Автор: alexxlab

Ответ. $\begin{aligned} \cos \phi=\frac{14}{15} \end{aligned}$

Читать дальше: как найти скалярное произведение векторов.

Найдите косинус угла между векторами a=4m-p и b=m+2p, если m и p перпендикулярны |m|=|p|=1 — вопрос №4258031 — Учеба и наука

18. 03.21 Лучший ответ по мнению автора

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 6√3 дм. Найдите периметр правильного шестиугольника описанного около той же окружности.

Здравствуйте! Прошу помощи! Алеша сказал: «У Змея Горыныча больше трех голов». Добрыня сказал: » У Змея больше 4-х голов». Илья сказал:»У Змея больше

Решено

Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) АС+СВ 2)ВА-ВС 3)АС+АВ

На окружности с центром в точке О по порядку отмечены 4 точки: D, H, L, P. Найди вторую сторону получившегося четырехугольника, если угол D=90

вишнёвом сиропе фирмы «Аграрий» содержится 30 % сахара, в малиновом сиропе фирмы «Мишка» — 50 %, фирма «Солнышко» производит сироп из клюквы с

Пользуйтесь нашим приложением

Угол между двумя векторами Формула

Векторная величина – это физическая величина, имеющая как величину, так и направление. Когда на частицу действуют два вектора, результирующее действие на частицу будет зависеть от угла между этими векторами. Поэтому важно знать угол между ними.

Некоторые свойства вектора для вычисления угла

Вектор представлен стрелкой, параллельной направлению вектора.

• Вектор остается неизменным, если он передается параллельно самому себе.
• Два вектора, имеющие одинаковое направление, являются параллельными векторами.
• Два вектора, имеющие противоположные направления, являются антипараллельными векторами.
• Два вектора, имеющие одинаковую величину и направление, являются равными векторами.
• Два вектора, имеющие одинаковую величину и противоположное направление, называются отрицательными векторами.

Скалярное произведение

Также известно как скалярное произведение векторов. У него есть только величина, но нет направления.

Два вектора А и В

Тогда скалярное произведение A и B определяется как,

= |A| |Б| cosθ.

Особые случаи

• Когда угол между векторами равен 0 градусов.

То есть θ = 0°

⇒ |A| |Б| cosθ.

⇒ |А| |Б| cos0°

⇒ |А| |Б| [cos0° = 1]

• Когда угол между векторами равен 180 градусов.

⇒ |А| |Б| cosθ.

⇒ |А| |Б| cos180°

⇒ – |A| |Б| [cos180° = -1]

• Когда угол между векторами равен 90 градусов.

⇒ |А| |Б| cosθ.

⇒ |А| |Б| cos90°

⇒ |А| |Б| × 0 [cos90° = 0]

⇒ 0,

Формула для угла между двумя векторами

Косинус угла между двумя векторами равен сумме произведений отдельных составляющих двух векторов, разделенных произведением величины двух векторов.

Два вектора A и B

 =| А | | Б | cosθ.

cosθ=

θ= cos ^-1  

В декартовой форме,

A = A _x i + A _y j + A _z k

B= B x 8 9 j0 90890 i8 + B x 0 i8 _г k

cosθ =

Свойства скалярного произведения

• Скалярное произведение коммутативно.

• Дополнительный продукт является распределительным.

В физике при конвекции угол между двумя векторами лежит между 0 ≤ θ ≤ 180. Когда хвосты или вершины обоих векторов совпадают, вычисляется угол между векторами.

Хвост совпадает

Голова совпадает

Примеры задач

Вопрос 1. Найдите угол между векторами (если они образуют равносторонний треугольник) 5 b и c векторы

Равносторонний треугольник, образованный векторами а, b, с

Решение:

• Векторы а и b друг друга, следовательно, угол между векторами a и b равен углу между двумя сторонами равностороннего треугольника = 60°.
  • Векторы b и c:

  Из рисунка выше видно, что начало или конец векторов b и c не совпадают друг с другом.

  Итак, с помощью свойства- Вектор остается неизменным, если он передается параллельно самому себе.

  Вектор c смещен параллельно самому себе

  Теперь мы видим, что хвосты векторов b и c совпадают друг с другом, следовательно, такой же, как внешний угол при равностороннем треугольнике = 120°.

  • Векторы а и с

  Хвост векторов а и с совпадает

  Для векторов а и с хвосты обоих векторов совпадают, следовательно, угол между векторами а и с равен углу между Две стороны равностороннего треугольника = 60°.

Вопрос 2: Найдите углы между векторами, если они образуют равнобедренный прямоугольный треугольник.

• вектор a и b
• вектор b и c
• векторы a и c

Решение:

• вектор a и b

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Из приведенного выше рисунка видно, что вершина и хвост вектора a не совпадают. друг с другом. Итак, с помощью свойства- Вектор остается неизменным, если он передается параллельно самому себе.

вектор сдвинут параллельно самому себе

Теперь хвосты векторов a и b совпадают и образуют угол, равный внешнему углу прямоугольного равнобедренного треугольника = 135°.

• Векторы b и c

Прямоугольный равнобедренный треугольник

На приведенном выше рисунке вершина или решка векторов b и c не совпадают. Таким образом, при использовании свойства вектор остается неизменным, если он передается параллельно самому себе.

Вектор b смещен параллельно самому себе

Теперь хвосты векторов b и c совпадают и составляют угол, равный внешнему углу прямоугольного равнобедренного треугольника = 135°.

• Векторы a и c

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Из приведенного выше рисунка видно, что вершина или решка векторов a и c не совпадают. Итак, с помощью свойства- Вектор остается неизменным, если он передается параллельно самому себе.

Вектор c перемещается параллельно самому себе

Теперь хвосты векторов a и c совпадают и составляют угол, равный прямому углу равнобедренного треугольника = 90°.

Вопрос 3: Найдите угол между векторами A = i + j + k и вектором B = -2i – 2j – 2k.

Решение:

Из формулы

A = A _x i + A _y j + A _z k 90 8 8 B = 90 0 8 B 90 0 0 8 B = 9 0 8 B 8 B 0 9 0 я + В _г й + B _z k       

cosθ=

Здесь в заданном вопросе

A= i + j + k.

В= -2i -2j -2k.

Подставляя значения в формулу

⇒ cosθ =

⇒ cosθ =

⇒ cosθ =

⇒ cosθ =

⇒ cosθ = -6/6

⇒ cosθ= -1

⇒ θ = 180°.

Вопрос 4. Найдите угол между векторами A = 3i + 4j и B = 2i + j

Решение:

k

B = B _x i + B _y j + B _z k      

cosθ =

Здесь дано,

A= 2 0 3 я + j + 0k

Подставляя значения в формулу,

⇒ cosθ =

⇒ cosθ =

⇒ cosθ =

⇒ cosθ =

⇒ θ = cos 90⇒002 -1

() θ = cos ^-1 ()

Вопрос 5 : Найдите угол между вектором A = i + j и вектором B = j + k.

Решение:

Из формулы

A = A _x i + A _y j + A _z k 9008 B = 8

B = 8

3 90 9 я + В _г й + В _с k      

cosθ =   

Здесь в заданном вопросе

⇒ A = i + j

⇒ B = j + k

⇒ cosθ = 0 9 θ 0 9 θ

⇒ 9000 co

⇒ cosθ =.

⇒ θ = cos ^-1 (1/2)

⇒ θ = 60°.

Калькулятор угла между двумя векторами Просто введите компоненты каждого вектора в форме

Как найти угол между двумя векторами

Чтобы найти угол между двумя векторами:

1. Найдите скалярное произведение двух векторов.
2. Разделите это значение на величину первого вектора.
3. Разделите это значение на величину второго вектора.
4. Возьмите арккосинус этого значения, чтобы получить угол.

Например, найдите угол между и .

Шаг 1. Найдите скалярное произведение двух векторов

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, умножьте соответствующие компоненты и сложите их.

Скалярное произведение двух двумерных векторов и находится с помощью .

Для векторов и скалярное произведение .

Поэтому

(3\-2)” role=”presentation” style=”font-size: 113%; position: relative;»>

Шаг 2. Разделите это на величину первого вектора

Чтобы вычислить величину вектора, используйте теорему Пифагора с компонентами 𝑥 и y вектора.

Величина любого вектора находится следующим образом: .

Следовательно, величина вектора равна .

Это становится который есть .

Величина первого вектора, a равна .

Мы делим скалярное произведение, рассчитанное ранее, на эту величину.

Получаем

Шаг 3. Разделим на величину второго вектора

Величина второго вектора b находится с помощью .

Для вектора величина равна .

Это становится то, что есть .

Мы делим предыдущий результат на эту величину, чтобы получить

Шаг 4. Возьмем арккосинус этого результата

Формула для нахождения угла между двумя векторами: .

Это можно преобразовать, взяв значение, обратное косинусу в обеих частях уравнения.

Угол между двумя векторами равен .

Как было рассчитано ранее:

Используя калькулятор, мы вводим, .

Это дает нам угол между двумя векторами как .

Формула угла между двумя векторами

Формула для угла между двумя векторами a и b равна θ=cos ^-1 ( ^a•b / _{|a||b| 90) . Где вектор a равен (a x a y ), а вектор b равен (b x b y ), скалярное произведение} a•b=a x _{х + а у б у . Величина вектора |a|=√ ( a x ² + a y ²}

6 ) и модуль вектора 06

( б _х ² + б _у ² ).

Наиболее распространенное отображение формулы для угла между двумя векторами показано ниже как .

Эту формулу можно преобразовать в более удобную формулу, взяв арккосинус обеих частей уравнения.

Это дает нам прямую формулу для угла между двумя векторами.

Угол между двумя векторами равен .

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти угол между двумя векторами в 2D.

Найдите угол между векторами и .

В этих двух векторах a _x = 2, a _y = 5, b _x = -4 и b _г = -1.

Скалярное произведение находится с помощью , которое для наших векторов становится и так .

Величина каждого вектора находится с помощью теоремы Пифагора с компонентами 𝑥 и y.

Для этих векторов и т.д. и так .

Теперь можно использовать формулу.

и это можно оценить прямо на калькуляторе, чтобы дать.

Как найти угол между двумя векторами в 3D

Чтобы найти угол между двумя векторами в 3D:

1. Найдите скалярное произведение векторов.
2. Разделите скалярное произведение на величину каждого вектора.
3. Используйте инверсию косинуса к этому результату.

Например, найдите угол между и .

Эти векторы содержат компоненты в трех измерениях: 𝑥, y и z.

Для вектора a _x = 2, a _y = -1 и a _z = 3.

Для вектора b _x = 2, b _y = 0 и b 00088 z = 1.

Шаг 1. Найдите скалярное произведение векторов

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, умножьте соответствующие компоненты каждого вектора и сложите результаты.

Для вектора в 3D .

Для наших векторов это становится .

Это упрощается до .

Шаг 2. Разделите это скалярное произведение на величину двух векторов

Чтобы найти величину вектора в 3D, используйте теорему Пифагора. Например, .

Для вектора , . Это упрощает до .

Для вектора , . Это упрощает до .

Мы делим скалярное произведение, найденное на шаге 1, на обе эти величины.

Получаем .

Шаг 4. Используйте обратный косинус для этого результата

Формула для угла между двумя векторами: . Эту формулу можно использовать для векторов в 2D или 3D.

Чтобы изменить эту формулу для угла, мы берем арккосинус обеих сторон.

Ранее мы рассчитали , и .

Поэтому .

Это можно оценить на калькуляторе, чтобы получить угол между двумя векторами как .

Что говорит нам о векторах знак cosθ?

Если значение cosθ положительное, угол между векторами острый. Если значение cosθ отрицательно, угол между векторами тупой.

Как определить, перпендикулярны ли два вектора

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Для двух векторов (a _x a _y ) и (b _x b _y ), скалярное произведение равно a•b =

5

б _х + а _у б _у . Если a _x b _x + a _y b _y , то два вектора перпендикулярны. Это означает, что они встречаются под прямым углом.

Формула для угла между двумя векторами имеет вид .

Если , то эта формула принимает вид .

Если числитель дроби равен нулю, то вся дробь равна нулю. Поэтому формула становится .

Решая это для угла, мы используем арккосинус нуля, .

правило, примеры решений. Что такое дробь

На этом уроке мы рассмотрим приведение дробей к общему знаменателю и решим задачи по этой теме. Дадим определение понятию общего знаменателя и дополнительного множителя, вспомним о взаимно простых числах. Дадим определение понятию наименьший общий знаменатель (НОЗ) и решим ряд задач на его нахождение.

Тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Урок: Приведение дробей к общему знаменателю

Повторение. Основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Например, числитель и знаменатель дроби можно разделить на 2. Получим дробь . Эту операцию называют сокращением дроби. Можно выполнить и обратное преобразование, умножив числитель и знаменатель дроби на 2. В этом случае говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю. Число 2 называют дополнительным множителем.

Вывод. Дробь можно привести к любому знаменателю кратному знаменателю данной дроби. Для того чтобы привести дробь к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

1. Приведите дробь к знаменателю 35.

Число 35 кратно 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Значит, это преобразование возможно. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим 35 на 7. Получим 5. Умножим на 5 числитель и знаменатель исходной дроби.

2. Приведите дробь к знаменателю 18.

Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный. Получим 3. Умножим на 3 числитель и знаменатель данной дроби.

3. Приведите дробь к знаменателю 60.

Разделив 60 на 15, получим дополнительный множитель. Он равен 4. Умножим числитель и знаменатель на 4.

4. Приведите дробь к знаменателю 24

В несложных случаях приведение к новому знаменателю выполняют в уме. Принято только указывать дополнительный множитель за скобочкой чуть правее и выше исходной дроби.

Дробь можно привести к знаменателю 15 и дробь можно привести к знаменателю 15. У дробей и общий знаменатель 15.

Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей. Для простоты дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Это число 12. Найдем дополнительный множитель для первой и для второй дроби. Для этого 12 разделим на 4 и на 6. Три — это дополнительный множитель для первой дроби, а два — для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.

Мы привели дроби и к общему знаменателю, то есть мы нашли равные им дроби, у которых один и тот же знаменатель.

Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо

Во-первых, найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

Во-вторых, разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.

В-третьих, умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

а) Привести к общему знаменателю дроби и .

Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби — 4, для второй — 3. Приводим дроби к знаменателю 24.

б) Привести к общему знаменателю дроби и .

Наименьший общий знаменатель равен 45. Разделив 45 на 9 на 15, получим, соответственно, 5 и 3. Приводим дроби к знаменателю 45.

в) Привести к общему знаменателю дроби и .

Общий знаменатель — 24. Дополнительные множители, соответственно, — 2 и 3.

Иногда бывает трудно подобрать устно наименьшее общее кратное для знаменателей данных дробей. Тогда общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.

Привести к общему знаменателю дроби и .

Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Выпишем разложение числа 60 и добавим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения. Умножим 60 на 14 и получим общий знаменатель 840. Дополнительный множитель для первой дроби — это 14. Дополнительный множитель для второй дроби — 5. Приведем дроби к общему знаменателю 840.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. — ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

Можно скачать книги, указанные в п. 1.2. данного урока.

Домашнее задание

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)

Домашнее задание: №297, №298, №300.

Другие задания: №270, №290

В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.

Что такое приведение дроби к общему знаменателю?

Обыкновенные дроби состоят из числителя — верхней части, и знаменателя — нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби 11 14 , 17 14 , 9 14 имеют одинаковый знаменатель 14 . Другими словами, они приведены к общему знаменателю.

Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.

Очевидно, что дроби 4 5 и 3 4 не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби 4 5 на 4 , а числитель и знаменатель дроби 3 4 умножим на 5 . Вместо дробей 4 5 и 3 4 получим соответственно 16 20 и 15 20 .

Приведение дробей к общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю — это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.

Общий знаменатель: определение, примеры

Что такое общий знаменатель?

Общий знаменатель

Общий знаменатель дробей — это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.

Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.

Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.

Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби 1 6 и 3 5 . Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел 6 и 5 . Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.

Рассмотрим пример.

Пример 1. Общий знаменатель

Можно ди дроби 1 3 , 21 6 , 5 12 привести к общему знаменателю, который равен 150 ?

Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3 , 6 , 12 . Другими словами, число 150 должно без остатка делиться на 3 , 6 , 12 . Проверим:

150 ÷ 3 = 50 , 150 ÷ 6 = 25 , 150 ÷ 12 = 12 , 5

Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель дробей — это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.

Наименьший общий делитель данного набора чисел — это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.

Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:

Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель

Нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей 1 10 и 127 28 .

Ищем НОК чисел 10 и 28 . Разложим их на простые множители и получим:

10 = 2 · 5 28 = 2 · 2 · 7 Н О К (15 , 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.

Правило приведения дробей к общему знаменателю

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Чтобы найти множитель нужно наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю

Есть дроби 3 14 и 5 18 . Приведем их к наименьшему общему знаменателю.

По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.

14 = 2 · 7 18 = 2 · 3 · 3 Н О К (14 , 18) = 2 · 3 · 3 · 7 = 126

Вычисляем дополнительные множители для каждой дроби. Для 3 14 дополнительный множитель находится как 126 ÷ 14 = 9 , а для дроби 5 18 дополнительный множитель будет равен 126 ÷ 18 = 7 .

Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:

3 · 9 14 · 9 = 27 126 , 5 · 7 18 · 7 = 35 126 .

Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю

По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.

Приведем еще один пример.

Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю

Привести дроби 3 2 , 5 6 , 3 8 и 17 18 к наименьшему общему знаменателю.

Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:

Н О К (2 , 6) = 6 Н О К (6 , 8) = 24 Н О К (24 , 18) = 72 Н О К (2 , 6 , 8 , 18) = 72

Для 3 2 дополнительный множитель равен 72 ÷ 2 =   36 , для 5 6 дополнительный множитель равен 72 ÷ 6 =   12 , для 3 8 дополнительный множитель равен 72 ÷ 8 =   9 , наконец, для 17 18 дополнительный множитель равен 72 ÷ 18 =   4 .

Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:

3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке мы рассмотрим приведение дробей к общему знаменателю и решим задачи по этой теме. Дадим определение понятию общего знаменателя и дополнительного множителя, вспомним о взаимно простых числах. Дадим определение понятию наименьший общий знаменатель (НОЗ) и решим ряд задач на его нахождение.

Тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Урок: Приведение дробей к общему знаменателю

Повторение. Основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Например, числитель и знаменатель дроби можно разделить на 2. Получим дробь . Эту операцию называют сокращением дроби. Можно выполнить и обратное преобразование, умножив числитель и знаменатель дроби на 2. В этом случае говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю. Число 2 называют дополнительным множителем.

Вывод. Дробь можно привести к любому знаменателю кратному знаменателю данной дроби. Для того чтобы привести дробь к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

1. Приведите дробь к знаменателю 35.

Число 35 кратно 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Значит, это преобразование возможно. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим 35 на 7. Получим 5. Умножим на 5 числитель и знаменатель исходной дроби.

2. Приведите дробь к знаменателю 18.

Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный. Получим 3. Умножим на 3 числитель и знаменатель данной дроби.

3. Приведите дробь к знаменателю 60.

Разделив 60 на 15, получим дополнительный множитель. Он равен 4. Умножим числитель и знаменатель на 4.

4. Приведите дробь к знаменателю 24

В несложных случаях приведение к новому знаменателю выполняют в уме. Принято только указывать дополнительный множитель за скобочкой чуть правее и выше исходной дроби.

Дробь можно привести к знаменателю 15 и дробь можно привести к знаменателю 15. У дробей и общий знаменатель 15.

Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей. Для простоты дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Это число 12. Найдем дополнительный множитель для первой и для второй дроби. Для этого 12 разделим на 4 и на 6. Три — это дополнительный множитель для первой дроби, а два — для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.

Мы привели дроби и к общему знаменателю, то есть мы нашли равные им дроби, у которых один и тот же знаменатель.

Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо

Во-первых, найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

Во-вторых, разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.

В-третьих, умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

а) Привести к общему знаменателю дроби и .

Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби — 4, для второй — 3. Приводим дроби к знаменателю 24.

б) Привести к общему знаменателю дроби и .

Наименьший общий знаменатель равен 45. Разделив 45 на 9 на 15, получим, соответственно, 5 и 3. Приводим дроби к знаменателю 45.

в) Привести к общему знаменателю дроби и .

Общий знаменатель — 24. Дополнительные множители, соответственно, — 2 и 3.

Иногда бывает трудно подобрать устно наименьшее общее кратное для знаменателей данных дробей. Тогда общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.

Привести к общему знаменателю дроби и .

Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Выпишем разложение числа 60 и добавим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения. Умножим 60 на 14 и получим общий знаменатель 840. Дополнительный множитель для первой дроби — это 14. Дополнительный множитель для второй дроби — 5. Приведем дроби к общему знаменателю 840.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. — ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

Можно скачать книги, указанные в п.1.2. данного урока.

Домашнее задание

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)

Домашнее задание: №297, №298, №300.

Другие задания: №270, №290

• Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
• Понятие о НОК
• Приведение дробей к одному знаменателю
• Как сложить целое число и дробь

1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Пример 1:

Пример 2:

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.

3 Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

1. Разложить эти числа на простые множители
2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4 Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

5 Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Тренажер 1

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 20 заданий окончено

Информация

В этом тесте проверяется умение складывать дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:

• Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
• Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 20

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0 )

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

В данном материале мы разберем, как правильно приводить дроби к новому знаменателю, что такое дополнительный множитель и как его найти. После этого сформулируем основное правило приведения дробей к новым знаменателям и проиллюстрируем его примерами задач.

Понятие приведения дроби к другому знаменателю

Вспомним основное свойство дроби. Согласно ему, обыкновенная дробь a b (где a и b – любые числа) имеет бесконечное количество дробей, которые равны ей. Такие дроби можно получить, умножив числитель и знаменатель на одинаковое число m (натуральное). Иными словами, все обыкновенные дроби могут быть заменены другими вида a · m b · m . Это и есть приведение исходного значения к дроби с нужным знаменателем.

Привести дробь к другому знаменателю можно, умножив ее числитель и знаменатель на любое натуральное число. Главное условие – множитель должен быть одинаков для обоих частей дроби. В итоге получится дробь, равная исходной.

Проиллюстрируем это примером.

Пример 1

Привести дробь 11 25 к новому знаменателю.

Решение

Возьмем произвольное натуральное число 4 и умножим обе части исходной дроби на него. Считаем: 11 · 4 = 44 и 25 · 4 = 100 . В итоге получилась дробь 44 100 .

Все подсчеты можно записать в таком виде: 11 25 = 11 · 4 25 · 4 = 44 100

Выходит, любую дробь можно привести к огромному количеству разных знаменателей. Вместо четверки мы могли бы взять другое натуральное число и получить еще одну дробь, эквивалентную исходной.

Но не любое число может стать знаменателем новой дроби. Так, для a b в знаменателе могут стоять только числа b · m , кратные числу b . Вспомните основные понятия деления – кратные числа и делители. Если число не кратно b , но делителем новой дроби оно быть не может. Поясним нашу мысль примером решения задачи.

Пример 2

Вычислить, возможно ли приведение дроби 5 9 к знаменателям 54 и 21 .

Решение

54 кратно девятке, которая стоит в знаменателе новой дроби (т.е. 54 можно разделить на 9). Значит, такое приведение возможно. А 21 мы разделить на 9 не можем, поэтому такое действие для данной дроби выполнить нельзя.

Понятие дополнительного множителя

Сформулируем, что такое дополнительный множитель.

Определение 1

Дополнительный множитель представляет собой такое натуральное число, на которое умножают обе части дроби для приведения ее к новому знаменателю.

Т.е. когда мы выполняем это действие с дробью, мы берем для нее дополнительный множитель. Например, для приведения дроби 7 10 к виду 21 30 нам потребуется дополнительный множитель 3 . А получить дробь 15 40 из 3 8 можно с помощью множителя 5 .

Соответственно, если мы знаем знаменатель, к которому необходимо привести дробь, то мы можем вычислить для нее и дополнительный множитель. Разберем, как это сделать.

У нас есть дробь a b , которую можно привести к некоторому знаменателю c ; вычислим дополнительный множитель m . Нам надо произвести умножение знаменателя исходной дроби на m . У нас получится b · m , а по условию задачи b · m = c . Вспомним, как связаны между собой умножение и деление. Эта связь подскажет нам следующий вывод: дополнительный множитель есть не что иное, как частное от деления c на b , иначе говоря, m = c: b .

Таким образом, для нахождения дополнительного множителя нам нужно разделить требуемый знаменатель на исходный.

Пример 3

Найдите дополнительный множитель, с помощью которого дробь 17 4 была приведена к знаменателю 124 .

Решение

Используя правило выше, мы просто разделим 124 на знаменатель первоначальной дроби – четверку.

Считаем: 124: 4 = 31 .

Выполнять расчеты такого типа часто требуется при приведении дробей к общему знаменателю.

Правило приведения дробей к указанному знаменателю

Перейдем к определению основного правила, с помощью которого можно привести дроби к указанному знаменателю. Итак,

Определение 2

Для приведения дроби к указанному знаменателю нужно:

1. определить дополнительный множитель;
2. умножить на него и числитель, и знаменатель исходной дроби.

Как применить это правило на практике? Приведем пример решения задачи.

Пример 4

Выполните приведение дроби 7 16 к знаменателю 336 .

Решение

Начнем с вычисления дополнительного множителя. Разделим: 336: 16 = 21 .

Полученный ответ умножаем на обе части исходной дроби: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336 . Так мы привели исходную дробь к нужному знаменателю 336 .

Ответ: 7 16 = 147 336 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Вычисление наименьшего общего кратного

Введите цифры

• Три автобуса
  Три автобуса общественного транспорта отправляются вместе с автовокзала утром. Первый автобус возвращается на станцию ​​через 18 минут, второй – через 12 минут, а третий – через 24 минуты. Как долго снова будем вместе на вокзале? Пожалуйста, экспресс
• Портниха
  Портниха оставила кусок холста короче 5 метров. Она решает, сшить ли ей юбку или платье. Холста было ровно столько, сколько они израсходовали, разрезав юбку до 120 см, или 180 сантиметров. Какой кусок холста оставил ей?
• LCM двух чисел
  Найдите наименьшее кратное 63 и 147
• Различные 6975
  Три разных автобусных маршрута, 80, 81 и 82, отправляются с конечной станции в 5 ч 20 мин. Маршрут 80 отправляется каждые 30 минут, маршрут 81 — каждые 20 минут, а маршрут 82 — каждые 40 минут. Во сколько они снова уйдут?
• Напоминание и частное
  Даны числа A = 135, B = 315. Найдите наименьшее натуральное число R, большее единицы, чтобы отношения R:A, R:B были с остатком 1.
• Бакалейная лавка
  Сьюзен решила сделать продуктовые наборы для своего магазина. Оптовый торговец, у которого она покупает, продает сахар в упаковках по 20 штук в коробке, муку в упаковках по 12 штук в коробке и 15 мешков риса в коробке. Сколько штук каждого предмета она должна купить, чтобы их было одинаковое количество
• Вокруг клумбы
  Вокруг прямоугольной клумбы размерами 5,25 м и 3,5 м нужно посадить розы через равные промежутки так, чтобы розы находились в каждом углу клумбы и потреблять как можно меньше. а) На каком расстоянии посажены розы? б) Сколько роз
• Автобусы
  На остановке в 10 часов встретились автобусы №2 и №9. Автобус №2 ходит с интервалом 4 минуты, а автобус №9 с интервалом 9 минут. Сколько раз автобус встречается в 18:00 по местному времени?
• Зубчатая передача
  Зубчатая передача состоит из двух колес. У одного 88, а у второго 56 зубов. Сколько раз поверните меньшее колесо, чтобы попасть в те же зубья, что и в начале? Сколько раз мы повернём самое большое колесо?
• Автобусы 4
  Интервалы: 1-й автобус 40 мин. 2-й автобус 2 часа 3-й бутон 20 минут Через какое время они встретятся — как можно скорее?
• Четыре класса
  Учащиеся всех 7, 8 и 9 классов одной школы могут занимать 4, 5, 6 и 7 ряд подряд, и никого не останется. Сколько в среднем учеников в одном классе, если в каждом классе всегда четыре класса?
• Gcd и lcm
  Вычислить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел. a) 16 и 18 b) 24 и 22 c) 45 и 60 d) 36 и 30
• Вычислить 2976
  Вычислить наименьшее общее кратное чисел 120, 660 и 210.
• Уточните: 4001
  Укажите: a = D (240,320) b = n (40,64)
• Pardubická 4651
  Йирка решил разделить выигрыш от пари в Velká Pardubická между собой и тремя своими младшими братьями по возрасту в соотношении 2:3:5:7.

Как найти разность комплексных чисел?

Вычитание комплексных чисел поддается обычными правилам вычитания действительных чисел. Разностью двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di является комплексное число z1-z2 = a-c+i(b-d). Таким образом, реальные и мнимые части комплексных чисел вычитаются при вычитании комплексных чисел.

Как делятся комплексные числа?

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме: сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом; в числителе умножают два комплексных числа; полученную дробь почленно делят.

Чему равен аргумент комплексного числа?

Угол , образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором O M → , который соответствует заданному комплексному числу z = a + b i , называется аргументом данного числа и обозначается ⁡ .

Что такое Z в комплексных числах?

Комплексные числа — это числа вида: z=a+ib, где a и b действительные числа, а i — мнимая единица, т. е. i2=−1. Число a называется действительной частью комплексного числа z и обозначается: Rez или Re(z).

Чему равно I в математике?

Мнимая единица — в основном комплексное число , квадрат которого равняется отрицательной единице: . называется мнимой единицей. Мнимая единица не относится к привычному нам множеству действительных чисел, а используется для расширения этого множества.

Что такое re и im?

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Что такое действительная часть?

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z=a+bi и обозначается a=Rez (От французского слова reel — действительный). Действительное число b называется мнимой частью числа z=a+bi и обозначается b=Imz (От французского слова imaginaire — мнимый). Например.

Что такое мнимая часть?

мнимая часть — комплексного числа z=х+iy, множитель у при мнимой единице i; обозначается Imz. * * * МНИМАЯ ЧАСТЬ МНИМАЯ ЧАСТЬ комплексного числа z = x + iy, множитель y при мнимой единице i; обозначается Imz …

Как появились комплексные числа?

Комплексные числа появились в XVI веке, когда математики попытались решить квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами (такие уравнения не имеют вещественных корней). … В XIX веке появилось отображение комплексных чисел на координатной плоскости, методы комплексного анализа.

Для чего были введены комплексные числа?

Исторически комплексные числа впервые были введены в связи с выведением формулы вычисления корней кубического уравнения x3=px+q Итальянский математик Никколо Фонтана Тартальей (1499 — 1557) в первой половине 16 века получил выражение для корня такого уравнения через некоторые параметры, для нахождения которых . ..

Что такое действительная и мнимая часть комплексного числа?

Вся плоскость называется комплексной плоскостью. Вещественные числа, рассматриваемые как часть комплексных чисел, занимают ось абсцисс координатной плоскости (вещественная ось). Числа вида 0 + bi, которые записывают в виде bi, занимают ось ординат (мнимая ось). Множество всех комплексных чисел обозначают буквой C.

Учебные материалы по математике | Сложение и вычитание комплексных чисел

  1.1.2. Сложение и вычитание комплексных чисел

Сумма и разность комплексных чисел

z1=x1+iy1 и z2 = x2+iy2 определяются по формулам

z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2),

z1-z2 = (x1-x2) + i(y1-y2).

Отсюда следует, что действительная и мнимая части суммы и

разности комплексных чисел определяются так же, как координаты суммы и разности соответствующих векторов на плоскости. При этом следует придерживаться правила: начало всех векторов помещать в начало координат (рис.1.2). В частности, из треугольников с вершинами в точках 0, z1, z1+z2 и

0, z1, z1-z2 следует, что Рис.1.2

½z1±z2ê £ ÷z1÷ + ÷z2ê, êz1±z2ç ³ êêz1ê — êz2êê. (1.3)

1.1.3. Умножение и деление комплексных чисел

Умножение двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и

z2=x2+iy2 производится по правилу умножения многочленов, при этом учитывается, что i2 = -1, i3 = —i, i4 = 1 и так далее

(x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2-y1y2) + i(x1y2+x2y1). (1.4)

Из формулы (1.4), в частности, следует, что произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел является действительным числом, равным квадрату модуля этих чисел

=`(x+iy)(x-iy) = x2+y2 = ½z½2. (1.5)

Сумма двух взаимно сопряженных чисел также является действительным числом

z+ = (x+iy) + (x-iy) = 2x = 2Rez. (1.6)

Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: частным от деления числа z1 на число z2 называется число z такое, что z∙z2 = z1. Это равенство невозможно, если z2=0, а z1¹0. Это означает, что деление на 0 невозможно.

Пусть z1=x1+iy1, z2=x2+iy2¹0, z=x+iy. Тогда, в силу определения частного,

(x+iy) (x2+iy2)=x1+iy1

или

(x2x-y2y)+i(y2x+x2y)=x1+iy1.

Приравнивая действительную и мнимую части в этом равенстве, получим систему уравнений для определения x и y

Отсюда находим, что

.

Таким образом,

(1.7)

Этот же результат можно получить по-другому. Для этого нужно числитель и знаменатель дроби z1/z2 умножить на число, сопряженное к знаменателю, и произвести умножение чисел в числителе и в знаменателе.

Если комплексные числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме:

z1=r1(cosj1+isinj1), z2=r2(cosj2+isinj2),

то

z1z2=r1(cosj1+isinj1) r2(cosj+isinj)=

=r1r2 ((cosj1 cosj2-sinjsinj2)+i(sinjcosj2+cosj1sinj2)=

=(r1r2)(cos(j1+j2)+isin(j1+j2). (1.8)

Отсюда следует, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей.

Пусть теперь z1/z2 = z = r(cosj + isinj). Так как z2z=z1,

то, в силу (1.8), r2r=r1, j2+j=j1.

Отсюда следует, что r=r1/r2, j=j1-j2:

z1/z2=(r1/r2)(cos(j1-j2)+isin(j1-j2)), (1. 9)

то есть

½z1/z2½=½z1½/½z2½, Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2.

1.1.4. Возведение комплексных чисел в целую

положительную степень. Формула Муавра.

Извлечение корня из комплексных чисел

Как и для действительных чисел, n-я степень комп-плексного числа z определяется как произведение n одинаковых множителей z

zn = z× z× z× … z.

n — множителей

Если число z задано в тригонометрической форме z=r(cosj+isinj), то, в силу (1.7 получаем

(r(cosj+isinj))n=rn(cosnj+isinnj): (1.10)

при возведении комплексного числа в n-ю степень его модуль возводится в n-ю степень, а аргумент умножается на n.

В частности, если r=1, то

(cosj+isinj)n=cosnj+isinnj. (1.11)

Соотношение (1. 8) называется формулой Муавра. С помощью формулы Муавра легко решается следующая тригонометрическая задача. Выразить cosnj и sinnj через степени функций cosj и sin j. Например, при n=3 из формулы (1.11) следует, что

cos3j+3icos2j sinj-3cosj sin2j-isin3j=cos3j + isin3j.

Приравнивая в этом равенстве действительную и мнимую части, получаем

cos3j = cos3j-3cosjsin2j, sin3j = 3cos2j sinj — sin3j.

Заметим, что формулы (1.10) и (1.11) справедливы и для целых отрицательных n. В самом деле, пусть N=-k (k>0). Тогда

[r(cosj+isinj)]n=1/[r(cosj+isinj)]k=1/[rk(coskj+isinkj)]=

=r-k[cos(-kj)+isin(-kj)]= rn(cosnj+isinnj).

Переходим к операции извлечения корня из комплексных чисел. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число w, для которого выполняется равенство wn=z. Пусть число z¹0 задано в тригонометрической форме: z=r(cosj+isinj), и пусть число w==r(cosq+isinq). Из определения, корня n-й степени из z следует, что

(r(cosq+isinq))n=r(cosj+isinj)

или

rn(cosnq+isinnq)=r(cosj+isinj).

Отсюда следует, что rn=r, nq=j+2kp, где k – любое целое число. Так как r положительное число, то из первого равенства следует, что r=, где — арифметический корень n-й степени из числа r. Из второго равенства находим, что q=(j+2kp)/n.

Таким образом, формула для извлечения корня n-й степени из комплексного z¹0 имеет вид

= . (1/12)

Придавая k значения 0,1,2,…., n-1, получим n различных значений корня n-й степени из числа z. Изображения этих значений на комплексной плоскости являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса , с центром в начале координат. Аргумент одной из вершин равен

j/n. Все значения корня n-й степени из числа z=0 совпадают и равны 0.

Пример: Найти все значения .

В тригонометрической форме

-1=cosp+isinp, (½-1½=1, arg(-1)=p).

По формуле (1.12) находим, что

w==1(cos((p+2kp)/4)+isin((p+2kp)/4)), k = 0,1,2,3;

w0=cosp/4+isinp/4 =(+i)/2,

операций над комплексными числами | Бесплатная помощь с домашним заданием

Операции над комплексными числами https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 ШколаРепетиторская Академия ШколаРепетиторская Академия https://secure.gravatar.com/avatar/983a20e95a059722e4981790f518b20b?s=96&d=mm&r=g 19 июля, 2012 2 декабря 2014

Число, имеющее вид a+ib , где a и b — действительные числа, а i ^{2 9001 7 =-1} , называется сложным номер и обычно обозначается z .

т.е. z=a+ib .

Здесь ‘ а ’ называется действительной частью z , т.е. 0010’ называется мнимой частью z, т.е. Im ( z )= b .

Сумма комплексных чисел:

Если z 1 = a+ib и z2 = c+id , то сумма z1 и z2 обозначается как z1+z2 и определяется как

Z1+z2 = (а+с)+i(b+d).

Пример:

Найдите сумму z1 = 3+5i и z2 = 4-2i.

Решение:

По определению суммы комплексных чисел,

Z1+z2 = (3+4) + i(5-2) = 7 + 3i.

Разность комплексных чисел:

Если z1 = a+ib и z2 = c+id , то разность z1 и z2 обозначается z1-z2 и определяется как

Z1-z2 = (a-c)+i(b-d).

Пример:

Если z1 = 3+5i и z2 = 4-2i , найдите z1-z2.

Решение:

По определению разности комплексных чисел

z1-z2 = (3-4) + i(5+2) = -1 + 7i.

Произведение комплексных чисел:

Если z1 = a+ib и z2 = c+id , то произведение z1 и z2 обозначается z 1.z2 и определяется как

z1.z2 = (ac-bd) + i(bc + ad).

Пример:

Найдите произведение числа z1 = 3+5i и z2 = 4-2i.

Решение:

По определению произведения комплексных чисел,

z1.z2 = (12+10)+i(20-6) = 22 + 14i

комплексные числа:

Если z1 = a+ib и z2 = c+id , то частное z1 и z2 обозначается z1/z2 и определяется как

Пример:

Если z1 = 3+5i и z2 = 4-2i найти z1/z2.

Решение:

По определению деления комплексных чисел,

Oring Academy — ведущая компания, предоставляющая образовательные услуги для школьников и студентов колледжей. Мы предлагаем программы репетиторства для учащихся K-12, классов AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и учащимся в Онтарио, посетите: Репетиторство в Онтарио.

В чем разница между действительными и комплексными числами?

Система счисления — это способ записи чисел, представляющий собой математический способ представления чисел данного набора с использованием чисел или символов математическим способом. Система записи для обозначения чисел с использованием цифр или символов логическим образом определяется как система счисления . Система счисления,

• , которая представляет полезный набор чисел
• , также отражает арифметическую и алгебраическую структуру числа
• и обеспечивает стандартное представление.

Цифры от 0 до 9 могут использоваться для образования всех остальных чисел. Используя эти цифры, можно создать бесконечное множество чисел. Например, 156,3907, 3456, 1298, 784859 и т. д.

Все отрицательные и положительные целые, десятичные и дробные числа без мнимых чисел называются действительными числами. Действительные числа представлены символом «R» . Реальные числа можно объяснить как объединение как рациональных, так и иррациональных чисел. Они могут быть как отрицательными, так и положительными и обозначаются символом «R». В эту категорию попадают все десятичные числа, натуральные числа и дроби. В приведенных ниже примерах показана классификация действительных числительных.

Рациональные ⇢   – {5/3 , 0 .63 , -6/5 O.7116 ….}    

Иррациональные числа  ⇢  -{√3, √5, √11, √21, π(Pi)}                                            

Целые числа  ⇢   – {-3, -2,-1,0,1,2 , 3…. }

Целые числа  ⇢   -{ 0,1,2,3,4..}

Натуральные числа  ⇢   –  { 1,2,3,4….}

Существуют различные наборы действительных чисел, такие как натуральные и целые числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа. здесь ниже все они определены примеров,

Натуральные числа , которые содержат все числа, начинающиеся с 1

N = {1, 2, 3, 4,…} Все ЧИСЛА, такие как 1, 2, 3, 4, 5…. и так далее.

Целые числа определяются как множество натуральных чисел и нуля 

W = { 0, 1, 2, 3…}, например 0,1, 2, 3, 4, 5… совокупность всех отрицательных натуральных чисел и целых чисел называется целыми числами.

например: – бесконечность(∞),… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5… +∞

Рациональные числа — это все числа, которые мы можем записать в форме a/b, где b ≠ 0.

например: 2/4, -3/5, 0,768, 0,50 …

Иррациональные числа — это числа, которые мы не можем записать в форме a/b, а числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными числами. Например, √6, √8 …

Комплексные числа

Сумма действительного числа и мнимого числа определяется как комплексное число, а числа, которые не являются действительными числами, называются мнимыми числами. Число может быть записано в форме b+ic , где b и c — действительные числа, а ic — мнимое число, а ”i” — мнимая часть, которая называется йота . следовательно, здесь значение i равно (√-1) . поэтому i ² = -1  

Символ «i» называется йотой и представляет собой мнимую часть комплексного числа. Кроме того, йота (i) очень полезна для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. Например, 5+6i — комплексное число, поэтому здесь 5 — действительное число, а 6i — мнимое. Следовательно, комплексное число представляет собой представление сложения двух чисел, одно из которых является действительным числом, а второе — мнимым числом. Одна его часть чисто реальная, а вторая часть чисто воображаемая.

Примечание Комбинация мнимого числа и действительного числа называется комплексным числом и обозначается буквой «C». Это можно записать как b+ic, , которое в основном представлено как z=b+ic.

Разница между комплексным и действительным номером

Из вышеприведенных определений можно легко выделить несколько различий. Вещественные числа — это подмножество комплексных чисел, а комплексные числа — надмножество действительных чисел. Давайте посмотрим на различия более четко,

• Все отрицательные и положительные целые, десятичные и дробные числа без мнимых чисел называются действительными числами . Действительные числа представлены символом «R» . Тогда как t сумма действительного числа и мнимого числа называется комплексным числом , представленным C . Числа, которые не являются действительными числами, называются мнимыми числами. Число, которое мы можем записать в виде b+ic, где b и c — действительные числа, ic — мнимое число, а «i» — мнимая часть, которая называется йотой. следовательно, здесь значение i равно (√-1). Итак, я ² =-1
• Еще один важный момент заключается в том, что действительные числа можно отобразить на числовой прямой, тогда как комплексные числа нельзя отобразить на числовой прямой.
• Все действительные числа также являются комплексными числами с нулем в мнимой части, тогда как все мнимые числа также являются комплексными числами с нулем в действительной части.
• Действительные числа включают все десятичные дробные, отрицательные и положительные целые числа, тогда как Комплексное число может быть записано как сумма или разность действительного числа и мнимого числа, включая такие числа, как 4 – 2i или 6+√6i.

В приведенной ниже таблице содержатся примеры, показывающие, как действительные числа являются частью комплексных чисел. Комплексные числа представлены двумя частями: одной действительной и другой мнимой.

Примеры задач

Вопрос 1. Выполните сложение двух комплексных чисел 4 + 2i и 4 + 7i.

Решение:

Сначала добавьте действительное число и 

Добавьте мнимые числа

(4 + 2i )  + (4 + 7i)

= 4 + 4 + (2i+7i)

=  8 +  (2 + 7)i

= 8 + 9i

Вопрос 2: Сложите комплексные числа 4 + 5i и 7− 3i.

В математике до разложить выражение или до разложить произведение которая превращается в алгебраическую сумму. это 9Калькулятор 0003 позволяет расширить все формы алгебраических выражения онлайн , также помогает вычислять специальные разложения онлайн (разность квадратов, тождество квадрата суммы и тождество квадрата разности). Для простых расширений калькулятор дает шаги расчета.

Раскрыть алгебраические выражения

Калькулятор расширения позволяет онлайн раскладывать все формы математических выражений, выражение может быть буквенно-цифровым, т.е. он может содержать цифры и буквы: 93` Обратите внимание, что результат не возвращается как самое простое выражение, чтобы можно было следовать шагам вычислений. Чтобы упростить результаты, просто используйте функцию сокращения.

Специальные онлайн-расширения

Калькулятор расширения позволяет расширить продукт , он применяется ко всем математическим выражениям, особенно следующие тождества:

• тождество для квадрата суммы: позволяет расширять онлайн-выражения вида `(a+b)^2` 9н`. 2`. 92`

См. также

• Расчет ежемесячных платежей по страховке кредита : кредит_страхование. Калькулятор ежемесячных платежей по страхованию кредита: кредит на недвижимость, потребительский кредит и другие виды кредита.
• Алгебра калькулятор: калькулятор. Калькулятор, позволяющий производить алгебраические вычисления, комбинируя операции с буквами и цифрами, а также указывать этапы вычислений.
• Калькулятор упрощения surds:simple_surd. Онлайн-калькулятор, который позволяет производить расчеты в точной форме с квадратными корнями: сумма, произведение, разность, отношение.
• Тригонометрический калькулятор: simple_trig. Калькулятор, который использует тригонометрическую формулу для упрощения тригонометрического выражения.
• Список вычислений, применимых к алгебраическому выражению: см._возможные_вычисления. Возвращает список вычислений, которые можно выполнить над алгебраическим выражением.
• Расчет биномиальных коэффициентов: binomial_coefficient. Калькулятор биномиального коэффициента, который позволяет вычислить биномиальный коэффициент из двух целых чисел.
• Калькулятор разложения на частичные дроби: partial_fraction_decomposition. Калькулятор позволяет разбить рациональную дробь на простые элементы.
• Калькулятор производных: производная. Калькулятор производной позволяет пошагово вычислить производную функции по переменной.
• Калькулятор расширения Тейлора: taylor_series_expansion. Калькулятор ряда Тейлора позволяет вычислить разложение Тейлора функции.
• Логарифмическое расширение: expand_log. Калькулятор позволяет получить логарифмическое расширение выражения.
• Тригонометрическое расширение: expand_trigo. Калькулятор позволяет получить тригонометрическое разложение выражения.
• Расширить калькулятор : расширить. Калькулятор умеет расширять алгебраическое выражение онлайн и удалять ненужные скобки.
• Расширьте и упростите алгебраическое выражение онлайн: expand_and_simplify. Онлайн-калькулятор, который позволяет расширить и сократить алгебраическое выражение.
• Калькулятор факторинга: коэффициент. Калькулятор факторинга позволяет факторизовать алгебраическое выражение онлайн с шагом.
• Генератор решенных математических упражнений : Exercise_generator. Возвращает список утверждений математических упражнений и их решений, которые могут использоваться учителями для подготовки тестов и викторин.
• Интегральный калькулятор: интегральный. Калькулятор интегралов вычисляет онлайн интеграл функции между двумя значениями, результат выдается в точном или приближенном виде.
• Калькулятор неопределенного интеграла: первообразная. Калькулятор первообразной позволяет рассчитать первообразную онлайн с подробностями и шагами расчета.
• Калькулятор лимита: лимит. Калькулятор лимита позволяет рассчитать лимит функции с подробным описанием и шагами расчета.
• Тригонометрическая линеаризация : linearization_trigo. Калькулятор, позволяющий линеаризовать тригонометрическое выражение.
• Расчет ежемесячных платежей по кредиту: month_loan. Калькулятор ежемесячного платежа по кредиту: жилищный кредит, потребительский кредит и другие виды кредита.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение

которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями г, причем сама функция заменяется единицей.

Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от характера корней T1 и T1 уравнения (2). Здесь возможны три случая.

1-й случай. Корни T1 и T2 — действительные и различные. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:

2-й случай. Корни T1 и T1 — действительные и равные: T1 = T2 = T. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид:

3-й случай. Корни T1 и T1 — комплексно сопряженные: T1 = a + bi, T2 = a — f3 i. Тогда общее решение зависывается так:

Пример 4. = 2. Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни, поэтому согласно формуле (4) общее решение запишется следующим образом:

у = e2x(C1 + Cx).

Пример 4.18. Найти общее решение уравнения

у» + 9у = 0.

Решение. Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение

r2 + 9 = 0,

имеющее два мнимых сопряженных корня r1 2 = ±3i. Используя формулу (5) при a = 0 и b = 3, получаем общее решение

у = C1 cos 3x + С2 sin 3x.

Пример 4.19. Найти общее решение уравнения у» + 6у’ + 25у = 0.

Решение. Характеристическое уравнение r2 + 6r + 25 = 0

у = e-3x(C1 cos 4x + C2 sin 4x).

имеет два комплексно сопряженных корня r1 2 = -3 ± 4i. По формуле (5) при a = -3 и b = 4, получаем общее решение

Пример 4.20. Найти частное решение уравнения у» — 3у’ + 2у = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям у(0) = 1,

у’ (0) = -1.

Решение. Запишем характеристическое уравнение r2 — 3r + 2 = 0

его корни r1 = 1, r2 = 2. Следовательно, общее решение имеет вид:

Далее, используя начальные условия, определяем значения постоянных С и С2 Для этого подставим в общее решение заданные значения х = 0, у = 1; в результате получим одно из уравнений, связывающее С1 и С2:

1 = С1 + С2.

Второе уравнение относительно С1 и С2 получим следующим образом. Продифференцируем общее решение:

у’ = С1ех + 2С2е2х

и подставим в найденное выражение заданны е значения х = 0, У’ = -1:

-1 = С1 + 2С2.

Из системы

ГС + С2 = 1, 1с, + 2С2 = -1

находим С1 = 3, С2 = -2. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

у = 3ех — 2е2х.

3.1: Однородные уравнения с постоянными коэффициентами

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Ларри Грин
• Общественный колледж Лейк-Тахо

До сих пор мы работали только с дифференциальными уравнениями первого порядка. Следующим шагом является исследование дифференциальных уравнений второго порядка. Общее дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

\[y» = f(t,y,y’) \label{1}\]

Общее решение такого уравнения определить очень сложно. Вместо этого мы сосредоточимся на частных случаях. В частности, если дифференциальное уравнение линейное, то его можно записать в виде

\[ P(t)y» + Q(t)y’ + R(t)y = G(t) \label{2} .\]

Если \(P(t)\) не равно нулю, то мы можем разделить на \(P(t)\), чтобы получить

\[ y» + p(t)y’ + q(t)y = g(t). \]

Мы называем линейное дифференциальное уравнение второго порядка однородным , если \(g (t) = 0\). В этом разделе мы будем исследовать однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые можно записать в виде:

\[ау» + бай’ + су = 0. \]

Пример \(\PageIndex{1}\): Общее решение

Решить 92 — 4ас}}{2а}\]

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Ларри Грин

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Постоянные коэффициенты

Общее однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 

Если a ( x ), b ( x ) и c ( x ) на самом деле константы, a ( x ) ≡ a ≠ 0, b ( x ) ≡ 4 b ( x ) ≡ c , то уравнение становится просто

Это общее однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами .

Теорема А выше утверждает, что общее решение этого уравнения является общей линейной комбинацией любых двух линейно независимых решений. Так как же находятся эти два линейно независимых решения? Следующий пример иллюстрирует основную идею.

Пример 1 : Решение дифференциального уравнения

Хитрость заключается в подстановке y  = e   ^{m x}   ( m  константа) в уравнение; Вскоре вы увидите, почему этот подход работает. Если y  = e   ^{m x}   , то y ′ = me   ^{m x 4   ″ =  м 2 e m x , поэтому дифференциальное уравнение принимает вид}

Член e   ^{m x}   можно вынести за скобки и сразу же отменить (поскольку e   ^{m x}   никогда не равняется нулю):

Это квадратное полиномиальное уравнение можно решить, разложив на множители: 

Теперь вспомните, что решение начиналось с записи y  = e   ^{m x}   . Поскольку значения м теперь найдены м = -1, м  = 2), оба являются решениями. Поскольку эти функции линейно независимы (ни одна из них не является постоянным кратным другой), теорема А утверждает, что общая линейная комбинация

— это общее решение дифференциального уравнения.

Обратите внимание, что решение однородного дифференциального уравнения

полностью зависит от корней вспомогательного многочлена уравнения, которое получается в результате замены y = e ^{m x} и последующего сокращения e 5 x

0   срок. Как только корни этого вспомогательного полиномиального уравнения найдены, вы можете сразу же записать общее решение данного дифференциального уравнения. Также обратите внимание, что -секундное линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами всегда приведет к второго вспомогательного полиномиального уравнения степени, то есть к квадратному полиномиальному уравнению.

Корни любого квадратного уравнения

даются известной квадратичной формулой

Величина под знаком квадратного корня,  b   ²  – 4  ac , называется дискриминантом уравнения, и ее знак определяет природу корней. Нужно рассмотреть ровно три случая.

Случай 1: Дискриминант положительный.

В этом случае корни действительны и различны. Если два корня обозначены как м ₁ и м ₂ , то общее решение дифференциального уравнения равно

Случай 2: Дискриминант равен нулю.

В этом случае корни действительны и идентичны; то есть полиномиальное уравнение имеет двойной (повторный) корень. Если этот двойной корень обозначить просто м , то общее решение дифференциального уравнения равно

Случай 3: Дискриминант отрицательный.

В этом случае корнями являются различные сопряженные комплексные числа: r ± si .