Рубрика: Школьная жизнь

Как расчитать 15 % от общей суммы плиз

сумму умножить на 0,15

вы это серьезно?))))))

число умножить на процент и поделить на сто

нужно сумму разделить на 15 а потом это число которое вышло отнянь от всей суммы

сумму разделить на 100 и умножить на 15. Это любой дурак знает

издеваетесь???? умножить на 0,15

Сумму разделить на 100 и умножить на 15

раздели на 100 и умножь на 15

15% = x поделить на 100 и умножить на 15, где Х — общая сумма.

есть три варианта 1. сумму умножаем на 15 и делим на 100 2. сумму умножаем на 0,15 3. берем калькулятор, набираем сумму, кнопку умножить.. . 15 и кнопку %

подели всю суму на 100 и потом умнож на 15)

раздели на 100 и умнож на 15

В начальной школе не учились? Про аттестат — и не говорю.. . А! ! Это шутка такая! Но — не смешно…

touch.otvet.mail.ru

Как посчитать процент от числа?)

умножить на чило, разделить на сто

делишь число на 100, умножаешь на процент. это правильно

калькулятор возьми в руки и посчитай.

делите число на 100 и умножаете на искомый процент ! таблица Excel — функция финансовых вычислений .

да очень просто. подходишь к числу и как обычно просишь закурить. ну нет у него конечно. тогда ты ему так это под правый глаз: на тебе. и говоришь: а ну рассказывай про цент! про копейку не надо

я расчитываю методом дробей, но проще методом интегралов, пример 1- есть 1% от 100…просто

Число разделить на сто — один процент от этого числа Чтобы посчитать, сколько процентов от заданного числа составляет некоторое число, например 30 от 600, надо это число разделить на полное число и умножить на 100. В нашем случае, (30:600)*100=5 процентов

Для этого надо разделить число на 100 и умножить на искомый процент.

touch.otvet.mail.ru

Как посчитать проценты на калькуляторе 🚩 Калькулятор посчитать проценты 🚩 Математика

Инструкция

Вспомните плотности этих драгоценных металлов. В 1 куб.см золота содержится 19,6 грамма, в 1 куб.см серебра – 10,5 грамма. Для упрощения, можете округлить эти величины до 20 и 10 грамм, соответственно.

Далее произведите вычисления: 150*20 + 100*10 = 4000 грамм, то есть 4 килограмма. Такова масса сплава, пошедшего на изготовление короны. Поскольку в условиях задачи ничего не сказано про «отходы производства», получите ответ: 150*20/4000 = 3/4 = 0,75. Или по-другому, 75%. Вот таким был массовый процент золота в якобы «чисто золотой» короне Гиерона.

А если бы вы имели дело с раствором? Например, вам дана такая задача: определить массовый процент поваренной соли (хлорида натрия) в его двухмолярном растворе.

И здесь нет совершенно ничего сложного. Вспомните, что такое молярность. Это – количество молей вещества в 1 литре раствора. Моль же, соответственно, количество вещества, масса которого (в граммах) равна его массе в атомных единицах. То есть вам надо лишь написать формулу поваренной соли, и узнать массу ее компонентов (в атомных единицах), посмотрев в Таблицу Менделеева. Масса натрия – 23 а.е.м., масса хлора – 35,5 а.е.м. В сумме у вас получается 58,5 грамм/моль. Соответственно, масса 2 молей поваренной соли = 117 грамм.

Следовательно, в 1 литре водного 2М раствора хлористого натрия содержится 117 грамм этой соли. Какова же плотность этого раствора? По таблице плотностей, находите, что она примерно равна 1,08 г/мл. Следовательно, в 1 литре такого раствора будет содержаться примерно 1080 грамм.

А дальше задача решается в одно действие. Разделив массу соли (117 грамм) на общую массу раствора (1080 грамм), получите: 117/1080 = 0,108. Или в процентах – 10,8%. Таков массовый процент поваренной соли в ее 2М растворе.

Обратите внимание

Массовый процент хлористого натрия останется неизменным, вне зависимости от количества раствора.

Полезный совет

При решении задачи с золотым сплавом, вы использовали округленные величины плотности золота и серебра. Если нужна большая точность, это недопустимо.

www.kakprosto.ru

Как быстро посчитать проценты / На все случаи жизни / Жить просто! А хорошо жить с нашими советами — еще проще!

В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с процентами в скидках, вкладах, кредитах и т.д. Я недавно убедился, что далеко не каждый помнит со школы как считать проценты, а проходилось это все в начальных классах. Дабы освежить память приведу несколько примеров как это можно сделать.

Вариант первый

Например:
Необходимо найти 32% от числа 1450.
1450 = 100%
32% = Х%
(1450/100) * 32 = 464 или 1450 * 0,32 = 464, т.к. 32% это 32 сотых.

Простой способ

А еще… Можно вычислить сколько процентов составляет одно число от другого. Например, сколько процентов составляет число 24 от числа 160.
1% это одна сотая доля. Значит одна сотая доля от 160: 160/100 = 1,6
Затем считаем сколько таких долей содержит число 56: 24/1,6 = 15,
Значит, число 24 составляет 15% от числа 160.
Объединив эти вычисления в одну формулу, получим:
24 / (160 / 100) = (24 / 160 ) * 100.
Т.е., нужно первое число разделить на второе и умножить на 100%.

Это совсем простые примеры, но некоторым на самом деле сложно считать проценты. Кому пригодилось, пользуйтесь на здоровье, а кто и без нас знал об этом, то повторение лишним не бывает:)

lifesimple.ru

Округлить до целых онлайн. Округление

Математика позволяет превращать числа в приблизительные значения. Ведь не всегда в быту человеку нужны числа, имеющие «хвост» сотых, тысячных и т.д. долей. От верности результата округления часто зависит межличностный исход ситуации, как в отношениях между кассиром и клиентом при расчете в кассе.

Инструкция

Дробные десятичные числа записывают через запятую. Целая часть пишется слева от запятой, дробная — справа. Смысл процедуры округления заключается в том, чтобы «обрезать» правую часть и приблизить число к целому значению. Точность числа при этом понижается. Округлить до десятых долей означает оставить у дроби одну цифру после запятой справа. Если число не имеет запятой, то есть оно целое, его до десятых округлять не нужно. После запятой у него пишется цифра ноль. Число 65 можно записать в виде 65,0 (шестьдесят пять целых, ноль десятых ).

Чтобы округлить нецелое число до десятых , обратите внимание на цифру за десятой долей. Она расположена второй справа после запятой. Если она имеет значение больше четырех, т.е. равна одной из цифр 5, 6, 7, 8, 9, то десятая доля увеличится на одну единицу. Число 56,37 после округления равно 56,4 (пятьдесят шесть целых, тридцать семь сотых приблизительно равны пятидесяти шести целым, четырем десятым).

Если вторая цифра справа после запятой имеет значение меньшее или равное четырем, т.е. 1, 2, 3, 4, то десятая доля не изменится. Число 3,34 после округления равно 3,3 (три целых, тридцать четыре сотых приблизительно равны трем целым, трем десятым). Число 96,11 после округления равно 96,1 (девяносто шесть целых, одиннадцать сотых приблизительно равны девяносто шести целым, одной десятой).

Обратите внимание

Не забывайте, что округление приводит к понижению класса точности изменяющегося числа.

Полезный совет

Аналогично производится округление числа до любого количества знаков после запятой. Значение последней остающейся цифры зависит от цифр, стоящих после нее.

Под округлением натурального числа понимают замену его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями.

Правило округления:

Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

Цифра, записанная в выбранном разряде:

Все цифры, стоящие справа от данного разряда, заменяются нулями.

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра в соседнем старшем разряде (слева) увеличивается на 1.

Округление десятичных дробей

Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление. Цифра, записанная в данном разряде:

• не меняется, если следующая за ней справа цифра — 0, 1, 2, 3 или 4;
• увеличивается на единицу, если следующая за ней справа цифра — 5,6,7,8 или 9.

Все цифры, стоящие справа от данного разряда, заменяются нулями. Если эти нули находятся в дробной части числа, то их не пишут.

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра в предыдущем разряде (слева) увеличивается на 1.

Округление чисел особенно часто требуется при денежных расчетах. Например, цену товара в рублях, как правило, нельзя устанавливать с точностью более двух знаков после запятой. Если же в результате вычислений получается большее число десятичных разрядов, требуется округление. В противном случае накапливание тысячных и десятитысячных долей рубля приведет в итоге к ошибкам в вычислениях.

Для округления чисел можно использовать целую группу функций.

Наиболее часто используют функции ОКРУГЛ, ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ.

Синтаксис функции ОКРУГЛ

ОКРУГЛ(А;В),

где A – округляемое число;

Синтаксис функций ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ точно такой же, что и у функции ОКРУГЛ.

Функция ОКРУГЛ при округлении отбрасывает цифры меньшие 5, а цифры большие 5 округляет до следующего разряда. Функция ОКРУГЛВВЕРХ при округлении любые цифры округляет до следующего разряда. Функция ОКРУГЛВНИЗ при округлении отбрасывает любые цифры. Пример округления до двух знаков после запятой с использованием функций ОКРУГЛ, ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ приведен на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Округление до заданного количества десятичных разрядов

Функции ОКРУГЛ, ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ можно использовать и для округления целых разрядов чисел. Для этого необходимо использовать отрицательные значения аргумента В.

Для округления чисел в меньшую сторону можно использовать также функцию ОТБР.

Синтаксис функции

ОТБР(А;В),

где A – округляемое число;

В – число знаков после запятой (десятичных разрядов), до которого округляется число.

Фактически функция ОТБР отбрасывает лишние знаки, оставляя только количество знаков, указанное в аргументе В.

Так же как и функции ОКРУГЛ, ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ, функцию ОТБР можно использовать для округления целых разрядов чисел. Для этого необходимо использовать отрицательные значения аргумента В.

Для округления числа до меньшего целого можно использовать функцию ЦЕЛОЕ.

Синтаксис функции

где A – округляемое число.

Пример использования функции приведен на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Округление до целого числа

Для округления числа с заданной точностью можно использовать функцию ОКРУГЛТ.

Синтаксис функции

ОКРУГЛТ(А;В),

где A – округляемое число;

В – точность, с которой требуется округлить число.

Функция ОКРУГЛТ производит округление с избытком. Округление производится в том случае, если остаток от деления числа на точность больше или равен половине точности. Пример использования функции приведен на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Округления с заданной точностью

Наконец, для округления до ближайшего четного или нечетного числа можно использовать функции ЧЕТН и НЕЧЕТН, а для ближайшего кратного большего или меньшего числа – функции ОКРВЕРХ и ОКРВНИЗ.

Синтаксис функции ЧЕТН

где A – округляемое число.

Функция НЕЧЕТН имеет такой же синтаксис.

Обе функции округляют положительные числа до ближайшего большего четного или нечетного числа, а отрицательные – до ближайшего меньшего четного или нечетного числа.

Синтаксис функции ОКРВВЕРХ

ОКРВВЕРХ(А;В),

где A – округляемое число;

В – кратное, до которого требуется округлить.

Функция ОКРВНИЗ имеет такой же синтаксис.

Следует обратить внимание на различие в округлении и установке отображаемого числа знаков после запятой с использованием средств форматирования. При использовании числовых форматов изменяется только отображаемое число, а в вычислениях используется хранимое значение.

Чтобы быстро сделать так, чтобы число казалось округленным, измените количество десятичных разрядов. Просто выделите число, которое вы хотите округлить, и щелкните Главная > Уменьшить разрядность .

Число в ячейке будет казать

hatikva.ru

Округлить число онлайн калькулятор до десятков целых чисел

Сохраняемая цифра здесь это 2, а первая из отбрасываемых цифр это 3

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. А что делать с дробной частью? Её просто отбрасывают (убирают):

123,456 ≈ 120

Теперь попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда единиц. Сохраняемая цифра здесь будет 3, а первая из отбрасываемых цифр это 4, которая находится в дробной части:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём.

Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка «%» ( открытая скобка Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10 ) закрытая скобка Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки ± плюс минус Меняет знак на противоположный = равно Выводит результат решения.

Округлить число онлайн калькулятор до десятков целых чисел

При этом у каждой из этих частей есть свои разряды. Очень важно не путать их:

Для целой части применяются те же правила округления, что и для обычных чисел. Отличие в том, что после округления целой части и замены нулями всех цифр после сохраняемой цифры, дробная часть полностью отбрасывается.

Например, округлим дробь 123,456 до разряда десятков. Именно до разряда десятков, а не разряда десятых. Очень важно не перепутать эти разряды. Разряд десятков располагается в целой части, а разряд десятых в дробной.

Мы должны округлить 123,456 до разряда десятков.

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 3 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

1234 ≈ 1230

Пример 4. Округлить число 1234 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 2. А первая отбрасываемая цифра это 3. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 2 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

1234 ≈ 1200

Пример 3. Округлить число 1234 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 1. А первая отбрасываемая цифра это 2.

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Любое число можно сделать круглым. Процедуру, при которой число делают круглым, называют округлением числа.

Мы уже занимались «округлением» чисел, когда делили большие числа.

Именно поэтому в начале данного абзаца мы взяли слово округление в кавычки.

На самом деле, суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного.

Например: .5 — будет записано 0.5 + знак плюс Сложение чисел (целые, десятичные дроби) — знак минус Вычитание чисел (целые, десятичные дроби) ÷ знак деления Деление чисел (целые, десятичные дроби) х знак умножения Умножение чисел (целые, десятичные дроби) √ корень Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2 x2 возведение в квадрат Возведение числа в квадрат.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 7.

Вы замечали, что на большей части калькуляторов размещены особые переключатели? Никогда не задумывались, зачем они нужны? Например, ползунок со стрелками вверх, вниз и цифрой 5/4. Он определяет округление чисел. Онлайн калькулятор иногда тоже имеет такую функцию.

Есть еще один ползунок: А, 0, 2, 3, F

Буква «А» ставит число вторым разрядом после запятой. Например, в этом режиме, 2 + 3 = 0,05. «0» заставит работать в целочисленном формате.

Например, 0,1 + 0,2 = 0. «2» отделит пару последних разрядов запятой: 3 + 2 = 5,00. Чувствуете разницу между режимами А и 2? Режим F назван так от английского слова float. Он заставляет калькулятор работать с плавающей запятой.

Примеры: 5/2 = 2,5; 1/3 = 0,33333333… Можно сказать, что запятая плавает по разрядам, отделяя нужное их количество.

Надеемся, что вопросов не осталось.

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 1 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

1234 ≈ 1000

Второе правило округления

Второе правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Например, округлим число 675 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 675 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится семёрка.

123,456 ≈ 123,0

Ноль, который остался после запятой тоже можно отбросить. Значит окончательный ответ будет выглядеть следующим образом:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Теперь займёмся округлением дробных частей. Для округления дробных частей справедливы те же правила, что и для округления целых частей.
Попробуем округлить дробь 123,456 до разряда десятых. В разряде десятых располагается цифра 4, значит она является сохраняемой цифрой, а первая отбрасываемая цифра это 5, которая находится в разряде сотых:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 4 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,500

Попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда сотых.

Возникает вопрос: которое из этих круглых чисел будет приближённым значением для числа 15? Для таких случаев условились принимать большее число за приближённое. 20 больше чем 10, поэтому приближённое значение для 15 будет число 20

15 ≈ 20

Округлять можно и большие числа. Естественно, для них рисовать прямую линию и изображать числа не представляется возможным. Для них существует свой способ. Например, округлим число 1456 до разряда десятков.

Мы должны округлить 1456 до разряда десятков.
Разряд десятков начинается на пятёрке:

Теперь о существовании первых цифр 1 и 4 временно забываем. Остается число 56

Теперь смотрим, какое круглое число находится ближе к числу 56. Очевидно, что ближайшее круглое число для 56 это число 60.

kvizroom.ru

Округление чисел в Excel

Программа Microsoft Excel работает, в том числе, и с числовыми данными. При выполнении деления или работе с дробными числами, программа производит округление. Это связано, прежде всего, с тем, что абсолютно точные дробные числа редко когда бывают нужны, но оперировать громоздким выражением с несколькими знаками после запятой не очень удобно. Кроме того, существуют числа, которые в принципе точно не округляются. Но, в то же время, недостаточно точное округление может привести к грубым ошибкам в ситуациях, где требуется именно точность. К счастью, в программе Microsoft Excel имеется возможность самим пользователям устанавливать, как будут округляться числа.

Хранение чисел в памяти Excel

Все числа, с которыми работает программа Microsoft Excel, делятся на точные и приближенные. В памяти хранятся числа до 15 разряда, а отображаются до того разряда, который укажет сам пользователь. Но, при этом, все расчеты выполняются согласно хранимых в памяти, а не отображаемых на мониторе данным.

С помощью операции округления, Microsoft Excel отбрасывает некоторое количество знаков после запятой. В Excel применяется общепринятый способ округления, когда число меньше 5 округляется в меньшую сторону, а больше или равно 5 – в большую сторону.

Округление с помощью кнопок на ленте

Самым простым способом изменить округление числа — это выделить ячейку или группу ячеек, и находясь во вкладке «Главная», нажать на ленте на кнопку «Увеличить разрядность» или «Уменьшить разрядность». Обе кнопки располагаются в блоке инструментов «Число». При этом, будет округляться только отображаемое число, но для вычислений, при необходимости будут задействованы до 15 разрядов чисел.

При нажатии на кнопку «Увеличить разрядность», количество внесенных знаков после запятой увеличивается на один.

При нажатии на кнопку «Уменьшить разрядность» количество цифр после запятой уменьшается на одну.

Округление через формат ячеек

Также можно выставить округление с помощью настроек формата ячеек. Для этого, нужно выделить диапазон ячеек на листе, кликнуть правой кнопкой мыши, и в появившемся меню выбрать пункт «Формат ячеек».

В открывшемся окне настроек формата ячеек нужно перейти во вкладку «Число». Если формат данных указан не числовой, то нужно выбрать именно числовой формат, иначе вы не сможете регулировать округление. В центральной части окна около надписи «Число десятичных знаков» просто указываем цифрой то число знаков, которое желаем видеть при округлении. После этого, выполняем клик по кнопке «OK».

Установка точности расчетов

Если в предыдущих случаях, устанавливаемые параметры влияли только на внешнее отображения данных, а при расчетах использовались более точные показатели (до 15 знака), то сейчас мы расскажем, как изменить саму точность расчетов.

Для этого, переходим во вкладку «Файл». Далее, перемещаемся в раздел «Параметры».

Открывается окно параметров Excel. В этом окне переходим в подраздел «Дополнительно». Ищем блок настроек под названием «При пересчете этой книги». Настройки в данном бока применяются ни к одному листу, а ко всей книги в целом, то есть ко всему файлу. Ставим галочку напротив параметра «Задать точность как на экране». Жмем на кнопку «OK», расположенную в нижнем левом углу окна.

Теперь при расчете данных будет учитываться отображаемая величина числа на экране, а не та, которая хранится в памяти Excel. Настройку же отображаемого числа можно провести любым из двух способов, о которых мы говорили выше.

Применение функций

Если же вы хотите изменить величину округления при расчете относительно одной или нескольких ячеек, но не хотите понижать точность расчетов в целом для документа, то в этом случае, лучше всего воспользоваться возможностями, которые предоставляет функция «ОКРУГЛ», и различные её вариации, а также некоторые другие функции.

Среди основных функций, которые регулируют округление, следует выделить такие:

• ОКРУГЛ – округляет до указанного числа десятичных знаков, согласно общепринятым правилам округления;
• ОКРУГЛВВЕРХ – округляет до ближайшего числа вверх по модулю;
• ОКРУГЛВНИЗ – округляет до ближайшего числа вниз по модулю;
• ОКРУГЛТ – округляет число с заданной точностью;
• ОКРВВЕРХ – округляет число с заданной точность вверх по модулю;
• ОКРВНИЗ – округляет число вниз по модулю с заданной точностью;
• ОТБР – округляет данные до целого числа;
• ЧЕТН – округляет данные до ближайшего четного числа;
• НЕЧЕТН – округляет данные до ближайшего нечетного числа.

Для функций ОКРУГЛ, ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ следующий формат ввода: «Наименование функции (число;число_разрядов). То есть, если вы, например, хотите округлить число 2,56896 до трех разрядов, то применяете функцию ОКРУГЛ(2,56896;3). На выходе получается число 2,569.

Для функций ОКРУГЛТ, ОКРВВЕРХ и ОКРВНИЗ применяется такая формула округления: «Наименование функции(число;точность)». Например, чтобы округлить число 11 до ближайшего числа кратного 2, вводим функцию ОКРУГЛТ(11;2). На выходе получается число 12.

Функции ОТБР, ЧЕТН и НЕЧЕТ используют следующий формат: «Наименование функции(число)». Для того, чтобы округлить число 17 до ближайшего четного применяем функцию ЧЕТН(17). Получаем число 18.

Функцию можно вводить, как в ячейку, так и в строку функций, предварительно выделив ту ячейку, в которой она будет находиться. Перед каждой функцией нужно ставить знак «=».

Существует и несколько другой способ введения функций округления. Его особенно удобно использовать, когда есть таблица со значениями, которые нужно преобразовать в округленные числа в отдельном столбике.

Для этого, переходим во вкладку «Формулы». Кликаем по копке «Математические». Далее, в открывшемся списке выбираем нужную функцию, например ОКРУГЛ.

После этого, открывается окно аргументов функции. В поле «Число» можно ввести число вручную, но если мы хотим автоматически округлить данные всей таблицы, тогда кликаем по кнопке справа от окна введения данных.

Окно аргументов функции сворачивается. Теперь нужно кликнуть по самой верхней ячейке столбца, данные которого мы собираемся округлить. После того, как значение занесено в окно, кликаем по кнопке справа от этого значения.

Опять открывается окно аргументов функции. В поле «Число разрядов» записываем разрядность, до которой нам нужно сокращать дроби. После этого, жмем на кнопку «OK».

Как видим, число округлилось. Для того, чтобы таким же образом округлить и все другие данные нужного столбца, наводим курсор на нижний правый угол ячейки с округленным значением, жмем на левую кнопку мыши, и протягиваем её вниз до конца таблицы.

После этого, все значения в нужном столбце будут округлены.

Как видим, существуют два основных способа округлить видимое отображение числа: с помощью кнопки на ленте, и путем изменения параметров формата ячеек. Кроме того, можно изменить и округление реально рассчитываемых данных. Это также можно сделать двумя способами: изменением настроек книги в целом, или путем применения специальных функций. Выбор конкретного способа зависит от того, собираетесь ли вы применять подобный вид округления для всех данных в файле, или только для определенного диапазона ячеек.

Помогла ли вам эта статья?

lumpics.ru

Округление числа в Excel — Excel

Примечание: Мы стараемся как можно оперативнее обеспечивать вас актуальными справочными материалами на вашем языке. Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Просим вас уделить пару секунд и сообщить, помогла ли она вам, с помощью кнопок внизу страницы. Для удобства также приводим ссылку на оригинал (на английском языке).

Допустим, вы хотите округлить число до ближайшего целого числа, так как десятичные значения несущественны. Вы также можете округлить число до кратных 10, чтобы упростить приблизительную величину. Есть несколько способов округлить число.

Изменение количества знаков после запятой без изменения значения

На листе

1. Выделите ячейки, формат которых требуется изменить.

2. Чтобы после запятой отображалось больше или меньше знаков, на вкладке Главная в группе Число нажмите кнопку Увеличить разрядность или Уменьшить разрядность .

Во встроенном числовом формате

1. На вкладке Главная в группе Число щелкните стрелку рядом со списком числовых форматов и выберите пункт Другие числовые форматы.

2. В списке Категория выберите значение Денежный, Финансовый, Процентный или Экспоненциальный в зависимости от типа данных.

3. В поле Число десятичных знаков введите требуемое число знаков после запятой.

Округление числа вверх

Используйте функцию ОКРУГЛВВЕРХ. В некоторых случаях может потребоваться использовать функции ЧЁТН и НЕЧЁТ для округления вверх до ближайшего четного или нечетного числа.

Округление числа вниз

Используйте функцию ОКРУГЛВНИЗ.

Округление числа до ближайшего значения

Используйте функцию ОКРУГЛ.

Округление числа до ближайшего дробного значения

Используйте функцию ОКРУГЛ.

Округление числа до указанного количества значимых разрядов

Значимые разряды — это разряды, которые влияют на точность числа.

В примерах этого раздела используются функции ОКРУГЛ, ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ. Они показывают способы округления положительных, отрицательных, целых и дробных чисел, но приведенные примеры охватывают лишь небольшую часть возможных ситуаций.

В приведенном ниже списке содержатся общие правила, которые необходимо учитывать при округлении чисел до указанного количества значимых разрядов. Вы можете поэкспериментировать с функциями округления и подставить собственные числа и параметры, чтобы получить число с нужным количеством значимых разрядов.

• Округляемые отрицательные числа прежде всего преобразуются в абсолютные значения (значения без знака «минус»). После округления знак «минус» применяется повторно. Хотя это может показаться нелогичным, именно так выполняется округление. Например, при использовании функции ОКРУГЛВНИЗ для округления числа -889 до двух значимых разрядов результатом является число -880. Сначала -889 преобразуется в абсолютное значение (889). Затем это значение округляется до двух значимых разрядов (880). После этого повторно применяется знак «минус», что дает в результате -880.

• При применении к положительному числу функции ОКРУГЛВНИЗ оно всегда округляется вниз, а при применении функции ОКРУГЛВВЕРХ — вверх.

• Функция ОКРУГЛ округляет дробные числа следующим образом: если дробная часть больше или равна 0,5, число округляется вверх. Если дробная часть меньше 0,5, число округляется вниз.

• Функция ОКРУГЛ округляет целые числа вверх или вниз аналогичным образом, при этом вместо делителя 0,5 используется 5.

• В общем при округлении числа без дробной части (целого числа) необходимо вычесть длину числа из нужного количества значимых разрядов. Например, чтобы округлить 2345678 вниз до 3 значимых разрядов, используется функция ОКРУГЛВНИЗ с параметром -4: = ОКРУГЛВНИЗ(2345678,-4). При этом число округляется до значения 2340000, где часть «234» представляет собой значимые разряды.

Округление числа до заданного кратного

Иногда может потребоваться округлить значение до кратного заданному числу. Например, допустим, что компания поставляет товары в ящиках по 18 единиц. С помощью функции ОКРУГЛТ можно определить, сколько ящиков потребуется для поставки 204 единиц товара. В данном случае ответом является 12, так как число 204 при делении на 18 дает значение 11,333, которое необходимо округлить вверх. В 12-м ящике будет только 6 единиц товара.

Может также потребоваться округлить отрицательное значение до кратного отрицательному или дробное — до кратного дробному. Для этого также можно применять функцию ОКРУГЛТ.

См. также

ОКРУГЛ

ОКРУГЛТ

ОКРУГЛВВЕРХ

ОКРУГЛВНИЗ

ЧЁТ

НЕЧЁТ

support.office.com

округлить до сотых | математика-повторение

Чтобы округлить число до какого-либо разряда – подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой – отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.

Примеры.

Округлить до целых:

1) 12,5;   2) 28,49;   3) 0,672;  4) 547,96;   5) 3,71.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде единиц (целых) и смотрим на цифру, стоящую за ней. Если это цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения, а все цифры после нее отбрасываем. Если же за подчеркнутой цифрой стоит цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на единицу.

1) 12,5≈13;

2) 28,49≈28;

3) 0,672≈1;

4) 547,96≈548;

5) 3,71≈4.

Округлить до десятых:

6) 0, 246;   7) 41,253;   8 ) 3,81;   9) 123,4567;   10) 18,962.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде десятых, а затем поступаем согласно правилу: все стоящие после подчеркнутой цифры отбросим. Если за подчеркнутой цифрой была цифра 0 или 1 или 2 или 3 или 4, то подчеркнутую цифру не изменяем. Если за подчеркнутой цифрой шла цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на 1.

6) 0, 246≈0,2;

7) 41,253≈41,3;

8 ) 3,81≈3,8;

9) 123,4567≈123,5;

10) 18,962≈19,0.  За девяткой стоит шестерка, поэтому, девятку увеличиваем на 1. (9+1=10) нуль пишем, 1 переходит в следующий разряд и будет 19. Просто 19 мы в ответе записать не можем, так как должно быть понятно, что мы округляли до десятых — цифра в разряде десятых должна быть. Поэтому, ответ: 19,0.

Округлить до сотых:

11) 2, 045;   12) 32,093;   13) 0, 7689;   14)  543, 008;  15)  67, 382.

Решение. Подчеркиваем цифру в разряде сотых и, в зависимости от того, какая цифра стоит после подчеркнутой, оставляем подчеркнутую цифру без изменения (если за ней 0, 1, 2, 3 или 4) или  увеличиваем подчеркнутую цифру на 1 (если за ней стоит 5, 6, 7, 8 или 9).

11) 2, 045≈2,05;

12) 32,093≈32,09;

13) 0, 7689≈0,77;

14)  543, 008≈543,01;

15)  67, 382≈67,38.

Важно:  в ответе последней должна стоять цифра в том разряде, до которого вы округляли.

www.mathematics-repetition.com

Округление чисел до десятых онлайн калькулятор — Рейтинг сайтов по тематике

	ОНЛАЙН КАЛЬКУЛЯТОРЫ калькулятор,простой калькулятор,калькулятор систем счисления,сложение чисел calculatori.ru Рейтинг Alexa: #318,222    Google PageRank: 0 из 10    Яндекс ТИЦ: 10	Рейтинг: 24.0
	Системы счисления — Перевод чисел и калькулятор Онлайн-перевод чисел в любую систему счисления, десятичную, двоичную, шестнадцатеричную, калькулятор в любой системе счисления numsys.ru Рейтинг Alexa: #1,731,085    Google PageRank: 0 из 10    Яндекс ТИЦ: 20	Рейтинг: 23.9
	Калькулятор НДС онлайн бесплатно Онлайн сервис расчета ндс от суммы, простой и легкий и быстрый расчет налога и чисел nds-online.ru     Google PageRank: 0 из 10    Яндекс ТИЦ: 0	Рейтинг: 19.0
	Калькулятор онлайн — лучший и бесплатный Калькулятор онлайн для расчетов на работе, дома или учебе. Команды можно вводить как мышкой, так и с цифровой клавиатуры. Калькулятор быстро загружается, работает онлайн. calculator888.ru     Google PageRank: 0 из 10    Яндекс ТИЦ: 150	Рейтинг: 17.1
	Калькулятор | онлайн калькулятор Если надо вычислять на allcalc иду считать. Сайт является сборником онлайн калькуляторов, сфера применения которых очень широка. taxivam.ru calculator, калькулятор, online, on-line, расчет     Google PageRank: 0 из 10    Яндекс ТИЦ: 0	Рейтинг: 17.0
	Магия чисел. Нумерология online. Совместимость по числам. Тайны чисел. Нумерология. Подробный нумерологический гороскопи прогноз online. Совместимость по числам. Тайны чисел. Символизм чисел. Магия чисел. Значимое число. nummagic.info Рейтинг Alexa: #1,103,292    Google PageRank: 1 из 10	Рейтинг: 16.9
	Калькулятор | онлайн калькулятор Если надо вычислять на allcalc иду считать. Сайт является сборником онлайн калькуляторов, сфера применения которых очень широка. allcalc.ru calculator, калькулятор, online, on-line, расчет Рейтинг Alexa: #111,058    Google PageRank: 0 из 10    Яндекс ТИЦ: 240	Рейтинг: 16.6

rankw.ru

Как округлить число до сотых

Чтобы понять, как округлить число до сотых, рассмотрим применение правила округления на конкретных примерах.

Правило округления числа до сотых

Чтобы округлить число до сотых, надо оставить после запятой две цифры, а остальные отбросить.

Если первая отброшенная цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущая цифра  не изменится.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру нужно увеличить на единицу.

Примеры.

Округлить число до сотых:

Чтобы округлить число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а следующую за ними цифру отбрасываем. Поскольку эта цифра — 9, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать две целых семьсот восемьдесят шесть тысячных приближенно равно тридцать две целых семьдесят девять сотых».

Округляя данное число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а третью — отбрасываем. Так как отброшенная цифра — 1, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Шесть целых девятьсот шестьдесят одна тысячная приближенно равно шесть целых девяносто шесть сотых».

При округлении до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Семнадцать целых четыре тысячи тридцать девять десятитысячных приближенно равно семнадцать целых сорок восемь сотых».

Чтобы округлить данное число до сотых, после запятой оставим лишь две цифры, а остальные — отбросим. Первая из отброшенных цифр равна 5, поэтому предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых тысяча двести пятьдесят четыре тысячных приближенно равно нуль целых тринадцать сотых».

При округлении числа до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 7, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читаем: «Пятьсот сорок девять целых, три тысячи семьдесят три десятитысячных приближенно равно пятьсот сорок девять целых, тридцать одна сотая».

И еще пара примеров на округление числа до сотых:

www.for6cl.uznateshe.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Интеграл от е в степени х

Общие сведения

Определение 1

Функция е в степени х — это особый случай показательной функции, где в качестве основания выступает число е, иначе называемое числом Эйлера. Иначе такая функция называется экспоненциальной или экспонентой, записываться она может в нескольких формах: $e^x$=exp(x).

При этом первообразная от такой функции равна тому же самому значению, что и функция. то есть $e^x$.

Понять это можно, найдя табличное значение для этой функции среди производных.

Для функции $y=e^x + c$ производная равна $y’=(e^x + c)’=e^x$.

При рассмотрении интеграла приведённым табличным значением необходимо воспользоваться наоборот, не забыв при этом про необходимость добавления некоторой константы $c$:

$\int e^x = e^x + c\left(1\right)$.

Из формулы $(1)$ для вычисления неопределённого интеграла от экспоненты видно, что также как и для всех остальных неопределённых интегралов, функция $e^x$ имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся между собой константой $c$.

Если же для некоторой функции необходимо найти определённый интеграл, то результат интегрирования будет только один и для функции $e^x$ он будет записываться через формулу Ньютона-Лейбница:

$\int\limits_a^b e^x = e^b — e^a$

Переход от производной $e^x$ к интегралу от $e^x$

Для более полного понимания полезно будет вспомнить, как выводится формула для производной от функции е в степени x.

Для этого осуществим стандартный вывод формулы производной.

Для начала рассмотрим приращение степенной функции:

$\frac{Δy}{Δx}=\frac{a^{x+ Δx} – a^x}{Δx}=a^x \cdot \frac{a^{Δx}-1}{Δx}$.

Теперь рассмотрим предел получившегося выражения при $Δx \to 0$:

$y’(x)=lim_ {Δx \to 0}=a^x \cdot \ln a$

Если $y=e^x$, то предыдущее выражение превращается в $y’(x)=e^x$.

Пример 1

Найдите первообразные сложных функций от икс:

1. $e^{2x-5}$ 2)

2. $e^{\frac{2x}{3}+1}$.

Решение:

1. $\int e^{2x-5}=\frac12 e^{2x-5} + c$;

2. $\int e^{\frac{2x}{3}+1} = \frac32 \cdot e^{\frac{2x}{3}+1} + c$

spravochnick.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = dx/e^x+e^-x (d х делить на e в степени х плюс e в степени минус х)

Решение

  1              
  /              
 |               
 |  /1     -x\   
 |  |-- + E  | dx
 |  | x      |   
 |  \E       /   
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} e^{- x} + \frac{1}{e^{x}}\, dx$$

[LaTeX]

1. Интегрируем почленно:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

         Тогда пусть и подставим :

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

         Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

         Тогда пусть и подставим :

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

         Если сейчас заменить ещё в:

   1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл есть :

      Если сейчас заменить ещё в:

   Результат есть:

2. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                          
  /                          
 |                           
 |  /1     -x\             -1
 |  |-- + E  | dx = 2 - 2*e  
 |  | x      |               
 |  \E       /               
 |                           
/                            
0                            

$$2\,\left({{1}\over{\log E}}-{{1}\over{E\,\log E}}\right)$$

[LaTeX]

[LaTeX]

  /                         
 |                          
 | /1     -x\             -x
 | |-- + E  | dx = C - 2*e  
 | | x      |               
 | \E       /               
 |                          
/                           

$$-{{2}\over{E^{x}\,\log E}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

помогите решить интеграл… интеграл от x*e(3x)*dx т.е e в степени 3x это же табличный интеграл??

Интеграл: S (x * e^3x * dx) Интегрируем по частям. Не надо объяснять, как это? = 1/3 * x * e^3x — S (1/3 * e^3x * dx) = 1/3 * x * e^3x — 1/9 * e^3x = 1/9 * e^3x * (3x — 1)

господи!!! а в каком ты классе или курсе???

ответ 1/3*x*exp(3*x)-1/9*exp(3*x)

Формула интегрирования по частям: int(Fg)dx = fg — int(fG)dx Рекомендую сначала преобразовать начальный интеграл к виду 1/9*int{3x*exp(3x)*d(3x)} = 1/9*int{y*exp(y)*dy}, который берётся легче.

touch.otvet.mail.ru

Как нарисовать чертеж

В наше время, когда компьютерные технологии шагнули далеко вперед, для выполнения чертежей используется множество программ, которые не только значительно упрощают работу, но и позволяют выполнять рисунки с большой точностью. Однако, невзирая на это, многим учащимся все еще приходится выполнять работу вручную на бумаге. Именно поэтому у большинства студентов, которым впервые дают такое задание, возникает вопрос: как нарисовать чертеж? Конечно, рассказать в одной статье все, чему в ВУЗах учат на протяжении нескольких лет, невозможно, однако мы постараемся рассказать вам об основных принципах создания и оформления чертежей.

Основные принципы оформления чертежей

В любом случае, прежде чем приступить к работе, вам необходимо выбрать подходящую бумагу. И дело тут вовсе не в качестве листа, а в его формате. Подобрать необходимый размер очень просто: для этого, необходимо определиться с масштабом (увеличенным или уменьшенным), размером рамки. В результате вы получаете значение, исходя из которого и вычисляется размер листа. После этого можно приступать непосредственно к оформлению чертежа.

1. Начертите рамку. Она должна отступать от края листа 20 миллиметров слева и по 5 миллиметров с остальных сторон. Это необходимо для того, чтобы в будущем ваш чертеж можно было подшить в специальный альбом.
2. Основная надпись, которая содержит сведения о чертеже (название изделия, масштаб, материал, из которого оно выполнено), о его исполнителе, а также о проверяющем. Стоит отметить, что на листах формата А4 эта надпись располагается вдоль короткой стороны, а на остальных — в нижнем правом углу.
3. Шрифты. Обращаем ваше внимание на то, что при оформлении чертежей используются особые шрифты, даже если рисунок выполнялся от руки, и все надписи и обозначения наносились вручную. Согласитесь, чертеж — это серьезный документ, и вряд ли вашему проверяющему захочется тратить свое время на разбор вашего почерка.
4. Поле чертежа необходимо заполнять равномерно. Иными словами, даже если вы слегка ошиблись с масштабом и выбрали лист большего размера, то рисунок необходимо располагать строго по центру страницы.

Хитрости и приемы

Готовый чертеж даже самой простой детали выглядит впечатляюще. Множество различных линий, толстых и тонких, штриховых и пунктирных и даже волнистых помогают специалистам разобраться в том, как должна выглядеть деталь. Тем не менее, даже профессионалы не используют все эти линии, начиная работу. Первый секрет кроется в том, что изначально рисунок выполняется тонкой сплошной линией с минимальным нажатием. Это нужно для того, чтобы в случае ошибки Вы всегда могли исправить неточность. После того, как сделан набросок, все ненужные линии необходимо стереть и при этом постараться оставить бумагу максимально чистой, без грязи и потертостей. И только на завершающем этапе можно начинать обводить ваш чертеж.

Второй секрет заключается в том, что обводка проводится в строгом порядке. Так, для начала необходимо обвести все окружности и дуги, после этого — горизонтальные линии, причем начинают работу сверху, а затем — вертикальные, работая слева-направо. И в самом конце обводятся наклонные линии. Такой порядок необходим для того, чтобы в процессе обводки вы не зацепили рукой свежепроведенную линию и не запачкали рисунок.

Чертеж из интернета или на заказ

Если даже после всех советов, вопрос «как нарисовать чертеж?» для вас не утратил своей актуальности, или же у вас просто не хватает времени на выполнение работы, выход из ситуации всегда есть. Вы можете потратить несколько часов на то, чтобы найти необходимое изображение в интернете, однако даже если вам это удастся, то на перенос готового изображения на бумагу уйдет не один час, и при этом риск допустить ошибку достаточно велик. Если же вы рассчитываете на хорошую оценку, тогда лучше всего обратиться к специалистам нашей компании. Наши сотрудники имеют большой опыт в выполнении чертежей различного уровня сложности по всевозможным специальностям. Обращаясь к нам, вы можете быть уверенны в том, что работа будет выполнена не только качественно, но и оперативно.

spravochnick.ru

Как чертить чертежи?

Для того, чтобы выполнить даже самый простой чертеж на бумаге, крайне важно соблюдать установленные нормы и требования, касающиеся чертежей, делать рисунки в установленных масштабах, с использованием определенного чертежного шрифта.

Первое, с чего стоит начать, это с оформления специальной чертежной рамки. Для нее стоит сделать отступы по 5 миллиметров сверху, снизу и справа, и 20 миллиметров слева для удобного подшивания готового чертежа.

В правом нижнем углу листа располагается основная надпись, для нее расчерчивают специальную таблицу высотой 55 миллиметров и 185 миллиметров в ширину. Основная таблица в обязательном порядке заполняется шрифтом по ГОСТ 2.304-81.

Перед тем, как приступить к работам, необходимо подготовить инструменты, среди которых:

— карандаши разной твердости;
— мерительная линейка;
— угольники;
— готовальню;
— стирательную резинку;
— прочие инструменты.

Бумага выбирается подходящего формата, обратите внимание на то, что от качества бумаги зависит качество нанесенного на нее чертежа. Приобрести подходящие листы можно в любом канцелярском магазине.

Прежде чем приступать к черчению, стоит обучиться написанию цифр и букв по ГОСТу. Желательно потренироваться на отдельном листе, где предварительно стоит начертить специальную вспомогательную сетку. Со временем у вас выработается глазомер, и чертежные буквы будут одинаковыми.

В требования ГОСТа указано, что чертежный шрифт, как буквы, так и цифры, должен быть наклонен на 75 градусов.

Самыми распространенными ошибками при выполнении чертежного шрифта принято считать:

— буквы не соответствуют размерам, указанным в ГОСТе;
— все буквы разного размера и «прыгают» в строке;
— у букв разный наклон.

Чтобы научиться правильному написанию чертежного шрифта, первое время можно с помощью циркуля проводить две линии по высоте букв. Так шрифт будет ровным и буквы не будут разной высоты.

Новичкам рекомендуется выбирать чертить линии оптимальной шириной от 0,8 до 1 миллиметра. Обратите внимание на то, что рамка и основная надпись в чертежном рисунке должны быть сделаны непрерывной толстой линией. Тонкая сплошная линия поможет сделать изображение сечения детали, а также сделать выносные размеры.

В черчении используются и другие линии:
— сплошная неровная линия – предназначена для обозначения линии разграничения на рисунке. Часто проводится в случае, когда деталь слишком объемная и ее нет смысла помещать целиком;
— штриховка – обозначаются невидимые линии;
— штриховка с пунктиром – обозначение центра детали либо оси.

Все основные линии на рисунке выполняются толщиной до 0,3 миллиметров на формате до А1, при этом толщина штриховки подбирается в соответствии с размерами детали. При выполнении процедуры проекционного черчения чаще всего допускаются следующие ошибки и неточности:
— неправильная штриховка деталей;
— в аксонометрических проекциях неправильно строится изображение круговых и элипсовидных деталей;
— неправильно выбирается секущая площадь детали, в связи с чем не удается рассмотреть все особенности детали.

Изображаемый предмет располагают таким образом, чтобы все его грани соответствовали шести плоскостям проекций. При этом вид спереди (фронтальная плоскость) является основным изображением.

Лучше всего расположить деталь к наблюдателю таким образом, чтобы создавалось полное представление о размерах, форме и других характеристиках изображаемого изделия.

Обычно на чертежах деталь схематически разрезают, это делается для того, чтобы понять строение детали изнутри. Это дает полное представление о разрезах, выемках и прочих особенностях, которые не видно на фронтальной плоскости.

Желательно первоначально выполнять изображение тонкими линиями, которые будет легко убрать. Толстыми линиями чертеж лучше обвести на последнем этапе.

Отблагодари меня, поделись ссылкой с друзьями в социальных сетях:

uchieto.ru

Как начертить чертеж на компьютере

КОМПАС-3D – это программа, позволяющая начертить чертеж любой сложности на компьютере. Из этой статьи вы узнаете, как быстро и качественно выполнить чертеж в этой программе.

Скачать КОМПАС-3D

Скачивание и установка КОМПАС-3D

Для того, чтобы скачать приложение, вам необходимо заполнить форму на сайте.

После ее заполнения на указанный e-mail придет письмо со ссылкой для скачивания. После завершения скачки запустите установочный файл. Следуйте инструкции установки.

После установки запустите приложение с помощью ярлыка на рабочем столе или в меню «Пуск».

Как начертить чертеж на компьютере с помощью КОМПАС-3D

Экран приветствия выглядит следующим образом.

Выберите пункты Файл>Создать в верхнем меню. Затем выберите «Фрагмент» в качестве формата для чертежа.

Теперь можно приступить к самому черчению. Для того, чтобы было проще чертить в КОМПАСЕ 3D, следует включить отображение сетки. Делается это нажатием соответствующей кнопки.

Если нужно изменить шаг сетки, то кликните по раскрывающемуся списку около той же кнопки и выберите пункт «Настроить параметры».

Все инструменты доступны в меню слева, либо в верхнем меню по пути: Инструменты>Геометрия.

Для отключения инструмента просто кликните по его иконке еще раз. Для включения/отключения привязки при рисовании отведена отдельная кнопка на верхней панели.

Выберите необходимый инструмент и начните рисовать.

Вы сможете отредактировать нарисованный элемент, выделив его и кликнув правой клавишей мыши. После этого нужно выбрать пункт «Свойства».

Изменяя параметры в окне справа, вы сможете менять расположение и начертание элемента.

Выполните чертеж, используя доступные в программе инструменты.

После того, как вы начертите требуемый чертеж, необходимо будет добавить к нему выноски с размерами и пометками. Для указания размеров воспользуйтесь инструментами пункта «Размеры», нажав соответствующую кнопку.

Выберите необходимый инструмент (линейный, диаметральный или радиальный размер) и добавьте его на чертеж, указав точки измерения.

Для изменения параметров выноски выделите ее, после в окне параметров справа выберите необходимые значения.

Аналогичным образом добавляется выноска с текстом. Только для нее отведено отдельное меню, которое открывается кнопкой «Обозначения». Здесь находятся линии-выноски, а также простое добавление текста.

Завершающим шагом является добавление таблицы-спецификации к чертежу. Для этого в этом же наборе инструментов воспользуйтесь инструментом «Таблица».

Соединив несколько таблиц разного размера, вы сможете создать полноценную таблицу со спецификацией к чертежу. Ячейки таблицы заполняются по двойному клику мыши.

В итоге у вас получится полноценный чертеж.

Читайте также: Лучшие программы для черчения

Теперь вы знаете, как можно чертить в КОМПАСЕ 3D.

Помогла ли вам эта статья?

lumpics.ru

Эскиз и технический рисунок детали

Эскиз и технический рисунок детали

Подробности

Категория: Инженерная графика

 

 

Эскизом называется конструкторский документ, выполненный от руки, без применения чертежных инструментов, без точного соблюдения масштаба, но с обязательным соблюдением пропорций элементов деталей. Эскиз является временным чертежом и предназначен для разового использования.

Эскиз должен быть оформлен аккуратно с соблюдением проекционных связей и всех правил и условностей, установленных стандартами ЕСКД.

Эскиз может служить документом для изготовления детали или для выполнения ее рабочего чертежа. В связи с этим эскиз детали должен содержать все сведения о ее форме, размерах, шероховатости поверхностей, материале. На эскизе помещают и другие сведения, оформляемые в виде графического или текстового материала (технические требования и т. П.).

Выполнение эскизов (эскизирование) производится на листах любой бумаги стандартного формата. В учебных условиях рекомендуется применять писчую бумагу в клетку.

Процесс эскизирования можно условно разбить на отдельные этапы, которые тесно связаны друг с другом. На рис. 367 показано поэтапное эскизирование детали «опора».

 

I. Ознакомление с деталью

При ознакомлении определяется форма детали (рис. 368, а и б)и ее основных элементов (рис. 368, в), на которые мысленно можно расчленить деталь. Повозможности выясняется назначение детали и составляется общее представление о материале, обработке и шероховатости отдельных поверхностей, о технологии изготовления детали, о ее покрытиях и т. п.

II. Выбор главного вида и других необходимых изображений

Главный вид следует выбирать так, чтобы он давал наиболее полное представление о форме и размерах детали, а также облегчал пользование эскизом при ее изготовлении.

Существует значительное количество деталей, ограниченных поверхностями вращения: валы, втулки, гильзы, колеса, диски, фланцы и т. п. При изготовлении таких деталей (или заготовок) в основном применяется обработка на токарных или аналогичных станках (карусельных, шлифовальных).

Изображения этих деталей на чертежах располагают так, чтобы на главном виде ось детали была параллельна основной надписи. Такое расположение главного вида облегчит пользование чертежом при изготовлении по нему детали.

По возможности следует ограничить количество линий невидимого контура, которые снижают наглядность изображений. Поэтому следует уделять особое внимание применению разрезов и сечений.

Необходимые изображения следует выбирать и выполнять в соответствии с правилами и рекомендациями ГОСТ 2.305—68.

На рис. 368, а и б даны варианты расположения детали и стрелками показано направление проецирования, в результате которого может быть получен главный вид. Следует отдать предпочтение положению детали на рис. 368, б. В этом случае на виде слева будут видны контуры большинства элементов детали, а сам главный вид даст наиболее ясное представление о ее форме.

В данном случае достаточно трех изображений, чтобы представить форму детали: главный вид, вид сверху и вид слева. На месте главного вида следует выполнить фронтальный разрез.

III.    Выбор формата листа

Формат листа выбирается по ГОСТ 2.301—68 в зависимости от того, какую величину должны иметь изображения, выбранные при выполнении этапа II. Величина и масштаб изображений должны позволять четко отразить все элементы и нанести необходимые размеры и условные обозначения.

IV.    Подготовка листа

Вначале следует ограничить выбранный лист внешней рамкой и внутри нее провести рамку чертежа заданного формата. Расстояние между этими рамками должно составлять 5 мм, а слева оставляется поле шириной 20 мм для подшивки листа. Затем наносится контур рамки основной надписи.

V.    Компоновка изображений на листе

Выбрав глазомерный масштаб изображений, устанавливают на глаз соотношение габаритных размеров детали. В данном случае, если высоту детали принять за А у то ширина детали В^А, а ее длина С«2Л (см. рис. 367, а и 368, б). После этого на эскизе наносят тонкими линиями прямоугольники с габаритными размерами детали (см. рис. 367, а). Прямоугольники располагают так, чтобы расстояния между ними и краями рамки были достаточными для нанесения размерных линий и условных знаков, а также для размещения технических требований.

Осуществление компоновки изображений можно облегчить применением прямоугольников, вырезанных из бумаги или картона и имеющих стороны, соответствующие габаритным размерам детали. Перемещая эти прямоугольники по полю чертежа, выбирают наиболее удачное расположение изображений.

VI.    Нанесение изображений элементов детали

Внутри полученных прямоугольников наносят тонкими линиями изображения элементов детали (см. рис. 367, б). При этом необходимо соблюдать пропорции их

размеров и обеспечивать проекционную связь всех изображений, проводя соответствующие осевые и центровые линии.

VII.    Оформление видов, разрезов и сечений

Далее на всех видах (см. рис. 367, в) уточняют подробности, не учтенные при выполнении этапа VI (например, скругления, фаски), и удаляют вспомогательные линии построения. В соответствии с ГОСТ 2.305—68 оформляют разрезы и сечения, затем наносят графическое обозначение материала (штриховка сечений) по ГОСТ 2.306—68 и производят обводку изображений соответствующими линиями по ГОСТ 2.303—68.

VIII.    Нанесение размерных линий и условных знаков

Размерные линии и условные знаки, определяющие характер поверхности (диаметр, радиус, квадрат, конусность, уклон, тип резьбы и т. п.), наносят по ГОСТ 2.307—68 (см. рис. 367, в). Одновременно намечают шероховатость отдельных поверхностей детали и наносят условные знаки, определяющие шероховатость.

IX.    Нанесение размерных чисел

При помощи измерительных инструментов определяют размеры элементов и наносят размерные числа на эскизе. Если у детали имеется резьба, то необходимо определить ее параметры и указать на эскизе соответствующее обозначение резьбы (см. рис. 367, г).

X.    Окончательное оформление эскиза

При окончательном оформлении заполняется основная надпись. В случае необходимости приводятся сведения о предельных отклонениях размеров, формы и расположения поверхностей; составляются технические требования и выполняются пояснительные надписи (см. рис. 368, г). Затем производится окончательная проверка выполненного эскиза и вносятся необходимые уточнения и исправления.

Выполняя эскиз детали с натуры, следует критически относиться к форме и расположению отдельных ее элементов. Так, например, дефекты литья (неравномерность толщин стенок, смещение центров отверстий, неровные края, асимметрия частей детали, необоснованные приливы и т. п.) не должны отражаться на эскизе. Стандартизованные элементы детали (проточки, фаски, глубина сверления под резьбу, скругления и т. п.) должны иметь оформление и размеры, предусмотренные соответствующими стандартами.

forkettle.ru

Как нарисовать чертеж — Все Сдал

Одним из наиболее тяжелых заданий для студентов является грамотное оформление чертежа. Чтобы начертить правильный чертёж, студенту необходима максимальная сосредоточенность и концентрация внимания на выполнении задания. Чертеж обязательно отображает предметы с точными размерами, в определенном масштабе. При этом необходима полная детализация предмета. Поэтому начертательная геометрия и инженерная графика это один из сложных предметов в ВУЗах. При выполнении чертежа недопустимы ошибки или даже незначительные помарки.

Выполнение чертежа необходимо делать в соответствии со стандартами

• Чертежи необходимо выполнять на листах определенного формата (размера).
• Формат листа определяется размерами внешней рамки чертежа, выполненной тонкой линией.
• Необходимо соблюдение масштаба — это отношение линейных размеров изображения предмета на чертеже к действительным размерам этого предмета.
• Обязательно установка начертания, толщины линий согласно ГОСТ 2.303 – 68*. Так толщина сплошной основной линии S  должна быть в пределах от 0,5 до 1,4 мм в зависимости от величины и сложности изображения, а также от формата чертежа.
•  Толщина линий одного и того же типа должна быть одинакова для всех изображений на данном чертеже, вычерчиваемых в одинаковом масштабе.
• Основная надпись чертежа располагается в правом нижнем углу конструкторских документов. На листах формата А4 основную надпись располагают вдоль короткой стороны листа, на листах формата А3 и более допускается располагать основную надпись как вдоль длинной, так и вдоль короткой стороны листа.

Программы для черчения на компьютере

В современном обучении возможно использование компьютерных программ. Они позволяют быстро создать цифровые схемы, планы или чертёж. С их помощью можно создать цифровую трёхмерную или двухмерную  модель. Наиболее важное свойство данных программ является возможность менять и редактировать любые элементы чертежа. В современных программах можно изобразить разные части чертежа в зависимости от уровня. Все программы для черчения обладают всеми возможностями создать чертёж быстро и качественно и подготовить его к выводу на печать.

Наиболее популярные программы для черчения

Среди профессионалов наиболее популярной является программа Autodesk. Лучший вариант для 2D черчения.

КОМПАС-3D российская программа, аналогична AutoCAD. Наиболее функциональна и насыщена различными инструментами и дополнительными функциями. Она подойдет как профессионалам, так и новичкам. Программу можно использовать для черчения электрических схем, для черчения домов и других сложных объектов.

FreeCAD – бесплатная программа для черчения. Это главное преимущество, т.к. ее функциональность уступает другим программам. FreeCAD отличный вариант для новичков и студентов.

ABViewer – подходит для профессионалов, для изображения мебели и различных схем. Вы сможете нарисовать любой чертеж, добавить выноски и спецификацию.

Исходя из всего вышесказанного  черчение чертежей на бумаге с помощью карандаша, линеек и циркуля практически ушло в прошлое.

Смотреть видео «Форматы чертежей»

vsesdal.com

ЧЕРТИМ ПЛАН КАРАНДАШОМ — The wave of decor

В эру компьютерных технологий предлагать рисовать план своего дома от руки карандашом – смелый шаг. Но выяснился один факт – «думать с карандашом в руках» полезно. Лучшая тренировка для мозга. Поэтому, если стоит задача – нарисовать дом мечты, садимся за стол и чертим план карандашом.

Ничего зазорного, нет в том, что план будет нарисован от руки, а не в крутом Автокад. Важен результат. Какая разница как ты его получишь? Есть знакомые архитекторы, которые до сих пор чертят проекты полностью от руки. Там такие масштабы и такое творчество, что можно завидовать.Если тебе не под силу познать азы компьютерной грамотности, если нет времени на изучение сложной программы по проектированию, если родные дети сказали : «мама нам некогда», то настал момент нарисовать план дома самостоятельно! Лучшие умы математики и черчения со школьной поры будут завидовать, поверьте.

Что предстоит сделать?

1. Пройти подготовительный этап перед тем как рисовать план
2. Начертить итоговый план

инструменты Оксаны Пантелеевой

---

План – это чертёж, изображающий на плоскости в определенном заданном масштабе проекцию дома или квартиры с нанесенными элементами: стены, проемы, коммуникации и все необходимое в зависимости от задачи.

---

Этап 1. Подготовительный “Чертим план карандашом”

Шаг 1. Делаем обмер комнаты/квартиры/всего дома. Сложная задача, но если прочитать статью о том «Как сделать правильно обмер, без ошибок и с удовольствием», то результат будет радовать 100 процентов. А результат вашего обмера – красивый обмерный план. Вот он сто процентов от руки карандашом будет нарисован.

обмерный план проекта студии

Обмерный план покажет:

• реальную площадь комнаты, дома или квартиры
• реальные размеры пространства
• все недостатки и достоинства

Список невелик, но супер вместительный в себя по информации.

На обмерном плане должно быть обязательно:

• Все размеры по периметру ваших стен и границ квартиры/дома.
• Все высоты: стен, потолков, проемов окон и дверей, ниш, коньков крыши и тд.
• Все выступы и углубления.
• Указать конструктивные особенности дома – несущие стены, колонны, балки и тд.
• Указать все коммуникации, что находятся на момент обмера. Газ, свет, вода. Все!

Совет: сфотографируйте все пространство подробно и видео снимите. Они очень упростят работа над черчением итогового плана, помогут вспомнить детали важные.

После работы над обмером у вас будут десятки листочков с пометками разной важности. Это основа будущего красивого профессионального плана.

Шаг 2. Ищем в запасаниках план БТИ своего дома или квартиры, или план застройщика. Эти планы необходимы, чтобы знать какие стены в квартире/доме несущие. Где проходят границы мокрой зоны, чтобы случайно кухню над спальней соседа не нарисовать.

Подробно о том, что такое план БТИ и чем он отличается от строительного плана для ремонта читаем в статье: «План БТИ. Зачем он нужен».

Шаг 3. Прочитать законы о перепланировке конкретно в вашем регионе. Попросить консультацию у профессионала. Все делаем не только красиво, но и правильно, законно.

---

Подойти к черчению плана надо серьезно и уделить достаточно времени. пусть вас никто не отвлекает. Предупредите заранее домашних о сложной и важной работе. Приготовьте чашку крепкого чая или кофе, бокал вина, побольше конфет самых вкусных и начинайте рисовать план дома мечты. Сейчас потребуются внимательность и терпение.

---

О том как чертить план на компьютере, с помощью специальных программ читаем тут:

ЧЕРТИМ ПЛАН НА КОМПЬЮТЕРЕ

Этап 2. Чертим план от руки.

Давайте вместе с Эммой начертим план однокомнатной квартиры в масштабе 1:50 .

Обмеры заранее тщательно выполнены и выглядят так:

• чистый лист бумаги (желательно А3 формата).
• масштабную линейку.
• карандаш
• стирательную резинку
• угольник (для черчения прямых углов)
• бокал вина для настроения

КАК ЧЕРТИТЬ ПЛАН КАРАНДАШОМ:

Сначала рисую квадрат 6,1*5,5 м (6100*5500 мм). Два основных размера по периметру квартиры – длина и ширина. Сверяюсь с обмером. Беру в руки масштабную линейку и начинаю работать.

иллюстрация: Оксана Пантелеева

Как пользоваться масштабной линейкой:

• Масштаб на линейке выбираю 1:50 (нахожу шкалу нужную и слежу, чтобы случайно не перевернуть линейку во время работы).
• Отмеряю на листе расстояния 0- 5,5 и 0-6,1.

Чтобы стены выглядели как стены отступаю от линии первого периметра на 1-2 см и черчу еще один внешний периметр – этот шаг обязателен. Так я получу красивый профессиональный план квартиры.

МАСШТАБ. ЧТО ЭТО ТАКОЕ И КАК С НИМ РАБОТАТЬ

---

НА ПЛАНЕ ДОЛЖНО БЫТЬ ОТМЕЧЕНО ОБЯЗАТЕЛЬНО:

1. Все несущие стены и элементы (например, несущие колонны).
2. Все существующие ненесущие стены (их можно отметить пунктирной линией)
3. Существующие оконные и дверные проемы
4. Выводы воды и канализации
5. Воздуховоды
6. Дымоходы
7. Пунктирными линиями обозначаем границы мокрых и нежилых зон, предусмотренные застройщиком (это важно для планировки).
8. Отмечаем или отдельно выписываем рядом с планом все необходимые высоты
9. Желательно отметить стороны света
10. Отдельно пишем все важные примечания

---

После черчения стен, отмечаю окна, дверные проемы, сан/узел, ненесущую стену. Штрихую стены карандашом, чтобы показать их правильно. Где проемы окон и дверей заштриховывать не надо.

Можно закрасить маркером, акварелью, лишь бы вы понимали, что стена на чертеже у вас похожа на стену.

Теперь подписываю все размеры и примечания. Отметила все высоты. Направление севера и юга. План готов для дальнейшей работы: можно расставлять мебель, сантехнику, рисовать планы полов и потолка.

Если вы не можете найти масштабную линейку в  магазинах (хотя в такое сейчас не поверю), то вспоминаем старый способ, известный со школьной скамьи.

Берете миллиметровую бумагу или просто тетрадь в клеточку. Каждой клеточке присваиваете удобное количество сантиметров/метров и чертите план.

иллюстратор : Оксана Пантелеева

Получилось? Не может не получиться. Хотя с первого раза можно испортить не один лист тетрадный. Поэтому очень часто можно встретить планы архитекторов на кальке. Удобно вносить исправления.

Если говорить о профессиональном подходе, то в России существуют ГОСТ, которым заданы строгие рамки оформления чертежей. В стандарте прописаны толщина линий, и специальные обозначения, и рамки.

by Oxana Panteleeva

Но когда мы делаем чертеж для себя, то вовсе необязательно изучать ГОСТ и следовать указаниям.

Однако, я хочу обратить ваше внимание на  «красоту плана». Если просто постараться начертить план аккуратно, без помарок, то в итоге получится красота и повод для гордости, который не стыдно повесить на стену в доме мечты как самый настоящий арт объект, в рамке с паспарту.

---

Совет:  купите механические карандаши с выдвижным грифелем толщиной 0,5-1 мм. Во-первых не надо будет постоянно точить карандаш, а во-вторых линия будет всегда ровная и красивая.

---

фото: Оксана Пантелеева

Что делать если обмерочные размеры не сошлись при черчении финального плана. У этой проблемы есть две причины:

• вы неправильно сделали обмеры
• стены кривые

Если первую проблему можно исправить тем, что сделать новую работу по обмерам (а такое в моей практике очень и очень часто встречается, что надо тридцать раз перепроверить все), то вторую проблему не решите сейчас никак.

Ваш чертеж будет чуть-чуть трапециевидным – не страшно!

Зато вы сразу поймете, где какие косяки строительные вам придется исправлять. Может нарастить стену, или сделать нишу (о шкафах в нишах читаем ТУТ)  или придумать что-то еще правильное.

В зависимости от задачи, ищется самый оптимальный способ решения. Сегодня нет таких проблем, которые не в состоянии решить здравомыслящий человек и хороший прораб.

---

Покажу красивый план архитектора Казакова, когда не было компьютеров и специальных программ. Это как пример, к чему стремиться никогда не поздно.

Чертеж из альбома М. Ф. Казакова

Совет: если вы чертили план на бумаге, то оставьте его чистым (не рисуйте ничего сверху больше), а сделайте сразу несколько копий, с которыми дальше станете работать.

---

Резюме: для того чтобы начертить план вашего дома необходимо найти свободное время, сосредоточиться и очень внимательно проделать работу.

Помним: план – это основа всей работы по созданию дома мечты.

Рисуем план карандашом или на компьютере помним, что результат работы – залог успешной планировки. А от грамотного планировочного решения начинается будущий интерьер мечты. В котором все комфортно, логично и красиво.

Желаю вам самого красивого дома мечты!

Удачи в ремонте!

Блог «На волне декора» — некоммерческий проект и создается только силами автора. Если вы по достоинству оценили статью и она вам понравилась — я буду признательна за небольшую материальную поддержку, которая сейчас ОСТРО необходима блогу. Спасибо!

СохранитьСохранить

СохранитьСохранить

СохранитьСохранить

СохранитьСохранить

www.thewaveofdecor.ru

Лучшие простые программы для черчения на компьютере

Если Вам нужна простая программа для черчения, то Вы попали по адресу. Мы составили список из пяти самых простых образцов ПО, которыми пользуются люди, занимающиеся 2D и 3D моделированием.

Выбирали мы их по одному простому критерию – простоте использования. Чтобы понять, действительно ли та или иная программа является легкой в использовании, мы запустили ее самостоятельно, а также прочитали множество отзывов с самых разных сайтов.

Какая из них самая простая, пусть каждый выберет сам. Но у всех из них есть свои преимущества и недостатки.

Содержание:

1. SketchUp
2. NanoCAD
3. A9CAD
4. ABViewer
5. FreeCAD

 

1. SketchUp

Это программа от корпорации Google с интерфейсом на русском языке. В ней есть все самое необходимое чтобы начать работу в мире моделирования – стандартный набор инструментов, простейший интерфейс (никаких скрытых меню и непонятных функций), а также подробная справка.

Что касается последнего, то помимо обычного для любой хорошей программы списка типичных вопросов и ответов, в SketchUp есть также набор видеоуроков. 

С их помощью каждый сможет увидеть, как работать с программой, где и какие инструменты у нее находятся, что нужно чтобы их использовать и так далее. Главное, что все это наглядно, а не просто в виде текста.

Также в видеоуроках пользователь сможет увидеть, как работают настоящие профессионалы в данной области. В общем, для новичков здесь есть все что нужно!

Вот еще несколько особенностей SketchUp:

• Есть собственный форум, поэтому все вопросы, ответов на которые нет в справочном центре (хотя это маловероятно), можно задать там. Ответ дадут реальные люди – такие же пользователи или эксперты Google.
• Существует набор расширений для увеличения функционала. Благодаря таковому можно сделать из ПО для черчения, которым пользуются новички, в настоящий профессиональный набор инструментов.
• Огромная библиотека собственных объектов, которые есть в свободном доступе. 

 

Рис. №1. SketchUp

В общем, SketchUp – это лучшая программа, чтобы начать чертить! Да, в ней нет такого богатого функционала, зато все просто и понятно. После SketchUp можно переходить на что-то более сложное.

Ссылка на скачивание 

2. NanoCAD

Существует тяжеловес в области ПО для черчения и называется он КОМПАС-3D. Им пользуется подавляющее большинство людей, занимающихся моделированием. Эта программа позволяет рисовать как 3D объекты, так и схемы, например, электрические принципиальные.

Так вот, NanoCAD – это сильно обрезанная версия КОМПАС-3D. Если кто-то работал с КОМПАСом, то интерфейс этой программы ему покажется очень знакомым.

Здесь есть те же объекты, те же инструменты, те же настройки. Только специализированных инструментов и возможностей для тонкой настройки нет.

Если же Вы никогда не имели дело с какими-либо программами для черчения, то советуем Вам начать знакомство с удивительным миром моделирования со SketchUp, затем перейти на NanoCAD, а потом уже и на КОМПАС-3D. 

Вот несколько особенностей NanoCAD:

• Стандартные настройки объектов – координаты вершин, толщина и тип линий, ширина, длина и другие параметры размеров и тому подобное. Тонкой настройки, как мы говорили выше, здесь нет.
• Возможность настроить интерфейс под себя. Как и в КОМПАСе, в NanoCAD легко можно убрать или добавить какую-то панель инструментов.
• Интерфейс также на русском языке. Программа полностью бесплатная.

 

Рис. №2. NanoCAD

Многие советуют начинать работать с чертежами именно в NanoCAD, так как это отличная и бесплатная альтернатива КОМПАСу.

Ссылка на скачивание 

3. A9CAD

Еще один прекрасный набор инструментов, который многие специалисты советуют начинающим.

Конечно, A9CAD не настолько прост как SketchUp, но все же за несколько дней его вполне можно освоить и начать делать несложные чертежи.

Данная программа работает только с форматами DWG и DXF, причем файлы должны быть созданы тоже в A9CAD. Если они будут сделаны в том же КОМПАСе, то здесь их не откроешь. По крайней мере, это будет весьма затруднительно. 

Имеется вполне стандартный набор инструментов. Конечно, опытным юзерам или тем, кто хочет научиться чертить профессионально, этого не хватит.

Здесь есть инструменты для рисования окружности, дуги, линии, квадрата/прямоугольника и кривой, а также для нанесения точек. Ниже есть кнопка для нанесения текста и изменения цвета.

Конечно, измерить расстояние, копировать фигуру и выполнять подобные действия здесь тоже можно. А вот выполнять настройку самих объектов уже не получится.

Другие особенности A9CAD такие:

• Есть возможность напечатать полученный чертеж.
• Программа полностью бесплатная, но интерфейс английский.
• Дополнительных функций и модулей расширения здесь нет и не будет. 

 

Рис. №3. A9CAD

Ссылка на скачивание 

4. ABViewer

Преимущество ABViewer состоит в том, что интерфейс здесь выполнен в духе программ от Microsoft. Имеется в виду офисный пакет, то есть Word, PowerPoint, Excel и так далее. Некоторые даже думают, что ABViewer – это тоже часть офисного ПО от создателей Windows.

Все основные элементы собраны вверху. Они поделены на определенные категории.

К примеру, если раскрыть блок «Рисование», можно будет увидеть инструмент для нанесения той же прямой или кривой линии, прямоугольника, окружности и других фигур. Есть также блок «Текст», который дает возможность добавить на чертеж текст в формате WordArt или в одном из обычных шрифтов.

Что касается непосредственно черчения, то этот процесс здесь проходит максимально просто и гладко. Есть минимальные возможности для настройки объектов.

Так пользователь может вручную ввести координаты X, Y, длину, угол и отслеживание. С этим все очень хорошо, но, опять же, только для начинающих юзеров.

Еще несколько особенностей ABViewer:

• Есть широкие возможности для работы с разными форматами. Чертежи можно даже конвертировать из одного формата в другой.
• Набор инструментов экспертами оценивается как средний, то есть его хватит полупрофессиональным специалистам, а тем более новичкам.
• Русский интерфейс. Программа платная, но есть пробный период в 45 дней. За это время программу вполне можно освоить целиком и перейти на что-то более сложное. 

 

Рис. №4. ABViewer

Ссылка на скачивание 

5. FreeCAD

И еще одна максимально простая в использовании программа с большими и яркими инструментами (имеется в виду изображения инструментов в окне FreeCAD).

По функционалу FreeCAD очень похож на AutoCAD, еще один гигант в мире моделирования и черчения. При этом множество функций и тех же инструментов взяты именно от AutoCAD. Поэтому Вы вполне можете использовать FreeCAD в своей работе, хорошенько его освоить, а потом уже переходить на AutoCAD или даже на КОМПАС.

Возможность работать в 3D здесь отсутствует. Зато 2D чертежи получаются отменными. После создания их можно открывать в любой другой подобной программе.

Можно вводить вручную координаты каждого объекта, его длина и угол. Интересно, что кроме координат X и Y,здесь также можно ввести и Z.

Другие интересные моменты в работе FreeCAD таике:

• Хорошо проработана работа с макросами, то есть небольшими подпрограммами, которые выполняют одни и те же действия.
• Огромное количество форматов для чтения и сохранения чертежей.
• Интерфейс не на русском языке, зато программа тоже бесплатная.

 

Рис. №5. FreeCAD

Ссылка на скачивание

Если Вы знаете еще более простые программы для черчения, пишите о них в комментариях. А ниже Вы можете видеть один из уроков по работе в самой простом наборе инструментов для моделирования, SketchUp.

best-mobile.com.ua

cos (3 / 2 Пи)

Существует несколько вариантов вычисления значения выражения cos (3 / 2 Пи).

Первый вариант. Использование таблицы тригонометрических функций
Этот вариант самый легкий и простой и заключается в том, что в таблице нужно найти соответствующие значения.

Существует много разновидностей таблицы, в некоторых из них аргументы представлены только в виде радиан, в других — в градусах, а некоторые содержат значения и радиан, и градусов.
Иногда все же полезно перевести значение угла в градусы, чтобы легче воспринять значение косинуса. Но не запрещается использовать таблицу с градусами и радианами )).
Из таблицы определим значение косинуса от 3 Пи / 2 — это 0.
Математическая запись:

Второй вариант. Тригонометрическая окружность.
Удобный вариант, если недоступна таблица тригонометрических функций. Здесь значение тригонометрической функции можно определить с помощью тригонометрической окружности.

На тригонометрической окружности (или круге) на оси абсцисс расположены значения функции косинус.
Согласно заданию аргумент функции равен 3 Пи / 2. На окружности это значение находится на оси ординат в самом низу. Чтобы вычислить значение заданной функции нужно опустить перпендикуляр на ось Ох, после чего получим значение 0. Таким образом, косинус от 3 Пи / 2 равен 0.

Третий вариант. Использование графика косинуса.
Если нет таблицы, а по тригонометрической окружности ориентироваться сложно, то полезно использовать график косинуса, по которому также можно определить значение.

ru.solverbook.com

cos 2pi

cos 2pi найдем несколькими способами.

1-й способ.
Используем таблицу значений четырех основных тригонометрических функций.

Найдем угол радиан и найдем пересечение этого столбца со строкой косинуса. Получим, что равен единице:

2-й способ.
Используем тригонометрический круг (или окружность).

С помощью его можно также находить значения основных четырех функций от основных углов.
Например, значения функции косинус лежат на оси абсцисс. Найдем число на окружности, оно совпадет с числом 0. Если спроецировать эту точку на ось абсцисс (а точка принадлежит оси), то получим 1. Следовательно, косинус от равен 1.

3-й способ.
Используем график функции — косинусоиду.

На оси Ох найдем точку, которая соответствует . Проведем прямую, перпендикулярную к оси Ох до пересечения с кривой графика. Из полученной точки также проведем прямую, но уже перпендикулярную к оси Оу. Точка, в которой прямая пересечет ось ординат и будет значением функции от выбранного угла. Полученное значение также равно 1.
Можно, конечно, использовать еще более простые способы, такие как посчитать результат на калькуляторе или посмотреть нужное значение в таблицах Брадиса.

ru.solverbook.com

Как посчитать косинус 23 пи на 2??? Помогите!!!

Пришлите лучше мне свое задание на: [email protected] Я Вам объясню.

По формулам приведения.

там 0 в любом случае.

cos(23π/2)=cos(24π/2 -π/2)=cos(2·6π -π/2)=cos(-π/2)=-cos(π/2)=0

touch.otvet.mail.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла дают возможность выразить тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) угла ` 2\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.

Содержание статьи:

Перечень всех формул двойного угла

Записанный ниже список — это основные формулы двойного угла, которые наиболее часто используются в тригонометрии. Для косинуса их есть три, они все равносильны и одинаково важны.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac{2 \ tg \ \alpha}{1-tg^2 \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2 \ ctg \ \alpha}`

Следующие тождества выражают все тригонометрические функции угла ` 2\alpha` через функции тангенс и котангенс угла `\alpha`.

`sin \ 2\alpha=` `\frac {2 \ tg \ \alpha}{1+tg^2 \alpha}=\frac {2 \ ctg \ \alpha}{1+ctg^2 \alpha}=` `\frac 2{tg \ \alpha+ctg \ \alpha}`
`cos \ 2\alpha=` `\frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}=\frac{ctg^2\alpha-1}{ctg^2\alpha+1}=` `\frac{ctg \ \alpha-tg \ \alpha}{ctg \ \alpha+tg \ \alpha}`
`tg \ 2\alpha=` `\frac{2 \ ctg \ \alpha}{ctg^2 \alpha-1}=` `\frac 2{ \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac { \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}2`

Формулы для косинуса и синуса двойного угла выполняются для любого угла `\alpha`. Формулы для тангенса двойного угла справедливы для тех `\alpha`, при которых определен `tg \ 2\alpha`, то  есть при ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \in Z`. Аналогично, для котангенса они имеют место для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \ 2\alpha`, то  есть при ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.

Доказательство формул двойного угла

Все формулы двойного угла выводятся из формул сумы и разности углов тригонометрических функций.

Возьмем две формулы, для сумы углов синуса и косинуса:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` и `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Возьмем `\beta=\alpha`, тогда `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, аналогично `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, что и доказывает формулы двойного угла для синуса и косинуса.

Два другие равенства для косинуса ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` сводятся к уже доказанному, если в них заменить 1 на `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`.  Так `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` и `2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

Чтобы доказать формулы тангенса двойного угла и котангенса, воспользуемся определением этих функций. Запишем `tg \ 2\alpha` и `ctg \ 2\alpha` в виде `tg \ 2\alpha=\frac {sin \ 2\alpha}{cos \ 2\alpha}` и `ctg \ 2\alpha=\frac {cos \ 2\alpha}{sin \ 2\alpha}`. Применив уже доказанные формулы двойного угла для синуса и косинуса, получим `tg \ 2\alpha=\frac {sin \ 2\alpha}{cos \ 2\alpha}=\frac {2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}` и `ctg \ 2\alpha=\frac {cos \ 2\alpha}{sin \ 2\alpha}=` `\frac {cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}`.

В случае с тангенсом разделим числитель и знаменатель конечной дроби на `cos^2 \alpha`, для котангенса в свою очередь — на `sin^2 \alpha`.

`tg \ 2\alpha=\frac {sin \ 2\alpha}{cos \ 2\alpha}=\frac {2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}=` `\frac {\frac{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{cos^2 \alpha}}{\frac{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}=` `\frac {2 \cdot \frac{ sin \alpha }{cos \alpha}}{1-\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}=\frac{2 \ tg \ \alpha}{1-tg^2 \alpha}`.

`ctg \ 2\alpha=\frac {cos \ 2\alpha}{sin \ 2\alpha}=` `\frac {cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}=` `\frac {\frac{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha}}{\frac{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{sin^2 \alpha}}=` `\frac {\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}-1}{2 \cdot \frac{cos \alpha}{ sin \alpha }}=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2 \ ctg \ \alpha}`.

Предлагаем еще посмотреть видео, чтобы лучше закрепить теоретический материал:

Примеры использования формул при решении задач

Формулы двойного угла в большинстве случаев используются для преобразование тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые из случаем, как можно на практике применять их при решений конкретных задач.

Пример 1. Проверить справедливость тождеств двойного угла для `\alpha=30^\circ`.

Решение. В наших формулах используется два угла `\alpha` и `2\alpha`. Значение первого угла задано в условии, второго соответственно будет `2\alpha=60^\circ`. Также нам известны числовые значения для всех тригонометрических функций этих углов. Запишем их:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`,  `cos 30^\circ=\frac {\sqrt 3}2`, `tg  30^\circ=\frac {\sqrt 3}3`, `ctg  30^\circ=\sqrt 3` и

`sin 60^\circ=\frac {\sqrt 3}2`,  `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg  60^\circ=\sqrt 3`, `ctg  60^\circ=\frac {\sqrt 3}3`.

Тогда будем иметь

`sin 60^\circ=2  sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac {\sqrt 3}2=\frac {\sqrt 3}2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac {\sqrt 3}2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

`tg 60^\circ=\frac{2  tg 30^\circ}{1-tg^2 30^\circ}=` `\frac{2  \cdot \frac {\sqrt 3}3}{1-(\frac {\sqrt 3}3)^2}=\sqrt 3`,

`ctg  60^\circ=\frac{ctg^2 30^\circ-1}{2 \ ctg 30^\circ}=` `\frac{(\sqrt 3)^2-1}{2 \cdot \sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}3`.

Что и доказывает справедливость равенств для заданного в условии угла.

Пример 2. Выразить `sin \frac {2\alpha}3` через тригонометрические функции угла `\frac {\alpha}6`.

Решение. Запишем угол синуса следующим образом ` \frac {2\alpha}3=4 \cdot \frac {\alpha}6`.  Тогда, применив два раза формулы двойного угла, мы сможем решить нашу задачу.

Вначале воспользуемся равенством синуса двойного угла: ` sin\frac {2\alpha}3=2 \cdot sin\frac {\alpha}3 \cdot cos\frac {\alpha}3 `, теперь снова применим наши формулы для синуса и косинуса соответственно. В результате получим:

` sin\frac {2\alpha}3=2 \cdot sin\frac {\alpha}3 \cdot cos\frac {\alpha}3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac {\alpha}6 \cdot cos\frac {\alpha}6) \cdot (cos^2\frac {\alpha}6-sin^2\frac {\alpha}6)=` `4 \cdot sin\frac {\alpha}6 \cdot cos^3 \frac {\alpha}6-4 \cdot sin^3\frac {\alpha}6 \cdot cos \frac {\alpha}6`.

Ответ. ` sin\frac {2\alpha}3=` `4 \cdot sin\frac {\alpha}6 \cdot cos^3 \frac {\alpha}6-4 \cdot sin^3\frac {\alpha}6 \cdot cos \frac {\alpha}6`.

Формулы тройного угла

Эти формулы, аналогично к предыдущим, дают возможность выразить функции угла ` 3\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac{3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha}{1-3 \ tg^2 \alpha}`
`ctg \ 3\alpha=\frac{ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha}{3 \ ctg^2 \alpha-1}`

Доказать их можно, используя равенства сумы и разности углов, а также хорошо известные нам формулы двойного угла.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

Заменим в полученной формуле `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` на `1-sin^2\alpha` и получим `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`.

Также и для косинуса тройного угла:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

Заменив в конечном равенстве `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` на `1-cos^2\alpha`, получим `cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`.

С помощью доказанных тождеств для синуса и косинуса можно доказать для тангенса и котангенса:

`tg \ 3\alpha=\frac {sin \ 3\alpha}{cos \ 3\alpha}=` `\frac {3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}{cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}=` `\frac {\frac{3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}{cos^3 \alpha}}{\frac{cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}{cos^3 \alpha}}=` `\frac {3 \cdot \frac{ sin \alpha }{cos \alpha}-\frac{ sin^3 \alpha }{cos^3 \alpha}}{1-3\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}=` `\frac{3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha}{1-3tg^2 \alpha}`;

`ctg \ 3\alpha=\frac {cos \ 3\alpha}{sin \ 3\alpha}=` `\frac {cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}{3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}=` `\frac {\frac{cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}{sin^3 \alpha}}{\frac{3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}{sin^3 \alpha}}=` `\frac {\frac{ cos^3 \alpha }{sin^3 \alpha}-3 \cdot \frac{cos \alpha}{ sin \alpha }}{3\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}-1}=` `ctg \ 3\alpha=\frac{ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha}{3 \ ctg^2 \alpha-1}`.

Для доказательства формул угла ` 4\alpha` можно представить его как ` 2 \cdot 2\alpha` и примерить два раза формулы двойного угла.

Для вывода аналогичных равенств для угла ` 5\alpha` можно записать его, как ` 3\alpha + 2\alpha` и применить тождества суммы и разности углов и двойного и тройного угла.

Аналогично выводятся все формулы для других кратных углов, то нужны они на практике крайне редко.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Косинус двойного угла

В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем вызубрить. Косинус двойного угла — замечательная формула! Она позволяет получить формулы понижения степени и формулы половинного угла.

Итак, нам нужны косинус двойного угла и тригонометрическая единица:

Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их сумма. Если из тригонометрической единицы выразить косинус:

и подставить его в косинус двойного угла, то получим:

Это — еще одна формула косинуса двойного угла:

Эта формула — ключ к получению формулы понижения степени:

Итак, формула понижения степени синуса:

Если в ней угол альфа заменить на половинный угол альфа пополам, а двойной угол два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:

Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:

Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:

Получили еще одну формулу косинуса двойного угла:  

Эта формула — ключ к нахождению формулы понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.

Таким образом, формула понижения степени косинуса:

Если в ней заменить α на α/2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:

Так как тангенс — отношение синуса к косинусу то формула  для тангенса:

Котангенс — отношение косинуса к синусу. Поэтому формула для котангенса:

Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы половинного угла или понижения степени нет смысла каждый раз выводить. Гораздо проще перед собой положить листик с формулами. И упрощение продвинется быстрее, и зрительная память включится на запоминание.

Но несколько раз вывести эти формулы все же стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены в том, что на экзамене, когда нет возможности воспользоваться шпаргалкой, вы без труда их получите, если возникнет необходимость.

www.uznateshe.ru

Косинус двойного угла

Косинус двойного угла cos2α=cos2α−sin2α

В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем вызубрить. Косинус двойного угла — замечательная формула! Она позволяет получить формулы понижения степени и формулы половинного угла.

Итак, нам нужны косинус двойного угла и тригонометрическая единица:

    \[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha — {\sin ^2}\alpha \]

    \[{\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\]

Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их сумма. Если из тригонометрической единицы выразить косинус:

    \[{\cos ^2}\alpha = 1 — {\sin ^2}\alpha \]

и подставить его в косинус двойного угла, то получим:

    \[\cos 2\alpha = 1 — {\sin ^2}\alpha — {\sin ^2}\alpha = 1 — 2{\sin ^2}\alpha \]

Это — еще одна формула косинуса двойного угла:

    \[\cos 2\alpha = 1 — 2{\sin ^2}\alpha \]

Эта формула — ключ к получению формулы понижения степени:

    \[2{\sin ^2}\alpha = 1 — \cos 2\alpha , \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 — \cos 2\alpha }}{2}\]

Итак, формула понижения степени синуса:

    \[{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 — \cos 2\alpha }}{2}\]

Если в ней угол альфа заменить на половинный угол альфа пополам, а двойной угол два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:

    \[{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 — \cos \alpha }}{2}\]

Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:

    \[{\sin ^2}\alpha = 1 — {\cos ^2}\alpha \]

Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:

    \[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha — (1 — {\cos ^2}\alpha ) = {\cos ^2}\alpha — 1 + {\cos ^2}\alpha = \]

    \[ = 2{\cos ^2}\alpha — 1\]

Получили еще одну формулу косинуса двойного угла:  

    \[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha — 1\]

Эта формула — ключ к нахождению формулы понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.

    \[2{\cos ^2}\alpha = 1 + \cos 2\alpha , \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]

Таким образом, формула понижения степени косинуса:

    \[{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]

Если в ней заменить α на α/2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:

    \[{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{2}\]

Так как тангенс — отношение синуса к косинусу то формула  для тангенса:

    \[t{g^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 — \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\]

Котангенс — отношение косинуса к синусу. Поэтому формула для котангенса:

    \[ct{g^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{1 — \cos \alpha }}\]

Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы половинного угла или понижения степени нет смысла каждый раз выводить. Гораздо проще перед собой положить листик с формулами. И упрощение продвинется быстрее, и зрительная память включится на запоминание.

Но несколько раз вывести эти формулы все же стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены в том, что на экзамене, когда нет возможности воспользоваться шпаргалкой, вы без труда их получите, если возникнет необходимость.

Источник

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

тригонометрические уравнения и формула двойного угла

15 января 2014

Очень часто в задачах C1 из ЕГЭ по математике ученикам предлагают решить тригонометрическое уравнение, содержащее формулу двойного угла.

Сегодня мы вновь будем разбирать задачу С1 и, в частности, разберем довольно нестандартный пример, который одновременно вместил в себе и формулу двойного угла, и даже однородное уравнение. Итак:

Решите уравнение. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

sinx+sin2x2−cos2x2,x∈[−2 π ;− π 2]

\sin x+\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}-\frac{{{\cos }^{2}}x}{2},x\in \left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]

Полезные формулы для решения

Прежде всего, хотел бы напомнить, что все задания С1 решаются по одной и той же схеме. В первую очередь, исходную конструкцию нужно преобразовать в выражении, в котором содержится синус, косинус или тангенс:

sinx=a

\sin x=a

cosx=a

\cos x=a

tgx=a

tgx=a

Именно в этом состоит основная сложность задания С1. Дело в том, что для каждого конкретного выражения требуются свои выкладки, с помощью которых можно перейти от исходника к таким простейшим конструкциям. В нашем случае это формула двойного угла. Давайте я запишу ее:

cos2x=cos2x−sin2x

\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x

Однако в нашем задании нет cos2x{{\cos }^{2}}x или sin2x{{\sin }^{2}}x, зато естьsin2x2\frac{{{\sin }^{2}}x}{2} и cos2x2\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}.

Решаем задачу

Что же делать с этими выкладками? Давайте мы немножко схитрим, и в наши формулы синуса и косинуса двойного угла введем новую переменную:

x=t2

x=\frac{t}{2}

Мы запишем такую конструкцию с синусом и косинусом:

cos2⋅t2=cos2t2−sin2t2

\cos 2\cdot \frac{t}{2}=\frac{{{\cos }^{2}}t}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}t}{2}

Или другими словами:

cost=cos2t2−sin2t2

\cos t=\frac{{{\cos }^{2}}t}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}t}{2}

Возвращаемся к нашему исходному заданию. Давайте sin2x2\frac{{{\sin }^{2}}x}{2} перенесем вправо:

sinx=cos2x2−sin2x2

\sin x=\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}

Справа стоит именно те самые выкладки, которые мы только что записали. Давайте мы преобразуем их:

sinx=cosx

\sin x=\cos x

А теперь внимание: перед нами однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Смотрите, у нас нет никаких слагаемых, состоящих просто из чисел и просто из xx, у нас есть только синус и косинус. Также у нас нет квадратных тригонометрических функций, все функции идут в первой степени. Как решаются такие конструкции? В первую очередь, давайте предположим, что cosx=0\cos x=0.

Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:

sin2x+cos2x=1

{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1

sin2x+0=1

{{\sin }^{2}}x+0=1

sinx=±1

\sin x=\pm 1

Если эти числа, 0 и ±1, мы подставим в исходную конструкцию, то получим следующее:

±1 = 0

\pm 1\text{ }=\text{ }0

Мы получили полный бред. Следовательно, наше предположение, что cosx=0\cos x=0 неверно, cosx\cos x не может быть равен 0 в данном выражении. А если cosx\cos x не равен 0, то давайте разделим обе стороны на cosx\cos x:

sinxcosx=1

\frac{\sin x}{\cos x}=1

sinxcosx=tgx

\frac{\sin x}{\cos x}=tgx

tgx=1

tgx=1

И вот мы получили долгожданное простейшее выражение вида tgx=atgx=a. Прекрасно, решаем его. Это табличное значение:

x= π 4+ π n,n˜∈Z

x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n˜\in Z

Мы нашли корень, мы решили первую часть задачи, т. е. честно заработали один первичный балл из двух.

Переходим ко второй части: найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку, а, точнее, отрезку

[\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]\]. Предлагаю, как и в прошлый раз решать это выражение графически, т. е. нарисовать окружность, отметить в ней начало, т. е. 0, а также концы отрезка: 

На отрезке

−2 π ;−π2

-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\pi }{2} нужно найти все значения, которые принадлежат

 π 4+ π n

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n. А теперь самое веселое: дело в том, что сама точка  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} не принадлежит отрезку

[−2 π ;− π 2],

\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right], это очевидно:

 π 4∉˜[−2 π ;−  π 2]

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\notin ˜\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\text{ }\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]

Уже хотя бы потому, что оба конца этого отрезка отрицательные, а число  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} положительное, но с другой стороны, какие-то значения вида

 π 4+ π n

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n все-таки принадлежат нашему отрезку. Так как же их выделить? Очень просто: берем конец отрезка

−2 π 

-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } и прибавляем  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} , т. е. все происходит то же самое, как если бы мы начали отчет не от 0, а от −2 π -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }, и у нас найдется первая точка:

x=−2 π + π 4=−7 π 4

x=-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}

Теперь второе число:

x=−2 π + π 4+ π =−3 π 4

x=-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}

Это и есть второе значение. Других корней нет, потому что мы сами при их разметке и при отметке нашего отрезка ограничения обнаружили, что внутри этого отрезка лежат лишь два вида —  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} и  π 4+ π \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }. Эти точки мы и наши. Выписываем ответ:

−7 π 4;−3 π 4

-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}

За такое решение вы получите два первичных балла из двух возможных.

Что нужно помнить для правильного решения

Еще раз ключевые шаги, которые необходимо выполнить. В первую очередь, нужно знать выкладки двойного угла синуса или косинуса, в частности, именно в нашей задаче, косинус двойного угла. Кроме того, после его применения необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение. Решается оно довольно просто, однако необходимо написать и проверить, что cosx\cos x в нашей конструкции не равен 0. После тригонометрического уравнения мы получаем элементарное выражение, в нашем случае это tgx=1tgx=1, которое легко решается по стандартным формулам, известным еще с 9-10 класса. Таким образом, мы решим пример и получим ответ на первую часть задания — множество всех корней. В нашем случае это

 π 4+ π n,n∈Z

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in ˜Z. Затем остается лишь отобрать корни, принадлежащие отрезку

[−2 π ;− π 2]

\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]. Для этого мы снова чертим тригонометрический круг, отмечаем на нем наши корни и наш отрезок, а затем отсчитываем от конца то самое  π 4\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} и  π 4+ π \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }, которые получились во время отметки всех корней вида  π 4+ π n\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n. После несложного счета мы получили два конкретных корня, а, именно,

−7 π 4

-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} и

−3 π 4

-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}, которые являются ответом ко второй части задачи, т. е. корнями, принадлежащими отрезку

[−2 π ;− π 2]

\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right].

Ключевые моменты

Чтобы без проблем справиться с задачами C1 такого типа, запомните две основные формулы:

1. Синус двойного угла:

   sin2 α =2sin α cos α 

   \sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=2\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } — эта формула для синусов всегда работает именно в таком виде;

2. Косинус двойного угла: cos2 α =cos2 α −sin2 α \cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ =}co{{s}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-si{{n}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } — а вот тут возможны варианты.

С первой все понятно. Но что за варианты возможны во втором случае? Дело в том, что косинус двойного угла можно записать по-разному:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α 

\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=2\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-1=1-2\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }

Эти равенства следуют из основного тригонометрического тождества. Ну и какое равенство выбрать при решении конкретного примера C1? Все просто: если вы планируете свести конструкцию к синусам, то выбирайте последнее разложение, в котором присутствует только

sin2 α 

\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }. И наоборот, если хотите свести все выражение к работе с косинусами, выбирайте второй вариант — тот, где косинус является единственной тригонометрической функцией.

Смотрите также:

1. Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 1 вариант
2. Задача C1: тригонометрические уравнения с ограничением
3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 7 (без производных)
5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
6. Вебинар по задачам С1: тригонометрия

www.berdov.com

Косинус двойного угла

См. также:

В процессе решения задач с преобразованием тригонометрических функций бывает необходимо преобразовать значение двойного угла в выражение, в котором все члены имеют аргумент с одинарным его значением. Например, косинус два альфа необходимо преобразовать в выражение, в котором аргументом тригонометрической функции является альфа (одинарный угол). Ниже приведены тригонометрические преобразования косинуса с двойным аргументом функции.

Формулы косинуса двойного угла

Далее приведены формулы (тождества) для преобразования косинуса двойного угла.

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Зачем это нужно.

Если представить выражение cos 120 как косинус двойного угла

cos 120º = cos (2 * 60º)

оказывается, можно получить и точное значение для этого угла, применяя указанные выше формулы.

cos 120º = cos (2 * 60º) 

cos 120º = 2 cos² 60º — 1
Мы привели косинус угла, значение которого мы «не знаем», к значению, которое нам известно.
Поскольку значение cos 60 = 1/2 , то вычислим полученное выражение:
2 cos² 60º — 1 = 2 (1/2)²  — 1 = 2 х 1/4 — 1 = -1/2

таким образом

cos 120º = -1/2

По аналогии, применяя формулы косинуса двойного угла, мы можем как решать тригонометрические уравнения, так и находить значения двойных углов тригонометрических функций на основании уже известных нам значений.

См. также:

 Тригонометрические формулы понижения степени sin cos tg | Описание курса | Многоугольники 

   

profmeter.com.ua

Основные тригонометрические тождества, формулы приведения, сложения, двойного угла, суммы и разности, половинного аргумента, тангенс половинного аргумента. Тест

Тестирование онлайн

Основные тригонометрические тождества

Четность, нечетность тригонометрических функций

Косинус является четной функцией; синус, тангенс, котангенс — нечетные.

Формулы приведения

Это соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов и др., выражаются через значения .

Правила преобразования:
1) Если аргумент содержит , где n — нечетное натуральное число , то функция меняется на «конфункцию», т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если n — четное натуральное число , то название функции не изменяется.
2) Определяем знак («+» или «-«) значения первоначальной функции. Преобразованное выражение сохраняет знак своего родителя.

Формулы сложения и вычитания

Формулы двойного угла

Формулы преобразования суммы и разности в произведение

Формулы половинного аргумента

Формулы тройного угла*

Формулы преобразования произведения в сумму (разность)*

Универсальная подстановка через тангенс половинного аргумента*

fizmat.by

как вычислить двойной угол синуса :: SYL.ru

Тригонометрия – один из разделов математики, в центре изучения которого находятся углы и взаимосвязи между ними. Основы науки закладываются в школьные годы, когда вводятся определения функций угла. В дальнейшем полученная база используется при освоении астрономии, приборостроения, архитектуры и других областей знаний. Как и любая точная наука, тригонометрия не обходится без формул. Практическое применение нашли выражения для определения двойного аргумента. Например, прибегая к соответствующему уравнению, легко можно узнать двойной угол синуса.

Тригонометрическое выражение для расчёта

Выражение просто записывается и запоминается: синус двойного угла вычисляется как двукратное произведение синуса и косинуса одинарного аргумента.

Эта формула выводится на основе выражения синуса суммы углов (Q₁ + Q₂):

sin(Q₁ + Q₂) = sin Q₁ * cos Q₁ + sin Q₂ * cos Q₂.

Полагая, что заданные углы равны друг другу, формула записывается в привычной форме.

Использовать выражение можно при любых значениях аргумента функции. Вычислить двойной угол синуса по ней достаточно просто, убедиться в этом помогут примеры ниже.

Пример использования

Вот несколько иллюстраций применения полученной формулы. Пусть требуется рассчитать значение тригонометрической функции синуса угла равного 60 градусам. Соответствующий одинарный угол составит 30 градусов. Поскольку величины синуса и косинуса угла в 30 градусов известны, двойной угол синуса составит sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Формула используется не только для вычисления «вручную», найти значения по ней можно и с помощью математических пакетов или таблиц MS Excel.

Несмотря на простоту тригонометрического тождества, оно вызывает затруднения у выпускников школы. Именно на это рассчитывают разработчики заданий ЕГЭ, предлагая тесты на проверку основных формул. Вывод – формулу, чтобы подсчитать двойной угол синуса, нужно знать наизусть!

www.syl.ru

Математический справочник / math5school.ru

В настоящем справочнике дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры, начал анализа и геометрии. Цель справочника – оказать помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Здесь вы найдёте материалы всех основных разделов школьного курса математики: математические понятия, определения, аксиомы, теоремы, свойства, различные следствия и т.д.

Доказательств теорем и иных утверждений в большинстве случаев нет – их можно найти в тех учебных пособиях, по которым вы учитесь или учились; те же редкие доказательства, которые приведены, даются потому, что либо их нет в школьных учебных пособиях, либо они служат образцами тех или иных важных рассуждений.

В справочнике весь материал, относящийся к тому или иному понятию, помещен компактно, в одном разделе (в школьных пособиях это не всегда так). Это поможет вам быстро получить всю необходимую информацию об интересующем вас понятии.

В некоторых пунктах справочника дан дополнительный материал, не входящий в программу курса математики средней школы, – этот материал расширит ваши представления о некоторых известных вам понятиях.

Справочник поможет вам:

• найти нужную информацию о том или ином понятии, о той или иной теореме из школьного курса математики;
• повторить соответствующий материал при подготовке к уроку, к контрольной работе, к экзамену или аттестации;
• вспомнить, как решаются типовые задачи и примеры школьного курса математики;
• систематизировать и даже углубить свои знания по отдельным темам школьной математики;
• подготовиться к тестированию или собеседованию по математике при поступлении в вуз, техникум и другие учебные заведения.

Разделы справочника

Обозначения и сокращения

Таблицы чисел

Арифметика

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Таблицы значений тригонометрических функций

Предел и непрерывность функции

Производная

Первообразная и интегралы

Элементы комбинаторики

Теория вероятностей

Элементы статистики

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники

Тела вращения

Декартова система координат

math4school.ru

Справочник по Математике 📝 словарь от А до Я

Математика как учебная дисциплина изучается в средней школе и делится на арифметику, элементарную алгебру, элементарную геометрию, которая в свою очередь разделяется на планиметрию и стереометрию, и теорию элементарных функций и элементов анализа. Чаще всего математика в вузе делится на математический анализ, алгебру, аналитическую геометрию, линейную алгебру и геометрию, математическую логику, теорию вероятностей, математическую статистику, дифференциальный анализ, топологию, функциональный анализ, теорию функций комплексной переменной, методы математической физики, теорию случайных процессов, методы оптимизации, численные методы, теорию чисел. Кроме того, в вузе изучается высшая математика, которая делится на ряд дисциплин, варьирующихся в зависимости от специальности. Целью преподавания высшей математики в вузе является ознакомление студентов с математическим аппаратом, который необходим для решения задач теоретической и практической направленности; развитие математической культуры; навыков самостоятельного изучения учебной математической литературы; логического и алгоритмического мышления; навыков использования методов математического исследования. Высшая математика в вузе включает в себя аналитическую геометрию, линейную алгебру, математический и функциональный анализ, основы дифференциального и интегрального исчисления, численные методы, дискретную математику и мн. др. Справочник содержит материалы об определителях 2-го и 3-го порядка, матрицах и операциях над ними, о системах линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и методах их решения, элементах векторной алгебры, основные формулы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, информацию о кривых 2-го порядка, элементах комбинаторики, математической статистике, элементах теории корреляции. Справочник содержит основные сведения по всем перечисленным разделам математики средней школы и вуза и может быть использован изучающими высшую математику и отдельные ее разделы на уровне школы и вуза.

spravochnick.ru

Справочник по математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИКА

Справочник

7-еизд-е,

перераб. и доп.

Казань 2012

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИКА

Справочник

7-еизд-е,

перераб. и доп.

Казань 2012

УДК 517.1

ББК 22.1

Рецензент:

Кандидат технических наук, доцент КГЭУ С.А.Лившиц

Математика: Справочник / Сост.: Ф.Х. Арсланов, С.А. Григорян, Т.А. Григорян, М.П. Желифонов, З.Х. Закирова, Е.В. Липачева, А.С. Никитин, Н.В. Николаева, А.А. Хамзин, А.В. Чугунов. – 7-еиздание, перераб. и доп. – Казань: Казан. гос. энерг.ун-т,2012. – 202 с.

Настоящее издание создано на основе справочного пособия «Математика» (Казань, 2006). Оно содержит таблицы с теоретическим материалом, типовые задачи и методы их решения по темам: «Линейная и векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Векторные функции и комплексные числа», «Неопределенный и определенный интеграл», «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Ряды», «Кратные интегралы», «Криволинейные и поверхностные интегралы», «Теория поля». Кроме того, пособие содержит сведения из элементарной математики.

Третье издание исправлено и дополнено. Предназначено для студентов первого и второго курса.

УДК 517.1 ББК 22.1

© Казанский государственный энергетический университет, 2012

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………………………………………..…………………………..….7

Список обозначений и условных и сокращений……………………………….8

1.Линейная алгебра………….………………………………………………….9

1.Определители…………………………………………………………..9

2.Свойства определителей………………………………………………10

3.Матрицы……………………………………………………………….11

4.Системы линейных уравнений……………………………………….14

5.Линейные пространства и линейные операторы……………………17

6.Квадратичные формы и евклидовы пространства………………….19

Варианты самостоятельной работы по теме «Линейная алгебра»…….23

2.Векторная алгебра…………………………………………….………………..27

7.Вектор на оси, плоскости и в пространстве…………………………27

8.Декартова система координат ……………………………………….28

9.Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат……30

10.Линейные операции над векторами………………………………….31

11.Скалярное произведение векторов…………………………………..32

12.Векторное произведение векторов…………………………………..33

13.Смешанное произведение векторов………………………………….34

Варианты самостоятельной работы по теме «Векторная алгебра»……35

3.Аналитическая геометрия……………………………………………….…39

14.Прямая на плоскости………………………………………………….39

15.Взаимное расположение прямых на плоскости……………………..40

16.Кривые второго порядка………………………………………………41

17.Плоскость………………………………………………………………43

18.Взаимное расположение прямых и плоскостей……………………..44

19.Прямая в пространстве………………………………………………..45

20.Поверхности второго порядка………………………………………..46 Варианты самостоятельной работы по теме

«Аналитическая геометрия»………………………………………………48

4.Введение в математический анализ……………………………………….52

21.Основные числовые множества ……………………………………..52

22.Подмножества множества R (интервалы)……………..…………….52

23.Логические символы………………………………………………….53

24.Определение функции, основные понятия………………………….53

25.Преобразование графиков функций ……………..………………….54

26.Основные свойства функции…………………………………………56

27.Основные элементарные функции……………………………………57

28.Поведение функции на бесконечности………………………………60

29.Поведение функции в точке………………………………………….61

30.Теоремы о пределах……………………………………………………62

31.Таблица эквивалентностей……………………………………………63

32.Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции………64

4

33.Свойства непрерывных функций…………………………………….66

Варианты самостоятельной работы по теме «Пределы»……………….67

5.Производная и дифференциал……………………………….…………….71

34.Производная функции………………………………..………..………71

35.Формулы и правила дифференцирования ……………………………72

36.Формулы и методы дифференцирования некоторых функций……73

37.Дифференциал функции…………………………………………..….74 Варианты самостоятельной работы по теме «Производная и дифференциал»………………………………………….75

6.Применение дифференциального исчисления к исследованию функций, построение графиков………………………………………………80

38.Основные теоремы дифференциального исчисления …………..….80

39.Свойства функции на интервале……………………………………..82

40.Характерные точки функции…………………………………………83

41.Асимптоты графика функции y f x …..…………………………84

42.Исследование функции……………………………………………….85

Варианты самостоятельной работы по теме

«Исследование функций»…………………………………………………86

7.Векторные функции и комплексные числа ……………………….……..91

43.Векторная функция скалярного аргумента………………………….91

44.Касательная и нормальная плоскость к кривой……………………..91

45.Параметрические уравнения линии………………………………….92

46.Производная длины дуги кривой, кривизна кривой………………..93

47.Формы комплексного числа………………………………………….94

48.Значения тригонометрических функций…………………………….94

49.Действия над комплексными числами………………………………95

Варианты самостоятельной работы на тему «Комплексные числа»…..96

8.Неопределенный интеграл…………………………………………………98

50.Определение, свойство линейности и методы интегрирования……98

51.Дифференциалы и неопределенные интегралы…………………….99

52.Интегрирование рациональных дробей……………………………101

53.Интегрирование тригонометрических функций…………………..103

54.Интегрирование иррациональных функций……………………….104

Варианты самостоятельной работы по теме

«Неопределенный интеграл»…………………………………………….106

9.Определенный интеграл…………………………………….……………..109

55.Вычисление определенного интеграла……………………………..109

56.Несобственные интегралы…………………………………………..110

57.Геометрические и физические приложения определенного интеграла……………………………………………………………..112

Варианты самостоятельной работы по теме

«Определенный интеграл»………………………………………….…..115

10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ……………………………………………………………………118

60.Касательная плоскость и нормаль к поверхности…………………119

61.Производная по направлению, градиент……………………………120

62.Экстремумы дифференцируемой функции двух переменных……121 Варианты самостоятельной работы по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»……………………….122

11.Обыкновенные дифференциальные уравнения………………………126

63.Дифференциальные уравнения первого порядка, общие понятия 126

64.Дифференциальные уравнения 1-гопорядка,

методы интегрирования……………………………………………..127

65.Дифференциальные уравнения 1-гопорядка, не разрешенные относительно производной………………………………………….129

66.Дифференциальные уравнения высшего порядка, общие понятия……………………………………………………………….130

67.Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижения порядка………………………………………………….131

68.Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка……..132

69.Линейные однородные уравнения высшего порядка

спостоянными коэффициентами…………………………………..133

70.Линейные неоднородные уравнения высшего порядка

спостоянными коэффициентами…………………………………..134 Варианты самостоятельной работы по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»…………………………………………135

71.Числовые ряды………………………………………………………139

72.Признаки сходимости числовых рядов…………………………….140

73.Функциональные ряды………………………………………………142

74.Степенные ряды………………………………………………………143

75.Основные разложения элементарных функций в ряд Тейлора…..144

76.Тригонометрические ряды Фурье…………………………………..145 Варианты самостоятельной работы по теме «Ряды»………………….146

77.Двойные интегралы………………………………………………….154

78.Приложения двойных интегралов………………………………….155

79.Тройные интегралы………………………………………………….156

80.Приложения тройных интегралов ………………………………….157

81.Криволинейные интегралы………………………………………….166

82.Приложения криволинейных интегралов………………………….168

83.Поверхностные интегралы………………………………………….169

Варианты самостоятельной работы по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы»……………………………………………..171

6

84.Скалярные поля………………………………………………………179

85.Векторные поля………………………………………………………180

86.Дифференциальные операции теории поля………………………..182 Варианты самостоятельной работы по теме «Теория поля»………….183

16. Сведения из элементарной математики…………………………………189

Библиографический список……………………………………………………194

Алфавитный указатель…………………………………………………………195

7

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основная задача, которая стояла перед авторами настоящего пособия, – дать в небольшом по объему справочнике основные сведения по математике, необходимые в учебной практике студентам Казанского государственного энергетического университета.

Справочная информация отобрана в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика» и предназначена для студентов технических и экономических специальностей. Основные теоретические сведения, определения и формулы размещены в таблицах и систематизированы по темам, перечисленным в аннотации. В конце каждой темы приведено по три варианта контрольных заданий. Первый вариант снабжен подробными решениями всех задач, а второй и третий варианты – ответами. Это обстоятельство дает студентам возможность проверить себя при подготовке к зачету или экзамену, а преподавателю – использовать справочник при проведении контрольных практических занятий.

В последнем разделе приведены основные сведения из элементарной математики.

Следует иметь в виду, что это не учебник и не конспект учебника, а справочник, основное назначение которого – дать возможность студенту быстро найти нужное понятие, теорему или формулу с целью использования их при решении практических задач. Для облегчения поиска в конце книги приведен алфавитный указатель основных понятий.

8

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

(цифры в скобках обозначают номер таблицы, в которой данное обозначение встречается впервые)

– для любого (23)– существует (23)

N – множество натуральных чисел (21)Z – множество целых чисел (21)

Q – множество рациональных чисел (21)R – множество действительных чисел (21)Ua – окрестность точки (29)

Ua0 – проколотая окрестность (29)D y – область определений (24)E y – область значений (24)

Г f – график функции (24)

y x a – частное значение функции (24)

x – приращение аргумента (32)y – приращение функции (32)

f a 0 – левосторонний предел (29)f a 0 – правосторонний предел (29)x y –х эквивалентноу (30, 31)

kкас – угловой коэффициент наклона касательной (34)dydx – производная (34)

z – частная производная (58)

x

dy – дифференциал (37) gradu – градиент (61)

sh x – гиперболический синус (27) chx – гиперболический косинус (27) thx – гиперболический тангенс (27)

cth x – гиперболический котангенс (27)

б.м.ф. – бесконечно малая функция (28, 29, 31) б.б.ф. – бесконечно большая функция (28, 29) т. max – точка максимума (40)

т. min – точка минимума (40) т.п. – точка перегиба (40)

i – мнимая единица (47)

9

1. Линейная алгебра

Таблица 1

Определители

Понятие

Определение и вычисление

1. Опреде-

a11

a12

a

a

a

a

литель 2-го

21

a21

a22

11 22

12

порядка

2. Опреде-

a11

a12

a13

литель 3-го

1)

a21

a22

a23

a11a22a33a13a21a32a12a23a31a13a22a31

порядка

a31

a32

a33

a11a23a32a12a21a33,

2)

a11

a12

a13

a

a22

a23

a

a21

a23

a

a21

a22

a

a

a

21

22

23

11

a

a

12

a

a

13

a

a

a31

a32

a33

32

33

31

33

31

32

3. Опреде-

a11

a12

a1n

литель п-го

a21

a22

a2n

= ( 1)d a

порядка

det A =

a

a

,

. . . . . . . . . . . .

1s1

2s2

nsn

an1

an2 ann

где d – количество нарушений в строке (s1,s2, … ,sn)

4. Форму-

1) по строке

det A ai1Ai1 ai2 Ai2

ainAin,

лы разло-

2) по столбцу det A a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ,

жения оп-

studfiles.net

Министерство образования РФ — Справочник по математике

Справочник по математике
скачать (182.1 kb.)

Доступные файлы (1):

содержание

---

Краткий справочник1.doc

Реклама MarketGid:
Министерство образования РФ

Костромской государственный технологический университет

Кафедра высшей математики

Краткий справочник

по математике для специальностей инженерно-технического профиля

Кострома

2002 г

Глава I. Элементы линейной алгебры. 3

§1.1. Определители. 3

§1.2. Матрицы и линейные операции над ними. 3

Глава II. Векторная алгебра. 4

§2.1 Основные понятия. 4

§2.2. Операции над векторами. 4

§ 2.3. Переход к новому базису. 4

^

§ 3.1. Представление комплексных чисел. 4

§ 3.2. Действия над комплексными числами 5

ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 5

^

ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА. 6

ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. 6

§ 7.1. Преобразования графиков функций. 6

§ 7.2. Корень уравнения. 7

^

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 8

ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 9

§ 10.1. Неопределенный интеграл. 9

§ 10.2. Определенный интеграл. 9

§ 10.3. Двойной интеграл. 10

^

ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. 11

§ 12.1. Числовые ряды. 11

§ 12.2. Функциональные ряды. 12

ГЛАВА XIII. Аналитическая геометрия. 12

§ 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости. 12

§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве. 12

^

§ 14.1. Случайные события. 13

§ 14.2. Случайные величины. 13

ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. 14

^
Определение: Матрицей называется таблица чисел, в которой m строк и n столбцов

, где

– элементы матрицы, – номер строки, – номер столбца

Только для квадратных матриц введено понятие определителя.

Теорема: Определитель матрицы или определитель n—го порядка – это число, равное сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения. Например для второй строки:

,

где – алгебраическое дополнение к элементу ;

Определение: Минором элемента называется определитель, получаемый из данного после вычеркивания i—ой строки и j—го столбца.

В частных случаях:

или схематический (метод треугольников):

^

, ,

, справедливо:

^
Если , где ; ; – координаты вектора ,

, , – вектора базиса; то модуль или длина вектора определяется по формуле:

Если вектора и коллинеарны, то

^
Пусть , .

Тогда

1. 
   
   
2. 
   Скалярное произведение векторов и :
   
3. 
   В пространстве последняя формула примет вид: , где , .
   

^
В некотором базисе даны вектора: , , .

Требуется найти координаты вектора в новом базисе, образованном векторами и , т.е. решить векторное уравнение:

, ,

которое сводится к системе линейных уравнений:

^
1. Алгебраическая форма комплексного числа:

, , – мнимая единица,

– действительная часть комплексного числа, обозначается ,

– коэффициент при мнимой части комплексного числа, обозначается .

Каждому комплексному числу соответствует единственная точка плоскости (обратное справедливо).

2. Тригонометрическая форма комплексного числа:

, где

– модуль комплексного числа ,

– аргумент комплексного числа ,

, .

– главное значение аргумента комплексного числа ;

.

Распределение знака по четвертям:

3. Показательная форма комплексного числа:

^

Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу

Степени мнимой единицы:

…

…

…

… ,

В частных случаях:

^

Если каждому элементу множества некоторым способом поставлен в соответствие один элемент множества , то говорят, что задано отображение множества в множество . Записывают:

или

и
изображают с помощью диаграмм Венна:

Пример:

^

& – знак конъюнкции, логического умножения;

 – знак дизъюнкции, логического сложения;

1. 
   , ;
   
2. 
   , ;
   
3. 
   , ;
   
4. 
   , ;
   
5. 
   ;
   
6. 
   , , , ;
   
7. 
   , ;
   
8. 
   
   
9. 
   
   

^

Сочетания: (порядок элементов внутри выборки не важен)

Размещения: (порядок элементов внутри выборки важен)

Перестановки:
^

^
Если уравнение имеет единственный корень при , то уравнение так же имеет корень при .

^

Правила вычисления пределов.

Если и , то

;

;

, при ;

, .

Первый замечательный предел.

.

Следствия: ,

,

,

Второй замечательный предел.

.

Основные неопределенности.

, , , , .

Основные эквивалентные бесконечно малые величины.

, , , , при .

^

Правила дифференцирования.

Если , – дифференцируемые функции,

то

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Формулы дифференцирования:

,

,

,

Следствие: ,

Формула Лапиталя.

Дифференциал функции.

Применение дифференциального исчисления в исследовании функции

1. 
   Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на отрезке , то .
   
2. 
   Если дважды дифференцируемая функция выпукла (вогнута) на отрезке , то .
   

Замечание: 1. Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, полагая, что все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.

2. Градиент функции определяется по формуле:

^

Таблица интегралов.

Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:

, , ,

Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:

, т.е. дробь правильная

^

§ 10.3. Двойной интеграл.

^

Уравнение, содержащее кроме неизвестной функции и её производные называется дифференциальным.

Например: – дифференциальное уравнение 1^го порядка.

– начальное условие.

Функция является частным решением дифференциального уравнения 1^го порядка, если выполняется:

Простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения с разделяющимися переменными:

, где

и

Эти уравнения решаются путем деления на и последующего интегрирования уравнения.

– дифференциальное уравнение 2^го порядка,

; – начальные условия.

Частным случаем дифференциальных уравнений второго порядка являются линейные

неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

Решение уравнений ищется в виде:

, где – общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному,

– частное решение исходного уравнения.

строится в зависимости от корней характеристического уравнения:

Если , то

При ,

При ,

^
Выражение вида:

, где

называется числовым рядом. Если , то ряд называется знакопеременным.

Сумма первых членов ряда называется частичной суммой: .

Ряд называется сходящимся, если существует , в противном случае – расходящимся. Ряды чаще всего исследуются на сходимость с помощью признаков сходимости.

Для знакопеременных рядов наиболее применимы следующие:

1. 
   необходимый признак сходимости ряда:
   

если , то ряд расходится, при – ответ дать нельзя;

2. признак Даламбера:

3. признаки сравнения;

4. признак Коши: Если сходится, то и ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится. Функция строится по формуле – общего члена ряда:

, , … , , …

Замечание: 1. Ряд вида называется гармоническим. При ряд сходится, при – расходится.

2. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при , и расходится, если .

^
Ряд Тейлора для функции :

^
Любая линия на плоскости задается уравнением . Для нахождения точек пересечения её с осью Ох надо решить уравнение , аналогично с осью Оу: . Если какое-либо из уравнений решений не имеет, то точек пересечения с соответствующей осью нет.

Для нахождения точек пересечения двух линий и необходимо решить систему из уравнений, т.е.

Универсальным способом задания прямой на плоскости является общее уравнение прямой на плоскости: , где , одновременно не обращаются в ноль. Для описания не вертикальных прямых часто используется уравнение прямой с угловым коэффициентом: , . Если две прямые заданы уравнениями в этой форме, т.е. и , то они параллельны, если , и перпендикулярны при .

Любое алгебраическое уравнение второй степени относительно и описывает на плоскости кривую второго порядка.

К основным из них относятся:

1. 
   окружность: ,
   
2. 
   эллипс: ,
   
3. 
   гипербола: , или развернутая, когда асимптотами являются оси координат: ,
   
4. 
   парабола: или , .
   

^
Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору :

.

Уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору :

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и , не лежащие на одной прямой:

Уравнения координатных плоскостей:

плоскость XOY ~ ; плоскость XOZ ~ ; плоскость YOZ ~ .

^
Классическое определение вероятности:

Вероятностью события называется отношения числа благоприятных исходов событию к общему числу равновозможных событий, образующих полную группу, т.е.

, при этом очевидно: .

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Теоремы сложения и умножения вероятностей:

– для независимых событий и .

– для зависимых событий и .

– для несовместных событий и .

– для совместных событий и .
^
Полной характеристикой случайной величины является её функция распределения . Для дискретной случайной величины более удобной формой задания является ряд распределения:

– возможные значения случайной величины ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение

В ряде задач бывает достаточно иметь не полную информацию о случайной величине, а только её основные числовые характеристики:

– математическое ожидание; – дисперсия; – среднеквадратическое отклонение.

Формулы для вычисления:

Для непрерывной случайной величины эти характеристики определяются через функцию плотности распределения

;

Для равномерно распределённой случайной величины функция плотности распределения имеет вид:

Для нормально распределённой случайной величины числовые характеристики являются параметрами плотности распределения:

; ,

Для случайной величины распределенной по показательному закону (Пуассона):

; .

Свойства числовых характеристик:

1. , 1. ,

2. 2.

3. 3.

независимы

^

Если над случайной величиной произведено независимых опытов, в результате которых получены значения , то их среднее значение является несмещенной оценкой , т.е. .

Степень связи между двумя случайными величинами по серии из испытаний над каждой оценивают по коэффициенту корреляции:

, где

,

---

Скачать файл (182.1 kb.)

---

gendocs.ru

Справочники по математике

Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Справочник.

Год издания: 1985

Количество страниц: 128

Размер файла: 0,9 Мб

Формат книги:  pdf
Авторы: Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г.
Представлены основные формулы алгебры, геометрии (включая дифференциальную геометрию и векторное исчисление), тригонометрии. Широко представлены формулы и основные понятия и теоремы математического анализа. Приведены таблицы основных интегралов. Для широкого круга специалистов и учащейся молодежи.

Сборник формул по математике

Год издания: 2003

Количество страниц: 160

Размер файла: 760 Kб

Формат книги:  pdf
Серия «Карманный справочник»
В справочнике приведены все необходимые формулы школьного курса математики и высшей математики, изучаемой на первых курсах вузов.

Справочник по элементарной математике
для поступающих в вузы.

Год издания:1972
Количество страниц: 529
Формат книги:  djvu
Размер файла: 5.6 Мб
Автор: П.Ф. Фильчаков

Справочник содержит сведения по арифметике, алгебре и элементарным функциям, в том числе тригонометрическим, планиметрии и стереометрии с указаниями о способах решения примеров и задач различных типов и степеней трудности; приведены исторические справки, список литературы и подробный предметный указатель.
Рассчитан на поступающих в высшие и средние учебные заведения; представляет интерес для преподавателей средних школ и учащихся старших классов.

Математика. Справочные материалы.

Год издания: 1990
Количество страниц: 420
Формат книги: djvu
Размер файла: 4.3 Мб
Автор: В.А.Гусев, А.Г.Мордкович
Разделы: Алгебра и начала анализа, геометрия, приложения (основные формулы и соотношения). Рекомендую, полезно. 

Школьный курс математики. Краткий справочник.

Год издания: 1995
Количество страниц: 48
Формат книги: djvu
Размер файла: 608 кб
Автор: А.Г. Мордкович
В сжатой форме в справочнике представлены все основные определения, теоремы, формулы, правила, свойства математических объектов, которые входят в школьный курс математики. Расположение материала удобно для его практического использования. Справочник будет надежным помощником не только в период обучения, но и при повторении пройденного материала, в процессе подготовки к экзаменам. Для учащихся.

matematikalegko.ru

Краткий справочник по математике — Определение понятий — Общая математика — Каталог статей

(Ф. Хаусдорф.) ‘ quotes[1]='»Математика — это язык, на котором написана книга природы.» (Г. Галилей) ‘ quotes[2]='»Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели.» (А. Маркушевич) ‘ quotes[3]='»Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.» (А.Н. Крылов) ‘ quotes[4]='»Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.» (М.И. Калинин) ‘ quotes[5]='»Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?» (Платон) ‘ quotes[6]='»Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы.» (Д.И. Писарев) ‘ quotes[7]='»Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.» (А.С. Пушкин) ‘ quotes[8]='»Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.» (В. Произволов) ‘ quotes[9]='»В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.» (Н.Е. Жуковский) ‘ quotes[10]='»Химия – правая рука физики, математика – ее глаз.» (М.В. Ломоносов) ‘ quotes[11]='»Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.» (М.В. Ломоносов) ‘ quotes[12]='»Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.» (Н.И. Лобачевский) ‘ quotes[13]='»Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств.» (Л. Эйлер) ‘ quotes[14]='»Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир.» (И. Гете) ‘ quotes[15]='»Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике или свести параллели к схождению…» (В.Ф. Каган) ‘ quotes[16]='»Счет и вычисления — основа порядка в голове.» (Песталоцци) ‘ quotes[17]='»Величие человека — в его способности мыслить.» (Б. Паскаль) ‘ quotes[18]='»Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.» (Д.Пойа) ‘ quotes[19]='»Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.» (Б. Паскаль) ‘ quotes[20]='»В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.» (И. Ньютон) ‘ quotes[21]='»Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым.» (Л. Карно) ‘ quotes[22]='»Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.» (М.В. Остроградский) ‘ quotes[23]='»Математика — это цепь понятий: выпадет одно звенышко — и не понятно будет дальнейшее.» (Н.К. Крупская) ‘ quotes[24]='»Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.» (А.П. Конфорович) ‘ quotes[25]='»Доказательство — это рассуждение, которое убеждает.» (Ю.А. Шиханович) ‘ quotes[26]='»В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.» (И. Кант) ‘ var whichquote= Math.floor(Math.random()*(quotes.length)) document.write(quotes[whichquote])

free-math.ru

Справочник по математике [DOC] — Все для студента

Волгоград, ВолгГТУ; Феофанова Л.Н.; кафедра «Прикладная математика», 164 с.Элементарная математика. Арифметика.
Расширение понятия о числе.
Основные множества чисел и некоторые обозначения.
Действительные числа.
Комплексные числа (формы записи комплексных чисел, алгебраические действия над комплексными числами).
Алгебраические выражения и действия над ними.
Многочлены и их корни.
Квадратный трехчлен.
Теорема Безу и схема Горнера.
Алгебраические дроби.
Разложение на простейшие дроби.
Свойства степеней.
Абсолютная величина действительного числа.
Тригонометрия
Основные отношения и формулы.
Некоторые свойства тригонометрических функций.
Формулы приведения (таблица основных формул приведения).
Значения тригонометрических функций.
Геометрия.
Аналитическая геометрия.
Прямая на плоскости. Плоскость.
Различные виды уравнений.
Взаимное расположение прямых и плоскостей (условия параллельности и перпендикулярности).
Прямая в пространстве.
Различные уравнения прямой в пространстве.
Взаимное расположение прямых в пространстве (условия параллельности и перпендикулярности).
Взаимное расположение прямой и плоскости (условия параллельности и перпендикулярности).
Кривые второго порядка
Эллипс.
Гипербола.
Парабола.
Поверхности второго порядка
Центральные поверхности (эллипсоид, конус, гиперболоид однополостный, гиперболоид двуполостный).
Параболоиды (эллиптический, гиперболический).
Цилиндры (эллиптический, параболический, гиперболический).
Основы векторной алгебры.
Скалярные и векторные величины.
Линейные операции над векторами.
Проекции вектора на ось.
Направляющие косинусы вектора. Модуль вектора.
Скалярное произведение.
Векторное произведение.
Смешанное произведение векторов.
Операции над векторами, заданными в координатной форме.
Матрицы. Системы линейных уравнений.
Числовые матрицы. Основные понятия и определения.
Свойства определителей.
Действия над матрицами.
Линейные действия над матрицами. Их свойства. Свойства линейных операций над матрицами. Свойства умножения матриц.
Обратная матрица. Свойства обратной матрицы.
Решение матричных уравнений.
Системы линейных уравнений.
Основные определения.
Правило Крамера.
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Жордана-Гаусса. Теоремы Кренекера-Капелли.
Система линейных однородных уравнений.
Собственные числа и собственные векторы матрицы.
Начала математического анализа.
Понятие функции.
Некоторые классы функций.
Четные и нечетные функции.
Периодические функции.
Монотонные функции.
Ограниченные функции.
Основные элементарные функции.
Графики некоторых функций.
Последовательности и их пределы. Основные теоремы о пределах последовательностей.
Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Виды неопределенности. Способы устранения неопределенности.
Непрерывность функции. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
Асимптоты.
Дифференциальное исчисление одной и двух переменных.
Правила дифференцирования.
Таблица производных.
Геометрический и механический смысл производной функции одной переменной.
Частные производные функции двух переменных.
Исследование функций.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и формула Тейлора.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания функции.
Экстремумы функции. Признаки экстремума функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
Интегральное исчисление.
Таблица интегралов от основных функций.
Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Интегралы с бесконечными пределами.
Интегралы от разрывных функций. Формула Ньютона-Лейбница.
Двойной интеграл.
Двойной интеграл в полярной системе координат.
Тройной интеграл.
Криволинейный интеграл
Криволинейный интеграл первого рода.
Криволинейный интеграл второго рода.
Формула Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла второго рода.
Приложения кратных и криволинейных интегралов.
Геометрические приложения
Вычисление площади плоской фигуры.
Вычисление длины дуги.
Вычисление объема тела.
Вычисление работы переменной силы.
Применение к задачам механики (масса, статические моменты, точка С – центр тяжести, моменты инерции относительно осей координат и начала координат).
Понятие интегралов на поверхности.
Поверхностный интеграл первого рода.
Понятие о двусторонней поверхности.
Поверхностный интеграл второго рода.
Элементы теории поля.
Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
Векторное поле. Теорема Остроградского-Гаусса. Теорема Стокса. Свойства простейших векторных полей.
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия.
Виды и способы решения дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.
Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Числовые и функциональные ряды.
Виды рядов.
Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов.
Признаки сходимости любого числового ряда.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Стандартные числовые ряды с положительными членами.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (Теорема Лейбница).
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
Числовые ряды с комплексными членами.
Функциональные и степенные ряды
Область сходимости. Интервал сходимости.
Равномерная и неравномерная сходимость. Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости ряда.
Ряды Тейлора.
Необходимое условие разложения функции в ряд Тейлора.
Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора.
Ряд Макларена.
Стандартные разложения функций в ряд Макларена.
Примеры приближенных вычислений с помощью рядов.
Ряды Фурье.
Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье.
Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
Разложение некоторых функций в ряд Фурье.
Основные понятия теории вероятностей. Справочные материалы для решения задач.

www.twirpx.com