Автор: alexxlab

Прогнозирование и планирование Тест с ответами

1. Метод, наиболее предпочтительный в системе регионального прогнозирования
• сценарный

2. Наиболее эффективная конкурентная стратегия при прогнозировании параметров материального производства
• низких издержек

3. Наиболее точный показатель эффективности инвестиций в условиях рыночных отношений
• чистая дисконтированная стоимость

4. Базовое направление при разработке региональной территориально-отраслевой модели прогноза
• индикативное снизу вверх

5. Метод, наиболее часто используемый при прогнозировании развития аграрно-промышленного комплекса
• балансовый
 

6. Фактор, наиболее существенно влияющий на положение кривой спроса
• доходы населения

7. Метод, наиболее оптимально прогнозирующий темпы роста реальных доходов населения
• корректировки по индексу цен

8. Виды ресурсов, учет и использование которых предполагает балансовый метод в планировании
• материальные

9. Миссия экономического субъекта в процессе разработки стратегического плана
• ориентиры, цели и задачи

10. Критерий, по которому наиболее предпочтительно оценивать эффективность функционирования экономического субъекта
• издержки производства
 

11. Стратегия, определяемая на этапе стратегического анализа в процессе стратегического планирования
• развития

12. Метод, применяемый при прогнозировании развития транспортных перевозок
• укрупненных нормативов

13. Товары эластичного спроса имеют коэффициент эластичности …
• больше единицы

14. Матричный метод стратегического анализа является … методом
• простым

15. Определяющее значение при прогнозировании промышленного развития на микроуровне имеет . ..
• спрос и заказ
 

16. Базовыми параметрами в прогнозировании строительного комплекса служат …
• потребности в мощностях

17. Фактор, оказывающий наиболее существенное влияние на прогнозирование реальных доходов населения
• индекс цен

18. Стратегия, определяемая на этапе конкурентного анализа в процессе стратегического планирования
• конкурентная

19. Содержание прогнозирования промышленного развития определяется по …
• объему и структуре

20. Методы, получившие наибольшее распространение при прогнозировании спроса на промышленную продукцию
• экстраполяции
 

21. Определяющее значение при прогнозировании промышленного развития на макроуровне имеют …
• приоритеты развития

22. Стратегия, определяемая на этапе стратегического анализа при использовании способа ликвидации разрыва
• развития

23. Метод, наиболее эффективный при прогнозировании эффективности предприятия
• сценарный

24. Способы, получившие наибольшее применение при использовании метода экстраполяции в прогнозирование
• экспоненциального сглаживания

25. Стратегическое планирование разрабатывается как …
• самостоятельное
 

26. Характер разрабатываемых прогнозов
• альтернативный

27. Бизнес-планирование отличается от других видов планирования по …
• структуре

28. Стратегия прогнозирования научно-технического прогресса экономики в целом базируется на основе …
• комплексного прогноза

29. Методы, наиболее предпочтительные при прогнозировании спроса на потребительские товары
• экспертных оценок

30. Рост доходов покупателей вызывает сдвиг кривой спроса …
• вправо

«Макроэкономическое планирование и прогнозирование» Ответы Тест Синергия — Тест Синергия — Ответы на тесты Синергия

«Макроэкономическое планирование и прогнозирование» Ответы Тест Синергия

Тип: Тест Синергия Предмет: Макроэкономическое планирование и прогнозирование Год сдачи: 2021 Итоговая оценка: 90 баллов 47 вопросов Правильные ответы выделены маркером для удобного поиска. Тест сдан на оценку «отлично» (90 из 100), скриншот с результатом прилагается к работе.

1. При использовании простой скользящей средней выравнивание на каждом актив-ном участке производится по полиному … порядка
первого

2. Тенденция изменения среднегодовой численности промышленно-производственного персонала предприятия описывается моделью , согласно которой среднегодовой темп прироста численности
2,2%
31%
22%
12,2%
102,2%

3. Методология планирования – это система
— экономических показателей для планирования
— принципов, показателей, методик и методов разработки и обоснования плановых решений
— статистических показателей и методик для разработки прогнозов
— принципов, показателей, методик и методов разработки и обоснований прогнозов

4. При расчете взвешенной скользящей средней весовые коэффициенты на каждом участке сглаживания удовлетворяют условию о том, что …
— сумма весовых коэффициентов с учетом множителя за скобками равна 1
— все весовые коэффициенты положительны
— имеет место симметричность относительно центрального уровня
— все весовые коэффициенты по модулю больше 1
-все весовые коэффициенты отрицательны

5. Представление уровней временного ряда yt(t = 1, 2, …, n) в виде yt = ut * st + εt, где ut – трендовая компонента, st – сезонная компонента, εt – случайная компонен-та, соответствует …
— аддитивной модели
— адаптивной модели
— мультипликативной модели
— модели смешанного типа

6. Представление уровней временного ряда yt (t = 1, 2, …, n) в виде yt = ut * vt * st * εt , где ut – трендовая компонента, vt – циклическая компонента, st – сезонная ком-понента, εt – случайная компонента, соответствует …
— аддитивной модели
— адаптивной модели
— мультипликативной модели
-модели смешанного типа

7. Представление уровней временного ряда yt (t = 1, 2, …, n) в виде yt = ut + vt + st + εt , где ut – трендовая компонента, vt – циклическая компонента, st – сезонная ком-понента, εt – случайная компонента, соответствует …
— аддитивной модели
— адаптивной модели
— мультипликативной модели
— модели смешанного типа

8. Прогноз с периодом упреждения 6 лет относят к … прогнозам
— дальнесрочным
— краткосрочным
— долгосрочным
— оперативным
— среднесрочным

9. Исходя из ежеквартальной динамики процентной ставки банка (представлена в таблице), прогноз процентной ставки банка в 6 квартале, рассчитанный с помощью среднего темпа роста с точностью до десятых, равен …
Текущий номер квартала t 1 2 3 4 5
yt, % 7,3 8 8,8 9,7 10,7
— 11,8 %
— 11,6 %
— 10,9 %
— 11,5 %
— 11,1%

10. Если уровни временного ряда y1,у2…,yt…,yn изменяются примерно с по-стоянным темпом роста, то прогноз на один шаг вперед с помощью среднего темпа роста может быть сделан по формуле …

11. Макроэкономическое планирование и прогнозирование – это …
— задача государственного регулирования экономики
— функция государства
— функция субъектов экономики
— задача государства

12. Расчет 7-членной взвешенной скользящей средней на каждом активном участке сглаживания yt–3, yt–2, yt-1, yt+1, yt+2, yt+3 осуществляется по формуле …
—
—
—
—

13. К основным показателям, характеризующим потенциал экономического разви-тия, следует отнести …
— Состав и долю отраслей национальной экономики
— производительность труда
— ВВП или ВНП
— продолжительность жизни населения

14. Метод экстраполяции в прогнозировании предполагает …
— распространение тенденций будущего на настоящий период
— нахождение прогнозных значений внутри анализируемого отрезка времени
— распространение тенденций в настоящем на будущий период
— распространение тенденции в прошлом на будущий период

15. Весовые коэффициенты при расчете взвешенной скользящей средней одинаковы при сглаживании каждого участка, как по полиному второго порядка, так и по полиному … порядка
Третьего

16. Для планирования экономического роста используют …
— абсолютные показатели
— относительные показатели
— средние показатели
— систему статистических показателей

17. Для планирования и прогнозирования экономического роста используют …
— абсолютные показатели
— относительные показатели
— систему показателей
— средние показатели

18. Для прогнозирования экономического роста необходимо измерить его, исполь-зуя … показатели
— порядковые
— альтернативные
— номинальные
— количественные

19. экономическая политика опирается на оптимизацию рыночной экономики с по-мощью антиинфляционной политики и развития достижений научно-технического прогресса
— Неоклассическая
— Неокейнсианская
— Кейнсианская
— Классическая

20. прогнозы предполагают использование информации о будущем при принятии решений
— Познавательные
— Долгосрочные
— Управленческие
— Все

21. … прогнозы имеют цель описать возможные или желательные перспективы со-стояния будущего
— Все
— Познавательные
— Долгосрочные
— Управленческие

22. При сглаживании временного ряда 11-членной скользящей средней теряются … уровней
— только последние 11
— только первые 11
— только первые 5
— первые и последние 5
— первые и последние 11

23. Если при использовании скользящей средней были потеряны 3-го уровня в начале и 3-го уровня в конце временного ряда, то для сглаживания использовалась … скользящая средняя
— 11-членная
— 5-членная
— 19-членная
— 3-членная
— 7-членная

23. При сглаживании временного ряда 7-членной скользящей средней будут поте-ряны … уровней
только первые 3
первые и последние 7
только первые 7
первые и последние 3

24. Стратегия стимулирования экономического роста на основе неоклассической теории характеризуется … подходом
— макроэкономическим
— микроэкономическим
— международным
— региональным

25. Если уровни временного ряда y1,у2…yt…yn изменяются примерно с постоянным темпом роста, то прогноз на L шагов вперед с помощью среднего темпа роста может быть сделан по формуле

26. Если ежеквартальная динамика процентной ставки банка представлена в табли-це ниже, то процентная ставка банка в 6 квартале, рассчитанная с помощью средне-го абсолютного прироста с точностью до десятых, составит
Текущий номер квартала t 1 2 3 4 5
yt, % 7,3 8 8,8 9,7 10,5

— 11,3 %
— 11,6 %.
— 11,1 %
— 10,9 %

27. Экономическая структура – это …
— макроэкономический рост
— взаимосвязи между элементами экономической системы
— соотношения между элементами экономической системы
— динамика развития элементов экономической системы

28. При сглаживании временного ряда скользящей средней при длине интервала сглаживания l =2p+1 теряются … уровней
— первые и последние p
— только последние l
— первые и последние l
— только первые l
— только первые p

29. Основная проблема, вызывающая необходимость планирования и прогнозиро-вания на государственном уровне, – это …
— нехватка природных ресурсов
— рост социальной напряженности в обществе
— удовлетворение постоянно растущих потребностей
— политические и экономические кризисы

30. К главным факторам экономического роста следует отнести …
— численность населения
— размер инвестиций
— стимулирование спроса
— численность населения, размер инвестиций и стимулирование спроса

31. Прогнозирование – это
— математическая модель
— количественная и качественная оценка развития экономического объекта
— качественная оценка будущего развития экономического объекта
— количественная оценка будущего развития экономического объекта

32. Макроэкономическое планирование – это научное предвидение уровня развития и результатов функционирования …
— отраслей и регионов
— экономики
— экономики мировой
— экономики фирм и организаций

33. Основным показателем для планирования и прогнозирования с точки зрения кейнсианской теории являются факторы, определяющие …
— уровень социального напряжения в обществе
— личные сбережения и инвестиции
— уровень и динамику спроса и предложения на рынке
— уровень и динамику национального дохода

34. … опираются на использование математического аппарата
— Алгоритмические методы прогнозирования
— Аналитические методы прогнозирования
— Интуитивные методы прогнозирования
— Методы экспертных оценок

35. Отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз, называ-ется …
— ретроспективным участком
— периодом адаптации
— периодом наблюдения
— временем упреждения прогноза

36. Структурные кризисы в экономике вызывают необходимость …
— планирования и прогнозирования в экономике
— стимулирования предложения
— невмешательства государства в экономику
— стимулирования спроса

37. … относятся к микроэкономическим прогнозам
— Макроэкономические прогнозы
— Межрегиональные и межотраслевые прогнозы
— Прогнозы предприятий и организаций
— Региональные прогнозы

38. Оценка будущего состояния развития экономических процессов лежит в основе … прогноза
— нормативно-целевого
— целевого
— поискового
— нормативного

39. Оценка необходимых ресурсов для развития экономических процессов лежит в основе … прогноза
— нормативного
— целевого
— нормативно-целевого
— поискового

40. Более гладкий временной ряд будет получен при использовании … — простой скользящей средней
— 3-членной
— 5-членной
— 19-членной
— 7-членной
— 11-членной

41. Предмет изучения дисциплины «Макроэкономическое планирование и прогно-зирование» – это …
— совокупность макроэкономических показателей
— совокупность методов планирования и прогнозирования макроэкономических по-казателей
— федеральные министерства и ведомства, составляющие планы и прогнозы
— макроэкономика

42. Наибольшей эффективностью характеризуется такой тип экономического роста, как … рост
— интенсивно-экстенсивный
— интенсивный
— экстенсивный
— макроэкономический

43. Макроэкономическое развитие – это …
— рост качества и уровня жизни
— экономический рост, структурные изменения в экономике, рост уровня жизни населения
— экономический рост
— структурные изменения в экономике

43. Главной отличительной чертой современной рыночной экономической системы является …
— минимальное воздействие государства на развитие национальной экономики
— отсутствие воздействия государства на развитие национальной экономики
— активное воздействие государства на развитие национальной экономики
— то, что рыночная система не предполагает вмешательство государства в экономи-ку

44. В странах с рыночной экономикой инструментом воздействия на экономику яв-ляется … планирование
— директивное
— интуитивное
— нормативное
— индикативное

45. Если ежемесячная динамика показателя описывается аддитивной моделью с ли-нейным трендом и сезонными фиктивными переменными, то число фиктивных пе-ременных в модели не может превышать …
— 11
— 4
— 6
— 3
— 10

46. Отраслевая структура развитых стран характеризуется повышением доли …
— тяжелой промышленности
— сферы услуг
— сельского и лесного хозяйства
— добывающих отраслей

47. Прогнозирование – это …
— количественная оценка будущего развития экономического объекта
— качественная оценка будущего развития экономического объекта
— количественная и качественная оценка развития экономического объекта
— математическая модель

Просмотры: 1307

Раскройте свою реальную политику планирования и прогнозирования запасов, ответив на эти 10 вопросов

В другом блоге мы задали вопрос: Как вы можете быть уверены, что у вас действительно есть политика планирования запасов и прогнозирования спроса? Мы объяснили, как отсутствие у организации понимания основ (как создается прогноз, как определяются резервные запасы и как/почему корректируются эти значения) способствует низкой точности прогнозов, нерациональному распределению запасов и отсутствию доверия ко всему. процесс.

В этом блоге мы рассмотрим 10 конкретных вопросов, которые вы можете задать, чтобы узнать, что на самом деле происходит в вашей компании. Мы подробно описываем типичные ответы, которые дают, когда политики прогнозирования/планирования запасов на самом деле не существует, объясняем, как интерпретировать эти ответы, и предлагаем несколько четких советов, что с этим делать.

Всегда начинайте с простого гипотетического примера . Сосредоточение внимания на конкретной проблеме, с которой вы только что столкнулись, обязательно вызовет защитные ответы, скрывающие всю историю. Цель состоит в том, чтобы раскрыть фактический подход, используемый для планирования запасов и прогнозов, который был встроен в ментальную математику или электронные таблицы. Вот пример:

Предположим, у вас есть 100 единиц в наличии, время пополнения составляет 3 месяца, а среднемесячная потребность составляет 20 единиц? Когда следует заказывать больше? Сколько бы вы заказали? Как изменится ваш ответ, если запланировано получение ожидаемых поступлений в размере 10 в месяц? Как изменится ваш ответ, если товар относится к категории A, B или C, стоимость товара высокая или низкая, время выполнения заказа длинное или короткое? Проще говоря, когда вы планируете производственное задание или размещаете новый заказ у поставщика, почему вы это делаете? Что послужило толчком к решению получить больше? Какие входные данные планирования учитывались?

При получении ответов на вышеуказанный вопрос сосредоточьтесь на поиске ответов на следующие вопросы :

1. Каков основной подход к пополнению запасов? Как правило, это будет одно из следующих значений: Мин./Макс., Прогноз/Запас, Точка повторного заказа/Количество заказа, Периодический просмотр/Заказ до или даже какая-то нечетная комбинация

точек, или Мин./Макс., фактически рассчитано ? Недостаточно знать, что вы используете Min/Max. Вы должны точно знать, как рассчитываются эти значения. Такие ответы, как «Мы ​​используем историю» или «Мы используем среднее значение», недостаточно конкретны. Вам понадобятся ответы, которые четко описывают, как используется история. Например, «Мы берем среднее значение за последние 6 месяцев, делим его на 30, чтобы получить среднее значение за день, а затем умножаем на время выполнения заказа в днях. Затем для позиций «А» мы умножаем среднее время выполнения заказа на 2, а для позиций «В» используем множитель 1,5». (Хотя это и не очень хороший технический подход, по крайней мере, в нем есть четкая логика.)

Когда у вас есть четко определенная политика, вы можете определить ее слабые стороны, чтобы улучшить ее. Но если предоставленный ответ не идет дальше «Мы используем историю», то у вас нет политики для начала. Ответы часто показывают, что разные планировщики используют историю по-разному. Некоторые могут учитывать только самый последний спрос, другие могут хранить запасы в соответствии со средним значением периодов самого высокого спроса и т. д. Другими словами, вы можете обнаружить, что на самом деле у вас есть несколько непродуманных «политик».

3. Используются ли прогнозы для планирования пополнения запасов, и если да, то как? Многие компании говорят, что они прогнозируют, но их прогнозы рассчитываются и используются по-разному. Используется ли прогноз для прогнозирования того, какие запасы будут в наличии в будущем, что приведет к запуску заказа? Или он используется для определения точки повторного заказа, но не для прогнозирования времени заказа (т. е. я предсказываю, что мы будем продавать 10 в неделю, поэтому, чтобы защититься от дефицита, я буду заказывать больше, когда в наличии будет 15)? Используется ли он в качестве ориентира для планировщика, чтобы помочь субъективно определить, когда им следует заказать больше? Используется ли он для создания общих заказов у ​​поставщиков? Некоторые используют его для управления MRP. Вам нужно знать эти особенности. Подробный ответ на этот вопрос может выглядеть так:  «Мой прогноз — 10 в неделю, а время выполнения заказа — 3 недели, поэтому я делаю точку повторного заказа кратной этому прогнозу, обычно умножая спрос на время выполнения в 2 раза или 60 единиц для важных товаров, и я использую меньший множитель для менее важных товаров. (Опять же, не очень технический подход, но ясный.)

4. Какой метод фактически используется для создания прогноза? Это усредненная модель тренда, такая как двойное экспоненциальное сглаживание, сезонная модель? Зависит ли выбор метода изменения от типа данных о спросе или от того, когда будут доступны новые данные о спросе? (Запасные части и крупносерийные товары имеют очень разные модели спроса.) Как вы подходите к выбору модели прогноза? Этот процесс автоматизирован? Как часто пересматривается выбор модели? Как часто пересчитываются параметры модели? Какой процесс используется для пересмотра вашего подхода? Ответ здесь документирует, как составляются базовые прогнозы. После определения можно провести анализ, чтобы определить, повысят ли точность прогноза другие методы прогнозирования. Если вы не документируете точность прогнозов и не проводите анализ «прогнозируемой добавленной стоимости», вы не в состоянии должным образом оценить, являются ли производимые прогнозы лучшими, какими они могут быть. Вы упустите возможность улучшить процесс, повысить точность прогнозов и рассказать бизнесу о том, какой тип ошибки прогноза является нормальным и которого следует ожидать.

5. Как вы используете страховой запас? Обратите внимание, что вопрос был не «Используете ли вы страховой запас?» В этом контексте и для простоты термин «страховой запас» означает запас, используемый для защиты запасов от изменчивости спроса и предложения. Все компании так или иначе используют подходы к буферизации. Однако есть некоторые исключения. Может быть, вы производитель мастерской, который закупает все детали на заказ, и ваши клиенты совершенно спокойно ждут недели или месяцы, пока вы получите материал, изготовите, проверите качество и отгрузите. Или, может быть, вы являетесь крупным производителем с огромной покупательной способностью, поэтому ваши поставщики создали местные склады, которые полностью заполнены и готовы предоставить вам запасы практически немедленно. Если эти описания не описывают вашу компанию, у вас определенно будет некий буфер для защиты от изменчивости спроса и предложения. Вы можете не использовать поле «страховой запас» в своей ERP, но вы определенно буферизуетесь.

Могут быть предоставлены такие ответы, как «Мы ​​не используем страховой запас, потому что делаем прогнозы». К сожалению, хороший прогноз будет иметь шансы 50/50 быть выше/ниже фактического спроса. Это означает, что в 50% случаев вы будете получать запасы без добавления резервного запаса в прогноз. Прогнозы идеальны только тогда, когда нет случайности. Поскольку всегда есть случайность, вам нужно будет буферизоваться, если вы не хотите иметь ужасные уровни обслуживания.

Если ответ не найден, вы можете немного больше узнать о том, как различные рычаги пополнения используются для добавления возможных буферов, что приводит к вопросам 6 и 7.

6. Вы когда-нибудь увеличивали время выполнения заказа или заказы раньше, чем это действительно необходимо?
В нашем гипотетическом примере вашему поставщику обычно требуется 4 недели для доставки, и он довольно постоянен. Но для защиты от дефицита ваш покупатель обычно заказывает 6 недель вместо 4 недель. Поле страхового запаса в вашей ERP-системе может быть установлено равным нулю, потому что «мы не используем страховой запас», но на самом деле подход покупателя к заказу просто добавил 2 недели буферного запаса.

7. Вы уточняете прогноз спроса?
В нашем примере планировщик рассчитывает потреблять 10 единиц в месяц, но «на всякий случай» вводит прогноз 20 в месяц. Поле страхового запаса в системе MRP осталось пустым, но теперь замаскированный буферный запас был внесен в прогноз спроса. Это ошибка, которая вносит «предвзятость прогноза». Мало того, что ваши прогнозы будут менее точными, но если систематическая ошибка не будет учтена и другие отделы добавят страховой запас, у вас возникнет избыточный запас.

Индивидуальный характер вышеуказанных подходов усугубляет проблемы, поскольку не учитывается фактический спрос или изменчивость предложения товара. Например, планировщик может просто установить эмпирическое правило, которое удваивает прогноз времени выполнения важных заказов. Единый размер не подходит всем, когда речь идет об управлении запасами. Этот подход приведет к значительному избытку предсказуемых товаров и существенному дефициту товаров, пользующихся периодическим спросом. Вы можете прочитать «Остерегайтесь простых эмпирических правил управления запасами», чтобы узнать больше о том, почему этот тип подхода является таким дорогостоящим.

Специализированный характер подходов также игнорирует то, что происходит, когда компания сталкивается с огромным избытком или отсутствием запасов. При попытке понять, что произошло, будут изучены заявленные политики. В случае избытка система покажет нулевой страховой запас. Бизнес-лидеры решат, что у них нет никакого страхового запаса, почешут затылки и, в конце концов, просто сваливают вину на прогноз, заявляют: «Наш бизнес нельзя предсказать» и спотыкаются. Они могут даже обвинить поставщика в том, что он отгрузил слишком рано и заставил их хранить больше, чем нужно. В случае нехватки запасов они будут думать, что у них недостаточно запасов, и произвольно добавляют больше запасов по многим товарам, не понимая, что на самом деле существует много дополнительных резервных запасов, запеченных в процессе. Это увеличивает вероятность того, что запасы придется списывать в будущем.

8. Какая точная терминология инвентаризации используется ? Определите, что вы подразумеваете под страховым запасом, минимальным запасом, точкой заказа, EOQ и т. д. Хотя существуют стандартные технические определения, возможно, что-то отличается, и недопонимание здесь будет проблематичным. Например, некоторые компании относятся к минимальному количеству запасов, необходимому для удовлетворения спроса во время выполнения заказа, в то время как некоторые могут определять минимальное значение как включающее как спрос во время выполнения заказа, так и страховой запас для защиты от изменчивости спроса. Другие могут означать минимальный объем заказа.

9. Соответствуют ли наличные запасы политике? Когда ваша детективная работа завершена и все задокументировано, откройте электронную таблицу или систему ERP и посмотрите на количество в наличии. Оно должно более или менее соответствовать вашим параметрам планирования (например, если минимальное/максимальное значение составляет 20/40, а типичная потребность во времени составляет 10, то в любой момент времени у вас должно быть примерно от 10 до 40 единиц продукции. Удивительно, но для многих компаний часто существует огромное несоответствие. Мы наблюдали ситуации, когда параметр Min/Max равен 20/40, но запасы в наличии составляют 300+.  Это указывает на то, что какая-либо предписанная политика просто не соблюдается.   Это большая проблема

10. Что ты собираешься делать дальше?

Прогнозирование спроса и политика складского хранения должны быть четко определенными процессами, понятными и принятыми всеми участниками. Должна быть нулевая тайна .

Чтобы сделать это правильно, изменчивость спроса и предложения должна быть проанализирована и использована для расчета надлежащих уровней страхового запаса. Добавлять буферы без неявного понимания того, что каждая дополнительная единица буферного запаса покупает вам с точки зрения обслуживания, все равно, что произвольно добавлять горсть ингредиентов в рецепт торта. Небольшое изменение ингредиентов может оказать огромное влияние на то, что выйдет из духовки: один кусок будет слишком сладким, а другой — слишком кислым. То же самое и с управлением запасами. Немного больше здесь, немного меньше там, и довольно скоро вы обнаружите, что у вас есть дорогостоящий излишек запасов в одних областях, болезненный дефицит в других, вы понятия не имеете, как вы этого добились, и у вас мало указаний о том, как улучшить ситуацию.

Современное программное обеспечение для оптимизации запасов и планирования спроса с его передовой аналитикой и прочной основой для прогнозного анализа может помочь в решении этой проблемы. Но даже самое лучшее программное обеспечение не поможет, если оно используется непоследовательно.

Smart Software и менеджер по инвентаризации и логистике APS представят сессию USMA 2023, посвященную проекту преобразования цепочки поставок APS и роли технологии оптимизации запасов в их новом процессе.

Если вы в последнее время были с высоко поднятой головой, вы, возможно, заметили еще одно безумие за пределами баскетбольной площадки: крах Silicon Valley Bank. Те из нас, кто занимается цепочками поставок, возможно, отмахнулись от банкротства банка как от чьей-то чужой проблемы, но этот печальный эпизод также является важным уроком для нас: важность правильно проведенного стресс-тестирования.

Что такое эффект покачивания? Это когда ваш статистический прогноз неверно предсказывает взлеты и падения, наблюдаемые в вашей истории спроса, когда на самом деле нет закономерности. Важно убедиться, что ваши прогнозы не колеблются, если нет реальной закономерности. Вот стенограмма от недавнего клиента, где обсуждался этот вопрос:

IBM Planning Analytics | IBM

Создавайте точные планы и прогнозы с помощью простого в использовании программного обеспечения для планирования, аналитики и отчетности

Начните с одного отдела. Практически без помощи ИТ-отдела вы можете легко изменить свои бизнес-модели и добавить новые функции.

Программное обеспечение IBM Planning Analytics — идеальная платформа для реализации интегрированных решений бизнес-планирования. В сочетании с элегантной панелью управления рабочей областью и интерфейсом Excel он подходит как для пользователей, занимающихся аналитикой, так и для обычных пользователей отчетов.

Расширьте возможности планирования и анализа (xP&A) из FP&A, продаж, цепочки поставок и других областей.

IBM Planning Analytics — это многофункциональное интегрированное решение для управления производительностью с собственной надстройкой Microsoft Excel. С помощью решения на основе искусственного интеллекта вы можете автоматизировать ключевые процессы, постоянно планировать, расширять возможности человеческого интеллекта и использовать возможности прогнозирования для создания более точных, последовательных и своевременных бюджетов и прогнозов, не требуя специалиста по данным.

Исследование Forrester Total Economic Impact™ Обрабатывайте данные планирования на 80 % быстрее Читать историю

IBM признана лидером рынка в рейтинге BARC Score 2023 Integrated Planning & Analytics (IP&A)

IBM Planning Analytics as a Service — доступный всем и везде — теперь доступен на AWS

Автоматизируйте и ускоряйте

Ручной сбор данных, проверка, агрегирование и финансовая консолидация.

Выполнение анализа в реальном времени

Анализ тысяч многомерных точек данных из нескольких источников.

Делайте точные прогнозы

Прежде чем принимать решения, проверьте свои предположения с помощью неограниченных сценариев «что, если».

Функции С помощью IBM Planning Analytics, созданного на основе технологии TM1, вы получите ориентированную на ячейки базу данных с собственной надстройкой Microsoft Excel. Получите доступ к наиболее знакомым вам функциям, а также воспользуйтесь преимуществами быстродействующего инструмента бизнес-аналитики с искусственным интеллектом. IBM Planning Analytics можно развернуть локально, в облаке или как услугу, доступную на AWS. Просмотр функций Встроенная отчетность

Получите глубокие знания с помощью надежных информационных панелей. Создавайте системы показателей и метрики, включая специальные отчеты и привлекательные визуализации.

Посмотреть видео (00:20) Полная интеграция с Microsoft Excel

Не обновлять более 100 электронных таблиц. С Planning Analytics for Excel (PAX/PAfE) любая корректировка будет применяться в режиме реального времени ко всем представлениям.

Посмотреть видео (23:05) Предиктивный прогноз

Оптимизируйте шаблоны рабочих процессов планирования и создавайте более точные прогнозы с помощью простых в использовании средств прогнозирования и возможностей искусственного интеллекта.

Посмотреть видео (02:11) Простая интеграция

Простое подключение различных источников данных, включая существующие приложения для планирования, составления бюджета и прогнозирования на основе электронных таблиц, а также ERP, CRM и любой API.

Читать тематическое исследование Мощный движок IBM

Анализ многомерных данных в реальном времени гарантируется единственной в своем роде базой данных в оперативной памяти и вычислительным механизмом, построенным на технологии TM1.

Читать блог Интуитивно понятные пользовательские интерфейсы

Откройте мир расширенной аналитики для всех бизнес-пользователей — создавайте планы и отчеты и управляйте ими в удобной рабочей области Planning Analytics.

Читать блог

Случаи использования

Финансовое планирование и анализ Преодолейте ограничения ручного планирования с помощью упрощенного интегрированного финансового планирования и анализа. Достигайте консенсуса между отчетами о прибылях и убытках, балансами и денежными потоками. Узнайте больше о планировании и анализе Цепочка поставок Объедините расширенную аналитику иерархии и неограниченную песочницу анализа сценариев «что, если» в процессы цепочки поставок. Благодаря дальновидности быстрого поворота вы можете превратить сбои в возможности. Узнайте больше о планировании цепочки поставок Планирование устойчивого развития Используйте IBM Planning Analytics для планирования устойчивого развития, составления отчетов, моделирования и оптимизации на любом уровне детализации — даже для расчета углеродного следа продукта (PCF). Узнать больше Продажи Отслеживайте и анализируйте данные о производительности торговых представителей и объемах продаж в режиме реального времени. Используйте возможности искусственного интеллекта для оптимизации эффективных процессов продаж, повышения производительности и достижения целей по доходам. Автоматизируйте распределение ресурсов и планирование территории, чтобы получить конкурентное преимущество и увеличить долю рынка. Узнать больше о планировании продаж HR и рабочая сила Автоматизируйте и оптимизируйте процессы управления персоналом — планирование найма, заработной платы, премий, численности персонала и льгот — все на одной платформе. Разрабатывайте точные планы и прогнозы рабочей силы с помощью ИИ на основе изменений в штатном расписании, местоположении, возвращении на работу, вознаграждении, удержании, уровне оттока и многом другом. Узнайте больше о планировании рабочей силы ИТ-планирование Поддерживайте бизнес-стратегию и принимайте более эффективные решения в области ИТ. Обеспечьте согласованность между ИТ-отделом и другими организационными целями, получая представление о распределении ресурсов, расходах, жизненных циклах, владельцах и данных об использовании активов в режиме реального времени. Узнать больше Тематические исследования 10% Повышенная производительность

Компания Mawgif увеличила операционную эффективность на 10 % за счет оптимизации доходов и эффективности в результате анализа данных и управления ими в режиме реального времени.

50% Более быстрая отчетность

ICBC Аргентина сократила время, необходимое для проведения обязательных стресс-тестов банка, с четырех недель до двух, что означает экономию времени на 50%.

83% Снижение усилий по прогнозированию

Благодаря постоянному развертыванию и внедрению в компании Novolex сократила шестинедельный процесс прогнозирования до менее чем одной недели — сокращение на 83 %, даже с учетом изменений.

Размещение IBM Planning Analytics в IBM Cloud было простым решением… мы хорошо знали о высокой производительности, доступности, гибкости и безопасности… Фредрик Ларссон Групповой бизнес-контролер Бравикда Узнать больше Мы можем построить любой отчет, который нам нужен, в [IBM Planning Analytics], тогда как другие решения потребуют гораздо более сложной разработки. Олли Нииранен Бизнес-контролер Хуурре Узнать больше Это сэкономило нам часы каждый раз, когда мы запускаем отчет, потому что нам не нужно проверять его. Мы знаем, что у нас есть правильные цифры. Джеймс Морган Генеральный директор по финансам и технологиям Coronado Curragh Pty. Ltd. Узнать больше

Признание и награды Лидер в отчете G2 Winter 2023 Grid по планированию спроса, планированию продаж и операций и планированию цепочки поставок См. обзоры G2

Отзывы о товаре

Ресурсы

IDC MarketScape: 2022 Исследование Vendor Assessment Analyst

Узнайте, почему IDC признает IBM Planning Analytics лидером в области корпоративного планирования, бюджетирования и прогнозирования.

Получить отчет IDC Опрос бизнес-аналитики и аналитики 2023 г.

Изучите опрос BARC, чтобы выяснить, почему пользователи считают IBM Planning Analytics выдающимся решением для бизнес-аналитики и аналитики.

Получить отчет Интегрированный отчет по планированию и аналитике BARC Score 2023

Узнайте, почему компания BARC назвала решения IBM Business Analytics лидером благодаря комплексной платформе для анализа данных, обширным возможностям бюджетирования, планирования и прогнозирования, а также другим преимуществам.

Получить отчет BARC Индекс плановой стоимости Ventana 2022

Узнайте, почему Ventana назвала IBM Planning Analytics образцовым поставщиком в ключевых категориях, отражающих потребности покупателей.

Получить отчет Ventana

На дворе 2023 год… вы все еще планируете и составляете отчеты из электронных таблиц?

Узнайте, как IBM Planning Analytics помогает организациям применять современный комплексный подход к планированию и отчетности.

Читать блог Интеллектуальные подходы к ассигнованиям в финансовом и операционном планировании предприятия

Узнайте, как IBM Planning Analytics использовалась для создания модели распределения для Revelwood, которую можно было добавить в их существующую модель планирования и отчетности.

Читать блог Расширенное планирование и анализ (xP&A) в действии

Узнайте, как компании используют IBM Planning Analytics в качестве универсального решения для финансового планирования, планирования цепочки поставок и управления персоналом.

Читать блог Как IBM Planning Analytics может помочь исправить вашу цепочку поставок

Узнайте, как IBM Planning Analytics может улучшить управление цепочками поставок посредством планирования, составления бюджета и прогнозирования.

Читать блог

Планирование и анализ спроса

Узнайте больше о гибком планировании цепочки поставок с помощью IBM Planning Analytics.

Посмотреть видео (10:59) Родословная: делает FP&A в IBM Cloud частью своей ДНК

Узнайте, как Ancestry.com использовала IBM Planning Analytics для масштабирования своего роста и организационной сложности.

Посмотреть видео (02:05) Запуск IBM Business Analytics — по запросу

Откройте для себя инновационные функции IBM Business Analytics с помощью этого всеобъемлющего обзора с момента запуска продукта.

Посмотреть видео (03:23:42)

Сделайте следующий шаг

См.

определение, примеры с решением задач

п.1. Правило суммы

Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда общий набор, множество A ∪ B состоит из n + m элементов.
Выбрать один элемент a ∈ A ИЛИ b ∈ B можно n + m способами.

Например:
На подносе лежит 5 слив и 4 абрикоса.
Сколькими способами можно выбрать фрукт с подноса?
Всего фруктов: 5 + 4 = 9. Значит – 9 способов.

п.2. Правило произведения

Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда множество всех возможных упорядоченных пар (a, b) = A · B состоит из n · m элементов.
Выбрать упорядоченную пару a ∈ A И b ∈ B можно n · m способами.

Например:
Сколько всего двузначных четных чисел?
В двузначном числе на первом месте могут быть цифры {1; 2; … 9}, n = 9
В двузначном четном числе на втором месте могут быть цифры {0; 2; … 8}, m = 5
Всего nm = 9 · 5 = 45 чисел.

п.3. Исключение «двойного учета» для неупорядоченных пар

При составлении пар порядок бывает неважен: (a, b) или (b, a), – главное, составить пару. В таком случае, например, пары (1; 2) и (2; 1) – одно и то же.
Поэтому правило произведения для неупорядоченных пар:

Пусть множество A состоит из n элементов, а множество B состоит из m элементов. При этом множества не пересекаются, A ∩ B = ∅.
Тогда множество всех возможных неупорядоченных пар (a, b) ≡ (b, a) состоит из \(\mathrm{\frac{n\cdot m}{2}}\) элементов.
Выбрать неупорядоченную пару a ∈ A И b ∈ B можно (n · m)/2 способами.

Например:
В саду поспевает 7 видов фруктов. Было решено сварить компот из любых двух фруктов. Сколько всего различных компотов можно сварить?
Первый фрукт можно выбрать n = 7 способами.
Второй фрукт можно выбрать m = 6 способами.
В данном случае 2 фрукта образуют неупорядоченную пару – неважно, в каком порядке их бросать в кастрюлю. Поэтому \(\mathrm{N=\frac{7\cdot 6}{2}=21}\).
Ответ: 21 различных компотов.

п.4. Примеры

Пример 1. О 4-значном пин-коде карты известно, что первая и последняя цифры у него одинаковые, вторая и третья – разные, и не равны первой цифре.
Сколько всего вариантов такого пин-кода?

В начале и в конце одновременно используются цифры {0;1;…;9}, n = 10
На второй позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованной на первом месте, m = 9
На третьей позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованных на первом и втором месте, k = 8
По правилу произведения общее количество наборов: N = nmk = 10·9·8 = 720.
Ответ: 720 вариантов.

Пример 2. Сколько всего 3-значных чисел, у которых ровно две цифры.
а) семёрки; б) нули?

а) Варианты расстановки семёрок:
77x, x ≠ 7 – таких чисел 9
7×7, x ≠ 7 – таких чисел также 9
x77, x ≠ 7 – таких чисел 8 (слева не может стоять 0)
По правилу суммы: 9 + 9 + 8 = 26

б) Вариант расстановки нулей только x00, x ≠ 0 – таких чисел 9
Других вариантов нет.
Ответ: а) 26 чисел; б) 9 чисел.

Пример 3. На экзамене будет 5 задач по 5 разным темам. Каждая задача берется из списка, в котором 8 задач по теме. Вася умеет решать по 3 задачи из каждой темы.
Сколько всего вариантов билетов может быть на экзамене?
Сколько существует вариантов билетов, за которые Вася получит 5 баллов?
Сколько существует вариантов билетов, в которых Вася не решит ни одной задачи?

В экзамене по каждой теме n = 8 вариантов выбора задачи. По правилу произведения всего возможно N = 8⁵ = 32768 вариантов билетов.
Вася готов решать k = 3 задачи по каждой теме. По правилу произведения всего он сможет полностью решить K = 3⁵ = 243 вариантов.
Вася не готов решать m = 8 – 3 = 5 задач по каждой теме. По правилу произведения всего он вообще не сможет решить M = 5⁵ = 3125 вариантов.
Ответ: 32768; 243; 3125.

Пример 4. Каких пятизначных чисел больше: тех, что не делятся на 5, или таких, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки?

Сколько всего пятизначных чисел? На первом месте – 9 вариантов цифр, на четырёх последующих – по 10 вариантов. Итого: N = 9 · 10⁴ = 90000 чисел.
Признак делимости на 5: последняя цифра 5 или 0.
Количество чисел с последней цифрой 5: M₁ = 9 · 10³ · 1 = 9000.
Аналогично, с последним 0: M₂ = 9 · 10³ · 1 = 9000.
Итого, чисел, которые не делятся на 5:
M = N – (M₁ + M₂) = 90000 – 2 · 9000 = 72000.
Сколько всего пятизначных чисел, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки? На первом месте – 8 вариантов цифр, на втором – 9 вариантов. На остальных – по 10 вариантов.
Итого: K = 8 · 9 · 10³ = 72000 чисел.
Получаем: M = K – искомых чисел поровну.
Ответ: их поровну.

Пример 5*. На глобусе проведено 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?

Возьмём неразмеченный глобус. Проведем экватор.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим еще одну параллель. Поверхность разделилась на 3 части.
Мы видим, что n параллелей делит поверхность на N = n + 1 частей.
Соответственно, для 17 параллелей, N = 18 частей.

Опять берём неразмеченный глобус. Проведем меридиан.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим ещё один меридиан. Поверхность разделилась на 4 части.
Мы видим, что m меридианов делит поверхность на M = 2m частей.
Соответственно, для 24 меридианов, M = 48 частей.
Общее количество частей по правилу произведения (с исключением «двойного учета», т.к. нам всё равно: мы сначала проводили параллели, а потом – меридианы, или наоборот): \(\mathrm{\frac{NM}{2}=\frac{48\cdot 18}{2}=432}\).
Ответ: 432 части.

Правила суммы и произведения

1.Правило суммы: если объект А может быть выбран n способами, а объект В – m способами, то выбор «А или В» может быть осуществлен n+m способами.

Пример. Если на одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой — 40 различных книг (и не таких, как на первой полке), то выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно 30+40=70 способами.

При использовании правила сложения нужно следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-нибудь способом выбора объекта В, т. е. чтобы ни одна комбинация не попала сразу в два класса. Если такие совпадения имеются, правило сложения в ранее сформулированной форме утрачивает силу, и мы получаем m + n – k способов выбора, где k — число совпадений.

2. Общее правило суммы: Если объект А можно выбрать m способами, а объект В — n способами, причем при k способах одновременно выбираются и А и В, то выбор «А или В» можно осуществить m + n – k способами.

Пример. Сколько чисел в первой сотне, не делящихся ни на 2, ни на 3?

Решение: Легче вычислить сначала количество чисел первой сотни, делящихся на 2 или на 3. Каждое второе число в натуральном ряде делится на 2, каждое третье— на 3. Поэтому в первой сотне есть 50 чисел, делящихся на 2, и 33 числа (неполное частное от деления 100 на 3), делящихся на 3. Но среди первых и вторых имеются числа, делящиеся и на 2, и на 3, т. е. делящиеся на 6. На 6 делится каждое шестое число в натуральном ряде. Если 100 разделить на 6, то неполное частное будет равняться 16, т. е. 16 чисел в первой сотне делится на 6. Итак, количество чисел в первой сотне, делящихся на 2 или на 3, равно 50 + 33 – 16 = 67. Все остальные не делятся ни на 2, ни на 3. Этих чисел 100 – 67 = 33.

3.Правило произведения: если объект а может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект в – m способами, то выбор «а и в» в указанном порядке может быть осуществлен n*m способами.

Пример. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе — мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье — чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Решение: Первое блюдо можно выбрать одно из трех (борщ, солянку или грибной суп), второе блюдо тоже одно из трех (мясо с макаронами, рыбу с картошкой или курицу с рисом), на десерт только два варианта (чай или компот). Используя правило произведения, получаем: 3х3х2=18.

Пример. В классе 25 человек. Сколькими способами:

а) можно распределить между ними два различных учебника;

б) можно распределить между ними два различных учебника так, чтобы никто не получил оба учебника;

Решение: а) Первый учебник может получить любой из 25 учащихся.Кто бы ни получил первый учебник, второй может достаться снова любому из 25, ведь в условии не сказано, что каждый должен получить не более одного учебника. Всего имеем 25* 25 = 625 способов.

б) В отличие от предыдущего задания, никто не должен получить оба учебника. Поэтому для каждого из 25 вариантов выбора обладателя первого учебника есть 24 способа выбора обладателя второго учебника. Всего имеем 25*24 = 600 способов.

Рассмотрим примеры, использующие правила суммы и произведения.

Пример. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т. е. чтобы какое-то число очков встретилось на обеих костях)?

Решение. Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в случаях выбранная кость окажется «дублем», т.е. костью вида 00, 11, 22, 33,44 , 55 ,66, а в 21 случае — костью с различными числами очков (например, 05, 13 и т.д.).В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шагу выбрана кость 11, то на втором шагу можно взять одну из костей 01, 12, 13, 14, 15, 16).Во втором же случае вторую кость можно выбирать 12 способами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55, 56). По правилу произведения в первом случае получаем 7*6=42 выбора, а во втором 21*12=252 выбора. Значит по правилу суммы получаем 42+252=294 способов выбора пары.

Пример. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные? Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Решение. Всего нечетных цифр — пять, поэтому выбор k-й цифры числа может быть сделан n_к=5 способами (к=1, 2, 3, 4), а количество четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные, равно 5*5*5*5=625. Чтобы ответить на второй вопрос, проще не определять последовательно, сколько существует чисел, в записи которых ровно одна четная цифра, две цифры, три цифры, четыре цифры, а воспользоваться полученным ответом на первый вопрос. Все четырехзначные числа, а их 9999-999=9000, делятся на две группы: те, в записи которых все цифры нечетные, и те, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра. Следовательно, количество чисел второго типа равно 9000-625=8375.

Пример. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С — три дороги. Пусть, кроме того, из города А в город D можно попасть двумя путями, из D в C — четырьмя (рис.1). Сколькими способами можно добраться из А в С?

Рис. 1. Варианты перемещения между городами

Решение: Возможны два случая: путь из А в С проходит через город В или через город D. В каждом из этих случаев число возможных маршрутов легко подсчитать, воспользовавшись правилом произведения. В первом случае имеется 5*3 = 15 маршрутов; во втором — 2*4 = 8. Складывая, получаем общее число маршрутов: 15 + 8 = 23.

Правило суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов соединений, которые встречаются наиболее часто.

Правило суммы | Brilliant Math & Science Wiki

Правило суммы применяется только к взаимоисключающим вариантам выбора, то есть можно выбрать только один из вариантов. Чтобы определить, когда использовать правило суммы (в отличие от правила произведения), попробуйте перефразировать вопрос. Если вопрос можно перефразировать словом «или», это обычно указывает на то, что применяется правило суммы.

Мэри сегодня надела свою счастливую рубашку, и ей нужно выбрать одну из 3 красных и 4 синих юбок, которые она наденет с этой рубашкой. Сколько различных вариантов одежды для одной юбки у нее есть в течение дня?

---

Поскольку Мэри может носить одну из 3 красных юбок или одну из 4 синих юбок, выбор является взаимоисключающим и применяется правило суммы. Это дает в общей сложности \( 3 + 4 = 7 \) различных вариантов снаряжения. \( _\квадрат \)

12 16 23 28

В местном кинотеатре идут \(5\) боевики, \(7\) комедии и \(16\) драмы. Если вы идете в кинотеатр, чтобы посмотреть один фильм, сколько у вас есть вариантов, какой фильм посмотреть?

Рави идет в зоомагазин и обнаруживает, что в зоомагазине есть \(3\) рептилии, \(4\) птицы, \(5\) кролики и \(6\) рыбы. Если Рави может выбрать только одно животное в качестве питомца, сколько у него есть вариантов для питомца?

---

Поскольку Рави может выбрать рептилию, или птицу, или кролика, или рыбу, применяется правило суммы. Затем

• есть \(3\) способа выбрать рептилию;
• есть \(4\) способа выбрать птицу;
• есть \(5\) способов выбрать кролика;
• есть \(6\) способов выбрать рыбу.

По правилу суммы существует \(3+4+5+6=18\) способов выбрать питомца. \(_\квадрат\)

Крис играет в карточную игру, и в его руке есть три пятерки, два валета, два туза, одна девятка и один король. Если ему нужно выбрать одну карту для игры в следующем раунде, сколько у него есть вариантов выбора карты?

---

Так как Крис может играть \(5,\) или валетом, или тузом, или девяткой, или королем, применяется правило суммы. Затем

• есть \(3\) способов выбрать \(5;\)
• есть \(2\) способа выбрать Джека;
• есть \(2\) способов выбрать туз;
• есть \(1\) способ выбрать \(9;\)
• есть \(1\) способ выбрать короля.

По правилу суммы найдется \(3+2+2+1+1=9\) способы выбора карты для игры в следующем раунде. \(_\квадрат\)

Когда подбрасываются \(6\) неразличимых одинаковых монет, сколько существует различных исходов?

Детали и предположения:

• Два исхода одинаковы, если они содержат одинаковое количество решек.

В дилерском центре в городе Исаака продаются 10 красных грузовиков, 5 синих грузовиков, 3 красных автомобиля и 2 синих автомобиля. Если Исаак собирается купить ровно одну красную машину, сколько вариантов у него есть?

---

Красные автомобили — это 10 красных грузовиков и 3 красных автомобиля. Следовательно, всего имеется \( 10+3= 13 \) красных автомобилей. \( _\квадрат \)

Учитывая полную колоду карт, сколько карт с черными лицами или красными и четными?

---

Поскольку есть 3 лицевых карты (валет, дама и король) и 5 ​​четных карт (2, 4, 6, 8, 10), у нас есть следующее, соответствующее нашим критериям:

• 3 лицевые карты пиками
• 3 лицевые карты в трефах
• 5 четных в червах
• 5 пар в бриллиантах.

Таким образом, по правилу суммы существует \( 3 + 3 + 5 + 5 = 16 \) вариантов, которые будут работать. \(_\квадрат\)

Сколько неотрицательных целочисленных решений существует для следующего:

\[ -5 < x < 5\quad \text{ или }\quad 12 < x < 100 ?\]

---

Рассматривая каждое неравенство в отдельности, мы видим, что существует \( 4 — (-4) + 1 = 9 \) целочисленных решений уравнения \(-5 < x < 5\), но \(-4, -3, -2,\) и \(-1\) отрицательны, поэтому есть только \( 9-4=5 \).

Существует \( 99-13+1 = 87 \) целочисленных решений \( 12 < x < 100 \), и все они положительные.

Таким образом, по правилу суммы у нас есть \( 5 + 87 = 92\) возможных ответов. \(_\квадрат\)

Правило суммы и правило произведения Решение задач

Сандип Бхардвадж, Эндрю Эллинор, Пи Хан Го, и

способствовал

Содержимое

• Введение
• Примеры
• Решение проблем
• Смотрите также

Правило суммы (принцип сложения) и правило произведения (принцип умножения) изложены ниже.

Правило суммы — Заявление:

Если есть \( n\) вариантов для одного действия и \( m\) вариантов для другого действия, и два действия не могут быть выполнены одновременно, то есть \( n+m\) способов выбрать одно этих действий.

Правила продукта — заявление:

Если есть \( n\) способов сделать что-то, а затем \( m\) способов сделать еще что-то, то есть \( n\× m\) способов выполнить оба этих действия.

Вот пример, основанный на вышеуказанных правилах.

Кэлвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать из \(3\) автобусов или \(2\) поездов, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго. Оттуда он может выбрать один из двух автобусов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки. Сколько способов есть у Кальвина, чтобы добраться до Милуоки?

---

У него есть \(3 + 2=5\) способов добраться до центра Чикаго. (Правило суммы)
Отсюда у него есть \( 2+3=5\) способов добраться до Милуоки. (Правило суммы)
Следовательно, всего у него есть \( 5\times 5=25\) способов добраться до Милуоки. (Правило произведения) \(_\квадрат\)

Попробуйте решить следующие проблемы.

3 8 2 6

Есть 3 рейса из Калифорнии во Францию ​​и 2 рейса из Франции в Индию. Санджит хочет полететь из Калифорнии во Францию, а затем в Индию.

Сколько вариантов его плана полета?

Ресторан предлагает 5 вариантов закусок, 10 вариантов основного блюда и 4 варианта десерта. Клиент может выбрать одно блюдо, два разных блюда или все три блюда. Предполагая, что все варианты еды доступны, сколько различных возможных блюд предлагает ресторан?

Примечание. Когда вы едите курс, вы выбираете только один из вариантов.

Этот раздел включает основные примеры и задачи, которые помогут вам подготовиться к следующему разделу решения задач.

Кэлвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать из \(3\) автобусов или \(2\) поездов, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго. Оттуда он может выбрать один из двух автобусов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки.

На этот раз он должен купить проездной билет на автобус (что позволит ему ездить только на автобусах) или билет на поезд (что позволит ему ездить только на поезде). Если у него есть деньги только на \(1\) из этих концессий, сколько у него есть способов добраться до Милуоки?

---

Если Кальвин купит проездной на автобусе, у него будет \( 3 \x 2=6\) способов добраться до Милуоки. (Правило произведения)
Если Кальвин покупает концессию на поезд, у него есть \( 2\x3=6\) способов добраться до Милуоки. (Правило произведения)
Следовательно, всего у него есть \(6+6=12\) способов добраться до Милуоки. (Правило суммы) \(_\квадрат\)

Шестеро друзей Энди, Бэнди, Кэнди, Денди, Энди и Фэнди хотят сесть в ряд в кинотеатре. Если доступно только шесть мест, сколькими способами мы можем посадить этих друзей?

---

На первое место у нас есть выбор любого из 6 друзей. После посадки первого человека на второе место у нас есть выбор любого из оставшихся 5 друзей. После посадки второго человека на третье место у нас есть выбор любого из оставшихся 4 друзей. После посадки третьего человека на четвертое место у нас есть выбор любого из оставшихся 3 друзей. После посадки четвертого человека на пятое место у нас есть выбор любого из оставшихся 2 друзей. После посадки пятого человека, на шестое место у нас есть выбор только из 1 оставшегося друга. Следовательно, по правилу произведения существует \( 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720) способов рассадить этих 6 человек. \(_\квадрат\) 9b\), где \( a\) и \( b\) — целые числа, удовлетворяющие \( 0 \leq a \leq 4, 0 \leq b \leq 3\). Есть 5 возможностей для \(a\) и 4 возможности для \(b\), и, следовательно, есть \( 5 \times 4 = 20\) (правило произведения) положительных делителей 2000 во всех. \(_\квадрат\)

Следующие задачи познакомят вас с двумя правилами, описанными выше.

60 10 20 36

Сколько параллелограммов получится, если набор из 5 параллельных прямых пересечет набор из 4 параллельных прямых?

Детали и предположения

• Все параллельные линии бесконечно удлиняются.

Если вы подсчитаете способы подъема на 3 ступени, вы обнаружите, что существует 4 способа подъема на 3 ступени. Представьте, что ноги человека настолько длинны, что он может подняться по 11 ступеням за раз. лезть вверх.

Тогда найдите количество способов, которыми вы можете подняться на 11 ступенек?

Бонус : Обобщите это для \(n\) шагов.

Трое детей, каждый в сопровождении опекуна, хотят поступить в школу. Princi хочет опросить всех 6 человек одного за другим при одном условии, что ни один ребенок не будет опрошен в присутствии его опекуна. Сколькими способами это можно сделать?

Этот раздел содержит задачи от простых до сложных. Попробуйте перечисленные задачи и улучшите свое понимание решения проблем.

Наэма идет в магазин, чтобы купить сок для своего дня рождения. В магазине продаются кувшины с апельсиновым соком, яблочным соком и клюквенным соком. В магазине также продаются замороженные банки с виноградным соком, персиковым соком, соком манго и грушевым соком. Если Наэма хочет только одну банку или кувшин сока, сколько у нее есть вариантов?

Если кто-то покрасит снаружи куб \( 5 \times 5 \times 5 \) из \( 1 \times 1 \times 1 \) единичных кубов, сколько единичных кубов будет окрашено ровно с двух сторон?

По дороге в школу из дома 5 почтовых ящиков. Моя мама дала мне 13 (разных) писем для отправки. Если я могу отправить каждое письмо в любой почтовый ящик, каким захочу, сколькими способами я могу отправить письма?

В игре-побеге вы нашли замок с номерами от 1 до 60. Ранее вы нашли лист бумаги внутри прозрачной бутылки. На листе бумаги изображен замок и четыре подсказки:

1) Четыре числа завершают последовательность.

2) Нет двух одинаковых чисел.

3) Второе число вдвое больше третьего.

4) Третье число простое.

Сколько возможных комбинаций существует для замка?

Определите количество трехзначных положительных целых чисел, произведение цифр которых равно 144?

Даниэль хочет получить 100-дневную серию на Brilliant. org. Он планирует сделать это следующим образом:

В первый день он решает \(1\) задачу. На второй день он решает \(2\) задач. На третий день он решает \(3\) задач. Эта закономерность продолжается до \(10\)-го дня. В \(10\)-й день он решает \(1+0=1\) задачу. В \(11\)-й день он решает \(1+1=2\) задач. В общем, в \(\overline{ab}\)-й день он решает \(a+b\) задач. Наконец, на \(100\)-й день он решает \(1+0+0=1\) задачу, завершая свою серию.

Сколько всего задач он решил?

A Kaboobly Dooists — человек, который много занимается Kaboobly Doo.

Однажды зимним вечером к вам приходят четыре Kaboobly Dooists, Алиса, Боб, Чарльз и Дик. К сожалению, у вас не было для них ничего, кроме 5 яблок, 4 апельсинов и 3 манго. И вы не хотите тратить на них все 12 фруктов, так как хотите оставить 8 для себя. Итак, вы даете в общей сложности 4 фрукта, по одному фрукту каждому из них.

Сколькими способами это можно сделать?

Число 2014 состоит из 4 различных цифр; 1 цифра нечетная, а 3 цифры четные, из них одна цифра ноль.

Сколько четырехзначных чисел (первое не может быть 0) обладают этими свойствами?

Пусть \(n\) будет количеством целых чисел от \(1\) до \(97531\) (включительно), которые не содержат цифры \(2,4,6,8\). Каковы последние три цифры числа \(n\)?

Сколько существует упорядоченных пар \( (A, B) \), где \(A, B\) — подмножества \( \{ 1, 2, 3, 4, 5\} \), таких, что \ (|А\шапка В|=1\)?

Детали и предположения

Учащиеся, не знакомые с системой обозначений, могут обратиться к сообщению в блоге, посвященном системе обозначений, для получения определений.

Рассмотрим псевдо-палиндром:

\[БЫЛА ЭТО КОШКА, ЧТО Я ВИДЕЛ?\]

Сколькими способами можно прочитать \(БЫЛА ЭТО КОШКА, которую Я ВИДЕЛ\), если вы можете начать с любой \(W\ ) и двигаться только вправо, влево, вверх или вниз к соседним буквам? Имейте в виду, что каждый регистр можно учитывать дважды, поскольку это палиндром, и что одна и та же буква может использоваться более одного раза в каждой последовательности.

Бесконечные пределы и асимптоты

Помимо конечных пределов, у последовательностей бывают бесконечные (см. раздел Пределы и ограниченность в главе 5). У функций тоже!

12.1Бесконечные пределы в конечных точках

12.1.1Существование предела и ограниченность

Из лекции 5 мы знаем, что сходящаяся последовательность ограничена. Для функций можно сформулировать аналогичное утверждение.

Теорема 1. Пусть функция f(x) имеет предел при x→x0. Тогда она ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x0. Иными словами, найдутся такие C и δ∗>0, что для всех x∈˚Uδ∗(x0) выполняется неравенство |f(x)|<C.

Доказательство. По определению предела, для всякого ε>0 найдётся такое δ=δ(ε)>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности x0 выполняется неравенство |f(x)−b|<ε.

Положим δ∗:=δ(1) (то есть возьмём ε=1). Тогда для всех x из проколотой δ∗-окрестности точки x0 выполняется неравенство |f(x)−b|<1. По неравенству треугольника,

|f(x)|≤|f(x)−b|+|b−0|<1+|b|.

Положим C=1+|b|. Тогда ˚Uδ∗(x0) — искомая окрестность точки x0. Теорема доказана.∎

Доказательство очень похоже на доказательство аналогичной теоремы для последовательностей, и даже проще: в случае с последовательностями нужно было отдельно рассматривать начальный отрезок. За это мы платим тем фактом, что утверждение об ограниченности распространяется не на всю область определения функции, а лишь на некоторую проколотую окрестность точки x0.

Пример 1. Рассмотрим функцию f(x)=1/x. Она имеет предел при x→1, однако не является ограниченной на всей области определения.

12.1.2Бесконечные пределы

В том случае, когда функция не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки x0, она не может иметь предела в этой точке. Однако, опять аналогично ситуациям с последовательностями, мы можем определить, что означает, что функция стремится к бесконечности в точке x0.

Определение 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что её предел в этой точке равен бесконечности, если для всякого C найдётся такая δ>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 выполняется неравенство: |f(x)|>C. Формально:

∀C∈R ∃δ>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ⇒|f(x)|>C.

∀C∈R ∃δ>0 ∀x∈R:0<|x−x0|<δ⇒|f(x)|>C.

Записывают:

limx→x0f(x)=∞.

Пример 2. Функция f(x)=1x стремится к бесконечности при x→0. Дейстительно, возьмём любоое C. Если C≤0, условие |1/x|>C выполнено автоматически. Если C>0, положим δ=1/C. Тогда если |x|<δ, то |1/x|=1/|x|>1/δ=C.

Пример 3. Функция

f(x)={1/x,x∈Q,0,x∉Q,

не является ограниченной ни в какой проколотой окрестности точки x=0 (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют рациональные числа), но при этом не стремится к бесконечности при x→0 (поскольку сколь угодно близко к нулю существуют иррациональные числа, в которых функция принимает значение 0).

Опять же, аналогично последовательностям, помимо просто бесконечности, бывает плюс бесконечность и минус бесконечность:

Определение 2. Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что её предел в этой точке равен плюс бесконечности (минус бесконечности), если для всякого C найдётся такая δ>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 выполняется неравенство: f(x)>C (соответственно, f(x)<C).

Упражнение 1. Запишите эти три определения в кванторах.

Пример 4. Неверно, что 1/x→+∞ при x→0: когда x приближается к нулю слева (то есть становится очень маленьким по модулю, но отрицательным), 1/x становится большим по модулю, но тоже отрицательным. В то же время, 1/(x2)→+∞ при x→0: знаменатель всегда положительный при x≠0, и когда он маленький по модулю, дробь становится очень большой.

Наконец, можно рассматривать односторонние бесконечные пределы.

Упражнение 2. Придумайте определения для утверждений limx→x+0f(x)=+∞, limx→x+0f(x)=−∞, limx→x−0f(x)=+∞, limx→x−0f(x)=−∞ самостоятельно, объединяя определение 2 и определения 11 и 12 из лекции 10.

Упражнение 3. Снова рассмотрим функцию f(x)=1/x. Докажите, что

limx→0+1x=+∞

и

limx→0−1x=−∞.

Определение 3. Заметим, что если функция стремится к какой-нибудь из бесконечностей (неважно, плюс, минус или просто бесконечности) когда x стремится к x0 с какой-нибудь стороны, график y=f(x) приближается к вертикальной прямой x=x0 когда x приближается к x0 (слева или справа). В этом случае прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой функции y=f(x) (или её графика).

Пример 5. Рассмотрим функцию

f(x)=x−1×2−1.

Знаменатель обнуляется в двух точках: x=1 и x=−1. При приближении к точке x=−1 знаменатель стремится к нулю, а числитель к −2. Значит, дробь стремится к бесконечности (без знака, т.к. знаменатель может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, с какой стороны приближаемся). У функции есть вертикальная асимптота x=−1. В точке x=1 обнуляется и числитель, и знаменатель. Чтобы найти предел в этой точке, сократим дробь на (x−1). Получится выражение 1/(x+1). Оно имеет предел, равный 1/2 при x→1. Значит, вертикальной асимптоты x=1 у функции нет.

Рис. 12.2: У функции f(x)=x−1×2−1 есть единственная вертикальная асимптота: x=−1.

12.2Пределы на бесконечности

Другой тип пределов функций, связанный с бесконечностями — это предел при x стремящемся к бесконечности.

12.2.1Конечные пределы на бесконечности и горизонтальные асимптоты

Определение 4. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших по модулю значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x, для которых |x|>C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен b, если для всякого ε>0 найдётся такое C, что для всех x, если |x|>C, то |f(x)−b|<ε.

Определение 5. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x>C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен b, если для всякого ε>0 найдётся такое C, что для всех x>C верно неравенство |f(x)−b|<ε.

Определение 6. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших по модулю отрицательных значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x<C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к минус бесконечности равен b, если для всякого ε>0 найдётся такое C, что для всех x<C верно неравенство |f(x)−b|<ε.

Обозначения:

limx→∞f(x)=b,limx→+∞f(x)=b,limx→−∞f(x)=b.

Упражнение 4. Докажите, что если limx→∞f(x)=b, то limx→+∞f(x)=b и limx→−∞f(x)=b. Верно и обратное: если limx→+∞f(x)=b и limx→−∞f(x)=b, то limx→∞f(x)=b. Докажите и это.

Пример 6. Функция f(x)=1/x стремится к нулю при x→∞. (Докажите!)

Пример 7. Функция f(x)=ex стремится к нулю при x→−∞, а предел при x→+∞ не существует.

Определение 7. Если функция стремится к какому-то числу при x→+∞ или x→−∞, её график приближается к горизонтальной прямой y=b. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Рис. 12.3: Прямая y=0 является горизонтальной асимптотой функции f(x)=(sinx)/x.

Вопрос 1. Сколько вертикальных асимптот может быть у функции?

  Сколько угодно, даже бесконечное число.

Верный ответ. Это правда. Например, у тангенса их бесконечно много.

  Тоже не больше двух.

Неверный ответ. У функции f(x)=1/(x(x−1)(x+1)) их три!

  Сколько угодно, но конечное число.

Неверный ответ. Что насчёт тангенса?

Вопрос 2. Рассмотрим два предела: предел функции limx→+∞sin(πx) и предел последовательности limn→∞sin(πn). Что вы можете про них сказать?

  Они оба существуют, но не равны.

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

  Они оба существуют и равны.

Неверный ответ. Это вряд ли. Функция sinπx может принимать значения 1 или −1 для сколь угодно больших x.

  Они оба не существуют.

Неверный ответ. А что вы можете сказать про последовательность {sin(πn)}? Найдите несколько её членов.

  Предел функции существует, а предел последовательности нет.

Неверный ответ. Этого не может быть из определения предела по Гейне.

  Предел последовательности существует, а предел функции нет.

Верный ответ. И правда! Последовательность на самом деле состоит из нулей и её предел равен нулю. А функция sinπx может принимать значения 1 или −1 для сколь угодно больших x, и значит не имеет предела.

12.2.2Бесконечные пределы на бесконечности

Мы рассмотрели бесконечные пределы в конечных точках и конечные пределы на бесконечности. Можно скрестить ужа с ежом и получить бесконечные пределы при x стремящемся к бесконечности.

Определение 8. Пусть функция f(x) определена для всех достаточно больших значений x, то есть найдётся такое C∗, что f(x) определена для всех x>C∗. Говорят, что предел функции f(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен плюс бесконечности, если для всякого D найдётся такое C, что для всех x>C верно неравенство f(x)>D. Записывают:

limx→+∞f(x)=+∞.

Упражнение 5. Придумайте определения для остальных комбинаций бесконечностей.

Пример 8. Функция f(x)=x2 стремится к плюс бесконечности при x→∞, а функция f(x)=x3 стремится просто к бесконечности при x→∞.

Пример 9. Рассмотрим функцию

f(x)=11+e−x.

При x→+∞ функция e−x стремится к нулю (она равна 1/ex, и раз ex становится очень-очень большим, e−x становится очень близким к нулю). По арифметике пределов,

limx→+∞11+e−x=11+0=1.

При x→−∞ функция e−x стремится к плюс бесконечности. В этом случае знаменатель дроби также стремится к плюс бесконечности. Поскольку числитель равен 1, значение дроби стремится к нулю (см. утверждение 2 из лекции 7, где шла речь про «арифметику бесконечностей»). Значит

limx→−∞11+e−x=0.

У нашей функции две горизонтальные асимптоты: y=0 и y=1. (И вообще это важная функция — так называемая «сигмоида», встречается в эконометрике и нейросетях.)

Рис. 12.4: У функции f(x)=1/(1+e−x) две горизонтальные асимптоты: y=0 и y=1.

12.2.3Наклонные асимптоты

Пусть limx→∞f(x)=∞. Тогда функция не может иметь горизонтальных асимптот. Однако её график по-прежнему может приближаться к какой-нибудь прямой — только не горизонтальной.

Пример 10. Рассмотрим функцию

f(x)=x+1x.

Её предел при x→∞ равен бесконечности, и когда x стремится к бесконечности, график функции неограниченно приближается к прямой y=x.

Рис. 12.5: У функции f(x)=x+1x есть наклонная асимптота y=x.

Действительно, давайте возьмём большое значение x=x0 и посчитаем «расстояние по вертикали» между графиком функции и прямой y=x для этого значения x. (Иными словами, мы проведём вертикальную прямую x=x0 и посмотрим на расстояние между точками пересечения этой прямой и графиков y=f(x) и y=x.) Это расстояние вычисляется как |f(x)−x|=|1/x|. Оно стремится к нулю при x→∞.

Определение 9. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой функции f(x) (или её графика), если хотя бы один из пределов

limx→+∞(f(x)−(kx+b)),

или

limx→−∞(f(x)−(kx+b))

равен нулю.

Как искать наклонные асимптоты? На эту тему есть рецепт.

Утверждение 1. Наклонная асимптота y=kx+b при x→+∞ у функции f(x) существует тогда и только тогда, когда существуют пределы limx→+∞f(x)x=k;limx→+∞(f(x)−kx)=b. (12.1)(12.2) При этом они обязаны равняться указанным значениям (k и b).

Доказательство. Докажем в одну сторону. Пусть y=kx+b является наклонной асимптотой функции f(x) при x→+∞. Тогда

limx→+∞f(x)x=limx→+∞f(x)−(kx+b)+(kx+b)x==limx→+∞(f(x)−(kx+b)x+k+bx)=k

limx→+∞f(x)x==limx→+∞f(x)−(kx+b)+(kx+b)x==limx→+∞(f(x)−(kx+b)x+k+bx)=k

Предел первого слагаемого равен нулю, поскольку числитель стремится к нулю (по предположению), а знаменатель к бесконечности.

Со вторым пределом ещё проще:

limx→+∞(f(x)−kx)=limx→+∞((f(x)−(kx+b)+b)=b.

limx→+∞(f(x)−kx)==limx→+∞((f(x)−(kx+b)+b)=b.

В обратную сторону. Пусть существует предел (12.2) и он равен b. Тогда

limx→+∞(f(x)−(kx+b))=limx→+∞(f(x)−kx)−b=b−b=0.

limx→+∞(f(x)−(kx+b))==limx→+∞(f(x)−kx)−b=b−b=0.

Утверждение доказано. ∎

Конечно, можно сформулировать и доказать аналогичное утверждение для x→−∞.

Таким образом, чтобы найти наклонные асимптоты, нужно сперва найти предел (12.1). Если он не существует, наклонной асимптоты (для этой бесконечности) точно нет. Если существует, нужно найти предел (12.2). Если этот предел существует, прямая y=kx+b является наклонной асимптотой.

Пример 11. Может так случиться, что предел (12.1) существует, а предел (12.2) нет. Например, это верно для функции f(x)=sinx.

12.3Заключение

Главная цель математического анализа — научиться «заглядывать в бесконечность». В этой лекции мы серьезно продвинулись в этом навыке.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Mathway | Популярные задачи

 \documentclass[12pt]{статья}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{расчет}
% http://tex.stackexchange.com/questions/60453/reduction-font-size-in-equation/
\newcommand*{\Scale}[2][4]{\scalebox{#1}{$#2$}}%
\newcommand*{\Resize}[2]{\resizebox{#1}{!}{$#2$}}%
\начать{документ}
\noindent
Без \verb|\mathclap|:
\[ \lim_{n\to +\infty}x(n) \]
Но с \verb|\mathclap|::
\[ \lim_{\mathclap{n \to +\infty}}x(n) \]
Использование \verb|\scriptstyle| изменить размер:
\[ \lim_{\scriptscriptstyle n \to +\infty} х (n) \]
Использование \verb|\Scale|
\[ \lim_{\Масштаб[0,5]{n \to +\infty}} x(n) \]
Использование \verb|\Resize|
\[ \lim_{\Resize{\widthof{$\lim{}$}}{n \to +\infty}} x(n) \]
\конец{документ}
 

 \documentclass{статья}
\usepackage[usestackEOL]{стековый движок}
\usepackage{graphicx}
\стекМатематика
\def\stackalignment{l}\def\useanchorwidth{T}
\начать{документ}
\[
\ mathop {\ stackunder [3pt] {\ lim} {\ scriptstyle n \ rightarrow + \ infty}} x (n)
\]
\[
\ mathop {\ stackunder [2.5pt] {\ lim} {\ scriptscriptstyle n \ rightarrow + \ infty}} x (n)
\]
\[
\mathop{\stackunder[2pt]{\lim}{\scalebox{.33}{$n\rightarrow+\infty$}}} x(n)
\]
\конец{документ}
 

 \documentclass{статья}
\usepackage[usestackEOL]{стековый движок}
\usepackage{graphicx}
\стекМатематика
\начать{документ}
\[
\ mathop {\ stackengine {3pt} {\ lim} {\ scriptstyle n \ rightarrow + \ infty} {U} {l} {F} {T} {S}} x (n)
\]
\[
\ mathop {\ stackengine {2.5pt} {\ lim} {\ scriptscriptstyle n \ rightarrow + \ infty} {U} {l} {F} {T} {S}} x (n)
\]
\[
\mathop{\stackengine{2pt}{\lim}{\scalebox{.33}{$n\rightarrow+\infty$}}{U}{l}{F}{T}{S}} x(n)
\]
\конец{документ}
 

 \documentclass{article}
\makeatletter
\newcommand{\awfullim}{\@ifnextchar _{\@awfullim}{\lim}}
\newcommand{\@awfullim}[2]{% #1 равно _
  \settowidth{\dimen0}{$\lim$}%
  \settowidth{\dimen2}{$\scriptstyle#2$}%
  \ifdim\dimen2<\dimen0
    \lim_{#2}%
  \еще
    \addtolength{\dimen2}{-\dimen0}%
    \kern-\dimen2 \lim_{\kern\dimen2 #2}%
  \fi
}
\ сделать другое
\начать{документ}
\[
\awfullim_{x\to0^+}f(x)=\awfullim_{y\to+\infty}f(1/y)
\]
\конец{документ}
 

 \documentclass{статья}
\usepackage{аммат}
\usepackage{settobox}
\usepackage[noactivechars]{mathstyle}
\newsavebox{\opbox}
\newsavebox{\argbox}
\newlength{\opheight}
\newlength{\opdepth}
\newlength{\argheight}
\newlength{\argdepth}
\newcommand\vcenterop[2]{%
  \edef\savedstyle{\currentmathstyle}
  \savebox{\opbox}{\(\savedstyle #1\)}
  \savebox{\argbox}{\(\savedstyle #2\)}
  \settoboxheight{\opheight}{\opbox}
  \settoboxdepth{\opdepth}{\opbox}
  \settoboxheight{\argheight}{\argbox}
  \settoboxdepth{\argdepth}{\argbox}
  \addtolength{\argheight}{-\opheight}
  \addtolength{\argheight}{-\argdepth}
  \addtolength{\argheight}{\opdepth}
  \mathop{\raisebox{0,5\argheight}{\usebox{\opbox}}} \mathord{\usebox{\argbox}}
}
\начать{документ}
\начать{выравнивать*}
  &\textstyle\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{f(x)} &\textstyle\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{\frac{f(x)}{g(x) }} \\
  &\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{f(x)} &\vcenterop{\lim_{x \to 0}}{\frac{f(x)}{g(x)}} \\
  &\lim_{x \to 0} f(x) &\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \\
  &\vcenterop{\log_2}{f(x)^2} &\vcenterop{\log_2}{\frac{f(x)^2}{g(x)^2}} \\
  &\log_2 f(x)^2 &\log_2 \frac{f(x)^2}{g(x)^2}
\конец{выравнивание*}
\конец{документ}
 

 \documentclass{статья}
\usepackage{юникод-математика}
\usepackage{settobox}
\usepackage[noactivechars]{mathstyle}
\defaultfontfeatures{ Лигатуры=TeX, Масштаб=MatchLowercase}
% Tillana — это бесплатный шрифт от Indian Type Foundry, доступный по адресу:
% https://github.com/itfoundry/tillana/
% VAG Handwriting — это бесплатный шрифт от VAG Design, доступный по адресу:
% https://www.fontsquirrel.com/fonts/VAG-HandWritten
\setmainfont{VAG-HandWritten.otf}
\setmathfont{GFS Неоэллинская математика}
\setmathfont[range={"03C0,"2013-"2014,"2018-"201A,"201C-"201E,"2021-"2022,
                    "2026", "2030", "2039"-"203А", "2044", "20АС", "20БА", "20БД",
                    2113, 2122, 2126, 212Е, 2202, 2206, 220F, 2211,
                    2212, 2215, 221А, 221Е, 222Б, 2246, 2260, 2264,
                    "2265", "25КА}
            ]{Тиллана-Regular.otf}
\setmathfont[range=bfup/{латиница,латиница,число}
            ]{Tillana-Semibold.