Автор: alexxlab

Правило прямоугольника онлайн

Правило прямоугольника применяется в методе Жордана-Гаусса.

Алгоритм пересчета таблиц по правилу прямоугольника.
Выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ

СТЭ — элемент старого плана, РЭ — разрешающий элемент, А и В — элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор Правило прямоугольника предназначен для пересчета таблиц методом жордановских преобразований.

• Шаг №1
• Шаг №2

Выберите размерность таблицы. 2345678910 x 2345678910

Примечание. Данный метод не стоит путать с формулой прямоугольников.

Пример №1. Производится пересчет элементов новой симплекс-таблицы. Каким будет значение элемента x₂₅ в новой симплекс-таблице, если до пересчета x₂₅ = -3 , x₂₇ =5 , х₄₅ = -8 , х₄₇ =2

Решение.
x₂₅ =x₂₅ — x₄₅*x₂₇/x₄₇ = -3 — (-8)*5/2 = -3+20 = 17

Пример №2. По приведенной ниже симплекс-таблице определите, является ли соответствующее ей базисное решение оптимальным. Если решение не является оптимальным, осуществите пересчет таблицы.

	ПЧ	X3	X4
F	-5	2	-1
X1	4	2	1
X2	3	1	2

Решение.
Базисное решение называется допустимым базисным решением, если значения входящих в него базисных переменных x_j≥0, что эквивалентно условию неотрицательности b_j≥0.
Поскольку X1 = 4 > 0, X2 = 3 > 0, то это допустимое базисное решение. Определим, является ли оно оптимальным. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный, и его необходимо улучшить. В индексной строке X4 = -1 < 0, поэтому план не является оптимальным. Осуществим пересчет таблицы.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее:  min (4:1 , 3:2 ) = 1¹/₂
Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Вместо переменной x₄ в план войдет переменная x₂.
Таблица 1

	ПЧ	X3	X4
F	-5	2	-1
X1	4	2	1
X2	3	1	2

Разрешающий элемент РЭ=2. Строка, соответствующая переменной x₂ , получена в результате деления всех элементов строки x на разрешающий элемент РЭ=2 (см. табл.2) . На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₂  записываем нули. Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ
СТЭ — элемент старого плана, РЭ — разрешающий элемент (2), А и В — элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ (см. табл.2).
Формируем таблицу.

Таблица 2

4-(3 • 1):2	2-(1 • 1):2	1-(2 • 1):2
3 : 2	1 : 2	2 : 2
-5-(3 • -1):2	2-(1 • -1):2	-1-(2 • -1):2

Получаем новую таблицу:

Таблица 3

	ПЧ	X3	X2
F	-31/2	21/2	0
X1	21/2	11/2	0
X4	11/2	1/2	1

Поскольку X3≥0, X2≥0, то получили оптимальный план.

Пример №3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом, используя в качестве начальной угловой точки:
f(x) = -2x₁ + x₂ + 4x₃ – x₄ – x₅ → min
x₂ + 2x₄ – x₅ = 1
x₁ — x₄ – x₅ = 1
2x₂ + x₃ + 2x₅ = 4
x_j ≥ 0, j=1,..,5, x⁰ = (1;1;2;0;0)

Решение.
Сведем задачу F(X) → min к задаче F(X) → max. Для этого умножаем F(X) на (-1).
0x₁-1x₂ + 0x₃-2x₄ + 1x₅ = -1
-1x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 1x₅ = -1
0x₁-2x₂-1x₃ + 0x₄-2x₅ = -4
F(x) = 2x₁ — x₂ — 4x₃ + x₄ + x₅

Затем систему ограничений преобразуем методом Гаусса-Жордана к такой форме, чтобы базисными стали переменные x₁, x₂, x₃, а вектор b = (1, 1, 2)^T

-1	0	-1	0	-2	1
-1	-1	0	0	1	1
-4	0	-2	-1	0	-2
0	-2	1	4	-1	-1

Итерация №1. Разрешающий элемент РЭ=-1.
Формируем таблицу.
Строка, соответствующая переменной x₂ , получена в результате деления всех элементов строки x₂ на разрешающий элемент РЭ=-1. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₂  записываем нули. Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Получаем новую таблицу:

-1	0	-1	0	-2	1
1	1	0	0	-1	-1
-4	0	-2	-1	0	-2
2	0	1	4	-3	-3

Итерация №2. Разрешающий элемент РЭ=-1.
Строка, соответствующая переменной x₄, получена в результате деления всех элементов строки x₃ на разрешающий элемент РЭ=-1. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₄  записываем нули.
Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Получаем новую таблицу:

-1	0	-1	0	-2	1
1	1	0	0	-1	-1
4	0	2	1	0	2
-14	0	-7	0	-3	-11

Итерация №3. Разрешающий элемент РЭ=-1. Строка, соответствующая переменной x₃ , получена в результате деления всех элементов строки x₁ на разрешающий элемент РЭ=-1. На месте разрешающего элемента получаем 1.  В остальных клетках столбца x₃  записываем нули. Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Получаем новую таблицу:

1	0	1	0	2	-1
1	1	0	0	-1	-1
2	0	0	1	-4	4
-7	0	0	0	11	-18

Далее необходимо переназначить переменные и решать симплекс-методом.

Табличный симплекс-метод

Для упрощения процесса решения исходные данные задачи линейного программирования при решении ее симплекс методом записываются в специальные симплекс-таблицы. Поэтому одна из модификаций симплекс метода получила название табличный симплекс метод. Задача линейного программирования в каноническом виде:
F=a_0,1x₁+a_0,2x₂+…a_0,nx_n +b₀ → max
a_1,1x₁+a_1,2x₂+…a_1,nx_n + x_n+1=b₁
a_2,1x₁+a_2,2x₂+…a_2,nx_n +x_n+2 =b₂
…………………………………
a_m,1x₁+a_m,2x₂+…a_m,nx_n+x_n+m=b_m
Исходная таблица для задачи имеет следующий вид:

	x1	x2	…	xn-1	xn	b
F	-a0,1	-a0,2	…	-a0,n-1	-a0,n	-b0
xn+1	a1,1	a1,2	…	a1,n-1	a1,n	b1
xn+2	a2,1	a2,2	…	a2,n-1	a2,n	b2
…	…	…	…	…	…	…
xn+m	am,1	am,2	…	am,n-1	am,n	bm

x₁, x₂, x_n – исходные переменные, x_n+1, x_n+2, x_n+m – дополнительные переменные. Все дополнительные переменные мы приняли как базисные, а исходные переменные как небазисные (дополнительные записаны в первый столбец симплекс-таблицы а исходные в первую строку). При каждой итерации элементы симплекс-таблицы пересчитывают по определенным правилам.

  Алгоритм симплекс-метода.

 Подготовительный этап
Приводим задачу ЛП  к каноническому виду
F=a_0,1x₁+a_0,2x₂+…a_0,nx_n +b₀ → max
a_1,1x₁+a_1,2x₂+…a_1,nx_n+x_n+1=b₁
a_2,1x₁+a_2,2x₂+…a_2,nx_n+x_n+2=b₂
…………………………………
a_m,1x₁+a_m,2x₂+…a_m,nx_n+x_n+m=b_m
В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум – знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a_0,n=-a_0,n. Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком “≥” так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак “≤” – коэффициенты запишутся без изменений.

 Шаг 0. Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче

	x1	x2	…	xn-1	xn	b
F	-a0,1	-a0,2	…	-a0,n-1	-a0,n	-b0
xn+1	a1,1	a1,2	…	a1,n-1	a1,n	b1
xn+2	a2,1	a2,2	…	a2,n-1	a2,n	b2
…	…	…	…	…	…	…
xn+m	am,1	am,2	…	am,n-1	am,n	bm

 Шаг 1. Проверка на допустимость.

Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2. Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы то выбираем среди них максимальный по модулю – он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент a_k,l – он задает ведущий столбец – l и является ведущим элементом. Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласно правилам.
Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы – а в соответствующей строке – нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.
Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то ко второму.
Шаг 2. Проверка на оптимальность.
На предыдущем этапе найдено допустимое решение. Проверим его на оптимальность Если среди элементов симплексной таблицы, находщихся в строке F (не беря в расчет элемент b₀ – текущее значение целевой функции) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.
Если в строке F есть отрицательные элементы то решение требует улучшения. Выбираем среди отрицательных элементов строки F максимальный по модулю (исключая значение функции b₀)

a_0,l=min{a_0,i }

l – столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

b_k/a_k,l =min {b_i/a_i,l } при a_i,l>0, b_i>0

k – cтрока, для которой это отношение минимально – ведущая. Элемент a_k,l – ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (x_k) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (x_l) включается в базис.

Пересчитываем симплекс-таблицу по формулам. Если в новой таблице после перерасчета в строке F остались отрицательные элементы переходим к шагу 2

Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена – алгоритм завершает работу.

Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение.

Правила преобразований симплексной таблицы.
При составлении новой симплекс-таблицы в ней происходят следующие изменения:

• • Вместо базисной переменной x_k записываем x_l; вместо небазисной переменной x_l записываем x_k.
  • ведущий элемент заменяется на обратную величину a_k,l‘= 1/a_k,l
  • все элементы ведущего столбца (кроме a_k,l) умножаются на -1/a_k,l
  • все элементы ведущей строки (кроме a_k,l) умножаются на 1/a_k,l
  • оставшиеся элементы симплекс-таблицы преобразуются по формуле a_i,j‘= a_i,j– a_i,lx a_k,j/ a_k,l

Схему преобразования элементов симплекс-таблицы (кроме ведущей строки и ведущего столбца) называют схемой ”прямоугольника”.

Преобразуемый элемент a_i,j и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами ”прямоугольника”.

Пример

   

Подробнее

Табличные процессоры

Реферат, Информатика

Выполнил: EkaterinaKonstantinovna

Решение ЗЛП симплекс-методом

Решение задач, Информационные технологии

Выполнил: user2202984

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

 

Ответ в исследовании операций для Vaishu #185201

Решение.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 4×1 + 3×2 при следующих условиях ограничений.

2×1 + x2≤1000

x1 + 2×2≤800

x1≤400

x2≤700

Для построения первого эталонного плана система неравенств сводится к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.

2х1 + х2 + х3 = 1000

x1 + 2×2 + x4 = 800

x1 + x5 = 400

x2 + x6 = 700

Матрица коэффициентов A = a (ij) этой системы уравнений имеет вид:

A =

2 1 1 0 0 0

1 2 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1

Решим систему уравнений относительно основных переменных: x3, x4, x5, x6

Предполагая, что свободные переменные равны 0, мы получаем первую базовую линию:

X0 = (0,0,1000,800,400,700)

Базовое решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

один.

Текущий базовый план не оптимален, так как в индексной строке имеются отрицательные шансы.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Подсчитаем значения Di построчно как частное от деления: bi/ai1

и выберем из них наименьшее:

min (1000:2, 800:1, 400:1, -) = 400

Следовательно, 3-я линия является ведущей.

Преобразователь (1) находится на пересечении ведущего столбца и начального ряда.

Основа B x1 x2 x3 x4 x5 x6 мин.

x3 1000 2 1 1 0 0 0 500

x4 800 1 2 0 1 0 0 800

x5 400 1 0 0 0 400

x6 700 0 10002 0 0 0 1 —

F (X1) 0 -4 -3 0 0 0 0

Вместо переменной x5 в план 1 будет включена переменная x1.

Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получается делением всех элементов строки x5 в плане 0 на разрешающий элемент RE = 1. Вместо разрешающего элемента получаем 1. В оставшиеся ячейки запишем нули столбец х1.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают в себя разрешающий элемент РЭ.

NE = SE — (A*B)/RE

STE — элемент старого плана, RE — разрешающий элемент (1), A и B — элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами STE и ЧП.

Получаем новую симплексную таблицу:

Базис Б x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 200 0 1 1 0 -2 0

x4 400 0 2 0 1 -1 0

x1 0 400 0 1 0

x6 700 0 1 0 0 0 1

F (X1) 1600 0 -3 0 0 4 0

2.

Текущий базовый план не является оптимальным, поскольку в индексной строке имеются отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычисляем значения Di построчно как частное от деления: bi/ai2

и выбираем наименьшее из них:

min (200:1, 400:2, -, 700:1) = 200

Следовательно, 1-я линия является ведущей.

Преобразователь (1) находится на пересечении ведущего столбца и начального ряда.

Основание B x1 x2 x3 x4 x5 x6 мин.0003

x6 700 0 1 0 0 0 1 700

F (X2) 1600 0 -3 0 0 4 0

Поскольку в последнем столбце есть несколько минимальных элементов из 200, номер строки выбираем по правилу Крако. Элементы строки, имеющие одинаковое наименьшее значение min = 200, делятся на элементы предполагаемого разрешения, а результаты записываются в дополнительные строки. Для ведущей строки выбирается та, в которой наименьшее частное встречается ранее при чтении таблицы слева направо по столбцам.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x3 в план 2 будет включена переменная x2.

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получается делением всех элементов строки x3 в плане 1 на разрешающий элемент RE = 1. Вместо разрешающего элемента получаем 1. В оставшиеся ячейки запишем нули столбец х2.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

• -3): 1 0- (0 • -3): 1 4 — (- 2 • -3): 1 0- (0 • -3): 1

Получаем новую симплексную таблицу:

Основание B x1 x2 x3 x4 x5 x6

x2 200 0 1 1 0 -2 0

x4 0 0 0 -2 1 3 0

x1 400 1 0 0 0 1 0

x6 500 0 20 -1 1

F (X2) 2200 0 0 3 0 -2 0

Номер итерации 2.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий базовый план не оптимален, так как в индексной строке имеются отрицательные шансы.

2. Определение новой базовой переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x5, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Подсчитаем значения Di построчно как частное от деления: bi/ai5

и выберем из них наименьшее:

min(-, 0:3, 400:1, 500:2) = 0

Следовательно, 2-я строка является ведущей.

Разрешающий элемент (3) находится на пересечении ведущего столбца и начального ряда.

Основание B x1 x2 x3 x4 x5 x6 мин

x2 200 0 1 1 0 -2 0 —

x4 0 0 0 -2 1 3 0 0 0 0 -1 0 2 1 250

F (X3) 2200 0 0 3 0 -2 0

4. Пересчет симплексной таблицы. Вместо переменной x4 план 3 будет включать переменную x5.

Строка, соответствующая переменной x5 в плане 3, получается делением всех элементов строки x4 в плане 2 на разрешающий элемент RE = 3. Вместо разрешающего элемента получаем 1. В оставшиеся ячейки запишем нули столбец х5.

Итак, в новом плане 3 заполнены строка x5 и столбец x5. Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

B x1 x2 x3 x4 x5 x6

200- (0 • -2): 3 0- (0 • -2): 3 1- (0 • -2): 3 1 — (- 2 • -2) : 3 0- (1 • -2): 3 -2- (3 • -2): 3 0- (0 • -2): 3

0: 3 0: 3 0: 3 -2: 3 1: 3 3: 3 0: 3

400- (0 • 1): 3 1- (0 • 1): 3 0- (0 • 1): 3 0 — (- 2 • 1): 3 0- (1 • 1): 3 1- (3 • 1): 3 0- (0 • 1): 3

500- (0 • 2): 3 0- (0 • 2): 3 0- (0 • 2): 3 -1 — (- 2 • 2): 3 0- (1 • 2): 3 2 — ( 3 • 2): 3 1- (0 • 2): 3

2200- (0 • -2): 3 0- (0 • -2): 3 0- (0 • -2): 3 3 — (- 2 • -2): 3 0- (1 • -2): 3 -2- (3 • -2): 3 0- (0 • -2): 3

Получаем новую симплексную таблицу:

Основание B x1 x2 x3 x4 x5 x6

x2 200 0 1 -1/3 2/3 0 0

x5 0 0 0 -2/3 1/3 1 0

x1 400 1 0 2/3 — 1/3 0 0

x6 500 0 0 1/3 -2/3 0 1

F (X3) 2200 0 0 5/3 2/3 0 0

1. Проверка критерия оптимальности.

В строке индекса нет отрицательных значений. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задач.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис Б x1 x2 x3 x4 x5 x6

x2 200 0 1 -1/3 2/3 0 0

x5 0 0 0 -2/3 1/3 1 0

x1 400 1 0 2/3 -1/3 0 0

x6 500 0 0 1/3 -2/3 0 1

F (X4) 2200 0 0 5/3 2/3 0 0

оптимальный план можно записать так:

x1 = 400, x2 = 200

F (X) = 4 * 400 + 3 * 200 = 2200.

Ответ. 2200.

линейное программирование — Как симплекс-метод обрабатывает тестовые коэффициенты с нулями?

Я столкнулся с проблемой выбора опорной точки при наличии ограничений с нулевой правой стороной. Похоже, что иногда при поиске минимального коэффициента проверки следует включать нулевые тестовые коэффициенты, а иногда нет. Каково жесткое и быстрое правило для обработки нулевых тестовых коэффициентов?

Для простой демонстрации предположим, что вы хотите максимизировать $y$ при $x + y \le 1$ и $y \le x$. График x/y пространства решений показывает треугольник с вершиной в точке $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$. Чтобы максимизировать $y$, мы должны оказаться в этой точке.

Первая таблица: $$0: \begin{bматрица} & х & у & s_1 & s_2 & = \\ s_1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ s_2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Единственная возможная переменная — $y$ с отрицательной стоимостью -1. Затем, чтобы выбрать опорную строку, мы находим два отношения. Строка 1 $1/1 = 1$, строка 2 $0/1 = 0$. Вот в чем проблема. Как я понял, чтобы выбрать сводную строку, тест отношения должен быть положительным . Если мы будем следовать этому правилу, останется только одна возможность оставить переменную, $s_1$. Итак, попробуем следовать правилу: $$1: \begin{bматрица} & х & у & s_1 & s_2 & = \\ у и 1 и 1 и 1 и 0 и 1 \\ s_2&-2&0&-1&1&-1\ & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Это нарушает еще одно правило: $s_2$ не должно быть отрицательным, верно? Во-вторых, в целевом ряду нет отрицательных значений, так что мы закончили. Но мы находимся в $x = 0, y = 1$, что даже не является решением, потому что $s_2$ является недопустимым значением. Давайте попробуем вместо этого выбрать строку 2, ту, у которой тестовый коэффициент равен 0: $$1′: \begin{bматрица} & х & у & s_1 & s_2 & = \\ s_1 & 2 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ у и -1 и 1 и 0 и 1 и 0 \\ &-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$

Теперь нужно ввести $x$. Мы должны ориентироваться только на положительные тестовые коэффициенты. В прошлый раз мы не следовали этому правилу, но теперь будем произвольно следовать ему, и $s_1$ уйдет: $$2: \begin{bматрица} & х & у & s_1 & s_2 & = \\ x & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ y & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$

И это ответ. Из любопытства, поскольку мы произвольно нарушили «положительное» правило для опорной точки $1’$ и произвольно следовали ему для опорной точки $2$, давайте попробуем быть последовательными и всегда включать ноль при поиске минимального тестового отношения.

Грани пирамиды. Вершина пирамиды. Ребра пирамиды равны.

• Альфашкола
• Статьи
• Пирамида и ее свойства

Пирамида — это многогранник —  трехмерная геометрическая форма с плоскими гранями и прямыми ребрами. Что отличает пирамиду от других типов многогранников, так это то, что основание пирамиды является многоугольником, а все остальные грани являются треугольниками. Как видно из рисунка ниже, каждая сторона основания образует одну сторону треугольника, соединяющего основание пирамиды с ее вершиной.

 Грани имеют одну общую вершину — вершину пирамиды — и их число будет равно числу сторон, образующих основание. Пирамида с основанием, имеющим \(n\) сторон, будет иметь \(N+1\) граней т. е. один базовый многоугольник и \(N\) треугольных сторон. Многоугольник также будет иметь \(2n\) ребер и \(N + 1\) вершин. Обратите внимание, что существует особый тип пирамиды, называемый тетраэдром, для которого основание также является треугольником. Тетраэдры обладают определенными особыми свойствами, о которых мы поговорим в другой статье. В этой статье мы обсудим свойства пирамиды.

 

Немного истории о пирамидах

Пирамиды в Гизе, недалеко от Каира, Египет

Различные цивилизации по всему миру за последние три тысячи лет построили пирамидальные структуры. Вероятно, самой известной и, безусловно, одной из самых больших является большая Пирамида в Гизе, на окраине Каира в Египте. Большая Пирамида, также известная как Пирамида Хуфу или Пирамида Хеопса, является самой большой и, вероятно, самой старой из нескольких пирамид на месте Гизы. Считается, что она была построена около четырех с половиной тысяч лет назад как гробница фараона Хуфу. В течение нескольких тысяч лет это было самое большое рукотворное сооружение в мире, и это единственное из оригинальных чудес древнего мира, все еще существующих. Большая Пирамида, как и многие другие египетские пирамиды, имеет квадратное основание и по форме похожа на иллюстрацию выше.

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Елена Анатольевна Фомина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Орловский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Татьяна Сергеевна Довнар

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Минский Государственный Лингвистический Университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Зульашет Мовсуровна Гадаева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Чеченский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Предметы

• Математика
• Физика
• Химия
• Русский язык
• Английский язык
• Обществознание
• История России
• Биология
• География
• Информатика

Специализации

• Репетитор грамматики английского языка
• Репетитор по английскому для взрослых
• Репетитор для подготовки к ЕГЭ по истории
• ВПР по математике
• Репетитор для подготовки к ВПР по английскому языку
• ВПР по обществознанию
• Подготовка к ЕГЭ по географии
• Подготовка к ОГЭ по информатике
• Программирование Pascal
• Scratch

Похожие статьи

• Простые и составные числа
• Свойства интегралов
• Эллипс
• Возведение обыкновенных дробей в натуральную степень
• МИФИ: Инновационный менеджмент
• Неравенства
• ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на совместную работу (вариант 3)
• Престижные премии по математике

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Пирамида | matematicus.ru

Skip to content

20.03.2019 Artman Стереометрия

Пирамидой называют многогранник, у которого одна из граней является произвольным многоугольником (или треугольником или четырёхугольником и т.д. см. рис. 1), а остальные боковые грани — треугольники с общей вершиной.

Рисунок 1

Правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник и перпендикуляр, опущенный из вершины проецируется в центр этого основания.

Рисунок 2

Основание пирамиды называется одна из его граней в виде произвольного многоугольника. На (рис. 2) — основанием является четырехугольник BCDE.

Боковые грани — треугольники с общей вершиной. Как пример эта грань ADE.

Боковые рёбра – это стороны боковых граней. В качестве примера ребро AC.

Вершиной пирамиды называется общая вершина боковых граней.  На (рис. 2) это точка A.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды. Одна из апофем пирамиды (рис. 2) —  AP.

Высотой пирамиды является перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды в центр основания, то есть AO.

Свойства правильной пирамиды

1. Все боковые ребра равны между собой.

2. Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

3. Все апофемы боковых граней имеют одинаковую длину.
4. Двухгранные углы при ребрах основания равны.

5.  Двухгранные углы при боковых ребрах равны.

6. Все плоские углы при вершине равны.

7. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

---

Площадь полной поверхности пирамиды:

S=S_осн.+S_б.п.

где S_осн. — площадь основания, S_б.п. — площадь боковой поверхности.

Формула объёма пирамиды:

  

Формула боковой площади правильной пирамиды:

 

где φ — двухгранный угол при ребре основания пирамиды.

Усеченная пирамида

Усеченной пирамидой называют часть полной пирамиды, заключенная между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды. Боковыми гранями являются трапеции.

Формула боковой площади правильной усеченной пирамиды:

где p₁ и p₂ — периметры
h_бок. — высота боковой грани
Формула объёма усеченной пирамиды:

где S₁ и S₂ — площади оснований
h — высота

1072

Пирамида имеет ___ граней, ___ ребер и ___ вершин.

Ответ

Проверено

192,9 тыс.+ просмотров

Подсказка: В этом вопросе мы должны найти общее количество граней, ребер и вершин пирамиды. Пирамида представляет собой трехмерную форму, грани которой напоминают треугольник, а также существует основание пирамиды, напоминающее форму многоугольника. Посмотрим на схему пирамиды и найдем все нужные значения граней, ребер и вершин.

Полное пошаговое решение:
Нам нужно найти количество граней, ребер и вершин пирамиды, которые являются ключевыми характеристиками пирамиды.
граней: Всего у пирамиды 5$ граней. Четыре грани пирамиды представляют собой форму треугольника, а оставшаяся грань, также называемая основанием пирамиды, представляет собой форму многоугольника, и все треугольные грани всегда конгруэнтны противоположной треугольной грани. На рисунке видны $5$ грани пирамиды.
Края: Ребра в пирамиде представляют собой соединение различных граней. Это на самом деле напоминает линию, где два лица встречаются друг с другом. Всего в пирамиде $8$ ребер. Ребра $4$ расположены на дне, который находится на стыке основания с треугольными гранями $4$, а остальные грани $4$ находятся на стыке треугольных граней. На рисунке видно, что $a,b,c,d,e,f,g$ и $h$ — ребра пирамиды.
Вершины: вершины в пирамиде — это точки, в которых встречаются ребра. Всего в пирамиде $5$ вершин, из которых $4$ находятся в основании, а $1$ находится в точке пересечения всех вертикальных ребер. На рисунке видно, что точки $A,B,C,D$ и $E$ являются вершинами пирамиды.

Следовательно, решение:
Пирамида имеет 5 граней, 8 ребер и 5 вершин.

Примечание: В этом примере мы рассмотрели различные свойства прямоугольной пирамиды, в основе которой лежит прямоугольник. Также существуют различные другие типы пирамид, такие как треугольная пирамида, квадратная пирамида, шестиугольная пирамида, пятиугольная пирамида и т. Д. Количество ребер, вершин и граней в этих типах пирамид может различаться.

Недавно обновленные страницы

Если ab и c единичные векторы, то влево ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Вычислить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 class 12 maths JEE_Main

Что из следующего верно 1 nleft S cup T right class 10 maths JEE_Main

Какова площадь треугольника с вершинами Aleft class 11 maths JEE_Main

Координаты точек A и B равны a0 и а0 класс 11 по математике JEE_Main

Если ab и c единичные векторы, то влево ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Вычислить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 class 12 maths JEE_Main

Что из следующего верно 1 nleft S cup T right class 10 maths JEE_Main

Какова площадь треугольника с вершинами Aleft class 11 maths JEE_Main

Координаты точек A и B равны a0 и а0 класс 11 по математике JEE_Main

Тенденции сомнения

Сколько граней, ребер и вершин имеет пирамида с n-сторонним многоугольником в основании?

Ответить

Проверено

225 тыс. + просмотров

Подсказка: В этом вопросе нас спросили, сколько граней, ребер и вершин имеет пирамида.

Чтобы решить этот вопрос, нам нужно базовое представление о гранях, ребрах и вершинах трехмерной фигуры. Давайте посмотрим на помеченную ниже диаграмму прямоугольного параллелепипеда.

Обратите внимание, что кубоид выше имеет 6 граней, 8 ребер и 12 вершин.

Аналогично, пирамида представляет собой трехмерную фигуру, и количество ребер, граней и вершин зависит от сторон основания.

Более того, нам не дано какое-то конкретное основание пирамиды. Нам задали общую формулу со стороной «n».

Полный пошаговый ответ:
Нам задали вопрос о количестве граней, ребер и вершин пирамиды, основание которой неизвестно. Нам нужно найти обобщенную формулу в терминах «n».
Прежде чем найти обобщенную формулу, давайте посмотрим на некоторые изображения пирамиды с разными основаниями и найдем их грани, ребра и вершины. Используя их, выведем обобщенную формулу.

1) Грани: 
(i) Пирамида с трехгранным основанием: Эта пирамида имеет 4 грани. Одна грань, которая является основанием, и 3 грани, соединяющие основание с вершиной (самая верхняя вершина).
(ii) Пирамида с 4-гранным основанием: Эта пирамида имеет 5 граней. Одна грань в качестве основания и другие 4 грани, соединяющие основание с вершиной.
Как мы видим, общее количество граней на единицу больше, чем количество сторон основания. Следовательно, пирамида с n-сторонним многоугольником в основании будет иметь $\left( {n + 1} \right)$ граней.

2) Ребра:
(i) Пирамида с 3-сторонним основанием: Эта пирамида имеет 6 ребер – 3 ребра составляют многоугольник в качестве основания, а остальные 3 ребра соединяют основание с вершиной.
(ii) Пирамида с 4-сторонним основанием: эта пирамида имеет 8 ребер – 4 ребра составляют многоугольник в качестве основания, а остальные 4 ребра соединяют основание с вершиной.
Если вы обратите внимание, общее количество ребер в два раза превышает количество сторон основания. Следовательно, пирамида с n-сторонним многоугольником в качестве основания будет иметь ($2n$) ребер.

3) Вершины:
(i) Пирамида с 3-сторонним основанием: Эта пирамида имеет 4 вершины – 3 вершины основания и 1 вершину.
(ii) Пирамида с 4-гранным основанием: Эта пирамида имеет 5 вершин – 4 вершины основания и 1 вершину.
При наблюдении мы можем сказать, что общее количество вершин на одну больше, чем количество сторон основания.
Следовательно, пирамида с n-сторонним многоугольником в основании будет иметь $\left( {n + 1} \right)$ вершин.

Примечание: Мы можем заметить, что пирамида представляет собой многогранник, образованный соединением многоугольного основания и точки, называемой вершиной. Каждое базовое ребро и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью.