Рубрика: Школьная жизнь

Определение вероятности. Достоверные и невозможные события

Когда футбольный судья подбрасывает монетку в начале матча, чтобы определить, какая команда будет выбирать мяч, а какая – ворота, мы считаем это справедливым. Действительно, выпадет орел или решка. В таком случае вероятность равна .

Рассмотрим другую ситуацию. Судья будет подбрасывать вместо монетки игральный кубик. Если выпадет четное число, то выбирает команда , а если нечетное, то команда . Будет ли это справедливым? Да, вероятность тоже будет , так как четных и нечетных чисел на кубике одинаковое количество. Почему мы считаем вероятность в этих случаях одинаковой? И что такое вероятность?

Мы часто оцениваем вероятность того или иного события. Например, вызовет учитель к доске или нет. Пойдёт ли днём дождь, если пасмурно с утра? В результате нашего анализа мы принимаем различные решения: например, готовиться к уроку на завтра или не брать с собой зонт. Такие решения обычно принимаются на основании наблюдений (жизненного опыта). Например, наблюдения подсказывают нам, что учитель обычно не вызывает ученика два урока подряд. Поэтому если сегодня меня вызвали к доске, то вероятность этого же события на следующем уроке я буду оценивать как низкую. Но это не гарантирует, что меня действительно не вызовут повторно.

А, например, вероятность вызова к доске на уроках математики и биологии мы никак не связываем. То, что мы отвечали на математике, не гарантирует, что нас не спросят на биологии. Как мы уже знаем, такие события называют независимыми.

Итак, мы можем выделить два важных понятия: опыт и его результат (событие). Например, если мы подбрасываем монету, то опыт «бросили монету, посмотрели – что сверху». В этом опыте возможны события (их принято обозначать буквами): А = «выпал герб» и В = «выпала решка».

Изучение опытов с непредсказуемыми заранее последствиями (типа игры в монету) показало: между опытом и событием, которое может в нём произойти, существует некая связь, её называют вероятностью события и характеризуют числом, которое проявляется только при многократном повторении опыта. Например, если мы подбрасываем монетку, то вероятность того, что выпадет герб равна . Однако это не гарантирует нам, что ровно в  из  подбрасываний мы увидим герб. Это лишь значит, что если мы будем очень много раз подбрасывать монету, то количество раз, когда выпал герб и когда выпала решка, будет приблизительно одинаковым.

То есть если мы проводим опыт  раз и наше событие в нем происходит  раз, то вероятность – это предел отношения  при . Это определение означает, что если мы будем много раз проводить один и тот же эксперимент, то отношение количества благоприятных событий к общему количеству проведенных опытов будет стремиться к какому-то числу. Например, при игре правильной монетой приблизительно в половине бросков выпадал герб (многовековая практика игроков) и стали говорить «вероятность выпадения герба равна ».

В условиях задач о вероятностях нам часто говорят неявно. Например, в задаче: «В ящике лежат шары, одинаковые по форме и на ощупь, один из них отмечен. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность вынуть отмеченный шар?» – вероятности некоторых событий указаны условиями «одинаковые по форме и на ощупь» и «наудачу вынимают о

interneturok.ru

События, виды событий —

Опыт, эксперимент, наблюдение явления или некоторого процесса называется испытанием. Примеры испытаний: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесённой на каждую из шести граней цифры от одного до шести), реализация некоторого физического, механического или технологического процесса и т.д. При бросании монеты исходами (событиями) являются выпадение герба или выпадение цифры, а при бросании игральной кости — выпадение какой либо цифры на верхней грани кости. Испытания сопровождаются их исходами (событиями).

Событие — это качественный и (или) количественный результат испытания (исход), осуществляемого при определённой совокупности условий. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Различают следующие типы событий: случайные события, совместные или несовместные события, достоверные или невозможные события, зависимые или независимые события, равновозможные события, элементарные (простые, неразложимые) события, событие или совокупность событий (исходов), благоприятствующих какому-либо другому событию.

Случайное событие – это результат испытания (или величина), который нельзя заранее спрогнозировать, т.е. нельзя сказать, произойдёт это событие или не произойдёт, или, если событие произойдёт, то неизвестно, какое значение примет результат этого события.

Случайные события – первичные, неопределяемые (в строгом смысле) понятия в теории вероятностей, аналогичные понятиям точки и прямой – в геометрии.

Например, пусть игральная кость с пронумерованными гранями от 1 до 6 подбрасывается два раза. В этом опыте можно рассматривать следующие события: событие А – оба раза выпадет число 1; событие В – хотя бы один раз выпадет число 3; событие С – сумма выпавших чисел равна 8 и т.д.

Событие, которое обязательно наступит (никогда не произойдёт) в данном опыте, называется достоверным (невозможным). Достоверное событие обозначают символом Ω, а невозможное – Æ. Например, в опыте, состоящем в подбрасывании кости один раз – событие А – выпадение одного из чисел 1,2,3,4,5,6 – есть достоверное, а событие В – выпадение числа 7 – невозможное.

Два случайных события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании. (Таким образом, несовместные события не могут наступать одновременно). В противном случае, т.е. если наступление одного события не исключает наступление другого события в одном и том же испытании, то эти события называются совместными. Например, если событие А – появление числа 2 при одном бросании кости, а событие В – появление чётного числа в этом же бросании, то события А и В совместные, а событие С – появление числа 2 при одном бросании кости и событие D – появление числа 3 в этом бросании – события несовместные.

События А₁, А₂, … , А_n называются попарно несовместными, если любые два из них являются несовместными.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным по сравнению с другими событиями.

События называются независимыми (зависимыми), если числовая характеристика возможности наступления одного события не зависит (зависит) от числовых характеристик наступления других событий (указанные числовые характеристики некоторых событий А, В, С, … называются вероятностями этих событий).

Определение. Совокупность попарно несовместных событий образуют полную группу событий для данного испытания, если в результате каждого испытания происходит одно и только одно из них.

Примеры полных групп событий: а) выпадение герба {Г} и выпадение цифры {Ц} при одном бросании монеты; б) попадание в цель и промах при одном выстреле по мишени; в) выпадение цифр «1», «2», «3», «4», «5», «6» при одном бросании кости.

Определение. События ω₁, ω₂, … , ω_n, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, называются элементарными событиями.

Элементарными событиями являются выпадение цифр «1», … ,«6» при бросании кости. Эти события несовместны, равновозможны и образуют полную группу (предполагается, что кость является однородной и центрированной).

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается Ω. Например, в результате бросания кости выпадение цифры i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 образует пространство Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Элементарные события, составляющие пространство Ω, обозначаются ω₁, ω₂, …, ω₆.

Замечание. Кроме случайных событий в теории вероятностей вводятся в рассмотрение случайные величины. Случайная величина – это переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможных значений. Случайные величины в данном пособии рассматриваются более подробно в главе 3.

einsteins.ru

экзам.тервер

1)комплекс условий,Достоверное невозможное и случайное событие.

Достоверное событие — в теории вероятности называется событие , которое в результате опыта или наблюдения непременно должно произойти.

Для достоверного события 

Т.е. вероятность события равна единице.

Но, не всякое событие, вероятность которого равна 1, является достоверным

Невозмо́жным собы́тием в теории вероятности называется событие , которое в результате опытапроизойти не может.

Очевидно, что вероятность невозможного события равна нулю.

Однако, не всякое событие, вероятность которого равна нулю, является невозможным событием. Пример: событие, состоящее в том, что нормальнораспределенная случайная величина примет некоторое конкретное значение. Для любой непрерывной случайной величины верно утверждение: вероятность того, что случайная величина примет определенное, наперед заданое значение равна нулю. Другой пример события с нулевой вероятностью: эксперимент состоит в том, что монета подбрасывается бесконечное число раз. Событие «Монета бесконечное число раз упадет цифрой вверх» имеет нулевую вероятность, но оно может произойти.

Если оговорена некоторая допустимая погрешность (например, 10^(-50) ), то событие, вероятность которого не больше значения этой погрешности, называют практически невозможным.

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

2) Пространство элементарных событий 

Пространство элементарных событий — множество всех взаимно или попарно исключающих друг друга исходов случайного эксперимента, которые вместе образуют полную группу событий.

Элемент этого множества называется элементарным событием или исходом. Пространство элементарных событий называется дискретным, если число его элементов конечно или счётно. Любое пространство элементарных событий не являющееся дискретным, называется недискретным, и при этом, если наблюдаемыми результатами (нельзя произносить случайными событиями) являются точки того или иного числового арифметического или координатного пространства, то пространство называетсянепрерывным (континуум). Пространство элементарных событий вместе с алгеброй событий ивероятностью образует тройку , которая называется вероятностным пространством.

3)События.Операции над событиями

Событие-любой набор элементарных исходов или, иными словами, произвольное подмножиство пространства элементарных исходов, называют событием.

Операции над событиями.1)Пересечением(произведением) двух событий А и В называют событие С тогда, когда одновременно происходят оба события А и В. С=АВ 2)События А и В называются несовместными или, непересикающимися если их пересечения являются невозможным событием т.е. АΩВ=ø 3) Обьединением, суммой двух событий А и В называют событие С происходящее только тогда когда происходят хотябы одно из событий А или Вт.е. событие С, состоящее из тех элементарных исходов которые принадлежат хотя бы одному из подмножеств А или В. С=АUВ 4) Разностью 2х событий А и В называют событие С происходящее тогда и только тогда когда происходит событие А но не происходит событие В т.е. событие С состоящее из тех элементарных исходов, которое принадлежит А но не пренадлежит В. С=А\В 5)Дополнением события А(А) Называт событие происходящее тогда когда не происходит событие А. Событие А называют противоположным событию А. А=Ω\А.

4)Алгебра событий

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в  наступлении по крайней мере одного из событий А или В.  Пример 1. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А — попадает в мишень первый стрелок, событие В —  попадает в мишень второй стрелок. Суммой событий А и В является событие С = А + В — попадает в мишень по крайней мере один стрелок.  Аналогично, суммой конечного числа  событий называется событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий .  

Из определения суммы событий  непосредственно следует, что  

А + В = В + А.  Справедливо также и сочетательное свойство. Однако  

А + А = А (а не 2А, как в алгебре).  Произведением событий А и В называется событие С = А В, состоящее в том, что в  результате испытания произошли и событие А, и  событие В.  Аналогично, произведением конечного  числа событий называется событие , состоящее в том, что в  результате испытания произошли все указанные  события.  В Примере 1 произведением событий А и В  является событие С = А В, состоящее в попадании в мишень двумя стрелками.  

Из определения произведения событий  непосредственно следует, что  

АВ = ВА. 

5) Аксиометрическое опред.вероятностей свойства вероятности.

Вероятностью называется числовая функция, определенная на поле событий S и обладающая следующими свойствами: Аксиома 1. Для любого события A прин. S Р(А)>=0. Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице Р (омега)=1. Аксиома 3. Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: А прин. S, В прин. S, А*В=0, Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во: Событие А является подмножеством омега, так как А={wi1,…,wim},то, согласно конечной схеме, Р(А)=сумме по l от 1 до m рil, 0<=pil<=1, l=1,…,m, поэтому Р(А)>=0, т.е. условие аксиомы 1 выполняется. Условие аксиомы 2 выполняется, поскольку омега={w1,…,wn}и на основании того, что Р(А)=сумме по l от 1 до m рil, то Р(омега)=сумма по i от 1 до n pi=1. Условие аксиомы 3 также выполняется, так как оно представляет собой содержание теоремы сложения для конечной схемы. Итак, конечная схема является примером объекта, для которого выполняется система аксиом теории вероятностей. Основные свойства вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий  Е  , а вероятности  Р  определены на событиях из Е . Тогда:

6) Теорема сложения произвольных событий. Вероятность суммы двух произвольных событий равна разности суммы и произведения вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB).

Следствие. Вероятность суммы произвольных событий никогда не превосходит суммы вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ +…+ A_n) ≤ P(A₁) + P(A₂) +…+P(A_n).

7)Элементы комбинаторики:правило суммы произведения и размещения

Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор «либо , либо » можно осуществить способами.

Правило произведения. Если объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать (независимо от выбора объекта способами, то пары объектов и можно выбрать способами.

Размещениями из элементов поназываются такие выборки, которые, имея поэлементов, выбранных из числа данныхэлементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из элементов пообозначимИспользуя основное правило комбинаторики, получаем

Если , то- число таких размещений, которые отличаются только порядком расположения элементов. Такие размещения называютсяперестановками. Их число находится по формуле

Выборки из элементов, взятых из данных, отличающихся только составом элементов, называютсясочетаниями из элементов по. Числотаких сочетаний находится

9)Класическое опред.вероятности

вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (классическое определение вероятности). Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Итак, вероятность события А определяется формулой:

(1)

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

10) геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.) Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

11) Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

W (А) = m / n,

где m — число появлений события, n — общее число испытаний.

 если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах, относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Статистическая вероятность. При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

где m — число испытаний, в которых событие A наступило, n — общее число произведённых испытаний.

12) Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло

Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.

   Доказательство. Докажем справедливость соотношения (4), опираясь на классическое определение вероятности. Пусть возможные исходы Е1, Е2, …, ЕN данного опыта образуют полную группу равновероятных попарно несовместных событий, из которых событию A благоприятствуют M исходов, и пусть из этих M исходов L исходов благоприятствуют событию B. Очевидно, что совмещению событий A и B благоприятствуют L из N возможных результатов испытания. Это дает

; ;

13)Независимые события.События в совокупн. Попарная независимость

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_A (В) = Р (В). (*)

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или простонезависимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A₁, A₂, А₃, независимы в совокупности, то независимы события A₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и A₃; А₁ и A₂A₃, A₂ и A₁A₃, А₃ и A₁A₂.

14)  Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , …, А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ … q_n.(*)

Доказательство

Ч а с т н ы й   с л у ч а й. Если события А₁ , А₂ , …, А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ. (**)

15)Формула полн.вероятности

Формула Бейеса

16)Формула Бернули

в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях)

появлений события в независимых испытаниях

Число k₀ (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k₀ раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k₀ определяют из двойного неравенства

np-q≤k₀≤np+p,

причем:

а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k₀;

б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k₀ и k₀+1;

в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k₀ = nр

17)

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Для определения значений φ(x) можно воспользоваться специальной таблицей.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁;k₂)=Φ(x») — Φ(x’)

Здесь

—функция Лапласа

Значения функции Лапласа находят по специальной таблице.

19) ) Предельная теорема Пуассона

Если итак, что,, то

при любом постоянном .

Доказательство.

Положив , представим вероятностьв виде

.

Отсюда при получим утверждение теоремы.

20) Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

            Случайные величины можно разделить на две категории.

            Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

            Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

            Определение. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

            Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

            Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

21) Закон распределения дискретной случайной величины

            Определение.  Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

            Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

            Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

            Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

22)

23) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

     Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M(X) = x₁ p₁+ x₂ p₂+…+ x_n p_n.       Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M(X). Однако эту характеристику можно оценить. В качествеоценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M(X) ≈X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка. Математическое ожидание обладает следующими свойствами:       1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.       2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X).       3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y+Z) = M(X)+M(Y)+M(Z).       4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XYZ) = M(X)M(Y)M(Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.

24)Свойства мат.ожидания. Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

            2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

            3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

            Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

            4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

25) ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 

     Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D ( X ) = M ( X — M ( X )) ². Для вычислений удобнее пользоваться формулой :  D ( X ) = M ( X ² ) — ( M ( X )) ².       Дисперсия обладает следующими свойствами.         1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю : D ( C ) = 0.         2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат : D ( CX ) = C ²D ( X ).         3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:             D ( X+Y+Z ) = D ( X )+D ( Y )+D ( Z ).         4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной — равна дисперсии случайной величины: D ( C+X ) = D ( X ). 

26) 1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n — частота (повторяемость фактора Х)

27) 1)      Дисперсия постоянной величины равна нулю.

            2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

            3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

            4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

            Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

            Теорема. Дисперсия числа появления  события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в каждом испытании.

28) Среднее квадратич.отклонение случ.величины

 Определение. Средним квадратическим отклонением  случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

            Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

29) Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

,

где  — биномиальные коэффициенты,  — неотрицательное целое число.

30) Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины принимающей целочисленные значения с вероятностями:

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом называемым числом испытаний, и вещественным числом называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти «успех» с вероятностью то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы независимых слагаемых, имеющихраспределение Бернулли.

studfiles.net

1.Случайное событие. Испытание. События достоверные и невозможные, совеместные и несовместные, полная группа событий, противоположные события.

СС – явление, которое при одних и тех же условиях иногда происходит, иногда не происходит.

Испытание (опыт, эксперимент)– осуществление этих определенных условий.

Каждое испытание приводит к заранее точно не предсказуемому результату, т.е. его результат нельзя точно предсказать. И тем не менее СС является результатом испытания.

Достоверное событие (Ω), событие, которое обязательно происходит в результате испытания, вероятность достоверного события равна единице:Р(Ω)=1; невозможное событие (знак пустого множества), не происходит ни при каком исходе случайного эксперимента, вероятность невозможного события равна нулю.

Выпадение снега в НСК 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега в Африке можно рассматривать как невозможное событие.

События А и В назыв. совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном события называются несовместными.

Предположим, проводится подбрасывание монеты. В результате этого эксперимента обязательно произойдет одно из следующих событий:

А: монета упадет орлом;

В: монета упадет решкой;

С: монета упадет на ребро;

Т.е. система {А;В;С}является полной группой событий.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить через А, то противоположное событие обозначают через .

2.Пространство элементар. Соб. Определение сс. Операции над соб. Основные отношения меж соб.

Элементарным (ω) называется СС, которое не разделяется на другие, более мелкие события. Пространством элементарных событий (Ω) называется множество всех элементарных событий, связанных с данным испытанием.

1.При однократном подбрасывании монеты возможны два элементарных события: ω1=Г, ω2 = Ц, которые образуют пространство элементар. соб. Ω = {Г, Ц}.

2.Двукратное подбрасывание монеты: пространст­во элементарных событий определяется комбинацией элементарных событий при первом и втором подбра­сывании, то есть Ω = {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}.

В результате каждой операции над соб. получают новое событие.

Суммой (объединением) 2х событий А и В называется третье событие С, заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из них, то есть произойдет: 1) или только А, 2) или только В, 3) или оба вместе. Смысл суммы: событие А + В состоит из всех элементар. Соб., принадлежащих событию А или В.

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется третье событие С, состоящее в совместном наступлении событий А и В. Обозначение произведе­ния событий: АВ = С. Смысл произведения заключается в том, что событие АВ состоит из элементарных событий, принадлежащих одновременно событию А и В.

Св-ва операций:

1.Переместительное. А+В=В+А и АВ=ВА.

2.Сочетательное А+В+С=(А+В)+С=А+(В+С)

АВС = (АВ)С=А(ВС)

3.Распределительное А(В+С)=АВ+АС

Отношение меж. Соб:

1.Отношение включения (А влечет за собой В). А явл. подмножеством В. Если происходит А, то и происходит В, но не наоборот.

2.Отношение несовместимости, т.е. соб А иВ вместе произойти не могут.

3. Отношение равносильности, т.е. соб А = соб В

СС – явление, которое при одних и тех же условиях иногда происходит, иногда не происходит.

studfiles.net

01. Понятие события. Виды и взаимосвязь событий

1. Понятие события. Виды и взаимосвязь событий.

Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Пример 2. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих

стрелков.

Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что

А произошло, а В – нет.

Пример 3. Вернемся к примеру 1, где А\ В – попадание первого стрелка при промахе второго.

studfiles.net

Достоверные, невозможные, случайные события. Урок математики в 5 классе

Урок математики в 5 классе

«Достоверные, невозможные, случайные события»

Миргородова Татьяна Геннадьевна

учитель математики МОУ «СОШ №1»

г. Курск

Цели урока:

— познакомить учащихся с понятиями события, достоверные, невозможные, случайные события;

— развитие умения анализировать, вычислительных навыков , навыков самоконтроля;

— воспитание математической культуры.

Ход урока.

1. Организационный этап.

Сообщение темы урока, формулировка цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

Математический диктант (слайды 2-3).

Выполните действия

1) 1 : 2

2) 9 + 3,6

3) 2,08 : 0,4

4) 3,2 · 0,5

5) 5,2 + 4,34

6) 4 : 0,5

7) 4,7 — 2,62

8) 2,5 · 3

До того как мы откроем ключ и проверим правильность выполнения теста, давайте предположим, правильно ли вы выполнили вычисления. Высказывайте свои предположения. Например, я предполагаю, что, вероятнее всего, большинство учащихся с работой справились. А что думаете вы? (ответы детей)

Во многих наших предложениях прозвучали слова: “вероятно, наверно, может быть”. Мы попробовали предугадать результат выполнения теста. Но всё-таки давайте теперь проверим.

1) 0,5

2) 12,6

3) 5,2

4)1,6

5) 9,54

6) 8

7) 2,08

8) 7,5

Дети проверяют правильность выполнения задания по ключу, отмечают количество верных ответов.

Итак, мы имели возможность установить достоверность наших предположений. Чей прогноз оказался верным?

3. Новый материал (слайды 4 — 6)

В обычной жизни мы часто говорим: «Вероятно, сегодня будет дождь. Вероятнее всего, за контрольную работу получу 3. и т. п. ». В математике вероятность измеряется числом. Каким образом это можно сделать изучает такой раздел математики, как теория вероятностей. Сегодня мы должны познакомиться с первоначальными понятиями этого раздела науки.

На ваших столах лежат игральные кубики, подбросьте их, назовите выпавший результат. Полученный результат будем называть событием.

Интересно угадать наступление того или иного события. Сделаем предсказания:

• выпадет 1,2,3,4,5 или 6.

• выпадет 7.

• выпадет 1.

Произойдут эти события или нет?

Давайте попробуем определить (слайды 7- 19):

• Событие называется достоверным, если…

• Событие называется невозможным, если…

• Событие называется случайным, если…

Пример 1 (слайды 20-24) .

Вы открыли книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось

— в написании выбранного слова есть гласная буква;

— в написании выбранного слова есть буква «о»;

— в написании выбранного слова нет гласных букв;

-в написании выбранного слова есть мягкий знак;

— слово начинается с «ъ».

Пример 2 (слайды 25-29).

В коробке 3 красных, 3 желтых,
3 зеленых шара. Вытаскиваем, не глядя, один за другим шары. Какие из следующих событий невозможные, достоверные, случайные:

А: все вытянутые шары одного цвета;

В: все вытянутые шары разного цвета;

С: среди вытянутых есть шары разного цвета;

D: среди вытянутых есть шары всех трех цветов.

4. Формирование умений и навыков

Охарактеризуйте события, о которых идёт речь в приведённых ниже заданиях, как достоверные, невозможные, случайные.

Задача 1 (слайды 30-41)

Какие из перечисленных ниже событий случайные,

достоверные, невозможные:

а) черепаха научится говорить;

б) вода в чайнике, стоящем на плите, закипит;

в) день рождения одного из ваших знакомых – 30 февраля;

г) вы выиграете, участвуя в лотереи;

д) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

е) вы проиграете партию в шахматы;

ж) вы завтра встретите инопланетянина;

з) на следующей неделе испортится погода;

и) вы нажали на звонок, а он не звонит;

к) сегодня – четверг;

л) после четверга будет пятница;

м) после пятницы будет четверг.

Задача 2 (слайд 42)

Придумайте по три

примера достоверных, невозможных и случайных событий.

Задача 3 (слайды 43-50)

В коробке лежат 2 красных, 1 желтый и 4 зеленых шара. Из коробки наугад вынимают три шара. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:

А: будут вытянуты три зеленых шара;

В: будут вытянуты три красных шара;

С: будут вытянуты шары трех цветов;

D: будут вытянуты шары одного цвета;

E: среди вытянутых шаров есть синий;

F: среди вытянутых шары трех цветов;

G: среди вытянутых есть два желтых шара.

Задача 4 (слайды 51-54)

Саша сравнивают свои дни рождения. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:

а) их дни рождения не совпадают;

б) их дни рождения совпадают;

в)Маша родилась 29 февраля, а Саша 30 февраля;

г)дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год ( 1 января) и День независимости России ( 12 июня)

Задача 5 (слайды 55-56)

В коробке лежат черные и белые шары. Из нее наугад вытягивают один шар. Используя выражения «более вероятно», «менее вероятно», «равновероятные события», сравните возможность наступления случайных событий А и В, где

А: вытянутый шар будет белым;

В: вытянутый шар будет черным.

1 2 3 4 5

5. Итог урока

5.1 Учащиеся повторяют определения случайных, достоверных, невозможных событий.

5.2 Учащиеся выполняют тест и кодируют ответ. Затем учащимся сообщается код правильного ответа (слайды 57-63)

5.3 Учитель выставляет отметки за урок.

6. Домашнее задание.

п. 53, стр. 248 Математика 5 И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович

№ 962, № 965

infourok.ru

Классификация случайных событий.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Основы теории вероятностей.

 

Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности в массовых случайных событиях.

Событие – это факт, который может произойти или не произойти в результате проведения опыта или испытания.

Выделяют три вида событий:

а) достоверные

б) невозможные

с) случайные

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдёт в результате данного опыта.( например: при бросании кубика выпадет 1≤целое число≤6).

Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет в условиях данного опыта. .( например: при бросании кубика выпадет число≥7, например 10).

Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате данного опыта. ( например: бросили кубик один раз – выпадение числа 3 – случайное событие).

События обозначаются первыми заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D,.

События называются массовыми, если они происходят одновременно в достаточно большом числе испытаний или многократно повторяются .( например: много людей бросают кубики или один человек бросает кубик много раз).

 

Классификация случайных событий.

 

Равновозможные события – это события такие, что ни одно из них не является более возможным, чем другие ( например: кубику всё равно на какую грань упасть).

Совместные события – это события, которые могут произойти одновременно в результате данного опыта. ( например: бросаем 2 кубика — выпадение числа 1 и выпадение числа 3 – совместные события).

Несовместные события – это равновозможные события такие, что появление одного из них исключает появление остальных.( например: бросаем 1 кубик – выпадение цифры 3 исключает выпадение остальных цифр).

Несколько случайных событий: образуют полную группу событий, если каждое из них может произойти в результате данного опыта. ( например: выпадение чисел 1,2,3,4,5,6 –полная группа событий для бросания одного кубика).

Противоположные события – это равновозможные несовместные события, образующие полную группу событий. Появление события исключает появление события . ( например: орёл или решка, попадание в мишень или промах).

Несмотря на то, что события случайные, при большом числе опытов они подчиняются закономерностям, которые изучает теория вероятностей.

 

Вероятность случайного события.

 

Вероятность случайного события (обозначается Р(А)) –это число, которое говорит нам о степени возможности наступления события .

Существуют два определения вероятности: классическое и статистическое, каждое из них имеет свои достоинства и недостатки.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события – это отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию (m), к общему числу всех несовместных и равновозможных исходов данного опыта (n).

 

Если А – случайное событие, то

 

Если А – достоверное событие, то

Если А – невозможное событие, то

 

Пример: при бросании кубика возможно 6 исходов

Событие А: выпадет четное число. Число исходов, благоприятствующих событию А, m=3.

Достоинства: можно вычислить вероятность не производя испытания.

Недостатки: 1) не всегда известно число исходов опыта,

2) часто невозможно представить результат испытаний в виде равновозможных и несовместных событий.

Поэтому на практике часто пользуются статистическим определением вероятности.

Статистическое определение вероятности.

Пусть А – случайное событие, опыт проводился n раз, в результате опыта событие А произошло m раз, тогда m— частота наступления события А, а величина называется относительной частотой события А.

Для разных n , могут заметно отличаться, но если проводим длинную серию опытов, т.е. , то к некоторому пределу.

Статистической вероятностью события А называется предел, к которому стремится его относительная частота , при неограниченном увеличении числа испытаний.

Пример: среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков. , тем не менее, известно, что

Так как вероятность – это число следовательно, с этими числами можно производить арифметические действия.

 

Формула полной вероятности.

Иногда событие А может произойти только совместно с одним из нескольких других событий, их принято называть гипотезами и обозначать Тогда полная вероятность события А вычисляется по формуле:

Пример: Н₃

Н₁ Н₂ СобытиеА:попадёмв домик.

Формулы Байеса.

До проведения опыта мы имели вероятности гипотез

(В примере ).

После проведенияопыта:

Пусть событие А произошло (т.е. попали в домик), вероятности гипотез изменились. Для того, чтобы вычислить вероятности гипотез, при условии, что произошло событие А используют формулы Байеса:

Пример

Случайная величина.

Случайная величина – это переменная, которая принимает свои значения в зависимости от случайных обстоятельств.

.Дискретная случайнаявеличина (точечная) принимает отдельные числовые значения (число студентов в аудитории, кубик: 1,2,3,4,5,6)

Непрерывная случайная величина принимает любые значения из некоторого интервала( масса тела, рост студентов).

Случайные величины обозначают заглавными последними буквами латинского алфавита:X,Y,Z…,а их возможные значения прописными буквами:

Любое правило, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она эти значения принимает, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины можно задавать в виде:

1).Таблицы

2). Графика

3) Функции распределения.

 

Функция распределения.

1). F(x) неубывающая: F(x2)≥F(x1) если x2≥x1 2).F(-∞)=0; F(+∞)=1

 

4). Функция плотности распределения f(x): (только для непрерывной случайной величины).

Найдём предел:

Обозначим: . это функция плотности распределения.

То есть функция распределения F(x) является первообразной для функции плотности распределения f(x).

Площадь под кривой

1). f(x) неотрицательная функция (f(x)≥0).

2). Вероятность попадания в элементарный интервал dx=(x+Δx)-x равна f(x)dx=dP.

 

3).Вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b]:

4). Условие нормировки: площадь под кривой равна единице.

 

Формула полной вероятности.

Формулы Байеса.

Основы теории вероятностей.

 

Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности в массовых случайных событиях.

Событие – это факт, который может произойти или не произойти в результате проведения опыта или испытания.

Выделяют три вида событий:

а) достоверные

б) невозможные

с) случайные

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдёт в результате данного опыта.( например: при бросании кубика выпадет 1≤целое число≤6).

Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет в условиях данного опыта. .( например: при бросании кубика выпадет число≥7, например 10).

Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате данного опыта. ( например: бросили кубик один раз – выпадение числа 3 – случайное событие).

События обозначаются первыми заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D,.

События называются массовыми, если они происходят одновременно в достаточно большом числе испытаний или многократно повторяются .( например: много людей бросают кубики или один человек бросает кубик много раз).

 

Классификация случайных событий.

 

Равновозможные события – это события такие, что ни одно из них не является более возможным, чем другие ( например: кубику всё равно на какую грань упасть).

Совместные события – это события, которые могут произойти одновременно в результате данного опыта. ( например: бросаем 2 кубика — выпадение числа 1 и выпадение числа 3 – совместные события).

Несовместные события – это равновозможные события такие, что появление одного из них исключает появление остальных.( например: бросаем 1 кубик – выпадение цифры 3 исключает выпадение остальных цифр).

Несколько случайных событий: образуют полную группу событий, если каждое из них может произойти в результате данного опыта. ( например: выпадение чисел 1,2,3,4,5,6 –полная группа событий для бросания одного кубика).

Противоположные события – это равновозможные несовместные события, образующие полную группу событий. Появление события исключает появление события . ( например: орёл или решка, попадание в мишень или промах).

Несмотря на то, что события случайные, при большом числе опытов они подчиняются закономерностям, которые изучает теория вероятностей.

 

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Письменное умножение на двузначное число. Видеоурок. Математика 4 Класс

На этом уроке мы рассмотрим письменное умножение на двузначное число. Решим несколько примеров на письменное умножение в столбик на двузначное число и сформулируем общее правило записи подобных примеров.

Рассмотрим произведение чисел 54 и 32.

Чтобы умножить число 54 на двузначное число 32, заменим второй множитель 32 на сумму разрядных слагаемых 30 и 2.

Воспользуемся правилом умножения числа на сумму. То есть можно умножить число 54 на каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Умножим 54 на три десятка.

Умножим 54 на две единицы.

Сложим полученные результаты.

Эти вычисления удобно записать столбиком.

Умножим 54 на количество единиц второго множителя. То есть на 2. . .

Получили первое неполное произведение – 108 единиц. Умножим 54 на количество десятков второго множителя. То есть на 3. При умножении на десятки мы получим десятки. Поэтому удобно записать второе неполное произведение под десятками. . Два пишем, один запоминаем. . И единица, которую запоминали, . Итак, второе неполное произведение – 162 десятка.

Сложим полученные результаты.

Переписываем 8.

, ,  переписываем.

Ответ: .

Выполним умножение чисел 245 и 24.

Умножим число 245 на количество единиц второго множителя, то есть на 4. . 0 записываем, 2 запоминаем.

. И еще 2, . 8 записываем, 1 запоминаем.

interneturok.ru

Умножение двузначных чисел | Ментальная арифметика онлайн бесплатно

Упражнение считается выполенным после 7 правильных ответов

Для успешного выполнения упражнения ознакомьтесь с теорией и проработайте предыдущие уроки

Умножение двузначных чисел | Теория

В общем случае умножение в уме двузначных чисел удобно выполнять в следующем порядке:

1. за базовое (первое или находящееся слева) число примите число с наибольшей второй цифрой;
2. умножьте базовое (первое) двузначное число на десятки другого (второго) двузначного числа;
3. умножьте базовое (первое) двузначное число на единицы другого (второго) двузначного числа;
4. сложите два результата.

Задача: 42 x 36

Решение:

1) 36 x 42 (число 36 принято за базовое (первое) число, так как 6>1)

36 x 42(40+2)

2) 36 x 40 = (30+6) x 4 x 10

 30 x 4 = 120; 6 x 4 = 24; 120 + 24 = 144[120+20=140;140+4=144]; 144 x 10 = 1440*

3) 36 x 2 = (30+6) x 2

 30 x 2 = 60; 6 x 2 = 12; 60 + 12 = 72[60+10=70;70+2=72]

4) 1440 + 72 = 1752 [1440+70=1510;1510+2=1512]

Задача: 47 x 52

Решение:

1) 47 x 52 (число 47 принято за базовое (первое) число, так как 7>2)

2) 47 x 50 = 2350

3) 47 x 2 = 94

4) 2350 + 94 = 2444

Если одно из чисел заканчивается на 9, то задачу удобнее решать в следующем порядке:

1. за второе (находящееся справа) число примите число, заканчивающееся на 9;
2. округлите второе число в большую сторону до десятков, прибавив к нему 1;
3. умножьте первое число на округлённое второе число;
4. вычтите из результата пункта 3 первое число.

Задача: 39 x 56

Решение:

1) 56 x 39 (число 39 принято за второе (находящееся справа) число, так как оно заканчивается на 9)

2) 56 x 39(40-1)

3) 56 x 40 = (50+6) x 4 x 10

 50 x 4 = 200; 6 x 4 = 24; 200 + 24 = 224; 224 x 10 = 2240

4) 2240 — 56 = 2184[2240-50=2190;2190-6=2184]

Если одно из двузначных чисел равно 11, то решить такую задачу будет намного проще, если вы воспользуетесь методикой, изложенной в Уроке 1.

Во многих случаях решение задачи умножения двузначных чисел в уме намного упрощается, если воспользоваться методом факторизации.

Факторизация — это преобразование числа в произведение более простых чисел. Например, число 24 можно преобразовать в произведение 8 и 3 (24 = 8 x 3) или 6 и 4 (24 = 6 x 4). Число 24 также можно представить в виде произведения 12 и 2 (24 = 12 x 2), но при выполнении арифметических операций в уме удобнее иметь дело с однозначными числами.

Отдельные двузначные числа также можно представить в виде произведения трёх однозначных чисел. Например, 84 = 7 x 6 x 2 = 7 x 4 x 3.

Решим задачу умножения с помощью факторизации.

Задача: 34 x 42

Решение:

Факторизация числа 24 даёт 8 и 3 или 6 и 4. Для решения задачи представим число 24 в виде произведения 6 и 4, но, если вам удобнее, вы можете выбрать произведение 8 и 3.

34 x 24(6×4)

Умножаем первое число на 6, после чего умножаем результат на 4:

34 x 6 = 204[30×6=180;4×6=24;180+24=204]

204 x 4 = 816[200×4=800;4×4=16;800+16=816]

Чтобы знать, какие из двузначных чисел поддаются факторизации, необходимо тщательно изучить таблицу умножения. Можно выписать все двузначные числа, поддающиеся факторизации, с указанием возможных способов их факторизации.

Если оба из перемножаемых двузначных чисел поддаются факторизации, то в большинстве случае удобнее факторизовать меньшее число.

Задача: 36 x 72

Решение:

Число 36 можно представить в виде произведения 6 и 6, а число 72 — в виде произведения 9 и 8.

Так как 36

72 x 36(6×6)

72 x 6 = 432[70×6=420;2×6=12;420+12=432]

432 x 6 = 2592[400×6=2400;30×6=180;2×6=12; 2400+180=2580;2580+12=2592]

Пример с факторизацией на три числа.

Задача: 57 x 75

Решение:

75 = 5 x 5 x 3

57 x 75(5x5x3)

57 x 5 = 285

285 x 5 = 1425

1425 x 3 = 4275

В случае, если одно из перемножаемых двузначных чисел состоит из одинаковых цифр (22, 33, 44 и т.д.), то его удобнее факторизовать на 11 и 2, 3, 4 и т.д.), так как умножение на 11 не представляет труда, как было показано в уроке 11.

Задача: 81 x 44

Решение:

81 x 44(11×4)

81 x 11 = 891;

891 x 4 = 3564

Если числа близки по значению с круглым числом, то при их перемножении в уме удобно пользоваться следующими формулами: (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a-b)C-ab**, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом.

Задача: 67 x 64

Решение:

(60 + 7) x (60 + 4) = (60 + 7 + 4) x 60 + 7 x 4 = 71 x 60 + 28 = 4260 + 28 = 4288

Задача: 39 х 38

Решение:

(40 — 1) x (40 — 2) = (40 — 1 — 2) x 40 + 1 x 2 = 37 x 40 + 2 = 1480 + 2 = 1482

Задача: 41 x 38

Решение:

(40 + 1) x (40 – 2) = (40 + 1 – 2) x 40 + 1 x 2 = 39 x 40 — 2 = 1558

Умножение двузначных чисел, первые цифры (десятки) которых равны, а вторые цифры (единицы) дают в сумме 10, удобнее производить в следующем порядке:

1. умножьте первую цифру двузначных чисел на эту же цифру, увеличенную на единицу;
2. перемножить вторые цифры двузначных чисел;
3. поместите один за другим результаты пункта 1 и пункта 2.

Задача: 76 x 74

Решение:

1) 7 x 8 = 56

2) 6 x 4 = 24

3) 5624

Не расстраивайтесь и не сдавайтесь, если на первых порах у вас возникнут трудности с умножением двузначных чисел. Для уверенного выполнения такой операции в уме необходима практика, а также творческий подход.

* Для запоминания в уме промежуточных результатов вычислений можете применять мнемотехники, основанные на ассоциации цифр с образами.

** Доказательства формул путём преобразования: (C+a)(C+b) = (C+a)C+(C+a)b = C²+Ca+Cb+ab = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a)C-(C-a)b = C²-Ca-Cb+ab = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a)C-(C+a)b = C²+Ca-Cb-ab = (C+a-b)C-ab.

*** Доказательство метода: согласно формуле, применяемой в предудущем методе (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; так как a+b=10, то (C+a)(C+b) = (C+10)C+ab; поскольку произведение двузначных круглых чисел С и С+10 даёт число с двумя нулями на конце, а произведение a и b даёт двузначное число, то для нахождения суммы этих двух выражений достаточно поставить произведение a и b вместо двух последних нулей первого выражения.

drdo.ru

Письменное умножение на трёхзначное число. Видеоурок. Математика 4 Класс

Вы уже умеете выполнять письменно умножение на однозначное число и на двузначное число. При умножении на двузначное число мы первый множитель умножаем на число единиц второго множителя.

В примере мы число 534 умножаем сначала на 6, число единиц числа 26.

Затем первый множитель умножаем на число десятков второго множителя.

Получаем два неполных произведения, которые нужно сложить.

Важно помнить, что при умножении на десятки мы получаем десятки, потому запись второго неполного произведения следует начинать под разрядами десятков.

Сравним два столбика решений: 

Мы видим: в первом столбике при умножении на двузначное число получают два неполных произведения. Во втором столбике при умножении на трехзначное число получают три неполных произведения. Почему? Вы, наверное, догадались. Во втором столбике в состав второго множителя, кроме единиц и десятков, входят еще и сотни. Поэтому первый множитель надо умножить на число единиц второго множителя, получим первое неполное произведение.

Затем первый множитель надо умножить на число десятков второго множителя, получим второе неполное произведение, которое начинают записывать под разрядом десятков.

И затем первый множитель надо умножить на количество сотен второго множителя, получим третье неполное произведение. Обратите внимание: при умножении на сотни, получим сотни, поэтому третье неполное произведение нужно начинать записывать под разрядом сотен.

Остается сложить три неполных произведения, и получим результат умножения.

Выполнить действие с объяснением.

Умножим число 819 на число единиц второго множителя, то есть на 2. , 8 пишем, 1 запоминаем.

, и еще 1, будет 3.

, пишем 16.

Мы получили первое неполное произведение.

Умножим первый множитель 819 на число десятков второго множителя, то есть на 4. , 6 начнем записывать под десятками, а 3 запоминаем.

interneturok.ru

Умножение двузначного числа на двузначное

Урок математики.

Тема: «Умножение двузначного числа на двузначное»

4 класс

Тип урока: закрепление новых знаний.

Цель: знакомство с приемом письменного умножения на двузначное число.

Задачи:

сформировать понятие об умножении многозначного числа на двузначное;

усвоить алгоритм письменного умножения данного вида;

совершенствовать навыки решения текстовых задач;

продолжить отрабатывать навыки устных и письменных вычислений;

обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме;

воспитывать уважение к историческому наследию русского народа.

Планируемые результаты:

Познавательные: на уроке дети развивают навыки умножения на двузначное число используя запись в столбик; применяют эти знания, работая с примерами.

личностные: воспитывать умение работать в коллективе, продолжится формирование интереса к предмету, к учебной деятельности.

регулятивные: формулировать тему и цель урока, научится принимать и сохранять учебную задачу; самостоятельно формулировать задание; оценивать результат своих действий; получит возможность научиться: адекватно воспринимать оценку своей работы учителем, товарищами.

коммуникативные: оформлять свои мысли в устной и письменной форме; высказывать свою точку зрения; научится использовать в общении правила вежливости; получит возможность строить понятные для партнера высказывания; работать в паре.

Формы познавательной деятельности:

Оборудование: карточки, листки самооценки, учебник и его задания.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент:

Дети стоят полукругом.

— Собрались ребята в круг,

Слева друг и справа друг.

Вместе за руки возьмёмся

И друг другу улыбнёмся.

— Я передаю улыбку …, …, и т.д.

— А теперь передадим улыбку нашим гостям.

— Мы рады приветствовать Вас на нашем уроке математики.

— А теперь ребята, давайте с хорошим настроением возьмёмся за работу.

Соберитесь в группы те дети, у кого на листочках одинаковые числа.

1 группа – 1, 2 группа – 2, 3 группа – 3, 4 группа – 4.

Я желаю всем сегодня сделать много хороших дел. А урок наш проходит под девизом: «Математику учить – ум точить.»

Мы отправляемся в путешествие по стране Математике.

— Математика – это одна из самых важных и древних наук. Слово «математика» пришло из древнегреческого языка. Мантейн – это значит учиться, приобретать знания. Математика призвана развивать логическое мышление, внимание, память. Недаром её называют гимнастикой ума.

-Ребята, а что от вас требуется, чтобы урок прошел успешно?

внимание, трудолюбие, усидчивость, хорошие знания, сообразительность, память

 — Желаю Вам успешно поработать на уроке. Пожмите друг другу руки и пожелайте успеха. Я уверена, что сегодня на уроке вы отлично потренируете логику, мышление, память, смекалку и другие качества.

Смело иди вперёд, не стой на месте.

Что не сделаешь один, сделаем вместе.

На партах у каждого из вас лежит листок самооценки, вы помните, как с ним работать.

(если уверен в знаниях по данному вопросу ставит +;

сомневается ставит + -;

не уверен ставит -).

-Не забывайте определить для себя, как вы усвоили материал, выявить свои собственные затруднения, чтобы затем их устранить.

— Давайте вспомним о чём мы говорили на прошлом уроке. (о взаимосвязи скорости, расстояния и времени)

— Объясните, что обозначают выражения стр. 63 учебника №7

— Молодцы откройте тетради запишите число и классная работа.

— Продолжим урок тренировкой мышления и логики.

ЗАДАЧИ-ШУТКИ

1. Пассажир такси ехал в село. По дороге ему навстречу проехали 5 грузовиков и 3 автомашины. Сколько машин ехало в село?

2. Автобус едет от города до аула 2 часа, а обратно 120 минут. Как объяснить такую разницу?

Какие задачи мы сейчас решили? (Логические)

Логика нужна нам в жизни?

Сравни устный счёт выбери удобный способ вычисления №4 стр. 63

На уроке математике надо уметь не только рассуждать, но и быть очень внимательным.

Заполни пропуски в таблице №9 стр. 63 распечатать

Перед нами ДОЛИНА НОВЫХ ЗНАНИЙ.

2. Актуализация знаний

Устный счёт с доски выберите удобный для вас способ решения:

1000 • 275 = 35 • 7= 46 • 73=

2 • 19 • 5 = 240 • 30=

(Возникает проблема при решении последнего примера 46 • 73 =)

— В чем трудность, почему не решили последний пример?

— Этот пример надо решать письменно.

— Какая же сегодня у нас тема урока? Сформулируйте её.

«Умножение двузначного числа на двузначное»

— Какие цели мы поставим перед собой?

— Давайте повторим алгоритм умножения двузначного числа на однозначное.

Памятка.

1. Умножу первый множитель на число единиц.

2. Подписываю под единицами.

3. Получу первое неполное произведение.

4. Умножу первый множитель на число десятков.

5. Подписываю под десятками.

6. Получу второе неполное произведение.

7. Сложу неполные произведения

8. Читаю ответ.

А перед нами ГОРА ИСПРАВЛЕНИЯ ОШИБОК.

Решение учебной задачи

Работа в парах (на листочках)

Аня и Ваня решали примеры столбиком. Посмотрите, что у них получилось:

— Почему получили разные результаты?

-Какой результат должны получить? Почему?

Немного истории…Умножение чисел сейчас начинают изучают во втором классе школы. А вот в XVIII-XIX веках совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения.

Однако в России среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Он получил название “русский, крестьянский способ умножения”. Здесь необходимо было лишь умение умножать и делить числа на 2.

Русский, крестьянский способ умножения (алгоритм).

ВИДЕО ИЗ ИНТЕРНЕТА

Мы видим перед собой НИЗМЕННОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ЗНАНИЙ

Первичное закрепление с комментированием

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ С. 62, №1

Физкультурная минутка из интернета

А сейчас выполним задание из учебника на стр. 62 №2, №3

Физминутка для глаз

Отдыхаем мы с умом Петуха мы соберём. (танграм)

Самостоятельная работа

№6 1 вариант — верхние

2 вариант — нижние

Мы пришли к ОВРАГУ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ.

Я всё понял, но у меня остались вопросы. МЕСЯЦ

Я всё понял, могу работать по алгоритму. ЗВЕЗДОЧКУ

Я всё понял, могу работать по алгоритму, могу объяснить другому. СОЛНЫШКО.

-Если вы согласны с первым утверждением, нарисуйте…

Тем, кто нарисовал месяц: предлагаю выполнить №1 в р/т, выучить алгоритм умножения столбиком на стр. 62 учебника

Тем, кто нарисовал звездочку: предлагаю выполнить задания в р/т стр. 56

Тем, кто нарисовал солнышко: предлагаю выполнить задания в р/т стр. 56 — 57

Пришла пора подвести итог урока, тем более, что мы с вами на последнем участке нашего путешествия

НИЗИНЕ ИТОГА УРОКА.

Да, пришла пора подвести итоги.

Какой приём умножения мы повторяли на уроке?

Расскажите алгоритм письменного умножения на двузначное число.

— Какие факты из истории математики вам понравились?

— Как вы думаете, ваши родители умеют умножать числа “русским, крестьянским способом умножения”?

Посмотрите на свои листы самооценки и оцените свою работу на уроке.

Я довольна вашей работой на уроке. Поставить оценки.

А оценка всему классу: МОЛОДЦЫ!

— Где вам пригодятся знания, полученные на уроке?

Рефлексия учебной деятельности

— Ну, а сейчас прошу вас высказаться по уроку по привычной для нас схеме:

1. На уроке я узнал…

2. Я научился…

3. На уроке я работал …

4. Своей работой на уроке я …
5. Урок для меня показался …

6. Мое настроение …

7. Материал урока мне был…

Я надеюсь, что вы не утратите интереса, а напротив, будете стремиться к знаниям более глубоким, и не только на уроках математики, но и на других уроках, чтобы войти во взрослую жизнь грамотными и активными.

Спасибо за урок!

compedu.ru

Как быстро умножать двузначные числа в уме?

Умение мгновенно считать в уме может стать бесценным подспорьем в работе и в условиях скоростных темпов жизни современного человека.

Количество вещества. Молярные массы

Количество вещества измеряют в молях. Моль – это такое количество вещества, которое содержит столько структурных единиц (атомов, молекул, ионов, др.), сколько атомов содержится в 12 г изотопа углерода ₆¹²С. Это число (количество) равно 6,02∙10²³ и называется постоянной Авогадро N_А. Таким образом моль – это такое количество вещества, которое содержит 6,02∙10²³ частиц.

Молярная масса – масса моля атомов, молекул, др., выраженная в граммах. Молярная масса имеет такое же численное значение, что и относительная масса и выражается в г/моль. Значение атомных масс всех элементов (Ar) приведены в таблице периодически элементов Д.И. Менделеева. Так атомная масса водорода Ar (Н) = 1,008 г/моль. А молярная масса молекул (М) рассчитывается как сума атомных масс все атомов, входящих в состав молекулы. Так, например, молярная масса молекулярного водорода (М) (Н₂) =(Ar) ∙2= 1,008∙2=2,016 г/моль.

Число молей вещества можно рассчитать как массу вещества, деленную на его молярную массу:

(1)

Молярный объем вещества.

Было установлено, что 1 моль любого вещества в газообразном состоянии при одинаковых условиях (давлении, температуре) занимает один и тот же объем.

При нормальных условиях (нормальное атмосферное давление P₀ =101,325 кПа, или 760 мм. рт. ст., нормальная температура Т₀= 273⁰К) молярный объем V_м равен 22,4 л. При других условиях объем можно вычислить используя формулу газового закона:

(2)

Таким образом число молей газа рассчитывается как объем газа V, деленный на молярный объем газа :

(3)

При химических взаимодействиях всегда соблюдаются три основных количественных закона.

Закон сохранения массы:

Масса веществ, вступающих в реакцию, равна массе веществ, образующихся в результате реакции.

Закон сохранения энергии:

При любых взаимодействиях, имеющих место в изолированной системе, энергия этой системы остается постоянной и возможны лишь переходы из одного вида энергии в другой.

Закон эквивалентов:

Вещества взаимодействуют друг с другом в количествах, пропорциональных их эквивалентам, или молярным массам эквивалентов.

Первые два закона не требуют комментариев, они отражают общий закон природы – закон сохранения.

Закон эквивалентов связан с понятиями химического эквивалента, молярной массы эквивалента, объемного эквивалента и вычислениями их по химическим формулам и реакциям.

Упрощено эквивалентом элемента Э можно назвать такое его количество, которое реагирует с одним молем атомов водорода, т. е с 1г атомов водорода или молем атомов кислорода, т. е. с 8 г атомов кислорода. Эквивалент Э выражается в молях. Молярные массы эквивалентов Мэ выражаются в г / моль.

Молярные массы эквивалентов простых и сложных веществ вычисляются следующим образом.

1. Молярная масса эквивалентов Мэ простого вещества (элемента) равна его молярной массе атомов (Аr), деленной на валентность элемента (В) в данном соединении:

₍₄₎

2. Молярная масса эквивалентов оксида равна его молярной массе, деленной на произведение числа атомов элемента, образующего оксид, на валентность этого элемента в данном оксиде:

₍₅₎

3. Молярная масса эквивалентов кислоты равна ее молярной массе, делённой на основность кислоты, которую она проявляет в данной реакции, т. е. на число атомов водорода, замещенных в данной реакции на металл:

(6)

4. Молярная масса эквивалентов гидроксида равна его молярной массе, деленной на число гидроксогрупп, участвующих в реакции:

(7)

5. Молярная масса эквивалентов соли равна ее молярной массе, деленной на произведение числа атомов метала на его валентность в данной соли:

₍₈₎

При решении многих количественных задач удобнее пользоваться следующими математическими записями закона эквивалентов:

(9)

где: m₁ и m₂ — массы реагирующих веществ,

Мэ₁ и Мэ₂ – молярные массы эквивалентов этих веществ

Если одно из реагирующих веществ находится в газообразном состоянии, то математическое выражение закона эквивалентов принимает следующий вид:

(10)

где: V₂— объем газообразного вещества; Vэ₂ – эквивалентный объем этого газа, т.е. объем который занимает один моль эквивалентов данного газа при н. у.

Эквивалентный объем газа Vэ(н₂) при н.у. вычисляется исходя из следствия закона Авогадро: моль любого газа при н. у. занимает объём 22,4 л.

Так, например, у водорода молярная масса равна 2 г/моль, молярная масса эквивалентов атомов водорода -1г/моль

Отсюда: 2 г /моль– 22,4л;

1 г/моль – Vэ(Н₂).

₍₁₁₎

Молярная масса кислорода равна 32 г/моль, молярная масса эквивалентов атомов кислорода -8г/моль

Отсюда: 32 г /моль– 22,4л;

8 г/моль – Vэ(О₂).

₍₁₂₎

Молярная масса хлора равна 71 г/моль, молярная масса эквивалентов атомов хлора-35,5г/моль

Отсюда: 71 г /моль– 22,4л;

35,5 г/моль – Vэ(Сl₂).

₍₁₃₎

Величины эквивалентного объема газов являются постоянными (при н.у.), и могут быть использованы для решения задач.

studfiles.net

Урок 5. Моль и молярная масса – HIMI4KA

В уроке 5 «Моль и молярная масса» из курса «Химия для чайников» рассмотрим моль как единицу измерения количества вещества; дадим определение числу Авогадро, а также научимся определять молярную массу и решать задачи на количество вещества. Базой для данного урока послужат основы химии, изложенные в прошлых уроках, так что если вы изучаете химию с нуля, то рекомендую их просмотреть хотя бы мельком.

Единица измерения количества вещества

До этого урока мы обсуждали лишь индивидуальные молекулы и атомы, а их массы мы выражали в атомных единицах массы. В реальной жизни с индивидуальными молекулами работать невозможно, потому что они ничтожно малы. Для этого химики взвешивают вещества ни в а.е.м., а в граммах.

Чтобы перейти от молекулярной шкалы измерения масс в лабораторную шкалу, используют единицу измерения количества вещества под названием моль. 1 моль содержит 6,022·10²³ частиц (атомов или молекул) и является безразмерной величиной. Число 6,022·10²³ носит название Число Авогадро, которое определяется как число частиц, содержащихся в 12 г атомов углерода ¹²C. Важно понимать, что 1 моль любого вещества содержит всегда одно и то же число частиц (6,022·10²³).

Как уже было сказано, термин «моль» применяется не только к молекулам, но также и к атомам. Например, если вы говорите о моле гелия (He), то это означает, что вы имеет количество равное 6,022·10²³атомов. Точно так же, 1 моль воды (H₂O) подразумевает количество равное 6,022·10²³молекул. Однако чаще всего моль применяют именно к молекулам.

Молярная масса вещества

Молярная масса – это масса 1 моля вещества, выраженная в граммах. Молярную массу одного моля любого химического элемента без труда находят из таблицы Менделеева, так как молярная масса численно равна атомной массе, но размерности у них разные (молярная масса имеет размерность г/моль). Запишите и запомните формулы для вычисления молярной массы, количества вещества и числа молекул:

• Молярная масса формула M=m/n
• Количество вещества формула n=m/M
• Число молекул формула N =N_A·n

где m — масса вещества, n — количество вещества (число молей), М — молярная масса, N — число молекул, N_A — число Авогадро. Благодаря молярной массе вещества химики могут вести подсчет атомов и молекул в лаборатории просто путем их взвешивания. Этим и удобно использование понятия моль.

На рисунке изображены четыре колбы с различными веществами, но в каждой из них всего 1 моль вещества. Можете перепроверить, используя формулы выше.

Задачи на количество вещества

Пример 1. Сколько граммов Н₂, Н₂O, СН₃ОН, октана (С₈Н₁₈) и газа неона (Ne) содержится в 1 моле?

Решение: Молекулярные массы (в атомных единицах массы) перечисленных веществ приведены в таблице Менделеева. 1 моль каждого из названных веществ имеет следующую массу:

Поскольку массы, указанные в решении примера 1, дают правильные относительные массы взвешиваемых молекул, указанная масса каждого из перечисленных веществ содержит одинаковое число молекул. Этим и удобно использование понятия моля. Нет даже необходимости знать, чему равно численное значение моля, хотя мы уже знаем, что оно составляет 6,022·10²³; эта величина называется числом Авогадро и обозначается символом N_A. Переход от индивидуальных молекул к молям означает увеличение шкалы измерения в 6,022·10²³ раз. Число Авогадро представляет собой также множитель перевода атомных единиц массы в граммы: 1 г = 6,022·10²³ а.е.м. Если мы понимаем под молекулярной массой массу моля вещества, то ее следует измерять в граммах на моль; если же мы действительно имеем в виду массу одной молекулы, то она численно совпадает
с молекулярной массой вещества, но выражается в атомных единицах массы на одну молекулу. Оба способа выражения молекулярной массы правильны.

Пример 2. Сколько молей составляют и сколько молекул содержат 8 г газообразного кислорода O₂?

Решение: Выписываем из таблицы Менделеева атомную массу атома кислорода (O), которая равна 15,99 а.е.м, округляем до 16. Так как у нас молекула кислорода, состоящая из двух атомов O, то ее атомная масса равна 16×2=32 а.е.м. Хорошо, а теперь переводим ее в молярную массу: 32 а.е.м = 32 г/моль. Это означает, что 1 моль (6,022·10²³ молекул) O₂ имеет массу 32 грамма. Ну и в заключении по формулам выше находим количество вещества (моль) и число молекул, содержащихся в 8 граммах O₂:

• n = m / M = 8г / 32г/моль = 0,25 моль
• N = N_A × n = 6,022·10²³ × 0,25 = 1,505·10²³ молекул

Пример 3. 1 молекула Н₂ реагирует с 1 молекулой Сl₂, в результате чего образуются 2 молекулы газообразного хлористого водорода НСl. Какую массу газообразного хлора необходимо использовать, чтобы он полностью прореагировал с 1 килограммом (кг) газообразного водорода?

Решение: Молекулярные массы H₂ и Cl₂ равны 2,0160 и 70,906 г/моль соответственно. Следовательно, в 1000 г H₂ содержится

Даже не выясняя, сколько молекул содержится в одном моле вещества, мы можем быть уверены, что 496 моля Cl₂ содержат такое же число молекул, как и 496,0 моля, или 1000 г, H₂. Сколько же граммов Cl₂ содержится в 496 молях этого вещества? Поскольку молекулярная масса Cl₂ равна 70,906 г/моль, то

Пример 4. Сколько молекул H₂ и Cl₂ принимает участие в реакции, описанной в примере 3?

Решение: В 496 молях любого вещества должно содержаться 496 моля × 6,022·10²³ молекул/моль, что равно 2,99·10²⁶ молекул.

Чтобы наглядно показать, сколь велико число Авогадро, приведем такой пример: 1 моль кокосовых орехов каждый диаметром 14 сантиметров (см) мог бы заполнить такой объем, какой занимает наша планета Земля. Использование молей в химических расчетах рассматривается в следующей главе, но представление об этом пришлось ввести уже здесь, поскольку нам необходимо знать, как осуществляется переход от молекулярной шкалы измерения масс к лабораторной шкале.

Надеюсь урок 5 «Моль и молярная масса» был познавательным и понятным. Если у вас возникли вопросы, пишите их в комментарии.

himi4ka.ru

Молярная масса вещества

Молярная масса вещества:

Есть и третья масса в химии, которую важно отделить от обычной массы (m) из физики и химии, а также от атомной единицы массы (а.е.м). И эта третья масса — молярная масса. Естественно, она считается через моль и обозначается, как «M».

M = m / v

Т.е. вся масса вещества, деленная на его количество (г/моль).

(следуя аналогии из прошлого урока: вес одного вагона делим на количество вагонов, если у нас одна тонна и 1 вагон, то в ответе мы получим тонну/вагон. Или по факту — г/моль).

Здесь важно помнить, что в вагоне может быть только 10 000 мячей, но мячи могут быть разного размера, а значит и разной массы (согласитесь, что масса кислорода будет существенном меньше, например, массы золота). Поэтому морярная масса как раз и покажет, сколько же весит 1 моль разных веществ. Каков будет реальный вес вагона, заполненного мячами.

Можно рассчитать молярную массу и через массу одной молекулы (m_m) и постоянную Авогадро (N_A):

M = m_m * N_A

(получаем те же г/моль, только через умножение одной молекулы на постоянную Авогадро — моль^-1)

А массу молекулы (m_m) можно рассчитать через относительную молекулярную массу вещества (M_r):

m_m = M_r * 1 а.е.м.

И снова аналогия: M_r — это относительный коэффициент массы мяча. Ведь какие-то мячи есть тяжелее 100 грамм. Т.е. мяч весом 500 грамм будет равен: 5 * 1 а.е.м = 5 * 100 г. Также как и есть вещества, весящие больше, чем 1 а.е.м. (собственно, любые кроме водорода). Например, С = 12 * 1 а.е.м. = 12 г * 1 / 6,02*10²³ = 12 / 6,02*10²³ г. Вот такая крохотная у нас получается масса одного атома углерода в граммах.

Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянно

Добавить новость и получить деньги

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

uchilegko.info

Масса вещества. Количество вещества. Молярная масса | LAMPA

Выполняется соотношение m=m0⋅Nm = m_0 \cdot Nm=m0​⋅N.

4. Число Авогадро NAN_ANA​

Известно, что молекулы – это очень маленькие частицы. И логично, что в веществе этих частиц очень и очень много. Примерно вот столько молекул содержится в каждом из предметов, которые нас окружают:

100000000000000000000000100\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000100000000000000000000000.

Это 102310^{23}1023 частиц. Единичка и 232323 нуля. Ну оооочень много.

Логично ожидать, что свойства предмета будут зависеть от того, как много молекул собрано в предмете. И это, как правило, будет очень большим числом. Такими числами оказывается не очень удобно оперировать. Согласитесь, что неудобно говорить так:

Оля: «Вася, передай мне, пожалуйста, 10000000000000000000000001\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,0001000000000000000000000000 молекул сахара – я хочу добавить их в чай».

Вася: «Оля, знаешь, у нас нет столько сахара. Он заканчивается. Есть только 300000000000000000000000300\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000300000000000000000000000. Тебе хватит?..» и т.д.

Конечно же, неудобно использовать такие числа. Как поступить с такой кучей молекул? Сделали просто: разделили на небольшие «кучки» молекул. В каждой кучке сделали 6⋅10236 \cdot 10^{23}6⋅1023 частиц. Почему именно столько? Так сложилось исторически.

Кому-то может не понравиться слово «кучка». Тогда можно говорить, что разделили все молекулы на «мешочки». Или же – переложили в «коробки». И много других вариантов. Главное, что в одной «кучке», или в одном «мешочке», или в одной «коробке» – ровно 6⋅10236 \cdot 10^{23}6⋅1023 частиц:

или

Число 6⋅10236 \cdot 10^{23}6⋅1023 называется числом Авогадро. Обозначается NAN_ANA​.

NA=6⋅1023N_A = 6 \cdot 10^{23}NA​=6⋅1023

«Кучки», «мешочки», «коробки» – можно сказать и про ложки. Чайные ложки. Можно распределить всё вещество (например, весь сахар, который есть у нас на кухне) – по «чайным ложкам». Главное, чтобы в каждой чайной ложке было ровно NA=6⋅1023N_A = 6 \cdot 10^{23}NA​=6⋅1023 молекул:

5. Количество вещества ν\nuν

ν\nuν – это буква греческого алфавита. Произносится как «ню». Ну просто такая традиция обозначать количество вещества греческой буквой «ню».

Количество вещества ν\nuν – это, по сути, количество тех самых «кучек», «мешочков», «коробочек» или чего-то ещё, по которым и распределяли частицы.

lampa.io

МОЛЯРНАЯ МАССА — это… Что такое МОЛЯРНАЯ МАССА?



МОЛЯРНАЯ МАССА

физ. величина, равная отношению массы к кол-ву в-ва. Единица М. м. (в СИ) — кг/моль. М = m/n, где М — М. м. в кг/моль, m — масса в-ва в кг, п — кол-во в-ва в молях. Числовое значение М. м., выраж. в кг/моль, равно относит. молекулярной массе, делённой на 1000 (М = Mr/1000, где М_r — относит. М. м.).

Большой энциклопедический политехнический словарь. 2004.

• МОЛЯРНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ
• МОЛЯРНЫЙ ОБЪЁМ

Смотреть что такое «МОЛЯРНАЯ МАССА» в других словарях:

• Молярная масса — вещества  масса одного моля вещества. Для отдельных химических элементов молярной массой является масса одного моля отдельных атомов этого элемента. В этом случае молярная масса элемента, выраженная в г/моль, численно совпадает с массой… …   Википедия

• молярная масса — molio masė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. molar mass vok. molare Masse, f; Molmasse, f rus. мольная масса, f; молярная масса, f pranc. masse molaire, f …   Fizikos terminų žodynas

• молярная масса — molio masė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Medžiagos dalelių, kurių skaičius lygus Avogadro konstantai, masė, t. y. masė m, padalyta iš medžiagos kiekio n: M = m/n. atitikmenys: angl. molar mass vok. molare Masse, f;… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

• молярная масса — molinė masė statusas T sritis chemija apibrėžtis Vieno medžiagos molio masė. atitikmenys: angl. molar mass rus. молярная масса …   Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

• молярная масса — molio masė statusas T sritis Energetika apibrėžtis Medžiagos dalelių, kurių skaičius lygus Avogadro konstantai, masė, t. y. medžiagos masė, padalyta iš medžiagos kiekio. atitikmenys: angl. molar mass vok. molare Masse, f; Molmasse, f rus.… …   Aiškinamasis šiluminės ir branduolinės technikos terminų žodynas

• Молярная масса эквивалента — Величина Мэквх, численно равная произведению молярной массы вещества х на фактор эквивалентности и рассчитываемая по формуле Мэквх = Мх × fэквх, где Мх молярная масса вещества х, г; fэквх фактор эквивалентности. Примечание. Величина Мэквх… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Молярная концентрация эквивалента — Величина Сэквх, численно равная частному от деления массовой концентрации вещества х на молярную массу его эквивалента и рассчитываемая по формуле где Стх массовая концентрация вещества х, г; Мэквх молярная масса эквивалента вещества х, г.… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Молярная теплоёмкость — Молярная теплоёмкость  это теплоёмкость одного моля вещества. Часто употребляется обозначение . Связь с удельной теплоёмкостью: , где c  удельная теплоёмкость, μ  молярная масса. Размерность молярной теплоёмкости [Дж/(К•моль)] См.… …   Википедия

• МОЛЯРНАЯ MАCCA — физ. величина, равная отношению массы газа (или др. тела) к количеству вещества, которое в нём содержится; обозначается буквой Μ; М = m/n. где т масса вещества, n количество вещества. Числовое значение М в тысячу раз меньше относительной… …   Большая политехническая энциклопедия

• Молярная концентрация — Концентрация величина, характеризующая количественный состав раствора. Согласно правилам ИЮПАК, концентрацией растворённого вещества (не раствора) называют отношение количества растворённого вещества или его массы к объёму раствора (моль/л, г/л) …   Википедия

dic.academic.ru

Ответы@Mail.Ru: Что такое молярная масса???

Моля́рная ма́сса вещества — отношение массы вещества к количеству моль этого вещества, то есть масса одного моля вещества. Для отдельных химических элементов молярной массой является масса одного моля отдельных атомов этого элемента, то есть масса атомов вещества взятых в количестве равном Числу Авогадро. В этом случае молярная масса элемента, выраженная в г/моль, численно совпадает с массой атома элемента, выраженной в а. е. м. (атомная единица массы). Однако надо чётко представлять разницу между молярной массой и молекулярной массой, понимая, что они равны лишь численно и отличаются по размерности [1]. Молярные массы сложных молекул можно определить, суммируя молярные массы входящих в них элементов. Например, молярная масса воды (h3O) есть Mh3O = 2 MH +MO = 2·1+16 = 18 (г/моль). Стоит отметить, что, например, молярная масса кислорода как элемента = 16 (г/моль), а вещества — (O2) = 32 (г/моль). В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения молярной массы является килограмм на моль (кг/моль). Обозначается буквой M. Вот!

граммов на моль

Моля́рная ма́сса вещества — отношение массы вещества к количеству моль этого вещества, то есть масса одного моля вещества. Для отдельных химических элементов молярной массой является масса одного моля отдельных атомов этого элемента, то есть масса атомов вещества взятых в количестве равном Числу Авогадро.

Моля́рная ма́сса вещества — отношение массы вещества к количеству моль этого вещества, то есть масса одного моля вещества. Для отдельных химических элементов молярной массой является масса одного моля отдельных атомов этого элемента, то есть масса атомов вещества взятых в количестве равном Числу Авогадро.

touch.otvet.mail.ru

Количество вещества и молярная масса

В процессе химических реакций атомы (или молекулы) вещества друг с другом взаимодействуют, образуя новые молекулы. Но определить количество атомов, молекул и других частиц на практике невозможно – они слишком малы и не видны невооруженным глазом. Для определения числа структурных частиц вещества в химии применяют особую величину – количество вещества (n – «эн»).

Единицей количества вещества является моль (от слова «молекула»).

1 моль любого вещества содержит 6,02·10²³ частиц (например, молекул). Это число называют числом Авогадро.

Постоянная Авогадро: N_а = 6,02·10²³ 1/моль.

Используя постоянную Авогадро, можно находить количество вещества, если известно число молекул в нем, и наоборот. Количество вещества равно отношению общего числа его молекул к постоянной Авогадро.

В равных количествах веществ содержится равное число их структурных частиц (например, молекул).

Установлено, что масса одного моля вещества численно равна его относительной молекулярной массе. Такая величина называется молярной массой вещества, М. Молярная масса измеряется в г/моль. Например, молярная масса азота N² равна 28 г/моль.

Количество вещества можно вычислить, разделив массу порции вещества на молярную массу этого вещества: n=m/М.

Литература

1. Оржековский П.А. Химия: 8 класс: учеб для общеобр. учрежд. / П.А. Оржековский, Л.М. Мещерякова, М.М. Шалашова. – М.: Астрель, 2013. (§15)

2. Рудзитис Г.Е. Химия: неорган. химия. Орган. химия: учеб. для 9 кл. / Г.Е. Рудзитис, Ф.Г. Фельдман. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2009. (§17)

3. Хомченко И.Д. Сборник задач и упражнений по химии для средней школы. – М.: РИА «Новая волна»: Издатель Умеренков, 2008. (с.10)

4. Энциклопедия для детей. Том 17. Химия / Глав. ред. В.А. Володин, вед. науч. ред. И. Леенсон. – М.: Аванта , 2003.

источник

helperia.ru

ВЕКТОРЫ

ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ. СКАЛЯРНОЕ,

 ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

 1. ВЕКТОРЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ.

Основные определения.

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.

(Перемещение, сила, скорость и т.д.)

Обозначения: ,  или , .

 Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Для вектора  – точка А – начало, точка В – конец вектора.

Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.

Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается .

Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными.

Определение 6. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.

Действия над векторами.

1) Сложение векторов.

Опр. 6. Суммой двух векторов  и  является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма).

 Рис.1. 

Опр. 7. Суммой трех векторов , ,  называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Опр. 8. Если А, В, С – произвольные точки, то  +  =  (правило треугольника).

 рис.2 

 Свойства сложения.

1^о.  +  =  +  (переместительный закон).

2^о.  + ( + ) = ( + ) +  = ( + ) +  (сочетательный закон).

3^о.  + (–) + .

2) Вычитание векторов.

Опр. 9. Под разностью векторов  и понимают вектор  =  –  такой, что  +  = .

В параллелограмме – это другая диагональ СД (см.рис.1).

3) Умножение вектора на число.

Опр. 10. Произведением вектора   на скаляр k называется вектор

 = k = k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1.     совпадает с направлением вектора , если k > 0;

2.     противоположно направлению вектора , если k < 0;

3.     произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1^о. (k + l) = k + l.

 k( + ) = k + k.

2^o. k(l) = (kl).

3^o. 1 = , (–1)  = – , 0  = .

Свойства векторов.

Опр. 11. Два вектора  и  называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор  коллинеарен любому вектору.

Теорема 1. Два ненулевых вектора   и коллинеарны,  когда они пропорциональны т.е.

 = k, k – скаляр.

Опр. 12. Три вектора , ,  называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Теорема 2. Три ненулевых вектора , ,  компланарны,  когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.

 = k + l, k ,l – скаляры.

Проекция вектора на ось.

Теорема 3. Проекция вектора  на ось (направленная прямая) l равна произведению длины вектора  на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.   = a  cos ,  = (, l).

  рис.3.

 2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Опр. 13. Проекции вектора  на координатные оси Ох, Оу, Оz называются координатами вектора. Обозначение: a_x,a_y, a_z.

Длина вектора: 

Пример: Вычислить длину вектора .

 Решение: 

 Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле:.

 Пример: Найти расстояние между точками М (2,3,-1) и К (4,5,2).

Действия над векторами в координатной форме.

Даны векторы =a_x, a_y, a_z и =b_x, b_y, b_z.

1.     (  )=a_x  b_x, a_y  b_y, a_z  b_z.

2.     =a_x, a_y, a_z, где  – скаляр.

 Скалярное произведение векторов.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов  и 

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. =,   — угол между векторами  и . 

 Свойства скалярного произведения:

1.     = 

2.     ( +  ) =

3.     

4.     

5.     , где   – скаляры.

6.     два вектора перпендикулярны (ортогональны), если  .

7.     тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где  и .

Пример: Найти скалярное произведение векторов  и 

Решение: 

 Векторное проведение векторов.

Определение: Под векторным произведением двух векторов  и  понимается вектор,  для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами  и 

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е. 

-если векторы  неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

 Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е. 

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е. 

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. 

4.Для любых трех векторов   справедливо равенство 

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов  и : 

 Векторное произведение в координатной форме.

 Если известны координаты векторов  и , то их векторное произведение находится по формуле:

  .

 Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , вычисляется по формуле:

Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Решение: .

, , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:

 ,

 Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов  называется число, определяемое по формуле: .

 Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е. .

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

 Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле: 

Пример: Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение: 

 3. Базис системы векторов.

 Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространствуR.

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример. 

Определение. Любой вектор вида  = называется линейной комбинацией векторов . Числа  — коэффициентами линейной комбинации.

Пример. .

Определение. Если вектор   является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор  линейно выражается через векторы .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов  линейно-зависима, т. к. вектор .

Определение базиса. Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1. Базис пространства : .

 2. В системе векторов   базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .

Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1)     записать координаты векторов в матрицу,

2)    с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3)     ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4)    количество векторов в базисе равно рангу матрицы. 

studfiles.net

Векторы: определение и основные понятия

Графически вектор изображается в виде направленного отрезка прямой определенной длины. Вектор, начало которого находится в точке , а конец – в точке , обозначается как (рис. 1). Также вектор можно обозначать одной маленькой буквой, например, .

Если в пространстве задана система координат, то вектор можно однозначно задать набором своих координат. То есть под вектором понимается объект, который имеет величину (длину), направление и точку приложения (начало вектора).

Начала векторного исчисления появились в работах в 1831 году в работах немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Работы, посвященные операциям с векторами, опубликовал ирландский математик, механик и физик-теоретик, сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865) в рамках своего кватернионного исчисления. Ученый предложил термин «вектор» и описал некоторые операции над векторами. Векторное исчисление получило свое дальнейшее развитие благодаря работам по электромагнетизму британского физика, математика и механика Джеймса Клерка Максвелла (1831-1879). В 1880-х годах увидела свет книга «Элементы векторного анализа» американского физика, физикохимика, математика и механика Джозайя Уилларда Гиббса (1839-1903). Современный векторный анализ был описан в 1903 году в работах английского ученого-самоучки, инженера, математика и физика Оливера Хевисайда (1850-1925).

Длина (модуль) вектора

Основные виды векторов

Нулевым вектором называется вектор , у которого начальная точка и конечная точка совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называют коллинеарными (рис. 2).

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.

На рисунке 2 – это векторы и . Сонаправленность векторов обозначается следующим образом: .

Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если их направления противоположны.

На рисунке 3 – это векторы и . Обозначение: .

Три вектора, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называют компланарными (рис. 3).

Два вектора и называются равными, если они являются сонаправленными и их длины равны (рис. 4):

Единичным вектором или ортом называется вектор единичной длины.

ru.solverbook.com

Понятие вектора

Существуют величины, которые характеризуются помимо своей величины ещё и направленностью. Это скорость, ускорение, сила, смещение материальной точки и т.п. Можно абстрагироваться от конкретной физической величины и считать, что вектор — это направленный отрезок. Определение: вектор — это направленный отрезок.

Будем обозначать вектор AB . А — начало вектора, В — конец вектора.

— означает длина вектора (символ модуля).

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Важное свойство векторов — коллинеарность. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Теперь сформулируем понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Два нулевых вектора считаются равными.

равные неравные

Из определения равенства векторов следует, что мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Иными словами, точка приложения вектора может быть произвольной. В соответствии с этим векторы в геометрии называются свободными.

Определим линейные операции над векторами.

Сложение. Суммой двух векторовназывается вектор, идущий из начала векторав конец векторапри условии, что началоприложено к концу вектора.

Геометрически это можно изобразить правилом треугольника:

Правило сложения векторов обладает теми же четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных чисел:

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. Существует нулевой вектор, такой, что .

4. Для каждого существует такойчто.

Эти свойства доказываются геометрическими построениями. К примеру свойство 1:

Эти свойства позволяют оперировать с векторами так же как и с вещественными числами.

Определим разность векторовкак суммугде— противоположный вектор вектору.

Определим, наконец, операцию умножения вектора на вещественное число.

Произведением называется вектор, коллинеарный, имеющий длинуи имеющий направление, совпадающее сеслии противоположное, если.

Геометрический смысл умножения — вектор растягивается враз.

Операция умножения обладает тремя свойствами:

5. (распределительное свойство относительно суммы векторов).

6. (распределительное свойство относительно суммы чисел).

7. (сочетательное свойство).

Доказываются эти свойства тоже графически.

Рассмотрим теорему 1. Если вектор коллинеарен вектору, то существует такое вещественное число, что.

Совместим и. В силу коллинеарности они окажутся на одной прямой. Т. е.

O

(*)

Докажем, что . Т.е. что длины их равны, направления совпадают, коллинеарны.

Коллинеарность вытекает из определения произведения и коллинеарностии, равенство длин непосредственно из определения произведения и (*). Наконец, опять из определения произведения следует, что если, направления совпадают, и если, тои— противоположно направлены.

Определение 1. Линейной комбинацией n векторов мы называем сумму вида

где — вещественные числа.

Определение 2. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство:

Если все , то такие векторыназываются линейно независимыми.

Докажем теорему 2. Если среди n векторов хотя бы один нулевой, то эти векторы являются линейно зависимы. Доказательство: пусть для определённости. Тогда выполняется равенство:

где .

и по определению линейной зависимости эти векторы линейно зависимы.

Теорема номер три: если среди п векторов какие либо (п-1) линейно зависимы, то и все п являются линейно зависимы.

Действительно: линейная зависимость (п-1) векторов означает:

Добавим сюда равное 0 слагаемое и получим,

где не все равны нулю, т.е. теорема доказана.

Линейные комбинации двух векторов.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Доказательство необходимости: предположим, что илинейно зависимы. Т.е.

положим, что . Тогдаили. По определению произведенияиколлинеарны.

Достаточность: предположим, иколлинеарны. Еслиилиравно нулю, то они линейно зависимы в силу теоремы 2. Еслиито в силу теоремы 1 имеем:

, или .

Т. к. здесь заведомо (-1) не равно 0, то равенство доказывает линейную зависимость векторов и.

Следствие 1. Если векторы инеколлинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевых. (Иначе они были бы линейно зависимы).

Линейные комбинации трёх векторов

Определение: векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Теорема 5. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.

Необходимость: пусть три вектора линейно зависимы:

.

Тогда , или

Это равенство означает сложение двух векторов, т.е. все три вектора лежат в одной плоскости.

Достаточность: пусть компланарны. Исключим случай, когда пара векторов коллинеарна и когда какой-либо вектор равен 0. Эти случаи тривиальны. Рассмотрим случай, когда все неколлинеарны.

Перенесём все векторы в одну плоскость. Поскольку они неколлинеарны, то существует их общая точка пересечения:

В силу теоремы 1, найдутся такие и, что

или . Теорема доказана.

Следствие: Если векторыинеколлинеарны, то для любого, лежащего в одной плоскости с векторамиинайдутся такиеи, что выполнится равенство:

Наконец, линейная зависимость трёх векторов.

Теорема 6. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. Исключим тривиальные случаи, когда один из векторов ноль или когда какие-либо три компланарны. По предыдущим теоремам будут линейно зависимы все четыре вектора. Т.е. все векторы некомпланарны. Сведём их в одну точку и построим параллелепипед:

По теореме 1 найдутся такие числа, что:

Но вектор равенилиили.

Теорема доказана.

Попутно мы доказали, что если , какие-либо некомпланарные, т.е. линейно независимые векторы, то для любого вектораможно найти такие числа, что

.

Понятие базиса.

Говорят, что три линейно независимых вектора иобразуют в пространстве базис, если любой векторможет быть представлен в виде линейной комбинации векторов

(**)

Принято называть (**) разложением вектора d по базису , а числа-координатами вектораотносительно базиса. Причём можно доказать, что разложениепо базисуможет быть единственным образом осуществлено.

Определим так называемые афинные координаты. Афинные координаты в пространстве определяются заданием базиса и некоторой точки О, называемой началом координат.

Частным случаем афинных координат являются, очевидно, прямоугольные декартовы координаты, Здесь введём три взаимно перпендикулярных (ортогональных) единичных векторов . Для каждого векторанайдётся и при том единственная тройка чисел, такая, что

Числа X,Y,Z называют декартовы прямоугольные координаты.

Введём определение проекции вектора на ось v. Дан вектор . Опустим перпендикуляры из точек А и В на осьv. Основания перпендикуляров обозначим и.

Проекцией вектора на осьv назовём величину направленного отрезка осиv.

Углом наклона вектора к осиv назовём угол между направлением вектораи направлением осиv. Из рассмотрения треугольника АВС следует, что .

Можно доказать, что декартовы координаты X,Y,Z вектора являются проекции векторана оси соответственно ортам:

-ось Ох, -ось Oy ,— ось Oz.

Или можно записать:

(***)

Три числа называются направляющими косинусами вектора.

Длина диагонали параллелепипеда равна

Тогда можно записать:

Возведём в квадрат и складывая, получим равенство:

.

Лекция 5.

studfiles.net

Определение вектора. Виды векторов — МегаЛекции

 

Математические или физические величины, которые характеризуются только числом, измеряющим их в определенных единицах меры, называют скалярными или скалярами. Скалярами являются, например масса, объем и т.п.

Кроме скалярных величин существуют величины векторные (скорость, ускорение, сила и т.п.)

Вектором называется величина, которая характеризуется числом, измеряющим ее в определенных единицах меры, и направлением в пространстве. Обозначается вектор или буквой со стрелкой , или жирной буквой a.

Число , измеряющее вектор в определенных единицах меры, называется модулем или длиной вектора. Зачастую обозначают простой буквой а.

Геометрически вектор изображают отрезком со стрелкой. Направление стрелки указывает направление вектора в пространстве, а длина отрезка изображает модуль вектора (см. рис. 1а).

Рис. 1

Два вектора называются равными, если равны их длины и совпадают направления.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Его направление не определено.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Вектор называется противоположным вектору , так как его длина равна длине вектора и он имеет обратное направление.

Единичный вектор расположенный параллельно вектору , может быть определен соотношением . Соответственно, любой вектор может быть представлен в виде .

Проекцией вектора на направление единичного вектора называется вектор , направление которого совпадает с направлением единичного вектора , а длина равна произведению длины вектора на косинус угла между векторами и (см. рис. 2):

, где

Рис.2

В зависимости от видов допускаемых инвариантных[†] преобразований векторы как математическое понятие могут быть разделены на три типа.

1. Простые векторы, которые обычно мы называем одним словом вектор. Инвариантным преобразованием для векторов является параллельный перенос в произвольном направлении (см. рис.1.а).

2. Аксиальные векторы. Эти векторы могут располагаться только вдоль определенного направления (см. рис. 1.б). Инвариантным преобразованием для аксиального вектора является его перенос вдоль этого направления.

3. Радиус – вектор соединяет начало координат с точкой, имеющей определенные координаты x, y, z. Для радиус – вектора ни параллельный перенос, ни вращение инвариантными преобразованиями не являются.

 

Сложение и вычитание векторов

 

Суммой двух векторов и называется вектор, совпадающий с замыкающей стороной треугольника, построенного на данных двух векторах (см. рис. 1.а).

Рис.4

Правило сложения векторов:

1. ,

2. .

Эти законы позволяют находить сумму любого числа векторов. На рис. 3.б приведено сложение четырех векторов.

Если многоугольник, построенный на данных векторах, окажется замкнутым так, что конец последнего слагаемого вектора совпадет с началом первого слагаемого, то сумма данных векторов будет равна нулю. И обратно, если сумма некоторых векторов равна нулю, то построенный на этих векторах многоугольник будет замкнутым.

Разностью двух векторов называется сумма вектора с вектором , противоположным вектору (см. рис. 4):

 

.

Рис.4

 

Умножение вектора на число

 

Произведением скаляра на вектор называется вектор, длина которого равна , а направление его совпадает с направлением , если , и противоположно , если . Произведение вектора на скаляр подчиняется законам умножения чисел:

.

 

Произведение векторов

 

Из двух векторов можно образовать два существенно различных произведения: скалярное и векторное.

 

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами: . Эквивалентной формой записи скалярного произведения является выражение .

Пусть — единичный вектор, , тогда , т.е. скалярное произведение любого вектора на единичный вектор определяет величину проекции вектора на направление этого единичного вектора.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. ;

2. .

Если векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение . И обратно, если скалярное произведение двух отличных от нуля векторов равно нулю, то эти векторы взаимно перпендикулярны.

 

Векторное произведение

Векторным произведением двух векторов и называется

вектор или в эквивалентной форме , который

а) направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и , в сторону поступательного перемещения правого винта, если его вращать от первого сомножителя ко второму в направлении наименьшего угла между векторами;

б) имеет длину, равную произведению длин векторов и на синус угла между ними (см. рис. 1): .

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

;

;

.

Рис.5

 

Произведение трех векторов

Из трех произвольных векторов и и можно образовать два существенно различных произведения: смешанное и двойное векторное произведение.

 

Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение одного из них на векторное произведение двух других:

.

Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах.

С помощью смешанного произведения трех векторов решается вопрос об их компланарности.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Очевидно, любые два вектора являются компланарными.

Три вектора не всегда компланарны. Для того, чтобы три вектора были компланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

 

 

Двойное векторное произведение

Двойным векторным произведением трех векторов называется векторное произведение одного из них на векторное произведение двух других. Вектор, получившийся в результате двойного векторного произведения , лежит в плоскости векторов и и может быть представлен выражением

.

 

Координатная форма представления векторов

В системе координат XYZопределим единичные векторы в направлении OX, OYи OZкак . Тогда произвольный вектор может быть представлен в виде суммы трех взаимно перпендикулярных векторов, направленных по осям координат: ,

где скаляры — проекции вектора на координатные оси OX, OYи OZсоответственно.

Векторы и взаимно перпендикулярны друг другу, поэтому для них выполняются соотношения:

;

.

Радиус – вектор, проведенный из начала координат в некоторую точку М с координатами (x;y;z), также может быть определен в координатной форме (рис.6): .

Рис.6

Правила действия над векторами, заданными в координатной форме:

,

,

.

1. Сложение и вычитание.

2. Скалярное произведение.

3. Векторное произведение.

Из формул для скалярного произведения двух векторов можно получить формулу для вычисления модуля произвольного вектора :

.

С другой стороны,

.

Поэтому .

Если — единичный вектор. Тогда его проекциями на оси координат будут косинусы углов , образованных единичным вектором с осями координат OX, OY, OZсоответственно. Из предыдущей формулы, записанной для случая единичного вектора, получим условие .

Отметим, что направляющие косинусы можно определить и для любого произвольного вектора :

.

Из формулы для скалярного произведения двух векторов можно получить также выражение, определяющее косинус угла между этими векторами:

.

Формулы дифференциального исчисления

 

 

Формулы интегрального исчисления

 

 

Соотношение между внесистемными единицами и единицами СИ

 

Длина	1 ангстрем ( ) =
Время	1 сут = 86400 с, 1 год = 365,25 сут =
Плоский угол
Объем, вместимость
Масса	,
Сила
Работа, энергия	, ,
Мощность
Давление	, , ,
Напряжение (механическое)
Частота вращения	,
Концентрация частиц
Теплота (количество теплоты)	,

 

Эффективный диаметр молекул, динамическая вязкость и теплопроводность газов при нормальных условиях

Вещество	Эффективный диаметр ,	Динамическая вязкость ,	Теплопроводность ,
Азот Аргон Водород Воздух Гелий Кислород Пары воды	0,38 0,35 0,28 – 0,22 0,36 –	16,6 21,5 8,66 17,2 – 19,8 8,32	24,3 16,2 24,1 – 24,4 15,8

 

Динамическая вязкость жидкостей при

Вода …………………..……………….…… 1,00

Глицерин ………………………………….. 1480

Масло касторовое ………………….……… 987

Масло машинное ………………………….. 100

Ртуть ……………………….…………….… 1,58

 

 

Основные физические постоянные

(округленные с точностью до трех значащих цифр)

Нормальное ускорение свободного падения ………..

Гравитационная постоянная ……………

Постоянная Авогадро ………………..………

Молярная газовая постоянная …………….

Стандартный объем ^*……………………….

Постоянная Больцмана ……………………….

Атомная единица массы ………………………

 

* Молярный объем идеального газа при нормальных условиях

[*] Бесконечно малый угол поворота , может быть представлен в виде вектора, направленного вдоль оси вращения. Это возможно, когда радиус-вектор можно считать неизменным. Определение векторного произведения двух векторов см. в приложении (стр. 103).

[†] Инвариантностью в математике называется свойство неизменности по отношению какому либо преобразованию (условию) или совокупности преобразований.

---

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Понятие вектора [wiki.eduVdom.com]

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая — за конец. Если А — начало вектора и В — его конец, то вектор обозначается символом $\overrightarrow{АВ}$ (или $\overline{АВ}$). Обычно векторы обозначают одной малой латинской буквой со стрелкой (или с чертой) либо выделяют жирным шрифтом: $\overrightarrow{a}\,,\,\ \overline{a}\,,\,\ {\bf а}$ . Вектор изображается отрезком со стрелкой на конце (рис.1).

Рис.1

Длина вектора $\overrightarrow{АВ}$ называется его абсолютной величиной или модулем и обозначается символом $|\overrightarrow{АВ}|$.

Вектор $\overrightarrow{a}$, у которого $|\overrightarrow{a}| = 1$ , называется единичным.

Вектор называется нулевым (обозначается $\overrightarrow{0}$ или ${\bf 0}$), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В этом случае пишут $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ . Все нулевые векторы считаются равными.

Из определения равенства векторов непосредственно следует, что, каковы бы ни были вектор $\overrightarrow{a}$ и точка Р, существует, и притом единственный, вектор $\overrightarrow{PQ}$ с началом в точке Р, равный вектору $\overrightarrow{a}$ . В самом деле, существует лишь одна прямая, проходящая через точку Р и параллельная той прямой, на которой лежит вектор $\overrightarrow{a}$ . На указанной прямой существует единственная точка Q такая, что отрезок PQ имеет длину, равную длине вектора $\overrightarrow{a}$ , и направлен в ту же сторону, что и вектор $\overrightarrow{a}$ . Таким образом, вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку плоскости.

---

---

Пример 1. Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 120).

На основании определения равенства векторов можно записать $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС} \,и\, \overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{DC} \,,но\, \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AD}\,,\, \overrightarrow{ВС} \neq \overrightarrow{DC}\,,\, хотя \overrightarrow{|АВ|} = \overrightarrow{|AD|} = \overrightarrow{|ВС|} = \overrightarrow{|DC|} $ .

---

Пример 2. Какой вид имеет четырехугольник ABCDy если известно, что $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ ?

Решение. Из равенства $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ следует, что стороны AD и ВС в четырехугольнике равны и параллельны и, значит (теорема 2), он параллелограмм.

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{a}$, обозначается $-\overrightarrow{a}$. Для вектора $\overrightarrow{AB}$ противоположным является вектор $\overrightarrow{BA}$ .

---

---

www.wiki.eduvdom.com

Занятие по геометрии «Понятие вектора в разных науках. Виды векторов. Действия над векторами»

Тема. Векторы в пространстве. Операции над векторами.

Цели и задачи:

• Определение вектора. Координаты вектора и его модуль. Нулевой вектор.
• Понятие вектора в разных науках.
• Виды векторов (коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленнные, равные).
• Действия над векторами(сложение, вычитание, умножение на число, скалярное умножение).
• Условие перпендикулярности векторов.
• Угол между векторами.

«Никакой достоверности нет в науках там,

где нельзя приложить ни одной

из математических наук, и в том,

что не имеет связи с математикой».

Леонардо да Винчи .

Вектор – направленный отрезок.

Координатами вектора с началом в точке А1 (x1; y1; z1) и концом в точке

А2 (х2; y2; z2) называются числа

x2-x1, y2-y1, z2-z1 . Пример.

Нулевой вектор – точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления.

Модулем (длиной или абсолютной величиной) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Формула.

Понятие вектора в науках.

Электрокардиогра́фия  — методика регистрации и исследования электрических полей, образующихся при работе сердца.

На электрокардиограмме (ЭКГ) отражается усреднение всех векторов потенциалов действия, возникающих в определённый момент работы сердца.

2. В биологии.

Вектор  (в генетике) — молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

3. В микробиологии.   В эпидемиологии вектор — организм, переносящий паразитов от одного организма-хозяина к другому — переносчик инфекционных заболеваний.

Например, вши переносят возбудителей сыпного тифа, крысы – чумы, а клещи являются переносчиками вируса, вызывающего энцефалит.

4. В философии:

Эмана́ция  (лат. emanatio  — истечение, распространение), понятие античной философии,  онтологический  вектор перехода от высшей сферы  к низшим, менее совершенным сферам; т.е. распространение избыточной полноты абсолютного Бытия [за пределы собственно своего бытия].

5. В химии.

• Электронное строение атомов.
• Обратимые реакции.
• Знаком вектора обозначается осадок, или газ.

6. В физике

Векторы — сила , скорость , ускорение , напряженность электрического и магнитного полей . Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса ,площадь, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они » скалярами «.

7. В геометрии:

под векторами понимают направленные отрезки. С помощью векторов можно находить площади различных фигур, например треугольников и параллелограммов, а так же объёмы тетраэдра и параллелепипеда.

Виды векторов.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Условие коллинеарности векторов.

Два вектора коллинеарные, если их соответствующие координаты пропорциональны.

Пример.

Если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в одну сторону, то векторы называются сонаправленными .

Обозначаются : а↑↑ b .

Если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в разные стороны, то векторы называются противоположно направленными .

Обозначаются : a ↑↓ d .

Нулевой вектор считают сонаправленным с любым.

Два вектора называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.

Операции над векторами.

Сложение и вычитание векторов

A

C

D

L

M

B

K

E

F

Суммой векторов a и b с координатами x1, y1 , z1 и x2 , y2 , z 2 называется вектор с координатами x1+x2, y1+y2 , z1+z2 .

Разностью векторов a и b с координатами x1, y1 , z1 и x2 , y2 , z 2 называется вектор с координатами x1 — x2, y1 — y2 , z1 — z2 .

Примеры.

Сумма двух векторов.

Правило треугольника . Для сложения двух векторов по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма . Для сложения двух векторов по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Правило многоугольника.

Суммировать можно любое число векторов, причем векторы необязательно должны лежать в одной плоскости.

4 . Правило параллелепипеда.

Разность двух векторов.

Чтобы вычесть вектор, надо прибавить коллинеарный ему вектор, направленный в противоположную сторону. Для вычитания двух векторов оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

0 , и противоположно ему, если λ Пример. «

Произведение вектора на число.

Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый λ , модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если λ 0 , и противоположно ему, если λ

Пример.

0 λ = 3 Длина вектора увеличивается в λ раз, и направление остаётся прежним. «

Дано :

Чертёж:

λ 0

λ = 3

Длина вектора увеличивается в λ раз, и направление остаётся прежним.

Дано :

Чертёж:

λ

λ = -3

Длина вектора увеличивается в λ раз, а направление меняется на противоположное.

Дано:

Чертёж:

λ = 0

Вектор станет нулевым, т. е. преобразуется в точку.

Скалярное произведение векторов.

Чтобы скалярно умножить два вектора, надо умножить их соответствующие координаты и сложить их. В результате получим число.

Пример.

Условие перпендикулярности векторов.

Если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны .

Угол между векторами.

Углом между двумя векторами , отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором .

• Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.
• Формула вычисления угла между векторами

cos α =  a·b/|a|·|b|

Спасибо за внимание!

multiurok.ru

Вектор. Что такое вектор? :: SYL.ru

Такое понятие, как вектор, рассматривается практически во всех естественных науках, причем он может иметь совершенно разное значение, поэтому дать однозначное определение вектора для всех областей невозможно. Но попробуем разобраться. Итак, вектор — что такое?

Понятие вектора в классической геометрии

Вектор в геометрии — отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом. То есть, говоря проще, вектором называется направленный отрезок.

Соответственно, обозначается вектор (что такое — рассмотрели выше), как и отрезок, то есть двумя заглавными буквами латинского алфавита с добавлением сверху черты или стрелки, направленной вправо. Также его можно подписать строчной (маленькой) буквой латинского алфавита с чертой или стрелкой. Стрелка всегда направлена вправо и не меняется в зависимости от расположения вектора.

Таким образом, вектор имеет направление и длину.

В обозначении вектора содержится и его направление. Выражается это так, как на рисунке ниже.

Изменение направления меняет значение вектора на противоположное.

Длиной вектора называется длина отрезка, от которого он образован. Обозначается он как модуль от вектора. Это показано на рисунке ниже.

Соответственно, нулевым является вектор, длина которого равна нулю. Из этого следует, что нулевой вектор представляет собой точку, при чем в ней совпадают точки начала и конца.

Длина вектора — величина всегда не отрицательная. Иначе говоря, если есть отрезок, то он в обязательном порядке обладает некоторой длиной или же является точкой, тогда его длина равна нулю.

Само понятие точки является базовым и определения не имеет.

Сложение векторов

Существуют специальные формулы и правила для векторов, с помощью которых можно выполнить сложение.

Правило треугольника. Для сложения векторов по этому правилу достаточно совместить конец первого вектора и начала второго, используя при этом параллельный перенос, и соединить их. Полученный третий вектор и будет равен сложению двух других.

Правило параллелограмма. Для сложения по этому правилу необходимо провести оба вектора из одной точки, а затем провести из конца каждого из них другой вектор. То есть, из первого вектора будет проведен второй, а из второго — первый. В результате получится новая точка пересечения и образуется параллелограмм. Если совместить точку пересечения начал и концов векторов, то полученный вектор и будет результатом сложения.

Похожим образом возможно выполнять и вычитание.

Разность векторов

Аналогично сложению векторов возможно выполнить и их вычитание. Оно базируется на принципе, указанном на рисунке ниже.

То есть вычитаемый вектор достаточно представить в виде вектора, ему противоположного, и произвести расчет по принципам сложения.

Также абсолютно любой ненулевой вектор возможно умножить на какое-либо число k, это изменит его длину в k раз.

Помимо этих, существуют и другие формулы векторов (например, для выражения длины вектора через его координаты).

Расположение векторов

Наверняка многие сталкивались с таким понятием, как коллинеарный вектор. Что такое коллинеарность?

Коллинеарность векторов — эквивалент параллельности прямых. Если два вектора лежат на прямых, которые параллельны друг другу, или же на одной прямой, то такие векторы называются коллинеарными.

Направление. Относительно друг друга коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными, это определяется направлением векторов. Соответственно, если вектор сонаправлен с другим, то вектор, ему противоположный, противоположно направлен.

На первом рисунке показаны два противоположно направленных вектора и третий, который не коллинеарен им.

После введения вышеуказанных свойств возможно дать определение и равным векторам — это векторы, которые направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину отрезков, от которых они образованы.

Во многих науках применяется еще и понятие радиус-вектора. Подобный вектор описывает положение одной точки плоскости относительно другой фиксированной точки (зачастую это начало координат).

Векторы в физике

Предположим, при решении задачи возникло условие: тело движется со скоростью 3 м/с. Это означает, что тело движется с конкретным направлением по одной прямой, поэтому данная переменная будет величиной векторной. Для решения важно знать и значение, и направление, так как в зависимости от рассмотрения скорость может равняться и 3 м/c, и -3 м/с.

В общем случае вектор в физике используется для указания направления силы, действующей на тело, и для определения равнодействующей.

При указании этих сил на рисунке их обозначают стрелками с подписью вектора над ним. Классически длина стрелки так же важна, с помощью нее указывают, какая сила действует сильнее, однако это свойство побочное, опираться на него не стоит.

Вектор в линейной алгебре и математическом анализе

Элементы линейных пространств также называются векторами, однако в данном случае они представляют собой упорядоченную систему чисел, описывающих некоторые из элементов. Поэтому направление в данном случае уже не имеет никакой важности. Определение вектора в классической геометрии и в математическом анализе сильно различаются.

Проецирование векторов

Спроецированный вектор — что такое?

Довольно часто для правильного и удобного расчета необходимо разложить вектор, находящийся в двухмерном или трехмерном пространстве, по осям координат. Данная операция необходима, например, в механике при подсчете сил, действующих на тело. Вектор в физике используется достаточно часто.

Для выполнения проекции достаточно опустить перпендикуляры из начала и конца вектора на каждую из координатных осей, полученные на них отрезки и будут называться проекцией вектора на ось.

Для подсчета длины проекции достаточно умножить его изначальную длину на определенную тригонометрическую функцию, которая получается при решении мини-задачи. По сути, есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза является исходным вектором, один из катетов — проекцией, а другой катет — опущенным перпендикуляром.

www.syl.ru

Экспонента и число е: просто и понятно

Перевод большой статьи «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e»

Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?

Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:

Математическая константа е является основанием натурального логарифма.

Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:

Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.

Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).

С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!

Число е – это не просто число

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

• Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
• Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
• Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2^x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%)^x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост)^x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

В следующий статье мы посмотрим на пример экспоненциального роста ваших денег.

Продолжение

zero2hero.org

E (математическая константа) — это… Что такое E (математическая константа)?

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.

2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…^[1]

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Свойства

• 
  Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.
• Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
• , см. формула Эйлера, в частности
• Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

• Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

• Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:

  , то есть

  

• Представление Каталана:

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler).

Способы запоминания

• Для получения приблизительного значения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли».
• Стишок:

Два и семь, восемнадцать,

Двадцать восемь, восемнадцать,

Двадцать восемь, сорок пять,

Девяносто, сорок пять.

• Легко запомнить как 2, далее запоминаем 71, потом повторяющиеся 82, 81, 82
• Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
• Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
• В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

Доказательство иррациональности

Пускай рационально. Тогда , где и целые положительные, откуда

Умножая обе части уравнения на , получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно:

— целое

Но с другой стороны

Получаем противоречие.

Интересные факты

• В IPO компании 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
• В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN^[2]:

Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма e, которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.

Таким образом, записи типа 7.38e-43 в языках программирования будет соответствовать число , а не .

Примечания

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Число e | Математика, которая мне нравится

Число впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма , но само число в его работе не упоминается.

Следующее появление числа снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу . Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы равнобочной гиперболы на промежутке от до равна . Это свойство делает основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.

Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида . И снова появляется десятичный логарифм , который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр. Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к , но само число остается неузнанным).

В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работу Logarithmotechnia, которая содержит разложение в ряд . В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию . Число явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.

Удивительно, что число в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти

Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между и , и это мы можем рассматривать как первое приближение числа . Хотя мы принимаем это за определение , это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.

Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения мы находим, что , но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.

Мы знаем, что число появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение . Наконец у появилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.

В 1697 г. Иоганн Бернулли начинает изучение показательной функции и публикует Principia calculi exponentialum seu percurrentium. В этой работе вычисляются суммы различных экспоненциальных рядов, и получены некоторые результаты их почленным интегрированием.

Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что
неудивительно, что обозначение также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с . Он показал, что

Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа :

правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.

Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил
и
Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность . Действительно, если бы непрерывная дробь для продолжалась так же, как в приведенном образце, (каждый раз прибавляем по ), то она никогда бы не прервалась, и (а значит, и ) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность .

Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа , был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа . В действительности, нужно около
120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа .

В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано

В своих лекциях он мог бы сказать своим студентам: “Джентльмены, мы не имеем ни малейшего представления, что бы это значило, но мы можем быть уверены, что это значит что-то очень важное”.

Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа . Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число алгебраическим. Последний результат в этом направлении — это то, что по крайней мере одно из чисел и является трансцендентным.

Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа . В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа , из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма .

J.J.Connor, E.F.Robertson. The number e. Перевод статьи http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/e.html

hijos.ru

ЧИСЛО Е | Энциклопедия Кругосвет

ЧИСЛО e. Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e^–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно log_e 2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e. Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Ne^kt. Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I₀e^–kt, где k = R/L, I₀ – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/k часто называют временем релаксации. В статистике величина e^–kt встречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени. Если S – сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Se^tr/100.

Причина «вездесущности» числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Например, производная от log₁₀ x равна (1/x)log₁₀ e, тогда как производная от log_e x равна просто 1/x. Аналогично, производная от 2^x равна 2^xlog_e 2, тогда как производная от e^х равна просто e^x. Это означает, что число e можно определить как основание b, при котором график функции y = log_b x имеет в точке x = 1 касательную с угловым коэффициентом, равным 1, или при котором кривая y = b^x имеет в x = 0 касательную с угловым коэффициентом, равным 1. Логарифмы по основанию e называются «натуральными» и обозначаются ln x. Иногда их также называют «неперовыми», что неверно, так как в действительности Дж.Непер (1550–1617) изобрел логарифмы с другим основанием: неперов логарифм числа x равен 10⁷ log_1/e (x/10⁷) (см. также ЛОГАРИФМ).

Различные комбинации степеней e встречаются в математике так часто, что имеют специальные названия. Таковы, например, гиперболические функции

График функции y = ch x называется цепной линией; такую форму имеет подвешенная за концы тяжелая нерастяжимая нить или цепь. Формулы Эйлера

где i² = –1, связывают число e с тригонометрией. Частный случай x = p приводит к знаменитому соотношению e^ip + 1 = 0, связывающему 5 наиболее известных в математике чисел.

При вычислении значения e могут быть использованы и некоторые другие формулы (чаще всего пользуются первой из них):

Значение e с 15 десятичными знаками равно 2,718281828459045. В 1953 было вычислено значение e с 3333 десятичными знаками. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером (1707–1783).

Десятичное разложение числа e непериодично (e – иррациональное число). Кроме того, e, как и p, – трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами). Это доказал в 1873 Ш.Эрмит. Впервые было показано, что столь естественным образом возникающее в математике число является трансцендентным.

Проверь себя!
Ответь на вопросы викторины «Математика»

Как звали математика, который в 19 лет решил задачу, не поддававшуюся усилиям лучших геометров со времен Евклида?

www.krugosvet.ru

А что означает это в алгебре?

корень (маленькое число) -й степени

степень корня

Степень корня, он бывает не только квадратный.. .

обычно ты считаешь корень квадратный т. е. 2 но могуть быть и 256 и 32 и 7

степень корня

Степень, то же самое, что 2 в 5 степени ( 2 умножают на 2 5 раз) выходит 32

Это означает степень корня (корень может быть квадратным, кубическим, 4-ой степени и т. д.)

степень этого числа

например 3 корня из 8. ответ 2. 2 в кубе!!!!

корень n-ой степени

touch.otvet.mail.ru

Что в алгебре обозначается буквами s, v, t?

расстояние, скорость, время, быть может)). хзз)))

По порядку: расстояние, скорость и время

площадь объём время.. . может быть…

s-растояние, v -скорость, t -время

а есть какие-то правила?? ? можно нафантизировать для примера, что S это площадь, что V это объём … (что-то больше на геометрию смахивает) , что t это аргумент в параметрической форме записи.. . это всего лишь буквы. Вы их можете привязать к любым понятиям…

S- скорость. t- время. на счёт V не уверена.

расстояние, скорость, время

touch.otvet.mail.ru

что такое размах чисел?в алгебре. в алгебре

Разница между большим и меньшим числом в ряду. Например: 14, 13, 6, 25, 14, 17 Размах: 25-6=19

разница самого меньшего числа от большего.

разница самого меньшего числа от большего.

Это когда берется самое большое число и из него вычитается самое маленькое. Например: 6,71,32,80,75 — 80-6=74(это и есть размах чисел)

Это когда берется самое большое число и из него вычитается самое маленькое. Например: 6,71,32,80,75 — 80-6=74(это и есть размах чисел).

touch.otvet.mail.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи