Автор: alexxlab

Знаете ли вы?

43 процента малых предприятий в США не отслеживают запасы или делают это вручную. ( Источник )

Использование процессов инвентаризации вручную для отслеживания вашего инвентаря приведет к путанице и будет рассматриваться как одна из основных проблем управления запасами .

Невозможность отследить точное местонахождение товара на складе и отсутствие обновлений о том, был ли продукт доставлен или нет, приводит к тому, что клиент не может заказать новые продукты с прогнозируемой неэффективностью.

Этот пробел в обновлениях также в основном связан с использованием быстрых процессов, таких как отслеживание нескольких заказов, и необходимостью получения сведений о запасах в режиме реального времени.

3. Устаревшие продукты

Обновление продуктов с течением времени неизбежно для того, чтобы продукты оставались свежими и соответствовали тенденциям и соответствовали ожиданиям покупателей на рынке.

Таким образом, в этом процессе все старые товары, которые не проданы, должны быть зарегистрированы для облегчения очистки и должны освободить место для новых.

Оставление старых продуктов на складе также может привести к большим потерям и занять столь необходимое место на складе.

4. Анализ рыночного спроса

Анализ состояния рынка очень важен, поскольку спрос ускоряет производство, за которым следует рост складских запасов.

Никакой анализ наиболее продаваемых областей или областей спроса не приведет к нехватке продукции на рынке, что приведет к снижению удовлетворенности клиентов и потере ценности бренда.

5. Проблемы затоваривания

Внесение новых запасов без освобождения старых в конечном итоге приведет к убыткам и сокращению прибыли.

Как избежать Проблемы управления запасами , такие как неправильное управление при приобретении новых запасов и ручное обновление заказов, являются первичными или могут привести к тому, что некоторые продукты не будут обновляться и в конечном итоге будут повторно заказаны.

6. Неумение управлять инвентарными отходами и дефектами

Управление отходами в отрасли является одним из самых серьезных упущений, которое приводит к повреждению инвентарных запасов на складах.

При этом необходимо эффективно отслеживать бракованные изделия, чтобы поддерживать цикл поставки на склад и своевременные поставки.

С другой стороны, затраты, связанные с инвентарными отходами и дефектами, больше и приводят к огромным потерям в отрасли, если они остаются незамеченными.

7. Отсутствие централизованного центра инвентаризации

Представьте себе переключение нескольких вкладок для получения сведений о заказах клиентов и отслеживание данных в режиме реального времени. Это приводит к разочарованию менеджеров по запасам и медленной доставке результатов.

Без единой панели управления все разговоры, информация о заказах и отслеживание агентов доставки не будут поступать в один почтовый ящик.

Это затрудняет для менеджеров по инвентаризации управление запросами и отслеживание продуктов в инвентаре.

8. Расширение ассортимента продукции

Расширение ассортимента продукции и создание новых складов требуют эффективного управления запасами.

Ручное обновление списка запасов и отслеживание заказов без данных в режиме реального времени приведет к бесхозяйственности.

Все менеджеры по запасам должны просматривать заказы и сведения о доставке, а также отслеживать складские запасы, чтобы распределять поставки с наибольшим спросом.

9. Неправильное управление заказами

Управление заказами клиентов во избежание перепроданности и истощения запасов является одной из самых сложных задач.

Своевременная доставка заказов и рассмотрение их жалоб, если в заказе есть какие-то проблемы, сыграют большую роль в обзорах и рейтингах, которые получит бренд.

Кроме того, в приоритете должны быть оптимизация процессов заказа, отслеживание доставки и информирование клиента на протяжении всего пути его заказа.

10. Рост конкуренции

Растущая конкуренция заставила малые предприятия расширить свои складские помещения, чтобы удовлетворить растущий спрос.

Это, в свою очередь, привело к тому, что компании уделили приоритетное внимание системе управления запасами, которая держит менеджеров в курсе всех деталей заказов.

Не отставать от конкурентов, поддерживать товарные запасы и реагировать на жалобы и запросы клиентов является приоритетом.

11. Вопросы цепочки поставок 

Постоянные изменения в цепочке поставок по всему миру сказываются на планировании управления запасами.

В основном это связано с тем, что производители и оптовые дистрибьюторы принимают решение о перемещении ваших запасов и требуют гибкости в поставках с длительными сроками поставки.

Кроме того, с другой стороны, ручное отслеживание всех запасов только увеличит время доставки для ваших клиентов.

12. Отсутствие планирования производства

Если запасы не поступают на склад вовремя, чтобы соответствовать циклу спроса-предложения, это может быть очень неприятно.

Этому могут способствовать многие факторы, такие как медленное производство, отсутствие транспорта или задержки в сроках доставки, которые могут привести к отсутствию складских запасов.

Это, в свою очередь, приводит к задержке заказов клиентов и снижению рейтинга клиентов в социальных сетях.

13. Неправильное управление процессами

Использование базовых технологий или ручное управление запасами не покажется сложной задачей, если предприятие небольшое и обслуживает небольшое количество клиентов.

Но когда он увеличится в размерах, все задачи, которые изначально были легкими, станут сложными и потребуют помощи для выполнения заказов клиентов.

14. Отсутствие необходимого программного обеспечения

Первоначально малый бизнес с ограниченным количеством доставок не будет чувствовать необходимости использовать платформу управления запасами.

Без необходимого программного обеспечения отслеживание запасов, создание отчетов и отслеживание агентов доставки будет невозможно.

15. Поддержание эффективного склада

Для бизнеса процессы на складе для поддержания или управления товарными запасами многочисленны и включают множество шагов.

Такие процессы, как сбор, упаковка, получение и возврат, должны быть максимально эффективными для обеспечения бесперебойной доставки.

16. Неточность данных 

При ручном управлении складом сбор всех данных, необходимых для отслеживания состояния запасов и составления отчетов, кажется огромной задачей.

В наши дни отслеживание деталей вашего заказа должно осуществляться одним движением пальца, а не по телефону с длинным списком номеров для звонков.

17. Меньшая видимость процесса 

Учтите, что размещенный вами заказ не поставляется с системой отслеживания заказов, клиенты будут разочарованы и перейдут на бренд, который обеспечивает полную прозрачность.

Инвентарь, который трудно найти или отследить на складе, приводит к задержке доставки заказов.

Подбор правильных товарных запасов и поддержание сроков доставки клиентам очень важно для бизнеса и сохранения хороших впечатлений.

18. Поддержание надлежащего уровня запасов

Выполнение заказов клиентов и поддержание запасов в соответствии с потребностями имеет жизненно важное значение в управлении запасами.

 Продукты, которые легко портятся, и хрупкие запасы требуют специальной помощи при хранении.

Кроме того, с другой стороны, выбор надлежащих методов управления запасами для ценных запасов повысит удовлетворенность клиентов.

19. Управление складскими помещениями

Управление складскими помещениями для размещения новых запасов может оказаться непростой задачей.

Использование ручного процесса, составление плана и выделение мест для инвентаризации потребует много времени и ресурсов.

Кроме того, план должен быть синхронизирован со временем поступления запасов на склад. Таким образом, в конечном счете, без автоматизированной системы инвентаризации эту роль сложно освоить.

20. Выставление счетов и документы вручную

Вручную отслеживать все отчеты об управлении запасами, заказы на покупку и счета-фактуры будет сложной задачей.

При этом время, затрачиваемое на составление счетов и счетов-фактур, будет большим и может привести к тому, что несколько элементов будут упущены. 1. Оценка запасов ежемесячные и квартальные отчеты.

Разделите отчеты об аудите по категориям и количеству циклов инвентаризации для расчета финансов.

На платформе управления запасами можно просматривать аудиторские отчеты по регионам и областям, а также планировать последующие финансовые годы.

2. Автоматизация заказов и снижение количества ошибок

Для ускорения управления запасами автоматизация всего процесса установки точек повторного заказа на основе текущих запасов и доступности сделает процессы эффективными.

Платформа управления запасами делает это, предотвращая задержки заказов и повышая уровень удовлетворенности клиентов.

3. Увеличьте объем хранения и обеспечьте безопасность

Для управления складом платформа управления запасами помогает быстро очищать запасы и удалять устаревшие продукты.

Сортировка складских запасов по отсекам и автоматизация процессов заказа, таких как упаковка и отгрузка, помогает справиться с проблемами управления запасами , с которыми сталкиваются менеджеры.

4. Прогнозирование 

Платформа управления запасами с прогнозированием спроса позволяет вам предвидеть потребности и планировать заказы.

Благодаря интеграции с учетными записями и данными о продажах прогноз для вашего бизнеса электронной коммерции может быть установлен строго.

Планирование заказов инвентаря на основе меняющихся предпочтений клиентов, наличия запасов или покупательских тенденций станет прибыльным для бренда.

5. Меры контроля

Система управления запасами, являющаяся частью платформы управления запасами, помогает управлять запасами скоропортящихся, хрупких и снятых с производства продуктов.

Кроме того, периодическое техническое обслуживание оборудования, используемого для хранения запасов, является одной из важных задач управления запасами на складе для эффективного протекания процессов.

Такие преимущества, как отслеживание местоположения проблемы с запасами с указанием стоимости и количества, могут помочь нам выявить проблему и помочь нуждающимся клиентам. Все это можно сделать с помощью платформы управления запасами.

6. Эволюция упаковки  

Классифицируйте и распределяйте запасы в соответствии со стандартами упаковки на платформе управления запасами.

Это помогает контролировать расходы на доставку в зависимости от размера продукта и направляет их в легкодоступные места хранения.

7. Единая информационная панель 

Модернизация или переход на единую платформу решения для всех ваших запасов и управления запасами будет отличным решением для вашего бизнеса.

Функции отслеживания повторных заказов и закупок будут очень полезны всем менеджерам запасов на складах.

При этом автоматическое обновление товарных запасов, доступность данных о запасах в режиме реального времени и облачное хранилище отчетов будут очень полезны для более быстрого управления вашими запасами.

8. Отслеживание расширения линейки продуктов

Платформа управления запасами может использоваться для ведения учета нескольких продуктов с просмотром полной истории запасов.

Отслеживайте агентов по доставке, непроданные товары и товары на складе с помощью платформы.

Используйте аналитику, чтобы также увидеть спрос на линейку продуктов в разных местах, автоматически распределяя запасы для этого региона.

9. Добавление инструментов повышения производительности

Отслеживание доставки, отгрузок, запасов и взаимодействия с клиентами с помощью мобильной или настольной версии обеспечивает доступ к информации в любое время и в любом месте.

Вся доступная информация хранится в облаке без необходимости многократного сохранения и выполняется автоматически.

Эта постоянная доступность инструментов повышает производительность и повышает степень удовлетворенности клиентов за счет ускорения выполнения процессов. Неиспользование инструментов повышения производительности является одной из основных проблем управления запасами , ​​с которыми сталкиваются многие начинающие компании.

10. Воспользуйтесь преимуществом сроков выполнения заказа и прогнозируйте спрос

При заказе продукции с высоким спросом рассмотрение сроков выполнения заказа является решающим шагом.

Товары с высоким спросом можно легко отслеживать и управлять ими со складов с помощью платформы управления запасами.

Используя непрерывные циклы заказа, платформа автоматизирует точки повторного заказа, вычисляя среднее время выполнения заказа, чтобы предотвратить дефицит.

Система управления запасами также может помочь в прогнозировании высокого спроса и соответствующем распределении запасов.

11. Более быстрые процессы

Платформы управления запасами предлагают передовые технологии, такие как сканирование местоположения продукта и технология штрих-кода для улучшения возможностей отслеживания запасов.

При этом использование платформы на мобильных устройствах, оснащенных облачным хранилищем, может упростить управление запасами и помочь эффективно управлять складскими запасами.

12. Четкие отчеты об эффективности 

Отслеживайте все данные о заказах, измеряйте уровень удовлетворенности клиентов и другую информацию, например скорость обработки заказов, чтобы лучше обслуживать клиентов.

Кроме того, получайте отчеты по областям с наибольшим объемом продаж, сегментам клиентов и времени доставки, чтобы улучшить качество обслуживания клиентов.

13. Включите изображения

В базе данных инвентаризации добавление изображений будет более привлекательным фактором для покупки, улучшения процессов и приведет к лучшим результатам.

Например, добавление изображения складских запасов на платформу управления запасами позволяет нам идентифицировать, расставлять приоритеты и разделять запасы на основе запросов.

Также добавление изображений содержимого в инвентарь может увеличить продажи, подтверждая оптовую закупку и отгрузку готового товара.

14. Безбумажные транзакции

Большое преимущество использования платформ управления запасами заключается не только в упрощении процессов, но и в сокращении использования бумаги для отчетов и счетов.

Принимая во внимание воздействие на окружающую среду, отказ от бумаги — отличный и модный шаг для компаний, желающих перейти на инструменты нового поколения.

Благодаря этому преимуществу безбумажный учет значительно ускорит процессы учета, отслеживания и отчетности.

15. Следите за сервисными процессами

Самым большим преимуществом системы управления запасами является ее способность отслеживать процессы обслуживания, такие как ошибки доставки, поврежденные или дефектные продукты и пропущенные встречи по доставке.

Дополнительные функции, такие как оценка производительности поставщика, выявление и устранение проблем в цепочке поставок, а также минимизация ошибок для обеспечения бесперебойного потока процессов инвентаризации, улучшат общий процесс.

16. Отслеживание в нескольких местах 

Управляйте складами в разных местах с помощью функций отслеживания в нескольких местах, таких как отслеживание запасов и принятие мер по предотвращению затоваривания складов.

Такие преимущества, как планирование уведомлений для автоматического отслеживания запасов и настройка нескольких вкладок для отслеживания складских процессов и доступа к важным сведениям о транзите, ускорят процессы.

17. Техническая поддержка и обновления 

При управлении запасами список функций может быть огромным и часто сбивает с толку менеджеров по запасам.

Для этого будет назначена онлайновая или офлайновая поддержка стажеров для помощи и обучения продукту.

Это может улучшить отношения с клиентами и помочь лучше понять продукт, чтобы повысить уровень их производительности.

18. Улучшение связи

С помощью платформы управления запасами можно также улучшить связь с поставщиками.

Имея встроенную информационную панель, менеджеры по инвентаризации могут просматривать все данные инвентаризации в режиме реального времени с помощью простого пользовательского интерфейса.

Расширенные инструменты, такие как Kapture предлагает автоматические сообщения для связи и помогает управлять бухгалтерией, продажами и складскими операциями в одном окне.

19. Автоматизация выставления счетов и отчетов 

Платформа управления запасами может помочь предприятиям выставлять счета и отчеты, полностью автоматизируя процесс и сохраняя его.

Все счета, счета-фактуры и отчеты, связанные с товарно-материальными запасами, будут храниться в соответствии с датами и могут быть просмотрены или загружены в любое время и на любом устройстве.

20. Беспрепятственное управление складскими помещениями 

Одна из самых больших проблем управления запасами , которую можно решить с помощью эффективной платформы управления.

Используя платформу управления запасами, списки запасов можно отслеживать и перемещать в соответствии с их рыночным спросом.

Запасы новых продуктов могут быть получены только в зависимости от спроса и наличия свободного места на складе.

 

Нужна платформа управления запасами, которая может больше?

Платформа управления запасами Kapture предлагает все, что необходимо для бизнеса в сфере электронной коммерции, не допуская неэффективного управления.

Такие функции, как доступность данных о запасах в режиме реального времени, параметры пользовательской настройки, отслеживание агентов доставки, информация о счетах и ​​аналитика, делают это программное обеспечение хорошим вариантом.

Хотите узнать больше? Обратитесь к нам за демонстрацией.

• Множество
• Множества в Python
  
  • Хешируемые объекты
• Свойства множеств
  
  • Принадлежность множеству
  • Мощность множества
  • Перебор элементов множества
• Отношения между множествами
  
  • Равные множества
  • Непересекающиеся множества
  • Подмножество и надмножество
• Операции над множествами
  
  • Объединение множеств
  • Добавление элементов в множество
  • Пересечение множеств
  • Разность множеств
  • Удаление элементов из множества
  • Симметрическая разность множеств
• Заключение
• Полезные ссылки

Множество

Множество – это математический объект, являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества. Или другими словами:

Множество – это не более чем неупорядоченная коллекция уникальных элементов.

Что значит неупорядоченная? Это значит, что два множества эквивалентны, если содержат одинаковые элементы.

Элементы множества должны быть уникальными, множество не может содержать одинаковых элементов. Добавление элементов, которые уже есть в множестве, не изменяет это множество.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а остальные множества – бесконечными. Конечное множество, как следует из названия, можно задать перечислением его элементов. Так как темой этой статьи является практическое использование множеств в Python, то я предлагаю сосредоточиться на конечных множествах.

Множества в Python

Множество в Python можно создать несколькими способами. Самый простой – это задать множество перечислением его элементов в фигурных скобках:

fruits = {"banana", "apple", "orange"}

Единственное ограничение, что таким образом нельзя создать пустое множество. Вместо этого будет создан пустой словарь:

wrong_empty_set = {}
print(type(wrong_empty_set))
# Вывод
<class "dict">

Для создания пустого множества нужно непосредственно использовать set():

correct_empty_set = set()
print(type(correct_empty_set))
# Вывод
<class "set">

Также в set() можно передать какой-либо объект, по которому можно проитерироваться (Iterable):

color_list = ["red", "green", "green", "blue", "purple", "purple"]
color_set = set(color_list)
print(color_set)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"red", "purple", "blue", "green"}

Ещё одна возможность создания множества – это использование set comprehension. Это специальная синтаксическая конструкция языка, которую иногда называют абстракцией множества по аналогии с list comprehension (Списковое включение).

numbers = [1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6]
# Единственное отличие со списковыми включениями - это
# использование фигурных скобок вместо квадратных
even_numbers = {
    number for number in numbers
    if number % 2 == 0
}
print(even_numbers)
# Вывод (порядок может быть другим):
{2, 4, 6}

Хешируемые объекты

Существует ограничение, что элементами множества (как и ключами словарей) в Python могут быть только так называемые хешируемые (Hashable) объекты. Это обусловлено тем фактом, что внутренняя реализация set основана на хеш-таблицах. Например, списки и словари – это изменяемые объекты, которые не могут быть элементами множеств. Большинство неизменяемых типов в Python (int, float, str, bool, и т.д.) – хешируемые. Неизменяемые коллекции, например tuple, являются хешируемыми, если хешируемы все их элементы.

# Множество кортежей (tuple)
records = {
    ("Москва", 17_200_000), 
    ("Санкт-Петербург", 5_400_000), 
    ("Новосибирск", 1_600_000),
    ("Москва", 17_200_000),
}
for city, population in records:
    print(city)
# Вывод (порядок может быть другим):
Москва
Новосибирск
Санкт-Петербург

Объекты пользовательских классов являются хешируемыми по умолчанию. Но практического смысла чаще всего в этом мало из-за того, что сравнение таких объектов выполняется по их адресу в памяти, т.е. невозможно создать два «равных» объекта.

class City:
    def __init__(self, name: str):
        self. name = name
    def __repr__(self) -> str:
        """ Определим метод __repr__ для наглядности следующих примеров
        """
        return f'City("{self.name}")'
print(City("Moscow") == City("Moscow"))
# Вывод:
False
cities = {City("Moscow"), City("Moscow")}
print(cities)
# Вывод
{City("Moscow"), City("Moscow")}

Скорее всего мы предполагаем, что объекты City("Moscow") должны быть равными, и следовательно в множестве cities должен находиться один объект.
Этого можно добиться, если определить семантику равенства для объектов класса City:

class City:
    def __init__(self, name: str):
        # Атрибут name не должен изменяться, пока объект существует
        # Для простоты пометим этот атрибут как внутренний
        self._name = name
    def __hash__(self) -> int:
        """ Хеш от объекта
        """
        return hash((self._name, self.__class__))
    def __eq__(self, other) -> bool:
        """ Определяем семантику равентсва (оператор ==)
        """
        if not isinstance(other, self. __class__):
            return False
        return self._name == other._name
    def __repr__(self) -> str:
        """ Определим метод __repr__ для наглядности следующих примеров
        """
        return f'City("{self._name}")'

Чтобы протокол хеширования работал без явных и неявных логических ошибок, должны выполняться следующие условия:

• Хеш объекта не должен изменяться, пока этот объект существует
• Равные объекты должны возвращать одинаковый хеш

moscow = City("Moscow")
moscow_again = City("Moscow")
print(moscow == moscow_again and hash(moscow) == hash(moscow_again))
# Вывод:
True
# Теперь множество городов работает более логично и интуитивно
cities = {City("Moscow"), City("Kazan"), City("Moscow")}
print(cities)
# Вывод (порядок может быть другим):
{City("Kazan"), City("Moscow")}

Свойства множеств

Тип set в Python является подтипом Collection (про коллекции), из данного факта есть три важных следствия:

• Определена операция проверки принадлежности элемента множеству
• Можно получить количество элементов в множестве
• Множества являются iterable-объектами

Принадлежность множеству

Проверить принадлежит ли какой-либо объект множеству можно с помощью оператора in. Это один из самых распространённых вариантов использования множеств. Такая операция выполняется в среднем за O(1) с теми же оговорками, которые существуют для хеш-таблиц.

tremendously_huge_set = {"red", "green", "blue"}
if "green" in tremendously_huge_set:
    print("Green is there!")
else:
    print("Unfortunately, there is no green...")
# Вывод:
Green is there!
if "purple" in tremendously_huge_set:
    print("Purple is there!")
else:
    print("Unfortunately, there is no purple...")
# Вывод:
Unfortunately, there is no purple...

Мощность множества

Мощность множества – это характеристика множества, которая для конечных множеств просто означает количество элементов в данном множестве. Для бесконечных множеств всё несколько сложнее.

even_numbers = {i for i in range(100) if i % 2 == 0}
# Мощность множества
cardinality = len(even_numbers)
print(cardinality)
# Вывод:
50

Перебор элементов множества

Как уже было отмечено выше, множества поддерживают протокол итераторов, таким образом любое множество можно использовать там, где ожидается iterable-объект.

colors = {"red", "green", "blue"}
# Элементы множества можно перебрать с помощью цикла for
for color in colors:
    print(color)
# Вывод (порядок может быть другим):
red
green
blue
# Множества можно использовать там, где ожидается iterable-объект
color_counter = dict.fromkeys(colors, 1)
print(color_counter)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"green": 1, "red": 1, "blue": 1}

Отношения между множествами

Между множествами существуют несколько видов отношений, или другими словами взаимосвязей. Давайте рассмотрим возможные отношения между множествами в этом разделе.

Равные множества

Тут всё довольно просто – два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Как следует из определения множества, порядок этих элементов не важен.

my_fruits = {"banana", "apple", "orange", "orange"}
your_fruits = {"apple", "apple", "banana", "orange", "orange"}
print(my_fruits == your_fruits)
# Вывод:
True

Непересекающиеся множества

Если два множества не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются. Или другими словами, пересечение этих множеств является пустым множеством.

even_numbers = {i for i in range(10) if i % 2 == 0}
odd_numbers = {i for i in range(10) if i % 2 == 1}
# Очевидно, что множества чётных и нечётных чисел не пересекаются
if even_numbers.isdisjoint(odd_numbers):
    print("Множества не пересекаются!")
# Вывод:
Множества не пересекаются!

Подмножество и надмножество

Подмножество множества S – это такое множество, каждый элемент которого является также и элементом множества S. Множество S в свою очередь является надмножеством исходного множества.

# Множество чисел Фибоначчи меньших 100
fibonacci_numbers = {0, 1, 2, 3, 34, 5, 8, 13, 21, 55, 89}
# Множество натуральных чисел меньших 100
natural_numbers = set(range(100))
# Множество чисел Фибоначчи является подмножеством множества 
# натуральных чисел
if fibonacci_numbers.issubset(natural_numbers):
    print("Подмножество!")
# Вывод:
Подмножество!
# В свою очередь множество натуральных чисел является
# надмножеством множества чисел Фибоначчи
if natural_numbers. issuperset(fibonacci_numbers):
    print("Надмножество!")
# Вывод:
Надмножество!

Пустое множество является подмножеством абсолютно любого множества.

empty = set()
# Методы issubset и issuperset могут принимать любой iterable-объект
print(
    empty.issubset(range(100))
    and empty.issubset(["red", "green", "blue"])
    and empty.issubset(set())
)
# Вывод:
True

Само множество является подмножеством самого себя.

natural_numbers = set(range(100))
if natural_numbers.issubset(natural_numbers):
    print("Подмножество!")
# Вывод:
Подмножество!

Операции над множествами

Рассмотрим основные операции, опредяляемые над множествами.

Объединение множеств

Объединение множеств – это множество, которое содержит все элементы исходных множеств. В Python есть несколько способов объединить множества, давайте рассмотрим их на примерах.

my_fruits = {"apple", "orange"}
your_fruits = {"orange", "banana", "pear"}
# Для объединения множеств можно использовать оператор `|`,
# оба операнда должны быть объектами типа set
our_fruits = my_fruits | your_fruits
print(our_fruits)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"apple", "banana", "orange", "pear"}
# Также можно использовать ментод union. 
# Отличие состоит в том, что метод union принимает не только
# объект типа set, а любой iterable-объект
you_fruit_list: list = list(your_fruits)
our_fruits: set = my_fruits.union(you_fruit_list)
print(our_fruits)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"apple", "banana", "orange", "pear"}

Добавление элементов в множество

Добавление элементов в множество можно рассматривать как частный случай объединения множеств за тем исключением, что добавление элементов изменяет исходное множество, а не создает новый объект. Добавление одного элемента в множество работает за O(1).

colors = {"red", "green", "blue"}
# Метод add добаляет новый элемент в множество
colors.add("purple")
# Добавление элемента, который уже есть в множестве, не изменяет
# это множество
colors.add("red")
print(colors)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"red", "green", "blue", "purple"}
# Метод update принимает iterable-объект (список, словарь, генератор и т.п.)
# и добавляет все элементы в множество
numbers = {1, 2, 3}
numbers. update(i**2 for i in [1, 2, 3])
print(numbers)
# Вывод (порядок может быть другим):
{1, 2, 3, 4, 9}

Пересечение множеств

Пересечение множеств – это множество, в котором находятся только те элементы, которые принадлежат исходным множествам одновременно.

def is_prime(number: int) -> bool:
    """ Возвращает True, если number - это простое число
    """
    assert number > 1
    return all(number % i for i in range(2, int(number**0.5) + 1))
def is_fibonacci(number: int) -> bool:
    """ Возвращает True, если number - это число Фибоначчи
    """
    assert number > 1
    a, b = 0, 1
    while a + b < number:
        a, b = b, a + b
    return a + b == number
# Множество простых чисел до 100
primes = set(filter(is_prime, range(2, 101)))
# Множество чисел Фибоначчи до 100
fibonacci = set(filter(is_fibonacci, range(2, 101)))
# Множество простых чисел до 100, которые одновременно являются
# числами Фибоначчи
prime_fibonacci = primes.intersection(fibonacci)
# Или используя оператор `&`, который определён для множеств
prime_fibonacci = fibonacci & primes
print(prime_fibonacci)
# Вывод (порядок может быть другим):
{2, 3, 5, 13, 89}

При использовании оператора & необходимо, чтобы оба операнда были объектами типа set. Метод intersection, в свою очередь, принимает любой iterable-объект. Если необходимо изменить исходное множество, а не возращать новое, то можно использовать метод intersection_update, который работает подобно методу intersection, но изменяет исходный объект-множество.

Разность множеств

Разность двух множеств – это множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество.

i_know: set = {"Python", "Go", "Java"}
you_know: dict = {
    "Go": 0.4, 
    "C++": 0.6, 
    "Rust": 0.2, 
    "Java": 0.9
}
# Обратите внимание, что оператор `-` работает только
# для объектов типа set
you_know_but_i_dont = set(you_know) - i_know
print(you_know_but_i_dont)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"Rust", "C++"}
# Метод difference может работать с любым iterable-объектом,
# каким является dict, например
i_know_but_you_dont = i_know.difference(you_know)
print(i_know_but_you_dont)
# Вывод:
{"Python"}

Удаление элементов из множества

Удаление элемента из множества можно рассматривать как частный случай разности, где удаляемый элемент – это одноэлементное множество. Следует отметить, что удаление элемента, как и в аналогичном случае с добавлением элементов, изменяет исходное множество. Удаление одного элемента из множества имеет вычислительную сложность O(1).

fruits = {"apple", "orange", "banana"}
# Удаление элемента из множества. Если удаляемого элемента
# нет в множестве, то ничего не происходит
fruits.discard("orange")
fruits.discard("pineapple")
print(fruits)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"apple", "banana"}
# Метод remove работает аналогично discard, но генерирует исключение,
# если удаляемого элемента нет в множестве
fruits.remove("pineapple")  # KeyError: "pineapple"

Также у множеств есть метод differenсe_update, который принимает iterable-объект и удаляет из исходного множества все элементы iterable-объекта. Этот метод работает аналогично методу difference, но изменяет исходное множество, а не возвращает новое.

numbers = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
even_numbers_under_100 = (i for i in range(1, 101) if i % 2 == 0)
numbers. , также существует два специальных метода – symmetric_difference и symmetric_difference_update. Оба этих метода принимают iterable-объект в качестве аргумента, отличие же состоит в том, что symmetric_difference возвращает новый объект-множество, в то время как symmetric_difference_update изменяет исходное множество.
non_positive = {-3, -2, -1, 0}
non_negative = range(4)
non_zero = non_positive.symmetric_difference(non_negative)
print(non_zero)
# Вывод (порядок может быть другим):
{-1, -2, -3, 1, 2, 3}
# Метод symmetric_difference_update изменяет исходное множество
colors = {"red", "green", "blue"}
colors.symmetric_difference_update(["green", "blue", "yellow"])
print(colors)
# Вывод (порядок может быть другим):
{"red", "yellow"}

Заключение
Я надеюсь, мне удалось показать, что Python имеет очень удобные встроенные средства для работы с множествами. На практике это часто позволяет сократить количество кода, сделать его выразительнее и легче для восприятия, а следовательно и более поддерживаемым. Я буду рад, если у вас есть какие-либо конструктивные замечания и дополнения.

Полезные ссылки
Множества (Статья на Википедии)
Документация по типу set
Iterable-объекты (Глоссарий Python)
Hashable-объекты (Глоссарий Python)
Sets in Python
Set Theory: the Method To Database Madness
Страница не найдена — ПриМат
По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.
 Искать:
© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер  (11), Анастасия Лозинская  (10), Елизавета Савицкая  (8), Игорь Любинский  (8), Юлия Стерлянко  (8), Денис Стехун  (8), Валентин Малявко  (8), Константин Берков  (7), Олег Шпинарев  (7), Александр Базан  (7), Анна Чалапчий  (7), Кирилл Волков  (6), Татьяна Корнилова  (6), Влад Радзивил  (6), Максим Швандт  (6), Людмила Рыбальченко  (6), Даниил Радковский  (5), Влад Недомовный  (5), Александр Онищенко  (5), Андрей Метасов  (5), Денис Базанов  (5), Александр Ковальский  (5), Александр Земсков  (5), Марина Чайковская  (5), Екатерина Шибаева  (5), Мария Корень  (5), Анна Семененко  (5), Мария Илларионова  (5), Сергей Черкес  (5), Алиса Ворохта  (5), Валерия Заверюха  (5), Елизавета Снежинская  (5), Вадим Покровский  (5), Руслан Авсенин  (4), Екатерина Фесенко  (4), Дмитрий Заславский  (4), Алина Малыхина  (4), Андрей Лисовой  (4), Полина Сорокина  (4), Кирилл Демиденко  (4), Дмитрий Стеценко  (4), Александр Рапчинский  (4), Святослав Волков  (4), Иван Мясоедов  (4), Владислав Стасюк  (4), Алёна Гирняк  (4), Николай Царев  (4), Валентин Цушко  (4), Павел Жуков  (4), Роман Бронфен-Бова  (4), Артём Романча  (4), Анна Шохина  (4), Иван Киреев  (4), Никита Савко  (4), Кондрат Воронов  (4), Алина Зозуля  (4), Иван Чеповский  (4), Артем Рогулин  (4), Игорь Чернега  (4), Даниил Кубаренко  (4), Ольга Денисова  (4), Татьяна Осипенко  (4), Яков Юсипенко  (4), Ольга Слободянюк  (4), Стас Коциевский  (3), Елизавета Севастьянова  (3), Павел Бакалин  (3), Антон Локтев  (3), Андрей-Святозар Чернецкий  (3), Николь Метри  (3), Евелина Алексютенко  (3), Константин Грешилов  (3), Марина Кривошеева  (3), Денис Куленюк  (3), Константин Мысов  (3), Мария Карьева  (3), Константин Григорян  (3), Колаев Демьян  (3), Станислав Бондаренко  (3), Ильдар Сабиров  (3), Владимир Дроздин  (3), Кирилл Сплошнов  (3), Карина Миловская  (3), Дмитрий Козачков  (3), Мария Жаркая  (3), Алёна Янишевская  (3), Александра Рябова  (3), Дмитрий Байков  (3), Павел Загинайло  (3), Томас Пасенченко  (3), Виктория Крачилова  (3), Таисия Ткачева  (3), Владислав Бебик  (3), Илья Бровко  (3), Максим Носов  (3), Филип Марченко  (3), Катя Романцова  (3), Илья Черноморец  (3), Евгений Фищук  (3), Анна Цивинская  (3), Михаил Бутник  (3), Станислав Чмиленко  (3), Катя Писова  (3), Дмитрий Дудник  (3), Дарья Кваша  (3), Игорь Стеблинский  (3), Артем Чернобровкин  (3), Виктор Булгаков  (3), Дмитрий Мороз  (3), Богдан Павлов  (3), Игорь Вустянюк  (3), Андрей Яроцкий  (3), Лаура Казарян  (3), Екатерина Мальчик  (3), Анатолий Осецимский  (3), Иван Дуков  (3), Дмитрий Робакидзе  (3), Вячеслав Зелинский  (3), Данила Савчак  (3), Дмитрий Воротов  (3), Стефания Амамджян  (3), Валерия Сиренко  (3), Георгий Мартынюк  (3), Виктор Иванов  (3), Вячеслав Иванов  (3), Валерия Ларикова  (3), Евгений Радчин  (3), Андрей Бойко  (3), Милан Карагяур  (3), Александр Димитриев  (3), Иван Василевский  (3), Руслан Масальский  (3), Даниил Кулык  (3), Андрей Данилов  (2), Даниил Крутоголов  (2), Наталия Писаревская  (2), Дэвид Ли  (2), Александр Коломеец  (2), Александра Филистович  (2), Евгений Рудницкий  (2), Олег Сторожев  (2), Евгения Максимова  (2), Алексей Пожиленков  (2), Юрий Молоканов  (2), Даниил Кадочников  (2), Александр Колаев  (2), Александр Гутовский  (2), Павел Мацалышенко  (2), Таня Спичак  (2), Радомир Сиденко  (2), Владислав Шиманский  (2), Илья Балицкий  (2), Алина Гончарова  (2), Владислав Шеванов  (2), Андрей Сидоренко  (2), Александр Мога  (2), Юлия Стоева  (2), Александр Розин  (2), Надежда Кибакова  (2), Майк Евгеньев  (2), Евгений Колодин  (2), Денис Карташов  (2), Александр Довгань  (2), Нина Хоробрых  (2), Роман Гайдей  (2), Антон Джашимов  (2), Никита Репнин  (2), Инна Литвиненко  (2), Яна Юрковская  (2), Гасан Мурадов  (2), Богдан Подгорный  (2), Алексей Никифоров  (2), Настя Филипчук  (2), Гук Алина  (2), Михаил Абабин  (2), Дмитрий Калинин  (2), Бриткариу Ирина  (2), Никита Шпилевский  (2), Алексей Белоченко  (2), Юлиана Боурош  (2), Никита Семерня  (2), Владимир Захаренко  (2), Дмитрий Лозинский  (2), Яна Колчинская  (2), Юрий Олейник  (2), Кирилл Бондаренко  (2), Елена Шихова  (2), Татьяна Таран  (2), Наталья Федина  (2), Настя Кондратюк  (2), Никита Гербали  (2), Сергей Запорожченко  (2), Николай Козиний  (2), Георгий Луценко  (2), Владислав Гринькив  (2), Александр Дяченко  (2), Анна Неделева  (2), Никита Строгуш  (2), Настя Панько  (2), Кирилл Веремьев  (2),
 Набор операций
 Объединение   двух множеств — это множество, содержащее все элементы из обоих этих множеств.
 Написано \(A\чашка B\) и определено
 \[A\cup B = \{x \mid x\in A\vee x\in B\}\,.\]
 Например,
 \[\{1,2,3,4\}\чашка\{3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}\,\\
 \mathbf{R} = \mathbf{Q} \cup \overline{\mathbf{Q}}\,.\]
 Пересечение   двух множеств — это множество, содержащее элементы, которые входят в оба этих множества.
 Написано \(A\cap B\) и определено
 \[A\cap B = \{x \mid x\in A\клин x\in B\}\,\\
 \mathbf{Q} \cap \overline{\mathbf{Q}}=\emptyset\,.\]
 Например,
 \[\{1,2,3,4\}\cap\{3,4,5,6\} = \{3,4\}\,.\]
  Разница  между двумя наборами — это набор значений в одном, но не в другом:
 \[A-B = \{x \mid x\in A\text{ и } x\notin B\}\,.\]
 Например,
 \[\{1,2,3,4\}-\{3,4,5,6\} = \{1,2\}\,\\
 \overline{\mathbf{Q}} = \mathbf{R}-\mathbf{Q} \,.\]
 Также иногда пишут \(A\setminus B\).
  Теорема:  Для любых множеств \(|AB|\le|A|\).
  Доказательство:  Предположим, что \(|A-B|>|A|\). Тогда должен быть элемент \(x\) с \(x\in(AB)\), но \(x\не в A\). Таким образом, \(AB\not\subseteq A\).
 Но из определения разности множества мы видим, что
\[ A-B = \{x \mid x\in A\text{ и } x\notin B\} \subseteq \{x \mid x\in A\} =A\,. \]
Это противоречие, поэтому \(|AB|\le|A|\).∎
 С подобными доказательствами мы могли бы доказать следующее:
  Теорема:  Для любых множеств \(|A\cap B|\le|A|\) и \(|A\cap B|\le|B|\).
  Теорема:  Для любых множеств \(|A\cup B|\ge|A|\) и \(|A\cup B|\ge|B|\).
 При выполнении операций над множествами нам часто нужно определить универсальный набор   , \(U\).
 Как и домен для квантификаторов, это набор всех возможных значений, с которыми мы работаем.
 Часто не определяется явно, а подразумевается в зависимости от проблемы, которую мы рассматриваем.
 напр. когда мы работаем с действительными числами, вероятно, \(U=\mathbf{R}\).
  дополнение  набора \(S\) записывается как \(\overline{S}\) и представляет собой набор всех значений , а не  в \(S\):
 \[\overline{S} = \{x\mid x\notin S\} = U-S \,.\]
 Стандартная запись иррациональных чисел теперь должна иметь большой смысл: с универсальным набором \(\mathbf{R}\) иррациональные числа (\(\overline{\mathbf{Q}}\)) являются дополнением рациональные числа (\(\mathbf{Q}\)).
  Теорема:  Для любого множества \(S\cap\overline{S}=\emptyset\).
  Доказательство:  Предположим противное, что существует элемент \(x\in S\cap\overline{S}\). Тогда по определению операторов
 \[
 х\in S\cap\overline{S}\\
 х\in S \клин х\in\overline{S} \\
 х\in S \клин х\notin{S}\,.
 \]
 Это противоречие, поэтому мы должны иметь \(S\cap\overline{S}=\emptyset\).∎
 Обратите внимание на сходство между соответствующим набором и логическими операторами: \(\vee,\cup\) и \(\wedge,\cap\) и \(\overline{\mbox{S}},\neg\).
 Это больше, чем похожие символы.
 Вот несколько важных наборов идентификаторов:
 Имя
 Идентификация
 Идентификация
 \(A\cap{U}= A\\A\cup\emptyset= A\)
 Доминирование
 \(А\чашка{U} = {U}\\A\cap\emptyset= \emptyset\)
 Идемпотент
 \(A\cap A= A\\A\cup A= A\)
 Двойное отрицание
 \ (\overline{(\overline{A})}= А\)
 Коммутативный
 \(A\чашка B = B\чашка A\\A\крышка B = B\крышка A\)
 Ассоциативный
 \((A\чашка B)\чашка C = A\cup(B\cup C)\\(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)\)
 Распределительный
 \(A\cup(B\cap C) =(A\чашка B)\крышка(A\чашка C)\\A\крышка(B\чашка C) = (A\крышка B)\чашка(A\крышка B)\)
 Закон де Моргана
 \(\overline{A\cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\\\overline{A\cup B}= \overline{A} \cap \overline{B}\)
 Поглощение
 \(A\чашка(A\крышка B) = A \\ A\крышка(A\чашка B) = A\)
 Отрицание
 \(A\cup\overline{ A} = {U}\\A\cap\overline{A} = \emptyset\)
 Выглядит знакомо? Это таблица логических эквивалентов с некоторым поиском и заменой.
 В качестве примера мы можем доказать один из законов Де Моргана (книга доказывает другой).
 Мы будем осторожны с этим и будем манипулировать нотацией построителя наборов.
  Теорема:  Для любых множеств \(\overline{A\cup B}= \overline{A} \cap \overline{B}\).
  Доказательство:  По определению операций множества,
 \[\начать{выравнивать*}
 \overline{A\чашка B}
 &= \{x\mid x\notin (A\cup B)\} \\
 &= \{x\mid \neg(x \in (A\cup B))\} \\
 &= \{x\mid \neg(x \in A\vee x\in B)\} \\
 &= \{x\mid\neg(x\in A)\клин \neg(x\in B)\} \\
 &= \{x\mid x \in \overline{A}\wedge x \in \overline{B} )\} \\
 &= \{x\mid x \in (\overline{A}\cap\overline{B}))\} \\
 &= \overline{A}\cap\overline{B}\,.\quad{}∎
 \конец{выравнивание*}\]
 Можно было бы привести и менее формальное доказательство. (Для этого см. раздел 2.2, пример 10.)
 Это тот случай, когда, вероятно, проще быть более формальным: писать все детали в предложениях настолько мучительно, что семь шагов в этом доказательстве приятнее читать. (См. также пример 10.)
 Это доказательство может подсказать, почему таблицы эквивалентностей и множественных тождеств так похожи.
 Для любой из операций над множествами мы можем использовать нотацию построителя множеств, а затем использовать логические эквивалентности для управления условиями.
 Так как мы проделываем те же манипуляции, то и таблицы у нас получились одинаковые.
 Будьте осторожны с другими операциями. То, что это сработало для них, не означает, что вы можете считать, что все одинаково. Не существует логической версии установленного различия или установленной версии исключающего или (по крайней мере, насколько мы определили).
  Теорема:  Для любых множеств \(AB = A\cap\overline{B}\).
  Менее формальное доказательство:  Набор \(A-B\) представляет собой значения из \(A\) с удаленными значениями из \(B\).
 Набор \(\overline{B}\) — это набор всех значений, не входящих в \(B\). Таким образом, пересечение с \(\overline{B}\) приводит к тому, что остаются только значения, не входящие в \(B\). То есть \(A\cap\overline{B}\) - это \(A\) со всеми удаленными значениями из \(B\). Таким образом, мы видим, что эти множества содержат одни и те же элементы. ∎
  Более формальное доказательство:  По определению операций над множествами
 \[\начать{выравнивать*}
 А-Б
 &= \{х\середина х\в А \клин х\не в В\} \\
 &= \{x\mid x\in A \wedge x\in \overline{B}\} \\
 &= \{x\mid x\in (A \cap \overline{B})\} \\
 &= A\cap\overline{B}\,.\quad{}∎
 \конец{выравнивание*}\]
 Я думаю, что любое из этих доказательств является действительным.
 «Менее формальная» версия должна быть написана достаточно тщательно, чтобы убедить читателя (или ТА в вашем случае).
 В «более формальной» версии больше шагов и отсутствует интуитивная причина (она может помочь вам вспомнить почему).
 Мы можем использовать тождества множеств для доказательства других фактов о множествах. Например:
  Теорема:  \(A-(B\чашка C)= (A-B)\cap(A-C)\).
  Доказательство:  Для множеств \(A,B,C\) из приведенной выше теоремы имеем
 \[\начать{выравнивать*}
 А-(В\чашка С)
 &= A\cap \overline{B\cup C} \\
 &= A\cap \overline{B}\cap \overline{C} \\
 &= A\cap \overline{B}\cap A\cap \overline{C} \\
 &= (A-B)\cap (A-C)\,.\quad{}∎
 \конец{выравнивание*}\]
 Эти тождества должны убедить вас в том, что порядок объединения и пересечения не имеет значения (точно так же, как сложение, умножение, конъюнкция и дизъюнкция: все они являются коммутативными операциями).
 Таким образом, мы можем написать их кучу без скобок, как сложение/умножение/соединение/дизъюнкция:
 \[A\чашка B\чашка C \чашка D\,\\A\крышка B\крышка C \крышка D\,.\]
 Если нам нужно выполнить объединение/пересечение множества вещей, иногда используется такое обозначение, как суммирование.
 Например, предположим, что в этом семестре ZJU предлагает \(n\) курсов. {n} S_i\,.\]
 Студенты берут 92\,.\]
 Теория множеств | Символы, примеры и формулы
 Ключевые люди:
 Георг Кантор
Пол Эрдёш
Джон фон Нейман
Сол Крипке
Станислав Улам
 Похожие темы:
 аксиома выбора
Диаграмма Венна
Лемма Цорна
гипотеза континуума
Теорема Кантора
 Просмотреть весь связанный контент →
  теория множеств  , раздел математики, изучающий свойства четко определенных наборов объектов, которые могут иметь или не иметь математическую природу, например, числа или функции. Теория менее ценна в прямом применении к обычному опыту, чем в качестве основы для точной и гибкой терминологии для определения сложных и изощренных математических понятий.
 Между 1874 и 1897 годами немецкий математик и логик Георг Кантор создал теорию абстрактных множеств сущностей и превратил ее в математическую дисциплину. Эта теория выросла из его исследований некоторых конкретных проблем, касающихся определенных типов бесконечных множеств действительных чисел. Множество, писал Кантор, есть совокупность определенных, различимых объектов восприятия или мысли, рассматриваемых как единое целое. Объекты называются элементами или членами множества.
 Революционный аспект теории заключался в том, что бесконечные множества рассматривались как математические объекты, равноправные с теми, которые можно построить за конечное число шагов. Со времен античности большинство математиков старательно избегали введения в свои рассуждения актуальной бесконечности (т. е. множеств, содержащих бесконечность объектов, мыслимых как существующие одновременно, по крайней мере, в мыслях). Поскольку такое отношение сохранялось почти до конца XIX века, работы Кантора подвергались многочисленной критике в том смысле, что они касались вымыслов, более того, что они посягали на область философов и нарушали принципы религии. Однако как только начали находить применение анализу, отношение стало меняться, и к 189 г.Идеи и результаты Кантора получили признание. К 1900 году теория множеств была признана отдельной отраслью математики.
 Однако именно тогда были обнаружены некоторые противоречия в так называемой наивной теории множеств. Чтобы устранить такие проблемы, была разработана аксиоматическая основа теории множеств, аналогичная той, которая была разработана для элементарной геометрии. Степень успеха, достигнутого в этом развитии, а также нынешний статус теории множеств хорошо отражены в трудах Николя Бурбаки.0034 Éléments de mathématique  (начало 1939 г.; «Элементы математики»): «В настоящее время известно, что можно логически вывести практически всю известную математику из одного источника, Теории множеств».
 Викторина "Британника"
 Числа и математика
 Введение в наивную теорию множеств
 Фундаментальные концепции множеств
 В наивной теории множеств множество представляет собой совокупность объектов (называемых членами или элементами), которые рассматриваются как единый объект. Чтобы указать, что объект  x  является элементом множества  A  пишется  x  ∊  A  , тогда как  x  ∉  A  указывает, что  x  не является элементом 9003 4 А  . Набор может быть определен правилом членства (формулой) или перечислением его членов в фигурных скобках. Например, множество, заданное правилом «простые числа меньше 10», также может быть задано как {2, 3, 5, 7}. В принципе, любое конечное множество может быть определено явным списком его элементов, но для определения бесконечных множеств требуется правило или шаблон для указания членства; например, многоточие в {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} указывает, что список натуральных чисел ℕ можно продолжать бесконечно. Пустой (или недействительный, или нулевой) набор, обозначенный {} или Ø, вообще не содержит элементов. Тем не менее, он имеет статус набора.
 Набор  A  называется подмножеством набора  B  (обозначается  A  ⊆  B  ), если все элементы  A  также являются элементами  B  . Например, любое множество является подмножеством самого себя, а Ø является подмножеством любого множества. Если оба  A  ⊆  B  и  B  ⊆  A  , то  A  и  B  имеют точно такие же члены.

Краткая теория

Пусть функция  непрерывна в каждой точке  гладкой кривой . Разбив произвольным образом кривую  на  частей  и выбрав в каждой из них произвольно точку , построим интегральные суммы:

где  – длины проекций частичных дуг , на соответствующие координатные оси. Тогда пределы:

называются криволинейными интегралами II рода или криволинейными интегралами по координатам.

Сумма интегралов:

обозначается как криволинейный интеграл

Если кривая замкнутая, то обозначают:

Основные свойства криволинейных интегралов II рода

При изменении направления интегрирования интеграл меняет свой знак:

Сказанное верно и для замкнутой кривой, при этом выбор точки начала обхода безразличен. Положительным направлением обхода считается то, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева (для плоской кривой это движение против часовой стрелки).

Остальные свойства такие же, как и у криволинейного интеграла I рода.

Вычисление криволинейного интеграла II рода

1. Если пространственная кривая  задана параметрическими уравнениями

причем перемещение от точки  к точке  происходит при изменении параметра  от  до , то

2.  В частном случае для плоской кривой

причем перемещение от точки  к точке  происходит при изменении параметра  от  до . Криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

3. Если плоская кривая  определена уравнением , причем перемещение от точки  к точке  происходит при изменении  от  до , то

Формула Грина

Интеграл по замкнутому контуру  можно преобразовать в двойной интеграл по области , ограниченной этим контуром, и наоборот, используя формулу Грина:

где функции  и  и их частные производные первого порядка должны быть непрерывными в области  и на контуре .

При этом обход контура  выбирается таким образом, что область  остается слева.

Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Для того, чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Если же, кроме того,  есть замкнутая кривая, то

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить криволинейный интеграл

вдоль дуги циклоиды ,  от точки  до точки

Решение

Искомый криволинейный интеграл можно вычислить по формуле:

Получаем:

Ответ:

Задача 2

Вычислить данный криволинейный интеграл вдоль линии . Сделать чертеж.

где  — дуга кривой   от точки  до точки

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Криволинейный интеграл можно вычислить по формуле:

Получаем:

Ответ:

Задача 3

Вычислить криволинейный интеграл:

вдоль отрезка  прямой от точки  до точки . Сделать чертеж.

Решение

Вычислим уравнение прямой :

Криволинейный интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:

Получаем:

Ответ:

Задача 4

Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

где  -контур четырехугольника

Решение

Сделаем чертеж области:

Вычислим криволинейный интеграл непосредственно:

Криволинейный интеграл можно вычислить по формулам:

или

Уравнение прямой : 

Уравнение прямой :

Уравнение прямой :

Уравнение прямой :

Искомый интеграл:

По формуле Грина:

Искомый интеграл:

Ответ:

Задача 5

Применяя формулу Грина, вычислить интеграл

для заданной линии  (пробегаемой в положительном направлении) и подынтегральных функций  и .

Решение

По формуле Грина:

Сделаем чертеж области :

Искомый интеграл:

Ответ:

Криволинейный интеграл I рода. Примеры

Определенные интегралы в случаях когда интегрирование проводится не вдоль отрезка, а некоторой кривой (на плоскости или в пространстве) называются криволинейными. Различают криволинейные интегралы І и ІІ рода.

Формулы криволинейного интегралу первого рода

Пусть в пространстве (на плоскости) задано параметрическое уравнение гладкой кривой f (x, y, z)
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
tє[a, b].
Каждая из функций непрерывна на промежутке интегрирования.
Функция f(x, y, z)=0 описывает кривую в пространстве.
В таком случае криволинейный интеграл первого рода равен интегралу за параметром от функции умноженной на корень квадратный из суммы квадратов производных координат за параметром

Для случая кривой на плоскости формула неопределенного интегралу I роду упрощается

Когда кривая интегрирования задана явно y=y(x), формула перехода к определенному интегралу имеет вид

Пусть функция задана полярными координатами rho=rho(phi), phi₁<phi<phi₂. Тогда криволинейный интеграл первого рода вдоль кривой вычисляется по формуле

На этом все формулы, что Вам нужны для вычисления интегралов, однако без готовых ответов трудно представить их приложение, поєтому перейдем к практической части.

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Примеры подобрано из учебной программы для студентов ЛНУ им. И. Франко. Они охватывают широкий класс заданий, которые непременно встретите на контрольной работе и экзаменах. Поэтому внимательно разберите ответы к примерам и выучите приведенные наверху формулы вічисления криволинейных интегралов.

Пример 1.7 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L — отрезок прямой z=x/2-2, что соединяет точки A(0;- 2) и B(4;0) в плоскости xOz.
Решение: Построим графически прямую и нанесем на нее точки ограничивающие дугу

За видом видим, что необходимо вычислить криволинейный интеграл I рода.
z=x/2-2, z’=1/2.
Подынтегральная функция примет значение
1/(x-z)=1/(x -(x/2-2))=1/(0,5x+2).
Найдем дифференциал дуги заданной кривой по формуле

Подставляем и находим криволинейный интеграл

Неопределенный интеграл сводится к логарифму, который не имеет особенностей (гладкая функция) на промежутке интегрирования.

Пример 1.10 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L — дуга кривой x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Параметрическая кривая x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi] описывает часть винтовой линии.
Ее график на цилиндрической поверхности имеет вид.

Часть винтовой линии, которая отвечает промежутку [0;2pi] изображена красным цветом.
Подынтегральная функция равна x²+y²+z².
Нужно вычислить криволинейный интеграл I рода.
Находим производные координат по параметру
x’_t=a*sin(t), y’_t=a*sin(t), z’_t=b.
Дальше вычисляем дифференциал дуги параметрически заданной кривой согласно формуле:

Формулы дифференциалу дуги в декартовой, полярной и пространственной системах координат приведены в теоретическом материале и поэтому здесь на них задерживаться не будем.
Интегрированием вычисляем криволинейный интеграл

Интеграл не сложен в плане расчетов.

Пример 1.12 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L, где L — дуга кривой x=cos(t), y=sin(t), z=t [0;2pi].
Решение: Имеем идентичное уравнение x=cos(t), y=sin(t), z=t — винтовой линии.

Для вычисления криволинейного интеграла I рода находим производные координат
x’_t=-sin(t), y’_t=cos(t), z’_t=1.
Подставляем их в дифференциал дуги винтовой линии:

Превращаем подінтегральную функцию и находим криволинейный интеграл

Пример 1.14 Вычислить криволинейный интеграл int(x+y, dS)
вдоль дуги L — дуга кривой x=t, , z=t^₃, [0;1].
Решение: Прежде чем вычислить криволинейный интеграл I рода находим производные за параметром.

Подставляем их в формулу дифференциала дуги:

Определенный интеграл вычисляем в указанных пределах

Под интегралом раскрыли скобки и применили простые формулы интегрирования.

Пример 1.18 Вычислить криволинейный интеграл int (1/x²+y²+z²,ds)
вдоль дуги кривой L:
x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Интегрировать опять придется вдоль винтовой линии.

Производные за параметром имеют вид
x’_t=-a*sin(t), y’_t=a*sin(t), z’_t=b.
Вычисляем дифференциал дуги кривой:

Дальше превращаем криволинейный интеграл к определенному и находим его значение

При интегрировании будем иметь арктангенс.
В результате вычислений получили компактную формулу через параметры формы цилиндра.

Пример 1.20 Вычислить криволинейный интеграл int(x^4/3+y^4/3,ds) вдоль дуги L:
дуга астроиды x^2/3+y^2/3=a^2/3.
Решение: Запишем параметрическое уравнение астроиды:
x=a*cos³(t), y=a*sin³(t), где t[0;2pi].
График астроиды в декартовой системе координат имеет вид

Для вычисления криволинейного интеграла I рода вычисляем производные за параметром
x’_t=-3a*cos²(t)*sin(t), y’_t=3a*cos(t)*sin²(t).
и подставляем в дифференциал дуги астроиды:

Криволинейный интеграл 1 рода находим методом замены переменной

Это позволяет перейти к простому понятному виду подынтегральной функции.

Пример 1.21 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги лемнискаты (x²+y²)²=a²(x²-y²).
Решение: Для лемнискаты раньше рассматривали интегралы на нахождение площади.

Запишем уравнение лемнискаты в полярной системе координат, используя превращение координат:

Тогда из уравнения дуги

выражаем радиус-вектор и вычисляем производную за углом

Найдем дифференциал дуги по формуле:

Запишем подынтегральную функцию:

Вычисляем криволинейный интеграл первого роду как 4 интеграла по 1 четверти

Синус в первой четверти положителен, поэтому модуль опускаем.

Пример 1.25 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L — четверть круга x²+y²+z²=R², y=x что лежит в первом октанте.
Решение: Имеем сферу x²+y²+z²=R² и плоскость y=x, которая ее пересекает.
График дуги в пространстве имеет вид как на рисунку

В сечении получим круг, который проектируется на плоскость y=x уравнением X²+z²=R², где
Такие манипуляции необходимы, чтобы параметризовать круг
Параметрическое уравнение круга:
x=R*cos(t), z=R*sin(t) и t[0;Pi/2] (I октант).
Тогда переменные выражаются зависимостью

Вычисляем производные

затем находим дифференциал дуги:

Подставляем все в интеграл и выполняем вычисление

Как Вы могли убедиться, ничего сложного в нахождении криволинейных интегралов первого рода нет. В теории известны формулы как переходить от криволинейных к определенным интегралам, ими и воспользовались. Сами же интегралы не сложны, да и кривые на практике подбираются таким образом, чтобы Вы с ними долго не возились на практических занятиях.
Все сводится к умению интегрировать, что в свою очередь требует знания таблицы основных интегралов.

Линейные интегралы

Линейные интегралы

Определение линейного интеграла

К этому времени вы должны привыкнуть к построению интеграла. Мы разбить геометрическую фигуру на мелкие части, умножить размер части на значение функции на этой части и добавить все продукты. Для одного переменной интеграции геометрическая фигура представляет собой отрезок прямой, для двойного интегрирования фигура представляет собой область, а для тройного интегрирования фигура представляет собой твердый.

Геометрическая фигура дня будет кривой. Если у нас есть функцию, определенную на кривой, мы можем разбить кривую на крошечные сегменты линии, умножьте длину сегментов линии на значение функции на сегменте и сложить все продукты. Как всегда, в качестве длины возьмем ограничение отрезков стремится к нулю. Это новое количество называется строкой . интеграл и может быть определен в двух, трех и более измерениях.

Предположим, что провод имеет плотность f(x,y,z) при точку (x,y,z) на проводе. Затем линия интеграл будет равен полной массе провода. Ниже приведено определение в символы.

Оценка линейных интегралов

Это определение само по себе не очень полезно для нахождения точной линии интегралы. Если данные предоставлены, то мы можем использовать их в качестве руководства для примерный ответ. К счастью, есть более простой способ найти строку интеграл, когда кривая задана параметрически или в виде векторного значения функция. Поясним, как это делается для кривых в R9.0044 2 . Случай с R ³ аналогичен.

Пусть

        r (т) = x (t) i + y(t) j

— дифференцируемая векторнозначная функция. Затем

Теперь мы готовы сформулировать теорему, которая показывает нам, как вычислить линию интеграл.

Пример

Найти линейный интеграл

где C — эллипс

        r (т) = (2cos t) i + (3sin t) j 0 < t < 2p

Вы можете использовать калькулятор или компьютер для вычисления конечного интеграла.

Раствор

Находим

Мы иметь интеграл

С с помощью машины получаем

15,87

Работа

Основное применение линейных интегралов — нахождение работы над объектом. в силовом поле. Если тело движется по кривой под действием силы поле F, то мы можем вычислить общую проделанную работу силовым полем, разрезая кривую на крошечные кусочки. Проделанная работа W вдоль каждого отрезка будет примерно равно до

        дВт = F ^. тд

Теперь вспомним, что

р ‘(т)
Т  =              
|| р ‘(т)||

и тот

        д.с. =  || р ‘(т)||дт

Отсюда

        дВт = F ^. р ‘(т)дт

Как обычно, складываем все мелкие работы и берем предел как части становятся маленькими, чтобы в конечном итоге с интегралом.

Пример

Найдите работу векторного поля

        F (x,y,z) =  x i + 3xy j — (x + z) k

на частицу, движущуюся по отрезку, идущему от (1,4,2) до (0,5,1)

Раствор

Сначала мы должны параметризовать кривую. У нас

        r (т) =  <1,4,2> + [<0,5,1> — <1,4,2>]t  =  <1 - т, 4 + т, 2 - т >

и

        р ‘(т) =  — i + j — k

Взяв скалярное произведение, мы получим

        F ^. r ‘(t) = -x + 3xy + x + z = 3xy + z

        =  3(1 — t)(4 + t) + (2 — t) = -3t ² -10т + 14

Теперь просто интегрируем

Уведомление работа, совершаемая силовым полем над телом, движущимся по кривой, зависит от направление, в котором движется объект. На самом деле будет противоположное направление произвести отрицательную работу, выполненную в первоначальном направлении. Это ясно из того, что все то же самое, кроме порядка, в котором мы пишем и б.

Линейные интегралы в дифференциальной форме

Мы можем переписать r ‘(t)dt как

д р dx          dy ДЗ
дт =  ( и + и + к ) дт
дт дт            дт дт

= dx i + dy j + dz k  

Так что если

F   =  M i + N j + P k

, затем

Ф ^. r ‘(t)dt = Mdx + Ndy + Pdz

Это называется дифференциальной формой .

Пример

Найти

где C является частью спирали

r (t)  =  sin t i + стоимость t j + t k    0 < t < 2p

Раствор

Мы есть

r ‘(t)  =  cost t i — sin t j + k  

так что

ydx + zdy = (cos ² t — t sin t)dt

Это приводит нас к интегралу

с немного усилий (с помощью интегрирования по частям) получаем

3р

Назад к векторным полям и Домашняя страница векторной интеграции

Назад на домашнюю страницу векторного исчисления

Назад к математике Домашняя страница отдела

электронная почта Вопросы и предложения

Исчисление III.

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

В этом разделе мы начнем рассмотрение исчисления с векторными полями (которые мы определим в первом разделе). В частности, мы рассмотрим новый тип интеграла, линейный интеграл и некоторые интерпретации линейного интеграла. Мы также рассмотрим одну из наиболее важных теорем, касающихся линейных интегралов, — теорему Грина.

Вот список тем, затронутых в этой главе.

Векторные поля. В этом разделе мы вводим понятие векторного поля и приводим несколько примеров их графического отображения. Мы также возвращаемся к градиенту, который мы впервые увидели несколько глав назад.

Линейные интегралы – Часть I – В этом разделе мы начнем с краткого обзора кривых параметризации. Это навык, который потребуется для очень многих линейных интегралов, которые мы оцениваем, и поэтому его необходимо понимать. Затем мы формально определим первый вид линейного интеграла, который мы будем рассматривать: линейный интеграл по отношению к длине дуги.0005

Линейные интегралы – Часть II – В этом разделе мы продолжим рассмотрение линейных интегралов и определим второй вид линейного интеграла, который мы будем рассматривать: линейные интегралы по \(x\), \(y\), и/или \(z\). Мы также вводим альтернативную форму обозначения линейного интеграла такого типа, которая иногда будет полезна.

ВикиЧтение

Банковское дело. Шпаргалки
Кановская Мария Борисовна

Содержание

41. Английская практика начисления процентов

Последние указания Банка России закрепили применение английской практики начисления процентов, согласно которой при начислении суммы процентов по привлеченным и размещенным средствам в расчет принимаются величина процентной ставки и фактическое количество календарных дней, на которое привлечены или размещены средства. При этом за базу берется действительное число календарных дней в году (365 или 366 соответственно).

Проценты по вкладам начисляются банком на соответствующем лицевом счете на остаток на начало операционного дня.

Суммы начисленных процентов по привлеченным средствам относятся на расходы банка «кассовым» методом или методом «начислений». По «кассовому» методу проценты, выплаченные по вкладам, относятся на расходы банка в день их фактической выплаты. При использовании метода «начислений» все проценты, начисленные в текущем месяце, не позднее последнего рабочего дня текущего месяца относятся на расходы банка.

Проценты по привлеченным средствам выплачиваются в соответствии с условиями соответствующего договора. В случае, когда срочный или другой вклад возвращается вкладчику по его требованию до истечения срока, предусмотренного договором, проценты выплачиваются в размере по ставке «до востребования», если иное не предусмотрено договором. Когда вкладчик не требует возврата суммы срочного вклада по истечении его срока, договор считается продленным на условиях вклада «до востребования», если иное не предусмотрено договором. Проценты на сумму банковского вклада выплачиваются клиенту-вкладчику по его требованию по истечении каждого квартала отдельно от суммы вклада, а не востребованные в этот срок проценты увеличивают сумму вклада, на которую начисляются проценты.

Источники привлечения средств неравноценны по надежности и стоимости. Средства на счетах до востребования очень подвижны и представляют для банка наименее надежный кредитный ресурс, а потому проценты по таким вкладам обычно низкие или вовсе не начисляются.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Норма капитализации – 7 процентов и выше

Норма капитализации – 7 процентов и выше С помощью нормы капитализации измеряют экономическую эффективность недвижимости без учета средств, направляемых на погашение кредита. Вы вложили в проект некую сумму. Каким будет доход? Высокая норма капитализации обычно

Стратегия получения процентов

Стратегия получения процентов Фактически, вложение денег для получения процентов и для приобретения земли – это полностью противоположные инвестиционные стратегии. Инвестиция ради процентов представляет собой краткосрочную стратегию, направленную на получение

Инвестиции для получения процентов

Инвестиции для получения процентов Инвесторы, рассчитывающие на получение процентов, должны ориентироваться на залоговую недвижимость, с которой владелец, скорее всего, не захочет расстаться. К ней, в частности, относится:• благоустроенная земля;• земля,

Рост сложных процентов

Рост сложных процентов Сила цунами, которое зарождается где-то далеко в море, не видна, пока волна не захлестнет берег. То же и со сложными процентами.Большинство посредственных водителей начинают движение к богатству слишком далеко от берега. И ничего не происходит. Они

Урок 47 Неверно, что практика приводит к совершенству; необходимо добавить еще одно слово: совершенная практика приводит к совершенству

Урок 47 Неверно, что практика приводит к совершенству; необходимо добавить еще одно слово: совершенная практика приводит к совершенству Вы можете практиковаться в своем деле непрерывно целыми днями, но если вы не вдумываетесь в то, что вы делаете, то независимо от степени

12.

12.4. АУДИТ НАЧИСЛЕННЫХ ПРОЦЕНТОВ Основным нормативным документов, регулирующим бухгалтерский учет процентов по кредитам и займам, является ПБУ 15/01 «Учет займов и кредитов и затрат по их обслуживанию».Аудитор должен проверить, в каком периоде, в какой сумме, на каких

91. Факторы, влияющие на величину процентов

91. Факторы, влияющие на величину процентов Факторы, влияющие на величину процентов: внешние и внутренние.Внешние факторы :– уровень инфляции,– состояние кредитного рынка (соотношение спроса и предложения заемных средств),– характер государственного регулирования

Начисление сложных и непрерывных процентов.

Начисление сложных и непрерывных процентов. Инвестиция сделана со сложным %, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины ивестированного капитала P, а с общей суммы, в которую входят и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. =&gt;

Глава 9 Чудо сложных процентов

Глава 9 Чудо сложных процентов Деньги зарезервированы для тех, кто знает законы капитала и придерживается их. Джордж С. Клэйсон, «Самый богатый человек в Вавилоне»[23] Кто приумножает деньги, становится богатым. Кто игнорирует законы приумножения денег, тот потеряет даже

Манифест к сломлению кабалы процентов

Манифест к сломлению кабалы процентов Маммонизм — это тяжелая, всё вобравшая в себя хроническая болезнь, которой страдает наш сегодняшний культурный мир, да и, пожалуй, всё человечество. Это — всёпожирающий яд, глобальная эпидемия, охватившая народы мира.Под

А) английская геополитическая концепция Маккиндера

А) английская геополитическая концепция Маккиндера Островная Англия создала огромную меркантильную капиталистическую империю до того, как у её правящих кругов возникла нужда в концептуализации государственной политики. Потребность в опоре на концепцию внешней

5.5 Наилучшая практика и наихудшая практика

5.5 Наилучшая практика и наихудшая практика Не один раз уже в этой книге я предупреждал об опасностях, связанных с вмешательством блюстителей методологии и попытками насильно внедрить в практику проектной команды лишённые гибкости методологии или процессы создания ПО.

4.7.3. Получение процентов от предоставленного займа

4.7.3. Получение процентов от предоставленного займа Есть еще один способ получения учредителем дохода от общества. Это предоставление учредителем займа для общества. При этом процент, который общество будет выплачивать по займу, можно сказать, теоретически неограничен.

Перефразировав закон Парето, можно сказать: сто процентов от ста процентов иногда меньше, чем восемьдесят процентов от ста процентов

Перефразировав закон Парето, можно сказать: сто процентов от ста процентов иногда меньше, чем восемьдесят процентов от ста процентов Более ста лет назад Вилфред Парето обнаружил статистическую закономерность, которой до сих пор не найдено объяснение, но которая

Глава 3.

Глава 3. Практика, практика и еще раз практика Одно из первых заданий, которое я даю слушателям своих семинаров, – это дать определение, что такое хороший копирайтинг. Можно ли так назвать умение или способность аккуратно выводить слова на бумаге? Можно ли этому научиться?

Исследование схем начисления процентов

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшее  профессиональное обучение

Тульский  государственный университет 

Кафедра прикладной математики и информатики 
 
 

     Финансовая и актуарная математика

Выполнил: ст. гр. 530261  Губарев Е.

Проверил: к.ф.-м.н., доцент каф. ПМиИ Ларин Н.В. 
 
 

      Тула,2010 

Цель  работы: изучить операцию  наращения по основным видам схем начисления процентов.

Задание:

1. Клиентом внесен вклад в сумме на банковский счет в определенную дату (дата вклада) под годовых. Рассчитать наращенные суммы выплат клиенту на указанные в таблице 1 даты изъятия вклада при использовании различных видов схем начисления процентов: схемы простых процентов, схемы сложных процентов, комбинированной схемы, схемы номинальных процентов (капитализация сложных процентов происходит m раз в году), комбинированной схемы номинальных процентов, схемы непрерывных процентов. При определении длительности вклада использовать британскую, французскую и германскую практики.
2. Для указанных видов схем начисления процентов построить динамику наращенной суммы для длительности вклада изменяющейся в диапазоне от нуля до десяти лет.
3. Проанализировать полученные результаты.

Варианты  задания:

Дата  вклада	Дата 1 изъятия	Дата 2 изъятия	тыс. руб.
02.05.2006	20.11.2006	05.12.2008	350	18	2

Выполнение: 

Простые проценты

     Обычно  расчеты с помощью простых  процентов используются на практике за краткосрочные кредиты с периодом менее 1 года.

     Пусть годовая процентная ставка равна  Тогда по формуле простых процентов получим интерес(доходность) за период времени лет. 

     Наращенная  сумма с использованием простых  процентов составит величину: 

     При этом надо учитывать принятые условности, иногда неявно оговариваемые в сделке.

Если  длительность краткосрочного периода(ссуды) изменяется в днях, то длительность года -также в днях, то используют либо точную длительность (365 или 366 дней), либо (более часто) приближенную (360 дней и 12 месяце, имеющих условно  равную длительность в 30 дней).

      В ряде стран для удобства вычислений год делится на 12 месяцев по 30 дней в каждом (год =360 дней). Это так  называемая «германская практика». «Французская практика» предполагает продолжительность года =360 дней, но продолжительность месяцев в  днях соответствует календарному исчислению. «Английская практика» предполагает продолжительность года =365 дней, а  продолжительность месяцев в  днях соответствует календарному исчислению. 

Если  расчет ведется точно, то искомая  сумма составит величину: 

Если  расчет ведется приблизительно, то получим величину: 

Сложные проценты

При расчетах по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет , обычно используют схему сложных процентов 

Наращенная  сумма в этом случае составит величину: 

Сложные проценты – проценты, полученные на реинвестированные проценты. Основное отличие сложных процентов от простых процентов меняется от одного расчетного периода к другому. 

При схеме  сложных процентов получим: 

При схеме  простых процентов выплаты составят величину: 

При схеме  сложных процентов получим 

При схеме  простых процентов выплаты составят величину: 
 

При схеме  сложных процентов получим 

При схеме  простых процентов выплаты составят величину: 

Комбинированная схема начисления процентов:

Если  срок платежа превышает 1 год, но насчитывает нецелое число лет, то финансовые структуры иногда применяют комбинированную схему, т.е. сложные проценты – за целое число лет, простые – за остаток: 

Где -целая часть числа.

Наращенная  сумма с использование комбинированной  схемы начисления процентов составит величину: 

Многократное  начисление сложных  процентов:

В финансовых расчетах применяются также схемы, где начисление сложных процентов  производится несколько раз в  году. При этом оговариваются годовая  номинальная ставка и количество начислений за год. Фактически за базовый период принимается часть года со ставкой сложных процентов , так что

Наращенная  сумма в этом случае составит величину: 

Непрерывная процентная ставка.

Начисление  процентов на первоначальный капитал  может производиться так часто, что этот процесс можно рассматривать  как непрерывный. В этом случае используют непрерывные проценты. Их суть заключается в том, что количество периодов наращения стремится к бесконечности, а временной интервал между периодами – к нулю.

     Накопленная сумма за любое время определяется соотношением: 

Рабочие листы для расчета процентов

Когда мы занимаем деньги для кого-то или чего-то (например, в банке), мы должны платить комиссию.

Проценты являются одним из наиболее важных аспектов денежного займа и кредита. Когда одна организация занимает деньги у кредитора, они должны платить комиссию при погашении заимствованной суммы. Комиссия равна проценту от суммы займа. Есть два типа интересов; простые и составные. Простые проценты зависят от основной суммы кредита или депозита. Для расчета простых процентов необходимо использовать следующую формулу; Я = ПРТ. Здесь; I — проценты, P — основная сумма, R — процентная ставка, выраженная в процентах, а T — срок кредита. Это простой способ рассчитать общую сумму процентов, которые должны быть выплачены. С другой стороны, сложные проценты зависят не только от основной суммы кредита, но и от процентов, которые накапливаются по нему в течение определенного периода времени. Расчет сложных процентов немного сложнее, чем расчет простых процентов. Общая формула для расчета сложных процентов: Сложные проценты = [P(1 + i) ⁿ ] — П. Здесь; P — основная сумма, I — процентная ставка, n — количество периодов начисления сложных процентов. Эти рабочие листы объясняют, как рассчитать простые проценты. Хотя это может показаться бесконечной задачей, она будет иметь большое значение в вашей будущей жизни при банковском обслуживании и покупке дома.

Арифметическая последовательность — это числовой ряд, в котором каждый последующий член представляет собой сумму предыдущего члена и постоянного целого числа. Это постоянное число называется общей разностью. В результате разность между каждыми двумя последовательными членами арифметического ряда одинакова.

Если первым членом арифметической последовательности является а, а общая разность равна d, то члены арифметической последовательности имеют вид:

а, а+г, а+2д, а+ 3д, а+4д, ….

Предположим, что n — это общее количество элементов в последовательности.

Для n = 1 последовательность а.

Для n = 2 последовательность будет a, a + d.

Для n = 3 последовательность будет a, a + d, a + 2d.

Для n = 4 последовательность следующая: a, a + d, a + 2d, a + 3d.

Следовательно, общий член последовательности равен a _n = a + (n – 1)d.

Формула для вычисления суммы всех членов арифметической последовательности определяется как сумма формулы арифметической последовательности. Если арифметическая последовательность записывается в виде сложения ее членов, таких как а + (а + d) + (а + 2d) + (а + 3d) + … .., то она называется арифметической последовательностью. Сумма первых n членов арифметического ряда, в котором n-й член неизвестен, определяется как:

S _n = n/2 [2a + (n – 1)d]

где,

S _n = сумма арифметической последовательности,

a = первый член последовательности,

d = разница между двумя последовательными членами,

n = количество членов в последовательности.

Если мы запишем 2a в формуле как (a + a), формула примет вид S _n = n/2 [a + a + (n – 1)d]

Мы знаем, a + (n – 1)d обозначается _n . Следовательно, формула принимает вид: S _n = n/2 [a + a _n ]

Вывод

Предположим, что первый член последовательности равен a, общая разность равна d, а количество членов равно n.

Мы знаем, что n ^-й член последовательности задается формулой

S _n = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + …… +  a + (n – 1)d     …… (2)

Из (1) уравнение (2) также может быть выражено как

S _n = a _n + a _n – d + a _n – 2d + a _n – 3d + …… + a _n – (n – 1 )d        …… (3 )

Складывая (2) и (3) получаем,

2 S _n = [a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + …… +  a + (n – 1)d] + [a _n + a _n – d + a _n – 2d + a _n – 3d + …… + a _n – (n – 1)d]

900 02 2 S _n = (а + а + а + …. . n раз) + (а _n + а _n + a _n + ….. n раз)

2 S _n = n (a + a _n )

S _n = n/2 [а + а _n ]

Выводит формулу суммы арифметической прогрессии.

Вопрос 1. Найдите сумму арифметической прогрессии: 4, 10, 16, 22, …… до 10 слагаемых.

Решение:

Имеем a = 4, d = 10 – 4 = 6 и n = 10,

Используйте формулу S _n = n/2 [2a + (n – 1)d], чтобы найти нужную сумму.

S ₁₀ = 10/2 [2(4) + (10 – 1)6]

= 5 (8 + 54)

= 5 (62)

= 310

Решение:

Мы имеем, a = 7, d = 9 — 7 = 2 и n = 15.

Используйте формулу S _N = N/2 [2A + (N — 1) г] найти искомую сумму.

S ₁₅ = 15/2 [2(7) + (15 – 1)2]

= 15/2 (14 + 28)

= 15/2 (42)

= 315

90 031

Вопрос 3. Найдите первый член арифметической прогрессии, если она имеет сумму 240 для обычной разности 2 между 12 членами.

Решение:

Мы имеем, S = 200, D = 2 и N = 12.

Используйте формулу S _N = N/2 [2A + (N — 1) D], чтобы найти требуемое значение.

=> 200 = 12/2 [2а + (12 – 1)2]

=> 240 = 6 (2а + 22)

=> 40 = 2а + 22

=> 2а = 18

=> а = 9

Вопрос 4. Найти общая разность арифметической прогрессии из 8 терминов, имеющих сумму 116, и первое термин как 4.

Решение:

Мы имеем, S = 116, A = 4, n = 8.

Используйте формулу S _N = = n = 8.

. n/2 [2a + (n – 1)d], чтобы найти искомое значение.

=> 116 = 8/2 [2(4) + (8 – 1)d]

=> 116 = 4 (8 + 7d)

=> 29 = 8 + 7d

=> 7d = 21

=> d = 3

Вопрос 5. Найдите сумму арифметической последовательности 8 терминов, первый и последний термины равны 4 и 10 соответственно.

Решение:

Имеем a = 4, n = 8 и a _n = 10.

Используйте формулу S _n = n/2 [a + a _n ] до найти искомую сумму.

С ₈ = 8/2 [4 + 10]

= 4 (14)

= 56

Вопрос 6. Найдите количество членов арифметической прогрессии, первый член, последний член и сумма которых равны 16, 12 и 140 соответственно.

Решение:

Имеем S = 140, a = 16 и a _n = 12.

Используйте формулу S _n = n/2 [ а + а _n ] к найти нужное значение.

=> 140 = н/2 [16 + 12]

=> 140 = н/2 (28)

=> 14n = 140

=> n = 10

Вопрос 7. Найдите сумму арифметической прогрессии, у которой первый член, общая разность и последний член равны 8, 7 и 50 соответственно.

Решение:

Имеем a = 8, d = 7 и a _n = 50.

Используйте формулу a _n = a + (n – 1 )d, чтобы найти n.

=> 50 = 8 + (n – 1)7

=> 42 = 7 (n – 1)

=> n – 1 = 6

=> n = 7

Используйте формулу S _n = n/2 [a + a _n ], чтобы найти сумму последовательности.

S ₇ = 7/2 (8 + 50)

= 7/2 (58)

= 203

Mathwords: Арифметический ряд

индекс: нажмите на букву индекс: предметные области
	Арифметический ряд А ряды типа 3+7+11+ 15 + ··· + 99 или 10 + 20 + 30 + ··· + 1000, что имеет постоянную разницу между терминами. Первый член a 1 , общая разница это д , а количество терминов n . Сумма арифметический ряд получается путем умножения числа термины раз среднее значение первого и последнего членов.   Формула:    или         Пример: 3 + 7 + 11 + 15 + ··· + 99 имеет a 1 = 3 и d = 4. Чтобы найти n , используйте явную формулу для арифметической прогрессии. Решаем 3 + ( n – 1)·4 = 99, чтобы получить n = 25. Считать дни онлайн: Сколько дней прошло между двумя датами? alexxlab / 05.08.202301.06.2023 / Разное Политика конфиденциальности Представленная далее информация описывает все возможные виды персональных данных получаемых и собираемых на сайте planetcalc.ru, а также сведения о том как мы используем эти данные. Мы собираем различную информацию у пользователей PLANETCALC. Вид собираемой информации зависит от уровня взаимодействия пользователя с сервисом. Мы различаем три уровня: Посетители Посетители просматривают материалы сайта без регистрации в системе. Это самая многочисленная группа Узнать больше Пользователи Любой Посетитель может стать Пользователем, заполнив форму регистрации или войдя через социальную сеть. Пользователи могут сохранять расчёты, оставлять комментарии, вставлять калькуляторы на свой сайт через виджет. Узнать больше Авторы Любой наш Пользователь может создать калькулятор, справочник или статью. Это делает его Автором. Материалы сайта публикуются Авторами под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike. Узнать больше Посетители Какую информацию мы собираем? Мы автоматически собираем определенную информацию, когда Вы посещаете наш Сайт. Информация включает в себя: информация о Вашем веб-браузере, IP адрес, язык, настроенный в браузере и файлы cookie установленные в Вашем браузере. Кроме того мы запоминаем адреса индивидуальных веб-страниц на нашем сайте, которые вы посещали и критерии поиска, которые Вы вводили на Сайте. Далее мы будем называть, эту автоматически собранную информацию «Системной информацией». Мы собираем системную информацию при помощи следующих технологий: Файлы Куки — данные, устанавливаемые на Ваше устройство или компьютер, чаще всего содержащие анонимный идентификатор. Больше информации о файлах куки вы можете узнать тут http://www.allaboutcookies.org. Журналы обращений — файлы, в которых хранятся действия, совершенные на Сайте, содержащие Ваш IP адрес, тип браузера, приблизительная геопозиция, полученная по IP адресу (например Ваша страна и город), страница обращения, дата и время обращения. Как мы используем собранную информацию? Мы используем системную информацию для предотвращения возможных неправомерных действий с нашим Сайтом, а также для улучшения и оптимизации нашего Сайта, путем создания аналитических отчетов о посещениях. Данные в файлах журналов обращений обобщаются и анонимизируются. Мы можем передавать эту обобщенную и анонимизированную информацию третим лицам, например нашим рекламным партнерам. Исходные журналы обращений обрабатываются и удаляются по истечении 5 дней после их создания. Информация, собираемая нашими партнерами Мы размещаем на страницах нашего сайта рекламу от партнёров, которые также могут устанавливать файлы cookie. Куки позволяют серверу рекламодателя распознавать Ваш браузер всякий раз, когда они отображают Вам рекламу. Эта информация позвляет рекламным сетям отображать для Вас персонализированную рекламу, которая будет наиболее интересна именно Вам. Некоторая часть рекламных объявлений может быть предоставлена компанией Yandex. Изучить информацию о том, как Yandex использует cookie и другие Ваши данные, можно тут: https://yandex.com/legal/confidential/?lang=ru. Пользователи Какую информацию мы собираем? Регистрация на сайте Мы собираем и храним информацию, предоставляемую Вами при заполнении формы регистрации: Ваше имя, адрес электронной почты, по Вашему желанию мы сохраняем фото или картинку аватара. Регистрация и вход через социальные медиа Мы поддерживаем упрощенный доступ к персонализированным функциям сайта. Вы можете войти в персональный раздел, используя свой аккаунт Google, Facebook, Vkontakte или Twitter. При входе через эти сервисы по безопасному протоколу мы запрашиваем Ваше имя, адрес электронной почты и внутренний идентификатор в социальной сети. Публичные действия «Публичные действия» — действия, которые Вы совершаете на сайте, которые предназначены для просмотра другими посетителями, например: Данные справочников Некоторые калькуляторы используют публичные данные, собранные в специальных таблицах — справочниках, — например, географические координаты городов. Пользователь может вносить свои записи в эти справочники. Сохраненные расчеты Пользователь может сохранить данные любого расчета, чтобы использовать его повторно или поделиться расчетом с друзьями. Мы допускаем, что расчет может содержать персональную информацию. Доступ к этим данным может получить Посетитель сайта, которому Пользователь отправит ссылку на сохраненный расчет. Комментарии Пользователь может оставить комментарий к материалам сайта. Любая информация, которую Вы публикуете во время Публичных действий, а также Ваше имя и изображение становится публичной. Если вы собираетесь осуществлять вышеописанные публичные действия, Вы должны иметь в виду, что любая персональная информация, которую Вы отправляете может быть прочитана, собрана и использована другими посетителями Сайта. Мы не можем отвечать за персональную информацию, которую Вы решаете опубликовать в ходе Публичных действий. Мы не берем на себя обязательства редактировать и удалять такую информацию. Куки Наш Сайт применят файлы Куки для сохранения информации о Вашем сеансе взаимодействия с Сайтом после регистрации или входа. Вы можете отключить возможность сохранения и использования куки для сохранения информации о сеансе. Но если Вы примете такое решение, следует иметь в виду, что некоторые функции сайта, такие как персональный раздел или сохранение расчетов не будут работать. Я согласен с правилами PLANETCALC и политикой использования личных данных и cookie для Пользователей. Дата и время получения согласия Отмена данного разрешения не отменяет использование cookie нашими рекламными партнерами, отмена касается cookie, используемых PLANETCALC для Пользователей. Как мы используем собранную информацию? Данные, полученные нами при регистрации, а также сохраненные расчеты никогда не передаются третьим лицам. Адрес электронной почты пользователя может использоваться PLANETCALC для отправки Вам уведомлений о новых комментариях и важных уведомлениях, касающихся работы сайта. Посмотреть и изменить текущий список разрешенных Вами уведомлений о комментариях Вы можете в своем личном кабинете Мои подписки. Как пользователи могут изменить или удалить собранную информацию? Пользователь может отредактировать или удалить Данные справочника в редакторе данных справочника. Любые сохраненные Пользователем расчеты могут быть удалены в персональном разделе, при этом пропадает доступ к этим расчетам, если кому-либо отправлялась ссылка на сохраненный расчет. Пользователь может удалить любой свой комментарий на странице материала сайта. Пользователь можете направить запрос на удаление своего аккаунта и всех связанных с ним данных. Данные будут удалены в течение 2-х недель. Авторы Какую информацию мы собираем? Авторы могут публиковать на этом Сайте, созданные ими материалы. Материалы включают калькуляторы, статьи, справочники и переводы существующих материалов на другие языки, далее называемые Материалы. Материалы становятся публичными после их публикации и могут быть использованы на условиях лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike. Следует иметь в виду, что любая информация размещенная Вами в Материалах, а также Ваше имя и изображение или фото переходят в публичный доступ. Любая персональная информация, включенная в контент может быть прочитана, собрана и использована другими посетителями Сайта. Мы не берем на себя обязательства редактировать и удалять такую информацию. Как мы используем собранную информацию? Мы можем использовать Ваши материалы на условиях лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike. PLANETCALC имеет право по своему усмотрению отказать в публикации или удалить любой материал, нарушающий Условия использования или эту политику конфиденциальности. Как авторы могут изменить или удалить собранную информацию? Вы можете удалить любой Материал, созданный Вами в персональном разделе Сайта. Соблюдение юридических требований Мы можем передавать Вашу персональную информацию для соблюдения законов и правил, в ответ на требования суда, ордера на обыск и других юридических запросов запросов или иным образом защищать наши права. Безопасность Ваших данных PLANETCALC использует доступные технические и организационные меры безопасности для защиты личной информации, которая представляется нам через наш сайт. Изменения Мы можем изменять эту политику конфиденциальности время от времени, например, для того чтобы отразить изменения в нашем Сайте или по другим организационным или юридическим причинам. Связаться с нами Если у Вас остались вопросы, касательно нашей Политики Конфиденциальности пожалуйста свяжитесь с нами по электронной почте: [email protected]. Календарь овуляции. Рассчитать благоприятный для беременности период с помощью онлайн-калькулятора Будни: 07:30 — 19:30 Вых: 08:00 — 15:00 +7 (4842) 279 800 Вызов на дом Запись на прием Услуги Анализы Услуги Анализы О нас Врачи Программы Отзывы Блог Акции Терапия Акушерство и гинекология Дерматология Эндокринология Педиатрия Аллергология-иммунология Ударно-волновая терапия Кардиология Все услуги Панели тестов и алгоритмы обследования Наркотические вещества Лекарственный мониторинг Комплексные генетические исследования Исследование клеща Гистологические исследования Все анализы Главная страница Календарь овуляции и зачатия по дням Медицинский центр «Айболит» Информация для пациентов Услуги Программы медицинского центра «Айболит» Акции и специальные предложения медицинского центра «Айболит» Сдать анализы в медицинском центре «Айболит», Калуга Врачи медицинского центра «Айболит» Блог Отзывы Календарь овуляции и зачатия по дням Спасибо за Ваши отзывы Елена 20 мая 2023 г. Посещаю клинику уже давно. Небольшая, но чистая и уютная, народа не много. Прием ведут по записи, приходишь к назначенному времени, без задержек. Грам … Читать полностью Елена 18 мая 2023 г. Отличная клиника! Дружелюбный персонал, сервис всегда на высшем уровне, приятно посещать! Много грамотных специалистов. Читать полностью Елена Сергеевна 17 мая 2023 г. Отличная клиника! Дружелюбный персонал, сервис всегда на высшем уровне, приятно посещать! Много грамотных специалистов Читать полностью Ольга Юрьевна 18 янв. 2023 г. Отличная клиника, часто сдаём анализы и сама и ребенок, очень деликатный подход персонала, ребенок идёт с удовольствием и без страха. Отличный специал … Читать полностью Людмила 15 дек. 2022 г. Спасибо за ваши советы. С наступающим Новым годом. Здоровья вам. Читать полностью Оставить отзыв медицинскому центру Калькулятор дат — Дни между днями Что такое Калькулятор дней между датами? Наш калькулятор дней позволяет рассчитать количество дней между двумя датами. Вы можете использовать его для просмотра количества дней, недель, месяцев и лет между двумя датами. Вы также можете использовать калькулятор даты, чтобы добавлять или вычитать дни, недели, месяцы или годы к дате и от нее. Например, чтобы ответить на вопросы «Какое число будет через две недели?» или «Какое число было две недели назад?», вы можете использовать калькулятор дня, чтобы добавить дни к дате или вычесть дни из даты. Однако он не позволяет отслеживать время. Вы можете использовать онлайн-секундомер, онлайн-будильник и онлайн-таймер для этих задач. Что делать с калькулятором календаря? С помощью калькулятора календаря дней между датами вы можете: Рассчитать общее количество дней между двумя датами. Определите, сколько дней прошло с момента вашего рождения или какая-либо важная для вас историческая дата. Определите количество дней между двумя датами, включая или исключая дату окончания в расчете. Определите количество недель, месяцев или лет между двумя датами, включая или исключая последнюю дату. Вычитание лет, месяцев, недель или дней из заданной даты. Добавление лет, месяцев, недель или дней с заданной даты. Определите, какая дата будет с сегодняшнего дня, когда пройдет определенное количество времени, например, какая дата будет через 30 дней с сегодняшнего дня, через две недели с сегодняшнего дня или через 30 лет с сегодняшнего дня. Как пользоваться калькулятором календаря дней между датами Для расчета недель, месяцев или лет между двумя датами используйте Count Days вкладки. Для добавления или вычитания дней, недель, месяцев или лет из исторической даты используйте вкладку «Добавить/вычесть». Подсчет дней между датами Пользоваться калькулятором дат очень просто. Чтобы считать дни между датами , просто: Используйте вкладку Count Days . Выберите Начальную дату (день, месяц и год). Нажмите Сегодня , чтобы выбрать сегодняшнюю дату. Выберите дату окончания (день, месяц и год). Нажмите на Сегодня для выбора сегодняшней даты. Нажмите Рассчитать продолжительность , чтобы найти продолжительность между двумя заданными датами. При расчете количества дней можно дополнительно указать дату окончания для расчета количества дней между датами, то есть добавляется один день. Добавить дни К добавить дни к датам , вы можете: Используйте вкладку Добавить дни . Введите года , месяца , недели или дня поля. Щелкните Рассчитать новую дату , чтобы найти новую дату. Вычесть дни Чтобы вычесть дни из дат , вы можете: Используйте вкладку Вычесть дни . Введите лет , месяцев , недель или дней . Щелкните Рассчитать новую дату , чтобы найти новую дату. Зачем использовать калькулятор дней между двумя датами? Хотя вы можете вручную подсчитать количество дней между двумя датами, калькулятор дней делает это легко и быстро. Если вы вручную рассчитываете продолжительность между двумя датами, вам необходимо учитывать високосные годы. Типичный год состоит из 365 дней, а високосный год состоит из 366 дней и бывает раз в четыре года. Использование калькулятора дней сэкономит время, потому что вам не нужно беспокоиться о сложностях григорианского календаря или вычислять количество дней в месяце (которое иногда составляет 28, 29)., 30 или 31). С помощью этого счетчика дней вы можете быстро найти количество дней между двумя датами. Вы можете использовать этот калькулятор дней для: Организация мероприятий или встреч. Отпуск и планирование отпуска. Подарки. Расчет дня рождения и возраста. Вы также можете использовать калькулятор дней с дат, чтобы решать личные задачи. Например, если вы хотите вернуть товар с 30-дневным окном возврата, вы можете использовать калькулятор дней с даты, чтобы определить, когда последний день, когда вы можете вернуть свой товар. Сколько дней между двумя датами Как работает калькулятор дней? Чтобы использовать веб-приложение с обратным отсчетом дня до даты, вам необходимо сделать следующее: Исходная дата (год, месяц и время) — здесь дата обратного отсчета будет рассчитываться с . Конечная дата (год, месяц, день и время) — здесь остановится обратный отсчет до даты. Введите обе даты в предоставленный интерфейс и нажмите зеленую кнопку «Рассчитать дни» Автоматически будет рассчитан период времени между обоими пределами, и счетчик дней начнется со следующего загружаемого интерфейса. Это калькулятор даты и времени с обратным отсчетом в режиме реального времени. Так что не стесняйтесь использовать и ссылаться на друзей. Сколько лет, дней, месяцев, минут и секунд находится между двумя датами? Дата начала: Время начала: Дата окончания: Время окончания: Что такое калькулятор дня и даты? Калькулятор дней — это период времени, определяемый конкретным началом (или началом) и остановкой (или окончанием). У него множество функций, но его основная функция — обеспечить ощущение меры в виде системы с временными рамками для любого объекта. деятельности, события или события. Калькулятор даты дней может быть ограничен годами, месяцами, днями, минутами или секундами в зависимости от ситуации, однако важно отметить, что калькулятор календарных дней лучше всего использовать, когда ограничения определенным, так как это даст четкую меру времени, которым нужно руководствоваться и наставлять. Обычное использование счетчика дней Применение калькулятора подсчета дней безгранично, если вы уверены, что используете его для измерения времени в заданных пределах. Ежедневный калькулятор может использоваться кем угодно; пары ведут обратный отсчет до своего большого дня, студенты осторожно готовятся к датам испытаний и даже ждут мам, с тревогой наблюдая, как проходят секунды, прежде чем они встретят своего новорожденного. Дни, прошедшие с калькулятора, дают уникальное и интересное значение времени, особенно когда оно проходит. Уникальность этого повседневного калькулятора Мы рады приветствовать вас в нашем специальном веб-приложении счетчика часов на сегодняшний день. Мы еще больше рады поделиться с вами некоторыми причинами, по которым вам понравится использовать наше уникальное творение. Вот несколько преимуществ, которые вы получаете с нашим приложение калькулятора дней в месяцы; Простой в использовании калькулятор даты и времени Наше тщательно просчитанное веб-приложение калькулятора дня и времени было создано, чтобы гарантировать беспрепятственное и быстрое использование платформы. Мы избавим вас от всех препятствий и всех ненужных тестов, предоставив вам чистый и простой доступ к разделу ввода даты для подсчета, где вы можете определить пределы диапазона дат, который вы устанавливаете. Это буквально 1-минутный процесс, для которого вам не нужна помощь. Молниеносные результаты С нашей превосходной платформой вы получаете калькулятор обратного отсчета дня за считанные секунды! Да! за исключением любых задержек сервера, которые, вероятно, могут зависеть от скорости вашего сетевого провайдера, ваши часы обратного отсчета на сегодняшний день вычисляются и запускаются немедленно Непревзойденное удобство Сегодня мы предоставим вам простой счетчик дней для любого веб-приложения для дат, который обеспечивает непревзойденное удобство в использовании и исполнении. Наши системы оптимизированы для максимального удовольствия пользователей, что вы видите, то и получаете. График y x sinx: Свойства функции y = sinx и её график — урок. Алгебра, 11 класс. alexxlab / 05.08.202309.05.2023 / Разное 404 — Страница не найдена Страницы Партнеры сайта _________________________________ 404: Запрошенная страница с адресом [http://primer. by/algebra/funkcii/funkcija-ysinx] не найдена. Если Вы уверены, что набрали ссылку корректно, напишите, пожалуйста, об этом на: меню пользователя Новости 30.11.16  17.03.15  25.03.14  29.08.13  05. 05.13  primer. by 2013-2016 Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! Всё о Математических функциях и их графиках… Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! Всё о Математических функциях и их графиках… ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИИ y = ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ГРАФИКИ ТЕСТЫ КОНТАКТЫ КАРТА САЙТА НА ГЛАВНУЮ ПРОГРАММИРОВАНИЕ TURBO PASCAL C++ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ y = sin x график — синусоида Свойства функции Область определения: R Область значений: [-1; 1] Четность, нечетность: функция нечетная Период: 2 Нули: sin x = 0 при x = n, n Z Промежутки знакопостоянства: sin x > 0 при x (2n; n + 2n), n Z sin x x (- + 2n; 2n), n Z Экстремумы: xmin = + 2 n, n Z; ymin = -1 xmax = + 2 n, n Z; ymin = 1 Промежутки монотонности: y = cos x график — косинусоида Свойства функции Область определения: R Область значений: [-1; 1] Четность, нечетность: функция четная Период: 2 Нули: Промежутки знакопостоянства: Экстремумы: xmin = + 2 n, n Z; ymin = -1 xmax = 2n, n Z; ymin = 1 Промежутки монотонности: Преобразования графиков y = sinx и y = cosx : Графики функций y = sinx и y = cosx можно получить друг из друга путем параллельных переносов вдоль оси x на /2: y = tg x график — тангенсоида Свойства функции Область определения: объединение интервалов Область значений: R Четность, нечетность: функция нечетная Период: Нули: y = 0 при x = n, n Z Промежутки знакопостоянства: Экстремумов нет Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале области определения Асимптоты: x = + n, n Z y = ctg x график — катангенсоида Свойства функции Область определения: объединение интервалов Область значений: R Четность, нечетность: функция нечетная Период: Нули: Промежутки знакопостоянства: Экстремумов нет Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале области определения Асимптоты: x = n, n Z Преобразования графика y = ctgx : График функци y = ctgx получается из графика y = tgx путем отражения относительно любой из координатныхосей и последующим параллельным переносом вдоль оси x на /2. Используются технологии uCoz Нарисовать график y = sin x Курс NCERT Класс 12 Класс 11 Класс 10 Класс 9 9000 3 Класс 8 Класс 7 Класс 6 IIT JEE Exam JEE MAINS JEE ADVANCED ПЛАТЫ X ПЛАТЫ XII NEET 9004 0 Новый предыдущий год (по годам) Физика Предыдущий год Химия Предыдущий год Биология Предыдущий год Нет Все образцы работ Образцы работ Биология Образцы работ Физика Образцы работ Химия Скачать PDF-файлы Класс 12 Класс 11 Класс 10 Класс 9 Класс 8 Класс 7 Класс 6 Экзаменационный уголок Онлайн-класс Викторина Задать вопрос в Whatsapp Поиск Сомнения 900 03 Английский словарь Toppers Talk Блог О нас Карьера Скачать Получить приложение Вопрос Обновлено: 26/04/2023 Рекомендуемые вопросы 9 видео РЕКЛАМА Ab Padhai каро бина объявления ке Khareedo DN Про и дехо сари видео бина киси объявление ки рукаават ке! Видео по теме Нарисуйте график зависимости y=xsinx. 642540663 04:55 Нарисуйте график зависимости y=sinxx. 642540699 02:26 Нарисуйте график y=sin−1(sinx) 642542767 04:38 Нарисуйте график y=sinx и y=sin.x2. 644016228 01:37 Нарисуйте график зависимости y=sin|x| . 645278574 01:42 Нарисуйте график зависимости y = x sin x. 645279450 06:19 Нарисуйте график y = (sin x)/(x) . 645279486 01:42 Нарисуйте график зависимости y=sin|x| . 646278291 03:10 РЕКЛАМА Рекомендуемые вопросы Нарисуйте график y = sin x 04:34 9(-1)(sin x) Текст Решение y =sin x ग्राफ खींचिए| 02:42 Нарисуйте график зависимости y=sin x и y=sin . (х)/(2). 03:16 Нарисуйте график зависимости y=sin|x|. 02:19 Ask Unlimited Doubts Видео решения на нескольких языках (включая хинди) Видео лекции экспертов Doubtnut хочет отправлять вам уведомления. Разрешите получать регулярные обновления! Слушаю… Тригонометрия — Интуитивное объяснение графика $y = \sin x$ спросил 11 лет, 4 месяца назад Изменено 11 лет, 4 месяца назад Просмотрено 2к раз $\begingroup$ Возможный дубликат: Intuition для построения графика синуса/косинуса Мы все видели график $y = \sin x$ (я не могу опубликовать изображение из-за репутации, поэтому я разместил ссылку на график) Синусоидальный график Изображение Сейчас выключено , единственные определения синуса, которые я понимаю, — это определение «отношения в треугольнике» и определение «единичного круга». Поэтому я надеюсь, что можно ответить на мой вопрос, используя одно из этих определений. Из этого определения легко понять, почему при ($0,5\pi$) радианах значение $y$ равно $1$, легко понять, почему при пи радианах значение $y$ равно $0$, и я, конечно, понимаю, почему функция повторяется каждые $2 \pi$ радиан, используя определение единичного круга. Чего я не понимаю, так это почему он имеет именно такую ​​форму, почему он выглядит так, как будто он находится между 0 и 0,5 Пи, почему он имеет именно такую ​​вогнутость? У этого есть интуитивное объяснение? Как первые математики рисовали эту функцию, действительно ли они измеряли синус всех углов линейкой, а потом рисовали график? тригонометрия функции графические функции $\endgroup$ 1 $\begingroup$ Эта анимация скорее всего вам поможет! Ваше здоровье! 🙂 $\endgroup$ $\begingroup$ Вы спрашиваете, почему график $\sin$ выглядит именно так, как на $[0,\pi/2]$. Вы можете легко (с помощью некоторых тригонометрических формул) вычислить значения $\sin x$ для $x=0,\pi/6,\pi/3,\pi/4,\pi/2, \pi/ 12,\пи/5$. Постройте эти значения. Имейте в виду, что $\sin$ непрерывна как отношение двух непрерывных функций (противоположная сторона/гипотенуза). Он возрастает, так как при увеличении угла увеличивается и синус. Попробуйте сейчас и начертите $\sin$, зная только вышеупомянутые факты. Вы увидите, что это приближение графика похоже на приближение вогнутой функции. Конечно, вогнутость можно доказать с помощью тригонометрической формулы. Вы просили что-то более интуитивное. [Могу я спросить, почему вы задали этот вопрос? Мне просто интересно. Не поймите неправильно, но спрашивать, почему $\sin$ вогнута между $0$ и $\pi/2$, все равно что спрашивать, почему буква $A$ выглядит именно так. Это один из элементарных блоков математики. Нет правильного ответа, почему график выглядит именно так. Это выглядит так из-за свойств функции $\sin$.] $\endgroup$ 3 $\begingroup$ Представьте себе точку, движущуюся по единичной окружности, начиная с $(1,0)$ и двигаясь против часовой стрелки. Координата $y$ точки равна $\sin\theta$, где $\theta$ – угол между точкой, началом координат и точкой $(1,0)$ (и, конечно, измеренный положительный в направлении против часовой стрелки с положительной осью $x$, соответствующей $\theta=0$). Теперь, когда точка перемещается из $(1,0)$ в $(0,1)$, что происходит с координатой точки $y$? Что ж, оно возрастает от 0 до 1. Итак, график $\sin\theta$ (с $\theta$ в качестве горизонтальной оси) возрастает по $[0,\pi/2]$ от 0 до 1. Если вы представите точку, пересекающую всю единичную окружность, вы должны быть в состоянии убедить себя, что, по крайней мере, с точки зрения «возрастания или убывания» и с точки зрения того, где находятся нули и максимумы/минимумы, график $\sin$ как есть. 9\circ$, с помощью элементарной геометрии легко понять, почему значения синуса должны быть именно такими, какие они есть ($1/2$ и $\sqrt{3}/2$. Для других нужно действовать тоньше. $\endgroup$ $\begingroup$ 1. Я изучил функцию sin как качающийся объект. Вы увидите $y$ как расстояние от центра и $x$ как прошедшее время. Обратите внимание, что качающийся объект дольше всего остается сбоку ($x = k*π$, $y = 0$) и быстро проходит через центр ($x = (k+1/2)*π$, $у = 1$). Это также объясняет производную от $sin x$, которая равна $cos x$. Производная от позиции — это скорость, которая отображается на графике $cos x$. Объект проходит через центр с максимально возможной скоростью и останавливается на очень короткое время в самой удаленной от центра точке. Попробуйте сами, просто качайте что-нибудь (например, часы на цепочке) и представьте себе функцию $sin x$. 2. (Чисто предположение, у меня нет источника) Лично я думаю, что ранние математики тянули «бумагу» под качающийся объект, оставляющий за собой след. Вы получите синусоидальную функцию, если будете тянуть бумагу с обычной скоростью. Может быть, у них не было ни бумаги, ни ручки, но это самый естественный способ нарисовать такой график. $\endgroup$ $\begingroup$ Функции $\sin$ и $\cos$ являются результатом функции, которая экспоненциально проецирует прямую (числовую прямую $\mathbb{R}$) на окружность с радиусом $r=1$. Вот определение функции: $E: \mathbb{R} \mapsto k$ для $t \in [0, 2\pi\rangle, E(t)=T$, так что $|IT|$( это арка )=t и эта арка $IT$ положительно ориентирована ( против часовой стрелки ) для $t \in \mathbb{R}\backslash [0, 2\pi\rangle, E(t)=E(t_0) $ где $t=t_0 +2k\pi,k\in \mathbb{Z},t_{0}=[0, 2\pi\rangle$ Точка I расположена на $(1,0)$. Из этого определения теперь ясно видно, что то, что вы в основном делаете, это, неформально говоря, «рисование» $\mathbb{R}$ в круг, а круг может иметь значения только в диапазоне $t[0, 2\pi \rangle$. Вот кое-что интересное происходит. Поскольку вы представляете числа на круге, вам легче определить, где находится $\pi$ (трансцендентное число), чем число $1$, например. В 1000 м см: МСМ-1000 (Метилсульфонилметан) 120 капс. — купить в интернет-магазине Vitamina, цена, отзывы alexxlab / 05.08.202310.05.2023 / Разное Page not found — АгроВсесвіт 0.00грн Cart 0.00грн Cart Схоже, що такої сторінки не існує Можливо спробуєте пошукати? Search Каталог Крапельна стрічка Лей-флет Фурнітура для стрічки Плівка Агроволокно Фільтри Туман та фурнітура Інжектори, кульові крани, врізки Набори для поливу Трубка та фурнітура Добрива Скидка! Kolla Tape Эмиттер 6-8 мил Капельная лента Kolla Tape 6 мил Эмиттер 3000м(0.8-1.1-1.4 л/ч) 6,122.14грн 5,510.34грн Купить Скидка! Kolla Tape Эмиттер 6-8 мил Капельная лента Kolla Tape 8 мил Эмиттер 1000м(0.8-1.1-1.4 л/ч) 2,111.40грн – 2,384.64грнКупить Скидка! Kolla Tape Эмиттер 6-8 мил Капельная лента Kolla Tape 7 мил Эмиттер 1000м(0. 8-1.1-1.4 л/ч) 2,061.26грн – 2,324.84грнКупить Скидка! Kolla Tape Эмиттер 6-8 мил Капельная лента Kolla Tape 6 мил Эмиттер 1000м(0.8-1.1-1.4 л/ч) 2,237.44грн 2,013.88грн Купить Скидка! Агроуспех 6 мил эмиттерная Капельная лента АгроУспех 6 mil, Эмиттерная, шаг 20см, 1000 м 1,4 л/час 2,024.00грн 1,646.80грн Купить Скидка! AquaPlast 8 мил эмиттерная Капельная лента AquaPlast 8 мил Эмиттерная, 1000 м 1,4л/час, шаг 20 см 2,415.00грн 1,889.68грн Купить Скидка! Agro way 8 мил эмиттерная Капельная лента AgroWay 8 мил Эмиттерная, 1000 м 1,5л/час 2,208. 00грн – 2,300.00грнКупить Скидка! OxiDrip эмиттерная 8 мил Капельная лента OxiDrip 8 mil, Эмиттерная, 1000 м 1,38 л/час, шаг 20 см 3,001.96грн 2,124.97грн Купить Скидка! Inter Premium Drip 8 мил Корея Капельная лента Inter Premium Drip 8 mil, Эмиттерная, 2500 м 1,4 л/час, 5,924.80грн 5,564.16грн Купить Скидка! OxiDrip эмиттерная 8 мил Капельная лента OxiDrip 8 mil, Мягкий Эмиттер, 2500 м 1,38 л/час, шаг 10 см 6,145.14грн 5,544.38грн Купить Скидка! IRTECH эмиттерная 6, 8, 11 мил Капельная лента IRTECH 6 мил, Эмиттерная, 3000 м 1.1 л/час 6,440. 00грн 5,400.40грн Купить Скидка! IRTECH эмиттерная 6, 8, 11 мил Капельная лента IRTECH 11 мил, Эмиттерная, 1000 м 1.4 л/час 4,503.40грн 3,795.00грн Купить METHERPLAS эмиттерная 6-10 Мил Капельная лента METZERPLAS 8mil, Эмиттерная, 1000м 2,702.04грн – 2,944.46грнКупить METHERPLAS эмиттерная 6-10 Мил Капельная лента METZERPLAS 6mil, Эмиттерная, 1000м 2,277.00грн – 2,458.70грнКупить METHERPLAS эмиттерная 6-10 Мил Капельная лента METZERPLAS 16mil, Эмиттерная, 1000м 3,824.44грн – 4,128.50грнКупить METHERPLAS эмиттерная 6-10 Мил Капельная лента METZERPLAS 10mil, Эмиттерная, 1900м 5,652.48грн – 6,112.02грнКупить Скидка! Rosto 6, 7 мил Эмиттерная Капельная лента Rosto 7 mil, Эмиттерная, 1000 м 1,4 л/час, шаг 20 см 2,760. 00грн 1,932.00грн Купить Скидка! Rosto 6, 7 мил Эмиттерная Капельная лента Rosto 6mil, Эмиттерная, 1000 м 1,4 л/час 2,070.00грн 1,800.44грн Купить Скидка! Santeh Plast эмиттерная 9 мил Капельная лента SantehPlast 9mil, Эмиттерная, 1000 м 1.4 л/час 10cм 3,220.00грн 2,392.00грн Купить Santeh Plast эмиттерная 9 мил Капельная лента SantehPlast 9mil, Эмиттерная, 500 м 1.4 л/час 1,472.00грн – 1,932.00грнКупить Скидка! Kolla LFT Лейфлет Украина Kolla Рукав Лей-флет d100 (4″) (100м) черный усиленный 7,225.68грн 5,950.56грн Купить Скидка! Kolla LFT Лейфлет Украина Kolla Рукав Лей-флет d75 (3″) (100м) черный усиленный 4,508. 00грн 4,186.00грн Купить Скидка! Kolla LFT Лейфлет Украина Kolla Рукав Лей-флет d63 (21/2″) (100м) черный усиленный 4,025.00грн 3,381.00грн Купить Скидка! Kolla LFT Лейфлет Украина Kolla Рукав Лей-флет d50 (2″) (100м) черный усиленный 3,381.00грн 3,059.00грн Купить Скидка! АгроУспех Лейфлет Корея Шланг Агроуспех Лейфлет (Lay Flat) 4″ D 100 мм (100 м) Корея 10,156.80грн 8,740.00грн Купить Скидка! АгроУспех Лейфлет Корея Шланг Агроуспех Лейфлет (Lay Flat) 3″ D 75 мм (100 м) Корея 7,948.80грн 5,740. 80грн Купить Скидка! АгроУспех Лейфлет Корея Шланг Агроуспех Лейфлет (Lay Flat) 2″ D 50 мм (100 м) Корея 5,740.80грн 4,416.00грн Купить Heliflex Португалия Гибкий шланг Heliflex Monoflat 6″(150mm), 3.5 бар, бухта 100 м 25,395.22грнКупить Скидка! Oxi LayFlat Корея Шланг Лейфлет (Lay Flat) 6″ D 150 мм (100 м) Корея 17,756.00грн 15,640.00грн Купить Скидка! Oxi LayFlat Корея Шланг Лейфлет (Lay Flat) 4″ D 100 мм (100 м) Корея 10,799.88грн 9,890.00грн Купить Скидка! Oxi LayFlat Корея Шланг Лейфлет (Lay Flat) 3″ D 75 мм (100 м) Корея 7,854. 50грн 6,210.00грн Купить Скидка! Oxi LayFlat Корея Шланг Лейфлет (Lay Flat) 2″ D 50 мм (100 м) Корея 6,120.30грн 4,968.00грн Купить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка вторичная Прозрачная 30мкр 1000м 1,279.72грн – 3,447.70грнКупить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка вторичная Прозрачная 30мкр Украина ОПТ 85.10грн 69.00грн Купить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка вторичная Прозрачная Рукав (3м) Kolla Украина 1,491.78грн – 4,784.92грнКупить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка вторичная Прозрачная Kolla 30мкр 1000м Украина 1,434. 28грн – 3,863.54грнКупить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка для мульчирования Черная 30мкр 1000м 1,490.40грн – 4,001.08грнКупить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка вторичная Черная 30мкр ОПТ Украина 103.50грн 84.00грн Купить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка для мульчирования Kolla вторичная Черная 40мкр 500м 36 мес. Украина 2,147.28грн – 3,105.92грнКупить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка для мульчирования Kolla вторичная Черная 30мкр 1000м Украина 1,594.36грн – 4,279.84грнКупить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка для мульчирования Черно-Серебристая Sotrafa Испания 1000м 25мкм (3 года) 9,508. 20грн 9,200.00грн Купить Скидка! Пленка для мульчирования Пленка для мульчирования Черная Sotrafa Испания 1000м 30мкм (3 года) 9,139.74грн 8,878.00грн Купить Пленка для мульчирования Пленка для мульчирования Черная Sotrafa Испания 1000м 25мкм (3 года) 7,172.32грн – 8,238.14грнКупить Скидка! Агроволокно Агроволокно Greentex 17г/м² 1.6м-15.8м x 100м Германия 660.10грн – 5,961.60грнКупить Скидка! Агроволокно Агроволокно Greentex 19г/м² 1.6м-15.8м x 100м Германия 739.22грн – 6,641.48грнКупить Скидка! Агроволокно Агроволокно Greentex 23г/м² 1.6м-15.8м x 100м Германия 923. 68грн – 8,298.40грнКупить Скидка! Агроволокно Агроволокно Greentex 30г/м² 1.6м-15.8м x 100м Германия 1,191.86грн – 10,695.00грнКупить Скидка! Агроволокно Агроволокно Greentex 50г/м² 1.6м-15.8м x 100м Германия 2,123.82грн – 12,661.96грнКупить Скидка! Агроволокно Агроволокно Черное Greentex 50г/м² 1.6м-15.8м x 100м Германия 1,471.08грн – 4,076.98грнКупить Скидка! Агроволокно Агроволокно Черно-Белое Greentex 50г/м² 1.6м-15.8м x 100м Германия 1,591.60грн – 4,398.98грнКупить Фильтры Ручной фильтр сетка 2″ до 20 м3/ч, Irritec 911.26грнКупить Фильтры Ручной фильтр диск 2″ 20 м3/ч, Irritec 1,260. 40грнКупить Фильтры Ручной фильтр диск 3″  50 м3/ч, Irritec 5,520.00грнКупить Лента Туман ТУМАН KOLLA SPRAY 25 100 м 814.66грнКупить Скидка! Лента Туман ТУМАН KOLLA SPRAY 32 0.2мм 200 м 1,380.00грн 1,104.00грн Купить Скидка! Лента Туман ТУМАН KOLLA SPRAY 50 0.35мм 100 м 1,610.00грн 1,288.00грн Купить Скидка! Лента Туман ТУМАН KOLLA SPRAY 40 0.3мм 100 м 1,150.00грн 828.00грн Купить Скидка! Poly-Feed™ NPK удобрение Poly-Feed™ GG 11-44-11 + МЕ 5,060. 00грн 4,416.00грн Купить Скидка! Haifa SOP™ Моно удобрение Haifa SOP™ 0-0-51 + 45SO3 – сульфат калия 2,760.00грн 2,484.00грн Купить Скидка! Poly-Feed™ NPK удобрение Poly-Feed™ GG 20-20-20 + МЕ 4,140.00грн 3,956.00грн Купить Скидка! Poly-Feed™ NPK удобрение Poly-Feed™ Drip 14-7-21 + 2MgО + МЕ 3,680.00грн 3,312.00грн Купить Agroleaf Power Минеральное удобрение Agroleaf Power Total (универсальный) 20-20-20 +МЕ, 15 кг 4,698.21грнКупить Agroleaf Power Минеральное удобрение Agroleaf Power High P (фосфорный) 12-52-5 +МЕ, 15 кг 6,011.28грнКупить Скидка! Solinure GT NPK удобрение Solinure GT 1, 10-5-39 + 2МgО + ME 4,140. 00грн 3,956.00грн Купить Скидка! Solinure GT NPK удобрение Solinure GT 5, 20-20-20 + МЕ 4,140.00грн 3,956.00грн Купить Terraflex (ICL) Удобрения Террафлекс F – для цветочных культур 2,570.02грнКупить Terraflex (ICL) Удобрения Террафлекс S – для ягодных культур 2,595.78грнКупить Terraflex (ICL) Удобрения Террафлекс С – для огурцов, кабачков 2,502.86грнКупить Terraflex (ICL) Удобрения Террафлекс Т – для пасленовых культур 2,609.12грнКупить Перевести 1000 метров в сантиметры м см 1000 100 000 1 010 101 000 1 020 102 000 1 030 103 000 1 040 104 000 1 050 105 000 1 060 106 000 1 070 107 000 1 080 108 000 1 090 109 000 1 100 110 000 1 110 111 000 1 120 112 000 1 130 113 000 1 140 114 000 1 150 115 000 1 160 116 000 1 170 117 000 1 180 118 000 1 190 119 000 1 200 120 000 1 210 121 000 1 220 122 000 1 230 123 000 1 240 124 000 м см 1 250 125 000 1 260 126 000 1 270 127 000 1 280 128 000 1 290 129 000 1 300 130 000 1 310 131 000 1 320 132 000 1 330 133 000 1 340 134 000 1 350 135 000 1 360 136 000 1 370 137 000 1 380 138 000 1 390 139 000 1 400 140 000 1 410 141 000 1 420 142 000 1 430 143 000 1 440 144 000 1 450 145 000 1 460 146 000 1 470 147 000 1 480 148 000 1 490 149 000 м см 1 500 150 000 1 510 151 000 1 520 152 000 1 530 153 000 1 540 154 000 1 550 155 000 1 560 156 000 1 570 157 000 1 580 158 000 1 590 159 000 1 600 160 000 1 610 161 000 1 620 162 000 1 630 163 000 1 640 164 000 1 650 165 000 1 660 166 000 1 670 167 000 1 680 168 000 1 690 169 000 1 700 170 000 1 710 171 000 1 720 172 000 1 730 173 000 1 740 174 000 м см 1750 175 000 1 760 176 000 1 770 177 000 1 780 178 000 1 790 179 000 1 800 180 000 1 810 181 000 1 820 182 000 1 830 183 000 1 840 184 000 1 850 185 000 1 860 186 000 1 870 187 000 1 880 188 000 1 890 189 000 1 900 190 000 1 910 191 000 1 920 192 000 1 930 193 000 1 940 194 000 1 950 195 000 1 960 196 000 1 970 197 000 1 980 198 000 1 990 199,000 1000 Калькулятор преобразования метров в сантиметры 1000 метров (м) 1 м = 100 см = 100 000 Сантиметры (см) 1 см = 1,0e-02 м Преобразователь длины данных Конвертировать: (Пожалуйста, введите номер) От: АнгстремАстрономические единицыЯчменьДлина кабеля (имперские)Длина кабеля (международная)Длина кабеля (США)КабелиСантиметрЦепьКубитДекаметрДециметрЭллЭмсFathomFingerFinger (ткань)FootFurlongGigameterHandHectometerInchKilofeetKilometerLeagueLeague (land)Light DayLight HourLight MinuteLight Second Световой ГодЛинияСсылкаМарафонМегаметрМетрМиккиМикродюймМикрометрМикронМилМиляМайл СШАМиллиметрМириаметрГвоздь (ткань)НанометрМорская ЛигаМорская МиляТемпPalmParsecPicaPicometerPointКварталРодВеревкаСкандинавская МиляShakuSmootSpanStepTerameterThouTwipЯрд Кому: АнгстремАстрономические единицыЯчменьДлина кабеля (имперские)Длина кабеля (международная)Длина кабеля (США)КабелиСантиметрЦепьКубитДекаметрДециметрЭллЭмсFathomFingerFinger (ткань)FootFurlongGigameterHandHectometerInchKilofeetKilometerLeagueLeague (land)Light DayLight HourLight MinuteLight Second Световой ГодЛинияСсылкаМарафонМегаметрМетрМиккиМикродюймМикрометрМикронМилМиляМайл СШАМиллиметрМириаметрГвоздь (ткань)НанометрМорская ЛигаМорская МиляТемпPalmParsecPicaPicometerPointКварталРодВеревкаСкандинавская МиляShakuSmootSpanStepTerameterThouTwipЯрд Дополнительная информация от конвертера величин В: Сколько метров в сантиметре? Ответ: 1. Sin суммы двух углов: Синус суммы двух углов alexxlab / 04.08.202324.05.2023 / Разное вывод формул, примеры. Формулы суммы и разности синусов и косинусов Данный электронный ресурс является отличным материалом для проведения интерактивного обучения в современных школах. Он составлен грамотно, обладает четкой структурой и соответствует школьному плану. Благодаря подробным объяснениям, тема, которая представлена в видеоуроке станет понятна как можно большему количеству учеников в классе. Учителя должны помнить, что не все ученики имеют одинаковую степень восприятия, быстроты понимания, базу. Справиться с трудностями и догнать своих сверстников, исправить успеваемость, помогут подобные материалы. С помощью них в домашней спокойной обстановке, самостоятельно либо вместе с репетитором, ученик может разобраться в той или иной теме, изучить теорию и просмотреть примеры практического применения той или иной формулы и т.д. Данный видеоурок посвящен теме «Синус и косинус разности аргументов». Подразумевается, что ученики уже изучили основы тригонометрии, ознакомлены с основными функциями и их свойствами, формулами привидения и таблицами тригонометрических значений. Также, до того, как перейти к изучению данной темы, необходимо иметь понятие о синусе и косинусе суммы аргументов, знать две основные формулы и уметь ими пользоваться. Вначале видеоурока диктор напоминает школьникам эти две формулы. Далее демонстрируется первая формула — синус разности аргументов. Помимо того, как выводится сама формула, показывается каким образом она получается от другой. Таким образом, школьнику не придется зазубривать новую формулу без понимания, что является частой ошибкой. Это очень важно для учеников в этом классе. Нужно всегда помнить, что перед знаком минуса всего можно добавить знак +, а минуса на знак плюс в итоге превратится в минус. С помощью такого нехитрого шага, можно воспользоваться формулой синуса суммы и получить формулу синуса разности аргументов. Аналогичным образом выводится формула косинуса разности из формулы косинуса суммы аргументов. Диктор пошагово все объясняет, а в результате выводится общая формула косинуса суммы и разности аргументов и синуса, аналогично. Первый пример из практической части данного видеоурока предлагает найти косинус Пи/12. Предлагается представить данное значение в виде некоторой разности, при котором уменьшаемое и вычитаемое будут являться табличными значениями. Далее применятся формула косинуса разности аргументов. Заменив выражение, можно подставить полученные значения и получить ответ. Диктор зачитывает ответ, который выводится в конце примера. Второй пример представляет собой уравнение. И в правой, и в левой сторонах мы видим косинусы разностей аргументов. Диктор напоминает формулы приведений, которые используются для замены и упрощения этих выражения. Эти формулы записываются с правой стороны, чтобы школьники могли понять, откуда появляются те или иные изменения. Еще один пример, третий, представляет собой некоторую дробь, где и в числителе и в знаменателе имеем тригонометрические выражения, а именно, разности произведений. Здесь также при решении используются формулы приведений. Таким образом, школьники могут убедиться, что пропустив одну тему в тригонометрии, понять остальные будет все сложнее. И, наконец, четвертый пример. Это также уравнение, при решении которых необходимо использовать новые изученные и старые формулы. Примеры, которые приводятся в видеоуроке, можно рассмотреть более подробно и попробовать решить самостоятельно. Их можно задать в качестве домашнего задания школьникам. ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА: Тема занятия «Синус и косинус разности аргументов». На предыдущем курсе мы познакомились с двумя тригонометрическими формулами синус и косинус суммы аргументов. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y. синус суммы двух углов равен сумме между произведением синуса первого угла и косинусом второго угла и произведением косинуса первого угла и синуса второго угла; косинус суммы двух углов равен разности между произведением косинусов этих углов и произведением суммы этих углов. При помощи этих формул выведем формулы Синус и косинус разности аргументов. Синус разности аргументов sin(x- y) Две формулы (синус суммы и синус разности) можно записать в виде: sin(x y) = sin x cos y cos x sin y. Аналогично выведем формулу косинуса разности: Косинус разности аргументов перепишем в виде суммы и применим уже известную формулу косинуса суммы: cos (x + y) = cosxcosy — sinxsiny. только для аргументов х и -y. Подставив данные аргументы в формулу, получим cosxcos(- y) — sinxsin(- y). sin(- y)= — siny). и получим окончательное выражение cosxcosy + sinxsiny. cos (x — y) = cos (x +(- y)) =cos xcos(- y) — sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y. Значит, cos (x — y) = cosxcos y + sin xsin y. косинус разности двух углов равен сумме между произведением косинусов этих углов и произведением синусов этих углов. Объединяя две формулы (косинус суммы и косинус разности) в одну, запишем cos (x y) = cosxcos y sin xsin y. Запомним, что формулы на практике можно применять как слева направо, так и наоборот. Рассмотрим примеры. ПРИМЕР 1. Вычислить cos (косинус пи, деленное на двенадцать). Решение. Запишем пи, деленное на двенадцать, как разность пи на три и пи, деленное на четыре: = — . Подставим значения в формулу косинуса разности: cos (x — y) = cosxcosy + sinxsiny, таким образом cos = cos (-) = cos cos + sin sin Нам известно, что cos = , cos = sin= , sin = . Показать таблицу значений. Заменим значение синуса и косинуса числовыми значениями и получим ∙ + ∙ при умножении дробь на дробь числители и знаменатели перемножаем, получаем cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =. Ответ: cos =. ПРИМЕР 2. Решить уравнение cos(2π — 5х) = cos(- 5х) (косинус два пи минус пять икс равно косинусу от пи на два минус пять икс). Решение. К левой и правой частям уравнения применим формулы приведения cos(2π — cos (косинус два пи минус альфа равен косинусу альфа) и cos(- = sin (косинус пи на два минус альфа равно синусу альфа), получим cos 5х = sin 5х, приведем его к виду однородного уравнения первой степени и получим cos 5х — sin 5х = 0. Это однородное уравнение первой степени. Разделим почленно обе части уравнения на cos 5х. Имеем: cos 5х: cos 5х — sin 5х: cos 5х = 0, т. к. cos 5х: cos 5х =1, а sin 5х: cos 5х= tg 5x, то получим: Так как мы уже знаем, что уравнение tgt = а имеет решение t = arctgа + πn, а так как у нас t=5х, а =1, то получим 5x = arctg 1 + πn, а значение arctg 1, тогда tg 1= Показать таблицу подставим значение в уравнение и решим его: Ответ: х = + . ПРИМЕР 3. Найти значение дроби. (в числителе разность произведения косинусов семидесяти пяти градусов и шестидесяти пяти градусов и произведения синусов семидесяти пяти градусов и шестидесяти пяти градусов, а в знаменателе разность произведения синуса восьмидесяти пяти градусов и косинуса тридцати пяти градусов и произведения косинуса восьмидесяти пяти градусов и синуса тридцати пяти градусов). Решение. В числителе данной дроби разность можно «свернуть» в косинус суммы аргументов 75° и 65°, а в знаменателе — разность «свернем» в синус разности аргументов 85° и 35°. Получим Ответ: — 1. ПРИМЕР 4. Решить уравнение: cos(-х) + sin(-х) = 1(косинус разности пи на четыре и икс плюс синус разности пи на четыре и икс равно одному). Решение. Применим формулы косинус разности и синус разности. Показать общую формулу косинуса разности Тогда cos (-х) = cos cos х + sinsinх Показать общую формулу синуса разности а sin (-х)= sin cosх — cos sinх Подставим данные выражения в уравнение cos(-х) + sin(-х) = 1 и получим: cos cos х + sinsin х + sin cos х — cos sin х = 1, Так как cos= и sin= Показать таблицу значение синуса и косинуса Получим ∙ cos х + ∙ sinх + ∙ cos х — ∙ sinх = 1, второе и четвертое слагаемые противоположны, поэтому взаимно уничтожаются, остается: ∙ cos + ∙ cos = 1, Решим данное уравнение и получим, что 2∙ ∙ cos x= 1, Так ка мы уже знаем, что уравнение cos = а имеет решение t = arcos a + 2π k , а так как у нас t=x, а =, то получим х = arccos + 2πn, а так как значение arccos, тогда cos = Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α — β 2 . Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач. Yandex.RTB R-A-339285-1 Формулы суммы и разности синусов и косинусов Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов Формулы суммы и разности для синусов sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 cos α + β 2 Формулы суммы и разности для косинусов cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 cos α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · β — α 2 Данные формулы справедливы для любых углов α и β . Углы α + β 2 и α — β 2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы. Определения формул сумм и разности синусов и косинусов Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности. Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы. Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов. Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком. Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α — β) = sin α · cos β — cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей. α = α + β 2 + α — β 2 = α 2 + β 2 + α 2 — β 2 β = α + β 2 — α — β 2 = α 2 + β 2 — α 2 + β 2 Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos. Вывод формулы суммы синусов В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим sin α + sin β = sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2 Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму — формулу синуса разностей углов (см. формулы выше) sin α + β 2 + α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 Действия по выводу остальных формул аналогичны. Вывод формулы разности синусов sin α — sin β = sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 — sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α — β 2 cos α + β 2 Вывод формулы суммы косинусов cos α + cos β = cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 + cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 Вывод формулы разности косинусов cos α — cos β = cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 — cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = — 2 sin α + β 2 sin α — β 2 Примеры решения практических задач Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α = π 2 , β = π 6 . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов. Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 — π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2 Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α = 165 ° , β = 75 ° . Вычислим значение разности синусов этих углов. Пример 2. Применение формулы разности синусов α = 165 ° , β = 75 ° sin α — sin β = sin 165 ° — sin 75 ° sin 165 — sin 75 = 2 · sin 165 ° — sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · — 1 2 = 2 2 С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений. Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter «Синус суммы и синус разности двух углов» Формы организации познавательной деятельности обучающихся: коллективная, индивидуальная, парная. Оборудование: компьютер, проектор, компьютерная презентация MS PowerPoint, раздаточный материал: карточка №1 «Вывод формул синус суммы и синус разности двух углов», карточка 2 «Самостоятельная работа», рефлексия. (раскройте скобки внутри аргумента) (сгруппируйте 1 и 2 слагаемые и примените формулу Этапы урока Деятельность учителя Деятельность обучающихся 1. Организация начала урока, 1 мин Здравствуйте, присаживайтесь. Какой раздел мы изучаем? Занимают свои места. Отвечают: тригонометрические формулы и функции. 2. Актуализация субъективного опыта. Постановка проблемы. 8 мин Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте повторим ранее изученный материал. Организует актуализация опорных знаний. Какой знак имеет синус угла I, II координатной четверти? III и IV? Какой знак имеет косинус угла I, IV координатной четверти? II и III? Слайды 1-3 Замените тригонометрической функцией угла α: = = = Вычислите: Вычислите: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Отвечают на вопросы. +, — +,- Выполняют устные задания Целеполагание, 2 мин Почему мы не можем вычислить задания 6,7? Через какие известные нам значения мы могли бы выразить 105 градусов, 15 градусов? Какие формулы нужно знать, чтобы выполнить эти задания? Давайте сформулируем тему и цель нашего урока. Запишите тему в тетрадь. Это не табличные углы 105=60+45 15=60-45 Чтобы вычислить sin 1050, надо применить формулу синус суммы, а sin 150 формулу синус разности. Формулируют тему «Синус суммы и синус разности двух углов» и цель: вывести формулы и научиться применять их к преобразованию выражений. Записывают тему в тетрадь. Открытие нового знания,7 мин Вспомним правила парной работы. Поработаем в парах. Вывести формулы вам поможет карточка. Нужно заполнить пропуски, используя формулы для доп.углов и косинуса суммы и разности двух углов. Контролирует работу, помогает, если возникают затруднения. Проверьте вывод формул на стр. 264 в учебнике Можем ли мы теперь вычислить sin 1050 ,sin 150? Сделайте это в своих тетрадях. Проговаривают правила: работать тихо, работать вместе, помогать друг другу, уважать мнение друг друга. Работают в парах с карточкой 4 минуты, записывают формулы в тетрадь. Одна пара выходит и записывает полученные формулы на доске. Остальной класс проверяет. Да Записывают: Физкультминутка для глаз, 1 мин Сложите руки перед лицом, двигайте их влево/вправо, вверх/вниз, по кругу. Следите глазами за своими руками Выполняют упражнения для глаз Первичное закрепление знаний, 10 минут Научимся применять формулы синуса суммы и разности двух углов, выполняя упражнения № 9.28 (в,г), 9.27 (а,б) из учебника –самостоятельно, №9.29 а – 1 учащийся решает на доске, остальные – в тетради. Составим алгоритм для решения № 9.31 а. Контролирует работу пар, помогает, если возникают вопросы. Выполняют № 9.28 (в,г), 9.27 (а,б) из учебника –самостоятельно, №9. 29 а – 1 учащийся решает на доске, остальные – в тетради. Устно составляют алгоритм: 1. Вычислить недостающие значения синуса и косинуса, используя основное тригонометрическое тождество; 2. Применить формулу синуса суммы или синуса разности двух углов. Решают пример 9.31 а по алгоритму в парах. Проверяют решение слайд 5 Самостоятельная работа Организует разноуровневую самостоятельную работу. Выбирают уровень. Выполняют с/р, сдают тетради. Информация о домашнем задании 1 мин Выучить формулы, выполнить № 9.26 г-е,9.27 в,г, 9.29 б, 9.31б Записывают домашнее задание Рефлексия 2 мин Организует рефлексию. Отвечают на вопросы анкеты, сдают анкету. Итог урока 1 мин Подведем итог урока. Ответим на вопрос: достигли мы цели нашего урока? Выставляет оценки за урок. Отвечают на вопрос. тригонометрия — Доказательство идентичности синуса суммы для всех углов спросил 8 лет, 4 месяца назад Изменено 4 года, 1 месяц назад Просмотрено 2к раз $\begingroup$ Кто-нибудь может представить доказательство идентичности синуса суммы для любой пары углов $a$, $b$? $$\sin(a+b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)$$ Большинство доказательств основано на геометрическом подходе (углы $<90 $ в этом случае). Но обратите внимание, что формула должна работать для любой пары углов. Другой известный мне вывод использует формулу Эйлера, а именно этот. Есть одна вещь, с которой я не чувствую себя комфортно: мы знаем, что при умножении двух комплексных чисел углы складываются. Это доказывается тождеством синусов суммы. Итак, сначала мы докажем, как работает умножение двух комплексных экспонент, используя тождество синуса суммы, а затем используем умножение комплексных экспонент, чтобы доказать тождество синуса суммы. Можете ли вы сказать мне, как это не циклический аргумент? тригонометрия $\endgroup$ 5 $\begingroup$ вот геометрическое доказательство, которое я видел в старом американском ежемесячнике по математике, в котором используется единичный круг. сначала покажите, что квадрат хорды, соединяющей $(1,0)$ и $(\cos t, \sin t)$, равен $2(1-\cos t)$, используя формулу расстояния. теперь переинтерпретируйте $$\text{ длина хорды, образующей угол $t$ в центре, равна } 2 — 2\cos t $$ теперь вычислите квадрат длины между $\cos t, \sin t), (\cos s, \sin s)$ двумя разными способами: (i) формула расстояния дает вам $2 — \cos t \cos s — \sin t \sin s$ (ii) хорда, образующая угол $t — s$ равна $2 — \cos(t-s)$ приравнивание двух дает $$\cos (t-s) = \cos t \ cos s + \sin t \sin s \tag 1$$ теперь используйте факт $\cos \pi/2$, чтобы вывести $\cos (\pi/2 — s) = \sin s$, положив $t = \pi/2$ в $(1)$ положить $t=0,$, чтобы получить $\cos$ — четная функция. поставьте $t = -\pi/2,$, чтобы показать, что $\sin$ — нечетная функция. после всего этого вы получаете $$\sin(t-s) = \sin t \cos t — \cos t \sin s $$ и два для сумм. 9{ix}$. Мы никогда не признавали существование идентичности суммы углов в этом доказательстве, следовательно, нет кругового рассуждения. $\endgroup$ 0 Тригонометрические функции суммы и разности двух углов Тригонометрия — раздел математики, изучающий углы, длины и высоты треугольников и их соотношения. Это сыграло важную роль для вычисления сложных функций или больших расстояний, которые невозможно было вычислить без тригонометрии. При решении задач по тригонометрии мы сталкивались со многими ситуациями, когда приходится вычислять тригонометрические решения для суммы углов или разности углов. Например. Здесь,  Это касательное тригонометрическое отношение с углом, противоположным BC. tan(θ+Φ) = Если θ = 30° и Φ = 45°. Мы знаем тригонометрические углы 45° и 30°, но не знаем тригонометрический угол (45° + 30° = 75°). Таким образом, чтобы упростить эти типы проблем. Мы изучим тригонометрические формулы или тождества суммы и разности двух углов, что облегчит задачу. Прежде чем двигаться дальше, сначала мы увидим знаки тригонометрических функций в четырех квадрантах. Эти знаки играют важную роль в тригонометрии. Тригонометрические тождества Теперь найдем тригонометрические тождества. Поскольку мы знаем, что sin(-x) = – sin x cos(-x) = cos x Потому что только cos и sec положительны в четвертом квадранте. Итак, теперь мы докажем некоторые результаты относительно суммы и разности углов: Рассмотрим единичный круг (радиус которого равен 1) с центром в начале координат. Пусть x будет ∠DOA, а y будет ∠AOB. Тогда (x + y) — это ∠DOB. Также пусть (– y) будет ∠DOC. Следовательно, координаты A, B, C и D равны A = (cos x, sin x) B = [cos (x + y), sin (x + y)] C = [ cos (– y), sin (– y)] D = (1, 0). As, ∠AOB = ∠COD Складывая, ∠BOC обе стороны, получаем ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC ∠AOC = ∠БПК В △ AOC и △ БПК OA = OB (радиус окружности) ∠AOC = ∠BOD (доказано ранее) OC = OD (радиус окружности) △ AOC ≅ △ БПК по конгруэнтности SAS. Используя формулу расстояния, для AC 2 = [cos x – cos (– y)] 2 + [sin x – sin(–y] 2 AC 2 90 155 = 2 – 2 (cos x cos y – sin x sin y) …………….(i) И, теперь Аналогично, используя формулу расстояния, получаем BD 2 = [1 – cos (x + у)] 2 + [0 – sin (x + y)] 2 BD 2 = 2 – 2 cos (x + y) …………….(ii) As, △ AOC ≅ △ БПК AC = BD, поэтому AC 2 = BD 2 Из уравнения (i) и уравнения (ii) получаем 2 – 2 (cos x cos y – sin x sin y) = 2 – 2 cos (x + y) Итак, cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y Возьмем y = -y, получим cos (x + (-y)) = cos x cos (-y) – sin x sin (-y) cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y Сейчас , взяв потому что (-(x + y)) = cos ((-x) – y) (cos (-θ) = sin θ) sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y cos x sin (-y) sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y Полученные формулы для тригонометрических отношений составных углов следующие: sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B      ………………. .(1) sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B        ………………..(2) cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B     .. ………………(3) cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B      ………………..(4) Используя эти формулы, мы можем получить важную и наиболее часто используемую форму: (1) Возьмем A =   В уравнении (1) и (3) мы получим sin (+B) = cos B cos (+B) = – sin A (2 ) Возьмем, A = π В уравнениях (1), (2), (3) и (4) мы получаем sin (π + B) = – sin B sin (π – B) = sin B cos ( π ± B) = – cos B (3) Возьмем A = 2π В уравнении (2) и (4) получаем sin (2π – B) = – sin B cos (2π – B) = cos B Аналогично для cot A, tan A, sec A и cosec A (4)  Здесь A, B и (A + B) не являются нечетное число, кратное π/2, поэтому cosA, cosB и cos(A + B) отличны от нуля tan(A + B) = sin(A + B)/cos(A + B) Из уравнения (1) и (3) мы получаем tan(A + B) = sin A cos B + cos A sin B/cos A cos B – sin A sin B Теперь разделим числитель и знаменатель на cos A cos B, получим tan(A + B) = (5) Так как мы знаем, что Таким образом, полагая B = -B, мы получаем (6)  Здесь A, B и (A + B) не кратно π, поэтому sinA, sinB и sin(A + B) отличны от нуля cot(A + B) = cos(A + B)/sin(A + B) Из уравнения (1) и (3) мы получаем cot(A + B) = cos A cos B – sin A sin B/sin A cos B + cos A sin B Теперь разделим числитель и знаменатель на sin A sin B, получим cot(A + B) = (7) 9 0118 Поскольку мы знаем, что Итак, поставив B = -B, мы получим Здесь мы установим два набора формул преобразования: формулы факторизации и дефакторизации. Формулы дефакторизации В тригонометрии дефакторизация означает преобразование произведения в сумму или разность. Формулы с детокаторизацией: (1) 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a — b) Доказательство: Как мы знаем, SIN (A + B) = sin A cos B + cos A sin B     …………………………(1) sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B      ……………………… …(2) Складывая уравнение (1) и (2), мы получаем 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) (2) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) Доказательство: Поскольку мы знаем, что sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B     …………………………(1) sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B      …………………………(2) Вычитая уравнение (2) из ​​(1), получаем 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) (3) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) Доказательство: Поскольку мы знаем, что cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B     …………………………(1) cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B     …………………………(2) Складывая уравнения (1) и (2), мы получаем 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) (4) 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B) Доказательство: cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B     ………………………(1) cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B     …………………………(2) Вычитая уравнение (3) из (4), мы получаем 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)   Пример 1. Преобразуйте каждое из следующих произведений в сумму или разность. (i) 2 sin 40° cos 30° (ii) 2 sin 75° sin 15° (iii) cos 75° cos 15° 901 02 Решение: (и) Дано: A = 40° и B = 30° Теперь подставим все эти значения в формулу 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) Получим 2 sin 40° cos 30° = sin (40 + 30) + sin (40 – 30)  = sin (70°) + sin (10°)  (ii) Дано: A = 75° и B = 15° Теперь подставим все эти значения в формулу 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B) Получим 2 sin 75° sin 15° = cos (75-15) – cos (75+15) = cos (60°) – cos (90°) (iii) Дано: A = 75° и B = 15° Теперь подставьте все эти значения в формулу 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) Получаем cos 75° cos 15° = 1/2(cos (75+15) + cos (75-15)) = 1/ 2 (cos (90°) + cos (60°)) Пример 2. Найдите Решение: Используя формулу 2 cos A cos В = потому что (А + В) + cos (А – В)   = = = Следовательно,  = 0 Формулы факторизации В тригонометрии факторизация означает преобразование суммы или разности в произведение. Формулы факторизации: (1) sin (C) + sin (D) = 2 sin cos Доказательство: Имеем 90 002 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) ………………………(1) Итак, теперь мы берем A + B = C и A – B = D Тогда A =  и B =  Теперь поместите все эти значения в уравнение (1), мы получим 2 sin () cos () = sin (C ) + sin (D) Или sin (C) + sin (D) = 2 sin () cos () (2) sin (C) – sin (D) = 2 cos   sin    Доказательство: Имеем 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) ………………………(1) Итак, теперь, мы берем A + B = C и A – B = D Тогда A =  и B =  Теперь поместите все эти значения в уравнение (1), мы получим 2 cos () sin () = sin (C) – sin (D) Или  sin ( C) – sin (D) = 2 cos () sin () (3) cos (C) + cos (D) = 2 cos   cos    Доказательство: 901 18 У нас есть 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) …………………………(1) Итак, теперь мы берем A + B = C и A – B = D Тогда A =  и B =  Теперь поместите все эти значения в уравнение (1), мы получим 2 cos () cos () = cos (C) + cos (D) Или cos (C) + cos (D) = 2 cos () cos () (4) cos (C) – cos (D) = 2 sin   sin     Доказательство: Имеем  2 sin A sin B = cos ( A – B) – cos (A + B)   …………………………(1) Итак, теперь мы берем A + B = C и A – B = D Тогда, А =  и В =  Теперь поместите все эти значения в уравнение (1), мы получим 2 sin () sin () = cos (C) – cos (D) Или cos (C) – cos (D) = 2 sin () sin () Объясните 1. Выразите каждое из следующих чисел в виде произведения (i) sin 40° + sin 20° (ii) sin 60° – sin 20° 901 02 (iii) cos 40° + cos 80° Решение: (i) Дано: C = 40° и D = 20° Теперь подставим все эти значения в формулу, sin (C) + sin (D) = 2 sin cos Получим sin 40° + sin 20° = 2 sin cos = 2 sin cos 9000 5 = 2 sin 30° cos 10° (ii) Дано: C = 60° и D = 20° Теперь подставьте все эти значения в формулу  sin (C) – sin (D) = 2 cos sin Получаем sin 60° – sin 20° = 2 cos sin = 2 cos sin = 2 cos 40° sin 20° (iii) Дано: C = 80° и D = 40° Теперь подставим все эти значения в формулу cos (C) + cos (D) = 2 cos cos Получим 900 02 cos 40° + cos 80° = 2 cos cos = 2 cos cos = 2 cos 60° cos 20° Пример 2. Докажите, что: 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = 4 потому что x cos 2x cos 3x Решение: Возьмем LHS 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x Здесь, cos 0x = 1 Итак, (cos 0x + cos 2x) + (cos 4x + cos 6x) Используя формулу cos (C) + cos (D) = 2 cos cos   Получаем (2 cos cos) + (2 cos cos) (2 cos x cos x) + (2 cos 5x cos x) Взяв 2 cos x общие, имеем 2 cos x (cos x + cos 5x) Снова используя формулу cos (C) + cos (D) = 2 cos cos Получаем 2 cos x (2 cos cos) 2 cos x (2 cos 3x cos 2x) 4 cos x cos 2x cos 3x LHS = RHS Отсюда доказано Тригонометрические отношения кратных углов (2A) через угол A 9010 3 Тригонометрические отношения угла в прямоугольном треугольнике определяют отношение между углом и длиной его сторон. sin 2x или cos 2x и т. д. также являются одной из таких тригонометрических формул, также известных как формула двойного угла, поскольку в ней есть двойной угол. (1) sin 2A = 2 sin A cos A Доказательство: Поскольку мы знаем, что sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ………………..(1) Теперь примем B = A , в уравнении (1) мы получаем sin (A + A) = sin A cos A + cos A sin A sin 2A = 2 sin A cos A   (2) cos 2A = cos 2 (1) ) Теперь принимая B = A, в уравнении (1) мы получаем cos (A + A) = cos A cos A + sin A sin A cos 2A = cos 2 A – sin 2 A (3) cos 2A = 2cos 2 A – 1   Доказательство: Как мы знаем, 90 002 cos 2A = cos 2 A – sin 2 A ……… ………..(1) Мы также знаем, что sin 2 A + cos 2 A = 1 Итак, sin 2 A = 1 – cos 2 A Теперь подставим значение sin 2 A в уравнение (1), получим cos 2A = cos 2 A – (1 – cos 9015 4 2 A) cos 2A = cos 2 A – 1 + cos 2 A cos 2A = 2cos 2 A – 1 (4) cos 2A = 1 – 2sin 2 A Доказательство: Поскольку мы знаем, что cos 2A = 2cos 2 A – 1 ………………. .(1) Мы также знаем, что sin 2 A + cos 2 A = 1 Итак, cos 2 A = 1 – sin 2 A Теперь введите значение sin 2 A в уравнении (1) мы получаем cos 2A = 2(1 – sin 2 A) – 1 cos 2A = 2 – 2sin 2 A) – 1 cos 2A = 1 – 2sin 9 0154 2 A  (5) cos 2A =    Доказательство: Как мы знаем, cos 2A = cos 2 A – sin 2 A Итак, делим теперь на sin 2 A + cos 2 A = 1, получаем 900 02 cos 2A = Снова разделив числитель и знаменатель на cos 2 A, получаем cos 2A = cos 2A = (6) sin 2A =   90 101 Доказательство: Поскольку мы знаем, что sin ( A + B) = sin A cos B + cos A sin B ………………. .(1) Теперь принимая B = A, в уравнении (1) мы получаем sin (A + A) = sin A cos A + cos A sin A sin 2A = 2 sin A cos A   Поскольку мы также знаем, что sin 2 A + cos 2 A = 1 Итак, делим теперь на sin 2 A + cos 2 A = 1, получаем sin 2A = Теперь о делении числителя и знаменатель на cos 2 А, получаем sin 2A = (7) tan 2A =   Доказательство: Поскольку мы знаем, что  ………………..(1) Теперь, взяв B = A, в уравнении (1) мы получим tan(A + A) = tan 2A = Пример: Докажите, что (i)    = tan θ (ii) 9010 2    = кроватка θ (iii) cos 4x = 1 – 8 sin 2 x cos 2 x Решение: (i) sin 2θ = 2 sin θ cos θ ………. .(из тождества 1) и, 1 + cos 2θ = 2cos 2 θ  ………..(из тождества 3) = = tan θ Отсюда доказано 9000 5 (ii) sin 2θ = 2 sin θ cos θ ………..(из тождества 1) и, 1 – cos 2θ = 2sin 2 θ  ………..(из тождества 4) = = cot θ Отсюда Доказано (iii) cos 4x = cos 2(2x) = 1 – 2sin 2 (2x) (с использованием 16) = 1 – 2(sin(2x)) 2 = 1 – 2(2 sin x cos x) 2    (с использованием тождества 1) = 1 – 2(4 sin 2 x cos 2 x) cos 4x = 1 – 8 sin 2 x cos 2 x Отсюда доказано Тригонометрические отношения кратных углов (3A) через угол A Тригонометрические отношения угла в прямоугольном треугольнике определяют соотношение между углом и длина его сторон. sin 3x или cos 3x и т. д. также являются одной из таких тригонометрических формул, также известных как формула тройного угла, поскольку в ней есть тройной угол. (1) sin 3A = 3sin A – 4 sin 3 A Доказательство: Возьмем LHS sin 3A = sin(2A + A) Использование идентификатора sin ( A + B) = sin A cos B + cos A sin B Получаем sin 3A = sin 2A cos A + cos 2A sin A = 2sin A cos A cos A + (1 – 2 sin 2 А)sin А = 2sin А(1 – sin 2 А) + sin А – 2 sin 3 А = 2sin A – 2sin 3 A + sin A – 2 sin 3 A sin 3A = 3sin A – 4 sin 3 A 902 23 (2) cos 3A = 4 cos 3 A – 3cos A Доказательство: Возьмем LHS sin 3A = sin(2A + A) Используя тождество 900 02 cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B Получаем cos 3A = cos 2A cos A – sin 2A sin A = (2cos 2 A – 1)cos A – 2sin A cos A sin A = (2cos 2 A – 1)cos A – 2cos A(1 – cos 2 A) = 2cos 3 A — потому что A – 2cos A + 2cos 3 A) cos 3A = 4 cos 3 A – 3cos A (3) tan 3A = 900 02 Доказательство: Возьмем LHS tan 3A = tan(2A + A) Используя идентификатор Получаем tan 3A = = = = Пример 1. « Предыдущая 1 … 24 25 26 27 28 … 3 230 Следующая »