Решение задач по эконометрике – Бесплатные задачи || по эконометрике

Пример решения задачи по эконометрике в Excel

Ниже приведено условие задачи и текстовая часть решения.  Закачка полного решения, файлы word+Excel в архиве rar, начнется автоматически через 10 секунд. Если закачка не началась, кликните по этой ссылке. 

Видеоурок по решению этой задачи в Excel вы можете посмотреть здесь.

Задание 1.

 

         По предложенным вам экспериментальным данным, представляющим собою макроэкономические показатели или показатели финансовой (денежно-кредитной) системы некоторой страны, т.е. случайной выборке объема n – построить математическую модель зависимости случайной величины Y от случайных величин X1 и X2. Построение и оценку качества экономико-математической (эконометрической) модели вести в следующей последовательности:
•Построить корреляционную матрицу для случайных величин и оценить статистическую значимость корреляции между ними.
•Исходя из наличия между эндогенной переменной и экзогенными переменными, линейной зависимости, оценить параметры регрессионной модели по методу наименьших квадратов. Вычислите вектора регрессионных значений эндогенной переменной и случайных отклонений.
•Найдите средние квадратические ошибки коэффициентов регрессии. Используя критерий Стьюдента проверьте статистическую значимость параметров модели. Здесь и далее принять уровень значимости 0,05(т. е. надежность 95%).
•Вычислите эмпирический коэффициент детерминации и скорректированный коэффициент детерминации. Проверьте, используя критерий Фишера, адекватность линейной модели.
•Установите наличие (отсутствие) автокорреляции случайных отклонений модели. Используйте для этого метод графического анализа, статистику Дарбина-Уотсона и критерий Бреуша-Годфри.
•Установите наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных отклонений модели. Используйте для этого графический анализ, тест Вайта и тест Парка для вариантов с добавочным индексом А (графический метод, тест Глейзера и тест Бреуша-Пагана для вариантов с добавочным индексом В).
•Обобщите результаты оценивания параметров модели и результаты проверки модели на адекватность.

 

Решение.

   В таблице 1.1. приведены ежеквартальные данные о валовом внутреннем продукте (млн. евро); экспорта товаров и услуг (млн. евро); эффективный обменный курс евро к национальной волюте для Испании на период с 2000 по 2007 годы. 

 

 

Таблица 1.1.

Ежеквартальные данные о валовом внутреннем продукте, экспорте товаров и услуг, эффективном обменном курсе евро к национальной валюте  для Исландии на период с 2000 по 2007 годы

 

Регрессант Y

Регрессор X1

Регрессор X2

Период

ВВП, млн. евро

(GDP)

Импорт товаров и услуг, млн. евро

(IGS)

эффективный обменный курс евро к национальной волюте

(NEER)

2000q01

151549

47714

90,96

2000q02

158657

51536

88,19

2000q03

152859

48795

86,98

2000q04

167198

54661

85,5

2001q01

163783

53405

90,9

2001q02

171855

54839

88,76

2001q03

165799

50334

90,54

2001q04

179241

52755

91,29

2002q01

175002

51491

90,4

2002q02

184589

54702

93,06

2002q03

177018

50857

97,34

2002q04

192597

57702

98,73

2003q01

188474

54743

103,68

2003q02

197781

56357

107,51

2003q03

189581

53818

106,6

2003q04

207093

59763

109,28

2004q01

201864

easyhelp.su

Решение задач по эконометрике | Решатель

Наверное, невозможно объективно определить наиболее сложную экономическую дисциплину. Но то, что эконометрика вызывает у большинства студентов если не ужас, то, по крайней мере, серьезную обеспокоенность – неоспоримый факт. Эконометрика – относительно новый предмет в отечественном образовании, который активно начал преподаваться лишь в последние годы. В мире эконометрика серьезно развивается со второй половины прошлого века, основываясь на использовании математико-статистических методик, а также разработав свой собственный специфический инструментарий.
 

Разделы эконометрики

  • Построение и анализ моделей парной регрессии. Даже данный начальный раздел представляет для многих сложность в решении, т.к. требует базовых знаний по математике и статистике, добавляя к ним изучение метода наименьших квадратов как наиболее часто используемого при определении оптимальной регрессионной кривой. Также данный раздел охватывает построение линейной регрессионной модели с двумя переменными, применение теоремы Гаусса-Маркова, оценку дисперсии ошибок, построение доверительных интервалов с заданной вероятностью и т.д. Отдельно оценивается вариация переменной в регрессионном ряду и вычисляется коэффициент детерминации, который показывает, насколько точно построенная модель отображает историческое (фактическое) изменение данных.
  • Построение и анализ моделей множественной регрессии. Данный раздел преимущественно основан на предыдущем, только методики используются более комплексно, несколько усложнен аналитический инструментарий. Тут также используется теорема Гаусса-Маркова и определяются статистические свойства МНК-оценок в модели. Могут тестироваться различные гипотезы, вычисляться обычный и скорректированный коэффициент детерминации.

  • Осуществление прогнозирования с помощью регрессионных моделей. Качественное прогнозирование основывается на понимании стохастических (вероятностных) регрессоров, обобщенного метода наименьших квадратов, гетероскедастичности и корреляции во времени. Прогнозирование может быть безусловным и условным. Особенно сложный случай, когда присутствует авторегрессия ошибок. Существуют также задания на решение системы регрессионных уравнений, по анализу временных рядов или использованию метода максимального правдоподобия.

Данные разделы могут быть приложены к отдельно рассматриваемой отрасли знаний. Например, эконометрические модели часто используются при анализе финансовых рынков или биржевых котировок, а также при макроэкономическом прогнозировании.

Методика решения задач по эконометрике

Решить любую задачу по эконометрике вам поможет следующая методика:

  1. Определяется эконометрический раздел и суть задания.
  2. Определяются методы, которые могут быть использованы, формируются необходимые гипотезы.
  3. Происходит тестирование гипотез, определяется оптимальный метод или комбинация методов.
  4. Осуществляется построение модели, формирование прогноза и непосредственное решение заданий, сформулированных в условии.
  5. Осуществляется проверка полученных эконометрических результатов: аналитическая (правильность вычислений, корректность моделей) и логическая (использование правильной методики и инструментария).

 

Литература

В обучении часто используют учебники Магнуса Я. Р., Катышева П. К., Пересецкого А. А. по начальному курсу эконометрики; Орлова А. И. при более глубоком изучении, а также большое множество дополнительной литературы (в том числе, зарубежной).
 
 

Решение эконометрики на заказ

У нас на сайте можно заказать решение задач по эконометрике у наших специалистов (в частности, онлайн помощь на экзамене). Успехов в прохождении сложного и интересного предмета, которым, без сомнения, является эконометрика!

УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

reshatel.org

решение задач. Контрольные по эконометрике.

«Студенты, изучающие эконометрику, это почти христианские мученики» — В. Черняк

Эконометрика –  сравнительно молодой раздел науки, в котором произошел синтез экономической теории с современными прикладными статистическими методами исследования процессов. Это прикладная наука, и признаком её успешного изучения является умение решать задачи. Для приобретения практических навыков необходимо не только изучить объёмный и сложный материал, но понять суть проблемы, поставить правильно задачу для исследования. Для многих студентов решение задач по эконометрике представляет  большую сложность — по сравнению, например,  с контрольными по  высшей математике и статистике. Мы предлагаем услугу  решения задач по эконометрике на заказ. Возможно оказание помощи в режиме онлайн —  вы присылаете задачу,  мы в течении заранее оговоренного срока высылаем решение задачи. Также поможем в сдаче дистанционного тестирования по эконометрике.

Для тех специальностей, в вузах с более углубленным изучением курса эконометрики,  где предусмотрено выполнение курсовой работы по эконометрике — свяжитесь с нами через форму заказа или любым удобным для вас способом, и наши специалисты окажут помощь в ее выполнении. При этом могут быть использованы прикладные программы, указанные вашем преподавателем.

Стоимость решения задач по эконометрике — от 300р, в зависимости от сложности. Онлайн помощь — от 1500р за билет.

Для тех, кто не смог подготовиться к экзамену предлагаем:

помощь на экзамене, зачете по эконометрике онлайн!

Примеры выполненных работ по эконометрике:

При решении задач по эконометрике часто необходимо использовать прикладные эконометрические пакеты программ. Отметим наиболее распространенные:
— пакет анализа данных в Microsoft Excel;
— программа Gretl;
— эконометрический пакет Eviews;
— пакет Statistica.
Выделим кратко преимущества и недостатки перечисленных программных средств:
-Анализа данных в Excel.Достоинство: доступен и прост в обращении. Недостаток:  не содержит простейших эконометрических тестов на автокорреляцию и гетероскедастичность, про другие более сложные тесты по эконометрике не упоминаем – их там нет.
-Gretl(скачать). Достоинства: имеется в свободном доступе бесплатная версия, проста и удобна в обращении, русский интерфейс. Недостаток: не содержит ряда коинтеграционных эконометрических тестов.
-Eviews(скачать).Достоинства: содержит множество тестов, простота их реализации. Недостатки: английский интерфейс,  в свободном доступе только старая версия программы Eviews 3, все более свежие версии — платные.
-Statictica. Мало использовали её, не нашли достоинств. Недостатки – английский интерфейс, и отсутствие многих тестов по эконометрике.

Ниже представлены в свободном доступе примеры решения задач по эконометрике в этих программных средствах, которые будут содержать отчет по решению задачи и файл реализации задачи в эконометрическом пакете. Так же на этой странице выложены бесплатные версии программ Gretl и Eviews3.

Вы можете связаться с нами, уточнить стоимость и сроки, заказать  услуги через наши контакты либо заполнив  данную форму.

easyhelp.su

Задачи по эконометрике любой сложности

Комплексные задачи по эконометрике.

Примеры данных задач по эконометрике Вы можете посмотреть совершенно бесплатно. Все задачи аккуратно оформлены и удобны для чтения и разбора

Примеры задач по эконометрике

  1. Решение задач по эконометрике в Gretl
  2. Расчет параметров модели парной регрессии. Коэффициент корреляции
  3. Поиск параметров множественной регресии. Оценка значимости. Статистика Дарбина-Уотсона 
  4. Анализ уравнения множественной регрессия матричным способом
  5. Расчет параметров с помощью Анализа данных в Excel
  6. Идентификация систем уравнений
  7. Временные ряды. Расчет коэффициентов автокорреляции. Выбор тренда
  8. Скользящая средняя
  9. Ряды Фурье

Типовые задачи по эконометрике включают

  1. Построение точечной диаграммы рассеяния и формулировка гипотезы о виде связи.
  2. Построение уравнения парной регрессии (линейное, степенное, логарифмическое, гиперболическое, экспоненциальное и т.д.)
  3. Оценка качества модели с помощью средней ошибки аппроксимации.
  4. Расчет коэффициентов эластичности моделей
  5. Расчет линейных коэффициентов корреляции и детерминации
  6. Оценка статистической значимости (или адекватности) уравнения регрессии в целом по критерию Фишера
  7. Оценка статистической значимости параметров уравнения по критерию Стьюдента
  8. Вычисление прогнозного значения показателя Y при определенном значении (или изменении) фактора Х
  9. Построение доверительных интервалов прогноза для определенного уровня значимости.

Решение задач по эконометрике также включает анализ множественной регрессии: вычисление ковариации и составление ковариационной матрицы, определение мультиколлинеарности факторов, выявление автокорреляции остатков (критерий Дарбина-Уотсона), оценка гомо- или гетероскедастичности, анализ временных рядов: расчет коэффициентов автокорреляции, построение коррелограммы, выявление сезонной компоненты и тренда в ряду, точечный и интервальный прогноз в моделях множественной регрессии и множество других задач.

Примеры работ

Материалы сайта

Обращаем Ваше внимание на то, что все материалы опубликованы для образовательных целей.

univer-nn.ru

3 x первообразная – Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Ноль факториал чему равен – 0! = 1? или почему факториал нуля равен единице / Habr

0! = 1? или почему факториал нуля равен единице / Habr

Давным давно, еще в классе 10-ом (лет 8 назад) я случайно обнаружил довольно нехитрое объяснение того, почему факториал нуля равен единице.

Я рассказывал про это многим учителям, но никого не торкнуло. Поэтому я просто выложу это знание здесь, а то вдруг кому-то пригодится или наведет на определенные мысли. Сразу скажу я не математик, наткнулся на это случайно, когда игрался с числами. Я тогда даже не знал что такое факториал 🙂

Для начала вспомним общую теорию:

Факториа́л числа n — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

На самом же деле факториал нуля вполне вычислим!
Для этого нам нужно проделать простую последовательность обычных математических операций.

Попробуем в действии на примере факториала n = 4 (4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24)

Попробуем вычислить этим способом факториал 3 (3! = 1 * 2 * 3 = 6)

Берем четыре числа в степени 3 и вычисляем «пирамидальную разность» (сам придумал)

13 23 33 43
1 8 27 64
(8 — 1) (27 — 8) (64 — 27)

7 19 37
(19 — 7) (37 — 19)

12 18
(18 — 12)

6
Все сходится!

Ну и для 1 попробуем (1! = 1)

11 21
1 2
(2 — 1)

1


Вы уже догадались? 🙂

Все очень просто и для нуля:

Берем n + 1 чисел в степени 0, тоесть достаточно и одного

1o
1

Вуaля! Любое число в степени 0 равно 1. В этом, кстати, слабость моего способа, он использует определение.

Но тем не менее, я считаю, что это здорово 🙂

Спасибо за внимание!

P.S.:
Как многие подметили это не доказательство, а всего лишь забавная закономерность.

habr.com

почему факториал нуля равен единице: yu_xuan

Как это часто бывает, школьный преподаватель, объясняя новую тему, некоторые факты предоставляет как данность, требующую не объяснения, а запоминания. Так было и с факториалом нуля.

— Дети, запомните, что факториал нуля равен единице. Запомнили? Повторите хором вслух.
— Факториал нуля равен единице.
— Отлично, пользуйтесь новым знанием!

Что такое факториал? Факториал — это произведение всех натуральных чисел от единицы до того числа, факториал которого требуется определить. В общем случае факториал числа n будет равен:,


Так, например, для числа 5 факториал будет выглядеть так:

Для числа 4 факториал можно посчитать как факториал пяти, делённый на пять:

Для числа 3 — как факториал четырёх, делённый на 4:

Для 2 — как факториал трёх, делённый на 3:

Для 1 — как факториал двух, делённый на 2:

Продолжение этого логического ряда для нуля даёт факториал единицы, делённый на единицу или просто единицу:

Можно объяснить этот факт немного по-другому. Факториал — это количество возможных перестановок или комбинаций. Например, три предмета можно комбинировать шестью способами:

Два предмета — двумя способами:

Один предмет — одним способом:


А ноль предметов? Ноль предметов можно переставить одним единственным способом — никак!

yu-xuan.livejournal.com

Таблица факториалов

Таблица факториалов
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5 040
8!40 320
9!362 880
10!3 628 800
11!39 916 800
12!479 001 600
13!6 227 020 800
14!87 178 291 200
15!1 307 674 368 000
16!20 922 789 888 000
17!355 687 428 096 000
18!6 402 373 705 728 000
19!121 645 100 408 832 000
20!2 432 902 008 176 640 000
21!51 090 942 171 709 440 000
22!1 124 000 727 777 607 680 000
23!25 852 016 738
884 976 640 000
24!620 448 401 733
239 439 360 000
25!15 511 210 043
330 985 984 000 000
26!403 291 461 126
605 635 584 000 000
27!10 888 869 450 418
352 160 768 000 000
28!304 888 344 611 713
860 501 504 000 000
29!8 841 761 993 739 701
954 543 616 000 000
30!265 252 859 812 191 058
636 308 480 000 000

— версия для печати
Определение (что такое факториал)
Факториал числа — результат последовательного умножения числа на все натуральные числа меньшие данного числа и большие единицы. Обозначается факториал восклицательным знаком после числа — «n!».
Факториал натурального числа n можно также определить как рекуррентную функцию F (n). Определяется она следующим образом: F (0) = F (1) = 1; F (n) = n * F (n-1).
Пример:
7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040
Не стоит забывать
По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). Этот факт важен, к примеру, для вычисления биномиальных коэффициентов.
Полезный факт
Факториал числа, функцию от натурального аргумента можно продолжить на все действительные числа с помощью т.н. Гамма-функции (важно отметить, что для этого требуется определенный математический аппарат). В таком случае, мы сможем посчитать факториал любого действительного числа. Например, факториал (или, Гамма-функция, что математически правильнее) числа Пи Π! приблизительно равен 2.28803779534. Факториал числа Эйлера, другого трансцендентного числа, Γ(e) ~ 1.567468255 (упрощенно, факториал числа e).
Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

scolaire.ru

Калькулятор онлайн для расчета факториала числа

Факториал натурального числа n — произведение первых по счету,n натуральных чисел от 1 до n включительно, обозначается n!

n! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • … • n

Факториа́л числа – это число, умноженное на «себя минус один», затем на «себя минус два» и так далее, до единицы.

n! = n • (n — 1) • (n — 2) • … • 1

Для приближённого вычисления факториала и гамма-функции используется формула Стирлинга . Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы

Вычисление факториала числа (n!) по формуле в Стирлинга. Этот калькулятор может быть использован для вычисления значений n больше 100.

Расчет факториала по формуле Джеймса Стирлинга

Приближенное значение не ограничено по колличеству n

Расчет факториала от 0 до 100

Точное значение, ограниченное по колличеству n

Формула Джеймса Стирлинга для расчета факториала

n! ≈ √(2π) × n(n+1/2) × e -n

Примеры значений для разных n:

1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Не стоит забывать

По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). Этот факт важен, к примеру, для вычисления биномиальных коэффициентов.

Полезный факт

Факториал числа, функцию от натурального аргумента можно продолжить на все действительные числа с помощью т.н. Гамма-функции (важно отметить, что для этого требуется определенный математический аппарат). В таком случае, мы сможем посчитать факториал любого действительного числа. Например, факториал (или, Гамма-функция, что математически правильнее) числа Пи. π! приблизительно равен 2.28803779534. Факториал числа Эйлера, другого трансцендентного числа, Γ(e) ~ 1.567468255 (упрощенно, факториал числа e).

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

нуль факториал — это… Что такое нуль факториал?


нуль факториал
мат. factorial zero

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • нуль третьего порядка
  • нуль функции

Смотреть что такое «нуль факториал» в других словарях:

  • 0 (число) — 0 Нуль (ноль) 3 · 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 Целые числа У этого термина существуют и другие значения, см. Ноль. 0 (ноль, нуль от лат. nullus  никакой)  целое число, разделяющее на числовой прямой …   Википедия

  • Ноль (число) — 0 Нуль (ноль) 3 · 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 Целые числа   Список чисел 0 (ноль, нуль от лат. nullus  никакой)  число, обозначаемое цифрой ноль. Ноль  это нейтральный элемент для операции сложения (то есть при сложении с нулём число не меняется).… …   Википедия

  • Список обозначений в физике — Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь …   Википедия

  • Главный идеал — Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 3 Примеры 4 …   Википедия

  • 2 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 2 (значения). 2 два 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 Факторизация: Простое Римская запись: II Двоичное: 10 Восьмеричное: 2 Шестнадц …   Википедия

  • Уравнения Эйлера — Лагранжа — Уравнения Эйлера  Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти… …   Википедия

  • Нулевой вектор — (нуль вектор) вектор, начало которого совпадает с его концом. Нулевой вектор имеет норму 0 и обозначается или . Нулевой вектор определяет тождественное движение пространства, при котором каждая точка пространства переходит в себя. С нулевым… …   Википедия

  • Уравнение Эйлера — Уравнения Эйлера  Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа  Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти …   Википедия

dic.academic.ru

Чему равен факториал числа 40!

Считаем, в какой степени входит 5 в произведение. В каждое число, кратное 5, кроме 25, входит 5 в первой, в 25 — 5^2. Итак, в 40! входит 5^9, умноженное на 2^9 дает на конце не 8, как написал уважаемый Leonid, а 9 нулей!

Можно сообразить. Нули в конце появляются от десяток и от пятёрок (чётных чисел там и так хватает) . от 1 до 40 4 пятёрки и 4 десятки, так что получается 8 нулей.

Примерно 8,16*10^47

8,159152832*10^47 Вот так

touch.otvet.mail.ru

чему равно факториал 100? 100! конкретную цифру пожалуйста. или если можете скажуте сколько в конце цифры 0

Хм…. Это тебе в академию наук, подходишь там к самому главному, говоришь дай доступ к твоему самому мощному компу и считаешь… делов-то…

Двадцать четыре нуля

28 неуч считай хорошо:)

зачем же в академию? 🙂 11-классники эт считать могут не вставая из-за компа и без инета.

touch.otvet.mail.ru

Тесты по математическому моделированию с ответами – Тест с ответами на тему: Математическое моделирование

Тест с ответами на тему: Математическое моделирование

1. Первые математические модели были созданы:
A. Ф. Кенэ*
B. К. Марксом
C. Г. Фельдманом
D. Д. Нейманом

2.Модель, представляющая собой объект, который ведет себя как
реальный объект, но не выглядит как таковой — это
A. физическая модель*
B. аналоговая модель
C. типовая модель
D. математическая модель

3.Модель, представляющая то, что исследуется с помощью увеличенного
или уменьшенного описания объекта или системы — это
A. физическая*
B. аналитическая
C. типовая
D. математическая

4.Где впервые были предложены сетевые модели?
A. США*
B. СССР
C. Англии
D. Германии

5.Какой из структурных элементов включает в себя процесс моделирования?
A. анализ*
B. модель
C. объект
D. субъект

6.Модели ПЕРТ впервые были предложены в
A. 1958 г.*
B. 1948 г.
C. 1956 г.
D. 1953 г.

7.Автоматизация процесса управления не включает в себя
A. этап анализа*
B. этап планирования и разработки
C. этап управления ходом разработки
D. нет правильного ответа

8.Транспортная задача решается методом:
A. все ответы верны*
B. наименьших стоимостей, оптимальности
C. оптимальности, северо-западного угла
D. северо-западного угла, наименьших стоимостей

9.Мощности поставщиков определяются по формуле:
A. ui + cij*
B. vj — cij
C. (ui + cij) — vj
D. все ответы верны

10.Мощности потребителей определяются по формуле:
A. vj – cij*
B. ui + cij
C. (ui + cij) — vj
D. все ответы верны

11.Оценки матрицы перевозок (детермин.) определяются:
A. (ui + cij) – vj*
B. vj — cij
C. ui + cij
D. все ответы верны

12.Предшественниками имитационных игр были:
A. военные игры*
B. конфликтные игры
C. экономические игры
D. нет правильных ответов

13.Математической моделью конфликтных ситуаций является:
A. теория игр*
B. сетевая модель
C. имитационная модель
D. транспортная модель

14.Какие из научных дисциплин не входят в экономико-
математические методы:
A. экспериментальное aнализ*
B. эконометрия
C. экономическая кибернетика
D. все ответы верны

15.Классификация по целевому назначению включает в себя модели
A. теоретико-аналитические, прикладные*
B. макроэкономические, микроэкономические
C. балансовые, трендовые
D. все ответы верны

16.Классификация по типу информации делится на:
A. аналитические, идентифицированные*
B. статистические, динамические
C. матричные, сетевые
D. балансовые, трендовые

17.Классификация по учету фактора неопределенности включает в себя:
A. детерминированные, стохастические*
B. статистические, динамические
C. макроэкономические, микроэкономические
D. аналитические, идентифицированные

18.Ранний срок начала работы в СГ определяется по формуле:
A. tp(i)*
B. tp(i) + t(i,j)
C. tn(j)
D. tn(j) — t(i,j)

19.Ранний срок окончания в СГ определяется по формуле:
A. tp(i) + t(i,j)*
B. tn(j)
C. tp(i)
D. tn(j) — t(i,j)

20.Поздний срок окончания в СГ определяется по формуле:
A. tn(j)*
B. tp(i) + t(i,j)
C. tp(i)
D. tn(j) — t(i,j)

21.Поздний срок начала в СГ определяется по формуле:
A. tn(j) — t(i,j)*
B. tp(i) + t(i,j)
C. tp(i)
D. tn(j)

22.Полный резерв времени определяется как:
A. tn(j) — tp(i) — t(i,j)*
B. tp(i) + t(i,j)
C. tp(i) — tn(j)
D. tn(j)

23.При решении экономических моделей используются матрицы:
A. в теории игр, в транспортных задачах*
B. в СГ, имитационной модели
C. в транспортных задачах, в СГ
D. не используются в моделях

24.В какой из моделей используется седловая точка?
A. в теории игр*
B. в транспортной
C. в имитационной
D. в СГ

25.Материальный или мысленно представляемый объект, который
в процессе исследования замещает объект- оригинал так,
что его непосредственное изучение дает новые знания об
объекте- оригинале — это
A. модель*
B. аналогия
C. абстракция
D. гипотеза

26.Когда был принят Закон Руз «О внешнеэкономической
деятельности Республики Узбекистан».
A. 14 июня 1991г.*
B. 20 августа 1991г.
C. 15 марта 1990г.
D. 14 декабря 1993г.

27.Что относится к ведению Республики Узбекистан как субъекта ВЭД
A. всё перечисленное*
B. разработка и осуществление внешнеэкономической
политики, в т.ч. валютно-кредитной
C. заключение и исполнение международных договоров в
области ВЭД
D. установление законодательных основ организации ВЭД

28.Республика Узбекистан осуществляет внешнеэкономическую
деятельность, руководствуясь принципами:
A. все ответы веpны*
B. равенства сторон
C. невмешательства во внутренние дела партнёров по ВЭС
D. взаимовыгодности сотрудничества со всеми государствами,
иностранными юридическими и физическими лицами

29.Уполномоченные банки ВЭД Руз:
A. получившие лицензии Центробанка Руз на проведение
валютных операций*
B. акционерно-коммерческие , коммерческие и частные
банки
C. Нацбанк ВЭД РУз
D. иностранные банки

30.Резиденты во ВЭД:
A. все ответы вepны*
B. юридические лица, созданные и зарегистрированные в
соответствии с Законодательством РУз
C. дипломатические, торговые и иные официальные
представительства Руз за границей
D. физические лица, имеющие постоянное место жительства в
РУз

testdoc.ru

Тесты по ЭММ

Тест по теме: Основные понятия математического моделирования

1. Какие признаки присущи системе:

a) Целостность, возможность выделения подсистем, динамичность процессов, наличие цели

b) Целостность, наличие цели и внешней среды, возможность выделения подсистем

c) Целостность, массовый характер процессов и явлений, возможность выделения подсистем

d) Целостность, наличие внешней среды, динамичность процессов, массовый характер процессов и явлений

2. Сложные социально-экономические системы в экономике обладают рядом присущих им свойств и особенностей:

a) Целостность, возможность выделения подсистем, динамичность процессов, наличие цели

b) Целостность, наличие цели и внешней среды, возможность выделения подсистем

c) Целостность, массовый характер процессов и явлений, активность, динамичность процессов,

d) Целостность, наличие внешней среды, динамичность процессов, массовый характер процессов и явлений

3. Наличие у экономической системы таких свойств, которые не присущи ни одному из составляющих систему элементов, взятому в отдельности, вне системы носит название:

a) Активность

b) Целостность системы

c) Цельность системы

d) Полнота системы

4. Массовый характер экономических явлений обусловлен тем, что:

a) Закономерности экономических процессов должны обнаруживаться на основании небольшого числа наблюдений

b) Закономерности экономических процессов не должны обнаруживаться на основании среднего числа наблюдений

c) Закономерности экономических процессов не должны обнаруживаться на основании большого числа наблюдений

d) Закономерности экономических процессов не должны обнаруживаться на основании небольшого числа наблюдений

5. Изменение параметров и структуры экономических систем под влиянием среды, или внешних факторов является одним из свойств социально-экономической системы:

a) Динамичность экономических процессов

b) Наличие внешней среды по отношению к данной системе

c) Случайность и неопределенность в развитии многих экономических явлений

d) Активность системы

тест. 6. Способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку моделей называется:

a) Оптимизационное моделирование

b) Методом моделирования

c) Метод оптимизационного моделирования

d) Методом математического моделирования

7. На чем основывается метод моделирования:

a) На принципе аналогии

b) На принципе соответствия

c) На принципе подобия

d) На принципе реальности

8. Какие виды моделей существуют:

a) Абстрактные, математические и нематематические

b) Физические и абстрактные

c) Математические и нематематические

d) Математические и физические

9. К практическим задачам экономико-математического моделирования относятся:

a) Анализ экономических объектов и процессов, экономическое прогнозирование, выработка управленческих решений

b) Анализ экономических объектов и процессов, экономико-математическое прогнозирование, выработка управленческих решений

c) Анализ социальных объектов и процессов, экономическое прогнозирование, выработка управленческих решений

d) Анализ социально-экономических процессов, экономическое прогнозирование, выработка управленческих решений

10. К обязательным составляющим процесса моделирования относят:

1) Субъект исследования; 2) Объект исследования; 3) Модели; 4) Процессы

a) 1,2

b) 1,2,3

c) 1,2,4

d) 1,2,3,4

11. К первому этапу моделирования относятся:

1) Верификация модели; 2) Постановка экономической проблемы и её качественный анализ; 3) Выполнение формализованного описания; 4) Подготовка исходной информации

a) 1,2,3,4

b) 1,3,4

c) 1,2,3

d) 2,3,4

12. На третьем этапе моделирования:

a) Решается вопрос о правильности и полноте модели

b) Знания переносятся с модели на оригинал

c) Знания о модели на объект-оригинал и практическая проверка полученных с помощью модели знаний

d) Верификация модели

Тест по теме: Оптимизационные экономико-математические модели в планировании и управлении

1. Раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации носит название:

a) Оптимальное программирование

b) Оптимально-математическое программирование

c) Экономико-математическое программирование

d) Оптимально-экономическое программирование

2. В экономике возникают задачи математического программирования:

a) При необходимости оптимальности в планировании и управлении

b) При практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении

c) При необходимости математического аппарата

d) При наличии планирования и управления

3. Суть принципа оптимальности заключается в:

a) В выборе такого планово-управленческого решения, которое наилучшим образом учитывало бы внешние возможности и внутренние условия деятельности хозяйствующего субъекта

b) В выборе такого планово-управленческого решения, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта

c) В выборе допустимого решения, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта

d) В выборе такого планово-управленческого решения, которое учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта

4. В основе построения математической модели задачи оптимального программирования лежит:

1) Принцип системности; 2) Принцип оптимальности; 3) Принцип адекватности; 4) Принцип упорядоченности

a) 1,2,3

b) 2,4

c) 1,2

d) 2,3

5. Задачи оптимального программирования в наиболее об­щем виде классифицируют по признаку:

a) По характеру взаимосвязи между переменными

b) По характеру переменных

c) По наличию переменных

d) По числу альтернатив

6. Задачи оптимального программирования в наиболее об­щем виде классифицируют по признаку:

a) По числу критериев альтернатив

b) По характеру переменных

c) По наличию информации о переменных

d) По числу альтернатив

7. Задачи оптимального программирования не классифицируют по следующему признаку:

a) По характеру взаимосвязи между переменными

b) По характеру изменения переменных

c) По учету фактора времени

d) По числу переменных

8. Запишите экономико-математическую модель задачи на основе данных:

9. Запишите экономико-математическую модель задачи на основе данных:

10 тест. Запишите экономико-математическую модель задачи на основе данных:

11. Запишите экономико-математическую модель задачи на основе данных:

12. Запишите экономико-математическую модель задачи на основе данных:

13. Запишите экономико-математическую модель задачи на основе данных:

14. Запишите экономико-математическую модель задачи на основе данных:

15. Запишите экономико-математическую модель задачи на основе данных:

Тест по теме: Теория двойственности в анализе оптимальных решений и целочисленное программирование

1. — тест Связь исходной задачи и двойственной заключается в:

a) Решение двойственной может быть получено из решения исходной

b) Решение исходной может быть получено из решения двойственной

c) Решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой

d) Их решения совпадают

2. Если в прямой задаче целевая функция максимизируется, то знак функциональных ограниченй:

a) <=

b) >=

c) =

d) <= или >= или =

3. Если в прямой задаче целевая функция минимизируется, то знак функциональных ограничений:

a) <=

b) >=

c) =

d) <= или >= или =

4. Если в прямой задаче целевая функция (ЦФ) максимизируется, то в двойственной задаче:

a) ЦФ максимизируется, знак функциональных ограничений <=

b) ЦФ минимизируется, знак функциональных ограничений <=

c) ЦФ максимизируется, знак функциональных ограничений >=

d) ЦФ минимизируется, знак функциональных ограничений >=

5. Экономическая интерпретация первой теоремы двойственности:

a) Предприятие будет производить продукцию по оптимальному плану и получит максимальную общую стоимость

b) Предприятие продаст ресурсы по оптимальным цена и возместит от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы

c) Предприятию безразлично поступать по варианту а) или b)

d) Предприятие не выберет ни а), ни b)

6. Теорема об оценках используется для:

a) Осуществления количественного анализа того, в какой мере изменение величины целевой функции повлияет на изменение ресурсов исходной задачи

b) Осуществления количественного анализа того, в какой мере изменение величины ресурсов повлияет на изменение целевой функции двойственной задачи

c) Осуществления количественного анализа того, в какой мере изменение величины ресурсов повлияет на изменение целевой функции исходной задачи

d) Осуществления качественный анализа того, в какой мере изменение величины ресурсов повлияет на изменение целевой функции исходной задачи

7. Записать двойственную задачу к исходной со следующими данными:

8. Записать двойственную задачу к исходной со следующими данными:

9. Записать двойственную задачу к исходной со следующими данными:

10. Записать двойственную задачу к исходной со следующими данными:

11. Записать двойственную задачу к исходной со следующими данными:

12. Записать двойственную задачу к исходной со следующими данными:

13. Записать двойственную задачу к исходной со следующими данными:

14. Записать двойственную задачу к исходной со следующими данными:

Тест по теме: Методы и модели анализа динамики экономических процессов и их прогнозирования

тест№ 1. Научно обоснованное суждение о возможных состояниях и процессе развития исследуемого объекта в будущем, об альтернативных путях и сроках осуществления тех или иных прогнозируемых процессов носит название:

a) Прогнозирования

b) Прогноза

c) Предсказания

d) Предуказания

2. Описание возможных или желательных перспектив носит название:

a) Прогнозирования

b) Прогноза

c) Предсказания

d) Предуказания

3. Процесс использования информации о будущем в целенаправленной деятельности – это:

a) Прогнозирования

b) Прогноза

c) Предсказания

d) Предуказания

4. Дисциплина, имеющая своим объектом исследования различные социально-экономические процессы, явления или объекты, а предметом — познание возможных состояний этих объектов в будущем, исследование закономерностей и способов разработки экономических прогнозов носит название:

a) Прогнозирования

b) Экономического прогнозирования

c) Социально-экономического прогнозирования

d) Предуказания

5. Прогнозирование, как предвидение опережающего отображения действительности, основанного на познании законов природы, общества и мышления, базируется на:

1) Гипотезе; 2) Прогнозе; 3) Плане; 

a) 1,2,3

b) 1,2

c) 2,3

d) 1,3

6. Типология прогнозов строится в зависимости от:

1) Целей; 2) Задач; 3) Объектов; 4) Методов организации прогнозирования

a) 1,2,3

b) 2,3,4

c) 1,3,4

d) 1,2,3,4

7. Задача прогнозирования заключается в:

a) выяснение перспективы ближайшего или более отдаленного будущего в исследуемой области, руководствуясь реальными процессами действительности

b) способствование выработке оптимальных текущих и перспективных планов, опираясь на составленный прогноз и оценку принятого решения с позиций его последствий в прогнозируемом периоде

c) и а), и b) верны

d) а) и b) не верны

8. К источникам прогнозной информации относятся:

1) Накопленный опыт; 2) Экстраполяция существующих тенденций; 3) Построение моделей прогнозируемых объектов; 4) Экстраполяция прогнозируемых тенденций

a) 1,2,4

b) 1,2,3

c) 2,3,4

d) 1,2,3,4

9. По времени упреждения прогнозы бывают:

a) Долгосрочне, дальнесрочные, среднесрочные, краткосрочные и оперативные

b) Долгосрочне, среднесрочные, краткосрочные и оперативные

c) Долгосрочне, среднесрочные и краткосрочные

d) Долгосрочне, дальнесрочные, среднесрочные, краткосрочные

10. К способам прогнозирования относятся:

a) Экспертный, экстраполяции, моделирования

b) Экспертный, экстраполяции

c) Экспертный, моделирования

d) Нет верного ответа

№11. тест В качестве общей методологии при построении прогноза следует использовать:

a) Комплексный подход

b) Математический подход

c) Системный подход

d) Оптимизационный подход

12. По функциональному признаку прогнозы бывают:

a) Структурные и комплексные

b) Поисковые и нормативные

c) Макропрогнозы и микропрогнозы

d) Местные и групповые

13. К макропрогнозам не относится:

a) Структурный

b) Комплексный

c) Групповой

d) Отраслевой

14. К микропрогнозам не относится:

a) Региональный

b) Структурный

c) Местный

d) Групповой

15. Тренд – это:

a) Изменения, определяющие направления развития, основную тенденцию ряда

b) Изменения, определяющие основную тенденцию ряда

c) Изменения, определяющие направления развития

d) Верного ответа нет

Тест по теме: Балансовые модели в управлении экономическими процессами

1. Центральная идея межотраслевого баланса заключается в том, что:

a) Рассматриваются только чистые отрасли

b) Каждая отрасль в нем рассматривается и как производитель, и как потребитель

c) Рассматриваются и потребляющие и производящие отрасли

d) Рассматриваются только те производящие отрасли, в товарах которых имеется потребность

2. В основе исследований на базе балансовых моделей лежат:

a) балансовые таблицы

b) балансовые методы

c) балансовые таблицы и балансовые методы

d) нет верного ответа

3. Чистая отрасль – это:

a) отрасль, объединяющая все производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм, содержащие данные о производстве и потреблении отраслей или предприятий

b) условная отрасль, объединяющая все производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм, содержащие данные о производстве и потреблении отраслей или предприятий

c) условная отрасль, объединяющая все производство данного продукта взависимости от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм, содержащие данные о производстве и потреблении отраслей или предприятий

d) все ответы верны

4. Впервые таблица межотраслевого баланса была опубликована:

a) В 1936 году в США

b) В 1936 году и в США, и в России

c) В 1926 году в России

d) В 1926 году и в США, и в России

5. Условно чистая продукция включает:

a) чистый доход, амортизацию, чистую продукцию

b) оплату труда, чистый доход, амортизацию

c) оплату труда, чистую продукцию некоторой j-той отрасли

d) оплату труда, чистый доход, чистую продукцию

6. Показатели материальных затрат на производство продукции содержатся в:

a) 1 разделе МОБа

b) 2 разделе МОБа

c) 3 разделе МОБа

d) 4 разделе МОБа

7. Какому квадранту МОБ соответствует слагаемое Y модели X=(E-A)-1 * Y

a) первому

b) второму

c) третьему

d) четвертому

8. Какому квадранту МОБ соответствует слагаемое X модели X=(E-A)-1 * Y

a) первому

b) второму

c) третьему

d) четвертому

9. Какой тип производственной функции (ПФ) используется в модели Леонтьева «затраты-выпуск»:

a) линейная ПФ

b) ПФ Кобба-Дугласа

c) ПФ со взаимополняющими ресурсами Стоуна

тест_10. Годовой фонд возмещения затрат средств производства в материальной сфере представляет собой:

a) сумму элементов матрицы полных затрат на производство продукции

b) сумму элементов матрицы материальных затрат на производство продукции

c) сумму элементов матрицы прямых затрат на производство продукции

d) сумму элементов матрицы косвенных затрат на производство продукции

11. Показатели условно чистого продукта содержатся в:

a) 1 разделе МОБа

b) 2 разделе МОБа

c) 3 разделе МОБа

d) 4 разделе МОБа

12. Коэффициенты матрицы полных затрат (полного мультипликатора) характеризуют нормативы затрат при увеличении на единицу:

a) промежуточного продукта

b) конечного продукта

c) валового продукта

13. Модель Леонтьева использует следующие предположения:

a) технология производства изменима, свойство линейности прямых затрат

b) продуктивность матрицы прямых затрат, свойство линейности прямых затрат

c) сложившаяся технология производства неизменна, свойство нелинейности прямых затрат

d) сложившаяся технология производства неизменна, свойство линейности прямых затрат

14. Матрица полных материальных затрат учитывает:

a) материальные затраты на восстановление основных производственных фондов

b) материальные затраты на воспроизводство рабочей силы

c) прямые и косвенные материальные затраты

d) все верно

15. Национальный доход со стороны его стоимостного состава характеризует

a) 1 раздел МОБа

b) 2 раздел МОБа

c) 3 раздел МОБа

d) 4 раздел МОБа

16. Отраслевую материальную структуру национального дохода характеризует

a) 1 раздел МОБа

b) 2 раздел МОБа

c) 3 раздел МОБа

d) 4 раздел МОБа

17. Запишите соотношение, отражающее стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы

Xj = Xij + Zj, где j=1,2…, n

18. Запишите соотношение, отражающее распределение продукции отраслей материального производства по направлениям использования

Xi = Xij + Yi, где i=1,2…, n

19. Запишите основные балансовые соотношения

Xj = Xi

Zj = Yi

20. Запишите систему уравнений, которая называется моделью межотраслевого баланса или моделью Леонтьева

X = A * X + Y

Xi = aij * Xj + Yi, где i=1,2…, n

21. Запишите формулу, по которой определяются коэффициенты прямых затрат

аij = Xij / Xj

22. Запишите соотношение, которое определяет полные затраты

А + A2+ A3 + ….=Ak

23. Запишите соотношение, через которое, задав величины валовой продукции можно определить объемы конечной продукции

Y = (E — A)*X

24. Запишите соотношение, через которое, задав величины конечной продукции можно определить объемы валовой продукции

X = (E – A)-1*Y

Тест по теме: Эконометрические модели в менеджменте

1. тест  — Наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей, носит название:

a) экономики

b) эконометрики

c) экономической статистики

d) экономической теории

2. При этом все переменные любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей ее использования принято (целесообразно) делить на:

1) экзогенные; 2) эндогенные; 3) функциональные; 4) предопределенные

a) 1,2

b) 3,4

c) 1,2,3

d) 1,2,3,4

3. Переменные, которые входят в эконометрическую модель, но рассматриваются как определенные независимо от моделируемого явления носят название:

a) эндогенных

b) экзогенных

c) функциональных

d) предопределенных

4. Переменные, выступающие в системе в роли факторов — аргументов, или объясняющих переменных, носят название:

a) эндогенных

b) экзогенных

c) функциональных

d) предопределенных

5. Переменные, которые определяются только явлением, для которого строится модель, носят название:

a) эндогенных

b) экзогенных

c) функциональных

d) предопределенных

6. На первом этапе (постановочном) построения эконометрической модели:

a) формулируются конечные цепи моделирования

b) определяется набор участвующих в модели факторов и показателей

c) a) и b)

d) все ответы не верны

7. На втором этапе (априорном) построения эконометрической модели:

a) осуществляется предварительный анализ экономической сущности изучаемого явления

b) формирование и формализация априорной информации

c) a) и b)

d) все ответы не верны

8. На третьем этапе (параметризация) построения эконометрической модели выбирается:

a) общий вид модели

b) состав

c) форма входящих в модель связей

d) a) и b)

e) b) и c)

f) a), b) и c)

g) нет верного ответа

9. Четвертый этап (информационный) заключается в:

a) сборе необходимой статистической информации

b) предварительном анализе данных

c) a) и b)

d) все ответы не верны

10. Пятый этап (идентификация модели) посвящен:

a) статистическому анализу

b) статистической оценке неизвестных параметров модели

c) a) и b)

d) все ответы не верны

11. Результаты эконометрических моделей различны и зависят от:

a) выбираемого критерия

b) численного метода оценки

c) a) и b)

d) все ответы не верны

№тест 12. Шестой этап (верификация модели) предполагает:

a) сопоставление реальных и модельных данных

b) проверку адекватности модели

c) оценку точности модельных данных

d) a) и b)

e) b) и c)

f) a), b) и c)

g) нет верного ответа

Тест по теме: Экспертные методы анализа в менеджменте

1. Мeтoды, основанные нa свободном выдвижeнии идeй, нaпpaвлeнныx нa peшeниe пpoблeмы, зaтeм из этиx идей oтбиpaютcя нaибoлee цeнныe, носят название:

a) мoзгoвoй aтaки

b) cцeнapиeв

c) предложений

d) coвeщaний

2. Мeтoд, пpeдcтaвляющий coбoй coвoкyпнocть пpaвил пo излoжeнию в пиcьмeннoм видe пpeдлoжeний cпeциaлиcтoв пo peшaeмoй пpoблeмe, носит название

a) мoзгoвoй aтaки

b) cцeнapиeв

c) анкетного опроса

d) предложений

3. Метод, основанный нa мoдeлиpoвaнии фyнкциoниpoвaния coциaльнoй cиcтeмы yпpaвлeния пpи выпoлнeния oпepaций, нaпpaвлeнныx нa дocтижeниe пocтaвлeннoй цeли, носит название:

a) суда

b) cцeнapиeв

c) дeлoвыx игp

d) coвeщaний

4. Метод, предполагающий пpoвeдeниe coвeщaния или диcкyccии c цeлью выpaбoтки eдинoгo кoллeктивнoгo мнeния пo peшaeмoй пpoблeмe, носит название:

a) мoзгoвoй aтaки

b) cцeнapиeв

c) суда

d) coвeщaний

5. К методам получения индивидуального мнения членов экспертной группы не относится метод:

a) анкетного опроса

b) интервью

c) Дельфи

d) совещаний

6. К методам получения индивидуального мнения членов экспертной группы относится метод:

a) анкетного опроса

b) мозгового штурма

c) сценариев

d) совещаний

7. Метод, представляющий собой итеративную процедуру анкетного опроса, носит название:

a) анкетного опроса

b) интервью

c) Дельфи

d) Совещаний

8. Преимущества метода индивидyaльнoгo экcпepтнoгo oцeнивaния заключаются:

1) в иx oпepaтивнocти; 2) объективность получаемых оценок; 3) oтcyтcтвии дaвлeния co cтopoны aвтopитeтoв; 4) в низкиx зaтpaтax нa экcпepтизy

a) 1,2,3

b) 1,2,4

c) 1,3,4

d) 2,3,4

9. Нeдocтaткoм метода индивидyaльнoгo экcпepтнoгo oцeнивaния являeтcя:

a) недостаточная oпepaтивнocть

b) субъективность получаемых оценок

c) дaвлeние co cтopoны aвтopитeтoв

d) затратность

10. Достоинством метода Дельфи является:

a) опepaтивнocть

b) использование обратной связи в ходе опроса

c) субъективность получаемых оценок

d) низкие зaтpaты нa экcпepтизy

Тест по теме: Экономико-математические методы и модели управления запасами

тест 1. В разработке модели управления запасами заинтересованы

a) предприятия поточно-массового производства

b) предприятия розничной торговли

c) обрабатывающая промышленность

d) все ответы верны

2. Основными характеристиками модели управления запасами является:

a) спрос, пополнение склада, объем заказа, время доставки, штраф за дефицит

b) спрос, стоимость доставки, издержки хранения, штраф за префицит

c) спрос, пополнение склада, штраф за префицит, структура складской системы

d) спрос, объем заказа, пополнение склада, штраф за префицит

3. Основными характеристиками модели управления запасами является:

a) спрос, пополнение склада, объем заказа, время доставки, штраф за префицит

b) спрос, стоимость доставки, издержки хранения, штраф за префицит

c) спрос, пополнение склада, штраф за дефицит, структура складской системы

d) спрос, объем заказа, пополнение склада, штраф за префицит

4. В суммарные затраты системы управления запасами не входят:

a) затраты на приобретение

b) затраты на хранение заказа

c) затраты на оформление заказа

d) потери от префицита запаса

5. Цель модели управления запасами заключается:

a) в минимизации общих издержек хранения запасов

b) в минимизации затрат на хранение заказа

c) в минимизации затрат на приобретение запасов

d) в минимизации затрат на оформление заказа

6. Какие затраты не зависят от объема заказа:

a) затраты на приобретение

b) затраты на хранение заказа

c) затраты на оформление заказа

d) потери от дефицита запаса

7. К основным признакам классификации товарных запасов не относится:

a) стадия готовности

b) производитель

c) существование выбора у потребителя

d) срок годности

8. К основным признакам классификации товарных запасов относится:

a) стадия готовности

b) независимость поставщиков

c) отсутствие выбора у потребителя

d) срок годности

Тест по теме: Моделирование систем массового обслуживания (СМО)

1. тест. Системы массового обслуживания — это

a) системы предназначенные для одноразового использования при решении определенных задач

b) системы предназначенные для многоразового использования при решении однотипных задач

c) системы предназначенные для многоразового использования при решении типичных задач

d) все ответы верны

2. По числу каналов системы массового обслуживание делятся на:

a) одноканальные и многоканальные

b) одноканальные и двуканальные

c) одноканальные и разноканальные

d) все ответы верны

3. СМО делятся на:

a) СМО с отказами и классические СМО

b) СМО с ожиданием и классические СМО

c) СМО с отказами и СМО с ожиданием

d) СМО без отказов и классические СМО

4. Относительно дисциплины обслуживания СМО классифицируется на

a) заявки, организованные по принципу «первая пришла – первая обслужена»

b) заявки, организованные по принципу «последняя пришла – первая обслужена»

c) заявки, обслуживаемые с приоритетом

d) все ответы верны

5. Обслуживание по принципу приоритета бывает:

a) с приоритетом и без приоритета

b) абсолютным или относительным

c) абсолютным и обычным

d) все ответы верны

testua.ru

Тест по математике (6 класс) на тему: Тест по теме математическое моделирование

Тест по теме: «Математическое моделирование»

1. Закончите предложение: «Объект, который используется в качестве «заместителя»,  представителя другого объекта с определенной целью, называется …»

  1.  моделью;
  2.  копией;
  3.  предметом;
  4.  оригиналом.

2. Закончите предложение: «Модель, по сравнению с объектом-оригиналом, содержит …»

  1.  меньше информации;
  2.  столько же информации;
  3.  больше информации.

3. Моделирование — это:

  1. процесс замены реального объекта (процесса, явления) моделью, отражающей его существенные признаки с точки зрения достижения конкретной цели;
  2. процесс демонстрации моделей одежды в салоне мод;
  3. процесс неформальной постановки конкретной задачи;
  4. процесс замены реального объекта (процесса, явления) другим материальным или идеальным объектом;
  5. процесс выявления существенных признаков рассматриваемого объекта.

4.         Процесс построения модели, как правило, предполагает:

  1. описание всех свойств исследуемого объекта;
  2. выделение наиболее существенных с точки зрения решаемой задачи свойств объекта;
  3. выделение свойств объекта безотносительно к целям решаемой задачи;
  4. описание всех пространственно-временных характеристик изучаемого объекта;
  5. выделение не более трех существенных признаков объекта.

5.         Математическая модель объекта — это:

  1. созданная из какого-либо материала модель, точно отражающая внешние признаки объекта-оригинала;
  2. описание в виде схемы внутренней структуры изучаемого объекта;
  3. совокупность данных, содержащих информацию о количественных характеристиках объекта и его поведения в виде таблицы;
  4. совокупность записанных на языке математики формул, отражающих те или иные свойства объекта-оригинала или его поведение;
  5. последовательность электрических сигналов.

6.         К числу математических моделей относится:

  1. милицейский протокол;
  2. правила дорожного движения;
  3. формула нахождения корней квадратного уравнения;
  4. кулинарный рецепт;
  5. инструкция по сборке мебели.

7.         К числу документов, представляющих собой информационную модель управления государством, можно отнести:

  1. Конституцию РФ;
  2. географическую карту России;
  3. Российский словарь политических терминов;
  4. схему Кремля;
  5. список депутатов государственной Думы.

8.         Рисунки, карты, чертежи, диаграммы, схемы, графики представляют собой:

  1. табличные информационные модели;
  2. математические модели;
  3. натурные модели;
  4. графические информационные модели;
  5. иерархические информационные модели.

9 .        Описание глобальной компьютерной сети Интернет в виде системы взаимосвязанных следует рассматривать как:

  1. натурную модель;
  2. табличную модель;
  3. графическую модель;
  4. математическую модель;
  5. сетевую модель.

10.         В биологии классификация представителей животного мира представляет собой:

  1. иерархическую модель;
  2. табличную модель;
  3. графическую модель;
  4. математическую модель;
  5. натурную модель.

11. Информационной моделью организации занятий в школе является:

1. свод правил поведения учащихся;

2. список класса;

3. расписание уроков;

4. перечень учебников.

12. Отметьте пропущенное слово: «Географическая карта является примером … модели»

  1. образной
  2. знаковой
  3. смешанной
  4. натурной

13. Укажите пары объектов, о которых можно сказать, что они находятся в отношении «объект – модель»:

  1. компьютер – процессор
  2. Новосибирск – город
  3. слякоть – насморк
  4. автомобиль – техническое описание автомобиля
  5. город – путеводитель по городу

14. Модель есть замещение изучаемого объекта другим объектом, который отражает:

1. все стороны данного объекта

2. некоторые  стороны данного объекта

3. существенные стороны данного объекта

4. несуществующие стороны данного объекта

15. Что является моделью объекта «яблоко»?

1. муляж;

                                        2. фрукт;

3. варенье;        

4. компот.

16. Укажите примеры натурных моделей:

  1. физическая карта
  2. глобус
  3. график зависимости расстояния от времени
  4. макет здания
  5. схема узора для вязания крючком
  6. муляж яблока
  7. манекен

17. Укажите примеры образных информационных моделей:

  1. рисунок
  2. фотография
  3. словесное описание
  4. формула

18. Закончите предложение: «Можно создавать и использовать …»

  1. разные модели объекта
  2. единственную модель объекта
  3. только натурную модель объекта

19. Отметьте пропущенное слово: «Словесное описание горного ландшафта является примером … модели»

  1. образной
  2. знаковой
  3. смешанной
  4. натурной

20.        Расписание движение поездов может рассматриваться как пример:

  1. натурной модели;
  2. табличной модели;
  3. графической модели;
  4. компьютерной модели;
  5. математической модели.

        


Рекомендуемые правила при оценивании:
– за каждый правильный ответ +1 балл;
– за каждый неполный ответ +0,5 балла;
– за вопрос без ответа 0 баллов.

Рекомендуемые соотношения при выставлении оценок:
50-70% — «3»;
71-85% — «4»;
86-100% — «5».

ОТВЕТЫ:

1

1

1

2

4

3

1

4

5

1

3

3

4,5

1

1

2,4,6,7

1,2

1

2

2

nsportal.ru

Тест с ответами: «Моделирование» | Образовательный портал

1. Могут ли разные объекты быть описаны одной моделью:
а) да +
б) нет
в) зависит от моделей

2. Построение модели исходных данных; построение модели результата, разработка алгоритма, разработка программы, отладка и исполнение программы, анализ и интерпретация результатов:
а) анализ существующих задач
б) этапы решения задачи с помощью компьютера +
в) процесс описания информационной модели

3. Процесс построения информационных моделей с помощью формальных языков называется:
а) планированием
б) визуализацией
в) формализацией +

4. Расписание движения поездов может рассматриваться как пример:
а) табличной модели +
б) натурной модели
в) математической модели

5. Математическая модель объекта:
а) совокупность данных, содержащих информацию о количественных характеристиках объекта и его поведении в виде таблицы
б) созданная из какого-либо материала модель, точно отражающая внешние признаки объекта-оригинала
в) совокупность записанных на языке математики формул, отражающих те или иные свойства объекта-оригинала или его поведение +

6. Натурное (материальное) моделирование:
а) моделирование, при котором в модели узнается какой-либо отдельный признак объекта-оригинала
б) моделирование, при котором в модели узнается моделируемый объект, то есть натурная (материальная) модель всегда имеет визуальную схожесть с объектом-оригиналом +
в) создание математических формул, описывающих форму или поведение объекта-оригинала

7. Система состоит из:
а) объектов, которые называются свойствами системы
б) набора отдельных элементов
в) объектов, которые называются элементами системы +

8. Может ли один объект иметь множество моделей:
а) да +
б) нет
в) да, если речь идёт о создании материальной модели объекта

9. Образные модели представляют собой:
а) формулу
б) таблицу
в) зрительные образы объектов, зафиксированные на каком либо носителе информации +

10. Какие модели воспроизводят геометрические, физические и другие свойства объектов в материальной форме?
а) табличные
б) предметные +
в) информационные

11. Модель:
а) материальный или абстрактный заменитель объекта, отражающий существенные с точки зрения цели исследования свойства изучаемого объекта, явления или процесса +
б) материальный или абстрактный заменитель объекта, отражающий его пространственно-временные характеристики
в) любой объект окружающего мира

12. Описание глобальной компьютерной сети Интернет в виде системы взаимосвязанных следует рассматривать как:
а) математическую модель
б) сетевую модель +
в) графическую модель

13. Последовательность этапов моделирования:
а) цель, объект, модель, метод, алгоритм, программа, эксперимент, анализ, уточнение +
б) объект, цель, модель, эксперимент, программа, анализ, тестирование
в) цель, модель, объект, алгоритм, программа, эксперимент, уточнение выбора объекта

14. Моделирование:
а) формальное описание процессов и явлений
б) процесс выявления существенных признаков рассматриваемого объекта
в) метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей +

15. Сколько существует основных этапов разработки и исследование моделей на компьютере:
а) 5 +
б) 4
в) 6

16. На первом этапе исследования объекта или процесса обычно строится:
а) предметная модель
б) описательная информационная модель +
в) формализованная модель

17. Табличная информационная модель представляет собой:
а) набор графиков, рисунков, чертежей и диаграмм
б) последовательность предложений на естественном языке
в) описание объектов (или их свойств)в виде совокупности значений, размещенных в таблице +

18. Такие модели представляют объекты и процессы в образной или знаковой форме:
а) материальные
б) информационные +
в) математические

19. Рисунки, карты, чертежи, диаграммы, схемы, графики представляют собой:
а) иерархические информационные модели
б) математические модели
в) графические информационные модели +

20. Географическую карту следует рассматривать скорее всего как:
а) вербальную информационную модель
б) графическую информационную модель +
в) математическую информационную модель

21. В качестве примера модели поведения можно назвать:
а) правила техники безопасности в компьютерном классе +
б) чертежи школьного здания
в) план классных комнат

22. Какой тип моделей применяется для описания ряда объектов, обладающих одинаковыми наборами свойств:
а) сетевые информационные модели
б) табличные информационные модели +
в) иерархические сетевые модели

23. Информационной моделью части земной поверхности является:
а) глобус
б) рисунок
в) картина местности +

24. Модель отражает:
а) некоторые существенные признаки объекта
б) существенные признаки в соответствии с целью моделирования +
в) все существующие признаки объекта

25. При создании игрушечного корабля для ребенка трех лет существенным является:
а) точность
б) материал
в) внешний вид +

26. В информационной модели жилого дома, представленной в виде чертежа (общий вид), отражается его:
а) стоимость
б) структура +
в) надежность

27. В информационной модели облака, представленной в виде черно-белого рисунка, отражаются его:
а) форма +
б) размер
в) плотность

28. Модель человека в виде детской куклы создана с целью:
а) познания
б) продажи
в) игры +

29. Признание признака объекта существенным при построении его информационной модели зависит от:
а) цели моделирования +
б) стоимости объекта
в) размера объекта

30. При описании внешнего вида объекта удобнее всего использовать информационную модель следующего вида:
а) структурную
б) графическую +
в) математическую

liketest.ru

Основы математического моделирования — Ответы на тесты Intuit.ru

Ответы на курс: Основы математического моделирования

Что называют решением игры?
совокупность гарантированных выигрышей называется решением игры
совокупность оптимальных стратегий называется решением игры
совокупность седловых точек называется решением игры
совокупность минимальных стратегий называется решением игры

Что называется суммой событий и ?

Что надо делать при наличии неопределенности?
любую неопределенность можно расчленить на множество частей и построить теоретико-игровую модель, на основании которой определяется оптимальное решение
любую неопределенность можно расчленить на известную и неизвестную части, построить теоретико-игровую модель, на основании которой определяется оптимальное решение
любую неопределенность можно отбросить и построить теоретико-игровую модель, на основании которой определяется оптимальное решение
любую неопределенность можно заменить определенностью и построить теоретико-игровую модель, на основании которой определяется оптимальное решение

Какие игры называются квазиматричными играми?
конечные игры, в которых в целом ряде случаев стороны имеют различную информацию о ходах «природы». Так, например, I может знать, а игрок II не знать, какой ход сделает «природа». Такие игры и называются квазиматричными
конечные игры, в которых в целом ряде случаев стороны имеют одинаковую информацию о ходах «природы». Так, например, I может знать, а игрок II не знать, какой ход сделает «природа». Такие игры и называются квазиматричными
бесконечные игры, в которых в целом ряде случаев стороны имеют одинаковую информацию о ходах «природы». Так, например, I может знать, а игрок II не знать, какой ход сделает «природа». Такие игры и называются квазиматричными
бесконечные игры, в которых в целом ряде случаев стороны имеют различную информацию о ходах «природы». Так, например, I может знать, а игрок II не знать, какой ход сделает «природа». Такие игры и называются квазиматричными

Что необходимо выполнить для построения математической модели?
выделить рассматриваемый объекта (процесс), отбросить все несущественное и установить все существенное.

Точно количественно описать ситуацию, с тем чтобы это описание можно было перевести на математический язык.

Определить набор параметров, характеризующих как состояние системы (процесса), так и возможное управление системой (процессом).

Определить зависимости между параметрами состояния и управления.

Определить цели через параметры системы в терминах соответствующей математической модели

определить зависимости между параметрами состояния и управления
выделить рассматриваемый объект или процесс, отбросить все несущественное и установить все существенное
определить набор параметров, характеризующих как состояние системы (процесса), так и возможное управление системой (процессом)

Какие системы называют системами с ожиданием?
если требование, поступившее в систему обслуживания, может ее покинуть только тогда, когда оно полностью обслужено. В этом случае совокупность таких требований, поступивших в систему в тот момент, когда все обслуживающие аппараты свободны, образует очередь. Такие системы называются системами с ожиданием или системами без потерь
если требование, поступившее в систему обслуживания, может ее покинуть только тогда, когда оно частично обслужено. В этом случае совокупность таких требований, поступивших в систему в тот момент, когда все обслуживающие аппараты заняты, образует очередь.

Такие системы называются системами с ожиданием или системами без потерь

если требование, поступившее в систему обслуживания, может ее покинуть только тогда, когда оно обслужено в последнюю очередь. В этом случае совокупность таких требований, поступивших в систему в тот момент, когда все обслуживающие аппараты свободны, образует очередь. Такие системы называются системами с ожиданием или системами без потерь
если требование, поступившее в систему обслуживания, может ее покинуть только тогда, когда оно полностью обслужено. В этом случае совокупность таких требований, поступивших в систему в тот момент, когда все обслуживающие аппараты заняты, образует очередь.

Такие системы называются системами с ожиданием или системами без потерь


Какой перебор планов предусматривает симплекс-метод?
симплекс-метод предусматривает перебор планов от последнего к первому
симплекс-метод предусматривает направленный перебор планов, при котором каждый последующий план оказывается лучше предыдущего
симплекс-метод предусматривает сплошной перебор планов, при котором каждый последующий план оказывается лучше предыдущего
симплекс-метод предусматривает направленный и частично сплошной перебор планов, при котором каждый последующий план оказывается лучше предыдущего

Каковы основные принципы планирования эксперимента?
replication, randomization, blockdivision
replication, randomization, planned grouping
основные принципы планирования эксперимента: повторение, рандомизация, разбиение на блоки
основные принципы планирования эксперимента: дублирование, рандомизация, разбиение на блоки

Какая область может быть названа областью допустимых планов?
область может быть названа областью допустимых планов, в которой выполняется любой план
область может быть названа областью допустимых планов, поскольку любая точка в ее пределах отвечает требованиям наложенных ограничений
область может быть названа областью допустимых планов, если в этой области выполняются основные планы
область может быть названа областью допустимых планов, в которой заданы все планы

Что такое плацебо?
плацебо – это название процесса лечения
плацебо – это фармакологически неэффективное вещество
плацебо – это название лекарства
плацебо – это название болезни

Что понимают под статистикой?
статистика – совокупность методов, которые дают нам возможность принимать частичные решения в условиях неопределенности
статистика – совокупность методов, которые дают нам возможность принимать оптимальные решения в условиях неопределенности
статистика – совокупность методов, которые дают нам возможность принимать бескомпромисные решения в условиях неопределенности
статистика – совокупность методов, которые дают нам возможность принимать быстрое решения в условиях неопределенности

Что называют случайной величиной ?

Какая система называется неупорядоченной ?
все обслуживающие аппараты системы одинаковы.

Вновь поступившее требование обслуживается только первым аппаратом. Такая организация системы обслуживания носит название неупорядоченной

все обслуживающие аппараты системы одинаковы.

Вновь поступившее требование обслуживается последним из свободных аппаратов, причем предпочтения при этом не отдается ни одному из них. Такая организация системы обслуживания носит название неупорядоченной

все обслуживающие аппараты системы одинаковы.

Вновь поступившее требование обслуживается одним из свободных аппаратов, причем предпочтения при этом не отдается ни одному из них. Такая организация системы обслуживания носит название неупорядоченной

все обслуживающие аппараты системы разные.

Вновь поступившее требование обслуживается одним из свободных аппаратов, причем предпочтения при этом не отдается ни одному из них. Такая организация системы обслуживания носит название неупорядоченной


Пусть , и — независимые случайные величины. Чему равна дисперсия их суммы ?

Что такое стратегия поведения данного игрока ?
стратегия поведения данного игрока есть функция, определенная на классе его информационных множеств, которая назначает для каждого информационного множества распределение
стратегия поведения данного игрока есть функция, определенная на классе вещественных чисел
стратегия поведения данного игрока есть функция, определенная на классе его информационных множеств
стратегия поведения данного игрока есть функция, определенная на классе его информационных множеств, которая назначает для каждого информационного множества распределение вероятностей альтернатив этого множества

Всегда ли накладывается требование целочисленности распределительных задач?
во многих интерпретациях распределительной задачи требование целочисленности на переменные может и не накладываться
во многих интерпретациях распределительной задачи требование целочисленности на переменные всегда накладывается
во многих интерпретациях распределительной задачи требование целочисленности на переменные может накладываться частично
во многих интерпретациях распределительной задачи требование целочисленности на переменные с четным значением может и не накладываться

Что такое риск поставщика?
риск поставщика – отклонение негодной партии продукции
риск поставщика – отклонение большой партии продукции
риск поставщика – отклонение еще хорошей партии продукции
риск поставщика – отклонение очень хорошей партии продукции

Чем характерен «дважды слепой опыт»?
«дважды слепой опыт» предполагает, что больным дают только лекарство
«дважды слепой опыт» предполагает, что больным дают только плацебо
«дважды слепой опыт» предполагает, что больные не должны знать, что вообще и что непосредственно дают больным – медикаменты или плацебо
«дважды слепой опыт» предъявляет по сравнению с обычным слепым опытом дополнительные требования. Не только больные, но также и врач (или врачи), наблюдающий и судящий о реакции больных, не должны знать, что вообще и что непосредственно дают больным – медикаменты или плацебо

Что называется заключительной ситуацией?
ситуация, на основании которой определяется ничья, называется заключительной
ситуация, на основании которой определяется выигрыш всех участников игры, называется заключительной
ситуация, на основании которой определяется подтасовка игры, называется заключительной
ситуация, на основании которой определяется исход игры, называется заключительной

Что такое выпуклая оболочка?
минимальный, выпуклый многоугольник, внутри которого лежит часть точек заданного множества
минимальный, выпуклый многоугольник, внутри которого не лежат точки заданного множества
максимальный, выпуклый многоугольник, внутри которого лежат все точки заданного множества
минимальный, выпуклый многоугольник, внутри которого лежат все точки заданного множества

Что такое полипрагмазии?
это название лекарства
это фармакологически эффективное вещество
лечение разносторонними лечебными средствами
это особое заболевание

Какой критерий называется максиминным ?
критерий Гурвица
критерий Лапласа
критерий Вальда
критерий потерь

Что учитывает показатель эффективности?
показатель эффективности должен учитывать значимость эксперимента
показатель эффективности должен учитывать стоимость данного исхода и потери, вызванные неправильными решениями
показатель эффективности должен учитывать только потери, вызванные неправильными решениями
показатель эффективности должен учитывать только выигрыш при выбранном решении

Что называют статистически независимыми величины ?

Какой критерий считается критерием пессимизма-оптимизма ?
критерий потерь
критерий Лапласа
критерий Вальда
критерий Гурвица

Что такое модельная задача?
задача, используемая для отладки или демонстрации алгоритма
задача, используемая для отладки или демонстрации метода
задача, используемая для отладки или демонстрации системы
задача, используемая для отладки или демонстрации данных

Чем характерен «трижды слепой опыт»?
«трижды слепой опыт». В этом случае врачу известно, какое лекарство получает пациент, сестра не знает, что она дает больному, и больной не знаком ни врачу, ни сестре
«трижды слепой опыт». В этом случае врачу неизвестно, какое лекарство получает пациент, сестра не знает, что она дает больному, и больной знаком и врачу, и сестре
«трижды слепой опыт». В этом случае врачу неизвестно, какое лекарство получает пациент, сестра знает, что она дает больному, и больной не знаком ни врачу, ни сестре
«трижды слепой опыт». В этом случае врачу неизвестно, какое лекарство получает пациент, сестра не знает, что она дает больному, и больной не знаком ни врачу, ни сестре

В чем различие между проблемами теории игр и теории статических решений?
единственное, но весьма существенное, различие между проблемами теории игр и теории статических решений состоит в том, что «природа» в отличие от разумного игрока более разнообразна
единственное, но весьма существенное, различие между проблемами теории игр и теории статических решений состоит в том, что «природа» в отличие от разумного игрока характеризуется стихийностью, а не сознательность выбора
единственное, но весьма существенное, различие между проблемами теории игр и теории статических решений состоит в том, что «природа» мудрее разумного игрока
единственное, но весьма существенное, различие между проблемами теории игр и теории статических решений состоит в том, что «природа» в отличие от разумного игрока характеризуется оптимистичностью, а не сознательность выбора

Обозначим некоторое событие, связанное с указанными исходами. — общее число исходов рассматриваемого опыта, — число тех из них, которые приводят к наступлению события . Чему равна вероятность события ?

Как записывается вероятность того, что система рано или поздно попадает в исходное состояние ?

Где используется теория игр?
теория игр используется только в казино
теория игр используется практически в любой науке, где есть неопределенность
теория игр используется в алгебраической топологии, биологии, метеорологии
теория игр используется в экономике и медицине

Что называется стратегией игрока?
стратегия – это план поведения игры данным игроком
заранее определенная последовательность ходов в зависимости от информации о ходах противника и о случайно изменяющихся параметрах, законы распределения которых считаются заданными, называется стратегией игрока
поведение игрока в игре называется стратегией игрока
заранее определенная последовательность ходов называется стратегией игрока

Как определяется необходимость и направление перебора планов?
поскольку при отсутствии наглядного геометрического представления заранее нельзя располагать значениями переменных в вершинах многоугольника, то для установления необходимости и направления перебора планов пользуются специальным критерием :

,

где индекс приписывается небазисным (нулевым) переменным, а индекс базисным. Имеется доказательство того, что в случае оптимальности полученного плана все становятся равными нулю или меньше нуля. Включению в базис подлежит та переменная, для которой принимает наибольшее положительное значение

поскольку при отсутствии наглядного геометрического представления заранее нельзя располагать значениями переменных в вершинах многоугольника, то для установления необходимости и направления перебора планов пользуются специальным критерием :

где индекс приписывается небазисным (нулевым) переменным, а индекс базисным. Имеется доказательство того, что в случае оптимальности полученного плана все становятся равными нулю или меньше нуля. Включению в базис подлежит та переменная, для которой принимает наибольшее положительное значение

поскольку при отсутствии наглядного геометрического представления заранее нельзя располагать значениями переменных в вершинах многоугольника, то для установления необходимости и направления перебора планов пользуются специальным критерием :

где индекс приписывается небазисным (нулевым) переменным, а индекс базисным. Имеется доказательство того, что в случае оптимальности полученного плана все становятся равными нулю или меньше нуля. Включению в базис подлежит та переменная, для которой принимает наибольшее положительное значение

поскольку при отсутствии наглядного геометрического представления заранее нельзя располагать значениями переменных в вершинах многоугольника, то для установления необходимости и направления перебора планов пользуются специальным критерием :

,

где индекс приписывается небазисным (нулевым) переменным, а индекс базисным. Имеется доказательство того, что в случае оптимальности полученного плана все становятся равными нулю или меньше нуля. Включению в базис подлежит та переменная, для которой принимает наибольшее положительное значение



otveti-na-intuit.ru

Тест с ответами на тему: Моделирование систем

1. Что такое модель объекта?

A. Объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение всех свойств оригинала

B. Объект-оригинал, который обеспечивает изучение некоторых своих свойств

C. Объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала +

D. Объект-оригинал, который обеспечивает изучение всех своих свойств

2. Какие граничные условия называются естественными?

A. Условия, налагаемые на функцию, которая ищется.

B. Условия, которые накладываются на производные функции, ищется, по пространственным координатам. +

C. Условия, наложено на различные внешние силовые факторы, действующие на точки поверхности тела.

D. Условия, наложено на различные внутренние факторы, которые действуют внутри тела.

3. Какому вариационной принципа соответствует формулировка МКЭ в перемещениях?

A. Минимума дополнительной работы Кастильяно.

B. Минимума потенциальной энергии Лагранжа. +

C. Принцип Хувашицу.

D. Максимум потенциальной работы Кастильяно.

4. Какой тип математических моделей использует алгоритмы?

A. Аналитические.

B. Знаковые.

C. Имитационные. +

D. Детерминированные.

5. Какой тип моделей выделен в классификации по принципам построения.

A. Наглядные.

B. Аналитические. +

C. Знаковые.

D. Математические.

6. Какие зависимые переменные существуют в моделях микроуровня?

A. Время.

B. Пространственные координаты.

C. Плотность и масса.

D. Фазовые координаты. +

7. Какой метод дискретизации модели относится к микроуровня?

A. Метод свободных сетей.

B. Метод конечных разностей. +

C. Метод узловых давлений.

D. Табличный метод.

8. Что такое уровне проектирования?

A. Временное распределения работ по созданию новых объектов в процессе проектирования.

B. Совокупность языков, моделей, постановок задач, методов получения описаний где-либо иерархического уровня. +

C. Определенная последовательность решения проектных задач различных иерархических уровней.

D. Описание системы или ее части с де-либо определяемой точки зрения, которая определяется функциональными, физическими или иного типа отношениями между свойствами и элементами.

9. Что называют краевыми условиями для системы уравнений математической модели?

A. Условия, накладываемые на границе исследуемой области и в начальный момент времени. +

B. Условия, налагаемые на функцию, ищут.

C. Условия, налагаемые на производные искомой функции.

D. Условия, накладываемые в начальный момент времени.

10. Что такое аспекты проектирования?

A. Временное распределение работ по созданию объектов в процессе проектирования.

B. Совокупность языков, моделей, постановок задач, методов получения описаний где-либо иерархического уровня.

C. Определенная последовательность решения проектных задач различных иерархических уровней.

D. Описание системы или ее части с де-либо определяемой точки зрения, определяется функциональными, физическими или иного типа отношениями между свойствами и элементами. +

11. Укажите, какой из этапов выполняется при математическом моделировании после анализа.

A. Создание объекта, процесса или системы.

B. Проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента.

C. Корректировка постановки задачи после проверки адекватности модели. +

D. Использование модели.

12. Что такое параметры системы?

A. Величины, которая выражают свойство или системы, или ее части, или окружающей среды. +

B. Величины, характеризующие энергетическое или информационное наполнение элемента или подсистемы.

C. Свойства элементов объекта.

D. Величины, которая характеризует действия, которые могут выполнять объекты.

13. Какие формулировки МКЭ существуют в зависимости от функции, ищут?

A. В перемещениях и деформациях

B. В деформациях.

C. В напряжениях и градиентах.

D. Смешанная и гибридная. +

14. Какие зависимые переменные существуют в моделях макроуровня?

A. Время и характеристики потока.

B. Фазовые переменные типа потенциала.

C. Пространственные координаты. +

D. Фазовые переменные типа потока.

15. Что такое проектирование?

A. Процесс, который заключается в получении и преобразовании исходного описания объекта в конечный описание на основе выполнения комплекса работ исследовательского, расчетного и конструкторского характера. +

B. Процесс создания в заданных условиях описания несуществующего объекта на базе первичной описания.

C. Первоначальный описание объекта проектирования.

D. Вторичный описание объекта.

testdoc.ru

Тест по теме «Модели и моделирование»

Тест по теме «Модели и моделирование»

Вариант 1

1. Модель есть замещение изучаемого объекта другим объектом, который отражает:

а) все стороны данного объекта;

б) некоторые стороны данного объекта;

в) существенные стороны данного объекта;

г) несущественные стороны данного объекта.

2. Результатом процесса формализации является:

а) описательная модель; в) графическая модель;

б) математическая модель; г) предметная модель.

3. Информационной моделью организации занятий в школе является:

а) свод правил поведения учащихся; в) расписание уроков;

б) список класса; г) перечень учебников.

4. Материальной моделью является:

а) макет самолеты; в) чертеж;

б) карта; г) диаграмма.

5. Генеалогическое дерево семьи является:

а) табличной информационной моделью;

б) иерархической информационной моделью;

в) сетевой информационной моделью;

г) словесной информационной моделью.

6. Знаковой моделью является:

а) анатомический муляж; в) модель корабля;

б) макет здания; г) диаграмма.

7. Укажите в моделировании процесса исследования температурного режима комнаты объект моделирования:

а) конвекция воздуха в комнате;

б) исследование температурного режима комнаты;

в) комната;

г) температура.

8. Правильный порядок указанных этапов математического моделирования процесса:

1) анализ результата; 3) определение целей моделирования;

2) проведение исследования; 4) поиск математического описания.

Соответствует последовательности:

а) 3 – 4 – 2 – 1; в) 2 – 1 – 3 – 4;

б) 1 – 2 – 3 – 4; г) 3 – 1 – 4 – 2;

9. Из скольких объектов, как правило, состоит система?

а) из нескольких; в) из бесконечного числа;

б) из одного; г) она не делима.

10. Как называется граф, предназначенный для отображения вложенности, подчиненности, наследования и т.п. между объектами?

а) схемой; в) таблицей;

б) сетью; г) деревом.

11. Устное представление информационной модели называется:

а) графической моделью; в) табличной моделью;

б) словесной моделью; г) логической моделью.

12. Упорядочение информации по определенному признаку называется:

а) сортировкой; в) систематизацией;

б) формализацией; г) моделированием.

Вариант 2

1. Как называется упрощенное представление реального объекта?

а) оригинал; в) модель;

б) прототип; г) система.

2. Процесс построения моделей называется:

а) моделирование; в) экспериментирование;

б) конструирование; г) проектирование

3. Информационная модель, состоящая из строк и столбцов, называется:

а) таблица; в) схема;

б) график; г) чертеж.

4. Каково общее название моделей, которые представляют собой совокупность полезной и нужной информации об объекте?

а) материальные; в) предметные;

б) информационные; г) словесные.

5. Схема электрической цепи является:

а) табличной информационной моделью;

б) иерархической информационной моделью;

в) графической информационной моделью;

г) словесной информационной моделью

6. Знаковой моделью является:

а) карта; в) глобус;

б) детские игрушки; г) макет здания.

7. Укажите в моделировании процесса исследования температурного режима комнаты цель моделирования:

а) конвекция воздуха в комнате;

б) исследование температурного режима комнаты;

в) комната;

г) температура.

8. Правильные определения понятий приведены в пунктах

1) моделируемый параметр – признаки и свойства объекта – оригинала, которыми должна обязательно обладать модель;

2) моделируемый объект- предмет или группа предметов, структура или поведение которых исследуется с помощью моделирования;

3) закон – поведение моделируемого объекта.

а) 1 – 2 – 3; в) 1 – 3;

б) 2 – 3; г) 1 – 2.

9. Инструментом для компьютерного моделирования является:

а) сканер; в) принтер;

б) компьютер; г) монитор.

10. Как называется средство для наглядного представления состава и структуры системы?

а) таблица; в) текст;

б) граф; г) рисунок.

11. Как называются модели, в которых на основе анализа различных условий принимается решение?

а) словесные; в) табличные;

б) графические; г) логические.

12. Решение задачи автоматизации продажи билетов требует использования:

а) графического редактора; в) операционной системы;

б) текстового редактора; г) языка программирования.

infourok.ru

Радианы и градусы – Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры

Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Связь между градусами и радианами

Чтобы установить связь между градусами и радианами, необходимо узнать градусную и радианную меру какого-либо угла. Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла необходимо длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π·r. Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π·rr=π рад.

Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180°. Следовательно 180°=π рад. 

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой 

π радиан =180°

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

1 рад=180π° — градусная мера угла в 1 радиан равна 180π.

Также можно выразить один градус в радианах.

1°=π180рад

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы. 

1 рад=180π°=1803,1416°=57,2956°

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

1°=π180рад=3,1416180рад=0,0175 рад

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

x рад=х·180π°

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

zaochnik.com

Что такое один градус? Что такое один радиан? Перевод радианов в градусы и обратно.

        В прошлый раз мы с вами ответили на первый вопрос, касаемый работы с углами. А именно – как отсчитываются углы. Рассмотрели положительные и отрицательные углы, а также углы, большие 360 градусов. И на круге углы порисовали.)

        В этом же уроке настал черёд ответить на второй вопрос, связанный с измерением углов. Здесь мы разберёмся с загадочными радианами и особенно – с пресловутым числом «пи», которое будет мозолить нам глаза на протяжении всего дальнейшего изучения тригонометрии. Поймём, что это за число, откуда оно берётся и как с ним работать. И задания порешаем, само собой. Стандартные и не очень…)

        Разберёмся? Ну сколько же можно бояться числа «пи», в конце-то концов!)

        Итак, в чём же измеряются углы в математике? Начнём с привычного и знакомого. С градусов.

 

Что такое один градус? Градусная мера угла.

        К градусам вы уже попривыкли. Геометрию изучаете, да и в жизни постоянно сталкиваетесь. Например, «повернул на 90 градусов».) Короче, градус – штука простая и понятная.

        Вы и вправду так думаете? Тогда сможете сказать мне, что такое градус? Нет, гуглить и потрошить Википедию не надо. Ну как, слабо с ходу? Вот так-то…

        Начнём издалека. С древнейших времён. А именно – с двух очагов древних цивилизаций Вавилона и Египта.)

        Градус – это 1/360 часть окружности. И всё!

        Смотрим картинку:

        

        Придумали градусы в Древнем Вавилоне.) Как? Очень просто! Просто взяли да разбили окружность на 360 равных кусочков. Почему именно на 360? А не на 100 или на 1000? Вроде бы, число 100 поровнее, чем 360… Вопрос хороший.

        Основная версия – астрономическая. Ведь число 360 очень близко к числу дней в году! А для наблюдений за Солнцем, Луной и звёздами это было оч-чень удобно.)

        Кроме того, в астрономии (а также строительстве, землемерии и прочих смежных областях) очень удобно делить окружность на равные части. А теперь давайте прикинем чисто математически, на какие числа делится нацело 100 и на какие – 360? И в каком из вариантов этих делителей нацело больше? А людям такое деление очень удобно, да…)

 

Что такое число «пи»? Как оно возникло?

        А теперь переместимся из Древнего Вавилона в Древний Египет. Примерно в то же самое время там разгадывали другую загадку. Не менее интересную, чем вопрос, на сколько частей бить окружность. А именно – во сколько раз длина окружности больше её диаметра? Или по-другому: чему равна длина окружности с диаметром, равным единице?

        И так измеряли и сяк… Каждый раз получалось чуть-чуть больше трёх. Но как-то коряво получалось, неровно…

        Но они, египтяне, ни в чём не виноваты. После них математики всех мастей продолжали мучиться аж до 18 века! Пока в 1767 году окончательно не доказали, что, как бы мелко ни нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков сложить точно длину диаметра нельзя. Принципиально нельзя. Только лишь примерно.

        Нет, конечно же, во сколько раз длина окружности больше её диаметра установили давным-давно. Но, опять же, примерно… В 3,141592653… раза.

        Это число – и есть число «пи» собственной персоной.) Да уж… Корявое так корявое… После запятой – бесконечное число цифр безо всякого порядка, безо всякой логики. В математике такие числа называются иррациональными. И на сегодняшний день доказательство факта иррациональности числа «пи» занимает аж десять (!) лекций на 4-м курсе мехмата МГУ… Этот факт, кстати, и означает, что из одинаковых кусочков окружности её диаметр точно не сложить. Никак. И никогда…

        Конечно, рациональные приближения числа «пи» известны людям ещё со времён Архимеда. Например:

        22/7 = 3,14285714…

        377/120 = 3,14166667…

        355/113 = 3,14159292…

        Сейчас, в век суперкомпьютеров, погоня за десятичными знаками числа «пи» не стихает, и на сегодняшний день человечеству известно уже два квадриллиона (!) знаков этого числа…

        Но нам для практического применения такая сверхточность совершенно не требуется. Чаще всего достаточно запомнить всего лишь две цифры после запятой.

        Запоминаем:

        

        Вот и всё. Раз уж нам ясно, что длина окружности больше её диаметра в «пи» раз, то можно записать (и запомнить) точную формулу для длины окружности:

        

        Здесь L – длина окружности, а d – её диаметр.

        В геометрии всяко пригодится.)

        Для общего развития скажу, что число «пи» сидит не только в геометрии или тригонометрии. Оно возникает в самых различных разделах высшей математики. В интегралах, например. Или в теории вероятностей. Или в теории комплексных чисел, а также рядов. Само по себе возникает, хотим мы того или нет… Поступите в ВУЗ – убедитесь лично.)

        Ну а теперь снова вернёмся к старым добрым градусам. Как мы помним, один градус – это 1/360 часть окружности. С исторической и практической точек зрения людям такое деление на 360 равных частей оказалось очень даже удобно, но…

        Как выяснилось гораздо позже Древнего Вавилона, градусы удобны далеко не всем. Например, высшей математике они ой как неудобны! Высшая математика – дама серьёзная. По законам природы устроена. И она справедливо заявляет: «Сегодня вы на 360 частей круг разбили, завтра – на 100 разобьёте, послезавтра – на 250… А мне что делать? Каждый раз под ваши хотелки подстраиваться?»

        Против природы не попрёшь… Пришлось прислушаться и уступить. И ввести новую меру угла, не зависящую от наших хотелок. )

        Итак, знакомьтесь – радиан!

 

Что такое один радиан? Радианная мера угла.

        В основе определения радиана – та же самая окружность. Угол в 1 радиан – это угол, который отсекает от окружности дугу, длина которой (L) равна радиусу окружности (R). И всё!

        Смотрим картинку:

        Причём величина угла в один радиан не зависит от радиуса окружности! Никак. Можно нарисовать очень большую окружность, можно очень маленькую. Но угол, отсекающий от окружности дугу, равную радиусу, никогда не изменит своей величины и будет составлять ровно один радиан. Всегда. Это важно.)

        Запоминаем:

        Угол в один радиан – это угол, вырезающий из окружности дугу, равную радиусу окружности. Величина угла в 1 радиан не зависит от радиуса окружности.

        Кстати говоря, градусная мера угла тоже не зависит от радиуса окружности. Большая окружность, маленькая – углу в один градус без разницы. Но градус – это величина, искусственно придуманная людьми для их личного удобства! Древними вавилонянами, если мы помним.) 1/360 часть окружности. Так уж сложилось чисто исторически. А если бы по каким-то причинам договорились на 100 частей разбить окружность? Или на 200? Кто знает, что тогда называлось бы градусом сегодня… Вот на сколько частей разобьём окружность, такой «градус» и получим. А вот радиан – штука универсальная!) К способу разбиения окружности никак не привязан. Строго дуга, равная радиусу! И чем больше радиус, тем больше (по длине) будет и соответствующая вырезаемая дуга. И наоборот. Но сама величина угла в один радиан не меняется. И разбиение окружности (любой!) радианами – всегда одинаковое. И сейчас мы в этом лично убедимся.)

 

Как переводить радианы в градусы и обратно?

        К этому моменту вам уже должно быть интуитивно понятно, что один радиан существенно больше одного градуса. Всё-таки непонятно? Тогда смотрим снова на картинку:

        Будем считать, что малюсенький красный угол имеет величину примерно один градус. Совсем крохотный уголок, почти и нет его… А большой зелёный угол – примерно один радиан! Чувствуете разницу?) Конечно же, один радиан сильно больше одного градуса…

        А вот теперь начинается самое интересное! Вопрос: а во сколько раз один радиан больше одного градуса? Или сколько градусов в одном радиане? Сейчас выясним!)

        Смотрим на очередные картинки:

        На картинке слева изображён полукруг. Обычный развёрнутый угол величиной 180°. А вот на картинке справа – тот же самый полукруг, но нарезанный радианами! Видно, что в 180° помещается примерно три с хвостиком радиана.

        Вопрос на засыпку: как вы думаете, чему равен этот хвостик?)

        Да! Он равен 0,141592653… Привет, число «пи», вот мы про тебя и вспомнили!)

        Стало быть, в 180° укладывается 3,141592653… радиан. Понятное дело, что каждый раз писать такое длинное число неудобно, поэтому пишут приближённо:

        

        Или точно:

        

        Вот и всё. Вот и весь секрет тотального присутствия числа «пи» в тригонометрии. Эту простую формулку надо знать железно. Уловили?)

        Так сколько же градусов в одном радиане? Не вопрос! Если в «пи» радианах содержится 180 градусов, то сколько же тогда градусов сидит в одном радиане? Правильно, в «пи» раз меньше! То есть меньше примерно в 3,14 раза.

        Вот и делим обе части нашего соотношения на «пи» и получаем один радиан в градусах:

        

        Это приближённое равенство также очень полезно запомнить. В одном радиане примерно 60 градусов. Такой грубой оценки бывает вполне достаточно для ответа на очень многие каверзные вопросы, связанные с углами. Бывает и недостаточно, конечно. В своё время мы такие хитрые задачки рассмотрим.)

        Но это не самое главное применение этой формулы!) А самое главное – перевод радианов в градусы и обратно.

 

        Переводим радианы в градусы!

        Чаще всего углы в тригонометрии заданы в радианах с числом «пи». Это – самая стандартная ситуация. Если угол задан в радианах с числом «пи», то всё очень просто. Мы знаем, что «пи» радиан – это 180 градусов. Вот и подставляем вместо «пи» радиан – число 180. Сокращаем всё что сокращается и получаем угол в градусах.

        Например:

        

        Или более мудрёный угол:

        

        Просто, правда?)

 

        Переводим градусы в радианы!

        Обратный перевод градусов в радианы чуть сложнее, но ненамного. Если угол задан в градусах, то сначала нам надо узнать, сколько составляет один градус в радианах. И умножить это значение на количество градусов.) И чему же равен 1° в радианах?

        Снова смотрим на нашу формулу и соображаем. Если 180° — это «пи» радиан, то 1° в 180 раз меньше. Вот и делим обе части формулы на 180! Получаем, что 1° в радианах равен:

        

        Вот и все дела. Умножаем дробь π/180 на количество градусов, сокращаем что сокращается и получаем угол в радианах. Например:

        

        Или аналогично:

        

        Вот и всё. Заменять «пи» на примерно 3,14 никакой необходимости нет: его всегда буквой пишут. Что правда, то правда: нас же в заданиях обычно точный ответ интересует! А не приближённый.) Кстати, кому интересен приближённый ответ, посчитайте на калькуляторе. Получите примерно 0,628 и 2,356 радиана соответственно.

        Итак, в непринуждённой беседе с лирическими отступлениями мы узнали, что радианы – это очень даже просто, не больно и не страшно.) Да и перевод туда-обратно несложен. И «пи» – не кусается… Так откуда же проблемы?

        Что ж, вскрою тайну. Всё дело в том, что в тригонометрии значок градусов – пишется. Всегда и везде. Например, cos30° — это косинус 30 градусов! А вот значок радианов («рад») – не пишется! Он – подразумевается. В чём причина – неизвестно. Может, обленились математики, может ещё что… Но договорились не писать. Например, sin5 – это синус пяти радианов!

        

        Это и приводит к казусам. Человек смотрит на пример, видит «пи» и автоматически считает, что это 180°. Везде и всюду. Кстати, это срабатывает. До поры до времени, пока примеры – типовые. Но любое отклонение примера от шаблона – тут же валит наповал! Почему?

        Потому, что само по себе «пи» – это число! А никакие не градусы! Это «пи» радиан = 180°!

        Ещё раз запоминаем:

        Просто «пи» – это число! «Пи» РАДИАН — это 180°!

        Это заклинание надо понимать железно. Причём не просто механически зазубрить, а именно понимать каждое слово и каждый значок! И особенно – слово «радиан». Я не шучу. Ибо, если на вопрос, «Что такое «пи» в тригонометрии?», вы, блистая знаниями, радостно заявляете:

        «Пи – это 180 градусов!!!» ,

        то это говорит о том, что вы не понимаете до конца смысла этой зелёной фразы. И все дальнейшие беседы уже бессмысленны, да…

        Ещё раз: «пи» – это число! Примерно равное 3,14. Точного значения этого числа не знает никто: оно бесконечно длинное, корявое, иррациональное. Но – число! Такое же, как 2 или 7. Можно пройти примерно «пи» километров. Три километра и ещё около 140 метров. Можно купить «пи» килограммов картошки. Если продавец образованный встретится.) Можно выпить «пи» литров кока-колы. Если здоровье не жалко… И так далее…

        Всё равно непонятна зелёная запись? Хорошо, вот вам простые житейские фразы:

        1 километр – это 1000 метров;

        3 часа – это 180 минут;

        2 года – это 730 дней;

        И тому подобное. Точно так же и с градусами/радианами:

        «Пи» радиан – это 180 градусов!

        Уяснили, что «пи» – это просто число? Или я уже достал вас этой заезженной фразой? Ну ладно, убедили. Тогда вот вам парочка нестандартных вопросов:

        1. Что больше?

        

        или

        

      

        2. Что меньше?

        cos

        или

        cos5

        Если у вас случился ступор, не беда. Вспоминаем нашу мантру: «Пи» – это число! В первом синусе нам чётко сказано, что угол – в градусах! Следовательно, машинально заменять «пи» на 180° — нельзя. «Пи» градусов – это примерно 3,14°. Вот и пишем:

        

        Во втором синусе никаких значков нет. Значит, там – радианы. И вот тут замена «пи» на 180° — вполне законна.) Переводим радианы в градусы и получаем:

        

        А теперь сравниваем эти два синуса. Как? По кругу, разумеется! Рисовать углы мы с вами уже умеем, что такое синус угла на круге – тоже знаем. Вперёд! Рисуем круг, углы примерно 0,79° и 45° и смотрим какие синусы у этих углов. Даже на самом корявом круге будет видно, что sin45° гораздо больше, чем sin0,79°.

        

        С косинусами – всё то же самое. Рисуем на круге в правильных четвертях углы примерно 5 градусов и 5 радианов (помним, чему примерно равен один радиан в градусах?). Круг нам всё и подскажет. А именно, что cos5 меньше, чем cos.

        Вообще, задачки с углами в радианах без «пи» (типа определить знак выражения sin10∙cos20) относятся к разряду нестандартных. В следующем уроке разберём парочку таких.)

        Ну что, потренируемся с переводом углов?) Решаем несложные задания.

        1. Переведите следующие углы из градусной меры в радианную:

        180°; 0°; 360°; 90°; 270°.

        Ответы (по возрастанию):

        

        Как вы думаете, что это были за углы? Да! Это углы, которые попадают на координатные оси! Эти опорные значения надо держать в голове надёжно. До автоматизма! Как в градусах, так и в радианах. Зачем? Да всё за тем же! Для правильного распределения любых углов по четвертям.) Это полезное умение – залог успеха в любом задании по тригонометрии. Любом! От примитивных примеров до вполне себе солидных ЕГЭшных задачек части 2 (уравнения с отбором корней, тригонометрические неравенства и прочие хитрые штучки).

        Продолжаем развлекаться.

        2. Переведите углы в радианную меру:

        30°; 45°; 60°.

        Ответы (в беспорядке):

        

        Получилось? Рад за вас. Почему я выделил именно эти три угла? По той же самой причине. Эти углы – особые личности в тригонометрии. Потому что именно про эти углы вы обязаны знать всё! И где они находятся и весь комплект их тригонометрических функций. Скажем, значение sin20° вы знать не обязаны. А вот sin30° — уж будьте так добры! Это обязательные значения, без которых во всей остальной тригонометрии делать вообще нечего. Но об этом – в отдельном уроке.)

 

        Продолжим тренировку.

        Переведите следующие углы из радианной меры в градусную:

        

        Ответы (в беспорядке):

        300°; 225°; 120°; 330°; 240°; 135°; 210°; 315°; 150°.

        А это что за углы? Правильно! Это углы, в пределах одного оборота, кратные предыдущим трём! Но не попадающие на оси координат. Такие углы вы также обязаны уметь просчитывать! И более того, все углы, кратные 30, 45 или 60 градусам, вы обязаны уметь просчитывать! Как в пределах одного оборота, так и за его пределами. Как положительные, так и отрицательные… В соответствующем уроке мы научимся с вами проделывать такие полезные вещи.

        Если и это получилось, то тогда можно считать, что перевод радианов в градусы и обратно – уже не ваша проблема. Но перевод углов из одной размерности в другую – это лишь ещё один шаг вперёд к успешному постижению тригонометрии. Шаг мощный, но недостаточный. Ведь, чаще всего, с углами надо потом ещё и что-то делать.) Рисовать на круге, например. Или синус/косинус считать. Да и тангенс/котангенс тоже…

        Второй серьёзный шаг – это умение правильно определять положение любого угла на тригонометрическом круге. Любого! Как в градусах, так и в радианах. С градусами на круге мы уже плотно поработали в предыдущем уроке. Теперь настал черёд набивать руку в работе с радианами.

        Об этом – в следующей теме.

 

abudnikov.ru

Как перевести радианы в градусы?

Необходимость в измерении углов появилась у людей с тех пор, как цивилизация достигла минимального технического уровня. Всем известна феноменальная точность соблюдения наклона и ориентации по странам света, обеспеченная строителями египетских пирамид. Современную градусную меру углов, как сейчас считается, изобрели древние аккадцы.

Что такое градусы?

Градус – общепринятая единица измерения углов. В полной окружности 360 градусов. Причина выбора именно этого числа неизвестна. Вероятно, аккадцы разделили окружность на сектора, используя угол равностороннего треугольника, а затем полученные сегменты снова разделили на 60 частей согласно своей системе счисления. Градус тоже делится на 60 минут, а минуты – на 60 секунд. Общепринятыми обозначениями являются:

° – угловые градусы

’ – минуты,

’’ – секунды.

За тысячелетия градусная мера углов прочно вошла во многие сферы человеческой деятельности. Она и сейчас незаменима во всех областях науки и техники – от картографии до расчета орбит искусственных спутников Земли.

Что такое радианы?

Архимеду приписывается открытие постоянства соотношения длины окружности и ее диаметра. Мы называем его числом π. Оно иррационально, то есть не может быть выражено в виде обычной или периодической дроби. Чаще всего используется значение числа π с точностью до двух знаков после запятой – 3,14. Длина окружности L с радиусом R легко вычисляется по формуле: L=2πR.

Окружность радиуса R=1 имеет длину 2π. Это соотношение используется в геометрии как формулировка радианной меры угла.

По определению, радиан – угол с вершиной в центре окружности, опирающийся на дугу с длиной, равной радиусу окружности. Международное обозначение радиана – rad, отечественное – рад. Размерности он не имеет.

Дуга окружности с радиусом R с угловой величиной α радиан, имеет длину α * R.

Зачем понадобилось вводить новую единицу измерения угла?

Развитие науки и техники привело к появлению тригонометрии и математического анализа, необходимых для точных расчетов механических и оптических устройств. Одной из его задач является измерение длины кривой линии. Самый распространенный случай – определение длины дуги окружности. Использование для этой цели градусной меры углов крайне неудобно. Идея сопоставить длину дуги с радиусом окружности возникала у многих математиков, но сам термин «радиан» был введен в научный обиход только во второй половине XIX века. Сейчас все тригонометрические функции в математическом анализе по умолчанию используют радианную меру угла.

Как переводить градусы в радианы

Из формулы длины окружности вытекает, что в нее укладывается 2π радиусов. Отсюда вытекает, что: 1⁰=2π/360= π/180 рад.

И простая формула перевода из радианов в градусы: 1 рад = 180/π.

Пусть мы имеем угол в N градусов. Тогда формула для перевода из градусов в радианы будет такой: α(радиан) = N/(180/π) = N*π/180.

Остались вопросы?

Ответы на них можно найти в интернет-уроке на тему «Длина дуги окружности», где подробно разъяснены понятия длины окружности, радианной меры углов и на конкретных примерах показан перевод градусов в радианы. Знания упомянутого крайне важны для понимания математики, без которой невозможно существование современной цивилизации.

interneturok.ru

Zero To Hero

Совершенно очевидно, что в круге 360 градусов, не так ли?

А вот и нет. Большинство из нас совершенно не понимают, почему в круге 360 градусов. Мы запоминаем это магическое число как «размер окружности», а затем, изучая физику или высшую математику, удивляемся всем этим «радианам».

«Радианы делают математику проще!» — так говорят математики; вот бы они еще научились конкретнее объяснять, в чем заключается простота (чтобы и мы чувствовали себя в дискуссиях на тему рядов Тейлора, как рыба в воде). Сегодня мы откроем, что на самом деле представляют собой радианы, и поймем, почему именно они делают математику проще.

Откуда берутся градусы?

До чисел и языка слов у нас были звезды. Древние цивилизации использовали астрономию для определения времен года, предсказания будущего и задабривания богов (если уж приносить в жертву богам людей, то лучше делать это в правильное время).

И как всё это относится к углам? Попробуйте разгадать: не странно ли то, что в окружности 360 градусов, а в году 365 дней? И с чего это вдруг созвездия в течение года совершают оборот на небосклоне?

Спорим, вы не сможете определить время года по картине ночного неба? Вот созвездие Большой Медведицы, видимое в 2008 году из Нью-Йорка:

Созвездия каждую ночь немного продвигаются по кругу. Если Вы будете смотреть на небо в одно и то же время (например, в полночь), то заметите, что созвездия совершают полный круг по небу в течение года. Вот теория о возникновении градусов:

  • Люди заметили, что за год созвездия совершали полный круг
  • Каждый день они отодвигались совсем на немножно (это и есть «градус»)
  • Поскольку в году около 360 дней, то и в круге было 360 градусов.

Но, есть одно но… Почему бы не сделать 365 градусов в окружности?

Простим древним эту погрешность: они пользовались солнечными часами, и не знали, что за год должно было набежать ровно 365.242199 градусов или дней, как вам теперь известно.

360 — достаточно точная цифра для тех времен. Она отлично согласуется с Вавилонской 60-ричной системой счисления, а также отлично делится (на 2, 3, 4, 6, 10, 12, 15, 30, 45, 90… ну вы поняли).

Математические расчеты по Солнцу выглядят вполне уместными

Земле везет: ~360 — отличное количество дней в году. Но эта цифра выглядит довольно субъективно: на Марсе у нас было бы ~680 градусов в окружности, так как марсианский год длится дольше (и сам марсианский день также длится дольше, как вы понимаете). В некоторых странах Европы люди пользуются градами, при которых круг приходится делить на 400 частей.

Многие из объяснений сходятся к следующему: «Ну, градус — довольно субъективная мера, но нам нужно было выбрать какое-то число». Не сейчас: далее мы увидим, что же на самом деле скрывают градусы.

Радианы спорят с градусами

Градус — это то, насколько мне, стоя в центре стадиона, приходится повернуть голову, чтобы увидеть человека, бегущего по беговой дорожке.

Представьте, что вы заметили друга, бегущего по огромному кругу:
— Привет, как далеко ты добежал?
— Ну, пробежался я нехило, около 10 километров.
— Ты что, совсем? Как сильно я повернул свою голову, чтобы тебя увидеть?
— Что?
— Я поясню словами покороче для непонятливых. Я в центре круга. Ты бежал вокруг. Насколько… я… повернул… свою… голову?
— Придурок.

Эгоистично, не так ли? Вот как вся эта математика построена! Мы пишем уравнения по типу «Слушай, как сильно я повернул свою голову, чтобы увидеть движущуюся планету/маятник/колесо?» Я уверен, что вы никогда не думали о том, что чувствует, о чем мечтает и на что надеется маятник. Это эгоистичный подход. Не кажется ли вам, что уравнения должны быть простыми не только для зрителя, но и для самого бегуна?

Радианы: скажи эгоизму нет

Многие вещи из физики (да и из жизни!) заставляет нас вылезти из своей привычной системы координат и посмотреть на вещи с другой точки. Вместо того, чтобы вычислять поворот своей головы, задумайтесь, как далеко продвинулся бегун.

Градусы измеряют уголы по повороту головы. А радианы измеряют углы по пройденной дистанции.

Но само по себе расстояние не особо полезно, так как дистанция в 10 км может состоять из разного количества кругов, всё зависит от длины самого круга. Так что мы делим пройденную дистанцию на радиус круга, чтобы получить приведенный угол:

Вы часто будете встречать эту же формулу в таком виде:

угол в радианах (тета) — это длина дуги (s), поделенная на радиус (r).

Окружность описывает 360 градусов или 2π радиан — пройти весь круг будет 2*π* r / r. То есть, радиан — это примерно 360 /(2 * π) или 57.3 градусов.

Надеюсь, вы не будете думать, как я: «Ну вот, еще одна непонятная единица. 57.3 — такое странное число». Оно странное только потому, что вы всё еще думаете о себе!

Пройти 1 радиан (единицу) — вполне себе нормальная дистанция для путешествия.

Другими словами, наш «чистый, ровный угол в 90°» означает то же, что и непонятные π/2 единицы для пройденного бегуном пути. Подумайте об этом: «Эй, парень, а не пробежишь ли ты для меня еще 90°? Сколько это? А, ну да, для тебя это будет π/2 километра». Для бегуна дистанция в градусах выглядит также странно, как и поворот в радианах для зрителя.

Радианы в математике — это как бы поставить себя на место другого: передвинуть свою точку зрения с поворота головы на движение бегуна.

Что в имени тебе моем?

Радианы — это единица измерения движения по кругу, характеризуемого радиусом. Я думаю, слово «радиан» иллюстрирует как раз связь с радиусом движения.

По сути, радианы — это такие же числа, как 1.5 или 73, без каких либо единиц измерения (в формуле «радианы = пройденный путь / радиус» длина делится на длину, так что любые единицы измерения сокращаются).

Но, говоря практическим языком, мы не математические роботы, так что проще думать о радиане как о «пути», пройденному по единичной окружности.

Использование радиан

Я пока и сам привыкаю думать радианами. Но мы уже довольно близко подобрались к понятию «дистанции бегуна»:

  • Мы используем «вращений в минуту», а не «градусов в секунду» при измерении определенных угловых скоростей. Это ближе к точке зрения бегуна («Как много кругов он уже намотал?»)
  • Когда спутник движется вокруг Земли, мы понимаем его скорость как «километров в час», а не «градусов в час». Разделите эту скорость на расстояние от земли к спутнику, и вы получите орбитальную скорость в радианах в час.
  • Синус, эта замечательная функция, определяется в радианах, как:

Эта формула работает, только если х представлен в радианах! Почему? Синус непосредственно связан с пройденным путем, а не с поворотом головы. Но мы отложим эту беседу до следующего раза.

Пример 1: Колеса автобуса

Давайте попробуем разобрать реальный пример: у вас есть автобус с колесами, радиус которых 2 метра (это автобус в стиле монстр-трак). Я скажу, как быстро вращаются колеса, а вы мне скажете, как быстро едет автобус. Готовы? «Колеса вращаются со скоростью 2000 градусов в секунду». Вы думаете:

  • Хорошо, колеса вращаются на 2000 градусов в секунду. Это значит, они делают 2000/360 или 5 и 5/9 оборота в секунду. Длина окружности = 2*π*r, так что автобус движется со скоростью, эм, 2 * 3.14 * 5 и 5/9… где же мой калькулятор…

«Колеса проходят 6 радиан в секунду». Вы подумаете:

  • Радианы — это длина единичной окружности, мы просто масштабируем эту величину согласно реальному радиусу, чтобы рассчитать, как далеко мы уедем. 6 * 2 = 12 метров в секунду. Следующий вопрос.

Вау! Никаких сумасшедших формул, никакого π — просто умножаем, чтобы конвертировать угловую скорость в линейную. А всё потому, что радианы говорят на языке движущегося тела.

Обратное действие также простое. Предположим, что мы несёмся 30 метров в секунду по автостраде (108 км/ч) на 24-дюймовых колесах (радиус которых равен 30 см). Как быстро вращаются колеса?

Ну, 30 метров в секунду / 0.3 м радиуса = 100 радианов в секунду.

Это было просто.

Пример 2: sin(x)

Пришло время для примера помощнее. Выберите число градусов (х) и вычислите значение sin(x) в калькуляторе:

Когда вы берете х очень маленьким, вроде 0.01, sin(x) тоже становится маленьким. И отношение sin(x)/x будет около 0.017 — что это означает? И еще страннее, что означает деление или умножение на градусы? Можно ли иметь квадратные или кубические градусы?

Радианы нас спасут. Зная, что они отвечают за пройденную дистанцию (это не просто пропорция!), мы можем интерпретировать уравнение таким образом:

  • х — это то, как далеко вы прошли по кругу
  • sin(x) — это то, как высоко вы взобрались по нему
  • Так что sin(x)/x — это отношение того, как высоко вы находитесь, к тому, как далеко вы прошли: количество энергии, которое ушло в направлении «вверх». Если вы двигались вертикально, то это отношение будет равно 100%. Если вы двигались горизонтально, то равенство будет давать 0%.

Когда что-то пододвигается на крошечное расстояние, как 0 или 1 градус с прежнего места, оно движется практически вверх. Если вы шагнете еще на меньшее расстояние, например с 0 до 0.00001 градуса, то вы действительно пройдете прямо вверх. Пройденное расстояние (х) очень близко к высоте (sin(x)).

Чем меньше х, тем ближе отношение к 100% — больше движения происходит вверх.

Радианы помогают увидеть, интуитивно, почему sin(x)/x стремится к 1 по мере уменьшения х. Мы просто топчемся на крошечном отрезке пути вверх. Между прочим, это также поясняет, почему sin(x) ~ x для маленьких чисел.

Конечно, вы можете точно доказать это с помощью калькулятора, но мышление радианами помогает вам это понять.

Запомните, эти связи работают только при измерении углов радианами. С градусами вы сравниваете высоты на окружности (sin(x)) с тем, насколько какой-то зритель поверную свою голову (х градусов).

Так в чем же смысл?

Градусы занимают свое место в нашей жизни. Нам ведь важно знать, насколько надо повернуть телескоп, развернуть сноуборд или покрутить рулем? По законам природы мы наблюдаем за тем, как движутся другие. И радианы больше подходят тем, кто движется, чем тем, кто за ними наблюдает. У меня ушло много лет на то, чтобы понять:

  • Градусы выбраны произвольно, так как они основываются на солнце (365 дней ~ 360 градусов), но они как бы идут от обратного, потому что описывают процессы с точки зрения наблюдателя.
  • Радианы описывают движение с точки зрения самих его участников, и поэтому «всё стает на свои места». Конвертировать угловую скорость в линейную довольно просто, и идеи вроде sin(x)/x приобретают смысл.

Даже углы можно рассматривать с более, чем одной точки зрения. Понимание радиан делают математические и физические формулы более осмысленными.

Приятных вычислений!

Перевод статьи «Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians»

zero2hero.org

Формулы перевода градусов в радианы, длин, площадей и объемов основных геометрических фигур

Во первых, под числом «пи» Администрация Сайта понимает величину близкую к:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679… (100 знаков после запятой)

ФОРМУЛЫ ПЕРЕВОДА

Перевод радиан в градусы

Зная, что углу 2 * пи соответствует угол 360 градусов:

Ad = Ar * 180 / пи
Где Ad — угол в градусах, Ar — угол в радианах.

Перевод градусов в радианы

Зная, что углу 360 градусов соответствует угол 2 * пи:

Ar = Ad * пи / 180
Где Ad — угол в градусах, Ar — угол в радианах.

ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА ДЛИНЫ

Длина окружности

L = 2 * пи * R
Где L — длина окружности, R — радиус окружности.

Длина дуги окружности

L = A * R
Где L — длина дуги окружности, R — радиус окружности, A — центральный угол, выраженный в радианах.
Так, для окружности, A = 2*пи (360 градусов), получим L = 2*пи*R.

ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА ПЛОЩАДИ

Площадь треугольника.

Формула Герона.

S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c) )1/2.
Где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон,
p=(a+b+c)/2 — полупериметр.

Площадь круга

S = пи * R2
Где S — площадь круга, R — радиус круга.

Площадь сектора

S = (Ld * R)/2 = (A * R2)/2
Где S — площадь сектора, R — радиус круга, Ld — длина дуги.

Площадь поверхности шара (сферы)

S = 4 * пи * R2
Где S — площадь поверхности шара, R — радиус шара.

Площадь боковой поверхности цилиндра

S = 2 * пи * R * H
Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра

S = 2 * пи * R * H + 2 * пи * R2
Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

Площадь боковой поверхности конуса

S = пи * R * L
Где S — площадь боковой поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.

Площадь полной поверхности конуса

S = пи * R * L + пи * R2
Где S — площадь полной поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.

ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА ОБЪЕМА

Объем шара

V = 4 / 3 * пи * R3
Где V — объем шара, R — радиус шара.

Объем цилиндра (прямого, круглого)

V = пи * R2 *H
Где V — объем цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

Объем конуса (прямого, круглого)

V = пи * R * L = пи * R * H/cos (A/2) = пи * R * R/sin (A/2)
Где V — объем конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса, A — угол при вершине конуса.

tehtab.ru

как перевести градусы в радианы?

180 градусов — Пи радиан (3,14) или 1 радиан приблизительно 57 градусов Берешь тупо пропорцию 180-3,14 например 60-х тогда 60 градусов это х= 60*3,14/180 радиан

<a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Радиан» target=»_blank»>http://ru.wikipedia.org/wiki/Радиан</a>

1 градус = pi/180 радиан 1 радиан = 180/pi градусов

Перевод градусов в радианы: Зная, что углу 360 градусов соответствует угол 2 * пи: Ar = Ad * пи / 180 Где Ad — угол в градусах, Ar — угол в радианах. Найдено по ссылке: <a href=»/» rel=»nofollow» title=»5992303:##:http://www.dpva.ru/informations/MathematicsQuiery/RadanLengthSqireVolume/?sid» target=»_blank» >[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>= Здесь вообще неплохая подборка различных математических формул.

Один радиан имеет приблизительно 57 градусов!! ! В одном круге 6 радиан и 18градусов!:)

touch.otvet.mail.ru

Радианы и градусы. Фаренейты и Цельсии

На этой странице дано решение примеров Begin29 — Begin32 из задачника Абрамяна. Здесь мы занимаемся преобразованием угла из радианов в градусы и наоборот, а также преобразованием температуры из градусов Цельсия в Фаренгейты и наоборот.

Begin29. Дано значение угла α в градусах (0 ≤ α < 360). Определить значение этого же угла в радианах, учитывая, что 180° = π радианов. В качестве значения π использовать 3.14.

Код Pascal

1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
12  
13  
14  
15  
16  
const
  pi = 3.14;

var
  A, Rad: real;

begin
  writeln('Введите градусную меру угла(0 <= A < 360):');
  write(' A = ');
  readln(A);
  writeln;
  Rad := pi * A / 180; { <-- Вычисляем радианную меру угла }
  writeln('Результат:'); 
  writeln(' Угол ', A, '° имеет ', Rad:0:2, ' радиан.');
  readln
end.

Сравните Begin29 с задачей Proc32.

Begin30. Дано значение угла α в радианах (0 ≤ α < 2·π). Определить значение этого же угла в градусах, учитывая, что 180° = π радианов. В качестве значения π использовать 3.14.

Код Pascal

1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
12  
13  
14  
15  
16  
17  
const
  pi = 3.14;

var
  Alpha, gradus: real;

begin
  writeln('Введите радианную меру угла(0 <= Alpha < 6.28):');
  write(' Alpha = ');
  readln(Alpha);
  writeln;
  gradus := 180 * Alpha / pi; { <-- Вычисляем градусную меру угла }
  writeln('Результат:'); 
  writeln(' Угол ', Alpha, ' радиан составляет ', 
    gradus:0:2, ' градусов.');
  readln
end.

Рекомендую сравнить с задачей Proc33.

Begin31. Дано значение температуры T в градусах Фаренгейта. Определить значение этой же температуры в градусах Цельсия. Температура по Цельсию TC и температура по Фаренгейту TF связаны следующим соотношением:

TC = (TF − 32)·5/9.

Код Pascal

1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
12  
13  
var
  TC, TF: real;

begin
  writeln('Введите температуру в градусах Фаренгейта:');
  write(' TF = ');
  readln(TF);
  TC := (TF - 32) * 5 / 9; { <-- температура по цельсию }
  writeln;
  writeln('Температура в градусах Цельсия:'); 
  writeln(' TC = ', TC:0:2);
  readln
end.

Begin32. Дано значение температуры T в градусах Цельсия. Определить значение этой же температуры в градусах Фаренгейта. Температура по Цельсию TC и температура по Фаренгейту TF связаны следующим соотношением:

TF = 9·FC/5 + 32.

Код Pascal

1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
12  
var
  TC, TF: real;

begin
  writeln('Введите температуру в градусах Цельсия:');
  write(' TC = ');
  readln(TC);
  TF := 9 * TC / 5 + 32; { <== температура по Фаренгейту }
  writeln;
  writeln('Температура по Фаренгейту: TF = ', TF:0:2);
  readln
end.



progmatem.ru

Задачи теория вероятности 11 класс – Сборник задач по теории вероятностей (с решениями) 11 класс скачать

Урок итогового повторения по теме «Теория вероятностей в задачах ЕГЭ-2014». 11-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (327,3 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


Актуальность темы

Очень часто в жизни мы, оценивая возможность наступления какого-либо события, говорим: «Это невозможно», «Это непременно произойдет», «Это маловероятно», «Это обязательно случится». Купив лотерейный билет можно выиграть, а можно и не выиграть; при выстреле можно попасть в мишень, а можно не попасть; при покупке батарейки можно купить бракованную, а можно и не купить. Обыденные и довольно привычные ситуации и выражения имеют серьезные научные математические корни.
Умение проанализировать создавшуюся или возможную ситуацию, умение спрограммировать успешность или неудачу, умение аргументировано отстоять свою позицию – это составляющие компетентности будущего выпускника школы, молодого специалиста, востребованного на рынке труда.
С недавнего времени в школьный курс математики включены вопросы теории вероятностей, но вопросы эти очень сильно разбросаны по классам, количество часов, выделяемое на изучение теории вероятностей ничтожно мало. Поэтому существует потребность каким-то образом систематизировать разрозненные факты и представить в виде целостного блока, содержащего и теоретический материал, и демонстрацию способов решения, и примеры решения задач.

Цели:

  • систематизировать материал по теории вероятностей, изучаемый в школьном курсе математики и вынесенный на итоговую аттестацию в 11 классе;
  • обобщить и расширить знания учащихся об основных понятиях теории вероятностей, о способах и методах решения вероятностных задач.

Планируемые результаты:

  • теоретические знания основных понятий теории вероятностей приведены в определенную систему;
  • изучены методы решения задач;
  • учащиеся достаточно свободно ориентируются в выборе способов решения задач по теории вероятностей.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Сообщение учащимся темы урока, формулировка целей ( слайд 1).

2. Актуализация знаний учащихся

Устный опрос:

– в урне 25 шаров, 13 из которых – белые. Какова вероятность, что случайно взятый из урны шар будет белым?
– в фирме такси в данный момент свободны 2 черных, 5 белых и 7 желтых машины. Найдите вероятность, что к заказчику приедет желтое такси.
– в на экзамене по биологии всего 30 билетов, в 18 из них встречается вопрос о клетке. Найдите вероятность того, что наугад выбранный билет содержит вопрос о клетке.

Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала

Слайд 2: Повторение понятий случайное событие, вероятность.

Слайд 3: Повторение на примере демонстрации «бросание монеты» понятий испытание, исход, вероятность.

Слайды 4-5: Демонстрация на примере «бросание игральной кости» понятий исход, благоприятный исход, вероятность данного исхода.

Слайд 6: Демонстрация понятия вероятность на примере с колодой игральных карт.

Слайд 7: Повторение понятия вероятность – отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов, свойство вероятности события (значение вероятности не может быть больше 1).

Слайды 8-12: Обобщение знаний о непосредственных методах решения задач теории вероятностей. 1 метод – метод логического перебора (« решение напролом»). Данный метод заключается в простейших подсчетах – переборе всех возможных исходов в заданном испытании и выбор благоприятных. Вероятность вычисляется путем деления количества благоприятных исходов на общее количество исходов. Разбор решения нескольких задач с использованием данного метода:

1) В случайном эксперименте монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз;
2) В случайном эксперименте монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу;
3) В случайном эксперименте монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет два раза.

Слайды 13-14: Второй метод непосредственных вычислений: метод построения таблицы. Таблица вариантов удобна при подсчете числа комбинаций из двух вариантов, например при решении задачи с бросанием игральной кости. В таблицу заносят возможные исходы, пересечение строк и столбцов позволяет отобрать те исходы, которые являются в данном испытании благоприятными. Вероятность вычисляется путем деления количества благоприятных исходов на общее количество исходов. Пример решения задачи с использованием указанного метода: Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 7.

Слайды 15-17: Третий непосредственный метод решения: метод построения полного графа ( дерева). Данный способ решения применим для достаточно сложных задач теории вероятностей и его «наглядность» позволяет овладеть этим приемом решения учащимся с разным уровнем знаний. Заключается метод в том, что все возможные исходы изображаются ребрами в графическом виде и учитывают самые разные варианты. Такая «модель» позволяет легко просчитать все возможные исходы и благоприятные исходы. Демонстрация на примере решения задачи: Антон, Борис и Василий купили 3 билета на 1,2,3 места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места? Какова вероятность, что Антон займет первое место?

Слайд 18: Начало обобщения материала о правилах теории вероятностей.

Слайды 19-21: Дается понятие несовместных событий и приводится правило вычисления вероятности появления хотя бы одного из двух несовместных событий ( правило сложения вероятностей). Два события являются несовместными, если они не могут появиться одновременно в одном и том же испытании. Например, выигрыш, ничейный исход, и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события. Вероятность суммы двух несовместных событий ( появления хотя бы одного ) равна сумме вероятностей. Знакомство с примерами задач на несовместные события из открытого банка ЕГЭ.

1) На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что школьнику на экзамене достанется вопрос по одной из этих тем.

2) Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит более двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года.

Слайды 22-23: Знакомство с понятием совместных событий и правилом нахождения вероятности появления хотя бы одного события. События называются совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает возможность появления решки на другой. Вероятность суммы двух совместных событий (появления хотя бы одного) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления. Демонстрация понятия и приема решения на примере решения задач из открытого банка ЕГЭ.

1) В торговом центре два одинаковых кофейных автомата. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах – 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Слайды 24-27: Понятие «независимые события» и правило вычисления вероятности совместного появления независимых событий. Два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Демонстрация понятия и приема решения на примере решения задач из открытого банка ЕГЭ.

1) Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадет в цель четыре выстрела подряд.
2) Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель выбирает в магазине случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
3) Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,17. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Слайды 28-29: Понятие «зависимые события» и правило нахождения вероятности совместного появления двух зависимых событий. Два события являются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло. Демонстрация понятия и приема решения на примере решения задач из открытого банка ЕГЭ.

1) В урне 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.

Слайды 30-33: Пример задачи на нахождение «полной вероятности», т.е. задачи в которой используются обе теоремы: сложения и умножения вероятностей: для перебора всех возможных вариантов строится граф, при вычислении применяются оба правила. Приводится полное решение задачи.

1) С первого станка поступает 40%, со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятность изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03, 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной.

Предлагается задача для коллективного решения:

В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июня, погода в волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июня в Волшебной стране будет отличная погода.

Для закрепления материала предполагается использование тренировочных работ:

– сборник «Математика. ЕГЭ 2014 (2013). Задача В10. Теория вероятностей», под редакци

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Вероятность события. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1. Вероятность события (вариант задачи)

Сложность: лёгкое

1
2. Вероятность события (мячики трёх цветов)

Сложность: среднее

1
3. Вероятность события (код телефона)

Сложность: среднее

3
4. Благоприятные исходы (колода карт)

Сложность: среднее

2
5. Вероятность события (делимость чисел)

Сложность: среднее

2
6. Вероятность события, вычисление числа событий

Сложность: среднее

3
7. Вероятность событий (два игральных кубика)

Сложность: среднее

4
8. Относительная частота

Сложность: среднее

2
9. Вероятность события (машины на дороге)

Сложность: среднее

2
10. Вероятность события (два комплекта карточек)

Сложность: сложное

4
11. Вероятность события (собрание акционеров)

Сложность: сложное

4
12. Вычисление вероятности (рукописи в папках)

Сложность: сложное

3

www.yaklass.ru

Решение задач по теории вероятности

Методическое пособие по решению задач по вероятности
1.Папа. мама, сын и дочка бросили жребий-кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама?
Решение: Всего вариантов-4, поэтому 1:4=0,25
Ответ:0,25
2.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней.Всего заявлено 50 выступлений-по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. порядок выступления определяется жребием.Какова вероятность, что выступление представителя из России состоится в третий день?
Решение:На каждый из четырех оставшихся дней заявлено (50-26):4= 6 выступлений. Значит на интересуемый нас третий день придется 6 выступлений из 50 заявленных. Поэтому вероятность того, что выступление представителя из России состоится в третий день равна 6:50=0,12
ответ:0,12
3.Игральную кость бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?
Решение: Всего может быть 6 вариантов (1,2,3,4,5,6) Менее 4 очков- это 1,2,3 , то есть 3 случая. Поэтому вероятность равна 3:6=0,5
Ответ: 0,5
4.На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании, 4 из Швеции. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что Восьмым будет выступать спортсмен из Испании?
Решение: Всего спортсменов 2+2+4=8. Из Испании 2 спортсмена.Значит вероятность равна 2:8=0,25
Ответ:0,25
5.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орел?

Решение: Если бросить монету дважды может получиться следующая комбинация РР,РО,ОР,ОО,  то есть всего 4 варианта.Нас интересует ОО. Поэтому вероятность равна 1:4=0,25
Ответ:0,25
6. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Витязь» по очереди играет  с командами «Атлант» и «Титан». Найдите вероятность того, чтокоман

www.sites.google.com

План-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему: План открытого урока 11 кл.- Применение комбинаторики при решении задач по теории вероятностей

Разработка урока

по математике в 11 классе

Тема: «Применение комбинаторики при решении задач по теории вероятностей»

Учитель: Березина М.Г.

ГОУ СПб КОР №1

2014год


Разработка урока по математике в 11 классе.

 Тема: «Применение комбинаторики при решении задач по теории вероятностей»

Тип урока: изучение нового материала.

Форма урока: урок-практикум.

Цели: введение основных понятий комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки), определение классической формулы вероятности и отработка навыков ее применения при решении задач из тестов ЕГЭ.

Задачи:

— способствовать запоминанию основной терминологии, умению устанавливать события вероятности;

— формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;

— развитие навыков учащихся в вычислении классической вероятности;

-формирование вероятностного мышления;

— способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни.

Метод обучения: поисковый, словесный, практический, использование некоторых методов и приемов технологии развития критического мышления

Оборудование к уроку: доска, компьютер с проектором.

Ход урока:

I. Организационный момент

Урок сопровождается компьютерной презентацией.

 Сообщить тему и цели урока.

II. Постановка проблемы

Фронтальная работа с классом – разбор задач с практическим содержанием:

Задача №1  Сколькими способами могут занять призовые места в соревнованиях

А) 3 спортсмена; Б) 4 спортсмена; В) 5 спортсменов?

К доске вызываются сначала 3 человека и вместе с классом обсуждается решение задачи, затем 4 человека. Делаем вывод: такой способ выборки нескольких элементов из большого множества в комбинаторике называется размещениями. (порядок важен).

Задача №2  В магазине продаются ручки синего, черного, красного и зеленого цвета. Сколькими способами можно собрать набор из трех ручек разного цвета?

К доске вызывается ученик и ему предлагаются ручки, он собирает наборы, делаем вывод.

Такой способ называется сочетания( порядок не важен).

Задача № 3 Сколькими способами можно расставить на книжной полке пятитомник А.С. Пушкина?

Ученику выдаются карточки с номерами томов, и он должен определить, как можно решить  задачу, используя предыдущие методы. Делаем вывод: если мы набор элементов меняем местами в произвольном порядке, то такие размещения называются перестановками. 

Задача № 4  Монета бросается 4 раза. Каждый раз фиксируется последовательности «орла» и «решки». Сколько различных наборов может получится?

Решение задачи демонстрируется с помощью монеты.

III Запись разобранных задач на использование правил комбинаторики

Включается презентация. На слайдах со 2-го по 6-й еще раз обсуждаются и записываются  разобранные задачи.

Демонстрируются слайды 7-11. Учащиеся записывают определения.

IV. Решение задач из открытого банка задач (Слайды 10-23)

  1. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
  1. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
  1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

V. Самостоятельная работа (варианты выдаются учащимся на распечатках)

1   вариант

  1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр  3; 5; 7, если: а) все цифры различны; б) если цифры могут повторяться?
  2. Сколькими способами можно разложить три разных по номиналу монеты в два кармана?
  3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
  4. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 15 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

2 вариант

  1. Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны?
  2. В комнате имеются 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них: а) 7 гостей; б) 3 гостей?
  3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых
  4. В среднем из 1300 садовых насосов, поступивших в продажу, 13 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Собрать работы учащихся  для проверки.

VI. Подведение итогов (Слайд 26)

Теория вероятностей на ЕГЭ — это достаточно простые задачи под номером В10. С ними справится каждый. Ведь для решения задачи B10 в варианте ЕГЭ понадобятся лишь самые основные понятия теории вероятностей.

Основная формула всего одна — это определение вероятности P: P=m/n,

где m — число устраивающих нас вариантов (благоприятных исходов), а n — общее число возможных вариантов.

Таким образом, все задачи по теории вероятностей сводятся к нахождению чисел n и m. Если внимательно читать условия задач, числа находятся очень быстро.

Домашнее задание

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлить до сотых.

2. Составить и решить  2 задачи по данной теме.

Анализ урока

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о себе самом и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.

Мы должны научить жить наших детей в вероятностной ситуации, а это, значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.

Не так давно было  принято решение ввести этот материал в курс математики основной школы. Внедрение вероятностно-статистической линии в базовый школьный курс математики породило немало проблем. К его появлению оказались не готовы буквально все — от учителей математики до авторов учебников. Мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.

С 2012 года организаторы ЕГЭ по математике решили внести в него дополнительное новшество. Задачи B6 отныне будут посвящены вычислению вероятностей случайных событий. При том, что выполнение этих заданий требует наличия у учеников самых элементарных знаний из области теории вероятностей, у многих старшеклассников решение этих задач вызывает серьезные затруднения.

Проведённый урок  — урок-практикум был направлен на формирование навыков решения задач В6 единого государственного экзамена.  В начале урока была обозначена проблема подсчета вариантов выбора нескольких элементов из некоторого множества на примере задач из жизненной практики. Затем введены основные понятия комбинаторики и классическая формула вероятности. Следующий этап урока был посвящён решению задач из открытого банка задач (5 задач). Завершился урок самостоятельной работой учащихся.

Были подведены итоги урока, озвучено домашнее задание.

Урок сопровождался компьютерной презентацией.

nsportal.ru

Презентация к уроку (алгебра, 11 класс) по теме: Презентация к уроку «Решение задач по теории вероятностей»

Слайд 1

Решение задач по теории вероятностей МБОУ «Михайловская средняя общеобразовательная школа» Чертовских А.Ф.

Слайд 2

С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова « Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». А.Н.Колмогоров « Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях ». Классическое определение вероятности «Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов т, благоприятствующих событию А, к числу п всех исходов испытания». Р(А) = т/ п

Слайд 3

Основатели «Теории вероятности» П.Ферма Я. Бернулли Х. Гюйгенс Б. Паскаль

Слайд 4

Приказом Минобразования России «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования» от 5 марта 2004 г. № 1089 Элементы теории вероятности и математической статистики были введены в программы по математике

Слайд 5

Понятия Элементарные события (элементарные исходы) опыта-простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1

Слайд 6

Схема решения задач 1. Определить, что является элементарным событием (исходом) в данном случайном эксперименте (опыте) 2.Найти общее число элементарных событий ( n) 3.Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, найти их число ( m) 4. Найти вероятность события А по формуле Р(А) = т/ п

Слайд 7

Типы задач I . Задачи, где можно выписать все элементарные события эксперимента . Задача №1. В случайном эксперименте подбрасывают симметричную монету. Какова вероятность выпадения решки? Решение: n =2 m=1 P=0 ,5

Слайд 8

Правило. Если при одном подбрасывании монеты всего равновозможных результатов 2, то для двух – 2•2 для трех – 2•2•2 для n бросаний-2•2•2…….•2 =2ⁿ Задачу можно сформулировать по-другому: бросили 5 монет одновременно. На решение это не повлияет!

Слайд 9

Задача №2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет более 10 очков. Результат округлите до сотых.

Слайд 10

Решение задачи № 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Результат каждого бросания – 36 равновозможных исходов Благоприятных исходов 3 Вероятность заданного события Р = т/ п Р = 3/36 = 0, 0 8 3 … = 0, 08

Слайд 11

II. Задачи, где все элементарные события выписывать сложно,но можно подсчитать их количество. На соревнования по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.

Слайд 12

Решение задачи № 3 Обратить внимание! (первым, вторым, седьмым –не важно!) n=2+2+4 =8 m=2 ( благоприятные исходы-испанцы 2 человека) Р = 2/8=0,25

Слайд 13

III. Использование формулы вероятности противоположного события. Р(А‾) +Р(А) =1 В среднем из 500 фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный фонарик окажется исправным.

Слайд 14

Решение задачи №4: На стенде испытаний – 500 фонариков Неисправных среди них 5 Вероятность купить неисправный фонарик 5 : 500 = 0,01 Значит, исправный можно купить с вероятностью 1- 0,01 = 0,99

Слайд 15

Задача №4.2 Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо равна 0,05.Покупатель в магазине выбирает одну нову ю ручку. Найти вероятность того , что эта ручка пишет хорошо.

Слайд 16

Решение задачи №4.2 1.Определим событие А – выбранная ручка пишет хорошо. 2.Противоположное событие А‾ 3.Вероятность противоположного события Р(А‾)=0,05 Применяя формулу вероятности противоположных событий, получаем ответ: Р(А)=1-Р( А‾)=1-0,05=0,95

Слайд 17

IV. Задачи, где искомые значения не выводятся из текста. Обратить внимание! n! =1•2•3•4 • … • n 0!=1 Cn ª=n! /а!( n- а)!

Слайд 18

Задача №5 В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими способами можно это сделать?

Слайд 19

Решение задачи № 5 С 20²=20!/2!(20-2)! = 20 •19 •18 …•1/2 •1 •18• 17•…• 1 Ответ: 190

Слайд 20

Литература: «Вероятность и статистика. 5-9 классы.» Е.А. Бунимович , В.А.Булычёв . Издательство «Дрофа»,2006. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики.- Математика в школе, №4, 2002. «ЕГЭ. 3000 задач с ответами. Математика с теорией вероятностей и статистикой» под редакцией А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. Разработано МИОО. 2011г.

Слайд 21

Сайты: Материалы с сайта www.1september.ru , фестиваль педагогических идей «Открытый урок» Материалы с сайта www.mathege.ru

nsportal.ru

Самостоятельная работа по теме «Теория вероятностей» 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Самостоятельная работа по теме «Теория вероятностей» 11 класс

(подготовка к ЕГЭ)

Вариант 1.

  1. В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают четырёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

  2. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,9. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,88. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

  3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОРР (в первый раз выпадает орёл, во второй и третий — решка).

  4. Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

  5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

————————————————————————————————————————

Вариант 2.

  1. На борту самолёта 15 мест рядом с запасными выходами и 25 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Б. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Б. достанется удобное место, если всего в самолёте 400 мест.

  2. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,079. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 86 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

  3. В группе туристов 25 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Н. полетит вторым рейсом вертолёта.

  4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,86. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,8. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

  5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая – 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Вариант 3.

  1. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 12 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

  2. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

  3. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 13 спортсменов из России, в том числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из России.

  4. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,04. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

  5. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 24% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

———————————————————————————————————————-

Вариант 4.

  1. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 60 докладов — первые два дня по 18 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

  2. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,80 С, равна 0,75. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 0С или выше.

  3. Фабрика выпускает сумки. В среднем 15 сумок из 170 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.

  4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

  5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Вариант 5.

  1. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 160 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

  2. Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,093. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 94 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

  3. В большой партии насосов в среднем на каждые 992 исправных приходится 8 неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

  4. Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

  5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

———————————————————————————————————————

Вариант 6.

  1. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

  2. При изготовлении подшипников диаметром 66 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,962. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 65,99 мм, или больше, чем 66,01 мм.

  3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход ООР (в первый и второй разы выпадает орёл, в третий — решка).

  4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

  5. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 35% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Вариант 7.

  1. На борту самолёта 24 мест рядом с запасными выходами и 11 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Б. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Б. достанется удобное место, если всего в самолёте 350 мест.

  2. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

  3. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ш. полетит третьим рейсом вертолёта.

  4. По отзывам покупателей Михаил Михайлович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,82. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,87. Михаил Михайлович заказал товар сразу в обоих магазинах. Найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

  5. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стратор» по очереди играет с командами «Монтёр», «Стартер» и «Протор». Найдите вероятность того, что «Стратор» будет начинать только первую игру.

——————————————————————————————————————-

Вариант 8.

  1. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

  2. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пассажиров, равна 0,95. Вероятость того, что окажется меньше 13 пассажиров, равна 0,52. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 13 до 22.

  3. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 спортсменов из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким-либо теннисистом из России.

  4. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,02. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

  5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 6 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Вариант 9.

  1. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 80 докладов — первые два дня по 30 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

  2. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,80 С, равна 0,72. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,80 С или выше.

  3. В большой партии насосов в среднем на каждые 496 исправных приходится 4 неисправных насоса. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

  4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

  5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,1. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

—————————————————————————————————————

Вариант 10.

  1. На олимпиаде по физике участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 180 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 450 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

  2. При изготовлении подшипников диаметром 65 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,971. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 64,99 мм, или больше, чем 65,01 мм.

  3. Фабрика выпускает сумки. В среднем 2 сумки из 120 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.

  4. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

  5. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 7 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Ответы:

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Вариант 1

0,4

0,02

0,125

0,13

0,46

Вариант 2

0,1

0,007

0,2

0,028

0,038

Вариант 3

0,35

0,08

0,48

0,9216

0,2072

Вариант 4

0,2

0,25

0,91

0,9856

0,48

Вариант 5

0,2

0,001

0,008

0,04

0,024

Вариант 6

0,25

0,038

0,125

0,0025

0,2865

Вариант 7

0,1

0,11

0,1

0,0234

0,125

Вариант 8

0,325

0,43

0,4

0,9996

0,33

Вариант 9

0,125

0,28

0,008

0,9919

0,78

Вариант 10

0,2

0,029

0,98

0,9025

0,32

infourok.ru

Решение заданий ЕГЭ «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» 11 класс

Решение заданий ЕГЭ Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Айшаев Мухадин Муратович

Айшаев Мухадин Муратович учитель математики МКОУ «Средняя общеобразовательная школа с.п.Кара-Суу» и преподаватель «Лицея для одаренных детей» г.Нальчик Айшаев Кязим Мухадинович «Решение заданий ЕГЭ по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» Введение
  • Задания открытого банка заданий ЕГЭ. В презентацию включен необходимый теоретический материал и образцы решений заданий (практика), а также задачи для самостоятельного решения (домашнее задание) и ответы к ним. Может быть полезна учащимся для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.
Для успешного решения задач этого типа необходимо:
  • Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
  • Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
  • Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
  • Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения
Повторить материал по темам:
  • Элементы комбинаторики
  • Поочередный и одновременный выбор
  • Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
  • Элементы статистики
  • Табличное и графическое представление данных
  • Числовые характеристики рядов данных
  • Элементы теории вероятностей
  • Вероятности событий
  • Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач
Классическое определение вероятности
  • Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.
  • Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.
Формула классической теории вероятностей

Число благоприятных исходов

Число всех равновозможных исходов

Вероятность события =

Вероятность события — это десятичная дробь, а не целое число!

Перестановки
  • Перестановкой множества из n  элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Число перестановок можно вычислить по формуле Pn=n!

Размещения
  • Размещениями множества из n различных элементов по m (m≤n) элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Сочетания
  • Сочетаниями из n различных элементов по k элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по k элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, k -элементные подмножества данного множества из n элементов).
Задача 1:В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
  • Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: 2+6;6+2; 3+5;5+3; 4+4.
  • Таким образом, всего благоприятных исходов 5. Вероятность найдем, как отношение числа 5 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. = 0,13888… Округлим до сотых. Ответ: 0, 14.
Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
  • Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
  • Решение: Условие можно толковать так: какова вероятность, что все 4 раза выпадет решка. Вероятность того, что решка выпадет
  • 1 раз равна ,
  • 2 раза равна =(Теорема об умножении вероятностей),
  • 3 раза равна =,
  • а 4 раза равна ()4==0,0625.
Задача 3: Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых.
  • Решение: Всего возможных комбинаций: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: 1-й кубик 2-й кубик 1 очко 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 2 очка 1, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 3 очка 1, 2, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 4 очка 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 5 очков 1, 2, 3, 4 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 6 очков 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Благоприятных исходов 5. Хотя проще было бы посчитать число неблагоприятных для нас исходов. Когда выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Итак, всего благоприятных исходов 30. Найдем отношение 30/36 = 0,83333…
  • Ответ. 0,83
Для самостоятельного решения
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,11)
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,14)
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,17)
  • В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,01)
  • В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,07)
Задача 4: Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?
  • Решение: По условию индекс может стоять либо на первом, либо на втором месте:
  • h3NO HNO2
  • h4NO HNO3
  • 2 + 2 = 4
  • Ответ: 4
Задача 5: Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?
  • а, в, с – признаки
  • 1 случай – гамета не обладает ни одним из этих признаков – только 1тип
  • 2 случай – одним из этих признаков: а; в; с – 3 типа
  • 3 случай — двумя из трех признаков: ав, ас, вс – 3 типа
  • 4 случай – всеми тремя признаками: авс – 1 тип
  • 1+3+3+1=8 типов гамет
  • Ответ: 8
Задача 6: Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.
  • 111 сотни десятки единицы
  • 112 а в с
  • 121 1 1 1
  • 122 8 2 2 2
  • 211 222=8
  • 212
  • 221
  • 222
Задача 7:Три друга – Антон (А), Борис (Б) и Виктор (В) – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?
  • А Б В
  • (АБ)
  • (АВ) 3 варианта посещения
  • (БВ)
  • Сочетание из 3 по 2
  • С3= =3
  • Ответ: 3

2

Задача 8: Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов (А), Григорьев (Г), Сергеев (С) и Федоров (Ф), тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
  • А Г С Ф – число сочетаний из 4 по 2
  • АГ
  • АС
  • АФ С4==6
  • ГС
  • ГФ
  • СФ
  • Ответ: 6

2

Задача 9: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков? Число размещений: А5= =20 Ответ: 20

2

Задача 10: Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?
  • А Б В
  • Число сочетаний из 3 по 2: 3 способа
  • Количество перестановок: Р2=2!=2
  • СР=3
  • или А-размещения
  • А3==6

2

Задача 11: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?
  • 12 21 23 32 13 31
  • А3=
  • Ответ: 6

2

Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
  • Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
  • Решение: Всего участвует 20 спортсменок, из них из Китая 20-(8+7)=5 спортсменок.
  • Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая будет
  • Р =
  • Ответ: 0,25
Задача 13: В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
  • n=25
  • m=23 билета без вопроса о грибах
  • P(A)===0,92
  • Ответ: 0,92
Для самостоятельного решения 1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии. (0,2) 2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии.(0,16) 3. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.(0,18) 4. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.(0,475) 5. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. (0,25). Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  • Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  • А = {Насос не подтекает}
  • n=1000
  • m=1000-5=995насосов не подтекают
  • P(A)===0,995
  • Ответ: 0,995
Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  • Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  • А={Сумка качественная}
  • n=100
  • m=100-8 без скрытых дефектов
  • P(A)===0,92
  • Ответ: 0,92
Задача 16: В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
  • Решение: 50-7=43 – исправных аккумуляторов
  • Вероятность – покупка исправного аккумулятора
  • 43 — Число благоприятных исходов 50 — Число всех равновозможных исходов Р = Ответ: 0,86
Для самостоятельного решения
  • Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,96 )
  • Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,96)
  • В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (0,995)
  • В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.(0,992)
  • Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут. (0,875)
  • В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. (0,4)
Произведение вероятностей
  • Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.
  • Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
Сложение вероятностей
  • Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
  • Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Список использованной литературы
  • А.Л. Семенов, И.В. Ященко «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2015. Математика»;
  • http://mathege.ru/ — открытый банк заданий по математике.

uchitelya.com

Иррациональным числом – Иррациональные числа: определение, примеры

Иррациональное число — Википедия

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби , где  — целое число,  — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

  • Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
  • Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
  • Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
  • Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
  • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
  • Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.[1]

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности[править]

Корень из 2[править]

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где  — целое число, а  — натуральное число.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

В каноническое разложение левой части равенства число 2 входит в чётной степени, а в разложение 2n2 — в нечётной. Поэтому равенство m2=2n2 невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3[править]

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где и  — целые числа. Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e[править]

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

Античность[править]

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены[источник не указан 946 дней].

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок[источник не указан 946 дней].

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его изучая длины сторон пентаграммы. Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение[источник не указан 917 дней].

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному[2] предположению Жана Итара[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один[3].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века[править]

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время[править]

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.

В 1761 году Ламберт показал, что π не может быть рационально, а также что eⁿ иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π² иррационально, откуда иррациональность π следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

www.wiki-wiki.ru

Иррациональные числа — это… Что такое Иррациональные числа?


Иррациональные числа

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби , где m — целое число, n — натуральное число. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Множество иррациональных чисел обычно обозначается . Таким образом

— множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Свойства

  • Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
  • Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
  • Каждое трансцендентное число является иррациональным.
  • Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
  • Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

Теоремы

— иррациональное число

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где m и n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что m2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m = 2r, где r целое. Тогда

Следовательно, n2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

log23 — иррациональное число

Допустим противное: log23 рационален, то есть представляется в виде дроби , где m и n — целые числа. Поскольку log23 > 0, m и n могут быть выбраны положительными. Тогда

Но 2m чётно, а 3n нечётно. Получаем противоречие.

e — иррациональное число

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

Другие иррациональные числа

Иррациональными являются:

  • для любого натурального n, не являющегося точным квадратом
  • ex для любого рационального
  • lnx для любого положительного рационального
  • π, а также πn для любого натурального n

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Иррациональность
  • Иррегулярная галактика

Смотреть что такое «Иррациональные числа» в других словарях:

  • Числа с собственными именами — В этот список включены числа, имеющие собственные названия, не являющиеся стандартными сложносоставными названиями чисел. Именные названия степеней тысячи приводятся, только если у них есть иные названия. Содержание 1 Натуральные числа 1.1… …   Википедия

  • Числа Кэли — Алгебра Кэли  определённый тип гиперкомплексных чисел, 8 мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами. Число Кэли  это линейная комбинация… …   Википедия

  • Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… …   Википедия

  • Вещественные числа — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… …   Википедия

  • Действительные числа — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… …   Википедия

  • Реальные числа — Вещественные, или действительные[1] числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… …   Википедия

  • Двойные числа — О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа  гиперкомплексные числа вида « », где и   вещественные… …   Википедия

  • Дуальные числа — или (гипер)комплексные числа параболического типа гиперкомплексные числа вида , где и   вещественные числа, и . Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную …   Википедия

  • Супернатуральные числа — (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число является формальным произведением: где может быть любым простым числом, а каждое является или натуральным числом …   Википедия

  • Кубические простые числа — Кубические простые числа  это простые числа, которые являются решением одного из двух кубических уравнений третей степени от переменных x и y. Первое из них: [1] и первые несколько таких кубических простых чисел: 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331 …   Википедия

Книги

  • Элементарная теория чисел (книга IV), Венков Б. А.. Заглавие «Элементарная теория чисел», данное настоящему реферату, не вполне отражает ту точку зрения, которая была принята при его составлении. В нем собрано все то из классической теории… Подробнее  Купить за 1741 руб
  • Непрерывность и иррациональные числа., Дедекинд Р.. Рассуждения, составляющие предмет этого маленького сочинения, относятся к осени 1858 года. Тогда я, в качестве профессора Союзного политехникума в Цюрихе, в первый раз по своему положению… Подробнее  Купить за 1723 грн (только Украина)
  • Элементарная теория чисел. Математика в монографиях., Венков Б.А.. Заглавие «Элементарная теория чисел», данное настоящему реферату, не вполне отражает ту точку зрения, которая была принята при его составлении. В нём собрано все то из классической теории… Подробнее  Купить за 1532 руб
Другие книги по запросу «Иррациональные числа» >>

dic.academic.ru

Иррациональное число

иррациональное число, иррациональное число это
Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби , где  — целое число,  — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Примеры
  • 3 Примеры доказательства иррациональности
    • 3.1 Корень из 2
    • 3.2 Двоичный логарифм числа 3
    • 3.3 e
  • 4 История
    • 4.1 Средние века
    • 4.2 Новое время
  • 5 См. также
  • 6 Примечания

Свойства

  • Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
  • Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
  • Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
  • Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
  • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
  • Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

Примеры

Иррациональные числа
γ — ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Иррациональными являются:

  • для любого натурального , не являющегося точным квадратом
  • для любого рационального
  • для любого положительного рационального
  • , а также для любого целого

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где  — целое число, а  — натуральное число.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

В каноническое разложение левой части равенства число 2 входит в чётной степени, а в разложение 2n2 — в нечётной. Поэтому равенство m2=2n2 невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где и  — целые числа. Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

  • Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.
  • По теореме Пифагора: a² = 2b².
  • Так как a² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
  • Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.
  • Так как a четное, обозначим a = 2y.
  • Тогда a² = 4y² = 2b².
  • b² = 2y², следовательно b² четное, тогда и b четно.
  • Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению Жана Итара (1961), оно было основано на пифагорейской теории чётных и нечётных чисел, в том числе — на теореме о том, что нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на восемь треугольных чисел.

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от нее, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.

В 1761 году Ламберт показал, что π не может быть рационально, а также что eⁿ иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя-Клиффорда, показал, что π² иррационально, откуда иррациональность π следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

  • Диофантовы и лиувиллевы числа
  • Мера иррациональности

Примечания

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 64. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  2. А. И. Щетников. Как древнегреческие математики доказывали иррациональность.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 13 мая 2011.
  Числовые системы
Счётные
множества
Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числа
и их расширения
Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гиперреальные • Сюрреальные числа
Инструменты расширения
числовых систем
Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица
Иерархия чисел
Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Вещественные числа
Комплексные числа
Кватернионы
Октонионы
Седенионы
Другие
числовые системы
Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. такжеДвойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

иррациональное число, иррациональное число это, что такое иррациональное число


Иррациональное число Информацию О




Иррациональное число Комментарии

Иррациональное число
Иррациональное число
Иррациональное число Вы просматриваете субъект

Иррациональное число что, Иррациональное число кто, Иррациональное число описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Иррациональное число Википедия

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, n{\displaystyle n} — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Таким образом, множество иррациональных чисел есть разность I=R∖Q{\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}.[1]

Свойства

  • Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
  • Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
  • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.[источник не указан 393 дня]

Алгебраические и трансцендентные числа

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является счётным множеством. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел несчётно.

Множество иррациональных чисел является множеством второй категории.[2]

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Иррациональные числа и непрерывные дроби

Иррациональное число представляются бесконечной непрерывной дробью. Пример, число e:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,…,1,2n,1,…].{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].}

Квадратичным иррациональностям соответствуют периодические непрерывные дроби.

ϕ=1+52=[1;1,1,1,1,…].{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].}

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} — целое число, а n{\displaystyle n} — натуральное число.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2=mn⇒2=m2n2⇒m2=2n2{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}.

В каноническое разложение левой части равенства число 2{\displaystyle 2} входит в чётной степени, а в разложение 2n2{\displaystyle 2n^{2}} — в нечётной. Поэтому равенство m2=2n2{\displaystyle m^{2}=2n^{2}} невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: log2⁡3{\displaystyle \log _{2}3} рационален, то есть представляется в виде дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} — целые числа. Поскольку log2⁡3>0{\displaystyle \log _{2}3>0}, m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} могут быть выбраны положительными. Тогда

log2⁡3=mn⇒m=nlog2⁡3⇒2m=2nlog2⁡3⇒2m=3n{\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2}3}\Rightarrow 2^{m}=3^{n}}

Но 2m{\displaystyle 2^{m}} чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены[источник не указан 1321 день].

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок[источник не указан 1321 день].

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы.[3] Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал[4] иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному[5] предположению Жана Итара[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один[6].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких, как 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощю цепных дробей показал, что π{\displaystyle \pi } не является рациональным числом, а также что ex{\displaystyle e^{x}} и tg⁡x{\displaystyle \operatorname {tg} x} иррациональны при любом ненулевом рациональном x{\displaystyle x}. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π2{\displaystyle \pi ^{2}} иррационально, откуда иррациональность π{\displaystyle \pi } следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π{\displaystyle \pi }. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

Литература

Счётные
множества
Вещественные числа
и их расширения
Инструменты расширения
числовых систем
Иерархия чисел
−1,1,12,0,12,23,…{\displaystyle -1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;{\frac {2}{3}},\;\ldots }Рациональные числа
−1,1,0,12,12,π,2,…{\displaystyle -1,\;1,\;0{,}12,\;{\frac {1}{2}},\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots }Вещественные числа
−1,12,0,12,π,3i+2,eiπ/3,…{\displaystyle -1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots }Комплексные числа
1,i,j,k,2i+πj−12k,…{\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots }Кватернионы
1,i,j,k,l,m,n,o,2−5l+π3m,…{\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\;\dots }Октонионы
1,e1,e2,…,e15,7e2+25e7−13e15,…{\displaystyle 1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots }Седенионы
Другие
числовые системы
См. также

wikiredia.ru

Иррациональное число — это… Что такое Иррациональное число?

так называются в математике числа, которые не могут быть точно выражены ни целыми числами, ни арифметическими дробями, а представляются бесконечными и непериодическими десятичными дробями; означаются особыми знаками (радикалами) или буквами (е, π). Полная, превосходная по своей строгости теория И. чисел, или, что одно и то же, несоизмеримых отношений, существовала уже у греков и изложена Эвклидом в V-й книге его «Начал». В настоящее время пользуются известностью взгляды гейдельбергского профессора Кантора. Для выяснения сущности И. числа рассмотрим ряд чисел

и1 и2 и3 ….. un… (1)

определяющих некоторую переменную величину и. Числа u1 и2 … un пусть будут рациональны, т. е. такие, которые известны из элементарной арифметики, именно положительные или отрицательные, целые числа или рациональные дроби. Если существует такое рациональное число а, что числовое значение разности (una) может быть сделано, при достаточно большом n, меньше всякого наперед произвольно заданного малого числа ε, то а называется пределом переменной величины и. Отсюда следует, что ряд (1) обладает свойством:

числовое значение un+m — un

при всяком т (хотя бы даже зависящем от n), при достаточно большом n. Свойство ряда (1), выражаемое неравенством (2), есть основное для переменных, имеющих пределы, но обратного предложения не существует, т. е. переменная величина может иметь ряд частных значений, обладающих свойством (2), и не существовать такого числа а (рационального), которое можно было бы назвать пределом. Так вот, если рационального предела переменной и не существует, а частные значения переменной удовлетворяют свойству, выражаемому неравенством (2), то говорят, что эта переменная имеет пределом И. число. Вычислить И. число с точностью до некоторой заданной дроби 1/р — это значит указать номер n частного значения переменной величины и, имеющей свойство (2), для которого, равно как и для всех высших номеров, удовлетворяется неравенство:

un+m — un p.

Обозначая это значение переменной через uo, можно сказать, что рациональное число uо есть приближение к И., заданному известным рядом, с точностью до 1/p. Такое рациональное число uo и вводится затем в приближенные вычисления вместо И. числа. Пусть дана десятичная дробь

3,14159….

у которой цифры десятичных идут в некоторой определенной последовательности, т. е. существуют правила для продолжения этих цифр как угодно далеко, причем ряд цифр не кончается и сколько бы их ни было написано, всегда можно, если пожелаем, по указанным правилам, продолжать ряд далее. Отдельные числа ряда (1) в данном случае будут:

u1 = 3

u2 = 3,1

u3 = 3,14

u4 = 3,141

……………..

……………..

Возьмем разность

uп+тun = 0,000… 00αβγ… δ

в которой после запятой будет n нулей и затем еще т десятичных цифр. Каковы бы ни были цифры β, γ,… δ, число αβγ… δ n и совершенно независимом от числа m, дробь (α + 1)/10n может быть сделана как угодно малой, а

un+mun n

причем это неравенство имеет место, сколько бы ни было цифр β, γ… δ, т. е. каково бы ни было конечное число т. Таким образом всякая бесконечная десятичная непериодическая дробь определяет всегда некоторое И. число, напр. π, е, √2 и пр. Поэтому вычислить И. число с точностью до 1/10n это значит вычислить n десятичных знаков в разложении заданного И. числа в бесконечную десятичную дробь.

Д. Граве.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

dic.academic.ru

Что такое иррациональные числа 🚩 что значит иррациональное число 🚩 Математика

Согласно понятиям геометрии, если в двух отрезках содержится какое-то количество одинаковых значений, то они соизмеримы. Например, разные стороны прямоугольника соизмеримы. Но вот сторона квадрата и его диагональ не являются соизмеримыми. Они не имеют общей меры, в которой их можно было бы выразить. Иррациональные числа относятся к неявно выраженным. Они несоизмеримы с рациональными числами.К рациональным относятся целые, дробные, а также конечные и периодические десятичные числа. Они являются соизмеримыми единице. Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными, с единицей они несоизмеримы. Но может быть указан способ получения такого числа, тогда оно считается заданным точно. С помощью такого способа можно найти любое количество знаков после запятой у иррационального числа, это называется вычислить число с определенной точностью, которая как раз и задается количеством требуемых к вычислению знаков.Свойства иррациональных чисел во многом схожи со свойствами рациональных. Например, сравниваются они одинаково, над ними возможно производить те же самые арифметические действия, они могут быть положительными или отрицательными. Умножение иррационального числа на ноль, точно так же как и рационального, дает ноль.Если операция производится над двумя числами, одно из которых рациональное, а другое иррациональное, то принято по возможности не использовать приближенное значение, а брать точным образом заданное число (например, в виде недесятичной дроби).Считается, что первым концепцию иррациональных чисел открыл Гиппас из Метапонта, живший примерно в VI в. до н.э. Он был последователем пифагорейской школы. Свое открытие Гиппас совершил во время морского похода, находясь на корабле. Согласно легенде, когда он рассказал другим пифагорейцам об иррациональных числах, предоставив доказательство их существования, те выслушали его и признали его выкладки правильными. Тем не менее, открытие Гиппаса настолько шокировало их, что он был выброшен за борт за то, что создал нечто, опровергающее центральную пифагорейскую доктрину о том, что все во вселенной может быть сведено к целым числам и их отношениям.

www.kakprosto.ru

Иррациональное число — Википедия

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби , где  — целое число,  — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

  • Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
  • Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
  • Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
  • Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
  • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
  • Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.[1]

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности[править]

Корень из 2[править]

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где  — целое число, а  — натуральное число.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

В каноническое разложение левой части равенства число 2 входит в чётной степени, а в разложение 2n2 — в нечётной. Поэтому равенство m2=2n2 невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3[править]

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где и  — целые числа. Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e[править]

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

Античность[править]

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены[источник не указан 946 дней].

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок[источник не указан 946 дней].

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его изучая длины сторон пентаграммы. Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение[источник не указан 917 дней].

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному[2] предположению Жана Итара[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один[3].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века[править]

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время[править]

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.

В 1761 году Ламберт показал, что π не может быть рационально, а также что eⁿ иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π² иррационально, откуда иррациональность π следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

www.wikiznanie.ru

Зубр тур круги эйлера – ГДЗ информатика 9 класс Босова, рабочая тетрадь, упр. 54. Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу ЗУБР

План-конспект урока по информатике и икт на тему: Решение логических задач

Тема:   «Решение логических задач»

        В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

  1.  

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

ШОКОЛАД⎮ЗЕФИР

15000

ШОКОЛАД & ЗЕФИР

8000

ЗЕФИР

12000

        Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу ШОКОЛАД? Решите задачу, используя круги Эйлера.

            2)

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

ЗУБР & ТУР

5000

ЗУБР

18000

ТУР

12000

        Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу ЗУБР ⎮ ТУР? Решите задачу, используя круги Эйлера.

               3)

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

ФУТБОЛ⎮ХОККЕЙ

20000

ФУТБОЛ

14000

ХОККЕЙ

16000

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу ФУТБОЛ & ХОККЕЙ? Решите задачу, используя круги Эйлера.

        4)   Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц:

Запрос

Найдено страниц

ЧЕРНИКА

350

МАЛИНА

200

БРУСНИКА

500

ЧЕРНИКА & БРУСНИКА

50

ЧЕРНИКА & МАЛИНА

20

МАЛИНА & БРУСНИКА

10

МАЛИНА & БРУСНИКА & ЧЕРНИКА

5

    Сколько сайтов будет найдено по запросу ЧЕРНИКА⎮МАЛИНА⎮БРУСНИКА?

     Решите задачу, используя круги Эйлера.

     

nsportal.ru

Задача 17 — разбор задания ЕГЭ по предмету Информатика

Решение №1

Для решения данной задачи полезно воспользоваться визуализацией в виде кругов Эйлера. Разберём эту визуализацию подробнее.

У нас имеются три разных слова в запросах:

  1. Гомер
  2. Илиада
  3. Одиссея

Обозначим страницы, в которых встречаются эти слова, за круги. При этом сделаем так, чтобы эти круги пересекались.

Что нам известно по условию согласно таблице?

  1. Гомер & Илиада = 200. Что это означает?
  2. Что количество страниц, где встречаются одновременно слова и Гомер, и Илиада («и», так как используется &), равно 200.
  3. Что на рисунке соответствует таким страницам?
  4. Им соответствует область, которая лежит и в Гомере, и в Илиаде (см. светло-зелёную область).

 

 

  1. Теперь по аналогии отметим красным область Гомер & Одиссея: 
  2. Теперь давайте разберём строку Гомер & (Одиссея | Илиада). Это пересечение двух областей, одна из которых понятна (Гомер). Давайте разберёмся со второй: Одиссея | Илиада.
  3. Одиссея | Илиада — это Одиссея или Илиада. То есть, это страницы, на которых есть или Одиссея, или Илиада, или обе.  То есть, это — объединение Одиссеи и Илиады.
  4. Это объединение пересекается с Гомером в общих областях (см. картинку, розовый цвет).
  5. Что нам надо сосчитать? — Гомер & Одиссея & Илиада. То есть, пересечение всех трёх областей (маленький «псевдотреугольник» в центре).
  6. Давайте посмотрим внимательно, как мы его можем посчитать.
  7. Если мы в уме сложим области «Гомер & Одиссея» (бордовый) и «Гомер & Илиада» (зелёный), то получится, что мы охватили все пересечения (розовый), но при этом маленький треугольник мы посчитали два раза.
  8. То есть, если из суммы бордового и зелёного отнять розовый, получится как раз один маленький треугольничек (так как все области кроме него сократятся).
  9. Значит, Гомер & Одиссея & Илиада = 355 + 200 — 470 = 85

Ответ: 65 тысяч страниц.

Евгений Смирнов

Эксперт в IT, учитель информатики

newtonew.com

Решение задач с помощью кругов Эйлера



Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

 Задача №1

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
ЗапросНайдено страниц (в тысячах)
Торты | Пироги12000
Торты & Пироги6500
Пироги7700

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Торты?Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение задачи №1

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).


Из условия задачи следует:

Торты │Пироги =  А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.


Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300


Сектор А равен 4300, следовательно


Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800


Задача №2

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
ЗапросНайдено страниц (в тысячах)
Пироженое & Выпечка5100
Пироженое9700
Пироженое | Выпечка14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Выпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.Решение задачи №2

Для решения задачи отобразим множества Пироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка =  А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти сектор В, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое.

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательно  Выпечка = Б + В = 4300+5100 = 9400



Задача №3
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1спаниели | (терьеры & овчарки)
2спаниели | овчарки
3спаниели | терьеры | овчарки
4терьеры | овчарки


Решение задачи №3

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).


Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б


Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.


Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4



Задача №4

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1барокко | классицизм | ампир
2барокко | классицизм & ампир
3классицизм & ампир
4барокко | классицизм

Решение задачи №4

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.


Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1





Задача №5В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1канарейки | терьеры | содержание
2канарейки & содержание
3канарейки & щеглы & содержание
4разведение & содержание & канарейки & щеглы

Решение задачи №5

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —  канарейки,

Щ – щеглы,

С – содержание,

Р – разведение.


Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.


канарейки | терьеры | содержаниеканарейки & содержаниеканарейки & щеглы & содержаниеразведение & содержание & канарейки & щеглы

Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу. 


Задачи для самостоятельного решения

Задача №6

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1принтеры & сканеры & продажа
2принтеры  & продажа
3принтеры | продажа
4принтеры | сканеры | продажа




Задача №7

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1физкультура
2физкультура & подтягивания & отжимания
3физкультура & подтягивания
4физкультура | фитнесс



Использованные материалы >>> 

Решение подобных задач  по информатике >>>

Ответы к задачам для самостоятельного решения

Номер задачиОтвет
6ГБВА
7БВАГ

saitsewanatalia.blogspot.com

Сборник текстовых задач на круги Эйлера

Задачи на круги Эйлера

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. По запросам было выдано следующее количество страниц(в тысячах)

Берн — 4220

Цюрих — 3600

Цюрих | Берн — 5900

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Цюрих & Берн?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

По запросам некоторого сегмента в сети Интернет было выдано следующее количество страниц(в тысячах)

Куница — 4300

Соболь — 3700

Соболь | Куница — 6500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Куница & Соболь?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

По запросам некоторого сегмента в сети Интернет было выдано следующее количество страниц(в тысячах)

Шахматы & Теннис — 1000

Теннис — 5500

Теннис | Шахматы — 7770

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Шахматы?

По запросам некоторого сегмента в сети Интернет было выдано следующее количество страниц(в тысячах)

Мопс | Бульдог — 5500

Мопс — 2500

Мопс &Бульдог — 1000

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Бульдог ?

По запросам некоторого сегмента в сети Интернет было выдано следующее количество страниц(в тысячах)

Мопс | Бульдог — 4000

Бульдог — 3500

Мопс — 2000

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Мопс &Бульдог ?

По запросам некоторого сегмента в сети Интернет было выдано следующее количество страниц(в тысячах)

Мопс &Бульдог- 500

Бульдог — 2000

Мопс — 3200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Мопс | Бульдог

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. По запросам было выдано следующее количество страниц(в тысячах)

Корвет| Субмарина — 3000

Корвет & Субмарина — 600

Субмарина 2000

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Корвет?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

  1. В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают такие кружки: математический -18 чел, физический – 14 чел, и химический – 10 чел. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все кружки, 8-и математику и физику, 5 – математику и химию, 3- физику и химию. Сколько человек в классе не посещают никаких кружков? (8 чел)

  1. Ресторан за день посетили 50 человек. На кухне было приготовлено следующее количество вторых блюд: грибы- 25 порций, мясо – 29 порций, рыба- 24 порции. Известно, что 3 человека заказывали сразу все блюда, 8 человек — рыбу и грибы, 11 человек- рыбу и мясо и 15 человек – грибы и мясо. Сколько посетителей вообще отказались от второго блюда? (3)

  1. После зимних каникул учитель спросил, как дети их провели. Оказалось, что из 36 учащихся 2 – не были нигде, 25 человек — в кино, 11 — в театре, 17 — в цирке. И в кино и в театре — 6 чел, и в кино и в цирке- 10, и в театре и в цирке -4 чел. Сколько человек побывало везде? (1 чел)

  1. В параллели 10 классов 70 человек. 32 человека посещают секцию баскетбол, 35- волейбола, 29- футбола. 12 человек ходят и баскетбол и волейбол, 7 учащихся – на волейбол и футбол, 10 – на баскетбол и футбол. Сколько человек ходят сразу на все 3 секции? (3)

  1. В здании 55 кабинетов. 24 из них оснащены вентиляцией, 31 кабинет имеет железные двери, и в 22 стоят компьютеры. В 9 кабинетах есть вентиляция и компьютеры, в 12 — компьютеры и железные двери, в 11 – вентиляция и железные двери. В 5 кабинетах нет ничего из вышеперечисленного. В скольких кабинетах есть сразу все? (5)

  1. В классе 35 учеников. 24 из них занимаются спортом, 12 – музыкой, 18 –посещают факультативы. 10 учеников одновременно занимаются спортом и учебой, 8- спортом и музыкой, 5 учебой и музыкой. Сколько учеников занимаются всем? (4)

  1. В социологическом опросе участвовало 100 человек. 15% опрошенных сказали что у нас прекрасный город. 50 % заявили что город грязный, 48% — что дороги плохие, 20% что и грязь и дороги, 16%- что молодежи нечем заняться в городе, и вокруг грязь, 14% — что плохие дороги и мало развлечений для молодежи. Сколько человек говорили про молодежь? ()

  1. Среди 50 опрошенных 21 человека слушают только поп-музыку, 19 – только рэп, 17 – только рок и 8 человек вообще не любят эти направления. Тех, кто любит поп и рэп и терпеть не могут рок – 6 человек. Тех кто любит рэп и рок вместе – 5 человек, а тех, кто готов слушать все, что угодно- 2 человека. Сколько человек любят поп и рок и терпеть не могут рэп? (2)

  1. При опросе 50 человек оказалось, что 17 любят попугайчиков, 28 –собак, 7 –попугаев и кошек, 13 –кошек и собак, 3 – любят попугаев и собак и терпеть не могут кошек, 5 любят всех животных вообще и 3 — не любят никого. Сколько человек любят исключительно кошек? (10)

  1. Из 90 опрошенных 30 человек сказали, что проводят выходные на природе, еще 40 – что встречаются с друзьями, 13 – что кроме природы ходят в развлекательные заведения, 4 – приглашают друзей на природу, а развлекательные заведения не любят, 12 – встречаются с друзьями в клубах а на природу не ездят вообще, 6 – отдыхают сразу везде, и 11- проводят дома у телевизора. Сколько людей посещают развлекательные учреждения?

  1. На 3 курсе факультета обучается 81 студент. Многие из них выбрали одинаковые дисциплины, посещают одни и те же лекции и хорошо знают друг друга. 43 студента посещают лекции по философии, 32 — по логике и 41 — по естествознанию. Философию и логику выбрали 11 человек. Философию и естествознание посещает 21 студент, а логику и естествознание — 16. 4 человека выбрали только философию и логику. Сколько студентов посещают лекции: По всем трем предметам? Только по философии и естествознанию? Только по логике и естествознанию? Только по философии? Только по естествознанию? Только по логике? Не выбрали ни одну из этих дисциплин?

  2. Коллектив фирмы из 47 человек решил весело встретить новый год. 26 человек хотели бы встретить его в ресторане, 15- уехать на дачу, 27 – устроить праздник в офисе фирмы, а 8 – не собирались встречать праздник с коллективом. При этом 9 человек колебались между рестораном и дачей, 6 – между рестораном и офисом, 3 – между офисом и дачей. Сколько человек были готовы встретить праздник где угодно, но с коллективом? (1)

  3. В туристическую фирму обратилось за месяц 70 человек. 34 из них заказали путевки в Россию, 30 — в Турцию, 21- на Кипр, а 8 – в другие страны. Известно, что и в России и на Кипре успело отдохнуть 9 человек, в России и в Турции -11 человек, в Турции и на Кипре -7 человек. Сколько клиентов ухитрилось съездить в отпуск и на Кипр и в Турцию и еще успеть отдохнуть в России.

  4. В кружок по рисованию ходят 11 первоклассников, по пению — 14, по труду -9. известно, что на рисование и пение ходят 4 человека, на рисование и труды – 3, на труды и пение – 3. Сколько человек ходят сразу в три кружка, если в классе 27 человек и двое не посещают никаких кружков

Начало формы

infourok.ru

Решение задач с помощью кругов Эйлера

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение задачи №1

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б,В).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги =  А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800


Задача №2

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
ЗапросНайдено страниц (в тысячах)
Пироженое & Выпечка5100
Пироженое9700
Пироженое | Выпечка14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Выпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.Решение задачи №2

Для решения задачи отобразим множестваПироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б,В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка =  А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти сектор В, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множествоПироженое.

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательно  Выпечка = Б + В = 4300+5100 = 9400


Задача №3
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».
1спаниели | (терьеры & овчарки)
2спаниели | овчарки
3спаниели | терьеры | овчарки
4терьеры | овчарки


Решение задачи №3

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4


Задача №4

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1барокко | классицизм | ампир
2барокко | классицизм & ампир
3классицизм & ампир
4барокко | классицизм

Решение задачи №4

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1





Задача №5В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».
1канарейки | терьеры | содержание
2канарейки & содержание
3канарейки & щеглы & содержание
4разведение & содержание & канарейки & щеглы

Решение задачи №5

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —  канарейки,

Щ – щеглы,

С – содержание,

Р – разведение.

Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.


В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу.  


Задачи для самостоятельного решения

Задача №6

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1принтеры & сканеры & продажа
2принтеры  & продажа
3принтеры | продажа
4принтеры | сканеры | продажа


Задача №7

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1физкультура
2физкультура & подтягивания & отжимания
3физкультура & подтягивания
4физкультура | фитнесс

oge-gia.blogspot.com

Шинкаренко Евгений Александрович — Решение задач ЕГЭ с помощью кругов Эйлера

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение задачи №1

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги =  А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800


Задача №2

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
Запрос
Найдено страниц (в тысячах)
Пироженое & Выпечка
5100
Пироженое
9700
Пироженое | Выпечка
14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Выпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.Решение задачи №2

Для решения задачи отобразим множества Пироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка =  А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти сектор В, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое.

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательно  Выпечка = Б + В = 4300+5100 = 9400


Задача №3
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».
1
спаниели | (терьеры & овчарки)
2
спаниели | овчарки
3
спаниели | терьеры | овчарки
4
терьеры | овчарки


Решение задачи №3

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4


Задача №4

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
барокко | классицизм | ампир
2
барокко | классицизм & ампир
3
классицизм & ампир
4
барокко | классицизм

Решение задачи №4

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1




Задача №5
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».
1
канарейки | терьеры | содержание
2
канарейки & содержание
3
канарейки & щеглы & содержание
4
разведение & содержание & канарейки & щеглы

Решение задачи №5

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —  канарейки,

Щ – щеглы,

С – содержание,

Р – разведение.

Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.

канарейки | терьеры | содержаниеканарейки & содержаниеканарейки & щеглы & содержаниеразведение & содержание & канарейки & щеглы




Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу. 


Задачи для самостоятельного решения

Задача №6

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
принтеры & сканеры & продажа
2
принтеры  & продажа
3
принтеры | продажа
4
принтеры | сканеры | продажа



Задача №7

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
физкультура
2
физкультура & подтягивания & отжимания
3
физкультура & подтягивания
4
физкультура | фитнесс


Ответы к задачам для самостоятельного решения
Номер задачи
Ответ
6
ГБВА
7
БВАГ
Вернуться к списку

shinkarenkoea.ucoz.ru

Производная онлайн неявной функции – Производная неявной функции онлайн

Производная функции, заданной неявно

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y. Примеры функций, заданных неявно:

,

,

,

,

.

Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.

Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек — это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот «игрек штрих» и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.

Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек — функция от икса:

.

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

.

Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:

,

.

После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:

.

Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.

Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию

,

то получили бы ответ как в примере 1 — от функции, заданной неявно:

.

Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f(x). Так, например, заданные неявно функции

и

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем игрек штрих и — на выходе — производная функции, заданной неявно:

.

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.


Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.


Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Путь к ответу и в конец сам ответ:

Поделиться с друзьями

Производные

Функции несольких переменных

function-x.ru

Производная неявной функции, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если функция задана уравнением то говорят, что она задана неявно.

Для нахождения производной неявно заданной функции нет необходимости преобразовывать ее в явную форму (и это не всегда возможно сделать). Для этого, зная уравнение достаточно выполнить следующие действия:

  1. Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по независимой переменной предполагая, что – это дифференцируемая по функция. Для нахождения производной используется правило вычисления производной от сложной функции. В правой части равенства получаем 0, как производную от константы.

    Замечание. Если правая часть отлична от нуля, то есть неявное уравнение имеет вид то функцию следует перенести влево и свести исходное уравнение к виду

       

  2. Решить полученное уравнение относительно производной

Примеры вычисления производных неявных функций

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную от функции заданной неявно.
Решение Перенесем выражение стоящее в правой части равенства, в левую часть:

   

Далее дифференцируем левую и правую часть последнего равенства:

   

Используя свойство линейности производной, получим:

   

Первое слагаемое дифференцируем как произведение:

   

при этом считаем, что есть функция от поэтому производную от него находим как производную от сложной функции:

   

Будем иметь:

   

Было учтено, что

Итак, для заданной функции имеем:

   

Решаем полученное уравнение относительно функции

   

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную от функции заданной неявно.
Решение Дифференцируем левую и правую части заданного равенства:

   

Производная от суммы/разности функций равна сумме/разности производных, а также константу можно выносить за знак производной:

   

Находим производную каждого слагаемого в левой части последнего равенства:

   

   

   

   

Разрешаем полученное равенство относительно искомой производной

   

Отсюда

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Производная неявно заданной функции

В предыдущей статье был рассмотрен вопрос нахождения производной функции, заданной в явном виде, то есть . Сейчас мы научимся находить производную от неявной функции.

Неявной называют функцию, заданную уравнением . То есть и связаны между собой, однако выразить отсюда не представляется возможным. Как в этом случае будет находиться производная?

Алгоритм такой:

  1. Дифференцируем левую и правую часть по , при этом дифференцируем как сложную функцию от (производная от будет ).
  2. Решаем полученное уравнение относительно производной, то есть выражаем .

Стоит заметить, что на практике в правой части уравнения совсем необязательно будет именно . Там можем быть и некоторое выражение от , . Понятно, что это выражение можно без проблем перенести влево и получить уравнение вида .

Пример 1. Найти производную функции

Решение

Действуем строго по алгоритму — дифференцируем левую и правую часть уравнения:

Первая часть работы выполнена. Теперь выражаем отсюда :

Всё, производная успешно найдена. В ответ запишем

[свернуть]

Пример 2. Найти производную функции

Решение

Снова дифференцируем и не забываем, что — сложная функция.

Решаем уравнение относительно :

[свернуть]

Пример 3. Найти производную функции

Решение

Теперь аккуратно выразим :

   

[свернуть]

Пример 4. Найти производную функции

Решение

Если продифференцировать левую и правую часть уравнения, то увидим, что получатся два выражения, производные от которые в таблице производных отсутствуют. Поступим следующим образом: прологарифмируем левую и правую часть, полагая, что , и , .

Теперь по свойству логарифма получаем:

Всё, сейчас с дифференцированием проблем быть не должно — нужно просто найти производные от двух произведений по соответствующей формуле:

И выражаем :

[свернуть]

Помимо первой производной, у неявной функции можно найти производные высших порядков (то есть 2го, 3го, 4го и т.д.). Покажем на паре примеров как это делается.

Пример 5. Найти вторую производную функции 

Решение

Дифференцируем левую и правую часть уравнения:

Теперь выражаем отсюда :

Первая производная найдена, но нам нужна вторая. Поэтому дифференцируем еще раз исходное уравнение:

Решаем уравнение относительно :

Осталось лишь избавиться в правой части от , которое уже было найдено раньше. То есть вместо подставим :

Итак, вторая производная найдена. С ответом можно, конечно, попытаться поработать, сделать красивее, но мы этого делать не будем — лучше решим еще один пример 😉

[свернуть]

Пример 6. Найти третью производную функции

Решение

Вновь имеем дело с неявно заданной функцией. Дифференцируем:

Отсюда

Дифференцируем уравнение еще раз:

Выражаем :

Избавимся сразу от первой производной, используя равенство .

И, наконец, третий раз дифференцируем уравнение (не просчитаться бы 🙂 ).

   

   

Мда, задачи я придумал, конечно… Предлагаю, если у Вас есть желание, самостоятельно окончательно расписать эту третью производную. Добавлю только, что .

[свернуть]

На этом всё, принцип понятен. Тема несложная, если не связываться с производными высших порядков, а там нужно считать очень внимательно.

Удачи!


higher-math.ru

Производная неявной функции — доказательство

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1)   .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2)   .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3)   :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4)   ;
.

Формула доказана.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4)   .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1)   .

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения:

.
По формуле производной суммы:


.

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5)   .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1)   .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):
(2)   .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид  .
.
Отсюда  .

Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.

По формуле (2) находим:
.

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим  :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Применяем формулу производной дроби:
;
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1)   ;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.

Подставим    (из уравнения (П1)):
.
Умножим на  :
.

Ответ

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1)   .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что  . Подставим  :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2)   .
Находим производную первого порядка:
(П2.3)   .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :

;
.
Отсюда находим производную второго порядка.

Ответ

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1)   .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2)   ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3)   .

Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4)   .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Найти производную неявно заданной функции

Неявная функция — это функция у от аргумента x, заданная уравнением F(x;y)=0,  не разрешенным относительно y. 

Чтобы найти производную неявно заданной функции:

1. Находим производную по x от левой части уравнения F(x;y)=0, с учетом того, что у — функция от x;

2. Полученное выражение приравниваем к нулю и решаем как уравнение относительно y’, то есть выражаем y’ через y и x.

Примеры. Найти производную неявно заданной функции:

1) x³+xy²+y³=0.

1. Это — неявная функция. Находим производную по x левой части равенства с учетом того, что y — функция от x:

(x³+xy²+y³)’=3x²+x’·y²+(y²)’·x+3y²·y’=3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’

2. Полученное выражение приравниваем к нулю и из него находим y’:

3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’=0

3x²+y²+y'(2xy+3y²)=0

y'(2xy+3y²)=-3x²-y²

   

2) siny=xy

1. Приводим зависимость к виду F(x;y)=0. Для этого переносим все слагаемые в левую часть: siny-xy=0. Теперь находим производную по x от левой части (не забывая о том, что y — функция от x):

(siny-xy)’=cosy-(x’·y+y’·x)=cosy-y-xy’.

2. Полученное выражение приравниваем к 0 и находим y’:

cosy-y-xy’=0

xy’=cosy-y

   

   

1. Приводим выражение к виду F(x;y)=0:

   

Теперь находим производную по x левой части (y=y(x)!):

   

   

   

2. Приравниваем получившееся выражение к нулю и решаем уравнение относительно y’:

   

   

   

   

Примеры для самопроверки. Найти производную неявно заданной функции:

1) xy²+x²y=5;

2) arctg(x+y)=y.

Показать решение

1) 1. xy²+x²y-5=0

(xy²+x²y-5)’=x’·y²+(y²)’·x+(x²)’·y+y’·x²-0=y²+2yy’·x+2xy+x²y’=y'(2xy+x²)+y²+2xy.

2. y'(2xy+x²)+y²+2xy=0

y'(2xy+x²)=-y²-2xy

   

2) arctg(x+y)-y=0

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

www.matematika.uznateshe.ru

Производная неявно заданной функции, формулы и примеры решений

Задание. Найти вторую производную неявной функции .

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что является функцией переменной , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

Из полученного равенства выражаем :

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство еще раз:

Подставив вместо найденное выше выражение, получаем:

После упрощения получаем:

Из полученного равенства выражаем вторую производную :

Ответ.

Больше примеров решений Решение производных онлайн

www.webmath.ru

4. Производная неявной функции

Определение 2. Если функция у = f(x), определенная на некотором интервале (а; b), такова, что уравнение F(x; y) = 0 при подстановке в него у = f(x) обращается в тождество относительно х, то функция y = f(x) называется неявно заданной уравнением F(x; y) = 0.

Чтобы найти производную неявной функции у по аргументу х, заданной уравнением F(x; y)=0, необходимо продифференцировать левую и правую части этого уравнения, считая у функцией от х . Из полученного линейного уравнения находим искомую производную.

Пример 3. Вычислить производную неявной функции.

x2 + x2y + y2x + y2 + 3 = 0.

Решение

2x + 2xy + x2 2y= 0

Вычислить производные неявных функций

75. x3 + y3  3xy = 0 76. x2 + y2 = 4

77. x4  6x2y2 + 9y4 = 100 78. Ax2 + 2Bxy + Cy2 = F

79. x sin y + y sin x = 0 80. ex + ey  2xy  1 = 0

81. 82. x2 sin y + y2 cos x = 0

83. 84. еу/х  ex/y = 1

85. xy + yx = 0 86. + y2 ln x = 4

5. Производные высших порядков

Определение 3. Производная называется производной первого порядка.

Производная от называется производной второго порядка или второй производной от функции f(x) и обозначается,,

или .

Производная от называется производной третьего порядка или третьей производной от функции f(x) и обозначается,,

или и т.д.

Производная n-го порядка есть производная от производной (n-1)-го порядка, т.е. .

Пример 4. Найти производную второго порядка от функции

у=.

Решение

Найти производные второго порядка от функций:

87. у = tg x 88. y = ctg x

89. y = sin2x 90. y = cos2x

91. y = 92. y = ln (2x3)

93. y = x sin x 94. y =

95. y = 2x 96. y = e1/x

97. y = x2 ln x 98. y = ax x3

99. 100. y = ln

6. Правило Лопиталя Устранение неопределенностей вида ,

Правило Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0 за исключением, быть может самой точки x0, причем, в этой окрестности и, если== 0 или== , то

,

если последний предел существует.

Иными словами, для неопределенностей вида илипредел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Здесь x0 может быть числом, +, либо.

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее устранения воспользуемся правилом Лопиталя

Пример 6. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределенность вида . Применяя трижды правило Лопиталя, получим

.

Вычислить пределы

101. 102.

103. 104.

105. 106.

107. 108.

109. 110.

111. 112.

113. 114., a >1

115. 116.

117. 118.

119. 120.

121. 122.

7. Неопределенности вида 0  , 00, 1, 0 и их устранение

Неопределенность вида 0   сводится путем алгебраических преобразований к неопределенностям вида , а затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.

Неопределенности вида 00, 1, 0 с помощью тождества

f(x)g(x)  eg(x) lnf(x)сводятся к неопределенности вида 0  .

Пример 7. Вычислить предел

Решение. Имеем неопределенность вида 0. Но x ln |x| =  получена неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим=.

Пример 8. Вычислить предел

Решение. Имеем неопределенность вида 00. Но xx = ex ln x и получаем в показателе степени неопределенность вида 0  , которая рассмотрена в предыдущем примере. Следовательно

.

Пример 9. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида 1. Но (1 + x)1/x = e1/xln(1+x)

и в показателе степени получена неопределенность вида . Устраним ее, используя правило Лопиталя.

.

Пример 10. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида 0.

Но и в показателе степени получена неопределенность видаПрименяя правило Лопиталя, находим

Следовательно .

Вычислить пределы

123. 124.

125. 126.

127. 128.

129. 130.

131. 132.

133. 134.

135. 136.

137. 138.

139. 140.

141. 142.

studfiles.net

Сколько градусов в полном углу – Полный угол — это… Что такое Полный угол?

Полный угол — это… Что такое Полный угол?

«∠», обозначение угла в математике

Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.

Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L, в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон. Два вертикальных угла равны.

Центральные и вписанные углы окружности.

В зависимости от величины углы разделяются на:

Невыпуклый угол

Прямой угол

Вариации и обобщения

Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: ) называбт величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на , считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме или, что по нашему соглашению то же самое, ). Ориентированные углы обладает следующими свойствами: а) ; б) ; в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда .

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии (двугранный угол, многогранный угол, телесный угол).

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Полный угол Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Оборот. Один оборот равен 360 градусам

Оборот (цикл, круг, полный угол) — единица измерения угла, либо фазы колебаний.

При измерении угла обычно используется название «оборот», а при измерении фазы — «цикл». Один оборот равен минимальному углу поворота, при котором положение (несимметричной) системы совпадает с первоначальным. Один цикл равен фазе, соответствующей времени в один период.

Широко применяется в физике и в технике. В систему СИ не входит (вместо оборота используется радиан).

Связь между единицами:

1 оборот (цикл) = 2π{\displaystyle \pi } радиан = 360° = 400 градов

В разговорной речи под «оборотами» нередко понимают количество оборотов в секунду (или в минуту), в которых измеряется величина угловой скорости — частота вращения (угловая частота). В выражении «вполоборота» обычно понимается угол, намного меньший, чем половина оборота.

Число τ (тау)

В 2001 математик Роберт Палэй (Robert Palais) предложил использовать число радиан в полном обороте (то есть 2π{\displaystyle 2\pi }) в качестве фундаментальной константы окружности вместо числа π{\displaystyle \pi }, аргументируя это тем, что использование в качестве основной константы числа радиан в полном обороте является более естественным и интуитивным, чем использование числа π{\displaystyle \pi } (которое является числом радиан в половине оборота)[1]. В 2010 году Майкл Хартл (Michael Hartl) предложил использовать для этой константы символ τ=2π{\displaystyle \tau =2\pi } (от англ. turn, «оборот», которое родственно греч. τόρνος, «токарный станок»). При таком определение поворот, например, на 34{\displaystyle {\frac {3}{4}}} оборота будет записываться как 34τ{\displaystyle {\frac {3}{4}}\tau } радиан, а не 32π{\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi } радиан, как сейчас[2][3][4][5]. Однако это предложение не нашло поддержки среди математиков[6].

См. также

Примечания

wikiredia.ru

Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса  / / Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.

Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.

В «классической» МАТЕМАТИКЕ УГЛЫ ИЗМЕРЯЮТ В РАДИАНАХ 90°(угловых)=π/2 радиан (слово «радиан» часто опускают, что порождает удивительную путаницу в некоторых головах)!!! Предел limx →0(sinx)=x, где x-в радианах!!! В жизни углы измеряют в чем попало:

Таблица . Единицы измерения углов (плоских) вводятся как:

Единицы измерения углов

тысячная (артиллерийская РФ)

1/6000 полного оборота

угловая секунда = 1»

1/60 угловой минуты

угловая минута = 1′

1/60 углового градуса

угловой градус = 1°

1/360 полного оборота

радиан = 1 рад

Угловая величина дуги длины=1 взятой на окружности радиуса=1 .
Таким образом, величина полного угла равна 2 π радиан.

полный оборот = полный угол = оборот = 1 об.

Очевидно

Таблица 1. Перевод угловых градусов, минут, секунд, радиан, оборотов в тысячные.

Перевод угловых градусов, минут, секунд, радиан, оборотов в тысячные.

Точно в тысячных

Численное значение

1 угловая секунда = 1»

6000/360*60*60=1/216

0,00462963 … тысячных

1 угловая минута = 1′

6000/360*60=5/18

0,27777778 … тысячных

1 угловой градус = 1°

6000/360=50/3

16,66666667 …. тысячных

1 радиан = 1 рад

6000/2π

954,92965855 … тысячных

1 полный оборот = полный угол = оборот = об.

6000

6000 тысячных

Таблица 2. Перевод тысячных, угловых градусов, минут, радиан, оборотов в угловые секунды.

Перевод тысячных, угловых градусов, минут, радиан, оборотов в угловые секунды.

Точно в угловых секундах

Численное значение

1 тысячная (артиллерийская РФ)

360*60*60/6000=216

216 угловых секунд

1 угловая минута = 1′

60

60 угловых секунд

1 угловой градус = 1°

360*60=21600

21600 угловых секунд

1 радиан = 1 р

dpva.ru

полный угол — это… Что такое полный угол?

  • Полный угол — «∠», обозначение угла в математике Плоский угол неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости,… …   Википедия

  • ПОЛНЫЙ УГОЛ — неузаконенная внесистемная ед. плоского угла. 1 П. у.= 2ПИ рад 6.283 185 рад (см. Радиан) …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Полный угол вертикальной наводки — угол вертикальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется приборами центрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 …   Морской словарь

  • Полный угол горизонтальной наводки — угол горизонтальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется ߑؐѐޑАܐؠцентрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 …   Морской словарь

  • полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора — полный механический угол поворота Полный угол поворота подвижной системы переменного резистора от упора до упора. Примечание Для резисторов, не имеющих упоров, полный механический угол равен максимальному углу между двумя положениями подвижной… …   Справочник технического переводчика

  • Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора — 52. Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора Полный механический угол поворота D. Mechanischer Drehwinkel E. Total mechanical rotation F. Course mécanique totale Полный угол поворота подвижной системы переменного… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • УГОЛ — (1) атаки угол между направлением воздушного потока, набегающего на крыло самолёта, и хордой сечения крыла. От этого угла зависит значение подъёмной силы. Угол, при котором подъёмная сила максимальна, называется критическим углом атаки. У… …   Большая политехническая энциклопедия

  • УГОЛ — УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Полный список трюков паркура — Элементы: Drop прыжок с высоты, выполняется с места или из позиции cat leap. Амортизировать падение можно только ногами, или ногами и руками (ну или одной рукой). Spring прыжок через какое либо препятствие, не касаясь его. Например, перелёт через …   Википедия

  • ПОЛНЫЙ — Идти в полную. Жарг. угол. Признаваться в совершении преступления. Балдаев 1, 169. Два полных, третий не целый. Новг. Ирон. О небольшом количестве людей где л. НОС 2, 76 …   Большой словарь русских поговорок

  • Полный цимус — Жарг. угол. Одобр. Всё в порядке, дела идут хорошо. Б., 159; Быков, 202. /em> Вероятно, из идиш или иврита, где слово является оценкой высшего качества. Елистратов 1994, 537 …   Большой словарь русских поговорок

  • dic.academic.ru

    Угол, виды углов и их измерение

    Определение. Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой вершиной угла.

    Если плоскость круга разделить на 360 равных частей радиусами, то часть круга — это угловой градус, который обозначается знаком « ° » (читается — «градус»).

    Следовательно, 1° = часть круга.

    Круг составит * 360 = 1° * 360 = 360°.

    Угол, равный плоскости круга, составляет 360° и называется полным углом.

    Если плоскость круга разделить диаметром (двумя радиусами, расположенными на одной прямой линии) на две равные части, то плоскость полукруга составит угол в 360′: 2 = 180°.

    Угол, равный полуплоскости круга, составляет 180° и называется развернутым углом.

    Если плоскость круга разделить двумя диаметрами (горизонтальной и вертикальной линиями) на четыре равные части, то плоскость одной части составит угол в 360° : 4 = 90°.

    Угол, равный четвертой части круга, составляет 90° и называется прямым углом.

    Отвлекаясь от плоскости, в которой расположен круг, изобразим углы таким образом:

    Углы равны, если равны их градусные меры или у них при наложении одного угла на другой совпадают вершины и соответствующие стороны углов.

    Например, прямой угол (рис. 1) мы трижды развернули вокруг вершины угла, при этом на двух рисунках (рис. 2 и 4) мы передвинули вершину угла по плоскости листа.

    Инструментом для измерения углов служит транспортир.

    Для измерения угла следует совместить вершину угла и штрих с цифрой 0 на шкале транспортира. Одна сторона угла должна совпадать с прямой линией транспортира, на которой стоит 0, а вторая сторона угла пересекать шкалу транспортира (полуокружность с разметкой в угловых градусах).

    На пересечении стороны угла и шкалы транспортира считывается градусная мера данного угла.

    Мы рассмотрели полный, развернутый и прямой углы. Существует еще два типа углов: острые и тупые. Все острые углы имеют градусную меру в пределах: больше 0° и меньше 90°.

    Например. острые углы:

    Углы, градусная мера которых больше 90°, но меньше 180°*, называются тупыми углами.

    Тупые углы (штриховой линией обозначен прямой угол в составе тупого угла) приведены на рис. 5, 6,7.

    Чтобы построить заданный в градусной мере угол, необходимо иметь транспортир, линейку и карандаш.


    shkolo.ru

    1) Сколько градусов содержит развёрнутый угол? 1) Сколько градусов содержит развёрнутый угол?

    он содержит 180 градусов

    В развернутом угле 2 прямых угла, а значит это 90 * 2 получается развернутый угол равен 180 градусам

    180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180

    1)90*23/18=115° 2)180*11/12=165°

    touch.otvet.mail.ru

    Радиан, Углы больше 360 градусов, Положительные и отрицательные углы


    Когда прямые пересекаются, то получается четыре разные области по отношению к точке пересечения.
    Эти новые области называют углами.


    На картинке видны 4 разных угла, образованных пересечением прямых AB и CD

    Обычно углы измеряются в градусах, что обозначается как °. Когда объект совершает полный круг, то есть движется из точки D через B, C, A, а затем обратно к D, то говорят что он повернулся на 360 градусов (360°). Таким образом, градус — это $\frac{1}{360}$ круга.

    Мы говорили о том, что когда объект делает полный круг вокруг точки, то он проходит 360°, однако, когда объект делает более одного круга, то он делает угол более 360 градусов. Это обычное явление в повседневной жизни. Колесо проходит многие круги, когда автомобиль движется, то есть оно образует угол больше 360°.

    Для того, чтобы узнать количество циклов (пройденных кругов) при вращении объекта, мы считаем количество раз, которое нужно прибавить 360 к самому себе, чтобы получить число равное или меньшее, чем данный угол. Точно так же мы находим число, которое мы умножаем на 360, чтобы получить число меньшее, но наиболее близкое к данному углу.

    Пример 2
    1. Найти количество кругов, описанных объектом, образующем угол
    a) 380°
    b) 770°
    c) 1000°
    Решение
    a) 380 = (1 × 360) + 20
    Объект описал один круг и 20°
    Так как $20^{\circ} = \frac{20}{360} = \frac{1}{18}$ круга
    Объект описал $1\frac{1}{18}$ кругов.

    b) 2 × 360 = 720
    770 = (2 × 360) + 50
    Объект описал два круга и 50°
    $50^{\circ} = \frac{50}{360} = \frac{5}{36}$ круга
    Объект описал $2\frac{5}{36}$ круга
    c)2 × 360 = 720
    1000 = (2 × 360) + 280
    $280^{\circ} = \frac{260}{360} = \frac{7}{9}$ кругов
    Объект описал $2\frac{7}{9}$ кругов

    Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке — положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.

    В форме диаграммы отрицательный угол может быть изображен так, как это показано ниже.

    Рисунок ниже показывает знак угла, который измеряется от общей прямой, 0 оси (оси абсцисс — х оси)

    Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
    Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360. Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.
    Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.

    Пример 3
    1. Найти соответствующий положительный угол
    a) -35°
    b) -60°
    c) -180°
    d) — 670°

    2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
    Решение
    1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
    a) -35°= 360 + (-35) = 360 — 35 = 325°
    b) -60°= 360 + (-60) = 360 — 60 = 300°
    c) -180°= 360 + (-180) = 360 — 180 = 180°
    d) -670°= 360 + (-670) = -310
    Это означает один круг по часовой стрелке (360)
    360 + (-310) = 50°
    Угол равен 360 + 50 = 410°

    2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
    80° = 80 — 360 = — 280°
    167° = 167 — 360 = -193°
    330° = 330 — 360 = -30°
    1300° = 1300 — 360 = 940 (пройден один круг)
    940 — 360 = 580 (пройден второй круг)
    580 — 360 = 220 (пройден третий круг)
    220 — 360 = -140°
    Угол равен -360 — 360 — 360 — 140 = -1220°
    Таким образом 1300° = -1220°

    Радиан — это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга. Это единица измерения угловой величины. Такой угол примерно равен 57.3°.
    В большинстве случаев, это обозначается как рад.
    Таким образом $1 рад \approx 57.3^{\circ}$

    Радиус = r = OA = OB = AB
    Угол BOA равен одному радиану

    Поскольку длина окружности задается как $2\pi r$, то в окружности $2\pi$ радиусов, а значит в целом круге $2\pi$ радиан.

    Радианы обычно выражаются через $\pi$ во избежание десятичных частей в вычислениях. В большинстве книг, аббревиатура рад (rad) не встречается, но читатель должен знать, что, когда речь идет об уг

    www.math10.com