Рубрика: Школьная жизнь

Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме «Матрицы. Виды матриц. Основные термины». Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Содержание темы:

1. Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$.
2. Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$.
3. Минор k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$. Главный минор, базисный минор, окаймляющий минор.
4. Минор k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{n\times n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{n\times n}$ именуют определитель матрицы, полученной из матрицы $A$ вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: $A=\left( \begin{array} {ccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)$. Найдём минор элемента $a_{32}$, т.е. найдём $M_{32}$. Сперва запишем минор $M_{32}$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_{32}$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_{32}$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_{32}$:

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Итак, минор элемента $a_{32}$ равен 579, т.е. $M_{32}=579$.

Часто вместо словосочетания «минор элемента матрицы» в литературе встречается «минор элемента определителя». Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_{ij}$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_{ij}$. Например, найдём минор элемента $a_{12}$ определителя $\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end{array} \right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_{12}$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Итак, минор элемента $a_{12}$ равен 83, т.е. $M_{12}=83$.

Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{n\times n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

где $M_{ij}$ – минор элемента $a_{ij}$.

Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_{32}$ матрицы $A=\left( \begin{array} {ccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)$, т.е. найдём $A_{32}$. Ранее мы уже находили минор $M_{32}=579$, поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_{12}$, если $A=\left( \begin{array} {ccc} -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end{array} \right)$. Согласно формуле $A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=-M_{12}$. Однако чтобы получить $M_{12}$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_{12}$:

Минор k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_{m\times n}$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Минором k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$ называется определитель, элементы которого расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы $A$ (при этом предполагается, что $k≤ m$ и $k≤ n$).

Например, рассмотрим матрицу $A=\left( \begin{array} {ccc} -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right)$ и запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки с номерами 2, 4, 6 и столбцы с номерами 1, 2, 4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Минор k-го порядка матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ называется главным, если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы $A$.

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_{11}=-1$, $a_{22}=7$, $a_{33}=18$, $a_{44}=8$. На рисунке они выделены розовым цветом:

Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_{11}=-1$ и $a_{33}=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Пусть некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$ не равен нулю, т.е. $M\neq 0$. При этом все миноры, порядок которых выше k, равны нулю. Тогда минор $M$ называют базисным, а строки и столбцы, на которых расположены элементы базисного минора, именуют базисными строками и базисными столбцами.

Для примера рассмотрим матрицу $A=\left( \begin{array} {ccc} -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$. Звапишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк с номерами 1, 2, 3 и столбцов с номерами 1, 3, 4. Мы получим минор третьего порядка:

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Итак, $M=11\neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ – базисные столбцы.

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Пусть некий минор k-го порядка $M$ матрицы $A_{m\times n}$ расположен на пересечении k строк и k столбцов. Добавим к набору этих строк и столбцов ещё одну строку и столбец. Полученный минор (k+1)-го порядка именуют окаймляющим минором для минора $M$.

Для примера обратимся к матрице $A=\left( \begin{array} {ccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right)$. Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4.

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор $M’$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены розовым цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ – зелёным:

Минор $M’$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор $M»$ (минор третьего порядка):

Минор $M»$ также является окаймляющим минором для минора $M$.

Минор k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Пусть задан некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Определитель (n-k)-го порядка, элементы которого получены из матрицы $A$ после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор $M$, называется минором, дополнительным к минору $M$.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка: $A=\left( \begin{array} {ccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right)$. Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка:

Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (убираемые строки и столбцы показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M’$:

Минор $M’$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.

Алгебраическим дополнением к минору $M$ квадратной матрицы $A_{n\times n}$ называется выражение $(-1)^{\alpha}\cdot M’$, где $\alpha$ – сумма номеров строк и столбцов матрицы $A$, на которых расположены элементы минора $M$, а $M’$ – минор, дополнительный к минору $M$.

Словосочетание «алгебраическое дополнение к минору $M$» часто заменяют словосочетанием «алгебраическое дополнение минора $M$».

Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка $ M=\left| \begin{array} {ccc} 2 & -14 \\ -6 & 41 \end{array} \right| $ и дополнительный к нему минор третьего порядка: $M’=\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:

Параметр $\alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $\alpha=1+3+2+5=11$. Итак:

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:

math1.ru

Минор k-го порядка

Минором порядка k заданной матрицы называется определитель любой квадратной матрицы k-го порядка, которая находится на пересечении произвольных kстолбцов и kстрочек прямоугольной матрицы.

k столбцов

• •• *• *

• •• *

• •

•• *•

••

•*

•*

••

•*

••

•*

••

••

•*

•*

••

•*

••

•*

••

* * * *

* * * *

* * * *

* * * *

Пример. В данной матрице выписать миноры всех возможных порядков

Решение

Миноры первого порядка

Рангом матрицы A называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Обозначение: r(A) илиrang(A)

r(Am×n)≤min(m,n)

Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицыА, порядок которого равенr(A).

Замечание. Базисных миноров может быть несколько.

studfiles.net

Определитель 4 порядка. Калькулятор

Определители четвертого и старших порядков возможно вычислять по упрощенным схемам, которые заключаются в разложении по элементам строк или столбцов или сведении к треугольному виду. Оба метода для наглядности будут рассмотрены на матрицах 4-го порядка.

Первый пример мы рассмотрим с подробными объяснениями всех промежуточных действий.

Пример 1. Вычислить определитель методом разложения.

Решение. Для упрощения вычислений разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки (содержит нулевой элемент). Они образуются умножением элементов на соответствующие им дополнения (образуются вычеркивания строк и столбцов на пересечении элемента, для которого исчисляются — выделено красным)

В результате вычисления сведутся к отысканию трех определителей третьего порядка, которые находим по правилу треугольников

Найденные значения подставляем в выходной детерминант

Результат легко проверить с помощью матричного калькулятора YukhymCALC . Для этого в калькуляторе выбираем пункт Матрицы-Определитель матрицы, размер матрицы устанавливаем 4*4.

Далее вводим же матрицу и осуществляем вычисления. Результатом расчетов будет следующий вывод данных

Результаты совпадают, следовательно вычисления проведены верно.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка.

Решение.

Как и в предыдущем задании осуществим вычисления методом разложения. Для этого выберем элементы первого столбца. Упрощенно определитель можно подать через сумму четырех детерминант третьего порядка в виде

Далее переходим к отысканию определителей по правилу треугольников

Вычисления не слишком сложные, главное не напутать со знаками и треугольниками. Найденные величины подставляем в главный определитель и суммируем

Результат проверяем матричным калькулятором YukhymCALC . Правильность расчетов подтверждается следующим рисунком

Метод возведения определителя к треугольному виду

Данный метод позволяет ряд определителей вычислить достаточно быстрый способ. Суть его заключается в объединении определителя к треугольному виду, при этом следует учитывать все множители на которые увеличиваем или уменьшаем строки и учете при конечных расчетах. Из данного определения Вы ничего для себя не поймете, поэтому лучше все показать на конкретных примерах.

Пример 3. Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду

Решение.

Сначала осуществляем математические манипуляции, чтобы получить все нулевые элементы кроме первого в первом столбце. Для этого от второй строки вычитаем первый, умноженный на два. В результате получим

Далее есть два варианта: от третьей строки вычесть первый умноженный на три, или от третьего вычесть сумму первых двух строк. Последний вариант позволит получить сразу два нуля в строке, его и выбираем

Дальше целесообразнее от четвертой отнять удвоенную вторую строчку. В результате элементарных преобразований определитель примет вид

Осталось превратить в ноль один элемент в третьем столбце. Для этого от четвертой строки вычитаем удвоенную третью в предварительно записанном определителе

По свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

По желанию можно проверить результат матричным калькулятором.

В этом примере никаких умножений строк, в которых зануливали элементы мы не выполняли, поэтому полностью раскрыть метод на этом примере не получилось.

Рассмотрим более сложный.

Пример 4.

Найти определитель матрицы 4-го порядка

Решение.

Элементарными преобразованиями сводим определитель к треугольного вида. Для этого от каждой строки вычитаем первый. В результате преобразований получим следующий детерминант

Для удобства вычислений, меняем третью строчку со вторым местами..

По свойству определителей любая замена строк местами ведет к изменению знака определителя. Учитываем это в некотором множителе k=-1.

От третьей строки вычитаем второй, умноженный на минус три. После упрощений получим

Превращаем в ноль последний элемент во втором столбце, для этого вычитаем вторую строчку умноженный на 2.

Результат будет следующим

От удвоенного четвертой строки вычитаем третий. По свойству, умножения строки на постоянную а ведет к изменению определителя в а раз. Данное изменение фиксируем в множителе k=-1*2=-2.

Окончательное значение определителя будет равно произведению диагональных элементов разделенных (или нормированных) на множитель k, который отвечает за изменение детерминанта при элементарных преобразованиях. Выполняем вычисления

Проверка матричным калькулятором подтверждает правильность производимых вычислений.

Метод разложения определителя по элементам строк или столбцов достаточно быстрым при исчислении определителей больших размеров. Метод сведения к треугольного вида эффективен, если элементарные преобразования легко проследить и не приводят к большим произведений. В других случаях нужно пользоваться комбинацией этих методов, в последнее образовывать как можно больше нулевых элементов, а методом разложения по строкам или столбцам уменьшать количество выполненных операций. Это позволит без проблем вычислять определители третьего, четвертого и даже пятого порядка.

yukhym.com

Вычисление дополнительного минора матрицы онлайн

Минором Δ_ij элемента а_ij квадратной матрицы А_n×n (матрицы n-го порядка) будет определитель матрицы А _{(n-1) -го} порядка, который находим способом вычеркивания i-й строки и j-го столбца из матрицы А (вычеркиваем строку и столбец, на пересечении которых расположен элемент а_ij).

Рассмотрим квадратную матрицу А

Пусть

Для любого элемента а_ij матрицы можно найти дополнительный минор Δ_ij посредством вычеркивания строки i и столбца j.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка является его минор, знак которого состоит из номеров строки и столбца:

A_ij = (-1)^i+j х Δ_ij,

M_ij — обозначение минора элемента а_ij.

Представим матрицу
Тогда каждому ее элементу будет соответствовать алгебраическое дополнение
(-1)^i+j × Δ_ij

Алгебраическое дополнение и минор будут одинаковыми при четной сумме номеров строки и столбца. Если сумма номеров является нечетным числом, то они будут различаться знаком.

В прямоугольных матрицах количество строк не равно количеству столбцов. В этом случае минором k-го порядка матрицы A, состоящей из m строк и n столбцов, является определитель с элементами, находящимися на пересечении k строк и k столбцов матрицы. При этом, k ≤ m и k ≤ n

С помощью онлайн калькулятора вы сможете быстро рассчитать значение минора.

infofaq.ru

Минор и алгебраическое дополнение матрицы.

Определение.

Пример 1.

A = 571-410203

Решение:

Определение.

A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij

Пример 2.

A₁₁ = 571-410203

Решение:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1}·M₁₁ = (-1)²·1003 = 1·3 — 0·0 = 3 — 0 = 3

A₁₂ = (-1)^{1 + 2}·M₁₂ = (-1)³·-4023 = -(-4·3 — 0·2) = -(-12 -0) = 12

A₁₃ = (-1)^{1 + 3}·M₁₃ = (-1)⁴·-4120 = -4·0 — 1·2 = 0 — 2 = -2

A₂₁ = (-1)^{2 + 1}·M₂₁ = (-1)³·7103 = -(7·3 — 1·0) = -(21 — 0) = -21

A₂₂ = (-1)^{2 + 2}·M₂₂ = (-1)⁴·5123 = 5·3 — 1·2 = 15 — 2 = 13

A₂₃ = (-1)^{2 + 3}·M₂₃ = (-1)⁵·5720 = -(5·0 — 7·2) = -(0 — 14) = 14

A₃₁ = (-1)^{3 + 1}·M₃₁ = (-1)⁴·7110 = 7·0 — 1·1 = 0 — 1 = -1

A₃₂ = (-1)^{3 + 2}·M₃₂ = (-1)⁵·51-40 = -(5·0 — 1·(-4)) = -(0 + 4) = -4

A₃₃ = (-1)^{3 + 3}·M₃₃ = (-1)⁶·57-41 = 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

ru.onlinemschool.com

Вычисление минора и алгебраического дополнения

Понятия минора и алгебраического дополнения изложены в уроке «Определители, свойства определителей, вычисление». А на этой странице тренируемся в решении задач на вычисление миноров и алгебраических дополнений.

Пример 1. Записать и вычислить миноры второго порядка, содержащиеся в первой и третьей строках определителя

Решение. Перебираем все комбинации столбцов определителя и получаем 10 миноров второго порядка:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Пример 2. Записать и вычислить алгебраические дополнения к минорам и определителя из предыдущего примера.

Решение. Умножаем минус единицу в степени, которую составляет сумма номеров строк и столбцов, в которых находятся миноры, на дополнительный минор к данному минору. Дополнительный минор получается вычёркиванием из определителя тех строк и столбцов, на пересечении которых находится данный минор. Получаем:

,

.

Пример 3. Найти алгебраические дополнения для элементов и определителя

Решение. Аналогично действиям в предыдущем примере получаем:

,

.

Пример 4. Найти миноры третьего порядка, содержащиеся в первой, третьей и четвёртой строках определителя

Решение. Перебираем все комбинации столбцов определителя и получаем 4 минора третьего порядка:

,

,

,

.

Пример 5. Вычислить алгебраические дополнения для миноров, полученных в предыдущем примере.

Решение. Последовательно вычёркиваем из исходного определителя 4-го порядка строки и столбцы, в которых находятся полученные миноры. Получаем дополнительные миноры к полученным. Эти дополнительные миноры являются определителями первого порядка, то есть, состоят из одного элемента. Вычисляем и получаем:

,

,

,

.

Пример 6. Найти алгебраические дополнения для элементов второй строки определителя

Решение. Вычёркиваем последовательно из определителя элементы второй строки и получаем миноры третьего порядка — дополнительные миноры к этим элементам. На них умножаем минус единицу в степени, определяемой суммой номеров строки и столбца, в которых находятся элементы. Вычисляем и получаем:

Начало темы «Определители»

Продолжение темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению.

Для работы с понятием ранга матрицы нам понадобятся сведения из темы «Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений». В первую очередь это касается термина «минор матрицы», так как ранг матрицы станем определять именно через миноры.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Эквивалентные матрицы – матрицы, ранги которых равны между собой.

Поясним подробнее. Допустим, среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. А все миноры, порядок которых выше двух, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 2. Или, к примеру, среди миноров десятого порядка есть хоть один, не равный нулю. А все миноры, порядок которых выше 10, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 10.

Обозначается ранг матрицы $A$ так: $\rang A$ или $r(A)$. Ранг нулевой матрицы $O$ полагают равным нулю, $\rang O=0$. Напомню, что для образования минора матрицы требуется вычёркивать строки и столбцы, – однако вычеркнуть строк и столбцов более, чем содержит сама матрица, невозможно. Например, если матрица $F$ имеет размер $5\times 4$ (т.е. содержит 5 строк и 4 столбца), то максимальный порядок её миноров равен четырём. Миноры пятого порядка образовать уже не удастся, так как для них потребуется 5 столбцов (а у нас всего 4). Это означает, что ранг матрицы $F$ не может быть больше четырёх, т.е. $\rang F≤4$.

В более общей форме вышеизложенное означает, что если матрица содержит $m$ строк и $n$ столбцов, то её ранг не может превышать наименьшего из чисел $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.

В принципе, из самого определения ранга следует метод его нахождения. Процесс нахождения ранга матрицы по определению можно схематически представить так:

Поясню эту схему более подробно. Начнём рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка некоторой матрицы $A$.

1. Если все миноры первого порядка (т.е. элементы матрицы $A$) равны нулю, то $\rang A=0$. Если среди миноров первого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка.
2. Если все миноры второго порядка равны нулю, то $\rang A=1$. Если среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 2$. Переходим к проверке миноров третьего порядка.
3. Если все миноры третьего порядка равны нулю, то $\rang A=2$. Если среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
4. Если все миноры четвёртого порядка равны нулю, то $\rang A=3$. Если среди миноров четвёртого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 4$. Переходим к проверке миноров пятого порядка и так далее.

Что ждёт нас в конце этой процедуры? Возможно, что среди миноров k-го порядка найдётся хоть один, отличный от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка будут равны нулю. Это значит, что k – максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю, т.е. ранг будет равен k. Может быть иная ситуация: среди миноров k-го порядка будет хоть один не равный нулю, а миноры (k+1)-го порядка образовать уже не удастся. В этом случае ранг матрицы также равен k. Короче говоря, порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы.

Перейдём к примерам, в которых процесс нахождения ранга матрицы по определению будет проиллюстрирован наглядно. Ещё раз подчеркну, что в примерах данной темы мы станем находить ранг матриц, используя лишь определение ранга. Иные методы (вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров, вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований) рассмотрены в следующих темах.

Кстати, вовсе не обязательно начинать процедуру нахождения ранга с миноров самого малого порядка, как это сделано в примерах №1 и №2. Можно сразу перейти к минорам более высоких порядков (см. пример №3).

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Решение

Данная матрица имеет размер $3\times 5$, т.е. содержит три строки и пять столбцов. Из чисел 3 и 5 минимальным является 3, посему ранг матрицы $A$ не больше 3, т.е. $\rang A≤ 3$. И это неравенство очевидно, так как миноры четвёртого порядка образовать мы уже не сможем, – для них нужно 4 строки, а у нас всего 3. Перейдём непосредственно к процессу нахождения ранга заданной матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть ненулевые. Например, 5, -3, 2, 7. Вообще, нас не интересует общее количество ненулевых элементов. Есть хотя бы один не равный нулю элемент – и этого достаточно. Так как среди миноров первого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, то делаем вывод, что $\rang A≥ 1$ и переходим к проверке миноров второго порядка.

Начнём исследовать миноры второго порядка. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №4 расположены элементы такого минора: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|$. У этого определителя все элементы второго столбца равны нулю, поэтому и сам определитель равен нулю, т.е. $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=0$ (см. свойство №3 в теме свойства определителей). Или же можно банально вычислить сей определитель, используя формулу №1 из раздела по вычислению определителей второго и третьего порядков:

Первый проверенный нами минор второго порядка оказался равен нулю. О чём это говорит? О том, что нужно дальше проверять миноры второго порядка. Либо они все окажутся нулевыми (и тогда ранг будет равен 1), либо среди них найдётся хотя бы один минор, отличный от нуля. Попробуем осуществить более удачный выбор, записав минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №5: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|$. Найдём значение этого минора второго порядка:

Данный минор не равен нулю. Вывод: среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Следовательно $\rang A≥ 2$. Нужно переходить к исследованию миноров третьего порядка.

Если для формирования миноров третьего порядка мы станем выбирать столбец №2 или столбец №4, то такие миноры будут равными нулю (ибо они будут содержать нулевой столбец). Остаётся проверить лишь один минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении столбцов №1, №3, №5 и строк №1, №2, №3. Запишем этот минор и найдём его значение:

Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Последний составленный нами ненулевой минор был второго порядка. Вывод: максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, отличный от нуля, равен 2. Следовательно, $\rang A=2$.

Ответ: $\rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$.

Решение

Имеем квадратную матрицу четвёртого порядка. Сразу отметим, что ранг данной матрицы не превышает 4, т.е. $\rang A≤ 4$. Приступим к нахождению ранга матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка. Например, на пересечении строк №2, №3 и столбцов №1 и №2 получим такой минор второго порядка: $\left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|$. Вычислим его:

Среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 2$.

Перейдём к минорам третьего порядка. Найдём, к примеру, минор, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №3, №4 и столбцов №1, №2, №4:

Так как данный минор третьего порядка оказался равным нулю, то нужно исследовать иной минор третьего порядка. Либо все они окажутся равными нулю (тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хоть один, не равный нулю (тогда станем исследовать миноры четвёртого порядка). Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4:

Среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, поэтому $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.

Любой минор четвёртого порядка располагается на пересечении четырёх строк и четырёх столбцов матрицы $A$. Иными словами, минор четвёртого порядка – это определитель матрицы $A$, так как данная матрица как раз и содержит 4 строки и 4 столбца. Определитель этой матрицы был вычислен в примере №2 темы «Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)», поэтому просто возьмём готовый результат:

Итак, минор четвертого порядка не равен нулю. Миноров пятого порядка образовать мы уже не можем. Вывод: наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля, равен 4. Итог: $\rang A=4$.

Ответ: $\rang A=4$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end{array} \right)$.

Решение

Сразу отметим, что данная матрица содержит 3 строки и 4 столбца, поэтому $\rang A≤ 3$. В предыдущих примерах мы начинали процесс нахождения ранга с рассмотрения миноров наименьшего (первого) порядка. Здесь же попробуем сразу проверить миноры максимально возможного порядка. Для матрицы $A$ такими являются миноры третьего порядка. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4:

Итак, наивысший порядок миноров, среди которых есть хоть один, не равный нулю, равен 3. Поэтому ранг матрицы равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ: $\rang A=3$.

Вообще, нахождение ранга матрицы по определению – в общем случае задача довольно-таки трудоёмкая. Например у матрицы сравнительно небольшого размера $5\times 4$ имеется 60 миноров второго порядка. И если даже 59 из них будут равны нулю, то 60й минор может оказаться ненулевым. Тогда придётся исследовать миноры третьего порядка, которых у данной матрицы 40 штук. Обычно стараются использовать менее громоздкие способы, такие как метод окаймляющих миноров или метод эквивалентных преобразований.

math1.ru

Al + h3O = ? уравнение реакции

Реакция взаимодействия между алюминием и водой (Al + h3O = ?) приводит к образованию гидроксида алюминия и выделению газа водорода. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Теперь переходим к решению задачи. Первоначально рассчитаем количество молей веществ, вступивших в реакцию (, ():

Это означает, что вода находится в избытке и дальнейшие расчеты производим по алюминию.
Согласно уравнению реакции

значит

Тогда объем водорода будет равен:

ru.solverbook.com

Al + h3SO4 (конц) = ? уравнение реакции

В результате действия концентрированной серной кислоты на металлический алюминий (Al + h3SO4 (конц) = ?) происходит образование средней соли сульфата алюминия, воды и выделение газообразного оксида серы (IV). Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Запишем ионные уравнения, учитывая, что вода, оксиды и простые вещества на ионы не распадаются, т.е. не диссоциируют.

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Сернистый газ (оксид серы (IV), диоксид серы) в обычных условиях представляет собой бесцветный газ с характерным резким запахом (температура плавления равна (), кипения – (). Растворимость оксида серы (IV) в воде весьма велика (при обычных условиях около 40 объемов на один объем воды). Водный раствор диоксида серы называется сернистой кислотой.
Сернистый газ химически активен; в растворе медленно окисляется. Типичный восстановитель, слабый окислитель. В жидком состоянии — неводный растворитель для азота, хлоридов металлов, галогенидов фосфора.

В промышленности оксид серы (IV) получают обжигом сульфида железа:

ru.solverbook.com

Al2S3 + h3O = ? уравнение реакции

В результате растворения навески сульфида алюминия в воде (Al2S3 + h3O = ?) произошло образование нерастворимого основания – гидроксида алюминия и выделение сероводорода. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Сероводород в обычных условиях представляет собой бесцветный газ с характерным запахом гниющего белка. Он немного тяжелее воздуха и горит голубоватым пламенем, образуя диоксид серы и воду:

Сероводород легко воспламеняется; смесь его с воздухом взрывает. Очень ядовит. При один объем воды растворяет 2,5 объема сероводорода. Раствор сероводорода в воде называется сероводородной водой.
Сероводород – сильный восстановитель. При действии сильных окислителей он окисляется до диоксида серы или до серной кислоты; глубина окисления зависит от условий: температуры, рН раствора, концентрации окислителя. Например, реакция с хлором обычно протекает до образования серной кислоты:

Средние соли сероводорода называют сульфидами.
При высокой температуре сера взаимодействует с водородом, образуя газ сероводород.
Практически сероводород обычно получают действием разбавленных кислот на сернистые металлы, например на сульфид железа:

ru.solverbook.com

Al + h3SO4 = ? уравнение реакции

При растворении алюминия в серной кислоте (Al + h3SO4 = ?) происходит образование соли сульфата алюминия и выделение газа водорода. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Запишем ионное уравнение, однако, следует учесть, что простые вещества не диссоциируют, т.е. не распадаются на ионы.

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Теперь переходим к решению задачи. Первоначально рассчитаем количество молей веществ, вступивших в реакцию (; ):

Это означает, что алюминий находится в избытке и дальнейшие расчеты производим по серной кислоте.
Согласно уравнению реакции

значит

Тогда масса сульфата алюминия будет равна (молярная масса – 342 g/mole):

ru.solverbook.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Онлайн-конструктор кухонь 3D в Батуми

Как самостоятельно составить дизайн-проект своей будущей кухни, не имея опыта работы в кухонных конструкторах?

Многие из нас, задумываясь о покупке новой кухни, хотят предварительно нарисовать для себя ее дизайн, а затем составить проект и понять конечную стоимость своей будущей кухни. В домашних условиях не имея опыта работы с профессиональными программами для составления проектов кухни сделать это достаточно тяжело. А когда мы приходим в магазин, то сталкиваемся с тем, что нам рисуют или не то, что мы хотим, или не отдают проект кухни на руки. В результате мы не можем посоветоваться с близкими и принять взвешенное решение по покупке кухни.

Именно поэтому мы и внедрили на нашем сайте простой в применении онлайн-конструктор кухонь. Теперь не нужно скачивать программы и пытаться их установить. Достаточно просто перейти на вкладку конструктора и начать рисовать.

Вы сможете создать максимально похожую обстановку вашего помещения и разместить все коммуникации. После этого нужно будет только разместить верхние и нижние ящики (модули) в соответствии со своими пожеланиями, расставить технику и выбрать материал и цвет фасадов. Вот и все — 3D проект кухни готов! 

Кроме того, что Вы получаете 3D дизайн-проект Вашей кухни — Вы сразу видите конечную стоимость кухни в евро со всей фурнитурой и комплектующими,, выбранной вами в процессе рисования.  Нет никаких скрытых и дополнительных платежей – что выбрали, за то и заплатите! Чтобы Вы не сомневались в этом, вместе с проектом создается и полная спецификация всех элементов кухни, с ценой за каждый отдельный элемент и итоговой стоимость всего кухонного гарнитура. Все цены указаны в евро.

Проект своей будущей кухни можно изменять, сохраняя все версии для дальнейшего сравнения и выбора оптимального варианта. Также можно распечатать проект и просчитать его в таком же исполнении в других магазинах кухонь. Мы не боимся предоставлять наши проекты, потому что знаем, что с материалами такого качества и с такими комплектующими, Вы не найдете кухню дешевле, чем у нас!

Пробуйте составлять дизайн-проекты Вашей будущей кухни в нашем 3D онлайн-конструкторе! Это Ваш первый шаг в создании своей идеальной кухни.

Ну а если Вы все таки не сможете разобраться, то приглашаем вас в наш салон-магазин в Батуми по адресу ул. Чавчавадзе, 21. Наши дизайнеры с удовольствием нарисуют несколько вариантов проектов для вашей кухни и отдадут эти проекты Вам на руки, чтобы Вы смогли сравнить цены! 

Ждем Вас в нашем салоне.

modul-online.ge

Решение уравнений с модулем онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Решение уравнений с модулем является одной из самых сложных тем в школьной программе. Модулем числа \[с\] называется само это число, если \[с\] больше нуля. Существует три типа уравнений с модулями, которые имеют такой вид:

\[-| x| = a\]

\[-| x| = | y|\]

\[-| x| = y \]

Многие уравнения с модулем можно решить, применив только одно определение модуля.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение с параметром онлайн решателем»

Допустим, дано уравнениt с модулем такого 1 типа:

\[| x| = 5\]

\[| x| \]- это просто \[x,\] если\[ x \pm 0 \] или \[-x,\] если \[x

\[x=5,\] при \[x \geq 0-x=5,\] при \[x

Ответ: \[-5; 5.\]

Решим уравнение 2 типа:

\[| x + 1| = | 2x — 1|\]

Решение довольно просто и состоит с нескольких преобразований:

\[|x+1|=|2x-1| \Leftrightarrow x+1=2x-1x+1=-(2x-1) \Leftrightarrow x=2-x=0.\]

Ответ: \[2; 0\]

Решим уравнение 3 вида:

\[?x+1?=1?x ?x+1?=1?2x \leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-2x\ge0\\ \begin{bmatrix} x+1=1-2x\\ x+1=2x-1 \end{bmatrix} \end{matrix}\right. \leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\le\frac{1}{2}\\ \begin{bmatrix} x=0\\ x=2 \end{bmatrix} \end{matrix}\right. \leftrightarrow x=0 \]

Ответ: \[0\]

Где можно научиться решать уравнения с модулем?

Научиться решать и решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Форма-модуль онлайн бронирования для сайта гостиниц

В настоящее время Интернет повсеместно вошел в нашу жизнь. Он помогает пользователям расширить границы возможностей оказания услуг, внедряя новые технологии, тем самым совершенствуя работу вашего бизнеса. Теперь клиенты могут зарезервировать номер в отеле за считанные минуты, воспользовавшись формой онлайн-бронирования. Предлагаемая нами система подходит для любых гостиниц, отелей, баз отдыха, санаториев, пансионатов, хостелов и прочих заведений, в которых останавливаются туристы.

Модуль онлайн бронирования гостиниц полностью встраивается в сайт отеля, легко адаптируясь под его параметры. Вы контролируете все права доступа в систему и динамику заполняемости отеля, постоянно получая информацию о комнатах и ценах на них, количестве свободных номеров и действующих тарифах.

После установки модуля бронирования гостиниц на сайте программа не просто будет отражать достоверные сведения о вашем отеле, выступая «визитной карточкой», но и будет играть роль активного участника вашего бизнеса, улучшая отдельные его составляющие.

Форма бронирования отелей на сайте комфортна как для самих гостиниц, так и их клиентов.

Возможности модуля онлайн бронирования для сайта гостиниц:

• широкодоступный поиск всех предложений.
• регистрация контактных данных клиента.

Что позволит вашим клиентам:

• ознакомиться с перечнем текущих актуальных предложений и цен на проживание в вашей гостинице.
• самостоятельно выбрать, заказать и оплатить номер.

Это дает вам следующие преимущества:

• онлайн бронирование доступно круглосуточно, сокращая расходы на персонал.
• система исключает двойное бронирование, позволяя избежать ошибок, допускаемых обычным менеджером.

Система очень эффективно выполняет возложенную на неё работу, привлекая реальных клиентов, способствуя увеличению клиентской базы и, соответственно, вашего дохода.

maxi-booking.ru

Уравнения с модулем, примеры решений

Теория по уравнениям с модулем

Модулем (абсолютной величиной) числа называется расстояние от начала координат до этой точки. Если число неотрицательное, то модуль его равен самому числу, если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу, то есть

Уравнениями с модулем называются уравнения, которые содержат переменную под знаком модуля (абсолютной величины). Простейшее уравнение с модулем равносильно совокупности

если , если же , то уравнение решений не имеет.

Для решения уравнений с модулем чаще всего используют такие методы:

1. раскрытие модуля по определению;
2. возведение обеих частей уравнения в квадрат;
3. метод интервалов.

Примеры

ru.solverbook.com

Модули — Tanki Online Wiki

[править] Общая информация

Модули — это специальные элементы танка, предназначенные для того, чтобы защищать вашу боевую машину от огня вражеских орудий. Визуально модули никак не отображаются на танке, однако, если нажать и удерживать клавишу R или V, вы можете увидеть, какую защиту используют другие игроки, находящиеся в одном бою с вами. Обратите внимание, что защитные модули именно снижают урон от соответствующих пушек, а не увеличивают здоровье корпуса на указанный процент (распространённое заблуждение).

[править] Установка и снятие модулей

В продаже в Гараже находятся 14 модулей, каждый из которых предоставляет защиту от одного типа повреждений (13 пушек и мины). Вы можете установить до 3 модулей одновременно, в любом порядке и сочетаниях. Для этого выделите нужный модуль и нажмите «Установить» либо кликните по одной из трёх пустых ячеек в описании модуля. Чтобы снять модуль, выделите его и нажмите «Снять» либо кликните по ячейке, занятой этим модулем.

Вне боя модули можно устанавливать, снимать и перемещать между слотами любое количество раз. О переодевании модулей в бою см. статью «Переодевание в битве».

[править] Улучшения модулей

Все модули имеют по четыре модификации, на каждой из которых зафиксированы базовые значения резистов: М0 — 10%, М1 — 15%, М2 — 25%, М3 — 35%. Каждый модуль в рамках одной модификации может быть улучшен до уровня следующей модификации, а полностью улучшенные модули М3 имеют по 50% защиты. Каждая модификация каждого модуля становится доступна для покупки на том же звании, что и пушка той же модификации, от которой этот модуль защищает.

[править] Уникальные модули

Уникальные модули выдаются вместе с наградными красками и обладают защитой от всех пушек и мин одновременно. Будучи установленными, эти модули занимают все 3 ячейки для резистов. Они не имеют уровней улучшений и их нельзя использовать совместно с обычными модулями.

Кроме того, специальным модулем с защитой 50% обладает игрок с ником sidlob (единственный владелец краски Властелин).

[править] Отображение модулей в битве

— зелёная иконка отображается рядом с ником игрока, у которого есть защита от вашей пушки в одиночных режимах боя;
— красная иконка отображается у красных игроков, у которых есть защита от вашей пушки в командных режимах боя;
— синяя иконка отображается у синих игроков, у которых есть защита от вашей пушки в командных режимах боя.

[править] Модули с защитой от Огнемёта и Фриза

Модули с защитой от Огнемёта и Фриза не только уменьшают прямой урон от этих пушек, но и защищают от эффектов горения и заморозки, в том числе вызванных самонагревом Вулкана и некоторыми устройствами.

[править] Таблица модулей

ru.tankiwiki.com

1 к 3 или 1 к 6?

))))))))) Молодежь подтянулась))) ) ну давайте мы поделимся с вами как это в древности начиналось.)) ) Игрок брал кубик с цифрами на шести его гранях (от 1 до 6) и бросал — использовалась цифра которая выпадет (видели как это делается в нардах? ) В записи «1к6» первая цифра отрахает количество бросков кубика (2kn- два броска кубика 3kn — три броска) — количество очков выпавших в бросках складываются. Вторая цифра означает количество граней кубика от 2 до бесконечности. Не можете представить себе «кубик» с количеством граней отличным от шести? — тетраэдр (4 грани) обычный карандаш (6 граней) . Соответственно и выпасть может число по количеству граней в тетраэдре от 1 до 4. Теперь что лучше 1к3 или 1к6 ))) запись 1к3 означает что вы делаете один бросок кубика с тремя гранями — как бы вы не извращались за этот бросок выпасть может лишь 1,2 или 3. Ничего больше! ))) Соответственно и урон будет 1,2 или 3. 1к6 — тот же один бросок но у кубика 6 граней — выпасть может и 4 и 5 и 6, но результат может оказаться и таким же как и у кубика с 3 гранями (1,2,3) Чем больше числа, как первое так и второе — тем лучше)) ) Ах да, самый главный вопрос — что же такое «К» в описании оружия? Так «К» это — кубик.

Чем больше цифра, тем лучше

«К» это косарь, тоесть тысяча.

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: 1/3 стакан это сколько?

чуть меньше половины

за стакан берите 200 мл — итого примерно 65 мл

в стакане 200 гр воды…. значит 66 граммов приблизительно!

Если стакан 200 граммовый. то полти 70 грамм, чуть меньше половины

смотря чего, если воды-это половинка (100мл) , потом ещё половинка той половинки (50мл) . а если мука, то 1/3 стакана это больше, чем столько же воды, т. к. в граммах.

80 грамм (или милилитров) . Стакан — 250 грамм Чашка — 200 грамм

250 : 3 =83г (стакана)

Советский стакан — 250 мл. Сейчас из-за американских веяний стали считать, что объем стакана 200мл . Так что в зависимости от этого треть стакана будет либо 83 мл, либо 67 мл.

1/3 это если разделить стакан на 3 части и заполнить 1 из них

математику учи

повторяю для дураков РАДИОСТАНЦИЯ НА БРОНЕПОЕЗДЕ!!!

2 части из трех частей ( ͡° ͜ʖ ͡°)

Походите лучше снова в школу, ибо вы ее прогуляли в свое время! Пипец, это ж надо быть таким далеким.

1\2 стакана это сколько? Стакан 250

Тут такие умные, школу погуляли типа, а на простейшие вопросы и сами не ответите, человек спросил, зачем так грубо? трудно, если умный ответить???

Плотность молока 1,027 г/см³ Стакан до каемки — 200мл Итого: 1/3 стакана молока весит 200/3*1.027=68,5 грамма.

взять стакан и разделить на 3 части и взять одну из них

touch.otvet.mail.ru

Что значит коляска 3 в 1, и 2 в 1?

3 в 1 — это коляска, к которой прилагается люлька, прогулочный блок и автокресло. 2 в 1 — это без автокресла. <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/a3ba5d242127a68c8075edfe0c9ac1e1_h-168.jpg» data-lsrc=»http://content-13.foto.my.mail.ru/mail/trueoxana/_answers/p-168.jpg» data-big=»1″>

3в 1 это люлька, прогулочный блок и автокресло для младенца от 0 мес. А 2 в 1 это без кресла. А еще есть коляска просто я люлькой для лежачего ребеночка до 6 мес пока не сядет. А есть трансформер коляска и люлька и превращается в прогулочный блок)))

3 в 1—люлька, прогулка, автокресло 2 в 1—люлька и прогулка У меня 3 в 1, довоооольна!

Это многомодульные коляски. Т. е. коляску можно использовать как просто коляску-люльку (коляску для сна), как прогулочную коляску и как люльку-автокресло. <a rel=»nofollow» href=»http://www.premiumbaby.ru/Detskie-kolyaski/Kolyaski-3-v-1/336-CAM-Cortina-Evolution-X3-tris.html» target=»_blank»>http://www.premiumbaby.ru/Detskie-kolyaski/Kolyaski-3-v-1/336-CAM-Cortina-Evolution-X3-tris.html</a> А 2 в 1 делятся либо на коляску-люльку и автокресло, либо на коляску-люльку и прогулочный блок. <img data-big=»1″ data-lsrc=»http://content.foto.my.mail.ru/mail/sweetpoison1723/_answers/p-2491.jpg» src=»//otvet.imgsmail.ru/download/78b65a1779b5212d5d9c81b8bde468ff_s-2491.jpg»>

Люлька, прогулка, автокресло. Кстати, у Anex есть такая крутая коляска, там и люлька, и прогулочный блок, и автокресло хорошее. Кроме этого, у неё очень красивый дизайн. <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/214004017_e7f1a5ca08834130e3d238515fb0a096_800.png» alt=»» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/214004017_e7f1a5ca08834130e3d238515fb0a096_120x120.png» data-big=»1″>

touch.otvet.mail.ru

что значит график работы 1/3?

Обычно это значит, что сутки работаешь (с утра до утра) , а потом 3 дня отдыхаешь.

Это означает, что 1 день работаешь-3 отдыхаешь.

1 день работаешь, 3 выходных

1 рабочий день и 1 выходной

работаешь 1 сутки (смену) , отдыхаешь 3

год через три…

сутки работаешь, трое — отдыхаешь.

один оклад — обязанностей за троих))) ) обычное дело)))))))))))

Дроби в школе учите?

лучше когда три к одному…

В охране обычно сутки через трое

touch.otvet.mail.ru

Углы при параллельных прямых и их свойства

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые  и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы  и  — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы  и ,  и  — тоже вертикальные.

Углы  и  — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

,

,

,

.

Углы  и  — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы  и  — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

,

.

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

,

.

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

,

,

,

.

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть  — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и  равны  и  соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и  параллельны,  — секущая, углы и  являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник  — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

.

Отсюда , .

Ответ: .

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы  и  — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

°.

Итак,

, тогда .

Ответ: .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Угол. Виды углов — СПИШИ У АНТОШКИ

Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей и вершины.

Стороны угла — это лучи, которые образуют угол.

OA и  OD — это лучи  угла AOD

Для обозначения угла в тексте используется символ: знак угла ∠ AOB

Способы обозначения углов

                                Угол в таком случае имеет два названия — ∠ AOD или ∠ DOA. Но вершина всегда должна быть 

                                 в     середине названия

Способ 3. Иногда углы обозначают цифрами. ∠ 1 или ∠ 2

Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла, а другую – внешней областью угла.

Угол – это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Для обозначения градусов в тексте используется символ: °  градус.

Один градус – это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла. 90 градусов обозначаются так: 90°. 

Минута – это одна шестидесятая часть градуса.

Секунда – это одна шестидесятая часть минуты.

spishy-u-antoshki.ru

Свойства углов, с примерами

Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Обозначают угол тремя буквами: , где – вершина угла, – стороны угла.

Величиной измерения угла является градус.

Развернутый угол – это угол .

Смежные углы – это углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются

– накрест лежащие углы: ;

– соответственные углы: ;

– односторонние углы: .

Вписанный углом в окружность называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Сумма углов любого треугольника равна . Сумма углов любого n-угольника равна .

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит данный угол пополам.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Угол. Виды углов. Видеоурок. Математика 4 Класс

Ранее мы были ознакомлены с понятием «луч». Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. На рисунке можно увидеть луч с началом в точке  и луч с началом в точке  (рис. 1).

Рис. 1. Лучи

Фигура, образованная двумя лучами с одним и тем же началом, называется углом. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла (рис. 2).

Рис. 2. Углы

Угол может быть назван одной заглавной латинской буквой по его вершине. На рис. 2 можно увидеть угол  и угол . Но углы можно обозначить и другим способом.

Угол многоугольника обозначают тремя заглавными буквами. Называть угол начинают с буквы, стоящей у одной стороны, затем называют букву у вершины, а заканчивают буквой у другой стороны. Например, в треугольнике , угол с вершиной  является угол  (рис. 3) или в обратном порядке – .

В треугольнике  угол с вершиной  – это угол  или .

Рис. 3. Углы в треугольнике

Необходимо помнить, что в середине названия угла должна стоять та буква, которой обозначена вершина угла.

Иногда угол обозначают малой буквой или цифрой, ставя их внутри угла (рис. 4). Между сторонами угла проводят для ясности дужку.

Рис. 4. Обозначение угла буквой или цифрой

Рис. 5. Виды углов

Существуют различные виды углов.

1. Если стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называют развернутым. На рис. 6 угол М – развернутый (уместно сравнение с развернутым веером).

Рис. 6. Развернутый угол

2. Прямым углом называют тот угол, который составляет половину развернутого угла (рис. 7). Например, прямой угол можно получить путем складывания бумаги (если лист сложить дважды).

Рис. 7. Прямой угол

Для удобства определения, прямой угол или нет, есть особый инструмент – прямоугольный треугольник, у которого один из углов – прямой (рис. 8).

Рис. 8. Прямоугольный треугольник и его применение

3. Непрямые углы делятся на тупые и острые.

Угол, который меньше прямого, – это острый угол (рис. 9).

Рис. 9. Острый угол
Угол, который больше прямого, но меньше развернутого угла, – это тупой угол (рис. 10).

Рис. 10. Тупой угол

Найдите на чертеже прямые, тупые и острые углы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

В нахождении решения нам поможет инструмент – прямоугольный треугольник, который будет приложен к каждой из вершин треугольника путем совмещения одной из сторон. Если он будет совпадать с углом, то этот угол прямой. Если угол будет меньше прямого угла инструмента, то этот угол острый. А если же угол больше прямого угла инструмента – то это тупой угол.

Прямые углы:  

Тупые углы:

Острые углы: , , ,

В построении 4 прямых углов с общей вершиной на нелинованной бумаге нам помогут циркуль и линейка.

Сначала необходимо провести прямую. Отложим на прямой произвольный отрезок . Проведем две окружности с центрами в точке  и  с радиусами, равными длине отрезка .

Обозначим точки пересечения окружностей  и . Проведем через точки  и  прямую. Точку пересечения прямых обозначим буквой .

Рис. 12. Построение 4 прямых углов с общей вершиной на нелинованной бумаге

С помощью прямоугольного треугольника можно проверить, что все 4 угла с вершиной в точке  – прямые. При построении прямых углов на нелинованной бумаге вместо окружностей можно проводить дуги, то есть части окружности. Причем дуги могут быть любого радиуса, но больше, чем половина длины отрезка .

На этом уроке мы познакомились с понятием угла и видами углов: развернутым углом, прямым углом, тупым углом и острым углом. Научились строить прямые углы на нелинованной бумаге с помощью циркуля и линейки.

Список литературы

1. Петерсон Л.Г. Математика 4 класс. Учебник в 3 частях, М.: 2013. Часть 1 96с., часть 2 128с., часть 3 96с.
2. Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Волкова С.И., Степанова С.В.
   Учебник. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 112 с.: ил. – (Школа России). – ISBN 978–5–09–023769–7.
3. Математика. 4 класс. Учебник в 3 ч. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. 2-е изд., испр. – М.: 2013.; Ч.1 – 96 с., Ч.2 – 96 с., Ч.3 – 96 с.

Домашнее задание

1. Определите количество углов в квадрате. Ромбе.
2. Может ли быть в прямоугольном треугольнике тупой угол?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Shkolo.ru (Источник).
2. Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).
3. Интернет-портал Math-prosto.ru (Источник).

interneturok.ru

определение угла, измерение углов, обозначения и примеры, угол 270 градусов рисунок

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Определение угла

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O. Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч, а точка O – начало луча.

Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O.

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O.

Угол в математике обозначается знаком «∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h, то угол обозначается как ∠kh или ∠hk .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия OA и OB. В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной — ∠AOB и ∠BOA . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

zaochnik.com

Как называются углы треугольника | Треугольники

Как называются углы треугольника? Ответ может зависеть от того, сколько углов имеется при вершине треугольника.

Если при вершине треугольника есть только один угол, то его можно назвать одной буквой, по названию вершины.

Например, в треугольнике MKF (рисунок 1) при каждой вершине есть только один угол. Следовательно, каждый из углов   можно назвать одной буквой, по названию вершины, из которой исходят образующие этот угол лучи:

рисунок 1

Угол M, угол K и угол F.

  Для обозначения угла существует специальный знак: ∠

Запись ∠M читают как «угол M».

Каждый из углов треугольника MKF можно назвать также тремя буквами. При этом вершина в названии угла должна стоять посередине.

Угол M также можно назвать углом KMF или углом FMK,

∠K — ∠MKF или ∠FKM,

∠F — ∠MFK или ∠KFM.

рисунок 2

В треугольниках, изображенных на рисунке 2, одной буквой могут быть названы только углы при вершинах A и D: ∠A и ∠D.

При вершине B есть три угла, поэтому каждый из этих углов нужно назвать тремя буквами: ∠ABC, ∠CBD и ∠ABD.

Аналогично, углы при вершине C могут быть названы только тремя буквами: ∠ACB, ∠BCD и ∠ACD. Назвать какой-либо из этих углов ∠C нельзя.

рисунок 3

Каждый из углов треугольников, изображенных на рисунке 3, может быть назван только тремя буквами.

Углы треугольника ABO: ∠ABO, ∠BAO, ∠AOB.

Углы треугольника BOC: ∠BOC,  ∠OBC,  ∠BCO.

Углы треугольника OCD: ∠OCD, ∠COD,  ∠CDO.

Углы треугольника AOD: ∠AOD, ∠ADO,∠OAD.

Углы треугольника ABC: ∠ABC, ∠BAC, ∠BCA.

Углы треугольника BCD: ∠BCD, ∠CBD, ∠BDC.

Углы треугольника ACD: ∠ACD, ∠CAD, ∠ADC.

Углы треугольника ABD: ∠ABD, ∠BAD, ∠ADB.

www.treugolniki.ru

Угол. Виды углов / Основы геометрии / Справочник по математике для начальной школы

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике для начальной школы
4. Основы геометрии
5. Угол. Виды углов

Мы узнаем, что углы бывают, острыми, прямыми и тупыми.

Вспомни, чтобы начертить угол, нужно поставить точку и из неё провести два луча в разные стороны.

Луч — это сторона угла.

Вершина — это точка, из которой выходят лучи.

Прямой угол

Прямой угол — это угол в 90^о (90 градусов). Его легко определять по треугольнику, например, такому:

Острый угол

Острый угол — это угол, который МЕНЬШЕ прямого угла, меньше 90^о.

м

Тупой угол

Острый угол — это угол, который БОЛЬШЕ прямого угла, больше 90^о.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Круг. Шар. Овал

Треугольники

Многоугольники

Обозначение геометрических фигур буквами

Периметр многоугольника

Площадь фигуры

Окружность

Основы геометрии

Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс

Страница 44. Вариант 1. № 2, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 72. Вариант 1. Тест 3, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 8, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 9, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 45, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 70, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 78, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 79, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 12, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

Страница 36, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

3 класс

Страница 16, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 43, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 55, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 85, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 15, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 27, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 35, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

© 2019 — budu5.com, Буду отличником!

Конвертировать PDF в TXT — Онлайн Конвертер Файлов

Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet

www.docspal.com

Конвертировать TXT в PDF — Онлайн Конвертер Файлов

Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet

www.docspal.com

Как конвертировать PDF в TXT

Формат PDF существует уже длительное время и является одним из самых популярных вариантов электронной публикации разнообразных книг. Однако у него есть свои недостатки – например, достаточно большой объем занимаемой им памяти. Чтобы значительно уменьшить размер любимой книги, можно преобразовать её в формат TXT. С инструментами для этой задачи вы ознакомитесь ниже.

Конвертируем PDF в TXT

Оговоримся сразу – полноценно перенести весь текст из PDF в TXT задача не из простых. Особенно если PDF-документ не имеет текстового слоя, а состоит из изображений. Однако существующий софт может решить эту проблему. К таковому ПО относятся специализированные конвертеры, программы для оцифровки текста и некоторые PDF-ридеры.

Читайте также: Преобразование файлов формата PDF в Excel

Способ 1: Total PDF Converter

Популярная программа для преобразования PDF-файлов в ряд графических или текстовых форматов. Отличается небольшим размером и наличием русского языка.

Скачать программу Total PDF Converter

1. Откройте программу. Чтобы пройти к папке с файлом, который вам нужно преобразовать, воспользуйтесь блоком дерева каталогов в левой части рабочего окна.
   
2. В блоке откройте местоположение папки с документом и щелкните по ней один раз мышкой. В правой части окна отобразятся все PDF, которые есть в выбранной директории.
   
3. Затем на верхней панели найдите кнопку с надписью «TXT» и соответствующей иконкой, и нажмите её.
   
4. Откроется окно инструмента конвертирования. В нем можно настроить папку, куда будет сохранен результат, разрывы страниц и шаблон имени. Мы же сразу перейдем к преобразованию – для начала процесса следует нажать кнопку «Start» внизу окна.
   
5. Появится уведомление о завершении работы. Если в процессе конвертирования возникли какие-то ошибки, программа сообщит об этом.
   
6. В соответствии с настройками по умолчанию откроется «Проводник», отображающий папку с готовым результатом.
   

Несмотря на свою простоту, у программы есть несколько недостатков, главный из которых – некорректная работа с документами PDF, которые отформатированы в столбцы и содержат картинки.

Способ 2: PDF XChange Editor

Более продвинутый и современный вариант программы PDF XChange Viewer, также бесплатный и функциональный.

Скачать программу PDF XChange Editor

1. Откройте программу и воспользуйтесь пунктом «Файл» на панели инструментов, в котором выберите вариант «Открыть».
   
2. В открывшемся «Проводнике» перейдите к папке с вашим PDF-файлом, выделите его и нажмите «Открыть».
   
3. Когда документ будет загружен, снова воспользуйтесь меню «Файл», в котором на этот раз нажмите на «Сохранить как».
   
4. В интерфейсе сохранения файла установите в выпадающем меню «Тип файла» вариант «Обычный текст (*.txt)».
   
   Затем задайте альтернативное имя или оставьте как есть и нажмите «Сохранить».
   
5. Файл в формате TXT появится в папке рядом с оригинальным документом.
   

Откровенных недостатков у программы нет, разве что особенности преобразования документов, в которых отсутствует текстовый слой.

Способ 3: ABBYY FineReader

Знаменитый не только в СНГ, но и во всем мире оцифровщик текста от российских разработчиков тоже может справиться с задачей конвертирования PDF в TXT.

1. Откройте Эбби ФайнРидер. В меню «Файл» нажмите на пункт «Открыть PDF или изображение…».
   
2. Через окно добавления документов пройдите к директории с вашим файлом. Выделите его щелчком мыши и откройте, нажав на соответствующую кнопку.
   
3. Документ будет загружен в программу. Начнется процесс оцифровки имеющегося в нем текста (может занять продолжительное время). По его окончанию найдите кнопку «Сохранить» в верхнем блоке инструментов и нажмите её.
   
4. В появившемся окне сохранения результатов оцифровки установите тип сохраняемого файла как «Текст (*.txt)».
   
   Затем перейдите к месту, в котором хотите сохранить преобразованный документ, и нажмите «Сохранить».
   
5. С результатом работы можете ознакомиться, открыв выбранную ранее папку через «Проводник».
   

Недостатков у такого решения два: ограниченный срок действия пробной версии и требовательность к производительности ПК. Однако же программа обладает и неоспоримым достоинством – она способна преобразовывать в текст и графические PDF, при условии, что разрешение изображения соответствует минимальному для распознавания.

Способ 4: Adobe Reader

Самая известная программа для открытия PDF также обладает функцией преобразования таких документов в TXT.

1. Запустите Адоб Ридер. Пройдите по пунктам «Файл»—«Открыть…».
   
2. В открывшемся «Проводнике» проследуйте к каталогу с целевым документом, где выберите нужное и нажмите «Открыть».
   
3. После загрузки файла выполните следующую последовательность действий: откройте меню «Файл», наведите курсор на пункт «Сохранить как другой…» и во всплывающем окошке щелкните на «Текст…».
   
4. Снова перед вами предстанет «Проводник», в котором от вас требуется задать имя конвертированному файлу и нажать «Сохранить».
   
5. После преобразования, длительность которого зависит от размера и содержимого документа, файл с расширением TXT появится рядом с оригинальным документом в PDF.
   

Несмотря на свою простоту, такой вариант тоже не лишен огрехов – поддержка этой версии просмотрщика от Adobe официально заканчивается, и да, не рассчитывайте на хороший результат преобразования, если исходный файл содержит в себе много картинок или нестандартное форматирование.

Подведем итоги: конвертировать документ из PDF в TXT достаточно просто. Тем не менее, есть нюансы в виде некорректной работы с необычно форматированными файлами или состоящими из изображений. Однако и в таком случае есть выход в виде оцифровщика текста. Если же ни один из указанных способов вам не помог – выход можно найти в использовании онлайн-сервисов.

Умножение матрицы на вектор, формула и примеры

Умножение матрицы на вектор производится по правилу «строка на столбец». При умножении матрицы на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце. Результатом умножения матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец:

При умножении матрицы на вектор-строку, умножаемая матрица может быть только вектором-столбцом, причем количество строк в векторе-столбце должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом такого умножения будет квадратная матрица соответствующей размерности:

Примеры умножения матриц на вектора

ru.solverbook.com

умножение матрицы на вектор | C++ для приматов

Даны квадратная матрица [latex]A[/latex] порядка [latex]n[/latex], векторы [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] с [latex]n[/latex] элементами. Получить вектор [latex]A(x+y)[/latex].

Примеры:

Алгоритм решения: Вводим матрицу [latex]A[/latex] порядка [latex]n[/latex]. Вводим векторы [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex], прибавляем векторы [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex]. После умножаем матрицу [latex]A[/latex] на вектор [latex]x + y[/latex] и получаем вектор [latex]A(x + y)[/latex]. С помощью цикла выводим результирующий вектор.

Код программы :

Оригинал кода можно увидеть перейдя по ссылке

Оригинал кода можно увидеть перейдя по ссылка

Posted in 6. Многомерные массивы. Tagged умножение матрицы на вектор.

Задача.  Дана квадратная матрица порядка n. Получить вектор  Ab, где b-вектор, элементы которого вычисляются по формулам:

[latex]b_{i}=\begin{cases}\frac{1}{i^{2}+2} & \text{, if i mod 2=0} \\ \frac{1}{i} & \text{, other case } \end{cases}[/latex]

i=(1,…,n).

Тесты:

Вход	Выход	Комментарий
4 1 2 1 1 1 3 6 9 1 2 1 1 1 6 3 18	1.72222 4 1.72222 4	Пройден
3 0 0 0 1 1 1 2 2 2	0 1.5 3	Пройден
4 1 2 2 9 3 4 1 18 1 1 1 1 0 0 0 0	2.5 5 1.55556 0	Пройден

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

#include <iostream> using namespace std;   int main() { int n; cin>>n; double b[n]; for (int i=0; i<n; i++) {             if((i+1)%2==0) b[i]=1.0/((i+1)*(i+1) + 2);     else b[i]=1.0/(i+1);         }   double A[n][n]; for (int i=0; i<n; i++)     for (int j=0; j<n; j++)         cin>>A[i][j];         double Ab[n];         for (int i=0; i<n; i++)         {           Ab[i]=0;         for (int j=0; j<n; j++)         {      Ab[i]+=A[i][j]*b[j];         }         }         for (int i=0; i<n; i++)         cout<<Ab[i]<<» «; return 0; }

Решение:

Согласно условию находим вектор b. По формуле [latex]Ab_{i}=\sum_{j=1}^{n}A_{ij}b_{j}[/latex], i=(0,…,n) находим произведение матрицы на вектор.

С работой программы можно ознакомится здесь.

Posted in 6. Многомерные массивы. Tagged квадратная матрица, умножение матрицы на вектор.

cpp.mazurok.com

Как умножить вектор на матрицу 🚩 умножение матрица на вектор 🚩 Математика

8 ноября 2011

Автор КакПросто!

В теории матриц вектором называется матрица, имеющая только один столбец или только одну строку. Умножение такого вектора на другую матрицу происходит по общим правилам, однако имеет и свои особенности.

Статьи по теме:

Инструкция

По определению произведения матриц умножение возможно только в том случае, если количество столбцов первого множителя равно количеству строк второго. Следовательно, вектор-строку удастся умножить только на матрицу, в которой столько же строк, сколько элементов в вектор-строке. Аналогично, вектор-столбец можно умножить только на матрицу, в которой столько же столбцов, сколько элементов в вектор-столбце. Умножение матриц некоммутативно, то есть если A и B — матрицы, то A*B ≠ B*A. Более того, существование произведения A*B вовсе не гарантирует существования произведения B*A. Например, если матрица A имеет размеры 3*4, а матрица B — 4*5, то произведение A*B — матрица размером 3*5, а B*A не определено.

Пусть задан: вектор-строка A = [a1, a2, a3 … an] и матрица B размерности n*m, элементы которой равны:
[b11, b12, b13, … b1m;
b21, b22, b23, … b2m;
…
bn1, bn2, bn3, … bnm].

Тогда произведение A*B будет вектор-строкой размерности 1*m, причем каждый элемент ее равен:

Cj = ∑ai*bij (i = 1 … n, j = 1 … m).

Иными словами, для нахождения i-того элемента произведения нужно умножить каждый элемент вектора-строки на соответствующий ему по порядку элемент i-того столбца матрицы и просуммировать эти произведения.

Аналогично, если задана матрица A размерности m*n и вектор-столбец B размерности n*1, то их произведение будет вектором-столбцом размерности m*1, i-тый элемент которого равен сумме произведений элементов вектора-столбца B на соответствующие им элементы i-той строки матрицы A.

Если A — вектор-строка размерности 1*n, а B — вектор-столбец размерности n*1, то произведение A*B является числом, равным сумме произведений соответствующих элементов этих векторов:

c = ∑ai*bi (i = 1 … n).

Это число называется скалярным, или внутренним, произведением.

Результат умножения B*A в этом случае является квадратной матрицей размерности n*n. Ее элементы равняются:

Cij = ai*bj (i = 1 … n, j = 1 … n).

Такая матрица называется внешним произведением векторов.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Параллельные методы умножения матрицы на вектор

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО “ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Кафедра прикладной математики и информатики

Параллельные методы умножения матрицы на вектор

( лаба №1 )

Пермь 2010

Цель лабораторной работы.

Реализация последовательного и параллельных алгоритмов умножения матрицы на вектор при использовании 2-х ядерной вычислительной системы с общей памятью.

Постановка задачи.

В результате умножения матрицы

и вектора , получается вектор , каждый i -ый элемент которого есть результат скалярного умножения i -й строки матрицы (обозначим эту строчку ) и вектора .

Тем самым получение результирующего вектора

предполагает повторение однотипных операций по умножению строк матрицы и вектора . Каждая такая операция включает умножение элементов строки матрицы и вектора ( операций) и последующее суммирование полученных произведений (операций).

Общее количество необходимых скалярных операций есть величина

.

Поcледовательный алгоритм умножения матрицы на вектор

void SerialResultCalculation(double* pMatrix, double* pVector,

double* pResult, int Size) {

int i, j; // Loop variables

for (i=0; i<Size; i++) {

pResult[i]=0;

for (j=0; j<Size; j++)

pResult[i] += pMatrix[i*Size+j]*pVector[j];

}

}

Умножение матрицы на вектор при разделении данных по строкам.

Базовая подзадача — скалярное умножение одной строки матрицы на вектор. После завершения вычислений каждая базовая подзадача определяет один из элементов вектора результата c .

В общем виде схема информационного взаимодействия подзадач в ходе выполняемых вычислений показана на рис.1. Количество вычислительных операций для получения скалярного произведения одинаково для всех базовых подзадач.

Рисунок 1 . Организация вычислений при выполнении параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор, основанного на разделении матрицы по строкам.

Каждый поток параллельной программы использует только «свои» данные, ему не требуются данные, которые в данный момент обрабатывает другой поток, нет обмена данными между потоками, не возникает необходимости синхронизации. Т.е. практически нет накладных расходов на организацию параллелизма (за исключением расходов на организацию и закрытие параллельной секции), и можно ожидать линейного ускорения. Однако, как будет видно из представленных результатов, ускорение далеко от линейного.

Время решения задачи одним потоком складывается из времени, когда процессор непосредственно выполняет вычисления, и времени, которое тратится на чтение необходимых для вычислений данных из ОП в кэш. При этом время, необходимое на чтение данных, может в несколько раз превосходить время счета.

Процесс выполнения последовательного алгоритма умножения матрицы на вектор может быть представлен диаграммой, изображенной на рис.2.

Рисунок 2. Диаграмма состояний процесса выполнения последовательного алгоритма

умножения матрицы на вектор.

Время выполнения последовательного алгоритма складывается из времени вычислений и времени доступа к памяти:

, где — это количество выполненных операций, — время выполнения одной операции, — размерность матрицы. , где — объем данных, которые необходимо закачать в кэш процессора, — скорость доступа (пропускная способность канала доступа) ОП.

Таким образом,

.

Для оценки

, измерим время выполнения последовательного алгоритма при
, т.к. матрица и вектор полностью поместятся в кэш ВЭ. (У нас размер кэш равен 2048 кбайт, поэтому ). Чтобы исключить необходимость выборки данных из ОП, перед началом вычислений заполним матрицу и вектор случайными числами – выполнение этого действия гарантирует закачку данных в кэш. Далее при решении задачи все время будет тратиться на вычисления, так как нет необходимости загружать данные из ОП.

Получим

0,00000308.

Тогда

Теперь, оценим

при : 8 121 537 238,29

В таблице 1 и на рис.3 представлено сравнение реального времени последовательного алгоритма умножения матрицы на вектор и теоретического.

Таблица 1. Сравнение экспериментального и теоретического времени выполнения последовательного

алгоритма умножения матрицы на вектор.

Рисунок 3. График зависимости экспериментального и теоретического времени выполнения последовательного алгоритма от объема исходных данных (ленточное разбиение матрицы по строкам

В многоядерных процессорах Intel архитектуры Core 2 Duo ядра процессоров разделяют общий канал доступа к памяти. Т.е., несмотря на то, что вычисления могут выполняться ядрами параллельно , доступ к памяти осуществляется строго последовательно. Следовательно, время

выполнения параллельного алгоритма в системе с вычислительными элементами, с использованием потоков и при описанной выше схеме доступа к памяти может быть оценено при помощи следующего соотношения: .

void ParallelResultCalculation_rows (double* pMatrix, double* pVector,

double* pResult, int Size) {

int i, j; // Loop variables

#pragma omp parallel private (i,j)

#pragma omp for

for (i=0; i<Size; i++) {

for (j=0; j<Size; j++)

pResult[i] += pMatrix[i*Size+j]*pVector[j];

}

}

Результаты вычислительных экспериментов приведены в таблице 2. Времена выполнения алгоритмов указаны в секундах.

Ускорение есть результат деления времени работы последовательного алгоритма на время работы параллельного.

Таблица 2. Результаты вычислительных экспериментов для параллельного алгоритма умножения

матрицы на вектор при ленточной схеме разделении данных по строкам.

Рисунок 4. Зависимость ускорения от количества исходных данных при выполнении параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор, основанного на ленточном горизонтальном разбиении матрицы

Рисунок 5. График зависимости экспериментального и теоретического времени выполнения параллельного алгоритма от объема исходных данных при использовании двух потоков (ленточное разбиение матрицы по строкам)

mirznanii.com

Алгоритм умножения матрицы на вектор

Алгоритм умножения матрицы (для простоты возьмем квадратную матрицу) размерности на вектор размерности можно представить как скалярных умножений векторов, получающихся из строк матрицы на вектор . Если строки матрицы слоистым образом распределены по процессорам и вектор хранится на каждом процессоре, то параллельный алгоритм можно записать следующим образом:

Шаг 1: на

Шаг 2: на

Шаг 3:

На втором шаге на каждом процессоре параллельно вычисляются соответствующие блоки результирующего вектора , затем (если это необходимо) на третьем шаге они пересылаются на первый процессор.

Предположим, что столбцы матрицы распределены слоистым  образом по процессорам. В этом случае необходимо модифицировать алгоритм с учетом хранения матрицы. Результат матрично-векторного произведения можно получить, умножив каждый столбец матрицы на соответствующий элемент вектора и сложив получившиеся вектора. Степень параллелизма этого алгоритма меньше, чем в предыдущем, и обусловлена тем, что приходится осуществлять суммирование.

Условно, по шагам алгоритм записывается следующим образом:

Шаг 1: на

Шаг 2: на

Шаг 3: на

Шаг 4:

Шаг 5: на

На втором шаге осуществляется покомпонентное умножение векторов, на третьем – частичное суммирование, на четвертом – пересылка частичных сумм на первый процессор, на последнем – завершающее суммирование.

Матрично-векторное умножение обычно является частью более широкого процесса вычислений и для выбора того или иного алгоритма главную роль играет способ хранения и в момент, когда требуется их произведение. Например, если и уже находятся в памяти -го процессора, то эффективнее использовать второй алгоритм, хотя степень параллелизма в нем ниже, чем в первом. Еще один важный фактор при выборе параллельного алгоритма — желаемое расположение результата по окончании операции умножения: во втором алгоритме вектор-результат размещается в памяти одного процессора, тогда как в первом он распределен по процессорам.

program EXAMPLE

include ‘mpif.h’

integer my_id, np, comm, tag, count, ierr, n,q

integer i,j,k

integer a(100,100),b(100)

integer c(100,100),a1(100,100),a2(100,100)

integer status(MPI_STATUS_SIZE)

double precision t1,tfinish

call MPI_Init(ierr)

comm=MPI_COMM_WORLD

call MPI_Comm_rank(COMM, my_id, ierr)

call MPI_Comm_size(COMM, np, ierr)

print *, ‘Process ‘, my_id, ‘ of ‘, np, ‘ is alive’

! Инициализация матриц

t1=MPI_Wtime()

call MPI_Bcast(n,1,MPI_INTEGER,0,COMM,ierr)

call MPI_Bcast(b,n,MPI_INTEGER,0,COMM,ierr)

call MPI_Scatter(a,int(n*n/np),MPI_INTEGER,a1,

* int(n*n/np),MPI_INTEGER,0,COMM,ierr)

c=0

do j=1,n,1

do i=1,int(n/np),1

do k=1,n,1

c(i+int(n/np)*my_id,j)=

*c(i+int(n/np)*my_id,j)+a1(k,i)*b(k)

end do

end do

end do

call MPI_Reduce(c,a2,n*n,MPI_INTEGER,MPI_SUM,

*0, COMM,ierr)

t1=MPI_Wtime()-t1

write(*,*) ‘Dim = ‘,n,’ the time is ‘,t1

call MPI_Finalize(ierr)

stop

end

Задание: Алгоритм умножения матриц

1. Реализовать любой вариант параллельного умножения матриц.

Пример:

Приведенные параллельные алгоритмы матрично-векторного произведения естественным образом обобщаются на задачу умножения матриц. Приведенные же ниже алгоритмы будут обсуждаться с точки зрения того, как хранились матрицы до операции произведения и после нее.

Для простоты возьмем квадратные матрицы и размерности .

Первый вариант параллельного алгоритма матричного умножения будем строить, предполагая, что матрица распределена по процессорам слоистым образом по строкам, а матрица — целиком. В этом случае искомый результат можно получить, выполнив параллельно на каждом процессоре скалярных произведений.

Приведем алгоритм:

Шаг 1: на

Шаг 2: на (причем циклы по индексам расположены в следующей последовательности

Шаг 3:

Второй вариант параллельного алгоритма матричного умножения будем строить, предполагая, что матрица распределена по процессорам слоистым образом по столбцам, а матрица — целиком. В этом случае искомый результат можно получить, выполнив параллельно на каждом процессоре умножение соответствующих столбцов матрицы на соответствующие элементы строк матрицы , затем необходимо осуществить частичное суммирование получившихся произведений и на последнем шаге, переслав матрицы с частичными суммами на один процессор, закончить суммирование. Алгоритм опустим ввиду его громоздкости и очевидности.

Возможные способы хранения исходных матриц порождают другие алгоритмы. Например, матрица распределена по процессорам слоистым образом по строкам, а матрица — целиком, или распределена по процессорам слоистым образом по столбцам, а — целиком. Алгоритмы при этом схожи с рассмотренными выше.

Возможно также построение алгоритмов, которые основаны на блочном распределении матриц и по процессорам.

Если разбиения обеих матриц на блоки согласованы, то

,

где или — миноры соответствующих матриц. Это представление можно реализовать разными алгоритмами. Пусть, например, число процессоров равно (числу миноров матрицы . При условии, что матрицы и распределены соответствующим образом по процессорам, все миноры матрицы можно вычислять одновременно.

studfiles.net

Умножение матрицы на вектор при разделении данных по строкам

Данный алгоритм основан на представлении матрицы непрерывными наборами (горизонтальными полосами) строк. Полученные полосы распределяются по процессорам вычислительной системы. Вектор b копируется на все процессоры. Перемножение полосы матрицы на вектор (а данная операция может быть выполнена процессорами параллельно) приводит к получению блока элементов результирующего вектора с. Для объединения результатов расчета и получения полного вектора c на каждом из процессоров вычислительной системы необходимо выполнить операцию обобщенного сбора данных.

4.2.2. Умножение матрицы на вектор при разделении данных по столбцам

Другой подход к параллельному умножению матрицы на вектор основан на разделении исходной матрицы на непрерывные наборы (вертикальные полосы) столбцов. Вектор b при таком подходе разделен на блоки. Вертикальные полосы исходной матрицы и блоки вектора распределены между процессорами вычислительной системы.

Параллельный алгоритм умножения матрицы на вектор начинается с того, что каждый процессор i выполняет умножение своей вертикальной полосы матрицы А на блок элементов вектора b, в итоге на каждом процессоре получается вектор промежуточных результатов c'(i). Далее для получения элементов результирующего вектора с процессоры должны обменяться своими промежуточными данными между собой.

4.2.3. Умножение матрицы на вектор при блочном разделении данных

Рассмотрим теперь параллельный алгоритм умножения матрицы на вектор, который основан на ином способе разделения данных – на разбиении матрицы на прямоугольные фрагменты (блоки). При таком способе разделения данных исходная матрица A представляется в виде набора прямоугольных блоков. Вектор b также должен быть разделен на блоки. Блоки матрицы и блоки вектора распределены между процессорами вычислительной системы. Логическая (виртуальная) топология вычислительной системы в данном случае имеет вид прямоугольной двумерной решетки. Размеры процессорной решетки соответствуют количеству прямоугольных блоков, на которые разбита матрица A. На процессоре pi,j, находящемся на пересечении i-й строки и j-го столбца процессорной решетки, располагается блок Ai,j матрицы A и блок bj вектора b.

После перемножения блоков матрицы A и вектора b каждый процессор pi,j будет содержать вектор частичных результатов c'(i,j). Поэлементное суммирование векторов частичных результатов для каждой горизонтальной строки процессорной решетки позволяет получить результирующий вектор c.

4.3. Матричное умножение

Задача умножения матрицы на матрицу определяется соотношениями:

(для простоты изложения материала будем предполагать, что перемножаемые матрицы A и B являются квадратными и имеют порядок n×n). Как следует из приведенных соотношений, вычислительная сложность задачи является достаточно высокой (оценка количества выполняемых операций имеет порядок n3).

Основу возможности параллельных вычислений для матричного умножения составляет независимость расчетов для получения элементов сij результирующей матрицы C. Тем самым, все элементы матрицы C могут быть вычислены параллельно при наличии n2 процессоров, при этом на каждом процессоре будет располагаться по одной строке матрицы A и одному столбцу матрицы B. При меньшем количестве процессоров подобный подход приводит к ленточной схеме разбиения данных, когда на процессорах располагаются по несколько строк и столбцов (полос) исходных матриц.

Другой широко используемый подход для построения параллельных способов выполнения матричного умножения состоит в применении блочного представления матриц, при котором исходные матрицы A, B и результирующая матрица C рассматриваются в виде наборов блоков (как правило, квадратного вида некоторого размера m×m). Тогда операцию матричного умножения матриц A и B в блочном виде можно представить следующим образом:

где каждый блок Cij матрицы C определяется в соответствии с выражением:

Полученные блоки Cij также являются независимыми, и, как результат, возможный подход для параллельного выполнения вычислений может состоять в расчетах, связанных с получением отдельных блоков Cij, на разных процессорах. Применение подобного подхода позволяет получить многие эффективные параллельные методы умножения блочно-представленных матриц.

studfiles.net

2.3.2 Умножение матрицы на вектор

Задача умножения матрицы на вектор определяется соотношениями

.

Тем самым, получение результирующего вектора y предполагает повторения n однотипных операций по умножению строк матрицы A и вектора x. Получение каждой такой операции включает поэлементное умножение элементов строки матрицы и вектора x  и последующее суммирование полученных произведений. Общее количество необходимых скалярных операций оценивается величиной

.

Как следует из выполняемых действий при умножении матрицы и вектора, параллельные способы решения задачи могут быть получены на основе параллельных алгоритмов суммирования.

Выполним анализ информационных зависимостей в алгоритме умножения матрицы на вектор для выбора возможных способов распараллеливания. Как можно заметить

• выполняемые при проведении вычислений операции умножения отдельных строк матрицы на вектор являются независимыми и могут быть выполнены параллельно;

• умножение каждой строки на вектор включает независимые операции поэлементного умножения и тоже могут быть выполнены параллельно;

• суммирование получаемых произведений в каждой операции умножения строки матрицы на вектор могут быть выполнены по одному из ранее рассмотренных вариантов алгоритма суммирования (последовательный алгоритм, модифицированная схема).

Таким образом, максимально необходимое количество процессоров определяется величиной

.

Использование такого количества процессоров может быть представлено следующим образом. Множество процессоров разбивается нагрупп

,

каждая из которых представляет набор процессоров для выполнения операции умножения отдельной строки матрицы на вектор. В начале вычислений на каждый процессор группы пересылаются элемент строки матрицы и соответствующий элемент вектора. Далее каждый процессор выполняет операцию умножения. Последующие затем вычисления выполняются по каскадной схеме суммирования. Для иллюстрации на рис. 3.3 приведена вычислительная схема для процессоров группыпри размерности матрицы.[13] Для реализации алгоритма воспользуемся модельюSIMD.

Рис. 3.3. Вычислительная схема операции умножения строки матрицы на вектор

Вычислим эффективность алгоритма умножения матрицы на вектор. По закону Амдала ускорение можно определить следующим образом

, , W = .

2.3.3 Матричное умножение

Задача умножения матрицы на матрицу определяется соотношениями

, .

(для простоты изложения материала будем предполагать, что перемножаемые матрицы иявляются квадратными и имеют порядок).

Анализ возможных способов параллельного выполнения данной задачи может быть проведен по аналогии с рассмотрением задачи умножения матрицы на вектор.

Задача матричного умножения требует для своего решения выполнение большого количества операций (скалярных умножений и сложений). Информационный граф алгоритма при большом размере матриц становится достаточно объемным и, как результат, непосредственный анализ этого графа затруднен. После выявления информационной независимости выполняемых вычислений могут быть предложены многочисленные способы распараллеливания алгоритма.

С другой стороны, алгоритм выполнения матричного умножения может быть рассмотрен как процесс решения независимых подзадач умножения матрицына столбцы матрицы. Введение макроопераций, как можно заметить по рис. 3.4, приводит к более компактному представлению информационного графа алгоритма, значительно упрощает проблему выбора эффективных способов распараллеливания вычислений, позволяет использовать типовые параллельные методы выполнения макроопераций в качестве конструктивных элементов при разработке параллельных способов решения сложных вычислительных задач.

Рис. 3.4. Вычислительная схема матричного умножения при использовании макроопераций умножения матрицы A на столбец матрицы B

Важно отметить, что процесс введения макроопераций может осуществляться поэтапно с последовательно возрастающим уровнем детализации используемых операций. Так, для задачи матричного умножения после построения графа вычислений на основе макроопераций умножения матрицы на вектор может быть выполнено рассмотрение каждой макрооперации как последовательности независимых операций скалярного произведения векторов и т.п. Подобная иерархическая декомпозиционная методика построения параллельных методов решения сложных задач является одной из основных в параллельном программировании и широко используется в практике.

При построении параллельных способов выполнения матричного умножения наряду с рассмотрением матриц в виде наборов строк и столбцов широко используется блочное представление матриц. Выполним более подробное рассмотрение данного способа организации вычислений.

Пусть количество процессоров составляет , а количество строк и столбцов матрицы является кратным величине, т.е.. Представим исходные матрицы,и результирующую матрицув виде наборов прямоугольных блоков размера. Тогда операцию матричного умножения матрицив блочном виде можно представить следующим образом:

,

где каждый блок матрицыопределяется в соответствии с выражением

.

Информационный граф алгоритма умножения при подобном представлении матриц показан на рис. 3.5 (на рисунке представлен фрагмент графа для вычисления только одного блока матрицы ). При анализе этого графа можно обратить внимание на взаимную независимость вычислений блоковматрицы. Как результат, возможный подход для параллельного выполнения вычислений может состоять в выделении для расчетов, связанных с получением отдельных блоков, разных процессоров. Применение подобного подхода позволяет получить многиеэффективные параллельные методы умножения блочно-представленных матриц; один из алгоритмов данного класса рассматривается ниже.

Рис. 3.5. Информационный граф матричного умножения при блочном представлении матриц

В основе алгоритма используем модель SIMD. Сгруппируем матрицы А и С по количеству процессов р. Предадим процессам матрицу В, сгруппированные матрицы А и С. Каждый процесс вычисляет свою группу (операции умножения и сложения) и формирует часть матрицы С. Затем возвращает их главному процессу.

Вычислим эффективность алгоритма умножения матриц. По закону Амдала ускорение можно определить следующим образом

, , W= .

studfiles.net

Римские цифры Википедия

ruwikiorg.ru

Римские цифры

Цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились около 500 до нашей эры у этрусков.

Цифры

Примеры

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется некоторыми. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

• 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
• 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
• 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

Повсеместно записывать число четыре как IV стали только XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись IIII. Однако запись IV можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1381 годом. Использование «IIII» вместо «IV» на циферблатах часов традиционно оправдывают эстетическими (дизайнерскими) соображениями.

Применение

В русском языке римские цифры используются для указания порядковых номеров монархов, иногда для нумерации томов и разделов книг, для маркировки циферблатов часов и написания номеров веков и т. п. В других языках их сфера применения может отличаться, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года. Иногда римские цифры используются для отделения основного текста книги от предисловия (чтобы не исправлять текст (внутренние ссылки) при изменении предисловия).

mediaknowledge.ru

Римские числа — это… Что такое Римские числа?

Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.

Цифры

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Примеры

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

• 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
• 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
• 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV»^[1], главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».

Применение

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.

• Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
• Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
• Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
• В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
• Маркировка циферблатов часов «под старину».
• Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.

В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.

Расширение

Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы^[кто?]расширенные римские цифры.

Юникод

Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms),^[2] в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ. Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных^[2] форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ), поздней формы записи 6 (ↅ, похожей на греческую стигму: Ϛ), ранней формы записи числа 50 (ↆ, похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥^[3]), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ.

Символы в диапазоне U+2160—217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и шрифта, содержащего соответствующие этим символам глифы.

Примечания

1. ↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
2. ↑ ^{1 2} Unicode Number Forms
3. ↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
4. ↑ Для первых двух строк

Wikimedia Foundation. 2010.

veter.academic.ru

Римские числа — это… Что такое Римские числа?

Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.

Цифры

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Примеры

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

• 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
• 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
• 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV»^[1], главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».

Применение

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.

• Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
• Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
• Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
• В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
• Маркировка циферблатов часов «под старину».
• Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.

В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.

Расширение

Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы^[кто?]расширенные римские цифры.

Юникод

Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms),^[2] в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ. Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных^[2] форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ), поздней формы записи 6 (ↅ, похожей на греческую стигму: Ϛ), ранней формы записи числа 50 (ↆ, похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥^[3]), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ.

Символы в диапазоне U+2160—217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и шрифта, содержащего соответствующие этим символам глифы.

Примечания

1. ↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
2. ↑ ^{1 2} Unicode Number Forms
3. ↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
4. ↑ Для первых двух строк

Wikimedia Foundation. 2010.

xzsad.academic.ru

Римские числа — это… Что такое Римские числа?

Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.

Цифры

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Примеры

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

• 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
• 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
• 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV»^[1], главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».

Применение

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.

• Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
• Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
• Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
• В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
• Маркировка циферблатов часов «под старину».
• Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.

В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.

Расширение

Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы^[кто?]расширенные римские цифры.

Юникод

Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms),^[2] в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ. Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных^[2] форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ), поздней формы записи 6 (ↅ, похожей на греческую стигму: Ϛ), ранней формы записи числа 50 (ↆ, похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥^[3]), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ.

Символы в диапазоне U+2160—217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и шрифта, содержащего соответствующие этим символам глифы.

Примечания

1. ↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
2. ↑ ^{1 2} Unicode Number Forms
3. ↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
4. ↑ Для первых двух строк

Wikimedia Foundation. 2010.

dal.academic.ru

Римские цифры — Википедия

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая	Греческая Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Ри́мские ци́фры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились за 500 лет до нашей эры у этрусков, которые могли заимствовать часть цифр у прото-кельтов (см. Символы культуры полей погребальных урн)

Число	Обозначение
1	I
2	II
3	III
4	IV, до XIX века — IIII
5	V
6	VI
7	VII
8	VIII (иногда — IIX)
9	IX (иногда — VIIII)
10	X
20	XX
30	XXX
40	XL
50	L
60	LX
70	LXX
80	LXXX
90	XC
100	C
200	CC
300	CCC
400	CD
500	D; IƆ
600	DC; IƆC
700	DCC; IƆCC
800	DCCC; IƆCCC
900	CM; CCIƆ
1 000	M; ↀ; CIƆ
2 000	MM; CIƆCIƆ
3 000	MMM; CIƆCIƆCIƆ
3 999	MMMCMXCIX
4 000	MV; ↀↁ; CIƆIƆƆ
5 000	V; ↁ; IƆƆ
6 000	VM; ↁↀ; IƆƆCIƆ
7 000	VMM; ↁↀↀ; IƆƆCIƆCIƆ
8 000	VMMM; ↁↀↀↀ; IƆƆCIƆCIƆCIƆ
9 000	MX; ↀↂ; CIƆCCIƆƆ
10 000	X; ↂ; CCIƆƆ
20 000	XX; ↂↂ; CCIƆƆCCIƆƆ
30 000	XXX; ↂↂↂ; CCIƆƆCCIƆƆCCIƆƆ
40 000	XL; ↂↇ; CCIƆƆIƆƆƆ
50 000	L; ↇ; IƆƆƆ
60 000	LX; ↇↂ; IƆƆƆCCIƆƆ
70 000	LXX; ↇↂↂ; IƆƆƆCCIƆƆCCIƆƆ
80 000	LXXX; ↇↂↂↂ; IƆƆƆCCIƆƆCCIƆƆCCIƆƆ
90 000	XC; ↂↈ; CCIƆƆCCCIƆƆƆ
100 000	C; ↈ; CCCIƆƆƆ
200 000	CC; ↈↈ; CCCIƆƆƆCCCIƆƆƆ
300 000	CCC; ↈↈↈ; CCCIƆƆƆCCCIƆƆƆCCCIƆƆƆ
400 000	CD; CCCIƆƆƆIƆƆƆƆ
500 000	D; IƆƆƆƆ
600 000	DC; IƆƆƆƆCCCIƆƆƆ
700 000	DCC; IƆƆƆƆCCCIƆƆƆCCCIƆƆƆ
800 000	DCCC; IƆƆƆƆCCCIƆƆƆCCCIƆƆƆCCCIƆƆƆ
900 000	CM; CI; CCCIƆƆƆCCCCIƆƆƆƆ
1 000 000	M; I; CCCCIƆƆƆƆ

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

При этом некоторые из цифр (I, X, C, M) могут повторяться, но не более трёх раз подряд; таким образом, с их помощью можно записать любое целое число не более 3999 (MMMCMXCIX). В ранние периоды существовали знаки для обозначения бо́льших цифр — 5000, 10 000, 50 000 и 100 000^{[источник не указан 3038 дней]} (тогда максимальное число по упомянутому правилу равно 399 999). При записи чисел в римской системе счисления меньшая цифра может стоять справа от большей; в этом случае она прибавляется к ней. Например, число 283 по-римски записывается как CCLXXXIII, то есть 100+100+50+30+3=283. Здесь цифра, изображающая сотню, повторена два раза, а цифры, изображающие соответственно десяток и единицу, повторены по три раза.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемь десятков LXXX, восемь единиц VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: V = 5000.

Часы марки Tissot с традиционным написанием «IIII»

Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV», главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII». Существует и версия, что IV на циферблате не писалось потому, что IV — первые буквы имени бога Юпитера (IVPITER).

Меньшая цифра может быть записана и слева от большей, тогда её следует вычесть из большей. При этом вычитаться могут только цифры, обозначающие 1 или степени 10, а в качестве уменьшаемого выступать только ближайшие в числовом ряду к вычитаемой две цифры (то есть вычитаемое, умноженное на 5 или 10). Повторения меньшей цифры не допускаются. Таким образом, существует только шесть вариантов использования «правила вычитания»:

• IV = 4
• IX = 9
• XL = 40
• XC = 90
• CD = 400
• CM = 900

Например, число 94 будет XCIV = 100 − 10 + 5 − 1 = 94 — так называемое «правило вычитания» (появилось в эпоху поздней античности, а до этого римляне писали число 4 как IIII, а число 40 — как XXXX).

Необходимо отметить, что другие способы «вычитания» недопустимы; так, число 99 должно быть записано как XCIX, но не как IC. Однако, в наши дни в некоторых случаях используется и упрощенная запись римских чисел: например, в программе Microsoft Excel при преобразовании арабских цифр в римские при помощи функции «РИМСКОЕ()» можно использовать несколько видов представления чисел, от классического до сильно упрощенного (так, число 499 может быть записано как CDXCIX, LDVLIV, XDIX, VDIV или ID). Упрощение состоит в том, что для уменьшения какой-либо цифры слева от неё может писаться любая другая цифра:

• 999. Тысяча (M), вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
• 95. Сто (C), вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
• 1950: Тысяча (M), вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

С помощью римских цифр можно записывать и большие числа. Для этого над теми цифрами, которые обозначают тысячи, ставится черта, а над цифрами, которые обозначают миллионы, — двойная черта. Например, число 123123 будет выглядеть так:

CXXIIICXXIII

А миллион как I, но только не с одной, а с двумя чертами во главе: I

Римские цифры, обозначающие день недели, на витрине одного из магазинов в Вильнюсе

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях:

Римские цифры широко употреблялись в СССР при указании даты для обозначения месяца года, например: 11/III-85 или 9.XI.89, это можно увидеть на многих архивных документах тех времён. Подобным образом, через косую черту, в том числе записывали дату урока в классных журналах, например: 24/II. Для указания дат жизни и смерти на надгробиях часто использовался особый формат, где месяц года также обозначался римскими цифрами, например: .

С переходом на компьютерную обработку информации форматы даты, основанные на римских цифрах, практически вышли из употребления.

В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности. В западных странах римскими цифрами нередко записывается номер года, например, на фронтонах зданий и в титрах кино-видеопродукции.

В современной Литве на дорожных знаках, на витринах магазинов, на вывесках предприятий римскими цифрами могут обозначаться дни недели.

---

Если разложить цифры графически, то получается следующее:

№

I

I

I

I

V

I

I

I

I

X

I

I

I

I

V

I

I

I

I

X

I

I

I

I

V

I

I

I

I

X

I

I

I

I

V

I

I

I

I

X

L

I

I

I

I

V

I

I

I

I

X

1

I

2

I

I

3

I

I

I

4

I

V

5

V

www.wiki-wiki.ru

Римские числа — это… Что такое Римские числа?

Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.

Цифры

Число	Римское обозначение
1	I
5	V
10	X
50	L
100	C
500	D
1000	M

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Примеры

Число	Римское обозначение
0	отсутствует
4	IV (иногда IIII)
8	VIII
9	IX
31	XXXI
46	XLVI
99	IC
666	DCLXVI
1668	MDCLXVIII
1989	MCMLXXXIX
3999	MMMCMXCIX
2009	MMIX

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

• 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
• 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
• 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV»^[1], главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».

Применение

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях.

• Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.
• Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.
• Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).
• В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.
• Маркировка циферблатов часов «под старину».
• Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.

В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.

Расширение

Римские цифры предоставляют возможность записывать числа от 1 до 3999 (MMMCMXCIX). Для решения этой проблемы были созданы^[кто?]расширенные римские цифры.

Юникод

Стандарт Юникод определяет символы для представления римских цифр, как часть Числовых форм (англ. Number Forms),^[2] в области знаков с кодами с U+2160 по U+2188. Например, MCMLXXXVIII может быть представлено в форме ⅯⅭⅯⅬⅩⅩⅩⅧ. Этот диапазон включает как строчные, так и прописные цифры от 1 (Ⅰ или I) до 12 (Ⅻ или XII), в том числе и комбинированные глифы для составных чисел, таких как 8 (Ⅷ или VIII), главным образом для обеспечения совместимости с восточноазиатскими наборами символов в таких промышленных стандартах, как JIS X 0213, где эти символы определены. Комбинированные глифы используются для представления чисел, которые ранее составлялись из отдельных символов (например, Ⅻ вместо его представления как Ⅹ и Ⅱ). В дополнение к этому, глифы существуют для архаичных^[2] форм записи чисел 1000, 5000, 10 000, большой обратной C (Ɔ), поздней формы записи 6 (ↅ, похожей на греческую стигму: Ϛ), ранней формы записи числа 50 (ↆ, похожей на стрелку, указывающую вниз ↓⫝⊥^[3]), 50 000, и 100 000. Следует отметить, что маленькая обратная c, ↄ не включена в символы римских цифр, но включена в стандарт Юникод как прописная клавдиева буква Ↄ.

Римские цифры в Юникод

Код	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Значение[4]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	50	100	500	1 000
U+2160	Ⅰ 2160	Ⅱ 2161	Ⅲ 2162	Ⅳ 2163	Ⅴ 2164	Ⅵ 2165	Ⅶ 2166	Ⅷ 2167	Ⅸ 2168	Ⅹ 2169	Ⅺ 216A	Ⅻ 216B	Ⅼ 216C	Ⅽ 216D	Ⅾ 216E	Ⅿ 216F
U+2170	ⅰ 2170	ⅱ 2171	ⅲ 2172	ⅳ 2173	ⅴ 2174	ⅵ 2175	ⅶ 2176	ⅷ 2177	ⅸ 2178	ⅹ 2179	ⅺ 217A	ⅻ 217B	ⅼ 217C	ⅽ 217D	ⅾ 217E	ⅿ 217F
Значение	1 000		5 000		10 000		–	–	6		50		50 000		100 000
U+2160! U+2180	ↀ 2180		ↁ 2181		ↂ 2182		Ↄ	ↄ	ↄ		ↄ		ↄ		ↄ

Символы в диапазоне U+2160—217F присутствуют только для совместимости с другими стандартами, которыми определены эти символы. В обиходе применяются обычные буквы латинского алфавита. Отображение таких символов требует наличия программного обеспечения, поддерживающего стандарт Юникод, и шрифта, содержащего соответствующие этим символам глифы.

Примечания

1. ↑ http://www.alltime.ru/catalog/watch/swiss/tissot/Man/5106/detail.php?ID=78433&back=list
2. ↑ ^{1 2} Unicode Number Forms
3. ↑ Perry, David J. Proposal to Add Additional Ancient Roman Characters to UCS.
4. ↑ Для первых двух строк

Wikimedia Foundation. 2010.

3dic.academic.ru

Упрощение тригонометрических выражений

При упрощении тригонометрических выражений используются свойства тригонометрических функций и тригонометрические формулы.

Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Тригонометрические функции двойного и тройного аргументов

Формулы понижения степени

Тригонометрические функции половинного аргумента

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Формулы, выражающие через

Формулы приведения

Примеры решения задач

ПРИМЕР 3

Задание	Упростить тригонометрическое выражение
Решение	Используя формулы тригонометрических функций двойного аргумента, второе слагаемое данного выражение запишется следующим образом     Подставляя это в исходное выражение, получим     Далее, учитывая периодичность синуса     исходное выражение примет вид     Воспользовавшись формулами приведения, окончательно получим:
Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Упрощение выражений. Видеоурок. Идеи и смыслы

Сегодня мы поговорим о часто встречающейся в школьных учебниках задаче – упростить выражение. Сначала научимся отличать сложное выражение от простого. Иногда это явно видно. Например, рассмотрим тождество: .

В данном примере очевидно, что выражение в правой части проще, чем выражение в левой. Но иногда понять это сразу сложно. Упростить выражение – это значит уменьшить количество операций, которые необходимо сделать, чтобы вычислить его значение при конкретных значениях переменных. Например, возьмем формулы сокращенного умножения: . Для вычисления выражения в левой части нужно выполнить  операций: , а для вычисления значения выражения в правой части –  операции (вычитание и возведение в квадрат). То есть мы явно упростили выражение: вместо  операций нужно сделать . Кажется, что разница между  и  небольшая, но в зависимости от значений переменных вычисления могут значительно усложниться при подсчете вручную. Кроме того, если речь идет, например, о компьютерных вычислениях и нам нужно вычислить миллион раз значение выражения при различных значениях переменных , то разница будет в  выполненных операций.

Если мы понимаем закон или формулу, то для нас это просто. Рассмотрим ряд чисел: , , , , , , , , , , ,… Сложно ли предсказать в этом ряду следующее число? Некоторые могут сказать, что это невозможно, но на самом деле это числа Фибоначчи: такая последовательность задается формулой . Зная формулу, предсказать следующее число не составит труда, нужно просто сложить два предыдущих.

Так происходит всегда: когда мы узнаем закон, то, что казалось пугающим, становится понятным и упрощенным. Рассмотрим еще один пример. Есть такая задача: какой номер у парковочного места, в котором припаркован автомобиль (рис. 1)? Дайте ответ в течение  секунд.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Кажется, что записан странный набор чисел: , , , , …, . Но если понять, что на эти номера мы смотрим сверху вниз, то все становится просто. На самом деле это: , , , , , . Тогда номер очевиден – .

Еще один пример, теория эволюции Ч. Дарвина (рис.2):

Рис. 2. Теория эволюции Ч. Дарвина

До него Линней занимался классификацией (рис. 3):

Рис. 3. Классификация Линнея

Главным достижением биологии является упрощение. Есть царства, типы, классы и т.д. И каждый живой организм принадлежит какой-то ветке на этом дереве. Но классификация не внесла ясность, а вот когда возникла теория Дарвина, тогда стало понятно, почему такое многообразие есть и как оно возникает. Еще один пример из географии. Существует теория – карта. Без нее тяжело найти путь из одного места в другое, но с ней это становится просто.

Важно отметить, что когда мы говорим о порядке, то подразумеваем его субъективность. Если, например, человек не знает чисел, то таблички на домах для него не вносят никакого порядка, увидев знаки , , он не сможет понять, где находится дом .

В математике то, что упрощает вычисления, – это таблица умножения и алгоритм умножения в столбик. А само умножение – это упрощение многократного сложения: . А степень – это упрощение многократного умножения: . Зачем мы привели столько примеров из разных областей? Чтобы показать, что любая теория – это и есть упрощение.

Если рассмотреть мозг как механизм для выживания, то мозг все время создает теории. Так как помнить все невозможно, нужно что-то забывать. Если мы будем помнить все, то в каждый момент нам будет сложно сфокусироваться на происходящем. Но, с другой стороны, нам нужно помнить то, что было, чтобы использовать предыдущий опыт. Получилась противоречивая задача: нужно и забывать, и помнить. Поэтому выход – создание теорий, то есть помнить только существенное. Для того чтобы понять, что такое, например, стол, достаточно показать несколько примеров. Если мы покажем два стола и скажем, что и то, и то – стол, то возникнет идея стола. Или когда ребенок показывает на лужу и говорит, что это вода, для него это возникновение идеи (теории) воды, он понял, что и в луже вода, и в стакане вода, и из-под крана течет тоже вода.

Иногда сформулировать какое-то определение понятия сложнее, чем научиться определять, соответствует ли понятию объект. Если попробовать точно сформулировать ребенку, кто тетя, а кто дядя, это вызовет затруднение. При этом ребенок на основе жизненного опыта строит теорию, помогающую ему практически безошибочно отличать тетю от дяди.

В математике мы тоже часто сталкиваемся с объектами, которые мы не определяем. Например, множество (точка, линия и др.), у этого понятия нет определения, но мы все понимаем, что это. Если говорить про множества, то любое множество – это тоже теория. Например, синяя рубашка и синий автомобиль (рис. 1), что у них общего?

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

У них общее свойство, они синие. То есть не только при помощи свойства можно определить множество, но и наоборот. Например, Хлестаков и городничий из комедии Н.В. Гоголя «Ревизор» (рис. 2, 3). С одной стороны, совершенно разные люди: один – дородный, опытный, сильный мужчина, второй – хлюпенький мальчишка. При помощи вопроса «Что у них общего?» можно определить, что такое коррупция. На коррупцию же не укажешь пальцем, а на них можно, оба берут деньги, пользуясь своей властью, что и есть коррупция.

Рис. 2. Антон Антонович Сквозник-Дмухановский, городничий

Рис. 3. Иван Александрович Хлестаков

Два многочлена равны, так как мы имеем некую теорию и знаем, как их преобразовать: , так как . Когда речь идет о выражениях, то упрощение – это уменьшение количества действий. В общем, для каждого понятно, что значит упростить. Это значит убрать все, что можно, не изменив суть изначального объекта. Хорошим примером полезного упрощения в математике также является задача Эйлера о 7 мостах.

Данная задача родилась в городе Калининграде (ранее – Кёнигсберг). Гуляя, жители придумали такую задачу: vожно ли обойти все мосты, при этом не проходя ни по одному мосту дважды (не повторяясь) (рис. 1)?

Рис. 1. Иллюстрация к задаче Эйлера

Решая эту задачу, Эйлер предложил следующее: считать части города точками. Почему так можно сделать? Представим, что все части города мы начнем уменьшать, от этого задача не поменяется, ведь размеры частей города для решения задачи не важны. Значит, как бы мы ни уменьшали их, задача остается той же. То есть можно свести части города к точкам, а мосты – аналогично к линиям, соединяющим эти точки. Тогда получим следующий чертеж (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Подобные чертежи называют графами. У него  вершины и  ребер. Эйлер получил решение для данной задачи и обобщил его для произвольного графа. Один из пунктов, которые он получил состоит в следующем. Когда мы говорим, что можно обойти все, проходя ровно один раз, то задачу можно переформулировать так: граф можно нарисовать, не отрывая руки от бумаги, причём каждую линию – ровно один раз. Эйлер доказал, что если в графе есть больше двух нечетных вершин (вершин, из которых выходит нечетное количество линий), то такая задача неразрешима. В нашей задаче все  вершины нечётные, значит, ответ на вопрос задачи: обойти таким образом мосты нельзя.

Представим, что у нас есть грузовик и нам нужно развозить что-то по городам, которые соединены дорогами. Естественно, что в таком случае не хочется  раза заезжать в один и тот же город. Пользуясь доказанным фактом, мы сможем узнать, когда это невозможно. Теория графов имеет большое применение, например, в информатике (нейронные сети и др.).

---

 

 

Ссылки на материалы сайта InternetUrok

Математика 2 класс:

1. Порядок действий в выражениях со скобками
2. Числовые выражения. Сравнение числовых выражений
3. Буквенные выражения
4. Составление выражений на умножение и нахождение их значений

Математика 3 класс:

1. Выражение с переменной

Математика 4 класс:

1. Выражение и его значение. Порядок выполнения действий
2. Выражение. Равенство. Неравенство. Уравнение

Математика 5 класс:

1. Числовые и буквенные выражения
2. Упрощение выражений
3. Математическая запись
4. Формулы

Математика 6 класс:

1. Дробные выражения
2. Раскрытие скобок
3. Приведение подобных слагаемых (Слупко М.В.)
4. Приведение подобных слагаемых (Вольфсон Г.И.)
5. Коэффициент

Алгебра 7 класс:

1. Числовые и алгебраические выражения (В.А. Тарасов)
2. Числовые выражения; действия с натуральными числами (В.А. Тарасов)
3. Числовые выражения; действия с дробными числами (В.А. Тарасов)
4. Математический язык
5. Математическая модель
6. Числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах
7. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
8. Приведение одночлена к стандартному виду; задачи
9. Сложение и вычитание одночленов
10. Задачи на сложение и вычитание одночленов
11. Умножение одночленов, возведение в натуральную степень
12. Деление одночлена на одночлен
13. Решение задач по теме «Одночлены. Арифметические операции над одночленами»
14. Степень как частный случай многочлена
15. Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи
16. Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи
17. Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи
18. Умножение двучленов. Типовые задачи
19. Умножение трёхчленов. Типовые задачи
20. Умножение многочлена на многочлен
21. Умножение многочленов в текстовых задачах
22. Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии
23. Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности
24. Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов
25. Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов
26. Совместное применение формул сокращённого умножения
27. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.1
28. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.2
29. Деление многочлена на одночлен
30. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно
31. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки
32. Разложение многочленов на множители. Способ группировки
33. Способ группировки в более сложных задачах и уравнениях
34. Разложение многочленов на множители в комбинации с формулами сокращённого умножения
35. Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов
36. Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей
37. Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей в более сложных случаях
38. Тождества
39. Числовые и алгебраические выражения, математические модели
40. Степень с натуральным показателем и её свойства
41. Одночлены
42. Многочлены
43. Формулы сокращённого умножения
44. Разложение многочленов на множители, сокращение дробей

Алгебра 8 класс:

1. Преобразование рациональных выражений
2. Преобразование более сложных рациональных выражений
3. Преобразование выражений с корнями (вынесен

interneturok.ru

3.3. Преобразование алгебраических выражений

Определение 3.8. Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных, знаков действия над ними (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с рациональным показателем, извлечения арифметического корня) и скобок.

Два выражения называют тождественно равными, если при всех допустимых для них значениях переменных соответственные значения этих выражений равны. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием выражения.

Различают целые рациональные, дробные рациональные и иррациональные выражения. К целым рациональным выражениям относят одночлены и многочлены. Способы их преобразования были рассмотрены в пункте 3.2.

При тождественных преобразованиях дробных рациональных выражений (то есть содержащих деление на выражение с переменной) используются следующие основные приемы.

1. Сокращение дробей, основанное на свойстве дроби: . Например,

, ().

2. Приведение к общему знаменателю – для этого необходимо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;

2) составить наименьший общий знаменатель;

3) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительные множители, привести их к общему знаменателю.

Напомним, что действия над алгебраическими дробями осуществляются следующим образом

, ,.

Пример 3.12. Упростить выражение

.

Решение.

, ().

Ответ: , ().

Пример 3.13. Упростить выражение

.

Решение.

, (,).

Ответ: , (,).

Рассмотрим далее преобразование иррациональных выражений. Выражение называется иррациональным, если оно содержит извлечение корня из переменной или возведение переменной в дробную степень. Как правило, тождественные преобразования выполняются на множестве неотрицательных чисел. При решении примеров мы будем это подразумевать и специально не оговаривать.

Пример 3.14. Упростить выражение .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 3.15. Упростить выражение .

Решение.

.

Избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженной к знаменателю, то есть на сумму . Получим

.

Ответ: .

Пример 3.16. Упростить выражение

.

Решение. Избавимся от иррациональности в знаменателе каждой из дробей в первой скобке:

,

.

Подстановка полученных выражений дает

.

Ответ: .

Пример 3.17. Упростить выражение

.

Решение. Сделаем замену переменной . Тогда исходное выражение примет вид

.

Рассмотрим далее пример, содержащий произведение корней с различными показателями.

Ответ: .

Пример 3.18. Упростить выражение .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 3.19. Вычислить .

Решение. Заметим, что

, тогда

=.

Ответ: 6.

Пример 3.20. Вычислить .

Решение. Так как , то

=.

Ответ: 6.

Пример 3.21. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 3.22. Найти значение выражения при .

Решение. Упростим предварительно заданное выражение

,

тогда при получим .

Ответ: 9.

Пример 3.22. Найти значение выражения a) ,

б) , в) .

Решение. а) Представим оба подкоренных выражения в виде полных квадратов: и , тогда

.

б) Действуя аналогично пункту а), получаем

=

.

в) .

Ответ: a) ; б) 4; в) 3.

Пример 3.23. Упростить выражение

Решение. Проведем преобразования в ОДЗ

().

Ответ:

Пример 3.24. Упростить выражение

Решение. Проведем преобразования в ОДЗ ().

.

Ответ: , .

Пример 3.25. Упростить выражение

.

Решение. Воспользуемся равенством:

.

Тогда

.

Раскрывая скобки и приведя подобные, получаем

.

Ответ: .

studfiles.net

Графический метод решения задач линейного программирования

1. Область решений линейных неравенств.

Пусть задано линейное неравенство с двумя переменными и

(1)

Если величины ирассматривать как координаты точки плоскости, то совокупность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), называется областью решений данного неравенства. Следовательно, областью решений неравенства (1) является полуплоскость с граничной прямой линией.

Пример 1. Найти полуплоскость, определяемую неравенством

.

Решение. Строим прямую по двум точкам, например, по точкам пересечения с осями координат (0; 4) и (6; 0). Эта линия делит плоскость на две части, т.е. на две полуплоскости. Берем любую точку плоскости, не лежащую на построенной прямой. Если координаты точки удовлетворяют заданному неравенству, то областью решений является та полуплоскость, в которой находится эта точка. Если же получаем неверное числовое неравенство, то областью решений является та полуплоскость, которой эта точка не принадлежит. Обычно для контроля берут точку (0; 0).

Подставим ив заданное неравенство. Получим. Следовательно, полуплоскость «к нулю» является областью решений данного неравенства (заштрихованная часть рис. 1).

Пример 2. Найти полуплоскость, определяемую неравенством

.

Решение. Строим прямую , например, по точкам (0; 0) и (1; 3). Т.к. прямая проходит через начало координат, точку (0; 0), то нельзя брать ее для контроля. Возьмем, например, точку (– 2; 0) и подставим ее координаты в заданное неравенство. Получим. Это неверно. Значит, областью решений данного неравенства будет та полуплоскость, которой не принадлежит контрольная точка (заштрихованная часть рис. 2).

2. Область решений системы линейных неравенств.

Пример. Найти область решений системы неравенств:

Решение. Находим область решений I-го неравенства (рис. 1) и II-го неравенства (рис. 2).

Все точки части плоскости, где штриховка наложилась, будут удовлетворять и первому и второму неравенству. Таким образом, получена область решений заданной системы неравенств (рис. 3).

Если к заданной системе неравенств добавить условия и, то область решений системы неравенствбудет находиться только вI координатной четверти (рис. 4).

Принцип нахождения решения системы линейных неравенств не зависит от количества неравенств, входящих в систему.

Примечание: Область допустимых решений (ОДР) если существует, то представляет собой замкнутый или незамкнутый выпуклый многоугольник.

3. Алгоритм графического метода решения злп

Если задача линейного программирования содержит только две переменные, то ее можно решить графическим методом, выполняя следующие операции:

1. Строим все полуплоскости, соответствующие ограничениям системы.

2. Находим область допустимых решений (ОДР), как множество точек, в котором пересекаются все построенные полуплоскости.

3. Строим вектор , выходящий из начала координат, гдеи– это коэффициенты при неизвестных в целевой функции. Этот вектор указывает направление возрастания целевой функции.

4. Перпендикулярно вектору проводим так называемую линию уровня(т.е. прямую, проходящую через начало координат).

5. Перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора(если задача на максимум (max)) или в противоположном направлении (если задача на минимум (min)) до тех пор, пока линия уровня имеет хотя бы одну общую точку с ОДР.

6. Находим координаты этой общей крайней точки, решая систему уравнений прямых, на пересечении которых она находится.

7. Подставляем эти координаты в целевую функцию и находим ее max (или min).

Пример. Решить задачу линейного программирования графическим методом

max

Решение. Третье и четвертое ограничения системы – двойные неравенства, преобразуем их к более привычному для подобных задач виду , этои, т.о. первое из полученных неравенств(или) относится к условию неотрицательности, а второек системе ограничений. Аналогично,этои.

Т.о. задача примет вид

max

,

Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область допустимых решений по уравнениям прямых:

; ;;.

Областью решений неравенств является пятиугольник ABCDE.

Построим вектор . Через начало координат перпендикулярно вектору проведем линию уровня. И затем будем перемещать ее параллельно самой себе в направлении векторадо точки выхода из области допустимых решений. Это будет точкаС. Найдем координаты этой точки, решив систему, состоящую из уравнений первой и четвертой прямых:

.

Подставим координаты точки С в целевую функцию и найдем ее максимальное значение Пример. Построить линии уровня идля задачи линейного программирования:

max (min)

Решение. Область допустимых решений – открытая область (рис. 6). Линия уровня проходит через точкуВ. Функция Z имеет минимум в этой точке. Линию уровня построить нельзя, так как нет точки выхода из области допустимых решений, это значит, что.

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти область решений системы неравенств:

а)б)

2. Решить графически задачу линейного программирования

min

3. Составить экономико-математическую модель и решить графически задачу линейного программирования

Фирма выпускает изделия двух видов А и В. Изделия каждого вида обрабатывают на двух станках (I и II). Время обработки одного изделия каждого вида на станках, время работы станков за рабочую смену, прибыль фирмы от реализации одного изделия вида А и вида В занесены в таблицу:

Изучение рынка сбыта показало, что ежедневный спрос на изделия вида В никогда не превышает спрос на изделия вида А более чем на 40 единиц, а спрос на изделия вида А не превышает 90 единиц в день.

Определить план производства изделий, обеспечивающий наибольшую прибыль.

studfiles.net

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Неравенство — это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: > (больше, в случае строгих неравенств), < (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

Неравенство является линейным при тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которые всю плоскость делит прямая, уравнением которой задано линейное неравенство. Эту полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств — часть плоскости, ограниченную несколькими прямыми, требуется найти на чертеже.

К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся многие экономические задачи, в частности, задачи линейного программирования, в которых требуется найти максимум или минимум функции.

Одно неравенство с двумя неизвестными, так же как и уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Решением данного неравенства назовём пару чисел , удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой

,

которую назовём граничной прямой.

Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства

Для этого надо знать какие-либо две точки этой прямой. Найдём точки пересечения с осями координат. Ордината точки пересечения A равна нулю (рисунок 1). Числовые значения на осях на этом рисунке относятся к примеру 1, который разберём сразу после этого теретического экскурса.

Абсциссу найдём, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси .

Найдём пересечение с осью :

Подставляя значение в первое уравнение, получаем

, откуда .

Таким образом, нашли абсциссу точки A .

Найдём координаты точки пересечения с осью .

Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной прямой с уравнением оси координат:

Решение:

,

следовательно, координаты точки B: .

Шаг 2. Начертить прямую, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки A и B пересечения граничной прямой с осями координат, можем начертить эту прямую. Прямая (снова рисунок 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (выше и ниже) от этой прямой.

Шаг 3. Установить, которая из полуплоскостей является решением данного неравенства. Для этого нужно в это неравенство подставить начало координат (0; 0). Если координаты начала удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, в которой находится начало координат. Если же координаты не удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, которая не содержит начала координат. Полуплоскость решения неравенства будем обозначать штрихами от прямой внутрь полуплоскости, как на рисунке 1.

Если решаем систему линейных неравенств, то каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Начертим прямую

Подставив в уравнение прямой , получим , а подставив , получим . Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут A(3; 0), B(0; 2). Через эти точки проведём прямую (опять рисунок 1).

Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого в неравенство подставим координаты начала (0; 0):

,

получим , т. е. координаты начала удовлетворяют данному неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая в себе начало координат, т. е. левая (она же нижняя) полуплоскость.

Если бы данное неравенство было строгим, то есть имело бы вид

,

то точки граничной прямой не являлись бы решением, так как они не удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость. Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Решением системы линейных неравенств называется любая пара чисел (), удовлетворяющая всем неравенствам данной системы.

Геометрически решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть, общая часть получаемых полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение может быть изображено в виде некоторого многоугольника, в частном случае — может быть линия, отрезок и даже точка. Если система линейных неравенств несовместна, то на плоскости не существует ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам системы.

Пример 2. Решить систему линейных неравенств

Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств. Построим граничную прямую для первого неравенства, то есть прямую , и граничную прямую для второго неравенства, то есть прямую .

Делаем это пошагово, как было показано в теоретической справке и в примере 1, тем более, что в примере 1 строили граничную прямую для неравенства, которое является первым в данной системе.

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, на рисунке 2 заштрихованы вовнутрь. Общая часть полуплоскостей решений представляет собой открытый угол ABC. Это означает, что множество точек плоскости, составляющих открытый угол ABC, является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть, является решением системы двух линейных неравенств. Иначе говоря, кординаты любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3. Решить систему линейных неравенств

Решение. Построим граничные прямые, соответствующие неравенствам системы. Делаем это, выполняя шаги, данные в теоретической справке, для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рисунок 3).

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, заштрихованы вовнутрь. Пересечение полуплоскостей решений изображается, как показано на рисунке, в виде четырёхугольника ABCE. Получили, что многоугольник решений системы линейных неравенств с двумя переменными является четырёхугольником ABCE.

Всё описанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными относится и к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел (), удовлетворяющих всем неравенствам, а вместо граничной прямой будет граничная гиперплоскость n-мерного пространства. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.

Так же, как и в двухмерном пространстве (на плоскости), каждое из неравенств системы определяет n-мерное полупространство. Пересечение всех этих полупространств образует многогранник решений. Но изобразить этот многогранник (называемый симплексом) геометрически невозможно. Лишь в случае, когда число неизвестных не больше трёх, то есть в действительном пространстве, многогранник решений можно изобразить геометрически.

Множество решений линейных неравенств геометрически составляет выпуклый многогранник или выпуклое множество точек.

Как уже отмечалось, системы линейных неравенств играют важную роль в линейном программировании. Теоремы линейного программирования содержат такие понятия, как выпуклые множества и крайние точки. Разберёмся бегло, о чём речь.

Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их. Если же существует хотя бы такая пара точек множества, что отрезок, соединяющий эти точки, не принадлежит целиком этому множеству, то такое множество называется невыпуклым. На рисунке 4 слева изображено выпуклое множество, а справа — невыпуклое.

Выпуклые множества обладают важным свойством, которое устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Пересечение двух выпуклых множеств — также выпуклое множество.

Через любую внутреннюю точку выпуклого множества можно провести отрезок, для которого она является внутренней, а сам отрезок целиком принадлежит этому множеству. Но есть точки (для выпуклого многоугольника это его вершины), для которых такое построение выполнить нельзя: нет ни одного отрезка, для которого вершина являлась бы внутренней, а отрезок целиком бы принадлежал мноргоугольнику.

Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.

Продолжение темы «Систем уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

7. Множества точек на плоскости, задаваемые уравнениями

и неравенствами с двумя переменными

Пусть на плоскости выбрана система координат. Тогда любое уравнение с двумя переменными F(x;y) = 0 задает множество точек на плоскости, а именно множество точекM(x;y), координатыкоторых удовлетворяют этому уравнению.

Например, точка M(– 3; 4) принадлежит множеству, заданному уравнениемx²+y²= 25, а точкаN(1; 6) не принадлежит этому множеству, так как (–3)²+ 4²= 25, а 1²+ 6²≠ 25. В этом легко убедиться, если построить график данного уравнения в декартовой системе координат (рис. 7.1). Геометрическим местом всех точек, принадлежащих этому множеству, является окружностьR= 5 с центром в начале координат.

Рис. 7.1

Если мы рассмотрим множество, заданное в виде неравенства x²+y²< 25, то множеством будут являться все точки, находящиеся внутри этой окружности (рис.7.2). Сама окружность изображена пунктиром, чтобы показать, что точки, принадлежащие самой окружности (границе области) в данном случае на нее не попадают и точкаM(– 3; 4)множествуx²+y²< 25 (области), в чем легко убедится, а точкаN(1; 2){x²+y²< 25}.

Рис. 7.2

Если же x²+y²≤ 25, то здесь уже войдет и граница (сама окружность). Изобразим ее жирной линией (рис. 7.3).

Рис. 7.3

То же касается систем линейных неравенств.

Пример.Построить область допустимых решений системы линейных неравенств.

Решение.Нумеруем ограничения задачи

В прямоугольной декартовой системе координат (рис. 7.4) строим прямую 2x – y = 2, соответствующую ограничению (1).

Рис. 7.4

Находим, какая из двух полуплоскостей, на которые эта прямая делит всю координатную плоскость, является областью решения неравенства (1). Для этого достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство. Так как прямая (1) не проходит через начало координат, подставляем координаты точки О (0, 0) в первое ограничение: 2·0 – 0 < 2. Получаем строгое неравенство 0 < 2. Следовательно, точкаОлежит в полуплоскости решений. Таким образом, стрелки на концах прямой (1) должны быть направлены в полуплоскость, содержащую точкуО.

Аналогично строим прямые x+y= 3 и –x+ 2y= 4 и области решений ограничений (2) и (3).

Находим общую часть полуплоскостей решений. Полученную область допустимых решений отмечаем на рис. 7.4 штриховкой. В этой области находятся все точки M(x;y), в которых выполняются все три неравенства системы. ◄

Задание 3

Решить неравенство (а) и систему неравенств (б).

3.1.а); б)	3.2.а); б)
3.3.а); б)	3.4.а); б)
3.5.а); б)	3.6.а); б)
3.7.а); б)	3.8.а); б)
3.9.а); б)	3.10.а); б)
3.11.а); б)	3.12.а); б)
3.13.а); б)	3.14.а); б)
3.15.а); б)	3.16.а); б)
3.17.а); б)	3.18.а); б)
3.19.а); б)	3.20.а); б)
3.21.а); б)	3.22.а); б)
3.23.а); б)	3.24.а); б)
3.25.а); б)	3.26.а); б)
3.27.а); б)	3.28.а); б)
3.29.а); б)	3.30.а); б)

studfiles.net

Линейное математическое программирование, страница 7

В данном случае неравенство  в контрольной точке не выполняется. Значит, оно выполняется в противоположной плоскости на рис.4.1 (заштрихована).

 

Рис. 4.1

2. .

Прямая проходит через начало координат. За вторую точку можно взять любую, лежащую на прямой, например А (2;3)

 

Рис. 4.2

В качестве контрольной точки возьмём любую не лежащую на прямой, Например В(1;0).

В этой точке 3–2∙0 > 0 неравенство выполняется. Значит область решений неравенства – нижняя полуплоскость (заштрихована, рис.4.2).

Множество точек, удовлетворяющих уравнению  при  является плоскостью, при  – гиперплоскостью. В этом случае теорему о решении неравенства, содержащего n неизвестных можно обобщить следующим образом.

Теорема.

Область решения неравенства с n переменными  есть одно из полупространств, на которые все пространство делится гиперплоскостью , включая и эту гиперплоскость.

4.2. Множество решений системы неравенств.

Множеством решений системы линейных неравенств являются точки, которые принадлежат полуплоскостям решений всех неравенств, т.е. принадлежат их пересечению.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 4.2.

Построить множество решений системы неравенств.

Для определения множества решений системы неравенств строим последовательно множество решений каждого неравенства.

 

Рис.4.3

            В рассматриваемом примере областью решений системы неравенств является так называемый выпуклый многоугольник.

            Выпуклой фигурой называется фигура, обладающая следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. Координаты угловых точек – вершин этого многоугольника найдём как координаты точек пересечения соответствующих прямых.

Например, координаты точки D найдём, решая совместно систему уравнений

            При построении области решений системы неравенств могут встретится и другие случаи:

— многоугольная область (рис.4.4.)

Рис. 4.4

— одна точка (рис.4.5)

 

Рис.4.5

— пустое множество, когда система неравенств несовместна (рис. 4.6)

vunivere.ru

Метод областей на координатной плоскости

Для изображения на координатной плоскости Оху множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем используется построение на координатной плоскости множества точек, у которых координаты удовлетворяют данным уравнениям, неравенствам, системам.

При решении неравенства f(x; у) ≥ 0, равносильного смешанной совокупности

 
применяется метод областей, являющийся обобщением метода интервалов на случай двух переменных. Для этого вначале находят все нули выражения f(x; у), то есть все такие точки, координаты которых удовлетворяют уравнению f(x; у) =0. В общем случае уравнение f(x; у)=0 задает некоторую кривую (или несколько кривых) на плоскости Оху. Полученные кривые разбивают плоскость на множества, для координат всех точек которых выражение f(x;у) имеет постоянный знак. Далее отбирают требуемые подмножества, у которых координаты точек удовлетворяют неравенству f(x;у) >0. Это можно сделать подстановкой координат произвольной точки из рассматриваемого подмножества в выражение f(x; у).

Простейшим является случай, когда f(x;у)=Ах +By+С, где А²+В²>0, то есть числа А и В одновременно не обращаются в нуль. Уравнение Ах+By+С=0 задает прямую, которая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости, для координат точек одной из которых выполняется неравенство Ах+ By+С> 0, а в другой — неравенство Ах+Ву+С< 0.
Уравнение (х-а)²+(у-b)²=R², где a, b, R — заданные числа, причем R>0, задает на координатной плоскости окружность С радиуса R с центром в точке (а; b), а неравенствам (х-а)² +(у-b)²<R² и (х-а)²+ (у-b)²>R² удовлетворяют все те и только те точки, которые расположены соответственно внутри области, ограниченной окружностью С, и снаружи.

Рассмотрим задачи построения на координатной плоскости множества точек, у которых координаты удовлетворяют уравнению f(x; у) = 0.

belmathematics.by

2.2. Графическое решение системы линейных неравенств

Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными.

Сначала дадим геометрическое истолкование линейного неравенства.

• Решением линейного неравенства с двумя переменными называется множество пар значений переменных , которые удовлетворяют неравенству. Геометрически решением линейного неравенства являетсяполуплоскость, границей которой является прямая .

Порядок действий:

1. записать уравнение и построить на плоскости граничную прямую;

2. выбрать искомую полуплоскость, координаты точек в которой удовлетворяют заданному неравенству. Для этого подставляют в неравенство координаты точки с известными координатами ,не лежащей на граничной прямой. Если получится верное числовое неравенство, то искомая полуплоскость та, которая содержит точку (в противном случае берется другая полуплоскость). Плоскость выделяется штриховкой.

0

Отметим, что неравенство определяетправую координатную полуплоскость (от оси ), а неравенство—верхнюю координатную полуплоскость (от оси ).

Пример 2. Решить графически неравенство .

Запишем уравнение граничной прямой и построим ее по двум точкам, например,и. Прямая делит плоскость на две полуплоскости.

0 2

-4

Координаты точки удовлетворяют неравенству( – верно), значит, и координаты всех точек полуплоскости, содержащей точку , удовлетворяют неравенству. Решением неравенства будут координаты точек полуплоскости, расположенной справа от граничной прямой, включая точки на границе. Искомая полуплоскость на рисунке выделена.

Решение системы неравенств называетсядопустимым, если его координаты неотрицательны ,. Множество допустимых решений системы неравенств образует область, которая расположена в первой четверти координатной плоскости.

Пример 3. Построить область решений системы неравенств

Решениями неравенств является:

1) — полуплоскость, расположенная левее и ниже относительно прямой ();

2) – полуплоскость, расположенная в правой-нижней полуплоскости относительно прямой ();

3) — полуплоскость, расположенная правее прямой ();

4) — полуплоскость выше оси абсцисс, то есть прямой () .

3

1

B

0

Область допустимых решений данной системы линейных неравенств – это множество точек, расположенных внутри и на границе четырехугольника , являющегосяпересечением четырех полуплоскостей.

studfiles.net

Задание фигур на координатной плоскости уравнениями и неравенствами

Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y). Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.

Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.

Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a)² + (y – b)² = R² – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).

Пример 1.

Построить график уравнения x² – 9y² = 0.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.

Ответ: рисунок 1.

Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.

Первое уравнение равносильно системе

{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).

То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).

Пример 2.

Построить график уравнения |y| = 2 + x.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.

Строим множество точек.

Ответ: рисунок 2.

Пример 3.

Построить график уравнения |y – x| = 1.

Решение.

Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.

Ответ: рисунок 3.

При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей, основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.

Пример 4.

Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.

Решение.

В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.

1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:

2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.

2) Во второй четверти, где x < 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) В третьей четверти x < 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y < 0 получим, что x = 1.

График данного уравнения будем строить по четвертям.

Ответ: рисунок 4.

Пример 5.

Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.

Решение.

Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.

Область	Знак подмодульного выражения	Полученное уравнение после раскрытия модуля
I	x ≥ 1 и y ≥ 1	x + y = 3
II	x < 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	x < 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 и y < 1	x – y = 1

Ответ: рисунок 5.

На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами.

Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными:

1. Записать уравнение, соответствующее неравенству.
2. Построить график уравнения из пункта 1.
3. Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
4. Изобразить графически множество всех решений неравенства.

Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.

Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.

1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7.

3) x² + y² ≤ a, a > 0. Рисунок 8.

4) y ≥ x². Рисунок 9.

5) xy ≤ 1. Рисунок 10.

Если у  вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как зарегистрируетесь. Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас тарифный план.

 Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru