степень1/2 можно заменить корнем, и извлечь корень из этого числа
Возвести число в степень 1/2 — это значит извлечь из него квадратный корень
одна вторая это 0,5 вот и возводите его в степень. получится одна четвертая (если вторая степень)
это квадратный корень
1/2 это корень. например 9в степени 1/2 = 3
Это квадратный корень из числа
на инженерном калькуляторе. он и на компе есть. число возводишь в степень 0,5
квадратный корень это и есть число в степени 1/2
корень из этого числа
корень этого числа
touch.otvet.mail.ru
сколько будет -1 в третьей степени
-1
В каждой винде есть свой калькулятор.
Или разложи степень
(-1)^3=-1*-1*-1=-1
При возведении отриц. числа в куб, оно остается отриц. В данном случае ответ : -1
Все четные и нулевая степени -1 будут равняться 1, а все нечетные, в том числе, 3-я степень равняются -1.
-1/3 вот сколько
touch.otvet.mail.ru
(1/3) в степени -4 это сколько?
восемьдеят один
Это 3 в степени 4, т. е 81
1\3 это 3 в минус 1
отсюда ответ 3″4=81.
это 1/81
степень с отрицательным знаком опускается в знаменатель
т. е. это уже не (1/3) в -4 а 1/3 в -4
если возвести в степень то получается 3 в 4 степени (3*3*3*3) = 81
поэтому 1/81!
touch.otvet.mail.ru
Помогите найти значение степени (1 целая 1/3)в 3 степени. Помогите найти значение степени . (1 целая 1/3)в 3 степени.
Решите уравнение 4/9*y^3-y+4/3*y+1=5/1-3*y (4 делить на 9 умножить на у в кубе минус у плюс 4 делить на 3 умножить на у плюс 1 равно 5 делить на 1 минус 3 умножить на у)
Найду корень уравнения: 4/9*y^3-y+4/3*y+1=5/1-3*y
Виды выражений
Решение
3
4*y 4*y
---- - y + --- + 1 = 5 - 3*y
9 3
$$\frac{4 y}{3} + \frac{4 y^{3}}{9} — y + 1 = — 3 y + 5$$
Уравнения первого порядка — Решение дифференциальных уравнений
Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.
301. Решить уравнение и построить график решения. xy’ + x2 + xy — y = 0.
302. Решить уравнение и построить график решения. 2xy’ + y2 = 1.
303. Решить уравнение и построить график решения. (2xy2 — y)dx + x dy = 0.
304. Решить уравнение и построить график решения. (xy’ + y)2 = x2y’.
305. Решить уравнение и построить график решения. y — y’ = y2 + xy’.
306. Решить уравнение и построить график решения. (x + 2y3)y’ = y.
307. Решить уравнение и построить график решения. y’3 — y’e2x = 0.
308. Решить уравнение и построить график решения. x2y’ = y(x + y).
309. Решить уравнение и построить график решения. (1 — x2)dy + xy dx = 0.
310. Решить уравнение и построить график решения. y’2 + 2(x — 1)y’ — 2y = 0.
311. Решить уравнение и построить график решения. y + y’ ln2 y = (x + 2 ln y)y’.
312. Решить уравнение и построить график решения. x2y’ — 2xy = 3y.
313. Решить уравнение и построить график решения. x + yy’ = y2(1 + y’2).
314. Решить уравнение и построить график решения. y = (xy’ + 2y)2.
315. Решить уравнение и построить график решения. y’ = 1/(x — y2).
316. Решить уравнение и построить график решения. y’3 + (3x — 6)y’ = 3y.
317. Решить уравнение и построить график решения. x — y/y’ = 2/y.
318. Решить уравнение и построить график решения. 2y’3 — 3y’2 + x = y.
319. Решить уравнение и построить график решения. (x + y)2y’ = 1.
320. Решить уравнение и построить график решения. 2x3yy’ + 3x2y2 + 7 = 0.
321. Решить уравнение и построить график решения. dx/x = (1/y — 2x) dy.
322. Решить уравнение и построить график решения. xy’ = ey + 2y’.
324. Решить уравнение и построить график решения. x2y’2 + y2 = 2x(2 — yy’).
326. Решить уравнение и построить график решения. 2x2y’ = y2(2xy’ — y).
327. Решить уравнение и построить график решения. (y — xy’)/(x + yy’) = 2.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Проверка решений
дифференциальных уравнений
Задача 1.1. Убедиться, что функция
y(x) = Cx +
C
1 + C2
при каждом C ∈ R является решением уравнения
y − xy
= y
1 + y2 · (1.1)
Решение: Вычислим производную функции y(x) и подста-
вим y
(x) и y(x) в уравнение (1.1). Получим
y (x) = C;
Cx +
C
1 + C2 − xC = C
1 + C2 ·
Очевидно, полученное равенство является тождеством, сле-
довательно данная функция является решением уравнения.
За
вы все изи) я автоматом получила 5 у МАГАЗА
touch.otvet.mail.ru
Уравнения, допускающие понижение порядка — Решение дифференциальных уравнений
Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.
421. Решить уравнение: x2y» = y’2.
422. Решить уравнение: 2xy’y» = y’2 — 1.
423. Решить уравнение: y3y» = 1.
424. Решить уравнение: y’2 + 2yy» = 0.
425. Решить уравнение: y» = 2yy’.
426. Решить уравнение: yy» + 1 = y’2.
427. Решить уравнение: y»(ex + 1) + y’ = 0.
428. Решить уравнение: y»’ = y»2.
429. Решить уравнение: yy» = y’2 — y’3.
430. Решить уравнение: y»’ = 2(y» — 1) ctg x.
432. Решить уравнение: y»3 + xy» = 2y’.
433. Решить уравнение: y»2 + y’ = xy».
434. Решить уравнение: y» + y’2 = 2e-y.
435. Решить уравнение: xy»’ = y» — xy».
436. Решить уравнение: y»2 = y’2 + 1.
438. Решить уравнение: y» — xy»’ + y»’3 = 0.
439. Решить уравнение: 2y'(y» + 2) = xy»2.
441. Решить уравнение: y’2 = (3y — 2y’)y».
442. Решить уравнение: y»(2y’ + x) = 1.
443. Решить уравнение: y»2 — 2y’y»’ + 1 = 0.
444. Решить уравнение: (1 -x2)y» + xy’ = 2.
445. Решить уравнение: yy» — 2yy’ ln y = y’2.
446. Решить уравнение: (y’ + 2y)y» = y’2.
447. Решить уравнение: xy» = y’ + x sin(y’/x).
448. Решить уравнение: y»’y’2 = y»3.
449. Решить уравнение: yy» + y = y’2.
450. Решить уравнение: xy» = y’ + x(y’2 + x2).
452. Решить дифференциальное уравнение, воспользовавшись формулой, сводящей многократное интегрирование к однократному. xy» = sin x.
455. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. yy»’ + 3y’y» = 0.
456. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. y’y»’ = 2y»2.
457. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. yy» = y'(y’ + 1).
458. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. 5y»’2 — 3y»yIV = 0.
459. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. yy» + y’2 = 1.
460. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. y» = xy’ + y + 1.
461. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. xy» = 2yy’ — y’.
462. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными. xy» — y’ = x2yy’.
463. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. xyy» — xy’2 = yy’.
464. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. yy» = y’2 + 15y2 sqrt(x).
465. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. (x2 + 1)(y’2 — yy») = xyy’.
466. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. xyy» + xy’2 = 2yy’.
467. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. x2yy» = (y — xy’)2.
468. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. y» + y’/x + y/x2 = y’2/y.
469. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. y(xy» + y’) = xy’2(1 — x).
470. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. x2yy» + y’2 = 0.
471. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. x2(y’2 — 2yy») = y2.
472. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. xyy» = y'(y + y’).
473. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. 4x2y3y» = x2 — y4.
474. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. x3y» = (y — xy’)(y — xy’ — x).
475. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. y2/x2 + y’2 = 3xy» + 2yy’/x.
476. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. y» = (2xy — 5/x)y’ + 4y2 — 4y/x2.
477. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. x2(2yy» — y’2) = 1 — 2xyy’.
478. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. x2(yy» — y’2) + xyy’ = (2xy’ — 3y)x3/2.
479. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. x4(y’2 — 2yy») = 4x3yy’ + 1.
480. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение. yy’ + xyy» — xy’2 = x3.
482. Понизив порядок данного дифференциального уравнения, свести его к уравнению первого порядка. y»2 — y’y»’ = (y’/x)2.
487. Понизив порядок данного дифференциального уравнения, свести его к уравнению первого порядка. y2(y’y»’ — 2y»2) = y’4.
500. Понизив порядок данного дифференциального уравнения, свести его к уравнению первого порядка. x2(y2y»’ — y’3) = 2y2y’ — 3xyy’2…
505. Найти решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям. y» cos y + y’2 sin y = y’; y(-1) = π/6, y'(-1) = 2.
507. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс.
508. Определить форму равновесия нерастяжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи…
509. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) под действием ее веса.
510. Доказать, что уравнение движения маятника у» + sin у = 0 имеет частное решение y(x), стремящееся к π при x → +∞.
xn--e1avkt.xn--p1ai
Примеры решения линейных дифференциальных уравнений й
Рассмотрим примеры решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли.
1) y’=3x-y/x
Перепишем уравнение в стандартном виде: y’+y/x=3x. Здесь p(x)=1/x, q(x)=3x.
1) Введем замену y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Отсюда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения для y и y’ в условие: u’v+v’u+uv/x=3x.
2) Сгруппируем слагаемые, содержащие v: [u’+u/x]v+v’u=3x. (I) Теперь потребуем равенства нулю выражения в скобках: u’+u/x=0. Получили новое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Подставляем u’=du/dx и разделяем переменные: du/dx= — u/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на u≠0. Пришли к уравнению с разделенными переменными: du/u= — dx/x. Интегрируем его:
Поскольку при нахождении u С берем равным нулю, то получаем, что ln│u│=-ln│x│, используем свойство логарифма: ln│u│= ln│1/x│отсюда u=1/x.
3) В уравнение (I) подставляем [u’+u/x]=0 и u=1/x. Имеем: v’/x=3x. Умножаем обе части полученного уравнения на x≠0: v’=3x². Можно представить v’=dv/dx и разделить переменные: dv/dx=3x², отсюда, умножив обе части на dx, получаем dv=3x²dx, интегрируем:
здесь С уже не игнорируем, и приходим к v=x³+C. (А можно было просто проинтегрировать обе части равенства: v’=3x²
и сразу получить ответ v=x³+C).
4) Так как y=uv, подставив найденные выражения для u и v, получаем: y=(x³+C)/x. Если преобразовать ответ, получим: y=x²+C/x.
Ответ: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Линейное уравнение в стандартном виде. p(x)=1, q(x)=cosx.
1) y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:
u’v+v’u+uv=cosx. Группируем слагаемые с v: [u’+u]v+v’u=cosx. (II)
2) Теперь потребуем, чтобы выполнялось условие u’+u=0. Получили уравнение с разделяющимися переменными u и x. Так как u’=du/dx, то du/dx+u=0, откуда du/dx=-u. Умножаем обе части на dx и делим на u≠0: du/u=-dx. Интегрируем уравнение:
3) В уравнение (II) подставляем [u’+u]=0 и
Интегрируем обе части уравнения:
Этот интеграл находится с помощью формулы интегрирования по частям:
4) y=uv, подставляем найденные выражения для u и v:
Ответ:
Рассмотрим еще одно интересное задание.
3) Найти решение уравнения (x+y)y’=1, удовлетворяющее начальному условию y(-1)=0.
Если рассматривать y как функцию от x, то уравнение не получится записать в стандартном виде y’+p(x)y=q(x). А вот если рассматривать x как функцию от y, то с учетом того, что y’=1/x’, получаем: (x+y)·1/x’=1, откуда x’=x+y, теперь переписываем это уравнение в виде x’-x=y. (III)
Мы получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида x’+p(y)=q(y). Здесь p(y)=-1, q(y)=y. Все рассуждения абсолютно аналогичны. Проведем их.
1) Замена x=uv, где u=u(y), v=v(y). Отсюда x’=u’v+v’u. Подставляем в (III): u’v+v’u-uv=y.
2) Группируем слагаемые с v: [u’-u]v+v’u=y. (IV) Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’-u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными. Только не забываем, что вторая переменная здесь y, а не x. С учетом того, что u’=du/dy, разделим переменные: du/dy=u. Умножаем обе части уравнения на dy и делим на u: du/u=dy. Теперь интегрируем:
3) В (IV) подставляем [u’-u]=0 и
Этот интеграл также находим по формуле интегрирования по частям
Здесь
Подставляем, по формуле интегрирования по частям получаем:
4) Так как x=uv, то, подставив найденные выражения для функций u и v, получаем:
5) В общее решение уравнения
подставляем начальные условия y(-1)=0 (то есть x=-1, y=0):
Отсюда частное решение x=-y-1. Выразив y через x, приходим к окончательному варианту ответа: y=-x-1.
3) В условие (***) подставляем [u’+2u/x]=0 и u=1/x². Имеем:
Чтобы найти интеграл в правой части, введем замену -x²=t, тогда dt=(-x²)’dx=-2xdx. Отсюда
4) Так как y=uv, подставив, получаем:
Ответ:
www.matematika.uznateshe.ru
Линейные уравнения первого порядка — Решение дифференциальных уравнений
Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.
136. Решить уравнение: xy’ — 2y = 2x4.
137. Решить уравнение: (2x + 1)y’ = 4x + 2y.
138. Решить уравнение: y’ + y tg x = sec x.
139. Решить уравнение: (xy + ex)dx — x dy = 0.
140. Решить уравнение: x2y’ + xy + 1 = 0.
141. Решить уравнение: y = x(y’ — x cos x).
142. Решить уравнение: 2x(x2 + y)dx = dy.
143. Решить уравнение: (xy’ — 1)ln x = 2y.
144. Решить уравнение: xy’ + (x + 1)y = 3x2e-x.
145. Решить уравнение: (x + y2) dy = y dx.
146. Решить уравнение: (2ey — x)y’ = 1.
147. Решить уравнение: (sin2 y + x ctg y)y’ = 1.
148. Решить уравнение: (2x + y)dy = y dx + 4 ln y dy.
149. Решить уравнение: y’ = y/(3x — y2).
150. Решить уравнение: (1 — 2xy)y’ = y(y — 1).
151. Решить уравнение: y’ + 2y = y2ex.
152. Решить уравнение: (x + 1)(y’ + y2) = -y.
153. Решить уравнение: y’ = y4 cos x + y tg x.
154. Решить уравнение: xy2y’ = x2 + y3.
155. Решить уравнение: xy dy = (y2 + x)dx.
156. Решить уравнение: xy’ — 2x2 sqrt(y) = 4y.
157. Решить уравнение: xy’ + 2y + x5y3ex = 0.
158. Решить уравнение: 2y’ — x/y = xy/(x2 — 1).
159. Решить уравнение: y’x3 sin y = xy’ — 2y.
160. Решить уравнение: (2x2y ln y — x)y’ = y.
161. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его. x dx = (x2 — 2y + 1)dy.
162. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его. (x + 1)(yy’ — 1) = y2.
163. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его. x(ey — y’) = 2.
164. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его. (x2 — 1)y’ sin y + 2x cos y = 2x — 2x3.
165. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его. y(x) = 0x∫ y(t)dt + x + 1.
166. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его. 0x∫ (x — t)y(t)dt = 2x + 0x∫ y(t)dt…
167. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его. x2y’ + xy + x2y2 = 4…
168. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его. 3y’ + y2 + 2/x2 = 0.
169. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его. xy’ — (2x + 1)y + y2 = -x2.
170. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его. y’ — 2xy + y2 = 5 — x2.
171. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его. y’ + 2yex — y2 = e2x…
173. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 3a2.
174. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная a2…
175. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный…
176. За время Δt (где Δt очень мало и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадается 0,00044 Δt грамма и образуется 0,00043 Δt грамма радона. Из каждого…
177. Даны два различных решения y1 и y2 линейного уравнения первого порядка. Выразить через них общее решение этого уравнения.
178. Найти то решение дифференциального уравнения y’ sin 2x = 2(y + cos x), которое остается ограниченным при x → π/2.
179. Пусть в уравнении xy’ + ay = f(x) имеем a = const > 0, f(x) → b при х → 0. Показать, что только одно решение уравнения остается ограниченным при х → 0, и найти предел…
180. Пусть в уравнении предыдущей задачи а = const < 0, f(x) → b при х → 0. Показать, что все решения этого уравнения имеют один и тот же конечный предел при х → 0. Найти…
181. Показать, что уравнение dx/dt + x = f(t), где |f(t)| ≤ M при -∞ < t < +∞, имеет одно решение, ограниченное при -∞ < t < +∞. Найти это решение…
182. Показать, что только одно решение уравнения xy’ — (2x2 + 1)y = x2 стремится к конечному пределу при х → +∞, и найти этот предел. Выразить это решение…
183. Найти периодическое решение уравнения y’ = 2y cos2 x — sin x. Примечание: искомое решение выражается через интеграл с бесконечным пределом.
184. Пусть в уравнении dx/dt + a(t)x = f(t), a(t) ≥ c > 0, f(t) → 0 при t → +∞. Доказать, что каждое решение этого уравнения стремится к нулю при t → +∞…
185. Пусть в уравнении предыдущей задачи имеем a(t) ≥ c > 0 и пусть x0(t) — решение с начальным условием x0(0) = b. Показать, что для любого ε > 0…
xn--e1avkt.xn--p1ai
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.
601. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y» + 2y’ + y = cos ix.
602. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y» — 2y’ + y = xex sin2 ix.
603. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y» + 2iy = 8ex sin x.
604. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y» + 2iy’ — y = 8 cos x.
610. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: x2y» — xy’ + y = ln x/x + x/ln x.
612. Какие условия достаточно наложить на функцию f(x), чтобы все решения уравнения задачи 611 (y» + y = f(x)) оставались ограниченными при x → +∞?
613. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = x2ex…
615. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = x sin x.
616. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = xex…
617. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: y1 = xex,…
618. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: y1 = x, y2…
619. При каких a и b все решения уравнения y» + ay’ + by = 0 ограничены на всей числовой оси -∞ < x < +∞?
620. При каких a и b все решения уравнения y» + ay’ + by = 0 стремятся к нулю при x → +∞?
623. При каких a и b каждое решение уравнения y» + ay’ + by = 0 обращается в нуль на бесконечном множестве точек x?
624. При каких a и b все решения уравнения y» + ay’ + by = 0 удовлетворяют соотношению y = o(e-x) при x → +∞?
625. Для заданного b > 0 подобрать такое a, при котором решение уравнения y» + ay’ + by = 0 с начальными условиями y(0) = 1, y'(0) = 0 возможно быстрее стремится к нулю при x →…
628. Найти периодическое решение уравнения x» + x’ + 4x = eiωt и на комплексной плоскости начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решения при изменении…
629. Дано уравнение y» + ay’ + by = f(x), причем |f(x)| ≤ m (-∞ < x < ∞), а корни характеристического уравнения λ2 < λ1 <…
634. Частица массы m движется по оси Ox, отталкиваясь от точки x = 0 с силой 3mr0 и притягиваясь к точке x = 1 с силой 4mr1, где r0 и r1 –…
635. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянного тока, дающего напряжение V, сопротивления R, самоиндукции L и выключателя, который включается при t =…
639. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону E = V sin ωt, сопротивление R и самоиндукция L. Найти силу тока в цепи (установившийся режим).
Формы записи комплексных чисел, определения и примеры
Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Каждая форма записи удобна для решения своих задач, соответственно вы можете переводить комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от решаемой задачи.
Алгебраическая форма комплексного числа
Например:
Комплексное число и его сопряженное число записаны в алгебраической форме.
Мнимое число записано в алгебраической форме.
Подробнее про алгебраическую форму читайте в отдельной статье: Алгебраическая форма комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрической формой комплексного числа , не равного нулю, называется запись где — модуль комплексного числа .
Ниже мы подробно распишем, как вычислять модуль и аргумент комплексного числа и приведем примеры.
Подробнее про тригонометрическую форму читайте в отдельной статье: Тригонометрическая форма комплексного числа.
Модуль и аргумент комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модулем комплексного числа называется выражение .
Если является действительным числом, то его модуль равен абсолютной величине этого действительного числа.
Например.
Показательная форма комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Показательной формой комплексного числа называется выражение , где — модуль комплексного числа, — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.
Подробнее про показательную форму читайте в отдельной статье: Показательная форма комплексного числа.
Понравился сайт? Расскажи друзьям!
ru.solverbook.com
Лекция 4 — Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.
Страница 1 из 3
Комплексные числа
Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.
Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .
– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:
Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось
– мнимая ось
Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать масштаб, отмечаем:
ноль;
единицу по действительной оси;
мнимую единицу по мнимой оси.
Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .
Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, , , , , , ,
По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .
Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.
Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .
В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.
grishko.esy.es
Алгебраическая форма комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгебраической формой комплексного числа называется запись комплексного числа в виде , где и – действительные числа, – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению .
Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение .
Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение .
Например:
Комплексное число и его сопряженное число записаны в алгебраической форме.
Мнимое число записано в алгебраической форме.
Также, в зависимости от решаемой задачи, вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или показательную форму.
ПРИМЕР
Задание
Записать число в алгебраической форме, найти его действительную и мнимую части, а также сопряженное число.
Решение
Применяя почленное деление дроби и правило сложения дробей, получаем:
Следовательно, действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью является число .
Сопряженное число имеет вид: .
Ответ
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Сравнение
Два комплексных числа и называются равными, если , т.е. равны их действительные и мнимые части.
ПРИМЕР
Задание
Определить, при каких и два комплексных числа и являются равными.
Решение
По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. .
Ответ
Сложение
Сложение комплексных чисел и выполняется непосредственным суммированием действительных и мнимых частей:
ПРИМЕР
Задание
Найти сумму комплексных чисел .
Решение
Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью является число . Действительная и мнимая части комплексного числа равны и , соответственно.
Следовательно, сумма комплексных чисел равна:
Ответ
Подробнее про сложение комплексных числе читайте в отдельной статье: Сложение комплексных чисел.
Вычитание
Вычитание комплексных чисел и выполняется непосредственным вычитанием действительных и мнимых частей:
ПРИМЕР
Задание
Найти разность комплексных чисел .
Решение
Найдем действительные и мнимые части комплексных чисел :
Следовательно, разность комплексных чисел равна:
Ответ
Умножение
Умножение комплексных чисел и выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы :
ПРИМЕР
Задание
Найти произведение комплексных чисел .
Решение
Произведение комплексных чисел равно:
Ответ
Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.
Деление
Частное комплексных чисел и находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:
ПРИМЕР
Задание
Разделить число 1 на комплексное число .
Решение
Поскольку мнимая часть вещественного числа 1 равна нулю, частное чисел равно:
Ответ
Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.
Читайте также:
Все формы записи комплексных чисел
Тригонометрическая форма КЧ
Показательная форма КЧ
Мнимая часть комплексного числа
Комплексно сопряженные числа
Операции над комплексными числами
ru.solverbook.com
1.Комплексные числа. Свойства. Формы записи.
БИЛЕТ1
Комплексным числом
называется выражение вида ,
где—
действительные числа;—
число, квадрат которого равен минус
единице;
число обозначается.
Свойства
комплексных чисел:
1)
комплексные числа коммутативны по
сложению и по умножению.
2)
комплексные числа ассоциативны по
сложению и по умножению.
3)
комплексные числа дистрибутивны.
Для
комплексных чисел операция деления
определена как операция обратная
операции умножения. Если ,
то z является
решением уравнения .
Решим это уравнение, домножив левую и
правую часть на и
разделив обе части на квадрат модуля.
Получим, что
Формы
записи:
Для
комплексных чисел существует несколько
форм записи: алгебраическая форма
записи, тригонометрическая форма записи
и экспоненциальная (показательная)
форма записи.
Алгебраическая
форма—
это такая форма записи комплексных
чисел, при которой комплексное число
z, заданное
парой вещественных чисел (x
, y),
записывается в виде
где
использован символ i ,
называемый мнимой
единицей.
Число x называют вещественной
(реальной) частью комплексного числа z
= x + i y
и обозначают Re z.
Число y называют мнимой
частью комплексного числа z
= x + i y
и обозначают Im z.
Тригонометрическая
форма записи комплексного числа
Из
формулы
вытекает, что любое отличное от нуля
комплексное числоz
= x + i y
может быть записано в виде
z
= r (cos
φ
+ i sin
φ)
,
(5)
гдеr и φ —
модуль и аргумент этого числа,
соответственно, причем модуль удовлетворяет
неравенству r >
0.
Формула
Эйлера. Экспоненциальная форма записи
комплексного числа
Формула
Эйлера:
cos
φ + i sin
φ = e iφ.
Из
формулы Эйлера и тригонометрической
формы записи комплексного числа вытекает,
что любое отличное от нуля комплексное
числоz
= x + i y
может быть записано в виде
гдеr и φ —
модуль и аргумент этого числа,
соответственно, причем модуль удовлетворяет
неравенству r >
0.
БИЛЕТ 2.
2.Интегрирование простейших рациональных функций
Для
интегрирования рациональной функции ,
где P(x) и Q(x) —
полиномы, используется следующая
последовательность шагов:
1)Если
дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше
степени Q(x)),
преобразовать ее в правильную, выделив
целое выражение;
2)Разложить
знаменатель Q(x) на
произведение одночленов и/или несократимых
квадратичных выражений;
3)Разложить
рациональную дробь на простейшие дроби,
используя метод
неопределенных коэффициентов;
Если
дробь неправильная (т.е. степень
числителя P(x) больше
степени знаменателя Q(x)),
разделим многочленP(x) на Q(x).
Получим следующее выражение:
где —
правильная рациональная дробь.
Шаг
2. Разложение знаменателя на простейшие
дроби
Запишем
многочлен знаменателя Q(x) в
виде
где
квадратичные функции являются
несократимыми, то есть не имеющими
действительных корней.
Шаг
3. Разложение рациональной дроби на
сумму простейших дробей.
Запишем
рациональную функцию в следующем виде:
Общее
число неопределенных коэффициентов Ai,
Bi,
Ki,
Li,
Mi,
Ni,
… должно
быть равно степени знаменателя Q(x). Затем
умножим обе части полученного уравнения
на знаменатель Q(x) и
приравняем коэффициенты при слагаемых
с одинаковыми степенями x.
В результате мы получим систему линейных
уравнений относительно неизвестных
коэффициентов Ai,
Bi,
Ki,
Li,
Mi,
Ni,
….
Данная система всегда имеет единственное
решение. Описанный алгоритм представляет
собой метод
неопределенных коэффициентов.
Простейшие
дроби, полученные при разложении
произвольной правильной рациональной
дроби, интегрируются с помощью следующих
шести формул:
У
дробей с квадратичным знаменателем
сначала необходимо выделить полный
квадрат:
где Затем
применяются следующие формулы:
Интеграл может
быть вычислен за k шагов
с помощью формулы редукции
БИЛЕТ
3
studfiles.net
Тема 18 тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме конспект 18.
18.1 Тригонометрическая форма комплексного числа
Любое
комплексное число (кроме нуля)
можно
записать в тригонометрической форме:,
где–
этомодуль комплексного числа,
а–аргумент комплексного числа.
Изобразим на комплексной плоскости
число.
Для определённости и простоты объяснений
расположим его в первой координатной
четверти, т.е. считаем, что:
Напоминаю,
модулем комплексного числаназывается
расстояние от начала координат до
соответствующей точки комплексной
плоскости.
Модуль
комплексного числа
стандартно
обозначают:или
По
теореме Пифагора легко вывести формулу
для нахождения модуля комплексного
числа:
.
Данная формула справедливадля
любыхзначений «а» и «бэ».
Аргументом
комплексного числаназываетсяугол междуположительной полуосьюдействительной
осии
радиус-вектором, проведенным из начала
координат к соответствующей точке.
Аргумент не определён для единственного
числа:.
Аргумент
комплексного числа
стандартно
обозначают:или
Из
геометрических соображений получается
следующая формула для нахождения
аргумента:
.Внимание!Данная формула
работает только в правой полуплоскости!
Если комплексное число располагается
не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти,
то формула будет немного другой. Эти
случаи мы тоже разберем.
Но
сначала рассмотрим простейшие примеры,
когда комплексные числа располагаются
на координатных осях.
Пример
1
Представить
в тригонометрической форме комплексные
числа:
,,,.
На
самом деле задание устное. Для наглядности
перепишу тригонометрическую форму
комплексного числа:
1)
Представим в тригонометрической форме
число
.
Найдем его модуль и аргумент. Очевидно,
что.
Формальный расчет по формуле:.
Очевидно,
что(число
лежит непосредственно на действительной
положительной полуоси). Таким образом,
число в тригонометрической форме:.
Ясно,
как день, обратное проверочное действие:
2)
Представим в тригонометрической форме
число
.
Найдем его модуль и аргумент. Очевидно,
что.
Формальный расчет по формуле:.
Очевидно,
что(или
90 градусов). На чертеже угол обозначен
красным цветом. Таким образом, число в
тригонометрической форме:.
Используя таблицу значений тригонометрических
функций, легко обратно получить
алгебраическую форму числа (заодно
выполнив проверку):
3)
Представим в тригонометрической форме
число
.
Найдем его модуль и аргумент. Очевидно,
что.
Формальный расчет по формуле:.
Очевидно,
что(или
180 градусов). На чертеже угол обозначен
синим цветом. Таким образом, число в
тригонометрической форме:.
Проверка:
4) И
четвёртый интересный случай. Представим
в тригонометрической форме число
.
Найдем его модуль и аргумент. Очевидно,
что.
Формальный расчет по формуле:.
Аргумент
можно записать двумя способами: Первый
способ:
(270
градусов), и, соответственно:.
Проверка:
18.2 ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Частное комплексных чисел
Произведение
комплексных чисел
Возведение
комплексных чисел в степень
формула Муавра
Пример
2
найти.
Тогда,
по формуле Муавра:
Упаси
боже, не нужно считать на калькуляторе
,
а вот угол в большинстве случае следует
упростить. Как упростить? Образно
говоря, нужно избавиться от лишних
оборотов. Один оборот составляетрадиан
или 360 градусов. Смотрим сколько у нас
оборотов в аргументе:оборотов,
в данном случае можно убавить один
оборот:.
Надеюсь всем понятно, чтои–
это один и тот же угол.
Таким
образом, окончательный ответ запишется
так:
Любители
стандартов везде и во всём могут
переписать ответ в виде:
(т.е.
убавить еще один оборот и получить
значение аргумента в стандартном виде).
Хотя
–
ни в коем случае не ошибка.
ПРАКТИКУМ 18
ЗАДАНИЕ N 1Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
Решение:Для представления
комплексного числа в тригонометрической
форме записи
необходимо найти его
модуль и аргумент.
Используя формулу,
где–
действительная, а–
мнимая часть комплексного числа,
получим:По
формуламинайдем
аргументкомплексного
числа.
Обращаем внимание, что под
аргументомпонимается
его главное значение, то есть значение,
удовлетворяющее условиюТак
кактоЗная,
что тригонометрическая форма комплексного
числа имеет видполучим:
ЗАДАНИЕ N 2Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаПроизведение комплексных
чиселиравно …
Решение:Воспользуемся формулой:Получим:
ЗАДАНИЕ N 3Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
Решение:Для представления
комплексного числа в тригонометрической
форме записи необходимо найти его модуль
и аргумент.
Заметим, что мнимая часть
данного комплексного числа равна нулю,
поэтомуТочка,
изображающая это число, принадлежит
положительной части действительной
оси, значит,Зная,
что тригонометрическая форма комплексного
числа имеет видполучим:
ЗАДАНИЕ N 4Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаЧастноекомплексных
чиселиравно …
Решение:Воспользуемся формулой:Получим:
ЗАДАНИЕ N 5Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаСтепень комплексного числаравна …
Решение:Согласно формуле Муавранаходим:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 18
ЗАДАНИЕ N 1Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаСтепень комплексного числаравна …
ЗАДАНИЕ N 2Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
ЗАДАНИЕ N 3Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
ЗАДАНИЕ N 4Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаЧастноекомплексных
чиселиравно …
ЗАДАНИЕ N 5Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
ЗАДАНИЕ N 6Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаЧастноекомплексных
чиселиравно …
ЗАДАНИЕ N 7Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
ЗАДАНИЕ N 8Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаСтепень комплексного числаравна …
ЗАДАНИЕ N 9Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
ЗАДАНИЕ N 10Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
ЗАДАНИЕ N 11Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаЧастноекомплексных
чиселиравно …
ЗАДАНИЕ N 12Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
ЗАДАНИЕ N 13Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаТригонометрическая форма
комплексного числаимеет
вид …
ЗАДАНИЕ N 14Тема:
Тригонометрическая форма комплексного
числаПроизведение комплексных
чиселиравно …
studfiles.net
Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел
Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1. Число aназывается действительной частью, а число b — мнимой частьюкомплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.
Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженнымк z = a + bi. Равенство z · = a2 + b2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:
.
(Например, .)
Алгебраическая форма комплексного числа
Запись комплексного числа z в виде , где a и b — действительные числа, называется алгебраической формой комплексного числа.
Например .
Тригонометрическая форма комплексного числа
Если — модуль комплексного числа , а — его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа z называется выражение
Показательная форма комплексного числа
Показательной формой комплексного числа называется выражение
Метод координат на плоскости. Основные задачи на метод координат
Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путем изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения F(x, y) = 0 этой линии. Например, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений алгебраической системы уравнений прямой и окружности.
В аналитической геометрии на плоскости систематически исследуются так называемые алгебраические линии 1 — го и 2 — го порядков; эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями 1 — й и 2 — й степеней. Линии 1 — го порядка суть прямые и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением 1 — й степени Ax + By + C = 0. Линии 2 — го порядка определяются уравнениями вида Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения.
В аналитической геометрии в пространстве декартовы прямоугольные координаты x, y, z (абсцисса, ордината и аппликата) точки М вводятся в полной аналогии с плоским случаем. Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить ее уравнение F(x, y, z) = 0относительно системы координат Oxyz. При этом геометрические свойства поверхности S выясняются путем изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S1 и S2. Если F1(x, y, z) = 0 и F2(x, y, z) = 0 — уравнения S1 и S2, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. В аналитической геометрии в пространстве систематически исследуются так называемые алгебраические поверхности 1 — го и 2 — г порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями 1 — го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2 — го порядка определяются уравнениями вида: Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Mz + N = 0.
Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения.
studopedia.net
Тригонометрическая форма записи комплексного числа » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru
п.4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты (х, у), т.е. и полярные , то они связаны соотношением (1):
.
По определению, и из (1) получаем:
. (9)
Подставляя в алгебраическую форму записи числа z получаем: . Или
(10)
Определение. Запись комплексного числа в виде (3) называется его тригонометрической формой.
Замечание. Поскольку одну букву писать экономнее нежели несколько, то чаще всего тригонометрическую форму комплексного числа пишут в виде:
, (11)
где .
Теорема. (О равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме.)
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули и аргументы.
Доказательство. Так как между всеми комплексными числами и всеми точками комплексной плоскости существует взаимно однозначное соответствие, то равные комплексные числа отождествляются на комплексной плоскости с одной и той же точкой, следовательно, имеют одни и те же полярные координаты, т.е. полярный радиус, который по определению равен модулю комплексного числа, и полярный угол, который по определению равен аргументу комплексного числа. Обратно, если комплексные числа имеют равные модули и аргументы, то они изображаются на комплексной плоскости одной точкой и, следовательно, равны.
Теорема доказана.
Используя соотношения, которые связывают полярные и декартовые координаты точки плоскости, можно найти модуль и аргумент комплексного числа зная его действительную и мнимую части.
Пусть , т.е. , . Тогда
, (12)
, если точка z лежит в первой или четвертой четверти или , если точка z лежит во второй или третьей четверти. Также можно пользоваться формулами (6) – (8) п.1, где .
Пример. Найти тригонометрическую форму записи комплексного числа z, если:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение. а) , .
, .
Ответ: .
б) , , , .
Ответ: .
в) , , , .
Ответ: .
г) , , , .
Ответ: .
д) , , ,
.
Ответ: , где .
Замечание. В некоторых случаях удобнее не пользоваться формулами, а изображать на чертеже соответствующую точку на комплексной плоскости и находить модуль и аргумент комплексного числа пользуясь чертежом. Например, найдем тригонометрическую форму комплексного числа .
Число соответствует на комплексной плоскости точке . Отметим ее на координатной плоскости:
рис.5.
Из рис.5 мы сразу же видим, что и . Отсюда, .
Найдем, далее тригонометрическую форму числа комплексно сопряженного числу , т.е. .
Из рис.5 мы видим, что , и
или .
Замечание. Несмотря на то, что , а , форма записи комплексного числа z с аргументом в виде не является тригонометрической, т.к. . В этом случае правильной записью тригонометрической формы комплексного числа будет:
График функции y=f(x)+b (b>0) можно получить из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на b единиц вверх.
При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x; y+b) графика функции y=f(x)+b (то есть абсцисса (координата x) каждой точки остается без изменения, а ордината (координата y ) увеличивается на b.
Один из вариантов преобразования — осуществить параллельный перенос начала отсчёта, точки O(0;0), в точку O1(0;b) и построить график y=f(x) с началом отсчёта от точки O1.
Примеры.
1) График функции y=x²+3 может быть получен из графика функции y=x² с помощью параллельного переноса вдоль оси Oy на 3 единицы вверх.
Строим параболу y=x². Затем переносим каждую из основных точек на 3 единицы вверх.
y=x²+3 изy=x²
Можно перенести только вершину параболы, точку (0; 0), на 3 единицы вверх, в точку (0; 3), и от новой вершины строить параболу y=x² (1 единица вправо, 1 — вверх; 1 единица влево, 1 — вверх; 2 единицы вправо, 2 — вверх и т.д.). (Фактически, в этом случае осуществляется параллельный перенос начала отсчёта из точки O(0; 0) в точку O1(0; 3), и строится график y=x² с новым началом отсчёта от точки O1).
1) График функции y=x³+2 может быть получен из графика функции y=x³ с помощью параллельного переноса вдоль оси Oy на 2 единицы вверх.
Можно обойтись без построения начального графика y=x³, достаточно обозначить его основные точки, и выполнить параллельный перенос каждой из них на 2 единицы вверх.
y=x³+2 из y=x³
3) График функции y=√x+4 может быть получен из графика функции y=√x параллельным переносом на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.
Строим график функции y=√x по основным точкам. Затем переносим каждую из этих точек вверх на 4 единицы.
Через полученные точки проводим ветвь параболы:
В следующих раз рассмотрим рассмотрим построение графиков вида y=f(x)-b.
Преобразование графиков позволяет на основе графиков элементарных функций получать графики сложных функций. Умение преобразовывать графики в алгебре пригодится не только при изучении функций, но и при решении уравнений и неравенств, в частности, при решении заданий с параметрами.
www.algebraclass.ru
Преобразование графиков
Параллельный перенос.
ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ
f(x) => f(x) — b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) — b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше — при b0 или вверх при bДля построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз при b
ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС
f(x) => f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 — a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при a>0 или на |a| единиц влево при a
Примеры:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
Отражение.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = F(-X)
f(x) => f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = — F(X)
f(x) => — f(x)
Ординаты графика функции y = — f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = — f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.
Примеры:
1.y=-f(x) 2.y=f(-x) 3.y=-f(-x)
Деформация.
ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ
f(x) => k•f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k•f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при kДля построения графика функции y = k•f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k
k > 1 — растяжение от оси Ох 0 — сжатие к оси OX
ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС
f(x) => f(k•x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k
График функции y=f(x)/k (где k>1) может быть получен из графика функции y=f(x) с помощью сжатия к оси Ox в k раз.
При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x; y/k) графика функции y=f(x)/k:
(x; y) → (x; y/k)
(то есть абсцисса (x) каждой точки начального графика остаётся неизменной, а ордината (y) уменьшается в k раз).Точки, лежащие на оси Ox при сжатии к оси абсцисс остаются на месте (так как 0/k=0).
Примеры.
1) График функции y=x²/3 можно получить из графика функции y=x² сжатием к оси Ox в 3 раза.
Строим параболу y=x² (достаточно отметить базовые точки). Координату x каждой точки оставляем без изменения, координату y делим на 3.
(1; 1) → (1; 1/3),
(-1; 1) → (-1; 1/3),
(2; 4) → (2; 4/3),
(-2; 4) → (-2; 4/3),
(3; 9) → (3; 3),
(-3; 9) → (-3; 3).
Таким образом, каждая точка нового графика соответственно располагается под точкой первоначального графика, но в 3 раза ближе к оси абсцисс.
Вершина параболы при сжатии к оси Ox остаётся на месте (0:3=0).
2) График функции y=x³/4 может быть получен из графика функции y=x³ сжатием к оси абсцисс в 4 раза.
Для построения графика абсциссы базовых точек графика кубической функции оставляем неизменными, а каждую ординату делим на 4:
(1; 1) → (1; 1/4),
(-1; -1) → (-1; -1/4),
(2; 8) → (2; 8/3),
(-2; 8) → (-2; -8/3).
Точка (0; 0) при таком преобразовании остаётся на месте.
3) График функции y=(1/2)√x можно получить сжатием к оси Ox графика функции y=√x.
Координату x каждой из базовых точек графика y=√x оставляем без изменений, координату y делим на 2:
(0; 0) → (0; 0),
(1;1) → (1; 1/2),
(4; 2) → (4; 1),
(9; 3) → (9; 9/2) и т. д.
Геометрические преобразования дают возможность на основании графиков элементарных функций строить многие другие графики. Умение строить графики функций востребовано при решений заданий из различных разделов алгебры.
www.algebraclass.ru
График функции y=f(x)-b | Алгебра
График функции y=f(x)-b (b>0) может быть получен из графика функции y=f(x) при помощи параллельного переноса (или сдвига) вдоль оси Oy на b единиц вниз. При таком преобразовании каждая точка (x; y) первоначального графика переходит в точку (x; y-b) нового графика:
(x; y) → (x; y-b)
(то есть абсцисса (x) каждой точки остаётся без изменений, а ордината (y) уменьшается на b).
Другой вариант построения графика — осуществить параллельный перенос на b единиц вниз начала отсчёта, точки O (0; 0), в точку O1 (0; -b), и построить график функции y=f(x) с началом отсчёта в точке O1.
Примеры.
1) График функции y=x²-5 может быть получен из графика функции y=x² с помощью параллельного переноса на 5 единиц вниз.
Отмечаем базовые точки графика y=x² и сдвигаем каждую из них вниз на 5 единиц. Через новые точки проводим параболу.
Другой вариант — выполнить параллельный перенос вершины параболы O (0; 0) в точку O1 (0; -5), и построить график функции y=x² с началом отсчёта в точке O1.
График функции y=x²-5 получен из графика y=x²
2) График функции y=6/x -3 можем получить из графика функции y=6/x, осуществив его параллельный перенос на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. При этом асимптота y=0 (ось Ox) графика y=6/x также подвергается параллельному переносу и переходит в новую асимптоту — прямую y= -3:
3) График функции y=|х|-4 может быть получен из графика функции y=|х| с помощью параллельного переноса на 4 единицы вниз вдоль оси Oy:
Преобразование графиков в алгебре — одна из наиболее важных тем. Навыки построения графиков с помощью геометрических преобразований, в том числе, параллельного переноса, требуются не только при изучении функций, но также применяются при решений различных заданий из других тем.
www.algebraclass.ru
График функции y=kf(x) | Алгебра
График функции y=kf(x) (k>1) можно получить из графика функции y=f(x) растяжением от оси Ox в k раз. При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x; ky) графика функции y=kf(x):
(x; y) → (x; ky)
(то есть абсцисса (x) каждой точки начального графика остаётся без изменений, а ордината (y) увеличивается в k раз).
При растяжении от оси Ox точки графика y=f(x), лежащие на оси абсцисс, остаются на месте, так как k∙0=0.
Примеры.
1) График функции y=3x² получен из графика функции y=x² растяжением в 3 раза от оси Ox.
При растяжении графика от оси абсцисс нужно ординату каждой точки увеличить в 3 раза.
Для построения графика отмечаем базовые точки графика y=x². Для каждой точки координату x оставляем неизменной, значение координаты y умножаем на 3. Таким образом, каждая точка нового графика располагается строго над соответствующей точкой графика y=x², в 3 раза дальше от оси Ox.
Вершина параболы y=x², точка O (0; 0), остаётся на месте (так как 3∙0=0).
График y=3x² из y=x²
(1; 1) → (1; 3),
(-1; 1) → (-1; 3),
(2; 4) → (2; 12),
(-2; 4) → (-2; 12)
и т. д.
2) График функции y=2|х| можно получить из графика функции y=|х| растяжением от оси абсцисс в 2 раза.
Точка O (0; 0) остаётся на месте. В I и II координатных четвертях берём по одной точке графика y=|х|, например, (5; 5) и (-5; 5). Их абсциссы оставляем без изменений, а ординаты удваиваем:
Графикy=2|х| из y=|х|
(5; 5)→ (5; 10),
(-5; 5)→ (-5; 10).
Через эти точки из точки O проводим лучи.
Получаем график функции y=2|х|
3) График функции y=4√x можно получить из графика функции y=√x растяжением от оси Ox в 4 раза.
Координату x каждой из базовых точек графика y=√x оставляем без изменений, координату y увеличиваем в 4 раза. Точка O (0; 0) при этом остаётся на месте.
Через полученные точки проводим новый график:
График y=4√x из y=√x
(0; 0) → (0; 0),
(1; 1) → (1; 4),
(4; 2) → (4; 8),
(9; 3) → (9; 12),
и т. д.
Преобразование графиков может быть использовано для построения графиков функций в ходе решения примеров из разных разделов алгебры.
www.algebraclass.ru
Графики функций и их модификация
Разделы: Математика
Графиком функции у=f(х), где , называется множество всех
точек координатной плоскости хОу вида (х;f(х))
или графиком функции называется множество всех
точек, абсциссы которых равны значениям
аргумента, а ординаты – соответствующим
значениям функции.
Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси
абсцисс
График функции у=f(х+а) получаем с помощью
параллельного переноса (сдвига) последнего вдоль
оси Ох на |а| единиц масштаба в
направлении, имеющем знак, противоположный знаку
числа а.
Например, для построения графика функции у=f(х+2)
вспомогательную ось ординат графика функции у=f(х)
переносим параллельно вдоль оси абсцисс на две
единицы масштаба вправо или сам график переносим
на две единицы влево.
Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси
ординат
График функции у=f(х+b) получаем из графика
функции у=f(х) с помощью параллельного
переноса (сдвига) последнего вдоль оси Оу на |b|
единиц масштаба в направлении, имеющем знак
числа b.
Например, для построения графика функции у=f(х)-4
вспомогательную ось абсцисс графика функции у=f(х)
поднимаем вдоль оси ординат на четыре единицы
или сам график переносим на 4 единицы вниз.
Растяжение или сжатие по оси абсцисс
График функции у=f(kх) получаем из графика
функции у=f(х ) с помощью сжатия по оси абсцисс
исходного графика пропорционально коэффициенту k
при аргументе: если k>1, то график сжимается в k
раз, а если 0<k<1, то график растягивается в раз.
Построим графики функций у=f(2х) и
Растяжение или сжатие по оси ординат
График функции у=mf(х) получаем из графика
функции у=f(х) с помощью растяжения этого
графика по оси ординат пропорционально m при
функции (если m>1, то график растягивается в m раз,
если 0<m<1, то график сжимается в раз).
Построим графики функций у=3f(х) и у=f(х).
Построение графика функции у=-f(х)
График функции у=-f(х) получаем из графика
функции у=f(х) с помощью симметрии
относительно оси абсцисс.
Построим график этой функции.
Построение графика функции у=f(-х)
График функции у=f(-х) получаем из графика
функции у=f(х) с помощью симметрии
относительно оси ординат.
Построим график этой функции.
Построение графика функции у=|f(х)|
Для построения графика функции у=|f(х)|, надо
построить график функции у=f(х), далее
оставить без изменения все части построенного
графика, которые лежат выше оси абсцисс или на
оси, а части, расположенные ниже её, отобразить
симметрично относительно этой оси.
Строим график этой функции:
Построение графика функции у= f(|х|)
Для построения графика функции у=f(|х|), надо
построить график функции у=f(х) для х?0, а затем
отобразить построенную часть симметрично
относительно оси ординат. Обе части в
совокупности дадут график функции у=f(|х|).
Построение графика функции y=-f(-х)
Для построения графика функции y=-f(-х), надо
построить график функции у = f(х), затем
выполнить симметрию относительно начала
координат. В результате получим график заданной
функции.
22.07.2010
Поделиться страницей:
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
График функции по графику производной
По графику производной y= f ‘ (x) можно не только исследовать поведение функции y=f(x) , но и попытаться построить ее график.
Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции определить можно, а нули функции и экстремумы — нет.
Дан график производной: y= f ‘ (x):
Построить график функции y=f(x).
Решение:
Точки x=x2, x=x3, x=x4, в которых производная y= f ‘ (x) обращается в нуль — это точки экстремума функции y=f(x).
В точках x=x2 и x=x4 производная меняет знак с «-«на «+», поэтому x2 и x=x4 — точки минимума функции y=f(x).
В точке x=x3 производная меняет знак с «+» на «-«, поэтому x=x3 — точка максимума функции.
На промежутках [x1;x2] и [x3;x4] f ‘ (x)<0, поэтому y=f(x) на этих промежутках убывает.
На промежутках [x2;x3] и [x4;x5] f ‘ (x)>0, поэтому для y=f(x) они являются промежутками возрастания.
Сказать что-то более определенное о нулях и других значениях функции y=f(x) не получится. Данный эскиз графика y=f(x) — один из множества графиков первообразных для функции y= f ‘ (x). Другие могут быть получены из него параллельным переносом вдоль оси oy.
Если график производной y= f ‘ (x) представляет собой прямую, параллельную оси ox (y=b, где b- число),, то функция y=f(x) — линейная. Она является возрастающей, если b>0, убывающей, если b<0, и постоянной, если b=0.
Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры
Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности,
двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае
подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием
соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ
и y = rsinφ:
.
Что представляет собой элемент площади dxdy,
выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D
на участки линиями окружности r = const и лучами
φ = const. Рассмотрим один частичный участок
(заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы
φ и φ + dφ
и линии окружности с радиусом r и r + dr.
Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны
dr и длиной основания rdφ.
Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:
dxdy = rdrdφ,
а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:
.
Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через
повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В
полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ,
а внутренний — по радиусу r.
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит,
как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры
D.
При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам
расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.
Случай первый
Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D,
область ограничена линией r = r(φ).
Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
0 и 2π, а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Случай второй
Полюс O находится на границе области интегрирования D,
ограниченного линией r = r(φ),
но не является угловой точкой.
Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной
осью угол α. Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
α и π + α,
а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Случай третий
Полюс O находится на границе области интегрирования D,
ограниченного линией r = r(φ),
и является угловой точкой.
Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область
D. Пусть эти лучи образуют с полярной
осью углы α и β. Тогда соответственно
нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
α и β,
а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Случай четвёртый
Полюс O находится вне области интегрирования D.
Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область
D. Пусть эти лучи образуют с полярной
осью углы α и β,
а область D ограничивают линии r = r1(φ)
и r = r2(φ).
Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны
α и β,
а внутреннего интеграла — r1(φ)
и r2(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
,
где область D ограничена линиями
,
,
.
Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример
относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.
Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:
.
Данные в условии линии, ограничивающие D,
приводим к полярным координатам:
Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования,
верные в третьем случае:
.
Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга,
каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):
Пример 2. В повторном интеграле
перейти к полярной системе координат.
Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1,
а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом,
область интегрирования снизу ограничена параболой y = x²,
а сверху — прямой y = 1. Область интегирования изображена
на следующем чертеже.
При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части.
Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области
полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1,
в третьей области — от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и
параболы: (1; 1) и (−1; 1). В
первой точке полярный угол составляет ,
во второй точке он составляет .
Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до
, во второй области —
от 0 до , в третьей
области — от до π.
Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат.
Найдём уравнение прямой y = 1:
или
. Найдём уравнение
параболы y = x² в полярной системе координат:
Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным
координатам:
Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
,
где область D ограничена линией окружности
.
Решение. Строим на чертеже область интегрирования.
Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0)
и радиусом a. В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение
следующим образом:
.
Линия окружности
касается оси Oy, поэтому полярный угол в области интегрирования
меняется от до .
Подставим и
в уравнение окружности и получим
Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:
.
Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:
Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:
В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и
sinπ, и sin(−π)
равны нулю. Продолжая, получаем:
Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
,
где область D ограничена линиями
и
.
Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:
.
Строим на чертеже область интегрирования.
В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:
.
В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным
интегралам и вычислим интеграл:
Кратные и криволинейные интегралы
Поделиться с друзьями
function-x.ru
Двойной интеграл в полярных координатах
Алгоритм вычисления двойных интегралов при переходе к полярным координатам детально приведен как в настоящей статье, так и предыдущих публикациях с теорией. Для перехода к полярным координатам нужно найти якобиан, который несколько раз здесь повторим. Дальше сами уравнения кривых, которые ограничивают область интегрирования следует также перевести в полярные координаты. В теории все хорошо описано и выглядит понятным, однако на практике во многих студентов возникают трудности и немало вопросов, поэтому внимательно пересмотрите приведенные дальше решения.
Пример 2.1 Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты:
Решение: Построим область интегрирования ограниченную кривыми -3≤x≤3 Эти кривые записываем из пределов интегрирования, внимательно пересмотрите в каких пределах изменяются «икс» и «игрек». Нижний предел по оси «игреков» приведем к каноническому виду
x2+y2=9. Получили уравнение круга с центром в точке O(0;0) и радиусом 3 (нижняя половина). Перейдем к полярной системе координат с помощью превращения координат:
найдем якобиан перехода:
Найдем подынтегральную функцию в полярных координатах:
Внимательно пересмотрите формулы двойного синуса, косинуса и им подобных. Они достаточно часто встречаются при упрощении подынтегральных функций, все сделано умышленно для того, чтобы Вы без проблем могли интегрировать. Запишем пределы интегрирования в полярной системе координат: 0≤r≤3, π≤φ≤2 π. Вычислим двойной интеграл:
Поскольку переменные разделены, то интегрирование не тяжелое, достаточно воспользоваться табличными интегралами и подставить пределы.
Пример 2.2 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:
Решение: Из интеграла выписываем область интегрирования 0≤x≤1 Она ограничена прямыми, которые совпадают с-осями координат , y2=12-x2,x2+y2=12 — дуга круга в I четверти. Получили круг с центром в точке O(0;0) и радиусом r=1 (верхняя половина). Якобиан перехода к ПСК I=r. Запишем подынтегральную функцию в полярной системе координат:
Для круговых областей не трудно записать пределы интегрирования при переходе к полярной системе координат: 0≤r≤1, 0≤φ≤π/2. Находим двойной интеграл: В результате интегрирования в ответе получили выражение которое содержит логарифм двойки, и число Пи.
Пример 2.3 Вычислить значение двойного интеграла, перейдя к полярным координатам:
Решение: Выпишем область интегрирования, которая ограничена кривыми — 2≤x≤2, По «игреку» имеем ограничения ветками круга , y2=4-x2, x2+y2=22 с центром в начале координат O(0;0) и радиусом 2. Перейдем к полярной системе координат: якобиан переходу: I=r. С учетом формул перехода подынтегральная функция в полярной системе координат примет вид корневой зависимости:
Пределы интегрирования в ПСК следующие: 0≤r≤2, 0≤φ≤2π. Переходим от двойного интеграла в декартовых координатах к двойному в полярных координатах и находим его значение:
Интеграл равен 16π/3.
Пример 2.4 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:
D: {x2+y2=π2/9; x2+y2=π2/4}. Решение: Выпишем область интегрирования ограниченную кривыми Первая кривая x2+y2=π2/9 — круг с центром в начале координат O(0;0) и радиусом π/3; второе уравнение описывает x2+y2=π2/4 — больший круг с центром в той же точке O(0;0) и радиусом π/2. Область между кругами образует кольцо, по которому выполняем интегрирование. Найдем подынтегральную функцию в полярной СК:
Круги в полярной системе координат можно задать радиусами и центрами: , отсюда r= π/3; , имеем r= π/2. Пределы интегрирования в полярной системе координат следующие: π/3≤r≤π/2, 0≤φ≤2π. Выполняем вычисление двойного интеграла: Переход к полярной СК значительно упрощает вычисление интегралов для круговых и кольцевых областей.
Пример 2.5 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:
D: {x2+y2— 2y=0; x2+y2— 4y=0}. Решение: На основе предыдущих примеров делаем вывод, что область интегрирования, ограниченная x2+(y-1)2=1 — кругом с центром в точке O(0;1) и радиусом 1; Вторая кривая x2+(y-2)2=2- круг с центром в точке O(0;2) и радиусом 2. Графически они формируют следующую область интегрирования. Переходим к полярной системе координат с помощью якобиана перехода I=r. Дальше записываем кривые в полярной системе координат:
расставляем корректные пределы интегрирования: 2sin(φ)≤r≤4sin(φ), 0≤φ≤2π. Вычисляем двойной интеграл в полярной СК: Нахождение двойных интегралов не тяжелое занятие, если часто самостоятельно практиковать и иметь перед собой таблицу основных интегралов. Все остальные манипуляции не тяжелые и их Вы повсюду в математике выполняете. Дальше рассмотрим еще несколько примеров на вычисление двойных интегралов в полярных координатах.
yukhym.com
Переход к полярным координатам в двойном интеграле.
Важнейшимчастным случаем криволинейных координат являются полярные координаты (r,φ). Они связаны с прямоугольными координатами формулами: , . Якобиан преобразования в этом случае , а формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле имеет вид:
(4)
Переходить к полярным координатам удобно в тех случаях, когда область интегрирования есть круг, кольцо или их часть, а так же в случае, когда подынтегральная функция имеет вид . В полярных координатах выражение . Границей круга является окружность и ее уравнение в полярных координатах принимает вид: r=R. Тогда область D — круг в полярной системе координат на плоскости Оrφ переходит в прямоугольную область Ω, которая задается неравенствами : (рис.17а,б).
Интегрирование в полярных координатах проводится по координатным линиям r=const и φ=const. Линии r=const представляют из себя окружности с центром в начале координат. По окружностям происходит изменение координаты φ. Линии φ=const – это семейства лучей, выходящих из начала координат, по которым происходит изменение координаты r. Координатная сетка в полярных координатах изображена на рис.18.
Рис.17а Рис.17б Рис.18
Пусть область D расположена между лучами φ=α и φ=β, где α< β, и ограничена линиями и , где и любой луч, выходящий из полюса φ=const ( ) пересекает ее границу не более чем в
двух точках (простая область относительно r) (рис.19).Тогда двойной интеграл сводится к повторному по формуле:
Рис.19 Рис.20
(5)
Пусть область D расположена между окружностями r=а и r=b, где а< b и ограничена линиями и , где и любая окружность радиуса r=const ( ) пересекает границу области не более чем в двух точках (правильная относительно φ) (рис.20). В этом случае двойной интеграл сводится к повторному по формуле:
6)
Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена окружностью .
Решение: Как уже говорилось выше, если интегрирование ведется по кругу, то уравнение его границы в полярных координатах имеет вид r=1, а на плоскости Оrφ область Ω является прямоугольником . Осталось записать в полярных координатах подынтегральную функцию: . Вычисляем интеграл
Пример 2. Вычислить , если область D ограничена окружностью , лежащей в первой четверти, и прямыми y=x и .
Решение: Область D изображена на рис.21. Переведем ее границы в полярные координаты: уравнение окружности имеет вид r=a , а отрезки прямых y=x являются лучами и . Проводя лучи φ=const , определяем, что координата r изменяется от 0 до а. Тогда по формуле (5) получаем:
Рис.21
Пример 3. В двойном интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена кривой .
Решение: Чтобы построить область D, приведем уравнение кривой к каноническому виду, для чего выделяем полный квадрат по переменной х: , . Получаем уравнение окружности с центром на оси Ох в точке х=а, у=0, радиуса а, при этом окружность касается оси Оу (рис.22а,б).
Рис.22а Рис.22б
Переведем границу области D в полярные координаты, для этого удобнее воспользоваться уравнением окружности в виде : или . Область D находится между лучами и и проводя
лучи при , определяем, что координата r изменяется от 0 в начале координат до значения радиуса на окружности, т.е. до значения (рис.22а). Тогда по формуле (5) расставляем пределы интегрирования:
Чтобы расставить пределы интегрирования в другом порядке, определим границы изменения координаты r. Для этого проведем координатные линии r=const, пересекающие область D, и определим окружности, которые касаются нашей области. Очевидно, что это будут линии r=0 и r=2а, так что r изменяется в пределах от 0 до а (рис.22б).
Для нахождения границ изменения переменной φ уравнение окружности разрешим относительно φ: или . Для нижней ветви окружности берется знак «-», а для верхней ветви – знак «+». Теперь по координатным линиям r=const, которые пересекают область D, определяем границы изменения φ: от значения на нижней ветви окружности до значения на верхней ветви окружности. В результате по формуле (6) получаем:
Пример 4. В двойном интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена линиями
Решение: Кривая является уравнением окружности с центром в точке (0,1): . При выбирается верхняя половина круга – это и будет область D . Переведем границы области в полярные координаты, при этом уравнение окружности имеет вид . Если из него выразить φ, получаем для правой ветки окружности и — для левой. Прямая y=1 в полярных координатах имеет уравнение или и для отрезков прямых, лежащих в первой и во второй четверти соответственно. Нанесем координатные линии φ=const, откуда определяем, что область D расположена между лучами и , а радиус изменяется от значения на отрезке прямой y=1 до значения на дуге окружности (рис.23а). Тогда получаем:
.
Рис.23а Рис.23б
Проведем линии r=const и определяем, что область заключена между координатными линиями r=1 и r=2, а координатная линия проходит через точки (±1,1), в которых пересекаются границы области — окружность и прямая (рис.23б). Поэтому D необходимо разбить на две простые области относительно φ: и и пределы интегрирования в двойном интеграле расставляются так:
Замечание: В некоторых случаях, если область интегрирования в двойном интеграле ограничена окружностью , удобнее делать замену . При такой замене осуществляется параллельный перенос системы координат в центр окружности, а якобиан преобразования при этом не изменяется, т.е. J=r (предлагается убедиться в этом самостоятельно). В частности, если в примере 4 ввести замену , то уравнение окружности преобразуется к виду r=1, а область интегрирования Ω в координатах Оrφ становится прямоугольной: .
Пример 5. Вычислить интеграл , где область D – лежащая в первой четверти часть эллиптического кольца .
Замечание: В случае, когда область интегрирования в двойном интеграле является эллипс или его часть, то вводят обобщенные полярные или
эллиптические координаты . При этом J=abr (проверить самостоятельно), а выражение преобразуется в выражение .
Решение: Перейдем к эллиптическим координатам, при этом границы эллиптического кольца принимают вид r=1 и r=2, а вся область расположена между лучами φ=0 и . Поэтому интеграл вычисляем следующим образом:
infopedia.su
18. Замена переменных в двойном интеграле
Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение , области S на область P, если якобиан преобразования
=.
Величины U и V можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как Криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат U и V сохраняет постоянное значение, образуют Координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.
Теорема 14.3. Пусть есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости на область S Из плоскости . Тогда справедливо равенство
(2.5)
Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.
Переход в двойном интеграле к полярным координатам
Формулы
(2.6)
Преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область (или область ) на всю плоскость Oxy.
Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:
Фиксируя в последних формулах И, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке И луч, исходящий из точки .
Якобиан преобразования
И формула (2.5) принимает вид:
(2.7)
Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .
В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к Эллиптическим полярнымКоординатам по формулам
, (2.8)
— постоянные, . Тогда
, (2.9)
Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).
Ñ Перейдем от декартовых координат X, Y к полярным по формулам , . Подставим X и Y в исходное неравенство, получим: или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому (или ).
В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #
Пример 7. Записать в полярной системе координат область S — часть круга, ограниченную линиями , , (), — постоянные, .
Ñ Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;
2) Þ, ;
3)Þ.
Область переходит в область
.
В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . #
Пример 8. Вычислить двойной интеграл , S — множество точек, удовлетворяющих неравенству .
Ñ Границей области является линия или — окружность радиуса 2 с центром в точке (Рис. 14.10).
Рис. 14.10
Наличие в уравнении границы комбинации наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам по формулам , , . Уравнение границы переходит в уравнение или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и — уравнение окружности. Так как всегда (по смыслу r), то из следует , отсюда получаем (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле (2.7)
. #
Пример 9. Вычислить , где .
Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями A и B, – эллипс с полуосями и , Y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).
Рис.14.11
Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к Эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах будут: 1), 2) , 3) , 4) . Итак, область интегрирования в координатах есть
. Тогда
. #
Задачи для самостоятельного решения
Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по j, внутреннее — по r:
27. D – область, ограниченная окружностями , и прямыми , .
28.D — область, являющаяся общей частью двух кругов и .
29.D — меньший из двух сегментов, на которые прямая рассекает круг .
30.D — внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .
31.D:.
32.D: .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.
33.D — область, ограниченная линией . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.
34. . 35. . 36. .
С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы:
37. . 38. .
39. . 40. , D — часть кольца ,
, . 41. .
Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:
42. .
43. — область, ограниченная линией .
< Предыдущая
Следующая >
matica.org.ua
Лекции кратные интегралы, двойной интеграл 2
Скачать с Depositfiles
Двойной интеграл в полярных координатах.
В полярных координатах точка M однозначно определяется полярным углом φ (0 ≤ φ <2πили –π < φ π) и полярным радиусом r (r≥0). Для начала координат Oрадиус r = 0, а полярный угол не определен.
Пусть декартова полуось Ox совпадает с полярным лучом.
Декартовы координаты выражаются через полярные по формулам
(14)
Полярные координаты выражаются через декартовы:
. (15)
Пусть область D в декартовых координатах преобразуется в область Drв полярных координатах согласно формулам (10).
Якобиан в данном случае равен:
Тогда интеграл (2) преобразуется в двойной интеграл в полярных координатах по формуле
(16)
Двойной интеграл (16) вычисляется переходом к повторному интегралу в полярных координатах. Пусть область Dr имеет вид
Dr = { (r, φ) : α ≤ φ ≤ β, r1(φ) ≤ r≤ r2 (φ)},
где лучи φ= α и φ= β ограничивают сектор, в котором находится фигура Dr , кривые r = r1(φ), r = r2 (φ) ограничивают ее в этом секторе. Тогда
(17)
Замечание. При расстановке пределов интегрирования в повторном интеграле нужно учесть, что изменение полярного угла определяется поворотом луча, исходящего из начала O вокруг него против хода часовой стрелки, а изменение полярного радиуса определяется движением точки вдоль луча в сторону его возрастания.
Рисунок 5
Примеры. 1). Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле в полярных координатах
где Dr полукруг из рисунка 5.
Решение. Все точки этого полукруга будут охвачены, если луч Оl будет поворачиваться от до φ = 0 против хода часовой стрелки. Значит, . Пусть теперь луч Оl имеет полярный угол . Тогда при движении точки полукруга по лучу Оl (рис. 5) от точки О до точки Mполярный радиус rизменяется от 0 до координаты r=2cosφ точки M. Значит,
0 ≤ r ≤ 2cos φ. Таким образом, Dr ={(r, φ): , 0 ≤ r ≤ 2 cos φ} . Следовательно,
2) Вычислить где D ={(x, y): x2+ y22x ≤ 0, y≤ 0} .
Решение. Подставим в уравнение окружности x2+y22x =0 полярные координаты (9) и преобразуем: r22 rcosφ= 0 r =2cosφ. Мы получили уравнение полуокружности в полярных координатах из рисунка 5. Поскольку y≤ 0, то D полукруг из примера 3. Расставим пределы интегрирования как в этом примере и вычислим:
Вычисление площади фигуры.
Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. Данная фигура D расположена в вертикальной полосе 0 ≤ x ≤ 2, а в ней ограничена снизу параболой y = x2, сверху прямой y = 4 (рис. 6). По формуле (5) имеем
.
Вычисление объема цилиндрического тела.
Если f (x,y) ≥ 0 в ограниченной области D, то объем цилиндрического тела (рис.1) вычисляется по формуле V =
Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z = 0, x2 + y2 = 4, z = x2 + y2 .
Решение. x2 + y2 = 4 это круговой цилиндр радиуса 2, ось которого совпадает с Оy. z = x2 + y2 параболоид, который пересекает цилиндр по окружности радиуса 2 в плоскости z = 4 . z=0 координатная плоскость xOy. Таким образом, тело ограничено сверху параболоидом
z = x2 + y2 , снизу кругом D , с боков цилиндрической поверхностью x2 + y2 = 4. Так как данное тело цилиндрическое и
z = x2 + y2 ≥ 0, то для вычисления его объема можно использовать формулу
где D ={ (x, y) : x2 + y2 ≤ 4, z = 0} круг в плоскости xOy. Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг Dпреобразуется во множество
Dr ={ (r, φ) : 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }. По формуле (17) получим
greleon.ru
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Преобразование
двойного интеграла от прямоугольных
координат ,к полярным координатам,
связанных с прямоугольными координатами
соотношениями,,
осуществляется по формуле
.
Если
область интегрирования ограничена двумя лучами,(),
выходящими из полюса, и двумя кривымии,
то двойной интеграл вычисляют по формуле
.
Пример
1.3. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной данными
линиями:
,,,.
Решение. Для
вычисления площади области воспользуемся формулой:.
рис.
1.5
Изобразим
область (рис. 1.5). Для этого преобразуем кривые:
,
,
,
.
Перейдем
к полярным координатам:
, .
.
В
полярной системе координат область описывается уравнениями:
.
.
1.2. Тройные интегралы
Основные
свойства тройных интегралов аналогичны
свойствам двойных интегралов.
В
декартовых координатах тройной интеграл
обычно записывают так:
.
Если
,
то тройной интеграл по областичисленно равен объему тела:
.
Вычисление тройного интеграла
Пусть
область интегрирования
ограничена снизу и сверху соответственно
однозначными непрерывными поверхностями,,
причем проекция областина координатную плоскостьесть плоская область(рис. 1.6).
.
Пример
1.4. Вычислить
,
где—
тело, ограниченное плоскостями:
рис.
1.7
, ,,(,,).
Решение. Областью интегрирования является
пирамида (рис. 1.7). Проекция области есть треугольник,
ограниченный прямыми,,(рис. 1.8). Приаппликаты точекудовлетворяют неравенству,
поэтому
.
рис.
1.8
Расставляя
пределы интегрирования для треугольника ,
получим
.
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
При
переходе от декартовых координат к цилиндрическим координатам(рис. 1.9), связанных ссоотношениями,,,
причем
рис.
1.9
,
,,
тройной
интеграл преобразуется:
.
Пример
1.5. Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями:
,,.
Решение. Искомый
объем тела равен.
рис.
1.10
Областью
интегрирования является часть цилиндра,
ограниченного снизу плоскостью ,
а сверху плоскостью(рис. 1.10). Проекция областиесть кругс центром в начале координат и единичном
радиусом.
Перейдем
к цилиндрическим координатам.
,,.
Приаппликаты точек,
удовлетворяют неравенству
или
в цилиндрических координатах:
.
Область ,
ограниченная кривой,
примет вид,
или,
при этом полярный угол.
В итоге имеем
.
2. Элементы теории поля
Напомним
предварительно способы вычисления
криволинейных и поверхностных интегралов.
Вычисление
криволинейного интеграла по координатам
от функций, определенных на кривой ,
сводится к вычислению определенного
интеграла вида
,
(2.1)
если
кривая задана параметрическиисоответствует начальной точке кривой,
а— ее конечной точке.
Вычисление
поверхностного интеграла от функции
,
определенной на двусторонней поверхности,
сводится к вычислению двойного интеграла,
например, вида
,
(2.2)
если
поверхность ,
заданная уравнением,
однозначно проецируется на плоскостьв область.
Здесь— угол между единичным вектором нормалик поверхностии осью:
.
(2.3)
Требуемая
условиями задачи сторона поверхности определяется выбором соответствующего
знака в формуле (2.3).
Определение
2.1. Векторным полемназывается
векторная функция точки вместе с областью ее определения:
.
Векторное
поле характеризуется скалярной величиной
–дивергенцией:
(2.4)
и
векторной величиной – ротором:
.
(2.5)
Определение
2.2. Потокомвекторного
поля через
поверхностьназывается
поверхностный интеграл:
,
(2.6)
где —
единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности,
а— скалярное произведение векторови.
Определение
2.3. Циркуляциейвекторного
поля
по замкнутой
кривой
называется
криволинейный интеграл
,
(2.7)
где
.
Формула
Остроградского-Гаусса устанавливает связь между потоком
векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенцией поля:
,
(2.8)
где — тело, ограниченное поверхностью.
Формула
Стокса устанавливает связь между циркуляцией
векторного поля и его ротором:
,
(2.9)
где — поверхность, ограниченная замкнутым
контуром ,
а — единичный вектор нормали к этой
поверхности. Направление нормали должно
быть согласовано с направлением обхода
контура .
Пример
2.1. Вычислить
поверхностный интеграл
,
где — внешняя часть конуса(),
отсекаемая плоскостью(рис 2.1).
Решение. Поверхность однозначно проецируется в областьплоскости,
и интеграл вычисляется по формуле (2.2).
.
Область есть круг.
Поэтому в последнем интеграле переходим
к полярным координатам, при этом,:
.
Пример
2.2. Найти
дивергенцию и ротор векторного поля
.
Решение. По
формуле (2.4) получаем
.
Ротор
данного векторного поля находим по
формуле (2.5)
.
Пример
2.3. Найти поток векторного поля
через часть плоскости:,
расположенную в первом октанте (нормаль
образует острый угол с осью).
рис.
2.3
Решение. В
силу формулы (2.6)
.
Изобразим
часть плоскости :,
расположенную в первом октанте.
Уравнение данной плоскости в отрезках
имеет вид
(рис.
2.3). Вектор нормали к плоскости имеет
координаты:
,
единичный вектор нормали
рис.
2.4
.
.
,
,
откуда,
следовательно,
,
где — проекция плоскостина(рис. 2.4).
.
Пример
2.4. Вычислить
поток векторного поля
через замкнутую поверхность,
образованную плоскостьюи частью конуса()
(рис. 2.2).
Найдем
дивергенцию векторного поля по формуле (2.4):
.
,
где — объем конуса, по которому ведется
интегрирование. Воспользуемся известной
формулой для вычисления объема конуса(— радиус основания конуса,— его высота). В нашем случае получаем.
Окончательно получаем
.
Пример
2.5. Вычислить
циркуляцию векторного поля
по контуру,
образованному пересечением поверхностей и().
Проверить результат по формуле Стокса.
Решение. Пересечением
указанных поверхностей является
окружность
,(рис. 2.1). Направление обхода выбирается
обычно так, чтобы ограниченная им область
оставалась слева. Запишем параметрические
уравнения контура:
откуда
(2.10)
причем
параметр изменяется отдо.
По формуле (2.7) с учетом (2.1) и (2.10) получаем
.
Применим
теперь формулу Стокса (2.9). В качестве
поверхности ,
натянутой на контур,
можно взять часть плоскости .
Направление нормалик
этой поверхности согласуется с
направлением обхода контура .
Ротор данного векторного поля вычислен
в примере 2.2:
.
Поэтому искомая циркуляция
,
где — площадь области.— круг радиуса,
откуда
.
В
итоге получаем
.
studfiles.net
Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.ru
Смысл этих задач — научиться быстро определять параметры $a,\;b,\;\varphi _1 (x),\;\varphi _2 (x),\;c,\;d,\;\psi _1 (y),\;\psi _2 (y)$ { в декартовых координатах } и $\varphi _0 ,\;\varphi _2 ,\;r_1 (\varphi ),\;r_2 (\varphi )$ { в полярных координатах } , необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному.
Примеры:
Пример 1
Пусть область $D=\left[{ x\leqslant 0,\;y\leqslant 0,\;x^2+y^2\leqslant 4 }\right]\cup \left[{ x\geqslant 0,\;x^2+y^2\leqslant -2y }\right]$. Представить двойной интеграл по области $\mathbf { \textit { D } } $ в виде повторных. Перейти к полярным координатам. Решение:
Область изображена на рисунке. Для левой части $D-2\leqslant x\leqslant 0;\quad -\sqrt { 4-x^2 } \leqslant y\leqslant 0$; для правой — $0\leqslant x\leqslant 1,\;-1-\sqrt { 1-x^2 } \leqslant y\leqslant -1+\sqrt { 1-x^2 } $ уравнение правой полуокружности после выделения полных квадратов принимает вид $x^2+(y+1)^2=1$, поэтому
Вычислить двойной интеграл $\iint\limits_ { D } { \left( 6x { { y } ^ { 2 } } -12 { { x } ^ { 2 } } y \right)dxdy } $, где область $D$ – квадрат со сторонами $x=0$, $x=1$, $y=2$, $y=3$. В повторном интеграле внутренний интеграл вначале вычислить по переменной $y$, а внешний – по $x$. Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.
Решение:
Вначале изобразим область интегрирования. Запишем заданный двойной интеграл через повторные: $\iint\limits_ { D } { \left( 6x { { y } ^ { 2 } } -12 { { x } ^ { 2 } } y \right)dxdy } =\int\limits_ { 0 } ^ { 1 } { dx } \int\limits_ { 2 } ^ { 3 } { \left( 6x { { y } ^ { 2 } } -12 { { x } ^ { 2 } } y \right)dy } $.
Внутреннее { первое } интегрирование будем выполнять по переменной $y$ { при этом считаем, что $x$ – константа } , а внешнее { второе } – по переменной $x$:
Вычислим теперь заданный по условию двойной интеграл, сменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной $x$ { считая, что $y$ есть постоянной } , а внешнее – по переменной $y$:
$$\iint\limits_ { D } { \left( 6x { { y } ^ { 2 } } -12 { { x } ^ { 2 } } y \right)dxdy } =\int\limits_ { 2 } ^ { 3 } { dy } \int\limits_ { 0 } ^ { 1 } { \left( 6x { { y } ^ { 2 } } -12 { { x } ^ { 2 } } y \right)dx } =$$
Вычислить двойной интеграл $\iint\limits_ { D } { \left( { { x } ^ { 2 } } +2y \right)dxdy } $, если область $D$ ограничена линиями $y= { { x } ^ { 2 } } $, $x=2$, $y=2x-1$. Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.
Решение:
Строим заданную область $D$. Вначале внутреннее интегрирование будем проводить по переменной $y$, а внешнее – по $x$: $$\iint\limits_ { D } { \left( { { x } ^ { 2 } } +2y \right)dxdy } =\int\limits_ { a } ^ { b } { dx } \int\limits_ { { { \phi } _ { 1 } } \left( x \right) } ^ { { { \phi } _ { 2 } } \left( x \right) } { \left( { { x } ^ { 2 } } +2y \right)dy } $$
Контур области $D$ пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, в двух точках.
Найдем пределы интегрирования. Переменная $x$ изменяется от абсциссы точки $A$ к абсциссе точек $B$ и $C$. Координаты точки $A$ найдем как координаты точки пересечения графиков функций $y= { { x } ^ { 2 } } $ и $y=2x-1$:
Так как точки $B$ и $C$ лежать на прямой $x=2$, то $ { { x } _ { B } } = { { x } _ { C } } =2$. Итак, $1\le x\le 2$. Далее на отрезке $\left[ 1;\ 2 \right]$ выбираем произвольную точку $x$, через нее проводим прямую, параллельную оси $Oy$, и на этой прямой рассмотрим отрезок $KL$, принадлежащий области $D$.
Область $D$ ограничена снизу прямой $y=2x-1$, а сверху – веткой параболы $y= { { x } ^ { 2 } } $. Переменная $y$ изменяется в заданной области $D$ от ее значения $2x-1$ на нижней части контура $ABC$ до ее значения $ { { x } ^ { 2 } } $ на верхней части этого контура.
Замечание. Уравнения линий, ограничивающих контур, должны быть разрешены относительно той переменной, относительно которой находится внутренний интеграл.
Таким образом, $2x-1\le y\le { { x } ^ { 2 } } $, а тогда область $D$ задается следующими неравенствами:
Вычислим теперь рассматриваемый двойной интеграл, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной $x$, а внешнее – по $y$. То есть, перейдя к повторным интегралам, получим:
$$\iint\limits_ { D } { \left( { { x } ^ { 2 } } +2y \right)dxdy } =\int\limits_ { c } ^ { d } { dy } \int\limits_ { { { \psi } _ { 1 } } \left( y \right) } ^ { { { \psi } _ { 2 } } \left( y \right) } { \left( { { x } ^ { 2 } } +2y \right)dx } $$ Из рисунка в области $D$ видно, что левая граница контура области – одна линия { положительная ветка параболы $y= { { x } ^ { 2 } } $), а его правая часть состоит из двух линий $AB$ { отрезок прямой $y=2x-1$) и $BC$ { отрезок прямой $x=2$), то есть задается разными уравнениями. В этом случае область $D$ нужно разбить на части так, чтобы каждая из них справа была ограничена только одной линией. В данном случае такими частями будут $ { { D } _ { 1 } } -ABF$ и $ { { D } _ { 2 } } -BCF$. Заданная область $D$ будет суммой областей $ { { D } _ { 1 } } $ и $ { { D } _ { 2 } } $. Тогда искомый интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из областей:
Поскольку в данном случае внутреннее интегрирование проводится по переменной $x$, то уравнения ограничивающих линий нужно разрешить относительно этой переменной:
Найдем пределы интегрирования для каждой из областей. В области $ { { D } _ { 1 } } $ переменная $y$ изменяется от ординаты точки $A$ до ординат точек $B$ и $F$. Точка $A$ принадлежит параболе $y= { { x } ^ { 2 } } $ и выше было найдено, что абсцисса этой точки $ { { x } _ { A } } =1$, тогда $ { { y } _ { A } } = { { 1 } ^ { 2 } } =1$. Точка $B$ – точка пересечения двух прямых $x=2$ и $y=2x-1$, а тогда $ { { y } _ { B } } =2\cdot 2-1=3$. Итак имеем, что $1\le y\le 3$. Переменная $x$ в области $ { { D } _ { 1 } } $ изменяется от ветки параболы $x=\sqrt { y } $ до прямой $x=\frac { y+1 } { 2 } $, то есть $ { { D } _ { 1 } } :\left[ \begin { matrix } 1\le y\le 3, \\ \sqrt { y } \le x\le \frac { y+1 } { 2 } . \\ \end { matrix }\right.$ Аналогично для области $ { { D } _ { 2 } } $ находим, что $ { { D } _ { 2 } } :\left[ \begin { matrix } 3\le y\le 4, \\ \sqrt { y } \le x\le 2. \\ \end { matrix }\right.$
Вычислить двойной интеграл (\iint\limits_R { \sin \sqrt { { x^2 } + { y^2 } } dxdy } ) посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования (R) представляет собой круг ( { x^2 } + { y^2 } \le { \pi ^2 } .)
Решение:
Область интегрирования (R) представлена на рисунке:
Образ (S) данной области описывается множеством (\left[{ S = \left( { r,\theta }\right)|\;0 \le r \le \pi ,0 \le \theta \le 2\pi }\right]) и показан на рисунке:
4)
Найдите площадь
равностороннего треугольника,
отсекаемого
от
данного треугольника его средней
линией,
если
площадь данного треугольника равна
48см2.
5)
Периметр равностороннего треугольника
АВС равен 24см. Найдите длину средней
линии этого треугольника.
Карточка 2
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Найти угол АСВ, если угол
АОВ равен 160°
2)
3)
Найдите площадь
данного равностороннего треугольника,
если
площадь
треугольника, отсекаемого от него
средней
линией, равна 6 см2.
4)
Средняя линия равностороннего
треугольника АВС равна 8см. Найдите
периметр этого треугольника
5) Из
квадрата со стороной 10см вырезан
прямоугольник со сторонами 3см и 4см.
Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 3
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Найти угол ВАС, если
угол ВОС = 160°
2)
Найдите площадь прямоугольного
треугольника,
если его гипотенуза равна 16см,
а один из
углов треугольника равен 45°.
3)
Найти угол ВАС
4)
Найти длину меньшей средней
линии
треугольника
5) В
прямоугольнике одна сторона равна
28см, а диагональ равна 35см. Найдите
площадь прямоугольника.
Карточка 4
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Найти угол ВАС
2)
Найти угол АОВ, если
угол АСВ = 25°
3) Найти
площадь
четырёхугольника
4)
Найти длину большей
высоты
параллелограмма
5)
Найти косинус
угла
Карточка 5
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В треугольнике
АВС угол В равен 46°, угол С равен 71°,
ВD – биссектриса. Найдите
угол АDВ.
2) Найти
радиус
окружности, если
АВ = 12см, ОА = 13см.
3) Найти длину
отрезка НМ,
Если АМ=3см, АН=НС=2
4) Найти угол
ВОС, если
угол ВАС
= 70°
5) Найти площадь треугольника
АВС, если высота, проведённая к одной
из его сторон равна 11, а средняя линия,
параллельная этой стороне, равна 10.
Карточка 6
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Найти угол АОВ, если
точки А и В делят
окружность на две дуги в
отношении 9 : 11.
2) Найти
площадь
параллелограмма
3) КВСD
—
параллелограмм.
Найдите
длину
отрезка
АВ.
4) Найдите
косинус
угла
5) Найдите
площадь
четырёхугольника
Карточка 7
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол
3,
если угол
1
равен 40°,
а
угол 2 равен
55°.
2) Основания
трапеции равны 48 и 24, высота 4. Найдите
площадь трапеции.
3) На рисунке
Изображён
параллелограмм.
Найти х.
4)
Из квадрата со стороной 8см вырезан
прямоугольник со сторонами 3см и 2см.
Найдите площадь оставшейся части.
5) Стороны
прямоугольника равны 10 и 24. Найдите
радиус окружности, описанной около
этого прямоугольника.
Карточка 8
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Средняя
линия трапеции равна 11, а меньшее
основание равно 5. Найдите большее
основание трапеции.
2) Найдите
угол α
3) Прямоугольный
треугольник вписан в окружность.
Найдите радиус этой окружности.
4) Найдите
тангенс угла А.
5) Из
прямоугольника со сторонами 8см и
10см вырезан квадрат со стороной 5см.
Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 9
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найдите
тангенс угла А.
2) Найти длину
медианы проведённой из вершины прямого
угла.
3) Стороны
параллелограмма равны 10 и 35. Высота,
опущенная на первую сторону, равна
21. Найдите высоту, опущенную на вторую
сторону.
4) Найдите
расстояние от точки А до прямой ВС.
Ответ выразите в сантиметрах.
5) Найти
площадь трапеции.
Карточка 10
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Найти больший угол
параллелограмма АВСD
2)
3)
Найти угол ОСD
4)
ВС = 8, соsВ =
0,8
Найти АВ
5) АВСD
— равнобедренная трапеция
Найти угол
АВC
Карточка 11
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Найти меньший угол
параллелограмма АВСD
2)
Найти угол ОСD
3)
4)
5) Найти
тангенс угла С
Карточка 12
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) АВСD
—
равнобедренная трапеция
Найти угол АDC
Найти угол ОDС
2)
3)
АС = 6, соsA =
0,6
Найти АВ
4)
5) Найти площадь
параллелограмма
Карточка 13
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В трапеции
АВСD АВ=СD
∟ВDА=18° и ∟ВDС=97°.
Найдите угол АВD.
2)
Найдите тангенс
угла АОВ
3)
Найдите
расстояние от точки А до
середины отрезка АВ
4)
Найдите угол АВС
5)
Колесо
имеет 8 спиц. Найдите величину угла (в
градусах), который образуют две соседние
спицы.
Карточка
14 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
В трапеции АВСD АВ=СD
∟ВDА=40° и ∟ВDС=24°.
Найдите угол АВD.
2)
Найдите
расстояние
от
точки А до
середины
отрезка
АВ
Найдите
котангенс угла АОВ
3)
4)
Найдите угол АВС
5)
Угол АОВ = 63°. Найдите угол АСВ.
Карточка
15 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
В трапеции АВСD АВ=СD
∟ВDА=24° и ∟ВDС=70°.
Найдите угол АВD.
2)
Найдите
расстояние от точки А
до середины отрезка АВ
3)
Найдите котангенс угла
АОВ
4)
Из квадрата
Вырезали
прямоугольник.
Найдите
площадь получившейся фигуры.
5)
Сколько
потребуется кафельных плиток квадратной
формы со стороной 20 см, чтобы
облицевать ими стену, имеющую форму
прямоугольника со сторонами 2,6 м и 3,6
м?
Карточка
16 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Сколько
потребуется кафельных плиток квадратной
формы со стороной 20 см, чтобы
облицевать ими стену, имеющую форму
прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6
м?
2)
Сколько
спиц в колесе, если угол между соседними
спицами равен 40°?
3)
Найдите
площадь прямоугольного треугольника,
если его катет и гипотенуза равны
соответственно 40 и 85.
4)
Найдите
тангенс
угла АОВ
5)
Найдите площадь фигуры
Карточка
17 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Пол
комнаты, имеющей форму прямоугольника
со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть
паркетом из прямоугольных дощечек со
сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется
таких дощечек?
2)
Сколько
спиц в колесе, если угол между соседними
спицами равен 9°?
3)
Колесо
имеет 40 спиц. Найдите величину угла
(в градусах), который образуют две
соседние спицы.
4)
Найдите
тангенс
угла АОВ
5)
Наклонная
крыша установлена на трёх вертикальных
опорах, расположенных на одной прямой.
Средняя опора стоит посередине между
малой и большой опорами (см. рис.).
Высота средней опоры 3,1 м, высота
большей опоры 3,3 м. Найдите высоту
малой опоры.
Карточка
18 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Пол
комнаты, имеющей форму прямоугольника
со сторонами 6 м и 7 м, требуется покрыть
паркетом из прямоугольных дощечек со
сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется
таких дощечек?
2)
Сколько
спиц в колесе, если угол между соседними
спицами равен 15°?
3)
Колесо
имеет 6 спиц. Найдите величину угла (в
градусах), который образуют две соседние
спицы.
4)
Найдите котангенс угла АОВ
5)
Наклонная
крыша установлена на трёх вертикальных
опорах, расположенных на одной прямой.
Средняя опора стоит посередине между
малой и большой опорами (см. рис.).
Высота малой опоры 2,5 м, высота средней
опоры 2,65 м. Найдите высоту большей
опоры.
Карточка 19
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Наклонная
крыша установлена на трёх вертикальных
опорах, расположенных на одной прямой.
Средняя опора стоит посередине между
малой и большой опорами (см. рис.).
Высота малой опоры 2,95 м, высота большей
опоры 3,65 м. Найдите высоту средней
опоры.
2) Сколько
потребуется кафельных плиток квадратной
формы со стороной 15 см, чтобы
облицевать ими стену, имеющую форму
прямоугольника со сторонами 2,7 м и 3
м?
3) Человек
ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от
столба, на котором висит фонарь на
высоте 7,8 м. Найдите длину тени человека
в метрах.
4) Найдите
площадь трапеции
5) Прямые m
и n
параллельны. Найдите ∟3,
если
∟1
= 117°, ∟2
= 24°.
Карточка 20
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Наклонная
крыша установлена на трёх вертикальных
опорах, расположенных на одной прямой.
Средняя опора стоит посередине между
малой и большой опорами (см. рис.).
Высота малой опоры 2,25 м, высота большей
опоры 2,85 м. Найдите высоту средней
опоры.
2) Сколько
потребуется кафельных плиток квадратной
формы со стороной 20 см, чтобы
облицевать ими стену, имеющую форму
прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,2
м?
3) Человек
ростом 1,6 м стоит на расстоянии 15 м от
столба, на котором висит фонарь на
высоте 9,6 м. Найдите длину тени человека
в метрах.
4) Найдите
площадь трапеции
5) Прямые m
и n
параллельны. Найдите ∟3,
если
∟1
= 74°, ∟2
= 39°.
Карточка 21
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Лестница
соединяет точки А и В. Высота
каждой ступени равна 18 см, а длина –
80
см. Расстояние между точками А и В
составляет
41 м. Найдите высоту, на которую
поднимается лестница (в метрах).
2) Человек
ростом 1,5 м стоит на расстоянии 6 м от
столба, на котором висит фонарь на
высоте 10,5 м. Найдите длину тени человека
в метрах.
3) Найдите
площадь трапеции
4)
5) Длина
хорды окружности равна 72, а расстояние
от центра окружности до этой хорды
равно 27.
Найдите
диаметр окружности.
Карточка
22 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Сторона
ромба равна 30, а острый угол равен
60°. Высота ромба, опущенная из вершины
тупого угла, делит
сторону
на два отрезка. Каковы длины этих
отрезков?
2)
3)
Найдите тангенс угла АВС
4)
5)
На отрезке
AB
выбрана точка C так, что AC=6 и
BC=4.
Построена окружность с центром A ,
проходящая через C. Найдите длину
касательной, проведённой из точки B
к этой окружности.
Карточка
23 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
2)
MN и АВ – диаметры
окружности. ∟NВА=73°.
Найти угол NMB
3)
∟DMC=24°. Найдите угол
СМА.
4)
Найти площадь трапеции.
5)
Найти площадь параллелограмма
Карточка
24 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Прямая касается окружности в точке
K . Точка O – центр окружности. Хорда
КМ
образует
с касательной угол, равный 7°.
Найдите
величину угла ОМК
2)
Найти площадь трапеции
3)
4)
Найти радиус окружности
5)
В треугольнике ABC угол C прямой,
BC=4,
sinA=0,8. Найдите AB.
gigabaza.ru
Карточка 1 я знаю геометрию
Карточка 1 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Найти АВ
2) Найти угол АСВ, если
угол АОВ = 84°
3)
4) Найдите площадь равностороннего треугольника, отсекаемого
от данного треугольника его средней линией,
если площадь данного треугольника равна 48см2.
5) Периметр равностороннего треугольника АВС равен 24см. Найдите длину средней линии этого треугольника.
Карточка 2 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Найти угол АСВ, если угол
АОВ равен 160°
2)
3) Найдите площадь данного равностороннего треугольника, если
площадь треугольника, отсекаемого от него
средней линией, равна 6 см2.
4) Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8см. Найдите периметр этого треугольника
5) Из квадрата со стороной 10см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 4см. Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 3 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Найти угол ВАС, если
угол ВОС = 160° 2) Найдите площадь прямоугольного
треугольника, если его гипотенуза равна 16см,
а один из углов треугольника равен 45°.
3) Найти угол ВАС
4) Найти длину меньшей средней
линии треугольника
5) В прямоугольнике одна сторона равна 28см, а диагональ равна 35см. Найдите площадь прямоугольника.
Карточка 4 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Найти угол ВАС
2) Найти угол АОВ, если
угол АСВ = 25°
3) Найти площадь
четырёхугольника
4) Найти длину большей
высоты
параллелограмма
5) Найти косинус угла
Карточка 5 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) В треугольнике АВС угол В равен 46°, угол С равен 71°, ВD – биссектриса. Найдите угол АDВ.
2) Найти радиус
окружности, если
АВ = 12см, ОА = 13см.
3) Найти длину отрезка НМ,
Если АМ=3см, АН=НС=2
4) Найти угол ВОС, если
угол ВАС = 70°
5) Найти площадь треугольника АВС, если высота, проведённая к одной из его сторон равна 11, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 10.
Карточка 6 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Найти угол АОВ, если
точки А и В делят
окружность на две дуги в
отношении 9 : 11.
2) Найти площадь
параллелограмма
3) КВСD —
параллелограмм.
Найдите длину
отрезка АВ.
4) Найдите косинус
угла
5) Найдите площадь
четырёхугольника
Карточка 7 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол 3,
если угол 1
равен 40°, а
угол 2 равен
55°.
2) Основания трапеции равны 48 и 24, высота 4. Найдите площадь трапеции.
3) На рисунке
Изображён
параллелограмм.
Найти х.
4) Из квадрата со стороной 8см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 2см. Найдите площадь оставшейся части.
5) Стороны прямоугольника равны 10 и 24. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Карточка 8 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
2) Найдите угол α
3) Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Найдите радиус этой окружности.
4) Найдите тангенс угла А.
5) Из прямоугольника со сторонами 8см и 10см вырезан квадрат со стороной 5см. Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 9 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найдите тангенс угла А. 2) Найти длину медианы проведённой из вершины прямого угла. 3) Стороны параллелограмма равны 10 и 35. Высота, опущенная на первую сторону, равна 21. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону.
4) Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.
5) Найти площадь трапеции.
Карточка 10 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Найти больший угол
параллелограмма АВСD
2)
3) Найти угол ОСD
4)
ВС = 8, соsВ = 0,8
Найти АВ
5) АВСD — равнобедренная трапеция
Найти угол АВC
Карточка 11 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Найти меньший угол
параллелограмма АВСD
2) Найти угол ОСD
3)
4)
5) Найти тангенс угла С
Карточка 12 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) АВСD —
равнобедренная трапеция
Найти угол АDC
Найти угол ОDС
2)
3) АС = 6, соsA = 0,6
Найти АВ
4)
5) Найти площадь параллелограмма
Карточка 13 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=18° и ∟ВDС=97°. Найдите угол АВD.
2) Найдите тангенс угла АОВ
3) Найдите расстояние от точки А до середины отрезка АВ
4) Найдите угол АВС
5) Колесо имеет 8 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
Карточка 14 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=40° и ∟ВDС=24°. Найдите угол АВD.
2) Найдите
расстояние от
точки А до
середины отрезка
АВ
Найдите котангенс угла АОВ
3)
4) Найдите угол АВС
5) Угол АОВ = 63°. Найдите угол АСВ.
Карточка 15 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=24° и ∟ВDС=70°. Найдите угол АВD.
2) Найдите расстояние от точки А до середины отрезка АВ 3) Найдите котангенс угла
АОВ
4) Из квадрата
Вырезали прямоугольник.
Найдите площадь получившейся фигуры.
5) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,6 м и 3,6 м?
Карточка 16 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6 м? 2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 40°?
3) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 85.
4) Найдите
тангенс угла АОВ
5) Найдите площадь фигуры
Карточка 17 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 9°?
3) Колесо имеет 40 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
4) Найдите
тангенс угла АОВ
5) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 3,1 м, высота большей опоры 3,3 м. Найдите высоту малой опоры.
Карточка 18 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 6 м и 7 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 15°?
3) Колесо имеет 6 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
4) Найдите котангенс угла АОВ
5) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,5 м, высота средней опоры 2,65 м. Найдите высоту большей опоры.
Карточка 19 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,95 м, высота большей опоры 3,65 м. Найдите высоту средней опоры.
2) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,7 м и 3 м? 3) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,8 м. Найдите длину тени человека в метрах. 4) Найдите площадь трапеции
5) Прямые m и n параллельны. Найдите ∟3, если
∟1 = 117°, ∟2 = 24°.
Карточка 20 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,25 м, высота большей опоры 2,85 м. Найдите высоту средней опоры.
2) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,2 м? 3) Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 15 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 9,6 м. Найдите длину тени человека в метрах. 4) Найдите площадь трапеции
5) Прямые m и n параллельны. Найдите ∟3,
если ∟1 = 74°, ∟2 = 39°.
Карточка 21 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 18 см, а длина –
80 см. Расстояние между точками А и В
составляет 41 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
2) Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,5 м. Найдите длину тени человека в метрах. 3) Найдите площадь трапеции
4)
5) Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27.
Найдите диаметр окружности.
Карточка 22 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Сторона ромба равна 30, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит
сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
2)
3) Найдите тангенс угла АВС
4) 5) На отрезке
AB выбрана точка C так, что AC=6 и
BC=4. Построена окружность с центром A , проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
Карточка 23 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1)
2) MN и АВ – диаметры окружности. ∟NВА=73°.
Найти угол NMB 3) ∟DMC=24°. Найдите угол СМА.
4) Найти площадь трапеции.
5) Найти площадь параллелограмма
Карточка 24 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ 1) Прямая касается окружности в точке K . Точка O – центр окружности. Хорда КМ
образует с касательной угол, равный 7°.
Найдите величину угла ОМК
2) Найти площадь трапеции
3)
4) Найти радиус окружности
5) В треугольнике ABC угол C прямой,
BC=4, sinA=0,8. Найдите AB.
Ответы:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
8
80
30
24
94
162
85
17
3
125
65
70
47
76
62
391
3150
1680
3,3
2,55
9
15
11
83
42
17
64
50
5
28
144
40
2,5
2,4
25
55
2
1,5
3,5
9
40
24
360
357
1
3,5
17
6
1,6
24
29
45
3
4,5
5,4
6,5
6
70
9
10
4,5
0,5
0,4
1500
9
60
3
3
22,12
3,5
132
3
12
48
1,5
5
140
-0,8
58
1
1
10
9
15
45
52
1,5
2
0,5
936
936
13
5
9
4
4
88
588
-0,6
110
40
13
55
324
120
0,75
96
45
31,5
234
30,5
2,9
2,8
39
67
90
6
20
5
topuch.ru
Карточки по геометрии для подготовки к ОГЭ
Карточка 1 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти АВ
2) Найти угол АСВ, если
угол АОВ = 84°
3)
4) Найдите площадь равностороннего треугольника, отсекаемого
от данного треугольника его средней линией,
если площадь данного треугольника равна 48см2.
5) Периметр равностороннего треугольника АВС равен 24см. Найдите длину средней линии этого треугольника.
Карточка 2 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол АСВ, если угол
АОВ равен 160°
2)
3) Найдите площадь данного равностороннего треугольника, если
площадь треугольника, отсекаемого от него
средней линией, равна 6 см2.
4) Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8см. Найдите периметр этого треугольника
5) Из квадрата со стороной 10см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 4см. Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 3 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол ВАС, если
угол ВОС = 160°
2) Найдите площадь прямоугольного
треугольника, если его гипотенуза равна 16см,
а один из углов треугольника равен 45°.
3) Найти угол ВАС
4) Найти длину меньшей средней
линии треугольника
5) В прямоугольнике одна сторона равна 28см, а диагональ равна 35см. Найдите площадь прямоугольника.
Карточка 4 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол ВАС
2) Найти угол АОВ, если
угол АСВ = 25°
3) Найти площадь
четырёхугольника
4) Найти длину большей
высоты
параллелограмма
5) Найти косинус угла
Карточка 5 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В треугольнике АВС угол В равен 46°, угол С равен 71°, ВD – биссектриса. Найдите угол АDВ.
2) Найти радиус
окружности, если
АВ = 12см, ОА = 13см.
3) Найти длину отрезка НМ,
Если АМ=3см, АН=НС=2
4) Найти угол ВОС, если
угол ВАС = 70°
5) Найти площадь треугольника АВС, если высота, проведённая к одной из его сторон равна 11, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 10.
Карточка 6 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол АОВ, если
точки А и В делят
окружность на две дуги в
отношении 9 : 11.
2) Найти площадь
параллелограмма
3) КВСD —
параллелограмм.
Найдите длину
отрезка АВ.
4) Найдите косинус
угла
5) Найдите площадь
четырёхугольника
Карточка 7 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол 3,
если угол 1
равен 40°, а
угол 2 равен
55°.
2) Основания трапеции равны 48 и 24, высота 4. Найдите площадь трапеции.
3) На рисунке
Изображён
параллелограмм.
Найти х.
4) Из квадрата со стороной 8см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 2см. Найдите площадь оставшейся части.
5) Стороны прямоугольника равны 10 и 24. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Карточка 8 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
2) Найдите угол α
3) Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Найдите радиус этой окружности.
4) Найдите тангенс угла А.
5) Из прямоугольника со сторонами 8см и 10см вырезан квадрат со стороной 5см. Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 9 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найдите тангенс угла А.
2) Найти длину медианы проведённой из вершины прямого угла.
3) Стороны параллелограмма равны 10 и 35. Высота, опущенная на первую сторону, равна 21. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону.
4) Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.
5) Найти площадь трапеции.
Карточка 10 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти больший угол
параллелограмма АВСD
2)
3) Найти угол ОСD
4)
ВС = 8, соsВ = 0,8
Найти АВ
5) АВСD — равнобедренная трапеция
Найти угол АВC
Карточка 11 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти меньший угол
параллелограмма АВСD
2) Найти угол ОСD
3)
4)
5) Найти тангенс угла С
Карточка 12 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) АВСD —
равнобедренная трапеция
Найти угол АDC
Найти угол ОDС
2)
3) АС = 6, соsA = 0,6
Найти АВ
4)
5) Найти площадь параллелограмма
Карточка 13 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=18° и ∟ВDС=97°. Найдите угол АВD.
2) Найдите тангенс угла АОВ
3) Найдите расстояние от точки А до середины отрезка АВ
4) Найдите угол АВС
5) Колесо имеет 8 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
Карточка 14 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=40° и ∟ВDС=24°. Найдите угол АВD.
2) Найдите
расстояние от
точки А до
середины отрезка
АВ
Найдите котангенс угла АОВ
3)
4) Найдите угол АВС
5) Угол АОВ = 63°. Найдите угол АСВ.
Карточка 15 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=24° и ∟ВDС=70°. Найдите угол АВD.
2) Найдите расстояние от точки А до середины отрезка АВ
3) Найдите котангенс угла
АОВ
4) Из квадрата
Вырезали прямоугольник.
Найдите площадь получившейся фигуры.
5) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,6 м и 3,6 м?
Карточка 16 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6 м?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 40°?
3) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 85.
4) Найдите
тангенс угла АОВ
5) Найдите площадь фигуры
Карточка 17 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 9°?
3) Колесо имеет 40 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
4) Найдите
тангенс угла АОВ
5) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 3,1 м, высота большей опоры 3,3 м. Найдите высоту малой опоры.
Карточка 18 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 6 м и 7 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 15°?
3) Колесо имеет 6 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
4) Найдите котангенс угла АОВ
5) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,5 м, высота средней опоры 2,65 м. Найдите высоту большей опоры.
Карточка 19 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,95 м, высота большей опоры 3,65 м. Найдите высоту средней опоры.
2) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,7 м и 3 м?
3) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,8 м. Найдите длину тени человека в метрах.
4) Найдите площадь трапеции
5) Прямые m и n параллельны. Найдите ∟3, если
∟1 = 117°, ∟2 = 24°.
Карточка 20 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,25 м, высота большей опоры 2,85 м. Найдите высоту средней опоры.
2) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,2 м?
3) Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 15 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 9,6 м. Найдите длину тени человека в метрах.
4) Найдите площадь трапеции
5) Прямые m и n параллельны. Найдите ∟3,
если ∟1 = 74°, ∟2 = 39°.
Карточка 21 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
–
80 см. Расстояние между точками А и В
составляет 41 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
2) Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,5 м. Найдите длину тени человека в метрах.
5) Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27.
сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
BC=4. Построена окружность с центром A , проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
2) MN и АВ – диаметры окружности. ∟NВА=73°.
3) ∟DMC=24°. Найдите угол СМА.
4) Найти площадь трапеции.
1) Прямая касается окружности в точке K . Точка O – центр окружности. Хорда КМ
образует с касательной угол, равный 7°.
BC=4, sinA=0,8. Найдите AB.
infourok.ru
Карточки по геометрии для подготовки к ОГЭ
Карточка 1 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти АВ
2) Найти угол АСВ, если
угол АОВ = 84°
3)
4) Найдите площадь равностороннего треугольника, отсекаемого
от данного треугольника его средней линией,
если площадь данного треугольника равна 48см2.
5) Периметр равностороннего треугольника АВС равен 24см. Найдите длину средней линии этого треугольника.
Карточка 2 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол АСВ, если угол
АОВ равен 160°
2)
3) Найдите площадь данного равностороннего треугольника, если
площадь треугольника, отсекаемого от него
средней линией, равна 6 см2.
4) Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8см. Найдите периметр этого треугольника
5) Из квадрата со стороной 10см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 4см. Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 3 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол ВАС, если
угол ВОС = 160°
2) Найдите площадь прямоугольного
треугольника, если его гипотенуза равна 16см,
а один из углов треугольника равен 45°.
3) Найти угол ВАС
4) Найти длину меньшей средней
линии треугольника
5) В прямоугольнике одна сторона равна 28см, а диагональ равна 35см. Найдите площадь прямоугольника.
Карточка 4 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол ВАС
2) Найти угол АОВ, если
угол АСВ = 25°
3) Найти площадь
четырёхугольника
4) Найти длину большей
высоты
параллелограмма
5) Найти косинус угла
Карточка 5 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В треугольнике АВС угол В равен 46°, угол С равен 71°, ВD – биссектриса. Найдите угол АDВ.
2) Найти радиус
окружности, если
АВ = 12см, ОА = 13см.
3) Найти длину отрезка НМ,
Если АМ=3см, АН=НС=2
4) Найти угол ВОС, если
угол ВАС = 70°
5) Найти площадь треугольника АВС, если высота, проведённая к одной из его сторон равна 11, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 10.
Карточка 6 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол АОВ, если
точки А и В делят
окружность на две дуги в
отношении 9 : 11.
2) Найти площадь
параллелограмма
3) КВСD —
параллелограмм.
Найдите длину
отрезка АВ.
4) Найдите косинус
угла
5) Найдите площадь
четырёхугольника
Карточка 7 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти угол 3,
если угол 1
равен 40°, а
угол 2 равен
55°.
2) Основания трапеции равны 48 и 24, высота 4. Найдите площадь трапеции.
3) На рисунке
Изображён
параллелограмм.
Найти х.
4) Из квадрата со стороной 8см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 2см. Найдите площадь оставшейся части.
5) Стороны прямоугольника равны 10 и 24. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Карточка 8 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
2) Найдите угол α
3) Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Найдите радиус этой окружности.
4) Найдите тангенс угла А.
5) Из прямоугольника со сторонами 8см и 10см вырезан квадрат со стороной 5см. Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 9 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найдите тангенс угла А.
2) Найти длину медианы проведённой из вершины прямого угла.
3) Стороны параллелограмма равны 10 и 35. Высота, опущенная на первую сторону, равна 21. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону.
4) Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.
5) Найти площадь трапеции.
Карточка 10 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти больший угол
параллелограмма АВСD
2)
3) Найти угол ОСD
4)
ВС = 8, соsВ = 0,8
Найти АВ
5) АВСD — равнобедренная трапеция
Найти угол АВC
Карточка 11 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Найти меньший угол
параллелограмма АВСD
2) Найти угол ОСD
3)
4)
5) Найти тангенс угла С
Карточка 12 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) АВСD —
равнобедренная трапеция
Найти угол АDC
Найти угол ОDС
2)
3) АС = 6, соsA = 0,6
Найти АВ
4)
5) Найти площадь параллелограмма
Карточка 13 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=18° и ∟ВDС=97°. Найдите угол АВD.
2) Найдите тангенс угла АОВ
3) Найдите расстояние от точки А до середины отрезка АВ
4) Найдите угол АВС
5) Колесо имеет 8 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
Карточка 14 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=40° и ∟ВDС=24°. Найдите угол АВD.
2) Найдите
расстояние от
точки А до
середины отрезка
АВ
Найдите котангенс угла АОВ
3)
4) Найдите угол АВС
5) Угол АОВ = 63°. Найдите угол АСВ.
Карточка 15 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=24° и ∟ВDС=70°. Найдите угол АВD.
2) Найдите расстояние от точки А до середины отрезка АВ
3) Найдите котангенс угла
АОВ
4) Из квадрата
Вырезали прямоугольник.
Найдите площадь получившейся фигуры.
5) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,6 м и 3,6 м?
Карточка 16 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6 м?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 40°?
3) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 85.
4) Найдите
тангенс угла АОВ
5) Найдите площадь фигуры
Карточка 17 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 9°?
3) Колесо имеет 40 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
4) Найдите
тангенс угла АОВ
5) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 3,1 м, высота большей опоры 3,3 м. Найдите высоту малой опоры.
Карточка 18 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 6 м и 7 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 15°?
3) Колесо имеет 6 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
4) Найдите котангенс угла АОВ
5) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,5 м, высота средней опоры 2,65 м. Найдите высоту большей опоры.
Карточка 19 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,95 м, высота большей опоры 3,65 м. Найдите высоту средней опоры.
2) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,7 м и 3 м?
3) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,8 м. Найдите длину тени человека в метрах.
4) Найдите площадь трапеции
5) Прямые m и n параллельны. Найдите ∟3, если
∟1 = 117°, ∟2 = 24°.
Карточка 20 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,25 м, высота большей опоры 2,85 м. Найдите высоту средней опоры.
2) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,2 м?
3) Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 15 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 9,6 м. Найдите длину тени человека в метрах.
4) Найдите площадь трапеции
5) Прямые m и n параллельны. Найдите ∟3,
если ∟1 = 74°, ∟2 = 39°.
Карточка 21 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 18 см, а длина –
80 см. Расстояние между точками А и В
составляет 41 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
2) Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,5 м. Найдите длину тени человека в метрах.
3) Найдите площадь трапеции
4)
5) Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27.
Найдите диаметр окружности.
Карточка 22 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Сторона ромба равна 30, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит
сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
2)
3) Найдите тангенс угла АВС
4)
5) На отрезке
AB выбрана точка C так, что AC=6 и
BC=4. Построена окружность с центром A , проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
Карточка 23 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
2) MN и АВ – диаметры окружности. ∟NВА=73°.
Найти угол NMB
3) ∟DMC=24°. Найдите угол СМА.
4) Найти площадь трапеции.
5) Найти площадь параллелограмма
Карточка 24 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Прямая касается окружности в точке K . Точка O – центр окружности. Хорда КМ
образует с касательной угол, равный 7°.
Найдите величину угла ОМК
2) Найти площадь трапеции
3)
4) Найти радиус окружности
5) В треугольнике ABC угол C прямой,
BC=4, sinA=0,8. Найдите AB.
videouroki.net
Карточки для подготовки к ОГЭ «Геометрия 9 класс»
Карточки для подготовки к ОГЭ по геометрии.
9 класс
Карточка 1
1) Найти АВ
2) Найти угол АСВ, если
угол АОВ = 84°
3)
4) Найдите площадь равностороннего треугольника, отсекаемого
от данного треугольника его средней линией,
если площадь данного треугольника равна 48см2.
5) Периметр равностороннего треугольника АВС равен 24см. Найдите длину средней линии этого треугольника.
Карточка 2
1) Найти угол АСВ, если угол
АОВ равен 160°
2)
3) Найдите площадь данного равностороннего треугольника, если
площадь треугольника, отсекаемого от него
средней линией, равна 6 см2.
4) Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8см. Найдите периметр этого треугольника
5) Из квадрата со стороной 10см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 4см. Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 3
1) Найти угол ВАС, если
угол ВОС = 160°
2) Найдите площадь прямоугольного
треугольника, если его гипотенуза равна 16см,
а один из углов треугольника равен 45°.
3) Найти угол ВАС
4) Найти длину меньшей средней
линии треугольника
5) В прямоугольнике одна сторона равна 28см, а диагональ равна 35см. Найдите площадь прямоугольника.
Карточка 4
1) Найти угол ВАС
2) Найти угол АОВ, если
угол АСВ = 25°
3) Найти площадь
четырёхугольника
4) Найти длину большей
высоты
параллелограмма
5) Найти косинус угла
Карточка 5
1) В треугольнике АВС угол В равен 46°, угол С равен 71°, ВD – биссектриса. Найдите угол АDВ.
2) Найти радиус
окружности, если
АВ = 12см, ОА = 13см.
3) Найти длину отрезка НМ,
Если АМ=3см, АН=НС=2
4) Найти угол ВОС, если
угол ВАС = 70°
5) Найти площадь треугольника АВС, если высота, проведённая к одной из его сторон равна 11, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 10.
Карточка 6
1) Найти угол АОВ, если
точки А и В делят
окружность на две дуги в
отношении 9 : 11.
2) Найти площадь
параллелограмма
3) КВСD —
параллелограмм.
Найдите длину
отрезка АВ.
4) Найдите косинус
угла
5) Найдите площадь
четырёхугольника
Карточка 7
1) Найти угол 3,
если угол 1
равен 40°, а
угол 2 равен
55°.
2) Основания трапеции равны 48 и 24, высота 4. Найдите площадь трапеции.
3) На рисунке
изображён
параллелограмм.
Найти: х.
4) Из квадрата со стороной 8см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 2см. Найдите площадь оставшейся части.
5) Стороны прямоугольника равны 10 и 24. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Карточка 8
1) Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
2) Найдите угол α
3) Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Найдите радиус этой окружности.
4) Найдите тангенс угла А.
5) Из прямоугольника со сторонами 8см и 10см вырезан квадрат со стороной 5см. Найдите площадь оставшейся части.
Карточка 9
1) Найдите тангенс угла А.
2) Найти длину медианы проведённой из вершины прямого угла.
3) Стороны параллелограмма равны 10 и 35. Высота, опущенная на первую сторону, равна 21. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону.
4) Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.
5) Найти площадь трапеции.
Карточка 10
1) Найти больший угол
параллелограмма АВСD
2)
3) Найти угол ОСD
4)
ВС = 8, соsВ = 0,8
Найти АВ
5) АВСD — равнобедренная трапеция
Найти угол АВC
Карточка 11
1) Найти меньший угол
параллелограмма АВСD
2) Найти угол ОСD
3)
4)
5) Найти тангенс угла С
Карточка 12
1) АВСD —
равнобедренная трапеция
Найти угол АDC
Найти угол ОDС
2)
3) АС = 6, соsA = 0,6
Найти АВ
4)
5) Найти площадь параллелограмма
Карточка 13
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=18° и ∟ВDС=97°. Найдите угол АВD.
2) Найдите тангенс угла АОВ
3) Найдите расстояние от точки А до середины отрезка СВ
4) Найдите угол АВС
5) Колесо имеет 8 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
Карточка 14
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=40° и ∟ВDС=24°. Найдите угол АВD.
2) Найдите
расстояние от
точки А до
середины отрезка
СВ
Найдите котангенс угла АОВ
3)
4) Найдите угол АВС
5) Угол АОВ = 63°. Найдите угол АСВ.
Карточка 15
1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=24° и ∟ВDС=70°. Найдите угол АВD.
2) Найдите расстояние от точки А до середины отрезка СВ
3) Найдите котангенс угла
АОВ
4) Из квадрата
Вырезали прямоугольник.
Найдите площадь получившейся фигуры.
5) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,6 м и 3,6 м?
Карточка 16
1) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6 м?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 40°?
3) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 85.
4) Найдите
тангенс угла АОВ
5) Найдите площадь фигуры
Карточка 17
1) Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 9°?
3) Колесо имеет 40 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
4) Найдите
тангенс угла АОВ
5) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 3,1 м, высота большей опоры 3,3 м. Найдите высоту малой опоры.
Карточка 18
1) Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 6 м и 7 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?
2) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 15°?
3) Колесо имеет 6 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
4) Найдите котангенс угла АОВ
5) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,5 м, высота средней опоры 2,65 м. Найдите высоту большей опоры.
Карточка 19
1) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,95 м, высота большей опоры 3,65 м. Найдите высоту средней опоры.
2) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,7 м и 3 м?
3) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,8 м. Найдите длину тени человека в метрах.
4) Найдите площадь трапеции
5) Прямые m и n параллельны. Найдите ∟3, если
∟1 = 117°, ∟2 = 24°.
Карточка 20
1) Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,25 м, высота большей опоры 2,85 м. Найдите высоту средней опоры.
2) Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,2 м?
3) Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 15 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 9,6 м. Найдите длину тени человека в метрах.
4) Найдите площадь трапеции
5) Прямые m и n параллельны. Найдите ∟3,
если ∟1 = 74°, ∟2 = 39°.
Карточка 21
–
80 см. Расстояние между точками А и В
составляет 41 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
2) Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,5 м. Найдите длину тени человека в метрах.
3) Найдите площадь трапеции
4)
5) Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27.
Найдите диаметр окружности.
Карточка 22
сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
2)
3) Найдите тангенс угла АВС
4)
5) На отрезке
AB выбрана точка C так, что AC=6 и
BC=4. Построена окружность с центром A , проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
Карточка 23
1)
2) MN и АВ – диаметры окружности. ∟NВА=73°.
Найти угол NMB
3) ∟DMC=24°. Найдите угол СМА.
4)Найти площадь трапеции.
5) Найти площадь параллелограмма
Карточка 24
1) Прямая касается окружности в точке K . Точка O – центр окружности. Хорда КМ
образует с касательной угол, равный 7°.
Найдите величину угла ОМК
2) Найти площадь трапеции
3)
4) Найти радиус окружности
5) В треугольнике ABC угол C прямой,
BC=4, sinA=0,8. Найдите AB.
Ответы:
Используемая литература:
1) Геометрия. Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. Научный редактор – академик А.Н. Тихонова. — 22-е изд. – М.: Просвещение, 2013.
2). Сборник для подготовки ОГЭ. И.В. Ященко, С.А.Шестаков, А.В. Семенов.
3) Сайт: http://www fipi..ru
4) Сайт:http://alexlarin.net/ для подготовки ОГЭ
5) Сайт: открытый банк заданий для подготовки ОГЭ по математике.
infourok.ru
Карточка 1 я знаю геометрию — Документ
тангенс
угла АОВ
5)
Найдите площадь фигуры
Карточка
17 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Пол
комнаты, имеющей форму прямоугольника
со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть
паркетом из прямоугольных дощечек со
сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется
таких дощечек?
2)
Сколько
спиц в колесе, если угол между соседними
спицами равен 9°?
3)
Колесо
имеет 40 спиц. Найдите величину угла
(в градусах), который образуют две
соседние спицы.
4)
Найдите
тангенс
угла АОВ
5)
Наклонная
крыша установлена на трёх вертикальных
опорах, расположенных на одной прямой.
Средняя опора стоит посередине между
малой и большой опорами (см. рис.).
Высота средней опоры 3,1 м, высота
большей опоры 3,3 м. Найдите высоту
малой опоры.
Карточка
18 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Пол
комнаты, имеющей форму прямоугольника
со сторонами 6 м и 7 м, требуется покрыть
паркетом из прямоугольных дощечек со
сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется
таких дощечек?
2)
Сколько
спиц в колесе, если угол между соседними
спицами равен 15°?
3)
Колесо
имеет 6 спиц. Найдите величину угла (в
градусах), который образуют две соседние
спицы.
4)
Найдите котангенс угла АОВ
5)
Наклонная
крыша установлена на трёх вертикальных
опорах, расположенных на одной прямой.
Средняя опора стоит посередине между
малой и большой опорами (см. рис.).
Высота малой опоры 2,5 м, высота средней
опоры 2,65 м. Найдите высоту большей
опоры.
Карточка 19
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Наклонная
крыша установлена на трёх вертикальных
опорах, расположенных на одной прямой.
Средняя опора стоит посередине между
малой и большой опорами (см. рис.).
Высота малой опоры 2,95 м, высота большей
опоры 3,65 м. Найдите высоту средней
опоры.
2) Сколько
потребуется кафельных плиток квадратной
формы со стороной 15 см, чтобы
облицевать ими стену, имеющую форму
прямоугольника со сторонами 2,7 м и 3
м?
3) Человек
ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от
столба, на котором висит фонарь на
высоте 7,8 м. Найдите длину тени человека
в метрах.
4) Найдите
площадь трапеции
5) Прямые m
и n
параллельны. Найдите ∟3,
если
∟1
= 117°, ∟2
= 24°.
Карточка 20
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Наклонная
крыша установлена на трёх вертикальных
опорах, расположенных на одной прямой.
Средняя опора стоит посередине между
малой и большой опорами (см. рис.).
Высота малой опоры 2,25 м, высота большей
опоры 2,85 м. Найдите высоту средней
опоры.
2) Сколько
потребуется кафельных плиток квадратной
формы со стороной 20 см, чтобы
облицевать ими стену, имеющую форму
прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,2
м?
3) Человек
ростом 1,6 м стоит на расстоянии 15 м от
столба, на котором висит фонарь на
высоте 9,6 м. Найдите длину тени человека
в метрах.
4) Найдите
площадь трапеции
5) Прямые m
и n
параллельны. Найдите ∟3,
если
∟1
= 74°, ∟2
= 39°.
Карточка 21
Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Лестница
соединяет точки А и В. Высота
каждой ступени равна 18 см, а длина –
80
см. Расстояние между точками А и В
составляет
41 м. Найдите высоту, на которую
поднимается лестница (в метрах).
2) Человек
ростом 1,5 м стоит на расстоянии 6 м от
столба, на котором висит фонарь на
высоте 10,5 м. Найдите длину тени человека
в метрах.
3) Найдите
площадь трапеции
4)
5) Длина
хорды окружности равна 72, а расстояние
от центра окружности до этой хорды
равно 27.
Найдите
диаметр окружности.
Карточка
22 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1) Сторона
ромба равна 30, а острый угол равен
60°. Высота ромба, опущенная из вершины
тупого угла, делит
сторону
на два отрезка. Каковы длины этих
отрезков?
2)
3)
Найдите тангенс угла АВС
4)
5)
На отрезке
AB
выбрана точка C так, что AC=6 и
BC=4.
Построена окружность с центром A ,
проходящая через C. Найдите длину
касательной, проведённой из точки B
к этой окружности.
Карточка
23 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
2)
MN и АВ – диаметры
окружности. ∟NВА=73°.
Найти угол NMB
3)
∟DMC=24°. Найдите угол
СМА.
4)
Найти площадь трапеции.
5)
Найти площадь параллелограмма
Карточка
24 Я ЗНАЮ ГЕОМЕТРИЮ
1)
Прямая касается окружности в точке
K . Точка O – центр окружности. Хорда
КМ
образует
с касательной угол, равный 7°.
Найдите
величину угла ОМК
2)
Найти площадь трапеции
3)
4)
Найти радиус окружности
5)
В треугольнике ABC угол C прямой,
BC=4,
sinA=0,8. Найдите AB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
8
80
30
24
94
162
85
17
3
125
65
70
47
76
62
391
3150
1680
3,3
2,55
9
15
11
83
42
17
64
50
5
28
144
40
2,5
2,4
25
55
2
1,5
3,5
9
40
24
360
357
1
3,5
17
6
1,6
24
29
45
3
4,5
5,4
6,5
6
70
9
10
4,5
0,5
0,4
1500
9
60
3
3
22,12
3,5
132
3
12
48
1,5
5
140
-0,8
58
1
1
10
9
15
45
52
1,5
2
0,5
936
936
13
5
9
4
4
88
588
-0,6
110
40
13
55
324
120
0,75
96
45
31,5
234
30,5
2,9
2,8
39
67
90
6
20
5
gigabaza.ru
Я знаю геометрию 📝 1 карточка решить прошу
Дано: sabcdef — правильная шестиугольная пирамида ; se = 10 см ; угол между боковой гранью saf и основанием abcdef ( fah ) равен 45° найти: s бок. пов. 1) угол между боковой гранью saf и основанием abcdef ( fah ) — это линейный угол двугранного угла hfas. линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, лучи которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру 2) рассмотрим ∆ saf ( sa = sf ): опустили высоту se высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, и биссектрисой → ae = ef отрезок sh ( высота пирамиды ) перпендикулярен ( авс ) если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости значит, sh перпендикулярен не se перпендикулярен af из этого следует, что не перпендикулярен аf по теореме о трёх перпендикулярах соответственно, угол seh = 45° — линейный угол двугранного угла hfas 2) рассмотрим ∆ seh (угол she = 90°): сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90° → угол esh = 90° — 45° = 45° значит, ∆ seh — прямоугольный и равнобедренный, sh = eh по теореме пифагора: es² = sh² + eh² es² = 2 × sh² 10² = 2 × sh² sh² = 100/2 = 50 sh = eh = 5√2 см 3) в основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. бо’льшие диагонали прав. шестиугольника пересекаются в одной точке и делятся пополам, к тому же бо’льшие диагонали являются биссектрисами шестиугольника. все углы прав. шестиугольника равны 120°. рассмотрим ∆ fah : угол haf = угол afh = 60° соответственно, угол ahf = 180° — 60° — 60° = 60° значит, ∆ fah — равносторонний af = ah = hf сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле: где а — сторона равностороннего треугольник, h — высота → af = ( 2√3 × he ) / 3 = 2√3 × 5√2 / 3 = 10√6 / 3 см 4) у правильной шестиугольной пирамиды всего шесть боковых граней и все они равны друг другу → s бок. пов. = 6 × s saf = 6 × ( 1/2 ) × 10 × ( 10√6 / 3 ) = ответ: s бок. пов. = 100√6 см²
Погода в Утро сегодня — точный прогноз погоды в Утро на завтра, сейчас (Московская область)
Сейчас02:48, 07 июн
+18°C
Ощущается
+18°C
Давление
750 мм рт. ст.
Ветер
3.0 м/с З
Влажность
64%
Видимость
10 км.
Восход: 03:44 Заход: 21:13
Долгота дня: 17 ч. 29 мин.
Фаза луны: растущий полумесяц
Подробнее
Обновлено 48 мин. назад Регион: Московская область
Прогноз погоды по дням
Вид:
Сегодня 07 июня, погода +29°C. Частично облачно, ветер легкий, восточный 2.2 м/с. Атмосферное давление 753 мм рт. ст. Относительная влажность воздуха 29%. Подробнее Завтра ночью температура воздуха понизится до +18°C, ветер изменится на южный 2.3 м/с. Давление повысится и составит 754 мм рт. ст. Температура днем, не поднимется выше отметки +29°C, a ночью 09 июня не опустится ниже +17°C. Ветер будет южный в пределах 2.1 м/с. Скрыть
Пт 07.06
Сб 08.06
Вс 09.06
Пн 10.06
Вт 11.06
Ср 12.06
Чт 13.06
Пятница
07
июня
+29°
+16°
Суббота
08
июня
+29°
+18°
Воскресенье
09
июня
+27°
+17°
Понедельник
10
июня
+24°
+17°
Вторник
11
июня
+28°
+15°
Среда
12
июня
+29°
+16°
Четверг
13
июня
+24°
+17°
Атмосферные явления температура °C
Ощущается как °C
Вероятность осадков %
Давление мм рт. ст.
Скорость ветра м/с
Влажность воздуха
Ночь
+16°
+16°
2%
753
2.0
76%
Утро
+26°
+26°
2%
754
0.2
35%
День
+29°
+29°
2%
753
2.2
29%
Вечер
+23°
+23°
2%
753
2.2
50%
Ночь
+18°
+18°
2%
754
2.3
77%
Утро
+26°
+26°
2%
754
2.1
48%
День
+29°
+29°
2%
754
1.6
34%
Вечер
+25°
+25°
2%
753
1.3
48%
Ночь
+17°
+17°
2%
753
2.1
64%
Утро
+27°
+27°
2%
753
2.1
43%
День
+27°
+28°
17%
753
4.5
54%
Вечер
+24°
+24°
2%
752
2.3
58%
Ночь
+17°
+17°
2%
752
1.6
89%
Утро
+23°
+23°
8%
752
1.0
56%
День
+24°
+24°
56%
752
2.6
63%
Вечер
+21°
+21°
4%
752
1.5
83%
Ночь
+15°
+15°
2%
752
1.9
98%
Утро
+23°
+23°
4%
752
0.7
60%
День
+28°
+28°
8%
752
2.3
38%
Вечер
+23°
+23°
2%
752
2.4
49%
Ночь
+16°
+16°
2%
751
2.1
77%
Утро
+25°
+25°
2%
752
1.7
39%
День
+29°
+29°
14%
751
3.4
34%
Вечер
+25°
+25°
27%
750
2.3
49%
Ночь
+17°
+17°
19%
750
2.5
76%
Утро
+24°
+24°
28%
750
3.1
47%
День
+24°
+24°
36%
749
3.5
33%
Вечер
+21°
+21°
29%
748
2.5
52%
Дневная и ночная температура в Утро
Интерактивный график изменения температуры в Утро на период с 07 по 13 июня.
Минимальное значение дневной температуры прогнозируется на отметке +24°C, максимальное +29°C. Ночью минимальная температура воздуха составит +15°C, а максимальная +18°C
Погода в Утро на карте
Погода в крупных и ближайших городах
world-weather.ru
Погода сегодня в России — прогноз погоды на сегодня, завтра, на 14 дней и месяц
Климат России весьма разнообразен из-за огромной территории страны, хотя на большей части территории он континентальный или умеренно континентальный с длинной холодной зимой и коротким нежарким летом. Высокие горные массы на юге России и в Средней Азии препятствуют проникновению на территорию России теплых воздушных масс.В зимние месяцы, например. Северный Ледовитый океан полностью покрыт льдом и является скорее огромной ледяной массой, способствующей холодной зиме северных регионов России. Немного…
Климат России весьма разнообразен из-за огромной территории страны, хотя на большей части территории он континентальный или умеренно континентальный с длинной холодной зимой и коротким нежарким летом. Высокие горные массы на юге России и в Средней Азии препятствуют проникновению на территорию России теплых воздушных масс.В зимние месяцы, например. Северный Ледовитый океан полностью покрыт льдом и является скорее огромной ледяной массой, способствующей холодной зиме северных регионов России. Немного на климат западной части страны влияет Атлантический океан, однако влияние это слабое и выражается прежде всего в повышенной влажности на Балтийском побережье. Среднегодовой уровень осадков на Европейской территории России составляет около 800 мм, однако в южных регионах уменьшается до 400 мм. В Сибири среднегодовая норма осадков составляет от 500 до 800 мм, в горных районах достигая 1000 мм. Что касается температур, то самым холодным регионом считается Сибирь, где в районе города Верхоянск находится “полюс холода” — средняя температура января здесь около -51°C, а в феврале столбик термометра опускается иногда до -68°C. На Арктическом побережье температуры не такие низкие, однако из-за влияния Ледовитого океана иногда опускаются до -50°C. Однако те же факторы, что вызывают низкие зимние температуры, способствуют теплому, а иногда жаркому лету в этих регионах: средняя температура июля в Верхоянске составляет около 13°C, а иногда летние температуры достигают 37°C. В Европейской части климат более умеренный, а на черноморском побережье — мягкий. Средняя январская температура в Москве составляет от -16°C до -9°C, средняя июльская температура — от 13°C до 23°C.
Подробнее
pogoda.mail.ru
Погода в Санкт-Петербурге сегодня — точный прогноз погоды в Санкт-Петербурге на завтра, сейчас (Ленинградская область)
Сейчас02:48, 07 июн
+18°C
+8
Ощущается
+18°C
Давление
763 мм рт. ст.
Ветер
2.0 м/с Ю-В
Влажность
83%
Видимость
10 км.
Восход: 03:41 Заход: 22:14
Долгота дня: 18 ч. 33 мин.
Фаза луны: растущий полумесяц
Подробнее
Обновлено 48 мин. назад Регион: Ленинградская область
Прогноз погоды по дням
Вид:
Сегодня 07 июня, погода +30°C. Преимущественно ясно, ветер легкий, юго-восточный 1.8 м/с. Атмосферное давление 765 мм рт. ст. Относительная влажность воздуха 43%. Подробнее Завтра ночью температура воздуха понизится до +21°C, ветер изменится на южный 2.3 м/с. Давление останется без изменений 765 мм рт. ст. Температура днем, не поднимется выше отметки +31°C, a ночью 09 июня не опустится ниже +21°C. Ветер будет южный в пределах 2.4 м/с. Скрыть
Пт 07.06
Сб 08.06
Вс 09.06
Пн 10.06
Вт 11.06
Ср 12.06
Чт 13.06
Пятница
07
июня
+30°
+19°
Суббота
08
июня
+31°
+21°
Воскресенье
09
июня
+21°
+21°
Понедельник
10
июня
+22°
+14°
Вторник
11
июня
+21°
+14°
Среда
12
июня
+21°
+18°
Четверг
13
июня
+19°
+14°
Атмосферные явления температура °C
Ощущается как °C
Вероятность осадков %
Давление мм рт. ст.
Скорость ветра м/с
Влажность воздуха
Ночь
+19°
+19°
2%
766
1.8
82%
Утро
+26°
+26°
2%
766
2.2
65%
День
+30°
+30°
11%
765
1.8
43%
Вечер
+28°
+29°
2%
765
3.8
58%
Ночь
+21°
+21°
2%
765
2.3
74%
Утро
+26°
+26°
2%
765
1.8
53%
День
+31°
+31°
4%
764
2.5
40%
Вечер
+27°
+28°
5%
764
2.1
61%
Ночь
+21°
+21°
2%
763
2.4
75%
Утро
+24°
+24°
5%
763
2.9
60%
День
+21°
+21°
79%
764
5.7
84%
Вечер
+18°
+18°
22%
765
6.9
57%
Ночь
+14°
+14°
2%
766
3.9
73%
Утро
+19°
+19°
2%
766
3.4
53%
День
+22°
+22°
2%
766
5.1
43%
Вечер
+19°
+19°
2%
766
4.3
58%
Ночь
+14°
+14°
2%
766
4.2
68%
Утро
+19°
+19°
7%
767
2.7
58%
День
+21°
+21°
17%
768
4.5
51%
Вечер
+21°
+21°
23%
767
1.3
62%
Ночь
+18°
+18°
31%
766
1.1
56%
Утро
+22°
+22°
30%
765
3.0
41%
День
+21°
+21°
29%
762
3.9
31%
Вечер
+19°
+19°
40%
760
3.7
40%
Ночь
+14°
+14°
27%
759
3.3
59%
Утро
+17°
+17°
30%
759
3.8
48%
День
+19°
+19°
32%
760
3.7
46%
Вечер
+17°
+17°
24%
759
3.4
49%
Дневная и ночная температура в Санкт-Петербурге
Интерактивный график изменения температуры в Санкт-Петербурге на период с 07 по 13 июня.
Минимальное значение дневной температуры прогнозируется на отметке +19°C, максимальное +31°C. Ночью минимальная температура воздуха составит +14°C, а максимальная +21°C
Погода в крупных и ближайших городах
world-weather.ru
Погода в Москве сегодня — точный прогноз погоды в Москве на завтра, сейчас (Московская область)
Сейчас02:48, 07 июн
+17°C
+19
Ощущается
+17°C
Давление
754 мм рт. ст.
Ветер
2.3 м/с З
Влажность
66%
Восход: 03:48 Заход: 21:08
Долгота дня: 17 ч. 20 мин.
Фаза луны: растущий полумесяц
Подробнее
Обновлено менее 1 ч. назад Регион: Московская область
Прогноз погоды по дням
Вид:
Сегодня 07 июня, погода +29°C. Ясно, ветер легкий, юго-восточный 3.0 м/с. Атмосферное давление 754 мм рт. ст. Относительная влажность воздуха 24%. Подробнее Завтра ночью температура воздуха понизится до +18°C, ветер ослабеет до 2.2 м/с. Давление останется без изменений 754 мм рт. ст. Температура днем, не поднимется выше отметки +30°C, a ночью 09 июня не опустится ниже +20°C. Ветер будет южный в пределах 1.3 м/с. Скрыть
Пт 07.06
Сб 08.06
Вс 09.06
Пн 10.06
Вт 11.06
Ср 12.06
Чт 13.06
Пятница
07
июня
+29°
+15°
Суббота
08
июня
+30°
+18°
Воскресенье
09
июня
+29°
+20°
Понедельник
10
июня
+27°
+19°
Вторник
11
июня
+26°
+18°
Среда
12
июня
+30°
+19°
Четверг
13
июня
+27°
+19°
Атмосферные явления температура °C
Ощущается как °C
Вероятность осадков %
Давление мм рт. ст.
Скорость ветра м/с
Влажность воздуха
Ночь
+15°
+15°
2%
754
2.0
70%
Утро
+25°
+25°
2%
754
1.4
32%
День
+29°
+29°
2%
754
3.0
24%
Вечер
+26°
+26°
2%
754
2.8
43%
Ночь
+18°
+18°
2%
754
2.2
84%
Утро
+27°
+27°
2%
755
2.6
43%
День
+30°
+30°
2%
754
3.1
28%
Вечер
+26°
+26°
2%
753
2.3
37%
Ночь
+20°
+20°
2%
753
1.3
63%
Утро
+27°
+27°
2%
754
2.0
36%
День
+29°
+29°
13%
753
1.6
40%
Вечер
+25°
+25°
2%
753
1.9
54%
Ночь
+19°
+19°
2%
753
1.6
83%
Утро
+25°
+25°
2%
753
2.6
47%
День
+27°
+28°
52%
752
2.0
49%
Вечер
+24°
+24°
12%
752
0.5
71%
Ночь
+18°
+18°
2%
752
1.7
97%
Утро
+24°
+24°
9%
753
0.6
66%
День
+26°
+26°
15%
752
2.9
61%
Вечер
+26°
+26°
9%
752
0.3
54%
Ночь
+19°
+19°
2%
752
2.0
79%
Утро
+27°
+28°
2%
752
2.0
46%
День
+30°
+30°
10%
751
3.1
29%
Вечер
+27°
+27°
21%
750
2.3
43%
Ночь
+19°
+19°
10%
750
2.4
66%
Утро
+26°
+26°
21%
750
2.9
43%
День
+27°
+27°
30%
749
3.6
30%
Вечер
+23°
+23°
29%
749
2.6
37%
Дневная и ночная температура в Москве
Интерактивный график изменения температуры в Москве на период с 07 по 13 июня.
Минимальное значение дневной температуры прогнозируется на отметке +26°C, максимальное +30°C. Ночью минимальная температура воздуха составит +15°C, а максимальная +20°C
Погода в крупных и ближайших городах
world-weather.ru
Погода в Уфе сегодня — точный прогноз погоды в Уфе на завтра, сейчас (Башкортостан)
Сейчас04:48, 07 июн
+11°C
+17
Ощущается
+11°C
Давление
749 мм рт. ст.
Ветер
4.0 м/с С-З
Влажность
100%
Видимость
10 км.
Восход: 04:41 Заход: 21:48
Долгота дня: 17 ч. 7 мин.
Фаза луны: растущий полумесяц
Подробнее
Обновлено 48 мин. назад Регион: Башкортостан
Прогноз погоды по дням
Вид:
Сегодня 07 июня, погода +18°C. Облачно, ветер умеренный, северный 5.8 м/с. Атмосферное давление 754 мм рт. ст. Относительная влажность воздуха 47%. Подробнее Завтра ночью температура воздуха понизится до +10°C, ветер изменится на северо-западный 3.6 м/с. Давление останется без изменений 754 мм рт. ст. Температура днем, не поднимется выше отметки +19°C, a ночью 09 июня не опустится ниже +9°C. Ветер будет северный в пределах 2.2 м/с. Скрыть
Пт 07.06
Сб 08.06
Вс 09.06
Пн 10.06
Вт 11.06
Ср 12.06
Чт 13.06
Пятница
07
июня
+18°
+11°
Суббота
08
июня
+19°
+10°
Воскресенье
09
июня
+23°
+9°
Понедельник
10
июня
+27°
+14°
Вторник
11
июня
+25°
+16°
Среда
12
июня
+28°
+17°
Четверг
13
июня
+28°
+15°
Атмосферные явления температура °C
Ощущается как °C
Вероятность осадков %
Давление мм рт. ст.
Скорость ветра м/с
Влажность воздуха
Ночь
+11°
+11°
3%
752
4.5
92%
Утро
+15°
+15°
7%
753
6.3
53%
День
+18°
+18°
22%
754
5.8
47%
Вечер
+14°
+14°
2%
754
3.5
61%
Ночь
+10°
+8°
17%
754
3.6
71%
Утро
+16°
+16°
16%
754
5.6
47%
День
+19°
+19°
14%
756
5.3
47%
Вечер
+13°
+13°
2%
757
2.2
62%
Ночь
+9°
+8°
2%
758
2.2
86%
Утро
+20°
+20°
2%
759
3.1
38%
День
+23°
+23°
2%
757
3.2
31%
Вечер
+17°
+17°
2%
757
2.0
64%
Ночь
+14°
+14°
2%
757
2.1
71%
Утро
+24°
+24°
2%
757
3.1
38%
День
+27°
+27°
8%
755
3.8
34%
Вечер
+20°
+20°
2%
755
1.7
73%
Ночь
+16°
+16°
13%
754
1.9
79%
Утро
+24°
+24°
29%
754
3.4
44%
День
+25°
+25°
49%
753
2.1
62%
Вечер
+18°
+18°
8%
752
2.6
76%
Ночь
+17°
+17°
4%
752
2.1
87%
Утро
+26°
+26°
19%
752
4.1
48%
День
+28°
+28°
15%
750
4.1
24%
Вечер
+19°
+19°
11%
752
2.0
59%
Ночь
+15°
+15°
4%
753
2.1
79%
Утро
+25°
+25°
13%
754
3.8
44%
День
+28°
+28°
33%
754
4.7
36%
Вечер
+20°
+20°
37%
754
3.1
71%
Дневная и ночная температура в Уфе
Интерактивный график изменения температуры в Уфе на период с 07 по 13 июня.
Минимальное значение дневной температуры прогнозируется на отметке +18°C, максимальное +28°C. Ночью минимальная температура воздуха составит +9°C, а максимальная +17°C
Погода в крупных и ближайших городах
world-weather.ru
Погода в Улан-Удэ сегодня — точный прогноз погоды в Улан-Удэ на завтра, сейчас (Бурятия)
Сейчас07:48, 07 июн
+13°C
Ощущается
+13°C
Давление
714 мм рт. ст.
Ветер
1.0 м/с
Влажность
62%
Видимость
10 км.
Восход: 04:32 Заход: 21:04
Долгота дня: 16 ч. 32 мин.
Фаза луны: растущий полумесяц
Подробнее
Обновлено 48 мин. назад Регион: Бурятия
Прогноз погоды по дням
Вид:
Сегодня 07 июня, погода +22°C. Преимущественно ясно, ветер слабый, северо-западный 3.7 м/с. Атмосферное давление 712 мм рт. ст. Относительная влажность воздуха 31%. Подробнее Завтра ночью температура воздуха понизится до +10°C, ветер ослабеет до 0.7 м/с. Давление останется без изменений 712 мм рт. ст. Температура днем, не поднимется выше отметки +25°C, a ночью 09 июня не опустится ниже +17°C. Ветер будет северо-восточный в пределах 0.8 м/с. Скрыть
Пт 07.06
Сб 08.06
Вс 09.06
Пн 10.06
Вт 11.06
Ср 12.06
Чт 13.06
Пятница
07
июня
+22°
+10°
Суббота
08
июня
+25°
+10°
Воскресенье
09
июня
+28°
+17°
Понедельник
10
июня
+31°
+16°
Вторник
11
июня
+22°
+19°
Среда
12
июня
+23°
+16°
Четверг
13
июня
+28°
+12°
Атмосферные явления температура °C
Ощущается как °C
Вероятность осадков %
Давление мм рт. ст.
Скорость ветра м/с
Влажность воздуха
Ночь
+10°
+10°
2%
711
1.6
72%
Утро
+14°
+14°
2%
712
1.9
67%
День
+22°
+22°
3%
712
3.7
31%
Вечер
+21°
+21°
2%
712
2.1
32%
Ночь
+10°
+10°
2%
712
0.7
66%
Утро
+14°
+14°
2%
713
0.5
58%
День
+25°
+25°
2%
712
0.7
22%
Вечер
+26°
+26°
2%
710
0.5
23%
Ночь
+17°
+17°
17%
710
0.8
39%
Утро
+17°
+17°
21%
711
0.9
55%
День
+28°
+28°
2%
710
2.8
27%
Вечер
+26°
+26°
2%
709
2.3
34%
Ночь
+16°
+16°
2%
708
1.2
65%
Утро
+19°
+19°
2%
708
1.4
57%
День
+31°
+31°
2%
706
1.8
24%
Вечер
+30°
+30°
2%
704
1.9
27%
Ночь
+19°
+19°
2%
703
3.3
40%
Утро
+17°
+17°
21%
706
3.7
57%
День
+22°
+22°
44%
707
5.3
63%
Вечер
+21°
+21°
19%
708
2.8
65%
Ночь
+16°
+16°
15%
708
1.9
82%
Утро
+16°
+16°
25%
711
1.9
72%
День
+23°
+23°
19%
713
5.0
27%
Вечер
+22°
+22°
6%
713
3.2
29%
Ночь
+12°
+12°
4%
713
0.5
64%
Утро
+16°
+16°
2%
714
0.8
56%
День
+28°
+28°
6%
712
2.4
23%
Вечер
+27°
+27°
4%
710
1.4
26%
Дневная и ночная температура в Улан-Удэ
Интерактивный график изменения температуры в Улан-Удэ на период с 07 по 13 июня.
Минимальное значение дневной температуры прогнозируется на отметке +22°C, максимальное +31°C. Ночью минимальная температура воздуха составит +10°C, а максимальная +19°C
Погода в крупных и ближайших городах
world-weather.ru
Погода в Самаре сегодня — точный прогноз погоды в Самаре на завтра, сейчас (Самарская область)
Сейчас03:48, 07 июн
+17°C
+19
Ощущается
+17°C
Давление
752 мм рт. ст.
Ветер
3.0 м/с С
Влажность
66%
Восход: 04:14 Заход: 21:02
Долгота дня: 16 ч. 48 мин.
Фаза луны: растущий полумесяц
Подробнее
Обновлено менее 1 ч. назад Регион: Самарская область
Прогноз погоды по дням
Вид:
Сегодня 07 июня, погода +23°C. Ясно, ветер слабый, северный 4.9 м/с. Атмосферное давление 754 мм рт. ст. Относительная влажность воздуха 28%. Подробнее Завтра ночью температура воздуха понизится до +14°C, ветер изменится на северо-западный 1.9 м/с. Давление повысится и составит 755 мм рт. ст. Температура днем, не поднимется выше отметки +26°C, a ночью 09 июня не опустится ниже +14°C. Ветер будет северо-восточный в пределах 1.9 м/с. Скрыть
Пт 07.06
Сб 08.06
Вс 09.06
Пн 10.06
Вт 11.06
Ср 12.06
Чт 13.06
Пятница
07
июня
+23°
+17°
Суббота
08
июня
+26°
+14°
Воскресенье
09
июня
+26°
+14°
Понедельник
10
июня
+29°
+16°
Вторник
11
июня
+29°
+19°
Среда
12
июня
+31°
+19°
Четверг
13
июня
+32°
+18°
Атмосферные явления температура °C
Ощущается как °C
Вероятность осадков %
Давление мм рт. ст.
Скорость ветра м/с
Влажность воздуха
Ночь
+17°
+17°
2%
753
3.2
65%
Утро
+19°
+19°
2%
754
5.2
41%
День
+23°
+23°
2%
754
4.9
28%
Вечер
+17°
+17°
2%
755
2.6
53%
Ночь
+14°
+14°
2%
755
1.9
71%
Утро
+22°
+22°
2%
754
4.8
42%
День
+26°
+26°
2%
754
5.3
30%
Вечер
+19°
+19°
2%
755
2.8
50%
Ночь
+14°
+14°
2%
757
1.9
74%
Утро
+21°
+21°
2%
757
3.1
38%
День
+26°
+26°
2%
756
1.8
32%
Вечер
+21°
+21°
2%
756
2.2
58%
Ночь
+16°
+16°
2%
756
1.8
78%
Утро
+25°
+25°
2%
756
1.3
38%
День
+29°
+29°
2%
755
1.6
33%
Вечер
+25°
+25°
2%
754
1.3
50%
Ночь
+19°
+19°
2%
753
2.5
65%
Утро
+27°
+27°
2%
753
2.3
43%
День
+29°
+29°
7%
752
3.3
36%
Вечер
+23°
+23°
2%
752
2.0
67%
Ночь
+19°
+19°
2%
752
1.2
75%
Утро
+28°
+28°
3%
752
1.1
49%
День
+31°
+31°
5%
751
3.4
38%
Вечер
+25°
+25°
2%
751
2.1
44%
Ночь
+18°
+18°
2%
752
2.0
67%
Утро
+29°
+29°
7%
752
3.4
37%
День
+32°
+32°
16%
752
4.4
29%
Вечер
+25°
+25°
9%
751
3.0
47%
Дневная и ночная температура в Самаре
Интерактивный график изменения температуры в Самаре на период с 07 по 13 июня.
Минимальное значение дневной температуры прогнозируется на отметке +23°C, максимальное +32°C. Ночью минимальная температура воздуха составит +14°C, а максимальная +19°C
у данного выражения нет начала и конца, идеальное у_прощение — есть вечный идеал.
1. Разложить знаменатели на множители 2. Привести к одному знаменателю
3. Разложить на множители числитель 4. Выполнить сокращения, если будут
5. Если первые четыре пункта не понятны, выпить яду и с разбега головой об стенку удариться.
Надо учить формулы!! !
(а-4)(а-4)+12а-а^2-4а-16=а^2-8а+16+12а-а^2-4а-16=0 -это числитель, в знаменателе а^3-64
Значит, ответ 0
ноль и бесконечность — вечные союзники вселенной
touch.otvet.mail.ru
Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями (алгебра 8 класс)
Дополнительные сочинения
В начале урока мы повторим основные свойства квадратных корней, а затем рассмотрим несколько сложных примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.
Тема: Функция . Свойства квадратного корня
Урок: Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями
1. Повторение свойств квадратных корней
Вкратце повторим теорию и напомним основные свойства квадратных корней.
Свойства квадратных корней:
1. , следовательно, ;
2. ;
3. ;
4. .
2. Примеры на упрощение выражений с корнями
Перейдем к примерам использования этих свойств.
Пример 1. Упростить выражение .
Решение. Для упрощения число 120 необходимо разложить на простые множители:
. Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле:
.
Ответ. 11.
Пример 2. Упростить выражение .
Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ: ().
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов:
при.
Ответ. при.
Пример 3. Упростить выражение .
Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.
. Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
. После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.
Ответ. 13.
3. Пример на избавление от иррациональности
Пример 4. Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) ; б) .
Решение. а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, применяется стандартный метод домножения и числителя и знаменателя дроби на сопряженный к знаменателю множитель (такое же выражение, но с обратным знаком). Это делается для дополнения знаменателя дроби до разности квадратов, что позволяет избавиться от корней в знаменателе. Выполним этот прием в нашем случае:
.
б) выполним аналогичные действия:
.
Ответ.; .
4. Пример на доказательство и на выделение полного квадрата в сложном радикале
Пример 5. Докажите равенство .
Доказательство. Воспользуемся определением квадратного корня, из которого следует, что квадрат правого выражения должен быть равен подкоренному выражению:
. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
, получили верное равенство.
Доказано.
Пример 6. Упростить выражение .
Решение. Указанное выражение принято называть сложным радикалом (корень под корнем). В данном примере необходимо догадаться выделить полный квадрат из подкоренного выражения. Для этого заметим, что из двух слагаемых является претендентом на роль удвоенного произведения в формуле квадрата разности (разности, т. к. присутствует минус). Распишем его в виде такого произведения: , тогда на роль одного из слагаемых полного квадрата претендует , а на роль второго – 1.
. Подставим это выражение под корень:
. Модуль раскрывается в таком виде, т. к. .
Ответ..
На этом занятии мы заканчиваем тему «Функция . Свойства квадратного корня», а на следующем уроке начинаем новую тему «Действительные числа».
Список литературы
1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-портал xenoid. ru .
2. Математическая школа .
3. Интернет-портал XReferat. Ru .
Домашнее задание
1. №357, 360, 372, 373, 382. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: а) , б) .
Рассмотрим приложения двойного интеграла
к решению ряда геометрических задач и
задач механики.
3.1.1 Вычисление площади и массы плоской
пластины
Рассмотрим тонкую материальную
пластину D,
расположенную в плоскости Оху. ПлощадьS этой пластины может быть найдена с
помощью двойного интеграла по формуле:
(1)
Пусть в каждой точке пластины
задана ее поверхностная плотность γ
= γ (x,
y) ≥ 0. Будем считать,
что функция γ = γ (x,
y) непрерывна в области D.
Тогда массаm этой пластины равна двойному интегралу
от функции плотности γ (x,
y) по области D:
(2)
3.1.2
Статические моменты. Центр масс плоской
пластины
Статическим моментомMx относительно оси Ox материальной точки P(x;y),
лежащей в плоскости Oxy и имеющей массу m,
называется произведение массы точки
на ее ординату, т.е. Mx=
my. Аналогично
определяется статический момент My относительно оси Oy:
My = mx. Статические
моменты плоской
пластины с поверхностной плотностью γ
= γ (x,
y) вычисляются по
формулам:
(3)
(4)
Как известно из механики,
координаты xc , yc центра масс плоской материальной системы
определяются равенствами:
(5)
где m – масса системы, а Mx и My – статические моменты системы. Масса
плоской пластины m определяется формулой (1), статические
моменты плоской пластины можно вычислить
по формулам (3) и (4). Тогда, согласно
формулам (5), получаем выражение для
координат центра масс плоской пластины:
(6)
3.2 Содержание
типового расчета
Типовой расчет содержит
две задачи. В каждой задаче задана
плоская пластина D,
ограниченная линиями, указанными в
условии задачи. Г(x,y)
– поверхностная плотность пластины D.
Для этой пластины найти:
1. S – площадь;
2. m – массу;
3. My , Mx – статические моменты относительно
осей Оy и Ох соответственно;
4.
,–
координаты центра масс.
3.3 Порядок
выполнения типового расчета
При решении каждой задачи
необходимо:
1. Выполнить чертеж заданной
области. Выбрать систему координат, в
которой будут вычисляться двойные
интегралы.
2. Записать область в виде
системы неравенств в выбранной системе
координат.
3. Вычислить площадь S и массу m пластины по формулам (1) и (2).
4. Вычислить
статические моменты My , Mx по формулам (3) и (4).
5. Вычислить
координаты центра масс
,по
формулам (6). Нанести центр масс на чертеж.
При этом возникает визуальный
(качественный) контроль полученных
результатов.
Численные ответы должны
быть получены с тремя значащими цифрами.
3.4 Примеры
выполнения типового расчета
Задача 1. Пластина D ограничена линиями: y = 4 – x2; х =
0; y = 0 (x ≥ 0; y ≥ 0) Поверхностная плотность γ0 = 3. Решение. Область, заданная в задаче, ограничена
параболой y = 4 – x2,
осями координат и лежит в первой четверти
(рис. 1). Задачу будем решать в декартовой
системе координат. Эта область может
быть описана системой неравенств:
Рис.
1
Площадь S пластины равна (1):
Так
как пластина однородная, ее массаm = γ0S = 3·= 16.
По формулам (3), (4) найдем статические
моменты пластины:Координаты
центра масс находятся по формуле (6):Ответ:S ≈
5,33; m = 16; Mx = 25,6; My = 12;
=
0,75;=
1,6.
Задача 2. Пластина D ограничена линиями: х2 + у2 = 4; х = 0, у = х ( х ≥ 0, у ≥ 0). Поверхностная плотность γ(x,y)
= у. Решение. Пластина ограничена окружностью и
прямыми, проходящими через начало
координат (рис. 2). Поэтому для решения
задачи удобно использовать полярную
систему координат. Полярный угол φ меняется от π/4 до π/2. Луч, проведенный
из полюса через пластину, «входит» в
неё при ρ = 0 и «выходит» на окружность,
уравнение которой: х2 + у2 = 4 <=> ρ = 2.
Рис.
2
Следовательно, заданную
область можно записать системой
неравенств:
Площадь
пластины найдем по формуле (1):Массу
пластины найдем по формуле (2), подставивγ(x,y)
= у = ρ sinφ: Для
вычисления статических моментов пластины
используем формулы (3) и (4):Координаты
центра масс получим по формулам (6):Ответ:S ≈
1,57; m ≈ 1,886; Mx = 2,57; My = 1;
=
0,53;=
1,36.
3.5 Оформление
отчета
В отчете должны быть представлены все
выполненные расчеты, аккуратно выполненные
чертежи. Численные ответы должны быть
получены с тремя значащими цифрами.
Будем считать, что $\mathbf { \textit { D } } $ — неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке $P$ равной $\mu (P)$. В механике $\mu (P)$ определяется так. Точка $P$ окружается малой областью $\mathbf { \textit { S } } $, находится масса $\mathbf { \textit { m } } (\mathbf { \textit { S } } )$ и площадь этой области { площадь тоже будем обозначать буквой $\mathbf { \textit { S } } $ } и $\mu (P)=\mathop { \lim } \limits_ { diam(S)\to 0 } \frac { m(S) } { S } $.
Для нахождения массы по заданной плотности мы решим обратную задачу. Разобьём $\mathbf { \textit { D } } $ на малые подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $,$\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } _ { n } $, в каждой из подобластей $\mathbf { \textit { D } } _ { i } $ выберем произвольную точку $\mathbf { \textit { P } } _ { i } $, и, считая что в пределах $\mathbf { \textit { D } } _ { i } $ плотность постоянна и равна $\mu (P_i )$, получим, что масса $\mathbf { \textit { D } } _ { i } $ приближённо есть $\mu (P_i )\cdot s(D_i )$, а масса всей пластины $\sum\limits_ { i=1 } ^n { \mu (P_i )\cdot s(D_i ) } $.
Пусть D – плоская пластина, лежащая в плоскости Оху с поверхностной плотностью ρ(х,у). Тогда:
1. массу m пластинки находят по формуле
(10)
2. статические моменты и пластинки относительно координатных осей находят по формулам
(11)
3.кординаты центра тяжести и пластинки – по формулам
(12)
4. Моменты инерции , и пластинки соответственно относительно координатных осей Ох и Оу и начала координат находят по формулам
(13)
(14)
Для однородных пластинок поверхностная плотность . В некоторых задачах для простоты полагают .
Пример 1. Найти массу круглой пластины D с поверхностной плотностью ρ(х,у)=3-х—у.
Решение: Массу пластины вычисляем по формуле (10):
Поскольку пластина является круглой, вначале в двойном интеграле переходим к полярным координатам, а затем при вычислении внутреннего интеграла учитываем тот факт, что интеграл по периоду от тригонометрических функций равен нулю.
Пример 2. Найти статический момент однородного прямоугольника со сторонами а и b относительно стороны а, считая, что прямоугольник лежит в плоскости Оху.
Решение: Поместим начало координат в одну из вершин прямоугольника так, чтобы ось Ох совпадала со стороной а, а ось Оу – со стороной b. Статический
момент прямоугольника относительно стороны а будет равен статическому моменту относительно оси Ох. По первой из формул (11) получаем:
Пример 3. Найти координаты центра тяжести однородной пластины плотности , ограниченной параболой и прямой х+у=2.
Решение: Чертеж области приведен на рис.27. Найдем абсциссы точек пересечения графиков. Из системы получаем и . Тогда масса пластины вычисляется по формуле:
Рис.27.
Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей
Теперь вычисляем по формулам (12) координаты центра тяжести пластины:
Пример 4. Вычислить моменты инерции однородного треугольника со сторонами х+у=1, х+2у=2 , у=0, относительно координатных осей.
Решение: Треугольник приведен на рис 28. Моменты инерции относительно осей вычисляем по формулам (13):
Рис.28
Пример 5. Найти момент инерции однородной области, ограниченной лемнискатой относительно начала координат.
Решение: Полярный момент инерции вычисляем по формуле (14), при этом в двойном интеграле перейдем к полярным координатам. В результате уравнение лемнискаты в полярных координатах принимает вид , а координата (рис. 29). Тогда получаем:
Рис.29.
1.7. Задачи для самостоятельного решения:
Вычислить двойной интеграл:
1. , где D – прямоугольник .
2. , где D — ограниченна параболой и прямой у=х.
3. , D ограничена линиями , х=0, 2у=3х.
Двойной интеграл представить в виде повторного двумя способами:
4. D – треугольник с вершинами А(-1,-1), В(1,3), С(2,-4).
5. D – параллелограмм с вершинами А(-3,1), В(2,1), С(6,4), D(1,4).
6. D ограничена линиями , .
7. D ограничена линиями .
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
17. , где D – параллелограмм со сторонами у=х, у=х+3, у=-2х+1, у=-2х+5.
18. , D ограничена кривыми , ху=p, ху=q (0<a<b, 0<p<q).
В двойном интеграле перейти к полярным координатам r и φ (х=rcosφ, y=rsinφ) и расставить пределы интегрирования:
19. D – круг .
20. D – область, ограниченная окружностями и прямыми у=х и у=2х.
21. D –область, ограниченная прямыми у=х, у=-х и у=1.
22. D – общая часть кругов и .
Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам:
23. .
24. , D ограничена лемнискатой .
25. , где D – круг .
26. , где D – четверть круга .
Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
27. , у=х. 28. , .
29., ху=4, х+у-5=0. 30. , х+у=а
31. , у=х, у=0. 32. , у=-1, у=-х.
33. . 34. .
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
35. . 36. .
37. .
38.
39. Найти площадь части плоскости , лежащей в первом октанте.
40. Найти площадь части поверхности параболоида , отсекаемой цилиндром и плоскостью х=3а.
41. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми , если ее плотность равна ρ(х,у)=х+2у.
42. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой .
43. Найти координаты центра тяжести однородной пластики, ограниченной параболой и прямой у=2 (а>0).
44. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной окружностью и двумя радиусами у=0 и у=хtgα .
45. Найти статический момент однородного полукруга радиуса R, лежащего в плоскости Оху, относительно диаметра.
46. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной пластины, ограниченной кардиоидой и полярной осью.
47. Найти статические моменты однородной пластины, ограниченной кривой y=sinx и прямой ОА, проходящей через начало координат и точку ( ,относительно осей Ох и Оу.
48. Найти моменты инерции прямоугольника ОАСВ со сторонами ОА=а и ОВ=b относительно вершины О и сторон ОА и ОВ, если его плотность равна расстоянию до стороны ОВ, считая, что прямоугольник лежит в плоскости Оуz.
49. Найти моменты инерции однородной пластины, ограниченной эллипсом , относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат.
50. Найти полярный момент инерции однородной фигуры, ограниченной кардиоидой .
Глава 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
infopedia.su
3.Приложения двойных интегралов к задачам
механики.
а)
Масса плоской пластинки переменной
плотности.
Рассмотрим
тонкую пластинку, расположенную на
плоскости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько
малой, что изменением плотности по
толщине ее можно пренебречь.
Поверхностной
плотностью такой пластинки в данной
точке называется предел отношения
массы площадки к ее площади при условии,
что площадка стягивается к данной точке.
Определенная
таким образом поверхностная плотность
будет зависеть только от положения
данной точки, т. е. являться функцией
ее координат:
Если
бы плотность была постоянной (),
то масса всей пластинки равнялась бы,
гдеS
— площадь пластинки. Найдем теперь массу
неоднородной пластинки, считая, что ее
плотность является заданной функцией . Для этого разобьем область, занимаемую
пластинкой, на частичные области с
площадями
(рис. 16). Выбирая в каждой частичной
области произвольную точку,
будем считать, что плотность во всех
точках частичной области постоянна и
равна плотностив выбранной точке. Составим приближенное
выражение для массы пластинки в виде
интегральной суммы
(*)
Для
точного выражения массы следует найти
предел суммы (*) при условии
и
каждая частичная область стягивается
к точке. Тогда
б)
Статические моменты и центр тяжести
пластинки.
Перейдём
теперь к вычислению статических моментов
рассматриваемой пластинки относительно
осей координат. Для этого сосредоточим
в точках
массы
соответствующих частичных областей
и найдем статические моменты полученной
системы материальных точек :
Переходя
к пределу при обычных условиях и заменяя
интегральные суммы интегралами, получим
Находим
координаты центра тяжести :
Если
пластинка однородна, т.е.
то формулы упрощаются :
где
S
— площадь
пластинки.
в)
Моменты инерции пластинки.
Моментом
инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется
произведение массы на квадрат расстояния
точки Р от этой оси.
Метод
составления выражений для моментов
инерции пластинки относительно осей
координат совершенно такой же, какой
мы применяли для вычисления статических
моментов. Приведем поэтому только
окончательные результаты, считая, что
:
Отметим
еще, что интеграл называется
центробежным моментом инерции; он
обозначается
.
В
механике часто рассматривают полярный
момент инерции точки, равный произведению
массы точки на квадрат ее расстояния
до данной точки
— полюса.
Полярный момент инерции пластинки
относительно начала координат будет
равен
4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
а)
Объём.
Как
мы знаем, объем V тела, ограниченного поверхностью , где
—
неотрицательная функция, плоскостьюи цилиндрической поверхностью,
направляющей для которой служит
граница областиD,
а образующие параллельны оси Oz,
равен двойному интегралу от функции
по областиD
:
Пример
1. Вычислить объем тела, ограниченного
поверхностями x=0, у=0,
х+у+z=1,
z=0
(рис. 17).
Рис.17
Рис.18
Решение. D — заштрихованная
на рис. 17
треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0,
у=0, x+y=1.
Расставляя пределы в двойном интеграле,
вычислим объем:
Итак,
куб. единиц.
Замечание
1.
Если тело, объем которого ищется,
ограничено сверху поверхностью
а снизу—поверхностью,
причем проекцией обеих поверхностей
на плоскостьОху является область D,
то объем V
этого тела равен разности объемов двух
“цилиндрических” тел; первое из этих
цилиндрических тел имеет нижним
основанием область D, а верхним
— поверхность
второе тело имеет нижним основанием
также областьD, а верхним
— поверхность (рис.18).
Поэтому
объём V
равен разности двух двойных интегралов
:
или
(1)
Легко,
далее, доказать, что формула (1) верна не
только в том случае, когда
инеотрицательны, но и тогда, когдаи-
любые непрерывные функции, удовлетворяющие
соотношению
Замечание
2.
Если в области D
функция
меняет
знак, то разбиваем область на две части:
1) областьD1 где 2)
область D2 ,где
.
Предположим, что областиD1 и D2 таковы, что двойные интегралы по этим
областям существуют. Тогда интеграл
по области D1 будет
положителен и будет равен объему
тела, лежащего выше плоскости Оху. Интеграл
по D2 будет отрицателен и по абсолютной
величине равен объему тела, лежащего
ниже плоскости Оху, Следовательно, интеграл по D
будет выражать разность соответствующих
объемов.
б)
Вычисление площади плоской области.
Если
мы составим интегральную сумму для
функции
по областиD,
то эта сумма будет равна площади S,
при
любом способе разбиения. Переходя к
пределу в правой части равенства,
получим
Если
область D
правильная ,
то площадь выразится двукратным
интегралом
Производя
интегрирование в скобках, имеем,
очевидно,
Пример
2. Вычислить площадь области, ограниченной
кривыми
Рис.19
Решение.
Определим точки пересечения данных
кривых (Рис.19). В точке пересечения
ординаты равны, т.е.
,
отсюдаМы
получили две точки пересечения
Следовательно,
искомая площадь
studfiles.net
Приложения двойного интеграла.
Площадь плоской
фигуры
(6)
Объем
цилиндрического тела, снизу ограниченного
частью S плоскости (ху),
сверху – поверхностью z=f(x;y),
а с боков цилиндрической поверхностью,
образующие которой параллельны оси Oz:
(7)
Масса
плоской пластинки, занимающей область Sи плотность
которой задается функцией ху
(8)
Координаты
центра тяжести плоской пластины С(хс;ус)
; (9)
Момент
инерции плоской пластины относительно
координатных осей
;
(10)
Пример.
Вычислить площадь плоской фигуры,
ограниченной линиями: х=0, у=5, у=х2+1.
;
Пример.
Вычислить массу плоской пластины
ограниченной линиями x=0, y=0, y=1-x2,
если ее плотность в каждой точке равна
абсциссе этой точки, =х;
Пусть
в ограниченной замкнутой пространственной
области V задана непрерывная функция f(x;y;z). Тогда тройной интеграл от этой функции
определяется как
(11)
Пусть
область V снизу ограниченна поверхностью z1(x;y),
а сверху – поверхностью z2(x;y),
причем 1(x;y)2(x;y).
Проекция Vxy области V на плоскость хОу ограничена линиями: x=a, x=b, y=1(x), y=2(x),
где аb1х2ххa, b.
Тогда тройной
интеграл вычисляется по формуле
(12)
Элемент
объема dV в декартовой системе координат равен
произведению дифференциалов декартовых
координат dV=dxdydz.
Формула (12) обычно записывается в виде
(13)
При вычислении
интеграла по одной из переменных все
другие считаются постоянными
Первые четыре
уравнения в пространстве задают
плоскости, пятое – гиперболический
параболоид.
По формуле (13)
расставляем пределы интегрирования:
Последовательно
вычисляем три определенных интеграла:
;
;
;
Таким образом:
.
Часто
бывает удобным при вычислении тройного
интеграла применять другой порядок
интегрирования. Так, если V ограничена поверхностями x1(y;z) и x2(y;z),
а ее проекция Vyz на координатную плоскость yOz ограничена линиями: y=a,y=b,z=1(y),z=2(y),
то вычисление тройного интеграла удобнее
проводить по формуле:
(14)
Приложения тройного интеграла
Объем
тела, занимающего пространственную
область V:
(15)
Масса
тела плотностью (x;y;z):
(16)
Статические
моменты тела с плотностью (x;y;z) относительно координатных плоскостей:
;
;(17)
Координаты
центра тяжести объемного тела C(xc; yc; zc):
; ;(18)
Часто для вычисления
тройного интеграла удобнее перейти к
другой системе координат.
studfiles.net
1.4 Приложения двойного интеграла
Объём тела
Объём цилиндрического
тела находится по формуле
,
где
—
уравнение поверхности, ограничивающей
тело сверху.
Площадь плоской
фигуры
Если в вышеуказанной
формуле положить
,
то цилиндрическое тело превратится в
прямой цилиндр с высотойh=1.
Объём такого цилиндра численно равен
площадиSоснованияD. Получаем формулу
для вычисления площади областиD
В полярных
координатах
Масса плоской
пластины(физ. смысл двойного
интеграла).
Если плоская
пластина Dимеет
плотность, определённую функцией,
то масса пластины находится по формуле
Статические
моменты и координаты центра тяжести
плоской фигуры.
Пусть на плоскости Oxyзадана система
материальных точексоответственно с массами.
Определение.
Статическим моментом Sxсистемы материальных точек относительно
осиOxназывается сумма
произведений масс этих точек на их
ординаты (т.е. на расстояние этих точек
от осиOx).
Аналогично
определяется статический момент Syэтой системы относительно осиOy
Статические моменты
плоской фигуры Dс
переменной плотностьюотносительно
осейOxиOyмогут быть вычислены по формулам
,
а координаты центра
масс по формулам
— плотность.
Если пластина Dоднородная, то в формуле,
т.е.
Момент инерции
плоской фигуры
Определение.
Моментом инерции материальной точки
массы mотносительно
осиlназывается
произведение массы на квадрат расстоянияdточки до оси, т.е..
Момент инерции
плоской фигуры относительно осей OxиOyмогут быть
вычисленные по формулам
— функция плотности.
Момент
инерции фигуры относительно начала
координат определяется по формуле.
Пример: Найти
массу пластины ограниченной областью
(рис. 11)
,
,.
Плотность пластинки .
Р
Рис.
11
ешение:
Массу вычисляем
по формуле
.
.
Так как пластинка часть кольца,
целесообразно перейти в полярную
систему координат. Формулы перехода:
.
— функция плотности
в полярной системе координат. r=3, r=5–уравнения
окружностей в полярной системе координат.
Составляем интеграл:
1.5 Тройной интеграл
Обобщением
определенного интеграла на случай
функции трех переменных является так
называемый «тройной интеграл». Теория
тройного интеграла аналогична теории
двойного.
Понятие тройного
интеграла связано с задачей о массе
неоднородного тела. Если тело однородно,
т.е. в каждой точке плотность одна и та
же, то масса М тела находится по формуле .
Определим массу неоднородного тела V,
с переменной плотностью ρ=f(x,y,z).
Р
Рис.
12
азобьем областьVсеткой поверхностей на n частей
.
Рассмотрим элементарную область (рис.
12). Так как можно считать параллелепипедом со
сторонами
,
то объем элементарной области будет
равен
.
Выберем произвольную
точку
в
каждой элементарной области. В силу
того, что область очень мала, считаем
плотность постоянной и равной значению
функции ρ=f(x,y,z) в точке
,
т.е.
.
Тогда масса элементарной области
находится по формуле
.
Масса всего тела будет складываться из
масс элементарных областей, т.е.
.
Будем неограниченно
увеличивать n(),
получим
.
Если этот предел
существует, то он называется тройным
интегралом и обозначается
(-элемент объема).
Теорема. Если
функция f(x,y,z) непрерывна в ограниченной замкнутой
области V, то предел
интегральной суммы существует и не
зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.
Физический смысл
тройного интеграла:
Если функция f(x,y,z) непрерывна и показывает плотность
распределения вещества в замкнутой
области V,
то масса всего вещества, заключенного
в области, вычисляется с помощью тройного
интеграла
x=0, y=0, x+y=2, если поверхностная плотность в каждой ее точке \(\mu =x^2+y^2\) Решение: Для вычисления массы m плоской пластины поданной поверхностной плотностью \(\mu\) воспользуемся физическим содержанием двойного интеграла и формулой:
\(\mu=\int \int_{D}{(x^2+y^2)}dxdy\),
где область интегрирования D показана на рисунке 1.1
Решение задач на сложение и вычитание обыкновенных дробей
Класс: 5 «Б» Предмет: Математика Урок № 97 Дата: 09.01.2015
Тема: Решение задач на сложение и вычитание обыкновенных дробей
Цель: Повторение умений и навыков решения задач на сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел
Задачи: — повторить с учащимися умения и навыки решения задач на сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел;
— развивать у учащихся вычислительные навыки самостоятельного выполнения заданий на решение задач на сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел;
— воспитывать у учащихся осознанное отношение к правильному решению заданий.
Тип: Урок повторения.
Метод: Практическое решение заданий по карточкам.
Ход урока
Организационный момент
Проверка подготовленности учащихся к уроку.
Приветствие учителя и учащихся.
Фиксация отсутствующих учащихся.
Постановка цели и задач урока.
Актуализация опорных знаний
Алгоритм выполнения сложения и вычитания обыкновенных дробей.
Алгоритм выполнения сложения и вычитания смешанных чисел.
Основная часть
Вычислите:
1) ;
2) ;
3) ;
4)
В первый день вспахали часть всего поля, во второй день – на часть больше, чем в первый день. Сколько всего земли вспахали за два дня?
Решение
– во второй день
– за два дня
Ответ: за два дня вспахали часть всего поля.
Первое число , второе число меньше на м. Найдите сумму данных двух чисел.
Решение
– второе число
– за два дня
Ответ: 1.
На первой машине было т груза. Когда с нее сняли т груза, груз первой машины продолжал превышать груз второй машины на т. Сколько тонн груза было во второй машине?
Решение
– т груза в первой машине после снятия
– т груза во второй машине
Ответ: во второй машине т груза.
Дополнительно:
Подведение итогов урока
Обсуждение успешности достижения цели и задач урока.
В первый день вспахали часть всего поля, во второй день – на часть больше, чем в первый день. Сколько всего земли вспахали за два дня?
Первое число , второе число меньше на м. Найдите сумму данных двух чисел.
На первой машине было т груза. Когда с нее сняли т груза, груз первой машины продолжал превышать груз второй машины на т. Сколько тонн груза было во второй машине?
Дополнительно:
Вычислите:
1) ; 2) ; 3) ; 4)
В первый день вспахали часть всего поля, во второй день – на часть больше, чем в первый день. Сколько всего земли вспахали за два дня?
Первое число , второе число меньше на м. Найдите сумму данных двух чисел.
На первой машине было т груза. Когда с нее сняли т груза, груз первой машины продолжал превышать груз второй машины на т. Сколько тонн груза было во второй машине?
Дополнительно:
infourok.ru
Разработка урока «Решение задач на тему «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»»
Урок №112 «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ»
Цели урока:
Образовательная — Повторение и обобщение изученного материала:
понятие правильной и неправильной дроби;
сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями;
сравнение обыкновенных дробей;
проверить и расширить представления об обыкновенных дробях.
Применение знаний о дробях для решения задач.
Развивающая
Развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание и мышление.
Воспитательная
Продолжить развивать познавательный интерес; воспитание ответственности, умение работать в коллективе; самостоятельности.
Задачи урока:
Предметные:обобщить и систематизировать знания учащихся об обыкновенных дробях.
Личностные: продолжить формировать умение планировать свои действия в соответствии с учебным заданием;
умения работать в коллективе и находить согласованные решения; проявление инициативы при выполнении заданий;
ясное, точное, грамотное изложение своих мыслей;
умение исправлять и дополнять ответы других учащихся.
Метапредметные: развитие понимания сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;
самостоятельное определение цели своего обучения;
осуществление контроля своей деятельности; построение логических рассуждений.
Урок направлен на формирование следующих УУД.
Познавательные УУД:
навыки сложения и вычитания обыкновенных дробей, сравнение дробей;
правильно читать и записывать выражения, содержащие обыкновенные дроби;
умение решать задачи на сложение и вычитание дробей;
применять полученные знания при решении задач.
Коммуникативные УУД:
воспитывать интерес к математике, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.
Регулятивные УУД:
понимать учебную задачу урока;
осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя;
определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки;
отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения.
Личностные УУД:
формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний.
ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП 1 МИН
— Ребята, здравствуйте. Садитесь.
Сегодня у нас с вами необычный урок, сегодня у нас гости на уроке. Но давайте не будем волноваться и переживать Закройте глаза, три раза глубоко вздохните и выдохните. Теперь улыбнитесь и открывает глаза. Давайте начнем наш урок. 1 МИН
ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 15 МИН
— Давайте проверим ваше домашнее задание. Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте. У вас было задано упр. 550, 554. Правильные ответы на доске, проверьте своих товарищей. (Разобрать кратко «почему так верно») Карандашом поставьте оценку за работу. Хорошо. Дежурный, собери, пожалуйста, тетради с домашним задание и раздай проверенные. 5 МИН
— Давайте вспомним, чем мы занимались с вами на предыдущих уроках. Как обычно проведем разминку. Задание на доске. (Отвечают устно или письменно у доски)
«Взаимоопрос» — те, кто не отвечал у доски, отвечают на вопросы одноклассников.
Например, вопросы:
— правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями (чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним)
— правило разности дробей с одинаковыми знаменателями (чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним)
— основное свойство дроби (Если числитель и знаменатель дроби у множить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится дробь равная данной)
— какая дробь называется правильной
— пример неправильной дроби
— как сравнить дроби с разными знаменателями
— пример правильной дроби
— как сравнить дроби с одинаковыми числителями/ знаменателями
— какая дробь ближе к 1
— как сложить или вычесть дроби с разными знаменателями
— Хорошо, ребята. Мы вспомнили основные правила, необходимые нам для работы на сегодняшнем уроке.
10 МИН
Задания для разминки
Постановка цели. 3 МИН
Ребята, на слайде вы видите ребус, который подскажет вам тему нашего урока.
Итак, кто сформулирует тему нашего урока? (дети формулируют «Решение задач на тему «Сложение и вычитание дробей») Слайд с темой.
Откройте тетради. Запишите число и тему урока.
Закрепление 15 МИН
— Итак, давайте решим несколько задач на эту тему. Задачи на слайдах.
5. ТВОРЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ 7 МИН
— Молодцы ребята! А теперь попробуйте придумать свою задачу на тему «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»! На это задание мы отведем 5 минут, а затем почитаем ваши задачи. (Зачитать 3 задачи, без решения)
6. ИНФОРМАЦИЯ О ДОМАШНЕМ ЗАДАНИИ 1 МИН
— Запишите домашнее задание упр. 555,557 (б) Слайд с ДЗ.
7. РЕФЛЕКСИЯ 3 МИН
— Ребята, я раздам вам листки, на которых написаны незаконченные предложения. Закончите их, пожалуйста. Таким образом, мы подведем итоги нашего сегодняшнего урока. Например, «Сегодня на уроке я узнала, некоторые способы решения задач на дроби» и тд. Понятно? Работаем.
Поблагодарить за урок.
Приложение 1
Тексты задач (раздатка для тех, кто работает быстрее или медленнее)
Археологи в первую неделю раскопок выполнили часть всей работы, а во вторую неделю – еще часть всей работы. Какую часть работы археологи выполнили за 2 недели? Какая часть работ осталась?
Журналист прочитал отзыв на свою статью за 12 минут. Какую часть отзыва он прочитал за 1 минуту, а какая часть останется непрочитанной? За 2 минуты?
Кондитер Виктор изготовил кг конфет, а кондитер Андрей на г больше. Сколько конфет изготовили кондитеры вместе? Выразите ответ в граммах.
Рабочий может выполнить весь заказ за 3 ч, а ученик – за 7 ч. Какую часть заказа выполнит рабочий за 1 ч? Какую часть заказа выполнит ученик за 1 ч? Какую часть заказа они выполнят, работая вместе, за 1 ч?
До остановки автобус ехал ч, а на оставшийся путь он затратил на ч меньше. Сколько времени занял весь маршрут, если на остановке автобус стоял ч? Ответ выразите в часах и минутах.
Упр. 558 стр. 159
Туристы отправились на прогулку на лодке. До привала они плыли часа, обратный путь занял у них на ч больше. Сколько времени длилась прогулка, если привал занял ч? Ответ выразите в часах и минутах.
Выполнение задания по литературе заняло у Иры ч, а по биологии – на ч меньше.
а) Сколько времени ушло у Иры на оба задания?
б) Больше это или меньше 1 ч и на сколько?
в) Выразите полученную разницу в минутах.
Приложение 2
Карточки для рефлексии
Закончи предложение
Сегодня я узнал(а)…
Было интересно…
Было трудно…
Я понял(а), что…
У меня получилось…
Мне захотелось…
Закончи предложение
Сегодня я узнал(а)…
Было интересно…
Было трудно…
Я понял(а), что…
У меня получилось…
Мне захотелось…
Закончи предложение
Сегодня я узнал(а)…
Было интересно…
Было трудно…
Я понял(а), что…
У меня получилось…
Мне захотелось…
Закончи предложение
Сегодня я узнал(а)…
Было интересно…
Было трудно…
Я понял(а), что…
У меня получилось…
Мне захотелось…
xn--j1ahfl.xn--p1ai
Урок математики для 6 класса по теме «Решение текстовых задач на сложение и вычитание дробей»
План-конспект урока математики 6 класc
Цели урока:
Образовательная – Моделировать сложение и вычитание дробей с помощью реальных объектов, рисунков, схем.
Выполнять сложение и вычитание дробей с одинаковыми и с разными знаменателями, используя навыки преобразования дробей; Решать текстовые задачи, содержащие дробные данные,
Развивающая – обучать приемам и методам рассуждения, развивать логическое мышление учащихся, математическую речь (устную и письменную), внимание.
Воспитательная — развивать интеллектуальные и творческие способности учащихся, познавательную активность, интерес к математике; поощрять самостоятельность учащихся при поиске способов решения задачи.
Формы работы учащихся: фронтальная работа, групповая технология, ИКТ.
План проведения урока:
Этапы урока
Формируемые учебные действия учащихся
1.Организационный момент (1 мин.)
Саморегуляция
2.Актуализация знаний (8 мин.)
Построение речевых конструкций, рационализация, применение алгоритма, выдвижение и проверка гипотез, умение анализировать и реагировать на поступающие ответы. Умение слушать других, контроль, самоконтроль.
3. Целеполагание и мотивация (2 мин.)
Оценка и прогнозирование, сравнение и анализ, наблюдение и исправление неверных решений
4. Усвоение новых знаний (7 мин.)
Анализирование и осмысливание текста задания, построение логической цепочки рассуждений. Коммуникативные способности, эстетическое сознание, анализ и осмысление
5. Физминутка (1 мин)
Эстетическое восприятие, здоровьесбережение
6. Закрепление изученного материала
(12 мин)
Выделение в условии задачи данных, необходимые для решения задачи, построение логической цепочки рассуждений, сравнивание разных точек зрения, перед принятием решения; аргументирование своей точки зрения; оценивание ответа, коммуникативность,
7. Самостоятельная работа( 7 мин)
самостоятельность , самоконтроль,
8. Подведение итогов урока, рефлексия
(2 мин.)
Предметная рефлексия, осознание актуальности изученного материала
Ход урока:
Развитие эрудиции, знакомство с профессией архитектора, дизайнера, строителя.
Развитие внимания, эстетического вкуса.
Учащиеся проверяют домашнее задание с помощью документ – камеры, приводят дроби к новому знаменателю, сравнивают дроби, решают 2 примера на смекалку
Цель урока
Сегодня на уроке мы продолжим работать с обыкновенными дробями. Что мы уже научились выполнять? А кто отгадает ребус? Ну. а теперь попробуйте сформулировать тему урока.
Дети рассуждают, анализируют, решают задачу
1) (кг) яблок во 2 пакете
2) (кг) яблок в двух пакетах
3) 1 — = (кг) меньше чем 1 кг
4) (кг) = 1000:5 · 1 = 200(г)
Познавательные : работа с определениями понятий
Развитие эрудиции, познавательного интереса.
Ориентирование в электронном учебнике
Понимание информации, представленной в виде текста.
Формирование метапредметных связей, опора на жизненный опыт учащихся
Анализ речевых конструкций
Работа с алгоритмом
Читательские : понимание, осмысливание изучаемого материала
Коммуникативные:
Оформление своих мыслей с использованием символикой.
Учащиеся выполняют зарядку для глаз
Дидактические материалы:
№343 а) 1 — (кг)
2 — ?, на (кг) больше
Всего — ? кг
Решение
1) + = (кг) –во 2 коробке
2) + = = (кг) = 1000:10 · 7 = 700(г)– в двух коробках
Ответ: 700 гр
б)До привала — ч,
Обратно — ? ч, на больше
Привал — (ч)
Всего — ? ч, мин
Решение
1) += (ч) – обратный путь
2) + + = = =(ч) – весь путь
3) ч = 60:3 · 8 = 160 (мин)
Ответ: ч = 160 (мин)
№ 554 Урок – ч
Перемена – ч
Всего — ? ч
Решение
+ ( + ) = = = (ч) = 60:2 · 3 = 90 (мин) – всего
Ответ: (ч) = 90 (мин)
Реципация
Коммуникативные:
Оформление своих мыслей в устной форме, умение взаимодействовать с соседом при выполнении учебной задачи
Коммуникативные:
Обмен знаниями для принятия эффективных совместных решений
Личностные:
Умение делать умозаключения, аргументировать свою точку зрения.
Умение работать по алгоритму.
Самостоятельная работа Задачник на стр. 51
Вариант 1
Лит — (ч)
Биол — ? ч, на ч меньше
Всего? ч
Решение
1) + = = (ч) всего
2) 1 — =(ч) = 60 :12 · 1 = 5 (мин)- меньше 1 ч
Ответ: всего — (ч), больше 1 ч на (ч) = 5 (мин)
Вариант 2
Геог — (ч)
Истор — ? ч, на ч меньше
Всего? ч
Решение
1) + = = (ч) всего
2) 1 — =(ч) = 60 :60 · 19 = 19 (мин)- меньше 1 ч
Ответ: всего — (ч), больше 1 ч на (ч) = 19 (мин)
Подведение итогов урока
Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых
Подводит итог урока, оценивает работу учащихся
Развитие внимания, эстетического вкуса.
сообщает домашнее задание на следующий урок: Учебник: № 555 — 556
— Оцените свое состояние на сегодняшнем уроке. Насколько комфортно вы себя чувствовали, работая на уроке. Все ли было вам понятно.
— Изобразите, в зависимости от вашей самооценки, в своих тетрадях один из вариантов «смайлика». Спасибо за урок.
Учащиеся отвечают на вопросы, подводят итог урока
записывают домашнее задание в дневники.
infourok.ru
Сложение и вычитание обыкновенных дробей | Шевкин.Ru
В реальном учебном процессе требуется не так много задач на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями — здесь будет достаточно задач из учебника. Больше внимания мы уделим задачам, при решении которых вся величина принимается за единицу. Причем сначала представлять ее лучше как 2/2, 3/3 и т.п. величины.
163. Девочка прочитала 2/5, потом еще 1/5 книги. Какую часть книги она прочитала?
164. Туристы прошли 1/7, потом еще 3/7 всего маршрута. Какую часть маршрута им осталось пройти?
165. Два тракториста скосили 5/9 луга, причем первый тракторист скосил 2/9 луга. Какую часть луга скосил второй тракторист?
166. Первый тракторист вспахал 2/7 поля, второй — 3/7 поля. Вместе они вспахали 10 га. Определите площадь поля.
167. Решите задачи 150 (а–в), используя вычитание дробей.
168. Решите задачи 154 (1–2), используя вычитание дробей.
169. 1) На ветке сидели воробьи. Когда третья часть воробьев улетела, то их осталось 6. Сколько воробьев было на ветке первоначально?
2) Некто израсходовал 3/4 своих денег и у него осталось 200 р. Сколько денег у него было?
3) В первый день туристы прошли 2/5 намеченного маршрута, а во второй день оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута?
4) У Васи в коллекции 200 марок. За последний год число марок в коллекции увеличилось на 1/4. Сколько марок было в коллекции год назад?
170. До обеда токарь выполнил 2/8 задания, после обеда — 3/8 задания, после чего ему осталось обточить 24 детали. Сколько деталей он должен был обточить?
171. Из «Арифметики» Л.Н. Толстого. Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял 7/10 всех денег, а жена 690 р. Сколько было всех денег?
Советуем обратить внимание на задачи 172–173, допускающие несколько способов решения. Необходимые рекомендации даны в разделе «Ответы и советы».
172. Решите двумя способами задачи из египетских папирусов.
1) Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найти
количество.
2) Число и его половина составляют 9. Найти число.
173. Составьте задачу, аналогичную египетским задачам, и решите ее двумя способами.
Начиная со следующей задачи в решениях встречаются сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Если этот материал в 5 классе не изучался, то оставшиеся задачи, связанные с дробями, следует отложить до 6 класса.
174. а) В каждый час первая труба наполняет 1/2 бассейна, а вторая — 1/3 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?
б) Первая бригада может выполнить в день 1/12 задания, а вторая — 1/8 задания. Какую часть задания выполнят две бригады за 1 день совместной работы?
в) Легковая машина в час проезжает 1/10 расстояния между городами, а грузовая — 1/12 этого расстояния. На какую часть этого расстояния сближаются за 1 ч машины при движении навстречу друг другу?
175. а) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали 2/3 поля. Первый тракторист вспахал 1/2 поля. Какую часть поля вспахал второй тракторист?
б) Две машины, едущие навстречу друг другу, приблизились за 1 ч на 1/3 расстояния между двумя городами. Первая машина проехала 1/8 этого расстояния. Какую часть всего расстояния проехала вторая машина?
в) Через две трубы за каждый час наполняется 1/3 бассейна. Через первую трубу за 1 ч наполняется 1/10 бассейна. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч через вторую трубу?
176. Из бочки вылили сначала 1/2 находившейся в ней воды, потом 1/3, 1/15 и 1/10. Какую часть воды вылили?
177.* Я отпил полчашки черного кофе и долил ее молоком. Потом я отпил 1/3 чашки и долил ее молоком. Потом я отпил 1/6 чашки и долил ее молоком. Наконец, я допил содержимое чашки до конца. Чего я выпил больше: кофе или молока?
178. Старинные задачи. 1) Два пешехода вышли в одно время навстречу друг другу из двух деревень. Первый может пройти расстояние между двумя деревнями за 8 ч, а второй за 6 ч. На какую часть расстояния они приближаются за 1 ч?
2) Для постройки купальни наняты три плотника; первый сделал в день 2/33 всей работы, второй 1/11, третий 7/55. Какую часть всей работы сделали все они в день?
3) Для переписки сочинения наняты 4 писца; первый мог бы один переписать сочинение в 24 дня, второй в 36 дней, третий в 20 и четвертый в 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они в один день, если будут работать вместе?
179. 1) Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом еще 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?
2) Старинная задача. Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
180. Задача Адама Ризе (XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось 1/4 этой суммы, на долю второго 1/7, a на долю третьего 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
www.shevkin.ru
Задачи на тему Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
304 Сравните дроби 2/3 и 8/21; 4/15 и 2/5; 7/30 и 3/10; 19/60 и 4/15. РЕШЕНИЕ
305 Что меньше 4/15 или 1/30; 9/14 или 14/21. РЕШЕНИЕ
306 Что больше 7/12 или 29/48; 13/18 или 11/15. РЕШЕНИЕ
307 Расположите в порядке возрастания дроби 4/5, 7/10, 8/15, 11/30; 11/12, 5/24, 5/6, 3/8. РЕШЕНИЕ
308 Докажите неравенство 123/800 > 1/8 РЕШЕНИЕ
309 Объясните, не приводя дроби к общему знаменателю, почему 1/5 > 1/7. Сформулируйте правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями. Используя это правило, сравните РЕШЕНИЕ
310 Запишите все дроби с числителем 2, большие, чем 2/9. РЕШЕНИЕ
311 Сравните промежутки времени двумя способами: выразив их в минутах; приведя дроби к наименьшему общему знаменателю РЕШЕНИЕ
312 Запишите все дроби со знаменателем 5, большие, чем 1/5 и меньшие чем 6/5 Отметьте их на координатном луче. РЕШЕНИЕ
313 Рисунки занимают 2/11 книги, а таблицы 3/22 книги. Что занимает больше места: рисунки или таблицы? РЕШЕНИЕ
314 20 шагов папы составляют 16 м, а 10 моих — 7 м. Чей шаг короче? РЕШЕНИЕ
315 Через узкую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через широкую за 4 ч. Какая труба дает меньше воды: широкая за 3 ч или узкая за 7 ч? РЕШЕНИЕ
316 Трехметровое бревно распилили на 7 равных частей, а четырехметровое на 10. Части какого бревна длиннее? РЕШЕНИЕ
317 Миша, Юра и Нина решали в классе одну и ту же задачу. Один из них затратил на решение 1/5 урока, другой 2/9, а третий 4/15. Какую часть урока затратил на эту задачу каждый из них, если известно, что Нина решила задачу быстрее Миши, а Юра быстрее Нины? РЕШЕНИЕ
318 Начертите координатный луч, приняв за единичный отрезок отрезок, длиной в 18 клеток тетради. Отметьте на этом луче точку A(1/3) Отложите вправо от точки А отрезок AC, равный 5/18 единичного отрезка. Найдите координату точки C. Отложите от нее влево отрезок CD, равный 7/18 единичного отрезка. Найдите координату точки D. Как можно найти координаты точек C и D не выполняя построений? РЕШЕНИЕ
319 Выполните действие. РЕШЕНИЕ
320 На координатном луче отмечены точки A(1/n) и B(1/m). Отметьте на луче точку с координатами 1/m + 1/n; 1/n — 1/m. РЕШЕНИЕ
321 Найдите значение выражения РЕШЕНИЕ
322 Замените десятичную дробь обыкновенной дробью и выполните действие. РЕШЕНИЕ
323 Замените обыкновенную дробь десятичной и выполните действие РЕШЕНИЕ
324 Выполните действия сначала в обыкновенных дробях, а потом в десятичных. РЕШЕНИЕ
325 Выполните действия. РЕШЕНИЕ
326 Выполните действие. РЕШЕНИЕ
327 Найдите значение выражения. РЕШЕНИЕ
328 Решите уравнение. РЕШЕНИЕ
329 Найдите значение выражения. РЕШЕНИЕ
330 Найдите значение выражения. РЕШЕНИЕ
331 Используя свойство вычитания числа из суммы, найдите значение выражения. РЕШЕНИЕ
332 Используя свойство вычитания суммы из числа, найдите значение выражения РЕШЕНИЕ
333 Найдите значение выражения a/10 + a/15, если a = 1; 2; 5; 7. РЕШЕНИЕ
334 Найдите значение выражения x/12 — 1/x, если x = 4; 5; 6. РЕШЕНИЕ
335 Петя играл в футбол 9/10 ч, а в волейбол 8/15 ч. Что больше заняло времени: игра в футбол или волейбол и на сколько? Сколько времени затратил Петя на обе игры? РЕШЕНИЕ
336 Тракторист вспахал в первый час 1/6 поля, во второй 1/5 поля и в третий — 1/4. Какую часть поля вспахал тракторист за эти 3 ч? РЕШЕНИЕ
337 В первый день асфальтом покрыли 3/20 км дороги, а во второй день 1/5 на км больше, чем в первый. Сколько километров дороги покрыли асфальтом за эти два дня? РЕШЕНИЕ
338 Длина прямоугольника 3/4 м, а ширина на 5/8 м меньше. Найдите ширину прямоугольника и его периметр. РЕШЕНИЕ
339 В палатку привезли 11/20 т моркови и 17/50 т свеклы. К вечеру продали 14/25 т привезенных овощей. Сколько тонн овощей осталось? РЕШЕНИЕ
340 За первый месяц завод выполнил 1/8 годового плана, а за второй на 1/24 меньше. Какую часть годового плана выполнил завод за два месяца? РЕШЕНИЕ
341 При посадке овощей после одного дня работы остались незамеченными 3/4 га поля. Какая площадь осталась бы незасаженной, если бы в этот день овощи высадили на площади, большей на 7/20 га? РЕШЕНИЕ
342 Два поезда вышли одновременно из двух городов навстречу друг другу. Каждый час они приближаются на 5/12 всего расстояния между городами. Какую часть расстояния проходил за час один из них, если другой проходил за час 1/4 этого расстояния? РЕШЕНИЕ
343 Из села в город одновременно вышли две автомашины: грузовая и легковая. Каждый час грузовая отставала от легковой на 2/15 всего расстояния от села до города. Какую часть этого расстояния проходила грузовая автомашина за 1 ч, если легковая за 1 ч проходила 1/3 расстояния? РЕШЕНИЕ
344 Один комбайн может убрать все поле за 6 дней, а другой — за 4. Какую часть поля уберут оба комбайна за один день? РЕШЕНИЕ
345 Один мотор израсходует полный бак бензина за 18 ч, а другой за 12 ч. Какую часть полного бака израсходуют оба мотора, если первый будет работать 5 ч, а второй 7 ч? РЕШЕНИЕ
346 Вычислите устно. РЕШЕНИЕ
347 Найдите пропущенные числа РЕШЕНИЕ
348 Найдите значение выражения 0,7^2 — 0,62; З^3 — 17,5; 0,5^2 · 8; 2,6 : 0,1^3. РЕШЕНИЕ
349 Значение какого выражения можно вычислить на микрокалькуляторе по программе РЕШЕНИЕ
350 Проверьте, что числа 220 и 284 действительно дружественные. РЕШЕНИЕ
351 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби 5/8 и 9/16; 5/12 и 11/18. РЕШЕНИЕ
352 Сократите, а затем приведите к наименьшему общему знаменателю дроби 75/90, 44/99, 33/44; 40/64, 42/144, 100/180. РЕШЕНИЕ
353 Запишите числа так, чтобы их дробная часть была правильной дробью; в виде натуральных чисел. РЕШЕНИЕ
354 Запишите в виде неправильной дроби дробную часть чисел 3 3/4, 5 1/8, 2 7/17 уменьшив целую часть на 1. РЕШЕНИЕ
355 В среду в шестом классе пять уроков по разным предметам: русскому языку, истории, математике, географии и физкультуре. Сколько вариантов расписания на среду можно составить для этого класса? РЕШЕНИЕ
356 1) Из аэропорта вылетел самолет со скоростью 600 км/ч. Через 0,5 ч вслед за ним вылетел другой самолет со скоростью 750 км/ч. Через сколько часов второй после своего вылета будет впереди на 226 км? 2) С автовокзала вышел автобус со скоростью 60 км/ч. Через 0,6 ч вслед за ним вышла легковая автомашина со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов после своего выезда она будет впереди автобуса на 45 км РЕШЕНИЕ
357 1) Пес бросился догонять своего хозяина, когда тот отошел от него на 1,8 км, и догнал его через 3 мин. С какой скоростью шел хозяин, если пес бежал со скоростью 0,7 км/мин? 2) Служебная собака бросилась догонять нарушителя границы, когда между ними было 1,8 км. С какой скоростью бежал нарушитель, если у собаки она была 19 км/ч и догнала его через 0,2 ч? РЕШЕНИЕ
358 Выполните действия и проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора РЕШЕНИЕ
359 Сократите дроби. РЕШЕНИЕ
360 Выполните действие РЕШЕНИЕ
361 Один трактор может вспахать поле за 14 ч, а другой тот же участок за 8 ч. Какой трактор больше вспашет: первый за 7 ч или второй за 5 ч? РЕШЕНИЕ
362 Автобус проходит расстояние от города до деревни за 8 ч, а легковая автомашина за 6 ч. Кто из них пройдет большее расстояние: автобус за б ч или легковая автомашина за 4 ч? РЕШЕНИЕ
363 Слесарь может выполнить задание за 6 ч, а его ученик это же задание за 8 ч. Какую часть задания они могут выполнить вместе за 1 ч? РЕШЕНИЕ
364 Из пунктов А я В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них за 1 ч проходит 1/6 расстояния AB, а другой 1/5 AB. На какую часть расстояния AB они сближаются каждый час? РЕШЕНИЕ
365 Периметр треугольника ABC равен 17/20 м. Сторона AB равна 17/50 м, BC на 9/50 м короче AB. Найдите длину стороны AC. РЕШЕНИЕ
366 В книге три рассказа. Наташа прочла первый рассказ за 1/3 ч, на чтение второго рассказа она потратила на 1/6 ч больше, а третьего — на 7/12 ч меньше, чем чтение первого и второго рассказов вместе. Сколько времени ушло у Наташи на чтение всей книги? РЕШЕНИЕ
367 На решение задачи и уравнения Митя затратил 4/5 ч. Сколько времени выполняла эту работу Оля, если на решение задачи она затратила на 5/12 ч меньше, а уравнения на 1/3 ч больше, чем Митя? РЕШЕНИЕ
368 Выполните действие РЕШЕНИЕ
369 Найдите значение выражения 3/25 + 0,34 — 4/25; 7/9 — 0,4 — 4/15. РЕШЕНИЕ
370 Дорога из села в город проходит через рабочий поселок. Из села в город вышла легковая автомашина со скоростью 1,5 км/мин. В то же самое время из рабочего поселка в город вышла грузовая автомашина со скоростью 1 км/мин. Через 20 мин легковая автомашина догнала грузовую. Найдите расстояние от деревни до рабочего поселка. РЕШЕНИЕ
371 Теплоход Ракета идет по реке со скоростью 55 км/ч. Впереди теплохода идет баржа со скоростью 25 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч, если сейчас баржа впереди теплохода на 50 км? РЕШЕНИЕ
372 С железнодорожной станции в 12 ч вышел скорый поезд со скоростью 70 км/ч. На 3 ч раньше был отправлен в том же направлении товарный поезд. В 16 ч скорый поезд догнал товарный. Найдите скорость товарного поезда. РЕШЕНИЕ
373 Найдите значение выражения РЕШЕНИЕ
374 Запишите числа 7 12/6, 8 37/37 в виде натурального числа; 4 8/3, 15 12/7, 8 24/4 так, чтобы их дробная часть была правильной дробью. РЕШЕНИЕ
375 Запишите дробную часть чисел 2 5/9, 7 13/15, 1 8/9 в виде неправильной дроби, уменьшив целую часть этих чисел на 1. РЕШЕНИЕ
famiredo.ru
Задачи на сложение дробей.
Технологическая карта урока.
Предмет
Математика
Класс
5
Тема урока
Задачи на сложение дробей.
Тип урока
Применение полученных ранее знаний.
Цели
Познакомить учащихся с правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, научить применять его при решении задач, вычислении значения выражений;
Воспитывать самостоятельность мышления, уважение к мнению других, умение работать в паре, формировать культуру устной и письменной речи, умение слушать и слышать
Планируемые образовательные результаты
Предметные
Метапредметные
Личностные
Знать правило сложения дробей с разными знаменателями;
Уметь применять изученное правило при решении упражнений и задач;
Осознанно применять алгоритм сложения дробей с разными знаменателями.
Развивать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни; формировать умение работать в группах.
Развивать умение слушать; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач; формировать представления о математике как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира, как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества.
Организационная структура урока
№
Этап урока
УУД
Деятельность
ЭОР
Время
учителя
учащихся
1
Организационный
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
Регулятивные: организация своей учебной деятельности
Личностные: мотивация учения.
Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.
Включаются в деловой ритм урока.
1 мин
2
Мотивация и
актуализация
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;
Познавательные:
самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
Логические: – формулирование проблемы
Устные задания.
Как называется ?
Какую долю составляют сутки от года? 1дм от 1м?
Какая часть прямоугольника заштрихована
— в клетку;
— в линейку;
— не заштрихована?
Какое число лишнее?
1). (2 – натуральное число)
2). (— неправильная дробь)
3). ()
Отвечают на вопросы, дополняю друг друга, обсуждают ответы.
7-8 мин
3
Открытие нового знания
Коммуникативные:
использование средств языка и речи для получения и передачи информации, участие в продуктивном диалоге;
Познавательные: анализ, логические рассуждения, выбор наиболее эффективных способов решения задач.
Повторим правила сложения дробей с одинаковыми знаменателями и с разными знаменателями.
Задача.
Из помидоров массой кг и огурцов массой кг сделали салат. Какова масса салата?
Решение: 5/16+9/16 = 14/16 кг.
№ 840
Решение:
2/5+1/5=3/5
№ 841 (а)
Решение:
3/8+5/8=8/8=1 –весь торт.
Отвечают, обсуждают, комментируют
1 ученик у доски, стальные решаю самостоятельно.
15 мин
4
Закрепление знаний и навыков
Познавательные: анализ, логические рассуждения, выбор наиболее эффективных способов решения задач.
Регулятивные: проявляют познавательную инициативу
Коммуникативные:
использование средств языка и речи для получения и передачи информации, участие в продуктивном диалоге.
№ 842
Решение:
2/7+3/7=5/7 га.
10/5*7=14 га. Площадь всего поля.
№ 843 (а)
Решение:
а) 1/3+1/2=2/6+3/6=5/6
№ 836 (1 ст.)
Решение:
а) ¼+4/7+9/28= 7/28+16/28+9/28=32/28=14/28 =11/7
б) 17/20+23/30+11/60=51/60+46/60+11/60=108/60
1 ученик у доски, стальные решаю самостоятельно.
20 мин
5
Подведение итогов. Домашнее задание.
Личностные: проводят самооценку
Познавательные: сформирован навык для правильного выполнения домашнего задания
Коммуникативные: планируют сотрудничество, определяют кому нужна помощь
Дает краткое пояснение каждого номера домашнего задания.
№ 842 (б), 843 (б,в), 836 (2,3 ст.)
Записывают домашнее задание в дневник, делая необходимые пометки.
1 мин
6
Рефлексия
Личностные: проводят самооценку, учатся адекватно принимать причины успеха (неуспеха)
Познавательные: проводят рефлексию способов и условий своих действий
Коммуникативные: планируют сотрудничество, используют критерии для обоснования своих суждений
Задает вопросы:
На уроке
— Было трудно …
— Было интересно …
— Я научился …
— Меня удивило
Выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения
Выражают свои мысли
2 мин
multiurok.ru
Урок конспект на тему » Решение задач на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»
21.02(22.02)Тема урока «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»
Цели урока
Образовательная: формирование умения находить сумму и разность дробей с разными знаменателями. Повторить: основные свойства дроби, сокращение дробей, понятия правильной и неправильной дроби, представления неправильной дроби в виде смешанного числа. Отрабатывать навык сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Развивающая: развивать логическое мышление учащихся, навыки взаимопроверки выполненного, интерес к математике.
Пример 2. Вычислить , если область D ограничена окружностью , лежащей в первой четверти, и прямыми y=x и .
до φ = 0 против хода часовой стрелки. Значит, 
. Пусть теперь луч Оl имеет полярный угол 
. Тогда при движении точки полукруга по лучу Оl (рис. 5) от точки О до точки Mполярный радиус r изменяется от 0 до координаты r=2cosφ точки M. Значит,
, 0 ≤ r ≤ 2 cos φ} . Следовательно,
где D = {(x, y): x2 + y22x ≤ 0, y≤ 0} .
r =2cosφ. Мы получили уравнение полуокружности в полярных координатах из рисунка 5. Поскольку y≤ 0, то D полукруг из примера 3. Расставим пределы интегрирования как в этом примере и вычислим:
,
к полярным координатам
,
связанных с прямоугольными координатами
соотношениями,,
осуществляется по формуле
ограничена двумя лучами
,
(
),
выходящими из полюса, и двумя кривыми
и
,
то двойной интеграл вычисляют по формуле
,
.
воспользуемся формулой:
.
(рис. 1.5). Для этого преобразуем кривые:
.
описывается уравнениями:
.
численно равен объему тела
:
.
на координатную плоскость
есть плоская область
(рис. 1.6).
—
тело, ограниченное плоскостями:
,
,
(
,
,
).
есть треугольник
,
ограниченный прямыми
,
,
(рис. 1.8). Приаппликаты точекудовлетворяют неравенству,
поэтому
.
,
получим
к цилиндрическим координатам
(рис. 1.9), связанных с
соотношениями,,
,
причем
.
равен
.
,
а сверху плоскостью(рис. 1.10). Проекция области
есть круг
с центром в начале координат и единичном
радиусом.
,
ограниченная кривой,
примет вид,
или
,
при этом полярный угол .
В итоге имеем
,
сводится к вычислению определенного
интеграла вида
задана параметрическии
соответствует начальной точке кривой
,
а
— ее конечной точке.
,
сводится к вычислению двойного интеграла,
например, вида
,
заданная уравнением,
однозначно проецируется на плоскость
в область
.
Здесь
— угол между единичным вектором нормали
к поверхности
и осью
:
.
определяется выбором соответствующего
знака в формуле (2.3).
называется
векторная функция точки 
вместе с областью ее определения:
характеризуется скалярной величиной
–дивергенцией:
через
поверхность 
называется
поверхностный интеграл:
—
единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности
,
а
— скалярное произведение векторов
и
.
через замкнутую поверхность 
и дивергенцией поля:
— тело, ограниченное поверхностью 
.
и его ротором:
— поверхность, ограниченная замкнутым
контуром 
,
а 
— единичный вектор нормали к этой
поверхности. Направление нормали должно
быть согласовано с направлением обхода
контура 
.
,
— внешняя часть конуса(),
отсекаемая плоскостью
(рис 2.1).
однозначно проецируется в область
плоскости
,
и интеграл вычисляется по формуле (2.2).
есть круг.
Поэтому в последнем интеграле переходим
к полярным координатам, при этом,:
:,
расположенную в первом октанте (нормаль
образует острый угол с осью
).
:,
расположенную в первом октанте.
Уравнение данной плоскости в отрезках
имеет вид
— проекция плоскости
на
(рис. 2.4).
,
образованную плоскостью
и частью конуса(
)
(рис. 2.2).
по формуле (2.4):
— объем конуса, по которому ведется
интегрирование. Воспользуемся известной
формулой для вычисления объема конуса
(
— радиус основания конуса,
— его высота). В нашем случае получаем.
Окончательно получаем
,
образованному пересечением поверхностей 
и(
).
Проверить результат по формуле Стокса.
(рис. 2.1). Направление обхода выбирается
обычно так, чтобы ограниченная им область
оставалась слева. Запишем параметрические
уравнения контура 
:
откуда 
изменяется от
до
.
По формуле (2.7) с учетом (2.1) и (2.10) получаем
,
натянутой на контур 
,
можно взять часть плоскости 
.
Направление нормали
к
этой поверхности согласуется с
направлением обхода контура 
.
Ротор данного векторного поля вычислен
в примере 2.2:
.
Поэтому искомая циркуляция
— площадь области
.
— круг радиуса
,
откуда
$I=\int\limits_ { -6 } ^0 { dx\int\limits_0^ { 2x+12 } { f(x,y)dy } } +\int\limits_0^6 { dx\int\limits_ { 2x } ^ { 2x+12 } { f(x,y)dy } } +\int\limits_6^ { 12 } { dx\int\limits_ { 2x } ^ { 24 } { f(x,y)dy } } $
Из рисунка в области $D$ видно, что левая граница контура области – одна линия { положительная ветка параболы $y= { { x } ^ { 2 } } $), а его правая часть состоит из двух линий $AB$ { отрезок прямой $y=2x-1$) и $BC$ { отрезок прямой $x=2$), то есть задается разными уравнениями. В этом случае область $D$ нужно разбить на части так, чтобы каждая из них справа была ограничена только одной линией. В данном случае такими частями будут $ { { D } _ { 1 } } -ABF$ и $ { { D } _ { 2 } } -BCF$. Заданная область $D$ будет суммой областей $ { { D } _ { 1 } } $ и $ { { D } _ { 2 } } $. Тогда искомый интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из областей:
б) 
б) 
б) 
б) 
, если б)
Рис.
1
Рис.
2
(6)
Объем
цилиндрического тела, снизу ограниченного
частью S плоскости (ху),
сверху – поверхностью z=f(x;y),
а с боков цилиндрической поверхностью,
образующие которой параллельны оси Oz:
; 
(9)
;
; 
;
.
,
гдеV ограничена поверхностями: x=0, y=0, y=3x, z=0, z=xy.
(15)
; 
;
(18)
— плотность.
.
— функция плотности.
.
.
Так как пластинка часть кольца,
целесообразно перейти в полярную
систему координат. Формулы перехода:
.
.
Определим массу неоднородного тела V,
с переменной плотностью ρ=f(x,y,z).
(рис.
12). Так как 
можно считать параллелепипедом со
сторонами
,
то объем элементарной области будет
равен
.
(кг) яблок во 2 пакете
(кг) яблок в двух пакетах
= 
(кг) меньше чем 1 кг
(кг)
(кг) –во 2 коробке
= 
= 
(кг) = 1000:10 · 7 = 700(г)– в двух коробках
ч,
больше
(ч)
(ч) – обратный путь
= 
=
(ч) – весь путь
ч
ч
= 
= 
(ч) = 60:2 · 3 = 90 (мин) – всего
= 
(ч) всего
(ч) = 60 :12 · 1 = 5 (мин)- меньше 1 ч
(ч)
ч меньше
= 
(ч) всего
(ч) = 60 :60 · 19 = 19 (мин)- меньше 1 ч
(2 – натуральное число)
— неправильная дробь)
)
