Рубрика: Разное

Вероятность в Python: перестановки и сочетания | by Iuliia Averianova | NOP::Nuances of Programming

Теория вероятности не сложная, по крайней мере, на уровне, необходимом для начала работы в науке о данных. Возможно, прошло какое-то время с тех пор, как вы познакомились с этой темой, и, если ваши знания немного ослабли, эта статья поможет вам вернуться в русло.

Быстрый поиск в Google выявляет 4 основные математические темы, на которых основана вся область:

• Линейная алгебра
• Анализ
• Статистика
• Вероятность

Сегодня я расскажу о двух важнейших концепциях из теории вероятности: сочетаниях и перестановках.

Начнем с базового определения самой вероятности:

Вероятность — степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. В теории вероятностей вероятность принимает значения от 0 до 1. Значение 1 соответствует достоверному событию, невозможное событие имеет вероятность 0. Чем выше значение, тем больше вероятность события.

Вероятность как область научного знания важна, потому что неопределенность и случайность встречаются повсеместно, соответственно, знание о вероятности помогает принимать более информированные решения и осмыслять неопределенности.

Перед погружением в перестановки и сочетания, нужно понять еще один термин — факториал.

Хороший вопрос. Согласно Википедии:

Факториал — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Факториал вычисляется по следующей формуле:

Вот пример:

Теперь вы, возможно, задумались, как вычислять факториалы в Python. Во многих библиотеках есть готовые функции, но создать собственную функцию тоже очень легко, и именно это мы и сделаем.

Вот простая рекурсивная функция, которая справится с задачей:

Теперь можно использовать эту функцию для проверки примера выше:

Хорошо, но где факториалы используются в реальном мире?

Скажем, в гонке участвуют пять человек, и вы хотите узнать количество способов, по которым эти пятеро могут финишировать первыми, вторыми или третьими. Можно взять листок бумаги и просто записать все возможные варианты, но зачем? Что если участников 100?

Вот как эта задача решается с помощью факториалов:

Это называется перестановка.

И снова начнем с определения:

В математике перестановка — это упорядочение членов набора в последовательность или, если последовательность уже определена, перестановка (изменение порядка) ее элементов.

Существует два способа вычисления перестановок. Выбор способа зависит от того, разрешается повторение или нет. Давайте рассмотрим на примере.

У вас есть веб-сайт, на котором могут регистрироваться пользователи. Им нужно вводить пароль длиной строго в 8 символов, которые не должны повторяться. Сперва нужно определить, сколько букв и цифр в английском алфавите:

• количество букв: 26
• количество цифр: 10

То есть всего 36. Тогда n = 36, а r = 8, потому что пароль должен быть длиной в 8 символов. Зная это, мы легко можем рассчитать количество уникальных паролей, используя формулу:

Если вы поспешили и посчитали вручную:

В Python это тривиальная задача:

Здорово, но я хочу разрешить пользователям повторно использовать символы. Нет проблем, в данном случае это перестановки с повторениями, формула еще проще:

Мы уже знаем, что n (36) и r (8), так что вот решение:

И снова реализация на Python тривиальна:

Это действительно большое число. Попробуйте произнести его вслух!

Далее на повестке дня — сочетания. Вам наверняка любопытно, что это такое и в чем их отличие от перестановок. Начнем с определения:

Сочетание— это выбор значений из набора, в котором (в отличие от перестановок) порядок выбора не имеет значения.

Чтобы понять это определение, разберем следующий пример: группа людей, выбранных в команду — это та же самая группа, независимо от порядка участников. Вот и вся идея сочетаний. Если выбрать 5 членов команды, можно упорядочить их по имени, росту или другому параметру, но команда останется прежней — порядок не имеет значения.

Давайте запишем это формулой. Количество сочетаний C набора из n объектов, взятых по r, рассчитывается так:

С этим уравнением мы можем решить следующую задачу: сколькими способами можно выбрать в футбольную команду 5 человек из 10?

Группа будет той же, порядок значения не имеет. Значит, n = 10, а r = 5:

И это можно легко сделано в Python:

Великолепно! Но интересно, существует ли версия сочетаний с повторениями? Да!

Представьте, что готовите сэндвич и по какой-то причине вам нужно использовать только 4 ингредиента из 10. Однако ингредиенты не должны быть уникальны, например, можно положить 3 куска сыра и 1 кусок салями. Как это здорово, я тоже обожаю сыр, вот спасибо!

Но как сформулировать эту идею математически? Ответ снова прост:

Давайте применим формулу к примеру выше. n снова равно 10 (потому что 10 возможных ингредиентов), а r = 4 (потому что выбрать можно только 4):

Используем Python для проверки:

Превосходно.

Сочетания и перестановки математически просты, однако сложность заключается в том, как представить в такой форме реальные проблемы. Иногда бывает трудно выделить значения n и r в повседневной жизни. Я не могу решить для вас подобные задачи, но надеюсь, что данная статья поможет вам разобраться.

Читайте также:

• Как организовать код в Python
• Превращаем сценарии Python в инструменты МО
• Создаем чат-бот в Python с помощью nltk

Читайте нас в телеграмме, vk и Яндекс. Дзен

Перевод статьи Dario Radečić: Essential Probability in Python: Permutations and Combinations

Как оценивать вероятности

Мы уже упоминали, что оценивать вероятности классов как $softmax(f_w(x_i))$ для какой-то произвольной функции $f_w$ – это дело подозрительное. В этом разделе мы поговорим о том, как это делать хорошо и правильно.

Что же такое вероятность класса, если объект либо принадлежит этому классу, либо нет?

Ограничимся пока случаем двуклассовой классификации с классами 0 и 1. Пожалуй, если утверждается, что мы предсказываем корректную вероятность класса 1 (обозначим её $q(x_i)$), то прогноз «объект $x_i$ принадлежит классу 1 с вероятностью $\frac23$» должен сбываться в $\frac23$ случаев. То есть, условно говоря, если мы возьмём все объекты, которым мы предсказали вероятностью $\frac23$, то среди них что-то около двух третей действительно имеет класс 1. На математическом языке это можно сформулировать так: Если $\widehat{p}$ – предсказанная вероятность класса 1, то $P(y_i = 1 \vert q(x_i) = \widehat{p}) = \widehat{p}$.

К сожалению, в реальной жизни $\widehat{p}$ – это скорее всего вещественные числа, которые будут различными для различных $y_i$, и никаких вероятностей мы не посчитаем, но мы можем разбить отрезок $[0,1]$ на бины, внутри каждого из которых уже вычислить, каковая там доля объектов класса 1, и сравнить эту долю со средним значением вероятности в бине:

У модели, которая идеально предсказывает вероятности (как обычно говорят, у идеально калиброванной модели) жёлтые точки на диаграме калибровки должны совпадать с розовыми.

А вот на картинке выше это не так: жёлтые точки всегда ниже розовых. Давайте поймём, что это значит. Получается, что наша модель систематически завышает предсказанную вероятность (розовые точки), и порог отсечения нам, выходит, тоже надо было бы сдвинуть вправо:

Но такая картинка, пожалуй, говорит о какой-то серьёзной патологии классификатора; гораздо чаще встречаются следующие две ситуации:

• Слишком уверенный (overconfident) классификатор: Такое случается с сильными классификаторыми (например, нейросетями), которые учились на метки классов, а не на вероятности: тем самым процесс обучения стимулировал их всегда давать как можно более близкий к 0 или 1 ответ.

• Неуверенный (underconfident) классификатор:

Такое может случиться, например, если мы слишком много обращаем внимания на трудные для классификации объекты на границе классов (как, скажем, в SVM), в каком-то смысле в ущерб более однозначно определяемым точкам. Этим же могут и грешить модели на основе бэггинга (например, случайный лес). Грубо говоря, среднее нескольких моделей предскажет что-то близкое к единице только если все слагаемые предскажут что-то, близкое к единице – но из-за дисперсии моделей это будет случаться реже, чем могло бы. См. статью.

Вам скажут: логистическая регрессия корректно действительно предсказывает вероятности

Вам даже будут приводить какие-то обоснования. Важно понимать, что происходит на самом деле, и не дать ввести себя в заблуждение. В качестве противоядия от иллюзий предлагаем рассмотреть два примера.

• Рассмотрим датасет c двумя классами (ниже на картинке обучающая выборка)

Обучим на нём логистическую регрессию из sklearn безо всяких параметров (то есть $L^2$-регуляризованную, но это не так важно). k$ для $0\leqslant j,k\leqslant 5$ в качестве признаков, и обучив поверх этих данных логистическую регрессию. Снова нарисуем некоторые точки тестовой выборки и предсказания вероятностей для всех точек области:

Видим, что имеет место сочетание двух проблем: неуверенности посередине и очень уверенных ошибок по краям.

Нарисуем теперь калибровочные кривые для обеих моделей:

Калибровочные кривые весьма примечательны; в любом случае ясно, что с предсказанием вероятностей всё довольно плохо. Посмотрим ещё, какие вероятности наши классификаторы чаще приписывают объектам:

Как и следовало ожидать, предсказания слабого классификатора тяготеют к серединке (та самая неуверенность), а среди предсказаний переобученного очень много крайне уверенных (и совсем не всегда правильных).

Но почему же все твердят, что логистическая регрессия хорошо калибрована?!

Попробуем понять и простить её.

Как мы помним, логистическая регрессия учится путём минимизации функционала

$$l(X, y) = -\sum_{i=1}^N(y_i\log(\sigma(\langle w, x_i\rangle)) + (1 — y_i)\log(1 — \sigma(\langle w, x_i\rangle)))$$

Отметим между делом, что каждое слагаемое – это кроссэнтропия распределения $P$, заданного вероятностями $P(0) = 1 — \sigma(\langle w, x_i\rangle)$ и $P(1) = \sigma(\langle w, x_i\rangle)$, и тривиального распределения, которое равно $y_i$ с вероятностью $1$. n (1 — y_i)\right)\log(1 — \sigma(\langle w, x_1\rangle)) =$$

$$=-n\left(\vphantom{\frac12}p_0\log(\sigma(\langle w, x_1\rangle)) + p_1\log(1 — \sigma(\langle w, x_1\rangle))\right)$$

где $p_j$ – частота $j$-го класса среди истинных меток. В скобках также стоит кросс-энтропия распределения, задаваемого частотой меток истинных классов, и распределения, предсказываемого логистической регрессией. Минимальное значение кросс-энтропии (и минимум функции потерь) достигается, когда

$$\sigma(\langle w, x_1\rangle) = p_0,\quad 1 — \sigma(\langle w, x_1\rangle) = p_1$$

Теперь, если признаковое описание данных достаточно хорошее (то есть классы не перемешаны как попало и всё-таки близки к разделимым) и в то же время модель не переобученная (то есть, в частности, предсказания вероятностей не скачут очень уж резко – вспомните второй пример), то результат, полученный для $n$ совпадающих точек будет приблизительно верным и для $n$ достаточно близких точек: на всех них модель будет выдавать примерно долю положительных, то есть тоже хорошую оценку вероятности. N(\vphantom{\frac12}y_i\log(\sigma(q(x_i))) + (1 — y_i)\log(1 — \sigma(q(x_i))))\longrightarrow\min\limits_{a,b}$$

Для избежания переобучения Платт предлагал также заменить метки $y_i$ и $(1 — y_i)$ на регуляризованные вероятности таргетов:

$$t_0 = \frac1{\#\{i \vert y_i = 0\} + 2},\quad t_1 = \frac{\#\{i \vert y_i = 1\} + 1}{\#\{i \vert y_i = 0\} + 2}$$

Калибровка Платта неплохо справляется с выколачиванием вероятностей из SVM, но для более хитрых классификаторов может спасовать. В целом, можно показать, что этот метод хорошо работает, если для каждого из истинных классов предсказанные вероятности $q(x_i)$ распределы нормально с одинаковыми дисперсиями. Подробнее об этом вы можете почитать в этой статье. Там же описано обобщение данного подхода – бета-калибровка.

С большим количеством других методов калибровки вы можете познакомиться в этой статье

Как измерить качество калибровки

Калибровочные кривые хорошо показывают, что есть проблемы, но как оценить наши потуги по улучшению предсказания вероятностей? Хочется иметь какую-то численную метрику. N\left(\vphantom{\frac12}y_i\log{q(x_i)} + (1 — y_i)\log(1 — q(x_i))\right)$$

Это же и помогает высветить ограничения подхода, если вспомнить рассуждения о калиброванности логистической регрессии. Для достаточно гладких классификатора и датасета briar score и log-loss будут адекватными средствами оценки, но если нет – возможно всякое.

Вопрос на засыпку: а как быть, если у нас классификация не бинарная, а многоклассовая? Что такое хорошо калиброванный классификатор? Как это определить численно? Как заставить произвольный классификатор предсказывать вероятности?

Мы не будем про это рассказывать, но призываем читателя подумать над этим самостоятельно или, например, посмотреть туториал с ECML KDD 2020.

6.3: Использование стандартной ошибки для вероятности

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Foster et al.
• Университет Миссури, ул. Луи, Университет Райса и Университет Хьюстона, кампус в центре города через Инициативу Университета Миссури по доступным и открытым образовательным ресурсам

В главе 6 мы видели, что можно использовать \(z\)-показатели для разделения нормального распределения и вычисления доли площади под кривой в одном из новых регионов, что дает нам вероятность случайного выбора \( z\)-оценка в этом диапазоне. Мы можем следовать точному процессу выборки для выборочных средних, преобразовывая их в \(z\)-показатели и вычисляя вероятности. Единственное отличие состоит в том, что вместо деления необработанной оценки на стандартное отклонение мы делим выборочное среднее значение на стандартную ошибку.

\[z =\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\frac {\overline{\sigma }}{\sqrt{n}}} \]

Допустим, мы берем выборки из совокупности со средним значением 50 и стандартным отклонением 10 (те же значения, что и на рис. 2). Какова вероятность того, что мы получим случайную выборку размера 10 со средним значением больше или равным 55? То есть при n = 10 какова вероятность того, что \(\overline{X}\) ≥ 55? Во-первых, нам нужно преобразовать средний балл этой выборки в \(z\)-балл:

\[z=\dfrac{55-50}{\frac{10}{\sqrt{10}}}=\dfrac{5}{3.16}=1,58 \nonumber \]

Теперь нам нужно заштриховать область под кривой нормали, соответствующую показателям больше \(z\) = 1,58, как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\):

Теперь мы переходим к нашей \(z\)-таблице и обнаруживаем, что площадь слева от \(z\ ) = 1,58 равно 0,9429. Наконец, поскольку нам нужна площадь справа (согласно нашей заштрихованной диаграмме), мы просто вычитаем ее из 1, чтобы получить 1,00 – 0,9.429 = 0,0571. Таким образом, вероятность случайного отбора выборки из 10 человек из населения со средним значением 50 и стандартным отклонением 10, среднее значение выборки которого составляет 55 или более, составляет \(p\) = 0,0571, или 5,71%. Обратите внимание, что мы говорим о средних значениях, равных 55 и более. Это связано с тем, что, строго говоря, невозможно рассчитать вероятность того, что оценка будет принимать ровно 1 значение, поскольку «заштрихованная область» будет просто линией без области для вычисления.

Теперь давайте сделаем то же самое, но предположим, что вместо выборки из 10 человек мы взяли выборку из 50 человек. Сначала находим \(z\):

\[z=\dfrac{55-50}{\frac{10}{\sqrt{50}}}=\dfrac{5}{1,41}=3,55 \]

Затем заштриховываем соответствующую область нормального распределения:

Обратите внимание, что ни одна область рисунка \(\PageIndex{2}\) не затенена. Это связано с тем, что область под кривой, которая уходит далеко в хвост, настолько мала, что ее даже нельзя увидеть (красная линия была добавлена, чтобы показать, где именно начинается область). Таким образом, мы уже знаем, что вероятность должна быть меньше для \(N\) = 50, чем для \(N\) = 10, потому что размер области (доля) намного меньше.

Мы сталкиваемся с похожей проблемой, когда пытаемся найти \(z\) = 3,55 в нашей стандартной таблице нормального распределения. Таблица поднимается только до 3,09, потому что все, что выше этого, равно почти 0 и меняется так мало, что не стоит печатать значения. Самое близкое, что мы можем получить, это вычесть наибольшее значение, 0,9990, из 1, чтобы получить 0,001. Мы знаем, что технически фактическая вероятность меньше этой (поскольку 3,55 находится дальше в хвосте, чем 3,09), поэтому мы говорим, что вероятность \(p\) < 0,001, или меньше 0,1%.

В этом примере показано, какое влияние может оказать размер выборки. Из той же популяции, которая искала одно и то же, изменение только размера выборки увеличило вероятность примерно с 5% (или вероятность 1/20) до вероятности менее 0,1% (или менее 1 из 1000). По мере увеличения размера выборки n стандартная ошибка уменьшалась, что, в свою очередь, приводило к увеличению значения \(z\), что в конечном итоге приводило к значению \(p\) (термин для обозначения вероятности, который мы будем часто использовать в Unit 2) уменьшаться. Вы можете думать об этом отношении как о шестернях: вращение первой шестерни (размер выборки) по часовой стрелке заставляет следующую шестерню (стандартная ошибка) вращаться против часовой стрелки, что заставляет третью шестерню (z) вращаться по часовой стрелке, что в конечном итоге приводит к тому, что последняя шестерня (вероятность ), чтобы повернуть против часовой стрелки. Все эти части подходят друг другу, и отношения всегда будут одинаковыми:

\[\mathrm{n} \uparrow \sigma_{\overline{X}} \downarrow \mathrm{z} \uparrow \mathrm{p} \downarrow\]

Давайте посмотрим на это еще с одной стороны. Для той же совокупности с размером выборки 50 и стандартным отклонением 10, какая доля выборочных средних попадает между 47 и 53, если они имеют размер выборки 10 и размер выборки 50?

Начнем снова с \(n\) = 10. Преобразовав 47 и 53 в \(z\)-баллы, получим \(z\) = -0,95 и \(z\) = 0,95 соответственно. Из нашей таблицы \(z\) мы находим, что соотношение между этими двумя оценками составляет 0,6578 (процесс здесь оставлен для того, чтобы учащийся попрактиковался в преобразовании \(\overline{X}\) в \(z\) и \(z\) в пропорции). Таким образом, 65,78% выборочных средних при размере выборки 10 попадут между 47 и 53. площадь как 0,9668, почти 97%! Заштрихованные области для каждого из этих распределений выборки показаны на рисунке \(\PageIndex{3}\). Распределения выборки показаны в исходной шкале, а не в виде z-показателей, поэтому вы можете видеть эффект затенения и то, какая часть тела попадает в диапазон, отмеченный пунктирной линией.

Эта страница под названием 6.3: Использование стандартной ошибки для вероятности находится в разделе лицензия CC BY-NC-SA 4.0, автором, ремиксом и/или куратором которой являются Foster et al. (Инициатива Университета Миссури по доступным и открытым образовательным ресурсам) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Фостер и др.

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. источник@https://irl.umsl.edu/oer/4

Как рассчитать вероятность в Excel — Краткое руководство

Последнее обновление: 4 января 2022 г.

Узнать как рассчитать вероятность в Excel с помощью функции ПРОБ с верхним пределом или без него.

Что такое вероятность

Вероятность измеряет вероятность того, что событие произойдет или насколько вероятно, что утверждение истинно. Чем выше вероятность события, тем больше вероятность того, что событие произойдет.

Как рассчитать вероятность в Excel

Мы измеряем вероятность через отношение благоприятных событий к общему количеству возможных событий. Excel использует статистическую функцию PROB для расчета вероятности.

Для простоты приведем простое определение.

= количество желаемых исходов / количество возможных исходов

В случае с шестигранными костями вероятность выпадения «6» = 1/6 = 16,67%.

Функция PROB

В этом разделе мы познакомимся с функцией Excel PROB. С его помощью вы можете рассчитать вероятность, используя встроенную функцию электронной таблицы.

Аргументы синтаксиса и функции

= PROB (диапазон, диапазон_проб, [нижний_предел], [верхний_предел])

где

• x _ диапазон : диапазон, содержащий числовые значения
• prob_range : диапазон, содержащий вероятности для каждого соответствующего значения
• верхний_предел [необязательно]; верхний предел значений

Базовый пример расчета вероятности в Excel

В следующем примере сначала подготовим нашу таблицу.

Диапазон C3:C6 содержит количество заказов за период. В диапазоне D3:D6 вы можете найти вероятности для каждого ордера. Наконец, нижний предел — 1500, а 2000 — верхний предел в ячейке G3.

В этом случае мы будем использовать все четыре аргумента функции PROB.

Введите формулу в ячейку G4:

=ПРОБ(C3:C6, D3:D6, G2, G3)

Результат равен 55%. Что это значит?

Вероятность того, что количество заказов между 1500 и 2000 равно 55%.

Совет: Если вы столкнулись с ошибками при расчете вероятности в Excel, внимательно посмотрите на свои данные. Подготовьте данные, чтобы избежать дальнейших проблем: сумма всех вероятностей должна равняться 1 (или 100%). В примере можно применить эту проверку для столбца D.

Стоит перепроверить наши данные: СУММ(D3:D6) = 1 = 100%

Рассчитать вероятность без верхнего предела

Следующий пример объяснит, что произойдет, если вы не используете верхние пределы для расчета вероятности в Excel.

Дальнозоркость — это плюс или минус? — Статьи

Дальнозоркость (гиперметропия) – это аномалия рефракции, при которой происходит преломление световых лучей таким образом, что они фокусируются за сетчаткой. Это препятствует восприятию четкого изображения.

Когда человеку впервые ставится диагноз «дальнозоркость», он задается вопросом: дальнозоркость – плюс или минус?

Как и любая аномалия рефракции, гиперметропия снижает остроту зрения и вызывает ряд астенопических жалоб: чувство жжения в глазах, быструю утомляемость, головные боли. Это означает неизбежное снижение качества жизни. Человеку трудно читать мелкий текст на упаковках товара, невозможно работать с мелкими предметами, вышивать, читать и т. д. Для дальнозорких людей все перечисленные виды деятельности становятся серьезной проблемой.

Что имеют в виду специалисты, которые говорят, что дальнозоркость – это плюс? Речь идет о степени дальнозоркости:

• слабая – до +3 Д,
• средняя – от +3 до +6 Д,
• высокая – от +6 Д.

Гиперметропия – это аномалия рефракции, которая требует коррекции «плюсовыми» линзами. У дальнозоркого человека изображение фокусируется за сетчаткой. «Плюсовые линзы» меняют преломление лучей таким образом, что они фокусируются четко на сетчатке. Кривизна линзы определяется степенью гиперметропии.

Пресбиопия, или когда руки оказываются недостаточно длинными

Дальнозоркость, которая связана с возрастными изменениями аккомодационного аппарата хрусталика, называется пресбиопией. Другое ее название – «болезнь коротких рук»; такое шутливое определение связано с тем, что пресбиопу требуется отодвинуть текст на значительное расстояние от глаз, чтобы его прочитать.

По мере ослабления аккомодационных возможностей хрусталика этого становится недостаточно, и человек замечает, что прочтение мелкого шрифта на упаковке лекарства, в книге, телефоне стало проблемой.

Пресбиопия может сочетаться с близорукостью или дальнозоркостью . Это обязательно учитывает офтальмолог при подборе очков или контактных линз.

Решение проблемы

В Центре Глазной Хирургии осуществляется эффективная коррекция дальнозоркости с учетом:

• степени гиперметропии,
• возраста,
• сопутствующих заболеваний,
• профессии пациента,
• его пожеланий.

В отделении контактной коррекции могут быть подобраны очки или контактные линзы. При гиперметропии используются «плюсовые» очковые и контактные линзы. Для пресбиопов могут быть подобраны би- или мультифокальные очки, которые обеспечивают хорошее зрение не только вблизи, но и вдаль.

Современные модели мультифокальных очков позволяют избежать четкой границы на стыке двух линз, которая выглядит неэстетично. Благодаря этому очки при дальнозоркости могут стать не только верным помощником для хорошего зрения, но и красивым аксессуаром.

Также возможен подбор мягких контактных линз, которые пациент может носить в течение дня. Жесткие линзы используются для ночного времени – они надеваются на время сна и изменяют кривизну роговицы на некоторое время, позволяя гиперметропу лучше видеть днем.

Также в Центре Глазной Хирургии проводится хирургическое лечение гиперметропии. Его преимуществами являются:

• возможность отказаться от линз и очков,
• стабильные и предсказуемые результаты,
• эффект в первые дни после операции.

В зависимости от возраста, степени гиперметропии и наличия сопутствующих заболеваний (например, катаракты), используются две методики:

• ЛАСИК. Это лазерное лечение, основанное на изменении конфигурации и роговицы при помощи высокоточного лазерного излучения. Метод особенно эффективен при слабой и средней степенях гиперметропии.
• Имплантация ИОЛ. Интраокулярные линзы имплантируются на место хрусталика, в его капсулу. Такая операция актуальна как метод лечения катаракты, а также используется при высоких степенях гиперметропии.

Дальнозоркость – это серьезная проблема, которую можно преодолеть при участии квалифицированных специалистов Центра Глазной Хирургии! Запись на прием проводится по телефонам: +7 (495) 727-00-44, (499) 246-32-28.

Как мультиметром определить плюс и минус?

В электрике  часто используется такой термин как «полярность». Полярность – это состояние системы или тела, различные точки которых имеют противоположные физические свойства. Самыми известными примерами полярности являются противоположные электрические заряды и магнитные полюса. Если говорить об электрическом токе, то один из полюсов называют положительным (на нем меньше электронов), а другой – отрицательным (на нем больше электронов). Если эти два полюса соединить проводом, электроны начнут двигаться от отрицательного полюса к положительному.  Это и есть электрический ток. Сегодня поговорим о том, как мультиметром определить плюс и минус.

Contents

• 1 Важность полярности
• 2 Как определить полярность мультиметром
• 3 Как мультиметром определить плюс у диода
  • 3. 1 Вопрос — ответ

Важность полярности

Она очень важна для электроприборов, поскольку при неправильном подключении они либо просто не начнут работать, либо выйдут из строя.

Положительная полярность обозначается знаком «плюс» (+), отрицательная – знаком «минус» (-). Чаще всего эти сведения можно получить, обратив внимание на специальную маркировку. Но иногда ее просто нет, тогда придется определить полярность самостоятельно.

Производители видео- и аудиоприборов для обозначения проводов с разным зарядом используют цвета:

• красный – плюс;
• черный – минус.

Но могут быть и другие варианты.

Что же касается электрических сетей, то жилы при разделке кабеля могут иметь различный цвет:

• фазный провод обычно имеет красный или коричневый цвет:
• ноль маркируется синим или черным цветом.

Но на практике эта цветовая схема соблюдается не всегда, поэтому визуальное определение плюса и минуса срабатывает не всегда. Поэтому нужно уметь определять полярность самостоятельно, будь то обычный электрический провод или какой либо электроприбор.

Для этой цели можно использовать вольтметр или мультиметр. Вольтметр есть в доме не всегда, а вот мультиметр в настоящее время является довольно популярным и при этом доступным универсальным тестером.

Как определить полярность мультиметром

Для того чтобы узнать где находится «плюс» или «минус», лучше использовать цифровой мультиметр, на дисплее которого отображается не только цифровой результат измерения, но и его знак. Это сразу наглядно показывает, правильно ли присоединены щупы тестера к проводам электроприбора.

Мультиметр имеет переключатель, позволяющий выбрать режим измерения. Для определения полярности его переводят в режим измерения постоянного напряжения.

Поиск полярности происходит следующим образом:

1. Вставить разъемы щупов мультиметра в гнезда на его корпусе. Для подключения черного щупа используется гнездо COM (он соответствует отрицательному полюсу), для красного – VΩmA (положительный полюс).
2. Диапазон измерения принимается до 20 В.
3. Щупы тестера присоединяют к контактам или проводам прибора, полярность которого нужно определить. Сам прибор включают.
4. На дисплее отобразится величина замеряемой характеристики. В данном случае важно даже не само ее цифровое значение, а знак перед ним.

Каким может быть результат определения полярности:

• если никакого знака нет — щупы подключены верно – красный на «плюс», черный – на «минус»;
• если же выдается напряжение со знаком (-), значит щупы мультиметра присоединены к контактам неверно, и в данный момент плюсу соответствует контакт, к которому присоединен черный щуп.

В случае если мультиметр аналоговый (то есть со стрелкой), в случае перепутанных полюсов стрелка будет отклоняться относительно нуля в противоположную сторону – то есть будет определяться отрицательное значение напряжения.

Как мультиметром определить плюс у диода

Поскольку диоды имеют свойство пропускать ток только в одном направлении, неверное их подключение приведет к неработоспособности всей схемы. Поэтому важно знать, где у диода плюс и минус.

Иногда на элементах присутствует маркировка, но часто ее нет, поэтому определение анода и катода приходится проводить другими способами:

• включением диода в цепь;
• используя мультиметр;
• по технической документации.

Самым быстрым и абсолютно надежным способом является универсальный тестер. Чтобы найти плюс и минус, необходимо:

1. Перевести мультиметр в режим омметра или проверки диода.
2. Затем присоединить красный щуп к одному из выводов проверяемого элемента.
3. Далее черный щуп присоединяют ко второму выводу.
4. Считать численные значения на дисплее.

Каким может быть результат:

• Исходя из того, что показатели обычно находятся в пределах 500 – 1200 мВ, числовое значение в этих пределах означает, что щупы присоединены верно – красный в аноду (+), черный – к катоду (-).
• Если же на экране тестера возникал единица, обозначающая бесконечность (предельное превышение), значит при подключении щупов полярность перепутана.

Таким образом, вопрос как найти плюс мультиметром решается совсем несложно. Нужно просто внимательно изучить инструкции, прилагаемые как к самому проверяемому прибору, так и к тестеру. Это нужно для того, чтобы в ходе проверки их не повредить. К примеру, неверно выставив диапазон измерения, можно вывести мультиметр из строя.

Теперь вы знаете, как мультиметром определить плюс и минус.

Вопрос — ответ

Вопрос: Для определения полярности обязательно нужен мультиметр?

Имя: Кирилл

Ответ: Нет, хотя это и самый удобный способ ее найти. В некоторых случаях можно использовать вольтметр, в других обычную индикаторную отвертку. А кто-то уповает на народные методы вроде сырой картошки.

Вопрос: Можно ли визуально точно определить плюс и минус?

Имя: Фёдор

Ответ: Иногда можно. Некоторые производители наносят на устройства специальную маркировку, либо придают им определенную форму. К примеру, такие значки как кольцевые полоски или точки наносят на корпус устройства ближе к катоду. Что касается формы, то заострение делается со стороны «плюса», а плоская часть при этом обозначает «минус».

Вопрос: Как определить полярность светодиода без мультиметра, по внешнему виду?

Имя: Азат

Ответ: На эти элементы часто нанесены пиктограммы в виде треугольника и значков, напоминающих по форме буквы «П» и «Т». При этом вершинка треугольника, а также выпуклости на значках П и Т обращены в сторону катода (-).

Вопрос: Для определения полярности лучше иметь аналоговый мультиметр или цифровой?

Имя: Радик

Ответ: Для обычного потребителя в любой ситуации лучшим считается цифровой прибор, поскольку, благодаря дисплею, он дает более наглядный и однозначный результат, не требующий расшифровки.

Что означает -110 в ставках? Объяснение плюсов и минусов в ставках

Когда вы регистрируетесь по ссылкам на нашем сайте, мы можем получать партнерскую комиссию. Узнать больше >

Если вы впервые играете в спорт, проверка коэффициентов и линий ставок в букмекерской конторе казино может вызвать у вас чувство неуверенности.

Все, что вы хотите сделать, это сделать простую ставку, но все, что вы можете увидеть, это набор названий команд с номерами рядом с ними, все из которых по какой-то причине равны 110 или выше. Перед некоторыми из этих чисел стоит знак «плюс», а перед другими — «минус». На первый взгляд, это может быть довольно пугающе, и вы не будете первым, кто сдастся прямо сейчас.

Вы видите американские коэффициенты. Они показывают, сколько выплачивается ставка на каждую команду, а также показывают, какая команда имеет больше шансов на победу и насколько сильно они выигрывают.

Если это выглядит ошеломляюще, не беспокойтесь. Чтение линий шансов и понимание концепции -110 далеко не так сложно, как кажется. Мы собираемся провести вас через все это шаг за шагом прямо здесь.

Наша цель — сделать коэффициенты кристально чистыми, чтобы вы чувствовали себя комфортно, зная, что ваши первые ставки будут хорошо информированы и правильно размещены.

бет365

Впечатляющий набор бонусов

1 из лучших букмекерских контор в мире

Требовать Ваш бонус bet365

21+ | Применяются условия и положения, ограничения по времени и исключения

Заявить сейчас

бет365 Обзор

Что означает -110 в ставках на спорт?

Очень важно обращать внимание на знаки минус и плюс. Наряду с номером они сообщают вам массу информации о ставке и матче.

Продолжайте читать, чтобы узнать, что означают знаки плюс и минус и как их читать.

Если вам нравится делать ставки на ходу, узнайте, какие лучшие приложения для ставок на спорт доступны.

Коэффициенты со знаком минус (фаворит)

Знак минус показывает, какая команда имеет преимущество. Когда вы делаете ставку на фаворита, вы получаете худшие шансы на выплату по своей ставке, поскольку он с большей вероятностью выиграет.

• Команда с отрицательным числом (например, -110) является фаворитом.
• Число рядом со знаком минус — это сумма, которую вы должны поставить, чтобы выиграть 100 долларов прибыли.
• Если число равно -110, вы должны поставить 110 долларов, чтобы выиграть 100 долларов.

Коэффициенты со знаком плюс (проигрыш)

Когда вы видите знак плюс перед числом (например, +150), он сообщает вам, какая команда является проигравшей. Вы получаете более высокую выплату, делая ставку на проигравшего, поскольку у него меньше шансов на победу.

• Команда со знаком плюс (например, +150) является проигравшей.
• Число говорит вам, какую прибыль вы выиграете, если поставите 100 долларов
• Если число равно +150, ставка в 100 долларов принесет вам 150 долларов прибыли.

бет365

Впечатляющий набор бонусов

1 из лучших букмекерских контор в мире

Требовать Ваш бонус bet365

21+ | Применяются условия и положения, ограничения по времени и исключения

Заявить сейчас

бет365 Обзор

Примеры -110 в ставках на спорт

Давайте посмотрим, как работает концепция -110 в трех популярных видах ставок: спреды по очкам, денежные линии и больше/меньше.

Обратите внимание, что спред в пунктах и ​​больше/меньше указаны как -110. Это действительно важно понять. Когда вы видите линию -110, вы можете рассматривать ее как исход с равными деньгами, например, подбрасывание монеты.

Чаще всего эту сумму выплачивают по результатам распределения очков, потому что профессиональные букмекеры очень хорошо умеют предсказывать, кто выиграет в той или иной игре и на сколько очков. При этом они, по сути, делают ставку с разбросом очков, которая является максимально близкой к равной для обеих сторон.

Следовательно, ожидание, которое они предсказывают, похоже на ставку на орел или решку при подбрасывании монеты.

То же самое можно сказать и о ставках больше/меньше, потому что букмекеры устанавливают линию, которая, как они надеются, привлечет равное количество игроков выше и ниже их прогнозируемого числа.

Ставки на денежную линию — это те ставки, которые иногда могут приносить большие выплаты проигравшим или безопасный доход крупным фаворитам.

Поскольку прогнозы букмекеров должны быть точными, идея состоит в том, чтобы общая сумма сделанных ставок была равномерно распределена на обе стороны, а исход игры был близок к их оценке. Опять же, именно так они снижают свой риск и обеспечивают свою безопасную прибыль.

Чтобы преобразовать американские коэффициенты (включая -110) в другие форматы коэффициентов и рассчитать выплату, используйте наш удобный и бесплатный калькулятор коэффициентов и конвертер.

Почему -110 так важен для казино и букмекеров?

Прежде чем мы объясним, почему -110 является наиболее распространенной линией для ставок на спорт, давайте повторим тот факт, что букмекеры по определению существуют для того, чтобы делать деньги. Как и большинство вещей в мире азартных игр, все дело в том, чтобы получить прибыль.

Причина, по которой вы чаще всего видите -110, заключается в том, что он представляет собой коэффициент, требуемый букмекерской конторой, чтобы гарантировать 10% комиссионных, пока публика в целом делает ставки на обе команды поровну. -110 также является наиболее распространенным коэффициентом, который вы увидите на большинстве линий распределения очков и линий больше/меньше.

Как мы уже говорили, игрок, делающий ставку на линии спреда -110 пунктов, должен поставить 110 долларов, чтобы выиграть 100 долларов. Букмекеры хотят равных действий с обеих сторон, потому что, если они могут это сделать, они уменьшают риск больших потерь и гарантируют свою прибыль от сока с каждой ставки.

Вот почему казино и букмекерские конторы нанимают профессиональных букмекеров для определения линий, которые, скорее всего, принесут равный интерес обеим сторонам ставки. Таким образом, казино получает прибыль от комиссии независимо от того, какая команда выигрывает.

Значение, которое заведение зарабатывает на этой строке -110, называется соком или энергией. В долгосрочной перспективе казино получает «комиссию» за ставки, потому что за каждого победителя по ставке -110, совпадающего с проигравшим со ставкой -110, казино получает прибыль в размере 10 долларов (при условии, что в обоих случаях было поставлено 100 долларов). ).

По сути, вы можете думать об этом как о затратах на ведение бизнеса. Это их нижняя «линия». Не каламбур.

Посмотрите, в каких букмекерских конторах самый быстрый вывод средств.

Когда дело доходит до различных букмекерских контор, можно найти разные линии распределения очков, но, как правило, у большинства букмекерских контор одинаковая статистика. Стоит просмотреть различные линии ставок, когда вы собираетесь делать ставки на крупную игру, поэтому WSN всегда будет отображать коэффициенты из нескольких букмекерских контор для каждого события. Вы можете проверить различные букмекерские конторы и сравнить их здесь.

Соки и никель со скидкой

Если вы сделаете домашнее задание и поищите в казино, вы можете найти букмекерские конторы, предлагающие то, что называется «сок восстановленный » или «никелевые линии» . Это линии, по которым букмекерская контора перейдет к более низкой «цене» -105. По сути, это означает, что они снижают комиссию с 10% до 5%. Вот почему это называется никелевой линией.

Казино может сделать это, чтобы увеличить количество ставок на определенную команду или общее количество очков.

Подобные вещи происходят потому, что букмекерская контора хочет снизить риск, чтобы гарантировать прибыль. Когда поступающие ставки демонстрируют несбалансированность общественного мнения (или если кит решит произвести большой фурор), казино сделает все возможное, чтобы склонить чашу весов вспять и даже избежать потенциально больших потерь.

Использование никелевой линии может дать сообразительному игроку преимущество как в краткосрочной, так и в долгосрочной перспективе.

Это не всегда «бесплатные конфеты для всех». Казино иногда переворачивают его в другую сторону и перемещают линии на -120 или -130, поэтому будьте внимательны.

Изучите концепцию -110 и пожинайте плоды

Может потребоваться некоторое время, чтобы понять шансы и линии, но не волнуйтесь, это очень быстро становится второй натурой. Даже если вы пропустили математику в старшей школе и предпочитали писать забавные слова вверх ногами на калькуляторе, понимание сути математики в ставках на спорт зависит больше от привычки и рутины, чем от чего-либо еще.

И если у вас возникли проблемы с пониманием этой концепции, многие онлайн-букмекеры предлагают упрощенный формат выплат, который позволяет вам ввести сумму, которую вы хотите поставить, чтобы увидеть, сколько она будет выплачена, прежде чем вы фактически сделаете свою ставку или отправите ее. билет.

Важно иметь в виду, что то, где вы живете в Соединенных Штатах, играет решающую роль в букмекерских конторах, к которым у вас есть доступ, поскольку не все букмекерские конторы представлены во всех штатах США. Чтобы вам было проще, WSN предоставила Руководство по штатам, в котором четко представлена ​​информация, которую вам необходимо знать, чтобы начать делать ставки на законных основаниях.

Если вы хотите быть в курсе советов и рекомендаций по ставкам на спорт, подпишитесь на наш еженедельный подкаст о ставках Wise Kracks.

#1

Цезарь

Огромный выбор ставок

Простая регистрация

Промокод «WSNFULL»

Вверх До 1250 долларов на Caesars

21+ | Принять условия

Заявить сейчас

Цезарь Обзор

#2

ДрафтКингс

Отличная оплата и поддержка клиентов

Доступ к фэнтези-спорту с одной учетной записи

Депозит Бонус до $1,000

21+ | Условия и положения применяются

Заявить сейчас

Драфткингс Обзор

Получите свой бонус bet365

21+ | Применяются условия и положения, ограничения по времени и исключения

Подать заявку сейчас

АВТОР

Ричард Джанврин

375 статей

Получив степень бакалавра журналистики в Университете Нью-Гэмпшира, Ричард Джанврин с декабря 2018 года освещает онлайн-игры и ставки на спорт. Ричард освещал ставки в Bleacher Report, Gambling.com, The Game Day, Forbes, и более.

плюс минус оценки | Регистратор университета LSU

Начиная с осени 2015 года шкала оценок LSU была изменена и теперь включает плюс/минус оценки. В дополнение к полным рекомендациям, изложенным ниже, просмотрите ответы на часто задаваемые вопросы.

Следующие рекомендации предназначены для предоставления важной информации о внедрение плюсовой/минусовой классификации в СМЛ:

1. Использование плюсовой/минусной классификации Для всех курсов бакалавриата, магистратуры и профессиональных курсов требуется оценка

   Plus/Minus. используя систему оценок от A до F. Буквенные оценки A, B, C и D имеют добавлен суффикс плюс (+) или минус (-), чтобы различать более высокие и более низкие характеристики внутри каждой из этих буквенных оценок. Буквенная оценка F не включает плюс/минус различие.

2. Оценки, выставленные до осеннего семестра 2015 г. используя обычную шкалу оценок A, B, C, D, F и их соответствующее числовое значение (очки качества) в то время.

3. Изменения оценок
   Изменения оценок будут основываться на системе оценок, действовавшей на момент первоначального присвоена степень.

4. Средний балл
   Формула расчета среднего балла (GPA) не меняется. средний балл средняя успеваемость по двум или более курсам, основанная на заработанных баллах качества разделить на количество часов попыток.

5. Стенограмма LSU
   Символы плюс (+) и минус (-) будут указаны в стенограмме LSU при назначении зарегистрированным инструктором в отчете об окончательных оценках за курс.

6. Требования к среднему баллу
   Использование системы «плюс/минус» не влияет на работу какого-либо факультета, колледжа или университета. Требование GPA, ни метод расчета GPA, ни интерпретации других категорий, таких как F, I, P, S, U и W.

7. Правила, применимые к каждому курсу
   Все правила, применимые в настоящее время к каждому курсу и привязанные к конкретному буквенные оценки интерпретируются как обозначающие определенный диапазон буквенных оценок. Следовательно, если студент должен получить «C или выше» по одному курсу, чтобы перейти к другому курсу, по системе оценок «плюс/минус» этот учащийся должен получить итоговую оценку в Диапазон C (т. е. C+, C или C-) или выше.

8. Финансовая помощь и стипендии
   Использование системы «плюс/минус» не меняет порядок предоставления финансовой помощи или стипендии, потому что основным критерием является средний балл студента.

   LOSFA уведомила университет в отношении TOPS, что они не будут принимать плюс/минус оценки. Поэтому, например, если студент зарабатывает A+, университет требуется сообщить о A.

9. Оценки, баллы за качество и средний балл
   В таблице 1 ниже показано соотношение между буквенными оценками, присвоенными отдельным лицам курс к баллам качества, заработанным за каждый час курса (см. «КУРС ПЕРВЫЙ» и столбцы «КУРС ВТОРОЙ»).

   В таблице 2 приведен пример среднего балла успеваемости (GPA), когда учащийся показатели по 4 курсам усредняются (см. пункт 4 выше). Обратите внимание, что GPA может быть любым значением в диапазоне всех баллов, используемых в системе оценок, и в отличие от баллы качества не могут быть напрямую присвоены конкретной буквенной оценке. Например, возможные баллы качества для C: 1,7, 2,0 и 2,3, где минус и плюс равны более низкие и более высокие баллы качества для оценки C. Но средний балл может быть любым баллом значение от 1,7 до 2,3, а те средние баллы от 2,3 до 2,7 будут выше C + и ниже B- (во многом так же, например, как средний балл 2,6 выше 2,0 для C, но ниже 3,0 для B в текущей системе оценок). Средний балл не интерпретируется как «оценка», но представляет собой относительный уровень успеваемости по двум или более курсам.

Таблица 1

Первый курс			Второй курс
Марка	Часы перевозки	Баллы качества	Марка	Часы перевозки	Баллы качества
А+	1	4,3	А+	3	12,9
А	1	4,0	А	3	12,0
А-	1	3,7	А-	3	11,1
Б+	1	3,3	Б+	3	9,9
Б	1	3,0	Б	3	9,0
Б-	1	2,7	Б-	3	8. 1
С+	1	2,3	С+	3	6,9
С	1	2,0	С	3	6,0
С-	1	1,7	С-	3	5,1
Д+	1	1,3	Д+	3	3,9
Д	1	1,0	Д	3	3,0
Д-	1	0,7	Д-	3	2. 1
Ф	1	0,0	Ф	3	0,0

Таблица 2

Курс	1	2	3	4	Всего	ГПД
Марка	Б+	С	С-	А-
Количество попыток	4	2	3	3	12
Баллы оценки	13,2	4,0	5,1	11. 1	33,4	2,78

Представлены определения буквенных оценок при использовании в курсах бакалавриата. ниже.

• Буквенная оценка A, включая A+ и A-, обозначает выдающееся освоение курса материал.
• Буквенная оценка B, включая B+ и B-, означает хорошее освоение учебного материала.
• Буквенная оценка C, включая C+ и C-, означает приемлемое освоение курса материал.
• Буквенная оценка D, включая D+ и D-, обозначает минимально приемлемое достижение.
• F означает сбой.

Использование плюса и минуса указывает те оценки производительности, которые представляют более высокие уровни и более низкие уровни успеваемости учащихся в пределах буквенной оценки соответственно. В приведенном ниже примере диапазон успеваемости учащихся (баллов) для класса а C между 70 и 79. Использование суффиксов +/- не влияет на качество выступления учащихся, чтобы получить оценку C, но +/- указывают на уровни выступления в пределах категории C. Баллы качества, связанные с каждым возможным оценка производительности как для текущей системы оценок, так и для системы оценок суффиксов указаны.

В приведенной ниже таблице 3 показан гипотетический пример оценки успеваемости, присвоенной оценки, и баллы качества, полученные за кредитный час для буквенной оценки «C» без (слева) и с (правильным) использованием суффиксов плюс/минус.

10. Удовлетворительно/неудовлетворительно (S/U) Оценки
    (Примечание: оценки S/U присуждаются только аспирантам. )

    (1) Оценка S определяется как эквивалентная буквенной оценке B- или выше.
    (2) Класс U определяется как эквивалентный буквенному классу C+ или ниже.

11. Оценки «прошел/не прошел» (P/F)
    ПРОШЕЛ
    (1) Оценка P определяется как эквивалентная буквенной оценке C- или выше для курсы, взятые для получения кредита бакалавриата.
    (2) Оценка P определяется как эквивалентная буквенной оценке B- или выше для курсы, принятые для диплома кредита.

    FAIL
    (1) Оценка F определяется как эквивалентная буквенной оценке D+ или ниже для курсов взято для кредита бакалавриата.
    (2) Оценка F определяется как эквивалентная буквенной оценке C+ или ниже для курсов принято для диплома кредита.

12. Университет (латиница) с отличием
    Для определения университетского отличия для каждого студента вычисляются два средних балла:
    (1) обо всех выполненных работах и ​​
    (2) обо всех выполненных работах в LSU (все кампусы System). Эти GPA включают в себя все оценки, в том числе те, которые ранее были исключены в соответствии с Политикой исключения оценок. Все оценки используются для определения отличия университета. Нижние средние значения используется для определения права на получение университетских наград. Реализация плюс/минус оценка не изменит того, как мы определяем отличие университета.

13. Университетская медаль
    Университетская медаль вручается студенту (или студентам), окончившим обучение со средним баллом 4. 0 или выше, при условии, что учащийся (или учащиеся) заработают все A-level оценки и более 50 процентов кредитов, необходимых для получения степени, были заработаны в ЛГУ А&М. В семестры, в которых ни один студент не соответствует критериям, указанным выше, будет вручена медаль. Средние баллы будут рассчитываться для (1) всей выполненной работы и (2) вся работа завершена в LSU A&M с меньшим из двух средних значений, определяющих право на получение медали. Оценки за курс, которые ранее были исключены из Политика исключения оценок будет включена в определение университетских медалистов. Все оценки будут использоваться для определения медалистов.

14. Хорошая репутация
    Учащиеся имеют хорошую репутацию, если они имеют право продолжить или повторно зарегистрироваться в университет, даже если он находится на испытательном сроке или на школьном предупреждении. Выполнение оценки плюс/минус не изменит это определение.

15. Принятие кредита для перевода в бакалавриат
    При поступлении в бакалавриат применяется политика университета плюс/минус в отношении кредита входящего перевода.

16. Принятие кредита перевода выпускника
    Высшая школа принимает плюс/минус оценки от других учебных заведений и рассчитанный совокупный средний балл, указанный в стенограммах учащихся. Для целей вычисляя последние два года или другие варианты среднего балла, аспирантура примените преобразование LSU плюс/минус +/- 0,3 от буквенного или целочисленного класса.

17. Moodle
    Чтобы преподаватели могли использовать плюс/минус оценки в Moodle, университет разработал шкала оценок плюс/минус по умолчанию.

Разные способы вычисления площадей фигур

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Боташева С.М. 1

1Дворец творчества детей и молодежи, г. Нальчик

Суншева З.Н. 1

1Дворец творчества детей и молодежи, г.Нальчик

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

 

Математика – один из моих любимых школьных предметов. А самое сложное и одновременно самое интересное в математике — решение задач. Задачи в учебнике и сборниках попадаются самые разные и способов решения каждой задачи можно придумать несколько. Но один вид задач, как мне кажется, не похож на другие. Это задачи на клетчатой бумаге. Они кажутся необычными, более занимательными.

А встречаются ли такие задачи старшеклассникам? Я решила посмотреть открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, посетить сайты по подготовке выпускников 9 и 11 классов к экзаменам. Оказалось, что задачи на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге достаются на экзаменах почти каждому выпускнику.

Вывод прост: уметь решать задачи на сетке (в т.ч. на нахождение площадей) разными способами нужно уметь каждому школьнику. В этом я вижу актуальность моей работы, а ее новизну в том, что один из рассматриваемых способов решения не разбирается в школьных учебниках математики.

Цель исследования – изучить способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге, и выбрать самый эффективный.

Для достижения данной цели необходимо выполнить следующие задачи:

1. Подобрать литературу по данной теме.
2. Изучить способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге.
3. Провести эксперимент.
4. Сделать выводы.

Предмет исследования: площади фигур на клетчатой бумаге.

Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге.

Гипотеза: самым эффективным способом вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге является – формула Пика.

Глава 1. Способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. 1.1Площадь фигуры как сумма площадей ее частей

 

Задача №1. Найти площадь фигуры на рисунке 1 (клетки размером 1х1 см).

Разбиваем данную фигуру на четыре части, и находим площадь каждой части. Затем складываем все части, и получаем площадь данной фигуры.

S=S1+ S2+ S3+S4

S1=2*3= 6 см2; S2= *2*1=1 см2;

S3= *2*1= 1 см2; S4= *3*1= 1,5 см2

S= 6+1+1+1,5= 9,5 см2.

Рис. 1. Ответ: 9,5 см2

Задача №2. Найти площадь фигуры на рисунке 2 (клетки размером 1х1 см).

Разбиваем данную фигуру на четыре части, и находим площадь каждой части. Затем складываем все части, и получаем площадь данной фигуры.

S=S1+ S2+ S3+S4

S1= *1*5= 2,5 см2; S2=4*2=8 см2;

S3= *1*2= 1 см2; S4= *2*4= 4 см2;

S= 2,5+8+1+4= 15,5 см2.

Ответ: 15,5 см2.

Рис. 2.

Задача №3. Найти площадь фигуры на рисунке 3 (клетки размером 1х1 см).

Разбиваем данную фигуру на три части, и находим площадь каждой части. Затем складываем все части, и получаем площадь данной фигуры.

S=S1+ S2+ S3

S1= *2*5= 5 см2;

S2=5*5=25 см2;

S3= *2*5= 5 см2;

S= 5+25+5= 35 см2

Рис. 3. Ответ: 35 см2.

1.2. Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

Задача № 4. Найти площадь фигуры на рисунке 4 (клетки размером 1х1 см).

Опишем около данной фигуры прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае квадрата) вычтем площади полученных фигур:

S=Sпр – S1 – S2 – S3

Sпр=5*5=25 см2; S1= *5*4=10 см2;

S2= *5*2=5 см2; S3= *1*3=1,5 см2;

S=25-10-5-1,5=8,5 см2

Ответ: 8,5 см2.

Рис.4.

Задача №.5. Найти площадь фигуры на рисунке 5 (клетки размером 1х1см).

Опишем около данной фигуры прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае квадрата) вычтем площади полученных фигур:

S=Sпр – S1 – S2 – S3 – S4

Sпр=7*7= 49 см2; S1= *2*5=5 см2;

S2= *2*5=5 см2; S3= *2*5=5 см2;

S4= *2*5=5 см2;

S= 49-5-5-5-5= 29 см2

Ответ: 29 см2.

Рис.5.

Задача №.6. Найти площадь фигуры на рисунке 6 (клетки размером 1х1см).

Опишем около данной фигуры прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае квадрата) вычтем площади полученных фигур:

S=Sпр – S1 – S2

Sпр=5*5=25 см2;

S1= *3*1=1,5 см2; S2= *4*5=10 см2;

S= 25-1,5-10=13,5 см2.

Ответ: 13,5 см2.

 

Рис. 6.

1.3. Формула Пика

Георг Александр Пик – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье. Его отец Адольф Йозеф Пик возглавлял частный институт. В шестнадцать лет Пик сдал выпускные экзамены и поступил в университет в Вене. Уже в следующем году Пик опубликовал свою первую работу по математике. После окончания университета в 1879 году он получил право преподавать математику и физику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию, а в 1881 году получил место ассистента на кафедре физики Пражского университета. В 1888 году он был назначен экстраординарным профессором математики, затем в 1892 году в Немецком университете в Праге был назначен ординарным профессором (полным профессором).

В 1900 – 1901 годах занимал пост декана философского факультета.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену – город, в котором он родился. Однако в 1938 году после аншлюса Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Круг математических интересов Георга Пика был чрезвычайно широк: 67 его работ посвящены многим темам, таким как линейная алгебра, интегральное исчисление, функциональный анализ, геометрия и др. Но больше всего он известен своей теоремой о вычислении площади многоугольника, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года.

Эта теорема оставалась незамеченной в течение некоторого времени после того, как Пик её опубликовал, однако в 1949 году польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему (или как её ещё называют – формулу) в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна. В Германии формула Пика включена в школьные учебники.

Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, S – его площадь. Тогда справедлива следующая формула:

S = В+ – 1 ,

Это и есть формула Пика.

Задача №7. Вычислить площадь многоугольника на рисунке 7. Воспользуемся формулой Пика.

Отметим узлы:

Г=9 (синие)

В=48 (красные)

Подставив в формулы наши данные, получаем:

Рис.7. S=48 + – 1 = 51,5 см2 .

Задача №8. Вычислить площадь многоугольника на рисунке 8. Воспользуемся формулой Пика.

Отметим узлы:

Г=9 (синие)

В=16 (красные)

Подставив в формулы наши данные, получаем:

S=16 + – 1 = 19,5 см2 .

Рис. 8.

Задача № 9. Вычислить площадь многоугольника на рисунке 9. Воспользуемся формулой Пика.

Отметим узлы:

Г=8 (синие)

В=24 (красные)

Подставив в формулы наши данные, получаем

S=24 + – 1 = 19 см2 .

Рис. 9.

Глава 2. Проведение эксперимента

2.1. Результаты эксперимента

Изучив все способы нахождения площадей фигуры на клетчатой бумаге, мы решили провести эксперимент. Исследование проводилось в объединении «Знаю и считаю» Дворца творчества детей и молодежи, в котором я обучаюсь. Вместе с нашим педагогом, который также является моим научным руководителем, мы объяснили ребятам все способы вычисления площадей фигур. Затем, мы им раздали задания: по три задачи по каждому способу, и предложили решить их на время. Мы с моим научным руководителем засекали время, а ребята решали задачи.

В Таблице 1 представлены результаты каждого обучающегося по трем способам:

№	Ф. И. учащихся	Время, затраченное на решение задач 1-м методом (мин)	Время, затраченное на решение задач 2-м методом (мин)	Время, затраченное на решение задач 3-м методом (Формула Пика) (мин)
1	Алина	3,23	4,33	1,04
2	Дана	4,12	4,54	1,43
3	Дарина	5,07	4,46	2,15
4	Алина	2,32	2,45	1,12
5	Инал	2,17	2,34	0,52
6	Лалина	5,43	6,31	3,23
7	Залина	4,43	4,23	2,38
8	Руслан	2,34	3,43	1,15
9	Алина	3,56	4,52	2,43
10	Даяна	3,15	3,49	1,34
11	Алихан	2,24	2,15	0,54
12	Милена	3,12	4,37	1,32
13	Артур	5,34	5,12	2,33
14	Александр	4,47	5,42	2,46
15	Ислам	5,36	6,13	3,52
	Всего:	3,43	4,22	1,07

Как видно из таблицы, меньше всего времени ребята затратили, решая задачи формулой Пика. В среднем на три задачи ребята потратили 1 минуту, 7 секунд – формулой Пика, а на задача другими способами – 3 минуты 43 секунды и 4 минуты 22 секунды. Но быстро не всегда означает правильно, поэтому мы посчитали количество допущенных ошибок каждого обучающегося по всем способам. Результаты представлены в Таблице 2:

№	Ф.И. учащихся	Количество допущенных ошибок в задачах, решенных 1 методом	Количество допущенных ошибок в задачах, решенных 2 методом	Количество допущенных ошибок в задачах, решенных 3 методом
1	Алина	1	2	0
2	Дана	2	1	1
3	Дарина	2	3	2
4	Алина	0	0	0
5	Инал	0	0	0
6	Лалина	3	3	2
7	Залина	1	2	1
8	Руслан	1	1	0
9	Алина	2	2	1
10	Даяна	1	2	0
11	Алихан	0	0	0
12	Милена	1	1	0
13	Артур	2	3	2
14	Александр	2	2	1
15	Ислам	3	3	1
	Всего ошибок из 45 задач:	21	25	11

Из таблицы видно, что меньше всего ошибок ребята сделали, решая задачи формулой Пика. По первому методу 21неправильных задач из 45, по второму методу 25 неправильных, а по третьему методу всего 11 неправильных задач из 45, причем 7 учеников из 15 сделали все три задачи правильно, пользуясь этим методом. Это означает, что формула Пика не только сокращает время, но и помогает избежать ошибок.

Заключение

В данной работе мы рассмотрели все способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. В ходе исследования, наша гипотеза подтвердилась. В результате эксперимента, мы выяснили, что формула Пика является самым эффективным способом решения таких задач. Она проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника. Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

Я уверена, что при сдаче выпускных экзаменов, задачи на вычисление площади фигур не будут вызывать затруднения, если ребята будут использовать формулу Пика.

Список использованной литературы

1. Смирнов В.А, Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге. М., МЦНМО, 2009
2. Математика? Легко!!! Площади фигур. – [Электронный ресурс].
3. Жарковская Н.М., Рисс Е.А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17. – [Электронный ресурс].

Приложения

 

Приложение 1

Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Площадь фигуры как части площади прямоугольника.

Формулу Пика.

Просмотров работы: 880

Математика Таблица единиц площади. Измерение площади фигуры с помощью палетки

Материалы к уроку

Конспект урока

19. Таблица единиц площади. Измерение площади фигуры с помощью палетки

Организационный этап   Заливистый школьный звонок Позвал нас опять на урок. Тем, кто учит математику, Тем, кто любит математику, Тем, кто ещё не знает, Что может полюбить математику, Урок математики посвящается! Сегодня на уроке мы познакомимся с  единицами площади. Научимся измерять площадь фигуры с помощью палетки.

Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний   Устный счет   Задание Вспомним, как найти площадь прямоугольника. Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно умножить его длину на ширину. Не забывайте, что площадь будет выражена в соответствующих единицах измерения.   Решите задачи.   Задача 1. Вычислите площадь прямоугольника со сторонами 7 и 2 см.            7 · 2 = 14 (см²). Чтобы найти площадь фигуры, надо длину умножить на ширину. Площадь прямоугольника 14 см².   Задача 2. Площадь прямоугольника 18 дм². Длина одной его стороны 6 дм. Найдите длину другой стороны.            18 : 6 = 3 (дм) Чтобы найти длину неизвестной стороны, надо площадь разделить на длину известной стороны. Длина другой стороны 3 дм.   Задача 3. Площадь прямоугольника 72 м². Длина – 12 м. Во сколько раз ширина прямоугольника меньше его длины? Сразу на вопрос задачи ответить нельзя, т.к. надо знать длины обеих сторон. Сначала узнаем длину второй стороны. 1) 72 : 12 = 6 (м) – ширина прямоугольника. Потом сравним длины. 2) 12 : 2 = 2 (р.) – ширина меньше длины. Мы видим, что ширина меньше длины в 2 раза.

Кто догадался, выполняя задания устного счета, чем мы сегодня будем заниматься на уроке?

Этап усвоения новых знаний   Какие единицы измерения площади вы знаете?   Помогите Мудрой Сове заполнить таблицу            Сколько в 1 кв. см квадратных миллиметров?            1 см² = 100 мм². Сколько в 1 кв. дм квадратных сантиметров и квадратных миллиметров?            1 дм² = 100 см² = 10 000 мм².   Продолжайте заполнять таблицу по аналогии.   Запомните таблицу соотношения единиц площади. 1 см² = 100 мм² 1 дм² = 100 см² = 10 000 мм² 1 м² = 100 дм² = 10 000 см² = 1 000 000 мм² 1 км² = 10 000 дм² = 1 000 000 м² 1 а = 100 м² = 10 000 дм² = 1 000 000 см² 1 га = 100 а = 10 000 м² = 1 000 000 дм² 1 км² = 100 га= 10 000 а

Закончите предложение. Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно …          Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину.   Как найти площадь фигуры, если длины сторон не указаны?              Прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Разделим фигуру на квадратные сантиметры. Получилось 24 квадрата со стороной 1 см. Площадь – 24 см. Найдите площадь фигуры.            Эта фигура не прямоугольной формы. Как быть?            Можно как бы поместить нашу фигуру в прямоугольную форму, разбить на квадратные сантиметры и посчитать. Не все квадраты целые. Что будем делать?              Ученые договорились складывать все неполные квадраты и делить их количество на 2. Если таких квадратов получится нечётное количество, то их надо увеличить или уменьшить на 1. Площадь таких фигур можно посчитать приблизительно. Целых квадратов 1, нецелых – 8. Воспользуемся формулой, разделим 8 на 2, будет 4. 1 плюс 4 – 5. Площадь данной фигуры 5 см².   Вы заметили, что самим расчерчивать фигуру на квадраты очень долго? Чтобы сэкономить время и ускорить работу, люди придумали палетку. Палетка – это прозрачная пластинка (плёнка), разделённая на равные квадраты (например, квадратные миллиметры, квадратные сантиметры, квадратные дециметры).   Мудрая Сова решила вывести алгоритм нахождения площади фигуры с помощью палетки. Проверьте, всё ли она сделала правильно. 1. Наложить палетку на фигуру. 2. Подсчитать количество целых квадратов. 3. Подсчитать количество нецелых квадратов. 4. Число нецелых квадратов разделить на 2 и прибавить к числу целых квадратов.

Закрепление материала   Выберите правильный ответ. Что является единицей площади?            Сантиметр, километр, гектар, дециметр. (Гектар) В 1 дм² содержится…            100 мм², 10 000 мм², 1000 мм², 100 000 мм². (В 1 дм² содержится 10 000 мм²) Сколько квадратных сантиметров составляют 7900 кв. дм?            79 см², 790 см², 7900 см², 790 000 см². (790 000 см²) Площадь огорода 15 соток. Сколько это квадратных метров?            15 м², 150 м², 1500 м², 15 000 м². (1500 м²) Какова площадь квартиры, если площадь комнаты 18 м², площадь кухни в 2 раза меньше площади комнаты, площадь прихожей в 3 раза меньше площади комнаты, а площадь совместного санузла 4 м²? Найдем площадь кухни: 18 : 2 = 9 (м²) Найдем площадь прихожей: 18 : 3 = 6 (м²)  Вычислим площадь квартиры: 18 + 9 + 6 + 4 = 37 (м²) Площадь квартиры  37 м².

Выразите в квадратных сантиметрах 7 дм², 54 м², 2 а. Проверьте себя.             7 дм² = 700 см² 54 м² = 540  000 см² 2 а = 2 000 000 см² Выразите в квадратных метрах 5 км², 31 а, 20 га. Проверьте работу соседа по парте.             5 км² = 5 000 000 м² 31 а = 310  000 м² 20 га = 200 000 м²

Вычислите площадь фигуры. Целых квадратов 6. Нецелых квадратов 8. Делим 8 на 2, получается 4. 4 плюс 6 – это 10. Площадь данной фигуры приблизительно 10 квадратных сантиметров.

Вычислите площадь фигуры. Целых квадратов нет. Нецелых квадратов 10. Делим 10 на 2, получается 5. Площадь данной фигуры приблизительно 5 квадратных дециметров.

Этап подведения итогов   Чему научились на уроке?            Что такое палетка?            Для чего она служит?            Как измеряют площадь с ее помощью?            Какой формулой пользуются для измерения приблизительной площади фигур?

Рефлексия   Оцените свою работу на уроке.

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

• Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

• Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

• Повысим успеваемость по школьным предметам

• Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать репетитораОставить заявку на подбор

Площадь рисунков — прямоугольник и квадрат

Ключевые понятия

• Площадь прямоугольника
• Прямоугольники и квадраты

Предыдущие знания:

. .

Сколько всего апельсинов?

Ответ:  

Даны 5 групп апельсинов, по 5 апельсинов в каждой группе.

Из рисунка выше 

5 групп по 5

= 5 × 5

= 5 + 5 + 5 + 5 + 5

= 25

∴∴

Всего 25 апельсинов.

13.1 Площадь прямоугольника  

Площадь:  

Площадь фигуры – это площадь поверхности, покрытая фигурой.

Как найти площадь?

Рассмотрим лист бумаги в клетку 

Из этого листа бумаги в клетку мы делаем прямоугольник, как показано на следующем рисунке.

Чтобы найти площадь, посчитаем квадраты внутри прямоугольника.

Количество квадратов = 15 

Итак, площадь равна 15 квадратным единицам.

Здесь площадь будет равна количеству квадратов.

Площадь = 15 квадратных единиц

Что означают квадратные единицы?

На нашем рисунке

Единица означает размер 1 квадрата

Единица измерения может быть любой, например см, м, км

Теперь квадратные единицы означают.

см × см = см ²

м   × м   = м ²  

км × км = км ²  

При вычислении площади путем подсчета квадратов следуем следующим правилам:

• Если площадь меньше половины квадрата, игнорируем возьми 0)
• Если площадь больше половины квадрата, прими ее за 1 квадратную единицу
• Если площадь равна половине квадрата, возьми 12 квадратных единиц

Пример 1:  

Найдите площадь квадрата фигура.

Из рисунка выше считаем квадраты.

Количество квадратов = 25

Итак, площадь = 25 квадратных единиц

Пример 2:  

Найдите площадь круга.

Найдите площадь

круга.

Итак, площадь = 4 + 8 + 2

   = 14 квадратных единиц

Пример 3:  

Найдите площадь пятиугольника.

Итак, площадь = 4 + 4 + 0

   = 8 квадратных единиц

13.2 Прямоугольники и квадраты  

  Прямоугольники и квадраты являются двумя наиболее распространенными формами.

Вот несколько примеров прямоугольных объектов: 

Примеры квадратных объектов: 

Площадь прямоугольника  

Чтобы узнать площадь прямоугольника, мы посчитаем количество квадратов , которые он покрывает.

Другой способ — умножить длину сторон на .  

В прямоугольнике противоположные стороны равны .  

Длина сторон, идущих слева направо, называется шириной .  

Длина сторон, идущих сверху вниз, называется высотой или длиной .  

Чтобы найти площадь прямоугольника , умножьте ширину на высоту.

Площадь = ширина × высота  

Воспользуемся этой формулой, чтобы найти ширину зеленого прямоугольника.

Во-первых, узнайте ширину и высоту.

Ширина равна 3 квадратным единицам, а высота — 2 квадратным единицам.

Теперь умножьте ширину на высоту.

3 × 2 = 6 квадратных единиц

Если 1 квадратная единица равна 1 квадратному метру, то 6 квадратных единиц составляют 6 квадратных метров (6 м²).

Площадь квадрата  

У квадрата 4 равные стороны.

Это означает, что длина сторон одинакова.

Чтобы найти площадь квадрата , умножьте длину 1 стороны на себя.

Какова площадь этого квадрата?  

Длина каждой стороны равна 3. 

3 × 3 = 9 квадратных единиц

Площадь квадрата равна 9 квадратных единиц.

Если 1 квадратная единица равна 1 сантиметру, то 9 квадратных единиц составляют 9 квадратных сантиметров (9 см²).

Нет сетки:  

Если нет сетки с квадратами, чтобы помочь вам, вы все равно можете вычислить площадь фигуры.

, чтобы найти площадь прямоугольника ,

Длина ширины × Длина высоты

, чтобы найти площади квадратной ,

. любая сторона сама по себе.  

Периметр  

Периметр — это длина или расстояние вокруг фигуры.

Как найти периметр?

Чтобы найти периметр фигуры, сложите длины всех сторон 

Пример 1:  

Фигуры ниже имеют одинаковый периметр, но разную площадь.  

Какова площадь прямоугольника B?

Из приведенных выше фигур у нас есть высота и ширина прямоугольника A. Мы можем использовать их, чтобы найти его периметр.

Мы делаем это, добавляя длины всех его сторон.

4 + 4 + 3 + 3 = 14 метров

т. е. периметр прямоугольника B также равен 14 метрам.

Мы еще не можем вычислить площадь B, потому что длина одной стороны все еще отсутствует.

Как найти недостающую сторону?

Мы знаем, что ширина 2 метра.

Так как противоположные стороны равны , мы удваиваем это, чтобы получить сумму двух сторон.

2 + 2 = 4 

Теперь мы вычитаем полученную сумму из общего периметра.

14 – 4 = 10

Это означает, что сумма двух неизвестных сторон равна 10 м.

Делим на 2, чтобы получить длину каждой неизвестной стороны.

10 ÷ 2 = 5

Теперь мы знаем, что высота прямоугольника B равна 5 метров

Давайте посмотрим, верно ли это, сравнив его периметр с периметром прямоугольника A.

5 + 2 + 5 + 2 = 14 метров

Теперь мы получили недостающую сторону прямоугольника B.

Найдем площадь.

Чтобы найти площадь, умножаем длину и ширину прямоугольника B. 

∴∴

Площадь прямоугольника B = 2 × 5 = 10 квадратных метров.

Пример 2:  

Прямоугольники ниже имеют одинаковую площадь, но разный периметр.  

Чему равен периметр прямоугольника А?  

Чтобы найти периметр прямоугольника, нам нужно знать его высоту и ширину.

Из приведенных выше форм у нас есть ширина прямоугольника A, высота отсутствует.

Как найти высоту прямоугольника А?  

Мы знаем, что площади двух прямоугольников равны.

Сначала нам нужно найти площадь прямоугольника B. 

Площадь прямоугольника В = высота × ширина

Теперь нам нужно найти периметр прямоугольника A.

Мы знаем, что ширина прямоугольника A равна 3 дюймам, а его площадь равна 30 в ²  

A = H × W

30 = H × 3

В = 30 ÷ 3 = 10 дюймов

Недостающая сторона равна 10 дюймам

∴∴

Периметр прямоугольника A = 3 + 3 + 10 + 10 = 26 дюймов.

Что у нас есть leanrt:

• Понять значение площади
• Сравнить площадь и периметр двух фигур
• Найти площадь фигур для решения реальных задач
• Выбрать подходящий инструмент и единицы длины для измерения площади
• Измерение площади поверхностей предметов и мест

Упражнение

1. Найдите площадь заштрихованной области.

2. Найдите площадь заштрихованной области.

3. Школьная дорожка имеет форму прямоугольника с полукругом (полукругом) на каждом конце. Прямоугольник имеет длину 105 метров и ширину 68 метров. Найдите площадь, ограниченную дорожкой. Округлите ответ до сотых.

4. Найдите площадь заштрихованной области. Округлите ответ до двух знаков после запятой.

Ширина – 17 футов
Длина – 23 фута

5. Найдите площадь поверхности и объем прямоугольного тела длиной 15 ярдов, шириной 7 ярдов и
высота 8 ярдов.

6. Прямоугольный ящик имеет длину 14 дюймов, ширину 6 дюймов и высоту 10 дюймов. Найдите его объем как поверхность
площади.

7. Чему равен периметр этой фигуры?

8. Джордж хочет поставить небольшой забор вокруг своего сада. Сад имеет длину 17 футов и ширину 9 футов.
Сколько ограждений ему нужно купить?

9. Если правильный пятиугольник имеет длину стороны 7 дюймов, каков его периметр?

10. Периметр прямоугольной красочной подушечки составляет 20 сантиметров. Его ширина 6 сантиметров. Как долго это?

Концептуальная карта:  

Формулы периметра различных форм: 

Урок Видео: Площадь: целые и полуквадраты

Расшифровка видео

Площадь, целые и полуквадраты

9,0017 В этом видео учиться как измерить площади фигур, нарисованных на сетке целыми и половинными квадратами, счет и сопоставление половинок. Как мы могли найти площадь этого прямоугольник?

Площадь – это размер поверхности или количество пространства, которое он охватывает. Значит площадь этого прямоугольника количество пространства внутри розовых линий. Когда мы измеряем площадь форма, мы измеряем его в квадратных единицах. Это квадратная единица. Итак, чтобы найти площадь этого прямоугольник, нам просто нужно подсчитать количество квадратных единиц, которые он покрывает. Раз, два и еще два делают четыре, и еще четыре дают восемь. Площадь этого прямоугольника равна восьми квадратных единиц.

Как мы можем найти площадь этого форма кошки?

Начнем с подсчета числа квадратов, которые охватывает фигура. Вот два квадрата, четыре, шесть. Вот ряд из четырех квадратов. И мы знаем, что шесть и четыре 10. Еще один ряд из четырех дает 14. квадраты. И еще четыре дают 18, плюс еще три дают нам в общей сложности 21 квадрат. Мы посчитали все квадраты. Теперь нам нужно посчитать все треугольники. Вы заметили, что каждый треугольник половина квадрата? Если бы мы поместили два таких треугольники вместе, то получится целый квадрат. Итак, если мы соединим два треугольника вместе у нас получился один квадрат.

Мы можем поставить эти два треугольника вместе, чтобы сделать один квадрат. Мы можем соединить эти треугольники вместе, чтобы сделать еще один квадрат. Вот еще одна пара, дающая нам другой квадрат. Вот еще один квадрат. И мы можем положить наши последние две половинки вместе, чтобы сделать еще один квадрат. Посчитаем, сколько целых квадратов мы сделали из наших треугольников. Один два три четыре пять, шесть. Теперь мы можем добавить, чтобы найти общее количество количество квадратных единиц. 21 плюс шесть равно 27 квадратных единиц. Площадь фигуры кота равна 27. квадратных единиц.

Теперь, когда мы научились находить площадь фигур с целыми и половинными квадратами, давайте попробуем ответить на некоторые вопросы сейчас.

Найдите площадь фигуры.

В этом вопросе мы должны найти площадь заданной формы. Площадь — это количество пространства формы крышки или размер поверхности формы. Мы видим, что наша форма была рисуется на квадратной сетке. И мы измеряем площадь в квадрате единицы измерения. Итак, чтобы найти площадь этой фигуры, нам просто нужно подсчитать количество квадратных единиц, которые он покрывает. Вот две квадратные единицы, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять и еще три квадрата дают 12.

Но мы не посчитали все квадраты, которые покрывает фигура. Этот прямоугольник составляет половину квадрат. Если бы мы поместили эти две половинки квадраты вместе, мы бы сделали один полный квадрат. На один больше 12 будет 13. И если мы соединим эти две половинки вместе, чтобы сделать еще один квадрат, всего у нас получилось 14 квадратов. Мы подсчитали количество полных квадраты, и мы складываем половинки квадратов вместе, чтобы получились целые квадраты. Площадь нашей фигуры 14 кв. единицы измерения.

Найдите площадь этой фигуры.

Площадь — это количество пространства в фигуре крышки. Нам нужно найти площадь форму, которую нам дали. Мы можем рассматривать область как количество пространства внутри синих линий. Эта форма была нарисована на квадратная сетка, и мы называем каждый квадрат квадратной единицей. Измеряем площадь в квадрате единицы измерения. Итак, чтобы найти площадь нашей фигуры, нам просто нужно подсчитать количество квадратных единиц, которые он покрывает.

Но это не квадрат. Это треугольник. Вот еще один треугольник. Каждый из этих треугольников стоит половина квадрата. Мы можем сложить две половинки вместе, чтобы сделать целый квадрат. Итак, пока мы насчитали один квадратная единица. Теперь мы можем посчитать все квадраты. Наши две половинки составляют одно целое квадрат, и в верхнем ряду есть еще три, что составляет четыре. У нас есть еще четыре на втором ряд, что дает нам в общей сложности восемь. Еще четыре квадрата в нижнем ряду составляет в общей сложности 12 квадратных единиц. И у нас есть еще один треугольник, который, как мы знаем, стоит половину квадрата. Всего мы насчитали 12 с половиной. квадратных единиц. Площадь этой фигуры равна 12 и половинные квадратные единицы.

Мы посчитали целые квадраты. Складываем половинки квадратов вместе пары, чтобы сделать больше целых квадратов. В целом форма охватывает площадью 12 с половиной квадратных единиц.

Шарлотта нарисовала фигуру с площадью 12 кв. Какие две фигуры имеют площадь, отличается от формы Шарлотты?

Шарлотта нарисовала эту фигуру. И нам сказали, что ее форма имеет площадью 12 кв. Таким образом, фигура Шарлотты охватывает 12 квадраты на сетке. Вот сколько места в ее форме занимает. Нам показаны еще три фигуры: форма один, форма два и форма три. Мы должны выбрать две формы которые имеют площадь, отличную от формы Шарлотты. Другими словами, нам нужно найти два фигуры, площадь которых не равна 12 кв.

Чтобы найти площадь каждой фигуры, мы просто нужно посчитать количество квадратных единиц, которые он покрывает. Начнем с первой формы. Вот два квадрата и еще один три составляют пять квадратов. Пять и еще два семь, и один больше составляет восемь. Теперь нам нужно посчитать треугольники. Каждый из этих треугольников равен половине квадрат. Итак, если мы сложим две половинки вместе, мы сделаем один целый квадрат. Итак, если мы положим эти две половины вместе у нас будет девять квадратов. Эти две половинки составляют еще одно целое квадрат, что составляет 10. Еще две половинки составляют 11 квадраты. И у нас осталась половина. Таким образом, площадь фигуры один равна 11 и половина квадратных единиц.

Мы знаем, что форма Шарлотты площадью 12 кв. Итак, мы знаем, что форма имеет область, которая отличается от формы Шарлотты. Теперь нам просто нужно найти наш второй форма. Какова площадь фигуры два? Давайте посчитаем количество квадраты. Один плюс три — четыре, пять, шесть семь. На два больше, чем семь, девять. Еще два составляют 11. 12, 13, 14. Таким образом, площадь второй фигуры равна 14. квадратных единиц. Это вторая форма, которая площадь, отличная от формы Шарлотты, потому что площадь формы Шарлотты 12 квадратных единиц. Две фигуры, имеющие площадь Отличаются от формы Шарлотты форма один и форма два.

Скалярное произведение векторов: теория и решения задач

• Определения и смысл скалярного произведения векторов
• Нахождение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов
• Свойства скалярного произведения векторов
• Матричное представление скалярного произведения векторов и произведение n-мерных векторов
• Угол между двумя векторами
• Применения скалярного произведения векторов
• Скалярное произведение векторов Калькулятор онлайн

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Найти скалярное произведение векторов можно несколькими различными способами. Способ зависит от того, какие условия даны в задаче. Поэтому существуют несколько определений скалярного произведения.

В задаче могут в явном или неявном виде присутствовать длины перемножаемых векторов и косинус угла между ними. В этом случае действует следующее определение.

Определение 1. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1:    (1)

Можно встретить и другое название этой операции: внутреннее произведение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

   (2)

или

   (3)

Но в задаче могут в явном или неявном виде присутствовать координаты перемножаемых векторов. Как на плоскости, так и в пространстве. Тогда справедливо следующее определение.

Определение 3. Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

Два перемножаемых вектора могут быть представлены также в виде матриц: первый вектор — в виде матрицы-строки, а второй — в виде матрицы-столбца:

.

В этом случае верно следующее определение.

Определение 4. Скалярное произведение векторов, представленных в виде матрицы-строки и матрицы-столбца представляет собой произведение этих матриц.

Почему скалярное произведение векторов называется именно скалярным и что представляет собой? Чем оно отличается от результатов других операций над векторами? Что такое скаляр? Скаляр — это число. И скалярное произведение векторов — это тоже число. Этим оно и отличается от уже рассмотренной суммы векторов, и от векторного произведения векторов, которое ещё предстоит рассмотреть. В отличие от скалярного произведения, сумма векторов — это вектор, и векторное произведение — тоже вектор.

На этом уроке будем решать распространённые задачи не только на непосредственное вычисление скалярного произведения, но и на выяснение ортогональности (перпендикулярности) векторов, вида угла (тупой, острый, прямой) между векторами, вычисление скалярного произведения векторов, которые даны в координатах, вычисление длин диагоналей параллелограма, построенного на вектора. Но все по порядку. Перед каждым видом задач будем обращать внимание на то, что на этот счёт гласит теория. По ходу урока вам пригодится онлайн-калькулятор для проверки решения задач на скалярное произведение векторов.

• Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены «на блюдечке с голубой каёмочкой», то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Решение:

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами. Повторим определение для этого случая.

Определение 3. Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору .

Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

.

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ).

Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

.

Составляем уравнение и решаем его:

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом — после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Алгебраические свойства

1.   (переместительное свойство: от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).

2.   (сочетательное относительно числового множителя свойство: скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).

3.   (распределительное относительно суммы векторов свойство: скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).

4. (скалярный квадрат вектора больше нуля), если — ненулевой вектор, и , если — нулевой вектор.

Геометрические свойства

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла — φ1 и φ2. Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π, то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ1.

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами — прямой (90 градусов или π/2), если скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое — меньше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое — больше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

• Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Пример 3. В координатах даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

.

Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

Пример 4. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

.

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Ответ: мы получили значение λ = 1,8, при котором векторы ортогональны.

• Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Пример 5. Доказать, что вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору

Решение. Чтобы проверить ортогональность, перемножим векторы и как многочлены, подставляя вместо его выражение, данное в условии задачи:

.

Для этого нужно каждый член (слагаемое) первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:

.

В полученном результате дробь за счёт сокращается. Получается следующий результат:

.

Вывод: в результате умножения получили нуль, следовательно, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Даны длины векторов и , a угол между этими векторами равен π/4. Определить, при каком значении μ векторы и взаимно перпендикулярны.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй — в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц:

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов — произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 7. Найти скалярные произведения пар векторов

и

,

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй — в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару и находим:

Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 2.

Вывод формулы косинуса угла между двумя векторами очень красив и краток.

Чтобы выразить скалярное произведение векторов

                              (1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

• Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Пример 8. Даны три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла получаем:

Следовательно, .

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

Пример 9. Даны два вектора

и

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

Решение.

1.Сумма

2.Разность

3.Длина

4.Скалярное произведение

5.Угол между и :

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 10. Определить, какой угол (острый, тупой или прямой) образуют и .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

Пример 11. Определить угол треугольника ABC при вершине A, если , , .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 12. На векторах и построен параллелограмм. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, если , , угол .

Посмотреть правильное решение и ответ.

• Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Пример 13. Среди векторов

Найти а) коллинеарные; б) ортогональные.

Решение.

а) проверим пропорциональность соответствующих координат векторов — условие коллинеарности (повторение материала предыдущей части темы «Векторы»).

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Для векторов и :

Равенство выполняется.

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Наше исследование показало, что коллинеарны векторы и .

б) найдём скалярные произведения векторов.

Наше исследование показало, что ортогональны векторы и и и .

Расчёт работы постоянной силы

Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из начала координат в конец вектора B под действием постоянной силы F = A, образующей угол с перемещением S = A. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы F = B на вектор перемещения S = A.

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов — фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?

Экономический смысл скалярного произведения векторов

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p
на вектор объёма проданных товаров x . Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p . Например, если объём всех товаров, проданных предприятием, выражается вектором x = (400; 750; 200; 300), элементы которого означают соответственно количество товаров различных групп, а цены в одних и тех же денежных единицах заданы в соответствующем порядке вектором p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), то скалярное произведение

выражает суммарную стоимость всех товаров x.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Векторы

Поделиться с друзьями

Начало темы «Векторы»

Векторы: определения и действия над векторами

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Продолжение темы «Векторы»

Линейная зависимость векторов

Базис системы векторов. Аффинные координаты

Векторное и смешанное произведение векторов

«Скалярное произведение векторов.

Угол между векторами». 9-й класс

• Кононова Анастасия Владимировна, заместитель директора по УВР, учитель математики

Разделы: Математика

Класс: 9

---

Цели урока:сформировать понятия скалярного произведения векторов, угла между векторами.

Задачи:

• рассмотреть следствия из теоремы о скалярном произведении в координатах, свойства скалярного произведения векторов; показать применение скалярного произведения векторов при решении задач;
• формировать навыки нахождения скалярного произведения и угла между векторами;
• способствовать воспитанию ответственности, организованности, самостоятельности.

Тип урока: урок совершенствования ЗУН

Вид урока: традиционный урок с применением компьютера

Оборудования: компьютер, демонстрационный материал

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Приветствие, психологический настрой на урок (Приложение 1. Слайд 1)

Добрый день! Добрый час!
Начинаем мы сейчас
Наш урок очередной.
И не легкий, и не сложный,
Очень нужный нам сейчас
В подготовке к ОГЭ!

II. Актуализация знаний учащихся

1) Устная работа №8 – Угол между векторами (Приложение 2, материал с сайта matvaz.ru), №9 – Скалярное произведение векторов (Приложение 3, материал с сайта matvaz.ru)

2) Проверка домашнего задания (Приложение 4)

П. 101-104, №1041, стр.269

№1041

Дано:

 – векторы

Найти:

Решение:

Ответ:

Инд тесты на сайте uztest.ru

3) Контроль усвоения материала (самостоятельная работа) (Приложение 5)

Вспомнить формулу нахождения координаты вектора через координаты его начала и конца: Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала

Вариант 1

А1. Даны точки  А(2; 4),  В(5; 8), С(–7; –1), D(5; 8).  Найдите скалярное произведение векторов  .
А2. Даны векторы  .  Найдите скалярное произведение векторов.
А3. Вычислите скалярное произведение векторов, если  , а угол между ними равен  60о.

Вариант 2

А1. Даны точки  А(2; 4),  В(–1; 6), С(–4; –2), D(3; 2).  Найдите скалярное произведение векторов    и  .
А2. Даны векторы  .  Найдите скалярное произведение векторов.
А3. Вычислите скалярное произведение векторов, если  , а угол между ними равен  30о.

Ответы: (Слайд 2)

Вариант 1

А1. 72          А2. 37          А3.13,5

Вариант 2

А1. –13     А2.–13       А3.

III. Изучение нового материала.

 Сообщение темы урока, сформулировать цели урока  (Слайд 3)

(Слайд 4)

Ненулевые векторы   и    перпендикулярны тогда и только тогда, когда

(Слайд 5)

Косинус угла ? между ненулевыми векторами и выражается формулой

(Слайд 6)

Для любых векторов  и любого числа k справедливы соотношения:

 IV. Применение знаний

Решить задачи №55, 57 из рабочей тетради (Приложение 6)
Коллективно решить №1047(а), 1044 (а,в), 1045, 1047(в) (Слайд 7)

V. Рефлексия

Подведение итогов урока. Оценить работы учащихся

V. Домашняя работа

(Слайд 8)

П.101-104, №1051 Стр.270.

(Слайд 9)

Индивидуальные задания: 1) выполнить тест №3 (задания №11 ОГЭ), выполнить тест №4 (задания №21 ОГЭ), составленные на сайте uztest.ru, задания на карточках: №54, 56 из рабочей тетради (Приложение 7)

17.03.2015

Геометрия

. Что представляет собой скалярное произведение двух векторов?

Как указывалось в других ответах, точечный продукт $\vec{a} \cdot \vec{b}$ связан с углом $\theta$ между $\vec{a}$ и $\vec{b} $ through:

$$\vec a \cdot \vec b = \Vert\vec a\Vert_2 \, \Vert\vec b\Vert_2 \, \cos \theta$$

Предположим, что $a$ и $b $ указывают в аналогичных направлениях, т. е. $\theta \leq 90°$, мы можем визуализировать, что означает это отношение (с этого момента пропуская векторные стрелки и нижний индекс евклидовой нормы):

$p$ — вектор, полученный ортогональной проекцией $a$ на $b$. Поскольку $\cos$ — это отношение между соседним катетом ($p$) и гипотенузой ($a$) в прямоугольном треугольнике, т. е.

$$\cos \theta = \frac{\Vert p \Vert }{\Vert a \Vert},$$

получаем для скалярного произведения:

$$a \cdot b = \Vert a \Vert \, \Vert b \Vert \, \frac{\Vert p \ Vert}{\Vert a \Vert} = \Vert p \Vert \Vert b \Vert$$

Итак, скалярное произведение — это длина вектора $p$, проекция $a$ на $b$, умножается на длину $b$. Если $a$ и $b$ направлены в противоположные стороны, т. е. $90° < \theta \leq 180°$, скалярное произведение будет отрицательным: $a \cdot b = - \Vert p \Vert \Vert b \Vert$

угол $\theta$ сам по себе не задан. По определению:

$$a \cdot b = \sum_i a_i b_i$$

Итак, нам нужно найти связь между этим и косинусом. Из определения скалярного произведения видно, что оно масштабируется пропорционально входным векторам, поэтому для неединичных векторов $u$ и $v$ с соответствующими единичными векторами $\hat{u}$ и $\hat{ v}$:

$$u \cdot v = \Vert u \Vert \hat{u} \cdot \Vert v \Vert \hat{v} = \Vert u \Vert \Vert v \Vert \hat{u} \cdot \ hat{v}. $$

Для простоты будем считать $a$ и $b$ единичными векторами. Таким образом, нам нужно только показать

$$a \cdot b = \cos \theta$$

или, по определению $\cos$, нам нужно показать:

$$a \cdot b = \ Vert p \Vert $$

Вычислим длину проекции $p$, используя $a$ и $b$. Мы можем начать с использования теоремы Пифагора: 92\\ &= 2 — (2 — 2 \sum_i b_i a_i) \\ &= 2 \sum_i b_i a_i \\ \Vert p \Vert &= \sum_i b_i a_i \end{выравнивание} $$

четв.е.д.

Скалярный продукт — исчисление 3

Все ресурсы исчисления 3

6 Диагностические тесты 373 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 17 18 Следующая →

Исчисление 3 Помощь » Векторы и векторные операции » Скалярный продукт

Оцените скалярное произведение между , и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Все, что нам нужно сделать, это умножить подобные компоненты.

Сообщить об ошибке

Оценить скалярное произведение , и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Все, что нам нужно сделать, это перемножить одинаковые компоненты и сложить их вместе.

Сообщить об ошибке

Найдите скалярное произведение следующих векторов: ответ:

Объяснение:

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов

, мы вычисляем

, поэтому для

у нас есть

Сообщить об ошибке

Какова длина вектора

?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Мы можем вычислить длину вектора, взяв квадратный корень из скалярного произведения и , поэтому длина  равна:

Сообщить об ошибке

Найдите скалярное произведение следующих векторов:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов

, мы вычисляем

, поэтому для

у нас есть

Сообщить об ошибке

Какова длина вектора

?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Мы можем вычислить длину вектора, взяв квадратный корень из скалярного произведения и , поэтому длина  равна:

Сообщить об ошибке определение скалярного произведения двух векторов с действительным знаком?

Возможные ответы:

Все они могут быть использованы

, где  – угол между .

Правильный ответ:

Объяснение:

 неверно. Это говорит о том, что нужно сложить вместе все компоненты двух векторов. Два других определения обычно используются при вычислении углов между векторами и другими объектами, а также могут быть получены друг из друга.

Сообщить об ошибке

Что из следующего верно относительно скалярного произведения двух векторов?

Возможные ответы:

Скалярное произведение двух векторов никогда не является скаляром.

Ни одно из других утверждений не верно.

 тогда и только тогда, когда   ортогональны.

Скалярное произведение двух векторов никогда не бывает отрицательным.

 является корректным, если каждый вектор имеет одинаковую размерность

Правильный ответ:

 тогда и только тогда, когда   ортогональны.

Объяснение:

Это утверждение верно; его можно получить из определения, установив острый угол между векторами равным  ; требование ортогональности. Кроме того, если любой из векторов имеет длину, векторы по-прежнему называются ортогональными.

Сообщить об ошибке

Что такое скалярное произведение векторов  и ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Пусть вектор  представлен как   , а вектор   представлен как  .

 

Скалярное произведение векторов   и  равно .

В этой задаче

Сообщить об ошибке

Что такое скалярное произведение векторов  и ?

Возможные ответы:

Не существует

Правильный ответ:

9000 3

Объяснение:

Пусть вектор  представлен как   , а вектор   представлен как  .