Римские цифры, римские числа / англ. — roman numerals. Правила составления. Запись умножения римских чисел на тысячу. Таблица римских чисел от 1 до 100, от 1 до 1000. Используют десятичную систему счета.
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Римские цифры, римские числа / англ. — roman numerals. Правила составления. Запись умножения римских чисел на тысячу. Таблица римских чисел от 1 до 100, от 1 до 1000. Используют десятичную систему счета.
Справка от dpva.ru. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 — это арабские цифры / англ. — arabic numerals, а теперь статья про римские цифры и числа — roman numerals :
Римские цифры, римские числа / англ. — roman numerals. Правила составления. Запись умножения римских чисел на тысячу. Таблица римских чисел от 1 до 100, от 1 до 1000. Используют десятичную систему счета.
Римский счет, это десятизначное система счета, использующая 7 (семь) цифр обозначенных буквами и горизонтальные линии — представляет собой комбинацию буквенных обозначений для представления чисел:
Римские цифры:
Римские числа, правила составления:
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
Римские числа получаются путем составления «вычитающих» или «добавляющих» комбинаций:
меньшие числа, стоящие перед большими, вычитаются. Правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры. (хотя, изредка, число вычетов бывет и больше двух, что не мешает читать запись, например VIII=IIX )
меньшие числа, стоящие после больших, добавляются. Правлило применяется до трех подряд, потом — смотри предыдущее правило. (хотя, изредка число добавленных букв бывет равно и четырем, что не мешает читать запись, например: IV=IIII)
число / цифра 0 (ноль) не входит в ряд римских цифр, вообще не считалась числом 🙂
для составления больших чисел: любое число, записанное с горизонтальной линией над ним, подразумевает, что его следует умножить на 1000, чтобы получить результат. (Изредка используется двойное подчеркивание — сверху и снизу.)
Пример — римское число 32: ХХXII = 20 + 1 +1 = 32
Пример — римское число 29: XХIX = 10 + 10 -1 + 10 = 29
Умножение римских цифр на 1000 (большие римские числа), пример:
_
V
=
5 x 1000 = 5000 (пять тысяч) ; горизо
dpva.ru
Ответы@Mail.Ru: Это что за число: XLIV ???
Получается 44, т. е 54 без 10
Это число — 64. арифметика 3 класса начальной школы.
Как римляне сами не путались в своих числах
X — 10
L — 50
I — 1
V — 5
Если меньшее число стоит перед большим, то меньшее нужно вычесть из большего.
Таким образом, данное число — 44.
Кстати, есть правило мнемотехники для запоминания значения римских цифр. Звучит оно примерно так:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх (именно в таком порядке) . То есть, 1000, 500, 100, 50, 10, 5, 1.
чувак у меня вопрос у тебя 6 цифр DCLXVI а в снгоске 7 как так? а прости понял
touch.otvet.mail.ru
Разбираемся, что значит XL-размер
Порой бывает очень и очень обидно, когда, купив понравившуюся вещь, вы вдруг обнаруживаете, что она абсолютно не подходит по размеру. Вдвойне обидно, когда товар (например, нижнее белье) нельзя обменять. Поэтому важно научиться ориентироваться в современных маркировках. К примеру, давайте разберемся, что значит XL-размер.
Измеряем себя
Принято полагать, что под обозначением XL скрываются родные российские 52-54. Но не будем полагаться на слухи, а снимем необходимые мерки.
У женщин (да и у мужчин тоже) измеряется обхват талии, груди и бедер. Если вам работать с сантиметровой лентой в новинку, то попросите кого-нибудь вам помочь.
Чтобы разобраться, вписываетесь ли вы в XL-размер, определите обхват своей груди. Этот параметр измеряем по наиболее выступающим точкам, заводим ленту подмышки и далее по спине. Если у вас выступающие лопатки, то лента должна проходить по ним.
Обхват талии обмеряем строго по этой самой талии, не затягивая ленту туго.
При измерении бедер старайтесь провести лету по наиболее выдающимся точкам ягодиц.
Таблица размеров XL
Теперь у нас есть на руках числа. Пришла пора ознакомиться с таблицами размерного ряда. Зачем они нужны? По ним проще провести сравнение. Найти таблицы несложно, они публикуются довольно часто. Иногда фирменные вещи сопровождаются этими данными.
Итак, в таблице находим свои показатели. Для девушек небольшого роста (150-160 сантиметров) XL-размер определяют: талия в районе 81 или 89 сантиметров, грудь в пределах от 101 до 109 сантиметров, а бедра – 108 или 115. Для высоких девушек и тех, чей рост составляет стандартные 164 сантиметра, к названным числам приплюсовываем 1-2 сантиметра. Понятно, что если ваша цель – покупка блузки, то приоритет отдаем обхвату груди.
В таблицах иногда помещают ещё одну графу – вес. Неплохо было бы ещё добавить параметр, определяющий комплекцию.
Сейчас мы говорили о женских габаритах. Теперь определим мужской размер XL. Это какой размер? В таблице фигурируют уже знакомые нам обхваты груди, талии. В сантиметрах это будет: 104 см – грудь, от 96 до 99 сантиметров – окружность талии. При выборе брюк неплохо предварительно замерить длину ног. И не только по внешней стороне от талии до пола, но и по внутренней, чтобы определить длину внутреннего шва. Такая точность гарантирует идеальную посадку вещи.
Немного о тонкостях
Вышеуказанные цифры все же носят слишком обобщенный характер. Нормальной является погрешность в 2 или 3 сантиметра.
К тому же, XL-размер на американской одежде может отличаться от того же обозначения на китайских вещах. Да и с европейцами аналогичная ситуация. Поэтому внимательно сличаем свои габариты с теми, что приведены в сравнительных таблицах. Полезно обзавестись несколькими вариантами, отображающими параметры для «американцев», «европейцев» и «китайцев».
Ещё следует иметь в виду, что для нижнего белья применяют свои маркировки.
Особенности есть и при выборе эластичной одежды. Она захватывает больший диапазон размерного ряда.
Будьте внимательны при измерениях, научитесь с легкостью ориентироваться в таблицах — и недоразумений при покупке одежды будет гораздо меньше.
Делимость натурального числа на 16 зависит от четырёх последних цифр в его записи.
1-й признак делимости на 16
Натуральное число делится без остатка на 16:
— если последние четыре цифры в его записи образуют число, которое делится на 16;
— если его запись оканчивается четырьмя нулями.
Чтобы не проверять делимость на 16 числа, образованного четырьмя последними цифрами, непосредственным делением, можно воспользоваться другим признаком.
2-й признак делимости на 16
Натуральное число делится на 16 без остатка, если сумма — цифра из разряда тысяч, умноженная на 8, плюс цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 10, плюс цифра из разряда единиц, — делится на 16.
Схематически второй признак делимости на 16 для четырёхзначного числа можно изобразить так:
Для шестизначного числа делимость на 16 схематически выглядит так:
Примеры.
Определить, какие из данных чисел делятся без остатка на 16:
1) 1072;
2) 1553;
3) 2198;
4) 15472;
5) 86448;
6) 102192;
7) 105504;
8) 514352.
Решение:
1) 1072: 8∙1+4∙0+10∙7+2=8+0+70+2=80. Так как 80 делится на 16, то и 1072 делится на 16 нацело.
2) 1553 не делится на 8, так как его запись оканчивается нечётной цифрой.
3) 2198: 8∙2+4∙1+10∙9+8=16+4+90+8=118. 118 на 16 не делится. Следовательно, 2198 не делится без остатка на 16.
4) 15472: 8∙5+4∙4+10∙7+2=40+16+70+2=128. Поскольку 128 кратно 16, 15472 также кратно 16.
5) 86448: 8∙6+4∙4+10∙4+8=48+16+40+8=112. Так как 112 делится на 16, то и 86448 делится на 16.
6) 102192: 8∙2+4∙1+10∙9+2=16+4+90+2=112. 112 делится на 16. Значит, 102192 делится на 16 нацело.
7) 105504: 8∙5+4∙5+10∙0+4=40+20+0+4=64. Так как 64 делится на 4, 105505 делится на 16.
8) 514352: 8∙4+4∙3+10∙5+2=32+12+50+2=96. 96 делится на 16. Следовательно, и 514352 делится на 16.
числа, которые делятся на 16-являются кратными для 16.
повтори своё имя 16 раз.первое число джонни которое ты придумаешь-правильное.
ja dumaiui eto cislo 436,875.<br>Dokazatelistvo:esli cislo a kratno sislu b znacit v «a» vhodit opredelionnoe kol-vo»b».tak?togda 466/16=29.125(eto odna sestnadtetaia ciasti.Teperi citob naiti blijaishee cislo 466-i:<br>466-29.125=436.875<br>esli uznaeshi kak vsio-taki eto delaetsia,napisi pls,a to i mne interesno stalo!
Имеется в виду признак делимости на 16?<br><br>Признак делимости на 2 в натуральной степени<br>Если число, составленное из последних N цифр числа А, делится на 2^N, то число А делится на 2^N (N – натуральное число).<br>234320: 320 делится на 8=2^3, значит, 234320 делится на 8<br>743251632: 1632 делится на 16=2^4, значит, 743251632 делится на 16 и т.д.<br><br>Признак делимости на любое число (признак Паскаля)<br>Число A делится на m тогда и только тогда, когда на m делится сумма произведений цифр числа А на остатки от деления на m соответствующих разрядных единиц.<br><br>В данном случае ближайшим кратным 16 числом будет 464. Но с трехзначным числом проще посчитать: разделить на 16, получится 29,125. Ближайшее целое число — 29. Умножаем на 16, получаем искомый ответ — 464.<br>
touch.otvet.mail.ru
Какое число делится на 16,11 и 10?
Тебе нужно найти НОК этих чисел
Загрузите свое задание на этот форум:
zadachi . com . ua<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/255989045_7a9c57092f7ecc693667ce11db6b251e_800.png» alt=»» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/255989045_7a9c57092f7ecc693667ce11db6b251e_120x120.png» data-big=»1″>
Вероника. Это число будет наименьшим общим кратным для даных чисел. Эти числа нужно разложить на простые множители. Записать произведение этих множителей и посчитать.
16 = 2*2*2*2;
11 — простое число;
10 = 2*5.
НОК (16,11,10) = 2*2*2*2*11*5 = 880. Пожалуйста!
Суперкары А777 — каталог лучших суперкаров мира, сравнение и заезды автомобилей, викторины и рейтинги
Суперкары А777 — каталог лучших суперкаров мира, сравнение и заезды автомобилей, викторины и рейтинги
Scroll
Cars on Cards — битва характеристик!
Супер викторина — SNAPCARS!
CAREXPERT — викторина
Интересная викторина. Из 3-х фото машин, требуется указать лучшую по скорости, мощности, разгону и так далее! В викторине 20 вопросов, время идет — но на результат не влияет. Два варианта сложности.
Оценка результата.
Автовикторина — Угадайка!
Классическая викторина с большими картинками. Угадай что на фото, выбирая из трех вариантов. 10 уровней сложности. Оценка результата.
The new generation Pascal programming language that combines simplicity of classic Pascal, a great number of modern extensions and broad capabilities of Microsoft .NET Framework.
Free, simple and powerful IDE.
Built-in form designer for rapid development of Windows desktop applications.
Free LGPLv3 license.
Important links:
Download the latest version of PascalABC.NET with build-in form designer.
Examples of PascalABC.NET programs.
Learn Programming with PascalABC.NET!
Key features of PascalABC.NET
Several extensions of the Pascal language, including the foreach operator, in-block variable definitions, auto type deduction in variable definitions, simplified syntax of units, method implementations inside classes and records, a new operator for object construction, anonymous classes, auto-classes, BigIntegers etc.
The most modern features of programming languages: n-dimensional dynamic arrays, generics, interfaces, operator overloading, exceptions, garbage collection, lambda expressions.
Efficient code generation for .NET platform.
High compatibility with Delphi Object Pascal.
High speed of program execution.
Access to a huge number of .NET libraries.
IDE with integrated debugger, IntelliSense system, code templates and code auto-formatting.
Built-in form designer for rapid development of Windows desktop applications.
Simple and efficient bitmap and vector graphics library.
Some OpenMP directives for parallel programming.
Robot and Drawman units for school informatics.
Built-in Programming Taskbook — the electronic problem book on programming that contains 1100 learning tasks and covers almost all sections of a basic programming curriculum.
Subsystem for automatic correctness checking of results computed by pupil’s programs.
Command-line PascalABC.NET compiler that is available on Windows (under .NET) and Linux (under Mono).
PascalABC.NET is a joint development of Russian and German programmers. In Russia, the development center is located at the Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University.
PascalABC.NET is used in a great number of secondary schools and universities of Russia and neighboring countries. In Southern Federal University, it is used as the main language for teaching students of Information technology in the course «Fundamentals of programming» and for teaching children in one of the largest computer schools in Russia.
Simple, powerful, free — this is PascalABC.NET!
pascalabc.net
Уроки Pascal ABC для начинающих
Профессиональная среда разработки для создания программ и приложений любого уровня сложности. Сочетает в себе классическую простоту Паскаля и все возможности современной среды разработки .NET, которую используют профессиональные разработчики по всему миру. Кроме того, язык программирования Паскаль изучают на школьном курсе информатики, давая учащимся базовые знания об операторах и переменных. Таким образом, обучение Паскаль абс даётся новичкам лучше, чем освоение других языков программирования.
Курс из семи практических видеоуроков идеально подходит для тех, кто хочет узнать, как сделать программу в Pascal ABC, вне зависимости от уровня подготовки. Каждый урок имеет свою тему, поэтому их можно смотреть как по порядку, так и выборочно, чтобы углубить и расширить свои познания в конкретной области.
Уроки Pascal ABC
Представленные в видеокурсе уроки Паскаль АБС основаны на разработке прикладных программ и дают практические знания. Все программы, которые вы напишите в процессе прохождения видеокурса, полностью рабочие и их можно использовать в повседневной жизни – «воды» и пустой теории в курсе нет.
Осваиваем интерфейс редактора и пишем свои первые строчки кода.
Изучаем логику работы с числами и конструируем таймер.
Изучаем, как язык программирования компилирует исходный код.
4creates.com
Решение задач паскаль, pascal решение задач. Паскаль онлайн решение
Не получается написать программу на Паскале?
Для допуска к экзамену нужно сделать кучу лабораторных работ по программированию на языке Pascal?
Не успеваете или что-то не получается?
Не стоит расстраиваться!
Агентство Neudoff.net — вот решение всех ваших проблем!
Об агентстве
Компания Neudoff.net на протяжении нескольких лет успешно работает на рынке образовательных услуг, помогая студентам и школьникам справляться с возникающими трудностями. Мы на заказ выполняем лабораторные работы по программированию и производим написание программ на языке Паскаль.
В нашем агентстве работают только высококвалифицированные специалисты, каждый из которых имеет высшее «физмат» или техническое образование.
Наши возможности
Программирование на Паскале проходят почти на всех начальных курсах любой специальности хоть как-то связанной с «физмат» направлением. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, с ним могут возникать проблемы.
Наши специалисты неоднократно помогали нашим клиентам с написанием программ на Паскале. Мы не понаслышке знаем обо всех проблемах, которые могут возникать с лабораторными работами по программированию, и мы можем помочь с их решением!
Наше агентство также предоставляет онлайн решение и написание программ на языке Pascal, стоит только сделать заказ!
Как сделать заказ
Заказ сделать очень просто — воспользуйтесь «формой отправки». Она очень проста и удобна. Рядом есть подробная инструкция по ее использованию. С ее помощью вы легко можете прислать нам задания, требования по оформлению, указав сроки и прочую необходимую информацию.
Вы так же можете связаться с нами любым удобным для вас способом (ICQ, ВКонтакте, Скайп и т.д.) и просто прислать нам задания по написанию программ.
Все для вашего удобства!
Заказы можно присылать в любое время дня и ночи — агентство Neudoff.net на связи всегда!
Наши гарантии
Если вы заказываете у нас выполнение лабораторных работ по программированию на Паскале впервые, то для начала вы можете сделать заказ одной «лабы», а после получения готового решения, дозаказать остаток.
Агентство Neudoff.net — серьезная организация. Мы дорожим своей репутацией и стараемся, чтобы каждый наш заказчик остался доволен нашей работой.
Высокий уровень предоставляемых услуг — это наше правило!
Наши бонусы
Мы очень ценим, что многие наши заказчики возвращаются к нам вновь и вновь. Большинство из них стали нашими постоянными клиентами. Более того, многие советуют нас своим друзьям и знакомым. Это очень приятно!
Для постоянных клиентов мы создали систему бонусов, которые представляют собой скидки на следующие заказы. Чем больше заказываете, тем больше скидка!
Ждем ваших заказов на выполнение лабораторных работ и написанию программ на Паскале!
Если вам что-то стало непонятно, свяжитесь с нами, и мы ответим на все ваши вопросы! Выберите любой удобный для вас способ и напишите нам!
сколько сантиметров будет, если 5 метров перевести в масштаб 1:25?
5 умножить на 25 эт в см, разделить на 100 вот и будет в метрах
маштаб 1 см = 25 м
25 * 5 = 125 см
в 1см на карте 25см на местности, 5м разделить на 25см получается 20см на карте — плане.
1:25 часть 5 метров это 1м 25 см или 125 см….
20 сантиметров
я делаю так 500 см/25=20см
География 7 класс
Что такое масштаб?
• Масштаб показывает, во сколько раз
расстояние на карте меньше
соответствующего расстояния на
местности.
• Масштаб 1:10 000 (читается одна
десятитысячная) показывает, что каждому
сантиметру на карте соответствует 10 000
сантиметров на местности.
В Вашем случае на плане, пятиметровое расстояние в указанном масштабе, будет предстовлять собой 20-ти сантиметровый отрезок.
Поразительно что некоторые «знатоки», порочат честное имя СТРОИТЕЛЬ и пишут откровенную чепуху. Может быть так-же и строят. Желаю удачи!!!
не понятно, как ты школу отходил …или прокурил…
ЫЫЫЫЫЫЫ)) ) ВАЛЯЮСЬ С ТЕБЯ… как ты учился — ясно, но даже теоретически же можно сообразить.. . улыбнуло )))
touch.otvet.mail.ru
как расчитать масштаб 1:10 ?
Это значит все натуральные данные уменьшены в десять раз. Но можно допустить ошибку с построением чертежа в ма сштабе.
Например: Вам надо начертить план земельного участка с размерами
20м на 30м на листе бумаги формата А-3. Вы можете разделить всё на 10 и принять в 1 см 10м и чертите прямоугольник 2см на 3см. Это будет масштаб не 1:10 а 1:100, т. к. в 1см будет 100см.
что бы сделать масштаб 1:10, необходимо перевести натуральные размеры в метрах в размеры в сантиметрах и сантиметры делить на десять. Тогда будет в 1см — 20 см натуралного размера.
реальную величину разделить нужно на десять, или если это на карте то к примеру один сантиметр умножте на десять и получится реальная величина
Масштабом обзывается отношение длины линии на плане или карте к соответствующей проекции этой линии на местности Например, масштаб 1:100 показывает, что 1 см на плане соответствует 100 см на местности
touch.otvet.mail.ru
ЧТО ТАКОЕ МАСШТАБ
Масштаб. Виды масштаба
География. 7 класс
Что такое масштаб?
•Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше соответствующего расстояния на местности.
•Масштаб 1:10 000 (читается одна десятитысячная) показывает, что каждому сантиметру на карте соответствует 10 000 сантиметров на местности.
Что означает масштаб
•1 : 500
•1 : 100 000
•1 : 20 000 000
Виды масштаба
численный
именованный
линейный
1 : 25 000
в 1 см – 250 м
Какие виды масштаба здесь указаны? Какой отсутствует?
Как перевести численный масштаб в именованный
•Записать в 1 см –
•Поскольку в 1 метре 100 сантиметров, то нужно убрать два нуля
•Поскольку в 1 километре 1000 метров, то нужно убрать еще три нуля (если можно)
•Оставшееся число записать после тире, указать метры или километры
Как перевести численный масштаб в именованный
Примеры:
•
1 : 5|00
в 1 см – 5 м
•
1
: 20 0|00
в 1 см – 200 м
•
1
: 3 0|00 0|00
в 1 см – 30 км
Перевод масштаба из численного в именованный
1 : 500
1 : 1500
1 : 50 000
1 : 200 000
Перевод масштаба из численного в именованный
1 : 3 000 000
1 : 60 000 000
1 : 1 500 000
Проверьте ответы
1 : 500
1 : 1500
1 : 50 000
1 : 200 000
1 : 3 000 000
1 : 60 000 000
1 : 1 500 000
в1 см – 5 м
в1 см – 15 м
в1 см – 500 м
в1 см – 2 км
в1 см – 30 км
в1 см – 600 км
в1 см – 15 км
Упражнения. Переведите масштаб из численного в именованный
Комплексное число это пара двух действительных чисел (x, y). Мы можем представить комплексные числа, как точки в системе координат. Пусть z — комплексное число. z = (x,y) x — это вещественная часть z, а y — это мнимая часть z.
Комплексные числа образуют C поле комплексных чисел. Поле действительных чисел является его частью.
Если у нас есть два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) то:
Другой способ записи z это: z = x + iy, x
— вещественная часть z, y — мнимая часть, а i
— мнимая единица. i2 = -1, i = √-1.
Каждое комплексное число z = x + iy имеет сопряженное число z = x — iy.
z + z = 2x — действительное число;
z — z = i2y — мнимое число;
z.z = x2 + y2 = |z|2 — действительное число
Каждое комплексное число (x, y) имеет соответствующую точку в системе координат. Мы не можем сказать точка A > B, потому что мы не можем
сказать так о двух комплексных числах (x1, y1) > (x2, y2)
Это значит что комплексные числа не имеют порядка.
Векторная форма комплексного числа это:
z = |z|(cosθ + isinθ) = |z|eiθ или z = r(cos(θ) + i.sin(θ)) = r.ei.θ
Здесь |z| — это модуль комплесного числа (совпадает с величиной OM), θ -это аргумент комплесного числа или фаза.
Заштрихованный круг наверху означает модуль |z| комплексного
числа z, а угол θ — аргумент комплексного
числа.
$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i.sin(\frac{\theta+2k\pi}{n}))$ k = 0, 1, 2,…, n-1
Пишите на нашем форуме касательно комплексных чисел.
www.math10.com
Основные темы математики : Комплексные числа
Комплексные или мнимые числа впервые появились в известном сочинении Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» 1545 года. По мнению автора, эти числа не были пригодны к употреблению. Однако это утверждение было позднее опровергнуто. В частности, Бомбелли в 1572 году при решении кубического уравнения обосновал пользу мнимых чисел. Он составил основные правила действий с комплексными числами.
И все же долгое время в математическом мире не было единого представления о сущности комплексных чисел.
Геометрическое представление комплексного числа
Впервые символ мнимых чисел был предложен выдающимся математиком Эйлером. Предложенная символика выглядела следующим образом: i = sqr -1, где i — imaginarius, что означает фиктивный. В заслугу Эйлера также входит идея об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.
Итак, необходимость в числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (где D — дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.
Графическая запись комплексных чисел имеет вид: a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, т.e. i2 = -1. Число a называется абсциссой, a b — ординатой комплексного числа a + bi. Два комплексных числа a + bi и a — bi называются сопряжёнными комплексными числами.
Существует ряд правил, связанных с комплексными числами:
Во-первых, действительное число а может быть записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a — 0 i. К примеру, 5 + 0 i и 5 — 0 i означают одно и то же число 5.
Во-вторых, комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.
В третьих, два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d. В ином случае комплексные числа не равны.
К основным действиям над комплексными числами относятся:
Сложение. Комплексное число ( a + c ) + ( b + d ) i называется суммой комплексных чисел a + bi и c + di. Следовательно, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.
Это правило справедливо к действиям с обычными многочленами.
Вычитание. Комплексное число ( a — c ) + ( b — d ) i называется разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое). Отсюда следует, что при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.
Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di является комплексное число ( ac — bd ) + ( ad + bc ) i. Это определение справедливо при соблюдении двух требований:
числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
число i обладает основным свойством: i2 = -1.
К примеру, (a + bi)(a — bi) = a2 + b2. Отсюда следует, что произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.
Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части
Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) — значит отыскать третье число e + f i (частное), умножение которого на делитель c + di даёт в результате делимое a + bi. Деление возможно только в случае, если делитель не равен нулю.
К примеру, (8 + i) : (2 — 3i) = 1 + 2i.
В геометрическом представлении комплексные числа в отличие от действительных, которые изображаются на числовой прямой точками, отмечаются точками на координатной плоскости. Возьмем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на осях. В этом случае комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b. Такая система координат называется комплексной плоскостью.
Модулем комплексного числа является длина вектора OP, изображающего комплексное число комплексной плоскости. Модуль комплексного числа a + bi записывается в виде |a + bi| или буквой r и равен:
r = |a + ib| = sqr a2 + b2.
У сопряженных комплексных чисел имеется одинаковый модуль.
Аргументом комплексного числа является угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим комплексное число. Отсюда получаем, tan φ = b/a.
Тригонометрическая форма комплексного числа выражается через модуль r и аргумент φ абсциссы a и ординаты b комплексного числа a + bi.
a = r cosφ, b = r sinφ.
a + bi = r ( cosφ + i sinφ).
Поделиться ссылкой
sitekid.ru
Комплексные числа
Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).
Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :
а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;
б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$
в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$
Тогда существует $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$
Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$
$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$
6. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$
Пусть $k=[\alpha]+1;$ тогда $\alpha-k<0.$
Применяя правило Лопиталя $k$ раз, получаем $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta e^{\beta x}}=…=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}}{\beta^k e^{\beta x}}=0.$
7. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$
Пусть $\ln x =t;$ тогда $x=e^t$ и $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}}=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{\alpha}}{e^{\beta t}}=0$ (пример 6).
Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:
8. $\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x$
Преобразуя неопределенность вида $0\cdot\infty$ к виду $\frac{\infty}{\infty}$ и применяя правило Лопиталя имеем
Преобразуя неопредленность вида $\infty-\infty$ к виду $\frac{0}{0}$ и используя асимптотическую формулу $\sin x \sim x$ при $x\rightarrow 0,$ получаем
а $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$ (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$
mathportal.net
Лекция по математике на тему «Комплексные числа»
Лекция 9
Тема 9. Комплексные числа.
Время: 2 часа
Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.
План лекции:
Понятие комплексного числа.
Формы записи комплексных чисел.
Действия над комплексными числами.
Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.
Основная теорема алгебры.
Понятие комплексного числа.
Комплексным числомz называется выражение вида z= x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i2= –1.
Если х = 0, то число 0+iy= iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RС.
Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х=Rе z, а у – мнимой частьюz, у=Im z.
Два комплексных числа z1= x1 +iy1z2= x2 +iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
В
О х х
М
у
у
сякое комплексное число можно изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х=Rе z, у=Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора =. Длина вектора называется модулем этого числа и обозначается или r.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого (k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z + , где аrg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке , т.е. аrg z (иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка ).
Формы записи комплексных чисел.
Запись числа в виде называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент можно рассматривать как полярные координаты вектора = , изображающего комплексное число . Тогда получаем , . Следовательно, комплексное число можно записать в виде или . Такая запись называется тригонометрической формой.
Модуль однозначно определяется по формуле . Например, . Аргумент определяется из формул
, ,
Так как , то , .
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать .
Так как аrg z , то из формулы получаем, что
Используя формулу Эйлера , комплексное число можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме, где – модуль комплексного числа, а угол .
В силу формулы Эйлера функция – периодическая с основным периодом 2. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать .
Пример 1: Записать комплексные числа z1 = –1+iи z2 = –1в тригонометрической и показательной формах.
Решение: Для числа z1 имеем:
, т.е. .
Поэтому
Для z2 имеем т.е. .
Поэтому .
Действия над комплексными числами.
Суммой двух комплексных чисел z1 и z2у z1+z2
называется комплексное число, определяемое z2
равенством . z1
Ox
С
у
ложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что . Это соответствие называют неравенством треугольника.
О х
z2
z1
Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z, которое будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z =z1 – z2, если .
.
Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что .
Отметим, что, т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию dмежду точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки , т.е. окружность с центром в и радиусом 1.
Произведением комплексных чисел z1= x1+iy1 и z2= x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:
Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x1 +iy1 и x2 +iy2, учитывая, что i2= –1.
Например, (2–3i)(–5+4i)= –10+8i+15i–12i2 = –10+23i+12=2+23i.
Заметим, что – действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.
Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:
Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности
– формула Муавра.
Пример 2: Найти
Решение: Запишем сначала число в тригонометрической форме:
;
По формуле Муавра имеем
Частным двух комплексных чисел z1и z2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, даёт число z1, т.е. , если .
Если положить , , , то из равенства следует
Решая систему, найдём значения х и у:
.
На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.
Пример 3: Выполнить деление
Решение:
Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: ,
т.е. .
Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству .
Если положить , а , то по определению корня и формуле Муавра, получаем
.
Отсюда имеем
Т.е. (арифметический корень).
Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:
,
Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Пример 4: Найти все значения .
Решение: Запишем комплексное число в тригонометрической форме.
.
.
Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием ?
Р
y
ешение: Комплексное число изображается вектором, началом которого является точка , а концом ‒ точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть , и он меняется в пределах от до .
С
-1 О х
‒1+i i
ледовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки и образующими с осью ОХ углы в и рад.
Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме
Пусть и , тогда:
Произведение ;
Частное ;
Возведение в n – ю степень ;
Извлечение корня n – й степени , .
Формулы Эйлера.
Рассмотрим разложение функции по формуле Маклорена.
Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:
(1)
Аналогично определяются тригонометрические функции и комплексной переменной z:
(2)
(3)
Подставим в (1) вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.
Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем
и
Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:
Складывая и вычитая эти два выражения, получим
; .
Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:
; .
Из формулы Эйлера следует, что
; .
Приведенные известные из элементарной математики формулы:
, ;
; ,
справедливы и для комплексных значений аргументов и .
Основная теорема алгебры:
Функция вида , где п – натуральное число, – постоянные коэффициенты, называется многочленомп-ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).
Корнем многочлена называется такое значение х0 (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.
Теорема: Если х1 есть корень многочлена , то многочлен делится без остатка на х–х1, т.е. , где – многочлен степени (п–1).
Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени (n>0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.
Теорема: Всякий многочлен можно представить в виде
,
где – корни многочлена, – коэффициент многочлена при хп.
Множители называются линейными множителями.
Пример 1: Разложить многочлен на множители.
Решение: Многочлен обращается в нуль при Следовательно .
Пример 2: Представить выражение в виде произведения линейных множителей.
Решение: Легко проверить, что является корнем данного многочлена.
=
Уравнение имеет два комплексных корня и .
Следовательно, .
Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно записать в виде: , где ‒ кратности соответственно корней .
Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет сопряжённый корень .
Перемножив линейные множители,
,
получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами
=, где
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:
Теорема: Всякий многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:
где ,
х1, х2, … , хr–корни многочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
Пример: этот многочлен имеет корни: х1= ‒2 и х2=3, других действительных корней нет. Тогда .
infourok.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Пусть x и y — произвольные вещественные числа.
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).
Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.
Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.
Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y), записывается в виде
где использован символ i , называемый мнимой единицей.
Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z.
Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z.
Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами.
Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Сложение и вычитание комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов) x1 + i y1 и x2 + i y2 , т.е. в соответствии с формулами
z1 + z2 = = x1 + i y1 + x2 + i y2 = = x1 + x2 + i (y1 + y2) ,
z1 – z2 = = x1 + i y1– (x2 + i y2) = = x1– x2 + i (y1– y2) .
Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:
По этой причине
z1z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) = = x1x2 + i x1 y2 + + i y1x2 + i 2y1 y2 = = x1x2 + i x1y2 + + i y1x2 – y1 y2 = = x1x2 – y1 y2 + + i (x1 y2 + i x2 y1) .
Комплексно сопряженные числа
Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.
Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Замечание. Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).
Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Аргумент комплексного числа
Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z.
Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z.
Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
Тогда оказывается справедливым равенство:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
(3)
Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле
(4)
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
Расположение числа z :
Положительная вещественная полуось
Знаки x и y :
x > 0 , y = 0
Главное значение аргумента:
0
Аргумент:
φ = 2kπ
Примеры:
Расположение числа z :
Первый квадрант
Знаки x и y :
x > 0 , y > 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Положительная мнимая полуось
Знаки x и y :
x = 0 , y > 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Второй квадрант
Знаки x и y :
x < 0 , y > 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Отрицательная вещественная полуось
Знаки x и y :
x < 0 , y = 0
Главное значение аргумента:
π
Аргумент:
φ = π + 2kπ
Примеры:
Расположение числа z :
Третий квадрант
Знаки x и y :
x < 0 , y < 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Отрицательная мнимая полуось
Знаки x и y :
x = 0 , y < 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Четвёртый квадрант
Знаки x и y :
x < 0 , y < 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
z = r (cos φ + i sin φ) ,
(5)
где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:
cos φ + i sin φ = e iφ .
(6)
Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
cos φ + i sin φ,
или, что то же самое, числа e iφ, при любом значении φ равен 1.
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Корнем n — ой степени из числа z0 , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства
следствием которых являются равенства
(9)
Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
(10)
где
причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , … , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Замечание. В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:
z2 = – z1 .
Пример 1. Найти все корни уравнения
z3 = – 8i .
Решение. Поскольку
то по формуле (10) получаем:
Следовательно,
Пример 2. Решить уравнение
z2 + 2z + 2 = 0 .
Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:
Так как
то решения уравнения имеют вид
z1 = – 1 + i , z2 = – 1 – i .
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
Запись по телефону (495) 509-28-10
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Комплексные числа — Викиучебник
Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Журнал Потенциал
Содержание
1 Какие числа бывают
1.1 Задача 1[8] Задача Архимеда
1.2 Задача 2[8]
1.3 Задача 3[9]
2 Что такое комплексные числа?
2.1 Знакомство с мнимой единицей i=−1{\displaystyle \,\!i={\sqrt {-1}}}
Урок по информатике рассчитан на
учащихся 10-х классов общеобразовательной школы, в учебном плане которой входит
раздел «Алгебра логики». Учащимся очень нелегко дается эта тема, поэтому мне,
как учителю, захотелось заинтересовать их в изучении законов логики, упрощении
логических выражений и с интересом подойти к решению логических задач. В
обычной форме давать уроки по этой теме нудно и хлопотно, да и ребятам не
всегда понятны некоторые определения. В связи с предоставлением информационного
пространства, у меня появилась возможность выкладывать свои уроки в оболочке
«learning». Учащиеся, зарегистрировавшись в ней, могут в свое свободное время
посещать этот курс и перечитывать то, что было непонятно на уроке. Некоторые
учащиеся, пропустив уроки по болезни, наверстывают дома или в школе пропущенную
тему и всегда готовы к следующему уроку. Такая форма преподавания очень
устроила многих ребят и те законы, которые им были непонятны, теперь в
компьютерном виде ими усваиваются гораздо легче и быстрее. Предлагаю один из
таких уроков информатики, который проводится интегративно с ИКТ.
План урока
Объяснение нового материала, с привлечением компьютера –
25 минут.
Основные понятия и определения, выложенные в «learning»
— 10 минут.
Материал для любознательных – 5 минут.
Домашнее задание – 5 минут.
1. Объяснение нового материала
Законы формальной логики
Наиболее простые
и необходимые истинные связи между мыслями выражаются
в основных законах формальной логики. Таковыми являются законы тождества,
непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания.
Эти законы
являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются
наиболее общими. Они позволяют упрощать
логические выражения и строить умозаключения и доказательства. Первые три из вышеперечисленных законов были
выявлены и сформулированы
Аристотелем, а закон достаточного основания — Г. Лейбницем.
Закон тождества: в процессе определенного
рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим
себе.
Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то
оке в одно то же время было и не было
присуще одному и тому же в одном и том же
отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и
отрицать.
Закон исключенного третьего: из двух
противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.
Закон достаточного основания: всякая истинная
мысль должна быть достаточно обоснована.
Последний закон говорит о том, что доказательство
чего-либо предполагает обоснование именно и только истинных мыслей. Ложные же
мысли доказать нельзя. Есть хорошая
латинская пословица: «Ошибаться свойственно всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно только глупцу».
Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В
качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения,
фактический материал, статистические
данные, законы науки, аксиомы, доказанные теоремы.
Законы алгебры высказываний
Алгебра
высказываний (алгебра логики) — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования
сложных высказываний.
При решении многих логических задач часто
приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий.
Упрощение формул в алгебре высказываний
производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на
основные логические законы.
Законы алгебры высказываний (алгебры логики) — это тавтологии.
Иногда эти законы называются
теоремами.
В алгебре
высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул.
Среди законов особо выделяются такие,
которые содержат одну переменную.
Первые четыре из
приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.
Закон тождества:
А=А
Всякое
понятие и суждение тождественно самому себе.
Закон тождества означает, что в процессе
рассуждения нельзя подменять одну
мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны
логические ошибки.
Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев неверно,
так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия.
В рассуждении: Движение вечно.
Хождение в школу — движение. Следовательно,
хождение в школу вечно слово
«движение» используется в двух разных смыслах (первое — в философском смысле —
как атрибут материи, второе — в обыденном смысле — как действие по
перемещению в пространстве), что приводит к
ложному выводу.
Закон непротиворечия:
Не
могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть если высказывание А — истинно, то
его отрицание не А должно быть
ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным.
Именно это равенство часто используется при
упрощении сложных логических выражений.
Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих
друг другу высказывания не могут быть
одновременно истинными. Примеры невыполнения закона непротиворечия:
1. На Марсе есть жизнь и на Марсе жизни нет.
2. Оля окончила среднюю
школу и учится в X классе.
Закон исключенного третьего:
В один и тот же момент времени высказывание может
быть либо истинным, либо ложным,
третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. Примеры выполнения закона исключенного третьего:
1. Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего
не дано.
2. Предприятие работает убыточно
или безубыточно.
3. Эта жидкость является или
не является кислотой.
Закон исключенного третьего не является законом,
признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон
применяется там, где познание имеет
дело с жесткой ситуацией: «либо — либо»,
«истина—ложь». Там же, где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон
исключенного третьего часто не может быть применен.
Рассмотрим следующее высказывание: Это
предложение ложно. Оно не может быть
истинным, потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не
ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего.
Парадокс (греч. paradoxos — неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение
ссылается само на себя. Другим
известным парадоксом является задача о парикмахере: В одном городе
парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы
парикмахеру? В логике из-за ее
формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики
нельзя выразить все возможные мысли и доводы. Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут
быть получены остальные законы алгебры высказываний.
Например, определим, чему эквивалентно
(равносильно) А (двойное
отрицание А, т. е. отрицание отрицания А). Для этого построим таблицу
истинности:
По определению равносильности мы должны найти тот
столбец, значения которого совпадают со значениями столбца А. Таким будет
столбец А.
Таким образом, мы можем сформулировать закон
двойного отрицания:
Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в
результате получается исходное высказывание. Например, высказывание А = Матроскин — кот эквивалентно
высказыванию А = Неверно, что Матроскин не кот.
Аналогичным
образом можно вывести и проверить следующие законы:
Свойства констант:
Законы идемпотентности:
Сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор
включен или телевизор включен или телевизор включен … значение
высказывания не изменится. Аналогично от повторения на улице тепло,
на улице тепло,… ни на один градус теплее не станет.
Законы коммутативности:
A v B = B v A
А
& В = В & А
Операнды А и
В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.
Законы ассоциативности:
A v(B v C) = (A v B) v C;
А & (В
& C) = (A &
В) & С.
Если в выражении
используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то
можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.
Законы дистрибутивности:
A v (B & C) = (A v B) &(A v C)
(дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции)
А & (B v C) = (A & B) v (А & C)
(дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции)
Закон
дистрибутивности конъюнкции относительно
дизъюнкции аналогичен дистрибутивному закону в алгебре, а закон
дистрибутивности дизъюнкции относительно
конъюнкции аналога не имеет, он справедлив только в логике. Поэтому необходимо его доказать. Доказательство удобнее
всего провести с помощью таблицы истинности:
Законы поглощения:
A v (A & B) = A
A & (A v B) = A
Проведите
доказательство законов поглощения самостоятельно.
Законы де Моргана:
Словесные формулировки законов де Моргана:
1.
2.
Мнемоническое правило: в левой части тождества операция отрицания
стоит над всем высказыванием. В правой части она как бы разрывается и отрицание
стоит над каждым из простых высказываний, но одновременно меняется операция:
дизъюнкция на конъюнкцию и наоборот.
Примеры выполнения закона де Моргана:
1) Высказывание Неверно, что
я знаю арабский или китайский язык тождественно высказыванию Я не
знаю арабского языка и не знаю китайского языка.
2) Высказывание Неверно, что я выучил урок и
получил по нему двойку тождественно высказыванию Или я не выучил урок,
или я не получил по нему двойку.
Замена операций импликации и
эквивалентности
Операций импликации и эквивалентности иногда нет
среди логических операций конкретного
компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти операции необходимы. Существуют
правила замены данных операций на последовательности операций отрицания,
дизъюнкции и конъюнкции.
Так, заменить операцию импликации можно в
соответствии со следующим правилом:
Для замены операции эквивалентности
существует два правила:
В справедливости данных формул легко убедиться,
построив таблицы истинности для правой и левой частей обоих тождеств.
Знание правил замены операций импликации и
эквивалентности помогает, например, правильно построить отрицание
импликации.
Рассмотрим
следующий пример.
Пусть дано высказывание:
Е = Неверно, что если я выиграю конкурс, то получу приз.
Пусть А = Я выиграю
конкурс,
В = Я получу приз.
Тогда
Отсюда, Е = Я выиграю конкурс, но приз не получу.
Интерес
представляют и следующие правила:
Доказать
их справедливость можно также с помощью таблиц истинности.
Интересно
их выражение на естественном языке.
Например, фраза
Если Винни-Пух съел мед, то он
сыт
тождественна фразе
Если Винни-Пух не сыт, то меда
он не ел.
Задание: придумайте
фразы-примеры на данные правила.
2. Основные понятия и определения в Приложении 1
3. Материал для любознательных в Приложении 2
4. Домашнее задание
1) Выучить законы логики, используя курс «Алгебры логики», размещенный в
информационном пространстве (www.learning.9151394.ru).
2) Проверить
на ПК доказательство законов де Моргана, построив таблицу истинности.
Приложения
Основные понятия и определения
(Приложение 1).
Материал для любознательных
(Приложение 2).
3.07.2010
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Построить таблицу истинности для логического выражения (A ^ B) -> (C v not A)
Построить таблицу истинности для логического выражения. Информатика в 8 классе.
Тема: «Основы алгебры логики».
Основы алгебры логики
Основы алгебры логики на уроках информатики изучаются в школе, начиная с 8 класса.
Прежде чем приступить к выполнению задания, разберем базовые понятия алгебры логики.
Алгебра логики (алгебра высказываний) — это формальная логическая теория, раздел математической логики. Основание алгебры логики положил Джордж Буль (1815 — 1864), развил же и усовершенствовал её Эрнст Шрёдер (1841-1902).
Высказывание — это предложение, о котором имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Истина = 1, ложь =0.
Высказывание, включающее другие высказывания, называют сложным. Для образования сложных высказываний используют логические операции (связки).
Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых.
Логические операции в порядке приоритета.
Инверсия (отрицание)
Инверсия — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно. В выражениях обозначается ¬A или A. Читается «НЕ» (например, «не А»).
Конъюнкция (логическое умножение)
Конъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания. В выражениях обозначается A ∧ B или A & B (знак может не указываться — AB). Читается «И» (например, «А и Б»)
Дизъюнкция (логическое сложение)
Дизъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний. В выражениях обозначается A ∨ B, иногда A + B. Читается «ИЛИ» (например, «А или Б»)
Импликация (следование)
Импликация — это логическая операция, образующая сложное высказывание, ложное тогда и только тогда, когда первое исходное высказывание истинно, а второе — ложно. В выражениях обозначается A ⇒ B или A → B. Читается «ЕСЛИ…ТО» (например, «если А, то Б»)
Эквивалентность (равнозначность)
Эквивалентность — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда значения исходных высказываний совпадают. В выражениях обозначается A ⇔ B или A ≡ B. Читается «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (например, «А тогда и только тогда, когда Б»)
Для записи логических функций часто используют таблицы истинности.
Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.
РЕШЕНИЕ
amlesson.ru
Таблица истинности онлайн с примерами
Таблица истинности — это таблица, которая описывает логическую функцию. Логическая функция здесь — это функция, у которой значения переменных и значение самой функции выражают истинность. Например, они принимают значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0).
Таблицы истинности применяются для определения значения какого-либо высказывания для всех возможных случаев значений истинности высказываний, которые его составляют. Количество всех существующих комбинаций в таблице находится по формуле N=2*n; где N — общее количество возможных комбинаций, n — число входных переменных. Таблицы истинности нередко используются в цифровой технике и булевой алгебре, чтобы описать работу логических схем.
Определить количество N используемых переменных в логическом выражении.
Вычислить количество всевозможных наборов значений переменных M = 2N , равное количеству строк в таблице.
Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество логических операций.
Озаглавить столбцы таблицы названиями переменных и названиями логических операций.
Заполнить столбцы логических переменных наборами значений, например, от 0000 до 1111 с шагом 0001 в случае для четырех переменных.
Заполнить таблицу истинности по столбцам со значениями промежуточных операций слева направо.
Заполнить окончательный столбец значений для функции F.
Таким образом, можно составить (построить) таблицу истинности самостоятельно.
Составить таблицу истинности онлайн
Заполните поле ввода и нажмите OK. T — истина, F — ложь. Рекомендуем добавить страницу в закладки или сохранить в социальной сети.
Обозначения
Множества или выражения большими буквами латинского алфавита: A, B, C, D…
A’ — штрих — дополнения множеств
&& — конъюнкция («и»)
|| — дизъюнкция («или»)
! — отрицание (например, !A)
\cap — пересечение множеств \cap
\cup — объединение множеств (сложение) \cup
A&!B — разность множеств A∖B=A-B
A=>B — импликация «Если …, то»
AB — эквивалентность
Всё для учебы » Математика в школе » Таблица истинности онлайн с примерами — логика
Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):
Конвертировать XLSX в XLS онлайн, бесплатно преобразовать .xlsx в .xls
Расширение файла
.xls
Категория файла
Описание
XLS – представляет собой электронную таблицу, созданную популярным приложением Microsoft Excel. Включает в себя данные документа, которые расположены в ячейках, обладающих определенным адресом. Они могут содержать формулы, математические уравнения, имеющие связь с информацией в других ячейках, и фиксированные сведения. Нередко применяется для разработки графиков и схем. Формат позволяет хранить и редактировать большой круг параметров – изображения, таблицы, макросы, шрифты, диаграммы. Широко использовался до появления версии Excel 2007 года, а затем был заменен на расширение XMLSS.
Сведения внутри документа XLS содержатся в серии потоков статичного размера, их месторасположение описывается с помощью нескольких таблиц распределения сегментов. Отличается обратной совместимостью и поддерживает различные форматы файлов, созданных для DOS. Нередко применяется веб-браузерами с целью исключить использование бинарных форматов. Утилита входит в офисный пакет Microsoft и кроме Excel может открываться различными приложениями вроде Apache Open Office, Libre Office, адаптированных к ОС MacOS, Windows или Linux.
Технические детали
Востребованность формата объясняется его простотой, хотя он не поддерживает отдельные функции, например, хранение макросов VBA. Вплоть до появления XMLSS приложение Excel при форматировании применяло расширение Biff, созданное на базе формата-контейнера IFF. Благодаря этому были доступны изменения шаблонов книг и их содержание. После внедрения в 2007 году нового формата программа не утратила свойств обратно совместимой, что гарантирует широкое распространение XLS и в будущем. Впоследствии на смену расширению XLS пришли форматы XLSM, XLSB и XLSX.
onlineconvertfree.com
Как конвертировать XLSX в XLS
XLSX и XLS являются экселевскими форматами электронных таблиц. Учитывая, что первый из них был создан значительно позже второго и не все сторонние программы его поддерживают, появляется необходимость конвертирования XLSX в XLS.
Пути преобразования
Все методы преобразования XLSX в XLS можно разделить на три группы:
Онлайн-конвертеры;
Табличные редакторы;
Программы-конвертеры.
Мы подробно остановимся на описании действий при использовании двух основных групп способов, которые предполагают применение различного софта.
Способ 1: Batch XLS and XLSX Converter
Начнем рассмотрение решения поставленной задачи с описания алгоритма действий при помощи условно-бесплатного конвертера Batch XLS and XLSX Converter, который производит преобразование, как из XLSX в XLS, так и в обратном направлении.
Скачать Batch XLS and XLSX Converter
Запустите конвертер. Жмите по кнопке «Files» справа от поля «Source».
Или щелкайте по значку «Open» в форме папки.
Запускается окно выбора электронной таблицы. Перейдите в ту директорию, где расположен исходный XLSX. Если вы попали в окно путем клика по кнопке «Open», то обязательно в поле форматов файлов переставьте переключатель из позиции «Batch XLS and XLSX Project» в позицию «Excel File», а иначе нужный объект просто не отобразится в окне. Выделите его и нажимайте «Открыть». Можете выбрать сразу несколько файлов, если это необходимо.
Происходит переход в основное окно конвертера. Путь к выбранным файлам будет отображен в списке подготовленных для конвертирования элементов или в поле «Source». В поле «Target» указывается папка, куда будет отправлена исходящая таблица XLS. По умолчанию это та же папка, в которой хранится исходник. Но при желании пользователь может изменить адрес данной директории. Для этого нужно нажать кнопку «Folder» справа от поля «Target».
Открывается средство «Обзор папок». Переместитесь в нем к каталогу, в котором желаете хранить исходящий XLS. Выделив его, жмите «OK».
В окне конвертера в поле «Target» отобразится адрес выбранной исходящей папки. Теперь можно запускать преобразование. Для этого жмите «Convert».
Запускается процедура конвертирования. При желании её можно прервать или поставить на паузу, нажав соответственно на кнопки «Stop» или «Pause».
После завершения преобразования слева от наименования файлов в списке появится галочка зеленого цвета. Это означает, что конвертирование соответствующего элемента завершено.
Чтобы перейти в место расположения преобразованного объекта с расширением XLS, щелкните по наименованию соответствующего объекта в списке правой клавишей мышки. В раскрывшемся списке жмите «View Output».
Запускается «Проводник» в той папке, где находится выбранная таблица XLS. Теперь можете производить с ней любые манипуляции.
Главный «минус» способа составляет то, что Batch XLS and XLSX Converter является платной программой, бесплатный вариант которой обладает целым рядом ограничений.
Способ 2: LibreOffice
Конвертировать XLSX в XLS может также целый ряд табличных процессоров, одним из которых является Calc, входящий в пакет LibreOffice.
Можете также задействовать Ctrl+O или перейти по пунктам меню «Файл» и «Открыть…».
Запускается средство открытия таблицы. Переместитесь туда, где расположен объект XLSX. Выделив его, жмите «Открыть».
Можно выполнить открытие и минуя окно «Открыть». Для этого перетягивайте XLSX из «Проводника» в стартовую оболочку LibreOffice.
Таблица откроется через интерфейс Calc. Теперь требуется преобразовать её в XLS. Жмите на пиктограмму в форме треугольника справа от изображения в виде дискеты. Выбирайте «Сохранить как…».
Также можете задействовать Ctrl+Shift+S или перейти по пунктам меню «Файл» и «Сохранить как…».
Появляется окно сохранения. Выберите место для хранения файла и переместитесь туда. В области «Тип файла» из списка выберите вариант «Microsoft Excel 97 – 2003». Нажимайте «Сохранить».
Откроется окошко подтверждения формата. В нем нужно подтвердить, что вы действительно хотите сохранить таблицу в формате XLS, а не в ODF, который является «родным» для Либре Офис Кальк. В этом сообщении также предупреждается, что программа, возможно, не сможет сохранить некоторое форматирование элементов в «чужом» для неё типе файлов. Но не переживайте, так как чаще всего, даже если какой-то элемент форматирования не получится корректно сохранить, на общем виде таблицы это мало скажется. Поэтому жмите «Использовать формат Microsoft Excel 97 – 2003».
Таблица преобразована в XLS. Сама она будет храниться в том месте, которое пользователь задал при сохранении.
Главный «минус» в сравнении с предыдущим способом заключается в том, что при помощи табличного редактора невозможно произвести массовое конвертирование, так как придется преобразовывать каждую электронную таблицу в отдельности. Но, в то же время, LibreOffice является абсолютно бесплатным инструментом, что, несомненно, явный «плюс» программы.
Способ 3: OpenOffice
Следующим табличным редактором, с помощью которого можно переформатировать таблицу XLSX в XLS, является OpenOffice Calc.
Для юзеров, предпочитающих применять меню, можно использовать последовательное нажатие пунктов «Файл» и «Открыть». Для тех, кто любит пользоваться «горячими» клавишами предлагается вариант задействовать Ctrl+O.
Появляется окно выбора объекта. Переместитесь туда, где помещен XLSX. Выделив данный файл электронной таблицы, жмите «Открыть».
Как и в предыдущем способе, файл можно открыть, перетянув его из «Проводника» в оболочку программы.
Содержимое откроется в OpenOffice Calc.
Для того, чтобы сохранить данные в нужном формате, щелкайте «Файл» и «Сохранить как…». Применение Ctrl+Shift+S тут тоже работает.
Запускается средство сохранения. Переместитесь в нем туда, куда запланировали поместить переформатированную таблицу. В поле «Тип файла» выберите из перечня значение «Microsoft Excel 97/2000/XP» и жмите «Сохранить».
Будет открыто окошко с предупреждением о возможности утери некоторых элементов форматирования при сохранении в XLS такого же типа, который мы наблюдали в LibreOffice. Тут нужно нажать «Использовать текущий формат».
Таблица будет сохранена в формате XLS и разместится в ранее указанном месте на диске.
Способ 4: Excel
Конечно же, преобразовывать XLSX в XLS умеет табличный процессор Excel, для которого оба эти формата являются «родными».
Запустите Эксель. Перейдите во вкладку «Файл».
Далее щелкайте «Открыть».
Запускается окно выбора объекта. Перейдите туда, где расположен файл таблицы в формате XLSX. Выделив его, жмите «Открыть».
Таблица открывается в Экселе. Чтобы её сохранить в ином формате, снова заходите в раздел «Файл».
Теперь щелкайте «Сохранить как».
Активируется средство сохранения. Переместитесь туда, где планируете содержать преобразованную таблицу. В области «Тип файла» выберите из списка «Книга Excel 97 – 2003». Затем жмите «Сохранить».
Открывается уже привычное для нас окно с предупреждением о возможных проблемах совместимости, только имеющее другой вид. Щелкайте в нем «Продолжить».
Таблица будет преобразована и помещена в то место, которое указал юзер при сохранении.
Но подобный вариант действий возможен только в Excel 2007 и в более поздних версиях. Ранние версии этой программы встроенными средствами не могут открывать XLSX, просто потому, что на момент их создания данного формата ещё не существовало. Но указанная проблема разрешима. Для этого требуется скачать и установить пакет совместимости с официального сайта Майкрософт.
Скачать пакет совместимости
После этого таблицы XLSX будут открываться в Excel 2003 и в более ранних версиях в обычном режиме. Запустив файл с данным расширением, юзер может переформатировать его в XLS. Для этого достаточно перейти по пунктам меню «Файл» и «Сохранить как…», а потом в окошке сохранения выбрать желаемое место и тип формата.
Преобразовать XLSX в XLS на компьютере можно при помощи программ-конвертеров или табличных процессоров. Конвертеры лучше всего использовать, когда нужно произвести массовое преобразование. Но, к сожалению, подавляющее большинство программ данного типа платные. Для единичного конвертирования по данному направлению вполне сгодятся бесплатные табличные процессоры, входящие в пакеты LibreOffice и OpenOffice. Наиболее корректно преобразование выполняет Microsoft Excel, так как для этого табличного процессора оба формата являются «родными». Но, к сожалению, данная программа платная.
Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы. Опишите, что у вас не получилось.
Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ
lumpics.ru
Xlsx в xls – подробная инструкция по конвертации
Давайте для начала разберемся в чем отличие между этими двумя форматами:
XLS – формат файлов, созданных в программе Microsoft Excel. Он использовался вплоть до версии Excel 2003. Формат устарел и не поддерживает многие возможности современного Excel;
XLSX – обновленная версия формата файлов Excel, она появилась вместе с пакетом Microsoft Office 2007.
В настоящее время Excel, начиная с версии 2007, может открывать как файлы XLSX, так и XLS. Excel версии 2003 и ниже, по умолчанию, может работать только с файлами XLS.
Как открыть файл XLSX в Excel 2003 (или более старой версии)
Есть три основных способа, рассмотрим их в порядке приоритетности.
Установка пакета обновления для вашей версии Office. Этот способ самый правильный, так как однажды установив обновление, вы без проблем сможете открывать файлы XLSX в своем старом Excel. Скачать пакет абсолютно бесплатно и без регистрации можно на официальном сайте Microsoft.
Пересохранение файла в Excel 2007 или выше. Подходит, если вам нечасто нужно открывать такие файлы и если у вас есть под рукой другой компьютер с относительно новой версией Office. Чтобы изменить формат файла c XLSX на XLS, откройте в новой в новой версии Excel и зайдите в меню «Файл» -> «Сохранить как»:
Автор считает, что эти материалы могут вам помочь:
Из PDF в Excel — инструкция по конвертации
DOC в PDF, инструкция по конвертации
Как удалить строку в excel — подробная инструкция
Сумма в excel, подробная инструкция
В поле «Тип файла» выберите «Книга Excel 97-2003 (*.xls)) и нажмите «Сохранить». Обратите внимание, функциональность при этом может быть частично потеряна:
Использование сторонних онлайн-сервисов. Вы легко можете найти сайты в интернете, на которых в автоматическом режиме можно изменить формат файла. К примеру, можно использовать сервис Google Docs.
Если у вас остались вопросы – задавайте, или пишите в комментариях к этому вопросу, мы всегда рады вам помочь!
voprosoff.net
Чем открыть файл XLSX
XLSX является форматом файлов, предназначенным для работы с электронными таблицами. В настоящее время он один из самых распространенных форматов данной направленности. Поэтому довольно часто пользователи сталкиваются с необходимостью открыть файл с указанным расширением. Давайте разберемся, с помощью какого софта это можно сделать и как именно.
Читайте также: Аналоги программы Майкрософт Эксель
Открываем XLSX
Файл с расширением XLSX представляет собой вид zip-архива, содержащего электронную таблицу. Он входит в серию открытых форматов Office Open XML. Данный формат является основным для программы Эксель, начиная с версии Excel 2007. Во внутреннем интерфейсе указанного приложения он так и представляется – «Книга Excel». Закономерно, что Эксель может открывать и работать с файлами XLSX. С ними также может работать ряд других табличных процессоров. Давайте рассмотрим, как открыть XLSX в различных программах.
Способ 1: Microsoft Excel
Скачать Майкрософт Эксель
Открыть формат в программе Эксель, начиная с версии Microsoft Excel 2007, довольно просто и интуитивно понятно.
Запускаем приложение и переходим по эмблеме Microsoft Office в Excel 2007, а в более поздних версиях перемещаемся во вкладку «Файл».
В левом вертикальном меню переходим в раздел «Открыть». Также можно набрать сочетание клавиш Ctrl+O, которое является стандартным для открытия файлов через интерфейс программ в ОС Windows.
Происходит активация окна открытия документа. В центральной его части расположена область навигации, с помощью которой следует перейти в ту директорию, где расположен нужный файл с расширением XLSX. Выделяем тот документ, с которым собираемся работать, и жмем на кнопку «Открыть» в нижней части окна. Больше никаких изменений настроек в нем производить не нужно.
После этого файл в формате XLSX будет открыт.
Если же вы используете версию программы до Excel 2007, то по умолчанию данное приложение не откроет книги с расширением XLSX. Это связано с тем, что указанные версии были выпущены ранее, чем появился данный формат. Но владельцы Excel 2003 и более ранних программ все-таки смогут открывать книги XLSX, если установят патч, который специально предназначен для выполнения указанной операции. После этого можно будет запускать документы названного формата стандартным способом через пункт меню «Файл».
Скачать патч
Урок: Не открывается файл в Эксель
Способ 2: Apache OpenOffice Calc
Кроме того, документы XLSX можно открыть с помощью программы Apache OpenOffice Calc, которая является бесплатным аналогом Excel. В отличие от Эксель, у Calc формат XLSX не является основным, но, тем не менее, с его открытием программа справляется успешно, хотя и не умеет сохранять книги в данном расширении.
Скачать Apache OpenOffice Calc
Запускаем пакет программ OpenOffice. В открывшемся окне выбираем наименование «Электронная таблица».
Открывается окно приложения Calc. Жмем по пункту «Файл» в верхнем горизонтальном меню.
Запускается список действий. Выбираем в нем пункт «Открыть». Также можно, как и в предыдущем способе, вместо этого действия набрать комбинацию клавиш Ctrl+O.
Запускается окно «Открыть» аналогичное тому, что мы видели при работе с Эксель. Тут так же переходим в папку, где расположен документ с расширением XLSX и выделяем его. Кликаем по кнопке «Открыть».
После этого файл XLSX будет открыт в программе Calc.
Есть и альтернативный вариант открытия.
После запуска стартового окна OpenOffice жмем на кнопку «Открыть…» либо применяем сочетание клавиш Ctrl+O.
После запуска окна открытия документа выбираем нужную книгу XLSX и жмем на кнопку «Открыть». Запуск будет произведен в приложении Calc.
Способ 3: LibreOffice Calc
Ещё одним бесплатным аналогом Эксель является LibreOffice Calc. У данной программы также XLSX не является основным форматом, но в отличие от OpenOffice, она может не только открывать и редактировать файлы в указанном формате, но и сохранять их с данным расширением.
Скачать LibreOffice Calc бесплатно
Запускаем пакет LibreOffice и в блоке «Создать» выбираем пункт «Таблицу Calc».
Открывается приложение Calc. Как видим, его интерфейс очень напоминает аналог из пакета OpenOffice. Жмем по пункту «Файл» в меню.
В выпадающем списке выбираем позицию «Открыть…». Либо просто можно, как и в предыдущих случаях, набрать сочетание клавиш Ctrl+O.
Запускается окно открытия документа. Посредством него перемещаемся в место расположения искомого файла. Выделяем нужный объект с расширением XLSX и жмем на кнопку «Открыть».
После этого документ будет открыт в окне LibreOffice Calc.
Кроме того, есть ещё один вариант запустить документ XLSX прямо через интерфейс главного окна пакета LibreOffice без предварительного перехода в Calc.
После запуска стартового окна LibreOffice переходим по пункту «Открыть файл», который является первым в горизонтальном меню, либо жмем сочетание клавиш Ctrl+O.
Запускается уже знакомое нам окно открытия файла. Выбираем в нём нужный документ и кликаем по кнопке «Открыть». После этого книга будет запущена в приложении Calc.
Способ 4: File Viewer Plus
Программа File Viewer Plus специально создана для просмотра файлов различных форматов. Но документы с расширением XLSX она позволяет не только просматривать, но также редактировать и сохранять. Правда, не стоит обольщаться, так как возможности по редактированию у данного приложения все-таки значительно урезаны в сравнении с предыдущими программами. Поэтому лучше её использовать только для просмотра. Также следует сказать, что бесплатный срок пользования File Viewer ограничен 10 днями.
Скачать File Viewer Plus
Запускаем File Viewer и щелкаем по кнопке «File» в горизонтальном меню. В открывшемся списке выбираем вариант «Open…».
Также можно воспользоваться универсальным сочетанием кнопок Ctrl+O.
Запускается окно открытия, в котором, как всегда, перемещаемся в директорию расположения файла. Выделяем наименование документа XLSX и жмем на кнопку «Открыть».
После этого документ в формате XLSX будет открыт в программе File Viewer Plus.
Существует более простой и быстрый способ запуска файла в данном приложении. Нужно выделить наименование файла в Проводнике Windows, зажать левую кнопку мыши и просто перетащить его в окно приложения File Viewer. Файл будет тут же открыт.
Среди всех вариантов запуска файлов с расширением XLSX наиболее оптимальным является открытие его в программе Microsoft Excel. Это обусловлено тем, что данное приложение является «родным» для указанного типа файлов. Но если по какой-либо причине у вас на компьютере не установлен пакет Microsoft Office, то можно воспользоваться бесплатными аналогами: OpenOffice или LibreOffice. В функциональности они почти не проигрывают. В крайнем случае, на помощь придет программа File Viewer Plus, но её желательно использовать только для просмотра, а не редактирования.
Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы. Опишите, что у вас не получилось.
Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ
lumpics.ru
Что такое файлы xlsx и как открыть их в Excel
В 2007 году с выходом Microsoft Office 2007 компания Билла Гейтса представила общественности новый универсальный формат для работы с электронными таблицами, — Microsoft Excel Open XML Spreadsheet (сокращенно xlsx). Внедрение данного формата было призвано унифицировать документооборот между различными программными средами от разных производителей и разработчиков. Файлы в формате xlsx открываются многими программными продуктами, такими, как Microsoft Works, Corel WordPerfect Office, Panergy docXConverter, OxygenOffice Professional, OpenOffice, PlanMaker Viewer, Gnumeric, Ability Spreadsheet, Corel Quattro Pro и другими. Тем не менее, основная программа, изначально предназначенная для работы с xlsx-файлами и полноценно их поддерживающая, — это Microsoft Excel. Именно Excel способен полностью раскрыть потенциальные возможности данного стандарта и использовать его в полную меру.
Как открыть файлы xlsx в Microsoft Excel 2016, 2013, 2010, 2007?
Последними версиями Excel’я файлы xlsx открываются как любые другие контейнеры, поскольку это его «родной» формат, и он обладает полноценной поддержкой данного универсального стандарта. Если вы все же задаетесь вопросом, как открыть xlsx-файл в Excel’е, вот вам подробная инструкция, как это сделать.
Открываем Excel, выбрав приложение в стартовом меню Windows или в Metro-ленте (в Win 8.1/10).
Нажимаем кнопку «Открыть другие книги» в левой части домашней формы пакета.
Нажимаем кнопку «Обзор» в интерфейсе новой открывшейся формы для выбора папки, содержащей исходный файл.
Находим файл в структуре жесткого диска, отмечаем его одиночным нажатием и щелкаем на кнопку «Открыть».
На этом процедура открытия xlsx-файла завершается. После описанных выше действий файл будет тотчас открыт и готов для работы.
Как открыть файлы xlsx в Excel 2003?
В старых версиях Excel’я работать с xlsx-объектами немного труднее. Поскольку по умолчанию программная среда данные файлы не поддерживает, так как в то время этот стандарт еще находился в процессе разработки и не был представлен публике, открыть их в Excel 2003 изначально не представляется возможным. Тем не менее, Майкрософт предусмотрела возможность работы с этими контейнерами в Excel 2003 и создала специальный модульный пакет «Compatibility Pack”, призванный облегчить поставленную задачу. Итак, заходим по данной ссылке и скачиваем с открывшейся веб-страницы исполняемый файл.
Устанавливаем его на компьютер, после чего в списке инсталлированных программ появится новое приложение «Пакет совместимости». Далее открываем xlsx-файл в Excel 2003 как любой другой обычный файл – навигатор увидит xlsx-файлы в списке доступных для открытия.
Вот и все, что касается работы с xlsx-контейнерами в программной среде Excel. Между прочим, пакет совместимости сделает возможным открытие новых файлов на основе XML также и в Word, и в PowerPoint (docx, pptx). Так что, имейте это в виду, когда будете ставить пакет на компьютер.
free-office.net
Конвертировать XLSX в XLS — Онлайн Конвертер Файлов
Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet
www.docspal.com
Конвертировать XLS в XLSX онлайн, бесплатно преобразовать .xls в .xlsx
Расширение файла
.xls
Категория файла
Описание
XLS – представляет собой электронную таблицу, созданную популярным приложением Microsoft Excel. Включает в себя данные документа, которые расположены в ячейках, обладающих определенным адресом. Они могут содержать формулы, математические уравнения, имеющие связь с информацией в других ячейках, и фиксированные сведения. Нередко применяется для разработки графиков и схем. Формат позволяет хранить и редактировать большой круг параметров – изображения, таблицы, макросы, шрифты, диаграммы. Широко использовался до появления версии Excel 2007 года, а затем был заменен на расширение XMLSS.
Сведения внутри документа XLS содержатся в серии потоков статичного размера, их месторасположение описывается с помощью нескольких таблиц распределения сегментов. Отличается обратной совместимостью и поддерживает различные форматы файлов, созданных для DOS. Нередко применяется веб-браузерами с целью исключить использование бинарных форматов. Утилита входит в офисный пакет Microsoft и кроме Excel может открываться различными приложениями вроде Apache Open Office, Libre Office, адаптированных к ОС MacOS, Windows или Linux.
Технические детали
Востребованность формата объясняется его простотой, хотя он не поддерживает отдельные функции, например, хранение макросов VBA. Вплоть до появления XMLSS приложение Excel при форматировании применяло расширение Biff, созданное на базе формата-контейнера IFF. Благодаря этому были доступны изменения шаблонов книг и их содержание. После внедрения в 2007 году нового формата программа не утратила свойств обратно совместимой, что гарантирует широкое распространение XLS и в будущем. Впоследствии на смену расширению XLS пришли форматы XLSM, XLSB и XLSX.
Для подготовки данной работы
были использованы материалы с сайта http://ilib.ru/
Дата добавления: 29.07.2003
www.km.ru
«Основные формулы для sina и cosa»
Дата урока: 12.01.2017
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.
Урок 47
Тема урока: «Основные формулы для sina и cosa»
Цели урока:
образовательная – рассмотреть основные формулы;
развивающая — продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, устанавливать причинно–следственные связи, обобщать, оформлять выводы;
воспитательная – продолжить формирование опыта сотрудничества учащихся, умения быть полезным в процессе парной и групповой самостоятельной деятельности.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Ход урока.
Организационный этап.
Приветствует учащихся, создаёт доброжелательную, рабочую атмосферу в классе, проверяет готовность рабочего места учителя и учащихся. Просит сформулировать цель урока, оформить работу в тетради.
Проверка домашнего задания.
Изучение нового материала.
п. 7.4, стр. 211.
Физкультминутка
Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1-4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.
Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.
Не поворачивая головы, посмотреть направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4, затем посмотреть вдаль прямо на счет 1-6. Аналогичным образом проводятся упражнения с фиксацией взгляда влево, вверх и вниз. Повторить 3-4 раза.
Перенести взгляд быстро по диагонали: направо вверх — налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1-6; затем налево вверх — направо вниз и посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.
sin2A=2sinAcosA
cos2A=cos^2A+sin^2A
Получаем:
2sinAcosA+cos^2A+sin^2A=1
Нам известно, что (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
По этому принципу получаем, что
(cosA+sinA)^2=1
А нам известно, что cosA+sinA=1. Следовательно, получаем:
1^2=1
Известно, что единица в любой степени — это всегда единица. Значит
1=1. Тождество довели!
пользоваться формулой можно как угодно! то есть эта формула показывает основное уравнение тригонометрии: косинус в квадрате плюс синус в квадрате равны 1.
например если известен синус угла, то можно найти его косинус! то есть выразить из выражения и получиться: квадратный корень из 1-sin2a
или же наоборот, если известен косинус. то можно найти синус:
sina=корень из 1-cos2a
sin2A=2sinAcosA
cos2A=cos^2A+sin^2A
Получаем:
2sinAcosA+cos^2A+sin^2A=1
Нам известно, что (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
По этому принципу получаем, что
(cosA+sinA)^2=1
А нам известно, что cosA+sinA=1. Следовательно, получаем:
1^2=1
Известно, что единица в любой степени — это всегда единица. Значит
1=1. Тождество довели!
Большая таблица интегралов (первообразных). Таблица интегралов полная для студентов. Интегралы от рациональных функций. Интегралы от трансцендентных функций. Интегралы от иррациональных функций. Интегралы от тригонометрических функций.
Техническая информация тут
Перевод единиц измерения величин
Таблицы числовых значений
Алфавиты, номиналы, единицы
Математический справочник тут
Физический справочник
Химический справочник
Материалы
Рабочие среды
Оборудование
Инженерное ремесло
Инженерные системы
Технологии и чертежи
Личная жизнь инженеров
Калькуляторы
Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Интегральное и дифференциальное исчисление. Табличные производные и интегралы. Таблица производных. Таблица интегралов. Таблица первообразных. Найти производную. Найти интеграл. Диффуры. / / Большая таблица интегралов (первообразных). Таблица интегралов полная для студентов. Интегралы от рациональных функций. Интегралы от трансцендентных функций. Интегралы от иррациональных функций. Интегралы от тригонометрических функций.
Большая таблица интегралов (первообразных). Таблица интегралов полная для студентов. Интегралы от рациональных функций. Интегралы от трансцендентных функций. Интегралы от иррациональных функций. Интегралы от тригонометрических функций.
Интегралы (первообразные) от трансцендентных функций (15 шт)
Справочно:
dpva.ru
Таблица интегралов (неопределенных и т.д.)
Интегрирование — это одна из основных операций в матанализе. Таблицы известных первообразных могут быть полезны, но сейчас они, после появления систем компьютерной алгебры, теряют свою значимость. Ниже находится список больше всего встречающихся первообразных.
«C» – произвольная константа интегрирования, которая определяется, если известно значение интеграла в какой-либо точке. Каждая функция имеет бесконечное число первообразных.
У большинства школьников и студентов бывают проблемы с вычислением интегралов. На этой странице собраны таблицы интегралов от тригонометрических, рациональных, иррациональных и трансцендентных функций, которые помогут в решении. Еще вам поможет таблица производных.
Видео — как находить интегралы
Если вам не совсем понятна данная тема, посмотрите видео, в котором всё подробно объясняется.
Всё для учебы » Математика в школе » Таблица интегралов (неопределенных и т.д.)
Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.
Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:
Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Интегральное и дифференциальное исчисление. Табличные производные и интегралы. Таблица производных. Таблица интегралов. Таблица первообразных. Найти производную. Найти интеграл. Диффуры. / / Таблица первообразных. Таблица интегралов. Таблица неопределенных интегралов. Формулы интегралов. Формулы первообразных.
Таблица первообразных («интегралов»). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница. Версия для печати.
Таблица первообразных («интегралов»). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром).
Интеграл степенной функции.
Интеграл степенной функции.
Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.
—
Интеграл экспоненциальной функции.
dpva.ru
39 Таблица основных интегралов
40 Метод непосредственного интегрирования
Определение
Метод
интегрирования, при котором интеграл
с помощью тождественных преобразований
подынтегральной функции и применения свойств
интеграла приводится
к одному или нескольким табличным
интегралам, называется непосредственным
интегрированием.
применение
свойств неопределенного интеграла:
вынесение константы за знак интеграла,
представление интеграла от суммы
функций в вид суммы интегралов;
использование таблицы
интегралов.
41Интегрирование по частям и подставновкой
Интегрирование
по частям. Если
функции u ( x ) и v ( x )
имеют непрерывные первые производные
и существует интеграл v ( x ) du ( x ), тосуществует и
интеграл u ( x ) dv ( x ) и
имеет место равенство:
u ( x ) dv ( x )
= u ( x ) • v ( x )
– v ( x ) du ( x )
или
в более короткой форме:
u
dv = u
v – v
du .
Обратите
внимание, что интегрирование по частям
и дифференциал произведения являются
взаимно обратными операциями (проверьте!).
Интегрирование
подстановкой (замена переменной). Если
функция f ( z )
определена и имеет первообразную
при zZ,
а функция z = g ( x )имеет
непрерывную производную при xX и
её область значений g ( X ) Z,
то функция F ( x ) = f [ g ( x )] × g’ ( x )
имеет первообразную на Х
и
F ( x ) dx = f [ g ( x )] • g’ ( x ) dx = f ( z ) dz .
42 Определен.Интеграл и его определение
Определённым
интегралом от функции на
отрезкеназывается
предел интегральных сумм при стремлении
ранга разбиения к нулю,
если он существует независимо от
разбиенияи
выбора точек,
то есть
Если
существует указанный предел, то
функция называется
интегрируемой напо
Риману.
Основные
свойства определенного интеграла
I.
Величина определенного интеграла не
зависит от обозначения переменной
интегрирования, т.е. ,
где х, t – любые буквы.
II.
Определенный интеграл с одинаковыми
пределами интегрирования равен нулю.
III.
При перестановке пределов интегрирования
определенный интеграл меняет свой знак
на обратный.
IV.
Если промежуток интегрирования [a,b]
разбит на конечное число частичных
промежутков, то определенный интеграл,
взятый по промежутке [a,b], равен сумме
определенных интегралов, взятых по всем
его частичным промежуткам.
V.
Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.
VI.
Определенной интеграл от алгебраической
суммы конечного числа непрерывных
функций равен такой же алгебраической
сумме определенных интегралов от этих
функций.
43 Формула Ньютона — Лейбница
Формула
Ньютона — Лейбница или основная
теорема анализа даёт
соотношение между двумя операциями:
взятием определённого интеграла и
вычислением первообразной.
Если непрерывна
на отрезкеи—
её любая первообразная на этом отрезке,
то имеет место равенство
44 Вычисление площадей с помощью интеграла.
1.Площадь
фигуры, ограниченной графиком непрерывной
отрицательной на промежутке [ a ; b ]
функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b
:
2.Площадь
фигуры, ограниченной графиками непрерывных
функций f (x), и
прямыми х=а, х= b :
3.Площадь
фигуры, ограниченной графиками непрерывных
функций f (x) и :
4.Площадь
фигуры, ограниченной графиками непрерывных
функций f (x), и
осью Ох:
studfiles.net
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
ТАБЛИЦА
ИНТЕГРАЛОВ
Список
интегралов элементарных функций
Правила
интегрирования функций:
Интегралы
элементарных функций:
Рациональные
функции:
(первообразная
от нуля есть константа, в любых пределах
интегрирования интеграл от нуля равен
нулю)
(«высокий
логарифм»)
Логарифмы:
Экспоненциальные
функции:
Иррациональные
функции:
(«длинный
логарифм»)
Тригонометрические
функции:
Гиперболические
функции:
также
также
Список
интегралов от рациональных функций
для
для
для
для
для
для
для
для
Список
интегралов от иррациональных функций
Интегралы
с корнем из a2+x2:
Везде
ниже:
.
Интегралы
с корнем из x2-a2:
Везде
ниже:
.
Принято
,
для,
смотрите следующий раздел.
Заметим,
что
,
гдепринимает только положительные значения.
где
Интегралы
с корнем из a2-x2:
Везде
ниже:
Интегралы
с корнем из общего квадратного
трёхчлена:
Здесь
обозначено:
Интегралы
с корнем из линейной
функции:
Список
интегралов от экспоненциальных функций
Неопределённые
интегралы:
для
для
где erf(…) —
функция
ошибок
Определённые
интегралы:
для
,
что естьлогарифмическое
среднее
(интеграл
Гаусса)
(!! —
двойной
факториал)
(модифицированнаяфункция
Бесселяпервого рода)
(Дзета-функция
Римана)
Список
интегралов от логарифмических функций
для
для
для
для
для
для
для
,
где
Ei(x) — интегральная
экспонента
для
Список
интегралов от тригонометрических
функций
Интегралы,
содержащие только синус:
Интегралы,
содержащие только косинус:
Интегралы,
содержащие только тангенс:
Интегралы,
содержащие только секанс:
Интегралы,
содержащие только косеканс:
Интегралы,
содержащие только котангенс:
Интегралы,
содержащие только синус и косинус:
Интегралы,
содержащие только синус и тангенс:
Интегралы,
содержащие только косинус и тангенс:
Интегралы,
содержащие только синус и котангенс:
Интегралы,
содержащие только косинус и котангенс:
Интегралы,
содержащие только тангенс и котангенс:
Список
интегралов от обратных тригонометрических
функций
Арксинус:
Арккосинус:
Арктангенс:
studfiles.net
Таблица интегралов, правила интегрирования, интегрирование путем подведения под знак дифференциала
Основные правила интегрирования. Непосредственное интегрирование
1) Если
,
то
где
–
произвольная постоянная
2)
где
–
постоянная величина
3)
Пример 1.
Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно
заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉
Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
Если
Это правило значительно
расширяет таблицу простейших интегралов. А именно, в силу этого правила таблица
интегралов оказывается справедливой, независимо от того, является переменная
интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Прежде чем использовать
тот или иной табличный интеграл, приводим данный интеграл к виду:
Пример 2.
К оглавлению решебника по высшей математике 〉
100task.ru
Таблица первообразных («интегралов»). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.
Интеграл степенной функции.
Интеграл степенной функции.
Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.
Интеграл экспоненциальной функции.
Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.
Интеграл сложной экспоненциальной функции.
Интеграл экспоненциальной функции.
Интеграл, равняющийся натуральному логарифму.
Интеграл : «Длинный логарифм».
Интеграл : «Длинный логарифм».
Интеграл : «Высокий логарифм».
Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала
(константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать),
в итоге схож с интегралом, равным натуральному логарифму.
Интеграл : «Высокий логарифм».
Интеграл косинуса.
Интеграл синуса.
Интеграл, равный тангенсу.
Интеграл, равный котангенсу.
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу
Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу.
Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.
Интеграл равный косекансу.
Интеграл, равный секансу.
Интеграл, равный арксекансу.
Интеграл, равный арккосекансу.
Интеграл, равный арксекансу.
Интеграл, равный арксекансу.
Интеграл, равный гиперболическому синусу.
Интеграл, равный гиперболическому косинусу.
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.
Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.
Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx
— гиперболический синус в ангийской версии.
Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx
— гиперболический синус в ангийской версии.
Профессиональная среда разработки для создания программ и приложений любого уровня сложности. Сочетает в себе классическую простоту Паскаля и все возможности современной среды разработки .NET, которую используют профессиональные разработчики по всему миру. Кроме того, язык программирования Паскаль изучают на школьном курсе информатики, давая учащимся базовые знания об операторах и переменных. Таким образом, обучение Паскаль абс даётся новичкам лучше, чем освоение других языков программирования.
=
. Длина вектора 
или r.
. Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z
0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 
(k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z + 
, т.е. 
аrg z 
(иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка 
).
однозначно определяется по формуле . Например, . Аргумент 
, 
, 
, где 
– модуль комплексного числа, а угол .
– периодическая с основным периодом 2. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать .
.
.
определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки 
, т.е. окружность с центром в 
, если 
.
.
, удовлетворяющее равенству 
.
, являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса 
с центром в начале координат.
.
в тригонометрической форме.
, а концом ‒ точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть , и он меняется в пределах от 
до 
.
рад.
и 
, тогда:
;
по формуле Маклорена.
и 
комплексной переменной z:
вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.
; 
.
; 
.
;
и 
.
– постоянные коэффициенты, называется многочленом п-ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).
, то многочлен делится без остатка на х–х1, т.е. , где 
– многочлен степени (п–1).
– коэффициент многочлена при хп.
называются линейными множителями.
является корнем данного многочлена.
и 
.
, то он имеет сопряжённый корень 
.
