Рубрика: Школьная жизнь

Примеры функций и их графиков — Функции — Математика — Алгебра

Примеры функций и их графиков

Линейная функция

Обратная пропорциональность

Функция

Функция

na-uroke.in.ua

Примеры сложных функций | Математика

Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x),  а f — функция от u:  f=f(u), то функция y=f(u) — сложная.

А  u  в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций.

1) y=sin x — эта функция «простая». Синус зависит от x. Как только вместо x под знаком синуса появится выражение, зависящее от x, даже самое простое — такая функция называется сложной. То есть y=sin u — сложная функция, если u — некоторая функция от x. Примеры сложных функций с синусом:

y=sin (x+1). Эта функция — сложная. Внутренняя функция u здесь равна x+1, а внешняя функция f — это синус. То есть u=x+1, f=sin u.

y=sin (5x-2x³+3). Внутренняя функция u=5x-2x³+3, внешняя функция f=sin u.

y=sin (x/7). Внутренняя функция u=x/7, внешняя функция f=sin u.

2) y=cos x — «простая» функция. y=cos u — сложная функция, если u — некоторая функция, зависящая от x. Примеры сложных функций с внешней функцией — косинусом:

y=cos (4-11x). Внутренняя функция u=4-11x, внешняя функция — косинус: y=cos u.

y=cos (7x³ -4x²). Внутренняя функция u=7x³ -4x², внешняя — y=cos u.

3) y=tg x — «простая» функция. y = tg u — сложная функция, если u=u(x). Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — тангенс:

y=tg(17+5x²). Внутренняя функция u=17+5x², внешняя — y=tg u.

y=tg(9-x). Внутренняя u=9-x, внешняя — y=tg u.

4) y=ctg x — «простая» функция. y=ctg u — сложная функция, если u=u(x). Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — котангенс:

y=ctg(2x+6). Внутренняя функция u=2x+6, внешняя — y=ctg u.

y=ctg(√x).  u=√x, f=ctg u.

5) y=√x — «простая» функция. y=√u — сложная, если u=u(x). Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — квадратный корень:

   

Здесь внутренняя функция y=sin x, а внешняя — f=√u.

   

Здесь u=9x³-12x+5, f=√u.

6) y=xⁿ — «простая» функция. y=uⁿ — сложная, если u=u(x). Примеры сложных функция для случая, когда внешняя функция — степенная.

y=sin³x. Внутренняя функция y=sin x (так как sin³x=(sin x)³), внешняя — у=u³.

   

7) y=arcsin x — «простая» функция. y=arcsin u — сложная, когда u=u(x).

Например, y=arcsin (3x-9) — сложная функция. Внутренняя функция u=3x-9,  внешняя — f=arcsin u.

y=arcsin (17-5x³).  u=17-5x³, f=arcsin u.

8) y=arccos x — «простая» функция. y=arccos u — сложная, при u=u(x).

Например, y=arccos (34x+5) — сложная функция. Внутренняя функция u=34x+5, внешняя — f=arccos u.

9) y=arctg x — «простая» функция. y=arctg u — сложная, при u=u(x).

Например, y= arctg (6x+2x³-7). Внутренняя функция u =6x+2x³-7, внешняя — f=arctg u.

10) y=arcctg x — «простая функция. При u=u(x) функция y=arcctg u — сложная.

Например, y= arcctg(2-11x+x²) — сложная функция. u=2-11x+x², f= arcctg u.

11) y=ln x — «простая» функция. y= ln u — сложная, при u=u(x).

Например, y=ln(4+32x-2x³). Внутренняя функция y=4+32x-2x³, внешняя — f=ln u.

   

Это — «простая» функция. А вот при u=u(x) получаем логарифм сложной функции:

   

Например,

   

   

Эта функция — «простая» (называется экспонента). А вот если в показателе стоит не x, а некоторая функция от икса: u=u(x), то это — уже экспонента сложной функции:

   

Например,

   

   

Эта функция — «простая». А вот если в показателе стоит не x, а некоторое выражение с x — функция u=u(x), то это уже степень сложной функции:

   

Например,

   

Эта функция — сложная. Внутренняя функция u=8x³+5x, а внешняя — степень сложной функции

   

Следует добавить, что внутренняя функция u, в свою очередь, может быть сложной функцией. И таких «вложенных» функций может быть несколько (теоретически — сколько угодно).

Например,

1) y=cos³(3x-12). Здесь внутренняя функция u =cos(3x-12), а внешняя функция f=u³. Но внутренняя функция y=cos(3x-12), в свою очередь, тоже является сложной функцией. Для нее внутренняя функция u=3x-12, а внешняя f=cos x.

   

Сначала рассмотрим эту функцию, как логарифм сложной функции. Тогда внутренняя функция

   

внешняя — логарифм:

   

В свою очередь, функция

   

— тоже сложная. Это — синус сложной функции, то есть

   

Но u — снова сложная функция. Здесь уже внутренняя  функция u=2x²+5x, а внешняя f=√u.

 

www.matematika.uznateshe.ru

Свойства функции: разбираем на примере

 

Для понимая данной темы, рассмотрим функцию , изображенную на графике // Покажем, как график функции позволяет определить ее свойства.

Разбираем свойства функции на примере

Областью определения функции явл. промежуток [ 3,5; 5,5].

Областью значений функции явл. промежуток [ 1; 3].

1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю.

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

//т.е. для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями.

2. На промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так -на промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5)  отрицательные.

Каждый из указанных промежутков (там где функция принимает значения одного и того же знака) называют промежутком знакопостоянства функции f.//т.е. например, если взять промежуток (0; 3), то он  не является промежутком знакопостоянства данной функции.

В математике принято при поиске промежутков знакопостоянства функции указывать промежутки максимальной длины. //Т.е. промежуток ( 2; 3) является промежутком знакопостоянства функции f, но в ответ следует включить промежуток [ 4,5; 3),  содержащий промежуток ( 2; 3).

3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 4,5; 2]  функция убывает. 

С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 2; 0] функция возрастает.

Функцию f называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что  x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1). // или Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.//т.е. чем больше х, тем больше у.

Функцию f называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2)убывающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. //т.е. чем больше х, тем меньше у.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей.

Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей.

Пример 1. график возрастающей и убывающей функций соотвественно.

Пример 2.

Определить явл. ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей?

Доказательство. Воспрользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем  x1 < x2., например х1=1, х2=7

Получаем при подстановке

f (x1) f (x2) = (3*х1 + 5) (3*x2 + 5) = 3*x1+ 5 3*x2- 5 = 3*х1-3*х2=3*1-3*7=3-21=-19<0

Получаем, что f (x1) f (x2) < 0,а значит f (x1) < f (x2)   т.е.данная функция является возрастающей.// т.е. чем больше х, тем больше у.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Функция: область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspКвадратный трехчлен и его корни: как их найти, 2 способа решения

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Основные свойства функций.

• 1) Область определения функции и область значений функции.

• Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

• В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

• 2) Нули функции.

• Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

• 3) Промежутки знакопостоянства функции.

• Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

• 4) Монотонность функции.

• Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

• Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

• 5) Четность (нечетность) функции.

• Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

• Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

• 6) Ограниченная и неограниченная функции.

• Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

• 7) Периодическость функции.

• Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

• 19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х — переменная, а и b — действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения — множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений — множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х — переменная, коэффициенты а, b, с — действительные числа, называетсяквадратичной.

Коэффициенты а, b, с определяют расположение графика на координатной плоскости

Коэффициент а определяет направление ветвей. График квадратичной функции — парабола. Координаты вершины параболы находятся по формулам:

Свойства функции:

1. D(у)=R.

2. Множество значений одного из промежутков: или.

3. Функция принимает нулевые значения при , где дискриминант вычисляется по формуле:.

4. Функция непрерывна на всей области определения и производная функции равна .

studfiles.net

Функции

Автор: Sepehr Hassannejad

В каждой функции две переменных, таких как $x$ и $y$. Одна из них является независимой переменной — выбирается произвольно (в этой книге это $x$), тогда как другая является зависимой переменной. Когда меняется независимая переменная, то зависимая принимает значение согласно условиям функции.

Определение:
Пусть $A$ и $B$ два множества, а $f$ — подмножество Декартова произведения $A \times B$. $f$ является функцией тогда и только тогда, если

$(x,y_1) \in f \,\,,\,\, (x,y_2) \in f \longrightarrow y_1=y_2$

Другими словами $f$ является подмножеством пар $A \times B$, так, что не существует двух различных пар с одинаковым первым компонентом.

Пример:
Пусть $A= \lbrace 1,3,7 \rbrace$ and $B=\lbrace -2,0 \rbrace$. Декартово произведение $A\times B$ равно

$A \times B = \lbrace (1,-2),(1,0),(3,-2),(3,0),(7,-2),(7,0) \rbrace$

Также пусть $f=\lbrace (1,0),(3,-2),(7,-2) \rbrace$.
$f$ является подмножеством $A \times B$, а также является функцией, ведь не существует двух различных пар с одинаковым первым компонентом.

Пример:
На картинке ниже $f$ функция $A$ от $B$.

Обратите внимание, что $f=\lbrace (1,11),(-2,\pi),(5,\pi) \rbrace$

Пример:
На картинке ниже $g$ НЕ является функцией $A$ от $B$.

Обратите внимание, что $g=\lbrace (-1,\dfrac{1}{7}),(-1,\sqrt{2}),(0,\dfrac{1}{7}),(4,\sqrt{2}) \rbrace$

Пример:
Является ли $R=\lbrace (\sqrt{2}-1,4),(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1},5),(3,6),(\dfrac{1}{2-\sqrt{3}},1),(2+\sqrt{3},1)\rbrace$ функцией? Если нет, то найти подмножества $R$, которые являются функциями и каждое из которых состоит из трех пар.
Решение:
Прежде всего отметим, что

$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1} \times \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$

$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$

Значит $R$ можно переписать ввиде

$R=\lbrace(\sqrt{2}-1,4),(\sqrt{2}-1,5),(3,6),(2+\sqrt{3},1) \rbrace$

что не является функцией.
Теперь подставим

$f_1=\lbrace (\sqrt{2}-1,4),(3,6),(2+\sqrt{3},1) \rbrace$

$f_2= \lbrace (\sqrt{2}-1,5),(3,6),(2+\sqrt{3},1) \rbrace$

Очевидно, что $f_1$ и $f_2$ — это два подмножества $R$, которые являются функциями.

Пример:
Если $R=\lbrace (3,m-5),(-1,m),(2,m^2),(3,8) \rbrace$ яляется функцией, то каково значение $m$?
Решение:

$(3,m-5)=(3,8) \rightarrow m-5=8 \rightarrow m=13$

Ясно, что

$R=\lbrace (3,8),(-1,13),(2,169) \rbrace$

Пример:
Если $f=\lbrace(a^2-2a,3),(3,3),(-1,4),(a,3) \rbrace$ яляется функцией, то каково значение $a$?
Решение:

$(a^2-2a,3)=(3,3) \rightarrow a^2-2a=3 \rightarrow a^2-2a-3=0 \rightarrow a=-1 \,\,,\,\, a=3$

Отметим, что если $a=-1$ , то $f=\lbrace(3,3),(-1,4),(-1,3) \rbrace$, что не является функцией.
Следовательно, $a=-1$ не подходит. Значит $a=3$ и $f=\lbrace (3,3),(-1,4) \rbrace$
Пример:
Доказать, что $f(x)=x^3-2$ является функцией.
Решение:
Согласно определению функции, нам нужно доказать, что если $x_1=x_2$, то $y_1=y_2$. Значит

$x_1=x_2 \rightarrow x_1 ^3=x_2 ^3 \rightarrow x_1 ^3 -2 =x_2 ^3 -2 \rightarrow y_1=y_2$

Следовательно, $f$ является функцией.

Пример:
Доказать, что $x^2+y^2=4$ НЕ является функцией.
Решение:

$x^2+y^2=4 \rightarrow y^2=4-x^2$

Теперь

$x_1=x_2 \rightarrow x_1 ^2= x_2 ^2 \rightarrow -x_1 ^2=-x_2 ^2 \rightarrow 4-x_1 ^2=4-x_2 ^2 \rightarrow y_1 ^2= y_2 ^2 \rightarrow y_1 = \pm y_2$

Таким образом не является функцией.

Совет:

$(x — \alpha)^2 + (y — \beta)^2 = R^2$

является стандартной формой уравнения окружности. Отметим, что $(\alpha,\beta)$ является центром окружности, а $R$ — ее радиусом.

Упражнения

1.На каком рисунке изображена функция?
2. Если $f=\lbrace (a,3),(1,-3),(2a+4,3) \rbrace$ является функцией, то каково значение $a$?

3. Если $f=\lbrace (a+b,2),(a^2-2,3),(a^2-2a,3),(3,2) \rbrace$ является функцией, то каково значение $a+b$?

4. Если $f=\lbrace (7,11),(a^-6a,11),(a,4) \rbrace $ является функцией, то каково значение $a$?

5. Если $f=\lbrace (3,2),(a-b,2),(2a+b,4),(2b,4),(1,\sqrt{2}),(-2,3) \rbrace$ является функцией, то каково значение $(f(a))^2+f(b)$?

6. Доказать, что $y=2|x|+3x-4$ является функцией.

7. Доказать, что $|y|+|x|=1$ НЕ является функцией.

8. Добавив дополнительнон ограничение к $(x-3)^2+(y-4)^2=11$, это была функция. Найти это ограничение.

Область определения и множество значений функции

www.math10.com

Свойства функции

В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое  числовая функция и какие свойства функции необходимо знать и уметь исследовать.

Что такое  числовая функция? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и  между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие  единственный элемент  y из множества Y.

Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y.

Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией. 

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство   называется уравнением функции. В этом уравнении    — независимая переменная, или аргумент функции.   — зависимая переменная.

Если мы возьмем все пары и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то  получим график функции. График функции — это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя свойства функции мы можем построить ее график.

Основные свойства функций. 

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции   имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения .

Чтобы по графику функции найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции  Е(y)— это множество всех значений, которые может принимать  зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции  найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3.  Нули функции.

Нули функции — это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение  . Корни этого уравнения и будут нулями функции .

Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции  .

4. Промежутки знакопостоянства функции. 

Промежутки знакопостоянства функции — это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть  или .

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нужно решить неравенства и  .

Чтобы найти  промежутки знакопостоянства функции  по ее графику, нужно

• найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ — при этих значениях аргумента , 
• найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ — при этих значениях аргумента  .

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции — это такие промежутки значений  аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.

Говорят, что функция   возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение:.

Другими словами, функция   возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь  слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция   убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение: .

Другими словами, функция   убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. 

Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь  слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

.

Графически это означает что точка с абсциссой  x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка называется точкой минимума  функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает что точка с абсциссой  лежит ниже других точек  из окрестности I графика функции .

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

 7. Четность (нечетность) функции.

Функция  называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции,   также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения  четной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

а). Найти область определения функции , и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например,  число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция — функция общего вида.

Если область определения  функции — симметричное множество, то проверяем п. б)

б). В уравнение функции  нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду  или .

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция — общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

• для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)

В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть  ВИДЕОУРОК, в котором  я рассказываю, как определить свойства функции, график которой изображен на рисунке:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Функции и формулы в Excel с примерами

Описание функций в Excel с картинками и готовыми примерами их применения на практике.

Функции для эффективных расчетов

Функция ОСПЛТ для расчета регулярного платежа по кредиту в Excel.
Примеры как рассчитать регулярные расходы на погашение платежей по кредитам с помощью финансовой функции ОСПЛТ. Формула аннуитетной схемы регулярных платежей. Функция ЧИСТНЗ для расчета приведенной стоимости в Excel .
Примеры использования функции ЧИСТНЗ при вычислении приведенной стоимости проекта и денежного потока. Формула и алгоритм работы ЧИСТНЗ с описанием всех аргументов. Функции распределения ПУАССОН и ПУАССОН.РАСП в Excel.
Примеры расчета распределения вероятностей разной плотности случайной величины по закону Пуассона. Как рассчитать биномиальное распределение Пуассона?  Как сделать комментарий в формуле Excel пример функции Ч.
Примеры использования функции Ч для преобразования всех типов значений в число. Способ добавления комментариев к формулам. Суммирование логических значений. Примеры формул с функцией ЕЧИСЛО в Excel для проверки на число.
Как работать с функцией ЕЧИСЛО для формул проверки является ли строка числом. Проверка типов данных значений таблицы в строках и столбцах. Примеры функция БИЗВЛЕЧЬ в Excel для выборки данных из таблицы.
Создание запросов для извлечения значений из базы данных используя поисковую функцию БИЗВЛЕЧЬ в формулах массива. Как сделать базу данных в Excel? НОРМСТРАСП функция стандартного нормального распределения в Excel.
Описание алгоритма, параметров и принципа действия функции НОРМСТРАСП. Расчет вероятности нормальным стандартным распределением. Таблица нормального закона. Функция ТИП.ОШИБКИ для определения типа ошибки в ячейках Excel.
Как определить какую ошибку возвращает формула в результатах своих вычислений? Как получить код типа для всех возможных ошибок формул? Список всех типов ошибок в ячейках Excel. Функция МОПРЕД для нахождения детерминанта матрицы в Excel.
Примеры как находить детерминант матрицы с использованием специальной функции МОПРЕД. Проверка решений систем линейных уравнений методом Крамера. Функция СРЗНАЧЕСЛИМН среднее значение в Excel по условию.
Пример использования и применения функции СРЗНАЧЕСЛИМН для расчета среднего чека выбранных категорий товаров по условию пользователя. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

exceltable.com

что такое умножение, свойства 0, можно ли делить на 0

Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!», — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

Вконтакте

Одноклассники

Facebook

Мой мир

Twitter

Кто в итоге прав

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.

Это интересно: разрядные слагаемые — что это?

Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Что такое умножение

Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение.

Это интересно: что такое хорда окружности в геометрии, определение и свойства.

Что такое ноль

Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

Это интересно: какой четырёхугольник называется квадратом?

Можно ли умножать на пустоту

Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же — ноль.

Это интересно: что такое модуль числа?

Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

• Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
• Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
• Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль — это ничего, а когда у вас ничего нет, то сколько ни умножай — всё равно будет ноль. Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

Это интересно: формулировка и доказательство признаков параллелограмма.

Деление

Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

На ноль делить нельзя!

Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание — неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль — это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.

Расскажу тебе позволь,

Чтобы не делил на 0!

Режь 1 как хочешь, вдоль,

Только не дели на 0!

obrazovanie.guru

можно ли умножать на 0 и что при этом получается

Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.

По две стороны спора

Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.

В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.

Это интересно! Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое

В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.

Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.

В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.

Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.

Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.

Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа

В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.

В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.

Суть действия

Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.

Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.

При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.

Это интересно! Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула

Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.

Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.

Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.

Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.

Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.

В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.

Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.

Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности

Целесообразность попыток

Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.

По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.

Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.

В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.

Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.

Полезное видео

Подведем итоги

Правило умножения на нулевое значение порождает множество споров. Для понимания его сути достаточно рассмотреть пару примеров. Только запоминание формулировки позволит уяснить, можно умножать на 0 или нет.

Вконтакте

Одноклассники

Facebook

Мой мир

Twitter

znaniya.guru

Умножение на 1 и на 0. Видеоурок. Математика 3 Класс

На данном уроке учащимся предоставляется возможность познакомиться с особыми случаями умножения на 0 и 1, потренироваться в решении примеров в случаях умножения на 0 и на 1.

Как вы думаете, какую из данных сумм можно заменить произведением?

5+5+5+5

6+5+2+4

Будем рассуждать так. В первой сумме слагаемые одинаковые, число пять повторяется четыре раза. Значит, можно заменить сложение умножением. Первый множитель показывает, какое слагаемое повторяется, второй множитель – сколько раз это слагаемое повторяется. Заменяем сумму  произведением.

Запишем решение.

5+5+5+5=5*4=20

Во второй сумме слагаемые разные, поэтому заменить её произведением  нельзя. Складываем слагаемые и получаем ответ 17.

Запишем решение.

6+5+2+4=17

Можно ли произведение заменить суммой одинаковых слагаемых?

Рассмотрим произведения.

1*2

1*4

1*5

Выполним действия и сделаем вывод.

1*2=1+1=2

1*4=1+1+1+1=4

1*5=1+1+1+1+1=5

Можно сделать вывод: всегда количество единиц-слагаемых равно числу, на которое умножается единица.

Значит, при умножении числа один на любое число получается то же самое число.

Запишем этот вывод в виде равенства.

1 * а = а

Рассмотрим произведения.

2*1=2

4*1=4

5*1=5

Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть одно слагаемое.

Сравним произведения и их значения.

1*2=2

1*4=4

1*5=5 

2*1=2

4*1=4

5*1=5

Произведения  во втором столбике отличаются от произведений в первом столбике только порядком множителей.

Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны соответственно первому множителю.

Сделаем вывод: при умножении любого числа на число один получается то число, которое умножали.

Запишем этот вывод в виде равенства.

а * 1= а

Решите примеры.

Подсказка: не забудьте выводы, которые мы сделали на уроке.

9*1                 

54*1

1*3                

1*706

52*(48-47)

(70-69)*14

Проверьте себя.       

9*1=9                

54*1=54

1*3=3                

1*706=706

52*(48-47)=52

(70-69)*14=14

Теперь давайте понаблюдаем за произведениями, где один из множителей нуль.

Рассмотрим произведения, где первый множитель – нуль.

0*3

0*6

0*4

Заменим  произведения суммой одинаковых слагаемых. Выполним действия и сделаем вывод.

0*3=0+0+0=0

0*6=0+0+0+0+0+0=0

0*4=0+0+0+0=0

Всегда количество нулей-слагаемых равно числу, на которое умножается нуль.

Значит, при умножении нуля на число получается нуль.

Запишем этот вывод в виде равенства.

0 * а = 0

Рассмотрим произведения, где второй множитель – нуль.

3*0=0

6*0=0

4*0=0

Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть нуль слагаемых.

Сравним произведения и их значения.

0*3=0

0*6=0

0*4=0 

3*0=0

6*0=0

4*0=0

Произведения  второго столбика отличаются от произведений первого столбика только порядком множителей.

Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны нулю.

Сделаем вывод: при умножении любого числа на нуль получается нуль.

Запишем этот вывод в виде равенства.

а * 0 = 0

А вот делить на нуль нельзя.

Решите примеры.

7*0                   

15 *0

0*9                   

0*346 

72:9*0            

(6:6)*9

1*49:7            

8*(5-5)

Подсказка: не забудьте выводы, сделанные на уроке. При вычислении значений второго столбика будьте внимательны при определении порядка действий.

Проверьте себя.

7*0=0                   

15*0=0

0*9=0                   

0*346=0

72:9*0=0           

(6:6)*9=9

1*49:7=7            

8*(5-5)=0

Сегодня на уроке мы познакомились с особыми случаями умножения на 0 и 1, потренировались умножать на 0 и на 1.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nsportal.ru (Источник).
2. Prosv.ru (Источник).
3. Do.gendocs.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Найдите значения выражений.

8*1                

45*1

1*6                

1*820

25*(28-27)

(80-79)*147

2. Найдите значения выражений.

7*0

23*0

0*8

0*321

25:5*0

0*(240-239)

3. Сравните значения выражений.

8*0 … 8*1

567*0 … 567*1

(56-54)*1 … (78-70)*1

4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

interneturok.ru

Почему при умножении на ноль получается ноль?!?!

Как не увеличивай НИЧЕГО, НИЧЕГО и получишь!

Потому что ноль — это ничего, соответственно, как ни умножай пустоту, одна пустота и получится.

0- это черная дыра, попадая в нее исчезаешь.

Сколько не бросай в бездонную пропасть, все равно будет мало.

Ноль это математическая «абстрактная» величина, введенная арабами для удобства вычиcлений. Никакой особой философской «сущности» не имеет. Если вы хотите, провести «философскую» аналогию, пожалуйста — «Как бы дурак не умножал свои знания, дураком и останется».

у Фонвизина был Митрофанушка (только почему не женского рода?) Он тоже, умножал: Нулежды нуль-нуль

потому что-нуль (зеро) -это тайна всемогущая и нет её выше. Поэтому любое соприкосновение с ней-чревато… Это непознанный вакуум… Начало причины… Чёрная дыра…

Настенька, пойми, 5*0 = 0 потому, что ты хочешь взять пять раз то, чего нет. Раз пустота, два пустота, три пустота.. . и т. д. Сколько не бери ноль, хоть миллион раз, результатом будет ноль. От перемены мест множителей сумма также не поменяется.

Умножить — значит, взять что-то сколько-то раз. Ноль — пустота. Берём яблоко в пустоту, яблоко становится пустотой, ибо пустота не может быть ничем иным.

если ты берешь единицу в физическом воплощении как яблоко, тогда что ты возьмешь за ноль, каково будет облачение нуля?

Умножая на ноль, ты уже создаешь иллюзию: если у тебя яблоко — 1 шт. — реальность — потрогай его. — есть оно ты можешь умножить одно яблоко на один — получишь яблоко — одно — оно есть — реальность — съешь его Ноль — ничего — пустота — ничего не берем — нет ничего реального — абстракция — придумываем яблоко из ничего — из нереальности — из нуля — даже взятое при нуле яблоко и умноженное на ноль — это «ничего» — такого яблока нет — мы его выдумали — фантазия — нереальность — нет ничего — пустота — ноль.

Прикинь, сколько народу заморочила

10Х0 = 0 почему — Умножить на 2 — взять число (10) два раза, умножить на 1 — один раз, а ноль — это ничто, если число (10 ) брать 0 раз в руках так и останется 0

мы 5 яблок увеличиваем в 3 раза=15 яблок… мы 5 яблок увеличиваем в 0 раз, то есть ничего не делаем, так и остается 5 яблок???

Представим ноль в виде разности чисел, например 3 — 3 = 0, таким образом умножая например на ноль число -4- получим 4 * (3 — 3), далее раскрываем скобки 4 * (3 — 3) = 12 — 12 = 0. Вот и все. Как говориться, всё правильно, но все равно нихоа не понятно. )))

Как же мы умножаем пустоту если мы берем определенное число???? например 2 или 3. И как же я свои 5 яблок умножая на ноль, потеряю????

Дело в том, что если мы 5 яблок умножаем на 1, то получаем лишь 5 яблоко. 5 и 1 взаимосвязаны так как мы что-то что существует берем лишь один раз. Если мы 5 яблок берем 0 раз, значит мы вообще не берем яблоки. Получается что мы берем яблоки только теоретически, и когда мы смотрим на то, сколько раз мы их взяли, то видим, что мы их вообще не взяли (забыли дома например, но думали что взяли)

touch.otvet.mail.ru

Действия с нулём

В математике число ноль занимает особое место. Дело в том, что оно, по сути дела, означает «ничто», «пустоту», однако его значение действительно трудно переоценить. Для этого достаточно вспомнить хотя бы то, что именно с нулевой отметки начинается отсчет координат положения точки в любой системе координат.

Ноль широко используется в десятичных дробях для определения значений «пустых» разрядов, находящихся как до, так и после запятой. Кроме того, именно с ним связано одно из основополагающих правил арифметики, гласящее о том, что на ноль делить нельзя. Его логика, собственно говоря, проистекает из самой сути этого числа: действительно, невозможно представить, чтобы некая отличное от него значение (да и само оно – тоже) было разделено на «ничто».

С нулем осуществляются все арифметические действия, причем в качестве его «партнеров» по ним могут использоваться целые числа, обычные и десятичные дроби, причем все они могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Приведем примеры их осуществления и некоторые пояснения к ним.

При прибавлении нуля к некоторому числу (как целому, так и к дробному, как к положительному, так и к отрицательному) его значение остается абсолютно неизменным.

Двадцать четыре плюс ноль равняется двадцать четыре.

24 + 0 = 24

Семнадцать целых три восьмых плюс ноль равняется семнадцать целых три восьмых.

При вычитании нуля из некоторого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) оставляет его полностью неизменным.

Две тысячи сто пятьдесят два минус ноль равняется две тысячи сто пятьдесят два.

2152 – 0 = 2152

Сорок одна целая три пятых минус ноль равняется сорок одна целая три пятых.

При умножении любого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) на ноль получается ноль.

Пятьсот восемьдесят шесть умножить на ноль равняется ноль.

586 × 0 = 0

Ноль умножить на сто тридцать пять целых шесть седьмых равняется ноль.

0 × 135 = 0

Ноль умножить на ноль равняется ноль.

0 × 0 = 0

Правила деления чисел друг на друга в тех случаях, когда одно из них представляет собой ноль, различаются в зависимости от того, в какой именно роли выступает сам ноль: делимого или делителя?

В тех случаях, когда ноль представляет собой делимое, результат всегда равен ему же, причем вне зависимости от значения делителя.

Ноль разделить на двести шестьдесят пять равняется ноль.

0 : 265 = 0

Ноль разделить на семнадцать пятьсот девяносто шестых равняется ноль.

Делить ноль на ноль согласно правилам математики нельзя. Это означает, что при совершении такой процедуры частное является неопределенным. Таким образом, теоретически оно может представлять собой абсолютно любое число.

0 : 0 = 8 ибо 8 × 0 = 0

В математике такая задача, как деление нуля на ноль, не имеет никакого смысла, поскольку ее результат представляет собой бесконечное множество. Это утверждение, однако, справедливо в том случае, если не указаны никакие дополнительные данные, которые могут повлиять на итоговый результат.

Таковые, при их наличии, должны состоять в том, чтобы указывать на степень изменения величины как делимого, так и делителя, причем еще до наступления того момента, когда они превратились в ноль. Если это определено, то такому выражению, как ноль разделить на ноль, в подавляющем большинстве случаев можно придать некий смысл.

simple-math.ru

ЧИСЛО УМНОЖИТЬ НА НОЛЬ… Математика для блондинок: Умножение на ноль

Рассмотрим пример умножения на ноль целого числа. Сколько будет, если 2 (два) умножить на 0 (ноль)? Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю. И не важно, известно нам это число, или не известно.

Согласно общепринятому определению, ноль — это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль — это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.

Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность — вторую проблему современной математики. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых. Пять умножить на ноль — равняется нулю 5 х 0 = 0 Правило умножения на ноль смотрите выше по тексту. Чатыри умножить на ноль бесплатно — бесплатно отвечаю, что будет ноль. В нагрузку бесплатная справка — слово «четыре» пишется чуть-чуть иначе, чем пишите вы в своем поисковом запросе.

https://youtu.be/EGpr23Tc8iY

Там, где в математике встречается ноль, логика бессильна

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами. Оно появилось в комментариях и чем-то меня зацепило. Вопрос Студента: А теперь, уважаемый автор, умножьте, пожалуйста, ноль на ноль и скажите, сколько получится в результате?

Я в своей статье «Что есть ноль» уже объяснил где её можно применять. Нужно просто брать те ответы, которые пишут в учебниках: ноль, умноженный на ноль, равняется нулю; на ноль делить запрещено. Из всех обозримых вариантов умножения и деления на ноль ученые неучи выбрали самый приемлемый и удобоваримый вариант.

С делением на ноль у меня лично никаких проблем нет. Про связь между формулой Герона и 0/0=1 слышу впервые. Однако есть что-то нечистое в математике. Проблемы с возведением нуля в нулевую и отрицательную степень. Но с таким же успехом можно сказать, что 0^2 тоже не имеет смысла, потому как 0^2=0^5/0^3=0/0, а на ноль делить нельзя.

Ноль в нулевой степени — выражение, не имеющее смысла. Ноль в нулевой степени равняется единице — так показывают формулы. Это количество чего угодно, каких-то реальных, материальных вещей, можно умножить на число. При этом количество чего-то выражается только нулем или положительным числом.

Все в единицах и в математике на данном уровне в порядке. Это условность, градусы не могут быть выражены количеством, поэтому умножить их на число нельзя. Где-то на этом сайте есть Дурнев со своими вопросами по школьной программе, в том числе и по математике. Может, его придумали точно так же, как и ноль? Чтобы наложить определенные правила и подчинить им всех остальных людей. Чего только человек не сделает ради себя, любимого.

Достаточно того, что в учебниках часто пишут «принадлежит множеству натуральных чисел» даже тогда, когда это выполняется для всех чисел, за исключением комплексных. Бесконечное число нулей в нуле — это выдумки шаманов для пещерных людей:) Если закрыть глаза, то всё, на что мы смотрим, будет выглядеть одинаково черным. Умножение на ноль нужно начинать рассматривать совсем с другого конца. Что такое умножение?

Достаточно понять, что такое умножение, тогда вопрос с результатом умножения на ноль сам собою решится. 2 яблока, и пытаясь умножить их на 0 яблок, в результате мы теряет свои 2 яблока. Судя по всему, те, кто это спрашивает, потеряли как минимум по одной цифре в начале каждого числа. 10 и 11 — здесь уместно говорить о процентах.

И интересно как при делении 0 на любое число вы это число сможете вычитать вообще (пусть даже и ноль раз)..

Не может так просто от умножения стать ноль! Значит математика это не точная наука? Кто то когда то придумал это «правило» не известно для чего . Ваша математика ошибается. На практике, вся эта математическая тема с умножением на 0, не может быть!!! Как 10 чего-нибудь желая приумножить, пусть даже на 0 — получится 0?? Если конечно 0 не является черная дыра, или 0 как проиграшь, в никуда, ноль — как пустота, ничто, но такого быть не может….

Если не можете что то разделить (те же 5 яблок на 0 воображаемых корзин) то записывается результат целого числа и остаток при таком делении… 0 можно умножать многократно (типа ходил в лес 15 раз и не нашел грибов…

Например, делим 5 яблок на ноль человек; вычисляем,во сколько раз 5 градусов Цельсия больше нуля градусов Цельсия. Из этого всего скорее нельзя умножать на 0 (так как по определению умножения это НЕЛЬЗЯ записать с помощью операции сложения) и делить сам 0 на что то… так как ответ не может быть определен…

Подмена понятий происходит при самом умножении на ноль… Запомните любое число или операция с числами умноженное на ноль АННИГИЛИРУЕТСЯ… Иными словами не происходит самой операции при умножении на ноль и ее можно просто «не учитывать»… Так, вы украли мою идею!))) Впервые встречаю более-менее четкое понимание умножения и деления на ноль. Будем мы это считать математическими операциями, или не будем — математике глубоко плевать.

Первый пример проблематичности нуля — это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Кому интересен вопрос возникновения нуля, предлагаю прочесть статью «История нуля» Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.

При каких значениях икса верно равенство: ноль умноженное на икс равняется ноль? — данное равенство верно при любых значениях икс. Говорят, что это равенство имеет бесконечное множество решений. С математикой было несколько проще. Самым естественным образом на мою природную безграмотность накладываются банальные опечатки при наборе текста.

Я противник тех проповедей, которые читают нам математики и на которые мы все))) ссылаемся. С этим уравнением была совсем друга история. Может такое быть или не может? Немного подумав, я «провел мысленный эксперимент»))) и представил эту ситуацию. Где-то в черновиках валяются все выкладки по этому поводу. Вы лукавите То что не принято в широких кругах, не обязательно является не правдой.

Как правильно пишется — ноль или нуль? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Кто сказал, что ноль — это число? Математики? 0 + 5/0… ноль и пять ( нулевых ) в остатке … и тогда все сходится и все довольны… Да на самом деле сложностей не так много. Проблема в том как воспринимать Ноль (как число или как нечто пустое) и что подразумевать под умножением…

Предлагаю также ознакомиться:

kakbypridaser.ru

Объясните почему умножать на ноль можно, а делить на ноль нельзя? почему?

потому что нет такого числа при умнажении которого на ноль получится делимое. 5/0= ты просто не сможешь подобрать частное чтобы 5 получить

Потому что возникает противоречие.

Потому что в 5-ом классе надо было учителя слушать, а не спать на уроке!

потому что при делении появляется неопределённость на множестве чисел, котором производится операция, для детей это не несёт никакой информации. есть такой раздел математики, в котором это всё-таки можно <a href=»/» rel=»nofollow» title=»2434739:##:PUBLICATION/DISSHARYPOV/03_3.HTM»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

почему нельзя? если очень хочется, то дели и не важно сколько получится. Удачи! приятного времяпровождения!

Потому что математика вообще и арифметика в частности строятся не просто так, как взбредёт в воспалённую голову. Она (арифметика) базируется на системе утверждений, принимаемых без доказательства, так называемых аксиомах. Главное требование, которое предъявляется к этой системе аксиом — чтобы она была непротиворечива. Примерно так: чтобы нельзя было ЛОГИЧЕСКИ вывести, что 2 Х 2 = 4 и одновременно, чтобы 2 Х 2 = 5. Так вот, система аксиом арифметики непротиворечива только, если на ноль делить нельзя.

потому что ноль не должен быть в знаменателе

можно, только получается бесконечность. детям в третьем классе проще сказать, что делить на ноль нельзя, чем объяснить, что такое бесконечность. а вообще, например вот уравнение: 1/0=х. х*0. какое число при умножении ноль получаеться больше ноля? а никакое..

Проверка обратным действием не пройдет. Пусть 5/0=x, тогда должно быть x*0=5, а такого числа нет. Это свойство системы действительных чисел. Тебя же не удивляет, например, что в системе целых чисел два разделить на три нельзя? Вообще существует много систем чисел, системы целых и действительных чисел, изучаемые в школе — только небольшая часть их. Часть из них, например, комплексные числа или кватернионы, очень важна в технических и научных расчетах, часть — например, гипердействительные числа, октавы, дуалные числа и так далее, — не имеет практического значения.

на ноль делить можно равно бесконечность например сколько раз ты возьмешь 0 чтобы получилось 2 . ты будешь брать ноль бесконечность раз .

Потому что любое число, умноженное на ноль, будет ноль. В проверке нам придётся делить на ноль. Вот и причина!

touch.otvet.mail.ru

Задание 8 — материалы для подготовки к ЕГЭ по Русскому языку

Часто в задании 8 ошибки бывают связаны не с написанием гласной в корне, а с выбором самого слова. Главное,  надо определить: чередующаяся гласная в корне или безударная,  проверяемая и не проверяемая ударением.

Задание 8 ЕГЭ по русскому языку

Формулировка задания:

Определите слово, в котором пропущена безударная чередующаяся гласная корня. Выпишите это слово, вставив пропущенную букву.

в..рховье

орнам..нт

те..ретический

к..снулся

п..норама

Задание 8 начинает блок заданий, в которых проверяются ваши знания по орфографии. В данном случае – ваше умение проверять безударные гласные в корне, чередующиеся гласные в корне, а также знание некоторого количества словарных слов c безударной гласной.

Безударные гласные проверяются ударением (знаменитая орфограмма №1): умАлять (мАло) значение, умОлять (мОлит) о пощаде.

Корни, в которых происходит чередование, надо выучить наизусть вместе со способом их проверки.

Внимание! Как бы ни была сформулирована задача в задании 8, начинайте с определения слов, где происходит чередование в корне. Останутся слова с безударными гласными, к которым, если задание этого требует, подбирайте проверочные слова.

Корни с чередующимися гласными запоминаем группами.

1. В этих корнях правописание зависит от ударения. Запоминайте безударный вариант:-ГОР-  горелый, загореть (-ГАР- под ударением загар)

   -ЗАР—  зарница, заря (-ЗОР- под ударением зорька) Исключение: зоревать

   -КЛОН—  преклонение, склониться (под ударением –КЛАН-КЛОН)

   -ТВОР— притвориться, столпотворение (под ударением –ТВАР-ТВОР)  Исключение: утварь

2. Запоминаем, как выглядят следующие корни:-ЛАГ – ЛОЖ-  полагать – положение  Исключение: пОлог

   -РАСТ – РАЩ – РОС-  растение, выращенный, подросла

   Исключение: росток, росточек, ростовщик, Ростов, Ростислав, отрасль, отраслевой. (ПодросткОвый – от подрОсток, где О под ударением. На вырост – приставка вы оттянула на себя ударение.)

   -СКАК – СКОЧ—  скакать – вскочить

   Исключение: скачок, скачу, скачи, скачкообразный

   -НИМ – НЯ-           снимать — снять

   -ЖИМ – ЖА-                   сжимать — сжать

   -ЧИН – ЧА-            начинать – начать

   -КЛИН – КЛЯ-      проклинать — проклятие

   -НИМ – НЯ-           понимать – понять

   приминать — примять

3. Корни, в которых чередующаяся гласная зависит от суффикса А:-БЕР – БИРА-                  уберу — убираю

   -ДЕР – ДИРА-                  удерет — удираю

   -ПЕР – ПИРА-                 запер — запирать

   -ТЕР – ТИРА-                  вытер — протирать

   -МЕР – МИРА-                замереть — замирать

   -СТЕЛ – СТИЛА-          постелить — застилать

   -БЛЕСТ – БЛИСТА-      заблестеть — блистательные

   -ЖЕГ – ЖИГА-               выжег — прижигать

   -ЧЕТ – ЧИТА-                  вычеты — вычитание

   Исключение: сочетать, сочетание

   -КОС – КАСА-                коснулся – касался

4. Корни, в которых правописание чередующейся гласной зависит от смысла слова-МАК – МОК-  макать, обмакнуть («погрузить в жидкость»)

   промочить, вымокнуть («набрать влагу, стать мокрым»)

   -РАВН – РОВН-    уравнение, сравнить («одинаковый, равный»)

   заровнять яму, разровнять грядку («сделать ровной поверхность»)

   -ПЛОВ — ПЛАВ—  «О» только в словах пловец, пловчиха

   «А» в остальных словах поплавок, жук-плавунец и др.

   (Но: плывуны – слои почвы)

Проверяя корни с безударными гласными, помним:

1. Нельзя проверять безударную гласную с помощью глагола с суффиксом -ИВА-ЫВА— (Пример: спрОсить – спрАшивать, опОздать – опАздывать).
2. В корне может произойти чередование согласных, слова при этом все равно остаются однокоренными: мерцающий –меркнет, просвещение – свет.
3. Не подбирайте слова только по созвучию: вИнегрет – вИнный, огрОмный, грОмадный – грОм. Такой способ годится для запоминания правописания.  Но слова вИнегрет, огрОмный, грОмадный словарные, гласные в этих корнях непроверяемые. Слова стАдион и стАдия не являются однокоренными (их связывает глубокое прошлое, а мы можем искать проверочные слова только в современном русском языке), следовательно, стАдион – словарное слово.
4. Слова акварель, монография, хронология непроверяемые (в русском языке нет слов аква, моно, хроно и т. п.).
5. Различайте омонимичные корни: примирять (мирный) врагов; примерять (примерка) платье. В этих корнях гласные безударные. Корень с чередованием -МЕР – МИРА- имеет другое значение: замер —  замирать.

В этих словах нет чередования в корне: росинка, сложность, возгордиться, сдержаться, терзание, побережье, спиртовой, покоситься, накосить, гористый (участок).

1. Нельзя в качестве проверки использовать искусственно созданное слово: экстрЕмальный (экстрим – слово молодежного сленга).
2. В слове пАлисадник нет иноязычного ПОЛИ, как в словах поликлиника, полифония.
3. ИнтЕллЕкт интЕллИгенту необходим, но корни этих слов различаются.

Выполним задание:

Слово с чередующейся гласной – коснулся (-КОС- потому что после корня нет суффикса А).

Задание уже выполнено! Но давайте проверим и другие слова: верховье – верх; теоретический – теория. Орнамент, панорама – непроверяемые, словарные слова.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Упрощение выражений — СПИШИ У АНТОШКИ

Для того чтобы упро­стить вы­ра­же­ние, его необ­хо­ди­мо за­ме­нить на эк­ви­ва­лент­ное (рав­ное).

Для опре­де­ле­ния эк­ви­ва­лент­но­го вы­ра­же­ния необ­хо­ди­мо:

1) вы­пол­нить все воз­мож­ные дей­ствия,

2) поль­зо­вать­ся свой­ства­ми сло­же­ния, вы­чи­та­ния, умно­же­ния и де­ле­ния для упро­ще­ния вы­чис­ле­ний.

( 3 + 4 ) • 5 и 3 • 5 + 4 • 5

Оба выражения равны 35 :

( 3 + 4 ) • 5 = 7 • 5 = 35 ; 

3 • 5 + 4 • 5 = 15 + 20   = 35.

Получается, что:

( 3 + 4 ) • 5 = 3 • 5 + 4 • 5.

Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.Это правило называется распределительным свойством умножения относительно сложения.

С помощью букв его записывают так: ( a + b ) • c = a • c + b • c .

Например: 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640

Также это правило применимо к разности, умноженной на число: ( a – b ) • c = a • c – b • c ,

и называется оно распределительным свойством умножения относительно вычитания.

Например: ( 5 – 3 ) • 7 = 5 • 7 – 3 • 7

Используя распределительное свойство умножения можно упрощать буквенные выражения. 

Например: 3a + 5a = 3 • a + 5 • a = ( 3 + 5 ) • a = 8a ;

Также для упрощения выражений можно применять сочетательное свойство умножения:

3х • 4 • 5 = ( 3 • 4 • 5 ) • х = 60х 

2 · a · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8ab

spishy-u-antoshki.ru

Урок математики на тему «Упрощение выражений». 5-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,7 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Вовлеки меня – и я пойму.
Древняя китайская мудрость

Цели урока

• Образовательные: применять распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания) при упрощении выражений, при решении уравнений, при решении задач на составление уравнений; обобщить знания по теме “Упрощение выражений”.
• Воспитательные: повысить интерес к математике; способствовать развитию чувства товарищества, взаимопомощи.
• Развивающие: активизировать работу учащихся за счет вовлечения их в игру; способствовать развитию познавательного интереса на уроках математики; расширить кругозор учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, электронное перо, презентация с использованием мультимедиа технологии, карточки с заданиями (путеводитель), математическое лото.

Ход урока

I. Организационный момент.

Слово учителя. Здравствуйте, ребята. Начинаем наш урок. Сегодня он будет необычным, урок – “Путешествие в затерянный мир” (слайд 1).

Цели урока: применять распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания) при упрощении выражений, при решении уравнений, при решении задач на составление уравнений; обобщить знания по теме “Упрощение выражений”.

Сегодня на уроке мы будем работать не с традиционным учебником математики, а с путеводителем, который лежит у каждого на парте (приложение 1).

II. Проверка домашнего задания.

Проверяют на перемене помощники – консультанты, о результатах сообщают учителю. В конце урока тетради собираются учителем на проверку.

Слово учителя. Добро пожаловать в завораживающий мир динозавров! Жизнь на планете “Земля” возникла около 3000 миллионов лет назад, началась она с крошечных одноклеточных существ. Но лишь примерно 250 миллионов лет назад в процессе эволюции на земле появились гигантские ящеры – динозавры. Это было удивительное время! Время, когда и земля, и воздух, и вода были отданы динозаврам в полное распоряжение (слайд 2).

III. Устный счет.

1. Проверим правила (слайд 3).

1. Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения.
2. Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно вычитания.
3. Сформулируйте сочетательное свойство умножения.

(Ответы проверяем при помощи слайда компьютерной презентации).

Слово учителя. Слово динозавр состоит двух частей “дино” и “завр”. Выполнив устно следующее задания, вы узнаете значение слова “динозавр”.

2. Вычислите действия по цепочке (слайд 4):

90 – 45 : 15* 28 – 12 : 8 + 27 : 2 * 5

(Ответы проверяются при помощи слайда компьютерной презентации).

Слово учителя. Итак, “динос” а переводе с латинского языка означает – чудовище.

Соедините стрелками выражение из первого столбика с правильным ответом из второго столбика (слайд 5):

5х + 3х — 4	8а
(5 + у) * 4	12 + 2с
4а * 3	45х
2а – а + 7а	48х
12у – 7у – 2	8х – 4
4х * 6 * 2	20 +4у
9 * х *5	12а
(6 + с) * 2	5у – 2

Работа с интерактивной доской.

Учащиеся выходят по одному к доске и проводят стрелки электронным пером на интерактивной доске.

В конце устной работы обучающиеся узнают, что “завр” переводится с латыни, как ящер. Динозавр – чудовище, ящер.

IV. Решение задач и примеров на закрепление.

Слово учителя. В 1902г. В США при раскопках был найден скелет этого ящера. Передвигался он на двух ногах, плотоядный, крошечные передние конечности, огромные челюсти, острые пилообразные зубы.

Задание №1 (путеводитель).

Заполните таблицу, и вы узнаете, скелет какого ящера был найден (слайд 6).

Работа с интерактивной доской.

Таблицу заполняют обучающиеся электронным пером на интерактивной доске (к доске выходят по желанию). По окончании выполнения задания учащиеся узнают, что это был тираннозавр рекс (король ящеров – тиранов) (слайд 7).

Слово учителя. Современниками динозавров были летающие ящеры. Ископаемые останки их впервые были обнаружены в Великобритании в 1827г. Одним из представителей этих ящеров был птеранодон (птицерукий) (слайд 8).

Выполнив следующие задания по группам, вы узнаете размах крыльев птеранодона, длину его тела, длину головы и массу ящера (слайд 9).

Задание №2 (путеводитель).

Запишите предложение в виде равенства и найдите. При каком значении буквы это равенство верно(слайд 10):

• 1 группа: сумма 2х и 5х равна 56;
• 2 группа: разность 20у и 3у равна 51;
• 3 группа: сумма 18а и 13а равна 31;
• 4 группа: разность 25с и 5с равна 2000.

(Ответы проверяются по группам при помощи слайда компьютерной презентации).

Слово учителя. Этот ящер был одним из самых крупных наземных животных. Огромный динозавр питался исключительно растениями. Впервые скелет ящера найден в 1900г. В штате Колорадо, США. Решив верно уравнения, вы узнаете, как назывался этот динозавр (слайд 11).

Задание №3 (путеводитель).

Решите уравнение:

• 1 группа: 8а + 14 = 94;
• 2 группа: 7у – 5 = 72;
• 3 группа: 4 * 25 * х = 800;
• 4 группа: 3 * 33 * с = 990.

Учащиеся выполняют это задание по группам.

(Ответы проверяются по группам с помощью слайда компьютерной презентации).

Слово учителя. Этого динозавра звали “брахиозавр”. Брахиозавр означает “плечистый ящер”. Масса 70 тонн – это больше, чем вес 20 слонов. Голова брахиозавра возвышалась над землей на 15 м (слайд 12).

Решив задачу, вы узнаете длину тела этого динозавра от кончика хвоста до головы.

Задание №4 (путеводитель).

На улице построили два новых дома. Известно, что высота одного из них в 3 раза меньше второго. Чему равна высота меньшего дома, если их общая высота 108м (слайд 13). Работа с интерактивной доской.

(Анализ задачи осуществляется при помощи слайда презентации, один ученик решает задачу на интерактивной доске электронным пером).

Слово учителя. Вот это размер! Величина тела брахиозавра в длину достигала 27 м, а это высота девятиэтажного дома (слайд 14).

V. Самостоятельная работа по группам (математическое лото) (приложение 2).

Задания в путеводителе. (Учащиеся выполняют самостоятельную работу, карточки (картинки) с ответами берут со стола учителя, в результате выполнения работы у каждой группы должна получиться картинка – динозавр, если картинка сложилась, то с заданием учащиеся группы справились).

Самостоятельная работа (математическое лото).

Вариант №1.

№1 Упростите выражение: 12а + 13 + 6а + 4	№2 Найдите значение выражения: 66х + 34х, если х = 24
№4 Решите уравнение: 8х + 7х = 105	№5 Решите уравнение: 7у + у – 12 = 28

 Вариант №2.

№1 Упростите выражение: 4х + 23 + 12х + 5	№2 Найдите значение выражения: 91а – 61а, если а = 32
№4 Решите уравнение: 4х + 3х = 77	№5 Решите уравнение: 2х + 7х – 12 = 69

Вариант №3.

№1 Упростите выражение: 5а + 8 + 13а + 14	№2 Найдите значение выражения: 45х + 55х, если х = 46
№4 Решите уравнение: 5m + 7m = 132	№5 Решите уравнение: 6а – а + 18 = 43

 Вариант №4.

№1 Упростите выражение: 7у + 40 + 13у + 8	№2 Найдите значение выражения: 37а + 63а, если а = 39
№4 Решите уравнение: 9х + 8х = 68	№5 Решите уравнение: 7t + t +27 = 99

После выполнения самостоятельной работы учитель проверяет, получилась ли картинка в каждой группе. Знакомит учащихся с информацией о динозаврах (слайды 15 — 18).

Слово учителя. Падение метеорита. 65 миллионов лет назад огромный метеорит – пришелец из глубин космоса – врезался в поверхность Земли. Он был размером с небольшой город. По мнению многих ученых, именно этот катаклизм и привел к вымиранию динозавров (слайд 19).

Облако пыли. Когда метеорит ударился о поверхность Земли, произошел грандиозный взрыв. Гигантское облако пыли окутало Землю на долгие месяцы. Солнечный свет не мог пробиться сквозь эту завесу. На земле воцарились холод и мрак. Воздух был насыщен пылью. Животным стало трудно дышать. Падение метеорита вызвало землетрясение чудовищной силы. На поверхности земли появились глубокие трещины. Условия жизни для животных стали невыносимыми. Вымерли динозавры, летающие ящеры и большинство морских рептилий (слайд 20).

VI. Задание на дом.

Учебник (Виленкин – 5 кл.): №623, №625 (б) (слайд 21).

(Обсудить выполнение домашнего задания с учащимися).

VII. Подведение итога урока.

Слово учителя. Ребята, мы сегодня провели необычное путешествие в “Затерянный мир”, в результате чего вспомнили, какие животные существовали на нашей планете миллионы лет назад. А помогла нам в этом наука математика!

(слайд 22)

25.03.2013

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Преобразование рациональных выражений | Алгебра

Преобразование рациональных выражений можно выполнять по действиям и по цепочке.

В начале изучения темы предпочтительнее выбрать поэтапное упрощение, то есть по действиям.

Исключение — примеры, содержащие только сложение и вычитание алгебраических дробей либо только их умножение и деление (с ними лучше работать одновременно).

Рассмотрим несколько примеров преобразования рациональных выражений.

Преобразование этого выражения можно выполнить в два этапа. Первое действие — в скобках, второе — деление.

Чтобы выполнить вычитание алгебраических дробей, разложим многочлены в знаменателях на множители. Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, и равен (x-4)²(x+4).

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый:

Чаще всего ошибки в ходе преобразования рациональных выражений возникают при умножении числителя на дополнительный множитель. Чтобы не ошибиться, лучше сначала записать множители в скобках (скобки — друзья ученика 🙂 ):

Если перед произведением многочленов стоит знак «минус», удобнее сначала в скобках перемножить многочлены, а уже затем раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого на противоположный:

Второе действие — деление алгебраических дробей:

Сокращаем дробь на (x+4), (x-4), (x+12):

Ответ:

Этот пример содержит только сумму и разность рациональных дробей, складывать и вычитать удобнее одновременно.

В знаменателе первой дроби вынесем за скобки общий множитель a. Наименьший общий знаменатель равен a(a+4). Ищем дополнительный множитель к каждой дроби и упрощаем:

Ответ:

Это выражение удобно преобразовывать поэтапно. Первое и второе действия — в скобках, третье — деление.

От деления алгебраических дробей переходим к их умножению:

Ответ:

www.algebraclass.ru

Правила сложения и вычитания. — таблицы Tehtab.ru

1. От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)

Пример:

13+25=38, можно записать как: 25+13=38

2. Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой (ассоциативное свойство сложения).

Пример:

10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.д.

3. Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.

Пример:

34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).

4. Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.

Пример:

53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)

примечание: 10 единиц составляют один десяток. Это надо помнить при вычитании, т.к. если количество единиц у вычитаемого больше, чем у уменьшаемого, то мы можем «занять» один десяток у уменьшаемого.

Пример:

41-12=29 (Для того чтобы и 1 вычесть 2, мы сначала должны «занять» единицу у десятков, получаем 11-2=9; помним, что у уменьшаемого остается на 1 десяток меньше, следовательно, остается 3 десятка и от него отнимается 1 десяток. Ответ 29).

5. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.

Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.

Пример:

42+7=49

Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7

Примечание:

Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.

6. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Это значит, что вычитание можно проверить сложением.

Пример:

69-50=19

Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69.

Примечание:

Если в результате описанной выше процедуры вы не получили уменшьшаемое, значит в вашем вычитании была допущена ошибка.

tehtab.ru

Урок по теме «Упрощение выражений»

Разделы: Математика

Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд

Тип урока: урок изучения нового материала и первичное закрепление знаний.

Класс: 5.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация в POWER POINT, раздаточные карточки на каждого ученика.

Форма проведения урока: урок — исследование

Структура урока:

• мотивационная беседа с последующей постановкой цели;
• исследовательские действия;
• подведение итогов урока;
• рефлексия;
• домашнее задание.

Цели:

Учебные:

• получить распределительный закон умножения; сформулировать его и записать в буквенном виде;
• совершенствовать навыки упрощения выражений;
• закрепить навыки и умения обучающихся упрощать выражения, выполнять арифметические действий с натуральными числами;
• продолжить работу по формированию навыков решения уравнений.

Развивающие:

• развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; повысить интерес учащихся к нестандартным заданиям, сформировать у них положительный мотив учения.
• развивать умение обобщать полученные знания. Формировать познавательные умения (наблюдение, сравнение, сопоставление). Развивать умение выдвигать и обосновывать свои высказывания.

Воспитательные:

• способствовать развитию устойчивого интереса к математике через обучение с применением информационных технологий
• расширять кругозор учащихся. Воспитывать наблюдательность и внимательность.

Ход урока

Урок сопровождается показом презентации. (Слайд 1)

Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня к нам на урок пришли герои мультфильма “Трое из Простоквашино” и попросили помочь решить вот такие уравнения 5х+2х=14, 7х-3х=8. Поможем? (Слайд 2)

Но сначала сделаем небольшую разминку. Посчитаем устно:

100-55=…*2=…:18=…*15=…-44=…+24=…:11=…*23=…-…=100 (Слайд 3).

Мы сделали хорошую разминку и теперь можно попытаться помочь героям мультфильма, решить уравнения. Откройте тетради, запишите число, классная работа. Посмотрите на уравнения, показанные на доске.

• 5х+2х=14,
• 14х=28,
• 7х-3х=8,
• 4х+6х=30,
• 3х=27,
• 12х=60,
• 18х-12х=12,

8х=64 (Слайд 4)

На какие две группы можно разделить эти уравнения? (Слайд 5) Почему именно так? Чем отличаются уравнения в первом и втором столбцах?

Можно сразу найти корни уравнений первого столбца?

Почему?

Как же надо преобразовать левую часть уравнения, чтобы получилось знакомое нам уравнение?

В математике говорят упростить выражение. Мы умеем это делать?

Что же, по-вашему, нам надо научиться делать сегодня на уроке?

Верно, мы должны научиться упрощать такие выражения и в этом нам помогут правила, которые вы сформулируете сами.

Значит, какая у нас сегодня тема урока?

— Упрощение выражений.

А цель?

— Получить правила, с помощью которых можно упрощать такие выражения.

Запишите тему урока в тетради (Слайд 6).

В этом нам помогут задания, которые каждый получил на отдельных листах. (Приложение 1). Уравнения из какого столбца мы умеем решать?

Посмотрите на доску (Слайд 7). Вычислите значения выражений левого и правого столбцов. Сравните числа, используемые для записи, прочитайте выражения, сделайте вывод. В этом вам помогут записи в раздаточных материалах. Прочитайте выражение в левой части и в правой части, используя термины сумма, разность, произведение. А теперь заполните пропуски в ваших раздаточных листах. Прочитайте, что у вас получилось (Слайд 8, слайд 9).

Полученное правило – описывает распределительное свойство умножения относительно сложения. Данное свойство можно записать в буквенном виде (Слайд 10). Сформулируйте, это свойство. А теперь рассмотрите следующие 4 примера (Слайд 11) и попробуйте сами сделать вывод, сформулировать правило. Вам опять помогут записи в раздаточных листах. Сделайте вывод (Слайд 12, слайд 13). Итак, какое свойство можно сформулировать? Верно, это распределительное свойство умножения, относительно вычитания. Запишите его в буквенном виде. Сравните с записью на доске, проверьте друг друга (Слайд 14).

Вот и подошло время немного размяться (Слайд 15). Кот Матроскин, приготовил нам небольшую физкультминутку. Если вы согласны c результатом, то хлопаете в ладоши над головой, если нет, то приседаете

• 15*4=60
• 27+34=61
• 18+42=50
• 18*3=72
• 63:21=3
• 57-16=42

А теперь, если вы согласны, то поворачиваем туловище вправо, а если нет – влево (Слайд 16).

• 14*5=60
• 74+18=92
• 88:4=2
• 46:23=2
• 96-48=48
• 17*3=61

Немного отдохнули, вернемся к нашим заданиям. Ведь нам же надо помочь решить уравнения.

Работаем в парах. У вас на раздаточных листах записаны выражения. Заполните пропуски и расскажите друг другу, почему вы сделали именно таким образом. Сверьте свои записи с записями на доске (комментарии учеников) (Слайд 17).

Сформулируйте еще раз свойства, которые мы получили и выполните №563 (Слайд 18) в своих тетрадях. Опять проверьте друг у друга задания и оцените работу вашего соседа.

Итак, думаю теперь, мы полностью готовы помочь нашим друзьям и решить предложенные уравнения.

Работаем по вариантам. (Слайд 19)

1 вариант

2 вариант

Проверяем. А теперь расскажите друг другу, как вы решали уравнения и оцените вашу работу. А сможете вы решить более сложное задание 15х+12х-81=108? (Слайд 20) Комментируем с места.

Настало время оценить, как мы поработали сегодня на уроке. Возьмите заготовленные листы и ответьте на вопросы (Приложение 2) (Слайд 21).Сдайте заполненные листы.

Подведем итог. Какой была цель урока?

Удалось нам её достичь?

Зачем нам нужны полученные правила?

Запишем домашнее задание: № 609, 610, 612, 614. (Слайд 22)

Спасибо за урок. (Слайд 23)

16.10.2012

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Упрощение выражений, разработка урока

Математику нельзя изучать, наблюдая,

как это делает сосед!

(А. Нивен)

Тема урока: Упрощение выражений.

Цели урока:

• продолжить работу по формированию умения упрощать выражения;

• совершенствовать вычислительные навыки учащихся;

• продолжить работу над текстовыми задачами и уравнениями.

Оборудование:

карточки со свойствами натуральных чисел, конспект для ученика, компьютер и проектор, магнитная доска, коробка с фотокамерой.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Сообщение темы урока

Учитель.

1) Жил-был мальчик по прозвищу Дядя Федор. Он очень любил животных, но его родители и слышать ничего не хотели о том, чтобы в их квартире завелся кто-то хвостатый и лохматый. И пришлось Дяде Федору со своими новыми приятелями — котом Матроскиным и верным песиком Шариком — отправиться в деревню Простоквашино. Ребята, мы с вами сегодня отправимся в гости к героям известной книги и научим их упрощать выражения. Итак, ребята, в путь!

А пока мы едем, давайте вспомним, какие свойства будем использовать для упрощения выражений.

III. Устная работа

Свойства сложения и умножения натуральных чисел

1. a + b = b + a — переместительное свойство сложения

2. (a + b) + c = a + (b +c) — сочетательное свойство сложения

3. a + 0 =0 + a = a. — Свойство нуля при сложении

4. a — (b + с) = a — b — с — Свойство вычитания суммы из числа

5. (а + b) — с = а + (b — с) — Свойство вычитания числа из суммы

6. (а + b) — с = (а — с) + b – Свойство вычитания числа из суммы

7. а — 0 = а; а — а = 0 — Свойства нуля при вычитании

8. ab = ba — переместительное свойство умножения

9. (ab)c = a(bc) — сочетательное свойство умножения

10. a(b + c) = ab + ac — распределительное свойство умножения относительно сложения

11. a(b — c) = ab — ac — распределительное свойство умножения относительно вычитания

12. а : 1=а — При делении любого числа на 1 получается это же число

13. а : а = 1- При делении числа на это же число получается единица

14. 0 : а = 0 — При делении нуля на число получается нуль.

15. НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ

Пока с вами вспоминали свойства, мы не заметили, как добрались до Простоквашино.

Выполнив задание, вы узнали кто автор известного мультфильма «Трое из Простоквашино»

Историческая справка.

Эдуард Успенский – автор многих детских произведений. Вам известны многие его герои — Чебурашка, крокодил Гена, Шапокляк, Хватайка, корова Мурка, Вера и Анфиса и другие.

Летом 1967 года Эдуард Успенский работал библиотекарем в пионерском лагере. Именно там он и начал сочинять историю про деревню Простоквашино и ее разношерстных обитателей. Так мы познакомились с дядей Федором, Шариком, котом Мотроскиным и решили им помочь с решением задач на сокращение выражений.

А в это время хозяева с нетерпением ждали нашего появления. Они и не предполагали, что к ним в гости, в Простоквашино, едет почтальон Печкин и везет посылку.

IV.Решение уравнений

Решите уравнения и узнаете, что находится в этом ящике

ПОСЫЛКА

1. 1. х + 7 = 12

   2. 9 + у = 17

   3. а – 11 =22

   4. 53 – в = 45

   5. С * 13 = 39

   6. 64 : d = 32

   7. m – 121 = 0

   8. k * 246 = 246

   9. 550 : х =10

   10. 100 * р = 200

Р

55

Ф

5

О

8

К

3

Т

33

А

2

М

121

Е

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ф

О

Т

О

К

А

М

Е

Р

А

Пес Шарик больше всех был рад подарку, т.к. очень любил ходить в походы на фотоохоту. Он нам и рассказал одну историю.

V. Решение задач

Задач№1.

Летом с друзьями мы ходили в трехдневный поход

За эти три дня Печкин, дядя Федор, Матроскин и Шарик прошли 18 км. Какой путь прошли друзья в первый день, если во второй день прошли на 3 км меньше и в третий – на 6 км больше?

И так мы дали первый урок решения задач.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

Кот Матроскин тоже решил нас порадовать сообщил нам, что завел корову, т.к. корова дает прибыль.

Задача№2.

За 10 дней Матроскин с Шариком надоили 130л молока и сдали в магазин в двух больших и 5 маленьких бидонах. Вот только хотелось бы знать, сколько молока входит в маленький бидон, если он вмещает в 4 раза меньше чем большой..

Ребята, поможем Матроскину решить задачу?

Решим уравнение

2*4х + 5х = 130,

8х + 5х = 130,

13х = 130, х = 130:13, х= 10 литров молока вмещается в маленький бидон

Спасибо вам, ребята за помощь!

VI.Самостоятельная работа

Нам вот еще домашнее задание надо выполнить. Помогите, пожалуйста!

Упростите выражение:

1. 28k + 35k =___________________________________________

2. 33x – 19x =___________________________________________

3. 42a + a =____________________________________________

4. 67d – d =_____________________________________________

5. 29x + 4 — 9х +6 =________________________________________

6. 15 + 16t — 6t -7 =________________________________________

VII. Домашнее задание

VIII. Подведение итогов

www.metod-kopilka.ru

Калькулятор интегралов онлайн

ru.onlinemschool.com

Онлайн решение интеграла

Данный калькулятор по решению интегралов онлайн построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Решение интеграла онлайн

Неопределенный интеграл

Нахождение неопределенного интеграла является очень частой задачей в высшей математике и других технических разделах науки. Даже решение простейших физических задач часто не обходится без вычисления нескольких простых интегралов. Поэтому со школьного возраста нас учат приемам и методам решения интегралов, приводятся многочисленные таблицы с интегралами простейших функций. Однако со временем всё это благополучно забывается, либо у нас не хватает времени на рассчеты или нам нужно найти решение неопределеленного интеграла от очень сложной функции. Для решения этих проблем для вас будет незаменим наш сервис, позволяющий безошибочно находить неопределенный интеграл онлайн.

Решить неопределенный интеграл

Онлайн сервис на matematikam.ru позволяет находить решение интеграла онлайн быстро, бесплатно и качественно. Вы можете заменить поиск по таблицам нужного интеграла нашим сервисом, где быстро введя нужную функции, вы получите решение неопределенного интеграла в табличном варианте. Не все математические сайты способны вычислять неопределенные интегралы функций в режиме онлайн быстро и качественно, особенно если требуется найти неопределенный интеграл от сложной функции или таких функций, которые не включены в общий курс высшей математики. Сайт matematikam.ru поможет решить интеграл онлайн и справиться с поставленной задачей. Используя онлайн решение интеграла на сайте matematikam.ru, вы всегда получите точный ответ.

Даже если вы хотите вычислить интеграл самостоятельно, благодаря нашему сервису вам будет легко проверить свой ответ, найти допущенную ошибку или описку, либо же убедиться в безукоризненном выполнении задания. Если вы решаете задачу и вам как вспомогательное действие необходимо вычислить неопределенный интеграл, то зачем тратить время на эти действия, которые, возможно, вы уже выполняли тысячу раз? Тем более, что дополнительные расчеты интеграла могут быть причиной описки или маленькой ошибки, приведших впоследствии к неверному ответу. Просто воспользуйтесь нашими услугами и найдите неопределенный интеграл онлайн без каких-либо усилий. Для практических задач по нахождению интеграла функции онлайн этот сервер очень полезен. Необходимо ввести заданную функцию, получить онлайн решение неопределенного интеграла и сравнить ответ с вашим решением.

Похожие сервисы:

matematikam.ru

∫∫ Двойной интеграл — Калькулятор Онлайн

Введите подинтегральную функцию,
для которой необходимо вычислить двойной интеграл

Найдём подробное решение для двойного интеграла от функции f(x, y)

Введите вверхние и нижние пределы для области интегрирования и подинтегральную функцию.
Если подинтегральной функции нет, то укажите 1

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

e

e число, которое примерно равно 2.7

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

pi

Число — «Пи», которое примерно равно 3.14

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти неопределенный интеграл | Онлайн калькулятор

Калькулятор для пошагового нахождения неопределенного интеграла онлайн (бесплатно). Данный калькулятор полностью заменит вам репетитора по математике, достаточно решить несколько интегралов с помощью данного калькулятора и вы сможете самостоятельно решать любой  неопределенный интеграл.

Для решения вашего неопределенного интеграла достаточно вставить функцию в окошко калькулятора и нажать кнопку «Вычислить интеграл«.

Пример вычисления интеграла:
 

В окошко виджет вводим подинтегральную функцию (x+3)/sqrt(4x^2+4x+3), нажимаем кнопку «вычислить интеграл» получаем решение интеграла.
Для того чтобы получить пошаговое вычисление интеграла нажимаем кнопку «Stth-by-step», получаем ответ:
 

Правила ввода подинтегральных функций:

Основные константы

• Число : Pi
• Число : E
• Бесконечность : Infinity или inf

Основные функции

: x^a

модуль x: abs(x)

lib.reshim.su

Определенный интеграл онлайн. Несобственный интеграл онлайн.

Определенные интегралы онлайн на Math34.biz для закрепления студентами и школьниками пройденного материала.                                                     И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса. Пошаговое вычисление определенных интегралов онлайн на сайте Math34.biz. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на Math34.biz для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса. Пошаговое вычисление определенных интегралов онлайн на сайте Math34.biz. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес Math34.biz всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой — и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре. Непросто будет списать ответ вживую, но вы не унывайте, ведь с вами мы — Math34.biz. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как Math34.biz, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес Math34 — это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку «Решение». Неправда ли — это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь — это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию — Math34.biz — самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта Math34.biz перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

math24.biz

Неопределенный интеграл онлайн. Решение интегралов

Онлайн сервис Math34.su поможет вам рассчитать интеграл онлайн качественно, быстро и бесплатно. Наш сервис отлично заменяет поиск по таблицам нужного интеграла. Достаточно ввести подынтегральную функцию, нажать на кнопку «Решение» и за считанные секунды получите вычисление интеграла в табличном виде. Для ознакомления с сервисом есть выпадающее меню «Примеры» для демонстрации решения интегралов. Это отличная возможность для тех, кто пользуется сервисом впервые, увидеть, как он работает и как происходит решение интеграла на конкретном примере. Не каждый математический сайт способен быстро найти решение интеграла в онлайн режиме, особенно, если стоит задача поиска интеграла от сложной функции или функций, не включенных в математический курс школьников и студентов. С сайтом Math34.su вы всегда получаете точный ответ. Если же вы вычисляете интегралы самостоятельно, то наш сервис поможет вам проверить верность решения, обнаружить ошибку или убедиться в своем безупречном вычислении интегралов. Для тех, кто решает задачи, в которых решение интегралов является вспомогательным действием, наш сервис поможет сэкономить время и силы, ведь зачем тратить усилия на то, что вы уже делали множество раз или то, что не является основным в задаче? Тем более, появляется риск ошибки или описки, которые могут стать причиной неверного конечного итога. Просто воспользуйтесь сервисом Math34.su и вычислите интеграл онлайн без лишних усилий. Преимущества решения интегралов онлайн. Решать интегралы еще никогда не было так просто. Наш онлайн сервис помогает вычислить любой интеграл от функции. Воспользовавшись сайтом Math34.su вы не просто вычислите интеграл онлайн, но и получите подробное и пошаговое решение. Пользоваться нашим онлайн сервисом очень просто. Удобный интерфейс сервиса делает легким и удобным его использование. Решение интегралов – довольно распространенная задача, как в высшей математике, так и во многих других технических науках. Даже простейшую физическую задачу невозможно решить без вычисления интегралов. Поэтому изучать решение интегралов начинают уже со школы, где учат методам и приемам решения таких задач, предоставляются различные таблицы с интегралами элементарных функций. К сожалению, со временем полученные знания забываются, но даже когда они есть – может просто не хватать времени на решение интегралов. В таких случаях вам и придет на помощь наш онлайн сервис, который позволит безошибочно и быстро вычислить любой сложности интеграл онлайнКак решать неопределенный интеграл. Достаточно ввести математическое выражение с x переменной и нажать кнопку «Решение». В выражении вы можете использовать стандартные операции: сложение(+), умножение (*), вычитание (-),деление (/), возведение в степень (^) и математические функции. Через несколько секунд после нажатия кнопки «решение» вы получите пошаговое вычисление интеграла. Решить интеграл означает найти функцию F(x)+C. C – это константа в любом неопределенном интеграле, она добавляется к ответу. F(x) – первообразная функция. Решение интегралов – это не нахождение какой-либо одной функции, а нахождение множества всех первообразных. Если продифференцировать полученное решение интеграла, то всегда получится исходная функция f(x). Решать любой сложности интегралы онлайн. Сложность изучения интегралов еще состоит и в том, что если у производных (нахождение производной – обратный интегрированию процесс) есть только пять правил дифференцирования, четкий алгоритм решения и таблица производных, то интегрирования существует множество способов и приемов. И если изначально вы выберете неверный способ решения интеграла, то мучиться с ним вы будете довольно долго. При ответе вы получите подробное решение, в котором объяснен каждый шаг, применяемые теоремы и свойства. Еще никогда решение интегралов не было таким простым, как с сайтом Math34.su. Особенно понравится пользователям, что сервис абсолютно бесплатный. Большое преимущество сервиса не только в том, что решение выдается пошагово на понятном ученику языке, но и понятен ход процесса вычисления, вам достаточно лишь просмотреть математические преобразования, не вникая в подробные пояснения. Ну, а если вы хотя бы на минимальном уровне знаете математику – то вам будет и вовсе легко.

math24.su

Неопределенный интеграл онлайн

www.matcabi.net позволяет найти неопределенный интеграл онлайн при решении математики. Решить задачу по нахождению неопределенного интеграла в режиме онлайн. Сайт www.matcabi.net позволяет найти неопределенный интеграл почти от любой математической функции онлайн. Правильно решить неопределенный интеграл функции, вычислить неопределенный интеграл от сложной функции — это быстро и легко с нашим сайтом, позволяющим решить неопределенный интеграл онлайн от математических функций. Найти неопределенный интеграл онлайн, при этом получить точный ответ. На сайте www.matcabi.net решение неопределенного интеграла онлайн осуществляется мгновенно. Достаточно ввести заданную функцию, и ответ получите сразу в режиме онлайн. Ввести функцию, определить переменную у неопределенного интеграла, получить мгновенный ответ и найти неопределенный интеграл онлайн от заданной функции. В математике понятие неопределенного интеграла широко применимо, поэтому задачи нахождения неопределенного интеграла онлайн встречаются часто. Не все математические сайты способны находить неопределенные интегралы функций в режиме онлайн быстро и качественно, особенно если требуется найти неопределенный интеграл от сложной функции или таких функций, которые не включены в общий курс высшей математики. Сайт www.matcabi.net поможет найти неопределенный интеграл онлайн и решить поставленную задачу. Используя онлайн решение неопределенного интеграла на сайте www.matcabi.net, вы получите точный ответ. Вы можете находить неопределенные интегралы от сложных математических функций в режиме онлайн. Для практических задач по нахождению неопределенного интеграла функции онлайн этот сервер очень полезен. Решая задачи по нахождению неопределенного интеграла онлайн, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неопределенных интегралов на сайте www.matcabi.net. Необходимо ввести заданную функцию, получить онлайн решение неопределенного интеграла и сравнить ответ с вашим решением. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неопределенный интеграл онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибки в решении и вовремя скорректировать ответ при взятии неопределенного интеграла онлайн от функции.

www.matcabi.net

Конвертировать DOC в XLS онлайн, бесплатно преобразовать .doc в .xls

Расширение файла

.xls

Категория файла

Описание

XLS – представляет собой электронную таблицу, созданную популярным приложением Microsoft Excel. Включает в себя данные документа, которые расположены в ячейках, обладающих определенным адресом. Они могут содержать формулы, математические уравнения, имеющие связь с информацией в других ячейках, и фиксированные сведения. Нередко применяется для разработки графиков и схем. Формат позволяет хранить и редактировать большой круг параметров – изображения, таблицы, макросы, шрифты, диаграммы. Широко использовался до появления версии Excel 2007 года, а затем был заменен на расширение XMLSS. Сведения внутри документа XLS содержатся в серии потоков статичного размера, их месторасположение описывается с помощью нескольких таблиц распределения сегментов. Отличается обратной совместимостью и поддерживает различные форматы файлов, созданных для DOS. Нередко применяется веб-браузерами с целью исключить использование бинарных форматов. Утилита входит в офисный пакет Microsoft и кроме Excel может открываться различными приложениями вроде Apache Open Office, Libre Office, адаптированных к ОС MacOS, Windows или Linux.

Технические детали

Востребованность формата объясняется его простотой, хотя он не поддерживает отдельные функции, например, хранение макросов VBA. Вплоть до появления XMLSS приложение Excel при форматировании применяло расширение Biff, созданное на базе формата-контейнера IFF. Благодаря этому были доступны изменения шаблонов книг и их содержание. После внедрения в 2007 году нового формата программа не утратила свойств обратно совместимой, что гарантирует широкое распространение XLS и в будущем. Впоследствии на смену расширению XLS пришли форматы XLSM, XLSB и XLSX.

onlineconvertfree.com

бесплатный конвертер / конвертер — Официальный сайт

Лучшие бесплатные онлайн Преобразовать

Преобразование мультимедийных файлов онлайн из одного формата в другой. Пожалуйста, выберите целевой формат ниже:

Интернет Преобразовать в

MP3

Интернет Преобразовать в

PDF

Интернет Преобразовать в

MP4

Интернет Преобразовать в

AVI

Интернет Преобразовать в

JPG

онлайн документ конвертер

Интернет Преобразовать в

PDF

Интернет Преобразовать в

Word

Интернет Преобразовать в

Excel

Интернет Преобразовать в

ru.free-converter.com

Как конвертировать XLS в DOC?

Конвертирование XLS в DOC

Конвертирование файла XLS в DOC это процесс, изменяющий форму презентации данных, а не сами данные. Конвертация данных — это процесс, выполняемый для потребностей компьютерной технологий. Нас, как окончательных пользователей, интересует прежде всего содержимое файла. Совсем иначе данные в файлах воспринимают машины. Они не интересуются содержанием, для них важна соответствующая форма, или же презентация данных, так, чтобы они смогли расшифровать их содержимое.

Несмотря на то, что данные в окончательной форме представляют ряды нулей и единиц, они должны быть рядами, упорядоченными таким образом, чтобы были читабельны для определенной аппликации или платформы. Всякий раз, когда данные должны быть переданы дальше, должна произойти их конвертация в формат, читабельный для следующей аппликации — нас интересует целевой формат DOC. Данные, содержащиеся в файле XLS можно конвертировать не только для потребностей следующей аппликации, но также с целью перенесения их в другую компьютерную систему.

Экспорт и импорт данных и мануальная конвертация

Конверсия данных как правило является процессом, в определенных случаях механизированным. Эффект работы одной программы является автоматически входным продуктом следующей аппликации (некоторые аппликации дают автоматическую возможность записывать работу, проведенную с файлом XLS в формат DOC — ЭКСПОРТ данных) После выполнения экспорта, мы можем простым методом провести ИМПОРТ этих данных в другую аппликацию. Если нет такой возможности, мы можем попробовать самостоятельно провести процесс конвертирования XLS в DOC. Чтобы язык машин совпадал, необходимо использовать соответствующий конвертатор. Список программ для интересующего Вас конвертирования Вы найдете вверху этой страницы. Конвертатор файла — это транслятор бинарного кода, нивелирующий разницу в коде или проводящий его правильный перевод таким образом, чтобы другая машина или программа поняла его. Для нас, как пользователей, заметным изменением будет только иное расширение файла — DOC вместо XLS. Для машин и программ — это разница между пониманием содержания файла, и отсутствием возможности его прочтения.

ru.thefile.org

Тригонометрические функции — это… Что такое Тригонометрические функции?

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции

• синус (sin x)
• косинус (cos x)

производные тригонометрические функции

• тангенс (tg x)
• котангенс (ctg x)

другие тригонометрические функции

• секанс (sec x)
• косеканс (cosec x)

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми вещественнозначными функциями. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ±πn + π/2, а котангенс и косеканс — в точках ±πn.

Способы определения

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок).

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — вещественное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом угла α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
• Косинусом угла α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
• Тангенсом угла α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему).
• Котангенсом угла α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему).
• Секансом угла α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
• Косекансом угла α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями , то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где

 — числа Бернулли,

 — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Значения тригонометрических функций прочих углов  

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции  — периодические с периодом 2π, функции и  — c периодом π.

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

Некоторые формулы приведения:

Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

Формулы тройного угла:

Прочие формулы для кратных углов:

следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции

Формулы половинного угла:

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени

Суммы

Для функций от аргумента существует представление:

где угол находится из соотношений:

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

Тригонометрические функции комплексного аргумента

Определение

Формула Эйлера:

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

где

Соответственно, для вещественного x,

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

• комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
• все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

История названий

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современные краткие обозначения sin и cos введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

См. также

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
• Г. Б. Двайт Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.

Ссылки

dic.academic.ru

Применение тригонометрических функций

История тригонометрических функций

Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.
Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.
Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном. В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга. Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические как функции числового аргумента.
В1770 г. появилось и удерживается до наших дней название Тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе “Аналитическая тригонометрия”.

 Определение и графики тригонометрических функций

1. Тригонометрические функциипредставляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс,котангенс, секанси косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.
3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OMи положительным направлением оси Ox равен α.

   Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r: 
   sinα=y/r. 
   Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

   Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r: 
   cosα=x/r 

   Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x: 
   tanα=y/x,x≠0 

   Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y: 
   cotα=x/y,y≠0 

   Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y): 
   secα=r/x=1/x,x≠0 

   Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y): 
   cscα=r/y=1/y,y≠0 

   В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом: 
   Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 
   Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. 
   Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему. 
   Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему. 
   Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету. 
   Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету. 

   График функции синус 
   y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1 

   График функции косинус 
   y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

4.  

ya-znau.ru

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — это… Что такое ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ?

класс элементарных функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно: sin x,cos x, tg x,ctg x, sec x,cosec x.
Тригонометрические функции действительного аргумента. Пусть А — точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице, — угол между осью абсцисс и вектором ОА, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс (рис. 1). При этом если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке — отрицательной, т. е. — полярный угол точки А.

Если — прямоугольные декартовы координаты точки А, то Т. ф. синус и косинус определяются формулами

Остальные Т. ф. могут быть определены формулами

Все Т. ф.- периодические функции. Графики Т. ф. даны на рис. 2.

Основные свойства Т. ф.: область определения, множество значений, четность и участки монотонности приведены в табл.

Каждая Т. ф. в каждой точке своей ооласти определения непрерывна и бесконечно дифференцируема; производные Т. ф.:

Интегралы от Т. ф.:

Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды:

при

при

при 0 < |х|< (B_n — числа Бернулли).
Функция y=sinx, являющаяся обратной по отношению к функции z=sin у, определяет . как многозначную функцию от х’, она обозначается y=Arcsin x. Аналогично определяются функции, обратные по отношению к другим Т. ф.; все они наз. обратными тригонометрическими функциями.
Тригонометрические функции комплексного переменного. Т. ф. для комплексных значений переменного z=x+iy определяются как аналитические продолжения соответствующих Т. ф. действительного переменного в комплексную плоскость.
Так, sinz и cosz можно определить с помощью рядов для sinxи cos х. Эти ряды сходятся во всей плоскости, поэтому sinz и cosz- целые функции.
Т. ф. тангенс и котангенс определяются формулами

Т. ф. tg z и ctg z — мероморфнае функции. Полюсы tg zпростые (1-го порядка) и находятся в точках полюсы ctg z также простые и находятся в точках
Все формулы, справедливые для Т. ф. действительного аргумента, остаются справедливыми и для комплексного аргумента.
В отличие от Т. ф. действительного переменного, функции sin zи cos z принимают все комплексные значения: уравнения sin z=a и cos z=a имеют решения для любого комплексного а:

Т. ф. tg z и ctg z принимают все комплексные значения, кроме уравнения tg z=o, ctg z=a имеют решения для любого комплексного числа

Т. ф. можно выразить через показательную функцию:

и гиперболические функции:sin z=-.sh iz, cos z=chiz, tg z =- i th iz.

В. И. Битюцков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

dic.academic.ru

10 секретных тригонометрических функций, о которых вам никогда не рассказывали

Существует 10 секретных тригонометрических функций, о которых вы никогда не слышали, и у них восхитительные названия, такие как гаверсинус и эксеканс.

Рис. 1. Здесь изображена единичная окружность и более чем изобилие тригонометрических функций. (Известны максимум 8 тригонометрических функций). Знакомые синус, косинус и тангенс отмечены синим, красным, и желтовато-коричневым, соответственно. Версинус отмечен зеленым рядом с косинусом и розовым эксекансом справа от версинуса. Экскосеканс и синус-коверсус также имеются на рисунке. Не обозначены веркосинус, косинус-коверсус и все, что с гавер.

Если вы хотите помучить студентов этим и ввернуть интересные слова в разговор, чтобы показаться эрудированным и/или невыносимым, вот определения всех “забытых тригонометрических функций’’:

версинус: ,
веркосинус: ,
синус-коверсус: ,
косинус-коверсус: ,
гаверсинус: ,
гаверкосинус: ;
когаверсинус: ,
когаверкосинус: ,
эксеканс: ,
экскосеканс: .

Нужно признаться, что испытываешь некоторое разочарование, когда видишь это. Эти функции — простые комбинации добрых старых синуса и косинуса. Почему же они получили собственные названия?! Для того времени и места, где я могу сидя на диване найти синус любого угла с точностью до 100 десятичных знаков почти мгновенно с помощью онлайн калькулятора, версинус не нужен. Но эти кажущиеся избыточными функции были необходимы в докалькуляторном мире.

В темные докалькуляторные дни люди использовали логарифмы для умножения больших чисел. Сначала давайте вспомним, что такое логарифмы. Равенство означает, что . Например, , так что . Применение логарифмов удобно, поскольку . Другими словами, логарифмы переводят умножение в сложение. Если вы хотите перемножить два числа с помощью таблицы логарифмов, вы найдете в ней логарифмы обоих чисел и затем их сложите. Тогда по таблице логарифмов вы найдете число, которое имеет полученный логарифм, и это будет ответ. Это сейчас кажется громоздким, но умножение вручную требует гораздо больше операций. Когда каждая операция занимает некоторое количество времени (и дает некоторую ошибку), процедура, которая конвертирует умножение в сложение, экономит время и может помочь увеличить точность вычислений.

Секретные тригонометрические функции, подобно логарифмам, упрощали расчеты. Версинус и гаверсинус использовались чаще всего. Если угол близок к нулю, его косинус очень близок к . Если в вычислениях имеется , то ответ может быть неправильным, если в вашей таблице косинусов не хватает значащих цифр. Для примера, косинус равен , а . Разность . Если у вас в таблице косинусов три значащих цифры, вы получите только одну значащую цифру в вашем результате, из-за нулей в разности. И таблица только с тремя значащими цифрами не покажет различия между углами и . Во многих случаях это не имеет значения, но это может быть проблемой, если ошибка появляется в процессе вычислений.

Дополнительные тригонометрических функции также имеют то преимущество, что они всегда неотрицательны. Версинус принимает значения от до , так что если вы используете для умножения таблицы логарифмов с версинусом, вам не придется беспокоиться о том, что для отрицательных чисел логарифм не определен. (Он не определена и для , но с этим случаем легко справиться). Еще одно преимущество версинуса и гаверсинуса состоит в том, что они могут избавить от необходимости возводить в квадрат. Немного тригонометрической мудрости (типа запоминания одной тригонометрической формулы из их бесконечного списка, который вы изучали в школе) показывает, что . Таким образом, гаверсинус — это всего лишь . Аналогично, гаверкосинус — это . Если в ваших вычислениях есть квадраты синуса или косинуса, вы можете использовать таблицы гаверсинуса или гаверкосинуса, и вам не придется возводить в квадрат или извлекать квадратные корни.

Рис. 2. На рисунке показаны синус, косинус и версинус угла.

Версинус определяется довольно очевидным образом и, кажется, использовался еще в 400 г. н.э. в Индии. Но гаверсинус, возможно, играл более важную роль в новейшей истории, когда его применяли в навигации. Формула гаверсинуса дает очень точный способ вычисления расстояния между двумя точками на поверхности сферы, у которых известны широта и долгота. Формула гаверсинуса является переформулировкой сферической теоремы косинусов, но именно эта формулировка более полезна для малых углов и расстояний. (С другой стороны, формула гаверсинуса дает плохой результат для углов, близких к , для которых хорошо работает сферическая теорема косинусов). Формула гаверсинуса может дать точные результаты, не требуя больших вычислительных затрат на операции возведения в квадрат и извлечения квадратных корней. Совсем недавно, в 1984 году, любительский астрономический журнал Sky & Telescope пел хвалу формуле гаверсинуса, которая полезна не только для наземной навигации, но и для астрономических расчетов. Более подробно об этой формуле и вычислении расстояний на сфере читайте здесь.

Об истории других тригонометрических функций из приведенного списка информации меньше. Они помогали делать более точными расчеты вблизи определенных углов, но некоторые из них широко использовались, а другие были названы по аналогии с ними, но применялись редко. Может быть, кто-то из вас знает об этом больше. Пишите.

В таблице секретных тригонометрических функций , “ha’’, очевидно, означает половину (от английского слова half), например, гаверсинус составляет половину версинуса. “Co’’ означает те же функции, но от дополнительного угла. (Дополнительный угол — это угол, в сумме с данным дающий . В прямоугольном треугольнике два острых угла являются дополнительными друг для друга). Например, косинус угла является синусом дополнительного угла. Аналогично синус-коверсус является версинусом дополнительного угла. Он обозначен светло-голубым над одним из красных синусов на рис. 1.

Вот только немного смущает веркосинус. Если “co’’ означает дополнительный угол, то веркосинус будет таким же, как коверсинус, а это не так. Вместо этого веркосинус является версинусом смежного угла (сумма смежных углов равна ), а не дополнительного. В дополнение к определениям через и версинус и веркосинус могут быть определены как и . В случае версинуса, возможно, определение с участием старше, чем определение с участием квадрата синуса. Возможно, кто-то из вас знает об этом больше.

В любом случае, таблица сверхсекретных дополнительных тригонометрических функций является веселым упражнением для выяснения, что значат префиксы.

Источник: http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/09/12/10-trig-functions-youve-never-heard-of/

hijos.ru

Тригонометрия — это… Что такое Тригонометрия?

Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии^[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

В Школе СССР имела статус учебного предмета.

Определение тригонометрических функций

Тригонометрические функции угла θ внутри единичной окружности

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
• Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
• Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

История

Древняя Греция

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.

Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.

Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».

Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93 предложение «Данных» Евклида.

Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.

Средневековая Индия

Другие источники сообщают, что именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

Индийцы также знали формулы для кратных углов , , где .

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

В 8 в. учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

См. также

Примечания

1. ↑ Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1982.

dic.academic.ru

Тригонометрия — Википедия

Тригономе́трия (от греч. τρίγωνον (треугольник) и греч. μέτρεο (меряю), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии^[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли).

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Древняя Греция[править]

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме. Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sinα/sinβ < α/β < tgα/tgβ, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.

Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».

Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93-е предложение «Данных» Евклида.

Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения в их существовании.

Средневековая Индия[править]

Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

Индийцы также знали формулы для кратных углов где

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в XVI веке добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

С VIII века учёные стран Ближнего и Среднего Востока развили тригонометрию своих предшественников. В середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

Определение тригонометрических функций[править]

Тригонометрические функции угла θ внутри единичной окружности

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
• Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
• Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

Свойства функции синус[править]

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: .
2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: = [−1;1].
3. Функция является нечётной: .
4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен : .
5. График функции пересекает ось Ох при .
6. Промежутки знакопостоянства: при и при .
7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
8. Функция возрастает при , и убывает при .
9. Функция имеет минимум при и максимум при .

Свойства функции косинус[править]

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: .
2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: = [−1;1].
3. Функция является чётной: .
4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен : .
5. График функции пересекает ось Ох при .
6. Промежутки знакопостоянства: при и при
7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
8. Функция возрастает при и убывает при
9. Функция имеет минимум при и максимум при

Свойства функции тангенс[править]

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: , кроме чисел
2. Множество значений — множество всех действительных чисел:
3. Функция является нечётной: .
4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен : .
5. График функции пересекает ось Ох при .
6. Промежутки знакопостоянства: при и при .
7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения:
8. Функция возрастает при .

Свойства функции котангенс[править]

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: кроме чисел
2. Множество значений — множество всех действительных чисел:
3. Функция является нечётной:
4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен :
5. График функции пересекает ось Ох при
6. Промежутки знакопостоянства: при и при
7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения:
8. Функция убывает при

Применение тригонометрии[править]

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Стандартные тождества[править]

Тождества — это равенства, справедливые при любых значениях входящих в них переменных.

Формулы преобразования суммы углов[править]

В следующих тождествах, A, B и C являются углами треугольника; a, b, c — длины сторон треугольника, лежащие напротив соответствующих углов.

Теорема синусов[править]

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника

где  — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов[править]

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами и углом , противолежащим стороне ,

или:

Теорема тангенсов[править]

Формула Эйлера[править]

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа выполнено следующее равенство:

где  — основание натурального логарифма,  — мнимая единица. Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера:

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением.

Решение простых тригонометрических уравнений[править]

Если  — вещественных решений нет.

Если  — решением является число вида

Если  — вещественных решений нет.

Если  — решением является число вида

Решением является число вида

Решением является число вида

Сферическая тригонометрия[править]

Важным частным разделом тригонометрии, используемым в астрономии, геодезии, навигации и других отраслях, является сферическая тригонометрия, рассматривающая свойства углов между большими кругами на сфере и дуг этих больших кругов. Геометрия сферы существенно отличается от евклидовой планиметрии; так, сумма углов сферического треугольника, вообще говоря, отличается от 180°, треугольник может состоять из трёх прямых углов. В сферической тригонометрии длины сторон треугольника (дуги больших кругов сферы) выражаются посредством центральных углов, соответствующих этим дугам. Поэтому, например, сферическая теорема синусов выражается в виде

и существуют две теоремы косинусов, двойственные друг другу.

1. ↑ Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1982.
2. ↑ Boyer. Greek Trigonometry and Mensuration // . — 1991. — P. 162.

английская

• Boyer Carl B. A History of Mathematics. — Second Edition. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — ISBN 0-471-54397-7.
• Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
• Weisstein, Eric W. «Trigonometric Addition Formulas». Wolfram MathWorld. Weiner.

www.wiki-wiki.ru

sin 2x = 1 решение

Добрый вечер!
Уравнения вида, которое вы предоставили, не такое трудное, как Вам могло показаться. Давайте попробуем решить Ваше уравнение sin 2х = 1. Но первым делом нам следует подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло, так как вид особо не изменился. Но чтоб решать такие уравнения, то надо использовать известное правило, которое выглядит так: 

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

Но у нас будет не просто х, а двойной:  

Значение  мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что 
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

Чтоб найти х надо каждый член поделить на два и из этого получим следующее:

Ответ:

ru.solverbook.com

sin 2x = 1/2 решение

Доброй ночи!
Уравнения вида, которое вы предоставили, не такое трудное, как Вам могло показаться. Давайте попробуем решить Ваше уравнение sin 2х = 1/2. Но первым делом нам следует подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло, так как вид особо не изменился. Но чтоб решать такие уравнения, то надо использовать известное правило, которое выглядит так: 

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

Но у нас будет не просто х, а двойной:  

Значение  мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что 
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

Чтоб найти х надо каждый член поделить на два и из этого получим следующее:

Ответ:

ru.solverbook.com

sin^2 x+sin^2 2x=1 решение

Добрый день!
да, тригонометрия — не Ваш конёк, но мы попробуем с этим разобраться. Вы попросили объяснить такой пример: sin^2 x+sin^2 2x=1 решение. Это не так сложно, как может показаться.
Первым делом запишем это уравнение в нормальном красивом математическом виде и получим: 

Теперь попробуем упростить, чтоб решить. Для этого нам понадобятся формулы тригонометрии, с которыми вы уже должны были знакомиться.
Заменим наши составляющие таким образом: 

И получим следующее: 

Выполним перенос известного в одну сторону, а неизвестного — в другую с изменением знаков: 

Домножим обе части уравнения на «-1»:

Теперь давайте выполним такие замены: 

И получим: 

Упростим, раскрыв скобки: 

Мы с Вами можем увидеть тут квадратное уравнение, и по-этому выполним замену:

и получим: 

И теперь будем решать обычное квадратное уравнение: 

Теперь выполним обратную замену и получим, что: 

По основным правилам решения таких уравнений. у нас получается, что: 

Вот и всё! Удачи Вам

ru.solverbook.com

2 * sin (x / 2) = 1 – cos x

Задача.
Решить уравнение:
2 * sin (x / 2) = 1 — cos x.

Решение.
В уравнении присутствуют две разные функции, причем от разных аргументов, которые отличаются в 2 раза — х и х / 2. Когда в уравнении присутствуют подобные аргументы, далее обращаются к формулам половинного или двойного аргументов. Выберем из названных формул такую, которая поможет перейти в уравнении к одной функции. Такой формулой может быть формула синуса половинного угла:

Обратим внимание на правую часть уравнения и правую часть формулы. Выразим из формулы выражение и подставим в уравнение его значение:

Сократим уравнение на постоянное число 2:

Перенесем все в правую часть:

Решение уравнения сведем к решению двух простых уравнений. Для этого вынесем общий множитель синус за скобки:

Решим первое уравнение:

Его решение запишем из таблицы значений синуса:

Для получения полного решения нужно выразить значение переменной х:

Решим второе уравнение:

Его решение также запишем из таблицы:

Выразим значение переменной х:

Значение числа может быть любым из целых чисел.

Ответ. и , — любое из целых чисел.

ru.solverbook.com

Центральный и вписанный угол, свойства

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: .

2. Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .

Мы знаем, что .
Отсюда ,
.

Ответ: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

3. Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
Тогда дуга равна , а дуга равна .
Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .

Ответ: .

4. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки ?»
Представьте, что вы сидите в точке и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде . Так, как будто хорда — это экран в кинотеатре 🙂
Очевидно, что найти нужно угол .
Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть

Отсюда , и тогда вписанный угол опирается на дугу, равную .
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол равен .

Ответ: .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Углы | Математика

Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.

Определение угла. Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.

Стороны угла. Пересекающиеся линии называются сторонами угла.

Вершина угла. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла. Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.

Название угла. a) Углы называют буквой, стоящей при вершине; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.

На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC — две стороны, а точка B — вершина угла.

Таким образом угол ABC есть угол B или

угол ABC = углу B.

Знак угла. Слово угол заменяют иногда знаком ∠.

Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:

∠ABC = ∠B

В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.

На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.

Прилежащие углы. Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.

Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.

Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14

уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD < уг. ABD.

Чтобы иметь понятие о взаимной величине двух углов, имеющих разные вершины, накладывают один угол на другой. При наложении совмещают их вершины и по одной стороне, тогда направление другой стороны даст возможность сравнивать их величину. Чтобы сравнить два угла ABC и DEF (черт. 15), накладывают угол DEF на угол ABC так, чтобы сторона EF пошла по стороне BC, точка E совмещалась с точкой B; тогда сторона ED может занять три положения: она может совпасть со стороной BA, упасть внутри и вне угла ABC.

a) Если линия ED совпадет с линией BA, углы называются равными

уг. ABC = уг. DEF.

b) Если линия ED упадет внутри угла ABC и займет положение BG, угол ABC будет больше угла DEF

уг. ABC > уг. DEF.

c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF

уг. ABC < уг. DEF.

Сложение, вычитание, умножение и деление углов. Два прилежащих угла ABC и CBD (чер. 14) образуют один угол ABC. Угол ABD называется суммой углов ABC и CBD. Это выражают письменно равенством:

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)

Из равенства (а) вытекает равенство:

∠ABC = ∠ABD — ∠CBD

∠CBD = ∠ABD — ∠ABC,

т. е. угол ABC есть разность углов ABD и CBD, и угол CBD есть разность углов ABD и ABC.

Углы можно складывать и вычитать.

Если при точке O (черт. 16) находится несколько равных прилежащих углов, т. е. если

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,

то угол AOC, равный сумме углов AOB и BOC равен двум углам AOB,

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, след. ∠AOC = 2AOB.

Угол AOD равен трем углам AOB

AOD = 3AOB.

Обратно, угол AOB составляет половину угла AOC, треть угла AOD, четверть угла AOE.

AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.

Отсюда выводим, что углы как величины можно не только складывать и вычитать, но также умножать и делить на отвлеченное число.

Если из двух прилежащих углов ACD и DCB (чер. 17) две стороны CA и CB лежат на одной прямой, их называют смежными.

Смежные углы. Смежными называются такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой.

Если линия CD, поворачиваясь около точки C, займет положение CE, то угол ACD уменьшаясь обратится в угол ACE, а угол BCD увеличиваясь обратится в угол BCE. Линия CD, продолжая поворачиваться, может принять такое положение, что два смежных угла сделаются равными. Когда два смежных угла ACD и DCB равны (чер. 18), их называют прямыми углами.

В этом случае линия CD называется перпендикулярной к линии AB или просто перпендикуляром к линии AB.

На чертеже 19 начерчен один прямой угол без другого смежного с ним.

Прямой угол есть один из равных смежных углов.

Перпендикуляр есть прямая линия, образующая с другой линией прямой угол.

На чертеже 18 углы ACD и DCB, оставаясь смежными и равными, получают название прямых углов. Линия DC будет перпендикулярной к линии AB. Такое взаимное отношение двух линий выражают иногда письменно: CD ⊥ AB.

Так как линия AB будет также перпендикулярна к линии CD, то линия AB и CD будут взаимно-перпендикулярны, т. е. если CD ⊥ AB, то и AB ⊥ CD.

Подошва перпендикуляра. Точка взаимной встречи двух перпендикулярных линий называется подошвою перпендикуляра.

Точка C (чер. 18) есть подошва перпендикуляра CD.

В каждой точке линии AB можно провести перпендикуляр к линии AB.

Провести перпендикуляр к линии (AB) из точки, лежащей на линии, значит восставить перпендикуляр. Провести же перпендикуляр (DC) к линии (AB) из точки (D), лежащей вне прямой, значит опустить перпендикуляр (черт. 18).

Наклонная линия. Всякая линия неперпендикулярная к другой называется линией наклонною к ней.

На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.

Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.

Острый угол есть всякий угол меньше прямого, а тупой угол есть угол больший прямого.

Одноименные и разноименные углы. Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.

Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.

Теорема 3. Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.

Дана прямая AB и на ней точка C (черт. 20).

Требуется доказать, что можно к ней восставить только один перпендикуляр.

Доказательство. Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра

уг. DCB = уг. ACD (a)
уг. BCE = уг. ACE.

Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство

уг. BCE + уг. ECD > уг. ACE, или уг. BCD > уг. ACE.

Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим

уг. DCA > уг. ACE,

неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.

Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.

Теорема 4. Все прямые углы равны.

Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).

Требуется доказать, что прямые углы равны.

Доказательство. Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.

Заключение. Прямой угол есть величина постоянная.

Мера углов. При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.

В таком случае
всякий острый угол < d,
всякий тупой угол > d.

Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.

Теорема 5. Сумма двух смежных углов равна двум прямым.

Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).

Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.

Доказательство. Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда

ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = ECB — ECD = d — ECD

Сложив эти равенства, имеем:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (что и требовалось доказать).

Два смежных угла пополняют один другой до двух прямых и потому называются углами дополнительными.

Из теоремы 5 вытекает следствие. Одна пара смежных углов равна другой паре смежных углов.

Теорема 6 (обратная теореме 5). Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.

Пусть сумма двух прилежащих углов ACD и DCB равна двум прямым (черт. 23).

ACD + DCB = 2d.

Требуется доказать, что ACB прямая линия.

Доказательство. Допустим, что ACB есть ломаная линия и что продолжение линии AC будет линия CE, тогда

ACD + DCE = 2d

Две величины равные одной и той же третьей равны (аксиома 3), следовательно

ACD + DCB = ACD + DCE

откуда выходит при сокращении

DCB = DCE

заключение нелепое (часть равна целому, см. акс. 1), следовательно линия ACB есть прямая линия (что и требовалось доказать).

Теорема 7. Сумма углов, имеющих вершину в одной точке и расположенных по одну сторону прямой линии, равна двум прямым.

Даны углы ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имеющие общую вершину в точке C и расположенные по одну сторону прямой AB (черт. 24).

Требуется доказать, что

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Доказательство. МЫ знаем, что сумма двух смежных углов ACF и FCB равна двум прямым (т. 5).

ACF + FCB = 2d.

Так как ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, то заменяя углы ACF и FCB их величинами, находим:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (что и требовалось доказать).

Теорема 8. Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.

Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).

Требуется доказать, что

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Доказательство. Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда

EOA + AOG = 2d.

Точно также

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Сложив эти равенства, имеем:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Так как AOG + GOB = AOB, то

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).

Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).

Вертикальные углы. Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.

Теорема 9. Вертикальные углы равны между собой.

Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.

Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.

Доказательство. На основании теоремы 5 имеют место равенства:

ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов)
BCD + DCE = 2d

следовательно,

ACB + BCD = BCD + DCE

откуда, отняв по равному углу BCD, находим

ACB = DCE.

Подобным же образом доказывают, что

∠BCD = ∠ACE.

Равносекущая (биссектриса) есть линия, делящая угол пополам.

На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.

Теорема 10. Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.

Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.

Требуется доказать, что EC ⊥ CF.

Доказательство. По условию

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Сложив эти равенства, имеем:

ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

Так как ACB + BCD = 2d, то

ECB + BCF = ½ · 2d = d.

Так как ECB + BCF = ECF, то

ECF = d

Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).

maths-public.ru

Определение угла | Треугольники

Что такое угол? Введём определение угла.

Определение.

Угол — это геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки.

Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.

Например, вершина угла BAC — точка A, стороны — лучи AB и AC.

Знак угла — ∠ — представляет собой уменьшенное изображение угла.

Запись «∠ABC» читают как «угол ABC».

Угол можно назвать одной или тремя буквами. Если буква одна, то это — вершина угла. Если букв три, то вершина вершина должна стоять посередине, а по бокам — точки, лежащие на сторонах угла:

∠B или ∠ABC или ∠CBA.

Другой способ определить угол: по названию лучей — сторон угла.

∠(a; b) — угол, стороны которого — лучи a и b.

Обозначают угол дужкой.

Два угла называются равными, если они могут быть совмещены так, что совпадут их соответствующие стороны и вершины.

∠BAC=∠MNK.

Равные углы обозначают равным количеством дужек.

Единицы измерения углов — градусы и радианы.

1 градус (1º) равен 1/180 доле развёрнутого угла.

Градусную меру угла измеряют с помощью транспортира.

1 радиан — величина центрального угла, опирающегося на дугу окружности, равной её радиусу.

Наглядное представление об угле в 1 радиан можно получить, если отрезать кусок нити длиной, равной радиусу окружности, и приложить эту нить к окружности. Центральный угол, опирающийся на полученную дугу, — это и есть угол в один радиан:

∠ABC=1 радиану

1 радиан ≈ 57º,   π радиан=180º.

Основные свойства измерения углов:

Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля.

Развёрнутый угол равен 180 градусам.

Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые они разбиваются любым лучом, проходящим между его сторонами.

Иногда угол определяют как часть плоскости, заключённую между двумя лучами с общим началом.

В тех случаях, когда угол рассматривают как меру поворота луча вокруг его начала до заданного положения, величина угла может принимать любые значения, в зависимости от направления поворота как положительные, так и отрицательные.

www.treugolniki.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия

      Углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи,ограничивающие угол, называют сторонами угла. Точку, из которой выходят лучи, называют вершиной угла.

      Схему обозначения углов рассмотрим на примере угла, изображенного на рисунке 1.

Рис.1

      Изображенный на рисунке 1 угол можно обозначить тремя способами:

      Углы называют равными углами, если их можно совместить.

      Если при пересечении двух прямых образуются четыре равных угла, то такие углы называют прямыми углами (рис.2). Пересекающиеся прямые линии, образующие прямые углы, называют перпендикулярными прямыми.

Рис.2

      Если через точку A, не лежащую на прямой l, проведена прямая, перпендикулярная к прямой l и пересекающая прямую l точке B, то говорят, что из точки B опущен перпендикупяр AB на прямую l (рис.3). Точку B называют основанием перпендикуляра AB.

Рис.3

      Замечание. Длину отрезка AB называют расстоянием от точки A до прямой l.

      Углом в 1° (один градус) называют угол, составляющий одну девяностую часть прямого угла.

      Угол, в k раз больший угла в 1°, называют углом в k° ( k градусов).

      Углы измеряют также и в радианах. О радианах можно прочитать в разделе нашего справочника «Измерение углов. Градусы и радианы».

Таблица 1 – Типы углов в зависимости от величины в градусах

Таблица 2 – Типы углов в зависимости расположения сторон

      Определение. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

      Задача. Доказать, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

      Решение. Рассмотрим рисунок 4.

Рис.4

      На этом рисунке углы AOB и BOC – смежные, а лучи OE и OD – биссектрисы этих углов. Поскольку

2α + 2β = 180°.

то

α + β = 90°,

что и требовалось доказать.

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Определение центрального угла

Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.

Центральный угол рассматривается вместе со своей внутренней областью – одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость. Измеряется в пределах \([0^{\circ}; 360^{\circ}]\).

Определение градусной меры дуги окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).

$$ \overset{\smile}{AB}=\angle AOB $$

Определение вписанного угла

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.

Вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).

Теорема о вписанном угле

Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$

Угол, опирающийся на диаметр

Угол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.

\( \angle{ACB}=90^{\circ} \Leftrightarrow \) \(AB\) – диаметр

Признак вписанного четырёхуольника

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^{\circ}\), то этот четырёхугольник вписанный.

\(\angle{A}+\angle{C}=180^{\circ} \Rightarrow ABCD\) – вписанный

Угол, образованный хордами

Градусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{CD}\right) $$

Угол, образованный касательной и хордой

Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$

Угол с вершиной на окружности

Пусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{BC}\right) $$

Угол с вершиной в круге

Градусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.

\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) + дуга\(_2 )\)

Угол, образованный секущими

Градусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{CD}\right) $$

Угол, образованный касательными

Градусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{ACB}-\overset{\smile}{ADB}\right) $$

Угол, образованный касательной и секущей

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right) $$

Признак касания прямой и окружности

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right) $$

Угол с вершиной вне круга

Если вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) – дуга\(_2 )\)

tmath.ru

Виды углов. Измерение углов

На каждом из рисунков 82, a − г изображены два луча. На каком из рисунков пара лучей образует угол, сторонами которого являются эти лучи?

Поскольку на рисунках 82, а − в начала лучей не совпадают, то они не могут служить сторонами угла. Лучи на рисунке 82, г образуют прямую. При этом начала лучей совпадают, а следовательно, они образуют угол. Такой угол называт развернутым.

Угол, стороны которого образуют прямую, нахывают развернутым.

Углы, как и отрезки, можно измерять. Напомним, что для измерения отрезков мы использовали единичный отрезок (1 мм, 1 см и т.п.).

Однако для измерения углов мы пока не имеем такого единичного угла.

Создать его можно, например, так. Разделим развернутый угол на 180 равных углов (рис. 83). Угол, образованный двумя соседними лучами, выбирают за единицу измерения. Его величину называют градусом (от лат. gradus − «шаг», «ступенька») и записывают 1°.

Измерить угол − значит подсчитать, сколько единичных углов в нем помещается.

Тогда величина или, как еще принято говорить, градусная мера развернутого угла равна 180°.

Для измерения углов используют специальный прибор − транспортир (рис. 84). Он состоит, как правило, из полукольца, соединенного с линейкой. Его шкала содержит 180 делений.

Чтобы измерить угол, совместим его вершину с центром транспортира таким образом, чтобы одна из сторон угла прошла по линейке (рис. 85).

Тогда штрих на шкале, через который пройдет вторая сторона, укажет градусная (величину) этого угла.

Так, на рисунке 85 градусная мера угла AOB равна 55°. Пишут: ∠AOB = 55°. На рисунке 86 имеем: ∠MON = 134°.

Равные углы имеют равные градусные меры. Из двух неравных углов бОльшим будем считать тот, градусная мера которого больше. Например, из трех углов, изображенных на рисунке 87, ∠MON − наибольший. В этом легко убедиться, измерив углы транспортиром.

Величина угла обладает следующим свойством.

Если между сторонами угла ABC провести луч BD, то градусная мера угла ABC равна сумме градусных мер углов ABD и DBC (рис. 88), т.е.

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.

Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым (рис. 89, a).

Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым (рис. 89, б).

На рисунке прямой угол обозначает так: ∟.

Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180° называют тупым (рис. 89, в).

Отметим, что биссектриса развернутого угла делит его на два угла, градусная мера каждого из которых равна 90°. Следовательно, биссектриса развернутого угла делит его на два прямых угла (рис. 90).

Пример 1. Дан луч OA. Постройте угол BOA, равный 72°.

Решение.

Совместим центр транспортира с точкой O так, чтобы луч OA прошел по линейке. Выберем на кольце транспортира штрих, который соответствует 72°. Возле этого штриха отметим точку B (рис. 91). Проведем луч OB. Угол BOA − искомый.

Если дан луч OA и построен угол BOA, то говорят, что от луча OA отложен угол BOA.

Пример 2. Из вершины угла ABC проведены два луча BK и BM так, что ∠ABK = 48°, ∠CBM = 72° (рис. 92).

Вычислите величину угла ABC, если ∠MBK = 16°.

Решение.

Имеем: ∠ABM = ∠ABK − ∠MBK, ∠ABM = 48° − 16° = 32°;

∠ABC = ∠ABM + ∠СBM, ∠ABC = 32° + 72° = 104°.

Ответ: 104°.

reshalka.com

Чему равен вписанный угол | Треугольники

Выясним, чему равен вписанный угол окружности и как его величина связана с величиной центрального угла.

Теорема

(О вписанном угле)

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Дано: окружность (O; R),

∠ABС — вписанный,

∠AOС — центральный.

Доказать:

Доказательство:

1) Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.

В треугольнике AOB OA=OB (как радиусы). Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, у него углы при основании равны:∠ABO=∠BAO.

∠AOC — внешний угол треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

∠AOC=∠ABO+∠BAO=2∙∠ABO. Отсюда, 

2) Если центр окружности лежит между сторонами угла.

Проведем из вершины вписанного угла ABC диаметр BF.

Аналогично, ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

∠FOC — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

3) Если центр окружности лежит вне угла.

Проведем диаметр BF.

∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

∠СOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если центральный угол AOC меньше либо равен 180º, то градусная мера дуги AC равна градусной мере центрального угла AOC:

Если центральный угол AOC больше 180º, то градусная мера дуги AC равна 360º-∠AOC.

Таким образом, сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.

Другая формулировка теоремы о вписанном угле:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

www.treugolniki.ru

Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва. Контрольные онлайн

Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.

Пример 1.
Функция не определена в точках , уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.
Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках .
.
.
Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
;
.
Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
Пример 2 Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, так как , , , т.е. правый и левый пределы в нуле не равны между собой и не равны значению функции в нуле, нарушены 2 и 3 условия непрерывности. Так как правый и левый пределы в нуле существуют и конечны, то это разрыв I рода.
Пример 3 Функция неопределена в нуле, следовательно , – точка разрыва.
Так как и , то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.

Функция  является элементарной, поэтому она непрерывна в области её определения. В область определения не входят  точки , , , следовательно, они являются точками разрыва данной функции.
   Определим тип точек разрыва.
   1) .
;
.
   Так как , то точка  является точкой
разрыва второго рода функции .
   2) .
;

.
Односторонние пределы функции в точке  равны, но функция при  не определена, следовательно,  является устранимой точкой разрыва первого рода.
3) .
Так как заданная функция является четной функцией, то, очевидно, что
,  и  является точкой разрыва второго рода функции .
Для построения эскиза графика функции исследуем поведение функции при
 и . Так как функция четная, то
.
Построим эскиз графика функции .

www.matem96.ru

точки разрыва — 30 Мая 2013 — Примеры решений задач

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

 1) Функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x=a, если в этой точке

• Существуют левосторонний предел    и правосторонний предел ;
• Эти односторонние пределы конечны.
• Если односторонние пределы конечны и равны, то x=a  называется  точкой устранимого разрыва первого рода

2) Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x=a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Калькулятор для исследования точек разрыва функции.

Калькулятор находит левый и правый пределы функции в точке разрыва, а также строит схематический чертеж в точке разрыва.

 Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность, определить точки разрыва, выполнить схематический чертеж функции в точке разрыва

Решение. Не трудно заметить, что исследовать на непрерывность необходимо точку x = -1 (знаменатель обращается в ноль).

Вставляем в калькулятор функцию в виде x^2/((x+1)^3), точка разрыва x = -1.
Получаем, что левый и правый пределы в точке x = -1 бесконечны, отсюда делаем вывод, что точка x = -1 является точкой разрыва второго рода.

Для того чтобы найти точки разрыва можно воспользоваться калькулятором область определения функции.

www.reshim.su

Непрерывность функции в точке и на промежутке. С примерами

На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних — правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .

Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции.

Графически функция непрерывна в точке , если её график не «разрывается» в этой точке. График такой непрерывной функции — показан на рисунке ниже.

Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:

А могут ли правый и левый пределы хоть когда-нибудь быть не равны, если к значению, к которому стремится икс, прибавляется или вычитается всего лишь нуль? Могут. Когда и почему — это объяснено на уроке о точках разрыва функции и их видах.

Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 — на рисунке ниже.

Пример 1. Функция f(x) определена следующим образом:

Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0, x = 1, x = 3?

Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.

Точка x = 0. Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0.

Точка x = 1. Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1.

Точка x = 3. Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3.

Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.

Установить непрерывность функции в точке самостоятельно, а затем посмотреть решение

Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m, то есть l = f(m), m≥0.

Непрерывность функции на промежутке

Пусть функция y = f(x) определена в интервале ]a, b[ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]a, b[. Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b[, ]a, + ∞[, ]- ∞, + ∞[. Пусть теперь функция y = f(x) определена на отрезке [a, b]. Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок. Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a, оставаясь на отрезке [a, b], мы можем приближаться только справа, а к точке b — только слева. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a, b], функция непрерывна на отрезке [0, b], функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2.

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках — 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

Пример 5. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

.

Найдём правосторонний предел при :

.

Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax:

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1,5.

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s = f(t), даёт пример непрерывной функции f(t). Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f(t).

В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

2. Функция f(x), непрерывная на интервале [a, b], принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f(a) и f(b). В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.

3. Если функция непрерывна на интервале, то на этом интервале она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения: если m — наименьшее, а M — наибольшее значение функции на интервале [a, b], то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и . Теорема, в которой изложено это свойство, называется второй теоремой Вейерштрасса.

Пример 7. Используя первое из приведённых выше свойств непрерывных функций, доказать, что уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в интервале [1; 2].

Решение.

Пусть .

Вычислим значения функции при x = 1 и x = 2.

.

.

Получили, что функция на концах интервала принимает значения разных знаков:
и , т. е.

Следовательно, в интервале [1; 2] существует такое число a, при котором f(a) = 0. То есть, уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в данном интервале.

Установление непрерывности функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Весь раздел «Исследование функций»

function-x.ru

Проверить непрерывность функции | UpByte.Net

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции \(y=f\left(x_{0} \right)\) в точке \(x_{0}\): \[\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\bigtriangleup y = 0.\] Функция называется непрерывной на интервале если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Рассмотрим функцию \(y=f\left(x \right)\), определенную на интервале \(\left(a,b \right)\), кроме, может быть, точки \(x_{0}\in \left(a,b \right)\). Значение аргумента \(x_{0}\) называется точкой разрыва данной функции, если при \(x=x_{0}\) функция определена, но не является непрерывной, или не определена при этом значении \(x\).

Is f(x)=x sin(x^2) continuous over the reals?

is sin(x-1.1)/(x-1.1)+heaviside(x) continuous

is tan(x) continuous at pi?

is 1/(x^2-1)+UnitStep[x-2]+UnitStep[x-9] continuous at x=9

discontinuities (x^3+8)/(x^3+3x^2-4x-12)

discontinuities of sec(x)tan(x)

upbyte.net

Точки разрыва функции, с примерами

Классификация точек разрыва функции

Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке односторонние пределы конечны и равны между собой, но не равны значению функции в этой точке; или функция в точке не определена (рис. 1).

Рис. 1

Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке односторонние пределы конечны и не равны между собой (рис. 2).

Рис. 2

Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Пример. На рисунке 2 скачок функции равен

Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке, по крайней мере, один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует (рис. 3).

Рис. 3

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

функции исследовать на непрерывность, построить эскиз графиков — 15 Июля 2014 — Примеры решений задач

Ключевые слова: исследовать функцию на непрерывность, определение непрерывности, точки разрыва первого и второго рода, односторонние пределы, значение функции в точке, предел функции в точке.

Определение:   функция непрерывна в точке   x=a,  если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Определение детализируется в следующих условиях:

1) Функция должна быть определена в точке  x=a, то есть должно существовать значение  f(a).

2) Должен существовать общий предел функции

. — это подразумевает существование и равенство односторонних пределов.

3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке:

Пример 1. Функции исследовать на непрерывность. Построить эскиз графика функции.

Решение.

1) y(0)=0-1= -1  —  функция определена, условие выполняется;

2) Односторонние пределы

— конечны и различны, следовательно функция имеет в точке x=0  разрыв первого рода со скачком.

Исследуем функцию на непрерывность в точке x=2:

1)   y(2)=4— функция определена, условие выполняется;

2) Односторонние пределы

— конечны и равны, следовательно функция имеет в точке x=2 общий предел

— условие выполняется.

3) предел функции в точке  x=2

равен значению данной функции в данной точке, условие выполняется,

следовательно функция в точке  x=2 непрерывна.

Строим эскиз графика

www.reshim.su

Исследование функции на непрерывность — Мегаобучалка

Для исследования функции на непрерывность необходимо:

1. Найти область определения функции;

2. Рассмотреть односторонние пределы в точках, где функция не существует; если функция кусочная, то рассмотреть односторонние пределы в точках «склейки»;

3. Исследовать функцию на бесконечности;

4. Построить эскиз графика функции.

Для классификации точек разрыва функции можно пользоваться таблицей, приведенной ниже.

Пусть – заданная функция, – исследуемая точка, – соответственно левый и правый пределы функции.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Задана функция .

Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Именно в ней мы должны найти односторонние пределы (левосторонний и правосторонний).

· Если отыскивается предел функции в точке при условии, что и , то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции и обозначается .

· Если отыскивается предел функции в точке при условии, что и , то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции и обозначается .

Найдем односторонние пределы в точке .

· Если левосторонний предел и правосторонний предел функции в точке существуют, но не равны между собой, то есть то точка называется точкой разрыва первого рода.

Согласно теории, точка является точкой разрыва первого рода, то есть в ней функция претерпевает скачок.

Далее исследуем поведение функции на бесконечности, для этого найдем пределы при

Следовательно, – прямая, которая является для функции горизонтальной асимптотой.

Сделаем эскиз графика.

Пример 2. Задана функция .

Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Определим с помощью односторонних пределов тип разрыва в этой точке.

· — это неопределенность, которую можно раскрыть, разложив на множители числитель и знаменатель.

· Если в точке функция имеет левосторонний и правосторонний пределы, и эти пределы равны между собой, но их значения не совпадают со значением функции в этой точке, то эта точка называется точкой устранимого разрыва:

Делаем вывод, что точка будет точкой устранимого разрыва.

Графиком функции является прямая с выколотой точкой при .

Построим график функции, для этого подберем кроме точки (3,1) еще одну произвольную. Пусть это будет (0,–2).

Сделаем эскиз графика функции.

Устранимый разрыв можно ликвидировать, если доопределить функцию в точке разрыва, задав:

Пример 3. Функция имеет две точки разрыва: и . Найдем односторонние пределы в этих точках.

Рассмотрим Разложив знаменатель на множители и сократив, получим следующее: – это гипербола, с точками разрыва и .

Тогда

Делаем вывод, что точка является точкой устранимого разрыва.

· Если в точке не существует левосторонний или правосторонний предел функции (или оба одновременно), то эта точка называется точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

Найдем предел функции на бесконечности:

Следовательно, прямая y= 0 будет горизонтальной асимптотой для заданной функции.

Построим график функции:

Рассмотрим примеры кусочных функций.

Пример 4.

Функции являются непрерывными всюду, кроме, может быть, точек «склейки», то есть в , . Исследуем поведение функции в окрестности этих точек:

При функция определена и равна нулю, а функция в эту точку не заходит по условию.

· Функция называется непрерывной в , если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, то есть

Следовательно, точка x= 0 является точкой непрерывности функции.

Делаем вывод, что точка x= 2 является точкой разрыва первого рода и непрерывна слева (по условию).

Строим график склеенной функции:

Пример 5.

Элементарные непрерывные функции и не определены в точке , а функции и «склеены» в точке , которая, быть может, также является точкой разрыва. Исследуем поведение функции в этих точках.

Точка является точкой устранимого разрыва.

При функция принимает значение, равное 2. Следовательно, точка является точкой непрерывности.

Строим график заданной функции:

Пример 6.

Функция задана несколькими аналитическими выражениями, поэтому точки разрыва могут быть как в точках склейки , , так и в точках , , , где знаменатели дробей обращаются в нуль.

Сделаем некоторые упрощения: Далее будем рассматривать функцию с точками разрыва , .

Исследуем все точки:

Точка – точка разрыва второго рода.

Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).

Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).

Точка является точкой устранимого разрыва.

Точка является точкой разрыва второго рода.

Исследуем поведение функции при , а функции при .

Сделаем эскиз графика функции:

megaobuchalka.ru

Решение тригонометрических неравенств онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Рассмотрим пример решения тригонометрического неравенства онлайн на сайте Контрольная Работа РУ.

Этот сайт даёт полное решение тригонометрического неравенства.

Плюс для некоторых неравенств есть решение, изображённое на графике.

Итак, рассмотрим пример:

Требуется решить тригонометрическое неравенство cos(x/4-pi/3) > 1/2 и найти x, при которых выполняется это неравенство.

Для этого переходим на страницу

и нажимаем Решить неравенство!.

Получаем ответ 8*pi*n<x<1/3*(24*pi*n+8*pi), где n принадлежит N.

А также следующее подробное решение:

Дано неравенство: $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} > \frac{1}{2}$$ Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние: $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{1}{2}$$ Решаем:
Дано уравнение $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{1}{2}$$ — это простейшее тригонометрическое ур-ние.
Это ур-ние преобразуется в $$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$ $$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$ Или $$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$ $$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$ , где n — любое целое число.
Перенесём $$\frac{\pi}{6}$$ в правую часть ур-ния с противоположным знаком, итого: $$\frac{x}{4} = 2 \pi n$$ $$\frac{x}{4} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$ Разделим обе части полученного ур-ния на $$\frac{1}{4}$$ $$x_{1} = 8 \pi n$$ $$x_{2} = 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$ $$x_{1} = 8 \pi n$$ $$x_{2} = 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$ Данные корни $$x_{1} = 8 \pi n$$ $$x_{2} = 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$ являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки: $$x_{0} < x_{1}$$ Возьмём например точку $$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$ = $$8 \pi n + — \frac{1}{10}$$ = $$8 \pi n — \frac{1}{10}$$ подставляем в выражение $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} > \frac{1}{2}$$

   /8*pi*n - 1/10   pi\      
cos|------------- - --| > 1/2
   |       1         1|      
   \      4         3 /      


   /1    pi         \      
cos|-- + -- - 2*pi*n| > 1/2
   \40   3          /      

Тогда $$x < 8 \pi n$$ не выполняется, значит одно из решений нашего неравенства будет при: $$x > 8 \pi n \wedge x < 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решение линейных неравенств: онлайн калькулятор

Неравенство – это числовое соотношение, иллюстрирующее величину чисел относительно друг друга. Неравенства широко используются при поиске величин в прикладных науках. Наш калькулятор поможет вам разобраться с такой непростой темой, как решение линейных неравенств.

Что такое неравенство

Неравные соотношения в реальной жизни соотносятся с постоянным сравнением различных объектов: выше или ниже, дальше или ближе, тяжелее или легче. Интуитивно или зрительно мы можем понять, что один объект больше, выше или тяжелее другого, однако фактически речь всегда идет о сравнении чисел, которые характеризуют соответствующие величины. Сравнивать объекты можно по любому признаку и в любом случае мы можем составить числовое неравенство.

Если неизвестные величины при конкретных условиях равны, то для их численного определения мы составляем уравнение. Если же нет, то вместо знака «равно» мы можем указать любое другое соотношение между этими величинами. Два числа или математических объекта могут быть больше «>», меньше «<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Знаки неравенств в их современном виде придумал британский математик Томас Гарриот, который в 1631 году выпустил книгу о неравных соотношениях. Знаки больше «>» и меньше «<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Решение неравенств

Неравенства, как и уравнения, бывают разных типов. Линейные, квадратные, логарифмические или показательные неравные соотношения развязываются различными методами. Однако вне зависимости от метода, любое неравенство вначале требуется привести к стандартному виду. Для этого используются тождественные преобразования, идентичные видоизменениям равенств.

Тождественные преобразования неравенств

Такие трансформации выражений очень похожи на привидение уравнений, однако они имеют нюансы, которые важно учитывать при развязывании неравенств.

Первое тождественное преобразование идентично аналогичной операции с равенствами. К обеим сторонам неравного соотношения можно прибавить или отнять одно и то же число или выражение с неизвестным иксом, при этом знак неравенства останется прежним. Чаще всего этот метод применяется в упрощенной форме как перенос членов выражения через знак неравенства со сменой знака числа на противоположный. Имеется в виду смена знака самого члена, то есть +R при переносе через любой знак неравенства изменится на – R и наоборот.

Второе преобразование имеет два пункта:

1. Обе стороны неравного соотношения разрешается умножить или разделить на одно и то же положительное число. Знак самого неравенства при этом не изменится.
2. Обе стороны неравенства разрешается разделить или умножить на одно и то же отрицательное число. Знак самого неравенства изменится на противоположный.

Второе тождественное преобразование неравенств имеет серьезные различия с видоизменением уравнений. Во-первых, при умножении/делении на отрицательное число знак неравного выражения всегда изменяется на обратный. Во-вторых, разделить или умножить части отношения разрешается только на число, а не на любое выражение, содержащее неизвестное. Дело в том, что мы не можем точно знать, число больше или меньше нуля скрывается за неизвестным, поэтому второе тождественное преобразование применяется к неравенствам исключительно с числами. Рассмотрим эти правила на примерах.

Примеры развязывания неравенств

В заданиях по алгебре встречаются самые разные задания на тему неравенств. Пусть нам дано выражение:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Для начала раскроем скобки и перенесем все неизвестные влево, а все числа – вправо.

6x − 12x > 6 + 3

−6x > 9

Нам требуется поделить обе части выражения на −6, поэтому при нахождении неизвестного икса знак неравенства изменится на противоположный.

x < −9/6

x < −1,5

При решении этого неравенства мы использовали оба тождественных преобразования: перенесли все числа справа от знака и разделили обе стороны соотношения на отрицательное число.

Наша программа представляет собой калькулятор решения числовых неравенств, которые не содержат неизвестных. В программу заложены следующие теоремы для соотношений трех чисел:

• если A < B то A–C< B–C;
• если A > B, то A–C > B–C.

Вместо вычитания членов A–C вы можете указать любое арифметическое действие: сложение, умножение или деление. Таким образом, калькулятор автоматически представит неравенства сумм, разностей, произведений или дробей.

Заключение

В реальной жизни неравенства встречаются также часто, как и уравнения. Естественно, что в быту знания о разрешении неравенств могут и не понадобиться. Однако в прикладных науках неравенства и их системы находят широкое применение. К примеру, различные исследования проблем глобальной экономики сводятся к составлению и развязыванию систем линейных или квадратных неравенств, а некоторые неравные отношения служат однозначным способом доказательства существования определенных объектов. Пользуйтесь нашими программами для решения линейных неравенств или проверки собственных выкладок.

bbf.ru

Переходные неравенства: онлайн калькулятор

Понятие неравенство связано со сравнением двух числовых объектов или алгебраических выражений. Смысл неравенства познается вместе со смыслом таких определений как больше или меньше, выше или ниже, дороже или дешевле, дальше или ближе, холоднее или теплее. 

Определение неравенства

Два любых числа или алгебраических выражения, которые соединены знаками отношения «больше» (>), «меньше» (<), «больше либо равно» (≥), «меньше либо равно» (≤) или «неравно» (≠), образуют неравенства. Знаки неравенства в их сегодняшнем виде предложил английский математик Томас Гарриот, который работал над развязыванием систем неравенств и опубликовал свои труды в печати. Обозначения «>» и «<» приглянулись не только математикам, но и книгопечатникам, так как знаки представляли собой просто перевернутую на 90 градусов литеру V.

Существует два фундаментальных класса неравенств. Неравные выражения со знаками «больше» и «меньше» считаются строгими и записываются как:

5 > 3 или 34 < 56

Нестрогие неравенства — это соотношения со знаком равно, которые обычно используются в буквенных неравенствах, когда значение одного аргумента неизвестно. Например, в выражении:

x + 3 ≥ 4,

при x = 1 неравенство тождественно и выглядит как 4 = 4, а при всех x > 1 выражение также тождественно и принимает выражения 5 > 4, 6 > 4 и так далее.

При решении неравенств с неизвестными строгие и нестрогие знаки крайне важны при определении области допустимых значений функции. Например, если x > 3, то это означает, что он хоть на одну миллиардную долю, но больше 3, следовательно, тройка никогда не входит в область допустимых значений. При нестрогом неравенстве x≥3 включает в диапазон решений собственно тройку и все, что больше нее.

Виды неравенств

Выражения вида a > b и c > d называются неравенствами одинакового смысла. Такое название выражения получили из-за одинаковых знаков. Если же выражения выглядят как a > b и c < d, то такие числовые объекты считаются неравенствами противоположного смысла. К примеру, два выражения x > 3 и y > 4 считаются неравенствами одного смысла, а вот x > 3 и y < 5 — противоположного.

Буквенные неравенства противоположного смысла могут объединяться в двойные. Например, если x > 3 и x < 5, то такое выражение можно переписать как двойное неравенство 3 < x < 5. Это означает, что аргумент функции лежит строго в пределах от 3 до 5. 

Свойства неравенств

Неравенства обладают несколькими полезными свойствами. Рассмотрим подробнее.

Свойство №1

Если a > b, то a + c > b + c. Если к обеим сторонам неравного соотношения прибавить одно и то же число или алгебраическое выражение, то знак неравенства не изменится.

Пример

Пусть есть выражение 10 > 5. Добавим к каждой части по 5. Получим 15 > 10, что верно. Добавим к каждой части по отрицательному числу, например, по — 2. Получим 8 > 3, и вновь верно. Точно также можно добавлять неизвестные аргументы и целые полиномы.

Свойство №2

Если a > b и n > 0, то a×n > b×n. Если обе части неравного соотношения умножить на одно и то же положительное число, то знак останется прежним. 

Пример

Вновь посмотрим на числовое соотношение 10 > 5. Примем n = 2 и умножим обе части выражения на n. Получим 20 > 10. Очевидно, что все сходится.

Свойство №3

Если a < b и n < 0, то a × n > b × n. Если обе стороны неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Пример

Пусть у нас есть неравенство 10 > 5 и n = -2. Умножим обе части на минус 2 и получим, что -20 < -10. С отрицательными числами не всегда очевидно, ведь даже при сравнении температуры мы говорим, что мороз «увеличился», в то время как показатели на градуснике уменьшились. Тем не менее минус 20 явно меньше минус 10. 

Свойство №4

Если a > b и b > c, то верно выражение a > c. Такое выражение называется переходным неравенством, и наш калькулятор работает именно с такими числовыми объектами. Задаваясь значениями переменных a, b, c мы можем составить переходное неравенство, которое соответствует свойству всех числовых соотношений.

Пример

Допустим есть выражение 10 > 5 и 5 > 3. В этом случае a = 10, b = 5, c = 3. Согласно четвертому свойству в результате получится, что a > c или 10 > 3. Вполне логично. 

Наша программа представляет собой калькулятор, определяющий соотношения чисел в качестве переходного неравенства. Для работы с онлайн-инструментом требуется ввести значения a, b и c, после чего программа решит, составляют ли введенные значения переходное неравенство или нет. 

Заключение

Неравные числовые или буквенные соотношения и их системы широко используются в самых разных прикладных науках. Например, изучение проблем макроэкономики осуществляется путем составления и решения систем нелинейных неравенств. Классические неравенства используются в высшей математике: неравенство Коши применяется при сравнении площадей, а неравенство Бернулли — для сравнения иррациональных чисел. Кроме того, существуют неравенства, которые являются однозначным способом доказательства существования некоторых объектов. Используйте наши инструменты для работы с переходными неравенствами.

bbf.ru