Область определения и множество значений
$ |x| = \begin{cases} x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>0 \\ -x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x А графиком является
Свойства:
1) $|x| \geq 0$
2) $|x|=0 \longleftrightarrow x=0$
3) $|xy|=|x||y|$
4) $|x+y| \leq |x|+|y|$
5) $||x||=|x|$
6) $|-x|=|x|$
7) $|x-y|=0 \longleftrightarrow x=y$
8) $|x-y| \leq |x-z|+|z-y|$
9) $|\dfrac{x}{y}|=\dfrac{|x|}{|y|} \,\,\,\,\, y \neq 0$
10) $ ||x|-|y|| \leq |x-y|$
Для того, чтобы найти область определения и множество значений функции, состоящей из абсолютных значений, необходимо учитывать вышеуказанные свойства.
Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{x+2}{|x|-2}$
Решение:
$|x|-2=0 \rightarrow |x|=2 \rightarrow x=\pm 2$
Таким образом$D_f=\mathbb{R} — \lbrace \pm 2 \rbrace$
С другой стороны $f(x)=\dfrac{x+2}{|x|-2}= \begin{cases} \dfrac{x+2}{x-2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \geq 0 \\ \\ \dfrac{x+2}{-x-2}=-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, x So$x \geq 0 \rightarrow y=\dfrac{x+2}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2(y+1)}{y-1} \geq 0$
Следовательно $\begin{cases} x \geq 0 \,\,\,\,\,\,\,\, y\in (-\infty,-1] \cup (1,+\infty) \\ \\ x$\rightarrow R_f=(-\infty,-1] \cup (1,+\infty)$
Вот график $f$
Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{|x+1|-4}}$.
Решение:
$|x+1|-4 >0 \,\, \rightarrow|x+1|>4 \rightarrow$ $\begin{cases} x+1>4 \rightarrow x>3 \\ x+1
$D_f=(-\infty,-5) \cup (3,+\infty)$
Отметим, что$y=\dfrac{1}{\sqrt{|x+1|-4}}>0$
С другой стороны$y^2=\dfrac{1}{|x+1|-4} \rightarrow |x+1|=\dfrac{1}{y^2}+4>4 \rightarrow \dfrac{1}{y^2}>0 \rightarrow y \in (-\infty,0)\cup(0,+\infty)$
Следовательно$y \in (\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace ) \cap ( \mathbb{R} ^+ )$
Значит$R_f=(0,+\infty)=\mathbb{R}^+$
Вот график $f$
Упражнения
Найти область определения и множество значений.1) $y=\dfrac{x}{|x-1|}$
2) $y=\dfrac{x-4}{|x|-4}$
3) $y=\dfrac{\sqrt{\sqrt{(x+1)^2}-1}}{\sqrt{|x+1|-1}}$
4) $y=\dfrac{\sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$
5) $y=\sqrt{-|x+1|}$
6) $y=\dfrac{\sqrt{(x^2-3x+2)^2}}{\sqrt{(x-2)^2}}$
7) $y=|x-1|+|x|+|x+1|$
В специальном виде, если $a=e \simeq 2.71828\cdots$, то $y=e^{u(x)}$. Для лучшего понимания $y=a^{u(x)}$ его можно переписать как $y=e^{u(x)\log_e a}$. Отметим, что $\log_e a$ обозначается как $\ln a$. Следовательно,
$y=e^{u(x)\ln a}$
Согласно этому определению $a>0$ является достаточным условием для определения показательной функции, если $u(x)$ вещественная функция.Совет:
$y=e^x=\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\dfrac{1}{n})^nx=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots\,\,\,\,\, (n \in \mathbb{N})$
Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=2^{-x^{-2}}$.
Решение:
Отметим, что если $x=0$, то знаменатель дроби неопределен. Следовательно,
$D_f=\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace$
Определим множество значений:Для начала отметим, что $y>0$. С другой стороны
$\log y=-\dfrac{1}{x^2}\log 2 \rightarrow x^2=-\dfrac{\log 2}{\log y} \rightarrow x=\pm \sqrt{-\dfrac{\log 2}{\log y}} \rightarrow \dfrac{\log 2}{-\log y}>0 \rightarrow$
$ \log y 0 \rightarrow 0 Значит
$R_f=(0,1)$
График этой функции
Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=3^{-x}$.
Решение:
Очевидно, что $D_f=\mathbb{R}$. С другой стороны
$y=\dfrac{1}{3^x} \rightarrow 3^x=\dfrac{1}{y} \rightarrow x=\log_3 \dfrac{1}{y}$
$R_f= \lbrace y| y \in \mathbb{R},\dfrac{1}{y}>0 \rbrace = \lbrace y \in \mathbb{R} | y>0 \rbrace =(0,+\infty)$
$R_f=\mathbb{R^+}$
График $f$
Упражнения
Найти область определения и множество значений.1) $y=e^{-\dfrac{1}{\sqrt{x-\lfloor x \rfloor}}}$
2) $y=3^{\dfrac{\sqrt{8}}{2}}$
3) $y=5^{-x^2}$
4) $y=5^{\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor}$
5) $y=3^{3^{\log_3 x}}$
6) $y=3^{\dfrac{x^3-x^2}{x^2-x^3}}$
7) $y=2^{\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{\sqrt{x^2-9}}}$
www.math10.com
Как найти область определения функции
Область определения функции
Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.
Определение
Если на множестве X {\displaystyle X} задана функция, которая отображает множество X {\displaystyle X} в другое множество, то множество X {\displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.
Более формально, если задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , то
- множество X {\displaystyle X} называется областью определения[1] или областью задания[2] функции f {\displaystyle f} и обозначается D ( f ) {\displaystyle D(f)} или d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} (от англ. domain — «область»).
Иногда рассматривают функции, определенные на подмножестве D {\displaystyle D} некоторого множества X {\displaystyle X} . В этом случае множество X {\displaystyle X} иногда называют областью отправления функции f {\displaystyle f} [3].
Примеры
Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.
Числовые функции
Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:
- вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ;
- а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } ,
где R {\displaystyle \mathbb {R} } и C {\displaystyle \mathbb {C} } — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.
Тождественное отображение
Область определения функции f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} совпадает с областью отправления ( R {\displaystyle \mathbb {R} } или C {\displaystyle \mathbb {C} } ).
Гармоническая функция
Область определения функции f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} представляет собой комплексную плоскость без нуля:
d o m f = C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}} ,поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом, что требуется в формулировке понятия функции. Область отправления представляет собой всю комплексную плоскость.
Дробно-рациональные функции
Область определения функции вида
f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения
b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n = 0 {\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0} .Эти точки называются полюсами функции f {\displaystyle f} .
Так, например, f ( x ) = 2 x x 2 − 4 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}} определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где x 2 − 4 ≠ 0 {\displaystyle x^{2}-4\neq 0} . Таким образом d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.
Мера
Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.
Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.
Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.
Функционал
Пусть F = { f ∣ f : X → R } {\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}} — семейство отображений из множества X {\displaystyle X} в множество R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тогда можно определить отображение вида F : F → R {\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} } . Такое отображение называется функционалом.
Если, например, фиксировать некоторую точку x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in ~X} , то можно определить функцию F ( f ) = f ( x 0 ) {\displaystyle F(f)=f(x_{0})} , которая принимает в «точке» f {\displaystyle f} то же значение, что и сама функция f {\displaystyle f} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} .
ru.wikipedia.org>
Как найти область определения функции??
Юлия
1) Если в функции есть корень чётной степени, то подкореное выражение должно быть больше нуля.
2) Если в фунцкии есть дробь, то её знаменатель не должен быть равен нулю.
3) Если в функции содержитсявыражение f(x) в степени g(x), то f(x) больше, либо равна нулю, причём f(x) и g(x) одновременно не равны нулю.
4) Если в функции имеются функции с ограниченной областью определения, то област
zna4enie.ru
9 класс. Алгебра. Определение числовой функции. Способы задания функций. — Область определения иррациональных функций.
Комментарии преподавателя
Область определения функции с корнем
Функция с квадратным корнем определена только при тех значениях «икс», когдаподкоренное выражение неотрицательно: . Если корень расположился в знаменателе , то условие очевидным образом ужесточается: .
Пример 5
Найти область определения функции
Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с неравенствами, известные ещё со школы.
Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования:
1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.
2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.
3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменитьзнак самого неравенства. Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно».
В неравенстве перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):
Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):
Умножим обе части неравенства на (правило №2):
Ответ: область определения:
Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ».
Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:
Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции существует только на заштрихованном участке и отсутствует при .
В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сложная, следует чертить ось и делать пометки.
Пример 6
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения.
Когда под квадратным корнем находится квадратный двучлен или трёхчлен, ситуация немного усложняется, и сейчас мы подробно разберём технику решения:
Пример 7
Найти область определения функции
Решение: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:
Дискриминант положителен, ищем корни:
Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в двух т
www.kursoteka.ru
Область определения функции с корнем
Функция с квадратным корнем определена только при тех значениях «икс», когдаподкоренное выражение неотрицательно: . Если корень расположился в знаменателе , то условие очевидным образом ужесточается: . Аналогичные выкладки справедливы для любого корня положительной чётной степени: , правда, корень уже 4-ой степени в исследованиях функций не припоминаю.
Пример 5
Найти область определения функции
Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с неравенствами, известные ещё со школы.
Обращаю особое внимание! Сейчас рассматриваются неравенства с одной переменной – то есть для нас существует только одна размерность по оси . Пожалуйста, не путайте снеравенствами двух переменных, где геометрически задействована вся координатная плоскость. Однако есть и приятные совпадения! Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования:
1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.
2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.
3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменитьзнак самого неравенства. Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно».
В неравенстве перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):
Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):
Умножим обе части неравенства на (правило №2):
Ответ: область определения:
Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ».
Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:
Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции существует только на заштрихованном участке и отсутствует при .
В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сильно заморочена, следует чертить ось и делать пометки.
Пример 6
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения.
Когда под квадратным корнем находится квадратный двучлен или трёхчлен, ситуация немного усложняется, и сейчас мы подробно разберём технику решения:
Пример 7
Найти область определения функции
Решение: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:
Дискриминант положителен, ищем корни:
Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).
Поскольку коэффициент , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах выполнено неравенство (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству :
! Примечание: если вам не до конца понятны объяснения, пожалуйста, начертите вторую ось и параболу целиком! Целесообразно вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций и методичке Горячие формулы школьного курса математики.
Обратите внимание, что сами точки выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство у нас строгое.
Ответ: область определения:
Вообще, многие неравенства (в том числе рассмотренное) решаются универсальнымметодом интервалов, известным опять же из школьной программы. Но в случаях квадратных дву- и трёхчленов, на мой взгляд, гораздо удобнее и быстрее проанализировать расположение параболы относительно оси . А основной способ – метод интервалов мы детально разберём в статье Нули функции. Интервалы знакопостоянства.
Пример 8
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения. В образце подробно закомментирована логика рассуждений + второй способ решения и ещё одно важное преобразование неравенства, без знания которого студент будет хромать на одну ногу…, …хмм… на счёт ноги, пожалуй, погорячился, скорее – на один палец. Большой палец.
Может ли функция с квадратным корнем быть определена на всей числовой прямой? Конечно. Знакомые всё лица: . Или аналогичная сумма с экспонентой: . Действительно, для любых значения «икс» и «ка»: , поэтому подАвно и .
А вот менее очевидный пример: . Здесь дискриминант отрицателен (парабола не пересекает ось абсцисс), при этом ветви параболы направлены вверх, следовательно, и область определения: .
Вопрос противоположный: может ли область определения функции быть пустой? Да, и сразу напрашивается примитивный пример , где подкоренное выражение отрицательно при любом значении «икс», и область определения: (значок пустого множества). Такая функция не определена вообще (разумеется, график тоже иллюзорен).
С нечётными корнями и т.д. всё обстоит гораздо лучше – тут подкоренное выражение может быть и отрицательным. Например, функция определена на всей числовой прямой. Однако у функции единственная точка всё же не входит в область определения, поскольку обращают знаменатель в ноль. По той же причине для функции исключаются точки .
Некоторым посетителям сайта рассматриваемые примеры покажутся элементарными и примитивными, но в этом нет случайности – во-первых, я стараюсь «заточить» материал для нубов, а во-вторых, подбираю реалистичные вещи под грядущие задачи: полное исследование функции, нахождение области определения функции двух переменныхи некоторые другие. Всё в математике цепляется друг за дружку. Хотя любители трудностей тоже не останутся обделёнными, более солидные задания встретятся и здесь, и на уроке
о методе интервалов.
3-net.ru
Как найти область определения функции?
Нужно посмотреть, какой вид имеет функция.
Часто область определения функции просят найти у функций, которые являются дробями, либо же являются иррациональными (содержат один или несколько радикалов), либо содержат логарифм.
Итак, рассмотрим эти три основных случая:
1) если функция имеет вид дроби (дробно-рациональная функция), то её область определения есть то множество значений аргумента, при котором знаменатель не обращается нулю.
Например, функция y = 1/[(x – 1)(x + 2)].
Знаменатель этой функции превращается в нуль при x = –2 и при x = 1.
Следовательно, область определения данной функции будет множество: (-беск.; –2) U (–2; 1) U (1; +беск.)
На числитель можно вообще не обращать внимания. Он не играет роли.
2) если функция содержит хотя бы один радикал чётной степени, то областью её определения будет являться множество значений аргумента, при котором значение каждого радикала чётной степени больше или равно нулю.
Буду обозначать знак корня как sqrt.
Например, имеем функцию: y = [sqrt (x – 3)]*[ sqrt (5 – x)]
Радикал имеет смысл, когда подрадикальное выражение неотрицательно.
А значит, первый радикал имеет смысл при x >= 3, второй — при x <= 5.
Для того чтобы найти область определения данной функции, нужно найти пересечение этих двух множеств. Оно равно [3; 5].
Итак, областью определения функции y = [sqrt (x – 3)]*[ sqrt (5 – x)] равняется множество [3; 5].
3) если функция представляет собой логарифм, то её областью определения служит множество, при котором логарифмируемое выражение строго положительно.
Например, функция y = lg (x – 16). Её областью определения является множество (16; + беск.). Скобка при числе 16 круглая, потому что логарифмируемое выражение должно быть строго больше нуля.
В большинстве прочих случаев (то есть когда функция не содержит ни дробей, ни корней, ни логарифмов)— множеством определения функции является вся числовая прямая.
Например, у функции y = x^3 – 6x^2 + 7 область определения равна R.
www.bolshoyvopros.ru
Область определения функции с корнем
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 12Следующая ⇒Функция с квадратным корнем определена только при тех значениях «икс», когда подкоренное выражение неотрицательно: . Если корень расположился в знаменателе , то условие очевидным образом ужесточается: . Аналогичные выкладки справедливы для любого корня положительной чётной степени:
Найти область определения функции
Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с неравенствами, известные ещё со школы.
Обращаю особое внимание! Сейчас рассматриваются неравенства с одной переменной – то есть для нас существует только одна размерность по оси. Пожалуйста, не путайте с неравенствами двух переменных, где геометрически задействована вся координатная плоскость. Однако есть и приятные совпадения! Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования:
1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.
2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.
3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменитьзнак самого неравенства. Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно».
В неравенстве перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):
Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):
Умножим обе части неравенства на (правило №2):
Ответ: область определения:
Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ».
Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:
Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции существует только на заштрихованном участке и отсутствует при .
В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сильно заморочена, следует чертить ось и делать пометки.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
arhivinfo.ru
Область определения функции y(x)
Областью определения называют множество значений аргумента при котором существует значение функции и обозначают или . Областью значений называют множество чисел, которые принимает функция при прохождении аргументом всех значений из области определения.
Ее обозначают или . Графически обе области хорошо иллюстрирует следующий рисунок
Для схематической функции рассматриваемые области принимают значения
Методика нахождения области определения для всех функций одна и та же: нужно выявить точки при которых функция не существует, а затем исключить из множества действительных чисел . В результаты получим набор промежутков или интервалов, точки, которые образуют область определения.
Особенности элементарных функций
1) Если функция имеет вид полинома то ее областью определения будет вся действительная ось или . Такая функция определена повсюду.
2) Дробно рациональная функция , где – полиномы, областью определения имеет значения аргумента при которых знаменатель не превращается в ноль. Сначала находим решения уравнения, если те существуют, вырезаем из множества действительных значений. В результате получим набор интервалов
где – корни уравнения .
3) Функция содержит корень парного степени . В таком случае областью определения будут точки , при которых подкоренная функция принимает неотрицательные значения, т.е. решения неравенства .
4) Если корень содержит знаменатель
то область определения определяют из строгого неравенства .
5) Если в знаменателе имеем корень нечетной степени
то область определения находим из условия .
5) Если является логарифмом от другой функции , то по свойству логарифма область определения находим из условия . Как правило, это будет интервал или несколько интервалов.
6) Экспонента областью определения имеет множество аргументов , для которых определена . Например, функция определена на всей действительной оси.
7) Простые тригонометрические функции (косинус и синус) определены на всем множестве действительных чисел .
8) Тангенс и котангенс областями определения имеют интервалы, граничащих между собой точками
для первой функции и
для второй, т.е.
В случаях когда при аргументах есть множители , точки в которых функция не существует следует определять из условия
Подобным образом и для котангенса
9) Следует отметить, что обратные тригонометрические функции — арксинус и арккосинус областями значений имеют отрезок . Для отыскания областей определения необходимо решить двойное неравенство
Например, для функции имеем неравенство с которого получим
При суперпозиции функций, то есть когда задана их комбинацию, нужно находить область определения каждой из функций, после чего — сечение найденных областей.
Пример.
Решение.
Область определения первого слагаемого находим из неравенства
Второй и третий дадут следующий вклад
Сечением найденных областей будет интервал
—————————————
Находите области определения по приведенной выше схеме, выключайте все лишние промежутки и точки и не допускайте ошибок. Помните, что установление областей определения — это одно из самых простых заданий при исследовании функции.
Посмотреть материалы:
yukhym.com
С давних времён люди измеряют углы. Но что такое угол? Геометрия даёт нам ответ: «Угол — это два луча, проведённые из заданной точки». Углы бывают разные: тупые, острые, прямые, развёрнутые, центральные, смежные. Возьмём точку O и проведём из неё луч O. A. Теперь из этой же точки проведём луч OB, параллельный лучу OA и направленный с ним в одну сторону. Про такие лучи говорят, что угол между ними составляет 0° (ноль градусов). Если мы теперь направим луч OB параллельно лучу OA, но в противоположную сторону, то получим развёрнутый угол, равный 180°.
Издревле для измерения углов пользовались так называемой шестидесятиричной системой исчисления. В этой системе вся окружность делится на 360°. Затем каждый градус делят на 60 минут, а каждую минуту — на 60 секунд. Минуты обозначаются значком «’», а секунды — значком «»». Отсюда пошло измерение времени. Кроме того, циферблат — это символ круга, а стрелки часов отмеряют центральные углы. Для перевода этих единиц используйте следующие соотношения:
Геометрически фигуры с названиями на русском языке.
Названия на английском языке.
Задание: соедини линией одинаковые по форме геометрические фигуры.
Назови и напиши названия всех геометрических фигур.
Соедини линией одинаковые по форме геометрические фигуры.
Обведи пунктирные линии.
Посчитай, сколько геометрических фигур
Построй логическую цепочку.
Найди все квадраты и раскрась.
Разрежь на части фигуры и назови их.
Раскрась в соответсвующие цвета.
Обведи и назови.
Посчитай, сколько на рыбке фигур?
Вырежи и склей домик.
Эти геометрические фигуры Вы можете вырезать и придумать свои аппликации.
Сделай веселый квадрат из бумаги.
Вырежи и приклей окна к домику.
строки
и столбцы поменять местами, то получим
транспонированную матрицу.
.
;
;
.
.
.
.
.
.
для матрицы
размера
называется матрица размера
,
полученная из
заменой всех ее строк столбцами с теми
же порядковыми номерами.
=
,
то
,
=1,2,…,
,
=1,2,…,
.
=
; 
=
= 
=
,
то матрицаА называется симметрической.
=
– матрица размера
,
=
– матрица размера
.
Произведение этих матриц
– матрица
=
размера
,
элементы которой вычисляются по формуле:
=1,2,…,,
=1,2,…,
,
-й
строки и
-го
столбца матрицы
равен сумме произведений соответствующих
элементов
-й
строки матрицы
и
-го
столбца матрицы
.
=
, 
=
– не существует.
,
,
хотя
и
называютсяперестановочными,
если
,
в противном случае
и
называютсянеперестановочными.
матрицы 
и
перестановочные.
и
– перестановочные матрицы.
объясняет, почему именно она называется
единичной: при умножении чисел таким
свойством обладает число 1.
, 
или
.
,
которое вычисляется по правилу:
– определитель матрицы, полученный из
вычеркиванием элемента
(точнее, первой строки и первого столбца,
на пересечении которых стоит
),
– вычеркиванием элемента
,
– элемента
.
элементаквадратной матрицы
называется определитель матрицы,
получаемой из
вычеркиванием
-ой
строки и
-го
столбца.
квадратной матрицы
называется число.
:
:и так далее.
порядка
называется число, которое записывается
и вычисляется следующим образом:
-го
порядка. Таким образом, при вычислении
определителя 4-го порядка по формуле
(1.4) надо, вообще говоря, вычислить 4
определителя 3-го порядка; при вычислении
определителя 5-го порядка – 5 определителей
4-го порядка и т.д. Однако если, к примеру,
в определителе 4-го порядка первая строка
содержит 3 нулевых элемента, то в формуле
(1.4) останется лишь одно ненулевое
слагаемое.
,
то величина определителя умножится
на это число.
-й
строки.
-го
столбца.
и
при
.
– квадратные матрицы одного порядка).
,
так как элементы первой и второй строк
этого определителя соответственно
пропорциональны (свойство 6).
или кососимметрической
(♀)
где П – произведение.
где А12=0, 
,,
равно:
где
согласно (*) будем иметь.
Матрица
снова квазитреугольная. Проделав над
ней туже операцию, получим. После (р-1) таких шагов придем к (♀).
будем называтьквадратной матрицей 
го
порядка.
го
порядка ставится в соответствиечисло,
вычисляемое по элементам данной матрицы
по определенному правилу и называемоеопределителем матрицы 
го
порядка.
(детерминант),
или
.
,.
,.
и вычесть из него произведение элементов
побочной диагонали
.
,
.
.
выбранного
элемента 
матрицыn-го
порядка называется
определитель (п–1)-го
порядка, полученный из исходной матрицы
путем вычеркивания
в ней строки и столбца, на пересечении
которых находится этот
элемент.
,
то
а
.
элемента
квадратной матрицы называется ее минор,
взятый со знаком плюс, если сумма индексов
выбранного элемента
–
четное число, и со знаком минус, если
эта сумма нечетная, т. е.
.
.
=
1; 
=
= 
=
42 – (-4)(-2) = 34
;
=
(-1) 2+1
=- 
=
—
34.
.
=6; 
= 
=
0 –7 = -7; 
=(-1) 3+3 (-7)= — 7.
и введем общее правило подсчета
определителяn-го
порядка.
=
для матрицы
размера
называется матрица размера
,
полученная из
заменой всех ее строк столбцами с теми
же порядковыми номерами.
=
,
то
,
=1,2,…,
,
=1,2,…,
.
=
; 
=
= 
=
,
то матрицаА называется симметрической.
=
– матрица размера
,
=
– матрица размера
.
Произведение этих матриц
– матрица
=
размера
,
элементы которой вычисляются по формуле:
=1,2,…,
,
=1,2,…,
,
-й
строки и
-го
столбца матрицы
равен сумме произведений соответствующих
элементов
-й
строки матрицы
и
-го
столбца матрицы
.
=
, 
=
– не существует.
,
,
хотя
и
называютсяперестановочными,
если
,
в противном случае
и
называютсянеперестановочными.
матрицы 
и
перестановочные.
и
– перестановочные матрицы.
объясняет, почему именно она называется
единичной: при умножении чисел таким
свойством обладает число 1.
, 
или
.
,
которое вычисляется по правилу:
– определитель матрицы, полученный из
вычеркиванием элемента
(точнее, первой строки и первого столбца,
на пересечении которых стоит
),
– вычеркиванием элемента
,
– элемента
.
квадратной матрицы
называется определитель матрицы,
получаемой из
вычеркиванием
-ой
строки и
-го
столбца.
квадратной матрицы
называется число.
:
:и так далее.
порядка
называется число, которое записывается
и вычисляется следующим образом:
-го
порядка. Таким образом, при вычислении
определителя 4-го порядка по формуле
(1.4) надо, вообще говоря, вычислить 4
определителя 3-го порядка; при вычислении
определителя 5-го порядка – 5 определителей
4-го порядка и т.д. Однако если, к примеру,
в определителе 4-го порядка первая строка
содержит 3 нулевых элемента, то в формуле
(1.4) останется лишь одно ненулевое
слагаемое.
,
то величина определителя умножится
на это число.
-й
строки.
-го
столбца.
и
при
.
– квадратные матрицы одного порядка).
,
так как элементы первой и второй строк
этого определителя соответственно
пропорциональны (свойство 6).