Автор: alexxlab

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

 АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

(Оформление и автор интерактивных технологий Морозова Е.)

     Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений.

        В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример            Решите уравнение | 2x – 4 | = 6.

I способ (по определению модуля)

II способ (использование геометрического смысла модуля)

     Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

     Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

|f (x)| + |g (x)| = a  (a > 0).

     Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции f (x) и g (x) будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

f (x) ≥ или ≤0,                              (1)

g (x) ≥ или ≤0.                             (2)

     Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции f (x)), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции g (x)). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций f (x) и g (x), то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).

     Чтобы продолжить решение неравенств f (x) ≥или≤0 и g (x) ≥или≤ 0 методом интервалов, необходимо найти нули функций f (x) и g (x), то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир).

     Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

     В каждом из полученных промежутков знаки функций f (x) и g (x) не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы). 

     Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Вопросы для контроля

1. Объясните, какими способами можно решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Проиллюстрируйте эти способы на примерах.
2. Обоснуйте специальные соотношения. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
3. Обоснуйте обобщения использования геометрического смысла модуля. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Упражнения

Решите уравнения и неравенства, содержащие знак модуля (1–15).

Постройте график функции

ТЕСТ

Уравнения и неравенства

Неравенства с модулем. Способы решения неравенств с модулями

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Неравенства с модулем

2. Способы решения неравенств с модулями:

3. 1.По определению модуля

4. 2.Возведение обеих частей в квадрат

5. 3.Замена переменной

6.

7. 5. Равносильность неравенств системам или их совокупности

8. 5. Равносильность неравенств системам (примеры)

9.

English     Русский Правила

Рациональные и модульные неравенства | Понятие и вопросы

Рациональные неравенства:

Неравенства вида (ax+b/cx+d) < k или (ax+b/cx+d) > k называются рациональными неравенствами, где ax + b и cx + d являются линейными алгебраическими выражениями. Для решения рациональных неравенств необходимо выполнить следующие шаги.

Рекомендуемое действие

БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего звездного факультета с более чем 20-летним опытом. Зарегистрируйтесь сейчас

• Приравняем правую часть к нулю, переставив постоянный член в левую часть.
• Решите левую часть так, чтобы она приняла форму mx+1/nx+p <0 или mx+1/nx+p >0 Убедитесь, что ‘m’ и ‘n’, которые являются коэффициентами ‘x’ в числителе и знаменателе положительны.

Приравняйте числитель и знаменатель к нулю, чтобы получить критические точки. Поместите эти точки на числовую прямую. Числовая строка будет разделена на три части. Крайняя правая часть дает решение положительных неравенств, средняя часть дает решение отрицательных неравенств, а самая левая часть дает решение положительных неравенств.

Решим несколько задач на рациональное неравенство:

Иллюстрация 1: Решить 3x+5/5x-2<0

Решение: Имеем 3x+5/5x-2>0

У нас есть 3x + 5 = 0 ⇒ x=(-5/3) и 5x – 2 = 0 ⇒ x = 2/5

Нанесите эти точки на числовую прямую.

Так как данное неравенство отрицательное, то решение (-5/3)< x < (2/5)

Модульные неравенства или абсолютные неравенства

Неравенства вида |ax + b| < k или |ax + b| > k называются модульными или абсолютными неравенствами.

Чтобы решить эти неравенства, помните о следующих правилах:

• Если |x| < а, тогда – а < х < а
• Если |х| > а, то либо х > а, либо х < - а
• Если |х – л| < a, то l – a < x < l + a
• Если |х – л| > a, то либо x > l + a, либо x < l – a.

Давайте попробуем ответить на вопросы о модульном неравенстве:

Иллюстрация 2: Решить |x – 3| < 5.

Решение: Имеем |x – 3| < 5
⇒ — 5 < x – 3 < 5 (Если |x| < a, то – a < x < a)
⇒ 3 – 5 < x < 3 + 5 (Одно и то же число может быть добавлено с обеих сторон неравенство)
⇒ -2 < x < 8, что и является требуемым решением.

Предлагаемое действие:

Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ макетам, 75+ видео и 100+ тестам по главам. Зарегистрируйтесь сейчас

Иллюстрация 3: Решите |8x + 5| < 9.
Решение: Имеем |8x + 5| < 9.
⇒ — 9 < 8x + 5 < 9 (Если |x| < a, то – a < x < a)
⇒ — 5 – 9 < 8x < 9 – 5 (Одно и то же число может быть добавлено с обеих сторон неравенства)
⇒ — 14 < 8x < 4
⇒ -14/8 < x < 4/8
⇒ -7/4 < x < 1/2, что и является требуемым решением.

Решение абсолютных неравенств — объяснение!

Purplemath

Есть много возможностей для ошибок с абсолютными неравенствами, поэтому давайте рассмотрим эту тему медленно и попутно посмотрим на несколько полезных иллюстраций. Когда мы закончим, надеюсь, у вас будет хорошая картина происходящего в голове, и вы не совершите некоторые из наиболее распространенных ошибок. Как только вы поймете, как работает это неравенство, все окажется не так уж и плохо.

Содержимое продолжается ниже

MathHelp.

Неравенства абсолютного значения

(Примечание: этот урок охватывает линейных неравенств абсолютного значения.)

Что такое абсолютные значения?

Вспомните первоначальное определение абсолютных значений как расстояния: «|  x  | это расстояние x от нуля». Например, и −2, и +2 — это две единицы от нуля, как вы можете видеть на изображении ниже:

Это означает, что их абсолютные значения будут равны 2; то есть имеем:

| −2 | = | +2 | = 2

Имея в виду это определение и картинку, давайте рассмотрим некоторые абсолютные неравенства.

Как решить абсолютные неравенства «меньше чем»?

Чтобы решить неравенство абсолютного значения «меньше чем», мы используем определение абсолютного значения, чтобы переформулировать неравенство как неравенство, состоящее из трех частей; то есть учитывая | м x  +  б  | < c , преобразуйте это в:

− c < m x + б < +; c

Затем решите полученное линейное неравенство из трех частей, чтобы получить переменную в середине.

Это неравенство. Если решением абсолютного значения уравнения являются точки (как на графике выше), то решением абсолютного значения неравенства (или «неравенства») будут интервалы.

В этом неравенстве меня просят найти все значения x , которые отличаются от нуля менее чем на три единицы в любом направлении , поэтому решением будет набор всех точек, которые находятся на расстоянии менее трех единиц от нуля. Во-первых, я нарисую числовую линию:

Глядя на неравенство, я вижу, что число 1 будет работать как решение, как и −1, потому что каждое из них меньше трех единиц от нуля. Число 2 будет работать, как и −2. Но 4 не подойдет, равно как и −4, потому что они слишком далеки от нуля. Даже 3 и −3 не будут работать (хотя они находятся прямо на краю), потому что это неравенство «меньше» (но не равно).

Однако подойдет число 2,99 и −2,99. Другими словами, все точки между -3 и 3, но фактически не включая -3 или 3, будут работать как решения этого неравенства. Итак, графически решение выглядит так:

(Незаштрихованные кружки на концах синей линии означают «до этих точек, но не включая их». В вашей книге вместо кружков могут использоваться круглые скобки.)

Переведя эту картинку в алгебраические символы, я получаю следующее решение:

−3 < x < 3

Этот шаблон для неравенств с абсолютным значением «меньше чем» всегда выполняется:

Для заданного неравенства в форме | x  | < a , решение всегда будет иметь вид − a  < x  <  a .

Кстати, правильным союзом для абсолютного неравенства «меньше чем» является «и». Почему? Потому что переменная содержится в пределах одного интервала. В приведенном выше примере x было как «больше -3», так и «меньше +3». x находится в интервале, удовлетворяющем обоим неравенствам одновременно. Так что «и» — правильный союз.

Даже когда упражнения усложняются, описанная выше схема сохраняется.

Поскольку это неравенство абсолютного значения «меньше чем», мой первый шаг — очистить абсолютное значение в соответствии с шаблоном «меньше чем». Тогда я решу линейное неравенство.

| 2 х + 3 | < 6

−6 < 2 x + 3 < 6

Это шаблон для «меньше чем». Продолжая, я вычту 3 из всех трех «сторон» неравенства:

−6 − 3 < 2 x + 3 − 3 < 6 − 3

−9 < 2 x < 3

−9/2 < x < 3/2

Решение исходного абсолютного неравенства | 2 x  + 3 | < 6, это интервал:

−9/2 < x < 3/2

Другим случаем абсолютного неравенства является случай «больше чем».

Как решить абсолютные неравенства «больше чем»?

Чтобы решить неравенство с абсолютным значением «больше чем», используйте определение абсолютного значения, чтобы разделить неравенство на два случая; то есть для | м x  +  б  | >  c , разделите неравенство на два его случая:

1. m x + b > c

2. m x + b < − c

Затем решите два линейных неравенства по отдельности.

Во-первых, я начну с числовой строки.

Решением данного неравенства будет множество всех точек, удаленных от нуля более чем на две единицы. Например, −3 будет работать, как и +3; −4 будет работать, как и +4. Но −1 не подойдет, равно как и +1, потому что они слишком близки к нулю. Даже −2 не сработает, и +2 тоже не сработает (хотя они прямо на краю), потому что это неравенство «больше» (но не равно).

Однако +2.01 будет работать, как и -2.01. Другими словами, решение будет два отдельных раздела : один раздел будет состоять из всех точек более чем на две единицы от нуля влево , а другой раздел будет состоять из всех точек более чем на две единицы от нуля до право . Решение в графическом виде выглядит так:

Переводя это графическое решение в символы, я получаю:

x < −2 или x > 2

Внимание! Решением этого абсолютного неравенства «больше, чем» являются ДВА обычных неравенства, а не одно. НЕ пытайтесь записать это как одно неравенство. Если вы попытаетесь записать это решение как «−2 >  x  > 2», ваш ответ будет засчитан как неверный. Почему? Потому что, если вы уберете x посередине, вы увидите, что сказали бы «−2 > 2», что, безусловно, соответствует , а не . Потратьте лишние полсекунды и правильно напишите решение.

Этот шаблон для абсолютных неравенств «больше чем» всегда выполняется:

Учитывая неравенство | x  | >  a , решение всегда начинается с разделения неравенства на две части: x  < − x или x  >  x .

И, кстати, правильный союз «или», а не «и». Почему? Потому что переменная не может находиться в обоих интервалах решения и в одно и то же время. В приведенном выше примере x не может быть одновременно «меньше -2» и «больше +2» . Поэтому мы используем «или» для этих типов решений.

Даже когда неравенства усложняются, описанная выше закономерность сохраняется.

Первое, что мне нужно сделать, это очистить столбцы абсолютных значений, разделив неравенство на две части. Затем я решу два обычных неравенства.

| 2 х — 3 | > 5

2 x − 3 < −5 или 2 x − 3 > 5

Это шаблон для абсолютных неравенств «больше чем».

2 x < −2 или 2 x > 8

x < −1 или x > 4

Эта ПАРА неравенств является решением исходной абсолютной ценностное неравенство.

x < −1 или x > 4

Каков вывод для решения линейных абсолютных неравенств?

1. Проверьте символ неравенства: это «больше» или «меньше»?
2. Если «меньше чем», опустите столбцы абсолютных значений, переформулируйте в виде трехчастного неравенства и решите с помощью оператора «и». Пример: | x  − 3| < 5 становится −5 < ( x  − 3) < +5
3. Если «больше», опустите столбцы абсолютного значения, разделите неравенство на два его случая и решите два неравенства по отдельности с помощью оператора «или». Пример: | x  − 3| > 5 становится ( x  – 3) < –3 или ( x  – 3) > 3

Существует еще одна ситуация, с которой вы можете столкнуться: вам будет задана пара неравенств, и вас попросят найти соответствующее абсолютное неравенство. Этот процесс может показаться немного странным, поэтому я приведу пару примеров того, как он работает.

Чтобы понять это, я сначала смотрю на конечные точки. Минус два и плюс четыре составляют шесть единиц друг от друга. Половина шести это три. Это говорит мне, что я хочу скорректировать это неравенство так, чтобы оно относилось к −3 и +3, а не к −2 и +4. Чтобы добиться этого, я вижу, что могу скорректировать значения на левом и правом концах, вычитая 1 из всех трех «сторон» неравенства:

-2 < x < 4

-2 — 1 < x — 1 < 4 - 1

-3 < x — 1 < 3

Поскольку последняя строка выше в «менее чем» для абсолютных неравенств, мое решение неравенства будет иметь вид «абсолютное значение (чего-то) меньше 3». (Что-то) — это кусок посередине, где находится переменная. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в следующую:

| х — 1 | < 3

То, что мне дали, состоит из двух частей, соединенных знаком «или», поэтому я знаю, что это будет неравенство абсолютного значения «больше чем».

Для начала я смотрю на конечные точки. Девятнадцать и 24 разделены пятью единицами. Половина пятого равна 2,5. Поэтому я хочу скорректировать неравенство так, чтобы оно относилось к −2,5 и +2,5, а не к +19 и +24. Поскольку 19 − (−2,5) = 21,5 и 24 − 2,5 = 21,5, я вижу, что мне нужно вычесть 21,5 со всех сторон:

x ≤ 19 или x ≥ 24

x — 21,5 ≤ 19 — 21,5 или x — 21,5 ≥ 24 — 21,5

x — 21,5 ≤ -2 .5 или x − 21,5 ≥ 2,5

Поскольку последняя строка выше формат «больше чем», неравенство абсолютного значения будет иметь форму «абсолютное значение (чего-либо) больше или равно 2,5». (Что-то) будет частью с переменной в ней. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в:

| х — 21,5 | ≥ 2,5

Предупреждение: для такого рода задач существует один «хитрый» тип вопросов, когда вас пытаются сбить с толку при выполнении домашнего задания или тестов. Они попросят вас решить что-то вроде «|  x  + 2 | < −1». Но может ли абсолютное значение когда-либо быть отрицательным, не говоря уже о том, что меньше, чем отрицательное? Нет! Таким образом, это неравенство не имеет решения; это даже не имеет смысла. Не тратьте много времени, пытаясь «решить» это; просто напишите «нет решения».

Аналогично, если вам дали что-то вроде «|  x  − 2 | > −3″, первое, что нужно отметить, это то, что все абсолютные значения равны нулю или положительны. В частности, они никогда не бывают отрицательными. Они запрашивают у вас значения x , которые сделают выражение абсолютного значения больше чем отрицательное число.

Таблица котангенсов | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Котангенс, также как и тангенс, является отношением катетов друг к другу. Функция котангенса отличается от своего брата-близнеца только тем, что тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему относительно угла α, а котангенс – отношение прилежащего к противолежащему. Таким образом, котангенс является функцией, обратной от тангенса, и зная одну из них можно с легкостью найти другую.
Чаще всего в одном решении применяется только одно из данных отношений. В случае если дан котангенс угла α, можно определить значение угла, соответствующее заданным числам, в таблице, приведенной ниже.

Найти котангенс угла ctg(α), зная угол

Угол α

Таблица котангенсов от 0° до 180°

ctg(1°) 57.29 ctg(2°) 28.6363 ctg(3°) 19.0811 ctg(4°) 14. 3007 ctg(5°) 11.4301 ctg(6°) 9.5144 ctg(7°) 8.1443 ctg(8°) 7.1154 ctg(9°) 6.3138 ctg(10°) 5.6713 ctg(11°) 5.1446 ctg(12°) 4.7046 ctg(13°) 4.3315 ctg(14°) 4.0108 ctg(15°) 3.7321 ctg(16°) 3.4874 ctg(17°) 3.2709 ctg(18°) 3.0777 ctg(19°) 2.9042 ctg(20°) 2.7475 ctg(21°) 2.6051 ctg(22°) 2.4751 ctg(23°) 2.3559 ctg(24°) 2.246 ctg(25°) 2.1445 ctg(26°) 2.0503 ctg(27°) 1.9626 ctg(28°) 1.8807 ctg(29°) 1. 804 ctg(30°) 1.7321 ctg(31°) 1.6643 ctg(32°) 1.6003 ctg(33°) 1.5399 ctg(34°) 1.4826 ctg(35°) 1.4281 ctg(36°) 1.3764

ctg(37°) 1.327 ctg(38°) 1.2799 ctg(39°) 1.2349 ctg(40°) 1.1918 ctg(41°) 1.1504 ctg(42°) 1.1106 ctg(43°) 1.0724 ctg(44°) 1.0355 ctg(45°) 1 ctg(46°) 0.9657 ctg(47°) 0.9325 ctg(48°) 0.9004 ctg(49°) 0.8693 ctg(50°) 0.8391 ctg(51°) 0.8098 ctg(52°) 0.7813 ctg(53°) 0. 7536 ctg(54°) 0.7265 ctg(55°) 0.7002 ctg(56°) 0.6745 ctg(57°) 0.6494 ctg(58°) 0.6249 ctg(59°) 0.6009 ctg(60°) 0.5774 ctg(61°) 0.5543 ctg(62°) 0.5317 ctg(63°) 0.5095 ctg(64°) 0.4877 ctg(65°) 0.4663 ctg(66°) 0.4452 ctg(67°) 0.4245 ctg(68°) 0.404 ctg(69°) 0.3839 ctg(70°) 0.364 ctg(71°) 0.3443 ctg(72°) 0.3249

ctg(73°) 0.3057 ctg(74°) 0.2867 ctg(75°) 0.2679 ctg(76°) 0.2493 ctg(77°) 0. 2309 ctg(78°) 0.2126 ctg(79°) 0.1944 ctg(80°) 0.1763 ctg(81°) 0.1584 ctg(82°) 0.1405 ctg(83°) 0.1228 ctg(84°) 0.1051 ctg(85°) 0.0875 ctg(86°) 0.0699 ctg(87°) 0.0524 ctg(88°) 0.0349 ctg(89°) 0.0175 ctg(90°) 0 ctg(91°) -0.0175 ctg(92°) -0.0349 ctg(93°) -0.0524 ctg(94°) -0.0699 ctg(95°) -0.0875 ctg(96°) -0.1051 ctg(97°) -0.1228 ctg(98°) -0.1405 ctg(99°) -0.1584 ctg(100°) -0.1763 ctg(101°) -0.1944 ctg(102°) -0. 2126 ctg(103°) -0.2309 ctg(104°) -0.2493 ctg(105°) -0.2679 ctg(106°) -0.2867 ctg(107°) -0.3057 ctg(108°) -0.3249

ctg(109°) -0.3443 ctg(110°) -0.364 ctg(111°) -0.3839 ctg(112°) -0.404 ctg(113°) -0.4245 ctg(114°) -0.4452 ctg(115°) -0.4663 ctg(116°) -0.4877 ctg(117°) -0.5095 ctg(118°) -0.5317 ctg(119°) -0.5543 ctg(120°) -0.5774 ctg(121°) -0.6009 ctg(122°) -0.6249 ctg(123°) -0.6494 ctg(124°) -0.6745 ctg(125°) -0. 7002 ctg(126°) -0.7265 ctg(127°) -0.7536 ctg(128°) -0.7813 ctg(129°) -0.8098 ctg(130°) -0.8391 ctg(131°) -0.8693 ctg(132°) -0.9004 ctg(133°) -0.9325 ctg(134°) -0.9657 ctg(135°) -1 ctg(136°) -1.0355 ctg(137°) -1.0724 ctg(138°) -1.1106 ctg(139°) -1.1504 ctg(140°) -1.1918 ctg(141°) -1.2349 ctg(142°) -1.2799 ctg(143°) -1.327 ctg(144°) -1.3764

ctg(145°) -1.4281 ctg(146°) -1.4826 ctg(147°) -1.5399 ctg(148°) -1. 6003 ctg(149°) -1.6643 ctg(150°) -1.7321 ctg(151°) -1.804 ctg(152°) -1.8807 ctg(153°) -1.9626 ctg(154°) -2.0503 ctg(155°) -2.1445 ctg(156°) -2.246 ctg(157°) -2.3559 ctg(158°) -2.4751 ctg(159°) -2.6051 ctg(160°) -2.7475 ctg(161°) -2.9042 ctg(162°) -3.0777 ctg(163°) -3.2709 ctg(164°) -3.4874 ctg(165°) -3.7321 ctg(166°) -4.0108 ctg(167°) -4.3315 ctg(168°) -4.7046 ctg(169°) -5.1446 ctg(170°) -5.6713 ctg(171°) -6.3138 ctg(172°) -7. 1154 ctg(173°) -8.1443 ctg(174°) -9.5144 ctg(175°) -11.4301 ctg(176°) -14.3007 ctg(177°) -19.0811 ctg(178°) -28.6363 ctg(179°) -57.29 ctg(180°) — ∞

Таблица котангенсов от 181° до 360°

ctg(181°) 57.29 ctg(182°) 28.6363 ctg(183°) 19.0811 ctg(184°) 14.3007 ctg(185°) 11.4301 ctg(186°) 9.5144 ctg(187°) 8.1443 ctg(188°) 7.1154 ctg(189°) 6.3138 ctg(190°) 5.6713 ctg(191°) 5.1446 ctg(192°) 4.7046 ctg(193°) 4. 3315 ctg(194°) 4.0108 ctg(195°) 3.7321 ctg(196°) 3.4874 ctg(197°) 3.2709 ctg(198°) 3.0777 ctg(199°) 2.9042 ctg(200°) 2.7475 ctg(201°) 2.6051 ctg(202°) 2.4751 ctg(203°) 2.3559 ctg(204°) 2.246 ctg(205°) 2.1445 ctg(206°) 2.0503 ctg(207°) 1.9626 ctg(208°) 1.8807 ctg(209°) 1.804 ctg(210°) 1.7321 ctg(211°) 1.6643 ctg(212°) 1.6003 ctg(213°) 1.5399 ctg(214°) 1.4826 ctg(215°) 1.4281 ctg(216°) 1.3764

ctg(217°) 1. 327 ctg(218°) 1.2799 ctg(219°) 1.2349 ctg(220°) 1.1918 ctg(221°) 1.1504 ctg(222°) 1.1106 ctg(223°) 1.0724 ctg(224°) 1.0355 ctg(225°) 1 ctg(226°) 0.9657 ctg(227°) 0.9325 ctg(228°) 0.9004 ctg(229°) 0.8693 ctg(230°) 0.8391 ctg(231°) 0.8098 ctg(232°) 0.7813 ctg(233°) 0.7536 ctg(234°) 0.7265 ctg(235°) 0.7002 ctg(236°) 0.6745 ctg(237°) 0.6494 ctg(238°) 0.6249 ctg(239°) 0.6009 ctg(240°) 0.5774 ctg(241°) 0. 5543 ctg(242°) 0.5317 ctg(243°) 0.5095 ctg(244°) 0.4877 ctg(245°) 0.4663 ctg(246°) 0.4452 ctg(247°) 0.4245 ctg(248°) 0.404 ctg(249°) 0.3839 ctg(250°) 0.364 ctg(251°) 0.3443 ctg(252°) 0.3249

ctg(253°) 0.3057 ctg(254°) 0.2867 ctg(255°) 0.2679 ctg(256°) 0.2493 ctg(257°) 0.2309 ctg(258°) 0.2126 ctg(259°) 0.1944 ctg(260°) 0.1763 ctg(261°) 0.1584 ctg(262°) 0.1405 ctg(263°) 0.1228 ctg(264°) 0. 1051 ctg(265°) 0.0875 ctg(266°) 0.0699 ctg(267°) 0.0524 ctg(268°) 0.0349 ctg(269°) 0.0175 ctg(270°) 0 ctg(271°) -0.0175 ctg(272°) -0.0349 ctg(273°) -0.0524 ctg(274°) -0.0699 ctg(275°) -0.0875 ctg(276°) -0.1051 ctg(277°) -0.1228 ctg(278°) -0.1405 ctg(279°) -0.1584 ctg(280°) -0.1763 ctg(281°) -0.1944 ctg(282°) -0.2126 ctg(283°) -0.2309 ctg(284°) -0.2493 ctg(285°) -0.2679 ctg(286°) -0.2867 ctg(287°) -0.3057 ctg(288°) -0. 3249

ctg(289°) -0.3443 ctg(290°) -0.364 ctg(291°) -0.3839 ctg(292°) -0.404 ctg(293°) -0.4245 ctg(294°) -0.4452 ctg(295°) -0.4663 ctg(296°) -0.4877 ctg(297°) -0.5095 ctg(298°) -0.5317 ctg(299°) -0.5543 ctg(300°) -0.5774 ctg(301°) -0.6009 ctg(302°) -0.6249 ctg(303°) -0.6494 ctg(304°) -0.6745 ctg(305°) -0.7002 ctg(306°) -0.7265 ctg(307°) -0.7536 ctg(308°) -0.7813 ctg(309°) -0.8098 ctg(310°) -0.8391 ctg(311°) -0. 8693 ctg(312°) -0.9004 ctg(313°) -0.9325 ctg(314°) -0.9657 ctg(315°) -1 ctg(316°) -1.0355 ctg(317°) -1.0724 ctg(318°) -1.1106 ctg(319°) -1.1504 ctg(320°) -1.1918 ctg(321°) -1.2349 ctg(322°) -1.2799 ctg(323°) -1.327 ctg(324°) -1.3764

ctg(325°) -1.4281 ctg(326°) -1.4826 ctg(327°) -1.5399 ctg(328°) -1.6003 ctg(329°) -1.6643 ctg(330°) -1.7321 ctg(331°) -1.804 ctg(332°) -1.8807 ctg(333°) -1.9626 ctg(334°) -2. 0503 ctg(335°) -2.1445 ctg(336°) -2.246 ctg(337°) -2.3559 ctg(338°) -2.4751 ctg(339°) -2.6051 ctg(340°) -2.7475 ctg(341°) -2.9042 ctg(342°) -3.0777 ctg(343°) -3.2709 ctg(344°) -3.4874 ctg(345°) -3.7321 ctg(346°) -4.0108 ctg(347°) -4.3315 ctg(348°) -4.7046 ctg(349°) -5.1446 ctg(350°) -5.6713 ctg(351°) -6.3138 ctg(352°) -7.1154 ctg(353°) -8.1443 ctg(354°) -9.5144 ctg(355°) -11.4301 ctg(356°) -14.3007 ctg(357°) -19.0811 ctg(358°) -28. 6363 ctg(359°) -57.29 ctg(360°) ∞

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функции y=sin(x) и ее график. 

График функции (синусоида)

Свойства функции

1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
2. Область значений:

3. Функция нечетная:

   (график симметричен относительно начала координат).

4. Функция периодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат:  
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания:   
   

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

 Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при .

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке . 

Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрас­тает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков 

Рис.2                                                                            Рис.3

Если  (рис.3,б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции  (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

Рис.4

Рис.5

Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

Рис.6

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (косинусоида).

Свойства функции 

1. Область определения: R (x — любое действительное число).
2. Область значений: 

3. Функция четная:

   (график симметричен относительно оси ).

4. Функция периодическая с периодом  : 
5. Точки пересечения с осями координат 
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания: 
   

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
.

Рис.7

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при .

Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому  при 

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента  абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента  аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция  возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков . 

Рис.8                                                                                                                          Рис.9

Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу

Рис.10

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

прямоугольника  около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.

Тогда,

Таким образом, .

Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на  (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

Рис.11

Рис.12

График функции  (тангенсоида) 

Свойства функции :

1. Область определения: 

2. Область значений: 

3. Функция нечетная: 

4. Функция периодическая с периодом 

5. Точки пересечения с осями координат:   

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

График функции  (котангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная: 

4. Функция переодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат: 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Диаграммы тангенса и котангенса | Brilliant Math & Science Wiki

Из определения функций тангенса и котангенса мы имеем

\[ \tan(\theta)= \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)},\ quad \cot( \theta)= \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}. \]

Таким образом, \(\tan(\theta)\) не определено для значений \ (\theta\) такой, что \(\cos(\theta) = 0\). Теперь рассмотрим график \(\cos (\theta)\):

Из этого графика видно, что \(\cos(\theta) = 0\), когда \(\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi\) для любого целого числа \(k\) . Это означает, что функция тангенса имеет вертикальные асимптоты при этих значениях \(\theta\).

Касательная функция стремится к положительной или отрицательной бесконечности в этих асимптотах? Поскольку \(\theta\) приближается к \(\frac{\pi}{2}\) снизу, \(\big(\theta\) принимает значения меньше, чем \(\frac{\pi}{2}\), а все ближе и ближе к \(\frac{\pi}{2}\big),\) \(\sin (\theta) \) принимает положительные значения, которые все ближе и ближе к \(1\), а \( \cos (\theta)\) принимает положительные значения, которые все ближе и ближе к \(0\). Это показывает, что \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\) положителен и стремится к бесконечности, поэтому \(\tan(\theta)\) имеет положительная вертикальная асимптота как \(\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} \) снизу. С помощью аналогичного анализа, когда \(\theta\) приближается к \(\frac{\pi}{2}\) сверху, \(\big(\theta\) принимает значения больше, чем \(\frac{\pi}{ 2}\) по мере приближения к \(\frac{\pi}{2}\big),\) \(\sin (\theta) \) принимает положительные значения, которые все ближе и ближе к \(1\ ), а \(\cos (\theta)\) принимает отрицательные значения, которые все ближе и ближе к \(0\). Это показывает, что \(\tan(\theta)\) имеет отрицательную вертикальную асимптоту как \(\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} \) сверху. Ниже показан график касательной для области \(0 \leq \theta \leq 2\pi\):

График тангенса по всей его области выглядит следующим образом:

Аналогично, \(\cot(\theta)\) не определено для значений \(\theta\), таких что \(\sin(\theta) = 0\). Из графика \(\sin (\theta),\) мы видим, что \(\sin(\theta) = 0\), когда \(\theta = 0 + k\pi\) для любого целого числа \(k\ ), из чего следует, что функция котангенса имеет вертикальные асимптоты при этих значениях \(\theta:\)

Заметим, что из определения тангенса и котангенса мы получаем следующее соотношение между функциями тангенса и котангенса:

\[ \tan(\theta) = \frac{\sin (\theta)}{\cos (\ тета)} = \ гидроразрыва {1} {\ \ \ гидроразрыва {\ соз (\ тета)} {\ грех (\ тета)} \ \} = \ гидроразрыва {1} {\ кроватки (\ тета)}. \]

Действительно, мы можем видеть, что на графиках тангенса и котангенса функция тангенса имеет вертикальные асимптоты, где функция котангенса имеет значение 0, а функция котангенса имеет вертикальные асимптоты, где функция тангенса имеет значение 0.

Графики тангенса и котангенса удовлетворяют следующим свойствам:

• диапазон: \((-\infty, \infty)\)
• период: \(\pi\)
• обе нечетные функции.

Из графиков функций тангенса и котангенса видно, что периоды тангенса и котангенса равны \(\pi\). В тригонометрических тождествах мы увидим, как доказать периодичность этих функций с помощью тригонометрических тождеств.

Какие значения \(\theta\) в интервале \([0, \pi]\) удовлетворяют \(\tan(\theta) = \cot(\theta)?\) Можно ли это увидеть из графиков функции тангенса и котангенса? 92 = 1\). Это выполняется для \(\tan \theta = \pm 1\) или \(\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\).

Из графиков тангенса и котангенса также видно, что точками пересечения двух графиков в области \([0,\pi]\) являются \( \big( \frac{\pi}{4}, 1 \big)\) и \( \big( \frac{3\pi}{4}, -1 \big). \ _\square \)

Котангенс — Формула, График, Область, Диапазон

Котангенс — одна из 6 тригонометрических функций. Обычно его называют «кроваткой». Как и другие тригонометрические отношения, формула котангенса также определяется как отношение сторон прямоугольного треугольника. Формула cot x равна отношению основания и перпендикуляра прямоугольного треугольника. Вот 6 основных тригонометрических функций и их сокращения.

Давайте узнаем больше о котангенсе, изучив его определение, формулу cot x, его область определения, диапазон, график, производную и интеграл. Также мы увидим, каковы значения котангенса на единичной окружности.

Что такое котангенс?

Котангенс — одно из основных тригонометрических соотношений. Фактически это одно из обратных тригонометрических соотношений csc, sec и cot. Обычно его обозначают как «кроватка х», где х — угол между основанием и гипотенузой прямоугольного треугольника. Альтернативные названия котангенса — котангенс и котангенс х. Котангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащей стороны (стороны, прилежащей к углу) к противолежащей стороне (стороны, противолежащей углу).

Котангенс Формула

Формула котангенса для угла θ: cot θ = (прилежащая сторона) / (противоположная сторона). . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, образующий прямой угол в точке B. Тогда AB — сторона, примыкающая к A, а BC — сторона, противолежащая A. Тогда котангенс треугольника A (который записывается как детская кроватка A),

детская кроватка A = (прилегающая сторона A) / (противоположная сторона A) = (AB) / (BC).

Например, если AB = 3 и BC = 4, то кроватка A = 3/4.

Свойства котангенса

Мы уже знаем, что кроватка x = (Смежный) / (Противоположный). Помимо этого, существует несколько других формул отношения котангенса, в которых котангенс может быть записан через другие тригонометрические отношения.

Котангенс относительно Cos и Sin

Мы знаем, что sin θ = (Противоположный) / (Гипотенуза) и cos θ = (Смежный) / (Гипотенуза). Если мы разделим cos θ на sin θ , мы получим

(cos θ) / (sin θ) = (Смежный) / (Гипотенуза) × (Гипотенуза) / (Противоположный)

= (Смежный) / (Противоположный)

= кроватка θ

Следовательно, кроватка θ = (cos θ) / (sin θ) — это формула кроватки x с точки зрения cos и sin.

Котангенс через Tan

Мы знаем, что tan θ = (Противоположный)/(Смежный) и cot θ = (Смежный)/(Противоположный). Таким образом, cot и tan обратны друг другу. Таким образом, мы можем написать cot θ = 1/tan θ и tan θ = 1/cot θ. Таким образом, раскладушка с точки зрения загара есть. раскладушка θ = 1/тангенс θ. Существует еще одна формула для записи кроватки в терминах загара: cot θ = тангенс (π/2 — θ) (или) тангенс (90° — θ).

Котангенс через косек

Из одного из тождеств Пифагора csc ² θ — ctg ² θ = 1. Отсюда получаем cot ² θ = csc 2, ^{Если взять квадратный корень с обеих сторон, кроватка θ = √(csc 2 θ — 1). Следовательно, детская кроватка в терминах csc равна кроватка θ = √(csc 2 θ — 1)}

Закон котангенса

Рассмотрим треугольник ABC, где AB = c, BC = a и CA = b. Закон котангенса похож на закон синусов, но включает половинные углы. Закон котангенса гласит: (cot A/2) / (s — a) = (cot B/2) / (s — b) = (cot C/2) / (s — c). Здесь s — полупериметр треугольника. т. е. s = (a + b + c)/2.

Знак котангенса

Отношение котангенса (разумеется, как tan, так и cot) положительно только в первом и третьем квадрантах. Он отрицателен во втором и четвертом квадрантах. Таким образом,

• раскладушка (π — θ) = — раскладушка θ (2 ^-й квадрант)
• раскладушка (π + θ) = раскладушка θ (3 ^-й -й квадрант)
• раскладушка (2π — θ) = — раскладушка θ (4 ^-й квадрант)
• раскладушка (2π + θ) = раскладушка θ (1 ^ст квадрант)

Период котангенса

Мы знаем, что все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Кроме того, из предыдущего раздела мы знаем, что кроватка (2π + θ) = кроватка θ . Но функция котангенса может иметь меньший период π (поскольку функция котангенса положительна в первом и третьем квадранте, где углы в третьем квадранте равны π + угол в первом квадранте). Таким образом, период котангенса равен π. т. е. раскладушка (π + θ) = раскладушка θ .

Котангенс отрицательного угла

Котангенс отрицательного угла равен отрицательному значению котангенса положительного угла. т. е. кроватка (-x) = -кроватка x для любого x в области. Отсюда можно сделать вывод, что котангенс является нечетной функцией.

Котангенс единичной окружности

Мы знаем, что каждая точка на единичной окружности дает значения cos и sin соответствующего угла. Чтобы найти котангенс соответствующего угла, мы просто делим соответствующее значение cos на соответствующее значение sin, потому что у нас есть формула cot x, определяемая как cot x = (cos x) / (sin x). Здесь мы можем видеть значения cot θ для некоторых стандартных углов.

Таким же образом мы можем вычислить котангенс всех углов единичной окружности. Вот единичный круг с функцией котангенса.

Домен, диапазон и график котангенса

В этом разделе давайте посмотрим, как мы можем найти область определения и область значений функции котангенса. Кроме того, мы увидим процесс построения графика в своей области.

Область и диапазон котангенса

В предыдущем разделе мы видели, что кроватка не определена при 0° (0π), 180° (1π) и 360° (2π) (другими словами, котангенс не определен везде, где sin x равен нулю, потому что cot x = (cos x)/(sin x)). Мы знаем, что sin x равен нулю для целых чисел, кратных π, поэтому функция котангенса не определена для всех целых чисел, кратных π. Таким образом, кроватка nπ НЕ определена ни для какого целого числа n. Таким образом, областью определения котангенса является множество всех действительных чисел (R), кроме nπ (где n ∈ Z). Опять же, из единичного круга мы можем видеть, что функция котангенса может давать все действительные числа, и, следовательно, ее областью значений является множество всех действительных чисел (R). Таким образом,

• Область определения котангенса — это множество действительных чисел, кроме всех целых чисел, кратных π
• Областью котангенса является множество всех действительных чисел

т. е. cot x : R — {nπ / n ∈ Z} → R

График котангенса

Поскольку функция котангенса НЕ определена для целых чисел, кратных π, на графике есть вертикальные асимптоты для всех кратных π котангенса. Кроме того, из единичного круга (в одном из предыдущих разделов) мы можем видеть, что котангенс равен 0 во всех нечетных кратных π/2. Кроме того, из единичного круга мы можем видеть, что в интервале, скажем (0, π), значения кроватки уменьшаются по мере увеличения углов. Следовательно, ctg — убывающая функция. Таким образом, график функции котангенса выглядит так.

Производная и интеграл от котангенса

Чтобы найти производную и интеграл котангенса, мы используем формулу тождественного котангенса cot x = (cos x) / (sin x). Давайте посмотрим, как.

Производная котангенса

Пусть y = cot x = (cos x) / (sin x). Тогда по правилу частных

y’ = [sin x d/dx(cos x) — cos x d/dx(sin x)] / (sin x) ²

= [sin x (- sin x) — cos x (cos x)] / sin ² x

= [-sin ² x — cos ² x] / sin ² x

= — [sin ² x + cos ² x] / sin 909029 002 = — 1/sin ² x — [Используя тригонометрическое тождество sin ² x + cos ² x = 1]

= -csc ² x — [Поскольку sin x = 1/csc x и csc x = 1/sin x]

Таким образом, производная от cot x равна -csc ² x.

Интеграл от котангенса

∫ cot x = ∫ (cos x) / (sin x) dx

Вычислим этот интеграл методом подстановки. Для этого пусть sin x = u. Тогда cos x dx = du.

Тогда, используя приведенный выше интеграл, получим

∫ (1/u) du = ln |u| + C, где C — постоянная интегрирования.

Замените u = sin x здесь,

∫ кроватка x dx = ln |sin x| + C

Таким образом, интеграл от cot x равен ln |sin x| + C.

Важные моменты по котангенсу:

• Cot x Формула: cot x = (cos x) / (sin x)
• Некоторые важные формулы котангенса:
  детская кроватка x = (cos x)/(sin x)
  детская кроватка х = 1/загар х
  детская кроватка (-x) = — детская кроватка x
  детская кроватка θ = √(csc ² θ — 1)
• Домен cot x равен R — {nπ}, а его диапазон равен R.
• Функция котангенса имеет вертикальные асимптоты при всех кратных π.

Темы по теме:

• Детская кроватка — Формула загара
• Тригонометрия
• Тригонометрический калькулятор
• Калькулятор арккотангенса
• Детская кроватка 53 градуса
• Детская кроватка 18 градусов
• Детская кроватка 1 градус

Часто задаваемые вопросы о котангенсе

Что такое котангенс в тригонометрии?

Котангенс является одним из тригонометрических отношений и определяется как cot x = (прилежащая сторона)/(противоположная сторона) для любого угла x между основанием и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

Что такое формулы котангенса?

Некоторые из важных формул кроватки x:.

• детская кроватка x = (смежный)/(напротив)
• раскладушка x = (cos x)/(sin x)
• детская кроватка х = 1/тан х
• детская кроватка (π/2 — x) = загар x
• детская кроватка (π + x) = детская кроватка x
• детская кроватка (2π + x) = детская кроватка x
• детская кроватка (-x) = — детская кроватка x
• раскладушка θ = √csc²θ — 1

Является ли котангенс обратным тангенсу?

Нет, обратным тангенсом является арктангенс. Пишется как загар ^-1 . Но (tan x) ^-1 = 1/tan x = кроватка x. (tan x) ^-1 и tan ^-1 x НЕ совпадают.

Что такое домен и диапазон котангенса?

Область определения котангенса равна R — {nπ, где n — целое число}, а диапазон значений котангенса равен R. Здесь R — множество всех действительных чисел.

Что является противоположностью формулы котангенса?

Мы не используем терминологию противоположности котангенса.

Как сравнить два документа Word на различия.: spayte — LiveJournal

Практическое занятие №3 Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений п-линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Составим главный определитель из коэффициентов при неизвестных:

а) Если , то система (1) имеет решения, которые находятся по формулам:

,

где определитель получается из главного определителя  заменой i-го столбца столбцом свободных членов:

.

б) Если , то система (1) не имеет решений.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение.

решение существует;

.

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений п-линейных уравнений с n неизвестными:

(2)

а) Если главный определитель системы (2) не равен нулю, то система имеет единственное решение , которое называется тривиальным.

б) Если , то система (2) имеет бесконечное множество нетривиальных решений.

Пример 2. Решить однородные системы уравнений:

а)

(единственное решение).

б)

система имеет нетривиальное решение.

Уравнение (3) получено суммированием уравнений (1) и (2), поэтому уравнение (3) можно отбросить. Обозначим , получим:

Получим неоднородную систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Найдем главный определитель:

решение существует.

;

Ответ: .

Выполнить задания:

1. Решить системы уравнений:

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричными способом. Матричные уравнения

Пусть А – квадратная матрица -го порядка

.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае, если ее определитель равен нулю, то матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

,

где алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие

.

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А.

Обратная матрица

Теорема. (Необходимое и достаточное условие существование обратной матрицы).

Обратная матрица существует и единственна исходная матрица А невырожденная.

Формула нахождения обратной матрицы для невырожденной квадратной матрицы:

где матрица из алгебраических дополнений, матрица, транспонированная матрице из алгебраических дополнений.

Формулы для вычисления обратных матриц второго и третьего порядков имеют вид:

при : ;

(1)

при : ,

. (2)

Пример 1. Найти матрицу для матрицы А, если дана матрица:

Решение.

Для вычисления обратной матрицы используем формулу (1).

1) Найдем определитель матрицы А:

и единственна.

2) Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:

3) Составим матрицу из алгебраических дополнений:

.

4) Составим матрицу, транспонированную матрице алгебраических дополнений:

.

5) Найдем по формуле (1) обратную матрицу :

.

Убедиться в правильности вычислений обратной матрицы можно, проверив равенство:

Действительно,

Матричные уравнения

Обратная матрица применяется при решении матричных уравнений. Рассмотрим три типа матричных уравнений.

1 случай. Рассмотрим матричное уравнение

(1)

где А, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Умножим обе части равенства (1) слева на :

(2)

Формула (2) позволяет найти неизвестную матрицу Х.

2 случай. Рассмотрим матричное уравнение

(3)

где А, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Умножим обе части равенства (3) справа на :

(4)

Формула (4) позволяет найти неизвестную матрицу Х.

3 случай. Рассмотрим матричное уравнение

(5)

где А, D, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Умножим обе части равенства (5) слева на и справа на , получим

имеем

(6)

Формула (6) позволяет найти неизвестную матрицу Х.

Пример 2. Решить матричное уравнение:

Решение. Искомую матрицу Х найдем по формуле (6).

1) Найдем матрицу

существует и единственна.

Найдем алгебраические дополнения матрицы А:

.

Составим матрицу из алгебраических дополнений и матрицу, транспонированную матрице алгебраических дополнений .

2) Найдем матрицу :

существует и единственна.

;

3) По формуле (6) найдем матрицу Х:

Выполнить задания:

1. Найти матрицы , обратные для данных матриц:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Решить систему матричным способом:

а)

б)

3. Решить матричное уравнение:

а) ;

б) .

Краткий курс высшей математики

Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с. Данное учебное пособие предназначено для студентов вечерних факультетов втузов и заводов-втузов. Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный обязательной программой. Достаточное количество решенных примеров и задач способствует лучшему усвоению теоретического материала. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ 2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3. Абсолютная величина действительного числа 4. Расстояние между двумя точками на прямой § 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4. Координаты точки в пространстве 5. Расстояние между двумя точками в пространстве § 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 2. Полярные координаты 3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами § 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 2. Понятие функции 3. График функции 4. Способы задания функций 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Сложные функции. Элементарные функции 7. Целые и дробно-рациональные функции 8. Функции четные и нечетные. Периодические функции § 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ 2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам § 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 2. Поворот осей координат ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. ПРЯМАЯ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4. Общее уравнение прямой и его частные случаи 5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению 6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 8. Пучок прямых 9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 10. Расстояние от точки до прямой § 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Окружность 3. Эллипс 4. Гипербола 5. Парабола 6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат 9. График дробно-линейной функции 10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2. Определитель третьего порядка 3. Понятие об определителях высших порядков § 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными § 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 2. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат 6. Направляющие косинусы вектора 7. Условие коллинеарности двух векторов 8. Скалярное произведение 9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов 10. Косинус угла между двумя векторами 11. Векторное произведение 12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов 13. Смешанное произведение трех векторов 14. Геометрический смысл смешанного произведения 15. Условие компланарности трех векторов § 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 2. Равенство матриц. Действия над матрицами 3. Обратная матрица 4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2. Преобразование координат 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ПЛОСКОСТЬ 2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 4. Построение плоскости по ее уравнению 5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 6. Точка пересечения трех плоскостей § 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Общие уравнения прямой 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых § 3. Прямая и плоскость в пространстве 2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4. Пучок плоскостей § 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Цилиндрические поверхности 3. Конические поверхности 4. Поверхность вращения 6. Гиперболоиды 7. Параболоиды ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2. Предел функции при х -> -оо 3. Предел функции при х->х0 4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции 5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Предел функции при x -> 0 8. Последовательность. Число e 9. Натуральные логарифмы 10. Сравнение бесконечно малых функций § 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7. Понятие о гиперболических функциях ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 4. Определение производной и ее механический смысл 5. Дифференцируемость функции 6. Геометрический смысл производной 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9. Производная обратной функции 10. Производные обратных тригонометрических функций 11. Производная сложной функции § 12. Производные гиперболических функций 13. Производная степенной функции с любым показателем 14. Сводная таблица формул дифференцирования 15. Неявные функции и их дифференцирование 16. Уравнения касательной а нормали к кривой 17. Графическое дифференцирование § 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Нахождение производных высших порядков 2. Механический смысл второй производной § 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2. Производная как отношение дифференциалов 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций 4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 6. Дифференциалы высших порядков § 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически § 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой 4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента § 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Теорема Ролля 3. Теорема Лагранжа 4. Правило Лопиталя § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ 2. Максимум и минимум функции 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной 4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 5. Применение теории максимума и минимума к решению задач 6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 7. Асимптоты графика функции 8. Общая схема исследования функции и построение ее графика § 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных § 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 2. Геометрический смысл неопределенного интеграла 3. Таблица основных интегралов 4. Основные свойства неопределенного интеграла § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование методом замены переменной 3. Интегрирование по частям § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби 3. Интегрирование простейших рациональных дробей 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 5. Метод неопределенных коэффициентов 6. Интегрирование рациональных дробей § 4. Интегрирование тригонометрических функций 2. Рациональные функции двух переменных 3. Интегралы вида § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Интеграл вида 3. Интегралы видов 4. Интегралы вида § 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ 2. Задача о работе переменной силы § 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Свойства определенного интеграла 3. Производная интеграла по переменной верхней границе 4. Формула Ньютона—Лейбница 5. Замена переменной в определенном интеграле 6. Интегрирование по частям в определенном интеграле § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2. Вычисление площади в полярных координатах 3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям 4. Объем тела вращения 5. Длина дуги кривой 6. Дифференциал дуги 7. Площадь поверхности вращения 8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм § 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2. Вычисление кривизны 3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны 4. Эволюта и эвольвента § 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Интегралы от разрывных функций 3. Признаки сходимости несобственных интегралов § 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2. Метод трапеций 3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона) ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. График функции двух переменных 3. Функции трех и большего числа переменных § 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва 2. Непрерывность функции нескольких переменных 3. Понятие области 4. Точки разрыва 5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 3. Частные производные высших порядков § 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Полный дифференциал функции 3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям § 5. Дифференцирование сложных и неявных функций 2. Инвариантность формы полного дифференциала 3. Дифференцирование неявных функций § 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 2. Производная по направлению 3. Градиент 4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности 5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных § 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Двойной интеграл. Теорема существования 3. Свойства двойного интеграла 4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 6. Приложения двойного интеграла § 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Тройной интеграл и его свойства 3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 5. Приложения тройного интеграла § 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл 3. Вычисление криволинейного интеграла 4. Формула Остроградского — Грина 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу 7. Криволинейный интеграл по длине дуги ГЛАВА XI. РЯДЫ § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2. Геометрическая прогрессия 3. Простейшие свойства числовых рядов 4. Необходимый признак сходимости ряда 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 6. Знакопеременные ряды 7. Остаток ряда и его оценка § 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Свойства степенных рядов 3. Ряды по степеням разности х-а 4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена § 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 2. Приближенное вычисление интегралов § 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 2. Числовые ряды с комплексными членами 3. Степенные ряды в комплексной области § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Ряд Фурье 3. Сходимость ряда Фурье 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Однородные уравнения 5. Линейные уравнения 6. Уравнение в полных дифференциалах 7. Особые решения 8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков § 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 4. Метод вариации произвольных постоянных § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ § 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Алгебраическое решение матричного уравнения

Переключить боковую панель оглавления

Используйте SymPy для решения матричного (линейного) уравнения. Например, решение \( \left[\begin{массив}{cc} c & d\\1 & -e\end{массив}\right] \left[\begin{массив}{cc} x\\y\end{массив}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2\\0\end{массив}\right] \) дает \( \left[\begin{массив}{cc} x\\y\end{массив}\right] = \left[\begin{массив}{cc} \frac{2e}{ce+d}\\\frac{2}{ce+d}\end{массив}\right]\).

Альтернативы для рассмотрения

• Если ваша матрица и постоянный вектор содержат только числа, а не символы, для пример \(\left[\begin{массив}{cc} 1 и 2\\3 и 4\end{массив}\right] \left[\begin{массив}{cc} x\\y\end{массив}\right] = \left[\begin{массив}{cc} 2\\0\end{массив}\right]\), вы можете использовать один из этих других бесплатных и открытых пакеты вместо SymPy:

  • NumPy numpy. linalg.solve()

  • SciPy’s scipy.linalg.solve()

  • mpmath lu_solve()

• Решение матричного уравнения эквивалентно решению системы линейных уравнения, поэтому, если вы предпочитаете, вы можете Алгебраическое решение системы уравнений

• Если вы сформулировали свою задачу как систему линейных уравнений и хотите преобразовать его в матричную форму, вы можете использовать linear_eq_to_matrix() , а затем следуйте процедурам, описанным в этом руководстве.

Решение матричного уравнения

Вот пример решения матричного уравнения с помощью SymPy sympy.matrices.matrices.MatrixBase.solve() . Используем стандартную матрицу формулировка уравнения \(Ax=b\), где

• \(A\) — матрица, представляющая коэффициенты в линейных уравнениях

• \(x\) — вектор-столбец неизвестных, которые необходимо решить для

• \(b\) — вектор-столбец констант, где каждая строка — значение уравнение

 >>> из sympy import init_printing
>>> init_printing(use_unicode=Истина)
 

 >>> из символов импорта sympy
>>> из sympy. matrices импортировать матрицу
>>> c, d, e = символы ("c, d, e")
>>> A = Matrix([[c,d], [1, -e]])
>>> А
⎡к д ⎤
⎢ ⎥
⎣1 -е⎦
>>> b = Матрица ([2, 0])
>>> б
⎡2⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦
>>> А.решить(б)
⎡ 2⋅е ⎤
⎢───────⎥
⎢с⋅е + г⎥
⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥
⎢───────⎥
⎣с⋅е + г⎦
 

Руководство

Матрица обычно должна быть квадратной

Матрица \(A\) обычно должна быть квадратной, чтобы представить систему линейных уравнений с тем же числом неизвестных, что и уравнения. Если нет, SymPy выдаст ошибку ShapeError: `self` и `rhs` должны иметь одинаковое количество строк.

Исключение из требования, чтобы матрица была квадратной, связано с использованием SymPy. псевдообратного Мура-Пенроуза .

Методы решения матричных уравнений

Метод решения матриц SymPy, sympy.matrices.matrices.MatrixBase.solve() , может использовать несколько различных методов, которые перечислены по этой справочной ссылке API. В зависимости от характера матрицы данный метод может быть более эффективным. К по умолчанию, Гаусс-Жордан будет использовано устранение.

Указание метода решения эквивалентно использованию специализированного метода решения. функция. Например, используя , решить с помощью method='LU' вызовов ЛУрешить() .

Решение нескольких матричных уравнений с одной и той же матрицей

Если вам нужно повторно решить матричные уравнения с одной и той же матрицей \(A\), но различных постоянных векторов \(b\), эффективнее использовать один из следующих методы.

Вы можете использовать разложение LU через LUsolve() :

 >>> из символов импорта sympy, матрица, глаз, упростить
>>> c, d, e = символы ("c, d, e")
>>> A = Matrix([[c,d], [1, -e]])
>>> А
⎡к д ⎤
⎢ ⎥
⎣1 -е⎦
>>> b = Матрица ([2, 0])
>>> б
    ⎡2⎤
    ⎢ ⎥
    ⎣0⎦
>>> решение = A.LUsolve(b)
>>> решение
    ⎡ 2⋅е ⎤
    ⎢───────⎥
    ⎢с⋅е + г⎥
    ⎢ ⎥
    ⎢ 2 ⎥
    ⎢───────⎥
    ⎣с⋅е + г⎦
>>> # Демонстрация правильного решения
>>> упростить (решение *)
    ⎡2⎤
    ⎢ ⎥
    ⎣0⎦
>>> b2 = Матрица ([4, 0])
>>> б2
    ⎡4⎤
    ⎢ ⎥
    ⎣0⎦
>>> решение2 = A. LUsolve(b2)
>>> решение2
    ⎡ 4⋅е ⎤
    ⎢───────⎥
    ⎢с⋅е + г⎥
    ⎢ ⎥
    ⎢ 4 ⎥
    ⎢───────⎥
    ⎣с⋅е + г⎦
>>> # Демонстрация правильности решения 2
>>> упростить(A * решение2)
    ⎡4⎤
    ⎢ ⎥
    ⎣0⎦
 

Другой подход заключается в вычислении обратной матрицы, но это почти всегда медленнее и значительно медленнее для больших матриц. Если эффективное вычисление не является приоритетом, вы можете использовать inv() :

 >>> из символов импорта sympy, Matrix, упростить
>>> c, d, e = символы ("c, d, e")
>>> A = Matrix([[c,d], [1, -e]])
>>> b = Матрица ([2, 0])
>>> б
    ⎡2⎤
    ⎢ ⎥
    ⎣0⎦
>>> b2 = Матрица ([4, 0])
>>> б2
    ⎡4⎤
    ⎢ ⎥
    ⎣0⎦
>>> инв = А.инв()
>>> инв
    ⎡ э д ⎤
    ⎢─────── ───────⎥
    ⎢c⋅e + d c⋅e + d⎥
    ⎢ ⎥
    ⎢ 1 -с ⎥
    ⎢─────── ───────⎥
    ⎣c⋅e + d c⋅e + d⎦
>>> # Решает Ax = b для x
>>> решение = инв * б
>>> решение
    ⎡ 2⋅е ⎤
    ⎢───────⎥
    ⎢с⋅е + г⎥
    ⎢ ⎥
    ⎢ 2 ⎥
    ⎢───────⎥
    ⎣с⋅е + г⎦
>>> # Демонстрация правильного решения
>>> упростить (решение *)
    ⎡2⎤
    ⎢ ⎥
    ⎣0⎦
>>> # Решает Ax = b2 для x
>>> решение2 = инв * b2
>>> решение2
    ⎡ 4⋅е ⎤
    ⎢───────⎥
    ⎢с⋅е + г⎥
    ⎢ ⎥
    ⎢ 4 ⎥
    ⎢───────⎥
    ⎣с⋅е + г⎦
>>> # Демонстрация правильности решения 2
>>> упростить(A * решение2)
    ⎡4⎤
    ⎢ ⎥
    ⎣0⎦
 

Определение обратной большой символьной матрицы не может быть вычислительно сговорчивый.

Работа с символьными матрицами

Вычислительная сложность манипулирования символьными матрицами может увеличиться быстро с размером матрицы. Например, количество членов в определителе символическая матрица увеличивается с факториалом размерности матрицы. Как В результате максимальная размерность решаемых матриц больше ограничено, чем для числовых матриц. Например, определитель этого 4x4 символьная матрица имеет 24 члена по четыре элемента в каждом члене:

 >>> из sympy импорта MatrixSymbol
>>> A = MatrixSymbol('A', 4, 4).as_explicit()
>>> А
⎡А₀₀ А₀₁ А₀₂ А₀₃⎤
⎢ ⎥
⎢А₁₀ А₁₁ А₁₂ А₁₃⎥
⎢ ⎥
⎢А₂₀ А₂₁ А₂₂ А₂₃⎥
⎢ ⎥
⎣А₃₀ А₃₁ А₃₂ А₃₃⎦
>>> А.дет()
    А₀₀⋅А₁₁⋅А₂₂⋅А₃₃ - А₀₀⋅А₁₁⋅А₂₃⋅А₃₂ - А₀₀⋅А₁₂⋅А₂₁⋅А₃₃ + А₀₀ ⋅А₁₂⋅А₂₃⋅А₃₁ + А₀₀⋅А₁
    ₃⋅А₂₁⋅А₃₂ - А₀₀⋅А₁₃⋅А₂₂⋅А₃₁ - А₀₁⋅А₁₀⋅А₂₂⋅А₃₃ + А₀₁⋅А₁₀⋅А ₂₃⋅А₃₂ + А₀₁⋅А₁₂⋅А₂₀⋅
    А₃₃ - А₀₁⋅А₁₂⋅А₂₃⋅А₃₀ - А₀₁⋅А₁₃⋅А₂₀⋅А₃₂ + А₀₁⋅А₁₃⋅А₂₂⋅А₃₀ + А₀₂⋅А₁₀⋅А₂₁⋅А₃₃ -
    А₀₂⋅А₁₀⋅А₂₃⋅А₃₁ - А₀₂⋅А₁₁⋅А₂₀⋅А₃₃ + А₀₂⋅А₁₁⋅А₂₃⋅А₃₀ + А₀₂ ⋅А₁₃⋅А₂₀⋅А₃₁ - А₀₂⋅А₁
    ₃⋅А₂₁⋅А₃₀ - А₀₃⋅А₁₀⋅А₂₁⋅А₃₂ + А₀₃⋅А₁₀⋅А₂₂⋅А₃₁ + А₀₃⋅А₁₁⋅А ₂₀⋅А₃₂ - А₀₃⋅А₁₁⋅А₂₂⋅
    А₃₀ - А₀₃⋅А₁₂⋅А₂₀⋅А₃₁ + А₀₃⋅А₁₂⋅А₂₁⋅А₃₀
 

и решение матричного уравнения из него занимает около минуты, тогда как аналогичный Матрица 3x3 занимает менее одной секунды. Более несвязанные, символические записи в матрица, тем более вероятно, что она будет медленной в управлении. Этот пример, нахождение общее решение матрицы, где все элементы являются независимыми символами, есть крайний случай и, следовательно, самый медленный для матрицы такого размера.

Ускорение решения матричных уравнений

Вот несколько предложений:

• Если элементы матрицы равны нулю, убедитесь, что они распознаются как нулевые. Ты можешь сделать это, либо сделав их равными нулю, либо применив предположения.

• Выбор метода решения, соответствующего свойствам матрицы, например эрмитовым, симметричным или треугольным. Ссылаться на Методы решения матричных уравнений.

• Используйте класс DomainMatrix , который может работать быстрее потому что это ограничивает область определения матричных элементов.

Использовать результат решения

Использование решения в качестве вектора

Результат решения можно использовать как вектор. Например, чтобы доказать, что решение \(x\) правильное, вы можете умножить его на матрицу \(A\) и убедиться, что оно производит вектор констант \(b\):

 >>> из символов импорта sympy, упростить
>>> из sympy.matrices импортировать матрицу
>>> c, d, e = символы ("c, d, e")
>>> A = Matrix([[c,d], [1, -e]])
>>> b = Матрица ([2, 0])
>>> решение = A.solve(b)
>>> решение
    ⎡ 2⋅е ⎤
    ⎢───────⎥
    ⎢с⋅е + г⎥
    ⎢ ⎥
    ⎢ 2 ⎥
    ⎢───────⎥
    ⎣с⋅е + г⎦
>>> # Не сразу очевидно, является ли этот результат вектором нулей
>>> (А * решение) - б
    ⎡ 2⋅с⋅е 2⋅д ⎤
    ⎢─────── + ─────── - 2⎥
    ⎢c⋅e + d c⋅e + d ⎥
    ⎢ ⎥
    ⎣ 0 ⎦
>>> # упрощает показывает, что этот результат является вектором нулей
>>> упростить((A * решение) - б)
    ⎡0⎤
    ⎢ ⎥
    ⎣0⎦
 

Обратите внимание, что нам пришлось использовать SimPy() , чтобы сделать SymPy упростите выражение в матричном элементе, чтобы сразу стало очевидно, что решение правильное.

Извлечение элементов из раствора

Поскольку вы можете перебирать элементы в векторе-столбце, вы можете извлечь его элементы с использованием стандартных методов Python. Например, вы можете создать список элементов, использующих понимание списка

 >>> [элемент для элемента в растворе]
    ⎡ 2⋅е 2 ⎤
    ⎢───────, ───────⎥
    ⎣c⋅e + d c⋅e + d⎦
 

или вы можете извлечь отдельные элементы, подписав

 >>> решение[0]
      2⋅е
    ───────
    с⋅е + д
 

Уравнения без решения

Если определитель матрицы равен нулю, матричные уравнения с ним не имеют решение:

 >>> из символов импорта sympy
>>> из sympy.matrices импортировать матрицу
>>> c, d, e = символы ("c, d, e")
>>> A = Matrix([[c*e**2, d*e], [c*e, d]])
>>> А
    ⎡ 2 ⎤
    ⎢c⋅e d⋅e⎥
    ⎢ ⎥
    ⎣c⋅e д ⎦
>>> b = Матрица ([2, 0])
>>> A.LUsolve(b)
Traceback (последний последний вызов):
    ...
NonInvertibleMatrixError: Matrix det == 0; не обратимый.
 

Сообщить об ошибке

Если вы обнаружите ошибку в функциях решения матриц, отправьте сообщение о проблеме на Список рассылки SymPy. Пока проблема не решена, вы можете использовать другой метод, указанный в разделе «Альтернативы для рассмотрения».

Матричные уравнения

Цели

1. Понимать эквивалентность между системой линейных уравнений, расширенной матрицей, векторным уравнением и матричным уравнением.
2. Охарактеризуйте векторы b так, чтобы Ax=b было непротиворечивым, с точки зрения диапазона столбцов A.
3. Охарактеризуйте матрицы A таким образом, что Ax=b непротиворечиво для всех векторов b.
4. Рецепт: умножить вектор на матрицу (два способа).
5. Изображение: множество всех векторов b, таких что Ax=b, является непротиворечивым.
6. Словарное слово: матричное уравнение .

В этом разделе мы представляем очень лаконичный способ записи системы линейных уравнений: Ax=b. Здесь A — матрица, а x,b — векторы (обычно разного размера), поэтому сначала мы должны объяснить, как умножать матрицу на вектор.

Когда мы говорим «A — матрица размера m × n», мы имеем в виду, что A имеет m строк и n столбцов.

Определение

Пусть A — матрица размера m×n со столбцами v1,v2,...,vn:

А=С|||v1v2···vn|||D

Произведение оператора A с вектором x в Rn представляет собой линейную комбинацию

Ax=C|||v1v2···vn|||DEIIGx1x2...xnFJJH=x1v1+x2v2+···+xnvn.

Это вектор в Rm.

Пример

Чтобы Ax имело смысл, количество элементов x должно совпадать с количеством столбцов A: мы используем элементы x как коэффициенты столбцов A в линейной комбинации. Результирующий вектор имеет то же количество элементов, что и число 9.0186 строк A, так как каждый столбец A имеет такое количество записей.

Если A представляет собой матрицу размера m × n (m строк, n столбцов), то Ax имеет смысл, когда x имеет n элементов. Произведение Ax содержит m записей.

Свойства матрично-векторного произведения

Пусть A — матрица размера m × n, пусть u, v — векторы в Rn, а c — скаляр. Тогда:

• А(и+в)=Аи+Ав
• A(cu)=cAu

Определение

Матричное уравнение — это уравнение вида Ax=b, где A — матрица размера m×n, b — вектор в Rm, а x — вектор, коэффициенты которого x1,x2,. ..,xn неизвестны. .

В этой книге мы изучим два дополнительных вопроса о матричном уравнении Ax=b:

1. При конкретном выборе b, каковы все решения Ax=b?
2. Каковы все варианты b, чтобы Ax=b было непротиворечивым?

Первый вопрос больше похож на вопросы, к которым вы, возможно, уже привыкли на предыдущих курсах алгебры; у вас есть много практики решения уравнений типа x2−1=0 относительно x. Второй вопрос, возможно, является новой концепцией для вас. Теорема о рангах в разделе 2.9, который является кульминацией этой главы, говорит нам, что эти два вопроса тесно связаны.

Пример

Мы будем свободно перемещаться между четырьмя способами записи линейной системы снова и снова до конца книги.

Другой способ вычисления Axe

Приведенное выше определение является полезным способом определения произведения матрицы на вектор, когда дело доходит до понимания взаимосвязи между матричными уравнениями и векторными уравнениями. Здесь мы даем определение, которое лучше подходит для ручных вычислений.

Определение

Вектор строки представляет собой матрицу с одной строкой. Произведение вектора-строки длины n и вектора (столбца) длины n равно

.

Aa1a2···anBEIIGx1x2...xnFJJH=a1x1+a2x2+···+anxn.

Это скаляр.

Рецепт: Правило строки-столбца для умножения матрицы на вектор

Если A — матрица размера m×n со строками r1,r2,...,rm, а x — вектор в Rn, то

Ax=EIIG—r1——r2—...—rm—FJJHx=EIIGr1xr2x...rmxFJJH.

Пример

Пусть A — матрица со столбцами v1,v2,...,vn:

А=С|||v1v2···vn|||D.

Затем

Ax=bhas решение⇐⇒существуют x1,x2,...,xn такие, что AEIIGx1x2...xnFJJH=b⇐⇒существуют x1,x2,...,xn такие, что x1v1+x2v2+···+xnvn=b⇐⇒бисалинейная комбинация v1,v2,... ,vn⇐⇒bis находится в диапазоне столбцов матрицы A.

Пролеты и согласованность

Матричное уравнение Ax=b имеет решение тогда и только тогда, когда b находится в интервале столбцов A.

Это дает эквивалентность между алгебраическое утверждение (Ax=b непротиворечиво) и геометрическое утверждение (b находится в диапазоне столбцов A).

Пример (несогласованная система)

Пример (согласованная система)

Когда решения всегда существуют

Опираясь на это замечание, у нас есть следующий критерий того, когда Ax=b соответствует каждому выбору b.

Теорема

Пусть A — матрица размера m × n (нерасширенная). Следующие эквивалентны:

1. Ax=b имеет решение для всех b в Rm.
2. Длина столбцов A равна Rm.
3. A имеет точку поворота в каждой строке.

Доказательство

Эквивалентность 1 и 2 устанавливается этим примечанием применительно к каждому b в Rm.

Теперь покажем, что 1 и 3 эквивалентны. (Поскольку мы знаем, что 1 и 2 эквивалентны, отсюда следует, что 2 и 3 также эквивалентны.) Если A имеет центральную точку в каждой строке, то его сокращенная ступенчатая форма строки выглядит следующим образом:

К10А0А01А0А0001АД,

и поэтому AAbB сводится к этому:

C10A0AA01A0AA0001AAD.

Ценообразование в торговле

2

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКО–РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Коммерческая деятельность»

Методические указания к практическим занятиям

для студентов специальности 1–25 01 10 «Коммерческая деятельность»

Могилев 2011

УДК 338.51 (075.8)

ББК 65 422я73

Ц 60

Рекомендовано к опубликованию

учебно–методическим управлением

ГУ ВПО «Белорусско–Российский университет»

Одобрено кафедрой «Коммерческая деятельность» « » июня 2011 г., протокол №

Составитель ст. преподаватель Т. А. Бородич

Рецензент канд. экон. наук, доц. А. В. Александров

В методических указаниях представлены материалы к проведению практических занятий, посвященные вопросам формирования, государственного регулирования цен, методам ценообразования, особенностям установления цен в различных сферах и отраслях экономики.

Учебное издание

ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ В ТОРГОВЛЕ

Ответственный за выпуск М. Н. Гриневич

Технический редактор А.А. Подошевко

Компьютерная верстка

Подписано в печать .Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.

Печать трафаретная. Усл.–печ. л. . Уч.–изд. л. . Тираж 51 экз. Заказ №

Издатель и полиграфическое исполнение

Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско–Российский университет»

ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г.

212000, г. Могилев, пр.Мира, 43

© ГУ ВПО «Белорусско–Российский университет», 2011

Введение

Цена и ценообразование являются центральными элементами рыночной экономики. Цены обслуживают весь оборот по приобретению и реализации товаров.

В системе подготовки менеджеров курс лекций по ценовой политике играет важную роль, так как каждый предприниматель должен владеть теорией и практикой ценообразования. Изучение дисциплины позволит получить необходимые знания в вопросах механизма ценообразования, определения ценовой политики и ценовой стратегии фирмы.

Цель дисциплины – ознакомить студентов с вопросами теории и практики формирования цен в условиях рынка, показать целесообразность и границы применения государственного регулирования цен, рассмотреть основные методы установления цен и особенности их определения на продукцию, работы и услуги различных отраслей и сфер народного хозяйства.

Задачи дисциплины:

• дать основы теории ценообразования;

• изучить механизм формирования цен в рыночной экономике;

• исследовать способы и методы государственного регулирования цен;

• изучить приемы формирования ценовой политики, ценовых стратегий и методов;

• освоить специфику формирования цен в различных сферах и отраслях народного хозяйства.

1 Теоретические основы формирования цен в рыночной экономике

Задание 1

1 Знание какого экономического закона позволяет повышать цены и при этом не потерять покупателей:

а) закон спроса;

б) закон предложения;

в) закон уменьшения предельной полезности;

г) закон эластичности спроса.

2 Закон спроса гласит, что:

а) продавцы будут предлагать больше товаров по высоким ценам, чем по низким;

б) покупатели будут покупать больше по низким ценам, чем по высоким;

в) изменение цен мало изменит величину спроса на продукт;

г) покупатели будут покупать товары по высоким ценам, если товар будет отличного качества.

3 Каковы условия свободного или совершенного рынка:

а) огромные корпорации не могут контролировать цены, потому что они вне конкуренции;

б) покупателей больше, чем продавцов;

в) продавцов больше, чем покупателей;

г) нет силы, которая могла бы контролировать цены, потому что много покупателей и продавцов.

4 Точка пересечения кривых спроса и предложения:

а) цена;

б) стоимость;

в) равновесная цена;

г) насыщаемость.

5 Чем определяются цены в системе свободного предпринимательства:

а) взаимодействием спроса и предложения;

б) правительством;

в) влиянием спроса на равновесную цену;

г) взаимодействием сил, уменьшающих границы насыщенности и цены.

6 Что можно сказать про спрос, если при изменении цены количество купленных товаров почти не меняется:

а) неэластичен;

б) насыщен;

в) эластичен;

г) в равновесии.

7 Почему 100–процентное увеличение цен на молоко имеет меньший эффект, чем такое же увеличение цен на прохладительные напитки:

а) безалкогольные напитки относительно дороже;

б) безалкогольные напитки имеют неэластичный спрос;

в) производство молока поддерживается правительством;

г) молоко не имеет заменителей.

8 Что может послужить причиной того, что кривая предложения на апельсины сдвинулась вправо:

а) увеличение себестоимости апельсинов;

б) хороший урожай во всех районах, где выращивают апельсины;

в) морозы уничтожили большую часть апельсиновых деревьев;

г) уменьшение цен на апельсины на всем рынке.

9 В рыночной экономике уменьшение предложения вызовет рост:

а) цен;

б) налогов;

в) капиталовложений;

г) сбережений.

10 Какова наиболее вероятная причина падения цен на рынке:

а) увеличение предложения при неизменном спросе;

б) увеличение спроса при неизменном предложении;

в) увеличение спроса и предложения;

г) уменьшение спроса и предложения.

11 В экономике под определением спроса подразумевают число товаров и услуг, которые:

а) производители представляют по данной цене;

б) потребители хотели бы иметь;

в) покупатели хотят и могут купить по данной цене;

г) правительство купило выше рыночной цены.

12 Используя законы спроса и предложения скажите, что будет результатом того, что производство данного продукта за год удвоилось:

а) спрос на него упадет;

б) цена на него вырастет;

в) цена на него упадет;

г) предложение не изменится.

Задание 2

Составьте классификацию ценообразующих факторов по признаку воздействия их на цену. При этом в первую группу включите факторы, действие которых ведет к понижению цены (ценопонижающие), а во вторую – факторы, действие которых ведет к повышению цены (ценоповышающие).

Перечень ценообразующих факторов:

– высокий уровень платежеспособности потенциальных покупателей;

– рост налогов на частное предпринимательство, увеличение ставок ввозных таможенных пошлин;

– уменьшение цен на товары–субституты;

– падение предложения товара на рынке;

– падение предложения товара–субститута на рынке;

– низкий уровень платежеспособности потенциальных покупателей;

– престижность приобретения товара для покупателя;

– гарантийное послепродажное обслуживание товара;

– сервисное обслуживание товара по окончании гарантийного срока;

– неустойчивое финансовое состояние производителя товара;

– применение новых технологий при производстве товара;

– монопольное положение производителя на рынке товара;

– монопольное положение покупателя на рынке потребления товара;

– всеобщая инфляция;

– снижение постоянных и переменных издержек на производство

единицы товара.

Задача 1

Функция спроса на товар Qd= 60 – 3Р, функция предложенияQs= 15+2Р. Определите равновесную цену и равновесный объем. Определите равновесную цену и равновесный объем спроса и при условии, что правительство вводит налог в размере 2 у.е. на единицу товара.

Задача 2

Предположим, что кривая спроса на муку представлена равенством Qd= 14 – 2Р, функция предложенияQs= 2+Р. Определите равновесную цену и равновесный объем. Как изменится ситуация, если правительство установит верхний предел цен на муку на уровне 3 у.е.?

Задача 3

Цена на товар А выросла с 2 до 4 ед., а спрос на товар Б увеличился с 4 до 6 ед. Определите тип зависимости товаров А и Б, а также коэффициент перекрестной эластичности.

Задача 4

Если эластичность спроса по цене на сигареты составляет 0,4, то на сколько правительство должно повысить цену пачки сигарет, чтобы сократить потребление на 20 %. Средняя цена пачки составляет 500 р.

Задача 5

Если эластичность спроса по цене на билет в бассейн составляет 0,6, то насколько владельцы бассейна должны снизить цену на одно посещение, чтобы увеличить посещаемость на 30 %? Цена билета на одно посещение равна 2 100 р.

Задача 6

Вы собираетесь печь и продавать булочки. Ларек для продажи булочек стоит 200 у.е., затраты на выпечку одной булочки – 0,2 у.е.

Каковы постоянные и переменные издержки вашего бизнеса?

Постройте таблицу и определите совокупные, средние совокупные, средние переменные, предельные издержки выпуска 100, 200, 300, 400, 500 булочек; нарисуйте соответствующие кривые издержек.

Карта сайта

Произвольный треугольник по заданным параметрам

Полином Чебышева с свободным членом Создать вектор(диофант) по матрице Египетские дроби. Часть вторая Египетские (аликвотные) дроби По сегменту определить радиус окружности Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами Деление треугольника на равные площади параллельными Определение основных параметров целого числа Свойства обратных тригонометрических функций Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ Аутотрофные и миксотрофные организмы Рассечение круга прямыми на равные площади Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений. Представить дробь, как сумму её множителей Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений Расчет основных параметров четырехполюсника Цепочка остатков от деления в кольце целого числа Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн Уравнение пятой степени. Частное решение. Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными Онлайн разложение дробно рациональной функции Корни характеристического уравнения

Введите известные даные треугольника Сторона а Сторона b Сторона c Угол А в градусах Угол B в градусах Угол C в градусах Медиана на сторону а Медиана на сторону b Медиана на сторону c Высота на сторону a Высота на сторону b Высота на сторону c Координаты вершины А X Y Координаты вершины B X Y Координаты вершины C X Y Площадь треугольника S Полупериметр сторон треугольника p   Результат расчета параметров заданного треугольника Представляем Вам  калькулятор, который позволял рассчитывать все возможные параметры  треугольника по заданным параметрам. Хотелось бы обратить Ваше внимание именно на то, что это универсальный бот. Он рассчитывает все параметры произвольного треугольника, при произвольно заданных параметрах. Такого бота вы не найдете нигде. Вам известна сторона и две высоты? или две стороны и медиана?  Или биссектриса два угла и основание треугольника? По любым запросам, мы можем получить правильный расчет параметров треугольника. Вам нет необходимости искать формулы и делать расчет самостоятельно. За вас уже все сделано. Создайте запрос  и получите точный ответ. Показан произвольный треугольник. Сразу оговоримся как и что обозначается, дабы в дальнейшем не было путаницы и ошибок в расчетах. Стороны противоположные  любому углу  называются так же только маленькой буквой. То есть напротив угла А лежит сторона треугольника а, стороне с противостоит угол С. ma — это медина, падающая на сторону а, соответственно есть еще медианы mb и mc падающие на соответствующие стороны. lb — это биссектриса , падающая на сторону b, соответственно есть еще биссектрисы la и lc падающие на соответствующие стороны. hb — это высота, падающая на сторону b, соответственно есть еще высоты ha и hc падающие на соответствующие стороны. Ну и второе, помните что  треугольником является фигура в которой присутствует фундаментальное правило: Сумма любых(!) двух сторон должна быть больше третьей.   Поэтому не удивляйтесь если получите ошибку При таких данных треугольника не существует при попытке рассчитатать параметры треугольника со сторонами 3, 3 и 7. Синтаксис  Для позволяателей XMPP клиентов запрос вот такой  treug <список параметров> Для пользователй сайта,  все сделано на этой странице. Список параметров — параметры которые известны, разделенные точкой с запятой параметр записываетя как параметр=значение Например если известна сторона а с значением 10, то так и записываем a=10 Более того, значения могут быть не только в виде вещественного числа, но и например как результат какого то выражения Например если нам нужно посчитать площадь треугольника с сторонами 1, 3, то вот в запросе пишем a=1;b=3;c=sqrt(5)+1 А вот и сам список парметров которые могут фигурировать  в расчетах. Сторона a Сторона b Сторона c Полупериметр p Угол А Угол B Угол C Площадь треугольника S Высота ha на сторону a Высота hb на сторону b Высота hc на сторону c Медиана ma на сторону a Медиана mb на сторону b Медиана mc на сторону c Координаты вершин (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc) Примеры  Рассчитать параметры треугольника  если известны сторона = 8, угол прилежащей к этой стороне =70 градусов и высота, падающая на эту сторону =2 пишем treug a=8;C=70;ha=2 Параметры треугольника  по заданным параметрам Сторона a = 8 Сторона b = 2. 1283555449519 Сторона c = 7.5420719851515 Полупериметр p = 8.8352137650517 Угол А = 2.1882518638666 в градусах 125.37759631119 Угол B = 2.873202966917 в градусах 164.62240368881 Угол C = 1.221730476396 в градусах 70 Площадь треугольника S = 8 Высота ha на сторону a = 2 Высота hb на сторону b = 7.5175409662872 Высота hc на сторону c = 2.1214329472723 Медиана ma на сторону a = 3.8348889915443 Медиана mb на сторону b = 7.7012304590352 Медиана mc на сторону c = 4.4770789813853 Вот и все, все параметры треугольника. Вопрос, почему мы сторону назвали а, а не в или с? Это не влияет на решение. Главное выдержать условие о котором я уже сказал «Стороны противоположные  любому углу  называются так же, только маленькой буквой.»  А далее нарисовать в уме треугольник, и применить к заданному вопросу. Можно было бы взять вместо а в, но тогда прилежащий угол будет не С а А ну и высота будет hb. Результат если вы проверите, будет один и тот же.  Как рассчитать  треугольник если известны координаты его вершин? Например вот такими   (xa,ya) =3,4 (xb,yb) =-6,14 (xc,yc)=-6,-3  пишем запрос treug xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3 и  получаем Параметры треугольника  по заданным параметрам Сторона a = 17 Сторона b = 11.401754250991 Сторона c = 13.453624047073 Полупериметр p = 20.927689149032 Угол А = 1.4990243938603 в градусах 85.887771155351 Угол B = 0.73281510178655 в градусах 41.987212495819 Угол C = 0.90975315794426 в градусах 52.125016348905 Площадь треугольника S = 76.5 Высота ha на сторону a = 9 Высота hb на сторону b = 13. 418987695398 Высота hc на сторону c = 11.372400437582 Медиана ma на сторону a = 9.1241437954466 Медиана mb на сторону b = 14.230249470757 Медиана mc на сторону c = 12.816005617976 Удачных расчетов!!   Разбиение многоугольника на треугольники >> Поиск по сайту

Русский и английский алфавит в одну строку Часовая и минутная стрелка онлайн.Угол между ними. Массовая доля химического вещества онлайн Декoдировать текст \u0xxx онлайн Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн Перемешать буквы в тексте онлайн Частотный анализ текста онлайн Поворот точек на произвольный угол онлайн Обратный и дополнительный код числа онлайн Площадь многоугольника по координатам онлайн Остаток числа в степени по модулю Расчет пропорций и соотношений Как перевести градусы в минуты и секунды Расчет процентов онлайн Растворимость металлов в различных жидкостях Поиск объекта по географическим координатам DameWare Mini Control. Настройка. Время восхода и захода Солнца и Луны для местности Калькулятор географических координат Расчет значения функции Эйлера Теория графов. Матрица смежности онлайн Перевод числа в код Грея и обратно Произвольный треугольник по заданным параметрам НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) Географические координаты любых городов мира Площадь пересечения окружностей на плоскости Непрерывные, цепные дроби онлайн Сообщество животных. Кто как называется? Онлайн определение эквивалентного сопротивления Проекция точки на плоскость онлайн Из показательной в алгебраическую. Подробно Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней Система комплексных линейных уравнений Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление Расчет понижающего конденсатора Месторождения золота и его спутники Определение формулы касательной к окружности Построить ненаправленный граф по матрице Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам Онлайн расчеты Подписаться письмом

Калькулятор треугольника Флойда онлайн | BBF.

RU

Треугольник Флойда — это бесконечный массив натуральных чисел, представленный в виде прямоугольного треугольника. Как и другие числовые построения, таблица Флойда обладает парой интересных свойств, а вывод данной таблицы на экран — стандартная задача для начинающих программистов.

Треугольник Флойда

В математике существует множество бесконечных таблиц и массивов. Среди них особо выделяются треугольник Паскаля и гармонический треугольник Лейбница, построенные по правилам сложения предыдущих или последующих членов строк. Числовые треугольники обладают рядом удивительных свойств и демонстрируют уникальные связи между числами, которые естественным образом возникают в алгебре, комбинаторике, теории чисел или теории вероятностей.

Треугольник Флойда — это элементарная таблица, которая представляет собой массив натуральных чисел. Данная формация была предложена Робертом Флойдом — выдающимся ученым в области теории вычислительных систем. Флойд внес весомый вклад в методологию создания программного обеспечения, поэтому сегодня построение массива натуральных чисел является обязательной задачей для начинающих программистов.

Коэффициенты треугольника Флойда представляют собой простое перечисление целых положительных чисел. Количество членов в каждой строке определяется ее номером. Первые 5 строк таблицы выглядят следующим образом:

• 1
• 2 3
• 4 5 6
• 7 8 9 10
• 11 12 13 14 15

Несмотря на свою простоту, треугольник Флойда также имеет ряд занимательных характеристик. Массив чисел графически выглядит как прямоугольный треугольник, а его стороны обладают удивительными свойствами.

Свойства сторон треугольника

Гипотенуза (ряд 1, 3, 6, 10…) представляет собой последовательность треугольных чисел. Фигурные числа связаны с характеристиками соответствующих геометрических фигур. Последовательность треугольных чисел показывает, сколько элементов требуется помещать в один ряд, чтобы получился треугольник. Если вы захотите построить треугольник из детских кубиков, то вам понадобится выстроить в ряд сначала 10 кубиков, затем 6, потом 3 и 1. Как сделать фигуру еще больше вам подскажет следующее треугольное число в последовательности, то есть 15.

Вертикальный катет (ряд 1, 2, 4, 7…) — это ряд центральных многоугольных чисел. Члены этой последовательности показывают, на сколько «кусков» можно разрезать круг прямыми линиями. В этой последовательности номер коэффициента в ряду отображает количество прямых линий n-1, а его значение — количество кусков. Все это означает следующее:

• при отсутствии линий круг представляет собой один целый кусок, математически это записывается как а(0) = 1;
• одна прямая линия позволяет нам разрезать круг на два кусочка, а(1) = 2;
• две линии режут круг на четыре кусочка, а(2) = 4 и так далее.

Таким образом, если вы хотите узнать, на сколько кусков будет разрезан круг при помощи n линий, вам достаточно узнать значение коэффициента из этого ряда, номер которого определяйся как n-1.

Горизонтальный катет представляет собой часть последовательности натуральных чисел.

Наш онлайн-калькулятор позволяет построить массив натуральных чисел размером от 1 строки до 500. Вы можете использовать калькулятор как наглядный пример выполнения стандартной задачи программирования, а также воспользоваться свойствами треугольника для решения некоторых практических задач.

Примеры из реальной жизни

Карточный домик

Пусть вы хотите сделать треугольный карточный домик высотой в 12 карт. Для этого вам нужно определить, сколько пар карт будет размещаться в каждом ряду. Вычислить это несложно. Для этого постройте треугольник Флойда для n = 12 и посмотрите на его «гипотенузу». Если читать числа снизу вверх (78, 66, 55, 44…), то вы получите ряды карт, которые при установке друг на друга сформируют правильный треугольник.

Разрезаем блинчик

Классическая задача для центральных многоугольных чисел звучит следующим образом. Возьмем блинчик и попытаемся его разрезать на максимальное количество кусочков при помощи минимального количества разрезов. Кусочки при этом могут быть неодинаковыми. При помощи последовательности чисел мы можем узнать, сколько нам необходимо сделать разрезов, чтобы количество кусков было равно 16. Для этого построим стандартный треугольник Флойда и посмотрим на его вертикальный катет. Число 16 стоит в нем под шестым номером, следовательно, количество разрезов определится как n-1 = 5.

Заключение

Треугольник Флойда — элегантная таблица натуральных чисел, свойства которой можно использовать в реальных ситуациях. Используйте наш онлайн-калькулятор для построения массива чисел выбранного размера.

Равнобедренные, равнобедренные, тупые, острые и разносторонние

Треугольники можно классифицировать по различным свойствам, относящимся к их углам и сторонам. Наиболее распространенные классификации описаны на этой странице.

Калькулятор треугольника

Классификация треугольников

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник имеет один угол 90° и множество часто изучаемых тем:

• Теорема Пифагора
• Пифагорейские тройки
• Синус, косинус, тангенс
• Изображения прямоугольных треугольников
  • 7, 24, 25 Изображения прямоугольного треугольника
  • 3, 4, 5 прямоугольных треугольников
  • 5, 12, 13 прямоугольных треугольников
• Калькулятор прямоугольного треугольника

Равносторонний треугольник

У равностороннего треугольника, изображенного слева, три равные стороны и три равных угла.

Каждый угол равен 60°.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник, показанный слева, имеет , две равные стороны и равных углов.

Разносторонний треугольник

У разностороннего треугольника нет конгруэнтных сторон. Другими словами, каждая сторона должна иметь разную длину.

Остроугольный треугольник

Остроугольный треугольник имеет три острых угла (один острый угол меньше 90°).

Тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник имеет тупой угол (тупой угол больше 90°). На картинке слева заштрихованный угол — это тупой угол, отличающий этот треугольник.

Поскольку общее количество градусов в любом треугольнике равно 180°, тупоугольный треугольник может иметь только один угол, размер которого больше 9 градусов.0°.

Практика Проблемы

Практика 1

Какой треугольник изображен ниже?

Острый треугольник и лестничная клетка.

Практика 2

Какой треугольник изображен ниже?

Тупоугольный треугольник.

Практика 3

Какой тип треугольника изображен ниже?

Так как этот треугольник имеет два равных угла и две равные стороны, то это равнобедренный треугольник.

Практика 4

Классифицируйте треугольник слева.

Предполагая, что изображение выполнено в масштабе, треугольник справа определенно тупой (см. синий угол), а также разносторонний.

Практика 4

Классифицируйте треугольник слева.

Предполагая, что изображение выполнено в масштабе, треугольник справа определенно остроугольный и разносторонний.

Калькулятор треугольника

Здание с треугольниками | Новозеландская математика

Цель

В этом модуле учащиеся будут определять свойства треугольников, строить равносторонние и неправильные треугольники с помощью линейки и транспортира или линейки и циркуля, а также создавать сети для трехмерных фигур (включая платоновые тела и тела, состоящие из треугольников). .

Цели достижения

GM4-1: Используйте соответствующие весы, устройства и метрические единицы измерения длины, площади, объема и емкости, веса (массы), температуры, угла и времени.

Разработка AO и другие учебные ресурсы

GM4-6: Соотнесите трехмерные модели с двумерными представлениями и наоборот.

Разработка АО и другие учебные ресурсы

Конкретные результаты обучения

• Построение треугольников заданных размеров с использованием двух разных методов.
• Разработка и создание сетей для трехмерных объектов.
• Назовите основные трехмерные объекты, особенно те, которые состоят из равносторонних треугольников.

Описание математики

В этом разделе рассматриваются некоторые аспекты трехмерной геометрии, а также методы построения треугольников.

Возможности для адаптации и дифференциации

Возможности обучения в этом модуле можно дифференцировать, предоставляя или удаляя поддержку учащихся и изменяя требования к заданиям. Способы дифференциации включают:

• преднамеренное наращивание ступеней в треугольных конструкциях
• позволяет учащимся экспериментировать с конструкциями на цифровой платформе
• непосредственное моделирование и инструктирует учащихся по правильному использованию инструментов, особенно транспортиров и линеек
• сначала строит простые многогранники, прежде чем переходить к более сложным моделям , творческие группы.

Контекст для этого блока математический. Речь идет о треугольниках и их использовании в построении трехмерных тел. Ищите треугольники в окружающей среде, окружающей ваш класс (например, в креплениях каркасов зданий, в купольных конструкциях, используемых для лазанья, в дорожных знаках, еде, мостах, предметах искусства и т. д.). Ты мог бы. Я исследую использование треугольников при строительстве культурно значимых зданий, таких как варенуи, египетские пирамиды, Лувр в Париже и экологический музей биосферы в Монреале. Могут быть другие контексты, включающие треугольники, связанные с интересами и культурным наследием ваших учеников, текущим обучением в других областях учебной программы и текущими событиями, которые можно использовать для вовлечения ваших учеников в эту часть работы.

Te reo Māori kupu, такие как тапатору (треугольник), тапатору хикувару (разносторонний треугольник), тапатору вэрите (равнобедренный треугольник), обряд тапатору (равносторонний треугольник), коки хангай (прямой угол), ине-коки (транспортир), путу ( степень), matawhā (ритуал) (тетраэдр) и koeko (пирамида) могут быть введены в этот раздел и использоваться в других математических исследованиях.

Необходимые материалы

• Карточка или плотная бумага для трехмерных построений
• Линейки/циркули/карандаши/транспортиры/ножницы/изолента
• Модель тетраэдра и других трехмерных форм (цифровых или печатных)
• Примеры сеток (пластиковых, карточных или цифровых) без выступов и с выступами для других трехмерных форм (например, куба, прямоугольного параллелепипеда, цилиндра)
• Зубочистки/палочки для эскимо
• Blu-tack
• Бумага для двухмерных конструкций
• Copymasters One, Two, Three, Four, Five, Six, Seven, Eight and Nine

Упражнение

Начало работы

Начните с повторения знаний о свойствах треугольников, после чего следует обсуждение способов построения треугольников заданных размеров.

1. Проведите мозговой штурм с классом «Свойства треугольников».
   Возможные ответы могут включать в себя:
   Три сторона
   Три ракурса/углы
   Углы добавляют к 180 ^O
   Различные типы (Скарена/Изоплеры/Равномерные/Право-Англи или все углы одинаковы. Это свойство не треугольников, а правильных многоугольников (включая равносторонние треугольники). Убедитесь, что это подчеркнуто.
2. Установите связи между знаниями учащихся о треугольниках и контекстами, которые имеют отношение к контексту реальной жизни. Вы можете попросить учащихся найти изображения треугольников в школе, в Интернете или дома.
3. Спросите учащихся, как они могли бы построить равносторонний треугольник. Обсудите их идеи – их преимущества и недостатки. Есть три относительно простых метода. Смоделируйте их и дайте учащимся возможность попробовать каждую из них (или продемонстрировать их классу на доске).
   1. Способ 1: Использование линейки и транспортира
      1. С помощью линейки начертите одну сторону до необходимой длины.
      2. Измерьте угол 60 градусов от одного конца первой стороны.
         Начертите вторую сторону такой же длины, как и первая, опять же с помощью линейки.
      3. Соедините концы так, чтобы третья сторона была такой же длины, как первые две.
          

   2. Способ 2. Использование линейки и транспортира

      1. С помощью линейки начертите одну сторону до необходимой длины.

      2. Измерьте угол 60 градусов.

      3. Проведите вторую сторону через отметку под углом 60 градусов.

      4. Измерьте еще один угол в 60 градусов от другого конца первой стороны.

      5. Нарисуйте третью сторону и сотрите лишние линии.
          

   3. Способ 3. Использование линейки и циркуля

      1. С помощью линейки начертите одну сторону до необходимой длины.

      2. Установите компас на радиус, равный длине стороны. Поместите острие циркуля на один конец стороны, которую вы нарисовали, и слегка нарисуйте небольшую дугу вокруг того места, где, по вашему мнению, должен быть третий угол.

      3. Переместите точку циркуля на другой конец вашей первой стороны и нарисуйте еще одну дугу, которая должна пересечь первую.

      4. Точка, в которой пересекаются дуги, является третьим углом. Нарисуйте оставшиеся две стороны, проверяя при этом их правильную длину.
          

4. Обсудите, можно ли использовать каждый метод для построения треугольников, если стороны не одинаковы. Предложите учащимся перечислить преимущества и недостатки каждого метода и решить, какой из них лучше.
   Метод а) можно использовать для построения треугольников, если известны две длины сторон и один угол.
   Метод b) можно использовать для построения треугольников, если известны два угла и длина одной стороны.
   Метод c) можно использовать для построения треугольников, если известны длины всех сторон.
   Метод в) является, вероятно, самым простым и точным, так как измерения транспортиром могут привести к ошибкам.
5. Дайте учащимся возможность попрактиковаться в построении различных треугольников, используя все три метода. В то время как некоторые учащиеся могут чувствовать себя достаточно уверенно, чтобы делать это самостоятельно, другим может быть полезно работать в парах или в более структурированной группе под руководством учителя. Подумайте, какой подход лучше всего обеспечит доступность учебного контента для всех учащихся. Для расширения учащиеся могут создать бумажную или цифровую презентацию (например, видео, постер, набор слайдов, инфографику), которая демонстрирует и объясняет каждый из этих методов построения.

Изучение

Помогите учащимся использовать свои знания о построении треугольников для создания трехмерных объектов, состоящих из треугольников.

1. Покажите учащимся модель тетраэдра.
2. Попросите их определить, какой фигуры и из скольких частей она состоит (4 равносторонних треугольника).
3. Попросите учащихся, работающих в группах, использовать зубочистки/палочки для эскимо и Blu-tack для создания 3D-модели тетраэдра. Пока они строят эти фигуры, бродят и поддерживают их, чтобы определить свойства фигуры:  
   Сколько сторон у фигуры?   
   Какая двухмерная фигура образует основу фигуры?   
   Если развернуть эту фигуру, как она будет выглядеть?   
   Сколько различных вариантов расположения развернутого тетраэдра вы можете составить?
4. Задайте вышеуказанные вопросы всему классу и дайте учащимся время обсудить свои идеи, прежде чем поделиться ими с остальным классом.
5. Раздать бумагу. Предложите учащимся в тех же группах построить сеть без вкладок для тетраэдра. Возможно, вам придется показать учащимся сети для других трехмерных фигур (например, куб, цилиндр, прямоугольный параллелепипед), чтобы убедиться, что они понимают, как будет выглядеть успешная сеть. Напомните учащимся подумать о базовой форме их моделей тетраэдра, о том, сколько сторон было в завершенной форме и как выглядел «развернутый» тетраэдр.
6. Проверьте нарисованные сети. Есть два макета из четырех равносторонних треугольников, которые складываются в тетраэдр, и один, который не будет складываться. Попросите учащихся определить, почему (два треугольника складываются, чтобы оказаться друг над другом, поэтому у них есть открытая сторона).
   Эти сети образуют тетраэдр:  
    
   Эта сеть не образует тетраэдр:  
   
7. Покажите учащимся примеры сетей с выступами. Позвольте им сделать модель тетраэдра из картона. Учащиеся должны либо соединить края лентой, либо, если они хотят, могут сделать выступы на своей сетке и приклеить края.

8. Предложите учащимся составить другой трехмерный объект только из равносторонних треугольников. Учащиеся, нуждающиеся в большей поддержке учителя, могут либо спроектировать сеть так, чтобы получился октаэдр (8 равносторонних треугольников — сложить, чтобы получилась форма, подобная двум соединенным вместе пирамидам с квадратным основанием), либо им может быть предоставлена ​​сеть, которую можно вырезать, сложить и склеить. Учащихся, готовых к расширению, можно попросить посмотреть, сколько разных предметов они могут составить и назвать только из равносторонних треугольников. Есть как минимум 9!

   4 стороны: тетраэдр 6 сторон: треугольная дипирамида (склейка двух тетраэдров) 8 сторон: октаэдр 10 сторон: пятиугольная дипирамида ( склеить две пятиугольные пирамиды вместе) 12 сторон: курносая дисфеноидная (разбить тетраэдр на два сегмента и соединить их полосой из восьми треугольников) 14 сторон: трехгранная призма (присоединить к треугольной призме три квадратные пирамиды) 16 сторон: гироудлиненная квадратная дипирамида (присоединить две квадратные квадратная антипризма) 20 сторон: икосаэдр 24 стороны: звездчатый октаэдр (прикрепите тетраэдр к каждой грани октаэдра)

    

9. Обсудите три платоновых тела, которые можно составить из равносторонних треугольников. Сколько таких сделал ваш класс?
   Некоторые сети, которые вы можете распечатать из прикрепленных файлов и использовать: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

   Платоновое тело — это многогранник, все грани которого являются конгруэнтными правильными многоугольниками и в каждой вершине которого встречается одинаковое количество граней. Другими словами, платоново тело представляет собой трехмерную форму, каждая грань которой представляет собой идентичную плоскую форму со всеми сторонами и углами, одинаковыми, и одинаковое количество этих граней встречается в каждом углу. Есть 5 платоновых тел, куб (6 квадратов, по 3 сходящихся в каждой вершине), тетраэдр (4 треугольника, по 3 сходящихся в каждой вершине), октаэдр (8 треугольников, по 4 сходящихся в каждой вершине), додекаэдр ( 12 пятиугольников, по 3 сходящихся в каждой вершине) и икосаэдр (20 треугольников, по 5 сходящихся в каждой вершине).

    

10. Посмотрите на другие предметы, сделанные учащимися. Попробуйте назвать их.

11. Предложите учащимся создать объект, в котором используются равносторонние треугольники в сочетании с другой формой. Обратите внимание, что все длины сторон должны быть одинаковыми, даже если формы разные. По мере необходимости помогайте учащимся создать хотя бы одну из следующих фигур. Учащимся, нуждающимся в дополнительной поддержке учителя, можно либо помочь спроектировать сеть, чтобы сделать треугольную призму (два равносторонних треугольника, соединенных тремя квадратами), либо им можно предоставить сеть, которую нужно вырезать, сложить и склеить. Учащимся, готовым к расширению, может быть предложено увидеть, сколько разных предметов они могут сделать и назвать, и они могут найти примеры этих форм из реального контекста (например, бриллианты, игральные кости, террариумы, футбольные мячи, скульптуры).
    Некоторые сети, которые вы можете распечатать из прикрепленных файлов и использовать: треугольная призма, пирамида, пятиугольная пирамида, кубооктаэдр, усеченный тетраэдр, усеченный куб, икосододекаэдр.

    пирамида (4 треугольника и 1 квадрат) пятиугольная пирамида (5 треугольников и 1 пятиугольник) треугольная призма (2 треугольника и 3 квадрата (или прямоугольника)) куб. аэдр (8 треугольников и 6 квадратов) икосододекаэдр (12 пятиугольников и 20 треугольников) тетраэдр усеченный (4 шестиугольника и 4 треугольника) куб усеченный (6 восьмиугольников и 8 треугольников) квадратная антипризма (2 квадрата и 8 треугольников)

    9000 2  

12. Расскажите о трех типах пирамид ( основания: треугольник, квадрат, пятиугольник). Ваш класс сделал все три? Как называется пирамида с треугольным основанием? (тетраэдр) Могли бы вы построить шестиугольную пирамиду? (Нет) Почему бы и нет? (шесть равносторонних треугольников будут плоско лежать на шестиугольнике, и объект будет плоским. Примечание: вы можете построить шестиугольную пирамиду, но не с равносторонними треугольниками, вам нужно использовать равнобедренные треугольники.
13. Посмотрите на другие предметы, сделанные учениками. Попробуйте назвать их. Убедитесь, что у всех учащихся есть время и возможность поделиться своими мыслями и работой.

Рефлексия

Подумайте о предметах, которые сделал класс, и о том, что они о них знают.

1. Попросите учащихся назвать как можно больше трехмерных объектов, которые можно составить из равносторонних треугольников.
2. Кто-нибудь может придумать, как можно сгруппировать эти объекты? (Количество сторон, другие формы, использованные при построении формы, симметрия)  
   Самый очевидный способ — сгруппировать объекты на те, которые используют исключительно треугольники, и те, которые включают другие формы в сочетании с равносторонними треугольниками.
3. Попробуйте сгруппировать модели, созданные классом, по некоторым из этих критериев.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)

Примеры решенийРанг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интегралРешение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайнОпределитель матрицы Точки разрыва функции

Пример 1.

y» +2y’ = 3e^x(cos(x)+sin(x))

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx с помощью калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +2 r + 0 = 0
D = 2² — 4 • 1 • 0 = 4


Корни характеристического уравнения:
r₁ = 0
r₂ = -2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 3•e^x•(cos(x)+sin(x))
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 1, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 1 + 1i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y^* = e^x(Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = e^x((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))
y» = 2•e^x(B•cos(x)-A•sin(x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» + 2y’ = (2•e^x(B•cos(x)-A•sin(x))) + 2(e^x((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))) = 3•e^x•(cos(x)+sin(x))
или
-4•A•e^x•sin(x)+2•A•e^x•cos(x)+2•B•e^x•sin(x)+4•B•e^x•cos(x) = 3•e^x•(cos(x)+sin(x))
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-4A + 2B = 3
2A + 4B = 3
Решая ее методом обратной матрицы, находим:
A = ^-3/₁₀;B = ⁹/₁₀;
Частное решение имеет вид:
y^* = e^x(^-3/₁₀cos(x) + ⁹/₁₀sin(x))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

см. также пример решения дифференциального уравнения с начальными условиями.

1. Сборник решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)
3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть e^x*(Ax + B)
4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)
5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B

Перейти к онлайн решению своей задачи

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Вся элементарная математика — Средняя математическая интернет-школа

Тригонометрические уравнения .

Простейшие тригонометрические уравнения .

Методы решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим .

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р  1.  Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р   2.   Решить уравнение: cos ² x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0 ,

sin x · cos x – sin ² x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р   3.   Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x ,

cos 4 x · ( cos 2 x –  cos 4 x ) = 0 ,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0 ,

1).  cos 4 x = 0 ,               2).  sin 3 x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

3.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо: а )  перенести все его члены в левую часть; б )  вынести все общие множители за скобки; в )  приравнять все множители и скобки нулю; г )  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д )  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 , корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3,  отсюда 1)   tan x = –1, 2)   tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида :

a sin x + b cos x = c ,

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого

из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение:  2 sin 2 x · sin 6 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4 x – cos 8 x = cos 4 x ,

cos 8 x = 0 ,

8 x = p / 2 + p k ,

x = p / 16 + p k / 8 .

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

П р и м е р . Решить уравнение:  3 sin

x – 4 cos x = 3 .

Таким образом, решение даёт только первый случай.

Назад

3