Рубрика: Школьная жизнь

Геометрия: уроки, тесты, задания.

www.yaklass.ru

Решаем задачи по геометрии

profmeter.com.ua

Как решать задачи по геометрии

Геометрия часто вызывает проблемы, потому что непонятно, с какой стороны взяться за задачу. И вроде все теоремы знаешь, но не знаешь, какую из них стоит применить. Поэтому мы составили небольшую шпаргалку-алгоритм решения задач. Действия, в ней описанные, не обязательно делать все, ты делаешь ровно столько, сколько нужно, чтобы найти решение. А каждый следующий пункт шпаргалки смотришь, только если предыдущий не сработал.

Итак, когда ты прочитал задачу и сделал чертеж и не понимаешь, как найти ответ, ты:

       1.       Определяешь основную фигуру задачи (трапеция, треугольник, параллелограмм).

       2.       Выясняешь, является ли она «замечательной», то есть частным случаем какой-нибудь фигуры (прямоугольный или равнобедренный треугольник, равнобедренная трапеция и др)

       3.       Смотришь вопрос. Если нужно найти угол или сторону, то обозначаешь их через Х. Если нужно найти площадь или периметр или еще что-то, что рассчитывается по формуле, пишешь формулу и обозначаешь на чертеже нужные тебе для расчета элементы.

       4.       Вспоминаешь все теоремы и свойства, связанные с твоей фигурой. Не нужно бросаться перебирать их по порядку, но стоит хотя бы на секунду задуматься о них, может быть нужная теорема всплывет в памяти. Все время помни о том, что тебе нужно найти.

       5.       Еще раз читаешь условие, медленно и детально. Останавливаешься в каждом месте, где дается новая информация, и вспоминаешь все теоремы и свойства с этой новой информацией связанные (например, на фразе «В треугольнике ABC проведена биссектриса AD…» нужно вспомнить всё, что известно про биссектрису, и постараться применить все теоремы о биссектрисе к решению задачи)

       6.       Находишь все подряд углы и стороны

       7.       Пытаешься найти подобные треугольники и если находишь, то применяешь их свойства (равные углы и пропорциональные стороны)

       8.       Пытаешься найти равные треугольники и если находишь, то применяешь их свойства (равные углы и одинаковые стороны).

Не забывай, что ты можешь применять не только теоремы для своего частного случая фигуры, но и более общие. Если у тебя есть прямоугольный треугольник, помни, что он всё же треугольник и к нему, как и к любому другому треугольнику, применяются все общие теоремы и свойства треугольников.

Но самый главный принцип при решении геометрических задач звучит так: «рисуй чертеж». После первого прочтения – рисуешь чертеж, чтобы лучше понять и представить задачу. Пока ищешь решение, все записи делаешь только на чертеже, кроме сложных подсчетов, все обозначения делаешь на чертеже. Если какой-то метод решения не дал результата, перерисовываешь чертеж и начинаешь заново. Если чертеж не похож на условия задачи (отрезки, которые должны быть равны по условию, явно не равны по чертежу и т.д.), то перерисовываешь чертеж. Если дополнительное построение не дало результат, перерисовываешь чертеж. В общем, чертеж, чертеж, и еще раз чертеж. И не вздумай рисовать его по линейке, такое количество нарисованных по линейке чертежей отнимет столько времени и нервов, что ни того ни другого уже не хватит на решение задачи. Пока ты в черновике не найдешь решение, всё черти от руки.

И еще одна фишка.

Обычно в геометрии нет четких групп задач, сложно классифицировать задачу и дать рекомендации по поводу её решения. Однако один тип задач мы всё же можем выделить. Если в задаче даны углы, а найти надо стороны (или наоборот), то нужно рассматривать только те темы, которые позволяют связать углы и стороны, а их по сути всего 4:

       1.       тригонометрия (нахождение угла через синус, косинус, тангенс или котангенс)

       2.       площади (т.к. в формуле площади  есть синус)

       3.       Теорема синусов

       4.       Теорема косинусов

Определить, когда какую из них применять, обычно легко. Тригонометрические функции применяются, если есть прямоугольный треугольник или высота. Площади применяются обычно только если они указаны в условии. Теорема синусов — если есть описанная окружность, косинусов – если известны все стороны треугольника. Конечно это не полный список, но он покрывает примерно 90% задач.

1day1ex.jimdo.com

Решебник по Геометрии

Решебники, ГДЗ

• 1 Класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Английский язык
  • Информатика
  • Немецкий язык
  • Литература
  • Человек и мир
  • Природоведение
  • Основы здоровья
  • Музыка
  • Окружающий мир
• 2 Класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Белорусский язык
  • Английский язык
  • Информатика
  • Украинский язык
  • Немецкий язык
  • Литература
  • Человек и мир
  • Природоведение
  • Основы здоровья
  • Музыка
  • Окружающий мир
  • Технология
• 3 Класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Белорусский язык
  • Английский язык
  • Информатика
  • Украинский язык
  • Немецкий язык
  • Литература
  • Человек и мир
  • Музыка
  • Окружающий мир
  • Испанский язык
• 4 Класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Белорусский язык
  • Английский язык
  • Информатика
  • Украинский язык
  • Немецкий язык
  • Литература
  • Человек и мир

megaresheba.ru

Как научиться решать задачи по геометрии? — КиберПедия

Решаем задачи по геометрии

Решение задач

Любой студент или школьник должен запомнить одну простую истину – можно решить любую задачу, какой бы трудной она не казалась на первый взгляд. Ведь задачи составляют для закрепления теоретических знаний и отработки определенных практических навыков, следовательно, для того, чтобы их решали, а не в целях третирования учащихся.

Разумеется, есть такие сверхсложные варианты задач, которые пытаются разрешить столетиями. Однако их количество не так уж и велико, да и награда за найденное решение будет больше «пятерки» за контрольную работу или экзамен. Встретить нечто подобное в школьной программе невозможно.

Следовательно, для того, что бы научиться решать задачи по геометрии необходимо иметь желание, усидчивость и тренированные мозги и воображение. Других путей освоить эту интересную область математики не существует, мы не берем в расчет решебники со 2 по 11 класс и всевозможные ГДЗ, очень сильно облегчающие жизнь студенту. Однако, получив все необходимые навыки и тщательно проштудировав теорию, можно приблизиться к пониманию того, что существует определенная методика решения задач по геометрии, способная упростить процесс решения любой задачи. Для этого необходимо всегда выполнять следующие действия:

1. Изучив условие задачи, сразу же займитесь составление чертежа. Без толковой схемы затруднительно решить даже простую задачу, а сложную – практически невозможно. При этом не жадничайте, экономить место в тетради вы будете в другом случае. Визуализация условия задачи по геометрии требует максимально возможного объема на тетрадном листе. Чем крупнее чертеж, тем нагляднее и доступнее будут решение задачи.

2. Построив чертеж или схему, нанесите на нее все известные данные – прямые и косвенные (которые можно получить путем промежуточных вычислений). Поверьте, решение задачи может «всплыть» сразу же после того, как вы сделаете эту нехитрую работу.

3. Не полагайтесь во всем на интуицию и пространственное воображение, без знания теоретической базы серьезных результатов вам не достигнуть. При этом можно не забираться в дебри формулировок, а запомнить и осмыслить несколько десятков распространенных формул и правил.

4. Помните о небольших хитростях: о задачах, которые решаются методом «первого и второго треугольника», об использовании центра окружности в соответствующих случаях (всегда соединяйте «интересные» точки вписанных и описанных фигур с центром окружности), о правилах суммы углов треугольника и прочих несложных способах вычисления промежуточных величин, которые помогут в поиске искомого значения.

5. Всегда записывайте «полет» вашей мысли. После трех-четырех связок вы можете потерять нить рассуждений и потратить значительное время на попытки вспомнить уже принятое решение. После решения задачи обязательно проверьте себя. Это поможет избежать досадных ошибок, которые могли ускользнуть от вашего внимания, увлеченного удачными поисками варианта решения задачи.

В заключение несколько слов о неудачах и патовых ситуациях, когда все потуги учащегося не приводят к положительным результатам. Для выхода из тупика используйте несколько простых действий:

Во-первых, переверните схему задачи. Посмотрите на чертеж буквально «под другим углом». Вероятно, вы что-то упустили или не заметили, и решение может прийти само собой.

Во-вторых, отложите «затруднительную» задачу в сторону, отвлекитесь на другое дело. Через десять минут мозг «перезагрузится», «накатанная» схема, которая привела вас в тупик, забудется и можно начинать искать новый путь к решению задачи.

В-третьих, примените тактическую хитрость. Вспомните, что вы проходите по программе на данный момент. На контрольной работе вам, как правило, будут задавать задачи с четкой привязкой к изученной теории. Постарайтесь заново оценить условие с точки зрения именно «последних» теоретических материалов. Например, если вы занимались изучением хорды или биссектрисы, постарайтесь «по максимуму» заполнить чертеж именно этими элементами.

Решаем задачи по геометрии

Решение задач

Любой студент или школьник должен запомнить одну простую истину – можно решить любую задачу, какой бы трудной она не казалась на первый взгляд. Ведь задачи составляют для закрепления теоретических знаний и отработки определенных практических навыков, следовательно, для того, чтобы их решали, а не в целях третирования учащихся.

Разумеется, есть такие сверхсложные варианты задач, которые пытаются разрешить столетиями. Однако их количество не так уж и велико, да и награда за найденное решение будет больше «пятерки» за контрольную работу или экзамен. Встретить нечто подобное в школьной программе невозможно.

Следовательно, для того, что бы научиться решать задачи по геометрии необходимо иметь желание, усидчивость и тренированные мозги и воображение. Других путей освоить эту интересную область математики не существует, мы не берем в расчет решебники со 2 по 11 класс и всевозможные ГДЗ, очень сильно облегчающие жизнь студенту. Однако, получив все необходимые навыки и тщательно проштудировав теорию, можно приблизиться к пониманию того, что существует определенная методика решения задач по геометрии, способная упростить процесс решения любой задачи. Для этого необходимо всегда выполнять следующие действия:

1. Изучив условие задачи, сразу же займитесь составление чертежа. Без толковой схемы затруднительно решить даже простую задачу, а сложную – практически невозможно. При этом не жадничайте, экономить место в тетради вы будете в другом случае. Визуализация условия задачи по геометрии требует максимально возможного объема на тетрадном листе. Чем крупнее чертеж, тем нагляднее и доступнее будут решение задачи.

2. Построив чертеж или схему, нанесите на нее все известные данные – прямые и косвенные (которые можно получить путем промежуточных вычислений). Поверьте, решение задачи может «всплыть» сразу же после того, как вы сделаете эту нехитрую работу.

3. Не полагайтесь во всем на интуицию и пространственное воображение, без знания теоретической базы серьезных результатов вам не достигнуть. При этом можно не забираться в дебри формулировок, а запомнить и осмыслить несколько десятков распространенных формул и правил.

4. Помните о небольших хитростях: о задачах, которые решаются методом «первого и второго треугольника», об использовании центра окружности в соответствующих случаях (всегда соединяйте «интересные» точки вписанных и описанных фигур с центром окружности), о правилах суммы углов треугольника и прочих несложных способах вычисления промежуточных величин, которые помогут в поиске искомого значения.

5. Всегда записывайте «полет» вашей мысли. После трех-четырех связок вы можете потерять нить рассуждений и потратить значительное время на попытки вспомнить уже принятое решение. После решения задачи обязательно проверьте себя. Это поможет избежать досадных ошибок, которые могли ускользнуть от вашего внимания, увлеченного удачными поисками варианта решения задачи.

В заключение несколько слов о неудачах и патовых ситуациях, когда все потуги учащегося не приводят к положительным результатам. Для выхода из тупика используйте несколько простых действий:

Во-первых, переверните схему задачи. Посмотрите на чертеж буквально «под другим углом». Вероятно, вы что-то упустили или не заметили, и решение может прийти само собой.

Во-вторых, отложите «затруднительную» задачу в сторону, отвлекитесь на другое дело. Через десять минут мозг «перезагрузится», «накатанная» схема, которая привела вас в тупик, забудется и можно начинать искать новый путь к решению задачи.

В-третьих, примените тактическую хитрость. Вспомните, что вы проходите по программе на данный момент. На контрольной работе вам, как правило, будут задавать задачи с четкой привязкой к изученной теории. Постарайтесь заново оценить условие с точки зрения именно «последних» теоретических материалов. Например, если вы занимались изучением хорды или биссектрисы, постарайтесь «по максимуму» заполнить чертеж именно этими элементами.

Как научиться решать задачи по геометрии?

Дорогие ребята, Вы начали изучать геометрию. Это новая для вас дисциплина, и вы поначалу можете испытывать трудности в её освоении. Не пугайтесь: пройдет некоторое время, и вы научитесь с легкостью решать любые геометрические задачи. Для приобретения необходимого навыка нужно лишь приложить немного усилий. Итак, как решать задачи по геометрии?

Вам понадобится: учебник, тетрадь, ручка, карандаш, линейка, транспортир, циркуль, ластик.

Инструкция:

1. Внимательно прочитайте условие задачи.
2. Сделайте чертеж.
3. Отметьте на чертеже то, что вам дано: длины сторон, величины углов. Если в условии задачи сказано, что какие-то отрезки равны, поставьте на них одинаковые штрихи. Равные по величине углы отмечайте одинаковыми дужками: одинарными, двойными, волнистыми. Углы разных величин выделяйтеразными
дужками.
4. Исследуйте фигуры, представленные в задаче. Вспомните их определения и свойства.
5. Определите тему, к которой относится ваша задача. Освежите в голове теоретический материал по этой теме, повторите основные теоремы.
6. Рассмотрите примеры решения задач по этой теме. В задачах, приводимых в учебнике в качестве примеров, часто рассматриваются принципиальные вопросы, которые вы должны знать.
7. Если вы чувствуете себя в теме достаточно уверенно, приступайте к решению задачи. Начните с того, что требуется найти или доказать. Подумайте, каким путем это можно сделать. То есть, решайте задачу «с конца».
8. Если вы не видите путей решения задачи, попробуйте найти хоть что-нибудь, используя имеющиеся данные. Возможно, так к вам придет идея, как решать задачу.

Полезные советы: не увлекайтесь «устными» доказательствами. Записывайте решение задачи как можно более подробно, если не оговорено иное. Некоторые вещи могут казаться вам очевидными, но всё равно прописывайте их. Так у вас будет отрабатываться навык, вы лучше запомните идею.

Рекомендации от учителя математики Е.В.Жалыбиной

cyberpedia.su

ГДЗ по Геометрии, решебник и ответы онлайн

• 1 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Человек и мир

• 2 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Белорусский язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Человек и мир

• 3 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Белорусский язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Человек и мир
  • Испанский язык

• 4 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Человек и мир
  • Испанский язык

• 5 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Белорусский язык
  • Украинский язык
  • Французский язык

gdz.ru

Решаем задачи по геометрии

Решаем задачи по геометрии

Любой студент или школьник должен запомнить одну простую истину – можно решить любую задачу, какой бы трудной она не казалась на первый взгляд. Ведь задачи составляют для закрепления теоретических знаний и отработки определенных практических навыков, следовательно, для того, чтобы их решали, а не в целях третирования учащихся.

Разумеется, есть такие сверхсложные варианты задач, которые пытаются разрешить столетиями. Однако их количество не так уж и велико, да и награда за найденное решение будет больше «пятерки» за контрольную работу или экзамен. Встретить нечто подобное в школьной программе невозможно.

Следовательно, для того, что бы научиться решать задачи по геометрии необходимо иметь желание, усидчивость и тренированные мозги и воображение. Других путей освоить эту интересную область математики не существует, мы не берем в расчет решебники со 2 по 11 класс и всевозможные ГДЗ, очень сильно облегчающие жизнь студенту. Однако, получив все необходимые навыки и тщательно проштудировав теорию, можно приблизиться к пониманию того, что существует определенная методика решения задач по геометрии, способная упростить процесс решения любой задачи. Для этого необходимо всегда выполнять следующие действия:

1. Изучив условие задачи, сразу же займитесь составление чертежа. Без толковой схемы затруднительно решить даже простую задачу, а сложную – практически невозможно. При этом не жадничайте, экономить место в тетради вы будете в другом случае. Визуализация условия задачи по геометрии требует максимально возможного объема на тетрадном листе. Чем крупнее чертеж, тем нагляднее и доступнее будут решение задачи.
2. Построив чертеж или схему, нанесите на нее все известные данные – прямые и косвенные (которые можно получить путем промежуточных вычислений). Поверьте, решение задачи может «всплыть» сразу же после того, как вы сделаете эту нехитрую работу.
3. Не полагайтесь во всем на интуицию и пространственное воображение, без знания теоретической базы серьезных результатов вам не достигнуть. При этом можно не забираться в дебри формулировок, а запомнить и осмыслить несколько десятков распространенных формул и правил.
4. Помните о небольших хитростях: о задачах, которые решаются методом «первого и второго треугольника», об использовании центра окружности в соответствующих случаях (всегда соединяйте «интересные» точки вписанных и описанных фигур с центром окружности), о правилах суммы углов треугольника и прочих несложных способах вычисления промежуточных величин, которые помогут в поиске искомого значения.
5. Всегда записывайте «полет» вашей мысли. После трех-четырех связок вы можете потерять нить рассуждений и потратить значительное время на попытки вспомнить уже принятое решение. После решения задачи обязательно проверьте себя. Это поможет избежать досадных ошибок, которые могли ускользнуть от вашего внимания, увлеченного удачными поисками варианта решения задачи.

В заключение несколько слов о неудачах и патовых ситуациях, когда все потуги учащегося не приводят к положительным результатам. Для выхода из тупика используйте несколько простых действий:

Во-первых, переверните схему задачи. Посмотрите на чертеж буквально «под другим углом». Вероятно, вы что-то упустили или не заметили, и решение может прийти само собой.

Во-вторых, отложите «затруднительную» задачу в сторону, отвлекитесь на другое дело. Через десять минут мозг «перезагрузится», «накатанная» схема, которая привела вас в тупик, забудется и можно начинать искать новый путь к решению задачи.

В-третьих, примените тактическую хитрость. Вспомните, что вы проходите по программе на данный момент. На контрольной работе вам, как правило, будут задавать задачи с четкой привязкой к изученной теории. Постарайтесь заново оценить условие с точки зрения именно «последних» теоретических материалов. Например, если вы занимались изучением хорды или биссектрисы, постарайтесь «по максимуму» заполнить чертеж именно этими элементами.

uznaikak.su

Как проверить прямой угол без угольника

При отделочных работах и строительстве бывает нужна четкая геометрия: перпендикулярные стены и иные конструкции, требующие прямого угла в 90 градусов. Обыкновенный угольник не может позволить проверить или разметить углы со сторонами в несколько метров. Описываемый же метод превосходно подходит для разметки или проверки любых углов — длинна сторон не ограничена. Основной инструмент для измерений — рулетка.

Мы будем рассматривать точную разметку прямого угла, а также метод проверки уже размеченных углов на стенах и других объектах.

Теорема Пифагора

Теорема основана на утверждении, что у прямоугольного треугольника сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. В виде формулы записывается это так:

a²+b²=c²

Стороны a и b — катеты, между которыми угол равен ровно 90 градусов. Следовательно, сторона c — гипотенуза. Подставляя в эту формулу две известные величины, мы можем вычислить третью, неизвестную. А следовательно можем размечать прямые углы, а также проверять их.

Теорема Пифагора известна еще под названием «египетский треугольник». Это треугольник со сторонами 3, 4 и 5, причем совершенно не важно, в каких единицах длинны. Между сторонами 3 и 4 — ровно девяносто градусов. Проверим данное утверждение вышеприведенной формулой: a²+b²=c² = (3×3)+(4×4) = 9+16 = (5×5) = 25 — все сходится!

А теперь применим теорему на практике.

Проверка прямого угла

Начнем с самого простого — проверки прямого угла с помощью теоремы Пифагора. Самым частым примером в отделке и строительстве является проверка перпендикулярности стен. Перпендикулярные стены — это стены, расположенные друг к другу под прямым углом 90°.

Итак, берем любой проверяемый внутренний угол. На стенах (на одной высоте) или на полу отмечаем на обоих стенах отрезки произвольных длин. Длинна этих отрезков произвольная, по возможности нужно отмечать как можно больше, но чтобы между отметками на стенах удобно было мерить диагональ. Например, мы отметили 2,5 метра (или 250 см.) на одной стене и 3 метра (или 300 см.) на другой. Теперь длину отрезка каждой стены возводим в квадрат (умножаем саму на себя) и получившиеся произведения складываем. Выглядит это так: (2,5×2,5)+(3×3)=15,25 — это диагональ в квадрате. Теперь нужно извлечь из этого числа квадратный корень √15,25≈3,90 — 3,9 метра должна составлять диагональ между нашими отметками. Если измерение рулеткой показывает другую длину диагонали — проверяемый угол развернут и имеет отклонение от 90°.

Калькулятор расчета диагонали прямого угла

Извлечение квадратного корня никогда меня не привлекало — простому человеку не обойтись без калькулятора, к тому же, не на всех мобильных устройствах калькуляторы умеют извлекать его. Поэтому можно пользоваться упрощенным методом. Нужно лишь запомнить: у прямого угла со сторонами ровно 100 сантиметров, диагональ равна 141,4 см. Таким образом, у прямого угла со сторонами 2 м. — диагональ равна 282,8 см. То есть на каждый метр плоскости приходится 141,4 см. У этого метода один недостаток: от измеряемого угла нужно откладывать одинаковые расстояния на обеих стенах и отрезки эти должны быть кратны метру. Не буду утверждать, но по моей скромной практике — это гораздо удобнее. Хотя не стоит забывать о первоначальном способе совсем — в некоторых случаях он очень актуален.

Сразу же возникает вопрос: какое отклонение от вычисленной длинны диагонали считать нормой (погрешностью), а какое нет? Если проверяемый угол с отмеченными сторонами по 1 м. будет 89°, то диагональ уменьшится до 140 см. Из понимания этой зависимости можно сделать объективный вывод, что погрешность диагонали 141,4 см. в несколько миллиметров не даст отклонения в один целый градус.

Как проверить внешний угол? Проверка внешнего угла по сути не отличается, нужно лишь продлить линии каждой стены на полу (или земле, при помощи шнура) и получившийся внутренний угол измерить обычным способом.

Как разметить прямой угол рулеткой

Разметка может основываться как на общей теореме Пифагора, так и на принципе «египетского треугольника». Однако это только в теории линии просто чертятся на бумаге, «ловить» же все выбранные размеры растянутыми шнурами или линиями на полу — задача посложнее.

Поэтому я предлагаю упрощенный способ, основанный на диагонали 141,4 см. у треугольника со сторонами 100 см. Вся последовательность разметки изображена на картинках ниже. Важно не забывать: диагональ 141,4 см. нужно умножать на количество метров в отрезке А-Б. Отрезки А-Б и А-В должны быть равны и соответствовать целому числу в метрах. Картинки увеличиваются по клику!

Как разметить острый угол

Гораздо реже возникает надобность в создании острых углов, в частности 45°. Для формирования подобных фигур формулы более сложные, однако это не самое проблематичное. Гораздо сложнее свести все линии, начерченные или натянутые шнурами — дело это непростое. Поэтому я предлагаю использовать упрощенный метод. Сначала размечается прямой угол 90°, а затем диагональ 141,4 делится на нужное количество равных частей. Например, чтобы получить 45°, диагональ нужно поделить пополам и от точки А провести линию через место деления. Таким образом мы получим два угла по 45 градусов. Если поделить диагональ на 3 части, то получится три угла по 30 градусов. Думаю алгоритм вам понятен.

Собственно я рассказал все, что мог рассказать, надеюсь все изложил понятным языком и у вас больше не возникнет вопросов как размечать и проверять прямые углы. Стоит добавить, что уметь делать это должен любой отделочник или строитель, ведь полагаться на строительный угольник небольшого размера — непрофессионально.

Оцените публикацию:

Оценка: 4.1 (12 голосов)

Смотрите так же другие статьи

yserogo.ru

Прямой угол. Построение прямого угла. Видеоурок. Математика 2 Класс

 Посмотрите на картинку. (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Из каких знакомых вам геометрических фигур она состоит?

 

Конечно, вы увидели, что картинка состоит из треугольников и прямоугольников. Какое слово спряталось в названии обеих этих фигур? Это слово – угол (рис. 2).

Рис. 2. Определение угла

Сегодня мы будем учиться чертить прямой угол.

В названии этого угла уже есть слово «прямой». Чтобы правильно изобразить прямой угол, нам понадобится угольник. (Рис. 3)

Рис. 3. Угольник

В самом угольнике уже есть прямой угол. (Рис. 4)

Рис. 4. Прямой угол

Он и поможет нам изобразить эту геометрическую фигуру.

Чтобы правильно изобразить фигуру, мы должны приложить угольник к плоскости (1), обвести его стороны (2), назвать вершину угла (3) и лучи (4).

1.

2.

3.

4.

Давайте определим, есть ли среди имеющихся углов прямые (Рис. 5). В этом нам поможет угольник.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Найдем прямой угол угольника и приложим его к имеющимся углам (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что прямой угол совпал с углом ВОМ. Это значит, что угол ВОМ прямой. Проделаем эту же операцию еще раз. (Рис. 7)

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что прямой угол нашего угольника не совпал с углом СOD. Это значит, что угол COD не прямой. Еще раз приложим прямой угол угольника к углу АОТ. (Рис. 8)

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что угол АОТ гораздо больше, чем прямой угол. Это значит, что угол АОТ не является прямым.

На этом уроке мы учились строить прямой угол с помощью угольника.

Слово «угол» дало название многим вещам, а также геометрическим фигурам: прямоугольник, треугольник, угольнику, с помощью которого можно начертить прямой угол.

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех углов. Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным треугольником.

 

Список литературы

1. Александрова Э.И. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2004.
2. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. – М.: Астрель, 2006.
3. Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. – М.: Просвещение, 2012.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Сайт учителя начальных классов Сиразетдиновой Ляйсан Зуфаровны (Источник).
2. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник).
3. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Выберите из предложенных углов прямые:

Рис. 9

2. Докажите, что изображенный на рисунке 10 угол – прямой.

Рис. 10

interneturok.ru

Прямой угол | Треугольники

Чему равен прямой угол? Как изобразить прямой угол? Как найти  прямые углы на рисунке?

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна 90º.

I. Проще всего изобразить прямой угол по клеточкам.

1) Точку — вершину прямого угла — ставим на пересечении клеточек.

2) Из вершины проводим лучи — стороны угла: один — горизонтально, другой — вертикально.

3) Ставим знак прямого угла — маленький квадрат при вершине: □

∠ABC=90º,

то есть угол ABC — прямой.

 

II. Другой способ построения прямого угла — при помощи транспортира:

1) Отмечаем точку — вершину угла.

2) От вершины проводим луч — сторону угла.

3) Совмещаем вершину угла с отметкой в центре транспортира (у разных моделей положение отметки может быть различным) так, чтобы отметка 0º располагалась на стороне угла.

4) На отметке 90 градусов ставим точку.

5) От вершины через эту точку проводим второй луч — другую сторону угла:

III. Ещё один способ построения прямого угла — с помощью угольника.

1) Отмечаем точку — вершину угла.

1) От вершины угла проводим луч — первую сторону угла.

2) Прикладываем угольник прямым углом к вершине угла так, чтобы одна сторона угольника проходила через первую сторону угла.

3) Вдоль другой стороны угольника проводим другой луч — вторую сторону угла.

Чтобы по рисунку найти прямой угол, также можно использовать угольник.

Если приложить угольник к вершине угла вдоль одной из сторон, то  в остром угле вторую сторону угольник частично закроет (так как градусная мера острого угла меньше 90º), в тупом — вторая сторона окажется за угольником (поскольку тупой угол больше 90º), и только в прямом угле другая сторона угольника пройдёт ровно вдоль второй  стороны:

Треугольник, один из углов которого — прямой, называется прямоугольным.

www.treugolniki.ru

Угол. Виды углов — прямой, острый, тупой

М — Ох, и устали же мы сегодня. Целый день перетаскивали из угла в угол наш волшебный говорящий буфет.

Помните, как выглядит план наших парадных залов? Мы хотели поставить буфет в один из углов золотого зала. Но, сколько не пытались это сделать, у нас толком ничего не получилось. Если мы приставляли его к одной стене, то между буфетом и другой стеной оставалось пространство. Тогда мы попытались поставить буфет в зелёный зал. Там он вообще не входил ни в один из углов.

- Мы так устали. И теперь просто не представляем, что же нам делать, куда можно поставить наш волшебный буфет.

- Плюс, слышишь, наш компьютер включился. Наверное, сейчас нам по скайпу будет звонить царица Математика.

- Ах, мои дорогие Плюс и Минус! Очень обидно, что прежде чем двигать по всему замку буфет, вы не познакомились с темой «Виды углов». Придётся сегодня мне объяснить вам эту тему.

Итак, сегодня мы поговорим о видах углов — прямых, острых  и тупых углах.

- Какие странные названия — прямой, острый, тупой.

- Что же такое угол? Если мы поставим точку, а от этой точки проведём прямую, у нас получится прямая, ограниченная с одной стороны точкой. Такая линия называется луч. А если из этой же точки мы проведём ещё один луч, то у нас получится угол. При этом точка, из которой были проведены лучи, называется вершиной угла, а сами лучи в этом случае называются стороны угла.

Посмотрите, какие разнообразные углы можно построить:

Среди них вы можете увидеть и острые, и прямые, и тупые углы.

- А как же мы отличим, какие из углов острые, какие — прямые, а какие — тупые?

- Начнём мы с прямого угла. Посмотрите на этот лист бумаги. Сейчас мы перегнём его вдвое, потом ещё раз вдвое. Только сгибать надо аккуратно. Так, чтобы линии сгиба совместились и не выглядывали одна из-под другой. Наш лист сложен в 4 раза. И вот получился угол. Такой угол, который образуется аккуратным сгибанием листа в четыре раза, называется прямым углом.

А сейчас развернём лист бумаги:

Видите, на нём видны линии сгиба. И у нас видны уже четыре угла с одной общей вершиной. А ещё есть специальная линейка—треугольник. У неё один угол прямой и два острых. Сейчас мы положим такую линейку на наш лист бумаги так, чтобы вершины прямого угла линейки и углов на бумаге совместились. А теперь попытаемся совместить стороны. Получилось?

- Да, стороны прямого угла треугольника точно легли на стороны прямого угла на бумаге.

- Теперь так же положим линейку и на остальные три угла. Как видите, и здесь совмещаются стороны. Значит точно, все эти углы одинаковые. Все они – прямые.

- С прямыми углами понятно. А что же это за углы — острые и тупые.

- Я хочу вам показать один угол. Видите, он такой острый, что его вершиной даже можно слегка уколоться.

А теперь посмотрите, угол развернулся, раскрылся. Его вершиной уже вряд ли можно уколоться. Теперь угол стал тупым:

А теперь давайте вернёмся к тем углам, которые мы нарисовали. Сейчас на первый угол кладём линейку.

Вершина линейки совмещается с вершиной угла. Одна из сторон линейки совместилась со стороной угла, а вот вторая спряталась под треугольником. Значит, угол раскрыт меньше, чем прямой угол треугольника. Такие углы, которые раскрыты меньше прямого угла, называются острыми углами.

Посмотрите на следующий угол. Он раскрыт значительно шире первого, но, когда мы прикладываем к нему линейку:

Видно, что одна из сторон опять спряталась под линейку. Значит, этот угол тоже острый.

Переходим к следующему углу:

Его вершина и стороны точно совместились с вершиной и сторонами прямого угла линейки. Как вы думаете, какой это угол?

- Конечно, прямой!

- Совершенно верно. Этот угол прямой. А вот этот?

- Наверное, острый. Видите, как он наклонился.

- А если приложить линейку? Ну что, какой угол?

- Я ошибся… Этот угол тоже прямой………….

- Ну что же, продолжим. Рассмотрим следующий угол:

Посмотрите, между второй стороной линейки и стороной нарисованного угла как будто ещё один уголок появился. Значит, этот угол раскрыт немного шире, чем прямой. Такие углы, которые раскрыты больше прямого угла, называются тупыми углами.

- Ну, а если посмотреть на последний угол, то здесь даже без линейки-треугольника понятно, что он тупой.

- Да, это очень хорошо видно. Но мы всё-таки приложим линейку и к нему:

Сейчас очень хорошо видно, что этот угол раскрыт намного шире прямого. Конечно, он - тупой.

Ну что, Плюс и Минус, вы поняли, какие бывают углы?

- Да, поняли. А если присмотреться, то в обычных комнатах все углы — прямые.

- А еще прямые углы у учебников и тетрадей.

- У школьных парт и столов.

- И у нашего волшебного буфета тоже все углы прямые.

- Значит, поставить его можно только туда, где стены образуют прямой угол. Посмотрите ещё раз внимательно на план парадных залов.

Ну, где вы можете найти прямой угол?

- По-моему, в золотом зале все углы тупые, в зелёном — все острые. А вот прямой….

- Мне кажется, я вижу два прямых угла в синем зале. Но, всё-таки, проверю-ка я это при помощи линейки:

Урра! Получилось! В синем зале- 2 прямых угла. Вот если бы мы сначала поработали с планом парадных залов, не пришлось бы волшебный буфет таскать по всему дворцу.

- Ну, а теперь повторите, пожалуйста, чему вы сегодня научились.

- Угол образуется двумя лучами, которые выходят из одной точки.

- Прямой угол можно получить аккуратным сгибанием листа бумаги вчетверо. Но лучше воспользоваться специальной линейкой-треугольником.

- Углы, которые раскрыты меньше прямого угла, называются острыми углами.

- Углы, которые раскрыты больше прямого угла, называются тупыми углами.

- Хорошо, урок вы усвоили. А теперь за работу — поставьте волшебный буфет туда, куда его можно поставить — в синий зал.

До свидания.

- До свидания, царица. Спасибо за урок!

- До свидания, ребята. Нам пора за работу.

videouroki.net

Виды углов. Прямой угол. 2-й класс

Разделы: Начальная школа, Конкурс «Презентация к уроку»

---

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (9,7 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

---

Тип урока: объяснение нового материала.

Место урока в структуре по теме: данная тема изучается в разделе “Табличное сложение однозначных чисел с переходом через десяток”.

Цель урока: Познакомить учащихся с понятием “прямой угол” и научить применять полученные знания на практике.

Задачи урока:

1. Образовательные:

• Познакомить учащихся с понятием “прямой угол”;
• Сформировать практические навыки определения прямого угла при помощи треугольника и без него;
• Продолжить работу по совершенствованию навыка устного счёта в пределах 100;

2. Развивающие:

• Развитие логического мышления, внимания, памяти, пространственного воображения;
• Развитие творческих умений и навыков по теме для успешного выполнения заданий;
• Развитие культуры речи и эмоций учащихся.

3. Воспитательные:

• В целях решения задач нравственного воспитания содействовать воспитанию гуманности и коллективизма, наблюдательности и любознательности, развитию познавательной активности, формированию навыков самостоятельной работы;
• В целях решения задач эстетического воспитания содействовать развитию у учащихся чувства прекрасного.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Ну-ка проверь, дружок,
Ты готов начать урок?
Все ль на месте
Все ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Каждый хочет получать
Только лишь оценку “5”.

— Ребята, сегодня мы опять отправимся в путешествие по королевству Геометрия.

3. Устный счёт.

2 слайд

– У ворот нас встречают король Точка и его дочь – принцесса Прямая. Прежде чем король и принцесса познакомят нас с жителями своего королевства, они хотят вас испытать.

II. Устный счет.

(Слайд 3)

1) Игра “Гусеница-растеряша”.

 — Гусеница растеряла числа, посмотрите на оставшиеся, разгадайте по какому правилу можно продолжить ряд чисел. (Дети называют правило: это чётные числа; каждое последующее число на 2 больше предыдущего).

— Какие же числа растеряла гусеница? (2,4,6,8,10,12,14,16)

(Слайд 4)

2) Игра “Математический баскетбол”.

 Баскетбол — командная спортивная игра, цель которой забросить руками мяч в подвешенную корзину.

— Любой из вас забьёт гол, если правильно решит пример. (Дети по цепочке решают примеры). 30 + 7 25 + 5 32 – 12 66 + 4 80 – 7 28 – 10 45 – 45 53 + 7 59 – 9 90 + 9

Слайд 5

Задание на логику

— Сколько пятачков у 15 поросят? (15)

— Когда гусь стоит на двух ногах, то весит 4 кг. Сколько будет весить гусь, когда встанет на одну ногу?

6 слайд

– Вы прошли все испытания. Король и принцесса очень довольны вами и готовы познакомить вас с жителями королевства “Геометрия”!

(По щелчку створки ворот открываются.)

(Слайд 7)

 — Ребята, перед вами жители королевства “Геометрия”.

— Посмотрите на фигуры в каждой рамке. Какая из них лишняя? Почему?

(Учащиеся называют лишние фигуры, обосновывают свой выбор).

— Разделите все оставшиеся фигуры на две группы. Как это можно сделать? (Оставшиеся фигуры можно разделить на две группы: линии и многоугольники.)

— Назовите виды линий и многоугольников, известные вам. (Линии: прямая, ломаная, кривая. Многоугольники: квадрат, трапеция, прямоугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник, многоугольник).

IV. Работа над новым материалом.

 (Слайд 8)

1) — Тему урока вам подскажет кроссворд. Кроссворд “Геометрический”.

 1) Часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. (Луч).

2) Геометрическая фигура, не имеющая углов. (Круг).

3) Самая маленькая геометрическая фигура. (Точка).

4) Геометрическая фигура, имеющая форму вытянутого круга. (Овал).

 — Тема нашего урока спряталась по вертикали. Найдите её. (Угол). (щелчок вылетают геометрические фигуры).

— Сформулируйте пожалуйста тему нашего урока.

— Ребята, а зачем мы будем изучать углы?

— Как Вы думаете, вам эти знания пригодятся?

(Ответы детей)

 — Углы окружают нас и в повседневной жизни. Приведите свои примеры, где можно найти углы вокруг нас.

— Ребята, а может, кто-то знает, что такое угол? (выслушиваются мнения детей)

Правильность нашей формулировки, мы проверим чуть позже.

— Люди, каких профессий чаще всего встречаются с углами? (конструктор, инженер, дизайнер, строитель, архитектор, моряк, астроном, архитектор, портной и т.д.)

Слайд 9.

Посмотрите на рисунки: уголок соединительный для труб и уголок канцелярский для бумаг; угольник плотника и угольник чертёжный; угловой стол и угловой диван.

— Ребята, а сейчас Король и Принцесса предлагают немного поиграть.

Слайд 10.

Игра “Им угол имя подарил”.

 — Угол важная фигура. Многим фигурам он помог дать имя. Назовите фигуры.

— Что общего в названиях фигур? (что они имеют угольник – общая часть)

— Почему первая часть слов везде разная? (потому что углов разное количество)

Физминутка 11-16 слайды

Открываем тетради, записываем 18 января, классная работа. (слайд 17)

Слайд 18.

— Ребята, а теперь от красных полей отступите одну клеточку и поставьте точку О. От этой точки проведите два луча.

На доске заранее нарисовать точку О (4-5). Вызвать 4-5 детей, чтобы они провели лучи на доске.

— Что за фигуры у нас получилась? (угол)

— Посмотрите, какие разные эти углы.

— Ребята, а теперь соберите правило из слов.

Работа в парах.

(Вывод: угол — это геометрическая фигура, образованная двумя разными лучами

с общим началом).

— Ребята, а теперь посмотрите на фигуру, которую нарисовала я.

— Это угол, или нет.

(Дети говорят – нет, еще раз возвращаемся к правилу, после этого делаем вывод о том, что это тоже угол – развернутый)

Слайд 19. (вывод по углу)

Плакат на доске

Точка О – вершина угла. Угол можно назвать одной буквой, записанной около его вершины. Угол О. Но может быть несколько углов, имеющих одну вершину. Как быть тогда? (На листе чертеж таких углов)

 Ответы детей.

— В таких случаях если называть разные углы одной буквой, то будет непонятно, о каком угле идёт речь. Что этого не произошло, на каждой стороне угла можно отметить по одной точке, поставить около неё букву и обозначить угол тремя буквами, при этом всегда в середине записывают букву, обозначающую вершину угла. Угол АОВ. Лучи АО и ОВ – стороны угла.

Плакат на доске

Слайд 20.

— Ребята, у вас на столах лежат разные виды углов. Найдите пожалуйста одинаковые виды углов.

— Как будете искать? (Ответы детей)

Один человек на моих моделях ищет одинаковые углы.

— Ребята, смотрите, номера 6 и 7 совпали полностью, а 1 и 5 — нет. № 5 больше.

— Какой можно сделать вывод? После ответа детей появляется слайд.

ВЫВОД: слайд 21

• Равные углы при наложении совпадают
• Если один угол наложить на другой и они совпадут, то эти углы равны

Слайд 22.

Изготовление модели прямого угла.

Слайд 23

Не всегда удобно определять прямой угол на глаз. Для этого используют линейку-угольник.

— Каким цветом выделен угол больше прямого? (Голубым).

— Меньше прямого? (Зелёным).

— Какой же угол из трёх предложенных прямой?

— Почему вы так решили? (Вершина и стороны угла совпали с прямым углом на линейке-угольнике).

— Как же определить вид угла?

ВЫВОД:

• Чтобы определить вид угла, надо совместить его вершину и сторону соответственно с вершиной и стороной прямого угла на угольнике.

Слайд 24

 — Каждый из углов имеет своё название. Острый угол – это угол, который меньше прямого. Тупой угол – это угол, который больше прямого.

(На доске появляются таблички с названием углов)

— Какой угол мы будем считать главным?

Мама мой взяла листок,
И загнула уголок,
Угол вот такой у взрослых
Называется ПРЯМЫМ.
Если угол уже — ОСТРЫМ,
Если шире, то — ТУПЫМ.

Слайд 25.

— Ребята, а всегда возможно наложить углы?

— Нет. (Если начерчены в тетради…)

— Для этого существует транспортир, с помощью которого измеряют углы. Углы измеряют в градусах. Посмотрите на виды транспортиров.

Слайд 26.

Очень часто углы мы можем наблюдать на часах. Углы образуют часовые стрелки.

Работа по учебнику.

Задание: Используя модель прямого угла, найди прямые углы и выпиши их номера. (Дети выполняют задание самостоятельно, затем один ученик называет свой вариант ответа, все проверяют работу).

— С помощью угольника удобно не только определять прямые углы, но главное – строить их. Построим прямой угол, каждый сам назовёт его одной или тремя буквами.

 Слайд 27-29 (Учитель на доске, а дети в тетрадях строят прямой угол. Выполняется взаимопроверка в парах).

Я ОСТРЫЙ — начертить хочу,
Сейчас возьму и начерчу.
Веду из точки две прямых,
Как будто два луча,
И видим ОСТРЫЙ УГОЛ мы,
как остриё меча.

А для УГЛА ТУПОГО
Всё повторяем снова:
Из точки две прямых ведём,
Но их пошире разведём.
На чертёж мой посмотри,
Он, как ножницы внутри,
Если их за два кольца
Мы раздвинем до конца.

Практическая работа по закреплению изученного.

На партах у вас проволока. Сделайте из нее прямой угол и проверьте с помощью угольника, затем сделайте острый и тупой.

7. Итог урока.

— Расскажите мне по схеме о том, что вам дал сегодняшний урок математики?

8. Домашнее задание.

17.03.2011

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Самый простой способ как можно вычислить прямой угол подручными средствами

Каждый из нас учился в школе. Там человек получает огромное количество тех знаний, которые впоследствии могут понадобиться в жизни. Не все, конечно, могут в полной мере оценить значимость полученных знаний в школьной время, но сейчас речь не об этом.

Математика. Это страшное для многих слово, которое пугало достаточное количество школьников в своё время. Цифры, формулы и расчёты поддавались только самым пытливым. И с каждым годом этот сложный предмет становился всё сложнее и сложнее.

В старших классах появляется геометрия и всё становится ещё сложнее и непонятнее. Возможно, многие хоть раз в жизни, но в сердцах проклинали непонятную им науку и задавались вопросом, зачем это вообще нужно, и понадобится ли это в жизни.

Возможно, в повседневной жизни применить полученные в школе знания не удавалось. Вряд ли требовалось посреди белого дня высчитывать логарифмы и квадратные уравнения или доказывать, что две параллельные никогда не сойдутся. Но, где уж точно могут понадобиться знания геометрии и математике, так это в строительстве и при осуществлении ремонта.

В данной статье речь пойдёт о вычислении прямого угла, что требуется при строительстве зданий. Точность при возведении строений должна быть соблюдена в обязательном порядке, ведь только точные расчёты могут избавить от перекосов и нестабильности организации всего здания. Вычисление прямого угла при строительстве — не такой уж и трудный процесс, при котором потребуется знание и применение некоторых простых правил математики и геометрии. Подробнее об этом будет рассказано ниже.

Действительно ли прямой угол?

Возможно, некоторые читатели, ознакомившиеся с заголовком данной статьи, возразят, что прямой угол можно получить не всегда, и не всегда при строительстве используются именно ровные и точные прямые углы.

И, в принципе, они правы. Получить его весьма сложно, особенно если наблюдается неровность фундамента, на котором осуществляется строительство здания. Но, даже учитывая это обстоятельство, ни в коем случае нельзя делать вывод, что расчёт прямого угла можно делать просто «на глаз». В любом случае, если не представляется возможным вычислить идеальный прямой угол, то требуется достичь наиболее приближённого значения к идеальному углу в 90 градусов. И этого можно добиться, используя незатейливые инструменты и не самые сложные математические знания и познания в геометрии.

Что понадобится для определения прямого угла?

Итак, какие инструменты понадобится использовать для того, чтобы проверить прямой угол. Сразу стоит отметить, что никаких приборов и серьёзных инструментов для этого не потребуется. Нужно будет использовать весьма простые вещи, которые могут найтись практически в каждом хозяйстве. И даже если их не имеется под рукой, их с лёгкостью можно приобрести в магазине. С этим никаких трудностей не возникнет.

Для вычисления прямого угла нужно взять:

• Карандаш;
• Строительную рулетку.

И всё. Вот так вот всё просто.

Как можно вычислить прямой угол?

Итак, в этой статье будет описан принцип 3-4-5 при определении угла в 90 градусов. Ничего сложного в этом нет. Потребуется просто лишь чуть пораскинуть мозгами и вникнуть во все расчёты, которые смогут помочь в проверке угла.

Итак, нужно обозначить следующие шаги:

1. Для начала стоит разобраться в том, почему принцип так обозначен — 3-4-5. Это не просто набор цифр, это величина сторон прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Цифры 3-4-5 очень подходят для проверки этого простого правила геометрии: 3*3+4*4=5*5, то есть 9+16=25. Именно эти цифры и будут использоваться в дальнейших вычислениях;
2. Итак, потребуется для начала отмерить 3 метра от угла вдоль одной из стен. Тут следует отметить, что 3 метра — предпочтительная длина замера, но в том случае, если комната маленькая, можно отметить всего 30 сантиметров. В месте замера нужно сделать отметку;
3. В принципе, можно использовать и другие цифры, но рекомендуется в любом случае использовать пропорционально увеличенные числа, например: 9-12-15 или же 30-40-50;
4. После проделанного предварительного замера нужно отмерить 4 метра вдоль другой стены, тоже от угла. Ну или соответственно 40 сантиметров, если комната маленькая. Нужно сделать отметку;
5. Теперь остаётся сделать последнее действие, по которому уже можно судить прямой угол или нет. От измеряющего потребуется измерить расстояние между сделанными отметками. По полученным данным можно будет сделать определённые выводы:
   • Если расстояние между отметками будет равняться 5 метрам ровно, это будет означать, что угол является прямым;
   • В том случае, если измеренное расстояние будет равняться меньше 5 метров, угол будет меньше, чем 90 градусов;
   • Ну и, наконец, величина угла будет составлять больше 90 градусов, если полученная величина замера будет равняться больше 5 метров.

Вывод

Вот, как просто можно вычислить прямой угол без использования каких-либо строительных инструментов и приборов. Использовать можно самое простое, но в то же время весьма действенное средство, которое вкупе с использованием имеющихся знаний и бесхитростных расчётов, может помочь произвести измерение.

При использовании предложенных величин, ключевым становится финальный замер между двумя отметками, которые были сделаны ранее. Расстояние, которое будет равняться точно 5 метрам, покажется, что он прямой. Если же величина будет больше или меньше 5 метров, это будет означать, что он прямым не является.

bane.guru

ПРЯМОЙ УГОЛ — это… Что такое ПРЯМОЙ УГОЛ?

Прямой угол — Прямой угол  угол в радиан или 90°, половина развернутого …   Википедия

Прямой угол — ПРЯМОЙ, ая, ое; прям, пряма, прямо, прямШы и прямы. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

прямой угол — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN right angle …   Справочник технического переводчика

прямой угол — угол, равный своему смежному. * * * ПРЯМОЙ УГОЛ ПРЯМОЙ УГОЛ, угол, равный своему смежному …   Энциклопедический словарь

ПРЯМОЙ УГОЛ — угол, равный своему смежному; в градусном измерении равен 90° …   Естествознание. Энциклопедический словарь

Прямой угол — см. Угол …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ПРЯМОЙ УГОЛ — 1) угол, равный своему смежному. 2) Внесистемная ед. плоского угла. Обозначение L. 1 L = 90° = ПИ/2 рад 1,570 796 рад (см. Радиан) …   Большой энциклопедический политехнический словарь

ПРЯМОЙ — прямая, прямое; прям, пряма, прямо. 1. Ровно вытянутый в каком–н. направлении, не кривой, без изгибов. Прямая линия. «Прямая дорога обрывалась и уж шла вниз.» Чехов. Прямой нос. Прямая фигура. 2. Беспересадочный (ж.–д. и разг.). Прямой маршрут.… …   Толковый словарь Ушакова

ПРЯМОЙ — ПРЯМОЙ, ая, ое; прям, пряма, прямо, прямы и прямы. 1. Ровно идущий в каком н. направлении, без изгибов. Прямая линия (линия, образом к рой может служить бесконечная туго натянутая нить). Провести прямую (т. е. прямую линию; сущ.). Дорога идёт… …   Толковый словарь Ожегова

угол основного профиля витка — (αb) Угол между основным профилем витка эвольвентного червяка и прямой, составляющей с осью червяка прямой угол скрещивания. Примечание Угол прямолинейного основного профиля витка эвольвентного червяка αb равен основному углу подъема… …   Справочник технического переводчика

dic.academic.ru

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем с любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти.

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе. Для удобства делаем дробь правильной:, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа ,,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва сопряженных комплексных корня.

Пример 13

Решить квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:,

Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени имеет ровнокорней, часть из которых может быть комплексными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Пример 14

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.

studfiles.net

Возведение в степень комплексного числа, все формулы

Удобнее всего возводить в степень комплексные числа, которые записаны в показательной или тригонометрической форме.

Возведение в степень в показательной форме

Для возведения в степень комплексных чисел в показательной форме верна формула:

Возведение в степень в тригонометрической форме

Обычно комплексные числа принято возводить в степень в тригонометрической форме, для которой верна формула Муавра: .

Данная формула непосредственно следует из формулы Эйлера, связывающей между собой тригонометрические и показательные функции: , поскольку

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Как возвести комплексное число в n-ую степень

Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  |a+ bi | или буквой  r  и равен:

\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.   

Аргумент комплексного числа — это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan φ = b / a . 

Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\)  и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем: 

Отсюда получается:

Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\)  в тригонометрической форме

Решение:

Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\) 

Аргумент данного числа находится из системы:

Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\)  равен  \(-{π\over3}\)  

Получаем:

Операции с комплесными числами в тригонометрической форме:

 

Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.

 

Автор — Дмитрий Айстраханов

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Возведение комплексного числа в натуральную степень

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Для чисел, представленных в алгебраической форме, возведение в $n$-ю степень осуществляется путем перемножения $n$ одинаковых сомножителей.

Определение 1

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$.

Пример 1

Вычислить $n$-ю степень некоторого комплексного числа $z=1+2\cdot i$, где $n=2..4$.

Решение:

По определению операции умножения комплексных чисел в алгебраической форме получим:

Для $n=2$:

\[z^{2} =(1+2\cdot i)\cdot (1+2\cdot i)=1\cdot 1+2\cdot 1\cdot i+1\cdot 2\cdot i+2\cdot 2\cdot i^{2} =1+2i+2i-4=-3+4i\]

Для $n=3$:

$z^{3} =z^{2} \cdot (1+2\cdot i)=(-3+4i)\cdot (1+2\cdot i)=-3\cdot 1+4\cdot 1\cdot i-3\cdot 2\cdot i+4\cdot 2\cdot i^{2} =-3+4i-6i-8=-11-2i$

Для $n=4$:

\[\begin{array}{l} {z^{4} =z^{3} \cdot (1+2\cdot i)=(-11-2i)\cdot (1+2\cdot i)=-11\cdot 1-2\cdot 1\cdot i-11\cdot 2\cdot i-2\cdot 2\cdot i^{2} =-11-2i-22i+4=} \\ {=-7-24i} \end{array}\]

Определение 2

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )].\]

Замечание 1

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{1} =z_{1}^{2} =r_{1} \cdot r_{1} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{1} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{1} )]=r_{1} ^{2} \cdot (\cos 2\varphi _{1} +i\sin 2\varphi _{1} ).\]

Определение 3

Степенью порядка $n$ ($n\in Z_{+} $) комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Данная формула называется формулой Муавра.

Замечание 2

Формулу из определения 3 легко получить из формулы приведенной определении 2 посредством перемножения некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ на само себя $n$ раз.

Формула Муавра показывает, что возводя некоторое комплексное число в целую положительную степень, необходимо модуль числа возвести в данную степень, а аргумент комплексного числа умножить на показатель степени.

Пример 2

Вычислить степени $z^{3} ,\, \, z^{5} $ данного комплексного числа $z=2\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)$.

Решение:

Воспользуемся формулой Муавра:

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi _{1} ).\]

Вычисляя $z^{3} $, получим:

\[z^{3} =2^{3} \cdot \left(\cos \left(3\cdot \frac{\pi }{2} \right)+i\cdot \sin \left(3\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right)=8\cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right).\]

Вычисляя $z^{5} $, получим:

\[z^{5} =2^{5} \cdot \left(\cos \left(5\cdot \frac{\pi }{2} \right)+i\cdot \sin \left(5\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right)=32\cdot \left(\cos \frac{5\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{2} \right)=32\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right).\]

При возведении некоторого комплексного числа, представленного в алгебраической форме, в степень с большим показателем необходимо выполнить следующие действия:

• представить число в тригонометрической форме;
• возвести число в степень по формуле Муавра;
• при необходимости перевести число в алгебраическую форму.

Пример 3

Вычислить степени $z^{2} ,\, \, z^{4} $ некоторого комплексного числа $z=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i$.

Решение:

Представим число в тригонометрической форме:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$, где $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $ и $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

По условию $a=\frac{1}{2} ,b=\frac{1}{2} $.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{1}{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} .\]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{1/2}{1/2} =arctg1=\frac{\pi }{4} .\]

Подставим полученные значения и получим:

\[z=\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} \right).\]

Далее воспользуемся формулой Муавра:

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Вычисляя $z^{2} $, получим:

\[z^{2} =\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} \cdot \left(\cos \left(2\cdot \frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(2\cdot \frac{\pi }{4} \right)\right)=\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\sin \frac{\pi }{2} \right).\]

Запишем ответ в алгебраической форме:

\[z^{2} =\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\sin \frac{\pi }{2} \right)=\frac{1}{2} \cdot \left(0+1\cdot i\right)=0+\frac{1}{2} \cdot i.\]

Вычисляя $z^{4} $, получим:

\[z^{4} =\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{4} \cdot \left(\cos \left(4\cdot \frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(4\cdot \frac{\pi }{4} \right)\right)=\frac{1}{4} \cdot \left(\cos \pi +i\sin \pi \right).\]

Запишем ответ в алгебраической форме:

\[z^{4} =\frac{1}{4} \cdot \left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=\frac{1}{4} \cdot (-1+0\cdot i)=-\frac{1}{4} +0\cdot i.\]

При возведении некоторого комплексного числа, представленного в показательной форме, в степень можно воспользоваться следующим свойством:

\[z^{n} =(r\cdot e^{i\cdot \varphi } )^{n} =r^{n} \cdot (e^{i\cdot \varphi } )^{n} =r^{n} \cdot e^{i\cdot \varphi \cdot n} .\]

Пример 4

Вычислить степени $z^{3} ,\, \, z^{5} $ данного комплексного числа $z=2\cdot e^{i\cdot \pi } $.

Решение:

Воспользуемся формулой:

\[z^{n} =(r\cdot e^{i\cdot \varphi } )^{n} =r^{n} \cdot e^{i\cdot \varphi \cdot n} .\]

Вычисляя $z^{3} $, получим:

\[z^{3} =\left(2\cdot e^{i\cdot \pi } \right)=2^{3} \cdot e^{i\cdot 3\pi } =8\cdot e^{i\cdot 3\pi } =8\cdot e^{(0+i\cdot \pi )+2\pi \cdot i} =8\cdot e^{(0+i\cdot \pi )} =8\cdot e^{i\cdot \pi } .\]

Вычисляя $z^{5} $, получим:

\[z^{5} =\left(2\cdot e^{i\cdot \pi } \right)^{5} =2^{5} \cdot e^{i\cdot 5\pi } =32\cdot e^{i\cdot 5\pi } =32\cdot e^{(0+i\cdot 3\pi )+2\pi \cdot i} =32\cdot e^{(0+i\cdot 3\pi )} =32\cdot e^{(0+i\cdot \pi )+2\pi \cdot i} =32\cdot e^{i\cdot \pi } .\]

При возведении некоторого комплексного числа, представленного в показательной форме, в степень можно выполнить следующие действия:

• представить число в тригонометрической форме;
• возвести число в степень по формуле Муавра;
• при необходимости перевести число в показательную форму.

Пример 5

Вычислить степени $z^{6} $ данного комплексного числа $z=1\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6} } $.

Решение:

По условию $r=1,\varphi =\frac{\pi }{6} $.

Подставим полученные значения и получим число в тригонометрической форме:

\[z=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{6} +i\sin \frac{\pi }{6} \right).\]

Далее воспользуемся формулой Муавра:

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Вычисляя $z^{6} $, получим:

\[z^{6} =1^{6} \cdot \left(\cos \left(6\cdot \frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left(6\cdot \frac{\pi }{6} \right)\right)=1\cdot \left(\cos \pi +i\sin \pi \right).\]

Запишем ответ в показательной форме:

\[z^{6} =1\cdot \left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=1\cdot e^{i\cdot \pi } .\]

Формулу Муавра можно применять при вычислении косинусов и синусов углов, например, $\cos 3\varphi $, $\sin 3\varphi $ и т.д.

При $r=1$ формула Муавра записывается следующим образом:

\[(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n} =\cos n\varphi +i\sin n\varphi .\]

Рассмотрим применение формулы Муавра для вычисления тройных углов ($n=3$).

\[(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{3} =\cos 3\varphi +i\sin 3\varphi \]\[\cos ^{3} \varphi +i\cdot 3\cos ^{2} \varphi \cdot \sin \varphi -3\cos \varphi \cdot \sin ^{2} \varphi -i\cdot \sin ^{3} \varphi =\cos 3\varphi +i\sin 3\varphi \]

По определению равенства двух заданных комплексных числе получим:

\[\cos 3\varphi =\cos ^{3} \varphi -3\cos \varphi \cdot \sin ^{2} \varphi \]

и

\[\sin 3\varphi =\sin ^{3} \varphi +3\cos ^{2} \varphi \cdot \sin \varphi .\]

spravochnick.ru

Возведение комплексных чисел в степень — Мегаобучалка

 

Пример 9:

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? В алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и так называемая формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень n справедлива формула:

 

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

. Тогда по формуле Муавра:

Не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов, но так, чтобы значения синуса и косинуса не изменились. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе : оборотов, в данном случае можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:

(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

 

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

 

 

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

 

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

 

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

 

 

megaobuchalka.ru

Возведение комплексных чисел в степень — МегаЛекции

Начнем со всем любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

 

Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями

Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.

О том, как извлечь квадратный корень из комплексного числа с ненулевой мнимой частью, я расскажу чуть позже, а пока нечто знакомое:

Пример 14

Решить квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным формулам получаем два корня:

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

Нетрудно понять,что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно корней, часть из которых могут быть комплексными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Пример 15

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. Но на этом тема не закрыта! Совсем скоро вы будете уверенно решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами (которые не являются действительными).

---

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Возведение комплексных чисел в степень

 

Пример 9:

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? В алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и так называемая формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень n справедлива формула:

 

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

. Тогда по формуле Муавра:

Не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов, но так, чтобы значения синуса и косинуса не изменились. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе : оборотов, в данном случае можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:

(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

 

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

 

 

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

 

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

 

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

 

 



infopedia.su

число 2 в минус 6 степени означает число обратное степени 2 в 6 степени объясните или напишите чему эти числа равны

единица, деленная на два в шестой степени = 1/64 = 0,015625 как получить число, обратное данному? скинуть это число в знаменатель, оставив в числителе единицу Не надо находить обратное обратному! Ответ: 1/64, или по-другому 0,015625

два в минус шестой равно двум в четвёртой! возьми калькулятор !

ответ: 1/64,а обратное 64/1

А в степени -В = (1/А) в степени В так и 2 в степени -6 это (1/2) в степени 6 это число обратное числу 2 в степени 6

touch.otvet.mail.ru

сколько 5 в 6 степени?

5 в 6 степени будет 15,625

15625 и будет 5 в 6

скорее всего пятнадцать тысяч шестьсот двадцать пять

15625 получается

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: 2 в 6 степени

Шестдесят четыре

шестьдесят четыре

1 подробная черта 64 ебаное огэ так считает

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: 0,2 в 6 степени

Логарифм 0 | Логарифмы

Формулы и уравнения векторной алгебры

Формулы и уравнения векторной алгебры

Основные определения.
• Вектор (геометрический вектор) — это направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая – конечной).
  На чертеже вектор обозначается стрелкой
  
  над буквенным обозначением вектора также ставится стрелка .
  Вектор, фигурирующий в определении, носит название связанного, или закрепленного вектора.
• Закрепленный вектор — это направленный отрезок АВ, началом которого является точка А, а концом — точка В.
  Свободный вектор — это множество всех закрепленных векторов, получающихся из фиксированного закрепленного вектора с помощью параллельного переноса. Обозначается .
  Если же точка приложения вектора (точка A для вектора ) может быть выбрана произвольно, вектор называется свободным.
  Если точка приложения может двигаться по линии действия вектора, говорят о скользящем векторе. Иначе говоря, свободный вектор является представителем бесконечного множества связанных или скользящих векторов.
• Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают:
• Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
  Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
• Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
  Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны.
• Длина вектора (модуль) — это расстояние между началом и концом вектора. Обозначение: или
• Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Например,
  

Алгебраические операции над векторами.
• Операция сложения.
  Суммой двух свободных векторов и называется свободный вектор , начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго, если совмещены конец вектора и начало вектора .
  Сумма двух векторов и () — это вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).
  
  Свойства операции сложения векторов:
  1) Переместительное свойство: (коммутативность).
  2) Сочетательное свойство: (ассоциативность).
  3) Существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора).
  Нулевой вектор порождается нулевым закрепленным вектором, то есть точкой.
  4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
  Правило параллелограмма (правило сложения векторов): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов и
  
  Вычитание векторов определяется через сложение: .
  Другими словами, если векторы и приложены к общему началу, то разностью векторов и будет вектор , идущий из конца вектора к концу вектора .
  
• Операция умножения вектора на число.
  
  Произведением вектора на число называется вектор такой, что:
  1) если λ > 0, ≠ , то получается из растяжением в λ раз: ;
  2) если λ < 0, ≠ , то получается из растяжением в |λ| раз и последующим отражением: ;
  3) если λ = 0 или , то .
  Свойства операции умножения:
  1) Распределительное свойство относительно суммы чисел: для любых действительных и всех (дистрибутивность).
  2) Распределительное свойство относительно суммы векторов: (дистрибутивность).
  3) Сочетательное свойство числовых сомножителей: (ассоциативность).
  4) Существование единицы: .

Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат.
• Ортонормированный базис (ОНБ) — это три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.
  
  Обозначения:
• Базисные орты — это векторы .
• Зафиксированная точка О – это начало координат.
  Отложим от точки O векторы .
  Полученная система координат — это прямоугольная декартова система координат.
• Декартовы координаты вектора — это координаты любого вектора в этом базисе:
  
  Пример 11.
• Координатные оси — это прямые линии, проведенные через начало координат (точку O) по направлениям базисных векторов:
  – порождает Ox;
  – порождает Oy;
  – порождает Oz.
• Абсцисса — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Ox.
  Ордината — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Oy.
  Аппликата — это координата точки M (вектора ) в декартовой системе координат по оси Oz.
• Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz, соответственно. Иначе:
  
  где α, β, γ – углы, которые составляет вектор с координатными осями Ox, Oy, Oz, соответственно, при этом cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . Пример 12.
  Для направляющих косинусов справедливо соотношение:
  
• Орт направления — это вектор единичной длины данного направления.

Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач

matematika.electrichelp.ru

Раздел 2. Векторная алгебра на плоскости и в пространстве

2.1 Понятие о векторах и скалярах

Векторной величиной или вектором (в широком смысле), называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной или скаляром называется всякая величина, направлением не обладающая. Например, сила, действующая на материальную точку, есть вектор, так как она обладает направлением. Скорость также является вектором. Температура тела – это скаляр, так как с этой величиной не связано никакое направление. Масса тела и его плотность – также скалярные величины.

Если отвлечься от направления векторной величины, то ее, как и скалярную величину, можно измерить, выбрав соответствующую масштабную единицу. Но число, полученное в результате измерения, характеризует скалярную величину полностью, а векторную – лишь частично.

Векторную величину полностью можно охарактеризовать направленным отрезком, предварительно задав линейный масштаб.

2.2 Вектор в геометрии

Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается символом (или одной буквой,,, …). Длина отрезкаАВ называется длиной, или модулем вектора и обозначается,.

Векторы иназываютсяколлинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают . Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (сонаправленные векторы) или противоположное.

Три (и более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается или просто 0. По определению нулевой вектор не имеет направления и коллинеарен любому вектору.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называетсяортом вектора и обозначается. Два ненулевых вектора называютсяпротивоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору , обозначается; векторпротивоположен вектору().

Два коллинеарных вектора иназываютсяравными (), если они сонаправлены и имеют равные длины.

Замечание. Нельзя смешивать понятия «равенство отрезков» и «равенство векторов». Говоря: «отрезки равны», мы утверждаем, что их можно совместить наложением. Но для этого один из них может быть придется подвергнуть повороту. Два вектора будут равны лишь в том случае, когда их можно совместить, не применяя поворот.

Совместим параллельным переносом начала неколлинеарных векторов и. Начало и концы векторов образуют вершины треугольника.Углом между векторами иназывается угол при вершине этого треугольника, соответствующий началу векторов. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен нулю; если противоположно направлены – угол между ними равен 180°.

2.3 Векторная алгебра

Над векторами производят действия, называемые сложением, вычитанием и умножением векторов. Эти действия имеют много общих свойств с одноименными алгебраическими действиями. Поэтому учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй.

Суммой двух векторов иназывается вектор, соединяющий начало векторас концом вектора, отложенного от конца вектора.

Обозначение: .

Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» и «параллелограмма», проиллюстрированные на рис. 1 и 2 соответственно.

При сложении векторов имеют место неравенства:

1) ,

2) ,

выражающие, что сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон (неравенство треугольника). В первой формуле равенство имеет место только для сонаправленных векторов, во второй – только для противоположно направленных векторов.

Сумма противоположных векторов равна нуль-вектору: .

Суммой векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к векторуприбавляется вектор, к полученному вектору прибавляется вектори так далее.

Из определения вытекает следующее построение (правило многоугольника или правило цепи).

Из произвольного начала О откладываем вектор , из точкиА₁, как из начала, откладываем вектор , из точкиА₂ строим вектор и так далее. Векторесть сумма векторов.

Сложение векторов подчиняется коммутативному и ассоциативному свойствам:

1) ,

2) .

Коммутативность и ассоциативность сложения векторов позволяет нам находить сумму векторов в любом удобном порядке.

Правило параллелепипеда. Если три вектора ,ипосле приведения к общему началуне лежат в одной плоскости, то сумму можно найти следующим построением. Из общего началаО строим векторы ,,. На отрезкахОА, ОВ, ОС, как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диагонали равен сумме векторов,и, так как,,и.

Под разностью векторов ипонимается вектортакой, что. Обозначение:. Справедливо равенство.

Произведением вектора на числоназывается вектор, который имеет длину, его направление еслии противоположное направление, если.

Обозначение: .

Отметим, что , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Два ненулевых вектора иколлинеарны тогда и только тогда, когда один из них есть произведение другого на некоторое число, т. е., λ – число (признак коллинеарности векторов).

Три ненулевых вектора ,,компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, например,(λ₁, λ₂ – числа не равные нулю одновременно) (признак компланарности векторов).

Умножение вектора на число подчиняется тем же законам, что и умножение чисел:

1. (дистрибутивный закон по отношению к числовому множителю).

2. (дистрибутивный закон по отношению к векторному множителю).

3. (ассоциативный закон).

Пример 1: В треугольнике ABC дано: ,, точкаМ – середина стороны ВС. Выразить вектор через векторыи .

Решение:

Через точкуМ проведем прямые, параллельные сторонам АВ и АС. Получим параллелограмм АВ₁МС₁ (рис. 3), в котором AM является диагональю. Следовательно, . Но,(B₁M и C₁M – средние линии, поэтому AB₁ = B₁B, AC₁ = С₁С). Получаем , т.е..

Пример 2: Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы и, чтобы имело место соотношение?

Решение:

Построим на векторахи, отложенных от точкиО, параллелограмм OADB (рис. 4). Тогда ,. Равенствоозначает, что длины диагоналей параллелограмма равны, т.е.. Отсюда следует, что данный параллелограмм есть прямоугольник. Следовательно, векторыиперпендикулярны.

studfiles.net

Векторы. Начальные сведения

Определения

Вектор – это направленный отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.
Если \(A\) – начало вектора, \(B\) – его конец, то вектор обозначается как \(\overrightarrow{AB}\). Вектор также можно обозначать одной маленькой буквой: \(\overrightarrow{a}\).

 

Иногда говорят, что вектор – это перемещение из точки \(A\) в точку \(B\).

 

Длина (или модуль) вектора \(\overrightarrow{AB}\) – это длина соответствующего отрезка \(AB\).
Обозначение: \(|\overrightarrow{AB}|=AB\).

 

Если длина вектора равна нулю (совпадают начало и конец), то такой вектор называют нулевым.

 

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (\(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) и \(\overrightarrow c\)).

В противном случае векторы называются неколлинеарными (например, \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow d\)).

 

Причем если два коллинеарных вектора направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными (\(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow c\)). В противном случае векторы называются противоположно направленными (\(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\)).
Обозначение: \(\overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow c\), \(\overrightarrow a \uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

 

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

 

Правила сложения коллинеарных векторов:

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).

 

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

 

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

Нужно от конца вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow {a}\), а конец – с концом вектора \(\overrightarrow {b}\).

 

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Нужно от начала вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow {b}\) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

 

Определение

Вектор \(\overrightarrow {-b}\) – это вектор, противоположно направленный с вектором \(\overrightarrow {b}\) и совпадающий с ним по длине.

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}\), нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(-\overrightarrow{b}\):   \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) (рис. 5).

 

Свойства сложения векторов

1. Наличие нейтрального вектора: для любого вектора \(\overset{\rightarrow}{a}\) выполнено: \(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{a}\).

2. Наличие обратного вектора: для любого вектора \(\overset{\rightarrow}{a}\) выполнено \(\overset{\rightarrow}{a} + (-\overset{\rightarrow}{a}) = \overset{\rightarrow}{0}\).

3. Ассоциативность: для любых векторов \(\overset{\rightarrow}{a}\), \(\overset{\rightarrow}{b}\) и \(\overset{\rightarrow}{c}\) выполнено \((\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}) + \overset{\rightarrow}{c} = \overset{\rightarrow}{a} + (\overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{c})\)

4. Коммутативность: для любых векторов \(\overset{\rightarrow}{a}\) и \(\overset{\rightarrow}{b}\) выполнено \(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b} = \overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{a}\).

 

Замечание

Для того, чтобы сложить несколько вектором, можно отложить их последовательно: каждый следующий от конца предыдущего. Тогда суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего: \[\overrightarrow {a_1}+\overrightarrow {a_2}+\overrightarrow {a_3}+ \overrightarrow {a_4}=\overrightarrow {a}\]

 

Определение

Произведением ненулевого вектора \(\overrightarrow {a}\) на число \(\lambda\) называется такой вектор \(\lambda\overrightarrow {a}\), длина которого равна \(|\lambda|\cdot |\overrightarrow {a}|\), причем векторы \(\overrightarrow {a}\) и \(\lambda \overrightarrow {a}\) сонаправлены, если \(\lambda>0\), и противоположно направлены, если \(\lambda<0\). Если \(\lambda=0\), то вектор \(\lambda\overrightarrow {a}\) равен нулевому вектору.

 

Свойства произведения вектора на число

1. Сочетательный закон: \(k(\lambda\overrightarrow {a})=(k\lambda)\overrightarrow {a}\);

 

2. Распределительный закон 1: \((k+\lambda)\overrightarrow {a}=k\overrightarrow {a}+\lambda\overrightarrow {a}\);

 

2. Распределительный закон 2: \(\lambda(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})=\lambda\overrightarrow {a}+\lambda\overrightarrow {b}\).

 

Теорема

Если \(M\) – середина отрезка \(PQ\), \(O\) – произвольная точка плоскости, то \[\overrightarrow {OM}=\dfrac12 \left(\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {OQ}\right)\]

shkolkovo.net

Векторы, Все о векторах

Вектор есть математическим объектом, который имеет величину и направление. Другими словами, это линия заданной длины и проведенная в заданном направлении. Величина вектора есть его длина и обозначающаяся ||.

Если два вектора , проведены в одном и том же направлении, тогда = n. где n — действительное число.

если 0 < n < 1 тогда || < ||
если 1 < n тогда || > ||
если n < 0 тогда || и направление противоположно направлению

Cложение двух векторов осуществляется размещением начала одного вектора к окончанию второго и построением вектора для получения треугольника, как показано на рисунке.

На рисунке внизу показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов and который складывается с .

Скалярное произведение векторов

Пусть у нас есть два вектора. Скалярное произведение векторов определяется по формуле:

другие записи для скалярного произведеения есть or (,)
Результатом скалярного умножения двух векторов всегда есть действительное число.

Свойства скалярного произведения

Если угол между двумя векторами , is 90° тогда = 0, потому что cos(90°) = 0
= ||² потому что угол между двумя векторами есть 180° и cos(180°) = 1

Задачи с векторами

1) Если = -1., что мы можем сказать об этих двух векторах?
Решение: Эти два вектора параллельны, одинаковой величины и с противоположными направлениями.

2) Чему равно скалярное произведение если || = 5, || = 7 и угол между этими двумя векторами равен 30°

3) Докажите, используя вектора, что для любого треугольника длина одной стороны меньше суммы двух других сторон.

www.math10.com

Сложение векторов, Сумма векторов | Формулы и расчеты онлайн

Правило треугольника

Сложение векторов, Сумма векторов, Правило треугольника

Сумма векторов a и b это третий вектор с, получаемый следующим построением: из произвольного начала О строим вектор OL, равный а; из точки L, как из начала строим вектор LM, равный b. Вектор с = ОМ есть сумма векторов a и b («правило треугольника»).

При сложении векторов справедливы неравенства

\[ |\vect{a} + \vect{b}| ≤ |\vect{a}| + |\vect{b}| \]

\[ |\vect{a} + \vect{b}| ≥ | |\vect{a}| — |\vect{b}| | \]

Эти неравенства показывают, что сторона OM треугольника OML меньше суммы и больше разности двух других сторон.

Неравенства при сложении векторов

В формуле (1) знак равенства имеет место только для равнонаправленных векторов, в формуле (2) – только для противоположного направленных векторов.

Сумма противоположных векторов

Из определения следует, что сумма противоположных векторов равна нуль-вектору.

\[ \vect{а} + (-\vect{а}) = 0 \]

Свойство переместительности

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

\[ \vect{а} + \vect{b} = \vect{b} + \vect{а} \]

Правило параллелограмма

Сумма векторов — Правило параллелограмма

Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму a + b можно найти следующим построением:

из любого начала О строим векторы ОА = а и ОВ = b; на отрезках ОА, ОВ строим параллелограмм ОАСВ. Вектор диагонали ОС = с есть сумма векторов a и b (так как АС = OB = b и ОС = ОА + АС).

В помощь студенту

Сложение векторов, Сумма векторов	стр. 171

www.fxyz.ru

Элементы линейной и векторной алгебры. Формулы Крамера. Геометрический вектор

1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1 Определители

ОПР: Определителем второго порядка называется число, обозначаемое: .

ВЫЧИСЛЕНИЕ: .

ПРИМЕР: Вычислить определитель второго порядка:

а)	;
б)	;
в)	.

ОПР: Определитель третьего порядка – это число:

побочная диагональ

главная диагональ

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ:

*

* .

ПРИМЕР: Вычислить определитель третьего порядка:

УПРАЖНЕНИЯ:

а)		;
б)		;
в)		;
г)		.

1.2 Формулы Крамера

Дана линейная неоднородная система  алгебраических уравнений с  неизвестными ()

, где: , ,  – неизвестные;  – коэффициенты уравнения;

, ,  – свободные члены.

ОПР: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы.

ОПР: , ,  – определители, составленные из главного определителя системы заменой столбца коэффициентов при неизвестных  столбцом свободных членов.

.

.

.

ТЕОРЕМА: Если главный определитель системы  линейных неоднородных уравнений с  неизвестными отличается от нуля, то система совместна.

Решение этой системы можно найти по формулам Крамера:

.

ПРИМЕР: Решить систему по формулам Крамера:

.

РЕШЕНИЕ:

 система совместна;

;

;

.

Ответ: .

УПРАЖНЕНИЯ: Решить систему по формулам Крамера

;

1.3 Геометрические векторы

ОПР: Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой

ОБОЗНАЧЕНИЕ:   или   , точка A – начало вектора, точка B – конец вектора.

ОПР: Длиной отрезка AB называется длина (модуль) вектора .

ОБОЗНАЧЕНИЕ:   или   ,

ОПР: Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной плоскости или параллельным плоскостям.

ОПР: Тройка векторов  называется правой, если смотря из конца третьего вектора  кратчайший поворот от первого вектора  ко второму  будет виден как движение против часовой стрелки.

Если движение видно по часовой стрелке, то тройка векторов  называется левой.

ОПР: Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Если , то .

ПРИМЕР: Найти длину вектора.

1)	;
2)	. Вектор имеет координаты . ;
3)	. Вектор имеет координаты . .

ОПР: Если вектор , где  и , то:

.

ПРИМЕР: Даны точки  и . Найти расстояние между двумя точками  и .

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим вектор , по формуле:

;

.

1.4 Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов

Если , , то ;

2. Вычитание векторов

3. Умножение вектора на скаляр

Если ,  – число, то

.

ПРИМЕР:

Даны: , , .

Найти:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

РЕШЕНИЕ:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ,

;

6) ,

,

;

УПРАЖНЕНИЯ: Даны точки , , . Найти:

1)	,	;
2)	,	;
3)	,	;
4)	,	;
5)	,	;
6)	,	;
7)	,	;
8)	,	.

1.5 Скалярное произведение двух векторов

ОПР: Скалярным произведением вектора  на  называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

ОБОЗНАЧЕНИЕ: .

Свойства скалярного произведения:

1.  ;

2.  ;

3. 

4.   – скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля;

5.  ;

6.  Условие ортогональности двух векторов  и : Если  и  – ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны: ;

7.  Скалярное произведение в координатной форме: Если векторы заданы своими координатами  и , то . Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Геометрический смысл скалярного произведения:

ПРИМЕР: Найти скалярное произведение векторов, если ; ; .

РЕШЕНИЕ: По определению скалярного произведения  , то .

ПРИМЕР: Найти скалярное произведение векторов, если ; .

РЕШЕНИЕ: По свойству №7     получим  .

ПРИМЕР: Доказать что векторы  и  ортогональны, если ; .

РЕШЕНИЕ: По свойству №6 , если ,   векторы не являются ортогональными.

ПРИМЕР: Найти угол между двумя векторами  и , если ; ; .

РЕШЕНИЕ: По свойству №5 , , .

ПРИМЕР: Найти скалярное произведение , если ; ; .

РЕШЕНИЕ: По определению скалярного произведения и свойству №3 

ПРИМЕР: Найти , если , если ; ; .

РЕШЕНИЕ: По геометрическому смыслу скалярного произведения , по определению скалярного произведения ,

.

УПРАЖНЕНИЯ:

1.6 Векторное произведение

ОПР: Векторным произведением вектора  на вектор  называется такой вектор , который удовлетворяет условиям:

1) его модуль численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и  как на сторонах;

2)  и ;

3) тройка  – правая

ОБОЗНАЧЕНИЕ:

.

 

Свойства векторного произведения:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  Условие коллинеарности двух векторов:

Векторное произведение равно нуль–вектору тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны , то | |, если , ;

5)  Векторное произведение в координатной форме:

Если , , то

.

Геометрический смысл векторного произведения:

 и .

ПРИМЕР: Найти модуль векторного произведения , если ; ; .

РЕШЕНИЕ:  По определению векторного произведения .

ПРИМЕР: Найти площадь параллелограмма построенного на векторах  и  как на сторонах, если ; ; .

РЕШЕНИЕ: 

.

ПРИМЕР: Найти , если , .

РЕШЕНИЕ: По свойству №5

,

.

УПРАЖНЕНИЯ:

1.7 Смешанное произведение трех векторов

ОПР: Смешанным произведением трех векторов называется их векторно–скалярное произведение.

ОБОЗНАЧЕНИЕ:  или

Геометрический смысл векторного произведения:

Произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, со знаком «+», если тройка правая, и со знаком «–», если тройка левая.

.

Свойства смешанного произведения:

1)  ;

2)  ;

3)  Условие компланарности трех векторов:

Три вектора компланарные тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. ;

4)  Вычисление смешанного произведения в координатной форме:

Если , , , то

;

5)  Объем пирамиды: .

ПРИМЕР: Найти смешанное произведение , если , , .

РЕШЕНИЕ: по свойству №4:

.

ПРИМЕР: Доказать, что  – компланарные, если , , .

РЕШЕНИЕ: по свойству №3:

векторы копланарные.

УПРАЖНЕНИЯ:

Даны: , , .

1)	Найти смешанное произведение
2)	Установить компланарность
3)	Найти объем параллелепипеда
4)	Найти объем пирамиды
5)	Установить вид тройки векторов

2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1 Прямая на плоскости

Если на плоскости задана декартова система координат, то прямую на плоскости можно задать как линию пересечения плоскостей  и , т.е. уравнением:

1.  Общее уравнение прямой на плоскости: ;

2.  Уравнение прямой в отрезках: ;

3.  Уравнение прямой, проходящей через две точки  и :

4.  Если известны угловой коэффициент прямой , и  – отрезок, отсекаемый на оси , то уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: .

Если , то уравнение прямой имеет вид  и прямая параллельна

vunivere.ru

Вектор (геометрия) — это… Что такое Вектор (геометрия)?

Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом.

Определение

Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Учитывая изоморфизм между множеством свободных векторов и множеством их параллельных переносов пространства, если операцию сложения отождествить с композицией переносов, можно использовать множество параллельных переносов пространства даже для определения вектора.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

• Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым:

• Вектор называют противоположным вектору .

• Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: .

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

• Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы и равны, если

• точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
• векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

• Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на котой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D.

Операции над векторами

Сложение векторов

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.

Произведение вектора на число

Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение  — нулевой вектор.

• Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

1. если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;
2. всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов и называют число, равное , где  — угол между векторами и . Обозначения: или .

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

1.  — коммутативность.
2.  — дистрибутивность.
3.  — линейность по отношению к умножению на число.
4.  — норма вектора.

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора на направление единичного вектора.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

• вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
• вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е

1. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть

1. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Условие коллинеарности векторов

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы коллинеарны, если x₁ = λx₂ и y₁ = λy₂, где

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

на сколько градусов Земля поворачивается вокруг своей оси за 1 час?

по моему 0,003 гр!!! за 90 минут!!!

Земле требуется в среднем 23 часа 56 минут и 4.091 секунд (звёздные сутки) , чтобы совершить один оборот вокруг оси, соединяющей северный и южный полюса. [50] Скорость вращения планеты с запада на восток составляет примерно 15 градусов в час (1 градус в 4 минуты, 15′ в минуту) . Это эквивалентно видимому диаметру Солнца или Луны каждые две минуты. (Видимые размеры Солнца и Луны примерно одинаковы. ) Вращение Земли нестабильно [51], но в большом масштабе времени — замедляется. За одно столетие Земля поворачивается на 0s,0014 секунды медленнее, чем в предыдущее столетие. [52] ru.wikipedia.org/wiki/Земля Земля движется вокруг Солнца по эллиптической орбите на расстоянии около 150 млн км со средней скоростью 29,765 км/сек. Скорость колеблется от 30,27 км/сек (в перигелии) до 29,27 км/сек (в афелии) [53]. Двигаясь по орбите, Земля совершает полный оборот за 365,2564 средних солнечных суток (один звёздный год) . С Земли перемещение Солнца относительно звёзд составляет около 1° в день в восточном направлении. Скорость движения Земли по орбите непостоянна: в июле она начинает ускоряться (после прохождения афелия) , а в январе — снова начинает замедляться (после прохождения перигелия) . Солнце и вся солнечная система обращается вокруг центра галактики Млечного Пути по почти круговой орбите со скоростью около 220 км/c. В свою очередь, Солнечная система в составе Млечного Пути движется со скоростью примерно 20 км/с по направлению к точке (апексу) , находящейся на границе созвездий Лиры и Геркулеса, ускоряясь по мере расширения Вселенной. Увлекаемая движением Солнца, Земля описывает в пространстве винтовую линию.

touch.otvet.mail.ru

на сколько градусов Земля поворачивается за 1 час

Вы забыли, что все относительно? Вращается или не вращается Земля зависит от того какую систему отсчета взять за основу. Например, древние считали, что Земля неподвижна и стоит на трех китах. Поэтому в геостационарной системе Птолемея Земля действительно неподвижна и вокруг неё вращаются Солнце и другие звезды. И в инерциальной системе отсчета Земля фактически неподвижна относительно окружающих звезд, потому, что ее вращение из-за гигантских расстояний практически не поддается измерению. И относительно геостационарных спутников тоже неподвижна. Вращение Земли будет наблюдаться только в одном случае: если взять за основу гелиоцентрическую систему Коперника.

За 24 часа на 360))) Тогда в час 15 градусов)

Ну…. я не уверена но наверное на 3 Упс….

вокруг чего?? ? своей оси или солнца?? ?

вокруг своей оси или вокруг солнца или…?

Вокруг ЧЕГО? Вокруг собственной оси: разделите 360 на 24 (15 гр. ) Вокруг Солнца: разделите 360 на 8766 (0,04 гр.)

раздели 360 градусов на 24=15 градусов

touch.otvet.mail.ru

На сколько градусов нагреется тело человека (масса 70кг.) , если лишить его на 1 час теплоотдачи?

Ну больше 60 градусов точно не будет — начнется денатурация белков. А трупы тепло не вырабатывают. Вы думаете, сейчас все бросятся по справочникам копаться, искать все требуемые параметры?

Вообще-то по-разному. В Средней Азии от жары в меха кутаются, там теплоотдача низкая — и ничего, не варятся.

какой то новый способ. раньше нагревали с помощью утюга…

Одна килокалория нагревает литр воды на градус. Можно считать, что человек такой массы рассеивает в сутки 2500 ккал тепла. За час — 1/24 этой величины. Если теплоёмкость человека равна теплоёмкости воды, то человек нагреется на 2 кельвина.

Зависит от того, чем человек занимается. Если приблизительно — человек съедает за день 2000 ккал, переводя их в тепло. За час — 80 ккал. 1 ккал — энергия, необходимая для нагревания 1 килограмма воды на один градус. Поскольку человек на 80% состоит из воды, то и теплоемкость должна быть того же порядка. Получается, за час без теплоотвода человек прогреется примерно на 1 градус

touch.otvet.mail.ru

Основные соотношения комбинаторики

Литература

1) Бронштейн Е.М. Комбинаторика в задачах. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

1. Основной принцип комбинаторики.

1.1. От Москвы до Уфы можно добраться поездом, самолетом, теплоходом, а от Уфы до райцентра поездом, самолетом, автобусом. Сколькими способами можно в совокупности добраться от Москвы до райцентра через Уфу?

1.2. Есть конверты без марок 5 видов и марки 4 видов. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой?

1.3. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего нужно выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

1.4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белую и черную клетки, не лежащие на одной горизонтали или вертикали?

1.5. (Обобщение). Если элемент а₁можно выбрать n₁способами, после каждого выбора следующий за ним элемент а₂ можно выбрать n₂способами, …, после выбора элементов а₁, …, а_k-1 элемент а_kвыбирается n_kспособами, т.е.

a₁n₁,

a₂n₂,

………

a_mn_m,

то сколькими способами можно выбрать вектор (a₁, …,a_m)? Ответ:n₁n₂…n_m.

Ответ задачи 1.5 называется основным принципом комбинаторики или принципом произведения.

2. Размещение с повторениями

2.1. Замок в автоматической камере хранения содержит 4 диска, на каждом из которых записаны цифры 0,1,…,9. Сколько различных кодов можно получить?

2.2. В группе из 25 человек разыгрывается три различных приза. Призы могут достаться одному человеку, двоим, троим. Сколькими способами призы могут распределиться?

2.3. В пачке 20 экзаменационных билетов. Каждый студент получает билет, отвечает на него, билет возвращается в пачку и после этого заходит следующий студент. Сколько различных вариантов раздачи билетов существует для 10 студентов?

2.4. На складе имеется 7 рулонов ткани различных цветов и 5 различных стульев. Каждого рулона достаточно для обивки всех стульев. Сколькими способами можно обить стулья?

2.5. (Обобщение). В пачке n карточек с номерами. Исследователь достает карточку, записывает номер и возвращает карточки назад. После этого он снова достает карточку и т.д. Сколько различных записей может быть после того, как доставалось k карточек? . (Комбинации 1-2-3, 1-3-2 и т.д. считаются разными.) Ответ:.

3. Размещение без повторений

3.1. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков на любой другой? А если языков 10?

3.2. Каков будет ответ в задаче 2.2, если каждый человек может получить лишь один приз?

3.3. Каков будет ответ в задаче 2.3, если экзаменатор не возвращает в пачку использованный билет?

3.4. Каков будет ответ в задаче 2.4, если каждого рулона ткани хватит только на один стул?

3.5. Пусть в коробке имеется nкарточек. Достается одна из них, причем в коробку не возвращается. Так повторяетсяkраз. Сколько существует различных комбинаций выбора карточек. (Комбинации 1-2-3, 1-3-2 и т.д. также считаются разными.

3.5. (Обобщение). Пусть дано множество А, содержащее n элементов. Сколько существует различных векторов в множестве А^k, все компоненты каждого из которых различны?

Ответ: — число размещений из n по .k.

4. Перестановки

4.1. Сколькими способами можно сформировать очередь из 5 человек?

4.2. Каков будет ответ в задаче 3.3, если студентов 20?

4.3. Каков будет ответ в задаче 3.4, если стульев 7?

4. (Обобщение). Сколькими способами элементы n- элементного множества А можно расположить в цепочку?

Ответ: Р_n=n(n-1)…1=n! — число перестановок из n.

studfiles.net

Основные соотношения комбинаторики

Литература

1) Бронштейн Е.М. Комбинаторика в задачах. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

1. Основной принцип комбинаторики.

1.1. От Москвы до Уфы можно добраться поездом, самолетом, теплоходом, а от Уфы до райцентра поездом, самолетом, автобусом. Сколькими способами можно в совокупности добраться от Москвы до райцентра через Уфу?

1.2. Есть конверты без марок 5 видов и марки 4 видов. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой?

1.3. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего нужно выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

1.4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белую и черную клетки, не лежащие на одной горизонтали или вертикали?

1.5. (Обобщение). Если элемент а₁можно выбрать n₁способами, после каждого выбора следующий за ним элемент а₂ можно выбрать n₂способами, …, после выбора элементов а₁, …, а_k-1 элемент а_kвыбирается n_kспособами, т.е.

a₁n₁,

a₂n₂,

………

a_mn_m,

то сколькими способами можно выбрать вектор (a₁, …,a_m)? Ответ:n₁n₂…n_m.

Ответ задачи 1.5 называется основным принципом комбинаторики или принципом произведения.

2. Размещение с повторениями

2.1. Замок в автоматической камере хранения содержит 4 диска, на каждом из которых записаны цифры 0,1,…,9. Сколько различных кодов можно получить?

2.2. В группе из 25 человек разыгрывается три различных приза. Призы могут достаться одному человеку, двоим, троим. Сколькими способами призы могут распределиться?

2.3. В пачке 20 экзаменационных билетов. Каждый студент получает билет, отвечает на него, билет возвращается в пачку и после этого заходит следующий студент. Сколько различных вариантов раздачи билетов существует для 10 студентов?

2.4. На складе имеется 7 рулонов ткани различных цветов и 5 различных стульев. Каждого рулона достаточно для обивки всех стульев. Сколькими способами можно обить стулья?

2.5. (Обобщение). В пачке n карточек с номерами. Исследователь достает карточку, записывает номер и возвращает карточки назад. После этого он снова достает карточку и т.д. Сколько различных записей может быть после того, как доставалось k карточек? . (Комбинации 1-2-3, 1-3-2 и т.д. считаются разными.) Ответ:.

3. Размещение без повторений

3.1. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков на любой другой? А если языков 10?

3.2. Каков будет ответ в задаче 2.2, если каждый человек может получить лишь один приз?

3.3. Каков будет ответ в задаче 2.3, если экзаменатор не возвращает в пачку использованный билет?

3.4. Каков будет ответ в задаче 2.4, если каждого рулона ткани хватит только на один стул?

3.5. Пусть в коробке имеется nкарточек. Достается одна из них, причем в коробку не возвращается. Так повторяетсяkраз. Сколько существует различных комбинаций выбора карточек. (Комбинации 1-2-3, 1-3-2 и т.д. также считаются разными.

3.5. (Обобщение). Пусть дано множество А, содержащее n элементов. Сколько существует различных векторов в множестве А^k, все компоненты каждого из которых различны?

Ответ: — число размещений из n по .k.

4. Перестановки

4.1. Сколькими способами можно сформировать очередь из 5 человек?

4.2. Каков будет ответ в задаче 3.3, если студентов 20?

4.3. Каков будет ответ в задаче 3.4, если стульев 7?

4. (Обобщение). Сколькими способами элементы n- элементного множества А можно расположить в цепочку?

Ответ: Р_n=n(n-1)…1=n! — число перестановок из n.

studfiles.net

Основные соотношения комбинаторики

Литература

1) Бронштейн Е.М. Комбинаторика в задачах. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

1. Основной принцип комбинаторики.

1.1. От Москвы до Уфы можно добраться поездом, самолетом, теплоходом, а от Уфы до райцентра поездом, самолетом, автобусом. Сколькими способами можно в совокупности добраться от Москвы до райцентра через Уфу?

1.2. Есть конверты без марок 5 видов и марки 4 видов. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой?

1.3. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего нужно выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

1.4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белую и черную клетки, не лежащие на одной горизонтали или вертикали?

1.5. (Обобщение). Если элемент а₁можно выбрать n₁способами, после каждого выбора следующий за ним элемент а₂ можно выбрать n₂способами, …, после выбора элементов а₁, …, а_k-1 элемент а_kвыбирается n_kспособами, т.е.

a₁n₁,

a₂n₂,

………

a_mn_m,

то сколькими способами можно выбрать вектор (a₁, …,a_m)? Ответ:n₁n₂…n_m.

Ответ задачи 1.5 называется основным принципом комбинаторики или принципом произведения.

2. Размещение с повторениями

2.1. Замок в автоматической камере хранения содержит 4 диска, на каждом из которых записаны цифры 0,1,…,9. Сколько различных кодов можно получить?

2.2. В группе из 25 человек разыгрывается три различных приза. Призы могут достаться одному человеку, двоим, троим. Сколькими способами призы могут распределиться?

2.3. В пачке 20 экзаменационных билетов. Каждый студент получает билет, отвечает на него, билет возвращается в пачку и после этого заходит следующий студент. Сколько различных вариантов раздачи билетов существует для 10 студентов?

2.4. На складе имеется 7 рулонов ткани различных цветов и 5 различных стульев. Каждого рулона достаточно для обивки всех стульев. Сколькими способами можно обить стулья?

2.5. (Обобщение). В пачке n карточек с номерами. Исследователь достает карточку, записывает номер и возвращает карточки назад. После этого он снова достает карточку и т.д. Сколько различных записей может быть после того, как доставалось k карточек? . (Комбинации 1-2-3, 1-3-2 и т.д. считаются разными.) Ответ:.

3. Размещение без повторений

3.1. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков на любой другой? А если языков 10?

3.2. Каков будет ответ в задаче 2.2, если каждый человек может получить лишь один приз?

3.3. Каков будет ответ в задаче 2.3, если экзаменатор не возвращает в пачку использованный билет?

3.4. Каков будет ответ в задаче 2.4, если каждого рулона ткани хватит только на один стул?

3.5. Пусть в коробке имеется nкарточек. Достается одна из них, причем в коробку не возвращается. Так повторяетсяkраз. Сколько существует различных комбинаций выбора карточек. (Комбинации 1-2-3, 1-3-2 и т.д. также считаются разными.

3.5. (Обобщение). Пусть дано множество А, содержащее n элементов. Сколько существует различных векторов в множестве А^k, все компоненты каждого из которых различны?

Ответ: — число размещений из n по .k.

4. Перестановки

4.1. Сколькими способами можно сформировать очередь из 5 человек?

4.2. Каков будет ответ в задаче 3.3, если студентов 20?

4.3. Каков будет ответ в задаче 3.4, если стульев 7?

4. (Обобщение). Сколькими способами элементы n- элементного множества А можно расположить в цепочку?

Ответ: Р_n=n(n-1)…1=n! — число перестановок из n.

studfiles.net

2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов

Производящая функция является устройством, отчасти напоминающим мешок. Вместо того чтобы нести отдельно много предметов, что могло бы оказаться затруднительным, мы собираем их вместе, и тогда нам нужно нести лишь один предмет – мешок.

Д. Пойа

Биномиальная теорема указывает на то, что (1+z)ⁿ – это производящая функция для последовательности . Действительно,

Часто бывает удобно вместо ряда (5) рассматривать ряд вида

, (7)

который мы будем называть экспоненциальной производящей функцией последовательности (4).

Производящие функции числа основных комбинаторных объектов:

1. производящая функция для

2. Производящей функцией числа сочетаний из множества

E = {e₁, e₂, …, e_n}, заданных условиями, согласно которым кратность каждого элемента e_i может быть одним из чисел является функция

+^…),

а коэффициент при x^k , полученный после раскрытия скобок, равен числу таких сочетаний.

3) Найти число сочетаний с повторениями из n элементов по k без всяких ограничений на кратность элементов в данном сочетании (т.е. кратность каждого элемента может быть любым целым неотрицательным числом), таким образом,

В данном случае производящая функция выглядит следующим образом:

.

4) Найти число сочетаний с повторениями из n элементов по k, в которых каждый элемент встречается не менее r раз (т.е. кратность каждого элемента может быть одним из чисел r, r+1, r+2, …). Производящей функцией для числа сочетаний такого вида является функция

.

₅₎

– экспоненциальная производящая функция числа размещений A_n^k.

6)

– экспоненциальная производящая функция числа n^k (т.е. числа k-пере­становок с повторением элементов в n-элементном множестве).

Пример 18. Какой вид имеет производящая функция для сочетаний из трех элементов, в которых каждый элемент встречается не менее одного раза?

Решение: n = 3, r = 1, тогда

Пример 19. Имеется множество M = {a, b, c}, из элементов которого строятся пятиместные размещения со следующими ограничениями на частоту повторения элементов:

1. элемент a может входить в размещение не более одного раза;

2. элемент b может входить в размещение один или два раза;

3. элемент c может входить в размещение неограниченное число раз.

Найти число размещений описанного типа.

Решение: Как известно, число k-размещений с повторением элементов в n-элементом множестве равняется n^k.

Производящая функция для размещений с повторениями выглядит так:

коэффициент при равен .

Согласно условиям исходной задачи производящая функция выглядит следующим образом:

.

Теперь, перемножив скобки, ищем коэффициент перед , он и есть решение исходной задачи.

Получаем

=

=

Дифференциальные уравнения онлайн. Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений. Благодаря нашему онлайн сервису вам доступно решение дифференциальных уравнений любого вида и сложности: неоднородные, однородные, нелинейные, линейные, первого, второго порядка, с разделяющимися переменными или не разделяющимися и т.д. Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитическом виде с подробным описанием. Многие интересуются: зачем необходимо решать дифференциальные уравнения онлайн? Данный вид уравнений очень распространён в математике и физике, где решить многие задачи без вычисления дифференциального уравнения будет невозможно. Также дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение же такого уравнения в онлайн режиме значительно облегчает вам поставленные задачи, дает возможность лучше усвоить материал и проверить себя. Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный математический сервис Math34.su позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн любой сложности. Как вы знаете, существует большое количество видов дифференциальных уравнений и для каждого из них предусмотрены свои способы решения. На нашем сервисе вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и вида в онлайн режиме. Для получения решения мы предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение». Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете на 100% быть уверены, что получили верный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решить дифференциальные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция y – это функция от x переменной. Но вы можете задавать и свое обозначение переменной. Например, если вы укажете в дифференциальном уравнении y(t), то наш сервис автоматически определит, что у является функцией от t переменной. Порядок всего дифференциального уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении. Решить такое уравнение – означает найти искомую функцию. Решить дифференциальные уравнения онлайн вам поможет наш сервис. Для решения уравнения от вас не потребуется много усилий. Необходимо лишь ввести в нужные поля левую и правую части вашего уравнения и нажать кнопку «Решение». При вводе производную от функции необходимо обозначать через апостроф. Через считанные секунды вы получите готовое подробное решение дифференциального уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении в левой части находится выражение, зависящее от y, а правой части – выражение, которое зависит от x, то такое дифференциальное уравнение называется с разделяющимися переменными. В левой части может быть производная от y, решение дифференциальных уравнений такого вида будет в виде функции y, выраженной через интеграл от правой части уравнения. Если же в левой части будет дифференциал функции от y, то в таком случае интегрируются обе части уравнения. Когда переменные в дифференциальном уравнении не разделены, то их потребуется разделить, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Линейное дифференциальное уравнение. Линейным называется дифференциальное уравнение, у которого функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) – это непрерывные функции от x. Решение дифференциальных уравнений такого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого, второго, n-го порядка. Порядок дифференциального уравнения определяет порядок старшей производной, которая содержится в нем. В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция y=f(x), подставив которую в уравнение, вы получите тождество. Процесс поиска решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Задача Коши. Если помимо самого дифференциального уравнения задается первоначальное условие y(x0)=y0, то это называется задачей Коши. В решение уравнения добавляются показатели y0 и x0 и определяют значение произвольной константы C, а потом частное решение уравнения при этом значении C. Это и является решением задачи Коши. Еще задачу Коши называют задачей с граничными условиями, что очень распространено в физике и механике. Также у вас есть возможность задать задачу Коши, то есть из всех возможных решений уравнения выбрать частное, которое отвечает заданным первоначальным условиям.

math24.su

Решение задачи Коши онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

UPD: Теперь вы можете вводить условия задачи Коши прямо в форму:

Рассмотрим пример решения задачи Коши с помощью онлайн калькулятора «Контрольная-работа.Ру».

Внимание! Следуя этому примеру и подробно и внимательно читая вы сможете решить и свою задачу, просто следуя тем же шагам!

Возьмём задачу из контрольной «Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка«:

Для того, чтобы решить данную задачу откройте сервис решения дифференциальных уравнений онлайн

и введите в форму левую часть уравнения y’ — y/x

а в правую часть уравнения: -lnx/x

как на картинке:

Нажимаем кнопку «Решить дифференциальное уравнение!«

Видим ответ для этого дифф. ур-ния:

y(x) == C1*x + log(x) + 1

Но как вы знаете, это ещё не решение задачи Коши, это всего лишь решение дифференциального уравнения.

Теперь по начальным условиям y(1) = 1 надо найти C1.

Для этого воспользуемся сервисом по решению обычных уравнений онлайн

Вобъём в форму обычных уравнений в правую часть уравнения c*x + log(x) + 1, а в левую y

А также укажем, что уравнение с неизвестной c=C1

На рис. всё это видно:

Нажимаем кнопку «Решить уравнение!«

Получаем ответ для C1

y - log(x) - 1
──────────────
      x       

Но и это ещё не всё.

Надо указать, что y = 1 и x = 1 (т.к. y(1)=1). Подставляем по той же ссылке как на рис. ниже:

Нажимаем кнопку «Обновить«

И получаем окончательный ответ для C1:

C1 = c = 0

Подставляем это C1 в решение дифф. уравнения и мы получим решение нашей задачи Коши:

y(x) = C1*x + log(x) + 1 = 0*x + log(x) + 1 = log(x) + 1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решение дифференциальных уравнений онлайн

Дифференциальные уравнения онлайн. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн на сайте Math34.biz. Дифуры онлайн, решение математики в режиме онлайн. Пошаговое решение математических задач онлайн. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него. Дифференциальные уравнения онлайн. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными. Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Дифференциальные уравнения онлайн. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т.д. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн.

math24.biz

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y» + p(x)y‘ + q(x)y = f(x),

где y — функция, которую требуется найти, а p(x), q(x) и f(x) — непрерывные функции на некотором интервале (a, b).

Если правая часть уравнения равна нулю (f(x) = 0), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю (f(x) ≠ 0), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y»:

y» = −p(x)y‘ − q(x)y + f(x).

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y» + p(x)y‘ + q(x)y = 0.

Если y1(x) и y2(x) — частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y1(x) + y2(x) — также является решением этого уравнения;

2) Cy1(x), где C — произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

C1y1(x) + C2y2(x)

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при различных значениях C1 и C2 можно получить все возможные решения уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y1(x) и y2(x).

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема. Функция C1y1(x) + C2y2(x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y1(x) и y2(x) линейно независимы.

Определение. Функции y1(x) и y2(x) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

y1(x)/y2(x) = k; k = const; k ≠ 0.

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x):

.

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения — линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде

.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y» + py‘ + qy = 0,

где p и q — постоянные величины.