Автор: alexxlab

определение, примеры с решением задач

п.1. Правило суммы

Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда общий набор, множество A ∪ B состоит из n + m элементов.
Выбрать один элемент a ∈ A ИЛИ b ∈ B можно n + m способами.

Например:
На подносе лежит 5 слив и 4 абрикоса.
Сколькими способами можно выбрать фрукт с подноса?
Всего фруктов: 5 + 4 = 9. Значит – 9 способов.

п.2. Правило произведения

Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда множество всех возможных упорядоченных пар (a, b) = A · B состоит из n · m элементов.
Выбрать упорядоченную пару a ∈ A И b ∈ B можно n · m способами.

Например:
Сколько всего двузначных четных чисел?
В двузначном числе на первом месте могут быть цифры {1; 2; … 9}, n = 9
В двузначном четном числе на втором месте могут быть цифры {0; 2; … 8}, m = 5
Всего nm = 9 · 5 = 45 чисел.

п.3. Исключение «двойного учета» для неупорядоченных пар

При составлении пар порядок бывает неважен: (a, b) или (b, a), – главное, составить пару. В таком случае, например, пары (1; 2) и (2; 1) – одно и то же.
Поэтому правило произведения для неупорядоченных пар:

Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда множество всех возможных неупорядоченных пар (a, b) ≡ (b, a) состоит из \(\mathrm{\frac{n\cdot m}{2}}\) элементов.
Выбрать неупорядоченную пару a ∈ A И b ∈ B можно (n · m)/2 способами.

Например:
В саду поспевает 7 видов фруктов. Было решено сварить компот из любых двух фруктов. Сколько всего различных компотов можно сварить?
Первый фрукт можно выбрать n = 7 способами.
Второй фрукт можно выбрать m = 6 способами.
В данном случае 2 фрукта образуют неупорядоченную пару – неважно, в каком порядке их бросать в кастрюлю. Поэтому \(\mathrm{N=\frac{7\cdot 6}{2}=21}\).
Ответ: 21 различных компотов.

п.4. Примеры

Пример 1. О 4-значном пин-коде карты известно, что первая и последняя цифры у него одинаковые, вторая и третья – разные, и не равны первой цифре.
Сколько всего вариантов такого пин-кода?

В начале и в конце одновременно используются цифры {0;1;…;9}, n = 10
На второй позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованной на первом месте, m = 9
На третьей позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованных на первом и втором месте, k = 8
По правилу произведения общее количество наборов: N = nmk = 10·9·8 = 720.
Ответ: 720 вариантов.

Пример 2. Сколько всего 3-значных чисел, у которых ровно две цифры.
а) семёрки; б) нули?

а) Варианты расстановки семёрок:
77x, x ≠ 7 – таких чисел 9
7×7, x ≠ 7 – таких чисел также 9
x77, x ≠ 7 – таких чисел 8 (слева не может стоять 0)
По правилу суммы: 9 + 9 + 8 = 26

б) Вариант расстановки нулей только x00, x ≠ 0 – таких чисел 9
Других вариантов нет.
Ответ: а) 26 чисел; б) 9 чисел.

Пример 3. На экзамене будет 5 задач по 5 разным темам. Каждая задача берется из списка, в котором 8 задач по теме. Вася умеет решать по 3 задачи из каждой темы.
Сколько всего вариантов билетов может быть на экзамене?
Сколько существует вариантов билетов, за которые Вася получит 5 баллов?
Сколько существует вариантов билетов, в которых Вася не решит ни одной задачи?

В экзамене по каждой теме n = 8 вариантов выбора задачи. По правилу произведения всего возможно N = 8⁵ = 32768 вариантов билетов.
Вася готов решать k = 3 задачи по каждой теме. По правилу произведения всего он сможет полностью решить K = 3⁵ = 243 вариантов.
Вася не готов решать m = 8 – 3 = 5 задач по каждой теме. По правилу произведения всего он вообще не сможет решить M = 5⁵ = 3125 вариантов.
Ответ: 32768; 243; 3125.

Пример 4. Каких пятизначных чисел больше: тех, что не делятся на 5, или таких, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки?

Сколько всего пятизначных чисел? На первом месте – 9 вариантов цифр, на четырёх последующих – по 10 вариантов. Итого: N = 9 · 10⁴ = 90000 чисел.
Признак делимости на 5: последняя цифра 5 или 0.
Количество чисел с последней цифрой 5: M₁ = 9 · 10³ · 1 = 9000.
Аналогично, с последним 0: M₂ = 9 · 10³ · 1 = 9000.
Итого, чисел, которые не делятся на 5:
M = N – (M₁ + M₂) = 90000 – 2 · 9000 = 72000.
Сколько всего пятизначных чисел, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки? На первом месте – 8 вариантов цифр, на втором – 9 вариантов. На остальных – по 10 вариантов.
Итого: K = 8 · 9 · 10³ = 72000 чисел.
Получаем: M = K – искомых чисел поровну.
Ответ: их поровну.

Пример 5*. На глобусе проведено 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?

Возьмём неразмеченный глобус. Проведем экватор.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим еще одну параллель. Поверхность разделилась на 3 части.
Мы видим, что n параллелей делит поверхность на N = n + 1 частей.
Соответственно, для 17 параллелей, N = 18 частей.

Опять берём неразмеченный глобус. Проведем меридиан.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим ещё один меридиан. Поверхность разделилась на 4 части.
Мы видим, что m меридианов делит поверхность на M = 2m частей.
Соответственно, для 24 меридианов, M = 48 частей.
Общее количество частей по правилу произведения (с исключением «двойного учета», т.к. нам всё равно: мы сначала проводили параллели, а потом – меридианы, или наоборот): \(\mathrm{\frac{NM}{2}=\frac{48\cdot 18}{2}=432}\).
Ответ: 432 части.

Правила суммы и произведения

1.Правило суммы: если объект А может быть выбран n способами, а объект В – m способами, то выбор «А или В» может быть осуществлен n+m способами.

Пример. Если на одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой — 40 различных книг (и не таких, как на первой полке), то выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно 30+40=70 способами.

При использовании правила сложения нужно следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-нибудь способом выбора объекта В, т. е. чтобы ни одна комбинация не попала сразу в два класса. Если такие совпадения имеются, правило сложения в ранее сформулированной форме утрачивает силу, и мы получаем m + n – k способов выбора, где k — число совпадений.

2. Общее правило суммы: Если объект А можно выбрать m способами, а объект В — n способами, причем при k способах одновременно выбираются и А и В, то выбор «А или В» можно осуществить m + n – k способами.

Пример. Сколько чисел в первой сотне, не делящихся ни на 2, ни на 3?

Решение: Легче вычислить сначала количество чисел первой сотни, делящихся на 2 или на 3. Каждое второе число в натуральном ряде делится на 2, каждое третье— на 3. Поэтому в первой сотне есть 50 чисел, делящихся на 2, и 33 числа (неполное частное от деления 100 на 3), делящихся на 3. Но среди первых и вторых имеются числа, делящиеся и на 2, и на 3, т. е. делящиеся на 6. На 6 делится каждое шестое число в натуральном ряде. Если 100 разделить на 6, то неполное частное будет равняться 16, т. е. 16 чисел в первой сотне делится на 6. Итак, количество чисел в первой сотне, делящихся на 2 или на 3, равно 50 + 33 – 16 = 67. Все остальные не делятся ни на 2, ни на 3. Этих чисел 100 – 67 = 33.

3.Правило произведения: если объект а может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект в – m способами, то выбор «а и в» в указанном порядке может быть осуществлен n*m способами.

Пример. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе — мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье — чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Решение: Первое блюдо можно выбрать одно из трех (борщ, солянку или грибной суп), второе блюдо тоже одно из трех (мясо с макаронами, рыбу с картошкой или курицу с рисом), на десерт только два варианта (чай или компот). Используя правило произведения, получаем: 3х3х2=18.

Пример. В классе 25 человек. Сколькими способами:

а) можно распределить между ними два различных учебника;

б) можно распределить между ними два различных учебника так, чтобы никто не получил оба учебника;

Решение: а) Первый учебник может получить любой из 25 учащихся.Кто бы ни получил первый учебник, второй может достаться снова любому из 25, ведь в условии не сказано, что каждый должен получить не более одного учебника. Всего имеем 25* 25 = 625 способов.

б) В отличие от предыдущего задания, никто не должен получить оба учебника. Поэтому для каждого из 25 вариантов выбора обладателя первого учебника есть 24 способа выбора обладателя второго учебника. Всего имеем 25*24 = 600 способов.

Рассмотрим примеры, использующие правила суммы и произведения.

Пример. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т. е. чтобы какое-то число очков встретилось на обеих костях)?

Решение. Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в случаях выбранная кость окажется «дублем», т.е. костью вида 00, 11, 22, 33,44 , 55 ,66, а в 21 случае — костью с различными числами очков (например, 05, 13 и т.д.).В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шагу выбрана кость 11, то на втором шагу можно взять одну из костей 01, 12, 13, 14, 15, 16).Во втором же случае вторую кость можно выбирать 12 способами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). По правилу произведения в первом случае получаем 7*6=42 выбора, а во втором 21*12=252 выбора. Значит по правилу суммы получаем 42+252=294 способов выбора пары.

Пример. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные? Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Решение. Всего нечетных цифр — пять, поэтому выбор k-й цифры числа может быть сделан n_к=5 способами (к=1, 2, 3, 4), а количество четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные, равно 5*5*5*5=625. Чтобы ответить на второй вопрос, проще не определять последовательно, сколько существует чисел, в записи которых ровно одна четная цифра, две цифры, три цифры, четыре цифры, а воспользоваться полученным ответом на первый вопрос. Все четырехзначные числа, а их 9999-999=9000, делятся на две группы: те, в записи которых все цифры нечетные, и те, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра. Следовательно, количество чисел второго типа равно 9000-625=8375.

Пример. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С — три дороги. Пусть, кроме того, из города А в город D можно попасть двумя путями, из D в C — четырьмя (рис.1). Сколькими способами можно добраться из А в С?

Рис. 1. Варианты перемещения между городами

Решение: Возможны два случая: путь из А в С проходит через город В или через город D. В каждом из этих случаев число возможных маршрутов легко подсчитать, воспользовавшись правилом произведения. В первом случае имеется 5*3 = 15 маршрутов; во втором — 2*4 = 8. Складывая, получаем общее число маршрутов: 15 + 8 = 23.

Правило суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов соединений, которые встречаются наиболее часто.

Правило суммы | Brilliant Math & Science Wiki

Правило суммы применяется только к взаимоисключающим вариантам выбора, то есть можно выбрать только один из вариантов. Чтобы определить, когда использовать правило суммы (в отличие от правила произведения), попробуйте перефразировать вопрос. Если вопрос можно перефразировать словом «или», это обычно указывает на то, что применяется правило суммы.

Мэри сегодня надела свою счастливую рубашку, и ей нужно выбрать одну из 3 красных и 4 синих юбок, которые она наденет с этой рубашкой. Сколько различных вариантов одежды для одной юбки у нее есть в течение дня?

---

Поскольку Мэри может носить одну из 3 красных юбок или одну из 4 синих юбок, выбор является взаимоисключающим и применяется правило суммы. Это дает в общей сложности \( 3 + 4 = 7 \) различных вариантов снаряжения. \( _\квадрат \)

12 16 23 28

В местном кинотеатре идут \(5\) боевики, \(7\) комедии и \(16\) драмы. Если вы идете в кинотеатр, чтобы посмотреть один фильм, сколько у вас есть вариантов, какой фильм посмотреть?

Рави идет в зоомагазин и обнаруживает, что в зоомагазине есть \(3\) рептилии, \(4\) птицы, \(5\) кролики и \(6\) рыбы. Если Рави может выбрать только одно животное в качестве питомца, сколько у него есть вариантов для питомца?

---

Поскольку Рави может выбрать рептилию, или птицу, или кролика, или рыбу, применяется правило суммы. Затем

• есть \(3\) способа выбрать рептилию;
• есть \(4\) способа выбрать птицу;
• есть \(5\) способов выбрать кролика;
• есть \(6\) способов выбрать рыбу.

По правилу суммы существует \(3+4+5+6=18\) способов выбрать питомца. \(_\квадрат\)

Крис играет в карточную игру, и в его руке есть три пятерки, два валета, два туза, одна девятка и один король. Если ему нужно выбрать одну карту для игры в следующем раунде, сколько у него есть вариантов выбора карты?

---

Так как Крис может играть \(5,\) или валетом, или тузом, или девяткой, или королем, применяется правило суммы. Затем

• есть \(3\) способов выбрать \(5;\)
• есть \(2\) способа выбрать Джека;
• есть \(2\) способов выбрать туз;
• есть \(1\) способ выбрать \(9;\)
• есть \(1\) способ выбрать короля.

По правилу суммы найдется \(3+2+2+1+1=9\) способы выбора карты для игры в следующем раунде. \(_\квадрат\)

Когда подбрасываются \(6\) неразличимых одинаковых монет, сколько существует различных исходов?

Детали и предположения:

• Два исхода одинаковы, если они содержат одинаковое количество решек.

В дилерском центре в городе Исаака продаются 10 красных грузовиков, 5 синих грузовиков, 3 красных автомобиля и 2 синих автомобиля. Если Исаак собирается купить ровно одну красную машину, сколько вариантов у него есть?

---

Красные автомобили — это 10 красных грузовиков и 3 красных автомобиля. Следовательно, всего имеется \( 10+3= 13 \) красных автомобилей. \( _\квадрат \)

Учитывая полную колоду карт, сколько карт с черными лицами или красными и четными?

---

Поскольку есть 3 лицевых карты (валет, дама и король) и 5 ​​четных карт (2, 4, 6, 8, 10), у нас есть следующее, соответствующее нашим критериям:

• 3 лицевые карты пиками
• 3 лицевые карты в трефах
• 5 четных в червах
• 5 пар в бриллиантах.

Таким образом, по правилу суммы существует \( 3 + 3 + 5 + 5 = 16 \) вариантов, которые будут работать. \(_\квадрат\)

Сколько неотрицательных целочисленных решений существует для следующего:

\[ -5 < x < 5\quad \text{ или }\quad 12 < x < 100 ?\]

---

Рассматривая каждое неравенство в отдельности, мы видим, что существует \( 4 — (-4) + 1 = 9 \) целочисленных решений уравнения \(-5 < x < 5\), но \(-4, -3, -2,\) и \(-1\) отрицательны, поэтому есть только \( 9-4=5 \).

Существует \( 99-13+1 = 87 \) целочисленных решений \( 12 < x < 100 \), и все они положительные.

Таким образом, по правилу суммы у нас есть \( 5 + 87 = 92\) возможных ответов. \(_\квадрат\)

Правило суммы и правило произведения Решение задач

Сандип Бхардвадж, Эндрю Эллинор, Пи Хан Го, и

способствовал

Содержимое

• Введение
• Примеры
• Решение проблем
• Смотрите также

Правило суммы (принцип сложения) и правило произведения (принцип умножения) изложены ниже.

Правило суммы — Заявление:

Если есть \( n\) вариантов для одного действия и \( m\) вариантов для другого действия, и два действия не могут быть выполнены одновременно, то есть \( n+m\) способов выбрать одно этих действий.

Правила продукта — заявление:

Если есть \( n\) способов сделать что-то, а затем \( m\) способов сделать еще что-то, то есть \( n\× m\) способов выполнить оба этих действия.

Вот пример, основанный на вышеуказанных правилах.

Кэлвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать из \(3\) автобусов или \(2\) поездов, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго. Оттуда он может выбрать один из двух автобусов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки. Сколько способов есть у Кальвина, чтобы добраться до Милуоки?

---

У него есть \(3 + 2=5\) способов добраться до центра Чикаго. (Правило суммы)
Отсюда у него есть \( 2+3=5\) способов добраться до Милуоки. (Правило суммы)
Следовательно, всего у него есть \( 5\times 5=25\) способов добраться до Милуоки. (Правило произведения) \(_\квадрат\)

Попробуйте решить следующие проблемы.

3 8 2 6

Есть 3 рейса из Калифорнии во Францию ​​и 2 рейса из Франции в Индию. Санджит хочет полететь из Калифорнии во Францию, а затем в Индию.

Сколько вариантов его плана полета?

Ресторан предлагает 5 вариантов закусок, 10 вариантов основного блюда и 4 варианта десерта. Клиент может выбрать одно блюдо, два разных блюда или все три блюда. Предполагая, что все варианты еды доступны, сколько различных возможных блюд предлагает ресторан?

Примечание. Когда вы едите курс, вы выбираете только один из вариантов.

Этот раздел включает основные примеры и задачи, которые помогут вам подготовиться к следующему разделу решения задач.

Кэлвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать из \(3\) автобусов или \(2\) поездов, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго. Оттуда он может выбрать один из двух автобусов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки.

На этот раз он должен купить проездной билет на автобус (что позволит ему ездить только на автобусах) или билет на поезд (что позволит ему ездить только на поезде). Если у него есть деньги только на \(1\) из этих концессий, сколько у него есть способов добраться до Милуоки?

---

Если Кальвин купит проездной на автобусе, у него будет \( 3 \x 2=6\) способов добраться до Милуоки. (Правило произведения)
Если Кальвин покупает концессию на поезд, у него есть \( 2\x3=6\) способов добраться до Милуоки. (Правило произведения)
Следовательно, всего у него есть \(6+6=12\) способов добраться до Милуоки. (Правило суммы) \(_\квадрат\)

Шестеро друзей Энди, Бэнди, Кэнди, Денди, Энди и Фэнди хотят сесть в ряд в кинотеатре. Если доступно только шесть мест, сколькими способами мы можем посадить этих друзей?

---

На первое место у нас есть выбор любого из 6 друзей. После посадки первого человека на второе место у нас есть выбор любого из оставшихся 5 друзей. После посадки второго человека на третье место у нас есть выбор любого из оставшихся 4 друзей. После посадки третьего человека на четвертое место у нас есть выбор любого из оставшихся 3 друзей. После посадки четвертого человека на пятое место у нас есть выбор любого из оставшихся 2 друзей. После посадки пятого человека, на шестое место у нас есть выбор только из 1 оставшегося друга. Следовательно, по правилу произведения существует \( 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720) способов рассадить этих 6 человек. \(_\квадрат\) 9b\), где \( a\) и \( b\) — целые числа, удовлетворяющие \( 0 \leq a \leq 4, 0 \leq b \leq 3\). Есть 5 возможностей для \(a\) и 4 возможности для \(b\), и, следовательно, есть \( 5 \times 4 = 20\) (правило произведения) положительных делителей 2000 во всех. \(_\квадрат\)

Следующие задачи познакомят вас с двумя правилами, описанными выше.

60 10 20 36

Сколько параллелограммов получится, если набор из 5 параллельных прямых пересечет набор из 4 параллельных прямых?

Детали и предположения

• Все параллельные линии бесконечно удлиняются.

Если вы подсчитаете способы подъема на 3 ступени, вы обнаружите, что существует 4 способа подъема на 3 ступени. Представьте, что ноги человека настолько длинны, что он может подняться по 11 ступеням за раз. лезть вверх.

Тогда найдите количество способов, которыми вы можете подняться на 11 ступенек?

Бонус : Обобщите это для \(n\) шагов.

Трое детей, каждый в сопровождении опекуна, хотят поступить в школу. Princi хочет опросить всех 6 человек одного за другим при одном условии, что ни один ребенок не будет опрошен в присутствии его опекуна. Сколькими способами это можно сделать?

Этот раздел содержит задачи от простых до сложных. Попробуйте перечисленные задачи и улучшите свое понимание решения проблем.

Наэма идет в магазин, чтобы купить сок для своего дня рождения. В магазине продаются кувшины с апельсиновым соком, яблочным соком и клюквенным соком. В магазине также продаются замороженные банки с виноградным соком, персиковым соком, соком манго и грушевым соком. Если Наэма хочет только одну банку или кувшин сока, сколько у нее есть вариантов?

Если кто-то покрасит снаружи куб \( 5 \times 5 \times 5 \) из \( 1 \times 1 \times 1 \) единичных кубов, сколько единичных кубов будет окрашено ровно с двух сторон?

По дороге в школу из дома 5 почтовых ящиков. Моя мама дала мне 13 (разных) писем для отправки. Если я могу отправить каждое письмо в любой почтовый ящик, каким захочу, сколькими способами я могу отправить письма?

В игре-побеге вы нашли замок с номерами от 1 до 60. Ранее вы нашли лист бумаги внутри прозрачной бутылки. На листе бумаги изображен замок и четыре подсказки:

1) Четыре числа завершают последовательность.

2) Нет двух одинаковых чисел.

3) Второе число вдвое больше третьего.

4) Третье число простое.

Сколько возможных комбинаций существует для замка?

Определите количество трехзначных положительных целых чисел, произведение цифр которых равно 144?

Даниэль хочет получить 100-дневную серию на Brilliant. org. Он планирует сделать это следующим образом:

В первый день он решает \(1\) задачу. На второй день он решает \(2\) задач. На третий день он решает \(3\) задач. Эта закономерность продолжается до \(10\)-го дня. В \(10\)-й день он решает \(1+0=1\) задачу. В \(11\)-й день он решает \(1+1=2\) задач. В общем, в \(\overline{ab}\)-й день он решает \(a+b\) задач. Наконец, на \(100\)-й день он решает \(1+0+0=1\) задачу, завершая свою серию.

Сколько всего задач он решил?

A Kaboobly Dooists — человек, который много занимается Kaboobly Doo.

Однажды зимним вечером к вам приходят четыре Kaboobly Dooists, Алиса, Боб, Чарльз и Дик. К сожалению, у вас не было для них ничего, кроме 5 яблок, 4 апельсинов и 3 манго. И вы не хотите тратить на них все 12 фруктов, так как хотите оставить 8 для себя. Итак, вы даете в общей сложности 4 фрукта, по одному фрукту каждому из них.

Сколькими способами это можно сделать?

Число 2014 состоит из 4 различных цифр; 1 цифра нечетная, а 3 цифры четные, из них одна цифра ноль.

Сколько четырехзначных чисел (первое не может быть 0) обладают этими свойствами?

Пусть \(n\) будет количеством целых чисел от \(1\) до \(97531\) (включительно), которые не содержат цифры \(2,4,6,8\). Каковы последние три цифры числа \(n\)?

Сколько существует упорядоченных пар \( (A, B) \), где \(A, B\) — подмножества \( \{ 1, 2, 3, 4, 5\} \), таких, что \ (|А\шапка В|=1\)?

Детали и предположения

Учащиеся, не знакомые с системой обозначений, могут обратиться к сообщению в блоге, посвященном системе обозначений, для получения определений.

Рассмотрим псевдо-палиндром:

\[БЫЛА ЭТО КОШКА, ЧТО Я ВИДЕЛ?\]

Сколькими способами можно прочитать \(БЫЛА ЭТО КОШКА, которую Я ВИДЕЛ\), если вы можете начать с любой \(W\ ) и двигаться только вправо, влево, вверх или вниз к соседним буквам? Имейте в виду, что каждый регистр можно учитывать дважды, поскольку это палиндром, и что одна и та же буква может использоваться более одного раза в каждой последовательности.

Возрастание и убывание функции — как найти?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Сегодня мы поговорим о возрастании и убывании функции. Как вы знаете, эта тема достаточно важна, потому что встречается на ЕГЭ, во вступительных экзаменах. А еще ее подробно разбирают на уроках в школе. Сложная ли она? И да, и нет. Мы бы сказали, что она не трудная, а скорее комплексная — в теме много нюансов и моментов, которые тянутся к ней с начальной школы. Но не беспокойтесь, сегодня мы обязательно во всем разберемся!

Что такое функция

Как обычно, начнем мы с самого начала: с определения слова «функция».

Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Под функцией понимают правило, формулу, уравнение, которое описывает зависимость одной переменной от другой (например, у от х). Если изучить функцию, мы поймем:

• как изменится одна переменная, если другая увеличится;

• что произойдет с аргументом, если мы уменьшим функцию;

• что будет, если мы отобразим эту зависимость графически.

Спойлер: если изобразить зависимость в координатной системе, мы получим график! Давайте рассмотрим некоторые виды функций и графики, которые им соответствуют.

Важное напоминание: функция — это зависимая переменная величина (чаще у), аргумент — независимая переменная (чаще х).

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Возрастание и убывание функции

В исследовании функции особое значение уделяют ее поведению в системе координат — монотонности функции. Функции бывают монотонными, немонотонными и постоянными.

Монотонная функция — функция, которая возрастает или убывает на всем промежутке области определения.

Функцию считают немонотонной, если на промежутке области своего определения она чередует возрастание и убывание.

Постоянная функция, как ясно из названия, постоянна на всем промежутке и представляет собой прямую, параллельную оси x.

Теперь к теме раздела: приведем определение возрастающей и убывающей функции.

Функция называется возрастающей, когда при увеличении аргумента увеличивается и сама функция.

Проще говоря, здесь работает правило «чем больше, тем больше»: чем больше значение х, тем больше и значение у.

Функция считается убывающей, когда при увеличении аргумента функция уменьшается: чем больше х, тем меньше у.

Теперь вы знаете, как понять, что функция возрастает или убывает. Давайте решим пару задач, чтобы разобраться во всем наглядно.

Задача 1

Определите, возрастающая или убывающая функция y = 2x + 3.

1) Найдем область определения функции: х ∈ R.

2) Найдем координаты нескольких точек, которые ей принадлежат.

Как вы уже заметили, значения х и у одновременно увеличиваются — функция возрастает на всем промежутке.

Задача 2

Определите, возрастающая или убывающая функция y = 1/2х.

1) Найдем область определения функции: х ≠ 0.

2) Найдем координаты нескольких точек, которые ей принадлежат.

Мы видим, что функция убывает при любом значении х ≠ 0. Это можно записать так: функция убывает при х∈ (– ∞ ;0) ∪ (0; + ∞). Подытожим эту информацию небольшой схемой.

Возрастание и убывание функции на интервале

Мы еще не закончили с возрастающими и убывающими функциями — эх, если бы все было так просто! Дело в том, что нас, математиков, интересуют вот какие вопросы:

• Как найти промежутки возрастания и убывания функции по графику?

• Что делать, если просят определить характер на числовом промежутке?

• Как определить поведение функции без построения?

Давайте разбираться! Сначала узнаем, как определить характер функции на промежутке:

• Подставим значение х из промежутка в функцию.

• Проанализируем полученные значения у.

• Если при увеличении х увеличивается и у — это промежуток возрастания функции.

• Если у уменьшается при увеличении х — это промежуток убывания функции.

Достаточно просто, правда? 🙂

Пример

Возьмем функцию y = 4x – 6 и определим ее характер на промежутке [0;2]. Подставим числа из промежутка вместо х в функцию:

Мы видим, что при возрастании х возрастает и значение у, т. е. на этом промежутке функция возрастает.

Точки экстремума, экстремумы функции

Не пугайтесь этих страшных слов! Сейчас разберем их подробнее — это проще, чем кажется.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

На графике выше y min — минимальное значение функции, точка минимума.

Точка минимума — это значение переменной х, при которой функция минимальна.

На том же графике y мах — максимальное значение функции, точка максимума.

Точка максимума — это значение переменной х, при которой функция максимальна.

Иначе точки минимума и максимума в математике принято называть точками экстремума, а значения функции, которые соответствуют точкам экстремума — экстремумами функции.

В точках экстремума функция меняет свой характер. Обратите внимание на рисунок ниже: функция стремительно возрастала до точки максимума, но после нее начала также стремительно уменьшаться. И наоборот, после прохождения точки минимума функция снова начинает возрастать.

Здесь вам может стать интересно: наибольшее/наименьшее значение функции на промежутке — это то же самое или нет. Отвечаем: к сожалению, нет. Эти значения иногда могут совпадать, но часто определяются разными точками.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

У нас есть две новости: хорошая и не очень. Начнем с первой: если использовать достаточные условия возрастания/убывания, можно определить промежутки монотонности функции. И для этого даже не придется строить график! Но здесь нам пригодится производная.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента.

Иначе говоря, производная функции показывает, как быстро увеличивается функция при бесконечно малом увеличении х.

К сожалению, в рамках этой статьи мы не будем долго останавливаться на производных. Как это сделать с помощью таблицы и правил дифференцирования, мы уже разбирали в статье «Таблица производных функций». Советуем почитать!

Достаточные признаки возрастания и убывания функции на интервале:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала, то функция возрастает на этом интервале;

• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала, то функция убывает на этом интервале.

Составим алгоритм действий, который поможет найти интервалы возрастания и убывания функции:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем производную функции.

3. Решим неравенства ƒ`(x) > 0 и ƒ`(x) < 0 на области определения.

4. К полученным промежуткам добавим граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

5. Проверим достаточные признаки возрастания и убывания функции, подставив значения из промежутков.

Задача 3

Укажите промежутки возрастания и убывания функции у = х² + 5х + 6

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R

2. Найдем производную функции: y’ = 2х + 5

3. Решим неравенство: 2х + 5 > 0

   2х+5 >02x>-5x> –2,5

4. Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой.

Ответ: Функция убывает при х∈ (– ∞; –2,5], возрастает при х∈ [–2,5; +∞)

Задача 4

Определите интервалы возрастания и убывания функции у = х³ – 18х.

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R.

2. Найдем производную функции: y’ = 3x² + (–18).

3. Решим неравенство:

   3x² + (–18) > 03 (x²–9) > 03(x – 3)(x + 3) > 0

4. Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой. Чтобы определить знак на каждом промежутке, подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Ответ: Функция убывает при х∈ [–3;3], возрастает при х∈ (–∞;—3] ∪ [3; +∞).

Первое достаточное условие экстремума

Пусть для функции у = f(x) определены следующие условия:

1. Функция непрерывна в окрестности точки x0 (нет разрыва).

2. ƒ′(x0) = 0 или ƒ′(x0) не существует;

3. Производная ƒ′(x) при переходе через точку x0 меняет свой знак.

Тогда в точке x = x0 функция y = f(x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная в точке x0 не меняет свой знак, то в этой точке нет экстремума.

Итак, точки 1 и 4 — точки максимума, точка 3 — точка минимума. В точке 2 экстремума нет.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Теперь разберемся, как найти точки экстремума функции. Для этого пройдем по этим шагам:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем производную функции на этой области.

3. Определим нули и точки, где функция не существует.

4. Определим знак производной на интервалах.

5. Выберем точки, где функция меняет знак.

6. Найдем точки минимума/максимума и экстремумы функции.

Задача 5

Найдите экстремумы функции у = –x² + 8x – 7.

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R.

2. Производная функции: y’ = –2x + 8

3. Решим неравенство:

   –2x + 8 > 0–2x > –8x < 4

4. Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

В точке х = 4 функция меняет свой знак с «+» на «–», значит, точка х = 4 — это точка максимума.

Ответ: у(4) = 9 — экстремум функции.

Задача 6

Найдите экстремумы функции у = ⅓ x³ + 2x² – 12x + 6.

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R.

2. Производная функции: y’ = x² + 4x – 12.

3. Решим неравенство:

   x² + 4x – 12 > 0(x – 2)(x + 6) > 0

4. Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так на интервале (–∞; –6) и (2; +∞) производная положительна — на них функция возрастает. На интервале (–6;2) производная отрицательна — функция убывает.

Ответ: x = 2 — точка минимума, у(2) = –7 ⅓ — экстремум функции; х = –6 — точка максимума, у(–6) = 78 — экстремум функции.

Как можно запомнить переход знаков для точек максимум или минимум:

• Когда функция возрастает, а потом убывает, мы будто поднимались на вершину горы — значит, посетили точку максимума.

• Когда функция убывает, а потом возрастает, мы будто спускались в овраг и выбрались из него — а значит, были в точке минимума.

Второе достаточное условие экстремума

x₀ — это точка экстремума функции f(x), если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f »(x) ≠ 0). Причем, если вторая производная больше нуля (f »(x) > 0), то точкой минимума, а если вторая производная меньше нуля (f »(x) < 0), то точкой максимума.

Рассмотрим это условие экстремума на примере из задачи 6 — функции у = ⅓ x³ + 2x² – 12x + 6:

1. Ее первая производная равна y’= x² + 4x – 12.

2. Определим нули производной — значение х, при котором производная обращается в ноль: x^{2 + 4x – 12 = 0 при х = 2 и х = –6.}

3. Возьмем вторую производную функции y’’= 2х + 4.

4. Подставим значения х = 2 и х = –6 во вторую производную и определим, являются ли эти точки максимумом или минимумом:

   y’’(2) = 8, y’’ > 0, значит, х = 2 является точкой минимума,y’’(–6) = –8, y’’ < 0, значит, х = –6 является точкой максимум.

В этом условии есть два важных замечания:

1. Если в точке x0 и первая, и вторая производные обращаются в ноль, то в этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции, по второму признаку нельзя судить о наличии или отсутствии экстремумов.

2. Второй достаточный признак нельзя применять, когда в стационарной точке (нуле производной) первая производная не существует. Ведь тогда не существует и вторая производная.

Третье достаточное условие экстремума

Это условие не используется в школьной программе, так как требует большого количества вычислений и логических размышлений. Мы все равно познакомим вас с ним — возможно, вам захочется изучить это усaловие самостоятельно и блеснуть знаниями перед учителем. Что ж, мы только за!

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в ε-окрестности точки x0 и производные до n+1-го порядка в самой точке x0.

Степенная функция с нечетным показателем степени , ее свойства и график 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема: Числовые функции

Урок: Степенная функция с нечетным показателем степени её свойства и график

1. Введение

Мы рассмотрим свойства и график степенной функции с нечетным показателем степени т.е. функции вида

2. Функция и её свойства

Рассмотрим функцию  (рис. 1).

График проходит через три фиксированные характерные точки:

Прочтем график и сформулируем свойства функции.

2. Функция нечетная, График симметричен относительно начала координат.

3. Функция возрастает.

4. Не ограничена ни сверху, ни снизу.

5 .Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

6. Функция непрерывна. Это значит, что кривую можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги.

7.

8. Выпукла вверх при выпукла вниз при .

3. Функция и её свойства

Рассмотрим свойства иных степенных функций с нечетным показателем степени.

Функция

1.

2. Функция нечетная,

3. График проходит через три фиксированные точки:

4. Функция возрастает.

5. Не ограничена ни сверху, ни снизу.

6. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

7. Функция непрерывна.

8.

9. Выпукла вверх при выпукла вниз при

4. Примеры

Рассмотрим взаимное расположение кривых на примере функций (рис. 2).

Например,

Рассмотренное свойство является ключом к решению ряда задач.

1. Найдитеи постройте график функции.

Решение:

График получим из известного нам графика  путем сдвига на две единицы вправо (рис. 3).

Отметим точки пересечения с осями.

Ответ:

2.  График данной функции получаем из графика функции  сдвигом на одну единицу вверх (рис. 4).

Ответ:

5. Свойство функции с нечетным показателем

Мы изучаем степенные функции с нечетным показателем степени. Все они монотонно возрастают на всей области определения. Отметим важное свойство:

Если функция возрастает, а функция  убывает, и если уравнение имеет корень, то этот корень – единственный (рис. 5).

6. Решение задач

Рассмотрим примеры:

1. Решить уравнение

решить неравенство

Решение:

Корень

Функция  монотонно возрастает, функция  монотонно убывает, корень есть, значит, он единственный.

Решением неравенства является луч

Ответ:

2. Построить график кривой

Решить уравнение

Решить неравенство

Решение:

Построим график функции  Для этого график функции  сдвинем на 3 вправо вдоль оси x и на 1 вниз вдоль оси y(рис. 7).

Функция монотонно возрастает, поэтому прямая пересекает кривую только в одной точке. Это точка

Решением неравенства является луч  На этом промежутке кривая расположена выше оси x.

Ответ:

3. Найти область значений функции  где

Решение:

Если x то yвозрастает и

Ответ:

4. Определить число решений системы

Решение:

Построим график каждой функции. График функции симметричное отображение графика  относительно оси x.Если  монотонно возрастает, то  монотонно убывает.

График функции  получаем сдвигом графика  на 6 вниз вдоль оси у(рис. 9).

Функция  монотонно возрастает, и если кривые пересекаются, то только в одной точке.

Ответ: Система имеет только одно решение.

7. Заключение

Мы рассмотрели график и свойства степенной функции с нечетным показателем степени. На следующем уроке мы рассмотрим задачи на степенную функцию с натуральным показателем.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб.для общеобразоват. учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4 .Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. Задачи (Источник).

3. Решу ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№306, 307(б, г), 310, 308(а, в).

Дифференцирование e в степени x

LearnPracticeDownload

Дифференцирование e в степени x — это процесс определения производной e в степени x по x, который математически записывается как d(e ^x )/дх. Экспоненциальная функция имеет форму f(x) = a ^x , где «a» — действительное число, а x — переменная. e в степени x является экспоненциальной функцией с основанием (a), равным числу Эйлера «e», а дифференцирование e в степени x равно e в степени x, то есть самой себе. Записывается как d(e ^x )/dx = e ^x .

Познакомимся с дифференцированием e в степени x и некоторыми вариациями функции e в степени x. Мы определим дифференцирование e в степени x, используя различные методы, включая первый принцип дифференцирования и производную экспоненциальной функции, а также несколько примеров для лучшего понимания.

Какова дифференциация e в степени x?

Дифференциация e в степени x равна e в степени x, потому что производная экспоненциальной функции с основанием ‘e’ равна e ^x . Математически это обозначается как d(e ^x )/dx = e ^x . e в степени x является экспоненциальной функцией с основанием, равным «e», которое известно как «число Эйлера». Оно записывается как f(x) = e ^x , где e — число Эйлера, а его значение приблизительно равно 2,718. Дифференцирование e в степени x может быть выполнено с использованием различных методов, таких как первый принцип дифференцирования и производная ^х .

Дифференциация e в Power x Formula

Предположим, что y = e ^x ⇒ ln y = ln e ^x ⇒ ln y = x. Дифференцируя это по x, мы имеем (1/y) dy/dx = 1 ⇒ dy/dx = y ⇒ dy/dx = e ^x . Если мы продифференцируем e в степени x относительно x, мы получим d(e ^x )/dx = e ^x . Следовательно, формула дифференцирования e в степени x:

Дифференцирование e в степени x с использованием первого принципа производных

Далее мы докажем, что дифференцирование e в степени x равно e ^x , используя первый принцип дифференцирования. Мы знаем, что для двух экспоненциальных функций, если основания одинаковы, мы складываем степени. Для доказательства производной e в степени x воспользуемся следующими формулами показательных функций и производных:

• f'(x) = lim _h→0 [f(x + h) — f(x) ] / ч
• е ^{х + ч} = е ^х .e ^ч
• lim _x→0 (e ^x — 1) / x = 1

Используя приведенные выше формулы, мы имеем

d(e ^x )/dx = lim _h→0 [e ^{x + h} — e ^x ] / h

= lim _ч→0 [e ^x .e ^h — e ^x ] / h

= lim _h→0 e ^x [e ^h — 1] / h

= е ^х лим _ч→0   [e ^h — 1] / h

= e ^x × 1

= e ^x

Таким образом, мы доказали, что дифференцирование e в степени x равно e в степени x .

Дифференцирование e в степени x с использованием производной от a

Показательная функция имеет форму f(x) = a ^x , где ‘a’ — константа (действительное число), а x — переменная. Производная показательной функции f(x) = a ^x равно f'(x) = (ln a) a ^x . Используя эту формулу и подставляя значение a = e в f'(x) = (ln a) a ^x , мы получаем дифференцирование e в степени x, которая определяется выражением f'(x) = (ln e) e ^x = 1 x e ^x = e ^x [Поскольку по правилам журнала, ln e = 1]. Следовательно, производная от e в степени x равна e ^x .

Важные замечания о дифференцировании e в степени x:

• n ^-е дифференцирование e в степени x равно e ^x , то есть d ⁿ (e ^x )/dx ⁿ = e ^x
• Производная показательной функции с основанием e равна e ^x .
• Производная от e ^x равна ae ^x . Используя эту формулу, мы получаем дифференцирование e ^x как 1.e ^x = e ^x .

☛  Связанные темы:

• Производное e ^2x 9{2}}\)

• Пример 2: Определите дифференцирование e в степени x sin x.

  Решение: Чтобы вычислить значение производной от e ^x sinx, воспользуемся правилом дифференцирования произведения.

  d(e ^x sinx)/dx = (e ^x )’ sin x + (sin x)’ e ^x

  = e ^x sin x + e ^x co с х [Потому что производная от sin x равна cos x]

  = e ^x (sin x + cos x)

  Ответ: Следовательно, дифференцирование e в степени x sin x равно e ^x (sin x + cos x).

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Дифференциация e в степени x Вопросы

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о дифференциации e в степени x

Каково дифференцирование e в степени x в исчислении?

дифференцирование e в степени x равно e в самой степени x, потому что производная экспоненциальной функции с основанием ‘e’ равна e ^x . Математически это обозначается как d(e ^x )/dx = e ^x .

Каково дифференцирование e в степени минус x?

Дифференцирование e в степени минус x равно отрицательному значению e в степени минус x, то есть d(e ^{— x} )/dx = -e ^x .

В чем отличие e от Power Sin x?

Дифференцирование e в степени sin x равно произведению cos x и e в степени sin x, то есть d(e ^{sin x} )/dx = cos x e ^{sin x} .

Какая производная от e в степени x log x?

Производная от e в степени x log x определяется выражением d(e ^{x ln x} )/dx = e ^{x ln x} (1 + ln x). Это следует из цепного правила.

Как найти производную показательной функции?

Производная экспоненциальной функции f(x) = a ^x есть f'(x) = (ln a) a ^x , которую можно вычислить, используя первый принцип дифференцирования.

Что такое формула экспоненциального дифференцирования?

Формула экспоненциального дифференцирования для f(x) = a ^x равно f'(x) = (ln a) a ^x . x.$$ 9х$$ является примером экспоненциального распада. Он быстро уменьшается по мере увеличения $x$, как показано на его графике.

При экспоненциальном росте $f(x)$ функция удваивается каждый раз, когда вы добавляете единицу к ее входу $x$. При экспоненциальном затухании $g(x)$ функция уменьшается вдвое каждый раз, когда вы добавляете единицу к ее входу $x$. Наличие этого времени удвоения или периода полураспада характерно для экспоненциальных функций, указывающих, насколько быстро они растут или затухают.

Параметры показательной функции

Как и в случае любой функции, действие экспоненциальной функции $f(x)$ можно описать с помощью метафоры функциональной машины, которая принимает входные данные $x$ и преобразует их в выходные данные $f(x)$.

Метафора функциональной машины полезна для введения параметров в функцию. Приведенные выше экспоненциальные функции $f(x)$ и $g(x)$ — это две разные функции, но они отличаются только изменением основания возведения в степень с 2 на 1/2.

Бесконечные пределы и асимптоты

Помимо конечных пределов, у последовательностей бывают бесконечные (см. раздел Пределы и ограниченность в главе 5). У функций тоже!

12.1Бесконечные пределы в конечных точках

12.1.1Существование предела и ограниченность

Из лекции 5 мы знаем, что сходящаяся последовательность ограничена. Для функций можно сформулировать аналогичное утверждение.

Теорема 1. Пусть функция f(x) имеет предел при x→x0. Тогда она ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x0. Иными словами, найдутся такие C и δ∗>0, что для всех x∈˚Uδ∗(x0) выполняется неравенство |f(x)|<C.

Доказательство. По определению предела, для всякого ε>0 найдётся такое δ=δ(ε)>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности x0 выполняется неравенство |f(x)−b|<ε.

Положим δ∗:=δ(1) (то есть возьмём ε=1). Тогда для всех x из проколотой δ∗-окрестности точки x0 выполняется неравенство |f(x)−b|<1. По неравенству треугольника,

|f(x)|≤|f(x)−b|+|b−0|<1+|b|.

Положим C=1+|b|. Тогда ˚Uδ∗(x0) — искомая окрестность точки x0. Теорема доказана.∎

Доказательство очень похоже на доказательство аналогичной теоремы для последовательностей, и даже проще: в случае с последовательностями нужно было отдельно рассматривать начальный отрезок. За это мы платим тем фактом, что утверждение об ограниченности распространяется не на всю область определения функции, а лишь на некоторую проколотую окрестность точки x0.

Пример 1. Рассмотрим функцию f(x)=1/x. Она имеет предел при x→1, однако не является ограниченной на всей области определения.

12.1.2Бесконечные пределы

В том случае, когда функция не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки x0, она не может иметь предела в этой точке. Однако, опять аналогично ситуациям с последовательностями, мы можем определить, что означает, что функция стремится к бесконечности в точке x0.

Определение 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что её предел в этой точке равен бесконечности, если для всякого C найдётся такая δ>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 выполняется неравенство: |f(x)|>C. Формально:

∀C∈R ∃δ>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ⇒|f(x)|>C.

∀C∈R ∃δ>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ⇒|f(x)|>C.

Записывают:

limx→x0f(x)=∞.

Пример 2. Функция f(x)=1x стремится к бесконечности при x→0. Дейстительно, возьмём любоое C. Если C≤0, условие |1/x|>C выполнено автоматически. Если C>0, положим δ=1/C. Тогда если |x|<δ, то |1/x|=1/|x|>1/δ=C.

Пример 3. Функция

f(x)={1/x,x∈Q,0,x∉Q,

не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки x=0 (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют рациональные числа), но при этом не стремится к бесконечности при x→0 (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют иррациональные числа, в которых функция принимает значение 0).

Опять же, аналогично последовательностям, помимо просто бесконечности, бывает плюс бесконечность и минус бесконечность:

Определение 2. Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что её предел в этой точке равен плюс бесконечности (минус бесконечности), если для всякого C найдётся такая δ>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 выполняется неравенство: f(x)>C (соответственно, f(x)<C).

Упражнение 1. Запишите эти три определения в кванторах.

Пример 4. Неверно, что 1/x→+∞ при x→0: когда x приближается к нулю слева (то есть становится очень маленьким по модулю, но отрицательным), 1/x становится большим по модулю, но тоже отрицательным. В то же время, 1/(x2)→+∞ при x→0: знаменатель всегда положительный при x≠0, и когда он маленький по модулю, дробь становится очень большой.

Наконец, можно рассматривать односторонние бесконечные пределы.

Упражнение 2. Придумайте определения для утверждений limx→x+0f(x)=+∞, limx→x+0f(x)=−∞, limx→x−0f(x)=+∞, limx→x−0f(x)=−∞ самостоятельно, объединяя определение 2 и определения 11 и 12 из лекции 10.

Упражнение 3. Снова рассмотрим функцию f(x)=1/x. Докажите, что

limx→0+1x=+∞

и

limx→0−1x=−∞.

Определение 3. Заметим, что если функция стремится к какой-нибудь из бесконечностей (неважно, плюс, минус или просто бесконечности) когда x стремится к x0 с какой-нибудь стороны, график y=f(x) приближается к вертикальной прямой x=x0 когда x приближается к x0 (слева или справа). В этом случае прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой функции y=f(x) (или её графика).

Пример 5. Рассмотрим функцию

f(x)=x−1×2−1.

Знаменатель обнуляется в двух точках: x=1 и x=−1. При приближении к точке x=−1 знаменатель стремится к нулю, а числитель к −2. Значит, дробь стремится к бесконечности (без знака, т.к. знаменатель может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, с какой стороны приближаемся). У функции есть вертикальная асимптота x=−1. В точке x=1 обнуляется и числитель, и знаменатель. Чтобы найти предел в этой точке, сократим дробь на (x−1). Получится выражение 1/(x+1). Оно имеет предел, равный 1/2 при x→1. Значит, вертикальной асимптоты x=1 у функции нет.

Рис. 12.2: У функции f(x)=x−1×2−1 есть единственная вертикальная асимптота: x=−1.

12.2Пределы на бесконечности

Другой тип пределов функций, связанный с бесконечностями — это предел при x стремящемся к бесконечности.

12.2.1Конечные пределы на бесконечности и горизонтальные асимптоты

Определение 4. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших по модулю значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x, для которых |x|>C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен b, если для всякого ε>0 найдётся такое C, что для всех x, если |x|>C, то |f(x)−b|<ε.

Определение 5. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x>C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен b, если для всякого ε>0 найдётся такое C, что для всех x>C верно неравенство |f(x)−b|<ε.

Определение 6. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших по модулю отрицательных значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x<C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к минус бесконечности равен b, если для всякого ε>0 найдётся такое C, что для всех x<C верно неравенство |f(x)−b|<ε.

Обозначения:

limx→∞f(x)=b,limx→+∞f(x)=b,limx→−∞f(x)=b.

Упражнение 4. Докажите, что если limx→∞f(x)=b, то limx→+∞f(x)=b и limx→−∞f(x)=b. Верно и обратное: если limx→+∞f(x)=b и limx→−∞f(x)=b, то limx→∞f(x)=b. Докажите и это.

Пример 6. Функция f(x)=1/x стремится к нулю при x→∞. (Докажите!)

Пример 7. Функция f(x)=ex стремится к нулю при x→−∞, а предел при x→+∞ не существует.

Определение 7. Если функция стремится к какому-то числу при x→+∞ или x→−∞, её график приближается к горизонтальной прямой y=b. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Рис. 12.3: Прямая y=0 является горизонтальной асимптотой функции f(x)=(sinx)/x.

Вопрос 1. Сколько вертикальных асимптот может быть у функции?

  Сколько угодно, даже бесконечное число.

Верный ответ. Это правда. Например, у тангенса их бесконечно много.

  Тоже не больше двух.

Неверный ответ. У функции f(x)=1/(x(x−1)(x+1)) их три!

  Сколько угодно, но конечное число.

Неверный ответ. Что насчёт тангенса?

Вопрос 2. Рассмотрим два предела: предел функции limx→+∞sin(πx) и предел последовательности limn→∞sin(πn). Что вы можете про них сказать?

  Они оба существуют, но не равны.

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

  Они оба существуют и равны.

Неверный ответ. Это вряд ли. Функция sinπx может принимать значения 1 или −1 для сколь угодно больших x.

  Они оба не существуют.

Неверный ответ. А что вы можете сказать про последовательность {sin(πn)}? Найдите несколько её членов.

  Предел функции существует, а предел последовательности нет.

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

  Предел последовательности существует, а предел функции нет.

Верный ответ. И правда! Последовательность на самом деле состоит из нулей и её предел равен нулю. А функция sinπx может принимать значения 1 или −1 для сколь угодно больших x, и значит не имеет предела.

12.2.2Бесконечные пределы на бесконечности

Мы рассмотрели бесконечные пределы в конечных точках и конечные пределы на бесконечности. Можно скрестить ужа с ежом и получить бесконечные пределы при x стремящемся к бесконечности.

Определение 8. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x>C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен плюс бесконечности, если для всякого D найдётся такое C, что для всех x>C верно неравенство f(x)>D. Записывают:

limx→+∞f(x)=+∞.

Упражнение 5. Придумайте определения для остальных комбинаций бесконечностей.

Пример 8. Функция f(x)=x2 стремится к плюс бесконечности при x→∞, а функция f(x)=x3 стремится просто к бесконечности при x→∞.

Пример 9. Рассмотрим функцию

f(x)=11+e−x.

При x→+∞ функция e−x стремится к нулю (она равна 1/ex, и раз ex становится очень-очень большим, e−x становится очень близким к нулю). По арифметике пределов,

limx→+∞11+e−x=11+0=1.

При x→−∞ функция e−x стремится к плюс бесконечности. В этом случае знаменатель дроби также стремится к плюс бесконечности. Поскольку числитель равен 1, значение дроби стремится к нулю (см. утверждение 2 из лекции 7, где шла речь про «арифметику бесконечностей»). Значит

limx→−∞11+e−x=0.

У нашей функции две горизонтальные асимптоты: y=0 и y=1. (И вообще это важная функция — так называемая «сигмоида», встречается в эконометрике и нейросетях.)

Рис. 12.4: У функции f(x)=1/(1+e−x) две горизонтальные асимптоты: y=0 и y=1.

12.2.3Наклонные асимптоты

Пусть limx→∞f(x)=∞. Тогда функция не может иметь горизонтальных асимптот. Однако её график по-прежнему может приближаться к какой-нибудь прямой — только не горизонтальной.

Пример 10. Рассмотрим функцию

f(x)=x+1x.

Её предел при x→∞ равен бесконечности, и когда x стремится к бесконечности, график функции неограниченно приближается к прямой y=x.

Рис. 12.5: У функции f(x)=x+1x есть наклонная асимптота y=x.

Действительно, давайте возьмём большое значение x=x0 и посчитаем «расстояние по вертикали» между графиком функции и прямой y=x для этого значения x. (Иными словами, мы проведём вертикальную прямую x=x0 и посмотрим на расстояние между точками пересечения этой прямой и графиков y=f(x) и y=x.) Это расстояние вычисляется как |f(x)−x|=|1/x|. Оно стремится к нулю при x→∞.

Определение 9. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой функции f(x) (или её графика), если хотя бы один из пределов

limx→+∞(f(x)−(kx+b)),

или

limx→−∞(f(x)−(kx+b))

равен нулю.

Как искать наклонные асимптоты? На эту тему есть рецепт.

Утверждение 1. Наклонная асимптота y=kx+b при x→+∞ у функции f(x) существует тогда и только тогда, когда существуют пределы limx→+∞f(x)x=k;limx→+∞(f(x)−kx)=b. (12.1)(12.2) При этом они обязаны равняться указанным значениям (k и b).

Доказательство. Докажем в одну сторону. Пусть y=kx+b является наклонной асимптотой функции f(x) при x→+∞. Тогда

limx→+∞f(x)x=limx→+∞f(x)−(kx+b)+(kx+b)x==limx→+∞(f(x)−(kx+b)x+k+bx)=k

limx→+∞f(x)x==limx→+∞f(x)−(kx+b)+(kx+b)x==limx→+∞(f(x)−(kx+b)x+k+bx)=k

Предел первого слагаемого равен нулю, поскольку числитель стремится к нулю (по предположению), а знаменатель к бесконечности.

Со вторым пределом ещё проще:

limx→+∞(f(x)−kx)=limx→+∞((f(x)−(kx+b)+b)=b.

limx→+∞(f(x)−kx)==limx→+∞((f(x)−(kx+b)+b)=b.

В обратную сторону. Пусть существует предел (12.2) и он равен b. Тогда

limx→+∞(f(x)−(kx+b))=limx→+∞(f(x)−kx)−b=b−b=0.

limx→+∞(f(x)−(kx+b))==limx→+∞(f(x)−kx)−b=b−b=0.

Утверждение доказано. ∎

Конечно, можно сформулировать и доказать аналогичное утверждение для x→−∞.

Таким образом, чтобы найти наклонные асимптоты, нужно сперва найти предел (12.1). Если он не существует, наклонной асимптоты (для этой бесконечности) точно нет. Если существует, нужно найти предел (12.2). Если этот предел существует, прямая y=kx+b является наклонной асимптотой.

Пример 11. Может так случиться, что предел (12.1) существует, а предел (12.2) нет. Например, это верно для функции f(x)=sinx.

12.3Заключение

Главная цель математического анализа — научиться «заглядывать в бесконечность». В этой лекции мы серьезно продвинулись в этом навыке.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Mathway | Популярные задачи

— Вопрос об ограничениях в команде lim и масштабе в пакете mathtools — TeX

Это дополнительный вопрос относительно ограничений в команде \lim и пакете mathtools . Для начала, как я могу сделать так, чтобы ограничения начинались с начала символа lim, а не перед ним? Это означает, что символ предела и пределы не должны быть центрированы.

Также в пакете mathtool, если я использую опцию масштабирования, то пределы масштабируются, но, как мне кажется, вокруг точки, и чем меньше масштаб, тем больше становится вертикальный зазор между пределами и символом предела. Как я могу это исправить, чтобы вертикальное пространство перенаправлялось так же, как и оригинал в команде lim? И почему это происходит?

Это код, который я использовал в некоторых случаях, он принадлежит Питеру Гриллу, который опубликовал его, чтобы ответить на мой предыдущий вопрос.

 \documentclass[12pt]{статья}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{расчет}
% http://tex.stackexchange.com/questions/60453/reduction-font-size-in-equation/
\newcommand*{\Scale}[2][4]{\scalebox{#1}{$#2$}}%
\newcommand*{\Resize}[2]{\resizebox{#1}{!}{$#2$}}%
\начать{документ}
\noindent
Без \verb|\mathclap|:
\[ \lim_{n\to +\infty}x(n) \]
Но с \verb|\mathclap|::
\[ \lim_{\mathclap{n \to +\infty}}x(n) \]
Использование \verb|\scriptstyle| изменить размер:
\[ \lim_{\scriptscriptstyle n \to +\infty} х (n) \]
Использование \verb|\Scale|
\[ \lim_{\Масштаб[0,5]{n \to +\infty}} x(n) \]
Использование \verb|\Resize|
\[ \lim_{\Resize{\widthof{$\lim{}$}}{n \to +\infty}} x(n) \]
\конец{документ}
 

• позиционирование
• математические операторы

Стеки делают это очень простым. Выравнивание задается параметром режима ( \stackalignment ), зазор задается необязательным аргументом стека. Использование \useanchorwidth говорит о том, что ширина отступа не должна влиять на расстояние до следующего элемента. EDITED для использования \mathop .

 \documentclass{статья}
\usepackage[usestackEOL]{стековый движок}
\usepackage{graphicx}
\стекМатематика
\def\stackalignment{l}\def\useanchorwidth{T}
\начать{документ}
\[
\ mathop {\ stackunder [3pt] {\ lim} {\ scriptstyle n \ rightarrow + \ infty}} x (n)
\]
\[
\ mathop {\ stackunder [2.5pt] {\ lim} {\ scriptscriptstyle n \ rightarrow + \ infty}} x (n)
\]
\[
\mathop{\stackunder[2pt]{\lim}{\scalebox{.33}{$n\rightarrow+\infty$}}} x(n)
\]
\конец{документ}
 

Если \usearchorwidth было определено как {F} вместо {T} , результат будет выглядеть так:

параметры могут быть непосредственно включены в синтаксис, что имеет дополнительное преимущество, заключающееся в том, что их вызов непроницаем для текущих настроек режима.

 \documentclass{статья}
\usepackage[usestackEOL]{стековый движок}
\usepackage{graphicx}
\стекМатематика
\начать{документ}
\[
\ mathop {\ stackengine {3pt} {\ lim} {\ scriptstyle n \ rightarrow + \ infty} {U} {l} {F} {T} {S}} x (n)
\]
\[
\ mathop {\ stackengine {2.5pt} {\ lim} {\ scriptscriptstyle n \ rightarrow + \ infty} {U} {l} {F} {T} {S}} x (n)
\]
\[
\mathop{\stackengine{2pt}{\lim}{\scalebox{.33}{$n\rightarrow+\infty$}}{U}{l}{F}{T}{S}} x(n)
\]
\конец{документ}
 

5

Это не работает в нижних или верхних индексах (это может быть сделано так):

 \documentclass{article}
\makeatletter
\newcommand{\awfullim}{\@ifnextchar _{\@awfullim}{\lim}}
\newcommand{\@awfullim}[2]{% #1 равно _
  \settowidth{\dimen0}{$\lim$}%
  \settowidth{\dimen2}{$\scriptstyle#2$}%
  \ifdim\dimen2<\dimen0
    \lim_{#2}%
  \еще
    \addtolength{\dimen2}{-\dimen0}%
    \kern-\dimen2 \lim_{\kern\dimen2 #2}%
  \fi
}
\ сделать другое
\начать{документ}
\[
\awfullim_{x\to0^+}f(x)=\awfullim_{y\to+\infty}f(1/y)
\]
\конец{документ}
 

Имя, которое я использовал, говорит о том, насколько мне нравится эта идея. ;-)

4

символов. Как настроить вертикальное позиционирование \lim, чтобы аргумент выравнивался по всему стеку лимитов, а не только по слову «lim»? - TeX

Вот решение, которое повышает или понижает медиану любого оператора до медианы его аргумента.

 \documentclass{статья}
\usepackage{аммат}
\usepackage{settobox}
\usepackage[noactivechars]{mathstyle}
\newsavebox{\opbox}
\newsavebox{\argbox}
\newlength{\opheight}
\newlength{\opdepth}
\newlength{\argheight}
\newlength{\argdepth}
\newcommand\vcenterop[2]{%
  \edef\savedstyle{\currentmathstyle}
  \savebox{\opbox}{\(\savedstyle #1\)}
  \savebox{\argbox}{\(\savedstyle #2\)}
  \settoboxheight{\opheight}{\opbox}
  \settoboxdepth{\opdepth}{\opbox}
  \settoboxheight{\argheight}{\argbox}
  \settoboxdepth{\argdepth}{\argbox}
  \addtolength{\argheight}{-\opheight}
  \addtolength{\argheight}{-\argdepth}
  \addtolength{\argheight}{\opdepth}
  \mathop{\raisebox{0,5\argheight}{\usebox{\opbox}}} \mathord{\usebox{\argbox}}
}
\начать{документ}
\начать{выравнивать*}
  &\textstyle\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{f(x)} &\textstyle\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{\frac{f(x)}{g(x) }} \\
  &\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{f(x)} &\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{\frac{f(x)}{g(x)}} \\
  &\lim_{x \to 0} f(x) &\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \\
  &\vcenterop{\log_2}{f(x)^2} &\vcenterop{\log_2}{\frac{f(x)^2}{g(x)^2}} \\
  &\log_2 f(x)^2 &\log_2 \frac{f(x)^2}{g(x)^2}
\конец{выравнивание*}
\конец{документ}
 

Также можно было бы повысить или понизить аргумент, а не оператор, или центрировать оба на математической оси, как это делает Мико для \lim .

По запросу Себастьяно

Вот как это выглядит с некоторыми рукописными шрифтами.

 \documentclass{статья}
\usepackage{юникод-математика}
\usepackage{settobox}
\usepackage[noactivechars]{mathstyle}
\defaultfontfeatures{ Лигатуры=TeX, Масштаб=MatchLowercase}
% Tillana — это бесплатный шрифт от Indian Type Foundry, доступный по адресу:
% https://github.com/itfoundry/tillana/
% VAG Handwriting — это бесплатный шрифт от VAG Design, доступный по адресу:
% https://www.fontsquirrel.com/fonts/VAG-HandWritten
\setmainfont{VAG-HandWritten.otf}
\setmathfont{GFS Неоэллинская математика}
\setmathfont[range={"03C0,"2013-"2014,"2018-"201A,"201C-"201E,"2021-"2022,
                    "2026", "2030", "2039"-"203А", "2044", "20АС", "20БА", "20БД",
                    2113, 2122, 2126, 212Е, 2202, 2206, 220F, 2211,
                    2212, 2215, 221А, 221Е, 222Б, 2246, 2260, 2264,
                    "2265", "25КА}
            ]{Тиллана-Regular.otf}
\setmathfont[range=bfup/{латиница,латиница,число}
            ]{Tillana-Semibold.
        

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа

В данной статье рассмотрим темы, которые встречаются в заданиях ЕГЭ по математике и содержатся в разделе алгебры, в ходе изучения темы подробно рассмотрим определения, используемые в теме, просмотрим рисунки, радианную меру углов, а также будем решать примерные задания. Темы, содержащиеся в статье, рассматриваются в соответствии с кодификатором, задающим элементы содержания заданий для выпускников образовательных организаций.

Переходим к более подробному изучению темы.

Для понятия о тригонометрических функциях следует рассмотреть окружность, радиус которой является единичным. У окружности есть центр, находящийся в начале координат, он расположен непосредственно на координатной плоскости. Для того, чтобы определить данную функцию, будем рассматривать вектор ОР. Он берёт начало в центре заданной окружности. Р – есть точка окружности. С помощью вектора ОР образуется угол с прилегающей осью, названной ОХ. ОР будет равен: OR = R = 1.

Рассмотрим соответствующий рисунок (рис. 1).

При проведении перпендикуляра из Р к оси ОХ получается прямоугольный треугольник, у которого есть гипотенуза и она равна единице.

При движении радиуса-вектора по часовой стрелке, будет получено отрицательное направление. А если радиус будет двигаться против часовой стрелки – положительное направление.

Для того чтобы осуществить вычисления синуса угла альфа, нужно обозначить на плоскости координату У. Как же получить это значение? Следует помнить, что в треугольнике, являющемся прямоугольным, синус произвольного угла будет равен отношению катета, являющегося противолежащим по отношению к гипотенузе. Получаем:

Sin a = У0 / R.

Радиус равен единице, исходя из этого: sin a = у0.

В окружности, являющейся единичной, ордината не должна быть больше единицы, а также меньше минус единицы: -1 < sin a < 1.

Синус будет являться положительным в первых и вторых четвертях окружности, являющейся единичной. Синус будет принимать отрицательное значение в третьей и четвёртой четверти окружности, являющейся единичной.

Выходит, для того чтобы получить косинус угла альфа, нужно определить на плоскости координату Х.

Косинус произвольного угла в треугольнике, являющемся прямоугольным, составляет отношение катета к гипотенузе. Получаем:

Cos a = х0 / R.

Поэтому, радиус равен единице, соответственно, cos a = x0.

У окружности, являющейся единичной, абсцисса не должна быть больше единицы и меньше минус единицы: -1 < cos a < 1.

Таким образом, косинус будет положительным в следующих четвертях окружности, являющейся единичной:

– В первой четверти;

– В четвёртой четверти.

Отрицательным:

– Во второй четверти;

– В третьей четверти.

Тангенсом угла, являющегося произвольным, считают отношение синуса и косинуса.

Представим произвольный треугольник, при условии, что он является прямоугольным. Здесь тангенсом будет отношение катета, названного противолежащим по отношению к прилежащему катету.

Если мы будем рассматривать единичную окружность – отношение её ординаты к абсциссе.

Получаем:

tg a = sin a / cos a; tg a = y0 / x0.

Следовательно, тангенс может быть при нулевом значении абсциссы, при этом, угол должен быть прямым. Тангенс вправе принимать и другие значения, такие как отрицательные и положительные.

Положительное значение тангенс будет иметь в первых и третьих четвертях окружности, являющейся единичной. Отрицательным тангенс является в четвёртой и второй четвертях.

Перейдём к рассмотрению котангенса. Котангенс угла, являющегося произвольным – косинус по отношению к синусу.

При рассмотрении прямоугольного треугольника это прилежащий катет по отношению к противолежащему:

Ctg a = cos a / sin a;

Ctg a = х0 / у0.

Если угол альфа равен нулю, то котангенса не существует. Это обусловлено тем, что в знаменателе дроби находится ордината.

Котангенс так же как и тангенс, в четвертях окружности, имеет такие же значения.

Рассмотрим примеры заданий, а в точности — неравенства:

– Если n принадлежит Z, то:

Sin (a + 2 пn ) = sin a;

Cos ( a + 2 пn ) = cos a.

– Также, если n принадлежит Z, то:

Tg ( a + пn ) = tg a;

Ctg ( a + пn ) = ctg а.

Перейдём к рассмотрению радианной меры угла. Рассмотрим единичную окружность (рис. 2).

Проводим дугу, которая будет равна радиусу окружности. Далее нужно соединить центр с концами данной дуги с помощью радиана. Один градус будет равен п 180 радиан. Один радиан соответственно, будет равен 180п. При этом, окружность будет равняться 2п.

Само понятие радиана открыл Томас Мюир и Джеймсон Томпсон в 1870 году. Таким образом, учёные измеряли углы на протяжении большого количества времени. К примеру, учёный Эйлер проводил исследования, он измерял углы с помощью длины дуги, которая отрезана в окружности, являющейся единичной.

Решим задачу ЕГЭ по математике на данную тему.

Нужно найти углы, при мере радиуса равной п / 2, п / 4, п / 8.

П / 2 * 180 / п = 90 градусов.

П / 4 * 180 / п = 45 градусов.

П / 8 * 180 / п = 22, 5 градуса.

Следует запомнить, что:

– 30 градусов равны п / 6;

– 45 градусов равны п / 4;

– 60 градусов равны п / 3;

– 90 градусов равны п / 2;

– 120 градусов равны 4п / 6;

– 180 градусов равны п.

Синус, тангенс, косинус, котангенс числа

Определением вышеописанных понятий считают число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t считают число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Рассмотрим пример. Для любого действительного числа на окружности, являющейся единичной, определять точку. При этом, центр окружности должен находиться в начале системы координат. Все данные находят с помощью данной точки.

Начальной точкой окружности является точка А. Её координатами будут ( 1; 0 ). Пусть t – положительное число. Данному числу будет соответствовать точка, в неё осуществит переход изначальная точка. Если t отрицательное, то ему будет соответствовать точка, в которую осуществит переход исходная точка при направлении против часовой стрелки.

Рассмотрим определения основных понятий темы.

Синусом числа t является ордината точки окружности, являющейся единичной, она соответствует числу t. То есть sin t = y.

Косинусом числа t называют абсциссу точки окружности, являющейся единичной, она соответствует числу t. Получается: cos t = x.

Тангенсом числа t считают отношение ординаты к абсциссе точки окружности, являющейся единичной, она соответствует числу t. То есть: tg t = yx = sin t cos t.

Следует запомнить данные определения, а также необходимые неравенства, они пригодятся при решении заданий ЕГЭ по математике.

Данные определения не противоречат определению, которое дано в начале этой темы. Точка, лежащая на окружности, соответствует числу t, а также имеет совпадение с точкой. В эту точку переходит исходная точка, это происходит после осуществления поворота на угол, равный t радиан.

В процессе подготовки к экзамену рекомендуем внимательно просмотреть демоверсию ЕГЭ по математике базового уровня, а также решить примерные задания по теме. В демонстрационном варианте содержатся необходимые пояснения к ЕГЭ. Его назначением является ознакомление с примерным содержанием КИМОВ, заданиями, а также уровнем их сложности.

Тан 1 градус — найти значение Тан 1 градус .

• Tan 1° в десятичном виде: 0,0174550. . .
• Тан (-1 градус): -0,0174550. . .
• Tan 1° в радианах: загар (0,0174532 . . . .)

Каково значение Tan 1 градусов?

Значение тангенса 1 градуса в десятичной системе равно 0,017455064. . .. Tan 1 градус также может быть выражен с использованием эквивалента данного угла (1 градус) в радианах (0,01745 . . .)

Мы знаем, используя преобразование градусов в радианы, θ в радианах = θ в градусах × (пи/ 180°)
⇒ 1 градус = 1° × (π/180°) рад = 0,0174. . .
∴ тангенс 1° = тангенс (0,0174) = 0,0174550. . .

Объяснение:

Для тангенса 1 градуса угол 1° находится в диапазоне от 0° до 90° (первый квадрант). Поскольку функция тангенса положительна в первом квадранте, значение тангенса 1° = 0,0174550. . .
Поскольку функция тангенса является периодической функцией, мы можем представить тангенс 1° как тангенс 1 градусов = тангенс (1° + n × 180°), n ∈ Z.
⇒ тангенс 1° = тангенс 181° = тангенс 361° и так далее.
Примечание: Поскольку тангенс является нечетной функцией, значение тангенса (-1°) = -тангенса (1°).

Методы определения значения Тан 1 градусов

Функция тангенса положительна в 1-м квадранте. Значение тангенса 1° указано как 0,01745. . .. Мы можем найти значение tan 1 градусов по:

• Используя Unit Circle
• Использование тригонометрических функций

Тангенс 1 градус с помощью единичной окружности

Чтобы найти значение тангенса 1 градус с помощью единичной окружности:

• Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол 1° с положительной осью x.
• Тангенс 1 градуса равен координате y (0,0175), деленной на координату x (0,9). 998) точки пересечения (0,9998, 0,0175) единичной окружности и r.

Следовательно, значение тангенса 1° = y/x = 0,0175 (приблизительно).

Тангенс 1° в терминах тригонометрических функций

Используя формулы тригонометрии, мы можем представить тангенс 1° как:

• sin(1°)/cos(1°)
• ± sin 1°/√(1 — sin²(1°))
• ± √(1 — cos²(1°))/cos 1°
• ± 1/√(косек²(1°) — 1)
• ± √(сек²(1°) — 1)
• 1/кроватка 1°

Примечание. Поскольку 1° находится в 1-м квадранте, окончательное значение тангенса 1° будет положительным.

Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления tan 1° как

• cot(90° — 1°) = cot 89°
• -кроватка(90° + 1°) = -кроватка 91°
• -тангенс (180° — 1°) = -тангенс 179°

☛ Также проверьте:

• загар 45 градусов
• загар 10 градусов
• загар 0 градусов
• загар 35 градусов
• загар 73 градуса
• загар 195 градусов

Примеры использования Tan 1 градусов

1. Пример 1: Используя значение тангенса 1°, найдите: (sec²(1°) — 1).

   Решение:

   Мы знаем, (sec²(1°) — 1) = (tan²(1°)) = 0,0003
   ⇒ (сек²(1°) — 1) = 0,0003

2. Пример 2: Упрощение: 8 (tan 1°/cot 89°)

   Решение:

   Мы знаем tan 1° = cot 89°
   ⇒ 8 tan 1°/cot 89° = 8 (tan 1°/tan 1°)
   = 8(1) = 8

3. Пример 3. Найдите значение 5 тангенсов (1°)/10 тангенсов (179°).

   Решение:

   Используя тригонометрические тождества, мы знаем, что tan(1°) = -tan(180° — 1°) = -tan 179°.
   ⇒ тангенс (1°) = -тангенс (179°)
   ⇒ Значение 5 tan(1°)/10 tan(179°) = -5/10 = -1/2

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о Tan 1 Degrees

Что такое Tan 1 Degrees?

Тангенс 1 градус — значение тангенса тригонометрической функции для угла, равного 1 градусу. Значение тангенса 1° равно 0,0175 (приблизительно).

Каково точное значение тангенса в 1 градусе?

Точное значение тангенса 1 градуса может быть задано с точностью до 8 знаков после запятой как 0,01745506.

Как найти значение тангенса в 1 градусе?

Значение тангенса в 1 градусе можно рассчитать, построив угол 1° с осью x и затем найдя координаты соответствующей точки (0,9998, 0,0175) на единичной окружности. Значение tan 1° равно координате y (0,0175), деленной на координату x (0,9998). ∴ tan 1° = 0,0175

Каково значение Tan 1 в градусах с точки зрения Sin 1°?

Используя тригонометрические тождества, мы можем записать tan 1° через sin 1° как tan(1°) = sin 1°/√(1 — sin²(1°)) . Здесь значение sin 1° равно 0,0175.

Как найти тангенс 1° с точки зрения других тригонометрических функций?

Используя формулу тригонометрии, значение тангенса 1° может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:

• sin(1°)/cos(1°)
• ± sin 1°/√(1 — sin²(1°))
• ± √(1 — cos²(1°))/cos 1°
• ± 1/√(косек²(1°) — 1)
• ± √(сек²(1°) — 1)
• 1/кровать 1°

☛ Также проверьте: Тригонометрическая таблица

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Тригонометрия

Рабочие листы по математике и
наглядная программа

Tan-1 Calculator

Отзыв Давиде Борчиа

Последнее обновление: 02 февраля 2023 г.

• Что такое tan-1 в математике?
• Как обозначается арктангенс?
• Как пользоваться этим калькулятором tan-1?
• Инструменты Omni, связанные с этой темой
• Часто задаваемые вопросы

Калькулятор тангенса 1 всегда готов помочь вам с уравнениями вида тангенс 1(х) = y . Мы здесь, чтобы помочь вам понять, что означают эти уравнения и как их решать.

Что такое tan-1 в математике?

Обозначение tan-1 может означать две разные вещи в математике:

• tan-1(x) = 1/tan(x) = cot(x) , т. е. здесь мы имеем дело с мультипликативной инверсией; или
• tan-1(x) = arctan(x) , поэтому обратная функция тангенса . Мы отвечаем здесь на вопрос , каков угол, тангенс которого равен x .

Люди, которые пишут tan-1 , чаще всего имеют в виду последнее значение: зачем вам печатать tan-1(x), если можно просто написать cot(x)? Однако иногда вам нужно будет догадаться из контекста.

Как видите, обозначение tan-1 может быть очень запутанным, и его следует избегать. Если вы имеете в виду котангенс, используйте cot(x) . Что следует использовать для обратной тангенса? Мы обсудим это сейчас.

Как обозначается арктангенс?

Наиболее распространенное обозначение для обратной тангенса arctan(x) . Префикс дуги берет свое начало в том, что при использовании единичной окружности и измерении углов в радианах угол x радиан будет соответствовать дуге, длина которой также равна x . Следовательно, «угол, тангенс которого равен х», совпадает с «дугой, тангенс которой равен х» .

В языках программирования обратная тангенс часто сокращается до atan(x) .

Как пользоваться этим калькулятором tan-1?

Калькулятор tan-1 очень прост в использовании. Просто введите число в поле и наслаждайтесь результатами в мгновение ока!

Например, если вам нужно определить tan-1(2) , просто введите 2 в поле x . Вы увидите, что результат равен 1,2490 радиан, то есть немного больше, чем 71,5° . Обратите внимание, что калькулятор позволяет конвертировать * между радианами и градусами , вам не нужно делать это вручную или искать дополнительные инструменты!

Помимо этого калькулятора tan-1, в Omni есть несколько других инструментов, объясняющих обратную сторону тангенса под разными углами (каламбур). Вот они:

• Калькулятор арктангенса;
• Обратный калькулятор Тан;
• Калькулятор тангенса дуги; и
• Калькулятор арктангенса.

Часто задаваемые вопросы

Как найти тангенс 1 отрицательных чисел?

Чтобы определить тангенс 1 отрицательного числа, выполните следующие действия:

1. Запишите абсолютное значение вашего числа. Другими словами, избавьтесь от знака минус.
2. Найдите тангенс-1 абсолютного значения, которое вы нашли на шаге 1.
3. Возьмите результат и поставьте перед ним знак минус. Формально: найти напротив числа .
4. Это ваш результат! Мы применили здесь формулу tan-1(-x) = -tan-1(x) для каждого действительного числа x .

Что такое tan-1 для -1?

Ответ: -45° , или эквивалентно -π/4 рад . Чтобы получить этот результат, вы должны использовать формулу tan-1(-x) = -tan-1(x) .

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)

Как построить параболу — Криста Кинг Математика

Завершите квадрат, чтобы преобразовать стандартную форму в вершинную

В этом уроке мы научимся определять характеристики параболы и переходить от алгебраической формы к графической.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Квадратные уравнения создают параболы при отображении на графике, поэтому они являются нелинейными функциями. Есть две формы, которые особенно полезны, когда вы хотите что-то узнать о параболе.

Как преобразовать Стандартную форму в Вершинную:

Чтобы преобразовать Стандартную форму в Вершинную, заполните квадрат

Чтобы преобразовать Вершинную форму в Стандартную, разверните квадрат, затем распределите и упростите

Давайте поговорим о различных частях параболы.

Как в стандартной, так и в вершинной форме, если ???a>0???, парабола открывается вверх и вершина имеет минимальное значение.

Как в стандартной, так и в вершинной форме, если ???a<0??? парабола открывается вниз, а вершина имеет максимальное значение.

Как построить параболу

Получить доступ к полному курсу Алгебра 2

Начать

Изучение математикиКриста Кинг 12 сентября 2020 г. математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, алгебра, алгебра 2, алгебра II, построение графиков, параболы, построение графиков парабол, квадратика, квадратичные функции, форма вершины, стандартная форма, форма вершины парабола, стандартная форма параболы

Как построить параболу в Word | Малый бизнес

Автор: Кейтлин Келли

Парабола — это изогнутая линия с особыми характеристиками. Любая точка на кривой находится на одинаковом расстоянии от фиксированной точки и фиксированной прямой линии. Результат выглядит как половина эллипса или дуги, образованной, когда объект подбрасывается в воздух и падает на небольшое расстояние. Поскольку это не математическая программа, Microsoft Word не может построить график на основе введенных вами данных, но благодаря большому набору инструментов для рисования вы можете нарисовать параболу после того, как рассчитаете ее форму.

Настройка сетки графика

1. Откройте приложение Microsoft Word для создания нового пустого документа.

2. Нажмите вкладку «Вставка» и кнопку «Фигуры» на панели «Иллюстрации». Выберите форму прямоугольника.

3. Удерживая нажатой клавишу Shift, щелкните и перетащите мышь в окне документа, чтобы создать квадратную форму, которая будет контуром вашего графика.

4. Нажмите, чтобы выбрать объект формы, и обратите внимание, что в правом верхнем углу ленты появляется специальная версия вкладки «Формат» под названием «Инструменты рисования». Эта вкладка содержит все команды рисования Word, но появляется только при выборе объекта рисования.

5. Нажмите кнопку «Выровнять» на панели «Упорядочить» вкладки «Инструменты рисования» и выберите «Просмотр линий сетки» в раскрывающемся меню. На странице появляется бледно-серая сетка, помогающая выровнять нарисованные объекты. Нажмите на свой квадрат и перетащите его, чтобы он выровнялся с сеткой.

6. Нажмите «Заливка фигуры» на панели «Стили фигур» и выберите «Без заливки», чтобы удалить любой цвет из квадрата. Вы хотите иметь возможность видеть линии сетки за квадратом.

7. Используйте серые линии сетки для построения параболы или нарисуйте собственные горизонтальные и вертикальные линии внутри квадрата. Инструмент «Линия» находится на панели «Вставка фигур» в крайнем левом углу вкладки «Инструменты рисования». Если вы рисуете свои собственные линии, вы можете использовать кнопки на панели «Стили фигур», чтобы раскрасить их или изменить толщину линии.

Нарисуйте параболу

1. Нажмите вкладку «Инструменты рисования», панель «Вставить фигуры» и выберите «Кривая» из линейных объектов.

2. Щелкните самую левую точку на вашей параболе, затем щелкните правой кнопкой мыши точку, где ваша фокусная линия пересекается с осью Y. Это создает первую половину вашей параболической кривой.

3. Дважды щелкните самую правую точку на вашей параболе, чтобы создать вторую половину кривой и закрыть инструмент кривой. Линия параболы теперь является отдельным графическим объектом на экране.

4. Используйте кнопки «Заливка фигуры» и «Контур фигуры» на панели «Стили фигур», чтобы настроить цвет кривой параболы, если хотите.

Ссылки

• Math Is Fun: Parabola
• Интерактивная математика: Parabola
• Microsoft: Display and Use Gridlines and Guides

Resources

и параметры привязки к объекту включены или Выкл.

виды неравенств и способы их решения, примеры задач

Определение модуля

Модуль, или абсолютная величина, числа х в алгебре является самим числом «х» при x≥0 и числом «–х» при x<0:

|x|=x,  x≥0-x,  x<0

Модуль числа обладает следующими свойствами:

1. Модуль числа является неотрицательным числом: x≥0, x=0⇔x=0.
2. Противоположные числа обладают равными модулями: -x=x.
3. Модуль произведения из пары или более чисел равен произведению модулей этих чисел: x·y=x·y.
4. Модуль частного пары чисел равен частному модулей этих чисел: xy=xy, где у отличен от нуля.
5. Модуль суммы чисел в любом случае меньше по сравнению с суммой их модулей, либо равен сумме модулей данных чисел:x+y≤x+y.
6. Неизменяемый множитель, который больше нуля, допускается выносить за знак модуля: cx=c·x при c>0.
7. Квадрат модуля числа равен квадрату данного числа: x2=x2.

Виды неравенств с модулем

Неравенствами называют выражения, включающие в себя числа, либо выражения с переменной и записанные в виде:

a>b,a<b,a≤b и a≥b.

Пример неравенства:

x>5

Числовым называют такое неравенство, в котором a и b являются числами или числовыми выражениями.

Числовое неравенство представляет собой сравнение пары чисел. Смысл такой записи заключается в определении, какое из чисел больше или меньше по сравнению со вторым.

Виды числовых неравенств:

• верные;
• неверные.

Неравенство -5<2 является верным, так как в действительности -5 меньше по сравнению с числом 2.

Неравенство 17+3≥115 является неверным. Правая часть неравенства равна 20:

17+3=20

Число 20 меньше по сравнению с числом 115. Этот вывод противоречит записанному неравенству, что позволяет назвать его неверным.

Неравенством с переменной называют такое неравенство, которое содержит переменную.

При решении задач можно столкнуться с разными видами неравенств с переменными:

1. Линейное, с переменной в первой степени, например: 2x+1≥4(5-x).
2. Квадратное, с переменной, возведенной в квадрат, например: 3×2-x+5>0.
3. Логарифмическое, где переменная записана под знаком логарифма, например: log4(x+1)<3.
4. Показательное, переменная записана в показателе степени, как 2x≤85x-2.

Строгие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения > (больше) или < (меньше).

Пример строгого неравенства:

х>4

Заметим, что в случае строгого неравенства не допускается равенство между правой и левой частью выражения. По этой причине такие неравенства и называют строгими.

Нестрогие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения \geq (больше или равно) либо ≤ (меньше или равно).

Пример нестрого неравенства:

x≤4

Заметим, что в случае нестрого неравенства допускается равенство левой и правой частей выражения. По этой причине такие неравенства называются нестрогими.

Неравенства с модулем представляют собой такие неравенства, в которых неизвестные находятся под знаком модуля.

Решить неравенство с модулем можно, руководствуясь определением модуля числа:

|x|=x,  x≥0,-x,  x<0

Способы решения неравенств с модулем, пояснения на примерах

Существует определенный алгоритм, который удобно применять для решения заданий на неравенства с модулем:

1. Неравенство, записанное в виде |x|<a, где а больше нуля, является равносильным системе . Когда а меньше нуля, у неравенства отсутствуют решения.
2. Неравенство, записанное в виде |x|>a , где а больше нуля, является равносильным совокупности неравенств:  . При а=0 корни неравенства соответствуют множеству x∈(-∞;0)∪(0;+∞). При a меньше нуля решения расположены на всей числовой оси: x∈(-∞;+∞).

В том случае, когда требуется решить неравенство в виде |f(x)| > |g(x)| или |f(x)| < |g(x)|, все части выражения, в том числе, дробные, следует возвести в квадрат. Неравенства, содержащие больше одного выражения, записанного под знаком модуля, решают с применением графического метода интервалов. Этот способ часто применяют в классе на уроке алгебры и при решении домашних заданий.

Разберем несколько примеров для доказательства удобства использования записанной ранее схемы. Попробуем найти решения такого неравенства:

1≤|x-2|≤5

Заметим, что данное выражение можно представить, как систему:

Первое из неравенств системы является равносильным совокупности неравенств:

Неравенство под номером два соответствует системе:

В результате оба неравенства будут решены:

Рассмотрим простое задание с неравенством, которое требуется решить с подробными действиями:

|x+1|>1

Запишем равносильную совокупность неравенств по правилам:

Если объединить интервалы со всех сторон, то получится:

x∈(-∞;-2)∪(0;+∞)

Решим следующее неравенство аналогичного типа несколько другим способом:

|2x-1|<9

Запишем совокупность неравенств:

При пересечении найденных интервалов получим, что:

x∈(-4;5)

Разберем метод решения неравенства с модулем путем возведения в квадрат:

|x+1|≤|x-2|

Возведем все части выражения во вторую степень:

(x+1)2≤(x-2)2

Заметим, что в данном случае можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, а именно: распишем квадрат суммы и квадрат разности:

x2+2x+1≤x2-4x+4

С помощью приведения подобных упростим выражение:

6x≤3 ⇒ 2x≤1 ⇒ x≤12 ⇒ x∈(-∞;0,5]

Попробуем справиться с более сложным примером:

|x-1|+|x-2|≤3

Здесь целесообразно применить метод интервалов. Для этого сначала вычислим нули выражений, которые записаны под знаком модуля:

x-1=0 ⇒ x=1

x-2=0 ⇒ x=2

Заметим, что если перенести полученные значения на числовую ось, то получится три интервала:

x∈(-∞;1] ; (1;2] ; (2;+∞].

Рассмотрим каждый из промежутков:

x∈(-∞;1]

В результате:

-(x-1)-(x-2)≤3

-x+1-x+2≤3

-2x≤0 ⇒ x≥0

На пересечении этого решения и первого интервала x∈(-∞;1] получим, что:

x∈[0;1]

Рассмотрим второй интервал:

x∈(1;2]

Здесь неравенство можно записать таким образом:

x-1-(x-2)≤3

x-1-x+2≤3

0·x≤2

Сделаем вывод о том, что для х приемлемы любые значения на данном промежутке, то есть:

x∈(1;2]

Третий интервал:

x∈(2;+∞]

Раскроем модули:

x-1+x-2≤3

2x≤6 ⇒ x≤3

На пересечении этого решения и третьего интервала:

x∈(2;3]

Результат можно определить, если объединить найденные решения:

x∈[0;1]∪(1;2]∪(2;3] ⇒  x∈[0;3]

Примеры решения задач

Дано неравенство, которое нужно решить:

|2×2-9x+15|≥20

Решение

|x| — x = 10

Если x∈R, получим:

2×2-9x+15>0

2×2-9x+15≥20

2×2-9x-5≥0

2(x-5)(x+12)≥0

В результате:

x≤-12 или x≥5

Ответ: x∈-∞;-12∪[5;+∞)

Нужно решить неравенство:

|x-3|2×2-7x>1

Решение

|x-3|2×2-7x>|x-3|0

0<|x-3|<1,2×2-7x<0;|x-3|>1,2×2-7x>0

-1<x-3<1,x-3≠0,x(2x-7)<0;x-3>1,x-3<-1,x(2x-7)>0

2<x<4,x≠3,0<x<72;x>4,x<2,x>72,x<0.

В случае системы:

2<x<4,x≠3,0<x<72

решение будет таким:

(2;3)∪(3;72)

Для системы:

x>4,x<2,x>72,x<0.

решение следующее:

(-∞;0)∪(4;+∞)

В результате:

x∈(-∞;0)∪(2;3)∪(3;72)∪(4;+∞)

Ответ: x∈(-∞;0)∪(2;3)∪(3;72)∪(4;+∞)

Нужно определить решения следующего неравенства:

|x-6|>|x2-5x+9|

Решение

Если x∈R,то:

x2-5x+9>0

|x-6|>x2-5x+9

x-6>x2-5x+9

x2-5x+9<0 — решения отсутствуют;

x-6<-x2+5x-9

x2-4x+3<0

1 < x < 3

Ответ: x∈(1;3).

Найти решения неравенства:

log0,252x+1x+3+12>12

Решение

0<2x+1x+3+12<12

0<4x+2+x+32(x+3)<12

0<5x+52(x+3)<12

5x+52(x+3)≠0,5x+52(x+3)<12,5x+52(x+3)>-12;

x≠-1,x≠-3,2x+1x+3<0,3x+4x+3>0

x≠-1,x≠-3,-3<x<-12,x>-43,x<-3

x∈-43;-1∪-1;-12

Ответ: x∈-43;-1∪-1;-12

Определить решения неравенств:

|x2+5x|<6,|x+1|≤1.

Решение

-6<x2+5x<6,-1≤x+1≤1.

x2+5x<6,x2+5x>-6,x+1≤1,x+1≥-1

x2+5x-6<0,x2+5x+6>0,x≤0,x≥-2

-6<x<1,x>-2,x<-3-2≤x≤0.

x∈(-2;0]

Ответ: x∈(-2;0]

Дано неравенство, решения которого требуется найти:

|x2-4x|<5,|x+1|<3.

Решение

x2-4x<5,x2-4x>-5,-3<x+1<3

x2-4x-5<0,x2-4x+5>0,-4<x<2

-4<x<2,x∈R,-4<x<2

-1 < x < 2

x∈(-1;2)

Ответ: x∈(-1;2)

Дано неравенство, которое требуется решить:

32|x-1|+34<3|x-1|

Решение

32|x-1|-4·3|x-1|+3<0

Заметим, что это квадратное неравенство по отношению к 3|x-1|:

1<3|x-1|<3

0 < |x — 1| < 1

-1<x-1<1,x-1≠0

0<x<2,x≠1

x∈(0;1)∪(1;2)

Ответ: x∈(0;1)∪(1;2)

|x3-1|>1–x

Решение

x3-1>1-x,x3-1<-1(1-x)

(x3-1)+(x-1)>0,x(x2-1)<0

(x-1)(x2+x+1)+(x-1)>0,x(x+1)(x-1)<0

(x-1)(x2+x+2)>0,x(x+1)(x-1)<0

x>1,x<-1,0<x<1.

x∈(-∞;-1)∪(0;1)∪(1;+∞)

Ответ: x∈(-∞;-1)∪(0;1)∪(1;+∞)

Дано неравенство, которое требуется решить:

x2-|x|-12x-3≥2x

Решение

x<0,x2-x-12x-3≥2x;x≥0,x2-x-12x-3≥2x,

x<0,x2-x+12x-3≤0;x≥0,x2-x+12x-3≤0,

x<0,(x2-x+12)(x-3)≤0,x-3≠0;x≥0,(x2-x+12)(x-3)≤0,x-3≠0

x<0,(x-4)(x-3)3≤0,x-3≠0;x≥0,x-3<0

x<0,x≤4,x≠3;x≥0,x>3,

x<0,0≤x<3.

x∈(-∞;3)

Ответ: x∈(-∞;3)

Решение неравенств с модулем

  1   2   3   4   5   6

Bog’liq
Решение неравенств с модулем
История физики-кудратов, Адабитё, 4-Mavzu ma’ruza., 1-MM, 9-ma’ruza. Xartli formulasi, kompyuterning ishlashining mantiqiy, 11 A sinf , Noaniq integral haqida ma’ruza va yechish usullari , 1-Test, xosmas integrallarning geometriya va fizikaga tatbiqlari, 2013, 1367254467.0182english-grammar-tests, ielts speaking, art-spok, fizika oqitish metodikasi, Algoritmlash va dasturlash ingliz tili

Bu sahifa navigatsiya:

• Что уже нужно знать
• Определение модуля

Решение неравенств с модулем Сегодня, друзья, не будет никаких соплей и сантиментов. Вместо них я без лишних вопросов отправлю вас в бой с одним из самых грозных противников в курсе алгебры 8—9 класса. Да, вы всё правильно поняли: речь идёт о неравенствах с модулем. Мы рассмотрим четыре основных приёма, с помощью которых вы научитесь решать порядка 90% таких задач. А что с остальными 10%? Что ж, о них мы поговорим в отдельном уроке.:) Однако перед тем, как разбирать какие-то там приёмы, хотелось бы напомнить два факта, которые уже необходимо знать. Иначе вы рискуете вообще не понять материал сегодняшнего урока. Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи: Как решаются неравенства; Что такое модуль. Начнём со второго пункта. Определение модуля Тут всё просто. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое: Определение. Модуль числа x — это либо само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему противоположное, если исходный x — всё-таки отрицателен. Записывается это так: Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников. Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня). Определение. Пусть на числовой прямой отмечена точка a. Тогда модулем |x−a| называется расстояние от точки x до точки aa на этой прямой. Если начертить картинку, то получится что-то типа этого: Графическое определение модуля Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной. Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование. Download 278 Kb. Do’stlaringiz bilan baham:

  1   2   3   4   5   6

Ma’lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2023
ma’muriyatiga murojaat qiling

Как решать неравенства, содержащие абсолютные значения

Авторы: Ян Куанг и Эллейн Кейс и

Обновлено: 26 марта 2016 г. Исследуйте книгу Купить на Amazon

Уравнение абсолютного значения обычно имеет два возможных решения. С абсолютным значением немного сложнее обращаться, когда вы решаете неравенства. Два возможных решения:

В математической терминологии неравенство

, где a, b, и c — действительные числа — всегда превращается в два неравенства:

«И» происходит от графика набора решений на числовой прямой, как показано на рисунке (а) ниже. «И» означает, что вам нужны только значения для x , которые одновременно являются решениями обоих неравенств.

Неравенство

становится

«ИЛИ» также исходит из графа набора решений, который вы можете видеть на Рисунке (b) выше. «ИЛИ» означает, что вы хотите, чтобы все значения для x , которые являются решениями хотя бы одного из неравенств.

При работе с абсолютными значениями следует помнить два предостережения:

• Если абсолютное значение меньше (<) или меньше или равно

  отрицательное число, оно не имеет решения. Абсолютное значение всегда должно быть нулевым или положительным (единственное, что меньше отрицательных чисел, — это другие отрицательные числа). Например, абсолютное неравенство |2 x – 1| < –3 не имеет решения, потому что неравенство меньше отрицательного числа.

  Получение нуля в качестве возможного решения — это прекрасно. Однако важно отметить, что отсутствие решений — это совсем другое. Отсутствие решений означает, что никакое число вообще никогда не работает, тогда как получение нуля в качестве решения означает, что решение есть, а именно ноль.

• Если результат больше или равен отрицательному числу, решением являются все действительные числа . Например, учитывая уравнение | х – 1| > –5, x — все действительные числа. Левая часть этого уравнения представляет собой абсолютное значение, а абсолютное значение всегда представляет собой положительное число (или ноль). Поскольку положительные числа (или ноль) всегда больше отрицательных, у этих типов неравенств всегда есть решение. Любое действительное число, которое вы подставите в это уравнение, работает.

Чтобы решить и построить график неравенства с абсолютным значением, например, 2|3 x – 6| < 12 — выполните следующие действия:

1. Изолировать выражение абсолютного значения.

   В этом случае разделите обе стороны на 2, чтобы получить |3 x – 6| < 6.

2. Разбейте неравенство надвое.

   Этот процесс дает вам 3 x – 6 < 6 и 3 x – 6 > –6. Вы заметили, как изменился знак неравенства для второй части? Когда вы переключаетесь с плюсов на минусы в неравенстве, вы должны изменить знак неравенства.

   Не попадитесь в ловушку изменения уравнения внутри столбцов абсолютного значения. Например, |3 x – 6| < 6 не меняется на 3 x + 6 < 6 или 3 x + 6 > –6.

3. Решите оба неравенства.

   Решения этой задачи таковы: x < 4 и x > 0. Это сокращается до 0.

4. График решения.

   Создайте числовую прямую и покажите ответы на неравенство. На предыдущем рисунке показано решение задачи 2|3 х – 6| < 12 на числовой прямой.

Эту статью можно найти в категории:

• Предварительное исчисление,

Математическая сцена — Неравенства — Урок 3 Абсолютные значения

Урок 3 Абсолют values ​​

На прямой с действительными числами расстояние точки x от нуля называется абсолютное значение x и записывается как |x|. Каждая из двух маленьких вертикальных линий сторона х является символом для абсолютного значения.

Если x = 2, расстояние x от нуля записывается |2| и имеет значение 2. Итак, |2| = 2.

Если x = −2, расстояние x от нуля записывается как  |−2| и имеет значение 2. Итак, |−2| = 2.

Расстояние и, следовательно, абсолютное значение всегда является положительным числом.

Расстояние между двумя точками, a и b, равно b − a, если
b > a и  a − b, если b < а. Если мы не знаем, какое число больше, то говорят, что расстояние между a и b есть  |a − b|.

Мы можем думать об абсолютном значении как об измерении с помощью линейка. При нахождении длины интервала между двумя точками с помощью линейка, не имеет значения, измеряем ли мы слева направо или справа влево расстояние всегда является одним и тем же положительным числом.

Абсолют значение удаляет отрицательный знак из значения, которое мы получаем из выражения, которое находится между знаком абсолютного значения.

Пример 1

Нарисуйте график функция  f(x) = |x|.

Мы составляем таблицу значений и затем строим график.

Пример 2

Нарисуйте график функции f(x) = |x − 2| − |х|.

Мы делаем таблицу значений, а затем построить график.

Обратите внимание, что график состоит из 3 прямых линий.

Когда x < 0, оба абсолютных значения содержат отрицательные числа, которые становятся положительно, когда мы берем абсолютное значение. Мы можем сделать это алгебраически с помощью замена знака абсолютного значения скобкой и умножение на −1.

При x < 0 функция может быть записана следующим образом:

е(х) = (−1)∙(x − 2) − (−1)∙(x) = −x + 2 + x = 2

На интервале 0 x < 2 , только значение в первом члене абсолютного значения является отрицательным.

Следовательно, мы можем написать так:

   f(x) = (−1)∙(x − 2) − x = −2x + 2

Когда х 2 оба абсолютные значения содержат положительные значения, поэтому ничего менять не нужно. Сейчас функция может быть записана как:

   f(x) = (х — 2) — (х) = х — 2 — х = -2

Обратите внимание, что уравнение |х — 2| − |х| «=» 2 удовлетворяется всеми значениями x 0 тогда как уравнение |x − 2| − |х| = 0 имеет только одно решение, x = 1.

Пример 3

Решите неравенство  |x − 1| < 4.

Важным моментом в этом уравнении является x = 1. Именно здесь абсолютная знак значения содержит число 0, положителен, если x > 1, но отрицателен, когда x < 1. Мы можем думать об этом как о поворотной точке уравнения. поворотный момент, когда абсолютное значение изменяется между положительным и быть отрицательным. Это означает, что мы можем изменить это уравнение абсолютного значения на два простые уравнения, одно верно, когда x > 1, а другое верно, когда x < 1. Затем мы решаем каждую отдельно.

       x < 1  ( изменить знак). х > 1 (знак без изменений).

 Полное решение от обоих уравнения:

−3 < х < 5

Рассмотрим теперь геометрически, что неравенство |x − 1| < 4 говорит нам.

|х — 1| расстояние между x и номер 1.

|х — 1| < 4 говорит нам, что расстояние между x и 1 меньше чем 4.

Это соответствует приведенному выше решению.

Теперь решим это же неравенство графически.

Это включает в себя построение графиков функций f(x) = |x − 1| и г(х) = 4, затем найти, где f (x) лежит ниже (меньше) g (x).

График показывает, что е (х) = | х — 1 | лежит ниже линии g(x) = 4 (см. закрашенную область), на интервале −3 < х < 5,

Пример 4

Решите неравенство  |x + 2| > |2x − 8|.

Снова решаем задачу, взглянув отдельно на три области между значениями x   которые делают выражения между знаками абсолютного значения равными нулю.

Этих точек  x = −2 из выражения в левой части и x = 4  из выражение в правой части.

Эта таблица показывает, когда выражения меняют знак:

Обе стороны. Правая сторона. Без изменений.

                                                                      Окончательное решение: 2 < х < 10

Теперь решим уравнение графически.

Сначала мы делаем таблицу из значения для каждой стороны неравенства.

Из графика видно, что  f(x) = |х + 2| лежит выше
г (х) = | 2х — 8 | между x = 2 и x = 10 (закрашенная область).

Таким образом, решение 2 < х < 10.

Пройди тест 3 по неравенствам.

Наименьшее общее кратное 4 и 6

Калькулятор «Наименьшее общее кратное»

Какое наименьшее общее кратное (НОК) у чисел 4 и 6?

Ответ: НОК чисел 4 и 6 это 12

(двенадцать)

Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 4 и 6 используя НОД этих чисел

Первый способ нахождения НОК для чисел 4 и 6 — через нахождение наибольшего общего делителя (НОД) этих чисел. Формула:

НОК = (Число1 × Число2) ÷ НОД

НОД чисел 4 и 6 равняется 2, следовательно

НОК = (4 × 6) ÷ 2

НОК = 24 ÷ 2

НОК = 12

Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 4 и 6 используя перечисление кратных

Второй способ нахождения НОК для чисел 4 и 6 заключается в перечислении всех кратных для обоих чисел и выбор первого совпадающего:

Кратные числа 4: 4, 8, 12, 16, 20

Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24

Следовательно, НОК для 4 и 6 равняется 12

Нахождение наименьшего общего кратного для чисел 4 и 6 используя разложение чисел на простые множители

Еще один способ нахождения НОК чисел 4 and 6 — это нахождение всех простых множителей для обоих чисел и перемножение самых больших экспоненциальных форм

Похожие расчеты

Поделитесь текущим расчетом

Печать

О калькуляторе «Наименьшее общее кратное»

Наименьшее общее кратное (НОК) для двух чисел - это наименьшее натуральное число, которое делится на оба числа без остатка

Калькулятор «Наименьшее общее кратное»

Таблица Наименьших общих кратных

НОК и НОД — что это, определение и ответ

Рассмотрим выражение:

\(45:9\)

Можем сказать, что 45 – делимое, а 9 – делитель данного выражения.

Мы знаем, что 45 делится нацело на число 9. В таком случае, если мы захотим описать, чем эти числа являются друг другу, то мы скажем, что

9 – делитель числа 45

45 – кратно числу 9

Иногда при решении задач нужно находить общие кратные или общие делители двух чисел.

Наименьший делитель двух чисел – всегда единица. Такой делитель нет смысла искать, поэтому ищут наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел – это наибольшее число, на которое каждое из этих чисел можно поделить без остатка.

Пример №1:

Рассмотрим числа 30 и 45.

1. Найдем все их существующие делители, т.е. числа, на которые каждое из них поделится нацело:

2. Мы видим, что у этих двух чисел есть несколько общих делителей. Наибольший из них – 15 – является самым большим. Это и есть НОД.

Значит и число 45 и число 30 можно нацело поделить на 15. Записывают это так:

\(НОД\ (30;45) = 15\)

Ответ: 15.

Пример №2:

Найдем \(НОД\ (20;36):\)

1. Выпишем все делители этих чисел.

Так же делители можно сразу записывать парой. Если 20 нацело делится на 2, то

\(20\ :\ 2 = 10\)

Значит 10 – тоже делитель числа 20. Запишем делители 2 и 10 парой:

2. Выделим все общие делители и найдем наибольший из них. В данном случае

\(НОД(20;35) = 4.\)

Ответ: 4.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее число, которое можно поделить на каждое из этих чисел без остатка.

Пример №3:

Найдем \(НОК\ (10;12).\)

1. Возьмем наименьшее число. В данном случае – 10.

Будем умножать его на натуральные числа по порядку, пока не получим число, кратное 12, то есть такое, на которое нацело поделится и 10, и 12. Оно и будет НОК этих двух чисел. Такой метод называется методом подбора.

\(10 \bullet 1 = 10;\ \ \ \ 10\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 2 = 20;\ \ \ \ 20\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 3 = 30;\ \ \ \ 30\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 4 = 40;\ \ \ \ 40\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 5 = 50;\ \ \ \ 50\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 6 = 60;\ \ \ \ 60\ кратно\ 12\)

2. Первое число, которое будет кратно обоим числам и является их наименьшим общим кратным.

Общих кратный, в отличии от делителей, бесконечно много, поэтому обычно выбирают наименьший их них.

Ответ: 60.

Также можно находить НОК через разложение на множители:

Пример №4:

Найдём \(НОК\ (6;8):\)

1. Разложим числа 6 и 8 на простейшие множители, т. е. представим каждое число как произведения простых чисел. Множители большего числа запишем сверху:

8: \(1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2\)

6: \(1 \bullet 2 \bullet 3\)

2. Видим, что множители 1 и 2 повторяются у обоих чисел, поэтому для меньшего числа их уберем. Останется:

3. Перемножим все оставшиеся числа. Их произведение и будет НОК:

\(НОК\ (6;\ 8) = 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 = 24\)

Ответ: 24.

Пример №5:

Найдем \(НОК\ (10;12)\) разложением на множители:

1. Разложим оба числа на простые множители. Сверху запишем большее число:

12: 1, 2, 2, 3

10: 1, 2, 5

2. Для меньшего числа зачеркнем те множители, которые уже есть у большего числа:

3. Перемножим все оставшиеся числа:

\(НОК\ (10;\ 12) = 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 5 = 60\)

Наш ответ совпал с ответом, где мы использовали метод подбора.

Ответ: 60.

ВЗАИМОСВЯЗЬ НОК И НОД:

Произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению самих этих чисел:

\(НОК(a;\ b) \bullet НОД(a;\ b) = a \bullet b\)

Докажем эту формулу на примере.

Пример №6:

Рассмотрим пару чисел 24 и 60.

1. Найдем их НОД:

\(НОД\ (24;60) = 12\)

2. Найдем их НОК:

\(НОК\ (24;\ 60)\ = \ 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 5 = 120\)

3. Рассмотрим поближе НОК. Чтобы его получить, мы переменожили все простые множители чисел 60 и 24 за исключением множителей 1, 2, 2, 3. Найдем отдельно их произведение:

\(1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 = 12\)

Если перемножить все простые множители числе 60 и 24 мы получим просто их произведение, при этом оно будет состоять из НОК и числа 12, которое в свою очередь равно НОД:

Что такое наименьшее общее кратное? Объяснение для элементарного

В этом посте мы ответим на вопрос «Каково наименьшее общее кратное?» и предоставление вам всей необходимой информации, чтобы помочь детям в начальной и средней школе понять эту область математики. У нас также есть несколько вопросов, основанных на наименьшем общем кратном, которое может ответить ваш ребенок, и все, чтобы помочь ему (и вам) быстро освоить математику!

Кратное — это число, которое можно разделить без остатка.

Иногда детям помогает думать об этом как о числе в таблице умножения другого числа, например, 24 кратно 12; оно также кратно 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 24. Первые пять кратных 6 — это 6, 12, 18, 24 и 30.

Множители и множители связаны друг с другом — например, 4 является коэффициентом 12, а 12 кратно 4.

См. также : Правила делимости

Общее кратное — это кратное, которое является общим для двух или более чисел.

12 является общим кратным 6 и 4, так как он присутствует как в таблицах умножения на 6, так и в таблице умножения на 4.

Три общих кратных 6 и 9 равны 18, 36 и 54.

Наименьшее общее кратное — это наименьшее кратное, общее для двух или более чисел.

Например, общие кратные 4 и 6 равны 12, 24 и 36, но наименьшее из них равно 12; следовательно, наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 равно 12. 

Один из способов помочь детям найти наименьшее общее кратное – попросить их перечислить кратные каждого числа, пока они не наткнуться на первый каждый номер акции.

Например, НОК 5 и 7 равен 35:

Детей знакомят с числами в детском саду (возможно, не зная фактического термина), когда они могут научиться считать числа, кратные двойкам, пятеркам и десяткам, как часть их обучения числовым связям и пропуску счета. В 1-м классе учащиеся вычитают числа, кратные 10 в диапазоне 10-90, из числа, кратного 10 в диапазоне 10-90.

Во 2 классе дети считают в пределах 1000; пропуск счета на 5, 10 и 100 секунд.

В 3-м классе учащиеся умножают числа, кратные 10. Они также изучают термины «кратное» и «множитель», изучая факты умножения.

Ученики 4-х классов должны уметь находить все пары множителей для целого числа в диапазоне от 1 до 100. Их следует научить определять кратные числа и решать задачи на умножение и деление, в том числе используя свои знания о кратных.

Обыкновенные кратные не вводятся до 5-го класса . Ожидается, что пятиклассники будут использовать общие кратные для выражения дробей одного и того же наименования и решать проблемы, связанные с неравным разделением и группировкой, используя знание дробей и кратных.

Наименьшее общее кратное полезно, когда нужно выразить дроби одного номинала (требуется при сложении или вычитании, упорядочивании или сравнении дробей). Например, чтобы вычислить 3/5 + 1/6, нам нужно найти общий знаменатель, вычислив наименьшее общее кратное 5 и 6 (30). Затем мы можем преобразовать дроби в 18/30 + 5/30 = 23/30.

Хотите знать, как объяснить своим детям другие ключевые слова по математике? Посмотрите наши Математический словарь для детей или попробуйте эти математические термины:

• Что такое длинное умножение: объяснение для учителей, родителей и детей
• Что такое число в кубе: объяснение для учителей, родителей и детей
• Что такое квадратное число: объяснение для учителей, родителей и детей
• Что такое наивысший общий делитель: объяснение для учителей, родителей и детей

1) Каково наименьшее общее кратное 8 и 10?

2) Запишите все общие кратные 3 и 8, которые меньше 50.

3) Каково наименьшее общее кратное 100 и 50?

4) Выпишите все общие кратные 4 и 6, которые меньше 60.

5) Каково наименьшее общее кратное 1000 и 650?

общее кратное 4 и 6

Дд Д.

общее кратное 4 и 6

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Дэвид В. ответил 20.04.17

Репетитор

Опытный профессор

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Число, кратное 4:      4,     4,  8,  12,   16,   20,   24,   28,   32,   . . .

Число, кратное 6:      6,   12,   18,   24,   30,   36,   . . .

Общие кратные 4 и 6 (см. значения в обоих списках):    12,   24,   …

Наименьшее общее кратное (НОК) 4 и 6:  12

  90 003

Сейчас —

Простые делители числа 4:    2*2

Простые множители числа 6:    2*3

Включите каждый член только один раз, НОК 4 и 6 равен 2*2*3=12.

Обратите внимание, что 12 делится на 4, а 12 делится на 6.

Подробнее

Отчет

Коллин П. ответил 20.04.17

Репетитор

Опытный студент Массачусетского технологического института преподает подготовку к экзаменам ACT/SAT, математику и физику

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

. Если мы ищем наименьшее общее кратное 4 и 6, мы знаем, что одно потенциальное решение равно 4 x 6 = 24, потому что ясно, что 24/6 = 4 и 24/6 = 4.

Примеры на деление и умножение

Таблица умножения « Папа Карп

Меня много лет интересовал вопрос: «Можно ли так нарисовать таблицу умножения, чтобы детям было легче ее учить?»

И вот наконец родилась та художественно-методическая форма, которую вы можете тут видеть.

Наверное, кому-то она понравится и существенно облегчит процесс освоения таблицы умножения (а заодно и деления), а кому-то окажется неблизка, несимпатична. Это дело вкуса. Возможно, детям данная форма будет нравиться больше, чем взрослым – ведь рисовал я на детском языке образов.

Кто-то не воспримет это всерьез, но сам я считаю данную разработку самым фундаментальным из всех учебных пособий, которые я нарисовал.

* * *

Скачать все в хорошем качестве (2,5 MB)

Что значит «детям будет легче ее учить»? Разработанная художественная форма, на мой взгляд, более психологически контактна с мировосприятием ребенка. Ребенку проще ее воспринять. Поэтому учиться по ней веселее, естественнее, эффективнее. Для одних детей использование такой таблицы умножения ускорит процесс ее запоминания. Для других – сделает изучение хотя бы не столь противным (что тоже немаловажно, так как многие дети просто не хотят учить таблицу умножения). Для третьих мало что изменится в ходе заучивания, но зато запомнится все гораздо более устойчиво.

Данная разработка годится не только для начальной школы, но и для более старших ребят – часто бывает необходимо освежить таблицу умножения в памяти. Да и взрослым иногда можно ею воспользоваться – особенно тем родителям, которые помогают своим детишкам делать школьные уроки.

Методы работы – все те же самые, что и с любой другой таблицей умножения. Сначала целесообразно учить по десяткам. Потом – в разбивку. Потом – на деление. Если какие-то примеры чаще забываются, то на них следует сделать акцент. Следует добиться устойчивого и уверенного запоминания. На вспоминание одного примера из таблицы умножения должно уходить не более 2-3 секунд.

Ребенок может разглядывать эти картинки прямо с экрана компьютера. А можно и распечатать их. Листки с таблицей умножения можно перекладывать в руках, или положить на письменный стол, или повесить на стену… Эксперименты с цветной бумагой, цветными чернилами и дополнительными рисунками на исходной форме откроют творческий простор и помогут подобрать наиболее интересные варианты.

Ну а если вам и вашему ребенку данная художественно-методическая форма все же радикально неблизка? Вы можете посмотреть на мои рисунки, воодушевиться и нарисовать свой вариант. А ваш ребенок может вам помочь.

Почему включено умножение на 11? Из опыта обучения своих детей, а также из опыта занятий в других семьях я увидел, что это весьма целесообразно – с точки зрения изучения последующих разделов математики. А вот умножение на 1 я включать сюда не стал – и так ясно, что получается.

Почему я полагаю, что разработанная мной художественно-методическая форма должна существенно облегчить процесс усвоения таблицы умножения для многих детей? Строгих аргументов пока нет. Так мне подсказывает мой опыт, мое интуитивное чувство.

Я буду рисовать потом и другие художественные формы таблицы умножения. Больно уж тема глубокая и воодушевляющая. А данная исходная форма будет во всем этом базовой концепцией.

Когда появится возможность, я планирую снять два видео-курса по таблице умножения: 1) полный — примерно из 50 уроков для учеников 2-3 классов; 2) краткий — из 7 уроков для ребят любого возраста. Все это будет размещаться в разделе КАРП-ВИДЕО.

бесплатных печатных листов по умножению и делению. Таблица 0

Бесплатные печатные листы по умножению и делению: таблицы 0-12

Умножение Рабочие листы по разделам 1-12 Умножение Учебные таблицы — ответы Умножение 12×12 Таблица ответов на умножение (доска умножения) 1-12 Умножение Учебные таблицы (пустые) 1-12 Умножение Таблицы Индивидуальные викторины Двузначный X Одноразрядный: A — Б С платой умножения: — A — В Ответы: А — В Частично Товарная коробка Двузначный X Двузначный: A — Б — С Частичный Товарная коробка Трехзначный X Двузначный: A — Б — С Двузначный X Двузначные десятки: A — B С платой умножения: — A — В Ответы: А — В Двузначный X Двузначный: A — В Ответы: А — Б Трехзначный X Одноразрядный: A — B С платой умножения: — A Ответы: А — Б Трехзначный X Двузначное число — десятки: A — В Ответы: А — Б Трехзначный X Двузначный: A — В Ответы: А — Б Трехзначный X Трехзначный: A — В Ответы: А — Б- 1 -12 Отдел Столы Тесты Отдел Маленький Подразделение с остатками: A — Б — С Длинный Подразделение Нет остатков: A — Б — С Длинный Подразделение Остатки: А — В-С Печать Инструкции: Откройте рабочий лист, который хотите распечатать, затем нажмите «Файл», затем «Печать»; или щелкните правой кнопкой мыши, затем «Печать». Страницы рассчитаны на стандартную бумагу. Дополнение & Вычитание Бесплатные печатные рабочие листы по умножению и делению — Сборник простых в печати рабочих листов по умножению и делению. Начните с простых в печати таблиц умножения. Он включает в себя все числа, разделенные от 1 до 12, смешанные листы для просмотра и рабочий лист со всеми таблицами умножения на одном листе. Есть доска умножения и лист ответов для изучения. После этого вы найдете задачи на двузначное и трехзначное умножение с перегруппировкой, а также на смешанные числа и деление на две части. Представлять и решать задачи на умножение и деление. CCSS.Math.Content.3.OA.A.1 Интерпретировать произведения целых чисел, например, интерпретировать 5 × 7 как общее количество объектов в 5 группах по 7 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором общее количество объектов может быть выражено как 5 × 7. CCSS.Math.Content.3.OA.A.2 Интерпретация целочисленных частных целых чисел, например, интерпретируйте 56 ÷ 8 как количество объектов в каждой доле, когда 56 объектов разделены поровну на 8 долей, или как количество долей, когда 56 объектов разделены на равные доли по 8 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором количество долей или количество групп можно выразить как 56 ÷ 8. CCSS.Math.Content.3.OA.A. 3 Используйте умножение и деление в пределах 100 для решения текстовых задач в ситуациях, связанных с равными группами, массивами и измеряемыми величинами, например, используя рисунки и уравнения с символом неизвестного числа для представления задачи.1 CCSS. Math.Content.3.OA.A.4 Определите неизвестное целое число в умножении или делении уравнения, связывающего три целых числа. Например, определите неизвестное число, которое делает уравнение истинным в каждом из уравнений 8 × ? = 48, 5 = _ ÷ 3, 6 × 6 = ? Понимать свойства умножения и связь между умножением и делением. CCSS.Math.Content.3.OA.B.5 Применение свойств операций как стратегий умножения и деления.2 Примеры: если известно 6 × 4 = 24, то 4 × 6 = 24 также известен. (Переместительное свойство умножения.) 3 × 5 × 2 можно найти по формуле 3 × 5 = 15, тогда 15 × 2 = 30, или по 5 × 2 = 10, тогда 3 × 10 = 30. (Ассоциативное свойство умножения. ) Зная, что 8 × 5 = 40 и 8 × 2 = 16, можно найти 8 × 7 как 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56. (Дистрибутивное свойство.) CCSS.Math.Content.3.OA.B.6 Понимать деление как задачу с неизвестным фактором. Например, найдите 32 ÷ 8, найдя число, которое дает 32 при умножении на 8. Умножьте и разделите в пределах 100. CCSS. Math.Content.3.OA.C. 7 Свободно умножайте и делите в пределах 100, используя такие стратегии, как взаимосвязь между умножением и делением (например, зная, что 8 × 5 = 40, известно, что 40 ÷ 5 = 8) или свойства операций. К концу 3 класса знать наизусть все произведения двух однозначных чисел. CCSS.Math.Content.3.NBT.A.3 Умножение однозначных целых чисел на кратные 10 в диапазоне от 10 до 90 (например, 9 × 80, 5 × 60) с использованием стратегий, основанных на разрядное значение и свойства операций. Познакомьтесь с множителями и множителями. CCSS.Math.Content.4.OA.B.4 Найти все пары множителей для целого числа в диапазоне от 1 до 100. Признать, что целое число является кратным каждого из его делителей. Определить, является ли заданное целое число в диапазоне от 1 до 100 кратным заданному однозначному числу. Определите, является ли заданное целое число в диапазоне от 1 до 100 простым или составным. CCSS.Math.Content.4.NBT.B.5 Умножение целого числа, состоящего из максимум четырех цифр, на однозначное целое число и умножение двух двузначных чисел с использованием стратегий, основанных на разрядности и свойства операций. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей. CCSS.Math.Content.4.NBT.B.6 Нахождение целых чисел в частных и остатках с делимыми до четырех цифр и одноразрядными делителями, используя стратегии, основанные на позиционном значении, свойствах операций, и/или связь между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей. Выполнять операции с целыми многозначными числами и с десятичными дробями до сотых. CCSS.Math.Content.5.NBT.B.5 Свободно умножайте многозначные целые числа, используя стандартный алгоритм. CCSS.Math.Content.5.NBT.B.6 Находить целые частные целых чисел с делимыми до четырех цифр и двузначными делителями, используя стратегии, основанные на позиционном значении, свойствах операций и/или связь между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей. CCSS.Math.Content.5.NBT.B.7 Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных долей до сотых с использованием конкретных моделей или рисунков и стратегий, основанных на разрядном значении, свойствах операций и/или связь между сложением и вычитанием; свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию. [lwptoc] 1-12 Учебные таблицы умножения Скачать/распечатать Вопросы Индивидуальные упражнения с таблицами умножения (1-12) Тройки Семерки Восьмерки Одиннадцать Двенадцать Упражнения на умножение двузначных и однозначных чисел (плюс листы с ответами) Частичное умножение коробки продукта Упражнение на умножение частичной коробки продукта (двузначное число X двузначное) Упражнение на умножение частичной коробки продукта (трехзначное число X двузначное) Упражнения на умножение двузначных чисел X двузначных десятков (плюс листы ответов) Упражнения на умножение двузначного числа на двузначное число (плюс листы ответов) Упражнения на умножение трехзначных и однозначных чисел (плюс листы ответов) Упражнения на умножение трехзначного числа X двузначного числа 10 (плюс листы ответов) Упражнения на умножение трехзначных и двузначных чисел (плюс листы ответов) Упражнения на умножение трехзначного числа на трехзначное число (плюс листы ответов) Таблицы отдельных дивизионов (1-12) Небольшая дивизия с остатками Длинное деление без остатка Длинное деление с остатками 1-12 Умножение Учебные таблицы — ответы Умножение 12×12 Таблица ответов на умножение (доска умножения) 1-12 Умножение Учебные таблицы (пустые) 1-12 Умножение Таблицы Индивидуальные викторины Двузначное число X Однозначный: A — B С доской умножения: — A — B Ответы: A — B 90 005 Неполный Товарная коробка Двузначный X Двузначный: A — B — C   Неполный Товарная коробка Трехзначный X Двузначный: A — B — С Двузначное число X Двузначное число десятков: A — B С доской умножения: — A — B Ответы: A 90 002 — Б Двузначный X Двузначный: A — B Ответы: A — B   Трехзначный X Однозначный: A — B с платой умножения: — Ответы: A — B Трехзначный X Двузначный — Десятки: A — B Ответы: A — B   Трехзначный X Двузначный: A — B Ответы: A — B   Трехзначный X Трехзначный: A — B Ответы: A — B-   1 -12 Отдел Таблицы Викторины Подразделение Маленький Раздел С остатками: A — B — C Длинный Подразделение Без остатков: A — B — C Длинный Раздел Остатки: A — B- C Инструкции по печати Нажмите «Печать» выше в браузере. Или нажмите «Файл», затем «Печать». Страницы рассчитаны на стандартную бумагу. Сложение и вычитание Бесплатные печатные рабочие листы по умножению и делению — Коллекция простых в печати рабочих листов по умножению и делению. Начните с простых в печати таблиц умножения. Он включает в себя все числа, разделенные от 1 до 12, смешанные листы для просмотра и рабочий лист со всеми таблицами умножения на одном листе. Есть доска умножения и лист ответов для изучения. После этого вы найдете задачи на двузначное и трехзначное умножение с перегруппировкой, а также на смешанные числа и деление на две части. Представлять и решать задачи на умножение и деление. CCSS.Math.Content.3.OA.A.1 Интерпретировать произведения целых чисел, например, интерпретировать 5 × 7 как общее количество объектов в 5 группах по 7 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором общее количество объектов может быть выражено как 5 × 7. CCSS.Math.Content.3.OA.A.2 Интерпретация целочисленных частных целых чисел, например, интерпретируйте 56 ÷ 8 как количество объектов в каждой доле, когда 56 объектов разделены поровну на 8 долей, или как количество долей, когда 56 объектов разделены на равные доли по 8 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором количество долей или количество групп можно выразить как 56 ÷ 8. CCSS.Math.Content.3.OA.A. 3 Используйте умножение и деление в пределах 100 для решения текстовых задач в ситуациях, связанных с равными группами, массивами и измеряемыми величинами, например, используя рисунки и уравнения с символом неизвестного числа для представления задачи.1 CCSS. Math.Content.3.OA.A.4 Определите неизвестное целое число в умножении или делении уравнения, связывающего три целых числа. Например, определите неизвестное число, которое делает уравнение истинным в каждом из уравнений 8 × ? = 48, 5 = _ ÷ 3, 6 × 6 = ? Понимать свойства умножения и связь между умножением и делением. CCSS.Math.Content.3.OA.B.5 Применение свойств операций как стратегий умножения и деления.2 Примеры: если известно 6 × 4 = 24, то 4 × 6 = 24 также известен. (Переместительное свойство умножения.) 3 × 5 × 2 можно найти по формуле 3 × 5 = 15, тогда 15 × 2 = 30, или по 5 × 2 = 10, тогда 3 × 10 = 30. (Ассоциативное свойство умножения. ) Зная, что 8 × 5 = 40 и 8 × 2 = 16, можно найти 8 × 7 как 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56. (Дистрибутивное свойство.) CCSS.Math.Content.3.OA.B.6 Понимать деление как задачу с неизвестным фактором. Например, найдите 32 ÷ 8, найдя число, которое дает 32 при умножении на 8. Умножьте и разделите в пределах 100. CCSS.Math.Content.3.OA.C. 7 Свободно умножайте и делите в пределах 100, используя такие стратегии, как взаимосвязь между умножением и делением (например, зная, что 8 × 5 = 40, известно, что 40 ÷ 5 = 8) или свойства операций. К концу 3 класса знать наизусть все произведения двух однозначных чисел. CCSS.Math.Content.3.NBT.A.3 Умножение однозначных целых чисел на кратные 10 в диапазоне от 10 до 90 (например, 9 × 80, 5 × 60) с использованием стратегий, основанных на разрядное значение и свойства операций. Познакомьтесь с множителями и множителями. CCSS.Math.Content.4.OA.B.4 Найти все пары множителей для целого числа в диапазоне от 1 до 100. Признать, что целое число является кратным каждого из его делителей. Определить, является ли заданное целое число в диапазоне от 1 до 100 кратным заданному однозначному числу. Определите, является ли заданное целое число в диапазоне от 1 до 100 простым или составным. CCSS.Math.Content.4.NBT.B.5 Умножение целого числа, состоящего из максимум четырех цифр, на однозначное целое число и умножение двух двузначных чисел с использованием стратегий, основанных на разрядности и свойства операций. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей. CCSS.Math.Content.4.NBT.B.6 Нахождение целых чисел в частных и остатках с делимыми до четырех цифр и одноразрядными делителями, используя стратегии, основанные на позиционном значении, свойствах операций, и/или связь между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей. Выполнять операции с целыми многозначными числами и с десятичными дробями до сотых. CCSS.Math.Content.5.NBT.B.5 Свободно умножайте многозначные целые числа, используя стандартный алгоритм. CCSS.Math.Content.5.NBT.B.6 Находить целые частные целых чисел с делимыми до четырех цифр и двузначными делителями, используя стратегии, основанные на позиционном значении, свойствах операций и/или связь между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей. CCSS.Math.Content.5.NBT.B.7 Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных долей до сотых с использованием конкретных моделей или рисунков и стратегий, основанных на разрядном значении, свойствах операций и/или связь между сложением и вычитанием; свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию.

Просмотр рабочих листов отдела для печати | Education.com

Быстрые ссылки отдела:

Вся библиотекаМатериалы для печатиИгрыУроки с подсказкамиПланы уроковПрактические занятияИнтерактивные историиОнлайн-упражненияРабочие тетради для печатиНаучные проектыВидео с песнями

283 отфильтрованных результатов

283 отфильтрованных результатов

Сортировать поПопулярностьПоследниеНазваниеРелевантность

• 

• Результаты фильтрации

• очистить все фильтры

• По классам

  • Дошкольное
  • Детский сад
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс

• По предмету

  •  Изобразительное искусство
  •  Иностранный язык

  •  Математика

    •  Смысл числа
    •  Дополнение
    •  Вычитание
    •  Умножение

    •  Деление

      •  Стратегии деления
      • Факты деления
      •  Длинное деление
      • Правила делимости
    •  Смешанный Операции
    •  Дроби
    •  Десятичные числа
    •  Проценты, отношения и доли
    •  Алгебра
    •  Геометрия
    •  Измерение
    •  Время
    •  Деньги Математика 89
    •  Данные и графики
    •  Математические задачи
    • Математические задачки
  •  Чтение и письмо
  •  Наука
  •  Социально-эмоциональное
  •  Обществознание
  •  Ввод

• По темам

  •  Праздники
  •  Оффлайн игры
  •  Сезонные 9078 9
  •  Ресурсы для учителей

• По стандарту

  •  Common Core

Искать Рабочие листы по разделам для печати

Деление может быть сложным для любого учащегося, но это важный навык для более продвинутых математических понятий. Наши рабочие листы и печатные формы для разделения на основе навыков помогают учащимся с третьего по пятый класс поднять свои математические навыки на ступеньку выше. Изучите анатомию задач на деление и попрактикуйтесь в многозначном делении и дробях с манипуляциями, используя эти рабочие листы деления и печатные формы!

Помогите сделать деление веселым

Помогите своему ребенку научиться делению, сделав этот процесс увлекательным и доступным. Попробуйте эти советы, чтобы помочь вашему ребенку увлечься делением:

• Пусть ваш ребенок будет членом семьи, ответственным за раздачу закусок. Если вы испекли партию из двенадцати печений, а ваша семья состоит из шести человек, посмотрите, сможет ли ваш ребенок вычислить, сколько печенья может быть у каждого члена семьи. Это может работать для морковных палочек, крекеров или даже кусочков мясного рулета.
• Если ваш ребенок и его брат или сестра получают пособие, вы можете попросить его сыграть бухгалтера для детей семьи.

конвертировать в радикал калькулятор

suchoptionen

конвертировать в радикал калькулятор — Mathway

www.mathway.com › Калькулятор › конвертировать в радикал -form-calculator

Калькулятор свободных радикалов — шаг- пошаговые решения, которые помогут преобразовать данное выражение … Введите выражение, которое вы хотите преобразовать в радикальную форму.

Калькулятор радикальных уравнений — Symbolab

www.symbolab.com › … › Алгебра › Уравнения

Калькулятор уравнений свободных радикалов — шаг за шагом решайте уравнения радикалов.

Решить — Радикальный преобразователь — Алгебратор

softmath.com › графическое неравенство › радикальное преобразование… мелочи, программы для решения уравнений для Casio …

Ähnliche Fragen

Что такое уравнение для радикальной формы?

Что такое 68 − − √ в простейшей радикальной форме?

Калькулятор преобразования в радикальную запись — Mathradical. com

www.mathradical.com › интервальная запись › преобразование-…

калькулятор упрощенной радикальной формы; журнал на основе 2; активность +степени и квадратные корни; отмечает алгебру II glencoe; исходный код для вычисления кубического корня в java …

Экспоненты и радикалы Calculator & Solver — SnapXam

www.snapxam.com › калькуляторы › экспоненты-и-ра…

Экспоненты и радикалы Калькулятор онлайн с решением и шагами. Подробные пошаговые решения ваших задач на экспоненты и радикалы с нашей математикой …

Калькулятор радикалов — MathCracker.com

mathcracker.com › калькулятор радикалов

Откройте для себя простоту вычислений радикалов с помощью нашего онлайн-калькулятора. Показаны все шаги.

Калькулятор восстанавливающих радикалов {MIOCII}

nspdx.swixim.es

Введите выражение, которое вы хотите преобразовать в радикальную форму. Радикальный калькулятор имеет возможность решить любое радикальное уравнение. Радикальный калькулятор имеет …

Преобразование из радикальной формы в экспоненциальную и сокращение числа 2 в показателе степени. Калькулятор создаст пошаговое объяснение для каждого вычисления.

Калькулятор преобразования в радикальную форму

wlmxybkcc.brunetkawpodrozy.pl

Для сложных или мнимых решений используйте калькулятор упрощения радикальных выражений. «/> Предварительная алгебра с пиццерией, калькулятор преобразования десятичных чисел в …

калькулятор преобразования рациональных показателей в радикальные формы

tibww.windheat.eu › Преобразование рациональных показателей в r…

Калькулятор радикальных уравнений Пошаговое решение радикальных уравнений … (9.2.2) – Преобразование радикалов в выражения с рациональными экспоненты Перепишите радикалы …

Ähnlichesuchanfragen

Калькулятор преобразования в подкоренную форму с шагами

Преобразователь экспоненциальной формы в подкоренную

Калькулятор преобразования десятичной формы в подкоренную

Упрощенный калькулятор подкоренной формы

Простейшая радикальная форма

От дроби до радикальной формы

Пример радикальной формы

Как найти простейшую радикальную форму

Калькулятор логарифмического дифференцирования — Googlesuche

suchoptionen

Логарифмическое дифференцирование Calculator & Solver — SnapXam

www.snapxam.com › калькуляторы › логарифмически-диф… 3

Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашей пошаговой инструкции по логарифмическому дифференцированию. шаговый калькулятор. Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с . ..

Калькулятор логарифмического дифференцирования — eMathHelp

www.emathhelp.net › калькуляторы › исчисление-1 › логарифм…

Онлайн-калькулятор вычислит производную любой функции с помощью логарифмического дифференцирования с указанием шагов.

Примеры вычислений | производные | Используйте логарифмическое дифференцирование для …

www.mathway.com › исчисление › производные › использование-ло…

Бесплатное решение математических задач отвечает на ваши вопросы по алгебре, геометрии, тригонометрии, исчислению и статистике … Используйте логарифмическое дифференцирование найти производную.

Калькулятор производных • С шагами!

www.derivative-calculator.net

Решите производные с помощью этого бесплатного онлайн-калькулятора. Пошаговое решение и графики прилагаются!

Переменная дифференцирования: ax_____abcdfghjklmnopqrstuvwxyz
Сколько раз дифференцировать?: 1 2 3 4 5

Калькулятор производных — Symbolab Step › Calculus

Калькулятор свободных производных — дифференцировать функции с все шаги. Введите любую производную функции, чтобы получить решение, шаги и график.

Калькулятор логарифмического дифференцирования — EasyCalculation

www.easycalculation.com › дифференцирование › логарифм…

Онлайн-калькулятор логарифмического дифференцирования для дифференцирования функции путем получения логарифмической производной.

Логарифмическое дифференцирование: определение, формула, примеры

calculate-derivative.com › логарифмическое дифференцирование

23.02.2023 · Логарифмическое дифференцирование – это метод вычисления производной логарифмической функции. Используя логарифмическое дифференцирование, мы можем вычислить …

Логарифмическое дифференцирование используется для вычисления производной логарифмической функции: Неявное дифференцирование используется для вычисления…
Логарифмическое дифференцирование может использоваться вместе с различными формулами производных: Неявное дифференцирование также может использоваться с. ..

Ähnliche Fragen

Как вы решаете задачи логарифмического дифференцирования?

В чем отличие ln log?

Калькулятор — производная(log(x)) — Solumaths

www.solumaths.com › калькулятор › вычислить › log(x)

Калькулятор производных позволяет выполнять символьное дифференцирование, используя свойство вывода, с одной стороны, и производные других обычных функций.

Производная(log(x)): 1ln(10)⋅x
Производная(ln(x)): 1x

Калькулятор производной — Wolfram|Alpha

..

Бесплатный онлайн-калькулятор производных позволяет вычислять производные первого и более высоких порядков, предоставляя информацию, необходимую для понимания производных …

Логарифмическое дифференцирование — из Wolfram MathWorld

mathworld.wolfram.com › Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование. Видеть. Логарифмическая производная · О MathWorld · MathWorld Classroom · Отправить сообщение · MathWorld Book · wolfram.