Рубрика: Школьная жизнь

Рассчитать график смен онлайн

Укажите дату Вашего первого рабочего дня:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030

Укажите ваш тип сменности:

1 2 3 4 5 6 7 × 1 2 3 4 5 6 7

Сколько часов длится ваша смена:

Отметьте, если первая смена — ночь ()

На какое количество месяцев рассчитать график: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Рассчитать график смен онлайн!

Смен за рассчитанный Вами период: 180
Всего рабочих часов: 1980

Ваш график всегда под рукой! Просто сохраните ссылку на него в закладки:
http://grafik-smen.ru/

Скопировать ссылку:
http://grafik-smen.ru/»
Последние расчёты

Сменный график работы для многих очень удобен, так как позволяет иметь больше выходных дней в неделю в отличии от пятидневневки. Но несмотря на привлекательность такого формата, не легко высчитать на продолжительный период времени, какие дни будут являться выходными, а какие рабочими. А ведь хочется знать, как выпадет ваш график смен на день рождения, Новый Год, или субботу и воскресенье.

Наш сервис решает эту проблему! Благодаря Grafik-Smen.Ru у Вас есть возможность составить свой график смен на любой период. Также Вы можете сохранить постоянную ссылку в закладки браузера, и открывать свой график смен в один клик даже со смартфона! Для того чтобы составить свой график смен, вам нужно выполнить всего лишь три действия: указать первый рабочий день, выбрать формат графика работы, нажать на кнопку. Поздравляем! Ваш график смен уже доступен для Вас в любое время и в любом месте.

grafik-smen.ru

Графики простейших функций — линейная, параболы, гиперболы, экспоненты, показательные, степенные, логарифмическая, синус, косинус, тангенс, котангенс изучаемых в школе Справочная таблица. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Название функции	Формула функции	График функции	Название графика	Комментарий
Линейная, прямая пропорциональность	y = kx		Прямая	Cамый простой частный случай линейной зависимости — прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 — коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.
Линейная, прямая пропорциональность со сдвигом	y = kx + b		Прямая	Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b — любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1.
Квадратичная функция	y = x2		Парабола	Простейший случай квадратичной зависимости — симметричная парабола с вершиной в начале координат.
Квадратичная функция	y = ax2 + bx + c		Парабола	Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a — произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c — любые действительные числа
Степенная функция	y = x3		Кубическая парабола	Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Степенная — корень квадратный	y = x1/2		График функции y = √x	Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Степенная — обратная пропорциональность	y = k/x		Гипербола	Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1) — обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1.
Показательная функция	y = ex		Экспонента	Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e — иррационального числа примерно равного 2,7182818284590…
Показательная функция	y = ax		График показательной функции а>1	Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1).
Показательная функция	y = ax		График показательной функции 0<a<1	Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1).
Логарифмическая функция	y = ln(x)		График логарифмической функции — натуральный логарифм	График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой.
Логарифмическая функция	y = logax		График логарифмической функции — логарифм по основанию а>1	Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).
Логарифмическая функция	y = logax		График логарифмической функции 0<a<1	Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1).
Синус	y = sinx		Синусоида	Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Косинус	y = cosx		Косинусоида	Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Тангенс	y = tgx		Тангенсоида	Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Котангенс	y = сtgx		Котангенсоида	Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».

tehtab.ru

Свойства функции y = cosx и её график — урок. Алгебра, 10 класс.

Функция y=cosx определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок −1;1.

Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y=−1 и y=1.

Так как функция y=cosx периодическая с периодом 2π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π, например, на отрезке −π≤x≤π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn,n∈ℤ, график будет таким же.

Функция y=cosx является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси \(Oy\).

Для построения графика на отрезке −π≤x≤π достаточно построить его для 0≤x≤π, а затем симметрично отразить его относительно оси \(Oy\).

Найдём несколько точек, принадлежащих графику на этом отрезке 0≤x≤π: cos0=1;cosπ6=32;cosπ4=22;cosπ3=12;cosπ2=0;cosπ=−1.

Итак, график функции y=cosx построен на всей числовой прямой.

Свойства функции y=cosx

1. Область определения — множество ℝ всех действительных чисел.

2. Множество значений — отрезок −1;1.

3. Функция y=cosx периодическая с периодом 2π.

4. Функция y=cosx — чётная.

5. Функция y=cosx принимает:

— значение, равное \(0\), при x=π2+πn,n∈ℤ;

— наибольшее значение, равное \(1\), при x=2πn,n∈ℤ;

— наименьшее значение, равное \(-1\), при  x=π+2πn,n∈ℤ;

— положительные значения на интервале −π2;π2 и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈ℤ;

— отрицательные значения на интервале π2;3π2 и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈ℤ.

6. Функция y=cosx:

— возрастает на отрезке π;2π и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈ℤ;

— убывает на отрезке 0;π и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈ℤ.

www.yaklass.ru

Тренинг по теме «Сокращение дробей» (6 класс)

Макарова Т.П., ГБОУ СОШ № 618

Макарова Татьяна Павловна,

Учитель ГБОУ СОШ №618 г. Москвы

Контингент: 6 класс

Тема: Сокращение дробей.

Вид работы: Тренинг

Тренинг направлен на проверку знаний и умений учеников по теме «Сокращение дробей». Тренинг предназначен для учащихся 6 класса к учебнику Н.Я. Виленкин, В.И. Жохова и др. Учебник для 6 класса. – М.: Мнемозина, 2013. – 288с.

Цели: отработать умения и навыки по применению сокращения дробей для решения задач; развивать воображение, логическое мышление, внимание, навыки умственной и практической деятельности, самоконтроля, содействовать воспитанию интереса к предмету.

Тренинг содержит четыре варианта по восемь заданий в каждом. Полностью соответствует программным требованиям, может быть использован при проведении классно-урочного контроля.

Тренинг по теме «Сокращение дробей»

Вариант 1

Вариант 2

1.Выберете те из дробей , которые являются несократимыми

1.Выберете те из дробей , которые являются несократимыми.

2. Сократите дробь:

а)

б)

в)

г)

2. Сократите дробь:

а)

б)

в)

г)

3. Выполните действия, сократив, полученную дробь:

а)

б)

3. Выполните действия, сократив, полученную дробь:

а)

б)

4. Сократите дробь и исключите из каждой из них целую часть:

4. Сократите дробь и исключите из каждой из них целую часть: .

5.Какую часть развернутого угла составляет угол, градусная мера которого равна 84⁰.

5. Какую часть прямого угла составляет угол, градусная мера которого равна 48⁰

6. Сократите:

6. Сократите:

7. Какую часть часа составляют 50 минут ?

7. Какую часть минуты составляют 48 секунд ?

8. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и результат сократите 0,456.

8. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и результат сократите 0,425.

Вариант 3

Вариант 4

1.Выберете те из дробей , которые являются несократимыми

1.Выберете те из дробей , которые являются несократимыми.

2. Сократите дробь:

а)

б)

в)

г) .

2. Сократите дробь:

а)

б)

в)

г) .

3. Выполните действия, сократив, полученную дробь:

а)

б)

3. Выполните действия, сократив, полученную дробь:

а)

б)

4. Сократите дробь и исключите из каждой из них целую часть:

4. Сократите дробь и исключите из каждой из них целую часть:

5.Какую часть развернутого угла составляет угол, градусная мера которого равна 27⁰.

5. Какую часть прямого угла составляет угол, градусная мера которого равна 72⁰

6. Сократите:

6. Сократите:

7. Какую часть часа составляют 45 минут ?

7. Какую часть минуты составляют 28 секунд ?

8. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и результат сократите 0,256.

8. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и результат сократите 0,632.

infourok.ru

Тест по математике для 6 класса «Сокращение дробей»

Вариант 1

1. Сократите дробь на НОД числителя и знаменателя.

а) б) в) г) дробь несократимая.

2. Какие из дробей равны дроби ?

а) только б) только в) только г) .

3. Запишите частное 50:175 в виде дроби и сократите её.

а) б) в)

4. Найдите значение m в равенстве

а) 288; б) 2; в) 144; г) 72.

5. Сократите дробь

а) б) в) г)

6. Какую дробь можно привести к знаменателю 50?

а)  б)  в)  г)

7. Приведите дробь  к знаменателю 49:

а)  б)  в)  г) 

8. Наименьшим общим знаменателем дробей  и  является число:

а) 150 б) 30 в) 25 г) 60

Вариант II

1. Сократите дробь на НОД числителя и знаменателя.

а) б) в) г) дробь несократимая.

2. Какие из дробей равны дроби ?

а) только б) только в) только г) .

3. Запишите частное 75:200 в виде дроби и сократите её.

а) б) в)

4. Найдите значение n в равенстве

а) 45; б) 3; в) 5; г) 15.

5. Сократите дробь

а) б) в) г)

6. Какую дробь можно привести к знаменателю 60?

а)  б)  в)  г)

7. Приведите дробь  к знаменателю 35:

а)   б)   в)  г) 

8. Наименьшим общим знаменателем дробей  и  является число:

а) 48 б) 70 в) 28 г) 460

infourok.ru

Самостоятельная работа по математике Сокращение дробей 6 класс

Самостоятельная работа по математике Сокращение дробей 6 класс с ответами. Самостоятельная работа включает 2 варианта, в каждом по 6 заданий.

Вариант 1

1. Сократите дроби:

³/₆; ⁸/₁₆; ⁸/₁₂; ⁴²ⁿ/_49n.

2. Представьте числа в виде обыкновенной несократимой дроби:

а) 0,36
б) 0,7
в) 0,625

3. Андрей красит за 2 часа 7 м² забора, а Иван 15 м² забо­ра за 6 ч. Кто из них красит 1 м² забора быстрее и на сколь­ко?

4. Выполните действия:

3²/₈ − ¹⁴/₈ + ¹⁶/₈.

5. Сократите дробь

¹⁵⁵⁴/₃₄₆₅

6. Сколько трехзначных чисел можно составить из чет­ных цифр, если цифры в записи числа не повторяются?

Вариант 2

1. Сократите дроби:

⁴/₈; ⁶/₈; ⁷/₁₄; ²²ⁿ/_33n.

2. Представьте числа в виде обыкновенной несократимой дроби:

а) 0,24
б) 0,3
в) 0,875

3. Маша выпекает 6 пирожных за час, а Аня — 12 пирожных за 3 часа. Кто из них выпекает 1 пирожное быстрее и насколько?

4. Выполните действия:

4²/₆ − ¹³/₆ − ⁴/₆

5. Сократите дробь

¹⁸⁸⁷/₂₆₆₄

6. Сколько трехзначных чисел можно составить из не­четных цифр, если цифры в записи числа не повторяются?

Ответы на самостоятельную работу по математике Сокращение дробей 6 класс
Вариант 1
1. ¹/₂; ¹/₂; ²/₃; ⁶/₇
2.
а) ⁹/₂₅
б) ⁷/₁₀
в) ⁵/₈
3. Андрей, на ⁴/₃₅ часа
4. 3¹/₂
5. ⁷⁴/₁₆₅
6. 48
Вариант 2
1. ¹/₂; ³/₄; ¹/₂; ²/₃
2.
а) ⁶/₂₅
б) ³/₁₀
в) ⁷/₈
3. Маша, на ¹/₁₂ часа
4. ³/₂
5. ¹⁷/₂₄
6. 60

testytut.ru

Тест. Сокращение дробей

© 2018, ООО КОМПЭДУ, http://compedu.ru При поддержке проекта http://videouroki.net

Список вопросов теста

Вопрос 1

Какой несократимой дроби равна дробь 1848?

Варианты ответов

Вопрос 2

Какой несократимой дроби равна дробь 2864?

Варианты ответов

Вопрос 3

Представьте десятичную дробь 0,875 в виде обыкновенной несократимой дроби.

Варианты ответов

Вопрос 4

Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют … .

Вопрос 5

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от одного, называют … дроби.

Вопрос 6

При каких натуральных значениях дробь n6 будет правильной несократимой?

Варианты ответов

Вопрос 7

Сократите дробь 243·3434·49·81. Укажите чему будет равен числитель и знаменатель несократимой дроби.

Варианты ответов

• числитель равен 21
• числитель равен 4
• знаменатель равен 21
• знаменатель равен 4

Вопрос 8

Укажите дроби, которые являются различными записями числа 45.

Варианты ответов

• 810

• 215

• 2030

• 3240

• 210

• 2835

Вопрос 9

Сократите дроби и сопоставьте их значения с сокращенными.

Варианты ответов

Вопрос 10

Какое натуральное число является числителем дроби в равенстве 327=x9?

videouroki.net

6 класс. Математика. Сокращение дробей — Сокращение дробей

Комментарии преподавателя

Пред­ставь­те себе такую си­ту­а­цию.

За сто­лом 3 че­ло­ве­ка и 5 яблок. Де­лят­ся 5 яблок на троих. Каж­до­му до­ста­ет­ся по  яб­ло­ка.

А за со­сед­ним сто­лом еще 3 че­ло­ве­ка и тоже 5 яблок. Каж­до­му опять по .

При этом всего 10 яблок и 6 че­ло­век. Каж­до­му по .

Но это одно и то же.

 . Эти дроби эк­ви­ва­лент­ны.

Можно уве­ли­чить в два раза ко­ли­че­ство людей и в два раза ко­ли­че­ство яблок. Ре­зуль­тат будет тем же самым.

В ма­те­ма­ти­ке это фор­му­ли­ру­ет­ся так:

Если чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби умно­жить или раз­де­лить на одно и то же число (не рав­ное 0), то новая дробь будет равна ис­ход­ной.

Это свой­ство ино­гда на­зы­ва­ют «ос­нов­ным свой­ством дроби».

При­ме­ры эк­ви­ва­лент­ных дро­бей

1. Путь от го­ро­да до де­рев­ни – 7 км.

Мы идем по до­ро­ге и опре­де­ля­ем прой­ден­ный путь по ки­ло­мет­ро­вым стол­би­кам. Прой­дя три стол­би­ка, три ки­ло­мет­ра, мы по­ни­ма­ем, что про­шли  пути.

Но если мы не видим стол­би­ков (может, их не уста­но­ви­ли), можно путь счи­тать по элек­три­че­ским стол­бам вдоль до­ро­ги. Их 20 штук на каж­дый ки­ло­метр. То есть всего 140 на всем пути. Три ки­ло­мет­ра –  стол­бов. То есть мы про­шли 60 из 140 стол­бов, .

2. Дробь на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти можно от­ме­чать точ­кой. Чтобы изоб­ра­зить дробь  от­ме­тим точку с ко­ор­ди­на­той 3 по оси  и 4 по оси . Про­ве­дем пря­мую из на­ча­ла ко­ор­ди­нат через нашу точку.

На этой же пря­мой будет ле­жать и точка, со­от­вет­ству­ю­щая дроби .

Они яв­ля­ют­ся эк­ви­ва­лент­ны­ми:   (см. Рис. 1)

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к при­ме&

www.kursoteka.ru

Контрольная работа по математике Основное свойство дроби 6 класс

Контрольная работа по математике Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Сложение и вычитание смешанных чисел 6 класс с ответами. Контрольная работа включает 4 варианта, в каждом по 6 заданий.

Вариант 1

1. Сократите дроби:

2/4; 5/15; 6/10; 8n/14n

2. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби.

2/7 и 5/8

3. Сравните дроби:

а) 5/7 и 2/3
б) 3/11 и 2/9

4. Найдите значение выражения:

(2³/₅ − 1⁷/₁₀) + (1¹/₂ − ⁷/₂₀)

5. Решите уравнение:

х + 2¹/₃ + 3¹/₉ − 1¹/₁₂ = 5⁷/₁₂

6. Сколькими способами могут разместиться 3 пассажи­ра в 6-местной лодке?

Вариант 2

1. Сократите дроби:

3/6; 4/12; 5/20; 6n/18n

2. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби.

4/9 и 5/12

3. Сравните дроби:

а) 2/11 и 3/14
б) 1/15 и 2/29

4. Найдите значение выражения:

(3¹/₇ − 2³/₁₄) + (2³/₄₂ − 1¹/₁₇)

5. Решите уравнение:

3¹/₅ + 2²/₅ − х = 3¹/₁₀ − 1¹/₅

6. Сколькими способами могут разместиться 4 пассажи­ра в 6-местной лодке?

Вариант 3

1. Сократите дроби:

14/21; 13/39; 24/36; 17n/51n

2. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби.

3/14 и 5/21

3. Сравните дроби:

а) 3/8 и 2/5
б) 4/13 и 2/7

4. Найдите значение выражения:

(4²/₇ − 3¹/₁₄) + (1¹/₂₈ − ³/₁₄)

5. Решите уравнение:

3²/₅ − х − 1¹/₄ = 1¹/₁₂

6. Сколькими способами могут разместиться 3 пассажи­ра в 5-местной лодке?

Вариант 4

1. Сократите дроби:

3/18; 4/16; 18/54; 13n/52n

2. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби.

5/11 и 1/6

3. Сравните дроби:

а) 3/7 и 1/3
б) 4/19 и 2/11

4. Найдите значение выражения:

(5¹/₈ − 2¹/₄) + (3⁷/₁₆ − ⁹/₈)

5. Решите уравнение:

х + 2⁶/₁₃ − 1¹/₃₉ = 2³/₁₃ + 3²/₁₃

6. Сколькими способами могут разместиться 4 пассажи­ра в 5-местной лодке?

Ответы на контрольную работу по математике Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Сложение и вычитание смешанных чисел 6 класс
Вариант 1
1. 1/2; 1/3; 3/5; 4/7
2.
2/7 = 16/56
5/8 = 35/56
3.
а) 5/7 > 2/3
б) 3/11 > 2/9
4. 2¹/₂₀
5. 1²/₉
6. 120
Вариант 2
1. 1/2; 1/3; 2/3; 1/3
2.
4/9 = 16/36
5/12 = 15/36
3.
а) 2/11 < 3/14
б) 1/15 < 2/29
4. 1⁶/₇
5. 3⁷/₁₀
6. 360
Вариант 3
1. 2/3; 1/3; 2/3; 1/3
2.
3/14 = 9/42
5/21 = 10/42
3.
а) 3/8 < 2/5
б) 4/13 > 2/7
4. 2¹/₂₈
5. 1¹/₁₅
6. 60
Вариант 4
1. 1/6; 1/4; 1/3; 1/4
2.
5/11 = 30/66
1/6 = 11/66
3.
а) 3/7 > 1/3
б) 4/19 > 2/11
4. 5³/₁₆
5. 3³⁷/₃₉
6. 120

testytut.ru

Сокращение дробей 6 класс — К уроку — Математика, алгебра, геометрия

Автор: Тазетдинова Анастасия Николаевна, учитель математики

МОУ лицей №6 Октябрьского района городского округа город Уфа Республики Башкортостан, licey6@ufanet.ru

Тема: Сокращение дробей

Тип урока: урок совершенствования и контроля ЗУН.

Цели:

• Знать основное свойство дроби и уметь применять его при сокращении дробей.

• Развивать интерес к предмету.

• Рассказать учащимся о картине Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт», обращая внимание на задачу, условие которой написано на классной доске.

• Учить работать учащихся как индивидуально, так и в группах, воспитывая критическое отношение к своим знаниям, умение прислушиваться к чужому мнению.

• Проверить усвояемость пройденного материала.

Оборудование:

• Интерактивная доска.

• Проектор.

• ПК (с таким расчетом, чтобы за одним ПК работало не более 2 учащихся) с установленным тестом по теме «Сокращение дробей».

• Репродукция картины Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт».

Литература:

• Виленкин Я. Н. и др. Математика 6: Учебное пособие. М.: Мнемозина, 2004.

• Фаермарк Д. С. Задача пришла с картины. – М.: Наука, 1974 г.

Ход урока

Сообщение задачи урока.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы будем применять на практике те знания, которые вы получили на предыдущих уроках по теме «Сокращение дробей». Вы увидите, что умение сокращать дроби очень помогает при решении примеров на вычисление. А в конце урока с помощью тестирования вы узнаете, хорошо ли вы усвоили пройденный материал.

Для начала – устная разминка:

Вопросы:

2. В чём заключается основное свойство дроби?

3. Изменится ли значение дроби, если её числитель уменьшить в 2 раза, а знаменатель увеличить в 2 раза?

4. Изменится ли значение дроби, если к числителю и знаменателю прибавить 2?

5. Изменится ли значение дроби, если её числитель умножить на 2, а знаменатель разделить на ?

6. Сократите дроби:

7. Многие люди бодрствуют 16 часов в сутки. Какую часть суток люди спят? Ответ дайте в виде несократимой дроби.

Ну что ж, разминка показала, что вы усвоили тему, и мы можем приступать к решению примеров. Запишите в тетрадях число, тему «Сокращение дробей».

Далее решаются №236, 277, 282 из учебника. Учащиеся по одному выходят к доске и комментируют своё решение. Так как учащиеся уже знают, как работать с интерактивной доской, им разрешается самим выбрать цвет ручки. Если одним учащимся на доске допущена ошибка, другой учащийся своим цветом исправляет её.

А теперь перейдём к решению более интересного примера.

Демонстрируется репродукция картины «Устный счёт» Николая Петровича Богданова-Бельского (1868-1945), написанная в 1895-96 г.

Как правило, в каждом классе находятся учащиеся, чем-то напоминающие героев картины, поэтому ученики с интересом обсуждают, что они видят. Итак, класс сельской школы. Идёт урок арифметики. Учитель написал на доске задачу, и ребятишки решают её в уме. На переднем плане – мальчик в длинной холщовой рубахе, подпоясанной бечёвкой. Из рваного рукава виден голый локоть.(Сирота, наверное, некому присмотреть). единственное, что на нём целое и ладное, — этот новенькие лапти, сплетённые, должно быть, собственными руками. Высокий лоб, большие умные глаза. Во всём облике угадывается большое упорство и внутренняя сила. Он, может быть, не всегда быстро, но всегда самостоятельно доходит до сути вещей. Как знать, может в этом маленьком оборвыше художник изобразил самого себя, своё безрадостное детство. Рядом другой подросток в вышитой рубахе и синих портках. Одну руку он заложил за голову, он думает. Широко раскрыты голубые глаза, как будто они стараются где-то вдалеке разглядеть решение. Один из мальчиков наклонился к уху учителя и, прикрыв рот ладошкой, шепчет с видом заговорщика, ответ. Справа от него другой мальчик скосил глаза: ему хочется подслушать ответ. Слева от учителя – мальчик в сиреневой рубашке и добротных сапогах, видно, из зажиточных, старательно считает на пальцах, и губы его что-то шепчут. Мальчик, стоящий слева от доски, кажется, вот-вот решит задачу. Два мальчика – один в розовой рубашке, второй — в белой, справа от доски, решают задачу совместно. Вместе – легче, они ведь маленькие. Учитель, сидя в спокойной позе, внимательно, с интересом наблюдает за учениками. Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. С 1833 по 1902 г. жил известный русский педагог Сергей Александрович Рачинский, замечательный представитель русских образованных людей девятнадцатого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского Университета. В 1868 г. С. А. Рачинский оставляет должность профессора, открывает школу для крестьянских детей в селе Татево, Смоленской области, и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы: другие учителя, инспектора. Сам Николай Петрович был учеником С. А. Рачинского. Рачинский учил детей не только устному счёту, он учил их думать и рассуждать, подбирая соответствующие примеры и задачи. Что же за пример решают ученики трёхклассной сельской школы?

Когда я предлагаю ученикам решить этот пример, многие берут в руки карандаши или ручки. Останавливаю их: «Ведь ребята с картины решают этот пример устно!» Через какое-то время некоторые учащиеся, вспомнив устную разминку в начале урока, догадываются что , т.е. ответ задачи 2. для них решение этого примера – подлинная радость, открытие. Называю время, потраченное ими на решение примера, и сообщаю, что с помощью компьютера эта задача решается мгновенно, разумеется, если правильно составить программу для вычисления. Но составлять программы учащиеся будут на уроках информатики, а пока предлагаю им с помощью ПК проверить свои знания в области сокращения дробей.

На доске показывается демонстрационная версия теста по данной теме, а затем учащиеся рассаживаются за компьютеры с таким расчётом, чтобы за одним компьютером находилось не более двух человек, и решают тест по теме «Сокращение дробей».

1. На какое наибольшее число можно сократить дробь:

• на числитель;

• на знаменатель;

• на наибольший общий делитель числителя и знаменателя;

• на наименьшее общее кратное числителя и знаменателя.

Признак делимости на 12 | Математика

Чтобы получить признак делимости на 12, надо представить 12 как произведение трёх и четырёх.

Из того, что 12=3∙4, следует: число делится на 12, если оно делится и на 3, и на 4.

Таким образом, признак делимости на 12 представляет собой объединение признаков делимости на 3 и на 4.

Признак делимости на 12

Натуральное число делится на 12, если сумма его цифр делится на 3  и его запись оканчивается двумя цифрами, образующими число, делящееся без остатка на 4.

Если для проверки делимости на 4 использовать 2-й признак, признак делимости на 12 для трёхзначного числа схематически можно изобразить так:

Для шестизначного числа признак делимости на 12 схематично выглядит так:

Примеры.

Определить, какие из чисел делятся на 12:

1) 876;

2) 1128;

3) 2485;

4) 3844;

5) 61176;

6) 64692;

7) 170760.

Решение:

1) 876: 8+7+6=21. 21 делится на 3, следовательно, 876 также делится на 3.

76 делится на 4 (7+6:2=10 — чётное число). Значит, 876 делится на 4.

Отсюда следует, что 876 делится на 12.

2) 1128: 1+1+2+8=12. 12 делится на 3.

28 делится на 4.

Значит, 1128 делится на 12.

3) 2485 не делится на 12, так как его запись оканчивается нечётной цифрой (а значит, число не делится без остатка на 4).

4) 3844: 3+8+4+4=19. Число не делится на 3, а значит, не делится на 12.

5) 61176: 6+1+1+7+6=21. 21 делится на 3, значит и 61176 делится на 3.

76 делится на 4 (7+6:2=7+3=10 — чётное число), значит и 61176 делится на 4.

Следовательно, 61176 делится на 12.

6) 64692: 6+4+6+9+2=27. Поскольку 27 делится на 3, 64692 делится на 3.

92 делится на 4 (9+2:2=9+1=10 — чётное число), 64692 делится на 4.

Таким образом, 64692 делится на 12.

7) 170760: Так как 1+7+0+7+6+0=21 делится на 3, то и 170760 делится на 3.

Так как 60 делится на 4 (6+0:2=6 — чётное число), то и 170760 делится на 4.

Так как 170760 делится и на 3, и на 12, то 170760 делится и на 12.

Ответ: 876; 1128; 61176; 64692; 170760.

www.for6cl.uznateshe.ru

Признаки делимости на 11,12,13,14,15. Примеры решения задач.

Признак делимости на \(11\)

Число делится на \(11\), если разность всех цифр в нечетных местах и цифр в четных местах, делится на \(11\).

Задача 1. Проверить делимость чисел на \(11\): \(2547039\), \(13165648\) .

Решение.  Найдем сумму цифр в четных и нечетных местах у числа \(2547039\).

1. \((9+0+4+2)-(3+7+5)=15-15=0-\)  делится на 11.
2. \((8+6+6+3)-(4+5+1+1)=23-11=12-\) не делится на 11

Признак делимости на \(12\)

Число делится на 12, если оно кратно \(3\) и \(4.\)

Задача 2. Проверить делимость чисел на \(12\): \(9012\) и \(23988\).

1.   Сумма цифр ​\(9012\) ​делится на \(3:\)  \(9+0+1+2=\frac{12}{3}=4\) и последние две цифры делятся на \(4:\frac{12}{4}=3\).
2.   \(23988\)  сумма цифр делится на \(3:2+3+9+8+8=\frac{30}{3}=10\) и последние две цифры делятся на \(4:\frac{88}{4}=22.\). Вывод: числа \(9012\) и \(23988\)делятся на 12.

Признак делимости на ​\(13\)​
 

Число делится на \(13\), если число его десятков умножить на \(4\) и сложить с оставшимися цифрами, кратно \(13\).

Задача 3. Проверить делимость чисел на \(13\): \(845\) и \(676\).

1. \(84+(4*5)=104 -\)делится на \(13\).
2. \(67+(4*6)=67+24=91-\) делится на 13.

Ответ: числа \(845,676\) делятся на 13.

Признак делимости на \(14\)

Число делится на \(14\) тогда и только тогда, когда оно делится на \(2\) и на \(7\).

Рассмотрим число \(994:\) запись числа заканчивается чётной цифрой, следовательно признак делимости на \(2\) выполнен.

Проверяем делимость на \(7:\) \(99-2*4=99-8=91.\)

Повторяем действия:  \(9-2*1=7-\) делится на \(7\). \(994\) делится \(14\).

Признак делимости на \(15\)

Число делится на \(15\), если оно делится на \(3\) и на \(5\).

Рассмотрим число \(6375.\) Число \(6375\) делится на \(3\) так как  сумма его цифр  кратна \(3\). Также данное число делится на \(5\), потому что на последнем месте стоит пятерка. Число \(6375\) делится на \(15\).

Признак делимости на \(17\)

Число делится на \(17\), если число его десятков умножить на \(12\)  и сложить с оставшимися цифрами, кратно \(17\).

Задача 4. Определить кратно ли семнадцати число \(29053\) .

Решение.

\(2905+36=2941\)→\(294+12=306\)→\(30+72=102\)→\(10+24=34\).

\(29053\) делится на \(17\).

Число делится на \(19\), если удвоенное число его десятков сложить с оставшимися цифрами, кратно \(19.\)

Пример: \(646\) делится на \(19\), так как \(64+(6*2)=76\) делится на \(19\).

Число делится на \(23\), если утроенное число его сотен сложить с оставшимися цифрами, кратно \(23\).

Пример: \(28842-288+(3*42)=414\).Повторяем действия: \(4+(3*14)=46\), \(46\) делится на \(23\), значит и \(28842\) кратно \(23\).

Число делится на \(25\), если две его последние цифры делятся на \(25\),то есть если его последние цифры оканчиваются на \(00,25,50\) или \(75\) или число кратно \(5\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Признак делимости — это… Что такое Признак делимости?

При́знак дели́мости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Существуют несколько простых правил, позволяющих найти малые делители числа в десятичной системе счисления:

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (так как все числа вида 10ⁿ при делении на 3 дают в остатке единицу).

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр (оно может быть двузначным, однозначным или нулём) делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).

Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10³+1, которое само делится на 7:
Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь.

Ещё один признак — берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую… Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками равна 0 или делится на 11 (то есть 182 919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10ⁿ при делении на 11 дают в остатке (-1)ⁿ.

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 — очевидно, делится на 23).

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 99

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 2ⁿ

Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5ⁿ

Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10ⁿ − 1

Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10ⁿ − 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10ⁿ − 1.

Признак делимости на 10ⁿ

Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10ⁿ + 1

Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10ⁿ + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10ⁿ + 1.

См. также

• Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых a и b определить, делится ли a на b. Точнее, он позволяет вывести почти все из выше приведённых признаков.

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Признаки делимости чисел — HintFox

Математика — самая древняя наука, она была и остаётся необходимой людям. Слово математика греческого происхождения. Оно означает «наука», «размышление».

В древности полученные знания, открытия часто старались сохранить в тайне. Например, в школе Пифагора было запрещено делиться своими знаниями с непифагорейцами.

За нарушение этого правила один из учеников, требовавший свободного обмена знаниями, — Гиппас был изгнан из школы. Сторонников Гиппаса стали называть математиками, то есть приверженцами науки. Основы математики все без исключения начинают изучать с первых классов школы и с каждым годом знания расширяются. Математика прошла во все отрасли знаний – физику, химию, науки о языке, медицину, астрономию и т. д. Математики учат вычислительные машины сочинять стихи и музыку, измерять размеры атомов и проектировать плотины, электростанции и т. д. Много интересного можно узнать из математики. Мне нравится тема «Признаки делимости», которую мы изучали в 6 классе и я решил узнать об этой теме побольше.

Цель данной работы осветить признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 25, 125.

Зная из 6 класса признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 легко вывести признаки делимости на 4, 6, 8, 12, 15, 25, 125.

Эти признаки я объединил в таблицу.

на 2 На 2 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на четные цифры (0,2,4, 6,8)

на 3 На 3 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3

На 4 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых последние две цифры образуют число, делящееся на 4

на 5 На 5 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5.

на 6 На 6 делятся те, и только те натуральные числа, которые оканчиваются чётной цифрой, и сумма цифр делится на 3

на 8 На 8 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых три последние цифры образуют число, делящееся на 8

на 9 На 9 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9

на 10 На10 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0

на 12 На 12 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4 и сумма цифр числа делится на 3

на 15 На 15 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5 и сумма цифр делится на 3

на 25. Для того чтобы натуральное число содержащее не менее трёх цифр, делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними на 125 Для того чтобы натуральное число содержащее не менее четырёх цифр делилось на 125 необходимо и достаточно чтобы делилось на 125 число образованное тремя последними цифрами.

Признаки делимости

Изучая разную литературу, я нашёл признак делимости на 11.

Число делится на 11, если разность между суммой его цифр, стоящих на нечётных местах и суммой цифр, стоящих на чётных местах делится на 11. (нумерация цифр ведётся слева направо или справа налево). Например число 120340568.

Найдём сумму его цифр стоящих на нечётных местах 1+0+4+5+8=18 и на чётных местах 2+3+0+6=11.

Разность между найденными суммами 18-11=7.

7 не делится на 11, значит и данное число не делится на 11.

Признак делимости на 11 можно сформулировать и по-другому.

Если алгебраическая сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на 11, то и само число делится на 11.

Например: не выполняя деления, доказать, что число 86849796 делится на 11.

Решение: Составим алгебраическую сумму цифр данного числа, начиная с цифры единиц и чередующимися знаками «+» и «-».

6 – 9 + 7-9 + 4 – 8 + 6 – 8 = -11

-11 делится на 11, значит, число 86849796 делится на 11.

И вот ещё один признак делимости на 11.

Чтобы узнать делится ли число на 11 — надо от числа десятков отнять число единиц и посмотреть, делится ли эта разность на 11.

Возьмем, например число 583, и применим этот признак:

58-3=55; 55 делится на 11, значит, и 583 делится на 11.

Проверим теперь на четырёхзначном числе.

Например: 3597

359-7=352 не понятно делится или нет.

35-2=33; 33 делится на 11, значит, число 3597 делится на 11.

Интересны признаки делимости на 7 и 13.

Для того чтобы натуральное число делилось на 7 или 13 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих грани по 3 цифры (начиная с цифры единиц), взятых со знаком «+» для нечётных граней и со знаком «-» для чётных граней, делилась на 7.

Пример 1:

Не выполняя деление доказать, что число 254390815 делится на 7.

Решение:

Разобьём число на грани 254,390,815. Составим алгебраическую сумму граней, начиная с последней грани и чередуя знаки «+» и «-».

815-390+254=679

Число 679 делится на 7, то и число 254390815 делится на 7.

Пример 2:

Не выполняя деление доказать, что число 304954 делится на 13.

Разобьём на грани 304 и 954 составим алгебраическую сумму граней 954-304=650.

Число 650 делится на 13, значит, 304954 делится на 13.

И существует ещё один признак делимости, объединяющий числа 7, 11, 13.

Числа 7, 11, 13 связаны между собой загадочным числом 7 *11*13=1001

1001 — это 77 чертовых дюжен;

1001 — это 143 семерки;

1001 — это 91 раз по 11.

А еще число1001 – это число Шехерезады.

Вникнув в запись 7*11*13=1001, можно добавить следующее: возьмем некоторое число 235 и умножим его на 1001, получим 235235.

Так как 1001 делится на 7, 11, 13 то и число 235235 делится на 7, 11, 13. Отсюда следует вывод: числа вида abcabc делятся на 7, 11, 13. Есть, конечно, и другие признаки делимости, которые я ещё не знаю. И что можно с помощью вычислительной техники узнать делится ли число на другое число, но уже то, что существуют такие признаки делимости и чтобы познакомиться с ними, надо изучить дополнительную литературу, и расширив свои знания, получить при этом большое удовольствие.

www.hintfox.com

Признак делимости на 24, формула и примеры

Число, делится на 24, если сумма всех цифр данного числа делится на 3, а число, образованное последними тремя цифрами данного числа делится на 8.

ru.solverbook.com

Деление | интернет проект BeginnerSchool.ru

Одним из простых арифметических действий является деление. Мы знаем, что умножение мы можем представить, как сложение числа самого с собой столько раз, на сколько нам надо его умножить.

Деление можно представить, как многократное вычитание. Давайте рассмотрим этот вопрос поподробнее.

Рассмотрим картинку.

На картинке мы видим 12 яблок на блюде. Яблоки разделены на четыре группы по 3 яблока. Записать это можно так:

12 ÷ 4 = 3

Число, которое мы делим, называется делимым, число на которое мы делим, называется делителем, а результат деления называется частным. В нашем примере делимое 12, делитель 4, а частное 3.

Деление можно проверить умножением:

3 × 4 = 12

А также деление можно проверить, многократным вычитанием:

12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0

Мы видим, что если из 12 вычесть 4 раза 3, то получится ноль. Значит, 12 на 4 делится без остатка.

Рассмотрим другой пример, разделим 13 на 4.

Из рисунка видно, что при делении 13 яблок на 4 получился 3 и остаток – одно яблоко.

13 ÷ 4 = 3 (ост.1)

Проверим вычитанием:

13 – 3 – 3 – 3 – 3 = 1

Мы видим, что если из 13 четыре раза вычесть число 3, то останется 1. Наш пример называется делением с остатком. Здесь 13 – делимое, 4 – делитель, а 3 – неполное частное, 1 – остаток от деления.

Теперь проверим умножением:

3 × 4 + 1 = 13

Основные правила деления

1. НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

2. Если делимое и делитель равны, то частное будет равно 1:

а ÷ а = 1

То есть, если 5 груш надо разделить между пятью мальчиками, то каждому достанется по одной груше.

Пример:

8 ÷ 8 = 1

12 ÷ 12 = 1

3. Если делимое равно нулю , и частное будет равно нулю:

0 ÷ а = 0

То есть, если ничего разделить на что угодно, то и получится ничего.
Пример:

0 ÷ 9 = 0

0 ÷ 34 = 0

4. Если делитель равен 1, то частное равно делимому:

а ÷ 1 = а

То есть, если у мальчика есть пять груш и он один, то ему достанутся все пять груш.

Пример:

6 ÷ 1 = 6

81 ÷ 1 = 81

В следующих статьях мы рассмотрим деление больших чисел, а также будет представлено несколько заданий для закрепления материала.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта”. Для этого пройдите, пожалуйста по ссылке.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Подпишитесь на новости сайта:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

beginnerschool.ru

Признаки делимости

Правила деления на числа от 1 до 10, а также на 11 и 25 были выведены, чтобы упростить процесс деления натуральных чисел. Те из них, которые оканчиваются на 2, на 4, на 6, на 8, на 0 считаются четными.

Что же такое признаки делимости?

По сути это алгоритм, который позволяет быстро определить, будет ли число делиться на то, которое задано заранее. В случае, когда признак делимости дает возможность выяснить еще и остаток от деления, его называют признаком равноостаточности.

Признак делимости на цифру 2

Число можно разделить на два, если последняя его цифра четная или ноль. В других случаях разделить не удастся.

Например:

52 734 делится на 2, потому как его последняя цифра 4 — то есть четная. 7 693 не делится на цифру 2, так как 3 — нечетная. 1 240 делится, потому что последняя цифра ноль.

Признаки делимости на 3

Цифре 3 кратны только те числа, у которых сумма делится на 3

Пример:

17 814 можно разделить на цифру 3, потому что общая сумма его цифр равна 21 и на 3 делится.

Признак делимости на цифру 4

Число можно разделить на 4, если последние две его цифры ноли или могут образовать число, кратное 4. Во всех других случаях разделить не получится.

Примеры:

31 800 можно разделить на 4, потому как в конце него два ноля. 4 846 854 не делится на 4 из-за того, что последние две цифры образуют число 54, а оно на 4 не делится. 16 604 поддается делению на 4, потому что последние две цифры 04 образуют число 4, которое делится на 4.

Признак делимости на цифру 5

5 кратны числа, в которых последняя цифра ноль или пять. Все другие — не делятся.

Пример:

245 кратно 5, потому что последняя цифра 5. 774 не кратно 5 из-за того, что последняя цифра четыре.

Признак делимости на цифру 6

Число можно разделить на 6, если его можно одновременно разделить на 2 и 3. Во всех других случаях — не делится.

Например:

216 можно разделить на 6, потому что оно кратно и двум и трем.

Признак делимости на 7

Кратно 7 число в том случае, если при вычитании последней удвоенной цифры из этого числа, но без нее (без последней цифры) получилось значение, которое можно поделить на 7.

Например, 637 кратно 7, потому что 63-(2·7)=63-14=49. 49 можно разделить на.

Признак делимости на цифру 8

Похож на признак делимости на цифру 4. Число можно разделить на 8, если три (а не две, как в случае с четверкой) последние цифры нули или могут образовать число, кратное 8. Во всех других случаях — не делится.

Примеры:

456 000 можно разделить на 8, потому как в конце него три нуля. 160 003 не получится разделить на 8, потому что три последние цифры образуют число 4, которое не кратно 8. 111 640 кратно 8, потому что последние три цифры образуют число 640, которое можно поделить на 8.

К сведению: можно назвать такие же признаки и для совершения деления на числа 16, 32, 64 и так далее. Но на практике они значения не имеют.

Признак делимости на 9

9-ке кратны те числа, сумму цифр котор

elhow.ru

Как из ПДФ перевести в JPG

PDF входит в число наиболее распространенных форматов документов. Он предназначен для отображения полиграфической продукции в электронном виде. Главный недостаток файлов ПДФ — сложность их редактирования, так как для этого требуется специальный софт. Гораздо проще перевести PDF в расширение JPG (JPEG) — оно поддерживается большим количеством программ. Сделать конвертацию позволяют онлайн-сервисы и приложения на ПК.

Как PDF перевести в JPG на ПК?

Рассмотрим доступные способы.

PDF to JPEG от Microsoft

Для пользователей Windows 10 и 8.1 в Microsoft разработали бесплатную программу по переводу файлов PDF в JPEG. У нее максимально простой интерфейс и отличное быстродействие. Помимо всего, при скачивании лицензионной продукции отсутствует риск заразить компьютер вирусами.

Как пользоваться программой:

• Перейти по ссылке microsoft.com. Нажать на кнопку «Получить» и следовать указаниям системы для установки приложения на ПК.

• Запустить утилиту через меню «Пуск».

• Нажать «Select File» для выбора документа ПДФ, который будет переделан в JPG.

• Указать папку для сохранения преобразованных файлов, кликнув «Select Folder».

• Нажать на кнопку «Convert», чтобы начать переформатирование.

• После завершения процесса конвертации пользователь увидит текст «Conversion Completed», а файл в формате JPG сохранится в выбранной ранее папке.

На заметку: если вам понравилась надпись на изображении, узнайте, как определить шрифт по картинке.

Free PDF Solutions

Студия Free PDF Solutions сделала бесплатную и удобную в использовании программу-конвертер для ПК. Для перевода ПДФ в JPG с ее помощью следует:

• Сохранить приложение на компьютер со страницы freepdfsolutions.com. Нужно нажать «Download for Windows», запустить установщик по завершении загрузки и следовать его инструкциям.

• Открыв приложение, кликнуть «Add File(s)» (добавить файл PDF для преобразования) или «Add Folder» (добавить папку).

• Выбрать место для сохранения преобразованных в JPEG документов:
  • Поставить галочку напротив надписи «Customize».
  • Нажать на кнопку «Browse…».
  • Указать нужную папку.
  • Кликнуть «ОК».

• Нажать на кнопку «Convert All», чтобы выполнить переформатирование.

konekto.ru

Преобразовываем PDF в JPG. Как сделать из документа фотографию без потери качества

Доброго всем времени суток! В этой статье мы продолжаем преобразовывать форматы PDF. Однако, если ранее мы говорили о том, как из PDF перевести в Word и обратно, то здесь речь пойдет о том, как преобразовать PDF в JPG или проще говоря сделать из документа фотографию. Зачем?

Ну хотя бы для того, чтобы можно было просматривать эти фото на различных устройствах, ведь бывает, что мы покупаем различные электронные девайсы — электронные рамки, смотрим фото на больших экранах смарт-телевизоров,  переводим старые бумажные фото в цифровой формат.. А  эти разные китайские устройства могут хорошо работать  с JPG но могут»не видеть»  фото, если это PDF-формат… В общем, ситуации  бывают разные. Сегодня познакомимся с самыми простыми и быстрыми способами.

Вариантов перевода формата PDF в JPG несколько. Это можно сделать с помощью приложений, установленных на вашем компьютере, а так же с помощью онлайн-конвертеров. Можно это делать и при помощи обычных скринов с экрана. Как все это правильно сделать, мы сейчас и рассмотрим.

 Делаем из документа фотографию  скриншотом экрана

Если вам необходим лишь какой-то фрагмент с документа PDF или одна страница, которую необходимо вставить в какой-либо документ для иллюстрации, то нет необходимости конвертировать весь документ. Тем более, что он может быть многостраничным. Для этого вы просто открываете в любой программе, читающей PDF-файлы свой документ, выбираете необходимый фрагмент.

После этого нажимаем на клавиатуре кнопку PrtScr. Снимок копируется в буфер обмена. Далее вы открываете любой графический редактор, даже стандартный Paint. Потом или через меню «Вставить», или сочетанием кнопок «Ctrl+V» вставляете снимок из буфера обмена. После этого сохраняете вставленный скрин экрана в любом графическом формате.

Однако здесь небольшой минус. Слишком много необходимо делать операций. Это во-первых. А во-вторых, скриншот делается всего экрана, а если вам необходим только определенный участок, придется так или иначе все обрезать. Что бы избежать подобных нюансов, можно воспользоваться специальными программами для снятия снимков с экрана. Одной из таких является FastStone Image Viewer. Чем хороши такие программы, вы можете выбирать область для снимка.

Открыв FastStone Image Viewer выбираем иконку для снятия скрина (выделено красным). Открывается меню, где выбираем размер области. В нашем случае подойдет прямоугольная. Нажимаем, программа свернется, а на экране появится сетка, которой вы очертите область снимка. Делаете вы все при нажатой правой клавиши мышки. Отпустив клавишу, снимок откроется сразу в программе и вам только надо будет его сохранить. Вот и все. Краткий обзор этой программки смотрим на видео:

Сохраняем PDF в JPG с помощью популярных программ

Но, как уже говорилось, подобную операцию мы делаем в том случае, когда нам нужен лишь фрагмент текста. Если же мы преобразуем документ целиком, придется воспользоваться программами. Это или конвертеры, или сами редакторы.

Одним из пдф-просмоторщиков, в котором можно сохранить пдф как картинку является STDU Viewer. Открываем в нем файл пдф.

Далее меню «файл»-«экспортировать»-«как изображение». Появится окно, в котором выбираем необходимые параметры. Расширение картинки: bmp, jpg и пр. Выбираем что именно конвертировать: весь документ, текущую страницу, или же выбранные страницы. После этого жмем сохранить (кнопка «ОК»).

Все, документ сохранен в графическом формате JPG.

Делаем фотографию из PDF в  программе adobe reader

Эта программа позволяет сохранять определенные фрагменты документа в формате JPG. Для этого во вкладке «Редактирование» выбираем «Сделать снимок».

После этого выделяем необходимую область и как только отпустим кнопку мыши, эта область автоматически скопируется в буфер обмена. Теперь открываем любой графический редактор и вставляем в него изображение из буфера обмена.

Преобразовываем PDF документ в  программе Foxitreader

Если у вас имеется не adobe reader, а foxitreader, то в нем вы можете сделать все те же самые операции. Открываем программу, открываем в ней документ. Далее находим иконку в виде фотоаппарата и нажимаем ее.

Далее необходимо будет выделить нужную область. Эта область автоматически скопируется в буфер обмена, после чего открываем так же любой графический рендактор и вставляем из буфера картинку. Далее сохраняем ее как JPG файл.

Переводим документ PDF в JPG без потери качества в фотошопе

Замечательно для сохранения страниц из PDF в JPG подходит такая популярная программа, как фотошоп. Здесь все очень просто. Открываем программу. Далее идем в меню «файл» и выбираем «открыть». В появившемся списке выбираем нужный PDF-документ и открываем его. Появится вот такое окно:

Здесь мы выбираем сколько страниц нам открыть – одну, две или более. Например, одну. Выделяем нужную и жмем ок. Страница открылась. Далее, если необходимо редактируем картинку и сохраняем ее в формате JPG. По-моему, это наиболее быстрый способ перевести картинки из пдф, при этом еще тут же их отредактировать. Отмечу, что редактировать текст таким образом не получится, поскольку он сохранен как изображение.

Преобразовываем PDF в JPG с помощью Онлайн-конвертера

Ну и напоследок, для тех, кто работает в режиме онлайн. В сети интернет можно найти много таких конвертеров, которые переведут ваш пдф-документ в JPG. Например, вот такой — http://convert-my-image.com/PdfToJpg_Ru.

Заходим на сайт, нажимаем «выбрать файл» и вставляем документ. Можно просто перетащить файл, о чем сообщает соответствующая надпись. В списке форматов изображений выбираем нужный – JPG.

После этого жмем кнопку «конвертировать». Идет загрузка. Кстати, в настройках можно выбрать качество изображение и каким оно будет – цветным или черно-белым. После загрузки идет обработка, затем автоматически на ваш компьютер загрузится конвертированный документ – пользуйтесь. Вот, пожалуй и все. Выбирайте любой понравившийся способ и работайте. А в конце небольшое видео по этой теме.

Вот и все на сегодня, пока, до встречи на страницах блога.

Автор публикации

1.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа

Итак, напоминаем, что при рассмотрении тригонометрических функций мы рассматриваем окружность, которая имеет единичный радиус. Данное упрощение используется для удобства. Все отношения справедливы для произвольных окружностей, с произвольным радиусом.

Пример. Давайте построим точки на единичной окружности, которые будут соответствовать повороту радиус-вектора на угол  

Решение. За начало отсчета принимаем точку Р₀. Угол, равный нулю радиан совпадает с данной точкой.

Мы знаем, что граничными считаются углы 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Если использовать угол π/2 и разделить первую четверть на 3 равных части, то первое от начала отсчета разделение будет соответствовать углу π/6. На графике данная точка имеет место Р_π/6.

Чтобы получить угол π/4, необходимо прямой угол разделить на две части. Если необходимо отметить угол с отрицательным аргументом, необходимо пойти по часовой стрелке от начальной точки. Например, точка — π/4 будет находиться симметрично относительно оси ОХ в 4 четверти.

Давайте теперь вспомним, каким образом исчисляются углы, выраженные в радианной мере. Чему, например, соответствует в радианах π/4? Чтобы это узнать, следует числовое значение числа π разделить на 4.

3,14 : 4 = 0,78, если углу π/2 соответствует 3,14 : 2 = 1,57. Следовательно, на окружности угол, равный единице будет лежать выше π/4, но ниже π/2. Отрицательное значение угла симметрично положительному относительно оси ОХ.

Таким же образом следует найти и местонахождение угла, равного 2. Так как граничному прямому углу соответствует значение 1,57, то угол, равный двум, будет находиться во второй четверти.

Можно убедиться, что каждому числу соответствует своя ордината и абсцисса на плоскости.

Отсюда можно сделать вывод, что: 

Синус некоторого числа — это значение ординаты на плоскости, которая соответствует точке этого числа на единичной окружности.

Косинус некоторого числа — это значение абсциссы на плоскости, которая соответствует точке этого числа на единичной окружности.

Тангенс некоторого числа — это значение, полученное в результате отношения синуса к косинусу, иначе говоря, отношение ординаты к абсциссе.

Котангенс некоторого числа — это значение, полученное в результате отношения косинуса к синусу, иначе говоря, отношение абсциссы к ординате.

Синус и косинус имеют период, равный 6,28. Тангенс и котангенс имеет период, равный 3,14.

cknow.ru

Косинус — число — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Косинус — число

Cтраница 1

Косинус числа t как абсцисса точки Pt положителен в первой и четвертой четвертях и отрицателен во второй и третьей.  [1]

А-абсцисса этой точки называется косинусом числа а и обозначается cos а. Если а 0, то поворот осуществляется против часовой стрелки, а если а 0, то по часовой стрелке.  [2]

Что называется синусом и косинусом числа.  [3]

А абсцисса этой точки называется косинусом числа а и обозначается cos а. Если а 0, то поворот осуществляется против часовой стрелки, а если а 0, то по часовой стрелке.  [4]

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в к радиан, Косинусами числа х называется число, равное косинусу угла в х радиан. Аналогично определяются и другие тригонометрические функции числового аргумента.  [5]

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в х радиан, Косинусом числа х называется число, равное косинусу угла в х радиан. Аналогично определяются и другие тригонометрические функции числового аргумента.  [6]

Таким образом, синус числа а равен синусу угла в а радиан, а косинус числа а — косинусу этого угла.  [7]

Ордината точки М ( х) называется синусом числа х и обозначается sinx, а абсцисса этой точки называется косинусом числа х и обозначается C.  [8]

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в х радиан. Косинусом числа называется число, равное косинусу угла в х радиан. Аналогично определяются и другие тригонометрические функции числового аргумента.  [9]

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в х радианов. Косинусом числа х называется число, равное косинусу угла в х радианов.  [10]

Устройство состоит из многофункциональной схемы ( см. рис. 2.37) и ДУ. Изменение выходного сигнала регулируется отношением R % / Ri, а косинус числа вычисляется для его изменения в первом квадранте.  [12]

Страницы:      1

www.ngpedia.ru

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

muller.academic.ru

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

xzsad.academic.ru

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Алгебра 7-9 классы. 26. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

Алгебра 7-9 классы. 26. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

40 метров в сантиметры | Сколько см в 40 метрах

Пересчёт m to cm

40 Метров (м)
=
4000 Сантиметров (см)

5.7. Непрерывность и точки разрыва функции

3) Все основные элементарные функции (c , xa ,ax , loga x , sinx , cosx , tgx , ctgx , secx , cosecx , arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx ) непрерывны в каж-

дой точке своих областей определения.

Из свойств 1)–3)следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f(x) определе-

на и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда для любого числаC , заключенного

между числами f (a) иf (b) , (f (a)< C < f (b) ) найдется хотя бы одна точкаx0 [a;b], такая, чтоf (x0 )=C .

2) (теорема Больцано – Коши) Пусть функцияf (x) определена и непре-

рывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения различных знаков.

Тогда найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, чтоf (x0 )= 0 .

3) (1-я теорема Вейерштрасса) Пусть функцияf (x) определена и непре-

рывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.

4) (2-я теорема Вейерштрасса) Пусть функцияf (x) определена и непре-

f (x1)≤ f (x)≤ f (x2 ) .

Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функцияy = 3×2 + 2x −5 непрерывна в произвольной точкеx0 числовой оси.

Решение: 1 способ: Пусть x0 – произвольная точка числовой оси. Вы-

числим сначала предел функции f (x) приx → x0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:

studfiles.net

определение понятия и подробное решение примера

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

• первый род;
• второй род.

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

• Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.

• Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.

• Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² — 25)/(y — 5):

1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

liveposts.ru

13. Классификация точек разрыва функции одной переменной

Точка аназываетсяточкой разрыва функции, если в этой точке нарушается условие непрерывности, т.е. или 1)не определена в точкеа, или 2)существует, но не равен, или 3)не существует.

Определение 13.1.Точка разрываафункцииназываетсяточкой разрыва первого рода этой функции, если в этой точке существуют оба односторонних пределаи. В частности, при условии=точка разрыва первого рода называетсяточкой устранимого разрыва.

Разность называетсяскачкомфункциив точкеа. В случае устранимого разрыва скачок равен нулю. Если же разрыв первого рода неустраним, то скачок отличен от нуля. В случае точки устранимого разрыва пределв этой точке существует, но либо не равен, либов точкеа не определена. Если же в точке разрыва первого рода разрыв неустраним, то в этой точке пределне существует.

Определение 13.2.Точка разрываафункции называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример.1). Точках=0является точкой разрыва, так как в этой точке функция не определена. В силу первого замечательного предела. Отсюда по теореме 5.2. в точкех=0функция имеет оба односторонних предела, равных между собой. Значит,х=0есть точка устранимого разрыва. Этот разрыв можно устранить, если функциюв точкех=0доопределить, положив. (см. рис. 13.1)

Рис. 13.1

2) .

Вычислим односторонние пределы этой функции в точке :,. Обаодносторонних предела существуют, значит х=0 есть точка разрыва первого рода. Так как пределы неравны, то устранить разрыв нельзя (см. рис.13.2)

Рис. 13.2

Рис. 13.3

3 ). Поскольку в точкех=0оба односторонних предела не существуют, точках=0является точкой разрыва второго рода (см. рис.13.3).

studfiles.net

Классификация точек разрыва — ПриМат

 Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа 

 и,

причём  то точка  называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке .

Пример

1) 

точка 0-точка устранимого разрыва.

 

 

 

 

 

2)  

 точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

  и   , то точка  называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1)

 

 

 

 

 

2)

Определение:

Точка  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

точка разрыва второго рода.

Рекомендации

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
•  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

«Разрывность функции»

Лимит времени: 0

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   Правильно
   

   Неправильно
   

2. Задание 2 из 5

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …

   Правильно
   

   Неправильно
   

3. Задание 3 из 5

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   Правильно
   

   Неправильно
   

4. Задание 4 из 5

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   

5. Задание 5 из 5

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и ,то точка …

   Правильно
   

   Неправильно
   

Таблица лучших: «Разрывность функции»

максимум из 32 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Классификация точек разрыва функций

1. Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке а функциялибо не определена, либо ее значениене равно пределу в этой точке

2. Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

3. Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

25. Производная: определение, механический и геометрический смысл. Уравне-ние касательной к кривой.

Определение производной

Пусть функция определена на некотором промежутке Х. Придадим значению аргумента в точке произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала Х. Тогда соответствующее приращение функции составит .

Опр. Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при(если этот предел существует).

Если в некоторой точке предел бесконечен, то говорят, что в этой точке функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет производную в каждой точке множества Х, то производнаятакже является функцией от аргумента х, определенной на Х.

Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Опр. Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МN, когда точка N стремится к точке М по кривой.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид

Угловой коэффициент секущей равен

Тогда угловой коэффициент касательной равен

Отсюда следует наглядный вывод о том, что . В этом и состоитгеометрический смысл производной.

• отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

26. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементар-ных функций.

Правила дифференцирования.

1. Производная постоянной равна нулю

.

2. Производная аргумента равна единице.

.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.

.

1. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Производные основных элементар-ных функций.

1. (C)” = 0, где C = const

2. (x^a)” = ax^a-1, где a не равно 0

3. (a^x)” = a^xln a, где a > 0

4. (e^x)” = e^x

5. (log_a^x)” =1/x ln_a, где a > 0

6. (ln x)” =1/x

7. (sin x)” = cos x

8. (cos x)” = — sin x

9. (tg x)” =1/cos²x

10. (ctg x)” = -1/sin²x

11. (arcsin x)” = 1/~1-x²

12. (arccos x)’ = -1/~1-x²

13. (arctg x)” =1/1+x²

14. (arcctg x)” = -1/1+x²

27. Производная сложной функции. Производные высших порядков. 

studfiles.net

§8. Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

х₀

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

х₀

Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва функцииf(x), если f(x) не определена в точке х₀или не является непрерывной в этой точке.

Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функцияf(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функцияf(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример.Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример.Функцияf(x) = имеет в точке х₀= 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

Пример.f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

Пример.f(x) = =

y

1

0 x

-1

Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положивf(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положитьf(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положитьf(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

§9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Определение.Функцияf(x) называетсянепрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство 1:(Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a,b] выполняется условие –M£f(x)£M.

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a,b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀.

Свойство 2:Функция, непрерывная на отрезке [a,b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х₁и х₂, чтоf(x₁) =m,f(x₂) =M, причем

m£f(x)£M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) =sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3:(Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a,b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4:Если функцияf(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5:(Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функцияf(x)- непрерывная на отрезке [a,b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, гдеf(x) = 0.

Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х₀: f(x₀) = 0.

Определение.Функцияf(x) называетсяравномерно непрерывнойна отрезке [a,b], если для любогоe>0 существуетD>0 такое, что для любых точек х₁Î[a,b] иx₂Î[a,b] таких, что

ïх₂– х₁ï<D

верно неравенство ïf(x₂) –f(x₁)ï<e

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого eсуществует своеD, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывностиDзависит отeи х.

Свойство 6:Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Пример.

Функция непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое числоD>0 такое, что существуют значения х₁и х₂такие, чтоïf(x₁) –f(x₂)ï>e,e- любое число при условии, что х₁и х₂близки к нулю.

Свойство 7:Если функцияf(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х =g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Пример.Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

3

2

-4 -1 0 1 х

Пример.Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

у

2

1

-p-p/2 0 1x

studfiles.net

5.9. Непрерывность функции. Точки разрыва

● Точка является точкой непрерывности функции если существуют конечные пределы справа и слева, и эти пределы равны значению функции в этой точке, т. е.

Если же хотя бы одно равенство нарушено, тогда точка являетсяточкой разрыва функции.

● Функция называетсянепрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Замечание. Все элементарные функции непрерывны в области опреде-ления.

Классификация точек разрыва

●

Рис. 29, а

Если , то это означает, что функцияимеет конечный предел справаи конечный предел слева, эти пределы равны, но значение функции в точкене существует (эта точка на кривой«выколота»). В этом случае говорят, что функция в точкеимеет устранимый разрыв (можно эту точку в кривую «вставить») (рис. 29, а).

●

Рис. 29, б

Если конечные пределы функции в точкеи справа, и слева существуют, но они не равны(функция в этой точке делает «скачок»), то точка в этом случаеназывается точкой разрыва I рода (рис. 29, б).

Итак, если существуют односторонние пределы функции в точке, но, то–точка разрыва I рода.

●

Рис. 29, в

Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точкене существует (равен), то называется точкой разрыва II рода. Если в точке функцияне имеет конечных пределов ни справа, ни слева, то точкатакже являетсяточкой разрыва II рода (рис. 29, в).

5.10. Асимптоты

Прямая L называется асимптотой кривой , если расстояние от точкикривой до прямойL стремится к нулю при неограниченном удалении указанной точки по кривой от начала координат (т. е. при стремлении к бесконечности хотя бы одной из координат точки данной кривой).

Прямаяявляетсявертикальной асимптотой кривой , если.

Прямая является наклонной асимптотой кривой , если существуют пределы:

.

Следствия.

1. Если , то прямаяявляется горизонтальной асимптотой кривой.

2. Если илине существуют (равны), то нет наклонной асимптоты у кривой.

6. Дифференциальное исчисление функции одной и двух переменных

6.1. Правила дифференцирования

Если функции идифференцируемы в точкех, а то

1) 2)3)4)5)

6) 7)где8)

9) 10) Еслиито

11) 12)

6.2. Таблица производных

	Функция	Производная		Функция	Производная
1	х	1	17	sh x	ch x
2			18	ch x	sh x
3			19	th x
4			20	cth x
5			21
6	ln x		22
7			23
8			24
9			25
10			26
11			27
12			28
13			29
14			30
15			31
16	arcctg x		32

studfiles.net

Параллелограмм. Свойства, площадь и признаки