Рубрика: Школьная жизнь

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Четность-нечетность функции. Период функции

Способы задания функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^{2}-3. Назначая любые значения независимой переменной x, можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y. Например, если x=-0,5, то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 \cdot (-0,5)^{2}-3=-2,5.

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^{2}-3, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x. Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy.

Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0).

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

f(x)=3x^{3}-7x^{7}

D(f)=(-\infty ; +\infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^{3}-7 \cdot (-x)^{7}= -3x^{3}+7x^{7}= -(3x^{3}-7x^{7})= -f(x).

Значит, функция f(x)=3x^{3}-7x^{7} является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x), в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x), называется периодической функцией с периодом T \neq 0.

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T.

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 — отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_{1}; x_{2}) \cup (x_{3}; +\infty )

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0 — отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x) < 0 на (-\infty; x_{1} ) \cup (x_{2}; x_{3} )

Ограниченность функции

Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число A, для которого выполняется неравенство f(x) \geq A для любого x \in X.

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1+x^{2}} так как y=\sqrt{1+x^{2}} \geq 1 для любого x.

Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число B, для которого выполняется неравенство f(x) \neq B для любого x \in X.

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1-x^{2}}, x \in [-1;1] так как y=\sqrt{1+x^{2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1].

Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0, для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X.

Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1.

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) > y(x_{2}).

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) < y(x_{2}).

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0

г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0, то она будет убывать и при x < 0

Экстремумы функции

Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}). y_{min} — обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0}). y_{max} — обозначение функции в точке max.

Необходимое условие

Согласно теореме Ферма: f'(x)=0 тогда, когда у функции f(x), что дифференцируема в точке x_{0}, появится экстремум в этой точке.

Достаточное условие

1. Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
2. x_{0} — будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0}.

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Шаги вычислений:

1. Ищется производная f'(x);
2. Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку [a; b];
3. Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции, а большее — наибольшим.

academyege.ru

Функции четные и нечетные

Понятия четной и нечетной функции вам хорошо знакомы, и, как правило, их определения даются с упоминанием области определения, например: функция у=f(x) называется четной, если ее область определения D(f) симметрична относительно начала координат, и для всех х из этой области определения выполняется равенство f(-x)=f(x).

Между тем, если равенство f(x)=f(-x) выполняется, то уж во всяком случае обе его части имеют смысл, так что если $x\in D(f)$, что прямо сказано в определении, то и $-x\in D(f)$, а это означает, что область определения D(f) симметрична относительно начала координат. Иными словами, условие, наложенное на D(f) в этом определении, — лишнее: его выполнение логически следует из главного условия f(x)=f(-x).

Это не значит, конечно, что данное определение не­правильное, оно лишь «неэкономное», и в учебниках определение четной функции дается в таком виде, для того чтобы лишний раз напомнить о симметричности области определения такой функции.

С терминами четная и нечетная также возникает языковой эффект, похожий на тот, о котором мы ранее уже говорили: свойства четности и нечетности для функций не являются отрицаниями друг друга, как можно подумать, исходя из четности и нечетности натуральных и целых чисел. Равенства f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x) не противоречат, как может показаться, друг другу, но могут выполняться одновременно — правда, только в случае, когда f(x)=f(-x)=0 («особое» число 0, как вы уже многократно убеждались в разных ситуациях, нередко «отравляет жизнь»).

Поэтому функция может быть одновременно и четной, и нечетной, и простейшим примером такой функции является постоянная функция — тождественный нуль, т.е. равная 0 при всех значениях аргумента. Можно и описать все функции, одновременно четные и нечетные — это, очевидно, такие функции, имеющие в качестве области определения произвольное симметричное относительно начала координат множество чисел, но принимающее на ней только нулевое значение.

При решении задач, где требуется выяснить, является ли заданная функция четной или нечетной, многие часто склонны судить только по внешнему виду главного равенства и считать, например, что функция $y=x^3+2x^2$ не является ни четной, ни нечетной, потому что, как обычно пишут,

$(-x)^3=-x^3, 2(-x)^2=2x^2, (-x)^3+2(-x)^2=-x^3+2x^2$

a $-x^3+2x^2\neq x^3+2x^2, -x^3+2x^2\neq –(x^3+2x^2)$.

Поэтому ниже мы приводим, можно сказать, хрестоматийный пример функции, где опора только на внешний вид выражения приводит к неверному выводу: это функция $y=f(x)=\log_{c}(x+\sqrt{x^2+1}$. Выражение $y=f(-x)=\log_{c}(-x+\sqrt{x^2+1}$ судя по его внешнему виду, не совпадает ни с f(x), ни с -f(x), а на самом деле $f(x)+f(-x)=\log_{c}(x+\sqrt{x^2+1}+\log_{c}(-x+\sqrt{x^2+1}=\log_{c}(x^2+1-x^2)=\log{c}1=0$ т.е. f(x)=-f(-x), так что функция $y=f(x)=\log_{c}(x+\sqrt{x^2+1}$ — нечетная.

Поэтому для доказательства того, что заданная функция не является ни четной, ни нечетной, надо приводить подтверждающие этот факт примеры. Обычно это очень просто: например, для рассмотренной выше функции $y=x^3+2x^2$, взяв 1 и -1, получим, что f(-1)=1, f(1)=3, так что f(-1) не равно ни f(1), ни f(-1). Это рассуждение есть приведение контрпримера.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Коэффициент парной корреляции — Циклопедия

Коэффициент парной корреляции (Пирсона) — это некоторое число от -1 до 1, характеризующее тесноту линейной корреляционной связи (корреляцию) между зависимой случайной величиной и независимой случайной величиной.

n — число наблюдений;

x_i — i-ое наблюдаемое значение независимой случайной величины;

y_i — i-ое наблюдаемое значение зависимой случайной величины;

r_xy — коэффициент парной корреляции.

[math]r_{xy}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2\sum\limits_{i=1}^{n}\left(y_i-\overline{y}\right)^2}}\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow r_{xy}=\frac{\overline{x\cdot y}-\overline{x}\cdot\overline{y}}{\sqrt{\overline{x^2}-\overline{x}^2}\cdot\sqrt{\overline{y^2}-\overline{y}^2}}\Leftrightarrow r_{xy}=\frac{\overline{x\cdot y}-\overline{x}\cdot\overline{y}}{\sigma_x\cdot\sigma_y}\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow r_{xy}=\frac{n\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i-\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}y_i}{\sqrt{n\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\right)^2}\cdot\sqrt{n\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i\right)^2}}[/math]

[править] Другие формулы

[править] Другие разделы

cyclowiki.org

Коэффициент парной корреляции в Excel

Коэффициент корреляции отражает степень взаимосвязи между двумя показателями. Всегда принимает значение от -1 до 1. Если коэффициент расположился около 0, то говорят об отсутствии связи между переменными.

Если значение близко к единице (от 0,9, например), то между наблюдаемыми объектами существует сильная прямая взаимосвязь. Если коэффициент близок к другой крайней точке диапазона (-1), то между переменными имеется сильная обратная взаимосвязь. Когда значение находится где-то посередине от 0 до 1 или от 0 до -1, то речь идет о слабой связи (прямой или обратной). Такую взаимосвязь обычно не учитывают: считается, что ее нет.

Расчет коэффициента корреляции в Excel

Рассмотрим на примере способы расчета коэффициента корреляции, особенности прямой и обратной взаимосвязи между переменными.

Значения показателей x и y:

Y – независимая переменная, x – зависимая. Необходимо найти силу (сильная / слабая) и направление (прямая / обратная) связи между ними. Формула коэффициента корреляции выглядит так:

Чтобы упростить ее понимание, разобьем на несколько несложных элементов.

1. Найдем средние значения переменных, используя функцию СРЗНАЧ:
2. Посчитаем разницу каждого y и yсредн., каждого х и хсредн. Используем математический оператор «-».
3. Теперь перемножим найденные разности:
4. Найдем сумму значений в данной колонке. Это и будет числитель.
5. Для расчета знаменателя разницы y и y-средн., х и х-средн. Нужно возвести в квадрат.
6. Находим суммы значений в полученных колонках (с помощью функции АВТОСУММА). Перемножаем их. Результат возводим в квадрат (функция КОРЕНЬ).
7. Осталось посчитать частное (числитель и знаменатель уже известны).

Между переменными определяется сильная прямая связь.

Встроенная функция КОРРЕЛ позволяет избежать сложных расчетов. Рассчитаем коэффициент парной корреляции в Excel с ее помощью. Вызываем мастер функций. Находим нужную. Аргументы функции – массив значений y и массив значений х:

Покажем значения переменных на графике:

Видна сильная связь между y и х, т.к. линии идут практически параллельно друг другу. Взаимосвязь прямая: растет y – растет х, уменьшается y – уменьшается х.

Матрица парных коэффициентов корреляции в Excel

Корреляционная матрица представляет собой таблицу, на пересечении строк и столбцов которой находятся коэффициенты корреляции между соответствующими значениями. Имеет смысл ее строить для нескольких переменных.

Матрица коэффициентов корреляции в Excel строится с помощью инструмента «Корреляция» из пакета «Анализ данных».

1. На вкладке «Данные» в группе «Анализ» открываем пакет «Анализ данных» (для версии 2007). Если кнопка недоступна, нужно ее добавить («Параметры Excel» — «Надстройки»). В списке инструментов анализа выбираем «Корреляция».
2. Нажимаем ОК. Задаем параметры для анализа данных. Входной интервал – диапазон ячеек со значениями. Группирование – по столбцам (анализируемые данные сгруппированы в столбцы). Выходной интервал – ссылка на ячейку, с которой начнется построение матрицы. Размер диапазона определится автоматически.
3. После нажатия ОК в выходном диапазоне появляется корреляционная матрица. На пересечении строк и столбцов – коэффициенты корреляции. Если координаты совпадают, то выводится значение 1.

Между значениями y и х1 обнаружена сильная прямая взаимосвязь. Между х1 и х2 имеется сильная обратная связь. Связь со значениями в столбце х3 практически отсутствует.

Изобразим наглядно корреляционные отношения с помощью графиков.

1. Сильная прямая связь между y и х1.
2. Сильная обратная связь между y и х2. Изменения значений происходят параллельно друг другу. Но если y растет, х падает. Значения y увеличиваются – значения х уменьшаются.
3. Отсутствие взаимосвязи между значениями y и х3. Изменения х3 происходят хаотично и никак не соотносятся с изменениями y.

Скачать вычисление коэффициента парной корреляции в Excel

Для чего нужен такой коэффициент? Для определения взаимосвязи между наблюдаемыми явлениями и составления прогнозов.

exceltable.com

Анализ линейных коэффициентов парной корреляции

Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в уравнении множественной регрессии. Линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех других переменных, представленных в уравнении множественной регрессии.

Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно получить, используя инструмент анализа данных Корреляция.

Выполните команду Меню, Данные, Анализ данных, Корреляция и заполните диалоговое окно

Вывод.

Из анализа коэффициентов парной корреляции следует, что значение r_yx1=0,9168 указывает на тесную связь междуyиx1, а значениеr_x2x1=0,6625 говорит о тесной связи междуx2иx1, при этомr_yx2=0,5925<.r_x2x1, т.е.x2 можно пренебречь.

3. Расчёт коэффициентов частной корреляции

В ППП EXCELнет специального инструмента для расчёта линейных коэффициентов частной корреляции. Их можно рассчитать по рекуррентной формуле через коэффициенты парной корреляции

Вывод.

Из анализа частных коэффициентов множественной корреляции следует, что значение r_yx1/x2=0,8688 (x2 фиксируем) указывает на тесную связь междуyиx1, а значениеr_yx2/x1=—0,04968 (x1 фиксируем) говорит о слабой связи междуx2иy.

В связи с этим, для улучшения данной модели можно исключить из неё фактор x2, как малоинформативный, недостаточно статистически надёжный.

4. Вычисление методом стандартизации переменных

Стандартизованные частные коэффициенты регрессии – β-коэффициенты — показывают, на какую часть своего среднеквадратического отклонения изменится признак-результатyс увеличением соответствующего фактораx_iна величину своего среднеквадратического отклонения при неизменном влиянии прочих факторов модели.

Для вычисления коэффициентов множественной регрессии применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнения в стандартизованном масштабе

t_y=β₁*t_x1+ β₂*t_x2

Расчёт β-коэффициентов выполняется по формулам:

В результате получаем β-коэффициенты

: β₁=0,9343, β₂= — 0,0265,

Уравнение в стандартизованном масштабе

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁иb₂, используя формулы перехода;

В результате получаем: b₁=0,9108, b₂= — 0,007756.

Значение aопределим из соотношения

Вывод.

• В данном примере статистически значимыми являются a иb₁, а величинаb₂сформировалась под воздействием случайных причин, поэтому факторx₂, силу влияния которого оцениваетb₂, можно исключить как несущественно влияющий, неинформативный.

Лабораторная работа №6. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии с помощью функций регрессия и поиск решения

1. Вычисление параметров с помощью функции Регрессия

Второй способ получения оценок параметров уравнения множественной регрессии: с помощью инструмента EXCELРегрессия:

Исходный диапазон

Выполните команду меню Данные, Анализ данных, Регрессия. Заполните диалоговое окно как показано на рисунке ниже;

Уравнение регрессии

Результаты анализа:

• Значения случайных ошибок параметров a , b₁ и b₂с учётом округления соответственно равны 0,7996 0,1962 и 0,0589 Они показывают, какое значение данной характеристики сформировалось под влиянием случайных факторов.

• Значения t-критерия Стьюдента соответственно равны 4,4303 4,6417 и -0,1316. Если значениеt-критерия больше 2-3, можно сделать вывод о существенности данного параметра, который формируется под воздействием неслучайных причин. В данном примере статистически значимыми являютсяa иb₁, а величинаb₂сформировалась под воздействием случайных причин, поэтому факторx₂, силу влияния которого оцениваетb₂, можно исключить как несущественно влияющий, неинформативный.

Главным показателем качества модели множественной регрессии, как и для парной корреляции, является коэффициент множественной детерминации R², который характеризует совместное влияние всех факторов на результат.

Расчёт линейного коэффициента множественной корреляции:

Получаем R_yx1x2=0,9170 (сравните с результатами функцииРегрессии). Зависимостьyотx1иx2характеризуется как тесная.

studfiles.net

Коэффициент парной корреляции — МегаЛекции

Работа с массивами в Excel

Во время работы с таблицами Excel довольно часто приходится оперировать с целыми диапазонами данных. При этом некоторые задачи подразумевают, что вся группа ячеек должна быть преобразована буквально в один клик. В Экселе имеются инструменты, которые позволяют проводить подобные операции. Давайте выясним, как можно управлять массивами данных в этой программе.

Операции с массивами

Массив – это группа данных, которая расположена на листе в смежных ячейках. По большому счету, любую таблицу можно считать массивом, но не каждый из них является таблицей, так как он может являться просто диапазоном. По своей сущности такие области могут быть одномерными или двумерными (матрицы). В первом случае все данные располагаются только в одном столбце или строке.

Во втором — в нескольких одновременно.

Кроме того, среди одномерных массивов выделяют горизонтальный и вертикальный тип, в зависимости от того, что они собой представляют – строку или столбец.

Нужно отметить, что алгоритм работы с подобными диапазонами несколько отличается от более привычных операций с одиночными ячейками, хотя и общего между ними тоже много. Давайте рассмотрим нюансы подобных операций.

Создание формулы

Формула массива – это выражение, с помощью которого производится обработка диапазона с целью получения итогового результата, отображаемого цельным массивом или в одной ячейке. Например, для того, чтобы умножить один диапазон на второй применяют формулу по следующему шаблону:

=адрес_массива1*адрес_массива2

Над диапазонами данных можно также выполнять операции сложения, вычитания, деления и другие арифметические действия.

Координаты массива имеют вид адресов первой её ячейки и последней, разделенные двоеточием. Если диапазон двумерный, то первая и последняя ячейки расположены по диагонали друг от друга. Например, адрес одномерного массива может быть таким: A2:A7.

А пример адреса двумерного диапазона выглядит следующим образом: A2:D7.

1. Чтобы рассчитать подобную формулу, нужно выделить на листе область, в которую будет выводиться результат, и ввести в строку формул выражение для вычисления.



2. После ввода следует нажать не на кнопку Enter, как обычно, а набрать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. После этого выражение в строке формул будет автоматически взято в фигурные скобки, а ячейки на листе будут заполнены данными, полученными в результате вычисления, в пределах всего выделенного диапазона.

Изменение содержимого массива

Если вы в дальнейшем попытаетесь удалить содержимое или изменить любую из ячеек, которая расположена в диапазоне, куда выводится результат, то ваше действие окончится неудачей. Также ничего не выйдет, если вы сделаете попытку отредактировать данные в строке функций. При этом появится информационное сообщение, в котором будет говориться, что нельзя изменять часть массива. Данное сообщение появится даже в том случае, если у вас не было цели производить какие-либо изменения, а вы просто случайно дважды щелкнули мышью по ячейке диапазона.

Если вы закроете, это сообщение, нажав на кнопку «OK», а потом попытаетесь переместить курсор с помощью мышки, или просто нажмете кнопку «Enter», то информационное сообщение появится опять. Не получится также закрыть окно программы или сохранить документ. Все время будет появляться это назойливое сообщение, которое блокирует любые действия. А выход из ситуации есть и он довольно прост

1. Закройте информационное окно, нажав на кнопку «OK».



2. Затем нажмете на кнопку «Отмена», которая расположена в группе значков слева от строки формул, и представляет собой пиктограмму в виде крестика. Также можно нажать на кнопку Esc на клавиатуре. После любой из этих операций произойдет отмена действия, и вы сможете работать с листом так, как и прежде.

Но что делать, если действительно нужно удалить или изменить формулу массива? В этом случае следует выполнить нижеуказанные действия.

1. Для изменения формулы выделите курсором, зажав левую кнопку мыши, весь диапазон на листе, куда выводится результат. Это очень важно, так как если вы выделите только одну ячейку массива, то ничего не получится. Затем в строке формул проведите необходимую корректировку.



2. После того, как изменения внесены, набираем комбинацию Ctrl+Shift+Esc. Формула будет изменена.

1. Для удаления формулы массива нужно точно так же, как и в предыдущем случае, выделить курсором весь диапазон ячеек, в котором она находится. Затем нажать на кнопку Delete на клавиатуре.



2. После этого формула будет удалена со всей области. Теперь в неё можно будет вводить любые данные.

Функции массивов

Наиболее удобно в качестве формул использовать уже готовые встроенные функции Excel. Доступ к ним можно получить через Мастер функций, нажав кнопку «Вставить функцию» слева от строки формул. Или же во вкладке «Формулы» на ленте можно выбрать одну из категорий, в которой находится интересующий вас оператор.

После того, как пользователь в Мастере функций или на ленте инструментов выберет наименование конкретного оператора, откроется окно аргументов функции, куда можно вводить исходные данные для расчета.

Правила ввода и редактирования функций, если они выводят результат сразу в несколько ячеек, те же самые, что и для обычных формул массива. То есть, после ввода значения обязательно нужно установить курсор в строку формул и набрать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Урок: Мастер функций в Excel

Оператор СУММ

Одной из наиболее востребованных функций в Экселе является СУММ. Её можно применять, как для суммирования содержимого отдельных ячеек, так и для нахождения суммы целых массивов. Синтаксис этого оператора для массивов выглядит следующим образом:

=СУММ(массив1;массив2;…)

Данный оператор выводит результат в одну ячейку, а поэтому для того, чтобы произвести подсчет, после внесения вводных данных достаточно нажать кнопку «OK» в окне аргументов функции или клавишу Enter, если ввод выполнялся вручную.

Урок: Как посчитать сумму в Экселе

Оператор ТРАНСП

Функция ТРАНСП является типичным оператором массивов. Она позволяет переворачивать таблицы или матрицы, то есть, менять строки и столбцы местами. При этом она использует исключительно вывод результата в диапазон ячеек, поэтому после введения данного оператора обязательно нужно применять сочетание Ctrl+Shift+Enter. Также нужно отметить, что перед введением самого выражения нужно выделить на листе область, у которой количество ячеек в столбце будет равно числу ячеек в строке исходной таблицы (матрицы) и, наоборот, количество ячеек в строке должно равняться их числу в столбце исходника. Синтаксис оператора следующий:

=ТРАНСП(массив)

Урок: Транспонирование матриц в Excel

Урок: Как перевернуть таблицу в Экселе

Оператор МОБР

Функция МОБР позволяет производить вычисление обратной матрицы. Все правила ввода значений у этого оператора точно такие же, как и у предыдущего. Но важно знать, что вычисление обратной матрицы возможно исключительно в том случае, если она содержит равное количество строк и столбцов, и если её определитель не равен нулю. Если применять данную функцию к области с разным количеством строк и столбцов, то вместо корректного результата на выходе отобразится значение «#ЗНАЧ!». Синтаксис у этой формулы такой:

=МОБР(массив)

Для того чтобы рассчитать определитель, применяется функция со следующим синтаксисом:

=МОПРЕД(массив)

Урок: Обратная матрица в Excel

Как видим, операции с диапазонами помогают сэкономить время при вычислениях, а также свободное пространство листа, ведь не нужно дополнительно суммировать данные, которые объединены в диапазон, для последующей работы с ними. Все это выполняется «на лету». А для преобразования таблиц и матриц только функции массивов и подходят, так как обычные формулы не в силах справиться с подобными задачами. Но в то же время нужно учесть, что к подобным выражениям применяются дополнительные правила ввода и редактирования.

Помогла ли вам эта статья?

lumpics.ru

5 основных функции для работы с массивами

     Доброго времени суток друзья!

    Сегодня я бы хотел затронуть тему массивов, так как частенько возникает ситуация, когда нужно найти значение в большом массиве данных. Для этих целей в Excel существует целый раздел функции для работы с массивами, которые помогают нам выполнять работы с массивами, но сейчас мы рассмотрим самые распространенные.

     Обратите внимание, на эти функции, так как работа с огромными массивами данных, одна из самых распространенных и правильное использование этих функции позволит вам значительно упростить и облегчить работу с таблицами Excel.

     Ну, что же, изучим необходимые функции для работы с массивами:

     Позволит вам выбрать значение из общего списка по указанному номеру позиции:

           =ВЫБОР(2;»Стул»;»Стол»;»Шкаф»;»Диван»)

      Эта функция возвращает указанное значение из одно- или двумерного диапазона:

       =ИНДЕКС(A1:C6;4;3)

     Как видно с примера, полученное значение 37, в указанном диапазоне стоит на пересечении строки №4 и столбика №3 в диапазоне A1:C6 указанном в формуле. В более простом примере показано как в диапазоне С1:С6, на 2 месте находится значение 15:

       =ИНДЕКС(С1:С6;2)

     Эта функция вернет позицию значения, которое вы будете искать в указанном диапазоне:  

         =ПОИСКПОЗ(B3;B2:B5;0)

    С примера вы можете видеть что слово «Стол» занимает 2 позицию в указанном диапазоне. Замечу, что третий аргумент в функции не является обязательным. При введенном значении 0, функция вернет ту позицию элемента массива, которое точно совпадает со значением, которое мы ищем. В случае, когда точное совпадение отсутствует, функция выдаст ошибку #Н/Д (#N/A).

     Ищет значение в указанном диапазоне и возвращает значение ячейки, которая находится в указанной строке того же столбца:  =ГПР(C1;$B$1:$E$2;1;ЛОЖЬ). Как видите с примера, функция ГПР ищет в указанном диапазоне $B$1:$E$2 (знаком $ я указал абсолютную ссылку) и согласно условию возвращает искомое значение из первой строки, а аргумент «ЛОЖЬ» означает, что-либо, будет найдено нужное значение, либо мы получим ошибку #Н/Д.

     Во многом, даже очень во многом, похожа на функцию ГПР, но используется не для горизонтальных массивов, а вертикальных, что наиболее распространено в использовании.

         =ВПР(B4;$B$2:$C$5;2;ЛОЖЬ)

      Как видим, формула идентична предыдущей функции ГПР и так же ищет указанный номер «B4» в диапазоне $B$2:$C$5 со знаком $ (это сделано для создания абсолютной ссылки, что бы при копировании формулы на диапазон, аргумент не будет изменен), в третьем столбце, так как аргумент функции равен 2. Ну и четвёртый аргумент равен значению «ЛОЖЬ», это означает, что-либо будет найдено совпадение значений, либо будет получено сообщение об ошибке #Н/Д. Теперь при необходимости, мы копируем формулу, и она перенесёт все правильные аргументы по всему диапазону вычислений. Это возможно стало из-за абсолютной ссылки на массив значений, а вот первый аргумент на B4, при копировании, должен измениться на B5 и так далее.

     А на этом у меня всё! Я очень надеюсь, что описание 5 основных функций для работы с массивами вам стали ближе и понятнее. Буду очень благодарен за оставленные комментарии, так как это показатель читаемости и вдохновляет на написание новых статей! Делитесь с друзьями прочитанным и ставьте лайк!

     Не забудьте поблагодарить автора! 

Деньги для людей умных составляют средство, для глупцов — цель. А. Декурсель

Статья помогла? Поделись ссылкой с друзьями, твитни или лайкни!

topexcel.ru

Работа с массивами данных эксель

Управление массивами в Microsoft Excel

​Смотрите также​ или удалить одну​ Enter, как обычно,​Скачать примеры массива функций​ простые формулы. Это​Примечание. Двумерные массивы Excel​ статье «Сортировка в​ когда видит фигурные​.​ обмена (​ качестве результата массив:​ массивах разделяются точкой​Обратная матрица в Excel​ вручную.​ области. Теперь в​ переместить курсор с​

​ действия.​Во время работы с​

Операции с массивами

​ отдельно взятую формулу​ а​Распространенная ошибка при работе​ сокращенный вариант, вместивший​ могут занимать сразу​ Excel формулой» здесь.​ скобки. А именно​Массив в Excel​CTRL+C​Во втором случае формула​ с запятой (;).​Как видим, операции с​Урок:​ неё можно будет​ помощью мышки, или​Координаты массива имеют вид​ таблицами Excel довольно​ (например в ячейке​Ctrl + Shift +​

​ с массивами функций​ всю необходимую информацию​

​ несколько листов (это​Шестой пример.​ — к числу​ – это любое​) и вставить его​ вводится в одну​ Например, на рисунке​

​ диапазонами помогают сэкономить​Как посчитать сумму в​ вводить любые данные.​ просто нажмете кнопку​ адресов первой её​ часто приходится оперировать​ D10) и выдаст​ Enter​ – НЕ нажатие​ для решения сложной​

Создание формулы

​ сотни и тысячи​С помощью формулы​ 1+2, к 2+2,​ количество ячеек с​ в нужную формулу.​ ячейку и возвращает​ ниже представлен одномерный​ время при вычислениях,​ Экселе​Наиболее удобно в качестве​«Enter»​ ячейки и последней,​

​ с целыми диапазонами​

​ предупреждающее сообщение​Вуаля!​ кодового сочетания «Ctrl​ задачи.​ данных).​

​ массива можно удалить​ к 3+2, к​ данными (кроме одной),​Другим подходом для формирования​ только одно значение:​ горизонтальный массив, который​ а также свободное​Функция​ формул использовать уже​, то информационное сообщение​ разделенные двоеточием. Если​​ данных. При этом​​Невозможно изменить часть массива​

​Т.е. Excel произвел попарное​ + Shift +​Аргументы для функции –​​Формула массива – позволяет​​ из списка, столбца​

1. ​ 4+2, к 5+2,​ расположенных в строках,​ числовой последовательности является​Итак, в данном уроке​ состоит из 5​ пространство листа, ведь​ТРАНСП​
   
2. ​ готовые встроенные функции​ появится опять. Не​​ диапазон двумерный, то​​ некоторые задачи подразумевают,​.​​ умножение элементов массивов​​ Enter» (никогда не​ одномерные массивы. Формула​ обработать данные из​ пустые ячейки. Смотри​ к 6+2. Затем,​ столбцах, диапазонах. Можно​ использование формулы СТРОКА(A1:A3)​ Вы познакомились с​ элементов:​ не нужно дополнительно​

Изменение содержимого массива

​является типичным оператором​ Excel. Доступ к​ получится также закрыть​ первая и последняя​ что вся группа​Для редактирования формулы массива​ B2:B5 и C2:C5​ забывайте эту комбинацию​ просматривает каждый из​ этого массива. Она​ этот способ в​ получившиеся суммы сложит.​ сказать, массив в​В итоге получим =СУММПРОИЗВ(НАИБОЛЬШИЙ(A2:A15;СТРОКА(A1:A3)))​ основными терминами и​Если ввести его на​ суммировать данные, которые​ массивов. Она позволяет​ ним можно получить​ окно программы или​ ячейки расположены по​ ячеек должна быть​ необходимо выделить весь​ и образовал новый​ клавиш). Это самое​ них по отдельности,​

​ может возвращать одно​ статье «Как удалить​ Получится результат =​​ Excel – это​​Но у этого подхода​ определениями, касаемо формул​ рабочий лист Excel,​ объединены в диапазон,​​ переворачивать таблицы или​​ через​ сохранить документ. Все​ диагонали друг от​ преобразована буквально в​ диапазон (A10:h21 в​ массив стоимостей (в​ главное, что нужно​ совершает заданные пользователем​ значение либо давать​ пустые ячейки в​ 33.​ диапазон ячеек. Что​

1. ​ есть два недостатка:​ массива в Excel.​​ получим следующий результат:​​ для последующей работы​
   
2. ​ матрицы, то есть,​​Мастер функций​​ время будет появляться​ друга. Например, адрес​ один клик. В​ нашем случае) и​ памяти компьютера), а​ запомнить при обработке​ операции и генерирует​​ в результате массив​​ Excel».​Корректировка формулы массива в​ такое диапазон, как​при вставке новых строк​ Если желаете получить​Чтобы вставить такой массив​ с ними. Все​

​ менять строки и​, нажав кнопку​ это назойливое сообщение,​ одномерного массива может​ Экселе имеются инструменты,​ изменить формулу в​

1. ​ затем сложил все​ больших объемов информации.​ единый результат.​ (набор) значений.​Седьмой пример.​Excel​ его выделять, читайте​ на лист перед​ еще больше информации​ в Excel, необходимо​ это выполняется «на​ столбцы местами. При​«Вставить функцию»​

my-excel.ru

Массивы Excel

Умение работать с массивами является заключительным этапом изучения функций Excel, т.к. они целиком раскрывают их возможности и обеспечивают гибкость расчетов.

Содержание статьи:

Определение массива

Чтобы понять, что такое массив, необходимо вспомнить, что такое переменная.

Переменная — область памяти, за которой закреплено определенной имя, например «x = 5» или «Имя = “Андрей”». Переменная всегда содержит только одно значение, т.е. не может быть разделена на более мелкие части. Данное определение больше подходит для переменных в языках программирования. Чтобы не отходить от темы Excel, переопределим его.

Каждый лист Excel является таблицей, за которой закреплена область в памяти компьютера. Таблица состоит из ячеек, которые имеют свой уникальный адрес. Сама ячейка не может быть разделена на более мелкие части, поэтому ее можно назвать переменной. Массив содержит набор переменных и имеет имя. То, что называют в Excel диапазоном, по своей сути является массивом: строка листа, столбец листа, количество ячеек >1, все это массивы данных. НО! Чтобы не вносить путаницу в определения функций и т.п. данные понятия необходимо разделять, т.к. приложение по-разному обрабатывает диапазоны и массивы.

Чтобы дать программе понять, что формула содержит массив, нужно после ввода данных в строку формул одновременно нажать клавиши клавиатуры Ctrl + Shift + Enter. Все ее содержимое заключится в фигурные скобки {}.

Далее будет подробнее описана работа с массивами.

Измерения массива

Массивы могут содержать несколько измерений вплоть до измерений в несколько десятков и даже больше, но хорошо это или плохо, в формулах Excel используются максимум 2 измерения, поэтому массив в Excel может быть:

• Одномерным – 1 измерение;
• Двумерным – 2 измерения.

Одномерный массив состоит из одного ряда значений. Это может быть строка или столбец.

Двумерный массив состоит из столбцов и из строк, т.е. представляется собой таблицу.

На рисунке ниже представлены оба вида массивов. Обратите внимание, что разные измерения имеют разные разделители («;» — для столбцов и «:» — строк).

Массив констант

Константа это та же переменная, только не меняющая значение. Если значение переменной можно поменять в любое время, то константа задается один раз и больше не меняется. Наверное, самая известная константа – число Пи.

Массив констант отличается от обычного массива тем, что обычный массив ссылается на диапазон ячеек, а массив констант задается пользователем вручную:

• {=A3:A7} – это обычный массив;
• {1: 2: 3: 4: 5} – это массив констант.

Представьте, что Вам необходимо использовать в расчетах большой массив, состоящий из сотни констант, и использовать его нужно многократно. Набивать константы каждый раз для каждой формулы ручками – дело «неблагодарное». Поэтому, создайте синоним массива с помощью функции присвоения имен, расположенной на вкладке «Формулы» -> раздел «Определенные имена» -> кнопка «Диспетчер имен». В появившемся окне нажмите на кнопку «Создать», после чего появиться следующая форма:

• Имя – имя диапазона;
• Область – место, где данное имя будет доступно;
• Примечание – комментарий. Текст, введенный здесь, будет высвечиваться при выборе имени массива из определенной для него области;
• Диапазон – сам массив в виде ссылки на диапазон либо массив констант «={…}».

После заполнения формы, нажмите «OK».

Теперь данный массив доступен по заданному имени в ячейках из определенной для него области.

О том, как их применять рассказывается дальше.

Операции с массивами

Перейдем, наконец, к примерам использования массивов.

Название авто	Литраж бака, л	Расход, л на 100 км
Авто1	50	6
Авто2	60	7
Авто3	70	10
Авто4	80	12

Необходимо рассчитать, сколько километров сможет проехать каждый автомобиль, используя только один полный бак (скопируйте таблицу в книгу).

При стандартных вычислениях формула составлялась бы так: =B2/C2*100. Затем ее необходимо протянуть. Мы получили готовый результат.

Повторим расчет, только с использованием массивов.

Сначала выделяем ячейки, в которых необходимо произвести расчет. Далее записываем в строку формул: =B2:B5/C2:C5*100, где “B2:B5” диапазон всех ячеек для литража, “C2:C5” диапазон всех ячеек для расхода. На данный момент это именно диапазоны, чтобы они превратились в массивы, нажмите одновременно клавиши Ctrl + Shift + Enter. Формула автоматически будет заключена в фигурные скобки, а расчет появиться во всех предварительно выделенных ячейках. Результат тот же, что и в первом варианте.

Следовательно, уже навязывается вопрос о смысле использования массивов.

В данном конкретном примере, что использовать – разницы нет, если только Вы не хотите защитить ячейки от случайного или намеренно изменения. Поясним. Когда к какому-то диапазону применяется массив, то затем никакой элемент этого массива не может быть отдельно изменен либо удален. Если попробовать произвести эти действия, приложение Excel выдаст ошибку. Чтобы избежать ее, выделите весь диапазон, к которому применен массив, а затем измените строку формул либо удалите ее полностью, после подтвердите изменения для всех элементов нажатием Ctrl + Shift + Enter.

Только на защите ячеек плюсы использования массивов не заканчиваются. Рассмотрим пример с той же таблицей, но подсчитываем сумму общего возможного километража.

Используя стандартные формулы, подсчет производиться двумя действиями:

1. Рассчитать километраж для каждого авто;
2. Просуммировать все имеющиеся результаты.

При этом необходимо создавать дополнительный столбец для первого действия, что не всегда удобно. Поэтому в таких случаях массив более уместен.

Выберите ячейку, в которую хотели бы записать результат. В нее впишите уже применяемую формулу, но в качестве аргумента функции СУММ. Подтвердите использование массива  нажатие Ctrl + Shift + Enter . Должно получиться следующее: {=СУММ(B2:B5/C2:C5*100)}.

Согласитесь, что в данном примере плюсы массивов куда более заметные.

На данный момент, когда Вы знаете, как создавать массивы, пришло время более подробно изучить процесс их обработки приложением.

Применим массив, который мы создавали в начале урока: Имя_диапазона.

Данный массив является одномерным и имеет размерность 5, т.к. содержит пять элементов. Перенесем значения массива в ячейки книги. Для этого выделим диапазон A1:E1, в строку формул введем имя массива и нажмем Ctrl + Shift + Enter. Получим результат:

В данном случае программа поочередно будет вытаскивать значения из массива для каждой ячейки. Если ячеек окажется больше, чем элементов есть в массиве, то для последних ячеек будет выдана ошибка #Н/Д, т.е. элемент не найден. Если ячеек, наоборот окажется меньше, то массив будет задействован частично, а именно в количестве заданных ячеек.

Теперь поступим по-другому. Выделите вертикальный диапазон A1:A5 и введите в него массив. Во все ячейки диапазона загрузиться только первый элемент массива. Это произошло от того, что созданный нами массив является горизонтальным, а не вертикальным.

Для создания горизонтального массива его элементы разделяются «;», для создания вертикального используется «:». Для создания двумерных массивов используются оба символа. Имейте в виду, иногда, где и какой символ использовать, задается настройками, чтобы проверить, какие разделители использовать именно Вам, поступите следующим образом:

1. Заполните числами несколько ячеек подряд по горизонтали и вертикали;
2. Создайте функцию СУММ;
3. Для первого аргумента функции укажите горизонтальный диапазон, для второго вертикальный;
4. Нажмите на кнопку «вставить функцию» рядом со строкой формул;
5. В окне аргументов функции посмотрите предварительные результаты для каждого аргумента. Те разделите, которые использует программа, необходимо использовать и Вам.

Рассмотрим еще один пример операций с массивами, а именно совместное использование горизонтальных, вертикальных и двумерных массивов.

Для начала создадим одномерный вертикальный массив ={1: 1: 1} и умножим его на 5, после чего узнаем сумму произведений его элементов.

Здесь все просто, программа умножила каждый элемент массива на 5, затем их просуммировала.

Теперь умножим тот же диапазон на горизонтальный массив ={5; 5}.

Программа подставила к каждому элементу горизонтального массива вертикальный, после чего перемножила их, как в первом варианте.

Снова изменим условия и из вертикального массива сделаем двумерный массив ={1; 1: 1; 1: 1; 1}. Перемножим на ={5; 5}. И вот оно! Результат не поменялся. Почему? Потому что в случае использования двумерных массивов их элементы сопоставляются другим элементам массива по их порядковым номерам в равных измерениях.

А если размерность одного массива в определенном измерении будет превышать размерность другого массива в том же измерении, то элементам первого будет сопоставлена ошибка #Н/Д, т.к. для них отсутствуют сопоставляемые элементы второго, в результате чего, вся формула может вернуть данную ошибку.

Принцип сопоставления элементов массива друг другу важно понять с самого начала, чтобы не получить «неожиданного» результата при расчетах в дальнейшем.

Имейте в виду, что к массивам можно применять все формулы, которые применяются в стандартных ситуациях, включая логические. Например, в случае, описанном выше, когда перемножаются массивы с разными размерностями в одинаковых измерениях, чтобы избежать возврата ошибки, необходимо изменить формулу – {=СУММ(ЕСЛИОШИБКА(A1:C3*E1:F1;0))}.

Резюме

1. Горизонтальный массив – это массив, ссылающийся на ячейки одной сроки либо содержащий константы, разделенные символом «;».
2. Вертикальный массив – массив, ссылающий на ячейки одного столбца либо содержащий константы, разделенные символом «:».
3. Размерность массива – количество элементов массива в одном измерении.
4. Одномерный массив – либо горизонтальный либо вертикальный массив;
5. Двумерный массив – вертикальный массив, содержащий в себе горизонтальные массивы одной размерности.
6. Ввод массива ВСЕГДА необходимо подтверждать нажатием клавиш Ctrl + Shift + Enter.
7. Нельзя изменить отдельный элемент массива. Изменению подлежать сразу все его элементы.
8. В случае применения к массиву переменной, переменная будет сопоставлена каждому элементу массива.
9. В случае применения к горизонтальному массиву вертикального массива, все их элементы будут сопоставлены друг другу.
10. В случае применения массивов друг к другу, когда хоть один из них является двумерным, элементы массивов сопоставляются между собой по порядковым номера в равных измерениях (одинаковому расположению в массиве).
11. При применении массивов друг к другу, в случае, когда хоть один из них является двумерным, размерности массивов должны совпадать.

• < Назад
• Вперёд >

Похожие статьи:Новые статьи:

Если материалы office-menu.ru Вам помогли, то поддержите, пожалуйста, проект, чтобы мы могли развивать его дальше.

У Вас недостаточно прав для комментирования.

office-menu.ru

Формулы массива в Excel

Терминология

Под массивом обычно понимают набор данных, объединенных в группу. Массивы бывают одномерные (элементы массива образуют строку или столбец) или двумерные (матрица). Легко сообразить, что почти в любой таблице Excel при желании можно найти один или несколько таких массивов:

Формулы массива в Excel — это специальные формулы для обработки данных из таких массивов. Формулы массива делятся на две категории — те, что возвращают одно значение и те, что дают на выходе целый набор (массив) значений. Рассмотрим их на простых примерах…

Пример 1. Классика жанра — товарный чек

Задача: рассчитать общую сумму заказа. Если идти классическим путем, то нужно будет добавить столбец, где перемножить цену и количество, а потом взять сумму по этому столбцу. Если же применить формулу массива, то все будет гораздо красивее:

1. выделяем ячейку С7
2. вводим с клавиатуры =СУММ(
3. выделяем диапазон B2:B5
4. вводим знак умножения (звездочка)
5. выделяем диапазон C2:C5 и закрываем скобку функции СУММ — в итоге должно получиться так:

6. чтобы Excel воспринял нашу формулу как формулу массива жмем не Enter, как обычно, а Ctrl + Shift + Enter

Вуаля!

Т.е. Excel произвел попарное умножение элементов массивов B2:B5 и C2:C5 и образовал новый массив стоимостей (в памяти компьютера), а затем сложил все элементы этого нового массива.

Обратите внимание на фигурные скобки, появившиеся в формуле — отличительный признак формулы массива. Вводить их вручную с клавиатуры бесполезно — они автоматически появляются при нажатии Ctrl + Shift + Enter.

Пример 2. Разрешите Вас… транспонировать?

При работе с таблицами часто возникает необходимость поменять местами строки и столбцы, т.е. развернуть таблицу на бок, чтобы данные, которые раньше шли по строке, теперь располагались в столбцах и наоборот. В математике такая операция называется транспонированием. При помощи формулы массива и функции ТРАНСП (TRANSPOSE) это делается на раз.

Допустим, имеем двумерный массив ячеек, который хотим транспонировать.

• Выделяем диапазон ячеек для размещения транспонированной таблицы. Поскольку исходный массив ячеек был 8 строк на 2 столбца, то надо выделить диапазон пустых ячеек размером 2 строки на 8 столбцов.
• вводим функцию транспонирования =ТРАНСП(   
• в качестве аргумента функции выделяем наш массив ячеек A1:B8

жмем Ctrl + Shift + Enter и получаем «перевернутый массив» в качестве результата:

Редактирование формулы массива

Если формула массива расположена не в одной ячейке (как в Примере 1), а в нескольких ячейках (как в Примере 2), то Excel не позволит редактировать или удалить одну отдельно взятую формулу (например в ячейке D10) и выдаст предупреждающее сообщение Невозможно изменить часть массива.

Для редактирования формулы массива необходимо выделить весь диапазон (A10:h21 в нашем случае) и изменить формулу в строке формул (или нажав F2). Затем необходимо повторить ввод измененной формулы массива, нажав сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Excel также не позволит свободно перемещать ячейки, входящие в формулу массива или добавлять новые строки-столбцы-ячейки в диапазон формулы массива (т.е. в диапазон A10:h21 в нашем случае)

Пример 3. Таблица умножения

Вспомните детство, школу, свою тетрадку по математике… На обороте тетради на обложке было что? Таблица умножения вот такого вида:

При помощи формул массива она вся делается в одно движение:

1. выделяем диапазон B2:K11
2. вводим формулу =A2:A11*B1:K1
3. жмем Ctrl + Shift + Enter, чтобы Excel воспринял ее как формулу массива

и получаем результат:

Пример 4. Выборочное суммирование

Посмотрите как при помощи одной формулы массива красиво и легко выбираются данные по определенному товару и заказчику:

 В данном случае формула массива синхронно пробегает по всем элементам диапазонов C3:C21 и B3:B21, проверяя, совпадают ли они с заданными значениями из ячеек G4 и G5. Если совпадения нет, то результат равенства ноль, если совпадение есть, то единица. Таким образом суммы всех сделок, где заказчик не ANTON и товар не Boston Crab Meat умножаются на ноль и суммируются только нужные заказы.

Ссылки по теме

 

www.planetaexcel.ru

Формулы массива в Excel — Microsoft Excel для начинающих

Эта статья поможет разобраться, как работают формулы массива в Excel. Помещённая в одну ячейку формула массива выполняет сразу несколько вычислений.

Без формулы массива

Не прибегая к помощи формулы массива, нам потребуется выполнить следующую последовательность действий, чтобы определить максимальное развитие в столбце Progress.

1. Первым делом мы рассчитаем развитие для каждого студента.
2. Затем при помощи функции МАКС (MAX) мы найдём наибольшее значение в столбце Progress.

С формулой массива

Нам не нужно использовать вспомогательный диапазон в столбце D. Excel может хранить данные в своей памяти. Диапазон данных, сохранённый в памяти Excel, называется массивом констант.

1. Мы уже знаем, что определить прогресс первого студента нам поможет формула, показанная на рисунке ниже.
2. Чтобы из значений прогресса всех студентов найти максимальное, мы добавляем сюда функцию МАКС (MAX) и заменяем C2 на C2:C6, а B2 на B2:B6.
3. Завершаем редактирование формулы нажатием Ctrl+Shift+Enter.

Замечание: Формула массива в строке формул заключена в фигурные скобки {}. Не пытайтесь ввести их вручную, скобки исчезнут при попытке отредактировать формулу.

Пояснение:

• Диапазон данных (массив констант) хранится в памяти Excel, не в диапазоне ячеек. Массив констант можно представить в таком виде: {19;33;63;48;13}.
• Функция МАКС (MAX) использует этот массив как аргумент и возвращает результат 63.

Клавиша F9

При работе с формулами массива можно использовать режим просмотра содержимого массива констант.

1. В формуле выделите C2:C6-B2:B6, как показано на рисунке ниже.
2. Нажмите F9.

Отлично! Элементы вертикального массива констант разделяются точкой с запятой (в англоязычной версии Excel) или двоеточием (в русифицированной версии Excel). Элементы горизонтального массива констант разделяются запятой (в англоязычной версии Excel) или точкой с запятой (в русифицированной версии Excel).

Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

office-guru.ru

Excel массив

Формулы массива в Excel

​Смотрите также​ массива. Отсортируем суммы​ На экране появляется​ обработать данные из​ этот диапазон, нажмите​Нажмите кнопку ОК.​=СУММ(B2:B6*{1:2:3:4:5})​

Без формулы массива

​ изменить часть массива»​Этот набор значений, как​Перевел: Антон Андронов​ нашем случае мы​ нажав комбинацию клавиш​ поскольку сложность сразу​​ следующим образом:​​ резонный вопрос: Зачем​

1. ​ (в англоязычной версии​на​Эта статья поможет разобраться,​
2. ​ к оплате в​​ соответствующая запись:​​ этого массива. Она​F9​Пример, найдем сумму 3-х​​После ввода формулы необходимо​​ — это определенного​

   С формулой массива

   ​ и формулы массива,​Автор: Антон Андронов​ перезададим обе области:​​Ctrl+Shift+Enter​​ отсеивает дилетантов. В​Мы можем пойти еще​ нужен такой массив?​ Excel) или точкой​B2:B6​ как работают формулы​

   1. ​ порядке возрастания. Для​Рассмотрим другие примеры использования​ может возвращать одно​и скопируйте в​ наибольших значений, записав​
   2. ​ нажать​ вида защита массива.​ обрамлен в фигурные​Массив значений (или константа​​Нажмите комбинацию клавиш​​. Формула массива будет​​ этот уроке мы​​ дальше и присвоить​​ Отвечу на него​​ с запятой (в​​.​​ массива в Excel.​​ списка отсортированных данных​​ функций массива Excel​
   3. ​ значение либо давать​​ Буфер обмена.​​ формулу =СУММПРОИЗВ(НАИБОЛЬШИЙ(A1:A10;Массив123)).​

      ​CTRL+SHIFT+ENTER​​Чтобы избежать утомительного ввода​ скобки, сами значения​ массива или массив​​Ctrl+Shift+Enter​​ обновлена.​ разберем два подхода​ массиву констант имя.​ в виде примера.​

      ​ русифицированной версии Excel).​

      • ​Завершаем редактирование формулы нажатием​ Помещённая в одну​ создадим диапазон. Выделим​ – рассчитаем итоговую​ в результате массив​Теперь записав формулу =ВПР(A2;Месяцы;2),​​Предполагается, что в диапазоне​​.​
      • ​ последовательных чисел для​​ разделены двоеточиями. Если​​ констант) – это​​, чтобы сохранить изменения.​Второй подход можно применить​ к редактированию формул​​ Имя назначается точно​​На рисунке ниже приведен​

        Клавиша F9

        ​Урок подготовлен для Вас​Ctrl+Shift+Enter​ ячейку формула массива​ его. В строке​

        1. ​ сумму коммунальных платежей​​ (набор) значений.​​ где в ячейке​A1:A10​
        2. ​Формула массива сначала выполнит​​вертикального​​ бы значения были​

           ​ совокупность чисел или​ Размер массива будет​ как для уменьшения,​ массива в Excel.​ так же, как​ список студентов, которые​ командой сайта office-guru.ru​.​ выполняет сразу несколько​ формул вводим .​ с помощью одной​С помощью формул массива​

           ​A2​имеется список числовых​​ поэлементное умножение значений​​массива констант можно​

           ​ размещены в строке​

           office-guru.ru>

           Массивы констант в Excel

           ​ текстовых значений, которую​ уменьшен.​ так и для​ Они не идеальны,​ и обычной константе,​​ получили определенные оценки:​​Источник: http:http://my-excel.ru//http://my-excel.ru//www.excel-easy.comhttp://my-excel.ru//functionshttp://my-excel.ru//array-formulas.html​Замечание:​ вычислений.​ Жмем сочетание Ctrl​ формулы.​ реально:​

           Коротко о массивах констант

           ​- номер месяца,​ значений.​ из столбца и​ воспользоваться формулой =СТРОКА(1:5).​ (в диапазоне​ можно использовать в​Удалите лишние формулы из​ увеличения размера массива​

           ​ но, возможно, Вам​

           ​ через диалоговое окно​Наша задача перевести оценку​Перевел: Антон Андронов​Формула массива в​Не прибегая к помощи​

           ​ + Shift +​

           ​Выделяем ячейку Е9 (напротив​подсчитать количество знаков в​ получим желаемый результат.​Чтобы создать двумерный массив​ констант из массива.​ Записав ее любой​A1:E1​

           ​ формулах массива. Константы​

           ​ диапазона C6:C10.​ в Excel. Здесь​ пригодятся.​Создание имени​​ из числового вида​​Автор: Антон Андронов​

           ​ строке формул заключена​

           ​ формулы массива, нам​ Enter.​ «Итого»).​ определенном диапазоне;​Для желающих получить дополнительную​

           Пример применения массива констант в Excel

           ​ констант необходимо сделать​ Эквивалентом данной формулы​ пустой ячейке, выделите​

           ​), а не в​ массива необходимо вводить​Как видите, оба подхода​ главное, чтобы у​На рисунке ниже представлена​:​ в ее словесное​В Microsoft Excel можно​ в фигурные скобки​ потребуется выполнить следующую​Транспонированная матрица. Специальная функция​Вводим формулу вида: =СУММ(C3:C8*D3:D8).​суммировать только те числа,​

           ​ информацию о константах​

           ​ следующее:​ является следующее обычное​ ее в строке​ столбце, то значения​ в определенном формате,​ достаточно сложные и​

           ​ старого и нового​ формула массива, размер​Не забывайте указывать знак​

           ​ описание и вывести​​ создавать массивы, которые​​{}​ последовательность действий, чтобы​ Excel для работы​Нажимаем сочетание клавиш: Ctrl​

           ​ которые соответствуют заданному​ массива - .​выделите в книге диапазон​ выражение:​ формул и нажмите​ были бы разделены​​ например, для чисел​​ запутанные, поэтому их​

           ​ массивов была как​ которой необходимо расширить​ равенства в поле​ соответствующие значения в​ не хранятся в​

           ​. Не пытайтесь ввести​ определить максимальное развитие​ с двумерными массивами.​ + Shift +​

           ​ условию;​Массив функций Excel позволяет​ ячеек из четырех​=СУММ(B2*1;B3*2; B4*3; B5*4; B6*5)​F9​ точкой с запятой​ {1:2:3:4:5} или для​​ реальная применимость в​​ минимум одна общая​

           my-excel.ru

Онлайн калькулятор. Розв’язання похідних онлайн

ua.onlinemschool.com

Похідна функції, як знайти похідну функції

Означення: Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля (можна позначити або )

Операція знаходження похідної називається диференціюванням

Поняття приросту аргументу і функції

Приріст аргументу

Приріст функції

Похідні елементарних функцій

Похідні елементарних функцій знаходяться за допомогою таблиці:

Всі похідні елементарних функцій можна знайти тут!

Складена функція. Як знайти складену функцію

Похідна суми (різниці) двох функцій, кожна з яких має похідну, дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій:

Похідна добутку двох функцій, кожна з яких має похідну, дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції:

Похідну частки частки двох функцій f(x) і g(x), кожна з яких має похідну і g(x)≠0, знаходять за формулою

Сталий множник можна виносити за знак похідної:

Наведені формули називають правилами диференціювання.

Геометричний зміст похідної

Дотичною до кривої в даній точці називається граничне положення січної , коли точка наближається вздовж кривої до точки

— кутовий коефіцієнт дотичної

Рівняння дотичної до графіка функції в точці з абцисою

Значення похідної в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абцисою і дорівнює тангенсу кута нахилу цієї дотичної до осі

Фізичний зміст похідної

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу

— залежність пройденого шляху від часу

— швидкість прямолінійного руху

— прискорення прямолінійного руху

cubens.com

Знайти похідні за формулами диференціювання

Для практичного ознайомлення з таблицею основних формул диференціювання розглянемо популярні варіанти завдань на похідні.

Приклад 1. Обчислити похідні функцій

1)

Розв’язок. За формулами диференціювання (1), (3), (9) знаходимо похідну полінома


Похідна від сталої рівна нулю. Це правило найлегше, тому запам’ятайте його в числі перших.

2)

Розв’язок. Вводимо дробові та від’ємні степені, та перетворюємо задану функцію до вигляду

Використовуючи формули (3), (4), (9), знаходимо похідні


Вкінці записуємо результат через корені.

3)

Розв’язок. Похідну дробової функції знаходимо за правилом похыдної частки

Обчислення не складні — в результататі диференціювання отримаємо різницю простих дробів 1 та 2 типу.

4)

Розв’язок. Похідну кореневої залежності шукаємо за правилом складної функції


При роботі з дробовими показниками будьте уважні!

5)

Розв’язок. Похідну від добутку кореня на поліном знаходимо за правилом добутку функцій та формулою похідної від складної функції. В результаті отримаємо наступні перетворення



Записів багатенько, проте на практиці буде не легше, тож вивчайте правили диференціювання.

6)

Розв’язок. За формулою похідної від складної функції отримаємо


Останній вираз можете спростити, підсумувавши показники змінної.

7)

Розв’язок. Багато студентів, які ще добре не знають правил, спочатку підносять до квадрату вираз в дужках, а потім проводять диференціювання. Це неправильно, довго і важко. Скориставшись правилом диференціювання складної функції, отримаємо похідну від квадрату домножену на похідну кубічної функції



Якщо Ви будете підносити до квадрату, а потім диференціювати то отримаєте многочлен, який ще треба буде зводити до компактного вигляду. Результат буде правильний, але навіщо йти складним шляхом, якщо за нас вже давно придумали правила диференціювання, які спрощують обчислення. Вивчайте їх та користуйтеся на практиці.

yukhym.com

Як знайти похідну?

Завдання знаходження похідної від заданої функціїє однією з основних в курсі математики старшої школи і в вищих навчальних закладах. Неможливо повноцінно дослідити функцію, побудувати її графік без взяття її похідної. Похідну функції легко можна знайти, знаючи основні правила диференціювання, а також таблицю похідних основних функцій. Давайте розберемося, як знайти похідну функції.

Похідної функції називають границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Зрозуміти це визначення досить складно, так якпоняття межі в повній мірі не вивчається в школі. Але для того, щоб знаходити похідні різних функцій, розуміти визначення не обов’язково, залишимо його фахівцям математикам і перейдемо відразу до знаходження похідної.

Процес знаходження похідної називається диференціюванням. При диференціюванні функції ми будемо отримувати нову функцію.

Для їх позначення будемо використовувати латинські букви f, g і ін.

Існує багато всіляких позначень похідних. Ми будемо використовувати штрих. Наприклад запис g «означає, що ми будемо знаходити похідну функції g.

Таблиця похідних

Для того щоб дати відповідь на питання як знайтипохідну, необхідно привести таблицю похідних основних функцій. Для обчислення похідних елементарних функцій не обов’язково робити складні обчислення. Досить просто подивитися її значення в таблиці похідних.

1. З «= 0
2. (Sin x) «= cos x
3. (Cos x) «= -sin x
4. (xⁿ) «= N x^n-1
5. (e^x) «= E^x
6. (Ln x) «= 1 / x
7. (a^x) «= A^xln a
8. (log_ax) «= 1 / x ln a
9. (Tg x) «= 1 / cos²x
10. (Ctg x) «= — 1 / sin²x
11. (Arcsin x) «= 1 / √ (1-x²)
12. (Arccos x) «= — 1 / √ (1-x²)
13. (Arctg x) «= 1 / (1 + x²)
14. (Arcctg x) «= — 1 / (1 + x²)

Приклад 1. Знайдіть похідну функції y = 500.

Ми бачимо, що це константа. По таблиці похідних відомо, що похідна константи, дорівнює нулю (формула 1).

(500) «= 0

Приклад 2. Знайдіть похідну функції y = x¹⁰⁰.

Це статечна функція в показнику якої 100 і щоб знайти її похідну потрібно помножити функцію на показник і знизити на 1 (формула 3).

(x¹⁰⁰) «= 100 x⁹⁹

Приклад 3. Знайдіть похідну функції y = 5^x

Це показова функція, обчислимо її похідну за формулою 4.

(5^x) «= 5^xln5

Приклад 4. Знайдіть похідну функції y = log₄x

Похідну логарифма знайдемо за формулою 7.

(log₄x) «= 1 / x ln 4

Правила диференціювання

Давайте тепер розберемося, як знаходитипохідну функції, якщо її немає в таблиці. Більшість досліджуваних функцій, не є елементарними, а являють собою комбінації елементарних функцій за допомогою найпростіших операцій (додавання, віднімання, множення, ділення, а також множення на число). Для знаходження їх похідних необхідно знати правила диференціювання. Далі буквами f і g позначені ф

uk.kagouletheband.com

Знаходження похідних вищих порядків

Під похідною вищих порядків розуміють диференціювання функції більше ніж один раз. Якщо похідну y'(x) повторно диференціювати, то одержимо похідну другого порядку, або другу похідну функції y=f(x), і вона позначається

Похідна третього порядку матиме запис

Аналагічно отримують формули для знаходження похідних вищих порядків. При знаходженні похідної (n+1) порядку необхідно знати похідну n-го порядку. Вийняток становлять функції, для яких можна помітити закономірність зміни похідних. Це степеневі, деякі тригонометричні та експоненціальні функції:

В інших випадках, для знаходження похідних вищих порядків від заданої функції потрібно послідовно знаходити всі її похідні нижчих порядків. Для практичного вивчення матеріалу розглянемо приклади.

Приклад 1. Обчислити похідні другого порядку

1)

Розв’язок. За правилами диференціювання параметричних функцій маємо

Застосуємо до заданої функції. Знайдемо похідну y’


Диференціюємо функцію повторно. За правилом диференціювання отримаємо

За формулою обчисюємо y»

Вивчайте формулу другої похідної, вона не така очевидна для параметричної функції, але іншої немає.

 

2)

Розв’язок. Визначаємо першу похідну для кореневої функції

Обчислюємо другу похідну за правилом похідної частки

Ящо пи обчисленні Ви отримаи вираз другої похідної через першу, то потрібно замість першої підставити її значення. Добре перегляньте як тут спростиася підстанова першої похідної.

 

3)

Розв’язок. Обчислимо першу похідну поліному

а потім другу

При знаходженні похідної другого і вищих порядків для даного прикладу і йому подібних можна користуватися наступним правилами:
(1) якщо степінь функції менший порядку похідної k, то даний доданок вкладу не дає

(2) всі старші степені дають вклад

За такою схемою другу похідну можна було знайти за один прохід


Для практики другий спосіб ефективніший, особливо якщо потрібно знайти похідні набагато вищих порядків ніж другий.

 

4)y=e^3x

Розв’язок. Похідна функції першого порядку матиме вигляд

Повторне диференціювання експоненти множником винесе степінь

По аналогії можна вивести формулу похідної експоненціальної функції k-го порядку

Розв’язуючи приклади для синус і косинус функцій можна замітити подібність при обчисленні старших похідних і вивести наступні залежності








Користуйтеся формулами і нехай не виникає проблем з похідними вищих порядків.

yukhym.com

Часткові похідні першого та другого порядку

Завдання на часткові похідні розв’язують студенти на1, 2 курсі навчання. Такі приклади задають і заочникам і студентам стаціонарної форми. Початкові прилади досить прості, однак на контрольній та тестах попадають складні приклади на обчислення часткових похідних. Все залежить від складності функції – поліноми та прості тригонометричні функції піддаються диференціюванню без значних труднощів, а от дробово-раціональні функції, комбінації раціональних та показникових вимагають більшої уваги та часу для знаходження похідних. Схема обчислень похідної від функції 2 змінних достатньо проста – змінну по якій не диференціюють вважають константою при обчисленні і першої, і другої похідної. На практиці це виглядає наступним чином.

Приклад 1. Знайти часткові похідні й повний диференціал першого порядку функції
в точці N(1;2) при заданому аргументі : delta[x]=0,03; delta[y]=-0,02

Розв’язання: Знайдемо часткові похідні першого порядку від заданої функції двох змінних:

В точці N(1;2) обчислюємо часткові похідні рівні


Повний диференціал знайдемо за формою

Із обчислень бачимо, що знайти повний диференціал функції під силу кожному.

 

Приклад 2. Знайти часткові похідні другого порядку функції
Розв’язання: Обчислюємо часткові похідні першого порядку від заданої функції двох змінних:


Далі повторним диференціюванням по кожній із двох змінних знаходимо часткові похідні другого порядку.
Друга похідна по «ікс» прийме значення


Друга похідна по «ігрику»


Друга похідна по «ікс ігрик»


При обчисленні похідних використовували правило похідної частки функцій.

Приклад 3. Обчислити часткові похідні другого порядку функції
Розв’язання: Знаходимо часткові похідні першого порядку від квадрату синус функції від двох змінних:

Тут спростили вираз за формулою подвійного кута.

Повторним застосуванням похідної знаходимо часткові похідні другого порядку



Це і є відповіддю до задачі.

Приклад 4. Дослідити на екстремум функцію двох змінних
Розв’язання: Знайдемо критичні точки функції. Для цього обчислюємо часткові похідні першого порядку


та прирівнюємо їх до нуля. В результаті отримаємо систему двох рівнянь, яку і розв’язуємо



Критична точка із системи рівнянь рівна (0;-2).
Щоб встановити, чи функція в критичній точці набуває максимуму чи мінімуму слід знайти похідні другого порядку в критичній точці



і визначити характер критичної точки зі знаку

Оскільки A>0 та параметр A*C-B*B>0 більший нуля, то функція має мінімум в знайденій точці. Знайдемо значення функції в точці мінімуму

Графік функції двох змінних в околі точки мінімуму має вигляд
Такого роду приклади на часткові похідні зустрічаються на першому другому курсі навчання математичних дисциплін. Якщо Вам не під силу знайти часткові похідні функції першого та другого порядку, в навчанні зустрічаються складні функції, або навчаєтеся заочно тоді звертайтеся до нас. Через форму зворотнього зв’язку Ви завжди можете замовити у нас тести чи контрольну. Пам’ятайте, що наш сервіс працює для того, щоб полегшити Вам навчання!

yukhym.com

Знаходження похідних від неявно заданих функцій

Часто на практиці зустрічаються функції, в яких незалежна змінна x і функція y зв’язані між собою формулою
f(x,y)=0
з якої не можна відокремити саму функцію. В цьому випадку функція y(x) називається неявною функцією від аргумента x.
Однак саму похідну від функції по змінній x можна обчислити. Для цього диференціюють функцію f(x,y) по x, при цьому враховують, що сама функція залежна від змінної y=y(x). З одержаного рівняння згруповують доданки, що містяться при похідній y’ і виражають її.
Як це виглядає на пракиці проілюстровано на прикладах із Дубовика В.П., Юрика І.І. «Вища математика. Збірник задач».

Приклад 1. Знайти похідні неявно від заданих функцій y(x) .

1) (5.219) 3^x+3^y=3^x-y

Розв’язок:Продиференціюємо праву і ліву частини

Отриманий вираз поділимо на спільний множник ln(3) та згрупуємо доданки, що містять похідну y'(x) і перенесемо їх в одну сторону за знак рівності. В результаті отримаємо

Поділивши на множник при похідній y'(x) отримаємо її значення

Для спрощення винесемо із чисельника та знаменника спільні множники 3^x та 3^y відповідно. В результаті отримаємо:

Як бачите, нічого складного ми не робили, проте швидко відшукали похідну неявно заданої функції. Розглянемо наступне завдання.

 

2) (5.223)

Розв’язок:Проведемо диференціювання виразу. Перший доданок дасть 2, похідну від арккосинуса знаходимо за правилом складеної фунції

Виділяємо доданки, що містять похідну y'(x)

Поділимо на множник при похідній та відшукаємо її значення

Завдання повністю розв’язане.

 

3) (5.227)

Розв’язок:Обчислимо похідну правої і лівої частини, від косинуса знаходимо, як від складеної функції

Похідну від частки функцій рівна

Перших два множники рівні синусу подвійного кута. Тому похідні можемо згрупувати у вигляді

Домножимо праву та ліву частини на множник , щоб позбутися знаменників та згрупуємо доданки при похідній y'(x)


З останньої залежності знаходимо значення потрібної похідної

В такого роду прикладах головне не помилитися при відшуканні похідних. Фугкції тут взято доволі складні, заодно вивчете інші правила диференціювання.

 

4) (5.236)

Розв’язок:Диференціюємо неявно задану функцію по змінній

Перегрупуємо доданки, що містять y’

Зводимо вирази до спільного знаменника

та підставляємо їх на свої місця


Звідси виражаємо похідну функції

На цьому завдання розв’язано.
При обчисленні похідної неявно заданої функції типовими помилками на практиці є неправильне взяття похідної та плутанина зі знаками при групуванні подібних доданків. Будьте уважні в таких ситуаціях та не допускайте помилок. На скадних умовах Ви побачили як брати похідну від неявно заданої функцій, тому, якщо попрацюєте самостійно, то з даної теми отримаєте хороші результати на тастах, контрольних.

yukhym.com

Определители четвертого порядка — Мегаобучалка

Методы их вычисления

Определение. Выражение

называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде:

, (6)

где — минор элемента, стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, -алгебраическое дополнение этого элемента.

Формулу (6) можно записать с помощью значка суммирования :

, (7)

где i=1,2,3,4.

Формула (7) называется разложением определителя по элементам

i-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам j-го столбца:

(8)

где j=1,2,3,4.

Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помощью свойств определителей.

Пример 11.Вычислить определитель

.

Решение. Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки:

.

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки:

.

Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:

.

Разложим полученный определитель по элементам первого столбца

Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменится на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя:

.

Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки:

.

Полученный определитель разложим по элементам второй строки

Пример 12. Вычислить определитель .

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный:

.

Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим:

.

Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки:

.

Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:

.

Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали .

Пример 13. Вычислить определитель

.

Решение.Разложим определитель по элементам третьей строки

Лекция 10

Лекция 10.Теория комплексных чисел.

Комплексные числа были введены в связи со следующей задачей. Известно, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть уравнение .

Возникла задача: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой указанное уравнение имеет решение.

Покажем, что среди комплексных чисел есть число, квадрат которого равен -1. Это будет, например, число (0,1). Действительно, (0,1)(0,1)=(-1,0)= -1.

Комплексное число (0,1) называется мнимой единицейи обозначаетсяj(илиi). Итак,j=(0,1) – мнимая единица.

Комплексное число z=(x,y) имеет три формы записи.

Алгебраическая форма комплексного числа

.

— алгебраическая форма комплексного числа.

Координатную плоскость хОу, точки которой отождествлены с комплексными числами, будем называть комплексной плоскостью. Ох – вещественная ось, служит для изображения действительной части комплексных чисел. Оу – мнимая ось, служит для изображения мнимой части числа.

Комплексно-сопряженные числа

Комплексные числа называются комплексно сопря-женными.

Геометрическая интерпретация: комплексно-сопряженные числа и отождествляются с точками (х,у) и (х,-у), симметричными относительно оси Ох.

Свойствакомплексно-сопряженных чисел:

1..

2..

3..

4.. (Проверить!)

Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

1. .

При сложении (вычитании) комплексных чисел складывают (вычитаются) их вещественные и мнимые части соответственно.

2. Учитывая, что :

Итак, комплексные числа умножаются по правилу умножения многочленов, т.е. почленно.

3.

Итак, при делении начислитель и знаменатель умножают на число.

Тригонометрическая форма комплексного числа

, где-модуль числаz,—аргументчислаz, т.е. любое решение системы уравнений

и обозначается символом .Модулькомплексного числа есть число неотрицательное и определяется однозначно.

Аргумент комплексного числа , определяемый только врадианах, имеет бесконечное множество своих значений.

Они отличаются друг от друга на числа, кратные , и только одно значение (обозначим его) удовлетворяет условию:. Его будем называтьглавным значением аргумента числаz. Множество всех значений аргументаzможно записать так:.

Если 0, то очевидны следующие равенства

(рис. 31)

Геометрическая интерпретация модуля и аргумента числаz

Если число изображается точкой М(х,у) на координатной плоскости Оху (рис. 28), то |z| — длина радиус-вектораточки М, а— угол между осью Ох и этим радиус-вектором.

Пример.Представить числоz= -1+jв тригонометрической форме.

.

Ответ: .

Пример.Представить число –jв тригонометрической форме.

.

Ответ: .

Операции над комплексными числами в тригонометрической форме

1. Умножение комплексных чисел.

Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, т.е. , а аргументы складываются, т.е..

2. Делениекомплексных чисел.

При делении комплексных чисел на(0) модули их делятся, т.е., а аргументы вычитаются, т.е.. (Проверить!).

3. Возведение комплексного числа в целую положительную степень

-n-я степень числаz.

Если , то.

При равенство примет вид:.

Эта формула носит название формулы Муавра.

4. Извлечение корня

Число wназывается корнем степени из числаz, если. Используется обозначение.

Если положить , гдеи, то равенствопримет вид:.

Зная, что модули равных чисел равны между собой, а аргументы отличаются друг от друга на число, кратное 2, имеем два равенства:и(корень арифметический),

.

Итак, .

Формула определяет бесконечное множество значений корня n-ой степени изz. И толькоnиз них различные.

Полагаяk=0,1,2,…,n-1, получаемnразличных значений корня.

Геометрическая интерпретация

— различные значения корня— вершины правильногоn-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом.

Пример

Показательная форма комплексного числа

Действие возведения числа е (неперово число) в комплексную степень z=x+yjопределяется равенством(10.1).

Это определение может показаться искусственным. Заметим в его оправдание, что при у=0, т.е. , степеньсводится к обычной степени, а также комплексная степень числа е сохраняетсвойствавещественных степеней:

1.;

2.. (Проверить!)

Комплексная степень обладает также и новыми свойствами, отсутствующими у действительных степеней.

Например, свойство периодичности.

Докажем, что

.

Действительно, .

Отсюда следует периодичность комплексной степени ;— ее периоды,.

Полагая в формуле (10.1) х=0, , получим.

Это равенство носит название формулы Эйлера (Эйлер – немецкий математик, академик Российской Академии наук).

Пользуясь формулой Эйлера, можно представить комплексное число zв виде. Итак,— показательная форма комплексного числа.

Пример

studfiles.net

Комплексные числа – теория и общие формулы.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Прежде всего, отметим, что энтузиасты-поклонники примитива вытеснили из школьной математической программы многие основополагающие понятия и разделы Математики. Одним из пострадавших разделов является Теория многочленов.

Сколько труда и изобретательности проявила человеческая мысль, доказав справедливость утверждения – Основная теорема алгебры комплексных чисел: всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный! Эту Теорему считают одним из крупнейших достижений математики: трудно назвать область науки, которая не использовала бы утверждение этой теоремы.

Из Основной теоремы получили Следствие: всякий многочлен — степени с любыми комплексными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных множителей: = .

Из выражения легко следует: числа , в общем случае комплексные, есть корни многочлена (по определению). Возникает вопрос – что это за числа, которые обеспечивают существование корней для любого многочлена – степени? Что такое комплексные числа?..

☺☺

Пример 2–01: Пусть имеем многочлен: = . В соответствии с разложением этот многочлен должен иметь 2 корня. А школьная программа в части алгебры многочленов утверждает, что этот многочлен корней (действительных) не имеет!.. Как это понимать доверчивому юному математику?

Решение:

1). Попробуем руководствоваться определением корня, и станем формально выполнять привычные действия: .

2). Пусть . Проверим, является ли корнем заданного многочлена = . Запишем: . Это значит, что есть корень многочлена . Легко заметить, что и является корнем многочлена .

Замечание: По определению корнем многочлена называют любое число, которое, будучи подставлено в выражение многочлена, обращает его в тождество!

3). В нашем случае мы получили нечто: и , у которого свойство быть корнем имеется, но в привычном понимании это нечто не есть число! Для выхода из возникшего затруднения было предложено назвать корень – число = единица мнимая и обозначить: . В таком случае имеем: =

Ответ: разложение: = .

Пример 2–02: Задан многочлен: = . Учитывая результат предыдущего примера, найти его корни.

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой = для нахождения корней многочлена: . В нашем случае: = = .

2). Пусть = и = . Так как названо числом, то и тоже числа. Действительно, выражения и есть числа, так как произведение чисел 3 и есть число. Значит и , – тоже числа, только необычные!..

Ответ: корни: = и = .

☻

В соответствии с исторической традицией число будем называть комплексное числов алгебраической форме, где называют действительной частью, а число – мнимой частью, причём и – произвольные действительные числа. Если =0, то множество действительных чисел можем рассматривать как подмножество множества комплексных чисел .

Назвав выражение числом, необходимо определить для этих чисел операции: сложения и умножения, причём так, чтобы для чисел выполнялись все, установленные для действительных чисел свойства. Пусть имеем и – два комплексных числа. Определим операции:

Ÿ Сумма: . Разность – обратная операция.

Ÿ Произведение: . Учитывая , можем записать: . В частном случае, когда число , имеем умножение комплексного числа на число вещественное: .

Ÿ Деление: .

Замечание: Деление, как и разность, можно было определить как обратную операцию умножения, но в данном случае иллюстрация вычисления деления числа на число выразительно иллюстрирует сохранение всех свойств действительных чисел, в том числе – недопустимость деления на ноль!

Нетрудно заметить, что операции суммы комплексных чисел и произведения комплексного числа на произвольное вещественное число аналогичны линейным операциям с двумерными векторами. В таком случае логично воспользоваться представлением комплексного числа как вектора на плоскости прямоугольных координат : = .

Используя векторную модель комплексного числа, определим его модуль: = и координаты: и , где — угол, который вектор образует с осью . Это значит, произвольное комплексное число может быть представлено в виде: = — комплексное числов тригонометрической форме.

Если воспользоваться тождеством Эйлера: = , можем получить запись комплексного числа как: = . Более того, учитывая периодичность тригонометрических функций, в общем случае можем записать: = , .

Используя формулу , нетрудно записать выражения для операций произведения и деления комплексных чисел = и = , а также возведения комплексного числа = в степень (целую или дробную):

Ÿ = , = .

Ÿ = , = , .

Замечание: Формулы называют формулами Муавра. Заметим, что при извлечении корня — ой степени из любого комплексного числа получают различных комплексных чисел, которые располагаются на окружности радиуса с центром в точке и делят эту окружность на равных частей.

•• ☻☻ ••

Пример 1–421: Вычислить произведение комплексных чисел: . Результат записать в алгебраической форме.

Решение:

1). Раскрыв скобки и выполняя тождественные преобразования, запишем: = = .

2). Запись: = — алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 2–423: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме. (1)

Решение:

1). Применим формулу для разности кубов двух чисел. Выполнив тождественные преобразования, запишем: = = .

2). Запись: = — алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 3–425: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Решение:

1). Применим формулу деления двух комплексных чисел в алгебраической форме. Выполнив тождественные преобразования, запишем: = = .

2). Запись: = — алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 4–427: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Решение:

1). Применим формулу деления двух комплексных чисел в алгебраической форме. Выполнив тождественные преобразования, запишем: = .

2). Тогда, воспользовавшись тем, что , запишем: = — алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 5–429: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Решение:

1). Воспользуемся таблицей степеней числа , именно: , , , . Тогда можем записать: и .

2). Тогда = . Вычислим сначала дробь = , затем запишем: = .

3). Запись: = — алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 6–435: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .

Решение:

1). Воспользуемся общей записью: = . В нашем случае: = — тригонометрическая форма комплексного числа.

2). Изобразим заданное число на плоскости : его можно изобразить как по записи в алгебраической форме, так и воспользовавшись тригонометрической формой.

Ответ: = , см. рисунок.

Пример 7–437: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .

Решение:

1). Воспользуемся общей записью: = . В нашем случае: = — тригонометрическая форма комплексного числа.

2). Изобразим заданное число на плоскости : его можно изобразить как по записи в алгебраической форме, так и воспользовавшись тригонометрической формой.

Ответ: = , см. рисунок.

Пример 8–448(а): Вычислить: и , если , .

Решение:

1). В соответствии с определением сопряжённого числа запишем: и .

2). Тогда = = и = = , после чего: = .

Ответ: = , = .

Пример 9–487: Вычислить: = , используя формулу Муавра.

Решение:

1). Запишем: и .

2). Тогда (формула Муавра): = = = . Аналогично вычислим = = .

3). Вычислим: = = .

Ответ: = .

Пример 10–497: Вычислить все значения корня: .

Решение:

1). Запишем: . Тогда = .

2). Для всех указанных значений запишем соответствующие комплексные числа:

=0 → = = ,

=1 → = = ,

=2 → = = ,

=3 → = = ,

Ответ: , , , ; также см. рисунок.

Пример 11–499: Вычислить все значения корня: .

Решение:

1). Запишем: = = . Тогда = .

2). Для всех указанных значений запишем соответствующие комплексные числа:

=0 → = = ,

=1 → = = ,

Ответ: , ; также см. рисунок.

•• ☻☻ ••

 

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое комплексное число?

2. Каковы основные операции с комплексными числами, их свойства?

3. Что такое тригонометрическая форма записи комплексного числа?

4. Формула Муавра, как её получили?

5. Сколько значений имеет корень – ой степени их числа 1?

Задачи для самоподготовки:

Пример C2–1: Вычислить комплексное число: . Результат записать в алгебраической форме.

Пример C2–2: Вычислить комплексное число: . Результат записать в алгебраической форме.

Пример C2–3: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Пример C2–4: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Пример C2–5: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .

Пример C2–6: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .

Пример C2–7: Вычислить: и , если , .

Пример C2–8: Вычислить: , используя формулу Муавра.

Пример C2–9: Вычислить все значения корня: .

Пример C2–10: Вычислить все значения корня: .

Пример C2–11: Вычислить все значения корня: .

 

•• ☻☻ ••

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

4. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление

4.1. Комплексные числа

Комплексным числом называется арифметическое выражение вида

,

(4.1)

где — действительные числа, а— специальный символ, который называетсямнимой единицей. Для мнимой единицы по определению считается, что .

(4.1) – алгебраическая форма комплексного числа, причем называетсядействительной частью комплексного числа, а —мнимой частью.

Число называетсякомплексно сопряженным к числу .

Пусть даны два комплексных числа ,.

1. Суммой комплексных чиселиназывается комплексное число

.

2. Разностью комплексных чиселиназывается комплексное число

.

3. Произведением комплексных чиселиназывается комплексное число

.

4. Частным от деления комплексного числана комплексное числоназывается комплексное число

.

Замечание 4.1. То есть операции над комплексными числами вводятся по обычным правилам арифметических операций над буквенными выражениями в алгебре.

Пример 4.1. Даны комплексные числа . Найти

.

Решение. 1) .

2) .

3)

.

4) Домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число, получаем

.

Тригонометрическая форма комплексного числа:

,

где — модуль комплексного числа,- аргумент комплексного числа. Уголопределен неоднозначно, с точностью до слагаемого:

, .

— главное значение аргумента, определяемое условием

, (или ).

Показательная форма комплексного числа:

.

Корень й степени числа имеет различных значений, которые находятся по формуле

,

(4.2)

где .

Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильногоугольника, вписанного в окружность радиусас центром в начале координат.

Пример 4.2. Найти все значения корня .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме:

,

, откуда .

Тогда . Следовательно, по формуле (4.2)имеет четыре значения:

, .

Полагая , находим

, ,

, .

Здесь мы преобразовывали значения аргумента к его главному значению.

Множества на комплексной плоскости

Комплексное число изображается на плоскоститочкойс координатами. Модульи аргументсоответствуют полярным координатам точки.

Полезно помнить, что неравенство задает круг с центром в точкерадиуса. Неравенствозадает полуплоскость, расположенную правее прямой, а неравенство- полуплоскость, расположенную выше прямой. Кроме того, система неравенствзадает угол между лучамии, выходящими из начала координат.

Пример 4.3. Нарисовать область, заданную неравенствами: .

Решение. Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке и двумя радиусами 1 и 2, окружности в область не входят (рис. 4.1).

Второму неравенству соответствует угол между лучами (биссектриса 4 координатного угла) и(положительное направление оси). Сами лучи в область не входят (рис. 4.2).

Искомая область является пересечением двух полученных областей (рис. 4.3)

рис. 4.1	рис. 4.2	рис. 4.3

4.2. Функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция определена и непрерывна в области, а— кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая ориентированная кривая, лежащая в. Пусть, как обычно,,, где,- действительные функции переменныхи.

Вычисление интеграла от функции комплексного переменногосводится к вычислению обычных криволинейных интегралов, а именно

.

(4.3)

Если функция аналитична в односвязной области, содержащей точкии, то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

,

(4.4)

где — какая-либо первообразная для функции, то естьв области.

В интегралах от функций комплексного переменного можно производить замену переменной, и интегрирование по частям аналогично тому, как это делается при вычислении интегралов от функций действительного переменного.

Заметим также, что если путь интегрирования является частью прямой, выходящей из точки , или частью окружности с центром в точке, то полезно делать замену переменной вида. В первом случае, а— действительная переменная интегрирования; во втором случае, а— действительная переменная интегрирования.

Пример 4.4. Вычислить по параболеот точкидо точки(рис 4.4).

.

Пример 4.5. Вычислить интеграл , где— дуга окружности,(рис. 4.5) .

Функция , однозначная и аналитическая в кольце, разлагается в этом кольце вряд Лорана

.

(4.5)

В формуле (4.5) ряд называетсяглавной частью ряда Лорана, а ряд называетсяправильной частью ряда Лорана.

Определение 4.1. Точка называетсяизолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки, в которой функцияаналитична всюду, кроме самой точки.

Функцию в окрестности точки можно разложить в ряд Лорана. При этом возможны три различных случая, когда ряд Лорана:

1) не содержит членов с отрицательными степенями разности , то есть

(ряд Лорана не содержит главной части). В этом случае называется устранимой особой точкой функции ;

2) содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности , то есть

,

причем . В этом случае точка называется полюсом порядка функции ;

3) содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями:

.

В этом случае точка называется существенно особой точкой функции .

При определении характера изолированной особой точки не обязательно искать разложение в ряд Лорана. Можно использовать различные свойства изолированных особых точек.

1) является устранимой особой точкой функции, если существует конечный предел функциив точке:

.

2) является полюсом функции, если

.

3) является существенно особой точкой функции, если прифункция не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного.

Определение 4.2. Точка называетсянулем го порядка(или кратности ) функции , если выполняются условия:

…, .

Замечание 4.2. Точка тогда и только тогда является нулемго порядка функции , когда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство

,

где функция аналитична в точкеи

4) точка является полюсом порядка () функции, если эта точка является нулем порядкадля функции.

5) пусть —изолированная особая точка функции , где- функции аналитические в точке . И пусть точка является нулем порядка функциии нулем порядкафункции.

При точка является полюсом порядка функции.

При точка является устранимой особой точкой функции .

Пример 4.6. Найти изолированные точки и определить их тип для функции .

Решение. Функции и- аналитические во всей комплексной плоскости. Значит, особыми точками функцииявляются нули знаменателя, то есть точки, где. Таких точек бесконечно много. Во-первых, это точка, а также точки, удовлетворяющие уравнению. Отсюдаи.

Рассмотрим точку . В этой точке получим:

, ,

, .

Порядок нуля равен .

, ,

, ,

, ,

, .

Порядок нуля знаменателя равен .

Значит, точка является полюсом второго порядка ().

. Тогда

, .

Порядок нуля числителя равен .

, ,.

Порядок нуля знаменателя равен . Следовательно, точкиприявляются полюсами первого порядка (простыми полюсами).

Теорема 4.1. (Теорема Коши о вычетах). Если функция является аналитической на границеобластии всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек, то

.

При вычислении интегралов стоит аккуратно найти все особые точки функции , затем нарисовать контур и особые точки, и после этого выбрать только те точки, которые попали внутрь контура интегрирования. Сделать правильный выбор без рисунка часто бывает затруднительно.

Способ вычисления вычета зависит от типа особой точки. Поэтому, прежде чем вычислять вычет, нужно определить тип особой точки.

1) вычет функции в точке равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложениив окрестности точки:

.

Это утверждение справедливо для всех типов изолированных точек, и поэтому в данном случае определять тип особой точки не обязательно.

2) вычет в устранимой особой точке равен нулю.

3) если — простой полюс (полюс первого порядка), а функциюможно представить в виде, где,(заметим, что в этом случае), тогда вычет в точкеравен

.

В частности, если , то.

4) если — простой полюс, то

.

(4.6)

5) если — полюсго порядка функции, то

.

(4.7)

Пример 4.7. Вычислить интеграл .

Тогда по формуле (4.7) находим вычет в этой точке:

.

В силу теоремы 4.1 находим

.

studfiles.net

Комплексные числа

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i² = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i² = –1). Число  = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z ·  = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a; b) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой — концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z|. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) — ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ; r · sin φ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z| · (cos(Arg z) + i sin(Arg z)). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z₁ · z₂ = |z₁| · |z₂| · (cos(Arg z₁ + Arg z₂) + i sin(Arg z₁ + Arg z₂)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра: zⁿ = |z|ⁿ · (cos(n · (Arg z)) + i sin(n · (Arg z))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z — это такое комплексное число w, что wⁿ = z. Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, …, n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n-й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n-угольника).

Далее: Фрактальные размерности

elementy.ru

Комплексные числа — Циклопедия

Комплексные числа Комплексная плоскость (в программе Wolfram Mathematica)

Комплексные числа (complexus — «соплетённый», составной, сложный) — математическая концепция чисел-сумм вещественного и чисто мнимого числа — вещественного множителя абстрактной квази-величины мнимая единица i, которая инверсивно определяется через утверждение, что её квадрат равен минус единице.

Более формально: комплексное число — это число, которое записывается в алгебраической форме в виде [math]a + b \cdot i[/math], где a и b — любые вещественные чи́сла, и считается, что для числа́ [math]i[/math] выполняется тождество [math]i^2=-1[/math].

Множество комплексных чисел в традиционной нотации обозначается зна́ком [math]\mathbb C[/math].

Комплексные числа появились в XVI веке, когда математики попытались решить квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами (такие уравнения не имеют вещественных корней). Оказалось, что квадратный корень из отрицательного числа приходится извлекать при решении кубического уравнения по формуле, хотя все корни исходного кубического уравнения могут быть вещественными. Тогда же появилось описание действий над комплексными числами в их современном понимании (эти действия было необходимо проводить с комплексными числами для корректного решения кубического уравнения по формуле).

Значимый вклад в теорию комплексных чисел внес великий математик Леонард Эйлер (XVIII век), разработавший привычные алгебраическую, тригонометрическую и показательную записи комплексного числа. В XIX веке появилось отображение комплексных чисел на координатной плоскости, методы комплексного анализа.

Основная теорема алгебры утверждает, что всякий многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами может быть разложен на n линейных сомножителей, и, таким образом, у всякого полиномиального уравнения n-й степени есть n корней в поле комплексных чисел с учетом их кратностей (до появления комплексных чисел у полиномиального уравнения могло не быть корней вовсе).

В алгебраической форме комплексное число записывается как [math]a + b \cdot i[/math], где под [math]i[/math] понимается [math]\sqrt{-1}[/math], то есть выполняется тождество [math]i^2=-1[/math]. Мнимая часть появляется при извлечении квадратного корня из отрицательного вещественного числа: [math]\sqrt{-16} = \sqrt{-1 \cdot 16} = \sqrt{16} \cdot i = ±4 \cdot i[/math].

Над комплексными числами можно проводить операции сложения (вычитания), умножения (по правилам перемножения многочленов), деления.

Формула деления комплексных чисел:

[math]\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c — di)}{(c + di)(c — di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc — ad}{c^2 + d^2}i[/math],

то есть для каждого ненулевого комплексного число можно найти обратное к нему по умножению.

Поэтому они образуют поле, которое расширяет поле вещественных чисел: [math]\mathbb{R} \subset \mathbb{C}[/math]. Вещественные числа в этой модели — комплексные, коэффициент при мнимой части которых равен 0.

Пара сопряженных комплексных чисел является решением квадратного уравнения при [math]D \lt 0[/math]. Например, в уравнении [math]x² + 6x + 34 = 0[/math] имеем [math]D = −100[/math]; в таком случае [math]\sqrt{D} = ±10i[/math], где [math]i = \sqrt{-1}[/math]. Решения уравнения, соответственно [math]-3 ± 5i[/math].

Сумма и произведение сопряженных комплексных чисел представляют собой вещественные числа.

Комплексные числа изучаются в специальном разделе математического анализа — комплексном анализе, в алгебре они доставляют пример алгебраически замкнутого поля, имеют значительное применение в физике.

[править] Геометрическая интерпретация

Комплексное число z = a + bi может быть изображено точкой (a; b) на комплексной плоскости, на которой по оси x располагаются вещественные числа, по оси y — чисто мнимые.

Тригонометрическая форма отражает вектор, отложенный от начала координат до этой точки.

Тригонометрическая форма комплексного числа: [math]z = \left | z \right | \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi)[/math], где |z| («модуль z») — расстояние на комплексной плоскости от начала координат до точки, обозначающей число z, а «аргумент» [math]\varphi[/math] = [math]\operatorname{arctg}\ \frac{b}{a}[/math] (если [math]a \gt 0[/math]), [math]\pi + \operatorname{arctg}\ \frac{b}{a}[/math] (если [math]a \lt 0 \wedge b \gt 0[/math]) и [math]-\pi + \operatorname{arctg}\ \frac{b}{a}[/math] (если [math]a \lt 0 \wedge b \lt 0[/math]).

При возведении комплексного числа в степень достаточно возвести только его модуль, а аргумент [math]\varphi[/math] домножить на показатель степени:

[math]z^k = \left ({\left | z \right | \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi)}\right )^k = \left | z \right |^k \cdot (\cos k\varphi + i \sin k\varphi)[/math]

Показательная форма комплексного числа, открытая Эйлером: [math]z = r \cdot e^{i\varphi}[/math], где r — модуль комплексного числа, а [math]\varphi[/math] — его аргумент.

[править] Операции с комплексными числами

• Абрамович М. И., Стародубцев М. Т. Математика (геометрия и тригонометрические функции). М., 1976.

cyclowiki.org

Комплексные числа: определения и основные понятия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексные числа – это числа вида , где – действительные числа, – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению .

Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение .

Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение .

Например. — комплексное число, действительной частью которого является вещественное число , а мнимой частью – вещественное число .

Если действительная часть комплексного числа равна нулю комплексное число называется чисто мнимым.

Например. , где .

Комплексные числа являются расширением действительных (вещественных) чисел. Любое действительное число может быть записано в форме комплексного числа: .

Например. Комплексные числа обозначают действительное число .

Равенство комплексных чисел

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два комплексных числа и называются равными, если , т.е. равны их действительные и мнимые части.

В противном случае комплексные числа называются неравными.

ПРИМЕР

Задание	Определить, при каких и два комплексных числа и являются равными.
Решение	По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. .
Ответ

Комплексно сопряженные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Сопряженным (или комплексно сопряженным) числом к комплексному числу называется число . ПРИМЕР

Задание	Найти для комплексного числа его сопряженное число.
Решение	Комплексно сопряженным числом является число вида . Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью является . Следовательно, сопряженное число имеет вид: .
Ответ

Подробнее про комплексно сопряженные числа читайте в отдельной статье: Комплексно сопряженные числа.

Противоположные комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Противоположным к комплексному числу является комплексное число . ПРИМЕР

Задание	Найти противоположное число к комплексному числу .
Решение	Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью – число . Следовательно, противоположным числом будет являться число .
Ответ

Читайте также:

Формы записи комплексных чисел

Алгебраическая форма КЧ

Тригонометрическая форма КЧ

Показательная форма КЧ

Модуль комплексного числа

Комплексно сопряженные числа

ru.solverbook.com

Основы теории комплексных чисел — КиберПедия

Студент должен:

знать:-определение мнимой единицы;

— определение комплексного числа;

— формы комплексного числа;

—действия над комплексными числами;

— геометрическую интерпретацию комплексных чисел.

уметь: — вычислять степени мнимой единицы;

— переходить от одной формы записи комплексного числа к другой;

— выполнять действия над комплексными числами в алгебраической ,

тригонометрической и показательной формах ;

— изображать комплексное число в виде вектора.

 

Определение мнимой единицы. Степени мнимой единицы. Определение комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Равенство комплексных чисел. Комплексно-сопряженные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Показательная форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.

 

Методические указания.

Данную тему рекомендуется начать с определения мнимой единицы и степеней мнимой единицы. Далее необходимо определить комплексное число в алгебраической форме. Изучить арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме. Перед изучением деления вводится понятие комплексно- сопряженного числа. Через геометрическую интерпретацию вводится тригонометрическая форма комплексного числа. Далее необходимо выделить алгоритм перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме. В тригонометрической форме изучить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Перед введением показательной формы необходимо изучить формулы Эйлера. Отработать технику перехода от тригонометрической формы в показательную форму, показательной формы в тригонометрическую форму и алгебраическую форму. Перед изучением действий в показательной форме нужно повторить действия над степенями.

 

Вопросы для самоконтроля.

1.Дайте определение мнимой единицы.

2. Сформулируйте алгоритм вычисления степени мнимой единицы.

3. Дайте определение комплексного числа.

4.Что называют действительной (мнимой) частью комплексного числа?

5. Когда комплексные числа равны?

6. Как складываются комплексные числа?

7. Как найти разность комплексных чисел?

8. Как умножаются комплексные числа?

9. Какие числа называются комплексно-сопряженными?

10. Как изобразить комплексное число на координатной плоскости?

11. Что такое аргумент, модуль комплексного числа?

12. Как перейти из алгебраической формы в тригонометрическую форму?

13. Какие действия выполняем над комплексными числами в тригонометрической форме? Каким образом (формулы)?

14. Как записываются формулы Эйлера.

15. Сформулируйте правило перехода из тригонометрической формы в показательную форму.

16. Сформулируйте правило перехода из алгебраической формы в показательную форму и обратно.

17. Сформулируйте правила действия над комплексными числами в показательной форме.

 

Раздел 3

Основные понятия и методы математического анализа

Тема3.1 Функции, пределы, непрерывность

Студент должен:

знать:-определение функции;

— область определения и область значения функции;

—основные свойства функции;

—определения предела функции;

— замечательные пределы;

— непрерывность и точки разрыва функции..

уметь: — находить область определения функции;

— определять основные свойства заданной функции;

— вычислять предел функции ;

— раскрывать неопределенности;

— исследовать функцию на непрерывность и квалифицировать точки

разрыва;

 

Определение функции. Область определения и область значения функции. Четность нечетность функции. Промежутки знакопостоянства функции. Промежутки монотонности функции. Точки пересечения с координатными осями.

Определения предела функции. Односторонние пределы. Теоремы о пределах функции. Неопределенности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Два замечательных предела. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей.

Непрерывность и точки разрыва функции.

 

Методические указания.

При изучении данной темы сначала рассматривают определение функции, ее свойства на примерах элементарных функций, затем уже обобщают понятия. Определение предела функции и его смысла рассматривать лучше графически. Для вычисления пределов и раскрытия неопределенностей используют алгебраические преобразования и эквивалентные функции, а так же два замечательных предела.

 

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение функции.

2. Дайте определение области определения и области значения функции.

3. Как исследовать функцию на четность нечетность?

4. Как найти точки пересечения с координатными осями?

5. Что такое промежутки знакопостоянства и монотонности функции?

6. Дайте определение предела функции.

7. Как находят левый и правый пределы функции?

8. Сформулируйте теоремы о пределах функции и следствия из них.

9. Что такое неопределенность. Какие неопределенности знаете?

10. Дайте определения бесконечно больших и бесконечно малых функции.

11. Какими свойствами они связаны?

12. Какие пределы называют замечательными?

13. Дайте определение непрерывной функции.

14.Как классифицируют точки разрыва функции?

 

cyberpedia.su

Развернутый угол — это… Что такое Развернутый угол?

«∠», обозначение угла в математике

Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.

Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L, в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон. Два вертикальных угла равны.

Центральные и вписанные углы окружности.

В зависимости от величины углы разделяются на:

Невыпуклый угол

Прямой угол

Вариации и обобщения

Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: ) называбт величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на , считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме или, что по нашему соглашению то же самое, ). Ориентированные углы обладает следующими свойствами: а) ; б) ; в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда .

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии (двугранный угол, многогранный угол, телесный угол).

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

1. Определение отрезка, луча, угла. Определение развернутого угла. Обозначение лучей и углов.

Билеты по геометрии 7 класс

Билеты по геометрии 7 класс Билет 1. 1.Смежные углы: определение и свойства. Доказательство одного из них. 2.Задача по теме «Равнобедренный треугольник» 3.Построение прямоугольного треугольника по катету

Как найти стороны, если известен периметр 🚩 как найти сторону прямоугольника зная периметр 🚩 Математика

5 мая 2011

Автор КакПросто!

Периметром плоской фигуры называют сумму длин всех ее сторон. Но найти стороны фигуры, зная только периметр — не всегда выполнимая задача. Часто требуются дополнительные данные.

Инструкция

Для квадрата или ромба задача найти стороны из периметра решается очень просто. Известно, что у этих двух фигур по 4 стороны и все они равны между собой, поэтому периметр p квадрата и ромба равен 4a, где a — сторона квадрата или ромба. Тогда длина стороны равна одной четвертой периметра: a = p/4.

Легко разрешима эта задача и для равностороннего треугольника. У него три одинаковых по длине стороны, поэтому периметр p равностороннего треугольника равен 3a. Тогда сторона равностороннего треугольника a = p/3.

Для остальных фигур понадобятся дополнительные данные. Например, можно найти стороны прямоугольника, зная его периметр и площадь. Предположим, что длина двух противолежащих сторон прямоугольника равна a, а длина двух других сторон — b. Тогда периметр p прямоугольника равен 2(a+b), а площадь s равна ab. Получим систему уравнений с двумя неизвестными:
p = 2(a+b)
s = ab.Выразим из первого уравнения а: а = p/2 — b. Подставим во второе уравнение и найдем b: s = pb/2 — b². Дискриминант этого уравнения D = p²/4 — 4s. Тогда b = (p/2±D^1/2)/2. Отбросьте тот корень, который будет меньше ноля, и подставьте в выражение для стороны a.

Источники:

• Найти стороны прямоугольника

Треугольник — это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Как же вычислить его периметр?

Инструкция

Периметр треугольника — это сумма длин всех его трех сторон.

Обозначим стороны треугольника а, b, c. Периметр в математических формулах обозначается латинской буквой Р. Значит, исходя из правила, Р = а + b + c

Допустим, наши стороны треугольника имеют такие длины: а = 3 см, b = 4 см, с = 5 см

Чтобы найти периметр данного треугольника — нужно сложить длины всех его сторон.

Т.е. Р = 3 + 4 + 5

Р = 12 см

Не сложная задача, ведь правда?

Видео по теме

Казалось бы, что может быть проще, чем вычисление площади и периметра треугольника – измерил стороны, поставил цифры в формулу – и все. Если вы так считаете, значит, забыли, что для этих целей существует не две простенькие формулы, а гораздо больше – для каждого вида треугольника – своя.

Инструкция

Периметр треугольника равняется сумме длин всех трех его сторон. Он вычисляется по формуле P=a+b+c, в которой a, b и c – это стороны фигуры. Одна из самых известных формул нахождения площади треугольника – это формула Герона. Она выглядит следующим образом: S=√p(p-a)(p-b)(p-c). Символ p обозначает полупериметр, для его нахождения разделите периметр треугольника на два. Чтобы найти площадь треугольника, если вам известна длина одной из сторон и длина высоты, опущенной на эту сторону, умножьте эти показатели, а результат разделите на два. Если перед вами равносторонний треугольник, то чтобы узнать площадь, возведите длину его стороны во вторую степень. Затем умножьте полученную цифру на корень квадратный из трех. Данную цифру разделите на четыре.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, измерьте длины его катетов (сторон, прилежащих к прямому углу). Умножьте эти значения, а результат разделите на два.

Видео по теме

Обратите внимание

Формула Герона — универсальная для нахождения площади треугольника.

Полезный совет

Периметр треугольника находится суммой всех сторон. Для нахождения площади существует несколько разных формул.

Источники:

• Как найти периметр и площадь треугольника
• найти площадь треугольника 4 класс
• Периметр равностороннего треугольника равен 18 900 мм

Прямоугольным треугольником считается такой треугольник, один из углов которого равен 90 градусам, а два других являются острыми углами. Расчет периметра такого треугольника будет зависим от количества известных о нем данных.

Вам понадобится

• В зависимости от случая, знание двух из трех сторон треугольника, а также одного из его острых углов.

Инструкция

Способ 1.Если известны все три стороны треугольника, то, независимо от того, прямоугольный ли треугольник или нет, его периметр будет рассчитан так:
P = a + b + c, где, допустим,
c — гипотенуза;
a и b — катеты.

Способ 2. Если в прямоугольнике известны только 2 стороны, то, используя теорему Пифагора, периметр этого треугольника можно рассчитать по формуле:
P = v(a2 + b2) + a + b, или
P = v(c2 – b2) + b + с. Способ 3. Пусть в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол ?, то найти периметр можно будет таким образом:
P = (1 + sin ? + cos ?)*с. Способ 4. Дано, что в прямоугольном треугольнике длина одного из катета равна a, а напротив него лежит острый угол ?. Тогда расчет периметра этого треугольника будет вестись по формуле:
P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)

Способ 5. Пускай нам известен катет a и прилежащий к нему угол ?, тогда периметр будет рассчитан так:
P = a*(1/сtg ? + 1/cos ? + 1)

Видео по теме

Периметр треугольника, как и любой другой плоской геометрической фигуры, составляет сумма длин ограничивающих его отрезков. Поэтому, чтобы вычислить длину периметра, надо знать длины его сторон. Но в силу того, что длины сторон в геометрических фигурах связаны определенными соотношениями с величинами углов, может оказаться достаточным знание лишь одной или двух сторон и оного или двух углов.

Инструкция

Сложите все длины сторон треугольника (A, B, C), если они известны — это самый простой из возможных способов нахождения длины периметра (P): P=A+B+C. Если известны величины двух углов треугольника (β и γ) и длина стороны между ними (A), то, исходя из теоремы синусов, можно узнать длины двух других сторон. Каждая из них будет равна частному от операции деления, где делимым будет произведение длины известной стороны на синус угла между известной и искомой сторонами, а делителем — синус угла, равного разности между 180° и суммой двух известных углов. То есть, неизвестная сторона B будет вычисляться по формуле B=A∗sin(β)/sin(180°-α-β), а неизвестная сторона C — по формуле C=A∗sin(γ)/sin(180°-α-β). Тогда длину периметра (P) можно определить, сложив эти два выражения с длиной известной стороны A: P = A + A∗sin(β)/sin(180°-α-β) + A∗sin(γ)/sin(180°-α-β) = A∗(1 + sin(β)/sin(180°-α-β) + sin(γ)/sin(180°-α-β)). Если треугольник — прямоугольный, то его периметр (P) можно вычислить, зная длины лишь двух сторон. Если известны длины обоих катетов (A и B), то длина гипотенузы, в соответствии с теоремой Пифагора, будет равна квадратному корню из суммы квадратов длин известных сторон. Если к этой величине прибавить сумму известных сторон, то станет известна и длина периметра: P=A+B+√(A²+B²).

Если в прямоугольном треугольнике известны длины гипотенузы (C) и одного из катетов (A), то из той же теоремы Пифагора длину недостающего катета можно определить, как квадратный корень из разницы квадратов длин гипотенузы и известного катета. К этой величине останется добавить длины известных сторон, чтобы вычислить периметр треугольника: P=A+C+√(C²-A²).

Если известна длина одного из катетов прямоугольного треугольника (A) и величина угла (α), лежащего напротив него, то этого достаточно, чтобы вычислить недостающие стороны и длину периметра (P): P=A∗(1/tg(α)+1/sin(α)+1).

Если кроме длины одного из катетов прямоугольного треугольника (A) известна величина прилежащего к нему острого угла (β), то и этого хватит для расчета периметра (P): P=A∗(1/сtg(β)+1/cos(β)+1).

Если известна величина одного из острых углов прямоугольного треугольника (α) и длина его гипотенузы (C), то периметр (P) можно высчитать по формуле: P=C∗(1+sin(α)+cos(α)).

Видео по теме

Равносторонний треугольник наряду с квадратом является, пожалуй, самой простой и симметричной фигурой в планиметрии. Разумеется, все соотношения, справедливые для обычного треугольника, верны также и для равностороннего. Однако для правильного треугольника все формулы становятся намного проще.

Вам понадобится

• калькулятор, линейка

Инструкция

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника измерьте длину одной из его сторон и умножьте результат измерения на три. В виде формулы это правило можно записать следующим образом:

Прт = Дс * 3,

где:

Прт – периметр равностороннего треугольника,
Дс – длина любой из его сторон.

Периметр треугольника получится в тех же единицах измерения, что и длина его стороны.

Пример.
Длина стороны равностороннего треугольника равна 10 мм. Требуется определить его периметр.
Решение.
Прт = 10 * 3 = 30 (мм)

Так как равносторонний треугольник обладает высокой степенью симметрии, то для вычисления его периметра достаточно одного из параметров. Например, площади, высоты, радиуса вписанной или описанной окружности.

Если известен радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, то для вычисления его периметра воспользуйтесь следующей формулой:

Прт = 6 * √3 * r,

где: r — радиус вписанной окружности.
Это правило следует из того, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника выражается через длину его стороны следующим соотношением:
r = √3/6 * Дс.

Чтобы вычислить периметр правильного треугольника через радиус описанной окружности, примените формулу:

Прт = 3 * √3 * R,

где: R — радиус описанной окружности.
Данная формула легко выводится из того факта, что радиус описанной окружности правильного треугольника выражается через длину его стороны следующим соотношением: R = √3/3 * Дс.

Для вычисления периметра равностороннего треугольника через известную площадь воспользуйтесь следующим соотношением:
Sрт = Дст² * √3 / 4,
где: Sрт – площадь равностороннего треугольника.
Отсюда можно вывести: Дст² = 4 * Sрт / √3, следовательно: Дст = 2 * √(Sрт / √3).
Подставляя это соотношение в формулу периметра через длину стороны равностороннего треугольника, получаем:

Прт = 3 * Дст = 3 * 2 * √(Sрт / √3) = 6 * √Sст / √(√3) = 6√Sст / 3^¼.

Видео по теме

Несмотря на то, что слово «периметр» с греческого языка переводится как «окружность», обозначают им общую длину всех границ не только круга, но и любой выпуклой геометрической фигуры. Одной из таких плоских фигур является треугольник. Для нахождения длины его периметра необходимо знать либо длины трех сторон, либо воспользоваться соотношениями между длинами сторон и углами в вершинах этой фигуры.

Инструкция

Если длины всех трех сторон треугольника известны (А, В и С), то для нахождения длины периметра (P) просто сложите их: P = А + В + С. Если известны величины двух углов (α и γ) в вершинах произвольного треугольника, а также длина хотя бы одной его стороны (С), то этих данных достаточно для расчета длин недостающих сторон, а следовательно и периметра (P) треугольника. Если сторона известной длины лежит между углами α и γ, то используйте теорему синусов — длину одной из неизвестных сторон можно выразить как sin(α)∗С/(sin(180°-α-γ)), а длину другой — как sin(γ)∗С/(sin(180°-α-γ)). Для расчета периметра сложите эти формулы и добавьте к ним длину известной стороны: P = С + sin(α)∗С/(sin(180°-α-γ)) + sin(γ)∗С/(sin(180°-α-γ)).

Если же сторона, длина которой известна (В), прилегает только к одному из двух известных углов (α и γ) в треугольнике, то формулы расчета длин недостающих сторон будут немного другими. Длину той из них, которая лежит напротив единственного неизвестного угла, можно определить по формуле sin(180°-α-γ)∗В/sin(γ). Для вычисления третьей стороны треугольника используйте формулу sin(α)∗В/sin(γ). Для расчета длины периметра (P) сложите обе формулы с длиной известной стороны: P = В + sin(180°-α-γ)∗В/sin(γ) + sin(α)∗В/sin(γ).

Если неизвестна длина лишь одной из сторон, а кроме длин двух других (А и В) дана величина одного из углов (γ), то используйте теорему косинусов для вычисления длины недостающей стороны — она будет равна √(А²+В²-2∗А∗В∗cos(γ)). А для нахождения длины периметра добавьте это выражение к длинам остальных сторон: P = А + В + √(А²+В²-2∗А∗В∗cos(γ)).

Если треугольник — прямоугольный, а недостающая сторона является его катетом, то формулу из предыдущего шага можно упростить. Для этого используйте теорему Пифагора, из которой вытекает, что длина гипотенузы равна квадратному корню из суммы квадратов известных длин катетов √(А²+В²). Добавьте к этому выражению длины катетов для вычисления периметра: P = А + В + √(А²+В²).

Видео по теме

Периметр фигуры – сумма длин всех ее сторон. Соответственно, чтобы найти периметр треугольника, надо знать, чему равна длина каждой из его сторон. Для поиска сторон используются свойства треугольника и основные теоремы геометрии.

Инструкция

Если все три стороны треугольника уже даны в условии задачи, просто сложите их. Тогда периметр будет равен: P = a + b + c. Пусть даны две стороны a, b и угол между ними γ. Тогда третью сторону можно найти по теореме косинусов: c² = a² + b² — 2 • a • b • cos(γ). Помните, что длина стороны может быть только положительной. Частный случай теоремы косинусов – теорема Пифагора, которая применима для прямоугольных треугольников. Угол γ в данном случае равен 90°. Косинус прямого угла обращается в единицу. Тогда c² = a² + b². Если в условии дана только одна из сторон, но при этом известны углы треугольника, две другие стороны можно найти по теореме синусов. Кстати, углы могут быть заданы не все, поэтому полезно помнить, что сумма всех углов треугольника равна 180°. Итак, пусть дана сторона a, угол γ между a и b, β между a и c. Третий угол α между сторонами b и c легко найти из теоремы о сумме углов треугольника: α = 180° — β – γ. По теореме синусов, a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2 • R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника. Чтобы найти сторону b, можно выразить ее из этого равенства через углы и сторону a: b = a • sin(β) / sin(α). Аналогично выражается и сторона c: c = a • sin(γ) / sin(α). Если, например, дан радиус описанной окружности, но не дана длина ни одной из сторон, задачу также возможно решить.

Если в задаче дана площадь фигуры, надо записать формулу для площади треугольника через стороны. Выбор формулы зависит от того, что еще известно. Если, помимо площади, заданы две стороны, поможет применение формулы Герона. Площадь можно выразить также через две стороны и синус угла между ними: S = 1/2 • a • b • sin(γ), где γ – угол между сторонами a и b.

В некоторых задачах может быть задана площадь и радиус окружности, вписанной в треугольник. В таком случае выручит формула r = S / p, где r – радиус вписанной окружности, S – площадь, p – полупериметр треугольника. Полупериметр из этой формулы выразить легко: p = S / r. Осталось найти периметр: P = 2 • p.

Видео по теме

Источники:

• как находить периметр треугольника

Периметр треугольника – сумма длин его сторон. Найти периметр треугольника часто требуется как в задачах начальной геометрии, так и в более трудных заданиях. При их решении недостающие величины находят из других данных. Основные зависимости периметра треугольника от его других измерений отражены в данной инструкции.

Вам понадобится

• — ручка;
• — бумага для записей.

Инструкция

Самый простой случай – найти периметр треугольника, если все три стороны его известны. Сложите длины всех сторон.

Если в треугольнике даны две стороны и угол между ними, найдите длину третьей стороны из теоремы косинусов: a2= b2+ c2- 2bc*cosа, где a, b, c – стороны треугольника, cosa – косинус угла между сторонами b и с. Третий случай – примените теорему синусов, если известна одна сторона и два угла треугольника: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R. Где a, b, c – стороны треугольника; sina, sinb, sinc – синусы углов, противолежащих этим сторонам; R – радиус окружности, которую можно описать вокруг треугольника. Третий угол найдите вычитанием из 180о двух известных в условии углов. Определите неизвестные стороны b, c: b = sinb*a/sina; c = sinc*a/ sina. Эту же теорему используйте, если у вас имеется треугольник, вписанный в окружность с известным радиусом. Даны также углы треугольника. Найдите стороны треугольника: a = 2R*sina; b = 2R*sinb; с = 2R*sinc. Пятый пример – рассчитайте периметр прямоугольного треугольника, если известны его гипотенуза и один из катетов. Вычислите длину второго катета из теоремы Пифагора: b = (c^2-a^2)^1/2, где a, b – катеты прямоугольника; с – его гипотенуза.

Шестой пример – дан прямоугольный треугольник, у которого известна сторона и острый угол. В задаче должно быть указано, является известная сторона катетом или гипотенузой. Чему равен его периметр?

Найдите недостающие данные для вычисления периметра, используя тригонометрические зависимости: a = с*siny; b = с*cosy; a = b*tgy. Где a, b – катеты, с — гипотенуза, y – угол, противолежащий катету а.

Седьмой пример – даны подобные треугольники, у которых известны размеры их сходственных сторон или коэффициент подобия. Указаны длины трех сторон или периметр одного из них. Требуется найти периметр второго.

Для решения найдите коэффициент подобия: k = a’/a, где a’ и а – сходственные стороны треугольников, т.е. стороны, противолежащие одинаковым углам. Затем найдите периметр одного треугольника. Если стороны треугольника не заданы прямо, вычислите их, применив шаг 2, 3 или 4. Вычислите периметр второго треугольника: P = P’/k, где P, P’ – периметры подобных треугольников.

Видео по теме

Треугольник составляют три стороны, суммарная длина которых называется периметром. Замкнутую ломаную линию, образованную сторонами этой фигуры, тоже называют периметром. Она ограничивает участок поверхности определенной площади. Длины сторон, периметр, площадь, а также углы в вершинах — все это связано между собой определенными соотношениями. Использование этих соотношений позволит вычислить недостающие параметры фигуры, например, ее периметр и площадь.

Инструкция

Если длины каждой из сторон приведены в условиях задачи или у вас есть возможность самостоятельно измерить их, вычислить длину периметра будет очень просто — сложите размеры трех сторон. При наличии в исходных условиях информации лишь о двух сторонах (А и В), а также о величине угла между ними (γ), начните вычисление периметра (Р) с нахождения длины недостающей стороны. Сделайте это с применением теоремы косинусов. Сначала возведите в квадрат длины известных сторон и сложите результаты. Затем отнимите от полученной величины произведение длин этих же сторон друг на друга и косинус известного угла. В общем виде формулу расчета неизвестной стороны можно записать так: √(A²+B²-A*B*cos(γ)). К полученной этим способом длине третьей стороны прибавьте известные из условий длины двух других и рассчитайте периметр: Р = √(A²+B²-A*B*cos(γ)) + А + В. Узнав в процессе вычисления периметра или из условий задачи длины всех сторон фигуры (А, В и С), можно приступать к вычислению ее площади (S). Эти параметры — площадь и длины сторон — связывает между собой формула Герона. Поскольку на предыдущем шаге вы уже получили формулу расчета периметра, найдите его численное значение и используйте полученную величину для упрощения формулы. Поделите периметр пополам и присвойте это значение дополнительной переменной, обозначив ее буквой p. Затем найдите разности между полупериметром и длиной каждой из сторон — всего должно получиться три значения. Эти величины перемножьте между собой и умножьте на полупериметр, а затем извлеките из рассчитанного значения квадратный корень: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).

Можно использовать более простую формулу вычисления площади (S), если к полученным на предыдущих шагах длинам сторон (А, В, С) добавить радиус (R) описанной около треугольника окружности. Составьте эту формулу из произведения длин всех трех сторон, добавив к нему операцию деления на учетверенный радиус. Получиться у вас должно такое тождество: S=A∗B∗C/(4∗R).

Треугольник имеет 3 стороны. Сумма длин этих сторон и называется периметром. Найти этот показатель можно и не имея всех данных на руках. Достаточно выучить несложные правила.

Вам понадобится

• — Ручка;
• — лист бумаги;
• — линейка;
• — карандаш.

Инструкция

Стандартная формула нахождения периметра выглядит так: Р = a + b + c. В этой формуле а, b, c являются длинами каждой стороны треугольника. Эта формула может быть применена к любому виду треугольников.

Например, если у вас имеется треугольник и его стороны равны 6 см, 4 см и 10 см, то периметр будет вычисляться так: P=6+4+10=20 см. Вместо этих величин, можно поставить длины сторон, данные в вашей задаче.

Если же у вас имеется прямоугольный треугольник и вы знаете только величины двух сторон, то это не становится большой проблемой, чтобы найти периметр. Достаточно вспомнить теорему Пифагора, в которой говорится о том, что сумма квадратов сторон, прилегающих к углу 90 градусов, будет равна квадрату стороны противолежащей прямому углу. Прилегающие стороны называются катетами, а противолежащая — гипотенуза. Гипотенуза будет также и самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Благодаря этой формуле можно найти любую неизвестную сторону и потом уже вставить данные и вычислить периметр треугольника.

Например, у вас дан треугольник, катеты которого равны 3 и 4 см. Тогда получается, что третья сторона будет равна корню из 25. Соответственно гипотенуза такого треугольника будет равна 5 см, а периметр равен 12 см.

Если в задаче даны длины двух сторон и угла между ними и нужно найти периметр, но треугольник не является прямоугольным, то на помощь приходит теорема косинусов. В ней говорится, что квадрат стороны будет равен сумме квадратов двух других сторон минус косинус угла, лежащего между известными сторонами, умноженного на 2. Как только третья сторона будет найдена, то с легкостью можно найти периметр по стандартной формуле.

Например, если стороны равны 4 и 5 см, а угол между ними равен 58 градусам, то третья сторона будет равна корню 16+25-2*0,529. Получается, неизвестная сторона равна корню из 39,942 и будет равна 6,31 см. А периметр такого треугольника будет равен 15,31 см.

Обратите внимание

Не забывайте указывать единицы измерения. Также важно, чтобы при внесении в формулу все величины были в одинаковых единицах измерения.

Полезный совет

Перед выполнением каждой геометрической задачи нарисуйте треугольник и отметьте все имеющиеся данные. Таким образом, станет наглядно понятно, каких данных не хватает для того, чтобы найти периметр треугольника.

www.kakprosto.ru

Как вычислить периметр треугольника 🚩 дано треугольник авс 🚩 Математика

15 июля 2011

Автор КакПросто!

Периметр любой геометрической фигуры, в том числе треугольника, равен совокупной длине границ этой фигуры. Он обозначается заглавной латинской буквой P и легко находится методом сложения длин всех сторон данной фигуры.

Статьи по теме:

Инструкция

Чтобы найти периметр любого треугольника, достаточно сложить длины всех трех его сторон. В виде формулы это выглядит следующим образом: P = a + b + c. Например, если вам дан треугольник АВС со сторонами 5, 8 и 11 см, то его периметр будет равен AB + BC + CA = 5 + 8 + 11 = 24 см. Если вам неизвестны длины сторон, но по условию даны площадь треугольника и радиус вписанной в него окружности, то вы тоже сможете найти периметр. Для этого вам нужно будет воспользоваться одной из формул площади треугольника: S = r x p, где r – радиус вписанной в треугольник окружности, а p – его полупериметр. Вы сможете найти полупериметр, разделив площадь на радиус (p = S : r), а затем умножить результат на два, чтобы получить полный периметр (P = 2p).

Если данный вам треугольник прямоугольный, то для нахождения его периметра будет достаточно знать длины лишь двух из трех сторон. Длину третьей стороны вы легко найдете через теорему Пифагора. Таким образом, если вам известны длины двух катетов (a и b), то формула периметра будет выглядеть следующим образом: P = a + b + v(a2 + b2). Если же вам известна длина одного катета (a) и гипотенузы (c), то формула будет иметь следующий вид: a + v(c2 – a2) + c.

Также площадь прямоугольного треугольника можно найти, если известна длина только одной из сторон и величина одного из острых углов. Если вам известна длина одного из катетов (a) и противолежащего угла (?), то периметр может быть найден по следующей формуле: P = a х (1 : tg ? + 1 : sin ? + 1). Если известен катет (a) и прилежащий угол (?), то формула периметра примет следующий вид: P = a х (1 : сtg ? + 1 : cos ? + 1). Если же вам известна гипотенуза (с) и любой из острых углов (например, ?), то площадь периметра легко найдется по формуле: P = (1 + sin ? + cos ?) x с.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Находим периметр треугольника различными способами :: SYL.ru

Периметр любого треугольника – это длина линии, ограничивающей фигуру. Чтобы его вычислить, нужно узнать сумму всех сторон этого многоугольника.

Вычисление по данным значениям длины сторон

Когда известны их значения, то сделать это несложно. Обозначив эти параметры буквами m, n, k, а периметр буквой P, получим формулу для вычисления: P = m+n+k. Задание: Известно, что треугольник имеет стороны длиной 13,5 дециметров, 12,1 дециметров и 4,2 дециметра. Узнать периметр. Решаем: Если стороны данного многоугольника — a = 13,5 дм, b = 12,1 дм, c = 4,2 дм, то P = 29,8 дм. Ответ: P = 29,8 дм.

Периметр треугольника, который имеет две равные стороны

Такой треугольник называется равнобедренным. Если эти равные стороны имеют длину a сантиметров, а третья сторона – b сантиметров, то периметр легко узнать: P =b+2a. Задание: треугольник имеет две стороны по 10 дециметров, основание 12 дециметров. Найти P. Решение: Пусть боковая сторона a = c = 10 дм, основание b = 12 дм. Сумма сторон P = 10 дм + 12 дм + 10 дм = 32 дм. Ответ: P = 32 дециметра.

Периметр равностороннего треугольника

Если все три стороны треугольника имеют равное количество единиц измерения, он называется равносторонним. Еще одно название – правильный. Периметр правильного треугольника находят при помощи формулы: P = a+a+a = 3·a. Задача: Имеем равносторонний треугольный земельный участок. Одна сторона равна 6 метрам. Найти длину забора, которым можно обнести этот участок. Решение: Если сторона этого многоугольника a= 6м, то длина забора P = 3·6 = 18 (м). Ответ: P = 18 м.

Треугольник, у которого есть угол 90°

Его называют прямоугольным. Наличие прямого угла дает возможность находить неизвестные стороны, пользуясь определением тригонометрических функций и теоремой Пифагора. Самая длинная сторона называется гипотенуза и обозначается c. Имеются еще две стороны, a и b. Следуя теореме, носящей имя Пифагора, имеем c² = a² + b². Катеты a = √ (c² – b²) и b = √ (c² – а²). Зная длину двух катетов a и b, вычисляем гипотенузу. Затем находим сумму сторон фигуры, сложив эти значения. Задание: Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 8,3 сантиметра и 6,2 сантиметра. Периметр треугольника нужно вычислить. Решаем: Обозначим катеты a = 8,3 см, b = 6,2 см. За теоремой Пифагора гипотенуза c = √ (8,3² + 6,2²) = √ (68,89 + 38,44) = √107,33 = 10,4 (см). P = 24,9 (см). Или P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3² + 6,2²) = 24,9 (см). Ответ: P = 24,9 см. Значения корней брали с точностью до десятых. Если нам известны значения гипотенузы и катета, то значение Р получим, вычислив Р=√ (c² – b²) + b + c. Задача 2: Отрезок земельного участка, лежащий против угла в 90 градусов, 12 км, один из катетов – 8 км. За какое время можно обойти весь участок, если двигаться со скоростью 4 километра в час? Решение: если наибольший отрезок — 12 км, меньший b = 8 км, то длина всего пути составит P = 8 + 12 + √ (12² – 8²) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (км). Время найдем, разделив путь на скорость. 28,9:4 = 7,225 (ч). Ответ: можно обойти за 7,3 ч. Значение квадратных корней и ответа берем с точностью до десятых. Можно найти сумму сторон прямоугольного треугольника, если дана одна из сторон и значение одного из острых углов. Зная длину катета b и значение противолежащего ему угла β, найдем неизвестную сторону a = b/ tg β. Находим гипотенузу c = a: sinα. Периметр такой фигуры находим, сложив полученные значения. P = a + a/ sinα + a/ tg α, или P = a(1 / sin α+ 1+1 / tg α). Задание: В прямоугольном Δ АВС с прямым углом С катет ВС имеет длину 10 м, угол А – 29 градусов. Нужно найти сумму сторон Δ АВС. Решение: Обозначим известный катет ВС = a = 10 м, угол, лежащий напротив него, ∟А = α = 30°, тогда катет АС = b = 10: 0,58 = 17,2 (м), гипотенуза АВ = c = 10: 0,5 = 20 (м). Р = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (м). Или Р = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 м. Имеем: P = 47,2 м. Значение тригонометрических функций берем с точностью до сотых, значение длины сторон и периметра округляем до десятых. Имея значение катета α и прилежащего угла β, узнаем, чему равен второй катет: b = a tg β. Гипотенуза в таком случае будет равна катету, разделенному на косинус угла β. Периметр узнаем по формуле P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Задание: Катет треугольника с углом 90 градусов 18 см, прилежащий угол – 40 градусов. Найти P. Решение: Обозначим известный катет ВС = 18 см, ∟β = 40°. Тогда неизвестный катет АС = b = 18 · 0,83 = 14,9 (см), гипотенуза АВ = c = 18: 0,77 = 23,4 (см). Сумма сторон фигуры равна Р = 56,3 (см). Или Р = (1 + 1,3+0,83)*18 = 56,3 см. Ответ: P = 56,3 см. Если известна длина гипотенузы c и какой-нибудь угол α, то катеты будут равны произведению гипотенузы для первого – на синус и для второго – на косинус этого угла. Периметр этой фигуры P = (sin α + 1+ cos α)*c. Задание: Гипотенуза прямоугольного треугольника АВ = 9,1 сантиметр, а угол 50 градусов. Найти сумму сторон данной фигуры. Решение: Обозначим гипотенузу: AB = c = 9,1 см, ∟A= α = 50°, тогда один из катетов BC имеет длину a = 9,1 · 0,77 = 7 (см), катет АС = b = 9,1 · 0,64 = 5,8 (см). Значит периметр этого многоугольника равен P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (см). Или P = 9,1·(1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (см). Ответ: P = 21,9 сантиметров.

Произвольный треугольник, одна из сторон которого неизвестна

Если мы имеем значения двух сторон a и c, и угла между этими сторонами γ, третью находим теоремой косинусов: b ² = с² + a ² – 2 ас cos β, где β – угол, лежащий между сторонами а и с. Затем находим периметр. Задание: Δ АВС имеет отрезок АВ длиной 15 дм, отрезок АС, длина которго 30,5 дм. Значение угла между этими сторонами 35 градусов. Вычислить сумму сторон Δ АВС. Решение: Теоремой косинусов вычислим длину третей стороны. BC² = 30,5² + 15² — 2·30,5·15·0,82 = 930,25 + 225 – 750,3 = 404,95. BC = 20,1 см. P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (дм).Имеем: P = 65,6 дм.

Сумма сторон произвольного треугольника, у которого длины двух сторон неизвестны

Когда знаем длину только одного отрезка и значение двух углов, можно узнать длину двух неизвестных сторон, пользуясь теоремой синусов: «в треугольнике стороны всегда пропорциональны значениям синусов противоположных углов». Откуда b = (a* sin β)/ sin a. Аналогично c = (a sin γ): sin a. Периметр в таком случае будет P = а + (а sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Задание: Имеем Δ ABC. В нем длина стороны BC 8,5 мм, значение угла C – 47°, а угла B – 35 градусов. Найти сумму сторон данной фигуры. Решение: Обозначим длины сторон BC = a = 8,5 мм, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° – (47° + 35°) = 180° – 82° = 98°. Из соотношений, полученных из теоремы синусов, находим катеты AC = b = (8,5·0,57): 0,73= 6,7 (мм), AB = c = (7 · 0,99): 0,73 = 9,5 (мм). Отсюда сумма сторон этого многоугольника равна P = 8,5 мм + 5,5 мм + 9,5 мм = 23,5 мм. Ответ: P = 23,5 мм. В случае, когда есть только длина одного отрезка и значения двух прилежащих углов, сначала вычисляем угол, противоположный известной стороне. Все углы этой фигуры в сумме имеют 180 градусов. Поэтому ∟A = 180° — (∟B + ∟C). Дальше находим неизвестные отрезки, используя теорему синусов. Задание: Имеем Δ ABC. Он имеет отрезок BC, равный 10 см. Значение угла B равно 48 градусов, угол C равен 56 градусов. Найти сумму сторон Δ ABC. Решение: Сначала найдем значение угла A, противолежащего стороне BC. ∟A = 180° – (48° + 56°) = 76°. Теперь с теоремой синусов вычислим длину стороны AC = 10·0,74: 0,97 = 7,6 (см). AB = BC* sin C/ sin A = 8,6. Периметр треугольника Р = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (см). Результат: P = 26,2 см.

Вычисление периметра треугольника с использованием радиуса окружности, вписанной в него

Иногда из условия задачи не известна ни одна сторона. Зато есть значение площади треугольника и радиуса окружности, вписанной в него. Эти величины связаны: S = r p. Зная значение площади треугольника, радиуса r, можем найти полупериметр p. Находим p = S: r. Задача: Участок имеет площадь 24 м², радиус r равен 3 м. Найти количество деревьев, которое нужно высадить равномерно по линии, ограждающей этот участок, если между двумя соседними должно быть расстояние 2 метра. Решение: Сумму сторон данной фигуры находим так: P = 2 · 24: 3 = 16 (м). Затем делим на два. 16:2= 8. Итого: 8 деревьев.

Сумма сторон треугольника в декартовых координатах

Вершины Δ АВС имеют координаты: A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C(x₃ ; y₃). Найдем квадраты каждой из сторон AB² = (x₁ — x₂)² + (y₁ — y₂)²; ВС²= (x₂ — x₃)² + (y₂ — y₃)²; АС² = (x₁ — x₃)² + (y₁ — y₃)². Чтобы найти периметр, достаточно сложить все отрезки. Задание: Координаты вершин Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Найти сумму сторон этой фигуры. Решение: поставив значения соответствующих координат в формулу периметра, получим P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Имеем: P = 16,6. Если фигура находится не на плоскости, а в пространстве, то каждая из вершин имеет три координаты. Поэтому формула суммы сторон будет иметь еще одно слагаемое.

Векторный метод

Если фигура задана координатами вершин, периметр можно вычислить, используя векторный метод. Вектор – отрезок, имеющий направление. Его модуль (длина) обозначается символом ǀᾱǀ. Расстояние между точками – это и есть длина соответствующего вектора, или модуль вектора. Рассмотрим треугольник, лежащий на плоскости. Если вершины имеют координаты А (х₁; у₁), М(х₂; у₂), Т (х₃; у₃), то длину каждой из сторон находим по формулам: ǀАМǀ = √ ((х₁ – х₂)² + (у₁ – у₂)²), ǀМТǀ = √ ((х₂ – х₃)² + (у₂ – у₃)²), ǀАТǀ = √ ((х₁ – х₃)² + (у₁ – у₃)²). Периметр треугольника получим, сложив длины векторов. Аналогично находят сумму сторон треугольника в пространстве.

www.syl.ru

Формула периметр прямоугольника 4 класс формула

2. Задание В5 (№ 27581). Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости. Заключим эту фигуру в квадрат, длина стороны которого равна 8: Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, надо из площади квадрата ( 8*8=64 ) вычесть площади восьми прямоугольных.

Периметр

Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.

Иногда для вычисления периметра геометрических фигур используются специальные формулы, в которых периметр обозначается заглавной латинской буквой « P ».

Периметр измеряется в единицах длины: мм, см, м, км и т. д.

При Нахождении периметра мы рекомендуем писать название фигуры маленькими буквами под знаком « P », чтобы не забывать чей периметр вы находите.

Периметр прямоугольника — это сумма длины и ширины, умноженная на « 2 ».

Стороны прямоугольника, которые лежат друг против друга (противолежащие), мы называем длиной и шириной.

Периметр квадрата — это длина стороны квадрата, умноженная на « 4 ».

Как найти периметр многоугольника

Периметр любого многоугольника (в том числе и Периметр треугольника) рассчитывается по определению периметра. Для этого надо просто сложить длины всех сторон многоугольника.

PABCDE = AB + BC + CD + DE + EA = 3 + 4 + 3 + 2 + 2 = 14 (см)

Формула периметр прямоугольника 4 класс формула

Периметр

Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.

Иногда для вычисления периметра геометрических фигур используются специальные формулы, в которых периметр обозначается заглавной латинской буквой « P ».

Периметр измеряется в единицах длины: мм, см, м, км и т. д.

При Нахождении периметра мы рекомендуем писать название фигуры маленькими буквами под знаком « P », чтобы не забывать чей периметр вы находите.

Периметр прямоугольника — это сумма длины и ширины, умноженная на « 2 ».

Стороны прямоугольника, которые лежат друг против друга (противолежащие), мы называем длиной и шириной.

Периметр квадрата — это длина стороны квадрата, умноженная на « 4 ».

Как найти периметр многоугольника

Периметр любого многоугольника (в том числе и Периметр треугольника) рассчитывается по определению периметра. Для этого надо просто сложить длины всех сторон многоугольника.

PABCDE = AB + BC + CD + DE + EA = 3 + 4 + 3 + 2 + 2 = 14 (см)

Формула периметр прямоугольника 4 класс формула

Периметр, формулы нахождения периметра

Периметр фигуры это длина всех ее сторон. Не все фигуры имеют периметр, например, шар не имеет периметра. Стандартное обозначение Периметра в математике — буква P

Периметр треугольника

Периметр квадрата

Пусть длина стороны квадрата равна a. Квадрат имеет четыре равных стороны, поэтому Периметр квадрата есть P = a + a + a +a или:

Периметр прямоугольника

Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b.

Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b или:

Периметр параллелограмма

Пусть длины сторон параллелограмма равны a и b

Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b, поэтому периметр параллелограмма есть:

Как видно, периметр параллелограмма равен периметру прямоугольника.

Периметр ромба

Периметр равнобедренной трапеции

Пускай длины параллельных сторон трапеции a и b, а длины двух других сторон равна c (Как известно, равнобедренная трапеция имеет две равные стороны).

Периметр равностороннего треугольника

Как известно, равносторонний треугольник имеет 3 равные стороны. Если длина стороны равна a, тогда формула нахождения периметра есть P = a + a + a

Длина окружности(периметр круга)

Обозначим длину окружности буквой l.

$l = d \cdot \pi = 2\cdot r \cdot \pi$

R радиус круга (окружности)

D диаметр круга.

Правильный многоугольник

N число ребер(вершин).

Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.

poiskvstavropole.ru

Расчет периметра и площади треугольника

Треугольник имеет три угла или вершины, и три стороны, которые являются прямыми отрезками.

Равносторонним треугольником является треугольник, который имеет равную длину всех трех сторон.

Если две стороны треугольника и два прилегающих к ним угла равны между собой — такой треугольник называется равнобедренным

Площадь треугольника через основание и высоту: a×h/2

Периметр треугольника: (a + b + c)

Площадь равностороннего треугольника: (√(3)/4)×a²

Площадь равнобедренного треугольника(2 стороны и угол): ½×a×b×SinC

Формулы площади треугольника:

• Площадь треугольника = a * h/2
• Периметр треугольника = a + b + c
• Площадь равностороннего треугольника = (√(3) / 4) * a²
• Площадь равнобедренного треугольника = ½ * a * b * SinC

где,

• h — высота треугольника,
• a, b, c = стороны треугольника

Примеры :

Задача 1: Найдите площадь треугольника у которого высота = 3, а длина основания = 4.
Шаг 1: Найдем площадь.
Площадь = h * b/2 = 3 * 4/2 = 12/2 = 6.

Задача 2: Найдите периметр треугольника, если известна длина его трех сторон = 1, 2, 3.

Шаг 1: Найдем периметр.
Периметр = a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6.

Задача 3: Найдите площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равна 3.

Шаг 1: Найдем площадь.
Площадь = (√(3) / 4) * a² = (1.73 / 4) * 3² = 0.43 * 9 = 3.87.

Задача 4: Найдите площадь равнобедренного треугольника если сторона его равна 3, основание = 4 и угол между ними 28.

Шаг 1: Найдем площадь.
Площадь = ½ * a * b * SinC = 0.5 * 3 * 4 * Sin(28) = 6 * 0.27 = 1.62.

Приведенные выше примеры показывают, как вычислить площадь и периметр треугольника, равностороннего треугольника,
равнобедренного треугольника вручную.

wpcalc.com

Как найти площадь треугольника? 4 класс… Формулу… Скажите плизз)))

Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты S = 1a · h 2 Формула площади треугольника по трем сторонам Формула Герона S = √p(p — a)(p — b)(p — c) Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. S = 1a · b · sin γ 2 Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности S = a · b · с 4R Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности. S = p · r где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, h — высота треугольника, γ — угол между сторонами a и b, r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, p = a + b + c — полупериметр треугольника. 2

в 4 классе не проходят формулы площади треугольника.. так что забей

а плююс в умножить на два

S=/aплюс B/ умножить на 2

площадь квадрата — а * а площадь прямоугольника — а*в площадь треугольника — а*в: с периметр прямоугольника — (а+в) *2 периметр квадрата — а*4

touch.otvet.mail.ru

Правила нахождения производных, формулы и примеры

Рассмотрим функции и которые являются дифференцируемыми в точке (то есть имеют производную в этой точке). Тогда для нахождения производных используют следующие правила.

1. Производная произведения константы на некоторую функцию равна произведению этой константы на производную от заданной функции, то есть константа выносится за знак производной:

2. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой их них:

Замечание. Это свойство справедливо и для большего, чем два, числа функций.

Замечание. Первые два правила можно объединить в одно свойство линейности:

   

3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй:

   

4. Производная частного двух функций равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя и квадрата исходного знаменателя, то есть

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Производная частного | Математика

При дифференцировании функций нахождение производной частного обычно вызывает наибольшие затруднения. Лучший способ разобраться и понять, как находится производная частного, — рассмотреть конкретные примеры с подробными пояснениями.

Именно этим мы сейчас и займемся. Для дифференцирования нам понадобится таблица производных. Напишем еще раз правило, по которому берется производная частного:

   

(Поначалу неплохо его выписать на листочек и держать перед глазами). В отличие от производной произведения, затруднений с определением, где здесь u,  а где — v, в производной частного нет: понятно, что все, что вверху, в числителе — это u, а все что внизу, в знаменателе — v. Если u и v — табличные функции, производная частного может быть найдена легко: достаточно расписать все по формуле, найти каждую из производных, и упростить.

Пример. Найти производную частного:

   

Здесь u=2-4x, v=3x+7

   

Производную линейной функции полезно помнить: (kx+b)’=k, где k и b — числа, причем k — число, стоящее перех x. А можно найти как производную суммы: (kx+b)’=k·x’+b’=k·1+0=k. Таким образом, (2-4x)’=-4, (3x+7)’=3, и знак умножения перед скобкой и перед буквой обычно не пишется

   

   

   

   

   

Общий множитель в числителе выносим за скобку, затем дробь сокращаем:

   

   

u=2x³+7x-5, v=6x-8. Расписываем по формуле производной частного:

   

здесь числитель представляет собой сумму и разность функций. Как находить производную суммы и разности, мы уже знаем.

   

   

   

   

Здесь u=2lnx+1, v=2√x. Значит, производная частного равна

   

   

   

   

Примеры для самопроверки. Найти производную частного:

   

Показать решение

1) u=5x²-8x, v=7-x. Теперь ищем производную частного:

   

   

   

   

   

   

   

   

Пока что мы рассмотрели только самые простые примеры на производную частного. В более сложных примерах числитель и знаменатель дроби могут быть сложными функциями, либо являться, в свою очередь, производными произведения и частного. Такие примеры мы обсудим чуть позже.

 

www.matematika.uznateshe.ru

Производная произведения и частного функции

Формула производной произведения функции имеет вид .

Формула производной частного функции имеет вид .

Однако было бы наивно надеяться, что на контрольной или экзамене Вам обязательно попадётся пример на нахождение производной такого частного: , где легко подставить простенькое выражение в формулу и выдать правильное решение.

В реальных задачах требуется найти производную таких произведений и частных, в которые вкрались тригонометрические выражения и логарифмы, не говоря уже о множителях (константах), и вообще о том, что может содержать произведение или частное функции. Поэтому примеры нахождения производной произведения и частного функций вынесены в эту отдельную статью.

Пример 1.Найти производную функции

.

Решение. От нас требуется найти производную произведения функций. Прежде всего вынесем множитель 2 за знак производной:

.

Теперь применяем формулу дифференцирования произведения:

Приводим слагаемые в скобках к общему знаменателю:

В числителе первого слагаемого можно заметить знакомое по школьной математике выражение двойного угла:

Существует также известное из школьной математики тождество:

.

Подставляем его в наш промежуточный результат и получаем:

.

Производная данного произведения найдена.

Найти производную произведения функций самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2.Найти производную функции

.

---

Пример 4.Найти производную функции

Решение. Перед нами сумма частных. Следовательно, каждое слагаемое будет дифференцировано как частное. Применяем правило дифференцирования частного, не забывая, чему равны производные числа(константы) и самой переменной x:

Пример 5.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:

Шаг 2. Находим производную произведения в числителе:

Шаг 3. Находим производную суммы:

Шаг 4. Находим производную функции:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на x:

Найти производную частного функций самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6.Найти производную функции

.

---

Пример 8.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования произведения:

Шаг 2. Найдём производную частного, помня, что производная константы равна нулю, а корень из константы является также константой:

Шаг 3. Находим производную арктангенса (формула 12 в таблице производных):

Искомая производная:

Пример 9.Найти производную функции

Шаг 1. Применим правило дифференцирования частного:

Шаг 2. Дифференцируем по правилам для произведения и показательной функции (формула 17 в таблице производных):

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Вновь настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

function-x.ru

Частные производные, примеры решений

Теория по частным производным

Пусть функция двух переменных – непрерывна и дифференцируема. Частной производной по называется производная от этой функции по при условии, что – константа. Частной производной по называется производная от этой функции по при условии, что – константа.

Полный дифференциал функции , находится по формуле

   

Частные производные второго порядка находят дифференцированием производных первого порядка:

   

При нахождении частных производных, правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной, по которой ведется дифференцирование.

Примеры

ПРИМЕР 4

Задание	Найти все производные второго порядка для функции
Решение	Сначала отыщем все производные первого порядка. При нахождения производной , дифференцируем исходную функцию по ; считается константой. Учитывая свойство линейности производной и формулу для вычисления степенной функции, получим     При нахождения производной , дифференцируем по , а считаем константой, получим:     Теперь перейдем к вычислению производных второго порядка. По определению, вторая производная по равна . Следовательно, от первой производной нужно взять производную по , при этом считаем константой:     Аналогично вычислим частную производную второго порядка по :     Вычислим смешанные производные второго порядка. По определению, смешанная производная равна , то есть от первой производной нужно взять производную по , при этом считаем константой:     Производная , то есть от первой производной берем производную по , а переменную считаем константой:
Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Производная произведения функций — доказательство

Пусть функции     и     определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. Тогда их произведение имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1)   .

Доказательство

Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и . Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.

Далее замечаем, что
;
.
По условию функции   и   имеют производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции   и   непрерывны в точке . Поэтому
;
.

Рассмотрим функцию y от переменной x, которая является произведением функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :



.
Теперь находим производную:


.

Итак,
.
Правило доказано.

Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x. Тогда если существуют производные и , то производная произведения двух функций определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1)   .

Следствие

Пусть являются функциями от независимой переменной x. Тогда
;
;
и т. д. …

Докажем первую формулу. Вначале применим формулу производной произведения (1) для функций     и   , а затем – для функций     и   :

.

Аналогично доказываются другие подобные формулы.

Примеры

Пример 1

Найдите производную
.

Решение

Применяем правило дифференцирования произведения двух функций
(1)   .
.

Из таблицы производных находим:
;
.
Тогда
.

Окончательно имеем:
.

Ответ

.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x
.

Решение

Применяем формулу производной произведения двух функций:
(1)   .
.

Применяем формулу производной суммы и разности функций:
.
.

Применяем правила дифференцирования постоянных:
;
.
;
.

Из таблицы производных находим:
;
.
Тогда
;
;
.

Окончательно имеем:

.

Ответ

.

Пример 3

Найти производную функции
.

Решение

Последовательно применяем правила дифференцирования.

;
;
;
;

.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 26-10-2016   Изменено: 05-12-2016

1cov-edu.ru

Производная первого порядка, все формулы и примеры

Производная первого порядка функции , заданной явно, находится с помощью таблицы производных

а также правил дифференцирования (нахождения производных):

1. Константу можно выносить за знак производной:

      

2. Производная суммы/разности:

      

3. Производная произведения:

      

4. Производная частного двух функций:

      

ПРИМЕР

Задание	Найти производную функции, заданной явно
Решение	Искомая производная     Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных, то есть:     Производную первого слагаемого находим по таблице производных как производную степенной функции тогда     Во втором слагаемом, согласно свойствам производных, вначале вынесем константу 3 за знак производной:     А затем производную найдем по выше предложенной формуле производной степенной функции:     Производную третьего слагаемого находим как производную частного по формуле . Для будем иметь:         А таким образом, для заданной функции имеем:
Ответ

Производная первого порядка параметрической функции

В случае если функция задана параметрически в виде – параметр, то первая производная такой функции находится по формуле:

   

Производная первого порядка неявной функции

Если функция задана неявно равнение или то для нахождения первой производной поступают следующим образом:

1. дифференцируют левую и правую части заданного равенства:

      

   или

      

2. находят производные от каждой из частей равенства, используя таблицу производных и правила дифференцирования, а также учитывают, что – сложная функция;
3. из полученного равенства выражают .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Полная производная функции, формула и примеры

Функция где называется сложной функцией переменных и

В случае, когда функции и зависят только от переменной то есть то производная рассматриваемой функции по независимой переменной задается соотношением:

   

Если же а то формула (1) принимает вид:

   

В формулах (1), (2) выражение называется полной производной функции

ПРИМЕР 1

Задание	Найти полную производную функции если
Решение	Находим частные производные:                 Тогда, согласно формуле (1), имеем:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найти полную производную функции если
Решение	Искомую производную будем находить по следующей формуле:     Находим частные производные:         Итак, имеем:
Ответ

ru.solverbook.com

Определение модуля

Свойства модуля

Числовые промежутки

Окрестность точки Пусть хо—любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (хо-ε,хо+ε), где ε >0, называется ε-окрестностью точки хо. Число хо называется центром.

3 ВОПРОС понятие функции Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение перемен­ной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом.

Переменную у называют зависимой переменной.

Способы задания функции

Табличный способ.  заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами — наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х),  где f (х) — некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

      Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.

Естественная область определения функции

Область определения функции f – это множество X всех значений аргумента x, на котором задается функция.

Для обозначения области определения функции f используется краткая запись вида D(f). 

явное неявное параметрическое задание функции

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

studfiles.net

Модуль вещественного числа и его свойства

Определение. Модуль вещественного числа — это само число , если , и противоположное число , если .

Свойства модуля

1. ,

.

2. .

3. — это расстояние между точками и на числовой оси.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что .

Рассмотрим несколько случаев (в этих случаях по-разному раскрываются модули):

Левая часть неравенства получается, если в доказанном неравенстве заменить на , — на , а затем — на , а — на .

2.

hijos.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Абсолютная величина (модуль) действительного числа

      Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа   a   называют неотрицательное число   | a | ,   которое определяется по формуле:

      Так, например,

| 5 | = 5,     | – 2 | = 2,    
| 0 | = 0.

Свойства модуля

      Если   x   и   y   – действительные числа, то справедливы равенства:

      Кроме того, справедливо соотношение:

      В то же время справедливы неравенства:

График функции   y = | x |

      График функции   y = | x |    имеет следующий вид:

Простейшее уравнение с модулем