Автор: alexxlab

Абсолютная и условная сходимость ряда онлайн: Исследование степенного ряда на сходимость

alexxlab / / Разное

Практикум по математическому анализу 1

Мероприятия

Образовательные программы

Бакалаврская программа

Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ

4 года

Очная форма обучения

215/160

215 бюджетных мест
160 платных мест

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Бакалаврская программа

Экономика

4 года

Очная форма обучения

215/160/15

215 бюджетных мест
160 платных мест
15 платных мест для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Бакалаврская программа

Экономика и анализ данных

4 года

Очная форма обучения

215/160/5

215 бюджетных мест
160 платных мест
5 платных мест для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Бакалаврская программа

Экономика и статистика

4 года

Очная форма обучения

40/60/7

40 бюджетных мест
60 платных мест
7 платных мест для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Бакалаврская программа

Экономический анализ

4 года

Очная форма обучения
Онлайн программа

30/10

30 платных мест
10 платных мест для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Магистерская программа

Аграрная экономика

2 года

Очная форма обучения

10/5/2

10 мест за счет средств ВШЭ
5 платных мест
2 платных места для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Магистерская программа

Инвестиции на финансовых рынках

2 года

30

30 платных мест

RUS/ENG

Обучение ведется на русском или английском языках

Магистерская программа

Корпоративные финансы

2 года

Очная форма обучения

50/2

50 платных мест
2 платных места для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Магистерская программа

Магистр аналитики бизнеса

2 года

Очная форма обучения
Онлайн программа

30/5

30 платных мест
5 платных мест для иностранцев

ENG

Обучение ведётся полностью на английском языке

Магистерская программа

Статистический анализ в экономике

2 года

Очная форма обучения

20/5/2

20 бюджетных мест
5 платных мест
2 платных места для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Магистерская программа

Стохастическое моделирование в экономике и финансах

2 года

Очная форма обучения

20/5/3

20 бюджетных мест
5 платных мест
3 платных места для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Магистерская программа

Стратегическое управление финансами фирмы

2 года

Очная форма обучения

45/10/10

45 бюджетных мест
10 платных мест
10 платных мест для иностранцев

ENG

Обучение ведётся полностью на английском языке

Магистерская программа

Финансовые рынки и финансовые институты

2 года

Очная форма обучения

50/5/3

50 бюджетных мест
5 платных мест
3 платных места для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Магистерская программа

Финансовый инжиниринг

2 года

Очная форма обучения

40/2

40 платных мест
2 платных места для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Магистерская программа

Экономика и экономическая политика

2 года

Очная форма обучения

75/20/16

75 бюджетных мест
20 платных мест
16 платных мест для иностранцев

RUS/ENG

Обучение ведется на русском или английском языках

Магистерская программа

Экономический анализ

2 года

Очная форма обучения
Онлайн программа

60/10

60 платных мест
10 платных мест для иностранцев

RUS+ENG

Обучение ведется на русском и частично на английском языке

Все программы

Публикации

Лекции по дискретной математике

Вялый М. Н., Подольский В. В., Рубцов А. А. и др.

М.: Издательский дом НИУ ВШЭ, 2021.

Спектральные условия устойчивости явной трехслойной разностной схемы для многомерного уравнения переноса с возмущениями

Злотник А. А., Четверушкин Б. Н.

Дифференциальные уравнения. 2021. Т. 57. № 7. С. 922-931.

The Study of Trajectories of the Development of State Capacity Using Ordinal-Invariant Pattern Clustering and Hierarchical Cluster Analysis

Myachin A. L., Akhremenko A. S.

In bk.: Intelligent Methods in Computing, Communications and Control. Vol. 1243. Springer, 2021. P. 198-205.

A compact higher-order finite-difference scheme for the wave equation can be strongly non-dissipative on non-uniform meshes

Zlotnik A. , Čiegis R.

math. arXiv. Cornell University, 2020. No. 2012.01000 [math.NA].

Все публикации

Онлайн-уроки TutorOnline по высшей математике Взрослый

Русский языкРусская литератураАнглийский языкНемецкий языкМатематикаИстория РоссииОбществознаниеГеографияБиологияФизикаХимияИспанский языкФранцузский языкВсеобщая историяИнформатика и ИКТЛитературное чтениеВысшая математикаПольский языкТурецкий языкИтальянский языкКитайский языкРусский язык как иностранныйЭкономикаПрограммированиеЛогикаШахматыАнглийский язык IELTS TOEFLТеоретическая механикаМатематическая статистикаЭконометрикаМастерство актерскоеПравоЯпонский языкКорейский языкPhotoshopТеория вероятностейПодготовка к школеЖивописьРисованиеРКИ для детей-билингвовРиторикаЛогистикаПсихологияИгра на гитареИстория БеларусиУправление человеческими ресурсами

1 класс7 класс11 класс1 курс2 курс3 курс4 курсВзрослыйНе указан

Применить фильтр

Линейная алгебра. Аффинные преобразования.

Просмотреть

Высшая математика

Просмотреть

Вводное занятие на курс: Высшая математика для студентов экономических и гуманитарных специальностей

Просмотреть

ЗАДАНИЕ 4 Записать каноническое уравнение кривой, применяя метод выделения полного квадрата. Найти координаты центра кривой, координаты вершин. Сделать чертеж в системе координат xOy. ЗАДАНИЕ 6 Найти точку пересечения прямой и плоскости. Сделать условный рисунок. ЗАДАНИЕ 2 Построить графики функции, используя основные приемы последовательной трансформации графиков АДАНИЕ 4 Исследовать функцию y f x  ( ) на непрерывность. Построить график функции. Указать характер точек разрыва и величину скачка.

Просмотреть

Снова к вам, мне надо разобраться с НЛДУ до пятницы. У вашего брата все занято.

Просмотреть

— Вычисление площади фигуры,огранич. линиями ;- Нахождение объёма фигуры,образов. вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox или Oy ;- Длина дуги кривой на каком-то участке -Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Просмотреть

Производные, решение задач, объяснение материала.

Просмотреть

Урок 7.10. Очерк истории рядов.

Просмотреть

Урок 7.8. Приближенные вычисления с помощью рядов.

Просмотреть

Урок 7.7. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

Просмотреть

Урок 7.6. Интервал сходимости степенного ряда и его отыскание по признаку Даламбера или Коши.

Просмотреть

Урок 7.4. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда, абсолютная и условная сходимость.

Просмотреть

Урок 7.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный, Раабе.

Просмотреть

Урок 5.14. Длина дуги.

Просмотреть

Урок 5.2. Методы интегрирования: табличное интегрирование, замена переменных, по частям.

Просмотреть

Урок 4.13. Общая схема исследования функции одной переменной и построение ее графика.

Просмотреть

Урок 4.10. Локальный экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Просмотреть

Урок 3. 8. Первый и второй замечательные пределы. Число е. Натуральный логарифм.

Просмотреть

Урок 2.18. Парабола.

Просмотреть

Урок 2.17. Гипербола.

Просмотреть

Урок 2.15. Понятие кривой второго порядка. Круг.

Просмотреть

Урок 2.3. Ортонормированный базис. Прямоугольная декартова система координат. Координаты точки, координаты вектора в прямоугольной декартовой системе координат.

Просмотреть

Физический смысл производной и интегрирования.

Просмотреть

Дифференциальные уравнения.

Просмотреть

Дифференциальное исчесление. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке.

Просмотреть

Условная сходимость

Условная сходимость

Мы видели, что, вообще говоря, для данного ряда ряд может не сходиться. Другими словами, ряд не является абсолютно сходящимся. Таким образом, в данном случае это почти проигранный случай, то есть очень сложно использовать старые инструменты, разработанные для положительных рядов. Но для ряда особого рода у нас есть частичный ответ (благодаря Абелю). Это относится к чередующимся сериям. Они имеют форму

,

куда .

Пример: Серия

чередуется. Обратите внимание, что у нас не , а . Это не важно. Важно то, что знак чередуется; один раз положительный, следующий отрицательный и так далее….

Основная задача: когда сходится знакопеременный ряд?

Чтобы оценить результат Абеля о чередующихся рядах, давайте поиграем с приведенным выше примером. Действительно, рассмотрим ряд

.

Сгенерируем последовательность частичных сумм. У нас есть

Это явно подразумевает

.

Таким образом, можно задаться вопросом, увеличивается ли четная последовательность, а нечетная убывает, удовлетворяя при этом

.

Ответ: ДА. Действительно, у нас есть

,

что подразумевает . Проверим, что оно возрастает (нечетное остается доказать читателю). У нас есть

.

С

,

тогда у нас есть , что означает, что увеличивается. Кстати, мы сделали оценку, но, по сути, нам это было не нужно. Что заставляет это работать, так это тот факт, что последовательность уменьшается. Итак, поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху числом , то она сходится к числу A. То же самое верно для убывающего и ограничено снизу числом . Следовательно, оно сходится к числу B. Мы должны иметь

.

Это, очевидно, подразумевает

.

С

,

мы делаем вывод, что у нас должно быть A = B , что дает

.

Отсюда ясно следует, что последовательность сходится и

.

Следовательно, серия

сходится, и мы имеем

.

Из приведенных выше неравенств получаем

,

для любого . Эти неравенства позволяют аппроксимировать общую сумму частичными суммами. Если вам интересно, какова общая сумма, ответ (используя ряд Тейлора):

.

Замечание: Приведем другой способ доказательства

.

Сначала рассмотрим последовательность, определяемую

.

В этом легко убедиться, для . Покажем, что уменьшается. Действительно, у нас есть

.

Поставил

.

У нас есть

.

Следовательно, функция f ( x ) возрастает для . С

,

то мы должны иметь для . Из этого следует

лн1 +

за . Следовательно, у нас есть

№

за . Следовательно, последовательность уменьшается. Поскольку он ограничен снизу 0, мы заключаем, что он сходится. Писать

.

C называется постоянной Эйлера . У нас есть

,

для любого . Вернемся к чередующемуся ряду

.

У нас есть

.

С

,

мы заключаем, что

.

Итак, что мы узнали из приведенного выше примера? Внимательно изучив приведенные выше расчеты, мы, возможно, сможем прийти к более общему результату.

Испытание чередующейся серии:

Рассмотрим знакопеременный ряд

куда . Предположить, что:

1.
уменьшается;
2.
;
Затем серия

сходится. Кроме того, оценка общей суммы

,

по n-й частичной сумме имеет не более чем погрешность. Другими словами, мы имеем

.

Пример: Классифицировать серию

как абсолютно сходящиеся, условно сходящиеся или расходящиеся.

Ответ: Рассмотрим ряд абсолютных значений

.

Это ряд Бертрана с и . Используя тест ряда Бертрана, мы заключаем, что он расходится. Следовательно, ряд

не является абсолютно сходящимся. Так как этот ряд чередующийся, то с

,

давайте проверим, выполняются ли предположения теста чередующихся серий. Во-первых, нам нужно проверить, что уменьшается. Поставил

.

У нас есть

.

Ясно, что у нас есть f ‘ ( x ) < 0, для x > e . Следовательно, последовательность уменьшается. Это легко проверить

.

Следовательно, все допущения теста чередующихся серий выполняются. Отсюда делаем вывод, что ряд

сходится. На самом деле, чтобы быть точным, оно условно сходится.

Пример: Классифицировать серию

как абсолютно сходящиеся, условно сходящиеся или расходящиеся.

Ответ: Из определения непонятно, что это за ряд. Поэтому мы советуем вам взять калькулятор и вычислить первые члены, чтобы убедиться, что на самом деле мы имеем

Это так, потому что

Итак, это чередующийся ряд с . Поскольку эта последовательность убывающая и стремится к 0 при , то по тесту чередующихся серий ряд

сходится. Заметим, что оно не является абсолютно сходящимся.

[Тригонометрия] [Исчисление]
[Геометрия] [Алгебра] [Дифференциальные уравнения]
[Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра]
Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Мохамед А. Хамси
Вт, 3 декабря 17:39:00 МСК 1996
Copyright 1999-2023 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США
пользователей онлайн за последний час

применение свойств целочисленных степеней

AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping

suchoptionen

Применение свойств целочисленных степеней — Onlinemath5all

www. onlinemath5all.com0007

Свойства экспонент. Свойство 1: если два члена умножаются на одно и то же основание, основание должно быть взято один раз, а показатели степени должны быть добавлены. То есть,.

Ähnliche Fragen

Как свойства целочисленных показателей помогают писать эквивалентные выражения?

Применение свойств целочисленных показателей — YouTube

www.youtube.com › смотреть

07.04.2020 · Математика 8Я решаю № 3, 5, 7 и 9 из нашего задания «Применение свойств целочисленных показателей …
Dauer: 5:54
Прислан: 07.04.2020

Математика 8 класса 2.1c, Применение свойств целочисленных показателей

www.youtube.com › смотреть

21.04.2022 которое также называется правилом произведения для …
Dauer: 10:07
Прислан: 21.04.2022

3.2: Свойства целочисленных показателей — Математика LibreTexts

math.libretexts.org › … › 3: Многочлены и целые показатели

13. 08.2022 · Упрощение выражений с помощью свойств экспонент. Помните, что положительный целочисленный показатель указывает на многократное умножение …

Будьте готовы · Упрощайте выражения, используя… · Свойства отрицательного…

Степени произведений и частные (целочисленные показатели) — Khan Academy

www.khanacademy.org › математика › алгебра › степени-…

02.05.2017 · Для любых целых чисел a и b и любых показателей n, (a⋅b)ⁿ=aⁿ⋅bⁿ и (a/b) ⁿ=аⁿ/бⁿ. Это проработанные примеры…
Dauer: 6:43
Прислан: 02.05.2017

Степени умножения и деления (целые степени) — Khan Academy

www.khanacademy.org › математика › алгебра › умножение

· Для 02.05. любое основание a и любые целые показатели степени n и m, aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ. Для любого ненулевого основания aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ. Эти …
Dauer: 4:23
Прислан: 02.05.2017

Алгебра — Целочисленные экспоненты — Pauls Online Math Notes

tutorial. math.lamar.edu › классы › alg › integerexpo…

16.11.2022 · В этом разделе мы начнем рассматривать показатели. Мы дадим основные свойства экспонент и проиллюстрируем некоторые общие …

Знать и применять свойства целочисленных экспонент

preалгебракоуч. применять свойства целочисленных показателей. Сделайте это понятнее и проще с помощью наших советов и бесплатно …

Знайте и применяйте свойства целочисленных показателей для получения…

virtualnerd.com › 8_EE-expressions-equations

Узнайте, как разделить показатель степени и поместить его в числитель и знаменатель вашей дроби, используя силу правила частного. Этот урок покажет вам, как!

Целочисленные экспоненты (решения, примеры, видео, рабочие листы, игры…

www.onlinemathlearning.com › integer-exponents-8…

Как применять свойства целочисленных экспонент для создания эквивалентных числовых выражений, видео, рабочие листы, игры и задания, подходящие для .

Равные дроби: Равные дроби — ответ на Uchi.ru

alexxlab / / Разное

с одинаковыми числителями и знаменателями, с разными знаменателями

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Правила сравнения обыкновенных дробей

В данной публикации мы рассмотрим, какие дроби являются равными, а также как сравнить две дроби с одинаковыми числителями/знаменателями или с разными знаменателями.

  • Равные дроби
  • Сравнение простых дробей
    • С одинаковыми знаменателями
    • С одинаковыми числителями
    • С разными знаменателями
  • Другие правила сравнения дробей

Равные дроби

Две дроби являются равными, если их числители и знаменатели соответственно равны (пропорционально равны).

Пример: дроби 

4/5

 и 

8/10

 равны, т.к. числитель и знаменатель первой дроби в два раза меньше числителя и знаменателя второй дроби.

 
Равные дроби соответствует:

  • одной и той же точке на числовой оси;
  • одной и той же десятичной дроби, которая вычисляется путем деления числителя на знаменатель. В нашем случае 4/5 = 8/10 = 0,8.

Сравнение простых дробей

С одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, больше та, у которой числитель больше.

Пример: 

5/7

>

3/7

, т.к. 5>3.

С одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями, больше та, у которой знаменатель меньше.

Пример: 

6/4

>

6/11

, т.к. 4<11.

С разными знаменателями

Для того, чтобы иметь возможность сравнить дроби с разными знаменателями, для начала их нужно привести к общему знаменателю, после чего их уже можно сравнить по одинаковому знаменателю.

Пример: сравним дроби 

3/8

 и 

2/16

.

В данном случае нам нужно представить первую дробь со знаменателем 16 путем умножения числителя и знаменателя на число 2.

3/8

=

3⋅2/8⋅2

=

6/16

.

 
Теперь у нас имеются две дроби с одинаковыми знаменателями, которые мы можем сравнить по соответствующему правилу, рассмотренному выше.

6/16

>

2/16

, т.к. 6>2.

Другие правила сравнения дробей

1. Любая правильная дробь меньше 1.

Пример: 

3/7

<1.

 
2. Любая неправильная дробь больше 1.

Пример: 

8/3

>1, т. к. 

8/3

=2

2/3

>1.

 
3. Любая неправильная дробь всегда больше правильной, что следует из правил 1 и 2 выше.

Пример: 

12/5

>

6/11

.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Математика — 5

Равные дроби

Равные дроби можно получить умножением или делением числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число.

1. Умножением числителя и знаменателя на одно и то же число

2. Делением числителя и знаменателя на одно и то же число

24
36 = 12
18 = 6
9 = 2
3

  1. Запишите для каждой дроби по 2 равные ей дроби.
    a) Умножением числителя и знаменателя дроби на одно и то же число.

    1) 1
    3

    2) 1
    4

    3) 3
    4

    4) 1
    2

    5) 2
    5

    6) 1
    6

    б) Делением числителя и знаменателя дроби на одно и то же число.

    1) 16
    20

    2) 16
    24

    3) 36
    54

    4) 24
    30

    5) 14
    28

    6) 15
    30

  2. Запишите равные дроби, разделив числитель и знаменатель дроби на одно и то же число. Запишите для полученной дроби, равную ей дробь, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число.

    2) 9
    15

    3) 8
    18

    4) 12
    32

  3. Вставьте вместо х такое число, чтобы получилось верное равенство.
    1)x
    12 = 3
    4    2)2
    5 = 4
    x    3)x
    40 = 2
    8    4)5
    25 = 1
    x     5)3
    x = 9
    33    
  4. Команда «Фыртына» провела 12 игр. Команда «Гартал» выиграла 3
    4 всех проведенных игр. Части, выражающие количество побед этих команд, равны. В скольких играх одержала победу команда «Фыртына»?
  5. Наиля ханум купила 9 кг сахарного песка. На приготовление вишневого варенья она израсходовала 6 кг песка. Запишите в виде дроби, какую часть песка израсходовала Наиля ханум. Запишите ещё 2 равные ей дроби.
  6. Самир утверждает, что дробь 1
    4 равна 4
    7 . Он выражает свою мысль следующим образом: 4-3
    7-3 = 1
    4 . Выскажите свое суждение к утверждению Самира.

Эквивалентные дроби

Эквивалентные дроби имеют одинаковое значение, даже если они могут выглядеть по-разному.

Эти дроби действительно одинаковы:

1 2 «=» 2 4 «=» 4 8

Почему они одинаковые? Потому что, когда вы умножаете или делите на сверху и снизу на одно и то же число, дробь сохраняет свое значение.

Правило, которое нужно запомнить:

«Измените низ, используя умножение или деление,
И то же самое нужно применить к верху»

Вот почему эти дроби действительно одинаковы:

  × 2   × 2  

 

1  =  2  =  4
2 4 8

 

  × 2   × 2  
А визуально это выглядит так:
1 / 2   2 / 4   4 / 8
= =

 

См. Дроби в числовой строке …

… он показывает много эквивалентных дробей.

Также см. Таблицу дробей со многими примерами эквивалентных дробей.

Разделительный

Вот еще несколько эквивалентных дробей, на этот раз путем деления:

  ÷ 3   ÷ 6  
 
18  =  6  =  1
36 12 2
 
  ÷ 3   ÷ 6  

Тщательно выбирайте число, на которое делите, чтобы результаты (и верхний, и нижний) оставались целыми числами.

Если мы продолжаем делить до тех пор, пока не сможем продолжить, значит, мы упростили дробь (сделали ее максимально простой).

 

Резюме:

  • Вы можете получить эквивалентные дроби, умножив или разделив как верхнее, так и нижнее на одну и ту же сумму.
  • Вы только умножаете или делите, никогда не прибавляете и не вычитаете , чтобы получить эквивалентную дробь.
  • Делить только тогда, когда верх и низ остаются целыми числами.

 

 

Что такое эквивалентные дроби? Определение, методы и примеры

Что такое эквивалентные дроби?

Дроби представляют равные части целого или набора. Дробь состоит из двух частей. Число в верхней части строки называется числителем, который говорит, сколько равных частей целого или набора взяты. Число под чертой называется знаменателем и показывает общее количество равных частей, на которые делится целое, или общее количество равных частей, находящихся в коллекции.

Родственные игры

Определение эквивалентных дробей

Дроби, которые представляют одно и то же значение, но выглядят по-разному (т. е. имеют разные числители или знаменатели), называются эквивалентными дробями. Другими словами, две или более дроби называются эквивалентными дробями, если они равны одной и той же дроби после их упрощения.

На изображении выше 

$\frac{1}{3}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{12 }$ кажутся разными, но это эквивалентные дроби, так как при упрощении мы получаем дробь $\frac{1}{3}$.

Рассмотрим это на примере:

Энн и Иден купили торт. Торт решили разделить. У Энн было $\frac{4}{8}$ торта, а у Иден было $\frac{1}{2}$ торта. Они делили торт поровну?

Да; они сделали. Две дроби могут выглядеть по-разному, но при упрощении иметь одинаковое математическое значение, поэтому $\frac{4}{8}$ и $\frac{1}{2}$ называются эквивалентными дробями.

Рассмотрим, например, $\frac{5}{10}$ и $\frac{2}{4}$ . Они тоже кажутся разными, но когда мы их упрощаем; они представляют одно и то же значение, т. е. $\frac{1}{2}$.

Связанные рабочие листы

Как проверить, равны ли дроби или нет?

Есть разные способы проверить, равны дроби или нет:

  • Сделать знаменатели одинаковыми

Мы можем проверить, эквивалентны ли дроби, сделав знаменатели одинаковыми, т. е. найдя НОК знаменателей, а затем умножив их на подходящие числа.

Например: Чтобы проверить, эквивалентны ли $\frac{2}{8}$ и $\frac{3}{12}$, мы найдем НОК 8 и 12. 

Шаг 1. Найдите НОК знаменателей

              НОК(8, 12) = 24

Шаг 2. Умножьте на подходящие числа, чтобы знаменатель стал таким же 3}$ = $\frac{6}{24}$ и $\frac{3 \times 2}{12 \times 2}$ = $\frac{6}{24}$

Так как обе дроби вышли быть $\frac{6}{24}$, поэтому они являются эквивалентными дробями.

  • Нахождение десятичной формы обеих дробей.

Десятичная форма $\frac{2}{8}$ равна 0,25.

Десятичная форма $\frac{3}{12}$ равна 0,25.

Поскольку десятичная форма обеих дробей равна 0,25, они являются эквивалентными дробями.

  • Метод перекрестного умножения

Мы будем умножать дроби. Если произведения одинаковы, то дроби равны.

    2 $\times$ 12 = 24               8 $\times$ 3 = 24

Поскольку оба произведения одинаковы, дроби эквивалентны.

  • Визуальный метод 902:30

Мы можем определить эквивалентные дроби на одинаковых фигурах и проверить, равны ли заштрихованные части.

На изображении выше мы видим, что заштрихованные части обоих кругов отображают одно и то же значение. Значит, это равные дроби.

Нахождение эквивалентной дроби

Чтобы найти эквивалентные дроби, мы умножаем или делим числитель и знаменатель на одно и то же число. Есть два способа, которыми мы можем сделать эквивалентные дроби:

  • Умножить числитель и знаменатель на одно и то же число

Мы можем умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы найти эквивалентные дроби.

Например: Нам нужно найти две эквивалентные дроби для $\frac{3}{8}$.

Умножение числителя и знаменателя на 2.

$\frac{3 \times 2}{8 \times 2}$ = $\frac{6}{16}$ 

Умножение числителя и знаменателя на 3.

$\frac{3 \times 3}{8 \times 3}$ = $\frac{9}{24}$ 

Двумя эквивалентными дробями для $\frac{3}{8}$ являются $\frac{6}{16}$ и $\frac{9}{24}$.

  • Разделите числитель и знаменатель на одно и то же число.

Мы можем разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы найти эквивалентные дроби.

Например: Чтобы найти эквивалентные дроби для $\frac{70}{100}$.

Сначала найдите общие делители 70 и 100. 

Общие делители 70 и 100 равны 2, 5 и 10. 

Умножение числителя и знаменателя на 2.

$\frac{70 \div 2}{100 \div 2}$ = $\frac{35}{50}$

Умножение числителя и знаменателя на 5.

$\frac{70 \div 5}{100 \div 5}$ = $\frac{14}{20}$

Умножение числителя и знаменателя на 10.

$\frac{70 \div 10}{ 100 \div 10}$ = $\frac{7}{10}$

Эквивалентные дроби для $\frac{70}{100}$ равны $\frac{35}{50}$ , $\frac{14 {20}$ и $\frac{7}{10}$.

Решенные примеры 

1. Проверить, являются ли дроби $\frac{3}{9}$, $\frac{4}{12}$ и $\frac{5}{15}$ эквивалентными.

Упрощая $\frac{3}{9}$, получаем $\frac{1}{3}$. Аналогично, упростив $\frac{4}{12}$, получим $\frac{1}{3}$. И, упростив $\frac{5}{15}$, мы снова получим то же значение, $\frac{1}{3}$. Поскольку мы получаем одинаковые значения после упрощения, это эквивалентные дроби.

2. Чему будет равен x, если $\frac{2}{3}$ = $\frac{x}{12}$.

Поскольку $\frac{2}{3}$ = $\frac{x}{12}$, значит, мы умножили знаменатель на 4. Значит, числитель умножим также на 4. 

x = 2 $\times$ 4 = 8

3. Найдите три эквивалентные дроби для $\frac{2}{3}$.

Умножая числитель и знаменатель на 2, получаем $\frac{2 \times 2}{3 \times 2}$ = $\frac{4}{6}$.

Умножая числитель и знаменатель на 3, получаем $\frac{2 \times 3}{3 \times 3}$ = $\frac{6}{9}$.

Умножая числитель и знаменатель на 4, получаем $\frac{2 \times 4}{3 \times 4}$ = $\frac{8}{12}$.

Три эквивалентные дроби для $\frac{2}{3}$ — это $\frac{4}{6}$, $\frac{6}{9}$ и $\frac{8}{12}$.

Практические задачи

1

$\frac{12}{16}$ эквивалентно дроби

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{5}{3}$

Правильный ответ: $\frac{3}{4}$
При делении числителя и знаменателя $\frac{ 12}{16}$ на 4, получаем $\frac{3}{4}$.

2

На что нужно умножить числитель и знаменатель $\frac{2}{5}$, чтобы получить эквивалент $\frac{8}{20}$?

2

3

4

5

Правильный ответ: 4
2 $\times$ 4 = 8 и 5 $\times$ 4 = 20, поэтому и числитель, и знаменатель нужно умножить на 09 4.

3

Найдите дробь, эквивалентную $\frac{2}{3}$

$\frac{40}{70}$

$\frac{60}{90}$

$\frac{20} {70}$

$\frac{25}{30}$

Правильный ответ: $\frac{60}{90}$
При делении числителя и знаменателя $\frac{60}{90}$ на 20 получаем дробь $\frac{2}{3}$.

Заключение

Равнозначные дроби имеют разные номиналы, но при их упрощении дают одинаковые числовые значения. Вы можете найти эти дроби, умножив знаменатель и числитель на одно и то же число/значение. Отправляйтесь на SplashLearn, чтобы узнать об эквивалентных дробях в веселой и легкой форме.

Часто задаваемые вопросы

Как определить, равны дроби или нет?

Чтобы определить, эквивалентны ли дроби, упростите дроби до наименьших членов.

Cos4X cos3x cos2x cosx 0: Решите уравнение: cos2x+cos4x-cos3x=0 — ответ на Uchi.ru

alexxlab / / Разное

Giải phương trình (cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0).


Bật đèn

Bài tập có liên quan