Рубрика: Школьная жизнь

• 7.3.1. Лаги Алмон
• 7.3.2. Метод Койка
• 7.3.3. Метод главных компонент

institutiones.com

Книги по эконометрике

Предисловие

Глава 1. Структура современной эконометрики
1.1. Эконометрика сегодня
1.2. Эконометрика = экономика  + метрика
1.3. Структура эконометрики
1.4. Специфика экономических данных
1.5. Нечисловые экономические величины
1.6. Статистика интервальных данных — научное направление  на стыке метрологии и математической статистики
1.7. Эконометрические модели
1.8. Применения эконометрических методов
1.9. Эконометрика как область научно-практической деятельности
1.10. Эконометрические методы в практической и учебной деятельности
Цитированная литература

Глава 2. Выборочные исследования
2.1. Построение выборочной функции спроса
2.2. Маркетинговые опросы потребителей
2.3. Проверка однородности двух биномиальных выборок
Цитированная литература

Глава 3. Основы теории измерений
3.1. Основные шкалы измерения
3.2. Инвариантные алгоритмы и средние величины
3.3. Средние величины в порядковой шкале
3.4. Средние по Колмогорову
Цитированная литература

Глава 4. Статистический анализ числовых величин (непараметрическая статистика)
4.1. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным?
4.2. Неустойчивость параметрических методов отбраковки резко выделяющихся результатов наблюдений
4.3. Непараметрическое доверительное оценивание характеристик распределения
4.4. О проверке однородности двух независимых выборок
4.5. Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?
4.6. Состоятельные критерии проверки однородности для независимых выборок
4.7. Методы проверки однородности для связанных выборок
Цитированная литература

Глава 5. Многомерный статистический анализ
5.1. Оценивание линейной прогностической функции
5.2. Основы линейного регрессионного анализа
5.3. Основные понятия теории классификации
5.4. Эконометрика классификации
Цитированная литература

Глава 6. Эконометрика временных рядов
6.1. Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация
6.2. Системы эконометрических уравнений
6.3. Оценивание длины периоды и периодической составляющей
6.4. Метод  ЖОК оценки результатов взаимовлияний факторов
Цитированная литература

Глава 7. Эконометрический анализ инфляции
7.1. Определение индекса инфляции
7.2. Практически используемые потребительские корзины и соответствующие индексы инфляции
7.3. Свойства индексов инфляции
7.4. Возможности использования индекса инфляции в экономических расчетах
7.5. Динамика цен на продовольственные товары в Москве и Московской области
Цитированная литература

Глава 8. Статистика нечисловых данных
8.1. Объекты нечисловой природы
8.2. Вероятностные модели конкретных видов объектов нечисловой природы
8.3. Структура статистики объектов нечисловой природы
8.4. Законы больших чисел и состоятельность статистических оценок в пространствах произвольной природы
8.5. Непараметрические оценки плотности в пространствах произвольной природы
Цитированная литература

Глава 9. Статистика интервальных данных
9.1. Основные идеи статистики интервальных данных
9.2. Примеры статистического анализа интервальных данных
9.3. Статистика интервальных данных и оценки погрешностей характеристик финансовых потоков инвестиционных проектов
Цитированная литература

Глава 10. Проблемы устойчивости эконометрических процедур
10.1. Общая схема устойчивости
10.2. Робастность статистических процедур
10.3. Устойчивость по отношению к объему выборки
10.4. Устойчивость по отношению к горизонту планирования
Цитированная литература

Глава 11. Эконометрические информационные технологии
11.1. Проблема множественных проверок статистических гипотез
11.2. Проблемы разработки и обоснования статистических технологий
11.3. Методы статистических испытаний (Монте-Карло) и датчики псевдослучайных чисел
11.4. Методы размножения выборок (бутстреп-методы)
11.5.Эконометрика в контроллинге
Цитированная литература

Глава 12. Эконометрические методы проведения экспертных исследований и анализа оценок экспертов
12.1. Примеры процедур экспертных оценок
12.2. Основные стадии экспертного опроса
12.3. Подбор экспертов
12.4. О разработке регламента проведения сбора и анализа экспертных мнений
12.5. Методы средних баллов
12.6. Метод согласования кластеризованных ранжировок
12.7. Математические методы анализа экспертных оценок
Цитированная литература

Глава 13. Эконометрические методы управления качеством и сертификации продукции
13.1. Основы статистического контроля качества продукции
13.2. Асимптотическая теория одноступенчатых планов статистического контроля
13.3. Некоторые практические вопросы статистического контроля качества продукции и услуг
13.4. Всегда ли нужен контроль качества продукции?
13.5. Статистический контроль по двум альтернативным признакам и метод проверки их независимости по совокупности малых выборок
13.6. Эконометрика качества и сертификация
Цитированная литература

Глава 14. Эконометрика прогнозирования и риска
14.1. Методы социально-экономического прогнозирования
14.2. Основные идеи технологии сценарных экспертных прогнозов
14.3. Различные виды рисков
14.4. Подходы к управлению рисками
Цитированная литература

Глава 15. Современные эконометрические методы
15.1. О развитии эконометрических методов
15.2. Точки роста
15.3. О некоторых нерешенных вопросах эконометрики и прикладной статистики
15.4. Высокие статистические технологии и эконометрика
Цитированная литература

Приложение 1.
Приложение 2.
Приложение 3.
Приложение 4.

iqacademy.ru

Практикум по эконометрике — Елисеева И.И.

Автор: Елисеева И.И.

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
1.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
1.3. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ
1.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
2.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
2.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
2.3. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ
2.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
СИСТЕМА ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
3.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
3.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
3.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
4.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
4.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
4.3. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ
4.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
СТАТИСТИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица значений F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05
Критические значения t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,10,0,05,0,01 (двухсторонний)
Критические значения корреляции для уровневой значимости 0,05 и 0,01
Значения статистик Дарбина — Уотсона d_Ld_U при 5%-ном уровне значимости

institutiones.com

Эконометрика, учебник, Елисеева, Курышева, Костеева

Излагаются условия и методы построения эконометрических моделей по пространственным и временным данным, оценки параметров методом наименьших квадратов и методом максимального правдоподобия. Описываются структурные модели; автокорреляционная функция и методы выявления структуры временного ряда. При изучении взаимосвязей между временными рядами внимание уделяется коинтеграции, моделям с распределенным лагом (метод Койка) и моделям авторегрессии. Во втором издании (1-е изд. — 2001 г.) расширены главы, посвященные эконометрическому анализу и моделированию временных рядов, введены модели бинарного и множественного выбора, а также панельных данных.
Для преподавателей, аспирантов, студентов экономических вузов, слушателей институтов повышения квалификации.

1.3. ИЗМЕРЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ
Поскольку понятие «эконометрика» включает экономические измерения, остановимся подробнее на этом вопросе. Измерение понимается по-разному. Прежде всего признаками измерения называют получение, сравнение и упорядочение информации. Это определение измерения в широком смысле. В нем подчеркивается, что измерение предполагает выделение некоторого свойства, по которому проводится сравнение объектов в определенном отношении. Так определяется измерение в широком смысле.
Другое понимание измерения исходит из числового выражения результата, т.е. измерение трактуется как операция, в результате которой получается численное значение величины, причем числа должны соответствовать наблюдаемым свойствам, фактам, качествам, законам науки и т. д.
Третье понимание измерения связано с обязательным наличием единицы измерения (эталона). Это определение измерения в узком смысле.
Первый, низший, уровень измерения предполагает сравнение объектов по наличию или отсутствию исследуемого свойства. На этом уровне измерения употребляются термины «номинация», «классификация», «нумерация».

nashol.com

Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5.Индексы в непрерывном времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.6.Прикладные следствия из анализа индексов

в непрерывном времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.7.Факторные представления приростов в непрерывном времени . . . 123

3.8.Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.1.Совместные распределения частот количественных признаков . . . 129

4.2.Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.3.Дисперсионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.4.Анализ временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.5.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

II Эконометрия — I:

5.1.Первичные измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.2.Производные измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.3.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.2.Основные гипотезы, свойства оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.3.Независимые факторы: спецификация модели . . . . . . . . . . . . 234

7.4.Прогнозирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.5.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

8.2.Гетероскедастичность ошибок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

8.3.Автокорреляция ошибок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

9.2.Модели с биномиальной зависимой переменной . . . . . . . . . . . 295

9.2.1.Линейная модель вероятности, логит и пробит . . . . . . . . 296

9.2.2.Оценивание моделей с биномиальной зависимой переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

9.2.3.Интерпретация результатов оценивания моделей

10.1.Невзаимозависимые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

10.2.Взаимозависимые или одновременные уравнения . . . . . . . . . . 318

10.3.Оценка параметров отдельного уравнения . . . . . . . . . . . . . . 324

10.4.Оценка параметров системы идентифицированных уравнений . . . 331

10.5.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

6 Оглавление

11.4.Использование линейной регрессии с детерминированными факторами для моделирования временного ряда . . . . . . . . . . . 356

11.4.1. Тренды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

11.4.2.Оценка логистической функции . . . . . . . . . . . . . . . . 358

11.4.3.Сезонные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

11.4.4. Аномальные наблюдения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

11.5.Прогнозы по регрессии с детерминированными факторами . . . . . 361

11.6.Критерии, используемые в анализе временных рядов . . . . . . . . 365 11.6.1. Критерии, основанные на автокорреляционной функции . . 366

11.9.Условные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

11.10.Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование: общая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

11.10.1. Условное математическое ожидание как оптимальный прогноз . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

11.10.2.Оптимальное линейное прогнозирование . . . . . . . . . . 380

11.10.3.Линейное прогнозирование стационарного

временного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

11.10.4.Прогнозирование по полной предыстории.

Разложение Вольда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

11.11.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

13.1.Ортогональность тригонометрических функций и преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

13.2.Теорема Парсеваля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

14.2.Влияние линейной фильтрации на автоковариации и спектральную плотность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

14.3.Процессы авторегрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

14.6.Модель ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

14.7.Оценивание, распознавание и диагностика

15.3.Модели частичного приспособления, адаптивных ожиданий и исправления ошибок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

15.4.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

16.2.Модель GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

16.3.Прогнозы и доверительные интервалы для модели GARCH . . . . . 531

16.4.Разновидности моделей ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

16.4.6. Многомерные модели волатильности . . . . . . . . . . . . . 539

16.5.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

17.5.Коинтеграция. Регрессии с интегрированными переменными . . . . 558

17.6.Оценивание коинтеграционной регрессии:

подход Энгла—Грейнджера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .560

17.7.Коинтеграция и общие тренды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

17.8.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

18.2.3.Тест Чоу (Chow-test)на постоянство модели . . . . . . . . . 578

18.3.Метод максимального правдоподобия в эконометрии . . . . . . . . 582

18.3.1.Оценки максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . 582

18.3.3.Три классических теста для метода максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

21.1.Модель дискретного выбора для двух альтернатив . . . . . . . . . . 625

21.2.Оценивание модели с биномиальной зависимой переменной

методом максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . 627

21.2.1.Регрессия с упорядоченной зависимой переменной . . . . . 630

21.2.2.Мультиномиальный логит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

21.2.3.Моделирование зависимости от посторонних альтернатив в мультиномиальных моделях . . . . . . . . . . 633

21.3.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

22.1.Оценки параметров модели AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

22.2.Оценка параметров модели MA(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

23.1.Векторная авторегрессия: формулировка и идентификация . . . . . 654

23.2.Стационарность векторной авторегрессии . . . . . . . . . . . . . . 658

23.4.Прогнозирование с помощью векторной авторегрессии . . . . . . . 662

23.5.Причинность по Грейнджеру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665

23.6. Коинтеграция в векторной авторегрессии . . . . . . . . . . . . . . 666

23.7.Метод Йохансена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

23.8.Коинтеграция и общие тренды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

23.9.Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

Введение

Данный учебник написан на основе курсов, читаемых на экономическом факультете Новосибирского государственного университета. С середины 1980-хгодов читался спецкурс, в котором излагались основы классической эконометрии, относящиеся к регрессионному анализу. В это же время в рамках «Общей теории статистики» достаточно развернуто начал изучаться материал анализа временных рядов. На базе этих дисциплин в начале1990-хгодов был создан единый курс «Эконометрия», который, постоянно совершенствуясь, читается как обязательный до настоящего времени. Во второй половине1990-хгодов был разработан и введен в практику преподавания обязательный курс«Эконометрия-II»для магистрантов. В конце1990-хгодов на экономическом факультете был восстановлен — на принципиально новом уровне — курс «Общая теория статистики», дающий начальное представление об эмпирических исследованиях.

Эконометрия (другой вариант термина в русском языке — эконометрика) — это инструментальная наука, позволяющая изучать количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. Дословно этот термин означает «экономическое измерение».

Эконометрия связывает экономическую теорию, прикладные экономические исследования и практику. Благодаря эконометрии осуществляется обмен информацией между этими взаимодополняющими областями, происходит взаимное обогащение и взаимное развитие теории и практики.

Эконометрия дает методы экономических измерений, а также методы оценки параметров моделей микро- и макроэкономики. При этом экономические теории выражаются в виде математических соотношений, а затем проверяются эмпирически статистическими методами. Кроме того, эконометрия активно используется для прогнозирования экономических процессов и позволяет проводить планирование как в масштабах экономики в целом, так и на уровне отдельных предприятий.

Вэкономике (как и в большинстве других научных дисциплин) не существует

ине может существовать абсолютно точных утверждений. Любое эмпирическое утверждение имеет вероятностную природу. В частности, экономические измерения содержат различного рода ошибки. Таким образом, в прикладных экономических исследованиях требуется использовать статистические методы.

Методы эконометрии, позволяющие проводить эмпирическую проверку теоретических утверждений и моделей, выступают мощным инструментом развития самой экономической теории. С их помощью отвергаются одни теоретические концепции и принимаются другие гипотезы. Теоретик, не привлекающий эмпирический материал для проверки своих гипотез и не использующий для этого эконометриче-

ские методы, рискует оказаться в мире своих фантазий. Важно, что эконометрические методы одновременно позволяют оценить ошибки измерений экономических величин и параметров моделей.

Экономист, не владеющий методами эконометрии, не может эффективно работать аналитиком. Менеджер, не понимающий значение этих методов, обречен на принятие ошибочных решений.

Эта книга адресована студентам, магистрантам и аспирантам экономических факультетов классических университетов. Она соответствует требованиям государственного образовательного стандарта по дисциплине «Эконометрика». Кроме того, издание будет полезно преподавателям эконометрии, исследователям, работающим в области прикладной экономики, специалистам по бизнес-планированиюи финансовым аналитикам.

Учебник предполагает определенный уровень базовой математической подготовки читателя, владение им основами линейной алгебры, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики в объеме курсов для нематематических специальностей вузов. Некоторые наиболее важные сведения из этих разделов высшей математики приведены в приложении к учебнику.

Необходимость в создании учебника по эконометрии вызвана отсутствием отечественного варианта, который бы охватывал все основополагающие позиции современной эконометрической науки. Появившиеся в последние годы учебные издания лишь частично покрывают программу курса, читаемого на экономическом факультете Новосибирского государственного университета. В частности, эти учебники, посвященные в основном регрессионному анализу, не уделяют достаточного внимания теории временных рядов. При создании настоящего учебника авторы стремились систематизировать и объединить в рамках одного источника различные разделы экономической статистики и эконометрии.

Структура учебника примерно соответствует учебному плану экономического факультета НГУ. Соответственно, он состоит из четырех частей: «Введение в социально-экономическуюстатистику»,«Эконометрия-I:регрессионный анализ»,«Эконометрия-I:анализ временных рядов»,«Эконометрия-II».Каждая часть покрывает семестровый курс. Соответствующие разделы читаются в качестве обязательной дисциплины во втором, четвертом и пятом семестрах бакалавриата и в первом семестре магистратуры. Полный курс эконометрии на ЭФ НГУ (включая «Введение всоциально-экономическуюстатистику») рассчитан на 152 часа аудиторных занятий (45% лекций, 55% семинарских занятий).

В первой части «Введение в социально-экономическуюстатистику» представлен материал, который более глубоко раскрывается в других частях учебника. В данной части рассмотрены особенности экономических величин, изложены про-

studfiles.net

Елисеева И.И. (ред.) Практикум по эконометрике [DJVU]

www.twirpx.com

Ирина Елисеева: Эконометрика. Учебник для магистров №IKNM3

Учебник охватывает все основные разделы современного курса эконометрики, отвечающего требованиям подготовки магистров по экономическим направлениям. Рассматриваются этапы возникновения и развития эконометрики, методы построения и оценки качества парной и множественной регрессий. Особое внимание уделяется мультиколлинеарности и гетероскедастичности случайных остатков, а также прогнозированию на основе модели множественной регрессии. Обсуждаются возможности построения регрессии с разнотипными переменными, разные виды регрессии с фиктивными переменными. Освещаются проблемы структурного моделирования. Подробно рассматривается эконометрика временных рядов, начиная с моделирования изолированного временного ряда, моделей по временным рядам, с лаговыми переменными, заканчивая моделями ARMA, ARIMA, ARCH и GARCH. Обсуждается проблема коинтеграции. Одна из глав посвящена анализу панельных данных, в рамках которой выделены модель с фиксированными эффектами и модель со случайными эффектами….

Читать полностью

Последний комментарий на сайте:

Пользователь CLFUMPV пишет:

Я люблю классическую английскую литературу. Всегда получаю истинное удовольствие от чтения данной литературы. Есть в них что-то завораживающее. Также в « Джейн Эйр» присутствуют некоторые элементы готического романа. Помню, в первый раз, когда я читала эту книгу, я не удержалась и решила заглянуть в последнюю страницу и таким образом проспойлерила себе финал. Но, несмотря на то, что я уже знала, чем все закончиться, это не перебило у меня охоту читать дальше. Я так прониклась этой историей, что не могла от нее оторваться.

Мне повезло, что я сначала прочитала книгу, а потом посмотрела экранизацию. И мне повезло вдвойне, что моей первой экранизацией оказался сериал 1983-го года, где главные роли исполняют Тимоти Далтон и Зила Кларк. После этого сериала я уже не могу смотреть ни одну другую экранизацию по этой книге. Никого другого я не могу представить в их роли. Для меня они идеальные Мистер Рочестр и Джейн Эйр.то просто потрясающая книга! Великолепная! Шедевр! Вы уж простите мне этот взрыв эмоций, но сдерживать я его просто не способна

Отзывы о других книгах:

Пользователь ZKREJET пишет:

Великолепное исполнение, плотные страницы, яркие цвета. Каждый день перед сном читаем с ребенком(2,5 года) 2-3 сказки. Все тексты доступны для понимания ребенка. Сказку «Лиса и Заяц» в обработке Даля в процессе чтения адаптирую в соответствии с возрастом, заменяю непонятные слова и выражения. Сама при чтении получаю эстетическое удовольствие. Купила еще такого же формата «Сороку-Белобоку» Всем рекомендую!

litkrug.download

      Таблица синусов от 1 до 360 градусов. Значения синусов сведены в таблицу. На другой странице размещена тригонометрическая таблица с корнями для школьников.

      Тригонометрическая таблица синусов начинается со значения угла альфа равного единице. Синус угла ноль градусов sin 0 равен нулю. Точно такое же значение имеет синус 360 градусов sin 360 или синус 2пи радиан, который можно найти в таблице синусов.

синус угла 0 градусов = синус угла 0 радиан = 0

sin 0 = 0

sin 360 = sin 2pi = 0

      Синус 30 градусов sin 30 равен 0,5 или 1/2. В радианной мере мере углов это значение синуса соответствует синусу пи/6. В таблице синусов это значение тригонометрической функции sin можно найти напротив угла в 30 градусов.

синус угла 30 градусов = синус угла пи/6 радиан = 0,5

sin 30 = sin pi/6 = 0,5

      Тригонометрическая таблица синусов, помимо широко распространнехых значений синуса, содержит так же следующие значения: синус 5, sin 6, синус 10 градусов в градусной мере углов, а так же sin 12, синус 15, sin 20 градусов.

      Синус 45 градусов sin 45 равняется 0,7071 или корень из двух деленный на два. В радианах это соответствует синусу пи/4 радиан.

синус угла 45 градусов = синус угла пи/4 радиан = 0,7071

sin 45 = sin pi/4 = 0,7071

      Синус 60 градусов sin 60 равняется 0,866 или корень из трех деленный на два, что равно значению синуса пи/3 радиан в радианной мере углов.

синус угла 60 градусов = синус угла пи/3 радиан = 0,866

sin 60 = sin pi/3 = 0,866

      Синус 90 градусов sin 90 или синус пи/2 равняется 1 или единице.

синус угла 90 градусов = синус угла пи/2 радиан = 1

sin 90 = sin pi/2 = 1

      Другие значения синуса, которые представлены в таблице для углов больше 90 градусов, можно получить так же при помощи формул приведения тригонометрических функций

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

      4 декабря 2010 года — 28 февраля 2017 года.

© 2006 — 2018 Николай Хижняк. Все права защишены.

ndspaces.narod.ru

синус 1 2 — Cкажите, чему равен синус 1/2? — 22 ответа



синус 1 2 равен

В разделе Образование на вопрос Cкажите, чему равен синус 1/2? заданный автором Невроз лучший ответ это нашла у кого спросить

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Cкажите, чему равен синус 1/2?

Ответ от Прослабить[новичек]
arcsin30

Ответ от Ѝлина[новичек]
30 градусов

Ответ от Пользователь удален[активный]
Пи/ 6 или 30 градусов

Ответ от Особенность[гуру]
зо градусов

Ответ от T-Cat[гуру]
Некорректный вопрос. Нет синуса 1/2. Это синус пи/6=1/2.

Ответ от Avto Otvetchik[гуру]

Ответ от Коротеев Александр[гуру]
1/2 в радианах или в градусах?В любом случае есть виндовский калькулятор — он может посчитать и то и другое (да ещё и в градах) .синус 1/2 градусов = 0,0087265354синус 1/2 радиана = 0,4794255386Но нет ли в вопросе ошибки?P.

Ответ от Dmitriy_K_84[активный]
Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом.. . если sin равен 1/2, то противолежащий катет ровно вдвое меньше, чем гипотенуза, поэтому их отношение, и есть синус 30 градусов…

Ответ от Roger[активный]
2arcsin1/2-arccos(-1/2)=pi/3-2pi/3= -pi/3

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Straight edge на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Straight edge

Stratfor на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Stratfor

Тригонометрические тождества на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Тригонометрические тождества

Тригонометрические функции на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Тригонометрические функции

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Логические задачи в школьном курсе математики

Аннотация.Статья посвящена вопросам обучения школьников 5–7хклассов решению логических задач. Дается краткое описание пяти авторских учебных пособий по математической логике для школьников; более подробно анализируются методы решения логических задач; приводятся примеры таких задач и их решения.Ключевые слова:математическая логика, развивающее обучение, творческий подход, игровая ситуация.

Современные подходы к обучению требуют, чтобы на первое место в образовательном процессе выходило развитие личности школьника, его мышления и творческих способностей. На страницах журнала «Концепт» уже не раз авторы останавливались на вопросах совершенствования обучения математике с этих позиций, в том числе средствами математических задач с логическим содержанием [1, 2]. Наш опыт преподавания математических дисциплин студентам физикоматематических специальностей ВятГГУ и ученикам средних школ г. Кирова показывает, что добиваются хороших результатов,успешно поступают в высшие учебные заведения,легче проходят адаптационный период на младших курсах вузов,в дальнейшем учатся в нихте выпускники школ, кто в среднем звене овладел умениями: а) самостоятельно мыслить, б) творчески подходить к выполнению любого задания, в) искать различные варианты его решения, г)отбирать среди них наиболее оптимальный.Ни одна учебная дисциплина, кроме логики, не учит этому специально.При изучении даже самого элементарного курса логики школьники учатся думать и рассуждать, отстаивать в споре свою точку зрения, делать правильные выводы. Поэтому нами был разработан курс логики для учащихся 5–7хклассов для обеспечения образовательного процесса вучреждениидополнительного образования «Открытыйлицей» ВятГГУ. Программы лицея скоординированы с учебными программами школ и нацелены накачественную подготовку к поступлению и обучению в высших учебных заведениях. Курс логики в 5–7хклассах прошёл апробацию в школах №№ 3, 8, 36, 48, 49, 53, 70 города Кирова. 1. Определение логики как учебного предмета.Приступая к занятиям с учащимися 5х классов,прежде всего потребовалось сформулировать само понятие логики. С. И. Ожегов в «Словаре русского языка»даёт определение логики как науки о законах мышления и его формах [3, с.301]. Нам представляется более уместным привести здесь определение проф. ВятГГУ М.И.Ненашева, читавшего курс логики учащимся Вятской гуманитарной гимназии, которое сформулировано в его учебном пособии «Введение в логику»: «Логика–это наука о формах мышления, на которых основаны рассуждения, позволяющие получать истинное знание об окружающем мире» [4, c.3]. Это определение ближе к пониманию цели изучения курса, в основе которого лежит умение правильно рассуждать. Поэтому для школьников 5–7хклассов мы даём следующее определение: логика –это наука, изучающая такие человеческие рассуждения, которые позволяют получать истинное знание об окружающем мире.Логикой называют также ход рассуждений, умение делать правильные выводы. Такая формулировка близка к идеям, выдвинутым в предисловии к учебнику математики 5го класса под ред. Н.Я. Виленкина: «…основа хорошего понимания математики –умение считать, умение думать, рассуждать, находить удачные пути решения задач»[5, c.3].С этимсозвучна мысль, приведённая в учебнике математики 6го класса И.И. Зубаревой, А.Г.Мордковича: «Думать придётся самостоятельно. Учиться этому нужно уже сейчас.…Ученик не просто заучивает то или иное теоретическое положение, а, выполнив упражнения в определённой последовательности, получает возможность самостоятельно сформулировать правило, определение нового понятия или даже ввести новый термин» [6, с.3].В соответствии с определением логики как учебногопредмета нами определяется и понятие логической задачи. 2. Определение логической задачи.

К логическим задачам отнесём такие, при решении которых главное, определяющее –это отыскание связи между фактами, сопоставление их, построение цепочки рассуждений для достижения цели. ПрофессорЕ. С. Канин, неставя цель определить понятие «логическая задача», относит к ним такие задачи, которые на первый взгляд не являются математическими, но в то же время требуют для своего решения формулирования суждений (высказываний), построения умозаключений и их цепочек. Поскольку при решении логических задач строятся умозаключения, то при этом приходится применять иобщие методы решения математических задач, такие как метод выведения, метод исчерпывающих проб, метод сведения к противоречию и др. [7, c.17–18].Иногда приходится слышать, что любая математическая задача, не являющаяся чисто вычислительной, есть логическая задача, так как требует анализа данных, построения цепочки рассуждений, вывода, оценки его правильности. Но среди логических задач встречается множество таких, которые, на первый взгляд, не несут чисто математического содержания. Поэтому к логическим задачам отнесём такие, при решении которыхиспользуются законы логики, например, закон двойного отрицания, закон противоречия (не может быть сразу А и не А), закон исключённого третьего (или А или не А, третьего быть не может).3.Содержание и структура курса «Элементы логики» в 5–7хклассах.При построении курса логики были выделены два основных направления. Первое направление непосредственно связано с изучением основных логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, строгой дизъюнкции, импликации, эквиваленции и их свойств с последующимприменением к решению логических задач. Содержание соответствующих разделов вошло в теоретическую часть курса. Второе направление связано с построением школьного курса математики и ориентировано на решение нестандартных задач доступными для школьников методами. Содержание этих разделов составило практическую часть курса. При создании учебного пособия автор в основном ориентировался на построение курса математики, изложенное в учебниках Н. Я. Виленкина. Таким образом,можно предложить следующее построение курса логики для учащихся 5–7хклассов.1)Теоретическая часть:изучение логических операций и их свойств с последующим применением к решению нестандартных задач.Цель:повышение культуры мышления учащихся путём развития логической составляющей школьного курса математики.Эта часть курса логики для учащихся 5–7хклассов нашла отражение в наших авторскихучебных пособиях[9–11].2)Практическая часть:решение нестандартных задач, связанных с программой школьного курса математики.Цель:совершенствование умений и навыков решения задач школьного курса доступными для учащихся 5–6хклассов методами.Эта часть курса логики для учащихся 5–7хклассов получила воплощение в еще в двухучебных пособиях[12,13]. Ниже представлена более подробная схема построения курса логики для каждого класса. 5й класс.Теоретическая часть: логические операции.Введение. Чтоизучаетлогика?1. Отрицание высказываний. Понятие отрицания.2.Решение задач с помощью отрицания.3.Свойства отрицания.4.Отрицание отрицания. Поиск противоречия.В этой части происходит знакомство учащихся с простейшими логическими задачами, которые можно решить с помощью операции отрицания, поэтапно исключая все лишние, «ненужные» случаи. При решении используются таблицы,схемы, рисунки, облегчающие понимание задачи. При этом школьники постепенно учатся сами составлять таблицы и схемы, соответствующие условию задачи.5.Утверждения, одинаковые по смыслу.Эквивалентные высказывания.Цель данной части –научиться заменять одно высказывание другим, имеющим тот же смысл, но более кратким и понятным пятиклассникам.6.Логическое следствие. Рассуждения и умозаключения.При изучении данного раздела школьники не только учатся строить цепочки умозаключений, восстанавливать пропущенные звенья в рассуждениях, но и решают задачи, в которых часть условий ложна. В процессе обучения они начинают самостоятельно находить ложные утверждения, отмечать противоречия в ходе рассуждений и в заключений, исключая при этом неверные ответы.5й класс.Практическая часть: решение линейных уравнений, неравенств и их систем нестандартными методами.

1.Решение задач с конца.2.Геометрические методы решения логических задач.3.Решение логических задач с помощью уравнений и неравенств.4.Задачи с несколькими неизвестными.Эта часть в основном посвящена пропедевтике изучения действий с дробями, методов решения уравнений, неравенств и систем уравнений. В доступной для учащихся форме излагаются принципы решения задач соответствующего содержания.6й класс. Теоретическая часть: логические операции.1. Логические операции и признаки делимости. Свойства импликации.2. Конъюнкция высказываний.3. Дизъюнкция высказываний.4. Отрицание конъюнкции.5. Отрицание дизъюнкции.В данной части учащиеся продолжают знакомство со свойствами операции импликации, а также их применением к изучению делимости чисел. Кроме того, при изучении свойств конъюнкции и дизъюнкции происходит и углубление знаний о свойствах эквиваленции, что позволяет использовать полученные знания при решении более сложных логических задач, часть условий в которых ложна.6й класс. Практическая часть: применение свойств делимости чисел при решении задач.1.Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.2.Деление на части и расчёты.3.Решение логических задач с помощью уравнений и неравенств.4.Задачи с несколькими неизвестными.В представленной части рассматриваются нестандартные задачи, связанные с делимостью чисел, рассматриваются нестандартные методы решения задач с несколькими неизвестными.7й класс. Теоретическая часть: логические операции.1. Строгая дизъюнкция ( или А, или В).2. Свойства строгой дизъюнкции.3.Умозаключение в логике высказываний. Модусы.4.Модусы и решение задач.

На этом этапе учащиеся кроме новой для них операции строгой дизъюнкции и её применения для решения логических задач, имеют все возможности взглянуть на изученный в 5–6хклассах материал с новой точки зрения, обобщить и проанализировать полученные ранее знания. Понятие модуса позволяет записывать условие задачи вбуквенной форме и правильно определять, какие логические связки применялись при её составлении. Определение характера модуса, его достоверности или вероятностности позволяет сделать верное заключение. Умение правильно составить и применить модусы к решению логических задач определяет степень усвоения материала всего курса.4. Методы решения логических задач.В предлагаемой статье мы рассмотрим задачи, связанные со свойствами логической операции отрицания, рассматриваемыми в курсе логики в 5мклассе. 1.Некоторые логические задачи решаются без применения какихлибо специальных методов. При их решении достаточно проявить сообразительность, установить верный порядок рассуждений, сделать правильные выводы из условий задачи. Такие задачи встречаются по всему тексту каждой книги, оформлены в виде тестов или представлены в разделе «И» –игра.

Задача 1. На острове живут два племени –аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, пришельцы всегда лгут. Путешественник нанял жителя острова в проводники. По дороге они встретили другого островитянина. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном.Кем был проводник –пришельцем или аборигеном?Решение. Аборигены всегда говорят правду. На вопрос «Кто вы?» абориген ответит: «Абориген». Пришельцы всегда лгут. Поэтому на тот же вопрос пришелец тоже ответит «Абориген». Проводник, вернувшись к путешественнику, сказал правду, следовательно, он абориген.

2.Ещё одна группа задач связана с построением отрицания высказывания. Сотрицаниями высказываний мы сталкиваемся не только при решении задач, но и в реальной жизни. Поэтому важно научиться правильно формулировать отрицание заданного высказывания. Под высказыванием мы понимаем предложение, про которое можно сказать истинно оно или ложно. На первом этапе изучения свойств операции отрицания при построении отрицания какоголибо утверждения школьниками использовались слова нет,неверно,не,неявляется. Поэтому построение отрицания происходит в два приёма: сначала к предложению школьники добавляют слова «Неверно, что…», а затем стараются переформулировать его в более краткой форме. При этом обязательно внимание пятиклассников обращается на возможные логические ошибки.

Задача 2. Постройте отрицания высказываний с помощью слов «Неверно, что…», а затем запишите их в более простой форме.1) Сестра всегда старше брата.2) 25 меньше, чем 25.3) Ни одна рыба не кусается.4) У всех людей длинные волосы.5) Все пятиклассники круглые отличники.6) Саша не принёс на урок ни линейки, ни карандаша.7) У бабушки на даче есть то ли куры, то ли кролики.Решение. На первом этапе отрицания высказываний выглядят следующим образом.1) Неверно,чтосестра всегда старше брата.2) Неверно,что25 меньше, чем 25.3) Не верно, что ни одна рыба не кусается.4) Не верно, что у всех людей длинные волосы.5) Не верно, что все пятиклассники круглые отличники.6) Не верно, что Саша не принёс на урок ни линейки, ни карандаша.7) Неверно,чтоу бабушки на даче есть то ли куры, то ли кролики.

Далее ученики, проанализировав смысл полученных высказываний, должны составить следующие предложения.1) Сестра невсегда старше брата.2) 25 неменьше, чем 25.3) Естьрыбы, которые кусаются.4) Неу всех людей длинные волосы.5) Невсепятиклассники круглые отличники.6) Саша принёс на урок линейку иликарандаш.7) У бабушки на даче нетни кур, ни кроликов.

Возможные логические ошибки, на которые следует обращать внимание учеников.1) Сестра всегда младшебрата.2)25 больше, чем 25.3) Всерыбы кусаются.4) У всех людей короткиеволосы.5) Нетпятиклассников, которые являются круглыми отличниками.6) Саша принёс на урок илинейку, икарандаш.7) У бабушки на даче неткур или кроликов.Полезно каждое высказывание занести в таблицу, которая раздаётся школьникам заранее. Они заполняют её самостоятельно, что позволяет им сравнить полученные результаты.

Первоначальная формулировка отрицанияОтрицание высказыванияВозможные логические ошибки1.Неверно,чтосестра всегда старше брата.2.Неверно,что25 меньше, чем 25.3.Не верно, что ни одна рыба не кусается.4.Не верно, что у всех людей длинные волосы.5.Не верно, что все пятиклассники круглые отличники.6.Не верно, что Саша не принёс на урок ни линейки, ни карандаша.7.Неверно,чтоу бабушки на даче есть то ли куры, то ли кролики.1.Сестра невсегда старше брата.2. 25 неменьше, чем 25.3.Естьрыбы, которые кусаются.4.Неу всех людей длинные волосы.5.Невсепятиклассники круглые отличники.6.Саша принёс на урок линейку иликарандаш.7.У бабушки на даче нетни кур, ни кроликов.1.Сестра всегда младшебрата.2.25 больше, чем 25.3.Всерыбы кусаются.4.У всех людей короткиеволосы.5.Нетпятиклассников, которые являются круглыми отличниками.6.Саша принёс на урок илинейку, икарандаш.7.У бабушки на даче неткур или кроликов.3.Задачи раздела «Операция отрицания» решаются как простым рассуждением, так и с помощью таблиц. Мы не рассматриваем построение таблицы в качестве метода решения, а предлагаемучащимся в качестве удобного средства его оформления. При этом таблицы могут быть различных видов. В результате решения большого количества задач ученики сами начинают конструировать таблицы различных форм в соответствии с условием задачи, предлагая различные варианты.

Задача 3. В одной школе учатся три друга: Сергей, Коля и Максим. Их фамилии Петров, Семёнов и Иванов. Сергей учится в 5 классе, мама Коли инженер. Иванов учится в 6 классе, его мама бухгалтер. Сергей и Семёнов болеют за разные футбольные клубы.

Решение. Выпишем условия задачи в следующем порядке.1) Сергей учится в 5 классе.2) Иванов учится в 6 классе.3) Мама Коли инженер.4) Мама Иванова бухгалтер.5) Сергей и Семёнов болеют за различные футбольные клубы.Будем рассуждать и одновременнозаполнять таблицу. Известно, что Сергей учится в 5м классе, а Иванов –в 6м. Значит, Сергей и Иванов –два разных мальчика. В первой клетке третьей строки таблицы ставим знак «–». Ещё известно, что мама Коли инженер, а мама Иванова бухгалтер. Это значит, что Коля и Иванов –мальчики из разных семей. Но тогда фамилия Коли не Иванов. Во второй клетке третьей строки таблицы ставим «–». Получается, что Ивановым может быть только Максим. Сергей может быть или Петровым или Семёновым. Но в условии5 сказано, что Сергей и Семёнов болеют за разные футбольные клубы. Значит, Сергей не Семёнов. В первой клетке второй строки ставим «–». Получается, что Семёновым может быть только Коля. Тогда фамилия Сергея –Петров.

Далее рассматриваются задачи, в которых надо учесть порядок расположения элементов. Их также легко решить с помощью таблиц, сопровождаемых схематичными рисунками. Ниже приведены две такие задачи.

Задача 4.В кругу сидят четыре котёнка: Барсик, Дымок, Васька и Тимофей. Их цвета: белый, сер

e-koncept.ru

Логические задачи в математике — HintFox

Логика — это анализ суждений и использования в аргументации. Этот анализ может проводиться на очень абстрактном уровне (формальная логика) или сосредоточиваться на практическом искусстве правильного объяснения (прикладная логика). Достоверные доказательства имеют две основные формы: дедуктивную и индуктивную. Логика развивалась независимо и была приведена к некоторой степени систематизации в Китае (с 5 по 3 в. до н. э. ) и Индии (с 5 в. до н. э. по 16-17в. н. э. ). Логика происходит из Греции. Аристотель в 4 в. до н. э. разработал первую систему логики субъекта. Свой расцвет логика переживает в 14 веке. Современная логика начала развиваться с работ математика Г. В. Лейбница. Большие успехи были сделаны в 19 в. в развитии символической логики, что привело к слиянию логики и математики — формальному анализу. Современная формальная логика-это изучение форм суждения и умозаключения.

Роль логики в формировании логической культуры человека.

Из понятия логика вытекает понятие логическая культура. С общей культурой всего общества неразрывно связана культура отдельного человека. Это средства, способы и результаты той или иной его материальной или духовной деятельности, предполагающей определенные связи и отношения с другими людьми. Сюда входят культура труда, досуга и общения, политическая культура, правовая и нравственная культура (или культура поведения), эстетическая культура и т. д.

В каком отношении к этим элементам находится логическая культура? Ее не следует рассматривать как еще один из элементов такого ряда. Она буквально пронизывает каждый из этих элементов, входя в них неотъемлемой составной частью. Аналогично тому, как никакая культура невозможна без языка, так невозможна никакая материальная или духовная деятельность людей без мышления. Отсюда — особое значение логической культуры в жизни каждого культурного человека.

Что же такое логическая культура? Это культура мышления, проявляющаяся в культуре письменной и устной речи. Она включает: а) определенную совокупность знаний о средствах мыслительной деятельности, ее формах и законах; б) умение использовать эти знания в практике мышления — оперировать понятиями, правильно производить те или иные логические операции с ними, строить умозаключения, доказывать и опровергать; в) навыки анализа мыслей — как своих собственных, так и чужих, с тем чтобы вырабатывать наиболее  рациональные способы рассуждения, предотвращать логические ошибки, а если они допущены, находить и устранять их.

Разумеется, выработка логической культуры — дело долгое и трудное. И значение логики здесь, несомненно, велико. Говоря об этом значении, важно избегать двух крайностей: как переоценки логики, так и ее недооценки. С одной стороны, нельзя полагать, будто логика учит нас мыслить. Это было бы большим преувеличением. Логика не учит нас мыслить так же, как физиология не учит переваривать пищу. Мышление — такой же объективный процесс, как и пищеварение. Само использование логики предполагает наличие двух необходимых условий: во-первых, определенной способности к мышлению, а во-вторых, известной суммы знаний. Люди мыслили, и мыслили более или менее правильно, задолго до появления логики. Она сама возникла лишь как обобщение практики мышления, и притом правильного мышления. Еще знаменитый оратор древности Демосфен полагал, что мы от природы, до науки умеем излагать, как было дело, и доказывать то, что нам нужно, и опровергать. И в настоящее время многие люди, не зная логики, мыслят и рассуждают довольно правильно.

Означает ли это, что без нее можно обойтись? Нет. Это было бы другой крайностью: игнорированием или преуменьшением ее значения, недооценкой. На самом деле без логики трудно обходиться, если мы хотим, чтобы наша мысль протекала правильно не только в простых, обыденных, но и в сложных, теоретических рассуждениях. Изучение логики открывает возможность надежно контролировать мышление со стороны его формы, структуры, строения, проверять его правильность, предупреждать логические ошибки или обнаруживать и исправлять их. В этом отношении она сродни грамматике, освоение которой позволяет производить лингвистический анализ письменной или устной речи, предупреждать грамматические ошибки или быстро находить их и исправлять.

Значение логики обусловлено тем, что логические ошибки допускаются весьма часто — гораздо чаще, чем думают некоторые, полагая, будто культура мышления является прирожденным качеством каждого человека. Нет, как и всякой культурой, ею нужно упорно овладевать. Ее главное значение для нас состоит в том, что она усиливает наши мыслительные способности и делает мышление более рациональным, подобно тому как знание физиологии помогает нам правильно, рационально питаться.

III Моё увлечение логическими рядами.

В нашей школе преподавание ведется по программе «Школа 2100». Авторами учебника математики, по которому я занимаюсь, являются Г. В. Дорофеев и Л. Г. Петерсон.

Этот учебник очень интересный, насыщенный. В нем есть задания для работы в классе и для работы дома, есть для повторения, но больше всего мне нравится выполнять задания под буквой «С», где главное – это смекалка. Именно здесь я нахожу логические ряды, логические задачи.

С 1 по 5 классы мне нравилось решать логические задачи, особенно логические ряды. В задании «продолжение ряда» предлагается установить закономерность числового ряда и продолжить его. Индуктивное умозаключение испытуемого состоит в том, чтобы перейти от частного к общему, исследуя отдельные группы числового ряда, можно установить его закономерность в целом.

Данные задания позволяют исследовать индуктивное мышление, способность оперировать с числами, определяют наличие у ученика математических способностей.

Логические ряды: 1)15, 16, 18, 21, 25 2) 4, 7, 13, 22, 34 3) 101, 1002, 100034) 4, 9, 6, 18, 8, 275) 0, 36, 72, 1086) 5, 6, 8, 11, 15, 207) 15, 14, 16, 13, 17, 12

Иногда я сама придумывала закономерность и составляла логические ряды. Например:

1) 1,9,3,1,5,13,. (Закономерность: +8, -6, +8, -6,. Ответ: 7,15, 9, 17,. )

2) 6,7,12,14,18,21,24,28,. (Закономерность: По-порядку и по очереди перечисляются числа, кратные 6 и 7. Ответ: 30, 35, 36, 42,. )

3) 50,25,23,69,72,18,14,. (Закономерность — :2, -2, ×3, +3, :4, -4, ×5, +5,. Ответ: 70, 75)

4) 50,49,46,48,43,36,40,. (Закономерность: -2 нечетных, + 1 четное число по порядку. Ответ: 31, 20 26)

5) 1000,998,995,990,983,972,959,942,942,923,900,. (Закономерность: по очереди вычитание простых чисел. Ответ: 869, 832,. )

В таких заданиях я часто стараюсь применять те понятия, которые мы изучаем на уроках, которые ученики часто забывают. Например: кратные числа, нечетные и четные числа, простые числа.

Именно эти задания помогают мне развивать мой логико-математический интеллект. Ведь логико-математический интеллект определяет способность исследовать и классифицировать категории и предметы, выявлять отношения между символами (числами) и понятиями путем манипулирования ими. А еще мне стало интересно, как относятся к решению задач на продолжение логических рядов в моем 5 классе. Мною была составлена анкета, на вопросы которой отвечали мои одноклассники. Таким образом, я для себя выяснила следующее:

1. В начальной школе решали подобные задачи 100%

2. Любят решать такие задачи:

Да – 38%, нет – 22%, не очень – 38%

3. Получается самостоятельно продолжать ряды:

Да – 8%, не всегда – 69%, иногда – 23%

4. Часто сами пробуют решать подобные задачи:

Всегда, когда увижу – 16%, часто – 22%, решают, но не часто – 46%, нет – 16%

5. Пробовали сами составлять подобные ряды:

Да – 54%, нет – 23%, иногда – 23%

6. По мнению моих одноклассников, такие логические ряды помогают им: развивать логическое мышление, развивают ум, внимательность, интуицию, бдительность, помогут в обучении в дальнейшем.

IV Как логика помогает в жизни.

Как же логика поможет мне в жизни? На этот вопрос есть много ответов, и первый из них – это при сдаче экзаменов. Ведь нам уже известно, что экзамены в форме ЕГЭ – это тестирование, где из четырех вариантов ответов нужно выбрать правильный. Так вот именно логическое мышление позволяет отбросить те варианты ответов, которые не могут быть верными, а из оставшихся выбрать правильный. И те ученики, которые не могу логически отбросить ненужное, которые не развивали свое логическое мышление с детства, потратят намного больше времени на выполнение задания, а может быть и вообще не выполнят его.

Логика в той или иной степени была нужна человеку всегда. Но особенно необходима она в современную эпоху. Чем выше уровень развития общества, тем большие требования предъявляются к самому человеку, уровню его собственного развития, его общей и специальной культуре. В наше время очень важно каждому человеку, который стремится чего-либо достичь, уметь принимать правильные решения, четко и быстро ориентироваться в происходящем, делать необходимые выводы. Эти требования сейчас предъявляются к каждому образованному человеку. Соответственно этому усиливается роль и значение логики как науки о мышлении.

В этих условиях особую значимость приобретает такая фундаментальная наука, как логика. В силу своей предельной общности и абстрактности она имеет отношение буквально ко всему: науке, технике, развитию общества, так как законы и правила мышления, на которых они основываются, едины. Любой логик может выдать богатейшую информацию о правильном мышлении, но не способен помочь тем, кто не учится мыслить самостоятельно.

www.hintfox.com

Логические задачи / math5school.ru

Немного теории

Часто знакомство с олимпиадной математикой начинается с логических задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания.

В логических задачах нет «серьёзной» математики – нет ни сложных числовых выражений, ни функций, ни соотношений в треугольнике, ни векторов, но есть лжецы и мудрецы, фальшивые монеты и необычные шахматные фигуры, разноцветные фишки и сказочные герои. В то же время дух математики в таких задачах чувствуется весьма ярко. Половина решения логической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами.

Существуют несколько различных способов решения логических задач. Вот некоторые из них:

• Способ рассуждений – самый простой способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

• Способ таблиц – распространённый прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

• Способ «с конца» – довольно часто применим в задачах с предугадываемым ответом, и состоит в анализе ответа или конечной стадии некоторого процесса, описанного в задаче.

• Способ блок-схем – подходит, например, к решению задач «на переливание». Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Задачи с решениями

1. На ступеньках дома сидят рядышком мальчик и девочка.

– Я мальчик, – говорит ребёнок с чёрными волосами.

– А я девочка, – говорит ребёнок с рыжими волосами.

Если по крайней мере один из детей говорит неправду, то кто из них мальчик, а кто девочка?

Для двух произвольных высказываний существуют четыре возможные комбинации типа «истина – ложь», а именно:

И – И,   И – Л,   Л – И,   Л – Л.

Первая из них исключается, поскольку в условии оговаривается, что по крайней мере одно из высказываний является ложным. Вторая и третья комбинации также исключается, потому что если один ребёнок врал, то и другой не мог говорить правду, иначе мы бы имели дело с двумя мальчиками или с двумя девочками, что противоречит условию. Следовательно, оба говорили неправду.

Итак, у мальчика рыжие волосы, а у девочки чёрные.

2. В одной урне лежат два белых шара, в другой – два чёрных, в третьей – один белый шар и один чёрный. На каждой урне висела табличка, указывающая её состав: ББ, ЧЧ, БЧ. Но какой-то шутник перевесил все таблички так, что теперь каждая из них указывает состав урны неправильно. Разрешается вынуть шар из любой урны, не заглядывая в неё. Какое наименьшее число извлечений потребуется, чтобы определить состав всех урн? (Вы осведомлены о проделке шутника. После каждого извлечения шар опускается обратно.)

Достаточно извлечь один шар из урны с табличкой БЧ. Если он окажется белым, то в этой урне белые шары, а чёрные шары должны быть в урне с табличкой ББ, ведь не могут же они быть в урне с табличкой ЧЧ. В урне ЧЧ находятся шары разного цвета.

Если же вынут чёрный шар, то в урне с табличкой БЧ чёрные шары, в урне ЧЧ – белые, а в ББ – разного цвета.

3. Абрахам, хилый старик, подрядился выкопать канаву за 2 доллара. Он нанял Бенджамина, здоровенного парня, чтобы тот ему помог. Деньги они должны были поделить в соответствии с «копательными» способностями каждого. Абрахам копает так же быстро, как Бенджамин выбрасывает грунт, а Бенджамин копает в четыре раза быстрее, чем Абрахам выбрасывает грунт.

Каким образом они должны поделить деньги? Разумеется, соотношение сил старика и молодого человека как при копке, так и при выбрасывании грунта мы принимаем одинаковым.

Пусть, например, Бенджамин (Б) может выкопать канаву за время t, и выбросить грунт за время 2t. Тогда Абрахам (А) выкапывает канаву за время 2t часа и выбрасывает весь грунт за 4t. Следовательно, при рытье канавы их силы относятся как t к 2t, а при выбрасывании грунта – как 2t к 4t (отношение сил остаётся неизменным). При этом А может выкопать канаву за то же время, за которое Б может выбросить весь грунт (время 2t), а Б может выкопать канаву за четвёртую часть того времени, которое А тратит на выбрасывание грунта.

Следовательно, Абрахаму причитается треть всей суммы, а Бенджамину – две трети.

4. Андерсон покинул отель в Сан-Ремо в 9 часов и находился в пути целый час, когда Бакстер вышел вслед за ним по тому же пути. Собака Бакстера выскочила одновременно со своим хозяином и бегала всё время между ним и Андерсоном до тех пор, пока Бакстер не догнал Андерсона. Скорость Андерсона составляет 2 км/ч, Бакстера – 4км/ч и собаки – 10 км/ч. Сколько километров пробежала собака к моменту, когда Бакстер догнал Андерсона?

Вполне очевидно, что Бакстер догонит Андерсона через один час, поскольку к этому времени они пройдут по 4 километра в одном направлении. Так как скорость собаки составляет 10 км/ч, то за этот час она пробежит 10 километров.

Ответ: 10 км.

5. Можно ли расставить по окружности 20 красных и несколько синих фишек так, чтобы в каждой точке, диаметрально противоположной красной фишке, стояла синяя и никакие две синие фишки не стояли рядом?

Из условия следует, что красные и синие фишки должны чередоваться (на окружности), значит, всего их 40. Фишки по окружности размещаются равномерно в том смысле, что две диаметрально противоположные фишки делят множество оставшихся 38 фишек на две части по 19 фишек, расположенные в одной и другой полуокружностях относительно двух данных фишек. Это так, потому что согласно условию, каждая фишка имеет диаметрально противоположную. Диаметрально противоположные фишки имеют разный цвет, поэтому 19 фишек, расположенные в одной из полуокружностей должны чередоваться по цвету и начинаться и заканчиваться фишками разного цвета, что невозможно при нечётном 19. Следовательно, указанная в задаче расстановка фишек не возможна.

Ответ: нельзя.

6. Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления.

Браун: «Я не делал этого. Джонс не делал этого.»

Джонс: «Браун не делал этого. Смит сделал это.»

Смит: «Я не делал этого. Браун сделал это.»

Было установлено далее, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий – раз солгал, раз сказал правду. Кто совершил преступление?

Если вор – Смит, то и Браун, и Джонс оба сказали правду. Если вор – Джонс, то и Браун, и Смит одновременно сказали и правду, и ложь. Итак, Браун – преступник. Джонс оба раза солгал, Смит оба раза сказал правду, Браун один раз солгал, второй раз сказал правду.

7. «Суперкоролева» – это шахматный ферзь, который может ходить еще и как конь. Надо разместить четырех суперкоролев на доске 5 на 5 таким образом, чтобы ни одна из них не могла атаковать другую. Если вам это удастся, то попробуйте 10 суперкоролев разместить на доске 10 на 10 так, чтобы ни одна не имела возможности напасть на другую. Обе задачи имеют единственное решение, если не учитывать повороты доски и ее зеркальные отражения.

Оба решения показаны на следующем рисунке.

8. У автомобиля новые шины. Шина на заднем колесе выдерживает пробег 16000 км, а на переднем – 24000 км. Какой максимальный пробег можно осуществить на этих калёсах?

Будем считать, что скорость роста износа колеса является постоянной и не зависит от того насколько оно давно служит.

Очевидно, что задние колёса изнашиваются в 1,5 раза быстрее передних. Значит, когда задние колёса износятся на 60%, то передние – только на 40%. Это произойдёт после пробега

0,6 · 16000 = 0,4 · 24000 = 9600 (км).

В этот момент и следует сменить колёса. Оставшийся 40%-й ресурс задних колёс, поставленных спереди, и 60%-й ресурс передних колёс, поставленных сзади, очевидно, исчерпается одновременно, и произойдёт это ещё через 9600 км. Таким образом максимальный пробег составляет 2·9600 = 19200 км.

Замечание. Это лишь одно из множества возможных решений этой задачи. Попробуйте найти своё.

Ответ: 19200 км.

9. Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого или чёрного цвета. Все мудрецы видят, какого цвета колпак каждого впереди стоящего мудреца, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из двух цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казнённых. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

Ясно, что мудрец, стоящий в колонне последним, может спастись только случайно, ведь его колпака не видит никто из мудрецов. Но он может спасти всех остальных, сообщив им чётность числа белых колпаков, надетых на них (по договоренности он скажет «белый», если это число нечетно, и «чёрный» в противном случае). Теперь мудрецы должны вычислять и называть цвета своих колпаков по порядку от предпоследнего к первому: сначала предпоследний, видя колпаки впереди стоящих и зная чётность числа белых колпаков (среди колпаков впереди стоящих и своего), легко определит цвет своего колпака и назовет его; затем мудрец, стоящий перед ним, зная цвета всех тех же колпаков, кроме своего (передние он видит, а про задний только что услышал), по чётности может определить цвет своего колпака и назвать его. Остается продолжать описанную процедуру до тех пор, пока первый мудрец не определит цвет своего колпака.

Ответ: всем, кроме, быть может, одного.

10. В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им: «Я дам вам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить лампу как включенной, так и выключенной. Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если неправ — скормлю всех крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут — если будете молчать, то все побываете в комнате, и ни для кого никакое посещение комнаты не станет последним.»

Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение.

Узники выбирают одного определённого человека (будем называть его «счётчиком»), который будет считать узников по такой системе: если, приходя в комнату, он обнаруживает, что свет включён, то он прибавляет к уже посчитанному числу узников единицу и выключает свет, если же свет не горит, то он, ничего не меняя, возвращается обратно в свою камеру. Каждый из оставшихся узников действует по такому правилу: если, приходя в комнату, он обнаруживает, что свет не горит, и он до этого ни разу не включал свет, то он его включает. В остальных случаях он ничего не меняет. Когда число посчитанных узников становится равным 99, «счётчик» говорит, что все узники уже побывали в комнате.

Действительно, каждый узник, кроме «счётчика», включит свет в комнате не более одного раза. Когда «счётчик» насчитает 99, он может быть уверен, что все остальные узники уже побывали в комнате хотя бы раз, кроме того он сам уже побывал в комнате. Получается, что к этому моменту все узники заведомо побывали в комнате хоть раз.

Остаётся доказать, что каждый из 99 узников включит свет. Предположим, что это не так – свет будет включён менее 99 раз. Тогда, начиная с некоторого дня n, свет включаться не будет. Так как никакой заход в комнату не будет для счётчика последним, он побывает в комнате после этого дня (например, на m-й день, m > n). Если свет при этом горел, он его выключит. Значит, начиная с (m+1)-го дня свет будет всё время выключен. Рассмотрим узника, который свет ещё ни разу не зажигал. Так как и для него никакой заход в комнату не последний, он побывает в комнате после m-го дня. Но тогда он должен включить свет – противоречие.

Задачи без решений

1. Каково наибольшее число утверждений из приводимых ниже, которые одновременно могут быть истинными:

а) Джо ловкач,

б) Джо не везет,

в) Джо везет, но он не ловкач,

г) если Джо ловкач, то ему не везет,

д) Джо является ловкачом тогда и только тогда, если ему везет,

е) либо Джо ловкач, либо ему везет, но не то и другое одновременно.

2. Мать разделила между своими сыновьями груши. Первому она дала половину всех груш и ещё половину груши, второму – половину остатка и ещё половину груши и, наконец, третьему – половину нового остатка и ещё половину груши. Ни одной груши при этом не нужно было разрезать. Сколько груш получил каждый сын, если мать раздала все груши?

3. В гостиницу приехал путешественник. Денег он не имел, а обладал лишь серебряной цепочкой, состоящей из семи звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном цепочки, при этом хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного звена.

Подскажите, как путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице семь дней и ежедневно расплачиваться с хозяином.

4. Имеется 10 мешков монет. В девяти мешках монеты настоящие, весят по 10 г, а в одном мешке все монеты фальшивые, весят по 11 г. Одним взвешиванием определить, в каком мешке фальшивые монеты. (Взвешивание осуществляется на весах способных показать точный вес.)

5. Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трех цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

math4school.ru

Iteach

Материал из ИнтеВики — обучающей площадкой для проведения тренингов программы Intel

wiki.iteach.ru

Доказательство.

F1′ (x) = f (x) (1) F2′ (x) = f (x) , то F1′ (x) — F2′ (x) = Const.

φ (x) = F1 — F2 φ’ (x) = F1′ — F2′ = 0

Т. е. обозначим: F1 (x) — F2 (x) = φ (x) (2) Тогда на основании равенств (1) будет: F1′ (x) — F2′ (x) = f (x) — f (x) = 0 или φ’ (x) = [F1 (x) — F2 (x) ]’ = 0 при любом значении x на отрезке[a;b]. Но из равенства φ’ (x) = 0 следует, что φ (x) есть постоянная. Действительно, применим теорему Лагранжа к функции φ (x) , которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b]. Какова ни была точка x на отрезке [a;b], мы имеем в силу теоремы Лагранжа.

φ (x) — φ (a) = φ’ (x) (x-a) , где a

(3) Таким образом, функция φ (x) в любой точке x отрезка [a;b] сохраняет значения φ (a) , а это значит, что функция φ (x) является постоянной на отрезке [a;b]. Обозначая постоянную φ (a) через С, из равенств (2) , (3) получаем: F1 (x) — F2 (x) = С Определение. Если функция F (x) является первообразной для f (x) , то выражение F (x) + С называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx. Таким образом, по определению, ∫ f (x) dx = F (x) + С, если F (x) = f (x) . При этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией, f (x) dx — подынтегральным выражением, знак ∫ — знаком интеграла. Из этого определения следуют свойства:

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т. е. если F’ (x) = f (x) , то и (∫ f (x) dx) ‘ = (F (x) + C) ‘ = f (x)

(4) Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению d (∫ f (x) dx) = f (x) dx

(5) Это получается на основании формулы (4) 3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная ∫ dF (x) = F (x) + C С праведливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциала от обоих частей равенства равны dFx))

или как в шутке, мелко и коротко, x — это тождественная функция (f (x) = x) .

urokam.net

как решить интеграл (2-x)dx только объясните обязательно!!!!Главное объясните это важнее чем просто решить

короч ответ 2х — х в кв адрате деленное на 2 + с. короч если в скобках такое уравнение 2-х, то интеграл разделяется на 2 интеграла: 2dx и хdx. интеграл от 2 dx равен 2х, а от хdx равен х в кв адрате деленное на 2, и обязательно если это неопределенный интеграл следует поставить + с, с-это некоторое пост число

сначала ответ напишу 2x — x^2/2 + const потом решение допишу <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/f3e61651a78a96dbe8a361c6b63a1fd1_i-158.jpg» > для решения интеграла разбил подинтегральное выражение на разность интеграл разности равен разности интегралов потом вынес множитель потом табличные первообразные первообразная (от 1) = x + const первообразная (от x) = (x^2)/2 + const и все …

может найти первообразную от 2-х ?

Интеграл разности равен разности интегралов. Ну а дальше каждый из них табличный. Или сделай замену 2-x = t тогда dt = -dx и приходим к интегралу -tdt а это опять табличный

touch.otvet.mail.ru

При $k=2$ получаем

Пример 2

Решить уравнение: $x^{3} =1+i$.

Решение:

Так как $A$ — комплексное число, то

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

По условию $a=1,b=1$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

Подставим полученные значения и получим:

Уравнение перепишем в виде:

При $k=0$ получаем $x_{0} =\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4}{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4}{3} \right)=\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{\pi }{12} \right)=\sqrt[{6}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{\pi }{12} \right)$.

При $k=1$ получаем

При $k=2$ получаем

Определение 2

Квадратным называется уравнение вида $ax^{2} +bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.

Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^{2} -4ac$, при этом

Примечание 1

В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.

Пример 3

Решить уравнение $x^{2} +2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

Так как $D \[x_{1,2} =\frac{-2\pm \sqrt{-16} }{2} =\frac{-2\pm i\cdot \sqrt{16} }{2} =\frac{-2\pm i\cdot 4}{2} =-1\pm 2i.\]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.

Рис. 1

Примечание 2

В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.

Определение 3

Комплексное число вида $\overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Примечание 3

Известно, что если $x_{1,2} $ являются корнями квадратного уравнения $ax^{2} +bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_{1} )(x-x_{2} )=0$. В общем случае $x_{1,2} $ являются комплексными корнями.

Пример 4

Зная корни уравнения $x_{1,2} =1\pm 2i$, записать исходное уравнение.

Решение:

Запишем уравнение следующим образом:

Выполним умножение комплексных чисел

Следовательно, $x^{2} -2x+5=0$ — искомое уравнение.

Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Пример 5

Решить уравнение: $z^{2} +(1-2i)\cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.

Рис. 2

Примечание 4

В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.

spravochnick.ru

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.7. Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел.

   Вывод формулы корней квадратного уравнения в поле комплексных чисел ничем не отличается от такового в поле действительных чисел (как, впрочем, и в любом поле, в том числе и в конечном). Вспомним этот вывод.

Теорема. Пусть , z – комплексная переменная. Тогда квадратное уравнение  имеет ровно два корня (они могут быть равными), которые можно найти по формуле: .

Доказательство. Выделим полный квадрат в левой части квадратного уравнения:

.

Теперь квадратное уравнение можно записать в виде:

 . Здесь мы применили следствие из п.6. Доказываемая формула очевидно следует из последнего равенства.

Теорема доказана.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Вычисляем дискриминант

. Вычисляем корни из дискриминанта по формуле квадратных корней из комплексного числа:

.

Вычисляем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

 или ; .

Ответ: .

   Замечание. Аналогично решаются квадратные уравнения с действительными коэффициентами, но с отрицательным дискриминантом.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Вычислим дискриминант. . Отсюда следует, что действительных корней квадратное уравнение не имеет, но, согласно теореме, оно имеет два корня в поле комплексных чисел. Для вычисления корня из дискриминанта применяем следствие из предыдущего п.6, смотри там же пример. Получаем:

. Теперь подставляем в формулу корней квадратного уравнения: .

Ответ: .

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

Решение комплексных квадратных уравнений

Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни и . Решить его.

Решение. Известно, что если — корни квадратного уравнения , то указанное уравнение можно записать в виде . А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение можно записать следующим образом:

Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:

— искомое квадратное уравнение.

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:

Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде . То есть

Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений и :

решив которую, имеем, что , или , . Рассматривая любую из полученных пар, например, первую, получаем, что , а тогда

Ответ.

www.webmath.ru

Конспект урока по математике на тему «Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел» 1 курс профессия «Мастер по лесному хозяйству»

Урок на тему: «Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел».

Цели:

Образовательные: расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Воспитательные: прививать интерес к математике, ознакомить учащихся с историей развития комплексных чисел, воспитывать

Развивающие: развивать творческое мышление, пространственное мышление, научить применять теоретические знания при решении практических задач, формировать активность и самостоятельность при работе в группах.

Используемые технологии и методы: 1) проблемный диалог; 2) информационно- коммуникационные технологии.

Тип занятия: комбинированный.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Повторение материала предыдущего занятия.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление нового материала.

5. Рефлексия.

6. Домашнее задание.

1.Организационный момент (2 мин).

2. Повторение материала предыдущего занятия (10 мин).

• Множество действительных чисел;

• Множество комплексных чисел;

• Определение и форма записи комплексного числа;

• Изображение комплексного числа на комплексной оси;

• Степени мнимой единицы;

3. Изучение нового материала.

Вопрос группе:

-Как называется картинка, которую вы видите на экране? (Мем).

-Что мы знаем об извлечении корня из отрицательных чисел? (что корень из отрицательных чисел не извлекается).

-А что, если я докажу вам сегодня на уроке, что не так уж этот корень и нереален? А помогут мне в этом числа, с которыми мы познакомились на предыдущем занятии — комплексные числа!

Верно, что во множестве действительных чисел корней из отрицательных чисел быть не может. Об этом нам всем говорили в школе. НО, введение понятия «комплексное число» продвинуло вперед современную математику, а с ней и другие естественные науки.

Так вот, в множестве комплексных чисел корень из -1 извлекается и очень хорошо! Вспомним знакомую нам формулу . Корень из -1= i,

Исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

.

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

.

Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению

, или

,

следовательно,

.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С.

Рассматривать будем на таком примере:

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа  нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

, ,

,

,

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

 – сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения  есть 2 сопряженных комплексных корня:

,

Найти корни квадратного уравнения

Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности.

Для удобства выпишем коэффициенты:

Не теряем «минус» у свободного члена. Уравнение в стандартном виде :

Вычислим дискриминант:

А вот и главное препятствие:

Применение общей формулы извлечения корня осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде:

Возведём обе части в квадрат:

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:

Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения  – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение  сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары:

Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:

Не помешает промежуточная проверка:

что и требовалось проверить.

В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:

Находим корни, не забывая, кстати, что :

Ответ:

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению :

1) Подставим :

верное равенство.

2)Подставим

:

верное равенство.

Таким образом, решение найдено правильно.

4. Закрепление нового материала

Решить уравнения:

1. х² + (5 – 2i) x + 5(1– i) = 0;

2. х² + (1 – 2i) х – 2i = 0;

3.

5. Рефлексия

• Мне больше всего удалось…

• Для меня было открытием то, что …

• Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?

6. Домашнее задание

1. Составить конспект на тему «Тригонометрическая форма записи комплексного числа»;

2. Решить уравнения:

z^2-2z+5=0

z^2+3z+6=0

z^2-4z+25=0

3z^2-3z+3=0

infourok.ru

Как решать комплексные уравнения. Примеры

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = {0, 1, 2, 3, …n-1 }.

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = {0, 1, 2, 3}. Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Ответ:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Ответ:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

matematyka.ru

Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел; алгоритм извлечения квадратного корня из комплексного числа; полезные следствия для формулы корней квадратного уравнения

Похожие:

rpp.nashaucheba.ru

Квадратное уравнение комплексные корни

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131

program kvadratnoe_uravnenie;
var a, b, c, D, x, x1, x2, z: real;
begin 
writeln('Ввели коэффициенты a, b и c для квадратного уравнения вида (ax^2+bx+c=0) :');
write('a= ');
read (a);
write('b= ');
read (b);
write('c= ');
read (c);
writeln('Решение:');
D:=b*b-4*a*c;
if D<0 then
  
  begin
  z:=-4*a*c;
     if z<0 then
     
     begin
     writeln( );
     writeln('Нет корней,т.к. дискриминант меньше 0');
     writeln( );
     writeln(a,'x^2+',b,'x+',c,'=0');
     writeln( );
     writeln('D=',b,'^2-4*',a,'*',c);
     writeln('D=',b*b,z);
     writeln('D=',D);
     writeln('D<0');
     end
     
     else
     
     begin
     writeln( );
     writeln('Нет корней,т.к. дискриминант меньше 0');
     writeln( );
     writeln(a,'x^2+',b,'x+',c,'=0');
     writeln( );
     writeln('D=',b,'^2-4*',a,'*',c);
     writeln('D=',b*b,'+',z);
     writeln('D=',D);
     writeln('D<0');
     end
     
  end
  
  else
   if D=0 then 
    
    begin
    x:=(-b)/2*a;
    z:=-4*a*c;
    if z<0 then
    
       begin
       writeln( );
       writeln('Есть лишь один корень');
       writeln( );
       writeln(a,'x^2+',b,'x+',c,'=0');
       writeln( );
       writeln('D=',b,'^2-4*',a,'*',c);
       writeln('D=',b*b,z);
       writeln('D=',D);
       writeln( );
       writeln('x=',-b,'/',2*a);
       end
       
       else
       
       begin
       writeln( );
       writeln('Есть лишь один корень');
       writeln( );
       writeln(a,'x^2+',b,'x+',c,'=0');
       writeln( );
       writeln('D=',b,'^2-4*',a,'*',c);
       writeln('D=',b*b,'+',z);
       writeln('D=',D);
       writeln( );
       writeln('x=',-b,'/',2*a);
       end
       
    end
    
   else
    
    begin
    x1:=(-b-sqrt(D))/2*a;
    x2:=(-b+sqrt(D))/2*a;
    z:=-4*a*c;
    if z<0 then
    
       begin
       writeln( );
       writeln('Есть два корня');
       writeln( );
       writeln(a,'x^2+',b,'x+',c,'=0');
       writeln( );
       writeln('D=',b,'^2-4*',a,'*',c);
       writeln('D=',b*b,z);
       writeln('D=',D);
       writeln( );
       writeln('x1=',-b,'-',sqrt(D),'/',2*a);
       writeln('x2=',-b,'+',sqrt(D),'/',2*a);
       writeln( );
       writeln('x1=',x1);
       writeln('x2=',x2);
       end
       
       else
       
       begin
       writeln( );
       writeln('Есть два корня');
       writeln( );
       writeln(a,'x^2+',b,'x+',c,'=0');
       writeln( );
       writeln('D=',b,'^2-4*',a,'*',c);
       writeln('D=',b*b,'+',z);
       writeln('D=',D);
       writeln( );
       writeln('x1=',-b,'-',sqrt(D),'/',2*a);
       writeln('x2=',-b,'+',sqrt(D),'/',2*a);
       writeln( );
       writeln('x1=',x1);
       writeln('x2=',x2);
       end
       
    end
    
end.

forundex.ru

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного от деления выражения, стоящего под знаком логарифма уменьшаемого, на выражение под знаком логарифма вычитаемого.

Формула перехода от разности логарифмов к логарифму частного:

(x>0, y>0).

Это свойство в некоторых случаях позволяет найти разность логарифмов, даже если точные значения логарифмов уменьшаемого и вычитаемого по отдельности вычислить невозможно.

Примеры.

Это свойство верно, в том числе, и для десятичных и натуральных логарифмов.

Разность десятичных логарифмов равна десятичному логарифму частного от деления выражений, стоящих под знаками логарифмов уменьшаемого и вычитаемого:

Примеры.

Разность натуральных логарифмов равна натуральному логарифму частного от деления выражений, стоящих под знаками логарифмов уменьшаемого и вычитаемого:

Переход от разности логарифмов к логарифму частного верен и для большего количества слагаемых:

Например,

Переход от разности логарифмов к логарифму частного используется не только в вычислениях, но и для упрощения выражений, в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

www.logarifmy.ru

Сумма логарифмов | Логарифмы

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

(x>0, y>0).

С помощью этого свойства в некоторых случаях можно найти, чему равна сумма логарифмов, даже если логарифм каждого слагаемого не является рациональным числом.

Например,

Это свойство верно, в частности, и для десятичных и натуральных логарифмов.

Сумма десятичных логарифмов равна десятичному логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

Например,

Сумма натуральных логарифмов равна натуральному логарифму произведения выражений, которые стоят под знаками логарифмов в слагаемых:

Переход от суммы логарифмов к логарифму произведения верен и в случае когда количество слагаемых больше двух:

Например,

Это свойство логарифмов широко используется при упрощении выражений, в ходе решения логарифмических уравнений и неравенств.

www.logarifmy.ru

2. Логарифмы и их свойства

Логарифмом числа N по основаниюаназывается показатель степених, в которую нужно возвестиа, чтобы получить числоN

, при условии, что ,,

Из определения логарифма следует, что , т.е. — это равенство является основным логарифмическим тождеством.

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами. Вместо пишут.

Логарифмы по основанию e называются натуральными и обозначаются.

Основные свойства логарифмов.

1. Логарифм единицы при любом основании равен нулю

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

3) Логарифм частного равен разности логарифмов

4. Логарифм степени равен логарифму модуля основания, умноженному на показатель степени.

5. Логарифм корня равен логарифму модуля подкоренного выражения, деленному на множитель корня.

6. Зависимость между логарифмами с различными основаниями определяется формулой.

Множитель называется модулем перехода от логарифмов при основанииa к логарифмам при основанииb.

С помощью свойств 2-5 часто удается свести логарифм сложного выражения к результату простых арифметических действий над логарифмами.

Например,

Такие преобразования логарифма называются логарифмированием. Преобразования обратные логарифмированию называются потенцированием.

Глава 2. Элементы высшей математики.

1. Пределы

Пределом функции является конечное число А, если при стремлении xx₀для каждого наперед заданного , найдется такое число , что как только , то .

Функция, имеющая предел, отличается от него на бесконечно малую величину: , где- б.м.в., т.е..

Пример. Рассмотрим функцию .

При стремлении , функцияy стремится к нулю:

1.1. Основные теоремы о пределах.

1. Предел постоянной величины равен этой постоянной величине

.

2. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций.

.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю.

Замечательные пределы

, , где

1.2. Примеры вычисления пределов

Пример 1

Однако, не все пределы вычисляются так просто. Чаще вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа: или .

Пример 2

.

Пример 3

.

2. Производная функции

Пусть мы имеем функцию , непрерывную на отрезке .

Аргумент получил некоторое приращение . Тогда и функция получит приращение .

Значению аргумента соответствует значение функции .

Значению аргумента соответствует значение функции .

Следовательно, .

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то он называется производной данной функции.

Определение 3Производной данной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента произвольным образом стремится к нулю.

Производная функцииможет быть обозначена следующим образом:

; ; ; .

Определение 4Операция нахождения производной от функции называетсядифференцированием.

2.1. Механический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела или материальной точки.

Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка находилась на расстоянии от начального положения .

Через некоторый промежуток времени она переместилась на расстояние . Отношение =— средняя скорость материальной точки . Найдем предел этого отношения, учитывая что .

Следовательно, определение мгновенной скорости движения материальной точки сводится к нахождению производной от пути по времени.

2.2. Геометрическое значение производной

Пусть у нас есть графически заданная некоторая функция .

Рис. 1. Геометрический смысл производной

Если , то точка, будет перемещаться по кривой, приближаясь к точке .

Следовательно , т.е. значение производной при данном значении аргумента численно равняется тангенсу угла образованного касательной в данной точке с положительным направлением оси .

2.3. Таблица основных формул дифференцирования.

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрическая функция

Обратная тригонометрическая функция

2.4. Правила дифференцирования.

Производная от

Производная суммы (разности) функций

Производная произведения двух функций

Производная частного двух функций

2.5. Производная от сложной функции.

Пусть дана функция такая, что ее можно представить в виде

и, где переменнаяявляется промежуточным аргументом, тогда

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.

Пример1.

Пример2.

3. Дифференциал функции.

Пусть есть , дифференцируемая на некотором отрезкеи пустьу этой функции есть производная

,

тогда можно записать

(1),

где — бесконечно малая величина,

так как при

Умножая все члены равенства (1) на имеем:

, где — б.м.в. высшего порядка.

Величина называется дифференциалом функциии обозначается

.

3.1. Геометрическое значение дифференциала.

Пусть дана функция .

Рис.2. Геометрический смысл дифференциала.

.

Очевидно, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной в данной точке.

3.2. Производные и дифференциалы различных порядков.

Если есть , тогданазывается первой производной.

Производная от первой производной называется производной второго порядка и записывается .

Производной n-го порядка от функцииназывается производная (n-1)-го порядка и записывается:

.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.

. .

3.3 Решение биологических задач с применением дифференцирования.

Задача1. Исследования показали, что рост колонии микроорганизмов подчиняется закону, гдеN– численность микроорганизмов (в тыс.),t–время (дни).

а) Рассчитать численность популяции через 7 дней от посева.

б) Будет ли в этот период численность колонии увеличиваться или уменьшаться?

Решение

а)

б)

Ответ. Численность колонии будет увеличиваться.

Задача 2. Вода в озере периодически тестируется для контроля содержания болезнетворных бактерий. Черезtдней после тестирования концентрация бактерий определяется соотношением

.

Когда в озере наступит минимальная концентрация бактерий и можно будет в нем купаться?

РешениеФункция достигает max или min, когда ее производная равна нулю.

,

Определим max или min будет через 6 дней. Для этого возьмем вторую производную.

Ответ: Через 6 дней будет минимальная концентрация бактерий.

studfiles.net

Логарифм равен логарифму | Логарифмы

Уравнения, в которых один логарифм равен другому логарифму, можно считать простейшими в случае, когда основания этих логарифмов равны:

При решении любого логарифмического уравнения следует определить его ОДЗ либо выполнить проверку найденных корней. В уравнениях вида «логарифм равен логарифму» нахождение ОДЗ может быть упрощено.

Под знаком логарифма должно стоять положительное число, следовательно,

ОДЗ:

По свойству логарифмической функции, из того что равны логарифмы по одному основанию

следует, что выражения, стоящие под знаками логарифмов, также равны:

А раз они равны между собой, если одно из выражений положительно, то другое — также положительно. Следовательно, для нахождения области допустимых значений уравнения достаточно выбрать только одно из двух условий (разумеется, выбирают то неравенство, которое проще решить).

Примеры.

ОДЗ:

Так как логарифмы по одинаковому основанию равны, приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов:

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ:2.

Если разность логарифмов равна нулю,  уравнение может быть представлено в виде «логарифм равен логарифму»:

Поэтому в ОДЗ достаточно записать лишь одно условие:

Поскольку равны логарифмы с одинаковыми основаниями, выражения, стоящие под знаками логарифмов, тоже равны:

Второй корень не входит в ОДЗ.

Ответ: 1,5.

www.logarifmy.ru

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Определение и основные понятия логарифмов

Например. , поскольку .

В 8 веке индийский математик Вирасена (792-853), исследуя степенные зависимости, опубликовал фактически таблицу логарифмов (целочисленных показателей) для оснований 2, 3, 4. Дальнейшее развитие теория логарифмов получила в средневековой Европе, где была выдвинута идея замены трудоемкого умножения на простое сложение. Впервые эта идея увидела свет в книге «Arithmetica integra» (1544) немецкого математика Михаэля Штифеля (1487-1567). В 1614 году шотландский математик Джон Непер (1560-1617) опубликовал сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов», в котором ввел термин «логарифм», а также описал его свойства. Общепринятого обозначения логарифма не было до конца 19 века, хотя специальные обозначения для натурального и десятичного логарифмов появились значительно ранее.

Натуральный логарифм — логарифм по основанию :

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10:

Свойства логарифмов

Следующие свойства приведены для произвольных величин , при которых логарифм существует.

1. Основное логарифмическое тождество:

      

   Например. .

2. Если основание логарифма и подлогарифмическая функция равны, то логарифм равен единице:

      

   Например. .

3. Логарифм по любому основанию от единицы равен нулю:

      

   Например. .

4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей:

      

   Например. .

5. Логарифм частного равен разности логарифмов от делимого и делителя соответственно:

      

   Например. .

6. .

   Например. .

7. .

   Например. .

8. .

   Например. .

9. .

   Например. .

10. Переход к новому основанию:

       

    Например. .

11. .

    Например. .

ru.solverbook.com

Логарифм частного | Логарифмы

Чему равен логарифм частного? Это зависит от знаков делимого и делителя.

При положительных делимом и делителе

логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

В этом случае формула логарифма частного может быть записана как

где x>0, y>0.

Например,

Если в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств либо их систем требуется осуществить переход от логарифма частного к разности логарифмов, следует учесть область допустимых значений.

Когда на области допустимых значений переменные положительны, проблемы при таком переходе не возникают.

Например, в системе

область допустимых значений —

откуда

При таких условиях можем преобразовать логарифм частного как

и система примет вид:

после чего её легко решить, например, способом сложения.

Если же делимое и делитель в частном под знаком логарифма могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, формула перехода от логарифма частного к разности логарифмов выглядит так:

Таким образом, в общем случае логарифм частного равен разности логарифмов модулей делимого и делителя.

Например, в выражении

область допустимых значений —

Поэтому при переходе от логарифма частного к разности логарифмов переменные нужно записывать под знаком модуля:

www.logarifmy.ru

Логарифм произведения | Логарифмы

Логарифм произведения — результат сложения логарифмов с одинаковыми основаниями. Если выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, формула

является тождеством, то есть

при x>0, y>0 логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

Например,

Как и другие свойства логарифмов, переход от логарифма произведения к  к сумме логарифмов может быть использован для преобразований в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем. Если на области допустимых значений переменные, входящие в произведение под знаком логарифма, положительны, проблем не возникает.

Например, для системы 

область допустимых значений x>0, y>0. Поэтому

и систему можно преобразовать как

Если же область допустимых значений включает в себя не только положительные значения переменных, формула перехода от логарифма произведения к сумме логарифмов выглядит так:

Таким образом, в общем случае

логарифм произведения равен сумме логарифмов модулей множителей.

Примеры.

Здесь область допустимых значений

поэтому при переходе от логарифма произведения к сумме логарифмов множителей переменную x берем по модулю:

Область допустимых значений

следовательно,

www.logarifmy.ru