Рубрика: Школьная жизнь

Уравнения с двумя неизвестными примеры и решения

41. равнобедренном треугольнике АВС боковая высота АБ образует с боковой стороной АВ угол ВА0=-Ё-а.0пределить глы этого треугольника: 1) предполагая, что высота А прохОдит внутри. 42. доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана. проведенная к гипотенузе. равна ее половине. 43.

Уравнение с двумя неизвестными

Определение и формулы уравнений с двумя неизвестными

Вид (1) называется нормальным видом уравнения с двумя неизвестными.

Чтобы решить уравнение (1), одному из неизвестных можно дать любое значение; в результате чего получим уравнение с одним неизвестным, из которого найдем его значение.

Примеры решения задач

Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно называется Неопределенным уравнением, поскольку имеет бесконечное множество решений.

Уравнение (1) может и не иметь решений.

Получили неверное равенство, уравнение решений не имеет.

Что и требовалось доказать.

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения

Администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Уравнения с двумя неизвестными примеры и решения

Уравнение с двумя неизвестными

Определение и формулы уравнений с двумя неизвестными

Вид (1) называется нормальным видом уравнения с двумя неизвестными.

Чтобы решить уравнение (1), одному из неизвестных можно дать любое значение; в результате чего получим уравнение с одним неизвестным, из которого найдем его значение.

Примеры решения задач

Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно называется Неопределенным уравнением, поскольку имеет бесконечное множество решений.

Уравнение (1) может и не иметь решений.

Получили неверное равенство, уравнение решений не имеет.

Что и требовалось доказать.

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения

Администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Уравнения с двумя неизвестными примеры и решения

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.

Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравнений — это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подс

poiskvstavropole.ru

Линейные уравнения с двумя неизвестными

ГОПИНА ЛЮБОВЬ ПЕТРОВНА учитель математики МКУ Шумской СОШ

Тема урока: Линейные уравнения с двумя переменными.

Цель урока: Дать определение линейного уравнения с двумя переменными; выяснить, что значит решить уравнение с двумя переменными; рассмотреть свойства уравнений.

Ход урока.

1. На доске записаны уравнения.

Задание 1: поделить эти уравнения на две группы. 2х=4; 0,3х-12=4; 2х=3у; 4х+2=у; 0,2х-4=5х; х+у=1.

2х=4; 0,2х-4=5х; 0,3х-12=4;

х+у=1; 4х+2=у; 2х=3у.

Задание 2: придумать примеры уравнений второго вида. После примеров пробуем дать определение линейного уравнения с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах+ву=с, где а,в,с- некоторые числа, х и у- переменные.

Задание 3: из предложенных уравнений выбрать те, которые подходят под определение уравнения с двумя переменными: 1)7-х=у; 2)5х-у=4; 3)2ху+5=х; 4)2х-0,4у+7=0; 5)х=ху+8; 6)у-4х+2у=7. Объяснить выбор.

Задание 4: подобрать для уравнения 2х+у=5 такие значения переменным, чтобы они обратили данное уравнение в верное равенство. Выясняем, что таких пар чисел можно подобрать много. Например: если х=1, то у=3

если х=2, то у=1

если х=0, то у=5

Но способом подбора находить пары чисел, которые являются решением данного уравнения не очень удобно.

Задание 5: выразить одну переменную через другую.

2х+у=5 1)у=5-2х или 2) . Проверим подобранные пары чисел, выполнив подстановку в уравнения 1) и 2). Убеждаемся в верности найденных решений.

Задание 6: установить порядок нахождения таких пар чисел, которые являются решением линейного уравнений с двумя переменными.

• Выразить одну переменную через другую

• Придать значение одой переменной

• Вычислить значение другой переменной

Задание 7: самостоятельно найти решение линейных уравнений с двумя переменными: у=2х+4; 2х-у=5; 0,5х+2у=8. а)выразить у через х; б)выразить х через у.

Работая с уравнениями, мы пользуемся свойствами:

• Переносим слагаемые из одной части в другую, изменив при этом знак на противоположный;

• Обе части уравнения делим на одно и то же число, не равное нулю.

Задание 8: проверить себя: Найдите пары чисел, которые являются решением данных уравнений при х=0.

1)х-у=5; 20х+у=8; 3)у-6х=1.

Задание 9: найти пары чисел, которые являются решением данного уравнения

2х+у=5; Предлагаю пары чисел.

х

-5

-4

-3

-1

0

4

5

у

0

3

4

-3

-5

-3

0

В конце урока подвести итог.

Что же мы знаем?

• Знаем уравнение линейного уравнения с двумя переменными

• Умеем выражать одну переменную через другую

• Умеем находить пары чисел, которые являются решением линейных уравнений с двумя переменными.

infourok.ru

Линейное уравнение с двумя переменными: решение и свойства

Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые числа.

Zn + KMnO4 + h3SO4 = ? уравнение реакции

В результате окисления цинка перманганатом калия в кислой среде, создаваемой серной кислотой (Zn + KMnO4 + h3SO4 = ?) происходит образование средних солей – сульфатов цинка, калия и марганца (II), а также воды. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Запишем ионные уравнения, учитывая, что простые вещества и вода на ионы не распадаются, т.е. не диссоциируют.

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Перманганат калия представляет собой прозрачные кристаллы красно-фиолетового (почти черного) цвета, которые разлагаются при нагревании. Умеренно
растворяется в воде, даже при подкислении раствора серной кислотой (раствор окрашивается в интенсивный фиолетовый цвет), но при этом не гидролизуется.
Кристаллогидратов не образует. Разлагается в растворе (медленно), при действии концентрированных кислот, щелочей и гидрата аммиака при нагревании. Сильный окислитель в растворе и при спекании; в сильнокислотной среде восстанавливается, как правило, до , в нейтральной среде до , в сильнощелочной среде — до . Реагирует с типичными восстановителями, этанолом, водородом. Вступает в реакции обмена.

ru.solverbook.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

умножение матриц | C++ для приматов

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone {

    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception {

        Scanner read = new Scanner (System.in);

        int n = read.nextInt();                                         //ввод из стандартного потока

        double A[][] = new double [n][n];                                      

        double B[][] = new double [n][n];

        double Z[][] = new double [n][n];

        double H[][] = new double [n][n];

        double E[][] = new double [n][n];

        double C[][] = new double [n][n];

        double Ans[][] = new double [n][n];

        for (int i = 0; i < n; i++){             //матрица А

            for (int j = 0 ; j < n ; j++){

                A[i][j] = read.nextDouble();

            }

        }

        for (int i = 0; i < n; i++){                            //матрица В

            for (int j = 0 ; j < n ; j++){

                B[i][j] =  read.nextDouble();

            }

        }

        for (int i = 0; i < n; i++){                            //единичная матрица Е

            for (int j = 0 ; j < n ; j++){

                if (i == j) E[i][j] = 1;

                else E[i][j] = 0;

            }

        }

        for (int i = 0; i < n; i++){                 //разность матриц В и Е

            for (int j = 0; j < n; j++){

                Z[i][j] = 0;

                Z[i][j] = B[i][j] — E[i][j];

            }

        }

        for (int i = 0; i < n; i++){             //умножение матриц А и (В — Е)

            for (int j = 0; j < n; j++){

                H[i][j] = 0;

                for (int t = 0; t < n; t++){

                    H[i][j] += A[i][t] * Z[t][j];

                }

            }

        }

        for (int i = 0; i < n; i++){             //матрица С

            for (int j = 0; j < n; j++){

                C[i][j] = 0;

                C[i][j] = 1.0/((i+1)+(j+1));

            }

        }

        for (int i = 0; i < n; i++){                 //матрица A(B–E)+C

            for(int j = 0; j < n; j++){

                Ans[i][j] = H[i][j] + C[i][j];

                System.out.print(Ans[i][j] + » «);

            }

            System.out.println();

        }

    }

}

cpp.mazurok.com

C#: Класс «Матрица» (сложение, вычитание, умножение матриц)

 Данный класс позволяет производить некоторые операции над матрицами:

1. Сложение матрицы А с матрицой Б
2. Вычитание матрицы Б из матрицы А
3. Умножение матрицы А на матрицу Б
4. Умножение матрица А на число
5.  Проверка матрицы А на единичность
6. Выполнение нексольких операций над матрицами одновременно, образуя матрицу D 

Так же он содержит операторы перегрузки и скрытые поля для соблудения инкапсуляции.

 Язык программирования С#

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace ConsoleApplication1
{
    class Matrix
    {
        // Скрытые поля
        private int n;
        private int[,] mass;

        // Создаем конструкторы матрицы
        public Matrix() { }
        public int N
        {
            get { return n; }
            set { if(value>0) n = value; }
        }

        // Задаем аксессоры для работы с полями вне класса Matrix
        public Matrix(int n)
        {
            this.n = n;
            mass = new int[this.n, this.n];
        }
        public int this [int i, int j]
        {
            get
            {
                return mass[i, j];
            }
            set
            {
                mass[i, j] = value;
            }
        }

        // Ввод матрицы с клавиатуры
        public void WriteMat()
        {
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                for (int j = 0; j < n; j++)
                {
                    Console.WriteLine("Введите элемент матрицы {0}:{1}", i+1, j+1);
                    mass[i, j] = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
                }
            }
        }

        // Вывод матрицы с клавиатуры
        public void ReadMat()
        {
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                for (int j = 0; j < n; j++)
                {
                    Console.Write(mass[i, j] + "\t");
                }
                Console.WriteLine();
            }
        }

        // Проверка матрицы А на единичность
        public void oneMat(Matrix a){
            int count = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                for (int j = 0; j < n; j++)
                {
                    if (a[i, j] == 1 && i == j)
                    {
                        count++;
                    }
                }

            }
            if (count == a.N)
            {
                Console.WriteLine("Единичная");
            }
            else Console.WriteLine("Не единичная");
        }

        // Умножение матрицы А на число
        public static Matrix umnch(Matrix a, int ch)
        {
            Matrix resMass = new Matrix(a.N);
            for (int i = 0; i < a.N; i++)
            {
                for (int j = 0; j < a.N; j++)
                {
                    resMass[i, j] = a[i, j] * ch;
                }
            }
            return resMass;
        }

        // Умножение матрицы А на матрицу Б
        public static Matrix umn(Matrix a, Matrix b)
        {
            Matrix resMass = new Matrix(a.N);
            for (int i = 0; i < a.N; i++)
                for (int j = 0; j < b.N; j++)
                    for (int k = 0; k < b.N; k++)
                        resMass[i, j] += a[i, k]*b[k, j];

            return resMass;
        }

        // перегрузка оператора умножения
        public static Matrix operator *(Matrix a, Matrix b)
        {
            return Matrix.umn(a, b);
        }

        public static Matrix operator *(Matrix a, int b)
        {
            return Matrix.umnch(a, b);
        }

        // Метод вычитания матрицы Б из матрицы А
        public static Matrix razn(Matrix a, Matrix b)
        {
            Matrix resMass = new Matrix(a.N);
            for (int i = 0; i < a.N; i++)
            {
                for (int j = 0; j < b.N; j++)
                {
                    resMass[i, j] = a[i, j] - b[i, j];
                }
            }
            return resMass;
        }

        // Перегрузка оператора вычитания
        public static Matrix operator -(Matrix a, Matrix b)
        {
            return Matrix.razn(a, b);
        }
        public static Matrix Sum(Matrix a, Matrix b)
        {
            Matrix resMass = new Matrix(a.N);
            for (int i = 0; i < a.N; i++ )
            {
                for(int j = 0; j < b.N; j++)
                {
                    resMass[i, j] = a[i, j] + b[i, j];
                }
            }
            return resMass;
        }
        // Перегрузка сложения
        public static Matrix operator +(Matrix a, Matrix b)
        {
            return Matrix.Sum(a, b);
        }
        // Деструктор Matrix
        ~Matrix()
        {
            Console.WriteLine("Очистка");
        }

    }
    class MainProgram{

        static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine ("Введите размерность матрицы: ");
            int nn = Convert.ToInt32 (Console.ReadLine ());
            // Инициализация
            Matrix mass1 = new Matrix(nn);
            Matrix mass2 = new Matrix(nn);
            Matrix mass3 = new Matrix(nn);
            Matrix mass4 = new Matrix(nn);
            Matrix mass5 = new Matrix(nn);
            Matrix mass6 = new Matrix(nn);
            Matrix mass7 = new Matrix(nn);
            Matrix mass8 = new Matrix(nn);
            Console.WriteLine("ввод Матрица А: ");
            mass1.WriteMat();
            Console.WriteLine("Ввод Матрица B: ");
            mass2.WriteMat();

            Console.WriteLine("Матрица А: ");
            mass1.ReadMat();
            Console.WriteLine();
            Console.WriteLine("Матрица В: ");
            Console.WriteLine();
            mass2.ReadMat();

            Console.WriteLine ("Сложение матриц А и Б: ");
            mass4 = (mass1 + mass2);
            mass4.ReadMat ();

            Console.WriteLine ("Вычитание матриц А и Б: ");
            mass6 = (mass1 - mass2);
            mass6.ReadMat ();

            Console.WriteLine ("Умножение матриц А и Б: ");
            mass8 = (mass1 * mass2);
            mass8.ReadMat ();

            Console.WriteLine ("Умножение матрицы А на число 2: ");
            mass5 = (mass1 * 2);
            mass5.ReadMat ();

            Console.WriteLine ("Матрица D по формуле  D=3AB+(A-B)A: ");
            mass7 = ( (mass1 * 3) * mass2 + (mass1-mass2) * mass1);
            mass7.ReadMat ();

            Console.ReadKey();
        }
    }
}

tumovsky.by

Блочное умножение матриц для программистов — Блог Евгения Жирнова

#include <stdio.h>
#include <string.h>
 
 
void Rec_Mult(int *C, const int *A, const int *B, int n, int rowsize)
{
    if (n == 2)
    {
        const int d11 = 0;
        const int d12 = 1;
        const int d21 = rowsize;
        const int d22 = rowsize + 1;
 
        C[d11] += A[d11] * B[d11] + A[d12] * B[d21];
        C[d12] += A[d11] * B[d12] + A[d12] * B[d22];
        C[d21] += A[d21] * B[d11] + A[d22] * B[d21];
        C[d22] += A[d21] * B[d12] + A[d22] * B[d22];
    }
    else
    {
        const int d11 = 0;
        const int d12 = n / 2;
        const int d21 = (n / 2) * rowsize;
        const int d22 = (n / 2) * (rowsize + 1);
 
        // C11 += A11 * B11
        Rec_Mult(C + d11, A + d11, B + d11, n / 2, rowsize);
        // C11 += A12 * B21
        Rec_Mult(C + d11, A + d12, B + d21, n / 2, rowsize);
 
        // C12 += A11 * B12
        Rec_Mult(C + d12, A + d11, B + d12, n / 2, rowsize);
        // C12 += A12 * B22
        Rec_Mult(C + d12, A + d12, B + d22, n / 2, rowsize);
 
        // C21 += A21 * B11
        Rec_Mult(C + d21, A + d21, B + d11, n / 2, rowsize);
        // C21 += A22 * B21
        Rec_Mult(C + d21, A + d22, B + d21, n / 2, rowsize);
 
        // C22 += A21 * B12
        Rec_Mult(C + d22, A + d21, B + d12, n / 2, rowsize);
        // C22 += A22 * B22
        Rec_Mult(C + d22, A + d22, B + d22, n / 2, rowsize);
    }
}
 
 
#define ROW_COUNT 8
 
 
void printMatrix(const char *name, const int *mat)
{
    printf("%s:\n", name);
 
    for (int i = 0; i < ROW_COUNT; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < ROW_COUNT; ++j)
        {
            printf("%4d", mat[i * ROW_COUNT + j]);
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
}
 
 
int main()
{
    const int matA[ROW_COUNT * ROW_COUNT] =
    {
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5, 6,
        1, 2, 3, 0, 0, 4, 5,

blog2k.ru

Сколько минут в одном градусе угла, как обозначаются минуты и секунды

Чтобы узнать, сколько градусов угловых минут, вам нужно использовать простой веб-калькулятор. Введите число градусов, которое вы хотите преобразовать в левое поле. В поле справа вы увидите результат расчета. Если вам нужно перевести градусы или углы минут в другие единицы измерения, просто нажмите соответствующую ссылку.

Что такое «ставка»,

Степени являются общепринятыми и наиболее часто используемыми единицами измерения прямых углов, равными 1/360 по периметру, 1/180 растянутым углом и 1/90 от прямого угла.

Название «степень» происходит от латинского gradus — деления, фрагмента, шага, а в тексте — символ (°), (1 ° — одна градус).

Причины выбора системы. Шестьдесят распределение угловых значений, которые генерируют размеры, единицы измерения неизвестны, но это версия, которая в древнем Вавилоне акадский математический круг делится на шесть равных частей с использованием равностороннего треугольника, который был основой для этого расчета.

Учитывая, что форма гексаэдра широко распространена в естественных природных структурах, таких как кристаллы (например, снежинки, например) или соты, этот выбор был явно оправдан.

Кроме того, в некоторых старых календарях, особенно в зороастрийском (древнем персидском) и древнем египтяне, продолжительность года составляет 360 дней и 5 дополнительных дней (эпигоменты) считаются священными днями с момента принятия «великого».

Также в течение пяти дополнительных дней ежедневные календари Maya и Aztec 360. Таким образом, вполне возможно, что культурные причины лежат в основе системы в шестидесятые годы.

Что такое «угловой момент»,

Угловая минута или минуты дуги представляет собой единицу измерения, равную 1/60 градуса. Одна минута состоит из 60 секунд. Единица используется в системе СИ, но она не принадлежит к единице этой системы, так как она является безграничной величиной.

Отдельная арка используется для измерения малых углов в астрономии, навигации или для определения точности записи. Стандартный символ минутного отверстия (бар) (‘), например, 1 минута, поскольку он записан как 1’.

Лист записи используется в документации, которая относится, в частности, к описанию точности стрельбы из огнестрельного оружия.

Сколько минут?

В метрических единицах 1 ‘на расстоянии 100 м = 2,908 см. В картографии 1 ‘на поверхности моря составляет приблизительно 1,86 км или 1 морскую милю. При определении остроты зрения таблицы Снеллена вид просматривается нормально, что позволяет читать шестую линию с расстояния 6 м, каждая буква имеет 5 ‘дугу.

Измерение углов

Измерить угол – значит найти его величину. Величина угла показывает, сколько раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в данном углу.

Обычно за единицу измерения углов принимают градус. Градус – это угол, равный части развёрнутого угла. Для обозначения градусов в тексте, используется знак°, который ставится в правом верхнем углу числа, показывающего количество градусов (например, 60°).

Измерение углов транспортиром

Для измерения углов используют специальный прибор – транспортир:

У транспортира две шкалы – внутренняя и внешняя.

Начало отсчёта у внутренней и у внешней шкал располагается с разных сторон. Чтобы получить правильный результат измерения, отсчёт градусов должен начинаться с правильной стороны.

Измерение углов производится следующим образом: транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале.

Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах:

Говорят: и пишут: ∠BOC = 60°, ∠MON = 120°.

Для более точного измерения углов используют доли градуса: минуты и секунды. Минута – это угол, равный части градуса.

Секунда – это угол, равный части минуты.

Перевод градусов в угловые минуты

Минуты обозначают знаком ‘, a секунды – знаком ». Знак минут и секунд ставится в правом верхнем углу числа. Например, если угол имеет величину 50 градусов 34 минуты и 19 секунд, то пишут:

50°34’19»

Свойства измерения углов

Если луч делит данный угол на две части (на два угла), то величина данного угла равна сумме величин двух полученных углов.

Рассмотрим угол AOB:

Луч OD делит его на два угла: ∠AOD и ∠DOB.

Таким образом, ∠AOB= ∠AOD + ∠DOB.

Развёрнутый угол равен 180°.

Любой угол имеет определённую величину, большую нуля.

Как измеряется в разных единицах. Там могут быть тарифы, радианы. Наиболее распространенные углы измеряются в градусах. (Эта степень не должна смешиваться с температурным критерием, где также используется термин «шаг»).

1 градус — угол, который равен 1/180 угла отклонения. Другими словами, если взять под углом и разделить на 180 равных угловых частей, то каждая составляет 1 градус.

Размер всех других углов зависит от того, сколько таких маленьких углов можно поместить под измеренным углом.

Степень указывается знаком °. Это ничего, а не О. Это особый характер, который вводится для уровня класса, символа.

Таким образом, он разработан как 180 °, прямоугольный как 90 °, острые углы меньше 90 °, а углы больше 90 °.

В метрической системе измеритель используется для измерения расстояния.

Тем не менее, используются также большие и меньшие единицы. Например, сантиметр, миллиметр, километр, дециметр. По аналогии, в минутах градусов углов, мы также назначаем минуты и секунды.

Один уровень равен 1/60 градусов. Он отмечен одним знаком.

Минута (угол) на уровень

Второй — 1/60 минуты или 1/3600 градусов. Второй отмечен двумя символами, «то есть».

В школьной геометрии редко используются минуты и секунды, но, к примеру, они должны быть сопоставимы: 35 ° 21’45 «. Это означает, что это 35 градусов + 21 минута + 45 секунд.

С другой стороны, если угол не может быть точно измерен только в целых градусах, нет необходимости вводить минуты и секунды.

Достаточно использовать частичные ставки. Например, 96,5 °.

Понятно, что минуты и секунды могут быть переведены в градусы, выраженные в градусах градусов. Например, 30 ‘равно (30/60) ° или 0,5 °. 0,3 ° то же самое (0,3 * 60) ‘или 18’. Таким образом, использование минут и секунд — это только вопрос комфорта.

один градус широты (то есть в направлении север-юг) на любой параллели равен 111 км. А если не лень, посчитай: (2 х π х 6400км) / 360 Длина меридиана равна 40000 километров или 360 градусов. Следовательно, один градус широты (хоть северной, хоть южной) равен (40000 поделить на 360) 111,111…км. Если Вам надо точнее, то: 1 градус = 60 минут. Следовательно, 1 минута широты равна 1,851… км. Еще точнее? 1 минута = 60 секунд. Следовательно, 1 секунда широты равна 30,864…

м. Теперь про долготу: Перевод в километры зависит от широты данной местности. На экваторе один градус долготы равен все тем же 111,111…км, т. к. длина экватора, также как и длина меридиана, равна 40000 км. А севернее или южнее — уже меньше, а на полюсах вообще равна нулю километров. Связано это с тем, что все параллели имеют разную длину, равную длине экватора, умноженной на косинус угла, равного широте. Один градус долготы на широте 53,85° (53° 51′) равен (COS 53,85°) × 40000 / 360 = 0,59 × 111,111…

= 65,544… километров. Одна минута соответственно 65,544… / 60 = 1,092… километров. Одна секунда долготы уже равна 1092,41… / 60 = 18,207… метров.

Перевод в километры зависит от широты данной местности. На экваторе один градус долготы равен все тем же 111,111…км, т. к. длина экватора, также как и длина меридиана, равна 40000 км.

А севернее или южнее — уже меньше, а на полюсах вообще равна нулю километров.

Градус, минута, секунда

Связано это с тем, что все параллели имеют разную длину, равную длине экватора, умноженной на косинус угла, равного широте. Один градус долготы на широте 53,85° (53° 51′) равен (COS 53,85°) × 40000 / 360 = 0,59 × 111,111… = 65,544… километров. Одна минута соответственно 65,544…

/ 60 = 1,092… километров. Одна секунда долготы уже равна 1092,41… / 60 = 18,207… метров.

6371*tg1гр=111 км.

111,15

Степень (геометрия)

скорость в геометрии — это единица измерения прямых углов.

Если любой круг делится на 360 равных частей, а точки деления связаны с центром круга, круг делится на 360 фокусных углов. Каждый из них будет равен 1 °.

Рисунок 40 каждый 5 °, потому что круг мал: если вы рисуете линии в этом круге на 1 °, они будут сливаться.

Каждый круг должен содержать 360 °.

Размер уровня тот же в малых и больших кругах, но длина круга равна 1 °. Таким образом, окружность круга, равная 1 °, намного меньше миллиметра в пене, а экватор Земли составляет приблизительно 111 км (40 000 км / 360 = 111 км).

Фотографии (фото, картинки)

• 
  

  Рис.

  40. Стоинье

Материал со страницы WikiWhat

На этом сайте вы можете найти следующие темы:

• Резюме уровня

• Она диплом в области геометрии

• Отчет о происхождении словаря

• Отчет о степенях

• Какова степень определения в геометрии

vipstylelife.ru

Градус, минута, секунда — это… Что такое Градус, минута, секунда?

Градус, минута, секунда — общепринятые единицы измерения плоских углов и земного шара.

Градус

Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один оборот равен 360°. В прямом углу, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.

Деление окружности на 360° придумали аккады (вавилоняне) — соответственно делению года в вавилонском календаре на 360 дней.

Минуты и секунды

В измерении углов традиционно используется шестидесятеричная система счисления. По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (′), а минуту — на 60 секунд (″).

• 1′ = ≈ 2,9088821×10^-4 радиан.
• 1″ = ≈ 4,8481368×10^-6 радиан.

Угловая секунда

Углова́я секу́нда (англ. arcsecond, arc second, as, second of arc; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги^[1]) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла^[2].

Использование

Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается ^с). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1^c = 15″.^[3]

Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой^[1][4], что является простой транслитерацией с англ. arcsecond.

Дольные единицы

По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds, mas), микросекунды (англ. microarcseconds, µas) и пикосекунды (англ. picoarcseconds, pas). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению^[2]. Однако, согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками^[5], в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т.п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами (mas, µas и pas соответственно).

Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд.^[6]

Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой (VLBI), астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника.

В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP).^[7][8]

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Малые углы // Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.

tehtab.ru

Градус, минута, секунда Википедия

Гра́дус, мину́та, секу́нда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности, а также для определения азимута.

Градус

Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один полный оборот соответствует углу в 360°. В прямом угле, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.

Причина выбора градуса как единицы измерения углов неизвестна. Одна из теорий предполагает, что это связано с тем, что 360 — приблизительное количество дней в году^[1]. Некоторые древние календари, такие как древнеперсидский, использовали год в 360 дней.

Другая теория гласит, что аккадцы (вавилоняне) поделили окружность, используя угол равностороннего треугольника как базу и поделив результат на 60, следуя своей шестидесятеричной системе счисления^[2][3].

Если построить окружность радиусом 57 см, то 1 градус будет примерно соответствовать 1 см длины дуги данной окружности.

Градус в альтернативных единицах измерения:

1∘=2π360{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {2\pi }{\displaystyle {360}}}} радиан =π180=1p≈157,295779513∘{\displaystyle ={\frac {\pi }{\displaystyle {180}}}={\frac {1}{\displaystyle {p}}}\approx {\frac {1}{\displaystyle {57{,}295779513^{\circ }}}}}^[4]≈0,0174532925{\displaystyle \approx 0{,}0174532925} (радиан в 1°)

1∘=1360{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {1}{360}}} оборота=0,002(7) оборота=0,002777777777…

1∘=400360{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {400}{360}}} градов=1,(1) градов=1,11111111111… градов

Минуты и секунды

По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат. minutus — маленький, мелкий; обозначается штрихом x′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается двумя штрихами y″. Ранее употреблялась величина в 1/60 секунды — терция (третье деление), с обозначением тремя штрихами — z″′. Деление градуса на минуты и секунды ввёл Клавдий Птолемей^[5]; корни же такого деления восходят к учёным Древнего Вавилона (где использовалась шестидесятеричная система счисления).

Минуты и секунды в других системах измерения:

1′=2π360∘⋅60′=1′p′≈1′3437,747′{\displaystyle 1’={\frac {2\pi }{\displaystyle {360^{\circ }}\cdot 60′}}={\frac {1′}{p’}}\approx {\frac {1′}{3437{,}747′}}}^[4]≈2,90888208⋅10−4 rad{\displaystyle \approx 2{,}90888208\cdot 10^{-4}~{\text{rad}}} (1 минута в радианах)

1″=2π360∘⋅60′⋅60″=1″p″≈1″206264,8″{\displaystyle 1»={\frac {2\pi }{\displaystyle {360^{\circ }}\cdot 60’\cdot 60»}}={\frac {1»}{p»}}\approx {\frac {1»}{206264{,}8»}}}^[4]≈4,848136811⋅10−6 rad{\displaystyle \approx 4{,}848136811\cdot 10^{-6}~{\text{rad}}} (1 секунда в радианах).

Минуты и секунды в радианной мере из-за своих чрезмерно малых величин представляют ограниченный интерес и практически очень мало используются.
Гораздо больший интерес представляет перевод десятичных (сотых, десятитысячных) долей градуса в минуты и секунды и обратно — см. Радиан#Связь радиана с другими единицами и Географические координаты.

Угловая секунда

Углова́я секу́нда (англ. arcsecond, arc second, as, second of arc; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги^[6]) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла^[7].

Использование

Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается ^s). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1^s=15″.^[8]

Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой^[6][9], что является простой транслитерацией с англ. arcsecond.

Дольные единицы

По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds, mas), микросекунды (англ. microarcseconds, µas) и пикосекунды (англ. picoarcseconds, pas). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению^[7]. Однако согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками^[10], в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т. п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами (mas, µas и pas соответственно).

Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд.

Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой, астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника.^{[источник не указан 2529 дней]}

В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP)^[11][12].

Примечания

1. ↑ Weisstein, Eric W. Degree (англ.). Wolfram MathWorld. Дата обращения 26 ноября 2017.
2. ↑ James Hopwood Jeans. The Growth of Physical Science. — 1947. — С. 7.
3. ↑ Murnaghan, Francis D. Analytic geometry. — New York: Prentice-Hall, inc., 1946. — P. 2.
4. ↑ ^{1 2 3} Переводные множители — <57,295779513>, <3437,747>, <206264,8> — см. Радиан#Связь радиана с другими единицами.
5. ↑ Боголюбов, 1983, с. 393—394.
6. ↑ ^{1 2} Англо-русско-английский астрономический словарь (неопр.). Astronet. Дата обращения 23 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
7. ↑ ^{1 2} Non-SI units accepted for use with the International System of Units (англ.). SI brochure (8th ed.). Bureau International des Poids et Mesures. — Описание СИ на сайте Международного бюро мер и весов. Дата обращения 23 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
8. ↑ Справочник. Некоторые внесистемные единицы (неопр.). ASTROLAB. Дата обращения 23 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
9. ↑ Glossary entry for English term «arcsecond» (англ.). Справочник по услугам профессионального перевода, предоставляемым независимыми переводчиками и бюро перевода. ProZ.com. Дата обращения 23 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
10. ↑ ГОСТ 8.417-2002. Единицы величин. Введён в действие с 1 сентября 2003 г. // Информационная система по оборудованию «Прибор.Инфо» : справочник. — 2003. Архивировано 5 августа 2013 года.
11. ↑ Гурьянов С. Почему звезды называются именно так? (неопр.). проект «Астрогалактика» (29 октября 2005 года). Дата обращения 26 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
12. ↑ Цветков А. С. Общие сведения о проекте Hipparcos // Руководство по практической работе с каталогом Hipparcos. — СПб.: АИ СПбГУ.

Литература

См. также

wikiredia.ru

Градус, минута, секунда Вики

Гра́дус, мину́та, секу́нда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности, а также для определения азимута.

Градус[ | код]

Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один полный оборот соответствует углу в 360°. В прямом угле, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.

Причина выбора градуса как единицы измерения углов неизвестна. Одна из теорий предполагает, что это связано с тем, что 360 — приблизительное количество дней в году^[1]. Некоторые древние календари, такие как древнеперсидский, использовали год в 360 дней.

Другая теория гласит, что аккадцы (вавилоняне) поделили окружность, используя угол равностороннего треугольника как базу и поделив результат на 60, следуя своей шестидесятеричной системе счисления^[2][3].

Если построить окружность радиусом 57 см, то 1 градус будет примерно соответствовать 1 см длины дуги данной окружности.

Градус в альтернативных единицах измерения:

1∘=2π360{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {2\pi }{\displaystyle {360}}}} радиан =π180=1p≈157,295779513∘{\displaystyle ={\frac {\pi }{\displaystyle {180}}}={\frac {1}{\displaystyle {p}}}\approx {\frac {1}{\displaystyle {57{,}295779513^{\circ }}}}}^[4]≈0,0174532925{\displaystyle \approx 0{,}0174532925} (радиан в 1°)

1∘=1360{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {1}{360}}} оборота=0,002(7) оборота=0,002777777777…

1∘=400360{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {400}{360}}} градов=1,(1) градов=1,11111111111… градов

Минуты и секунды[ | код]

По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат. minutus — маленький, мелкий; обозначается штрихом x′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается двумя штрихами y″. Ранее употреблялась величина в 1/60 секунды — терция (третье деление), с обозначением тремя штрихами — z″′. Деление градуса на минуты и секунды ввёл Клавдий Птолемей^[5]; корни же такого деления восходят к учёным Древнего Вавилона (где использовалась шестидесятеричная система счисления).

Минуты и секунды в других системах измерения:

1′=2π360∘⋅60′=1′p′≈1′3437,747′{\displaystyle 1’={\frac {2\pi }{\displaystyle {360^{\circ }}\cdot 60′}}={\frac {1′}{p’}}\approx {\frac {1′}{3437{,}747′}}}^[4]≈2,90888208⋅10−4 rad{\displaystyle \approx 2{,}90888208\cdot 10^{-4}~{\text{rad}}} (1 минута в радианах)

1″=2π360∘⋅60′⋅60″=1″p″≈1″206264,8″{\displaystyle 1»={\frac {2\pi }{\displaystyle {360^{\circ }}\cdot 60’\cdot 60»}}={\frac {1»}{p»}}\approx {\frac {1»}{206264{,}8»}}}^[4]≈4,848136811⋅10−6 rad{\displaystyle \approx 4{,}848136811\cdot 10^{-6}~{\text{rad}}} (1 секунда в радианах).

Минуты и секунды в радианной мере из-за своих чрезмерно малых величин представляют ограниченный интерес и практически очень мало используются.
Гораздо больший интерес представляет перевод десятичных (сотых, десятитысячных) долей градуса в минуты и секунды и обратно — см. Радиан#Связь радиана с другими единицами и Географические координаты.

Угловая секунда[ | код]

Углова́я секу́нда (англ. arcsecond, arc second, as, second of arc; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги^[6]) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла^[7].

Использование[ | код]

Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается ^s). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1^s=15″.^[8]

Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой^[6][9], что является простой транслитерацией с англ. arcsecond.

Дольные единицы[ | код]

По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds, mas), микросекунды (англ. microarcseconds, µas) и пикосекунды (англ. picoarcseconds, pas). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению^[7]. Однако согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками^[10], в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т. п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами (mas, µas и pas соответственно).

Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд.

Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой, астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника.^{[источник не указан 2529 дней]}

В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP)^[11][12].

Примечания[ | код]

1. ↑ Weisstein, Eric W. Degree (англ.). Wolfram MathWorld. Дата обращения 26 ноября 2017.
2. ↑ James Hopwood Jeans. The Growth of Physical Science. — 1947. — С. 7.
3. ↑ Murnaghan, Francis D. Analytic geometry. — New York: Prentice-Hall, inc., 1946. — P. 2.
4. ↑ ^{1 2 3} Переводные множители — <57,295779513>, <3437,747>, <206264,8> — см. Радиан#Связь радиана с другими единицами.
5. ↑ Боголюбов, 1983, с. 393—394.
6. ↑ ^{1 2} Англо-русско-английский астрономический словарь (неопр.). Astronet. Дата обращения 23 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
7. ↑ ^{1 2} Non-SI units accepted for use with the International System of Units (англ.). SI brochure (8th ed.). Bureau International des Poids et Mesures. — Описание СИ на сайте Международного бюро мер и весов. Дата обращения 23 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
8. ↑ Справочник. Некоторые внесистемные единицы (неопр.). ASTROLAB. Дата обращения 23 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
9. ↑ Glossary entry for English term «arcsecond» (англ.). Справочник по услугам профессионального перевода, предоставляемым независимыми переводчиками и бюро перевода. ProZ.com. Дата обращения 23 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
10. ↑ ГОСТ 8.417-2002. Единицы величин. Введён в действие с 1 сентября 2003 г. // Информационная система по оборудованию «Прибор.Инфо» : справочник. — 2003. Архивировано 5 августа 2013 года.
11. ↑ Гурьянов С. Почему звезды называются именно так? (неопр.). проект «Астрогалактика» (29 октября 2005 года). Дата обращения 26 декабря 2007. Архивировано 23 августа 2011 года.
12. ↑ Цветков А. С. Общие сведения о проекте Hipparcos // Руководство по практической работе с каталогом Hipparcos. — СПб.: АИ СПбГУ.

Литература[ | код]

См. также[ | код]

ru.wikibedia.ru

Как градусы перевести в минуты, секунды и радианы?

Любые тела, форма которых является круглой, например сфера или окружность, нуждаются в специальных единицах измерения, отличающихся от таковых для линейных объектов. Этими единицами измерения стали градусы и радианы. При этом часто возникает вопрос о том, как градусы перевести в минуты, секунды и в радиальную систему измерения.

Единицы измерения: градусы

Приблизительно за тысячу лет до нашей эры древние вавилоняне применяли систему измерения небесных тел, по которой вся небесная сфера разделялась на 360 равных частей, что записывалось как 360 °. Одну трехсот шестидесятую часть они называли градусом.

Поскольку система исчисления древних вавилонян являлась шестидесятеричной, они разделяли каждый градус на 60 равных частей, и одна такая часть получила название минуты и обозначалась 1′. В свою очередь каждая минута делилась еще на 60 частей, 1/60 минуты называлась секундой и обозначалась 1».

Наша система исчисления, в отличие от системы древних вавилонян, является десятеричной, однако в области измерения круглых и сферических форм по-прежнему используются градусы, минуты и секунды в их первоначальном понимании. Например, прямым углом является угол в 90°, один градус содержит 60 минут, а одна минута — 60 секунд. Эту информацию рекомендуется запомнить, поскольку она помогает понять, как градусы перевести в минуты.

Единицы измерения: радианы

Наряду с градусами часто используются другие единицы измерения — радианы (от лат. radii — радиус). Радиан является более подходящей единицей измерения круглых тел, поскольку он непосредственно связан с их геометрией. Так, один радиан представляет собой угол, который опирается на длину дуги окружности, равную ее радиусу. Поскольку длина окружности вычисляется по формуле L = 2piR, где pi — число пи, равное 3,14, то полная окружность составляет 2pi радиан.

Измерение углов в радианах очень удобно в тригонометрии, где вычисления и преобразования тригонометрических функций выполняются именно в этой системе исчисления. Например, sin(pi/2) = 1.

Как градусы перевести в минуты, секунды и радианы

Как сделать все правильно? Чтобы выполнить процедуру перевода градусов в минуты и секунды, нужно вспомнить, что в минутах он равен 60, а в секундах 60 x 60 = 3600 или 1° = 60′ и 1′ = 60».

Приведем пример: есть угол a = 12°. Как градусы перевести в минуты для него? Для этого составим пропорцию, из которой получим: a = 60′ x 12º/1º = 720′. Теперь рассмотрим более сложный случай: есть угол a = 32º 45′ 23». Для перевода этого угла в минуты необходимо прибегнуть к сложению в минутах каждого его разряда. В итоге получаем: a = 32 x 60 + 45 + 23/60 = 1965,383′. В секундах этот угол будет равен: a = 32 x 60 x 60 + 45 x 60 + 23 = 117923».

Чтобы перевести угол a из примера выше в радианы, нужно вспомнить, что 360° = 2pi. Теперь нужно указанный угол привести к градусам, получаем: a = 32 + 45/60 + 23/3600 = 32,75639°. Полученный в градусах угол через пропорцию переводим в радианы: a = 2pi x 32.75639°/360° = 0,5717 радиан.

fb.ru

Градус, минута, секунда Википедия

Гра́дус, мину́та, секу́нда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности, а также для определения азимута.

Градус[ | ]

Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один полный оборот соответствует углу в 360°. В прямом угле, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.

Причина выбора градуса как единицы измерения углов неизвестна. Одна из теорий предполагает, что это связано с тем, что 360 — приблизительное количество дней в году^[1]. Некоторые древние календари, такие как древнеперсидский, использовали год в 360 дней.

Другая теория гласит, что аккадцы (вавилоняне) поделили окружность, используя угол равностороннего треугольника как базу и поделив результат на 60, следуя своей шестидесятеричной системе счисления^[2][3].

Если построить окружность радиусом 57 см, то 1 градус будет примерно соответствовать 1 см длины дуги данной окружности.

Градус в альтернативных единицах измерения:

1∘=2π360{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {2\pi }{\displaystyle {360}}}} радиан =π180=1p≈157,295779513∘{\displaystyle ={\frac {\pi }{\displaystyle {180}}}={\frac {1}{\displaystyle {p}}}\approx {\frac {1}{\displaystyle {57{,}295779513^{\circ }}}}}^[4]≈0,0174532925{\displaystyle \approx 0{,}0174532925} (радиан в 1°)

1∘=1360{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {1}{360}}} оборота=0,002(7) оборота=0,002777777777…

1∘=

ru-wiki.ru

Задачник на VBA (часть I)*

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Н.К. ПЕТРОВА, М.М. ВОЛЧЕНКО

ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА VBA В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ЧАСТЬ I. БАЗОВЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Практикум к лабораторным работам, практическим занятиям, расчетному заданию и самостоятельной работе студентов по дисциплинам

«Информатика», «Компьютерные технологии в науке и образовании», «Программные средства информатики», «Новые информационные технологии»

Казань 2010

УДК 681.3 ББК 32.973 П78

Рецензенты:

кандидат физико-математическихнаук, доцент Татарского государственного педагогического университетаИ.Н. Голицына;

кандидат физико-математическихнаук, доцент Казанского государственного энергетического университетаР.А. Ишмуратов

П78 Петрова Н.К., Волченко М.М.

Программирование на VBA. Часть I. Базовые алгоритмические структуры. Практикум / Н.К. Петрова, М.М. Волченко. – Казань: Казан. гос. энерг. ун-т,2010. – 55 с.

Предлагается своего рода «Задачник» по программированию, ориентированный на обучение студентов основам алгоритмизации математических и инженерных задач средствами языка VBA в приложении к Excel.

Содержание I части охватывает разделы программы, посвященные базовым алгоритмическим структурам: линейные программы, «ветвление», «цикл» — арифметический и итерационный. Изложение материала оформлено в виде отдельных разделов, в которых кратко представлены основные теоретические сведения.

Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы. Задания делятся на три типа: 1 – умение «читать» готовые программы, 2 – разрабатывать программы по шаблонному алгоритму и 3 – разрабатывать программы с неявным алгоритмом.

Практикум предназначен для студентов всех специальностей КГЭУ, изучающих «Информатику».

УДК 681.3 ББК 32.973

© Казанский государственный энергетический университет, 2010

3

Предисловие

Вучебной литературе имеется не так много пособий по практической работе на VBA, ориентированных на решение математических, инженерных задач. Данный практикум разработан с целью восполнить существующий пробел. Он предназначен для обучения – самостоятельно или под руководством преподавателя – основам алгоритмизации с использованием языка VBA (Visual Basic for Application) в приложении к одному из самых популярных приложений MS Office – MS Excel.

Впрактикум включены типовые задачи и даются методы и примеры их решения. Каждому разделу предшествует краткое введение, состоящее из определений и описания операторов языка. Многочисленные примеры демонстрируют разные возможности работы с ячейками рабочего листа Excel, с диалоговыми окнами ввода и вывода. Основной акцент сделан на умение работать с математическими формулами, с числами в формате с плавающей и фиксированной точкой, грамотно сопоставлять фактические и формальные параметры при вызове программ как с листа Excel, так и из программ пользователя.

Втексте практикума приняты такие соглашения:

1.Элементы языка VBA в текстовой части практикума выделены

таким стилем.

2.Курсивом выделены новые термины, имена переменных в текстовой части практикума, в комментариях к операторам программ.

3.Примеры разбираемых программ даются, как правило, с комментариями, при этом текст программы пишется курсивом. Тексты программ для самостоятельного разбора приводятся, как правило, в рамке.

4.При описании структуры операторов[необязательные операнды] взяты в квадратные скобки, альтернативные параметры –Yes | No –

написаны через вертикальную черту.

5. В тексте используются следующие сокращения:

ОП – оперативная память; ПК – компьютер; п/п – программа-процедура;п/ф –программа-функция

При подготовке данного практикума авторы использовали многолетний опыт работы по преподаванию курса информатики в Казанском государственном энергетическом университете и Казанском государственном университете.

4

Общие теоретические сведения по программированию на VBA

I. Структура программ на VBA. Процедуры и функции пользователя

Программа VBA представляет собой совокупность процедур и функций, размещенных в зависимости от особенностей решаемой задачи, в одном или нескольких модулях. Каждый модуль имеет две области: общую область и область подпрограмм. В общей области помещаются операторы описания переменных, которые являются общими для всех процедур и функций этого модуля. В области подпрограмм помещается только код подпрограммы.

В VBA программный код, реализующий какие-либодействия, оформляется в видепроцедур ифункций. Благодаря этому создаваемые программы имеют хорошую структурированность и наглядность. Разработанные отдельные функции или процедуры можно накапливать в библиотеках и в дальнейшем использовать их по мере необходимости.

Программа-процедура (п/п) на VBA имеет следующую структуру:

[Private|Public] Sub ИмяПроцедуры (СпискиПараметров) <<Тело п/п>>

End Sub

где [Private|Public] – необязательные ключевые слова, определяющие область видимости программы;Sub – ключевое слово, определяющее тип п/п.ИмяПроцедуры – имя п/п (дает сам пользователь).СписокПараметров служит для передачи процедуре исходных данных для вычислений (может отсутствовать). Он состоит из элементов списка, разделенных запятыми.

Этот элемент списка параметров имеет синтаксис:

ИмяЭлемента [As ТипДанных]

где ИмяЭлемента – идентификатор;As – ключевое слово;ТипДанных – тип данных элемента списка (Табл. 1.1).

Процедура пользователя может быть вызвана из другой п/п оператором Call или указанием ее имени.

5

Программа–функция (п/ф) – это программа, которая выполняет действия в пределах своего блока и возвращает единственное значение. Функция пользователя имеет следующий вид:

[Private|Public]Function ИмяФункции([СпискиПараметров])[As ТипДанных]

<<Тело п/ф>>

ИмяФункции = ВозвращаемоеЗначение

End Sub

Function – ключевое слово, указывающее на то, что это функция; остальные параметры те же, что и вSub. ВозвращаемоеЗначение – значение, возвращаемой функцией.

Обращение к п/ф может производиться из процедуры другой функции. Если в функции предусмотрено рекурсивное обращение, то ее можно вызвать из нее самой. Если функция записана в модуле, то ее можно вызвать из Excel с помощью Мастера функций, так как функция пользователя заносится в библиотеку функций.

Пример:

Private Sub Prog3( ) Dim u,t As Integer

t = 2

y = Func ( t ) [Другие операторы] End Sub

Public Function Func(x As Integer) As Integer

f % = x ^ 2 + x + 5

func = f % End Function

6

Начало вызывающей п/п Задание типа переменным u,t

Присвоение переменной t значения 2 Вызов п/фFunc с фактическим аргументомt

Конец п/п

Начало п/ф Func, имеющей целочисленный тип. Формальный аргументt имеет целочисленный тип

Вычисление полинома по t и присвоение результата целочисленной переменнойf % Присвоение возвращаемого значения Конец п/ф

При работе с обоими типами программ следует аккуратно соблюдать соответствие между фактическими и формальными параметрами, как по количеству их, так и по типу.

II. Типы констант. Представление числовых констант в формате с фиксированной и плавающей десятичной точкой

Константой называется некоторая величина, не изменяющая своего числового или символьного значения в течение выполнения всей программы. Имеются два типа константчисловые и символьные.

Числовые константы: представляют собой положительные или отрицательные числа двух видов:

а)целочисленные, представляющие собой положительные и отрицательные числа и ноль, при их записи не должна использоваться

экспонента одинарной (Е) или двойной (D) точности.

Например: 1,510-3 1.5Е-3=0.15Е-02=15Е-04=0.0015,

150000 1.5Е+05,

0,0000254 2.54Е-05.

7

III. Объявление переменных на VBA

Переменные – это объекты, предназначенные для хранения данных. В различные моменты времени переменные могут хранить разные значения. Имена переменных позволяют различать их в программе, осуществлять доступ к различным участкам памяти для записи данных и их извлечения.

Перед использованием переменных в программе их нужно объявить (декларировать). При объявлении переменной необходимо указать, что объявляется переменная, задать имя переменной и указать ее тип. Тип определяет способ представления/хранения переменной в оперативной памяти.

Для эффективного использования памяти и времени ПК необходимо правильно выбрать тип переменной. Объявить переменную – значит заранее сообщить программе о ее существовании. Объявление переменной производится специальным оператором: Dim переменная [As тип]

Одновременно с объявлением переменной после ее имени можно

переменной power вещественный тип одинарной точности.

Задать тип переменной также можно, используя специальный символ в конце имени – постфикс (см. табл. 2) – или, используя инструкцию

DefТип.

Например, если на уровне модуля дана инструкция DefInt I-N, это означает, что всем переменным, имена которых начинаются с букв, лежащих в диапазоне отI доN (и прописных, и строчных), в программах данного модуля будет присвоен типInteger. Другие значения инструкцииDefТип представлены в Табл. 1.2.

8

Таблица 1.1 Некоторые типы переменных VBA

9

Таблица1.2. ЗначенияинструкцииDefТиписоответствующихпостфиксов

IV. Значения и типы переменных по умолчанию

Если в программах модуля операторы описания типа или постфиксы в именах переменных отсутствуют, то работает принцип умолчания

(табл. 1.3), согласно которому все переменные принимают тип Variant и

соответствующие значения. Применение данного типа позволяет выполнять операции, не обращая внимания на тип данных, которые они содержат. Удобен для объявления переменных, тип которых заранее неизвестен. Переменные этого типа могут содержатьспециальные значения: Empty (пусто), Null (Нуль), Error (ошибка).

Таблица 1.3. Значения и типы переменных разных типов по умолчанию

Из таблицы следует, что если переменная описана как числовая

(любого типа – Byte, Integer, Long, Single, Double) то ее значение по умолчанию равно 0 (ноль). Для символьных переменных типаString значение по умолчанию «» – отсутствие символов, еслиString*n, то ее значение будет равноn пробелам. Для логических (Boolean) переменных значение по умолчанию будет «ложь»

Несколько правил для корректного использования разных типов данных в одной программе или в одном выражении:

1. Переменные, описанные с помощью DIM на уровне модуля, доступны для всех процедур в данном модуле. Переменные, описанные на уровне п/п, доступны только в данной п/п.

10

2.В операторах присваивания следует иметь в виду, что значение выражения может быть присвоено переменной, только если оно имеет совместимый с этой переменной тип данных. Невозможно присвоить строковое выражение числовой переменной или числовое выражение строковой переменной. Такая попытка приведет к ошибке во время компиляции.

3.Переменным типа Variant могут присваиваться как строковые, так и

числовые выражения. Однако обратное не всегда верно.

4.Присвоение выражения с одним из числовых типов переменной с другим числовым типом данных преобразует значение выражения в тип данных результирующей переменной. Например: еслиa % = 2.33, тоа % будет иметь целое значение 2 (округление с недостатком) илиb % = 2.65, тоb % = 3 (округление с избытком), таким образом, присвоение вещественного числа целочисленной переменной приводит к округлению его до ближайшего целого (аналогично функцииINT).

5.Если присваивается численное выражение типизированной переменной с меньшей точностью (например, Double → Long), VBA

округляет значение выражения для совпадения с точностью переменной, принимающей новое значение.

6. Если переменной типа String присваивается переменная типаVariant, содержащая число, VBA автоматически преобразует это число в строку.

V. Встроенные математические функции

Таблица 1.4. Некоторые стандартные функции VBA

studfiles.net

Примеры решения задач — стр. 2

Примеры решения задач

Приведем несколько примеров решения задач на VBA.

Пример 1. Вычислить значение выражения a равного

, при x = 3, y = 2.5

Решение.

Sub выражение1()

Dim A, x, y

x = 3

y = 2.5

A = 2 * x — 3 * y

MsgBox (A)

End Sub

Пояснение решения.

В строке Dim A, x, y объявляются переменные A, x, y.

Пример 2. Вычислить значение выражения a равного

, при x = 3, y = 2.5

Замечание: значения x и y вводит пользователь.

Решение.

Sub выражение2()

Dim A, x, y As Double

x = InputBox(«Введите x=»)

y = InputBox(«Введите y=»)

A = 2 * x — 3 * y

MsgBox (A)

End Sub

Пояснение решения.

В строке Dim A, x, y As Double описываются переменные A, x, y как числа двойной точности.

При использовании строки

x = InputBox(«Введите x=»)

появиться окно

Пример 3. Вычислить значение выражения a равного

, при x = 3, y = 2.5

Замечание: значения x и y вводит пользователь, ответ выводится в виде «a =».

Решение.

Sub выражение3()

Dim A, x, y As Double

Dim ответ As String

x = InputBox(«Введите x=»)

y = InputBox(«Введите y=»)

A = 2 * x — 3 * y

ответ = «a=» + Str(A)

MsgBox (ответ)

End Sub

Пояснение решения.

В строке Dim ответ As String описывается переменная ответ как строковая.

Код Str(A) преобразует значение переменной A в строку.

Пример 4. Вычислить значения выражений при x = 3, y = 2.5

,

,

,

,

Решение.

Sub выражение4()

Dim A, b, c, d, a1, x, y As Double

x = InputBox(«Введите x=»)

y = InputBox(«Введите y=»)

A = 2 * x — 3 * y

b = (2 * x — 3 * y) / 2

c = (2 * x — 3 * y) / 2 * x

d = (2 * x — 3 * y) / (2 * x)

a1 = (2 * x — 3 * y) / (2 * x) + (5 — x) / (3 + y)

MsgBox («a=» + Str(A))

MsgBox («b=» + Str(b))

MsgBox («c=» + Str(c))

MsgBox («d=» + Str(d))

MsgBox («a1=» + Str(a1))

End Sub

Пример 5. Выполнить пример 4, другим способом, с помощью вспомогательных переменных.

Решение.

Sub выражение5()

Dim A, b, c, d, a1, a2, b1, c1, c2, x, y As Double

x = InputBox(«Введите x=»)

y = InputBox(«Введите y=»)

A = 2 * x — 3 * y

b = (2 * x — 3 * y) / 2

c = (2 * x — 3 * y) / 2 * x

d = (2 * x — 3 * y) / (2 * x)

a1 = (2 * x — 3 * y) / (2 * x) + (5 — x) / (3 + y)

‘ новое решение

b1 = A / 2

c1 = b * x

c2 = b / (2 * x)

a2 = d + (5 — x) / (3 + y)

MsgBox («a=» + Str(A))

MsgBox («b=» + Str(b))

MsgBox («c=» + Str(c))

MsgBox («d=» + Str(d))

MsgBox («a1=» + Str(a1))

MsgBox («b1=» + Str(b1))

MsgBox («c1=» + Str(c1))

MsgBox («c2=» + Str(c2))

MsgBox («a2=» + Str(a2))

End Sub

Пример 6. Вычислить площадь треугольника по трем известным сторонам. Например, a = 3, b = 4, c = 5.

Решение.

Sub Герон1()

Dim A, b, c, p, s As Double

A = 3

b = 4

c = 5

p = (A + b + c) / 2

s = Sqr(p * (p — A) * (p — b) * (p — c))

MsgBox («s=» + Str(s))

End Sub

Пояснение решения.

Для решения задачи используется формула Герона.

Пример 7. Вычислить площадь треугольника по трем известным сторонам.

Решение.

Sub Герон2()

Dim A, b, c, p, s As Double

A = Val(InputBox(«Введите a=»))

b = Val(InputBox(«Введите b=»))

c = Val(InputBox(«Введите c=»))

p = (A + b + c) / 2

s = Sqr(p * (p — A) * (p — b) * (p — c))

MsgBox («s=» + Str(s))

End Sub

Пояснение решения.

Код Val(InputBox(«Введите a=»)) преобразует введенное значение через InputBox в число, так как InputBoxвозвращает строку. Если такого преобразования не сделать, то программа правильно вычислять s не будет.

Пример 8. Вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника по двум катетам.

Решение.

Sub гипотенуза()

Dim a, b, c, p, s As Double

a = Val(InputBox(«Введите a=»))

b = Val(InputBox(«Введите b=»))

c = Sqr(a ^ 2 + b ^ 2)

MsgBox («c=» + Str(c))

End Sub

Организация ветвления на языке Visual Basic for Application

Необходимость обработки критических ситуаций возникает при программировании довольно часто.

Например, при решении задачи: вычислить значение выражения .

Sub выражение6()

Dim x, y, z As Double

x = Val(InputBox(«Введите x=»))

y = Val(InputBox(«Введите y=»))

z = (x + y) / (x — y)

MsgBox («z=» + Str(z))

End Sub

При вводе значений x = 3, y = 3 программа прекратит работу и выдаст сообщение

о прекращении работы, так как произошло деление на 0. Нажатие на кнопку Debug позволяет перейти в строку, в которой состоялась ошибка выполнения (Run—time error).

Необходимо, преобразовать программу следующим образом:

Sub выражение7()

Dim x, y, z As Double

x = Val(InputBox(«Введите x=»))

y = Val(InputBox(«Введите y=»))

If x — y 0 Then

z = (x + y) / (x — y)

MsgBox («z=» + Str(z))

Else

MsgBox («Знаменатель равен =0»)

End If

End Sub

Для организации ветвлений в языке VBA предусмотрено несколько операторов: If и Select Case.

Общий вид оператора If:

If выражение Then [инструкции]

[ElseIf выражение-n Then [иначе_если_инструкции] …

[Else [иначе_инструкции]]

End If

Выражение должно возвращать логическое значение: истина или ложь (True или False).

Общий вид оператора Select Case:

Select Case выражение

[Case выражение—n

[инструкции —n]] …

[Case Else

[иначе_инструкции]]

End Select

Пример использования Select Case.

Sub пример_select_case()

Dim Number

Number = 8

Select Case Number

Case 1 To 5

MsgBox «Между 1 и 5»

Case 6, 7, 8

MsgBox «Между 6 и 8»

Case 9 To 10

MsgBox «Между 9 и 10»

Case Else

MsgBox «Не в диапазоне от 1 до 10»

End Select

End Sub

При программировании исключительных ситуаций необходимо предусмотреть все возможные случаи. Поясним это на примерах.

Пример 1. Вычислить значение выражения 

Решение.

Sub выражение8()

Dim x, y, z As Double

x = Val(InputBox(«Введите x=»))

y = Val(InputBox(«Введите y=»))

If x — y 0 And x > 0 Then

z = (x + y) / (x — y) + Sqr(x)

MsgBox («z=» + Str(z))

Else

MsgBox («Выражение не имеет смысла»)

End If

End Sub

Пояснение решения.

Исключительная ситуация возникает, когда в знаменателе получается нуль и подкоренное выражение меньше нуля.

Пример 2. Вычислить площадь треугольника по трем известным сторонам.

Решение.

Sub Герон3()

Dim A, b, c, p, s As Double

A = Val(InputBox(«Введите a=»))

b = Val(InputBox(«Введите b=»))

c = Val(InputBox(«Введите c=»))

If (A + b > c) And (A + c > b) And (b + c > A) Then

p = (A + b + c) / 2

s = Sqr(p * (p — A) * (p — b) * (p — c))

MsgBox («s=» + Str(s))

Else

MsgBox («Треугольник не существует»)

End If

End Sub

Пояснение решения.

Предложенная программа проверяет существование треугольника, и не будет работать при введенных отрицательных значениях a, b, c.

Правильное решение в примере 3.

Пример 3. Вычислить площадь треугольника по трем известным сторонам.

Sub Герон4()

Dim A, b, c, p, s As Double

Dim d1, d2, tr_ok As Boolean

A = Val(InputBox(«Введите a=»))

b = Val(InputBox(«Введите b=»))

c = Val(InputBox(«Введите c=»))

d1 = (A >= 0) And (b >= 0) And (c >= 0)

d2 = (A + b > c) And (A + c > b) And (b + c > A)

tr_ok = d1 And d2

If tr_ok Then

p = (A + b + c) / 2

s = Sqr(p * (p — A) * (p — b) * (p — c))

MsgBox («s=» + Str(s))

Else

MsgBox («Треугольник не существует»)

End If

End Sub

Пояснение решения.

Программа вычисляет площадь треугольника, правильно обрабатывая исключительные ситуации.

Программирование циклов на языке Visual Basic for Application

Организация выполнения повторяющихся действий в VBA может быть выполнена несколькими операторами, которые условно разделяют на цикл-пока, цикл-до, цикл-для. 

Оператор While

Общий вид оператора While:

While выражение

[инструкции]

Wend

Оператор While предназначен для организации цикла-пока.

Инструкции будут выполняться пока выражение будет истинно.

Пример. Вычислить сумму чисел от 0 до 100.

Решение.

Sub сумма1()

Dim x, s As Double

x = 0

s = 0

While x

s = s + x

x = x + 1

Wend

MsgBox («s=» + Str(s))

End Sub

Пояснение решения.

В переменной s накапливается значение суммы.

Оператор Do While

Общий вид оператора Do While:

Do [While выражение]

[инструкции]

[Exit Do]

[инструкции1]

Loop

Оператор Do While предназначен для организации цикла-пока.

Инструкции будут выполняться пока выражение будет истинно. Конструкция Exit Do предназначена для преждевременного выхода из цикла.

Пример. Вычислить сумму чисел от 0 до 100.

Решение.

Sub сумма2()

Dim x, s As Double

x = 0

s = 0

Do While x

s = s + x

x = x + 1

Loop

MsgBox («s=» + Str(s))

End Sub

Оператор Do Loop Until

Общий вид оператора Do Loop Until:

Do

[инструкции]

[Exit Do]

[инструкции1]

Loop [Until выражение]

Оператор Do Loop Until предназначен для организации цикла-до.

Инструкции будут выполняться до момента, когда выражение станет истинным. Конструкция Exit Do предназначена для преждевременного выхода из цикла.

Пример. Вычислить сумму чисел от 0 до 100.

Решение.

Sub сумма3()

Dim x, s As Double

x = 0

s = 0

Do

s = s + x

x = x + 1

Loop Until x > 100

MsgBox («s=» + Str(s))

End Sub

Оператор For

Общий вид оператора For:

For счетчик = начальное_знач To конечное_знач [Step шаг]

[инструкции]

[Exit For]

[инструкции1]

Next [счетчик]

Оператор For предназначен для организации цикла-для.

Инструкции будут выполняться определенное количество раз, задаваемое в счетчик, начиная с начального значение (начальное_знач) до конечного значения (конечное_знач) с некоторым шагом (шаг). Конструкция Exit Forпредназначена для преждевременного выхода из цикла.

Пример. Вычислить сумму чисел от 0 до 100.

Решение.

Sub сумма4()

Dim x, s As Integer

s = 0

For x = 0 To 100

s = s + x

Next x

MsgBox («s=» + Str(s))

End Sub

Примеры решения задач

Пример 1. Представить таблицу квадратов чисел от 2 до 10.

Решение.

Для отображения результатов воспользуемся Excel и для доступа к ячейкам функцией Cells (номер_строки, номер_колонки).

Sub квадраты()

Dim x

Cells(2, 1).Value = «x»

Cells(3, 1).Value = «x^2»

For x = 2 To 10

Cells(2, x).Value = x

Cells(3, x).Value = x ^ 2

Next x

End Sub

Пример 2. Составить программу определения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел.

Решение.

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел — это самое большое натуральное число, на которое они делятся. Например, у чисел 12 и 18 наибольшие делители: 2, 3, 6. наибольшим общим делителем является число 6. Это записывается так:

НОД(12, 18) = 6.

Идея алгоритма Евклида для нахождения НОД основана на том свойстве, что если M>N, то

НОД(M, N) = НОД(M-N, N).

Иначе говоря, НОД двух натуральных чисел равен НОД их положительной разности и меньшего числа.

Sub Евклид()

Dim M, N, NOD

M = Cells(1, 2)

N = Cells(2, 2)

While M N

If M > N Then

M = M — N

Else

N = N — M

End If

Wend

NOD = M

Cells(3, 2).Value = NOD

End Sub

Пример 3. Построить график функции: улитку Паскаля.

Улитка Паскаля задается следующим образом:

x=A*cos(t)+B*cos(t)

y=A*cos(t)sin(t)+B*sin(t), A>B, B>0, 0

Решение.

1. Подготовить данные в электронной таблице

2. Ввести код программы.

Sub улитка_паскаля()

Dim a, b, Pi, t As Double

Dim i As Integer

a = Cells(1, 2)

b = Cells(2, 2)

Pi = 3.14

i = 2

t = 0

While t

x = a * Cos(t) + b * Cos(t)

y = a * Cos(t) * Sin(t) + b * Sin(t)

Cells(3, i).Value = x

Cells(4, i).Value = y

t = t + 0.1

i = i + 1

Wend

End Sub

3. Построить график с помощью мастера диаграмм, выбрав точечную диаграмму.

4. Изменить данные a и b.

A=2

B=1

5. Перезапустить макрос.

Создание пользовательских форм на языке Visual Basic for Application

Для пользователя часто необходимо создать собственную среду, в которой на специальной форме располагаются все необходимые инструменты для работы. VBA располагает для этого всеми средствами.

Приведем создание проекта «Вычисление площади треугольника по трем известным сторонам» по шагам.

Шаг 1. Создание первоначальной формы.

1.1. Выполнить Сервис ® Макрос ® Редактор Visual Basic.

1.2. Вставить форму с помощью меню Insert ® UserForm или кнопкой .

1.3. Дать внутреннее имя форме Форма_Герон с помощью окна Properties, выставляя свойство (Name) равноеФорма_Герон.

1.4. Присвоить заголовку форму имя Герон с помощью окна Properties, выставляя свойство Caption равное Герон.

1.5. Создать надпись «Вычисление площади треугольника» с помощью инструмента Надпись  панели элементов. При необходимости воспользоваться окном Properties, свойствами Font, Align.

1.6. В результате получиться следующий рисунок.

Шаг 2. Создание элементов для ввода данных.

2.1. Создать блок для ввода данных стороны a с помощью инструмента Поле панели элементов. В окнеProperties, присвоить ему свойство (Name) равное a_Textbox.

2.2. Создать надпись «Сторона A=» с помощью инструмента Надпись  панели элементов. При необходимости воспользоваться окном Properties, свойствами Font, Align.

2.3. В результате получиться следующее.

2.4. Аналогично создать блоки для ввода значений сторон B, C и вывода площади треугольника S. Для B —b_Textbox, C — c_Textbox, S — s_Textbox.

Шаг 3. Создание элемента для начала вычислений.

3.1. Создать кнопку «Вычислить!» с помощью инструмента Кнопка панели элементов. В окне Properties, выставить свойства (Name) равное Calc_Button, Caption равное «Вычислить!».

3.2. Сделать двойной щелчок на кнопке Вычислить! и ввести программный код.

Private Sub Calc_Button_Click()

Dim A, b, c, p, s As Double

Dim d1, d2, tr_ok As Boolean

A = Val(a_TextBox.Value)

b = Val(b_TextBox.Value)

c = Val(c_TextBox.Value)

d1 = (A >= 0) And (b >= 0) And (c >= 0)

d2 = (A + b > c) And (A + c > b) And (b + c > A)

tr_ok = d1 And d2

If tr_ok Then

p = (A + b + c) / 2

s = Sqr(p * (p — A) * (p — b) * (p — c))

s_TextBox.Value = s

MsgBox («s=» + Str(s))

Else

MsgBox («Треугольник не существует»)

s_TextBox.Value = «Треугольник не существует»

End If

End Sub

Шаг 4. Запуск формы.

4.1. Осуществить запуск формы с помощью Run ® Run Sub/UserForm или с помощью кнопки .

Обработка массивов на языкеVisual Basic for Application

В повседневной жизни часто приходится встречаться с информацией, представленной в табличном виде. Для обработки можно использовать электронные таблицы, а также VBA.

Массив – это структурированный тип данных, конечная упорядоченная совокупность данных одного типа, доступ к которым осуществляется по индексу (порядковому номеру). Массивы необходимы, когда требуется несколько раз обращаться к одной и той же группе однотипных данных.

Массивы могут содержать данные любого типа: тип элементов массива распознается по идентификатору. Массивы необходимо объявлять. С помощью оператора Dim. При объявлении указывается имя массива, размерность и количество элементов по каждой размерности (эти количества должны быть определены до объявления массива).

Использование массивов значительно упрощает работу с группами однотипных данных.

Все действия с массивами выполняются поэлементно, в цикле. Поскольку массив — это последовательность с известным числом элементов, удобнее использовать цикл For. 

Пример. Вычислить средний рост по данным, записанным в электронной таблице.

Результат вычисления среднего роста будут записаны в ячейку B9.

Решение.

Sub средний_рост()

Dim Rost(6) As Double

Dim i As Integer

Dim Сумма, Среднее As Double

‘ ввод таблицы для обработки

For i = 1 To 6

Rost(i) = Cells(1 + i, 2).Value

Next i

‘ нахождение суммы чисел в таблице

Сумма = 0

For i = 1 To 6

Сумма = Сумма + Rost(i)

Next i

‘ вычисление среднего

Среднее = Сумма / 6

‘вывод

Cells(9, 2).Value = Среднее

MsgBox (Среднее)

End Sub

Пояснение решения.

В строке Dim Rost(6) As Double объявляется массив чисел двойной точности именем Rost размерностью 6, то есть одномерная таблица Rost емкостью 6 (шесть) ячеек.

Аналогичным образом можно обрабатывать и двумерные массивы.

Пример. Определить, является ли данный квадратный массив симметричным относительно своей главной диагонали. Данные записаны в электронной таблице.

Решение.

Sub simetria()

Const n = 4

Dim i, j

Dim x(n, n)

Dim t, check As Boolean

For i = 1 To n

For j = 1 To n

x(i, j) = Cells(i, j)

Next

Next

t = True ‘предположим, что матрица симметрична

i = 2

While t And (i

j = 1

While (j

j = j + 1

Wend

t = (j = i)

i = i + 1

Wend

check = t

MsgBox check

End Sub

Обработка строк на языкеVisual Basic for Application

Строка — это последовательность символов. Строковые величины могут быть переменными или константами. Символы, заключенные в кавычки, являются строками.

В VBA существует несколько функций для обработки строк.

Функция Mid

Общий вид функции Mid:

Mid(Строка, Начальная_позиция[, Длина])

Функция Mid возвращает вырезку из строки Строка, начиная со позиции Начальная_позиция, длиною Длина.

Пример 1.

Sub пример_mid()

Dim MyString, Word1, Word2, Word3

MyString = «Демо функции Mid»

Word1 = Mid(MyString, 1, 4) ‘ результат «Демо»

MsgBox Word1

Word2 = Mid(MyString, 14, 3) ‘ результат «Mid»

MsgBox Word2

Word3 = Mid(MyString, 6)   ‘ результат «функции Mid»

MsgBox Word3

End Sub

Функция Len

Общий вид функции Len:

Len (Строка)

Функция Len возвращает длину строки Строка.

Пример 2.

Sub пример_len()

Dim MyString

Dim Длина

MyString = «Демо функции Len»

Длина = Len(MyString)

MsgBox Длина

End Sub

Функция InStr

Общий вид функции InStr:

InStr([нач_позиция, ]Строка1, Строка2[, Опция_1_или_0])

Функция InStr номер первого вхождения в строке Строка1 строки Строка2, начиная с позиции Нач_позиция.

Пример 3.

Sub пример_instr()

Dim Mystring

Mystring = «Где Вася»

номер = InStr(Mystring, «Вася») ‘ результат 5

MsgBox номер

End Sub

Кроме приведенных функций в VBA имеются: Left (вырезка слева), Right (вырезка справа),  Trim (убирает пробелы слева и справа), StrComp (сравнение строк) и др.

Приведем пример обработки строк.

Пример 4. В строке подсчитать количество цифр.

Решение.

Sub пример_str_4()

Dim Mystring, char

Dim i, n

Mystring = InputBox(«Введите строку»)

n = 0

For i = 1 To Len(Mystring)

char = Mid(Mystring, i, 1)

If char >= «0» And char

Next i

MsgBox n

End Sub

По материалам сайта

gigabaza.ru

3.3. Проектирование решения линейной задачи средствами Visual Basic

Линейные алгоритмы, как правило, сводятся к вводу исходных данных, вычислениям по одной или нескольким формулам и выводу полученных результатов, не требуя отдельного запоминания промежуточных результатов (и, следовательно, использования дополнительных переменных). Для решения задач, описываемых такими алгоритмами, достаточно знаний средств построения интерфейса с пользователем, изложенных в предыдущем разделе.

Рассмотрим реализацию линейного алгоритма на конкретном примере.

3.3.1. Постановка задачи

Составить программу работы простейшего кассового аппарата, который вычисляет стоимость товара при задании его цены и количества.

3.3.2. Экономико-математическая модель

Стоимость купленного товара определятся по формуле:

Стоимость = Цена * Количество

3.3.3. Алгоритм решения задачи

Алгоритм решения задачи приведен на рис. 3.1.

3.3.4. Структура данных

При решении задачи используются следующие данные:

Цена – дробное число;

Количество – целое число;

Стоимость – дробное число.

Рис. 3.1. Алгоритм вычисления стоимости товара

Данные Цена и Количество являются исходными и вводятся с клавиатуры в текстовые поля. Поэтому в программе им присвоим имена txtЦена и txtКоличество соответственно.

Результат «Стоимость» выводится на форму. Он зависит от исходных данных и не может быть произвольно изменен пользователем. Поэтому в программе он представлен надписью с именем lblрзтСтоимость.

Структура данных задачи представлена в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Структура данных

3.3.5. Интерфейс с пользователем

Решение задачи производится с помощью формы, приведенной на рис. 3.2. В заголовке формы указано название приложения «Касса».

Рис. 3.2. Форма для вычисления стоимости товара

На форме слова «Цена», «Количество» и «Стоимость» представляются надписями. Исходные значения цены и количества вводятся в текстовые поля. Вычисления производятся при нажатии кнопки «Вычислить». Результат помещается в вогнутую область рядом с надписью «Стоимость». Вогнутая область в форме представляется надписью.

3.3.6. Код программы

В процедуре, которая обрабатывает событие «Щелчок на кнопке «Вычислить»», должен быть только один оператор:

lbрзтlСтоимость.Caption = txtЦена.Text * txtКоличество.Text

Поскольку свойство Caption является свойством-значением для надписи, а свойство Text – для текстового поля, сами свойства указывать не обязательно. Поэтому оператор для вычисления стоимости можно записать в виде:

lblрзтСтоимость = txtЦена * txtКоличество

Процедура, которая обрабатывает событие «Щелчок на кнопке «Вычислить»», представлена ниже.

PrivateSubcmdВычислить_Click()

lblрзтСтоимость = txtЦена * txtКоличество

End Sub

3.3.7. Реализация проекта

Реализация проекта осуществляется в такой последовательности:

1. Загрузить VB командой Пуск – Программы – Microsoft Visual Studio 6.0 – Microsoft Visual Basic 6.0.

2. Выбрать в диалоговом окне New Project (Создание проекта) во вкладке New тип проекта (значок <Standard EXE>) и нажать кнопку «Открыть». В результате появляется главное окно VB, в рабочей области которого в окне формы «Project1 Form1 (Form)» представлена пустая форма «Form1».

3. Задать имя и заголовок формы. Для этого при выделенной форме (отображаются маркеры по границе формы) необходимо:

3.1. Ввести значение «Касса» в свойстве Caption (Заголовок).

3.2. Выделить введенное значение (клавиши <Shift+Home>) и скопировать в буфер (клавиши <Ctrl+C>).

3.3. Щелкнуть на названии свойства Name, вставить из буфера значение «Касса» (клавиши <Ctrl+V>) и в начале этого слова добавить префикс frm, т.е. свойство Name получает значение frmКасса.

4. На форму поместить надпись «Цена» и соответствующее текстовое поле. Для этого необходимо:

1. На панели элементов управления щелкнуть элемент Label и указать место и его размер на форме. Аналогично создать текстовое поле (TextBox) справа от надписи. В результате на форме появляется подпись «Label1» и текстовое поле «Text1».

4.2. Выделить на форме элемент Label1 и в окне свойств в свойстве Caption ввести значение «Цена».

4.3. Выделить введенное значение и скопировать в буфер.

4.4. Щелкнуть на названии свойства Name и вставить из буфера значение «Цена». В начале этого слова добавить префикс lbl.

4.5. Выделить на форме текстовое поле Text1, а в окне свойств в свойстве Name вставить из буфера значение «Цена». В начале этого слова добавить префикс txt. Таким образом свойство Name для текстового поля получает значение txtЦена.

4.6. В свойстве Text1 текстового поля удалить значение «Text1», что избавит в дальнейшей работе от необходимости каждый раз удалять это значение перед вводом цены (выделить значение «Text1» и нажать клавишу <Delete>).

5. Ниже в форме создать надпись «Количество» и соответствующее текстовое поле подобно тому, как это было сделано в п.4.

6. Создать командную кнопку «Вычислить». Для этого надо:

6.1. На панели элементов управления щелкнуть элемент CommandButton и указать место и его размер на форме.

6.2. В окне свойств в свойстве Caption ввести значение «Вычислить».

6.3. Выделить введенное значение и скопировать в буфер.

6.4. Щелкнуть на имени свойства Name, вставить из буфера название «Вычислить» и в начале этого слова добавить префикс cmd. Таким образом, свойство Name для командной кнопки получает значение cmdВычислить.

7. В нижней части формы создать две надписи: надпись «Стоимость» и надпись, в которую будет помещаться результат. Для этого надо:

7.1. Создать две надписи на одной линии.

7.2. Выделить первую надпись, в свойство Caption ввести значение «Стоимость», а свойству Name задать значение lblСтоимость.

7.3. Выделить вторую надпись, в свойство Caption ввести значение «0» (будет выводиться в надписи до выполнения вычислений), а в свойстве Name задать значение lblрзтСтоимость. В свойстве BorderStyle из раскрывающегося списка выбрать 1-Fixed Single, что придает вид вдавленного поля, похожего на текстовое поле. Но оставшийся серый цвет фона будет свидетельствовать о том, что поле не доступно для изменений (оно содержит результат вычислений). На этом заканчивается создание интерфейса.

8. Создать код процедуры, обрабатывающей нажатие кнопки «Вычислить». Для этого:

8.1. Дважды щелкнуть на кнопке «Вычислить». В результате чего открывается окно кода, в котором уже имеется заголовок процедуры Private Sub cmdВычислить_Click() (т.е. как раз той процедуры, которая обрабатывает нужное событие) и окончание процедуры End Sub.

2. В теле процедуры ввести оператор

lblрзтСтоимость = txtЦена * txtКоличество

Во избежание ошибок в именах элементов следует вводить префикс и затем нажать комбинацию клавиш <Ctrl+J>. Из появившегося списка выбрать нужное имя и нажать клавишу <Tab>, чтобы вставить его в код процедуры.

9. Сохранить форму и проект в папке МЭО13 на диске D:.

studfiles.net

Задания по программированию в VBA

Практическая работа по информатике: Программирование в VBA

Тема 1: Вычисление значений таблично заданной функции.

Цель. Рассмотреть алгоритм решения таблично заданной функции и составить программу в VBA.

      Sin(x)+lg(x) x>3.5

Y=                               X 2;5 ΔX=0.25

    Cos2 (x) x<=3.5

Блок-схема

Мы водим в лист MS Excel начальные данные: Xmin, Xmax и h:

Создаем макрос:Сервис – Макрос – макросы. Задвем имя(решение). Вводим программу:

Sub решение()

Xmin = Cells(1, 2)

Xmax = Cells(2, 2)

h = Cells(3, 2)

For X = Xmin To Xmax Step h

If 3.5 < X Then

y = Sin(X) + Log(X)

ElseIf X <= 3.5 Then

y = (Cos(X)) ^ 2

End If

Cells(i + 2, 4) = X

Cells(i + 2, 5) = y

i = i + 1

Next X

End Sub

Запускаем программу: кнопка F5.

Сворачиваем программу и на листе MS Excel нам выдает данные:

Это и есть решение нашей функции.

Строим диаграмму:

Вывод. В ходе работы мы рассмотрели алгоритм решения таблично заданной функции(блок-схему) и составили программу в VBA.

Задача №2.

Тема: Поиск экстремумов функции.

Цель. Рассмотреть методику нахождения экстремумов функции, составить блок-схему и программу вычисления в VBA.

X3 -6×2+9x+4

Найти максимум на промежутке 0,2;1,5 с шагом 0,3. точность поиска экстремумов 10-5

Максимум функции будет, когда она начинает убывать. Если она начала убывать, то на этом промежутке находится максимальное значение У. для достижения заданной точности пользуемся правилом: если модуль(у-у1)> желаемой точности, то возвращаемся на 2 шага назад, уменьшаем шаг в 10 раз и опять повторяем до тех пор, пока условие не будет выполняться.

Блок-схема.

Мы водим в лист MS Excel начальные данные: Xmin, Xmax и h:

Создаем макрос:Сервис – Макрос – макросы. Задаем имя(экстремуму). Вводим программу:

Sub экстремуму()

Xmin = Cells(1, 2)

Xmax = Cells(2, 2)

h = Cells(3, 2)

eps = Cells(4, 2)

For X = Xmin To Xmax Step h

Y = X ^ 3 — 6 * X ^ 2 + 9 * X + 4

Cells(i + 1, 4) = X

Cells(i + 1, 5) = Y

i = i + 1

Next X

Ymax = 0

Do

X = Xmin

Y0 = Ymax

Do

Y = X ^ 3 — 6 * X ^ 2 + 9 * X + 4

Y1 = (X + h) ^ 3 — 6 * (X + h) ^ 2 + 9 * (X + h) + 4

X = X + h

Loop While Y1 > Y

Ymax = Y

XYmax = X — h

Xmin = X — 2 * h

h = h / 10

Loop While Abs(Y — Y1) > eps

Cells(i + 2, 6) = XYmax

Cells(i + 2, 7) = Ymax

End Sub

Запускаем программу: кнопка F5.

Сворачиваем программу и на листе MS Excel нам выдает данные:

Вывод. В ходе работы мы рассмотрели методику нахождения экстремума функции, составили блок-схему и программу вычисления в VBA.

Задача 3.

Тема 3: Решение нелинейных уравнений.

Цель. Рассмотреть методы решения нелинейных уравнений : метод деления отрезка пополам. Составить алгоритм решения и реализовать программы в VBA.

0.8×4-2×2

Интервал 1;2 . точность 10-5

1) Метод деления отрезка пополам.

Делим отрезок пополам:

X=(a+b)/2

Определяют знак функции f(x) и выбирают ту половину отрезка, на концах которого функция принимает значение разных знаков и деление повторяется.

Если нужно найти корень с заданной точностью, то деление повторяют, пока разность между предыдущем значением корня и вновь посчитанным не станет меньше заданной точности.

Блок-схема.

 Мы водим в лист MS Excel начальные данные: a, b,f(x), eps:

Создаем макрос: Сервис – Макрос – макросы. Задаем имя(нелинейное). Вводим программу:

Sub нелинейное()

a = Cells(1, 2)

b = Cells(2, 2)

eps = Cells(3, 2)

X = 0

Do

X0 = X

X = (a + b) / 2

If f(a) * f(X) > 0 Then

a = X

Else

b = X

End If

Cells(i + 3, 4) = X

Cells(i + 3, 5) = f(X)

i = i + 1

Loop While Abs(X — X0) > eps

End Sub

Function f(X)

f = 0.8 * X ^ 4 — 2 * X ^ 2

End Function

Запускаем программу: кнопка F5.

Сворачиваем программу и на листе MS Excel нам выдает данные:

2)Метод хорд.

Основан на предположении, что на маленьком отрезке функция изменяется линейно. Тогда кривую можно заменить хордой и в качестве приближенного значения принять точку пересечения хорды с осью абсцисс. Точка Х находиться по формуле Х=a-((b-a)*f(a))/(f(b)-f(a)). Определяют знак функции f(x) и выбирают ту половину отрезка, на концах которого функция принимает значение разных знаков и деление повторяется.

Если нужно найти корень с заданной точностью, то деление повторяют, пока разность между предыдущем значением корня и вновь посчитанным не станет меньше заданной точности.

Эти два метода очень похожи и различаются только способом нахождения Х. все остальное то же самое.

 Мы водим в лист MS Excel начальные данные: a, b,f(x), eps:

Создаем макрос: Сервис – Макрос – макросы. Задаем имя(нелинейное). Вводим программу:

Sub нелинейное()

a = Cells(1, 2)

b = Cells(2, 2)

eps = Cells(3, 2)

X = 0

Do

X0 = X

X = a — ((b — a) * f(a)) / (f(b) — f(a))

If f(a) * f(X) > 0 Then

a = X

Else

b = X

End If

Cells(i + 3, 4) = X

Cells(i + 3, 5) = f(X)

i = i + 1

Loop While Abs(X — X0) > eps

End Sub

Function f(X)

f = 0.8 * X ^ 4 — 2 * X ^ 2

End Function

Вывод. В ходе работы мы рассмотрели методы решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам и метод хорд. Составили алгоритм решения и реализовали программу в VBA.

Частные производные функции нескольких переменных

21 сентября 2015

Рассмотрим функцию от двух переменных:

\[f=f\left( x,y \right)\]

Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной:

Частная производная функции $f$ в точке $M=\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ по переменной $x$ — это предел

\[{{{f}’}_{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x;{{y}_{0}} \right)}{\Delta x}\]

Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ :

\[{{{f}’}_{y}}=\underset{\Delta y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}}+\Delta y \right)}{\Delta y}\]

Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной.

Отсюда вытекает основной приём для вычисления таких производных: просто считайте, что все переменные, кроме данной, являются константой, после чего дифференцируйте функцию так, как дифференцировали бы «обычную» — с одной переменной. Например:

$\begin{align}& {{\left( {{x}^{2}}+10xy \right)}_{x}}^{\prime }={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+10y\cdot {{\left( x \right)}^{\prime }}_{x}=2x+10y, \\ & {{\left( {{x}^{2}}+10xy \right)}_{y}}^{\prime }={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+10x\cdot {{\left( y \right)}^{\prime }}_{y}=0+10x=10x. \\\end{align}$

Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д.

Что такое «частная производная»?

Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $y\left( x \right)$ или $t\left( x \right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится. 

Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной.

Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных.

Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $z\left( xy \right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой. В частности при вычислении производной произведения мы можем выносить $y$ за скобку (у нас же константа), а при вычислении производной суммы, если у нас где-то получается производная от выражения, содержащего $y$ и не содержащего $x$, то производная этого выражения будет равна «нулю» как производная константы.

На первый взгляд может показаться, что я рассказываю о чем-то сложном, и многие ученики по началу путаются. Однако ничего сверхъестественного в частных производных нет, и сейчас мы убедимся в этом на примере конкретных задач.

Задачи с радикалами и многочленами

Задача № 1

Чтобы не терять время зря, с самого начала начнем с серьезных примеров.

\[z\left( x,y \right)=\sqrt{\frac{y}{x}}\]

Для начала напомню такую формулу:

\[{{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Это стандартное табличное значение, которое мы знаем из стандартного курса.

В этом случае производная $z$ считается следующим образом:

\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}\]

Давайте еще раз, поскольку под корнем стоит не $x$, а некое другое выражение, в данном случае $\frac{y}{x}$, то сначала мы воспользуемся стандартным табличным значением, а затем, поскольку под корнем стоит не $x$, а другое выражение, нам необходимо домножить нашу производную на еще одну из этого выражения по той же самой переменной. Давайте для начала посчитаем следующее:

\[{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{y}’}}_{x}}\cdot x-y\cdot {{{{x}’}}_{x}}}{{{x}^{2}}}=\frac{0\cdot x-y\cdot 1}{{{x}^{2}}}=-\frac{y}{{{x}^{2}}}\]

Возвращаемся к нашему выражению и записываем:

\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left( -\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)\]

В принципе, это все. Однако оставлять ее в таком виде неправильно: такую конструкцию неудобно использовать для дальнейших вычислений, поэтому давайте ее немного преобразуем:

\[\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left( -\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \frac{y}{{{x}^{2}}}=\]

\[=-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x\cdot {{y}^{2}}}{y\cdot {{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{{{x}^{3}}}}\]

Ответ найден. Теперь займемся $y$:

\[{{{z}’}_{y}}={{\left( \sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}\]

Выпишем отдельно:

\[{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{y}’}}_{y}}\cdot x-y\cdot {{{{x}’}}_{y}}}{{{x}^{2}}}=\frac{1\cdot x-y\cdot 0}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{x}\]

Теперь записываем:

\[{{{z}’}_{y}}={{\left( \sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \frac{1}{x}=\]

\[=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y\cdot {{x}^{2}}}}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\]

Все сделано.

Задача № 2

\[z\left( x,y \right)=\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}\]

Этот пример одновременно и проще, и сложней, чем предыдущий. Сложнее, потому что здесь больше действий, а проще, потому что здесь нет корня и, кроме того, функция симметрична относительно $x$ и $y$, т.е. если мы поменяем $x$ и $y$ местами, формула от этого не изменится. Это замечание в дальнейшем упростит нам вычисление частной производной, т.е. достаточно посчитать одну из них, а во второй просто поменять местами $x$ и $y$.

Приступаем к делу:

\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]

Давайте посчитаем:

\[{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left( x \right)}^{\prime }}=y\cdot 1=y\]

Однако многим ученикам такая запись непонятна, поэтому запишем вот так:

\[{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot y+x\cdot {{\left( y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Таким образом, мы еще раз убеждаемся в универсальности алгоритма частных производных: каким бы мы образом их не считали, если все правила применяются верно, ответ будет один и тот же.

Теперь давайте разберемся еще с одной частной производной из нашей большой формулы:

\[{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{{1}’}_{x}}=2x+0+0\]

Подставим полученные выражения в нашу формулу и получим:

\[\frac{{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{y\cdot \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{y\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2{{x}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{y\left( {{y}^{2}}-{{x}^{2}}+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]

По $x$ посчитано. А чтобы посчитать $y$ от того же самого выражения, давайте не будем выполнять всю ту же последовательность действий, а воспользуемся симметрией нашего исходного выражения — мы просто заменим в нашем исходном выражении все $y$ на $x$ и наоборот:

\[{{{z}’}_{y}}=\frac{x\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]

За счет симметрии мы посчитали это выражение гораздо быстрее.

Нюансы решения

Для частных производных работают все стандартные формулы, которые мы используем для обычных, а именно, производная частного. При этом, однако, возникают свои специфические особенности: если мы считаем частную производную $x$, то когда мы получаем ее по $x$, то рассматриваем ее как константу, и поэтому ее производная будет равна «нулю».

Как и в случае с обычными производными, частную (одну и ту же) можно посчитать несколькими различными способами. Например, ту же конструкцию, которую мы только что посчитали, можно переписать следующим образом:

\[{{\left( \frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=-y\frac{1}{{{x}^{2}}}\]

Далее мы точно таким же образом считаем еще две конструкции, а именно:

\[{{\left( xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{{x}’}_{x}}=y\cdot 1=y\]

Вместе с тем, с другой стороны, можно использовать формулу от производной суммы. Как мы знаем, она равна сумме производных. Например, запишем следующее:

\[{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}=2x+0+0=2x\]

Теперь, зная все это, давайте попробуем поработать с более серьезными выражениями, поскольку настоящие частные производные не ограничиваются одними лишь многочленами и корнями: там встречаются и тригонометрия, и логарифмы, и показательная функция. Сейчас этим и займемся.

Задачи с тригонометрическими функциями и логарифмами

Задача № 1

\[z\left( x,y \right)=\sqrt{x}\cos \frac{x}{y}\]

Запишем следующие стандартные формулы:

\[{{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[{{\left( \cos x \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin x\]

Вооружившись этими знаниями, попробуем решить:

\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left( \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

Отдельно выпишем одну переменную:

\[{{\left( \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\]

Возвращаемся к нашей конструкции:

\[=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \left( -\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y} \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}-\frac{\sqrt{x}}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\]

Все, по $x$ мы нашли, теперь давайте займемся вычислениями по $y$:

\[{{{z}’}_{y}}={{\left( \sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left( \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\]

Опять же посчитаем одно выражение:

\[{{\left( \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot x\cdot \left( -\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\]

Возвращаемся к исходному выражению и продолжаем решение:

\[=0\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \frac{x}{{{y}^{2}}}\sin \frac{x}{y}=\frac{x\sqrt{x}}{{{y}^{2}}}\cdot \sin \frac{x}{y}\]

Все сделано.

Задача № 2

\[z\left( x,y \right)=\ln \left( x+\ln y \right)\]

Запишем необходимую нам формулу:

\[{{\left( \ln x \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x}\]

Теперь посчитаем по $x$:

\[{{{z}’}_{x}}={{\left( \ln \left( x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left( x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[=\frac{1}{x+\ln y}\cdot \left( 1+0 \right)=\frac{1}{x+\ln y}\]

По $x$ найдено. Считаем по $y$:

\[{{{z}’}_{y}}={{\left( \ln \left( x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left( x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=\]

\[=\frac{1}{x+\ln y}\left( 0+\frac{1}{y} \right)=\frac{1}{y\left( x+\ln y \right)}\]

Задача решена.

Нюансы решения

Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами.

Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции.

Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $\cos \frac{x}{y}$ по $y$, то именно $y$ и является переменной, а $x$ везде остается константой. То же самое работает и наоборот. Ее можно выносить за знак производной, а производная от самой константы будет равна «нулю».

Все это приводит к тому, что частные производные от одного и того же выражения, но по разным переменным могут выглядеть совершенно по-разному. Например, посмотрим такие выражения:

\[{{\left( x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=1+0=1\]

\[{{\left( x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=0+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}\]

Задачи с показательными функциями и логарифмами

Задача № 1

\[z\left( x,y \right)={{e}^{x}}{{e}^{\frac{x}{y}}}\]

Для начала запишем такую формулу:

\[{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x}}\]

Зная этот факт, а также производную сложной функции, давайте попробуем посчитать. Я сейчас решу двумя различными способами. Первый и самый очевидный — это производная произведения:

\[{{{z}’}_{x}}={{\left( {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left( {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

Давайте решим отдельно следующее выражение:

\[{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{x}’}}_{x}}\cdot y-x.{{{{y}’}}_{x}}}{{{y}^{2}}}=\frac{1\cdot y-x\cdot 0}{{{y}^{2}}}=\frac{y}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{y}\]

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и продолжаем решение:

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\left( 1+\frac{1}{y} \right)\]

Все, по $x$ посчитано.

Однако как я и обещал, сейчас постараемся посчитать эту же частную производную другим способом. Для этого заметим следующее:

\[{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\]

В этом запишем так:

\[{{\left( {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( {{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot {{\left( x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot \left( 1+\frac{1}{y} \right)\]

В результате мы получили точно такой же ответ, однако объем вычислений оказался меньшим. Для этого достаточно было заметить, что при произведении показатели можно складывать.

Теперь посчитаем по $y$:

\[{{{z}’}_{y}}={{\left( {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left( {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}=\]

\[=0\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\]

Давайте решим одно выражение отдельно:

\[{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{x}’}}_{y}}\cdot y-x\cdot {{{{y}’}}_{y}}}{{{y}^{2}}}=\frac{0-x\cdot 1}{{{y}^{2}}}=-\frac{1}{{{y}^{2}}}=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\]

Продолжим решение нашей исходной конструкции:

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \left( -\frac{x}{{{y}^{2}}} \right)=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\cdot {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\]

Разумеется, эту же производную можно было бы посчитать вторым способом, ответ получился бы таким же.

Задача № 2

\[z\left( x,y \right)=x\ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\]

Посчитаем по $x$:

\[{{{z}’}_{x}}={{\left( x \right)}_{x}}\cdot \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\]

Давайте посчитаем одно выражение отдельно:

\[{{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left( {{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+y}\]

Продолжим решение исходной конструкции: $$

\[1\cdot \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)+x\cdot \frac{2x}{{{x}^{2}}+y}=\ln \left( {{x}^{2}}+y \right)+\frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+y}\]

Вот такой ответ.

Осталось по аналогии найти по $y$:

\[{{{z}’}_{y}}={{\left( x \right)}^{\prime }}_{y}.\ln \left( {{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\]

Одно выражение посчитаем как всегда отдельно:

\[{{\left( {{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{{y}’}_{y}}=0+1=1\]

Продолжаем решение основной конструкции:

\[x\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 1=\frac{x}{{{x}^{2}}+y}\]

Все посчитано. Как видите, в зависимости от того, какая переменная берется для дифференцирования, ответы получаются совершенно разные.

Нюансы решения

Вот яркий пример того, как производную одной и той же функции можно посчитать двумя различными способами. Вот смотрите:

\[{{{z}’}_{x}}=\left( {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left( {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left( 1+\frac{1}{y} \right)\]

\[{{{z}’}_{x}}={{\left( {{e}^{x}}.{{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( {{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}.{{\left( x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left( 1+\frac{1}{y} \right)\]

При выборе разных путей, объем вычислений может быть разный, но ответ, если все выполнено верно, получится одним и тем же. Это касается как классических, так и частных производных. При этом еще раз напоминаю: в зависимости от того, по какой переменной идет взятие производной, т.е. дифференцирование, ответ может получиться совершенно разный. Посмотрите:

\[{{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left( {{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 2x\]

\[{{\left( \ln \left( {{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left( {{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 1\]

В заключение для закрепления всего этого материала давайте попробуем посчитать еще два примера.

Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными

Задача № 1

\[z\left( x,y \right)={{3}^{x\sin y}}\]

Давайте запишем такие формулы:

\[{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}\cdot \ln a\]

\[{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}\]

Давайте теперь решать наше выражение:

\[{{{z}’}_{x}}={{\left( {{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{x}={{3}^{x.\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left( x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}=\]

Отдельно посчитаем такую конструкцию:

\[{{\left( x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}={{{x}’}_{x}}\cdot \sin y+x{{\left( \sin y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Продолжаем решать исходное выражение:

\[={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Это окончательный ответ частной переменной по $x$. Теперь посчитаем по $y$:

\[{{{z}’}_{y}}={{\left( {{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{y}={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left( x\sin y \right)}^{\prime }}_{y}=\]

Решим одно выражение отдельно:

\[{{\left( x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{y}={{{x}’}_{y}}\cdot \sin y+x{{\left( \sin y \right)}^{\prime }}_{y}=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Решаем до конца нашу конструкцию:

\[={{3}^{x\cdot \sin y}}\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Задача № 2

\[t\left( x,y,z \right)=x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}}\]

На первый взгляд этот пример может показаться достаточно сложным, потому что здесь три переменных. На самом деле, это одна из самых простых задач в сегодняшнем видеоуроке.

Находим по $x$:

\[{{{t}’}_{x}}={{\left( x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left( x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left( y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}=\]

\[={{\left( x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{y}}+x\cdot {{\left( {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot {{e}^{y}}+x\cdot o={{e}^{y}}\]

Теперь разберемся с $y$:

\[{{{t}’}_{y}}={{\left( x\cdot {{e}^{y}}+y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left( x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{\left( y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}=\]

\[=x\cdot {{\left( {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{e}^{z}}\cdot {{\left( y \right)}^{\prime }}_{y}=x\cdot {{e}^{y}}+{{e}^{z}}\]

Мы нашли ответ.

Теперь остается найти по $z$:

\[{{{t}’}_{z}}={{\left( x\cdot {{e}^{y}}+{{y}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}={{\left( x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{z}+{{\left( y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=0+y\cdot {{\left( {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=y\cdot {{e}^{z}}\]

Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено.

Нюансы решения

Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы.

В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются.

Ключевые моменты

Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие:

1. Частные производные считаются так же, как и обычные, при этом, чтобы считать частную производную по одной переменной, все остальные переменные, входящие в данную функцию, мы принимаем за константы.
2. При работе с частными производными мы используем все те же стандартные формулы, что и с обычными производными: сумму, разность, производную произведения и частного и, разумеется, производную сложной функции.

Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами!

Смотрите также:

1. Работа с формулами в задаче B12
2. Как решать квадратные уравнения
3. Площадь круга
4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 7 (без производной)
5. Задачи про температуру и энергию звезд

www.berdov.com

Частные производные второго порядка, теория и примеры

Если задана функция и вычислены ее частные производные и то они в свою очередь также являются функциями независимых переменных и а поэтому от каждой из них можно найти производную по каждой из переменных.

Итак,

Если взять частную производную по переменной от производной то получим частную производную второго порядка функции , которую взято вначале по переменной а потом – по переменной Такая производная называется смешанной производной и обозначается

Аналогично, частная производная по переменной от первой производной по переменной дает вторую смешанную частную производную функции вычисленную вначале по переменной а потом – по переменной Она обозначается символом

Частная производная по переменной от производной первого порядка есть второй частной производной от функции по переменной Ее обозначают следующим образом:

Подобным образом задаются производные более высокого порядка, чем второй. Например, выражение определяет производную третьего порядка функции найденную три раза по переменной Аналогично – смешанная производная третьего порядка, взятая два раза по переменной и от полученной производной найдена один раз производная по переменной

ru.solverbook.com

12.6 Частные производные высших порядков — ПриМат

Пусть $f – $ действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb {R}^n.$Предположим, что на этом множестве у нее существует $i — $я частная производная. Это $–$ тоже функция на $E$. Может оказаться, что и у этой функции существует частная производная, например, по переменной $x^{j}$. Она называется частной производной функции $f$ второго порядка и обозначается
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}\left(x_0\right) = \frac{\partial}{\partial x^j}\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)\left(x_0\right),\:\:f^{\prime\prime}_{x^i x^j} (x_0),\:\: D_{ij} f\left(x_0\right). $$
По индукции определяются частные производные любого порядка. Частная производная порядка $q$, взятая по переменным $x^{i_1},x^{i_2},…,x^{i_q}$, в точке $x_0$ обозначается
$$ \frac{\partial^q f}{\partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_q}}\left(x_0\right). $$
Если среди индексов $i^1,…i^q$ имеются различные, то соответствующая частная производная называется смешанной.

Пример. Пусть $f\left( x, y \right) = x^3 y − 2xy^2$. Частные производные первого порядка равны $f^{\prime}_x = 3x^2y−2y^2,f^{\prime}_y = x^3 − 4xy.$ Частные производные второго порядка равны $f^{\prime\prime}_{xx} = f^{\prime\prime}_{x^2} = 6xy, f^{\prime\prime}_{xy} = 3x^2 − 4xy,f^{\prime\prime}_{yy} = f^{\prime\prime}_{y^2} = −4x,f^{\prime\prime}_{yx} = 3x^2−4y.$

Две различные смешанные производные оказались равными. Возникает вопрос: всегда ли это так?

Пример функции, у которой смешанные производные различные.
Пусть
$$\displaystyle \begin{equation*}f\left(x,y\right) = \begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, x^2+y^2>0\\ 0, x\:=\:y\:=\:0 \end{cases}\end{equation*}$$
Найдем
$$f^{\prime}_x = y\left[\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+x\frac{2x(x^2+y^2)-2x\left(x^2-y^2\right)}{ (x^2+y^2)^2}\right] =$$ $$=\:\frac{y}{x^2+y^2}\left(x^2-y^2+\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}\right),\:\left(x^2+y^2 > 0\right) \: ,$$ $$f_x^{\prime}\left(0,0\right)\:=\:0 , f_{xy}^{\prime\prime} = \lim\limits_{y\to 0}\frac{f^{\prime}_x\left(0,y\right)\:-\: f^{\prime}_x(0,0)}{y} = -1 , f_{yx}^{\prime\prime}\left(0,0\right) = 1.$$
Итак, получили, что смешанные производные не равны между собой.

Теорема Шварца: Пусть $f – $ действительная функция, определенная в некоторой окрестности $U$ точки $x_0$ и имеющая всюду в этой окрестности частные производные $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x^i}, \frac{\partial f}{\partial x^j} \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$. Если смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$ непрерывна в точке $x_0$, то в этой точке существует и другая смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}(x_0)$, и при этом справедливо равенство
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}\left(x_0\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}\left(x_0\right).$$

Достаточно доказать теорему для случая $n = 2$, поскольку в ней по существу идет речь только о функциях двух переменных при фиксированных всех остальных. Итак, предположим, что задана функция двух переменных $f\left(x,y\right)$ и существуют $f^{\prime}_x, f^{\prime}_y, f^{\prime\prime}_{xy}$. Нужно доказать, что существует $f^{\prime\prime}_{yx}\left(x_0,y_0\right)$ и она равна $f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)$.
Рассмотрим разностное отношение
$$Q(h) = \frac{f^{\prime}_y(x_0+h,y_0)\:-\:f^{\prime}_y(x_0,y_0)}{h}$$
Заметим, что при любом $x$
$$f^{\prime}_y\left(x,y_0\right)\: = \: \lim\limits_{\mu \to 0}\frac{f\left(x,y_0\:+\:\mu\right) \:-\:f\left(x,y_0\right)}{\mu}.$$
Обозначим
$$\varphi_{\mu}(x)\:\equiv\: \frac{f(x,y_0\:+\:\mu)\:-\:f(x,y_0)}{\mu},$$
$$Q^{\ast}(h,\mu)\:\equiv\: \frac{\varphi_{\mu}\left(x_0\:+\:h\right)\:-\: \varphi_{\mu}\left(x_0\right)}{h}.$$
Если $h$ фиксировано, то
$$\lim\limits_{\mu\to 0}Q^{\ast}(h,\mu) \:=\: Q(h).$$
Далее, пользуясь формулой конечных приращений, получаем
$$\frac{\varphi_{\mu}\left(x_0\:+\:h\right)\: -\: \varphi_{\mu}\left(x_0\right)}{h}\:=\: \frac{d \varphi_{\mu}}{dx \left(x_0\:+\:\theta_1 h\right)}\: = $$
$$=\: \frac{f^{\prime}_x\left(x_0\:+\: \theta_1 h,y_0\:+\: \mu\right)\:-\: f^{\prime}_x\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\right)}{\mu}.$$
Теперь воспользуемся формулой конечных приращений по $y$ и получим, что последнее отношение равно
$$\frac{d\varphi_{\mu}}{dx}\left(x_0\:+\: \theta_1h\right)\:=\:\frac{f^{\prime}_x\left(x_0\:+\:\theta_1h,y_0\:+\:\mu\right)\:-\: f^{\prime}_x\left(x_0 \:+\: \theta_1h,y_0\right)}{\mu}\: =$$
$$=\: f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\:+\: \theta_2\mu\right),$$
где $\theta_1,\theta_2\: –$ величины, зависящие от $h,\mu$ и заключены в интервале $\left(0,1\right).$
Итак, получили $$Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\:+\:\theta_2\mu\right).$$ Но поскольку $f^{\prime\prime}_{xy}$ непрерывна в точке $\left(x_0,y_0\right)$ по условию, то получаем
$$Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)\:+\:\varepsilon\left(h,\mu\right),$$
где $\varepsilon\left(h,\mu\right) \to 0$ при $\left(h,\mu\right) \to \left(0,0\right)$.
Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем такое $\delta > 0$, что при $0 < |h| < \delta, \: 0 < |\mu| < \delta$ справедливо неравенство $|\varepsilon(h,\mu)| < \varepsilon$. Поэтому при указанных значениях $h,\mu$ имеет место неравенство
$$|Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:-\: f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)| < \varepsilon .$$
Теперь фиксируем $h, 0<|h|<\delta $,и $\mu$ устремляем к нулю. Тогда получим
$$|Q\left(h\right)\:-\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)| \leq \varepsilon.$$
Это означает, что $\lim\limits_{h\to 0}Q\left(h\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)$. Отсюда следует справедливость теоремы Шварца.

Определение: Пусть $q\:–$ натуральное число. Действительная функция $f$, определенная на открытом множестве $E\subset \mathbb {R}^n$,называется функцией класса $C^q$ на этом множестве, если она имеет все частные производные до порядка $q$ включительно, непрерывные на этом множестве.

Теорема: Если $f\:–\:$функция класса $C^q$ на открытом множестве $E\subset \mathbb {R}^n$, то значение любой смешанной производной порядка $q\:$ не зависит от последовательности, в которой выполняется дифференцирование.

Эта теорема доказывается с помощью теоремы Шварца по индукции. Мы не будем приводить это доказательство.

Примеры решения задач

1. Найти частные производные второго порядка функции $f\left(x,y\right)\:=\:x^3\:+\:y^3\:-\:3xy.$
Решение

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\:=\:3x^2\:-\:3y$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\:=\:3y^2\:-\:3x$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\:=\:6x$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\:=\:6y$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\:=\:-3.$


2. Найти частные производные второго порядка функции $f(x,y)\:= \:\sin x\:-\:x^2y.$
Решение

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\:=\:\cos{x}\:-\:2xy$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\:=\:-x^2$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\:=\:-\sin x\:-\:2y$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\:=\:0$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\:=\:-2x$
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\:=\:-2x.$


3. Найти дифференциал $df$ функции $f\left(x,y,z\right)\:=\:\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}$
Решение

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\:=\:\frac{x}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\:=\:\frac{y}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}$
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\:=\:\frac{z}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}$
$\displaystyle df \:=\: \frac{x}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}} dx\:+\:\frac{y}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}} dy\:+\:\frac{z}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}dz.$

Лимит времени: 0

Информация

Пройдите тест, чтобы проверить свои знания

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   Частная производная по переменной $x$ функции $f(x,y) = x^2+y$ равна :

   Правильно
   

   Неправильно
   

2. Задание 2 из 6

   Согласно Теореме Шварца,(при условии, что $f – $ действительная функция, определенная в некоторой окрестности $U$ точки $x_0$ и имеющая всюду в этой окрестности частные производные $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x^i}, \frac{\partial f}{\partial x^j} \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$) если смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}\:\: — \:\:\left(1\right)$ непрерывна в точке $x_0$, то

   Правильно
   

   Неправильно
   

3. Задание 3 из 6

   Пусть $q\:–$ натуральное число. Действительная функция $f$, определенная на открытом множестве $E\subset \mathbb {R}^n$,называется функцией класса $C^q$ на этом множестве, если

   Правильно
   

   Неправильно
   

4. Задание 4 из 6

   Совместите функции с соответствующими частными производными.

   • $2x(y\:+\:z)$
   • $2xz$
   • $2xy$

   • $f(x,y,z)\:=\: x^2\:+2xyz+xz^2$ по переменной $z$

   • $f(x,y,z)\:=\: x^2z \:+y^3z^2$ по переменной $x$

   • $f(x,y,z)\:=\: xy^2\:+\:xz$ по переменной $y$

   Правильно
   

   Неправильно
   

5. Задание 5 из 6

   Найти $\displaystyle \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y}$, если $u\:=\:x\ln{\left(xy\right)}$

   Правильно
   

   Неправильно
   

6. Задание 6 из 6

   Найти $d^3u$, если $u\:=\:x^3\:+\:y^3\:-\:3xy(x\:-\:y).$

   Правильно
   

   Неправильно
   

См. также:

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Т.I. — М.: ФМЛ, 1962
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1. — М.: Дрофа, 2003
3. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И, Курс математического анализа. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003
4. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I. — М.: Наука, 1983
5. <Б.П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», Отдел 6, Параграф 2

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Частные производные от функции f (X, y), заданной неявно

Пусть F(x, y, z) — функция, определенная на некотором множестве М точек пространства . Рассмотрим уравнение:

F (x, y, z) = 0. (5)

Если каждой точке (x, y) множества соответствует единственное значение z такое, что и выполнено равенствоF (x, y, z) = 0, то говорят, что на множестве D уравнение (5) неявно определяет функцию z = z (x, y). При этом, если функция F (x, y, z) имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам и , то частные производные неявной функцииz = z (x, y) также существуют и их можно вычислить по формулам:

(6)

Задание 5. Найти частные производные ифункции, заданной неявно уравнением

Решение. Данное уравнение запишем в виде F (x, y, z) = 0:

Функция определена для любых x и y и z ≠ 0.

Найдем частные производные функции F (x,y,z):

при y, z = const

:

при x, z = const

при x, y = const

Применяя формулы (6), получим:

Частные производные второго порядка функции f (X, y)

Частными производными второго порядка называются частные производные от частных производных первого порядка. Обозначается:

или ; или ;

или ; или

Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка. В области непрерывности смешанных производных, отличающихся только порядком дифференцирования, их значения равны друг другу, т. е. .

Задание 6. Найти частные производные функции

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

Частные производные второго порядка:

Действительно, смешанные частные производные иоказались равными друг другу при .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть уравнение F (x, y, z) = 0 определяет функцию z = z (x, y), заданную неявно на некотором множестве точек . Совокупность точекM (x, y, z(x, y)), где , в пространстве образует некоторую поверхность , которая называется графиком функции z = z (x, y).

Пусть — точка поверхности. Проведем две произвольные линииL и L₁, целиком лежащие на поверхности и проходящие через точкуM₀. Касательные прямые к линиям L и L₁ в точке M₀ определяют плоскость, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точкеM_0. Прямая, проходящая через точку M₀ перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

M₀ (x₀, y₀, z₀) имеет вид:

(7)

Уравнение нормали к поверхности в точкеM₀:

(8)

Если поверхность задана явно уравнением z = f (x, y), то уравнения касательной плоскости и нормали будут иметь вид:

(9)

(10)

Задание 7. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Решение. Поверхность задана неявно уравнением вида с функцией

Найдем частные производные функции F(x, y, z) и вычислим их значения в точке M₀:

Используя (7), получаем уравнение касательной плоскости в виде:

что после упрощения дает:

Уравнение нормали к поверхности, согласно (8), имеет вид:

. Производная по направлению

Пусть функция u= u (M) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки и— какой-либо фиксированный вектор в.

Производной функции u=u(M) в точке M₀ в направлении вектора называется предел отношения приращения функции в точкеM₀ в направлении вектора к расстоянию между точкамиM и , когда точка M→M₀ так, что вектор остается сонаправленным данному вектору, т. е.:

если этот предел существует и конечен.

Если вектор задан координатами, т. е.и функцияu=u (M) дифференцируема в точке M₀, то производная по направлению вычисляется по формуле:

(11)

где — направляющие косинусы вектора. Они равны

(12)

Производная характеризует скорость изменения функции u (M) в точке M₀ в направлении данного вектора . Если, то функция возрастает в направлении со скоростью при функция убывает со скоростью

Задание 8. Вычислить производную функции в точкеM₀ (0, e, –1) в направлении вектора

Решение. Найдем частные производные функции

так как и функция — показательная относительно x;

и — степенная функция относительноy;

Вычислим значения частных производных в точке:

.

Определим модуль и направляющие косинусы вектора по формулам (12):

Применяя формулу (11), имеем

Следовательно, функция в точке M₀ в направлении вектора возрастает со скоростьюединиц скорости.

studfiles.net

Частные производные

Аналогично определяются частные производные 3-го,4-гои т. д. порядков.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Пример. Найти частные производные второго порядка функции z = х4 — 2х2у3 + у5 + 1.

Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема Шварца. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для z = f(х;у) имеем: ∂2 z = ∂2 z .

∂x∂y∂y∂x

Полный дифференциал функции

1°. Полное приращение функции.

Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой окрестности точкиМ(х;у).

Полным приращением функции z=f(х,у)называется разность z= f(x, y) = f(x+ x, y+ y) − f(x, y) .

2°. Полный дифференциал и дифференцируемость функции.

Составим полное приращение функции в точке М: z = f (x + x;y + y)− f (x;y).

Функция z = f(x; у) называетсядифференцируемой в точкеМ(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z = f(х; у), линейная относительноx иy , называетсяполным дифференциалом этой функции и обозначается символомdz:

независимых переменных х иу полагаютx = dx иy = dy . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

dz = A dx+ B dy .(3)

studfiles.net

Частные производные, все формулы и примеры

Итак,

Аналогично определяются частные производные заданной функции по переменным и Частная производная по переменной

а по переменной

Частные производные нескольких переменных

Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных проводится по тем же правилам, что и для производных функции одной переменной. При этом нужно иметь в виду, что при нахождении частной производной по одной из переменных все остальные переменные считаются константами.

Если продифференцировать, например, первую частную производную заданной функции по переменной еще раз по этой переменной, то получим частную производную второго порядка, взятую два раза по то есть производную

Аналогично получаем еще две вторые производные по переменным и

Если же продифференцировать по переменной первую производную взятую по переменной то получим смешанную производную

Аналогично вводятся и остальные смешанные производные:

Известен тот факт, что значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования, то есть

Примеры вычисления частных производных

ru.solverbook.com

36

36. Частные производные ФНП, их нахождение. Частные производные ФДП, их геометрический смысл. Примеры.

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x₀,y₀) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.  Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам: Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:   

Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам: 

Частные производные функции нескольких переменных

Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – эточастное приращение функции z по аргументу x;– это частное приращение функцииz по аргументу у.  Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:  – это частная производная функции z по аргументуx;  – это частная производная функцииz по аргументу у.  Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример 1. z = 2x⁵ + 3x²y + y² – 4x + 5y — 1

Пример 2. Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x₀;y₀).  Находим частные производные:  Найдем частные производные в точке А(1;1)Находим вторые частные производные:  Найдем смешанные частные производные: 

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Остановимся на функции двух переменных.

Если каждой паре значений x, y из множества D ставится в соответствие одно определённое значение z из множества E, то z называется функцией двух независимых друг от друга переменных x и y и обозначается z= f(x, y).

Множество D называется областью определения функции z, а множество E – множеством её значений. Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами.

Частным значениям аргументов

Соответствует частное значение функции

Пример 4.Область определения функции S = xy, выражающей зависимость площади многоугольника от длин его сторон, может быть записана двумя неравенствами

и

которые определяют I квадрант на плоскости xOy. Частное значение этой функции при x = 3, y = 5 составляет

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x; y) плоскости xOy.

Подобно тому, как функция y = f(x) геометрически изображается графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(x, y).

Ставя в соответствие каждой точке

аппликату z = f(x, y), мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трёхмерного пространства – чаще всего некоторую поверхности. Поэтому равенство z = f(x, y) называют уравнением поверхности.

Пример 5. Пусть задана функция

Её область определения найдём из равенства

т.е.

Это круг с центром в начале координат и радиусом r. Графиком функции

является верхняя половина сферы

(разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции z: и

studfiles.net

x y 2 парабола

Вы искали x y 2 парабола? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y 1 3x 2 парабола, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «x y 2 парабола».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как x y 2 парабола,y 1 3x 2 парабола,y 1 4x 2 парабола,y 2x 2 парабола,y 2×2 парабола,y 3x 2 парабола,ветви параболы,график функции y x2 парабола,как найти дополнительные точки параболы,как начертить параболу,как параболу чертить,как по уравнению построить параболу,как построить парабола,как построить параболу,как построить параболу по уравнению,как решать параболу,как рисовать параболу,как сделать параболу,как строится парабола,как строить парабола,как строить параболу,как строить параболы,как чертить параболу,отрицательная парабола,парабола 2 x,парабола 2 х 2,парабола x 2 y,парабола x y 2,парабола x y в квадрате,парабола x y в квадрате y,парабола y 1 2×2,парабола y 2 2x,парабола y 2 3x,парабола y 2 x 2,парабола y 2×2,парабола y 3x 2,парабола алгебра,парабола как построить,парабола как строится,парабола как строить,парабола отрицательная,парабола построение,парабола х в квадрате,парабола х2,парабола х2 у,параболу как сделать,параболы решение,построение параболы,построить параболу по уравнению,сколько нужно точек для построения параболы,сколько точек нужно для построения параболы,таблица параболы,точки для параболы,точки параболы,формула график параболы,формула параболы график,х в квадрате парабола,шаблон параболы y 2x в квадрате,шаблон параболы y x в квадрате. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и x y 2 парабола. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, y 1 4x 2 парабола).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же x y 2 парабола Онлайн?

Решить задачу x y 2 парабола вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

Квадратичная функция. Как построить параболу?

Квадратичная функция – это функция вида \(y=ax^2+bx+c\). График квадратичной функции – парабола.

\(y= x^2+6x+5\)		\(y=x^2-4x+5\)
\(y=-2x^2-4x+4\)		\(y=-3x^2+21x-34\)

«Анатомия» квадратичной функции:

\(x_в\) и \(y_в\) – координаты вершины параболы. \(x_в\) можно найти с помощью формулы: \(x_в=\frac{-b}{2a}\). \(y_в\) можно найти подставив в формулу квадратичной функции вместо \(x\) значение \(x_в: y_в=ax_в^2+bx_в+с\)
Ось симметрии проходит через вершину параболы и параллельна оси \(y\) (ординат). \(x_1\) и \(x_2\) – нули функции. Их можно найти, приравняв формулу функции к нулю и решив соответствующее квадратное уравнение.

3 параметра позволяющих сопоставить формулу квадратичной функции и график:

Пример (задание из ОГЭ). На рисунке изображён график квадратичной функции \(y=ax^2+bx+c\)

Какие знаки параметров \(a\) и \(c\)?

Решение:

Ветви параболы направлены вниз, значит \(a<0\)
График функции пересекает ось \(y\) в точке лежащий ниже оси \(x\), значит \(c<0\)

Ответ: \(a<0\),\(c<0\)

Пример (задание из ОГЭ). Установите соответствие между квадратичными функциями и их графиками:

Решение:
Во втором графике ветви параболы направлены вниз, значит \(a<0\). Под этот график подходит только функция под буквой В.
Во втором и третьем графике \(a>0,c=1\) – по этим параметрам нам определить их функции. Тогда найдем \(x_в\) функций под буквой А и Б:

А. \(y=x^2-5x+1\)      \(x_в=\frac{5}{2}=2,5\) так же как на графике 1
Б. \(y=x^2+5x+1\)      \(x_в= \frac{-5}{2}=-2,5\) так же как на графике 3

Ответ:  

Как построить график квадратичной функции (параболу)?

Квадратичную функцию можно строить, как и все остальные, выбирая точки наугад (подробнее можно прочитать здесь). Но есть способ позволяющий строить параболу быстрее, выбирая точки осмысленно.

1. Найдите координаты вершины параболы. Поставьте точку вершины на координатной плоскости и проведите через неё ось симметрии параболы.
2. Найдите точку пересечения графика с осью \(y\): \(x=0;y=c\). Постройте точку симметричную точке \((0;c)\) относительно оси параболы.
3. Найдите координату целой точки, лежащей вблизи оси параболы.  Отметьте  симметричную ей точку на плоскости.


4. Соедините точки плавной линией.

\(a=2\), \(b=8\), \(c=2\) 1. \(x_в=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2 \cdot 2}=-2\) \(y_в=2 \cdot (-2)^2+8 \cdot (-2)+2=2 \cdot 4-16+2=-6\)
2. \(x=0, y=2\)
3. При \(x=-3\), \(y=2 \cdot (-3)^2+8 \cdot (-3)+2=2 \cdot 9-24+2=20-24=-4\)
Готово!

Связь квадратичной функции и квадратных уравнений:

Давайте сравним общий вид квадратичной функции и общий вид квадратного уравнения:

Пример:

Смотрите также:
Линейная функция
Виды графиков функций
Квадратные неравенства

cos-cos.ru

Ответы@Mail.Ru: куда смещена парабола y=-x^2+3?

Парабола с ветками вниз, смещенная на 3 вверх

в верх по оси игрик на три пункта!!!

на три клетки вверх

она перевернута вниз «рожками» и ее вершина поднята на 3 пункта по оси У

Вверх на три единицы.

Это просто. Подставь несколько значений Х, найди У и построй график. Центр параболы будет в точке ( 0, 3 ), ветви пойдут вверх, т. к. даже при отрицательном Х функция У будет положительной.

Вершина на три единицы вверх по оси У, ветви вверх, и сжата к оси У

touch.otvet.mail.ru

Парабола

Определение 1

Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, равноудалённых от точки $F$, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.

Рисунок 1. Парабола в прямоугольной системе координат

Парабола наряду с окружностью, эллипсом и гиперболой является одним из сечений конуса.

Парабола симметрична относительно своей оси, и поэтому можно построить сначала одну половину параболы, а затем, отложив симметричные этой половине точки, уже другую.

Определение 2

Классическая парабола описывается уравнением, оно имеет следующий вид:

$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.

Это уравнение является каноническим уравнением параболы и описывает вид параболы в прямоугольной системе координат.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями параболы с вершиной, располагающейся не на пересечении осей координат, их общий вид представлен формулой: $y = ax^2 + bx + c$.

Кто придумал параболу

Парабола известна математикам уже очень давно, а название этой функции дал древнегреческий математик Аполлоний Пергский в III в. до н.э., изучавший свойства сечений конуса.

Также изучением параболы занимались Архимед и Папп Александрийский.

В дальнейшем разные учёные показали, что многие явления можно описать параболой, так, например, была открыта траектория движения снаряда.

Основные определения и строение параболы

Вершина параболы — это точка, находящаяся на минимальном расстоянии от директрисы параболы $d$.

Фокус $F$ параболы — это точка, через которую проходит ось симметрии параболы, перпендикулярная прямой, находящаяся на расстоянии $d$. Фокус расположен на расстоянии $\frac{p}{2}$ от вершины. Координаты фокуса классической параболы можно определить из её уравнения.

Фокус и вершина являются основными точками, характеризующими параболу.

Параметр $p$ параболы иначе называется фокальным параметром и является расстоянием между фокусом и директрисой. Чтобы найти фокальный параметр параболы, нужно выразить $p$ из формулы канонического уравнения параболы:

$p = \frac{y^2}{2x}$, где $x$ и $y$ — координаты точки, лежащей на параболе. Координаты фокуса параболы определяются через значение фокального параметра и равны ($\frac{p}{2};0)$.

Анализ уравнения и описание параболы

1. Сначала необходимо обратить внимание на коэффициент $a$ при $x^2$. Если он отрицательный, то парабола перевёрнутая по отношению к обычной и её ветви смотрят вниз, а если положительный – то её ветви смотрят вверх. Также модуль коэффициента $a$ влияет на степень пологости (ширину) параболы, чем меньше модуль $a$, тем парабола более широкая (пологая), и чем больше модуль $a$, тем она более узкая (крутая).

2. Далее необходимо посмотреть на коэффициент $c$. Коэффициент $c$ обозначает смещение по оси $OY$ относительно пересечения осей координат. Это легко проверить, если приравнять $x$ к нулю в имеющемся уравнении. Если коэффициент $c$ — положительный, то парабола смещена вверх относительно точки $(0;0)$, а если отрицательный – то вниз. В случае если $c=0$ — парабола проходит через точку начала координат.

3. Теперь можно найти вершину параболы, её координаты вычисляются по формуле:

4. $x = — \frac{b}{2a}$ (1).

Чтобы найти $y$, нужно подставить полученный по формуле $x$ в уравнение.

Пример 1

Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 + 2x + 3$

Рисунок 2. Анализ уравнения параболы, график и примеры решения

1. Коэффициент при $a$ положительный, значит, ветви параболы смотрят вверх.
2. Теперь смотрим на коэффициент $c$, он равен 3, значит, парабола пересекается с осью ординат в точке $(0; 3)$.
3. Найдём координату $x$ вершины параболы по формуле (1), она равна $x = — \frac{2}{2} = -1$. Теперь найдём значение $y$, подставив значение $x$ в уравнение: $y = 1^2 +(-1) \cdot 2 + 3 = 2$. Координаты вершины равны $(-1; 2)$.

spravochnick.ru

Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями

Вкратце повторим теорию и напомним основные свойства квадратных корней.

Свойства квадратных корней:

1. , следовательно, ;

2. ;

3. ;

4. .

Перейдем к примерам использования этих свойств.

Пример 1. Упростить выражение .

Решение. Для упрощения  число 120 необходимо разложить на простые множители:

. Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле:

.

Ответ. 11.

Пример 2. Упростить выражение .

Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ:  ().

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов:

 при.

Ответ.  при.

Пример 3. Упростить выражение .

Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.

. Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:

. После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.

Ответ. 13.

Пример 4. Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) ; б) .

Решение. а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, применяется стандартный метод домножения и числителя и знаменателя дроби на сопряженный к знаменателю множитель (такое же выражение, но с обратным знаком). Это делается для дополнения знаменателя дроби до разности квадратов, что позволяет избавиться от корней в знаменателе. Выполним этот прием в нашем случае:

 .

б) выполним аналогичные действия:

.

Ответ.; .

Пример 5. Докажите равенство .

Доказательство. Воспользуемся определением квадратного корня, из которого следует, что квадрат правого выражения должен быть равен подкоренному выражению:

. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

, получили верное равенство.

Доказано.

Пример 6. Упростить выражение .

Решение. Указанное выражение принято называть сложным радикалом (корень под корнем). В данном примере необходимо догадаться выделить полный квадрат из подкоренного выражения. Для этого заметим, что из двух слагаемых  является претендентом на роль удвоенного произведения в формуле квадрата разности (разности, т. к. присутствует минус). Распишем его в виде такого произведения: , тогда на роль одного из слагаемых полного квадрата претендует , а на роль второго – 1.

. Подставим это выражение под корень:

. Модуль раскрывается в таком виде, т. к. .

Ответ..

На этом занятии мы заканчиваем тему «Функция . Свойства квадратного корня», а на следующем уроке начинаем новую тему «Действительные числа».

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал xenoid.ru (Источник).

2. Математическая школа (Источник).

3. Интернет-портал XReferat.Ru (Источник).

Домашнее задание

1. №357, 360, 372, 373, 382. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: а) , б) .

3. Упростите выражение: а) , б) .

4. Докажите тождество .

interneturok.ru

Как решать примеры с корнями 🚩 упрощение выражений с корнями 🚩 Математика

Древнегреческому математику Эвклиду в III веке до н.э досталась великая миссия сублимировать мудрость предков, работы Гиппократа, изложить все в своих трудах «Начала», объяснив между прочим значение квадратного корня, и донести до последующих поколений.

Из всей истории появления в математике квадратного корня получается, что патент на изобретение квадратичных исчислений, так же, как и на изобретение колеса, выдавать некому.

www.kakprosto.ru

Преобразование, упрощение выражений с корнями. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Ключ к решению примеров, содержащих квадратные корни, – определение и свойства корней.

Напомним определение квадратного корня:

квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое число неотрицательное число , квадрат которого равен : .

Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:

.

Напомним также основные свойства квадратного корня:

1.  (). Если  и  – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

2.  (). Если  – неотрицательное число, а  – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

3. , т. е.: .

4. Правило внесения множителя под знак корня:  и .

Решим несколько примеров на применение указанных свойств.

Пример

1. Упростить выражение:

а) .

б) .

в) .

Теперь рассмотрим более сложные примеры, в которых, в частности, встречаются буквенные переменные.

2. Упростить выражение:

а) .

б) . При этом необходимо указать ОДЗ данного выражения (так как знаменатель дроби не может равняться ), поэтому: .

в) . Формально на этом решение можно было бы закончить. Однако иногда в условии просят избавиться от иррациональности в знаменателе (то есть, чтобы в знаменателе не было бы корней). В этом случае сделать это очень легко:

.

г) . Прежде, чем упрощать данный пример, необходимо выписать ОДЗ данного выражения: , а, кроме того, обе переменные одновременно не должны равняться  (иначе знаменатель равен ). Этот факт можно записывать по-разному, но чаще всего его записывают следующим образом: , так как сумма квадратов двух чисел может быть равна  тогда и только тогда, когда они оба одновременно равны . Теперь можем перейти непосредственно к преобразованию данного выражения:

.

Рассмотрим теперь принципиально другой пример, в котором требуется разложить выражение на множители.

3. Разложить на множители:

.

Сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было вынести общие множители, получим:

.

Итак, мы разобрали несколько примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

На следующем уроке мы рассмотрим более сложные примеры на упрощение таких выражений.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к единому государственному экзамену по математике (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

Домашнее задание

1. №352-357 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Упростить выражение: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Упростить выражение: а) , б) , в) .

interneturok.ru

Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\), при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\)? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\)).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\), а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\), \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.  

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\): \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\), то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\), а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\), а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя   \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\);   \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\);   \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\).   \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\). Так как \(44100:100=441\), то \(44100=100\cdot 441\). По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\), то есть \(441=9\cdot 49\).
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\)). Так как \(5=\sqrt{25}\), то \[5\sqrt2=\sqrt{25}\cdot \sqrt2=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\] Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\).

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\). Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\), то есть \(4\sqrt2\).  

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\), поэтому \(\sqrt{16}=4\). А вот извлечь корень из числа \(3\), то есть найти \(\sqrt3\), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\)), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\)) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.  

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\), равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\).
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
Пример: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\).   \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\), модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\).   \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\). Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\), а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\)!   Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\), т.к. \(-\sqrt2<0\);

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\).   \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\), то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\); но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\), то \(a<b\); если \(\sqrt a=\sqrt b\), то \(a=b\).
Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\). Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\). Таким образом, так как \(50<72\), то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\). Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\).
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\)?
Так как \(\sqrt{49}=7\), \(\sqrt{64}=8\), а \(49<50<64\), то \(7<\sqrt{50}<8\), то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\).
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\). Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\[1ex] &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\[1ex] &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\).
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)!   \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\[1ex] &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!   \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\). Мы знаем, что \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\). Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\).
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\)). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\), \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\), \(120^2=14400\), \(130^2=16900\), \(140^2=19600\), \(150^2=22500\), \(160^2=25600\), \(170^2=28900\). Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\). Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\).
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\)? Это \(2^2\) и \(8^2\). Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\).
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\). Вуаля!

shkolkovo.net

Как упростить сложный радикал

Автор Сергей Валерьевич

Четверг, Январь 26, 2017

В 8 классе школьники на уроках математики знакомятся с таким понятием, как «радикал» или, попросту говоря, «корень». Тогда же они впервые сталкиваются с такой проблемой, как упрощение сложных радикалов. Сложные радикалы – это такие выражения, в которых один корень находится под другим. Поэтому их ещё иногда называют вложенными радикалами. В данной статье репетитор по математике и физике подробно рассказывает о том, как упростить сложный радикал.

Методы упрощения сложных радикалов

Упростить сложный радикал — значит избавиться от внешнего корня. Правильнее всего начать изучение этой темы с упрощения двойных радикалов. Ведь если мы научимся упрощать двойные радикалы, то и более сложные тоже сумеем.

Как нам избавиться от внешнего корня? Понятно, что для этого нужно преобразовать подкоренное выражение, представив его в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся известной формулой «Квадрат разности»:

Здесь, как видите, справа у отрицательного члена есть множитель . Поэтому и под корнем давайте получим этот множитель. Для этого представим в виде произведения на :

Тогда и . Осталось только обратить внимание на то, что . Теперь видно, что под корнем у нас получился квадрат разности:

yourtutor.info

Как решать примеры с корнями

Корнем n степени из числа называют такое число, которое при возведении в эту степень даст то число, из которого извлекается корень. Почаще каждого, действия производятся с корнями квадратными, которые соответствуют 2 степени. При извлечении корня зачастую нереально обнаружить его очевидно, а итогом является число, которое нереально представить в виде естественной дроби (трансцендентное). Но применяя некоторые приемы, дозволено гораздо упростить решение примеров с корнями.

Вам понадобится

• – представление корня из числа;
• – действия со степенями;
• – формулы сокращенного умножения;
• – калькулятор.

Инструкция

1. Если не требуется безусловная точность, при решении примеров с корнями воспользуйтесь калькулятором. Дабы извлечь из числа квадратный корень, наберите его на клавиатуре, и примитивно нажмите соответствующую кнопку, на которой изображен знак корня. Как водится, на калькуляторах берется корень квадратный. Но для вычисления корней высших степеней, воспользуйтесь функцией возведения числа в степень (на инженерном калькуляторе).

2. Для извлечения квадратного корня возведите число в степень 1/2, кубического корня в 1/3 и так дальше. При этом неукоснительно рассматривайте, что при извлечении корней четных степеней, число должно быть позитивным, напротив калькулятор примитивно не выдаст результат. Это связанно с тем, что при возведении в четную степень всякое число будет позитивным, скажем, (-2)^4=(-2)? (-2)? (-2)? (-2)=16. Для извлечения квадратного корня нацело, когда это допустимо, воспользуйтесь таблицей квадратов естественных чисел.

3. Если же рядом нет калькулятора, либо требуется безусловная точность в расчетах, используйте свойства корней, а также разные формулы для облегчения выражений. Из многих чисел дозволено извлечь корень отчасти. Для этого воспользуйтесь свойством, что корень из произведения 2-х чисел равен произведению корней из этих чисел ?m?n=?m??n.

4. Пример. Вычислите значение выражения (?80-?45)/ ?5. Прямое вычисление ничего не даст, от того что нацело не извлекается ни один корень. Преобразуйте выражение (?16?5-?9?5)/ ?5=(?16??5-?9??5)/ ?5=?5?(?16-?9)/ ?5. Произведите сокращение числителя и знаменателя на ?5, получите (?16-?9)=4-3=1.

5. Если подкоренное выражение либо сам корень построены в степень, то при извлечении корня воспользуйтесь тем свойством, что показатель степени подкоренного выражения дозволено поделить на степень корня. Если деление производится нацело, число вносится из-под корня. Скажем, ?5^4=5?=25. Пример. Вычислить значение выражения (?3+?5)?(?3-?5). Примените формулу разности квадратов и получите (?3)?-(?5)?=3-5=-2.

Обычная дробь – число своенравное. Изредка доводится помучиться, дабы обнаружить решение задачи с дробью и представить его в надлежащем виде. Обучившись решать примеры с дробью , вы легко совладаете с этой неприятной вещью.

Инструкция

1. Разглядите сложение и вычитание дробей. К примеру, 5/2+10/5. Приведите обе дроби к всеобщему знаменателю. Для этого обнаружьте то число, которое дозволено поделить без остатка на знаменатель и первой, и 2-й дроби. В нашем случае это число 10. Преобразуйте вышеуказанные дроби, получается 25/10+20/10.Сейчас сложите между собой числители, а знаменатель оставьте непоколебимым. Получается 45/10.Дозволено сократить полученную дробь, то есть поделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Получается 9/2.Выделите целую часть. Обнаружьте наивысшее число, которое дозволено поделить без остатка на знаменатель. Это число 8. Поделите его на знаменатель – это и будет целая часть. Выходит, в итоге получается 4 1/2.Произведите схожие действия при вычитании дробей.

2. Разглядите умножение дробей. Тут все примитивно. Перемножьте между собой числители и знаменатели. К примеру, 2/5 умножить на 4/2 получается 8/10. Сократите дробь, получается 4/5.

3. Разглядите деление дробей. При выполнении этого действия опрокиньте одну из дробей, а после этого перемножьте числители и знаменатели. Скажем, 2/5 поделить на 4/2 – получается 2/5 умножить на 2/4 – получается 4/20. Сократите дробь, получается 1/5.

Видео по теме

jprosto.ru

Упрощение выражений, содержащих корни и степени

При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени,  полезно совершить такие предварительные действия:

1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим  свойством:

2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

Например: 

3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Например: 

4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

Решим несколько задач из Задания В11 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике , воспользовавшись этим правилом.

1. Задание В10 ( 26745) Найдите значение выражения .

Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

Ответ: 1.

2. Задание В10 ( 26748) Найдите значение выражения  

Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 5.

3.  Задание В10( 26749) Найдите значение выражения   .

Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на  множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 20.

4. Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения  .

Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

Ответ: 42.

5. Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения  при  .

1. Запишем корни в виде степени:

2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

Ответ: 0,25

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Касательная к окружности и свойства отрезков касательных

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

. Угол равен , где  — центр окружности. Его сторона  касается окружности. Найдите величину меньшей дуги  окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол  — прямой. Из треугольника получим, что угол равен  градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги  — тоже  градуса.

Ответ: .

. Найдите угол , если его сторона  касается окружности,  — центр окружности, а большая дуга  окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен  градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол  — прямой. Тогда угол равен .

Ответ: .

. Хорда  стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.

Проведем радиус  в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник  — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен  градуса, и тогда угол равен  градусов, то есть половине угловой величины дуги .

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ответ: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку  — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку  с вершинами . Получились треугольники и .
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

Ответ: .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Уравнение касательной — 14 Октября 2015 — Примеры решений задач

Здесь необходимо отсеять неверные определения касательной.

Толковый словарь Ушакова; Касательная — прямая линия, имеющая одну общую точку с кривой.

Определение верно для окружности рис.1, в общем случае неверно рис.2.

Академический словарь, за ним повторяет толковый словарь Кузнецова, Ефремовой и т.д.: Касательная — Прямая, имеющая общую точку с кривой, но не пересекающая её.

Определение  в общем случае неверно рис.3.

Определение: Касательная прямая — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Формула уравнения касательной

Если существует конечная производная f'(x₀) то уравнение касательной к графику функции y=f(x) выражается следующим уравнением:

Особый случай когда   f'(x₀) бесконечна, разберем отдельно.

Пример 1. Найти уравнение касательной к графику функции y=x² в точке 2.

Алгоритм решения следующий:

1. Находим производную функции:

2. Находим значение производной в точке x₀=2:

3. Находим значение функции в точке x₀=2:

4. Найденные значения подставляем в формулу уравнения касательной:

5. Получаем уравнение касательной в точке x₀=2:

Получить уравнение касательной онлайн, а также графическое решение, можно с помощью данного калькулятора.

www.reshim.su

Уравнение касательной

Однако не следует думать, что непрерывная функция не дифференцируема только в точках излома, то есть там, где отсутствует касательная. Может случиться, что касательную к графику функции провести можно, но, тем не менее, производная функции в этой точке не существует. Соответствующий пример показан на рис. 9.

Y

y = f(x)

C

Рис. 9. Касательная есть, а производной нет

Вточке C касательная имеется, но она перпендикулярна оси X. Угол наклона касательной

‘= 90 , поэтому tg ‘ не существует. Следовательно, не существует и f0(x0).

Вэтом случае перестаёт быть справедливым и уравнение касательной (22), поскольку касательная на рис.9 не имеет углового коэффициента. Уравнение данной касательной выглядит

так: x = x0.

p

Упражнение. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 3 x в точке (0; 0).

1.11Исследование функций

Все функции, которые рассматриваются нами далее, считаются дифференцируемыми в нужных точках. Поэтому существование касательных подразумевается по умолчанию.

На рис. 10 изображён график функции y = f(x) и проведены касательные в двух точках с абсциссами x1 и x2.

Рис. 10. Возрастание и убывание функции: f0(x1) > 0, f0(x2) < 0

Вблизи точки x1 функция возрастает. Это приводит к тому, что касательная в точке x1 наклонена под острым углом ‘1 к оси X. Тангенс острого угла положителен; значит, положи-

тельна и производная в точке x1:

f0(x1) = tg ‘1 > 0:

Вблизи точки x2 функция убывает. Вследствие этого касательная в точке x2 образует тупой угол ‘2 с осью X. Тангенс тупого угла отрицателен, а вместе с ним отрицательна и производная

в точке x2:

f0(x2) = tg ‘2 < 0:

studfiles.net

как составить и решить задачу с его помощью

Задания, связанные с нахождением уравнения касательной, часто вызывают трудности у учеников старших классов. Подобные задачи встречаются и на ЕГЭ по математике. Они могут иметь различную формулировку. К примеру, школьникам предлагают определить тангенс угла наклона касательной или написать, чему будет равна производная в какой-либо конкретной точке. Для решения всех подобных заданий нужно придерживаться простой последовательности действий, которая будет подробно рассмотрена ниже.

Как составлять уравнение касательной в заданной точке

При написании уравнения будем использовать следующие обозначения:

• x0 — заданная в условии точка, принадлежащая функции, через которую проводится касательная;
• f(x) — исходная функция;
• f'(x) — производная от функции;
• k — угловой коэффициент.

Перед написанием уравнения следует проверить существование функции в заданной точке касания, является ли она непрерывной и дифференцируемой в ней. Например, гипербола f(x) = 14 / (x + 11) прерывается в x = –11, а g(x) = |8x + 9|, хоть и является непрерывной на всей числовой прямой, в x = 0 не является дифференцируемой.

Алгоритм написания уравнения

После проверки можно приступать к нахождению уравнения. Разберем несложную задачу, в которой нужно найти касательную к f(x) = 3x³ – 6x² + 2x – 1 в x0 = 1. Для этого будем следовать данному алгоритму:

1. Вычислим f(x0). Для этого просто подставим значение 1 в функцию: f(1) = 3·1³ – 6·1² + 2·1 – 1 = –2.
2. Теперь необходимо записать производную: f'(x) = 9x² – 12x + 2.
3. Подсчитаем значение производной в x0: f'(1) = 9·1² – 12·1 + 2 = –1.
4. Необходимо подставить все найденные выше значения в общую формулу: y = f(x0) + f'(x0)(x – x0). После этого получаем: y = –2 + (–1)·(x – 1) = –x – 1.

В результате приобретает вид: y = –x – 1. Изобразим графики исходной функции и касательной в x0 = 1.

Рассмотрим уравнение более подробно. Как уже было сказано ранее, в общем виде оно имеет вид y = kx + b. В задачах, встречающихся на ЕГЭ, часто нужно рассчитать угловой коэффициент, тангенс угла наклона или же определить, чему будет равна производная в точке касания. Их роль выполняет k — коэффициент, находящийся перед x. Для полученного в примере уравнения k = –1.

Рассмотрим некоторые виды заданий, для решения которых необходимо уметь выписывать касательную к функции в конкретной точке.