Рубрика: Школьная жизнь

425426 прописью -> четыреста двадцать пять тысяч четыреста двадцать шесть

425 426

four hundred and twenty-five thousand four hundred and twenty-six

four hundred twenty-five thousand four hundred twenty-six

vierhundert fünfundzwanzig tausend vierhundert sechsundzwanzig

quatre cent vingt-cinq mille quatre cent vingt-six

чотириста двадцять п’ять тисяч чотириста двадцять шість

czterysta dwadzieścia pięć tysięcy czterysta dwadzieścia sześć

čtyři sta dvacet pět tisíc čtyři sta dvacet šest

Посмотрите как пишутся числа: 96129, 177308, 200172, 388842, 437915, 511580, 655550, 704053, 808667, 953671.

numword.ru

255424 прописью -> двести пятьдесят пять тысяч четыреста двадцать четыре

255 424

two hundred and fifty-five thousand four hundred and twenty-four

two hundred fifty-five thousand four hundred twenty-four

zweihundert fünfundfünfzig tausend vierhundert vierundzwanzig

deux cent cinquante-cinq mille quatre cent vingt-quatre

двісті п’ятдесят п’ять тисяч чотириста двадцять чотири

dwieście pięćdziesiąt pięć tysięcy czterysta dwadzieścia cztery

dvě stě padesát pět tisíc čtyři sta dvacet čtyři

Посмотрите как пишутся числа: 16893, 150815, 285783, 377815, 435666, 517570, 625688, 747703, 877931, 903519.

numword.ru

470425 прописью -> четыреста семьдесят тысяч четыреста двадцать пять

470 425

four hundred and seventy thousand four hundred and twenty-five

four hundred seventy thousand four hundred twenty-five

vierhundert siebzig tausend vierhundert fünfundzwanzig

quatre cent soixante-dix mille quatre cent vingt-cinq

чотириста сімдесят тисяч чотириста двадцять п’ять

czterysta siedemdziesiąt tysięcy czterysta dwadzieścia pięć

čtyři sta sedmdesát tisíc čtyři sta dvacet pět

Посмотрите как пишутся числа: 92236, 131398, 265398, 397607, 427780, 554925, 633137, 773928, 830744, 973095.

numword.ru

425456 прописью -> четыреста двадцать пять тысяч четыреста пятьдесят шесть

425 456

four hundred and twenty-five thousand four hundred and fifty-six

four hundred twenty-five thousand four hundred fifty-six

vierhundert fünfundzwanzig tausend vierhundert sechsundfünfzig

quatre cent vingt-cinq mille quatre cent cinquante-six

чотириста двадцять п’ять тисяч чотириста п’ятдесят шість

czterysta dwadzieścia pięć tysięcy czterysta pięćdziesiąt sześć

čtyři sta dvacet pět tisíc čtyři sta padesát šest

Посмотрите как пишутся числа: 64293, 121819, 235685, 352716, 480749, 586435, 689046, 746229, 872894, 973359.

numword.ru

455420 прописью -> четыреста пятьдесят пять тысяч четыреста двадцать

455 420

four hundred and fifty-five thousand four hundred and twenty

four hundred fifty-five thousand four hundred twenty

vierhundert fünfundfünfzig tausend vierhundert zwanzig

quatre cent cinquante-cinq mille quatre cent vingt

чотириста п’ятдесят п’ять тисяч чотириста двадцять

czterysta pięćdziesiąt pięć tysięcy czterysta dwadzieścia

čtyři sta padesát pět tisíc čtyři sta dvacet

Посмотрите как пишутся числа: 93515, 133916, 206815, 369427, 433671, 546059, 667629, 750184, 895203, 908545.

numword.ru

425420 прописью -> четыреста двадцать пять тысяч четыреста двадцать

425 420

four hundred and twenty-five thousand four hundred and twenty

four hundred twenty-five thousand four hundred twenty

vierhundert fünfundzwanzig tausend vierhundert zwanzig

quatre cent vingt-cinq mille quatre cent vingt

чотириста двадцять п’ять тисяч чотириста двадцять

czterysta dwadzieścia pięć tysięcy czterysta dwadzieścia

čtyři sta dvacet pět tisíc čtyři sta dvacet

Посмотрите как пишутся числа: 94640, 138390, 286477, 304277, 420610, 578926, 624924, 773029, 821181, 997503.

numword.ru

425427 прописью -> четыреста двадцать пять тысяч четыреста двадцать семь

425 427

four hundred and twenty-five thousand four hundred and twenty-seven

four hundred twenty-five thousand four hundred twenty-seven

vierhundert fünfundzwanzig tausend vierhundert siebenundzwanzig

quatre cent vingt-cinq mille quatre cent vingt-sept

чотириста двадцять п’ять тисяч чотириста двадцять сім

czterysta dwadzieścia pięć tysięcy czterysta dwadzieścia siedem

čtyři sta dvacet pět tisíc čtyři sta dvacet sedm

Посмотрите как пишутся числа: 42242, 128454, 284572, 323657, 434502, 595898, 693780, 704046, 854924, 915872.

numword.ru

Точки разрыва функции первого и второго рода

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а если:
1) она определена в этой точке;
2) существует предел функции в этой точке

3) значение предела равно значению функции в точке х = а, т.е.

Если одно из условий нарушается то функция называется разрывной в точке х = а, а сама точка х = а называется точкой разрыва. Все элементарные функции являются непрерывными на интервалах определенности.

Классификация точек разрыва

Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x) если существуют конечные односторонние пределы справа

и слева
.

Если, кроме этого, выполняется хотя бы одно из условий

то функция в точке х = а имеет неустранимый разрыв первого рода.

Если пределы равны, однако функция не существует

то имеем устранимый разрыв первого рода.

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции у= f(x) если граница справа или слева не существует или бесконечна.

Скачком функции в точке разрыва х = х0 называется разность ее односторонних границ

если они разные и не равны бесконечности.

При нахождении точек разрыва функции можно руководствоваться следующими правилами:

1) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной на определенном интервале.
2) элементарная функция может иметь разрыв в точке где она не определена при условии, что она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки.
3) Неэлементарные функция может иметь разрывы как в точках где она определена, так и в тех где она определена.
Например, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то на границе стыка может быть разрывной.

Рассмотрим несколько задач по данной теме.

Задача 1.
Найти точки разрыва функции
а)

Решение:
Функция определена во всех точках кроме тех где знаменатель обращается в нуль x = 1, x = 1. Область определения функции следующая

Найдем односторонние пределы в точках разрыва

При нахождении односторонних границ подобного вида достаточно убедиться в знаке функции и в том, что знаменатель стремится к нулю. В результате получим границу равную бесконечности или минус бесконечности.

Поскольку в точках x = 1, x = -1 функция имеет бесконечные односторонние пределы, то аргументы являются точками разрыва второго рода. График функции приведен на рисунке ниже

——————————————————-

б)

Решение:
Задача достаточно простая. В первую очередь находим нули знаменателя

Таким образом функция определена на всей действительной оси за исключением точек , которые являются точками разрыва. Вычислим односторонние пределы справа и слева

Пределы бесконечны поэтому, по определению, имеем точки разрыва второго рода.

Из графиков приведенных функций видим что для ряда из них отыскания точек разрыва сводится до нахождения вертикальных асимптот. Но бывают функции которые и без вертикальных асимптот имеют разрывы первого или второго рода.

——————————————————-

в)

Решение:
Заданная функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки x = -3. Вычислим односторонние границы в этой точке

Они различаются по значениям, однако есть конечными. Итак точка x = -3 является неустранимой точкой разрыва І рода.

——————————————————-

Задача 2.
Найти точки разрыва функции если они существуют. Вычислить скачок функции в точке разрыва. Построить график функции.

а)

Решение:
Для заданной функции точка x = 2 является точкой разрыва. Найдем предел функции , чтобы определить характер разрыва

По определению, точка x = 2 является неустранимой точкой разрыва первого рода. Вычислим скачок функции при x=2

График функции на интервале который нас интересует приведен далее

——————————————————-

б)

Решение:
Неэлементарная функция y (x) определена для всех положительных значений аргумента. Точки которые разбивают функцию на интервалы могут быть разрывами. Для проверки найдем соответствующие пределы

Поскольку предел функции в точке x = 2 равен значению функции в этой точке то функция — непрерывная.

Отсюда также следует, что для непрерывной функции скачок равен 6-6 = 0.

Исследуем на непрерывность вторую точку

По определению функция в точке x = 2 имеет неустранимый разрыв І рода.

Прыжок функции равен 29 — (- 3) = 31.

По условию задания построим график функции.

Из приведенного материала Вы должны научиться находить разрывы первого и второго рода, а также различать их. Для этого подобрано немного примеров, которые в полной мере раскрывают все важные вопросы темы. Все остальное сводится к нахождению простых односторонних пределов и не должно быть для Вас сложным.

yukhym.com

Точки разрыва функции (определения, классификация, примеры)

Определения и классификация точек разрыва функции

Определение точки разрыва функции
Конечная точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x₀, но не является непрерывной в этой точке.

То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x₀) функции в точке x₀. См. «Определение непрерывности функции в точке».

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

• Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
  , а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям».
• Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
  Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций»
• Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции»

Примеры

Пример 1

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.

Решение

Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
,   . Тогда
.

Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной – степенной функцией с показателем степени 1. Она определена и непрерывна для всех значений переменной . Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .

Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .

Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.

График функции y = 4^1/(x+2).

Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.

Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями, для предела слева имеем:
при ,
,
,
.

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

Ответ

В точке   функция непрерывна.
В точке   разрыв второго рода,
.

Пример 2

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.

Решение

График заданной функции.

Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1. Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

В   входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
,  .
Поэтому они также непрерывны для всех .

Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.

Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.

Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .

Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной – это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.

Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.

Ответ

Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.

Пример 3

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Решение

Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение:
;
;
;   .
Тогда
.

Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.

Тогда заданная функция примет вид:
(П1)   .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.

Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2)   .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
  при  .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.

Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .

Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.

Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций, имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.

Ответ

Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 22-09-2018

1cov-edu.ru

точка разрыва первого рода — ПриМат

 Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа 

 и,

причём  то точка  называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке .

Пример

1) 

точка 0-точка устранимого разрыва.

2)  

 точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

  и   , то точка  называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1)

2)

Определение:

Точка  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

точка разрыва второго рода.

Рекомендации

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
•  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

«Разрывность функции»

Лимит времени: 0

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   Правильно
   

   Неправильно
   

2. Задание 2 из 5

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …

   Правильно
   

   Неправильно
   

3. Задание 3 из 5

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   Правильно
   

   Неправильно
   

4. Задание 4 из 5

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   

5. Задание 5 из 5

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и ,то точка …

   Правильно
   

   Неправильно
   

Таблица лучших: «Разрывность функции»

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке существуют конечные пределыи, такие, что, то точканазываетсяточкой разрыва первого рода.

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов илине существует или равен бесконечности, то точканазываетсяточкой разрыва второго рода.

7. Свойства функций непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши).

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

2. Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.

3. Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезкеи принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть,, то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения междуи.

4. Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке, принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точкатакая, что.

Вторая теорема Вейерштрасса

  Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значения (своей верхней и своей нижней грани).

Теорема о промежуточных значениях (Больцано-Коши)

Пусть функция f непрерывна на отрезке [ a,b ], причем f(a) не равно f(b).

Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ∈(a,b), что f(γ) = C.

Следствие 1.

Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

7. Производная функции одной переменной. Основные определения. Геометрический и механический смысл.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция

Производной функции в точкеназывается предел, если он существует,

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс.

Если функция имеет конечную производную в точкето в окрестностиеё можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной кв точкеЧислоявляется угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогдавыражает мгновенную скорость движения в момент времениВторая производнаявыражает мгновенное ускорение в момент времениВообще производная функциив точкевыражает скорость изменения функции в точке, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

7. Дифференциал функции одной переменной. Геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие существования дифференциала. Инвариантность формы дифференциала.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.                                             (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у’=х’=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх,    

Геометрический смысл дифференциала:

Проведем к графику функции в точкукасательнуюи рассмотрим

ординату этой касательной для точки . На рисунке,. Из прямоугольного треугольникаимеем:, т.е.. Но, согласно геометрическому смыслу производной,. Поэтомуили. Это означает, что дифференциал функциивравен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когдаполучает приращение.

Необходимое и достаточное условие существования дифференциала

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

При этом

где α(Δx) — бесконечно малая функция, при Δx→0.

studfiles.net

12. Непрерывность функции. Разрывы первого и второго рода

Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .

Следствие.

ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.

Определение устранимого разрыва первого рода.

В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть.

Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).

В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть. Точкув этом случае называют точкой скачка функции.

Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

В точке функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева, либо предел справа, не существует или бесконечен.

13. Теоремы Вейерштрасса о функции непрерывной на отрезке.

Т1.Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] , то f ограниченна на отрезке [a,b], т.е. существует такое число М, что , при всех

Т2.Если f непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своей верхней и нижней грани.

14. Теорема о свойстве непрерывной на отрезке функции принимающей на концах отрезка значения разных знаков (Больцано-Коши).

Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезкеи принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть,, то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения междуи.

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

15. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины.

Определение 1. Функции  и  называются бесконечно малыми величинами одного порядка малости, если.  Определение 2. Функция  называется бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем , если.  Определение 3. Функция  называется бесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем , если.  Определение 4. Функция  называется бесконечно малой величиной го порядка малости относительно , если.  Определение 5. Функции  и  называются несравнимыми бесконечно малыми величинами, если  не существует и не равен .  Определение 6. Две бесконечно малые величины  и  называются эквивалентными, если . 

16. Сравнение бесконечно больших величин. Эквивалентные бесконечно большие величины.

17.Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших величин для вычисления пределов.

18 Производная функции. Механический и геометрический смысл производной.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Геометрический и физический смысл производной

studfiles.net

Разрыв первого рода — это… Что такое Разрыв первого рода?

Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения.

Это понятие определятся немного по-разному в различных разделах математики; наиболее общее определение используется в общей топологии.

Определения

Непрерывная числовая функция

Непрерывное отображение из R^m в Rⁿ

Обобщая одномерный случай, функция называется непрерывной в точке если

где

— евклидова норма в

Непрерывное отображение метрических пространств

В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играет принципиальной роли. Достаточно лишь иметь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния, называются метрическими пространствами. Отображение метрического пространства (X,ρ_X) в метрическое пространство (Y,ρ_Y) называется непрерывным в точке a, если

Непрерывное отображение топологических пространств

В предыдущих определениях важно не наличие точной меры расстояния, а лишь понятия близости. Непрерывное отображение переводит близкие точки в близкие. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств , позволяющий говорить о близких точках, называется топологическим пространством. Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт:

Связанные определения

Если функция не является непрерывной в точке a, то говорят, что она в ней разры́вна и пишут Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:

1. Либо предел не существует;
2. Либо он существует, но

Пусть существует но или Тогда a называется то́чкой устрани́мого разры́ва. Положив можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется доопределением по непрерывности.

Пусть не сущестует двусторонний предел но существуют конечные (и различные) односторонние пределы и Тогда и a называется то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да.

Если и a не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то есть хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется то́чкой разры́ва второ́го ро́да.

Свойства

• В предельной точке области определения непрерывность функции эквивалентна существованию предела, равного значению функции в точке:

Вещественнозначаные функции

• Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть Тогда существует окрестность U(a) такая, что

Примеры

непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо

непрерывна в любом Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, ибо

непрерывна в любом

Вариации и бобщения

Односторнняя непрерывность

• Пусть дана функция и Тогда говорят, что f непреры́вна спра́ва в точке a, если

• Говорят, что f непреры́вна сле́ва в точке a, если

Замечания

• Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.
• Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда существует правосторонний предел

• Функция непрерывна слева в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда существует левосторонний предел

• Все базовые свойства непрерывных функций переносятся на односторонне непрерывные функции.

Примеры

непрерывна справа (но не слева) в точке x = 0. Во всех других точках она непрерывна.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

точка разрыва второго рода — ПриМат

 Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа 

 и,

причём  то точка  называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке .

Пример

1) 

точка 0-точка устранимого разрыва.

2)  

 точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

  и   , то точка  называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1)

2)

Определение:

Точка  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

точка разрыва второго рода.

Рекомендации

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
•  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

«Разрывность функции»

Лимит времени: 0

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   Правильно
   

   Неправильно
   

2. Задание 2 из 5

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …

   Правильно
   

   Неправильно
   

3. Задание 3 из 5

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   Правильно
   

   Неправильно
   

4. Задание 4 из 5

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   

5. Задание 5 из 5

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и ,то точка …

   Правильно
   

   Неправильно
   

Таблица лучших: «Разрывность функции»

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Как вычислить площадь по периметру

Геометрия постигает свойства и колляции двумерных и пространственных фигур. Числовыми величинами, характеризующими такие конструкции, являются площадь и периметр, вычисление которых производится по знаменитым формулам либо выражается одно через другое.

Инструкция

1. Прямоугольник.Задача: вычислите площадь прямоугольника, если вестимо, что его периметр равен 40, а длина b в 1,5 раза огромнее ширины a.

2. Решение.Используйте знаменитую формулу периметра, он равен сумме всех сторон фигуры. В данном случае P = 2•a + 2•b. Из исходных данных задачи вы знаете, что b = 1,5•a, следственно, P = 2•a + 2•1,5•a = 5•a, откуда a = 8. Обнаружьте длину b = 1,5•8 = 12.

3. Запишите формулу для площади прямоугольника:S = a•b,Подставьте вестимые величины:S = 8•*12 = 96.

4. Квадрат.Задача: обнаружьте площадь квадрата, если периметр равен 36.

5. Решение.Квадрат – частный случай прямоугольника, где все стороны равны, следственно, его периметр равен 4•a, откуда a = 8. Площадь квадрата определите по формуле S = a? = 64.

6. Треугольник.Задача: пускай дан произвольный треугольник ABC, периметр которого равен 29. Узнайте величину его площади, если знаменито, что высота BH, опущенная на сторону AC, делит ее на отрезки с длинами 3 и 4 см.

7. Решение.Для начала припомните формулу площади для треугольника:S = 1/2•c•h, где c – основание и h – высота фигуры. В нашем случае основанием будет сторона AC, которая знаменита по условию задачи: AC = 3+4 = 7, осталось обнаружить высоту BH.

8. Высота является перпендикуляром, проведенным к стороне из противоположной вершины, следственно, она разделять треугольник ABC на два прямоугольных треугольника. Зная это качество, разглядите треугольник ABH. Припомните формулу Пифагора, согласно которой:AB? = BH? + AH? = BH? + 9 ? AB = ?(h? + 9).В треугольнике BHC по тому же тезису запишите:BC? = BH? + HC? = BH? + 16 ? BC = ?(h? + 16).

9. Примените формулу периметра:P = AB + BC + ACПодставьте величины, выраженные через высоту:P = 29 = ?(h? + 9) + ?(h? + 16) + 7.

10. Решите уравнение:?(h? + 9) + ?(h? + 16) = 22 ? [замена t? = h? + 9]:?(t? + 7) = 22 – t, возведите обе стороны равенства в квадрат:t? + 7 = 484 – 44•t + t? ? t?10,84h? + 9 = 117,5 ? h ? 10,42

11. Обнаружьте площадь треугольника ABC:S = 1/2•7•10,42 = 36,47.

jprosto.ru

Калькулятор вычисления периметра и площади геометрических фигур

Определение периметра и площади геометрических фигур — важная задача, которая возникает при решении многих практических или бытовых задач. Если вам требуется поклеить обои, установить забор, рассчитать расход краски или кафеля, то вам обязательно придется иметь дело с геометрическими расчетами.

Для решения перечисленных бытовых вопросов вам потребуется работать с самыми разными геометрическими фигурами. Мы представляем вам каталог онлайн-калькуляторов, которые позволяют вычислить параметры наиболее популярных плоских фигур. Рассмотрим их.

Круг

Окружность — это множество точек на плоскости, которые равноудалены от центра на некоторое расстояние, называемое радиусом. Многие считают круг и окружность синонимами, однако это не так. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Вы можете отыскать периметр и площадь круга, но у окружности найти можно только длину, так как она представляет собой кривую, не имеющую площади. Длина окружности или периметр круга находятся по простой формуле:

l = 2 pi × R,

где R – радиус фигуры.

Площадь круга рассчитывается согласно следующему выражению:

S = pi R²

Круги часто встречаются в реальной жизни. В основном это основания цилиндрических и конических деталей, а также просто круглые поверхности, например, круглые столики, диски, грампластинки или катушки. Вид окружности имеют колеса, обручи или кольца. В трехмерной реальности окружность превращается в сферу, а круг — в шар. Форму этих геометрических тел имеют многие реальные и природные объекты. Благодаря своей эффективности круг охватывает максимальную площадь при минимальном периметре. Именно поэтому форму шара имеют капли, снежные комья, метеориты или планеты.

Треугольник

Треугольник — первая гармоничная фигура на плоскости, ограниченная тремя отрезками. Свойства треугольника известны людям с античных времен: изучение фигуры стартовало в Древнем Египте и не завершено до сих пор. Огромный вклад в изучение свойств фигуры внесли Евклид, Эйлер и Лобачевский, но даже сегодня продолжается работа над поиском замечательных точек треугольника, которых на данный момент найдено более 6 тысяч. Для определения периметра фигуры достаточно сложить длины всех сторон треугольника по формуле:

P = a + b + c,

где a, b, c – стороны.

Для вычисления площади треугольника используется 5 различных формул плюс нахождение площади через определенный интеграл. Самое простое выражение для вычисления площади:

S = 0,5 a × h,

где a — сторона треугольника, h — его высота.

Наш калькулятор позволяет отыскать площадь или периметр треугольника, зная разные комбинации нескольких параметров, таких как углы, стороны или радиусы связанных окружностей.

Треугольники не слишком распространены в реальной повседневности. В природе они практически не встречаются, за исключением кристаллических решеток некоторых молекул или формы ушей у рыси. А вот в технике, геометрии и прикладных науках треугольник — царь и бог. Наибольшее применение находит следующий тип фигуры.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — особая вариация фигуры, у которой две стороны обязательно образуют прямой угол. Эти стороны называются катетами, а противолежащая им сторона — гипотенузой. Соотношение катетов и гипотенузы лежит в основе евклидовой геометрии — эти соотношения определяются теоремой Пифагора. Изучение свойств прямоугольного треугольника положило начало одному из важных разделов математики — тригонометрии, которая используется в самых разных прикладных сферах от компьютерных игр до океанографии.

Формулы для вычисления периметра и площади прямоугольного треугольника ничем не отличаются от формул для обычных вариаций данной фигуры или вытекают из них.

Трапеция

Трапеция, как и слово трапеза, по-гречески означают «стол». Это плоская фигура, ограниченная четырьмя прямыми, две из которых параллельны, а две — нет. По сути, это выпуклый четырехугольник, поэтому параллелограмм и прямоугольник считаются частными случаями трапеции. В общем случае все стороны трапеции имеют разную длину, и для вычисления периметра используется формула:

P = a + b + c + d,

a, b, c и d – стороны четырехугольника.

Площадь фигуры определяется как:

S = 0,5 (a + b) × h,

где a и b – параллельные стороны трапеции, h – высота.

Трапеция очень часто встречается в рукотворном мире. Грани многих предметов имеют вид этого четырехугольника, а буквально трапецеидальную форму имеют такие объекты как автомобильные окна, паруса, скаты крыш или юбки.

Параллелограмм

Параллелограмм — это элегантный четырехугольник, пары сторон которого параллельны друг другу. Любой четырехугольник становится параллелограммом, если его противолежащие стороны параллельны, диагонали в точке пересечения разделяются пополам, а противоположные углы равны. Для вычисления периметра параллелограмма используется простая формула, которая иллюстрирует сумму попарно равных сторон:

P = 2 (a + b).

Площадь параллелограмма не зависит от величины его углов, и находится по следующей формуле:

S = a × h.

Параллелограммы часто встречаются в реальной жизни: это грани многих призматических объектов, очертания полей, спортивных площадок или клумб. Форму параллелограммов имеют практически все отделочные материалы: плитка, кафель, гипсокартон, паркет. Такое разнообразие обусловлено тем, что частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, ромб и квадрат, формулы для определения периметров и площадей которых аналогичны или выводятся из теоремы Пифагора.

Частные случаи

Ромб — четырехугольник с одинаковыми сторонами. Параллелограмм становится ромбом в случаях, если его диагонали пересекаются под углом 90 градусов и являются биссектрисами своих углов.

Прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами. Кроме того, параллелограмм считается прямоугольником, если его стороны и диагонали отвечают условиям теоремы Пифагора.

Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны. Диагонали квадрата полностью повторяют свойства диагоналей прямоугольника и ромба, что делает квадрат уникальной фигурой, которая характеризуется максимальной симметрией.

Многоугольник

Правильный полигон — это выпуклая фигура на плоскости, которая имеет равные стороны и равные углы. В зависимости от количества сторон многоугольники имеют собственные названия:

И так далее. Геометры шутят, что круг — это многоугольник с бесконечным количеством углов. Наш калькулятор запрограммирован на определение периметров и площадей только правильных многоугольников. Он использует общие формулы для всех правильных полигонов. Для вычисления периметра используется формула:

P = n × a,

где n – количество сторон многоугольника, a – длина стороны.

Для определения площади используется выражение:

S = n/4 × a² × ctg(pi/n).

Подставляя соответствующее n, мы можем подобрать формулу для любого правильного многоугольника, к которым также относятся равносторонний треугольник и квадрат.

Многоугольники имеют большое распространение в реальной жизни. Так форму пятиугольника имеет здание министерства обороны США — Пентагон, гексагона — пчелиные соты или кристаллы снежинки, октагона — дорожные знаки. Кроме того, многие простейшие, например радиолярии, имеют форму правильных полигонов.

Примеры из реальной жизни

Давайте рассмотрим пару примеров использования нашего калькулятора в реальных расчетах.

Покраска забора

Покраска поверхностей и расчет краски — это одни из самых очевидных бытовых задач, в которых требуются минимальные математические расчеты. Если нам нужно покрасить забор, высота которого составляет 1,5 метра, а длина 20 метров, то сколько потребуется банок краски? Для этого нужно узнать суммарную площадь забора и расход лакокрасочных материалов на 1 квадратный метр. Мы знаем, что расход эмали составляет 130 грамм на метр. Теперь определим площадь забора, используя калькулятор для вычисления площади прямоугольника. Она составит S = 30 квадратных метров. Естественно, что забор мы будем красить с обеих сторон, поэтому площадь для покраски увеличится до 60 квадратов. Тогда нам понадобится 60 × 0,13 = 7,8 килограмм краски или три стандартных банки по 2,8 килограмма.

Отделка бахромой

Пошив одежды — еще одна отрасль, в которой необходимы обширные геометрические познания. Пусть нам надо отделать бахромой платок, который представляет собой равнобедренную трапецию со сторонами 150, 100, 75 и 75 см. Для вычисления расхода бахромы нам потребуется узнать периметр трапеции. В этом нам и пригодится онлайн-калькулятор. Введем эти данные ячейки и получим ответ:

P = 400

Таким образом, нам понадобится 4 м бахромы для отделки платка.

Заключение

Плоские фигуры составляют реальный мир вокруг. Мы часто задавались в школе вопросом, пригодится ли нам геометрия в будущем? Выше приведенные примеры показывают, что математика постоянно используется в повседневной жизни. И если площадь прямоугольника для нас привычна, то вычислить площадь додекагона может оказаться трудной задачей. Используйте наш каталог калькуляторов для решения школьных заданий или бытовых вопросов.

bbf.ru

Как найти периметр зная площадь – онлайн калькулятор геометрических фигур

Как найти периметр прямоугольника, зная только его площадь?

В общем случае эта задача не имеет решения, поскольку одной и той же площади могут соответствовать совершенно разные стороны. Однако, возможны случаи когда и такая задача имеет конкретные решения. Частный случай — когда прямоугольник квадрат. Тогда площадь равна квадрату его стороны, а все стороны равны между собой. Берем корень из площади и получаем значение стороны квадрата, умножаем на 4 — вот и периметр. Так же можно решить такую задачу если по условию стороны имеют целочисленное значение, просто методом подбора, который впрочем может дать более одного варианта ответа, но не очень много. Поскольку площадь прямоугольника это АхВ, то отношение сторон выражается как А=S/B и любые целые значения В, при которых А также получится целым будут вариантами ответа. Соответственно периметр, удвоенная сумма этих сторон, также будет разным.

в избранное ссылка отблагодарить

По одной только площади вычислить периметр прямоугольника не возможно.Нужны ещё дополнительные сведения. А это. или одна из сторон прямоугольника, или соотношение сторон прямоугольника.Есть даже такая задача: у какого прямоугольника заданной площади максимальный периметр?А чтобы представить формулу периметра по соотношению сторон, то рассмотрим:

Пусть соотношение сторон прямоугольника ав=к.Пусть известно значение а.Тогда в= ак.

Площадь S = а*в=а*ак.Откуда а=√(к*S ). р= 2(а+в)=2(а+ак)=2a(k+1)/k =2√(k*S)(k+1)/k=2√S(k+1)

А максимальный периметр при одинаковой площади прямоугольника — у прямоугольника с равными сторонами. то есть у квадрата.

К сожалению, придётся разочаровать тех, кто надеется, что, зная площадь прямоугольника, возможно найти его периметр. Не имея данных о длине хотя бы одной стороны сделать это невозможно.

Периметр прямоугольника – это сумма всех его сторон, так как противоположные стороны у него равны, то формула периметра Р=2 х (а+в). Зная же площадь (произведение сторон S=а х в) можно понять, что у нас в наличии два уравнения с тремя неизвестными (а, в и Р) и одним известным — S. Для решения этой системы уравнений не хватает ещё одного заданного параметра – одной из сторон.

в избранное ссылка отблагодарить

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВОДЫ И САНИТАЦИИ

E-mail: [email protected]

Время работы: Пн-Пт с 9-00 до 18-00 (без обеда)

Расчет геометрических фигур

Геометрические изображения представляют собой замкнутые множества точек на плоскости или в пространстве, которые ограничены конечным числом строк.

Они могут быть линейными (1D), плоскими (2D) или пространственными (3D).

Каждое тело, имеющее форму, представляет собой набор геометрических изображений.

Каждая картина может быть описана математической формулой разного уровня сложности.

Исходя из простого математического выражения, сумма набора математических выражений.

Основными математическими параметрами геометрических фигур являются радиусы, длины граней или граней и углы между ними.

Ниже приведены основные геометрические формы, наиболее часто используемые в расчетах, формулах и ссылках на компьютерные программы.

Линейные геометрические фигуры

1. Точка

Цель — основной объект измерения.

Главной и единственной математической характеристикой точки является ее координата.

Рассчитать расстояние между точками

2. Линия

Линия представляет собой тонкий пространственный объект с конечной длиной и представляет собой цепочку точек, связанных друг с другом. Основным математическим свойством линии является длина.

Вычислить длину линии

третий

луч

Лед — это тонкий пространственный объект, который имеет бесконечную длину и представляет собой цепочку точек, связанных друг с другом. Основными математическими характеристиками луча являются координаты его источника и направления.

Плоские геометрические фигуры

первый

круг

Круг представляет собой геометрический локус точек на плоскости, расстояние от которого центр не превышает заданное число, которое называется радиусом этого круга. Основной математической особенностью круга является радиус.

Расчет площади круга (круга)
Вычисление длины круга (круга)

второй

рынок

Квадрат — это четырехугольник, в котором все углы и все стороны одинаковы. Основным математическим свойством квадрата является длина его стороны.

Вычислить квадрат квадрата
Вычисление квадрата квадрата

третий

прямоугольник

Прямоугольник представляет собой четырехугольник со всеми углами, равными 90 градусам (прямые линии). Основными математическими характеристиками прямоугольника являются длины его сторон.

Вычисление поверхности прямоугольника
Вычисление периметра прямоугольника

четвёртая

треугольник

Треугольник представляет собой геометрическое изображение, образованное тремя сегментами, которые соединяют три точки (треугольные токи), которые не лежат на одной линии. Основными математическими характеристиками треугольника являются длины стороны и высота.

Расчет поверхности треугольника
Вычисление треугольника треугольника

пятые

Калькулятор для расчета окружности и области геометрической формы

Trapezij

Трапеция — это четырехугольник с двумя сторонами, параллельный, а другой не параллельный. Основными математическими характеристиками трапеции являются длины сторон и высота.

Расчет трапецеидальной области
Расчет окружности трапеции

6. Параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны.

Основными математическими характеристиками параллелограмма являются длины его сторон и высота.

Вычисление поверхности параллелограмма
Вычисление границы параллелограмма

седьмые

ромб

Римба — четырехугольник со всеми сторонами, а углы его точек не равны 90 градусам. Основными математическими особенностями ромба являются длина его бока и его высота.

Расчет площади алмаза
Расчет периметра алмаза

восьмых

эллипс

Эллипс является замкнутой кривой на плоскости, которая может быть представлена ​​в виде ортогонального проектора отрезка окружности цилиндра к плоскости. Основными математическими характеристиками круга являются длина его полупроводников.

Расчет поверхности эллипса

3D-геометрия

первый

Балон

Сфера — это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, расположенных от центра на некотором расстоянии. Основной математической характеристикой шара является его радиус.

Вычисление объема шара
Вычислить площадь поверхности сферы

второй

Sfera

Сфера — это оболочка геометрического тела, представляющая собой совокупность всех точек пространства, которые находятся от центра на некотором расстоянии. Основной математической характеристикой сферы является ее радиус.

Расчет объема
Расчет площади поверхности сферы

3. Куб

Куб — это геометрическое тело, которое является правильным многоугольником, чья линия является квадратом.

Основной математической характеристикой куба является длина его ребра.

Вычисление объема куба
Расчет поверхности куба

4. Параллелепипед

Paralelepiped — это геометрическое тело, которое является полимером с шестью гранями и каждым прямоугольником. Основными математическими свойствами параллелепипеда являются длины ребер.

Вычисление объема параллелепипеда
Расчет поверхностей параллелепипеда

пятые

призма

Призма — многогранник, два графика которого являются одинаковыми многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы, которые имеют обычные стороны с этими многоугольниками. Основными математическими характеристиками призмы являются основная поверхность и высота.

Вычисление количества призмы

шестые

шишка

Конус представляет собой геометрическое число, полученное объединением всех лучей, происходящих из одного вершинного конуса и проходящих через плоскую поверхность. Основными математическими характеристиками конуса являются радиус основания и высоты.

Расчет объема конуса
Расчет поверхностей конуса

седьмые

пирамида

Пирамида — многогранник, основой которого является произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники, имеющие общую цепочку. Основными математическими характеристиками пирамиды являются основная поверхность и высота.

Расчет объема пирамиды

восьмых

цилиндр

Цилиндр представляет собой геометрическое число, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскими плоскостями. Основными математическими характеристиками цилиндра являются радиус основания и высоты.

Объемный расчет
Расчет поверхностей цилиндра

На этой странице показаны все геометрические фигуры, которые наиболее часто встречаются в геометрии, чтобы представлять объект или его часть на плоскости или во Вселенной.

Длина круга и окружности

Сегодня мы познакомимся с такими определениями, как круг, радиус, диаметр и объем.. В этой статье мы рассмотрим геометрическое изображение, которое не содержит прямых линий, но изогнуто: круг. Мы выполняем некоторые свойства этих чисел. Представьте точку \ (P \) с точным местоположением, затем перетащите все возможные точки, которые находятся на одном и том же фиксированном расстоянии r от точки \ (P \).

Если мы перетаскиваем все точки, находящиеся на расстоянии \ (г \) из \ (Р \), то в итоге получим круг.

Таким образом, окружность — это серия всех точек, одинаково отдаленных (то есть все на одном расстоянии) от центральной точки.

Площадь и дальность

Расстояние r от центра к периферии называется радиусом. Если умножить радиус на \ (2 \), получим диаметр круга. 

Объем круга

Как и в случае треугольников и прямоугольников, мы можем попытаться получить формулы для области и «периметр» круглый.

Но такое понятие, как «периметр», круг нет. Существует определение длины круга. Однако расчет вычислительной схемы не так прост, как вычисление периметра прямоугольника или треугольника.

Очевидно, что, увеличивая диаметр или радиус, круг становится больше и, следовательно, объем увеличивается.

Если мы разделим любой круг по диаметру, получится постоянное число π. История π чисел была проведена параллельно с развитием всей математики и стала стандартной после работы Леонардо Эйлер в 1737 г. Эта константа примерно равна (3,14593 \). Точное значение \ (π \) неизвестно, pi — иррациональное число — неповторимое десятичное число, которое не может быть выражено как часть интегрированного счетчика и знаменателей.

Мы находим, что длина круга, деленная на диаметр, является постоянным числом π.

Диаметр вдвое превышает радиус, поэтому его можно использовать для замены. Таким образом, окружность круга может быть рассчитана, если мы знаем радиус круга или его диаметр. Для большинства вычислений, требующих правильного ответа, \ (π \) равно \ (3,14 \). Диапазон рассчитывается по формуле:

\ (2πr \)

Например, если окружность имеет радиус \ (3 \), то ее диапазон равен \ (6π \).

Диапазон круга рассчитывается с использованием уравнения:

\ (πr ^ 2 \)

Если круг имеет диаметр \ (6 \) сантиметров.

Какова его область? Радиус равен \ (3 \), поэтому поверхность \ (πr ^ 2-9π \) \ (cm ^ 2 \)

Подпишитесь на бесплатную пробную версию здесь и узнайте, что вы не понимаете.

Дополнительные уроки и задания по математике с преподавателями нашей интернет-школы «Альфа». Зарегистрируйтесь сейчас в пробной аптеке!

Зарегистрируйтесь для бесплатного тестирования знаний!

© CompleteRepair.Ru

Площадь — это стороны, перемноженные друг на друга То есть если принять допуск, что стороны все равны, то взять корень из площади — это будет одна сторона, и умножить на 4 — это периметр (в вашем случае примерно 10 метров)

напрашивается: корень квадратный и умножить на 4 стороны комнаты..

. но это не совсем правильно.. . Чем квадратнее прямоугольник — тем его периметр меньше.. . должн ещё что-то быть известно…

Допустим ваша ванная 1,5 м *4 м=6 м.

кв. Периметр тогда 1,5+1,5+4+4=11 м, если 2*3=6кв. м, 2+2+3+3=10 м, если 6*1=6 кв. м, то 6+6+1+1=14 м. О какой формуле может идти речь?

Сейчас Вы можете купить плитку только на пол.

Корень из 6.05 умнож на 4 и умнож на высоту 2.8плюс 10 процентов на резку, брак и т. д.

не сдан, но строители работают-подойди к прорабу может твою квартиру покажет может такуюжетебе главное или длину узнать или ширину я думаю где то 3Х2))

Одно из двух; 1.

либо память у вас девичья. 2 либо старческий маразм.

Как найти площадь, зная периметр

По секрету скажу. что раньше за попытки памятью подсказывать наличие подобных формул, могли закрыть и проколоть на предмет осеннего обострения шизофрениии.

не делайте этого. Плитка сейчас разных размеров, зная размеры стен, можно оптимально выбрать, чтоб было поменьше подрезки

Войдите, чтобы написать ответ

vipstylelife.ru

Как найти периметр прямоугольника, зная его площадь?

этого не достаточно. Надо еще знать одну из сторон

Ни по какой. Вариантов будет бесконечное множество

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого четыре прямых угла. Размеры прямоугольника задаются длиной его сторон, обозначаемых обычно a и b. Прямоугольник, все стороны которого равны (a=b) называется квадратом. Свойства прямоугольника противолежащие стороны равны и параллельны друг другу; диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам; сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон. Периметр P прямоугольника равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу P = 2(a + b). Длина диагонали d прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора: d = √(a2 + b2). Углы между диагоналями прямоугльника определяются соотношением сторон: α = 2arctg(a/b), β = 2arctg(b/a), α + β = 180°. Площадь S прямоугольника равна произведению сторон, прилежащих к одному углу: S = a·b. Также можно выразить площадь прямоугольника через длину диагоналей и угол между ними: S = d2·sin(α/2)·cos(α/2). Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен половине длины диагонали: R = √(a2 + b2)/2. В прямоугольник (если он не квадрат) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон. Максимальный радиус окружности, которая может поместиться внутри прямоугольника, равен половине его меньшей стороны.

решить систему уравнений одно из которых — формула площади второе формула периметра

периметер p=2*a+(2*s)/a, где а от 0 до s

надо решить систему уравнений например если пл-дь равна 16, то ситема примет вид. при учете что х это периметр, а и в стороны прямоугольника, то а*в=16 2а+2в=х отсюда верхнее уравнее системы можно выразить одну сторну через другую и подставить в нижнее уравнение, например: а=16/в то 2(16/в) +2в=х вот только надо знать сторону хоть одну чтобы определить вторую, а строна в как как писал выше Aqni имеет значения почти от нуля и почти до S внашем почти до 16….пиши мне на мыло если не понятно до сих пор )

Встречный вопрос — в доме 40 квартир — сколько это этажей? — емкость в 1 литр — какой диаметр емкости? Продолжить?…

S=a*b=к примеру 45см ^2 разложим на простые множители 45 45/3=15 15/3=5 5/5=1 НОД=1 Р=2(3^2+5^1)=2(9+5)=28 P.S. Как разложить число на простые множители см. <a rel=»nofollow» href=»https://otvet.mail.ru/question/14487466″ target=»_blank»>https://otvet.mail.ru/question/14487466</a>

Чтобы найти периметр прямоугольника надо сложить все его стороны.

плюс минус при подборе вручную по формуле будет иногда разницы втрое

touch.otvet.mail.ru

Как найти периметр и площадь?

Интересно, что много лет назад такой раздел математики, как «геометрия» называли «землемерием». И о том, как найти периметр и площадь, известно уже давно. К примеру, говорят, что самыми первыми вычислителями этих двух величин являются жители Египта. Благодаря таким знаниям они могли строить известные сегодня сооружения.

Умение находить площадь и периметр может пригодиться в повседневной жизни. В быту данные величины используются, когда необходимо что-либо покрасить, засадить или обработать сад, поклеить в комнате обои и т. п.

Периметр

Чаще всего необходимо узнать периметр многоугольников или треугольников. Чтобы определить эту величину, достаточно лишь знать длины всех сторон, а периметр составляет их сумму. Найти периметр, если известна площадь, также возможно.

Треугольник

Если необходимо знать периметр треугольника, для его вычисления стоит применить такую формулу P = а + b + с, где а, b, с — стороны треугольника. В этом случае все стороны обычного треугольника на плоскости суммируются.

Круг

Периметр круга обычно принято называть длиной окружности. Чтобы узнать данную величину, необходимо использовать формулу: L = π*D = 2*π*r, где L- длина окружности, r — радиус, D — диаметр, а число π, как известно, примерно равно 3,14.

Квадрат, ромб

Формулы для периметров квадрата и ромба одинаковы, потому что и у одной фигуры, и у другой все стороны равны. Поскольку квадрат и ромб имеют равные стороны, то их (стороны) можно обозначить одной буквой «а». Получается, периметр квадрата и ромба равен:

• Р = а + а + а + а или Р = 4а

Прямоугольник, параллелограмм

У прямоугольника и параллелограмма противолежащие стороны одинаковы, поэтому их можно обозначить двумя разными буквами «а» и «b». Формула выглядит так:

• Р = а + b + а + b = 2а + 2b. Двойку можно вывести за скобки, и получится такая формула: Р = 2 (а+b)

Трапеция

У трапеции все стороны разные, поэтому их обозначают разными буквами латинского алфавита. В связи с этим формула для периметра трапеции выглядит так:

• Р = а + b + с + d Здесь все стороны суммируются вместе.

Дополнительно о вычислении периметра можно узнать из статьи Как найти периметр.

Площадь

Площадь – та часть фигуры, которая заключена внутри ее контура.

Прямоугольник

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, необходимо умножить значение одной стороны (длины) на значение другой (ширины). Если значения длины и ширины обозначаются буквами «а» и «b», то площадь вычисляется по формуле:

Квадрат

Как уже и

elhow.ru

Периметр и площадь геометрических фигур

Существует много плоских геометрических фигур: точка, линия (прямая или кривая), отрезок, угол, ломаная и т. д.:

Если внимательно посмотреть на все эти фигуры, то можно выделить две из них, которые образованы замкнутыми линиями (окружность и треугольник). Эти фигуры имеют своего рода границу, отделяющую то что находится внутри, от того что находится снаружи. То есть граница делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю область относительно фигуры, к которой она относится:

Периметр

Периметр – это замкнутая граница плоской геометрической фигуры, отделяющая её внутреннюю область от внешней.

Периметр есть у любой замкнутой геометрической фигуры:

На рисунке периметры выделены красной линией. Обратите внимание, что периметр окружности часто называют длиной.

Периметр измеряется в единицах измерения длины: мм, см, дм, м, км.

У всех многоугольников нахождение периметра сводится к сложению длин всех сторон, то есть периметр многоугольника всегда равен сумме длин его сторон. При вычислении периметр часто обозначают большой латинской буквой P:

Площадь

Площадь – это часть плоскости, занимаемая замкнутой плоской геометрической фигурой.

Любая плоская замкнутая геометрическая фигура имеет определённую площадь. На чертежах площадью геометрических фигур является внутренняя область, то есть та часть плоскости, которая находится внутри периметра.

Измерить площадь фигуры – значит найти, сколько раз в данной фигуре помещается другая фигура, принятая за единицу измерения. Обычно за единицу измерения площади принимается квадрат, у которого сторона равна единице измерения длины: миллиметру, сантиметру, метру и т. д.

На рисунке изображён квадратный сантиметр. Квадратный сантиметр – квадрат, у которого каждая сторона имеет длину 1 см:

Площадь измеряется в квадратных единицах измерения длины. К единицам измерения площади относятся: мм², см², м², км² и т. д.

Таблица перевода квадратных единиц

naobumium.info

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

Дано:

∆ ABC,

окружность (O; r) — вписанная,

AB=c, BC=a, AC=b,

Доказать:

Доказательство:

Рассмотрим треугольник AOC.

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, OF — высота треугольника AOC.

По формуле

Аналогично найдем

площади

треугольников

AOB и BOC:

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то

Что и требовалось доказать.

Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

www.treugolniki.ru

Доказательство подобия треугольников

Лемма (О подобных треугольниках) и доказательство

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Доказательство. На рисунке 1 в проведена прямая . Докажем, что . Углы равны как соответствующие при параллельных прямых и и секущих и соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников равны. Покажем, что стороны и пропорциональны соответственно сторонам и .

Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что

откуда . Проведем . Аналогично,

Очевидно, что – параллелограмм. Тогда , откуда . Таким образом, было доказано, что

Следовательно, в треугольниках и углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому, по определению, эти треугольники подобны.

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Первый признак подобия | Треугольники

Теорема

(Первый признак подобия треугольников — подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁,

∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁,

Доказать: ΔABC∼ ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

1) По теореме о сумме углов треугольника

∠C=180°-(∠A+∠B), ∠C₁=180°-(∠A₁+∠B₁).

Так как ∠A=∠A₁ и ∠B=∠B₁, то и ∠C=∠C₁.

2) На луче A₁B₁ отложим отрезок A₁B₂, A₁B₂=AB.

3) Через точку B₂ проведем прямую B₂C₂, параллельную прямой B₁C₁.

4) ∠A₁B₂C₂=∠A₁B₁C₁ (как соответственные при B₂C₂ ∥ B₁C₁ и секущей A₁B₁).

Значит, ∠A₁B₂C₂=∠B.

5) В треугольниках A₁B₂C₂ и ABC:

• ∠A₁ =∠A,
• ∠A₁B₂C₂=∠B,
• A₁B₂ =AB.

Значит, ΔA₁B₂C₂ = ΔABC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: A₁C₂=AC.

6) По теореме о пропорциональных отрезках,

Так как A₁B₂ =AB и A₁C₂=AC, то

7) Аналогично доказывается, что

8) Таким образом, в треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, ∠C=∠C₁,

Значит, ΔABC∼ ΔA₁B₁C₁ (по определению подобных треугольников).

Что и требовалось доказать.

При решении задач чаще других используется именно 1-й признак подобия треугольников.

www.treugolniki.ru

Доказательство признаков подобия треугольников — Науколандия

Доказательство первого признака подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников утверждает, что если у треугольников две стороны соответственно пропорциональны, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых DE = kAB, EF = kBC и ∠B = ∠E.

Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что DF = kAC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам.

Найдем стороны AC и DF по теореме косинусов (квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон, умноженному на косинус угла между ними):

AC² = AB² + BC² – 2 · AB · BC · cos B
DF² = DE² + EF² – 2 · DE · EF · cos E

Так как ∠B = ∠E и AB = kDE, BC = kEF, то мы можем выразить квадрат стороны DF через угол и стороны треугольника ABC:

DF² = (kAB)² + (kBC)² – 2 · kAB · kBC · cos B

Вынесем k² за скобку:

DF² = k²(AB² + BC² – 2 · AB · BC · cos B)

Выражение в скобках равно ранее выраженному через теорему косинусов квадрату стороны AC. Поэтому можно записать так:

DF² = k²AC²

Отсюда получаем, что DF = kAC, что и требовалось доказать. Таким образом, если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами каждого треугольника равны, то оказываются соответственно пропорциональными и третьи их стороны, а, следовательно, такие треугольника подобны.

Доказательство второго признака подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников определяет подобие по наличию двух соответственно равных углов.

Пусть даны треугольники ABC и DEF, у которых ∠A = ∠D, ∠B = ∠E.

Если эти треугольники подобны, то их стороны будут пропорциональны друг другу, т. е. будут соблюдаться равенства AB = kDE, BC = kEF, AB = kDF.

Если в одном треугольнике два угла соответственно равны двум углам в другом треугольнике, то равными будут и третьи углы этих треугольников, т. к. сумма углов любого треугольника равна 180°.

Как известно, у подобных треугольников углы соответственно равны. Т. е. если треугольники подобны, то их углы соответственно равны. Однако нельзя однозначно утверждать обратное: если углы соответственно равны, то треугольники подобны. Ведь можно предположить, что существую треугольники с соответственно равными углами, но у которых стороны не пропорциональны, а значит, такие треугольники не являются подобными.

Согласно теореме синусов, сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Если диаметр описанной около треугольника ABC окружности равен d, то мы можем выразить стороны этого треугольника так:

AB = d sin C, BC = d sin A, AC = d sin B

Если диаметр описанной около треугольника DEF окружности равен d₁, то получим:

DE = d₁ sin F, EF = d₁ sin D, DF = d₁ sin E

Так как углы A, B и C соответственно равны углам D, E и F, то мы можем заменить одни на другие. Сделаем это для сторон треугольника DEF:

DE = d₁ sin C, EF = d₁ sin A, DF = d₁ sin B

Найдем отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого:

AB/DE = (d sin С) / (d₁ sin С) = d/d₁
BC/EF = (d sin A) / (d₁ sin A) = d/d₁
AC/DF = (d sin B) / (d₁ sin B) = d/d₁

То есть все три отношения равны одному и тому же значению (d/d₁), а значит, равны между собой; т. е.

AB/DE = BC/EF = AC/DF

Таким образом, стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Значит, треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Нередко выделяют третий признак подобия треугольников: если все стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого, то такие треугольники подобны. Однако само определение подобных треугольников нередко ограничивается именно этим признаком, а равенство углов подобных треугольников доказывается в виде теоремы (Углы подобных треугольников).

scienceland.info

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. — Первый признак подобия треугольников.

Комментарии преподавателя

По­доб­ны­ми на­зы­ва­ют­ся такие тре­уголь­ни­ки, у ко­то­рых углы со­от­вет­ствен­но равны, а сто­ро­ны од­но­го со­от­вет­ствен­но про­пор­ци­о­наль­ны сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка (см. рис. 1).

Рис. 1. По­доб­ные тре­уголь­ни­ки

От­но­ше­ние длин сто­рон од­но­го тре­уголь­ни­ка к сход­ствен­ным сто­ро­нам дру­го­го на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия (): .

На прак­ти­ке для уста­нов­ле­ния по­до­бия тре­уголь­ни­ков до­ста­точ­но про­ве­рить неко­то­рые ра­вен­ства (см. рис. 1). Ком­би­на­ции этих ра­венств на­зы­ва­ют­ся при­зна­ка­ми по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Таким об­ра­зом, при­зна­ки по­до­бия тре­уголь­ни­ков – это гео­мет­ри­че­ские при­зна­ки, поз­во­ля­ю­щие уста­но­вить, что два тре­уголь­ни­ка яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми без ис­поль­зо­ва­ния всех эле­мен­тов.

На дан­ном уроке мы рас­смот­рим пер­вый при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

До­ка­за­тель­ство пер­во­го при­зна­ка по­до­бия тре­уголь­ни­ков

Дано:; ; ;  (см. рис. 2).

До­ка­зать: по­до­бие дан­ных тре­уголь­ни­ков .

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

До­ка­за­тель­ство

Для до­ка­за­тель­ства по­до­бия дан­ных тре­уголь­ни­ков необ­хо­ди­мо уста­но­вить ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих углов и ра­вен­ство от­но­ше­ний со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон, то есть: ; ; 

www.kursoteka.ru

math-public:pervyj_priznak_podobiya_treugolnikov [Президентский ФМЛ №239]

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Первый способ (без использования тригонометрии).

Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – два треугольника, у которых $\angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.

Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.

По теореме о сумме углов треугольника $\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1$.

Докажем, что стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle C=\angle C_1$, то $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}$ и $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{CA\cdot CB}{C_1A_1\cdot C_1B_1}$.

Из этих равенств следует, что $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}$.

Аналогично, используя равенство $\angle A=\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$, получаем, что $\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{CA}{C_1A_1}$.

Итак, стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Второй способ (через тригонометрию).

Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – два треугольника, у которых $\angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.

Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.

По теореме о сумме углов треугольника $\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1$.

Докажем, что стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, то по теореме синусов: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin{A}}{\sin{B}}=\dfrac{\sin{A_1}}{\sin{B_1}}=\dfrac{a_1}{b_1}$, следовательно $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}$.

Аналогично можно получить, что $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{c}{c_1}$.

Следовательно, $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}=\dfrac{c}{c_1}$.

math-public/pervyj_priznak_podobiya_treugolnikov.txt · Последние изменения: 2016/04/08 18:19 — labreslav

wiki.sch239.net

Подобные треугольники | Математика

В двух треугольниках, имеющих равные углы, стороны, лежащие против одинаковых углов, называются сходственными (соответственными).

В треугольниках ABC и DEF (черт. 152), в которых

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

стороны AB и DE, BC и EF, AC и DF, лежащие против равных углов C и F, A и D, B и E будут соответственными сторонами.

Определение подобных треугольников. Подобными называются такие два треугольника, у которых углы равны и сходственные стороны пропорциональны.

Если в двух треугольниках (черт. 152) ABC и DEF углы равны

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

и соответственные стороны пропорциональны

AB/DE = AC/DF = BC/EF

то треугольники называются подобными.

Подобие обычно выражают знаком ∼.

Подобие двух треугольников изображают письменно:

ABC ∼ DEF.

Случаи подобия треугольников

Теорема 89. (Первый случай подобия.) Два треугольника подобны, если три угла одного равны трем углам другого треугольника.

Дано. В треугольниках ABC и DEF углы равны (черт. 153).

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

Требуется доказать, что они подобны. Для этого нужно доказать, что их стороны пропорциональны, т. е. удовлетворяют отношениям:

AB/DE = AC/DF = BC/EF

Доказательство. Наложим треугольник DEF на ABC так, чтобы вершина E совпала с вершиной B, сторона ED со стороной AB. По равенству углов B и E сторона EF пойдет по стороне BC. Положим, точка D упадет в D’, а точка F в E’. Треугольник D’BE’ равен треугольнику DEF, следовательно,

∠D’ = ∠D, ∠D = ∠A

откуда

∠D’ = ∠A.

Если соответственные углы равны, то D’E || AC.

По теореме 86 имеют место равенства

AC/D’E’ = AB/BD’ = BC/BE’

Так как BD’ = ED, BE’ = EF, D’E’ = DF, то

AC/DF = AB/ED = BC/EF (ЧТД).

Теорема 90 (второй случай подобия). Два треугольника подобны, если они имеют по два равных угла.

Доказательство. Если в двух треугольниках ABC и DEF два угла равны (черт. 153).

A = D, B = E

то и третьи углы тоже равны, а в таком случае треугольники подобны (теорема 89).

Теорема 91 (третий случай подобия). Два треугольника подобны, если они имеют по равному углу, заключающемуся между пропорциональными сторонами.

Дано. В треугольниках ABC и DEF (черт. 153) углы B и E равны, и стороны, их содержащие, пропорциональны, т. е.

∠B = ∠E и AB/DE = BC/EF.

Требуется доказать, что треугольники подобны.

Доказательство. Совместим угол E с углом B, и отложим BD’ = ED, BE’ = EF, тогда ∆BD’E’ = ∆DEF, следовательно,

∠D’ = ∠D, ∠E’ = ∠F.

Так как имеет место пропорция

AB/BD’ = BC/BE’

то сторона D’E’ || AC (теорема 87).

Поэтому ∠D’ = ∠A, ∠C = ∠E’.

Следовательно,

∠A = ∠D, ∠C = ∠F, ∠B = ∠E

т. е. три угла одного равны трем углам другого треугольника.

В этом же случае треугольники ABC и DEF подобны (ЧТД).

Теорема 92 (четвертый случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного пропорциональны сторонам другого.

Дано. В треугольниках ABC и abc (черт. 154) стороны пропорциональны:

AB/ab = BC/bc = AC/ac (1)

Требуется доказать, что у них углы равны, т. е.

A = a, B = b, C = c.

Доказательство. Отложим на стороне BA отрезок Ba’, равный ba, и проведем отрезок a’c’, параллельный AC, тогда будут иметь место отношения:

AB/Ba’ = BC/Bc’ = AC/a’c’

Так как Ba’ = ba, то рядом с этими имеют место отношения:

AB/ab = BC/Bc’ = AC/a’c’ (2)

Сопоставляя отношения (1) и (2), заключаем, что

Bc’ = bc, a’c’ = ac,

следовательно, два треугольника a’Bc’ и abc равны, откуда

∠B = ∠b, ∠Ba’c’ = ∠a, ∠Bc’a’ = ∠c

а так как

∠A = ∠a’, ∠C = ∠c’, то
B = b, A = a, C = c,

следовательно, углы двух треугольников ABC и abc равны (ЧТД).

Теорема 93 (пятый случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного параллельны сторонам другого.

Доказательство. Здесь могут быть два случая:

1-й случай. Если углы двух треугольников с параллельными сторонами обращены в одну сторону. В таком случае в двух таких треугольниках ABC и abc (черт. 155) все углы одного соответственно равны углам другого, и, следовательно, треугольники подобны.

2-й случай. Когда углы с параллельными сторонами обращены в разные стороны. Так в треугольниках ABC и a’b’c’ стороны параллельны.

AB || a’b’, AC || a’c’, BC || b’c’.

Углы же между параллельными сторонами обращены в разные стороны.

В таком случае, продолжив стороны a’c’ и a’b’, откладываем на продолжении их части a’b» = a’b’ и a’c» = a’c’.

Треугольники a’b»c» и a’b’c’ равны. Треугольник a’b»c» подобен треугольнику ABC, ибо у него стороны параллельны и углы, направленные в одну сторону, равны, следовательно,

∆ABC ~ a’b»c», следовательно, ∆ABC ~ a’b’c’ и
AB/a’b’ = AC/a’c’ = BC/b’c’

Теорема 94 (шестой случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного перпендикулярны к сторонам другого.

Даны два треугольника ABC и abc (черт. 156), стороны которых перпендикулярны:

ab ⊥ AB, ac ⊥ AC, bc ⊥ BC

Требуется доказать, что треугольники подобны.

Доказательство. Продолжим стороны ac и bc до пересечения их со сторонами AC и BC в точках n и p. Тогда в двух треугольниках mcn и mCp все углы равны, ибо

n = p как прямые

Углы при точке m равны как вертикальные,

а следовательно, и третьи углы равны ∠pCm = ∠mcn.

Так как

∠pCm = ∠ACB, ∠mcn = ∠acb

следовательно,

∠ACB = ∠acb

Подобным же образом можно доказать, что A = a, B = b, следовательно, треугольники ABC и abc подобны и имеет место пропорция

AB/ab = AC/ac = BC/bc

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 95. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

Дано. У прямоугольных треугольников ABC и abc (черт. 157) острые углы C и c равны.

Требуется доказать, что треугольники ABC и abc подобны.

Доказательство. Углы B и b равны как прямые, углы C и c равны по условию, следовательно, они подобны (теорема 90).

Теорема 96. Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного пропорциональна катету и гипотенузе другого.

Дано. В прямоугольных треугольниках ABC и abc (черт. 157)

AC/ac = AB/ab (a)

Требуется доказать, что ∠A = ∠a, ∠C = ∠c.

Доказательство. Отложим на отрезке BA отрезок Bm, равный ba и из точки m проведем отрезок mn, параллельный ac, тогда имеет место пропорция:

AC/mn = AB/Bm (b)

Так как Bm = ab по построению, то, сравнивая две пропорции (a) и (b), заключаем, что ac = mn, следовательно, два прямоугольных треугольника Bmn и abc, имея по равному катету и равной гипотенузе, равны.

Действительно, у них Bm = ab, mn = ac. У равных треугольников и углы равны:

∠m = ∠a = ∠A и ∠n = ∠c = ∠C

следовательно, два треугольника ABC и abc подобны.

Теорема 97. В подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам.

Даны два подобных треугольника ABC и FED (черт. 158), следовательно,

∠A = ∠F, ∠B = ∠E, ∠C = ∠D и
AB/FE = BC/ED = AC/DF

и проведены высоты BH и Eh.

Требуется доказать, что AB/FE = BH/Eh.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ABH и FEh подобны, ибо ∠A = ∠F по условию, ∠AHB = ∠FhE как прямые, следовательно,

AB/FE = BH/Eh (ЧТД).

Теорема 98. Прямая, разделяющая угол треугольника пополам, делит его противоположную сторону на части пропорциональные двум другим сторонам.

Дано. Отрезок BD делит угол B треугольника ABC пополам (черт. 159).

∠ABD = ∠DBC или ∠α = ∠β

Требуется доказать, что AB/BC = AD/DC.

Доказательство. Проведем из точки A отрезок AF параллельный BD до пересечения его с прямой BC в точке F. В треугольнике FBA

∠AFB = ∠β как соответственные углы,
∠FAB = ∠α как внутренние накрест-лежащие углы от пересечения параллельных AF и BD третьей прямой AB.

Так как ∠α = ∠β по условию, то

∠AFB = ∠FAB, т. е. треугольник FAB равнобедренный, поэтому FB = AB.

Из того, что AF || BD вытекает пропорция:

FB/BC = AD/DC

Заменяя FB равным отрезком AB, получим пропорцию:

AB/BC = AD/DC (ЧТД).

Теорема 99 (обратная 98). Прямая, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам, делит угол при вершине пополам.

Дано. В треугольнике ABC (черт. 159) прямая BD рассекает противоположную сторону так, что имеет место пропорция:

AB/BC = AD/DC (a)

Требуется доказать, что ∠α = ∠β.

Доказательство. Проведем отрезок AF параллельно BD, тогда из треугольника AFC вытекает пропорция:

FB/BC = AD/DC (b)

Сравнивая две пропорции (a) и (b), заключаем, что FB = AB, следовательно,

∠AFB = ∠FAB.

Так как ∠α = ∠FAB, ∠β = ∠AFB, то и

∠α = ∠β (ЧТД).

Отношения в прямоугольном треугольнике

Теорема 100. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, среднепропорционален между частями гипотенузы.

Дано. В треугольнике ABC угол ABC прямой (черт. 160) и BD ⊥ AC.

Требуется доказать, что AD/BD = BD/DC.

Доказательство. Треугольники ABD и BDC подобны, ибо углы при точке D равны как прямые; кроме того из равенств ∠A + ∠α = d, ∠α +∠β = d вытекает

A + α = α + β, или A = β, следовательно и C = α.

Из подобия треугольников ABD и BDC вытекает пропорция

AD/BD = BD/DC (ЧТД).

Примечание. Если составляют одно отношение из сторон одного треугольника, то другое отношение составляется из соответственных сторон другого треугольника. При этом рассуждают следующим образом: против стороны AD лежит угол α, которому в подобном треугольнике BCD равен угол C, а против него лежит сходственная сторона BD треугольника BCD и т. д.

Теорема 101. Каждый катет среднепропорционален между целой гипотенузой и отрезком, прилежащим катету.

Доказательство. a) Треугольники ABC и ABD (черт. 160) подобны, ибо ∠ABC = ∠ADB как прямые, ∠A общий, следовательно,

∠C = ∠α

Из подобия треугольников вытекает пропорция:

AD/AB = AB/AC (a)

b) Треугольники ABC и BCD подобны, ибо ∠ABC = ∠BDC как прямые, ∠C общий, следовательно,

∠A = ∠β, откуда
DC/BC = BC/AC (b)

Теорема 102. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из предыдущих пропорций (a) и (b) вытекают равенства:

AB² = AD · AC
BC² = DC · AC

Складывая их, получим:

AB² + BC² = AD · AC + DC · AC или
AB² + BC² = AC (AD + DC) = AC · AC = AC², т. е.
AC² = AB² + BC²

откуда

a) Гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов.

b) Катет равен корню квадратному из квадрата гипотенузы без квадрата другого катета.

Теорема 103. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с катетом.

Дано. В квадрате ABCD проведена диагональ AC (черт. 161).

Требуется доказать, что отношение AC/AD есть величина несоизмеримая.

Доказательство. Станем сравнивать больший отрезок AC с меньшим BC по обыкновенным приемам нахождения общей меры, т. е. наложим меньший отрезок на больший, первый остаток на меньший и т. д.

a) Наложим отрезок BC на отрезок AC. Отложив отрезок AE, равный AB или BC, мы видим, что отрезок BC уложился один раз, ибо

AB + BC > AC.

Так как AB = BC, то 2BC > AC и BC > ½AC, следовательно, первый остаток EC < BC.

b) Наложим первый остаток EC на отрезок BC. Для этого из точки E восставим перпендикуляр EF и соединим точку F с A.

c) Треугольник FEC равнобедренный, ибо ∠EFC = ∠BAC как углы с перпендикулярными сторонами

∠BAC = ∠ECF, следовательно,
∠EFC = ∠ECF

На этом основании стороны EF и EC равны:

EF = EC (1)

Треугольники ABF и AEF равны, ибо они прямоугольны и у них

AF сторона общая
AB = AE по построению, следовательно,
BF = EF (2)

Таким образом из равенств (1) и (2) выходит, что

EC = EF = BF

Не трудно видеть, что первый остаток укладывается в отрезке BC не более двух раз. Отложив EC два раза на отрезке BC, найдем точку G и второй остаток GC. Таким образом, остаток после наложения сторон квадрата на диагональ укладывается в стороне квадрата не более двух раз.

d) Наложим второй остаток GC на первый EC.

В прямоугольном и равнобедренном треугольнике FEC соотношение между отрезками GC, FC и EC то же самое как и соотношение между данными отрезками EC, AC и BC в треугольнике ABC, ибо треугольник FEC прямоугольный и равнобедренный, следовательно, при дальнейшем наложении мы будем снова получать остаток. Продолжая так поступать, мы всегда будем получать остатки, поэтому общей меры мы никогда не получим, следовательно, отрезки AC и BC несоизмеримы.

Обозначив длину диагонали черед l, длину стороны квадрата через a, последовательные величины остатков через d₁, d₂ и т. д., т. е. положив

AC = l, BC = a, CE = d₁, GC = d₂ и т. д.

имеем равенства:

l = a + d₁, a = 2d₁ + d₂, d₁ = 2d₂ + d₃ и т. д.

откуда

l/a = 1 + d₁/a
a/d₁ = 2 + d₂/d₁ или d₁/a = ½ + d₂/d₁
d₁/d₂ = 2 + d₃/d₂ или d₂/d₁ = ½ + d₃/d₂

следовательно,

l/a = 1 + ½ + ½ + …

Отношение между длинами l и a выражается бесконечной непрерывной дробью. Несоизмеримость впрочем прямо вытекает из выражения диагонали квадрата по катетам.

Действительно,

AC² = AB² + BC².

Так как AB = BC, то AC² = 2AB², откуда AC = AB√2 и AC/AB = √2 величина несоизмеримая.

Соотношение между сторонами остроугольного и тупоугольного треугольника

Теорема 104. Квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов прочих двух сторон треугольника без удвоенного произведения основания на отрезок, заключающийся между вершиной острого угла и высотой.

Здесь могут быть два случая: 1) когда перпендикуляр, выражающий высоту, пойдет внутри и 2) когда он пойдет вне треугольника.

Первый случай. Перпендикуляр BD (черт. 162), опущенный из вершины B на основание AC треугольника ABC, пойдет внутри треугольника.

Требуется доказать, что AB² = BC² + AC² — 2AC · DC.

Доказательство. Для прямоугольного треугольника ABD имеем равенство:

AB² = BD² + AD² (a)
AD = AC — DC, AD² = (AC — DC)² = AC² + DC² — 2AC · DC

Из прямоугольного треугольника BDC имеем:

BD² = BC² — DC²

Вставляя величины BD² и AD² в равенство (a), получим:

AB² = BC² — DC² + AC² + DC² — 2AC · DC, откуда
AB² = BC² + AC² — 2AC · DC (ЧТД).

2-й случай. Перпендикуляр BD (черт. 163) лежит вне треугольника ABC.

Доказательство. Из прямоугольного треугольника ABD имеем:

AB² = BD² + DA²

Из прямоугольного треугольника BCD имеем:

BD² = BC² — CD²

следовательно,

AB² = BC² — CD² + DA².

Так как

DA = CD — AC
DA² = (CD — AC)² = CD² + AC² — 2CD · AC, то
AB² = BC² — CD² + CD² + AC² — 2CD · AC, откуда
AB² = BC² + AC² — 2CD · AC (ЧТД).

Теорема 105. Квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов прочих двух сторон треугольника с удвоенным произведением основания на отрезок его от вершины тупого угла до высоты.

Дано. В тупоугольном треугольнике ABC отрезок CD (черт. 164) есть отрезок, лежащий между вершиной тупого угла и высотой.

Требуется доказать, что

AB² = AC² + BC² + 2AC · CD

Доказательство. Из тупоугольного треугольника ABC имеем:

AB² = BD² + AD² (a)
AD = AC + CD, AD² = AC² + CD² + 2AC · CD

Из прямоугольного треугольника BCD вытекает, что

BD² = BC² — CD²

Заменяя AD² и BD² в равенстве (a), получим:

AB² = BC² — CD² + AC² + CD² + 2AC · CD

откуда

AB² = BC² + AC² + 2AC · CD (ЧТД).

Теорема 106. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырех сторон параллелограмма.

Дан параллелограмм ABCD (черт. 165) и проведены его диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

Доказательство. Опустив перпендикуляры BE и CF, имеем из косоугольного треугольника ABD равенство:

BD² = AB² + AD² — 2AD · AE (1)

Из тупоугольного треугольника ACD равенство:

AC² = CD² + AD² + 2AD · DF (2)

Отрезки AE и DF равны, ибо прямоугольные треугольники ABE и DCF равны, так как они имеют по равному катету и равной гипотенузе.

Сложив равенства (1) и (2), имеем:

BD² + AC² = AB² + AD² + CD² + AD²

Так как AD = BC, то

BD² + AC² = AB² + BC² + CD² + AD² (ЧТД).

Теорема 107. Сумма квадратов двух сторон треугольника равна сумме удвоенного квадрата отрезка, соединяющей вершину с серединой основания, с удвоенным квадратом половины основания.

Дано. Соединим вершину B с серединой основания D треугольника ABC так, что AD = DC (черт. 166).

Требуется доказать, что

AB² + BC² = 2AD² + 2BD²

Доказательство. Проведем высоту BE.

Из прямоугольных треугольников ABE и BCE вытекают равенства:

AB² = BE² + AE²
BC² = BE² + CE²

Сложив их, находим:

AB² + BC² = 2BE² + AE² + CE² (a)

Так как AE = AD + DE = CD + DE, CE = CD — DE, то

AE² = (CD + DE)² = CD² + DE² + 2CD · DE
CE² = (CD — DE)² = CD² + DE² — 2CD · DE

откуда

AE² + CE² = 2CD² + 2DE² (b)

Заменяя в равенстве (a) сумму AE² + CE² из равенства (b), имеем:

AB² + BC² = 2BE² + 2CD² + 2DE².

Из прямоугольного треугольника BDE видно, что

BE² = BD² — DE²

следовательно

AB² + BC² = 2BD² — 2DE² + 2CD² + 2DE²

откуда

AB² + BC² = 2BD² + 2CD² (ЧТД).

maths-public.ru

Второй признак подобия треугольников. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Подобными называются такие треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника (см. рис. 1).

Рис. 1. Подобные треугольники 

Отношение длин сторон одного треугольника к сходственным сторонам другого называется коэффициентом подобия (): .

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны (см. рис. 2). 

Рис. 2. Первый признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум другим сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: ;  ; ;  (см. рис. 3).

Доказать: подобие данных треугольников  . 

Рис. 3. Иллюстрация к доказательству

Доказательство

Согласно первому признаку подобия треугольников, треугольники подобны, если два угла одного соответственно равны двум углам другого. Поэтому для доказательства того, что , необходимо доказать, что угол  равен углу  (угол  равен углу  по условию).

Построим треугольник  (см. рис. 4), у которого , а . Согласно первому признаку подобия треугольников  (признак подобия по двум углам). 

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Из подобия этих треугольников следует, что сторона  относится к стороне  как сторона  относится к стороне :

Из условия известно, что . Следовательно, . Таким образом, .

Получаем, что треугольники  и  равны, так как у них равны две стороны и угол между ними ( – общая сторона,  и , поскольку  и ).

Отсюда следует, что , а так как , то .

У треугольников  и : , а . Согласно первому признаку подобия треугольников эти треугольники подобны: . Что и требовалось доказать.

По данным рисунка 5 найти длину x, доказать, что .

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Решение

1) Рассмотрим два треугольника с общей вершиной  и : , так как они вертикальные.

Прилегающие стороны у этих треугольников пропорциональны: .

Следовательно, эти треугольники подобны (), согласно второму признаку подобия. Коэффициент подобия равен 2. С помощью него определим длину .

2) Так как , то все углы у них равны.  – эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых  и  секущей . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Ответ: параллельность прямых  и  доказана; .

По данным рисунка найти длину , отметить равные углы и доказать, что  (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Решение

1)  является общим для треугольников  и . К данному углу прилегают сторона  и сторона  треугольника , а также сторона  и сторона  треугольника .

Видно, что .

Следовательно, , согласно второму признаку подобия треугольников (общий угол и пропорциональность прилежащих сторон).

2) Коэффициент подобия у этих треугольников равен 3, поэтому можно определить сторону :

3) Стороны  и  являются сходственными, следовательно, они лежат напротив равных углов: .

Стороны  и  также являются сходственными, следовательно, .

Отметим равные углы на рисунке (см. рис. 7). 

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Ответ: ; ; ; .

Найти длину , отметить равные углы и доказать, что  (см. рис. 8). 

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Решение

1)  является общим для треугольников  и . К данному углу прилегают сторона  и сторона  треугольника , а также сторона  и сторона  треугольника .

Видно, что .

Стороны треугольников, прилежащие к , пропорциональные, следовательно, , согласно второму признаку подобия треугольников.

2) Стороны  и  являются сходственными, следовательно, они лежат напротив равных углов: .

Стороны  и  также являются сходственными, следовательно, .

Отметим равные углы на рисунке (см. рис. 9). 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

3) , так как эти прямые пересекаются секущей  и при этом соответственные углы равны ().

4) Коэффициент подобия у треугольников  и  равен 3, поэтому можно определить сторону : .

Ответ: ; ; ; параллельность прямых  и  доказана.

Домашнее задание

1. Задачи 557, 559- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 7-9 классы  (Источник).
2. ; ; ;  (см. рис. 10). Найти  и . 
    
   Рис. 10. Иллюстрация к задаче
3. В треугольнике  точка  лежит на стороне , , , . Докажите, что  (см. рис. 11). 
    
   Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 7-9 классы – М.: Просвещение, 2010.
2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).
2. Youtube.com (Источник).
3. 900igr.net (Источник).
4. Ru.solverbook.com (Источник).

interneturok.ru

Калькуляторы | umath.ru

Популярные

График функции
Калькулятор процентов
Нахождение точек локального экстремума функции
Нахождение максимума и минимума функции

Пределы, производные, интегралы

Вычисление предела последовательности
Вычисление предела функции
Вычисление производной
Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена
Вычисление неопределённого интеграла
Вычисление определённого интеграла

Дроби

Сокращение арифметических дробей
Приведение дробей к общему знаменателю
Операции с арифметическими дробями
Упрощение алгебраических дробей

Системы счисления

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Теория чисел

Разложение числа на простые множители
Нахождение наибольшего общего делителя
Нахождение наименьшего общего кратного
Вычисление функции Эйлера

Уравнения

Решение квадратного уравнения
Решение кубического уравнения
Упрощение математических выражений
Нахождение неизвестного члена пропорции

Матрицы

Сложение, вычитание матриц
Умножение матриц
Нахождение определителя матрицы
Вычисление обратной матрицы
Возведение матрицы в степень

Корни, степени, логарифмы

Вычисление корня из числа
Возведение числа в степень
Вычисление логарифма числа

Комбинаторика и теория вероятностей

Вычисление факториала числа
Вычисление числа размещений
Вычисление числа сочетаний

Статистика

Вычисление медианы ряда чисел
Вычисление среднего арифметического и среднего геометрического чисел
Вычисление моды и размаха ряда чисел

Геометрия

Вычисление площади треугольника
Нахождение точки пересечения двух прямых
Уравнение прямой на плоскости по двум точкам
Уравнение прямой в пространстве по двум точкам

Тригонометрия

Вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса

umath.ru

Разложение многочлена на множители

В алгебре при вычислении неравенств, уравнений , бывает нужно раскладывать многочлен на множители. Разложить многочлен на множители значит превратить сумму неизвестных в произведение. С помощью этого способа решаются уравнения степени n. типа Рn(y) = 0 , а так же неравенства типа Рn(y) больше ноля и Рn(y) меньше ноля. Где Рn(y) -многочлен n степени, т.е.
Рn(y) = z1 уn + zn-1 уn-1 + ….+ z1 у + z0
Приведем несколько способов разложения

1) Вывод за скобку единого для всех множителя

Если все многочлены имеют единый для всех множитель, мы, при вынесении его за скобку получим то что хотим.

Применяем формулу у³ — z³ = (y — z) (у²+ yz + z²)

на примере (4y-3) 3- (2y-1) 3
Получаем: (4y-3) ³— (2y-1) ³=((4y-3) — (2y-1))(( 4y-3) ² +(4y-3)(2y-1) + (2y-1) ²= (2y-2)(16у²-24у+9+8у²-6у-4у+3+4у²-4у+1)= (2у-2)(28у2-38у+13)

3) Разложение квадратного трехчлена на множители

Бывают случаи когда трехчлен можно разложить на множители с помощью метода извлечения квадрата, после чего используем формулу разности квадратов.
Разберем: у⁴ + 6у² — 10
Получаем:
у⁴ + 6у² — 10 = (у²) ² + 2 * 3 * у² + 3 ² — 3 ² — 10 = (у² + 3) ² — (корень19)² = ( у² + 3 — корень19)( у² + 3 + корень19)
Вот таким образом раскладывается на множители квадратный трехчлен.

4) Группировка .

данный способ часто сотрудничает с первым способом, т.е выводом за скобку единого для всех множителя. Она дает нам перестановку слагаемых в многочлен и соединение в группы так, что бы после вынесения получилось выражение, которое будет общим множителем для каждой из них.
Разберем: у⁴-5у²+у³-5у
Далее: у⁴-5у²+у³-5у=(у⁴-5у²)+(у³-5у) из 1 скобки убираем у², у — выносим из второй: (у⁴-5у²)+(у³-5у)=у²(у²-5)+у(2-5)
Выносим за скобки у²-5 у нас получается: у²(у²-5)+у(у²-5)=(у²-5)(у²+у),
в конце выносим у: (у²-5)(у²+у)= у(у²-5)(у+1)

5) Способ неопределенных коэффициентов.

Данный способ говорит о том, что в начале подразумевается ряд множителей, на которые разделяется многочлен, разгадывается, а их же коэффициенты находим путем умножения и если степени их переменной одинаковы, то приравниваем их. Опорой для этого способа ниже следующее:
— когда коэффициенты двух многочленов одинаковы, только тогда они равны.
— любой многочлен в третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного сомножителей;
— в произведение нескольких многочленов второй степени разлагается любой многочлен четвертой степени.
6) Комбинирование разных способов.
В разных случаях приходится воспользоваться сразу несколькими видами разложения многочлена. это дает нам быстроту решения

7) разложение в ряд фурье

Что бы разобрать этот способ, существует отдельная тема. Этот метод требует большой концентрации внимания, если существуют отвлекающие факторы, лучше не трогать этот метод.

Здесь Вы сможете посмотреть Подлинную Таблицу Менделеева (http://www.glubinnaya.info/science/rodionov-podlinnaya-tablica-mendeleeva-1906-5367.html). Оригинал статьи находится на сайте glubinnaya.info.

reshit.ru

Схема (метод) Горнера. Примеры. Разложение многочлена на множители

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа -8 являются ±1, ±2, ±4, ±8. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 5 — 2 — 25 + 10 + 20 — 8 = 0 ⇒ число 1 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 1, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 1. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 1. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8 = (x — 1)(5x⁴ + 3x³ — 22x² — 12x + 8)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 5x⁴ + 3x³ — 22x² — 12x + 8.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа 8 являются ±1, ±2, ±4, ±8.

1: 5 + 3 — 22 — 12 + 8 = -18 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 5 — 3 — 22 + 12 + 8 = 0 ⇒ число -1 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8 = (x — 1)(x + 1)(5x³ — 2x² — 20x + 8)

Теперь найдем корень многочлена 5x³ — 2x² — 20x + 8. Делителями числа 8 являются ±1, ±2, ±4, ±8.

1: 5 — 2 — 20 + 8 = -9 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -5 — 2 + 20 + 8 = 29 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 5 ∙ 8 — 2 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 8 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8 = (x — 1)(x + 1)(x — 2)(5x² + 8x — 4)

Многочлен 5x² + 8x — 4 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -4. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -2

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

5x⁵ — 2x⁴ — 25x³ + 10x² + 20x — 8 = (x — 1)(x + 1)(x — 2)(x + 2)(5x — 2)

А корнями многочлена являются:

x = ±1; ±2; 0.4

tutata.ru

Решить уравнения многочлена онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Многочлен представляет собой алгебраическую сумму произведений чисел, переменных и их степеней. Преобразование многочленов обычно включает два вида задач. Выражение требуется либо упростить, либо разложить на множители, т.е. представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночлена и многочлена.

Так же читайте нашу статью «Решить квадратичное уравнение онлайн»

Чтобы упростить многочлен, приведите подобные слагаемые. Пример. Упростите выражение \[12ax^2-y^2-6ax^2+3a^2x-5ax^2+2y^3.\] Найдите одночлены с одинаковой буквенной частью. Сложите их. Запишите полученное выражение: \[ax^2+3a^2x+y^3.\] Вы упростили многочлен.

В задачах, которые требуют разложения многочлена на множители, определите общий множитель данного выражения. Для этого сначала вынесите за скобки те переменные, которые входят в состав всех членов выражения. Причем эти переменные должны иметь наименьший показатель. Затем вычислите наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.

Пример. Разложите на множители многочлен \[5m^3-10m^2n^2+5m^2.\] Вынесите за скобки \[m^2,\] т.к. переменная m входит в каждый член данного выражения и ее наименьший показатель равен двум. Вычислите коэффициент общего множителя. Он равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен \[5m^2.\] Отсюда: \[5m^3-10m^2n^2+5m^2=5m^2(m-2n^2+1).\]

Где можно решить уравнение многочлена онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Разложение многочлена на множители по схеме Горнера

Многочлен вида
a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀
можно разложить на множители по схеме Горнера, если известен хотя бы 1 его корень.

Разберем деление по схеме Горнера на примере:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 9 — 10 — 27 — 10 = -36 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 — 9 — 10 + 27 — 10 = 0 ⇒ число -1 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является -1, а значит исходный многочлен должен делиться на x + 1. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень -1. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10 = (x + 1)(2x³ + 7x² — 17x — 10)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x³ + 7x² — 17x — 10.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Как мы уже выяснили, делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 — 17 — 10 = -18 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 7 + 17 — 10 = 12 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 — 17 ∙ 2 — 10 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10 = (x + 1)(x — 2)(2x² + 11x + 5)

Многочлен 2x² + 11x + 5 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа 5. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -5

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x⁴ + 9x³ — 10x² — 27x — 10 = (x + 1)(x — 2)(x + 5)(2x — 1)

tutata.ru

Онлайн калькулятор: Решение уравнения 4-й степени

Калькулятор ниже решает уравнение 4-й степени степени с одной неизвестной. В общем виде уравнение выглядит следующим образом: . В результате получается четыре комплексных или вещественных корня. Формулы, использующиеся для решения описаны сразу под калькулятором.

Знаков после запятой: 2

Сохранить share extension

Первым шагом разделим все коэффициенты уравнения на a и получим эквивалентное уравнение следующего вида:

Далее решаем кубическое уравнение вида:

Это уравнение можно решить, например, способом описанным тут: Кубическое уравнение.
Один вещественный корень этого уравнения u₁ мы будем использовать далее для вычисления корней квадратных уравнений. Если вещественных корней уравнения несколько, то нужно выбрать среди них один u₁ таким образом, чтобы p и q в следующих выражениях были тоже вещественными:
 

Вычислив p₁, p₂,q₁,q₂, подставляем их в квадратные уравнения в правой части следующего выражения:

Четыре корня двух квадратных уравнений в правой части будут соответствовать корням исходного уравнения. Знаки в выражениях для p_i и q_i выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия:

Фактически можно проверить только третье условие и если оно не выполняется — поменять q₁ и q₂ местами.
Решение можно проверить, получив значение полинома при помощи этого калькулятора: Вычисление значения полинома с комплексными числами.

planetcalc.ru

Калькулятор уравнения четвертой степени

Решить {$ main.types[data.type] $}

Введите уравнение * x + =

Введите уравнение * x² + * x + =

Как перевести таблицу из ворд в картинку

Недавно мне срочно понадобилось перевести большую таблицу из ворд в картинку. Снимок её не сделаешь из-за того, что она не помещается на один экран. Пробовала воспользоваться программами paint.net и Microsoft Power Point, но ничего не получилось. В первой программе левая колонка вышла обрезанной, а во второй вообще непонятно что. Пришлось искать другие варианты.

Переводим большую таблицу из ворда в картинку

Для начала нам необходимо сохранить вордовскую таблицу в формате PDF. Так как  Microsoft Word у меня 2010 версии, то сделать это было не сложно. Если у вас тоже такая же версия или выше, то делаем следующее.

Открываем вкладку – Файл – и находим строку «Сохранить как…»

В окне сохранения документа внизу устанавливаем в «Тип файла» формат pdf.

Теперь наша таблица сохранилась в файле в формате pdf.

Теперь открываем программу фотошоп и загружаем в неё наш файл в формате pdf.

В открывшемся окне «Импорт PDF» выбираем все страницы нашей таблицы, и ничего не меняя в настройках справа, жмем кнопку «ОК».

Теперь в фотошопе загрузились изображения нашей таблицы. У меня их вышло 4 штуки.

Сохраняем каждое изображение по отдельности. Для этого выделяем первое изображение и переходим в меню – Файл – Сохранить как…—

В окне сохранения выбираем место сохранения, а в строке «Тип файлов» выбираем необходимый формат для сохранения файла. Я выбираю формат JPEG.

Таким же образом сохраняем и остальные страницы нашей таблицы.

Если что-то не понятно, то посмотрите ниже видео по этой теме.

Решение уравнений четвертой степени

В общем случае решение уравнения четвёртой степени осуществляется с использованием методов решения уравнений для высших степеней, например, методом Феррари или с помощью схемы Горнера. Но некоторые уравнения 4-ой степени имеют более простое решение.

Существует несколько особых типов уравнений четвертой степени, со способами решения которых вы познакомитесь ниже:

• Биквадратное уравнения $ax^4+bx^2+c=0$;
• Возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
• Уравнения вида $ax^4+b=0$.

Решение биквадратных уравнений четвёртой степени

Биквадратные уравнения $ax^4+bx^2+c=0$ сводятся к квадратным путём замены переменной $x^2$ на новую, например, на $y$. После замены решается новое полученное уравнение, а затем значение найденной переменной подставляется в уравнение $x^2=y$. Результатом решения будут корни уравнения $x^2=y$.

Пример 1

Решите уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:

Раскроем скобки в многочлене:

$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$

В таком виде становится очевидно, что в качестве новой переменной можно выбрать выражение $y=x^2-3x$, подставим её:

$y \cdot (y+2)=24$

$y^2+2y-24=0$

$y_1=4;y_2=-6$.

Теперь решим два квадратных уравнения $x^2-3x=-4$ и $x^2-3x=-6$.

Корни первого уравнения $x_1{1,2}=4;-1$, второе решений не имеет.

Решение возвратных уравнений 4 степени

Эти уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ повторяют своими коэффициентами при младших членах коэффициенты при многочленах со старшими степенями. Для решения такого уравнения сначала делят его на $x^2$:

$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$

$ax^2+bx+c+\frac{b}{x} + \frac{a}{x^2}=0$

$a(x^2+\frac{1}{x^2})+b(x+\frac{1}{x}) + c=0$

Затем заменяют $(x+\frac{1}{x})$ на новую переменную, тогда $(x^2+\frac{1}{x^2})=y^2-2$, после подстановки получаем следующее квадратное уравнение:

$a(y^2-2)+by+c=0$

После этого ищем корни уравнений $x+\frac{1}{x}=y_1$ и $x+\frac{1}{x}=y_2$.

Аналогичным методом решаются возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.

Пример 2

Решите уравнение:

$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$

Данное уравнение – возвратное уравнение вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Поэтому разделим всё уравнение на $x^2$:

$3x^2-2x-9 \cdot \frac{2 \cdot 2}{x}+3 \cdot (\frac{2}{x})^2=0$

$3(x^2+\frac{4}{x^2})-2(x+\frac{2}{x}-9=0$

Произведём замену выражения $x+\frac{2}{x}$: $3(y^2-4)-2y-9=0$

Рассчитаем корни данного уравнения, они равны $y_1=3$ и $y_2=-\frac{7}{3}$.

Соответственно, теперь необходимо решить два уравнения $x+\frac{2}{x}=3$ и $x+\frac{2}{x}=-\frac{7}{3}$. Решение первого уравнения — $x_1=1, x_2=2$, второе уравнение не имеет корней.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются $x_1=1, x_2=2$.

Уравнения вида $ax^4+b=0$

Корни уравнения такой разновидности находятся с помощью применения формул сокращённого умножения.

spravochnick.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Схема метода Феррари

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,

(5)

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy² + s²,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4x3 – 4x2 – – 20x – 5 = 0.

(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

      Поскольку

x⁴ + 4x³ – 4x² – 20x – 5 =
= (y – 1)⁴ + 4(y – 1)³ –
– 4(y – 1)² – 20(y – 1)– 5 =
= y⁴ – 4y³ + 6y² – 4y + 1 +
+ 4y³ – 12y² + 12y – 4 –
– 4y² + 8y – 4 –
– 20y + 20 – 5 =
= y⁴ – 10y² – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.

(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.

(15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s³ + 10s² – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.

(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y² – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y² + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ.

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 = = (y2 – 2y – 4) (y2 + + 2y – 2).

(20)

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

 

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Схема (метод) Горнера. Примеры. Решение уравнений четвертой степени

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 4-ОЙ СТЕПЕНИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
	2 ∙ 2 + 5 = 9
	2 ∙ 9 — 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 — 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = (x — 2)(2x³ + 9x² + 7x — 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x³ + 9x² + 7x — 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) — 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x² + 5x — 3)

Многочлен 2x² + 5x — 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) — 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x⁴ + 5x³ — 11x² — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(x + 3)(2x — 1)

А корнями уравнения являются:

x = ±2; 3; 0.5

tutata.ru

5. Уравнения третьей и четвёртой степени

Заадача№1

Решить уравнение третьей степени по формуле Кардано:

x³-3x²-3x-1=0.

Решение :Приведём уравнение к виду , не содержащему второй степени неизвестного. Для этого воспользуемся формулой

x = y –, где а коэффициент при x².

Имеем : x=y+1.

(y+1)³-3(y+1)²-3(y+1)-1=0.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены ,получим:

y³— 6y-6=0.

Для корней кубического уравнения y ³+py+q=0 имеется формула Кардано:

yi= (i=1,2,3,),где значение радикала

,=.

Пусть α1 –одно /любое/ значение радикала α. Тогда два других значения находятся следующим образом:

α₂= α₁ε_{1 ,} α₃= α₁ε_2, где ε₁= + i, ε₂= – i — корень третьей степени из единицы.

Если положить β₁= – , то получим β₂= β₁ε_2, β₃= β₁ε₁

Подставляя полученные значение в формулу yi = αi+βi,найдём корни уравнения

yi+py+q =0:

y₁= α₁+β₁,

y₂= -1/2(α₁+β₁) + i( α₁-β₁),

y₃= -1/2(α₁+β₁) – i( α₁-β₁),

В нашем случае p = -6, q= — 6.

α= =

Одно из значений этого радикала равно . Поэтому положим α₁=. Тогда β₁= – = – =,

y₁=,

y₂= ) + i ),

y₂= ) – i ).

Наконец, находим значение x по формуле x = y+1.

x₁=

x₂= ) + i ) + 1,

x₃= ) – i ) + 1.

Задача№2

Решить способом Феррари уравнение четвёртой степени :

x⁴-4x³+2x²-4x+1=0.

Решение: Перенесём три последних члена в правую часть и оставшиеся два члена дополним до полного квадрата .

x⁴-4x³=-2x²+4x-1,

x⁴-4x³+4x²=4x²-2x²+4x-1,

(x²-2x)²=2x²+4x-1.

Введём новое неизвестное следующим образом:

(x²-2x+)²=2x²+4x-1+(x²-2x)y+,

(x²-2x+)²=(2+y)x²+(4-2y)x+() /1/.

Подберём y так, чтобы и правая часть равенства была полным квадратом .Это будет тогда ,когда B²-4AC=0, где A=2+y, B=4-2y, C= -1.

Имеем:B²-4AC=16-16y+4y²-y³-2y²+4y+8=0

Или y³-2y²+12y-24=0.

Мы получили кубическую резольвенту ,одним из корней которой является y=2. Подставим полученное значение y=2 в /1/,

Получим (x²-2x+1)²=4x².Откуда (x²-2x+1)²-(2x)²=0 или (x²-2x+1-2x) (x²-2x+1+2x)=0.

Мы получим два квадратных уравнения:

x²-4x+1=0 и x²+1=0.

Решая их, находим корни первоначального уравнения:

x₁=2-, x₂=2+, x³=-I, x⁴=i.

6.Рациональные корни многочлена

Задача№1

Найти рациональные корни многочлена

f(x)=8x⁵-14x⁴-77x³+128×2+45x-18.

Решение :Для того, чтобы найти рациональные корни многочлена ,пользуемся следующими теоремами.

Теорема 1. Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами ,то p есть делитель свободного члена, а q- делитель старшего коэффициента многочлена f(x).

Замечание: Теорема 1 даёт необходимое условие для того, чтобы рациональное число . Было корнем многочлена ,но этого условия недостаточно , т.е. условие теоремы 1 может выполняться и для такой дроби , которая не является корнем многочлена.

Теорема 2: Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то при любом целом m ,отличном от , число f(m) делится на число p-qm, т.е целое число.

В частности полагая m=1, а затем m=-1, получим:

если корень многочлена, не равный ±1,то f(x) (p-q) и f(-x):.(p+q) , т.е. — целые числа.

Замечание: Теорема 2 даёт ещё одно необходимое условие для рациональных корней многочлена. Это условие удобно тем, что оно легко проверяется практически. Находим сначала f(1) и f(-1), а затем для каждой испытываемой дроби проверяем указанное условие. Если хотя бы одно из чисел дробное, то корнем многочлена f(x) не является.

Решение: По теореме 1 корни данного многочлена следует искать среди несократимых дробей, числители которых являются делителями 18, а знаменателями 8. Следовательно, если несократимая дробь есть корень f(x), то p равно одному из чисел : ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q равно одному из чисел

±1, ±2,±4, ±8.

Учитывая, что = , = , знаменатели дробей будем брать лишь положительными.

Итак, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±.

Воспользуемся вторым необходимым.

Так как f(1)=72, f(-1)=120,отсюда в частности следует, что 1 и -1 не являются корнями f(x). Теперь для каждой возможной дроби будем проверять условия теоремы 2 при m=1 и m=-1, т. е. будем устанавливать, целыми или дробными являются числа : = и =

Результаты сведём в таблицу, где буквы”ц” и “д” означают соответственно, целым или дробным является число или

P	2	-2	3	-3	6	-6	9	-9	18	-18	1	-1	3	-3	9	-9	1	-1	3	-3	9	-9	1	-1	3	-3	9	-9
Q	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	4	4	4	4	4	4	8	8	8	8	8	8
	ц	ц	ц	ц	д	д	ц	д	д	д	ц	ц	ц	д	д	д	ц	д	ц	д	д	д	д	ц	д	д	ц	д
	ц	ц	ц	ц			ц				ц	ц	ц				ц		д					д			д

Из полученной таблицы видно, что и являются целыми лишь в тех случаях, когда равно одному из чисел: 2, -2, 3, -3, , , , .

По следствию из теоремы Безу число α- корень f(x) тогда и только тогда, когда f(x) (x-α). Следовательно, для проверки оставшихся девяти целых чисел можно применить схему Горнера деление многочлена на двучлен.

	8	-14	-77	128	45	-18
2	8	2	-73	-18	9	0
2	8	18	-37	-92	-172≠0

2 – корень.

Отсюда имеем : x=2 – простой корень f(x). Остальные корни данного многочлена совпадают с корнями многочлена.

F₁(x) = 8x⁴+2x³-73x²-18x+9.

Аналогично проверим остальные числа.

	8	2	-73	-18	9
-2	6	-14	-45	72	-139≠0
3	8	26	5	-3	0
3	8	50	155	462≠0
-3	8	2	-1	0
-3	8	-22	65≠0
9	8	74	665≠0
½	8	6	2≠0
-1/2	8	-2	0
-1/2	8	6≠0
3/2	8	10≠0
1/4	8	0

-2 – не корень, 3 – корень, -3 –корень, 9 – не корень, ½ — не корень , -1/2 –корень, 3/2 – не корень, ¼ — корень.

Итак, многочлен f(x)= 8x⁵-14x⁴-77x³+128x²+45x-18 имеет пять рациональных корней:{2, 3, -3, -1/2, ¼}.

studfiles.net

Вывод формул решения алгебраического уравнения четвёртой степени.



Вывод формул решения алгебраического уравнения четвёртой степени.

1. Приведение уравнения к каноническому виду.

Сделаем замену переменного по формуле:

Получим уравнение:

Раскроем скобки:

Получим уравнение:

Уравнение приведено к каноническому виду:

         

2. Решение уравнения

Способ №1.
Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения

Рассмотрим случай, когда q не равно нулю.

Верно тождество:

Поэтому:

Получили уравнение:

Выберем параметр z так, чтобы правая часть этого уравнения была полным квадратом относительно y. Для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант из коэффициентов трехчлена относительно y, стоящего справа, обращался в нуль:

Мы получили кубическое уравнение.
Вывод формул кубичекого уравнения.
Если z — один из корней кубического уравнения:

то уравнение

запишется в виде:

Отсюда следует:

Необходимо решить два квадратных уравнения:

Получаем четыре корня:

Корни этих квадратных уравнений y1, y2, y3, y4 являются решением исходного уравнения

Рассмотрим случай, когда q=0

Уравнение

имеет четыре корня:

Способ №2.
Решение Декарта-Эйлера.

Обоснование этого способа решения уравнения четвёртой степени находится в стадии разработки.

Эта программа находит четыре корня уравнения четвёртой степени двумя способами

Способ №1.
Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения

Если q не равно нулю, то кубическое уравнение

всегда имеет положительный действительный корень, так как при z=0 значение многочлена в левой части уравнения отрицательно: -q^2/8, а при стремлении z к плюс бесконечности значение многочлена в левой части уравнения также стремится к плюс бесконечности, то есть становится положительным при некотором положительном z=M, и так как непрерывная на отрезке [0; M] функция принимает на интервале (0; M) любое промежуточное, в том числе и нулевое, значение, то существует положительный корень этого кубического уравнения. Таким положительным корнем является либо первый корень в программе решения кубического уравнения, где под знаком косинуса стоит аргумент F/3, так как Cos(F/3)≥0 при 0≤F≤3/2*Pi, если кубическое уравнение имеет три различных действительных корня, либо единственный действительный корень этого кубического уравнения.

Если какой-то из действительных корней кубического уравнения принимает нулевое значение, то решается биквадратное уравнение

Способ №2.
Решение Декарта-Эйлера.

После приведения алгебраического уравнения четвёртой степени к каноническому виду программа находит три корня кубического уравнения

Если это кубическое уравнение имеет три действительных положительных корня, то уравнение четвёртой степени имеет четыре действительных корня.

Если это кубическое уравнение имеет три действительных корня, один положительный и два отрицательных, то уравнение четвёртой степени имеет две пары комплексно-сопряжённых корней.

Если это кубическое уравнение имеет один положительный действительный корень и два комплексно сопряжённые корня, то уравнение четвёртой степени имеет два действительных и два комплексно-сопряжённых корня. Программа на javascript «Решение уравнения четвёртой степени Ax⁴+Bx³+Cx²+Dx+E=0» Программа «Решение уравнения четвёртой степени Ax⁴+Bx³+Cx²+Dx+E=0». Код программы «Решение уравнения четвёртой степени Ax⁴+Bx³+Cx²+Dx+E=0» Вывод корней кубического уравнения. На главную страницу.

ateist.spb.ru

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ СПОСОБОМ ДЕКАРТА-ЭЙЛЕРА

РЕШЕНИЕ  УРАВНЕНИЙ  ЧЕТВЕРТОЙ  СТЕПЕНИ  СПОСОБОМ  ДЕКАРТА-ЭЙЛЕРА

Фомин  Александр  Владимирович

студент  2  курса,  отделение  информационных  технологий,  Колледж  электроники  и  бизнеса  ОГУ,  РФ,  г.  Оренбург

E-mail:  f

Нурманова  Сабиля  Андреевна

научный  руководитель,  преподаватель  I   кв.  категории  предметно-цикловой  комиссии  физико-математических  дисциплин,  Колледж  электроники  и  бизнеса  ОГУ,  РФ,  г.  Оренбург

 

Решение  уравнений  четвертой  степени  способом  Декарта-Эйлера.

Рассмотрим  неполное  уравнение  четвертой  степени

 

  х⁴  +  рх²+  qx  +  r  =  0  (1)

 

с  произвольными  комплексными  коэффициентами  р,  q,  r. 

Пусть  х₁,  х₂,  x₃,х₄  —  его  корни.  По  формулам  Виета,

 

х₁  +  х₂  +  x₃  +  х₄  =  0,

  х₁  х₂  +  х₁  х₃  +  х₁  х₄  +  х₂  х₃  +  х₂  х₄  +  х₃  х₄  =  p  (2)

х₂х₃х₄  +  х₁х₃х₄  +  х₁х₂х₄  +  х₁х₂х₃  =  –  q,

х₁х₂х₃х₄  =  r.

 

Числа  х₁х₂  +  х₃х₄  ,  х₁х₃  +  х₂  х₄  и  х₁х₄  +  х₂х₃  являются  корнями  кубического  уравнения 

 

  х³  –  px²  –  4rx  +  (4pr  –  q²)  =  0  (3)

 

Заметим,  что 

 

х₁х₂  +  х₃х₄  =   (х₁  +  х₂  –  x₃  –  х₄)²  –    (х₁  +  х₂  +  x₃  +  х₄)²  +  (х₁х₂  +  х₁  х₃  +  х₁  х₄  +

+  х₂  х₃  +  х₂  х₄  +  х₃  х₄)  =    (х₁  +  х₂  –  x₃  –  х₄)²  +  p.

 

Аналогично

 

х₁х₃  +  х₂  х₄  =    (х₁  –  х₂  +  x₃  –  х₄)²  +  p,

х₁х₄  +  х₂  х₃  =    (х₁  –  х₂  –  x₃  +  х₄)²  +  p.

 

Поэтому,  если  мы  сделаем  в  уравнении  (3)  замену  х  =  у  +  р,  то  полученное  уравнение 

 

  у³  +  2 pу²+  (p²—  4r)у  —  q²  =  0  (4)

 

будет  иметь  своими  корнями  числа

 

y ₁  =    (х₁  +  х₂  –  x₃  –  х₄)²,

y ₂  =    (х₁  –  х₂  +  x₃  –  х₄)²,  (5)

y ₃  =    (х₁  –  х₂  –  x₃  +  х₄)².

 

Из  формул  (5)  получаем,  что

 

  (х₁  +  х₂  –  x₃  –  х₄)²  =  u_1,

(х₁  –  х₂  +  x₃  –  х₄)²  =  u_2,  (6)

  (х₁  –  х₂  –  x₃  +  х₄)²  =  u_3,

 

где  u_1,  u_2,  u₃  —  квадратные  корни  из  y₁,  y_2,  y₃.

Поскольку  квадратный  корень  из  комплексного  числа  имеет  два  значения,  необходимо  уточнить,  какие  значения  квадратных  корней  следует  взять  в  формулах  (7). 

Пусть  дано  тождество

 

(х₁  +  х₂  –  x₃  –  х₄)  (х₁  –  х₂  +  x₃  –  х₄)  (х₁  –  х₂  –  x₃  +  х₄)  =    –  4  σ  ₁  σ  ₂  +  8  σ  ₃,

 

где  ơ₁,  ơ₂,  ơ₃  —  элементарные  симметрические  многочлены  от  х₁,  х₂,  х₃,  х₄.  Для  корней  уравнения  (1)  имеем,  в  силу  формул  (2): 

 

(х₁  +  х₂  –  x₃  –  х₄)  (х₁  –  х₂  +  x₃  –  х₄)  (х₁  –  х₂  –  x₃  +  х₄)  =  8q.

 

Отсюда  следует,  что 

 

  u₁,  u₂,  u₃  =  –  q.  (7)

 

Условие  (7)  оставляет  четыре  из  восьми  вариантов  выбора  значений  квадратных  корней  из  y₁,  y₂,  у₃.  Любой  из  этих  четырех  вариантов  допустим,  так  как,  перенумеровав  подходящим  образом  х₁,  х₂,  х₃,  х₄,  можно  умножить  на  (–  1)  любые  два  из  выражений  х₁  +  х₂  –  x₃  –  х₄,  х₁  –  х₂  +  x₃  –  х₄,  х₁  –  х₂  –  x₃  +  х₄,  не  изменив  третьего.  Например,  если  поменять  номера  у  х₁  и  х₂  и  одновременно  у  х₃  и  х₄,  то  выражение  х₁  +  х₂  –  x₃  –  х₄  не  изменится,  в  то  время  как  остальные  два  умножатся  на  (–  1).  Складывая  равенства  (6)  и  равенство  х₁  +  х₂  +  x₃  +  х₄  =  0,  находим:  x₁  (u₁  +  u₂  –  u₃). 

Аналогично  находим:

 

x ₂  (u₁  –  u₂  –  u₃),

x ₃  (–  u₁  +  u₂  –  u₃),

x ₄    (–  u₁  –  u₂  +  u₃).

 

Эти  формулы  можно  объединить  в  одну:

 

  x  =    (  +    +  ),  (8)

 

которую  следует  понимать  таким  образом,  что  значения  квадратных  корней  выбираются  всеми  возможными  способами,  лишь  бы  их  произведение  равнялось  (–  q). 

Подставляя  полученную  формулу  в  выражения  для  корней  кубического  уравнения  (3),  найденные  при  помощи  формулы  Кардано,  можно  получить  явную  формулу,  выражающую  корни  уравнения  (1)  через  его  коэффициенты,  которая,  однако,  столь  громоздка,  что  выписывать  ее  не  имеет  смысла. 

Пример.  Решите  уравнение  на  множестве  действительных  чисел 

 

 

Решение.  Поставим  задачу  привести  это  уравнение  к  виду 

 

 

Для  этого  воспользуемся  подстановкой    получим:

 

,  откуда  находим  ,  ,  .

,

 

или

 

 

Подберем    так,  чтобы  квадратный  трехчлен,  стоящий  в  скобках,  стал  полным  квадратом,  чтобы  затем  получить  разность  квадратов  двух  выражений. 

Для  этого  его  дискриминант  должен  быть  равен  нулю

 

 

Мы  получили  кубическое  уравнение  относительно  .  Решение  кубических  уравнений  по  формуле  Кардано  нам  уже  известно.

Положим    тогда  кубическое  уравнение  примет  вид:

 

 

 

 

Ответ: 

 

Список  литературы:

1.Винберг  Э.Б.  Алгебра  многочленов:  учебное  пособие  для  студентов  заочников  III—IV  курсов  физико-математических  факультетов  педагогических  институтов.  М.:  Просвещение,  1980.  —  175  с.

2.Курош  А.Г.  Алгебраические  уравнения  произвольных  степеней.  М.:  Наука,  1975.  —  34  с.

3.Мишина  А.П,  Проскуряков  И.А.  Высшая  алгебра.  Линейная  алгебра,  многочлены,  общая  алгебра.  М.:  Наука,  1980.  —  563  с.

4.Сушкевич  А.К.  Основы  высшей  алгебры.  М.:  ОГИЗ,  1941.  —  462  с.

5.Туманов  С.И.  Поиски  решения  задачи.  М.:  Просвещение,  1969.  —  275  с.

6.Тишин  В.И.  Математика  для  учителей  и  учащихся:  рациональные  алгебраические  уравнения.  М.:  Комаричи,  2002.  —  166  с.

sibac.info

42

42. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 4-ой СТЕПЕНИ

Тип игры:                             граф

Класс:                                   8, 9

Тема:                                     Уравнения, приводящиеся к квадратным

Комментарий. Эта игра интересна тем, что важными и полезными являются различные пути получения результата. Это как раз пример на воплощение дидактической идеи – процесс важнее результата.

Кроме обычной организации игры с разбивкой учащихся на группы, идущие различными путями, можно предложить и фронтальный вариант, в котором учитель показывает и комментирует различные этапы решения. Разумеется, при этом ослабляется игровой характер задания, не появляется возможность в деятельностной форме ознакомить учащихся с несколькими важными алгебраическими идеями.

Тип игры: граф (выбор пути решения).

Дано уравнение x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 360.

Шаг 1

Выберите один из возможных способов преобразования уравнения.

1. Перемножить сомножители в левой части.

2. Сгруппировать сомножители по два.

3. Использовать симметрию множителей и сделать замену .

4. Воспользоваться известным тождеством для преобразования произведения четырех подряд идущих целых чисел.

 

Реакция на выбор способа преобразования

1. Этот способ самый прямой, однако не ясно, приведет ли он к цели. Тем не менее, попробуйте перемножить и получить уравнение 4-ой степени вида x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0.

Закончив вычисления, перейдите к шагу 2.

Сверьте свои вычисления с правильным ответом.

Шаг 2

x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x – 360 = 0

Выберите один из двух известных вам типов решения уравнения 4-ой степени.

1.1. Приведение к биквадратному уравнению с помощью удачной замены неизвестного.

1.2. Приведение к возвратному уравнению, используя симметрию коэффициентов.

 

Реакция на второй шаг

1.1. Это хороший путь. Чтобы подобрать замену, советуем выделить полный квадрат, используя первые два слагаемых.

Предлагайте выкладки, подберите необходимую замену и сверьте с ответом.

 

Шаг 3

1.1.1. У вас должно получиться следующее уравнение:

(x² + 3x)² + 2(x² + 3x) –360 = 0.

Теперь замена ясна. Обозначьте новое неизвестное через y и сверьте ответ.

 

Шаг 4

y² + 2y – 360 = 0

Решите это квадратное уравнение и запишите два его корня: y₁ = (–20), y₂ = (18).

Реакция: верно – неверно.

Для каждого найденного значения y решите уравнение x² + 3x = y. До записи ответа укажите число корней.

 

Шаг 5

Уравнение имеет (2) корня.

Запишите ответ.

 

Шаг 6

x₁ = (–6), x₂ = (3)

 

1.2. Этот путь хороший, но нелегкий. Мешает свободный член – 360. Советуем продолжить путь обычным образом – поделить на x² и заменить . Не пугайтесь того, то x не исчезнет – останется слагаемое вида .

Сверьте с правильным ответом.

 

Шаг 2

Слева и справа стоят полные квадраты. Воспользуйтесь этим, извлеките корни из обеих частей и перейдите к следующему шагу.

 

Шаг 3

Проверьте себя, что вы не забыли извлечь корень с двумя знаками и получить два уравнения:  и .

Вернитесь к неизвестному x и получите два квадратных уравнения.

 

Шаг 4

x² + 3x + 20 = 0

x² + 3x – 18 = 0

До записи ответа укажите число корней исходного уравнения.

Шаги 5 и 6 совпадают с этими шагами в пути 1.1.

 

2. Этот путь самый естественный. Решите, какие пары множителей вы будете объединять.

Шаг 2

Первый и второй		Неудачно, попробуйте другой способ
Третий и четвертый
Первый и третий
Второй и четвертый

 

Первый и четвертый		Это удачный способ, подсказанный соображениями симметрии. Сверьте ответ
Второй и третий

 

Шаг 3

(x² + 3x)(x² + 3x + 2) = 360

Сделайте замену.

2.1. y = (x² + 3x)

2.2. y = (x² + 3x + 1)

2.1. Эта замена естественная, хотя и не самая лучшая. Лучше было бы заменить x² + 3x + 1 = y. Продолжите свой способ и получите квадратное уравнение относительно y.

 

Шаг 4

Совпадает с шагом 4 в 1.1 и дальше до конца.

 

2.2. Это очень толково. Сразу замечаете симметрию. Сверьте уравнение.

 

Шаг 4

y² – 1 = 360; y² = 361

До записи окончательного ответа укажите число корней исходного уравнения.

 

Шаг 5

как в 1.1

 

3. Это способ наиболее короткий. Сверьте запись получающегося биквадратного уравнения.

 

Шаг 2

Запишите квадратное уравнение относительно z² = y.

 

Шаг 3

Решите это квадратное уравнение. Сверьте корни.

 

Шаг 4

,

Вспомните, что y = z².

До записи ответа найдите число корней исходного уравнения.

 

Шаг 5 и далее – тот же, что и в 1.1

 

4. Этот способ хорош, если вы действительно помните тождество x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x² + ___x + ___)²

Сверьте ответ.

 

Шаг 2

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x² + 3x + 1)²

Извлеките корень и перейдите к двум уравнениям относительно x.

Сверьте ответ.

 

Шаг 3

x² + 3x + 1 = –19

x² + 3x + 1 = +19

До записи окончательного ответа укажите число корней исходного уравнения.

 

Шаг 4 = Шаг 5 в 1.1

 

________________________

 

Граф

 

 

files.school-collection.edu.ru

Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
,   ,   .

Пример 1

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3) меньше степени многочлена числителя (4). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.

1.   Выделим целую часть дроби. Делим x⁴ на x ³ – 6x ² + 11x – 6:

Отсюда
.

2.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, 3, 6, –1, –2, –3, –6.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим на x – 1:

Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение   .
.
Корни уравнения: ,   .
Тогда
.

3.   Разложим дробь на простейшие.

.

Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.

Ответ

.

Пример 2

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь в числителе дроби – многочлен нулевой степени (1 = x ⁰). В знаменателе – многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3, то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.

1.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, –1, –3.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим x ³ + 2x – 3 на x – 1:

Итак,
.

Решаем квадратное уравнение:
x ² + x + 3 = 0.
Находим дискриминант: D = 1 ² – 4·3 = –11. Поскольку D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2.   Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x – 1)(x ² + x + 3):
(2.1)   .
Подставим x = 1. Тогда x – 1 = 0,
.

Подставим в (2.1) x = 0:
1 = 3A – C;
.

Приравняем в (2.1) коэффициенты при x ²:
;
0 = A + B;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3.   Интегрируем.
(2.2)   .
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.

;
;
.

Вычисляем I₂.


.
Поскольку уравнение x ² + x + 3 = 0 не имеет действительных корней, то x ² + x + 3 > 0. Поэтому знак модуля можно опустить.

Поставляем в (2.2):
.

Ответ

.

Пример 3

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3. Степень многочлена знаменателя дроби равна 4. Поскольку 3 < 4, то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.

1.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли один корень x = –1. Делим на x – (–1) = x + 1:

Итак,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли еще один корень x = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен     на   , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x ² + 2 = 0 не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2.   Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) ²(x ² + 2):
(3.1)   .
Подставим x = –1. Тогда x + 1 = 0,
.

Продифференцируем (3.1):

;

.
Подставим x = –1 и учтем, что x + 1 = 0:
;
;   .

Подставим в (3.1) x = 0:
0 = 2A + 2B + D;
.

Приравняем в (3.1) коэффициенты при x ³:
;
1 = B + C;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3.   Интегрируем.


.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-05-2015

1cov-edu.ru

7. Интегрирование дробно-рациональных функций.

Определение 3. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) будем называть частное от деления двух многочленов. Общий вид рациональной дроби таков

,

где – многочлен степени, а– многочлен степени .

Если , то рациональная дробь называетсяправильной, если , то рациональная дробь называетсянеправильной. Из общей совокупности правильных дробей выделяются четыре специальных типа дробей, называемых простейшими. Простейшие дроби имеют вид

где A, B, D, a, p, q – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней (), т.е. не раскладывается на множители первой степени.

В целом классификацию рациональных дробей можно представить следующим образом.

Интегралы от рациональных дробей всегда являются берущимися. Покажем это, двигаясь по приведённой здесь схеме, поднимаясь с нижнего уровня на верхний уровень.

Интегрирование простейших дробей.