Автор: alexxlab

Восьмизначное число, которое читается одинаково слева направо и справа налево, означает, что последние четыре цифры совпадают с первыми четырьмя цифрами, но в противоположном направлении. Итак, это четырехзначное число.

Повторение цифры разрешено. Итак, для первого числа у нас есть 7 вариантов, аналогично для второго числа у нас снова 7 вариантов, для третьего числа у нас есть 7 вариантов, а для четвертого числа у нас есть 7 вариантов.

 Таким образом, возможные числа = 7 × 7 × 7 × 7

                                                         6 и 7, чтобы цифры не повторялись, а последние цифры были четными, это

Решение:

Так как последние цифры четные.

Таким образом, 1-е место можно проникнуть 3 способами, а последнее место можно проникнуть 2 способами, а остальные места можно проникнуть

⁵ P ₄ ​= 120 способами  

Следовательно, число шесть число цифр, так что последние цифры четные, равно 3 × 120 × 2 = 720.  

Сколько 4 числовых комбинаций с использованием 1 2 3 4 и что это такое?

5

5 ответов

Эйдан Маккартни ответил

Всего существует 24 комбинации цифр, которые можно составить, используя только цифры 1, 2, 3 и 4. Эти 24 комбинации цифр перечислены ниже в порядке комбинаций цифр, начиная с цифры 1. и заканчивая комбинациями цифр, которые начинаются с цифры четыре.

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 1431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 2, 41323, 4 4312, 4321.

В математике комбинация — это способ выбора нескольких элементов из большей группы, где, в отличие от перестановок, порядок не имеет значения. В меньших случаях можно подсчитать количество комбинаций. Например, учитывая три фрукта, скажем, яблоко, апельсин и грушу, из этого набора можно составить три комбинации: яблоко и груша; яблоко и апельсин; или груша и апельсин.

Более формально k-комбинация множества S — это подмножество k различных элементов S. Если множество состоит из n элементов, количество k-комбинаций равно биномиальному коэффициенту. Комбинациями можно считать комбинации из n вещей, взятых k за раз без повторений или с повторениями. Однако если бы можно было получить два фрукта любого вида, то было бы еще 3 комбинации: одна с двумя яблоками, одна с двумя апельсинами и одна с двумя грушами.

Зачем актерам и артистам нужны…

Пожалуйста, включите JavaScript

Зачем актерам и артистам нужны сценические имена? (Пример из практики)

При работе с большими наборами возникает необходимость использовать математику для определения количества комбинаций. Например, покерную комбинацию можно описать как комбинацию из 5 (k = 5) карт из колоды из 52 карт (n = 52). Все 5 карт в руке различны, и порядок карт в руке не имеет значения. Таких комбинаций 2 598 960, а вероятность случайного выпадения любой руки составляет 1/2,59.8960.

поблагодарил автора.

брякнул это.

Анонимный ответил

1234,1243,1324,1342,1423,1432
2134,2143,2314,2341,2413,1431
3124,3142,3218,41240,41241,41241. 123,4132,4213,4231,4312 ,4321

24 номера.

поблагодарил автора.

брякнул это.

Bernie Zuccarelli ответил

Приветствие:

Это основа всех лотерей Pick-Four по всей стране.

Существует 10 000 возможных комбинаций чисел от одного до четырех. Они варьируются от 0000 до 9999.

Как вы получаете ответ, довольно просто. 10000 это 10х10х10. Если вы начнете с 10, у вас будет 10 возможных комбинаций однозначных чисел от 0 до 9.  Умножьте на десять, и вы получите 100.  Существует 100 комбинаций двузначных чисел… от 00 до 9.9.  Умножьте 100 на 10, и вы получите 1000 комбинаций трехзначных чисел от 000 до 999.  Умножьте еще раз на 10, и вы получите 10 000 комбинаций.

Все просто.

Я надеялся, что это помогло.

Bernie520
Сиэтл, Вашингтон

поблагодарил автора.

брякнул это.

Анонимный ответил

Перечислите комбинации.

Умножение матриц

Каталин Дэвид

Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.

1. Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
   
   • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
   • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
   • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
   • Складываем полученные произведения.
   • Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
2. Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
   
   • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
   • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
   • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
   • Складываем полученные произведения.
   • Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
3. Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
4. Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
5. Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.

Пример 7
$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 5\\ \end{pmatrix}$

Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}4 &\color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \\ \color{red}1 & \color{blue}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{red}2 & \color{red}2\\ \color{blue}3 &\color{blue}1 & \color{blue}1 \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot1}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}\\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}\\ \color{red}{1\cdot1}+\color{blue}{5\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+ \color{blue}{5\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 6 & 7 & 7 \\ 16 & 7 & 7 \end{pmatrix}$

Заметим, что $A \cdot B \neq B \cdot A$

Пример 8
$A= \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}6 \\ \color{blue}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot4}+\color{blue}{2\cdot5} & \color{red}{5\cdot6}+\color{blue}{2\cdot2} \\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot5} & \color{red}{3\cdot6}+\color{blue}{1\cdot2} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 30 & 34\\ 17 & 20 \end{pmatrix}$

$B \cdot A= \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{blue}6 \\ \color{red}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot5}+\color{blue}{6\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} \\ \color{red}{5\cdot5}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{5\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 38 & 14\\ 31 & 12 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Пример 9
$A= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{4} & \color{green}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{red}{2} & \color{red}{1} \\ \color{blue}{4} & \color{blue}{3} & \color{blue}{2} \\ \color{green}{2} & \color{green}{1} & \color{green}{5} \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot5} + \color{blue}{4\cdot4} + \color{green}{3\cdot2} & \color{red}{1\cdot2} + \color{blue}{4\cdot3} + \color{green}{3\cdot1} & \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{4\cdot2} + \color{green}{3\cdot5} \\ \color{red}{2\cdot5} + \color{blue}{1\cdot4} + \color{green}{5\cdot2} & \color{red}{2\cdot2} + \color{blue}{1\cdot3} + \color{green}{5\cdot1} & \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{5\cdot5}\\ \color{red}{3\cdot5} + \color{blue}{2\cdot4} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{3\cdot2} + \color{blue}{2\cdot3} + \color{green}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot1} + \color{blue}{2\cdot2} + \color{green}{1\cdot5} \end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix} 27 & 17 & 24\\ 24 & 12 & 29\\ 25 & 13 & 12 \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{blue}{2} & \color{green}{1}\\ \color{red}{4} & \color{blue}{3} & \color{green}{2}\\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{5} \\ \color{green}{3} & \color{green}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot1} + \color{blue}{2\cdot2} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{5\cdot4} + \color{blue}{2\cdot1} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{5\cdot3} + \color{blue}{2\cdot5} + \color{green}{1\cdot1} \\ \color{red}{4\cdot1} + \color{blue}{3\cdot2} + \color{green}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot4} + \color{blue}{3\cdot1} + \color{green}{2\cdot2} & \color{red}{4\cdot3} + \color{blue}{3\cdot5} + \color{green}{2\cdot1}\\ \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{5\cdot3} & \color{red}{2\cdot4} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{5\cdot2} & \color{red}{2\cdot3} + \color{blue}{1\cdot5} + \color{green}{5\cdot1} \end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix} 11 & 24 & 26\\ 16 & 23 & 29\\ 19 & 19 & 16 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Пример 10
$A= \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1\\ \end{pmatrix} I_{2}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{blue}{2}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot1}+\color{blue}{2\cdot0} & \color{red}{5\cdot0}+\color{blue}{2\cdot1} \\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0}+\color{blue}{1\cdot1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{red}{2} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{1} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot5}+\color{blue}{0\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{0\cdot1} \\ \color{red}{0\cdot5}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{0\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

Заметим, что $A \cdot I_{2} = I_{2} \cdot A=A$.

Пример 11
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} I_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{4} & \color{green}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{4\cdot0} + \color{green}{3\cdot0} & \color{red}{1\cdot0} + \color{blue}{4\cdot1} + \color{green}{3\cdot0} & \color{red}{1\cdot0} + \color{blue}{4\cdot0} + \color{green}{3\cdot1} \\ \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot0} + \color{green}{5\cdot0} & \color{red}{2\cdot0} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{5\cdot0} & \color{red}{2\cdot0} + \color{blue}{1\cdot0} + \color{green}{5\cdot1}\\ \color{red}{3\cdot1} + \color{blue}{2\cdot0} + \color{green}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0} + \color{blue}{2\cdot1} + \color{green}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0} + \color{blue}{2\cdot0} + \color{green}{1\cdot1} \end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} & \color{green}{0} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{1} & \color{green}{0}\\ \color{red}{0} & \color{blue}{0} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{5} \\ \color{green}{3} & \color{green}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{0\cdot2} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{1\cdot4} + \color{blue}{0\cdot1} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{1\cdot3} + \color{blue}{0\cdot5} + \color{green}{0\cdot1} \\ \color{red}{0\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{0\cdot3} & \color{red}{0\cdot4} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{0\cdot3} + \color{blue}{1\cdot5} + \color{green}{0\cdot1}\\ \color{red}{0\cdot1} + \color{blue}{0\cdot2} + \color{green}{1\cdot3} & \color{red}{0\cdot4} + \color{blue}{0\cdot1} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{0\cdot3} + \color{blue}{0\cdot5} + \color{green}{1\cdot1} \end{pmatrix} =$
$=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot I_{3} = I_{3} \cdot A = A$.

Примечание:

1. В общем случае умножение матриц некоммуникативно.
2. $A\cdot I_{n} = I_{n} \cdot A = A$ для любой матрицы A, имеющей n столбцов.

Матрицы Определитель Ранг матрицы Обратные матрицы Матричные уравнения Системы уравнений Калькуляторы для матриц

Произведение двух матриц: формула, решения, свойства

• Произведение матриц: определение, формула, способ нахождения
• Примеры нахождения произведения матриц различной размерности
• Возведение матрицы в степень
• Свойства произведения матриц
• Калькулятор произведения матриц онлайн

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Из этого определения следует формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения которых складываются для получения элемента матрицы C.

В результате получаем элементы произведения матриц:

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

в) 4 Х 4 и 4 Х 10.

Решение:

а) 2 Х 5;

б) 10 Х 5;

в) 4 Х 10.

Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Пример 4. Найти произведение матриц и .

Правильное решение и ответ.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Пример 5. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 6. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 3, число столбцов в матрице B — 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 7. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 1, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB.

Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке «Компьютеры и программирование».

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n-ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица . Найти A² и A³.

Решение:

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Дана матрица

Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.

Правильное решение и ответ.

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А , т.е. АЕ = ЕА = А .              

Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где

—
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :

Получается, что АЕ = А .

Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :

Доказано: ЕА = А .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей. Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю.

Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно:
.

Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполняется для каких-либо двух матриц.

Пример 11. Найти произведения матриц АВ и ВА, если

,

,

и убедиться в том, что эти произведения не равны друг другу:

.

Решение. Находим:

И действительно, найденные произведения не равны:
.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 4. Произведение матриц ассоциативно: (АВ)С = А(ВС) .

Свойство 5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон: (А + В) С = АС + ВС , С (А + В) = СА + СВ .

Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Понятие матрицы

Продолжение темы «Матрицы»

Обратная матрица

Умножение матрицы на число

Сложение матриц

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Решение матричных уравнений

Другие темы линейной алгебры

Определители

Системы линейных уравнений

Умножение матриц — 2×2, 3×3

Умножение матриц или умножение матриц — одна из операций, которые можно выполнять над матрицами в линейной алгебре. Умножение матрицы A на матрицу B возможно, когда обе заданные матрицы A и B совместимы. Умножение матриц — это бинарная операция, которая дает матрицу из двух заданных матриц.

Умножение матриц было впервые введено в 1812 году французским математиком Жаком Филиппом Мари Бине для представления линейных карт с использованием матриц. Давайте разберемся с правилом умножения матриц в следующих разделах.

Что такое умножение матриц?

Умножение матриц — это бинарная операция, результатом которой также является матрица при умножении двух матриц. В линейной алгебре умножение матриц возможно только тогда, когда матрицы совместимы. В общем случае умножение матриц, в отличие от арифметического, не является коммутативным, а это означает, что умножение матриц A и B, заданных как AB, не может быть равно BA, т. е. AB ≠ BA. Поэтому порядок умножения для умножения матриц важен.

Две матрицы A и B называются совместимыми, если количество столбцов в A равно количеству строк в B. Это означает, что если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n× p, то можно сказать, что матрицы A и B совместимы.

Предположим, у нас есть две матрицы A и B, произведение матрицы A на матрицу B можно представить как (AB). Это означает, что результирующая матрица для умножения любой матрицы m × n «A» на матрицу «B» размера n × p может быть представлена ​​как матрица «C» порядка m × p. Давайте разберемся с этой концепцией подробно в следующем разделе.

Как умножать матрицы?

Мы можем понять общий процесс умножения матриц с помощью метода: «Первые строки умножаются на столбцы (элемент за элементом), а затем строки заполняются. Умножение матриц можно выполнить, используя следующие шаги:

• Шаг 1:  Убедитесь, что количество столбцов в матрице 1 ^st равно количеству строк в матрице 2 ^nd (совместимость матриц).
• Шаг 2: Умножьте элементы строки i ^th первой матрицы на элементы столбца j ^th второй матрицы и сложите произведения. Это будет элемент, который находится в i ^-й -й строке и j ^-м -м столбце результирующей матрицы.
• Шаг 3:  Разместите добавленные товары на соответствующих позициях.

Давайте лучше разберемся с этими шагами умножения матриц на примере.

Пример: Умножьте приведенные ниже матрицы, чтобы найти их произведение \( \begin{pmatrix}
1 и 2 \
3 и 4 \ 5 и 1 \
\end{pmatrix} \text{and}\begin{pmatrix}
2\\
4\
\end{pmatrix}
\).

Решение: Данные матрицы имеют порядок 3×2 и 2×1 . Таким образом, t заданные матрицы совместимы, мы можем выполнить умножение матриц, и матрица произведения будет иметь порядок 3×1.

\(\begin{pmatrix}
1 и 2 \
3 и 4 \ 5 и 1 \
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
2\\
4\
\end{pmatrix}\\\\
= \begin{pmatrix}
(1\times2)+(2\times4) \\
(3\times2)+(4\times4) \\ (5\times2)+(1\times4) \\
\end{pmatrix} \\\\ = \begin{pmatrix}
2+8 \\
6+16\10+4\
\end{pmatrix}
\\\\
= \begin{pmatrix}
10\
22\14\
\end{pmatrix}\)

Следовательно, матрица произведения равна \(\begin{pmatrix}
10\
22\14\
\end{pmatrix}
\)

В результирующей матрице видно, что первый элемент первой строки получается умножением элементов первой строки первой матрицы на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и последующим сложением. т. е., вообще говоря, найти элемент в i ^-я -я строка и j ^-й -й столбец в матрице произведения,

• Возьмите элементы i ^-й -й строки первой матрицы.
• Возьмем элементы j ^-го -го столбца второй матрицы.
• Умножьте соответствующие элементы.
• Добавить все продукты.

Правила умножения матриц

Как мы изучили, две матрицы можно перемножать только тогда, когда они совместимы, а это означает, что для существования умножения матриц количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице, в приведенном выше случай ‘н’. Если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n×p, то порядок произведения матриц равен m×p.

Примеры:

а) Умножение матрицы 4 × 3 на матрицу 3 × 4 верно и дает матрицу порядка 4 × 4

б) Матрица 7 × 1 и матрицы 1 × 2 совместимый; произведение дает матрицу 7 × 2.

c) Умножение матрицы 4 × 3 на матрицу 2 × 3 НЕВОЗМОЖНО.

Формула умножения матриц 2×2

Процесс одинаков для матрицы любого порядка. Умножаем элементы каждой строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы (поэлементно), как показано на рисунке. Наконец, мы добавляем продукты. Результатом произведения двух матриц 2×2 снова является матрица 2×2.

Формула умножения матриц 3×3

Матрица 3×3 Умножение можно выполнить с помощью формулы умножения матриц, так как любые две матрицы 3×3 совместимы. Процесс точно такой же для матрицы любого порядка. Результатом произведения двух матриц 3×3 снова является матрица 3×3.

Здесь матрицы имеют одинаковые размеры, поэтому результирующая матрица также имеет одинаковую размерность 3×3.

Пример:

\(\left(\begin{array}{rrr}
1&2&-1\
3 & 2 & 0 \
-4 и 0 и 2
\end{массив}\right)\) \(\left(\begin{массив}{rrr}
3 и 4 и 2 \
0&1&0\
-2 и 0 и 1
\end{массив}\right)\)

= \(\left(\begin{массив}{rrr}
1(3)+2(0)+(-1)(-2) и 1(4)+2(1)+(-1)0 и 1(2)+2(0)+(-1)( 1)\
3(3)+2(0)+(0)(-2) и 3(4)+2(1)+(0)0 и 3(2)+2(0)+(0)(1) \ \
-4(3)+0(0)+(2)(-2) и -4(4)+0(1)+(2)0 и -4(2)+0(0)+(2)( 1)\
\end{массив}\right)\)

= \(\left(\begin{массив}{rrr}
5 и 6 и 1 \
9 и 14 и 6 \
-16&-16&-6\
\конец{массив}\справа)\)

Свойства умножения матриц

Существуют определенные свойства операции умножения матриц в линейной алгебре в математике. Эти свойства приведены ниже,

• Некоммутативный: Умножение матриц является некоммутативным, т. е. для умножения двух матриц A и B AB ≠ BA.
• Дистрибутивность: Свойство дистрибутивности можно применять при перемножении матриц, т. е. A(B + C) = AB + BC, учитывая, что A, B и C совместимы.
• Произведение со скаляром: Если произведение матриц A и B, AB определено, то c(AB) = (cA)B = A(Bc), так что c является скаляром.
• Транспонирование: Транспонирование произведения матриц A и B может быть задано как (AB) ^T = B ^T A ^T , где ^T обозначает транспонирование.
• Комплексное сопряжение: Если A и B являются комплексными элементами, то (AB) ^* = B ^* A ^*
• Ассоциативность: Умножение матриц является ассоциативным. Для трех матриц A, B и C, произведения (AB)C и A(BC) определены, тогда (AB)C = A(BC).
• Определитель:  Определитель произведения матриц есть не что иное, как произведение определителей отдельных матриц. т. е. det (AB) = det A × det B,

Нестандартное мышление:

• Используя приведенные ниже матрицы, проверьте, является ли умножение матриц коммутативным или нет.
  \( \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\\
  2 и 4 \
  \end{pmatrix} \text{and}\begin{pmatrix}
  6 и 8 \\\
  4 и 3 \
  \end{pmatrix}
  \)
• Является ли умножение матриц ассоциативным?

Важные замечания по умножению матриц:

• Для умножения матриц данные матрицы должны быть совместимы.
• Порядок матрицы произведения можно получить по следующему правилу:
  Если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n×p, то порядок матрицы произведения равен m×p.
• Умножение матриц указывает на умножение строк на столбцы.

☛ Похожие темы:

• Калькулятор умножения матриц
• Матричный калькулятор
• Калькулятор сложения матриц

Часто задаваемые вопросы по умножению матриц

Что такое умножение матриц в линейной алгебре?

Умножение матриц — одна из бинарных операций, которые можно применять к матрицам в линейной алгебре. Чтобы умножить две матрицы A и B, количество столбцов в матрице A должно быть равно количеству строк в матрице B. ⇒AB существует.

Как перемножать матрицы 3×3?

Матрицы 3×3 в математике можно умножать путем умножения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы для получения соответствующих элементов матрицы произведения.

Что такое формула умножения матриц?

Формула умножения матриц используется для выполнения умножения матриц в целом. Например, для матриц 3×3 формула выглядит следующим образом:

Можно ли перемножать матрицы порядка 2×3 и 2×2?

Нет, мы не можем умножать матрицы 2×3 и 2×2, потому что для умножая матрицы, две матрицы должны быть совместимы. Поскольку количество столбцов в первой матрице (3) не равно количеству строк во второй матрице (2), мы не можем выполнить умножение матриц для этого случая.

Какова цель умножения матриц?

Умножение матриц важно для облегчения вычислений в линейной алгебре и используется для представления линейных карт. Это важный инструмент во многих областях математики, а также в прикладной математике, статистике, физике, экономике и технике.

Чему равно произведение матриц порядков 2×1 и 2×2?

Нет, их нельзя перемножить, так как эти матрицы несовместимы. Количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы.

Когда возможно умножение матриц?

Умножение матриц возможно, только если матрицы совместимы, т. е. умножение матриц допустимо только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Всегда ли умножение матриц является коммутативным?

Умножение матриц, в отличие от арифметического умножения, не является коммутативным. Это означает, что порядок умножения матриц имеет значение.

Всегда ли определено умножение матриц?

Умножение матриц возможно только в том случае, если матрицы совместимы. Чтобы существовало умножение матриц, количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице

Объяснение урока: Свойства умножения матриц

В этом объяснении мы научимся определять свойства матрицы умножение, включая транспонирование произведения двух матриц, и как они соотносятся со свойствами умножения чисел.

Чтобы начать обсуждение свойств умножения матриц, начнем напомнив определение общей матрицы.

Определение: умножение матриц

Предположим, что 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛 и что 𝐵 — матрица с порядок 𝑛×𝑝 такой, что 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎…𝑎𝑎𝑎…𝑎⋮⋮⋱⋮𝑎𝑎…𝑎⎞⎟⎟⎠,𝐵=⎛⎜⎜⎜⎝𝏏𝑏…❑𝑏𝑏⋋⋋⋮ 𝑏…𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

Тогда произведение матрицы равно 𝐶 с порядком 𝐶 𝑚×𝑝, с формой 𝐴𝐵=⎛⎜⎜⎝𝑐𝑐…𝑐𝑐𝑐…𝑐⋮⋮⋱⋮𝑐𝑐…𝑐⎞⎟⎟⎠, где каждая запись 𝑐 представляет собой попарную сумму записи от 𝐴 и 𝐵 предоставлены 𝑐=𝑎𝑏=𝑎𝑏+⋯+𝑎𝑏.

Уже должно быть очевидно, что умножение матриц — это операция, является гораздо более строгим, чем его реальный числовой аналог. Во-первых, мы знаем что произведение матриц 𝐴𝐵 может существовать только в том случае, если 𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и 𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, что означает, что количество столбцов в 𝐴 должно совпадать с количеством строк в 𝐵.

Следует также учитывать, что многие свойства, применимые к умножение действительных чисел не применяется к матрицам. Например, для любого два действительных числа 𝑎 и 𝑏, мы имеем 𝑎𝑏=𝑏𝑎.

Это известно как свойство коммутативности .

Если бы умножение матриц также было коммутативным, это означало бы, что 𝐴𝐵=𝐵𝐴 для любых двух матриц 𝐴 и 𝐵. Предполагая, что 𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и 𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, то вычисление 𝐵𝐴 будет означает попытку объединить матрицу с порядком 𝑛×𝑝 и матрица порядка 𝑚×𝑛. Это значит, что 𝐵𝐴 корректно определено только в том случае, если 𝑚=𝑝. Сразу же это показывает нам, что умножение матриц не всегда может быть коммутативным по той простой причине, что обратный порядок не всегда может быть возможный.

Предположим, что у нас была ситуация, когда 𝑚=𝑝. Рассмотрим две матрицы 𝐴=2310809,𝐵=−6−45104.

Так как 𝐴 является матрицей 2×3 и 𝐵 — матрица 3×2, произведение 𝐴𝐵 существует и является матрицей 2×2. Продемонстрируем вычисление первой записи, где мы вычислили 2⋅(−6)+3⋅5+10⋅0=3. Мы можем продолжить это обработайте другие записи, чтобы получить следующую матрицу: 𝐴𝐵=2310809−6−45104=335−484.

Однако теперь рассмотрим умножение в обратном направлении (т.е. 𝐵𝐴). Поскольку 𝐵 — матрица 3 × 2 и 𝐴 — матрица 2×3, результатом будет Матрица 3×3. Для первой записи имеем где мы вычислили (−6)⋅2+(−4)⋅8=−44. Повторение этого процесса для остальных записей получаем 𝐵𝐴=−6−451042310809=−44−18−9618155932036.

Итак, хотя и 𝐴𝐵, и 𝐵𝐴 в порядке определены, две матрицы имеют порядок 2 × 2 и 3×3 соответственно, а это означает, что они не могут быть равны. В на самом деле, единственная ситуация, в которой приказы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 может быть равно, когда 𝐴 и 𝐵 являются квадратными матрицами одного порядка (т. е. когда 𝐴 и 𝐵 оба имеют порядок 𝑛×𝑛). Однако даже в этом случае нет гарантии, что 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 будет равно. Это общее свойство матрицы умножение, которое мы сформулируем ниже.

Свойство: некоммутативность матричного умножения

Если 𝐴 и 𝐵 матрицы порядков 𝑚×𝑛 и 𝑛×𝑚 соответственно, то обычно 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Другими словами, умножение матриц является некоммутативным .

Заметим, что хотя возможно, что матрицы могут коммутировать при определенных условиях, как правило, это не так. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько примеров, чтобы продемонстрировать некоммутативность матрицы умножение. В первом примере определим произведение двух квадратных матриц в обоих направлениях и сравнить их результаты.

Пример 1. Вычисление произведения двух матриц в обоих направлениях

Учитывая, что 𝐴=−422−4,𝐵=−3−3−11, найти 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴.

Ответ

В этом примере мы хотим определить матричное умножение двух Матрицы 2×2 в обоих направлениях.

Поскольку и 𝐴, и 𝐵 имеют порядок 2×2, их произведение в любом направлении будет иметь заказ 2×2. Рассмотрим расчет первый элемент матрицы 𝐴𝐵. У нас есть

, где мы вычислили (−4)⋅(−3)+2⋅(−1)=10. Мы продолжайте делать это для каждой записи 𝐴𝐵, что дает нам следующую матрицу: 𝐴𝐵=−422−4−3−3−11=1014−2−10.

Осталось вычислить 𝐵𝐴, что мы и можем сделать, поменяв местами матрицы вокруг, давая нам 𝐵𝐴=−3−3−11−422−4=666−6.

Заметим, что 𝐴𝐵 не равно 𝐵𝐴, означает, что в этом случае умножение не коммутирует.

Рассмотрим другой пример, где мы проверяем, меняется ли порядок умножение матриц дает тот же результат.

Пример 2. Проверка коммутативности умножения двух матриц

Рассмотрим матрицы 2×2 𝐴=1100 и 𝐵=0101. 𝐴𝐵=𝐵𝐴?

Ответ

В этом примере мы хотим определить матричное умножение двух Матрицы 2×2 в обоих направлениях для проверки коммутативность матричного умножения.

Вычисление умножения в одном направлении дает нам 𝐴𝐵=11000101=0200.

Между тем вычисление в другом направлении дает нам 𝐵𝐴=01011100=0000.

Если мы рассмотрим запись (1,2) обоих матрицы, мы видим, что 2 ≠ 0, что означает, что две матрицы не равны. Следовательно, 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Увидев два примера, где умножение матриц не является коммутативным, мы могли бы задаться вопросом, существуют ли матрицы, которые коммутируют друг с другом. Напомним конкретный класс матриц, для которых это может иметь место.

Определение: диагональная матрица

Предположим, что 𝐴=𝑎 — квадратная матрица. (т.е. матрица порядка 𝑛×𝑛). Тогда 𝐴 — диагональная матрица если все записи вне главной диагонали равны нулю, или, другими словами, если 𝑎=0 для 𝑖≠𝑗. То есть матрицы такого типа имеют следующий вид: 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎0⋯00𝑎⋯0⋮⋱⋮00⋯𝑎⎞⎟⎟⎠.

В случаях 2×2 и 3×3 (которые мы будем преимущественно рассматривать в этом объяснении), диагональные матрицы принимают формы 𝐴=𝑎00𝑎,𝐴=𝑎000𝑎000𝑎.

Теперь в следующем примере мы покажем, что хотя умножение матриц некоммутативна вообще, на самом деле она коммутативна для диагональных матриц. В в частности, мы будем рассматривать диагональные матрицы 2×2.

Пример 3. Проверка утверждения о коммутативности матриц

Верно или неверно: если 𝐴 и 𝐵 оба матрицы 2×2, то 𝐴𝐵 никогда не бывает одинаковым как 𝐵𝐴.

Ответ

В этом примере мы хотим определить, является ли утверждение относительно возможность коммутативности при умножении матриц истинна или ложна.

Чтобы доказать, что утверждение ложно, нам нужно найти только один пример, где это не держится. Для этого рассмотрим два произвольных диагональные матрицы 𝐴 и 𝐵 (т.е. матрицы, у которых все недиагональные элементы равны нулю): 𝐴=1002, 𝐵=300−1.

Вычисление 𝐴𝐵, находим 𝐴𝐵=1002300−1=300−2.

Далее, если мы вычислим 𝐵𝐴, мы найдем 𝐵𝐴=300−11002=300−2.

Таким образом, поскольку обе матрицы имеют одинаковый порядок и все их элементы равны, имеем 𝐴𝐵=𝐵𝐴. Это доказывает, что утверждение неверно: 𝐴𝐵 может быть таким же, как 𝐵𝐴.

Продемонстрированное выше явление не является уникальным для матриц 𝐴 и 𝐵 мы использовали в примере, и мы можем на самом деле обобщить этот результат, чтобы сделать утверждение о всех диагональных матрицы.

Свойство: коммутативность диагональных матриц

Если 𝐴 и 𝐵 являются диагональными матрицами с порядка 𝑛×𝑛, то две матрицы коммутируют. В другими словами, 𝐴𝐵=𝐵𝐴.

Чтобы доказать это для случая 2×2, рассмотрим два диагональные матрицы 𝐴 и 𝐵: 𝐴=𝑎00𝑎,𝐵=𝑏00𝑏.

Тогда их произведения в обоих направлениях равны 𝐴𝐵=𝑎00𝑎𝑏00𝑏𝐵𝐴=𝑏00𝑏𝑎00𝑎=𝑎𝑏00𝑎𝑏,=𝑏𝑎𝑎.00  

Таким образом, 𝐴𝐵=𝐵𝐴 для любых двух 2×2 диагональные матрицы. Обратите внимание, что произведение двух диагональных матриц всегда приводит к диагональной матрице, где каждая диагональная запись является произведением два соответствующих диагональных элемента из исходных матриц. Таким образом, легко представить, как это может быть расширено за пределы 2×2 случай.

Важно отметить, что это свойство выполняется только тогда, когда обе матрицы являются диагональными. Например, рассмотрим две матрицы 𝐴=700−3,𝐵=−10583, где 𝐴 — диагональная матрица, а 𝐵 — не диагональная матрица. В данном случае мы находим, что 𝐴𝐵=−7035−24−9,𝐵𝐴=−70−1556−9.

Таким образом, хотя диагональные элементы в конечном итоге равны, недиагональные записи не являются, поэтому 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Несмотря на то, что свойство коммутативности может выполняться не для всех диагональные матрицы в паре с недиагональными матрицами, на самом деле существуют определенные типы диагональных матриц, которые могут коммутировать с любой другой матрицей того же заказ. Давайте рассмотрим частный случай этого: тождественная матрица .

Определение: Единичная матрица

Единичная матрица (также известная как единичная матрица) представляет собой диагональную матрицу, в которой все диагональных элементов равны 1. Другими словами, единичные матрицы принимают вид 𝐼=⎛⎜⎜⎝10⋯001⋯0⋮⋱⋮00⋯1⎞⎟⎟⎠, где 𝐼 обозначает единичную матрицу порядка 𝑛×𝑛 (если размер указывать не нужно, Вместо этого часто используется 𝐼).

В большинстве случаев, которые мы будем рассматривать, единичные матрицы принимать формы 𝐼=1001,𝐼=100010001,𝐼=⎛⎜⎜⎝1000010000100001⎞⎟⎟⎠.

Ключевое свойство единичных матриц состоит в том, что они коммутируют с любой матрицей 𝐴 того же порядка. Однако у них есть и более мощное свойство, которое мы продемонстрируем в следующем примере.

Пример 4. Расчет матричных произведений с использованием единичной матрицы

Учитывая, что 𝐴=−14−111 и 𝐼 является единичной матрицей заказать как 𝐴, найти 𝐴×𝐼 и 𝐼×𝐼.

Ответ

Напомним, что единичная матрица — это диагональная матрица, в которой все диагональные записей 1. Учитывая, что 𝐴 является Матрица 2 × 2 и что единичная матрица имеет размер того же порядка, что и 𝐴, поэтому 𝐼 является Матрица 2 × 2 вида 𝐼=1001.

Нас попросили найти 𝐴×𝐼 и 𝐼×𝐼, поэтому давайте найдем их, используя матрицу умножение. Во-первых, у нас есть 𝐴×𝐼=−14−1111001=−14−111=𝐴.

Далее имеем 𝐼×𝐼=10011001=1001=𝐼.

Итак, мы показали, что 𝐴×𝐼=𝐴 и 𝐼×𝐼=𝐼.

Последний пример показал, что произведение произвольной матрицы на тождественная матрица привела к той же самой матрице и что произведение единичная матрица сама с собой была также единичной матрицей. В самом деле, если бы мы вычислив 𝐼𝐴, мы бы точно так же обнаружили, что 𝐼×𝐴=1001−14−111=−14−111=𝐴.

Таким образом, 𝐴𝐼=𝐼𝐴=𝐴 означает, что не только матрицы коммутировать, но произведение также равно 𝐴 в обоих случаях.

Можно заметить, что это свойство похоже на свойство числа 1. (иногда называемое мультипликативным тождеством). Для действительных чисел, а именно для любого действительного числа 𝑎 мы имеем 𝑎⋅1=1⋅𝑎=𝑎.

На самом деле это свойство работает почти так же для идентификации матрицы.

Свойство: Мультипликативное тождество для матриц

Единичная матрица 𝐼 является мультипликативной идентичностью для умножение матриц. То есть для любой матрицы 𝐴 порядка 𝑚×𝑛, тогда 𝐴𝐼=𝐼𝐴=𝐴, где 𝐼 и 𝐼 — 𝑛×𝑛 и 𝑚×𝑚 единичные матрицы соответственно.

Отметим, что использованные выше порядки единичных матриц выбраны чисто так. что умножение матриц корректно определено. В случае, если 𝐴 — квадратная матрица, 𝑚=𝑛, поэтому 𝐼=𝐼.

Докажем это свойство для случая 2×2 следующим образом: учитывая общую матрицу 2 × 2 𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎.

Если мы вычислим произведение этой матрицы на единичную матрицу 𝐼, мы находим, что 𝐴𝐼=𝑎𝑎𝑎𝑎1001=𝑎𝑎𝑎𝑎=𝐴.

3 𝐼=𝐼𝐴=𝐴 для любого матрица 2×2 𝐴, и она равна можно показать это для случаев более высокого порядка.

До сих пор мы обнаружили, что, несмотря на то, что коммутативность является свойством умножение действительных чисел, это свойство не переносится на умножение матриц. Однако, несмотря на то, что это конкретное свойство не верно, существуют и другие свойства умножения действительных чисел которые мы можем применить к матрицам. Рассмотрим их сейчас.

Напомним, что для любых действительных чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐, у нас есть (𝑎𝑏)𝑐=𝑎(𝑏𝑐).

Это известно как ассоциативное свойство . Ассоциативное свойство означает, что в ситуациях, когда нам нужно выполнить умножение дважды, мы можем выбрать, в каком порядке это делать; мы можем найти 𝑎𝑏, тогда умножьте это на 𝑐, или мы можем найти 𝑏𝑐 и умножить на 𝑎, и оба ответа будут одинаковыми.

Чтобы выяснить, применимо ли это свойство к умножению матриц, давайте рассмотрим пример, связанный с умножением трех матриц.

Пример 5. Исследование ассоциативного свойства матричного умножения

Учитывая, что 𝐴=03−216−1,𝐵=−5−614,𝐶=−304−2, правда ли, что (𝐴𝐵)𝐶=𝐴(𝐵𝐶)?

Ответ

В этом примере нам нужно вычислить произведение трех матрицы двух возможных порядков; либо мы можем вычислить 𝐴𝐵, а затем умножьте его справа на 𝐶, или мы можем вычислить 𝐵𝐶 и умножить это слева от 𝐴.

Начнем с поиска 𝐴𝐵. Так как 𝐴 3×2 и 𝐵 2×2, 𝐴𝐵 будет Матрица 3×2. Для демонстрации процесса возьмем детали умножения для первой строки. У нас есть

, где мы вычислили 0⋅(−5)+3⋅1=3. Для следующей записи в в строке у нас есть

, так как 0⋅(−6)+3⋅4=12. Повторение этого процесса для каждой записи в 𝐴𝐵 мы получаем 𝐴𝐵=03−216−1−5−614=3121116−31−40.

Далее, чтобы найти (𝐴𝐵)𝐶, мы умножаем эту матрицу справа от 𝐶. Это дает нам (𝐴𝐵)𝐶=3121116−31−40−304−2=39−2431−32−6780.

Теперь нам нужно найти 𝐴(𝐵𝐶), что означает, что мы необходимо сначала вычислить 𝐵𝐶 (2×2 матрица). Это дает нам 𝐵𝐶=−5−614−304−2=−91213−8.

Затем, чтобы найти 𝐴(𝐵𝐶), мы умножаем это на слева 𝐴. Это дает нам 𝐴(𝐵𝐶)=03−216−1−91213−8=39−2431−32−6780.

В заключение мы видим, что матрицы, которые мы вычислили для (𝐴𝐵)𝐶 и 𝐴(𝐵𝐶) эквивалентны. Таким образом, мы можем заключить, что свойство ассоциативности выполнено и заданное утверждение верно.

Как мы видели в предыдущем примере, матричная ассоциативность сохраняется для три произвольно выбранные матрицы. По сути, это общий свойство, справедливое для всех возможных матриц, для которых умножение справедливо (хотя полное доказательство этого довольно громоздко и не особенно поучительно, поэтому мы не будем его здесь освещать).

Свойство: ассоциативность матричного умножения

Пусть 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛, 𝐵 — матрица порядка 𝑛×𝑝, и 𝐶 — матрица порядка 𝑝×𝑞. Тогда у нас есть (𝐴𝐵)𝐶=𝐴(𝐵𝐶).

Другими словами, умножение матриц ассоциативно.

Пока мы изучаем свойства умножения матриц и эквивалентны ли они умножению действительных чисел, давайте Рассмотрим еще одно полезное свойство.

Напомним, что для любых действительных чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐 имеем 𝑎(𝑏+𝑐)=𝑎𝑏+𝑎𝑐.

Это известно как свойство дистрибутива , и оно предоставляет нам простой способ расширения скобок в выражениях. На самом деле у нас есть уже видели, что это свойство выполняется для скалярного умножения матрицы. Напомним, что скалярное умножение матриц можно определить как следует.

Определение: Скалярное умножение

Для матрицы порядка 𝑚×𝑛, определяемой формулой 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎…𝑎𝑎𝑎…𝑎⋮⋮⋱⋮𝑎𝑎…𝑎⎞⎟⎟⎠, скаляр, кратный 𝐴 на константу 𝑘 находится путем умножения каждой записи 𝐴 на 𝑘, или, другими словами, 𝑘𝐴=⎛⎜⎜⎜⎝𝑘𝑎𝑘𝑎…𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘𝑎…𝑘𝑎⋮⋮⋱⋮𝑘𝑎𝑘𝑎…𝑘𝑎⎞⎟⎊ 

Как мы видели, свойство дистрибутивности выполняется для скалярного умножения так же, как и для действительных чисел: а именно, если задан скаляр 𝑎 и две матрицы 𝐵 и 𝐶 того же порядка имеем 𝑎(𝐵+𝐶)=𝑎𝐵+𝑎𝐶.

Что касается полного умножения матриц, мы можем подтвердить, что это действительно так. что дистрибутивное свойство все еще сохраняется, что приводит к следующему результату.

Свойство: дистрибутивность умножения матриц

Пусть 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛 и 𝐵 и 𝐶 — матрицы порядка 𝑛×𝑝. Тогда у нас есть 𝐴(𝐵+𝐶)=𝐴𝐵+𝐴𝐶.

Другими словами, умножение матриц является дистрибутивным по отношению к матрице добавление.

Важно знать порядок матриц, приведенный выше. свойство, так как и сложение 𝐵+𝐶, и умножения 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 и 𝐴(𝐵+𝐶) должны быть четко определены.

Обратите внимание, что, как и в случае с ассоциативностью, конкретное доказательство более занимает больше времени, чем интересно, так как это всего лишь случай, чтобы доказать это запись за записью, используя определения матричного умножения и сложения.

Давайте рассмотрим пример, где мы можем увидеть применение дистрибутивное свойство матриц.

Пример 6. Исследование распределительного свойства матрицы Умножение над сложением

Предположим, что 𝐴=1−3−42, 𝐵=201−1 и 𝐶=01−30.

1. Найдите 𝐴𝐵.
2. Найдите 𝐴𝐶.
3. Найти 𝐴(2𝐵+7𝐶).
4. Экспресс 𝐴(2𝐵+7𝐶) в пересчете на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶.

Ответ

Часть 1

Для начала нас попросили вычислить 𝐴𝐵, что мы можем сделать, используя матричное умножение. 𝐴 и 𝐵 — матрицы 2×2, поэтому их произведение также будет матрицей 2×2. Демонстрировать расчет нижней левой записи, мы имеем

, где мы вычислили (−4)⋅2+2⋅1=−6. Повторяем это для оставшихся записи, мы получаем 𝐴𝐵=1−3−42201−1=−13−6−2.

Часть 2

Мы можем рассчитать 𝐴𝐶 почти так же, как мы это сделали 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 также будет Матрица 2 × 2, поскольку 𝐴 и 𝐶 обе матрицы 2×2. Выполняя умножение матриц, получаем 𝐴𝐶=1−3−4201−30=91−6−4.

Часть 3

Для следующей части нас попросили найти 𝐴(2𝐵+7𝐶). Чтобы вычислить это непосредственно, мы необходимо сначала найти скалярные множители 𝐵 и 𝐶, а именно 2𝐵 и 7𝐶. Мы делаем это, умножая каждый элемент матрицы на соответствующий скаляр. Таким образом, у нас есть 2𝐵=2201−17𝐶=701−30=402−2,=07−210.

Следующим шагом является добавление матриц с помощью сложения матриц. Мы делаем это по добавление записей в одних и тех же позициях вместе. Это дает нам 2𝐵+7𝐶=402−2+07−210=47−19−2.

Наконец, чтобы найти 𝐴(2𝐵+7𝐶), мы умножаем эту матрицу на 𝐴. Как и прежде, мы получим Матрица 2×2, так как мы берем произведение двух Матрицы 2×2. Мы получаем 𝐴(2𝐵+7𝐶)=1−3−4247−19−2=6113−54−32.

Часть 4

В заключительной части мы должны выразить 𝐴(2𝐵+7𝐶) через 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. Самый простой способ сделать это — использовать распределительное свойство матричного умножения. То есть для матриц 𝐴, 𝑋 и 𝑌 соответствующих Заказ, у нас есть 𝐴(𝑋+𝑌)=𝐴𝑋+𝐴𝑌.

В этом случае, если мы подставим 𝑋=2𝐵 и 𝑌=7𝐶, мы находим, что 𝐴(2𝐵+7𝐶)=𝐴(2𝐵)+𝐴(7𝐶)=2𝐴𝐵+7𝐴𝐶.

Таким образом, мы выразили 𝐴(2𝐵+7𝐶) через из 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. Тем не менее, мы можем хотим убедиться, что наше решение верно и что законы дистрибутивность держится. Поскольку мы уже вычислили 𝐴(2𝐵+7𝐶), 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в предыдущих частях это должно быть довольно легко сделать этот. 2𝐴𝐵 и 7𝐴𝐶 можно найти с помощью скалярное умножение 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶; то есть, 2𝐴𝐵=2−13−6−27𝐴𝐶=791−6−4=−26−12−4,=637−42−28.

Наконец, мы можем сложить эти две матрицы вместе, используя сложение матриц, чтобы получить 2𝐴𝐵+7𝐴𝐶=−26−12−4+637−42−28=6113−54−32.

Так как это соответствует матрице 𝐴(2𝐵+7𝐶), которые мы вычислили в предыдущем часть, мы можем подтвердить, что наше решение действительно правильное: 𝐴(2𝐵+7𝐶)=2𝐴𝐵+7𝐴𝐶.

В заключительной части этого объяснения мы рассмотрим, как матрица транспонируется взаимодействует с умножением матриц. Начнем с того, что напомним определение.

Определение: транспонирование матрицы

Предположим, что 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛. Транспонирование матрицы 𝐴 является оператор, переворачивающий матрицу по ее диагонали. Другими словами, он переключает индексы строк и столбцов матрицы. Эта операция создает другую матрицу порядок 𝑛×𝑚 обозначается 𝐴.

Если 𝑎 элементы матрицы 𝐴 с 𝑖=1,…,𝑚 и 𝑗=1,…,𝑛, то 𝑎 — элементы 𝐴, и он принимает форму 𝐴=⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎⋯𝑎𝑎𝑎⋯𝑎⋮⋮⋱⋮𝑎𝑎⋯𝑎⎞⎟⎟⎠. 

Например, рассмотрим матрицу 2×3 𝐴=5681−29.

Транспонирование этой матрицы 𝐴 следующее Матрица 3×2: 𝐴=516−289.

Как оказалось, матричное умножение и матричное транспонирование имеют интересное свойство при сочетании, которое мы рассмотрим в теореме ниже.

Свойство: умножение матриц и транспонирование

Предположим, что 𝐴 — матрица порядка 𝑚×𝑛 а 𝐵 — матрица порядка 𝑛×𝑝, гарантируя, что произведение матриц 𝐴𝐵 корректно определено. транспонировать 𝐴 и 𝐵 — матрицы 𝐴 и 𝐵 заказов 𝑛×𝑚 и 𝑝×𝑛 соответственно, поэтому их произведение в обратном направлении 𝐵𝐴 равно также хорошо определены.

Умножение матриц в сочетании с транспонированием удовлетворяет следующему свойству: (𝐴𝐵)=𝐵𝐴.

Еще раз, мы не будем включать полное доказательство этого, так как оно просто включает используя определения умножения и транспонирования по записи основа.

В последнем примере мы продемонстрируем свойство транспонирования матрицы умножение на заданное произведение.

Пример 7. Свойства умножения и транспонирования матрицы

Учитывая, что 𝐵𝐴=8−4−7−5, что такое 𝐴𝐵?

Ответ

В этом примере мы хотим определить произведение транспонирования двух матрицы, учитывая информацию об их произведении.

Напомним, что транспонирование матрицы 𝑚×𝑛 переключает строки и столбцы, чтобы создать другую матрицу порядка 𝑛×𝑚. Умножение матриц в сочетании с транспонирование удовлетворяет свойству (𝐵𝐴)=𝐴𝐵.

Следовательно, для расчета произведения 𝐴𝐵, нам просто нужно транспонировать 𝐵𝐴 с помощью этого свойства.

Отсюда имеем 𝐴𝐵=(𝐵𝐴)=8−4−7−5=8−7−4−5.

Давайте закончим повторением свойств умножения матриц, которые мы узнали в ходе этого объяснителя.

Ключевые моменты

• Умножение матриц в общем случае не является коммутативным; то есть, 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.
• Если 𝐴 и 𝐵 являются диагональными матрицами того же порядка, то 𝐴𝐵=𝐵𝐴.
• Единичная матрица 𝐼 — это диагональная матрица с 1 за каждый вход по диагонали. Матрицы идентичности (до порядка 4) принимают показанные формы ниже: 𝐼=1001,𝐼=100010001,𝐼=⎛⎜⎜⎝1000010000100001⎞⎟⎟⎠.
• является квадратной матрицей того же порядка, то 𝐴𝐼=𝐼𝐴=𝐴.
• Умножение матриц ассоциативно; то есть для действительных матриц 𝐴, 𝐵 и 𝐶 имеем (𝐴𝐵)𝐶=𝐴(𝐵𝐶).
• Умножение матриц является распределительным над сложением, поэтому для допустимых матриц 𝐴, 𝐵 и 𝐶 имеем 𝐴(𝐵+𝐶)=𝐴𝐵+𝐴𝐶.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Пептидный крем против морщин Cos De Baha Peptide Cream Matrixyl 3000&Argireline (45 мл)

610 грн 480 грн

В наличии

Количество Пептидный крем против морщин Cos De Baha Peptide Cream Matrixyl 3000&Argireline (45 мл)

В корзине

• Описание
• Детали
• Отзывы (3)

Описание

Пептидный крем против морщин Cos De Baha Peptide Cream Matrixyl 3000&Argireline оказывает интенсивное омолаживающее действие, разглаживает рельеф и повышает тонус.
Борется с тусклостью и укрепляет кожу, делает ее более плотной, бархатистой и гладкой. Замедляет процессы старения и предотвращает появление преждевременных возрастных изменений.
Крем отлично увлажняет и питает кожу, повышает упругость и эластичность и укрепляет защитный липидный барьер.

Средство содержит запатентованные пептидные комплексы:

Matrixyl3000 содержит матрикины, которые являются месенжерами регенерации и реструктуризации кожи. Эти пептиды активируют синтез коллагена, что обеспечивает эффективное воздействие против морщин. Матрикины – сигнальные молекулы, регулирующие активность клеток через взаимодействие со специфичными рецепторами. Это запускает экспрессию генов, участвующих в обновлении внеклеточного матрикса и клеточной пролиферации. Синтез внеклеточного матрикса и пролиферация клеток — это именно те процессы, эффективность которых ослабевает с возрастом.

Argireline — расслабляет мимические морщины, является безопасной альтернативой ботоксу. Аргирелин способен после нанесения на кожу проникать в базальный слой эпидермиса, в окончания нервных терминалов, где он осуществляет модуляцию мышечных сокращений, расслабляя мышцы.

Таким образом, ослабляя сокращения мышц, аргирелин устраняет основную причину возникновения мимических морщин. В результате устраняются мимические морщины на лбу, во внешних уголках глаз, около рта. Разглаживаются глубокие морщины и предотвращается появление новых.

Крем также содержит:

Ниацинамид способствует стимуляции синтеза коллагена и улучшению защитных функций кожи, помогает снизить трансэпидермальную потерю влаги из кожи и снизить пигментацию, смягчает, повышает эластичность кожи, увлажняет, сужает поры, успокаивает, эффективен при использовании для чувствительной кожи, осветляет.

Гиалуроновая кислота отвечает за глубокое увлажнение кожи и поддержание на оптимальном уровне естественного ph-баланса кожи. Гиалуроновая кислота образует на кожу неосязаемый защитный слой, который препятствует испарению влаги и дарит комфортное ощущение свежести и увлажненности на лице.

Аллантоин смягчает, интенсивно увлажняет кожу, способствует сужению пор и нормализации выработки кожного сала, успокаивает раздраженную кожу.

Комплекс цветочных и растительных экстрактов оказывает тонизирующий и успокаивающий эффект. Обладает мощными успокаивающими свойствами, насыщает кожу полезными компонентами, смягчает кожу, лучшает цвет лица.

Подходит для всех типов кожи

Способ применения: нанесите необходимое количество средства в качестве завершающего этапа ухода

Объем — 45 мл

Детали

Отзывы (3)

Вам так же будет интересно

• Антивозрастной капсульный крем с экстрактом золотого шелкопряда Medi-Peel Gold Age Tox Cream (50 мл)

  MEDI-PEEL 755 грн

• Пилинг-гель с экстрактом тыквы Ample:N Purifying Shot Pumpkin Enzyme Peeling Gel (100 мл)

  Ample N 390 грн

• Водостойкий солнцезащитный флюид для лица и тела Ottie UV Defense Sun Fluid SPF43/PA++ (50 мл)

  Ottie 390 грн

• Осветляющая сыворотка с витамином С и галактомисисом Some By Mi Galactomyces Pure Vitamin C Glow Serum (30 мл)

  Some by mi 620 грн

• Салфетки для очищения пор (аналог Ciracle) TIAM Blackhead Out Sheet (35 шт)

  Tiam 455 грн 405 грн

• Крем для сужения пор и контроль себума Jumiso PORE-REST LHA Sebum Control Facial Cream (50 мл)

  Jumiso 650 грн

• Сыворотка-клей для посеченных кончиков Lador Keratin Power Glue (15 мл)

  Lador 70 грн

• Пилинг для кожи головы Masil 7 Sparkling Scalp Bubble Tick (150 мл)

  Masil 460 грн

• Увлажняющий крем с витамином В5 TIAM My Signature Panthenol Moist Cream (50 мл)

  Tiam 550 грн

• Крем с экстрактом муцина улитки Jumiso Snail EX Ultimate Barrier Facial Cream (100 мл)

  Jumiso 690 грн

• Осветляющий крем с витамином С и ниацинамидом ISNTREE C-Niacin Toning Cream (50 мл)

  IsnTree 480 грн

• Низкокислотный очищающий гель для умывания лица CosRX Low pH Good Morning Gel Cleanser (150 мл)

  COSRX 450 грн

Cos 480 градусов — Найдите значение Cos 480 градусов

LearnPracticeDownload

Значение cos 480 градусов равно -0,5 . Cos 480 градусов в радианах записывается как cos (480° × π/180°), то есть cos (8π/3) или cos (8,377580…). В этой статье мы обсудим способы нахождения значения cos 480 градусов на примерах.

• Cos 480°: -0,5
• Cos 480° в дробях: -(1/2)
• Cos (-480 градусов): -0,5
• Cos 480° в радианах: cos (8π/3) или cos (8,3775804 . . .)

Каково значение Cos 480 градусов?

Значение cos 480 градусов в десятичной системе равно -0,5. Cos 480 градусов также можно выразить с помощью эквивалента заданного угла (480 градусов) в радианах (8,37758 . . .)

Мы знаем, используя преобразование градусов в радианы, что θ в радианах = θ в градусах × (pi/180° )
⇒ 480 градусов = 480° × (π/180°) рад = 8π/3 или 8,3775 . . .
∴ cos 480° = cos(8,3775) = -(1/2) или -0,5

Объяснение:

Для cos 480° угол 480° > 360°. Учитывая периодическое свойство функции косинуса, мы можем представить ее как cos(480° mod 360°) = cos(120°). Угол 480°, котерминальный углу 120°, расположен во втором квадранте (квадрант II).
Поскольку функция косинуса во 2-м квадранте отрицательна, значение cos 480 градусов = -(1/2) или -0,5
Аналогично, cos 480° также можно записать как cos 480 градусов = (480° + n × 360°), n ∈ Z.
⇒ cos 480° = cos 840° = cos 1200° и так далее.
Примечание: Поскольку косинус является четной функцией, значение cos(-480°) = cos(480°).

Методы определения значения косинуса 480 градусов

Функция косинуса отрицательна во 2-м квадранте. Значение cos 480° указано как -0,5. Мы можем найти значение cos 480 градусов по:

• Используя тригонометрические функции
• Использование единичного круга

Cos 480° в терминах тригонометрических функций

Используя формулы тригонометрии, мы можем представить косинус 480 градусов как:

• ± √(1-sin²(480°))
• ± 1/√(1 + tan²(480°))
• ± кроватка 480°/√(1 + кроватка²(480°))
• ±√(косек²(480°) — 1)/косек 480°
• 1/сек 480°

Примечание. Поскольку 480° лежит во 2-м квадранте, окончательное значение cos 480° будет отрицательным.

Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления cos 480° как

• -cos(180° — 480°) = -cos(-300°)
• -cos(180° + 480°) = -cos 660°
• sin(90° + 480°) = sin 570°
• sin(90° — 480°) = sin(-390°)

Косинус 480 градусов с использованием единичной окружности

Чтобы найти значение косинуса 480 градусов с помощью единичной окружности, представьте 480° в виде (1 × 360°) + 120° [∵ 480°>360°] ∵ косинус периодическая функция, cos 480° = cos 120°.

• Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол 120° или 480° с положительной осью x.
• Космос 480 градусов равен координате x (-0,5) точки пересечения (-0,5, 0,866) единичной окружности и r.

Отсюда значение cos 480° = x = -0,5

☛ Также проверьте:

• cos 210 градусов
• потому что 45 градусов
• потому что 240 градусов
• потому что 390 градусов
• потому что 195 градусов
• потому что 48 градусов

Примеры использования Cos 480 градусов

1. Пример 1: Используя значение cos 480°, решите: (1-sin²(480°)).

   Решение:

   Мы знаем, (1-sin²(480°)) = (cos²(480°)) = 0,25
   ⇒ (1-sin²(480°)) = 0,25

2. Пример 2: Найдите значение cos 480°, если sec 480° равно -2.

   Решение:

   Так как cos 480° = 1/сек 480°
   ⇒ cos 480° = 1/(-2) = -0,5

3. Пример 3: Упростить: 3 (cos 480°/sin 570°)

   Решение:

   Мы знаем, что cos 480° = sin 570°
   ⇒ 3 cos 480°/sin 570° = 3 (cos 480°/cos 480°)
   = 3(1) = 3

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о Cos 480 Degrees

Что такое Cos 480 Degrees?

Cos 480 градусов — значение тригонометрической функции косинуса для угла, равного 480 градусам. Значение cos 480° составляет -(1/2) или -0,5

Каково значение Cos 480° в пересчете на Cosec 480°?

Поскольку функцию косинуса можно представить с помощью функции косеканса, мы можем записать cos 480° как -[√(cosec²(480°) — 1)/cosec 480°]. Значение cosec 480° равно 1,15470.

Каково значение Cos 480 градусов относительно Tan 480°?

Мы знаем, что, используя тригонометрические тождества, мы можем записать cos 480° как -1/√(1 + tan²(480°)). Здесь значение тангенса 480° равно -1,732050.

Как найти косинус 480° с точки зрения других тригонометрических функций?

Используя формулу тригонометрии, значение cos 480° может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:

• ± √(1-sin²(480°))
• ± 1/√(1 + tan²(480°))
• ± раскладушка 480°/√(1 + раскладушка²(480°))
• ± √(косек²(480°) — 1)/косек 480°
• 1/сек 480°

☛ Также проверьте: тригонометрическую таблицу

Как найти значение Cos 480 градусов?

Значение cos 480 градусов можно рассчитать, построив угол 480° с осью x и затем найдя координаты соответствующей точки (-0,5, 0,866) на единичной окружности. Значение cos 480° равно координате x (-0,5). ∴ cos 480° = -0,5.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Тригонометрия

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Mathway | Популярные проблемы

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктический(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc (45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	соз(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек (45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найдите точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32	Преобразование градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	соз(45)
34	Упростить	sin(тета)^2+cos(тета)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктический(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	желтовато-коричневый (пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найдите точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	соз(210)
52	Найти точное значение	сек (60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найдите точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 шт. Уравнение с степенью 4: Решение уравнений четвертой степени alexxlab / 11.07.202305.05.2023 / Разное Решение уравнений четвертой степени Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее. Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению. Решение двучленного уравнения четвертой степени Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0. Определение 1 Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения: Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0 Остается лишь найти корни квадратных трехчленов. Пример 1 Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0. Решение Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители: 4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1) Теперь найдем корни квадратных трехчленов. Первого: 2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i Второго: 2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i Мы получили четыре комплексных корня. Ответ: x=12±i и x=-12±i. Решение возвратного уравнения четвертой степени Определение 2 Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0 х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения: Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0 Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2: Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0 Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению. Пример 2 Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0. Решение Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2: 2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0 Проведем группировку: 2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0 Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2 2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0 Решим полученное квадратное уравнение: D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3 Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3. Решим первое уравнение: x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144 Решим второе уравнение: x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12 Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12. Решение биквадратного уравнения Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием. Пример 3 Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0. Решение Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному: 2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3 Следовательно, x2=12 или x2=-3. Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3. Ответ: x=±12 и x=±i·3. Пример 4 Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0. Решение Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному: 16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9 Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9. Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i. Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней». Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом. Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени. Пример 5 Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0. Решение Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения. Составим и решим кубическое уравнение: y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0 Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0. Запишем два квадратных уравнения: x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0 x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0 x2+2x+3=0 или x2+x-2=0 Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2. Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2. Автор: Ирина Мальцевская Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта Решение уравнений четвертой степени Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее. Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению. Решение двучленного уравнения четвертой степени Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0. Определение 1 Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения: Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0 Остается лишь найти корни квадратных трехчленов. Пример 1 Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0. Решение Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители: 4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1) Теперь найдем корни квадратных трехчленов. Первого: 2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i Второго: 2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i Мы получили четыре комплексных корня. Ответ: x=12±i и x=-12±i. Решение возвратного уравнения четвертой степени Определение 2 Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0 х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения: Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0 Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2: Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0 Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению. Пример 2 Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0. Решение Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2: 2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0 Проведем группировку: 2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0 Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2 2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0 Решим полученное квадратное уравнение: D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3 Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3. Решим первое уравнение: x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144 Решим второе уравнение: x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12 Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12. Решение биквадратного уравнения Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием. Пример 3 Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0. Решение Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному: 2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3 Следовательно, x2=12 или x2=-3. Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3. Ответ: x=±12 и x=±i·3. Пример 4 Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0. Решение Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному: 16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9 Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9. Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i. Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней». Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом. Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени. Пример 5 Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0. Решение Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения. Составим и решим кубическое уравнение: y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0 Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0. Запишем два квадратных уравнения: x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0 x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0 x2+2x+3=0 или x2+x-2=0 Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2. Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2. Автор: Ирина Мальцевская Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта Предварительное исчисление алгебры — Существует ли общая формула для решения уравнений четвертой степени (степень $4$)? Наверняка есть, но уродливое, сложное и не стоит запоминать. Люди знают об этом и цитировали или цитировали это для вас, но на самом деле они никогда не использовали бы это. Если вам нужно что-то действительно полезное для бумажных решений, вы можете понять реальную теорию, лежащую в основе решения. Я предоставлю один метод ниже. Формула четвертой степени — это всего лишь конечный результат этой методологии, записанный в терминах исходных коэффициентов. Из-за этого метод гораздо легче запомнить, чем формулу, поэтому меня раздражает, когда люди приводят только формулу и говорят вам: «Не беспокойтесь, используйте вместо этого компьютер». Решение с ручкой и бумагой не сложное, оно просто требует времени. Понимание того, как это делается, даже если вы никогда этим не пользуетесь, расширяет ваш мозг и ваше понимание, позволяет реализовать это в программировании и позволяет вам воссоздавать его, когда вам это может понадобиться, вместо чрезмерной зависимости от компьютеров, которые всегда будут рядом. для вас, что, на мой взгляд, делает его плохим математиком. Есть три метода решения квартик, которые я знаю и знаю: Квадратичная факторизация Декарта Метод Эйлера Метод Феррари Если кто-то знает больше, пожалуйста, дайте мне знать. Метод Феррари исторически является первым открытым методом. Метод Эйлера очень похож на метод Кардано для куба и, вероятно, был смоделирован на основе того же подхода. Но я неравнодушен к технике квадратичной факторизации Декарта. Это относительно простой процесс, который я буду использовать ниже. Если вы хотите посмотреть, как работают другие, дайте мне знать. Все вышеперечисленные методы начинаются одинаково: депрессия (удаление члена степени $n-1$, в данном случае кубического члена) и нормализация (приведение опережающего коэффициента к 1, т. е. преобразование многочлена в монический). 92 + qz + r = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ Для некоторых $p,q,r\in\mathbb {Р} $. Это не влияет на корневые позиции; все, что делал опережающий коэффициент, — это увеличивал ненулевые значения. Относительно нулей нет абсолютно никакой потери общности. Все эти константы $p,q,r$ можно вычислить из исходных коэффициентов $a,b,c,d,e$. Кубического члена по-прежнему нет, а опережающего коэффициента теперь тоже нет. Было бы интересно отметить, что произошло с многочленом. Мы начали с 5 произвольных констант и сократили их до 3, нормализовав шаг и удалив кубический член. Первоначально у нас были произвольные значения $a,b,c,d,e\in\mathbb{R}$, а теперь у нас есть произвольные значения $p,q,r\in\mathbb{R}$. Хотя последние три вычисляются из первоначальных пяти, они имеют произвольные значения, и нет потери общности. Это существенное упрощение задачи. Несуществование кубического члена окажется жизненно важным. До сих пор все было просто установкой: запись полинома в сокращенной монической форме. Напомним, что все методы четвертой степени достигают по крайней мере этого. Затем мы реализуем метод факторизации Декарта. Метод факторизации Декарта Мы должны предположить, что все коэффициенты действительны, $p,q,r\in\mathbb{R}$. Это необходимое условие для того, чтобы методология работала. Причина в том, что теперь все решения с ненулевыми мнимыми компонентами входят в комплексно-сопряженные пары. Большое дело? Это позволяет нам сгруппировать два решения вместе, даже если они чисто действительные, в квадратичные множители с действительными коэффициентами. Мы знаем, что 92 -\frac{q}{m}$$ Обратите внимание на то, что в левой части оба этих уравнения могут быть легко решены для $n$ и $\frac{r}{n}$ в терминах $m$, оба из которых входят в квадратичные множители (3). Их можно использовать позже, когда мы узнаем $m$ для завершения квадратичного множителя. Мы можем найти $m$, взяв последние два уравнения и перемножив их, тем самым исключив неизвестное $n$. Обратите внимание, что $n$ в числителе одного и в знаменателе другого. 2 }$$ 92 =0$$ Итак, мы по существу закончили. У нас остался кубический полином от $w$, который разрешим собственными методами. Методы, о которых я только предполагаю, что вы уже знаете, если пытаетесь решить квартики. Как и в случае с квартиками, как вы уже знаете, существуют кубические формулы, но я рекомендую изучить методы, лежащие в их основе. Если вам нужна помощь с кубиками, я рекомендую метод Кардано (оригинальное решение) или тригонометрическое решение Виета (мой любимый). Существует также Completing the Cube, хорошее доказательство концепции, но я бы никогда не стал его использовать. Не стесняйтесь задавать отдельный вопрос для кубика, и я буду рад ответить. 92 — mz + \frac{r}{n})=0$. Еще не сделано. Каждый из этих квадратичных множителей теперь должен быть решен с помощью квадратичной формулы, и у вас есть решения в $z$. Это решает депрессивную моническую квартику, с которой мы начали метод квадратичной факторизации Декарта. Наконец Не забываем про исходную квартику, которая была у нас в самом начале, до депрессии и нормализации. Мы ввели горизонтальный сдвиг $x = z-\frac{b}{4a}$. Выполнение этого последнего шага решит исходную квартику в терминах $x$, что является решением, которое вам нужно. Когда закончишь, ты придешь к набору решений. Обязательно проверьте свои ответы. У вас могут быть избыточные или лишние решения. Некоторые избыточные решения могут быть записаны очень разными алгебраическими способами, но будут представлять одно и то же числовое значение. Если вы выразите окончательный ответ $x$ через исходные $a,b,c,d,e$, вы получите те же самые «формулы четвертой степени», которые вам приводят другие люди. Выражение, конечно, будет немного отличаться в зависимости от того, какой из методов четвертой степени вы используете. Опасения Если вас беспокоит предположение, что коэффициенты $p,q,r$ реальны, не беспокойтесь. Все это означает, что $a,b,c,d,e$ реальны, что обычно является хорошим предположением. На самом деле, мы можем обобщить. Значения $p,q,r$ можно сделать комплексными, подразумевая только, что исходная квартика имеет комплексные $a,b,c,d,e$. 2-2x+1=0 Курс NCERT Класс 12 Класс 11 Класс 10 Класс 9 Класс 8 9001 1 Класс 7 Класс 6 IIT JEE Экзамен JEE MAINS JEE ADVANCED X BOARDS XII BOARDS NEET Neet Предыдущий год (по годам) Physics Предыдущий год Химия Предыдущий год Биология Предыдущий год Нет Все образцы работ Образцы работ по биологии Образцы работ по физике Образцы работ по химии Скачать PDF-файлы Класс 12 Класс 11 Класс 10 Класс 9 Класс 8 Класс 7 Класс 6 Экзаменационный уголок Онлайн-класс 9 0017 Викторина Задать вопрос в Whatsapp Поиск Doubtnut Английский словарь 9 0011 Toppers Talk Блог О нас Карьера Скачать Получить приложение Вопрос Обновлено: 26/04/2023 ПУБЛИКАЦИЯ ВИКРАМ (ПУБЛИКАЦИЯ АНДРЫ)-ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ -DAM SURE LAQ -7 БАЛЛОВ 9(2)+2x-4=0 равно 1597122 04:35 Уравнение, корни которого обратны корням x4+3×3+6×2+2x+4=0, равно 1597154 90 002 04: 13 Найдите алгебраическое уравнение степени 4, корни которого в 3 раза больше корней уравнения. 4 n 2 n 1: Вычисление факториала. Решение задачи на Python alexxlab / 11.07.202329.04.2023 / Разное :nth-child — CSS | MDN CSS псевдокласс :nth-child() находит один или более элементов, основываясь на их позиции среди группы соседних элементов. /* Выбирает каждый четвёртый элемент среди любой группы соседних элементов */ :nth-child(4n) { color: lime; } Псевдокласс nth-child указывается с единственным аргументом, описывающим паттерн для выбирания элементов. Ключевые слова odd Описывает элементы среди группы соседних с нечётными номерами 1, 3, 5, и т. д. even Описывает элементы среди группы соседних с чётными номерами 2, 4, 6, и т. д. Функциональная запись <An+B> Описывает элементы среди группы соседних с номерами, соответствующими паттерну An+B (для каждого целого числа n >= 0). Нумерация элементов начинается с единицы. Значения A и B должны быть <integer>s. Формальный синтаксис Error: could not find syntax for this item Примеры селекторов tr:nth-child(odd) или tr:nth-child(2n+1) Описывает нечётные строки HTML таблицы: 1, 3, 5, и т. д. tr:nth-child(even) or tr:nth-child(2n) Описывает чётные строки HTML таблицы: 2, 4, 6, и т. д. :nth-child(7) Описывает седьмой элемент. :nth-child(5n) Описывает элементы с номерами 5, 10, 15, и т. д. :nth-child(3n+4) Описывает элементы с номерами 4, 7, 10, 13, и т. д. :nth-child(-n+3) Описывает первые три элемента среди группы соседних элементов. p:nth-child(n) Описывает каждый элемент <p> среди группы соседних элементов. Эквивалентно простому селектору p. p:nth-child(1) или p:nth-child(0n+1) Описывает каждый элемент <p>, являющийся первым среди группы соседних элементов. Эквивалентно селектору :first-child. Подробный пример HTML <h4><code>span:nth-child(2n+1)</code>, БЕЗ элемента <code>&lt;em">&gt;</code> в группе элементов-потомков.</h4> <p>Элементы 1, 3, 5 и 7 будут выбраны.</p> <div> <span>Span 1!</span> <span>Span 2</span> <span>Span 3!</span> <span>Span 4</span> <span>Span 5!</span> <span>Span 6</span> <span>Span 7!</span> </div> <br> <h4><code>span:nth-child(2n+1)</code>, С элементом <code>&lt;em">&gt;</code> в группе элементов-потомков. </h4> <p>Элементы 1, 5 и 7 будут выбраны.<br> 3 используется в подсчёте потому что это элемент-потомок, но он не выбран потому что он не <code>&lt;span">&gt;</code>.</p> <div> <span>Span!</span> <span>Span</span> <em>Это `em`.</em> <span>Span</span> <span>Span!</span> <span>Span</span> <span>Span!</span> <span>Span</span> </div> <br> <h4><code>span:nth-of-type(2n+1)</code>, С элементом <code>&lt;em">&gt;</code> в группе элементов-потомков.</h4> <p>Элементы 1, 4, 6 и 8 будут выбраны.<br> 3 не используется в подсчёте и не выбран, потому что это <code>&lt;em">&gt;</code>, но не <code>&lt;span">&gt;</code>, а <code>nth-of-type</code> выбирает только потомков этого типа. Элемент <code>&lt;em">&gt;</code> полностью пропускается и игнорируется. </p> <div> <span>Span!</span> <span>Span</span> <em>Это `em`.</em> <span>Span!</span> <span>Span</span> <span>Span!</span> <span>Span</span> <span>Span!</span> </div> CSS html { font-family: sans-serif; } span, div em { padding: 5px; border: 1px solid green; display: inline-block; margin-bottom: 3px; } .first span:nth-child(2n+1), .second span:nth-child(2n+1), .third span:nth-of-type(2n+1) { background-color: lime; } Результат Specification Selectors Level 4 # nth-child-pseudo BCD tables only load in the browser with JavaScript enabled. Enable JavaScript to view data. :nth-of-type, :nth-last-child Found a content problem with this page? Edit the page on GitHub. Report the content issue. View the source on GitHub. Want to get more involved? Learn how to contribute. This page was last modified on 7 нояб. 2022 г. by MDN contributors. Псевдокласс :nth-child | htmlbook.ru Internet Explorer Chrome Opera Safari Firefox Android iOS 9.0+ 1.0+ 9.6+ 3.1+ 3.6+ 2.1+ 2.0+ Краткая информация Значение по умолчанию Нет Применяется Ко всем элементам Ссылка на спецификацию http://www.w3.org/TR/css3-selectors/#nth-child-pseudo Версии CSS CSS 1 CSS 2 CSS 2.1 CSS 3 Описание Псевдокласс :nth-child используется для добавления стиля к элементам на основе нумерации в дереве элементов. Синтаксис элемент:nth-child(odd | even | <число> | <выражение>) {…} Значения odd Все нечетные номера элементов. even Все четные номера элементов. число Порядковый номер дочернего элемента относительно своего родителя. Нумерация начинается с 1, это будет первый элемент в списке. выражение Задается в виде an+b, где a и b целые числа, а n — счетчик, который автоматически принимает значение 0, 1, 2… Если a равно нулю, то оно не пишется и запись сокращается до b. Если b равно нулю, то оно также не указывается и выражение записывается в форме an. a и b могут быть отрицательными числами, в этом случае знак плюс меняется на минус, например: 5n-1. За счет использования отрицательных значений a и b некоторые результаты могут также получиться отрицательными или равными нулю. Однако на элементы оказывают влияние только положительные значения из-за того, что нумерация элементов начинается с 1. В табл. 1 приведены некоторые возможные выражения и ключевые слова, а также указано, какие номера элементов будут задействованы. Табл. 1. Результат для различных значений псевдокласса Значение Номера элементов Описание 1 1 Первый элемент, является синонимом псевдокласса :first-child. 5 5 Пятый элемент. 2n 2, 4, 6, 8, 10 Все четные элементы, аналог значения even. 2n+1 1, 3, 5, 7, 9 Все нечетные элементы, аналог значения odd. 3n+2 2, 5, 8, 11, 14 — -n+3 3, 2, 1 — 5n-2 3, 8, 13, 18, 23 — even 2, 4, 6, 8, 10 Все четные элементы. odd 1, 3, 5, 7, 9 Все нечетные элементы. Пример HTML5CSS3IECrOpSaFx <!DOCTYPE html> <html> <head> <meta charset="utf-8"> <title>nth-child</title> <style> table { width: 100%; /* Ширина таблицы */ border-spacing: 0; /* Расстояние между ячейками */ } tr:nth-child(2n) { background: #f0f0f0; /* Цвет фона */ } tr:nth-child(1) { background: #666; /* Цвет фона */ color: #fff; /* Цвет текста */ } </style> </head> <body> <table border="1"> <tr> <td>&nbsp;</td><td>2134</td><td>2135</td> <td>2136</td><td>2137</td><td>2138</td> </tr> <tr> <td>Нефть</td><td>16</td><td>34</td> <td>62</td><td>74</td><td>57</td> </tr> <tr> <td>Золото</td><td>4</td><td>69</td> <td>72</td><td>56</td><td>47</td> </tr> <tr> <td>Дерево</td><td>7</td><td>73</td> <td>79</td><td>34</td><td>86</td> </tr> <tr> <td>Камни</td><td>23</td><td>34</td> <td>88</td><td>53</td><td>103</td> </tr> </table> </body> </html> В данном примере псевдокласс :nth-child используется для изменения стиля первой строки таблицы, а также для выделения цветом всех четных строк (рис.  1). Рис. 1. Применение псевдокласса :nth-child к строкам таблицы Псевдоклассы CSS по теме Псевдокласс :nth-child Статьи по теме Список с русскими буквами Рецепты CSS т$. $\endgroup$ Каспер Ландин (Tranemo, 28 лет) Personnummer 19941117-ХХХХ Телефонлиста Каспер Ландин Сакнар номер телефона Lön och anmarkning Се вад Каспер Ландин тянар (стоимость 39 крон) Фолькбокфорингплатье Brandsmo 1 514 91 Tranemo Visa fler som bor på denna address Б Фордонсиннехав Гражданский статус Каспер Ландин Эр подарок Экономиколлен для Транемо Я Транемо tjänar man i snitt 288 967 крон на номер vilket betyder att man har en genomsnittlig månadslön på 24 081 кр . I Транемо коммун tjänar man i snitt 23 694 крон за манат . Я Транемо har färre personer en anmarkning än genomsnittet для Tranemo kommun . Я Транемо гар 4,4 % av alla personer en anmarkning. Я Транемо плавники 926 Personer med registrerat skuldsaldo hos Kronofogden med ett genomsnitt на 17 294 кр . Totala skulden hos Kronofogden for alla i Tranemo kommun är 62 749 406 кр . I Транемо har majoriteten av invånarna goda chanser att få låna upp до 150 000 крон utan säkerhet. Testa ditt låneutrymme du med! Предварительный API для доступа к данным о человеке, тегу номера телефона или номеру телефона. Ком игон! Информация от Каспера Ландина Födelsedag och namnsdag Каспер наполнитель 29 лет Тордаг 17:е ноября. Каспер хар намнсдаг 6: январь, 19:э январь, 28 января. цветок Скицка Бломмор Тилль Каспер Det visste du inte om Kasper Дет финнс 906 человек в Швеции как Каспер (1180:e vanligaste). Genomsnittsålder для Каспера и Швеция 25 гр. Kändisar som fyller år samma dag Намнрегистрация Персонал Карл Хенрик Каспер Ландин Фернамн Карл Хенрик Каспер Тилльтальснамн Каспер Эфтернамн Приземлиться Мелланнамн — Фолькбокфоринг Платье-гату Брэндсмо 1 Почтовый номер 514 91 Постор Транемо Коммун Транемо коммун (1452 г. ) Лен Вестра Гёталандс (14) Särskild почтовый адрес Kasper Landin saknar särskild почтовый адрес Предварительный API для доступа к данным о человеке, тегу номера телефона или номеру телефона. Ком игон! Зарегистрируйтесь на сайте Брэндсмо 1 я Транемо Человек с таким адресом Предложение по адресу Фордон по адресу Предварительный API для доступа к данным о человеке, тегу номера телефона или номеру телефона. Ком игон! Номер телефона до Каспера Ландина Информация Информация по номеру телефона и номеру мобильного телефона из Франции телеоператор. Hittar du inte det nummer du söker, kan просто det numret vara dolt for upplysningstjänster. Предварительный API для доступа к данным о человеке, тегу номера телефона или номеру телефона. Ком игон! Касперс Джобб и Стайрелсеуппдраг Bolagsengagemang Каспер Ландин saknar bolagsengagemang. Верклиг Хувудман Обновление данных 2023-04-29 . Kasper Landin är inte verklig huvudman eller företrädare for några bolag. Болаг Геном Андель Kasper Landin är inte verklig huvudman for något foretag. En verklig huvudman är den eller de personer som ytterst äger eller kontrollerar exempelvis ett företag eller en förening. En verklig huvudman kan också vara den eller de personer som tjänar på att någon annan agerar åt dem. De flesta företag och föreningar ska anmäla verklig huvudman Till Болагсверкет. Расчет объема формула: Формулы объема и программы для расчета объема alexxlab / 11.07.202328.04.2023 / Разное Как рассчитать объём — онлайн калькулятор объёма воды Онлайн калькуляторы / 1 комментарий Как рассчитать объём ёмкости, воды или другой жидкости … несколько онлайн калькуляторов для расчёта объёма, формулы, а также конвертер единиц объёма. 1. Как рассчитать объём любой прямоугольной емкости, в том числе куба — онлайн калькулятор расчёта объема воды в аквариуме, баке … 2. Как рассчитать объём цилиндра — онлайн калькулятор расчёта объёма воды в трубе, бочке, круглом бассейне … 3. Единицы измерения объёма 3.1. Соотношение единиц объёма 4. Конвертер единиц объёма 5. Заключение 6. Как рассчитать объём — калькулятор объёма куба, прямоугольной ёмкости, объёма цилиндра, объёма воды в трубе … Как рассчитать объём любой прямоугольной емкости, в том числе куба — онлайн калькулятор расчёта объема воды в аквариуме, баке … Как рассчитать объём по формуле — формула расчёта объёма прямоугольной ёмкости V = X * Y * Z, где V — объём, а X, Y, и Z это длины сторон ёмкости (длина, ширина, высота). При этом мы помним, что у куба все стороны равны — X=Y=Z . Соответственно формула объёма куба имеет такой вид — V = X3 , где X — длина стороны куба. Внимание! При расчёте объёма жидкости в ёмкости необходимо учитывать реальную заполненность ёмкости и привязывать величины непосредственно к самой жидкости. Для конвертации единиц объёма вы можете воспользоваться нашим ОНЛАЙН КОНВЕРТЕРОМ ЕДИНИЦ ОБЪЁМА → Как рассчитать объём цилиндра — онлайн калькулятор расчёта объёма воды в трубе, бочке, круглом бассейне … Для конвертации единиц объёма вы можете воспользоваться нашим ОНЛАЙН КОНВЕРТЕРОМ ЕДИНИЦ ОБЪЁМА → Как рассчитать объём по формуле — формулы расчёта объёма цилиндра Объём воды в цилиндре и других ёмкостях, имеющих цилиндрическую форму, рассчитывается таким образом. Вначале рассчитываем площадь основания (площадь внутреннего сечения) по формуле — S = π * R2 Где, R — радиус трубы, π — число ПИ равное 3,1415926535 . Затем вычисляем объём — V = S * L Где, L — длина (высота) цилиндра (трубы, бочки, бассейна). Внимание! При расчёте объёма жидкости в ёмкости необходимо учитывать заполненность ёмкости и привязывать величины непосредственно к самой жидкости. Единицы измерения объёма Вначале кратко ознакомимся с единицами измерения объёма как таковыми. Официальной единицей измерения объема в системе СИ является м3 — метр кубической. Объём так же может быть выражен и в других единицах. Наиболее популярными из них являются — дм3 — кубические дециметры, см3 — кубические сантиметры, литры … Отметим, что такая популярная единица измерения объёма жидкостей как литр не входит в Международную систему измерений (СИ). Тем не менее, поскольку литр является весьма популярной мерой жидкостей, он считается официальной внесистемной единицей. Один литр — это объём куба стороны которого равны 10 см. Полезно также знать, что 1 литр воды вести приблизительно 1 кг при температуре + 4 °C Соотношение единиц объёма 1 м3 = 1000 дм3 = 1 000 000 см3 = 1 000 000 000 мм3 = 1000 литров 1 литр = 0,001 м3 = 1 дм3 = 1 000 см3 = 1 000 000 мм3 Конвертер единиц объёма Конвертация кубических метров ( м 3 ) в кубические сантиметры ( см3 ) и литры Конвертация литров в метры кубические ( м 3 ) и кубические сантиметры ( см3 ) Конвертация кубических сантиметров ( см 3 ) в кубические метры ( м3 ) и литры Заключение Практически каждый человек рано или поздно сталкивается с необходимостью рассчитать объём того или другого объекта. Для удобства и экономии времени предлагаем Вам воспользоваться нашими онлайн калькуляторами.   Поделись с друзьями 🙂 Как рассчитать объём — калькулятор объёма куба, прямоугольной ёмкости, объёма цилиндра, объёма воды в трубе … Статья опубликована: 2023-04-12 Автор: Waterman Калькулятор расчета объема груза — Avrora Logistic На главную Расписание движения КАЛЬКУЛЯТОР ТАМОЖЕННЫХ ПЛАТЕЖЕЙ КАЛЬКУЛЯТОР СБОРНЫХ ГРУЗОВ КАЛЬКУЛЯТОР ЦЕЛЫХ КОНТЕЙНЕРОВ РАСЧЕТ ОБЪЕМА ГРУЗА Рассчитайте объем вашего груза РАСЧЕТ ОБЪЕМА ГРУЗА ШИРИНА (W) * ДИАМЕТР (D) * РАСЧЕТ ОБЪЕМА КоробкиЦилиндр ВЫСОТА (H) * ЕДИНИЦА ИЗМЕРЕНИЯ * ммсмм ДЛИНА (L) * КОЛИЧЕСТВО КОРОБОК * КОЛИЧЕСТВО ЦИЛИНДРОВ * ИТОГО: Объем одной коробки Объем одного цилиндра 0 м³ Общий объем 0 м³ ИСПОЛЬЗУЙТЕ ПОЛУЧЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ОФОРМЛЕНИЯ ЗАЯВКИ Далее На главную Расписание движения РАСЧЕТ ОБЪЕМА ГРУЗА КАЛЬКУЛЯТОР ТАМОЖЕННЫХ ПЛАТЕЖЕЙ КАЛЬКУЛЯТОР СБОРНЫХ ГРУЗОВ КАЛЬКУЛЯТОР ЦЕЛЫХ КОНТЕЙНЕРОВ Возникли вопросы? Я согласен на обработку персональных данных в порядке и на условиях, указанных по ссылке Прикрепить файл (максимальный размер 20 Мб) Расчет объема Расчет объема ДЕП Дом Вода/сточные воды Математический калькулятор Танк Калькулятор объема Возврат в информационный центр оператора Формула: Д х Ш x D = кубические футы *** Кубический футов x 7,47 = галлонов Объем квадратного или прямоугольного резервуара или отстойника Пожалуйста введите данные о длине, ширине и глубине боковой воды. Бак Д Длина (футы) введите длину Бак Ш ширина (футы) введите ширину Боковой Вода D Высота (фут) введите глубину Нажмите на кнопку для расчета кубических футов Нажмите на кнопку для расчета галлонов Формула: 3. 1417 x R x D = кубические футы **** Кубический футов х 7,47 = Галлоны Объем круглого бака или очистителя Пожалуйста введите данные для радиуса резервуара (радиус составляет 1/2 диаметра) и стороны глубина воды. Бак R радиус (фут): введите радиус (1/2 диаметра) Бак Боковая вода D epth (ft): введите глубину Нажмите на кнопку, чтобы рассчитать куб. футов Нажмите на кнопка для расчета объема воды (галлоны)   Объем – формула, определение, расчет, примеры Объем – это мера емкости, которую держит объект. Например, если чашка может вместить до краев 100 мл воды, говорят, что ее объем равен 100 мл. Объем также можно определить как объем пространства, занимаемый трехмерным объектом. Объем твердого тела, такого как куб или прямоугольный параллелепипед, измеряется путем подсчета количества содержащихся в нем единичных кубов. Лучший способ визуализировать объем — думать о нем с точки зрения пространства, заключенного/занятого любым трехмерным объектом или твердой формой. В этом можно убедиться с помощью простого упражнения дома: Возьмите прямоугольный лист бумаги длиной ‘ l ‘ см и шириной ‘ h ‘ см. Соедините противоположные стороны листа бумаги, не сгибая лист. Вы создали трехмерный объект, который заключает в себе пространство, из двухмерного листа. 1. Определение тома 2. Объем трехмерных фигур 3. Список формул объема 4. Как рассчитать объем? 5. Единицы объема 6. Калькулятор объема 7. Часто задаваемые вопросы о томе Определение тома Объем определяется как объем, занимаемый трехмерной твердой формой. В любой форме это трудно визуализировать, но можно сравнить между формами. Например, объем ящика компаса больше объема помещенного в него ластика. Для вычисления площади любой двумерной фигуры мы делим часть на равные квадратные единицы. Точно так же при вычислении объема объемных фигур мы будем делить его на равные кубические единицы. Давайте узнаем, как рассчитать объем различных твердых фигур в нашем следующем разделе. Объем 3D-фигур Каждый предмет в нашем окружении имеет свойство занимать пространство. Эти реальные объекты можно легко сравнить с основными трехмерными формами. Давайте посмотрим на объем этих твердых фигур в деталях. Объем кубоида Предположим, у нас есть несколько прямоугольных листов длиной ‘l’ и шириной ‘ b’ . Если мы сложим их один поверх другого до высоты ‘h’ , мы получим прямоугольный параллелепипед размерности л, б, з . Это можно увидеть на следующем рисунке, на котором показаны длина, ширина (ширина) и высота образованного таким образом прямоугольного параллелепипеда. Чтобы вычислить объем пространства, заключенного в этот прямоугольный параллелепипед, мы используем формулу: Объем кубоида = l × b × h Объем куба Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, где все три стороны равны по мере. Если мы представим это равное значение как «а», то объем этого куба можно будет рассчитать по формуле: Объем куба = а × а × а = а³. Обратите внимание на следующий рисунок, чтобы увидеть равные стороны куба и пространство, которое он занимает. Объем цилиндра Точно так же, как мы построили прямоугольный параллелепипед из прямоугольников, мы можем построить цилиндр из кругов того же размера. Цилиндр представляет собой трубчатую конструкцию с двумя параллельными круглыми основаниями, соединенными изогнутой поверхностью на фиксированном расстоянии от центра. Расстояние между этими двумя основаниями и есть высота цилиндра. Если мы рассмотрим «r» как радиус круглого основания (и вершины), а «h» как высоту цилиндра, то объем цилиндра можно выразить как объем цилиндра = π r² h Объем пирамиды Пирамиды имеют многоугольник в качестве основания и треугольные грани, которые сходятся на вершине. Объем пирамиды рассчитывается по формуле: Объем пирамиды = 1/3 × длина основания × ширина основания × высота пирамиды. Эту формулу также можно записать в виде 1/3 × площадь основания многоугольника × высота пирамиды. Объем конуса Разница между конусом и пирамидой заключается в том, что основание конуса круглое, тогда как основание пирамиды представляет собой многоугольник. Объем конуса рассчитывается по формуле: 1/3 × πr 2 ч. Объем шара Объем шара – это занимаемое им пространство. Объем сферы, радиус которой r равен 4/3 πr³. Теперь, когда мы знакомы с формулами различных геометрических фигур, давайте взглянем на различные единицы объема. Список формул объема Ниже приведен подробный табличный список формул объема в двух словах, описывающий формулы объема для всех возможных трехмерных (твердых) форм. Как рассчитать объем? Вот шаги для расчета объема любой твердой формы: Определите все заданные параметры, которые являются полезными и которые необходимо заменить в соответствующей формуле объема. Например, радиус должен быть «r», а высота — «h», наклонная высота, диаметр и т. д. Убедитесь, что все параметры имеют одинаковые единицы измерения. Подставьте значения в формулу объема соответствующих фигур. Запишите единицы измерения в кубических единицах. Давайте разберемся с шагами на примере. Пример: Найдите объем прямоугольного цилиндра радиусом 25 м и высотой 1 метр. Используйте π = 3,142. Решение: Радиус цилиндра r = 25 м. Его высота h = 1 метр. Объем цилиндра V = πr 2 h = (3,142)(25) 2 (1) = 1963,75 м 3 . Объем баллона 1963,75 куб.м. единиц объема Единицей объема в системе СИ является кубический метр (м 3 ), поскольку объем представляет собой количество трехмерного пространства, занимаемого формой или поверхностью. Однако наиболее часто используемой единицей измерения объема является литр. Кроме того, большие и малые объемы измеряются в других единицах, таких как миллилитры (мл), пинты, галлоны и другие. В следующей таблице показаны несколько единиц, связанных с объемом, и их метрические эквиваленты. Боковой блок Единица объема Метрический эквивалент Дюйм кубических дюймов (в 3 ) 1 куб. дюйм = 16,387064 мл Ножка кубических футов ( 3 футов) 1 куб.фут = 28,316846592 л см Кубический сантиметр (см 3 ) 1 кубический сантиметр = 1 мл Двор Кубический ярд (ярд 3 ) 1 куб.ярд = 764,554857984 л 1 куб.ярд = 0,764554857984 м 3 В то время как стандартной единицей измерения в США является кубический ярд или кубический дюйм, более широко используемыми единицами измерения являются галлоны, пинты или жидкие унции. В следующей таблице показаны некоторые из этих единиц и их эквивалентные метрические преобразования. Блок Эквивалентное преобразование 1 пинта (pt) 2 чашки 1 кварта 2 балла 1 галлон 3,78 литра 1 литр 1000 кубических сантиметров Калькулятор объема Калькулятор объема помогает быстро и легко рассчитать объем любой заданной формы. Объем — это раздел математики, который занимается измерением емкости различных твердых тел. Попробуйте калькулятор объемов Cuemath прямо сейчас. Это онлайн-инструмент для простых и быстрых расчетов. ☛Также проверьте: Калькулятор объема цилиндра Калькулятор объема сферы Калькулятор объема куба Калькулятор объема прямоугольного параллелепипеда ☛Статьи по теме Ознакомьтесь со статьями, посвященными объему различных объемных форм. Объем конуса Объем цилиндра Объем прямоугольного параллелепипеда Объем пирамиды   Примеры томов Пример 1: У Эдвина есть конический сосуд радиусом 6 дюймов и высотой 7 дюймов. Каков объем сосуда? Используйте π = 22/7. Раствор. Сосуд имеет форму конуса. Объем конуса = 1/3 π r² h = 1/3 × 22/7 × 6 × 6 × 7 = 264 дюйма³ ∴ Объем сосуда 264 куб. дюйм Пример 2: Джо любит играть со строительными блоками. Он построил конструкцию из 15 кубов. Если длина (ребро) каждого куба равна 3 дюймам, каков будет объем его конструкции? Раствор. Рассчитаем объем одного куба. Объем куба = ребро × ребро × ребро = 3 × 3 × 3 = 27 дюймов³ В его структуре 15 кубиков. Итак, объем всей конструкции: Объем конструкции = 15 × объем одного куба = 15 × 27 = 405 дюймов³ ∴ Объем конструкции 405 дюймов³. Пример 3: Если диаметр мяча составляет 14 дюймов, сколько воздуха может вместить мяч? Используйте π = 3,14 Решение. Количество воздуха внутри шара займет все пространство в шаре. Итак, нам нужно найти объем шара. Радиус шара 14/2 дюйма = 7 дюймов Объем шара = 4/3 πr³ = [4/3 × 3,14 × (7)³] = 1436,02 дюйма³ ∴ Мяч содержит 1436,02 дюйма³ воздуха. перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду Есть вопросы по основным математическим понятиям? Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами Запишитесь на бесплатный пробный урок Практические вопросы в томе   перейти к слайдуперейти к слайду Часто задаваемые вопросы по тому Что означает объем? Объем — это мера емкости, которую содержит объект. Скажем, если чашка может вместить 1000 мл сока, говорят, что ее объем равен 1000 мл. В этом случае объем также можно определить как количество сока, занимаемое чашкой. Объем всегда рассчитывается путем деления емкости фигур на равные кубические единицы. ☛Загрузите прямо сейчас, чтобы попрактиковаться. Объемные листы Объем кубов Рабочие листы Объем конуса Рабочие листы Объем цилиндра Рабочие листы Какая формула объема частичного конуса? Объем частичного конуса можно рассчитать по формуле: V = 1/3 × πh(R² + Rr + r²), где «R» — радиус основания конуса, а «r» — радиус верхней поверхности. ☛ Прочтите основы здесь: Объем правого кругового конуса Объем частичного конуса Объем конуса в единицах числа Пи Как найти объем пирамид? Объем пирамиды рассчитывается по формуле: V = 1/3 × Площадь основания × Высота. ☛ Также проверьте: Объем прямоугольной пирамиды Объем треугольной пирамиды Объем прямоугольной пирамиды Как найти объем конуса? Объем конуса составляет 1/3 объема цилиндра той же высоты и такого же основания. Формула, используемая для нахождения объема конуса: 1/3 × π r² h; где «r» — радиус, а «h» — высота конуса. Как найти объем цилиндра? Объем цилиндра рассчитывается по формуле: V = площадь основания цилиндра × высота, а также представляется как объем цилиндра = π r² h; где «r» — радиус цилиндра, а «h» — высота. В чем разница между объемом и площадью? Объем фигуры или твердого тела — это пространство, занимаемое им, которое также включает его высоту или глубину. Измеряется в кубических единицах. Площадь – это пространство, занимаемое поверхностью плоской формы. Измеряется в квадратных единицах. ☛ Проверьте список важных математических формул: Формулы площади Формулы площади поверхности Геометрические формулы Формулы измерения Каков объем мяча? Поскольку шар является сферой, его объем будет рассчитан по формуле объема сферы. Формула объема сферы: 4/3 πr³, где «r» — радиус сферы. Какая формула объема цилиндра? Формула объема цилиндра = πr²h; где «r» — радиус основания цилиндра, а «h» — высота. Как найти объем призмы? Мы можем найти объем призмы, записав заданные размеры призмы. Затем подставьте значения в формулу объема V = B × H, где «V», «B» и «H» — это объем, площадь основания и высота призмы. Получив значение объема призмы, в конце запишите единицу объема призмы (в кубических единицах). ☛Чек: Объем призмы Объем призм. Рабочие листы Как найти объем бака? Объем резервуара зависит от его формы. В зависимости от размера мы можем использовать приведенные ниже формулы: Объем параллелепипеда = l × b × h; где «l» — длина прямоугольного параллелепипеда, «b» — ширина (ширина) прямоугольного параллелепипеда, а «h» — высота прямоугольного параллелепипеда. Объем куба = a 3 , где «a» — ребро куба. « Предыдущая 1 … 111 112 113 114 115 … 3 226 Следующая »