Рубрика: Школьная жизнь

Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

Разделы: Математика

Цель урока: научиться вычислять объемы тел вращения с помощью интегралов.

Задачи:

• закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;
• познакомиться с понятием объемной фигуры;
• научиться вычислять объемы тел вращения;
• способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при построении чертежей;
• воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.

Приветствие группы. Сообщение учащимся целей урока.

Рефлексия. Спокойная мелодия.

– Сегодняшний урок мне бы хотелось начать с притчи. “Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее умертвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”. (Презентация. Слайд)

– Поэтому давайте сегодня плодотворно поработаем, приобретем новый багаж знаний, и полученные умения и навыки будем применять в дальнейшей жизни и в практической деятельности. “Все в Ваших руках”.

– Давайте вспомним основные моменты ранее изученного материала. Для этого выполним задание “Исключите лишнее слово”. (Слайд.)

(Учащийся выходит к И.Д.с помощью ластика убирает лишнее слово.)

– Правильно “Дифференциал”. Попробуйте оставшиеся слова назвать одним общим словом. (Интегральное исчисление.)

– Давайте вспомним основные этапы и понятия связанные с интегральным исчислением..

“Математическая гроздь”.

Задание. Восстановите пропуски. (Студент выходит и вписывает ручкой необходимые слова.)

– Реферат о применении интегралов мы заслушаем позже.

Работа в тетрадях.

– Формулу Ньютона-Лейбница вывели английский физик Исаака Ньютона (1643–1727) и немецкий философ Готфрида Лейбница (1646–1716). И это не удивительно, ведь математика – язык, на котором говорит сама природа.

– Рассмотрим, как при решении практических заданий используется эта формула.

– Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (Слайд) (На рисунке представлена плоская фигура.)

– Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской? (Слайд) (На рисунке представлена объемная фигура.)

– В космосе, на земле и в повседневной жизни мы встречаемся не только с плоскими фигурами, но и объемными, а как же вычислить объем таких тел? Например объем планеты, каметы, метеорита, и т.д.

– Об объеме задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованны.

Сообщение студентки. (Тюрина Вера.)

1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определить их объёмы. (Слайд 2)

– Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических знаний.

– Вот сегодня мы с вами и займемся такой практической деятельностью, следовательно,

Тема нашего урока: “Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла”. (Слайд)

– Определение тела вращения вы узнаете, выполнив следующее задание.

“Лабиринт”.

Лабиринт (греческое слово) означает ход в подземелье. Лабиринт– запутанная сеть дорожек, ходов, сообщающихся друг с другом помещений.

Но определение “разбилось”, остались подсказки в виде стрелок.

Задание. Найдите выход из запутанного положения и запишите определение.

Слайд. “Карта инструктаж” Вычисление объемов.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:

1., если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

2. , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Карту инструктаж получает каждый студент. Преподаватель подчеркивает основные моменты.

– Преподаватель объясняет решение примеров на доске.

Пример.

Рассмотрим отрывок из известной сказки А. С. Пушкина “Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде” (Слайд 4):

…..
И привез гонец хмельной
В тот же день приказ такой:
“Царь велит своим боярам,
Времени не тратя даром,
И царицу и приплод
Тайно бросить в бездну вод”.
Делать нечего: бояре,
Потужив о государе
И царице молодой,
В спальню к ней пришли толпой.
Объявили царску волю –
Ей и сыну злую долю,
Прочитали вслух указ,
И царицу в тот же час
В бочку с сыном посадили,
Засмолили, покатили
И пустили в окиян –
Так велел-де царь Салтан.

(Слайд 5):

Какими же должен быть объем бочки, чтобы в ней поместились царица и её сын?

– Рассмотрим следующие задания

1. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x² + y²  = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Ответ : 1163 cm³.

Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = , x = 4, y = 0.

Решение .

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x², y² = x.

Решение .

Построим графики функции. y = x², y² = x. График y² = x   преобразуем к виду y = .

Имеем V = V₁ – V₂ Вычислим объем каждой функции

– Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту замечательного русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. Причём, каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности (рис.8, 9).

– Рассмотрим задачу.

Найти объем тела, получаемого вращением дуг гиперболы вокруг ее мнимой оси, как показано на рис. 8, где

Решение.

куб. ед.

Задания по группам. Учащиеся вытягивают жребий с задачами, рисунки выполняют на ватмане, один из представителей группы защищает работу.

1-я группа.

Удар! Удар! Ещё удар!
Летит в ворота мячик – ШАР!
А это– шар арбузный
Зелёный, круглый, вкусный.
Вглядитесь лучше – шар каков!
Он сделан из одних кругов.
Разрежьте на круги арбуз
И их попробуйте на вкус.

Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ОХ функции, ограниченную

Решение.

Ошибка! Закладка не определена.

– Скажите, пожалуйста, где мы встречаемся с данной фигурой?

Дом. задание для 1 группы. ЦИЛИНДР (слайд) .

«Цилиндр – что такое?» – спросил я у папы.
Отец рассмеялся: Цилиндр – это шляпа.
Чтобы иметь представление верное,
Цилиндр, скажем так, это банка консервная.
Труба парохода – цилиндр,
Труба на нашей крыше – тоже,

Все трубы на цилиндр похожи.
А я привёл пример такой –
Калейдоскоп любимый мой,
Глаз от него не оторвёшь,
И тоже на цилиндр похож.

– Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем .

2-я группа. КОНУС (слайд).

Сказала мама: А сейчас
Про конус будет мой рассказ.
В высокой шапке звездочёт
Считает звёзды круглый год.
КОНУС – шляпа звездочёта.
Вот какой он. Понял? То-то.
Мама у стола стояла,
В бутылки масло разливала.
– Где воронка? Нет воронки.
Поищи. Не стой в сторонке.
– Мама, с места я не тронусь,
Расскажи ещё про конус.
– Воронка и есть в виде конуса лейка.
Ну-ка, найди мне её поскорей-ка.
Воронку я найти не смог,
Но мама сделала кулёк,
Картон вкруг пальца обкрутила
И ловко скрепкой закрепила.
Масло льётся, мама рада,
Конус вышел то, что надо.

Задание . Вычислить объем тела полученный вращением вокруг оси абсцисс

Дом. задание для 2-й группы. ПИРАМИДА (слайд).

Я видел картину. На этой картине
Стоит ПИРАМИДА в песчаной пустыне.
Всё в пирамиде необычайно,
Какая-то есть в ней загадка и тайна.
А Спасская башня на площади Красной
И детям, и взрослым знакома прекрасно.
Посмотришь на башню – обычная с виду,
А что на вершине у ней? Пирамида!

Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем пирамиды

Вывод.

– Объёмы различных тел мы вычисляли опираясь на основную формулу объёмов тел с помощью интеграла.

Это является ещё одним подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.

– Ну а теперь давайте немного отдохнем.

Найди пару.

Математическое домино мелодия играет.

“Дорога та, что сам искал, вовек не позабудется…”

Исследовательская работа. Применение интеграла в экономике и технике.

Тесты для сильных учащихся и математический футбол.

Математический тренажер.

2. Совокупность всех первообразных от данной функции называется

А) неопределенным интегралом,

Б) функцией,

В) дифференциацией.

7. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Д/З. Вычислить объемы тел вращения.

Рефлексия.

Приём рефлексии в форме синквейна (пятистишия).

1-я строка – название темы (одно существительное).

2-я строка – описание темы в двух словах, два прилагательных.

3-я строка – описание действия в рамках этой темы тремя словами.

4-я строка – фраза их четырёх слов, показывает отношение к теме (целое предложение).

5-я строка – синоним, который повторяет суть темы.

1. Объем.
2. Определенный интеграл, интегрируемая функция.
3. Строим, вращаем, вычисляем.
4. Тело, полученное вращением криволинейной трапеции (вокруг ее основания).
5. Тело вращения (объемное геометрическое тело).

Вывод (слайд).

• Определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики, которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.
• Тема “Интеграл” ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией, экономикой и техникой.
• Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла. В связи с этим, начинать его изучение необходимо в рамках средне специального образования!

Выставление оценок . (С комментированием.)

Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:

Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она – твоё творенье.

Приложение 2.

9.01.2014

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Объем тела вращения вокруг оси Ox, Oy

Объем тела V, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры , , где y₁(x) и y₂(x) — непрерывные неотъемлемые функции, равняется определенному интегралу от разницы квадратов функций y_i(x) по переменной x

Объем тела V, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры , , где y(x) — однозначная непрерывная функция, равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле

Примеры выбраны из учебной программы для студентов механико-математического факультета Львовского национального университета имени Ивана Франко. 

Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).
Для изучения основных моментов схема интегрирования и формулы вычисления объема тела вращения будут повторяться из примера в пример.

ІV. Найти объемы тел, ограниченными поверхностями, полученными при вращении отрезков следующих линий

Пример 2.139 (2472) Найти объем тела, образованного вращением кривой (нейлоїд) xє[0;a] вокруг оси Ox.
Решение: Складываем подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования известны за условием: [0;a].
Найдем объем тела интегрированием:

Всегда помните, что объем измеряется в кубических единицах.

Пример 2.140 (2473) Найти объем тела, образованного вращением кривой y=2x-x^2, y=0 
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.
Решение: Запишем подинтегральные функции:
а)
б)
Из приведенных формул Вы можете видеть разницу, в каких случаях применять каждую из формул объема.
Найдем пределы интегрирования:

И заключительным шагом вычисляем объемы интегрированием.
а) Найдем объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Вычислим объем тела вращения вокруг оси Oy:

В этом примере интегралы легко берутся и нет потребности объяснять детали операций.

Пример 2.141 (2474) Вычислить объем тела, образованного вращением кривой y=sin(x)

а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.
Решение: Выпишем подинтегральные функции:
а)
б)
Пределы интегрирования берем из начального условия:

Осталось вычислить определенные интегралы:
а) Найдем объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Выполняем вычисление объема тела при вращении вокруг оси Oy:

Замена переменных помогает найти последний интеграл.

Пример 2.142 (2475) Найти объем тела, образованного вращением кривой
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.
Решение: Чтобы записать подинтегральную функцию найдем разницу квадратов заданных функций:
а)
б) для тела, образованного вращением вокруг оси Oy подинтегральная функция имеет вид

Из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x) определяем пределы интегрирования

x₁=0, |x|=a поэтому
Пределы интегрирования :
а)  
б)
При :
поэтому принимая во внимание симметрию имеем неравенство .

а) Вычисляем объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Через следующий интеграл определяем объем тела вращения вокруг оси Oy:

Здесь нет сложных моментов при вычислении интеграла.

Пример 2.143 (2476) Найти объем тела, образованного вращением кривой y=e^{— x}, y=0,
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.
Решение: Уравнение подинтегральных функций :
а) y²=e^-2x;
б) x*y (x) =xe^-x.
Запишем пределы интегрирования (известно за условием):

а) Находим объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Найдем объем тела вращения вокруг оси Oy:

Здесь, чтобы вычислить интегралы придется находить границу при переменной направляющейся к безграничности.
Во втором интеграле выполняем интегрирование частями.

Пример 2.144 (2477) Вычислить объем тела, образованного вращением кривой x²+(y-b)²=a², , вокруг оси Ox.
Решение: Фигурой вращения является круг с центром в точке (0;b) и радиусом a.
При выражении самой функции получим две ветки корневых функций:

При поднесении к квадрату разница слагаемых сложит такое выражение подинтегральной функции:

Запишем пределы интегрирования: для круга они равны xє[-a;a] или два полукруга из на промежутке xє[0;a].
Через интеграл находим объем тела вращения вокруг оси Ox:

Внимательно разберите приведенный пример.

Пример 2.145 (2478) Найти объем тела, образованного вращением кривой x²-xy+y²=a², вокруг оси Ox.
Решение: Сведем кривую к каноническому виду (методами из аналитической геометрии) устанавливаем, что заданная линия является эллипсом
— уравнение в канонической системы координат.
В приведенной системе координат уравнения эллипса имеет вид:

Прямая y=x/2 является осью симметрии этой фигуры.
Запишем подинтегральную функцию:

Найдем пределы интегрирования из условия равности функций y₂(x)=y₁(x):


или двукратный объем на интервале

Но тогда еще нужно отнять объем тела в пределах

(которая не принадлежит эллипсу) и ограничена первой кривой

и результат умножить на 2 (симметрия).

Последним шагом вычисляем объем тела вращения вокруг оси Ox:

Формула интеграла вышла достаточно длинным, однако его удобно читать пользователям, которые заходят на сайт из мобильных устройств.

Пример 2.146 (2479) Найти объем тела, образованного вращением кривой вокруг оси Ox.
Решение: Запишем подинтегральную функцию:
y²(x)=e^-2x*sin (x).
Установим пределы интегрирования: при , где k=0,1,2.
Таким образом имеем бесконечный ряд промежутков интегрирования.
При нахождении объема тела вращения вокруг оси Ox получим бесконечный ряд интегралов, который совпадает:

Здесь вычислили интеграл дважды выполнив замену переменных:

тому
— это числовой ряд.
В данном случае бесконечно нисходящая геометрическая прогрессия, у которой b₁=1, b₂=e^-4Pi, поэтому q=e^{— 4Pi}, а сумма прогрессии равна

Пример 2480 Найти объем тела, образованного вращением кривой x=a (t — sin (t)), y=a (1 — cos (t)), , y=0.
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy;
в) вокруг прямой y=2a.
Решение: Вычислим подинтегральную функцию и дифференциал по аргументу:
y²=a²(1-cos (t))², dx=a(1-cos(t)) dt.
Пределы интегрирования известны из начального условия: tє[0;2pi].
Переходим к применению формул объемов:
а) Первым вычислим объем тела вращения вокруг оси Ox:

Здесь применили замену переменных и условие

б) Следующим найдем объем тела вращения вокруг оси Oy:

Его попробуйте расписать самостоятельно.

в) Последним вычислим объем тела вращения вокруг прямой y=2a:
Перейдем к новой системе координат по формулам y₁=y-2a, x₁=x.
Тогда искомый объем V=V₁-V₂, где V₁ — объем колового цилиндра с высотой H=2pi*a и радиусом основы R=2a, поэтому объем цилиндра равен
куб. од.
Второй объем находим интегрированием

Как и в предыдущих задачах здесь использовали замену переменных под интегралом.
Напоследок находим разницу объемов
куб. од.

Объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси плоской фигуры

Чтобы найти объем тела V, образованного в результате вращением вокруг полярной оси плоской фигуры r(phi)
необходимо вычислить определенный интеграл по формуле

Пример 2483 Найти объем тела, образованного вращением кривой r=a (1+cos (phi)), , y=0
а) вокруг полярной оси;
б) вокруг прямой

Решение: Чтобы достать подинтегральную функцию подносим к кубу заданную функцию:

Пределы интегрирования записываем из начального условия:

а) Сначала найдем объем тела вращения вокруг полярной оси:

Для упрощения вычислений переходим к новой переменной под интегралом.
б) Перейдем к новым координатам с помощью формул: x₁=y, y₁=-x-a/4.
Определяем пределы интегрирования:
при росте угла от 0 к Pi/2 координата x₁ растет от 0 к , при росте от Pi/2 к Pi переменная x₁ спадает от к 0, поэтому пределы ограничены интервалом

Запишем подинтегральную функцию:
Уравнения перехода между системами координат имеют вид

Подстановкой в уравнение получим:
,
Найдем объем тела вращения вокруг прямой :

откроем скобки, возведем подобные слагаемые и, приняв во внимание, что интеграл равен нулю получим

Здесь последние интегралы выражаются через факториалы

(смотри пример 2.59, часть І).
Парные факториалы вычисляем по правилу

Пример 2484.1 Найти объем тела, образованного вращением кривой r=a*phi (a>0)вокруг полярной оси.
Решение: Запишем подинтегральную функцию:

С пределами интегрирования проблем нет:

Чтобы найти объем тела вращения вокруг полярной оси выполняем ряд манипуляций с интегралами:

Внимательно проанализируйте, как находится этот «тригонометрический» интеграл.

Пример 2484.2 Найти объем тела, образованного вращением кривой phi=Pi*r³, phi=Pi, вокруг полярной оси.
Решение: Запишем подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования:
 
Вычисляем объем тела вращения вокруг полярной оси:

Здесь синус вносим под дифференциал и выполняем интегрирование частями.
На данное время это все примеры, которые мы смогли подготовить для Вас по данной теме.

yukhym.com

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения

Найти объем тела, образованного вращением (ОТВ) вокруг оси $Ox$ плоской фигуры, ограниченной сверху параболой $y_{1} =-2\cdot x^{2} +16\cdot x+18$, снизу — параболой $y_{2} =2\cdot x^{2} -8\cdot x+18$, а слева и справа прямыми $x=1$ и $x=5$ соответственно.

Выполняем графические построения:

При вращении этой плоской фигуры вокруг оси $Ox$ верхняя парабола (обозначенная синим цветом) образует общий объем, а нижняя парабола (обозначенная оранжевым цветом) образует отверстие. Таким образом, ОТВ вычисляется как разность общего объема и объема отверстия.

Известно, что ОТВ (вокруг оси $Ox$) вычисляется по формуле $V=\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx $, где $y=y\left(x\right)$ — неотрицательная непрерывная функция, образующая криволинейную трапецию на отрезке $\left[a,\; b\right]$.

Общий объем будем вычислять по формуле $V_{1} =\pi \cdot \int \limits _{1}^{5}y_{1}^{2} \cdot dx $.

Получаем:

Аналогичным образом находим объем отверстия:

Теперь вычисляем объем тела: $V=V_{1} -V_{2} $.

Задача 2

Вычислить ОТВ, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной линиями $y=x^{4} $ и $y=x$.

Графическое изображение фигуры:

Решив совместно уравнения $y=x^{4} $ и $y=x$, получим $x_{1} =0$ и $x_{2} =1$ — этими прямыми фигура ограничена слева и справа.

Искомый объем определяется как разность объемов, полученных в результате вращения вокруг оси $Ox$ двух криволинейных трапеций: первая ограничена прямой $y_{1} =x$, вторая — параболой $y_{2} =x^{4} $.

ОТВ, образованного вращением вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой $y=y_{1} \left(x\right)$, снизу — кривой $y=y_{2} \left(x\right)$, а также двумя прямыми $x=a$ и $x=b$ слева и справа, будем вычислять по формуле $V=\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}\left(y_{1}^{2} -y_{2}^{2} \right)\cdot dx $.

Имеем:

Задача 3

Зайти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси $Ox$ кривої $y=\sqrt{80\cdot x+15} $ между точками з абсцисами $x=3$ и $x=13$.

Графическое изображение вращаемой кривой:

Площадь поверхности тела вращения выражается формулой $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _{a}^{b}y\cdot \sqrt{1+y’^{2} } \cdot dx $, где $y=y\left(x\right)$ — неотрицательная функция, заданная на отрезке $\left[a,\; b\right]$.

Находим выражение $\sqrt{1+y’^{2} } $:

Находим выражение для подынтегральной функции $y\cdot \sqrt{1+y’^{2} } $:

Записываем интеграл и вычисляем площадь поверхности:

$\approx \frac{3,14}{480} \cdot \left(1094423-639151\right)\approx \frac{3,14}{480} \cdot 455272\approx 2978$ кв.од.

spravochnick.ru

11 класс. Геометрия. Объемы тел. — Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла.

Комментарии преподавателя

Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. Материал простой, но читатель должен быть подготовленным: необходимо уметь решать неопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле. Как и для задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику построения графиков можно с помощью методических материалов Графики и свойства Элементарных функций и Геометрические преобразования графиков. Но, собственно, о важности чертежей я уже неоднократно говорил на уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры.

Вообще в интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения,длину дуги, площадь поверхности вращения и многое другое. Поэтому будет весело, пожалуйста, настройтесь на оптимистичный лад!

Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? … Интересно, кто что представил… =))) Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

– вокруг оси абсцисс ;
– вокруг оси ординат .

В данной статье будут разобраны оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. В качестве бонуса я вернусь к за

www.kursoteka.ru

III Вычисление объёмов тел вращения

Определение 3. Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости.

Ось вращения может и пересекать фигуру, если это ось симметрии фигуры.

Теорема 2. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , осьюи отрезками прямыхивращается вокруг оси. Тогда объём получающегося тела вращения можно вычислить по формуле

(2)

Доказательство. Для такого тела сечение с абсциссой – это круг радиуса, значити формула (1) даёт требуемый результат.

Если фигура ограничена графиками двух непрерывных функций и, и отрезками прямыхи, причёми, то при вращении вокруг оси абсцисс получим тело, объём которого

Пример 3. Вычислить объём тора, полученного вращением круга, ограниченного окружностью вокруг оси абсцисс.

Решение. Указанный круг снизу ограничен графиком функции , а сверху –. Разность квадратов этих функций:

Искомый объём

(графиком подынтегральной функции является верхняя полуокружность, поэтому написанный выше интеграл – это площадь полукруга).

Пример 4. Параболический сегмент с основанием , и высотой, вращается вокруг основания. Вычислить объём получающегося тела («лимон» Кавальери).

Решение. Параболу расположим как показано на рисунке. Тогда её уравнение , причем. Найдём значение параметра:. Итак, искомый объём:

Теорема 3. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , осьюи отрезками прямыхи, причём, вращается вокруг оси. Тогда объём получающегося тела вращения может быть найден по формуле

(3)

Идея доказательства. Разбиваем отрезок точками, на части и проводим прямые. Вся трапеция разложится на полоски, которые можно считать приближенно прямоугольниками с основаниеми высотой.

Получающийся при вращении такого прямоугольника цилиндр разрежем по образующей и развернём. Получим «почти» параллелепипед с размерами: ,и. Его объём. Итак, для объёма тела вращения будем иметь приближенноё равенство

Для получения точного равенства надо перейти к пределу при . Написанная выше сумма есть интегральная сумма для функции , следовательно, в пределе получим интеграл из формулы (3). Теорема доказана.

Замечание 1. В теоремах 2 и 3 условие можно опустить: формула (2) вообще нечувствительна к знаку, а в формуле (3) достаточнозаменить на.

Пример 5. Параболический сегмент (основание , высота) вращается вокруг высоты. Найти объём получающегося тела.

Решение. Расположим параболу как показано на рисунке. И хотя ось вращения пересекает фигуру, она – ось – является осью симметрии. Поэтому надо рассматривать лишь правую половину сегмента. Уравнение параболы , причем, значит. Имеем для объёма:

Замечание 2. Если криволинейная граница криволинейной трапеции задана параметрическими уравнениями ,,и,то можно использовать формулы (2) и (3) с заменойнаинапри измененииt от до.

Пример 6. Фигура ограничена первой аркой циклоиды ,,, и осью абсцисс. Найти объём тела, полученного вращением этой фигуры вокруг: 1) оси; 2) оси.

Решение. 1) Общая формула В нашем случае:

2) Общая формула Для нашей фигуры:

Предлагаем студентам самостоятельно провести все вычисления.

Замечание 3. Пусть криволинейный сектор, ограниченный непре-рывной линией и лучами,, вращается вокруг полярной оси. Объём получающегося тела можно вычислить по формуле.

Пример 7. Часть фигуры, ограниченной кардиоидой , лежащая вне окружности, вращается вокруг полярной оси. Найти объём тела, которое при этом получается.

Решение. Обе линии, а значит и фигура, которую они ограничивают, симметричны относительно полярной оси. Поэтому необходимо рассматривать лишь ту часть, для которой . Кривые пересекаются прии

при . Далее, фигуру можно рассматривать как разность двух секторов, а значит и объём вычислять как разность двух интегралов. Имеем:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Круговой сегмент, основание которого , высота , вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти объём параболоида вращения, основание которого , а высота равна.

3. Фигура, ограниченная астроидой ,вращает-ся вокруг оси абсцисс. Найти объём тела, которое получается при этом.

4. Фигура, ограниченная линиями ивращается вокруг оси абсцисс. Найти объём тела вращения.

studfiles.net

Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?

Кроме нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла (см. 7.2.3.)важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. Материал простой, но читатель должен быть подготовленным: необходимо уметь решать неопределенные интегралысредней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница в определенном интеграле, нужны также уверенные навыки построения чертежей. Вообще в интегральном исчислении много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела и многое другое. Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? … Теперь данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

– вокруг оси абсцисс;

– вокруг оси ординат.

Разберём оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.

Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси OX

Пример 1

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .

Решение:Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости XOY необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось . Чертёж здесь довольно прост:

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси . В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка с двумя острыми вершинами на оси OX, симметричная относительно оси OX. На самом деле у тела есть математическое название, посмотрите в справочнике.

Как вычислить объем тела вращения? Если тело образовано в результате вращения вокруг осиOX, его мысленно разделяют на параллельные слои малой толщины dx, которые перпендикулярны оси OX. Объём всего тела равен, очевидно, сумме объёмов таких элементарных слоёв. Каждый слой, как круглая долька лимона, — низенький цилиндр высотой dx и с радиусом основания f(x). Тогда объём одного слоя есть произведение площади основания πf ² на высоту цилиндра (dx), или π∙f ²(x)∙dx. А площадь всего тела вращения есть сумма элементарных объёмов, или соответствующий определённый интеграл. Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», легко догадаться из выполненного чертежа. Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле. В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси OX. Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат: f ²(x), таким образом, объем тела вращения всегда неотрицателен, что весьма логично. Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

.

Как мы уже отмечали, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ:

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы? Потому что это наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями , , .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , и .

Решение:Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение x = 0 задает ось OY:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси OX получается плоский угловатый бублик (шайба с двумя коническими поверхностями).

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел. Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси OX получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V₁.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси OX, то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V₂.

Очевидно, что разность объемов, V = V₁ — V_2, — это объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

.

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

.

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ:

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

megaobuchalka.ru

Вычисление объемов тел вращения

Определение 1. Телом вращения называют пространствен-ную фигуру, которую можно получить вращением некоторой криволинейной трапеции вокруг оси .

Рассмотрим в плоскости кривую , ограниченную абсциссами и .

Разобьем тело вращения на п полос шириной .

Тогда полоса от вращения части тела шириной даст объем:

.

Объем тела вращения приближенно определяется суммой

.

Последняя сумма есть интегральная и потому

. (1)

Определение 2. Поверхностью вращенияназывают пространственную фигуру, которая образовывается вращением вокруг заданной прямой некоторой направленной простой дуги.

Площадь поверхности вращения можно найти по формуле

. (2)

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции , прямыми , , , то объем тела вращения, образованного вращением этой трапеции вокруг оси 0у равняется

. (3)

Пример 1. Вычислить объем тела вращения, ограниченного линиями , , вокруг оси 0у.

Решение.

.

Формула объема тела вращения обобщается на случай тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции , образованной графиками функций и , каждая из которых определена и непрерывна на отрезке , причем эти функции такие, что для всех . Объем такого тела вычисляется по формуле

. (4)

Пример 2.Найти объем тела, которое образовывается вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Точками пересечения линий и (обе линии – параболы) есть точки с абсциссами 0 и 1. Поэтому, воспользовавшись формулой (11), будем иметь

.

Пример 3.Вычислить объем тела, образованного прямыми и при их вращении вокруг оси абсцисс.

Решение.

Примеры программ

В данном разделе содержатся примеры программ на PascalABC.NET от элементарных до сложных. Часть из них посвящена алгоритмам, реализованным на языке Паскаль, другая часть — особенностям языка и библиотек PascalABC.NET.

Примеры разбиты на следующие группы:

pascalabc.net

Студентам

Стандартные задачи на циклы

Ссылка на Wiki-страничку с алгоритмами на циклы

Простейшие алгоритмы

1. Сумма целых чисел
2. Произведение целых чисел
3. Двойной факториал n!!=n*(n-2)*(n-4)*…*2 (или 1)
4. Количество нечетных среди n введенных
5. Защита от неверного ввода
6. Табулирование функции f(x) на отрезке в [a,b] (цикл for)
7. Табулирование функции f(x) на отрезке в [a,b] (цикл while)

Рекуррентные соотношения

1. Вывод 10 первых степеней двойки
2. Вывод всех двухзначных чисел, кратных 5
3. Вывод n первых чисел Фибоначчи
4. НОД(A,B) (алгоритм Евклида)
5. Сумма цифр целого положительного числа

Максимумы и минимумы

1. max из введенных чисел
2. min из введенных чисел, удовлетворяющий условию

Суммирование рядов (конечных и бесконечных)

1. Вычисление суммы конечного ряда ?(i=1..n) a^i/i!
2. Вычисление суммы бесконечного ряда ?(i=1..?) (-1)^i * a^i/i!

Поиск значения

1. Есть ли среди введенных число k?
2. Есть ли среди введенных число k? (то же с использованием while)
3. Является ли число N простым?

Другие алгоритмы

1. Разложение числа на простые множители
2. Вычисление значения многочлена в точке x (схема Горнера)
3. Корень непрерывной функции на отрезке (метод половинного деления)

Стандартные задачи на одномерные массивы

Простейшие алгоритмы

1. Вывод массива
2. Заполнение массива случайными числами
3. Инвертирование массива
4. Поиск элемента по заданному значению
5. Поиск с барьером
6. Минимальный элемент и его индекс

Сдвиги, вставка, удаление

1. Сдвиг влево
2. Сдвиг вправо
3. Циклический сдвиг вправо
4. Удаление k-того элемента
5. Вставка на k-тое место

Слияние упорядоченных и бинарный поиск в упорядоченном массиве

1. Слияние двух упорядоченных в один упорядоченный
2. Поиск в упорядоченном массиве

Сортировка массивов

1. Сортировка выбором
2. Пузырьковая сортировка
   
   • Способ 1
   • Способ 2
3. Сортировка вставками

Использование процедурных типов в задачах на массивы

1. Поиск по условию
2. Количество по условию
3. Условный минимум
4. Удаление по условию

Файлы

1. Создание текстового файла целых и подсчет суммы чисел в файле
2. Создание текстового файла и преобразование каждой строки — все буквы к верхнему регистру
3. Создание типизированного файла целых и вывод данных из него
4. Возведение в типизированном файле всех элементов в квадрат
5. Сортировка типизированного файла

Списки

Односвязные линейные списки

1. Вставка в начало списка
2. Удаление из начала списка
3. Вставка после текущего узла
4. Удаление после текущего узла
5. Проход по списку

Двусвязные линейные списки

1. Вставка в начало/конец списка
2. Удаление из начала/конца списка
3. Вставка перед/после узла
4. Удаление текущего узла
5. Проход по списку
6. Слияние двух отсортированных списков
7. Объединение двух списков

Рекурсия

1. Рекурсивное вычисление факториала
2. Рекурсивное вычисление минимума в массиве
3. Рекурсивное вычисление чисел Фибоначчи с использованием вспомогательного массива
4. Ханойские башни
5. Быстрая сортировка

Деревья

Основные операции

1. Создание бинарного дерева и его вывод
2. Обходы бинарного дерева
3. Поиск элемента в бинарном дереве

Поиск минимальной суммы от корня к листу

1. Очевидный рекурсивный алгоритм
2. Алгоритм перебора с возвратом
3. Алгоритм перебора с возвратом + метод ветвей и границ

Бинарные деревья поиска

1. Добавление элемента
2. Вывод
3. Поиск элемента
4. Удаление элемента

Абстрактные типы данных. Контейнеры

Стек

1. Реализация стека. Алгоритм вычисления выражения в ПОЛИЗ (польскую инверсную запись)

Очередь

1. Реализация очереди. Вывод четных в прямом и нечетных в обратном порядке

Динамический массив

1. Реализация динамического массива с примером использования

Множество

1. Реализация множества с примером использования

Ассоциативный массив

1. Реализация ассоциативного массива с примером использования

Контейнеры .NET

1. Цикл по LinkedList с помощью LinkedListNode
2. Цикл foreach по контейнерам List, LinkedList
3. Цикл foreach по Dictionary

Объектно-ориентированное программирование

1. Демонстрация наследования
2. Демонстрация включения
3. Демонстрация перехвата нескольких исключений
4. Демонстрация полиморфизма
5. Демонстрация реализации интерфейса
6. Демонстрация ограничений на переметры шаблона
7. Демонстрация использования интерфейса IComparable для сортировки контейнера.

Методы расширения

1. Фильтрация с помощью Where

• Назад
• Вперёд

pascalabc.net

Программирование на языке Паскаль

Для любого программиста программа на языке Паскаль легкое и вполне обычное дело. Нельзя сказать, что этот язык программирования для современного мира слишком слаб. Паскаль считается базовым языком программирования. Его даже изучают в школе.

Конвертируем TIFF в JPEG | Фотоконвертер

Многофункциональная программа Фотоконвертер позволяет быстро конвертировать tiff в jpeg с минимальными усилиями и временными затратами. С помощью данного формата осуществляется хранение растровых графических изображений максимально высокого качества. Он имеет ряд очевидных преимуществ – поддерживается большинством современных графических утилит, незаменим в полиграфии и при работе с факсами, однако при этом не лишен и недостатков.

Основные проблемы, с которыми сталкиваются пользователи при работе с tiff форматом – это слишком большой размер файлов. В результате этого возникают трудности с последующей обработкой того или иного файла, передаче его по сети интернет, хранением на съемных цифровых носителях и даже выбором программы для его открытия. Поэтому формат tiff больше подходит для людей узкой специализации – например, профессиональных фотографов, для которых высокое качество графических файлов является одним из главных факторов.

Конвертация TIFF в JPEG – основные этапы:

Выбор файлов для конвертации:

Фотоконвертер – это возможность пакетной конвертации файлов. Благодаря данному решению, скорость преобразования формата tiff в jpeg существенным образом увеличилась.

Выбор инструментов:

Данное программа обладает широким набором всевозможных инструментов, с помощью которых любой файл можно изменить практически до неузнаваемости. Основные возможности инструментов: корректировка цветовой гаммы, полное устранение эффекта красных глаз, тени и границы, изменение размера изображения.

Выбор формата (jpeg):

Данный формат по праву считается одним из наиболее распространенных. Его основные преимущества – небольшой размер, высокое качество изображения и поддержка большинством современных приложений для просмотра фотографий и рисунков. Перевод tiff в jpeg позволит освободить значительное количество памяти на компьютере.

P.S. Скорость конвертации tiff в jpeg, зависит от количества одновременно изменяемых файлов.

Установить Фотоконвертер

 

Онлайн конвертация

Некоторые возможности Фотоконвертера можно попробовать онлайн. Выберите файлы или ZIP архивы для конвертации:

 

Интерфейс командной строки

Профессиональные пользователи могут использовать командную строку для конвертации и редактирования в ручном или автоматическом режиме. За дополнительными консультациями по использованию cmd интерфейса обращайтесь в службу поддержки пользователей.

Рассказать друзьям

www.photoconverter.ru

Конвертация TIFF в JPG с помощью Фотоконвертера

TIFF — формат для хранения файлов изображений, получивших широкое распространение в среде художников-графиков, в издательской индустрии. Также он получил распространение в среде любителей и профессионалов-фотографов.

JPG — один из самых популярных форматов изображений, которые используются в настоящее время. Главным его преимуществом является возможность хранить изображения хорошего качества в файлах небольшого размера. Это возможно за счет используемого типа сжатия. Механизм этого вида сжатия устанавливает приоритетность одних частей изображения перед другими, сохраняя высококачественные участки изображения наиболее заметные для человеческого глаза.

Как конвертировать TIFF в JPG?

Самый простой способ — это скачать хорошую программу конвертации, например Фотоконвертер. Он работает быстро и эффективно, позволяя конвертировать любое количество TIFF файлов за раз. Вы сможете довольно быстро оценить, что Фотоконвертер способен сэкономить массу времени которое вы будете тратить при работе вручную.

Скачайте и установите Фотоконвертер

Фотоконвертер легко скачать, установить и использовать — не нужно быть специалистом в компьютерах, чтобы понять как он работает.

Установить Фотоконвертер

Добавьте TIFF файлы в Фотоконвертер

Запустите Фотоконвертер и загрузите .tiff файлы, которые вы хотите конвертировать в .jpg

Вы можете выбрать TIFF файлы через меню Файлы → Добавить файлы либо просто перекинуть их в окно Фотоконвертера.

Выберите место, куда сохранить полученные JPG файлы

В секции Сохранить вы можете выбрать папку для сохранения готовых .jpg файлов. Можно так же потратить пару дополнительных минут и добавить эффекты для применения во время конвертации, но это не обязательно.

Выберите JPG в качестве формата для сохранения

Для выбора JPG в качестве формата сохранения, нажмите на иконку JPG в нижней части экрана, либо кнопку + чтобы добавить возможность записи в этот формат.

Теперь просто нажмите кнопку Старт и конвертация начнется мгновенно, а JPG файлы сохранятся в указанное место с нужными параметрами и эффектами.

Попробуйте бесплатную демо-версию

Видео инструкция

Интерфейс командной строки

Профессиональные пользователи могут конвертировать TIFF в JPG используя командную строку в ручном или автоматическом режиме. За дополнительными консультациями по использованию cmd интерфейса обращайтесь в службу поддержки пользователей.

Скачать Фотоконвертер Про

Рассказать друзьям

www.photoconverter.ru

Конвертация TIF в JPG с помощью Фотоконвертера

TIF — популярный растровый графический формат, с которым могут работать различные программы для редактирования изображений, устройства сканирования и факсовые аппараты. Основными преимуществами этого формата являются гибкость в настройке хранения информации. TIF может использовать как сжатие без потерь, для изображений и фотографий в высоком качестве, так и максимальное сжатие для хранение документов и сканов.

JPG — один из самых популярных форматов изображений, которые используются в настоящее время. Главным его преимуществом является возможность хранить изображения хорошего качества в файлах небольшого размера. Это возможно за счет используемого типа сжатия. Механизм этого вида сжатия устанавливает приоритетность одних частей изображения перед другими, сохраняя высококачественные участки изображения наиболее заметные для человеческого глаза.

Как конвертировать TIF в JPG?

Самый простой способ — это скачать хорошую программу конвертации, например Фотоконвертер. Он работает быстро и эффективно, позволяя конвертировать любое количество TIF файлов за раз. Вы сможете довольно быстро оценить, что Фотоконвертер способен сэкономить массу времени которое вы будете тратить при работе вручную.

Скачайте и установите Фотоконвертер

Фотоконвертер легко скачать, установить и использовать — не нужно быть специалистом в компьютерах, чтобы понять как он работает.

Установить Фотоконвертер

Добавьте TIF файлы в Фотоконвертер

Запустите Фотоконвертер и загрузите .tif файлы, которые вы хотите конвертировать в .jpg

Вы можете выбрать TIF файлы через меню Файлы → Добавить файлы либо просто перекинуть их в окно Фотоконвертера.

Выберите место, куда сохранить полученные JPG файлы

В секции Сохранить вы можете выбрать папку для сохранения готовых .jpg файлов. Можно так же потратить пару дополнительных минут и добавить эффекты для применения во время конвертации, но это не обязательно.

Выберите JPG в качестве формата для сохранения

Для выбора JPG в качестве формата сохранения, нажмите на иконку JPG в нижней части экрана, либо кнопку + чтобы добавить возможность записи в этот формат.

Теперь просто нажмите кнопку Старт и конвертация начнется мгновенно, а JPG файлы сохранятся в указанное место с нужными параметрами и эффектами.

Попробуйте бесплатную демо-версию

Видео инструкция

Интерфейс командной строки

Профессиональные пользователи могут конвертировать TIF в JPG используя командную строку в ручном или автоматическом режиме. За дополнительными консультациями по использованию cmd интерфейса обращайтесь в службу поддержки пользователей.

Скачать Фотоконвертер Про

Рассказать друзьям

www.photoconverter.ru

Как конвертировать TIFF в JPEG

Иногда возникает необходимость конвертировать документ TIFF в набор файлов JPEG. Например, файл TIFF нельзя использовать в качестве иллюстрации на веб-сайте, а файл JPEG – можно. К сожалению, простого изменения расширения файла с “документ.tif” на “документ.jpg” не достаточно для того, что бы конвертировать файл формата TIFF в формат JPEG. Нужно использовать специальную программу, такую, как “Универсальный конвертер документов”.

Следуйте этой инструкции, что бы конвертировать TIFF в JPEG

1. Скачайте и установите “Универсальный конвертер документов” на ваш компьютер.

2. Откройте документ TIFF. Выберите в меню программы Печать… или нажмите Ctrl+P чтобы открыть диалоговое окно печати.

   

3. Выберите Universal Document Converter из списка принтеров и нажмите на кнопку Параметры.

   

4. В окне Настройка печати нажмите Свойства принтера.

   

5. Нажмите Загрузить настройки.

   

6. Выберите профиль PDF to JPEG.xml и нажмите Открыть.

   

7. Зайдите в раздел Пост-обработка, выберите опцию Открывать папку с выходным файлом. Нажмите Ok.

   

8. В окное Печать изображений нажмите Печать

   

9. В открывшемся окне задайте имя файла JPEG и нажмите Сохранить.

   

10. Начнётся конвертирование документа.

11. Готовые файлы в формате JPEG будут сохранены в выбраную вами папку.

    

Peter Hovmann

MAN B&W Diesel A/S

«Мы ежедневно экспортируем документы из Microsoft Word в формат PDF для отправки нашим клиентам и в наши сервис-центры. Благодаря тому, что «Универсальный конвертер документов» — это виртуальный принтер, а не программа со сложным интерфейсом, мы не тратим времени на обучение наших сотрудников.»

Популярные решения

www.print-driver.ru

Тесты Микроэкономика с ответами

Правильные ответы обозначены знаком +.

1

Которое из нижеследующих слов по смыслу наиболее тесно связано со словом «экономический»:

–бесплатный;

+редчайший;

–богатый;

–чрезмерный.

–эффективный

2

Какими двумя основными причинами можно объяснить существование экономических проблем?

–влиянием государства на экономику и ростом населения Земли;

–загрязнением окружающей среды и существованием транснациональных корпораций;

–наличием безработицы и инфляции;

+неограниченностью желаний людей и ограниченностью ресурсов.

–ограниченность ресурсов для реализации капитальных вложений.

3

Экономику в целом лучше всего определить как:

–взаимодействие решений на макро — и микроуровнях;

– изучение поведения людей и предприятий относительно производства, распределения и потребления ограниченного количества товаров;

+ практическое изучение стоимостных показателей путем использования дедукции и индукции;

–использование политики опровержения фактов и гипотез.

-искусство ведения домашних дел

4

Кривые безразличия имеют отрицательный наклон в том случае, если:

– функция полезности является возрастающей;

– отношение предпочтения является строго монотонным;

+ они описывают предпочтение потребителя относительно товаров – совершенных комплементов;

– верно (– и (–.

– отношение предпочтение является отрицательным.

5

Пусть функция полезности является непрерывной и представляет строго монотонное отношение предпочтения, определенное на потребительском множестве. Пусть цены на все товары и доход потребителя увеличиваются в два раза. Тогда величина спроса потребителя на каждое из благ в товарном наборе:

– уменьшится;

+ увеличится;

– остается неизменной;

– на отдельные блага не изменится, а на отдельные уменьшится.

– уменьшится и увеличится одновременно.

6

Строя модели, экономисты:

+ разрабатывают предположения, которые упрощают ситуацию;

– включают всю имеющуюся информацию;

– должны использовать математические модели;

– стараются дублировать реальный мир.

– разрабатывают предположения, которые усложняют ситуацию.

7

Микроэкономика:

–оперирует совокупными или общими уровнями доходов, занятости и производства;

+подробно исследует отдельных экономических субъектов, которые представляют экономическую сис-тему;

–изучает детальную информацию об отдельных сегментах экономической системы;

– базируется на широком подходе;

– изучает экономику предприятий.

8

Всякая функция полезности представляет собой:

– связь между составляющими набора благ и расходами на их приобретение;

+ зависимость, в соответствии с которой разным наборам благ предоставляются значение, адекватные преимущества потребителя;

– совокупность всех наборов благ, которые может приобрести потребитель;

– связь между количествами одного блага и других благ, адекватных по совокупной полезности;

– максимальную точку полезности потребителя.

9

Совокупная полезность возрастает, если предельная полезность:

– возрастает;

– падает;

+ возрастает или падает, но остается дополнительной;

– является отрицательной величиной.

– остается фиксированной.

10

Какой из приведенных ниже перечней значений совокупной полезности иллюстрирует закон убывающей предельной полезности?

– 20,30,40,50;

+ 20,28,34,38;

– 20,40,80,160;

– 20,35,55,80.

– 21,22,23,24

11

Какой из приведенных ниже перечней значений предельной полезности иллюстрирует закон убывающей предельной полезности?

+ 20, 15, 10,5;

– 20,10,10,10;

– 20,30,40, 50;

– 20,28,34,38.

– 20,35,55,80.

12

Товары X и У имеют соответственно цены 50 и 80 д. е., и потребитель тратит весь свой бюджет на приобретение только этих товаров, покупая 5 единиц X и 8 единиц У. Предельные полезности 5-й едини-цы X и 8-й единицы У одинаковы. Тогда можно сделать вывод, что:

– потребитель находится в состоянии равновесия;

+ потребителю надо покупать больше X и меньше У

– потребителю надо покупать меньше X и больше У;

– потребителю надо увеличить покупку обеих товаров.

13

Потребитель считает, что ему одинаково полезно ежедневно выпивать как 8 стаканов молока и 3 стакана кефира, так и 6 стаканов молока и 4 стакана кефира. В этом случае предельная норма замещения кефира молоком равняется:

– 6/4;

– 4/6

– 2/1

+ 1/2

— 3/2.

14

Предположим, что МUa/МUв=7, а Ра/Рв = 5. Это означает, что:

– потребитель находится в состоянии равновесия;

+ для достижения равновесия следует покупать больше А и меньше В;

– для достижения равновесия следует покупать больше В и меньше А;

– нет правильного ответа.

– потребитель достиг максимальной полезности.

15

Цена товара А равняется 3 д. е., а Б – 2 д. е. Если потребитель оценивает предельную полезность товара Б в 30 ютилей и желает максимизировать удовлетворение от покупки А и Б, тогда он должен принять пре-дельную полезность А за:

– 20 ютилей;

+ 45 ютилей;

– 30 ютилей;

– 15 ютилей.

– 60 ютилей.

16

Положение и наклон кривой безразличия для отдельного потребителя объясняются:

– его предпочтениями и размерами дохода;

– предпочтениями, размерами дохода и ценами товаров, которые покупаются;

+ только его предпочтениями;

– только ценам и товаров, которые покупаются.

– только ее полезностью

17

Если и относительная цена одного из двух благ, и MRS равняют 5, то потребитель может получить максимальную полезность:

– потребляя лишь одно из этих благ;

– потребляя оба блага в одинаковых количествах;

+ потребляя оба блага в данных количествах;

– информации недостаточно;

– потребляя лишь первый товар.

18

В результате изменения своего дохода и рыночных цен благ потребитель снова достигает состояния равновесия. В новом равновесном наборе предельные полезности всех благ стали ниже, чем были рань-ше (до изменения дохода и цен). Все блага, которые потреблялись раньше, потребляются и теперь, вку-сы не изменились. Об этом потребителе наверно можно сказать, что:

– его благосостояние снизилось;

+ его благосостояние выросло;

– его доход снизился;

– возросли цены всех потребляемых им благ;

– его доход составляет бюджетную линию.

19

Если предельная норма замещения блага Б благом А снизилась, то отношение цены блага А к цене блага Б при оптимальном решении для данного потребителя:

– увеличится;

– уменьшится;

+ останется неизменным;

– информации недостаточно;

– уменьшится и снизится одновременно.

20

Если предельная норма замещения между двумя благами равняется 2/3 при любом уровне потребления, то вы сделаете вывод, что:

— оба блага являются совершенными субститутами;

–блага являются совершенными комплементами;

–кривая безразличия благ характеризуется нисходящей MRS;

–кривая безразличия благ выгнута наружу от начала координат.

+оба блага являются совершенными комплементами;

21

Цена груш и яблок одинакова (2 д. е. за 1 кг. Домохозяйка старается максимизировать свою полезность, покупая груши и яблоки. Как хороший экономист, вы рекомендовали бы ей:

–покупать одинаковое количество яблок и груш, пока цена на них одинаковая;

–израсходовать весь свой возможный доход на груши и яблоки;

–купить такое количество яблок и груш, чтобы MRS между ними равнялся 1;

+израсходовать весь доход и добиться, чтобы MRS =1;

–израсходовать весь доход и добиться, чтобы MRS =1/2.

22

Потребитель покупает лишь бананы и апельсины. Цена бананов – 2 д. е., апельсинов — 1,5 д. е. Потреби-тель может расходовать на эти товары каждую неделю 16 д. е. Если он максимизирует полезность, то его норма предельного замещения апельсинов на бананы будет представлять:

– 3/4;

+ 4/3;

– 1/8;

– 3/32.

– 8

23

Определив свои возможности, потребитель согласен заплатить 20 д. е. за часы. Когда он пришел в мага-зин, то выяснил, что может их приобрести за 16 д. е. В этом случае потребительский излишек будет ра-вен:

– 20 д. е.;

– 16 д. е.;

+ 4 д. е.;

– 15д. е.

– 5/4

24

Эффект замещения — это повышение спроса на товар, которое вызвано:

–изменением общего уровня цен на все товары;

–изменением во вкусах потребителя, если он отдает предпочтение товарам заменителям;

–изменением в реальном доходе, обусловленным снижением цен на товары, которые покупаются;

+изменением цен на товары, которые приобретает потребитель.

–изменением общего уровня спроса на второй товар;

25

Эффект дохода для полноценных товаров свидетельствует о том, что:

+при увеличении цены блага X потребитель будет покупать в меньшем количестве как X, так и дру-гие блага;

–уменьшение цены блага X предопределяет увеличение потребления этого блага, поскольку оно ста-новится более дешевым чем товары заменители;

–когда цена блага X изменяется, то потребитель должен перераспределить свои покупки так, чтобы удовлетворить равенство МUх/Рх = МUу/Ру = MUnPn;

–увеличение цены блага X предопределяет снижение потребления этого блага, поскольку оно стано-вится более дорогим чем товары заменители.

–при снижении цены блага X потребитель будет покупать в меньшем количестве как X, так и другие блага;

26

Когда цена полноценного блага X падает, то:

–эффект дохода будет побуждать потребителя покупать больше единиц блага X, а эффект замещения – меньше;

+в соответствии и с эффектом замещения, и с эффектом дохода потребитель покупает больше блага X;

–в результате эффекта дохода количество покупаемых единиц блага X уменьшится, а эффект замеще-ния способствует увеличению покупки блага X;

–и эффект дохода, и эффект замещения ведут к снижению потребления блага X.

27

Если при других неизменных условиях последовательное потребление единиц блага X приводит к сни-жению предельной полезности X, то:

– Х является неполноценным товаром;

+эффект замещения больше эффекта дохода;

–эластичность спроса X по цене высока;

–товар X имеет отрицательную перекрестную эластичность с товаром-заменителем.

–эффект замещения меньше эффекта дохода;

28

Если ценовая эластичность спроса для товара равняется — 0,5, то это означает, что:

–всякие изменения цены изменяют спрос на 50%;

–увеличению количества товара, на который предъявлен спрос, на 1% отвечает уменьшение цены на 0,5%;

+увеличению количества товара, на который предъявлен спрос, на 1% отвечает увеличение цены на 2%;

–изменение цены на 0,5% вызовет такое же изменение количества товара, на который предъявлен спрос;

–снижению количества товара, на который предъявлен спрос, на 1% отвечает увеличение цены на 2%.

29

Фирма производит и продает два товара: А и Б. Первый имеет много заменителей, а второй представляет значительную долю в доходах потребителей. Увеличение цены каждого из товаров приведет:

–к увеличению выручки от продажи товаров;

+к уменьшению выручки от продажи товаров;

–к увеличению выручки от продажи товара А и уменьшению ее от продажи товара Б;

–к уменьшению выручки от продажи товара А и увеличению ее от продажи товара Б;

30

Если с уменьшением цены на один товар на 2% спрос на взаимосвязанный с ним товар уменьшился на 3%, то это означает, что:

–коэффициент ценовой эластичности спроса является отрицательным;

–коэффициент ценовой эластичности спроса превышает 1;

+коэффициент перекрестной эластичности спроса превышает 1.

–коэффициент перекрестной эластичности спроса не превышает 1.

Дополнительные тесты с ответами по Микроэкономике:

1. Закон спроса предполагает, что:

а. Рост доходов покупателей вызовет рост спроса на различные товары и услуги

+ б. При падении цены на товар будет расти объем планируемых покупок данного товара

в. Конечный спрос на тот или иной товар никак не зависит от доходов потребителей

2. Эластичность предложения главным образом зависит от:

а. Цены на данный товар

б. Цены на взаимозаменяемые товары

+ в. Цены на данный товар и взаимозаменяемые по отношению к нему товары

3. Рынки совершенной и монополистической конкуренции имеют общую черту. Какую?

а. Выпускаемая продукция однообразна

б. Для того, чтобы попасть на рынки данных типов, предприятиям-производителям необходимо преодолеть существенные барьеры

+ в. На рынке функционирует значительное количество фирм

Тест № 4. Что из перечисленного изучает микроэкономика?

+ а. Функционирование экономических агентов в процессе осуществления ими производственной, распределительной, потребительской и обменной деятельности

б. Функционирование экономической системы как единого целого

в. Имущество организаций, их доходы и расходы

5. Производство эффективно, если:

а. Наблюдается полное использование трудовых ресурсов

б. Наблюдается полное использование средств труда

+ в. В нем не действует закон убывающей производительности факторов производства

6. Изменение какого фактора не вызывает сдвига кривой спроса?

+ а. Цены на данный товар

б. Цены на взаимозаменяемые товары

в. Вкусов и предпочтений потребителей

7. Если рыночная цена ниже равновесной, то:

а. Возникает излишек товара на рынке

+ б. Возникает дефицит товара на рынке

в. Растет себестоимость производства товара

8. Какой термин отражает способность и желание людей платить за что-либо?

+ а. Спрос

б. Платежеспособность

в. Необходимость

9. Ценовая эластичность спроса будет выше:

+ а. На товары первой необходимости по сравнению с предметами роскоши

б. На предметы роскоши по сравнению с товарами первой необходимости

в. На товары, которые потребители в данный момент времени считают модными

10. Если предложение и спрос на товар возрастают, то:

а. Цена на данный товар возрастет

б. Цена на данный товар снизится

+ в. Увеличится общий объем данного товара на рынке

11. Неэластичный спрос означает, что:

+ а. Величина спроса практически не зависит от цены на товар

б. Процентное увеличение спроса на товар будет выше процентного увеличения цены на него

в. Процентное снижение спроса на товар будет ниже процентного снижения цены на него

12. Закон предложения выражает:

а. Связь между эластичными и неэластичными товарами

+ б. Прямую зависимость между ценой товара и величиной его предложения

в. Обратную зависимость между ценой товара и величиной его предложения

13. Рост процентной ставки приведет к:

+ а. Росту объема предложения заемных средств

б. Сокращению объема предложения заемных средств

в. Росту спроса на заемные средства

14. Сокращение предложения товара ведет к увеличению:

а. Спроса на данный товар

б. Предложения на взаимозаменяемые товары

+ в. Спроса на взаимозаменяемые товары

15. Тест.  Олигополия — это рыночная структура, где оперирует:

а. Одна крупная фирма-производитель

+ б. Несколько фирм-производителей, конкурирующих между собой

в. Один потребитель всех произведенных на рынке благ

16. Конкурентный рыночный механизм — это способ:

+ а. Согласования и синхронизации решений потребителей, владельцев факторов производства и производителей товаров

б. Поддерживать цену на факторы производства на уровне, выгодном их владельцам

в. Распределять общественные блага между всеми членами общества согласно их доходам и потребностям

17. Реальную стоимость банкноты сегодня определяет стоимость:

а. Одного грамма чистого золота в данной стране

б. Затрат средств труда и человеческого труда, необходимых для печати банкноты

+ в. Количество товаров и услуг, которые можно на нее приобрести

18. К основному капиталу относятся:

а. Денежные средства в кассе и на банковских счетах предприятия

+ б. Машины и механизмы, сельскохозяйственный скот, ЭВМ

в. Овеществленный труд рабочих

testua.ru

Тест по «Микроэкономика». Ответы. Часть 1

30 ответов на вопросы теста по «Микроэкономика».

1. Укажите последовательность доходов, соответствующих каждому из приведенных факторов производства: труд, земля, физический капитал:

a. заработная плата, прибыль, рента

b. прибыль, рента, заработная плата,

c. заработная плата, рента, прибыль,

d. заработная плата, рента, процент.

Ответ: c

2. Спрос на ссудный капитал будет расти, при прочих неизменных условиях, если процентная ставка:

a. будет понижаться

b. будет расти быстрее, чем ожидаемая норма прибыли

c. будет повышаться

d. останется неизменной

Ответ: a

3. Предложение земли:

a. абсолютно эластично

b. абсолютно неэластично

c. эластично

d. характеризуется единичной эластичностью

Ответ: b

4. Реальная заработная плата — это:

a. начисленная заработная плата до вычета налогов

b. начисленная заработная плата за вычетом налогов

c. количество товаров и услуг, которое можно приобрести за номинальную зарплату

d. то же, что и номинальная заработная плата

Ответ: c

5. Реальная заработная плата повышается, когда номинальная заработная плата:

a. растет быстрее, чем растут цены

b. падает быстрее, чем растут цены

c. растет медленнее, чем растут цены

d. падает быстрее, чем падают цены

Ответ: a

6. Денежный капитал приносит доход в виде:

a. прибыли

b. ренты

c. процента

d. дивиденда

Ответ: c

7. К неценовым факторам предложения относятся:

a. ожидания производителей, изменение налогов, количество потребителей, усовершенствование технологии производства

b. количество производителей, дотации (субсидии), изменение стоимости сырья, ожидания потребителей

c. изменение технологии производства, ожидания производителей, изменение вкусов покупателей, налоги

d. налоги, субсидии (дотации), количество производителей, технический прогресс, ожидания производителей

Ответ: d

8. Укажите неправильный ответ:

a. основной капитал используется в течение многих производственных циклов

b. основной капитал в процессе производства меняет свою натурально-вещественную форму

c. основной капитал переносит свою стоимость на готовую продукцию по частям

d. основной капитал подлежит замене через несколько производственных циклов

Ответ: b

Примеры обратных функций | Математика

Обратная функция — функция y=g(x), которая получается из данной функции y=f(x), если из отношения x=f(y) выразить y через x.

Чтобы для данной функции y=f(x) найти обратную, надо:

1.В соотношении y=f(x) заменить x на y, а y — на x: x=f(y) .

2.В полученном выражении x=f(y) выразить y через x.

Функции f(x) и g(x) — взаимно обратны.

Примеры нахождения обратных функций:

1) y=3x-8

1. x=3y-8

2. 3y=x+8

y=(x+8)/3.

2) y=11-5x

1. x=11-5y

2. 5y=11-x

y=(11-x)/5.

Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f — областью определения g.

Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции —  ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.

Пример обратных функций, заданных на промежутке.

y=x².

Это — квадратичная функция. Она убывает на промежутке (-∞;0), и

возрастает на промежутке (0;∞). Возьмем промежуток [0;∞). На этом промежутке функция монотонна, поэтому обратима. Ищем обратную функцию.

1. x=y²

2. y=√x.

y=x² и y=√x на [0;∞) — взаимно обратные функции.

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

www.matematika.uznateshe.ru

3.1.4 Обратная функция. График обратной функции

Видеоурок 1: Обратные функции. Введение

Видеоурок 2: Обратные функции (Пример 1)

Видеоурок 3: Обратные функции (Пример 2)

Лекция: Обратная функция. График обратной функции

Рассмотрим некоторую функцию у = f(x), которая возрастает или же убывает, то есть является монотонной. Для нее будет иметься некоторая функция х = g(y), которая будет называться обратной функцией.

Что такое обратная функция?

Давайте рассмотрим некое уравнение: соs(х) = 1/2.

Решением данного уравнения будет: x = ±arccos(1/2) + 2πk, k ϵ Z.

Косинус и арккосинус — это наглядный пример обратных функций.

Давайте рассмотрим обратные функции на примере.

Например, мы имеем функцию у = 3х + 2.

Для данной функции и область определения, и область значения может принимать все множество действительных чисел. Более того, данная функция является монотонно возрастающей на всем участке.

А теперь давайте из данной зависимости выразим «х». В результате этого получим:

х = у/3 — 2/3.

Полученная зависимость будет называться обратной функцией для той, что давалась изначально, только теперь мы получили зависимость «х» от «у».

Если записать второе уравнение в привычном нам виде, то есть заменить «х» на «у» и наоборот, получим:

у = х/3 — 2/3.

На графике изобразим первоначальную функцию, обратную ей, и функцию у = х.

Можно заметить, что обратные функции симметричны относительно прямой у = х.

Свойства взаимообратных функций

1.

2. Первое свойство дает понять, что область определения второй функции такая же, как и область значения первой.

3. Графики любых взаимообратных функций всегда будут симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

4. Обратные функции имеют одинаковую монотонность.

Графики основных обратных функций

1. Степенная функция

Ниже представлены графики, полученные для положительного показателя степени и для отрицательного показателя степени:

2. Обратные логарифмические функции и их графики:

cknow.ru

Как найти обратную функцию для данной

10 мая 2012

Автор КакПросто!

Обратной функцией называют функцию, обращающую исходную зависимость у = f(x) таким образом, что аргумент х и функция у меняются ролями. То есть х становится функцией от y (х = f(у)). При этом графики взаимно обратных функций у = f (x) и х = f (у) симметричны по отношению к оси ординат в первой и третьей координатных четвертях декартовой системы. Областью определения обратной функции является область значений исходной, а областью значений в свою очередь – область определения заданной функции.

Статьи по теме:

Инструкция

В общем случае при нахождении обратной функции для заданной у = f(x) выразите аргумент х через функцию у. Для этого воспользуйтесь правилами умножения обеих частей равенства на одно и то же значение, переносом многочленов выражений, при этом учитывайте смену знака. В простом случае рассмотрения показательных функций вида: y = (7/x) + 11, обращение аргумента х производится элементарно: 7/x = у-11, х = 7*(у-11). Искомая обратная функция имеет вид х = 7*(у-11). Однако зачастую в функциях используются сложные степенные и логарифмические выражения, а также тригонометрические функции. В этом случае при нахождении обратной функции нужно учитывать известные свойства данных математических выражений.

Если в исходной функции аргумент х стоит под степенью, для получения обратной функции возьмите от данного выражения корень с тем же показателем. Например, для заданной функции у = 7+ х² обратная будет иметь вид: f(у) = √у -7.

При рассмотрении функции, где аргумент х представляет собой степень постоянного числа, примените определение логарифма. Из него следует, что для функции f(х) = ах обратной будет являться f(у) = logаy, причем основание логарифма а – в обоих случаях число, отличное от нуля. Так же и наоборот, рассматривая исходную логарифмическую функцию f(х) = logах, ее обратная функция представляет собой степенное выражение: f(у) = ау.

В частном случае исследования функции, содержащей натуральный логарифм ln х или десятичный lg х, т.е. логарифмы по основанию числа е и 10 соответственно, получение обратной функции проводится аналогично, только вместо основания а подставляется экспоненциальное число либо число 10. Например, f(х) = lg х -> f(у) = 10у и f(х) = ln х -> f(у) = еу.

Для тригонометрических функций обратными друг к другу являются следующие пары:
— y = cos x -> x = аrccos y;
— y = sin x -> x = аrcsin y;
— y = tan x -> x = аrctan y.

Обратите внимание

Следует помнить, что непрерывную функцию можно обратить лишь на тех промежутках ее значений, где она монотонна.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Как создать идеальные «радиоволны» (концентрические дуги окружности)?

Не сильно отличается от ответа KMSTR, но я все равно скажу.

1. Выберите тот же оригинальный круг.
2. Затем из верхнего меню: Object > Path > Offset path . (В этом случае вам нужно только беспокоиться о поле «смещение», и вы также можете включить предварительный просмотр).
3. Выберите путь смещения и замените цвет заливки контурным цветом.

Если вы хотите сделать несколько волн, просто выберите предыдущую волну и повторите шаги 1-2.

• Отредактировано: забыл, что у вас было 3 волны. Так изменились шаги 7 и 8.
• Edited2: Понял, что мое предварительное редактирование было бесполезным. Посмотрел на примерное изображение, думая, что у вас было 3 волны …

Что касается обрезки кругов, вы можете сделать что-то подобное.

Не самый быстрый способ, но должен пройти немало необходимых инструментов для иллюстратора.

В окнах просто переведите каждый cmd в ctrl

1.

В верхнем меню: Window > Align . Выровняйте все до центра в соответствии с монтажной областью. Скорее всего, вам захочется группировать (Cmd + G) некоторые объекты перед их выравниванием.

2.

Затем возьмите инструмент Ellipse и выберите внешний круг, щелкнув его, нажимая cmd чтобы вы могли видеть точки. Затем при нажатии alt нарисуйте эллипс, используя одну из боковых точек в качестве центра для круга. (Это было так, поэтому мне не нужно центрировать эллипс по вертикали в соответствии с кругами).

3.

После этого возьмите инструмент Selection и нажав alt и shift переместите эллипс на другую сторону. ( alt делает копию, shift удерживает ее на одном уровне).

4.

Выберите оба эллипса и сгруппируйте их (Cmd + G), а затем используйте панель выравнивания, чтобы центрировать их на арт-доске, как показано на первом шаге.

5.

Возьмите инструмент Прямой выбор и удалите внешние точки со сторон эллипсов. Просто выберите круг и backspace (удалить).

6.

Все еще с инструментом прямого выбора, соедините две кривые сверху и снизу. Выберите 2 точки за раз, а затем right click внутри документа и выберите « Join . (Вы можете сначала выбрать одну точку, а затем со сдвигом выбрать другой.)

7.

Выберите все выделенные круги + кривые эллипса. В верхнем меню: « Window > Pathfinder а затем используйте «Исключить перекрытие» и «Развернуть».

8.

Затем с помощью инструмента прямого выбора выберите все дополнительные строки и удалите их.

9.

А затем для достижения округлых кончиков. В верхнем меню: Window > Stroke . Выберите дуги и нажмите Round cap .

Кроме того, вы должны всегда делать это после того, как закончите делать логотип.

Верхнее меню:

1. Выделите все Cmd+A (при условии, что логотип будет только в вашем документе).

2. Type > Create outlines — Изменяет текст в пути.

3. Object > Path > Outline stroke — изменяет штрихи в пути.

Кстати, порядок.

askentire.net

Урок №6 Построение дуг

Draw -> Arc - Center, Point, Angles

ar

arcc

Draw -> Arc - 3 Points

a3

arc 

Draw -> Arc - Concentric

of

offset, of

Масштабы чертежей

Масштабом на чертеже называют отношение размеров изображения на чертеже к соответствующим действительным размерам изображаемого предмета.

Натуральная величина — масштаб с отношением 1:1, т.е. размеры изображения на чертеже равны к соответствующим действительным размерам изображаемого предмета.

Масштаб уменьшения — масштаб с отношением меньшим, чем 1:1, т.е. размеры изображения на чертеже меньше соответствующих действительных размеров изображаемого предмета.

Масштаб увеличения — масштаб с отношением большим, чем 1:1, т.е. размеры изображения на чертеже больше соответствующих действительных размеров изображаемого предмета.

На чертежах масштаб обозначают буквой М, например: М 1:1; М 2,5:1; М 1:2 и т.д. Масштаб, указываемый в предназначенной для этого графе основной надписи, обозначается без буквы М, например: 1:1; 1:2; 2:1 и т.д.

При любом масштабе изображения на чертеже проставляют только действительные размеры изображенного предмета.

tekhnar.ru

1.4. Масштабы изображения на плоскости

кой А или угол наклона v линииАС к горизонту и горизонтальное проложениеd (проекцию линииАС на горизонтальную плоскость).

Масштаб — это отношение длиныs линии на чертеже, плане, карте к длинеS горизонтального проложения соответствующей линии в натуре, т.е.s:S. Масштаб обозначают либо дробью (числовой), либо в виде графических изображений.

Числовой масштаб, обозначаемый 1/М, представляет собой правильную дробь, у которой числитель равен 1, а знаменатель М показывает, во сколько раз уменьшены линии местности при изображении их на плане. Например, для масштаба 1/100 единице длины на плане соответствует 100 таких же единиц на местности или 1 см на плане — 100 см (1 м) на местности. Чем больше знаменатель числового масштаба, тем больше степень уменьшения, т. е. тем мельче масштаб. Из двух числовых масштабов более крупный тот, знаменатель которого меньше.

Используя значение 1/М числового масштаба и зная длинуS проложения линии на местности, можно по формуле

Пример 1.1. Длина отрезкаS = 142 м. Найти величину изображения этого отрезка на плане масштаба 1:2000.

По формуле (1.1) получим

5= 142:2000 = 0,071 м = 7,1 см.

Пример 1.2. На плане масштаба 1:500 величина отрезка между двумя точкамиs = 14,6 см. Определить длинуS этой линии на местности.

По формуле (1.2) находим S = 14,6 500 = 7300 см = 73 м.

При решении задач по карте или плану с помощью числового масштаба приходится выполнять много вычислений. Чтобы избежать этого, используют графические масштабы.

Графические масштабы бывают линейные и поперечные.

Л и н е й н ы й масштаб (рис. 1.8, а) представляет собой шкалу с делениями, соответствующими данному числовому масштабу. Для построения линейного масштаба на прямой линии откладывают несколько раз расстояние, называемоеоснованием масштаба. Длину основания принимают равной 1; 2; 2,5 см. Первое основание делят на 10 равных частей и на правом конце его пи-

Рис. 1.8. Графические масштабы: a — линейный; б — поперечный

шут нуль, а на левом — то число метров или километров, которому на местности соответствует в данном масштабе основание. Вправо от нуля над каждым делением надписывают значения соответствующих расстояний на местности (на рис. 1.8, а изображен линейный масштаб для числового масштаба 1:2000).

П о п е р е ч н ы й м а с ш т а б применяют для измерений и построений повышенной точности. Как правило, поперечный масштаб гравируют на металлических пластинах, линейках или транспортирах. Для заданного числового масштаба он может быть построен на чертеже.

Поперечный масштаб (рис. 1.8, б) строят следующим образом. На прямой линии, как и при построении линейного масштаба, откладывают несколько раз основание масштаба и первый отрезок делят на 10 частей. Деления надписывают так же, как и при построении линейного масштаба. Из каждой точки подписанного деления восстанавливают перпендикуляры, на которых откладывают 10 отрезков, равных 1/10 основания. Через точки, полученные на перпендикулярах, проводят прямые линии, параллельные основанию. Верхнюю линию первого основания делят также на 10 равных частей. Полученные точки верхних и нижних делений на первом отрезке соединяют. Полученные линии называются трансверсалями. Расстояния между смежными трансверсалями составляют 1/10 основания, а между нулевой вертикальной линией и смежной с ней трансверсалью — 1/100… 1/10.

Поперечный масштаб с основанием 2 см (см. рис. 1.8, б) имеет подписи, соответствующие числовому масштабу 1:5000. Основание масштаба соответствует 100 м на местности, 1/10 его часть — 10 м, 1/100 — 1 м. Если, например, в этом масштабе надо на

плане отложить длину, равную на местности 146 м, правую ножку циркуля-измерителясовмещают с точкой 100 м справа от нуля, а левую — с точкой 40 м слева от нуля. Затем измеритель поднимают на шесть делений вверх и раздвигают до точки, соответствующей 146 м.

Применение любого масштаба, даже поперечного, не может обеспечить точности выше определенного предела, зависящего от свойств человеческого глаза. Невооруженным глазом с расстояния нормального зрения (25 см) можно оценить на плане размер, не превосходящий 0,1 мм (детали объектов местности меньше 0,1 мм изобразить на плане нельзя). Точность масштаба характеризуется

Рис. 1.9. Пример внемасштабного изображения — план города

studfiles.net

что означает масштаб 10:1 3:1 5:1 4:1

это разделить надо эти числа

10:1 — рисунок в 10 раз больше натуральной величины. далее по смыслу

масштаб 1:3 означает что объект уменьшин в 3 раза, если 3 :1 то увеличен в 3 раза

Масштабы (ЕСКД ГОСТ 2.302-68) Масштаб — это отношение отношение размеров изображенного на чертеже предмета к его действительным размерам. При выполнении чертежа обязательно применение масштаба. ГОСТ 2.302-68 предусматривает следующие масштабы: Натуральная величина ————1:1 При масштабах увеличения первое число показывает во сколько раз размеры предмета изображаются на чертеже больше, чем реальные. Например, при масштабе 2:1 предмет изображается на чертеже с размерами в 2 раза больше реальных.

например 10:1 в 10 раз больше, 3:1 в три раза, 5:1 значит в пять раз, 4:1 в четыре раза

touch.otvet.mail.ru

2 что значит? увеличить оригинал или уменьшить? о_О

если на чертеже — то это значит: начерчен 1 см, а в действительности будет 2 см. Такм масштабом пользуются при изображении крупных объектов, а для мелких масштаб будет на увеличение — 2:1, 4:1

Смело уменьшай

Уменьшить в 2 раза

Это значит 1 см на бумаге соответствует 2 см в натуре

умеьшай, т. к. в реале предмет равен 2 см., а на листе (черчеже) 1 см.

уменьшай в 2 раза

Масштаб: оригинал: 1:1 = 1 (100 %), уменьшить: 1:2 = 0,5 (50 %), увеличить: 2:1 = 2 (200 %).

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: Какой будет масштаб?

Можно поступить просто. То, что вы делаете на А2, туда при печати размещаете масштабную шкалу для А2. При печати на А3 или А4 она (шкала масштаба) тоже перестроится. Под данный формат. Неважно, какой у Вас лист для печати. Главное, чтобы шкала соответствовала. Ну, это если рамок жёстких нет, конечно.

пропорционально

А2 — сложенный ровно вдвое лист А1 А3 — сложенный ровно вдвое лист А2 А4 — сложенный ровно вдвое лист А3 и так далее. Соответственно если при переносе чертежа с А2 на А3, пропорции чертежа относительно листа сохраняются, то все размеры на чертеже уменьшаются вдвое, и масштаб становится не 1:50 а 1:100. При переносе с А2 на А4 с сохранением пропорций (относительно листа) масштаб становится 1:200.

а я бы сделал контрольную распечатку на А4 и А3, и измерил какие масштабы получились. Потом вписал бы масштабы в два файла, один для А4, второй для А3

touch.otvet.mail.ru

ГОСТ 2.302-68 Единая система конструкторской документации (ЕСКД). Масштабы (с Изменениями N 1, 2, 3), ГОСТ от 28 мая 1968 года №2.302-68

ГОСТ 2.302-68

Группа Т52

МКС 01.100.01

Дата введения 1971-01-01

УТВЕРЖДЕН Постановлением Комитета стандартов, мер и измерительных приборов при Совете Министров СССР от 28 мая 1968 г. N 752

ВЗАМЕН ГОСТ 3451-59

Изменение N 2 принято Межгосударственным Советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол N 17 от 22 июня 2000 г.)

За принятие изменения проголосовали:

Изменение N 3 принято Межгосударственным Советом по стандартизации, метрологии и сертификации по переписке (протокол N 23 от 28 февраля 2006 г.).

За принятие изменения проголосовали национальные органы по стандартизации следующих государств: AZ, AM, BY, KZ, KG, MD, RU, TJ, TM, UZ, UA [коды альфа-2 по МК (ИСО 3166) 004]

ИЗДАНИЕ (август 2007 г.) с Изменениями N 1, 2, 3, утвержденными в феврале 1980 г., декабре 2000 г., июне 2006 г. (ИУС 4-80, 3-2001, 9-2006).

1. Настоящий стандарт устанавливает масштабы изображений и их обозначение на чертежах всех отраслей промышленности и строительства.

Стандарт не распространяется на чертежи, полученные фотографированием, а также на иллюстрации в печатных изданиях и т.п.

(Измененная редакция, Изм. N 2).

2а. В настоящем стандарте применяют следующие термины с соответствующими определениями:

масштаб: Отношение линейного размера отрезка на чертеже к соответствующему линейному размеру того же отрезка в натуре;

масштаб натуральной величины: Масштаб с отношением 1:1.

масштаб увеличения: Масштаб с отношением большим, чем 1:1 (2:1 и т.д.).

масштаб уменьшения: Масштаб с отношением меньшим, чем 1:1 (1:2 и т.д.).

(Введен дополнительно, Изм. N 2).

2. Масштабы изображений на чертежах должны выбираться из следующего ряда:

3. При проектировании генеральных планов крупных объектов допускается применять масштабы 1:2000; 1:5000; 1:10000; 1:20000; 1:25000; 1:50000.

4. В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения (100):1, где — целое число.

5. Масштаб, указанный в предназначенной для этого графе основной надписи чертежа, должен обозначаться по типу 1:1; 1:2; 2:1 и т.д.

Документы в электронной форме в своей реквизитной части должны содержать реквизит, указывающий на принятый масштаб изображения. При выводе документов в электронной форме на бумажный носитель масштаб изображения должен соответствовать указанному.

(Измененная редакция, Изм. N 3).



Электронный текст документа
подготовлен АО «Кодекс» и сверен по:
официальное издание
Единая система конструкторской документации:
Сб. ГОСТов. — М.: Стандартинформ, 2007

docs.cntd.ru

1.4. Масштабы изображения на плоскости

www.Markscheidergeo.ru — кафедра «Маркшейдерское дело и геодезия» МГОУ

____________________________________________________________________________________

кой А или угол наклона v линииАС к горизонту и горизонтальное проложениеd (проекцию линииАС на горизонтальную плоскость).

Масштаб — это отношение длиныs линии на чертеже, плане, карте к длинеS горизонтального проложения соответствующей линии в натуре, т.е.s:S. Масштаб обозначают либо дробью (числовой), либо в виде графических изображений.

Числовой масштаб, обозначаемый 1/М, представляет собой правильную дробь, у которой числитель равен 1, а знаменатель М показывает, во сколько раз уменьшены линии местности при изображении их на плане. Например, для масштаба 1/100 единице длины на плане соответствует 100 таких же единиц на местности или 1 см на плане — 100 см (1 м) на местности. Чем больше знаменатель числового масштаба, тем больше степень уменьшения, т. е. тем мельче масштаб. Из двух числовых масштабов более крупный тот, знаменатель которого меньше.

Используя значение 1/М числового масштаба и зная длинуS проложения линии на местности, можно по формуле

Пример 1.1. Длина отрезкаS = 142 м. Найти величину изображения этого отрезка на плане масштаба 1:2000.

По формуле (1.1) получим

5= 142:2000 = 0,071 м = 7,1 см.

Пример 1.2. На плане масштаба 1:500 величина отрезка между двумя точкамиs = 14,6 см. Определить длинуS этой линии на местности.

По формуле (1.2) находим S = 14,6 500 = 7300 см = 73 м.

При решении задач по карте или плану с помощью числового масштаба приходится выполнять много вычислений. Чтобы избежать этого, используют графические масштабы.

Графические масштабы бывают линейные и поперечные.

Л и н е й н ы й масштаб (рис. 1.8, а) представляет собой шкалу с делениями, соответствующими данному числовому масштабу. Для построения линейного масштаба на прямой линии откладывают несколько раз расстояние, называемоеоснованием масштаба. Длину основания принимают равной 1; 2; 2,5 см. Первое основание делят на 10 равных частей и на правом конце его пи-

studfiles.net

Наибольшее и наименьшее значения функции — ПриМат

Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Функция принимает наибольшее значение на отрезке в точке , если и :
Аналогично функция принимает наименьшее значение на отрезке в точке , если и :

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте .

Решение:

Найдем производную функции .  Найдем точки, в которых производная равна нулю:   . Значение принадлежит сегменту . Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:

1. ;
2. ;
3. .

Таким образом:
;
.

2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра , если при заданном объеме площадь полной поверхности является наименьшей.

Решение:

Пусть — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности , тогда , где — площадь основания цилиндра .

Тогда . Найдем производную : . Найдем стационарные точки: . Получим: .

Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.

Список литературы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Лимит времени: 0

Информация

Тест на тему «Наибольшее и наименьшее значения функций».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

правила, секретные примеры, упражнения, игры

Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение, вычитание, умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу.

Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье!

Деление чисел

Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение. 3*3=9. Верно? Абсолютно.

Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».

Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

Деление с остатком

Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.

Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).

Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).

Деление на 3 и 9

Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:

1. Найти сумму цифр делимого.

2. Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).

3. Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.

Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.

Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.

Умножение и деление

Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение. В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки.

Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей.

Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Деление 3 класс

В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки:

Задача 1. Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой?

Задача 2. На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок?

Задача 3. Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково?

Задача 4. Четыре друга купили 58 штук печенья. Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук?

Деление 4 класс

Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже:

Деление в столбик

Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача.

Рассмотрим пример, 512:8.

1 шаг. Запишем делимое и делитель следующим образом:

Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

2 шаг. Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5:

3 шаг. Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

4 шаг. Ставим точку под делителем.

5 шаг. После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку:

6 шаг. Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

7 шаг. Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

8 шаг. Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

* 9 шаг*. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица.

Деление трехзначных

Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа.

Деление дробей

Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3)(4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5):

Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7.

Деление числа на классы

Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 — класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

Деление натуральных чисел

Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Деление презентация

Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите!

Презентация на тему «Деление»

Примеры на деление

Легкий уровень

28:4=

16:8=

27:3=

32:8=

64:8=

54:6=

42:6=

49:7=

40:8=

Средний уровень

225:15=

512:8=

144:9=

312:6=

315:7=

625:25=

392:4=

984:8=

Сложный уровень

5712:68=

1035:23=

1121:59=

2352:49=

1610:35=

6300:75=

875:35=

297000:270=

385000:11=

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра «Угадай операцию»

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Игра «Упрощение»

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Игра «Быстрое сложение»

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Игра «Визуальная геометрия»

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Игра «Копилка»

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Игра «Быстрое сложение перезагрузка»

Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Играть сейчас

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.

После прохождения курса ребенок сможет:

1. В 2-5 раз лучше запоминать тексты, лица, цифры, слова
2. Научится запоминать на более длительный срок
3. Увеличится скорость воспоминания нужной информации

Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

cepia.ru

Как объяснить ребенку деление столбиком во 2-3 классе

Как объяснить ребенку деление столбиком? Как дома самостоятельно отработать навык деления в столбик, если в школе ребенок что-то не усвоил? Делить столбиком учат во 2-3 классе, для родителей, конечно, это пройденный этап, но при желании можно вспомнить правильную запись и объяснить доступно своему школьнику то, что понадобится ему в жизни.

xvatit.com

Что должен знать ребенок 2-3 класса, чтобы научиться делить в столбик?

Как правильно объяснить ребенку 2-3 класса деление столбиком, чтобы в дальнейшем у него не было проблем? Для начала, проверим, нет ли пробелов в знаниях. Убедитесь, что:

• ребенок свободно выполняет операции сложения и вычитания;
• знает разряды чисел;
• знает назубок таблицу умножения.

Как объяснить ребенку смысл действия «деление»?

• Ребенку нужно объяснить все на наглядном примере.

Попросите разделить что-либо между членами семьи или друзьями. Например, конфеты, кусочки торта и т.п. Важно, чтобы ребенок понял суть — разделить нужно поровну, т.е. без остатка. Потренируйтесь на разных примерах.

Допустим, 2 группы спортсменов должны занять места в автобусе. Известно сколько спортсменов в каждой группе и сколько всего мест в автобусе. Нужно узнать, сколько билетов нужно купить одной и второй группе. Или 24 тетради нужно раздать 12 ученикам, сколько достанется каждому.

• Когда ребенок усвоит суть принципа деления, покажите математическую запись этой операции, назовите компоненты.
• Объясните, что деление – это операция противоположная умножению, умножение наизнанку.

Удобно показать взаимосвязь деления и умножения на примере таблицы.

Например, 3 умножить на 4 равно 12. 
3 — это первый множитель;
4 — второй множитель;
12 — произведение (результат умножения).

Если 12 (произведение) разделить на 3 (первый множитель), получим 4 (второй множитель).

Компоненты при делении называются иначе:

12 — делимое;
3 — делитель;
4 — частное (результат деления).

Как объяснить ребенку деление двузначного числа на однозначное не в столбик?

Нам, взрослым, проще «по старинке» записать «уголком» — и дело с концом. НО! Дети еще не проходили деление в столбик, что делать? Как научить ребенка делить двузначное число на однозначное не используя запись столбиком?

Возьмем для примера 72:3. 

Все просто! Раскладываем 72 на такие числа, которые легко устно разделить на 3: 
72=30+30+12.

Все сразу стало наглядно: 30 мы можем разделить на 3, и 12 ребенок легко разделит на 3.
Останется только сложить результаты, т.е. 72:3=10 (получили, когда 30 разделили на 3) + 10 (30 разделили на 3) + 4 (12 разделили на 3). 

72:3=24
Мы не использовали деление в столбик, но ребенку был понятен ход рассуждений, и он выполнил вычисления без труда.

После простых примеров можно переходить к изучению деления в столбик, учить ребенка правильно записывать примеры «уголком». Для начала используйте только примеры на деление без остатка.

Как объяснить ребенку деление в столбик: алгоритм решения

Большие числа сложно делить в уме, проще использовать запись деления столбиком. Чтобы научить ребенка правильно выполнять вычисления, действуйте по алгоритму:

• Определить, где в примере делимое и делитель. Попросите ребенка назвать числа (что на что мы будем делить).

213:3
213 — делимое
3 — делитель

• Записать делимое — «уголок» — делитель.

• Определить, какую часть делимого мы можем использоваться, чтобы разделить на заданное число.

Рассуждаем так: 2 не делится на 3, значит — берем 21.

• Определить, сколько раз делитель «помещается» в выбранной части.

21 разделить на 3 — берем по 7. 

• Умножить делитель на выбранное число, результат записать под «уголком». 

7 умножить на 3 — получаем 21. Записываем.

• Найти разницу (остаток).

На этом этапе рассуждений научите ребенка проверять себя. Важно, чтобы он понял, что результат вычитания ВСЕГДА должен быть меньше делителя. Если вышло не так, нужно увеличить выбранное число и выполнить действие еще раз.

• Повторить действия, пока в остатке не окажется 0.

Дальше можно взять пример посложнее, чтобы убедиться, что ребенок усвоил правильную запись и алгоритм рассуждений.

Как правильно рассуждать, чтобы научить ребенка 2-3 класса делить столбиком

Как объяснить ребенку деление 204:12=?
1. Записываем столбиком.
204 — делимое, 12 — делитель.

2. 2 не делится на 12, значит, берем 20.
3. Чтобы разделить 20 на 12 берем по 1. Записываем 1 под «уголком».
4. 1 умножить на 12 получим 12. Записываем под 20.
5. 20 минус 12 получим 8.
Проверяем себя. 8 меньше 12 (делителя)? Ок, все верно, идем дальше.

6. Рядом с 8 пишем 4. 84 разделить на 12. На сколько нужно умножить 12, чтобы получить 84?
Сразу сложно сказать, попробуем действовать методом подбора.
Возьмем, например, по 8, но пока не записываем. Считаем устно: 8 умножить на 12 получится 96. А у нас 84! Не подходит.
Пробуем поменьше… Например, возьмем по 6. Проверяем себя устно: 6 умножить на 12 равно 72. 84-72=12. Мы получили такое же число, как наш делитель, а должно быть или ноль, или меньше 12. Значит, оптимальная цифра 7! 

7. Записываем 7 под «уголок» и выполняем вычисления. 7 умножить на 12 получим 84.
8. Записываем результат в столбик: 84 минус 84 равно ноль. Ура! Мы решили правильно!

Итак, вы научили ребенка делить столбиком, осталось теперь отработать этот навык, довести его до автоматизма.

Почему детям сложно научиться делить в столбик? 

Помните, что проблемы с математикой возникают от неумения быстро делать простые арифметические действия. В начальной школе нужно отработать и довести до автоматизма сложение и вычитание, выучить «от корки до корки» таблицу умножения. Все! Остальное — дело техники, а она нарабатывается с практикой.

Будьте терпеливы, не ленитесь лишний раз объяснить ребенку то, что он не усвоил на уроке, нудно, но дотошно разобраться в алгоритме рассуждений и проговорить каждую промежуточную операцию прежде, чем озвучить готовый ответ. Дайте дополнительные примеры на отработку навыков, поиграйте в математические игры — это даст свои плоды и вы увидите результаты и порадуетесь успехам чада очень скоро. Обязательно покажите, где и как можно применить полученные знания в повседневной жизни.

Уважаемые читатели! Расскажите, как вы учите ваших детей делить в столбик, с какими сложностями приходилось сталкиваться и какими способами вы их преодолели.

rastishka.by

Математика в 3 классе невозможна без поисковых технологий 🙂 Просматривая статистику посещений своего блога осенью 2008 г, я обратил внимание, что с начала сентября в него ежедневно приходят из Google несколько человек по запросу деление в столбик. Действительно, я когда-то писал о том, как делят в столбик американцы. Как ни странно, именно эта запись стояла первой в списке результатов поисковика, но она ничем не помогала бедным школьникам и их родителям.

Беглый просмотр других результатов поисковика не выявил алгоритма деления в первой десятке, и даже в русской Википедии статья еще ждала своего автора. Я решил восполнить пробел, не претендуя на полноту изложения материала или профессиональный педагогический подход.

Итак, дорогие школьники, сегодня мы будем делить 861 на 7 в столбик. Если вы еще не знаете, в любой операции деления должно быть делимое, делитель и частное. В нашем случае 861 – делимое, 7 – делитель, а результат деления – частное. Его и будем искать.

Для начала записываем рядом делимое и делитель, затем разделяем их «уголком».

Теперь нужно внимательно посмотреть на цифры делимого и, двигаясь слева направо, найти в нем наименьшее число, которое больше делителя. Чисел тут три: 8, 86 и 861. Из них наименьшим является 8. Теперь нужно ответить на главный вопрос! Сколько раз наш делитель (7) содержится в числе 8? Один раз. Поэтому смело пишем 1 под чертой – это первая цифра частного, которое мы пытаемся найти.

А где же столбик? Сейчас будет 🙂 Теперь умножаем 7 на 1 и получаем 7. Записывем полученный результат под первым числом делимого и вычитаем в столбик, то есть из 8 вычитаем 7. Получаем 1.

Если вы все сделали правильно, результат вычитания должен быть меньше делителя. Если больше, значит вы неправильно определили, сколько раз 7 содержится в 8. Поскольку результат вычитания меньше делителя, нам нужно его увеличить для продолжения нашего нелегкого труда. И делать это мы будем за счет следующей цифры делимого. Поскольку 8 мы уже использовали, берем 6 и приписываем к единице.

Теперь отвечаем на уже знакомый вопрос. Сколько раз 7 содержится в 16? Два раза. Приписываем двойку к единице под чертой — это вторая цифра частного. Умножаем 7 на 2, получаем 14 и записываем результат под 16.

Дальше идем по уже знакомому пути. Вычитаем 14 из 16, получаем 2 (2 меньше 7, значит все сделано правильно). Используем третью и последнюю цифру делимого – 1, сносим ее вниз и приписываем к двойке, получая 21.

Снова отвечаем на знакомый вопрос. Сколько раз 7 содержится в 21? Три раза. Пишем тройку под чертой. Умножаем 7 на 3, получаем 21 и записываем в столбик под 21. Вычитаем 21 из 21, получаем 0. Ура, деление выполнено без остатка! Ответ – 123.

Если вы использовали все цифры делимого, а ноль так и не получился, значит либо деление без остатка невозможно, либо вы ошиблись в арифметике. Выполните проверку… при помощи калькулятора – Пуск – Выполнить – calc.

Конец урока 🙂

Прикрепленные файлы

domra.mywebteam.org

Деление чисел | Формулы с примерами

Что такое деление натуральных чисел?

Деление — это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю.

Исходное произведение называется делимым, данный сомножитель — делителем, результат — частным.

Варианты обозначений: