Рубрика: Школьная жизнь

О

Л

О

Д

Ц

Ы

!

-6

7

1

2

6

10

0

20

V. Какие для вас самые сложные уравнения?

Тригонометрические. Почему? Очень много формул.

Давайте попробуем вместе их решить. К доске выходит решать сильный ученик. Одновременно с ним к доске выходит еще один ученик и самостоятельно решает уравнение, но показательные.

а) 2 б) [-] Самостоятельно:

cosx = y, -1 y1 а)-+7 = 0 б) [1; 4]

2 + y – 1 = 0 — 8+7 = 0

= -1 ; = = y, y>0

Вернемся к подстановке -8y + 7 = 0

cosx = -1 2) cosx = = 7 ; = 1

x = +2n, n Zx = arccos+2n Вернемся к подстановке

x = + 2n, n Z 1) = 1 2) = 7

б) -  = x =

X = 0

б) 1 ; 4

0Є 1 ; 4; Є1 ; 4

Т.к. <<

2<3

Ответ: a) 0;

b)

1) Решает сам ученик, а на второй к

доске выходит решать еще два ученика.

x= +2_n

а) Если n=0, то x= + 2n x= + 2n

x= ,Є а) n=0,то а) n=0,то

б) n=1, то x=,Є x= — ,Є

x=3 ,Є б) n=1, то б) n=1, то

в) n=-1, то, x= 2,Є x=1,Є

x= -,Є в) n=-1, то в) n=-1, то

-; x=-1,Є x= — 1,Є

—

Ответ: а) + 2n; x= +2n, nЄz

б) -;-

VI. Домашнее задание:

Дать небольшую подсказку представить 20 ^cosx, как 4 ^cosx*5^—sinx и разделить обе части уравнения

на 4 ^cosx

VII. Итог урока.

Какая цель была поставлена в начале урока? Выполнили мы ее? (да).

Объявить оценки за урок:

Птицы издавна привлекали внимание людей своим пением, ярким оперением, смелыми стремительными полетами. Кто-то из людей этого не услышал и не увидал, а кто-то посвятил им песни и стихи. Также и с уравнениями. Вы пришли на урок и не увидели их красивых способов решения, а кто-то пришел и у него от того что он сумел это сделать — крылья расправились.

Решите уравнения. Используя найденные ответы, запишите таблицу названия птиц и узнайте, что они символизируют.

СОВА АИСТ

X⁵ + X³ – 6X = 0 X^{3 —} 3 X² — 4

X(X⁴ +X² – 6) = 0 (X³ — 3 X²) — (4x +12) = 0

X = 0 ИЛИ X^{4 +} X² – 6 = 0 X²(x-3)-4(x-3)=0

X² = Y1 Y≥0 (x-3) (X²-4) = 0

Y2 + y — 6 = 0 x-3 = 0 или X² -4 = 0

Y1 = -3 x=3 x=±2

Y2 = ±2

Ответ: 0; -2;2 Ответ: -2; 2; 3

-2; 0; 2 СОВА МУДРОСТЬ

-2; 2; 3 АИСТ СЧАСТЬЕ

VIII. Рефлексия

На уроке я работал

Активно/пассивно

2.

Своей работой на уроке я

Доволен/недоволен

3.

Урок для меня показался

Коротким/длинным

4.

За урок я

Не устал/устал

5.

Материал урока мне был

Понятен/непонятен

Полезен/неполезен

Интересным/скучным

infourok.ru

Тема: МИР УРАВНЕНИЙ-МИР АЛГЕБРЫ

Элективный курс по математике

в 10 — 11 классе

Тема: МИР УРАВНЕНИЙ-

МИР АЛГЕБРЫ

Аннотация программы

Данная программа Элективного курса своим содержанием может привлечь внимание учащихся 9-10 классов, которым интересна алгебра и её приложения и которым захочется глубже и основательнее познакомиться с её методами и идеями. Предлагаемый курс освещает намеченные , но не имеющие глубокой проработки в общем курсе школьной алгебры вопросы. Стоит отметить, что навыки решения уравнений различной степени совершенно необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться и успешно сдать экзамены по алгебре, добиться значимых результатов при участии в математических конкурсах и олимпиадах.

Исторические моменты в рамках курса будут особо привлекательны для учеников с гуманитарными наклонностями. Не исключено, что данный курс поможет ученику найти призвание в профессиональной деятельности, требующей использования точных наук или, по крайней мере, приобрести внепрофессиональное увлечение, пусть и не на всю жизнь. Поэтому его можно использовать как в рамках предпрофильной подготовки учащихся, так и для профильных классов различного направления.

Пояснительная записка

Элективный курс « Мир уравнений, мир алгебры» рассчитан на 34 часов для работы с учащимися 10 класса. Запланированный данной программой для усвоения учащимися объём знаний необходим для решения задач, приводимых к составлению уравнений. У любознательных учащихся, освоивших теорию и методику решения линейных и квадратных уравнений, изучению которых уделяется большое внимание в школьной программе, как правило, возникает вопрос: «А как быть с уравнениями боле высокой степени?».Доля изучаемой по этой теме материала недостаточна и требует дополнительного обучения. Данный элективный курс и предусматривает более глубокое рассматривание этого вопроса, имеет большое общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, намечает и использует целый ряд межпредметных связей ( прежде всего с физикой и историей).

Для работы с учащимися применены такие формы работы, как лекция и семинар. Помимо этих традиционных, рекомендуется также дискуссии, выступления с докладами, содержащими отчёт о выполнении индивидуального или группового домашнего задания или с содокладами, дополняющими лекцию учителя. Возможны различные формы творческой работы учащихся, как например, « защита решения», отчёт по результатам « поисковой» работы на страницах книг, журналов, сайтов в Интернете по указанной теме.

Начинается курс с ознакомительной вводной лекции. При прослушивании блоков лекционного материала и проведения семинара, закрепляющего знания учащихся ,предусматривается индивидуальное или групповое домашнее задание, содержащее элементы исследовательской работы, задачи для самостоятельного решения. Защита решений и результатов исследований проводится на выделенном для этого занятии и оценивается по пятибалльной системе или системе «зачёт-незачёт», в зависимости от уровня подготовки группы.

Начиная с 3-4 занятия, учащиеся сами выбирают темы итоговой аттестации в форме защиты проектов.

Примерное тематическое планирование 10 класс

№

Тема

Количество часов

Дата

всего

лекция

семинар,

практика

1

Вводная лекция: Чем занимается алгебра

1

1

2

Основные законы и формулы алгебры в древних источниках

2

1

1

3

Как решал задачи Омар Хайям? Об эволюции понятия числа

1

1

4

Поиски универсального способа решения уравнений третьей степени

4

1

3

5

Из истории уравнений произвольной степени

4

1

3

6

Этьен Безу и его теорема

3

1

2

7

Защита проектов

2

2

2

Способы и методы решения уравнений, содержащих радикал

2

3

Задачи на нахождение области определения и множеств значения функций.

1

4

Использование области определения и множество значений при решении уравнений .

1

5

Применение различных свойств функций к решению уравнений

2

6

Степенная функция, ее свойства и график. Способы решения иррациональных уравнений

2

7

Показательная функция, ее свойства и график. Способы решения показательных уравнений

2

8

Логарифмическая функция, ее свойства и график. Решение логарифмических уравнений

2

9

Решение нестандартных уравнений

2

10

Итоговый урок

1

ВСЕГО

17

Список рекомендуемой литературы:

1. Пичюрин Л.Ф. За страницами алгебры

2. Тлейзер Г.И. История математики в школе VII-VIII классы

3. Кордемский Б.А., Ахабов А.А. Удивительный мир чисел

4. Талицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов

«МАТЕМАТИКА

В ЭКОНОМИКЕ И

БАНКОВСКОМ ДЕЛЕ »

Элективный курс в 10 – 11 классах

Под редакцией В.В.Аникеева

СКИПКРО,2005 год

Учитель: Шевцова В.В.

2014-2015 год

2015-2016 год

Пояснительная записка

Сегодня Россия интегрируется в мировую экономическую систему, и жизнь требует изучения основных законов экономики уже в школе, и как можно раньше. Развитие информационного общества, научно-технические преобразования, рыночные отношения требуют от каждого человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, предприимчивости, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и безошибочно принимать решения.

Экономическая образованность и экономическое мышление формируются не только при изучении курса экономики, но и на основе всего комплекса предметов, изучаемых в школе. Математике здесь принадлежит особая роль. Взаимодействие математики и экономики приносит обоюдную пользу: математика получает широчайшее поле для многообразных приложений, а экономика – могучий инструмент для получения новых знаний. Элективный курс предназначен для учащихся 10 класса, интересующихся математикой и экономикой. Учителю математики курс даёт возможность дополнить экономическим содержанием программу курса математики.

Содержание курса не дублирует школьный курс экономики и является «мостом» к его осознанному изучению. Все вопросы рассматриваются с точки зрения математики на примерах, которые могут быть дополнением ряду тем школьного курса математики. Учебный процесс построен так, чтобы школьники не только обновили и пополнили знания, но и смогли выработать умения и навыки, необходимые для организации элементарной предпринимательской деятельности, научились реализовывать свои лучшие качества, чтобы быть в будущем востребованным.

Курс предполагает классно-урочную деятельность и лекционно-практическую системы обучения.

Цели курса:

Интеллектуальное развитие учащихся.

Формирование качеств мышления, характерных для экономической деятельности, необходимых для успешной социализации учащихся и адаптации их к реальной жизни.

Изучение взаимодействия математики и экономики с целью привития устойчивого интереса к ним, усвоения, углубления и расширения знаний по данным предметам, профориентация.

Задачи курса:

-сформировать у школьников понимание значения экономики для общественного прогресса; осознание экономических проблем России и возможных путей их преодоления;

-сформировать представление об идеях и методах экономики, об организации деятельности в сфере экономики и банковском деле;

-познакомить учащихся с терминологией, встречающейся при изучении курса, помочь правильно её понять и использовать;

-научить учащихся применять математический аппарат при решении экономических задач;

Вооружить конкретными экономическими знаниями, необходимыми для изучения других школьных предметов, для применения в практической деятельности, для выбора будущей профессии и продолжения образования,

-привить навыки работы в группах, быть их лидером, выступать, вести переговоры, отстаивать свои интересы;

— познакомить школьников с интересующими их профессиями в области экономики и банковского дела, требованиями, предъявленными к работникам этой сферы.

Организация учебного процесса.

Программа элективного курса рассчитана на 35 часов, из них 10 лекций и 25 часов практических занятий. Курс имеет практическую направленность, формы занятий разнообразны: семинары, практикумы, деловые игры, защита рефератов, презентация проектов и др. Количество часов и объем изучаемого материала позволяют принять темп продвижения по курсу, соответствующий возрасту учащихся.

Учебно-тематический план

№

Тема

Количество часов

Дата проведения

Всего

Теории

Практикум

1

Метод математических моделей

2

1

1

1.1

Понятие о математических моделях

1

1

1.2

Математические модели в экономике

1

1

2

Производство, рентабельность и производительность труда

4

1

3

2.1

О проблемах экономической теории

1

1

2.2

Рентабельность и вычисление налогов на прибыль

1

1

1

2.3

Экскурсия в городскую налоговую инспекцию

1

1

2.4

Производительность труда

1

1

3

Функции в экономике

3

1

2

3.1

О понятиях функции. Откуда берутся функции в экономике

1

1

3.2

Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции в экономике

1

1

3.3

Функции спроса и предложения

1

1

4

Системы уравнений и рыночное равновесие

3

1

2

4.1

Спрос, предложение и равновесие

1

1

4.2

Встреча с местными предпринимателями

1

1

4.3

Примеры нахождения рыночного равновесия

1

1

5

Проценты и банковские расчеты

8

2

6

5.1

Простые проценты и арифметическая прогрессия

1

1

5.2

Начисление простых процентов за часть года

1

1

5.3

Ежегодное начисление сложных процентов

1

1

5.4

Многократное начисление процентов в течение одного года. Число е.

1

1

5.5

Многократное начисление процентов в течение нескольких лет

1

1

5.6

Начисление процентов при нецелом промежутке времени. Изменяющиеся процентные ставки

1

1

5.7

Выбор банком годовой процентной ставки

1

1

5.8

Некоторые литературные и исторические сюжеты

1

1

6

Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей

4

2

2

6.1

Понятие о дисконтировании

1

1

6.2

Современная стоимость потока платежей

1

1

6.3

Бессрочная рента и сумма бесконечной геометрической прогрессии

1

1

6.4

Задача о «проедании вклада»

1

1

7

Банковская система

3

1

2

7.1

Как банки «создают деньги»

1

1

7.2

Понятие о мультипликаторе

1

1

7.3

Изменение величины суммарного кредитования

1

1

8

Расчеты заемщика с банком

3

3

8.1

Банки и деловая активность предприятий

1

1

8.2

Равномерные выплаты заемщиком банку

1

1

8.3

Консолидированные платежи

1

1

9

Олимпиада

2

2

10

Защита проектов юных экономистов и банкиров

2

2

Итого:

34

10

24

Список рекомендуемой литературы

1. Башарин Г. П. Начала финансовой математики. – М.: Инфарм, 1998.

2. Бочарова О. В. Математика в экономике: Программа элективного курса для классов профильного обучения\Институт повышения квалификации и переподготовки работников образования Курганской области. – Курган, 2003.

3. Вигдорчук Е. В., Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и бизнеса. – М.: Вита-Пресс, 1995.

4. Дорофеев Е. В., Седова Е. А. Процентные вычисления. СПб.: Специальная литература, 1997.

5. Липсиц И. В. Экономика без тайн. – М.: Дело, Вита-Пресс, 1994.

6. Мицкевич А. А. Сборник заданий по экономике. – М.: Вита-пресс, 1997.

7. Симонов А. С. Экономика на уроках математики. – М. Школа-Пресс, 1999.

8. Симонов А. С. О математических моделях экономики в школьном курсе математики\\Математика в школе. — №5, -1997.

9. Симонов А. С. Некоторые приложения геометрической прогрессии в экономике\Математика в школе. — №3.- 1998.

10. Симонов А. С. Проценты и банковские расчеты\\Математика в школе. — №4. – 1998.

11. Современный экономический словарь. – М.: Инфра-М, 1998.

12. Фрейнкиан Е. Ю. Экономика и бизнес. – М.: Начала-Пресс, 1995.

13. Хейне П. Экономический образ мышления. – М.: Дело, 1992.

14. Шевкин А. В. Текстовые задачи. – М.: Прсвещение, 1997.

infourok.ru

Удивительный мир уравнений. — презентация, доклад, проект

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: [email protected]

Мы в социальных сетях

Социальные сети давно стали неотъемлемой частью нашей жизни. Мы узнаем из них новости, общаемся с друзьями, участвуем в интерактивных клубах по интересам

ВКонтакте >

Что такое Myslide.ru?

Myslide.ru — это сайт презентаций, докладов, проектов в формате PowerPoint. Мы помогаем учителям, школьникам, студентам, преподавателям хранить и обмениваться своими учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей >

myslide.ru

Eqworld мир математических уравнений — откуда появились уравнения? кто придумал,когда. И если вам не трудно ,пожалуйста ,напишите какие-нибудь уравнения. — 22 ответа



Кто придумал уравнения

В разделе Домашние задания на вопрос откуда появились уравнения? кто придумал,когда. И если вам не трудно ,пожалуйста ,напишите какие-нибудь уравнения. заданный автором хитросплетенный лучший ответ это Уравнение
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
УравнеL9;ние — равенство вида или, где f и g — функции (в общем случае — векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).
Аргументы заданых функций (иногда называются «переменными» ) в случае уравнения называются «неизвестными».
Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.
Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.
Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имею корней.
[править]
Примеры уравнений
x + 3 = 2x
ex + y = x + y
an + bn = cn, где a,b,c,n — натуральные числа.
[править]
См. также
Линейное уравнение
Квадратное уравнение
Решение какого-либо уравнения построением
Система уравнений
Переменная, неизвестное, константа
[править]
Ссылки
EqWorld — Мир математических уравнений. Содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных, функциональных и др.).
Категория: Уравнения
Источник:

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U{\displaystyle U} изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества.

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов, для :

Диаграммы Венна при помощи n{\displaystyle n} фигур изображают все 2n{\displaystyle 2^{n}} комбинаций n{\displaystyle n} свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3{\displaystyle n=3} диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм , понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы.

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.

Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения.

Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию.

Симметрическая разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}, их симметрическая разность есть объединение элементов A{\displaystyle A}, не входящих в B{\displaystyle B}, с элементами B{\displaystyle B}, не входящими в A{\displaystyle A}. На письме для обозначения симметрической разности множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} используется обозначение A△B{\displaystyle A\bigtriangleup B}, реже используется обозначение A−˙B{\displaystyle A\,{\dot {-}}\,B}.

Это список нумерованных малых планет Солнечной системы в порядке нумерации.

По состоянию на апрель 2019 года известно 523 824 нумерованных малых планеты и 265 245 ненумерованных. Лишь 21 893 малых планеты (около 4% от всех нумерованных) имеют собственные названия. Первой безымянной малой планетой является (3708) 1974 FV1. Международный астрономический союз признал пять малых планет карликовыми планетами, и ещё сотни карликовых планет могут быть найдены в будущем (см. List of possible dwarf planets).

В Википедии существуют отдельные списки малых планет и комет по физическим свойствам, орбитальным свойствам или условиям их открытия:

Астероиды и карликовые планеты

List of unnumbered minor planets — малые планеты, пока ещё не получившие порядковый номер (по состоянию на сентябрь 2015 это около 35 % малых планет).

Список транснептуновых объектов — объекты, орбита которых проходит за орбитой Нептуна.

List of possible dwarf planets — потенциально карликовые, достаточно массивные малые планеты для создания своего поля тяготения.

List of exceptional asteroids — исключительные астероиды, с высоким склонением, относительно крупные, слишком быстро или слишком медленно вращающиеся и т. д.

List of minor planets and comets visited by spacecraft — малые планеты или кометы в точке наблюдения или рядом с космическими аппаратами.

Спутники астероидов — астрономические объекты, вращающиеся по орбитам вокруг малых планет как их естественные спутники.

Кометы

Список короткопериодических комет — перечень нумерованных комет, имеющих орбитальный период менее 200 лет.

List of hyperbolic comets — кометы из облака Оорта, имеющие достаточную орбитальную скорость, чтобы покинуть Солнечную систему.

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com

Диаграмма Эйлера — Венна Википедия

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U{\displaystyle U} изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1][2].

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для :

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них^[4]
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5],
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6],
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений^[7][8].

Диаграммы Венна при помощи n{\displaystyle n} фигур изображают все 2n{\displaystyle 2^{n}} комбинаций n{\displaystyle n} свойств, то есть конечную булеву алгебру^[9]. При n=3{\displaystyle n=3} диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм ^[10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы^[11].

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

ru-wiki.ru

Использование метода кругов Эйлера (диаграмм Эйлера–Венна) при решении задач в курсе информатики и ИКТ

Разделы: Информатика

1. Введение

В курсе Информатики и ИКТ основной и старшей школы рассматриваются такие важные темы как “Основы логики” и “Поиск информации в Интернет”. При решении определенного типа задач удобно использовать круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна).

Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна используются прежде всего в теории множеств как схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств. В общем случае они изображают все 2ⁿ комбинаций n свойств. Например, при n=3 диаграмма Эйлера-Венна обычно изображается в виде трех кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

2. Представление логических связок в поисковых запросах

При изучении темы “Поиск информации в Интернет” рассматриваются примеры поисковых запросов с использованием логических связок, аналогичным по смыслу союзам “и”, “или” русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью графической схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).

3. Связь логических операций с теорией множеств

С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно наглядно представить связь логических операций с теорией множеств. Для демонстрации можно воспользоваться слайдами в Приложение 1.

Логические операции задаются своими таблицами истинности. В Приложении 2 подробно рассматриваются графические иллюстрации логических операций вместе с их таблицами истинности. Поясним принцип построения диаграммы в общем случае. На диаграмме – область круга с именем А отображает истинность высказывания А (в теории множеств круг А – обозначение всех элементов, входящих в данное множество). Соответственно, область вне круга отображает значение “ложь” соответствующего высказывания. Что бы понять какая область диаграммы будет отображением логической операции нужно заштриховать только те области, в которых значения логической операции на наборах A и B равны “истина”.

Например, значение импликации равно “истина” в трех случаях (00, 01 и 11). Заштрихуем последовательно: 1) область вне двух пересекающихся кругов, которая соответствует значениям А=0, В=0; 2) область, относящуюся только к кругу В (полумесяц), которая соответствует значениям А=0, В=1; 3) область, относящуюся и к кругу А и к кругу В (пересечение) – соответствует значениям А=1, В=1. Объединение этих трех областей и будет графическим представлением логической операции импликации.

4. Использование кругов Эйлера при доказательстве логических равенств (законов)

Для того, чтобы доказать логические равенства можно применить метод диаграмм Эйлера-Венна. Докажем следующее равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон де Моргана).

Для наглядного представления левой части равенства выполним последовательно: заштрихуем оба круга (применим дизъюнкцию) серым цветом, затем для отображения инверсии заштрихуем область за пределами кругов черным цветом:

Рис.3 Рис.4

Для визуального представления правой части равенства выполним последовательно: заштрихуем область для отображения инверсии (¬А) серым цветом и аналогично область ¬В также серым цветом; затем для отображения конъюнкции нужно взять пересечение этих серых областей (результат наложения представлен черным цветом):

Рис.5 Рис.6 Рис.7

Видим, что области для отображения левой и правой части равны. Что и требовалось доказать.

5. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ по теме: “Поиск информации в Интернет”

Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса указан его код – соответствующая буква от А до Г. Расположите коды запросов слева направо в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.

Решение:

Для каждого запроса построим диаграмму Эйлера-Венна:

Ответ: ВАГБ.

Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

Пусть

Ф – количество страниц (в тысячах) по запросу Фрегат;

Э – количество страниц (в тысячах) по запросу Эсминец;

Х – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Фрегат и не упоминается Эсминец;

У – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Эсминец и не упоминается Фрегат.

Построим диаграммы Эйлера-Венна для каждого запроса:

Согласно диаграммам имеем:

1. Х+900+У = Ф+У = 2100+У = 3400. Отсюда находим У = 3400-2100 = 1300.
2. Э = 900+У = 900+1300= 2200.

Ответ: 2200.

6. Решение логических содержательных задач методом диаграмм Эйлера-Венна

Задача 1.

В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический — 14 человек, химический — 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек — и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 — и физический и химический.

Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?

Решение:

Для решения данной задачи очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.

Самый большой круг – множество всех учеников класса. Внутри круга три пересекающихся множества: членов математического (М), физического (Ф), химического (Х) кружков.

Пусть МФХ – множество ребят, каждый из которых посещает все три кружка. МФ¬Х – множество ребят, каждый из которых посещает математический и физический кружки и не посещает химический. ¬М¬ФХ — множество ребят, каждый из которых посещает химический кружок и не посещает физический и математический кружки.

Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Известно, что все три кружка посещают 2 человека, следовательно, в область МФХ впишем число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и физический кружки и среди них уже есть 2 человека, посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем 6 человек (8-2). Аналогично определим количество учащихся в остальных множествах:

Просуммируем количество человек по всем областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из класса посещают кружки.

Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.

Ответ: 8.

Задача 2.

После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре — 11, в цирке 17 человек; и в кино, и в театре — 6; и в кино и в цирке — 10; и в театре и в цирке — 4.

Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

Решение:

Пусть х – количество ребят, которые побывали и в кино, и в театре, и в цирке.

Тогда можно построить следующую диаграмму и посчитать количество ребят в каждой области:

Ответ: 1.

Таким образом, круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна) находят практическое применение при решении задач в формате ЕГЭ и ГИА и при решении содержательных логических задач.

Литература

1. В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина. Логика в информатике. М.: Информатика и Образование, 2006. 155 с.
2. Л.Л. Босова. Арифметические и логические основы ЭВМ. М.: Информатика и образование, 2000. 207 с.
3. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ для 8 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 220 с.
4. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ для 9 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 244 с.
5. Сайт ФИПИ: http://www.fipi.ru/

6.05.2013

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Круги Эйлера — это… Что такое Круги Эйлера?

Круги́ Э́йлера^[1] — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все комбинаций свойств, то есть конечную булеву алгебру. При диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.^[2]

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

См. также

Примечания

1. ↑ «Круги…» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые многомерные фигуры, иерархически расположенные в пространстве, то есть одни фигуры поглощают либо часть других фигур, либо полностью.
2. ↑ Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.

dic.academic.ru

Диаграмма Венна — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U{\displaystyle U} изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1][2].

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для :

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них^[4]
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5],
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6],
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений^[7][8].

Диаграммы Венна при помощи n{\displaystyle n} фигур изображают все 2n{\displaystyle 2^{n}} комбинаций n{\displaystyle n} свойств, то есть конечную булеву алгебру^[9]. При n=3{\displaystyle n=3} диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм ^[10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы^[11].

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Связь диаграмм Эйлера и Венна

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Эйлера — Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера^[12]. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики^[12].

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

• A={1,2,5}{\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}
• B={1,6}{\displaystyle B=\{1,\,6\}}
• C={4,7}{\displaystyle C=\{4,\,7\}}

• диаграмма Эйлера

• диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

Видео по теме

См. также

Примечания

1. ↑ Столл, 1968, с. 25.
2. ↑ Нефедов, 1992, с. 8.
3. ↑ Кузичев, 1968, с. 106.
4. ↑ Кузичев, 1968, с. 171.
5. ↑ Кузичев, 1968, с. 134.
6. ↑ Кузичев, 1968, с. 9.
7. ↑ Кузичев, 1968, с. 97.
8. ↑ Столл, 1968, с. 26.
9. ↑ Кузичев, 1968, с. 57.
10. ↑ Кузичев, 1968, с. 124.
11. ↑ Кузичев, 1968.
12. ↑ ^{1 2} Кузичев, 1968, с. 25.

Ссылки

Литература

wiki2.red

Диаграммы Эйлера—Венна — это… Что такое Диаграммы Эйлера—Венна?

Диаграммы Эйлера—Венна

Пример диаграммы Эйлера. B — живое существо, A — человек, C — неживая вещь.

Круги́ Э́йлера^[1] — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все 2ⁿ комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n = 3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако, этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.^[2]

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер (1841—1902) в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

Примечания

1. ↑ «Круги…» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые многомерные фигуры, иерархически расположенные в пространстве, то есть одни фигуры поглощают либо часть других фигур, либо полностью.
2. ↑ Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

• Диаграммы Вороного
• Диадумен (значения)

Смотреть что такое «Диаграммы Эйлера—Венна» в других словарях:

• Диаграммы Венна — Пример диаграммы Эйлера. B  живое существо, A  человек, C  неживая вещь. Круги Эйлера[1]  геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… …   Википедия

• ДИАГРАММЫ ВЕННА —     ДИАГРАММЫ ВEHHА графический способ задания и анализа логико математических теорий и их формул. Строятся путем разбиения части плоскости на ячейки (подмножества) замкнутыми контурами (кривьми Жордана). В ячейках представляется информация,… …   Философская энциклопедия

• Круги Эйлера — Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства:   живое существо,   человек,   неживая вещь Круги Эйлера[1]  геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения …   Википедия

• Диаграмма Эйлера — Пример диаграммы Эйлера. B  живое существо, A  человек, C  неживая вещь. Круги Эйлера[1]  геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… …   Википедия

• Диаграмма Венна — Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов (буквы заглавные) Диаграмма Венна …   Википедия

• Логические диаграммы —         графический (геометрический, точнее топологический) аппарат математической логики (См. Логика). Идея Л. д. была известна ещё в средние века, развивалась затем Г. В. Лейбницем, но впервые достаточно подробно и обоснованно была изложена Л.… …   Большая советская энциклопедия

• Формула включений-исключений — (или принцип включений исключений) комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом …   Википедия

• Операции над множествами — Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико множественными операциями или сет операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые …   Википедия

• Операция над множествами — Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико множественными операциями или сет операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые …   Википедия

• Кэрролл Льюис — (Carroll), настоящие имя и фамилия Чарлз Латуидж Доджсон (Dodgson) (1832 1898), английский писатель, математик и логик. В повестях сказках, продолжающих традицию гротескной «поэзии бессмыслиц»,  «Алиса в стране чудес» (1865) и «В Зазеркалье»… …   Энциклопедический словарь

dic.academic.ru

Формула медианы

Треугольник и его медианы.

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

• Формула медианы через стороны:

, где m_c — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника,

поэтому сумма квадратов медиан произвольного треугольника всегда в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон.

• Формула стороны через медианы:

, где m_a,m_b,m_c медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c — стороны треугольника.

Медиана — это обезьяна, лазает по сторонам, делит их напополам.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

• Улица Академика Королёва
• Гавал (музыкальный инструмент)

Смотреть что такое «Формула медианы» в других словарях:

• Медиана треугольника — У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы. Медиана треугольника (лат.  …   Википедия

• Медиана (геометрия) — Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание 1 Свойства 2 Формулы …   Википедия

• Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве)  это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… …   Википедия

• Теорема Лейбница (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Лейбница. Теорема или формула Лейбница  утверждение о медианах: Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Для произвольной точки O плоскости имеет… …   Википедия

• Ящик с усами — Не следует путать с японскими свечами. График 1. Результаты эксперимента Майкельсона Морли …   Википедия

• АЛГЕБРА ЛОГИКИ —         система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… …   Философская энциклопедия

• Пренатальный скрининг — У этого термина существуют и другие значения, см. Скрининг. Пренатальный скрининг  комплекс медицинских исследований (лабораторных, ультразвуковых), направленный на выявление группы риска по развитию пороков плода во время беременности.… …   Википедия

• Лейбниц, Готфрид Вильгельм — Готфрид Вильгельм Лейбниц Gottfried Wilhelm Leibniz …   Википедия

• Математическое ожидание — (Population mean) Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины Математическое ожидание, определение, математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, выборочное, условное матожидание, расчет,… …   Энциклопедия инвестора

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 …   Википедия

dic.academic.ru

Медиана, высота и биссектриса треугольника

Для решения задач по геометрии, связанных с треугольниками, важно усвоить одну простую, но важную истину. Существует третий признак равенства треугольников («по трем сторонам»), из которого следует, что не существует двух различных треугольников с одинаковыми сторонами. Следовательно, зная длины всех сторон треугольника, можно узнать об этом треугольнике все, что нужно. В том числе длины его медиан, биссектрис и высот. Разберем более подробно, каким образом это можно сделать.

Теорема о длине высоты треугольника

Для нахождения длины высоты треугольника можно расписать его площадь двумя способами. Во-первых, используя формулу Герона, во-вторых, как половину произведения высоты на основание, к которому проведена данная высота.

здесь — полупериметр треугольника.

Из сравнения данных формул находим:

Отметим, что это лишь один из способов нахождения длины высоты треугольника по его сторонам, который удобен далеко не всегда. Существует огромное множество альтернативных способов, с которыми читатель может ознакомиться в предыдущих уроках.

Решение. Треугольник BOA на рисунке является равнобедренным, поэтому ∠ OAH = ∠ OBH = 30° (катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы). Тогда ∠ BOA и соответствующая дуга окружности, на которую он опирается, равны по 120°. Тогда дуга, на которую опирается ∠ BCA, равна 240°, а значит сам угол ∠ BCA = 120°.

Площадь треугольника ABC находим по формуле: Длину стороны AB находим по теореме косинусов для треугольника ABC, она равна . С другой стороны, площадь треугольника есть половина произведения высоты на основание, к которому данная высота проведена. Отсюда выражаем требуемую длину высоты что меньше 

yourtutor.info

Ответы@Mail.Ru: Как найти медиану

1)Формула медианы через стороны (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей) : mc= &#8730; (2a^2 +2b^2-c^2)/4 где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника 2)Формула стороны через медианы: а = 2/3&#8730; ( 2(mb^2+mc^2)-ma^2) , где ma,mb,mc медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c — стороны

Спасибо за решение

В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC = 95, AC = 114. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны BM.(вариант ОГЭ). РЕШЕНИЕ: в таблице квадратов находим число 95(9025) и число 57((3249) 57 это 114/2),от 9025-3249=5776. ищем число 5776 в таблице квадратов, это получается цисло 76. Ответ ВМ= 76.

touch.otvet.mail.ru

Медиана прямоугольного треугольника

Примечание. В данном уроке изложены теоретические материалы и решение задач по геометрии на тему «медиана в прямоугольном треугольнике». Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Определение медианы

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины угла. Точка их пересечения называется центром тяжести треугольника (относительно редко в задачах для обозначения этой точки используется термин «центроид»), 
• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

Задачи по геометрии, предлагаемые для решения, в основном, используют следующие свойства медианы прямоугольного треугольника.

• Сумма квадратов медиан, опущенных на катеты прямоугольного треугольника равна пяти квадратам медианы, опущенной на гипотенузу (Формула 1)
• Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы (Формула 2)
• Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника (Формула 2)
• Медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине корня квадратного из суммы квадратов катетов (Формула 3)
• Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два синуса противолежащего катету острого угла (Формула 4)
• Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два косинуса прилежащего катету острого угла (Формула 4)
• Сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна восьми квадратам медианы, опущенной на его гипотенузу (Формула 5)

Обозначения в формулах:

a, b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

Если обозначить треугольник, как ABC, то 

ВС = а

AC = b

AB = c

(то есть стороны a,b,c — являются противолежащими соответствующим углам)

m_a — медиана, проведенная к катету а 

m_b — медиана, проведенная к катету b

m_c — медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе с

α (альфа) — угол CAB, противолежащий стороне а

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно,  3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике. В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y). 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC — общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора   

AC² + CD² = AD²

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4x² + y² = 9 

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC² + BC²  = BE²

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x² + 4y²  = 16

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений. 
4x² + y² = 9
x² + 4y²  = 16 

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения).
5x² + 5y² = 25  
5( x² + y² ) = 25
x² + y² = 5 

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора  
AC² + BC²  = AB²

Так как длина каждого из катетов нам «известна», мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4x² + 4y² = AB²
Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки      
4 ( x² + y² ) = AB²  
Чему равно  x² + y² мы уже знаем (см. выше x² + y² = 5), поэтому просто подставим значения вместо  x² + y² 

AB² = 4 х 5
AB² = 20
AB = √20 = 2√5  

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5     

profmeter.com.ua

Теперь решаем уравнения на каждом интервале.

(-∞; 6) здесь получился знак “ – ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные:

-x+6=18
x=-12

Видно, что -12 лежит на интервале (-∞; 6) следовательно, является корнем уравнения.

(6;+∞) здесь получился знак “ + ”, значит выражение под модулем остается без изменения:

x-6=18
x=24

Видно, что 24 лежит на интервале (6;+∞) следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: -12 и 24

Пример №2:

Решите уравнение | 2x – 5 |- | 4 — x | = -18.

Решение:

Выражения стоящие под модулем приравниваем к 0:

2x – 5 = 0 и 4 — x = 0
x=2,5 и x=4

Отмечаем x=2,5 и x=4 на координатной прямой, далее проверяем знак на каждом из получившихся интервалах.

На интервале (-∞; 2,5) возьмем число 0 и подставим в каждое выражение
2*0-5=-5 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”
4-0=4 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”

На интервале (2,5; 4) возьмем число 3 и подставим в каждое выражение
2*3-5=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-3=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”

На интервале (4; +∞) возьмем число 5 и подставим в каждое выражение
2*5-5=5 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-5=-1 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”

Теперь решаем уравнения на каждом интервале.

(-∞; 2,5) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем остается без изменения:

-2x + 5 — ( 4 — x ) = -18
-2x + 5 — 4 + x = -18
x=19
Видно, что 19 не лежит на интервале (-∞; 2,5) следовательно, не является корнем уравнения.

(2,5; 4) здесь получился знак “ + ” у обоих выражений, значит выражения под модулем останутся без изменений:

2x – 5 — ( 4 — x ) = -18
2x – 5 — 4 + x = -18
3x=-9
x=-3

Видно, что -3 лежит на интервале (2,5; 4) следовательно,не является корнем уравнения.

(4; +∞) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем остается без изменения:

2x – 5 — ( — 4 + x ) = -18
2x – 5 + 4 — x = -18
x=-17

Видно, что -17 лежит на интервале (4; +∞) следовательно,не является корнем уравнения.

Ответ: корней нет

Пример №3:

Решите уравнение ||x|-3|=15.

Решение:

Так как в правой части стоит простое число то распишем на два уравнения (раскроем внешний модуль):

|x|-3=15
|x|-3=-15

Перенесем в обоих уравнениях -3 вправо, получим:

|x|=15+3
|x|=-15+3

|x|=18
|x|=-12 (модуль не может равняться отрицательному числу, следовательно это уравнение не имеет решений)

Раскрываем модуль |x|=18

x=18
x=-18

Ответ: -18 и 18

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

tutomath.ru

Решение модульных уравнений

Для того, чтобы научиться решать уравнения с модулем, надо вспомнить и выучить определение модуля.

Из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Кроме того, определение показывает как можно избавляться от знака модуля в уравнении.

На практике это делается так:

1) Находят значения переменной, при которых выражения стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

2) Отмечают все нули на числовой прямой. Они разобьют эту прямую на лучи и промежутки, на которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.

3) Определяем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и раскрываем все модули (заменяя их подмодульными выражениями со знаком плюс или со знаком минус в зависимости от знака подмодульного выражения).

4) Решаем получившиеся уравнения на каждом промежутке (сколько промежутков, столько и уравнений).Обратите внимание, что обязательно выбираем только те решения, которые находятся в данном промежуток (полученные решения могут и не принадлежать промежутку).

Хватит уже теории, пора на примерах посмотреть как решаются уравнения с модулем. Начнем с более простого.

Решение уравнений с модулями

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение.  Так как  , то  . Если  , то  ,  и  уравнение принимает вид  .

Отсюда получаем  .

Ответ:  .  

Пример 2. Решить уравнение  .

Решение.  Из уравнения следует, что  .

Поэтому  , , , и уравнение принимает вид  или  .

Так как  , то исходное уравнение корней не имеет.

Ответ:  корней нет.

Пример 3. Решить уравнение  .

Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде .

Полученное уравнение относится к уравнениям типа .

Известно, что уравнение такого типа равносильно неравенству . Следовательно, здесь имеем   или   .

Ответ:  .

Думаю, как решать такого вида уравнения с модулем вы уже разобрались. Попробуем разобраться с более сложным уравнением.

Пример 4. Решить уравнение: |x² + 2x| – |2 – x| = |x² – x|

Находим нули подмодульных выражений:

х²  + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 или х = ‒ 2. При этом парабола у = х²  + 2х положительна на промежутках (–∞; –2 ) и (0; +∞), а на промежутке (–2; 0 ) она отрицательна (см. рисунок).

х²  ‒ х = 0, х(х – 1) =0, х = 0 или х = 1. Эта парабола у = х² ‒ х положительна на промежутках (–∞; 0 ) и (1; +∞), а на промежутке (0; 1) она отрицательна (см. рисунок).

2 – х = 0, х = 2, модуль положителен на промежутке (–∞; 0) и принимает отрицательные значения на промежутке (2; +∞) (см. рисунок).

Теперь решаем уравнения на промежутках:

1)   х ≤ ‒2:   х²  + 2х – (2 – х) = х²  ‒ х, х²  + 2х – 2 + х = х²  ‒ х, 4х = 2, х = 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

2)   –2 ≤ x <0:   ‒(х²  + 2х) – (2 – х) = х²  ‒ х, ‒х²  ‒ 2х – 2 + х = х² ‒ х, ‒2 х² = 2, х² = ‒1, решений нет.

3)    0 ≤ x <1:   х²  + 2х ‒ (2 – х) = ‒ (х²  ‒ х), х²  + 2х ‒ 2 + х = ‒х²  + х, 2х²  + 2х – 2 = 0, х²  + х – 1 = 0, √D = √5,
х₁ = (‒1 ‒ √5)/2 и х₂ = (‒1 + √5)/2.

Так как первый корень отрицательный, то он не принадлежит нашему промежутку, а второй корень больше нуля и меньше единицы это и есть наше решение на данном промежутке.

4)    1 ≤ x <2:   х² + 2х – (2 – х) = х² ‒ х, х² + 2х – 2 + х = х² ‒ х, 4х = 2, х= 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

5)    х ≥ 2:   х² + 2х –(‒(2 – х)) = х² ‒ х, х² + 2х + 2 ‒ х = х² ‒ х, 2х = ‒ 2, х = ‒1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ: (‒1 + √5)/2.

Вы заметили, что решается это уравнение также как и предыдущие, отличие в количестве промежутков. Так как под модулем стоят квадратные выражения то корней получилось больше, а соответственно и больше промежутков.

А как же решать уравнение в котором модуль стоит под модулем? Давайте посмотрим на примере.

Пример 5. Решите уравнение |3 – |x – 2|| = 1

Подмодульное выражение может принимать значение либо 1 либо – 1. Получаем два уравнения:

3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1 или 3 ‒ |х ‒ 2|= 1

Решаем каждое уравнение отдельно.

1)  3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1, ‒|х ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|х ‒ 2|= ‒4, |х ‒ 2|= 4,
х ‒ 2= 4 или х ‒ 2= ‒ 4, откуда получаем х₁ = 6, х₂ = ‒2.

2)  3 ‒ |х ‒ 2|= 1, ‒|х ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|х – 2|= ‒2, |х – 2|= 2,
х – 2 = 2 или х – 2 = ‒2,  
х₃ = 4 , х₄ = 0.

Надеюсь, после изучения данной статьи вы будете успешно решать уравнения с модулем. Если остались вопросы, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Решение уравнения с модулем

Решение уравнений с модулем. В этой статье я покажу алгоритм решения уравнений, которые содержат  несколько выражений под знаком модуля, на примере решения уравнения уровня С1, а затем вы посмотрите ВИДЕОУРОК с подробным разбором тригонометрического уравнения с модулем.

Давайте решим уравнение:

Вспомним, что модуль раскрывается по  такому правилу:

Говоря человеческим языком, модуль выражения равен самому выражению, если оно неотрицательно, и выражению с противоположным знаком, если оно меньше нуля.

Таким образом, перед нами стоит задача раскрыть все модули в соответствии со знаками подмодульных выражений.

Будем следовать такому алгоритму:

1. Определим, в каких точках каждое подмодульное выражение меняет знак. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:

, 

, 

Мы получили три точки.

2. Нанесем их на числовую ось:

Эти три числа разбили числовую ось на четыре промежутка:

,   ,   ,  

Обратите внимание, что мы включили крайние точки промежутков в оба промежутка. Ничего страшного не случится, если мы эти точки учтем два раза, главное, о них не забыть.

3. Теперь рассмотрим знаки подмодульных выражений на каждом промежутке:

Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Мы получили знаки всех подмодульных выражений на каждом промежутке. Теперь раскроем модули на каждом промежутке с учетом этих знаков.

Наше уравнение «распадается» на четыре уравнения по количеству числовых промежутков.

4. Решим уравнение на каждом промежутке:

1. 

Решение уравнения на первом промежутке 

2.Раскроем модули на втором промежутке:

Мы получили, что второе уравнение системы является тождеством, то есть   второе равенство верно при любом действительном значении . Следовательно, решением системы будут те значения неизвестного, которые удовлетворяют первому неравенству:

.

3. Раскроем модули на третьем промежутке:

Решение уравнения на третьем промежутке: 

4. Раскроем модули на четвертом промежутке:

Решение уравнения на четвертом промежутке: 

Заметим, что решения нашего уравнения на каждом промежутке принадлежали этому промежутку, то есть удовлетворяли неравенству каждой системы. Однако, так бывает не всегда, и если корень уравнения не удовлетворяет неравенству, значит, соответствующая система не имеет решений.

5. Теперь объединим полученные решения, и запишем ответ:

Ответ: -6≤х≤0, х=12

А сейчас я предлагаю вам посмотреть ВИДЕУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа,  и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Число -5  имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x),   если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= — f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3,  если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два  различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение  существует на числовом  промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x²+4x-3

1.  Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если  x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка:  х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При  х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

x-3=-x²+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

x² -3х=0

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х₁=0, х₂=3

Внимание! поскольку  уравнение x-3=-x²+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х₂=3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

3-x=-x²+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

x²-5х+6=0

х₁=2, х₂=3

Внимание! поскольку  уравнение 3-х=-x²+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х₁=2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень  х=2.

Ответ:  х=3, х=2

ege-ok.ru

Уравнения с модулями. Графический метод

Простыми уравнения с модулями называем уравнения вида

|x|=5; |x-3|=2; ||2x-1|-5|=3; |1-x|=4

в которых переменная входит однократно и линейно.
Решать модульные уравнения можно как с помощью метода раскрытия модулей так и графически. В данной статье большое внимание будет уделено именно графическому методу раскрытия модулей. Для этого постепенно будет раскрыта суть преобразований с модулями. Таким образом удается решить множество тестовых задач в которых требуется найти количество решений уравнения с модулем.
Для наглядности приведем график модуль функции y=|x| ( «галочки»)

Далее представим смещение графика модуль функции по оси Ox, например y=|x-7|. Такая запись означает что функция равна нулю когда дужка равна нулю
x-7=0; –> x=7.
Так что «галочка» переносится вправо на 7.

Если подмодульную функцию умножить на (-1) то график функции не изменится |7-x|=|x-7|.
Если в модуле имеем суммирование |x+5| то смещение графика модуль функции выполняем в сторону отрицательных переменных

Самое интересное в вычислениях происходит когда имеем уравнение вида модуль в модуле
||x|-6|, ||x|+3|
Тогда выполняем перенос графика внутреннего модуля по оси вниз или вверх и симметричное отображение значений, которые идут ниже оси Oх вверх.

Следующая функция это модуль поднят вверх на три.

Далее, если в задании спрашивают «Какое количество корней уравнения ||x|-6|=2?» то необходимо провести лишь линию y=2 и подсчитать количество точек пересечения с графиком модуль функции

Уравнение имеет 4 решения. Лучше решать графически уравнение с модулями на листке в клеточку, есть лучшая привязка к квадратикам. Задача в каждом из случаев сводится к смещению, отображения и параллельному переносу графика модуль функции |x|. Решим несколько примеров чтоб Вы понимали насколько эффективная методика графического раскрытия модулей.

Пример 1. Найти корни уравнения ||x-2|-5|=3.
Решение: Имеем задания типа модуль от модуля. Выполняем построение первого (внутреннего) модуля

Далее параллельно переносим линии вниз на 5, чтобы получить график функции y=|x-2|-5

Следующим шагом отражаем все что находится ниже оси абсцисс. Это и будет искомая модуль функция y=||x-2|-5|. Также выполняем построение прямой у=3

Нетрудно определить по рисунку что решениями уравнения с модулями будут значения
x=-6; x=0;x=4; x=10.
На этом пример выполнен. Далее будет меньше детализации, однако суть алгоритма графического построения Вам будет понятен.

Пример 2. Найти количество корней следующего уравнения с модулем |||x+1|-3|-5|=2.
Решение: Имеем уравнения с двумя вложенными модулями. График первого вложенного модуля получим смещением в отрицательную сторону оси абсцисс модуль функции на единицу. Далее параллельно переносим полученный график вниз на 3 и отразим относительно оси Ox все минусовые y. Полученный график снова опускаем вниз, на этот раз на 5 клеток и симметрично отражаем все что находится ниже оси Ox. Выполняем построение правой стороны уравнения – прямой y=2.
В результате у Вас должен получиться похожий конечный график модуль функции

Из построения видим, что имеем пять точек пересечения прямой с модуль-функцией, а следовательно и 5 корней уравнения. Вот и все решения примера с модулями. Классическое раскрытие модулей для этого примера занимает очень много времени и существует вероятность неправильного решения уравнения. Преимущество графического метода по времени решения видна невооружённым глазом.

Пример 3. При каком значении параметра a уравнение с модулем ||x-4|-2|=a-3 имеет три, четыре корня?
Решение: Выполняем построение модулей, которые находятся в левой части уравнения

Из построения видим, если правая сторона уравнения с модулями равна 2 то имеем три точки пересечения. Если от 0 до 2 не учитывая краев – 4 корни уравнения. Отсюда получим уравнение для определеения параметра

a-3=2; – > a=5.

и неровности

a-3>0; a>3;
a-3< 2; a < 5 .

В итоге: уравнение имеет 3 корня когда параметр равен a=5
и 4 корня если параметр принадлежит интервалу a=(3..5).

В подобных примерах надо быть очень внимательными так как часто именно вопрос ставится так, чтобы помочь Вам или наоборот «навредить». Например: «Сколько положительных корней имеет уравнение с модулями?», «Найдите сумму решений уравнения», «Найдите наибольшее целое значение параметра» и тому подобные. Поэтому вдумчиво читайте что от Вас требуют, а уже потом приступайте к вычислениям.

Похожие материалы:

yukhym.com

19. Уравнения с модулем | Решение задач по математике и другим предмета

Модулем (Абсолютной величиной) Числа называется неотрицательное число:

(3.9)

Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки Х.

Свойства модуля:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

I тип: уравнение вида

(3.10)

Где А – число, – некоторое выражение с неизвестной Х.

1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.

2. Если уравнение (3.10) равносильно уравнению

3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:

II тип: Уравнение вида

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения

З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения Х, для которых

2) нанести полученные значения Х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида

(3.11)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ – Метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип: Уравнение вида

(3.12)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

1-й способ – решение уравнения (3.12) сводится к решению совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной У. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

Если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ:

Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем

откуда т. е.

Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

(3.13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду

откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем

т. е.

Квадратное уравнение имеет корни:

Т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:

(3.14)

Решаем первую систему совокупности (3.14):

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности (3.14):

Получили ответ

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

После упрощения имеем:

т. е.

Получаем – корень.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем

Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной Х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии

Приходим к совокупности

т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

Т. е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ:

matica.org.ua