Рубрика: Разное

Прямая и двойственная задачи линейного программирования: Двойственная задача линейного программирования / Хабр

alexxlab / / Разное

§6. Прямая и двойственная задача линейного программирования.

6.1 Постановка задачи

Каждая задача линейного программирования, называемая прямой или исходной, тесно связана с другой задачей, ее называют двойственной.

Эти задачи экономически могут быть сформулированы следующим образом.

Прямая задача: сколько и какой продукции хi (i-1, 2, … , n) надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции Сi, объемом имеющихся ресурсов bj (j=1,2,…, m) и нормах расхода ресурсов аij максимизировать выпуск продукции в стоимостном виде.

Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого ресурса yj (j=1, 2,…, m), чтобы при заданных bj, ci и аij минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы.

Правила построения двойственной задачи по имеемой прямой задаче:

1. Число переменных в двойственной задаче равно коли­честву функциональных ограничений в прямой задаче (т.е., если в прямой задаче вектор переменных записывается как n-мерный вектор-столбец, то в двойственной задаче вектор переменных будет представлять собой n-мерный вектор — строку и наоборот).

2. Если прямая задача ставится как задача максимизации, то двойственная — как задача минимизации и наоборот.

3. Компоненты вектора функциональных ограничений B=(b1,b2,…bm) в прямой задаче становятся коэффициен­тами целевой функции в двойственной задаче.

Применение этих трех правил позволяет сформировать целевую функцию двойственной задачи:

4. Матрица коэффициентов при переменных в системе функциональных ограничений двойственной задачи полу­чается транспонированием матрицы коэффициентов при переменных в системе функциональных ограничений пря­мой задачи.

5. Знак неравенств функциональных ограничений в пря­мой задаче меняется на обратный в двойственной, т.е. «≤» на«».

6. Коэффициенты целевой функции прямой задачи c1 c2, …, cn становятся вектором ограничений в двойствен­ной задаче.

Применяя правила 4, 6 мы можем сформировать систему функциональных ограничений обратной задачи:

7, Прямые ограничения на неотрицательность переменных для двойственной задачи сохраняются.

Таким образом, исходную и двойственную к ней задачу можно представить следующим образом:

Прямая задача

Двойственная задача

Целевая функция

Функциональные ограничения

Прямые ограничения

Пример построения двойственной задачи по заданной прямой

Прямая задача

Двойственная задача

Целевая функция

Функциональные ограничения

Прямые ограничения

В этой задаче – предельные оценки стоимости единицы каждого ресурса, целевая функция – оценка стоимости всех ресурсов, а каждое ограничение есть условие, что оценка ресурсов, идущих на производство продукции , не менее чем цена единицы продукции.

Решение двойственной задачи — линейное программирование

Здесь мы рассмотрим вопрос, как из решения прямой задачи, получить решение двойственной задачи.

Теоремы двойственности

Первая теорема двойственности

Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение,
то и двойственная задача имеет оптимальное решение. При этом значения целевых функций прямой и двойственной задачи, для оптимальных решений, равны друг другу.

Если одна из пары двойственных задач не имеет решения вследствие неограниченности целевой функции,
то двойственная задача не имеет решения вследствие несовместимости системы ограничений.

Вторая теорема двойственности

Пусть мы имеем симметричную пару двойственных задач (1) и (2):
(1.1)   ;
(1.2)  
(2.1)   ;
(2.2)  
Для того чтобы допустимые решения и являлись оптимальными решениями двойственных задач (1) и (2),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства:
(3)   ,   ;
(4)   ,   .

Для наглядности, выпишем равенства (3) и (4) в развернутом виде:
(3.1)  
(3.2)  

(3.m)  

(4.1)  
(4.2)  

(4.n)  

Метод решения двойственной задачи

Применяя теоремы двойственности, можно получить решение двойственной задачи из решения прямой. Опишем метод решения двойственной задачи.

Пусть мы нашли решение прямой задачи (1) с оптимальным значением целевой функции и с оптимальным планом . Подставим найденные значения в систему ограничений (1.2). Тогда если -е неравенство не является равенством, то есть если
,
то, согласно (3.i),
.
Рассматривая все строки системы ограничений (1.2), мы найдем, что часть переменных двойственной задачи равна нулю.

Далее замечаем, что если , то, согласно (4.k), -я строка системы ограничений (2.2) является равенством:
.
Составив все строки системы ограничений (2.2), для которых , мы получим систему уравнений, из которой можно найти ненулевые значения переменных .

На основании первой теоремы двойственности, минимальное значение целевой функции
.

Если известно решение задачи (2), то аналогичным образом можно найти решение задачи (1).

Примеры решения двойственной задачи из решения прямой

Пример 1

Пусть дана задача линейного программирования:
;

Известно решение этой задачи:
;   .

Составить двойственную задачу и получить ее решение из решения прямой.

Решение

Составляем двойственную задачу.

;

Согласно первой теореме двойственности, оптимальное значение целевой функции равно
.

Применим вторую теорему двойственности. Подставим оптимальные значения переменных в систему ограничений прямой задачи.
(П1.1.1)   ;
(П1.1.2)   ;
(П1.1.3)   ;
(П1.1.4)   .
Поскольку первая и четвертая строки являются строгими неравенствами (не являются равенствами), то
  и   .

Поскольку   и   , то 2-я и 4-я строки двойственной задачи являются равенствами:

Подставим уже найденные значения     и   , имеем:

Отсюда
;
;   .

Ответ

Двойственная задача имеет вид:
;

Ее решение
;  

Пример 2

Дана задача линейного программирования:
(П2.1.1)   ;
(П2.1.2)  
Найти решение этой задачи, решив двойственную задачу графическим методом.

Решение

Составляем двойственную задачу.

(П2.2.1)   ;
(П2.2.2)  

Решение задачи (П2.2) приводится на странице “Решение задач линейного программирования графическим методом”. Решение задачи (П2.2) имеет вид:
;   .

Согласно первой теореме двойственности, оптимальное значение целевой функции равно
.

Применим вторую теорему двойственности. Подставим оптимальные значения переменных в систему ограничений прямой задачи (П2.2).
;
;
.
Поскольку третья строка является строгим неравенством (не являются равенством), то
.

Поскольку   и   , то 1-я и 2-я строки двойственной задачи (П2.1) являются равенствами:

Подставим найденное значение   .

Решаем систему уравнений.
;
;
;
;   ;
.

Ответ

Решение исходной задачи (П2.1) имеет вид:
;   .

ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ — ДЖИМС Калкаджи

Г-жа Пуджа Бишт

Ассистент профессора

Международная школа менеджмента Джаганнатха

С практической и теоретической точек зрения, концепция двойственности является одной из наиболее важных тем линейного программирования . Тривиальная идея, лежащая в основе теории двойственности, состоит в том, что с каждой линейной программой связана линейная программа, называемая двойственной, так что решение одной дает решение другой. Существует ряд важных взаимосвязей между решением исходной задачи (основной) и ее двойственностью. Они полезны при исследовании общих свойств оптимального решения линейной программы и при проверке того, является ли допустимое решение оптимальным.

Двойственность имеет двоякое значение. Во-первых, полное понимание преобразования идеальных симплексных множителей в теневое значение может быть чрезвычайно полезным для понимания ответвлений конкретной задачи прямого программирования. Во-вторых, вполне ожидаемо рассматривать связанную прямую программу с теневыми затратами в качестве факторов вместо первой прямой программы или связанных с ней, соответственно используя некоторую вычислительную эффективность.

Формирование двойственной задачи:

Рассмотрим задачу линейного программирования, которая максимизируется в природе,

(ПЕРВИЧНАЯ)

Max Z y = d 1 y 1 +d 2 …d 2900.9. н г н

с.т.

A 11 Y 1 +A 12 Y 2 +…… .. +A 1N Y N B 1

A 21 Y 1 +A

A 21 Y 1 +A

A 21 Y 1 +A

A 21 Y 1 +A

A 21 Y 1 +

A 21 Y 1 . 22 у 2 +……..+а 2н у н  б 2

.

.

A M1 Y 1 +A M2 Y 2 +…… .. +A MN Y N B M

и Y 1 , Y 2

и Y 1 , Y 2 ,

и Y 1 , Y 2920202020202 у 3 ,…….у н 0 и д 1 , д 2 ,……д н , б 1 , б9 2 , б 900,19 2 , 900,019 2 , 900,020 константы.

Тогда его двойной

(DUAL)

Min Z w = b 1 w 1 +b 2 w 2 +……..+b m w m

с.т.

A 11 W 1 +A 21 W 2 +…… .. +A M1 W M D 1

A 12 W 1 +A

A 12 W 1 +A

A 12 W 1 +A

A 12 W 1 +A

A 22 w 2 +……. .+a m2 w m d 2

.

.

a 1n w 1 +a 2n W 2 +…… .. +A MN W M D N

и W 1 , W 2 , W 3 , ……. W M 0

Некоторые важные результаты и теорема

1. Если мы возьмем двойственное к двойственному, то оно будет первичным.

2. Если конкретным ограничением в простом является совершенное равенство, то соответствующая двойная переменная не имеет ограничений.

3. Если какая-либо переменная неограничена по знаку в простом числе, то соответствующее ограничение двойственности есть полное равенство.

Пример 1

Основной

Max Z = x + y

ст. x-y 20

2x +3y 4

5x – 2y 2

x, y 0

Решение

Max Z = x + y

ст. x-y 20 ………… W 1

2x +3y 4 …………… W 2

5x-2y 2 …………. W 3

Двойной

мин. Z W =20w 1 + 4w 2 + 2w 3

S.t w 1 +2w 2 +5w 3  1

  -w 1 + 3w 2 -2w 3 1

w 1 , w 2 , w 3 0

Example 2

Первичный

Min Z = x 1 +x 2 +x 3

ст. 2x 1 +3x 2 +5x 3 2

3x 1 +x 2 +7x 3 = 3

x 1 +4x 2 +6x 3 1 +4x 2 +6x 3 1 +4x 2 +6019 3 1 +4x 2 .0020 5

x 1 , x 2 , x 3 0

Двойник

MAX Z W = 2x 1 +3x 2 +5x 3 3

9003 С. Т. Т. Т. Т. Т.т. 2w 1 +3w 2 +w 3 1

3w 1 +w 2 +4w 3 1

5w 1 +7w 2 +6w 3  1

w 1 , w 3 0, w 2 неограничен

Правила решения

Когда мы получаем решение для одного вида ЗЛП, то в зависимости от характера решения для одного мы можем заключить о характере решения другого следующим образом: двойственный имеет ограниченное оптимальное решение.

2. Если мы получим неограниченное решение простого (двойственного) решения, то двойственное (прямое) не имеет допустимого решения.

3. Если мы не получаем допустимого решения простого (двойственного), то двойственное (первое) имеет либо неограниченное, либо недопустимое решение.

Некоторые полезные свойства

Несмотря на то, что мы изучили, как можно вычислить двойственное число, становится важным понять последствия того же самого в зависимости от типа полученного решения.

 1. Любое допустимое решение двойственной задачи устанавливает границу оптимального значения целевой функции в прямой задаче.

2. Понимание двойственной проблемы приводит к специализированному методу для некоторых важных классов задач линейного программирования. Примеры включают транспортный симплекс-метод, венгерский алгоритм задачи о назначениях и сетевой симплекс-метод.

3. Двойной может быть полезен для анализа чувствительности. Изменение правого ограничения первичного уравнения или добавление к нему нового ограничения может сделать исходное оптимальное решение невозможным.

4. Переменные, которые мы получаем в двойном LPP, дают теневые цены для ограничений основного LPP. Например, предположим, что у вас есть задача максимизации прибыли с ограничением ресурсов, скажем, «j». Тогда значение y j соответствующей двойной переменной в оптимальном решении говорит вам, что вы получаете увеличение y j в максимальной прибыли на каждую единицу увеличения количества ресурса j.

5. Иногда проще решить дуал ЛПП. Первичная задача, имеющая много ограничений и мало переменных, может быть преобразована в двойственную задачу с небольшим количеством ограничений и множеством переменных.

#jims #jimsdelhi #managementcollegeindelhi #pgdmcollegesindelhi #mbacollegesindelhi #toppgdmCollegesindelhi #topbschoolsindelhi

Для получения дополнительной информации посетите: https://www.jagannath.org/

Двойственность в линейном программировании | Science4All

Мои статьи по линейной алгебре и линейному программированию являются обязательным условием для этой статьи.

Двойственность — это понятие из математического программирования. В случае линейного программирования двойственность дает гораздо более удивительные результаты.

Двойственная линейная программа

Теория двойственности в линейном программировании дает множество экстраординарных результатов из-за специфической структуры линейных программ. Чтобы объяснить вам двойственность, я воспользуюсь примером умного грабителя, который я использовал в статье о линейном программировании. По сути, умный грабитель хочет украсть как можно больше золотых и долларовых купюр. Он ограничен объемом своего рюкзака и максимальным весом, который он может нести. Теперь заметим, что мы можем записать задачу следующим образом.

$$\textrm{Maximise} \quad \textrm{Value}_\textrm{gold} volume_\textrm{gold} + \textrm{Value}_\textrm{bills} volume_{\textrm{bills}} \\ \\
\textrm{При условии} \quad volume_{\textrm{золото}} + volume_{\textrm{счета}} \leq \textrm{Объем}_{\textrm{лимит}} \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; \textrm{Плотность}_\textrm{золото} volume_{\textrm{золото}} + \textrm{Плотность}_\textrm{банкноты} Volume_{\textrm{банкноты}} \leq \textrm{Вес}_{\textrm {limit}} \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; volume_{\textrm{gold}} \geq 0 \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; volume_{\textrm{bills}} \geq 0$$

Задача, которую мы здесь написали (независимо от того, какую эквивалентную формулировку мы использовали), называется первичной линейной программой. Пришло время узнать о двойной линейной программе! Двойная программа полностью изменит наше понимание проблемы, и именно поэтому она такая классная. Надеюсь, вы так же взволнованы, как и я!

В исходной программе ограничения имели постоянные числа справа от них. Эти постоянные числа являются нашими ресурсами. Они говорят, что мы можем сделать относительно каждого ограничения. Двойная проблема состоит в том, чтобы оценить, сколько стоят наши объединенные ресурсы. Если предложение соответствует спросу, наши ресурсы будут такими же, как и их потенциал, а это стоит грабежа. Сладкий, правда?

Ресурсы — это концепция, которую я придумал. Это не стандартная концепция.

Давайте подробнее. В двойной задаче мы будем приписывать значения ресурсам (например, «сколько они стоят»). Эти значения называются двойными переменными. В нашем случае у нас есть два ограничения, поэтому у нас будет 2 двойных переменных. Первая двойная переменная, назовем ее $value_{\textrm{volume}}$, относится к значению одной единицы объема. Как вы уже поняли, вторая двойная переменная относится к значению одной единицы веса. $value_{\textrm{weight}}$ кажется подходящим названием для него, верно?

Теперь, держу пари, вы можете записать стоимость ограбления с помощью этих двух новых переменных… Посмотрим, получим ли мы тот же результат.

$$\textrm{Общее значение} = значение_{\textrm{объем}} \textrm{Объем}_{\textrm{лимит}} + значение_{\textrm{вес}} \textrm{Вес}_{\textrm {limit}}$$

Это хорошо, но как определяются значения объема и веса?

Если бы я захотел продать свои ресурсы, потенциальные покупатели минимизировали бы стоимость моих ресурсов. Таким образом, их оценки являются минимумом общей стоимости. Но как продавец, я утверждаю, что каждый мой ресурс дорогого стоит, потому что он позволяет ограбить больше золота и больше купюр.

Очевидно, что стоимость ресурсов зависит от фактической стоимости золота и банкнот на единицу объема. Давайте подумаем о стоимости золота (и тогда вы сможете применить те же рассуждения к векселям). Если бы ограничения позволили нам украсть еще один объем золота, то дополнительная стоимость ограбления была бы по крайней мере равна стоимости этого одного объема золота, верно? Их может быть больше, если мы воспользуемся новыми ограничениями, чтобы украсть что-то еще, кроме золота, которое стоит больше. Я говорю о том, что если бы общий объем позволил нам украсть еще одну единицу объема золота и если бы мы могли унести еще одну единицу веса одного объема золота, то стоимость этой дополнительной кражи составила бы как минимум стоимость еще одного тома золота. Давайте напишем это.

$$value_{\textrm{volume}} + value_\textrm{weight} \textrm{Density}_\textrm{gold} \geq \textrm{Value}_\textrm{gold}$$

Я позвольте вам написать подобное ограничение для счетов. На самом деле, мы можем проделать это рассуждение с любой переменной основной задачи и задать себе вопрос: «Если мы добавим одну единицу переменной, как это повлияет на общую оценку?» Из этого мы выводим ограничение на двойственные переменные. Как видите, любая переменная в основной задаче связана с ограничением в двойственной задаче, и наоборот.

Мы почти закончили. Заметим тот факт, что если мы увеличим общий объем, то у нас будет больше возможностей для первичных переменных, то есть объемов украденного золота и банкнот. Следовательно, значение единицы объема не может быть отрицательным. Это добавляет еще два ограничения на знак двойственных переменных. Теперь мы закончили и можем написать двойственную задачу.

$$\textrm{Минимизировать} \quad value_{\textrm{volume}} \textrm{Volume}_{\textrm{limit}} + value_{\textrm{weight}} \textrm{Weight}_{\textrm {лимит}} \\\\
\textrm{При условии} \quad value_{\textrm{объем}} + value_\textrm{вес} \textrm{Плотность}_\textrm{золото} \geq \textrm{Значение}_\textrm{золото} \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; value_{\textrm{объем}} + value_\textrm{вес} \textrm{Плотность}_\textrm{купюры} \geq \textrm{Value}_\textrm{счета} \\
\textrm{} \qquad \qquad \квадратный \;\; value_\textrm{volume} \geq 0 \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; value_\textrm{weight} \geq 0 $$

Эй, это похоже на линейную программу…

И так всегда! Двойственная программа линейной программы — это линейная программа! Давайте посмотрим на допустимое множество.

Важно отметить, что информация о основных целевых функциях появляется в двойном допустимом множестве. Однако при этом теряется информация о первичных ресурсах. Эта информация появится, если мы нарисуем наборы уровней двойной целевой функции. Тем не менее, если мы нарисуем первичные и двойственные допустимые множества, мы получим всю информацию о линейных программах.

Наиболее важным результатом является сильное свойство двойственности: оптимальные значения прямой и двойственной задач совпадают . Мы можем решить основную проблему, просто решив двойственную задачу! А иногда двойственная задача может быть намного проще, чем основная.

Более того, и здесь это менее очевидно, двойственное двойственного есть первичное. Это можно доказать с помощью вычислений. Попробуйте преобразовать дуальную программу в программу максимизации с меньшими или равными ограничениями неравенства, чтобы найти ее двойную программу, это хорошее упражнение. Но что интересно, так это настоящая причина, по которой двойственное двойственного является первичным. Попробуйте подумать об этом. Это очень сложное, но еще более интересное упражнение. Это означает, что значение ресурсов двойных ограничений является первичными переменными. В нашем примере, если стоимость золота увеличится на 1 единицу, то стоимость ограбления будет увеличена на количество украденного золота. Это означает, что ценность стоимости золота равна количеству украденного золота!

В дуальности есть еще кое-что интересное: она дает прямой анализ чувствительности. Рассмотрим наши основные проблемы. Было бы интересно узнать, насколько больше я мог бы получить, будь мой рюкзак больше или тело сильнее. Это кажется сложным вопросом в основной программе, но в двойной программе это очень очевидно. Если в рюкзаке окажется на одну единицу объема больше, то дополнительная стоимость ограбления составит $value_\textrm{volume}$. На самом деле это минимизирует дополнительную ценность, которую я буду иметь, но это идеальное приближение для небольшого дополнительного объема рюкзака.

Но это еще не все. В линейном программировании двойственность дает гораздо больше потрясающих результатов! В частности, существует сильная связь между простыми основаниями и двойственными основаниями.

Двойные основания

Заметим, что основная задача эквивалентна следующей формулировке.

$$\textrm{Maximise} \quad \textrm{Value}_\textrm{gold} volume_\textrm{gold} + \textrm{Value}_\textrm{bills} volume_{\textrm{bills}} \\ \\
\textrm{При условии} \quad volume_{\textrm{золото}} + volume_{\textrm{счета}} + volume_{\textrm{unused}} = Volume_{\textrm{limit}} \\
\textrm{} \qquad \quad \;\; \textrm{Плотность}_\textrm{золото} volume_{\textrm{золото}} + \textrm{Плотность}_\textrm{счета} volume_{\textrm{счета}} + вес_{\textrm{неиспользованный}} = Weight_ {\textrm{limit}} \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; volume_{\textrm{gold}} \geq 0 \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; volume_{\textrm{счета}} \geq 0 \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; volume_{\textrm{unused}} \geq 0 \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; weight_{\textrm{unused}} \geq 0. $$ 9T \\
\textrm{} \qquad \qquad \quad \;\; y, s \geq 0.$$

На практике, если вы хотите получить эти формулировки, я советую вам написать исходную программу только с неравенствами и только с неотрицательными переменными. Затем напишите двойную программу, связанную с этим (будьте осторожны, это должно быть меньшее или равное неравенство для максимизирующей программы и большее или равное для минимизирующей). Только после этого добавьте переменные slack.

Хорошо, я действительно не понял две последние формулы…

Не волнуйся, это не так важно. Это даже не стандартная формулировка. Мне нравится эта формулировка, потому что она показывает сходство между первичной и двойной программами. Это также хороший способ описать двойственность и ее свойства. Будьте осторожны с другими препаратами. Результаты, которые я приведу здесь, может быть трудно перенести на другие формулировки.

Обратите внимание, что теперь у нас есть переменные, представленные векторами $x$, $e$, $y$ и $s$. Кроме того, каждая переменная векторов $e$ и $s$ фигурирует одна в одном из ограничений первичной или двойственной программы.

Это хорошо, но я действительно не понимаю, что представляют собой эти резервные переменные…

Переменные легко понять на следующем графике. Начальные переменные $x$ — это координаты точек, а переменные резерва — расстояния от различных ограничений. Блок переменных резерва немного сложнее. Чтобы представить это, имейте в виду, что пределы ограничений являются наборами уровней. Эти наборы уровней перемещаются по мере изменения значения, которое они принимают.

Обозначим через $n$ количество переменных $x$, а через $m$ количество переменных $e$. Обратите внимание, что $n$ — это количество ограничений в двойственной программе, а $m$ — это количество ограничений в основной программе. Следовательно, основная база определяется выбором $m$ переменных, значения которых будут обнулены. Эти переменные $m$ образуют «базу ограничений», о которой я упоминал в статье о линейном программировании. Остальные $n$ переменных являются «базовыми» в обычном их определении.

Будьте осторожны, эти обозначения не являются стандартными обозначениями.

Что интересно, так это то, что двойные основания ведут себя противоположным образом. На самом деле, они требуют $n$ переменных в базе ограничений и $m$ переменных в базе. Что еще более интересно, так это то, что мы можем сопоставить каждое простое основание с двойным основанием. По сути, каждой переменной вектора $y$ соответствует ограничение, которому соответствует переменная вектора $e$. Аналогично сопоставляем переменные векторов $x$ и $s$. Таким образом, с любым основным основанием мы можем связать двойное основание, выбрав добавление переменных двойного основания, которые соответствуют основным переменным, не входящим в основное основание. Другими словами, всякий раз, когда мы не фиксируем первичную переменную на 0, мы фиксируем соответствующую двойственную переменную на 0.

Это дает нам следующее сопоставление оснований (нарисованных по цветам точек).

Ограничения двух графов могут совпадать. Неотрицательные ограничения исходных переменных соответствуют фактическим ограничениям в другой другой программе. База, определяемая пересечением двух цветов ограничений в одной задаче, сопоставляется с базой, определяемой пересечением двух других цветов ограничений в другой задаче. На двух графиках не было нарисовано только основное основание, связанное с двойным желтым основанием, потому что невозможно было нарисовать основное пересечение зеленых и синих ограничений.

Подождите… Еще интереснее: значения целевой функции простого основания и связанного с ним двойного основания совпадают! Учитывая то, как мы ввели дуальную программу, это очень удивительно. Вы можете доказать это с помощью вычислений, но настоящая причина, по которой мы получили такой результат, связана с построением лагранжиана. Если бы мы это сделали, мы могли бы легко доказать, что для любых прямых и двойственных переменных, удовлетворяющих ограничениям равенства, разность прямой по двойственным целевым функциям равна $s^Tx + y^Te$. Это значение называется дополняющая ненадежность . Оно равно нулю, если двойственные переменные соответствуют двойственному основанию простых переменных.

Подождите… Если обе программы имеют одинаковые значения, не должна ли двойная целевая функция всегда быть выше, чем основная целевая функция?

На самом деле обе программы имеют одинаковые значения. Поскольку основная программа представляет собой задачу максимизации, значение ее целевой функции всегда меньше оптимального значения. А в дуальной программе наоборот. Однако это рассуждение работает только для переменных допустимого множества! Таким образом, задача оптимизации эквивалентна поиску первичной допустимой базы с ассоциированной с ней двойственной допустимой базой!

На двух графиках только розовые точки являются первичными и двойственными: они представляют решение линейных программ!

Круто! Можем ли мы использовать его для разработки алгоритма оптимизации?

Да, можем. И это дает нам… симплекс-метод! По сути, симплекс-метод состоит в переходе от изначальной допустимой базы к строго лучшей первичной допустимой базе. Но его можно в равной степени рассматривать как алгоритм, который переходит от первично допустимых оснований к первично допустимым основаниям с ассоциированным двойным основанием, которое становится все более и более выполнимым. Этот критерий «близости к осуществимости» может, например, означать наличие самой отрицательной переменной как можно ближе к 0. Как только самая отрицательная переменная двойного основания неотрицательна, у нас есть двойное допустимое основание. Таким образом, мы достигли оптимума.

Точно так же мы могли бы перейти от допустимых двойных оснований к допустимым двойным основаниям, пытаясь достичь соответствующей допустимой первичной базы. Это эквивалентно применению симплексного метода к двойной программе и известно как двойной симплекс.

Как вы понимаете из этого замечания, существует огромная связь между двойными переменными и снижением затрат. Это можно наблюдать на графике слева. Сниженная стоимость говорит вам, насколько увеличится целевая функция, если вы потеряете одно из ограничений базового ограничения и отойдете от него на краю, определяемом другими ограничениями базового ограничения, на 1 единицу связанной переменной резерва. с этим ограничением. Эта приведенная стоимость является приращением значения целевой функции при движении по зеленой стрелке.

Это почти то же самое, что и двойные переменные, которые сообщают вам, насколько увеличится целевая функция, если вы переместите одно из ограничений на 1 единицу ресурса. Это инкрементальное значение целевой функции при движении по желтой стрелке.

Как видно на графике, двойная переменная противоположна приведенной стоимости резервной переменной, связанной с двойной переменной. Будьте осторожны со знаком. Наш результат верен здесь, потому что у нас меньше или равно неравенств в основной программе (или, что то же самое, перед переменными резерва стоит «+»). Если бы у нас были более высокие или равные неравенства или резервные переменные, которым предшествует минус, у нас было бы равенство приведенных затрат и двойных переменных.

У меня есть идея алгоритма оптимизации: мы могли бы найти подходящие простые и двойственные переменные, которые минимизируют комплементарную нежесткость…

Отличная идея! Это приводит к… методу внутренних точек! Идея метода внутренних точек состоит в том, чтобы оставаться внутри допустимого множества и сходиться к оптимуму. Это позволяет избежать возможных многочисленных итераций перехода от экстремальных точек к экстремальным точкам и пропускает проблемы вырождения. Для большого числа переменных метод внутренних точек быстрее, чем симплексный метод.

Для заданного положительного действительного числа µ метод внутренней точки состоит в нахождении прямого и двойственного векторов, которые удовлетворяют ограничениям равенства, являются положительными и такими, что произведение каждой простой переменной на связанную с ней двойственную переменную равно № . Затем, уменьшая значение µ , мы приближаемся к прямому и двойственному оптимальным решениям. Преимущество такого метода заключается в том, что мы можем использовать алгоритмы на основе градиента для оптимизации проблемы, что гарантирует очень быстрое решение. Другое очень интересное преимущество заключается в том, что его можно обобщить на полуопределенное программирование.

Есть много других удивительных вещей, которые мы можем делать с помощью методов внутренних точек. Если вы их знаете, вы должны написать о них. Кроме того, полуопределенное программирование позволяет моделировать широкий круг проблем. Я недостаточно знаком с полуопределенным программированием, чтобы писать об этом, поэтому, если вы знаете его, пожалуйста, напишите об этом!

Как видите, двойная программа дает множество выдающихся результатов и дает очень интересное иное понимание проблемы. К сожалению, он сталкивается с проблемой вырождения, особенно при применении симплекс-метода.

Вырождение

В нашем примере каждая основная база или база ограничений соответствует одной уникальной точке. Тем не менее, возможно, что три ограничения пересекаются в одной и той же точке, и в этом случае любая комбинация двух из этих трех ограничений соответствует этой точке. Совпадение больше не является уникальным. Такая ситуация возникает, например, в следующем случае с черной точкой.

Что не так с этим чемоданом?

Плохо для симплексного алгоритма. Сначала он заставляет нас сделать выбор. Предположим, что мы находимся на базе ограничений, определяемой зеленым и желтым ограничениями, и что симплекс-алгоритм решает отказаться от зеленого ограничения. Затем мы будем двигаться по желтому ограничению, пока не достигнем черной точки. Эта черная точка может быть определена тем фактом, что мы пересекли ограничение красного или синего цвета. Один из них будет добавлен в базу ограничений. Нам нужно сделать выбор. На самом деле это не проблема. А вот замечание — большая проблема.

Предположим, что синие и желтые ограничения образуют базу ограничений (это означает, что в базе находятся переменные резерва, соответствующие зеленым и красным ограничениям). Если мы вынесем желтые ограничения из базы ограничений, то мы будем двигаться по синей линии от желтых ограничений. Направление вдоль синего ограничения улучшает целевую функцию, а это означает, что оно связано с положительной приведенной стоимостью. Поэтому следует ожидать строгого возрастания целевой функции. Тем не менее, из-за того, что красное ограничение пересекается в черной точке, красное ограничение будет добавлено к базе ограничений, которая, следовательно, будет определять ту же самую черную точку. {14}$. Правление Блэнда имеет хорошие шансы посетить половину из них… Это займет целую вечность! Может быть, дни… Это очень-очень плохо. И все же размерность 25 очень маленькая.

Хорошо, вы правы, вырождение очень плохо для симплексных методов… Что мы можем с этим поделать?

Мы могли бы подумать о добавлении небольших возмущений в ограничениях. Это позволит избежать вырождения. Однако на самом деле это не улучшит разрешение, так как создаст несколько точек очень близко друг к другу. Симплекс-метод по-прежнему будет перемещаться по этим точкам с очень небольшим улучшением целевой функции. По сути, все еще есть хороший шанс посетить половину всех баз, связанных с вырожденной точкой, так что это все еще нехорошо. Такие случаи настолько похожи на вырождение, что их можно считать таковыми.

Проблема вырождения часто решается путем управления набором ограничений и набором переменных. В нашем случае, если бы мы могли обнаружить, что основное синее ограничение бесполезно, мы бы решили проблему вырождения. В Монреале также были разработаны несколько методов, таких как агрегация динамических ограничений (DCA), интегральный первичный симплекс (IPS) и улучшенная генерация столбцов (ICG). Короче говоря, я бы сказал, что они классифицируют переменные в зависимости от того, как они появляются в ограничениях, и решают только небольшую группу переменных. Они могут рассматривать другие переменные, если критерий оптимальности не выполняется. Узнайте больше из моей статьи о создании столбцов.

Причина, по которой я решил поговорить о вырождении в статье о двойственности, заключается в том, что двойственность предлагает интересное понимание вырождения.

Заметим, что двойная возможность не изменилась, если мы только изменили ресурс ограничения веса. Поэтому имеем следующее соответствие.

Как вы можете видеть на графике, в прайме меньше базовых точек, чем в дуале. Фактически, основную зеленую точку можно сопоставить с двойными голубыми, розовыми и оранжевыми точками. На самом деле, крайняя точка основного зеленого фактически связана с двойным ограничением зеленого цвета.

Всегда ли вырожденная крайняя точка связана с двойным ограничением?

Нет. Обозначим n размерность первичного допустимого множества. Рассмотрим вырожденную точку. Назовем вырожденность количеством ограничений, которые не требуются для ее определения. Обозначим d вырождение. В нашем случае вырождение d равно 1. Тогда число отличных от нуля простых переменных в этой точке равно n-d . Таким образом, количество двойных ограничений, которые есть во всех базах двойных ограничений, связанных с вырожденной точкой, равно 9.0533 н-д тоже. Их пересечение определяет двойственное пространство, связанное с вырожденной точкой. Поскольку двойное пространство требует n ограничений для определения точки, двойное пространство, связанное с вырожденной точкой, представляет собой векторное пространство размерности d . Оно соответствует ограничению, если d = n-1 , но обычно представляет собой векторное пространство меньшей размерности. Поскольку все это векторное пространство соответствует единственной первичной точке, которая имеет единственное целевое значение, все векторное пространство имеет единственное целевое значение. Следовательно, все векторное пространство включено в набор уровней двойной целевой функции.

В этом примере имеется несколько основных двойственных допустимых базисов, определяемых совпадением основных зеленых и двойных розовых точек, а также соответствием основных зеленых и двойных белых точек. Вырождение в оптимуме фактически эквивалентно существованию нескольких прямо-двойственных решений. Из этого мы можем сделать вывод, что двойные голубые, розовые и оранжевые точки имеют одинаковое двойное целевое значение, а это означает, что зеленое ограничение является набором уровней двойной целевой функции.

Что происходит в неоптимальной вырожденной точке?

Давайте сделаем нашу вырожденную точку неоптимальной, чтобы посмотреть, что произойдет. Чтобы сделать это, предположим, что стоимость золота внезапно упала, что сделало исходную белую точку оптимальной. В результате в дуале зеленое ограничение будет ниже (посмотрите на его определение, если хотите убедиться в этом). Получаем следующий график.

Зеленое ограничение по-прежнему представляет двойной набор, связанный с вырожденной точкой. Однако в этом случае весь этот двойственный набор невозможен.

Интересно отметить, что невозможно напрямую перейти от двойной оранжевой точки к двойной оптимальной белой точке. В основной задаче это означает, что если база ограничений содержит синее и желтое ограничения, она не сможет перейти непосредственно к основной оптимальной белой точке. В более общем случае с вырожденной точкой может быть связано множество двойных оснований, которые не позволяют покинуть вырожденную точку. С двойственной точки зрения это означает, что мы должны двигаться вдоль всего двойственного неразрешимого многогранника, не улучшая двойственную целевую функцию. Поэтому, оказавшись в вырожденной точке, крайне важно найти правильную ассоциированную двойственную точку, которая даст нам способ выбраться из вырожденной точки.

Двойная переменная стабилизация (DVS) следует этой идее. Было доказано, что такие случаи эффективны, особенно в случае генерации столбцов. Идея состоит в том, что как только итерации симплекса дают близкие двойственные точки, мы добавляем штраф к двойственным точкам, далеким от тех, которые мы недавно нашли. Прочитайте мою статью о DVS, чтобы лучше понять это.

Подведем итоги

Двойственность дает много удивительных результатов. В частности, очень интересно наблюдать за тем, что происходит в двойственной программе, когда мы применяем симплекс-метод или метод внутренних точек к первичной линейной программе. Для симплекс-метода это, естественно, определяет новый метод, называемый двойным симплекс-методом. Узнайте больше, прочитав мою статью о симплексных методах.

Важным приложением теории двойственности является определение цен на ресурсы. Так обстоит дело с алгоритмом предельной цены местоположения (LMP), используемым на рынках электроэнергии. По сути, этот алгоритм состоит в минимизации общей стоимости производства электроэнергии при ограничениях спроса в каждом географическом месте.

Производные интегралы: Производные и интегралы

alexxlab / / Разное

Огами Производные и интегралы

  • 300 лет Екатеринбургу
  • Акции
  • Книги
    • Художественная литература
      • Художественная литература
      • Детективы
      • Поэзия
      • Фантастика
    • Прикладная литература. Досуг
      • Дом, быт
      • Домашние животные, аквариум, пчеловодство
      • Рукоделие
      • Садоводство
      • Спорт
      • Кулинария
    • Специализированная литература
      • Военная техника и оружие, униформа, награды
      • Эзотерика
      • Философия
      • Искусство, культура, кино и эстрада
      • Архитектура
      • Музыка
      • История
      • Краеведение
      • Мать и дитя
      • Медицина специальная
      • Медицина и здоровье
      • Наука и техника
      • Автомобильная тематика
      • Компьютер
      • Психология
      • Экономическая литература
      • Юридическая литература
    • Детская литература
      • Детская школьная
      • Детская дошкольная
      • Раскраски
      • Энциклопедии школьные, дошкольные
    • Учебная и методическая литература. Словари
      • Учебная школьная литература
      • Универсальные энциклопедии (справочники)
      • Методика (школьная)
      • Методика (дошкольная)
      • Иностранные языки (словари, разговорники, самоучители, курсы)
      • Иностранные языки (школьные учебники)
    • Литература на иностранных языках
      • Иностранные языки (худож. )
    • Комиксы
      • Показать все книги
  • Подарки и сувениры
  • Игры и игрушки
  • Товары для творчества
  • Календари
  • Канцтовары
  • Карты и путеводители
  • Наука и техника

Кнопка

Назначение

1

2

(,)

С помощью круглых скобок (правой или левой) задается порядок вычислений. Допускается до 25 вложений.

A, B, C, D, E, F

Используется при наборе шестнадцатеричных чисел

And Or Not Xor Lsh

Используется при выполнении логических операций

Ave

Определение среднеарифметического значения введенных данных

Cos

Вычисление косинуса (при установленном флажке Inv — арккосинуса

Dat

Используется после окончания набора списка чисел

Dms

Представление значения угла в градусах – минутах- секундах

Exp

Ввод чисел в экспоненциальной форме

F – E

Переключатель режима отображения индикатора: обычная и экспоненциальная форма представления чисел

Int

Оставляет на индикаторе целое число без дробной части

Ln

Вычисление натурального логарифма

Log

Вычисление десятичного логарифма

Mod

Вычисление остатка от деления

N!

Вычисление факториала числа N

PI

Число 3,14

S

Расчет стандартного отклонения для n-1 чисел, при установленном флажке Inv – для n чисел

Sin

Вычисление синуса (при установленном флажке Inv- арксинуса)

Sta

Используется при статистических расчетах

Sum

Сумма введенных чисел, дополнительное использование

Tan

Расчет тангенса (при установленном флажке Inv – арктангенса)

X^ 2

Возведение числа Х в квадрат

X ^3

Возведение числа Х в третью степень

X ^y

Возведение числа Х в степень у

Кнопка

Клавиша

Кнопка

Клавиша

1

2

3

4

%

%

Ln

N

+/-

F9

log

L

And

&

Lsh

<

Ave

Ctrl+A

M+

CTRL+P

Back

BACKSPACE

MC

CTRL+L

Bin

F8

Mod

%

Byte

F4

N!

!

C

ESC

Not

—

CE

DEL

o

Ctrl+D

Cos

O

Oct

F7

Dat

Ins

Or

I

Dec

F6

PI

P

Deg

F2

Rad

F3

Dms

M

S

Ctrl+D

Exp

X

sin

S

F-E

V

Sta

Ctrl+S

Grad

F4

Sum

Ctrl+t

Hex

F5

tan

T

Hyp

H

X^ 2

@

In

N

X ^3

#

Int

;

X^y

Y(U)

Inv

I

Xor

^

№

Операция

Нажимаемые клавиши

Результат

1

2

3

4

1

125 +17

1;2;5;+;1;7;=

142

2

32 : 4

3;2;/;4;=

8

3

1;2;2;5;sqrt;=

35

4

Обратная величина числа 9

9;1/х

0,11111111

5

30% от числа 250

2;5;0; + или — ;3;0;%

75

6

5!

5;!

120

7

Остаток от деления 57 на 6

5;7;Mod;6;=

3

8

5 в степени 7, т. е. 50000000

5;exp;2;7

5е+07

9

arcsin(0,5)

0.5; Inv; sin

30

10

23;ху;(1/8)

1,479

» охватывает такие насущные вопросы, как:

  • Что такое Божья Любовь и чем она отличается от человеческой любви?
  • Почему так важно знать, что Бог любит нас? Как мы можем быть уверены?
  • Что на самом деле означает любить (agapao) Бога на практике?
  • Как мы искренне любим других, как самих себя? Что, если у нас есть «оправданные» причины не любить их?

Эта серия предназначена для индивидуального, группового или коллективного изучения Библии. Учебники и DVD также доступны.

Copyright © 01-04-1996

Доступно в следующих форматах:

Руководство руководителя:

  • Печатное руководство

    Также могут быть доступны в других форматах…

    Нэнси Мисслер

    Нэнси Мисслер, воспитывая четверых детей, коснулась жизней тысяч людей своим углубленным изучением библейских открытий в своих книгах и сериях кассет «Путь Агапе» и «Преображение». Нэнси скончалась 11 ноября 2015 года.

      Обратите внимание: Взгляды и мнения, высказанные здесь, не обязательно принадлежат Koinonia House.

      электронная книга | Королевский путь | Нэнси Мисслер

      Путь изучения Агапе

      Поддержите свое изучение Библии, используя любой из этих материалов вместе с Нэнси Мисслер!

      Путь Агапе — это подробный взгляд на то, что Библия говорит о Божьей любви. Однако эта классическая работа Нэнси Мисслер не только академическая. Нэнси начала это исследование, чтобы понять, как Божья Любовь спасла ее брак и жизнь. Это работа не только чрезвычайно практическая, но и очень личное свидетельство.
      Учебное пособие теперь включено в учебник!
      Перейдите сюда для более подробного описания.



       

      Семинар DVD «Путь Агапе».  Не было бы здорово посетить семинар Нэнси Мисслер? Теперь вы можете! С этим набором DVD вы сможете отлично провести ВОСЕМЬ ЧАСОВ с Нэнси, которая покажет вам идеи, о которых она написала в своей книге.
      Нэнси сказала, что Агапе «не только спасла наш брак и исцелила нашу семью, но и позволила мне испытать Его Любовь к другим людям так, как я никогда не считала возможным; иметь возможность любить их и принимать их, даже когда они подводят меня и подводят».
      Эта серия была записана перед живой аудиторией в течение нескольких недель.
        

       

      АУДИО СЕМИНАРА.  Эта аудиоверсия семинара Нэнси позволяет вам получить доступ к обучению, когда вы находитесь в дороге. Независимо от того, слышите ли вы это впервые или освежаете в памяти важный раздел, полезно иметь возможность слушать в любой обстановке. Аудиоверсия представляет собой саундтрек с DVD, так что вы не пропустите ни слова из того, что говорит Нэнси. ( Это НЕ загрузка ; если вам нужна загрузка, см. раздел «Загрузки» ниже.)

      MP3 на диске

      Набор из 8 компакт-дисков


       
       
       
       

      РУКОВОДСТВО ЛИДЕРА.  Независимо от того, являетесь ли вы опытным руководителем по изучению Библии или руководите группой впервые, это руководство для руководителя разработано так, чтобы вам было легко.

      Руководство содержит все ответы на вопросы по изучению рабочей тетради; план каждой сессии; и компакт-диск со всеми диаграммами из книги.
        

       

      ПАКЕТ ЛИДЕРА со СКИДКОЙ.  Этот пакет отлично подходит для руководителей изучения Библии. Учебник теперь включает в себя вопросы учебного пособия внутри книги. DVD включает в себя 8 часов обучения в рамках 8 сессий. Руководство для руководителей представляет собой папку с тремя кольцами, в которой содержатся инструкции по фасилитированию, вопросы и ответы к учебному пособию, а также компакт-диск, на котором вы можете распечатать схемы на своем компьютере, чтобы улучшить свое преподавание и учебу.

      Помните, что если вы проводите исследование, мы приглашаем вас позвонить и задать любые вопросы, которые могут у вас возникнуть во время подготовки и проведения группового исследования. Вы можете позвонить нам по бесплатному телефону (866) 775-5464.
        

       

      ЗАГРУЗКИ

      Эти элементы доступны для загрузки. За исключением MP3, они в формате PDF. Если у вас нет Adobe Reader, вы можете получить бесплатную копию, нажав ЗДЕСЬ.

      СКАЧАТЬ: Рабочая тетрадь  

      СКАЧАТЬ: Путь Агапе  

      СКАЧАТЬ: Руководство руководителя   9 0003

      СКАЧАТЬ: Семинар по MP3 Audio  


      .

Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным методом: Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

alexxlab / / Разное

Учебное пособие по линейной алгебре

Учебное пособие по линейной алгебре
  

А. П. Громов. Учебное пособие по линейной алгебре. Изд-во «Просвещение». М. 1971 г.

Линейные пространства, линейные преобразования, евклидовы пространства, квадратичные формы.

Для студентов заочных отделений физико-математических факультетов педагогических институтов по курсу высшей алгебры.



Оглавление

Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ
§ 4. БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА
§ 5. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 6. ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ БАЗИСА
§ 8. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 9. ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА ИЛИ ПОДПРОСТРАНСТВО, НАТЯНУТОЕ НА ДАННУЮ СИСТЕМУ ВЕКТОРОВ
§ 10. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 11. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 12. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦЕЙ
§ 13. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 14. СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ БАЗИСАХ
§ 15. ДЕЙСТВИЯ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ И МАТРИЦАМИ. КОЛЬЦО ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И КОЛЬЦО МАТРИЦ
§ 16. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ВЫРОЖДЕННЫЕ И НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. РАНГ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 17. ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ И ИНДУЦИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
§ 18. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 19. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
§ 20. О ПРИВЕДЕНИИ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ
§ 21. О СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРАХ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ
Глава III. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§ 22. ПОНЯТИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. ПРИМЕРЫ
§ 23. ДЛИНА ВЕКТОРА. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. НЕРАВЕНСТВО КОШИ—БУНЯКОВСКОГО
§ 24. ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 25. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ВЕКТОРОВ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ОРТОГОНАЛЬНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО
§ 26. ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 27. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
§ 28. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
§ 29. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
§ 30. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА СИММЕТРИЧЕСКОЕ
§ 31. ТЕОРЕМА О ТРАНСФОРМИРОВАНИИ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ В ДИАГОНАЛЬНУЮ МАТРИЦУ С ПОМОЩЬЮ ОРТОГОНАЛЬНОЙ
Глава IV. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 32. ПОНЯТИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
§ 33. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
§ 34. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 35. НАХОЖДЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИВОДЯЩЕГО ВЕЩЕСТВЕННУЮ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 36. МЕТОД ЛАГРАНЖА ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 37. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
§ 38. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
§ 39. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

Теорема (о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Применим метод индукции по числу n переменных. При n=1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы от n-1 переменных. Рассмотрим квадратичную форму от n переменных: . Пусть – нормированный собственный вектор матрицы С, соответствующий собственному значению . Примем за первый столбец ортогональной матрицы

.

Матрица преобразованной квадратичной формы есть . Так как первый столбец матрицы Т есть собственный вектор , то . Тогда

так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы.

Матрица симметрична, поэтому имеет вид

,

где – симметричная матрица.

Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что

.

Положим .

Матрица Q1 ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицы Q. Тогда

.

Теорема доказана.

Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму , коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицы С, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Пример. Квадратичную форму

привести к каноническому виду.

Решение. Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы

.

Характеристическое уравнение имеет вид

,

откуда .

Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

.

Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение к каноническому виду.

Решая уравнение , найдем собственные векторы

Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим

.

Данная система векторов определяет ортогональную матрицу преобразования переменных . Действительно, Х=ТY, откуда .

Поэтому

Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная форма положительно определена.

Определение. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных.

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

При n=1 квадратичная форма либо положительно определена (при a11>0), либо отрицательно определена (при a11<0). Неопределенные формы появляются при n≥2.

Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма

была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:

.

Доказательство. Используем индукцию по числу переменных, входящих в . Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной , и утверждение теоремы очевидно. Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы , зависящей от n-1 переменных .

1. Доказательство необходимости. Пусть

положительно определена. Тогда квадратичная форма

будет положительно определенной, так как если , то при .

По предположению индукции все главные миноры формы положительны, т.е.

.

Остается доказать, что .

Положительно определенная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием Х=ВY приводится к каноническому виду

.

Квадратичной форме соответствует диагональная матрица

с определителем .

Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В, преобразует матрицу С квадратичной формы в матрицу . Но так как то .

2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны: .

Докажем, что квадратичная форма положительно определена. Из предположения индукции вытекает положительная определенность квадратичной формы . Поэтому невырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду . Сделав соответствующую замену переменных и положив , получим

,

где – какие-то новые коэффициенты.

Осуществляя замену переменных , получим

.

Определитель матрицы этой квадратичной формы равен , а так как знак его совпадает со знаком , то , и, значит, квадратичная форма – положительно определена. Теорема доказана.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы

были положительны. Но это означает, что

т.е. что знаки главных миноров матрицы C чередуются, начиная со знака минус.

Пример. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной.

а) .

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид:

.

Вычислим главные миноры матрицы С:

Квадратичная форма положительно определена.

б) .

Решение. Вычислим главные миноры матрицы

Квадратичная форма является неопределенной.

В заключение сформулируем следующую теорему.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.

T D_j Q_j = H $$

$$ H = \left( \начать{массив}{ррр} 6 & — 1 & 0 \\ — 1 и 6 & — 1\ 0 & — 1 & 6 \\ \конец{массив} \верно) $$

============================================

$$ E_{1} = \left( \начать{массив}{ррр} 1 & \ frac { 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) $$ $$ P_{1} = \left( \начать{массив}{ррр} 1 & \ frac { 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) , \; \; \; Q_{1} = \влево( \начать{массив}{ррр} 1 & — \frac{ 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) , \; \; \; D_{1} = \влево( \начать{массив}{ррр} 6 и 0 и 0 \\ 0 & \frac{ 35 }{ 6 } & — 1 \\ 0 & — 1 & 6 \\ \конец{массив} \верно) $$

============================================

$$ E_{2} = \left( \начать{массив}{ррр} 1 и 0 и 0 \\ 0 & 1 & \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) $$ $$ P_{2} = \слева( \начать{массив}{ррр} 1 & \ frac { 1 }{ 6 } & \ frac { 1 }{ 35 } \\ 0 & 1 & \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) , \; \; \; Q_{2} = \влево( \начать{массив}{ррр} 1 & — \frac{ 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 1 & — \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) , \; \; \; D_{2} = \влево( \начать{массив}{ррр} 6 и 0 и 0 \\ 0 & \ гидроразрыв { 35 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 204 }{ 35 } \\ \конец{массив} \верно) $$ 9Т Н Р = D $$ $$\слева( \начать{массив}{ррр} 1 и 0 и 0 \\ \ frac { 1 }{ 6 } & 1 & 0 \\ \ frac { 1 }{ 35 } & \ frac { 6 }{ 35 } & 1 \\ \конец{массив} \верно) \левый( \начать{массив}{ррр} 6 & — 1 & 0 \\ — 1 и 6 & — 1\ 0 & — 1 & 6 \\ \конец{массив} \верно) \левый( \начать{массив}{ррр} 1 & \ frac { 1 }{ 6 } & \ frac { 1 }{ 35 } \\ 0 & 1 & \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) = \ влево( \начать{массив}{ррр} 6 и 0 и 0 \\ 0 & \ гидроразрыв { 35 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 204 }{ 35 } \\ \конец{массив} \верно) $$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\слева( \начать{массив}{ррр} 1 и 0 и 0 \\ — \ frac { 1 }{ 6 } & 1 & 0 \\ 0 & — \frac{ 6 }{ 35 } & 1 \\ \конец{массив} \верно) \левый( \начать{массив}{ррр} 6 и 0 и 0 \\ 0 & \ гидроразрыв { 35 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 204 }{ 35 } \\ \конец{массив} \верно) \левый( \начать{массив}{ррр} 1 & — \frac{ 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 1 & — \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) = \ влево( \начать{массив}{ррр} 6 & — 1 & 0 \\ — 1 и 6 & — 1\ 0 & — 1 & 6 \\ \конец{массив} \верно) $$ 92 + 2а_{12} х_{1}х_{2} + 2а_{13}х_{1}х_{3} + 2а_{23}х_{2}х_{3} \\ \поэтому A = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$

Теперь запишем

$A = IAI \ \ \поэтому \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Теперь при работе с изменением строки на L.

Факториал от отрицательного числа: факториал отрицательного числа — Спрашивалка

alexxlab / / Разное

Существуют ли отрицательные факториалы? – Обзоры Вики

so факториал отрицательного числа невозможен. Факториалы действительных отрицательных целых чисел имеют мнимую часть, равную нулю, таким образом, являются действительными числами. Точно так же факториалы мнимых чисел являются комплексными числами.

Следовательно, существует ли 1 факториал? Факториал определен только для натуральных чисел и нуля. Так что по определению (-1)! не существует.

Почему существуют факториалы? Это очень полезно, когда мы пытаемся подсчитайте, сколько существует различных заказов на вещи или сколько различных способов мы можем комбинировать вещи. Например, сколькими различными способами мы можем расположить n вещей? У нас есть n вариантов для первого.

Дополнительно Как решить 7 факториала?

  1. Чтобы получить 6!, умножьте 120 на 6, чтобы получить 720.
  2. Чтобы получить 7!, умножьте 720 на 7, чтобы получить 5040.
  3. И так далее.

Для чего используются факториалы в реальной жизни?

Это очень полезно, когда мы пытаясь подсчитать, сколько различных порядков существует для вещей или сколько различных способов мы можем комбинировать вещи. Например, сколькими различными способами мы можем расположить n вещей? У нас есть n вариантов для первого действия.

Всегда ли факториалы четны? Факториал каждого числа больше единицы будет содержать по крайней мере одно кратное двум, поэтому все остальные факториалы четны.

Для чего используются факториалы? Обычно используется Факториальные функции для расчета комбинаций и перестановок. Благодаря Факториалу вы также можете рассчитывать вероятности.

Кто изобрел факториал?

Одним из самых основных понятий перестановок и комбинаций является использование факториальной записи. Используя понятие факториалов, многие сложные вещи упрощаются. Использование! был начат Кристиан Крамп в 1808 году.

Также является ли отрицательный факториал нулем? Факториалы отрицательных действительных чисел являются комплексными числами. При отрицательных целых числах мнимая часть комплексных факториалов равна нулю., а факториалы для -1, -2, -3, -4 равны -1, 2, -6, 24 соответственно.

Как быстро вычислить факториал?

Как решить 5 факториалов?

Чтобы найти факториал 5 или 5!, просто используйте формулу; то есть перемножьте все целые числа от 5 до 1. Когда мы используем формулу для нахождения 5!, мы получаем 120. Итак, 5! = 120.

Как быстро решать факториалы?

Как решить 5 факториалов? Чтобы найти факториал 5 или 5!, просто используйте формулу; то есть перемножьте все целые числа от 5 до 1. Когда мы используем формулу для нахождения 5!, мы получаем 120. Итак, 5! = 120.

Что противоположно факториалу?

Обратный факториал” является, конечно, обратной факториальной функцией: Поскольку 1!= 1, факториал–1(1) = 1, 2! = 2 так факториал–1(2)= 2.

В какой математике используются факториалы? Факториальную функцию можно найти в различных областях математики, в том числе алгебра, математический анализ и комбинаторика. Начиная с 1200-х годов для подсчета перестановок использовались факториалы. Обозначение факториала (n!) было введено в начале 1800-х годов французским математиком Кристианом Крампом.

Может ли факториал быть нечетным?

Термин нечетный факториал иногда используется для двойной факториал нечетного номер.

Какие факториалы нечетны?

Факториал натурального числа n — это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных n. … включает только нечетные целые числа а для четного целого числа n произведение, определяющее n!! включает только четные целые числа. Например, 7!!

Для чего используется Сигма? Простая сумма

Символ Σ (сигма) обычно используется для обозначают сумму нескольких членов. Этот символ обычно сопровождается индексом, который варьируется, чтобы охватить все термины, которые необходимо учитывать в сумме.

Программа на C++ для рассчета факториала

Основы Unreal Engine 5

Пройдя курс:

— Вы получите необходимую базу по Unreal Engine 5

— Вы познакомитесь с множеством инструментов в движке

— Вы научитесь создавать несложные игры

Общая продолжительность курса 4 часа, плюс множество упражнений и поддержка!

Чтобы получить Видеокурс,
заполните форму

E-mail:
Имя:

Другие курсы

11 шагов к созданию своей Web-студии

После семинара:

— Вы узнаете главное отличие богатых от бедных.

— Вы увидите разоблачения множества мифов об успешности и о бизнесе.

— Вы получите свой личный финансовый план прямо на семинаре.

— Мы разберём 11 шагов к созданию своей успешной Web-студии.

— Я расскажу о своих личных историях: об успешных и неуспешных бизнесах. Это мой многолетний опыт, которым я поделюсь с Вами.

Записаться

Другие курсы

Человек не будет наслаждаться едой и питьем, если не перестрадает от голода и жажды.

Аврелий Августин

Факториал числа — это произведение всех целых чисел от 1 до этого числа. Факториал может быть определен только для целых положительных чисел.

Факториал отрицательного числа не существует. А факториал 0 равен 1.

Например,

Факториал положительного числа n, скажем 5, обозначается через 5! и задается как:


5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

Итак, математическая логика для факториала такова:


n! = 1 * 2 * 3 * ... * n
n! = 1 если n = 0 или n = 1

В приведенной ниже программе пользователю предлагается ввести положительное целое число. Затем вычисляется факториал этого числа и отображается на экране.


// подключаем заголовочный файл для std::cout, std::cin
#include <iostream>

int main() 
{
    int n;
    long double factorial = 1.0;

    cout << "Введите положительное число: ";
    // записываем введенное число в ранее объявленную переменную
    cin >> n;

    if (n < 0)
    {
        cout << "Ошибка! Факториал отрицательного числа не существует.";
    }
    else 
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            factorial *= i;
        }
        cout << "Факториал числа " << n << " = " << factorial;    
    }

    return 0;
}

Вывод:


$ ./factorial_cpp

Введите положительное число: 12
Факториал числа 12 = 479001600

В этой программе мы получаем положительное целое число от пользователя и вычисляем факториал с помощью цикла for. Если пользователь вводит отрицательное число, выводим сообщение об ошибке.

Мы объявили тип переменной factorial как long double, поскольку факториал числа может быть очень большим.

Когда пользователь вводит положительное целое число (скажем, 5), выполняется цикл for и вычисляет факториал. Значение i изначально равно 1.

Программа выполняется до тех пор, пока утверждение i меньше n не станет ложным. При этом на экране выводится факториал 5 = 120.

Стоит отметить, что эта программа может вычислять факториал только для n = 1754 или некоторого целого значения, близкого к нему. Значения больше 1754 уже не будут отображаться корректно, поскольку результаты превышают емкость переменной factorial.

  • Создано 21.07.2022 13:08:19
  • Михаил Русаков

Предыдущая статьяСледующая статья

Копирование материалов разрешается только с указанием автора (Михаил Русаков) и индексируемой прямой ссылкой на сайт (http://myrusakov. ru)!

Добавляйтесь ко мне в друзья ВКонтакте: http://vk.com/myrusakov.
Если Вы хотите дать оценку мне и моей работе, то напишите её в моей группе: http://vk.com/rusakovmy.

Если Вы не хотите пропустить новые материалы на сайте,
то Вы можете подписаться на обновления: Подписаться на обновления

Если у Вас остались какие-либо вопросы, либо у Вас есть желание высказаться по поводу этой статьи, то Вы можете оставить свой комментарий внизу страницы.

Порекомендуйте эту статью друзьям:

Если Вам понравился сайт, то разместите ссылку на него (у себя на сайте, на форуме, в контакте):

  1. Кнопка:
    <a href=»https://myrusakov.ru» target=»_blank»><img src=»https://myrusakov.ru/images/button.gif» alt=»Как создать свой сайт» /></a>

    Она выглядит вот так:

  2. Текстовая ссылка:
    <a href=»https://myrusakov.ru» target=»_blank»>Как создать свой сайт</a>

    Она выглядит вот так: Как создать свой сайт

  3. BB-код ссылки для форумов (например, можете поставить её в подписи):
    [URL=»https://myrusakov. ru»]Как создать свой сайт[/URL]
{-1}}{\color{red}{(-1+1)}\dots(-1+n)}$$

Ах… так что отрицательные целые числа приводят к делению на ноль. Пойди разберись, прочитаешь ли ты ответ Акивы Вайнбергера. Но мы можем делать с этим забавные штуки, например…

$$(1/2)!=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\sqrt{n+1}}{\left (\frac12+1\right)\dots\left(\frac12+n\right)}$$

И если вы посмотрите на этот график, то увидите, что

$$(1/2)!= \frac{\sqrt\pi}2$$

Это касается и отрицательных чисел. Действительно, в схему можно было бы включить и комплексные числа: 9i}{(i+1)\dots(i+n)}$$

Другие формы расширенного факториала (гамма-функции) можно найти в Википедии:

Гамма-функция Из Википедии, свободной энциклопедии

Как найти факториал десятичного или отрицательного числа и что он нам показывает?

Как уже было отмечено @ncmathsadist, гамма-функция $$\Gamma(z)=(z-1)!$$ может быть расширена до мероморфной функции, определенной на комплексной плоскости без неположительных целых чисел.

92(k-2n+\frac{1}{2})} \конец{выравнивание*} мы получаем \начать{выравнивать*} f(n)=\binom{4n}{2n} {}_{3}F_{2}\left(-2n,-2n,\frac{1}{2};1,-2n+\frac{1} {2};1\справа) \end{align*}

Получается, что этот гипергеометрический ряд соответствует тождеству Диксона и

получаем \начать{выравнивать*} f(n)=\binom{4n}{2n}\frac{(-n)!(-2n-\frac{1}{2})!(n-\frac{1}{2})}{( -2n)!n!(-n-\frac{1}{2})!(-\frac{1}{2})!}\tag{1} \конец{выравнивание*}

На первый взгляд это выражение выглядит довольно удручающе, так как оно содержит факториалы отрицательные целые числа , которые являются именно теми значениями, где гамма-функция не определена!

Облако: У нас есть отношение двух факториалов с отрицательными целыми числами, и если мы сможем принять соответствующий предел, сингулярности отменятся, оставив приятное предельное отношение. Как отмечают авторы, такая ситуация возникает довольно часто при использовании данного подхода.

5 умножить на 200: Онлайн калькулятор. Умножение столбиком

alexxlab / / Разное

Как научиться быстро считать в уме? — Meduza

1

Зачем в уме, когда можно на калькуляторе или в столбик?

Минимальные навыки счета, чувство числа — такой же элемент общечеловеческой культуры, как грамотное письмо и речь, владение иностранным языком, базовое представление об искусстве и окружающем мире.

Кроме того, когда вы легко считаете без подручных средств, вы чувствуете совершенно другой уровень управления реальностью — вы заранее знаете, сколько сдачи вам дадут в магазине или стоит ли набиваться всемером в лифт грузоподъемностью 400 килограммов.

Подумайте и о том, что калькулятор и действия в столбик — это же такая разновидность магии. Скорее всего, вы не понимаете, как это работает, и вынуждены просто доверять им. А когда вы хорошо понимаете, как устроены математические операции и можете их воспроизвести «руками», ваше чувство контроля (и уверенности в себе) получает серьезный бонус.

И наконец, устный счет развивает ваши ментальные способности: внимание, память, концентрацию, переключение между несколькими потоками мышления, а также может послужить средством для медитации или отвлечения от грустных мыслей.

2

Но где брать задания для тренировки? Самому себе примеры придумывать?

Конечно, нет. В сети полно мобильных приложений, которые предложат вам тренировку математических навыков на любой вкус.

При выборе учтите, что хорошее приложение, как минимум, должно обладать достаточно гибкими настройками сложности и вести статистику решенных вами заданий.

Попробуйте эти приложения под iOS и Android или поищите альтернативные варианты в App Store и Google Play.

3

А как именно нужно тренироваться?

Основных математических действий всего четыре — сложение, вычитание, умножение и деление. У каждого действия есть свои особенности, но они не сложные. Надо один раз разобраться, а потом тренироваться минут по 5−10 в день, и очень скоро вы почувствуете, что считаете лучше. Скорее всего, за два-три месяца вы выйдете на достаточно приличный уровень, который можно будет поддерживать эпизодическими тренировками.

4

И с чего же начать?

Начните с самого простого уровня — сложения однозначных чисел, и доведите его до совершенства: 99% правильных ответов, на каждый ответ 1−2 секунды. Для решения примеров «с переходом через 10» попробуйте использовать следующую технику — «Опора на десяток».

Допустим, вам нужно сложить 8 и 7.

1) Спросите себя, сколько числу 8 не хватает до 10 (это 2).

2) Представьте 7 как сумму 2 и какого-то второго кусочка (это 5).

3) Прибавляйте к 8 сначала ту часть числа 7, которой недоставало до 10, а потом тот второй кусочек — получится 10 и 5, и это, конечно, 15.

5

Как складывать многозначные числа?

Здесь самый важный принцип — это сложение одинаковых разрядов друг с другом. Разбив оба числа на «разрядные части», начните складывать со старших разрядов — тысячи с тысячами, сотни с сотнями, десятки с десятками, единицы с единицами. То, что получится, при необходимости укрупняйте и снова считайте все вместе.

Например, как сложить 456 и 789?

1) 456 состоит из трех разрядных частей — 400, 50 и 6.

789 тоже разбивается на три разрядные части — это 700, 80 и 9.

2) Складываем сотни с сотнями: 400+700 = 1100, десятки с десятками: 50+80 = 130, единицы с единицами: 6+9 = 15.

3) Укрупняем, разбивая на удобные части, снова группируем и складываем одинаковые разряды: 1100+130+15 — это 1100+100+30+10+5, то есть, 1200+40+5 = 1245.

Поправка. При сложении разрядов мы перепутали единицы и к 6 прибавили 8 вместо 9. В итоге сумма тоже оказалась неправильной — 1244 вместо 1245. Приносим извинения за ошибку, и не повторяйте ее — внимательно следите за числами, особенно в устном счете!

6

Что насчет вычитания?

И здесь надо начинать с базового уровня — вычитания однозначного числа из чисел первого и второго десятка — и довести этот навык до совершенства. Как и в случае сложения, проблемы обычно возникают с вычитанием «с переходом через 10». И здесь поможет аналогичный способ «опоры на десяток».

Допустим, нам нужно из 12 вычесть 8.

1) Спросим себя, сколько нужно отнять от 12, чтобы получилось 10 (это 2).

2) Будем из 12 вычитать 8 по частям — сначала вычтем эту 2, а потом все остальное. А остальное — это сколько? (это 6).

3) После вычитания 2 из 12 мы получили 10, и нужно вычесть еще 6, получится 4. Готово!

7

А что с многозначными числами? С ними все сложно?

Не особенно. Важно только не путать технику вычитания с техникой сложения. При сложении нам было удобно разбивать каждое из чисел на разрядные части, а здесь мы разбиваем только то число, которое вычитаем.

Итак, допустим, нам нужно вычесть 512−259.

1) Число 259, которое мы вычитаем, состоит из трех разрядных частей — 200, 50 и 9. Их-то по очереди мы и вычтем.

2) 512−200 — вычитание сотен никак не затрагивает десятков и единиц числа 512, влияет только на сотни, так что результат будет такой — 312.

3) Из того, что получилось после вычитания сотен, теперь вычтем десятки, 312−50.

Это похоже на вычитание через десяток. Вычтем из 312 сначала 10 до целых сотен (единицы не будут затронуты), получим 302. А потом вычтем все остальное (всего нужно было вычесть 50, 10 уже вычли, осталось вычесть 40), получается 262.

4) Осталось вычесть единицы: 262−9.

Чистый переход через десяток — вычитаем сначала 2, получим 260, а потом вычитаем остальную часть, 7, получаем 260−7 = 253. Вот и ответ.

8

Как устроено умножение?

Начнем с умножения однозначных чисел. Для начала нужно вспомнить, что умножение — это когда несколько раз складывают одно и то же. Например, умножить 4 на 7 означает сложить четыре семерки. Пользуясь техникой сложения, мы можем легко посчитать — две семерки, 7 и 7, будет 14, если еще добавить третью 7, получится 21, и, добавляя последнюю, четвертую семерку, в результате получим 28.

Постепенно в результате тренировок вы запомните удобные вам опорные значения умножения и с их помощью сможете быстрее вычислять соседние. Например, если нужно умножить 6 на 7 (то есть, сложить шесть семерок), а вы помните, что 5 умножить на 7 (то есть, сложить пять семерок) будет 35, то чтобы получить итоговый результат, нужно просто добавить шестую семерку — получится 42.

Самым сложным примером в таблице умножения считается 7∙8. Для его запоминания есть неплохое мнемотехническое правило «пять шесть семь восемь», которое означает 56 = 7∙8.

9

Как умножать многозначное число на однозначное?

Разберем на примере. Допустим, нам нужно умножить 468 на 6.

1) 468 состоит из 400, 60 и 8, и все это нужно умножить на 6. Что ж, по отдельности эти задачи не сложнее умножения однозначных чисел.

2) Идем от старшего разряда к младшему: 400∙6 = 2400 (поскольку 400 в 100 раз больше, чем 4, то и результат 400∙6 будет в 100 раз больше, чем результат 4∙6).

Соответственно, 60∙6 = 360, а 8∙6 = 48.

3) А теперь, как при сложении, складываем все это вместе, группируя одинаковые разряды:

(2000+400)+(300+60)+(40+8) = [перегруппируем] =

= 2000+(400+300)+(60+40)+8 = [сложим одинаковые разряды] =

= 2000+700+100+8 = [сгруппируем и сложим одинаковые разряды] =

= 2000+800+8 = [дальше укрупнять нечего, получаем ответ] = 2808.

10

Как перемножать двузначные числа?

Для обычного человека это уже высший пилотаж! Если вы освоили умножение двузначных, считайте, что вы приняты в мир элиты устного счета. Но на самом деле, и тут ничего принципиально сложного нет, просто выше нагрузка на краткосрочную память (заодно и потренируем ее).

Итак, например, умножим 78 на 56. Это означает, что нам нужно число 78 сложить («взять») 56 раз.

1) Эти 56 раз можно разбить на этапы — сначала 78 сложим 50 раз, потом 6 раз, а потом объединим результаты.

2) Число 78 сложить 50 раз несложно — это в 10 раз больше, чем сложить его 5 раз. 78∙5 = 70∙5+8∙5 = 350+40 = 390. А значит, 78∙50 = 3900, запомним это число.

3) Теперь посчитаем 78∙6 = 70∙6+8∙6 = 420+48 = 468.

4) Ну а теперь сложим вместе оба результата: 3900+468 = 3000+900+400+60+8 = 3000+1300+60+8 = 4368. Вуаля!

Поправка. На заключительном этапе при сложении 3900 и 468 мы неправильно разбили второе число на разряды — забыли про 60. В итоге в сумме получилось 4308. Приносим извинения за ошибку, и не повторяйте ее — нельзя терять в устном счете слагаемые.

11

Ничего себе, осталось последнее только действие, деление?

Да, мы на финишной прямой. И снова начнем с самого простого уровня: деления на однозначное число тех чисел, которые знакомы нам по умножению однозначных.

Итак, что же такое деление? По сути, это «обратная» операция к умножению.

Например, разделить 56 на 7 — значит подобрать такое число, что если его умножить на 7, то получится 56. Поскольку вы к этому моменту уже хорошо ориентируетесь в таблице умножения, то наверняка вспомните, что именно 8, умноженное на 7, дает 56. Значит, искомое число — это 8, 56:7 = 8.

И так всегда — вспоминайте, какое число при умножении дает нужный результат — это и есть то число, которое вам нужно.

12

Как делить многозначные числа на однозначное?

Давайте разделим 6144 на 8. Наш способ — «отрезать» от исходного числа максимальные «круглые» части, каждая из которых будет гарантированно делиться на 8 по таблице умножения.

1) Выделим из 6144 как можно большую часть, которая делится на 8 по таблице умножения. Это будет 5600, ведь 56 делится на 8, а следующее число, которое делится на 8 — это уже 64, что нам не подходит, так как 6400 больше, чем 6144. Прекрасно, 6144 — это 5600 и 544 (тут нам пригодился навык вычитания).

По ходу дела будем делить:

6144:8 = [выделяем максимальную удобную круглую часть] =

= (5600+544):8 = [выделенную часть делим на 8, а со второй поработаем на следующем шаге] =

= 700+544:8. 

700 запомним как частичный результат, а сами займемся делением 544:8.

2) Аналогично, из числа 544 самая большая часть, которую можно удобно разделить на 8 по таблице умножения, это 480 (ведь 48 делится на 8, а следующее число — 56 — нам не подходит, т. к. 560 > 544). Итак, 544 = 480+64.

Продолжаем деление:

544:8 = [выделяем максимальную удобную круглую часть] =

= (480+64):8 = [выделенную часть делим на 8, а со второй поработаем на следующем шаге] =

= 60+64:8.

60 добавим к 700, 700+60 = 760 — запомним это как вторую часть результата и перейдем к последнему делению, 64:8.

3) Оставшийся кусочек, 64, тоже делится на 8 по таблице умножения, 64:8 = 8.

Соответственно, полный результат деления — это 760+8=768. Все!

13

Как делить на двузначное число?

Техника деления на двузначное число — самая разнообразная, непохожая ни на что, изысканная. Познакомимся с ней на примере 5148:66.

1) Подгадаем, в каком десятке лежит наш результат. Напомним, что 5148:66 означает: мы ищем число, которое при умножении на 66 даст 5148. Будем использовать технику «пристрелки». 

Просто наугад попробуем число 20 как возможного кандидата. 20∙66 = 1320, это раза в 4 меньше, чем 5148, которое нам нужно. 

В 4 раза больше, чем 20 — это 80, попробуем его. 80∙66 = 5280, получилось больше, чем нужное 5148, но немного, скорее всего, это «верхний» десяток. 

Проверим для надежности 70, предыдущий перед 80 десяток. 70∙66 = 4620, это как раз меньше 5148, отлично! Значит, число, которое мы ищем, лежит между 70 и 80.

2) Воспользуемся математическим законом о последней цифре результата умножения двух чисел.

Оказывается, она всегда совпадает с последней цифрой результата умножения последних цифр этих чисел (попробуйте подумать, почему это так). Например, на какую цифру закончится 1234∙5678? На ту же, что и 4∙8, то есть на 2 (4∙8 = 32). 

Поэтому, если мы ищем число, которое при умножении на 66 даст 5148, то чтобы гарантировать эту 8 на последнем месте, искомое число может заканчиваться только либо на 3, либо на 8 (3∙6 = 18, 8∙6 = 48).

3) С такими окончаниями между 70 и 80 у нас два всего кандидата — 73 и 78. 

5148 явно ближе к 5280, поэтому сперва проверим 78.

78∙66 = 78∙60+78∙6 = 4680+468 = 5000+148 = 5148, ура! 

(Ну а если бы результат не сошелся, то мы бы проверили второе число, и оно бы уже точно подошло).

14

Какие рекомендации напоследок?

Вот, в общем-то, и все способы, которые достаточно знать для тренировки уверенного счета в пределах 10000 (а умение работать в уме с большими числами, пожалуй, уже выходит за рамки необходимого общего развития).

Наверняка вы также столкнетесь с другими приемами, т. н. «хитростями» быстрого счета, но не торопитесь увлекаться ими. Кроме того, помните, что регулярность важнее интенсивности — старайтесь заниматься на тренажере каждый день по 5−10 минут, больше не нужно, иначе велик риск «перегореть» и забросить. 

В процессе занятия никуда не торопитесь — ловите свой ритм, делайте упор на правильность ответов, а не на скорость, скорость придет потом.

Обязательно пробуйте проговаривать свои действия вслух, особенно на первых порах — у вас будет шанс почувствовать, как все это похоже на стихи, да и решать так будет проще.

И не расстраивайтесь, если что-то не выходит — дорогу осилит идущий, и рано или поздно у вас точно все получится.

Как освоить устный счёт школьникам и взрослым

27 сентября 2021 Ликбез Образование

Лайфхакер подобрал простые советы, сервисы и приложения.

Кроме отличных оценок по математике, умение считать в уме даёт массу преимуществ на протяжении всей жизни. Упражняясь в вычислениях без калькулятора, вы:

  • Держите мозг в тонусе. Для эффективной работы интеллект, как и мускулатура, нуждается в постоянных тренировках. Счёт в уме развивает память, логическое мышление и концентрацию, повышает способность к обучению, помогает быстрее ориентироваться в ситуации и принимать правильные решения.
  • Заботитесь о своём психическом здоровье. Исследования показывают, что при устном счёте задействованы участки мозга, ответственные за депрессию и тревожность. Чем активнее работают эти зоны, тем меньше риск неврозов и чёрной тоски.
  • Страхуетесь от проколов в бытовых ситуациях. Способность быстро посчитать сдачу, размер чаевых, количество калорий или проценты по кредиту защищает вас от незапланированных трат, лишнего веса и мошенников.

Освоить приёмы быстрого счёта можно в любом возрасте. Не беда, если сначала вы будете немного «тормозить». Ежедневно практикуйте основные арифметические операции по 10–15 минут и уже через пару месяцев достигнете заметных результатов.

Как научиться складывать в уме

Суммируем однозначные числа

Начните тренировку с элементарного уровня — сложения однозначных чисел с переходом через десяток. Эту технику осваивают в первом классе, но почему-то часто забывают с возрастом.

  • Предположим, вам нужно сложить 7 и 8.
  • Посчитайте, сколько семёрке не хватает до десяти: 10 − 7 = 3.
  • Разложите восьмёрку на сумму трёх и второй части: 8 = 3 + 5.
  • Добавьте вторую часть к десяти: 10 + 5 = 15.

Тот же приём «опоры на десятку» используйте при суммировании однозначных чисел с двузначными, трёхзначными и так далее. Оттачивайте простейшее сложение, пока не научитесь совершать одну операцию за пару секунд.

Суммируем многозначные числа

Основной принцип — разбить слагаемые числа на разряды (тысячи, сотни, десятки, единицы) и суммировать между собой одинаковые, начиная с самых крупных.

Допустим, вы прибавляете 1 574 к 689.

  • 1 574 раскладывается на четыре разряда: 1 000, 500, 70 и 4. 689 — на три: 600, 80 и 9.
  • Теперь суммируем: тысячи с тысячами (1 000 + 0 = 1 000), сотни с сотнями (500 + 600 = 1 100), десятки с десятками (70 + 80 = 150), единицы с единицами (4 + 9 = 13).
  • Группируем числа так, как нам удобно, и складываем то, что получилось: (1 000 + 1 100) + (150 + 13) = 2 100 + 163 = 2 263.

Основная сложность — удержать в голове все промежуточные результаты. Упражняясь в таком счёте, вы заодно тренируете память.

Как научиться вычитать в уме

Вычитаем однозначные числа

Снова возвращаемся в первый класс и оттачиваем навык вычитания однозначного числа с переходом через десяток.

Предположим, вы хотите отнять 8 от 35.

  • Представьте 35 в виде суммы 30 + 5.
  • Из 5 вычесть 8 нельзя, поэтому раскладываем 8 на сумму 5 + 3.
  • Вычтем 5 из 35 и получим 30. Затем отнимем от 30 оставшуюся тройку: 30 − 3 = 27.

Вычитаем многозначные числа

В отличие от сложения, при вычитании многозначных чисел на разряды нужно разбивать только то, которое вы отнимаете.

Например, вас просят отнять 347 от 932.

  • Число 347 состоит из трёх разрядных частей: 300 + 40 + 7.
  • Сначала вычитаем сотни: 932 − 300 = 632.
  • Переходим к десяткам: 632 − 40. Для удобства 40 можно представить в виде суммы 30 + 10. Сперва вычтем 30 и получим 632 − 30 = 602. Теперь отнимем от 602 оставшиеся 10 и получим 592.
  • Осталось разобраться с единицами, используя всё ту же «опору на десятку». Сперва вычитаем из 592 двойку: 592 − 2 = 590. А затем то, что осталось от семёрки: 7 − 2 = 5. Получаем: 590 − 5 = 585.

Как научиться умножать в уме

Лайфхакер уже писал о том, как быстро освоить таблицу умножения.

Добавим, что наибольшие трудности и у детей, и у взрослых вызывает умножение 7 на 8. Есть простое правило, которое поможет вам никогда не ошибаться в этом вопросе. Просто запомните: «пять, шесть, семь, восемь» — 56 = 7 × 8.

А теперь перейдём к более сложным случаям.

Умножаем однозначные числа на многозначные

По сути, здесь всё элементарно. Разбиваем многозначное число на разряды, перемножаем каждый на однозначное число и суммируем результаты.

Разберём на конкретном примере: 759 × 8.

  • Разбиваем 759 на разрядные части: 700, 50 и 9.
  • Умножаем каждый разряд по отдельности: 700 × 8 = 5 600, 50 × 8 = 400, 9 × 8 = 72.
  • Складываем результаты, разбивая их на разряды: 5 600 + 400 + 72 = 5 000 + (600 + 400) + 72 = 5 000 + 1 000 + 72 = 6 000 + 72 = 6 072.

Умножаем двузначные числа

Тут уже рука сама тянется к калькулятору или хотя бы к бумаге и ручке, чтобы воспользоваться старым добрым умножением в столбик. Хотя ничего сверхсложного в этой операции нет. Просто нужно немного потренировать краткосрочную память.

Попробуем умножить 47 на 32, разбив процесс на несколько шагов.

  • 47 × 32 — это то же, что и 47 × (30 + 2) или 47 × 30 + 47 × 2.
  • Сначала умножим 47 на 30. Проще некуда: 47 × 3 = 40 × 3 + 7 × 3 = 120 + 21 = 141. Приписываем справа нолик и получаем: 1 410.
  • Поехали дальше: 47 × 2 = 40 × 2 + 7 × 2 = 80 + 14 = 94.
  • Осталось сложить результаты: 1 410 + 94 = 1 500 + 4 = 1 504.

Этот принцип можно применять и к числам с большим количеством разрядов, но удержать в уме столько операций не каждому под силу.

Упрощаем умножение

Кроме общих правил, есть несколько лайфхаков, облегчающих умножение на определённые однозначные числа.

Умножение на 4

Можно умножить многозначное число на 2, а потом снова на 2.

Пример: 146 × 4 = (146 × 2) × 2 = (200 + 80 + 12) × 2 = 292 × 2 = 400 + 180 + 4 = 584.

Умножение на 5

Умножьте исходное число на 10, а потом разделите на 2.

Пример: 489 × 5 = 4 890 / 2 = 2 445.

Умножение
на 9

Умножьте на 10, а затем отнимите от результата исходное число.

Пример: 573 × 9 = 5 730 − 573 = 5 730 − (500 + 70 + 3) = 5 230 − (30 + 40) − 3 = 5 200 − 40 − 3 = 5 160 − 3 = 5 157.

Умножение на 11

Приём сводится к следующему: впереди и сзади подставляем первую и последнюю цифры исходного числа. А между ними последовательно суммируем все цифры.

При умножении на двузначное число всё выглядит крайне просто.

Пример: 36 × 11 = 3(3+6)6 = 396.

Если сумма переходит через десяток, в центре остаётся разряд единиц, а к первой цифре добавляем один.

Пример: 37 × 11 = 3(3+7)7 = 3(10)7 = 407.

Чуть сложнее с умножением на более крупные числа.

Пример: 543 × 11 = 5(5+4)(4+3)3 = 5 973.

Как научиться делить в уме

Это операция, обратная умножению, поэтому и успех во многом зависит от знания всё той же школьной таблицы. Остальное — дело практики.

Делим на однозначное число

Для этого разбиваем исходное многозначное число на удобные части, которые точно будут делиться на наше однозначное.

Попробуем разделить 2 436 на 7.

  • Выделим из 2 436 наибольшую часть, которая нацело разделится на 7. В нашем случае это 2 100. Получаем (2 100 + 336) / 7.
  • Продолжаем в том же духе, только теперь с числом 336. Очевидно, что на 7 разделится 280. А в остатке будет 56.
  • Теперь делим каждую часть на 7: (2 100 + 280 + 56) / 7 = 300 + 40 + 8 = 348.

Делим на двузначное число

Это уже высший пилотаж, но мы всё равно попытаемся.
Предположим, вам надо поделить 1 128 на 24.

  • Прикидываем, сколько раз 24 может поместиться в 1 128. Очевидно, что 1 128 примерно в два раза меньше, чем 24 × 100 (2 400). Поэтому для «пристрелки» возьмём множитель 50: 24 × 50 = 1 200.
  • До 1 200 нашему делимому 1 128 не хватает 72. Сколько раз 24 поместится в 72? Правильно, 3. А значит, 1 128 = 24 × 50 − 24 × 3 = 24 × (50 − 3) = 24 × 47. Стало быть, 1128 / 24 = 47.

Мы взяли не самый трудный пример, но пользуясь методом «пристрелки» и дроблением на удобные части, вы научитесь совершать и более сложные операции.

Что поможет освоить устный счёт

Для упражнений придётся ежедневно придумывать новые и новые примеры, только если вы сами этого хотите. В противном случае воспользуйтесь другими доступными способами.

Настольные игры

Играя в те, где необходимо постоянно вычислять в уме, вы не просто учитесь быстро считать. А совмещаете полезное с приятным времяпрепровождением в кругу семьи или друзей.

Карточные забавы вроде «Уно» и всевозможные варианты математического домино позволяют школьникам играючи освоить простое сложение, вычитание, умножение и деление. Более сложные экономические стратегии а-ля «Монополия» развивают финансовое чутьё и оттачивают сложные навыки счёта.

Что купить
  • «Уно»;
  • «7 на 9»;
  • «7 на 9 multi»;
  • «Трафик Джем»;
  • «Хекмек»;
  • «Математическое домино»;
  • «Умножариум»;
  • «Код фараона»;
  • «Суперфермер»;
  • «Монополия».

Мобильные приложения

С ними вы сможете довести устный счёт до автоматизма. Большинство из них предлагают решить примеры на сложение, вычитание, умножение и деление по программе младших классов. Но вы удивитесь, насколько это непросто. Особенно если задачи нужно щёлкать на время, без ручки и бумаги.

Математика: устный счёт, таблица умножения

Охватывает задания на устный счёт, которые соответствуют 1–6 классам школьной программы, включая и задачи на проценты. Позволяет тренировать скорость и качество счёта, а также настраивать сложность. Например, от простой таблицы умножения можно перейти к умножению и делению двузначных и трёхзначных чисел.

Загрузить

Цена: Бесплатно

Математика в уме

Ещё один простой и понятный тренажёр устного счёта с подробной статистикой и настраиваемой сложностью.

Загрузить

Цена: Бесплатно

1 001 задача для счёта в уме

В приложении используются примеры из пособия по математике «1 001 задача для умственного счёта», которое ещё в XIX веке составил учёный и педагог Сергей Рачинский.

Загрузить

Цена: Бесплатно

Загрузить

Цена: Бесплатно

Математические хитрости

Приложение позволяет легко и ненавязчиво освоить основные математические приёмы, которые облегчают и ускоряют устный счёт. Каждый приём можно отработать в тренировочном режиме. А потом поиграть на скорость вычислений с собой или соперником.

Загрузить

Цена: Бесплатно

Загрузить

Цена: Бесплатно

Quick Brain

Цель игры — правильно решить как можно больше математических примеров за определённый промежуток времени. Тренирует знание таблицы умножения, сложение и вычитание. А ещё содержит популярный математический пазл «2 048».

Загрузить

Цена: Бесплатно

Веб-сервисы

Регулярно заниматься интеллектуальной зарядкой с числами можно и на математических онлайн-тренажёрах. Выбирайте необходимый вам тип действия и уровень сложности — и вперёд, к новым интеллектуальным вершинам. Вот лишь несколько вариантов.

  • Математика.Club — тренажёр устного счёта.
  • Школа Аристова — тренажёр устного счёта (охватывает двузначные и трёхзначные числа).
  • «Развивайка» — тренировка устного счёта в пределах ста.
  • 7gy.ru — тренажёр по математике (вычисления в пределах ста).
  • Chisloboy — онлайн-игра на развитие скорости счёта.
  • kid-mama — тренажёры по математике для 0–6 классов.

Читайте также 🧠🎓😤

  • 10 эффективных способов стать умнее
  • Как выучить английский язык, уделяя этому 1 час в день
  • Почему учить новые языки так сложно и как это преодолеть
  • 5 книг, которые помогут освоить скорочтение
  • Как запоминать больше, используя метод 50/50

Калькулятор стандартной формы

Базовый калькулятор

Калькулятор стандартной формы

введите число для преобразования в стандартную форму

Операнд 1

Ответ:

Поделитесь этой ссылкой для ответа: help
Вставьте эту ссылку в электронное письмо, текст или социальные сети.


Получить виджет для этого калькулятора

© Calculator Soup

Поделитесь этим калькулятором и страницей

Калькулятор Использование

Найдите стандартную форму положительного или отрицательного числа с помощью калькулятора стандартной формы. Преобразование числового формата в стандартную форму в виде десятичной дроби, умноженной на степень 10.

Что такое стандартная форма

Стандартная форма — это способ написания числа, чтобы его было легче читать. Он часто используется для очень больших или очень маленьких чисел. Стандартная форма похожа на научную нотацию и обычно используется в науке и технике.

Число записывается в стандартной форме, когда оно представлено как десятичное число, умноженное на 10.

В качестве примера рассмотрим скорость света, которая движется со скоростью около 671 000 000 миль в час. В стандартной форме это число эквивалентно 6,71 x 10 9 . {б} \]

Где

  • a — это число, абсолютное значение которого представляет собой десятичное число, большее или равное 1 и меньшее 10: \[ 1 \le \left\lvert a \right\rvert \lt 10 \]
  • b — целое число и степень 10, необходимая для того, чтобы произведение умножения в стандартной форме равнялось исходному числу
    • .

Как преобразовать число в стандартную форму

Стандартная форма номера: a x 10 b где a — число, 1 ≤ | и | < 10. b — степень числа 10, необходимая для того, чтобы стандартная форма была математически эквивалентна исходному числу.

  1. Перемещайте десятичную точку в вашем номере, пока не останется только одна ненулевая цифра слева от десятичной точки. Полученное десятичное число равно a .
  2. Подсчитайте, на сколько знаков вы передвинули десятичную точку. Это число b .
    • Если вы переместите десятичную запятую влево b будет положительным.
    • Если вы переместите десятичную дробь вправо b будет отрицательным.
    • Если вам не нужно было перемещать десятичную дробь b = 0 .
  3. Напишите свой номер научной записи как a x 10 b и читать как « a умножить на 10 в степени b «.
  4. Удалять конечные 0, только если они стоят слева от десятичной точки.

Пример: преобразование 459 608 в стандартную форму

  • Переместите запятую на 5 знаков влево, чтобы получить 4,59608
  • а = 4,59608
  • Мы переместили десятичную дробь влево, так что b положительно
  • б = 5
  • Число 459 608, преобразованное в стандартную форму, равно 4,59608 x 10 5

Пример: преобразование 0,000380 в стандартную форму

  • Переместите десятичную дробь на 4 знака вправо и удалите ведущие нули, чтобы получить 3,80
  • а = 3,80
  • Мы переместили десятичную дробь вправо, так что b будет отрицательным
  • б = -4
  • Число 0,000380, преобразованное в стандартную форму, равно 3,80 x 10 -4
  • Обратите внимание, что мы не удаляем завершающий 0, потому что изначально он был справа от десятичной дроби и, следовательно, является значащей цифрой.

Дополнительные ресурсы

См. Калькулятор научной нотации для сложения, вычитания, умножения и деления чисел в научной нотации или E-нотации.

Для округления значащих цифр используйте Калькулятор значимых цифр.

Если вам нужен научный калькулятор, см. наши ресурсы на научные калькуляторы.

 

Подписаться на калькуляторSoup:

Калькулятор дробей


Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.

Правила для выражений с дробями:

Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т. е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.

Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т.е. 1,45 .

Математические символы


1 6/7/2774 2
Символ Название символа Символ Значение Пример
+ Знак плюс Сложение 1/2 + 1/3
— Знак минус Вычитание 1 0204
* звездочка умножение 2/3 * 3/4 ​​
× знак умножения умножение
: знак деления деление 91/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2
• сложные дроби: 5/8 : 2 2/3
• десятичная дробь: 0,625
• Преобразование дроби в десятичную: 1/4
• Преобразование дроби в процент: 1/8 %
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt(1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратные дроби: 2/3 от 3/5
• разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3

Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — Скобки, Экспоненты, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.

  • Десятичная дробь
    Запишите дробь 3/22 в виде десятичной дроби.
  • Коричневый или черный
    У Макса 13 пар носков. Отсюда шесть пар синих, три пары коричневых, две черных и две белых. Какая часть носков Макса коричневого или черного цвета?
  • А класс IV.А
    В классе 15 девочек и 30 мальчиков. Какая часть класса представляет мальчиков?
  • Младенцы
    Двое взрослых, двое детей и четверо младенцев в автобусе. Какую часть населения составляют младенцы?
  • Корзина с фруктами
    Если в корзине семь яблок и пять апельсинов, какая часть апельсинов в корзине с фруктами?
  • Вычислите выражение
    Вычислите значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2
  • Сократите 9
    Сократите дробь 16/24 до меньших членов.
  • Наименьшие члены 2
    Мы можем записать выражение 4/12 в его наименьшем члене как 1/3. Чему равно 3/15 в наименьшем члене?
  • Ферма 6
    На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме.
  • Петрушка
    Бабушка Милка посадила 12 рядов овощей. 1/6 рядов — морковь. Остальное петрушка. Сколько рядов засажено петрушкой?
  • Зденек
    Зденек набрал 15 литров воды из 100-литровой бочки с водой.
    1 … 192 193 194 195 196 … 2 804

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта