Рубрика: Школьная жизнь

Бизнес — планирование. СПО. Итог [Архив]

Какой показатель располагают в знаменателе
при расчете рентабельности инвестиций по
прибыли, остающейся в распоряжении
организации в десятичном виде?
выберите один ответ:
1. Дополнительная прибыль, остающаяся в распоряжении организации от данной операции
2. Себестоимость, обеспечивающая реализацию проектируемого технического изделия
3. инвестиции, обеспечивающие реализацию проектируем°ro технического изделия
4. Дополнительный доход, остающийся в распоряжении организации от данной операции

С чем связаны преимущества высшего уровня?
Выберите один ответ:
1. с использованием дорогих ресурсов
2. С оригинальностью конструкции, уникальностью технологии, высокой квалификацией специалистов и репутацией организации
3. монопольное положение компании на рынке
4. СС использованием недорогих ресурсов

Какие действия осуществляются при
конкуренции качества?
Выберите один ответ:
1. Продажа по той же цене, что и у конкурентов, более качественного или универсального товара
2. Предложение аналогичного товара по более низкой цене
3. Обеспечение своих изделий более надежным послепродажным обслуживанием товара по более высокой цене

Что представляет собой изделие аналогичного
назначения?
Выберите один ответ:
1. Изделие, на основе которого создается новое изделие
2. изделие, которое не имеет аналогов
3. изделие, у которого есть аналоги
4. изделие, которое заменяется в эксплуатации новым изделием

Какое средство маркетинга включает в себя
каталоги?
выберите один ответ:
(прямая почтовая рассылка
1. Печатные медиа
2. Буклеты
3. Рекламные подарки

Какие элементы включает в себя расчет
себестоимости выполняемых работ (услуг)?
Выберите один ответ:
1. Затраты на амортизацию
2. Стоимость сооружений и оборудования ремонтных организаций
3. Стоимость сооружений и оборудования организации, эксплуатирующих изделие
4. сопутствуюшие капиталовложения

Какой элемент относится к сегментам рынка?
выберите один ответ:
1. Доходы
2. Цена
3. удобство

Что означают мощности как аспект бизнес-
деятельности?
Выберите один ответ:
1. количество требующихся работников
2. Количество времени и человеческих ресурсов, необходимое для производства товаров или услуг
3. Мера количества продукции, которую может выпустить раоочая сила, применяя имеющиеся здания, сооружения и орудование
4. Мероприятия, осуществляемые с целью поддержания стандартов для каждого товара или услуги

mti.prioz.ru

Бизнес-планирование одо 4 курс, 8 сем. зачет с ответами

1. (40c.) Как называется человек занимающийся бизнесом?

(один ответ)

1) бизнесмен;

2) комермант;

3) предприниматель;

4) все ответы верны;

Правильные ответы

4.

2. (40c.) Предпринимательская деятельность, предпринимательство представляет собой?

(один ответ)

1) барыга;

2) лица, осуществляющие инициативную деятельность на свой риск;

3) инициативную самостоятельную деятельность граждан и их объединений направленную на получение прибыли;

Правильные ответы

3.

3. (60c.) Бизнес — это;

(один ответ)

1) любое занятие, дело, приносящее доход;

2) совокупность отношений между всеми его участниками, образующими команду единомышленников с целью

Получения дохода, прибыли, развития фирмы, предприятия, организации;

3) приносящая доход деятельность граждан, имеющих собственность

4) верно 1 и 2;

5) верно 2 и 3;

6) верны все варианты ответа;

Правильные ответы

6.

4. (60c.) Кто выступает в виде участников бизнеса;(несколько вариантов ответа)

(несколько ответов)

1) работники, осуществляющие трудовую деятельность;

2) предприятия;

3) предпринематели;

4) обычные люди;

Правильные ответы

1.3.

5. (40c.) Бизнес как система представляет собой явление, наделенное четырьмя свойствами, какими;

(один ответ)

1) целесообразностью, целостностью, противоречивостью и активностью;

2) целесообразностью, объективностью, противоречивостью и активностью;

3) целесообразностью, правдивостью, противоречивостью и активностью;

4) целесообразностью, решительностью, противоречивостью и активностью;

Правильные ответы

1.

6. (60c.) В 1980-е гг. наблюдался бум предпринимательства, в основе которого лежали многие причины, в том числе;

(несколько вариантов ответа)

(несколько ответов)

1) вступление мировой экономики в очередной этап НТР;

2) высокая степень ориентации на нововведения;

3) обострение конкурентной борьбы;

4) повышение уровня образования кадров;

Правильные ответы

1.3.4.

7. (40c.) Интрапренеры — это;

(один ответ)

1) это предприниматели, добившиеся успеха;

2) это новаторы, добившиеся реализации своих новаторских идей;

3) бизнесмены потерпевшие неудачу;

Правильные ответы

2.

8. (40c.) Основной чертой интрапренерства являются;

(один ответ)

1) высокая степень ориентации на нововведения;

2) высокие показатели;

3) низкая рентабельность;

4) стабильность государственной и социальной политики;

Правильные ответы

1.

9. (40c.) Считается, что отрицательное воздействие на развитие предпринимательской деятельности оказывают

Следующие факторы:

(один ответ)

1) высокие налоговые ставки;

2) психология исключительности;

3) низкая норма накопления;

4) все варианты верны;

Правильные ответы

4.

10. (40c.) Как по другому называют бизнес-планирование;

(один ответ)

1) предпрининимательское планирование;

2) комерческое планирование;

3) деловое планирование;

4) индивидуальное планирование;

Правильные ответы

3.

11. (40c.) Бизнес-планирование — это;

(один ответ)

1) самостоятельный вид плановой деятельности, которая непосредственно связана с предпринимательством;

2) самостоятельный вид деятельности, которая непосредственно связана с предпринимательством;

3) самораскрытие для себя чего-то нового, которое непосредственно связано с предпринимательством;

Правильные ответы

1.

12. (40c.) Какое формальное планирование, безусловно, требует усилий;

likedoc.top

Тест Бизнес-планирование

1) Входит ли в структуру биснес-плана организационный и финансовый планы :

1. Да;

2. Нет;

3. Только организационный;

4. Только финансовый;

5. Только маркетинговый и план производства;

2) Проектирование организационной структуры управления предпологает планирование:

1. Управленческих групп;

2. Управленческих команд;

3. Связей между управленческими группами и командами;

4. Верно 1 и 2;

5. Все ответы верны

3)Выбрать верное утверждение.

А. Для реализации бизнес-рлана важно, чтобы оргструктура управления соответствовала принятой стратегии и кадровой политики предприятия;

Б. Организационная структура управления не является основанием для разработки штатного расписания;

В. Организационная структура управления служит основанием для разработки штатного расписания;

1. Верно только А

2. Верно только Б

3. Верно только В

4. Верно А и Б

5. Верно А и В

4) Ключевые менеджеры это —

А. Менеджеры, занимающие основные руководящие посты;

Б. Менеджеры отвечающие за разработку концепции и стратегии компании;

В. Все менеджеры являются ключевыми;

1. Верно только А

2. Верно только Б

3. Верно только В

4. Верно А и Б

5. Все варианты верны

5) Информация по ключевым менеджерам должна включать в себя :

А. ФИО, год рождения;

Б. Номер и серия паспорта;

В. Стаж работы;

Г. Занимаемая должность;

Д. Уровень и условия вознаграждения;

1. А, В, Д;

2. Б, Г, Д;

3. А, Б, В, Г, Д;

4. А, Г, Д;

5.А, Б, Г;

6) В случае предпологаемого расширения существующей команды менеджеров необходимо указать потребности в руководящих работниках, а именно:

1. Должности;

2. Основные обязанности и полномочия

3. Требуемая квалификация и опыт

4. Процесс найма персонала

5. Сроки занятости

6. Ожидаемый вклад в успех компании

7. Уровень и условия вознаграждения

А. 1,3,5,7

Б. 2,4,6,8

В. 1,2,5,7

Г. 1,2,3,4,5,6,7,8

Д. 3,4,7,8

7) Кадровая политика —

А. Система правил и норм работы с персоналом;

Б. Обеспечивает процессы воспроизводства, управления и развития персонала;

В. Осуществляется в соответствии с выбранной стратегией организации;

1. Верно только А

2. Верно только Б

3. Верно только В

4. Нет правильного ответа

5. Все ответы верны

8) При разработке календарного плана учитываются:

1. Затраты времени на выполнение работ;

2. Сроки выполнения;

3. Последовательность проведения работ;

4. Учитываются только 1 и 2

5. Учитывается все 1,2,3

9) Затраты времени на выполнение работ это затраты на :

А. Государственную регистрацию;

Б. Оформление лицензий;

В. Заключение договоров аренды помещений;

Г. Разработка рабочего проекта;

1. А,В,Г

2. А,Б,Г

3. Б,В,Г

4. А,Б,В, Г

5. А,Г

10) В финансовом плане необходимо отразить следующие разделы:

А. Прибыль;

Б. Цены на продукцию;

В. Денежный поток;

1. Верно только А

2. Верно только Б

3. Верно только В

4. Верно А и Б

5. Верно А и В

6. Верно Б и В

11) Предпринимателям и менеджерам финансовый план показывает:

1. Какое соотношение запланированных доходов от продаж и ожидаемых расходов;

2. На какую прибыль можно расчитывать в результате осуществления проекта и реализации выбранной стратегии;

3. Когда и откуда ожидается поступление денежных средств;

4. Каким будет финансовое положение предприятия к концу года;

5 Все ответы верны;

12) Потенциальным инвесторам(кредиторам) финансовый план позволяет получить ответы на вопросы:

А. Сколько реально потребуется денежных средств;

Б. На получение какой прибыли можно расчитывать;

В. Какова экономическая эффективность проекта;

1. Верно А и Б;

2.Верно А и В;

3. Верно Б и В

4. Верно А

5. Верно А, Б, В;

13) Финансовый раздел бизнес-плана включает в себя разработку трех основных документов:

А. План прибылей и убытков;

Б. Реестр цен;

В. План денежных потоков;

Г. Баланс;

1. А,Б, В;

2. А,В,Г;

3. Б,В,Г;

4. Нет правильного ответа;

5. Все ответы верны;

14) Активы складываются из:

А. Текущие активы;

Б. Побочные активы;

В. Основные активы;

Г. Прочие активы;

1. А,Б,В;

2. Б,В,Г;

3. А,В,Г;

4. А,Б;

5. А,Б,В,Г;

15) Чистая прибыль равна:

1. Выручка + Затраты;

2. Выручка — Затраты;

3. Выручка × Затраты;

4. Выруча / Затраты;

5. Выручка = Чистая прибыль;

16) План денежных потоков включает :

А. Инвестиционная деятельность;

Б. Операционная деятельность;

В. Хозяйственная деятельность;

Г. Финансовая деятельность;

1. А,В,Г;

2. Б,В,Г;

3. В,Г;

4. А,Б,В,Г;

5. А,Б,Г;

17) Финансовый документ, который отражает доходы, расходы и финансовые результаты деятельности предприятия за определенный период :

1.План денежных потоков;

2. План прибылей и убытков;

3. Реестр цен;

4. Баланс;

5. Нет правильного ответа;

18) Показывает потоки денежных средств предприятия от операционной, инвестиционной и финансовой деятельности предприятия за период:

1.План денежных потоков;

2. План прибылей и убытков;

3. Реестр цен;

4. Баланс;

5. Нет правильного ответа;

19) Характеризует финансовое положение предприятия на определенную дату:

1.План денежных потоков;

2. План прибылей и убытков;

3. Реестр цен;

4. Баланс;

5. Нет правильного ответа;

20) Все виды издержек делят на две основные категории :

А. Относящиеся к переменным затратам;

Б. Относящиеся к постоянным затратам;

В. Относящиеся к переменным расходам;

Г. Относящиеся к постоянным расходам;

1. А,Б;

2. Б,В;

3. А,Г;

4. Б,Г;

5. А,Б,В,Г;

21) Включает в себя поступления денежных средств от покупателей, прочие поступления от текущей деятельности, а также выплаты поставщикам, работникам, уплату налогов и прочих платежей, возникающих непосредственно в результате текущей операционной деятельности предприятия:

1. Операционный денежный поток;

2. Финансовый денежный поток;

3. Хозяйственный денежный поток;

4. Инвестиционный денежный поток;

5. Нет правильного ответа;

22) Отражает платежи за приобретенное оборудование и прочие расходы, а также поступления от реализации активов, которые не используются в производстве:

1. Операционный денежный поток;

2. Финансовый денежный поток;

3. Хозяйственный денежный поток;

4. Инвестиционный денежный поток;

5. Нет правильного ответа;

23) Отражает поступление денежных средств от выпуска акций, в виде долгосрочных и краткосрочных кредитов, вкладов владельцев предприятия, а также платежи в виде выплаты дивидентов, процентов по кредитам, финансовые вложения свободных денежных средств:

1. Операционный денежный поток;

2. Финансовый денежный поток;

3. Хозяйственный денежный поток;

4. Инвестиционный денежный поток;

5. Нет правильного ответа;

24) Построение денежного потока проекта может быть осуществленно:

1. Прямым и обратным методами;

2. Прямым и косвенным методами;

3. Обратным и косвенным методами;

4. Все ответы верны;

5. Нет правильного ответа;

25) Баланс в финансовом плане составляется на конец первого года и характеризует:

А. Активы и пассивы фирмы;

Б. Средства, вложенные в развитие производства самим предпринимателем и его партнерами;

В. Нераспределенную прибыль;

1. Только А;

2.Только Б;

3. Только В;

4. А и В;

5. А,Б,В;

26) Выделяют три основных варианта финансирования:

А. Финансирование из собственных средств;

Б. Финансирование из заемных средств;

В. Частное финансирование;

Г. Государственное финансирование;

Д. Смешанное финансирование;

1. А,Б,В;

2. А,Б,Г;

3. А,Б,Д;

4. В,Г,Д;

5. Б,В,Г;

27) Риск — это:

1. «Вероятность того, что произойдет какое-нибудь неблагоприятное событие»;

2. Опасность, незащищенность от потерь или ущерба;

3. Вероятность (угроза) потери предприятием части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления проекта;

4. Верно 2 и 3;

5. Все варианты ответа верны;

28) Виды рисков:

А. Производственный риск;

Б. Коммерческий риск;

В. Рыночный риск;

Г. Инфляционный риск;

Д. Финансовый риск;

Е. Научно-технический риск;

Ж. Политический риск;

З. Внешнеэкономический риск;

И. Чистый риск;

1. А,В,Д,Ж,И;

2. Б,Г,Е,З;

3. А,Б,В,Ж,Е,З;

4. А,Б,В,Г,Д,Е,Ж,З,И;

5. Б,В,Д,Е,З;

29) Риск связанный с падением спроса на продукт, колебаниями курса валют, неопределенностью действий конкурентов и т.д.:

1. Производственный риск;

2. Комерческий риск;

3. Рыночный риск;

4. Инфляционный риск;

5. Финансовый риск;

30) Риск, связанный с убытками от пожаров, несчастных случаев, катастроф и других стихийных бедствий:

1. Финансовый риск;

2. Научно-технический риск;

3. Политический риск;

4. Внешнеэкономический риск;

5. Чистый риск;

studfiles.net

Моделирование бизнес процессов 09.06.13 [Архив]

Выполняется в рамках отдельного подразделения
Имеет длину, меньшую нежели межфункциональный процесс

Чем определяется масштаб процесса?
Его сложностью
Его важностью для бизнес-системы в целом

Как следует использовать функциональный и процессный подход к управлению?
Они должны дополнять друг друга

В пользу какого термина Дж.Мартин отказался от использования термина «бизнес-процесс»?
Поток ценностей

Какой процесс реализуется в рамках границы структурного подразделения?
Бизнес-процесс подразделения

В связи с какими управленческими понятиями концепция получило в последнее время популярность понятие «бизнес-процесса»?
Реинжиниринг бизнес-процессов
Всеобщее управление качеством
Постоянное улучшение процессов

В связи с какими управленческими понятиями концепция получило в последнее время популярность понятие «бизнес-процесса»?
Реинжиниринг бизнес-процессов
Всеобщее управление качеством
Постоянное улучшение процессов

Можно ли отнести к ресурсам бизнес-процесса технологию его выполнения?
Да

Чем определяется уровень бизнес-процесса?
Степенью детальности его рассмотрения

Что в себя включает универсальная структурная схема бизнес-процесса?
Входы
Ресурсы
Деятельность по управлению бизнес-процессом
Выходы

Насколько обоснованным представляется противопоставление процессного и функционального подхода?
У данного противопоставления есть основания, но в целом оно непродуктивно

Межфункциональный процесс проходит сквозь:
Несколько подразделений

Результаты как базовые элементы процессов представляют собой:
Выберите один ответ:
Активные субъекты деятельности, объединенные в системы, взаимодействующие друг с другом и другими ресурсами
??Продукт процесса, воплощающий в себе ранее поставленные цели
Пассивные средства и предметы деятельности, используемые для выполнения процессов
Совокупность материальных, энергетических и информационных объектов, необходимых для выполнения процесса

Кто является клиентом основных процессов?
Внутренние клиенты
Другие процессы организации
Внешние клиенты
Конечные потребители

Организационно-обеспечивающие процессы – это:
Процессы жизнеобеспечения и поддержания заданных режимов функционирования бизнес-системы

Какими могут быть результаты процессов?:
Косвенные
Нематериальные
Прямые
Промежуточные
Материальные

Управляющая подсистема бизнес-системы является:
Субъектом прямой связи

Что такое обратная связь в рамках бизнес-процесса?:
Анализ и сопоставление результатов процесса с ранее поставленными целями

Человеческие ресурсы как базовые элементы процессов представляют собой:
Активные субъекты деятельности, объединенные в системы, взаимодействующие друг с другом и другими ресурсами

Цепочка создания ценность состоит из:
Совокупности взаимодействующих бизнес-процессов

Что можно отнести к преимуществам процессного подхода?
Возможность полноценного делегирования полномочий и ответственности за конечный результат
Обогащение труда сотрудников за счет интеграции их деятельности с деятельностью смежных подразделений, за счет освоения смежных операций процесса
Сокращение зависимости результатов деятельности от функциональной иерархии

Производственно-технологические процессы – это:
Процессы системы, связанные целью создания продукции, в дальнейшем передаваемой заказчику/потребителю

Что представляет собой процесс бизнес-системы?
Совокупность операций по обработке входа

Что не следует рассматривать в качестве отличительного признака бизнес-процесса?
Наращивание стоимости

Согласно ISO 9000: 2000 процесс – это:
Совокупность взаимосвязанных или взаимодействующих видов деятельности, преобразующая «входы» в «выходы»

Что можно отнести к числу недостатков функционального управления?
Большая часть реальных рабочих процессов в организациях и предприятиях включает множество функций, т. е. выходит за рамки отдельных подразделений
Функциональный подход стимулирует бюрократизацию деятельности организации
Функционально-ориентированная организация не стимулирует заинтересованность работников в конечном результате

Какой из представленных бизнес-процессов можно назвать самым длинным?
Межорганизационный

Можно ли говорить о процессном подходе как об особом направлении в современном менеджменте?
Выберите один ответ:
Скорее нет, чем да
Скорее да, чем нет
?? Как о самостоятельном направлении нет, но как о части другого направления — да

mti.prioz.ru

Тест по дисциплине экономика на тему Бизнес

Тест по теме «Бизнес — план»

1) Входит ли в структуру биснес-плана организационный и финансовый планы :

1. Да;

2. Нет;

3. Только организационный;

4. Только финансовый;

5. Только маркетинговый и план производства;

2) Проектирование организационной структуры управления предпологает планирование:

1. Управленческих групп;

2. Управленческих команд;

3. Связей между управленческими группами и командами;

4. Верно 1 и 2;

5. Все ответы верны

3)Выбрать верное утверждение.

А. Для реализации бизнес-рлана важно, чтобы оргструктура управления соответствовала принятой стратегии и кадровой политики предприятия;

Б. Организационная структура управления не является основанием для разработки штатного расписания;

В. Организационная структура управления служит основанием для разработки штатного расписания;

1. Верно только А

2. Верно только Б

3. Верно только В

4. Верно А и Б

5. Верно А и В

4) Ключевые менеджеры это —

А. Менеджеры, занимающие основные руководящие посты;

Б. Менеджеры отвечающие за разработку концепции и стратегии компании;

В. Все менеджеры являются ключевыми;

1. Верно только А

2. Верно только Б

3. Верно только В

4. Верно А и Б

5. Все варианты верны

5) Информация по ключевым менеджерам должна включать в себя :

А. ФИО, год рождения;

Б. Номер и серия паспорта;

В. Стаж работы;

Г. Занимаемая должность;

Д. Уровень и условия вознаграждения;

1. А, В, Д;

2. Б, Г, Д;

3. А, Б, В, Г, Д;

4. А, Г, Д;

5.А, Б, Г;

6) В случае предпологаемого расширения существующей команды менеджеров необходимо указать потребности в руководящих работниках, а именно:

1. Должности;

2. Основные обязанности и полномочия

3. Требуемая квалификация и опыт

4. Процесс найма персонала

5. Сроки занятости

6. Ожидаемый вклад в успех компании

7. Уровень и условия вознаграждения

А. 1,3,5,7

Б. 2,4,6,8

В. 1,2,5,7

Г. 1,2,3,4,5,6,7,8

Д. 3,4,7,8

7) Кадровая политика —

А. Система правил и норм работы с персоналом;

Б. Обеспечивает процессы воспроизводства, управления и развития персонала;

В. Осуществляется в соответствии с выбранной стратегией организации;

1. Верно только А

2. Верно только Б

3. Верно только В

4. Нет правильного ответа

5. Все ответы верны

8) При разработке календарного плана учитываются:

1. Затраты времени на выполнение работ;

2. Сроки выполнения;

3. Последовательность проведения работ;

4. Учитываются только 1 и 2

5. Учитывается все 1,2,3

9) Затраты времени на выполнение работ это затраты на :

А. Государственную регистрацию;

Б. Оформление лицензий;

В. Заключение договоров аренды помещений;

Г. Разработка рабочего проекта;

1. А,В,Г

2. А,Б,Г

3. Б,В,Г

4. А,Б,В, Г

5. А,Г

10) В финансовом плане необходимо отразить следующие разделы:

А. Прибыль;

Б. Цены на продукцию;

В. Денежный поток;

1. Верно только А

2. Верно только Б

3. Верно только В

4. Верно А и Б

5. Верно А и В

6. Верно Б и В

11) Предпринимателям и менеджерам финансовый план показывает:

1. Какое соотношение запланированных доходов от продаж и ожидаемых расходов;

2. На какую прибыль можно расчитывать в результате осуществления проекта и реализации выбранной стратегии;

3. Когда и откуда ожидается поступление денежных средств;

4. Каким будет финансовое положение предприятия к концу года;

5 Все ответы верны;

12) Потенциальным инвесторам(кредиторам) финансовый план позволяет получить ответы на вопросы:

А. Сколько реально потребуется денежных средств;

Б. На получение какой прибыли можно расчитывать;

В. Какова экономическая эффективность проекта;

1. Верно А и Б;

2.Верно А и В;

3. Верно Б и В

4. Верно А

5. Верно А, Б, В;

13) Финансовый раздел бизнес-плана включает в себя разработку трех основных документов:

А. План прибылей и убытков;

Б. Реестр цен;

В. План денежных потоков;

Г. Баланс;

1. А,Б, В;

2. А,В,Г;

3. Б,В,Г;

4. Нет правильного ответа;

5. Все ответы верны;

14) Активы складываются из:

А. Текущие активы;

Б. Побочные активы;

В. Основные активы;

Г. Прочие активы;

1. А,Б,В;

2. Б,В,Г;

3. А,В,Г;

4. А,Б;

5. А,Б,В,Г;

15) Чистая прибыль равна:

1. Выручка + Затраты;

2. Выручка — Затраты;

3. Выручка × Затраты;

4. Выруча / Затраты;

5. Выручка = Чистая прибыль;

16) План денежных потоков включает :

А. Инвестиционная деятельность;

Б. Операционная деятельность;

В. Хозяйственная деятельность;

Г. Финансовая деятельность;

1. А,В,Г;

2. Б,В,Г;

3. В,Г;

4. А,Б,В,Г;

5. А,Б,Г;

17) Финансовый документ, который отражает доходы, расходы и финансовые результаты деятельности предприятия за определенный период :

1.План денежных потоков;

2. План прибылей и убытков;

3. Реестр цен;

4. Баланс;

5. Нет правильного ответа;

18) Показывает потоки денежных средств предприятия от операционной, инвестиционной и финансовой деятельности предприятия за период:

1.План денежных потоков;

2. План прибылей и убытков;

3. Реестр цен;

4. Баланс;

5. Нет правильного ответа;

19) Характеризует финансовое положение предприятия на определенную дату:

1.План денежных потоков;

2. План прибылей и убытков;

3. Реестр цен;

4. Баланс;

5. Нет правильного ответа;

20) Все виды издержек делят на две основные категории :

А. Относящиеся к переменным затратам;

Б. Относящиеся к постоянным затратам;

В. Относящиеся к переменным расходам;

Г. Относящиеся к постоянным расходам;

1. А,Б;

2. Б,В;

3. А,Г;

4. Б,Г;

5. А,Б,В,Г;

21) Включает в себя поступления денежных средств от покупателей, прочие поступления от текущей деятельности, а также выплаты поставщикам, работникам, уплату налогов и прочих платежей, возникающих непосредственно в результате текущей операционной деятельности предприятия:

1. Операционный денежный поток;

2. Финансовый денежный поток;

3. Хозяйственный денежный поток;

4. Инвестиционный денежный поток;

5. Нет правильного ответа;

22) Отражает платежи за приобретенное оборудование и прочие расходы, а также поступления от реализации активов, которые не используются в производстве:

1. Операционный денежный поток;

2. Финансовый денежный поток;

3. Хозяйственный денежный поток;

4. Инвестиционный денежный поток;

5. Нет правильного ответа;

23) Отражает поступление денежных средств от выпуска акций, в виде долгосрочных и краткосрочных кредитов, вкладов владельцев предприятия, а также платежи в виде выплаты дивидентов, процентов по кредитам, финансовые вложения свободных денежных средств:

1. Операционный денежный поток;

2. Финансовый денежный поток;

3. Хозяйственный денежный поток;

4. Инвестиционный денежный поток;

5. Нет правильного ответа;

24) Построение денежного потока проекта может быть осуществленно:

1. Прямым и обратным методами;

2. Прямым и косвенным методами;

3. Обратным и косвенным методами;

4. Все ответы верны;

5. Нет правильного ответа;

25) Баланс в финансовом плане составляется на конец первого года и характеризует:

А. Активы и пассивы фирмы;

Б. Средства, вложенные в развитие производства самим предпринимателем и его партнерами;

В. Нераспределенную прибыль;

1. Только А;

2.Только Б;

3. Только В;

4. А и В;

5. А,Б,В;

26) Выделяют три основных варианта финансирования:

А. Финансирование из собственных средств;

Б. Финансирование из заемных средств;

В. Частное финансирование;

Г. Государственное финансирование;

Д. Смешанное финансирование;

1. А,Б,В;

2. А,Б,Г;

3. А,Б,Д;

4. В,Г,Д;

5. Б,В,Г;

27) Риск — это:

1. «Вероятность того, что произойдет какое-нибудь неблагоприятное событие»;

2. Опасность, незащищенность от потерь или ущерба;

3. Вероятность (угроза) потери предприятием части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления проекта;

4. Верно 2 и 3;

5. Все варианты ответа верны;

28) Виды рисков:

А. Производственный риск;

Б. Коммерческий риск;

В. Рыночный риск;

Г. Инфляционный риск;

Д. Финансовый риск;

Е. Научно-технический риск;

Ж. Политический риск;

З. Внешнеэкономический риск;

И. Чистый риск;

1. А,В,Д,Ж,И;

2. Б,Г,Е,З;

3. А,Б,В,Ж,Е,З;

4. А,Б,В,Г,Д,Е,Ж,З,И;

5. Б,В,Д,Е,З;

29) Риск связанный с падением спроса на продукт, колебаниями курса валют, неопределенностью действий конкурентов и т.д.:

1. Производственный риск;

2. Комерческий риск;

3. Рыночный риск;

4. Инфляционный риск;

5. Финансовый риск;

30) Риск, связанный с убытками от пожаров, несчастных случаев, катастроф и других стихийных бедствий:

1. Финансовый риск;

2. Научно-технический риск;

3. Политический риск;

4. Внешнеэкономический риск;

5. Чистый риск;

infourok.ru

Гдз по алгебре богомолов 10 11 класс

ГДЗ, решебник Алгебра 1011 класс,.Н

Практические занятия по математике: учебное пособие для техникумов. А гдз алгебра 11 класс Кологоров — это экстренная помощь будущему выпускнику , которому срочно нужно наверстать упущенный материал, тогда как до экзаменов осталось совсем чуть-чуть, а заработать достойный балл жизненно необходимо! Раздел, глава, элемент вычислительной математики. Математика для нематематиков, Избранное, Математика, Математика для студентов, аспирантов и научных работников Богомолов.

Выберите номер задания или страницу (при отсутствии номера задания):

belparts.ru

ГДЗ по математике сборник задач (ССУЗ) Богомолов Н.В.

В РАЗМЕРЕ ДЕВЯНОСТО ИЛИ ДЕВЯНОСТА: Как правильно написать девяносто или девяноста рублей

Но я думаю вопрос был не в падежах. ДЕВЯНОСТО. так как это сложное слово и образовано оно от двух слов девять и сто. Такие имена числительные. В сочетании с предлогом по по девяноста и допустимо по девяносто числ. Таким образом. Существует много способов сделать так. чтобы окружающие не захотели иметь с вами ничего общего. Чтобы подтвердить эти слова. приведем несколько наглядных примеров Как видите.

Девяносто — числ. 1. Название числа, состоящего из 90 единиц. 2. Такое количество единиц чего либо. Толковый словарь Ефремовой.

Количественное числительное “девяносто” в именительном и винительном падеже правильно пишется – девяносто. В остальных случаях это слово правильно пишется – девяноста. Ведь в таких числительных (например, двести) склоняются обе части (двухсот). Числительные сорок, девяносто и сто скорее будут исключениями из правила.

Ответыmail ru как правильно девяносто одна тысяча семьсот

Прежде чем поведать вам о том, как следует правильно писать: девяноста или девяносто, необходимо сказать, что оба представленных варианта имеют полное право на существование. Следует вычесть из девяноста единиц десять, чтобы получить восемьдесят».

Число между пятью и семью 96 Но у нас с каждого заработанного рубля государство в виде налогов забирает шесть. Числительные сорок. и имеют только две формы сорок. Как правильно.

Пройти двести-триста шагов. Триста лет тому назад. В словаре — триста страниц. Запомним: сложное числительное триста (а также четыреста) в именительном и винительном падежах оканчивается на а и только на а. Например: триста вёрст, четыреста страниц. ДВАДЦАТЬ и ТРИДЦАТЬ Ь пишется на конце. а у числительных ПЯТЬДЕСЯТ ВОСЕМЬДЕСЯТ и ПЯТЬСОТ ДЕВЯТЬСОТ в середине слова. ОБА основой для склонения является ОБОJОБОИХ. B составных количественных числительных склоняются все образующие их слова двести пятьдесят шесть двухсот пятидесяти шести. двумястами пятьюдесятью шестью. Если использовать девяносто. У числительных двести.

Количественные числительные не имеют морфологического признака числа (кроме слов один, тысяча, миллион, миллиард). Числительные тысяча, миллион, миллиард. Кроме числительных полтора, полтораста, все дробные числительные являются составными: первая часть — целое количественное числительное, а вторая — порядковое: две третьих, пять восьмых. Числительное полтора.

Вы можете оставить комментарий к слову ДЕВЯНОСТО.

Дело в том, что корни слов не имеют падежей. К одной тысяче пятистам девяноста шести прибавить шестьсот сорок пять. Правильно ли написаны числительные?

В тренде:

• Видео процесс создания шедевров из мастикиМастику раскатать скалкой размером чуть больше диаметра торта, перенести ее аккуратно на торт и закрыть верхнюю часть торта. Лишнюю мастику обрезать ножницами. Именно такой вид вам […]
• Какие ограничения предполагает право оперативного управления по ГК РФТо есть, предприятие обладает по отношению к имуществу правомочиями, аналогичными правомочиям собственника, но в определенных, установленных законом пределах. Пункт 1 ст. 576 ГК РФ […]
• Сон: автобус, ехать в автобусе. К чему снится поездка в автобусе?Попасть в автобусную аварию, разбиться — сон означает, что в организации, в которой вы работаете или учитесь, произойдут очень неприятные события, но лично вас они не коснутся. Видеть во […]

estortenok.ru

396392 прописью -> триста девяносто шесть тысяч триста девяносто два

396 392

three hundred and ninety-six thousand three hundred and ninety-two

three hundred ninety-six thousand three hundred ninety-two

dreihundert sechsundneunzig tausend dreihundert zweiundneunzig

trois cent quatre-vingt-seizemille trois cent quatre-vingt-douze

триста дев’яносто шість тисяч триста дев’яносто два

trzysta dziewięćdziesiąt sześć tysięcy trzysta dziewięćdziesiąt dwa

tři sta devadesát šest tisíc tři sta devadesát dva

Посмотрите как пишутся числа: 1215, 144356, 233365, 317190, 443751, 511973, 601719, 714809, 875527, 999781.

numword.ru

396890 прописью -> триста девяносто шесть тысяч восемьсот девяносто

396 890

three hundred and ninety-six thousand eight hundred and ninety

three hundred ninety-six thousand eight hundred ninety

dreihundert sechsundneunzig tausend achthundert neunzig

trois cent quatre-vingt-seizemille huit cent quatre-vingt-dix

триста дев’яносто шість тисяч вiсiмсот дев’яносто

trzysta dziewięćdziesiąt sześć tysięcy osiemset dziewięćdziesiąt

tři sta devadesát šest tisíc osm set devadesát

Посмотрите как пишутся числа: 3772, 173728, 221517, 398662, 426061, 568525, 695783, 722124, 844324, 999857.

numword.ru

96899 прописью -> девяносто шесть тысяч восемьсот девяносто девять

96 899

ninety-six thousand eight hundred and ninety-nine

ninety-six thousand eight hundred ninety-nine

sechsundneunzig tausend achthundert neunundneunzig

quatre-vingt-seizemille huit cent quatre-vingt-dix-neuf

дев’яносто шість тисяч вiсiмсот дев’яносто дев’ять

dziewięćdziesiąt sześć tysięcy osiemset dziewięćdziesiąt dziewięć

devadesát šest tisíc osm set devadesát devět

Посмотрите как пишутся числа: 78704, 180746, 299647, 305944, 405740, 512169, 601962, 777543, 888071, 983702.

numword.ru

196396 прописью -> сто девяносто шесть тысяч триста девяносто шесть

196 396

one hundred and ninety-six thousand three hundred and ninety-six

one hundred ninety-six thousand three hundred ninety-six

einhundert sechsundneunzig tausend dreihundert sechsundneunzig

cent quatre-vingt-seizemille trois cent quatre-vingt-seize

сто дев’яносто шість тисяч триста дев’яносто шість

sto dziewięćdziesiąt sześć tysięcy trzysta dziewięćdziesiąt sześć

sto devadesát šest tisíc tři sta devadesát šest

Посмотрите как пишутся числа: 37623, 139529, 265805, 340357, 413848, 503437, 680869, 756673, 867430, 976276.

numword.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

sequences-and-series — предел последовательности $ (

I should calculate the limit of a sequence. A friend told me, that the solution is $1$ . But I got $(-1)^n$ .

The exercise is: $lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+ (-1)^n \cdot \frac{n^2}{n^2+1}$

I did following: $begin{align*} &=\frac{n^2 ((-1)^n n^2 + 1 + \frac{1}{n^2})}{n^2(n^2+1)}\ &=\frac{(-1)^n n^2 + 1 + \frac{1}{n^2}}{(n^2+1)}\ &=\frac{n^2(\frac{(-1)^n n^2}{n^2}+ \frac{1}{n^2}+ \frac{1}{n^4})}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})}\ &=\frac{(-1)^n + 0 +0}{1}\ &=\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^n \end{align*}$

What did I wrong?

Edit Well, some answers confused me. Here the complete exercise. I should check if the sequence is convergent for ${n \to \infty}$ and determine the limit if it exist. Also for a sequence which is $infty$ or $-\infty$ .

My friend got $1$ as limit. I got $(-1)^n$ . I would say, that this sequence has no limit, just limit points $1$ and $-1$ .

Я должен вычислить предел последовательности. Друг сказал мне, что решение составляет $1$ . Но я получил $(-1)^n$ .

Упражнение: $lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+ (-1)^n \cdot \frac{n^2}{n^2+1}$

я следующее: $begin{align*} &=\frac{n^2 ((-1)^n n^2 + 1 + \frac{1}{n^2})}{n^2(n^2+1)}\ &=\frac{(-1)^n n^2 + 1 + \frac{1}{n^2}}{(n^2+1)}\ &=\frac{n^2(\frac{(-1)^n n^2}{n^2}+ \frac{1}{n^2}+ \frac{1}{n^4})}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})}\ &=\frac{(-1)^n + 0 +0}{1}\ &=\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^n \end{align*}$

What did I wrong?

Edit Well, some answers confused me. Here the complete exercise. I should check if the sequence is convergent for ${n to infty}$ and determine the limit if it exist. Also for a sequence which is $infty$ or $- infty$ .

My friend got $1$ as limit. I got $(-1)^n$ . I would say, that this sequence has no limit, just limit points $1$ and $-1$ .

sequences-and-series limits8,829

math.stackovernet.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Предел последовательности Википедия

С ростом значения n значение функции n sin(1/n) приближается к 1. Говорят, что «предел последовательности n sin(1/n) равен 1».

44 Математические программы — Windows

В разделе математических программ на Windows вы найдете приложения для решения любых задач и графических представлений

Интерактивная среда для выполнения сложных математических расчетов

Собирайте и анализируйте статистические данные

Выполняйте сложные математические операции

Программа для инженерных расчетов

стандартный расчет с помощью пропорций

12 ноября 2013

Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.

Итак, первая задача:

Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?

На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:

Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?

Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:

37 500 — 100%
X — 95%

Нужно составить пропорцию и найти x. Получаем:

Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:

x = 375 · 95

Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:

x = 35 625

Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.

Задача на проценты №2

Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?

Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:

45 000 — 100%
x — 80%

Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

45 000 · 8 = x · 10

Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x:

x = 45 000 · 8 : 10

Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:

x = 4500 · 8

Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!

Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно. А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:

45 000 − 36 000 = 9000

Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.

Я надеюсь, что этот ролик поможет тем, кто самостоятельно готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!:)

Смотрите также:

1. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов
2. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции
3. Как решать квадратные уравнения
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 11 (без логарифмов)
5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции

www.berdov.com

Проценты | Формулы с примерами

Правила нахождения процентов

Формула

Свойства

Свойство 1

Свойство

Нахождение p% от числа a: умножить a на	p	;
	100

Пример 4% от 190 равны 190 • 0,04 = 7,6;

23% от 53 равны 53 • 0,23 = 12,19;

131% от 19 равны 19 • 1,31 = 24,89;

Свойство 2

Свойство

Нахождение числа a, если его p% равны b: разделить b на	p	;
	100

Пример

Найти число, 16% которого равны 70: a =	70	=  437,5  =	1	;
	0,16		5

Найти число 175% которого равны 90: a =	90	= 51	1	;
	1,75		4

Найти число 250% которого равны 100: a =	100	=  0,4.
	2,5

Свойство 3

Свойство Выражение в процентах частного двух чисел a и b (дроби): Пример

15 : 20 =	15	• 100% = 75%.
	20

Свойство 4

Свойство Сколько процентов составляет число a от числа b: разделить a на b,
полученную дробь записать в процентах: Пример Сколько процентов составляет число 30 от 60?

Процентное соотношение

Определение
Процентное соотношение представляет какую-либо часть от единицы
как часть от 100. Обозначение процентов: %.

Обозначение
1% = 1/100, одна сотая часть величины.

100% — это единица, или некоторое количество целиком.

50% = 50/100, т.е. половина от целого.

formula-xyz.ru

Внеклассный урок — Процент. Действия с процентами

Процент. Действия с процентами

Процент – это одна сотая часть целого.

1% = 1/100 = 0,01

 

1) Действия с процентами.

Нахождение процента от числа.

Формула	Пример
x% · a                          ———                            100	Найдем 20% от числа 250:                                        20 · 250                                    ————  =  50                                         100

 

Нахождение числа по данному проценту.

Формула	Пример
100% · b                       ————                             x%	22 – это 40% какого-то числа. Какое это число?                                                22 · 100%                                                ————  =  55                                                       40%

 

Нахождение процентного отношения.

Формула	Пример
a                       — · 100%                        b	Сколько процентов от числа 90 составляет число 27?                                        27                                        — · 100% = 30%                                        90

 

Увеличение на определенный процент.

Формула	Пример
x%                 a · (1 +  ———)                                100%	Увеличим число 290 на 40 процентов:                    40 290 · (1 + ———) = 290 · (1 + 0,4) = 290 · 1,4 = 406                   100

 

Уменьшение на определенный процент.

Формула	Пример
x%                 a · (1 –  ———)                                100%	Уменьшим число 290 на 40 процентов:                                40            290 · (1 – ———) = 290 · (1 – 0,4) = 290 · 0,6 = 174                               100

 

2) Действия с процентами с помощью правила пропорции.

Можно совершать действия с процентами, применяя правило пропорции. «Рисуем» Z.

 

Нахождение процента от числа.

Пример:
Найдем 20% от числа 250.

Решение:

250 – это всё число, то есть 100%. Сколько же будет 20%? Делаем пропорцию:

100% —— 250
20% —— х

«Рисуем» букву Z, начиная от х:

х = 20 · 250 : 100 = 50

 

Нахождение числа по данному проценту.

Пример:
22 – это 40% какого-то числа. Какое это число?

Решение:
22 —— 40%
х —— 100%

х  =  100 · 22 : 40  =  55

 

Нахождение процентного отношения.

Пример:
Сколько процентов от числа 90 составляет число 27?
Решение:
90 —— 100%
27 —— х%

х  =  27 · 100 : 90 = 30%

 

Увеличение на определенный процент.

Пример:
Увеличим число 290 на 40 процентов.

Решение:
290 —— 100%
х   ——   140%

х = 140 · 290 : 100 = 406

 

Уменьшение на определенный процент.

Пример:
Уменьшим число 290 на 40 процентов.

Решение:
290 —— 100%
х   ——   60%

х = 60 · 290 : 100 = 174

raal100.narod.ru

Вычисление процентов, или Повседневная математика :: SYL.ru

Вычисление процентов – несложная математическая операция, которая довольно часто встречается в повседневной жизни. Например, нужно посчитать, сколько человек экономит, используя дисконтную карту магазина или покупая товар на распродаже со скидкой, под какой процент берет кредит. Проценты можно посчитать при помощи калькулятора или пропорции, пригодится формула вычисления процентов и знание элементарных известных соотношений.

Что такое процент от числа

Вычисление процентов в школьной программе изучается классе в 5-м, если не раньше. Согласно определению, процент – это одна сотая часть числа. Термин появился в Древнем Риме и буквально переводится как «со ста». Первоначально идея вычислять проценты зародилась еще в Вавилоне. Параллельно в Древней Индии научились считать проценты при помощи пропорции.

Для того чтобы найти процент от числа, необходимо данное число поделить на 100. Очевидно, что 1 % от 100 равняется единице.

Вычисление процентов по формулам

Формула, позволяющая найти процент от числа, элементарна. Необходимо число поделить на 100, после чего умножить на нужный процент.

Если принять за Х исходное число, а за Y — искомый процент, то формула записывается в виде X/100*Y=…

Например, нужно рассчитать 25 % от числа 300. Расчет по вышеуказанной формуле будет иметь вид: 300/100*25=75.

Расчеты при помощи пропорции

Вычисление процентов можно производить, имея понимание метода пропорции. Пусть А — основное число, принятое за 100 %, В — число, соотношение которого с А в процентном соотношении необходимо высчитать, а Х — число искомых процентов. Тогда:

А — 100 %,
В — Х %.

Умножение крест-накрест даст равенство: А*Х=В*100. Следовательно, Х=В*100/А.

Например, необходимо узнать, сколько процентов от 300 составляет число 75. Получается: 75*100/300=25 %.

Альтернативный метод вычислений

Представим один процент не десятичной, а простой дробью — 1/100. Аналогично можно записать любое количество процентов. Так, 10 % — это 0,1 или 1/10, 25 % — 0,25 или 25/100=1/4 и так далее. Следовательно, найти 10 % от числа довольно просто — нужно разделить исходное число на 10. Таким способом удобно вычислять 20, 25 и 50 процентов:

• 20 % — это 1/5, значит, нужно делить на 5 исходное число.
• 25 % — 1/4, нужно делить на 4.
• 50 % — это 1/2, просто делить на два.

Но не всякий процент удобно рассчитать таким методом. К примеру, 33 % — это 33/100, что при записи десятичной дробью дает 0,3333 с бесконечным количеством троек после запятой.

Если возникают сомнения в правильности проводимых расчетов, всегда можно проверить себя на калькуляторе, который сейчас есть в любом мобильном устройстве и на любом компьютере.

www.syl.ru

на бумаге и не только — журнал «Рутвет»

Нередко возникают случаи, когда нужно найти процент какого – либо числа. Те, кто сейчас учится в школе, должны без труда справляться с этой задачей. Но бывает так, что решение вылетает из головы, а посчитать нужно срочно. Так как найти процент от числа?

Как найти процент от числа и число от процента на бумаге

Самый простой способ найти процент от числа – это пропорция. Допустим, вам необходимо посчитать процент бракованного товара. Известно, что всего выпущено 300 деталей, 20 из них бракованные. Вот как найти процент от числа с помощью пропорции:

300 = 100%20 = ?

Теперь вспомните, как считали пропорции в школе: (20*100)/300 = 6,66%. В обратную сторону это работает так: нужно узнать, сколько составляет один процент от числа и умножить на сто. Допустим, необходимо посчитать, сколько всего выпущено автомобилей, если в город доставлено 120 машин, что составляет 5% от всей партии. Разделите 120 на 5 и получите 24. Теперь остается умножить на сто, и вы узнаете, сколько всего автомобилей было выпущено. Так, зная как найти процент от числа и число от процента, вы сможете решать задачи такого рода на бумаге.

Узнайте также, как перевести простую дробь в десятичную и наоборот.В чем разница в расчете сложных и простых процентов? Читайте здесь.

Использование сторонних программ

Для того, чтобы быстро посчитать проценты, можно воспользоваться обычными офисными инструментами – браузером или программой Microsoft Excel. Если у вас есть подключение к интернету, то вы можете воспользоваться услугами онлайн калькулятора процентов. Подобных сервисов в сети достаточно много, так что вы обязательно найдете то, что ищете. А можно просто написать в поисковой строке Google «5% от 100», например. Он выдаст вам ответ моментально, посчитав на встроенном калькуляторе.

Но самым популярным решением в условиях офиса является Microsoft Excel. Чаще всего проценты нужны при составлении таблиц, а когда под рукой есть мощный инструмент, способный считать проценты за вас (например, сумму налогового вычета), то грех будет им не воспользоваться.

Как найти процент от числа в excel? Точно так же, как и на бумаге, с той лишь разницей, что не приходится пересчитывать вручную. Формулы в Excel записываются в ячейках и начинаются со знака «=». Переведя на язык формул Excel пропорцию, описанную выше, вы получите такое выражение: =B1/A1, где A1 – общее число деталей, а B1 – число бракованных. После этого необходимо в контекстном меню ячейки C1 выбрать пункт «формат ячеек» и выбрать процентный числовой формат. Ответ автоматически будет переводиться в проценты. После можно копировать формулу в другие ячейки, адреса ячеек изменятся автоматически.

www.rutvet.ru

Как найти процент от числа

Процент — это одна сотая часть заданного числа или величины. Указывается знаком «%».

Основная связь между десятичными дробями и процентами

Чтобы преобразовать десятичную дробь в проценты, нам необходимо умножить на 100.

Например: 6 = 600%; 0,6 = 60%; 0,06 = 6%; 0,006 = 0,6%.

Чтобы преобразовать проценты в десятичную дробь, нам необходимо число процентов разделить на 100.

Например: 800% = 8; 80% = 0,8; 8% = 0,08; 0,8% — 0,008.

Как найти процент от числа?

Чтобы найти процент от числа, нужно:

1. Перевести % в десятичную дробь, это делается путем деления количества процентов на 100.
2. Полученную дробь необходимо умножить на известное число в задаче.

Задача 1

Пример задачи для решения:

Сплав содержит 10% меди. Сколько килограммов меди содержится в 650 килограммах сплава. Эта задача дана для нахождения процентов от числа, так как напротив 100% стоит число.

1. Нужно перевести: 10% = 0,1.

2. Решаем сколько кг меди содержится в 650 кг сплава: 0,1*650=65 кг.

Ответ: 65 кг.

Задача 2

Какую долю в процентном отношении составляет 25 от 500.

Формула в финансовых расчетах: P = A1 / A2 * 100%.

Решение: P = 25 / 500 * 100 = 5 %

Основные формулы для решения задач на проценты

• Формула вычисления процента от заданного числа

Если нам известно число А и нужно найти число В, тогда составляющее P процентов от A находится за формулой:

• Формула вычисления числа по его проценту

Если нам известно число В которое составляет P процентов от числа A, а также нужно найти значение числа A, это решается формулой:

• Формула вычисления процентного выражение одного числа от другого

Если нам известно два числа А и В, а также нужно определить, какой процент составляет число В от числа А, то это находится за формулой:

• Формула вычисления числа, которое больше исходного числа на заданный процент

Если нам известно число А и нужно найти число B, которое на P процентов больше числа A, то это находится за формулой:

• Формула вычисления числа, которое меньше исходного числа на заданный процент

Если нам известно число А и нужно найти число B, которое на P процентов меньше числа A, то это находится за формулой:

• Формула вычисления исходного числа по значению числа, которое больше от исходного на заданный процент

Если нам известно число В, которое на P процентов больше числа A, а также нужно найти число А, то это находится за формулой:

• Формула вычисления исходного числа по значению числа, которое меньше от исходного на заданный процент

Если нам известно число В, которое на P процентов меньше числа A, а также нужно найти число А, то это находится за формулой:

• Формула вычисления сложных процентов

Где в формуле А — это текущая стоимость, В — будущая стоимость, Р — процентная ставка за (день, месяц…), n — количество расчетных периодов.

Решение задач на проценты — видео

pristor.ru

Как считать пропорцию — Напомните как с помощью пропорции высчитывать проценты? — 22 ответа



Как найти х

В разделе Домашние задания на вопрос Напомните как с помощью пропорции высчитывать проценты? заданный автором Ѝльвира Лисовская лучший ответ это На бумажке перемножая крестиком известные данные и деля на 3-е число. Примерно так:
500=100%
200=??? %
Итого 200*100/500= 40 %
))
Ну вот как-то так …))

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Напомните как с помощью пропорции высчитывать проценты?

Ответ от Просушиться[мастер]
Сложные задачи по математике на % слабым ученикам лучше находить с помощью пропорций.
Проценты от числа они могут находить без пропорций.
Умножаешь на калькуляторе само число на кол-во %, деленных на 100.
Чтоб найти 13 % от 70 нужно 70*0,13
Существую еще 2 типа задач на %.
Чтоб найти ск-ко % составляет часть от целого. Хотя тут без пропорций легко можно обойтись.
А вот когда известны % от числа. Тут уже у многих сложности.
Если попадается задача на %, за «х» принимаешь то, что нужно найти.
Ставишь черточку и пишешь, чему оно соответствует.
Внизу пишешь следующие данные.
Например, по последнему типу задача.
Многим 4-шникам ее сложно решить.
5% некоторого числа равно, допустим 12.
Найти само число. Применим это к химии. Дан 5%-й р-р кислоты. Масса самой к-ты (чистого в-ва, концентрированной) в р-ре составляет 12 г. Найти массу всего р-ра.
Пишем пропорцию.
х ——100%
12 г ——-5%
Умножаем крест-накрест.
х*5 = 12*100
Решаем получившееся ур-е
х=(12*100)5=240 (г.)

Ответ от теософия[гуру]
Вообще-то проценты в пятом классе изучают, и учат их вычислять бех помощи пропорций. Я преподаю в вузе, на экономическом факультете, и более половины моих студентов испытывают затруднения в операциях с процентами, что меня искренне удивляет. Ведь это же простые вещи! Что же за студенты пошли! Если в вузе им приходится объяснять программу 5-го класса!

Ответ от Невропатолог[гуру]
5% от 68
68 — 100%
Х — 5%
Х = (5*68)/100 = 3,4
или
68*0,05 = 3,4 т. к. процент — это 1/100 числа

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Квадратное уравнение на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Квадратное уравнение

Пропорция математика на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Пропорция математика

Пуля фильм 2014 на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Пуля фильм 2014

Пуля Бреннеке на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Пуля Бреннеке

Соотношение на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Соотношение

Спанкинг на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Спанкинг

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Пивот калькулятор

Представленный калькулятор пивот-уровней за несколько секунд сгенерирует для вас пивот-уровни (точки разворота) в четырех различных системах. Просто заполните форму данными из предыдущего периода и нажмите кнопку «Рассчитать»:

Обычные уровни пивот

Pivot (P) = (H + L + C) / 3
Сопротивление (R1) = (2 × P) − L
R2 = P + H − L
R3 = H + 2 × (P − L)
Поддержка (S1) = (2 × P) − H
S2 = P − H + L
S3 = L − 2 × (H − P)

Обычные уровни пивот, представленные в первой колонке в таблице результатов, являются самыми простыми и популярными пивот-уровнями, которые используются в техническом анализе для рынка Forex. Уровень пивот (пивот-точка) интерпретируется как уровень основной поддержки или сопротивления — точка, на которой будет создан главный тренд. Точки сопротивления и поддержки первого-третьего уровней служат как дополнительные индикаторы возможного разворота или продолжения тренда. Правила для расчета обычных уровней пивот довольно простые.

Уровни пивот Тома ДеМарка

Если Закрытие < Открытие, тогда X = H + 2 × L + C;
Если Закрытие > Открытие, тогда X = 2 × H + L + C;
Если Закрытие = Открытие, тогда X = H + L + 2 × C;
Новый High = X / 2 − L;
Новый Low = X / 2 − H

Другим популярным способом расчета простого технического индикатора, который помогает предсказывать будущее тренда, являются уровни пивот Тома ДеМарка. Это, скорее, не совсем уровни пивот, а предсказанные уровни наивысшего и низшего значения для данного периода. Чтобы рассчитать пивот-уровни ДеМарка, следуйте этим правилам.

Уровни пивот Вуди

Pivot (P) = (H + L + 2 × C) / 4
Сопротивление (R1) = 2 × P − L
R2 = P + H − L
Поддержка (S1) = 2 × P − H
S2 = P − H + L

Уровни пивот Вуди весьма похожи на обычные уровни пивот, но рассчитываются немного по-другому, давая больше веса цене закрытия предыдущего периода. Используйте следующие правила для расчета пивот-уровней Вуди.

Уровни пивот Камарилла (Camarilla)

R4 = (H − L) × 1,1 / 2 + C
R3 = (H − L) × 1,1 / 4 + C
R2 = (H − L) × 1,1 / 6 + C
R1 = (H − L) × 1,1 / 12 + C
S1 = C − (H − L) × 1,1 / 12
S2 = C − (H − L) × 1,1 / 6
S3 = C − (H − L) × 1,1 / 4
S4 = C − (H − L) × 1,1 / 2

Уровни пивот Камарилла (Camarilla) — это набор из восьми очень возможных уровней, которые соответствуют значениям поддержки и сопротивления для текущего тренда. Источник и точный способ расчета этих пивот-уровней не совсем ясен. Более важным является то, что эти уровни работают для всех трейдеров и помогают установить правильные значения стоп-лосса и таргет-профита. Я использую следующие правила для расчета пивот-уровней Камарилла.

Возможно, вас также заинтересует наш калькулятор Фибоначчи. Он поможет вам рассчитать уровни коррекции для завершившегося тренда.

cos 0 равен

«cos 0 равен… »
Тригонометрическую функцию можно вычислить с помощью нескольких способов. Рассмотрим их.

Способ 1.
Является одним из самых применяемых, распространенных и простых. Чтобы с его помощью вычислить значение заданной функции необходимо использовать таблицу значений тригонометрических функций от основных углов.

Таблица позволяет определить значение , которое равно единице:

Способ 2.
Если же таблицы значений функций нет, то можно использовать тригонометрический круг, который также называют тригонометрической окружностью. С его помощью можно вычислять значения основных тригонометрических функций (синус, косинус).

На тригонометрическом круге значения косинуса лежат на оси абсцисс (оси Ох). 0 градусов соответственно совпадает с числом 0. При проецировании этой точки на ось абсцисс получаем 1. Таким образом, косинус от 0 равен 1.

Способ 3.
Если запомнить как выглядит график косинуса (косинусоида), то нет необходимости запоминать или искать таблицу или учиться пользоваться тригонометрической окружностью.

По графику возможно очень точное определение значения функции косинус при . Для этого найдем, в какой точке графика его аргумент равен 0 и проецируем эту точку на ось ординат. Получаем значение 1.

ru.solverbook.com

Формулы тригонометрических уравнений

Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.

I. sin x =a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

Таблица арксинусов

II. cos x=a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

Таблица арккосинусов

Частные случаи синуса и косинуса:

III. tg x=a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

Таблица арктангенсов

IV. ctg x = a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

Таблица арккотангенсов

www.uznateshe.ru

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

med.academic.ru

Тригонометрические функции — Традиция

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции от величины угла. Они важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.

В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. Кроме того, существуют другие функции, такие как \(\operatorname{versin}\) и \(\operatorname{exsec}\), но они в настоящее время редко используются (см. Редко используемые тригонометрические функции). С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции (см. Обратные тригонометрические функции)

Основные тригонометрические функции

Функция	Обозначение	Соотношение
Си́нус	\(\sin\)	\(\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
Ко́синус	\(\cos\)	\(\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
Та́нгенс	\(\tg\)[1]	\(\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\ctg\frac{1}{x}\)
Кота́нгенс	\(\ctg\)[2]	\(\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}=\tg \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg \frac{1}{x}\)
Се́канс	\(\sec\)	\(\sec x=\frac{1}{\cos x}=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
Косе́канс	\(\cosec\)[3]	\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике[править]

Рис. 2
Прямоугольный треугольник

Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла \(\alpha,\) возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол \(\alpha\) (см. Рис. 2). Стороны этого треугольника мы будем называть так:

• Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона \(c.\)
• Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет \(a\) — противолежащий по отношению к углу \(A.\)
• Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет \(b\) — прилежащий по отношению к углу \(A.\)

Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна \(\pi.\) Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между \(0\) и \(\frac{\pi}{2}.\) Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: \(\sin\alpha=\frac{a}{c}.\) Это отношение не зависит от выбора треугольника \({ABC}\), содержащего угол \(\alpha,\) так как все такие треугольники подобны.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: \(\cos\alpha=\frac{b}{c}.\) Так как \(\sin\beta=\frac{b}{c},\) синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: \(\tg\,\alpha=\frac{a}{b}.\)

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: \(\ctg\,\alpha=\frac{b}{a}.\) Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.

Секанс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: \(\sec\alpha=\frac{c}{b}.\)

Косеканс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: \(\cosec \,\alpha=\frac{c}{a}.\)

Из определений тригонометрических функций следует: $$a=c\sin\alpha\,,$$ $$b=c\cos\alpha\,,$$ $$a=b\,\tg\,\alpha,$$ $$b=a\,\ctg\,\alpha,$$ $$c=b\sec\alpha\,,$$ $$c=a\,\cosec \,\alpha,$$

и симметрично: $$b=c\sin\beta\,,$$ $$a=c\cos\beta\,,$$ $$b=a\,\tg\,\beta,$$ $$a=b\,\ctg\,\beta,$$ $$c=a\sec\beta\,,$$ $$c=b\,\cosec \,\beta.$$

Определение тригонометрических функций через окружность[править]

Рис. 3.
Определение тригонометрических функций через окружность. Рис. 4.
Tригонометрическиe функций угла \(\alpha\) в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке \(O\) и с осями \({OX}\) и \({OY}\) (см. Рис. 3). Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке \(O\) и радиусом, равным единице. Пусть отрезок \({OA}\) поворачивается на произвольный угол \(\vartheta\) вокруг центра \(O.\)

Синусом угла \(\vartheta\) называется отношение ординаты точки \(A\) к длине отрезка \({OA}.\) Обозначают \(\sin\vartheta=\frac{AC}{OA}.\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна \(1\), то \(\sin\vartheta={AC}.\)

Косинусом угла \(\vartheta\) называется отношение абсциссы точки \(A\) к длине отрезка \({OA}.\) Обозначают \(\cos\vartheta=\frac{OC}{OA}.\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна 1, то \(\cos\vartheta={OC}.\)

Тангенсом угла \(\vartheta\) называется отношение ординаты точки \(A\) к абсциссе точки \(A\). Обозначают \(\tg\,\vartheta=\frac{AC}{OC}\) (в англоязычной литературе \(\operatorname{tan}\vartheta ).\) Так как \({AC}=\sin \vartheta\) и \({OC}=\cos\vartheta,\) то \(\tg\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}.\)

Котангенсом угла \(\vartheta\) называется отношение абсциссы точки \(A\) к ординате точки \(A\). Обозначают \(\ctg\,\vartheta=\frac{OC}{AC}\) (в англоязычной литературе \(\operatorname{cot}\vartheta ).\) Так как \({AC}=\sin\vartheta\) и \({OC}=\cos\vartheta,\) то \(\ctg\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}.\) Котангенс равен обратному значению тангенса: \(\ctg\,\vartheta=\frac{1}{\tg\,\vartheta}.\)

Секансом угла \(\vartheta\) называется отношение длины отрезка \({OA}\) к абсциссе точки \(A\). Обозначают \(\sec\vartheta=\frac{OA}{OC}.\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна 1, то \(\sec\vartheta=\frac{1}{OC}.\) Секанс равен обратному значению косинуса: \(\sec\vartheta=\frac{1}{\cos\vartheta}.\)

Косекансом угла \(\vartheta\) называется отношение длины отрезка \({OA}\) к ординате точки \(A\). Обозначают \(\cosec \,\vartheta=\frac{OA}{AC}\) (в англоязычной литературе \(\operatorname{csc}\vartheta ).\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна \(1\), то \(\cosec \,\vartheta=\frac{1}{AC}.\) Косеканс равен обратному значению синуса: \(\cosec \,\vartheta=\frac{1}{\sin\vartheta}.\)

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

Определение тригонометрических функций через ряды[править]

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенных рядов: $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$$
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями \(\tg\,x=\frac{\sin x}{\cos x},\) \(\ctg\,x=\frac{\cos x}{\sin x},\) \(\sec x=\frac{1}{\cos x}\) и \(\cosec \,x=\frac{1}{\sin x},\) можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций: $$\tg\,x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\frac{62x^9}{2835}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}$$где \(B_n\) — числа Бернулли. $$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n},$$где \(E_n\) — числа Эйлера.

Определение тригонометрических функций через экспоненту[править]

Определение тригонометрических функций через ряды эквивалентно следующему компактному определению тригонометрических функций, носящему имя формула Муавра: $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править]

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения тригонометрических функций на окружности.

\( \alpha \,\!\)	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)
\( \sin \alpha \,\!\)	\({0} \,\!\)	\( \frac{1}{2}\,\!\)	\( \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!\)	\( \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!\)	\({1}\,\!\)	\({0}\,\!\)	\({-1}\,\!\)
\( \cos \alpha \,\!\)	\({1} \,\!\)	\( \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!\)	\( \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!\)	\( \frac{1}{2}\,\!\)	\({0}\,\!\)	\({-1}\,\!\)	\({0}\,\!\)
\( \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\!\)	\({0} \,\!\)	\( \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!\)	\( {1}\,\!\)	\( \sqrt{3}\,\!\)	\( \infty \,\!\)	\({0}\,\!\)	\( \infty \,\!\)
\( \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\!\)	\( \infty \,\!\)	\( \sqrt{3}\,\!\)	\({1} \,\!\)	\( \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!\)	\( {0}\,\!\)	\( \infty \,\!\)	\({0}\,\!\)
\( \sec \alpha \,\!\)	\({1} \,\!\)	\( \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!\)	\( \sqrt{2}\,\!\)	\( {2}\,\!\)	\( \infty \,\!\)	\({-1}\,\!\)	\( \infty \,\!\)
\( \cosec \, \alpha \,\!\)	\( \infty \,\!\)	\( {2}\,\!\)	\( \sqrt{2}\,\!\)	\( \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!\)	\({1}\,\!\)	\( \infty \,\!\)	\({-1}\,\!\)

Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править]

\(\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

\(\tg \frac{\pi}{120}= \tg 1.5^\circ =\sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} — \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})} }}\)

\(\cos \frac{\pi}{240}=\frac{1}{16}\left(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(2+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15} \right) + \sqrt{\sqrt{2+\sqrt{2}}+2} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} — 1 \right) \right)\)

\(\cos \frac{\pi}{17} = \frac{1}{8} \sqrt{2 \left( \sqrt{2\sqrt{\frac{17(17-\sqrt{17})}{2}}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}}-4\sqrt{34+2\sqrt{17}}+3\sqrt{17}+17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{17}+15 \right)}\)

Свойства тригонометрических функций[править]

Функция y = cos α — чётная, функции: y = sin α, y = tg α, y = ctg α — нечётные, то есть: $$ \sin \left( — \alpha \right) = — \sin \alpha\,,$$ $$ \cos \left( — \alpha \right) = \cos \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( — \alpha \right) = — \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( — \alpha \right) = — \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,.$$

Для острых углов \( \alpha < \frac{ \pi}{2}\,\!\) справедливо: $$ \sin \left( \frac{ \pi}{2} — \alpha \right) = \cos \alpha\,,$$ $$ \cos \left( \frac{ \pi}{2} — \alpha \right) = \sin \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} — \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} — \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,.$$

Для углов \( 0 < \alpha < \pi \,\!\) справедливо: $$ \sin \left( \pi — \alpha \right) = \sin \alpha\,,$$ $$ \cos \left( \pi — \alpha \right) = — \cos \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \pi — \alpha \right) = — \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{ \pi}{2}\,.$$

Рассмотрим треугольник ABO (см. Рис. 1). По теореме Пифагора: $$ \left(AB \right)^2 + \left(BO \right)^2 = \left(OA \right)^2 \,,$$ если OA = 1, то AB = sin α и OB = cos α, то есть $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \qquad \qquad (1)\,$$

Если разделить выражение (1) на \( \cos^2 \alpha \,,\) то получим следующее тождество: $$ 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha}. \qquad \qquad (2) \,$$

Если разделить выражение (1) на \( \sin^2 \alpha \,,\) то получим следующее тождество: $$ 1 + \frac{1}{ \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha} = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}, \qquad \qquad (3) \,$$ или $$ 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}. \qquad \qquad (4) \,$$

Полезные тождества[править]

\( 1\pm \sin x = 2 \sin^2 \left (\frac {\pi}{4} \pm \frac x2 \right )\)

\( 1+\cos x = 2 \cos^2 \left ( \frac x2 \right )\)

\( 1-\cos x = 2 \sin^2 \left ( \frac x2 \right )\)

\(1\pm \tg x=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\cos x}\)

\(1\pm \ctg x=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\sin x}\)

\(\sin^2(x)+\sin^2(y)=\frac 12 \left [ 2- \cos(2x)-\cos(2y)\right ]\)

\(\sin^2(x)-\sin^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2y)-\cos(2x)\right ]\)

\(\cos^2(x)+\cos^2(y)=\frac 12 \left [ 2+ \cos(2x)+\cos(2y)\right ]\)

\(\cos^2(x)-\cos^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2x)-\cos(2y)\right ]\)

\(\sin^2(x)+\cos^2(y)=\frac 12 \left [ 2- \cos(2x)+\cos(2y)\right ]\)

\(\cos^2(x)-\sin^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2x)+\cos(2y)\right ]\)

\(\sin^2(x+y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \sin(2y) — \cos(2x) \cos(2y) +1 \right ]\)

\(\cos^2(x+y)=\frac 12 \left [ \cos(2x) \cos(2y) — \sin(2x) \sin(2y)+1 \right ]\)

\(\sin^2(x-y)=\frac 12 \left [1-\sin(2x) \sin(2y)-\cos(2x) \cos(2y) \right ]\)

\(\cos^2(x-y)=\frac 12 \left [1+\sin(2x) \sin(2y)+\cos(2x) \cos(2y) \right ]\)

\(\sin (x+y)+\sin (x-y)=2\sin x \cos y\)

\(\sin (x+y)-\sin (x-y)=2\cos x \sin y\)

\(\sin (x+y)+\cos (x-y)=2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\sin (x+y)-\cos (x-y)=- 2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\sin (x+y) \sin(x-y)= \frac 12 [\cos(2y)-\cos(2x)]\)

\(\sin (x+y) \cos(x+y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \cos(2y)+\sin(2y) \cos(2x) \right ] \)

\(\sin (x+y) \cos(x-y)= \frac 12 [\sin(2x)+\sin(2y)]\)

\(\sin (x+y) \tg (x-y)= \frac {\cos(2y)-\cos(2x)}{2\cos(x-y)}\)

\(\sin (x+y) \ctg (x-y)= \frac {\sin(2x)+\sin(2y)}{2\sin(x-y)}\)

\(\sin (x-y) \cos(x-y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \cos(2y)-\sin(2y) \cos(2x) \right ] \)

\(\cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos x \cos y\)

\(\cos (x+y)-\cos (x-y)=- 2\sin x \sin y\)

\(\cos (x+y)+\sin (x-y)=2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\cos (x+y)-\sin (x-y)= 2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\cos (x+y) \cos(x-y)= \frac 12 [\cos(2x)+\cos(2y)]\)

\(\cos (x+y) \sin(x-y)= \frac 12 [\sin(2x)-\sin(2y)]\)

\(\cos (x+y) \tg (x-y)= \frac {\sin(2x)-\sin(2y)}{2\cos(x-y)}\)

\(\cos (x+y) \ctg (x-y)= \frac {\cos(2x)+\cos(2y)}{2\sin(x-y)}\)

\(\tg (x+y)+ \tg (x-y)=\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x)+\cos(2y)}\)

\(\tg (x+y)- \tg (x-y)=\frac{2\sin(2y)}{\cos(2x)+\cos(2y)}\)

\(\tg (x+y)+ \ctg (x-y)=\frac{2\cos(2y)}{\sin(2x)-\sin(2y)}\)

\(\tg (x+y)- \ctg (x-y)=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2y)-\sin(2x)}\)

\(\tg (x+y) \sin(x-y)=\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{2\cos(x+y)}\)

\(\tg (x+y) \cos(x-y)=\frac{\sin(2x)+\sin(2y)}{2\cos(x+y)}\)

\(\tg (x+y) \tg (x-y)=\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{\cos(2x)+\cos(2y)}\)

\(\tg (x+y) \ctg (x-y)=\frac{\sin(2x)+\sin(2y)}{\sin(2x)-\sin(2y)}\)

\(\ctg (x+y)+ \tg (x-y)=\frac{2\cos(2y)}{\sin(2x)+\sin(2y)}\)

\(\ctg (x+y)- \tg (x-y)=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)+\sin(2y)}\)

\(\ctg (x+y)+ \ctg (x-y)=\frac{2\sin(2x)}{\cos(2y)-\cos(2x)}\)

\(\ctg (x+y)- \ctg (x-y)=\frac{2\sin(2y)}{\cos(2x)-\cos(2y)}\)

\(\ctg (x+y) \sin(x-y)=\frac{\sin(2x)-\sin(2y)}{2\sin(x+y)}\)

\(\ctg (x+y) \cos(x-y)=\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{2\sin(x+y)}\)

\(\ctg (x+y) \tg (x-y)=\frac{\sin(2x)-\sin(2y)}{\sin(2x)+\sin(2y)}\)

\(\ctg (x+y) \ctg (x-y)=\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{\cos(2y)-\cos(2x)}\)

\(\ctg x+ \tg x=\frac{2}{\sin(2x)}\)

\(\ctg x- \tg x=\frac{2 \cos(2x)}{\sin(2x)}\)

\(\tg^n x=\frac{\sin^n(2x)}{[1+\cos(2x)]^n}\)

\(\tg (3x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{3}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{3}-x\right ) \)

\(\tg (5x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{5}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{5}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{2\pi}{5}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{2\pi}{5}-x\right ) \)

\(\tg (7x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{7}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{2\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{2\pi}{7}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{3\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{3\pi}{7}-x\right ) \)

\(\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (2^k x \right )=\frac{\sin \left ( 2^{n+1} x \right )}{2^{n+1} \cdot \sin x}\)

\(\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2^{n+1} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}\)

\(\prod \limits _{k=1}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x}{2^{n} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}\)

\(\prod \limits _{k=0}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2x}\)

\(\prod \limits _{k=1}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x}{x}\)

Производные и интегралы[править]

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

\(( \sin x )’ = \cos x \,,\)

\(( \cos x )’ = -\sin x \,,\)

\(( \tg x )’ = \frac{1}{\cos ^2 x},\)

\(( \ctg x )’ = -\frac{1}{\sin ^2 x}.\)

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

\(\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,\)

\(\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,\)

\(\int\tg x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,\)

\(\int\ctg x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,.\)

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась अर्धज्या, ардха-джья̄ («полутетива»), затем слово ардха- (अर्ध) было отброшено и линию синуса стали называть просто джья̄ (ज्या). Но чаще использовался синоним джӣва, «живой» (जीबा). Арабские переводчики не перевели слово джӣва арабским словом ватар (وتر), обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса джӣба (произношение جيبا). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое ӣ в слове джӣба обозначается так же, как полугласная й (جيب), Герардо Кремонский интерпретировал слово как джайб, что буквально обозначает «впадина», «пазуха» и перевёл его на латынь словом sinus, имеющим то же значение.^[4]

Современное обозначение синуса \(\sin\) и косинуса \(\cos\) введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens, «касающийся») и «секанс» (secans, «секущий») были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

traditio.wiki

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dikc.academic.ru

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

veter.academic.ru

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

brokgauz.academic.ru

Учебник Теория вероятности — Самойленко, Кузнецов

Содержание

4.3.3.2.Первый центральный момент. . . . . . . . . . . . . . . .86

4.3.3.3.Второй начальный момент. . . . . . . . . . . . . . . . .86

4.3.3.4.Второй центральный момент . . . . . . . . . . . . . . . .87

4.3.3.5.Связь дисперсии с начальными моментами . . . . . . . . . . 88

4.3.4.Среднее квадратичное отклонение . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3.5.Моменты высоких порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

4.3.5.1.Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. . . . 89

4.3.5.2.Четвертый центральный момент и величина эксцесс . . . . . . 90

4.4. Практикум и вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . 91

5.ЧАСТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.Законы распределения дискретных случайных величин . . . . . . . . 100

5.1.1.Биномиальный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.1.1.Общая характеристика биномиальной случайной величины . . . 100

5.1.1.2.Числовые характеристики биномиальной случайной величины . 101

5.1.2.Закон распределения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . .103

5.1.2.1.Простейший поток событий . . . . . . . . . . . . . . . .103

5.1.2.2.Общая характеристика пуассоновской случайной величины. . . 104

5.1.2.3.Числовые характеристики пуассоновской случайной величины . 106

5.1.2.4.Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на

заданный участок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

5.2.Законы распределения непрерывных случайных величин . . . . . . . 108

5.2.1.Равномерный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.1.1.Общая характеристика. . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

5.2.1.2.Числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . .110

5.2.1.3.Вероятность попадания случайной величины на заданный участок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.2. Показательный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.2.1.Общая характеристика . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

5.2.2.2.Числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . .113

5.2.2.3.Вероятность попадания случайной величины на заданный участок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.3.Нормальный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.3.1.Общая характеристика. . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

5.2.3.2.Числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . .116

5.2.3.3.Вероятность попадания случайной величины на заданный участок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.3.4. Правило трех сигм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

5.3.Распределения, производные от нормального распределения . . . . . . 120

5.3.1.Распределение Пирсона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

5.3.2.Распределение Стьюдента. . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

6.СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ . . 128

6.1.Случайные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

studfiles.net

Учебники по теории вероятности и математической статистике / Чтение и литература / YaUmma.Ru

Есть три сильно отличающихся уровня статистического восприятия.

1) Хорошо представляешь вероятностную подоплеку методов (грубо говоря, легко умеешь доказывать).
Тогда ты можешь допиливать метод под свои условия или представлять будет ли он работать там, где он формально не работает.
2) Понимаешь в чем заключается метод, откуда он берется в общих чертах и какие у него условия.
Тогда ты не сможешь модернизировать метод, но сможешь представлять где что можно использовать, а где что нельзя.
3) Используешь определенный набор рецептов. Сможешь использовать их в тех случаях, которые описаны в рецептуре и никогда иначе.
Каждый из них предполагает свою программу обучения.

Первый уровень это долго и сложно. Готового рецепта я не дам, дам обзор того, что на мой взгляд можно\нужно прочитать.

Теория вероятностей

Севастьянов — это очень понятная и простая книга, можно начать с нее, если другое кажется сложным. Если есть желание посложнее, то можно читать Гнеденко, на мой взгляд она довольно внятная, хотя я ее читал кусками.
Ширяев — это полезный справочник под рукой, необходимым являются первые две главы. Феллер — полезная книга для догона по отдельным темам, Боровков — это очень полная книга с более общей теорией.
Универсальный задачник — Grimmett, Stirzaker «One Thousand Exercises in Probability», к нему же есть учебник (не самый лучший, на мой вкус)
Ross — это, на мой взгляд, вообще не учебник, а что-то другое, я плохо понимаю как по нему разобраться в материале.

Математическая статистика

Тут примерно так все устроено.
Есть университетские учебники. В русских изложена классика, довольно неплохо. В частности, оценивание и доверительное оценивание вполне хорошо читать по русским учебникам + базу проверки гипотез
Вот, скажем, у Черновой общий материал изложен неплохо.
Есть учебник Боровкова, очень неплохая книга, чтобы подглядывать туда за максимально полными формулировками теорем и их содержанием, но непригодная чтобы его читать.
Из хороших для чтения книг стоит назвать Лагутина М.Б. «Наглядная математическая статистика» — очень хорошо написанная книга. В частности, здесь наиболее внятно из виденного мной описаны ранговые критерии, но разбираться с их внутренним устройством, если понадобится эта тема, придется отдельно, есть полная, но сложная книга Хеттсманнспергера.
Теперь в сторону от отечественной классики.
Стоит обратить внимание на общий критерий отношения правдоподобий.
Он внятно и хорошо изложен в большинстве зарубежных университетских учебников, например, Roussas «A first course In Mathematical Statistics» очень простая и подробная книга, которая хорошо дополняет русские учебники.
Есть очень трудно читаемая книга Williams «Weighing the Odds: A Course in Probability and Statistics», где очень правильно изложено как львиная доля критериев параметрической статистики, в частности Стьюдента, Фишера, ANOVA, линейная регрессия и т.д. вытекают из Likelihood Ratio Test, это очень полезно для понимания устройства параметрических критериев и их производства.
Неплохо также почитать общую теорию непараметрической статистики, но я не назову хорошего учебника, который бы не свалился в бы рецептуру и при этом не ушел в дебри функционального анализа. Плохого на память тоже не назову, вернусь из отпуска — посмотрю на работе, если интересно.
Теперь мы получили хороший фундамент и пора расширять свои знания вширь.
Wasserman L. All of Statistics — здесь много про более широкий спектр методов (в частности околоприкладных) и то, как их применять.
Некоторые люди любят Trevor, Hastie, она более разносторонняя чем Вассерманн. По моему мнению, это плохо написанная книга из которой можно узнавать о чем еще неплохо бы прочитать, но читать это в другом месте.
Дальше уже нужно догоняться отдельными темами, которые интересуют — регрессия, кластеризация, непараметрическая статистика, etc — по всем ним есть хорошие отдельные книги, которые уже надо обсуждать по мере надобности.

forumbgz.ru

yaumma.ru

Книги по теории вероятности

Литература по теории вероятности и математической статистике

В данном разделе мы предлагаем Вам наиболее популярную литературу, пособия, лекции по теории вероятности, которую Вы можете скачать абсолютно бесплатно.

Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика», учебник, ЮНИТИ-ДАТА, 2010. 551 с.

• Предисловие
• Введение
• Раздел 1. Теория вероятностей
• Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
• Глава 2. Повторные независимые испытания
• Глава 3. Случайные величины
• Глава 4. Основные законы распределения
• Глава 5. Многомерные случайные величины
• Глава 6. Закон больших чисел и предельные теоремы
• Глава 7. Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания
• Раздел II. Математическая статистика
• Глава 8. Вариационные ряды и их характеристики
• Глава 9. Основы математической теории выборочного метода
• Глава 10. Проверка статистических гипотез
• Глава 11. Дисперсионный анализ
• Глава 12. Корреляционный анализ
• Глава 13. Регрессионный анализ
• Глава 14. Введение в анализ временных рядов
• Глава 15. Линейные регрессионные модели финансового рынка
• Библиографический список
• Ответы к упражнениям
• Приложения. Математико-статистические таблицы
• Предметный указатель

скачать формат pdf

Лисьев В.П. Теория вероятности и математическая статистика: Учебное пособие, М., 2006. – 199 с.

Содержание
Сведения об авторе 5
Общие сведения о дисциплине 5
Цель  и  задачи дисциплины 6
Рекомендации по изучению дисциплины 7
1. Случайные события 9
1.1. События. Пространство элементарных событий 10
1.2. Элементы комбинаторного анализа 11
1.3. Отношения между событиями 13
1.4. Вероятность события 14
1.5. Простейшие свойства вероятности 16
1.6. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Зависимые и независимые события 18
1.7. Формула сложения вероятностей 19
1.8. Формула полной вероятности и формула Байеса 20
1.9. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли 21
1.10. Асимптотические приближения формулы Бернулли 23
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 25
2. Случайные величины 27
2.1. Определение, классификация, способы задания случайных величин 28
2.2. Функция распределения вероятностей и её свойства 29
2.3. Плотность распределения вероятностей и её свойства 31
2.4. Функция случайной величины. Математическое ожидание 33
2.5. Числовые характеристики случайных величин 35
2.6. Квантили, квартили и вероятное отклонение 40
2.7. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс 41
2.8. Производящие функции 43
2.9. Примеры дискретных законов распределения 45
2.10. Примеры непрерывных распределений 46
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 53
3. Многомерные случайные величины 55
3.1. Определение многомерных случайных величин 56
3.2. Функция распределения вероятностей двухмерной случайной величины 57
3.3. Плотность распределения вероятностей двухмерной случайной величины 60
3.4. Условные законы распределения. Статистическая зависимость 62
3.5. Числовые характеристики многомерных случайных величин. Ковариационный момент и коэффициент корреляции 64
3.6. Условные числовые характеристики. Линии регрессии. Корреляционное отношение 68
3.7. Двухмерное нормальное распределение 71
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 75
4. Функциональные преобразования случайных величин 77
4.1. Функция одной случайной величины 78
4.2. Функция нескольких случайных величин 79
4.3. Теоремы о математических ожиданиях и дисперсиях 80
4.4. Некоторые специальные законы распределения 81
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 83
5. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема 85
5.1. Предварительные замечания 86
5.2. Неравенство Чебышева 86
5.3. Теорема Чебышева 88
5.4. Теорема Бернулли 89
5.5. Центральная предельная теорема 90
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 91
6. Статистическая обработка экспериментальных данных. Оценка параметров 93
6.1. Задачи математической статистики 94
6.2. Выборка. Вариационный ряд. Эмпирические законы распределения 95
6.3. Эмпирические числовые характеристики 98
6.4. Точечные оценки параметров. Свойства эмпирических характеристик 101
6.5. Доверительные интервалы. Общие определения 105
6.6. Доверительные интервалы параметров нормального распределения 106
6.7. Построение доверительного интервала для вероятности события 111
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 114
7. Проверка статистических гипотез 115
7.1. Общие положения 116
7.2. Проверка гипотез о параметрах распределений 117
7.3. Критерий квантилей 119
7.4. Проверка гипотез о распределениях 120
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 124
8. Дисперсионный анализ 125
8.1. Постановка задачи дисперсионного анализа 126
8.2. Однофакторный дисперсионный анализ 127
8.3. Двухфакторный дисперсионный анализ 129
8.4. Трёхфакторный дисперсионный анализ. План «латинский квадрат» 131
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 133
9. Регрессионный анализ 135
9.1. Постановка и схема решения задачи регрессионного анализа 136
9.2. Одномерный линейный регрессионный анализ 139
9.3. Многомерный линейный регрессионный анализ 142
9.4. Одномерный нелинейный регрессионный анализ 144
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 146
10. Применение ЭВМ 147
10.1. Общие замечания 148
10.2. Средства решения статистических задач в пакете MathCAD 148
10.3. Решение статистических задач в среде Microsoft Excel 149
Практикум 152
Список используемой литературы 199

скачать формат pdf

iqacademy.ru

Кибзун А.И. Теория вероятностей и математическая статистика

studfiles.net

Теория вероятностей. Библиотека.

zyurvas.narod.ru

Теория вероятностей

Высшая математика. Теория рядов

Разделы: Математика