Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй
замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их
помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части данного урока.
Для решения задач путём приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости,
поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики.
Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:
Приведённое выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых .
Следовательно, верно равенство и следующего отношения:
.
Это разновидность первого замечательного предела.
Переходим к решению задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится
тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательнному пределу.
Пример 1. Найти предел .
Решение. Подстановка вместо x нуля приводит к неопределённости:
.
В знаменателе — синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:
.
В знаменателе — синус трёх икс, а в числителе всего лишь один икс, значит, нужно
получить три икс и в числителе. Для чего? Чтобы представить 3x = a и
получить выражение .
И приходим к разновидности первого замечательного предела:
,
потому что неважно, какая буква (переменная) в этой формуле стоит вместо икса.
Умножаем икс на три и тут же делим:
.
В соответствии с замеченным первым замечательным пределом производим замену
дробного выражения:
.
Теперь можем окончательно решить данный предел:
.
Пример 2. Найти предел .
Решение. Непосредственная подстановка вновь приводит к неопределённости «нуль делить на нуль»:
.
Чтобы получить первый замечательный предел, нужно, чтобы икс под знаком синуса
в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть этот коэффициент будет равен 2.
Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как
и далее, производя действия с дробями, получаем:
.
Пример 3. Найти предел .
Решение. При подстановке вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:
.
Наверное, вам уже понятно, что из исходного выражения можно получить первый замечательный предел, умноженный на первый
замечательный предел. Для этого раскладываем квадраты икса в числителе и синуса в знаменателе на одинаковые множители,
а чтобы получить у иксов и у синуса одинаковые коэффициенты, иксы в числителе делим на 3 и тут же
умножаем на 3. Получаем:
.
Пример 4. Найти предел .
Решение. Вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:
.
Можем получить отношение двух первых замечательных пределов. Делим и числитель, и знаменатель на икс.
Затем, чтобы коэффициенты при синусах и при иксах совпадали, верхний икс умножаем на 2 и тут же делим на 2, а нижний икс
умножаем на 3 и тут же делим на 3. Получаем:
Пример 5. Найти предел .
Решение. И вновь неопределённость «нуль делить на нуль»:
.
Помним из тригонометрии, что тангенс — это отношение синуса к косинусу, а косинус нуля равен единице.
Производим преобразования и получаем:
.
Пример 6. Найти предел .
Решение. Тригонометрическая функция под знаком предела вновь наталкивает на мысль о применении первого замечательного предела.
Представляем его как отношение синуса к косинусу.
.
Так как , то и
Пример 7. Найти предел .
Решение. И вновь неопределённость «ноль делить на ноль» и синус под знаком предела. Значит надо приводить к первому замечательному пределу.
Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое числителю и получим
Пример 8. Найти предел .
Решение. Бороться с неопределённостью «ноль делить на ноль» будем приведением к первому замечательному пределу. Вспоминаем
формулу тригонометрической единицы и подставляем её. Потом вспоминаем, что косинус в квадрате нуля и просто косинус нуля равны единице, а они у нас с противоположными знаками,
значит взаимно уничтожаются. Затем умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю. И дальнейшие преобразования. Всё
вышеописанное выглядит так:
Начало темы «Предел»
Продолжение темы «Предел»
function-x.ru
Замечательные пределы и их примеры
Примеры пределов содержащие неопределенности вида ноль на ноль часто встречаются в тригонометрических функциях. Для их раскрытия используют первый замечательный предел суть которого заключается в том, что предел отношения синус функции к аргументу, когда тот стремится к нулю равен единице
На основе этой формулы можно получить ряд полезных для практики пределов
1)
2)
3)
Второй замечательный предел позволяет раскрыть неопределенности вида .
Коротко он имеет следующую запись
где –экспонента.
На основе второго замечательного предела получают следующие формулы
1)
2)
Примеры, которые сводятся к первому и второму замечательному пределу встречаются довольно редко, однако без них такие примеры не решить.
Рассмотрим некоторые примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика» которые приводят к применению замечательных пределов.
————————————
Пример 1. Найти пределы функций.
1) (4. 388)
2) (4. 393)
3) (4. 399)
4) (4. 432)
5) (4. 437)
6)
7)
Решение.
1) Домножим числитель и знаменатель на аргумент и сведем к первой замечательной границы
2) Разделим числитель и знаменатель на аргумент и сократим
3) Согласно разложению корня в окрестности единицы
знаменатель возможно превратить следующим образом
На основе этого и находим предел
4) Сведем к второму замечательному пределу
5) Сведем к правильной дроби выражение в скобках
и подставим в предел
Вычислим первый множитель
Второй предел равна единице
Окончательно получим
6) Сведем решение к первому замечательному пределу
7) Преобразуем показатель для применения второго замечательного предела
Подобных примеров можно привести много, они встречаются в контрольных, тестах, екзаменах. Их решения позволит закрепить Вам лучшие практические навыки поэтому пробуйте решать самостоятельно. Если в обучении вам встретятся тяжелые пределы посчитать которые Вы не в состоянии обращайтесь к нам. Мы Вам в этом поможем!
————————————
Посмотреть материалы:
yukhym.com
Первый замечательный предел., где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,
Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm — многочлены.
Итого:
Второй замечательный предел.
Третий замечательный предел.
Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.
Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел .
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.
X2 – 6X + 8 = 0; X2 – 8X + 12 = 0;
D = 36 – 32 = 4;D = 64 – 48 = 16;
X1 = (6 + 2)/2 = 4; X1 = (8 + 4)/2 = 6;
X2 = (6 – 2)/2 = 2 ; X2 = (8 – 4)/2 = 2;
Тогда
Пример. Найти предел.
домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =
=.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел .
Разложим числитель и знаменатель на множители.
X2 – 3X + 2 = (X – 1)(X – 2)
X3 – 6X2 + 11X – 6 = (X – 1)(X – 2)(X – 3), т. к.
X3 – 6×2 + 11x – 6 x — 1
x3 – x2 x2 – 5x + 6
— 5×2 + 11x
— 5×2 + 5x
6x — 6
6x — 6 0
X2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Тогда
Пример. Найти предел.
Для самостоятельного решения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) — не определен.
< Предыдущая
Следующая >
matica.org.ua
2 замечательный предел | Математика
2 замечательный предел:
где
— иррациональное число. 2й замечательный предел можно применять и для нахождения пределов вида
при условии, что f(x)→∞.
2 замечательный предел, как правило, применяют в тех случаях, когда нужно найти предел степени с переменной в показателе. Рассмотрим примеры на второй замечательный предел.
Чтобы раскрыть неопределенность единица в степени бесконечность, используем 2 замечательный предел. Для этого минус уберем в знаменатель и воспользуемся рассуждениями:
Итак, имеем:
2й замечательный предел раскрывает неопределенность вида единица в степени бесконечность. Значит, неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность необходимо привести к такому виду. Рассуждаем так:
получили неопределенность единица в степени бесконечность, и теперь можем применить второй замечательный предел:
Рассуждаем аналогично: чтобы раскрыть неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность, нужно привести выражение к виду единица в степени бесконечность и затем применить второй 2 замечательный предел:
www.matematika.uznateshe.ru
Первый замечательный предел — Мегаобучалка
Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).
Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.
Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:
– тот же самый первый замечательный предел.
! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде, то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Примеры: , , ,
Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.
На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).
Переходим к рассмотрению практических примеров:
Пример 1
Найти предел
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ». А делается это очень просто:
То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания. Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:
Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:
Готово. Окончательный ответ:
Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
“
Используем первый замечательный предел
“
Пример 2
Найти предел
Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:
Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):
Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :
Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:
Собственно, ответ готов:
В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.
Пример 3
Найти предел
Подставляем ноль в выражение под знаком передела:
Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материалГорячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы).
В данном случае:
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.
Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:
Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:
В итоге получена бесконечность, бывает и такое.
Пример 4
Найти предел
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Пример 5
Найти предел
Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:
megaobuchalka.ru
Примеры первого и второго замечательных пределов онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Некоторые пределы можно вычислить, используя первый замечательный предел, для других же потребуется применить второй замечательный предел.
Здесь мы приведём примеры таких пределов, которые используют методы замечательных пределов. Причём данные примеры будут вычислены онлайн.
Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?
Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .
Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.
Обратите внимание, что:
Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.
Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
Пусть — внешний угол при вершине .
Зная , найдем по формуле
Получим:
2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .
Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
ege-study.ru
Внешний угол треугольника. Задание В7
Если в геометрической задаче присутствуют слова «внешний угол треугольника«, нам надо вспомнить несколько фактов:
1. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом треугольника:
2. Сумма смежных углов равна 180°
3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним:
Чтобы найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника, нужно найти эту функцию соответствующего внутреннего угла, а затем воспользоваться следующим формулами приведения:
(1)
(2)
(3)
Необходимо также вспомнить, как тригонометрические функции острого угла выражаются одна через другую:
Прежде чем приступать к разбору решений задач, рекомендую вам прочитать статью о соотношении сторон и углов в прямоугольном треугольнике.
Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике: .
1. Задание B7 (№ 27382)
В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
Найдем тангенс угла А, а затем воспользуемся формулой приведения.
АС=4, ВС найдем по теореме Пифагора:
Отсюда . Соответственно, по формуле приведения (3), тангенс внешнего угла при вершине А равен -0,25.
Ответ: -0,25
2. Задание B7 (№ 27386)
В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите .
Воспользуемся формулой приведения (2): sinA=0,1
Ответ: 0,1.
3. Задание B7 (№ 27387)
В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .
Найдем сначала sin A. Он равен синусу внешнего угла треугольника при вершине А. То есть .
Найдем cosA c помощью основного тригонометрического тождества:
Ответ: 0,96
4. Задание B7 (№ 27389)
В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .
Найдем сначала sin A. Он равен синусу внешнего угла треугольника при вершине А. То есть .
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому
Ответ: 0,96
5. Задание B7 (№ 27392)
В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .
Если косинус внешнего угла при вершине A равен , то cos A=. Отсюда sinA=0,96
Ответ: 0,96
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс«ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»
ege-ok.ru
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника. Продолжаем рассматривать задачи на решение прямоугольного треугольника. Такие типы заданий имеются в прототипах открытого банка заданий по математике. Некоторые примеры мы уже рассмотрели в статьях «Прямоугольный треугольник. Часть 1» и «Прямоугольный треугольник. Часть 2». В этой статье разберём задачи, в которых необходимо определить значения тригонометрических функций внешнего угла треугольника (или внутреннего, когда дано значение внешнего).
Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине
Угол DAB является внешним.
Стоит повторить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике, также основные тригонометрические формулы для решения прямоугольного треугольника. Вспомним основные из них:
А также формулы приведения (не все). Отмечу одну типичную ошибку, которую допускают (из-за невнимательности). При решении подобных задач часто используется формула основного тригонометрического тождества:
Из неё мы получаем:
*Запись с ошибкой (её часто допускают — теряют квадрат):
Будьте внимательны!
Рассмотрим задачи:
В треугольнике ABC угол C равен 900, sin A = 0,27. Найдите синус внешнего угла при вершине А.
Углы ВАС и BAD смежные, значит:
По свойству синуса:
А лучше раз и навсегда запомнить сам факт того, что синусы смежных углов равны, и вам даже не будет необходимости что-то записывать при решении такой задачи, ответ вы озвучите сразу.
Ответ: 0,27
Решите самостоятельно:
Посмотреть решение
В треугольнике ABC угол C равен 900, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
Углы ВАС и BAD смежные, значит:
Значит по свойству тангенса (используем формулу приведения):
То есть необходимо найти тангенс угла ВАС. Известно, что:
Синус угла ВАС нам известен. Найдём его косинус.
Из основного тригонометрического тождества:
Вычисляем тангенс:
Таким образом tg BAD = – tg BAC = – 0,3
Ответ: – 0,3
Решите самостоятельно:
Посмотреть решение
Посмотреть решение
В треугольнике ABC угол C равен 900, АВ = 6, . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.
Углы ВАС и BAD смежные, значит:
По свойству косинуса:
Найдём cos BAC Для этого необходимо найти сторону АС. По теореме Пифагора:
Значит АС = 3.
По определению косинуса:
Таким образом, cosDAB = – cosBAC = – 0,5.
Ответ: – 0,5
Решите самостоятельно:
Посмотреть решение
Посмотреть решение
В треугольнике ABC угол C равен 900, косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите sin A.
Углы ВАС и BAD смежные, значит:
В данной задаче можем найти косинус угла ВАС, а затем используя основное тригонометрическое тождество синус этого угла.
По свойству косинуса (используем формулу приведения):
Значит
Найдём sin BAC. Из основного тригонометрического тождества получим:
Ответ: 0,9
В треугольнике ABC угол C равен 900, тангенс внешнего угла при вершине A равен –2/9. Найдите tg = B.
Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что tg ABC = ctg BAC.
Найдём ctg BAC. Известно, что tg BAC ∙ ctg BAC = 1, значит
Тангенс угла ВАС найти не сложно. Углы BAC и BAD смежные. Это значит, что
По свойству тангенса:
Значит
Таким образом:
Ответ: 4,5
В треугольнике ABC угол C равен 900, косинус внешнего угла при вершине A равен – 0,7; АВ = 20. Найдите AC.
Найти АС мы сможем, если нам будет известен косинус угла ВАС. Так как по определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
Найдём косинус. По его свойству:
*Использовали формулу приведения.
Значит
Таким образом:
Ответ: 14
Решите самостоятельно:
Посмотреть решение
Посмотреть решение
Посмотреть решение
Посмотреть решение
В треугольнике ABC АС = ВС, АВ = 12, тангенс внешнего угла при вершине A равен . Найдите AC.
Построим высоту CH.
Найдём тангенс внутреннего угла. По свойству тангенса:
Сторона АС является гипотенузой в прямоугольном треугольнике АСН. В этом треугольнике зная тангенс острого угла и один катет мы без труда можем найти второй катет.
Высота проведённая к основанию равнобедренного треугольника является медианой, то есть АН = ВН, a АВ = 2АН:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH: по определению тангенса в прямоугольном треугольнике:
Следовательно:
В прямоугольном треугольнике нам известны катеты АН и СН.
По теореме Пифагора мы можем найти гипотенузу АС:
Таким образом, АС = 9.
Ответ: 9
Решите самостоятельно:
Посмотреть решение
В будущем будем рассматривать другие задачи, не пропустите! Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Как найти синус внешнего угла?
Синусы углов необходимо бывает вычислять не только в прямоугольном треугольнике, но и в любом другом. Для этого нужно провести высоту треугольника (перпендикуляр к одной из сторон, опущенный из противоположного угла) и решать задачу как для прямоугольного треугольника, используя в качестве одного из катетов высоту.
Как находить синус внешнего угла треугольника
Сначала нужно понять, что такое внешний угол. У нас есть произвольный треугольник АВС. Если одну из сторон, например, АС, продолжить за пределы угла ВАС и нарисовать луч АО, то новый угол ОАВ будет внешним. Вот его синус мы и будем искать.
Для решения задачи нам нужно из угла АВС опустить перпендикуляр ВН на сторону АС. Это будет высота треугольника. Ход решения задачи будет зависеть от того, что нам известно.
Самый простой вариант — если известен угол ВАС. Тогда задача решается предельно легко. Поскольку луч ОС – прямая, то угол ОАС=180°. Значит, угол ОАВ и ВАС – смежные, а синусы смежных углов равны по величине.
Рассмотрим другую задачу: в произвольном треугольнике АВС известна сторона: AB=a и высота ВН=h. Нужно найти синус угла ОАС. Поскольку у нас теперь получился прямоугольный треугольник АВН, синус угла АВН будет равен отношению катета ВН к гипотенузе АВ:
Это тоже просто. Более сложная задача, если известна высота h и стороны AC=c, ВС=b, при этом нужно найти синус угла ОАВ.
По теореме Пифагора находим катет СН треугольника ВСН:
BC² = BH² + CH² b² = h² + CH²,
CH² = b² — h², CH = √( b² — h²).
Отсюда можно найти отрезок АН стороны АС:
AH = AC — CH = c — √( b² — h²).
Теперь опять используем теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону АВ треугольника АВН:
AB² = BH² + AH² = h² + (c — √( b² — h²))².
Синус угла ВАС равен отношению высоты ВН треугольника к стороне АВ:
sinBAC = BH/AH = h/( c — √( b² — h²)).
Поскольку углы ОАВ и ВАС
elhow.ru
Найдите синус внешнего угла треугольника
27359. Найдите синус внешнего угла треугольника АВС при вершине А, угол С равен 900, sin A=0,1.
Углы ∠ВАС и ∠ВАD смежные, значит
По свойству синуса:
Ответ: 0,1
27445. В треугольнике АВС угол С равен 900, угол А равен 300. Найдите синус угла BAD.
Углы BAD и BAC смежные, значит ∠ВАD=1800–300=1500.
Известно, что значения синусов смежных углов равны, то есть:
sin BAD=sin BAC = sin 300=0,5
Ответ: 0,5
27378. В треугольнике АВС угол С равен 900, АВ=25, ВС=20. Найдите косинус внешнего угла при вершине А.
Углы ∠ВАС и ∠BAD смежные. Это значит, что
По свойству косинуса cos BAD=cos (1800–∠ВАС)=–cos ВАС.
Найдём cos ВАС Для этого найдём сторону АС. По теореме Пифагора:
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
Таким образом, cos BAD = – cos BAС = –0,6.
Ответ: –0,6
27381. В треугольнике АВС угол С равен 900, АВ=8, АС=4. Найдите косинус внешнего угла при вершине А.
Углы ∠ВАС и ∠ВАD и смежные. Это значит, что
По свойству косинуса cos BAD = cos (1800–∠ВАС)=–cos ВАС. Найдём cos BAC. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
Таким образом, cos BAD=–cos BAС=–0,5. Косинус внешнего угла при вершине A равен –0,5.
косинусов, тангенсов углов в прямоугольном треугольнике (статьи 1 и 2 ), то задачи, которые мы сегодня будем разбирать, не покажутся вам сложными.
Можете заглянуть и сюда, чтобы вспомнить свойства равнобедренного треугольника.
В категорию «Задания №6» входят также задачи следующих типов + показать
Задача 1.
В треугольнике ABC . Внешний угол при вершине B равен . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 2.
В треугольнике ABC угол A равен , угол C равен На продолжении стороны AB отложен отрезок Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 3.
В треугольнике ABC Найдите
Решение: + показать
Задача 4.
В треугольнике Найдите
Решение: + показать
Задача 5.
В треугольнике ABC , AH — высота, Найдите
Решение: + показать
Задача 6.
В треугольнике – высота, Найдите
Решение: + показать
Задача 7.
В треугольнике высота Найдите синус угла
Решение: + показать
, так как треугольник равнобедренный.
Из треугольника
Ответ: 0,4.
Задача 8.
В треугольнике угол равен . Найдите высоту .
Решение: + показать
Задача 9.
В треугольнике ABC Найдите синус внешнего угла при вершине A.
Решение: + показать
Задача 10.
В треугольнике угол равен Найдите .
Решение: + показать
Если мы проведем медиану , то она будет и высотой, и биссектрисой для треугольника
По определению синуса для угла имеем:
Значит
Ответ: 6.
Устали? Хотите немного посмеяться? + показать
* * *
Сын “нового русского” говорит отцу:
– Папа, ты мне обещал, что если я получу “пять”, то ты мне дашь 11 долларов. Вчера я получил “два”, а сегодня “три”, – итого – “пять”.
– Хорошо, говорит отец, – на тебе один доллар и еще один – итого одиннадцать. Учись дальше, сынок.
Остальное тут.
Вы можете пройти тест по теме «Равнобедренный треугольник. Вычисление углов и длин».
egemaximum.ru
Синус
см. также синус некоторых углов (sin 60, sin 30, sin 45).
Для прямоугольного треугольника ABC синусом (sin) угла A будет соотношение сторон BC и AB.
Синус угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin A = BC / AB
Значение функции синуса угла альфа в прямоугольном треугольнике будет всегда одинаковым для одного и того же угла независимо от размеров сторон треугольника.
Функция синус угла (sin)
СИНУС (sin) – тригонометрическая величина, функция угла, изменяющаяся с изменением угла. «Синус» переводится с латинского как «изгиб», «кривизна».
Двигая подвижный радиус по полному кругу против часовой стрелки, получаем положительные углы от 0° до 360°.
Двигая подвижный радиус по полному кругу по часовой стрелке, получаются отрицательные углы, соответственно от 0° до -360°.
В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а остальные стороны – катетами.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике есть отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Рассмотрим на окружности изменения функции синуса острого угла, построив на неподвижной стороне угла (ОА) катет прямоугольного треугольника (ОС), у которого гипотенузой будет подвижный радиус (ОВ) (Рис. 1).
По определению синуса угла: sin a=ВС / ОВ .
Для единичной окружности, где ОВ = 1, это длина отрезка ВС. Следовательно, синус угла – это величина проекции подвижного отрезка ОВ на ось у.
Рассмотрим изменения функции sin α (отрезка ВС) при движении подвижного радиуса по окружности и увеличении угла. Пределы изменения синуса угла будем определять по квадрантам.
В I квадранте ( ВС ):
при α = 0º sin α = 0;
при 0º < α < 90º 0 < sin α < 1;
при α = 90º sin α = 1.
Во II квадранте ( В1С1 ):
при α = 90º sin α = 1;
при 90º < α < 180º 1 > sin α > 0;
при α = 180º sin α = 0.
За пройденный первый полукруг sin α изменился от 0 до 0, а наибольшее его значение, равное 1, совпадает с длиной радиуса на положительной полуоси у.
Второй полукруг движения подвижного радиуса можно рассматривать как положительное направление (при движении ОВ дальше против часовой стрелки) и как отрицательное направление (если ОВ вращать по часовой стрелке). Рассмотрим только положительное направление.
В III квадранте ( В2С2 ):
при α = 180º sin α = 0;
при 180º < α < 270º 0 > sin α > -1;
при α = 270º sin α = -1;
В IV квадранте ( В3С3 ):
при α = 270º sin α = -1;
при 270º < α < 360º -1 < sin α < 0;
при α = 360º sin α = 0.
За пройденный второй полукруг sin α изменился от 0 до 0, а наименьшее его значение, равное -1, совпадает с длиной радиуса, но отрицательной полуоси у.
За весь оборот подвижного радиуса ОВ, от совпадения с ОА до второго их совпадения, угол численно изменился от 0º до 360º, а численное значение синуса угла изменялось в пределах от 1 до -1.
см. также — таблица значений основных углов тригонометрических функций.
GlobalLabГлобальная школьная лаборатория Присоединиться С чего начать?
Идеи
Проекты
Курсы
Сообщество
Участники
Группы
Новости
Новости
Блог тьютора
Беседа с профессионалом
Scholāris GlobalLabis
Участнику
О ГлобалЛаб
Справочник
Календарь
Конкурсы и события
Бонусная программа
Педагогу
Родителю
Магазин
Магазин
Купить подписку
Активировать по номеру
Вход на сайт
Мой профиль
Мои награды
Моё портфолио
Мои черновики
Мои проекты
Мои группы
Редактировать профиль
Мои сообщения
Выход
ru
globallab.org
Графы. Применение графов к решению задач
Разделы: Внеклассная работа
1. Методические рекомендации к теме
“Графы”.
Понятие графа целесообразно вводить после
того, как разобрано несколько задач, подобных
задаче 1, решающее соображение в которых –
графическое представление. Важно, чтобы ученики
сразу осознали, что один и тот же граф может быть
нарисован разными способами. Строгое
определение графа, на мой взгляд, давать не нужно,
т.к. оно слишком громоздко и это только затруднит
обсуждение. На первых порах хватит и
интуитивного понятия. При обсуждении понятия
изоморфизма можно решить несколько упражнений
на определение изоморфных и неизоморфных графов.
Одно из центральных мест темы – теорема о
четности числа нечетных вершин. Важно, чтобы
ученики до конца разобрались в ее доказательстве
и научились применять к решению задач. При
разборе нескольких задач рекомендую не
ссылаться на теорему, а фактически повторять ее
доказательство. Чрезвычайно важно также понятие
связности графа. Содержательным соображением
здесь является рассмотрение компоненты
связности, на это необходимо обратить особое
внимание. Эйлеровы графы – тема почти игровая.
Первая и главная цель, которую нужно
преследовать при изучении графов, –научить
школьников видеть граф в условии задачи и
грамотно переводить условие на язык теории
графов. Не стоят рассказывать обе всем на
нескольких занятиях подряд. Лучше разнести
занятия по времени на 2–3 учебных года. (Прилагается
разработка занятия “Понятие графа. Применение
графов к решению задач” в 6 классе).
2. Теоретический материал к теме
“Графы”.
Введение
Графы – замечательные математические объекты,
с их помощью можно решать очень много различных,
внешне не похожих друг на друга задач. В
математике существует целый раздел – теория
графов, который изучает графы, их свойства и
применение. Мы же обсудим только самые основные
понятия, свойства графов и некоторые способы
решения задач.
Понятие графа
Рассмотрим две задачи.
Задача 1. Между девятью планетами
солнечной системы установлено космическое
сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим
маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера;
Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий –
Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн –
Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли
долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?
Решение: Нарисуем схему условия: планеты
изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.
Теперь сразу видно, что долететь с Земли до
Марса нельзя.
Задача 2. Доска имеет форму двойного
креста, который получается, если из квадрата 4×4
убрать угловые клетки.
Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и
вернуться на исходную клетку, побывав на всех
клетках ровно по одному разу ?
Решение: Занумеруем последовательно
клетки доски:
А теперь с помощью рисунка покажем, что такой
обход таблицы, как указано в условии, возможен:
Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако
решения этих двух задач объединяет общая идея –
графическое представление решения. При этом и
картинки, нарисованные для каждой задачи,
оказались похожими: каждая картинка – это
несколько точек, некоторые из которых соединены
линиями.
Такие картинки и называются графами. Точки
при этом называются вершинами, а линии – ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого
вида будет называться графом. Например. если вас
попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то
такой рисунок графом не будет. Будем называть что
рисунок такого вида, как в предыдущих задачах,
графом, если есть какая-то конкретная задача для
которой такой рисунок построен.
Другое замечание касается вида графа.
Попробуйте проверить, что граф для одной и той же
задачи можно нарисовать разными способами; и
наоборот для разных задач можно нарисовать
одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то,
какие вершины соединены друг с другом, а какие –
нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать
по-другому:
Такие одинаковые, но по-разному нарисованные
графы, называются изоморфными.
Степени вершин и подсчет числа ребер графа
Запишем еще одно определение: Степенью вершины
графа называется количество выходящих из нее
ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную
степень, называется четной вершиной,
соответственно, вершина, имеющая нечетную
степень, называется нечетной вершиной.
С понятием степени вершины связана одна из
основных теорем теории графов –теорема о
честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы
немного позднее, а сначала для иллюстрации
рассмотрим задачу.
Задача 3. В городе Маленьком 15
телефонов. Можно ли их соединить проводами так,
чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью
другими ?
Решение: Допустим, что такое соединение
телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в
котором вершины обозначают телефоны, а ребра –
провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько
всего получится проводов. К каждому телефону
подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой
вершины нашего графа – 5. Чтобы найти число
проводов, надо просуммировать степени всех
вершин графа и полученный результат разделить на
2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при
суммировании степеней каждый провод будет взят 2
раза). Но тогда количество проводов получится
разным . Но это число не
целое. Значит наше предположение о том, что можно
соединить каждый телефон ровно с пятью другими,
оказалось неверным.
Ответ. Соединить телефоны таким образом
невозможно.
Теорема: Любой граф содержит четное
число нечетных вершин.
Доказательство: Количество ребер графа
равно половине суммы степеней его вершин. Так как
количество ребер должно быть целым числом, то
сумма степеней вершин должна быть четной. А это
возможно только в том случае, если граф содержит
четное число нечетных вершин.
Связность графа
Есть еще одно важное понятие, относящееся к
графам – понятие связности.
Граф называется связным, если из любые две
его вершины можно соединить путем, т.е.
непрерывной последовательностью ребер.
Существует целый ряд задач, решение которых
основано на понятии связности графа.
Задача 4. В стране Семерка 15 городов,
каждый из городов соединен дорогами не менее, чем
с семью другими. Докажите, что из каждого города
модно добраться в любой другой.
Доказательство: Рассмотрим два
произвольных А и В города и допустим, что между
ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не
менее, чем с семью другими, причем нет такого
города, который был бы соединен с обоими
рассматриваемыми городами (в противном случае
существовал бы путь из A в B). Нарисуем часть графа,
соответствующую этим городам:
Теперь явно видно, что мы получили не менее
различных 16 городов, что противоречит условию
задачи. Значит утверждение доказано от
противного.
Если принять во внимание предыдущее
определение, то утверждение задачи можно
переформулировать и по-другому: “Доказать, что
граф дорог страны Семерка связен.”
Теперь вы знаете, как выглядит связный граф.
Несвязный граф имеет вид нескольких “кусков”,
каждый из которых – либо отдельная вершина без
ребер, либо связный граф. Пример несвязного графа
вы видите на рисунке:
Каждый такой отдельный кусок называется компонентой
связности графа. Каждая компонента связности
представляет собой связный граф и для нее
выполняются все утверждения, которые мы доказали
для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в
которой используется компонента связности:
Задача 5. В Тридевятом царстве только
один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы
выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а
из всех остальных городов, – по 20. Докажите, что
из столицы можно долететь в город Дальний.
Доказательство: Понятно, что если
нарисовать граф ковролиний Царства, то он может
быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности,
которая включает в себя столицу Царства. Из
столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других
городов, кроме города Дальний – по 20, поэтому,
чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных
вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в
эту же самую компоненту связности. А так как
компонента связности – связный граф, то из
столицы существует путь по ковролиниям до города
Дальний, что и требовалось доказать.
Графы Эйлера
Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых
требуется нарисовать какую-либо фигуру не
отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую
линию только один раз. Оказывается, что такая
задача не всегда разрешима, т.е. существуют
фигуры, которые указанным способом нарисовать
нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также
входит в теорию графов. Впервые его исследовал в
1736 году великий немецкий математик Леонард
Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах.
Поэтому графы, которые можно нарисовать
указанным способом, называются Эйлеровыми
графами.
Задача 6. Можно ли нарисовать
изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш
от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз ?
Решение. Если мы будем рисовать граф так,
как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме
начальной и конечной, мы войдем столько же раз,
сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа,
кроме двух должны быть четными. В нашем же графе
имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя
нарисовать указанным в условии способом.
Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:
Теорема: Эйлеров граф должен иметь не
более двух нечетных вершин.
И в заключение – задача о Кенигсбергских
мостах.
Задача 7. На рисунке изображена схема
мостов города Кенигсберга.
Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти
по каждому мосту ровно 1 раз?
3. Задачи к теме “Графы”
Понятие графа.
1. На квадратной доске 3×3 расставлены 4 коня так,
как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько
ходов конями, переставить их в положение,
показанное на рис.2?
Рис. 1
Рис. 2
Решение. Занумеруем клетки доски, как
показано на рисунке:
Каждой клетке поставим в соответствие точку на
плоскости и, если из одной клетки можно попасть в
другую ходом шахматного коня, то соответствующие
точки соединим линией. Исходная и требуемая
расстановки коней показаны на рисунках:
При любой последовательности ходов конями
порядок их следования, очевидно, измениться не
может. Поэтому переставить коней требуемым
образом невозможно.
2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два
города соединены авиалинией в том и только в том
случае, если двузначное число, образованное
названиями городов, делится на 3. Можно ли
долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?
Решение. Поставив в соответствие каждому
городу точку и соединив точки линией, если сумма
цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3,
5, 9 связаны между собой, но не связаны с
остальными. Значит долететь из города 1 в город 9
нельзя.
Степени вершин и подсчет числа ребер.
3. В государстве 100 городов к из каждого города
выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в
государстве.
Решение. Подсчитаем общее количество
выходящих городов дорог – 100 . 4 =
400. Однако при таком подсчете каждая дорога
посчитана 2 раза – она выходит из одного города и
входит в другой. Значит всего дорог в два раза
меньше, т.е. 200.
4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9
человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5
друзей ?
Ответ. Нет (теорема о четности числа
нечетных вершин).
5. У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так,
что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей ?
Ответ. Нет, не может.
6. Может ли в государстве, в котором из каждого
города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?
Решение. Подсчитаем число городов. Число
дорог равно числу городов х, умноженному на 3
(число выходящих из каждого города дорог) и
разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 =>
Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит
100 дорог в таком государстве быть не может.
7. Докажите, что число людей, живших когда-либо
на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий,
четно.
Доказательство непосредственно следует из
теоремы о четности числа нечетных вершин графа.
Связность.
8. В стране из каждого города выходит 100 дорог и
из каждого города можно добраться до любого
другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите,
что и теперь из любого города можно добраться до
любого другого.
Доказательство. Рассмотрим компоненту
связности, в которую входит один из городов,
дорогу между которыми закрыли. По теореме о
четности числа нечетных вершин в нее входит и
второй город. А значит по-прежнему можно найти
маршрут и добраться из одного из этих городов в
другой.
Графы Эйлера.
9. Имеется группа островов, соединенных мостами
так, что от каждого острова можно добраться до
любого другого. Турист обошел все острова, пройдя
по каждому мосту розно 1 раз. На острове
Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов
ведет с Троекратного, если турист
а) не с него начал и не на нем закончил? б) с него начал, но не на нем закончил? в) с него начал и на нем закончил?
10. На рисунке изображен парк, разделенный на
несколько частей заборами. Можно ли прогуляться
по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть
через каждый забор розно 1 раз?
6.03.2007
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Графы, примеры и задачи
ГРАФЫ
Графы
возникли в восемнадцатом столетии,
когда известный математик, Леонард
Эйлер, пытался решить теперь уже
классическую задачу о Кенигсбергских
мостах. В то время в городе Кенигсбергебыло два
oстровa, соединенных семью мостами с
берегами реки Преголь и друг с другом
так, как показано на рис. 7.1.
3адача состоит
в следующем: осуществить прогулку по
городу таким образом, чтобы, пройдя
ровно по одному разу по каждому мосту,
вернуться в то же место, откуда начиналась
прогулка. Решая эту задачу, Эйлер
изобразил Кенигсберг в виде графа,
отождествив его вершины с частями
города, а ребра — с мостами, которыми
связаны эти части. Как мы покажем в §
7.1, Эйлеру
удалось доказать, что искомого маршрута
обхода города не существует.
Рисунок 7.1. Схема
старого Кенигсберга
В этой главе мы
вводим стандартную терминологию,
используемую в теории графов, и разбираем
несколько конкретных задач решаемых
с помощью графов. В частности,
мы познакомимся с классом графов,
называемых деревьями. Деревья –
естественная модель, представляющая
данные, организованные в иерархичную
систему. Поиск по дереву для выделения
отдельных предметов и сортировка данных
в дереве представляет собой важные
точки приложения усилий в информатике.
В приложении к этой главе мы займемся
сортировкой и поиском данных, организованных
в деревья.
Графы и терминология
На рис. 7.1 изображены
семь мостов Кенигсберга так. как они
были расположены в восемнадцатом
столетии. В
задаче, к
которой
oбpaтился
Эйлер, спрашивается: можно ли найти
маршрут прогулки, который проходит
ровно один раз по каждому из мостов и
начинается и заканчивается в одном и
том же месте города?
Модель задачи —
это граф, состоящий
из множества вершин и множества ребер, соединяющих
вершины. Вершины А,
В, С
и Dсимволизируют
берега реки и острова, а ребра а,в, c,d,fи g обозначают
семь мостов (см. рис. 7.2).
Искомый маршрут
(если он
существует) соответствует обходу ребер
графа таким образом, что каждое из них
проходится только один раз. Проход
ребра, очевидно, соответствует пересечению
реки по мосту.
Рисунок 7.2.
Модель задачи
о мостах Кенигсберга
Граф, в котором
найдется маршрут, найдется маршрут,
начинающийся и заканчивающийся в
одной вершине, и проходящий по всем
ребрам графа ровно один раз, называется зйлеровым
графом. Последовательность
вершин (может быть и с повторениями),
через которые проходит искомый
маршрут, как и сам маршрут, называется эйлеровымциклом.
Эйлер заметил, что если в графе есть
эйлеров цикл, то для каждого ребра,
ведущего в какую-то вершину, должно
найтись другое ребро, выходящее из этой
вершины1,
и получил из этого простого наблюдсния
такой вывод: если в данном графе существует
эйлеров цикл, то к каждой вершине должно
подходить четное число ребер.
Кроме того, Эйлеру
удалось доказать и противоположное
утверждение, так что граф, в котором
любая пара вершин связана некоторой
последовательностью ребер, является
Эйлеровым тогда и только тогда, когда
все его вершины имеют четную степень. Степенью вершины vназывается
число δ(v)ребер, ей инцидентных2 .
Теперь совершенно
очевидно, что в графе, моделирующем
задачу о мостах Кенигсберга, эйлерова
цикла найти нельзя. Действительно,
степени всех его вершин нечетны: δ(B) = δ(С) = δ(D)
= 3
и δ(A) = 5.
С легкой руки Эйлера графы, подобные
тому, который мы исследовали при решении
задачи о мостах, стали использовать
при решении многих практических задач,
а их изучение выросло в значительную
область математики.
Простой граф определяется
как пара G = (V, Е), где
V
— конечное
множество вершин, а Е — конечное
множество ребер, причем не может
содержать петель (ребер,
начинающихся и заканчивающихся в
одной вершине) и кратных
ребер (кратными
называются несколько ребер, соединяющих
одну и ту же пару вершин). Граф, изображенный
на рис. 7.2. не является простым, поскольку,
например, вершины А и В соединяются
двумя ребрами (как раз эти ребра и
называются кратными).
Две вершины uи v в простом
графе называются смежными,
если они
соединяются каким-то ребром е,
про которое говорят, что оно инцидентно вершине u(и v). Таким образом,
мы можем представлять себе множество Е ребер
как множество пар смежных вершин,
определяя тем самым нерефлексивное,
симметричное отношение на множестве V. Отсутствие
рефлексивности связано с тем, что в
простом графе нет петель, т. е. ребер,
оба конца которых находятся в одной
вершине. Симметричность же отношения
вытекает из того факта, что ребро е,
соединяющее вершину и с v, соединяет
и v с и (иначе
говоря, ребра не ориентированы, т. е. не
имеют направления). Единственное ребро
простого графа, соединяющее пару вершин uи v, мы будем
обозначать как иv (или vи).
Логическая матрица
отношения на множестве вершин графа,
котopoe задается его ребрами, называется ,матрицей
смежности. Симметричность отношения
в терминах матрицы смежности М
означает,
что Мсимметрична
относительно главной диагонали. А из-за
нерефлексивности этого отношения на
главной диагонали матрицы Мстоит символ
«Л».
Пример 7.1.
Нарисуйте граф
G(V, Е)с множеством
вершин V
= {а, Ь,
с, d,
е} и множеством
ребер E= {ab,
ae,
bc,
bd,
ce,
de}.
Выпишите его
матрицу смежности.
Решение. Граф G
показан на рис. 7.3.
Рисунок 7.3.
Его матрица
смежности имеет вид:
Для восстановления
графа нам достаточно только тех элементов
матрицы смежности, которые стоят над
главной диагональю.
Подграфом графа
G
= (V,
E)
называется граф G’
= (V’,
E’),
в котором E’
C
E
и V’
C
V.
Пример 7.2 Найдите
среди графиков H,
K
и L,
изображенных на рис. 7.4, подграфы графа
G.
Решение. Обозначим
вершины графов G,
H
и K
как показано на рис. 7.5. Графы H
и K
– подграфы в G,
как видно из наших обозначений. Граф L
не является подграфом в G,
поскольку у него есть вершина индекса
4, а у графа G
такой нет.
Маршрутом длины kв графе G
называется такая последовательность
вершин v0 , v1 , …, vk ,что для
каждого i
= 1, …, k
пара vi – 1 vi образует
ребро графа. Мы будем обозначать такой
маршрут через v0 v1 … vk .Например 1
4 3 2 5 – это маршрут длины 4 в графе G
из примера 7.2.
GH
KL
Рисунок
7.4.
Циклом в
графе принято называть последовательность
вершин v0 , v1 , … , vk ,каждая пара
которых является концами одного ребра,
причем v0 = v1, а остальные
вершины ( и ребра) не повторяются. Иными
словами, цикл – это замкнутый маршрут,
проходящий через каждую свою вершину
и ребро только один раз
G
H
K
1
2 1 2
3
1
2
4
5 4 3 4
5
Рисунок
7.5
Пример 7.3. Найдите
циклы в графе G
из примера 7.2.
Решение. В
этом графе есть два разных цикла длины
5:
1
3 2 5 4 1 и 1 2 5 4 3 1
Мы можем пройти
эти циклы как в одном направлении так
и в другом, начиная с произвольной
вершины цикла. Кроме того, в графе есть
три разных цикла длины 4:
1 2 5 4 1,
1 2 3 4 1 и 2 5 4 3 2,
и два цикла длины
3:
1
2 3 1 и 1 3 4 1.
Граф, в котором
нет циклов, называется ацикличным. Структуры деревьев, которые возникают
в вычислениях , представляют собой
частный случай ацикличных графов. Позже
в этой главе мы ими займемся.
Граф, называют связным, если
любую пару его вершин соединяет какой
– нибудь маршрут. Любой общий граф можно
разбить на подграфы, каждый из которых
окажется связным. Минимальное число
таких связных компонент называется числом связности графа
и обозначается через c(G).
Вопросы связности имеют важное значение
в приложениях теории графов к компьютерным
сетям. Следующий алгоритм применяется
для определения числа связности графа.
Алгоритм
связности.
Пусть G
= (V,
E)
– граф. Алгоритм предназначен для
вычисления значения c = c(G), т.е. числа
компонент связности данного графа G.
begin
V’
:=V;
c:=0;
while V’≠
ø do
begin
Выбрать
y
Є V’
Найти
вершины, соединяющие маршрутом с у;
Удалить
вершину у из V’
и
соответствующие
ребра из Е;
c:=c+1;
end
end
Пример 7.4. Проследите
за работой алгоритма связности на графе,
изображенном на рис. 7.6.
1 5
2 6
3 7
8
4
Рисунок 7.6.
Решение. Смотри
табл. 7.1.
Таблица 7.1.
V’
c
Исходные
значения
{1,2,3,4,5,6,7,8}
0
Выбор
у = 1
{2,4,5,7}
1
Выбор
у = 2
{7}
2
Выбор
у = 7
ø
3
Итак, c(G)
= 3.
Соответствующие компоненты связности
приведены на рис. 7.7.
5
1
6 2
3
8
4
Рисунок
7.7.
Гамильтоновы
графы
Мы начали эту главу
с изучения эйлеровых графов, обладающих
замкнутым маршрутом, который проходит
по всем ребрам графа ровно один раз.
Похожая задача состоит в поиске цикла,
проходящего через каждую вершину графа
в точности один раз. Такой цикл, если он
существует, называется гамильтоновым,
а соответствующий граф – гамильтоновым
графом.
Гамильтоновы графы
служат моделью при составлении расписания
движения поездов, для телекоммуникационных
сетей и т.д. В отличие от задачи Эйлера,
простого критерия гомильтоновости
графа пока не известно. Поиск хорошего
критерия остается одной из главных
нерешенных задач теории графов.
Полный граф К5 изображен на рис. 7.8. Его цикл abcdea,
очевидно, является гамильтоновым. В нем
есть и другие гамильтоновы циклы.
Поскольку каждая вершина смежна с
остальными, то начиная с вершины а,
в качестве второй вершины цикла мы можем
выбрать любую из четырех оставшихся.
Далее у нас будет три варианта для выбора
третьей вершины и два для четвертой,
после чего мы вернемся в вершину а. Таким образом,
у нас есть 4 · 3 · 2 = 24 цикла. Поскольку
каждый цикл можно проходить как в одном
направлении, так и в другом, то реально
в графе К5 есть только 12 разных гамильтоновых
циклов1.
b
a c
e
d
Рисунок 7.8. Полный
граф К5
Поиск гамильтонова
цикла (если он существует) в произвольном
(связном) графе – задача далеко не всегда
простая. Ответ на вопрос о гамильтоновости
графа может оказаться довольно трудоемким.
Пример 7.5. Покажите
что граф, изображенный на рис. 7.9, не
является гамильтоновым.
b
a c
Рисунок 7.9. Пример
не гамильтонова графа
Решение. Предположим,
что в связном графе найдется гамильтонов
цикл. Каждая вершина vвключается
в гамильтонов цикл С выбором
двух инцидентных с ней ребер, а значит,
степень каждой вершины в гамильтоновом
цикле (после удаления лишних ребер)
равна 2. Степени вершин данного графа
— 2 или 3. вершины степени 2 входят в цикл
вместе с обоими инцидентными с ними
ребрами. Следовательно, ребра ab, ae, cd, cb, hi, hgиij в том или
ином порядке входят в гамильтонов цикл С (см.
рис. 7.10.).
Ребро bfне может
быть часть цикла С,
поскольку каждая вершина такого цикла
должна иметь степень 2. Значит, ребра fiи fg обязаны входить в цикл С,
чтобы включить в него вершину f. Но тогда ребра jeиgdникак не
могут принадлежать циклу С,
поскольку в противном случае в нем
появятся вершины степени три. Это
вынуждает нас включить в цикл ребро ed,
что приводит нас к противоречию: ребра,
которые мы были вынуждены выбрать,
образуют два несвязных цикла, а не один,
существование которого мы предполагали.
Вывод: граф, изображенный на рисунке
7.10, не является гамильтоновым.
Гамильтоновы графы
применяются для моделирования многих
практических задач. Основой всех таких
задач служит классическая задача
коммивояжера.
Коммивояжер
должен совершить поездку по городам и
вернуться обратно, побыв в каждом городе
ровно один раз, сведя при этом затраты
на передвижение к минимуму.
b
f
a
c
h
i
j
g
e
d
Рисунок 7.10. Ребра
входящие в гамильтонов цикл С
Графическая модель
задачи коммивояжера состоит из
гамильтонова графа, вершины которого
изображают города, а ребра связывающие
их дороги. Кроме того, каждое ребро
оснащено весом, обозначающим транспортные
затраты, необходимые для путешествия
по соответствующей дороге, такие, как,
например, расстояние между городами
или время движения по дороге2.
Для решения задачи нам необходимо найти
гамильтонов цикл минимального общего
веса.
К сожалению,
эффективный алгоритм решения данной
задачи пока не известен. Для сложных
сетей число гамильтоновых циклов,
которые необходимо просмотреть для
выделения минимального, непомерно
огромно. Однако существуют алгоритмы
поиска субоптимального
решения. Субоптимальное
решение необязательно даст цикл
минимального общего веса, но найденный
цикл будет, как правило, значительно
меньшего веса, чем большинство произвольных
гамильтоновых циклов! Один из таких
алгоритмов мы сейчас и изучим.
Алгоритм
ближайшего соседа.
Этот алгоритм
выдает субоптимальное решение задачи
коммивояжера, генерируя гамильтоновы
циклы в нагруженном графе с множеством
вершин V.
Цикл, полученный в результате работы
алгоритма, будет совпадать с конечным
значением переменной маршрут, а его общая
длина – конечное значение переменной w.
begin
Выбрать v Є V;
маршрут:= v;
w:=0;
v‘:=v;
Отметить v‘:
whileостаются
неотмеченными вершины do
begin
Выбрать
неотмеченную вершину u,
ближайшую
к v’;
маршрут:=маршрут u;
w:=w+вес
ребра v’u;
v’:=u;
Отметить v’;
end
маршрут:=
маршрут v;
w:=w+вес
ребра v’u;
end
Пример 7.6. Примените
алгоритм ближайшего соседа к графу,
изображенному на рисунке 7.11. За исходную
вершину возьмите вершину D.
A B
6
10
C D
3
Рисунок 7.11.
Решение. Смотрите
табл.7.2
Таблица 7.2
u
маршрут
w
v’
Исходные
значения
—
D
0
D
C
DC
3
C
A
DCA
9
A
B
DCAB
14
B
Последний
проход
B
DCABD
24
B
В результате работы
алгоритма был найден гамильтонов цикл
DCABD
общего веса 24. Делая полный перебор всех
циклов в этом маленьком графе, можно
обнаружить еще два других гамильтоновых
цикла: ABCDA
общего веса 23 и ACBDA
общего веса 31. В полном графе с двадцатью
вершинами существует приблизительно
6,1 · 1016 гамильтоновых циклов, перечисление
которых требует чрезвычайно много
машинной памяти и времени.
Деревья
Как уже упоминалось, есть класс графов,
называемых деревьями, которые особенно
интенсивно используются в вычислительных
приложениях. Граф G= (V,E)называется деревом,
если он связен и ацикличен(т.е. не содержит
циклов).
Пусть G= (V,E) – граф сnвершинами иmребрами.
Можно сформулировать несколько
необходимых и достаточных условий, при
которыхGявляется деревом:
Любая пара вершин в Gсоединена единственным путем.
Gсвязен иm = n – 1.
Gсвязен, а удаление хотя
бы одного его ребра нарушает связность
графа.
Gацикличен, но если
добавить хотя бы одно ребро, то вGпоявится цикл.
Эквивалентность большинства из этих
условий устанавливается без особого
труда. Наиболее сложно разобраться со
вторым из них. В следующем примере мы
докажем, что дерево с nвершинами имеет ровноn – 1 ребро.
Пример 7.7. Докажите с помощью индукции
по числу вершин, что для дереваTсnвершинами иmребрами выполнено соотношение:m = n – 1.
Решение. Поскольку дерево с
единственной вершиной вообще не содержит
ребер, то доказываемое утверждение
справедливо приn=
1.
Рассмотрим дерево Тсnвершинами (иmребрами),
гдеn > 1и
предположим, что любое дерево сk < nвершинами
имеет ровноk–
1 ребро.
Удалим ребро из Т. По третьему
свойству деревоТпосле этой процедуры
превратится в несвязный граф. Получится
ровно две компоненты связности, ни одна
из которых не имеет циклов (в противном
случае исходный графТтоже содержал
бы циклы и не мог бы быть деревом). Таким
образом, полученные компоненты связности
– тоже деревья.
Обозначим новые деревья Т1иТ2. Пустьn1– количество вершин у дереваТ1 , аn2–yT2. Посколькуn1 + n2 = n, то n1 <
n и n2 < n.
По предположению индукции дерево Т1имеетn1– 1 ребро, аТ2 – n2– 1. Следовательно, исходное деревоТнасчитывало ( с учетом одного удаленного)
(n1 – 1) + (n2– 1) + 1 =n– 1 ребро, что
и требовалось доказать.
Несложно доказать, что в любом связном
графе найдется подграф, являющийся
деревом. Подграф в G, являющийся деревом и включающий в
себя все вершиныG,
называетсяостовным деревом. Остовное
дерево в графеGстроится
просто: выбираем произвольное его ребро
и последовательно добавляем другие
ребра, не создавая при этом циклов, до
тех пор, пока нельзя будет добавить
никакого ребра, не получив при этом
цикла. Благодаря примеру 7.7, мы знаем,
что для построения остовного дерева в
графе изnвершин
необходимо выбрать ровноn– 1 ребро.
Пример 7.8. Найдите два разных остовных
дерева в граве, изображенном на рис.
7.12.
Рисунок 7.12. Связный
граф G
Решение. В
этом графе существует несколько остовных
деревьев. Одно из них получается
последовательным выбором ребер: a, b, d, и f. Другое – b, c, eиg. Названные
деревья показаны на рисунке 7.13.
Процесс, описанный
в примере 7.8, можно приспособить для
решения задачи кратчайшего соединения:
Нужно построить
железную сеть, связывающую некоторое
число городов. Известна стоимость
строительства отрезка путей между любой
парой городов. Требуется найти сеть
минимальной стоимости.
На языке теории
графов нам нужно в нагруженном графе
найти остовное дерево наименьшего
общего веса. Такое дерево принято
называть минимальным
остовным деревом или, сокращенно МОД.
В отличие от задачи коммивояжера, здесь
есть эффективный алгоритм, находящий
действительно минимальное остовное
дерево. Он похож на алгоритм Прима.
Рисунок 7.13. Остовные
деревья графа G
Алгоритм поиска
минимального остовного дерева. Пусть G = (V, E) – связной взвешенный граф. Алгоритм
строит МОД в графе G,
последовательно выбирая ребра наименьшего
возможного веса до образования остовного
дерева. МОД в памяти компьютера хранится
в виде множества Т ребер.
begin
e:=ребро
графа G с наименьшим весом;
T:={e};
E’:=E\{e}
while E’
≠ø
begin
e‘:=
ребро из E‘
наименьшего веса;
Т:= Т U {e‘};
E‘
:= множество ребер из E‘
\{T},
чьё
добавление к Т не ведет
к
образованию циклов;
end
end
Пример 7.9. В
таблице 7.3 дано расстояние (в милях)
между пятью деревнями A,
B,
C,
D
и E.
Найдите минимальное остовное дерево.
Таблица
7.3
A
B
C
D
E
A
—
13
3
9
9
B
13
—
11
11
13
C
3
11
—
9
7
D
9
11
9
—
2
E
9
13
7
2
—
Решение. Ребра
выбираются следующим образом: первое
– 1 DE
веса 2; второе – AC
веса 3; третье – СЕ веса 7. на этой ступени
строящееся дерево выглядит так, как на
рис. 7.14
Рисунок 7.14. Вид
дерева после трех шагов
Следующие повесу
ребра – AD,
AE
и CD,
каждое из которых имеет вес 9. Однако
какое бы из них мы не добавили, получится
цикл. Поэтому перечисленные ребра
следует исключить из доступных для
строительства. Далее идут ребра ВС и ВD
веса 11. Можно присоединить любое из них,
получив при этом два разных МОД: {AC,
BC,
CE,
DE}
или {AC,
BD,
CE,
DE}
веса 23 каждое.
Зачастую, нам
хотелось бы иметь деревья, представляющие
собой формацию с учетом естественной
иерархической структуры, такие как,
например, генеалогическое дерево
(рис.7.15). На нем показаны некоторые члены
семьи Бернулли, каждый из которых был
известным швейцарским математиком.
Генеалогическое
дерево можно изобразить и более сжато.
Схема приведенная на рисунке 7.16,
представляет собой пример так называемого
дерева с корнем. Деревом
с корнем называется
дерево с одной выделенной вершиной.
Именно эта выделенная вершина и является корнем дерева. Вершины дерева, лежащие
непосредственно под корнем, называются сыновьями.
С другой стороны, вершина, стоящая
непосредственно перед сыном, называется
ее отцом.
studfiles.net
Применение теории графов к решению задач
Разделы: Начальная школа
Приложение.(Слайд 1).
Графы существуют везде, и даже маленькие дети неожиданно сталкиваются с ними,
когда рисуют или играют. Они встречаются на картах дорог, созвездий, при
построении схем и чертежей. Графы лежат в основе многих компьютерных программ,
которые делают возможными современную коммуникацию и технологические процессы.
Графы способствуют развитию мышления как логического, так и абстрактного.
При решении задач, наверное, не раз приходилось изображать объекты точками,
соединять их отрезками или стрелками, при этом для решения задачи был
использован специальный математический аппарат, а именно была применена теория
графов.
Исторически сложилось так, что теория графов зародилась двести с лишним лет
назад именно в ходе решения головоломок. Первая работа о графах появилась в 1736
году в публикациях Петербургской академии наук. Она принадлежит Леонарду Эйлеру
и связана с решением задачи о кенигсбергских мостах. Вопрос заключался в том,
можно ли совершить прогулку так, чтобы выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя
в точности по одному разу каждый из семи кенигсбергских мостов. (Слайд 2).
Эту задачу можно представить в виде геометрической схемы, на которой точки
изображают части суши, а линии, их соединяющие – мосты. (Слайд 3).
Схема такого вида называется графом. Точки – вершины графа, соединяющие их
линии – ребра.
С теорией графов связаны также задачи на вычерчивание фигуры одним росчерком.
Если степени всех вершин четные, то можно обойти все вершины графа без
повторений, также можно обойти все вершины, если на графе только 2 нечетные
вершины, если же нечетных вершин больше, то обойти все вершины графа не удастся.
В переводе на задачи “одним росчерком” это звучит так: “Если на рисунке все
точки четные, то такой рисунок можно нарисовать одной линией, не отрывая
карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии; если на рисунке 2
нечетные точки (если есть одна нечетная точка, то обязательно есть и вторая), то
такой рисунок также можно нарисовать одним росчерком, причем следует начинать с
одной нечетной точки и заканчивать в другой нечетной точке; если же нечетных
точек больше двух, то нарисовать такой рисунок одним росчерком не удастся.”
Так обвести одной линией рисунок (слайд 4) нельзя, т.к. он содержит
сразу 8 нечетных точек.
Толчок же к развитию теория графов получила на рубеже XIX–XX столетий, когда
резко выросло число работ в области топологии и комбинаторики, с которыми ее
связывают самые тесные узы родства. Как отдельная математическая дисциплина
теория графов была впервые представлена в 30 годы ХХ столетия.
Однако теория графов пока не нашла своего отражения в большинстве учебниках
математики. Отличаясь простотой теоретических сведений, наглядностью и
доступностью, теория графов может с пользой найти отражение на самом раннем
этапе обучения школьников. С помощью этой теории можно решить на доступном для
младших школьников уровне ряд достаточно сложных задач.
Граф представляет собой непустое множество точек и множество отрезков, оба
конца которых принадлежат заданному множеству точек.
При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть
прямолинейными и криволинейными; длины отрезков и расположение точек
произвольны.
Как уже было сказано выше, точки, изображающие элементы множества, называются
вершинами графа; отрезки – ребрами графа. Вершины графа на рисунке выделяют
обычно кружками или квадратиками хотя бы потому, чтобы точки пересечения ребер
не принимались за вершины графа. Обозначают вершины обычно заглавными буквами
русского или латинского алфавитов и иногда числами.
Можно выделить (слайд 5)
неориентированный граф;
граф с цветными ребрами;
ориентированный граф;
граф-дерево или дерево возможностей .
Рассмотрим применение всех этих видов графов к решению задач.
Неориентированные графы. (Слайд 6). В них ребрами являются отрезки
или части кривой линии.
Рассмотрим задачу: “В шахматном турнире участвовали 4 человека. Каждый
спортсмен сыграл со всеми другими участниками соревнований по одному разу.
Сколько всего было сыграно партий?” (Слайд 7). Изобразим участников
турнира точками, а сыгранные ими партии – отрезками. (Слайд 8). Для того
чтобы ответить на вопрос задачи, надо лишь подсчитать число проведенных
отрезков, их 6, следовательно, было сыграно 6 партий.
Рассмотрим еще одну подобную задачу: “На лесной опушке встретились заяц,
белка, лиса, волк, медведь и куница. Каждый, здороваясь, пожал каждому лапу.
Сколько всего лапкопожатий было сделано? (Слайд 9). На графе 15 ребер,
следовательно, было сделано 15 лапкопожатий. Для того чтобы упростить подсчет
ребер графа, можно рассуждать так: из каждой из 6 точек выходит 5 отрезков, т.е.
для подсчета отрезков умножаем 5 на 6, получаем 30, но при этом каждый отрезок
мы посчитаем дважды (например, белка – лиса и лиса – белка). Следовательно,
чтобы найти число ребер графа, надо 30 разделить на 2, получим.15. Такие
рассуждения будут особенно полезны, когда граф содержит большее число вершин и
подсчет числа ребер становится затруднительным.
Рассмотрим обратную задачу: “Несколько мальчиков встретились на вокзале,
чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за
руку. Сколько мальчиков поехало за город, если всего было10 рукопожатий?”
(Слайд 10).
Предположим, что встретились два мальчика, изобразим их точками, а
рукопожатие линией, соединяющей эти точки. (Слайд 11). Добавляем третьего
приятеля и получаем три рукопожатия. (Слайд 12). Значит, необходимо
добавить еще четвертого мальчика. Если встретились четыре мальчика, то
рукопожатий будет шесть. (Слайд 13). Необходимо добавить следующего,
пятого мальчика. На получившемся графе видно (Слайд 14), что рукопожатий
получилось 10. Следовательно, на вокзале встретилось пять мальчиков.
Рассмотрим еще один вид задач, где применимы неориентированные графы: “В
первенстве класса по шашкам 5 участников: Аня, Боря, Влад, Гриша, Даша.
Первенство проводится по круговой системе – каждый из участников играет с каждым
из остальных один раз. К настоящему времени некоторые игры уже проведены: Аня
сыграла с Борей, Владом и Дашей; Боря сыграл, как уже говорилось, с Аней и еще с
Гришей; Влад – с Аней и Дашей, Гриша – с Борей, Даша – с Аней и Гришей. Сколько
игр проведено к настоящему времени и сколько еще осталось?” (Слайд 15).
Участников соревнований изобразим точками, которые назовем первыми буквами
имен детей. Если двое участников уже сыграли между собой, соединим изображающие
их точки отрезками. Получим граф. (Слайд 16).
Число игр, проведенных к настоящему моменту, равно числу ребер, т.е. шести.
Чтобы узнать число игр, которые осталось провести, соединим линиями другого
цвета (или пунктиром) тех участников, которые еще не играли друг с другом. Таких
ребер получилось 4, значит, осталось провести 4 игры: Борис – Влад, Борис –
Даша, Влад – Гриша, Гриша – Аня. (Слайд 16).
Применить теорию графов можно и при решении следующей задачи: “В стране
алфавит 8 городов: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З и восемь непересекающихся дорог между
городами А и Б, Е и Д, Б и Ж, З и А, В и Г, Г и Д, Ж и З, В и Е. Можно ли по
этим дорогам проехать из А в Г?” (Слайд 17).
Построим по условию задачи граф, при этом все вершины графа сразу отмечать не
будем. Начнем с построения ребер графа, учитывая то условие, что они не
пересекаются. Построим отрезки АБ и ЕД, присоединим к отрезку АБ отрезки БЖ и
ЗА. Построим отрезок ВГ, не пересекающий ни один из построенных отрезков и
соединим точки Г и Д, Ж и З, В и Е (не обязательно отрезками, можно и кривыми
линиями). По графу видно, что точки А и Г друг с другом не соединены, а значит,
по указанным дорогам из города А в город Г проехать нельзя. (Слайд 18).
Для решении задач на упорядочивание множеств будем применять
ориентированные графы. (Слайд 19). В этом случае одну вершину считают
началом ребра, а другую – концом. В ориентированном графе все ребра должны быть
ориентированы.
Рассмотрим задачу: “Из лагеря вышли четыре туриста: Вася, Галя, Толя и Лена.
Вася идет впереди Лены, Толя впереди Гали, а Лена впереди Толи. В каком порядке
идут дети?
Попробуем вначале эту задачу решить без использования графа. При этом
условие, что Толя идет впереди Гали придется вначале пропустить, т.к. неясно,
они идут перед Васей и Леной или позади их. И только после прочтения последнего
условия и установления, что Толя идет за Леной, можно определить
месторасположение Гали. (Слайд 20).
Когда же мы решаем эту задачу при помощи графов, нам лишь необходимо
представить условие задачи на графе. Изобразим всех туристов точками, которые
обозначим первыми буквами имен детей. В задаче рассматривается отношение “идти
впереди”, поэтому стрелку будем ставить от впереди идущего к идущему вслед за
ним. Вася идет впереди Лены, значит стрелку ставим от Васи к Лене. Толя впереди
Гали – стрелку ставим от Толи к Гале. Также ставим стрелку от Лены к Толе, т.к.
она идет впереди него. На графе видно (Слайд 21), что первый идет Вася,
за ним Лена, Толя и Галя идет последней.
Рассмотрим еще одну задачу: “В детском лагере отдыха в одной комнате живут
четыре девочки: Маша, Валя, Таня и Галя. Две из них ровесницы. Известно, что
Таня старше Маши, которая моложе Гали. Таня моложе Вали, которая старше Гали.
Кто ровесницы?” При решении задачи без использования графа будем расставлять
первые буквы имен девочек от младшей к старшей. Из условия, что Маша моложе Гали
непонятно, где поставить букву Г, слева или справа от буквы Т. И только после
прочтения последнего условия можно сделать вывод, что Г стоит между Т и В.
Получаем, что ровесниками могут быть только Таня и Валя. (Слайд 22).
Рассмотрим решение этой же задачи при помощи графа. В задаче рассматриваются
два отношения “быть младше” и “быть старше”. Выберем одно из низ и построим граф
отношения “быть старше”. При этом стрелку будем ставить от старшей девочки к
младшей. (Слайд 23). По графу видно, что старше всех Валя, а Маша –
младшая из девочек. Следовательно, ровесницы – это Галя и Таня.
Если такие простые задачи, в которых рассматривается множество, состоящее из
небольшого числа элементов, еще можно решить без помощи графов, хотя такой
способ решения является более сложным, то при решении задач на упорядочивание
множества, состоящего из большого числа элементов, это становится практически
невозможным.
Рассмотрим задачу: “На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь,
береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня
выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже
тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к
самому высокому”. (Слайд 24). Будем решать ее при помощи графа. Для этого
отметим все деревья точками, а точки обозначим первыми буквами названия
деревьев. В задаче рассматриваются два отношения: “быть ниже” и “быть выше”. В
нашем случае удобнее рассматривать отношение “быть ниже” и вести стрелку от
более низкого дерева к более высокому. Если в задаче сказано, что рябина выше
лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине и т.д. Получаем граф, на
котором видно, что самое низкое дерево – клен, затем идут яблоня, лиственница,
рябина, сосна, дуб, береза и тополь. (Слайд 25).
Следующий тип графов, которые можно использовать при решении задач в
начальной школе – это граф-дерево или дерево возможностей. Графы такого
вида используются при решении комбинаторных задач, когда надо осуществить
перебор всех возможных вариантов. (Слайд 26).
Рассмотрим задачу: “В столовой на горячее можно заказать щуку, грибы и
баранину, на гарнир – картофель и рис, а из напитков – чай и кофе. Сколько
различных вариантов обедов можно составить из указанных блюд? (Слайд 27).
Т.к. горячих блюд три, то поставим три точки. Каждую точку обозначим первой
буквой названия блюда. От этих точек проведем по две линии вниз и поставим
точки, т.к. гарниров два. Их также обозначим первыми буквами названий. От
каждого гарнира также проведем по две линии, точки будут обозначать напиток.
Каждый путь по этому графу соответствует одному из способов выбора. Число таких
путей будет соответствовать числу точек в нижнем ряду. Сосчитаем точки третьего
ряда на нашем графе. Их 12, значит, можно составить 12 различных обедов.
(Слайд 28).
Рассмотрим еще одну, более сложную задачу: “Из наборного полотна взяли 2
карточки с цифрой 1 и 3 карточки с цифрой 5. Сколько различных пятизначных чисел
можно составить из этих карточек?” (Слайд 29).
По графу видно, что всего таких чисел можно составить 10, причем все их можно
легко перечислить. (Слайд 30).
Последний вид графов, которые мы рассмотрим – это граф с ребрами двух
цветов. (Слайд 31). Эти графы соответствуют таким ситуациям, в
которых одни пары элементов множества находятся между собой в данном отношении,
а другие – нет.
Рассмотрим задачу: “В одном классе учатся Иван, Петр и Сергей. Их фамилии
Иванов, Петров и Сергеев. Установи фамилию каждого из ребят, если известно, что
Иван не Иванов, Петр не Петров и Сергей не Сергеев и что Сергей живет в одном
доме Петровым”. (Слайд 32).
В этой задаче речь идет о двух множествах: множестве имен и множестве
фамилий. В этом случае, конечно, можно решить задачу с использованием таблицы,
но для решения задач с тремя множествами таблицы уже будут непригодны. В этом
случае решение задачи можно осуществить с помощью графов. Обозначим имена
мальчиков точками, точно также поступим и с множеством фамилий. Если для данной
пары элементов отношение выполняется, то соединим их красной линией, а если нет
– черной. (Слайд 33). На графе видно, что Иван не Иванов, Петр – не
Петров, Сергей – не Сергеев и не Петров, т.к. Сергей и Петров живут в одном
доме. Поскольку Сергей – не Сергеев и не Петров, то, значит, он Иванов. Проведем
красную линию от Сергея к Иванову. Тогда Ивановым Петр быть не может – соединим
соответствующие точки черной линией. Итак, Петр – не Иванов и не Петров,
следовательно, он Сергеев. Остается, что Иван носит фамилию Петров.
Рассмотрим задачу, в которой требуется установить соответствие между тремя
множествами: “Три друга – Алеша, Сергей и Денис – купили щенков разной породы:
щенка ротвейлера, щенка колли и щенка овчарки. Известно, что: щенок Алеши темнее
по окрасу, чем ротвейлер, Леси и Гриф; щенок Сергея старше Грифа, ротвейлера и
овчарки; Джек и ротвейлер всегда гуляют вместе. У кого какой породы щенок?
Назовите клички щенков.” (Слайд 34).
Изобразим условие задачи при помощи графа. (Слайды 35–37). В
результате получим, что у Сергея щенок породы колли Леси, у Алеши щенок овчарки
Джек, у Дениса щенок ротвейлера по кличке Гриф.
Рассмотренные выше задания составляют большую часть решаемых с помощью графов
задач, доступных по уровню сложности младшим школьникам.
28.04.2011
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ.
Поиск Лекций
В данном параграфе будут рассмотрены некоторые задачи, при решении которых используется теория графов. Они считаются классическими.
Задача 4.1. Необходимо составить фрагмент расписания для одного дня с учетом следующих обстоятельств:
1. учитель истории может дать либо первый, либо второй, либо третий уроки, но только один урок;
2. учитель литературы может дать один, либо второй, либо третий урок;
3. математик готов дать либо только первый, либо только второй урок;
4. преподаватель физкультуры согласен дать только последний урок.
Сколько и каких вариантов расписания, удовлетворяющего всем вышеперечисленным условиям одновременно, может составить завуч школы?
Решение.Без сомнения, эту задачу можно решить путем обыкновенного перебора всех возможных вариантов, но решение будет наиболее простым, если вычертить граф в виде дерева.
Данная задача является классическим примером удачного использования теории графов. В настоящее время существует программа «Расписание 3.0» компьютерной фирмы ЛинTex, в которой она решена с использованием современных технологий.
Рассмотрим еще одну задачу, решением которой также является граф.
Задача 4.2. В составе экспедиции должно быть 6 специалистов: биолог, врач, синоптик, гидролог, механик и радист. Имеется 8 кандидатов, из которых и нужно выбрать участников экспедиции; условные имена претендентов: A, B, C, D, E, F, G и H. Обязанности биолога могут исполнять E и G, врача – A и D, синоптика – F и G, гидролога – B и F,радиста – С и D, механика – C и H. Предусмотрено, что в экспедиции каждый из них будет выполнять только одну обязанность. Кого и в какой должности следует включить в состав экспедицию, если Fне может ехать без B, D–без Hи C, Cне может ехать вместе с G, A– вместе с B?
Решение. Процесс решения задачи во всех подробностях мы рассматривать не будем. Заметим только, что задать возможный вариант решения, то есть описать точный состав экспедиции, можно с помощью четного графа, в котором вершины разделены на две группы, а ребра могут соединять лишь вершины разных групп.
Применительно к задаче об экспедиции одна группа вершин есть группа из 8 кандидатов, а вторая – из 6 должностей.
Задача 4.3.Планета имеет форму выпуклого многогранника, причем в его вершинах расположены города, а каждое ребро является дорогой. Две дороги закрыты на ремонт. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой по оставшимся дорогам.
Решение. Пусть Aи B – данные города. Докажем сначала, что из Aв B можно было проехать до закрытия на ремонт двух дорог. Рассмотрим для этого проекцию многогранника на некоторую прямую, не перпендикулярную ни одному из его ребер (при такой проекции вершины многогранника не сливаются).
Пусть A’иB’ –проекции точек AиB,а M’и N’–крайние точки проекции многогранника (в точки M’и N’ проецируютсявершины Mи N).Если идти из вершины Aтак, что в проекции движение будет происходить по направлению от M’к N’, то, в конце концов, мы обязательно попадем в вершину N. Аналогично из вершины B можно пройти в N. Таким образом, можно проехать из A в B (через N).
Если полученный путь из AиB проходит через закрытую дорогу, то есть еще два объезда по граням, для которых это ребро является общим. Вторая закрытая дорога не может находиться сразу на двух этих объездах. Значит, из города Aв городB можно проехать, по крайней мере, одним путем.
Итак, в данном параграфе рассмотрены некоторые задачи, для решения которых применяется теория графов. В §5 мы приведем условия и решения задач школьного курса математики.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ В ШКОЛЬНОМ
КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.
В соответствии с вышесказанным, в данном параграфе будут рассмотрены задачи, которые используются в школе на уроках математики.
Условно их можно классифицировать, подразделив на несколько групп:
1. Задачи о мостах.
2. Логические задачи
3. Задачи о «правильном» раскрашивании карт
4. Задачи на построение уникурсальных графов
5.
Рассмотрим несколько типичных примеров решения задач каждого вида.
Одной из наиболее известных задач о мостах является эйлерова задача; все остальные сформулированы похожим образом и решаются по тому же принципу. Поэтому в данном параграфе мы не будем подробно останавливаться разборе этого типа задач.
Основой применения графов для решения логических задач служит выявление и последовательное исключение возможностей, заданных в условии. Это выявление логических возможностей часто может быть истолковано с помощью построения и рассмотрения соответствующих графов.
Задача 5.1.Из трех человек, стоящих рядом, один всегда говорит правду (правдолюб), другой всегда лжет (лжец), а третий, смотря по обстоятельствам, говорит либо правду, либо ложь (дипломат). У стоящего слева спросили: «Кто стоит рядом с тобой?». Он ответил: «Правдолюб». Стоящему в центре задали вопрос: «Кто ты?», и он ответил: «Я дипломат». Когда у стоящего справа спросили: «Кто стоит рядом с тобой?», он сказал: «Лжец». Кто где стоял?
Решение: Если в данной задаче ребро графа будет соответствовать месту, занимаемому тем или иным человеком, то нам могут представиться следующие возможности .
Рассмотрим первую возможность. Если «правдолюб» стоит слева, то рядом с ним, судя по его ответу, также стоит «правдолюб». У нас же стоит «лжец». Следовательно, эта расстановка не удовлетворяет условию задачи. Рассмотрев таким образом все остальные возможности, мы придем к выводу, что позиция «дипломат», «лжец», «правдолюб» удовлетворяет задаче. Действительно, если «правдолюб» стоит справа, то, по его ответу, рядом с ним стоит «лжец», что выполняется. Стоящий в центре заявляет, что он «дипломат», и, следовательно, лжет (что возможно из условия), а стоящий справа также лжет. Таким образом, все условия задачи выполнены.
Задача 5.2. В обеденный перерыв члены строительной бригады разговорились о том, кто сколько газет читает. Выяснилось, что каждый выписывает и читает две и только две газеты, каждую газету читает пять человек, и любая комбинация читается одним человеком. Сколько различных газет выписывают члены бригады? Сколько человек в бригаде?
Решение: Решение этой задачи достигается построением следующего графа, где каждая вершина обозначает соответствующую газету и соответственно 5 подписчиков, а каждое ребро будет соответствовать одному подписчику.
Иными словами, суть метода решения этой и подобных ей задач состоит в установлении связей между множеством вершин и множеством ребер графа.
Любая географическая карта является многоугольным графом, в котором страны будут гранями, границы – ребрами, а окружающий страны Мировой океан – бесконечной гранью.
Для лучшего зрительного восприятия необходимо, чтобы страны с общей границей были раскрашены в разные цвета. Такую карту называют «правильно» раскрашенной.
Широко известное предположение состоит в том, что каждая карта может быть раскрашена с соблюдением требуемых условий при помощи четырех красок. Этому вопросу уделяется большое внимание в популярной литературе, и здесь мы не будем останавливаться на его рассмотрении.
Задачи на проведение эйлеровых линий без повторений и без отрыва карандаша от бумаги являются одним из математических развлечений. При решении подобных задач необходимо помнить следующее положение. Для того, чтобы на графе имелась цепь, соединяющая АА и ВВ, содержащая все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы АА и ВВ были единственными нечетными вершинами, т. е. вершинами с нечетной степенью.
Рекомендуемые страницы:
Поиск по сайту
poisk-ru.ru
Применение графов при решении задач
2.2. Применение графов при решении задач
Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком
Задача 1.О Кенигсбергских мостах. Город Кенигсберг расположен на берегах реки Прегель и двух островах. Различные части города были соединены семью мостами. По воскресеньям горожане совершали прогулки по городу.
Вопрос: можно ли совершить прогулку таким образом, чтобы, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя в точности один раз по каждому мосту. Благодаря этой задаче была создана теория графов.
Мосты через реку Прегель расположены как на рисунке. (приложение 2 рис.1).
Рассмотрим граф, соответствующий схеме мостов
Проблема семи мостов Кёнигсберга. Суть: можно ли пройти по 7 мостам города Кёнигсберга, не ступив на каждый более одного раза.
Решение: было найдено русско-немецким математиком Леонардом Эйлером(1736 год).
Его рассуждения заключались в следующем:
1) Число нечётных вершин графа должно быть чётно (теорема 2). 2) Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине. 3) Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком. 4) Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
Задача 2.Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля–Меркурий, Плутон–Венера, Земля–Плутон, Плутон–Меркурий, Меркурий–Венера, Уран–Нептун, Нептун–Сатурн, Сатурн–Юпитер, Юпитер–Марс и Марс–Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?
Решение: Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршруты – не пересекающиеся между собой линии.
Ответ: с Земли до Марса добраться нельзя.
Логические задачи.
Задача 3.В соревнованиях по борьбе, проходящих по олимпийской системе, участвуют 20 борцов. За какое минимальное время можно провести соревнование, если в спортивном зале есть только три борцовских ковра, и на каждую схватку, включая разминку и отдых, отводится час? Изобразите схему соревнований с помощью корневого дерева.
Решение: одна из возможных схем приведена на рисунке.
(приложение 2 рис.2)
Ответ: На соревнование уйдет 7 часов.
Задача 4.Среди девяти монет есть одна фальшивая, которая легче других. Определите ее с помощью двух взвешиваний на рычажных весах.
Решение: Разобьем монеты на три группы по три монеты. Положим монеты двух групп на разные чашки весов.
Если чашки придут в равновесие, то фальшивая монета — в третьей группе. Если чашки не придут в равновесии, то фальшивая — в более легкой группе. Поиск фальшивой монеты среди троих: положим две монеты на разные чашки весов.
Если чашки придут в равновесие, то фальшивая — третья монета. Если чашки не придут в равновесии, то фальшивая — более легкая монета.
Решение этой задачи легко изобразить в виде графа-дерева, похожего на алгоритм. (приложение 2, рис.3)
Задачи на группу знакомств Задача 5.Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. Выбор кинотеатра и сеанса они решили согласовать по телефону. Было также решено, что если с кем-то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Кто не сумел созвониться и поэтому не пришёл на встречу?
Решение: Нарисуем пять точек и обозначим их буквами А, Б, В, Г, Д.
Это первые буквы имён.
Соединим те точки, которые соответствуют именам созвонившихся ребят.
(приложение 2, рис.4)
Задача 6.В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис – с Андреем, Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина – с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?
Решение: Получим, что сыграно 7 игр, а осталось – 8. Можно проверить: в графе 6 вершин тогда всего ребер 6*5/2=15 (7+8).
Логическая задача на переливание.В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. Требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4 л, т. е. разлить воду поровну в ведро и большую кастрюлю.
Решение:
Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами (приложение рис.16).
В результате получаем два решения:
одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.
(приложение 2, рис.5)
Задача 7.Имеется шахматная доска 3×3, в верхних двух углах стоят два чёрных коня, в нижних – два белых (рисунок ниже). За 16 ходов поставьте белых коней на место чёрных, а чёрных на место белых и докажите, что за меньшее число ходов это сделать невозможно.
Решение: Развернув граф возможных ходов коней в круг, получим, что в начале кони стояли так, как на рисунке ниже. А в конце кони должны поменяться местами, при этом каждый конь должен сделать 4 хода, а меньшим числом ходов обойтись не удастся, т. к. кони не могут перепрыгивать через друг друга.
Тогда, передвигая коней в графе, каждый раз перемещая всех коней, как показано на рисунках 1-4, мы получим за 16 ходов белых коней на месте чёрных, а чёрных на месте белых (рис.5). (приложение 2, рис.6)
Примеры задач, решаемых методом графов в приложении 3.
Перейти к разделу 2.3. Генеалогическое древо – один из способов применения теории графов
obuchonok.ru
Граф. Решение задач с помощью графа, 6 класс
Назарбаев Интеллектуальная школа физико- математического направления
г. Кокшетау Акмолинская область
Конспект урока по информатике
в 6 классе
«Граф.
Решение задач с помощью графа».
Подготовила учитель информатики
Нурмуханова Асель Сериковна
Кокшетау
2011
Тема урока: Граф. Решение задач с помощью графа.
Цель урока: Составить представление об организации информации в виде дерева (графа). Освоить понятие граф. Научиться решать задачи с помощью графов.
Знание
Ученик знает назначение графов
Понимание
Умеет приводить примеры использования графов в различных учебных предметах (химия, информатика, биология, геометрия и др.) и повседневной жизни.
Применение
Умеет записывать арифметические выражения в виде графов, отражать информацию в виде семантической сети, изображать классификации различных объектов в виде дерева
Анализ
Умеет из множества предметов вычленить объекты, обозначить связи между ними.
Оборудование: компьютер, таблицы, карточки. Длительность урока:40 мин
План урока
I этап – Орг.момент(3 мин)
II этап –Новая тема. Понятие графа.(8 мин)
Графы являются существенным элементом математических моделей в самых разнообразных областях науки и практики. Они помогают наглядно представить взаимоотношения между объектами или событиями в сложных системах. Многие алгоритмические задачи дискретной математики могут быть сформулированы как задачи, так или иначе связанные с графами, например задачи, в которых требуется выяснить какие-либо особенности устройства графа, или найти в графе часть, удовлетворяющую некоторым требованиям, или построить граф с заданными свойствами.
Легко найти примеры графов в самых разных областях науки и практики. Сеть дорог, трубопроводов, электрическая цепь, структурная формула химического соединения, блок-схема программы
Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту. Многие математические доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться графами. Для решения логических задач удобно использовать графы.
Графы – это рисунки, которые состоят из точек и линий, соединяющих эти точки.
Каждая пара точек в графе может быть соединена линиями. Линия указывает на связь между двумя точками.
Точки называются вершинами графа, а линиями рёбрами.
Ребро может иметь направление, которое указывается стрелочкой.
У графа обязательно есть вершины.
Граф без рёбер называется пустым.
Примеры различных графов приведены на рисунке.
Дерево (граф) – это способ организации информации об отношениях между объектами.
Слово «дерево» в теории графов означает граф, в котором нет циклов, то есть в котором нельзя из некоторой вершины пройти по нескольким различным ребрам и вернуться в ту же вершину.
Первая работа по теории графов принадлежит Леонардо Эйлеру (1736г).
Термин граф впервые ввёл 1936г Венгерский математик Денеш Кениг. Графами были названы схемы состоящие из точек и соединяющие эти точки отрезков прямых или кривых.
С помощью графов часто упрощалось решение задач, сформулированных в разных областях знаний: в автоматике , электронике, физике, химии.
С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло и электро сетей.
Графы в которых не построены все возможные рёбра называется не полными графами.
IIIэтап. Представление информации в виде дерева. (2 мин)
Особым видом графа является дерево. Данная форма модели применяется тогда, когда элементы моделируемого объекта находятся в состоянии какого-либо подчинения и соподчинения, когда есть отношение иерархичности. Модель управления предприятием (школой, театральным коллективом и т. д.) очень удобно представлять в виде дерева.
Описать граф- это значит, ответить на вопросы:
Сколько вершин?
Есть рёбра?
Есть направление?
Все ли вершины соединены рёбрами?
На каких школьных предметах вы встречались с графами, приведите примеры?
Учитель приводит несколько примеров. Вам хорошо известно понятие «родословное дерево» и вы можете изобразить в такой форме ваши родственные отношения. Каталог файлов на диске, также как и библиотечный каталог — примеры информационных моделей в форме дерева.
IV этап.Заполнение схемы. Применение графа. (3мин)
V этап. Применение знаний и закрепление изученного. (15 мин)
Рассмотрим одну из простейших задач: «Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?»
Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф (1).
Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в каждой коробке может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф (2) дающий решение задачи.
Задача1: Алия решила маме на день рождения подарить букет цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить из или в вазу или в кувшин.
А связи между ними -линиями между точками (рёбра графа)
По рисунку видно, что таких сопопбов — 6
* розы * тюльпан *гвоздики
* ваза *кувшин
Задача2. Ранним утром Миша Маша, Асем обменялись приветствиями каждый с каждым. Сколько всего было приветствий. Решите задачу с помощью графа. Нарисуй граф в рабочей тетради.
Задача3. Шесть футбольных команд должны сыграть матчи, каждая с каждой. Уже сыграли матчи.
А с В, Г,Е Г с А,Д,Е
Б с В,Д,Е Д с Б,Г,Е
В с А,Б Е с А,Б,Г,Д
Сколько матчей сыграно и сколько осталось сыграть.
Задача4. Мадии утром собрался в школу, но по пути он должен зайти в аптеку за лекарствами. Сколькими способами он может это сделать.
Задача5. В квартирах №1,2,3 жили три друга: Айдар, Тима и Саша. Известно, что в квартирах №1 и 2 жил не Айдар. Тима жил не в квартире №1. В какой квартире жил каждый из друзей.
Ответ:
Айдар
Тима
Саша
№1
—
—
+
№2
—
+
—
№3
+
—
—
Задача6. Арман, Мадии, Тимур, Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. Когда их спросили о распределений мест, они дали три ответа: Сергей – первый, Мади– второй, Сергей -второй, Арман – третий, Тимур – второй, Арман – четвертый. Известно, что в каждом ответе только одно утверждение верно. Как распределились места?
Ответ: С-1 Т-2 А -3 М-4.
Задача7. Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
Решение: Решим задачу с помощью полного графа с четырьмя вершинами А, Б, В, Г, обозначенными по первым буквам имен каждого из мальчиков. В полном графе проводятся всевозможные ребра.
В данном случае отрезки-ребра обозначают сыгранные шахматные партии. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и партий было сыграно 6.
Задача8.Из города А в город Б ведут две дороги, из города Б в городок В -тоже две дороги и из города А в город В – тоже две дороги. Нарисуй схему и сосчитай все возможные пути из города А в город В. Ответ: 6 партий .
Задача9. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому из своих друзей по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?
Решение. Iспособ. С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, стрелок в 2 раза больше, чем ребер, т.е. 6*2 = 12. Столько же было подарено и фотографий.
IIспособ. Каждый из четверых мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было роздано 3 • 4 = 12 фотографий.
О т в е т: 12 фотографий.
VIэтап. Рефлексия. (5 мин)
«Почему понятие графа изучается в школьном курсе информатики?»
Дополнительные вопросы:
Нужно ли на уроках информатики знакомиться с понятием графа и учиться строить их?
Как вы считаете, с какой целью было введено понятие графа в школьный курс информатики?
Какие качества личности позволяет развить умение строить графы?
Попробуйте сделать вывод о значении информатики и графов в частности для остальных учебных предметов. Информатика дает инструмент для познания любой научной дисциплины.
VII этап. Домашнее задание: Дополнить схему примерами применения графов. (1 мин)
VIII этап. Итог урока. Выставление оценок. (1 мин)
Список литературы:
1. Нагибин Ф.Ф. Применение графов для решения логических задач.
// Математика в школе. — 1964. — № 3.
2. Шедивы Я. Решение логических задач при помощи графов.
Цилиндром является геометрическое тело, состоящее из цилиндрической боковой поверхности и двух перпендикулярных ее оси плоскостей (оснований). При вращении прямоугольника вокруг любой из его сторон получается цилиндр. В переводе с греческого цилиндр означает каток, валик. Если в основании цилиндра находится круг — это круговой цилиндр. Объем цилиндра рассчитывается 2-мя способами. В 1-м случае объем равняется произведению пл. основания цилиндра на его высоту. Формула для расчета объема цилиндра:
R — радиус вращения; h – высота.
С помощью онлайн калькулятора можно быстро и правильно найти объем цилиндра по одной из указанных выше формул в соответствии с исходными данными.
Расчет объема цилиндра через радиус и высоту
Во втором случае объем цилиндра рассчитывается как произведение квадрата радиуса цилиндра на его высоту и постоянное число пи по формуле:
В данной формуле: h – высота цилиндра; S — площадь основания.
Расчет объема цилиндра через площадь основания
infofaq.ru
Объем цилиндра: формула, калькулятор — 24СМИ
Как отличить человека технической специальности от человека с гуманитарным складом ума? Спросите каждого, что такое цилиндр. Первый скажет, что это геометрическое тело, второй вспомнит мужской головной убор 19 века. Оба будут правы, да и шляпа получила такое название благодаря особенной форме, основой которой являлась та самая фигура из геометрии. Итак, каковы особенности цилиндра и как рассчитать его объем.
Расчет объема цилиндра
Слово «цилиндр» произошло от древнегреческого kylindros, означающего «валик». Математики дают несколько определений цилиндру:
Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее под прямым углом.
Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
Цилиндр — геометрическое тело, которое сформировано вращением прямоугольника на оси, совпадающей с одной из его сторон.
Фигура цилиндр
Все эти определения верны. Также стоит отметить основные части цилиндра:
Основания — плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя параллельными плоскостями.
Боковая поверхность цилиндра — поверхность между плоскостями оснований.
Если в основании цилиндра лежит круг, то его называют круговым. Существуют и другие виды цилиндров, в зависимости от формы основания — эллиптический, гиперболический, параболический и т.д.
Также все цилиндры делятся на прямые и наклонные. У каждого цилиндра есть образующие — это отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований. Если образующие перпендикулярны основаниям, то цилиндр называется прямым, а если образующие расположены под углом — цилиндр наклонный или косой.
Рисунок цилиндра
Есть и другие общие понятия для цилиндров:
Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. У цилиндра образующие параллельны и равны.
Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.
Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.
Итак, как же вычислить объем цилиндра. Посчитать объем прямого кругового цилиндра можно на калькуляторе. Он равен произведению площади основания на высоту.
V = πR2h,
где V — объем цилиндра, R — радиус основания, h — высота цилиндра, а «пи» — константа, равная 3,14.
Объем цилиндр
Таким же образом вычисляется объем прямого кругового цилиндра через диаметр окружности основания — d.
V = πhd2/4
Если цилиндр прямой, но не круговой, то формула вычисления объема представляет произведение длины образующей – n на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей — S.
V = n * S
Наклонный цилиндр
Если цилиндр наклонный, то в формуле участвует и синус угла наклона (альфа) образующей к основанию. В этом случае объем вычисляется по формуле:
V = S * n * sin α
Исчисляется объем цилиндра в кубических единицах.
Если стоит задача найти объем описанного вокруг сферы цилиндра, то расчеты будут такими:
Цилиндр и сфера
Радиус цилиндра равен радиусу сферы — R. Высота цилиндра равна диаметру сферы. Диаметр есть удвоенный радиус — 2R. Таким образом объем прямого описанного цилиндра равен произведению площади основания πR2 («пи» умножить на радиус в квадрате) на высоту, т. е. 2R.
V = 2R * πR2
Приведя формулу к должному виду получим:
V = 2πR3
Если цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то, зная длину стороны его основания и высоту, можно найти объем.
Цилиндр, вписанный в параллелепипед
В этом случае радиус основания цилиндра равен половине длины стороны основания параллелепипеда — а. Высота цилиндра и параллелепипеда совпадают, обозначим h. Тогда объем вычисляется по формуле:
V = πh(a/2)2
Где применяется расчет объема цилиндра
Расчет объема цилиндра учащиеся проходят в средней школе. Во взрослой жизни эти знания применяют в своей работе инженеры и конструкторы различных машин и механизмов, потребительских товаров, а также архитекторы.
Из товаров народного потребления форму цилиндра имеют стаканы, кружки, бокалы, кастрюли, термосы и прочая посуда, а также некоторые вазы, банки и упаковки напитков либо средств бытовой химии. Объем таких цилиндрических предметов исчисляется в литрах.
Стаканы имеют цилиндрическую форму
Рассчитывается объем цилиндра при производстве медицинских шприцов. От полученного объема зависит точное количество медикаментов, вводимое пациенту при инъекциях. Лекарства в жидкой форме, суспензии, растворы помещаются в стеклянные или пластиковые бутылочки цилиндрической формы, а на бирке указывается объем средства.
Распространены цилиндры и в технике: такой вид имеют валы и их отдельные составные части, используемые в двигателях внутреннего сгорания. К тому же, расчет объема цилиндра – задача, которую приходится решать конструкторам при проектировании современных бензиновых и дизельных силовых агрегатов, ведь от этого параметра зависят характеристики, в первую очередь, мощность. Двигатели внутреннего сгорания снабжаются поршнями, которые также имеют цилиндрическую форму.
Расчет цилиндрического вала
Архитекторам приходится рассчитывать объем цилиндра при проектировании зданий, снабженных колоннами. Правда, эти архитектурные элементы в классическом варианте (вместе с базой и капителем) встречаются редко, но упрощенные разновидности, состоящие из одного ствола (который и представляет собой цилиндр) используются часто.
Чрезвычайно распространенные детали, которые присутствуют в конструкциях технических устройств — роликовые подшипники. Как нетрудно догадаться по названию, главный компонент — прочные и износостойкие металлические цилиндрические ролики. Благодаря такой геометрии, эти детали обладают большой несущей способностью и способны выдерживать нагрузки. Роликовые подшипники — высокоточные детали, и поэтому при их создании правильный расчет объема цилиндра (ролика) играет немаловажную роль.
24smi.org
Формула объема цилиндра
Прежде чем говорить о формуле объема цилиндра разберемся с основополагающими моментами. Цилиндр сам по себе является геометрической фигурой, которую ограничивают две находящиеся друг против друга области и пересекают цилиндрическую область. Данную цилиндрическую область можно получить путем направленных вперед движений образующих прямые линии так, чтобы образующая точка двигалась продольно направляющей кривой. Боковая область — та область фигуры которая ограничивается цилиндрической поверхностью. На основание приходиться другая часть, тем самым формы границы и направляющей совпадают.
Чаще всего это тело представляют в виде кругового прямого цилиндра, в котором окружность , прямая дающая направление и две основные области относительно образующей будут перпендикулярны. В данном теле будет ось симметрии.
Есть много типов цилиндров, которые различаются по форме основания, разрезу или наклону образующей. Бывают косые и наклонные, эллиптические, параболические и гиперболические. Для того чтобы узнать объем цилиндра, необходимо знать высоту данного цилиндра или другими словами расстояние от одного основания до другого.
Объем цилиндра конечно же находиться при помощи формул, о которых и пойдет речь дальше. Для этого существуют две формулы: Формула объема цилиндра №1.
V = Sо*h
в которой V — это объем, Sо — площадь основания, h — это высота тела. Формула объема цилиндра №2.
V = ? * R2 * h
в которой V — это объем, R — это радиус, h- это высота.
С помощью данной формулы, объем находится при помощи радиуса, числа ? и высоты. Данная формула применима только для кругового прямого цилиндра.
При использовании данных формул можно вычислить объем любой емкости, единственная поправка — это то что значения будут в метрах. А результат в кубических метрах.
Рассчитаем для наглядности
Дан цилиндр размер которого 0,5м. высота и диаметр 0,3м Воспользуемся в расчетах формулой №2, в результате чего получаем: V = 3,14 * 0,15 * 0,15 * 0,5 = 0,035325 кб/м 0,035325 кб/м = 35,325 литров.
Как видите в этом нет ничего сложного. Интересных вам вычислений!
Если вы ищите Полиуретан, пенополиуретан, оборудование для ППУ (http://puinfo.ru/), перейдите по ссылке на информационный сайт, в котором Вы найдете много нужной и интересной информации.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Объём части цилиндра
Объём части цилиндра. Здравствуйте, друзья! Для вас ещё одна статья с задачами про объём цилиндра. На момент написания этих строк данная группа задач исключена из открытого банка заданий ЕГЭ по математике, но они всегда туда могут «вернуться», и разумеется, их присутствие в составе заданий на самом экзамене вполне возможно. Это задачи на вычисление объёма части цилиндра. Задачки простенькие, решаются в 1-2 действия. Посмотрите, объём каких тел требуется найти:
*В условии задаются радиус основания, высота и угол сектора.
Если вы ещё не изучили статью, где речь шла об объёме части конуса, то посмотрите обязательно, здесь принцип решения тот же. Повторять его не буду. Напомню только формулу объёма цилиндра:
*Ещё можете посмотреть статью, в которой мы уже разобрали несколько заданий, связанных с объёмом цилиндра.
Также есть следующие формы тел, объём которых требуется найти, вот эскизы:
Процесс решения прост!
Рисунок Б. Тело состоит из цилиндра, на который как бы сверху поставили ещё полцилиндра. То есть чтобы найти объём такого тела, необходимо вычислить объёмы двух этих отдельных тел (цилиндра и полуцилиндра) и суммировать их.
Рисунок В. Тело представляет собой цилиндр, из которого как бы «вырезан» другой цилиндр. Для вычисления объёма тела достаточно найти объём «полного» цилиндра и затем из него вычесть объём пустого пространства (он тоже имеет форму цилиндра и объём вычисляется без труда). Рассмотрим задачи:
25739. Найдите объем V части цилиндра, изображённой на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Вычислим объём цилиндра:
Часть цилиндра построенного на секторе круга с углом в 900 составляет четвёртую часть от полного объёма:
Результат делим на Пи и записываем ответ.
Ответ: 9
25743. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Вычислим объём цилиндра:
Часть цилиндра построенного на секторе круга с углом в 2700 (из трёхсот шестидесяти мы вычли девяносто) составляет три четвёртых от полного объёма:
Результат делим на Пи и записываем ответ.
Ответ: 15
27199. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Вычислим объём цилиндра:
Часть цилиндра построенного на секторе круга с углом в 3000 (из трёхсот шестидесяти мы вычли шестьдесят) составляет:
от полного объёма. Таким образом
Результат делим на Пи и записываем ответ.
Ответ: 937,5
25755. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Вычислим объём цилиндра:
Часть цилиндра построенного на секторе круга с углом в 600 составляет:
от полного объёма. Таким образом
Результат делим на Пи и записываем ответ.
Ответ: 112,5
25779. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Вычисляем объём цилиндра с радиусом равным 4 и высотой равной 3:
Вычисляем объём половины цилиндра с радиусом 4 и высотой равной 4 – 3 = 1
Объём тела будет равен:
Результат делим на Пи и записываем ответ.
Ответ: 56
25781. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Вычисляем объём цилиндра с радиусом равным 4 и высотой 5:
Вычисляем объём «вырезанного» цилиндра (пустой части) с радиусом 2 и высотой 5:
Объём тела будет равен:
Результат делим на Пи и записываем ответ.
Ответ: 60
27196. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Посмотреть решение
27197. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Посмотреть решение
27198. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Посмотреть решение
27200. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Посмотреть решение
27201. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/Пи.
Посмотреть решение
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Вычисление объема цилиндра
Цилиндр это геометрическое тело, которое сформировано вращением прямоугольника на оси, совпадающей с одним из его сторон. Слово «цилиндр» происходит от греческого слова «kylindros».
Вычисление объема цилиндра
Вычисление объема цилиндра производится по следующей формуле:
V = πr2h
V – объем цилиндра
h – высота цилиндра
r – радиус основания
π – 3.14
Как рассчитать объем цилиндра, все мы проходили в средней школе, и этими знаниями наиболее активно пользуются в своей работе конструкторы различных машин и механизмов, потребительских товаров, а также архитекторы.
Инженерам приходится производить расчет объема цилиндра в тех случаях, когда они занимаются проектированием заданий, снабженных колоннами. Правда, в последнее время эти архитектурные элементы в их, так сказать, «классическом» варианте (то есть вместе с базой и капителем) встречаются достаточно редко, но их «упрощенные» разновидности, состоящие из одного ствола (который, собственно говоря, и представляет собой цилиндр) используются весьма широко. Нередко с колоннами приходится иметь дело реставраторам различных сооружений, имеющих большую историческую и культурную ценность, правда, в их работе вычисление объема цилиндра – далеко не самая распространенная процедура. Впрочем, если речь идет о полном восстановлении утраченных по тем или иным причинам колонн, то ее также приходится производить.
Расчет объема цилиндра осуществляется тогда, когда ведётся разработка разнообразных емкостей соответствующей формы. В качестве наглядного примера таковых можно привести, скажем, медицинские шприцы, а также колбы термосов. Следует заметить, что в первом случае такой параметр, как объем, имеет очень важное значение, поскольку от него зависит точное количество медикаментов, вводимого пациенту при инъекциях.
В технике цилиндры распространены чрезвычайно широко: достаточно сказать, что их форму имеют практически все валы и их отдельные составные части, используемые, скажем, в двигателях внутреннего сгорания. К тому же, расчет объема цилиндра – одна из важнейших задач, которую приходится решать конструкторами при проектировании современных бензиновых и дизельных силовых агрегатов, ведь от этого параметра зависит множество их характеристик, и в первую очередь такая важнейшая, как мощность. Почти все типы ДВС снабжаются поршнями, которые также имеют цилиндрическую форму.
Чрезвычайно распространенными деталями, которые присутствуют в конструкции многих сложных технических устройств, являются роликовые подшипники. Как нетрудно догадаться по самому их названию, одними из основных их компонентов являются прочные и износостойкие металлические ролики, имеющие цилиндрическую форму. Именно благодаря такой геометрии, эти детали имеют достаточно большую несущую способность и в большинстве случаев способны выдерживать весьма значительные нагрузки, чем их шариковые аналоги. Роликовые подшипники являются высокоточными деталями, и поэтому при их разработке и проектировании правильный расчет объема цилиндра (в данном случае – ролика) играет немаловажную роль.
simple-math.ru
Калькулятор для расчета рабочего объема цилиндров двигателя автомобиля
Рабочий объем цилиндра представляет собой объем находящийся между крайними позициями движения поршня.
Формула расчета цилиндра известна еще со школьной программы – объем равен произведению площади основания на высоту. И для того чтобы вычислить объем двигателя автомобиля либо мотоцикла также нужно воспользоваться этими множителями. Рабочий объём любого цилиндра двигателя рассчитывается так:
где,
h — длина хода поршня мм в цилиндре от ВМТ до НМТ (Верхняя и Нижняя мёртвая точки)
r — радиус поршня мм
п — 3,14 не именное число.
Как узнать объем двигателя
Для расчета рабочего объема двигателя вам будет нужно посчитать объем одного цилиндра и затем умножить на их количество у ДВС. И того получается:
Vдвиг = число Пи умножено на квадрат радиуса (диаметр поршня) умноженное на высоту хода и умноженное на кол-во цилиндров.
Поскольку, как правило, параметры поршня везде указываются в миллиметрах, а объем двигателя измеряется в см. куб., то для перевода единиц измерения, результат придется разделить еще на 1000.
Заметьте, что полный объем и рабочий, отличаются, так как поршень имеет выпуклости и выточки под клапана и в него также входить объем камеры сгорания. Поэтому не стоит путать эти два понятия. И чтобы рассчитать реальный (полный) объем цилиндра, нужно суммировать объем камеры и рабочий объем.
Определить объем двигателя можно обычным калькулятором, зная параметры цилиндра и поршня, но посчитать рабочий объем в см³ нашим, в режиме онлайн, будет намного проще и быстрее, тем более, если вам расчеты нужны, дабы узнать мощность двигателя, поскольку эти показатели напрямую зависят друг от друга.
Объем двигателя внутреннего сгорания очень часто также могут называть литражом, поскольку измеряется как в кубических сантиметрах (более точное значение), так и литрах (округленное), 1000 см³ равняется 1 л.
Расчет объема ДВС калькулятором
Чтобы посчитать объем интересующего вас двигателя нужно внести 3 цифры в соответствующие поля, — результат появится автоматически. Все три значения можно посмотреть в паспортных данных автомобиля или тех. характеристиках конкретной детали либо же определить, какой объем поршневой поможет штангенциркуль.
Таким образом, если к примеру у вас получилось что объем равен 1598 см³, то в литрах он будет обозначен как 1,6 л, а если вышло число 2429 см³, то 2,4 литра.
Длинноходный и короткоходный поршень
Также замете, что при одинаковом количестве цилиндров и рабочем объеме двигатели могут иметь разный диаметр цилиндров, ход поршней и мощность таких моторов так же будет разной. Движок с короткоходными поршнями очень прожорлив и имеет малый КПД, но достигает большой мощности на высоких оборотах. А длинноходные стоят там, где нужна тяга и экономичность.
Следовательно, на вопрос «как узнать объем двигателя по лошадиным силам» можно дать твердый ответ – никак. Ведь лошадиные силы хоть и имеют связь с объемом двигателя, но вычислить его по ним не получится, поскольку формула их взаимоотношения еще включает много разных показателей. Так что определить кубические сантиметры двигателя можно исключительно по параметрам поршневой.
Зачем нужно проверять объем двигателя
Чаще всего узнают объем двигателя когда хотят увеличить степень сжатия, то есть если хотят расточить цилиндры с целью тюнинга. Поскольку чем больше степень сжатия, тем больше будет давление на поршень при сгорании смеси, а следовательно, двигатель будет более мощным. Технология изменения объема в большую сторону, дабы нарастить степень сжатия, очень выгодна — ведь порция топливной смеси такая же, а полезной работы больше. Но всему есть свой предел и чрезмерное её увеличение грозит самовоспламенением, вследствие чего происходит детонация, которая не только уменьшает мощность, но и грозит разрушением мотора.
etlib.ru
Объема цилиндра: теория, расчет, формула
Дата публикации
Применение геометрических фигур активно осуществляется абсолютно во всех отраслях народного хозяйства, промышленности и так далее. Именно поэтому данный предмет так детально изучается в школьной программе. Но далеко не все из нас хорошо овладели этой интересной наукой, поэтому вашему вниманию предлагается вспомнить о том, что такое цилиндр и как рассчитать его объем? То есть прежде чем выяснить, что такое объем цилиндра, нужно понимать, что это за фигура такая. Цилиндр – это объемная фигура, состоящая из следующих элементов: двух параллельных одинаковых окружностей (площади кругов равны) и образующих цилиндра, соединяющих эти окружности. Но есть одно условие – образующие цилиндра и ось оного должны быть перпендикулярными к обеим окружностям, то есть одна окружность является в буквальном смысле слова зеркальным отображением другой.
Нами был описан самый простой пример – прямой круговой цилиндр. Но в жизни мы можем встретить не только таковые, ведь их разнообразие настолько велико, что описать их все практически невозможно. Но не будем углубляться, а рассмотрим самый обычный простой цилиндр. Итак, теперь, когда мы знаем, что такое цилиндр, можно вычислить его объем. А что такое объем? Другими словами можно провести небольшое сравнение – это своеобразная вместимость сосуда. Из этого определения понятно, что такой характеристикой не могут обладать идеальные плоские фигуры, а лишь трехмерные, коим и является цилиндр.
Теперь перейдем немного к цифрам и вычислениям. Чтобы узнать, чему равен объем цилиндра, необходимо воспользоваться хорошо всем известной формулой, по которой он вычисляется: V= πr² h
Теперь рассмотрим все величины данной формулы:
V – объем цилиндра;
π – число Пи;
r – радиус окружности;
h – высота цилиндра.
С объемом цилиндра мы разобрались, радиус окружности понятен, а что такое число Пи и высота цилиндра?
Число Пи – это постоянная, показывающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. Принято считать, что численно оно равно 3,14. Хотя на самом деле это число после целой части имеет 10 триллионов знаков (по вычислениям за 2011 год)! Но для удобства мы будем пользоваться общепринятым размером, так как нам вовсе не нужны высокоточные расчеты. Хотя, например, в космонавтике используют максимально возможное количество символов после запятой!
Высота цилиндра – это перпендикулярное расстояние между двумя его плоскостями, в нашем случае – окружностями. Высотой является образующая цилиндра. Причем самое интересное, что данная величина абсолютно одинакова по всей длине сопряженных окружностей цилиндра.
Теперь, когда известны все переменные в уравнении, появляется вопрос о том, а почему именно так? Объясним это на примере параллелепипеда. Всем известно, что его объем равен произведению трех его измерений: длины, ширины и высоты. А площадь основания данной фигуры равна произведению длины на ширину, т.е. получается, что объем равен произведению площади основания на высоту. А теперь вернемся к нашему цилиндру, все аналогично: V=Sh, где S – площадь основания цилиндра, так как в основании у нас окружность, а площадь окружности равна: S=πr².
Теперь мы с вами знаем, как вычислить объем цилиндра, но что это может нам дать? Каково практическое применение приобретенным знаниям? В быту эти знания сводятся к минимуму, например, можно рассчитать, какой объем воды наполнит тот или иной цилиндрический объект, сколько поместится сыпучих материалов в той или иной цилиндрической таре. Хотя нам можно обойтись и без этого. А вот в промышленности без таких знаний просто не обойтись. Например, при производстве труб различного назначения можно рассчитать, какой объем жидкости или газа они будут пропускать за единицу времени и т.д.
Для расчета объема трубы введите в калькулятор внутренний диаметр (в миллиметрах) и длину трубы (в метрах). В результате вы увидите полный объем и объем погонного метра, как в метрах кубических, так и в литрах.
Объем трубы важен при расчете систем отопления, газопроводов и водопроводов. Так же при строительстве скважин и колодцев.
Поделитесь с друзьями в соцсетях…
Похожее
kalkulyator.life
Калькулятор расчета объема и площади трубы
Инструкция для калькулятора онлайн расчета площади и объема трубы
Все параметры указываем в мм
L – Труба в длину.
D1 – Диаметр по внутренней части.
D2 – Диаметр по внешней части трубы.
При помощи данной программы, Вы сможете рассчитать объем воды или другой любой жидкости в трубе.
Для точного вычисления объема системы отопления к полученному результату необходимо прибавить объем отопительного котла и радиаторов. Как правило, эти параметры указаны в паспорте на изделии.
По результатам подсчетов, Вы узнаете объем трубопровода общий, на погонный метр, площадь поверхности трубы. Как правило, площадь поверхности применяется для подсчета требуемого количества лакокрасочного материала.
При вычислении необходимо указать наружный и внутренний диаметр трубопровода и его длину.
Программа выполняет вычисления поверхности труб по следующей формуле P=2*π*R2*L.
Вычисления объема трубы выполняется по формуле V=π*R1^2*L.
Где,
L— длина трубопровода.
R1— внутренний радиус.
R2— наружный радиус.
Как правильно выполняются вычисления объема тел
Расчет объема цилиндра, труб и других физических тел – классическая задача из прикладной науки и инженерной деятельности. Как правило, данная задача не является тривиальной. Согласно аналитическим формулам для вычисления объема жидкостей в различных телах и емкостях может оказаться очень затруднительным и громоздким. Но, в основном объем простых тел можно вычислить достаточно просто. К примеру, при помощи нескольких математических формул Вы сможете определить объем трубопровода. Как правило, количество жидкости в трубах определяется значением м3 или метры кубические. Однако в нашей программе, Вы получаете все расчеты в литрах, а площадь поверхности определяется в м2 – квадратных метрах.
Полезная информация
Размеры стальных трубопроводов для газоснабжения, отопления или водоснабжения указываются в целых дюймам (1″,2″) или его долях (1/2″, 3/4″). За 1″ согласно общепринятым меркам принимают 25,4 миллиметра. На сегодняшний де
o-builder.ru
Калькулятор объёма трубы | GAUGE
!Внимание. Используйте точки вместо запятой для указания дробных чисел. Например так: 7.5
Объём чего можно вычислить с помощью данного калькулятора
Можно определить объём условного прохода. Для этого нужно:
указать внутренний диаметр
поле «толщина стенки» оставить пустым
указать требуемую длину трубопровода
Можно вычислить объём цилиндра. Для этого нужно сделать тоже самое что и предыдушем пункте.
Расчитать объём:
пластиковых труб (пвх, ппл, пнд)
металлопластиковой трубы
утеплителя, изоляции трубы
стекляной трубы
любого предмета имеющего форму цилиндра или трубы
Их вычисление ничем не отличается в теории. Но тут нужно опираться на здравый смысл, опыт и знание материала, нюансов вычисления их объёма.
Формула расчёта
Чтобы используя формулу самостоятельно посчитать объём жидкости (воды в данном случае), необходимо знать сечение трубы и толщину стенки. Или сразу указать диаметр условного прохода (внутренний диаметр иными словами).
Вычисление м3 происходит по следующей формуле:
V = R^2 * Пи * L
R1 — внутренний радиус для внутреннего объёма трубы
R2 — внешний радиус для объёма занимаемого трубой, для общего иными словами
L — длина трубы
Пример вычисления:
Труба с внешним диаметром 150 мм, толщина стенки 5 мм, длина трубы 2 метра.
V = 0,075 * 0,075 * 3,141592 * 2 = 0,03078 кубометра внутри 2 метрового трубопровода.
0,075 — потому что 75 мм нужно перевести в метры, ведь получить нужно в метрах значение.
1 куб объёма это 1000 литров воды, значит вычисленное значение покажет нам что трубопровод вмещает 0,03078*1000 = 30,7 литров воды.
*Отказ от ответственности. Несмотря на страния предоставлять верные данные, может быть допущена ошибка в вычислениях. Используйте данные на свой риск и страх. При повышенной важности, обязательно сверяйтесь с другими источниками.
gauge.tk
Как посчитать объем трубы при выборе расширительного мембранного бака.
Как посчитать объем трубы.
Данные вычисления требуются для определения объёма системы отопления, при выборе расширительного мембранного бака.
Объём расширительного мембранного бака подбирается из расчета не менее 10% от всего литража системы.
Определите радиус трубы R. Если необходимо рассчитать внутренний объем трубы, то надо найти внутренний радиус. Если необходимо рассчитать объем, занимаемый трубой, следует рассчитать радиус внешний. Путем измерений можно легко получить диаметр (как внутренний, так и внешний) и длину окружности сечения трубы. Если известен диаметр трубы, поделите его на два. Так, R=D/2, где D — диаметр. Если известна длина окружности сечения трубы, поделите его на 2*Пи, где Пи=3.14159265. Так, R=L/6,28318530, где L — длина окружности.
Найдите площадь сечения трубы. Возведите значение радиуса в квадрат и помножьте его на число Пи. Так, S=Пи*R*R, где R — радиус трубы. Площадь сечения будет найдена в той же системе единиц, в которой было взято значение радиуса. Например, если значение радиуса представлено в сантиметрах, то площадь сечения будет вычислена в квадратных сантиметрах.
Вычислите объем трубы. Помножьте площадь сечения трубы на нее длину. Объем трубы V=S*L, где S — площадь сечения, а L — длина трубы.
Программа расчета объема воды в трубе и радиаторах
Внутренний диаметр трубы, мм. =
объём секции радиатора, литров =
Длина трубы, м =
количество секций радиатора, шт. =
Объем воды в трубе, м³ =
объём воды в радиаторе, м³ =
Объем воды в трубе, литров =
объём воды в радиаторе, литров =
Объем воды в системе, м³ =
Объем воды в системе, литров =
Таблица объёма жидкости в одном метре трубы:
Внутренний диаметр,
мм
Внутренний объем 1 м погонного трубы,
литров
Внутренний диаметр,
мм
Внутренний объем 1 м погонного трубы,
литров
4
0,0126
105
8,6590
5
0,0196
110
9,5033
6
0,0283
115
10,3869
7
0,0385
120
11,3097
8
0,0503
125
12,2718
9
0,0636
130
13,2732
10
0,0785
135
14,3139
11
0,0950
140
15,3938
12
0,1131
145
16,5130
13
0,1327
150
17,6715
14
0,1539
160
20,1062
15
0,1767
170
22,6980
16
0,2011
180
25,4469
17
0,2270
190
28,3529
18
0,2545
200
31,4159
19
0,2835
210
34,6361
20
0,3142
220
38,0133
21
0,3464
230
41,5476
22
0,3801
240
45,2389
23
0,4155
250
49,0874
24
0,4524
260
53,0929
26
0,5309
270
57,2555
28
0,6158
280
61,5752
30
0,7069
290
66,0520
32
0,8042
300
70,6858
34
0,9079
320
80,4248
36
1,0179
340
90,7920
38
1,1341
360
101,7876
40
1,2566
380
113,4115
42
1,3854
400
125,6637
44
1,5205
420
138,5442
46
1,6619
440
152,0531
48
1,8096
460
166,1903
50
1,9635
480
180,9557
52
2,1237
500
196,3495
54
2,2902
520
212,3717
56
2,4630
540
229,0221
58
2,6421
560
246,3009
60
2,8274
580
264,2079
62
3,0191
600
282,7433
64
3,2170
620
301,9071
66
3,4212
640
321,6991
68
3,6317
660
342,1194
70
3,8485
680
363,1681
72
4,0715
700
384,8451
74
4,3008
720
407,1504
76
4,5365
740
430,0840
78
4,7784
760
453,6460
80
5,0265
780
477,8362
82
5,2810
800
502,6548
84
5,5418
820
528,1017
86
5,8088
840
554,1769
88
6,0821
860
580,8805
90
6,3617
880
608,2123
92
6,6476
900
636,1725
94
6,9398
920
664,7610
96
7,2382
940
693,9778
98
7,5430
960
723,8229
100
7,8540
980
754,2964
—
—
1000
785,3982
teplokom.su
Объём воды в трубе, таблица, примеры расчёта, формула
Проектирование системы отопления, водопровода и даже канализации часто требует провести точный расчет объема трубы, и как это сделать, а главное, зачем это делать, знают не все. Прежде всего, объём трубы позволяет выбрать нужное отопительное или насосное оборудование, резервуары для воды или теплоносителя, просчитать габариты, которые будет занимать система трубопроводов, что в условиях тесных или подвальных помещений важно. Также объем теплоносителей может сильно отличаться из-за разной плотности жидкостей, поэтому и диаметры труб для води и, например, антифриза, могут быть разными.
Калькулятор
Расчет объема
К тому же, антифриз может поступать в продажу разбавленным или концентрированным, что также влияет на расчеты и конечный результат. Разбавленный антифриз замерзает при -300С, неразбавленный будет работать и при -650С.
Формулы расчетов
Самый простой способ рассчитать объем трубы – воспользоваться онлайн сервисом или специальной десктопной (настольной) программой. Второй способ – вручную, и для этого понадобится обычный калькулятор, линейка и штангенциркуль, которым измеряют внутренний и наружный радиусы трубы (на всех чертежах и схемах радиус обозначается символом R или r). Можно воспользоваться значением диаметра (D или d), который вычисляется по простой формуле: R x 2 или R2. Чтобы вычислить объем воды в трубе в кубах, также понадобится узнать длину цилиндра L (или l).
Измерение внутреннего радиуса позволит узнать, сколько воды или другой жидкости в цилиндре. Результат отражается в кубических метрах. Знать наружный диаметр трубы необходимо для расчета габаритов того места, где будет прокладываться трубопровод.
Последовательность расчетов такова: сначала узнаю́т площадь сечения трубы:
S = R x ∏;
Площадь цилиндра – S;
Радиус цилиндра – R;
∏ – 3,14159265.
Результат S умножают на длину L трубы – это и будет полный рассчитанный объем. Расчет объема по сечению и длине цилиндра выглядит так:
Vтр = Sтр x Lтр;
Объем цилиндра – Vтр;
Площадь цилиндра – Sтр;
Длина цилиндра – Lтр.
Пример:
Стальная труба Ø = 0,5 м, L = 2 м;
Sтр = (Dтр / 2) = ∏ х (0,5 / 2) = 0,0625 м2.
Конечная формула, как рассчитать объем трубы, будет выглядеть следующим образом:
V = H х S = 2 х 0,0625 = 0,125 м3;
Где:
H – толщина стенки трубы.Толщина стенок любой трубы
Эта формула позволяет узнать, как посчитать объем трубы с любыми заданными параметрами и из любого материала, а также отдельные участки составного трубопровода. Чтобы не путаться в параметрах результатов, необходимо сразу выражать их в одних и тех же единицах, например, в метрах и кубических метрах, или в сантиметрах и кубических сантиметрах. Из компьютерных программ для начинающих пользователей или для тех, кто предполагает проводить одноразовые расчеты, можно предложить VALTEC.PRG, Unitconverter, Pipecalc и другие.
Как вычислить площадь поперечного сечения трубы
Для круглой трубы площадь поперечного сечения рассчитывается с использованием площади круга по следующей формуле:
Sтр = ∏ х R2;
Где:
R – внутренние радиус трубы;
∏ – постоянная величина 3,14.
Пример:
Sтр Ø = 90 мм, или R = 90 / 2 = 45 мм или 4,5 см. Согласно формуле, Sтр = 2 х 20,25 см2 = 40,5 см2, где 20,25 – это 4,5 см в квадрате.
Параметры трубопровода
Площадь сечения профилированной трубы Sпр нужно рассчитывать по формуле, применяемой для вычисления площади прямоугольной фигуры:
Sпр = a х b;
Где:
a и b – стороны прямоугольной профилированной трубы. При сечении трубопровода 40 х 60 мм параметр Sпр = 40 мм х 60 мм = 2400 мм2 (20 см2, или 0,002 м2).
Как рассчитать объем воды в водопроводной системе
Для расчета объема трубы в литрах в формулу следует подставлять внутренний радиус, но это не всегда возможно, например, для радиаторов сложной формы или расширительной емкости с перегородками, для отопительного котла. Котел отопления.
Поэтому сначала нужно узнать объем изделия (обычно из технического паспорта или другой сопроводительной документации). Так, у чугунного стандартного радиатора объем одной секции равен 1,5 л, для алюминиевых – в зависимости от конструкции, вариантов которых может быть достаточно много.Геометрические параметры алюминиевых радиаторов
Узнать объем расширительного бачка (как и других нестандартных емкостей любого назначения) можно, залив в него заранее измеренный объем жидкости. Для подсчетов объема любой трубы нужно измерить ее диаметр, затем вычислить объем одного погонного метра, и умножить результат на длину трубопровода.
В справочной литературе, предназначенной для регламентирования параметров труб, приведены таблицы со значениями, которые нужны для расчетов объемов труб и других изделий. Эта информация является ориентировочной, но достаточно точной для того, чтобы использовать ее на практике. Выдержка из такой таблицы приведена ниже, и она пригодится для домашних расчетов:
Ø внутр, мм
Vвнутр 1 погонного метра трубы, л
Vвнутр 10 погонных метров трубы, л
4,0
0,0126
0,1257
5,0
0,0196
0,1963
6,0
0,0283
0,2827
7,0
0,0385
0,3848
8,0
0,0503
0,5027
9,0
0,0636
0,6362
10,0
0,0785
0,7854
11,0
0,095
0,9503
12,0
0,1131
1,131
13,0
0,1327
1,3273
14,0
0,1539
1,5394
15,0
0,1767
1,7671
16,0
0,2011
2,0106
17,0
0,227
2,2698
18,0
0,2545
2,5447
19,0
0,2835
2,8353
20,0
0,3142
3,1416
21,0
0,3464
3,4636
22,0
0,3801
3,8013
23,0
0,4155
4,1548
24,0
0,4524
4,5239
26,0
0,5309
5,3093
28,0
0,6158
6,1575
30,0
0,7069
7,0686
32,0
0,8042
8,0425
Параметры пластиковых труб
Материал, из которого изготавливаются трубы для водопровода или канализации, может быть разным, соответственно, характеристики труб тоже будут отличаться. Стальные трубы, например, которые имеют большой внутренний диаметр, пропустят намного меньшее количество воды, чем аналогичные трубы из пластика или пропилена.
Это происходит из-за разной гладкости внутренней поверхности трубы – у железных изделий она намного меньше, а ППР и ПВХ трубы не имеют шероховатостей на внутренних поверхностях. Но металлические трубы помещают в себя больший объем жидкости, чем изделия из других материалов с одинаковым внутренним сечением. Поэтому все расчеты для труб из разных материалов необходимо проверять, и сделать это можно как в онлайн калькуляторе, так и в настольной компьютерной программе, специально для этого предназначенной.Десктопная программа для расчетов объема
Условный проход
Наружный диаметр
Толщина стенки труб
Масса 1 м труб, кг
Легких
Обыкновенных
Усиленных
Легких
Обыкновенных
Усиленных
6
10,2
1,8
2,0
2,5
0,37
0,40
0,47
8
13,5
2,0
2,2
2,8
0,57
0,61
0,74
10
17,0
2,0
2,2
2,8
0,74
0,80
0,98
15
21,3
2,35
–
–
1,10
–
–
15
21,3
2,5
2,8
3,2
1,16
1,28
1,43
20
26,8
2,35
1,42
–
20
26,8
2,5
2,8
3,2
1,50
1,66
1,86
25
33,5
2,8
3,2
4,0
2,12
2,39
2,91
32
42,3
2,8
3,2
4,0
2,73
3,09
3,78
40
48,0
3,0
3,5
4,0
3,33
3,84
4,34
50
60,0
3,0
3,5
4,5
4,22
4,88
6,16
65
75,5
3,2
4,0
4,5
5,71
7,05
7,88
80
88,5
3,5
4,0
4,5
7,34
8,34
9,32
90
101,3
3,5
4,0
4,5
8,44
9,60
10,74
100
114,0
4,0
4,5
5,0
10,85
12,15
13,44
125
140,0
4,0
4,5
5,5
13,42
15,04
18,24
150
165,0
4,0
4,5
5,5
15,88
17,81
21,63
Если схема вашего трубопровода имеет свою специфику, рассчитать точные параметры для требуемого расхода жидкости можно по формулам, которые приведены выше.
jsnip.ru
Как посчитать объем трубы в м3 и литрах?
Расчет объема трубы – задача, необходимая в строительстве, ремонте, замене трубопровода и не только. Существует несколько вариантов такого вычисления.
Онлайн
Онлайн-расчет включает в себя несколько доступных способов посчитать объем цилиндра – трубы любого типа из любого материала.
Самый простой – воспользоваться сайтом с уже готовым калькулятором – в него нужно внести только диаметр (внутренний и внешний) и общую длину трубопровода. Все указывается в миллиметрах. Остальное программа подставляет и вычитает самостоятельно.
Есть программы для расчета – их удобнее использовать, когда нужно узнать объем жидкости (не обязательно воды). В них к результату объема радиаторов (отопительного котла), указанного в паспортах изделий, прибавляется рассчитанный объем системы отопления. Результат – точный общий объем труб, площади поверхности, объема трубы на погонный метр. Данные можно использовать и для того, чтобы точно вычислить количество краски, необходимой для отделки трубопровода.
Также в Интернете есть таблицы, составленные на основе конкретного диаметра труб и внутреннего объема погонного метра трубы в литрах. Таблицы можно найти для любых видов трубопровода и материалов, всяческой жидкости (воды, антифриза или теплоносителя для изоляции).
Расчет по формуле объема трубы
Второй способ включает в себя использование формулы, применяемой многими инженерами.
Для расчетов понадобятся:
калькулятор;
штангенциркуль;
линейка.
В первую очередь нужно определить радиус трубы (обозначается буквой R). Есть радиус внутренний и внешний – для внутреннего и внешнего объема. Внутренний – позволяет рассчитать количество жидкости, которое может вместить цилиндр. Внешний – чтобы определить, сколько места будет занимать труба. Кроме радиуса может также понадобится диаметр (обозначается как D, и равен R × 2) и длина окружности (L).
Посчитать объем можно только после вычисления площади сечения. Вычисляется она по формуле S = R × Пи, где S – это искомая площадь, R – радиус, Пи = 3,14159265. Получив параметры сечения, умножим их на длину трубы и получим объем.
Формула выглядит так: V = S × L, где V – это объем трубы, S – площадь сечения, L – длина.
Читайте также: Как с металлическими соединить полипропиленовые трубы
Таким образом рассчитывается объем любой трубы (не важно, из какого материала), и если трубопровод составлен из разных составных частей (в том числе – коленей, разъемов, заглушек и т. д.) – по формуле можно рассчитать и параметры каждой из этих частей.
Важный момент – обязательно нужно убедиться в том, что все параметры (длина, радиус) выражены в одних и тех же единицах измерения. Легче всего рассчитывать по сантиметрам квадратным. Если упустить несовпадение, то можно получить очень далекие от реальных значения. В результате это выльется в траты, многочисленные проблемы и задержки в произведении ремонта или строительства.
Если приходится часто производить вычисления – в память калькулятора можно сразу вбить постоянный параметр. Например, удвоенное значение Пи. Так получится в два раза быстрее вычислять объем для труб различного диаметра.
Внести в память можно и готовые формулы или даже скачать на компьютер или мобильное устройство программу, в которой заранее прописывается стандартная часть параметров. И при каждом новом расчете можно будет дописывать только переменные значения.
Расчет по объему жидкости
Труба имеет форму цилиндра, и при расчетах полезного объема упор делается на емкости – вместимости жидкости.
Объем цилиндра рассчитывается по формуле V = Пи × R × R × H (H или L высота либо длина трубы). Полученный объем одного погонного метра умножаем на непосредственный метраж трубы.
Можно пользоваться справочными материалами – например, в НТС 62-91-6 приводится столбик с точным объемом воды в одном погоном метре трубы с указанием массы воды.
Массу также несложно вычислить самостоятельно – объем воды (получившиеся при расчетах метры кубические) умножаем на 1000.
Также стоит учитывать, что отдельно рассчитывается полезная вместимость, учитывающая толщину стенки трубы. Если нет возможности узнать толщину из паспорта изделия (или у производителя) – ее можно рассчитать самостоятельно. Самый простой, но немного неточный способ – померить стенки штангенциркулем. Можно также воспользоваться формулой: внутренний радиус = наружный диаметр – двойная толщина стенок обечайки.
То есть, соответственно, толщина стенок будет считаться так:
Толщина = (наружный – внутренний радиусы) / 2
Но лучше все же ориентироваться на более точные производственные параметры, указываемые в паспорте, на сайте производителя. Можно даже позвонить производителю, чтобы уточнить совершенно точно. Всего пару миллиметров расхождения в результате могут обернуться очень большой погрешностью в расчетах.
canalizacii.ru
Объем трубы. Расчета внешнего и внутреннего объема для труб различного профиля
Объем воды в трубе, как и некоторые другие параметры, приходится просчитывать при прокладке коммуникаций и выполнении ремонтных работ. Неаккуратное проведение расчетов может обернуться неприятностями в виде излишних затрат на транспортировку и монтаж. Куда худшими последствиями небрежности станут недостаточное или избыточное давление в системе, что приведет к неизбежным переделкам из-за низкой производительности или преждевременного износа.
От такого параметра, как объем трубы, зависит количество рабочей среды, которая будет транспортироваться по трубопроводу
Как выполняется расчет на промышленном объекте
Объем водопроводной, газовой, канализационной или отопительной трубы рассчитывается в двух видах:
Внешнем или фактическом.
Внутреннем или полезном.
Перед тем, как посчитать объем трубы, следует определиться, о каком именно виде идет речь. Если требуется рассчитать объемы газа или жидкости, которые будут перекачиваться, то расчет относится к внутреннему или полезному виду.
На значительных по масштабам объектах начало работ сопряжено с проведением входного контроля, ставящего целью проверку труб на предмет наличия:
сопроводительной документации;
сертификатов;
маркировки, нанесенной компанией-производителем на поверхности изделий.
На этом этапе получают все необходимые сведения о трубопрокате, включая номинальные размеры, что позволяет проведение требуемых вычислений. Для того, чтобы выполнить расчет объема наиболее распространенной трубы с круглым сечением, нужно получить данные о ее длине и диаметре.
Полезно знать! Фактическую длину на производственном объекте замеряют, используя строительную рулетку или мерную проволоку. При этом отмечается имеющиеся отклонения от данных, внесенных в заводскую документацию, и их соответствие нормативам, установленным ГОСТами.
Здесь задействованы такие величины: D – наружного диаметра; L – длины внешней окружности изделия; π — 3,14; ∆p – толщины материала, использованного для изготовления строительной рулетки; допустимого припуска в 0,2 мм, относящегося к прилеганию мерного инструмента к поверхности изделия.
При проведении сверки наружного диаметра учитываются установленные ГОСТами значения отклонений и погрешностей.
Как выполняется расчет внешнего (фактического) объема круглой трубы
Основной величиной, необходимой при проведении вычислений, будет диаметр изделия. Следует учитывать, что измерения стальных труб традиционно принято выполнять в так называемой имперской системе, оперирующей дюймами и долями дюймов. Переводя в более привычную метрическую систему, принимаем величину дюйма за 25, 4 мм. Однако для диаметра трубы в обычном исполнении он принимается за 25,5 мм, в усиленном исполнении – за 27,1 мм. Незначительными отклонениями принято пренебрегать, применяя в выполнении расчетов безразмерную величину условного прохода – Ду, определяемого с использованием специальных таблиц.
Выполнение соединений стальных труб с диаметром, указанным в имперской системе – в дюймах, с пластиковыми, алюминиевыми или медными, диаметр которых принято указывать, используя метрическую систему, в миллиметрах, проводится при помощи специальных переходников.
Расчет объема воды для системы теплоснабжения сводится, по обыкновению, к определению необходимости в незамерзающей жидкости, чтобы избежать расходов при появлении излишков. Вычисления сводятся к использованию размеров расширительного бака, замеру его диаметров:
внешнего;
внутренней полости.
Измеряя диаметр трубы в метрической системе, следует знать, как правильно перевести полученное значение в дюймы
Используется формула объема цилиндра:
V = πR2H.
Здесь мы имеем дело с V – искомым внешним (фактическим объемом) круглой трубы; π – 3,14; R – внешним радиусом изделия; H – высотой цилиндра или длиной трубы.
Выполнение расчета внутреннего (полезного) объема круглой трубы
Такой показатель, как толщина стенок, оказывает довольно значительное влияние на определение объема труб, определяя разницу между внешним и внутренним (полезным и фактическим).
Обратите внимание! Так как при поставках стальных водогазопроводных изделий принято оперировать лишь величиной условного прохода Ду и типом (легким, обыкновенным или усиленным), то для вычисления объема приходится обращаться к табличным данным, содержащимся в ГОСТе 3262-75.
Работа с ГОСТовской таблицей ведется в таком порядке:
Из левой колонки берется величина условного прохода — Ду и соответствующее ей значение наружного диаметра в следующей колонке.
Зная тип трубы, производится вычитание из величины наружного диаметра удвоенной толщины стенки.
Полученное значение внутреннего диаметра делением на два превращается в значение радиуса внутреннего сечения.
Для вычисления площади данного сечения пользуются формулой
S = πr2, где:
S – искомая площадь; π – 3,14; r – радиус внутреннего сечения.
Определение внутреннего (полезного) объема круглой трубы осуществляется посредством формулы
V = SL, в которой:
V – искомый внутренний (полезный) объем; S – площадь внутреннего сечения; L – длина трубы.
Для расчета полезного объема трубы нужно знать ее внутренний диаметр
Проведем вычисление полезного объема обыкновенной трубы при условном проходе, равном 100. Табличное значение наружного диаметра в этом случае будет равняться 114 мм, а толщины стенок – 4,5 мм. Произведя вычитание 114 – 2х4,5, получим значение внутреннего диаметра – 105 мм, половину которого составит радиус, равный, соответственно, 52,5 мм. Переведем для удобства дальнейших расчетов в метры – 0,0525 м. Площадь сечения составит 0,0525 м, умноженные на π -0,16485 м3, округляемые до 0,165 м3. Для перевода в литры полученное значение умножается на 1000, получаем – 165 литров.
Как выполняются расчеты объема труб с профильным сечением
Как правило, описывая проведение вычислений объема трубопроката, по умолчанию ведут речь исключительно об изделиях круглого сечения. Однако в современный обиход все более активно включаются профильные трубы, обладающие различным по форме сечением:
овальным;
квадратным;
прямоугольным;
трапециевидным.
При прямоугольном сечении вычисление объема трубы ведется по формуле V = SH (в развернутом виде – abH), т. е. требуются данные о габаритах изделия – длине, ширине, высоте. При сечении 15х10 мм для пятиметрового отрезка получаем 0,015х0,010х5, что равняется 0,0075 м3 или семи с половиной литрам.
Вычисления для изделия с квадратным сечением упрощаются, так как необходимо знать значения только одной стороны сечения и длины. Формула такова:
V = а2H.
При сечении 180х180 мм для пятиметрового отрезка получаем 0,182х5, что равняется 0,16 м3 или 160 литрам.
При овальном сечении применяют формулу:
V = SL.
Вычисление площади овального сечения ведется с использованием формулы S = πав, где нужно подставить значения длины большой и малой полуосей эллипса (овала).
Проще всего рассчитать объем квадратной профильной трубы, так как все четыре ее стороны одинаковые
Трапециевидное сечение труб, все чаще используемое, наряду с прямоугольным, при обустройстве канализации или дымохода, для определения объема предполагает применение все той же формулы V = SL. Для вычисления площади трапеции берется формула S = 0,5 ав.
Появление все большего количества специальных компьютерных программ для проведения расчетов в отношении трубопроката различного профиля позволяет существенно упростить процесс. Достаточно воспользоваться услугами какого-либо онлайн-калькулятора и ввести имеющиеся в распоряжении данные, чтобы моментально получить необходимые результаты.
Чему равно число в степени 1? Любое ли число можно возвести в первую степень?
Определение.
Для любого a
Таким образом, по определению, в первую степень можно возвести любое число.
Каким бы ни было это число — целым, дробным, положительным, отрицательным, рациональным или иррациональным — при возведение в степень 1 в результате получаем то же самое число.
Другими словами, число в степени 1 равно самому числу:
3 в степени 1 равно 3;
5 в степени 1 равно 5 и т.д.
Примеры.
В алгебре степень 1 обычно не пишется. Но при действиях со степенями — учитывается.
Например,
www.algebraclass.ru
Степень -1 | Алгебра
Как возвести число в степень -1?
По определению степени с отрицательным показателем,
Например,
Число в минус первой степени и данное число являются взаимно обратными числами.
Чтоьы возвести обыкновенную дробь в степень -1, нужно ее числитель и знаменатель поменять местами («перевернуть»):
Например,
Чтобы возвести в степень минус 1 смешанное число, его предварительно нужно перевести в неправильную дробь. Например,
Чтобы возвести в минус первую степень десятичную дробь, её сначала лучше перевести в обыкновенную:
www.algebraclass.ru
Число в первой и нулевой степени
Степень – это краткая запись произведения одинаковых сомножителей.
Пример:
7 · 7 · 7 · 7 = 74
В записи 74 число 7 – это основание степени, то есть число повторяющееся сомножителем, а число 4 – показатель степени, то есть число, показывающее количество одинаковых сомножителей.
Первая степень числа
Любое число в первой степени равно самому себе, так как показатель степени 1 указывает что число берётся сомножителем всего один раз, то есть оно ни на что не умножается,а просто остаётся без изменений.
Примеры:
71 = 7, 1001 = 100, -251 = -25
Нулевая степень числа
Любое число в нулевой степени (за исключением 0) равно 1:
70 = 1, 1000 = 1, -250 = 1
Чтобы разобраться почему число в нулевой степени равно 1, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Следовательно, если разделить одинаковые степени с одинаковыми основаниями, то в результате получится основание в нулевой степени:
a3 : a3 = a3-3 = a0
Так как два одинаковых числа взятых в одной и той же степени равны, по сути они являются одним и тем же числом, то при их делении в частном получается единица, значит:
a3 : a3 = 1
Следовательно, любое число в нулевой степени равно единице. Это можно легко доказать проведя проверку деления умножением, умножив частное на делитель:
a0 · a3 = a0+3 = a3 или 1 · a3 = a3
naobumium.info
Чему равна 1 в степени «бесконечность»
одному и равно
Предел 1^n при n стремящемся к бесконечности равен 1…
Единице. Сколько раз не умножай единицу на саму себя, получится 1.
1*1*1….*1=1
Не бывает такой степени.
«Сколько овсяник ни тужся, не быть тебе калачом»
Конечно 1.
Около 2- математический парадокс
1 в степени бесконечность будет 1. Если это было бы неопределенностью, то данное выражение принимало бы любое значение. Но это невозможно, поэтому 1 в степени бесконечность равно 1.
Источник: Логика
Илья, не упрощайте. Вот как раз любое значение и будет верным результатом. Если что-то невозможно, это не значит, что оно неверно.
по моему, если 1 в степени бесконечность — то это второй замечательный предел, который нужно преобразовать к виду предел (1+1/х) ^х=е при х стремится к бесконечности
1 в степени бесконечность это неопределенное число.
И даже то, что некоторые трактуют это тем, что неизвестно-чистая единица или с хвостом, все равно в многозначной степени 1 есть 1: 1,00000000000000000000000000000000000005654600000654046540000^461654365313516546541354
Следовательно 1 в степени 1 это = НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ ЧИСЛО
еденица деленная на икс! не слушая тех граматеев!
когда минусовая степень двобь переворачиваеться
1/х
а х в нулевой степени — единица!
x в 1/3 равно корень из x. Вообще, дробная степень определяет цифру над корнем (квадратный корень, корень третьей степени, биквадратный и проч.) А отрицательная степень определяет производную единицы по икс (1/x), как уже сказали многие выше….
Кубический корень. Как извлечь квадратный корень из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:
Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.
*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.
Мы знаем, что:
Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):
Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?
1. Это кубы чисел кратных десяти:
Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.
2. Это свойство чисел при произведении.
Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?
Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.
То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.
При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.
Покажем соответствие в табличке для всех чисел:
Знания представленных двух моментов вполне достаточно.
Рассмотрим примеры:
Извлечь кубический корень из 21952.
Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.
Извлечь кубический корень из 54852.
Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.
Извлечь кубический корень из 571787.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.
Извлечь кубический корень из 614125.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.
Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.
Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.
После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉
На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в Задаче 27125 требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.
Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Кубический корень. Извлечение кубического корня
Кубический корень из a, обозначающийся как 3√a или как a1/3 — решение уравнения x3 = a (обычно подразумеваются вещественные решения).
Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел.
Онлайн калькулятор для расчета кубического корня для положительных и отрицательных чисел.
Алгоритм извлечения кубического корня
Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.
Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становиться больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой a. Вычислите по формуле 300× a2× x+30× a × x2+x3 такое число x, что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное x справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле 300 × a2 × x+30 × a × x2+x3 и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.
В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Не можешь написать работу сам?
Доверь её нашим специалистам
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость
Поделитесь с другими:
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
calcsbox.com
Простые и не очень способы того, как вычислить кубический корень :: SYL.ru
Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.
Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.
Что нужно знать о корне произвольной степени?
Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».
Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.
Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.
Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.
Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.
Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «аn».
В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.
Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.
В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?
Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.
А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.
Извлечение кубического корня на калькуляторе
Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?
На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.
А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».
Извлечение кубического корня вручную
Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.
Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?
В противном случае нужно будет считать столбиком. Алгоритм не самый простой. Но если немного попрактиковаться, то действия легко запомнятся. И вычислить кубический корень больше не будет проблемой.
Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
Выполнить вычитание.
К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
В черновике записать выражение: а2 * 300 * х + а * 30 * х2 + х3. Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.
Наглядный пример вычисления кубического корня
Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.
Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.
15> 23, значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
а = 2. Поэтому: 22 * 300 * х +2 * 30 * х2 + х3 < 7000, или 1200 х + 60 х2 + х3< 7000.
Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
Приписать к остатку три нуля.
а = 24. Тогда 172800 х + 720 х2 + х3< 1176000.
х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.
Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.
Необычный способ извлечения кубического корня
Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.
К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.
Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.
Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.
www.syl.ru
Извлечение кубического корня в столбик
Я уже писала здесь, как можно извлекать в столбик квадратный корень. Однако практически такой же алгоритм, напоминающий деление столбиком (или арабский способ деления) работает и для извлечения корней более высоких степеней. Рассмотрим, как извлекать кубический корень с произвольной точностью, определяя на каждом шаге по одной цифре этого корня. Как и для квадратных корней, буду описывать алгоритм пошагово, и каждый шаг будет сопровождаться примером.
Итак, давайте для примера будем извлекать кубический корень из .
1. Разобьем цифры исходного числа на группы по три цифры в каждой. При этом разбиение начинаем от десятичной запятой, двигаясь влево и вправо.
Пример. В нашем случае разбиение выглядит таким образом: .
2. Извлечем кубический корень из первой слева группы цифр. Разумеется, точно корень может не извлекаться, поэтому возьмем наибольшее число, куб которого меньше числа, образованного данной группой цифр.
Пример. В нашем случае первая слева группа цифр , поэтому первая цифра кубического корня — . Действительно, , а вот уже равно .
3. Возводим найденное число в куб и вычитаем из первой слева группы цифр, к разности приписываем справа следующие три цифры (т.е. цифры следующей группы).
Пример. В нашем случае получаем:
4. Теперь нужно подобрать следующую цифру корня. Для этого квадрат числа, образованного уже имеющимися цифрами, умножаем на и выбираем цифру, при умножении на которую получится число, меньшее, чем число, образованное всеми цифрами разности, кроме двух последних, но достаточно близкое к нему. Однако следует иметь в виду, что если при очередном вычитании получилось отрицательное число, нужно последнюю вычисленную цифру уменьшить на единицу.
Пример. Имеем: , поэтому выбираем цифру (в самом деле, , а ).
5. Умножаем полученное ранее произведение на выбранную цифру, потом еще на , прибавляем к полученному числу квадрат выбранной цифры, умноженный на число, образованное уже найденными цифрами корня, домноженное на , после чего прибавляем еще куб выбранной цифры.
Пример. У нас получится .
6. Из полученной на шаге 3 разности вычитаем число, полученное на шаге 5.
Пример. В нашем случае это будет .
7. Переходим к шагу 4.
Продолжаем данную последовательность шагов алгоритма до тех пор, пока корень не вычислен с требуемой точностью.
Пример. В нашем случае мы возводим в квадрат и умножаем его на : . Теперь подберем цифру, при умножении на которую числа получим близкое к , но меньшее его число. Эта цифра (). Теперь из числа (разность, полученная на предыдущем шаге и приписанная справа следующая группа цифр) нужно вычесть следующую сумму:
Тем самым, разность будет равна нулю, и корень, который оказался точным, извлечен — это .
Теперь приведу запись, которая при этом получается (разумеется, при реальных вычислениях все скорее всего будет не столь красиво и аккуратно ).
Алгоритм основан на формуле куба суммы: .
Для тех же, кому интересно извлечение корней высших степеней, даю ссылку (правда, материал на английском): http://en.wikipedia.org/wiki/Shifting_nth-root_algorithm.
hijos.ru
Кубический корень из числа
Практически каждый человек мечтает совершенствоваться, идти к чему-то более серьёзному и сложному. Все делают это по-своему. Одни ищут работу, на которой, со временем займут руководящие места, другие жаждут просто заработать побольше денег. Всегда считалось, что чем умнее человек, тем больших успехов он добьётся. Но есть и те, которые совершенствуют свой ум и оттачивают искусство вычисления. Кубический корень (его вычисление) – один из распространенных способов “привести мозги в порядок”.
Издревле считалось, что тренировка ума — это путь к обретению мудрости. Древние греки, которые достигли огромных высот в математике, говорили, что ”каждый человек рожден мудрецом, но не каждый его может отыскать внутри себя”. В последнее время стало очень популярно развивать умение проводить сложные, а иногда и громоздские вычисления в уме. Кубический корень, вычислить который не так просто, если число достаточно большое – один из способов. Существует несколько распространенных вариантов, как извлечь кубический корень из числа. Рассмотрим парочку.
Способ номер 1
Иногда можно встретить афиши, гласящие, что один человек проводит в уме сложнейшие вычисления, в том числе и вычисления кубического корня. Какое-то время, было непонятно, как это делается, но вот алгоритм вычисления известен, и каждый может блеснуть своими умениями.
Извлечение кубического корня проводится путем “отсечения от числа”. Сначала нужно запомнить одну простую закономерность: последние цифры и результат возведения в куб, для некоторых чисел, а именно 1, 4, 5, 6 и 9 одинаковы. Давайте рассмотрим конкретный пример. Предположим, нам нужно извлечь кубический корень из числа 85 184. Рассмотрим самую большую группу в данном числе – тысячи, это 85. Какое число, в кубе даст наиболее близкое значение к 85 но при этом не превзойдет его? Это число 4. Теперь рассмотрим оставшиеся числа 184. Заметьте, что оно заканчивается на 4. Единственное однозначное число, которое дает при возведении в 3-ю степень 4-ку в конце многозначного числа, это число 4. Выходит, что ответом на вопрос является число 44. Умножаем его на самого себя 2 раза (44x44x44) и получаем 85184.
Способ номер 2
Кубический корень можно извлечь и с помощью разложения числа в ряд Тейлора. Однако этот вариант намного сложнее, чем предыдущий. Нам понадобится чёткое знание формулы разложения, и все операции нужно будет вычислять уже не в уме, а на бумаге. Так как кубический корень — это возведение числа в степень 1/3, то проведем вычисления с возведением числа 5. Разложив это число в ряд Тейлора, получим ответ, с мизерной погрешностью. Однако вычислений пришлось проводить немало. Поэтому такой способ не самый выгодный с точки зрения экономии времени. Ведь если число очень большое, то потребуется приложить много усилий для решения
Есть конечно ещё один способ, калькулятор. На инженерных калькуляторах есть возможность одним нажатием кнопки извлечь корень кубический из числа. Как уже было сказано выше, способов извлечения кубического корня из числа очень много. И все время находятся энтузиасты, которые пробуют все новые и новые варианты. Сейчас, при желании, можно найти таблицы со значением кубических корней всех чисел. Вы можете сами, забавы ради или для «разминки мозгов», составить свою таблицу. Конечно, это дело не одного дня, однако подобное времяпрепровождение можно превратить в интересное и достаточно редкое хобби. Ведь счет, неважно какой, — это очень хорошая тренировка для ума. Самое главное — это не то, как и что вы считаете, а то делаете ли вы это вообще. Все люди уникальны, существуют уникумы, которые в уме производят все сложнейшие вычисления. Дар этот у них от природы. Все же остальные могут развивать в себе эти способности. Старайтесь, и быть может вы следующим, кто придумает очередной способ того, как вычислить кубический корень из числа.
fb.ru
Кубический корень из числа
Практически каждый человек мечтает совершенствоваться, идти к чему-то более серьёзному и сложному. Все делают это по-своему. Одни ищут работу, на которой, со временем займут руководящие места, другие жаждут просто заработать побольше денег. Всегда считалось, что чем умнее человек, тем больших успехов он добьётся. Но есть и те, которые совершенствуют свой ум и оттачивают искусство вычисления. Кубический корень (его вычисление) – один из распространенных способов “привести мозги в порядок”.
Издревле считалось, что тренировка ума — это путь к обретению мудрости. Древние греки, которые достигли огромных высот в математике, говорили, что ”каждый человек рожден мудрецом, но не каждый его может отыскать внутри себя”. В последнее время стало очень популярно развивать умение проводить сложные, а иногда и громоздские вычисления в уме. Кубический корень, вычислить который не так просто, если число достаточно большое – один из способов. Существует несколько распространенных вариантов, как извлечь кубический корень из числа. Рассмотрим парочку.
Способ номер 1
Иногда можно встретить афиши, гласящие, что один человек проводит в уме сложнейшие вычисления, в том числе и вычисления кубического корня. Какое-то время, было непонятно, как это делается, но вот алгоритм вычисления известен, и каждый может блеснуть своими умениями.
Извлечение кубического корня проводится путем “отсечения от числа”. Сначала нужно запомнить одну простую закономерность: последние цифры и результат возведения в куб, для некоторых чисел, а именно 1, 4, 5, 6 и 9 одинаковы. Давайте рассмотрим конкретный пример. Предположим, нам нужно извлечь кубический корень из числа 85 184. Рассмотрим самую большую группу в данном числе – тысячи, это 85. Какое число, в кубе даст наиболее близкое значение к 85 но при этом не превзойдет его? Это число 4. Теперь рассмотрим оставшиеся числа 184. Заметьте, что оно заканчивается на 4. Единственное однозначное число, которое дает при возведении в 3-ю степень 4-ку в конце многозначного числа, это число 4. Выходит, что ответом на вопрос является число 44. Умножаем его на самого себя 2 раза (44x44x44) и получаем 85184.
Способ номер 2
Кубический корень можно извлечь и с помощью разложения числа в ряд Тейлора. Однако этот вариант намного сложнее, чем предыдущий. Нам понадобится чёткое знание формулы разложения, и все операции нужно будет вычислять уже не в уме, а на бумаге. Так как кубический корень — это возведение числа в степень 1/3, то проведем вычисления с возведением числа 5. Разложив это число в ряд Тейлора, получим ответ, с мизерной погрешностью. Однако вычислений пришлось проводить немало. Поэтому такой способ не самый выгодный с точки зрения экономии времени. Ведь если число очень большое, то потребуется приложить много усилий для решения
Есть конечно ещё один способ, калькулятор. На инженерных калькуляторах есть возможность одним нажатием кнопки извлечь корень кубический из числа. Как уже было сказано выше, способов извлечения кубического корня из числа очень много. И все время находятся энтузиасты, которые пробуют все новые и новые варианты. Сейчас, при желании, можно найти таблицы со значением кубических корней всех чисел. Вы можете сами, забавы ради или для «разминки мозгов», составить свою таблицу. Конечно, это дело не одного дня, однако подобное времяпрепровождение можно превратить в интересное и достаточно редкое хобби. Ведь счет, неважно какой, — это очень хорошая тренировка для ума. Самое главное — это не то, как и что вы считаете, а то делаете ли вы это вообще. Все люди уникальны, существуют уникумы, которые в уме производят все сложнейшие вычисления. Дар этот у них от природы. Все же остальные могут развивать в себе эти способности. Старайтесь, и быть может вы следующим, кто придумает очередной способ того, как вычислить кубический корень из числа.
Сегодня мы говорим о t-критерии. Т-критерий наиболее популярный статистический тест в биомедицинских исследованиях. Также его называют парный Т-критерий Стьюдента, t-test, two-sample unpaired t-test. Однако, при использовании этого статистического инструмента допускается достаточно много ошибок. Сегодня в этой статье мы постараемся разобраться, как избежать ошибок применения t-критерия Стьюдента, как интерпретировать его результаты и как рассчитывать t-критерий самостоятельно. Об этом обо всем читайте далее.
При описании любого статистического критерия, будь то t-критерий Стьюдента, либо какой-либо еще, нужно вспомнить о том, как же вообще используются статистические критерии. Для того, чтобы понять, как используется любой критерий, нужно перейти к нескольким достаточно логичным для понимания этапам:
Первый из них – это вопрос, который мы хотим изучить с помощью статистических методов. То есть первый этап: что изучаем? И какие у нас есть предположения относительно результата? Этот этап называется этап статистических гипотез.
Второй этап – нужно определиться с тем, какие у нас есть в реальности данные для того, чтобы ответить на первый вопрос. Этот этап – тип данных.
Третий этап состоит в том, чтобы выбрать корректный для применения в данной ситуации статистический критерий.
Четвертый этап это логичный этап применения интерпретации любой формулы, какие результаты мы получили.
Пятый этап это создание, синтез выводов относительно первого, второго, третьего, четвертого, пятого этапа, то есть что же получили и что же это в реальности значит.
Предлагаю долго не ходить вокруг да около и посмотреть применение t-критерия Стьюдента на реальном примере.
Видео-версия статьи
Пример использования т-критерия Стьюдента
А пример будет достаточно простой: мне интересно, стали ли люди выше за последние 100 лет. Для этого нужно подобрать некоторые данные. Я обнаружил интересную информацию в достаточно известной статье The Guardian (Tallstory’smenandwomenhavegrowntalleroverlastcentury, StudyShows (TheGuardian, July 2016), которая сравнивает средний возраст человека в разных странах в 1914 году и в аналогичных странах в 2014 году.
Там приведены данные практически по всем государствам. Однако, я взял лишь 5 стран для простоты вычислений: это Россия, Германия, Китай, США и ЮАР, соответственно 1914 год и 2014 год.
Общее количество наблюдений – 5 в 1914 году в группе 1914 года и общее значение также 5 в 2014 году. Будем думать опять же для простоты, что эти данные сопоставимы, и с ними можно работать.
Дальше нужно выбрать критерии – критерии, по которым мы будем давать ответ. Равны ли средние по росту в 1914 году x̅1914 и в 2014 году x̅2014. Я считаю, что нет. Поэтому моя гипотеза это то, что они не равны (x̅1914≠x̅2014). Соответственно альтернативная гипотеза моему предположению, так называемая нулевая гипотеза (нулевая гипотеза консервативна, обратная вашей, часто говорит об отсутствии статистически значимых связей/зависимостей) будет говорить о том, что они между собой на самом деле равны (x̅1914=x̅2014), то есть о том, что все эти находки случайны, и я, по сути, не прав.
Теперь нужно дать какой-то аргументированный ответ. Даем его с помощью статистического критерия. Соответственно теперь наступает самое важное: как выбрать статистический критерий? Я думаю, это будет темой отдельной статьи. Для корректности использования t-критерия Стьюдента лишь скажу, что нужно, чтобы:
Условия применения статистического критерия т-теста (критерия Стьюдента)
— данные распределялись по закону нормального распределения;
— данные были количественными;
— и это две независимые между собой выборки (независимые это значит, что в этих группах разные люди, а никак, например, до и после применения препарата у одной группы, люди должны быть разными, тогда группы являются несвязанными, либо независимыми), этот аспект стоит учитывать для выбора вида т-критерия Стьюдента, так как для парных выборок существует свой парный т-критерий (paired t-test).
В итоге Мы определились с тем, что это будет t-критерий Стьюдента.
Формула t-критерия Стьюдента достаточно простая. Она гласит о том, что в числителе у нас разница средних, в знаменателе у нас корень квадратный суммы ошибок репрезентативности по этим группам:
Ошибки репрезентативности были подробно объяснены мною в статье по доверительным интервалам. Поэтому я рекомендую вам ознакомиться с ней, чтобы лучше разобраться, что такое ошибки репрезентативности, что такое выборка, как она соотносится с генеральной совокупностью.
Для того, чтобы не тратить время, я в принципе все уже рассчитал по каждой из групп: средняя (x̅) ,стандартное отклонение (SD) и ошибка репрезентативности (mr).
Давайте остановимся на том, что же значат эти значения:
— средняя (x̅) это среднеарифметическое по 5 наблюдениям в каждой группе;
— если совсем упрощать значение стандартного отклонения (SD), то можно сказать, что оно представляет собой обобщенную среднюю отклонения каждого значения от среднего (стандартное отклонение показывает, насколько широко значения рассеяны (разбросаны) относительно средней). И дальше мы находим нечто среднее отклонений каждого варианта в группе от среднего;
— и ошибка репрезентативности она тоже находится достаточно просто: это как раз наше отклонение от средней некоторое стандартизованное, поэтому стандартное отклонение на размер выборки (mr=).
Итак, продолжаем. В ходе подстановки каждого значения в нашу формулу, мы находим, что t-критерий Стьюдента равен 3,78. Однако, я думаю, пока тем, кто не знаком со статистическими критериями, это мало о чем говорит.
Итак, теперь настает четвертый этап вопрос интерпретации. Ранее мы получили значение t-критерия в 3,78. Однако, что же это значит? Стоит отметить, что результаты статистических критериев и вообще их интерпретация не говорит о точном «да», либо «нет» в выводе, то есть рост отличается, либо рост не отличается. Всегда это вопрос определенной доли вероятности – доли вероятности ошибиться при констатации положительного результата (речь об ошибке первого рода (Itypeerror, Alpha)). То есть, например, если мы скажем, что средний рост в начале ХХ и в начале XXI века отличаются с долей ошибкой меньше 5 %. Как раз эта величина в 5 % и фиксируется как достаточная для большинства биомедицинских исследований, помните, р больше, либо меньше 0,05.
Итак, как нам перейти от нашей t к р вероятности? Это сделать достаточно просто, стоит лишь воспользоваться табличными значениями t для определенных степеней свободы. Теперь вопрос: как найти эти степени свободы? Но это сделать достаточно просто. Для того, чтобы обнаружить степени свободы для наших групп, нужно лишь сложить количество наблюдений 5 и 5 в нашем случае и вычесть 2. В нашем случае степень свободы равна 8.
Итак, t=3,78, степень свободы равна 8. Переходим в табличное значение и получаем р вероятность – вероятность равна 0,005. То есть вероятность того, что мы ошибаемся при констатации факта различия роста ранее и сейчас, крайне мала – это 0,005 %, не 5 %, а 0,005 %. То есть мы можем говорить с высокой долей достоверности того, что наш рост сейчас в XXI веке и 100 лет назад отличаются.
Вот то, что касается расчета t-критерия Стьюдента и его интерпретации.
На этом наш разговор о t-критерии Стьюдента закончен. Спасибо, что ознакомились с этой статьей. Я очень надеюсь на вашу обратную связь. Пожалуйста, подписывайтесь на наш сайте, ставьте лайки, предлагайте свои темы для следующих выпусков. Спасибо большое за поддержку. С вами был Кирилл Мильчаков. Пока, до новых встреч!
Если Вам понравилась статья и оказалась полезной, Вы можете поделиться ею с коллегами и друзьями в социальных сетях:
lit-review.ru
Таблица критических точек t-критерия Стьюдента
t-критерий Стьюдента – общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента.
Таблица значений критерия Стьюдента в теории вероятностей и математической статистике используется довольно часто. На сайте можно посмотреть примеры ее использования в следующих задачах:
Ниже размещена таблица критический точек t-критерия Стьюдента для односторонней и двусторонней критической области.
Число степеней свободы
k
Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)
0,1
0,05
0,02
0,01
0,002
0,001
1
6,31
12,70
31,82
63,70
318,30
637,00
2
2,92
4,30
6,97
9,92
22,33
31,60
3
2,35
3,18
4,54
5,84
10,22
12,90
4
2,13
2,78
3,75
4,60
7,17
8,61
5
2,01
2,57
3,37
4,03
5,89
6,86
6
1,94
2,45
3,14
3,71
5,21
5,96
7
1,89
2,36
3,00
3,50
4,79
5,40
8
1,86
2,31
2,90
3,36
4,50
5,04
9
1,83
2,26
2,82
3,25
4,30
4,78
10
1,81
2,23
2,76
3,17
4,14
4,59
11
1,80
2,20
2,72
3,11
4,03
4,44
12
1,78
2,18
2,68
3,05
3,93
4,32
13
1,77
2,16
2,65
3,01
3,85
4,22
14
1,76
2,14
2,62
2,98
3,79
4,14
15
1,75
2,13
2,60
2,95
3,73
4,07
16
1,75
2,12
2,58
2,92
3,69
4,01
17
1,74
2,11
2,57
2,90
3,65
3,95
18
1,73
2,10
2,55
2,88
3,61
3,92
19
1,73
2,09
2,54
2,86
3,58
3,88
20
1,73
2,09
2,53
2,85
3,55
3,85
21
1,72
2,08
2,52
2,83
3,53
3,82
22
1,72
2,07
2,51
2,82
3,51
3,79
23
1,71
2,07
2,50
2,81
3,59
3,77
24
1,71
2,06
2,49
2,80
3,47
3,74
25
1,71
2,06
2,49
2,79
3,45
3,72
26
1,71
2,06
2,48
2,78
3,44
3,71
27
1,71
2,05
2,47
2,77
3,42
3,69
28
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
29
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
30
1,70
2,04
2,46
2,75
3,39
3,65
40
1,68
2,02
2,42
2,70
3,31
3,55
60
1,67
2,00
2,39
2,66
3,23
3,46
120
1,66
1,98
2,36
2,62
3,17
3,37
∞
1,64
1,96
2,33
2,58
3,09
3,29
Число степеней свободы
k
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
0,0005
Уровень значимости α (односторонняя критическая область)
Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно
заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉
100task.ru
Критерий Стьюдента, t-тест и нормальное распределение
автор: Samoedd
Сентябрь 8, 2016
Наступила осень, а значит, настало время для запуска нового тематического проекта «Статистический анализ с R». В нем мы рассмотрим статистические методы с точки зрения их применения на практике: узнаем какие методы существуют, в каких случаях и каким образом их проводить в среде R. На мой взгляд, Критерий Стьюдента или t-тест (от англ. t-test) идеально подходит в качестве введения в мир статистического анализа. Тест Стьюдента достаточно прост и показателен, а также требует минимум базовых знаний в статистике, с которыми читатель может ознакомиться в ходе прочтения этой статьи.
Примечание_1: здесь и в других статьях Вы не увидите формул и математических объяснений, т.к. информация рассчитана на студентов естественных и гуманитарных специальностей, которые делают лишь первые шаги в стат. анализе.
Примечание_2: перед прочтением, я рекомендую ознакомиться с этой статьей, чтобы вспомнить базовые понятия описательной статистики, такие как медиана, стандартное отклонение, квантили и прочее.
Что такое t-тест и в каких случаях его стоит применять
В начале следует сказать, что в статистике зачастую действует принцип бритвы Оккамы, который гласит, что нет смысла проводить сложный статистический анализ, если можно применить более простой (не стоит резать хлеб бензопилой, если есть нож). Именно поэтому, несмотря на свою простоту, t-тест является серьезным инструментом, если знать что он из себя представляет и в каких случаях его стоит применять.
Любопытно, что создал этот метод Уильямом Госсет — химик, приглашенный работать на фабрику Guinness. Разработанный им тест служил изначально для оценки качества пива. Однако, химикам фабрики запрещалось независимо публиковать научные работы под своим именем. Поэтому в 1908 году Уильям опубликовал свою статью в журнале «Biometrika» под псевдонимом «Стьюдент». Позже, выдающийся математик и статистик Рональд Фишер доработал метод, который затем получил массовое распространение под названием Student’s t-test.
Критерий Стьюдента (t-тест) — это статистический метод, который позволяет сравнивать средние значения двух выборок и на основе результатов теста делать заключение о том, различаются ли они друг от друга статистически или нет. Если Вы хотите узнать, отличается ли средний уровень продолжительности жизни в Вашем регионе от среднего уровня по стране; сравнить урожайность картофеля в разных районах; или изменяется ли кровяное давление до и после употребления нового лекарства, то t-тест может быть Вам полезен. Почему может быть? Потому что для его проведения, необходимо, чтобы данные выборок имели распределение близкое к нормальному. Для этого существуют методы оценки, которые позволяют сказать, допустимо ли в данном случае полагать, что данные распределены нормально или нет. Поговорим об этом подробнее.
Нормальное распределение данных и методы его оценки qqplot и shapiro.test
Нормальное распределение данных характерно для количественных данных, на распределение которых влияет множество факторов, либо оно случайно. Нормальное распределение характеризуется несколькими особенностями:
Оно всегда симметрично и имеет форму колокола.
Значения среднего и медианы совпадают.
В пределах одного стандартного отклонения в обе стороны лежат 68.2% всех данных, в пределах двух — 95,5%, в пределах трех — 99,7%
Давайте создадим случайную выборку с нормальным распределением на языке программирования R, где общее количество измерений = 100, среднее арифметическое = 5, а стандартное отклонение = 1. Затем отобразим его на графике в виде гистограммы:
mydata <- rnorm(100, mean = 5, sd = 1)
hist(mydata, col = "light green")
Ваш график может слегка отличаться от моего, так как числа сгенерированы случайным образом. Как Вы видите, данные не идеально симметричны, но кажется сохраняют форму нормального распределения. Однако, мы воспользуемся более объективными методами определения нормальности данных.
Одним из наиболее простых тестов нормальности является график квантилей (qqplot). Суть теста проста: если данные имеют нормальное распределение, то они не должны сильно отклоняться от линии теоретических квантилей и выходить за пределы доверительных интервалов. Давайте проделаем этот тест в R.
install.packages("car") #установка пакета "car"
library(car) #загрузка пакета "car" в среду R
qqPlot(mydata) #запустим тест
Как видно из графика, наши данные не имеют серьезных отклонений от теоретического нормального распределения. Но порой при помощи qqplot невозможно дать однозначный ответ. В этом случае следует использовать тест Шапиро-Уилка, который основан на нулевой гипотезе, что наши данные распределены нормально. Если же P-значение менее 0.05 (p-value < 0.05), то мы вынуждены отклонить нулевую гипотезу. P-значение в этом случае будет говорить о том, что вероятность ошибки при отклонении нулевой гипотезы будет равна менее 5%.
Провести тест Шапиро-Уилка в R не составит труда. Для этого нужно всего лишь вызвать функцию shapiro.test, и в скобках вставить имя ваших данных. В нашем случае p-value должен быть значительно больше 0.05, что не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу о том, что наши данные распределены нормально.
Запускаем t-тест Стьюдента в среде R
Итак, если данные из выборок имеют нормальное распределение, можно смело приступать к сравнению средних этих выборок. Существует три основных типа t-теста, которые применяются в различных ситуациях. Рассмотрим каждый из них с использованием наглядных примеров.
Одновыборочный t-тест следует выбирать, если Вы сравниваете выборку с общеизвестным средним. Например, отличается ли средний возраст жителей Северо-Кавказского Федерального округа от общего по России. Существует мнение, что климат Кавказа и культурные особенности населяющих его народов способствуют продлению жизни. Для того, чтобы проверить эту гипотезу, мы возьмем данные РосСтата (таблицы среднего ожидаемого продолжительности жизни по регионам России) и применим одновыборочный критерий Стьюдента. Так как критерий Стьюдента основан на проверке статистических гипотез, то за нулевую гипотезу будем принимать то, что различий между средним ожидаемым уровнем продолжительности по России и республикам Северного Кавказа нет. Если различия существуют, то для того, чтобы считать их статистически значимыми p-value должно быть менее 0.05 (логика та же, что и в вышеописанном тесте Шапиро-Уилка).
samoedd.com
Алгоритм расчета t-критерия Стьюдента для независимых выборок измерений
Определить
расчетное значение t-критерия
по формуле
где
f
– степень свободы, которая определяется
как
Определить
критическое значение t-критерия
с использованием таблицы 1 приложения,
при заданном уровне значимости и
степени свободы.
Сравнить
расчетное и критическое значение t
— критерия. Если расчетное значение
больше или равно критическому, то
гипотеза равенства средних значений
в двух выборках изменений отвергается
(Но). Во всех других случаях она
принимается на заданном уровне
значимости.
Пример.
Две
группы студентов обучались по двум
различным методикам. В конце обучения
с ними был проведен тест по всему курсу.
Необходимо оценить, насколько существенны
различия в полученных знаниях. Результаты
тестирования представлены в таблице
4.
Таблица
4
25
18
9
13
8
20
25
18
6
12
19
13
12
12
18
9
7
10
18
20
Рассчитаем
выборочное среднее, дисперсию и
стандартное отклонение:
Определим
значение tp по
формуле tp = 0,45
По
таблице 1 (см. приложение) находим
критическое значение tk для уровня значимости р = 0,01
tk = 2,88
Вывод:
так как расчетное значение критерия
меньше критического 0,45<2,88 гипотеза
Но подтверждается и существенных
различий в методиках обучения нет на
уровне значимости 0,01.
Алгоритм расчета t-критерия Стьюдента для зависимых выборок измерений
1.
Определить расчетное значение t-критерия
по формуле
,
где
2.
Рассчитать степень свободы f
3.
Определить критическое значение
t-критерия
по таблице 1 приложения.
4.
Сравнить расчетное и критическое
значение t-критерия.
Если расчетное значение больше или
равно критическому, то гипотеза равенства
средних значений в двух выборках
изменений отвергается (Но). Во всех
других случаях она принимается на
заданном уровне значимости.
U—критерийМанна—Уитни
Назначение
критерия
Критерий
предназначен для оценки различий между
двумя
непараметрическими
выборками по уровню
какого-либо
признака, количественно измеренного.
Он позволяет выявлять различия между
малыми
выборками,
когда n
< 30.
Описание критерия
Этот
метод определяет, достаточно ли мала
зона пересекающихся значений между
двумя рядами. Чем меньше эта область,
тем более вероятно, что различия
достоверны. Эмпирическое значение
критерия U
отражает то, насколько велика зона
совпадения между рядами. Поэтому чем
меньше U,
тем
более вероятно,
что различия достоверны.
Гипотезы
НО:
Уровень признака в группе 2 не ниже
уровня признака в
группе
1.
HI:
Уровень признака в группе 2 ниже уровня
признака в группе 1.
Алгоритм расчета критерия Манна-Уитни (u)
Перенести
все данные испытуемых на индивидуальные
карточки.
Пометить
карточки испытуемых выборки 1 одним
цветом, скажем красным, а все карточки
из выборки 2 – другим, например, синим.
Разложить
все карточки в единый ряд по степени
нарастания признака, не считаясь с
тем, к какой выборке они относятся, как
если бы мы работали с одной большой
выборкой.
Проранжировать
значения на карточках, приписывая
меньшему значению меньший ранг.
Вновь
разложить карточки на две группы,
ориентируясь на цветные обозначения:
красные карточки в один ряд, синие –
в другой.
Подсчитать
сумму рангов отдельно на красных
карточках (выборка 1) и на синих карточках
(выборка 2). Проверить, совпадает ли
общая сумма рангов с расчетной.
Определить
большую из двух ранговых сумм.
Определить
значение U
по формуле:
где
n1 – количество
испытуемых в выборке 1;
n2 – количество
испытуемых в выборке 2,
Тх – большая из двух рантовых сумм;
nх – количество испытуемых в группе с
большей суммой рангов.
9.
Определить критические значения U
по таблице 2 (см. приложение).
Если
Uэмп.>
Uкр0,05,
то гипотеза Но
принимается.
Если Uэмп.≤
Uкр,
то отвергается. Чем меньше значения U,
тем достоверность различий выше.
Пример. Сравнить
эффективность двух методов обучения
в двух группах. Результаты испытаний
представлены в таблице 5.
Таблица 5
18
10
7
15
14
11
13
15
20
10
8
16
10
19
7
15
14
29
Перенесем
все данные в другую таблицу, выделив
данные второй группы подчеркиванием
и сделаем ранжирование общей выборки
(см. алгоритм ранжирования в методических
указаниях к заданию 3).
Значения
7
7
8
10
10
10
11
13
14
14
15
15
15
16
18
19
20
29
Ранги
1,5
1,5
3
5
5
5
7
8
9,5
9,5
12
12
12
14
15
16
17
18
Номер
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Найдем
сумму рангов двух выборок и выберем
большую из них: Тх = 113
Рассчитаем
эмпирическое значение критерия по
формуле 2: Up = 30.
Определим
по таблице 2 приложения критическое
значение критерия при уровне значимости
р = 0.05 : Uk = 19.
Вывод: так
как расчетное значение критерия U больше критического при уровне значимости
р = 0.05 и 30 > 19, то гипотеза о равенстве
средних принимается и различия в
методиках обучения несущественны.
studfiles.net
Пример расчета t-критерия Стьюдента для зависимых выборок
Предположим, что необходимо сравнить между собой результаты выполнения логических задач до и после курса обучения. Чтобы узнать различаются ли результаты до курса обучения и после необходимо вычислить t-критерий Стьюдента для зависимых выборок.
Шаг 1. Занесем данные в общую таблицу:
№
Результаты выполнения логических задач до курса (сек.)
Результаты выполнения логических задач после курса (сек.)
1
25
22
2
23
25
3
28
23
4
29
22
5
35
30
6
31
27
7
24
20
8
24
19
9
38
32
10
26
25
11
20
20
Шаг 2.Рассчитаем разность для каждой пары значений
№
Разность значений в каждой паре (до-после)
1
3
2
-2
3
5
4
7
5
5
6
4
7
4
8
5
9
6
10
1
11
0
Шаг 3. Вычисляем среднюю разность значений, стандартное отклонение и степени свободы
Для того, чтобы рассчитать стандартное отклонение нам необходимо знать среднее арифметическое в разности значений, а затем подставить имеющиеся значения в формулу стандартного отклонения.
3.1. Рассчитаем среднюю разность значений (среднее арифметическое по разности)
3.2. Подставим значение среднего арифметического в формулу стандартного отклонения:
Шаг 4. Подставляем полученные значения в формулу t-критерия Стьюдента для зависимых выборок.
Шаг 5. Определим по таблице критических значений t-Стьюдента уровень значимости:
Шаг 5.1. Найдем в таблице строку с количеством степеней свободы 10. df = 10
Шаг 5.2. В строке с df=10 найдем значения . Оно располагается между p<0,01 и p<0,001
Шаг 6. Следовательно уровень значимости меньше 0,01. Результаты выполнения логических задач до и после курса различаются между собой.
statpsy.ru
Расчет критерия Стьюдента в Excel
Одним из наиболее известных статистических инструментов является критерий Стьюдента. Он используется для измерения статистической значимости различных парных величин. Microsoft Excel обладает специальной функцией для расчета данного показателя. Давайте узнаем, как рассчитать критерий Стьюдента в Экселе.
Определение термина
Но, для начала давайте все-таки выясним, что представляет собой критерий Стьюдента в общем. Данный показатель применяется для проверки равенства средних значений двух выборок. То есть, он определяет достоверность различий между двумя группами данных. При этом, для определения этого критерия используется целый набор методов. Показатель можно рассчитывать с учетом одностороннего или двухстороннего распределения.
Расчет показателя в Excel
Теперь перейдем непосредственно к вопросу, как рассчитать данный показатель в Экселе. Его можно произвести через функцию СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ. В версиях Excel 2007 года и ранее она называлась ТТЕСТ. Впрочем, она была оставлена и в позднейших версиях в целях совместимости, но в них все-таки рекомендуется использовать более современную — СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ. Данную функцию можно использовать тремя способами, о которых подробно пойдет речь ниже.
Способ 1: Мастер функций
Проще всего производить вычисления данного показателя через Мастер функций.
Строим таблицу с двумя рядами переменных.
Кликаем по любой пустой ячейке. Жмем на кнопку «Вставить функцию» для вызова Мастера функций.
После того, как Мастер функций открылся. Ищем в списке значение ТТЕСТ или СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ. Выделяем его и жмем на кнопку «OK».
Открывается окно аргументов. В полях «Массив1» и «Массив2» вводим координаты соответствующих двух рядов переменных. Это можно сделать, просто выделив курсором нужные ячейки.
В поле «Хвосты» вписываем значение «1», если будет производиться расчет методом одностороннего распределения, и «2» в случае двухстороннего распределения.
В поле «Тип» вводятся следующие значения:
1 – выборка состоит из зависимых величин;
2 – выборка состоит из независимых величин;
3 – выборка состоит из независимых величин с неравным отклонением.
Когда все данные заполнены, жмем на кнопку «OK».
Выполняется расчет, а результат выводится на экран в заранее выделенную ячейку.
Способ 2: работа со вкладкой «Формулы»
Функцию СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ можно вызвать также путем перехода во вкладку «Формулы» с помощью специальной кнопки на ленте.
Выделяем ячейку для вывода результата на лист. Выполняем переход во вкладку «Формулы».
Делаем клик по кнопке «Другие функции», расположенной на ленте в блоке инструментов «Библиотека функций». В раскрывшемся списке переходим в раздел «Статистические». Из представленных вариантов выбираем «СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ».
Открывается окно аргументов, которые мы подробно изучили при описании предыдущего способа. Все дальнейшие действия точно такие же, как и в нём.
Способ 3: ручной ввод
Формулу СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ также можно ввести вручную в любую ячейку на листе или в строку функций. Её синтаксический вид выглядит следующим образом:
= СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ(Массив1;Массив2;Хвосты;Тип)
Что означает каждый из аргументов, было рассмотрено при разборе первого способа. Эти значения и следует подставлять в данную функцию.
После того, как данные введены, жмем кнопку Enter для вывода результата на экран.
Как видим, вычисляется критерий Стьюдента в Excel очень просто и быстро. Главное, пользователь, который проводит вычисления, должен понимать, что он собой представляет и какие вводимые данные за что отвечают. Непосредственный расчет программа выполняет сама.
Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы. Опишите, что у вас не получилось.
Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ
lumpics.ru
t-критерий Стьюдента для независимых выборок
t-критерий Стьюдента для независимых выборок применяется для сравнения средних значений двух независимых между собой выборок.
Условия применения:
Сравниваемые значения не составляют пару коррелирующих значений
Распределение признаков в каждой выборке соответствует нормальному распределению
Дисперсии признака в выборках примерно равны (проверяется с помощью критерия F-Фишера)
Альтернатива:
Формула t-критерий Стьюдента для независимых выборок:
, где — среднее арифметическое первой выборки; — среднее арифметическое второй выборки; — стандартное отклонение первой выборки; — стандартное отклонение второй выборки; — объем первой выборки; — объем второй выборки.
1. Заемные источники образования имущества: а) задолженность кредиторам, кредиты, займы + б) прибыль, резервы, фонды в) бюджетное финансирование, капитал
2. Вновь созданное предприятие должно оформить избранную им учетную политику не позднее … дней со дня приобретения прав юридического лица: а) 60 б) 90 + в) 30
3. Функция бухгалтерского учета в системе управления: а) регулирования б) планирования в) информационная +
4. Принцип непрерывности тождествен принципу: а) действующего предприятия + б) автономности в) самоокупаемости
5. Дебиторская задолженность относится к … средствам предприятия: а) денежным б) расчетным в) оборотным +
6. Предмет бухгалтерского учета: а) кругооборот активов б) состояние и движение активов, источники их образования и результаты деятельности хозяйствующего субъекта + в) отражение состояния и использования активов в процессе их кругооборота
7. Предприятие имеет право разработать собственные способы ведения бухгалтерского учета, если они не утверждены нормативными документами: а) имеет, если является ОАО б) нет в) да +
8. Нормативный акт, регламентирующий организацию бухгалтерского учета в России: а) Закон РФ «О бухгалтерском учете» + б) Национальные стандарты по бухгалтерскому учету в) Положение по ведению бухгалтерского учета и отчетности в РФ
9. Приказ об учетной политике на предприятии относится к(ко) … уровню нормативного регулирования бухгалтерского учета: а) третьему б) первому в) четвертому +
10. Факт, который должен быть отражен в бухгалтерском учете: а) расход электроэнергии б) приобретение товаров + в) уборка помещения бухгалтерии
11. К оборотным активам можно отнести: а) производственные запасы + б) основные средства в) резервный капитал
12. Измерители, используемые при записи хозяйственных операций на синтетических счетах: а) трудовые б) денежные + в) натуральные
13. Органы, оказывающие доминирующее влияние на регулирование бухгалтерского учета в России: а) Министерство финансов РФ + б) Международные профессиональные бухгалтерские организации в) Органы законодательной и исполнительной власти
14. Принцип начисления в бухгалтерском учете заключается в том, что: а) проверяется соответствие имущества в местах хранения с данными учета б) предприятие должно функционировать в течение долгого периода в) все факты хозяйственной деятельности должны быть соотнесены с соответствующими отчетными периодами, в которых они имели место +
15. Основной нормативный документ, определяющий методологические основы организации учетной политики: а) Федеральный закон «О бухгалтерском учете» б) Налоговый кодекс РФ в) Положение по бухгалтерскому учету «Учетная политика организации» +
16. Учетная политика может быть пересмотрена: а) по решению руководителя предприятия б) в случае изменения законодательства РФ или нормативных актов + в) по решению суда
17. К источникам собственных средств относятся (ится): а) сырье и материалы б) расчеты с персоналом по оплате труда в) добавочный капитал +
18. Оборотные средства: а) транспортные средства б) товары + в) машины и оборудование
19. К средствам в расчетах относится (ятся): а) суммы средств на расчетном счете б) суммы наличных денег в кассе в) дебиторская задолженность за товары и услуги +
20. Наличие и движение имущества, источники его формирования и использования являются: а) методом бухгалтерского учета б) предметом бухгалтерского учета + в) активами организации
21. Основные группы пользователей бухгалтерской информации: а) внутренние и внешние + б) лица, не работающие в организации, но имеющие прямой финансовый интерес к деятельности в) лица, непосредственно занятые в управлении
22. Приказ об учетной политике разрабатывается и утверждается на: а) один год б) весь период функционирования предприятия + в) один квартал
23. Суть принципа обособленного имущества заключается в: а) раздельном учете расчетных счетов организации и ее владельцев б) совокупном учете имущества и обязательств организации и ее владельцев в) обособленном учете имущества и обязательств организации от обязательств и имущества ее собственников +
24. Основная задача бухгалтерского учета: а) предотвращение потерь и выявление резервов б) формирование полной и достоверной информации о фактах хозяйственной жизни предприятия + в) контроль за сохранностью имущества организации
25. Учетная политика формируется путём: а) выбора отдельных методов ведения бухгалтерского учета б) выбора экономической и кадровой политики организации в) выбора способов ведения бухгалтерского учета из нескольких, определенных стандартами +
26. Главный бухгалтер несет ответственность за: а) организацию и ведение бухгалтерского учета б) формирование учетной политики и ведение бухгалтерского учета + в) соблюдение законодательства руководством организации
27. Сумма долгов юридических и физических лиц перед предприятием: а) дебиторская задолженность + б) кредиторская задолженность в) обязательства по распределению
28. Группа, к которой относятся основные средства: а) средства в расчетах б) собственные источники в) средства труда +
29. К внеоборотным активам можно отнести: а) уставный капитал б) расчетные счета в) нематериальные активы +
30. Средства, которые участвуют только в одном кругообороте и полностью переносят свою стоимость на вновь созданный продукт: а) денежные средства б) оборотные средства + в) основные средства
liketest.ru
Тест с ответами на тему — Учет основных хозяйственных процессов
1. Счет, на котором ведется учет заготовления и приобретения материалов
1. 10 счет + 2. 20 счет 3. 60 счет 4. 43 счет 2. Начальное сальдо по 10 счету показывает 1. остаток материалов на начало месяца + 2. остаток материалов на конец месяца 3. остаток материалов на начало месяца + приход материалов за месяц 4. расход материалов за месяц 3. Счет, на котором ведется учет производства продукции? 1. 10 счет 2. 43 счет 3. 90 счет 4. 20 счет + 4. Конечное сальдо по 20 счету показывает 1. остаток материалов на начало месяца 2. остаток незавершенного производства на начало месяца 3. остаток незавершенного производства на конец месяца + 4. все затраты на производство продукции за месяц 5. Счет, на котором ведется учет реализации продукции? 1. 44 счет 2. 43 счет 3. 90 счет 4. 62 счет + 6. Начальное сальдо по 90 счету показывает 1. фактическую себестоимость реализованной продукции 2. на счете нет сальдо, должен быть закрыт в конце месяца + 3. выручку, поступившую на расчетный счет 4. прибыль от реализации продукции 7. Бухгалтерская запись Д 10 К 60 означает: 1. Поступление материалов от подотчетных лиц 2. Поступление материалов от поставщиков + 3. Отпуск материалов в производство 4. Отпуск материалов покупателям 8. Бухгалтерская запись Д 10 К 71 означает: 1. Поступление материалов от подотчетных лиц + 2. Поступление материалов от поставщиков 3. Отпуск материалов в производство 4. Отпуск материалов покупателям 9. Списывается стоимость материалов, отпущенных в производство: 1. Д 20 К 10 + 2. Д 10 К 20 3. Д 44 К 10 4. Д 10 К 43 10. Отражаются возвратные отходы материалов: 1. Д 20 К 10 2. Д 10 К 20 + 3. Д 44 К 10 4. Д 10 К 43 11. Списывается стоимость материалов, отпущенных для нужд заводоуправления: 1. Д 26 К 10 + 2. Д 23 К 20 3. Д 23 К 10 4. Д 25 К 10 12. Отражаются ТЗР при приобретении материалов 1. Д 10 К 76 2. Д 10 К 70 3. Д 71 К 10 4. Д 76 К 10 + 13. Общий процент страховых взносов во внебюджетные фонды составляет: 1. 34 % + 2. 20 % 3. 3,1 % 4. 2,9 %
14. Прямые затраты – это: 1. Заработная плата административно-управленческого персонала цеха 2. Затраты, включаемые в себестоимость конкретных изделий на основании первичных документов + 3. Затраты, относимые одновременно ко всем видам выпускаемой продукции 4. 1) + 2) 15. Косвенные затраты – это: 1. Заработная плата административно-управленческого персонала цеха + 2. Затраты, включаемые в себестоимость конкретных изделий на основании первичных документов 3. Затраты, относимые одновременно ко всем видам выпускаемой продукции 4. 1) + 2) 16. Проценты в фонд социального страхования составляют: 1. 26 % 2. 2,9 % + 3. 5,1 % 4. 1,1 % 17. Проценты в фонд обязательного медицинского страхования составляют: 1. 26 % 2. 2,9 % 3. 5,1 % + 4. 1,1 % 18. Проценты в пенсионный фонд составляют: 1. 22 % + 2. 2,9 % 3. 5,1 % 4. 1,1 % 19. При начислении заработной платы рабочим основного производства составляется бухгалтерская запись: 1. Д 20 К 23 2. Д 25 К 70 3. Д 20 К 70 + 4. Д 23 К 70 20. При начислении заработной платы рабочим вспомогательного производства составляется бухгалтерская запись: 1. Д 20 К 23 2. Д 25 К 70 3. Д 20 К 70 4. Д 23 К 70 + 21. При начислении заработной платы управляющему персоналу предприятия составляется бухгалтерская запись: 1. Д 26 К 70 + 2. Д 25 К 70 3. Д 20 К 70 4. Д 23 К 70 22. Бухгалтерская запись Д 20 К 69 означает: 1. Произведены отчисления на соц.страхование от заработной платы рабочих вспомогательного производства 2. Выплачены рабочим основного производства пособия по временной нетрудоспособности 3. Перечислены органам соцстраха причитающиеся им суммы отчислений 4. Произведены отчисления на социальное страхование от заработной платы рабочих основного производства + 23. Оприходована на складе готовая продукция: 1. Д 20 К 43 2. Д 43 К 20 + 3. Д 44 К 20 4. Д 43 К 10 24. Списывается фактическая себестоимость реализованной готовой продукции: 1. Д 20 К 43 2. Д 90 К 43 + 3. Д 43 К 90 4. Д 51 К 90 25. Поступила выручка на расчетный счет за реализованную продукцию: 1. Д 90 К 43 2. Д 90 К 51 3. Д 51 К 90 + 4. Д 51 К 50 26. Списываются коммерческие расходы на реализованную продукцию: 1. Д 90 К 44 + 2. Д 90 К 43 3. Д 44 К 90 4. Д 43 К 90 27. Отражается прибыль от реализации продукции: 1. Д 90 К 99 + 2. Д 99 К 90 3. Д 84 К 90 4. Д 90 К 84 28. Отражается убыток от реализации продукции: 1. Д 90 К 99 2. Д 90 К 84 3. Д 84 К 90 4. Д 99 К 90 + 29. Себестоимость продукции 100 000. Определить продажную цену продукции, путем начисления на нее НДС 1. 100 000 2. 180 000 3. 118 000 + 4. 152 540 30. Готовая продукция – это продукция: 1. выпущенная из производства и сданная на склад + 2. отгруженная покупателям 3. оплаченная продукция 4. продукция, которая находится в процессе изготовления в цехе
testdoc.ru
Тесты. Основы бухгалтерского (финансового) учета
1. Задание 1
Задачами бухгалтерского учета являются:
ведение учета способом двойной записи и оценка имущества в рублях
R формирование полной и достоверной информации о деятельности организации и ее имущественном положении, необходимой пользователям бухгалтерской отчетности
– раздельное отражение затрат на производство и капитальные вложения
R предотвращение отрицательных результатов хозяйствования и выявление внутрихозяйственных резервов для обеспечения финансовой устойчивости организации
– обеспечение сохранности имущества организации
2. Задание 2
Основными требованиями к ведению бухгалтерского учета являются:
– государственное регулирование
R непрерывность учета во времени
– обеспечение сохранности имущества
R отражение хозяйственных операций на счетах без каких-либо пропусков и изъятий
– широкие права организации
3. Задание 3
Под организацией бухгалтерского учета понимается совокупность…
– стадий учетного процесса
R условий его построения
– принципов учета
4. Задание 4
Способы ведения бухгалтерского учета :
– стоимостное измерение
R методы погашения стоимости активов
R способы применения счетов
R совокупность используемых регистров
R способы обработки информации
5. Задание 5
Правила ведения бухгалтерского учета – это признание и соблюдение…
– инструкций
– положений
– законов
R допущений
R требований
6. Задание 6
Соблюдение фундаментальных принципов ведения бухгалтерского учета означает…
– использование принципа двойной записи при отражении операций в системе счетов
R обязательное применение стоимостной оценки объектов
R применение индексов инфляции для определения стоимости объектов учета
7. Задание 7
Допущения, определяющие учетную политику, – это совокупность условий, которые… организацией в период действия учетной политики
R обязательно должны исполняться
– могут изменяться
8. Задание 8
Допущения в бухгалтерском учете:
– последовательность применения учетной политики
R непротиворечивость деятельности
– обратная связь
R имущественная обособленность
9. Задание 9
Требования в бухгалтерском учете :
– приоритет содержания над формой
R полноту отражения хозяйственных операций
– временную определенность фактов хозяйственной деятельности
R непротиворечивость деятельности
– рациональность ведения бухгалтерского учета
10. Задание 10
Бухгалтерский учет, в системе управления организацией, выполняет функции:
R контрольную
R информационную
– формирование достоверной информации
– предотвращения отрицательных результатов деятельности
R аналитическую
11. Задание 11
Финансовый бухгалтерский учет осуществляется с целью получения информации, необходимой для… пользователей
– внутренних
R внешних
12. Задание 12
Управленческий учет осуществляется с целью получения информации, необходимой для… пользователей
R внутренних
– внешних
13. Задание 13
Бухгалтерский (финансовый) учет от управленческого учета отличает…
R обязательное регулирование
– относительная свобода
R высокая степень надежности информации
R обязательное использование двойной записи
– группировка затрат на производство по статьям калькуляции
R обязательность ведения всеми организациями
14. Задание 14
Внутренними пользователями бухгалтерской информации являются…
R учредители
– государственные органы
R менеджеры
R участники
– поставщики
R административный персонал
15. Задание 15
Внутренние пользователи бухгалтерской информации заинтересованы в показателях:
R ликвидности
R себестоимости
– финансового положения
R прибыльности
– платежеспособности
– размещения ресурсов
16. Задание 16
Внешние пользователи бухгалтерской информации :
R поставщики
– администрация
R инвесторы
– менеджеры
R банки
R государственные органы
17. Задание 17
Внешних пользователей интересует информация о…
R прибыльности
– себестоимости
– размере чистых активов
R размещении ресурсов
R налоговых платежах
18. Задание 18
Бухгалтерский учет в Российской Федерации регулируется… системой нормативного регулирования
– одноуровневой
– двухуровневой
– трехуровневой
R четырехуровневой
19. Задание 19
Первый уровень системы нормативного регулирования бухгалтерского учета составляют…
– инструкции
R законодательные акты
– совокупность документов организации
– стандарты (положения по бухгалтерскому учету)
20. Задание 20
Второй уровень системы нормативного регулирования бухгалтерского учета составляют…
R стандарты (положения по бухгалтерскому учету)
– инструкции
– законодательные акты
– совокупность документов организации
21. Задание 21
Третий уровень системы нормативного регулирования бухгалтерского учета составляют…
– стандарты (положения по бухгалтерскому учету)
R инструкции
– законодательные акты
– совокупность документов организации
22. Задание 22
Четвертый уровень системы нормативного регулирования бухгалтерского учета составляют…
– стандарты (положения по бухгалтерскому учету)
– инструкции
R совокупность документов организации
– законодательные акты
23. Задание 23
Норма (стандарт) в бухгалтерском учете – это…
– совокупность форм отчетности
– инструкции, разработанные организацией
– совокупность первичных документов
R комплекс документально-оформленных правил ведения бухгалтерского учета
24. Задание 24
Стандарт состоит из…
– приложений
R содержательной части
R введения в действие
25. Задание 25
В практике работы организаций различных форм собственности используются стандарты :
– внешние
R международные
R национальные
– внутренние
26. Задание 26
Национальные стандарты носят для конкретной страны… характер
R обязательный
– рекомендательный
27. Задание 27
Международные стандарты носят для конкретной страны… характер
– обязательный
R рекомендательный
28. Задание 28
Между национальными и международными стандартами учета… взаимосвязь
R существует
– не существует
29. Задание 29
Учетная политика – это выбранная организацией…
– форма бухгалтерского учета
R совокупность методических способов ведения бухгалтерского учета
– совокупность нормативных документов для ведения бухгалтерского учета
30. Задание 30
Учетная политика организации включает ряд способов ведения бухгалтерского учета :
R первичное наблюдение
– документирование
R стоимостное измерение объектов учета
R текущую группировку фактов хозяйственной деятельности
– двойную запись
R итоговое обобщение фактов хозяйственной деятельности
31. Задание 31
На формирование учетной политики организации влияют факторы:
R зависящие от хозяйствующего субъекта
R не зависящие от хозяйствующего субъекта
– географические
– климатические
32. Задание 32
Факторы, влияющим на выбор учетной политики и зависящим от хозяйствующего субъекта :
– налоговую политику
R величину организации
– свободу в ценообразовании
R правовой статус
– начисление льгот
33. Задание 33
Факторы, влияющие на выбор учетной политики и не зависящие от хозяйствующего субъекта :
– сфера деятельности
– величина организации
R свобода в ценообразовании
– правовой статус
R наличие льгот
34. Задание 34
Учетная политика организации может быть изменена в случаях :
– смены главного бухгалтера
R реорганизации
– освоения новых видов продукции
R изменений в законодательстве
35. Задание 35
Организационно-технический аспект учетной политики организации включает:
– варианты учета затрат на производства
R организацию работы бухгалтерии
R инвентаризацию и отчетность
– порядок учета курсовых разниц
– состав резервов предстоящих расходов
36. Задание 36
Методический аспект учетной политики организации включает:
– организацию работы бухгалтерии
R дивидендную политику
– инвентаризацию и отчетность
R порядок учета курсовых разниц
R состав резервов предстоящих расходов
37. Задание 37
Главный бухгалтер назначается на должность (освобождается от должности)…
– общим собранием работников бухгалтерии
– руководством вышестоящей организации
– Министерством финансов Российской федерации
R руководителем организации
sdalna10.com
Тест итогового контроля по дисциплине «Бухгалтерский учет»
1. Отличительная черта бухгалтерского учета 1) отсутствие специальной службы 2) быстрота получения информации 3) использование специальных методов сбора информации 4) верно любое утверждение 5) верны варианты 1 и 2
2. В народном хозяйстве организующую роль выполняет учет 1) оперативный 2) бухгалтерский 3) статистический 4) налоговый 5) верны все варианты
3. Основным для бухгалтерского учета является измеритель 1) денежный 2) трудовой 3) натуральный 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 2 и 3
4. Особенностью бухгалтерского учета является отражение хозяйственных процессов 1) прерывно 2) непрерывно 3) на 1-ое число месяца 4) по усмотрению главного бухгалтера 5) верен любой вариант
5. Пассив баланса − это группировка средств по 1) источникам образования и назначению 2) видам и размещению 3) фондам 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1, 2, 3
6. Актив баланса − это группировка средств по 1) источникам образования и назначению 2) видам и размещению 3) видам и источникам образования 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1, 2, 3
7. В пассиве баланса сгруппированы 1) средства 2) источники средств 3) результаты хозяйственной деятельности 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1, 2, 3
8. Долги покупателей − это 1) дебиторская задолженность 2) кредиторская задолженность 3) прочая задолженность 4) верны варианты 1 и 2 5) верно любое утверждение
9. Долги поставщикам − это 1) дебиторская задолженность 2) кредиторская задолженность 3) прочая задолженность 4) верны варианты 1 и 2 5) верно любое утверждение
10. В активе баланса отражаются 1) долги покупателей за продукцию 2) долги поставщиков по авансам, полученным за товары 3) уставный капитал 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1, 2, 3
11. В пассиве баланса отражаются 1) резервы предстоящих расходов и платежей 2) расходы будущих периодов 3) основные средства 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1, 2, 3
12. Оборотная ведомость по счетам синтетического учета предназначена для проверки 1) правильности корреспонденции счетов 2) полноты синтетического учета 3) полноты аналитического учета 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1 и 3
13. По счетам аналитического учета составляются следующие ведомости 1) шахматная, сальдовая 2) суммовая 3) количественно-суммовая, сальдовая 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1 и 3
14. Сальдо конечное по активным счетам равно нулю, если 1) по счету в течение месяца не было движения 2) оборот по дебету счета равен обороту по кредиту счета 3) сальдо начальное плюс дебетовый оборот равны кредитовому обороту 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1 и 3
15. Сальдо конечное по пассивному счету равно нулю, если 1) по счету в течение месяца не было движения 2) сальдо начальное плюс кредитовый оборот равны дебетовому обороту 3) оборот по дебету счета равен обороту по кредиту счета 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1 и 3
16. Двойная запись – способ 1) группировки объектов учета 2) отражения хозяйственных операций 3) обобщения данных бухгалтерского учета 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1 и 3
17. Корреспонденция счетов − взаимосвязь между 1) дебетом одного и кредитом другого счета 2) синтетическими и аналитическими счетами 3) аналитическими счетами и субсчетами 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1 и 3
18. Забалансовые счета используются для 1) учета средств, не принадлежащих данному хозяйствующему субъекту 2) учета средств, взятых в аренду 3) отражения событий и операций, которые в данный момент не влияют на баланс хозяйствующего 4) верно все вышеперечисленное 5) верны варианты 1 и 3
19. План счетов бухгалтерского учета – это 1) классификация общей номенклатуры синтетических показателей бухгалтерского учета 2) перечень аналитических счетов, используемых в учете 3) совокупность синтетических и аналитических счетов 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1 и 3
20. Основными документами, регулирующими организацию бухгалтерского учета в Российской _________Федерации, являются 1) Конституция РФ 2) закон о бухгалтерском учете и отчетности 3) план счетов бухгалтерского учета 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 2 и 3
21. . Бухгалтерская запись: «Д-т сч.66 «Расчеты по краткосрочным кредитам и займам» К-т сч.51 «Расчетные счета»» означает 1) поступление краткосрочных кредитов 2) получение краткосрочного займа от других предприятий 3) начисление процентов 4) верны варианты 1и 3 5) верны варианты 1 и 2
22. Бухгалтерская запись: «Д-т сч.51 «Расчетные счета» К-т сч.60 «Расчеты с поставщиками и подрядчиками»» означает 1) зачет ранее полученного аванса у поставщика 2) получение аванса от покупателя 3) зачет поставщиком ранее полученного аванса от покупателя 4) поступление средств от получателя в окончательный расчет 5) нет верного ответа
23. Хозяйственная операция: «Удержана у подотчетного лица ранее выданная и не возвращенная в срок сумма аванса» отражается записью по 1) Д-т сч.50 «Касса» К-т сч.71 «Расчеты с подотчетными лицами» 2) Д-т сч.71 «Расчеты с подотчетными лицами» К-т сч.50 «Касса» 3) Д-т сч.68 «Расчеты по налогам и сборам» К-т сч.71 «Расчеты с подотчетными лицами» 4) Д-т сч.70 «Расчеты с персоналом по оплате труда» К-т сч.94 «Недостачи и потери от порчи ценностей» 5) Д-т сч.70 «Расчеты с персоналом по оплате труда» К-т сч.71 «Расчеты с подотчетными лицами»
24. По времени закупок предпочтительнее с точки зрения формирования прибыли в период инфляции является способ оценки материалов по 1) средней себестоимости заготовления 2) себестоимости первых по времени закупок 3) фактической себестоимости заготовления единицы запасов 4) себестоимости последних по времени закупок 5) по себестоимости единицы
25. При отражении суммы НДС по приобретенным материалам составляется запись 1) Д-т сч.10 «Материалы» К-т сч.60 «Расчеты с поставщиками и подрядчиками» 2) Д-т сч.19 «Налог на добавленную стоимость» субсчет 3 «НДС по приобретенным материальным ресурсам» К-т сч.60 «Расчеты с поставщиками и подрядчиками» 3) Д-т сч.76 «Расчеты с разными дебиторами и кредиторами» К-т сч.19 «Налог на добавленную стоимость», субсчет 3 «НДС по приобретенным ма- териальным ресурсам» 4) Д-т сч.19 «Налог на добавленную стоимость» К-т сч.68 «Расчеты по налогам и сборам» 5) Д-т сч.15 «Заготовление и приобретение материалов» К-т сч.60 «Расчеты с поставщиками и подрядчиками»
26. При безвозмездном получении новых объектов основных средств составляется бухгалтерская запись 1) Д-т сч.80 «Уставный капитал» К-т сч.01 «Основные средства» 2) Д-т сч.01 «Основные средства» К-т сч.80 «Уставный капитал» 3) Д-т сч.08 «Вложения во внеоборотные активы» К-т сч.98 «Доходы будущих периодов» 4) Д-т сч.01 «Основные средства» К-т сч.98 «Доходы будущих периодов» 5) Д-т сч.08 «Вложения во внеоборотные активы» К-т сч.99 «Прибыли и убытки»
27. После окончания амортизационного периода амортизация 1) начисляется 2) начисляется в пониженном размере 3) не начисляется 4) начисляется износ 5) по усмотрению организации
28. Бухгалтерская запись: «Д-т сч.91 «Прочие доходы и расходы» К-т сч.01 «Основные средства»» означает 1) выбытие основных средств по первоначальной стоимости 2) реализация основных средств 3) поступление основных средств 4) износ основных средств 5) выбытие основных средств по остаточной стоимости
29. При оприходовании основных средств, внесенных учредителями в счет вклада в уставный капитал, составляется бухгалтерская запись 1) Д-т сч.08 «Вложения во внеоборотные активы» К-т сч.80 «Уставный капитал» 2) Д-т сч.08 «Вложения во внеоборотные активы» К-т сч.75 «Расчеты с учредителями» 3) Д-т сч.01 «Основные средства» К-т сч.08 «Вложения во внеоборотные активы» 4) Д-т сч.75 «Расчеты с учредителями» К-т сч.80 «Уставный капитал» 5) Д-т сч.01 «Основные средства» К-т сч.80 «Уставный капитал»
30. Бухгалтерская запись: «Д-т сч.51 «Расчетный счет» К-т сч.76 «Расчеты с разными дебиторами и кредиторами»» означает 1) поступление средств от покупателей, ранее списанных на убытки; 2) получение неустоек 3) признание должником неустойки 4) списание убытков по недостачам и хищениям 5) верно любое утверждение
31. Какими проводками оформляется реформация баланса 1) Д-т 99 «Прибыли и убытки» К-т 84 «Нераспределенная прибыль (непокрытый убыток)» 2) Д-т 84 «Нераспределенная прибыль (непокрытый убыток)» К-т 99 «Прибыли и убытки» 3) Д-т 99 «Прибыли и убытки» К-т 91 «Прочие доходы и расходы» 4) верны варианты 2 и 3 5) верны варианты 1 и 2
32. Какими проводками оформляется начисление заработной платы 1) Д-т 20 «Основное производство» К-т 70 «Расчеты с персоналом по оплате труда» 2) Д-т 25 «Общепроизводственные расходы» К-т 70 «Расчеты с персоналом по оплате труда» 3) Д-т 26 «Общехозяйственные расходы» К-т70 «Расчеты с персоналом по оплате труда» 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1, 2, 3
33. Начисления пособий по временной нетрудоспособности производятся 1) за счет средств фонда медицинского страхования 2) за счет средств фонда социального страхования 3) за счет работодателя 4) верны варианты 1 и 2 5) верны варианты 1 и3
34. Начисления пособий по временной нетрудоспособности оформляются проводкой 1) Д-т 69 «Расчеты по социальному страхованию и обеспечению» К-т 70 «Расчеты с персоналом по оплате труда» 2) Д-т 68 «Расчеты по налогам и сборам» К-т 70 «Расчеты с персоналом по оплате труда» 3) Д-т 20 «Основное производство» К-т 70 «Расчеты с персоналом по оплате труда» 4) верны варианты 1 и 3 5) верны варианты 1 и 2
35. Исчисление среднего заработка при расчете отпускных производится, исходя из заработка за 1) три предыдущих месяца 2) два предыдущих месяца 3) за любые три месяца года по желанию работника 4) за 12 месяцев 5) за месяц
36. Для исчисления среднего заработка при расчете пособия по временной нетрудоспособности производится, исходя из заработка за 1) три предыдущих месяца 2) два предыдущих месяца 3) по усмотрению бухгалтера 4) по желанию работника 5) за 12 месяцев предыдущих месяцев
37. Учет реализации по методу начисления означает, что моментом реализации является дата 1) отгрузки продукции покупателю 2) поступления денег на расчетный счет 3) поступления денег в кассу 4) верны варианты 2 и 3 5) нет верного ответа
38. Учет реализации кассовым методом означает, что моментом реализации является дата: 1) отгрузки продукции покупателю 2) поступления денег от покупателей в кассу 3) поступления денег на расчетный счет 4) верны варианты 2 и 3 5) нет верного ответа
39. Запись: «Д-т 62 «Расчеты с покупателями и заказчиками» К-т 90 «Продажи»» означает 1) увеличение дебиторской задолженности 2) увеличение кредиторской задолженности 3) оплату отгруженной продукции 4) уменьшение дебиторской задолженности 5) нет такой записи
40. При использовании счета 62 «Расчеты с покупателями и заказчиками» для учета отгруженной продукции ее себестоимость отражается на счетах 1) по кредиту счета 90 «Продажи» 2) по Д-т 45 счета «Товары отгруженные» 3) по дебету счета 90 «Продажи» 4) не отражается 5) по желанию бухгалтера − на любом счете из перечисленных
41. Покупка иностранной валюты в учете отражается 1) в рублях по курсу покупки 2) в рублях по курсу ЦБ РФ 3) в соответствующей валюте 4) по биржевому курсу 5) в рублях и в валюте
42. Курсовая разница в учете отражается в течение года 1) на счете 90 «Прибыли и убытки» 2) на счете 98 «Доходы будущих периодов» 3) на счете 91 «Прочие расходы и доходы» 4) верны варианты 1и 2 в зависимости от вариантов учета 5) возможен любой вариант
nn.dekane.ru
Тест с ответами: Технология обработки учетной информации (теория бух.учета)
Тема — Технология обработки учетной информации 1.Учетные регистры – это: 1. Первичные документы 2. Таблицы специальной формы + 3. Бухгалтерские книги 4. Распоряжения и приказы по бухгалтерскому учету 2. Регистры бухучета предназначены для: 1. Систематизации и накопления информации, содержащейся в первичных документах + 2. Обобщения результатов проверок 3. Учета основных средств 4. Учета источников образования основных средств 3. По внешнему виду учетные регистры делятся на: 1. Журналы и свободные листы 2. Книги, журналы, карточки + 3. Журналы и бухгалтерские книги 4. Бухгалтерские книги, карточки, свободные листы 4. По характеру записей учетные регистры делят на : 1. Хронологические, систематические, комбинированные + 2. Хронологические, постоянные, разовые 3. Хронологические, комбинированные и разовые 4. Хронологические, комбинированные, постоянные 5. После утверждения годового отчета учетные регистры: 1. Уничтожают 2. Группируют и обобщают, по истечении срока хранения – сдают в архив + 3. Сдают в архив 4. Сдают в вышестоящую организацию 6. Когда в регистрах записана сумма, меньше действительной, применяется: 1. Корректурный способ + 2. Способ дополнительной записи 3. Способ «красное сторно» 4. Корректурный и способ заполнения записи 7. Для исправления ошибочной корреспонденции счетов или большей, чем следовало суммы, применяется: 1. Корректурный способ 2. Способ дополнительной записи 3. Корректурный и способ заполнения записи 4. Способ «красное сторно» + 8. Сумму, отраженную в учете красными чернилами, необходимо: 1. Не принимать к учету 2. Прибавить 3. Вычесть + 4. Оставить без изменений 9. Журнал-ордер ведется: 1. По кредиту счета + 2. По дебету счета 3. По дебету и кредиту счета 4. По кредиту только кассовых счетов
10. В дополнение к журналу-ордеру ведется: 1. Ведомость по дебету соответствующего счета + 2. Шахматная оборотная ведомость по синтетическим счетам 3. Сальдо-оборотная ведомость 4. Ведомость по кредиту соответствующего счета 11. Учетный регистр, который условно подразделяется на две части: журнал хронологической записи и Главную книгу… 1. Кассовая книга 2. Мемориальный ордер 3. Журнал-ордер 4. Журнал-Главная + 12. Журнал-ордер ведется: 1. По синтетическим счетам 2. По аналитическим счетам 3. 1)+2) + 4. Только по субсчетам 13. На расчетный счет поступили денежные средства от дебиторов: 1. Д 66 К 51 2. Д 51 К 76 + 3. Д 51 К 66 4. Д 76 К 51 14. С расчетного счета погашена задолженность банку за краткосрочную ссуду 1. Д 66 К 51 + 2. Д 51 К 76 3. Д 51 К 66 4. Д 67 К 51 15. Бухгалтерская запись Д 50 К 51 означает: 1. Поступление денег в кассу из госбюджета 2. Поступление денег в кассу с расчетного счета + 3. Поступление денег в кассу от подотчетных лиц 4. Поступление денег в кассу от покупателей 16. Подотчетное лицо получило деньги на хозяйственные нужды: 1. Д 50 К 71 2. Д 20 К 71 3. Д 26 К 71 4. Д 71 К 50 + 17. Выдана зарплата рабочим основного производства: 1. Д 20 К 70 2. Д 70 К 20 3. Д 70 К 50 + 4. Д 26 К 76 18. Подотчетное лицо израсходовало денежные средства на нужды производства 1. Д 20 К 71 + 2. Д 71 К 20 3. Д 50 К 71 4. Д 71 К 50 19. Подотчетному лицу выдан из кассы перерасход по авансовому отчету 1. Д 50 К 71 2. Д 71 К 50 + 3. Д 20 К 71 4. Д 26 К 71 20. Удержан подоходный налог из заработной платы рабочих и служащих 1. Д 68 К 70 2. Д 70 К 69 3. Д 70 К 68 + 4. Д 68 К 70 21. Основанием для записи в учетные регистры служит 1. отчетность материально ответственных лиц 2. первичный документ + 3. свершившийся факт хозяйственной жизни 4. распоряжение директора 22. Подтверждает законность и достоверность свершившихся фактов хозяйственной деятельности 1. учетные регистры 2. первичные документы + 3. отчетность материально ответственных лиц 4. сводные документы 23. Регистры бухгалтерского учета 1. предназначены для отражения информации, содержащейся в первичных документах 2. являются промежуточным звеном при составлении бухгалтерской отчетности 3. предоставляют данные для оперативного учета и управления предприятием 4. все вышеперечисленное + 24. Регистры бухгалтерского учета могут вестись: 1. в виде журналов-ордеров 2. в специальных книгах, на отдельных листах и карточках, в виде машинограмм + 3. на отдельных листах 4. только в автоматизированном виде 25. При ведении регистров на машинных носителях информации должна быть предусмотрена возможность их: 1. вывода на бумажные носители информации 2. сохранения в памяти ЭВМ 3. редактирования 4. все вышеперечисленное + 26. Форма бухучета это – 1. сочетание учетных регистров и последовательность записей в них + 2. таблицы свободной формы и графления 3. только автоматизированные регистры 4. все вышеперечисленное 27. По характеру записей учетные регистры делятся на: 1. хронологические, систематические и комбинированные 2. хронологические, постоянные и разовые + 3. хронологические, комбинированные и разовые 4. хронологические, систематические, первичные 28. Правильность отражения хозяйственных операций в регистрах обеспечивает: 1. главный бухгалтер 2. лицо, составившее и подписавшее их + 3. счетный работник 4. руководитель 29. Записи в учетных регистрах должны быть: 1. краткими, четкими, ясными, разборчивыми + 2. полными, подробными, разборчивыми 3. выполнены печатными буквами 4. выполнены автоматизированным способом 30. К каким учетным регистрам относятся журналы ордера? 1. синтетическим 2. аналитическим 3. хронологическим 4. комбинированным +
testdoc.ru
Экзаменационные тесты с ответами по дисциплине Теория бухгалтерского учета
Кто впервые в истории описал существование двойного учета? А) А. Смит Б) Л. Пачоли + В) Э. Дегранж Г) Ф. Аквинский
Когда это произошло? А) в 1196 г. Б) в 1789 г. В) в 1391 г. + Г) в 1540 г.
Учет, который изучает явления, носящие обобщающий, массовый атрибут в различных областях хозяйства, экономики, науки, образования – это А) оперативный Б) статистический + В) бухгалтерский Г) хозяйственный
Что относят к трудовым измерителям в бухгалтерии? А) кг Б) м2 В) шт. Г) день +
… — процесс ведения бухгалтерского учета, средство регистрации хозяйственных операций и хранения учетной документации А) счетоводство + Б) аудит В) тарифная сетка Г) все варианты неверны
Такая цель, как составление финансового отчета, относится к: А) управленческому учету Б) финансовому учету + В) хозяйственному учету Г) статистическому учету
Назовите функцию, которая не относится к бухгалтерскому учету: А) аналитическая Б) информационная В) обратной связи Г) оценочная +
Материальные основные средства делят на: А) основные Б) основные и другие необоротные материальные активы + В) оборотные и другие необоротные материальные активы Г) денежные средства и их эквиваленты
Сумма дооценки необоротных активов, дарственная капитал (стоимость активов, бесплатно полученных предприятием от физических и юридических лиц) – это капитал: А) Собственный Б) Уставной В) Дополнительно вложенный Г) Другой дополнительный +
Путь прохождения документов от места его составления или поступления снаружи к месту обработки и хранения по определенному маршруту в определенном порядке и в установленные сроки – это: А) документооборот + Б) планирование В) контроль Г) кредитование
Таксировка – это: А) оценка в денежном измерении указанных в документах материальных ценностей + Б) указание корреспонденции между счетами по данной операции В) отбор документов стопки, однородные по своему существу Г) обобщение показателей путем соответствующей их группировки или систематизации
Контировка – это: А) оценка в денежном измерении указанных в документах материальных ценностей Б) указание корреспонденции между счетами по данной операции, то есть составления бухгалтерской записи + В) отбор документов стопки, однородные по своему содержанию Г) обобщение показателей путем соответствующей их группировки или систематизации
Что означает термин «баланс»? А) способ отображения, состояния и изменения хозяйственных средств или источников их образования под влиянием хозяйственных операций за отчетный период в денежном выражении. Б) отражение на счетах бухгалтерского учета состояния и изменения хозяйственных средств и их источников по определенной системе. В) равновесие или количественное выражение отношений между сторонами какой-либо деятельности. + Г) нет верного ответа
Сколько разделов в активе и пассиве баланса соответственно? А) 5 и 2 Б) 3 и 4 В) 3 и 5 + Г) 8 и 6
… — это способ отображения, состояния и изменения хозяйственных средств или источников их образования под влиянием хозяйственных операций за отчетный период в денежном отображении А) бухгалтерский счет + Б) счет В) контокоррентная карта Г) систематическая запись
Разница между приходом и расходом счёта – это… А) шахматная ведомость Б) субсчет В) сальдо + Г) учетный регистр
. … — сведения оборотов по счетам, служащий для раскрытия их содержания и проверки правильности корреспонденции счетов А) шахматная ведомость + Б) субсчет В) сальдо Г) учетный регистр
К какому синтетическому счету относят субсчет «Транспортные средства»? А) производственные запасы Б) основные средства + В) дебиторская задолженность Г) затраты будущих периодов
План счетов бухгалтерского учета представляет собой систематизированный перечень счетов бухгалтерского учета, в основе которого используется классификация счетов по их: А) экономическому содержанию + Б) финансовому содержанию В) бухгалтерскому содержанию Г) учетному содержанию
План счетов сгруппирован по классам, существует … классов счетов: А) 11 Б) 9 В) 10 + Г) 8
Классификация счетов в бухгалтерском учете – это: А) зачисление средств, которые не принадлежат предприятию, но временно находящихся там. Б) контроль за наличием и нарушением средств предприятия (актив) и их источников (пассив) В) накопление затрат по тому или иному хозяйственному процессу с целью дальнейшего их распределения Г) метод изучения всей совокупности счетов путем их группировки по определенным признакам, а также выяснения характерных особенностей каждой группы +
Для чего служат калькуляционные счета? А) для определения сальдо баланса Б) для сведения актива и пассива баланса В) для определения себестоимости хозяйственных средств + Г) для определения финансовых результатов
Какие счета относят к бюджетно-распределительным? А) внутренние Б) затраты будущих периодов + В) контрарные Г) дополнительные
Какие счета относят к калькуляционным? А) производство + Б) финансовые результаты В) резерв будущих затрат Г) контрарные
… — счетные таблицы определенной формы, построенные в соответствии с экономической группировкой данных о хозяйственных средствах и источниках их образования. А) калькуляция Б) шахматная ведомость В) учетный регистр + Г) контокоррентная карта
К какому признаку учетных регистров относят признак «Двусторонние учетные регистры»? А) по внешнему виду Б) по объему содержания В) по характеру записи Г) по форме построения +
К какому признаку учетных регистров относят признак «Регистры аналитического учета»? А) по внешнему виду Б) по объему содержания + В) по характеру записи Г) по форме построения
В зависимости от внешнего вида учетные регистры делятся на: (отметить лишнее) А) бухгалтерские книги Б) карточки В) свободные листы Г) контокоррентные карты +
Для чего предназначены свободные листы? А) выполняют функцию учетного регистра Б) для накопления информации + В) для обобщения ведомостей Г) для анализа конкретного синтетического счета
Менеджеры и внешние потребители относятся к … финансового учета: А) измерителям Б) главным потребителям + В) объектам анализа Г) ограничителям
testdoc.ru
Тест. Предмет и метод бухгалтерского учета
Бухгалтерский учет и аудит
Тест по дисциплине «Бухгалтерский учет», по теме «Предмет и метод бухгалтерского учета». Для студентов гуманитарного направления обучающихся по специальности «Экономист». Правильные варианты ответа отмечены символом «+».
Предметом бухгалтерского учета являются:
-: хозяйственные средства и их источники
-: хозяйственные процессы и их результаты
+: хозяйственные средства и их источники, хозяйственные процессы и их результаты
Для характеристики хозяйственных явлений существует понятие «объекта» бухгалтерского учета, что понимают под понятием «объект»
— : любое явление, которое может быть выражено в стоимостной оценке
— : любое явление, которое может быть выражено в стоимостной оценке и необходимым органом управления организацией
+: любое явление, которое может быть выражено в стоимостной оценке и необходимым органом управления организацией для принятия оптимальных управленческий решений
в теории бухгалтерском учете выделяют следующие группы объектов
— : активы
— : пассивы
+: активы, пассивы и хозяйственные операции
из каких элементов состоят внеоборотные активы организации (имущество)
-: внеоборотные
-:забалансовые
+: внеоборотные и оборотные активы
элементы внеоборотных активов
— : основные средства и вложения в материальные ценности
-: нематериальные активы и вложения во внеоборотные активы
+: основные средства и вложения в материальные ценности, нематериальные активы и вложения во внеоборотные активы; долгосрочные финансовые вложения
из каких элементов состоят оборотные активы организации
-: производственные запасы, товары и готовая продукция
-: денежные средства, краткосрочные финансовые вложения и дебиторская задолженность
+: производственные запасы, товары и готовая продукция, денежные средства, краткосрочные финансовые вложения и дебиторская задолженность
Собственный капитал состоит из элементов
-: уставный, резервный и добавочный капитал
-:нераспределенная прибыль и целевое финансирование
+: уставный, резервный и добавочный капитал, нераспределенная прибыль и целевое финансирование
Обязательства организации (привлеченный капитал) подразделяются на
Производственно-хозяйственная деятельность хозяйствующего субъекта включает процессы
-: реализации
-: строительства
+: обмена
-: заготовления
Производственно-хозяйственная деятельность хозяйствующего субъекта включает процессы
-: реализации
+: потребления
-: строительства
-: заготовления
Производственно-хозяйственная деятельность хозяйствующего субъекта включает процессы
-: реализации
+: распределения
-: строительства
-: заготовления
Производственно-хозяйственная деятельность хозяйствующего субъекта включает процессы
+: производства
-: реализации
-: строительства
-: заготовления
В ходе производства осуществляется
-: распределение готового продукта
-: передача продукта от производителя к потребителю
+: создание материальных благ
-: использование продукта и услуг по назначению
В ходе процесса распределения осуществляется
+: распределение готового продукта
-: передача продукта от производителя к потребителю
-: создание материальных благ
-: использование продукта и услуг по назначению
В ходе процесса обмена осуществляется
-: распределение готового продукта
+: передача продукта от производителя к потребителю
-: создание материальных благ
-: использование продукта и услуг по назначению
В ходе процесса потребления осуществляется
-: распределение готового продукта
-: передача продукта от производителя к потребителю
-: создание материальных благ
+: использование продукта и услуг по назначению
Активами хозяйствующего субъекта являются экономические ресурсы
-: имеющие стоимостную оценку
-: приносящие доход
+: имеющие стоимостную оценку и приносящие доход
Активы организации для целей бухгалтерского учета группируются по
+: видам
-: отношения к балансу
-: отношению к пользователям информацией
Активы организации для целей бухгалтерского учета группируются по
+: источникам образования
-: отношения к балансу
-: отношению к пользователям информацией
Активы организации для целей бухгалтерского учета группируются по
-: отношения к балансу
+: степени ликвидности
-: отношению к пользователям информацией
Активы организации для целей бухгалтерского учета группируются по
-: отношения к балансу
-: отношению к пользователям информацией
+: функциональной роли
Активы организации для целей бухгалтерского учета группируются по
-: отношения к балансу
+: местам эксплуатации
-: отношению к пользователям информацией
Активы по роли в процессе производства подразделяются на
-: средства производства, оборотные активы, отвлеченные активы
+: средства труда, предметы труда
-: основные средства, оборотные активы, отвлеченные активы
-: средства в сфере производства, средства в сфере обращения
Активы организации по видам подразделяются на
+: средства труда
-: нематериальные активы
-: предметы обращения
-: активы сферы обращения
-: текущие активы
-: средства в расчетах
Активы организации по видам подразделяются на
-: нематериальные активы
+: предметы труда
-: предметы обращения
-: активы сферы обращения
-: текущие активы
-: средства в расчетах
Активы организации по видам подразделяются на
-: предметы обращения
-: активы сферы обращения
+: денежные средства
-: текущие активы
Активы организации по видам подразделяются на
-: нематериальные активы
-: активы сферы обращения
-: текущие активы
-: средства в расчетах
+: отвлеченные активы
Активы организации по местам эксплуатации подразделяются на
-: предметы труда
+: активы сферы производства
-: основные активы
-: отвлеченные активы
Активы организации по местам эксплуатации подразделяются на
-: предметы труда
+: активы сферы обращения
-: основные активы
-: отвлеченные активы
Активы организации по местам эксплуатации подразделяются на
-: предметы труда
-: основные активы
+: активы внепроизводственной сферы
-: предметы обращения
Активы организации по времени использования подразделяются на
+: долгосрочные и текущие
-: основные средства и оборотные активы
-: предметы труда и средства труда
К долгосрочным активам относятся
-: предметы труда
+: основные средства
-: предметы обращения
-: средства в расчетах
К долгосрочным активам относятся
-: предметы труда
+: нематериальные активы
-: предметы обращения
-: средства в расчетах
К долгосрочным активам относятся
-: предметы труда
+: долгосрочные отвлеченные активы
-: предметы обращения
-: средства в расчетах
К текущим активам организации относятся
+: предметы труда
-: основные средства
+: предметы обращения
+: денежные средства
-: нематериальные активы
+: средства в расчетах
К текущим активам организации относятся
+: предметы труда
-: основные средства
-: нематериальные активы
К текущим активам организации относятся
-: основные средства
+: предметы обращения
-: нематериальные активы
К текущим активам организации относятся
-: основные средства
-: нематериальные активы
+: средства в расчетах
Активы организации по способу перенесения стоимости на продукт подразделяются на
-: основные средства и средства в сфере производства
-: средства производства, средства обращения, отвлеченные средства
+: основные, оборотные и отвлеченные средства
Незавершенное производство – это
+: предметы труда, находящиеся в обработке на рабочих местах
-: сырье и материалы находящиеся на складах
-: оборотные активы сферы обращения
Активы по источникам образования подразделяются на
-: заемные и привлеченные
+: собственные и привлеченные
-: закрепленные и специального назначения
Собственный капитал организации подразделяется на
+: инвестированный собственниками и созданный в процессе хозяйственной деятельности
-: долгосрочный и краткосрочный
-: текущий
Привлеченный капитал подразделяется на
-: текущий
+: долгосрочный и краткосрочный
-: созданный в процессе хозяйственной деятельности
инвестированный собственниками капитал существует в форме
+: уставного капитала
-: добавочного капитала
-: резервного капитала
-: нераспределенной прибыли
Созданный в процессе хозяйственной деятельности капитал выступает в форме
-: уставного капитала
+: резервного капитала
-: резервов предстоящих расходов
Созданный в процессе хозяйственной деятельности капитал выступает в форме
-: уставного капитала
+: добавочного капитала
-: резервов предстоящих расходов
Созданный в процессе хозяйственной деятельности капитал выступает в форме
-: уставного капитала
+: нераспределенной прибыли
-: резервов предстоящих расходов
Краткосрочный привлеченный капитал организации составляют
+: краткосрочные кредиты и займы
-: добавочный капитал
-: доходы будущих периодов
-: резервный капитал
-: уставной капитал
Краткосрочный привлеченный капитал организации составляют
-: добавочный капитал
+: кредиторская задолженность
-: доходы будущих периодов
-: резервный капитал
-: уставной капитал
К обязательствам по расчетам относятся долги
-: дебиторов
+: поставщикам
-: банкам
К обязательствам по распределению относятся долги
-: поставщикам
-: дебиторов
+: работников по начисленной оплате труда
К собственным источникам образования имущества относят
-: дебиторскую задолженность
+: прибыль
-: долгосрочные займы
К оборотным активам сферы обращения относятся
+: долги подотчетных лиц
-: долги поставщикам
-: нематериальные активы
К средствам в расчетах относят
+: задолженность покупателей
-: денежные средства на расчетном счету
-: краткосрочные финансовые вложения
к оборотным активам сферы производства относят
-: готовую продукцию
+: топливо
-: денежные средства в кассе
предметом бухгалтерского учета является
-: кругооборот хозяйственных средств
+: отражение состояния и использования имущества хозяйства в процессе его кругооборота
-: контроль над использованием имущества
Под методом бухгалтерского учета понимается
-: совокупность приемов изучения бухгалтерского учета
+: совокупность способов и приемов познания предмета бухгалтерского учета
-: элементы изучения бухгалтерского учета
К элементам метода бухгалтерского учета относят
+: документацию
-: систему счетов
-: сверку документов
-: выборку
-: нормирование затрат
К элементам метода бухгалтерского учета относят
+: инвентаризацию
-: систему счетов
-: сверку документов
-: выборку
-: нормирование затрат
К элементам метода бухгалтерского учета относят
-: систему счетов
-: сверку документов
-: выборку
+: калькуляцию
-: нормирование затрат
К элементам метода бухгалтерского учета относят
-: систему счетов
-: сверку документов
-: выборку
+: баланс и отчетность
-: нормирование затрат
К элементам метода бухгалтерского учета относят
-: систему счетов
-: сверку документов
+: оценку
-: выборку
-: нормирование затрат
К элементам метода бухгалтерского учета относят
-: систему счетов
-: сверку документов
+: двойную запись
-: выборку
-: нормирование затрат
Специфические элементы метода бухгалтерского учета относятся
-: инвентаризация
-: документация
+: система счетов
-: оценка
-: калькуляция
-: отчетность
Специфические элементы метода бухгалтерского учета относятся
-: инвентаризация
-: документация
+: двойная запись
-: оценка
-: калькуляция
-: отчетность
Специфические элементы метода бухгалтерского учета относятся
-: инвентаризация
-: документация
-: калькуляция
+: баланс
-: отчетность
К общим элементам метода бухгалтерского учета относятся
+: инвентаризация
-: система счетов
-: двойная запись
-: баланс
К общим элементам метода бухгалтерского учета относятся
+: документация
-: система счетов
-: двойная запись
-: баланс
К общим элементам метода бухгалтерского учета относятся
-: система счетов
-: двойная запись
+: оценка
-: баланс
К общим элементам метода бухгалтерского учета относятся
-: система счетов
-: двойная запись
+: калькуляция
-: баланс
К общим элементам метода бухгалтерского учета относятся
-: система счетов
-: двойная запись
-: баланс
+: отчетность
Факты хозяйственной деятельности относятся к тому отчетному периоду, в котором они имели место, независимо от фактического времени поступления или выплаты денежных средств, связанных с этими фактами. Назовите принцип бухгалтерского учета:
-: принцип имущественной обособленности
-: принцип осмотрительности (консерватизм — принцип своевременной регистрации фактов хозяйственной деятельности
+: принцип временной определенности фактов хозяйственной деятельности
Приказ об учетной политике относится к уровню нормативного регулирования бухгалтерского учета
-: первому
-: второму
-: третьему
+: четвертому
Положения по бухгалтерскому учету относятся к уровню нормативного регулирования бухгалтерского учета
-: первому
-: второму
+: третьему
-: четвертому
Инструкция к плану счетов относится к уровню нормативного регулирования бухгалтерского учета
-: первому
+: второму
-: третьему
-: четвертому
Принцип непрерывности заключается в том, что:
-: все факты хозяйственной деятельности должны регистрироваться
-: все факты хозяйственной деятельности должны быть соотнесены с соответствующими отчетными периодами
+: предприятие должно функционировать в течение длительного периода времени
-: данные бухгалтерского учета представляют собой единую систему, созданную в интересах эффективного управления предприятием
Бухгалтерский учет – это:
-: система быстрого, своевременного отражения хозяйственных процессов с целью воздействия на них
+: система сплошного, непрерывного и документального отражения фактов хозяйственной деятельности
-: система количественного и качественного отражения массовых явлений и хозяйственных операций
Для учета товарно-материальных ценностей используются измерители:
-: трудовой
-: натуральный
-: стоимостной
+: натуральный и стоимостной
Налоговая инспекция относится к внешним пользователям бухгалтерской информации
-: с прямым финансовым интересом
+: с косвенным финансовым интересом
Бухгалтерский учет осуществляется в рамках:
-: государства
-: отдельного региона
-: министерств и ведомств
+: отдельной организации
Бухгалтерский учет в организациях ведется в целях
+: формирования достоверной информации об имущественном положении
-: формирования информации для текущего оперативного руководства
-: обобщения данных для изучения тенденции развития отдельных отраслей
Бухгалтерский учет в организациях ведется в целях
+: обеспечения информацией пользователей бухгалтерской отчетностью
-: обобщения данных для изучения тенденции развития отдельных отраслей
-: формирования информации для текущего оперативного руководства
Бухгалтерский учет в организациях ведется в целях
+: предотвращения отрицательных результатов хозяйственной деятельности
-: формирования информации для текущего оперативного руководства
-: обобщения данных для изучения тенденции развития отдельных отраслей
К особенностям бухгалтерского учета относят
-: быстроту получения информации
+: использование специальных методов сбора и обработки информации
-: отсутствие специальной службы
-: применение его в рамках отрасли
К особенностям бухгалтерского учета относят
-: быстроту получения информации
+: использование специальных методов сбора и обработки информации
-: отсутствие специальной службы
К особенностям бухгалтерского учета относят
-: отсутствие специальной службы
+: применение денежного измерителя
-: применение его в рамках отрасли
К особенностям бухгалтерского учета относят
-: отсутствие специальной службы
+: документирование всех хозяйственных операций
-: применение его в рамках отрасли
С помощью трудовых измерителей рассчитывают:
-: количество материальных ценностей
+: производительность труда
-: обобщающие показатели
С помощью трудовых измерителей рассчитывают
-: количество материальных ценностей
-: обобщающие показатели
+: оплату труда
С помощью трудовых измерителей рассчитывают
-: количество материальных ценностей
+: нормы выработки
-: оценочные показатели
Сводную информацию об объектах бухгалтерского учета получают с помощью измерителей:
-: натуральных
-: трудовых
+: стоимостных
Объектами бухгалтерского учета в организациях являются:
-: имущество
-: обязательства
-: хозяйственные операции
+: имущество, обязательства и хозяйственные операции
К источникам образования средств организации относятся:
-: только собственный капитал
-: только заемный капитал
+: собственный и заемный капитал
Хозяйственные средства предприятия формируются за счет источников:
-: заемных и привлеченных
-: закрепленных и заемных
-: закрепленных и специального назначения
+: собственных и заемных
Основные средства относятся к группе:
-: средств в расчетах
-: предметов труда
+: средств труда
-: собственных источников
Прибыль, полученная предприятием, относится
+: к источникам собственных средств
-: к собственным средствам
В системе хозяйственного учета в РФ выделяются следующие виды учета:
Найдем тангенс угла А, а затем воспользуемся формулой приведения.
Сын “нового русского” говорит отцу:
G H
b
A B 
Решение: Разобьем монеты на три группы по три монеты. Положим монеты двух групп на разные чашки весов.
V этап.Заполнение схемы. Применение графа. (3мин)
Фигура цилиндр
Рисунок цилиндра
Объем цилиндр
Наклонный цилиндр
Цилиндр и сфера
Цилиндр, вписанный в параллелепипед
Стаканы имеют цилиндрическую форму
Расчет цилиндрического вала
Расчет объема
Толщина стенок любой трубы
Параметры трубопровода
Геометрические параметры алюминиевых радиаторов
Параметры пластиковых труб
Десктопная программа для расчетов объема
Расчет объема трубы – задача, необходимая в строительстве, ремонте, замене трубопровода и не только. Существует несколько вариантов такого вычисления.
Второй способ включает в себя использование формулы, применяемой многими инженерами.
Труба имеет форму цилиндра, и при расчетах полезного объема упор делается на емкости – вместимости жидкости.
,
где 
