Рубрика: Разное

Что значит иррациональное и рациональное число: Иррациональные числа — урок. Алгебра, 8 класс.

alexxlab / / Разное

Что значит иррациональное число — Значения слов

  1. Подбор слов
  2. Значения слов
  3. иррациональное число

Раздел очень прост в использовании. В предложенное поле достаточно ввести нужное слово, и мы вам выдадим список его значений. Хочется отметить, что наш сайт предоставляет данные из разных источников – энциклопедического, толкового, словообразовательного словарей. Также здесь можно познакомиться с примерами употребления введенного вами слова.

Энциклопедический словарь, 1998 г.

иррациональное число

число, не являющееся рациональным, т.е. не могущее быть точно выраженным дробью m/n, где m и n — целые числа. Действительные иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Большая Советская Энциклопедия

Иррациональное число

число, не являющееся рациональным (т. е. целым или дробным). Действительные И. ч. могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями; например, ═Существование иррациональных отношений (например, иррациональность отношения диагонали квадрата к его стороне) было известно ещё в древности. Иррациональность числа p была установлена немецким математиком И. Ламбертом (1766). Однако строгая теория И. ч. была построена только во 2-й половине 19 в. И. ч. разделяются на нерациональные алгебраические числа и трансцендентные числа . См. также Число .

Википедия

Иррациональное число

Иррациона́льное число́ — это вещественное число , которое не является рациональным , то есть не может быть представлено в виде дроби $\frac{m}{n}$, где m — целое число , n — натуральное число . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби .

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой $\mathbb I$ в полужирном начертании без заливки. Таким образом: $\mathbb I =\R\backslash \Q$, то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа $\sqrt 2$.

Иррациональные числа — справочник для студентов и школьников

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной приливной дроби.

Определение

Иррациональное число — это число, которое представляется бесконечной непериодической дробью. Множество иррациональных чисел обозначается через \(\ I \). То есть иррациональное число не может быть представлено как рациональная дробь \(\ m / n \).

Пример

Число \(\ \sqrt{2} \) иррационально с тех пор как \(\sqrt{2}=1,414213562 \ldots \)

Иррациональные числа могут быть как положительными, так и отрицательными. Иррациональные числа включают, например \(\sqrt{7}=2,645751311 \ldots\) \(\ -0,5050050005 \dots\) \(\ \pi=3,14159 \ldots ; e=2,71828182845 \ldots\)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Десятичные дроби Рациональные числа Целые числа Взаимно простые числа

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

1.

6: Рациональные и иррациональные числа
  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    19365
    • Джозеф Филдс
    • Университет штата Южный Коннектикут

    Когда мы впервые обсуждали рациональные числа в разделе 1.1, мы дали следующее определение, которое не совсем верно.

    \[\mathbb{Q} = \{ \dfrac{a}{b} | a ∈ \mathbb{Z} \text{ и } b ∈ \mathbb{Z} \text{ и } b \neq 0\}\]

    Теперь мы можем решить проблему.

    Так в чем же все-таки была проблема? По сути, это: есть много выражений, образованных одним целым числом, написанным над другим (с промежуточной дробной чертой), которые представляют одно и то же рациональное число. Например, \(\dfrac{3}{6}\) и \(\dfrac{14}{28}\) — разные вещи, которые появляются в наборе, определенном выше, но мы все знаем, что они оба представляют рациональное число \(\dfrac{1}{2}\). Чтобы устранить эту проблему с нашим определением рациональных чисел, нам нужно добавить дополнительное условие, гарантирующее, что такие дубликаты не возникнут. Оказывается, мы хотим, чтобы числители и знаменатели наших дробей не имели общих множителей. Другой способ сказать это состоит в том, что \(a\) и \(b\) из приведенного выше определения должны быть выбраны так, чтобы \(\text{gcd}(a, b) = 1\). Пара чисел, у которых \(\text{gcd}\) равно \(1\), называется 9.0038 относительно простое .

    Наконец-то мы готовы дать хорошее и точное определение множества рациональных чисел. (Хотя следует отметить, что мы еще не закончили возиться; еще лучшее определение будет дано в Разделе 6.3.)

    \[\mathbb{Q} = \{ \dfrac{a}{b} | a,b ∈ \mathbb{Z} \text{ и } b \neq 0 \text{ и } \text{gcd}(a,b) = 1\}\]

    Как и раньше, давайте параллельно разберем это с английским переводом.

    \(\mathbb{Q}\) \(=\) \(\{\)
    Рациональные числа определяются как комплект всех
    \(\dfrac{a}{b}\) \(|\) \(а,б\в\mathbb{Z}\) \(\текст{и}\)
    дроби вида \(a\) над \(b\) такое, что \(a\) и \(b\) являются целыми числами и
    \(б \neq 0\) \(\текст{и}\) \(\текст{НОД}(а, б) = 1\) \(\}\)
    \(b\) не равно нулю и \(a\) и \(b\) взаимно просты.

    Наконец, мы готовы столкнуться с фундаментальной проблемой, которая была упущена в разделе 1. 1. Тогда мы определили два множества, \(\mathbb{Q}\) и \(\mathbb{R}\), скрытое предположение, которое делают, утверждая, что есть два чего-то, состоит в том, что эти две вещи различны. Это действительно так? Действительные числа были определены (не строго) как числа, которые измеряют величины физических величин, поэтому другой способ сформулировать вопрос таков: существуют ли физические величины (например, длины), которые равны 9?0116 не рациональных чисел?

    Ответ состоит в том, что да есть числа, измеряющие длины, которые не являются рациональными числами. С нашим новым и улучшенным определением того, что подразумевается под рациональным числом, мы готовы 90 116 доказать 90 117, что существует по крайней мере одна длина, которая не может быть выражена в виде дроби. Используя теорему Пифагора, легко увидеть, что длина диагонали единичного квадрата равна \(\sqrt{2}\). Доказательство того, что \(\sqrt{2}\) не является рациональным, обычно приписывают последователям Пифагора (но, вероятно, не самому Пифагору). В любом случае это результат глубокой древности. Доказательство относится к типу, известному как 9.0038 reductio ad абсурд 1 . Мы показываем, что данное предположение логически ведет к абсурду, к утверждению, что не может быть истинным, тогда мы знаем, что исходное предположение само по себе должно быть ложным. Этот метод доказательства немного скользкий; нужно сначала предположить 90 116, полную противоположность 90 117 тому, что вы надеетесь доказать, а затем аргументировать (намеренно) к нелепому заключению.

    Теорема \(\PageIndex{1}\)

    Число \(\sqrt{2}\) не принадлежит множеству \(\mathbb{Q}\) рациональных чисел.

    Прежде чем мы сможем дать доказательство, мы должны доказать промежуточный результат — но мы не будем этого делать, мы прибережем это доказательство для студента, чтобы он сделал его позже (хе, хе, хе…). Такого рода промежуточные результаты, вещи, которые сами по себе не заслуживают называться теоремами, но которые не являются полностью самоочевидными, известны как леммы. Часто бывает так, что в попытке доказать утверждение нам нужен какой-нибудь небольшой факт. Возможно, это даже кажется правдой, но не ясно. В таких обстоятельствах хороший тон требует, чтобы мы сначала сформулировали и доказали лемму, а затем приступили к нашей теореме и ее доказательству. Итак, вот, без ее доказательства, нужная нам лемма.

    Лемма \(\PageIndex{1}\)

    Если квадрат целого числа четен, то и исходное целое число четно.

    Учитывая, что тщательность требует, чтобы мы восполнили этот пробел фактическим доказательством леммы позднее, мы можем теперь приступить к доказательству нашей теоремы \(1.6.1\).

    Доказательство:

    Предположим противное, что \(\sqrt{2}\) — рациональное число. Тогда по определению множества рациональных чисел мы знаем, что существуют целые числа \(a\) и \(b\), обладающие следующими свойствами: \(\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}\ ) и \(\text{gcd}(a, b) = 1\). 92\) четно, а значит (по лемме), \(b\) четно. Наконец, мы пришли к желаемому абсурду, потому что если \(a\) и \(b\) оба четны, то \(\text{gcd}(a, b) ≥ 2\), но, с другой стороны, одно из наших исходных предположений состоит в том, что \(\text{gcd}(a, b) = 1\). {−4}\) или \(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} = 1 \dfrac{11}{16}\). 92\) в таком обобщении?

    Упражнение \(\PageIndex{5}\)

    Напишите доказательство того, что \(\sqrt{3}\) иррационально.

    Примечания

    1. Доведение до абсурда – более известное в наши дни как доказательство от противного.

    Эта страница под названием 1.6: Рациональные и иррациональные числа распространяется в соответствии с лицензией GNU Free Documentation License 1.3, автором, ремиксом и/или куратором которой является Джозеф Филдс.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Джо Филдс
        Лицензия
        ГНУ ФДЛ
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
        1. относительно простое число

      ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО определение | Кембриджский словарь английского языка

      Примеры иррационального числа

      иррациональное число

      Пи это иррациональное число , что означает, что его нельзя записать как отношение двух целых чисел.

      От OregonLive.com