Рубрика: Разное

Преобразование Мёбиуса — это функция \(\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\), определяемая равенством

, где \(a, b, c\) и \(d\) — комплексные числа такие, что \(ad-bc\ne 0\).

Преобразование Мёбиуса не определено, когда \(z = -d/c\), так как это означало бы деление на ноль. Если вместо этого мы используем так называемую расширенную комплексную плоскость , эта плоскость также содержит точку в бесконечности. Расширенная комплексная плоскость представлена ​​точками на так называемой сфере Римана , где точка в бесконечности является самой верхней точкой сферы.

Используя сферу Римана, которую мы можем записать как \(\mathbb{C} \cup \{\infty \} \), мы можем определить преобразование Мёбиуса \(\mathbb{C} \cup \{\infty \ } \rightarrow \mathbb{C} \cup \{\infty \} \) следующим образом:

Предположим, что \(ad-bc\ne 0\).

Если \(c \ne 0 \) мы определяем функцию как

Если \(c = 0\), мы определяем функцию как

Обратите внимание, что если \(c \ne 0\), то \(d = 0\) не может быть, так как \(ad-bc\ne 0\).

Легко показать следующие свойства преобразования Мёбиуса:

1. Если \(f\) и \(g\) — преобразования Мёбиуса, то \(f \circ g\) также является преобразованием Мёбиуса. Другими словами, \(f(g(z)\) является преобразованием Мёбиуса. 9{-1}(f(z)) = z\).

То, что композиция двух преобразований Мёбиуса является другим преобразованием Мёбиуса, означает, что повторяющиеся преобразования могут быть описаны как составные функции.

Упражнения

В большинстве упражнений предполагается, что вы знакомы с инверсией окружности: Неевклидова геометрия ‐ Инверсия в круге.

Упражнение 1

Наборы в комплексной плоскости

Опишите следующие наборы с помощью бумаги и ручки.

• \(1 < \text{Re} z < 5\)
• \(0 < \arg z < \pi/4\)
• \(|z-(2+i)| < 3\)

Упражнение 2

Найти набор

Пусть \(z\) и \(w\) — комплексные числа такие, что

• Используйте метод 1, чтобы создать построение карты GeoGebra.

• Множество \(\text{Re } z > 0 \) отображается на множество, которое может быть определено уравнением в \(w\). Используйте свою конструкцию GeoGebra, чтобы найти этот набор и сделать предположение. Подсказка: ставьте следы по точкам! 9{-1}\) из \(f(z) = (z-1)/(z+1)\).

Упражнение 3

Сравнение с инверсией окружности

• Создайте комплексную точку \(z_1\) в GeoGebra. Создайте точку \(1/z_1\).

  Создайте единичный круг и отразите \(z_1\) в единичном круге с помощью инструмента Reflect about Circle .

  Сравните две операции \(1/z\) и обращение \(z\) в единичной окружности. Объясните, как связаны эти две операции.

• Найдите комплексную функцию, соответствующую инверсии в единичной окружности. Чем эта функция отличается от функции \(f\)?

• Повороты, отражения и перемещения — это преобразования, сохраняющие углы. Ранее мы также показали, что обращение по окружности сохраняет углы. Сохраняет ли функция \(f(z) = 1/z\) углы или нет? Объясните свое мышление. {i\theta}\). 92.\]

  Когда ваше построение завершено, вы можете изменить окружность, перетащив определяющие ее точки. Пусть две кривые имеют разные цвета, чтобы вы могли легко увидеть, какая кривая относится к какой функции.

  • Для функции \(f\) вы должны угадать, на какую кривую нанесена окружность. Объясните, что вы думаете об этой кривой.

  • Существуют ли простые частные случаи окружностей, для которых можно объяснить отображение функции \(g\)? 9я.\]

    • Для функции \(f\) вы должны уметь угадывать, на какую кривую нанесена линия. Объясните, что вы думаете об этой кривой.

    • Существуют ли простые частные случаи прямых, для которых можно объяснить отображение функции \(g\)?

    Упражнение 7

    Отображение квадрата и треугольника

    • Используйте метод 3, чтобы показать, как квадрат и равносторонний треугольник отображаются с помощью функции

      \[f(z) = \frac{1}{z}.\]

    • Показать, как полигоны отображаются функцией

      \[г(г) = аз\]

      и

      \[ч(г) = г + а\]

      , где \(а\) — комплексный коэффициент. Создайте комплексную точку, представляющую \(a\).

      Используйте столбцы D и E, чтобы показать сопоставления полигонов с помощью \(g\). Используйте столбцы F и G, чтобы показать отображения многоугольников \(h\). Вы не можете использовать для этого функции GeoGebra, но вы можете напрямую писать выражения функций.

    • Опишите и объясните преобразования \(f, g\) и \(h\).

    Упражнение 8

    Преобразование Мебиуса многоугольника

    Для простоты мы будем использовать только действительные коэффициенты \(a, b, c, d\). Сделайте ползунок для каждого коэффициента и напишите функцию \(f(x)\) для преобразования Мёбиуса, определяемого ползунками.

    Создайте конструкцию GeoGebra, визуализирующую, как функция преобразует правильный многоугольник.

    Еще один способ визуализации сложных функций — Википедия: Раскраска домена

    Смотрите захватывающее видео YouTube ‐ Открыты преобразования Мёбиуса

    Малин Кристерссон в рамках Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2. 5 Швеция Лицензия

    www.malinc.se

     

    Графические функции с комплексными числами

    Все ресурсы Algebra II

    10 диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

    Алгебра II Помощь » Математические отношения и основные графики » Воображаемые числа » Графические функции с комплексными числами

    Найдите

    Возможные ответы:
    Правильный ответ:
    Объяснение:

    Используйте формулу изменения основания для логарифмических функций и учтите тот факт, что и

    Или

     можно решить с помощью 

    Сообщить об ошибке

    Где на числовой прямой окажется  

    Возможные ответы:

    Невозможно определить

    слева от

    в

    справа от

    Правильный ответ: 90 007

    Невозможно определить

    Пояснение:

    Мнимые числа не попадают на числовую прямую — они по определению не действительные числа.

    ** Если задать вопрос, где на числовой прямой находится  , ответ будет слева от 0, потому что .

    Сообщить об ошибке

    Запишите комплексное число в полярной форме, где полярная форма выражает результат в терминах расстояния от начала координат на комплексной плоскости и угла от положительной -оси, , измеряемого в радианах.

    Возможные ответы:
    Правильный ответ:
    Объяснение:

    Чтобы увидеть, какова полярная форма числа, полезно изобразить его на графике, где горизонтальная ось — мнимая часть, а вертикальная ось — действительная часть. Это называется комплексной плоскостью.

    Чтобы найти угол, мы можем найти его дополнительный угол и вычесть его из радианов, так что.

    Используя тригонометрические соотношения,    и  .

    Тогда .

     

    Чтобы найти расстояние , нам нужно найти расстояние от начала координат до точки . Используя теорему Пифагора, найти гипотенузу или .

    Сообщить об ошибке

    Где находится числовая линия?

    Возможные ответы:

    Слева от 0

    На 0

    Справа от 0

    Невозможно определить

    Правильный ответ:

    Слева от 0

    Объяснение:

     Мнимые числа не попадают на числовую прямую по определению, поскольку они не являются действительными числами. Однако, хотя i — мнимое число, равное квадратному корню из -1,  — действительное число, поскольку . Поэтому, . Отрицательные числа падают слева от 0 на числовой прямой.

     

     

    Сообщить об ошибке

    Какое комплексное число представляет этот график?

    Действительные числа представлены по оси X, а мнимые числа представлены по оси Y.

    Возможные ответы:
    Правильный ответ:
    Объяснение:

    В комплексных числах вида а представляет действительную часть числа, а b представляет мнимую часть числа. Чтобы построить график на плоскости, в которой действительные числа представлены по оси X, а мнимые числа представлены по оси Y, поместите точку на a единиц справа от начала координат и на b единиц выше начала координат. На графике показана точка на 2 единицы правее и на 3 единицы выше начала координат, поэтому представленное комплексное число равно .

    Сообщить об ошибке

    Какое комплексное число представляет этот график?

    Действительные числа представлены по оси X, а мнимые числа представлены по оси Y.

    Возможные ответы:
    Правильный ответ:
    Объяснение:

    В комплексных числах вида а представляет действительную часть числа, а b представляет мнимую часть числа. Чтобы построить график на плоскости, в которой действительные числа представлены по оси X, а мнимые числа представлены по оси Y, поместите точку на a единиц справа от начала координат и на b единиц выше начала координат. На графике показана точка на 5 единиц левее и на 2 единицы ниже начала координат, поэтому представленное комплексное число равно .

    Сообщить об ошибке

    Что из нижеперечисленного представляет вещественный компонент комплексного числа?

    Возможные ответы:
    Правильный ответ:
    Объяснение:

     В комплексных числах формы а представляет действительную часть числа, а b представляет мнимую часть числа. В комплексном числе , и .

     

     

    Сообщить об ошибке

    Что из следующего представляет собой мнимую часть комплексного числа -3 + ki, в котором k является константой?

    Возможные ответы:
    Правильный ответ:
    Объяснение:

     В комплексных числах формы  представляет действительную часть числа и представляет мнимую часть числа. В комплексном номере и 

     

     

    Сообщить об ошибке

    Какое комплексное число представляет этот график?

    Действительные числа представлены по оси X, а мнимые числа представлены по оси Y.

    Возможные ответы:
    Правильный ответ:
    Объяснение:

     В комплексных числах формы а представляет действительную часть числа, а b представляет мнимую часть числа. Чтобы построить график на плоскости, в которой действительные числа представлены по оси X, а мнимые числа представлены по оси Y, поместите точку на a единиц справа от начала координат и на b единиц выше начала координат. На графике показана точка на 4 единицы правее и на 7 единиц ниже начала координат, поэтому представленное комплексное число равно .

    Сообщить об ошибке

    Какое комплексное число представляет этот график?

    Действительные числа представлены по оси X, а мнимые числа представлены по оси Y.

    Возможные ответы:
    Правильный ответ:
    Объяснение:

    В комплексных числах вида а представляет действительную часть числа, а b представляет мнимую часть числа.

1. Справочный материал

2. Решение неравенств

 

Определение и основные свойства неравенств.

Определения:

Неравенствами называют выражения вида  a<b (a≤ b) ,a>b (a≥b),

где a и b могут быть числами или функциями.

 Символы <(≤), >(≥) называются знаками неравенства и читаются соответственно :

меньше(меньше или равно) ,больше(больше или равно).

Неравенства , которые записываются с помощью знаков >  и <,называются строгими,

а неравенства, в записи которых участвуют знаки ≥ и ≤,- нестрогими.

Неравенства  вида a<x<b (a≤x≤b) называются двойными неравенствами  

и читаются соответственно :x больше a,но меньше b (x больше или равно a,но меньше или равно b ).

Различают два вида неравенств: числовые (2>0,7 ;½<6) и неравенства с переменной (5x-40>0 ; x²-2x<0).

Свойства числовых неравенств :

• Если a>b , то  b<a; если a<b,  то  b>a.
• Если a<b и b<c, то a<c.
• Если a<b и c-любое число, то a +c<b+c.
• Если a<b и c>0,то ac<bc. Если a<b и c<0,то ac>bc.
• Если a<b и c<d,то a +c<b +d.
• Если a<b и c<d,где a, b, c, d-положительные числа, то ac<bd.

 Числовые промежутки

Вверх

 Основные определения и свойства.

Определения:

 Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной,

 которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1)  Если из одной части неравенства перенести в

другую слагаемое с противоположным знаком,

то получится равносильное ему неравенство.

2)  Если обе части неравенства умножить или

разделить на одно и то же положительное число,

то получится равносильное ему неравенство.

3)    Если обе части неравенства умножить или

разделить на одно и то же отрицательное число,

 изменив при этом знак неравенства на противоположный,

то получится равносильное ему неравенство.

Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным неравенствам.

Неравенства  вида ах>b ( ах <b ,ax≤b или ax≥b), где а и b — некоторые числа,

называют линейными неравенствами с одной переменной.

Если a>0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству

  и множество решений неравенства есть промежуток

Если a<0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству

  и множество решений неравенства есть промежуток

неравенство примет вид 0∙x>b, т.е. оно не имеет решений ,если b≥0,

 и верно при любых x ,если b<0.

Аналитический способ решения неравенств с одной переменной.

Алгоритм решения неравенства с одной переменной

• Преобразовать обе части неравенства.
• Привести подобные слагаемые.
• Привести неравенства к простейшему виду, на основании свойств неравенств.
• Записать ответ.

Приведем примеры решения неравенств .

Пример  1. Решить неравенство 3x≤15.

Решение:

Обе части неравенства

разделим на положительное число 3 (свойство 2) : x≤5.

Множество решений неравенства представляет собой числовой промежуток  (-∞;5].

Ответ :(-∞;5]

Пример  2. Решить неравенство -10x≥34.

 Решение:

Обе части неравенстваразделим на отрицательное  число -10  ,

при этом знак неравенства изменим на противоположный (свойство 3) : x≤-3,4.

Множество решений неравенства представляет собой промежуток  (-∞;-3,4].

Ответ : (-∞;-3,4].

Пример  3. Решить неравенство 18+6x>0.

 Решение:

Перенесем слагаемое 18 с противоположным знаком в левую часть неравенства (свойство 1): 6x>-18.

Разделим обе части на 6  (свойство 2) :

 x>-3.

Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-3;+∞).

Ответ : (-3;+∞).

Пример  4.Решить неравенство 3(x-2)-4(x+2)<2(x-3)-2.

Решение:

 Раскроем скобки : 3x-6-4x-8<2x-6-2.

Перенесем члены ,содержащие неизвестное ,в левую часть ,

а члены не содержащие неизвестное , в правую часть (свойство 1):

3x-4x-2x<6+8-6-2.

Приведем подобные члены: -3x<6.

Разделим обе части на -3 (свойство 3) :

x>-2.

Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-2;+∞).

Ответ : (-2;+∞).

Пример  5. Решить неравенство

Решение:

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей,

 входящих в неравенство, т. е. на 6 (свойство 2).

Получим:

2x-3x≤12.

Отсюда , —x≤12  ,   x≥-12.

Ответ : [-12;+∞).

Пример  6. Решить   неравенство  3(2-x)-2>5-3x.

Решение:

Упростим неравенство ,раскрыв скобки:

6-3x-2>5-3x,   4-3x>5-3x,   -3x+3x>5-4.

Приведем подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде 0∙x>1.

Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении x

оно обращается в числовое неравенство 0 < 1, не являющееся верным.

Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство.

Ответ : решений нет. 

Пример  7.Решить   неравенство  2(x+1)+5>3-(1-2x).

Решение:

Упростим неравенство ,раскрыв скобки:

2x+2+5>3-1+2x,  2x+7>2+2x,2x-2x>2-7,   0∙x>-5.

Полученное неравенство является верным при любом значении  x,

так как левая часть при любом x равна нулю, а 0>-5.

Множеством решения неравенства является промежуток (-∞;+∞).

Ответ : (-∞;+∞).

Пример  8. При каких значениях x имеет смысл выражение:

a)

b)

Решение:

а)По определению арифметического квадратного корня

 должно выполнятся следующее неравенство 5x-3≥0.

Решая, получаем  5x≥3, x≥0,6.

Итак, данное выражение имеет смысл при всех x из промежутка [0,6;+∞).

Ответ : [0,6;+∞).

б)С учетом свойств арифметического квадратного корня и знаменателя дроби

должно выполнятся следующее неравенство  2-3x>0.

Отсюда ,-3x>-2 (свойство 3), x<2/3.

Данное выражение имеет смысл при всех x из промежутка  (-∞;2/3).

Ответ :(-∞;2/3).

Пример  9.При каких значениях a квадратное уравнение x-8x²-4a=0 имеет два корня ?

Решение:

Квадратное уравнение будет иметь два корня ,если дискриминант D будет больше нуля.

D=(-8)²-4∙(-4a)=64+16a,

64+16a>0,

 16a>-64,

a>-4.

Таким образом , при всех значениях a из промежутка (-∞;-4)

 данное квадратное уравнение будет иметь два корня.

Ответ : при всех  a из промежутка (-∞;-4) .

Пример  10.Решите задачу:

В одном бассейне налито 100 л воды, а во втором 150 л воды.

Каждый час в первый бассейн вливается 15 л воды, а во второй — 5 л воды.

В какие моменты времени в первом бассейне будет больше воды, чем во втором?

Решение:

 Пусть за x ч в первый бассейн вольется 15x л воды и в нем станет 100+15x л воды.

Тогда  через x ч во втором бассейне будет 150+5x л воды.

Надо найти такие значения x , для которых выполняется неравенство

100+15x>150+5x.

Преобразовав ,получаем

15x-5x>150-100,

10x>50,

x>5.

Итак ,в первом бассейне окажется больше воды ,чем во втором, при x>5,

т.е. после 5ч с начала вливания воды.

Ответ : после 5ч с начала вливания воды.

Пример  11. При каких  значениях x значения функции Y=-1/3x+8 принадлежит промежутку  (-1,1)?

Решение: -1<-1/3x+8<1,

-9<-1/3x<7,

27>x>21,

21<x<27.

Ответ : (21;27).

Вопросы.

1.   Что  называется     неравенством   первой   степени   с  одним   неизвестным?

2.  Что называется решением неравенства с одним неизвестным?

3.   Что значит решить неравенство с одним неизвестным?

4.  Каким способом можно решить неравенство первой степени с одним неизвестным?

.Графический способ решения неравенств с одной переменной.

Покажем, как можно, применяя графический метод, решить неравенства вида

kx+ b> 0                                         (1)

или

kx + b<0,                                        (2)

где k и b — заданные числа и k≠0.

В декартовой  системе координат  Оху  рассмотрим  прямую

y = kx + b.                                        (3)

На рис. 1 изображена такая прямая при k> 0, а на рис. 2 изображена такая прямая при k<0.

рис1.                                                                                                  рис.2.         

Решить неравенство (1) — это значит найти все решения х,

для которых прямая y = kx-b расположена выше оси х.

Здесь важную  роль  играет  точка  А  пересечения  прямой   (3)   с  осью  х.

Абсциссу точки А обозначим через x_o. Так как ее ордината равна нулю, то x_o удовлетворяет уравнению

O = kx_o + b, откуда

x_o=-b/k.

расположена выше оси х для всех х, находящихся правее точки x_o, т. е. для всех х из интервала (-∞, + ∞), и расположена ниже оси х для всех х, находящихся левее точки x_o, т. е. для всех х из интервала (—∞,x_o).

Итак, при k> 0 неравенство (1) выполняется на интервале (x_o, + ∞), а неравенство (2) —на интервале (—∞,x_o).

При k<0, как это видно из рис. 2, неравенство (1) выполняется на интервале (—∞,x_o),

а неравенство (2) — на интервале (x_o, + ∞).

Пример 1. Решить, применяя графический метод, неравенства

2X+1 >0,           (4)                                  

2X+1 <0.            (5)

Решение :

Начертим в декартовой системе координат Оху прямую

у = 2X+1.                                         (6)

рис3.

Для этого нужно знать две ее точки. В качестве первой точки возьмем точку пересечения прямой с осью х. Она все равно будет нужна. Полагая в формуле (6) у = 0, получим уравнение                                                                      

0 = 2х+1.

 Его решение есть абсцисса точки А пересечения прямой с осью х. Итак, А ( —1/2 ,0).

В качестве второй точки можно взять точку В пересечения прямой с осью у. Ее абсцисса X=0, а ордината

 y=2∙0+1, y=1.

Итак, В(0, 1).

Через точки А и В проводим прямую. Это и есть прямая y=2X+1 (рис. 3).

Из рис. 3 видно, что неравенство (4) выполняется на интервале ( — 1/2 , + ∞)  а (5) — на интервале (— ∞, —1/2).

Вопрос.

Как можно решать неравенства первой степени, применяя графический метод?

Питирим Сорокин и «Теория неравенства»

Октябрьская революция 1917 года и приход к власти большевиков в корне изменили судьбу тысяч россиян. Многим пришлось покинуть Родину, чтобы сохранить жизнь своим близким и себе. Речь идёт о тех, кто был не согласен с политикой большевиков и их идеологией. Те же, кто решил остаться в советской России, либо погибли в лагерях, как П.А. Флоренский, либо вынуждены были принять идеологию большевиков, как Лосев А.Ф. Мы не случайно упоминаем имена известных русских философов, потому что решили посвятить нашу работу выдающемуся российско – американскому учёному Питириму Сорокину. 

Рисунок 1. П.А.Сорокин

23 сентября 1922 года поездом Москва — Рига отправилась крупная партия «инакомыслящих» в изгнание, в числе которых был и П.А. Сорокин — выдающийся русский философ. Пароходы и поезда, на которых эмигрировала русская интеллигенция, получили собирательное название «философский пароход» [2].

Рисунок 2. Пароход «Oberbürgermeister Haken»

Оказавшись за границей, П.Сорокин, уже известный как автор ряда статей философского значения, прославился как социолог, автор «Теории социальной стратификации» [1]. Он первым отказался делить общество на классы, а ввёл такое понятие как «страты» («слои»). В Советском Союзе, где царила пропаганда равенства всех, независимо от статуса, его теория была неприемлема. Всё население делилось на два класса – рабочих и крестьян. Интеллигенция вообще считалась «прослойкой». Сегодня ни для кого не секрет, что неравенство всегда присутствовало и будет присутствовать среди людей, исходя из тех критериев, которые П.Сорокин и приводит как доказательство: доход, власть, образование, профессия. Человек может повысить свой социальный статус, если у него есть способности, желание, стремление достичь поставленной цели. «Только от нас зависит наше будущее»: писал П.Сорокин. Его книга «Социальная культурная динамика», в которой он излагал принципы теории социальной стратификации, получила всемирную известность. В октябре 1923 году П.Сорокин был приглашён в США для чтения курса лекций по истории русской революции. А в 1931 году он основал социологический факультет в Гарвардском университете и руководил им до 1942 года. С 1931 по 1959 годы П.Сорокин — профессор Гарвардского университета, первый профессор социологии в этом университете. А в 1965 году он стал президентом Американской социологической ассоциации.

Рисунок 3. Гарвардский университет

Таким образом, П. Сорокин приобрёл всемирную известность и признание, но он оставался патриотом своей Родины, даже будучи гражданином США. После нападения Гитлера на Советский Союз П.Сорокин и его жена активно включились в работу общественной организации «Помощь воюющей России», читал лекции на темы «Россия в борьбе с общим врагом», «Русские и американцы» [3]. Это содействовало большому пониманию значения войны, которую вёл Советский Союз, и большому состраданию к народу, на долю которого выпали тяжёлые испытания. Учёный не раз повторял: «Величие современного Советского Союза невозможно игнорировать». Он не раз говорил о необходимости открыть второй фронт, об объединении сил двух великих держав – СССР и США в борьбе с Гитлером общим народом.

Таким образом, Питирим Сорокин, объявленный в СССР врагом и предателем, повёл себя как друг и помогал ему как мог. Вот только на Родине оценили его слишком поздно. Только в годы перестройки вспомнили о П.Сорокине и признали его как учёного. А он к тому времени уже умер…

Питирим Сорокин – великая потеря для отечественной науки – и как философа, и как социолога. Сегодня его труды, переведённые на десятки языков, изучаются и в России. Но как много можно было бы сделать для развития отечественной социологии, если бы не эмиграция, отторжение такого учёного как Питирим Сорокин! Увы, его теория неравенства оказалась применима к нему самому и советской властью.

9.2: Теории несправедливости и неравенства

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Дженнифер Хасти, Дэвид Г. Льюис и Марджори М. Снайпс
• OpenStax

Эта страница под названием 9.2: Теории неравенства и неравенства распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дженнифер Хасти, Дэвидом Г. Льюисом, Марджори М. Снайпс. , & Марджори М. Снайпс (OpenStax) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. автор @ Дэвид Г. Льюис
   2. автор @ Дженнифер Хасти
   3. автор@Марджори М. Снайпс
   4. источник@https://openstax.org/details/books/introduction-anthropology

8.6: Социологические теории и глобальное неравенство

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Boundless (теперь LumenLearning)
• Безграничный

900:30 Мемориал Маркса в Москве: Этот мемориал Карлу Марксу в Москве гласит: «Пролетарии всех стран, соединяйтесь! Марксизм связан с точкой зрения на стратификацию, которая противопоставляет владельцев средств производства рабочим. Конгресс США в настоящее время: Используя теорию стратификации Вебера, члены Конгресса США находятся на вершине социальной власть и статус, несмотря на относительно небольшое богатство в среднем. Карта империй и колоний: 1800: к концу 19 в.В 19 веке большая часть Америки находилась под контролем европейских колониальных империй. В настоящее время большая часть Южной и Центральной Америки по-прежнему экономически зависит от иностранных государств в плане капитала и экспортных рынков.
Мировая система XI века: в XI веке в международном производстве и торговле преобладал обмен шелком, и, таким образом, страны, расположенные вдоль шелкового пути, были доминирующими участниками «мировой системы». «Сегодня, с обширными коммуникационными и транспортными технологиями, практически каждое общество участвует в мировой системе в качестве источника сырья, производства или потребления. Карта социалистических государств: эта карта всех государств, которые в какой-то момент официально объявили себя социалистическими. в истории иллюстрирует распространение теорий неравенства, ориентированных на государство.
«Захвати Уолл-Стрит»: протестующие на акции «Захвати Уолл-Стрит» придерживаются позиции, согласно которой неравенство доходов наносит ущерб обществу.

Дробь записывается в виде двух чисел, разделенных чертой. Верхнее число зовется числителем. Как раз оно и отображает количество съеденных кусков. Тогда как знаменатель, это общее количество кусочков, на которое разделили целое.

Если числитель и знаменатель равны, то никакой дроби не получится. Получится число: 1. Так же, если числитель является кратным для знаменателя, то дробь сразу сокращают до целого числа.

Десятичная дробь

Десятичная дробь всегда считалась особым подвидом дробей. Это дробь, которая записана в строку с использованием запятой. Количество знаков после запятой обозначает степень 10, которая находится в знаменателе дроби. Но так как знаменатель можно определить, не записывая его, то число можно записать в строку.

Десятичная дробь благодаря упрощенным правилам счета и быстрой записи довольно быстро завоевала мир математики. Сегодня ни один расчет не обходится без использования подобных чисел.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Выполним поэтапный перевод:

• Для начала вспомним, что у десятичной дроби есть знаменатель, его просто не пишут. Но зато на знаменатель указывает количество знаков после запятой. Первым шагом мы просто считаем знаки. После чего возводим 10 в получившееся число. Так мы узнали знаменатель будущей обыкновенной дроби.

0,0025 – 4 знака после запятой, значит в знаменателе будет число 10000

• Второй шаг – узнать числитель. Для этого нужно убрать все нули и запятые слева от числа. То есть в нашем случае:

  25 – такую процедуру называют отбрасыванием запятой.

• Третий шаг это запись и сокращение получившейся дроби.

  $${25\over{10000}}={1\over{400}}$$

Что мы узнали?

Мы вспомнили, что такое обыкновенная и десятичная дробь. Поговорили о различиях между десятичными и обыкновенными дробями. Рассказали, как перевести десятичную дробь в обыкновенную. Привели пример такого перевода.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Ростислав Радченко

  5/5

• Никита Худолей

  4/5

• Даниил Михайлов

  5/5

Оценка статьи

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 259.

А какая ваша оценка?

6/5 в виде десятичной дроби | Преобразование 6/5 в десятичное число

Преобразование дроби в десятичный формат очень простое и легкое дело. В этой статье мы покажем вам, как именно преобразовать дробь 6/5 в десятичную, и приведем множество примеров, которые помогут вам.

Ищете рабочие листы для преобразования дроби в десятичную дробь? Нажмите здесь, чтобы увидеть все наши бесплатные дроби в десятичных таблицах.

Два основных способа представления дроби в виде десятичной дроби:

• С калькулятором!
• Использование длинного деления.

Очевидно, что самый простой способ — использовать калькулятор. Это быстро и легко. Чтобы представить дробь в виде десятичной дроби, нужно разделить верхнее число дроби (числитель) на нижнее число (знаменатель), и в результате получится десятичная дробь.

Давайте рассмотрим быстрый пример, используя дробь 65 и преобразуя ее в десятичную с помощью калькулятора.

6 &дел; 5 = 1,2

Как видите, одним быстрым вычислением мы преобразовали дробь 65 в ее десятичное выражение 1,2.

Если у вас нет калькулятора, вы можете представить дробь в виде десятичной дроби, используя вместо этого старое доброе длинное деление.

  1.200
5 6.000
 -5
  10
 -10/>   00
  -0/>    000
   -0/>     0000
    — 0/>      0

(Примечание: в этой статье мы всегда вычисляем до 3 знаков после запятой)

При методе деления в длину ответом является целое число вверху, а остатком внизу число:

1

Остаток: 0

Существуют и другие методы преобразования дробей в десятичную версию, но очень маловероятно, что вы когда-либо будете использовать что-то, кроме простого калькулятора или метода деления в длинных числах.

Зачем преобразовывать 6/5 в десятичную дробь?

Нам часто нужно преобразовать дробь, например 6/5, в десятичную, потому что это позволяет представить дробь в понятной форме.

В повседневной жизни вы обнаружите, что работаете с десятичными дробями гораздо чаще, чем с дробями, и это учит ваш мозг понимать десятичные числа.

Итак, если вам нужно выполнить какие-либо обычные арифметические действия, такие как сложение, вычитание, деление или умножение, преобразование 6/5 в десятичную дробь — хороший способ выполнить эти вычисления.

Еще одним преимуществом отображения 6/5 в виде десятичной дроби является возможность сравнения. Очень легко сравнить два десятичных числа и увидеть, какое из них больше, а какое меньше, но когда у вас есть дроби с разными числителями и знаменателями, это не всегда сразу понятно при сравнении.

Тем не менее, и дроби, и десятичные числа имеют место в математике, потому что дроби легко умножать, с ними проще выражать большие десятичные числа, и важно научиться и понимать, как преобразовывать как дробь в десятичную, так и десятичную в дробь.

Практика преобразования дробей в десятичные числа

Как и большинство математических задач, преобразование дробей в десятичные будет становиться для вас намного проще, чем больше вы будете практиковаться в решении задач, и чем больше вы будете практиковаться, тем больше вы поймете.

Независимо от того, являетесь ли вы учеником, родителем или учителем, вы можете создавать свои собственные рабочие листы преобразования дробей в десятичные числа, используя наш генератор рабочих листов дробей в десятичные числа. Этот совершенно бесплатный инструмент позволит вам создавать полностью рандомизированные, дифференцированные задачи с дробями на десятичные числа, которые помогут вам в изучении и понимании дробей.

Преобразование дробей в десятичные на примерах

Если вы хотите продолжить изучение того, как преобразовывать дроби в десятичные, взгляните на быстрые вычисления и случайные вычисления на боковой панели справа от этой записи в блоге.

Мы перечислили некоторые из наиболее распространенных дробей в разделе быстрого расчета, а также подборку совершенно случайных дробей, чтобы помочь вам решить ряд проблем.

Каждая статья шаг за шагом покажет вам, как преобразовать дробь в десятичную, и поможет учащимся действительно изучить и понять этот процесс.

Преобразование другой дроби в десятичное число

Введите дробь в поля ниже и нажмите «Рассчитать», чтобы преобразовать дробь в десятичную.

Пожалуйста, используйте инструмент ниже, чтобы вернуться на эту страницу или цитировать/ссылаться на нас во всем, для чего вы используете информацию. Ваша поддержка помогает нам продолжать предоставлять контент!

Что такое 6 5/6 в виде десятичной дроби? (Преобразовать 6 5/6 в десятичную)

Очень часто при изучении дробей возникает желание узнать, как преобразовать смешанную дробь, например 6 5/6, в десятичную. В этом пошаговом руководстве мы покажем вам, как очень легко превратить любую дробь в десятичную. Давайте взглянем!

Прежде чем мы начнем преобразование дроби в десятичную, давайте кратко рассмотрим некоторые основы дробей. Помните, что числитель — это число над дробной чертой, а знаменатель — число под дробной чертой. Мы будем использовать это позже в уроке.

Когда мы используем смешанные дроби, у нас есть целое число (в данном случае 6) и дробная часть (5/6). Итак, что мы можем здесь сделать, чтобы преобразовать смешанную дробь в десятичную, так это сначала преобразовать ее в неправильную дробь (где числитель больше знаменателя), а затем оттуда преобразовать неправильную дробь в десятичную.0003

Шаг 1: умножьте целое число на знаменатель

6 x 6 = 36

Шаг 2: добавьте результат шага 1 к числителю

36 + 5 = 41

Шаг 3: разделите результат шага 2 в знаменателе

41 ÷ 6 = 6,8333333333333

Таким образом, ответ таков, что 6 5/6 в виде десятичной дроби равно 6,83333333333333.

И это все, что нужно для преобразования 6 5/6 в десятичную дробь. Преобразуем ее в неправильную дробь, которая в данном случае равна 41/6, а затем разделим новый числитель (41) на знаменатель, чтобы получить ответ.

Если вы хотите попрактиковаться, возьмите ручку, блокнот и калькулятор и попробуйте самостоятельно преобразовать несколько смешанных дробей в десятичные.

Надеемся, что это руководство помогло вам понять, как преобразовать дробь в десятичную, и заставило вас понять, насколько это просто на самом деле. Теперь вы можете пойти дальше и преобразовать смешанные дроби в десятичные столько, сколько пожелает ваше маленькое сердце!

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!

• Что такое 6 5/6 как десятичная дробь?

• «Что такое 6 5/6 в виде десятичной дроби?». VisualFractions.com . По состоянию на 27 мая 2023 г. http://visualfractions.com/calculator/mixed-to-decimal/what-is-6-5-6-as-a-decimal/.

• «Что такое 6 5/6 в виде десятичной дроби?».

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3. А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.

В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Представьте выражение со степенями 9-b3·π-12 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 32 и применим формулу сокращенного умножения:

9-b3·π-12=32-b3·π-12==3-b3·π-13+b3·π-1

Ответ: 9-b3·π-12=3-b3·π-13+b3·π-1.

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений. 

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2+0,3·7)5−3,7 и (a·(a+1)−a2)2·(x+1). Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2+0,3·7)5−3,7 можно выполнить действия для перехода к степени 4,11,3. Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a·(a+1)−a2)2·(x+1) и получить степенное выражение более простого вида a2·(x+1).

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

• ar·as=ar+s;
• ar:as=ar−s;
• (a·b)r=ar·br;
• (a:b)r=ar:br;
• (ar)s=ar·s.

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство am·an=am+n, где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a, как положительных, так и отрицательных, а также для a=0.

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Представьте выражение a2,5·(a2)−3:a−5,5 в виде степени с основанием a.

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a2)−3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a2,5·a−6:a−5,5= a2,5−6:a−5,5=a−3,5:a−5,5= a−3,5−(−5,5)=a2.

Ответ: a2,5·(a2)−3:a−5,5=a2.

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Найти значение степенного выражения 313·713·2123.

Решение

Если мы применим равенство (a·b)r=ar·br, справа налево, то получим произведение вида 3·713·2123 и дальше 2113·2123. Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 2113·2123=2113+23=211=21.

Есть еще один способ провести преобразования:

313·713·2123=313·713·(3·7)23=313·713·323·723==313·323·713·723=313+23·713+23=31·71=21

Ответ: 313·713·2123=31·71=21

Дано степенное выражение a1,5−a0,5−6, введите новую переменную t=a0,5.

Решение

Представим степень a1,5 как a0,5·3 . Используем свойство степени в степени (ar)s=ar·s справа налево и получим (a0,5)3: a1,5−a0,5−6=(a0,5)3−a0,5−6. В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t=a0,5: получаем t3−t−6.

Ответ: t3−t−6.

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Упростить степенное выражение 3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2.

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=3·523·513-3·523·5-23-2-x2==3·523+13-3·523+-23-2-x2=3·51-3·50-2-x2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12-2-x2=-122+x2

Ответ:  3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=-122+x2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a+1a0,7 к знаменателю a, б) 1×23-2·x13·y16+4·y13 к знаменателю x+8·y12.

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a0,7·a0,3=a0,7+0,3=a, следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a0,3. Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a0,3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a0,3:

a+1a0,7=a+1·a0,3a0,7·a0,3=a+1·a0,3a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x23-2·x13·y16+4·y13==x132-x13·2·y16+2·y162

Умножим это выражение на x13+2·y16, получим сумму кубов x13 и 2·y16, т. е. x+8·y12. Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.
 

Так мы нашли дополнительный множитель x13+2·y16. На области допустимых значений переменных x и y выражение x13+2·y16 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1×23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x13+2·y16x23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x133+2·y163=x13+2·y16x+8·y12

Ответ: а) a+1a0,7=a+1·a0,3a , б) 1×23-2·x13·y16+4·y13=x13+2·y16x+8·y12.  

Сократите дробь: а) 30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53, б) a14-b14a12-b12.

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15. Также мы можем произвести сокращение на x0,5+1 и на x+2·x113-53.

Получаем:

30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1)

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a14-b14a12-b12=a14-b14a142-b122==a14-b14a14+b14·a14-b14=1a14+b14

Ответ:  а)30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1), б) a14-b14a12-b12=1a14+b14.

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Выполните действия x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12.

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x12-1·x12+1

Вычтем числители:

x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12==x12+1·x12+1×12-1·x12+1-x12-1·x12-1×12+1·x12-1·1×12==x12+12-x12-12×12-1·x12+1·1×12==x122+2·x12+1-x122-2·x12+1×12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·1×12

Теперь умножаем дроби:

4·x12x12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·x12

Произведем сокращение на степень x12, получим 4×12-1·x12+1.

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4×12-1·x12+1=4×122-12=4x-1.

Ответ: x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12=4x-1

Упростите степенное выражение x34·x2,7+12x-58·x2,7+13.
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на (x2,7+1)2. Получаем дробь x34x-58·x2,7+1.

Продолжим преобразования степеней икса x34x-58·1×2,7+1. Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:  x34x-58·1×2,7+1=x34—58·1×2,7+1=x118·1×2,7+1.

Переходим от последнего произведения к дроби x138x2,7+1.

Ответ: x34·x2,7+12x-58·x2,7+13=x138x2,7+1.

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x+1)-0,23·x-1 можно заменить  на x3·(x+1)0,2.

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Представьте выражение x19·x·x36 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами  x≥0  и x·x3≥0 ,  которые задают множество [0, +∞).

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням: 

x19·x·x36=x19·x·x1316

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x19·x·x1316=x19·x16·x1316=x19·x16·x1·13·6==x19·x16·x118=x19+16+118=x13

Ответ: x19·x·x36=x13.

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 52·x+1−3·5x·7x−14·72·x−1=0.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

52·x·51−3·5x·7x−14·72·x·7−1=0, 5·52·x−3·5x·7x−2·72·x=0.

Теперь поделим обе части равенства на 72·x. Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5·5-3·5x·7x-2·72·x72·x=072·x,5·52·x72·x-3·5x·7×72·x-2·72·x72·x=0,5·52·x72·x-3·5x·7x7x·7x-2·72·x72·x=0

Сократим дроби со степенями, получим: 5·52·x72·x-3·5x7x-2=0.

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5·572·x-3·57x-2=0 , которое равносильно 5·57×2-3·57x-2=0.

Введем новую переменную t=57x, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5·t2−3·t−2=0.

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 141-5·log23 или log3279+5(1-log35)·log53. Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3. А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.

В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Представьте выражение со степенями 9-b3·π-12 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 32 и применим формулу сокращенного умножения:

9-b3·π-12=32-b3·π-12==3-b3·π-13+b3·π-1

Ответ: 9-b3·π-12=3-b3·π-13+b3·π-1.

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений. 

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2+0,3·7)5−3,7 и (a·(a+1)−a2)2·(x+1). Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2+0,3·7)5−3,7 можно выполнить действия для перехода к степени 4,11,3. Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a·(a+1)−a2)2·(x+1) и получить степенное выражение более простого вида a2·(x+1).

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

• ar·as=ar+s;
• ar:as=ar−s;
• (a·b)r=ar·br;
• (a:b)r=ar:br;
• (ar)s=ar·s.

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство am·an=am+n, где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a, как положительных, так и отрицательных, а также для a=0.

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Представьте выражение a2,5·(a2)−3:a−5,5 в виде степени с основанием a.

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a2)−3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a2,5·a−6:a−5,5= a2,5−6:a−5,5=a−3,5:a−5,5= a−3,5−(−5,5)=a2.

Ответ: a2,5·(a2)−3:a−5,5=a2.

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Найти значение степенного выражения 313·713·2123.

Решение

Если мы применим равенство (a·b)r=ar·br, справа налево, то получим произведение вида 3·713·2123 и дальше 2113·2123. Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 2113·2123=2113+23=211=21.

Есть еще один способ провести преобразования:

313·713·2123=313·713·(3·7)23=313·713·323·723==313·323·713·723=313+23·713+23=31·71=21

Ответ: 313·713·2123=31·71=21

Дано степенное выражение a1,5−a0,5−6, введите новую переменную t=a0,5.

Решение

Представим степень a1,5 как a0,5·3 . Используем свойство степени в степени (ar)s=ar·s справа налево и получим (a0,5)3: a1,5−a0,5−6=(a0,5)3−a0,5−6. В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t=a0,5: получаем t3−t−6.

Ответ: t3−t−6.

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Упростить степенное выражение 3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2.

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=3·523·513-3·523·5-23-2-x2==3·523+13-3·523+-23-2-x2=3·51-3·50-2-x2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12-2-x2=-122+x2

Ответ:  3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=-122+x2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a+1a0,7 к знаменателю a, б) 1×23-2·x13·y16+4·y13 к знаменателю x+8·y12.

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a0,7·a0,3=a0,7+0,3=a, следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a0,3. Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a0,3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a0,3:

a+1a0,7=a+1·a0,3a0,7·a0,3=a+1·a0,3a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x23-2·x13·y16+4·y13==x132-x13·2·y16+2·y162

Умножим это выражение на x13+2·y16, получим сумму кубов x13 и 2·y16, т. е. x+8·y12. Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.
 

Так мы нашли дополнительный множитель x13+2·y16. На области допустимых значений переменных x и y выражение x13+2·y16 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1×23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x13+2·y16x23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x133+2·y163=x13+2·y16x+8·y12

Ответ: а) a+1a0,7=a+1·a0,3a , б) 1×23-2·x13·y16+4·y13=x13+2·y16x+8·y12.  

Сократите дробь: а) 30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53, б) a14-b14a12-b12.

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15. Также мы можем произвести сокращение на x0,5+1 и на x+2·x113-53.

Получаем:

30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1)

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a14-b14a12-b12=a14-b14a142-b122==a14-b14a14+b14·a14-b14=1a14+b14

Ответ:  а)30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1), б) a14-b14a12-b12=1a14+b14.

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Выполните действия x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12.

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x12-1·x12+1

Вычтем числители:

x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12==x12+1·x12+1×12-1·x12+1-x12-1·x12-1×12+1·x12-1·1×12==x12+12-x12-12×12-1·x12+1·1×12==x122+2·x12+1-x122-2·x12+1×12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·1×12

Теперь умножаем дроби:

4·x12x12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·x12

Произведем сокращение на степень x12, получим 4×12-1·x12+1.

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4×12-1·x12+1=4×122-12=4x-1.

Ответ: x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12=4x-1

Упростите степенное выражение x34·x2,7+12x-58·x2,7+13.
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на (x2,7+1)2. Получаем дробь x34x-58·x2,7+1.

Продолжим преобразования степеней икса x34x-58·1×2,7+1. Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:  x34x-58·1×2,7+1=x34—58·1×2,7+1=x118·1×2,7+1.

Переходим от последнего произведения к дроби x138x2,7+1.

Ответ: x34·x2,7+12x-58·x2,7+13=x138x2,7+1.

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x+1)-0,23·x-1 можно заменить  на x3·(x+1)0,2.

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Представьте выражение x19·x·x36 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами  x≥0  и x·x3≥0 ,  которые задают множество [0, +∞).

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням: 

x19·x·x36=x19·x·x1316

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x19·x·x1316=x19·x16·x1316=x19·x16·x1·13·6==x19·x16·x118=x19+16+118=x13

Ответ: x19·x·x36=x13.

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 52·x+1−3·5x·7x−14·72·x−1=0.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

52·x·51−3·5x·7x−14·72·x·7−1=0, 5·52·x−3·5x·7x−2·72·x=0.

Теперь поделим обе части равенства на 72·x. Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5·5-3·5x·7x-2·72·x72·x=072·x,5·52·x72·x-3·5x·7×72·x-2·72·x72·x=0,5·52·x72·x-3·5x·7x7x·7x-2·72·x72·x=0

Сократим дроби со степенями, получим: 5·52·x72·x-3·5x7x-2=0.

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5·572·x-3·57x-2=0 , которое равносильно 5·57×2-3·57x-2=0.

Введем новую переменную t=57x, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5·t2−3·t−2=0.

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 141-5·log23 или log3279+5(1-log35)·log53. Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

А поскольку вы знаете, что возведение числа в степень [latex] \frac{1}{2}[/latex] равносильно возведению в квадрат корень этого числа, вы также можете записать его таким образом. {2}} }[/латекс].

Квадратный корень из правила произведения поможет нам упростить несовершенные корни, как показано в следующем примере.

Пример

Упрощение. [латекс] \sqrt{63}[/латекс]

Окончательный ответ [латекс] 3\sqrt{7}[/латекс] может показаться немного странным, но он в упрощенной форме. Вы можете прочитать это как «три радикальных семи» или «три умножить на квадратный корень из семи».

В следующем видео показано больше примеров того, как упростить квадратные корни, которые не имеют идеальных квадратных корней. 9{2}}[/латекс] [латекс]\влево|х\вправо|[/латекс] [латекс]−5[/латекс] [латекс]25[/латекс] [латекс]5[/латекс] [латекс]5[/латекс] [латекс]−2[/латекс] [латекс]4[/латекс] [латекс]2[/латекс] [латекс]2[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]0[/латекс] 92[/latex] всегда будет неотрицательным. Один из советов, чтобы узнать, когда применять абсолютное значение после упрощения любого даже индексированного корня, — посмотреть на конечный показатель степени в ваших переменных терминах. Если показатель степени нечетный, включая [latex]1[/latex], добавьте абсолютное значение. Это относится к упрощению любого корня с четным индексом, как мы увидим в последующих примерах.

В следующем видео вы увидите больше примеров того, как упростить радикальные выражения с переменными.

Мы покажем еще один пример, где упрощенное выражение содержит переменные как с нечетными, так и с четными степенями.

В нашем следующем примере мы начнем с выражения, записанного с рациональным показателем. Вы увидите, что вы можете использовать аналогичный процесс — разложение членов на множители и сортировку по квадратам — для упрощения этого выражения.

Вот еще один пример с идеальными квадратами.

Упрощение кубических корней

Мы можем использовать те же методы, которые мы использовали для упрощения квадратных корней, для упрощения корней более высокого порядка. Например, чтобы упростить кубический корень, цель состоит в том, чтобы найти множители под радикалом, которые являются идеальными кубами , чтобы вы могли извлечь из них кубический корень. Нам больше не нужно беспокоиться о том, определили ли мы главный корень, поскольку теперь мы находим кубические корни. Сосредоточьтесь на поиске идентичных трио факторов по мере упрощения. 9{3}}\end{array}[/latex]

Вы также можете пропустить шаг разложения на множители отрицательного числа, когда освоитесь с определением кубов.

В следующем видео мы покажем больше примеров упрощения кубических корней.

Упрощение корней четвертой степени

Теперь давайте перейдем к упрощению корней четвертой степени. Независимо от того, какой корень вы упрощаете, применяется одна и та же идея: найдите кубы для кубических корней, степени четырех для четвертых корней и т. д. Вспомните, что когда ваше упрощенное выражение содержит четный индексный радикал и переменный множитель с нечетным показателем, вам нужно применить абсолютное значение.

Альтернативный метод факторизации состоит в том, чтобы переписать выражение с рациональными показателями, а затем использовать правила показателей для упрощения. Вы можете обнаружить, что предпочитаете один метод другому. В любом случае приятно иметь варианты. Мы снова покажем последний пример, используя эту идею.

В следующем видео мы покажем еще один пример того, как упростить корень четвертой и пятой степени.

В нашем последнем примере мы упростим более сложное выражение, [латекс]\dfrac{10{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{c\sqrt[3] {8{{b}^{4}}}}[/латекс] .