Рубрика: Школьная жизнь

От действий над матрицами к пониманию их сути… / Habr

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше…

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

habr.com

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

1. .
2. — нельзя, т.к. размеры матриц различны.
3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

3. .

Примеры.

1. .
2. Найти 2A-B, если , .

   .

3. Найти C=–3A+4B.

   Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

1. Пусть

   Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.

2. Найти произведение матриц.

   .

3. .
4. — нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
5. Пусть

   Найти АВ и ВА.

6. Найти АВ и ВА.

   , B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

2. .
3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

1. .
2. .
3. Решите уравнение..

   .

   (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

   (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

   (x-4)(x-1)=0.

   x₁ = 4, x₂ = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

toehelp.ru

Нахождение фундаментальной матрицы «для чайников»

Доброго времени суток!
Этот пост для тех, кто хочет научиться строить Фундаментальную Матрицу решений Системы Линейных Дифференциальных Уравнений, но боится.

Предыстория

Если немного погуглить на эту тему, то можно найти достаточное количество статей, большинство из которых описывают построение Фундаментальной матрицы через Жордановы формы.
Мне кажется, что это достаточно сложно понять вот так вот сразу, а тем более воплотить в жизнь.

История

Когда-то мне хотелось открыть браузер, вбить в поисковик «Построить фундаментальную матрицу легко/быстро/понятно/НЕ через Жордановы формы» и получить готовый алгоритм, и чтобы он был, как говорится, на блюдечке с голубой каёмочкой.

Алгоритм

Здесь я привожу один занятный и простой для понимания способ построения Фундаментальной матрицы, который мне когда-то рассказал один замечательный преподаватель. Этот способ наречен «полиномиальным». Быть может, когда-нибудь он пригодится Вам. Я рассчитываю на то, что читатель знаком со всеми сопутствующими определениями, такими как «собственное число», «определитель», и т.д.

Немножко теории

Закрепим на практике

Одной теорией сыт не будешь, поэтому рассмотрим этот способ в действии:

Заключение

Надеюсь, что изложил свои мысли достаточно понятно. И прошу прощения за возможную свою неосведомленность по поводу названия этого метода. Если изложенный метод известен под другими названиями, мне хотелось бы их узнать. Всем спасибо за внимание!

Автор: Tsin

Источник

www.pvsm.ru

размер матрицы, что такое «кроп»

Мне в почте приходит немало вопросов начинающих любителей фотографии, и я решил, что уже пора сделать небольшую серию статей из серии «Фотографии для чайников», в которых предполагается дать объяснения различным фотографическим терминам, рассказать о том, как подбирать себе фотоаппарат под любительские задачи, ну и обязательно будет несколько статей о работе с программой Adobe Lightroom, ибо обработка сделанных снимков не менее важна, чем сам процесс фотографирования.

В данной статье мы поговорим о таком важном параметре, как размер матрицы фотоаппарата, и раскроем завесу тайны над загадочным термином «кроп-фактор».

Продавцы в магазинах и маркетологи обычно любят оперировать количеством мегапикселов у камеры, и их послушать — так какая-нибудь «цифромыльница» с 20 мегапикселами значительно круче зеркалки с 16 мегапикселами. А это вовсе не так. Потому что, кроме всего прочего, в камерах очень важен физический размер матрицы (сенсора), а не только мегапикселы. 

Вот в разговорах о фотокамерах продвинутых фотолюбителей и профессионалов часто приходится слышать фразы из серии: «Да у нее же матрица маленькая», «Да там же пятый кроп», «Что можно снять на такую матрицу?», «Full frame — наше все».

Что за матрица такая?

Матрица (светочувствительная матрица, сенсор, фотодатчик) — это микросхема, состоящая из фотодиодов, являющаяся важнейшей частью цифровой фотокамеры.

Проще говоря, матрица — это аналог фотопленки. В пленочных фотоаппаратах изображение через объектив попадало на фотопленку и хранилось на ней, а в цифровых фотоаппаратах изображение через объектив попадает на матрицу, формируется там, но хранится уже на карте памяти или во встроенной памяти камеры.

Так называемая полная матрица (Full Frame) имеет размер, приблизительно равный размеру кадра 35-миллиметровой пленки, на которую производилась съемка в пленочных аппаратах.

Полная матрица дорога в производстве (там высок процент брака), фотоаппараты с ней, как правило, имеют немаленькие размеры, солидный вес и в любом случае стоят дорого, в результате чего камеры с полной матрицей используют в основном только профессионалы. Ну или продвинутые любители с хорошими заработками, для которых термин Full Frame является сакральным.

Чтобы уменьшить стоимость, размер и вес камер, производители додумались делать матрицу меньших размеров — обрезать ее. Английское слово crop и означает — «обрезать». Кроп-фактор — число, показывающее, во сколько раз данную матрицу обрезали по отношению к полной матрице (Full Frame).

Кроп-фактор 1,5 или 1,6 (самый популярный вариант в любительских зеркалках) означает, что матрица тут уменьшена в 1,5 или 1,6 раза по сравнению с полноформатной.

Вот, например, визуальное сравнение размеров матрицы фотокамеры с Full Frame и матрицы любительской зеркалки (с сайта Cameraimagesensor.com).

В продвинутых беззеркальных камерах, которые сейчас активно теснят любительские зеркалки, нередко устанавливается матрица с кроп-фактором 2 — то есть она в два раза меньше полноформатной матрицы. Вот она в сравнении с предыдущими двумя.

В дешевых цифровых «мыльницах» вроде Canon Powershot A1300 устанавливается матрица с кропом что-то вроде 5,62 — вот так это выглядит в сравнении.

Ну и в современных смартфонах сейчас ставят матрицы с кроп-фактором в районе 7,1 — например, в iPhone 5S именно такая установлена. Вот она в масштабе сравнений.

Теперь вопрос: какую все-таки матрицу предпочесть? Нужно ли сразу стремиться к Full Frame, чтобы на нее ежедневно молиться?

С одной стороны, чем больше сенсор, тем лучше качество получаемой фотографии. Конечно, тут играют и многие другие факторы, прежде всего объектив, но просто чисто физически: чем больше матрица, тем лучше качество.

(Кстати, существуют так называемые среднеформатные камеры с сенсорами от 40 мм по ширине и больше, но они уже только для профессионалов и стоят, как хорошие автомобили.)

В чем проявляется это «лучше качество»? В детализации, резкости, четкости, в качестве получаемого отпечатка: если снимок нужно будет использовать в полиграфии, то там полный формат матрицы практически обязателен, чтобы как можно меньше проиграть в качестве при заметном увеличении во время печати.

Кроме того, чем больше исходное изображение, тем проще его кадрировать: то есть вырезать из него кусок кадра и при этом получать приемлемое качество.

Также чем больше матрица, тем лучше камера снимает в плохих условиях освещения: у большой матрицы при высоких значениях светочувствительности значительно меньше проявляется так называемый «шум» (это точки на изображении — как зерно на старых черно-белых фотографиях, снятых на высокочувствительную пленку).

С другой стороны, полный формат, как мы уже говорили, ведет к повышение размеров камеры, увеличению веса и всегда — к высокой цене. И если вы - фотолюбитель, то зачем вам тратить большие деньги и таскать с собой тяжеленную камеру, если вы не очень представляете, что вам это вообще дает?

В результате камеру (и сенсор) нужно подбирать под свои задачи и свой кошелек. Для начинающих вполне подойдет недорогая «мыльница» с кропом 5,7. Продвинутым любителям, которые уже что-то понимают в фотографии и знают, какие возможности им предоставляют те или иные камеры, лучше ориентироваться или на хорошие беззеркалки с кропом 2 — 1,5, или на любительские зеркальные камеры с кропом 1,5 — 1,6, тем более что такие зеркалки сейчас выпускаются компактные и легкие.

www.exler.ru

Умножение матриц, формулы и примеры

Иначе говоря, элемент матрицы стоящий в -той строке и -том столбце, равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы Таким образом, умножение осуществляется по правилу умножения строки на столбец.

Не всякие две матрицы можно перемножить. Произведение двух матриц возможно только в том случае, если число столбцов матрицы совпадает с числом строк в матрице . Для того чтобы перемножить две квадратные матрицы необходимо, чтобы они были одного порядка. При этом в результате получится матрица того же порядка, что и перемножаемые матрицы.

Как умножать матрицы, примеры

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, то есть оно не коммутативно:

Но бывают матрицы, для которых выполняется равенство

такие матрицы называются перестановочными или коммутирующими. Такие матрицы будут обязательно квадратными.

Определитель матрицы и способы вычисления

Обратная матрица и способы вычисления

Ранг матрицы

Транспонирование матрицы

Сложение матриц

Единичная матрица

ru.solverbook.com

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел — матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин «матрица» появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m — строк и n — столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,…, a_nn .

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц — поэлементная операция

2. Вычитание матриц — поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число — поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ijматрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А — квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A’

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A’)’=A

(λA)’=λ(A)’

(A+B)’=A’+B’

(AB)’=B’A’

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n — произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) — во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,…,m

j=1,2,…,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji(т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A’=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a_ij=-a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a_ii=-a_ii)

Пример.

Ясно, A’=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и a_ii=-ã_ii (ã_ji— комплексно — сопряженное к a_ji, т.е. если A=3+2i, то комплексно — сопряженное Ã=3-2i)

Пример

tehtab.ru

Матрицы: определение и основные понятия.

Навигация по странице:

Определение матрицы

Определение.

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.

Обозначение

Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m. При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: A_n×m.

Элементы матрицы

Элементы матрицы A обозначаются a_ij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Пример.

a₁₁ = 4

Определение.

Определение.

Пример.

Определение.

Определение.

Пример.

не не нулевой столбец

Диагонали матрицы

Определение.

Определение.

Пример.

Определение.

Обозначение.

ru.onlinemschool.com

§2 Предел функции двух переменных

Рассмотрим плоскость и систему Oxyдекартовых прямоугольных координат на ней (можно рассматривать и другие системы координат).

Из аналитической геометрии знаем, что каждой упорядоченной паре чисел ( x, y )можно сопоставить единственную точкуMплоскости и наоборот, каждой точкеMплоскости соответствует единственная пара чисел.

Поэтому в дальнейшем, говоря о точке, мы будем часто подразумевать соответствующую ей пару чисел ( x, y )и наоборот.

Определение 1.2 Множество пар чисел ( x, y ), удовлетворяющих неравенствам, называется прямоугольником (открытым).

На плоскости он изобразится прямоугольником (рис. 1.2) со сторонами, параллельными осям координат, и с центром в точке M₀(x₀y₀).

Прямоугольник принято обозначать следующим символом:

Введем важное для дальнейшего изложения понятие: окрестность точки.

Определение 1.3 Прямоугольной δ-окрестностью (дельта-окрестностью) точкиM₀(x₀y₀)называется прямоугольник

с центром в точке M₀и с одинаковыми по длине сторонами2δ.

Определение 1.4 Круговой δ— окрестностью точкиM₀(x₀y₀)называется круг радиусаδс центром в точкеM₀, т. е. множество точекM(xy), координаты которых удовлетворяют неравенству:

Можно ввести понятия окрестностей и других видов, но для целей математического анализа технических задач, в основном, используются лишь прямоугольные и круговые окрестности.

Введём следующее понятие предела функции двух переменных.

Пусть функция z = f ( x, y )определена в некоторой областиζиM₀(x₀y₀)— точка, лежащая внутри или на границе этой области.

Определение 1.5Конечное число Aназываетсяпределом функции f ( x, y )при

и

если для любого положительного числа εможно найти такое положительное числоδ, что неравенство

выполняется для всех точек М(х,у)из областиζ, отличных отM₀(x₀y₀), координаты которых удовлетворяют неравенствам:

Смысл этого определения состоит в том, что значения функции f ( х, у )как угодно мало отличаются от числа А в точках достаточно малой окрестности точкиМ₀.

Здесь в основу определения положены прямоугольные окрестности М₀. Можно было бы рассматривать круговые окрестности точкиМ₀и тогда нужно было бы требовать выполнения неравенства

во всех точках М(х,у)областиζ, отличных отМ₀и удовлетворяющих условию:

где

— расстояние между точками МиМ₀.

Употребительны следующие обозначения предела:

Учитывая определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функций одной переменной на функции двух переменных.

Например, теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

§3 Непрерывность функции двух переменных

Пусть функция z = f ( x ,y )определена в точкеM₀(x₀y₀)и её окрестности.

Определение 1.6 Функция называется непрерывной в точке M₀(x₀y₀), если

Если функция f ( x ,y )непрерывна в точкеM₀(x₀y₀), то

Поскольку

То есть, если функция f ( x ,y )непрерывна в точкеM₀(x₀y₀), то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращениеΔzфункцииz.

Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна

Функцию, непрерывную в каждой точке области, называют непрерывной в области. Для непрерывных функций двух переменных, так же, как и для функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы основополагающие теоремы Вейерштрасса и Больцано — Коши.

Справка: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 — 1897) — немецкий математик. Бернард Больцано (1781 — 1848) — чешский математик и философ. Огюстен Луи Коши (1789 — 1857) — французский математик, президент французской Академии наук (1844 — 1857).

Пример 1.4. Исследовать на непрерывность функцию

Решение

Данная функция определена при всех значениях переменных xиy, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x²+y²непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

Пример 1.5. Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y). Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величиныπ/2, т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном «k»уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функциейx и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

studfiles.net

Предел функции многих переменных

Предел функции в точке.

Напомним, что окрестностью \(O(x^0)\) точки \(x^0\) в метрическом пространстве \(X\) называется любое множество, для которого точка \(x^0\) является внутренней. Проколотая окрестность \(\dot{O}(x^0)\) получается из \(O(x^0)\) удалением самой точки \(x^0\), то есть \(\dot{O}(x^0)=O(x^0)\backslash\{x^0\}\).

Будем рассматривать функции \(f: \ M\rightarrow R\), где \(M\) есть некоторое множество, принадлежащее метрическому пространству \(X\). Если \(X=R^n\), то функция \(f: \ M\rightarrow R\) называется функцией многих переменных и обозначается обычно следующим образом:
$$
f(x)=f(x_1,\ldots,x_n),\quad x\in M.\nonumber
$$
Например, функция \(\displaystyle \sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\) определена в единичном круге пространства \(R^2\) с центром в точке \((0,0)\), а функция \(\operatorname{ln}(x_1^2+x_2^2)\) определена в любой проколотой окрестности точки \((0,0)\).

Определение 1.

Пусть функция \(f(x)\) определена в проколотой окрестности \(\dot{O}(x^0)\) точки \(x^0\) метрического пространства \(X\). Говорят, что число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow x_0\), если \(\forall\ \varepsilon > 0 \ \exists \ \delta > 0\) такое, что для \(\forall \ x\in\dot{O}(x^0)\), удовлетворяющего условию \(\rho(x,x^0) < \delta\), выполнено неравенство \(|f(x)-A| < \varepsilon\).

Определение 2.

Говорят, что функция \(f(x)\), определенная в \(\dot{O}(x^0)\), имеет при \(x\rightarrow x_0\) предел \(A\), если для любой последовательности \(x^{(k)}\in\dot{O}(x^0)\) такой, что \(\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}x^{(k)}=x^0\), выполнено равенство \(\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}f(x^{(k)})=A\).

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.

Если число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow x_0\), то будем писать
$$
A=\lim_{x\rightarrow x^0}f(x).\nonumber
$$

Если функция двух переменных \(f(x,y)\) определена в \(\dot{O}((a,b))\), a число \(A\) есть ее предел при \((x,y)\rightarrow(a,b)\), то пишут
$$
A=\lim_{x\rightarrow a,y\rightarrow b}f(x,y)\nonumber
$$
и называют иногда число \(A\) двойным пределом.

Аналогично, для функции \(n\) переменных наряду с обозначением \(A=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)\) будем использовать обозначение
$$
A=\lim_{x\rightarrow x_1^0,\ldots,x_n\rightarrow x_n^0}f(x_1,\ldots,x_n).\nonumber
$$

Лемма 1.

Пусть функции \(f(x)\) и \(\varphi(x)\) определены в \(\dot{O}(x^0)\) и \(|f(x)|\leq \varphi(x)\) в \(\dot{O}(x^0)\). Если \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}\varphi(x)=0\), то и \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=0\).

Доказательство.

\(\circ\) Так как \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}\varphi(x)=0\), то для любого \(\varepsilon > 0\) найдется шар \(S_{\delta}(x^0)\) такой, что для всех \(x\in S_{\delta}(x^0)\) выполнено неравенство \(|\varphi(x)| < \varepsilon\). Тем более для всех \(x\in S_{\delta}(x^0)\) выполнено неравенство \(|f(x)| < \varepsilon\), то есть \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=0\). \(\bullet\)

Пример 1.

Доказать, что \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}(x^2+y^2)^a=0\), если \(a > 0\).

Решение.

\(\triangle\) Возьмем любое \(\varepsilon > 0\). Положим \(\delta=\varepsilon^{1/(2a)}\). Пусть \((x,y)\in S_\delta(0, 0)\), тогда
$$
(x^2+y^2)^a < \delta^{2a} < \varepsilon,\nonumber
$$
то есть
$$
\lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}(x^2+y^2)^a=0.\nonumber
$$
Что и требовалось доказать. \(\blacktriangle\)

Пример 2.

Показать, что \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}\frac{|x|^{\alpha}|y|^{\beta}}{(x^2+y^2)^{\gamma}}=0\), если \(\alpha+\beta-2\gamma > 0\).

Решение.

\(\triangle\) Так как
$$
|x| < \sqrt{x^2+y^2},\qquad |y| < \sqrt{x^2+y^2},\nonumber
$$
то при \(x^2+y^2 > 0\) имеем неравенства
$$
0\leq f(x,y)=\frac{\vert x\vert^\alpha\vert y\vert^\beta}{(x^2+y^2)^\gamma}\leq\frac{(x^2+y^2)^{\alpha/2}(x^2+y^2)^{\beta/2}}{(x^2+y^2)^\gamma}=\\(x^2+y^2)^{(\alpha+\beta-2\gamma)/2}=\varphi(x,y).\nonumber
$$

В силу примера выше \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}\varphi(x,y)=0.\), так как \(\alpha+\beta-2\gamma > 0\). Применяя лемму 1, получаем, что
$$
\lim_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}f(x,y)=0.\nonumber
$$
Что и требовалось доказать. \(\blacktriangle\)

Пример 3.

Функция
$$
f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}\label{ref1}
$$
не имеет предела при \((x,y)\rightarrow (0,0)\).

Решение.

\(\triangle\) Рассмотрим последовательность точек \((x_n,y_n)=\displaystyle\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\). Тогда \(f(x_n,y_n)=1\) и, следовательно, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)=1\). Если же взять последовательность точек \((x_n’,y_n’)=\displaystyle\left(\frac{1}{n},-\frac{1}{n}\right)\), то \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n’,y_n’)=-1\).

Так как при любом \(n\in \mathbb{N}\) точки \((x_n,y_n)\) и \((x_n’,y_n’)\) не совпадают с точкой \((0,0)\), а последовательности точек \((x_n,y_n)\) и \((x_n’,y_n’)\) сходятся к точке \((0,0)\), то, используя определение 2 предела, получаем, что функция \(f(x,y)\) не имеет предела при \((x,y)\rightarrow (0,0)\). \(\blacktriangle\)

Пример 4.

Функция
$$
f(x,y)=\frac{2x^2y}{x^4+y^2}\label{ref2}
$$

не имеет предела при \((x,y)\rightarrow (0,0)\).

Решение.

\(\triangle\) Повторяя рассуждения примера 3, построим две последовательности точек \((x_n,y_n)=\displaystyle\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\) и \((x_n’,y_n’)=\displaystyle\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)\). Так как \((x_n,y_n)\rightarrow(0,0)\) и \((x_n’,y_n’)\rightarrow(0,0)\), а \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)=0\) и \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n’,y_n’)=1\), то двойной предел функции \(f(x,y)\) при \((x,y)\rightarrow(0,0)\) не существует. \(\blacktriangle\)

Предел по множеству.

Предел \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)\) был определен ранее для функции, заданной в \(\dot{O}(x^0)\). Расширим определение предела, введя понятие предела по множеству.

Определение 3.

Пусть \(M\) есть подмножество области определения функции \(f(x)\), \(x^0\) — предельная точка множества \(M\). Будем говорить, что число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) по множеству \(M\) при \(x\rightarrow x^0\), если \(\forall\varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0\) такое, что \(\forall x\in{\dot S}_\delta(x^0)\cap M\) выполнено неравенство \(|f(x)-A| < \varepsilon\). В этом случае пишут
$$
A=\lim_{x\rightarrow x^0, \ x\in M}f(x).\nonumber
$$

Пусть функция двух переменных \(f(x,y)\) определена в проколотой окрестности \(\dot{O}(x_0,y_0)\). Пределом функции \(f(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) по направлению \(l=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) будем называть выражение
$$
\lim_{t\rightarrow+0}f(x_0+t\cos\alpha, \ y_0+t\sin\left(\alpha\right))=\lim_{\begin{array}{c}(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)\\(x,y)\in\dot O(x_0,y_0)\cap L\\\end{array}}f(x,y),\nonumber
$$
где \(L\) есть луч, выходящий из точки \((x_0,y_0)\) в направлении \(l\).

Пример 5.

Показать, что предел функции \(f(x,y)=\displaystyle \frac{2xy}{x^2+y^2}\) в точке \((0,0)\) по любому направлению \(l=(\cos\alpha, \ \sin\alpha)\) существует и равен \(\sin 2\alpha\).

Решение.

\(\triangle\) Так как при \(t > 0\) выполнено равенство
$$
f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha,\nonumber
$$
то
$$
\lim_{t\rightarrow 0}f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=\sin 2\alpha.\quad\blacktriangle\nonumber
$$

Пример 6.

Показать, что предел функции \(f(x,y)=\displaystyle \frac{2x^2y}{x^4+y^2}\) в точке \((0,0)\) по любому направлению \(l=(\cos\alpha, \ \sin\alpha)\) существует и равен нулю.

Решение.

\(\triangle\) При \(t > 0\) справедливо равенство
$$
f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=\frac{2t\cos^2\alpha\sin\alpha}{t^2\cos^4\alpha+\sin^2\alpha}.\nonumber
$$

Если \(\sin\alpha=0\), то \(f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=0\) и, следовательно,
$$
\lim_{t\rightarrow +0}f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=0.\nonumber
$$

Если \(\sin\alpha\neq 0\), то
$$
\lim_{t\rightarrow +0}f(t\cos\alpha, \ t\sin\alpha)=0.\quad\blacktriangle\nonumber
$$

Ясно, что из существования \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0, \ x\in M}f(x)\) следует существование \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0, \ x\in M’}f(x)\) для любого подмножества \(M’\subset M\), для которого \(x’\) есть предельная точка. В частности, из существования двойного предела функции \(f(x,y)\) при \((x,y)\rightarrow (x_0,y_0)\) следует существование предела функции \(f(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) по любому направлению и равенство этих пределов двойному пределу функции \(f(x,y)\) при \((x,y)\rightarrow (x_0,y_0)\).

Из результатов примеров 4 и 6 следует, что из существования и равенства пределов по любому направлению в точке \((x_0,y_0)\) не вытекает существование в этой точке предела функции.

Предел функции \(f(x)\) в точке \(x^0\in R^n\) по направлению \(l=(l_1,\ldots,l_n)\), где \(l_1^2+\ldots+l_n^2=1\), определяется по аналогии со случаем функции двух переменных.

Повторные пределы. Бесконечные пределы.

Пусть функция двух переменных \(f(x,y)\) определена на множестве
$$
\Pi={(x,y):\quad 0 < |x-x_0| < a,\quad 0 < |y-y_0| < b}.\nonumber
$$

Пусть \(\forall x\in (x_0-a, \ x_0+a), \ x\neq x_0\), существует \(\displaystyle\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y)=g(x)\), а функция \(g(x)\) определена в проколотой окрестности точки \(x_0\). Если существует \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}\lim_{y\rightarrow y_0}f(x,y)\), то этот предел называется повторным. Аналогично определяется другой повторный предел \(\displaystyle\lim_{y\rightarrow y_0}\lim_{x\rightarrow x_0}f(x,y)\).

Как показывают простые примеры, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, а из существования и равенства повторных пределов не следует существование двойного предела.

Так для функции \(\displaystyle f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}\) примера 3 двойной предел при \((x,y)\rightarrow (0,0)\) не существует, но оба повторных предела равны нулю, так как
$$
\lim_{x\rightarrow0}f(x,y)=\lim_{y\rightarrow0}f(x,y)=0.\nonumber
$$
Для функции
$$
f(x,y)=\left\{\begin{array}{lc}x\sin\frac1y,&y\neq0,\\0,&y=0,\end{array}\right.\nonumber
$$
справедливо неравенство \(|f(x,y)|\leq|x|\). В силу леммы 1 двойной предел этой функции при \((x,y)\rightarrow (0,0)\) равен нулю. Но при \(x\neq 0\) не существует
$$
\lim_{y\rightarrow0}x\sin\frac1y,\nonumber
$$
а поэтому не существует и соответствующий повторный предел.

Бесконечные пределы для функций многих переменных определяются по той же схеме, что и для функций одной переменной. Например, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=+\infty\), если для любого числа \(C > 0\) число \(\delta > 0\), что для всех \(x\) из проколотой окрестности \(\dot{O}(x^0)\) точки \(x^0\) выполнено неравенство \(f(x) > C\).

Пример 7.

Показать, что
$$
\lim_{x\rightarrow +\infty,y\rightarrow +\infty}(x^2+y^2)e^{-(x+y)}=0.\nonumber
$$

Решение.

\(\triangle\) Так как при \(x > 0, \ y > 0\) справедливо неравенство
$$
0\leq (x^2+y^2)e^{-(x+y)}\leq(x+y)^2e^{-(x+y)}\nonumber
$$
и \(\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}t^2e^{-t}=0\), то \(\forall \varepsilon > 0 \ \exists\delta > 0\) такое, что \(\forall t > \delta\) выполнено неравенство \(t^2e^{-t} < \varepsilon\). Но тогда \(\forall x > \displaystyle\frac{\delta}{2}\) и \(\forall y > \displaystyle\frac{\delta}{2}\) справедливо неравенство
$$
0\leq(x^2+y^2)e^{-(x+y)} < \varepsilon.\quad\blacktriangle\nonumber
$$

univerlib.com

1.2. Предел функции двух переменных. Непрерывность

При рассмотрении предела функции одной переменной было введено понятие окрестности точки. Под окрестностью точки Принимался интервал, содержащий эту точку. При введении понятия предела функции двух переменных будем рассматривать окрестность точки в плоскости .

Окрестностью точки Называется внутренность круга с центром в этой точке. Если радиус круга равен , то говорят о -окрестности точки . Очевидно, что любая точка , принадлежащая -окрестности точки , находится от этой точки на расстоянии, меньшем .

Число называется Пределом функции двух переменных при , если для любого числа найдется такая -окрестность точки , что для любой точки этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство , или .

При этом пишут или , так как при , очевидно, , .

Заметим, что если число Есть предел функции , то как это следует из определения предела, разность является бесконечно-малой, когда точка Произвольным образом (по любому направлению) неограниченно приближается к точке .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Предел функции вычисляется при .

Следует обратить внимание на то, что функция не определена в точке , но имеет предел при .

Функция двух переменных называется Бесконечно-малой при , , если ее предел равен нулю, т. е. .

Понятие Непрерывности функции нескольких переменных устанавливается с помощью понятия предела.

Функция нескольких переменных называется Непрерывной в точке , если .

Заметим, что функция , непрерывная в точке , должна быть определена в этой точке и некоторой ее окрестности (иначе нельзя было бы осуществить переход к пределу). Точка , в которой функция нескольких переменных непрерывна, называется Точкой непрерывности функции.

Для непрерывных в точке функций справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны и их сумма , разность и произведение ; если, кроме того, , то частное также есть непрерывная функция в точке .

Если условие непрерывности нарушено (или функция не определена, или не существует предел, или не выполняется равенство), точка называется Точкой разрыва. Точки разрыва могут быть изолированными или образовывать Линии разрыва.

Функция Называется Непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она в этой области:

1. ограничена: ;

2. имеет наименьшее и наибольшее Значения:

;

3. принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между и .

matica.org.ua

1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывность, аналогично случаю функции одной переменной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой этой точки.

Определение 1.3.Числоназываетсяпределом функцииприи(или, что то же самое, при), если для любогосуществуеттакое, что для всехи, и удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство. Записывают:

или

.

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому стремится к(число таких направлений бесконечно). Определения бесконечно малых и бесконечно больших величин являющихся функциями двух переменных, аналогичны соответствующим определениям для функций одной переменной.

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной.

Определение 1.4.Функция(или) называетсянепрерывной в точке , если она:

1. определена в этой точке и некоторой ее окрестности;

2. имеет предел ;

3. этот предел равен значению функции в точке, т.е.

или.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называютсяточками разрываэтой функции. Точки разрывамогут образовывать целыелинии разрыва. Так, например, функцияимеет линю разрыва.

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции в точке. Обозначим,. Значит,и. Величиныиназываютсяприращениями аргументови. Тогда. Величинаназываетсяполным приращением функциив точке.

Определение 1.5.Функцияназывается непрерывной в точке, если полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументовистремится к нулю, т.е.

.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям – подобные теоремы имели для функций одной переменной.

1.3. Частные производные фнп

Рассмотрим линию пересечения поверхностис плоскостью, параллельной плоскости. Так как в этой плоскостисохраняет постоянное значение, товдоль кривойбудет меняться только в зависимости от изменения. Дадим независимой переменнойприращение, тогдаполучит приращение, которое называетсячастным приращениемпои обозначают через(на рисунке отрезок), так что

.

Аналогично, если сохраняет постоянное значение, аполучает приращение

параллельной плоскости .

Наконец, придав аргументу приращение, а аргументуприращение, получим дляновое приращение, которое называетсяполным приращениемфункциии определяется формулой

.

На рисунке изображено отрезком.

Надо отметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .

Определение 1.6.Частной производной по от функцииназывается предел отношения частного приращенияпо к приращениюпри стремлениик нулю. Обозначается:. Тогда

.

Определение 1.7.Частной производной по от функцииназывается предел отношения частного приращенияпо к приращениюпри стремлениик нулю. Обозначается:. Тогда

.

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственноилисчитаются постоянной величиной).

Пример 1.2.Для данной функции требуется найти частные производныеи. Найти значения частных производных в точке:

.

Решение.Находим частные производные в общем виде:

,.

Находим значения частных производных в точке :

,.



studfiles.net

7. Функции двух переменных, область определения, линии уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Число z из некоторого множества Z (z ϵ Z) по некоторому правилу f, то говорят, что на множестве х задана функция: z = f (n—переменных – называются независимыми переменными или аргументами.z—Зависимая переменная или функция множеств, x—область определения, Z – область значения функции.

Линия уровня. z = f(x,y) – линия удовлетворяющая уравнению f(x,y)=c

c = const

То есть линия уровня – линия, по которой функция принимает одно и тоже значение.

Число А – называется пределом (в точке ()). Если для любойнайдена такая проколотая, что для всех точек М(х, у)ϵ() соответствует значениеf(x,y)ϵ

– называется множество всех точек, располагающихся от точки меньше чем на б.

Функция z=f(x,y) называется прерывной в точке () (непрерывная по совокупности переменных), если она определена в этой точке и некоторой её окружности и

Точка (называется точкой разрыва функцииz=f(x, y), если это условие не выполняется.

8. Частные производные функции двух переменных, их геометрический смыслю

Частная производная функции двух переменных характеризирует скорость изменения функции при изменении только одной переменной, то есть движение вдоль координатных осей. Для характеристики скорости изменения функции в направлении заданного вектора вводится понятие производной по направлению.

Геометрический смысл. Значение частной производной в точке  равно тангенсу угла у составленного с осью  касательной, проведенной в точке  к линии пересечения поверхности  и плоскости у В этом заключается геометрический смысл частной производной.

9. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных

Частные производные иназываются частными производными 1-ого порядка, они так же являются функцией 2 переменных. Частные производные от частных производных 1-ого порядка называются частными производными 2-ого порядка.

Частная производная 2-ого или более высокого порядков, взятые по различным переменным называются смешанными частными производными.

Если функция z=f(x,y) и её частные производные иопределены в некоторой окрестности точки (и непрерывна в этой точке, то=в точке (. Результат дифференцирования функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования по различным переменным.

10. Понятие дифференцируемости функции 2 переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции 2 переменных

Функция z = z (x, y) называется дифференцируемой в точке ,если её полное приращение в этой точке представлено в видеZ=Ax+By+(x, y)x+(x,y)y, где А, В – некоторые числа (не зависит от x,y)

Необходимые условия. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное не верно.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке существую частные производные.

= А и = В. Обратноене верно

Достаточные условия. Если функция z=f(x,y) в некоторой окрестности точке (х₀, у₀) имеет частные производные и эти частные производные непрерывны в самой точке (х₀, у₀), то функция z=f(x, y) дифференцируема в самой точке (х₀, у₀).

studfiles.net

Предел функции двух переменных.

Говорят, что последовательность точек с координатами стремится к точке с координатами , если последовательность расстояний точек от точки стремится к нулю при . Таким образом, последовательность точек стремится к, если

т. е. если стремится к , а — к .

Говорят, что есть предел функции , где (х, у) стремится к , если для каждой последовательности точек , отличных от и стремящихся к , последовательность стремится к при . Это записывается следующим образом:

Частные производные первого порядка

Рассмотрим функцию . Пусть независимая переменная у приняла постоянное значение , а переменная изменяется. Тогда из функции двух переменных получим функцию одной независимой переменной .

Ее графиком является линия пересечения поверхности и плоскости (рис 10).

Поскольку является функцией одной переменной, ее производная в точке вычисляется по формуле

Рис. 10.

Эта производная называется частной производной от функции двух переменных в точке .

Обозначим через приращение переменной х; введем также обозначение

Приращение называют частным приращением функции z по переменной х.

Аналогично, если переменная у получает приращение , а х остается постоянной, то частное приращение функции z по переменной у имеет следующий вид:

Если существует предел

то этот предел называется частной производной первого порядка или первой частной производной по переменной х; она обозначается следующими символами:

.

Аналогично определяется первая частная производная по переменной у

как предел отношения

.

Пример 1. Найти первые частные производные функции

.

Решение. Чтобы найти частную производную по , принимаем у за постоянную и находим производную по х:

(Производную приняли равной нулю, поскольку у считаем постоянным числом. В первом слагаемом постоянную вынесли за знак производной.)

Чтобы найти частную производную по у, принимаем х за постоянную и находим производную по у.

Пример 2. Найти первые частные производные функции

.

Решение. Чтобы найти частную производную по , принимаем у за постоянную и находим производную по х:

Чтобы найти частную производную по у, принимаем за постоянную и находим производную по у:

.

Градиент функции. Производная по направлению вектора.

Градиентом функции называется вектор, проекциями которого на оси координат являются частные производные данной функции:

.

Производной функции в данном направлении называется

.

Если функция дифференцируемая, то производную в данном направлению можно найти по формуле

,

где — направляющие косинусы вектора .

● Пример 4. Дана функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке ; 2) производную в точке по направлению вектора .

Решение. 1) Найдем частные производные данной функции:

; .

Градиент данной функции в произвольной точке равен

.

Определим градиент в точке

.

2) Найдем производную функции в точке по направлению вектора.

Частные производные функции в точке равны

; .

Определим направляющие косинусы вектора

;

Отсюда, искомая производная

.●

Вопросы для самоконтроля

1. Понятие о функции нескольких переменных.

2. Полное и частное приращение функции.

3. Частные производные функций нескольких переменных.

4. Полный дифференциал.

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

6. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

7. Необходимый признак экстремума функций двух переменных.

8. Нахождение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.

studfiles.net

Предел и непрерывность функции двух переменных

2.1. Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству, называется-окрестностью точки . Другими словами,-окрестность точки – это все внутренние точки круга с центроми радиусом (рис. 2).

Рис. 2

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой этой точки. Число А называетсяпределом функции при(или, что то же самое, при), если для любогосуществуеттакое, что для всехи удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенствоЗаписывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремиться к М₀ (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной по двум направлениям: справа и слева).

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число , найдется-окрестность точки , что во всех её точках, отличных от, аппликаты соответствующих точек поверхностиотличаются от числа А по модулю меньше, чем на.

Пример 1. Найти предел

Решение: Будем приближаться к 0(0;0) по прямой , гдеk – некоторое число. Тогда

Функция в точке 0(0;0) предела не имеет, т. к. при разных значенияхk предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствами предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции определены на множествеD и имеют в точке этого множества пределы А и В соответственно, то и функцииимеют в точке М₀ пределы, которые соответственно равны

0. Непрерывность функции двух переменных

Функция (илиf(M)) называется непрерывной в точке , если она: а) определена в этой точке и некоторой её окрестности;

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции z в точке М₀, т. е.

или

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целыелинии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции в точке. Обозначим. Величиныназываютсяприращениями аргументов х и у, а –полным приращением функции в точке.

Функция называется непрерывной в точкеесли выполняется равенствот. е. полное приращение функции в этой очке стремится к нулю, когда приращения её аргументовх и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям – подобные теоремы имели место для функций одной переменной.

0. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной). Предварительно уточним понятие области.

Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Точка N₀ называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности её лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается . Область называетсяограниченной, если все её точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной – -окрестность точки.

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое числоR > 0, что для всех точек N в этой области выполняется неравенство б) имеет точки, в которых принимает наименьшееm и наибольшее M значения; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенной между m и M (дается без доказательства).

studfiles.net

Как решать дроби. Решение дробей.

В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей!

Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.

Дроби имеют вид : ±X/Y, где Y — знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X — числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:

В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.

Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.

Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.

Иными словами дробь — это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.

Если числитель меньше знаменателя — дробь является правильной, если наоборот — неправильной. В состав дроби может входить целое число.

Например, 5 целых 3/4.

Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.

Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс, вам надо понять, что решение дробей, в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.

• Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого — три.
• Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
• Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.

Как решать дроби. Примеры.

К дробям применимы самые разные арифметические операции.

Приведение дроби к общему знаменателю

Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.

Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей

Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20

Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю

Ответ: 15/20

Сложение и вычитание дробей

Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.

Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3

Ответ: 5/6

Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4

Ответ: 1/4

Умножение и деление дробей

Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:

• Умножение — числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
• Деление — сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.

Например:

На этом о том, как решать дроби, всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей, что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.

Для закрепления материала рекомендуем также посмотреть наше видео:

Также рекомендуем к использованию наш онлайн калькулятор дробей! В нем вы можете посмотреть, как строить решение, на собственных примерах.

Если вы учитель , то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.

reshit.ru

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

8 августа 2011

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
2. Затем — деление и умножение;
3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Смотрите также:

1. Умножение и деление дробей
2. Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
3. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
4. Что такое ЕГЭ по математике 2011 и как его сдавать
5. Периодические десятичные дроби
6. Задача B5: метод узлов

www.berdov.com

Сложение дробей

Чтобы сложить смешанные числа, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем сложить как обыкновенные дроби. Часто удобней вначале сложить целые части, а затем дробные части, избегаю преобразования в неправильную дробь.

Пример Сложить смешанные числа

Сократим дробь с помощью нахождения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя и деления полученного числа на числитель и знаменатель, НОД(27,60)=3, получим .

Пример Найти сумму смешанных чисел

.

В результате сложения также получим смешанное число.

Сложение нескольких дробей

Пример Сложить 3 дроби

.

Сложение обыкновенных и десятичных дробей

Пример Найти сумму

Для сложения десятичных и обыкновенных дробей нужно преобразовать их к одному формату. В данном примере преобразуем десятичную дробь 0.75 в обыкновенную дробь .

.

calcs.su

Дроби, операции с дробями | umath.ru

Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными.

Дробь называют смешанной, если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

Действия с дробями

Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

1. Привести дроби к общему знаменателю
2. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно

1. Привести дроби к общему знаменателю
2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:

umath.ru

Производная дроби онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Для нахождения производных от любых сложный функций, содержащих дробь используйте калькулятор производных на этом сайте. Этот калькулятор находится по ссылке:

https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/

Например, если надо найти производную от дроби, в числителе которой x, в знаминателе (1-x³): x/(1-x^3)

Вводим в форму функцию x/(1-x^3) как изображено на рисунке выше

Нажимаем на кнопку «Найти производную»:

Результат вычисления производной от функции f(x) = x/(1-x^3):

       3              
    3⋅x          1    
─────────── + ────────
          2      3    
⎛   3    ⎞    - x  + 1
⎝- x  + 1⎠            

3*x^3/(-x^3 + 1)^2 + 1/(-x^3 + 1)

Там же вы можете получить подробное решение производной:

    Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

        В силу правила, применим: получим

    Чтобы найти :

        дифференцируем почленно:

            Производная постоянной равна нулю.

            Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                В силу правила, применим: получим

            Таким образом, в результате:

        В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

    Теперь упростим:

Ответ:

Общее правило

Производную от дроби очень просто посчитать (по-крайней мере от простых дробей)

Производная от дроби «единица, делённая на x» равна минус единице, делённой на x в квадрате.

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решение производной онлайн

Решение производной онлайн на сайте Math34.biz поможет Вам справиться с любой сколь угодно сложной задачей! Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты — веселые люди! На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц дискуссии. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде.

math24.biz

Калькулятор производных любого порядка

Следующий калькулятор вычисляет 1-ю, 2-ю и другие производные заданной функции.

В поле функция нужно вводить выражение с переменной х, (в самых выражениях нужно использовать знаки +, -, *, /, ^ (то есть степень), а также математические функции.

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

hostciti.net

Дифференциальные уравнения

Одной из дисциплин, входящих в курс Высшей математики, является курс дифференциальных уравнений, решение которых у студентов традиционно вызывают трудности. В данной статье постараюсь показать примеры решения некоторых видов таких уравнений.

Итак, дифференциальным уравнением (иногда, студенты называют их любя – “дифуры”) называют уравнение, которое содержит неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам (или дифференциалы неизвестных функций). 

Подавляющее большинство задач в прикладных науках, если формулируют их на языке математики, приводят именно к различным дифференциальным уравнениям. Мы рассматриваем лишь обычные дифференциальные уравнения, одной из характерных особенностей которых есть то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят лишь от одной переменной.

Общий вид обычного дифференциального уравнения n — го порядка такой: F(x, y, y’,…, y^(n-1), y⁽ⁿ⁾) = 0, где x — независимая переменная, y — неизвестная функция переменной x, а y, y’,…,y⁽ⁿ⁾ — производные неизвестной функции по переменной x.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, которая входит в это уравнение.

Решением дифференциального уравнения называют функцию y = φ(x), которая при подстановке в уравнение на место неизвестной функции превращает это уравнение в тождество. Решение дифференциального уравнения, заданное неявным соотношением, Ф(x,y) = 0 называют интегралом этого уравнения.

В этой статье будем употреблять термин проинтегрировать дифференциальное уравнение, которое означает найти все его решения. 

§1. Дифференциальное уравнение I-го порядка 

Общий вид дифференциального уравнения I-го порядка выглядит следующим образом:

F(x, y, y’) = 0 (1.1)

Если соотношение (1.1) решить относительно производной, как вариант дифференциала, то получим уравнение такого вида:

y’ = f(x, y) (1.2)

Такое уравнение называют дифференциальным уравнением, решенным относительно производной. Дифференциальное уравнение I-го порядка имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечное множество число решений. Чтобы из этого множества решений выделить определенное решение, задают значение неизвестной функции y = y₀  при некотором значении аргумента x = x₀.

Условие, что при x = x₀ функция упринимает заранее заданное значение y₀, называют начальным условием. Мы это условие запишем в виде 

y|_x=x0 = y_{0или y(x0) = y0 (1.3)}

Проблему нахождения решения дифференциального y’ = f(x,y) уравнения, которое удовлетворяет начальному условию y(x₀) = y₀, называют задачей Коши.

Теорема 1.1. Если в уравнении y’ = f(x,y)  функция f(x,y)  и ее частная производная f’_y(x,y)  непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, которая содержит точку (x₀,y₀), то существует и при этом единственное решение y=φ(x) такого уравнения, которое удовлетворяет условию y(x₀) = y₀.

Введем теперь еще несколько основных определений.

Определение 1.1. Общим решением (в дальнейшем, для краткости ОР) дифференциального уравнения I-го порядка называется функция

y = φ(x, C) (1.4)

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет таким условиям:

1) она удовлетворяет уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

2) каким бы не было начальное условие y(x₀) = y₀, всегда можно найти такое значение С = С₀, так что функция y= φ(x, C₀) будет удовлетворять этому начальному условию.

Замечание. При построении общего решения «дифура» очень часто приходят к соотношению вида

Ф(x, y, c) = 0 (1.5)

не решаемому относительно y.

Равенство Ф(x, y, c) = 0, которое неявно задает общее решение (в дальнейшем, для краткости ОР), называют общим интегралом (в дальнейшем, для краткости ОИ) дифференциального уравнения.

Определение 1.2. Частным решением дифференциального уравнения I-го порядка называется функцияy= φ(x, C₀), которую получаем из его общего решения y= φ(x, C) при определенном значении C = C₀.

Соотношение Ф(x, y, C₀) = 0называют частным интегралом дифференциального уравнения I-го порядка. 

§2. Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными

Определение 2.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка вида

φ(y)dy = f(x)dx (2.1)

называется уравнением с переменными, которые можно разделить.

Непосредственно (дифференцированием) устанавливается, что ОИ уравнения (2.1) является соотношение

∫ φ(y)dy = ∫ f(x)dx (2.2)

где — C=const.

Пример 2.1. Решить “дифур” 2y²dy = 3xdx.

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Легко увидеть, что это решение, при желании, можно записать в явной форме , но обычно его оставляют в той форме, в которой получили, кое-что упростив получим 4y³ = 9x² + C.

Пример 2.2. Решить “дифур”  

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Поскольку C=const, то зачастую в такой форме решения для удобства записи, вместо C пишут ln |C|, а дальше выражение потенцируют

ln|y — 1| = ln|x| + ln C

ln|y — 1| = ln|Cx|

y – 1 = Cx

y = Cx + 1. 

Определение 2.2. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется уравнением с переменными, которые можно разделить, если его правая часть является произведением двух функций, одна из которых зависит лишь от аргумента х, а вторая от неизвестной функции у:

Здесь мы считаем, что функция φ(x) определена и непрерывна для всех x ϵ (a,b) а функция ѱ(y) определена и непрерывна и не равна нулю для всех y ϵ (c,d).

Если переписать уравнение (2.2) в виде  , то левая часть зависит только от переменной у, а правая часть зависит только от переменной х, то есть переменные отделены. Тогда общий интеграл запишется в виде

,

где С=const.

Пример 2.3. Решить “дифур”

Решение. Перед нами уравнение с переменными, которые можно разделить,. Запишем производную в виде соотношения дифференциалов: y’ = dy/dx, умножим обе части уравнения на dx  и разделим на y lny. В результате проделанной замены и “перемещения” переменных получим уравнение, в котором разделены переменные

После вычисления интегралов, имеем

y= e^Cx  ОР искомого уравнения.

Пример 2.4. Эффективность рекламы.

Пусть фирма продает продукцию B, про которую на момент времени tиз числа возможных клиентов знает лишь xклиентов. Далее, для увеличения продажи продукции, были сделаны рекламные объявления на радио и телевидении. Далее информация о товаре распространяется между клиентами через общение. После рекламы скорость изменения числа клиентов, которые знают о продукции B, пропорциональная не только числу клиентов, которые знают о товаре, но и числу клиентов, которые еще не знают.

Если допустить, что счет времени начинается после рекламных объявлений, когда о продукции узнало N/ɣ  человек, то получаем дифференциальное уравнением с переменными, которые можно разделить

При таких начальных условиях: x = N/ɣ , если t = 0. Здесь k— положительной коэффициент пропорциональности.

Интегрируя уравнение, имеем:

В экономической литературе это выражение называют уравнением логистической кривой.

С учетом начальных условий, получим

Замечание. Уравнение с переменными, которые можно разделить, можно также задать в симметричной относительно x и y дифференциальной форме

M(x) · N(y)dx+ P(x) · Q(y)dy=0 (2.4)

где функции M(x), P(x), N(y), Q(y) непрерывны соответственно в интервалах x ϵ (a,b), y ϵ (c,d).

Для нахождения решений необходимо разделить правую, (желательно, конечно) и левую части на произведение: N(y) · P(x).

и интегрируют полученное так соотношение

Если для x ϵ (a,b), y ϵ (c,d) функции P(x) и N(y) отличающиеся от нуля, то соотношение (2.6) является ОИ уравнения (2.4).

Пример 2.5. Решить “дифур” x(1 + y²)dx– y(1 + x²)dy = 0

Решение. Поступим также, как и в серии предыдущих примеров (разделим обе части уравнения на (1 + y²) · (1 + x²)

Интегрируя каждое из слагаемых (для этого не обязательно один из них переносить в правую часть), приравниваем сумму первообразных постоянной, которую обозначаем через ½ ln C, имеем:

Пример 2.6. Решить “дифур” y’ + 2x²y’ + 2xy– 2x = 0.

Решения. Представим производные в виде соотношения dy/dxи далее все члены уравнения домножим на dx:

Сгруппируем члены с разными дифференциалами и вынесем за скобки дифференциалы.

(1 + 2x²)dx +2x(y– 1)dx = 0

В результате деления на (1 + 2x²) (y– 1). Получим:

Интегрируем каждое из слагаемых:

Сумму первообразных приравниваем постоянной:

тогда

– ОИ уравнения.

В следующей своей статье я расскажу Вам об Однородных дифференциальных уравнениях I-го порядка и о Линейных дифференциальных уравнениях I-го порядка, уравнении Бернулли.

Если у Вас есть желание более детально изучить данный материал, научиться решать задания по данным разделам, записывайтесь на мои занятия на сайте. Буду рад Вам помочь. Онлайн репетитор Андрей Зварыч.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Дифференциальные уравнения первого порядка

Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Как решать дифференциальные уравнения первого порядка

Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
.
Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида:
,
где .

Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов:
.

Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении – независимая переменная, а – это функция от . Разделим уравнение на :
.
Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.

Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:
,
то замечаем, что . Тогда делаем подстановку . После этого уравнение примет более простой вид:
.

Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель.

Уравнения с разделяющимися переменными

;
.
Делим на и интегрируем. При получаем:
.
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Делаем подстановку . Тогда
;
.
Далее разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>

Однородные уравнения

Решаем подстановкой:
,
где – функция от . Тогда
;
.
Разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к однородным

Вводим переменные и :
;
.
Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:
;
.
В результате получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>

Обобщенные однородные уравнения

Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>

Линейные дифференциальные уравнения

Есть три метода решения линейных уравнений.

1) Метод интегрирующего множителя.
Умножаем уравнение на интегрирующий множитель :
;
.
Далее интегрируем.
Подробнее >>>

2) Метод Бернулли.
Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :
.
;
.
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Подробнее >>>

3) Метод вариации постоянной (Лагранжа).
Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
,
где – постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .
Подробнее >>>

Уравнения Бернулли

Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.

Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
.
В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .

Подробнее >>>

Уравнения Риккати

Оно не решается в общем виде. Подстановкой

уравнение Риккати приводится к виду:
,
где – постоянная;   ;   .
Далее, подстановкой:

оно приводится к виду:
,
где .

Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице
Дифференциальное уравнение Риккати >>>

Уравнения Якоби

Решается подстановкой:
.
Подробнее >>>

Уравнения в полных дифференциалах

При условии
.
При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:
.
Тогда
.
Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:
.

Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:
;
;
;
.
Подробнее >>>

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель . Интегрирующий множитель – это такая функция, при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.
Подробнее >>>

Уравнения, не решенные относительно производной y’

Уравнения, допускающие решение относительно производной y’

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, допускающие разложение на множители

Если удастся уравнение разложить на множители:
,
то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:
;
;

;
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x и y

Здесь – постоянная:
,
где – корень уравнения
.
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x или y

  или  
Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Полагаем . Тогда
  или   .
Далее интегрируем уравнение:
;
.
В результате получаем выражение второй переменной через параметр .

Более общие уравнения:
  или  
также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .
Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение:
;
.
Подробнее >>>

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро

Такое уравнение имеет общее решение

Подробнее >>>

Уравнения Лагранжа

Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где – параметр.
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .
Подробнее >>>

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-05-2016

1cov-edu.ru

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла — табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:

,

где и — непрерывные функции от x.

Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций

и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид

или

.  (*)

Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:

,

то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v — решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт

.

Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.

Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v уже нашли.

Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Как было показано в алгоритме, y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!

Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

.

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В следующем примере — обещанная экспонента.

Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.

Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на «икс» и получим

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.

В интеграле , .

Тогда .

Интегрируем и находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.

Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.

Пример 6. Найти частное решение линейного дифференциальное уравнение первого порядка

при условии .

Решение. Чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим

или

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

.

Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

при условии .

Перенесём функцию «игрека» в левую часть и получим

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

.

Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.

В нём , .

Тогда , .

Находим второй интеграл:

.

В результате получаем функцию u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

.

Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых «демо»-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Дифференциальные уравнения. Что это? | Решатель

Вы уже имеете находить производные и интегралы? Тогда настало самое время, чтобы перейти к более сложной теме, а именно, решению дифференциальных уравнений (ДУ, в простонародье диффуров). Но не все так страшно, как кажется на первый взгляд.
 

Дифференциальное уравнение: что это такое?

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, которое вместе с самой функцией (и ее аргументами), содержит еще и ее производную или несколько производных.
 

Дифференциальное уравнение: что нужно знать еще?

Первое (и главное), что понадобится, это умение правильно определять тип дифференциального уравнения. Второе, но не менее важное, это умение хорошо интегрировать и дифференцировать.
 

Не секрет, что дифференциальные уравнения бывают разных типов. Но… для начала отметим, что ДУ бывают разных порядков. Порядок ДУ — это порядок высшей производной, входящей в дифференциальное уравнение. Классификацию ДУ согласно порядку уравнения можно посмотреть в следующей таблице:
 

Наиболее часто приходится иметь дело с ДУ первого и второго порядка, реже третьего. В 99% случаев в задачах встречаются три типа ДУ первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Иногда еще встречаются более редкие типы ДУ: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и др. Среди ДУ второго порядка часто встречаются уравнения, приводящиеся к ДУ первого порядка, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
 

Дифференциальное уравнение: решение – что это значит и как его найти?

При решении ДУ нам предлагается найти либо общее решение (общий интеграл), либо частное решение. Общее решение y = f(x, C) зависит от некоторой постоянной (С — const), а частное решение не зависит: y = f(x, C₀).

С геометрической точки зрения общее решение – это семейство кривых на координатной плоскости, а частное решение – это одна прямая этого семейства, проходящая через некоторую точку.

Давайте рассмотрим примеры решения некоторых ДУ. Начнем с ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:

Здесь все очень просто как на уроке физкультуры, когда ученики класса делятся на две команды, в одну из которых входят только мальчики, а в другую – только девочки. Применительно к уравнению делаем следующее: в левую часть от знака равенства переносим все то, что содержит переменную y, а в правую часть – переменную x.
Получаем:

Далее интегрируем обе части:

Итоговое общее решение выглядит следующим образом: y = C(x-1) — 2. Все оказалось очень просто, не правда ли?
 

Не сложнее и решение однородных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Здесь всего-то и нужно знать из курса школьной алгебры, как решаются квадратные уравнения, а из курса по ДУ, как правильно записать общее решение.
 

Для наглядности рассмотрим пример:

Составляем характеристическое уравнение, заменяя переменную y на переменную k, а количество штрихов соответствующей степенью (два штриха – степень 2, один штрих – степень 1, нет штрихов – степень 0). Получаем квадратное уравнение, решить которое можно с помощью дискриминанта или теоремы Виета:

После того, как корни характеристического уравнения найдены, вспоминаем правила записи общего решения однородного ДУ:

1. Корни характеристического уравнения являются действительными и различными. Общее решение записывается в виде:
   
2. Корни характеристического уравнения являются комплексными. Общее решение записывается в виде:
   
3. Корни характеристического уравнения являются действительными и равными. Общее решение записывается в виде:
   

Вспоминаем, что наше уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, общее решение запишем в виде:

Решение линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами выполняется в два этапа:
 

1. нахождение общего решения линейного однородного ДУ;
2. нахождение и частного решения линейного неоднородного ДУ.

Выполнение первого этапа рассмотрено на примере чуть раньше. То, в каком виде мы будем искать частное решение неоднородного ДУ, зависит от того, что стоит в уравнении справа от знака равенства. Все возможные случаи подробно рассматривают в учебной литературе.
 

Итак, тема «Решение задач по дифференциальным уравнениям» изучается в ВУЗах, но, как было показано выше, решить некоторые ДУ может и школьник.
 

Дифференциальные уравнения и методы их решения рассматриваются практически в каждом учебнике по высшей математике и математическому анализу. Особенно хорошо данная тема рассмотрена в учебнике автора Пискунов Н.С., а называется он «Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. Для втузов. В 2-х т. Т. II». С помощью данного учебника можно самостоятельно изучить методы решения тех типов ДУ, которые не были рассмотрены в данной статье.
 
 

Решение дифференциальных уравнений на заказ

У нас вы можете выгодно заказать решение задач с дифференциальными уравнениями. Нами накоплен большой опыт решения заданий по данной дисциплине, которым мы готовы поделиться с вами. Работа будет оформлена очень подробно. При заказе большого количества задач действует скидка. Купить решение можно, сделав заказ у нас на сайте.

reshatel.org

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y’)=0, F(x,y,y»)=0, F(x,y,y’,y»,.., y⁽ⁿ⁾)=0

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3² + 4²= C²; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x² +y² = 5².

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y)  удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y)  при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y)  которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1  в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x)  и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Производную функции переписать через её дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Пример 1

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Пример 2

Найти частное решение уравнения

2yy’ = 1- 3x², если y₀ = 3 при x₀ = 1

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

 Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2  и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид:  y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является  y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

 Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

y’ = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение:   u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ +  f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0  если y =1  при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r², y’  через r, yчерез 1:r² + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант  D = p² -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

в) D < 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет комплексные корни, Общее решение дифференциального уравнения выражается, в виде 

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,

где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.

Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.

Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.

Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

.

Решая два последних равенства, можем записать

.

Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:

.

Так как

,

получим

,

что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.

Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

,
где — пока неизвестная функция от y.

Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:

,
где — пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:

,

а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте )

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.

Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки — принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.

Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная «действующей» переменной, умноженной на константу.

Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость — примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.

В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Формулы производных функций y (x)

Производные линейной функции.

 

Производные степенной функции.

 

 

Производные показательной функции.

 

Производные логарифмической функции.

 

Производные тригонометрической функции.

 

Производные обратной тригонометрической функции.

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 30 мая 2013

Обновлено: 24 мая 2017

www-formula.ru

Формулы производных

Что такое производная функция — это основное математическое понятие, находится на одном уровне с интегралами, при анализе. Данная функция в определенной точке дает характеристику скорости изменений функции в данной точке.
Такие понятия как дифференцирование и интегрирование, первое расшифровывается как действие поиска производной, второе наоборот, восстанавливает функцию отталкиваясь от данной производной.
Вычислениям производной отводится важная часть в дифференциальных расчетах.
Для наглядного примера, изобразим производную на координатной плоскости.

в функции у=f(х) фиксируем точки М в которой (х0; f(X0)) и N f (x0+?x) к каждой абсциссе есть приращение в виде ?x. Приращением называется процесс когда изменяется абсцисса, тогда меняется и ордината. Обозначается как ?у.
Найдем тангенс угла в треугольнике MPN используя для этого точки М и N.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

При ?x идущем к 0. Пересекающая МN все ближе к касательной МТ и угол ? будет ?. Следовательно, tg ? максимальное значение для tg ?.

tg ? = lim от ?x-0 tg ? = lim от ?x-0 ?у/?x

Таблица производных

Если проговаривать формулировку каждой формулы производных. Таблица будет проще запоминаться.
1) Производная от постоянного значения равняется 0.
2) Х со штрихом равняется единице.
3) Если есть постоянный множитель, просто выносим ео за производную.
4) Чтобы найти производную степень, нужно показатель данной степени умножить на степень с таким же основанием, у которого показатель на 1 меньше.
5) Поиск корня равен одному, деленному 2 этих корня.
6) Производная одного, деленного на Х равняется одному разделенному на Х возведенный в квадрат, со знаком минус.
7) П синус равняется косинусу
8) П косинус равняется синусу со знаком минус.
9) П тангенс равняется одному, деленному на косинус в квадрате.
10) П котангенс равняется одному со знаком минус, деленная на синус в квадрате.

В дифференцировании также существуют правила, которые тоже проще выучить проговаривая их в слух.

1) Очень просто, п. слагаемых равняется их сумме.
2) Производная в умножении равняется умножению первого значения на второе, прибавляя к себе умножение второго значения на первое.
3) Производная в делении равняется умножению первого значения на второе, отнимая от себя умножение второго значения на первое. Дробь деления на второе значение в квадрате.
4) Формулировка является частным случаем третьей формулы.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

reshit.ru

Формулы производной | Формулы с примерами

Формулы
Приращение аргумента

Приращение функции

Производная функции ?(x) в точке x₀

Касательная к графику

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к графику ? (x)

Физический смысл производной

Правила дифференцирования

Таблица производных

Достаточное условие монотонности функции ? (x)

Экстремумы функции ? (x)

Необходимое условие экстремума ? (x)

Достаточное условие экстремума непрерывной в точке x₀ функции ? (x)

formula-xyz.ru

Формулы производных

Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке. На рисунке 1 изображена производная функции на координатной плоскости.

Рисунок 1. Производная функции

2) Производная неизвестной величины равна единице

\[x’=1\]

3) Если выражение содержит постоянную величину — ее необходимо вынести за знак предела.

\[y’=\left(c\cdot f\left(x\right)\right)^{{‘} } =c\cdot f’\left(x\right)\]

4) Производная степенной функции находится как произведение значения степени на степенное выражение, степень которого уменьшена на 1.

\[y’=\left(x^{n} \right)^{{‘} } =n\cdot x^{n-1} \]

5) Производная экспоненты равна самой экспоненте

6) Производная числа в степени х равна произведения данного выражения на логарифм числа:

\[y’=\left(a^{x} \right)^{{‘} } =a^{x} \cdot \log a\]

7) Производная sinx равна cosx

8) Производная cosx равна —sinx

9) Производная тангенса равна частному единицы и квадратному косинусу х

\[y’=\left(tgx\right)^{{‘} } =\frac{1}{\cos ^{2} x} \]

10) Производная котангенса равна частному минус единицы и квадратному синусу х

\[y’=\left(ctgx\right)^{{‘} } =-\frac{1}{\sin ^{2} x} \]

11) Производная арксинуса равна:

\[y’=\left(\arcsin x\right)^{{‘} } =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \]

12) Производная арккосинуса равна:

\[y’=\left(\arccos x\right)^{{‘} } =-\frac{1}{1-x^{2} } \]

13) Производная арктангенса равна:

\[y’=\left(arctgx\right)^{{‘} } =\frac{1}{1+x^{2} } \]

14) Производная арккотангенса противоположна производной арктангенса и равна:

\[y’=\left(arctgx\right)^{{‘} } =-\frac{1}{1+x^{2} } \]

15) Производная суммы функций равна сумме их производных:

\[\left(x+y+…+z\right)^{{‘} } =x’+y’+…+z’\]

16) Производная произведения нескольких функций равна:

$y’ = (fx1 \cdot fx2 \cdot \dots \cdot fxn) = fx’1fx2fx3\dots fxn + fx1fx’2fx3\dots fxn + \dots + fx1fx2fx3\dots fx’n$

17) Производная частного вычисляется по формуле:

\[y’=\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{‘} } =\frac{f\left(x\right)^{{‘} } g\left(x\right)-g\left(x\right)^{{‘} } f\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)} \]

spravochnick.ru

7.1. Производная, правила и формулы дифференцирования

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х_o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен  (или — ), то при условии, что функция в точке х_o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х_oбесконечную производную.

Производная обозначается символами

y ,   f (x_o),   ,   .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл — в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t_o.

Если с — постоянное число, и u = u(x), v = v(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с)‘ = 0, (cu)‘ = cu’;

2) (u+v)’ = u’+v’;

3) (uv)’ = u’v+v’u;

4) (u/v)’ = (u’v-v’u)/v^2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) — сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем   0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^)’ =  u^1 u’ (  R).

2. (a^u)’ = a^u lna u’.

3. (e^u)’ = e^u u’.

4. (log_a u)’ = u’/(u ln a).

5. (ln u)’ = u’/u.

6. (sin u)’ = cos u u’.

7. (cos u)’ = — sin u u’.

8. (tg u)’ = 1/ cos²u u’.

9. (ctg u)’ = — u’ / sin²u.

10. (arcsin u)’ = u’ /.

11. (arccos u)’ = — u’ /.

12. (arctg u)’ = u’/(1 + u²).

13. (arcctg u)’ = — u’/(1 + u²).

Вычислим производную степенно-показательного выражения y=u^v, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u’, v’.

Прологарифмировав равенство y=u ^v, получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y’/y = vu’/u +v’ ln u, откуда y’ = y (vu’/u +v’ ln u).

Итак,

(u ^v)’=u ^v (vu’/u+v’ ln u), u > 0.

Например, если y = x ^{sin x}, то y’ = x ^{sin x} (sin x/x + cos x ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y’, то  = y’+, где 0 при х 0; отсюда  y = y’ х +  x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y’ х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x’х = 1х =х, поэтому dy=y’dx, т. е. символ для обозначения производной  можно рассматривать как дробь.

Приращение функции  y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка — ,

производная четвертого порядка —

и вообще производная n-го порядка — .

Пример 3.15. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1)sin x.

Решение. По правилу 3, y’=(3x³-2x+1)’sin x + (3x³-2x+1)(sin x)’ = = (9x²-2)sin x + (3x³-2x+1)cos x.

Пример 3.16. Найти y’, y = tg x +.

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y’=(tgx + )’ = (tgx)’ + ()’ = +  = .

Пример 3.17. Найти производную сложной функции y=, u=x⁴ +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y’_x =y‘_u u’_x =()’_u(x⁴ +1)’_x =(2u +. Так как u=x⁴ +1,то (2 x⁴ +2+.

Пример 3.18. Найти производную функции y=.

Решение. Представим функцию y=  в виде суперпозиции двух функций: y = e^u и u = x². Имеем: y’_x =y‘_u u’_x = (e^u)’_u(x²)’_x = e^u 2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x.

Пример 3.19. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y’ = (ln u)’_u(sin x)’_x= .

Пример 3.20. Найти производную функции y=.

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Пример 3.21. Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

y=5/3ln(x²+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x³+1)-1/3tg 5x.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

.

studfiles.net

Вывод производных основных элементарных функций

Производная логарифма

;     ;
;     .
См. Вывод производной логарифма тремя способами >>>

Производная степенной и показательной функций

;
;
См. Вывод производной степенной функции >>>

;
;
См. Вывод производной показательной функции и экспоненты тремя способами >>>

Производные тригонометрических функций

См. Вывод производных тригонометрических функций >>>

;
См. Вывод производной синуса >>>

;
См. Вывод производной косинуса >>>

;
См. Вывод производной тангенса >>>

;
См. Вывод производной котангенса >>>

Производные обратных тригонометрических функций

См. Вывод производных обратных тригонометрических функций >>>

;
;
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса двумя способами >>>

;
;
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса двумя способами >>>

Производные гиперболических функций

;
;
;
;

Производные обратных гиперболических функций

;
;
;
.

Обратный гиперболический косинус является многозначной функцией. Он имеет две ветви:
  – главное значение;
.
Иногда значения для двух ветвей пишут одной формулой:
.
Тогда его производная имеет вид:
.

Производные высших порядков

.
См. Доказательство методом математической индукции >>>

.
См. Вывод производной степенной функции n-го порядка >>>

.
См. Производные высших порядков показательной функции >>>

Тригонометрические функции

.
См. Доказательство методом математической индукции >>>

.
См. Производные косинуса высших порядков >>>

,
где .
См. Производные тангенса высших порядков >>>.

,
где .
См. Производные котангенса высших порядков >>>.

Обратные тригонометрические функции

Производные арксинуса и арккосинуса

,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса >>>.

Производные арктангенса и арккотангенса

;
.

Другой вид производных:
,
где .
,
где .

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса >>>.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 28-02-2017   Изменено: 26-07-2017

1cov-edu.ru

Правила и формулы нахождения производных. Производная сложной функции.

Основные правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е. .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле (при условии, что ).

6. Производная сложной функции. Пусть задана сложная функция .

Теорема. Если и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е..

Производные основных элементарных функций (таблица производных):

1. Производная логарифмической функции.

А) и, где некоторая функция зависящая от .

Б) и.

2. Производная показательной функции.

А) и.

Б) и.

3. Производная степенной функции.

и .

4. Производная степенно-показательной функции.

.

5. Производная тригонометрических функций.

и ;

и ;

и ;

и .

7. Производная обратных тригонометрических функций.

и ;

и ;

и ;

и .

Пример. Найти производные следующих функций:

Производные высших порядков.

Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее первой производной, т.е., и обозначаетсяилиили.

Аналогично определяются и обозначаются: производная 3-го порядка ; производная 4-го порядка; ………… производная-го порядка.

Пример. Найти производную 2-го и 3-го порядка:

А)

Б)

Понятие дифференциала и его геометрический смысл.

Пусть функция определена на промежуткеи дифференцируема в окрестности точки,тогдаили по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем, где бесконечно малая величина при . Отсюда:. Таким образом, приращение функциисостоит из двух слагаемых: 1. линейного относительно , т.к.; 2. нелинейного относительно , т.к..

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:.

Пример. Найти приращение функции прии

Пример. Найти дифференциал функции .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:.

Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде: . Откуда, поэтомуможно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителеми знаменателем.

Геометрический смысл. На графике функции (рис. 5.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументуприращение, тогда функция получает приращение. В точкепроведем касательную, образующую уголс осью. Извидно, что. Изимеем:. Таким образом,и соответствует формуле.

Рис. 5.

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когдаполучает приращение.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

Формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной. Это свойство дифференциала получило названиеинвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала, т.е. .

Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Согласно формулы , т.е., при достаточно малых значенияхприращение функцииприблизительно равно ее дифференциалу,. Эту формулу часто используется в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить .

studfiles.net

Презентация на тему «Логические функции. Способы вычисления значений логических функций»

Ваша оценка презентации

Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов

Рецензии

Добавить свою рецензию

Аннотация к презентации

Посмотреть и скачать бесплатно презентацию по теме «Логические функции. Способы вычисления значений логических функций». pptCloud.ru — каталог презентаций для детей, школьников (уроков) и студентов.

• Формат

  pptx (powerpoint)

• Количество слайдов

  9

• Слова

• Конспект

  Отсутствует

Содержание

• Слайд 1

  Логические функции. Способы вычисления значений логических функций

• Слайд 3

  2. Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

• Слайд 8

  Домашнее задание

Посмотреть все слайды

pptcloud.ru

Логические основы компьютера

Дидактический материал:

1. Вычислить значение логической функции:

2. При заданных значениях переменных a=0, b=1, c=0. Определите истинные функции и расшифруй слово.

3. Определить истинные функции при заданных значениях переменных a=1, b=1, c=0, расшифруйте слово.

4. Задано значение функции от трех переменных. Найдите значение одной из переменных, если заданы значения двух других. 

5. Построить таблицу истинности для логической функции. 

6. Построить таблицу истинности для логической функции.

7. Упростить логическую функцию, используя законы булевой алгебры. 

8. Упростить логическую функцию, используя законы булевой алгебры и составить таблицу истинности полученной функции.

9. По схеме составить логическую функцию и упростить полученное выражение. Построить таблицу истинности полученной функции. 

10. Упростить логическую функцию, используя законы булевой алгебры, составить таблицу истинности и нарисовать схему.

11. По заданной функции составить таблицу истинности и нарисовать схему. 

12. Для заданных логических функций необходимо проверить являются ли они эквивалентными.

13. Какой логический элемент необходимо добавить в схему, чтобы получить заданное значение функции при заданном значении переменных. 

14. Определите функции, которые будут истинны, если истинны все три переменные. Расположи числа, соответствующие этим функциям, в порядке возрастания и прочитай фразу Козьмы Пруткова.

videouroki.net

Основные логические функции

Лабораторная работа №3

Решение логических задач школьного курса повышенной сложности

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. Алгебра логики возникла в середине 19 века в трудах Дж. Буля и развивалась затем в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Создание алгебры логики представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. С появлением теории множеств (70-е гг. 19 в.) и дальнейшим развитием математической логики (последняя четверть 19 в. — 1-я половина 20 в.), предмет алгебры логики значительно изменился. Основным предметом алгебры логики стали высказывания. Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Примеры высказываний: «кит — животное», «все углы — прямые» и т.п. Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе — ложным. Употребляемые в обычной речи логические связки «и», «или», «если…, то…», «эквивалентно», частица «не» и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более «сложные» высказывания. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

В отличие от обычной алгебры, изучающей математические функции, алгебра логики изучает логические функции. Известно, что функция — это закон соответствия между переменными. Следовательно, логическая функция— это закон соответствия между логическими переменными.Логическая переменная— это такая переменная, которая может принимать одно из двух возможных значений: 0 («ложь») и 1 («истина»).

Логическим выражением называется выражение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Примеры:

«5>8» — логическое выражение, т.к. о нем можно сказать, что оно ложно.

«Эту девочку зовут Юля» — логическое выражение.

«Подайте книгу» — это не логическое выражение, т.к. о нем нельзя сказать, истинно оно или ложно

Логическая функция может также принимать два значения.

Таким образом, логические переменные и функции определены на множестве двух значений — {0,1}.

ЭВМ строятся из компонентов с двумя устойчивыми состояниями. Одно состояние обозначается нулем, другое — единицей. На такие компоненты воздействуют двоичные сигналы. Под воздействием сигналов компоненты изменяют свои состояния, т. е. состояние компонентов или значения их выходных сигналов зависят от значений воздействующих сигналов. Очевидно, что функционирование компонентов ЭВМ следует описывать логическими функциями. По этой причине алгебра логики находит непосредственное и широкое применение при разработке и использовании средств электронной вычислительной техники.

Логические функции характеризуются (задаются) так называемыми таблицами истинности, или соответствия. Таблица истинности— это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.

Функция отрицания

Отрицание – это логическая функция от одной переменной, которая принимает единичное значение при нулевом значении переменной и наоборот. Запись этой функции:

F=.

Конъюнкция может быть обозначена следующими символами:

¬,¯, не, not.

Черта над переменной xявляется признаком отрицания (инверсии). Таблица истинности этой функции представлена на рис. 1а. Функция логического отрицания описывает функционирование логического элемента НЕ (рис. 1б).

Условно-графическое обозначение элемента НЕ приведено на рис. 1в. Единичный сигнал на выходе элемента НЕ появляется при нулевом сигнале на входе (x=0,F=1) и, наоборот, нулевой сигнал на выходе появляется при единичном сигнале на входе (x=1,F=0). Графически отрицание можно представить с помощью кругов Эйлера (рис. 2).

а) б) в)

Рис. 1. Элемент НЕ

Рис. 2. Графическое представление отрицания на множестве

Функция логического умножения (конъюнкция)

Логическое умножение – это логическая функция, по крайней мере, от двух переменных, которая принимает единичное значение при единичных значениях всех переменных. Эта функция называется также конъюнкцией. Элементарная конъюнкция зависит от двух переменных. Она принимает единичное значение только тогда, когда и первая переменная и вторая переменная равны единице. Возможны различные варианты записи конъюнкции:

F=;F=•;F=;F=&.

Конъюнкция может быть обозначена следующими символами:

, &, •, ∩, and, и.

Конъюнкция характеризуется таблицей истинности, представленной на рис. 3а. Из рассмотрения таблицы следует, что эта функция принимает единичное значение на наборе 4. Логическое умножение описывает работу элемента И (рис. 3б). Графически конъюнкцию можно представить с помощью кругов Эйлера (рис. 4).

а) б) в)

Рис. 3. Элемент И

Рис. 4. Графическое представление конъюнкции на множествах

Конъюнкция на числовых множествах (операция пересечения): {a,b,c} {b,c,d,e}={b,c}.

Единичный сигнал появляется на выходе этого элемента только при наличии единичного сигнала и на входе 1, и на входе 2.

В общем случае элемент И может иметь n входов (рис. 3в). При этом он реализует конъюнкцию от n переменных, т.е.:

F=•••…•.

Функция логического сложения (дизъюнкция)

Логическое сложение – это логическая функция, по крайней мере, от двух переменных, которая принимает нулевое значение при нулевых значениях всех переменных. Эта функция называется также дизъюнкцией. Таблица истинности элементарной дизъюнкции представлена на рис. 3а. Элементарная дизъюнкция принимает единичное значение на наборах 1, 2, 3 и нулевое значение – только на наборе 0. Функция записывается в одном из двух видов: F=илиF=+.

Знак «плюс» не является алгебраическим, т.к. при =1, =1 дизъюнкцияF=+=1

Дизъюнкция может быть обозначена следующими символами:

, +,, or, или.

Дизъюнкция описывает функционирование элемента ИЛИ (рис. 5б). Единичный сигнал на выходе этого элемента возникает тогда, когда или на входе 1, или на входе 2, или на двух входах единичные сигналы. И только в том случае, когда на оба входа поступают нулевые сигналы, на выходе элементов появляется нулевой сигнал.

В общем случае элемент ИЛИ может иметь n входов (рис. 5в). При этом он реализует дизъюнкцию от n переменных.

а) б) в)

Рис. 5. Элемент ИЛИ

Рис. 6. Графическое представление дизъюнкции на множествах

Дизъюнкция на числовых множествах (операция объединения): {a,b,c}{b,c,d,e}={a,b,c,d,e}.

Равнозначность (эквиваленция)

Равнозначность – это логическая функция от двух переменных, которая принимает единичное значение при одинаковых значениях переменных. Одинаковые по значению переменные называются равнозначными, поэтому функция носит название «равнозначность».

Запись функции:

F=+.

Таблица истинности функции равнозначности представлена на рис. 7а. Эта функция реализуется элементом равнозначности (сравнения), который показан на рис. 7б.

Эквиваленция может быть обозначена следующими символами:

~, ,,.

Элемент используется для сравнения двоичных сигналов.

а) б)

Рис. 7. Элемент равнозначности

Логическое следование (импликация)

Обозначение логического следования: F=→.

Высказывание F=→будем считать истинным во всех случаях, кроме случая, когдаистинно, аложно. Таблица истинности представлена на рис. 8.

Рис. 8. Элемент импликации

Импликация может быть обозначена следующими символами:→, ,.

Элемент (штрих) Шеффера

Обозначение:

;.

Другое название этой функции: «И-НЕ».

Высказывание будем считать ложным, когдаиравны единице. Таблица истинности представлена на рис. 9.

Рис. 9. Элемент (штрих) Шеффера

Элемент Вебба (стрелка Пирса)

Обозначение:

;.

Высказывание будем считать истинным только тогда, когда оба операндаиравны нулю. Таблица истинности представлена на рис.10.

Другое название этой функции: «ИЛИ-НЕ».

Рис. 10. Элемент Вебба (стрелка Пирса)

Сложение по модулю 2.

Обозначение:

;;XOR .

Высказывание будем считать истинным, если первый операндне равен второму операнду. Таблица истинности представлена на рис. 11.

Другие названия этой функции: «исключающее ИЛИ», «логическое ЛИБО», «неравносильность», «неэквивалентность», «логическое сложение», «булево сложение».

Рис. 11. Сложение по модулю 2

Коимпликация

Обозначение:

;.

Высказывание будем считать истинным, если первый операндравен 1, а второй операнд равен 0. Таблица истинности представлена на рис. 12.

Рис. 12 Таблица истинности функции коимпликация

Приоритет операций в логическом выражении, не содержащем скобок:

1. Отрицание.

2. Конъюнкция, *, /, div,mod.

3. Дизъюнкция, +, -.

4. Операция отношения.

Для усиления операции используются скобки.

studfiles.net

Логические функции

Логические функции

Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение – латинская буква (A, B, X, Y, …). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).

Логическая функция (составное высказывание) содержит несколько простых высказываний, соединенных между собой с помощью логических операций.

Логические операции – логическое действие.

Если логическую функцию выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА. При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно: действия в скобках; инверсия; конъюнкция; дизъюнкция. В привычных символах — (…), НЕ(), И(), ИЛИ().

Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.

Для составления таблицы необходимо определить:

1. количество строк в таблице (вычисляется как 2ⁿ, где n – количество переменных) + заголовок,

2. количество столбцов = количество переменных + количество логических операций,

3. последовательность выполнения логических операций.

Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.

Заполнить таблицу истинности по столбцам.

Пример 1

Построим таблицу истинности для выражения (A  B)  ( A   B).

Количество строк = 2² (2-е переменные А и В) + 1(заголовок столбцов) = 5.

Количество столбцов = 2-е переменные (A, B) + 5 логических операций (, , , , ) = 7.

Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 4 3

(A  B)  ( A  B)

Построим таблицу:

Пример 2

Построим таблицу истинности для логического выражения X  Y  Z.

Количество строк = 2³ + 1 = 9.

Количество столбцов = 3-и логические переменные + 3-и логические операции = 6.

Порядок действий: 3 2 1

X  Y  Z.

Нарисуем и заполним таблицу.

Логические формулы и функции в MS Excel

Пример 3. Введем в ячейку А1 формулу =7>5. Она вернет значение ИСТИНА. Скопируем содержимое A1 в А2 и исправим в А2 формулу: = 3>5. Эта формула вернет значение ЛОЖЬ. Правые части обеих формул представляют собой высказывания, т.е. утверждения, относительно которых можно заключить, верны они или нет. Арифметические формулы высказываниями не являются: они предписывают, как по исходным данным вычислить значение, и вопрос об их истинности или ложности не имеет смысла.

Операции сравнения

Обратите внимание, что символ отношения «больше или равно» изображается двумя знаками: > и =. Причина в том, что на клавиатуре нет знака .

Имеются логические операции, которые позво­ляют строить сложные логические выражения. Эти операции реализованы в MS Excel как функции. Вот перечень логических операций и соответствующих им функций MS Excel, расположен­ных в порядке убывания приоритета.

Здесь можно провести аналогию с арифметическими опера­торами: отрицанию соответствует унарный минус, конъюнкции — умножение, дизъюнкции — сложение. На самом деле в MS Excel приоритет логических операций не имеет значения, так как они реализованы в виде функций.

У логических функций аргументы могут принимать только два значения: ИСТИНА и ЛОЖЬ. Поэтому логические функции можно задать таблицей истинности, где перечислены все возможные значе­ния аргументов и соответствующие им значения функций.

Таблица для функции НЕ имеет вид.

Таблица для функций И и ИЛИ имеет вид.

Функция НЕ может иметь только один аргумент, а функции И и ИЛИ могут иметь два и более аргументов.

Пример 4. В ячейке А6 (с именем z) записано число. Выяснить, при­надлежит ли оно отрезку [2, 5].

Решение. Присвоим ячейке А6 имя z. Введем в А6 число 3. Сначала сконструируем логическое выражение, решающее задачу. Для того чтобы z принадлежал отрезку [2, 5], нужно, чтобы одновременно были истинны два условия: x >= 2 и z <= 5.

((z >= 2) и (z <= 5)) В ячейке В6 разместим формулу =И(z>=2;z<=5). В В6 получим значение ИСТИНА.

Пример 5. В ячейке А6 (с именем z) записано число. Выяснить, при надлежит ли оно одному из лучей на числовой оси: (-, 2) или (5, ).

Для того чтобы z принадлежал хотя бы одному из лучей, нужно, чтобы был ис­тинным хотя бы одно из условий: (z < 2) или (z > 5). В ячейке D6 разместим формулу =ИЛИ(z<2;z>5). А6 содержит число 3 поэтому формула возвращает ЛОЖЬ.

На приведенных примерах можно убедиться, что в логических выражениях число 1 ведет себя как ИСТИНА, а число 0 как ЛОЖЬ.

5

studfiles.net

Таблицы истинности, с формулами и примерами

Они могут принимать значения «истина» или «ложь» (1 или 0). Для функции, содержащей две переменные, наборов значений переменных всего четыре:

Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности.

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

1. Конъюнкция (логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.

Обозначение:

2. Дизъюнкция (логическое сложение) – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражения ложны.

Обозначение:

3. Импликация (логическое следствие) – это сложное логическое выражение, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно.

Обозначение:

4. Эквиваленция – это сложное логическое высказывание, которое является истинным только при одинаковых значениях истинности простых выражений, входящих в него.

Обозначение:

5. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.

Обозначение:

6. Штрих Шеффера – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение ложно тогда и только тогда, когда оба простых выражения истинны.

Обозначение:

7. Стрелка Пирса – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение истинно тогда и только тогда, когда оба простых выражения ложны.

Обозначение:

Порядок выполнения логических операций

При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций:

1. Инверсия
2. Конъюнкция
3. Дизъюнкция
4. Импликация
5. Эквиваленция
6. Штрих Шеффера
7. Стрелка Пирса

Для последних двух операций приоритет не определен.

Замечание. Если необходимо изменить указанный порядок выполнения логических операций используются скобки.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Логические выражения и логическая таблица истинности. Правила построения

Логические выражения и таблица истинности

Примеры задач с решениями по этой теме Пройти тестирование по теме Контрольная по теме

 Таблица истинности – таблица, показывающая,  какие значения принимает составное высказывание при  всех сочетаниях (наборах)  значений  входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение – составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения  таблицы  истинности:

1.    подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2.   определить число строк в таблице по формуле m=2ⁿ, где n – количество переменных;

3.   подсчитать количество логических операций в формуле;

4.   установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5.   определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6.   выписать наборы входных переменных;

7.   провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1.      разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2.      разделить колонку  значений  второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3.      продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

 

Пример 1. Для формулы  A/\ (B \/ ¬B /\¬C) постройте  таблицу истинности.

 Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк – 2³ = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов – 3 + 5 = 8.

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Определите истинность  логического выражения  F(А, В) = (А\/ В)/\(¬А\/¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2.  m_строк=2ⁿ, m=2²=4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В;  2) ¬А;  3) ¬В;  4) ¬А\/¬В;  5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).

5. К_{столбцов}=n+5=2+5=7 столбцов.

 

А	В	А\/ В	¬А	¬В	¬А\/¬В	F
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

 Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

 

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

F = (A\/ B) /\ ¬С

1. В данной функции три логические переменные – А, В, С
2. количество строк таблицы = 2³ =8
3. В формуле 3 логические операции.
4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В;  2) ¬С; 3) (AVB) /\ ¬С  .

5. количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

А	В	С	A\/B	¬С	(A\/B) /\ ¬С
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

 

Пример 4.  Определите истинность формулы: F = ((С \/В) =>  В) /\ (А /\ В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

 

 

 

 

 

 

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

 

X	Y	Z	F
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1

 

Какое выражение соответствует F?

 1) ¬X/\¬Y/\Z                      2) ¬X\/¬Y\/Z                  3) X\/Y\/¬Z              4) X\/Y\/Z

 Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

X	Y	Z	F	¬X	¬Y	¬Z	¬X/\¬Y/\Z	¬X\/¬Y\/Z	X\/Y\/¬Z	X\/Y\/Z
0	0	0	1	1	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0	1	1	1

 Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Ответ: 3

 Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y  и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

 Рассмотрим данный конкретный пример:

1)      первое заданное выражение  ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2)      второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует  второй строке таблицы;

3)      третье выражение   X\/Y\/¬Z    соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

4)      четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Ответ: 3

mir-logiki.ru

Логические функции в Excel — НА ПРИМЕРАХ

В данной статье мы разберем сущность логических функций Excel: И, ИЛИ, ИСКЛИЛИ и НЕ. И разберем примеры решения логических функций, демонстрирующие их применение в MS Excel.

Вы узнаете, как расширить использование логических операторов и создать логические проверки для выполнения более сложных вычислений и более эффективного анализа данных. Логические функции, такие как И, ИЛИ, ИСКЛИЛИ и НЕ, помогут вам в этом.

Логические функции Excel – обзор

Microsoft Excel предоставляет четыре логические функции для работы с логическими значениями: И, ИЛИ, ИСКЛИЛИ и НЕ. Если вы хотите выполнить более одного сравнения в своей формуле или проверить несколько условий вместо одного, используете эти логические функции. Как и логические операторы, логические функции Excel возвращают значения ИСТИНА или ЛОЖЬ.

В следующей таблице приведено краткое описание того, что делает каждая логическая функция.

Логическая функция	Описание	Пример формулы	Описание формулы
И	Возвращает значение ИСТИНА, если все аргументы имеют значение ИСТИНА	=И(A2>=10; B2<5)	Формула возвращает значение ИСТИНА, если значение в ячейке A2 больше или равно 10, а значение в B2 меньше 5, ЛОЖЬ — в противном случае.
ИЛИ	Возвращает значение ИСТИНА, если хотя бы один аргумент имеет значение ИСТИНА	=ИЛИ(A2>=10; B2<5)	Формула возвращает ИСТИНА, если A2 больше или равно 10 или B2 меньше 5 или оба условия выполнены. Если ни одно из условий не выполнено формула возвращает ЛОЖЬ.
ИСКЛИЛИ	Возвращает логическое исключающее ИЛИ всех аргументов	=ИСКЛИЛИ(A2>=10; B2<5)	Формула возвращает ИСТИНА, если A2 больше или равно 10 или B2 меньше 5. Если ни одно из условий не выполняется или оба условия не выполнены, формула возвращает ЛОЖЬ.
НЕ	Меняет логическое значение своего аргумента на противоположное	=НЕ(A2>=10)	Формула возвращает ЛОЖЬ, если значение в ячейке A1 больше или равно 10; ИСТИНА в противном случае.

В дополнение к четырем логическим функциям, описанным выше, Microsoft Excel предоставляет 3 условные функции: ЕСЛИ, ЕСЛИОШИБКА и ЕСНД.

Логическая функция И в Excel

Функция И наиболее популярна из логических функций. Она пригодится, когда вам нужно проверить несколько условий и убедиться, что все они выполнены. Технически, логическая функция И проверяет условия, которые вы указываете, и возвращает ИСТИНА, если в результате вычисления всех аргументов получается значение ИСТИНА, ЛОЖЬ в противном случае.

Синтаксис логической функции И выглядит следующим образом:

=И(логическое_значение1; [логическое_значение2] …)

Теперь давайте рассмотрим некоторые примеры формул, демонстрирующие, как использовать логическую функцию И в формулах Excel.

Формула	Описание
=И(A2=»Яблоки»; B2>C2)	Логическая функция возвращает ИСТИНА, если A2 содержит «Яблоки», а B2 больше C2, ЛОЖЬ в противном случае.
=И(B2>50; B2=C2)	Логическая функция возвращает ИСТИНА, если B2 больше 50, а B2 равно C2, ЛОЖЬ в противном случае.
=И(A2=»Яблоки»; B2>=120; B2>C2)	Логическая функция возвращает ИСТИНА, если A2 содержит «Яблоки», B2 больше или равно 120, а B2 больше C2, ЛОЖЬ в противном случае.

Логические функции в Excel – Использование логической функции И

Логическая функция ИЛИ в Excel

Как логическая функция И, функция Excel ИЛИ является базовой логической функцией, которая используется для сравнения двух значений или операторов. Разница в том, что логическая функция ИЛИ возвращает ИСТИНА, если хотя бы один, если аргументы оцениваются как ИСТИНА, и возвращает ЛОЖЬ, если все аргументы ЛОЖЬ. Логическая функция ИЛИ доступна во всех версиях MS Excel.

Синтаксис логической функции Excel ИЛИ очень похож на функцию И:

=ИЛИ(логическое_значение1; [логическое_значение2];…)

Теперь, давайте запишем несколько формул, чтобы вы поняли, как работает логическая функция ИЛИ в Excel.

Формула	Описание
=ИЛИ(A2=»Яблоки»; A2=»Бананы»)	Логическая функция возвращает ИСТИНУ, если A2 содержит «Яблоки» или «Бананы», в противном случае ЛОЖЬ.
=ИЛИ(B2>=135; C2>=55)	Логическая функция возвращает ИСТИНУ, если B2 больше или равен 135 или C2 больше или равно 55, ЛОЖЬ в противном случае.
=ИЛИ(B2=»»; C2=»»)	Логическая функция возвращает ИСТИНУ, если ячейки B2 и/или C2 пустые, ЛОЖЬ в противном случае.

Логические функции в Excel – Использование логической функции ИЛИ

Как и логическая функция Excel И, ИЛИ широко используется для расширения полезности других функций Excel, которые выполняют логические проверки, например, функция ЕСЛИ.

Логическая функция ИСКЛИЛИ в Excel

В Excel 2013 Microsoft представила функцию ИСКЛИЛИ, которая является логической функцией исключающего ИЛИ. Для тех, кто не знаком с понятием «Исключающего ИЛИ», сначала может быть немного сложно понять суть логической функции, но, надеюсь, приведенное ниже объяснение иллюстрируемое примерами формул поможет прояснить суть.

Синтаксис логической функции ИСКЛИЛИ идентичен синтаксису ИЛИ:

=ИСКЛИЛИ(логическое_значение1; [логическое_значение2];…)

В простейшей версии формулы ИСКЛИЛИ, содержащей только 2 логических оператора, логическая функция Excel ИСКЛИЛИ вернет ИСТИНУ, если любой из аргументов имеет значение ИСТИНА. Если оба аргумента ИСТИНА, либо оба ЛОЖЬ, ИСКЛИЛИ возвращает ЛОЖЬ. Рассмотрим примеры формул:

Формула	Результат	Описание
=ИСКЛИЛИ(1>0; 2<1)	ИСТИНА	Логическая функция возвращает ИСТИНА, потому что первый аргумент ИСТИНА, а второй аргумент ЛОЖЬ.
=ИСКЛИЛИ(1<0; 2<1)	ЛОЖЬ	Логическая функция возвращает ЛОЖЬ, потому что оба аргумента ЛОЖЬ.
=ИСКЛИЛИ(1>0; 2>1)	ЛОЖЬ	Логическая функция возвращает ЛОЖЬ, потому что оба аргумента ИСТИНА.

Когда добавляется больше логических операторов, функция ИСКЛИЛИ в Excel работает следующим образом:

• ИСТИНА, если нечетное число аргументов оценивается как ИСТИНА;
• ЛОЖЬ, если общее число ИСТИННЫХ утверждений четно, или если все операторы ЛОЖЬ.

Представленное ниже изображение наглядно это иллюстрирует:

Логические функции в Excel – Использование логической функции ИСКЛИЛИ

Логическая функция НЕ в Excel

Функция НЕ является одной из простейших логических функций Excel с точки зрения синтаксиса:

=НЕ(логическое_значение)

Логическая функция НЕ в Excel используется, чтобы изменить значение своего аргумента. Другими словами, если логическое значение ЛОЖЬ, функция НЕ возвращает ИСТИНА и наоборот. Например, обе приведенные ниже формулы возвращают ЛОЖЬ:

Логические функции в Excel – Использование логической функции НЕ

По сути, именно так используются логические функции в Excel. Конечно, эти примеры в общих чертах описали возможности логических функций И, ИЛИ, ИСКЛИЛИ и НЕ, но зная основы, вы теперь можете расширить свои знания, решая реальные задачи и создавая сложные формулы в ваших рабочих листах.

naprimerax.org

9.Возрастание и убывание функции

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где — достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

• если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

• если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• решить неравенства и на области определения;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

функция возрастает при , убывает на интервале (0;2].

studfiles.net

Возрастание и убывание функций | Алгебра

Определения

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если  бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

   

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

   

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).

На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).

Пример 1.

Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x₁;x₅]:

Функция y=f(x) возрастает на промежутках [x₂;x₃] и [x₄;x₅]

Функция y=f(x) убывает на промежутках [x₁;x₂] и [x₃;x₄].

Кратко это записывают так:

   

   

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k<0.

 

5) Если для любых двух значений x₁,x₂ из некоторого промежутка выполняется условие

   

то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.

6) Если для любых двух значений x₁,x₂ из некоторого промежутка выполняется условие

   

то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.

7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.

Пример 2.

Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых  функции y=g(x), определённая на отрезке [x₁;x₃], является невозрастающей и неубывающей:

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x₁;x₂].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x₂;x₃].

 

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

Для этого при условии x₂>x₁ на промежутке надо доказать выполнение одного из неравенств: f(x₂)>f(x₁) либо f(x₂)>f(x₁), то есть определить f(x₂)-f(x₁)>0 или f(x₂)-f(x₁)<0.

Примеры.

1) Доказать, что функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Доказательство:

Функция определена на всей числовой прямой.

Пусть x₂>x₁.

f(x₁)=x₁²+4x₁, f(x₂)=x₂²+4x₂,

f(x₂)-f(x₁)=(x₂²+4x₂)-(x₁²+4x₁)=x₂²+4x₂-x₁²-4x₁=

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

=(x₂²-x₁²)+(4x₂-4x₁)=(x₂-x₁)(x₂+x₁)+4(x₂-x₁)=

Теперь выносим общий множитель (x₂-x₁) за скобки:

=(x₂-x₁)(x₂+x₁+4).

Так как x₂>x₁, то x₂-x₁>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x₁, x₂ ∈(-∞;-2) x₂+x₁+4<0. Значит, (x₂-x₁)(x₂+x₁+4)<0 и f(x₂)<f(x₁). Отсюда следует, что функция функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что функция

   

возрастает на промежутке (2;+∞).

Доказательство:

Функция определена при x∈(-∞;2) и (2;+∞).

Пусть x₂>x₁.

   

   

Так как x₂>x₁, то x₂-x₁>0.

Для x₁, x₂ ∈ (2;+∞) (2-x₁)(2-x₂)>0. Значит,

   

Отсюда y(x₂)-y(x₁)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

 

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной  (начала математического анализа — производную и её применение —  проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

www.algebraclass.ru

Возрастание и убывание функций, экстремумы

Экстремумы функции

Определение 1

Точки $x_0$ называются точками экстремума функции, если они являются точками максимума и минимума для функции $f(x)$.

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ — внутренняя точка области определения;

2) $f’\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 1

Необходимое условие экстремума

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо $f’\left(x_0\right)=0$, либо производная в точке $x_0$ не существует.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f’\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f’\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f’\left(x\right)0$, то точка $x_0$ — точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f’\left(x\right) >0$ или производная $f’\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f'(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f’\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f'(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f’\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f’\left(x\right)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения — все действительные числа;

2) $f’\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f’\left(x\right)=0$;

\[6x^2-30x+36=0\] \[x^2-5x+6=0\] \[x=3,\ x=2\]

4) $f'(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом промежутке:

\[f’\left(x\right) >0,\ при\ \left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )\] \[f’\left(x\right)7) Изобразим все на одном рисунке:

Рисунок 4.

Получаем:

Функция возрастает, при $\left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )$, функция убывает, при $\left(2,3\right)$.

Точка $x=2$ — точка максимума, точка $x=3$ — точка минимума.

spravochnick.ru

«Возрастание и убывание функции»

«Возрастание и убывание функции»

Цели урока:

1.        Научить находить промежутки монотонности.

2.        Развитие мыслительных способностей, обеспечивающих анализ ситуации и разработку адекватных способов действия (анализ, синтез, сравнение).

3.        Формирование интереса к предмету.

Ход урока

Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применениик исследованию функций. Фронтальная работа

А теперь дадим некоторые определения свойствам функции “Мозговой штурм”

1.        Что называют функцией?

2.        Как называется переменная Х?

3.        Как называется переменная Y?

4.        Что называется областью определения функции?

5.        Что называется множеством значения функции?

6.        Какая функция называется чётной?

7.        Какая функция называется нечётной?

8.        Что можно сказать о графике чётной функции?

9.        Что можно сказать о графике нечётной функции?

10.     Какая функция называется возрастающей?

11.     Какая функция называется убывающей?

12.     Какая функция называется периодической?

 

Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция. Существуют разные способы описания функций. Какой самый наглядный?

– Графический.

– Как построить график?

– По точкам.

Этот способ подойдет, если заранее известно, как примерно выглядит график. Например, что является графиком квадратичной функции, линейной функции, обратной пропорциональности, функции y = sinx? (Демонстрируются соответствующие формулы, учащиеся называют кривые, являющиеся графиками.)

А что если требуется построить график функции или еще более сложной? Можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками?

Поставить на доске две точки, попросить учеников показать, как может выглядеть график “между ними”:

Выяснить, как ведет себя функция, помогает ее производная.

Откройте тетради, запишите число, классная работа.

Цель урока: узнать, как связан график функции с графиком ее производной, и научиться решать задачи двух видов:

1.        По графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;

2.        По схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции.

Подобные задания отсутствуют в наших учебниках, но встречаются в тестах единого государственного экзамена (часть А и В).

 Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции — определение промежутков монотонности

Для решения поставленной задачи, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее.

Итак, запишем тему сегодняшнего урока: Признаки возрастания и убывания функции.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) > 0,  то функция в этом интервале возрастает.    
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает

.

Порядок нахождения промежутков монотонности:

 Найти область определения функции.

1.        Найти первую производную функции.

2.        решать самой на доске

Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции. Найти промежутки монотонности функций:

1)

а) область определения ,

б) найдем первую производную:,

в)найдем критические точки: ; ,  и

3.        Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

 указать  на точки экстремума

       Рассмотрим несколько примеровисследования функции на возрастание и убывание.

 Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с «+» на «-«, а для минимума с «-» на «+». Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет

1. Найти Д(f).

2. Найти f'(x).

3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на    каждом из интервалов

6. Применить признаки.

7. Записать ответ.

 

. Закрепление нового материала.

Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.

а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9;

б) у = 3 х² — 5х + 4.

Двое работают у доски.

а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40

б) у =  х4  —  2 х³

      

3.Итог урока

Домашнее задание: тест (дифференцированный)

infourok.ru

Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты

	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты Основные свойства функций. Понятие функции. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты. Алгоритм описания функции. Понятие функции. Область определения и значения Числовая функция y=f(x) это соответствие, которое каждому числу x (аргумент функции) из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y (значение функции) Область определения функции D это множество значений х Область значений функции E это множество значений y График функции это множество точек координатной плоскости (x,y), таких, что y=f(x) Понятие функции. Четность и нечетность Функция f(x) четная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=f(x) График четной функции симметричен относительно оси y Функция f(x) нечетная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=-f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат

dpva.ru

возрастание и убывание функции в точке

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале. В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач. Рекомендуем при необходимости обращаться к разделу дифференцирование функции, так как все признаки в этой статье основаны на нахождении производной. 

Необходимые определения.

Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b), то есть при x = a и x = b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X. К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y = sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке . Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают . Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают . Под окрестностью точки понимают интервал , где — достаточно малое положительное число.  Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции. На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a; b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x = b, которая не является точкой максимума.

К началу страницы 

Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма. Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции . Решение. Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, . Переходим к производной функции:   Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.   Таким образом, и . В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы. Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.   Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2].  К началу страницы 

Достаточные признаки экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них. Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

Другими словами:

Алгоритм.

• Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

• Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

• Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров.

studfiles.net

Возрастание, убывание и монотонность функции

Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[, принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) > f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) < f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Теорема 1. Если во всех точках некоторого промежутка производная функции равна нулю (f ‘(x) = 0), то функция f(x) сохраняет в этом промежутке постоянное значение.

Этот промежуток может быть замкнутым или открытым, конечным или бесконечным.

Теорема 2 (достаточный признак возрастания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции больше нуля (f ‘(x) > 0), то функция f(x) возрастает в этом промежутке.

Теорема 3 (достаточный признак убывания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции меньше нуля (f ‘(x) < 0), то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Замечание. Условия теорем 2 и 3 не являются в полной мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно заменить нестрогими неравенствами и считать, что производная функции больше или равна нулю (f ‘(x) ≥ 0) или меньше или равна нулю (f ‘(x) ≤ 0), так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается в нуль в конечном множестве точек.

Весь блок «Производная»

function-x.ru

Решение задач по теме «Первый признак равенства треугольников»

Вспомним предварительно формулировку первого признака равенства треугольников.

Рис. 1. Первый признак равенства треугольников

Определение: Первый признак равенства треугольников – это равенство их по углу и прилежащим сторонам.

Из этих трех равенств и вытекает равенство самих треугольников.

Смысл равенства треугольников заключается в том, что при совмещении этих трех элементов гарантируется совмещение, то есть равенство всех остальных элементов двух треугольников.

Рассмотрим следующие задачи:

Пример 1: Измерить на местности расстояние между двумя точками A и B, между которыми нельзя пройти по прямой. Для этого выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и к точке В, и из которой видны обе эти точки. Провешивают расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют СD = AC и ЕС = СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию. Объясните, почему.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Продлим отрезки АС и ВС. Отмеряем СЕ = СВ и CD = CA. ∆CDE = ∆CAB по первому признаку.

.

Из равенства треугольников следует, что ED = AB.

Ответ: Задача решена.

Пример 2: Через середину О отрезка АВ проведена прямая р, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В (каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку АВ равноудалена от его концов).

Решение:

Рис. 3. Чертеж к примеру 2

Рассмотрим треугольники АОХ и ВОХ. ∆АОХ = ∆ВОХ – по первому признаку.

Из равенства треугольников следует, что АХ = ВХ для любой произвольной точки Х, которая принадлежит прямой р.

Ответ: Доказано.

Пример 3: На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне треугольника  взята точка . Известно, что треугольники ADC и  равны и отрезки DB и  равны. Докажите равенство треугольников АВС и .

Решение:

Рис. 4. Чертеж к примеру 3

Рассмотрим треугольники АВС и . В них . АС =  (поскольку треугольники ADC и  равны по условию). В нашем случае для доказательства необходимо лишь, чтобы АВ =  . Докажем, что это действительно так.

AD =  из равенства треугольников. DB =  по условию. Отсюда следует, что АВ = .  и прилежащие к ним стороны тоже равны у двух треугольников, значит, АВС = .

Ответ: Доказано.

Пример 4: На сторонах ВС и  равных треугольников АВС и  взяты соответственно точки М и , причем ВМ : BС = : = 1 : 3. Доказать, что АМ = .

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 4

Из равенства треугольников АВС и  следует, что , АВ = , ВС = . Для доказательства того, что ∆АВМ = ∆, у нас есть уже два необходимых элемента, это равенство углов  и равенство сторон АВ = , значит, нам необходимо доказать, что ВМ = .                                                          =

Треугольники ∆АВМ = ∆ по первому признаку. А значит, АМ = .

Ответ: Доказано.

Пример 5: На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е – на отрезке AD, причем АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что .

Решение:

Рис. 6. Чертеж к примеру 5

Обозначим  как  и как . Доказать, что , – это то же самое, что доказать равенство смежных с ними углов и . ∆BAD = ∆EAC по первому признаку, поскольку у них общий, ВА = ЕА и AD = AC. , так как они лежат напротив равных сторон AD и AC соответственно. Мы доказали равенство смежных углов, а значит, и доказали равенство искомых. .

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели несколько примеров на первый признак равенства треугольника. На следующем уроке мы познакомимся с перпендикуляром, проведенным к прямой.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).
2. Прямая линия, отрезок (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. №35 (д). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
2. Постройте треугольник по заданному углу и двум прилежащим к нему сторонам.
3. Докажите по первому признаку равенства треугольников, что диагональ квадрата делит его на 2 равных треугольника.

interneturok.ru

Задачи на первый признак равенства треугольников

Рассмотрим конкретные задачи на первый признак равенства треугольников.

1) Дано:

AB=AD,

∠BAC=∠DAC

Доказать: ∆ABC=∆ADC

Доказательство:

Выделим треугольники, равенство которых надо доказать, разными цветами.

Этот ход сразу позволяет увидеть, что данные треугольники имеют общую сторону AC.

Теперь запишем равные пары элементов.

1) AB=AD (по условию)

2) ∠BAC=∠DAC (по условию)