригонометрического сложения .
Эти формулы приведения полезны при переписывании синусов углов, превышающих 90 °, как функций острых углов.
Задача 3
Таким образом, эта 1 над косинусом альфа и косинусом бета будет распределена по обоим этим терминам в числителе: синус альфа, косинус бета над косинусом альфа, косинус бета косинус бета отменит, и у меня будет синус альфа над косинусом альфа минус . Вот что происходит с первым сроком.
Задача говорит найти тангенс 15 градусов? Итак, сначала вы хотите выразить 15 градусов как некоторую разницу, которая включает в себя хорошие углы, особые углы. Например, тангенс 45 минус 30. На самом деле позвольте мне пойти с 60 минус 45, позвольте мне сказать вам, почему. Если вы помните тангенс 30 градусов, это 1 над корнем 3, а тангенс 60 градусов это корень 3, я не хочу, чтобы в моих ответах была 1 над корнем 3, поэтому я собираюсь держаться подальше от этого, но даст мне немного более приятный ответ, так что это тангенс 60 градусов минус 45 градусов.
14159..
kz, PowerPoint
(рис 1, 2)
Неравенства вида
Найдите решения заданных неравенств.