Рубрика: Школьная жизнь

Скалярное произведение векторов

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; … ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; … ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + … + a_n · b_n

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Решение:

= 5 |a|² + 12 a · b — 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45.

Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j:

Тогда используя свойства ортов (i² = 1, j² = 1, i·j = 0)

(a + 2i)·(b — 2j) = (i + 2j + 2i)·(4i — 8j — 2j) = (3i + 2j)·(4i — 10j) = 12i² — 30i·j + 12j·i — 20j² = 12 — 0 + 0 — 20 = -8

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.

ru.onlinemschool.com

Скалярное произведение векторов: теория и решения задач

Определение 1. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1:    (1)

Можно встретить и другое название этой операции: внутреннее произведение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Сформулируем другое определение, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

   (2)

или

   (3)

На этом уроке будем решать распространённые задачи не только на непосредственное вычисление скалярного произведения, но и на выяснение ортогональности (перпендикулярности) векторов, вида угла (тупой, острый, прямой) между векторами, вычисление скалярного произведения векторов, которые даны в координатах, вычисление длин диагоналей параллелограма, построенного на вектора. Но все по порядку. Перед каждым видом задач будем обращать внимание на то, что на этот счёт гласит теория.

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены «на блюдечке с голубой каёмочкой», то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Решение:

Определение 3. Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Геометрические свойства

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла — φ1 и φ2. Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π, то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ1.

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами — прямой (90 градусов или π/2), если скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое — меньше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое — больше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Пример 3. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

.

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Ответ: мы получили значение λ = 1,8, при котором векторы ортогональны.

Пример 4. В координатах даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

.

Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй — в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц:

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов — произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 6. Найти скалярные произведения пар векторов

и

,

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй — в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару и находим:

Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 4.

Чтобы выразить скалярное произведение векторов

                              (1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

Пример 7. Даны три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла получаем:

Следовательно, .

Пример 8. Даны два вектора

и

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

Решение.

1.Сумма

2.Разность

3.Длина

4.Скалярное произведение

5.Угол между и :

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 12. Среди векторов

Найти а) коллинеарные; б) ортогональные.

Решение.

а) проверим пропорциональность соответствующих координат векторов — условие коллинеарности (повторение материала предыдущей части темы «Векторы»).

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Для векторов и :

Равенство выполняется.

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Наше исследование показало, что коллинеарны векторы и .

б) найдём скалярные произведения векторов.

Наше исследование показало, что ортогональны векторы и и и .

Расчёт работы постоянной силы

Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из начала координат в конец вектора B под действием постоянной силы F = A, образующей угол с перемещением S = A. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы F = B на вектор перемещения S = A.

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов — фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?

Экономический смысл скалярного произведения векторов

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p
на вектор объёма проданных товаров x . Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p . Например, если объём всех товаров, проданных предприятием, выражается вектором x = (400; 750; 200; 300), элементы которого означают соответственно количество товаров различных групп, а цены в одних и тех же денежных единицах заданы в соответствующем порядке вектором p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), то скалярное произведение

выражает суммарную стоимость всех товаров x.

Поделиться с друзьями

Начало темы «Векторы»

Продолжение темы «Векторы»

function-x.ru

Скалярное произведение векторов, формула и примеры

Определение и формула скалярного произведения векторов

Если векторы заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

Выражение называется скалярным квадратом вектора .

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

5. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны (перпендикулярны):

6. .

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

8. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение этих векторов будет положительным числом (так как косинус острого угла – положительное число). Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла есть величина отрицательная). Имеют место и обратные утверждения.

9. Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен , а скалярное произведение будет положительным. Угол между противоположно направленными векторами равен и их скалярное произведение отрицательно.

ru.solverbook.com

Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Скалярным произведением двух векторов a→ и b→ будет скалярная величина (число), равная произведению модулей этих векторов, умноженное на косинус угла между ними:

a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosα

Очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.

Угол между векторами обозначают a→b→ˆ=α.

1. Если векторы сонаправлены, то a→b→ˆ=0°:

Обрати внимание!

Так как косинус угла в \(0\) градусов равен \(1\), то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин.

Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

2. Если векторы противополжно направлены, то a→b→ˆ=180°:

Обрати внимание!

Так как косинус угла в \(180\)градусов равен \(-1\), то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

3. Векторы называют перпендикулярными, если a→b→ˆ=90°:

Обрати внимание!

Так как косинус прямого угла равен \(0\), то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно \(0\).

4. Внимательно необходимо рассмотреть ситуации, когда векторы образуют тупой угол:

Обрати внимание!

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Если a→xa;ya и b→xb;yb, то a→⋅b→=xa⋅xb+ya⋅yb.

Так как в координатах a→=xa2+ya2 иb→=xb2+yb2, то можно определить косинус угла между векторами и, следовательно, величину угла.

cosα=a→⋅b→a→⋅b→cosα=xa⋅xb+ya⋅ybxa2+ya2⋅xb2+yb2

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору.

a→⋅a→>0;0→⋅0→=0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a→⋅a→=a→2

3. Для скалярного произведения в силе переместительный закон:

a→⋅b→=b→⋅a→

4. Для скалярного произведения в силе распределительный закон:

a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→

5.  Для скалярного произведения в силе сочетательный закон:

k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→

6. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

www.yaklass.ru

Скалярное произведение векторов

Угол между векторами

Рассмотрим два данных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Отложим от произвольно выбранной точки $O$ векторы $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$, тогда угол $AOB$ называется углом между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Отметим здесь, что если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен $0^0$.

Обозначение: $\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}$

Понятие скалярного произведения векторов

Определение 1

Скалярное произведение двух векторов – это скаляр (число), равный произведению длин двух векторов на косинус угла между этими векторами.

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

1. Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

2. Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).

Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ } >0$), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ }

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

Определение 2

Скалярным квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.

Получаем, что скалярный квадрат равен

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.

Рассмотрим его.

Пусть векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ имеют координаты $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соответственно.

Теорема 1

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равно сумме произведений соответствующих координат.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

1. Пусть один из векторов будет нулевым вектором. К примеру, $\overrightarrow{a}=(0,0)$.

   Тогда $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0$. С другой стороны $a_1a_2+b_1b_2=0\cdot a_2+0\cdot b_2=0$, значит

   \[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2\]

2. Оба вектора не будут нулевыми векторами.

   Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ (рис. 2).

   Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

   По теореме косинусов, получим:

   \[{AB}^2={OA}^2+{OB}^2-2OA\cdot OBcosO\]

   Так как $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, получим

   \[{|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|}^2={|\overrightarrow{OA}|}^2+{|\overrightarrow{OB}|}^2-2\left|\overrightarrow{OA}\right||\overrightarrow{OB}|\] \[\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\left({|\overrightarrow{OA}|}^2+{|\overrightarrow{OB}|}^2-{|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|}^2\right)\]

   Так как векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ имеют координаты $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соответственно, то $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(a_2-a_1,b_2-b_1\right)$. Тогда равенство примет вид

   \[\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\left(a^2_1+b^2_1+a^2_2+b^2_2-{(a_2-a_1)}^2-{(b_2-b_1)}^2\right)=a_1a_2+b_1b_2\]

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cos\alpha =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}\cdot \sqrt{a^2_2+b^2_2}}$

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:

1. ${\overrightarrow{a}}^2\ge 0$

   Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

2. Переместительный закон: $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}$.

   Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

3. Распределительный закон:

   $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}$. \end{enumerate}

   По теореме 1, имеем:

   \[\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\]

4. Сочетательный закон: $\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})$. \end{enumerate}

   По теореме 1, имеем:

   \[\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\]

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, если $\left|\overrightarrow{a}\right|=3$ и $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$, а угол между ними равен ${{30}^0,\ 45}^0,\ {90}^0,\ {135}^0$.

Решение.

Используя определение 1, получаем

Для ${30}^0:$

Для ${45}^0:$

Для ${90}^0:$

Для ${135}^0:$

spravochnick.ru

Скалярное произведение векторов.

Навигация по странице:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; … ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; … ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + … + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

   a · a ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

   a · a = 0   <=>   a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

   a · a = |a|²

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

   a · b = b · a

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

   a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

   (a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Решение:

= 5 |a|² + 12 a · b — 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45.

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

Скалярное произведение векторов

Для начала вспомним, какие действия над векторами вам известны.

Итак, это сложение двух векторов по правилу треугольника или параллелограмма и нескольких векторов по правилу многоугольника. Вектор разности векторов  мы получали как вектор суммы векторов .

Также вам знакомо правило умножение вектора на число.

Сегодня вы познакомитесь с ещё одним действием над векторами — скалярным умножением векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов  обозначают так .

Или возможна запись без знака умножения.

Оно равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними.

Стоит вспомнить, что угол между векторами получают, откладывая данные векторы от одной точки. При этом выбирают угол меньший 180°

Обратите внимание, ранее, при выполнении сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число, результатом каждого из этих действий мы получали некоторый вектор.

Результатом же скалярного произведения векторов является число.

Сейчас подробнее рассмотрим случай, когда скалярное произведение векторов равно 0.

Понятно, что для этого хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Такими будут случаи, когда хотя бы один из векторов в произведении является нулевым.

Если же векторы  ненулевые, то косинус угла между ними должен быть равен 0.

Среди возможных значений градусной меры угла между двумя векторами только лишь косинус угла в 90° равен 0.

Отсюда получаем, что векторы  перпендикулярны.

Подытожим. Скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов сомножителей является нулевым.

Ну, а скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Из формулы скалярного произведения также можно заметить, что, если векторы  не нулевые, то их длины всегда больше нуля, поэтому их произведение тоже положительно. А вот значение косинуса угла между ними может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Можно сказать, что скалярное произведение двух ненулевых векторов больше нуля, если угол между векторами острый. Равно нулю, если угол между ним прямой. И меньше нуля, если угол между данными векторами тупой. Ещё раз обратим внимание на то, что эти заключения верны для ненулевых векторов .

Задача. Найти скалярное произведение векторов  и , пользуясь данными рисунков.

Решение.

а)

б)

в)

г)

Мы рассмотрели примеры применения формулы скалярного произведения двух векторов и убедились, что скалярное произведение ненулевых векторов больше нуля, если угол между ними является острым, равно нулю — если векторы перпендикулярны, и меньше нуля — если угол между векторами тупой.

А сейчас рассмотрим сонаправленные векторы  и . Запишем формулу их скалярного произведения.

Вы должны помнить с прошлых уроков, что угол между сонаправленными векторами равен нулю. А косинус угла в 0° равен 1. Тогда получаем, что скалярное произведение сонаправленных векторов равно произведению их длин.

Говоря о противоположно направленных векторах, можно вспомнить, что угол между ними равен 180°. Значит, косинус равен -1.

Тогда скалярное произведение противоположно направленных векторов равно .

Что касается, скалярного произведения вектора на самого себя, то его называют скалярным квадратом вектора. Этот случай можно рассматривать в контексте сонаправленных векторов. Действительно, ведь векторы равны, а значит, и сонаправлены. Такое произведение равно произведению длин данного вектора.

Тогда получаем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Задача. Найдём скалярные квадраты векторов , ,  и .

Решение.

Скалярное произведение векторов применяется не только в математике. Например, из курса механики известно, что работа постоянной силы F при перемещении из точки М в точку Н равна .

Тем самым получаем, что работа силы F равна скалярному произведению вектора силы  и вектора перемещения .

Вернёмся к скалярному произведению в математике и решим несколько задач.

Задача. К одной и той же точке приложены  и , действующие под углом в  друг к другу. , . Найти величину равнодействующей силы .

Решение.

1 способ

,

2 способ

,

Ответ: .

Задача. В ,где , проведена высота . Вычислить , , , .

Решение

, так как

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с новым действием над векторами — скалярным умножением векторов.

Скалярным произведением двух векторов называют произведение длин данных векторов на косинус угла между ними.

Проанализировав эту формулу, мы заметили, что скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов сомножителей является нулевым. Ну, а скалярное произведение ненулевых векторов рано нулю, тогда и только тогда, когда данные векторы перпендикулярны.

Также, пользуясь знаниями об углах между сонаправленными и противоположно направленными векторами, мы выяснили, что скалярное произведение сонаправленных векторов равно произведению их длин, а скалярное произведение противоположно направленных векторов противоположно произведению их длин.

Введя понятия скалярного квадрата вектора, мы получили, что он равен квадрату длины данного вектора.

Знания о скалярном произведении векторов можно применять не только на уроках математики. Так же они широко используются в физике.

videouroki.net

Решение показательных неравенств

3 января 2017

Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные…

Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)

Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. И на этом вашем ЕГЭ тоже.

Как всегда, начнём с определения. Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию. Другими словами, его всегда можно свести к неравенству вида

\[{{a}^{x}} \gt b\]

Где в роли $b$ может быть обычное число, а может быть и что-нибудь пожёстче. Примеры? Да пожалуйста:

\[\begin{align} & {{2}^{x}} \gt 4;\quad {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}};\quad {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01;\quad {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}. \\\end{align}\]

Думаю, смысл понятен: есть показательная функция ${{a}^{x}}$, её с чем-то сравнивают, а затем просят найти $x$. В особо клинических случаях вместо переменной $x$ могут засунуть какую-нибудь функцию $f\left( x \right)$ и тем самым чуть-чуть усложнить неравенство.:)

Конечно, в некоторых случаях неравенство может выглядеть более сурово. Вот, например:

\[{{9}^{x}}+8 \gt {{3}^{x+2}}\]

Или даже вот:

\[5\cdot {{4}^{x}}+2\cdot {{25}^{x}} \gt 7\cdot {{10}^{x}}\]

В целом, сложность таких неравенств может быть самой разной, но в итоге они всё равно сводятся к простой конструкции ${{a}^{x}} \gt b$. А уж с такой конструкцией мы как-нибудь разберёмся (в особо клинических случаях, когда ничего не приходит в голову, нам помогут логарифмы). Поэтому сейчас мы научимя решать такие простые конструкции.

Решение простейших показательных неравенств

Рассмотрим что-нибудь совсем простое. Например, вот это:

\[{{2}^{x}} \gt 4\]

Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: $4={{2}^{2}}$. Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:

\[{{2}^{x}} \gt {{2}^{2}}\]

И вот уже руки чешутся «зачеркнуть» двойки, стоящие в основаниях степеней, дабы получить ответ $x \gt 2$. Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:

\[{{2}^{1}}=2;\quad {{2}^{2}}=4;\quad {{2}^{3}}=8;\quad {{2}^{4}}=16;…\]

Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе. «Спасибо, кэп!» — воскликнет кто-нибудь из учеников. Разве бывает по-другому? К сожалению, бывает. Например:

\[{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{1}}=\frac{1}{2};\quad {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4};\quad {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8};…\]

Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:

• Если основание степени $a \gt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ тоже будет расти;
• И наоборот, если $0 \lt a \lt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ будет убывать.

Суммируя эти факты, мы получаем самое главное утверждение, на котором и основано всё решение показательных неравенств:

Если $a \gt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \gt n$. Если $0 \lt a \lt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \lt n$.

Другими словами, если основание больше единицы, его можно просто убрать — знак неравенства при этом не поменяется. А если основание меньше единицы, то его тоже можно убрать, но при этом придётся поменять и знак неравенства.

Обратите внимание: мы не рассмотрели варианты $a=1$ и $a\le 0$. Потому что в этих случаях возникает неопределённость. Допустим, как решить неравенство вида ${{1}^{x}} \gt 3$? Единица в любой степени снова даст единицу — мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.

С отрицательными основаниями всё ещё интереснее. Рассмотрим для примера вот такое неравенство:

\[{{\left( -2 \right)}^{x}} \gt 4\]

На первый взгляд, всё просто:

\[4={{2}^{2}}\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{x}} \gt {{2}^{2}}\Rightarrow x \gt 2\]

Правильно? А вот и нет! Достаточно подставить вместо $x$ парочку чётных и парочку нечётных чисел, чтобы убедиться что решение неверно. Взгляните:

\[\begin{align} & x=4\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{4}}=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{5}}=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{6}}=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{7}}=-128 \lt 4. \\\end{align}\]

Как видите, знаки чередуются. А ведь есть ещё дробные степени и прочая жесть. Как, например, прикажете считать ${{\left( -2 \right)}^{\sqrt{7}}}$ (минус двойка в степени корень из семи)? Да никак!

Поэтому для определённости полагают, что во всех показательных неравенствах (и уравнениях, кстати, тоже) $1\ne a \gt 0$. И тогда всё решается очень просто:

\[{{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}\Rightarrow \left[ \begin{align} & x \gt n\quad \left( a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left( 0 \lt a \lt 1 \right). \\\end{align} \right.\]

В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.

Примеры решения

Итак, рассмотрим несколько простых показательных неравенств:

\[\begin{align} & {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01; \\ & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}. \\\end{align}\]

Первостепенная задача во всех случаях одна и та же: свести неравенств к простейшему виду ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Именно это мы сейчас и сделаем с каждым неравенством, а заодно повторим свойства степеней и показательной функции. Итак, поехали!

\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\]

Что здесь можно сделать? Ну, слева у нас и так стоит показательное выражение — ничего менять не надо. А вот справа стоит какая-то хрень: дробь, да ещё и в знаменателе корень!

Однако вспомним правила работы с дробями и степенями:

\[\begin{align} & \frac{1}{{{a}^{n}}}={{a}^{-n}}; \\ & \sqrt[k]{a}={{a}^{\frac{1}{k}}}. \\\end{align}\]

Что это значит? Во-первых, мы легко можем избавиться от дроби, превратив её в степень с отрицательным показателем. А во-вторых, поскольку в знаменателе стоит корень, было бы неплохо превратить и его в степень — на этот раз с дробным показателем.

Применим эти действия последовательно к правой части неравенства и посмотрим, что получится:

\[\frac{1}{\sqrt[3]{2}}={{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{-1}}={{\left( {{2}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{-1}}={{2}^{\frac{1}{3}\cdot \left( -1 \right)}}={{2}^{-\frac{1}{3}}}\]

Не забываем, что при возведении степени в степень показатели этих степеней складываются. И вообще, при работе с показательными уравнениями и неравенствами совершенно необходимо знать хотя бы простейшие правила работы со степенями:

\[\begin{align} & {{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}; \\ & \frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}; \\ & {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{y}}={{a}^{x\cdot y}}. \\\end{align}\]

Собственно, последнее правило мы только что и применили. Поэтому наше исходное неравенство перепишется следующим образом:

\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Rightarrow {{2}^{x-1}}\le {{2}^{-\frac{1}{3}}}\]

Теперь избавляемся от двойки в основании. Поскольку 2 > 1, знак неравенства останется прежним:

\[\begin{align} & x-1\le -\frac{1}{3}\Rightarrow x\le 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}; \\ & x\in \left( -\infty ;\frac{2}{3} \right]. \\\end{align}\]

Вот и всё решение! Основная сложность — вовсе не в показательной функции, а в грамотном преобразовании исходного выражения: нужно аккуратно и максимально быстро привести его к простейшему виду.

Рассмотрим второе неравенство:

\[{{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\]

Так, так. Тут нас поджидают десятичные дроби. Как я уже много раз говорил, в любых выражениях со степенями следует избавляться от десятичных дробей — зачастую только так можно увидеть быстрое и простое решение. Вот и мы избавимся:

\[\begin{align} & 0,1=\frac{1}{10};\quad 0,01=\frac{1}{100}={{\left( \frac{1}{10} \right)}^{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\Rightarrow {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{1-x}} \lt {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{2}}. \\\end{align}\]

Перед нами вновь простейшее неравенство, да ещё и с основанием 1/10, т.е. меньшим единицы. Что ж, убираем основания, попутно меняя знак с «меньше» на «больше», и получаем:

\[\begin{align} & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end{align}\]

Получили окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;-1 \right)$. Обратите внимание: ответом является именно множество, а ни в коем случае не конструкция вида $x \lt -1$. Потому что формально такая конструкция — это вовсе не множество, а неравенство относительно переменной $x$. Да, оно очень простое, но это не ответ!

Важное замечание. Данное неравенство можно было решить и по-другому — путём приведения обеих частей к степени с основанием, большим единицы. Взгляните:

\[\frac{1}{10}={{10}^{-1}}\Rightarrow {{\left( {{10}^{-1}} \right)}^{1-x}} \lt {{\left( {{10}^{-1}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{10}^{-1\cdot \left( 1-x \right)}} \lt {{10}^{-1\cdot 2}}\]

После такого преобразования мы вновь получим показательное неравенство, но с основанием 10 > 1. А это значит, что можно просто зачеркнуть десятку — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -1\cdot \left( 1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end{align}\]

Как видите, ответ получился точь-в-точь такой же. При этом мы избавили себя от необходимости менять знак и вообще помнить какие-то там правила.:)

Идём далее. Рассмотрим чуть более сложное неравенство — в нём в показателе появляется квадратичная функция:

\[{{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16\]

Однако пусть вас это не пугает. Чтобы ни находилось в показателях, технология решения самого неравенства остаётся прежней. Поэтому заметим для начала, что 16 = 2⁴. Перепишем исходное неравенство с учётом этого факта:

\[\begin{align} & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt {{2}^{4}}; \\ & {{x}^{2}}-7x+14 \lt 4; \\ & {{x}^{2}}-7x+10 \lt 0. \\\end{align}\]

Ура! Мы получили обычное квадратное неравенство! Знак нигде не менялся, поскольку в основании стоит двойка — число, большее единицы.

Далее можно воспользоваться теоремой Виета, либо просто решить уравнение ${{x}^{2}}-7x+10=0$ через дискриминант. В любом случае корни будут ${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=5$. Отметим их на числовой прямой:

Расставляем знаки функции $f\left( x \right)={{x}^{2}}-7x+10$ — очевидно, её графиком будет парабола ветвями вверх, поэтому по бокам будут «плюсы». Нас интересует та область, где функция меньше нуля, т.е. $x\in \left( 2;5 \right)$ — это и есть ответ к исходной задаче.

Наконец, рассмотрим ещё одно неравенство:

\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\]

Опять видим показательную функцию с десятичной дробью в основании. Переводим эту дробь в обыкновенную:

\[\begin{align} & 0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}={{5}^{-1}}\Rightarrow \\ & \Rightarrow {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}={{\left( {{5}^{-1}} \right)}^{1+{{x}^{2}}}}={{5}^{-1\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)}}\end{align}\]

В данном случае мы воспользовались приведённым ранее замечанием — свели основание к числу 5 > 1, чтобы упростить себе дальнейшее решение. Точно так же поступим и с правой частью:

\[\frac{1}{25}={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2}}={{\left( {{5}^{-1}} \right)}^{2}}={{5}^{-1\cdot 2}}={{5}^{-2}}\]

Перепишем исходное неравенство с учётом обоих преобразований:

\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\Rightarrow {{5}^{-1\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)}}\ge {{5}^{-2}}\]

Основания с обеих сторон одинаковы и превосходят единицу. Никаких других слагаемых справа и слева нет, поэтому просто «зачёркиваем» пятёрки и получаем совсем простое выражение:

\[\begin{align} & -1\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)\ge -2; \\ & -1-{{x}^{2}}\ge -2; \\ & -{{x}^{2}}\ge -2+1; \\ & -{{x}^{2}}\ge -1;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}\le 1. \\\end{align}\]

Вот тут надо быть аккуратнее. Многие ученики любят просто извлечь квадратный корень их обеих частей неравенства и записать что-нибудь в духе $x\le 1\Rightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right]$. Делать этого ни в коем случае нельзя, поскольку корень из точного квадрата — это модуль, а ни в коем случае не исходная переменная:

\[\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\]

Однако работать с модулями — не самое приятное занятие, правда? Вот и мы не будем работать. А вместо этого просто перенесём все слагаемые влево и решим обычное неравенство методом интервалов:

$\begin{align} & {{x}^{2}}-1\le 0; \\ & \left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\le 0 \\ & {{x}_{1}}=1;\quad {{x}_{2}}=-1; \\\end{align}$

Вновь отмечаем полученные точки на числовой прямой и смотрим знаки:

Поскольку мы решали нестрогое неравенство, все точки на графике закрашены. Поэтому ответ будет такой: $x\in \left[ -1;1 \right]$ — не интервал, а именно отрезок.

В целом хотел бы заметить, что ничего сложного в показательных неравенствах нет. Смысл всех преобразований, которые мы сегодня выполняли, сводится к простому алгоритму:

• Найти основание, к которому будем приводить все степени;
• Аккуратно выполнить преобразования, чтобы получилось неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Разумеется вместо переменных $x$ и $n$ могут стоять гораздо более сложные функции, но смысл от этого не поменяется;
• Зачеркнуть основания степеней. При этом может поменяться знак неравенства, если основание $a \lt 1$.

По сути, это универсальный алгоритм решения всех таких неравенств. А всё, что вам ещё будут рассказывать по этой теме — лишь конкретные приёмы и хитрости, позволяющие упростить и ускорить преобразования. Вот об одном из таких приёмов мы сейчас и поговорим.:)

Метод рационализации

Рассмотрим ещё одну партию неравенств:

\[\begin{align} & {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}}; \\ & {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1; \\ & {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{16-x}}; \\ & {{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1. \\\end{align}\]

Ну и что в них такого особенного? Они же лёгкие. Хотя, стоп! Число π возводится в какую-то степень? Что за бред?

А как возвести в степень число $2\sqrt{3}-3$? Или $3-2\sqrt{2}$? Составители задач, очевидно, перепили «Боярышника» перед тем, как сесть за работу.:)

На самом деле ничего страшного в этих задачах нет. Напомню: показательной функцией называется выражение вида ${{a}^{x}}$, где основание $a$ — это любое положительное число, за исключением единицы. Число π положительно — это мы и так знаем. Числа $2\sqrt{3}-3$ и $3-2\sqrt{2}$ тоже положительны — в этом легко убедиться, если сравнить их с нулём.

Получается, что все эти «устрашающие» неравенства ничем не отличаются решаются от простых, рассмотренных выше? И решаются точно так же? Да, совершенно верно. Однако на их примере я хотел бы рассмотреть один приём, который здорово экономит время на самостоятельных работах и экзаменах. Речь пойдёт о методе рационализации. Итак, внимание:

Всякое показательное неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $\left( x-n \right)\cdot \left( a-1 \right) \gt 0$.

Вот и весь метод.:) А вы думали, что будет какая-нибудь очередная дичь? Ничего подобного! Но этот простой факт, записанный буквально в одну строчку, значительно упростит нам работу. Взгляните:

\[\begin{matrix} {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}} \\ \Downarrow \\ \left( x+7-\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\\end{matrix}\]

Вот и нет больше показательных функций! И не надо помнить: меняется знак или нет. Но возникает новая проблема: что делать с грёбаным множителем \[\left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right)\]? Мы ведь не знаем, чему равно точное значение числа π. Впрочем, капитан очевидность как бы намекает:

\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\approx 3,14… \gt 3\Rightarrow \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 3-1=2\]

В общем, точное значение π нас особо-то и не колышет — нам лишь важно понимать, что в любом случае $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 2$, т.е. это положительная константа, и мы можем разделить на неё обе части неравенства:

\[\begin{align} & \left( x+7-\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-{{x}^{2}}+3x-2 \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-4x-5 \lt 0; \\ & \left( x-5 \right)\left( x+1 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Как видите, в определённый момент пришлось разделить на минус единицу — при этом знак неравенства поменялся. В конце я разложил квадратный трёхчлен по теореме Виета — очевидно, что корни равны ${{x}_{1}}=5$ и ${{x}_{2}}=-1$. Дальше всё решается классическим методом интервалов:

Все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. Нас интересует область с отрицательными значениями, поэтому ответ: $x\in \left( -1;5 \right)$. Вот и всё решение.:)

Перейдём к следующей задаче:

\[{{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1\]

Тут вообще всё просто, потому что справа стоит единица. А мы помним, что единица — это любое число в нулевой степени. Даже если этим числом является иррациональное выражение, стоящее в основании слева:

\[\begin{align} & {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1={{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\ & {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt {{\left( 2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\\end{align}\]

Что ж, выполняем рационализацию:

\[\begin{align} & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left( 2\sqrt{3}-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left( 2\sqrt{3}-4 \right) \lt 0; \\ & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left( \sqrt{3}-2 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Осталось лишь разобраться со знаками. Множитель $2\left( \sqrt{3}-2 \right)$ не содержит переменной $x$ — это просто константа, и нам необходимо выяснить её знак. Для этого заметим следующее:

\[\begin{matrix} \sqrt{3} \lt \sqrt{4}=2 \\ \Downarrow \\ 2\left( \sqrt{3}-2 \right) \lt 2\cdot \left( 2-2 \right)=0 \\\end{matrix}\]

Получается, что второй множитель — не просто константа, а отрицательная константа! И при делении на неё знак исходного неравенства поменяется на противоположный:

\[\begin{align} & \left( {{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left( \sqrt{3}-2 \right) \lt 0; \\ & {{x}^{2}}-2x-0 \gt 0; \\ & x\left( x-2 \right) \gt 0. \\\end{align}\]

Теперь всё становится совсем очевидно. Корни квадратного трёхчлена, стоящего справа: ${{x}_{1}}=0$ и ${{x}_{2}}=2$. Отмечаем их на числовой прямой и смотрим знаки функции $f\left( x \right)=x\left( x-2 \right)$:

Нас интересуют интервалы, отмеченные знаком «плюс». Осталось лишь записать ответ:

\[x\in \left( -\infty ;0 \right)\bigcup \left( 2;+\infty \right)\]

Переходим к следующему примеру:

\[{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{16-x}}\]

Ну, тут совсем всё очевидно: в основаниях стоят степени одного и того же числа. Поэтому я распишу всё кратко:

\[\begin{matrix} \frac{1}{3}={{3}^{-1}};\quad \frac{1}{9}=\frac{1}{{{3}^{2}}}={{3}^{-2}} \\ \Downarrow \\ {{\left( {{3}^{-1}} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left( {{3}^{-2}} \right)}^{16-x}} \\\end{matrix}\]

Далее «причёсываем» выражения с обеих частей неравенства и применяем метод рационализации:

\[\begin{align} & {{3}^{-1\cdot \left( {{x}^{2}}+2x \right)}} \gt {{3}^{-2\cdot \left( 16-x \right)}}; \\ & {{3}^{-{{x}^{2}}-2x}} \gt {{3}^{-32+2x}}; \\ & \left( -{{x}^{2}}-2x-\left( -32+2x \right) \right)\cdot \left( 3-1 \right) \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-2x+32-2x \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}+4x-32 \lt 0; \\ & \left( x+8 \right)\left( x-4 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Как видите, в процессе преобразований пришлось умножать на отрицательное число, поэтому поменялся знак неравенства. В самом конце я вновь применил теорему Виета для разложения на множители квадратного трёхчлена. В итоге ответ будет следующий: $x\in \left( -8;4 \right)$ — желающие могут убедиться в этом, нарисовав числовую прямую, отметив точки и посчитав знаки. А мы тем временем перейдём к последнему неравенству из нашего «комплекта»:

\[{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1\]

Как видим, в основании снова стоит иррациональное число, а справа снова стоит единица. Поэтому перепишем наше показательное неравенство следующим образом:

\[{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt {{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{0}}\]

Применяем рационализацию:

\[\begin{align} & \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left( 3-2\sqrt{2}-1 \right) \lt 0; \\ & \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left( 2-2\sqrt{2} \right) \lt 0; \\ & \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left( 1-\sqrt{2} \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Однако совершенно очевидно, что $1-\sqrt{2} \lt 0$, поскольку $\sqrt{2}\approx 1,4… \gt 1$. Поэтому второй множитель — вновь отрицательная константа, на которую можно разделить обе части неравенства:

\[\begin{matrix} \left( 3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left( 1-\sqrt{2} \right) \lt 0 \\ \Downarrow \\\end{matrix}\]

\[\begin{align} & 3x-{{x}^{2}}-0 \gt 0; \\ & 3x-{{x}^{2}} \gt 0;\quad \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-3x \lt 0; \\ & x\left( x-3 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Далее всё просто: находим корни, отмечаем их на числовой прямой, смотрим знаки. Ответ будет следующим: $x\in \left( 0;3 \right)$.

Переход к другому основанию

Отдельной проблемой при решении показательных неравенств является поиск «правильного» основания. К сожалению, далеко не всегда при первом взгляде на задание очевидно, что брать за основание, а что делать степенью этого основания.

Но не переживайте: здесь нет никакой магии и «секретных» технологий. В математике любой навык, который нельзя алгоритмизировать, можно легко выработать с помощью практики. Но для этого придётся решать задачи разного уровня сложности. Например, вот такие:

\[\begin{align} & {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}; \\ & {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & {{\left( 0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left( 6,25 \right)}^{x}}\ge 1; \\ & {{\left( \frac{27}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81. \\\end{align}\]

Сложно? Страшно? Да это же проще, чем цыплёнка об асфальт! Давайте попробуем. Первое неравенство:

\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}\]

Ну, я думают, тут и ежу всё понятно:

\[4={{2}^{2}}\Rightarrow {{4}^{\frac{4}{x}}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\frac{4}{x}}}={{2}^{2\cdot \frac{4}{x}}}={{2}^{\frac{8}{x}}}\]

Переписываем исходное неравенство, сводя всё к основанию «два»:

\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{2}^{\frac{8}{x}}}\Rightarrow \left( \frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left( 2-1 \right) \lt 0\]

Да, да, вы всё правильно поняли: я только что применил метод рационализации, описанный выше. Теперь нужно работать аккуратно: у нас получилось дробно-рациональное неравенство (это такое, у которого в знаменателе стоит переменная), поэтому прежде чем что-то приравнивать к нулю, необходимо привести всё к общему знаменателю и избавиться от множителя-константы.

\[\begin{align} & \left( \frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left( 2-1 \right) \lt 0; \\ & \left( \frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \lt 0. \\\end{align}\]

Теперь используем стандартный метод интервалов. Нули числителя: $x=\pm 4$. Знаменатель обращается в ноль только при $x=0$. Итого три точки, которые надо отметить на числовой прямой (все точки выколоты, т.к. знак неравенства строгий). Получим:

Как нетрудно догадаться, штриховкой отмечены те интервалы, на которых выражение слева принимает отрицательные значения. Поэтому в окончательный ответ пойдут сразу два интервала:

\[x\in \left( -\infty ;-4 \right)\bigcup \left( 0;4 \right)\]

Концы интервалов не входят в ответ, поскольку исходное неравенство было строгим. Никаких дополнительных проверок этого ответа не требуется. В этом плане показательные неравенства намного проще логарифмических: никаких ОДЗ, никаких ограничений и т.д.

Переходим к следующей задаче:

\[{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\]

Здесь тоже никаких проблем, поскольку мы уже знаем, что $\frac{1}{3}={{3}^{-1}}$, поэтому всё неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left( {{3}^{-1}} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\Rightarrow {{3}^{-\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & \left( -\frac{3}{x}-\left( 2+x \right) \right)\cdot \left( 3-1 \right)\ge 0; \\ & \left( -\frac{3}{x}-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left( -2 \right) \right. \\ & \frac{3}{x}+2+x\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}\le 0. \\\end{align}\]

Обратите внимание: в третьей строчке я решил не мелочиться и сразу разделить всё на (−2). Минул ушёл в первую скобку (теперь там везде плюсы), а двойка сократилась с множителем-константой. Именно так и стоит поступать при оформлении реальных выкладок на самостоятельных и контрольных работах — не надо расписывать прям каждое действие и преобразование.

Далее в дело вступает знакомый нам метод интервалов. Нули числителя: а их нет. Потому что дискриминант будет отрицательный. В свою очередь знаменатель обнуляется лишь при $x=0$ — как и в прошлый раз. Ну и понятно, что справа от $x=0$ дробь будет принимать положительные значения, а слева — отрицательные. Поскольку нас интересуют именно отрицательные значения, то окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;0 \right)$.

Идём далее. В следующем задании нас поджидают десятичные дроби:

\[{{\left( 0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left( 6,25 \right)}^{x}}\ge 1\]

А что нужно делать с десятичными дробями в показательных неравенствах? Правильно: избавляться от них, переводя в обыкновенные. Вот и мы переведём:

\[\begin{align} & 0,16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}\Rightarrow {{\left( 0,16 \right)}^{1+2x}}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}; \\ & 6,25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\Rightarrow {{\left( 6,25 \right)}^{x}}={{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}. \\\end{align}\]

Ну и что мы получили в основаниях показательных функций? А получили мы два взаимно обратных числа:

\[\frac{25}{4}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-1}}\Rightarrow {{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}={{\left( {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-1}} \right)}^{x}}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-x}}\]

Таким образом исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{-x}}\ge 1; \\ & {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{1+2x+\left( -x \right)}}\ge {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{0}}; \\ & {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{0}}. \\\end{align}\]

Разумеется, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, что и произошло во второй строчке. Кроме того, мы представили единицу, стоящую справа, тоже в виде степени по основанию 4/25. Осталось лишь выполнить рационализацию:

\[{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left( \frac{4}{25} \right)}^{0}}\Rightarrow \left( x+1-0 \right)\cdot \left( \frac{4}{25}-1 \right)\ge 0\]

Заметим, что $\frac{4}{25}-1=\frac{4-25}{25} \lt 0$, т.е. второй множитель является отрицательной константой, и при делении на неё знак неравенства поменяется:

\[\begin{align} & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left( -\infty ;-1 \right]. \\\end{align}\]

Наконец, последнее неравенство из текущего «комплекта»:

\[{{\left( \frac{27}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81\]

В принципе, идея решения тут тоже ясна: все показательные функции, входящие в состав неравенства, необходимо свести к основанию «3». Но для этого придётся немного повозиться с корнями и степенями:

\[\begin{align} & \frac{27}{\sqrt[3]{3}}=\frac{{{3}^{3}}}{{{3}^{\frac{1}{3}}}}={{3}^{3-\frac{1}{3}}}={{3}^{\frac{8}{3}}}; \\ & 9={{3}^{2}};\quad 81={{3}^{4}}. \\\end{align}\]

С учётом этих фактов исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left( {{3}^{\frac{8}{3}}} \right)}^{-x}} \lt {{\left( {{3}^{2}} \right)}^{4-2x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x+4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{4-4x}}. \\\end{align}\]

Обратите внимание на 2-ю и 3-ю строчку выкладок: прежде чем что-то делать с неравенством, обязательно приведите его к тому виду, о котором мы говорили с самого начала урока: ${{a}^{x}} \lt {{a}^{n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]

Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;3 \right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. Чтобы справиться с ними, необходимо вспомнить правила работы со степенями. В частности — вынесение общих множителей за скобки.

Но самое главное — научиться понимать: что именно можно вынести за скобки. Такое выражение называется устойчивым — его можно обозначить новой переменной и таким образом избавиться от показательной функции. Итак, посмотрим на задачи:

\[\begin{align} & {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6; \\ & {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90; \\ & {{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500; \\ & {{\left( 0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768. \\\end{align}\]

Начнём с самой первой строчки. Выпишем это неравенство отдельно:

\[{{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6\]

Заметим, что ${{5}^{x+2}}={{5}^{x+1+1}}={{5}^{x+1}}\cdot 5$, поэтому правую часть можно переписать:

\[5\cdot {{5}^{x+1}}+{{5}^{x+1}}\ge 6\]

Заметим, что никаких других показательных функций, кроме ${{5}^{x+1}}$, в неравенстве нет. И вообще, нигде больше не встречается переменная $x$, поэтому введём новую переменную: ${{5}^{x+1}}=t$. Получим следующую конструкцию:

\[\begin{align} & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end{align}\]

Возвращаемся к исходной переменной ($t={{5}^{x+1}}$ ), а заодно вспоминаем, что 1=5⁰. Имеем:

\[\begin{align} & {{5}^{x+1}}\ge {{5}^{0}}; \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end{align}\]

Вот и всё решение! Ответ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Переходим ко второму неравенству:

\[{{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90\]

Здесь всё то же самое. Заметим, что ${{3}^{x+2}}={{3}^{x}}\cdot {{3}^{2}}=9\cdot {{3}^{x}}$. Тогда левую часть можно переписать:

\[\begin{align} & {{3}^{x}}+9\cdot {{3}^{x}}\ge 90;\quad \left| {{3}^{x}}=t \right. \\ & t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge {{3}^{2}}; \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end{align}\]

Вот примерно так и нужно оформлять решение на настоящих контрольных и самостоятельных работах.

Что ж, попробуем что-нибудь посложнее. Например, вот такое неравенство:

\[{{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500\]

В чём тут проблема? Прежде всего, основания показательных функций, стоящих слева, разные: 5 и 25. Однако 25 = 5², поэтому первое слагаемое можно преобразовать:

\[\begin{align} & {{25}^{x+1,5}}={{\left( {{5}^{2}} \right)}^{x+1,5}}={{5}^{2x+3}}; \\ & {{5}^{2x+3}}={{5}^{2x+2+1}}={{5}^{2x+2}}\cdot 5. \\\end{align}\]

Как видите, сначала мы всё привели к одинаковому основанию, а затем заметили, что первое слагаемое легко сводится ко второму — достаточно лишь разложить показатель. Теперь можно смело вводить новую переменную: ${{5}^{2x+2}}=t$, и всё неравенство перепишется так:

\[\begin{align} & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625={{5}^{4}}; \\ & {{5}^{2x+2}}\ge {{5}^{4}}; \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end{align}\]

И вновь никаких трудностей! Окончательный ответ: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Переходим к заключительному неравенству в сегодняшнем уроке:

\[{{\left( 0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768\]

Первое, на что следует обратить внимание — это, конечно, десятичная дробь в основании первой степени. От неё необходимо избавиться, а заодно привести все показательные функции к одному и тому же основанию — числу «2»:

\[\begin{align} & 0,5=\frac{1}{2}={{2}^{-1}}\Rightarrow {{\left( 0,5 \right)}^{-4x-8}}={{\left( {{2}^{-1}} \right)}^{-4x-8}}={{2}^{4x+8}}; \\ & 16={{2}^{4}}\Rightarrow {{16}^{x+1,5}}={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{x+1,5}}={{2}^{4x+6}}; \\ & {{2}^{4x+8}}-{{2}^{4x+6}} \gt 768. \\\end{align}\]

Отлично, первый шаг мы сделали — всё привели к одному и тому же основанию. Теперь необходимо выделить устойчивое выражение. Заметим, что ${{2}^{4x+8}}={{2}^{4x+6+2}}={{2}^{4x+6}}\cdot 4$. Если ввести новую переменную ${{2}^{4x+6}}=t$, то исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256={{2}^{8}}; \\ & {{2}^{4x+6}} \gt {{2}^{8}}; \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac{1}{2}=0,5. \\\end{align}\]

Естественно, может возникнуть вопрос: каким это образом мы обнаружили, что 256 = 2⁸? К сожалению, тут нужно просто знать степени двойки (а заодно степени тройки и пятёрки). Ну, или делить 256 на 2 (делить можно, поскольку 256 — чётное число) до тех пор, пока не получим результат. Выглядеть это будет примерно так:

\[\begin{align} & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & ={{2}^{8}}.\end{align}\]

То же самое и с тройкой (числа 9, 27, 81 и 243 являются её степенями), и с семёркой (числа 49 и 343 тоже было бы неплохо запомнить). Ну, и у пятёрки тоже есть «красивые» степени, которые нужно знать:

\[\begin{align} & {{5}^{2}}=25; \\ & {{5}^{3}}=125; \\ & {{5}^{4}}=625; \\ & {{5}^{5}}=3125. \\\end{align}\]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

Смотрите также:

1. Учимся решать показательные уравнения
2. Различные способы решения показательных уравнений
3. Десятичные дроби
4. Решение задач B12: №448—455
5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
6. ЕГЭ-2014 по математике и открытый банк задач

www.berdov.com

Некоторые моменты о том, как выполняется решение неравенств :: SYL.ru

Одна из тем, которая требует от учеников максимума внимания и усидчивости, это решение неравенств. Такие похожие на уравнения и при этом сильно от них отличающиеся. Потому что к их решению нужен особый подход.

Свойства, которые потребуются для нахождения ответа

Все они применяются для того, чтобы заменить имеющуюся запись равносильной. Большая их часть похожа на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.

• Функцию, которая определена в ОДЗ, или любое число можно прибавить к обеим частям исходного неравенства.
• Аналогичным образом возможно умножение, но только на положительную функцию или число.
• Если это действие выполняется с отрицательными функцией или числом, то знак неравенства нужно заменить на противоположный.
• Функции, которые являются неотрицательными, можно возводить в положительную степень.

Иногда решение неравенств сопровождается действиями, которые дают посторонние ответы. Их нужно исключить, сравнив область ОДЗ и множество решений.

Использование метода интервалов

Его суть состоит в том, чтобы свести неравенство к уравнению, в котором в правой части стоит ноль.

1. Определить область, где лежат допустимые значения переменных, то есть ОДЗ.
2. Преобразовать неравенство с помощью математических операций так, чтобы в его правой части стоял ноль.
3. Знак неравенства заменить на «=» и решить соответствующее уравнение.
4. На числовой оси отметить все ответы, которые получились во время решения, а также интервалы ОДЗ. При строгом неравенстве точки нужно нарисовать выколотыми. Если присутствует знак равенства, то их полагается закрасить.
5. Определить знак исходной функции на каждом интервале, получившемся из точек ОДЗ и делящих его ответов. Если при переходе через точку знак функции не изменяется, то она входит в ответ. В противном случае — исключается.
6. Граничные для ОДЗ точки нужно дополнительно проверить и только потом включать или нет в ответ.
7. Ответ, который получается, нужно записать в виде объединенных множеств.

Немного о двойных неравенствах

Они используют в записи сразу два знака неравенства. То есть некоторая функция ограничена условиями сразу дважды. Такие неравенства решаются, как система из двух, когда исходное разбито на части. И в методе интервалов указываются ответы от решения обоих уравнений.

Для их решения также допустимо использовать свойства, указанные выше. С их помощью удобно приводить неравенство к равенству нулю.

Как обстоят дела с неравенствами, в которых имеется модуль?

В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, причем они справедливы для положительного значения «а».

Если «х» принимает алгебраическое выражение, то справедливы такие замены:

• |х| < a на -a < х < a;
• |х| > a на х < -a или х > a.

Если неравенства нестрогие, то формулы тоже верны, только в них, кроме знака больше или меньше, появляется «=».

Как осуществляется решение системы неравенств?

Это знание потребуется в тех случаях, когда дано такое задание или имеется запись двойного неравенства или в записи появился модуль. В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем имеющимся в записи неравенствам. Если таких чисел нет, то система решений не имеет.

План, по которому выполняется решение системы неравенств:

• решить каждое из них отдельно;
• изобразить на числовой оси все интервалы и определить их пересечения;
• записать ответ системы, который и будет объединением того, что получилось во втором пункте.

Как быть с дробными неравенствами?

Поскольку во время их решения может потребоваться изменение знака неравенства, то нужно очень тщательно и внимательно выполнять все пункты плана. Иначе может получиться противоположный ответ.

Решение дробных неравенств тоже использует метод интервалов. И план действий будет таким:

• Используя описанные свойства, придать дроби такой вид, чтобы справа от знака остался только ноль.
• Заменить неравенство на «=» и определить точки, в которых функция будет равна нулю.
• Отметить их на координатной оси. При этом числа, получившиеся в результате расчетов в знаменателе, всегда будут выколоты. Все другие — исходя из условия неравенства.
• Определить интервалы знакопостоянства.
• В ответ записать объединение тех промежутков, знак которых соответствует тому, который был в исходном неравенстве.

Ситуации, когда в неравенстве появляется иррациональность

Другими словами, в записи присутствует математический корень. Поскольку в школьном курсе алгебры большая часть заданий идет для квадратного корня, то именно он и будет рассмотрен.

Решение иррациональных неравенств сводится к тому, чтобы получить систему из двух или трех, которые будут равносильны исходному.

Примеры решения разных видов неравенств

Для того чтобы добавить наглядности в теорию про решение неравенств, ниже приведены примеры.

Первый пример. 2х — 4 > 1 + х

Решение: для того чтобы определить ОДЗ, достаточно просто внимательно посмотреть на неравенство. Оно образовано из линейных функций, поэтому определено при всех значениях переменной.

Теперь из обеих частей неравенства нужно вычесть (1 + х). Получается: 2х — 4 — (1 + х) > 0. После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые неравенство примет такой вид: х — 5 > 0.

Приравняв его к нулю, легко найти его решение: х = 5.

Теперь эту точку с цифрой 5, нужно отметить на координатном луче. Потом проверить знаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в неравенство, получившееся после преобразований. После расчетов получается -7 >0. под дугой интервала нужно подписать знак минуса.

На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда получается, что 1 > 0. Под дугой подписан знак «+». Этот второй интервал и будет ответом неравенства.

Ответ: х лежит в интервале (5; ∞).

Второй пример. Требуется решить систему двух уравнений: 3х + 3 ≤ 2х + 1 и 3х — 2 ≤ 4х + 2.

Решение. ОДЗ этих неравенств тоже лежит в области любых чисел, поскольку даны линейные функции.

Дальше действовать нужно поэтапно. Сначала преобразовать первое из неравенств и приравнять его к нулю. 3х + 3 — 2х — 1 = 0. То есть х + 2 = 0. Таким образом, х равен -2.

Второе неравенство примет вид такого уравнения: 3х — 2 — 4х — 2 = 0. После преобразования: -х — 4 =0. Из него получается значение для переменной, равное -4.

Эти два числа нужно отметить на оси, изобразив интервалы. Поскольку неравенство нестрогое, то все точки нужно закрасить. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть будет выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе 1. Значит, этот промежуток не входит в ответ.

Второй интервал от -4 до -2. Можно выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства. В первом и во втором получается значение -1. Значит, под дугой «-».

На последнем интервале от -2 до бесконечности самым лучшим числом является ноль. Его и нужно подставить и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а втором ноль. Этот промежуток тоже нужно исключить из ответа.

Из трех интервалов решением неравенства является только один.

Ответ: х принадлежит [-4; -2].

Третий пример. |1 — х| > 2 |х — 1|.

Решение. Первым делом нужно определить точки, в которых функции обращаются в ноль. Для левого этим числом будет 2, для правого — 1. их нужно отметить на луче и определить промежутки знакопостоянства.

На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно записать рядом два знака «+» и «-».

Следующий промежуток от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, под дугой два плюса.

Третий интервал от 2 до бесконечности даст такой результат: левая функция — отрицательная, правая — положительная.

С учетом получившихся знаков нужно вычислить значения неравенства для всех промежутков.

На первом получается такое неравенство: 2 — х > — 2 (х — 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве получился из-за того, что эта функция отрицательная.

После преобразования неравенство выглядит так: х > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только промежуток от 0 до 1.

На втором: 2 — х > 2 (х — 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3х + 4 больше ноля. Его нулем будет значение х = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что х должен быть меньше этого числа. Значит, этот интервал уменьшается до промежутка от 1 до 4/3.

Последний дает такую запись неравенства: — (2 — х) > 2 (х — 1). Его преобразование приводит к такому: -х > 0. То есть уравнение верно при х меньшем ноля. Это значит, что на искомом промежутке неравенство не дает решений.

На первых двух промежутках граничным оказалось число 1. Его нужно проверить отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 — 1| > 2 |1 — 1|. Подсчет дает что 1 больше 0. Это верное утверждение, поэтому единица входит в ответ.

Ответ: х лежит в промежутке (0; 4/3).

www.syl.ru

Решение неравенств

Рассмотрим основные понятия, которые связанны с решением определенных неравенств, которые включают в себя одну переменную. Например, нам дано неравенство f(x)>g(x). Любое значение переменной, при котором наше неравенство с данной переменной обратится в правильное числовое неравенство, будет называться решением данного неравенства. Что же значит решить неравенство с переменной? Это, конечно же, значит найти абсолютно все его решения, или же доказать, что решений не существует.

Если нам даны два неравенства с одной переменной и их решения совпадают, то такие неравенства будут называться равносильными. Стоит также отметить, что если и у первого, и у второго неравенство с одной переменной нет решений, то данные неравенства также будут равносильными.

Для того, чтобы решить неравенства, следует заменить одно неравенство на другое, более простое, но обязательно равносильное данному. Затем полученное неравенство следует опять заменить более простым и равносильным и т.д. Однако все эти замены следует осуществлять согласно следующим утверждениям:

1. Если перенести из одной части неравенства в другую слагаемое, но с противоположным знаком, то мы получим равносильное данному неравенство.
2. Если разделить или умножить обе части неравенства с одной переменной на одинаковое положительное число, то мы получим неравенство, которое будет равносильно данному.
3. Если разделить или умножить обе части неравенства с одной переменной на одинаковое отрицательное число и при этом поменять знак неравенства, то мы получим неравенство, которое равносильно данному.

На практике, решение неравенств невозможно без знания трех вышеуказанных утверждений, однако, помимо них, существуют еще два утверждения, которые обобщают две последние теоремы.

Например: 5x-5

mateshka.ru

Решение иррациональных неравенств

Решение иррациональных неравенств

В этой статье я расскажу,  как решать иррациональные неравенства.

Сначала мы рассмотрим решение неравенства вида 

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным — тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида  равносильно системе неравенств:

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типа: 

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие:

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие:

Возведение в квадрат может привести к появлению  посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение   должно быть неотрицательным.

Получили третье условие: 

Итак, неравенство вида  равносильно системе неравенств:

Аналогично, нестрогое неравенство   равносильно системе неравенств:

Иррациональные неравенства второго типа:   .

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

Итак, неравенство вида  равносильно совокупности двух систем неравенств:

Нестрогое неравенство вида  равносильно совокупности:

.

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

1. Решить неравенство:

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

Решим каждое неравенство:

1.

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2.   Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

2. Решить неравенство:

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

Решим каждое неравенство:

1. 

2. 

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3. 

,  

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: 0≤ x ≤ 2.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Иррациональные неравенства и их решение

Определение и формулы иррациональных неравенств

Иррациональные неравенства в основном решаются возведением обеих частей неравенства в нужную степень. При возведении в степень важно учитывать некоторые особенности. Например, возводить в четную степень можно только те неравенства, у которых обе части неотрицательные.

Виды и примеры решения иррациональных неравенств

Рассмотрим несколько видов иррациональных неравенств.

1. Неравенство . Подкоренная функция должна быть неотрицательной, а функция может быть любой, поэтому заданное неравенство равносильно совокупности неравенств

2. Неравенство . Подкоренная функция должна быть неотрицательна,левая часть неравенства также неотрицательна и меньше, чем правая, а значит . Следовательно, заданное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств

3. Неравенство . Обе подкоренные функции должны быть неотрицательны, т.е. . Возведем в квадрат обе части неравенства и получим . Таким образом, заданное неравенство эквивалентно системе неравенств

или

ru.solverbook.com

Решение иррациональных неравенств

Автор Сергей Валерьевич

Четверг, Август 11, 2016

В этой статье я расскажу об одном эффективном способе решения иррациональных неравенств. То есть таких неравенств, которые содержат неизвестную величину под знаком корня. Данный материал очень редко изучается в школа. Разве что в школе с углублённым изучением математики, да и то не всегда. А ведь научиться решать иррациональные неравенства, используя этот способ, очень важно. Поэтому дочитайте эту статью до конца или посмотрите мой видеоурок (ссылка ниже в тексте). Информация, которую вы получите, может очень пригодиться при сдаче ОГЭ, ЕГЭ или вступительных экзаменов по математике.

Иррациональные неравенства, как и любые другие, изучаемые в школьном курсе математики, можно решить с помощью метода интервалов. Но есть более простой и эффективный способ. Разберёмся, в чём он заключается. Все наиболее часто встречающиеся иррациональные неравенства из школьного курса математики можно условно разделить на два типа:

1. или .

2. или .

Здесь  и  — некоторые выражения относительно переменной . Разберём отдельно решение каждого из этих двух типов иррациональных неравенств.

Решение иррациональных неравенств первого типа

Рассмотрим внимательно неравенство . Как уже отмечалось,  и — это некоторые выражения относительно переменной . Но при определённых значениях  эти выражения будут принимать какие-то определённые значения. Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения переменной , при которых значение выражения будет больше значения выражения . Извините, что я говорю очевидные вещи. В данной статье я решил объяснить всё предельно подробно. Если эти разъяснения кажутся вам излишними, вы можете пропустить их и перейти непосредственно к примерам в красных рамочках.

Чтобы избавиться от корня, нужно возвести обе части неравенства в квадрат. Тогда неравенство примет вид: . Но просто так, без соблюдения определённых правил, этого делать нельзя. Почему? Представьте, что при каком-то значении значение выражения

yourtutor.info

Квадратные неравенства и их решение

Определение и формулы квадратных неравенств

Чтобы решить квадратное неравенство, нужно знать количество корней соответствующего квадратного уравнения . Сделать это можно с помощью дискриминанта: если дискриминант , то уравнение имеет два корня, — один корень, — действительных корней нет.

Знак старшего коэффициента определяет направление ветвей параболы : если , то ветви параболы направлены вверх, если — вниз. В зависимости от знаков и возможны такие варианты расположения параболы относительно оси абсцисс.

Решением неравенств () будет числовой промежуток, на котором парабола лежит выше оси абсцисс.

Решением неравенств () будет числовой промежуток, на котором парабола лежит ниже оси абсцисс.

Если неравенство нестрогое, то концы промежутка включаются, если строгое, то не включаются.

Примеры решения квадратных неравенств

ru.solverbook.com

Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы

Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э.

Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение.

Шар

Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.

Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга.

Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.

В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара.

Сфера

Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.

Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.

Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду.

Объем шара

Формула для вычисления объема шара имеет вид:

V=4/3 πR³,

где R — радиус шара.

Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:

V _сег=πh²(R-h/3),  h — высота шарового сегмента.

Площадь поверхности шара или сферы

Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):

S=4πR,

где R — радиус сферы.

Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар»

novstudent.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Стереометрия

Шар, сфера и их части

      Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

      Определение 1. Сферой с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   равно   r   (рис. 1).

      Определение 2. Шаром с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   не превосходит   r   (рис. 1).

Рис.1

      Таким образом, сфера с центром в точке   O   и радиусом   r   является поверхностью шара с центром в точке   O   и радиусом   r.

      Замечание. Радиусом сферы (радиусом шара) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом шара).

      Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

      Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями   (рис. 2).

Рис.2

      Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

      Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

      Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

      Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя.

      Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

      Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Рис.3

      Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

      Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента.

Рис.4

      По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Рис.5

      Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Рис.6

      Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента.

      Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы.

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

      В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства

Определение.

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

S = 4πR² = πD²

Уравнение сферы

x² + y² + z² = R²

(x — x₀)² + (y — y₀)² + (z — z₀)² = R²

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

d < R

m < R

r = √R² — m²,

Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение.Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение.Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

S = 2πRh

S = πR(2h + √2hR — h²)

Определение. Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.

ru.onlinemschool.com

Формула объема шара

Шар это геометрическое тело, образованное в результате вращения полукруга на оси своего диаметра.

Вычислить объем шара

Объем шара можно вычислить по формуле:

R – радиус шара

V – объем шара

π – 3.14

Найти объем шара радиусом 10 сантиметров.

Для того чтобы вычислить объем шара формула используется следующая:

где V – искомый объем шара, π – 3,14, R – радиус.

Таким образом, при радиусе 10 сантиметров объем шара равен:

В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые располагаются от центра на расстоянии, не более заданного, называемого радиусом шара. Поверхность шара именуется сферой, а сам он образуется путем вращения полукруга около его диаметра, остающегося неподвижным.

С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем шара. Скажем, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, одними из основных элементов являются именно шары. С их помощью происходит соединение ступиц управляемых колес и рычагов. От того, насколько правильно будет вычислен их объем, во многом зависит не только долговечность этих узлов и правильность их работы, но и безопасность движения.

В технике широчайшее распространение получили такие детали, как шариковые подшипники, с помощью которых происходит крепление осей в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение. Следует заметить, что при их расчете конструкторам требуется найти объем шара (а точнее – шаров, помещаемых в обойму) с высокой степенью точности. Что касается изготовления металлических шариков для подшипников, то они производятся из металлической проволоки при помощи сложного технологического процесса, включающего в себя стадии формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки. Кстати говоря, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, изготавливаются по точно такой же технологии.

Достаточно часто шары используются и в архитектуре, причем там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений. В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует больших затрат ручного труда. Конечно, соблюдать столь высокую точность изготовления этих шаров, как тех, которые применяются в различных агрегатах и механизмах, не требуется.

Без шаров немыслима такая интересная и популярная игра, как бильярд. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и используются различные технологические процессы. Одним из основных требований, предъявляемых к бильярдным шарам, является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (прежде всего, ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу для того, чтобы обеспечивалось плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.

Наконец, без таких геометрических тел, как шары, не обходится ни одна новогодняя или рождественская елка. Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий. Технологический процесс при этом практически полностью автоматизирован и вручную елочные шары только упаковываются.

simple-math.ru

Объём шара и площадь сферы. Геометрия, 11 класс: уроки, тесты, задания.

www.yaklass.ru

Объемы простых тел. Прямоугольный параллелепипед, Цилиндр, Пирамида, Конус, Сфера, Параллелепипед.

Объемы и площади поверхностей правильных тел.

Общая информация об объемах и площадях поверхностей правильных тел приведена в таблице.

Бак для воды имеет форму прямоугольного параллелепипеда длиной 1 м, шириной 65 см и высотой 30 см. Определить объем бака в м³, см³, литрах

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен l*b*h

а)V_бака=1*0.65*03=0.195 м³

б) 1 м 315000 мм²=315000/100=3150 см²

1 м³=10⁶ см³, значит, 0.195 м³=0.195*10⁶=195000 см³

в) 1 литр=1000 см³, значит 195000 см³=195 л

Пример 2. Расчет объема и площади поверхности трапецеидальной призмы.

Вычислить объем и общую площадь поверхности призмы, показанной на рис.

Тело, показанное на рис. — это трапецеидальная призма.

Так как объем = площадь поперечного сечения * высота, то

V=1/2*(10+5)*4*20=30*20=600 cм³

Так как площадь поверхности вычисляется сложением суммы площадей двух трапеций и суммы площадей четырех прямоугольников, то

S=(2*30)+3(5*20)+(10*20)=560 см²

Пример 3. Расчет объема и общей площади поверхности правильной пирамиды.

Определить объем и общую площадь поверхности правильной пирамиды с квадратным основанием, показанной на рис., если ее высота равна 15 см.

Решение:

Так как объем пирамиды =1/3(площадь основания)*высота, то

V=1/3*(5*5)*15=125 см³

Общая площадь поверхности включает площадь квадратного основания и площади четырех равных треугольников.

Площадь треугольника ADE=1/2*основание*(высота грани).

Высоту грани АС можно найти по теореме Пифагора из треугольника АВС, где АВ=15 см, ВС=1/2*3=1.5 см, и АС²=AB²+BC²=225+2.25=227.25

AC=15.07 cм

Следовательно, площадь треугольника ADE

S_ADE=1/2*3*15.07=22.605 см²

Общая площадь пирамиды S=(3*3)+4*22.605=99.42 cм².

Пример 4. Расчет объема и общей площади поверхности конуса.

Определить объем и общую площадь поверхности конуса радиусом 4 см и высотой 10 см.

Объем конуса V=1/3πr²h =1/3*π4²*10=167.5см³

Общая площадь поверхности равна сумме площади конической поверхности и площади основания, т.е. S=πrl+πr²

Из рисунка видно, что длину образующей l можно найти по теореме Пифагора.

l²=10²+4²=116 см

l=10,8 cм

Следовательно, общая площадь поверхности равна

S=π*4*10.8)+(π*4²=185.89 cм²

Пример 5. Расчет объема и общей площади поверхности призмы.

На рис. показан деревянный профиль. Найдем: а) его объем в м³

б) общую площадь его поверхности

Профиль представляет собой призму, поперечное сечение которой состоит из прямоугольника и полукруга. Поскольку радиус полукруга равен 6 см, диаметр равен 12 см.

Тогда размеры прямоугольника 12*11 см

Площадь поперечного сечения S_.=(11*12)+1/2* π 6²=188,52 см²

Поскольку объем деревянной детали равен произведению площади поперечного сечения на длину, то

a) V=188,52*200=37704 см³=37704 см³/10⁶= 0,037704 м³

б) Общая площадь включает два торца (площадь каждого 188,52 см²), три прямоугольника и криволинейную поверхность (которая представляет собой полуцилиндр). Следовательно, общая площадь поверхности

S=(2*188,52)+2*(11*200)+(12*200)+1/2*(2π*6*200)=377,04+4400+2400+3768=10945,04 см²=1,094504 м².

Пример 6. Расчет объема и общей площади поверхности сложного бойлера.

Бойлер состоит из цилиндрической секции длиной 9 м и диаметром 5 м, к одному концу которой присоединена полусферическая секция диаметром 5 м, а к другому концу — коническая секция высотой 3 м и диаметром основания 5 м. Вычислить объем бойлера и общую площадь его поверхности.

V_{полусферы P} =2/3*πr³ =2/3*π*2,5³ =10,42 π м³

V _{цилиндра Q} = π r²h=π*2,5²*9=56,25 π м³

V _{конуса R} =1/3 π r²=1/3*π*2,5²*3=6,25π м ³

Общий объем бойлера V= 10,42 π м³+56,25 π м³+6,25π м ³=72,92π=228,97 м ³

S _{полусферы P.} =2*(πr²)=2*π*2,5²=12,5π м²

S _{бок. поверхности цилиндра Q.} =2πrh=2*π*2,5*9=45π м² (т.к. этот цилиндр представляет собой трубу без оснований)

Длина образующей конуса l рассчитывается по теореме Пифагора из треугольника ABC;

значит

l=(3²+2,5²)^1/2=3,9 м.

S _{конуса R.} =πrl=π*2,5*3,9=9,75 π м ²

Общая площадь поверхности бойлера

S= 12,5π+45π+9,75 π=67,25π=211,2 м ²

tehtab.ru

Самая быстрая конвертация DjVu файлов в PDF

Вкратце: что такое файл DjVu?

Если вам когда-либо приходилось задаваться вопросом, что такое DjVu файл, вы пришли в нужное место: это переносимый формат файла, как Adobe PDF, который используется, в основном, для электронных книг и отсканированных документов. Формат файла DjVu включает в себя расширения .djvu и .djv и был разработан в исследовательских лабораториях AT & T почти 20 лет назад. Он использует алгоритмы арифметического кодирования и сжатия с потерями для получения небольших и быстрых по загрузке файлов. На нашей странице вы найдете конвертер PDF и всю информацию о DjVu. Наслаждайтесь открытием мира DjVu! Этот конвертер позволяет конвертировать DjVu в PDF онлайн.

Мы предлагаем различные варианты преобразования для всех возможных сценариев использования. В случае, если вы хотите преобразовать файл DjVu так, чтобы была возможность прочитать его на электронной книге, мы предлагаем конвертировать DjVu в PDF-файл Adobe с небольшим размером, что сэкономит вам дисковое пространство на устройстве. Если вы хотите, чтобы преобразовать файл DjVu для вашего настольного ПК мы предлагаем оптимальное преобразование где полученный файл PDF аналогичен исходному DjVu документу. Мы сохраняем цветовую схему исходного файла DjVu преобразуем документ за счет также преобразования скрытого OCR слоя оригинального DjVu файла.

Перед началом преобразования вы можете выбрать наиболее подходящий вариант для вашей электронной книги с помощью предварительного просмотра нашего конвертера. После выбора нужной опции для вашего DjVu, вы можете начать процесс преобразования, который обычно занимает менее одной минуты в зависимости от размера файла, время преобразования PDF может варьироваться. Более 5 лет опыта в работе с документами DjVu образовали DjVu-PDF.com — отличное место для преобразования цифровой библиотеки . наш сервис рекомендуется изобретателями формата DjVu (см DjVu.org). Мы убеждены, что вам понравится бесплатный опыт простого и легкого преобразования, как и остальным нашим клиентам. Также мы предлагаем DjVu в PDF преобразование. Наш конвертер даст вам DjVu файл в случае, если вы отправляете документ PDF Adobe.

Преимущество мягкой его DjVu конвертер

Наш конвертер DjVu является наиболее простым в Интернете. Просто загрузите любой файл DjVu для того, чтобы преобразовать его в формат Adobe PDF одним щелчком мыши и вы сможете наблюдать за преобразованием в реальном времени и скачать файл PDF в конце. Используя наш DjVu в PDF конвертер необходимо только три простых шага:

Инструкция по конвертированию DjVu в PDF без ограничений размера файла:

• 1. Просто перетащите DjVu файл в поле загрузки или нажмите «Выбрать» для просмотра диска
• 2. Выберите выходной формат вашего PDF файла (черный/белый или цветной)
• 3. После процесса конвертации загрузите результат

Так как все происходит в Интернете, вам не нужно загружать и устанавливать программное обеспечение на компьютер. Преобразование DjVu в PDF позволяет читать их используя широкий спектр приложений для Windows, Linux и Mac.

Преобразование информации OCR из DjVu файлов: мы единственные. Да, на самом деле, это единственное место в Интернете, где можно преобразовывать информацию OCR, которая вложена в DjVu документы в PDF. Все наши конкуренты просто пропустили эту полезную информацию, которая приводит к плохому пользовательскому опыту при чтении полученных документов PDF. Используя информацию OCR исходного DjVu файла, наши полученные PDF-файлы будут доступны для поиска как DjVu.

Высокая скорость преобразования: …Мы регулярно вкладываем деньги в модернизацию наших серверов. Вот почему наш сервис также останется удобным и мощным, в будущем конверсии обычно занимают менее минуты, Вы можете также конвертировать DjVu документы тысячи страниц в течение очень короткого промежутка времени.

Без регистрации: Мы не просим ваш адрес электронной почты, как большинство наших конкурентов, которые заставляют Вас зарегистрироваться в процессе преобразования. Сжатый полученный файл генерируется из ваших DjVu и будет сжат с использованием минимального дискового пространства на вашем устройстве для чтения электронных книг, так что вы никогда не будете загрузить книги для чтения во время путешествия.

www.djvu-pdf.com

Конвертировать DJVU в PDF — Онлайн Конвертер Файлов

Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet

www.docspal.com

Конвертировать PDF в DJVU — Онлайн Конвертер Файлов

Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet

www.docspal.com

Как конвертировать djvu в pdf

10.08.2014&nbsp для начинающих | программы

Сегодня взялся писать о том, как конвертировать djvu в pdf, в планах было описать несколько бесплатных онлайн конвертеров и пару программ для компьютера, которые тоже могут это делать. Однако, в итоге я нашел лишь один хорошо работающий онлайн инструмент и один безопасный способ сделать из djvu файл pdf с помощью бесплатных программ на компьютере.

Все остальные просмотренные варианты либо не работают, либо требуют регистрации, либо имеют ограничения на количество страниц и объем файла, а программы содержат нежелательный софт, adware или вирусы, причем порой и на вызывающих доверие сайтах (пользуйтесь VirusTotal, рекомендую). См. также: чем открыть файл DJVU

Онлайн конвертер djvu в pdf

Полностью рабочий онлайн конвертер файлов djvu в формат pdf, к тому же на русском языке и безо всяких ограничений я нашел лишь один и именно о нем пойдет речь. В тесте я использовал книгу объемом более ста страниц и около 30 Мб, она успешно была преобразована в pdf с сохранением качества и всего остального, что может быть критично для чтения.

Процесс преобразования выглядит следующим образом:

1. На сайте нажимаете «Выберите файл» и указываете путь к исходному файлу в формате djvu.
2. Нажимаете «Конвертировать», через короткое время (менее минуты заняла конвертация книги) начнется автоматическая загрузка файла pdf на компьютер, также можно скачать его вручную.

Отмечу, что у меня при первой попытке сервис показал ошибку «Ваш документ не был сконвертирован». Я просто попробовал еще раз и все прошло успешно, так что даже не знаю, в чем была причина предыдущей ошибки.

Таким образом, если вам нужен именно онлайн конвертер, уверен, этот вариант должен подойти, к тому же на сайте вы можете конвертировать между собой и множество других форматов.

Бесплатный онлайн конвертер djvu в pdf доступен здесь: http://convertonlinefree.com/DJVUToPDFRU.aspx

Используем PDF принтер для конвертирования Djvu

Еще один простой способ конвертировать любой формат в PDF — установить на компьютер виртуальный PDF принтер, который позволяет из любой программы, где поддерживается печать, печатать в файл, работает это и с djvu.

Таких принтеров есть несколько вариантов, и на мой взгляд, лучший из них, а также бесплатный и полностью на русском языке — BullZip Free PDF Printer, скачать его можно на официальной странице http://www.bullzip.com/products/pdf/info.php

Установка не сложная, в процессе вам предложат установить дополнительные компоненты: соглашайтесь, они нужны для работы, а не являются каким-то потенциально нежелательным ПО. Возможностей при сохранении файлов PDF с помощью принтера BullZip предостаточно: это и добавление водяного знака, установка пароля и шифрование содержимого PDF, но поговорим лишь о том, как применить его для того, чтобы конвертировать формат djvu. (Поддерживаются Windows 8.1 и 8, 7 и XP).

Для того, чтобы преобразовать djvu в pdf этим способом потребуется также какая-либо программа, способная открыть Djvu файл, например, бесплатная WinDjView.

Дальнейшие действия:

1. Откройте файл djvu, который требуется конвертировать.
2. В меню программы выберите Файл — Печать. 
3. В выборе принтера укажите Bullzip PDF Printer и нажмите «Печать». 
4. После окончания создания файла PDF из DJVU укажите, куда сохранить готовый файл. 

В моем случае данный способ занял больше времени, чем при использовании онлайн конвертера, кроме этого файл в результате получился в два раза больше (можно изменить настройки качества, я использовал по умолчанию). Сам файл в результате получился без каких-либо искажений, придраться не к чему.

Аналогичным образом вы можете использовать PDF Printer для того, чтобы конвертировать любые другие файлы (Word, Excel, JPG) в формат PDF.

А вдруг и это будет интересно:

remontka.pro

Конвертер djvu в pdf 2019

Очень часто, при чтении электронных книг, мы сталкиваемся с такой ситуацией, что необходимая нам литература скачивается в совершенно другом формате, чем нам было необходимо. Большинство решают эту небольшую проблему путем скачивания программного обеспечения для чтения того или иного формата. Но есть ряд людей, которые не хотят скачивать все новые и новые программы.

Кого-то останавливает незнание или подозрительность, а кто-то и вовсе предпочитают читать с телефона, электронной книги pocketbook или планшета, на которых уже ограниченно количество памяти под файлы, либо сами программы поставить невозможно, а распознавать тот или иной вид файлов гаджет не обучен. Так, существует ряд плееров с экранами, которые кроме прослушивания музыки, еще позволяют смотреть видео, просматривать картинки или читать книги. Но их возможность чтения формата книг ограниченна чтение только .txt формата. Как же быть?

Для этого существует ряд узконаправленных программ под названием – конвертеры. Конвертеры – программное обеспечение, способное преобразовывать формата файла из одного в другой. Кроме разделения на виды файлов (видео, музыка, картинки, книги), их можно разделить на онлайн и офлайн конвертеры. И первые, и вторые имеют право на жизнь, так как онлайновые, позволяют преобразовывать форматы в любом месте лишь с наличием доступа в сеть, офлайновые имеют большие возможности преобразований и количество настроек. О конвертере из djvu формата в pdf пойдет сегодняшний разговор.

Онлайновые конвертеры

1. convertonlinefree.com

Начнем просмотр онлайн-сервисов для конвертирования необходимых нам формат именно с этого ресурса . Кроме преобразования djvu – pdf, имеет ряд возможностей, таких как Pdf – word, Pdf – txt и ряд других, включая возможность конвертирования изображения. Имея довольно невзрачный интерфейс, хотя зачем ресурсам подобного профиля необходим яркий, броский вид, если вы его будете и посещать не чаще чем 2-3 раза в неделю, если, конечно, вам нет жизненной необходимости ежедневного пользования функцией преобразования.

В обращении converonlinefree достаточно прост. Нажав «выберите файл», вы сможете указать путь к файлу, который необходимо преобразовать. Путем нажатия «конвертировать», вы запустите процесс. И по его окончанию, вы сможете сохранить преобразованный файл в необходимое вам место на компьютере.

Кроме этого, ресурс имеет под основным полем ряд ссылок на другие возможности преобразования.

2. www.djvu-pdf.com

Следующий ресурс уже имеет узконаправленную направленность преобразования только из djvu в pdf и обратно. Имеет, к сожалению, еще более скудный интерфейс, который при этом еще и захламлен рекламой. Ресурс иностранный и все инструкции на английском языке.

Точно также выбираем путь к файлу, который будет необходимо конвертировать. И нажимаем «Convert!». Вы можете наблюдать за самим процессом преобразования, а также при необходимости, адаптировать файл для чтения на e-book путем выбора Very slim.

Вот и сам процесс конвертации.

Офлайновые конвертеры

WinDjView

Для конвертирования файла из формата djvu в формат pdf, вам потребуется ряд программ, с помощью которых вы сможете осуществить то, что вам необходимо. Одной из них является программа WinDjViem. Данное приложение имеет ряд преимуществ и занимает лидирующее положение среди существующих программ. Скачать вы ее сможете с официального сайта разработчика , российского программиста Андрея Жежеруна.

Одним из ее плюсов, что программа ее мультиплатформенность. Так, существует версия и для Linux, и для Mac OS. Также можно выделить возможность различных видов просмотра файла, полной настройки контрастности, яркости и т.д.

Следующей программой, которая нам потребуется, — виртуальный принтер PDF Creator . Была создана для возможности создания документов в pdf формате с любой программой с возможностью печати. Pdf creator имеет возможность шифрования файла, а также защиты его просмотра и печать.

Ну, и, наконец, если вы намерены читать книги на компьютере, то вам потребуется программа для чтения файлов в pdf формате.

Итак, после скачивания всех необходимых нам программ, мы можем приступить к преобразованию в необходимый нам формат. Для этого запускаем WinDjView на своем компьютере и ноутбуке и открываем там нужный нам файл. Нажимаем на значок с изображением принтера.

В открывшемся меню, выбираем необходимый нам принтер. В нашем случае – виртуальный принтер PDF creator. И нажимаем на кнопку «Печать».

После нажатия, перед нами появится окошко со шкалой процесса.

После окончания, должно высветится окошко окно виртуального принтера. Здесь мы можем ввести необходимую дополнительную информацию и, после всех изменений, нажать кнопку «Сохранить», указав за тем в какой папке необходимо сохранить документ.

Выбирать чем пользоваться остается только вам. Как и онлайновые, так и офлайновые сервисы имеют ряд преимуществ друг перед другом. Так, в случае с первыми, нам нет необходимости выполнения множества действий и потребности установок дополнительного ПО. Со вторыми, есть возможность преобразования в отсутствии сети.

faytan.ru

Конвертация DJVU в PDF с помощью Фотоконвертера

DJVU это форматом файлов с аналогичными функциями, как у PDF, но используется в основном для того, чтобы обеспечить меньший размер для аналогичного качества. Файл DJVU обычно хранит документы содержащие текст, таблицы и изображения, может так же содержать слой распознавания символов, который позволяет пользователю копировать и вставлять определенные сегменты из отсканированного документа. По этим причинам, DJVU стал довольно популярным форматом для электронных книг.

Формат PDF, также известный как Portable Document Format, стал одним из самых широко используемых форматов для хранения документов, которые включают текст и графику. В отличие от других форматов документов с аналогичными функциями, файлами PDF можно легко обмениваться между различными приложениями и операционными системами. Кроме того, информация в PDF файлах может быть защищена от копирования и печати, паролем или водяным знаком.

Как конвертировать DJVU в PDF?

Самый простой способ — это скачать хорошую программу конвертации, например Фотоконвертер. Он работает быстро и эффективно, позволяя конвертировать любое количество DJVU файлов за раз. Вы сможете довольно быстро оценить, что Фотоконвертер способен сэкономить массу времени которое вы будете тратить при работе вручную.

Скачайте и установите Фотоконвертер

Фотоконвертер легко скачать, установить и использовать — не нужно быть специалистом в компьютерах, чтобы понять как он работает.

Установить Фотоконвертер

Добавьте DJVU файлы в Фотоконвертер

Запустите Фотоконвертер и загрузите .djvu файлы, которые вы хотите конвертировать в .pdf

Вы можете выбрать DJVU файлы через меню Файлы → Добавить файлы либо просто перекинуть их в окно Фотоконвертера.

Выберите место, куда сохранить полученные PDF файлы

В секции Сохранить вы можете выбрать папку для сохранения готовых .pdf файлов. Можно так же потратить пару дополнительных минут и добавить эффекты для применения во время конвертации, но это не обязательно.

Выберите PDF в качестве формата для сохранения

Для выбора PDF в качестве формата сохранения, нажмите на иконку PDF в нижней части экрана, либо кнопку + чтобы добавить возможность записи в этот формат.

Теперь просто нажмите кнопку Старт и конвертация начнется мгновенно, а PDF файлы сохранятся в указанное место с нужными параметрами и эффектами.

Попробуйте бесплатную демо-версию

Видео инструкция

Интерфейс командной строки

Профессиональные пользователи могут конвертировать DJVU в PDF используя командную строку в ручном или автоматическом режиме. За дополнительными консультациями по использованию cmd интерфейса обращайтесь в службу поддержки пользователей.

Скачать Фотоконвертер Про

Рассказать друзьям

www.photoconverter.ru

Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными

Сначала калькулятор, теория под ним.

Множество всех х

Множество всех y

Сохранить share extension

Диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

,

где a, b, c — заданные целые числа, x и y — неизвестные целые числа.

Для нахождения решений уравнения используется Расширенный алгоритм Евклида (исключая вырожденный случай, когда a = b = 0 и уравнение имеет либо бесконечно много решений, либо же не имеет решений вовсе).
Если числа a и b неотрицательны, тогда с помощью расширенного алгоритма Евклида мы можем найти их наибольший общий делитель g, а также такие коэффициенты и , что:
.

Утверждается, что если число c делится на g, то диофантово уравнение имеет решение; в противном случае диофантово уравнение решений не имеет. Это следует из очевидного факта, что линейная комбинация двух чисел по-прежнему должна делиться на их общий делитель.

То есть если c делится на g, тогда выполняется соотношение:

,

т. е. одним из решений диофантова уравнения являются числа:

Если одно из чисел a и b или они оба отрицательны, то можно взять их по модулю и применить к ним алгоритм Евклида, как было описано выше, а затем изменить знак найденных коэффициентов и в соответствии с настоящим знаком чисел a и b соответственно.

Если мы знаем одно из решений, мы можем получить выражение для всех остальных решений, которых бесконечное множество.

Итак, пусть g = НОД (a,b), выполняется условие:
.

Тогда, прибавив к число и одновременно отняв от , мы не нарушим равенства:

Этот процесс можно повторять сколько угодно, т. е. все числа вида:
,
где k принадлежит множеству целых чисел, являются множеством всех решений диофантова уравнения.

planetcalc.ru

Диофантовы уравнения с двумя переменными

Следующий калькулятор решает линейные диофантовы уравнения с 2-мя переменными.

Для начала, давайте же вспомним Диофантовы уравнение. И так, данное уравнение имеет следующий вид ( с двумя переменными):

где a, b, c — целые числа, которые заданы.

x и y — целые числа, которые неизвестны.

Кто хочет почитать о диофантовых уравнених по-больше, то вы можете сделать это на данной страничке:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

hostciti.net

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) / math5school.ru

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

• способ перебора вариантов;

• применение алгоритма Евклида;

• представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

• разложения на множители;

• решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

• метод остатков;

• метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x² – xy – 2y² = 7.

Решение

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

 

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

Решение

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

 

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x₀ = 1, y₀ = 2.

Тогда

5x₀ + 7y₀ = 19,

откуда

5(х – x₀) + 7(у – y₀) = 0,

5(х – x₀) = –7(у – y₀).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x₀ = 7k, у – y₀ = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

 

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

 

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x³ + y³ = 3333333;

б) x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1).

Решение

а) Так как x³ и y³ при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x³ + y³ может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

 

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)³ = 7(x²y + xy²) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

 

4. Решить

а) в простых числах уравнение х² – 7х – 144 = у² – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².

Решение

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

2 х 16, 2 у 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

 

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x² – (y + 1)x + y² – y = 0. 

Дискриминант этого уравнения равен –3y² + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

 

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x² + y² + z² = x³ + y³ + z³ ?

Решение

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y³ и z³ будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

x² + 2y² = x³

или, иначе,

x²(x–1) = 2y².

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n²+1. Подставляя в x²(x–1) = 2y² такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n²+1) = 2n³+n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n²+1; 2n³+n; –2n³– n).

Ответ: существует.

 

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x² + y² + z² + u² = 2xyzu.

Решение

Число x² + y² + z² + u² чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

x = 2x₁, y = 2y₁, z = 2z₁, u = 2u₁,

и исходное уравнение примет вид

x₁² + y₁² + z₁² + u₁² = 8x₁y₁z₁u₁.

Теперь заметим, что (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁² + y₁² + z₁² + u₁² не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁² + y₁² + z₁² + u₁² не делится даже на 4. Значит,

x₁ = 2x₂, y₁ = 2y₂, z₁ = 2z₂, u₁ = 2u₂,

и мы получаем уравнение

x₂² + y₂² + z₂² + u₂² = 32x₂y₂z₂u₂.

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2ⁿ при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

Ответ: (0; 0; 0; 0).

 

7. Докажите, что уравнение

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 30

не имеет решений в целых числах.

Решение

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

abc = 10.

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

 

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у².

Решение

Очевидно, что

если х = 1, то у² = 1,

если х = 3, то у² = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х₁ = 1, у₁ = 1;

х₂ = 1, у₂ = –1;

х₃ = 3, у₃ = 3;

х₄ = 3, у₄ = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

 

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a³ – b³ – c³ = 3abc,  a² = 2(b + c).

Решение

Так как

3abc > 0, то a³ > b³ + c³;

таким образом имеем

b

Складывая эти неравенства, получим, что

b + c

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

a²

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

Ответ: (2; 1; 1)

 

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х² + х = у⁴ + у³ + у² + у.

Решение

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у² + 1),

или

х(х + 1) = (у² + у)(у² + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х₁ = 0, у₁ = 0;

х₂ = 0, у₂ = –1;

х₃ = –1, у₃ = 0;

х₄ = –1, у₄ = –1.

Произведение (у² + у)(у² + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

х₅ = 5, у₅ = 2;

х₆ = –6, у₆ = 2.

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

 

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

а) ху = х + у + 3;

б) х² + у² = х + у + 2.

 

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х³ + 21у² + 5 = 0;

б) 15х² – 7у² = 9.

 

3. Решить в натуральных числах уравнение:

а) 2^х + 1 = у²;

б) 3·2^х + 1 = у².

 

4. Доказать, что уравнение х³ + 3у³ + 9z³ = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

x = y = z = 0.

 

5. Доказать, что уравнение х² + 5 = у³ в целых числах не имеет решений.

 

math4school.ru

Решение линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных / Habr

Здравствуйте, уважаемые читатели! Продолжаю серию дилетантских статей о математике.
Сегодня предлагаю поразмышлять над некоторой интересной математической задачкой.
А именно, давайте-ка для разминки решим следующее линейной уравнение:

«Чего сложного?» — спросите вы. Действительно, лишь одно уравнение и целых четыре неизвестных. Следовательно, три переменных есть свободные, а последняя зависит от оных. Так давайте выразим скорее! Например, через переменную , тогда множество решений следующее:

где — множество любых действительных чисел.

Что же, решение действительно оказалось слишком тривиальным. Тогда будем нашу задачу усложнять и делать её более интересной.

Вспомним про линейные уравнения с целыми коэффициентами и целыми корнями, которые, собственно, являются разновидностью диофантовых уравнений. Конкретно — наложим на наше уравнение соответствующие ограничение на целочисленность коэффициентов и корней. Коэффициенты при неизвестных у нас и так целые (), а вот сами неизвестные необходимо ограничить следующим:

где — множество целых чисел.

Теперь решение, полученное в начале статьи, «не проканает», так как мы рискуем получить как рациональное (дробное) число. Так как же решить это уравнение исключительно в целых числах?

Заинтересовавшихся решением данной задачи прошу под кат.

А мы с вами продолжаем. Попробуем произвести некоторые элементарные преобразования искомого уравнения:

Задача выглядит по-прежнему непонятной, в таких случаях математики обычно производят какую-нибудь замену. Давайте и мы с вами её бахнем:

Опа, мы с вами достигли интересного результата! Коэффициент при у нас сейчас равен единице, а это значит, что мы с вами можем выразить эту неизвестную через остальные неизвестные в этом уравнении без всяких делений (чем грешили в самом начале статьи). Сделаем это:

Обращу внимание, что это говорит нам о том, что какие бы не были (в рамках диофантовых уравнений), всё равно останется целым числом, и это прекрасно.

Вспоминая, что справедливо говорить, что . А подставив заместо полученный выше результат получим:

Тут мы также видим, что что какие бы не были , всё равно останется целым числом, и это по-прежнему прекрасно.

Тогда в голову приходит гениальная идея: так давайте же объявим как свободные переменные, а будем выражать через них! На самом деле, мы уже это сделали. Осталось только записать ответ в систему решений:

Теперь можно лицезреть, что в системе решений нигде нет деления, а это значит, что всегда решения будут целочисленными. Попробуем найти частное решение исходного уравнения, положив, к примеру, что :

Подставим в исходное уравнение:

Тождественно, круто! Давайте попробуем ещё разок на другом примере?

Тут мы видим отрицательный коэффициент, он может доставить нам изрядных проблем, так что давайте от греха избавимся от него заменой , тогда уравнение будет следующим:

Как мы помним, наша задача сделать такие преобразования, чтобы в нашем уравнении оказалась неизвестная с единичным коэффициентом при ней (чтобы затем выразить её через остальные без любого деления). Для этого мы должны снова что-нибудь взять «за скобку», самое быстрое — это брать коэффициенты из уравнения которые самые близкие к единице. Однако нужно понимать, что за скобку можно взять только лишь то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене). Итак:

Введем замену , тогда получим:

Вновь возьмем за скобку и наконец получим в уравнении неизвестную с единичным коэффициентом:

Введем замену , тогда:

Выразим отсюда нашу одинокую неизвестную :

Из этого следует, что какие бы мы не взяли, все равно останется целым числом. Тогда найдем из соотношения :

Аналогичным образом найдем из соотношения :

На этом наша система решений созрела — мы выразили абсолютно все неизвестные, не прибегая к делению, тем самым показывая, что решение точно будет целочисленным. Также не забываем, что , и нам надо ввести обратную замену. Тогда окончательная система решений следующая:

Таким образом, осталось ответить на вопрос — а любое ли подобное уравнение можно так решить? Ответ: нет, если уравнение в принципе нерешаемо. Такое возникает в тех случаях, если свободный член не делится нацело на НОД всех коэффициентов при неизвестных. Иными словами, имея уравнение:

Для его решения в целых числах достаточно выполнение следующего условия:

(где — наибольший общий делитель).
Доказательство

Доказательство в рамках этой статьи не рассматривается, так как это повод для отдельной статьи. Увидеть его вы можете, например, в чудесной книге В. Серпинского «О решении уравнений в целых числах» в §2.

Резюмируя вышесказанное, выпишем алгоритм действий для решения линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных:

1. Проверяем, а решаемо ли уравнение вообще (вышеописанным свойством ). Если ответ положительный — переходим к следующему пункту.
2. Для ускорения процесса поделим все коэффициенты (включая свободный член) на их .
3. Избавляемся от отрицательных коэффициентов в уравнении заменой
4. Проводим серию замен (разваливая некоторые члены уравнения на суммы и объединяя их в скобки) таким образом, чтобы в конце концов один из членов уравнения был с единичным коэффициентов, и мы смогли вывести его без какого либо деления. Помня при этом, что за скобку можно взять только то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене). Наконец, объявляем все переменные, через которые выражена оная, как свободные.
5. Выводим остальные переменные через вышевыведенную (выводим из всех наших замен), не забывая также про обратные замены.
6. Объединяем все в единую систему решений.

В заключение стоит сказать, что также можно добавить ограничения на каждый член уравнения в виде неравенства на оного (тогда к системе решений добавляется система неравенств, в соответствии с которой нужно будет скорректировать ответ), а также добавить ещё чего-нибудь интересное. Ещё не стоит забывать и про то, что алгоритм решения является строгим и поддается записи в виде программы для ЭВМ.

С вами был Петр,
спасибо за внимание.

habr.com

Линейное диофантово уравнение и 4 способа его решения

Разделы: Математика

---

Првило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.

Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Х_о ; у_о) уравнения ах + ву = 1; числа СХ_о , Су_о составляют решение уравнения ах + ву = с.

Решить в целых числах (х,у) уравнение

5х — 8у = 19 … (1)

Решение.

Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.

Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)

имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Х_о = 7; у_о =2.

Итак, пара чисел (7;2) — частное решение уравнения (1).

Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)

Вопрос: Как имея одно решение записать все остальные решения?

Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у — 2) =0.

Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

n Z.

Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 х = .

Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.

Если у = 0, то х = =.

Если у =1, то х = =.

Если у = 2, то х = = = 7 Z.

Если у =3, то х = =.

Если у = 4 то х = =.

Итак, частным решением является пара (7;2).

Тогда общее решение: n Z.

Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.

Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.

План решения:

1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.

2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.

8 = 5 1 + 3.

5 = 3

3 = 2 .

Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 — 2 = 3 – (5 — 3 ) =

= 3 — 5 = 3 = (8 — 5 — 5 82 -5

= 5(-2). Итак, m = -3, n = -2.

2. Частное решение уравнения (1): Х_о = 19m; у_о =19n.

Отсюда получим: Х_о =19; у_о =19 .

Пара (-57; -38)- частное решение (1).

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

Четвертый способ. Геометрический.

План решения.

1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.

2. Запишем частное решение уравнения (1).

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1

Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие

-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.

На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли — ю часть окружности, так что х = у + .

Итак, Х_о = 5, у_о =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.

2. Частное решение уравнения (1): Х_о = 19 у_о =19

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

21.01.2008

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Диофантовое уравнение • ru.knowledgr.com

В математике диофантовое уравнение — многочленное уравнение в двух или больше неизвестных, таким образом, что только решения для целого числа обысканы или изучены (решение для целого числа — решение, таким образом, что все неизвестные берут целочисленные значения). Линейное диофантовое уравнение — уравнение между двумя суммами одночленов ноля степени или один. Показательное диофантовое уравнение — то, в котором образцы на условиях могут быть неизвестными.

Диофантовые проблемы имеют меньше уравнений, чем неизвестные переменные и включают целые числа открытия, которые работают правильно на все уравнения. На большем количестве технического языка они определяют алгебраическую кривую, алгебраическую поверхность или более общий объект, и спрашивают о пунктах решетки на нем.

Диофантовое слово относится к Эллинистическому математику 3-го века, Диофанту Александрии, который сделал исследование таких уравнений и был одним из первых математиков, которые введут символику в алгебру. Математическое исследование диофантовых проблем, которые начал Диофант, теперь называют диофантовым анализом.

В то время как отдельные уравнения представляют своего рода загадку и были рассмотрены на протяжении всей истории, формулировка общих теорий диофантовых уравнений (вне теории квадратных форм) была успехом двадцатого века.

Примеры

В следующих диофантовых уравнениях x, y, и z являются неизвестными, и другим письмам дают константы:

:

Линейные диофантовые уравнения

Одно уравнение

Самое простое линейное диофантовое уравнение берет топор формы + = c, где a, b и c дают целые числа. Решения полностью описаны следующей теоремой: у Этого диофантового уравнения есть решение (где x и y — целые числа), если и только если c — кратное число самого большого общего делителя a и b. Кроме того, если (x, y) решение, то у других решений есть форма (x + kv, y — ku), где k — произвольное целое число, и u и v — факторы a и b (соответственно) самым большим общим делителем a и b.

Доказательство: Если d — этот самый большой общий делитель, личность Безута утверждает существование целых чисел e и f, таким образом что один + bf = d. Если c — кратное число d, то c = горячекатаный для некоторого целого числа h, и (а, fh) является решением. С другой стороны, для каждого целые числа x и y, самый большой общий делитель d a и b делит топор + на. Таким образом, если у уравнения есть решение, то c должен быть кратным числом d. Если = ud и b = vd, то для каждого решения (x, y), у нас есть

:,

показывая, который (x + kv, y — ku) другое решение. Наконец, учитывая два решения, таким образом, что, каждый выводит это. Поскольку u и v — coprime, аннотация Евклида показывает, что там существует целое число k таким образом что и. Поэтому и, который заканчивает доказательство.

Китайская теорема остатка

Китайская теорема остатка описывает важный класс линейных диофантовых систем уравнений: позвольте n…, n быть k попарные coprime целые числа, больше, чем одно, a…, быть k произвольными целыми числами и N быть продуктом n ··· n. Китайская теорема остатка утверждает, что у следующей линейной диофантовой системы есть точно одно решение, таким образом, который делится поскольку я ≤ k и для i> k. Если это условие выполнено, решения данной системы —

:

\begin {множество} {c }\

\frac {d_1} {b_ {1,1} }\\\

\vdots \\

\frac {d_k} {b_ {k, k} }\\\

h_ {k+1 }\\\

\vdots \\

h_n

\end {выстраивают }\

где произвольные целые числа.

Диофантовый анализ

Типичные вопросы

Вопросы, которые задают в диофантовом анализе включать:

1. Есть ли какие-либо решения?
2. Есть ли какие-либо решения вне некоторых, которые легко найдены контролем?
3. Есть ли конечно или бесконечно много решений?
4. Все решения могут быть найдены в теории?
5. Можно на практике вычислить полный список решений?

Эти традиционные проблемы часто заключаются нерешенные в течение многих веков, и математики постепенно приезжали, чтобы понять их глубину (в некоторых случаях), вместо того, чтобы рассматривать их как загадки.

Типичная проблема

Данная информация — то, что возраст отца равняется 1 меньше чем дважды больше чем это его сына, и что цифры AB составление возраста отца полностью изменены в возрасте сына (т.е. BA). Это приводит к уравнению, таким образом. Контроль дает результат, и таким образом и. Можно легко показать, что нет никакого другого решения с A и положительными целыми числами B меньше чем 10.

17-е и 18-е века

В 1637 Пьер де Ферма набросал на краю его копии Arithmetica: «Невозможно разделить куб на два куба или четвертую власть в два четвертых полномочия, или в целом, любая власть выше, чем второе в два как полномочия». Заявленный на более современном языке, «У уравнения + b = c нет решений ни для какого n выше, чем 2». И затем он написал, интригующе: «Я обнаружил действительно чудесное доказательство этого суждения, которое этот край слишком узкий, чтобы содержать». Такое доказательство ускользало от математиков в течение многих веков, однако, и как таковой, его заявление стало известным как Последняя Теорема Ферма. Только в 1995, это было доказано британским математиком Эндрю Вайлсом.

В 1657 Ферма попытался решить диофантовое уравнение 61x + 1 = y (решенный Brahmagupta более чем 1 000 лет ранее). Уравнение было в конечном счете решено Эйлером в начале 18-го века, кто также решил много других диофантовых уравнений. Самое маленькое решение этого уравнения в положительных целых числах — x = 226153980, y = 1766319049 (см. метод Chakravala).

Десятая проблема Хилберта

В 1900, в знак признания их глубины, Дэвид Хилберт предложил разрешимость всех диофантовых проблем как десятая из его знаменитых проблем. В 1970 новый результат в математической логике, известной как теорема Матиясевича, уладил проблему отрицательно: в общих диофантовых проблемах неразрешимы.

Диофантовая геометрия

Диофантовая геометрия, которая является применением методов от алгебраической геометрии в этой области, продолжила расти в результате; начиная с рассмотрения произвольных уравнений тупик, внимание поворачивается к уравнениям, у которых также есть геометрическое значение. Центральная идея диофантовой геометрии — идея рационального пункта, а именно, решение многочленного уравнения или системы многочленных уравнений, которая является вектором в предписанной области К, когда K алгебраически не закрыт.

Современное исследование

Один из нескольких общих подходов через принцип Хассе. Спуск Бога — традиционный метод и был выдвинут длинный путь.

Глубину исследования общих диофантовых уравнений показывает характеристика диофантовых наборов, так же эквивалентно описанных как рекурсивно счетных. Другими словами, общая проблема диофантового анализа благословлена или проклята с универсальностью, и в любом случае не является чем-то, что будет решено кроме, повторно выражая его в других терминах.

Область диофантового приближения имеет дело со случаями диофантовых неравенств. Здесь переменные, как все еще предполагается, являются неотъемлемой частью, но некоторые коэффициенты могут быть иррациональными числами, и знак равенства заменен верхними и более низкими границами.

Самый знаменитый единственный вопрос в области, догадка, известная как Последняя Теорема Ферма, был решен Эндрю Вайлсом, но инструменты использования от алгебраической геометрии, развитой в течение прошлого века, а не в пределах теории чисел, где догадка была первоначально сформулирована. Другие главные результаты, такие как теорема Фэлтингса, избавились от старых догадок.

Бог диофантовые уравнения

Пример бесконечного диофантового уравнения:

:

N = A^2+2B^2+3C^2+4D^2+5E^2 +…,

который может быть выражен как, «Сколько путей может данное целое число N быть написанными как сумма квадрата плюс дважды квадрат плюс трижды квадрат и так далее?» Число способов, которыми это может быть сделано для каждого N, формирует последовательность целого числа. Бог диофантовые уравнения связан с функциями теты и бесконечными размерными решетками. У этого уравнения всегда есть решение для любого положительного N. Сравните это с:

:

N = A^2+4B^2+9C^2+16D^2+25E^2 +…,

у которого не всегда есть решение для положительного N.

Показательные диофантовые уравнения

Если диофантовое уравнение имеет как дополнительная переменная или переменные, происходящие как образцы, это — показательное диофантовое уравнение. Примеры включают уравнение Ramanujan–Nagell, 2 &minus; 7 = x, и уравнение Fermat-каталонской догадки и догадки Била, + b = c по-разному ограничения на образцов. Общая теория для таких уравнений не доступна; занялись особыми случаями, такими как догадка каталонца. Однако большинство решено через специальные методы, такие как теорема Стырмера или даже метод проб и ошибок.

Примечания

Дополнительные материалы для чтения

Внешние ссылки

---

ru.knowledgr.com

Что значит масштаб 1 100

/ ЧТО ТАКОЕ МАСШТАБ

Масштаб. Виды масштаба

География. 7 класс

Что такое масштаб?

•Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше соответствующего расстояния на местности.

•Масштаб 1:10 000 (читается одна десятитысячная) показывает, что каждому сантиметру на карте соответствует 10 000 сантиметров на местности.

Что означает масштаб

•1 : 500

•1 : 100 000

•1 : 20 000 000

Виды масштаба

численный	именованный	линейный
1 : 25 000	в 1 см – 250 м

Какие виды масштаба здесь указаны? Какой отсутствует?

Как перевести численный масштаб в именованный

•Записать в 1 см –

•Поскольку в 1 метре 100 сантиметров, то нужно убрать два нуля

•Поскольку в 1 километре 1000 метров, то нужно убрать еще три нуля (если можно)

•Оставшееся число записать после тире, указать метры или километры

Как перевести численный масштаб в именованный

		Примеры:
•	1 : 5|00		в 1 см – 5 м
•	1	: 20 0|00	в 1 см – 200 м
•	1	: 3 0|00 0|00	в 1 см – 30 км

Перевод масштаба из численного в именованный

1 : 500

1 : 1500

1 : 50 000

1 : 200 000

Перевод масштаба из численного в именованный

1 : 3 000 000

1 : 60 000 000

1 : 1 500 000

Проверьте ответы

1 : 500

1 : 1500

1 : 50 000

1 : 200 000

1 : 3 000 000

1 : 60 000 000

1 : 1 500 000

в1 см – 5 м

в1 см – 15 м

в1 см – 500 м

в1 см – 2 км

в1 см – 30 км

в1 см – 600 км

в1 см – 15 км

Упражнения. Переведите масштаб из численного в именованный

1 : 2500

1 : 150 000

1 : 400

1 : 20 000 000

1 : 7 500 000

StudFiles.ru>

Что значит масштаб 1:100000

Юлия андрейченко

Масшта́б (нем. Maßstab, от Maß — мера, размер и Stab — палка) — в общем случае отношение двух линейных размеров. Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.

Это степень уменьшения горизонтального проложения линий местности на карте.

Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.

Для масштаба 1:10 000 точность масштаба будет равна 1 м. В этом масштабе 1 см на плане соответствует 10 000 см (100 м) на местности, 1 мм — 1 000 см (10 м) , 0,1 мм — 100 см (1 м) .

Для масштаба 1:100000 точность масштаба будет равна соответственно 1 км.

Родион калашников

Это степень уменьшения горизонтального проложения линий местности на карте.

Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.

Для масштаба 1:10 000 точность масштаба будет равна 1 м. В этом масштабе 1 см на плане соответствует 10 000 см (100 м) на местности, 1 мм — 1 000 см (10 м) , 0,1 мм — 100 см (1 м) .

Для масштаба 1:100000 точность масштаба будет равна соответственно 1 км.

Katya дюпен-чен

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют МАСШТАБОМ карты .
Вот что такое масштаб .
В рассматриваемом нам примере масштаб карты равен 1:100 000. Говорят, что карта сделана в масштабе одна стотысячная .

Что означает масштаб карты?

Алиса чудесная

Что такое масштаб карты?

Масштаб карты показывает, во сколько раз длина линии на карте меньше соответствующей ей длины на местности. Он выражается в виде отношения двух чисел. Например, масштаб 1:50 000 означает, что все линии местности изображены на карте с уменьшением в 50 000 раз, т. е. 1 .см на карте соответствует 50 000 см (или 500 м) на местности.

Масштаб указывается внизу карты в цифровом выражении. Здесь же указывается и величина масштаба — расстояние в метрах (или километрах) на местности, соответствующее одному сантиметру на карте. Полезно запомнить правило: если в правой части отношения зачеркнуть два последних нуля, то оставшееся число покажет, сколько метров н

zna4enie.ru

Черчение. План квартиры. Масштаб 1х100 как это?

Что значит масштаб 1:100? Это значит одной единице на плане или карте соответствует сто единиц натуре. Следовательно 1см на плане равен 100 см на местности, т. е 1 метру

на 1 см чертежа 100 см квартиры

В 1 см на чертеже 100 см реального пространства.

Это значит что 1см на чертеже равен 100 см в реальности.

Это один к ста!:)

в 1 см чертежа = 1 МЕТР.. (100см) квартиры

Вид сверху 1 см = 1 м.

Учебник черчения для средних и высших учебных заведений. План — это вид сверху с указанием толщины стен дверных и оконных проемов. М 1:100 это в 1см план 100см в квартире.

touch.otvet.mail.ru

Масштаб. Как начертить план класса в масштабе 1:100?

измерить что либо и поделить на сотню

Измерь и раздели на 100.( ну и дебилизм)

1 метр : 100 = 100 см : 100 = 1 см Значит каждый 1 сантиметр твоего класса на плане будет равен 1 метру настоящего класса Например, длина класса 8 метров, а ты на бумаге по линейке чертишь 8 сантиметров, Ширина, например 6 метров и 40 сантиметров ( 6,4 м) , а ты на бумаге чертишь 6 см и 4 мм. Измеряешь расстояние от угла класса до окна, и уменьшаешь в сто раз. И так далее

Надо мерку уменьшить в 100 раз, то есть например: 400 см : 100 = 4 см

touch.otvet.mail.ru

Масштаб 1 100 — Масштаб 1:100 Сколько в 1 см метров? и как узнать это? что на что разделить! я забыла( — 22 ответа



1 к 100 это сколько

В разделе Конвертация на вопрос Масштаб 1:100 Сколько в 1 см метров? и как узнать это? что на что разделить! я забыла( заданный автором Проститься лучший ответ это Что значит масштаб 1:100? Это значит одной единице на плане или карте соответствует сто единиц натуре. Следовательно 1см на плане равен 100см на местности, т. е 1метру

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Масштаб 1:100 Сколько в 1 см метров? и как узнать это? что на что разделить! я забыла(

Ответ от Евровидение[гуру]
1 метр

Ответ от Анатолий Саламатов[гуру]
Обьясняю: 1:100 значит в 1 см. 100 см. То есть 1 метр. 1:200 значит в 1см 200 см. То есть 2 метра. Или в 1 мм 200 мм. То есть 20 см. Делить ни на что не надо. Надо просто умножать на вторую цифру масштаба. Примеры: 1:500. 1см*500=500см=5 м. <b

Ответ от Проголосовать[гуру]
Просто вы видете предмет или карту уменьшенную в 100 раз.

Ответ от Irima[гуру]
согласна) ) все ответили верно… только я не успела (( 1 см это и есть на бумаге 1 метр

Ответ от Камиль Тимерзянов[новичек]
1

Ответ от цой оксана[новичек]
Масштабом обзывается отношение длины линии на плане или карте к соответствующей проекции этой линии на местности Например, масштаб 1:100 показывает, что 1 см на плане соответствует 100 см на местности

Ответ от Артем Поцелуев[новичек]
лож

Ответ от Ёофья Калиниченко[новичек]
потому что 1 м это 100 см поэтому 1 см из 1 метра и есть 1 к 100 или 1:100

Ответ от Данил Акатов[новичек]
1см на плане равен 100см на местности, т. е 1метру

Ответ от Влад Чайкоский[новичек]
икркр

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Квадратный метр на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Квадратный метр

Масштаб на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Масштаб

Список астероидов 1—100 на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Список астероидов 1—100

Сто к одному на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Сто к одному

Матильда танк на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Матильда танк

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Ответы@Mail.Ru: Что означает масштаб карты?

Что такое масштаб карты? Масштаб карты показывает, во сколько раз длина линии на карте меньше соответствующей ей длины на местности. Он выражается в виде отношения двух чисел. Например, масштаб 1:50 000 означает, что все линии местности изображены на карте с уменьшением в 50 000 раз, т. е. 1 .см на карте соответствует 50 000 см (или 500 м) на местности. Масштаб указывается внизу карты в цифровом выражении. Здесь же указывается и величина масштаба — расстояние в метрах (или километрах) на местности, соответствующее одному сантиметру на карте. Полезно запомнить правило: если в правой части отношения зачеркнуть два последних нуля, то оставшееся число покажет, сколько метров на местности соответствует 1 см на карте, т. е. величину масштаба. При сравнении нескольких масштабов более крупным будет тот, у которого число в правой части отношения меньше. Допустим, что на один и тот же участок местности имеются карты масштабов 1:25 000, 1:50 000 и 1:100000. Из них масштаб 1:25000 будет самым крупным, а масштаб 1:100 000—самым мелким. Чем крупнее масштаб карты, тем подробнее на ней изображена местность. С уменьшением масштаба карты уменьшается и количество наносимых на нее деталей местности. Так, при сравнении изображений одного и того же участка местности на картах различных масштабов видно, что на картах масштабов 1:100 000 и 1:200 000 нельзя было показать незначительные по величине озера, полевые и некоторые грунтовые дороги, а также другие местные предметы и детали рельефа, показанные на картах масштабов 1:25000 и 1:50000. Масштаб карты Величина масштаба Название карты 1:10000 100 М Десятитысячная 1:25000 250 М Двадцатипятитысячная 1:50000 500 М Пятидесятитысячная 1:100000 1 KM Стотысячная 1:200 000 2 км Двухсоттысячная 1:500 000 5 км Пятисоттысячная 1:1 000 000 10 км Миллионная Подробность изображения местности на топографических картах зависит от ее характера: чем меньше деталей содержит местность, тем полнее они отображаются на картах более мелких масштабов. Так, например, на карте масштаба 1:200 000 на малообжитую пустынную местность могут показываться все отдельно расположенные строения, колодцы, грунтовые дороги и даже тропы.

Долго отвечать. Напиши в Яндекс : Масштаб Википедия

touch.otvet.mail.ru

ка найти длинц а местности, если длина на какрте 17 мм, а маштаб 1 к 60000000

такого масштаба нету

С масштабом что-то не так, но в принципе в старинных атласах такие масштабы встречались. А как решать подобные задачи напишу согласно вашему условию. В 17 мм 1,7 см, так как в 1 см 10 мм. Теперь масштаб 1 к 60000000 — это означает, что в 1 см 600 км. А дальше все просто 1, 7 см умножаем на 600 и получаем 1020 км на местности.

Это отрезок горизонтального проложения линии, соответствующий 0,1 мм на плане. Значение 0,1 мм для определения точности масштаба принято из-за того, что это минимальный отрезок, который человек может различить невооруженным глазом. Например, для масштаба 1:10 000 точность масштаба будет равна 1 м. В этом масштабе 1 см на плане соответствует 10 000 см (100 м) на местности, 1 мм — 1 000 см (10 м) , 0,1 мм — 100 см (1 м) . :):):)

touch.otvet.mail.ru

Что означает масштаб 1 1

Масштаб

Масшта́б (нем. Maßstab, букв. «мерная палка»: Maß «мера», Stab «палка») — в общем случае отношение двух линейных размеров. Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.

Понятие наиболее распространено в геодезии, картографии и проектировании — отношение величины изображения объекта к его натуральной величине. Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например дом, в натуральную величину, поэтому при изображении большого объекта в рисунке, чертеже или макете величину объекта уменьшают в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысячу и так далее. Число, показывающее, во сколько раз уменьшен изображенный объект, есть масштаб. Масштаб применяется и при изображении микромира. Человек не может изобразить живую клетку, которую рассматривает в микроскоп, в натуральную величину и поэтому увеличивает величину её изображения в несколько тысяч раз. Число, показывающее, во сколько раз произведено увеличение или уменьшение реального явления при его изображении, определено как масштаб.

Масштаб в геодезии, картографии и проектировании

Масштаб показывает, во сколько раз каждая линия, нанесенная на карту или чертёж, меньше или больше её действительных размеров. Есть три вида масштаба: численный, именованный, графический.

Масштабы на картах и планах могут быть представлены численно или графически.

Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень уменьшения проекции. Например, масштаб 1 : 5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.

План города (более крупный масштаб)

Карта Мира (более мелкий масштаб)

Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1 : 1 000 крупнее, чем масштаб 1 : 25 000. Иначе говоря, при более крупном масштабе объект изображается крупнее (больше), при более мелком масштабе — тот же объект изображается мельче (меньше).

Именованный масштаб показывает, какое расстояние на местности соответствует 1 см на плане. Записывается, например: «В 1 сантиметре 100 километров», или «1 см = 100 км».

Графические масштабы подразделяются на линейные и поперечные.

• Линейный масштаб — это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделённой на равные части.
• Поперечный масштаб — это графический масштаб в виде номограммы, построение которой основано на пропорциональности отрезков параллельных прямых, пересекающих стороны угла. Поперечный масштаб применяют для более точных измерений длин линий на планах. Поперечным масштабом пользуются следующим образом: откладывают на нижней линии поперечного масштаба замер длины таким образом, чтобы один конец (правый) был на целом делении ОМ, а левый заходил за 0. Если левая ножка попадает между десятыми делениями левого отрезка (от 0), то поднимаем обе ножки измерителя вверх, пока левая ножка не попадёт на пересечение к-либо трансвенсали и какой-либо горизонтальной линии. При этом правая ножка измерителя должна находиться на этой же горизонтальной линии. Наименьшая ЦД=0,2 мм, а точность 0,1.

Точность масштаба — это отрезок горизонтального проложения линии, соответствующий 0,1 мм на плане. Значение 0,1 мм для определения точности масштаба принято из-за того, что это минимальный отрезок, который человек может различить невооруженным глазом. Например, для масштаба 1:10 000 точность масштаба будет равна 1 м. В этом масштабе 1 см на плане соответствует 10 000 см (100 м) на местности, 1 мм — 1 000 см (10 м), 0,1 мм — 100 см (1 м).

Масштабы изображений на чертежах должны выбираться из следующего ряда:[1]

Масштабы уменьшения	1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1 000
Натуральная величина	1:1
Масштабы увеличения	2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1

При проектировании генеральных планов больших объектов допускается применять масштабы 1:2 000; 1:5 000; 1:10 000; 1:20 000; 1:25 000; 1:50 000.
В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения (100n):1, где n — целое число.

Масштаб в фотографии

Основная статья: Линейное увеличение

При фотосъёмке под масштабом понимают отношение линейного размера изображения, полученного на фотоплёнке или светочувствительной матрице, к линейному размеру проекции соответствующей части сцены на плоскость, перпендикулярную к направлению на камеру.

Некоторые фотографы измеряют масштаб как отношение размеров объекта к размерам его изображения на бумаге, экране или ином носителе. Правильная методика определения масштаба зависит от контекста, в котором используется изображение.

Масштаб им

zna4enie.ru

Практика. Линейные уравнения и их системы. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Вспомним, что деление, по определению, операция, обратная умножению (деление на какое-либо число – это то же самое, что и умножение на обратное к этому числу):

Разделим обе части уравнения на  или умножим на :

Упростим выражение в левой части уравнения:

Упростим выражение в правой части уравнения:

Таким образом, решением уравнения будет:

Ответ: .

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Упростим уравнение – выполним действия в обеих частях уравнения: .

Разделим обе части уравнения на :

Решением уравнения является .

Ответ: .

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения. Для выражения в левой части уравнения используем распределительный закон: .

Тогда . Вспомним, что если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок все знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположный: .

Перепишем уравнение после применения преобразований: .

Как и в предыдущем примере, перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим тождество: .

Таким образом, данное равенство верно всегда, при любых значениях переменной.

Ответ:  – любое число.

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения, используя распределительный закон .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Получаем .

Данное равенство неверно всегда, т.е. оно не выполняется ни при каких значениях переменной.

Ответ: нет решений.

Пример . Решить уравнение: .

Решение

Избавимся от знаменателей дробей – умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, т.е. число :

Получим: .

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей: .

Раскроем скобки:

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим следующее уравнение: .

Найдем :

Ответ: .

В общем виде системы линейных уравнений выглядят следующим образом:  где  – переменные, – произвольные числа.

Есть несколько методов решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.
3. Графический метод.

Пример . Решить систему: .

Решение (несколько способов)

1. Метод подстановки – необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.

Из первого уравнения выразим , для этого перенесем  из левой части уравнения в правую: .

Затем умножим обе части первого уравнения на : .

Теперь подставим во второе уравнение полученное выражение: .

Теперь во втором уравнении только одна переменная , решим его (мы уже умеем это делать – получилось обычное линейное уравнение с одной переменной).

Раскроем скобки во втором уравнении: .

Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .

Выполним действия в обеих частях второго уравнения: .

Найдем : .

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет: .

Ответ: .

2. Метод сложения – нужно преобразовать уравнения так, чтобы при одной переменной в разных уравнениях были противоположные коэффициенты, после этого нужно сложить правые и левые части уравнений.

Избавимся от переменной . Умножим первое уравнение на : .

Теперь система имеет вид: .

Сложим уравнения системы: .

Получим следующее уравнение: . Выполним действия: .

Найдем :

Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, например, в первое: .

Выразим : . Решением системы будет: .

Ответ: .

3. Графический метод

Сначала перепишем каждое из уравнений так, чтобы они задавали линейную функцию в привычном для нас виде , т.е. выразим  через :

Графиком линейной функции является прямая. Построим обе прямые по двум точкам. Вместо  возьмем произвольные значения и подставим их в соответствующие уравнения прямых:

Отметим точки на координатной плоскости и проведем через них прямые (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 6

Видно, что точкой пересечения прямых является точка с координатами . Поскольку точка лежит на каждой из прямых, а прямая – это множество решений уравнения, то точка пересечения прямых является решением каждого из уравнений, т.е. является решением системы. Координаты точки пересечения и будут решением системы.

Дополнительно нужно подставить координаты точки в исходную систему, чтобы убедиться в правильности: .

Ответ: .

Пример . Решить систему: .

Решение

Сначала упростим уравнения системы – избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим каждое уравнение на общий знаменатель дробей, которые в него входят (чтобы найти это число, нужно рассмотреть наименьшее общее кратное чисел, которые стоят в знаменателе):

Получим:

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Умножим второе уравнение на :

Сложим уравнения системы:

Получим уравнение:

Выполним действия:

Найдем :

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет: .

Ответ: .

Задача

Провод длиной  метров разрезали на  части (Рис. 2), причем первая часть в  раза длиннее третьей, а вторая – на  метров длиннее третьей. Найти длину каждой части провода.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

1. Провод длиной  метров разрезали на  части:

Первая часть в  раза длиннее третьей:

Вторая часть на  метров длиннее третьей:

Теперь все выражено через часть , поэтому все замены можно переписать так:

2. Обозначим длину части  за :

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:

Выполним действия:

Найдем

interneturok.ru

Тренажёр по алгебре (7 класс) на тему: Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки и сложения .Алгебра 7 класс.

             Решить систему уравнений методом подстановки

выбирая удобную переменную для её выражения, когда она записана без  числа.

№1.     у – 2х = 1                                                       №4.       2х + у = 12   

             6х – у = 7                                                                      7х – 2у = 31    

№2.     х + у =6                                                          №5.       4х – у = 11

             3х – 5у = 2                                                                    6х – 2у = 13          

№3.     7х – 3у = 13                                                  №6.        8у – х = 4 

             х – 2у = 5                                                                       2х – 21у = 2

Карточка составлена учителем математики Головлянициной Лидией Вадимовной

nsportal.ru

Мини- пособие по теме «Линейные уравнения» (7 класс)

Линейные уравнения

Изучение данной темы мы начнем с определения уравнения вообще

1. Уравнения — это равенства, которые содержат неизвестные числа, обозначенные буквами. Неизвестные числа в уравнении называются переменными.

Например.: 6x + 12 = 2x — 4

2. Рассмотрим некоторые понятия, определение которых позволит понять, с помощью чего и каким образом решаются уравнения:

Корнем уравнения с одним неизвестным называется число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет.

При решении уравнений иногда используются различные способы приведения их к более простому и понятному виду, в результате чего возможна потеря или приобретение лишних корней данного уравнения. Вследствие чего уравнение необходимо приводить к равносильному виду.

3. Два уравнения называются равносильными, если совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют.

Если же в процессе преобразования появились новые корни или были утеряны существующие, то данные уравнения не будут являться равносильными.

Уравнение g(x) = 0 называется следствием уравнения f(x) = 0, если каждое решение второго уравнения является решением первого уравнения.

4. Теперь перейдем непосредственно к определению линейных уравнений.

Уравнение вида ax = b, где a и b — данные числа, называется линейным уравнением с переменной x. Числа а и b — коэффициенты данного уравнения. а — коэффициент данного уравнения, b — свободный член.

Например.: 5x + 10 = 0

5. Если a <> 0, то уравнение ax = b называется уравнением первой степени с одной переменной. Его корень: x = b/a.

Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет 1 корень.

Линейное уравнение может не иметь корней или иметь один или множество корней.

Теперь попробуйте пройти тест-коррекцию!

1. Корнем уравнения называется:

Число, которое является решением этого уравнения.

Число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Число, при подстановке которого в уравнение всегда получается числовое равенство.

2 Решить уравнение — это значит:

Найти все его корни;

Найти все его корни или доказать, что корней нет;

Найти хотя бы один из корней;

Найти столько корней, сколько переменных в уравнении.

3 Два уравнения называются равносильными, если:

Совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют;

Каждое из этих уравнений является следствием другого;

Каждый корень первого является корнем второго;

Если они имеют одинаковые правые и левые части.

4. Укажите уравнение, неравносильное уравнению 3x = 15:

6х = 30;

3х — 15 = 0;

9х = 45;

3х + 15 = 18.

5. Одно уравнение является следствием другого, если:

Совпадают множества их корней или оба уравнения корней не имеют;

Каждое из этих уравнений является следствием другого;

Каждый корень первого является корнем второго;

Если они имеют одинаковые правые и левые части.

6. Какое уравнение является следствием:

(х — 5)(х + 1) = 0 и х — 5 = 0;

5 + (х — 4) = 5 и х — 4 = 0;

х + 3 = 5 — х и x = 1;

7. Линейным уравнением называется:

Уравнение вида ах = b, где а и b — данные числа;

Уравнение вида ах = b, где а и b — данные числа, и а<>0;

Уравнение с одним неизвестным;

Уравнение с несколькими неизвестными, где а и b — данные числа.

8. Какое из приведенных уравнений является уравнением первой степени:

0y = 5;

0х = 0;

6х = 24;

2х = 0.

9. Сколько решений имеет уравнение 3(х — 5) + х = 4х — 18:

4

1;

2;

0;

не знаю.

10.Уравнение ах = b имеет один корень, если:

а <> 0;

а = b = 0;

а = 0, b <> 0;

а <> 0, b <> 0.

11.Сколько корней может иметь уравнение первой степени:

Один;

Много;

Задача

В одном баке было вдвое больше бензина, чем во втором. Когда из первого перелили во второй 25 л бензина, в обоих баках стало бензина поровну. Сколько бензина было в каждом баке первоначально?

Алгоритм решения

1. Подробно запиши свое решение: составление уравнения, решение уравнения, ответ задачи.

2. Надо быть внимательнее. Ведь из первого бака вылили 25 л, после чего осталось x л. Значит, до переливания в первом баке было не x л, а на 25 л больше.

3. Теперь подумай, что примешь за неизвестное x?

4. Итак, в первом баке после переливания стало x л, а до переливания в нем было (x+25)л. Сколько же было во втором баке до переливания? Теперь тебе, конечно, ясно, что до переливания во втором баке было не x л, а на 25л меньше, т. е. было (x-25)л.

5. Надо подумать, во сколько вопросов решается эта задача и какой первый вопрос

6. Принять за x л количество бензина, которое получилось после переливания в первом баке (по условию, столько же стало после переливания и во втором баке). Что же было до переливания?

7. В условии задачи сказано, что после переливания в обоих баках стало бензина одинаково. Получается соотношение 2x-25=x+25

8. В первом баке было 100 л, во втором — 50 л. Сказано, что в первом было в два раза больше: 100/50=2 (верно). Затем из первого перелили во второй бак 25 л. В первом стало 100-25=75 (л), во втором стало 50+25=75 . Сказано, что стало одинаково 75=75 (верно).

9. Данную задачу можно решить 3 способами. Подумай, что еще можно принять за неизвестное, составь новое уравнение и, вернувшись назад, проверь правильность своего нового выбора.

Мини- пособие по теме «Линейные уравнения»

Содержание

1. Актуализация знаний

2. Теоретические сведения

3. Задача-метод

4. Задача-софизм

5. Эвристики и поиск решения

6. Из истории линейных уравнений

Данную обучающую программу можно считать пособием по изучению темы «Линейные уравнения» школьного курса математики. Она предназначена для формирования приемов эвристического мышления у учащихся и абитуриентов.

Следование инструкциям и рекомендациям, а так же сознательное и добросовестное выполнение заданий предложенных в работе поможет учащимся углубить и расширить знания обязательного уровня, а также поможет сформировать у них приемы эвристического мышления.

Для эффективной работы с программой необходимо изучить структуру предложенных материалов и приемы работы с ними:

Первый этап (актуализация знаний). В тесте №1 обсуждаются вопросы, связанные с пониманием тех основ, которые входят в содержание данной темы на обязательном уровне их усвоения. Обучаемый имеет возможность самостоятельно проработать тест, при этом проанализировать и сравнить предлагаемое решение со своим личным. В случае большого количества допущенных ошибок ученик должен ознакомиться с теоретическим материалом обязательного уровня, предлагаемом его вниманию тут же. Затем он имеет возможность повторного тестирования при помощи теста №2, в котором обсуждаются те же идеи, что и в первом тесте. Такая работа позволяет ученику сосредоточить свое внимание на главных моментах в излагаемой теме и подготовиться к осознанному выполнению последующих задач.

Второй этап (ознакомление с теоретическими сведениями углубленного характера). Знакомство с этими материалами позволяет обучаемому систематизировать свои знания, обобщить представления об основных положениях, связанных с решением уравнений различных видов, сформировать у себя некоторые алгоритмы и эвристические правила-ориентиры решения уравнений.

Третий этап («задача-метод»). На этом этапе работы ученику необходимо к предложенной задаче или набору нескольких задач, с предложенными методами решения выбрать наиболее рациональный и правильный на его взгляд вариант.

Четвертый этап («задача-софизм»). При прохождении четвертого этапа ученику необходимо найти ошибку в рассуждении, когда предложенная задача представляет собой цепочку выполненных действий по ее решению, в которой на одном из звеньев допущена ошибка.

Пятый этап (эвристики и поиск решения задачи). Этот этап представляет из себя систему задач, к каждой из которых даны эвристические подсказки. Такие подсказки способствует осмысленному подходу к поиску решения задачи.

Шестой этап (некоторые исторические сведения по данной теме).

Когда все этапы пройдены можно переходить к изучению следующей темы.

Желаем успехов!

Задание

Проработайте тест. При этом можно пользоваться подсказками. По окончании тестирования, если допущено большое количество ошибок, ознакомтесь с теоретическим материалом обязательного уровня. Затем пройдите повторное тестирование при помощи теста №2, в котором обсуждаются те же идеи, что и в первом тесте.

Тест №1

(актуализация знаний)

1. Какое уравнение не является линейным?

2. Какая пара уравнений не является равносильной:

3. Сколько решений имеет уравнение 0х=-5?

Один корень

Не имеет решений

Бесконечно много

Ответ отличен от приведенных

4. Среди данных уравнений выберите то, которое имеет такой же корень, что и уравнение

2х-5=5х+5.

5. При каком значении у значение выражения 4(у-0,9) будет равно значению выражения 1,2+2у?

-2,4

1,2

2,4

-1,2

6. Найдите значение выражения 5k-(3k-8p), если k+4p=17.

7. Если 0,75x=-1, то чему равно х+0,75?

8. Найдите число, четверть которого меньше от его третьей части на два.

24

-24

12

6

9. При каком значении а уравнение ах=8 имеет отрицательный корень?

0

2

-2

4

10. Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза младше дедушки?

48 и 63

64 и 47

37 и 64

37 и 74

Линейные уравнения с модулем

Определение: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком модуля, называется уравнением с модулем . Из определения модуля (абсолютной величины) числа следует, что:

При решении уравнений с модулями чаще всего применяется метод раскрытия модуля по определению. Рассмотрим этот метод на примерах.

Решим уравнение:

Решение: Данное уравнение не имеет решений так как модуль любого числа есть неотрицательное число.

Найдем корни уравнения:

Решение: Уравнение равносильно уравнению . Откуда

Теперь решим уравнение:

Решение:Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Откуда получаем два корня:

Еще один способ решения уравнений с модулями — это использование геометрического смысла модуля. Известно, что — это расстояние между двумя точками на оси с координатами и .

Например, решим уравнение, используя геометрический смысл модуля. Найдем точки на числовой оси, которые удалены от точки 2 на расстояние равное 3

Это точки и . Таким образом, корнями уравнения являются числа –1 и 5.

Уравнения с параметрами

Определение: Уравнением с параметрами называется уравнение , в котором коэффициенты и неопределены (т.е. вместо и можно подставить любые числа).

При решении уравнений с параметрами рассматривают все возможные случаи (в зависимости от параметров и ).

Графический метод решения уравнений с двумя переменными

Со времен Рене Декарта общий вид уравнений первой степени с одним неизвестным записывается следующим образом:

До Декарта уравнения с положительными коэффициентами записывали по обе стороны от знака равенства. Декарт впервые стал систематически представлять уравнения в канонической форме (т.е. с правой частью, равной нулю). Благодаря методу координат, разработанному Декартом, между алгеброй и геометрией была установлена тесная связь. Декарт стал рассматривать уравнения как зависимость между и , определяющую положение точек на плоскости. Так например, корень уравнения (*)

можно геометрически изобразить точкой M пересечения прямой с прямой (т.е. с осью Ox).

Таким образом, вводя второе неизвестное , Декарт разбил одно уравнение на два, каждое из которых представляет некоторое геометрическое место точек. Так, уравнение (*) можно представить и в виде , тогда его корень (**) можно найти как абсциссу точки M’ пересечения прямых и .

«Задача-метод»

Задание

В этом разделе вам будут предлагать задачу и несколько способов ее решения.

Вы должны выбрать наиболее рациональный на ваш взгляд способ.

1.Даны уравнения и являются ли они равносильными?

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Решить оба уравнения и сравнить корни.

Привести оба уравнения к одинаковому виду.

2. При каких значениях х графики уравнений и пересекаются?

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Построить графики уравнений и найти точку их пересечения.

Приравнять правые части и решить уравнение.

3. Сколько решений имеет уравнение ?

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.

Решить задачу графическим методом.

Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.

4. Решите уравнение .

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.

Решить задачу графическим методом.

Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.

5. Решите уравнение .

Среди предложенных ниже способов решения выберите наиболее рациональный. Воспользоваться определением модуля.

Решить задачу графическим методом.

Воспользоваться геометрическим смыслом модуля.

«Задача-софизм»

Задание

Ученики 7-го класса решали линейные уравнения. Предлагаем Вам попробовать себя в роли учителя.

Укажите каким из учеников, и на каком шаге, при решении уравнения, допущена ошибка.

Первый ученик решил уравнение 0,71х+1,98=0,37х-1,76 так:

0,71х-0,37х=1,98-1,76,

0,34х=0,22,

х=22/34;

Второй ученик решил уравнение 0,71х+1,98=0,37х-1,76 так:

0,71х-0,37х=-1,76-1,98,

0,34х=-3,74,

х =-11;

Третий ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х-39 так

12х-39=12х-39,

12х-12х=39-39,

0=0.

Уравнение не имеет корней

Четвертый ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х+5 так:

12х-39=12х+5,

12х-12х=39+5,

0х=44,

х=0.

Пятый ученик решил уравнение 3(4х-13)=12х-39 так:

12х-39=12х-39,

12х-12х=0,

х0=0,

Уравнение имеет бесконечно много корней.

Шестой ученик решил уравнение 3(4х-13)=10х-39 так:

12х-39=10х-39,

12х-10х=39-39,

2х=0,

х — любое число.

Седьмой ученик решил уравнение 12+7х-28=3х так:

12-3х=28-7х,

3(4-х)=7(4-х),

3=7,

Уравнение не имеет корней.

«Эвристики и поиск решения»

Задание

В этом разделе необходимо решить задачу самостоятельно. Можно пользоваться подсказками.

1. Решите уравнение

Используйте геометрический смысл модуля.

Найдите точки на оси, которые удалены от точки 3 на расстояние, равное 7.

Корнями уравнения являются числа –4 и 10.

2.Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения является натуральным числом.

Сделайте перебор вариантов.

Перебирая значения, получаем, что а может равняться только 2 или 8.

3. Решите уравнение

Умножьте каждый член уравнения на 6

Ответ: 6.

4.На доске написано уравнение 5(…+3х)(х+1)-4(1+2х)2=-36. Найдите случайно вытертое число в скобках, если х=-2

Обозначьте искомое число через у и решите уравнение относительно у.

Ответ: 6.

5. Найдите три последовательных нечетных натуральных числа, сумма которых равняется 6003.

Составьте и решите уравнение.

Первое число равно 1999, второе 2001, третье 2003.

Из истории линейных уравнений

Решение задач методом составления уравнения зародилось давно. Еще 4000 лет назад в древнем Египте решали задачи способом, который очень напоминает составление уравнения. Недостатком всей математики древних было отсутствие единой математической символики. Этот недостаток затруднял действия, мешал их наглядности. Поэтому и условие, и решение любой задачи приводилось полностью в словесной форме. Правда, у древних египтян были некоторые условные сокращения. Неизвестное, как полагают, они называли «куча». Так в папирусе Ринда уравнениe записано в такой форме:

Эти частичные сокращения были впоследствии забыты другими учеными. Отсутствие единой формы записи уравнений задерживало создание общих правил их решения. Каждая задача решалась по своему, каждое уравнение требовало особого подхода. Отсутствие же общих правил решения приводило к кустарщине. Каждый решал как мог. Все это тормозило развитие алгебры в целом.

Первым, кто дал наиболее полное изложение способов решения уравнений, был узбекский ученый Мухаммед бен Муса ал-Хорезми. Свою книгу «Хисаб алджебр вал-Мукабала» он целиком посвятил составлению уравнений по условиям задачи и решению этих уравнений.

В первое время алгебру понимали как науку об уравнениях, впоследствии же этот взгляд несколько изменился. Кроме уравнений 1-й степени, в школе изучаются некоторые другие виды уравнений. Но ни один из этих видов нельзя усвоить, не усвоив хорошо решение уравнений 1-й степени.

Некоторые старинные задачи

Около 2500 лет назад в Греции уже умели довольно хорошо решать уравнения с одним неизвестным и систему уравнений с несколькими неизвестными. Независимо от греков этими приемами овладели и китайцы, а позднее и индийцы. Вот несколько старинных задач.

Задача в стихах из так называемой «Греческой Антологии»:

-Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

-Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.

Решение: Если обозначить число учеников Пифагора через х, то можно составить такое уравнение: откуда x=28.

Древняя китайская задача: В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.

Древняя индусская задача: Два лица имеют равные капиталы, причем каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?

Решение:Пусть у первого будет «а» вещей и «m» монет, а у второго «b» вещей и «p» монет. Если х — ценность вещи, то : откуда:

infourok.ru

Задачи ОГЭ. Линейные уравнения

Задачи для ОГЭ с ответами и решениями

Линейные уравнения

перейти к содержанию задачника

видеоурок по линейным уравнениям

1. Решите уравнение

перейти к содержанию задачника

Ответы

1.   -3
2.  0,6
3. 1,75
4. 1,2
5. -5
6. -0,25
7. 1,75
8. -1,8
9. 11
10. 1,5
11. 8,6
12. -6,4
13. 1,75
14. -0,5
15. 3
16. -7,5
17. -24,5
18. -3,5
19. -7
20. 2
21. -5
22. -0,75
23. -3,25
24. -3
25. -8
26. 1
27. -24
28. -14
29. -9
30. 7
31. 4,5
32. 2
33. -7,5
34. 7,5
35. 6
36. 1,25
37. 5
38. -2,5
39. 20,5
40. 1

методы, примеры нахождения и определения

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Определение 1

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а их тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет -1302=(-1)×2-3×0=-2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0011=0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

003112-1-40=0×1×0+0×2×(-1)+3×1×(-4)-3×1×(-1)-0×1×0-0×2×(-4)=-9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k≤min(p, n)=min (3, 4)=3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

Cpk×Cnk, где Сpk=p!k!(p-k)! и Cnk=n!k!(n-k)! — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Определение 2

Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Обозначение 1

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Определение 3

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии

zaochnik.com

Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

В данной теме нам понадобятся такие понятия как минор матрицы и окаймляющий минор. В теме «Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений» есть подробное пояснение этих понятий.

В предыдущей теме было рассмотрено понятие ранга матрицы, а также на примерах показано, как находить ранг по определению. Конечно, находить ранг матрицы таким образом несколько затруднительно, – в первую очередь из-за объёма вычислений. Однако количество вычисляемых миноров можно существенно уменьшить, если использовать так называемый метод окаймляющих миноров.

Суть метода окаймляющих миноров выражается парой пунктов простого алгоритма:

1. Пусть некий минор $M$ k-го порядка не равен нулю.
2. Если окаймляющие миноры для минора $M$ (это уже будут миноры (k+1)-го порядка), составить невозможно (т.е. матрица содержит k строк или k столбцов), то ранг равен k. Если окаймляющие миноры существуют и все равны нулю, то ранг равен k. Если среди окаймляющих миноров есть хотя бы один, отличный от нуля, то повторяем для него пункт №1, приняв k+1 вместо k.

Наглядно всё вышеизложенное можно выразить следующей схемой:

Поясню эту схему более подробно. Станем рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка. Если все миноры первого порядка некоей матрицы $A$ (миноры первого порядка – это элементы матрицы) равны нулю, то $\rang A=0$. Если в матрице есть минор первого порядка $M_1\neq 0$, то $\rang A≥ 1$.

Проверяем окаймляющие миноры для минора $M_1$. Это уже будут миноры второго порядка. Если все миноры, окаймляющие $M_1$, равны нулю, то $\rang A=1$. Если среди миноров второго порядка, окаймляющих $M_1$, есть хоть один минор $M_2 \neq 0$, то $\rang A≥ 2$.

Проверяем окаймляющие миноры для минора $M_2$. Это будут миноры третьего порядка. Если все миноры третьего порядка, окаймляющие $M_2$, равны нулю, то $\rang A=2$. Если среди миноров третьего порядка, окаймляющих $M_2$, есть хоть один минор $M_3\neq 0$, то $\rang A≥ 3$.

Проверяем окаймляющие миноры для минора $M_3$. Если все миноры четвёртого порядка, окаймляющие $M_3$, равны нулю, то $\rang A=3$. Если среди миноров четвёртого порядка, окаймляющих $M_3$, есть хоть один минор $M_4\neq 0$, то $\rang A≥ 4$.

Проверяем все окаймляющие миноры для минора $M_4$, и так далее. В конце концов возможны два случая: либо на каком-то шаге окажется, что все окаймляющие миноры равны нулю, либо окаймляющий минор составить просто не получится, так как в матрице «закончатся» строки или столбцы. Порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы.

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 2 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & 5 & 4 \\ -5 & 4 & 7 & 10 \end{array} \right)$ методом окаймляющих миноров.

Решение

Можно, конечно, начать с миноров первого порядка, которые представляют собой просто элементы данной матрицы. Но лучше сразу выбрать какой-либо не равный нулю минор второго порядка, тем паче что такой выбор большой сложности не представляет. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора $\left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{array} \right|$, который несложно вычислить, используя формулу №1 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$ \left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{array} \right|=-1\cdot 0-2\cdot (-3)=6. $$

Итак, существует минор второго порядка, не равный нулю, из чего следует, что $\rang A≥ 2$. Рассмотрим миноры третьего порядка, окаймляющие данный минор второго порядка. Как составить окаймляющий минор? Для этого к набору строк и столбцов, на пересечении которых лежат элементы минора второго порядка, нужно добавить ещё одну строку и ещё один столбец. Вспоминаем, что элементы записанного нами минора второго порядка расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2. Добавим к строкам ещё строку №3, а к столбцам – столбец №3. Мы получим минор третьего порядка, элементы которого (они показаны на рисунке синим цветом) лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3.

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ -5 & 4 & 7 \end{array} \right|=0. $$

Окаймляющий минор равен нулю. О чём это говорит? Это говорит о том, что нам нужно продолжить нахождение окаймляющих миноров. Либо они все равны нулю (и тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хотя бы один, отличный от нуля.

Элементы второго окаймляющего минора лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №4. На рисунке выше элементы этого минора показаны зелёным цветом. Вычислим данный минор, используя всё ту же формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ -3 & 0 & 4 \\ -5 & 4 & 10 \end{array} \right|=0. $$

И этот окаймляющий минор равен нулю. Иных окаймляющих миноров нет. Следовательно, все окаймляющие миноры равны нулю. Порядок последнего составленного ненулевого минора равен 2. Вывод: ранг равен 2, т.е. $\rang A=2$.

Ответ: $\rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & 4 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -1 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 5 & 7\\ -1 & -2 & 2 & 9 & 11 \end{array} \right)$ методом окаймляющих миноров.

Решение

Вновь, как и в предыдущем примере, начнём решение с выбора минора второго порядка, не равного нулю. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора $\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array} \right|$, который несложно вычислить, используя формулу №1 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$ \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array} \right|=1\cdot 6-2\cdot 3=0. $$

Данный минор второго порядка равен нулю, т.е. выбор неудачен. Возьмём иной минор второго порядка. Например, тот, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2, №3:

$$ \left|\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 6 & -2 \end{array} \right|=-4. $$

Итак, ненулевой минор второго порядка существует, поэтому $\rang A≥ 2$. Обозначим этот минор как $M_2$ и станем окаймлять его минорами третьего порядка. Например, добавим к строкам и столбцам, на которых расположены элементы $M_2$, ещё строку №3 и столбец №1. Т.е. найдём минор третьего порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3. Используем для этого формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков. Подробные вычисления я приводить не стану, запишем лишь ответ:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -2 \\ -2 & -4 & 2 \end{array} \right|=0. $$

Этот минор равен нулю, значит нужно переходить к иному окаймляющему минору. Либо все миноры третьего порядка, окаймляющие $M_2$, равны нулю, либо среди них всё-таки найдётся хоть один, отличный от нуля.

Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4. Этот минор тоже окаймляет $M_2$:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4 \\ 6 & -2 & -1 \\ -4 & 2 & 5 \end{array} \right|=0. $$

И вновь минор третьего порядка, окаймляющий $M_2$, равен нулю. Значит, переходим к иному минору третьего порядка. Возьмём минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №5. Этот минор тоже окаймляет $M_2$:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 5 \\ 6 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 7 \end{array} \right|=4. $$

Итак, среди миноров третьего порядка, окаймляющих $M_2$, есть минор, не равный нулю, откуда следует $\rang A≥ 3$. Обозначим этот ненулевой минор как $M_3$. Элементы минора $M_3$ лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №5. Станем окаймлять минор $M_3$ минорами четвёртого порядка. Для начала возьмём минор четвёртого порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3, №4 и столбцов №1, №2, №3, №5. Этот минор окаймляет $M_3$. Его значение найти несложно, если использовать, например, разложение по строке или по столбцу:

$$ \left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 7\\ -1 & -2 & 2 & 11 \end{array} \right|=0. $$

Аналогично, рассматривая минор четвёртого порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4, №5, получим:

$$ \left|\begin{array}{cccc} 2 & 0 & 4 & 5\\ 6 & -2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 5 & 7\\ -2 & 2 & 9 & 11 \end{array} \right|=0.$$

Иных окаймляющих миноров для минора $M_3$ нет. Все миноры четвёртого порядка, окаймляющие $M_3$, равны нулю. Последний ненулевой минор, т.е. $M_3$, был третьего порядка. Вывод: ранг равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ: $\rang A=3$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 3 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -2 & 5 & 0 & -3\\ 1 & -5 & 3 & 7 & 6 \end{array} \right)$ методом окаймляющих миноров.

Решение

Снова начинаем решение с выбора минора второго порядка, не равного нулю. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора $\left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{array} \right|$, который вычисляем, используя формулу №1 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$ \left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{array} \right|=2. $$

Данный минор (обозначим его $M_2$) не равен нулю, посему именно его мы и станем окаймлять минорами третьего порядка. Например, добавим к строкам и столбцам, на которых расположены элементы $M_2$, ещё строку №3 и столбец №3. Т.е. найдём минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3. Используем для этого формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & -5 & 3 \end{array} \right|=0. $$

Этот минор равен нулю, значит нужно переходить к иному окаймляющему минору. Либо все миноры третьего порядка, окаймляющие $M_2$, равны нулю, либо среди них всё-таки найдётся хоть один, отличный от нуля.

Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №4. Этот минор тоже окаймляет $M_2$:

$$ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -5 & 7 \end{array} \right|=22. $$

Итак, среди миноров третьего порядка, окаймляющих $M_2$, есть хоть один, не равный нулю. Миноры четвёртого порядка мы образовать уже не можем, так как для них потребуется 4 строки, а в матрице $A$ всего 3 строки. Посему, так как последний ненулевой минор был третьего порядка, то ранг равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ: $\rang A=3$.

math1.ru

Как найти обратную матрицу?

Поиск Лекций

---

 

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже, если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице, которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.

Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

Есть? Тогда поехали дальше. А хотя… ехать могут все, если что-то не знаете, я буду ставить нужную ссылку по ходу объяснений.

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований.

Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

, где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:


Готово.

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами.

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение либо

Проверка:

Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы.

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

В данном случае:
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ:

Проверка:

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на страницеПравило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи – и есть поиск обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.

Иногда обратную матрицу требуется найти методом Гаусса-Жордана, но второй способ доступен для студентов с приличной техникой элементарных преобразований.

Желаю успехов!

Автор: Емелин Александр

 

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Минор матрицы — это… Что такое Минор матрицы?



Минор матрицы

Минор матрицы A ― определитель матрицы, элементы которой стоят в данной прямоугольной матрице порядка k (который называется также порядком этого минора) на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Пример

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор M₂₃. Этот минор — определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

Получаем M₂₃ = 13

См. также

Дополнительный минор

Wikimedia Foundation. 2010.

• Минор Ш. З.
• Минор Шломо Залман

Смотреть что такое «Минор матрицы» в других словарях:

• Минор (математич.) — Минор (от лат. minor меньший) k го порядка матрицы, определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выделенных k строк и k столбцов матрицы. Так, определитель есть М. 2 го порядка матрицы составленный из ее элементов,… …   Большая советская энциклопедия

• МИНОР — определитель, составленный из элементов, состоящих на пересечении произвольно выделенных k строк и k столбцов данной матрицы или определителя …   Большой Энциклопедический словарь

• МИНОР (в математике) — МИНОР, определитель, составленный из элементов, состоящих на пересечении произвольно выделенных k строк и k столбцов данной матрицы или определителя …   Энциклопедический словарь

• МИНОР — 1. М. элемента aij определителя А есть определитель, полученный из А после вычеркивания элементов i ой строки и j гo столбца. М. m го порядка матрицы А ||aij|| есть определитель m го порядка, составленный из m2 элементов, стоящих на пересечении… …   Геологическая энциклопедия

• Минор — [minor] см. Определитель матрицы …   Экономико-математический словарь

• Минор (линейная алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Минор (значения). Минор матрицы ― определитель такой квадратной матрицы порядка (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами …   Википедия

• Минор — I Минор         Лазарь Соломонович [17(29).12.1855 1942], советский невропатолог, заслуженный деятель науки РСФСР (1927). В 1879 окончил медицинский факультет Московского университета, работал у А. И. Бабухина, А. Я. Кожевникова. В 1910 17… …   Большая советская энциклопедия

• минор — а; м. [от итал. minore меньший]. 1. Музыкальный лад, звуки которого образуют аккорд, построенный на малой трапеции (характеризуется звуковой окраской, связанной с настроениями грусти, скорби; противоп.: мажор). Играть в миноре. 2. Разг. О… …   Энциклопедический словарь

• МИНОР — порядка к определитель матрицы, элементы к рой стоят в данной прямоугольной матрице на пересечении кразных столбцов и кразных строк. Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то М. наз. главным, а есля отмечены первые …   Математическая энциклопедия

• МИНОР — определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выделенных k строк и k столбцов данной матрицы или определителя …   Естествознание. Энциклопедический словарь

dic.academic.ru

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.

Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких — либо выбранных s строк и s столбцов.  

Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.  В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.  

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.  Очень важным свойством элементарных преобразований  матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.  Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы — понятия совершенно различные.  

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.   Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.    Пример. Определить ранг матрицы.  ,  RgA = 2.  Пример: Определить ранг матрицы.   ,  Rg = 2. Пример. Определить ранг матрицы. ,  Rg = 2.  Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре.  Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.    Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.   Метод удобен для решения систем невысокого порядка.   Метод основан на применении свойств умножения матриц.  Пусть дана система уравнений:  Составим матрицы: A = ; B = ; X = . Систему уравнений можно записать: AX = B. Сделаем следующее преобразование: A^-1AX = A^-1B, т.к.  А^-1А = Е, то ЕХ = А^-1В Х = А^-1В  Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.  

Пример. Решить систему уравнений: Х = , B = , A = Найдем обратную матрицу А^-1.  = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30. M₁₁ =  = -5; M₂₁ =  = 1; M₃₁ =  = -1; M₁₂ =  M₂₂ =  M₃₂ = M₁₃ =  M₂₃ =  M₃₃ =  A^-1 = ; Cделаем проверку: AA^-1 = =E. Находим матрицу Х. Х = = А^-1В = = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3. Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A  0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера): Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: x_i = _i/, где  = det A, а _i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i. _i =  

 

Пример. A = ; ₁= ; ₂= ; ₃= ; x₁ = ₁/detA;  x₂ = ₂/detA; x₃ = ₃/detA;

 

 Пример. Найти решение системы уравнений:  = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30; ₁ =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x₁ = ₁/ = 1; ₂ =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60. x₂ = ₂/ = 2; ₃ =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90. x₃ = ₃/ = 3.  Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.  Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0. При  = 0 система имеет бесконечное множество решений.  Для самостоятельного решения: ; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)  В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.  Рассмотрим систему линейных уравнений:    Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁  0, затем: 1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения  и т.д. Получим: , где d_1j = a_1j/a₁₁,  j = 2, 3, …, n+1. d_ij = a_ij – a_i1d_1j  i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.  Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.  

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы. А* = Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: , откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

 

 Пример. Решить систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: , откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.  Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.   Для самостоятельного решения:  Ответ: {1, 2, 3, 4}.

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

 

  Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:  

Графически можно представить:

  Аналогично можно определить пределы  для любого х>M и

 для любого х<M.

 

studfiles.net

Вычисление определителей. Миноры, алгебраические дополнения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$

— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.$$

Эту формулу называют «правило треугольника»: одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других — произведение элементов лежащих на параллели к этой диагонали и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемые, входящие в со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали. 

Примеры.

Вычислить определители второго порядка:

3.1. $\begin{vmatrix}-1&4\\-5&2\end{vmatrix}$

Решение.

$\begin{vmatrix}-1&4\\-5&2\end{vmatrix}=-1\cdot 2-(-5)\cdot 4=-2+20=18.$

Ответ: 18.

 

3.2. $\begin{vmatrix}a+b&a-b\\a-b&a+b\end{vmatrix}$

 Решение.

$\begin{vmatrix}a+b&a-b\\a-b&a+b\end{vmatrix}=(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab.$

Ответ: $4ab.$

3.8. Решить уравнение:

$\begin{vmatrix}x&x+1\\-4&x+1\end{vmatrix}=0.$

Решение.

$\begin{vmatrix}x&x+1\\-4&x+1\end{vmatrix}=x(x+1)-(-4)(x+1)=x^2+x+4x-4=x^2+5x+4.$

Осталось решить квадратное уравнение $x^2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

 

3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$

Решение.

$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$

$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

 

3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$

 Решение.

 $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$

$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$

$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).$

Ответ: $\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).$

 

Свойства определителя:

1) Если матрицу транспонировать, то определитель не изменится: $\det A^T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

 

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

Доказательство.

$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$

 $\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

 

$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

 Что и требовалось доказать.

3.31. Проверить, что определитель $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}$ делится на $x-y, y-z$ и $z-x.$

Проверка. 

1)  Пользуясь 6-м свойством определителей от первого столбца отнимаем второй, а затем используем 2-е свойство и выносим общий множетель за определитель.

 $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}0&1&1\\x-y&y&z\\x^2-y^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}0&1&1\\x-y&y&z\\(x-y)(x+y)&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ 

 $(x-y)\begin{vmatrix}0&1&1\\1&y&z\\x+y&y^2&z^2\end{vmatrix}.$

Таким образом, мы доказали, что определитель делится на $x-y.$ Совершенно аналогично доказываются и два других случая:

2) $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}1&0&1\\x&y-z&z\\x^2&y^2-z^2&z^2\end{vmatrix}=$  $\begin{vmatrix}1&0&1\\x&y-z&z\\x^2&(y-z)(y+z)&z^2\end{vmatrix}=$

 $(y-z)\begin{vmatrix}1&0&1\\x&1&z\\x^2&y+z&z^2\end{vmatrix}.$

 

3) $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}1&1&0\\x&y&z-x\\x^2&y^2&z^2-x^2\end{vmatrix}=$  $\begin{vmatrix}1&1&0\\x&y&z-x\\x^2&y^2)&(z-x)(z+x)\end{vmatrix}=$

  $(z-x)\begin{vmatrix}1&1&0\\x&y&1\\x^2&y^2&z+x\end{vmatrix}.$

 

---

Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется определитель $n-1-$ го порядка, полученного из исходного определителя вычеркиванием $i-$й строки и $j-$го столбца:

$M_{ij}=$\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется число равное произведению минора $M_{ij}$ на $(-1)^{i+j}:$ $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

Определители $n-$го порядка вычисляются с помощью метода понижения порядка — по формуле $\det A=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{ij}$ ($i$ фиксированно) — разложение по $i-$й строке.

Из этой формулы и второго свойства определителей — $\det A^T=\det A,$ следует, что верна также формула разложения по $j$ столбцу $\det A=\sum\limits_{i=1}^na_{ij}A_{ij}$ ($j$ фиксированно).

Метод приведения к треугольному виду заключается в преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из ее диагоналей, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов.

Примеры.

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.50. $\begin{vmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&3\end{vmatrix}.$

Решение.

Вычислим этот определитель с помощью разложения по второй строке: $\begin{vmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&3\end{vmatrix}=$ $0\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}0&2\\0&3\end{vmatrix}+$ $2\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}+$ $0\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&0\\2&0\end{vmatrix}$ $=2(3-4)=-2.$

 

3.54. (a) $\begin{vmatrix}2&-3&4&1\\4&-2&3&2\\a&b&c&d\\3&-1&4&3\end{vmatrix}.$

Решение.

Вычислим этот определитель с помощью разложения по третьей строке: $\begin{vmatrix}2&-3&4&1\\4&-2&3&2\\a&b&c&d\\3&-1&4&3\end{vmatrix}=$ $a\cdot(-1)^{3+1}$ $\begin{vmatrix}-3&4&1\\-2&3&2\\-1&4&3\end{vmatrix}+$ $b\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}2&4&1\\4&3&2\\3&4&3\end{vmatrix}+$ $+c\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}2&-3&1\\4&-2&2\\3&-1&3\end{vmatrix}+$ $d\cdot(-1)^{3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394.$ 

Ответ: $394.$

 

Домашнее задание:

Вычислить определители второго порядка:

3.3. $\begin{vmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{vmatrix}.$

Ответ: $1.$

 

3.7. $\begin{vmatrix}\frac{1-t^2}{1+t^2}&\frac{2t}{1+t^2}\\-\frac{2t}{1+t^2}&\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{vmatrix}.$

Ответ: $1.$

 

Решить уравнение:

3.9. $\begin{vmatrix}\cos 8x&-\sin 5x\\\sin 8x&\cos 5x\end{vmatrix}=0.$

Ответ: $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},$ $k\in Z.$ 

 

Вычислить определители 3-го порядка:

3.12.  $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}.$

Ответ: $0.$

 

3.15. $\begin{vmatrix}\alpha^2+1&\alpha\beta&\alpha\gamma\\\alpha\beta&\beta^2+1&\beta\gamma\\\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2+1\end{vmatrix}.$

Ответ: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+1.$

 

3.25. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1x+b_1&c_1\\a_2+b_2x&a_2x+b_2&c_2\\a_3+b_3x&a_3x+b_3&c_3\end{vmatrix}=$ $(1-x^2)\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

 

3.32. Проверить, что определитель $\begin{vmatrix}x&y&x+y\\y&x+y&x\\x+y&x&y\end{vmatrix}$ делится на $x+y$ и $x^2-xy+y^2.$

 

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

 

3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

 

3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

 

3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

 

3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

mathportal.net

Окружность в полярных координатах | Формулы и расчеты онлайн

Уравнение окружности в полярных координатах выглядит очень просто

\[ ρ = R = \const \]

Это уравнение показывает, что ρ вообще не зависит от угла φ.

Построение окружности по простому уравнению в полярной системе координат

Еще одно уравнение окружности в полярных координатах

Первый пример был очень простым, теперь возьмем окружность смещенную по оси X в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.

Известно, что окружность в декартовой прямоугольной системе координат описывается уравнением:

\[ (x-R)^2 + y^2 = R^2 \]

Также известны формулы перевода декартовых координат в полярные

Используя эти формулы и подставив их в (1) мы получим:

Уравнение окружности в полярных координатах

Изначально после подстановки имеем

\[ ρ^2-2Rρ\cos(φ) = 0 \]

И этого уравнения получается система

\[ \lvbig ρ = 0
ρ = 2R\cos(φ) \r.\]

Первое уравнение системы описывает полюс окружности.

Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.

В итоге получаем:

\[ ρ = 2R\cos(φ) \]

Построение окружности в полярной системе координат

Теперь сместим окружность по вверх, очередное уравнение окружности в полярных координатах

В данном варианте мы сместим окружность по оси Y в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.

При таком смещении окружность описывается уравнением:

\[ x^2 + (y-R)^2 = R^2 \]

Снова используем формулы перевода декартовых координат в полярные

получаем:

\[ ρ^2-2Rρ\sin(φ) = 0 \]

И этого уравнения получается система

\[ \lvbig ρ = 0
ρ = 2R\sin(φ) \r.\]

Первое уравнение системы описывает полюс окружности.

Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.

В итоге получаем:

\[ ρ = 2R\sin(φ) \]

Построение окружности в полярной системе координат смещенной вверх относительно полюса

www.fxyz.ru

Уравнение кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат были бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Окружность

Круг, заданный уравнением .

Общее уравнение окружности с центром в () и радиусом имеет вид:

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом .^[15]

Прямая

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

где  — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, где  — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую в точке определяется уравнением

Полярная роза

Полярная роза задана уравнением .

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

для произвольной постоянной (включая 0). Если  — целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных , либо с лепестками для чётных . Если  — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметь — лепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Спираль Архимеда

Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением для .

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра  — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для а другую для . Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Конические сечения

Эллипс.

Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

где  — эксцентриситет, а  — фокальный параметр. Если , это уравнение определяет гиперболу; если , то параболу; если , то эллипс. Отдельным случаем является , определяющее окружность с радиусом .

86. Вычисление определенного интеграла. Применение его к вычислению площадей плоских фигур, длины дуги кривой.

Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах

Пусть на плоскости x0y задана область, ограниченная снизу кривой y=f₁(x) , заданной в декартовых координатах, сверху – кривой  y=f₂(x) , слева – прямой x=a (ее может и не быть, если f₁(a)=f₂(a) ), справа – прямой  x=b.

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле

Здесь не нужно заботиться, какая из функций и где положительная, а какая отрицательная. Если, например, f₁(x)<0, то формула сама прибавит нужную площадь. Более сложные области всегда можно разбить так, чтобы выполнялись указанные условия.

Пусть на отрезке [a,b] уравнением  y=f(x) задана плоская кривая. Ее длина вычисляется по формуле

Пример 1 ::  Вычисление площадей и длин дуг в декартовых координатах

Вычислим площадь области, ограниченной кривыми   и длину границы этой области.

Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых

Если область на плоскости снизу ограничена кривой, заданной параметрически, то есть

при этом   x₁()=b, x₁()=b,  а сверху – кривой

Тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем по формуле

Эта формула совпадает с формулой вычисления площади в декартовых координатах, если учесть, что x'(t)dt=dx.

Пусть кривая на плоскости задана параметрически

Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле

Пример 2 ::  Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых.

Вычислим площадь фигуры, ограниченной кривыми   ,   , . Вычислим длину дуги циклоиды  ,  .

Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  =(), то площадь этой области вычисляем по формуле

Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования   ,  . Здесь нужно понимать, что кривая  =() определена только, если  >0. Поскольку в формуле присутствует ² , то она учтет и не существующую площадь, когда . Решив уравнение ()=0 , найдем пределы интегрирования.

Если кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  =(), то ее длина вычисляется по формуле

Пределы интегрирования определяются из тех же соображений, что и при вычислении площади.

studfiles.net

в полярной системе координат уравнение окружности

Вы искали в полярной системе координат уравнение окружности? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и окружность в полярных координатах, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «в полярной системе координат уравнение окружности».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как в полярной системе координат уравнение окружности,окружность в полярных координатах,уравнение окружности в полярной системе координат,уравнение окружности в полярных координатах,формула окружности в системе координат. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и в полярной системе координат уравнение окружности. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, уравнение окружности в полярной системе координат).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же в полярной системе координат уравнение окружности Онлайн?

Решить задачу в полярной системе координат уравнение окружности вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

7 ВОПРОС

7. Полярная система координат. Уравнения некоторых линий в полярной системе координат.

Положение точки на плоскости можно определять не только в декартовой системе координат, но и в так называемой полярной системе координат.

Полярная система координат задается: точкой O, называемой полюсом, и выходящей из этой точки полупрямой, называемой полярной осью с выбранной на ней единицей масштаба

Положение точкиM на плоскости определяется двумя числами: числом , выражающим расстояние точки M от полюса, и числом – величиной угла, образованного отрезком OM с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла  считается направление против хода часовой стрелки. Числа  и  называют полярными координатами точки M и обозначают М(,).

Полярный угол определен с точностью до слагаемого,. Положение любой точки на плоскости (кроме полюса) однозначно соответствует координатам и , если 0≤≤∞, 0≤≤2k, (или -≤). Для полюса ,– произвольное. В дальнейшем полярное расстояниебудем всегда считать положительным.

Cвязь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами. (2)

В последней формуле при определении нужно учитывать, в какой четверти находится точка.

Рис. 4

Уравнения некоторых линий в полярной системе координат

1.Прямая линия,

А) проходящая через полюс:.y=kx, x=r*cos , y= r*sin  k*r*cos = r*sin k=tg

B) не проходящая через полюс: Ах+Ву+С=0r=/cos(-£), где -расстояние от прямой до полюса, £ — угол наклона нормального вектора прямой n(А,В)

2. Окружность.

а) Окружность с центром в начале координат (рис а) .

б) Окружность с центром, смещенным по оси Ox (рис. б)

, .

в) Окружность с центром, смещенным по оси Oy (рис. в)

, .

3. Линии второго порядка (эллипс, гипербола, парабола)

Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат имеет вид

,

где b – параметр, – эксцентриситет. При— эллипс при– гипербола, при– парабола.

Переход к декартовым координатам:

r=(x²+y²)^1/2, cos=x/ (x²+y²)^1/2

Розы. Розами называются семейство кривых, уравнение которых в полярных координатах имеет вид:

или ,– положительные числа.

Так как , то кривые находятся внутри круга радиусаa. Вследствие периодичности функций ирозы состоят из конгруэнтных лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равенa. Если , то роза состоит изk лепестков (если кривая строится для ).

, .

5.Спираль Архимеда определяется как траектория точки, движущейся из точки O с постоянной скоростью v по лучу, вращающемуся около полюса O с постоянной угловой скоростью . Уравнение в полярных координатах имеет вид

, .

studfiles.net

18. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии

Наиболее важной после прямоугольной системы является полярная система координат.

Возьмем на плоскости точку , которая называется полюсом. Проведем из полюса направленную полупрямую , называемую полярной осью (рис.18). Пусть — произвольная точка плоскости. Соединим точку С полюсом Отрезком . Длина отрезка , т. е. расстояние точки от полюса, называется Полярным радиусом точки , а угол , отсчитываемый от полярной оси к отрезку Против движения часовой стрелки, Полярным углом.

Полярный радиус и полярный угол и Составляют Полярные координаты точки , и записывается следующим образом .

Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Пусть полюс полярной системы совпадает в началом прямоуголь­ной системы координат , а по­лярная ось является положительной полуосью (рис.19). Тогда для произвольной точки имеем:

Считая угол острым, из прямоугольного находим

Или

Полученные формулы справедливы для любого угла и выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.

Выразим полярные координаты точки через прямоугольные координаты из того же прямоугольника

Или

Пример 1. Найти полярное уравнение прямой

Решение. Так как , то или . Это и есть уравнение данной прямой в полярных координатах.

Пример 2. Написать уравнение линии в полярных координатах.

Решение. Так как , а Подставим эти выражения в данное уравнение линии

или

Это уравнение данной линии в полярных координатах.

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии в прямоугольных координатах, рассматривать параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат и в виде функций от некоторой переменной величины (параметра).

Пример 1. Выведем параметрическое уравнение окружности.

Решение. Пусть — произвольная точка окружности радиуса с центром в начале координат (рис.20). В прямоугольном треугольнике обозначим угол через . Будем иметь равенства

Или

(1)

Это и есть параметрическое урав­нение окружности.

Пример 2. Параметрическое уравнение эллиса.

Решение. Эллипс с полуосями и можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса , где коэффициент сжатия . Пусть — точка эллипса и — соответствующая точка окружности (рис.21), где

. (1)

За параметр Примем угол, образованный радиусом окружности с положительным направлением оси : Используя формулы (1) имеем

Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями и есть

. (2)

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

Полярная система координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из точки лучаl, называемогополярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Обычно считают положительными повороты против часовой стрелки.

Определение.Точка О называетсяполюсом, а луч l –полярной осью.

Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол называетсяполярным углом.

М

r

r =



0

l

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcos; y = rsin; x² + y² = r²

Пример.Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;

Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль осиОхна 1/2 вправо, большая полуосьa равна 3/2, меньшая полуосьb равна, половина расстояния между фокусами равнос == 1/2. Эксцентриситет равене = с/a= 1/3. ФокусыF₁(0; 0) иF₂(1; 0).

y

F₁F₂

-1 0 ½ 1 2 x

—

Пример.Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.

Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуосьbравна 3, откуда получаемc²=a²+b²;c= 5;e=c/a= 5/4.

Фокусы F₁(-10; 0),F₂(0; 0).

Построим график этой гиперболы.

y

3

F₁-9 -5 -1 0F₂x

-3

§5. Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение поверхности и линии в пространстве.

Определение.Пусть в прямоугольной системе координатOXYZ координатыx, y, z связаны уравнениемF(x,y,z) = 0 (1.1).

Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z(1.1.), является уравнением поверхностиS в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точкиM(x,y,z), принадлежащейS и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Линию в пространстве L можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0– уравнения поверхностей, пересекающихся по линииL.

Тогда систему двух уравнений

назовем уравнением линии L в пространстве.

studfiles.net

Связь между декартовыми координатами и полярными

Часто можно легко выписать формулу, показывающую, как изменятся координаты точки М, если от одной системы координат перейти к другой. Выведем формулы связи между декартовыми координатами (x,y) и полярными r и φ.

Пусть даны: декартова система координат и полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с осью X (рис. 7а), x и y – декартовы координаты точки, r и φ – ее полярные координаты. Из треугольника, образованного точками О, М и х, видно, что зависимость между полярными координатами r и φ точки М и ее прямоугольными координатами x и y выражается формулами, известными из тригонометрии:

y=rsinj, x=rcosj — вычисление декартовых координат по полярным

— вычисление полярных координат по декартовым (одной формулы для определения угла недостаточно).

То есть, зная декартовы координаты точки, мы можем определить ее полярные координаты. И наоборот. Зная ее полярные координаты, можно определить декартовы координаты.

 

Пример

Чему равны полярные координаты точки М, имеющей декартовы координаты один и минус один?

Подставив значения декартовых координат в формулы, которые задают выражение полярных координат через декартовы, получаем, что:

Так как точка М находится в четвертой четверти, то j=315° (рис. 7б)

 

Линии и их уравнения

Итак, при наличии системы координат каждой точке плоскости соответствует пара действительных чисел и, наоборот, каждой паре чисел соответствует определенная точка плоскости. Можно установить, что линиям на плоскости соответствует некоторое уравнение с двумя переменными x и y в декартовой системе координат и переменными r и j в полярной. Связь между уравнениями и линиями позволяет свести изучение геометрических свойств линий к исследованию аналитических свойств соответствующих им уравнений. Линии на плоскости соответствует некоторое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней. Такое уравнение называют уравнением данной линии. Входящие в него координаты x и y (или r и j) произвольной точки линии называются текущими координатами.

Уравнение линии на плоскости может быть аналитически задано в явном виде — y=f(x), r=f(j) или неявном виде — F(x,y)=0, F(r,j)=0. Полярную систему координат удобно использовать, когда длина радиуса-вектора точек, лежащих на линии, связана аналитической зависимостью со значением угла поворота j.

 

Примеры уравнений линий в декартовой и полярной системе координат

1.Уравнение прямой, отсекающей на оси Y отрезок величины b: y=kx+b, где k — значение tg угла наклона прямой к оси ОХ; параметр k называется угловым коэффициентом прямой. Уравнение линии задано в явном виде (рис. 8).

2.Уравнение линии, являющейся геометрическим местом точек, для которых расстояние до некоторой точки О с координатами а и b есть величина постоянная (обозначим ее через R). Выпишем условие равенства константе R расстояния от любой точки М(x,y) до точки O(a,b): . Возведя обе части равенства в квадрат, получаем каноническое уравнение окружности:

(x-a)²+(y-b)²=R²

Если система координат выбрана так, что центр окружности совпадает с началом координат, то a=0, b=0 и уравнение окружности принимает вид:

x²+y²=R²

Уравнение линии в этих примерах задано в неявном виде.

3.Уравнение окружности в полярной системе координат.

Введем полярную систему координат, центр которой совпадает с центром окружности, а направление полярной оси, например, горизонтальное. Окружность определяется, как геометрическое место точек, для которых расстояние до некоторой точки О есть величина постоянная (эту величину мы обозначали через R). Следовательно, уравнение окружности в полярных координатах: r=R

Окружность дает простейший пример линии, уравнение которой от перехода к полярной системе координат упрощается.

 

 

На рисунке 9 приведена окружность и ее уравнение в разных системах координат. Одновременно мы показали на этом простом примере, что вид линии не зависит от того, в какой системе координат написано ее уравнение. От выбора системы координат зависит лишь вид уравнения.

Рассмотрим примеры еще 2 кривых, длина радиуса-вектора которых связана аналитической зависимостью со значением его угла поворота j. Уравнения этих кривых удобно задавать именно в полярной системе координат.

 

Уравнение спирали Архимеда

Пусть по лучу, вращающемуся около полюса О с постоянной угловой скоростью w, движется точка М с постоянной скоростью v. Тогда точка М опишет линию, которая называется спиралью Архимеда. Для того чтобы вывести уравнение этой линии, введем полярную систему координат, центр которой совпадает с точкой О, тогда расстояние от точки М до полюса О r=ОМ пропорционально углу j (рис 10а). Это означает, что уравнение спирали Архимеда можно записать в виде:

r=kj.

В предыдущих главах мы строили опорные точки графика спирали Архимеда, руководствуясь именно этим свойством спирали – при изменении угла на величину nΔφ длину радиуса-вектора мы меняли на nΔr.

 

Из уравнения видно, что если j=2p (точка М совершила полный оборот вокруг центра О), то r₁=k×2p, после второго оборота r₂=k×4p=2r₁, после третьего r₃=k×6p=3r₁ и т.д. Величина k×2p=а называется шагом спирали. Шаг спирали — это величина смещения вдоль луча, соответствующее повороту луча на 2p.

Так как шаг спирали имеет ясный физический смысл, уравнение спирали Архимеда принято задавать в терминах именно шага спирали: . Коэффициент пропорциональности k и шаг спирали а связаны соотношением: и а=2pk.

 



infopedia.su

1.2.1. Метод простой итерации (метод Якоби)