Рубрика: Школьная жизнь

Ошибка: количество входящих данных превысило лимит в 10.

Чтобы продолжить, вам необходимо обновить свою учетную запись:

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂

Иногда в задаче  надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.

Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Площадь поверхности и объем геометрических тел. Прямые призмы. Правильные пирамиды. Круговые цилиндры. Круговые конусы. Шар и его части. Примерно 8 класс (14 лет)

Прямые призмы (Sполн=2Sосн+Sбок; V=Sосн•H)
Куб	Прямоугольный параллелепипед
Правильная треугольная призма	Правильная шестиугольная призма
Правильные пирамиды (Sполн=Sосн+Sбок; V=1/3•Sосн•H)
Тертраэдр	Правильная треугольная пирамида
Правильная четырехугольная пирамида	Правильная шестиугольная пирамида
Sбок— площадь боковой поверхности многогранника, Sполн — площадь полной поверхности многогранника, Sосн — площадь основания многогранника, V — объем многогранника.
Круговые цилиндры (Sполн=2Sосн+Sбок; V=Sосн•H)
Прямой цилиндр	Прямой полый цилиндр
Круговые конусы
Прямой конус

dpva.ru

Площадь поверхности и объём призмы — урок. Геометрия, 11 класс.

Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней призмы.

Она состоит из площади боковой поверхности и площади оснований

Sполн.=Sбок.+2⋅Sосн.

Все грани куба — квадраты, поэтому рациональнее использовать формулу

Sполн. пов. куба=6⋅a2.

Объём прямой призмы находится по формуле:

V=Sосн.⋅H.

Для прямоугольного параллелепипеда можно использовать формулу \(V = abc\) , где \(a\), \(b\), \(c\) — измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

Для куба используется формула V=a3, где \(a\) — ребро куба.

Основанием призмы может быть любой \(n\)-угольник, поэтому важно знать формулы вычисления их площадей.

Важные формулы нахождения площади \(n\)-угольников

Формула нахождения площади правильного шестиугольника

www.yaklass.ru

Площадь поверхности конуса — формулы, пример расчета

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Соединим произвольную точку A этого круга с точкой S отрезком AS. Если точка А будет описывать круг с радиусом R, то отрезки AS будут заполнять некоторое тело. Это тело называют круговым конусом.

Границей конуса является круг радиуса R и боковая поверхность конуса.
Боковую поверхность описывает отрезок AS , когда точка A описывает круг.
Точка S является вершиной конуса. Множество отрезков AS, соединяющих вершину с окружностью основания являются направляющими конуса.Если перпендикуляр, опущенный из точки S, совпадает с центром основания, то конус называется прямым.Очень часто говорят, что прямой конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащий его катет.
На данном рисунке прямой конус получился в результате вращения прямоугольного треугольника AOS вокруг катета SO. Тогда говорят, что

• Катет SO –это высота конуса;
• Гипотенуза AS –образующая конуса;
• Катет AO – радиус конуса.

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую

Пусть дан конус с радиусом R и образующей L
AS=L, AO=R

Разрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность.
В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L.
Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R. Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πR
Площадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R.
Если угол α – радиальная мера угла, то:
где α=∠{ASA`}
Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол:
Но с другой стороны:
Приравняем правые части равенств. Имеем:
Выразим α:
Подставим полученное выражение в формулу площади сектора:
Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.
Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и высоту

Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей.
Так как конус прямой, то треугольник AOS – прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:
Отсюда:
Но
Тогда:
Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса:
Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса

Полная поверхность конуса

Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади основания конуса:

Основанием конуса является круг с радиусом R. Его площадь равна произведению числа π на квадрат его радиуса:
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: или
Тогда площадь полной поверхности конуса равна:
или
Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна произведению числа {pi} на радиус конуса и сумму направляющей и радиуса.
Формула имеет следующий вид:
Площадь полной поверхности конуса равна произведению числа π на радиус конуса и сумму корня квадратного из суммы квадратов радиуса и высоты конуса и радиуса конуса.
Формула имеет следующий вид:

2mb.ru

Площадь поверхности сфероида — Циклопедия

Площадь сфероида — это число, характеризующее сфероид в единицах измерения площади.

Сфероид — это тело, ограниченное эллипсоидом вращения.

Эллипсоид вращения — это поверхность в трёхмерном пространстве, образованная вращением эллипса вокруг одной из его осей.

[править] Виды сфероидов

• вытянутый;
• сплюснутый;
• нормальный.

Вытянутый сфероид ограничен вытянутым эллипсоидом вращения.

Вытянутый эллипсоид вращения — это геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна (равна большой оси). Вытянутый эллипсоид вращения получается вращением эллипса вокруг большой оси. У вытянутого эллипсоида вращения одна большая ось и две малые оси.

Сплюснутый сфероид ограничен сплюснутым эллипсоидом вращения.

Сплюснутый эллипсоид вращения — это геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна (равна малой оси). Сплюснутый эллипсоид вращения получается вращением эллипса вокруг малой оси. У сплюснутого эллипсоида вращения две большие оси и одна малая ось.

Нормальный сфероид — это шар (ограничен сферой).

Введём обозначения:

a — большая полуось;

b — малая полуось;

S_{сфер.вытян} — площадь вытянутого сфероида.

S_{сфер.сплюсн} — площадь сплюснутого сфероида.

[править] Формула 1

[править] Формула 2

[править] Другие формулы

cyclowiki.org

Решение:

— пропорция

Решение:

1 / 3/

|•6

x — 7 = 3(x+1)

x – 7 = 3x + 3

x — 3x = 3+7

-2x = 10

x = 10: (–2)

x = –5

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции

равно произведению ее средних членов.

(x – 7)·2 = 6·(x+1)

2 x – 14 = 6x + 6

2 x –6 x = 6 + 14

-4x = 20

x = 20: (-4)

x = –5

Решение:

8/ 7/ 56/

= 5 |·56

8(5y + 8) – 7(3y — 1) = 56·5

40y + 64 – 21y +7 = 280

19y = 280 – 64 – 7

19y = 209

y = 209 : 19

y = 11

Решение:

3/ 5/ 15/

— 7 |·15

3(х — 5) = 5(2х + 1) — 15·7

3х – 15 = 10х +5 – 105

3х – 10х = -100 + 15

-7х = -85

х = -85: (-7)

х = = 12

Решение:

3/ 2/ 42/

– + = 0 |·42

–3(1 – 5m) + 2(1 +3m) = 0

–3 + 15m + 2 + 6m = 0

21m = 0 + 3 – 2

21m = 1

m = 1 : 21

m =

Решение:

6/ 2/ 3/ 6/

2x — = + 6 |·6

6·2x – 2(16 – x) = 3(x +3) +6·6

12x – 32 + 2x = 3x + 9 + 36

14x – 3x = 45 + 32

11x = 77

x= 77 : 11

x = 7

Ответ: 1) —5; 2) 11; 3) 12; 4) ; 5) 7.

infourok.ru

Решение уравнений по алгебре в 7 классе

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО АЛГЕБРЕ В 7 КЛАССЕ

Тема: Решение уравнений

Подобранные уравнения могут быть использованы как при изучении темы, так и при повторении или при подведении итогов. Уравнения отличаются своей тематикой и сложностью. Таким образом их применение возможно при дифференцированном подходе к каждому ученику. Есть уравнения, которые можно использовать в классах с углубленным изучением математики.

№

А

В

С

Д

Е

F

5х – 2 = 8

7 (2х -3) – х = 3х — 11

— (3 — х) : 12 = 3

|х – 4 |= 2

3а – 2(b – x) + 2 = b

-5,6(x — 3) + 2,1x = -3,5x + 10

2(x — 4) = 15

-4x + 34 = -2(x — 5)

(x — 4) : 5 = (2x — 3) : 3

|2x — 1| = 3

3a + bx = 12 – 3a

7(x – 4) + 3 = 3(2x — 7) + x — 8

3 – 4x = -5

2,5(x — 4) + 2 = 0,5x

(-6x + 1) : 4 = 2x : 3

|x + 4| = 9

4b – ax + 12 = 0

-12x + 4(x — 3) = -8x — 12

12 – 3x = 7

-5x + 12(x — 1) = 2

(8 — x) : 4 = (x — 3) : 3

|2x — 3| = 5

4(a – 2x) + b = 6

10(x — 3) + 1 = 5(2x + 3)

35(x + 1) = -14

-12(2 — x) = -6x + 2

(x + 3) : 4 = (2x — 1) : 3

|3x + 1| = 4

a(b – 3x) + 2 = 23

12(x + 2) – 2,1 = 2(6x + 12) — 3x

14 – (x – 2) = 23

-(x – 3) + 2(3 — x) = 5

-2(x + 1) : 3 = (3x — 1) : 2

|2x — 5| = 3

b – ax + 12 = ax

2,1x + 0,3(7 – x ) = 2,1

32x + (2 – 3x) = 5

-4x + 21 + (3 — x) = 12

x : 4 = 2x : 3

|x — 3| = 12

3b – a(x — 3) = 2

-2(x + 21) – 3(x — 14) = -5x

34(x — 2) = 2

-2(x — 3) + (4 — x) = 12

(13 — x) : 12 = 3(x — 2) : 5

|2x — 13| = 1

a(3x — b) = 12

-2(x + 21) – 3(x — 4) = -5(x +6)

3x – 12 + x = 4

23x – 2(3x — 4) = 12

(3x — 1) : 2 = 2(x + 2) : 3

|3x — 13| = 2

3xa – 2b = 3a — 4

2,1(x – 0,3) + 0,7x = 2,8x

11(x — 3) = 33

23(x + 2) – (2x — 1) = 1

-x : 4 = (3 – 2x) : 5

|5x + 1| = 4

-b(x — 3) = a

2,4(x – 0,01) = 24x : 10

3x + 12 + x = -4

-(3 — x) + 2(x — 3) = 3

(x – 3,4) : 3 = (2x — 3) :2

|x + 12| = 1

(x — a) :b = 12

-11(x — 2) + (2x — 3) = -9x + 19

2(x — 3) + 4 = 1

2(3x — 2) – (3 — x) = 5

(3 — x) : 3 = (2x — 1) : 2

|2x — 7| = 3

xb + a(x — 2) = 0

-11(x — 2) + (2x — 3) = -9(x + 2)

-3x + 2 = 17

-2(x — 3) + 3(2 — x) =1

2(x — 1) :3 = 3(2x + 1) : 2

|3x — 1| = 3

b + 2(ax — 4) = 2

-1,7(x +2) – 0,3x = 2(2 — x)

12 – (x — 2) = 3

-(2x — 1) – 2(5 – 3x) = 0

-(x — 2) : 5 = 2x : 3

|5x — 1| = 2

ax – 4bx + 12 = 9

-11(x — 2) + 2(3 – 2x) + 15x = 0

3x + 12 = 3

5(x — 2) + 2(3 — x) = 12

(4x — 3) : 3 = 2x : 5

|x + 1| = 1

bx – 2ax + 5 = 2bx

2(x — 23) + 3(15 — x) = -(x + 1)

43(x — 2) = 12

12(x — 2) + (-4 + x) = 0

-(0,6 + x) : 25 = x : 3

|x – 2| = 3

a(x — b) = 12

2(x — 23) + 3(15 — x) = -x + 1

4x – 21 = 4

-(2 — x) + 3(2x — 3) = 2

3 : x = 2 : (3 — x)

|21x + 2| = 23

a : (3x — b) = 21

2,1(2 — x) + 1,4(1,5x – 3) = 0

3 : (2x — 1) = 3

2(3 — x) – 21(x — 1) = 0

(2 – 3x) : 2 = (3 – 2x) : 3

|x + 3| = 12

b – 2ax + 4 = 0

2,1(2 – x) + 1,4(1,5x — 3) = 2

2 : (3 – 2x) = 1

-2(x — 12) – 3(x + 1) = 1

-(-3x -1) : 2 = x : 2

|3x — 2| = 4

(2ax — 3) : b = 1

21(2x — 1) = 14(3x — 4)

3(5x + 2) = 12

-7(2 — x) + 2(x — 3) = 0

(x — 2) : 5 = x : 3

|x — 6| = 3

bx – 4a = 8

21(x — 3) + 20 = 7(3x — 2)

21x – 3 = 12

7(2x — 1) + (4 — x) = 2x

(21x + 1) : 3 = 2x

|21x — 1| = 20

b : (ax – 5) + 1 = 0

7(2x — 3) + 1 = 2(7x — 10)

21(x — 3) = 12

2(7x + 1) – (x — 4) = 0

21 : x = 7 : (x — 3)

|21x + 1| = 20

2(bx – 4a) + 8x = 0

2(8x — 1) – 8(2x — 3) = 13

21(3 – x) = 12

3x – 2(2 — x) = 7(x — 2)

12 : (1 — x) = 4 : (3x — 1)

|x + 11| = 1

2b – 2(a + 3x) = 2b

8(2x — 1) – 2(8x – 3) = 2

21 : (x — 3) = 7

-2(x — 2) + 3(2x – 1) = 0

(3 + x) : 2 = (3x — 1) : 3

|7x — 1| = 6

3(ax — 1) = 2b

8(2x — 1) – 2(8x — 3) = -2

7(3x + 1) = -14

-12(2x — 1) – (x – 1) = x

(-12x + 1) : 2 = 3x

|7x + 3| = 4

2(x – 3a) = 4b

11(2x — 3) = 5(4x — 6) + 2x

3x + 12 – 2x = 11

-2(x — 2) – (3x + 1) = 3

3x : 2 = (3 + x) : 4

|x — 23| = 22

3(a + x) = 2b

9(2x — 1) + 2 = 2(9x — 3) — 1

5x – 2 = 13

-3(4 — x) + (2 – x) = 3x

(3x + 2) : 4 = (x + 3) : 3

|2x — 5| = 5

3bx + 2a = 4a

9(2x — 1) + 2 = 2(9x — 3)

5(x — 2) = 15

-(2x — 1) + 2(2 — x) = x

(x + 2) : 3 = x : 2

|2x + 5| = 5

ax – 4b = 2

3(x + 2) = 2(1,5x + 4)

www.metod-kopilka.ru

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Содержание страницы:

Линейное уравнение – уравнение вида ax=b, где x — переменная, a и b некоторые числа, причем a≠0.

Примеры:

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида ax=b, но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду ax=b? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a. В результате получим ответ: x=ba.

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение линейное.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида ax=b. Решение данного уравнения: x=ba.

Примеры:

1. 2x+1=2(x−3)+8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду ax=b:

Для начала раскроем скобки:

2x+1=4x−6+8

В левую часть переносятся все слагаемые с x, в правую – числа:

2x−4x=2−1

−2x=1

Теперь поделим левую и правую часть на число (-2):

−2x−2=1−2=−12=−0,5

Ответ: x=−0,5

1. x2−1=0

Это уравнение не является линейным, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

1. x(x+3)−8=x−1

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x2+3x−8=x−1

Это уравнение не является линейным.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

Примеры:

1. 2x−4=2(x−2)

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2x−4=2x−4

2x−2x=−4+4

0=0

И как же здесь искать x, если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом.

Ответ: x∈(−∞; +∞)

1. 2x−4=2(x−8)

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2x−4=2x−16

2x−2x=−16+4

0=−12

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x, при которых равенство становилось бы верным.

Ответ: x∈∅

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+bx+c=0, где x — переменная, a,b и c — некоторые числа, причем a≠0.

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: ax2+bx+c=0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a=…b=…c=…
3. Вычислить дискриминант по формуле: D=b2−4ac
4. Если D>0, будет два различных корня, которые находятся по формуле: x1,2=−b±D2a
5. Если D=0, будет один корень, который находится по формуле: x=−b2a
6. Если D<0, решений нет: x∈∅

Примеры:

1. −x2+6x+7=0

a=−1,b=6,c=7

D=b2−4ac=62−4⋅(−1)⋅7=36+28=64

D>0 — будет два различных корня:

x1,2=−b±D2a=−6±642⋅(−1)=−6±8−2=[−6+8−2=2−2=−1−6−8−2=−14−2=7

Ответ: x1=−1,x2=7

1. −x2+4x−4=0

a=−1,b=4,c=−4

D=b2−4ac=42−4⋅(−1)⋅(−4)=16−16=0

D=0 — будет один корень:

x=−b2a=−42⋅(−1)=−4−2=2

Ответ: x=2

1. 2×2−7x+10=0

a=2,b=−7,c=10

D=b2−4ac=(−7)2−4⋅2⋅10=49−80=−31

D<0 — решений нет.

Ответ: x∈∅

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

где a — число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x — переменная (то есть буква),

x1 и x2 — числа, корни уравнения ax2+bx+c=0, которые найдены через дискриминант.

Если уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

ax2+bx+c=a⋅(x−x0)2

Примеры:

1. −x2+6x+7=0⇒x1=−1, x2=7

−x2+6x+7=(−1)⋅(x−(−1))(x−7)=−(x+1)(x−7)=(x+1)(7−x)

1. −x2+4x−4=0;⇒x0=2

−x2+4x−4=(−1)⋅(x−2)2=−(x−2)2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( (b=0 или c=0) то его можно разложить на множители следующими способами:

• b=0⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Пусть f(x) и g(x) — некоторые функции, зависящие от переменной x.

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f(x)g(x)=0.

Для того, чтобы решать дробно рациональные уравнения, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f(x)g(x)=0

ОДЗ: g(x)≠0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f(x)g(x)=0.
2. Выписать ОДЗ: g(x)≠0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f(x)=0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример:

Решить рациональное уравнение x2−42−x=1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f(x)g(x)=0.

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x2−42−x−1\2−x=0

x2−42−x−2−x2−x=0

x2−4−(2−x)2−x=0

x2−4−2+x2−x=0

x2+x−62−x=0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

1. Выписать ОДЗ:

g(x)≠0

2−x≠0

−x≠−2

x≠2

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x≠2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f(x)=0 и найти корни:

x2+x−6=0 — Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a=1,b=1,c=−6

D=b2−4ac=12−4⋅1⋅(−6)=1+24=25

D>0 — будет два различных корня.

x1,2=−b±D2a=−1±252⋅1=−1±52=[−1+52=42=2−1−52=−62=−3

[x1=2×2=−3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

[x1=2×2=−3

ОДЗ: x≠2

Значит, в ответ идет только один корень, x=−3.

Ответ: x=−3.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

{x+2y=83x−y=−4

Решить систему уравнений — найти пару чисел x и y, которые при подстановке в систему образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Пример:

Решить систему уравнений методом подстановки

{x+2y=83x−y=−4

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

{x=8−2y3x−y=−4

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

{x=8−2y3x−y=−4

{x=8−2y3(8−2y)−y=−4

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3(8−2y)−y=−4

24−6y−y=−4

−7y=−4−24

−7y=−28

y=−28−7=287=4

y=4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

y=4

x=8−2y=8−2⋅4=8−8=0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

1. x=0,y=4
2. {x=0y=4
3. (0; 4)

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

если

{a=bc=d

то

(a+c)=(b+d)

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Пример:

Решить систему уравнений методом сложения

{x+2y=83x−y=−4

Давайте избавимся в данном примере от переменной x. Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3. Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент (−3). Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на (−3).

{x+2y=8 | ⋅(−3)3x−y=−4

{(−3)⋅(x+2y)=(−3)⋅83x−y=−4

{−3x−6y=−243x−y=−4

Теперь, когда перед переменной  в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

{−3x−6y=−243x−y=−4⊕

(−3x−6y)+(3x−y)=(−24)+(−4)

−3x−6y+3x−y=−24−4

−7y=−28

y=−28−7=287=4

Осталось найти переменную x. Для этого подставим y=4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

x+2y=8

x+2⋅4=8

x+8=8

x=8−8=0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Ответ:

1. x=0,y=4
2. {x=0y=4
3. (0; 4)

epmat.ru

Тренажер по математике на тему «Решение уравнений, сводящихся к линейным» (7 класс)

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение школа №60

Выборгского района Санкт-Петербурга

Учитель: Воронова Лариса Валентиновна

Методическая разработка тренажера по математике

для 6 — 7 класса по теме:

«Решение уравнений, сводящихся к линейным»

Аннотация.

Тренажер предназначен для учащихся 6–7 классов с целью отработки и совершенствования навыков решения уравнений первой степени, содержащих дробную часть.

Тренажер содержит:

— пошаговую инструкцию преобразования заданного уравнения к более простому виду, что в итоге приводит к линейному уравнению вида ax=b;

— задания в двух уровнях: уровень А (базовый) и уровень В (повышенный).

— ответы к заданиям;

— примеры решения уравнений.

Тренажер может быть использован для самостоятельной работы учащихся в классе и дома, на дополнительных индивидуальных занятиях, а также при подготовке к итоговой аттестации.

Материал тренажера можно использовать для составления раздаточного материала.

Тренажер по теме:

«Решение уравнений, сводящихся к линейным»

(уровень А)

Алгоритм решения.

1. Найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение (наименьшее общее кратное всех знаменателей).

2. Умножить каждый член в левой и правой частях уравнения на общий знаменатель.

3. Сократить получившиеся дроби.

4. Упростить левую и правую части уравнения (раскрыть скобки).

5. Перенести неизвестные члены уравнения в левую часть, а известные – в правую, изменив при этом их знак на противоположный.

6. Привести подобные слагаемые в левой части и найти значение правой части.

Получится линейное уравнение вида ax = b.

7. Найти значение x, разделив обе части уравнения на коэффициент при неизвестном a.

Решить уравнения

У р о в е н ь А

№п/п

Вариант 1

Вариант 2

Тренажер по теме:

Решение уравнений, сводящихся к линейным

(уровень В)

Алгоритм решения.

1. Найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение (наименьшее общее кратное всех знаменателей).

2. Умножить каждый член в левой и правой частях уравнения на общий знаменатель.

3. Сократить получившиеся дроби.

4. Упростить левую и правую части уравнения (раскрыть скобки).

5. Перенести неизвестные члены уравнения в левую часть, а известные – в правую, изменив при этом их знак на противоположный.

6. Привести подобные слагаемые в левой части и найти значение правой части.

Получится линейное уравнение вида ax = b.

7. Найти значение x, разделив обе части уравнения на коэффициент при неизвестном a.

Решить уравнения

У р о в е н ь В

№п/п

Вариант 1

Вариант 2

9 —

2x —

6 —

Ответы к тренажеру

«Решение уравнений, сводящихся к линейным»

Уровень А

Уровень В

Вариант 1

Вариант 2

1

17

13

2

11

-4

3

-3

11

4

17

17

5

13

2

6

-7

-7

7

2

8

1

9

2,5

10

-1

Вариант 1

Вариант 2

1

2

3

-2,5

4

45

170

5

4

—

6

12

2

7

2

2

8

49

7

9

11

-8

10

5

7

Примеры решения уравнений

I способ II способ

1) или

— пропорция

1 / 3/

|•6

x — 7 = 3(x+1)

x – 7 = 3x + 3

x — 3x = 3+7

-2x = 10

x = 10: (–2)

x = –5

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции

равно произведению ее средних членов.

(x – 7)·2 = 6·(x+1)

2 x – 14 = 6x + 6

2 x –6 x = 6 + 14

-4x = 20

x = 20: (-4)

x = –5

2)

3)

8/ 7/ 56/

= 5 |·56

8(5y + 8) – 7(3y — 1) = 56·5

40y + 64 – 21y +7 = 280

19y = 280 – 64 – 7

19y = 209

y = 209 : 19

y = 11

3/ 5/ 15/

— 7|·15

3(х — 5) = 5(2х + 1) — 15·7

3х – 15 = 10х +5 – 105

3х – 10х = -100 + 15

-7х = -85

х = -85: (-7)

х = = 12

4)

5)

3/ 2/ 42/

– + = 0 |·42

–3(1 – 5m) + 2(1 +3m) = 0

–3 + 15m + 2 + 6m = 0

21m = 0 + 3 – 2

21m = 1

m = 1 : 21

m =

6/ 2/ 3/ 6/

2x — = + 6 |·6

6·2x – 2(16 – x) = 3(x +3) +6·6

12x – 32 + 2x = 3x + 9 + 36

14x – 3x = 45 + 32

11x = 77

x= 77 : 11

x = 7

Ответ: 1) —5; 2) 11; 3) 12; 4) ; 5) 7.

infourok.ru

Тест по алгебре (7 класс) по теме: Тренажер по решению линейных уравнений.

Тренажер по теме «Решение линейных уравнений»

Решите уравнение по образцу:

1. 5х=10
2. 10х=90
3. 13у=78
4. 25m=375
5. 2х=-12
6. -3к=15
7. -12у=-36
8. 31в=-93
9. -4х=1,2
10. 6у=-0,36
11. -12к=-1,44
12. -0,2х=-1,2
13. 1.7у=-0,34
14. -7,4m=-1,48
15. 3х=1
16. 7r =-4
17. 13у=-10
18. -10v=-7
19. х=4
20. у=6
21. к=-.
22. х=-1
23. а=-1

Решите уравнения:

1. Х+6=10.
2. У+14=19,
3. а+41=60,
4. 2х+3=13,
5. 3у+14=77,
6. 5х+13=73,
7. Х-4,5=10,
8. 5-у=4,
9. 10-х=6,
10. х -7,8=1,2,
11. 2х-3=16,
12. 100-5х=17,
13. 0,2х+3=-1,5,
14. -1,2у-4,7=-3,5,
15. 4х+х=-15,
16. 3у-5у=7,
17. -4х-3у=-49,
18. Х+4=3х,
19. -3у+7=2у.
20. 5а-1,5=2а.
21. -0,2х+7=-1,6х,
22. t+5=t-7,
23. 2у=7у,
24. -3к+8=-3к+9,
25. 6,9-9n=-5n-33,1,

Решить уравнения:

1. 2х+8=6х-2,
2. 10у+3=2у-1,
3. -4+3к=8к+5.
4. 9+4а=8а-9,
5. 3в+9=8в+2,
6. 6-2с=3с-10,
7. 5-2у=8у+9,
8. -4х+3=4х-5,
9. 4а+4=-6а-5.
10. 3у+3=-2-7у.
11. -10х+3=-1-8х,
12. 9-4х=-4-9х,
13. -8а+9=3-4а,
14. с+3=с+5,
15. t-t+2=t-3,
16. x+x+5=x,
17. 0,2f+2,3=0,7f-3,2,
18. -0,4x-14=0,3x,
19. -40·(-7x+5)=-1600,
20. (-20t-50)·2=100,
21. 2,1·(4-6e)=-42,
22. -3·(2-15k)=-6,
23. -20·(x-13)=-220,
24. (30-7r)·8=352,
25. (2,8-0,1h)·3,7=7,4,
26. (3x-1,2)·7=10,5,
27. x-=.

Решить уравнение.

1. 5·(у-9)=-2.
2. 3=4·(к+2),
3. 5·(с+5)=-7,
4. 7·(а-1)=3а.
5. 7·(-3+2х)=-6х-1,
6. 2·(7+9к)=-6к+2,
7. 6·(5-3с)=-8с-7,
8. 4·(2-3х)=-7х+10,
9. -4·(-к+7)=к+17,
10. -5·(0,8t-1,2)=-t+7,2,
11. -5·(3а+1)-11=-16,
12. -3,2n+4,8=-2·(1,2n+2,4),
13. -5·(0,8f-1,4)=-f+7,
14. 5·(r-7)=3·(r-4)-27,
15. 8-7·(c-2)=2·(2c-3)+3c,
16. 4·(x-3)-16=5·(x-5),
17. 5·(y-3)+27=4y+3·(2y-5),
18. -4·(3-5z)=18z-7,
19. 1,2-2·(1,3y+1)=5,6y-27,04,
20. 8·(2f-6)=2·(4f+3),
21. -3·(2,1m-1)+4,8=-6,7m+9,4,
22. 6·(2c-3)+2·(4-3c)=5,
23. h+- =2-h+2h,
24. 1-1x+3x=1x-2x+2,5,
25. 2·(z+1)+3=4-·(z-1).

Решить уравнения.

1. =,
2.  = ,
3. =,
4.  = ,
5.  = ,
6.  = ,
7.  = ,
8.  =4,
9.  =7,
10.  = ,
11.  =  ,
12.  = ,
13.  =  ,
14.  =  ,

Решите уравнения:

nsportal.ru

Лучший масштаб — реальный

Тем не менее, не всегда получается воспроизвести объект в натуральную величину, если он слишком большой или маленький.

В таких случаях используются увеличивающий и уменьшающий масштабы.

Масштабы уменьшения применяются, когда габариты объекта слишком большие (например, в строительных чертежах, графических изображениях в сфере геодезии).

ГОСТ предлагает около десятка вариантов увеличения, с которыми можно ознакомиться в пункте 5.2 данного нормативного документа или в таблице, предоставленной ниже (составлена по ГОСТ).

Слишком крупные объекты, например, для генеральных планов, можно изображать в соотношениях 1:50000, 1:25000, 1:20000, 1:10000, 1:5000, 1:2000.

Если же деталь очень маленькая (гайка, болт, деталь компьютера, ноутбука и другой техники), для ее изображения на бумаге нужно использовать масштаб увеличения, варианты которого также предоставлены государственным стандартом (см. таблицу).

https://drive.google.com/file/d/0BxbM7O7fIyPcOFdNYlZlQnVDUWM/view?usp=sharing

Обратите внимание! Первая цифра в соотношениях указывает на величину реального объекта, а вторая – на размер на чертеже. Например, соотношение 1:2 указывает на то, изображение уменьшило деталь в 2 раза, а если на чертеже обозначено 2:1 – деталь наоборот увеличили в 2 раза.

ГОСТом предусмотрена и ситуация, когда автору нужно самостоятельно рассчитать увеличенный масштаб. Для этого используется формула 100n:1 (букву n при расчете меняем на целое число).

Некоторые заметки к оформлению

После того, как масштаб рассчитан, его нужно обязательно нанести на чертеж. Записывается он в графе основной надписи по такому шаблону М 1:2, М 2:1. Параметры шрифта такие же, как и для остального текста в основной надписи.

Когда масштаб какого-то изображения на чертеже имеет параметры, отличающиеся от тех, что указаны в основной надписи, такой масштаб нужно написать сразу после надписи, которая относится к соответствующему графическому объекту.

Примеры записи: А (3:1), Б(1:10). Эта ситуация также прописана ГОСТом 2.316-68.

Как определить масштаб на уже готовом чертеже

Очень часто людям, работающим в промышленной или строительной отраслях, студентам технических ВУЗов приходится работать с чужими чертежами.

Нужно научиться определять масштаб на чужих чертежах

Предоставим алгоритм, который поможет быстро справляться с данной задачей:

1. Ознакомиться с основной надписью чертежа, там должен быть указан масштаб. Располагается он в нижнем углу изображения справа. Если масштаб обозначен, дальнейшие действия данного алгоритма выполнять не придется, в противном случае придется засучить рукава и определить соотношение размеров самостоятельно. Для самостоятельных расчетов предлагаем инструкцию, отображенную в следующих пунктах.
2. Определить, что именно изображено в графическом документе, узнать реальные размеры объекта.
3. Если деталь имеется под рукой, а габариты ее неизвестны, их нужно измерить самостоятельно. Для этого применяются рулетка, штангенциркуль, линейка и другие инструменты.
4. На чертеже нужно определить, в каком разрезе изображена деталь.
5. На графических изображениях найти тот вид объекта, где прописаны габаритные параметры. На изображении такого вида должна быть размерная линия (она имеет стрелки на концах и указание размеров по середине). К размерной линии нужно приложить рулетку или линейку и определить числовое значение.
6. Сравнить полученные в ходе измерений результаты (результат самостоятельного измерения делим на число, указанное на размерной линии, например самостоятельное измерение дало показатель – «27», на линии написано «3», значит масштаб увеличен в 9 раз).

Этот алгоритм поможет научиться определять масштаб изображений.

Парочка советов на заметку

При определении или выборе масштаба важно учитывать то, что все величины на чертежах рассчитываются и прописываются в миллиметрах. Если удобно работать с сантиметрами, можно сначала измерять все в них, а потом перевести в миллиметры.

Если не удалось найти нужные параметры на строительном чертеже, стоит попробовать выяснить реальные размеры реального объекта (проекта). Можно сделать приблизительные расчеты, учитывая этажность постройки.

Делая замеры детали для чертежа, необходимо учитывать основные параметры: высоту, длину и ширину. Далее они отображаются в натуральном, уменьшенном или увеличенном масштабах.

Как видим, определять масштаб и записывать его по ГОСТу совсем не сложно, нужно лишь вооружиться измерительными приспособлениями, нормативным документом и терпением.

В этом видео вы узнаете о масштабах и размерах чертежей в Автокад:

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

vyuchit.work

Масштаб

Всем здравствуйте! Решила рассмотреть несколько задачек на масштаб – оказалось, есть такая нужда у моих учеников. Может, и вам пригодится!

Всем нам знакомы карты местности – так или иначе, но каждый встречался с ними, в школе или по жизни. Понятно, что карта – лишь только изображение, и по сравнению с расстоянием на местности объекты на карте должны быть меньше (иначе зачем она нужна?). Масштаб – это как раз отношение, которое показывает, во сколько раз карта меньше, чем реальная местность, то есть во сколько раз расстояние на карте меньше, чем на местности.

Но масштаб призван также и увеличивать что-то маленькое так, чтобы можно было сделать подробный чертеж или внимательно рассмотреть что-то мелкое.

Первый, “уменьшающий”, масштаб, может быть записан, например, так: 1:5. Тогда  расстояние на карте (или чертеже) в пять раз меньше, чем в реальности. Масштаб, записанный  так: 1: 100 000  означает, что изображение меньше в сто тысяч раз.

“Увеличивающий” масштаб записывается: 100:1, или 1000:1. Это значит, что расстояние увеличили в сто или тысячу раз, чтобы его можно было изобразить.

В зависимости от конкретной задачи выбирают и масштаб: карта не должна быть слишком уж мелкой, а понятной и подробной, но в то же время не должна быть гигантской,  а простую, но небольшую деталь вовсе необязательно увеличивать в десятки раз, когда может быть достаточно и пяти.

Когда работаешь с масштабом, очень важно уметь составлять отношения (пропорции). Давайте потренируемся в этом!

1. Расстояние на местности в 20 м изображено на плане отрезком 1 см. Определите масштаб плана.

Чтобы определить масштаб, нужно узнать, во сколько раз расстояние на карте меньше, чем на местности. Для этого нужно расстояние на местности привести к тем же единицам, что и на плане:

20 м = 20*100 см=2000 см.

Тогда, если одному см на карте соответствуют 2000 см на местности, то и  масштаб 1:2000, то есть на карте длина отрезка меньше в 2000 раз.

2. Длина дома на плане 25 см. Чему равна длина дома на местности, если план сделан в масштабе 1:300?

Так как масштаб показывает, во сколько раз карта или план меньше действительного расстояния, или, иначе говоря, во сколько дом больше своего изображения, то:

см, или 75 м.

3. Длина железнодорожной магистрали 3140 км. Какой длины получится линия, изображающая эту магистраль на карте, сделанной в масштабе: а) 1:10 000 000; б) 1:2 000 000?

Обозначим за расстояние на карте. Переведем длину магистрали в сантиметры:

3140 км = 3 140 000 м = 314 000 000 см.

Тогда

По правилу пропорции см.

Изображение карты во втором масштабе – крупнее (2 миллиона меньше, чем 10). Так как отношение масштабов – 1:5, то и изображение будет крупнее в пять раз: 157 см. В этом можно убедиться, решив задачу “стандартным” способом.

4. Расстояние от Бреста до Владивостока более 10 000 км. Уместится ли на одной странице тетради это расстояние в масштабе одна десятимиллионная?

Снова за  обозначим расстояние на карте. Тогда

, или  см.

5. Длина железной дороги Москва – Петербург приближенно равна 650 км. Изобразите отрезком эту дорогу, применив масштаб 1:10 000 000.

Переведем километры в сантиметры:

650 км = 650 000 м = 65 000 000  см.

Обозначаем расстояние на карте неизвестной и составляем пропорцию:

, или  см.

6. Отрезку на карте, длина которого 3,6 см, соответствует расстояние на местности в 72 км. Каково расстояние между городами, если на этой карте расстояние между ними 12,6 см?

Такую задачу можно решать длинным путем: определить масштаб карты и затем найти расстояние между городами, зная масштаб.

Тогда масштаб будет таким:

А второе расстояние найдем так:

.

Почему бы тогда не упростить себе задачу, не определяя масштаб, а составить пропорцию сразу:

Отсюда  см, или 25,2 км

7. Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1:3, равна 2,4 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже, сделанном в масштабе 2:1?

Нам не нужно знать, каковы реальные размеры детали – нас об этом не спрашивают. Поэтому мы и не будем их искать, а найдем новый размер чертежа через отношение масштабов:

см

8. Площадь земельного участка изображается на плане, масштаб которого 1:250, в виде прямоугольника площадью 128 кв. см. Найдите действительную площадь этого земельного участка.

Хорошая задача. Не пугайтесь, что длина и ширина участка неизвестны – нам и не надо знать их. Однако для лучшего понимания все же обозначим их, например,  и . Тогда на карте расстояние   изображается отрезком  , а расстояние   – отрезком  . Если перемножить длину и ширину изображения участка, то получим как раз 128 кв. см. Но тогда получается, что  , или , то есть реальная площадь участка получится, если площадь изображения умножить на квадрат масштаба:  кв. см. Переведем это в кв. метры, для этого нужно разделить не на 100, а на : 800 кв. м, а если нужны квадратные километры, тогда еще на : 0,0008 кв. км.

9. Площадь земельного участка прямоугольной формы 6 га. Найдите площадь прямоугольника, изображающего этот участок на плане, масштаб которого 1:5000.

Аналогичная задача. Вспомним, что такое га: это квадрат со стороной 100 м, то есть это 10 000 кв. м. Тогда в сантиметрах это (умножаем на  ) 100 000 000 кв. см. А у нас – 600 000 000 кв. см.Поделим на масштаб в квадрате, чтобы определить площадь этого прямоугольника на карте:  кв.см.

Нетрудно догадаться, что, если бы речь шла об объеме, то масштаб пришлось бы возводить в куб: в данном случае масштаб – это коэффициент подобия. Площади относятся как квадрат коэффициента подобия, а объемы – как куб коэффициента подобия.

easy-physic.ru

Масштабы чертежей — Чертежик

Масштабы чертежей. Масштабом называется отношение линейных размеров изображения предмета на чертеже к действительным размерам предмета.

Масштабы чертежей бывают численные, линейные, поперечные (десятичные) и угловые (пропорциональные).

Численный масштаб  обозначается дробью, которая показываем кратность увеличения или уменьшения размеров изображения на чертеже. Численный масштаб обозначается дробью, которая показываем кратность увеличения или уменьшения размеров изображения на чертеже.

В зависимости от сложности и величины изображения, ею назначения, стадии проектирования на чертежах применяются:
1.) Масштабы уменьшения: 1:2; 1 :2,5; 1:4; 1 : 5; 1 : 10; 1 : 15; 1:20; 1:25; 1 : 40; 1:50; 1:75; 1: 100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000. (

Пример: допустим дана длина 5000 мм. Необходимо начертить в масштабе 1:100, то чертится отрезок размером 50 мм.)

При проектировании генеральных планов крупных объектов допускается применять масштабы: 1:2000; 1:5000; 1: 10000; 1:20000; 1:25000; 1: 50000.
2.) Масштабы увеличения: 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100: 1.

Пример: допустим дана длина 50 мм. Необходимо начертить в масштабе 2:1, то чертится отрезок длиной 100 мм.)

В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения 100-n : I. где n — целое число.
3.) Натуральная величина: 1:1.(пример: длина детали 10 мм., соответственно, чертим линию размером 10мм. )

Масштаб должен указываться на всех чертежах, кроме некоторых строительных, а также чертежей, воспроизводимых путем клиширования или фотографирования.
Если на листе все чертежи выполнены в одном масштабе, то его значение проставляют в соответствующей графе основной надписи по типу 1:1; 1:2; 2:1 и т. д. Если на одном листе помещены чертежи разного масштаба, то масштаб указывают под названием соответствующего чертежа но типу М1:1; М1:2 и т. д.

Линейный масштаб на чертеже имеет вид линии с делениями, означающими какую-нибудь меру длины, например метр, километр и т.п. Линейные масштабы удобны тем, что с их помощью можно без вычисления определять по чертежу действительные размеры. По линейному масштабу отсчет размеров можно про-изводим.
Поперечный масштаб, позволяющий измерять размеры на чертеже с точностью до 0,01 принятой единицы длины, применяется в топографическом черчении.

Угловые (пропорциональные) маштабы применяют для построения изображений в уменьшенном или увеличенном в несколько раз виде.

Угловым масштабом целесообразно пользоваться, когда масштаб чертежа неопределенный 1 : n, где n может быть любое целое или дробное число и при ограниченном количестве размеров на чертеже.

Применение масштабов смотрите в примерах чертежей и в разделе чтение сборочного чертежа

chertegik.ru

Ответы@Mail.Ru: как считать масштаб?

Масштаб — это отношение размера на карте (плане) к размеру на местности. Масштаб карты выражают в сантиметрах. Например : 1:1 000 000 . Это означает , что 1 см на карте соответствуют 1 000 000 см. на местности. Откинте -2 последних нуля — получим размер в метрах.В нашем случае 1 см. на карте соответствует 10 000 м на местности. Откинем ещё 3- нуля получим размер в километрах , собветственно получим 10 км.

На калькуляторе. Можно в уме, если цифры не большие.

обычно на картах пишут сколько см равняется км. допустим 1см к 500км, берете линейку прикладываете от точки А к точке Б, а потом умножаете кол-ва см на (в нашем случае) 500км.

МАШТАБ 1\25000 как расчитать сколько в метрах

1\25000 = 250 метров

touch.otvet.mail.ru

Как рассчитать масштаб изображения? | Астрономические мероприятия и наблюдения звездного неба в Крыму!

День добрый, любители астрономии и астрофотографии! В этой статье — короткий, но очень полезный расчет, который однажды пригодится даже тем, кто снимает небо редко. Ну а те кто занимается этим приятным ночным делом постоянно, должны знать его назубок! 🙂 Речь пойдет о масштабе изображения получаемой с вашй техникой. У вас, наверное спрашивают — какое увеличение дает этот телескоп? И по сути ответить людям нечего, тк обычное понятие увеличение предполагает наличие окуляра, ибо считается оно по формуле F/f, где F — фокус объектива, а f — фокус окуляра. Как же быть в случае с одним лишь объективом и фотокамерой? Давайте посчитаем!

Предположим, у вас есть классический телескоп системы Ньютона с зеркалом D=200 мм и фокусным расстоянием F=1000мм. Съемка ведется на матрицу QHY5-L-II-M. Каков же будет масштаб изображения? Фактически вопрос заключается в том насколько большую картинку мы увидим на экране монитора. Но помимо визуального эффекта вопрос имеет и практическую составляющую. К примеру, зная сколько секунд дуги неба приходится на один пиксель матрицы можно оценить влияние турбуленции на изображение или понять какую выдержку надо дать чтобы движущийся с известной скоростью в кадре астероид/комета еще не успел размазаться в черточку. Также можно оценить видимость деталей на планетах, к примеру — сможем ли мы наблюдать в данный телескоп вулкан Олимп на Марсе в момент великого противостояния.

Поскольку нас известен из документации фокус нашего телескопа, начнем с него. Из геометрии известно, что 1 угловая секунда — это угловой размер объекта на расстоянии равном 206265 его линейных размеров. Отсюда масштаб изображения в секундах на миллиметр s = 206265/F, где F — фокус в миллиметрах, то есть s = 206,265″/мм. Обратите внимание, ответ в секундах дуги на миллиметр.

Но нам нужен масштаб в секундах на пиксель. Это легко! Из документации к матрице узнаем, что размер ее пикселя 3,75 мкм, то бишь миллионных долей метра или тысячных долей миллиметра. Значит, в одном миллиметре умещается 267 таких пикселей и окончательный масштаб s = 206,265/267 = 0,77″/px.

Отсюда выходит, что у астрофотографов для получения большого масштаба есть два пути: взять телескоп с большим фокусным расстоянием (или линзу барлоу), либо достать матрицу с меньшим размером пикселя. У каждого из способов есть свои недостатки: больший фокус потребует большего диаметра зеркала при сохранении светосилы (и конечно же будет более чувствителен к атмосфере и механике телескопа), а меньший пиксель будет принимать меньшее количество фотонов в единицу времени, значит потребует большей выдержки для получения той же величины отношения сигнала к шуму.

октябрь 2015,

Ваш Назаров Сергей.

Астробиблиотека

P.S. Если не охота считать ручками, забейте размер пикселя и фокус телескопа в Максимке, там есть кнопка «PinPoint Astrometry» и программа выдаст Вам масштаб автоматически 🙂 Этот процесс разобран в статье АСТРОМЕТРИЯ.

www.astrotourist.info

Модуль вектора

Модулем (длиной) вектора называется длина(норма) соответствующего вектора AB и обозначается как .

В евклидовом n-мерном пространстве длина вектора рассчитывается как корень из скалярного произведения этого вектора на себя, в том случае если это произведение задано как (x,y)=x₁ * y₁ + x₂ * y₂,…,x_n * y_n),где (x₁,x₂,…,x_n) (y₁,y₂,…,y_n) координаты векторов x,y в каком-то базисе — то оно: .

Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Мусульманские страны
• Ракетный подводный крейсер стратегического назначения

Смотреть что такое «Модуль вектора» в других словарях:

• модуль вектора — величина вектора — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы величина вектора EN absolute value of a vector …   Справочник технического переводчика

• модуль вектора — vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absolute value of vector vok. Vektorbetrag, m rus. длина вектора, f; модуль вектора, m pranc. module d’un vecteur, m …   Fizikos terminų žodynas

• Модуль — (от лат. modulus  «маленькая мера»): В Викисловаре есть статья «модуль» Мо …   Википедия

• Модуль (значения) — Модуль (от лат. modulus  «маленькая мера»)  составная часть, отделимая или хотя бы мысленно выделяемая из общего. Модульной обычно называют вещь, состоящую из чётко выраженных частей, которые нередко можно убирать или добавлять, не разрушая вещь… …   Википедия

• Модуль числа — Абсолютная величина или модуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:… …   Википедия

• модуль волнового вектора — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN magnitude of propagation vector …   Справочник технического переводчика

• модуль конвольвера кодового вектора огибающей — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN shape codevector convolution module …   Справочник технического переводчика

• Модуль комплексного числа — Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу: . Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r. Пусть и вещественные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда Числа …   Википедия

• Модуль (в математике) — Модуль в математике, 1) М. (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число ═(корень берётся со знаком плюс). При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно… …   Большая советская энциклопедия

• МОДУЛЬ — абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… …   Математическая энциклопедия

dic.academic.ru

5.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

Видеоурок 1: Понятие вектора

Видеоурок 2: Равенство векторов

Видеоурок 3: Сложение и вычитание векторов

Видеоурок 4: Умножение вектора на число

Лекция: Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

Вектор – это тело, которое изучается в математике, но используется в большом количестве наук. Например, в физике существуют скалярные величины (те, что характеризуются значением – масса, температура и т.д.), а также векторные величины (сила, работа и другие).

Вектор – это величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением. Иными словами, это направленный отрезок. 

Но кроме его длины, нам также важно, где находится его начало, а где конец.

Если вектор имеет свое начало в некоторой точке А, а заканчивается в точке В, то его обозначают следующим образом:

Кроме двух букв, вектор можно обозначить одной буквой со значком вектора сверху.

Длиной вектора (его модулем) называют расстояние между концом вектора и его началом. 

Для определения модуля вектора следует воспользоваться следующей формулой:

Кроме этого, модуль вектора может обозначаться следующим образом:

Если некоторый вектор имеет начало и конец в одной и той же точке, то такой вектор называют нулевым. Нулевой вектор обозначают, как

Если длина некоторого вектора равна единичному отрезку, то его называют единичным.

Если некоторые векторы расположены на одной прямой или же параллельны друг другу, то такие векторы называются коллинеарными.

Если некоторые векторы можно назвать коллинеарными, но кроме этого они направлены в одну сторону, то их можно назвать сонаправленными.

Если же наоборот два коллинеарных вектора смотрят в разные стороны, то их называют противоположно направленными.

Если же некоторые векторы являются коллинеарными, сонаправленными, а также имеют одинаковую длину (модуль), то их можно назвать равными.

Координаты вектора

Для нахождения координаты вектора следует вычесть соответствующие координаты его конца и начала.

Например, если начало вектора А (3; 6), а конец В (5;9), то этот вектор будет иметь следующие координаты: {2;3}.

Сложение и вычитание векторов

Чтобы сложить два вектора для получения нового, необходимо сложить соответствующие координаты.

Например, сложим вектор {2;3} с вектором {5;7}. В результате получим новый вектор с координатами {7;10}. С вычитанием все аналогично.

Умножение вектора на некоторое число

Чтобы умножить вектор на некоторое число, следует умножить каждую его координату на данное число.

Свойства:

• Первоначальный вектор и вектор умноженный на некоторое число, который равный ему, являются параллельными.
• Если число, на которое умножался вектор, больше нуля, то новый вектор будет сонаправлен первоначальному. Если же число меньше нуля, то векторы будут противоположно направленны.

cknow.ru

Модуль вектора. Длина вектора. — Студопедия.Нет

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора. Для обозначения модуля вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Модуль вектора (длина вектора) |a| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Так в случае плоской задачи модуль вектора можно найти по следующей формуле
|{a}| = sqrt{x_1^2+y_1^2}.

Пример вычисления модуля вектора (длины вектора)
Найти длину вектора {a} = {2;4}.
Решение: |{a}| = sqrt{2^2+4^2}=sqrt{4+16}=sqrt{20}=2sqrt{5}.

Так в случае пространственной задачи модуль вектора {a} = {x_1;y_1;z_1} можно найти по следующей формуле |{a}| = sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.

Пример вычисления модуля вектора (длины вектора)
Найти длину вектора {a} = {2; 4; 4}.
Решение: |{a}| = sqrt{2^2+4^2+4^2}=sqrt{4+16+16}=sqrt{36}=6.

Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. .

Обозначение: – векторы и ортогональны.

Определение. Тройка векторов называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .

Определение. Тройка векторов называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора на плоскость, в которой лежат первые два вектора и , кратчайший поворот первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

рис.6.

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов :

рис.7.

Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если ортонормированная тройка векторов.

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:

рис.9.

Любой вектор можно разложить по этому базису:

.

10

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cosg=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр _ab, то получаем:

т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

studopedia.net

1. Определение вектора. Длина вектора. Коллинеарность, компланарность векторов.

Вектором называется направленный отрезок.    Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.        

Модуль вектора a обозначается . Векторa называется единичным, если . Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

2. Умножение вектора на число. Свойства операции.

Умножение вектора на число, даёт противоположно направленный вектор в длиной враз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:

Исходя из определения получается выражение для модуля вектора, умноженного на число:

Аналогично как и числами, операции сложение вектора с самим с собой можно записать через умножение на число:

А вычитание векторов можно переписать через сложение и умножение:

Исходя из того, что умножение на не меняет длины вектора, а меняет только направление и учитывая определение вектора, получаем:

3. Сложение векторов, вычитание векторов.

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

Для геометрического построения вектора суммы используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов инекоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторовипо правилутреугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной:

Правило многоугольника

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и так далее, сумма же векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов ипо правилупараллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых — то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Модуль суммы векторов

Модуль суммы двух векторов можно вычислить, использую теорему косинусов:

, где — косинус угла между векторамии.

Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку — между сторонами треугольника — что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в ее прямой формулировке.

Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:

Вычитание векторов

Два вектора и вектор их разности

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

Для получения вектора разности начала векторов соединяются и началом векторабудет конец, а концом — конец. Если записать, используя точки векторов, то.

Модуль разности векторов

Три вектора , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:

где — косинус угла между векторамии

Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что для тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор переносится к концу вектора, когда же ищется модель разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).

studfiles.net

модуль вектора — это… Что такое модуль вектора?

модуль вектора

мат. scalar of vector

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• модуль ванны
• модуль вогнутости

Смотреть что такое «модуль вектора» в других словарях:

• модуль вектора — величина вектора — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы величина вектора EN absolute value of a vector …   Справочник технического переводчика

• модуль вектора — vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absolute value of vector vok. Vektorbetrag, m rus. длина вектора, f; модуль вектора, m pranc. module d’un vecteur, m …   Fizikos terminų žodynas

• Модуль вектора — Модулем (длиной) вектора называется длина(норма) соответствующего вектора AB и обозначается как . В евклидовом n мерном пространстве длина вектора рассчитывается как корень из скалярного произведения этого вектора на себя, в том случае если это… …   Википедия

• Модуль — (от лат. modulus  «маленькая мера»): В Викисловаре есть статья «модуль» Мо …   Википедия

• Модуль (значения) — Модуль (от лат. modulus  «маленькая мера»)  составная часть, отделимая или хотя бы мысленно выделяемая из общего. Модульной обычно называют вещь, состоящую из чётко выраженных частей, которые нередко можно убирать или добавлять, не разрушая вещь… …   Википедия

• Модуль числа — Абсолютная величина или модуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:… …   Википедия

• модуль волнового вектора — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN magnitude of propagation vector …   Справочник технического переводчика

• модуль конвольвера кодового вектора огибающей — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN shape codevector convolution module …   Справочник технического переводчика

• Модуль комплексного числа — Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу: . Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r. Пусть и вещественные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда Числа …   Википедия

• Модуль (в математике) — Модуль в математике, 1) М. (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число ═(корень берётся со знаком плюс). При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно… …   Большая советская энциклопедия

• МОДУЛЬ — абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… …   Математическая энциклопедия

dic.academic.ru

Модуль вектора

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и ко­нец.

МОДУЛЬ ВЕКТОРА

Длина направленного отрезка, изо­бражающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора обозначается .
НУЛЬ-ВЕКТОР

Нуль-вектор () — вектор, начало и конец которого совпадают; его модуль равен 0, а направление неопределенное.

КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Пусть на плоскости задана декартова система координат XOY.

Тогда вектор может быть задан двумя числами:

и

Эти числа и в геометрии называют координатами вектора, а в физике – проекциями вектора на соответствующие оси координат.

и

Нуль-вектор: и

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАДАННОЙ ЕДИНИЧНЫМИ ВЕКТОРАМИ (ОРТАМИ)

Пусть на плоскости задана декартова система координат при помощи единичных векторов и :

Тогда вектор может быть задан следующим образом:

Очевидно, что:

и

При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями:

и

Нуль-вектор:

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинако­вую длину и одинаково направлены.

Все нуль-векторы считаются равными.

Суммой векторов и называют вектор , идущий из начала вектора в конец век­тора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов, источником которого яв­ляется экспериментальный факт сложе­ния сил (векторных величин) по этому правилу.

Правило треугольника Правило параллелограмма

Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:

Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:

и

Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:

и

Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:

Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:

и

Вектор суммы двух векторов:

Построение суммы нескольких векторов ясно из рисунка.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Произве­дением вектора на число  называют вектор, коллинеарный вектору , имею­щий длину, равную , и направле­ние, совпадающее с направлением при > 0 и противоположное при ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ

Век­тор называется противоположным вектору и обозначается .

Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами:

1) ,

2) ,

3) ,

4),

5) ,

6) ,

7) ,

8).

Координаты вектора суммы нескольких векторов удовлетворяют соотношениям:

Координаты вектора произведения вектора на число удовлетворяют соотношениям:

Координаты противоположных векторов удовлетворяют соотношениям:

Сумма нескольких векторов:

Произведение вектора на число:

Вектор, противоположный :

Скалярное произведение векторов и (обозначается ) — скаляр, определяемый равенством , где — угол между векторами и , приведенными к общему началу:

Скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение векторов:

ДОПОЛНЕНИЕ: ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН В ФИЗИКЕ.

Векторами называются такие геометрические и физические величины, которые однозначно определяются отрезками с заданным положением, направлением и длиной независимо от системы отсчета и подчиняются правилам I – IV (см. далее).
Вектор называется полярным в том случае, когда положение и направление изображающего его отрезка непосредственно дает положение и направление представляемой величины (радиус-вектор, скорость, ускорение, сила, импульс).

Вектор называется осевым (аксиальным) в том случае, если соотношение между представляемой величиной и изображающим ее отрезком устанавливается посредством задания некоторой оси и определенного направления вращения вокруг этой оси. Принято, чтобы направление выбранного на оси отрезка составляло с осью вращения правый винт (угловая скорость, момент сил, вращательные импульсы).

Свободные векторы можно произвольно переносить в любое другое параллельное положение, сохраняя при этом их направление и длину (напр., вектор скорости при поступательном движении тела).

Скользящие векторы неотделимы от несущей их прямой, от так называемой линии действия, но вдоль этой прямой они могут перемещаться произвольным образом (напр., угловая скорость; сила, приложенная к твердому телу).

Связанные векторы неотделимы от определенной точки, от так называемой точки приложения вектора (напр., скорость точки тела, движущегося произвольным образом).
Правила выполнения операций над векторами:

I. Два вектора, и равны друг другу, если они имеют одинаковое направление и одинаковую длину; равные скользящие векторы должны иметь, кроме этого, общую линию действия, а равные связанные векторы – общую точку приложения.

II. Вектор получается из вектора следующим образом: из точки приложения вектора откладывается в противоположном направлении отрезок с такой же длиной, как у вектора .

III. Вектор : при m  0 – модуль в m раз больше, при m  0 – по правилу II/

IV. Два вектора, и , имеющие общую точку приложения, складываются по правилу параллелограмма. Разность векторов: .
Правила сложения применимы без ограничения к свободным векторам, к скользящим – только в случае наличия у линий действия векторов общей точки. Во всех остальных случаях действуют другие правила сложения (см., например, условие равновесия твердого тела).
Физическая величина считается векторной, если она подчиняется правилам I – IV. В частности, такому требованию удовлетворяют две скорости, которым одновременно обладает одна и та же материальная точка, или угловые скорости твердого тела, одновременно вращающееся вокруг двух пересекающихся осей.

www.dereksiz.org

Также вам понравятся наши развивающие игры на логику, внимание, память и мышление.

Мы создаем авторские материалы по 2 направлениям:

• знакомство с математикой и арифметикой, основными математическими понятиями;
• развитие математических способностей, развитие логического мышления и формирование основ математического мышления.

Для первого случая кому-то будет достаточно и детских журналов, можно найти арифметический тренажёр, чтобы ребёнок «набивал руку» в решении простейших примеров на сложение и вычитание.

Для второго блока нужен комплесный подход. Мы создали Базу знаний, в которой публикуем полезные материалы для занятий детей с родителями. Начните с этих материалов:

• Игры и задания, которые помогут научить ребёнка устному счёту.
• Как развить внимание у ребёнка? Игры и упражнения.

На ЛогикЛайк более 3500 увлекательных заданий в простой и понятной детям форме – с картинками, ответами и пояснениями.

Приучаем выполнять задания самостоятельно

В дошкольном возрасте важно не «перегибать палку». Если у ребенка нет интереса к решению примеров и задач, не мучайте его. «Натаскивание» на решение определенных типов задач оставим школьной математике.

Есть и другой подход к детям – заинтересовать, увлечь и позволить развивать способности с удовольствием!

logiclike.com

Игры Математика играть онлайн и бесплатно на Igraz.ru

Лучшие игры

Игры Математика – отличное решение не только для школьников и детей, но и для более взрослой категории. Вы, неверное, подумаете «Ага, конечно, ходил я в школе на Вашу математику, и что-то там ничуть не весело». Но не спешите с выводами, ведь игры Математика – это, в первую очередь, именно игры, а потому они намного веселее, чем те занятия, что нам преподавались в учебных заведениях. Не верите? Тогда залетайте к нам в категорию, чтобы убедиться в этом. И да, кто там уже приготовился доставать калькулятор? Да, Вы, у монитора! Немедленно прячьте, а то поставлю двой… Ой, играть будет неинтересно, вот.

Мультипликационные персонажи в Играх Математика

Как мы уже привыкли, мультипликация имеет огромное влияние на игровую индустрию, и к счастью Игры Математика не стали исключением. Мы по-прежнему встретимся с мультипликационными персонажами, только вот такие сюжеты вряд ли присутствовали в мультфильмах. К примеру, ожидали ли Вы, что Бен-10 будет Вашим личным преподавателем? Да уж, монстры-монстрами, а деньги считать – всегда пригодится. Ну, или не деньги, не совсем известно, чем именно мотивировал себя Бенджамин, когда решил стать репетитором. Известно одно, что Вам предстоит изучать математику вместе с ним, а он – очень требовательный преподаватель. Стоит отметить, что это не единственный мультипликационный герой, решивший отречься от своих первоначальных жизненных целей, избрав математический путь. Хорошо ли это? Решайте Вы, исходя из того, насколько эффективными будут их уроки.

Интерактивный аспект в Играх Математика

Основным поводом появления категории Игры Математика на нашем сайте является то, что мы нашли множество интерактивных проектов, которые, на первый взгляд, ну никак не сочетаются со словом «математика». К примеру, здесь присутствуют игры, где необходимо решать примеры, созданные со спичек. Но погодите разжигать костер, спички нужны для того, чтобы сдвигать их, комбинируя в соответствующие цифры. Данная игра затягивает даже тех, кто не особо любит математику в принципе. Не знаю, за какие душевные струны дергают разработчики, но игра на самом деле цепляет. Да и нельзя обойти стороной и другие игры, где математика присутствует не в качестве науки, а в качестве элемента игрового процесса. Данные игры очень красивы, за счет чего и математика становится намного интереснее.

Игры Математика – это что-то среднее между точными науками и развлечениями. Несмотря на то, что большинство людей обладают гуманитарным складом ума, играть в данные проекты очень интересно и приятно. Во-первых, они ненавязчивы. Во-вторых, они великолепно оформлены. Ну и, конечно же, нельзя забывать об образовательной цели данных игр. Если Вы заботливые родители, которые не в силах заинтересовать ребенка учебой, то данные проекты решат эту проблему. Куда уж интереснее учить математику с Бен-10, чем с какой-нибудь школьной учительницей, какой бы гениальной она не была, согласитесь. Во всяком случае, дети в раннем возрасте предрасположены думать именно так. Удачной игры, и учите математику.

Хотя, играйте в математику!

igraz.ru

Математические примеры онлайн

Математически примеры онлайн — это прекрасная возможность для младших школьников поупражняться в своих знаниях математики. Ведь в этих заданиях нужно уметь быстро решать примеры, ведь на прохождение каждого задания выделяется определенное время. Когда время заканчивается, то вам засчитываются очки только за те примеры, на которые ребенок успел дать ответ.

В этом разделе мы будем выкладывать математические примеры онлайн на сложение и вычитание до 100. Пусть ребенок выполняет задания до тех пор, пока у него не будет ни одной ошибки. Кстати, в занятии он может воспользоваться подсказкой, которая добавит одну неизвестную цифру. Но учтите, при использовании подсказок ребенок теряет очки и за выполнение задания он уже не получит 100% результат. Объясните это ему сразу, чтобы не было искушения часто нажимать на подсказку. Нужно стремиться к тому, чтобы все примеры были решены правильно, без использования подсказок, вложившись в заданное время.

Также вам будут интересны и другие разделы с математикой:

Развивающие игры «Математика для малышей». Разработаны детским порталом Чудо-Юдо специально для самых маленьких детей (от 2-х лет), которые только начинают учиться считать до 10. Такие игры способствуют более быстрому запоминанию цифр, а также позволяют ребенку понять сложную для его возраста технологию счета.

Математические игры для детей от 4 до 6 лет созданы с целью подготовки дошкольника к первым математическим познаниям и умению считать. Здесь вас ждут интересные красочные игры, в которых ребенку нужно будет найти и посчитать указанное количество предметов или живых существ. Детям этого возраста очень нравится считать, особенно в игровой форме.

Математика для детей — Распечатай и занимайся. Здесь вы можете найти массу полезных материалов на тему «Математика для детей», которые можно распечатать на принтере и заниматься с детьми, как в домашних условиях, так и в дошкольных и школьных учреждениях.

chudo-udo.info

Игры Математика — играть онлайн бесплатно

С древних времен математике учили в форме игры. Более того, великие мыслители нередко прибегали к математике как к науке, способной научить их логическому мышлению и успокоить ум. Что и говорить, как математика, так и шахматы отлично развивают человека. Хотите совместить приятное с полезным? Тогда игры Математика станут Вашими лучшими союзниками в борьбе со скукой.

§ Игры математика: мультгерои против скуки

Герои мультфильмов все чаще проникают в индустрию игр. И математика – не исключение: здесь мы можем увидеть немало тех, кого с гордостью можем назвать самыми-самыми. Бен-10, Русалочка, Лила, и многие другие ждут того момента, когда Вы рискнете сыграть с ними в интересную игру про математику. Неожиданно увидеть в качестве своего учителя Бенджамина? Наверное, да. В таком случае вооружитесь мышкой и попробуйте пройти все этапы игр про математику.

§ Интерактивно, ярко, интересно

Самый большой плюс игр математика – их интерактивность. Они могут наглядно показать, как складываются и вычитаются, делятся и умножаются числа, а еще покажут дроби максимально наглядно. Игры раздела математика могут затянуть даже тех, кто имеет полностью гуманитарный склад ума и не любит математику как науку. Стоит ли говорить о том, что все игры раздела Математика – яркие и красочные? Пожалуй, Вы и сами догадались об этом. Помните: в этом разделе Вам придется поломать голову над решением различных интерактивных задач.

§ Игры математика, или разминка для ума

Игры Математика представляют собой среднее между точной наукой и интересными развлечениями. Даже людям с гуманитарным складом ума будет интересно. К тому же стоит помнить о том, что игры про математику могут помочь Вам заинтересовать своих детей этой наукой. Цифры сами по себе редко вызывают у детей бурный восторг, в отличие от игр с их любимыми героями из мультфильмов и сказок. Превратите обучение в развлечение!

§ Развлечение с пользой для ума.

Здесь можно найти игры на любой вкус, от простых арифметических для самых маленьких, до сложных, которые могут заинтересовать взрослых людей. Так или иначе, игры математика позволяют отдохнуть как после садика/уроков, так и после тяжелого рабочего дня, поэтому они отлично подойдут в качестве вечерней разгрузки. Для этого Вам не понадобится регистрация: достаточно нажать на любую понравившуюся игру раздела Математика, и она тут же начнется.

4gameground.ru

Справочные данные по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

sh x — гиперболический синус

,     –∞ < x < +∞;   –∞ < y < +∞.

ch x — гиперболический косинус

,     –∞ < x < +∞;   1 ≤ y < +∞.

th x — гиперболический тангенс

,     –∞ < x < +∞;   – 1 < y < +1.

cth x — гиперболический котангенс

,     x ≠ 0;   y < –1   или   y > +1.

Графики гиперболических функций

График гиперболического синуса   y = sh x

График гиперболического косинуса   y = ch x

График гиперболического тангенса   y = th x

График гиперболического котангенса   y = cth x

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ;     cos iz = ch z
sh iz = i sin z ;     ch iz = cos z
tg iz = i th z ;     ctg iz = – i cth z
th iz = i tg z ;     cth iz = – i ctg z
Здесь   i – мнимая единица,   i² = –1.

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Четность

sh(–x) = – sh x;   ch(–x) = ch x.
th(–x) = – th x;   cth(–x) = – cth x.

Функция   ch(x)   – четная. Функции   sh(x),   th(x),   cth(x) – нечетные.

Разность квадратов

ch² x – sh² x = 1.

Формулы суммы и разности аргументов

sh(x &pm; y) = sh x ch y &pm; ch x sh y,
ch(x &pm; y) = ch x ch y &pm; sh x sh y,
,
,

sh 2x = 2 sh x ch x ,
ch 2x = ch² x + sh² x = 2 ch² x – 1 = 1 + 2 sh² x,
.

Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса

,
,
,

,
,
.

Формулы суммы и разности гиперболических функций

,
,
,
,
.

Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом

,     ,
,     .

Производные

,

Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Разложения в ряды

sh x

.

ch x

,

th x

,

cth x

.

Обратные функции

Ареасинус

При   – ∞ < x < ∞   и   – ∞ < y < ∞   имеют место формулы:
,
.

Ареакосинус

При   1 ≤ x < ∞   и   0 ≤ y < ∞   имеют место формулы:
,
.

Вторая ветвь ареакосинуса расположена при   1 ≤ x < ∞   и   – ∞ < y ≤ 0  :
.

Ареатангенс

При   – 1 < x < 1   и   – ∞ < y < ∞   имеют место формулы:
,
.

Ареакотангенс

При   – ∞ < x < – 1   или   1 < x < ∞   и   y ≠ 0   имеют место формулы:
,
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 27-07-2014

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

1cov-edu.ru

как вывести забытую тригонометрическую формулу?

На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на внешнем независимом тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля.

А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1
2. Определение тангенса:
3. Определение котангенса:
4. Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb
5. Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb—sinasinb

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

6. Синус разности: sin(a-b) = sinacos(-b)+cosasin(-b) = sinacosb—cosasinb
7. Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)—sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

8. Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa
9. Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa—sinasina = cos²a—sin²a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

10. Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos²a—sin²a)sina = 2sinacos²a+sinacos²a—sin³a = 3sinacos²a—sin³a = 3sina(1-sin²a)-sin³a = 3sina-4sin³a
11. Косинус тройного угла: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa—sin2asina = (cos²a—sin²a)cosa-(2sinacosa)sina = cos³a-sin²acosa-2sin²acosa = cos³a-3sin²acosa = cos³a-3(1-cos²a)cosa = 4cos³a-3cosa

Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол — острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sina = 3,а cosa = 4.
(Из математического юмора)

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1 и разделим его на cos²a. Получим:

12. Связь тангенса и косинуса:

Так что решением этой задачи будет:

(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)

13. Аналогично получаем связь котангенса и синуса:

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

14. Формула тангенса суммы: . Разделив числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим:

Сразу выводится и

15. Формула тангенса двойного угла:

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos2a = cos²a—sin²a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos2a+1 = cos²a—sin²a+cos²a+sin²a
2cos²a = cos2a+1
Выражая cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем:

16. Косинус половинного угла:

Знак берётся в зависимости от квадранта.

Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой — сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos2a-1 = cos²a—sin²a—cos²a—sin²a
2sin²a = 1-cos2a

17. Cинус половинного угла:

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sina+sinb. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy. Выразим теперь x и y через a и b.

Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

18. Представление суммы синусов в виде произведения:

Сразу же можно вывести

19. Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму: sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b))

Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.

www.intelmath.narod.ru

Квадрат — косинус — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Квадрат — косинус

Cтраница 1

Квадрат косинуса быстро меняется на интервалах Дг, малых по сравнению с рассматриваемыми расстояниями.  [1]

Квадраты косинусов всегда положительные. Знаменатели в выражениях (1.16) и (1.18) также положительные, а в выражении (1.17) отрицательные.  [2]

Среднее значение квадрата косинуса равно половине.  [3]

В квадратичном члене представим квадрат косинуса в виде cos2 ( Фд — Ф5) [ 1 cos 2 ( Ф — Ф5) ] / 2, откуда видно, что этому члену, с одной стороны, соответствует косинусоидальная решетка двойной пространственной частоты, обусловливающая появление пучка второго порядка дифракции, с другой стороны, — постоянная составляющая, вносящая вклад в пучок нулевого порядка. В го-лографической схеме Лейта и Упатниекса нелинейность, которая выражается только квадратичным членом, так мала, что не проявится при реконструкции.  [4]

Интенсивность излучения будет пропорциональна квадрату косинуса угла между направлениями колебаний и излучения.  [5]

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат его синуса.  [6]

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат его синуса.  [7]

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат синуса того же угла.  [8]

Косинус двойного аргумента равен разности квадратов косинуса и синуса данного аргумента.  [9]

Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине.  [10]

Косинус двойного угла равен разности квадратов косинуса и синуса данного угла.  [11]

Косинус двойного аргумента равен разности квадратов косинуса и синуса данного аргумента.  [12]

Косинус двойного угла равен разности квадратов косинуса и синуса данного угла.  [13]

В табл. 2.3 приведены средние значения квадратов косинусов углов рассеяния и ориентации для различных предельных значений параметров Л и Л, характеризующих входной и выходной каналы.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru