Автор: alexxlab

Производная и интеграл — проще некуда / Хабр

19 декабря 2020 г. на Хабре вышла статья «Интуитивное объяснение интеграла».

В комментариях к ней некоторые пользователи указали, что объяснение получилось не очень интуитивным, например:

“Тема сама по себе интересная, недавно снова повторял курс, но должен сказать, что на мой взгляд, в материале нет изюминки. Автор прав, что в современных изданиях часто даются темы без описания их прикладного применения, из-за чего непонятен смысл их изучения.

Но конкретно интегралы это такая тема, которую надо описать или короче, чем у вас, или намного дольше.
Иначе и школьник не поймет, и те, кто знает, ничего нового не откроют.»

Я попробую изложить материал максимально коротко и просто. Так, чтобы школьники, наконец, поняли, пусть и с помощью родителей. Итак:

Я живу на плоскости, и мой мир выглядит так:

Все мои перемещения ограничиваются прямой линией, которую я называю «ось абсцисс» и обозначаю ее латинской буквой х. Таким образом, я могу гулять от точки, обозначенной цифрой ноль (там находится мой дом), вправо до бесконечности и назад, до нуля. Цифры на оси абсцисс позволяют мне понять, как далеко я от дома. Сейчас я нахожусь в 10 делениях от него.

Да, я слышал, что есть миры, в которых можно перемещаться и влево от нуля, и там расстояния обозначаются отрицательными числами: -1, -2 и т. д., до бесконечности. Кроме того, в тех мирах можно опуститься ниже оси абсцисс, но мой мир максимально прост.

Как-то раз, летящие птицы навели меня на мысль, что по нашему миру можно перемещаться не только влево или вправо, но и «вверх». Потом я узнал, что есть некие люди, умеющие строить дороги, ведущие в наши плоские небеса. Было бы неплохо бы с ними переговорить. И вот я общаюсь со специалистом (С), по строительству таких дорог:

Я: Здравствуйте, вы занимаетесь строительством дорог в небо?

С: Добрый день, да.

Я: А какие дороги вы умеете строить?

С: Самые простые варианты — прямые дороги различной крутизны.

Я: А что такое «крутизна»? Я всегда жил на горизонтальной прямой, и понятия не имею, что это слово может значить.

С: «Крутизна» показывает то, насколько трудно будет вам подниматься (или опускаться) по данной дороге. Чем круче дорога, тем тяжелее подъем или спуск. Давайте нарисуем на нашей плоскости еще одну ось — вертикальную. Мы назовем ее осью ординат, и обозначим латинской буквой у. На этой оси есть цифры, обозначающие «высоту» — расстояние до оси х.

Чтобы нам было проще ориентироваться в нашем двухмерном мире, нанесем на его плоскость линии, идущие от цифр, расположенных на осях х и у:

Теперь любое место (точку) на плоскости мы можем обозначить двумя цифрами. Первая цифра будет обозначать расстояние от нуля до проекции этой точки на ось х…

Я: Простите, а что такое «проекция»?

С: Видите внизу, на оси абсцисс, тень от летящей птицы? Она находится в точке, обозначенной цифрой 6 на оси х. Эта тень и есть проекция тела птицы на ось х. А если бы Солнце находилось справа от птицы, мы бы увидели ее тень на оси у, в районе цифры 8. Это есть проекция тела птицы на ось ординат. Она показывает, на какой высоте летит птица. То есть, расстояние от «земли» (от оси х) до нее.

Мы можем обозначить положение птицы двумя цифрами (6, 8). Первая цифра — проекция на ось х, вторая — проекция на ось у. Эти две цифры мы называем координатами птицы.

Вместо запятой между целой и дробной частями чисел, я буду ставить точку (т.е., не 13,5 а 13.5) для того, чтобы не путать с запятыми между соседними числами.

Я: Отлично, что дальше?

С: Дальше мы отгоним птицу и нарисуем дорогу:

Вы можете заметить, что эта дорога поднимается на одну клеточку вверх, при перемещении проекции на ось х на одну клеточку вправо.

Когда человек перемещается из точки с координатами (4, 4) в точку с координатами (10, 10), его проекция на ось х меняется на 6 цифр. То есть, его тень перемещается вправо на 6 единиц (клеточек). Такое же изменение проекции происходит по оси у. То есть, он одновременно поднимается вверх также на 6 единиц.

Изменение какого-либо параметра (например, проекции на ось х или у), мы обозначаем буквой d (дельта). Изменение высоты мы запишем как dy, а изменение проекции на ось х — как dx. То есть, в данном случае, dу = 6, и dx также = 6.

Разделив изменение высоты на изменение положение тени человека при его перемещении (dy/dx), мы узнаём крутизну данного участка дороги: 6 / 6 = 1.

В нашей проектной документации мы используем очень краткое описание маршрута прокладываемой дороги. В данном случае оно будет выглядеть как математическая формула у = 1*х.

Это значит, что у всегда равен х, и это справедливо для любой точки дороги. Если человек будет находиться, например, в точке, тень от которой падает на ось х в точке 15, он будет находиться на высоте 15. Два параметра — положение тени человека на оси абсцисс и высота, на которой он находится, жестко связаны между собой вышеуказанной формулой.

Разумеется, можно было просто указать крутизну дороги одно цифрой, в данном случае, единицей, но проблема в том, что во-первых, дороги не всегда начинаются у вашего дома — в точке с координатами (0, 0). Во-вторых, существуют дороги, крутизна которых не постоянна. Но о них позже. А пока давайте нарисуем еще пару прямых дорог:

Мы видим, что верхняя дорога поднимается круче, чем та, которую мы рассмотрели ранее. А нижняя дорога — наоборот, более пологая. Высота (проекция на ось у), на которой находится человек, идущий по верхней дороге, равна 10. То есть, перемещаясь от начала координат до точки, в которой он находится сейчас, он изменил свою проекцию на ось у на 10 единиц. В то же самое время, его тень (проекция на ось х) переместилась вправо всего на 5 единиц. Разделив 10 на 5, мы получаем цифру 2. Эта цифра — соотношение высоты и удаленности от нуля по оси х — есть показатель крутизны дороги. Понятно?

Я: Да, я понял это еще на первом примере. А если мы разделим проекцию перемещения человека, идущего по нижней дороге на ось у, на перемещение его тени по оси х, (5/10), мы получим цифру 0.5, или 1/2. Это и есть показатель крутизны нижней дороги?

С: Совершенно верно! Между каждой из дорог и осью х (горизонталью) есть некоторый угол. Чем больше этот угол, тем круче поднимается дорога. Соотношение координаты любой точки дороги (если дорога прямая) по оси у и координаты этой же точки по оси х, называют тангенсом этого угла. Для каждого угла — свой тангенс. Тангенс угла верхней дороги равен 2, тангенс угла нижней, более пологой дороги, равен 0. 5. Соответственно, формулы, которыми мы опишем две последние дороги будут выглядеть как у = 2х и у = 0.5х.

Эти формулы мы называем функциями. Мы говорим, что у — функция от х, где х независимая переменная (мы ее задаём), а у — зависимая переменная, так как мы ее вычисляем, исходя из заданного значения х. И она жестко зависит от значения х. Например, задав х = 12 для дороги, описываемой формулой у = 0.5х, мы, подставляя цифру 12 вместо х, узнаём, что у в этой точке равен 6.

В математике функции обозначают, например, так: f(x) = x. Эта функция справедлива для дороги, рассмотренной нами в самом первом примере. Для второй и третьей дорог, функции будут выглядеть соответственно, как f(x) = 2x и f(x) = 0. 5x. Не очень сложно, да?

Я: Не очень. Что еще мне нужно знать о дорогах?

С: Мы делаем не только прямые дороги. Например, мы можем построить дорогу, которая описывается формулой (функцией) у = x², или f(x) = x². Крутизна этой дороги будет увеличиваться, по мере ее удаления от оси у.

Чтобы построить рисунок этой дороги, мы найдем (вычислим) координаты нескольких ее точек. Для этого мы подставим в формулу у = x² вместо х сначала 1, потом 2, затем 3 и т.д. И рассчитаем значение у для всех этих точек. Сначала подставим 1:

y = х² = 1² = 1.

Это значит, что для точки, с координатой по х равной 1, ее координата по у также равна 1. Нанесем эту точку на график:

Теперь рассчитаем координату по у для точки, с координатой по х равной 2:

y = x² = 2² = 4.

Таким образом, наша вторая точка будет иметь координаты (2, 4). Рассчитав у для точек с координатами по х 3 и 4, получим их полные координаты (3, 9) и (4, 16) соответственно. Нанесем эти точки на график:

Теперь соединим все точки линией, обозначающей дорогу:

Для любой точки этой дороги справедлива формула y = x². Например, для точки, с координатой по х = 1,5, мы получим ее координату по у, возведя 1,5 в квадрат. То есть, ее координаты (1.5, 2.25). Таким образом, мы можем узнать высоту любой точки дороги, задавая ее абсциссу (положение ее тени на оси х).

Но возникает проблема: мы не можем посчитать крутизну какой-либо точки дороги, так как она меняется постоянно. Не получится просто взять две точки дороги сверху и снизу от исследуемой и посмотреть, насколько изменится высота при прохождении пути между ними, разделив перемещение проекции на ось у на перемещение тени по оси х. Точнее, мы можем это сделать, но полученная цифра не будет соответствовать крутизне в средней точке между ними. Смотрите:

Допустим, мы хотим узнать крутизну нашей кривой дороги на участке от начала координат (точки с координатами (0, 0)), до точки с координатами (3, 9). На этом участке дорога поднимается на 9 единиц, в то время, как удаление от начала координат по х составляет 3 единицы. Считаем крутизну так же, как мы считали ее для прямой дороги: 9 / 3 = 3. То есть, крутизна на этому участке, вроде бы, равна 3. Но если мы проведем прямую с крутизной, равной 3, то увидим, что на самом деле дорога в самом низу идет гораздо более полого, чем прямая, а в точке пересечения прямой и дороги, крутизна дороги уже больше крутизны прямой! Крутизна кривой в центре между этими точками также не совпадает с крутизной прямой. Засада. Что же делать? Как нам узнать крутизну каждой точки в ситуации, когда первая постоянно меняется, и нет ни единого прямого участка? Вот для таких случаев господин Ньютон и придумал дифференцирование.

Дифференцирование преобразует нашу функцию в другую функцию, которая как раз-таки позволяет точно вычислить крутизну дороги в данной точке. Мы не будем вдаваться в то, как он пришел к своему решению, а просто воспользуемся результатом его работы — таблицей дифференциалов. Я не буду ее приводить, в Сети такого добра навалом. Можно просто ввести в строку поиска формулу, которую нужно дифференцировать.

Для нашей функции f(x) = x² дифференцирование будет выглядеть таким образом: нам нужно перенести двойку из показателя степени влево, перед х, и уменьшить степень х на единицу. То есть, в данном случае степень х станет равна 1: f ‘(x) = 2x.

Обратите внимание на штрих после буквы f: f ‘(x) — так обозначается функция, которая произошла от нашей оригинальной функции. Поэтому ее называют производной функцией.

Но что нам теперь делать с этой производной? Как с ее помощью найти крутизну какой-либо точки оригинальной функции f(x) = x²? Очень просто. Мы подставляем в производную значение проекции на ось х, точки дороги, крутизна которой нас интересует. Допустим, мы хотим узнать, насколько круто поднимается дорога в точке, находящейся над цифрой 1 по оси х. Мы подставляем эту единицу в производную, и вычисляем значение:

f ‘(x) = 2x = 2*1 = 2.

Эта двойка и показывает нам крутизну дороги над точкой 1 по оси х.

А какова крутизна дороги в точке с абсциссой 4 (проекцией на ось х = 4)? Подставляем эту четверку в производную функцию f ‘(x) = 2x = 2*4 и получаем цифру 8.

Эта восьмерка означает, что крутизна дороги в точке с абсциссой 4 равна 8. То есть, в этой точке дорога поднимается так же круто, как верхняя прямая на правом графике. Вот и весь смысл дифференцирования (нахождения производной).

Слева — график самой дороги, а справа — прямые, крутизна которых соответствует крутизне дороги в указанных точках. То есть, в указанных точках дороги подниматься так же тяжело, как по соответствующим этим точкам прямым. «Здесь так же круто, как там».

Давайте найдем производную нашей самой первой функции f (x) = x.

Мы проделаем такой же трюк: перенесем степень переменной вперед, перед х (это ничего не изменит, так как степень х была равна 1). Кроме того, мы уменьшим степень х на единицу. При этом степень станет равна нулю, и х превратится в единицу (потому, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1).

Мы получили производную функции f(x) = x. Она выглядит так: f ‘(x) = 1. Что это значит? Это значит, что крутизна данной дороги на любом ее участке равна 1. То есть, при изменении абсциссы на dx, dy изменится ровно на такую же величину. В принципе, мы это знали и раньше, но теперь мы вычислили крутизну дороги через производную.

В учебниках пишут, что производная постоянной (некоторого числа) равна нулю. Почему это так?

Давайте построим дорогу, которая описывается функцией f(x) = 5. Это означает, что высота (проекция на ось у) любой точки данной дороги всегда равна 5, следовательно, dy (изменение высоты) равно нулю.

Поэтому эта дорога идет параллельно оси абсцисс, то есть, никакого изменения высоты не будет, на сколько бы мы не перемещались вправо. А раз крутизна дороги равна нулю, то и производная данной функции равна нулю (dy/dx = 0/dx = 0).

Повторим: производная отображает крутизну функции (графика, дороги), а в данном случае никакой крутизны нет. Что и имеется ввиду, когда говорят, что производная постоянной равна нулю.

Я: Хорошо, я все понял: по оригинальной функции я могу вычислить высоту дороги в любой ее точке, а по производной — крутизну в любой ее точке. Но дорога не может висеть в воздухе, она же должна опираться на ось х?

С: Совершенно правильный вопрос. Под дорогой нам придется сделать насыпь. И чем больше материала (клеточек) мы потратим на данный участок дороги, тем больше вам придется заплатить.

Я: А как вы посчитаете, сколько клеточек вам понадобится? Для участка прямой дороги, параллельной оси абсцисс f(x) = 5, все просто:

У нас получается прямоугольник, высота которого равна постоянной 5, а длину мы можем посчитать, вычитая координату по х левой стороны прямоугольника из координаты его правой стороны: 10 — 3 = 7. То есть, ширина прямоугольника равна 7, соответственно, его площадь равна 5 * 7 = 35 клеточек. Я буду вам должен за 35 клеточек.

Нет проблем и с дорогой, которая поднимается (или опускается) по прямой.

Как и в предыдущем случае, ширину основания мы узнаём, вычитая координаты границ по оси х друг из друга: 9 — 3 = 6.

Высоту найти немного сложнее: нам придется вычислить ее среднее значение. Для этого мы берем высоту (проекцию на ось у) левой верхней точки закрашенной фигуры, прибавляем к ней высоту правой верхней точки и делим пополам:

(1.5 + 4.5) : 2 = 3. Эта тройка — средняя высота фигуры. Мы умножаем ее на ширину фигуры и получаем цифру 18. То есть, на данный участок дороги потрачено 18 клеток, верно? Но как узнать, сколько клеток потребует участок дороги типа y = x²?

С протяженностью участка дороги слева направо разобраться легко, она равна 4 — 1 = 3 клетки, но как быть с высотой? Ведь мы не можем в данном случае сложить 1 и 16, затем разделить пополам и получить среднюю высоту фигуры? Как нам посчитать площадь этой насыпи?

С: Господин Ньютон предусмотрел и это. Метод подсчета площади криволинейных фигур называется «интегрирование». Нам придется вспомнить то, как мы находили производную функции f (x) = x²Она выглядит так: f ‘(x) = 2x.

Эту, как и многие другие математические операции, можно производить и в обратную сторону. Если нам известна производная функции, мы можем восстановить эту изначальную функцию, называемую первообразной. То есть, имея функцию, показывающую изменение крутизны дороги, мы можем восстановить функцию, показывающую саму дорогу — высоту любой ее точки.

Если для нахождения производной мы переносили вперед показатель степени переменной (двойку), и уменьшали степень переменной х на единицу

f(x) = x^{2=> f ‘(x) = 2x,}

то теперь нам следует поступить ровно наоборот: двойку, стоящую перед х следует перенести наверх, в степень: f ‘(x) = 2x => f(x) = x^{2.Так мы получаем первообразную функцию. То есть, ту функцию, от которой производная произошла.}

Но не все так просто, давайте рассмотрим дорогу, описываемую функцией

f (x) = x^{2+ 4:}

Она выглядит точно так же, как дорога f (x) = x^{2, но располагается выше. Если мы найдем производную этой функции, то обнаружим, что она выглядит точно так же, как производная от функции f (x) = x2! То есть, как f ‘(x) = 2x. Ибо при нахождении производной четверка (постоянная) будет отброшена.}

Я: Почему?

С: Потому, что она не влияет на крутизну графика. Вы же помните, что производная описывает крутизну оригинального (первообразного) графика на каждом его участке? А теперь посмотрите на точки обоих графиков, расположенные, к примеру над цифрой 3 на оси х. Крутизна верхнего и нижнего графиков в этих точках одинакова! То же самое касается любых двух точек этих графиков, расположенных друг под другом. Эти две дороги идут параллельно друг другу, поэтому, их крутизна везде совпадает. Отличается только высота.

Но производная — это не про высоту, а про крутизну дороги. Потому и получается, что обе функции f (x) = x^{2и f (x) = x2+ 4 приводят к одной и той же производной f ‘(x) = 2x.}

Я: Погодите, но тогда получается, что функции, к примеру, f (x) = x² + 5 или f (x) = x² + 1.3 и даже f (x) = x^{2— 2 также приводят к одной и той же производной? Ведь они все параллельны друг другу, и их крутизна в точках, расположенных друг под другом, совпадает?}

С: Да, наша производная имеет бесконечный набор первообразных. Поэтому первообразную функции f (x) = 2x записывают как F (x) = x² + C, где буква С может быть любым числом. От этого числа зависит только высота, на которой проходит дорога. Точнее, разница высот между данной дорогой, и дорогой, у которой С = 0. Если Вы снова посмотрите на графики выше, то увидите, что любая точка верхнего графика ровно на 4 клетки выше аналогичной точки нижнего графика.

Обратите внимание также на то, что буква F в первообразной — заглавная (большая), Первообразная является «матерью» производной, поэтому мы относимся к ней с уважением, и пишем ее имя заглавной буквой.

Все множество функций, описываемых формулой F (x) = x² + C, называется неопределенным интегралом. Самая распространенная формула для нахождения неопределенного интеграла выглядит так:

По этой формуле мы можем найти неопределенный интеграл нашей функции f (x) = x². Для этого мы увеличиваем степень переменной на единицу, а в знаменатель просто ставим получившуюся степень переменной. Степень нашей переменной была 2, увеличив ее на единицу, получаем x³. Эту же тройку мы ставим в знаменатель (под дробную черту). Получается выражение F (x) = x³/3 + С.

Теперь вернемся к нашей криволинейной фигуре.

Чтобы узнать ее площадь, в полученный нами неопределенный интеграл нужно подставить абсциссу ее правой границы — цифру 4 (при этом постоянная С отбрасывается):

F (x) = x³/3 = 4³/3 = 21 1/3 (двадцать одна целая и одна треть)

То же самое проделаем с левой границей фигуры:

F (x) = x³/3 = 1³/3 = 1/3 (одна треть)

Теперь нам остается вычесть из первого числа второе: 21 1/3 — 1/3 = 21

Искомая площадь равна 21 клетке. Для проверки вы можете примерно посчитать закрашенные клетки на картинке.

Давайте подытожим все вышесказанное. Итак, у нас есть некоторая формула (функция) f(x), описывающая некую линию на графике.

Чтобы найти крутизну этой линии (функции) в какой-либо ее точке, мы находим производную данной функции f ‘(x), затем подставляем в полученную производную проекцию на ось х интересующей нас точки оригинальной функции, и вычисляем искомый параметр. Полученная цифра будет показывать тангенс угла наклона прямой, которая поднимается (или опускается) так же круто, как исходный график в исследуемой точке.

А чтобы найти площадь под участком графика исходной функции, следует найти ее первообразную F, затем, в эту первообразную по очереди подставить координаты по х правой и левой границы фигуры, площадь которой мы хотим найти, а затем вычесть два полученных числа друг из друга. Результат вычитания и есть искомая площадь.

Я: А почему вы отбросили постоянную С? Разве это не приведет к тому, что площадь под участками кривых f (x) = x^{2и f (x) = x2+ 4, находящимися друг под другом, будут одинаковыми?}

С: Не беспокойтесь, при нахождении интеграла второй функции, постоянная 4 в ее первообразной превратится в 4х, поэтому, к площади под ней добавится прямоугольник высотой 4 клеточки и ошибки не будет. Ну так что, какую дорогу Вы выбираете?

Акустика для начинающих | Интеграл

Третье издание 10-го выпуска «Общедоступной серии» Библиотеки «Интеграла» — книги Григория Давыдовича Изака «Акустика для начинающих».

В книге «Акустика для начинающих», ставшей последней работой доктора технических наук Г.Д. Изака, автор в популярной форме изложил основы акустики. Неформальная манера изложения − диалог деда с внуком − и обилие иллюстраций делают материал интересным и понятным. Книга позволит получить (или освежить) базовые знания по шуму и борьбе с ним. Книга рассчитана на широкий круг читателей, в том числе может быть полезна преподавателям и студентам архитектурно-строительных вузов, специалистам по охране окружающей среды и здоровья человека, разработчикам, главным инженерам и главным архитекторам проектов производственных, общественных и жилых зданий, всем, кто, по роду своей деятельности, сталкивается с вопросами распространения звука и защиты от шума.

Второе издание книги выходит под редакцией доктора технических наук, профессора И.Е. Цукерникова

Н.И. Иванов, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации:

«Эта книга, кажется, должна была появиться давно, но никто из нас, специалистов, не смог взяться и решить эту задачу: сложнейшие вопросы инженерной и архитектурно-строительной акустики изложить так, чтобы их мог понять даже молодой человек со школьной скамьи. Автор этой книги был высочайшим профессионалом и мудрым человеком, и вот перед нами этот чрезвычайно полезный и в немалой степени занимательный труд.

Несколько слов об актуальности этой книги. Она в основном описывает базовые принципы и основополагающие положения борьбы с шумом. В ней изложены основные положения физиологической акустики, даны методики расчетов распространения шума, приведены основные методы борьбы с шумом. Это великолепное практическое пособие для любого начинающего (и не только) специалиста, которое не будет стареть со временем.

Из всех опасных и вредных факторов среды обитания шум − самый массовый, под влиянием повышенного шума находится почти половина населения Земли. ЮНЕСКО сформулировала шумовую ситуацию в мире очень образно: «Шум − бедствие современного мира и нежелательный продукт технической цивилизации». Сложность решения проблем шума объясняется не только подчас ошеломляющими затратами на проектирование, изготовление и установку средств защиты от шума, но также недостаточной грамотностью проектировщиков, конструкторов, строителей.

Действительно, акустику не преподают в школе, а основам борьбы с шумом в технических вузах уделяется в основном не более 2-4-х часов (исключение здесь − наш Балтийский Государственный Технический университет «Военмех» им. Д.Ф. Устинова). И специалист, решающий задачи снижения шума, оказывается без базовых знаний в мире сложнейшей нормативно-технической документации. С чего начать, как действовать, что правильно – эти и еще многие вопросы задавали себе и я и многие мои коллеги, начиная свой профессиональный путь в этой потрясающе интересной и такой нужной человечеству области деятельности.

Как я завидую тебе, читатель, ты держишь в руках книгу, которая отвечает на многие, многие вопросы и, поверь мне, очень поможет не только в начале твоего профессионального пути. Ты будешь еще и еще раз возвращаться к ней, черпая в ней новые и новые знания.

Почти полвека я профессионально занимаюсь акустикой, но читал ее с неослабевающим интересом до последней страницы. Блестяще, профессионально, полезно.»

158 страниц, формат А5, мягкая обложка. Цена без учета доставки.

Примеры интегрального исчисления – математические тайны

На этой странице я привожу примеры U-подстановки , Интеграция по частям и Тригонометрическая подстановка . Обычно я не привожу примеры, но интеграция требует много времени, чтобы распознать различные типы и методы их решения. Это хорошая отправная точка для вашего назидания, а не для слабонервных, и помните МАТЕМАТИКА ВЕСЕЛАЯ . Кроме того, не забудьте понять основную теорему исчисления!

Ниже приведены некоторые правила интегрирования и памятки, которые помогут вам при изучении и выполнении интегрального исчисления.

Common Functions	Function	Integral
Constant	∫ a dx	ax + C
Variable	∫ x dx	x 2 /2 + C
Квадрат	∫ x 2  dx	x 3 /3 + C
Обратная	∫ 7 l0 (1/x) + C
Exponential	∫ e x  dx	e x  + C
	∫ a x  dx	a x /ln(a) + C
	∫ ln(x) dx	x ln(x) − x + C
Тригонометрия (x в радианах)	∫ COS (x) DX	SIN (x) + C
	∫ SIN (x) DX	-COS (x) + C
-COS (x) + C
-COS (x) + C
.		∫ sec 2 (x) dx	tan(x) + C
Rules	Function	Integral
Multiplication by constant	∫ cf(x) dx	c ∫ f(x) dx
Power Rule (n≠−1)	∫ x n  dx
Sum Rule	∫ (F + G) DX	∫ F DX + ∫ G DX
Правило разности	∫ (F — G) DX	∫ F DX – – g g g g g g g g g g g. dx
Интеграция по частям		См. Интеграция по частям
Правило подстановки		См. «Интегрирование путем подстановки»

«Шпаргалка по исчислению». 2022.  tutorial.math.lamar.edu . https://tutorial.math.lamar.edu/pdf/Calculus_Cheat_Sheet_All.pdf.

⭐ Райан, Марк. «Рабочая тетрадь по исчислению для чайников. Шпаргалка — чайники». 2022.  dummies.com . https://www.dummies.com/article/academics-the-arts/math/calculus/calculus-workbook-for-dummies-cheat-sheet-208666/.

U-подстановка

Как меня учили, U-подстановка — это способ работы с цепным правилом дифференцирования: оно переворачивает его! Цепное правило имеет дело с производными составных функций. В подобных примерах мы говорим, что производная функции f(g(x)) равна f’(g(x))*g’(x). Вот почему производная -cos(2x) не просто sin(2x): нам не хватает дополнительного коэффициента 2 в производной внутренней функции 2x. Теперь нам должно быть очевидно, почему интеграция sin(2x)  не дает просто  -cos(2x). Абсолютно необходимо «учитывать» цепное правило как в задачах дифференцирования, так и в задачах интегрирования. Давайте вместе рассмотрим пример задачи. ¹

См. следующие веб-страницы:

«Интеграция путем замены — Википедия». 2022.  en.wikipedia.org . https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution.

«Интеграция методом подстановки (решенные проблемы)». 2022. БАЙЮС . https://byjus.com/maths/integration-substitution/.

«U-замена». 2022.  math.ucdavis.edu . https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/usubdirectory/USubstitution.html.

⭐ «𝘶-Замена Интро (Видео) | Академия Хана». 2022.  Академия Хана . https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-9/v/u-substitution.

Интеграция по частям

Интеграция по частям — это интеграционная версия правила продукта для дифференциации. Основная идея интегрирования по частям состоит в том, чтобы преобразовать интеграл, который вы не можете сделать, в простое произведение минус интеграл, который вы можете сделать. Вот формула: ³

Пока не пытайтесь это понять. Дождитесь следующих примеров.

Если вы помните это, вы легко можете вспомнить, что интеграл справа такой же, как и интеграл слева, за исключением того, что u и v перевернуты.

См. следующие веб-страницы:

«Как выполнить интеграцию по частям — макеты». 2022.  dummies.com . https://www.dummies.com/article/academics-the-arts/math/calculus/how-to-do-integration-by-parts-192235/.

«Интегрирование по частям — формула, правило ILATE и примеры решений». 2022.  БАЙЮС . https://byjus.com/maths/integration-by-parts/.

«Интеграция по частям — Википедия». 2022.  en.wikipedia.org . https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts.

⭐ «Интеграция по частям, введение (видео) | Академия Хана». 2022.  Академия Хана . https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-11/v/deriving-integration-by-parts-formula.

Тригонометрическая подстановка

Этот метод работает, когда подынтегральная функция содержит радикалы вида ²

(или степени этих корней), где a — константа, а u — выражение в

4 x 9.

См. следующие веб-страницы:

«Исчисление II — Триггерные замены». 2022.  tutorial.math.lamar.edu . https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/TrigSubstitutions.aspx.

«Как интегрировать sin(x)cos(x)? – Вопросы и ответы по математике». 2022. BYJU’s . https://byjus.com/questions/how-do-you-integrate-sin-x-cos-x/.

«Интегрирование тригонометрической подстановкой – исчисление | Сократ». 2022.  socratic.org . https://socratic.org/calculus/techniques-of-integration/integration-by-trigonometric-substitution.

«Интеграция Tan X – формула, вывод и примеры». 2022.  БАЙЮС . https://byjus.com/maths/integration-of-tan-x/.

⭐ «Введение в тригонометрическую замену (видео) | Академия Хана». 2022. Академия Хана . https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus/ic-integration/ic-trig-substitution/v/introduction-to-trigonometric-substitution.

«Тригонометрическая замена — инструмент для вычисления интегралов». 2022.  web.iit.edu . https://web.iit.edu/sites/web/files/departments/academic-affairs/academic-resource-center/pdfs/Trigonometric_Substitution.pdf.

«Тригонометрическая замена – Учебники по исчислению». 2022.  math.hmc.edu . https://math.hmc.edu/calculus/hmc-mathematics-calculus-online-tutorials/single-variable-calculus/trigonometric-substitution/.

«Тригонометрическая замена — Википедия». 2022.  en.wikipedia.org . https://en.wikipedia.org/wiki/Тригонометрическая_подстановка.

Ссылки

¹ Минг, Альберт. «3 важных метода интеграции, которые нужно знать». 2021.  Средний . https://albertming88.medium.com/3-important-methods-of-integration-to-know-dfc6108f8eea.

² «Рабочая тетрадь по математическим вычислениям для чайников — Шпаргалка для чайников». 2022.  dummies.com . https://www.dummies.com/article/academics-the-arts/math/calculus/calculus-workbook-for-dummies-cheat-sheet-208666/.

³ «Как выполнять интегрирование по частям — макеты». 2022.  dummies.com . https://www.dummies.com/article/academics-the-arts/math/calculus/how-to-do-integration-by-parts-192235/.

Дополнительное чтение

⭐ Райан, Марк. Расчет для чайников . Индианаполис, Индиана: Wiley Publishing, Inc., 2003.

«Правила интеграции». 2022.  mathsisfun.com . https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-rules.html.

«Интеграция по частям». 2022. mathsisfun .com . https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-by-parts.html.

«Интеграция путем замены». 2022.  mathsisfun .com . https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-by-substitution.html.

«Введение в интеграцию». 2022.  mathsisfun.com . https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-introduction.html.

⭐ Предлагаю прочитать весь справочник. Другие ссылки можно прочитать полностью, но я оставляю это на ваше усмотрение.

Интеграция данных и ETL для чайников (таких как я)

В начале 2020 года друг, который работал в этой отрасли, познакомил меня с идеей интеграции данных. Да, я знаю. Чрезвычайно поздно. Все, что я знал об этом, это то, что я мог хранить свои данные в одном (виртуальном) месте, а затем волшебным образом отображать их в другом (виртуальном) месте. Я понятия не имел, как это было сделано и насколько это важно для современного бизнеса.

Чтобы дать вам некоторую информацию, мой предыдущий опыт работы не связан с какой-либо технической областью. Он занимается развитием бизнеса и маркетингом нетехнических продуктов. Я, наверное, должен был больше знать об окружающем меня техническом мире, но пока вы должны простить меня за мое невежество.

Через пару дней после того, как мой друг и я впервые обсудили пространство интеграции данных, он просветил меня о важности возможности извлечения, преобразования и загрузки (ETL) данных. Мне было любопытно, как работает этот процесс, поэтому я решил, что хочу больше узнать об ETL и интеграции данных.

Моя цель в этой статье — помочь вам изучить основы, которые, по моему мнению, являются наиболее важными для понимания того, что такое интеграция данных. Как нетехнический специалист, я понятия не имел, с чего начать, кроме поиска «Что такое интеграция данных?» Итак, давайте начнем с этого.

Что такое интеграция данных?

В общем, это мост для данных. Интеграция данных позволяет объединить данные, находящиеся в разных местах (часто называемые источниками ), в единое представление. Унифицированное представление — это когда все данные, которые вы собрали из различных источников, помещаются в одно место, что позволяет вам просматривать все свои данные в одном месте.

Это не означает, что данные больше не существуют в исходном источнике, из которого вы их извлекли. Более точный способ изобразить это так, как если бы кто-то скопировал данные из исходного источника, а затем отправил эту копию исходных данных по мосту. Это похоже на идею репликации данных, за исключением того, что репликация данных — это просто копирование данных в разные места в целях безопасности.

Таким образом, на самом деле интеграция данных — это не перемещение исходных данных, а скорее их репликация и помещение копии исходных данных в другое место (которое обычно называют целью ) для целей, которые мы получим в далее в статье.

Другой важной частью пространства интеграции данных является преобразование данных. Это важная часть мира интеграции данных, поскольку она может помешать вашей интеграции данных конвейер (конвейер — это интеграция данных от начала до конца — от импорта данных до экспорта данных) от возможности объединения всех данных.

Проблема в том, что данные из разных источников часто поступают в разных форматах, которые невозможно объединить в единое представление, если только некоторые или все данные не будут преобразованы в один и тот же формат. Я коснусь этого позже в статье.

Кому нужна интеграция данных?

Существует два основных варианта использования интеграции данных.

Бизнес-аналитики

Первые — это бизнес-аналитики, которые хотят иметь возможность проверять всю свою бизнес-аналитику в одном месте. Вместо того, чтобы обращаться к Google Analytics, чтобы проверить, сколько людей посетило их веб-сайт, Mixpanel, чтобы проверить, что люди нажимали на своем веб-сайте, Chargebee, чтобы проверить аналитику своих счетов за подписку, и Mailchimp, чтобы проверить, как работает их кампания по холодной электронной почте, интеграция данных позволяет это аналитики, чтобы увидеть все это в одном месте. Давайте посмотрим на пример.

Это простая информационная панель с двумя графиками. Первый показывает ежемесячный регулярный доход, а второй показывает отток компании. Используя конвейер интеграции данных, пользователь этой информационной панели смог подключить свои бизнес-аккаунты для заполнения этих графиков. Теперь они могут просматривать свои данные из нескольких источников в простом унифицированном представлении. Начинаете понимать, почему это может быть полезно?

Разработчики

Второй вариант использования предназначен для разработчиков, которые создают продукты, требующие ввода данных. Попробуйте представить себя в этом сценарии.

Вы разработчик, создающий бухгалтерский продукт, который помогает бухгалтерам выявлять несоответствия в их (онлайн) бухгалтерском учете. Для этого вам необходимо иметь доступ к данным банковского счета, с которым они работают, их ERP-системе ( ERP-система — это программное обеспечение, помогающее управлять основными бизнес-процессами) и их биллинговой системе.

Чтобы собрать все эти данные вместе, разработчик должен настроить конвейер интеграции данных, который извлекает данные из банковского счета, системы ERP и системы выставления счетов. Сделав это, они могут загрузить данные в свой продукт и проверить наличие несоответствий в бухгалтерском учете.

Как вы видите, сегодня интеграция данных является ценной и важной частью бизнес-процессов практически любой компании. Подробнее о том, почему это так важно, мы поговорим позже в этой статье.

Как происходит интеграция данных?

Это, наверное, самая абстрактная вещь, которую я затрону в этой статье. Как я упоминал ранее, вы должны представлять интеграцию данных как виртуальный мост между источником и целью.

Аналитики или разработчики могут выбрать один из трех вариантов построения конвейера интеграции данных. Во-первых, у них есть собственная интеграция с командой. Это трудоемкий процесс — «одна интеграция (имеется в виду интеграция с одним конкретным источником) может занять у небольшой команды до двух недель, но это даже не самые большие затраты.

После создания эти интеграции необходимо поддерживать. Это связано с тем, что, если не вдаваться в технические подробности, есть некоторые движущиеся части, которые меняются на постоянной основе, что требует регулярного обновления конкретной интеграции.

Второй вариант — нанять команду профессионалов, которые создадут для вас интеграцию. Хотя это индивидуальное решение, не требующее вмешательства, этот вариант обычно стоит дорого. Команда профессионалов выполняла бы точно такую ​​же работу, если бы вы построили его самостоятельно, но (очевидно) это отвлекло бы любую работу от вашей собственной команды.

Третий вариант — использовать сторонний инструмент, чтобы помочь компании построить свою воронку продаж. Это гибрид между двумя предыдущими вариантами. Вы по-прежнему используете свою собственную команду для настройки интеграции, но многие из необходимых ресурсов абстрагируются программной платформой, которую они решили использовать. Вам не нужно создавать интеграцию или создавать цель, а обычно просто определяете слой преобразования (это означает, что вы решаете, в каком формате должны быть ваши данные).

Следует отметить, что некоторые из этих инструментов предназначены для разработчиков (например, горячий клей), а другие — для аналитиков (например, Fivetran). Инструменты для разработчиков часто обрабатывают более сложные процессы, поскольку они позволяют разработчикам использовать более детальный подход, в то время как инструменты аналитики отлично подходят для нетехнических специалистов, которым нужно настроить простой конвейер интеграции данных.

В последние несколько лет многие компании отдают предпочтение этим типам инструментов, поскольку они становятся все более эффективными, настраиваемыми и доступными.

Причина, по которой некоторые компании выбирают собственный конвейер интеграции данных, заключается в сложности, которую может потребовать интеграция. Как правило, сторонние решения имеют тенденцию быть немного более жесткими и не позволяют компаниям настраивать свой конвейер на детальном уровне.

На более конкретном уровне существует множество конкретных процессов, которые относятся к термину интеграция данных. Самый популярный из них…

ETL (Extract, Transform, Load)

ETL — самый популярный процесс интеграции данных. Он используется, когда кто-то хочет объединить данные из нескольких источников, но также требует изменения формата данных.

Например, если у кого-то есть файл Excel или CSV , который он хотел переместить в определенную базу данных, но все остальные источники данных были в формате JSON (очень популярный формат обмена данными), этот файл должен быть быть преобразован в JSON, чтобы его можно было объединить с другими.

После преобразования файл отправляется в цель, определенную для этого конкретного конвейера, где он объединяется со всей другой полученной информацией.

Иногда процесс изменяется на ELT (извлечение, загрузка, преобразование) для различных вариантов использования с меньшими объемами данных, но каждый шаг по-прежнему выполняет одну и ту же функцию.

Почему важна интеграция данных?

Компании, которые хотят оставаться конкурентоспособными, должны использовать преимущества данных, несмотря на проблемы, возникающие при интеграции данных.

Полная таблица производных Решение производных онлайн

Читать дальше: производная корня икс, sqrt(x)’.

Вопрос

Обновлено: 23.03.2021

MBD ПУБЛИКАЦИЯ-ЛИМИТ И ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ-БАНК ВОПРОСОВ

РЕКЛАМА

Текст Решение

Ответ

Пошаговое решение, разработанное экспертами, чтобы помочь вам в разрешении сомнений и получении отличных оценок на экзаменах.

Ab Padhai каро бина объявления ке

Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке! 93):}

648502873

Text Solution

World Web Math: производные полиномов

Полиномы — одни из самых простых функций, которые мы используем. Мы должны знать производные многочленов, таких как х ⁴ +3 х , 8 x ² +3x+6 и 2. Начнем с самая простая из них, функция г = f ( x )= c , где c — любая константа, например 2, 15,4 или один миллион четыре. (10 ⁶ +4). Оказывается, производная любой постоянной функция равна нулю. Это имеет смысл, если вы думаете о производной как наклон касательной. Чтобы использовать определение производная, с f ( x ) = c ,

Для полноты рассмотрим теперь у = f ( х ) = х . Это уравнение прямой линии с наклоном 1, и мы ожидаем найти это из определения производной. Мы не разочарованы:

Две вещи, которые следует отметить в вышеизложенном:

• Может возникнуть соблазн «отменить» термин « dx » в промежуточный шаг. Это верно, но только в этом простом случае.
• Никогда больше не будет так просто, хотя и не намного Сильнее.

  Прежде чем перейти к самому общему случае, рассмотреть y = f ( x ) = x ² . Как показано, это самая простая парабола. производная от f ( x ) все еще можно найти из базовой алгебры:

  Это говорит нам именно то, что мы ожидаем; производная равна нулю в x = 0, имеет тот же знак, что и x , и становится круче (более отрицательное или положительное) по мере того, как x становится более отрицательным или положительный.

  Интересный результат нахождения эта производная состоит в том, что наклон секущей равен наклону функция в середине отрезка. Конкретно,

  (На приведенном рисунке 90 107 x 90 108  = -1 и ч  = 3, поэтому ( x + ч /2) = +1/2.
  Обратите внимание, что параболические функции являются функциями и только . (кроме линейных или постоянных функций), для которых это всегда истинный.

  Отсюда можно и нужно считать y = f ( x ) = x ⁿ для любое положительное целое число n . Есть много способов сделать это, с разной степенью официальности.

  Для начала рассмотрим, что для n положительное целое число биномиальная теорема позволяет нам выразить f ( x +h) как

  (В приведенном выше всегда будет не более n +1 ненулевые члены.) Затем алгебра снова дает нам

  Видно, что эта очень удобная форма воспроизводит приведенные выше результаты для n =1, n =2 и даже n =0, т.е. случай с =1.
  Приведенный выше результат можно получить из индуктивного процесса, используя правило произведения, но индуктивный шаг подобен тому, который позволяет распространение биномиальной теоремы на все положительные целые числа и добавляет немного для этой презентации.

  Расширение от f ( x )= x ⁿ произвольным полиномам (здесь будет рассматриваться только конечный порядок) нужны только два простых, возможно, даже очевидных результата:

  • Производная суммы двух функций есть сумма производные.

§ Как избавиться от иррациональности

Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

Важно!

Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.

Что такое иррациональность в знаменателе дроби

Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.

•   в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет;
•   в знаменателе есть
  корень «√6» — иррациональность в знаменателе есть.

• 4

  √7 − √3

    в знаменателе есть корни «√7» и «√3» — иррациональность есть.

• a + b

  √c − 3

    в знаменателе есть
  корень «√c − 3» — иррациональность в знаменателе есть.

Запомните!

Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.

Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?

Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень

На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.

Запомните!

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.

По традиции разберемся на практике.

Разбор примера

Исключить иррациональность из знаменателя:

Зададим себе вопрос, на что нужно умножить «√5» в знаменателе, чтобы избавиться от корня.

Ответ: на «√5». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.

√5 · √5 = √5 · 5 = √5² = 5

Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на «√5», чтобы избавиться от корня в знаменателе.

=

=

=

=
=

Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней

Запомните!

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.

Разберемся по традиции на примере.

Разбор примера

Исключить иррациональность из знаменателя:

На что нужно умножить знаменатель «2 − √3», чтобы убрать из него корень?

Теперь недостаточно умножить знаменатель на «√3», ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.

(2 − √3) · √3 = 2√3 − √3 · √3 =

= 2√3 − 3

Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.

Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a² − b² = (a + b)(a − b)

Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.

(a + b)(a − b) = a² − b²

Представим, что «2 − √3» — это часть формулы.

(a + b)(a − b) = a² − b²
(? + ?)(2 − √3) = ?² − ?²

Логично предположить, что в формуле «a» — это «2», «b» — «√3». Подставим вместо знаков «?» числа.

(a + b)(a − b) = a² − b²

(2 + √3)(2 − √3) = 2² − √3² = 4 − 3 = 1

То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель «2 − √3»
на «2 + √3» и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.

Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на «2 + √3».

Примеры

Разбор примера

Исключить иррациональность из знаменателя:

2)

=

=

=

=
=

Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.

7)

=

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a² − b² = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a² − b²

Умножим и числитель, и знаменатель на «(√5 − √7)», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.

=

=
=

= …

Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».

(a − b)² = a² − 2ab + b²

=

=
=

=
=

=

=

=

=
= −

= …

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь.

=

=
=

=

=

=
=

=

=

= −

= −

=
= −

=
= − (6 − √35) = −6 + √35

Разбор примера

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

5)

Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».

a² − b² = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a² − b²

Умножим и числитель, и знаменатель на «(√a + √b)», чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.

5)

=

=
=

=

Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Квадратный корень из 6 — Как найти квадратный корень из 6?

LearnPracticeDownload

Квадратный корень из 6 выражается как √6 в радикальной форме и как (6) ^½ или (6) ^0,5 в экспоненциальной форме. Квадратный корень из 6, округленный до 7 знаков после запятой, равен 2,4494897. Это положительное решение уравнения x ² = 6.

• Корень квадратный из 6: 2,449489742783178
• Квадратный корень из 6 в экспоненциальной форме: (6) ^½ или (6) ^0,5
• Квадратный корень из 6 в подкоренной форме: √6

Что такое квадратный корень из 6?

Квадратный корень из числа n записывается как √n. Квадратный корень из 6 можно записать по-разному.

• Радикальная форма: √6 
• Десятичная форма: 2,449
• Форма экспоненты: (6) ^1/2

Является ли квадратный корень из 6 рациональным или иррациональным?

• Квадратный корень из 6 — это иррациональное число с неконечными цифрами.
• Квадратный корень из 6 нельзя записать в виде p/q. Следовательно, это иррациональное число.

Как найти квадратный корень из 6?

Есть 2 основных метода, которые мы используем, чтобы найти квадратный корень из 6.

• Факторизация простых чисел
• Длинное деление

Факторизация простых чисел

• Чтобы найти квадратный корень из 6, мы сначала выразим его через простые множители.
  6 = 2 × 3
• Теперь найдем квадратный корень.
  √6 = √(2 × 3)
  √6 = √2 × √3
  = 1,414 × 1,732
  = 2,449

Следовательно, квадратный корень из 6 равен 2,449

Длинное деление

• Шаг 1: Составьте пару цифр (поместив над ними черту) с места, как показано на рисунке.
• Шаг 2: Найдите такое число, чтобы при умножении его на себя произведение было меньше или равно 6. Мы знаем, что 2 × 2 = 4, что меньше 6. Поместите 2 в частное и разделите на 6 на 2, чтобы получить остаток как 2.
• Шаг 3: Поместите десятичную дробь после частного, так как мы сейчас делим, используя 0 из десятичной части 6. Не забудьте перетащить пару нулей вниз, получив делимое 200. Кроме того, добавление 2 само по себе дает нам 4 который становится начальной цифрой нашего следующего делителя.
• Шаг 4: Теперь у нас есть новый делитель 4X. Нам нужно найти такое значение X, чтобы 4X × X дало нам значение меньше 200. Число 4 заполняет позицию X, поэтому делимое равно 44, а частное теперь равно 2,4.
• Шаг 5: Следующим делителем будет 44 + 4, а делимое будет 2400. Мы будем продолжать делать те же шаги, пока не получим необходимое количество десятичных знаков.

Итак, наше длинное деление теперь выглядит так: 

Следовательно, квадратный корень из 6 равен 2,449

Исследуйте квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

• Квадратный корень из 5
• Квадратный корень из 8
• Квадратный корень из 9
• Квадратный корень из 4
• Квадратный корень из 3

Важные примечания

• Квадратный корень из 6 = 2,449
• √6 иррационально и не завершается.
• Квадратный корень из 6 имеет 2 действительных корня: +2,449 и -2,449

Решенные примеры

1. Пример 1: У Кати есть кубик. Площадь всех 6 сторон куба равна 36 см ² . Помогите ей рассчитать длину ребра куба.

   Решение:

   Общая площадь поверхности 36 см ²
   Площадь поверхности каждой стороны = 36/6 = 6 см ²
   Длина ребра = квадратный корень (6) = 2,45 см
   Следовательно, длина ребра куба равна 2,45 см.

2. Пример 2: Какое расстояние пройдет человек, бегущий со скоростью 6√6 миль в час за 1 час?

   Решение:

   Пройденное расстояние = скорость × время
   Следовательно, человек преодолевает общее расстояние 6√6 × 1 = 14,697 × 1 = 14,697 миль

   .

3. Пример: Если площадь поверхности сферы составляет 24π в ² . Найдите радиус сферы.

   Решение:

   Пусть ‘r’ будет радиусом сферы.
   ⇒ Площадь сферы = 4πr ² = 24π в ²
   ⇒ г = ±√6 в
   Поскольку радиус не может быть отрицательным,
   ⇒ г = √6
   Квадратный корень из 6 равен 2,449.
   ⇒ г = 2,449 в

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

Закажите бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 6

Каково значение квадратного корня из 6?

Квадратный корень из 6 равен 2,44948.

Почему квадратный корень из 6 является иррациональным числом?

При простой факторизации 6, т.е. 2 ¹ × 3 ¹ , 2 находится в нечетной степени. Следовательно, квадратный корень из 6 иррационален.

Внесение множителя под знак корня: правила, примеры, решения

В этой статье мы продолжим говорить о том, как преобразовывать иррациональные выражения, а конкретно о том, как внести множитель под знак корня. Сначала поясним, в чем состоит смысл такого преобразования, приведем теоретические обоснования и сформулируем основные правила, после чего проиллюстрируем их на примерах решений задач.

Понятие внесения множителя под знак корня

Начнем с определения этого преобразования.

Внесение множителя под знак корня представляет собой преобразование произведения B·Cn, где B и C являются числами или выражениями, а n – натуральным числом, в тождественно равное выражение Bn·Cn или -Bn·Cn.

Первое знакомство с этим видом преобразования, как правило, происходит сразу после изучения понятия квадратного корня и его свойств в рамках школьного курса алгебры. При этом определение берется только для n, равного 2, то есть для выражений с квадратным корнем. Позже, когда начинают изучаться корни n-ной степени, разбираются и случаи с более сложными выражениями.

Учитывая все сказанное выше, легко понять, почему данное преобразование называется именно так: в его результате множитель B перемещается под знак корня. Также очевидно, что изменить таким образом можно не любые выражения, а только конкретные произведения некоторых чисел (выражений) и корней, под знаками которых также расположено некоторое число или выражение. В качестве примера можно привести 5·3, -0,7·x+2·y3, x-2·1-x4 и  т.д.

В результате мы должны прийти к выражению вполне определенного вида. Так, указанные выше примеры после преобразования будут выглядеть так: 52·3, -0,73·x+2·y3, -x-24·1-x4. Возможно и дальнейшее упрощение этих выражений, если такая необходимость есть.

После того, как мы определились, что из себя представляет внесение множителя под знак корня, можно перейти к теоретическим обоснованиям преобразования. В следующем пункте мы объясним, когда -Bn·Cn следует заменять на Bn·Cn, а когда Bn·Cn на -Bn·Cn.

Теоретические основы внесения множителя под корень

Ранее, когда мы объясняли, как можно изменить иррациональные выражения, применяя основные свойства корня, у нас получился ряд важных результатов. Здесь нам потребуются два из них:

1. Выражение A можно заменить на Ann в случае нечетного n. Если же n является четным числом, то возможна замена на Ann для всех значений переменных, которые принадлежат области допустимых значений для данного выражения и при которых A не будет отрицательным (это условие можно записать как A≥0). То есть если n – нечетное число, то A=Ann, A≥0,-Ann, A<0.
2. Выражение An·Bn заменяется на A·Bn при условии, что n – натуральное число.

Воспользовавшись этими правилами, мы можем внести множитель под знак радикала (корня) после следующих преобразований:

• при нечетном n – B·Cn=Bnn·Cn=Bn·Cn
• при четном n– B·Cn=Bnn·Cn=Bn·Cn, B≥0,-Bnn·Cn=-Bn·Cn, B<0

Допустим, B представляет из себя число, большее 0, либо выражение, которое будет неотрицательным при любых значениях переменных из области допустимых значений. Тогда B·Cn=Bnn·Cn=Bn·Cn. А если B будет отрицательным числом или его значения не будут положительны при любых переменных, то B·Cn=-Bnn·Cn=-Bn·Cn.

В следующем пункте мы сформулируем эти положения в виде правил, которые будем в дальнейшем применять для решения задач.

Основные правила внесения множителя под знак радикала

Выше мы уже рассказывали, что действия, которые нужно предпринять для внесения множителя под корень, будут зависеть от значения показателя n, точнее от того, четный он или нечетный, а также от вида самого выражения. Запишем несколько правил для всех возможных случаев.

Если показателем корня является нечетное число, то необходимые преобразования будут выглядеть следующим образом: B·Cn=Bnn·Cn=Bn·Cn.

Если показателем корня является четное число, а B является некоторым выражением с неотрицательным значением (x2, 5·x4+3·y2·z2+7 и др.) или же просто положительным числом, то нам нужно действовать так: B·Cn=Bnn·Cn=Bn·Cn.

Если показателем корня будет четное число, но B при этом будет числом, меньшим 0, или выражением с неположительными значениями (к примеру, −2·x2, −(x2+y2+1) и т. п.), то вносить множитель под корень нужно так: B·Cn=-Bnn·Cn=-Bn·Cn.

Если показатель корня четный, однако по выражению B невозможно сразу сказать, какие значения оно примет на области допустимых значений, нам нужно:

• решить неравенства B≥0 и B<0 на области допустимых значений исходного выражения;
• получив некоторые множества решений, выполнить на первом из них преобразование B·Cn=Bnn·Cn=Bn·Cn, а на втором B·Cn=-Bnn·Cn=-Bn·Cn.

Теперь посмотрим, как правильно применять эти положения на практике.

Решения задач на внесение множителя под корень

Для начала рассмотрим наиболее простой случай с нечетным показателем корня.

Условие: преобразуйте выражения 2·35,  -0,25·-384·x·y-13·y23 и x-1·x+1x-167, внеся множитель под знак корня.

Решение

Во всех трех выражениях корни имеют нечетные показатели. Тогда мы можем представить вносимые множители в виде корней и перейти от произведения корней к корню произведения. Подсчитаем каждый пример отдельно.

1. 2·35=255·35=25·35. Результат можно еще упростить, выполнив нужные действия под корнем: 25·35=32·35=965.
2. Здесь сначала нужно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, чтобы упростить дальнейшие вычисления. После этого вносим множитель под знак корня и получаем:-0,25·-384·x·y-13·y23==-14·-384·x·y-13·y23==-1433·-384·x·y-13·y23==-14·-384·x·y-13·y23==6·x·y-13·y23=6·x·y-2·y23
3. Здесь выполняем преобразования сразу:

x-1·x+1x-167=(x-1)77·x+1(x-1)67==(x-1)7·x+1x-167

Полученному выражению можно придать еще более простой вид, преобразовав рациональное выражение под корнем, которое получилось после внесения множителя. Сделаем это:

x-17·x+1x-167=x-17·x+1(x-1)67==(x-1)·x+17=x2-17

Ответ: 2·35=965, -0,25·-384·x·y-13·y23=6·x·y-2·y23, x-1·x+1x-167=x2-17

Далее переходим к задачам, в которых нужно преобразовать корень с четным показателем.

Условие: внесите множитель под знак радикала в выражениях 5·3, 12·16·q4-q4 и x2+1·1x·(x2+1), а потом по возможности упростите выражения.

Решение

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат 52·3. Поскольку здесь у нас квадратный корень, а множитель перед ним является положительным числом, то нам нужно выполнить следующие действия: 5·3=52·3=52·3. Все, что нам осталось, – это упростить полученный результат: 52·3=75.

Во втором случае показатель корня является четным числом, а вносимое число больше 0, значит, сразу переходим к преобразованиям:

12·16·q4-q4=1244·16·q4-q4==124·16·q4-q4=q4-q4=0

В третьем случае очевидно, что x2+1будет принимать значения больше 0 при любых значениях переменной x (поскольку при сложении неотрицательной при любом значении переменной выражения x2и единицы мы получим положительное число), значит:

x2+1·1x·x2+1=x2+12·1x·x2+1==x2+12·1x·x2+1=(x2+1)2x·x2+1=x2+1x

Ответ: 5·3=75, 12·16·q4-q4=0, x2+1·1x·x2+1=x2+1x.

Условие: преобразуйте выражения -102·(0,1)7·a4 и 2·-3-y2·x, внеся множитель под знак корня.

Решение

Первое выражение имеет четный показатель корня и отрицательный множитель, который надо внести. Значит, для решения нам надо использовать третье правило, сформулированное в предыдущем пункте:

-102·0,17·a4=-10244·0,17·a4==-1024·0,17·a4=-108·0,17·a4=-10·a4

Во втором выражении показатель корня тоже является четным числом. Выражение 2·(−3−y2) будет отрицательно при любом y, поскольку произведение положительного и отрицательного числа есть число также отрицательное. Значит, можно записать следующее:

2·-3-y2·x=-2·-3-y22·x==-2·-3-y22·x=-22·-3-y22·x==-4·y4+6·y2+9·x=-4·x·y4+24·x·y2+36·x

Ответ: -102·0,17·a4=-10·a4, 2·-3-y2·x=-4·x·y4+24·x·y2+36·x.

Еще один случай, который нам надо разобрать, – работа с четным показателем корня и переменными, способными принимать произвольные значения. Вообще такие преобразования лежат за пределами школьного курса алгебры, поскольку они относятся к задачам повышенной сложности, однако мы все же решим одну такую задачу.

Условие: даны выражения x-2·1-x4 и x+6x-4·x2+x-2. Выполните внесение множителя под знак корня.

Решение

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат и поясним ход преобразования. Поскольку в x-2·1-x4 есть четный показатель корня (4), а выражение x−2 может принять разные значения (больше 0, меньше 0, равные 0), то нам придется использовать последнее правило из предыдущего пункта. Область допустимых значений x будет определена условием 1−x≥0. Как мы узнаем, когда переменная примет положительное, а когда отрицательное значение? Для этого нам надо составить и решить две системы неравенств: x-2≥01-x≥0⇔x≥2x≤1⇔∅ и x-2<01-x≥0⇔x<2x≥1⇔x≤1.

Решений у первой системы нет. Значит, наше выражение x−2 не может быть положительным ни при каких значениях переменной. А вот вторая система имеет решение в виде множества x≤1, совпадающее с областью допустимых значений. Поэтому можно записать следующее:

x-2·1-x4=-x-244·1-x4==-(x-2)4·1-x4

Во втором выражении x+6x-4·x2+x-2 имеется четный показатель корня, а выражение x+6x-4 на первый взгляд может принимать любые значения. Выясним, когда они будут положительными, а когда отрицательными. Как и в примере выше, составим и решим две системы неравенств: x+6x-4≥0x2+x-2≥0 и x+6x-4<0x2+x-2≥0.

Первую систему можно решить, используя метод интервалов, а вторую – любым способом решения квадратных неравенств.

x+6x-4≥0x2+x-2≥0⇔(-∞, -6]∪[4, +∞)(-∞, -2]∪[1, +∞)⇔⇔(-∞, -6]∪[4, +∞)x+6x-4<0x2+x-2≥0⇔(-6, 4)(-∞, -2]∪[1, +∞)⇔⇔(-6, -2]∪[1, 4)

Следовательно, значение выражения  x+6x-4 будет неотрицательным при x∈(−∞, −6]∪[4, +∞), и x+6x-4·x2+x-2=x+6x-42·x2+x-2==x+6x-42·x2+x-2

А отрицательным значение будет при x∈(−6, −2]∪[1, 4), и x+6x-4·x2+x-2=-x+6x-42·x2+x-2==-x+6x-42·x2+x-2

Выражение, которое получилось в итоге, может быть приведено к виду рациональной дроби.

Ответ: x-2·1-x4=-(x-2)4·1-x4 и

x+6x-4·x2+x-2==x+6x-42·x2+x-2, x∈(-∞, -6]∪[4, +∞)-x+6x-42·x2+x-2, x∈(-6, -2]∪[1, 4)

В заключении отметим, что вносить число под знак корня часто требуется в случаях, когда нужно сравнить значения выражений с корнями. 2

алгебраическое предварительное исчисление — Показать, что $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ для $0 \lt a \le b$

спросил 9 лет, 5 месяцев назад

Изменено 5 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 6к раз

$\begingroup$

Мне нужно доказать, что

$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad \text{for} \quad 0 \lt a \le b$$ 92 &\ge 0 \\ \end{align}$$

Здесь я остановился, потому что, если я извлеку корень из каждой стороны, я останусь с $a-b \ge 0$ или, другими словами, $a \ge b$, что не делает много смысла для меня. Так что, в конечном счете, возникает вопрос: как я узнаю, когда я закончу? и правильно ли я сделал выше?

Спасибо!

• алгебра-предварительное исчисление
• неравенство
• доказательство-проверка

$\endgroup$

4 92\ge 0$

Расширь и переставь и у тебя останется твоя проблема

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Неравенство AM-GN является одним из самых простых и до сих пор наиболее часто используемых неравенств в элементарной математике. 2+4p}$$ Ясно, что a+b минимально, когда $a-b=0$ или $a=b$, а минимальное значение равно $2\sqrt p$. Отсюда следует, что всякий раз, когда ab=p, мы должны иметь a+b$\ge$2$\sqrt p$. Но это неравенство $A.M-G.M$ для двух действительных чисел. 92 \ge 0$, для любого действительного числа $a, b$ это всегда истина.

$\endgroup$

Теорема о промежуточном значении, расположение корней

Утверждение теоремы о промежуточном значении — это то, что вероятно «интуитивно очевидно», а также доказуемо верно : если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и если $f(a) 0$ (или наоборот), то существует некоторая третья точка $c$ с $a интервалом пополам, для причину мы увидим ниже. Мы не будем следовать этому методу слишком далеко, потому что есть 93-x+1$ заведомо непрерывно, поэтому мы можем вызывайте теорему о промежуточном значении сколько угодно. Для например, $f(2)=7 > 0$ и $f(-2)=-5 середина, делящая пополам интервал $[-2,2]$: имеем $f(0)=1 > 0$. Следовательно, поскольку $f(-2)=-5 0$ и $f(2) > 0$, мы ничего не можем сказать при этот пункт о том, есть ли корни в $[0,2]$. Снова делит пополам интервал $[-2,0]$, где мы знаем, что есть корень, мы вычислить $f(-1)=1 > 0$. Таким образом, поскольку $f(-2)

Если мы продолжим этот метод, мы можем получить приближение как мы хотим! Но есть более быстрые способы получить действительно хорошее приближение, как мы увидим. 93$ термин, вероятно, «доминирует» над $f$ когда $x$ большое положительное или большое отрицательное значение, и поскольку мы хотим найти точку, где $f$ отрицательно, нашим следующим предположением будет «большой» отрицательное число: как насчет $-1$? Что ж, $f(-1)=1 > 0$, так что, очевидно, $-1$ недостаточно отрицателен. Как насчет $-2$? Итак, $f(-2)=-7 0$. Затем, вызывая Теорема о промежуточном значении, есть корень в интервале $[-2,-1]$.

Конечно, обычно многочлены имеют несколько корней, но число корней многочлена никогда не превышает его степени 93-4x+1=0$: сначала, начиная с любого места, $f(0)=1 > 0$.

Код хемминга онлайн калькулятор

Битовый калькулятор онлайн (Silverlight)

 

---

※ Download: Код хемминга онлайн калькулятор

 

---

 

Допустим, мы хотим умножить полиномы 69 и 96. Онлайн программа решения задач курса предварительной алгебры геометрии. Цифры перед буквами — это код государства. Остаются незамеченными также ошибки, возникающие одновременно в двух, в четырёх или вообще в четном количестве разрядов.

 

Сдвигая створку, повернув ключ в один или половину оборота винта, нужно каждый раз закрывать и открывать оконную раму, проверяя ее работу. Кроме того, можно менять разрядность операндов: байт Byte , слово Short , двойное слово Integer, используется по умолчанию , учетверённое слово Long. При делении с остатком исходного многочлена на порождающий полином G x степени N можно получить 2 N различных остатков от деления. Лента повествует о борьбе кучки повстанцев против жестокого наместника императора.

 

Код Хэмминга — Эти k разрядов мы и будем считать контрольными. Неизвестные члены и есть позиции искаженных символов в кодовом слове v.

 

Систематический код, предложенный в 1949 г. Построение кода состоит в разбиении хемминга слова на взаимно пересекающиеся подмножества, причём каждому подмножеству ставится в соответствие один контрольный разряд проверки на чётность. Формирование подмножеств производится на основе анализа номера разряда при записи его в двоичной системе счисления. Все разряды кодового слова, имеющие единицу в первом младшем разряде калькулятор номера, включаются в первое подмножество, во втором — во второе и т. Затем подсчитывается количество единиц в разрядах, относящихся к каждому подмножеству, и в соответствующий контрольный разряд записывается единица, если это количество нечётно, и ноль — если чётно. Число разрядов в синдроме ошибки Код числу контрольных разрядов кода Хэмминга для данного слова. Для вычисления разрядов синдрома ошибки s i нужно сложить по модулю 2 разряды, относящиеся к i-му подмножеству, включая i-й контрольный разряд кода Хэмминга. Если синдром не равен нулю, значит в слове имеется ошибка, а значение синдрома указывает на ошибочный разряд. Например, ошибка произошла в пятом справа разряде закодированного слова, причём калькулятор считается крайний правый разряд. Это приведёт к нарушению чётности единиц в первом и третьем подмножествах.

imgur.com

Imgur: The magic of the Internet

Category Entertainment News Journey News & Media

Код Хэмминга.

Пример работы алгоритма / Хабр

Прежде всего стоит сказать, что такое Код Хэмминга и для чего он, собственно, нужен. На Википедии даётся следующее определение:

Коды Хэмминга — наиболее известные и, вероятно, первые из самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Построены они применительно к двоичной системе счисления.

Другими словами, это алгоритм, который позволяет закодировать какое-либо информационное сообщение определённым образом и после передачи (например по сети) определить появилась ли какая-то ошибка в этом сообщении (к примеру из-за помех) и, при возможности, восстановить это сообщение. Сегодня, я опишу самый простой алгоритм Хемминга, который может исправлять лишь одну ошибку.

Также стоит отметить, что существуют более совершенные модификации данного алгоритма, которые позволяют обнаруживать (и если возможно исправлять) большее количество ошибок.

Сразу стоит сказать, что Код Хэмминга состоит из двух частей. Первая часть кодирует исходное сообщение, вставляя в него в определённых местах контрольные биты (вычисленные особым образом). Вторая часть получает входящее сообщение и заново вычисляет контрольные биты (по тому же алгоритму, что и первая часть). Если все вновь вычисленные контрольные биты совпадают с полученными, то сообщение получено без ошибок. В противном случае, выводится сообщение об ошибке и при возможности ошибка исправляется.

Для того, чтобы понять работу данного алгоритма, рассмотрим пример.

Подготовка

Допустим, у нас есть сообщение «habr», которое необходимо передать без ошибок. Для этого сначала нужно наше сообщение закодировать при помощи Кода Хэмминга. Нам необходимо представить его в бинарном виде.

На этом этапе стоит определиться с, так называемой, длиной информационного слова, то есть длиной строки из нулей и единиц, которые мы будем кодировать. Допустим, у нас длина слова будет равна 16. Таким образом, нам необходимо разделить наше исходное сообщение («habr») на блоки по 16 бит, которые мы будем потом кодировать отдельно друг от друга. Так как один символ занимает в памяти 8 бит, то в одно кодируемое слово помещается ровно два ASCII символа. Итак, мы получили две бинарные строки по 16 бит:

и

После этого процесс кодирования распараллеливается, и две части сообщения («ha» и «br») кодируются независимо друг от друга. Рассмотрим, как это делается на примере первой части.
Прежде всего, необходимо вставить контрольные биты. Они вставляются в строго определённых местах — это позиции с номерами, равными степеням двойки. В нашем случае (при длине информационного слова в 16 бит) это будут позиции 1, 2, 4, 8, 16. Соответственно, у нас получилось 5 контрольных бит (выделены красным цветом):

Было:

Стало:

Таким образом, длина всего сообщения увеличилась на 5 бит. До вычисления самих контрольных бит, мы присвоили им значение «0».

Вычисление контрольных бит.

Теперь необходимо вычислить значение каждого контрольного бита. Значение каждого контрольного бита зависит от значений информационных бит (как неожиданно), но не от всех, а только от тех, которые этот контрольных бит контролирует. Для того, чтобы понять, за какие биты отвечает каждых контрольный бит необходимо понять очень простую закономерность: контрольный бит с номером N контролирует все последующие N бит через каждые N бит, начиная с позиции N. Не очень понятно, но по картинке, думаю, станет яснее:

Здесь знаком «X» обозначены те биты, которые контролирует контрольный бит, номер которого справа. То есть, к примеру, бит номер 12 контролируется битами с номерами 4 и 8. Ясно, что чтобы узнать какими битами контролируется бит с номером N надо просто разложить N по степеням двойки.

Но как же вычислить значение каждого контрольного бита? Делается это очень просто: берём каждый контрольный бит и смотрим сколько среди контролируемых им битов единиц, получаем некоторое целое число и, если оно чётное, то ставим ноль, в противном случае ставим единицу. Вот и всё! Можно конечно и наоборот, если число чётное, то ставим единицу, в противном случае, ставим 0. Главное, чтобы в «кодирующей» и «декодирующей» частях алгоритм был одинаков. (Мы будем применять первый вариант).
Высчитав контрольные биты для нашего информационного слова получаем следующее:

и для второй части:

Вот и всё! Первая часть алгоритма завершена.

Декодирование и исправление ошибок.

Теперь, допустим, мы получили закодированное первой частью алгоритма сообщение, но оно пришло к нас с ошибкой. К примеру мы получили такое (11-ый бит передался неправильно):

Вся вторая часть алгоритма заключается в том, что необходимо заново вычислить все контрольные биты (так же как и в первой части) и сравнить их с контрольными битами, которые мы получили. Так, посчитав контрольные биты с неправильным 11-ым битом мы получим такую картину:

Как мы видим, контрольные биты под номерами: 1, 2, 8 не совпадают с такими же контрольными битами, которые мы получили. Теперь просто сложив номера позиций неправильных контрольных бит (1 + 2 + 8 = 11) мы получаем позицию ошибочного бита. Теперь просто инвертировав его и отбросив контрольные биты, мы получим исходное сообщение в первозданном виде! Абсолютно аналогично поступаем со второй частью сообщения.

Заключение.

В данном примере, я взял длину информационного сообщения именно 16 бит, так как мне кажется, что она наиболее оптимальная для рассмотрения примера (не слишком длинная и не слишком короткая), но конечно же длину можно взять любую. Только стоит учитывать, что в данной простой версии алгоритма на одно информационное слово можно исправить только одну ошибку.

Примечание.

На написание этого топика меня подвигло то, что в поиске я не нашёл на Хабре статей на эту тему (чему я был крайне удивлён). Поэтому я решил отчасти исправить эту ситуацию и максимально подробно показать как этот алгоритм работает. Я намеренно не приводил ни одной формулы, дабы попытаться своими словами донести процесс работы алгоритма на примере.

Источники.

1. Википедия
2. Calculating the Hamming Code

Программа проверки кода Хэмминга

Программа проверки кода Хэмминга

Этот инструмент сгенерирует 10-битное случайное число (от 1 до 1024), а затем сгенерирует кодовое слово Хэмминга (путем добавления 4 битов четности). Любой один бит в кодовом слове (бит данных или бит четности) может быть изменен, и при проверке значений четности будет обнаружена одиночная битовая ошибка, которую можно будет исправить.

Двоичный код для этого номера:
	Старший бит … Младший бит

LSB … MSB

Значение в обратном двоичном формате:

г 1

г 2

д 3

г 4

д 5

д 6

д 7

д 8

д 9

д 10

Значения четности:

р 1

р 2

р 3

р 4

б 1

б 2

б 3

б 4

б 5

б 6

б 7

б 8

б 9

б 10

б 11

б 12

б 13

б 14

Кодовое слово:

р 1

р 2

г 1

р 3

д 2

д 3

г 4

р 4

д 5

д 6

р 7

д 8

д 9

д 10

Измените одно единственное значение в кодовом слове и щелкните, чтобы проверить и исправить одиночную ошибку бита:
p 1 = d 1 + d 3 + d 5 + d 7 + d 9 % 2	=
p 2 = d 2 + d 3 + d 6 + d 7 + d 10 1 2 %	=
p 4 = d 4 + d 5 + d 6 + d 7 % 2	=
р 8 = д 8 + д 9 + д 10 % 2	=

EE4253 Онлайн-инструмент для генерации кодовых слов

EE4253 Онлайн-инструмент для генерации кодовых слов

	ECE4253 Цифровая связь
	Факультет электротехники и вычислительной техники — Университет Нью-Брансуика, Фредериктон, Нью-Брансуик, Канада

Коды контроля ошибок могут быть построены из фиксированной длины кодовых слов , имеющих минимальное расстояние Хэмминга между каждым кодовым словом и любым другим кодовым словом в наборе.

Этот онлайн-инструмент генерирует наборы кодовых слов с определенными свойствами. Учитывая полученное кодовое слово, это слово может быть отправлено для обнаружения или исправления ошибок по сравнению с сгенерированным набором действительных кодовых слов.

Здесь используется поиск методом грубой силы, чтобы продемонстрировать наборы кодовых слов, обладающие свойствами минимального расстояния. Для Для более структурированного подхода к генерации кодовых слов может подойти онлайн-генератор кодов BCH.

---

Выберите значения длины кодового слова (L) и минимального расстояния Хэмминга (D) между кодовыми словами. Нажмите «Создать», чтобы увидеть список кодовых слов с этими свойствами. Введите кодовое слово, имеющее L-биты, и нажмите «Получить», чтобы увидеть, как это кодовое слово будет получено.
  L = 234567891011121314151617 Д = 234567891011121314151617

---

Сгенерированные 7-битные кодовые слова выделены ниже полужирным шрифтом. где каждый помечен для удобства. Расстояние между каждым кодовым словом и другими кодовыми словами показано справа. Расстояние между любыми двумя кодовых слов должно быть не менее 3 в каждом случае.

7-битные КОДОВЫЕ СЛОВА [D=3] ================================================== ========== А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П А 0000000 : 0 3 3 4 3 4 4 3 4 3 3 4 3 4 4 7 А В 0000111 : 3 0 4 3 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 7 4 В С 0011001 : 3 4 0 3 4 3 3 4 3 4 4 3 4 7 3 4 С Д 0011110 : 4 3 3 0 3 4 4 3 4 3 3 4 7 4 4 3 Д Е 0101010 : 3 4 4 3 0 3 3 4 3 4 4 7 4 3 3 4 Е F 0101101 : 4 3 3 4 3 0 4 3 4 3 7 4 3 4 4 3 F Г 0110011 : 4 3 3 4 3 4 0 3 4 7 3 4 3 4 4 3 Г Н 0110100 : 3 4 4 3 4 3 3 0 7 4 4 3 4 3 3 4 Н I 1001011 : 4 3 3 4 3 4 4 7 0 3 3 4 3 4 4 3 I J 1001100 : 3 4 4 3 4 3 7 4 3 0 4 3 4 3 3 4 J К 1010010 : 3 4 4 3 4 7 3 4 3 4 0 3 4 3 3 4 К л 1010101 : 4 3 3 4 7 4 4 3 4 3 3 0 3 4 4 3 л М 1100001 : 3 4 4 7 4 3 3 4 3 4 4 3 0 3 3 4 М Н 1100110 : 4 3 7 4 3 4 4 3 4 3 3 4 3 0 4 3 Н О 1111000 : 4 7 3 4 3 4 4 3 4 3 3 4 3 4 0 3 О Р 1111111 : 7 4 4 3 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 3 0 Р А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П ================================================== ========== ВСЕГО 16 КОДОВЫХ СЛОВ

Приведенный выше результат не уникален для предоставленных параметров.

Число 496

Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители…

Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел…

Сейчас изучают числа:

3370904 1007 13 и 56 1909 6929 50564487 293817 и 61 298 6666666 76767 630 и 4716 85 и 1451072 37 и 29436 87422 и 64 8445 и 2996 414 и 73957 917947 10 9060 41978 12345 1970 62326 25814

Четыреста девяносто шесть

Описание числа 496

Рациональное натуральное трёхзначное четное число 496 – составное. 19 — сумма цифр. 10 — количество делителей. 992 — сумма делителей. 0.0020161290322580645 является обратным числом к 496.

Число в других системах счисления: двоичная система: 111110000, троичная: 200101, восьмеричная: 760, шестнадцатеричная: 1F0. Количество информации в числе байт 496 — 496 байтов .

Число азбукой Морзе: ….- —-. -….

Число 496 не является числом Фибоначчи.

Косинус числа 496: 0.9317, синус числа 496: -0.3631, тангенс числа 496: -0.3898. Натуральный логарифм: 6.2066. Логарифм десятичный числа 496 равен 2.6955. 22.2711 это квадратный корень, 7.9158 — кубический. Квадрат числа: 2.4602e+5.

Конвертация из числа секунд это 8 минут 16 секунд . Нумерологическая цифра этого числа — 1.

• ← 495
• 497 →

делители, простота, двоичный вид, куб, квадрат

Укажите число, чтобы получить всю информацию о нем:

 Случайное число

Целое положительное число 496 является трехзначным. Оно записывается 3 цифрами. Сумма цифр, из которых состоит число 496, равна 19, а их произведение равно 216. Число 496 является четным. Всего число 496 имеет 10 делителей: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496, . Сумма делителей равна 992. Куб числа 496 равен 246016, а квадрат составляет 122023936. Квадратный корень рассматриваемого числа равен 22,2710574513201. Кубический корень равен 7,91578321936081. Число, которое является обратным к числу 496, выглядит как 0,00201612903225806.

1956 Журнальный столик Linear Group 497 и перегородка 496 производства Imperial Furniture Co. of Grand Rapids, MI

1956 Журнальный столик Linear Group 497 и перегородка 496 производства Imperial Furniture Co. из Гранд-Рапидс, штат Мичиган.

• Получить ссылку
• Фейсбук
• Твиттер
• Пинтерест
• Электронная почта
• Другие приложения

1956 Linear Group Room Divider

Если вы так же знакомы с работами Пола МакКобба, как и я, вы должны знать, что эти предметы редко маркируются знакомыми бирками Calvin Furniture, как и все другие дизайны от Linear Group. Большинство примеров, которые я когда-либо видел, не имеют маркировки. Это отсутствие этикетки время от времени беспокоило меня, я просто не понимал, почему эта конкретная часть иногда появляется без этикетки.

Еще в июне я нашел ответ, просматривая документы для шоу, которое делал Пол МакКобб. В то время я не понимал, что нашел ответ, это был просто еще один лакомый кусочек информации, который нужно было отправить в исследовательский архив для дальнейшего использования.

В 1958 году Пол МакКобб организовал выставку для Американской федерации художников под названием «Калейдоскоп — изменение аспектов американского дизайна 1875–1960 годов». Шоу представляло собой передвижную иллюстрированную выставку, подробно описывающую эволюцию американской мебели в сторону модерна, и демонстрировалось в США и Канаде с 1959 по 1960.

В документации к выставке есть запись на странице 6 каталожного списка, текст в красной рамке цитируется под изображением:

«PAUL McCOBB — межкомнатная линейная группа. Imperial

Мебельная компания, Гранд-Рапидс, штат Мичиган».

(Скан любезно предоставлен Американской федерацией искусств.)

Отсылка к той самой немаркированной перегородке, которая стоит у меня в гостиной.

Никогда раньше не слышал об Imperial Furniture Co. и, конечно же, никогда не слышал о ней в отношениях с Полом Маккоббом. Я сделал то, что сделал бы любой неподготовленный, недисциплинированный и неорганизованный исследователь. Я тут же обо всем забыл.

Совсем недавно, изучая отраслевые публикации по деревообработке за 1950-е годы, я наткнулся на интересную статью о братьях Бергсма (Юлиус и Кеннет), владельцах Calvin Furniture Co. , которые произвели столько продукции Пола МакКобба 1950-х годов, что имя Calvin Furniture стало почти синонимом Пола МакКобба. В статье упоминалось, что в 1955 году Бергсма приобрела Imperial Furniture Co. Я просмотрел и подал статью и не думал больше об этом. (В моем исследовательском архиве МНОГО статей, на самом деле несколько тысяч.) Только несколько дней спустя я начал думать о другом справочнике Imperial Furniture Co., который я собрал. Наконец-то детали встали на свои места!

Почему на перегородке Linear Group нет бирки Calvin? Потому что это не было произведено Calvin Furniture. Он был изготовлен дочерней компанией Calvin Furniture, Imperial Furniture, у которой никогда не было собственного ярлыка «создано Полом МакКоббом».

Более поздние модели производства Calvin Furniture маркируются над верхней полкой и имеют небольшие, но заметные отличия в конструкции.

• Получить ссылку
• Фейсбук
• Твиттер
• Пинтерест
• Электронная почта
• Другие приложения

Популярные посты из этого блога

Переулок: по номерам

Некоторое время назад я разместил в Instagram немного информации о группах Lane’s Signature и Components Пола МакКобба, а теперь остальная информация. Работа Маккобба для Лейна, созданная между 1961 и 1965 годами, состояла из трех групп: Delineator, Signature и Components. До сих пор оказалось относительно трудно достать элементы подписи и компоненты (это не значит, что элементы делинеатора точно захламляют планету, но их гораздо легче получить , чем их двоюродных братьев). Элементы дорожек (по крайней мере, таблицы) легко понять, поскольку они обычно маркируются не только номером проектной группы, но также имеют «серийный номер» прямо под номером проекта, который на самом деле является датой производства, написанной наоборот. поэтому, как только вы знаете, что ищете, таблицы легко идентифицировать. И это прекрасно подводит нас прямо к теме этой статьи, которая является быстрым и грязным учебником о том, как идентифицировать des 9 Пола МакКобба.0019

Читать далее

Столы по переулку

За последние несколько лет я все больше осознаю необходимость контекста в исследованиях. В самом начале этого проекта я был настолько сосредоточен на получении информации о Поле МакКоббе, что игнорировал все остальное, что не касалось МакКобба. Например, когда я просматривал каталог Лейна 1962 года, я полностью проигнорировал остальную его часть, просматривая только те страницы, которые имели прямое отношение к работам Пола МакКобба. Позже я пожалел об этом решении, но ничего не поделаешь, потому что каталог был в Калифорнии, а я нет. К счастью, жизнь так сложилась, что я наконец-то могу исправить эту вопиющую оплошность, когда Джерард О’Брайен из галереи Reform (у него есть каталог Lane) решил показать избранные предметы из своей коллекции Пола МакКобба на предстоящей выставке антиквариата в Лос-Анджелесе. и лос-анджелесские выставки модернизма в Barker Hanger в апреле этого года пригласили меня поработать вместе с ним над созданием этих ретроспектив Пола МакКобба, а это значит, что я снова нахожу

Читать далее

Повесть о двух стульях (или Пол МакКобб против Клиффорда Пэскоу)

В начале своей карьеры коллекционера я купил то, что, как мне казалось, было креслом Paul McCobb Bentwood and Iron. Я был в восторге! Это была удивительная сделка всего за 65 долларов. Очевидно, парень, у которого я его покупал, не знал, что у него есть. Он даже пытался убедить меня, что это не Маккобб. Но я знал лучше! Позже я узнал, как мало я на самом деле знал, и что то, что я так яростно считал креслом Пола МакКобба, было совершенно явно не Полом МакКоббом. Я не знал, кем он был разработан, но решил, что собираюсь узнать. Это было важной частью длинной цепочки событий, которые в конечном итоге привели к моему исследовательскому проекту Пола МакКобба. А теперь продолжим нашу статью… Пол МакКобб спроектировал кресло Planner Group от Interiors, 19 июня.51 Изображение стула 1535 в моей собственной коллекции В 1951 году Пол МакКобб представляет свой культовый стул #1535 Planner Group Bentwood and Iron Chair (вверху). Приставной стул № 1535 был довольно дорогим, его розничная цена составляла 29,95 долларов США по сравнению с

. Читать далее

Акварельный карандаш Caran d’Ache Museum Aquarelle, цвет слоновой кости (496)

Бесплатная доставка по США при заказе на сумму более 35 долларов США!

Поиск

x

JetPens. com ® Бесплатная доставка по США при заказе на сумму более 35 долларов США!

Руководство для начинающих Типы ручек и чернил Запасные части для ручек Полное руководство Различия между шариковыми, гелевыми и шариковыми ручками Как хранить ручки Что такое японские канцтовары? Руководства: Перьевые ручки Перьевые ручки для начинающих Лучшие перьевые ручки Очистка перьевой ручки Как писать перьевой ручкой Объяснение системы заполнения0006 Как установить чернильные картриджи

Руководства: Гель-ручки Лучшие гелевые ручки Гель-ручки с тонкой косой. Руководство для начинающих по работе с механическими карандашами Лучшие механические карандаши Защитные карандаши Грифели механических карандашей Направляющие: деревянные карандаши Лучшие деревянные карандаши Graphite Drawing Pencils The Best Colored Pencils Lead Grades Explained The Best Erasers

Guides: Multi Pens The Best Multicolor Pens Customizable Multi Pens DIY Multi Pencils How Направляющие: Бумага Объяснение размеров бумаги Японская культура бумаги Лучшие блокноты Fountain Pen Paper Unique Japanese Binders Guides: Planners DIY Planners Planner Stickers, Pens, Stamps, and More How to Choose a Planner Habit Tracking Tools

Guides : Маркеры Лучшие маркеры Пастельные маркеры Эффективное выделение Направляющие: маркеры Лучшие маркеры Лучшие финины Лучшие ручки с краской ТЕХНИЧЕСКИЕ ПУНКИ ПУНКИ Постоянные чернила Руководства: Arts & Crafts Лучшие марки Лучшие поставки.

Направляющие: расходные материалы для каллиграфии Кисть для начинающих Ручки и чернила для каллиграфии Как пользоваться стеклянным пером Calligraphy Tips The Best Planners for 2023 The Best Pens for 2023 The Best Pencils for 2023 The Best Pencil Cases Glossary View All Направляющие Просмотреть все видео

4,90 $

В наличии остался только 1 шт.

Бесплатная доставка по США при заказе на сумму более 35 долларов США!

Будьте первым, кто оставит отзыв об этом товаре

Вариант: Акварельный карандаш Caran d’Ache Museum Aquarelle — Ivory Black (496)

• com/images/a/000/106/106388.jpg?ba=middle%2Ccenter&balph=3&blend64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazIucG5n&bm=difference&bs=inherit&mark64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazEucG5n&markalign=top%2Cright&markalpha=30&markscale=16&q=90&w=600&s=2fb66de4be37d9b6499ef9140efab35d»>

---

Грифельный цвет: Black

• jetpens.com/images/a/000/106/106388.jpg?ba=middle%2Ccenter&balph=3&blend64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazIucG5n&bm=difference&bs=inherit&mark64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazEucG5n&markalign=top%2Cright&markalpha=30&markscale=16&q=90&w=600&s=2fb66de4be37d9b6499ef9140efab35d»/>
• jetpens.com/images/a/000/106/106498.jpg?ba=middle%2Ccenter&balph=3&blend64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazIucG5n&bm=difference&bs=inherit&mark64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazEucG5n&markalign=top%2Cright&markalpha=30&markscale=16&q=90&w=600&s=10855d45b463bcd3061b89cdbc588f01″/>
• jetpens.com/images/a/000/106/106494.jpg?ba=middle%2Ccenter&balph=3&blend64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazIucG5n&bm=difference&bs=inherit&mark64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazEucG5n&markalign=top%2Cright&markalpha=30&markscale=16&q=90&w=600&s=bc55c1489071c5e53efeefa61f920929″/>
• jetpens.com/images/a/000/106/106470.jpg?ba=middle%2Ccenter&balph=3&blend64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazIucG5n&bm=difference&bs=inherit&mark64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazEucG5n&markalign=top%2Cright&markalpha=30&markscale=16&q=90&w=600&s=366d0985b2ffa15d29086d1385670c80″/>
• jetpens.com/images/a/000/106/106450.jpg?ba=middle%2Ccenter&balph=3&blend64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazIucG5n&bm=difference&bs=inherit&mark64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazEucG5n&markalign=top%2Cright&markalpha=30&markscale=16&q=90&w=600&s=696cb007f327f5da8e7fb51a89ddf879″/>
• jetpens.com/images/a/000/106/106448.jpg?ba=middle%2Ccenter&balph=3&blend64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazIucG5n&bm=difference&bs=inherit&mark64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazEucG5n&markalign=top%2Cright&markalpha=30&markscale=16&q=90&w=600&s=e17412e65706dd9679cf0546f842f68e»/>
• jetpens.com/images/a/000/106/106380.jpg?ba=middle%2Ccenter&balph=3&blend64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazIucG5n&bm=difference&bs=inherit&mark64=aHR0cDovL3d3dy5qZXRwZW5zLmNvbS9pbWFnZXMvYXNzZXRzL3dhdGVybWFyazEucG5n&markalign=top%2Cright&markalpha=30&markscale=16&q=90&w=600&s=5f05d5ad412716f2ca006d445d870174″/>

Description

Specifications

Questions & Answers (1)

Create museum-quality artwork with these premium акварельные карандаши от Caran d’Ache. Карандаши Museum Aquarelle с толстым сердечником из высококонцентрированного пигмента можно использовать сухим или влажным способом, они отлично подходят для смешивания, градации и наложения. Они производятся в Швейцарии на заводе Caran d’Ache в Женеве в соответствии с экологическими стандартами и сертификатами.

«Упрощение выражений», урок в 5 классе

Статья участвует в конкурсе Образование 3.0

АННОТАЦИЯ:

Тема урока – «Упрощение выражений», 5 класс

Необходимое оборудование и материалы для занятия – персональный компьютер, мультимедиа проектор.

Описание мультимедийного продукта (медиапродукта) — конспект урока + презентационное сопровождение.

Цель использования медиапродукта (презентации) на занятии:

— организовать деятельность учащихся по получению новых знаний учащихся по теме, позволяет увеличить темп обучения;

— использование презентации позволит изучаемый материал выстроить в чёткой логической последовательности;

— обеспечивает применение знаний к решению прикладных задач, отработку вычислительного навыка;

— позволяет учитывать различные каналы восприятия, активизирует лево-правополушарные способы восприятия информации учащимися.

СЦЕНАРИЙ УРОКА:

Цель урока:

Учить применять распределительное свойство умножения при упрощении выражений.

Решение примеров и задач по теме с использованием ИКТ; формирование и развитие познавательной мотивации учащихся к получению новых знаний.

Совершенствовать вычислительные навыки учащихся.

Структура урока:

I. Организационный момент.

II. Устный счет. Сообщение темы урока.

III. Актуализация опорных знаний.

IV. Изучение нового материала.

V. Закрепление изученного материала.

VI. Физкультминутка.

VII. Работа по теме урока.

VIII. Подведение итогов учебной деятельности, домашнее задание.

Приложение:

Презентация к уроку «Упрощение выражений», для создания которой использована программа PowerPoint из пакета программ Microsoft Office 2007г. , копия в программе Microsoft Office 2003г.

Ход урока: I. Организационный момент.

II. Устный счет. Сообщение темы урока.

Учитель: Математический язык — это язык чисел, букв, символов, рисунков и чертежей. На этом языке пишут при помощи своего особого алфавита. Для математических записей используют буквы латинского алфавита, цифры, знаки действий и много других символов, с которыми вы пока не знакомы. Изучать математический алфавит и учиться писать cлова и предложения на математическом языке вы будете в течение всего времени учебы в школе и после школы, какую бы специальность вы не выбрали. Очень важно уметь «переводить» математические записи на обычный язык и наоборот (слайд 2).

1. Восстановите цепочку вычислений (слайд 3 — 4):

30 ∙ 3 → ? — 45 → ? : 15 → ? ∙ 17 → ? + 49 → ?(ответы появляются в ячейках по щелчку)

19 ∙ 4 → ? + 8 → ? : 3 → ? + 22 → ? : 2 → ? (ответы появляются в ячейках по щелчку)

63 : 9 → ? + 23 → ? : 6 → ? ∙ 7 → ? + 15 → ? (ответы появляются в строке по щелчку)

41 — ? = 20 ∙ ? = 140 + ? = 200 : ? = 40 : ? = 2(ответы появляются в строке по щелчку)

2. Решите задачи (слайд 5 — 6):

А) На 5 грузовиках 75 ящиков. Сколько ящиков на шести таких машинах? [90 ящиков]

Б) Токарь за 1 час делает 15 деталей, а его ученик 11 деталей. Сколько деталей сделают они за 8 часов работы. Решите задачу двумя способами.

3. Используя цифры 0, 1, 2, 3, запишите наибольшее и наименьшее четырехзначные числа (слайд 7).

Учитель: Сегодня на уроке мы повторим правила, которые вы изучали в начальной школе, дадим им новое название и будем учиться применять их при упрощении выражений.

III. Актуализация опорных знаний.

Распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания) (слайд 8 — 9).

Выражения ( 5+4) ∙ 3 и 5 ∙ 3+ 4∙ 3 имеют одно и тоже значение. По рисунку видно, почему эти выражения равны.

ВЫВОД: Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения.

Это правило выражает распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв его записывают так: (a + b) c = ac + bc

Одинаковые значения имеют и выражения (9- 5) ∙ 3 и 9 ∙ 3 – 5 ∙ 3.

ВЫВОД: Для того чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

Это правило называют распределительным свойством умножения относительно вычитания.

С помощью букв его записывают так: (a — b) c = ac – bc

Вычислите, используя распределительное свойство умножения (слайд 10):

(100+2) ∙ 22

(200-2) ∙ 15

90 ∙ 25 + 10 ∙ 25

123 ∙ 27 — 23 ∙ 27

23 ∙ 16 + 16 ∙ 27

40 ∙ 87 — 39 ∙ 87 ( проверка с помощью анимации по щелчку)

IV. Изучение нового материала.

Выполните задания по данному условию (слайд 11):

На столе стоят три вазы с розами. В первой вазе х роз, во второй – в 2 раза больше, а в третьей в 3 раза больше, чем в первой.

Запишите выражения для следующих величин:

число роз во второй вазе;

число роз в третьей вазе;

число роз во второй и третьей вазах вместе.

(Ответы возникают на слайде по щелчку: 2х, 3х, 2х + 3х)

Используя распределительный закон, преобразуйте выражение 2х + 3х (слайд 12).

Проверь себя: 2х + 3х = 2 ∙ х + 3 ∙ х = ( 2+3) ∙ х = 5 ∙ х = 5х

Выражение мы записали в более простом виде или, как говорят математики, упростили.

Такие преобразования, в результате которых получается более простое выражение, называют упрощением выражений.

Рассмотрим выражение 5х. Это произведение числа 5 и буквы х. Говорят, что число 5 – это числовой множитель или коэффициент, а буква х – буквенный множитель.

Упрощая выражение 2х + 3х, мы сложили коэффициенты 2 и 3 , а буквенный множитель оставили без изменения.

Подумайте, как, используя распределительный закон, упростить выражение 8у – 5у (слайд13).

УПРОСТИТЕ:

7х + 2х 11у – 3у

9а + 6а 13с – 3с

(для проверки ответы возникают по щелчку)

Для упрощения выражений также применяют сочетательное свойство умножения.

3х ∙ 5 ∙ 10 = (3 ∙ 5 ∙ 10)х = 150х

4 ∙ 2у ∙ 15 = (4 ∙ 2 ∙ 15)у = 120у

V. Закрепление изученного материала.

17m + 5m; 24b + 7a — 5a; 6a – a; y – 8; 9c + 4c — 6c; 5 + 12n – 2n.

15a ∙ 4; 3b ∙ 12; 17a ∙5b; 11a ∙ 7b; c∙ 18 ∙ d ∙ 3; x ∙ 9 ∙ 4 ∙ y.

Цена хризантемы а р. за один цветок, а цена одной розы – на 30 р. больше.

А) цену розы;

Б) стоимость пяти хризантем;

В) стоимость трех роз;

Г) стоимость букета из пяти хризантем и трёх роз.

Цена слив х р. за 1 кг, а алыча стоит на 7 р. дешевле.

А) цену алычи;

Б) стоимость двух килограмм слив;

В) стоимость шести килограмм алычи;

Г) стоимость двух килограмм слив и шести килограммов алычи вместе.

5х + 8х при х = 13

12у – 6у при у = 6

9а + 7а при а = 16

39х – 5х -4х + 28 при х = 3

28 – 18у + 6у при у = 2

VI. Физкультминутка (гимнастика для глаз, слайды 18 — 22).

VII. Работа по теме урока.

15а – 8а = 21;

3х – х = 12;

4у + 2у – у = 20;

2а + 8а + 37 = 107.

А) выражение 7х больше 4х на 51;

Б) сумма 8а и 3а равна 4466.

VIII. Итог урока. Задание на дом (слайд 25-26)

1) Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания.

2) Поясните как с помощью этих свойств упрощаются выражения вида 7а + 3а, 20у -7у.

3) Для выражения левого столбика найдите пару из правого столбика. Соедините их стрелочками.

5х + 3х – 4 8а

4а ∙ 3 12а

2а –а + 7а 45х

12х – 7х + 2 8х + 4

4х ∙ 6 ∙ 2 2 + 5х

9 ∙ х ∙ 5 48х

3х

Задание на дом: № 563, №566, 586(а-г).

Используемая литература: (слайд 27)

Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев математика 5-11 классы – М: Дрофа, 2004.

Вывод: Оценивая эффективность этого урока, я хочу отметить следующие моменты:

Поставленные на уроке учебные задачи выполнены на оптимальном уровне.

Можно отметить бесспорный факт, что внедрение новых информационных технологий, использование мультимедиа значительно повышает качество образовательного процесса, а главное, эффективно влияет на познавательную мотивацию детей. Компьютер позволяет делать уроки, не похожими друг на друга, способствует интересу к ученью.

Использование информационных технологий в процессе обучения способствует интенсификации процесса обучения, осуществлению индивидуального и дифференцированного подходов к учащимся, повышению педагогической квалификации и профессионального мастерства учителя, повышению эффективности учебного процесса в области овладения умениями самостоятельного извлечения знаний, развитию личности обучаемого, подготовке ученика к комфортной жизни в условиях информационного общества.

АРХИВ К УРОКУ СОДЕРЖИТ:

Идет прием заявок на участие в фестивале методических идей «Пеликан» от АНО «ЦПИ «Ариадна»

Автор: Денисова Инна Петровна

Тип	Название материала	Автор	Опубликован
разное	«Упрощение выражений», урок в 5 классе	Денисова Инна Петровна	15 Окт 2015
документ	Урок математики в 5 классе по теме «Упрощение выражений» (Виленкин Н. Я., ФГОС)	Кузнецова Валентина Сергеевна	20 Мар 2015
разное	Урок математики в 5 классе на тему «Упрощение выражений»	Голюшова Клара Витальевна	20 Мар 2015
документ	Мультмедийный урок- путешествие «Упрощение выражений » в 5 классе	Брынза Римма Николаевна	21 Мар 2015
документ	Урок математики в 5 классе по теме «Упрощение выражений. Решение уравнений и текстовых задач» (автор УМК Виленкин Н.Я.)	Матвеева Наталья Юрьевна	31 Мар 2015
документ	урок математики в 5 классе «Упрощение числовых и буквенных выражений»	Гузикова Мадлена Мартыновна	1 Апр 2015
документ	Урок математики в 5 классе по теме «Упрощение выражений».	Новикова Мария Александровна	1 Апр 2015
разное	Урок в 5 классе «Упрощение выражений. Степень числа»	Федорова Светлана Анатольевна	1 Апр 2015
презентация, документ	Урок по математике в 5 классе по теме «Упрощение выражений»	Доронцова Ольга Александровна	20 Ноя 2015
документ	Урок по математике в 5-ом классе по теме «Упрощение выражений»	Азнабаева Гузель Галеевна	6 Дек 2015
документ	Урок по математике в 5 классе по теме «Упрощение выражений. Решение задач на части»	Лунёва Людмила Валентиновна	16 Дек 2015
презентация	презентация в 5 классе «Упрощение выражений»	Кожух Татьяна Георгиевна	20 Мар 2015
документ	Урок в 6 классе «Упрощение выражений»	Царёва Людмила Анатольевна	1 Апр 2015
презентация	Презентация к уроку в 5 классе «Упрощение выражений»	Горшенина Елена Викторовна	21 Мар 2015
презентация	презентация по теме «Упрощение выражений » по математике в 5 классе	Кожух Татьяна Георгиевна	21 Мар 2015
документ	Технологическая карта урока математики по ФГОС в 5 классе по теме «Упрощение выражений»	Копенкин Сергей Николаевич	31 Мар 2015
документ	Методическая разработка урока математики в 5 классе по теме «Упрощение выражений. Распределительное свойство умножения» (автор УМК Виленкин Н.Я.)	Матвеева Наталья Юрьевна	31 Мар 2015
документ	План-конспект урока математики в 5 классе «Упрощение выражений»	Девяткина Ольга Юрьевна	1 Апр 2015
презентация	Методическая разработка урока математики в 5 классе на тему «Упрощение выражений»	Пазычева Валентина Александровна	1 Апр 2015
документ	Конспект урока по математике в 5 классе с применением структур Сингапурской системы образования по теме «Упрощение выражений»	Шакирова Лилия Тагировна	7 Апр 2015
презентация	Презентация к уроку математики в 5 классе по теме «Упрощение выражений»	Волкова Ольга Леонидовна	30 Янв 2016
документ	Урок-сказка «Упрощение выражений», 5 класс	Дроздова Ольга Михайловна	1 Апр 2015
презентация, документ	Урок «Упрощение выражений (5 класс)»	Холина Елена Евгеньевна	1 Апр 2015
документ	Урок математика 5 класс. «Упрощение выражений»	Исакова Тамара Ивановна	1 Апр 2015
документ	Итоговый урок «Упрощение выражений» 5 класс	Савичева Наталья Геннадьевна	7 Июл 2015
разное	Урок математики в 5 классе. Упрощение выражений. Решение задач	Бовина Татьяна Валентиновна	1 Апр 2015
документ	Урок математики в 5 классе. Тема урока: Упрощение выражений.	Евсеева Лидия Анатольевна	1 Апр 2015
документ	Конспект урока математики в классе- комплекте по теме: в 6 классе «Применение распределительного свойства умножения» (повторение), в 5-м классе «Упрощение выражений»(изучение нового материала) Тема: в 6 классе «Применение распреде	Лобанова Елена Васильевна	1 Апр 2015
презентация, документ	Урок объяснения нового материала по теме: «Упрощение выражений»(5 класс)+ презентация	Бондарева Ирина Валерьевна	21 Мар 2015
презентация, документ	Урок по теме «Упрощение выражений» (5 класс)(конспект+презентация)	Павлова Ольга Борисовна	1 Апр 2015
документ	Урок математики по теме «Упрощение выражений», 5 класс	Куницина Маргарита Олеговна	1 Апр 2015
разное	Урок математики по теме «Упрощение выражений» для 5 класса	Киселёва Любовь Алексеевна	7 Июн 2015
разное	Урок по математике по теме «Упрощение числовых и буквенных выражений» для 5 класса	Баширова Альмира Гализяновна	6 Июн 2015
документ	Открытый урок 5 класс по теме: «Упрощение выражений»	Бисимбаева Джумабика Бакеевна	16 Авг 2015
документ	Урок в 8 классе по теме: «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни» Конспект урока по теме:  «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни» Преобразование рациональных выражений Преобразование выражений, со	Двойнова Александра Михайловна	21 Мар 2015
документ	урок в 5 классе «СХЕМА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ»	Кислицина Лидия Ивановна	21 Мар 2015
разное	Урок математики: «Упрощение выражений содержащих в скобках умножение или деление». 3 класс, УМК » Школа 21 века».	Бородина Наталья Анатольевна	10 Дек 2015
документ	Открытый урок по математике в 5 классе. Тема: « Упрощение выражений»	Алексеева Татьяна Алексеевна	31 Мар 2015
документ	Урок-путешествие в 5-м классе «Упрощение выражений»	Баркалова Жанна Алексеевна	31 Мар 2015
презентация, документ	Урок математики в 5 классе по теме «Упрощение выражений»	Сидорня Наталья Анатольевна	1 Апр 2015

Упрощение выражений.

5 класс.

Математика 5 класс

Разработка учителя математики

Коссе Н.А.

МОУ «Староласпинская школа»

( Х + У) ∙ 5 = 15

4 + 9 ∙ С ≤ 15

5 + 2 ∙ Х ≠ 15

12 ∙ 5 – 45 : 15

Математический язык

Математический язык — это язык чисел, букв, символов, рисунков и чертежей. На этом языке пишут при помощи своего особого алфавита.

3√4 + 1,34 – 3,9 ∙0,125

Восстановите цепочку вычислений

90

∙ 3

— 45

25

30

19

45

: 2

∙ 4

50

: 15

76

100

3

+ 22

51

+ 8

+ 49

∙ 17

28

84

: 3

Восстановите цепочку вычислений

+15

+23

:6

∙ 7

:9

30

35

5

7

50

63

:20

-21

∙ 7

+60

:5

140

200

40

20

2

41

Решите задачу:

На 5 грузовиках 75 ящиков. Сколько ящиков на шести таких машинах?

РЕШЕНИЕ:

75 : 5 = 15 (ящ.) – на каждой машине

15 ∙ 6 = 90 (ящ.) – на шести машинах

Ответ: 90 ящиков

Решите задачу:

Валентина за 1 час собирает 6 ящиков клубники, а её ученица 4 ящика. Сколько ящиков они соберут за 7 часов работы. Решите задачу двумя способами.

1 способ:

6 + 4 = 10(ящ.) – вместе за 1 час

10∙ 7 = 70 (ящ.) — всего

2 способ:

6 ∙ 7 = 42(ящ.) – всего Валентина

4∙ 7 = 28 (ящ.) — всего ученица

42 + 28 = 70 (ящ.) — всего

ОТВЕТ: всего 70 ящиков.

6

Решите задачу:

Используя цифры 0, 1, 2, 3, запишите наибольшее и наименьшее четырехзначные числа.

3

1

0

2

Наименьшее число:

Наибольшее число:

Распределительное свойство умножения

( 5 + 4 ) ∙ 3 = 5 ∙ 3 + 4 ∙ 3

( 5 + 4 ) ∙ 3 и 5 ∙ 3 + 4 ∙ 3

ВЫВОД: Для того чтобы умножить сумму на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения.

Распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания)

ВЫВОД: Для того чтобы умножить сумму на число , можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения.

( a + b ) c = ac + bc

ВЫВОД: Для того чтобы умножить разность на число , можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

( a – b ) c = ac – bc

ВЫЧИСЛИТЕ:

(100+2) ∙ 22 =

(200-2) ∙ 15 =

90 ∙ 25 + 10 ∙ 25=

123 ∙ 27 — 23 ∙ 27=

23 ∙ 16 + 16 ∙ 27=

40 ∙ 87 — 39 ∙ 87=

100 ∙ 22+2 ∙ 22=

2200 + 44 = 2244

200 ∙ 15 -2 ∙ 15=

3000 — 30 = 2970

(90 + 10) ∙ 25= 100 ∙ 25 = 2500

(123 — 23) ∙ 27= 100 ∙ 27 = 2700

(23 + 27) ∙ 16= 50 ∙ 16 = 800

(40 — 39) ∙ 87= 1 ∙ 87 = 87

Упрощение выражений

На столе стоят три вазы с розами.

В первой вазе х роз,

во второй – в 2 раза больше,

а в третьей в 3 раза больше, чем в первой.

Запишите выражения для следующих величин:

число роз во второй вазе —

число роз в третьей вазе —

число роз во второй и третьей вазах вместе —

2х

3х

2х + 3х

Упрощение выражений

Используя распределительный закон преобразуйте выражение 2х + 3х

Проверь себя: 2х + 3х = 2 ∙ х + 3 ∙ х = ( 2+3) ∙ х = 5 ∙ х = 5х 

упрощение выражения

Рассмотрим выражение 5 х

числовой множитель или коэффициент

буквенный множитель

Упрощение выражений

Подумайте, как, используя распределительный закон, упростить выражение 8у – 5у.

УПРОСТИТЕ УСТНО:

7х + 2х= 11у – 3у=

9а + 6а= 13с – 3с=

9 х

8у

15а

10с

Для упрощения выражений применяют сочетательное свойство умножения.

3х ∙ 5 ∙ 10 = (3 ∙ 5 ∙ 10)х = 150х

4 ∙ 2у ∙ 15 = (4 ∙ 2 ∙ 15)у = 120у

Упрощение выражений

№ 2

Упростите выражение:

15a ∙ 4 =

3b ∙ 12 =

17a ∙5b =

11a ∙ 7b =

c∙ 18 ∙ d ∙ 3 =

x ∙ 9 ∙ 4 ∙ y =

№ 1

Упростите, если возможно, выражение:

17m + 5m =

24b + 7a — 5a =

6a – a =

y – 8 =

9c + 4c — 6c =

5 + 12n – 2n =

22 m

60 а

24b +2 а

36b

5а

8 5а b

нет

77 а b

7c

5 4cd

5 + 1 0n

36xy

Запишите на математическом языке:

Цена слив х р. за 1 кг, а алыча стоит на 7 р. дешевле.

А) цену алычи;

Б) стоимость двух килограмм слив;

В) стоимость шести килограмм алычи;

Г) стоимость двух килограмм слив и шести килограммов алычи вместе.

Цена хризантемы а р. за один цветок, а цена одной розы – на 30 р. больше.

А) цену розы;

Б) стоимость пяти хризантем;

В) стоимость трех роз;

Г) стоимость букета из пяти хризантем и трёх роз.

Х-7

а + 30

2х

5а

(а+30)∙3

(х-7)∙6

5а+(а+30)∙3=5а+3а+90=8а+90

2х+(х-7)∙6=2х+6х-42=8х-42

Упростите выражение и найдите его значение:

№ 3

5х + 8х при х = 13

12у – 6у при у = 6

9а + 7а при а = 16

39х – 5х -4х + 28 при х = 3

28 у – 18у + 6у при у = 2

Проверка:

№ 3

5х + 8х= (5 + 8)х = 13х

если х = 13,то 13 ∙ 13 =169

12у – 6у= (12 — 6)у = 6у

если у = 6, то 6 ∙ 6= 36

9а + 7а = (9 +7)а = 16а

если а = 16, то 16 ∙ 16 =256

39х – 5х -4х + 28= (39 – 5 – 4)х + 28 =30х +28

если х = 3, то 30 ∙ 3 +28= 118

28 у – 18у + 6у= (28 – 18 + 6)у =16у

если у = 2, то 16 ∙ 2 = 32

Физкультминутка

Физкультминутка

Физкультминутка

Физкультминутка

Физкультминутка

Решите уравнение: № 4

15а – 8а = 21 3х – х = 12

4у + 2у – у = 20 2а + 8а + 37 = 107

2х = 12

х = 12: 2

х = 6

7а = 21

а = 21: 7

а = 3

5у = 20

у = 20: 5

у = 4

10а +37 = 107

10а = 107 – 37

10а = 70

а = 7

Найдите при каком значении буквы:

а) выражение 7х больше 4х на 51.

б) сумма 8а и 3а равна 4466.

 

3х = 51

Х= 51 :3

Х= 17

Ответ: при х =17

7х – 4х = 51

11а = 4466

а= 4466 :11

а= 406

Ответ: при а =406

8а + 3а = 4466

Ответьте на вопросы:

• Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания.
• Поясните как с помощью этих свойств упрощаются выражения вида

7а + 3а,

20у -7у.

Ответьте на вопросы:

Для выражения левого столбика найдите пару из правого столбика. Соедините их стрелочками.

8а

12а

45х

8х – 4

2 + 5х

48х

3х

5х + 3х – 4

4а ∙ 3

2а –а + 7а

12х – 7х + 2

4х ∙ 6 ∙ 2

9 ∙ х ∙ 5

Задание на дом: № 563, №566, 586(а-г).

2+17m-12/m+4 Tiger Algebra Solver

Шаг 1 :

 12
 Упростить ——
            м
 

Уравнение в конце шага 1 :

 12
  (((5 • (м  2  )) + 17м) - ——) + 4
                          м
 
 Шаг 2 : 
 

Уравнение в конце шага 2 :

 12
  ((5м  2  + 17м) - ——) + 4
                   м
 

Шаг 3 :

Преобразование целого в виде эквивалентной дроби:

 3. 1   Вычитание дроби из целого

Преобразование целого в виде дроби, используя m в качестве знаменателя:

 5m  2  + 17m (91 + 17m) (91 29000) м
     5 м  2  + 17 м = ————————— = ———————————————
                      1 м
 

Эквивалентная дробь: Сгенерированная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое число

Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующая в вычислении, имеют один и тот же знаменатель м • (5m + 17) 

Сложение дробей, имеющих общий знаменатель:

 4.2       Сложение двух эквивалентных дробей
Сложение двух эквивалентных дробей, которые теперь имеют общий знаменатель

Соедините числители, подведите сумму или разность к общему знаменателю, затем приведите к наименьшему числу, если возможно:

 m • (5m+17) • m - (12) 5m  3  + 17m  2  - 12
 "="
           м м
 

Уравнение в конце шага 4 :

 (5 м  3  + 17 м  2  - 12)
  ————————————————— + 4
          м
 

Шаг 5 :

Преобразование целого в виде эквивалентной дроби:

 5. 1   Прибавление целого к дроби

Преобразование целого в виде дроби, используя m в качестве знаменателя:

 4 4 • m
    4 = — = —————
         1 м
 

Калькулятор корней многочленов :

 5.2    Найдите корни (нули) :       F(m) = 5m ³ + 17m ² — 12
Калькулятор корней многочленов, для которого F предназначен для нахождения значений F, предназначенных для (м)=0  

Rational Roots Test — один из вышеупомянутых инструментов. Он найдет только рациональные корни, то есть числа m, которые могут быть выражены как частное двух целых чисел

. Теорема о рациональных корнях утверждает, что если многочлен равен нулю для рационального числа P/Q, то P является множителем замыкающей константы, а  Q является множителем ведущего коэффициента

В этом случае начальный коэффициент равен 5, а конечная константа равна -12.

 Коэффициент(ы):

Ведущего коэффициента: 1,5
Запаздывающей константы: 1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,12

Проверим. …

90 129 3 0  90 130 901 29   

1	P 90 8	В		P/Q		F(P/Q)		Делитель
	9	1		-1,00		0,00		м + 1
	-1		5		0	0    9 0 9 1 0,30 0,20 30	-11,36
	-2		901 3 1	90    — 2,00		16,00
	-2	3 0  -2		-0,40		-9,60
	-3	9 10 2	-3.00		6.00

Примечание — Для аккуратности, печать проверки, не обнаружившие корней, подавлялись

Факторная теорема утверждает, что если P/Q является корнем многочлена, то этот многочлен можно разделить на q*x-p. 0025

В нашем случае это означает, что
   5m ³ + 17m ² — 12 
можно разделить на  m + 1  ³ + 17 м ² — 12 
                             («Дивиденд»)
By         :    m + 1    («Дивизор»)

Дивиденд 29	5м 3	+	17м 2			—	12
— делитель	0  0 0 5 м 130		5м 3	+	5м 2				0
остаток					12м 2 0 0	0 129	—	12
— делитель	* 12 м 1				9 12 9	10 2 9001 +	12м
остаток				0 30 29 —	12м	—	12
— делитель	* -12м 0			130			—	12 м	—	12
остаток				0130					0

Частное : 5м ² +12м- 12  Остаток:  0 

Попытка факторизовать путем разделения среднего члена

 5. 4     Факторизация 5m ² +12m-12 

Первый член равен 5m ²  5  , его коэффициент равен .
Средний член равен +12 м, его коэффициент равен 12.
Последний член, «константа», равен -12 

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу   5 • -12 = -60 равен коэффициенту среднего члена, который равен   12 .

90 901 -2 +    29    =    9016 9 1 26 9 1 26 9 1 27 — 1

	-60	+	1	=	-59
	-30	+	2	=	-28
	3	=	-17
	-15	+	4	=	-11
	-12	+	-7
	-10	+	6	=	-4
1    9 0 1 0 9 0	+	10	=	4
	-5	0	0 +	12	=	7
	-4	3 5   + 1 0 93 9012 9012	=	11
	-3	+	20	=	17	-2	+	30	=	28
	+	60	=	59

Наблюдение: не существует двух таких факторов !!
Вывод: Трехчлен нельзя разложить на множители

Сложение дробей, имеющих общий знаменатель:

 5. 5       Сложение двух равнозначных дробей

 (5m  2  +12m-12) • (m+1) + 4 • m 5m 
9 3 
  + 4м - 12
 "="
              м м
 

Проверка идеального куба:

 5,6    5 м ³ + 17 м ² + 4 м — 12 не является идеальным кубом

Попытка разложить на множители путем вытягивания :

 5.7      Разложение на множители:  5m ³ + 17m ² + 4m — 12 

Вдумчиво разделите имеющееся выражение на группы, в каждой группе по два члена: 90 20 0 Группа: 90 025 900 900 3 + 17м ²  
Группа 2: 4м — 12 

Выдвижение из каждой группы отдельно:

Группа 1:  (5м + 17) • (м ² )
Группа — 2:  (м (4)

Плохие новости !! Факторинг путем вытаскивания не удается:

Группы не имеют общего множителя и не могут быть сложены для получения умножения.

Калькулятор корней многочленов :

 5.8    Найдите корни (нули) :       F(m) = 5m ³ + 17m ² + 4m — 12

См. 2 в этой теории 9 0 4 . случае, старший коэффициент равен 5 , а конечная константа равна -12.

 Коэффициент(ы):

ведущего коэффициента:  1,5
 константы замыкания:  1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,12

 Проверим….

90 107 8 0 107 P/Q 9011 2 9 9 3 09 1    -2 90 0 1 9 29.

	P		Q	7	F(P/Q)		Делитель
	-1		1		-1,00		-4,00		0   9013 06		-1		5		-0,20		-12,16
	1		-2,00		8,00
6 0 6   -2		5		-0,40		-11,20		1 0126 90 0	-3 9{2}-4ac}}{2a}. Квадратичная формула дает два решения: одно, когда ± является сложением, и одно, когда это вычитание. m=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5} Square -17. m=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-20\left(-15\right)}}{2\times 5} Умножить -4 раза 5. m =\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+300}}{2\times 5} Умножьте -20 на -15. м=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{589}}{2\times 5} 92 = \frac{589}{100} u = \pm\sqrt{\frac{589}{100}} = \pm \frac{\sqrt{589}}{10} Упростите выражение, умножив -1 с обеих сторон и извлеките квадратный корень, чтобы получить значение неизвестной переменной u r =\frac{17}{10} — \frac{\sqrt{589}}{10} = -0,727 s = \frac{17 {10} + \frac{\sqrt{589}}{10} = 4,127 Факторы r и s являются решениями квадратного уравнения. Подставьте значение u для вычисления r и s. Примеры Квадратное уравнение 9{ 2 } — 4 x — 5 = 0 Тригонометрия 4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta Линейное уравнение y = 3x + 4 Арифметика 3 90 90 5 Матрица \left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{массив} \right] Одновременное уравнение \left. Найти корень кубический онлайн: Кубический корень | Онлайн калькулятор alexxlab / 11.07.202309.05.2023 / Разное 7 — возведение в степень (5+6j) + 8j — сложение (5+6j) — (7-1j) — вычитание conjugate(1+4j) или conj(1+4j) Сопряженное (комплексно-сопряженное) число для (1 + 4j) re(1+I) Реальная часть комплексного числа 1 + I im(1+I) Мнимая часть 1 + I sign(1+I) Комплексный знак числа 1 + I absolute(1+I) Модуль от 1 + I arg(1+I) Аргумент от 1 + I Другие примеры: Квадратный корень из комплексного числа sqrt(1-24*i) Деление комплексных чисел (1-2i)/(1+4i) Кубический корень cbrt(1-7*i) Умножение комплексных чисел (5+4i)*(8-2i) Корни четвертой и пятой степени (1-11*i)^(1/4) (1-11*i)^(1/5) Комплексно-сопряженное число conj(1 + 4j) (3/2-3*sqrt(3)/2*i)/conj(-5/2-1/3*i) Реальная часть комплексного числа re(1+I) Комплексные уравнения z - |z| = 2 + i (i + 5)*z - 2*i + 1 = 0 Возведение в степень i^15 (1 - 2*i)^32 Мнимая и действительная часть im(re(x) + y) Мнимая часть im(1+I) Модуль комплексного числа absolute(1+I) Аргумент arg(1+I) Комплексный знак числа sign(1+I) Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2. 2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от x В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7. 3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от x acsc(x) Функция — арккосеканс от x sec(x) Функция — секанс от x csc(x) Функция — косеканс от x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция — гиперболический косеканс от x sech(x) Функция — гиперболический секанс от x acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности Значение, Определение, Предложения . Что такое кубический корень Онлайн-переводчик Грамматика Видео уроки Учебники Лексика Специалистам Английский для туристов Рефераты Тесты Диалоги Английские словари Статьи Биографии Обратная связь О проекте Примеры Значение слова «КУБИЧЕСКИЙ» Выраженный в мерах, за единицу объёма к-рых принят куб.. Смотреть все значения слова КУБИЧЕСКИЙ Значение слова «КОРЕНЬ» Подземная часть растения, служащая для укрепления его в почве и всасывания из неё воды и питательных веществ. Смотреть все значения слова КОРЕНЬ Предложения с «кубический корень» Я могу извлечь кубический корень почти из любого натурального числа. Чувак, этот кубический корень был настоящим трёхочковым после сирены, Клайд. Какой будет кубический корень из 216? Есть большая разница между делением на куб и делением на кубический корень. Простой пример функции, в которой метод Ньютона расходится, — это попытка найти кубический корень из нуля. Для угла целого числа градусов синус и косинус могут быть выражены через квадратные корни и кубический корень нереального комплексного числа. Другие результаты Но вы и сами прекрасно видели, на что способен лорд Таарн, когда вы были на борту своего корабля, который для нас представляет тысячу кубических кобаров столь необходимого нам сплава геркуланума. Он вспомнил коридор, грязную ковровую дорожку, ряд одинаковых дверей, ведущих в крошечные кубические офисы. Цзя использовал его как инструмент для извлечения квадратных и кубических корней. Комплексное число, включающее также извлечение кубических корней, имеет прочную конструкцию. Этот набор чисел исторически возник из попыток найти замкнутые формулы для корней кубических и квадратичных многочленов. Этот набор чисел исторически возник из попыток найти замкнутые формулы для корней кубических и квадратичных многочленов. Этот набор чисел исторически возник из попыток найти замкнутые формулы для корней кубических и квадратичных многочленов. Он извлекал кубические корни и интегрировал функции возраставшей степени трудности. Вместо этого я хотел бы поговорить кое о чём гораздо более интересном, чем дни рождения и кубические корни, более глубоком и более близком к тому, как работает мой разум. Стандартные формы для эллиптических интегралов включали квадратные корни кубических и квартирных многочленов. Они используют счеты для выполнения математических функций умножения, деления, сложения, вычитания, квадратного корня и кубического корня. Эта книга имела приблизительную трисекцию углов, и подразумеваемое построение кубического корня было невозможно. Объем черепной коробки составлял от 375 до 500 кубических сантиметров. С принятием галлона вина королевы Анны 231 кубический дюйм бочка приблизилась к объему цилиндра с диаметром и высотой 42 дюйма. Любой абразивный материал может быть использован для создания хонинговального камня, но наиболее часто используются Корунд, карбид кремния, кубический нитрид бора и Алмаз. На данной странице приводится толкование (значение) фразы / выражения «кубический корень», а также синонимы, антонимы и предложения, при наличии их в нашей базе данных. Мы стремимся сделать толковый словарь English-Grammar.Biz, в том числе и толкование фразы / выражения «кубический корень», максимально корректным и информативным. Если у вас есть предложения или замечания по поводу корректности определения «кубический корень», просим написать нам в разделе «Обратная связь». Мэтуэй | Популярные задачи 92) 9(3x) по отношению к x 92+1 1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х 2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x 3 Найти производную — d/dx 21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x 22 Найти производную — d/dx грех(2x) 23 Найти производную — d/dx 41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x 42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х) 43 Оценка интеграла 9бесконечность 45 Найти производную — d/dx х/2 46 Найти производную — d/dx -cos(x) 47 Найти производную — d/dx грех(3x) 68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x 69 Найти производную — d/dx угловой синус(х) 70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х 85 Найти производную — d/dx лог х 86 Найти производную — d/dx арктан(х) 87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92 Вычисление Короткие хитрости: быстро вычисляйте кубические корни! Лучшие приемы вычисления кубических корней: В разделе экзаменов по банковскому делу расчеты играют важную роль для получения высоких результатов. Теперь, чтобы укрепить его, вам придется много тренироваться. Практика вопросов увеличит вашу скорость, а также точность. Скорость также зависит от коротких трюков, поскольку мы используем их на экзамене, чтобы сэкономить время на другие вопросы. При расчете необходимо знать таблицы до 25 под рукой. При этом изучение квадратов и кубов до 25, квадратных корней до 20 и кубических корней до 10 является обязательным. Запоминание их улучшит ваши навыки расчета. Мы уже поделились короткими приемами вычисления с квадратом, кубом и квадратным корнем . Вы можете пройти через трюки и подготовить их хорошо. В статье мы обсудим короткие приемы для вычисления кубических корней из определенных кубических чисел. Для этого вам просто нужно запомнить кубики до 10, чтобы применить эту технику. Кубики чисел (от 1 до 10) 9 0003 Числа Кубики 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 8 512 9 729 10 1000 приведенная выше таблица? Наблюдение 1: 90 004 9 Единичная цифра чисел и их кубов подобны 1 1 4 6 4 5 12 5 6 21 6 72 9 1 0 100 0 Итак, всегда помните, что если вы найдете число , которое является определенным кубом и содержит вышеупомянутые единичные цифры, то их кубические корни также будут иметь одинаковые единичные цифры. Наблюдение 2: Числа, имеющие цифру единиц 2, будут иметь 8 в качестве единицы в кубе и наоборот в кубе и наоборот 2 8 3 2 7 8 51 2 7 34 3 Таким образом, имейте в виду, что если вы найдете число, которое является определенным кубом и имеет единичные цифры как: a. 2 , тогда кубический корень будет иметь единичную цифру как 8. b. 8 , тогда кубический корень будет иметь единичную цифру как 2. Помните выводы из приведенных выше наблюдений. Они будут использоваться на этапах вычисления кубических корней. Метод вычисления кубических корней из определенных кубических чисел Рассмотрим на примере: Нахождение кубического корня числа 59319 . Шаг 1: Разделите число, взяв 3 крайние правые цифры в одной части и оставшиеся цифры в другой части. Затем по единице или последней цифре куба , найдите единичную цифру кубического корня числа . Здесь последняя цифра куба равна 9. Теперь, согласно приведенному выше наблюдению, числа, имеющие единичную цифру 9имеют одинаковую единичную цифру в своих кубах и наоборот. Таким образом, единичная цифра кубического корня также будет равна 9.   Шаг 2 : Теперь рассмотрим оставшиеся цифры числа. Затем найдите меньший кубический номер до оставшейся цифры и запишите его кубический корень номер . Здесь остальные цифры: 59 . Меньший куб до 59 равен 27 . Кубический корень из 27 равен 3 . Итак, кубический корень из 59319 это 39 . Итак, с помощью всего двух простых действий вы сможете найти кубический корень из числа. 9 0003 Кубический корень из 59319 59 31 9               27 или ( 3 ) 3   < 59   9 909 07 3  9 39 Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять это. Пример 1. Найдите кубический корень из

91

Кубический корень из
12 5
64 или ( 4 ) 3 < 91	5
4	5
45

Пример 2. Найдите кубический корень из 175616

Кубический корень из 175616
175	61 6
125 или ( 5 ) 3 < 175	6
5	6 9 0005
56

Пример 3. Найдите кубический корень из 300763

Кубический корень из 300763
3 00	76 3
216 или ( 6 ) 3 < 300	7
6	7
67

Пример 4. Найдите кубический корень из 474552

Кубический корень из 474552
474	55 2
343 или ( 7 ) 3  < 474	8
Пример 5. Найдите куб. корень из 778688 90 004 2 Кубический корень из 778688 778 688                729 или ( 9 ) 3  < 778 2 9 92 Таким образом, вы можете легко вычислить кубические корни определенных кубических чисел. Вам не нужно записывать все этапы экзамена. Просто посчитайте шаги в уме и быстро ответьте. 6 в степени 1 равно: Шесть в первой степени — решение и ответ! alexxlab / 11.07.202310.05.2023 / Разное 2

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >

Аннотация: В данной лекции рассматриваются комплексные корни n-й степени из единицы. Приведены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней, доказан ряд теорем. Рассмотрен ряд характерных задач, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Ключевые слова: Окружность, доказательство, группа, первообразная, пункт, ПО, дискриминант кубического многочлена, действительный, радиус, значение функции, функция, композиция, минимум, многочлен, многочлен неприводимый, поле, определение, умножение, кратность

Комплексные корни n-й степени из единицы

Так как , r=1, , то формула для корней n -й степени из 1 принимает вид

Точки w_k являются вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, при этом одной из вершин этого многоугольника является 1. Например, при n=8

Теорема 2.9.1. Совокупность всех n корней n -й степени из 1 с операцией умножения является коммутативной группой (подгруппой в ).

Доказательство.

1. Если , т. е. wⁿ=1, zⁿ=1, то , поэтому . Таким образом, на T_n определена операция умножения (очевидно, коммутативная и ассоциативная).
2. Ясно, что 1ⁿ=1, т. е. , и 1 — нейтральный элемент в T_n.
3. Если , то wⁿ=1, и поэтому .

Замечание 2.9.2. Группа T_n является циклической, т. е. все ее элементы являются степенями одного элемента, называемого циклическим образующим (в качестве одного из циклических образующих можно взять , так как w_k=(w₁)^k для , т. е. все элементы w_k группы T_n являются степенями корня w₁, такие корни называются первообразными). Покажите, что является первообразным корнем тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел k и n равен 1.

Упражнение 2.9.3. Доказать, что сумма всех k -х степеней корней уравнения xⁿ=1 равна

n, если k делится на n ;

0, если k не делится на n.

Задача 2.9.4. Если , то |z|=1, но z не является корнем из единицы (т. е. для любого ).

Задача 2.9.5. Доказать, что

а) ;

б) .

Указание. Пусть

(все корни степени 2n из 1 ). Тогда

(так как x_n=-1, x_2n=1 ). Но , поэтому

Следовательно,

Полагая x=1, имеем

Пункт б) доказывается аналогично.

Дальше >>

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >

CHAINSAW MANFigZero 1/6 Power — магазин threezero

149,00 долларов США

Фигурки MAN CHAINSAW MAN от threezero — это следующий захватывающий выпуск в линейке продуктов FigZero. FigZero стал широко известен тем, что расширяет границы аниме-фигурок с помощью подвижных шарнирных фигурок в масштабе 1/6 с подробными скульптурами и индивидуальными костюмами.

Фигурка FigZero 1/6 Power имеет рост примерно 11,3 дюйма (28,8 см) и представляет собой полностью подвижную коллекционную фигурку с более чем 31 точкой артикуляции. Как и фигурка Денджи, все части были созданы известным японским скульптором Акинори Такаки.

Power включает в себя в общей сложности три сменных лицевых пластины (улыбка, крики и удивление) и две сменные накладки для волос (стандартные и движущиеся волосы). Торс для FigZero 1/6 Power — это совершенно новый дизайн, который включает в себя подкладки для груди, которые можно легко прикрепить или отсоединить с помощью магнита. Тканевый наряд персонажа включает тканевый жакет, белую рубашку, брюки и галстук. Дополнительные аксессуары включали кровавый меч, кровавый молот, шесть наборов сменных рук в разных позах и несочлененный кот-компаньон Мяуи в масштабе 1/6.

©Tatsuki Fujimoto/SHUEISHA, MAPPA

Цена предварительного заказа: 149 долларов США / 1 170 гонконгских долларов / 1 030 юаней / 20 880 йен

Ориентировочная поставка: 3-й квартал 2023 г.

※ Стоимость доставки зависит от веса/размера товара и места доставки .
※ Пошлины, налоги и любые другие сборы, связанные с таможенным оформлением, не включены в цену.
※ Все неоплаченные заказы будут отменены после продажи.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

3 arctg 0