Рубрика: Школьная жизнь

Площадь круга и его частей

Формулы площади коуга

Площадь пруга:
R — радиус;
D — диаметр;
с — длина дуги окружности.

Формула площади круга

Формула площади круга

Круговой сектор

Определение

Круговой сектор — это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
R — радиус круга;
a⁰ или a — радиан, соответствующий центральный угол;
l — длина дуги сектора.

Формула кругового сектора

Формула кругового сектора

Круговой сегмент

Определение
Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная дугой окружности и стягивающая ее хордой.
R — радиус круга;
a⁰ или a радиан — дуга сегмента (угол AOB).

Свойства сегмента

Свойство 1

a⁰

Формула сегмента:

Свойство 2

a⁰ > 180? (a > ?):

Формула сегмента:

Свойство 3

a⁰ = 180? (a = ?):

Формула сегмента:

formula-xyz.ru

Формулы длины круга и примеры применения

Сделаем рисунок (рис. 2).

Максимальный круг, который можно вырезать из квадрата, есть вписанный в этот квадрат круг. Площадь квадрата . Подставляя в это равенство , получаем, что тогда сторона квадрата

(см)

Диаметр вписанного в квадрат круга равен его стороне:

(см)

Длину круга найдем по формуле

   

Подставляя значение см, получим

(см)

Учитывая, что значение :

(см)

ru.solverbook.com

Длина окружностиФормулы по геометрии

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (центра окружности).

R – радиус окружности

d – диаметр окружности

O – центр окружности

 

 

Длина окружности (L) через радиус (R) определяется по формуле:

 

 

 

Длина окружности (L) через диаметр (d) определяется по формуле:

Все формулы по теме Длина окружности:

formylu.ru

Некоторые методы вычисления пределов

1. Случай отсутствия неопределённости

Если при подстановке предельного значения аргумента в функцию получается определённое число, то оно и является значением предела.

Пример 2. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 6.

Пример 3. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 1.

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: .

Если в результате формальной подстановки в функцию предельного значения аргумента предел переходит в выражение типа:

то говорят, что под знаком предела неопределённость.

В этом случае нужно раскрыть неопределённость: тождественными преобразованиями «убирают» неопределённость, если это возможно, и вычисляют предел.

2. Случай неопределённости вида

Если в пределе приходим к неопределённости вида , то

необходимо в числителе и знаменателе дроби выделить сомножитель сократить на него и вычислить предел.

 

Пример 5.Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на общий множитель (вспомним, что , где – корни уравнения ).

Ответ: 0,7.

Раскрытие неопределённости вида с иррациональностями

Рассмотрим на примере.

Пример 6. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Домножим числитель и знаменатель дроби, предел которой мы ищем, на выражение , сопряжённое числителю.

Ответ: .

Для пределов подобного вида способ домножения на сопряжённое выражение является типичным.

3. Случай неопределённости вида

Для раскрытия исходной неопределённости нужно разделить числитель и знаменатель дроби на переменную xв наибольшей степени, которая входит в данную дробь, учитывая, что величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая величина.

Пример 7. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на .

Ответ: .

В общем случае можно использовать правило:

4. Случай неопределённостей вида:

Эти неопределённости сводятся к неопределённостям вида одним из следующих способов:

а) приведение дробей к общему знаменателю,

б) преобразование функции к виду дроби,

в) избавление от иррациональности (домножение на сопряжённое выражение числителя и знаменателя дроби).

Пример 8. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 2.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

Ответы

1.1. . 1.2. – 2. 1.3. 14. 1.4. 1. 1.5. . 1.6. –9. 1.7. 3. 1.8. . 1.9. . 1.10. 6.

1.11. . 1.12. 1.13. 1.14. . 1.15. . 1.16. . 1.17. . 1.18. . 1.19. ∞. 1.20. 0. 1.21. 1. 1.22. . 1.23. . 1.24. ∞. 1.25. . 1.26.2. 1.27. . 1.28. 0. 1.29. 0. 1.30. 2. 1.31. 0. 1.32. 1,5. 1.33. –∞. 1.34. +∞. 1.35. +∞. 1.36. +∞. 1.37. –∞. 1.38.–∞.

 

Вычисление предела функции с использованием замечательных пределов

Первым замечательным пределом называется предел вида:

.

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: a.

Пример 2. Вычислить предел:

Решение. Используем тригонометрические формулы:

Ответ: 4.

 

Вторым замечательным пределом называется предел вида:

Пример 3. Вычислить предел:

Ответ: .

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: .

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

Ответы

2.1. 5. 2.2. 3. 2.3. . 2.4. 2.5. – 4,5. 2.6. – . 2.7. 0,5. 2.8. 2. 2.9. – . 2.10.5. 2.11. 3. 2.12. 0. 2.13.cos 3. 2.14. 1. 2.15. 1,75. 2.16. . 2.17. – . 2.18. 14.

2.19. – 1. 2.20. – 0,5. 2.21. . 2.22. – . 2.23. .2.24. . 2.25. . 2.26. . 2.27. .2.28. . 2.29. . 2.30. . 2.31. 0. 2.32. . 2.33. 1. 2.34. –7.

 



infopedia.su

5.07.3 Примеры на вычисление пределов функций

Вычислить указанные пределы:

1. .

2.

.

3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при , то – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет . Получаем

.

4.

.

5.

.

6. – не существует, так как .

7. . Обозначим , причем заметим, что при . Получим

.

8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой вместо .)

9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:

; .

Следовательно, – не существует (так как у функции разные односторонние пределы).

Для самостоятельного решения.

1) ; Ответ:.

2) ; Ответ: .

3) ; Ответ: .

4) ; Ответ: .

5) . Ответ: не существует.

6) ; Ответ: .

7) ; Ответ: .

8) Найти в точке односторонние пределы функции ; Ответ: .

9) ; Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

Правила вычисления пределов — Мегаобучалка

 

При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила:

 

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:

.

 

2. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей:

.

 

3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций:

.

 

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

 

5. Предел постоянной равен самой постоянной:

 

.

6. Для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами:

 

.

 

Нахождение предела функции следует начинать с подстановки значения в выражение для функции. При этом если получается числовое значение 0 или ¥, то искомый предел найден.

Пример 2.1.Вычислить предел .

Решение.

.

Выражения вида , , , , , называются неопределённостями.

Если получается неопределенность вида , то для нахождения предела нужно преобразовать функцию так, чтобы раскрыть эту неопределенность.

Неопределенность вида обычно получается, когда задан предел отношения двух многочленов. В этом случае, для вычисления предела рекомендуется разложить многочлены на множители и сократить на общий множитель. Этот множитель равен нулю при предельном значении х.

Пример 2.2.Вычислить предел .

Решение.

Подставляя , получим неопределенность:

 

.

 

Разложим числитель и знаменатель на множители:

;

 

Сократим на общий множитель и получим

 

.

Неопределенность вида получается, когда задан предел отношения двух многочленов при . В этом случае для вычисления рекомендуется разделить оба многочлена на х в старшей степени.

Пример 2.3. Вычислить предел .

Решение.При подстановке ∞ получается неопределенность вида , поэтому разделим все члены выражения на x³.

.

Здесь учитывается, что .

При вычислении пределов функции, содержащей корни, рекомендуется умножить и разделить функцию на сопряженное выражение.

Пример 2.4.Вычислить предел

Решение.

 

При вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида или (1)^∞ часто используются первый и второй замечательные пределы:

и

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.

Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед.

Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода — в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3)³ »237 (ден. ед.).

Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10)¹⁰ » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100)¹⁰⁰ » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000)¹⁰⁰⁰ » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример 2.5.Вычислить предел функции

Решение.

Пример 2.6.Вычислить предел функции .

Решение.Подставляя получим неопределенность:

 

.

Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение:

 

В результате получаем

Здесь учитывается второй замечательный предел .

Пример 2.7.Вычислить предел функции

Решение.

.

Для раскрытия неопределенности вида или можно использовать правило Лопиталя, которое основано на следующей теореме.

Теорема.Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных

 

Заметим, что это правило можно применять несколько раз подряд.

Пример 2.8. Найти

Решение.При подстановке , имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим

 

Непрерывность функции

 

Важным свойством функции является непрерывность.

Определение.Функция считается непрерывной, если малое изменение значения аргумента влечет за собой малое изменение значения функции.

Математически это записывается так: при

Под и понимается приращение переменных, то есть разность между последующим и предыдущим значениями: , (рисунок 2.3)

 

Рисунок 2.3 – Приращение переменных

Из определения функции , непрерывной в точке , следует, что . Это равенство означает выполнение трех условий:

1) функция определена в точке и ее окрестности функция ;

2) функция имеет предел при или, что равносильно, существуют и равны односторонние пределы и ;

3) предел функции при равен значению функции в точке .

Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то точку называют точкой разрыва функции. Выделяют следующие типы точек разрыва.

1) Если в точке разрыва существуют односторонние конечные пределы функции, то называют точкой разрыва первого рода.

При этом если односторонние пределы совпадают, то называют точкой устранимого разрыва первого рода, если односторонние пределы не совпадают, то называют точкой конечного разрыва первого рода (или точкой скачка)

2) Если в точке хотя бы один из односторонних пределов функции не существует или бесконечен, то называют точкой разрыва второго рода.

Пример 2.9.Найти точки разрыва функции:

Решение.Для функции точка является подозрительной на разрыв, проверим это, найдем односторонние пределы

Следовательно, , значит — точка устранимого разрыва

Производная функции

 

megaobuchalka.ru

Замечательные пределы, примеры решений

Теория по замечательным пределам

Первый замечательный предел раскрывает неопределенность и имеет вид:

   

Следствия из первого замечательного предела:

   

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность и имеет вид:

   

где . Он имеет следующие основные следствия:

   

Примеры

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Примеры на вычисление пределов функции

ПРИМЕРЫ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

ФУНКЦИИ

На основании изложенного выше рекомендуется следующий порядок нахождения предела функции:

1. Если заданная функция непрерывна в точке x₀, нахождение предела сводится к вычислению значения функции в точке x₀.

2. Если при подстановке значения x₀ в выражение функции оказалось, что имеет место одна из ситуаций, которые рассмотрены в п.4.3, 4.5 и 4.6, нужно воспользоваться соответствующими теоремами о пределах и свойствами бесконечно малых и бесконечно больших величин.

3. Если оказалось, что при x → x₀ имеет место неопределенное выражение (п. 4.4, 4.6, 4.7, 4.9), следует, установив вид неопределенности, найти специальный прием, позволяющий, как принято говорить, раскрыть данное неопределенное выражение. Специальные приемы раскрытия неопределенностей будут рассмотрены при решении задач.

1. Нахождение пределов в случае отсутствия

неопределенности

Пример 1. .

Использована непрерывность функции в точке x = 1

(п. 1.1).

Пример 2. .

Использована теорема о пределе частного.

Пример 3. .

Использовали то, что величина обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

Пример 4. .

Использовали то, что величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.

2. Раскрытие неопределенностей вида

Способ нахождения зависит от того, каким классам функций принадлежат функции f(x) и g(x).

2.1. Нахождение , где P_n(x) и_{Qm(x) неко-}

торые многочлены, путем разложения числителя и

знаменателя на множители

Напомним, что если число x₁ является корнем многочлена P_n(x), то этот многочлен можно представить в виде

В частности, если x₁ и x₂ корни уравнения

, то

Пример 1. Найти .

Решение. Найдем корни трехчленов и разложим числитель и знаменатель на множители. Тогда

.

Пример 2. Найти .

Решение. Воспользуемся формулами

и .

Тогда

2.2. Раскрытия иррациональных неопределенностей вида

В этом случае проводятся преобразования, позволяющие далее использовать формулы:

;

Пример 1. Найти

Решение.

Пример 2. Найти

Решение.

2.3. Раскрытие неопределенных выражений вида с помощью первого замечательного предела и его следствий

Первым замечательным пределом принято называть:

(1) или , (2)

где при .

Предел замечателен тем, что он позволяет сделать вывод: для значений аргумента, близких к 0, величина синуса практически не отличается от величины своего аргумента.

Подчеркнем (это важно!), что предел отношения синуса некоторого аргумента к своему аргументу равен 1, лишь когда аргумент синуса стремится к 0.

Например,

,

,

и только .

На конкретных примерах покажем, как формально просто используется замечательный предел при раскрытии тригонометрических неопределенностей вида .

Пример 1. Найти

Решение.

Пример 2. Найти

Решение. так как

и .

Пример 3. Найти

Решение.

Использованы формула и первый замечательный предел.

Пример 4. Найти

Решение.

так как

Пример 5. Найти

Решение.

так кака .

Примеры 6–7 решены с использованием следствий первого замечательного предела:

Пример 6.

Пример 7. Найти

Решение.

2.4. Введение новой переменной

Во многих случаях, чтобы найти , имеет смысл сделать замену , при этом если то .

Пример 1. Найти

Решение. Введем новую переменную или Очевидно, при переменная

Тогда

Использованы формулы приведения и первый замечательный предел.

Пример 2. Найти

Решение. Введем новую переменную

При переменная

Тогда

3. Раскрытие неопределенностей вида

При нахождении , где P_n(x) и Q_m(x) – многочлены, используется метод деления числителя и знаменателя на x^k , где k – наибольшее из чисел m и n. Аналогичный прием используется и при нахождении пределов иррациональных неопределенностей вида .

Пример 1.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на x³. Тогда

так как – бесконечно малые величины при .

Пример 2.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на x⁵. Тогда

Пример 3.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на x³. Тогда

Сравнивая полученные в примерах 1–3 результаты, можно сделать вывод:

(a_n и b_n – коэффициенты при xⁿ многочленов P_n(x) и Q_n(x) соответственно).

Этот вывод позволяет в простейших случаях находить без каких-либо преобразований.

Например,

Перейдем к решению более сложных примеров.

Пример 4.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на :

Заметим, что в этом примере наивысшие степени переменной в числителе и знаменателе равны (и там, и там это ), поэтому ответ оказался равным отношению коэффициентов при .

Пример 5.

Решение. Напомним, что Разделим почленно числитель на знаменатель:

4. Раскрытие неопределенностей вида

и

Каждую из неопределенностей и стараются свести к неопределенностям и . Далее используют соответствующий способ раскрытия неопределенного выражения полученного вида.

Пример 1. Найти

Решение. Вынесем знак минуса из знаменателей за общую скобку и приведем разность к общему знаменателю

Пример 2. Найти

Решение.

Осталось воспользоваться первым замечательным пределом

Пример 3. Найти

Решение. Умножим и поделим заданное выражение на сумму Тогда

Пример 4. Найти

Решение.

Использован первый замечательный предел:

( при ).

Пример 5. Найти

Решение. Воспользуемся тем, что

Тогда

Использованы непрерывность логарифмической функции и первый замечательный предел.

5. Раскрытие неопределенностей вида

Неопределенности вида раскрываются с помощью второго замечательного предела, который можно записывать двумя способами:

(3) или . (4)

Напомним, что второй замечательный предел получен на основании равенства

,

gigabaza.ru

Примеры нахождения пределов | Primer.by

Пример 1.

а)

б)

в)

г)

д)

 

Решение

 

а)

Имеем неопределенность вида  . Разделим числитель и знаменатель дроби на наибольшую степень х, то есть на х⁴

Ответ:

 

б)

Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на :

 

Ответ:

 

в)

Имеем неопределенность вида . Преобразуем предел к виду второго замечательного предела:

Ответ:

г)

Имеем неопределенность вида . Преобразуем предел к виду первого замечательного предела:

 

Ответ:

 

д)  

(воспользуемся правилом Лопиталя)

Таким образом, .

Ответ:.

 

 

Пример 2.

Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя.

 

Решение:

 

1) .

Искомый предел является неопределенностью типа . По правилу Лопиталя получаем:

.

2) .

Предел является неопределенностью вида . Преобразуем его к виду :

.

Применим правило Лопиталя:

.

3) .

Предел является неопределенностью вида . Проведем следующие преобразования:

.

 

Ответ: 1) ;     2) -1;     3) .

 

 

primer.by

Пределы функций. Примеры решений.

Пределы функций. Примеры решений.

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Итак, что же такое предел?

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела . 
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись  читается так: «предел функции  при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , …. 
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда  неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем  и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ? 
, , , …

Итак: если , то функция  стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию   бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать  до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при  функция   неограниченно возрастает:

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , , 
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность  , , . Если , то  , , .

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , ,  и т.д.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел 

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим  в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим  в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на  в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на 

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел 
Снова в числителе и знаменателе находим  в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на 

Пример 3

Найти предел 
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности  необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на 

Под записью  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида  у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел 
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
 
В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

Далее находим корни: 

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель  уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на

infourok.ru

Масштабы топографических карт и планов

Масштабы топографических карт и планов

Масштабы топографических карт и планов

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к его действительной длине на местности.
Масштаб (от немецкого — мера и Stab — палка) — отношение длины отрезка на карте, плане, аэро- или космическом снимке к его действительной длине на местности.
Численный масштаб — масштаб, выраженный в виде дроби, где числитель — единица, а знаменатель — число, показывающее во сколько раз уменьшено изображение.
Именованный (словесный) масштаб — вид масштаба, словесное указание того, какое расстояние на местности соответствует 1 см на карте, плане, снимке.
Линейный масштаб — вспомогательная мерная линейка, наносимая на карты для облегчения измерения расстояний.

Именованный масштаб выражается именованными числами, обозначающими длины взаимно соответствующих отрезков на карте и в натуре.

Например, в 1 сантиметре 5 километров (в 1 см 5 км).

Численный масштаб — масштаб, выраженный дробью, в которой: числитель равен единице, а знаменатель равен числу, показывающему во сколько раз уменьшены линейные размеры на карте.

Далее приведены численные масштабы карт и соответствующие им именованные масштабы.

Масштаб плана одинаков во всех его точках.

Масштаб карты в каждой точке имеет свое частное значение, зависящее от широты и долготы данной точки. Поэтому его строгой числовой характеристикой является частный масштаб — отношение длины бесконечно малого отрезка Д/ на карте к длине соответствующего бесконечно малого отрезка на поверхности эллипсоида земного шара. Однако при практических измерениях на карте используют ее главный масштаб.

Формы выражения масштаба

Обозначение масштаба на картах и планах имеет три формы: численного, именованного и линейного масштабов. Численный масштаб выражают дробью, в которой числитель— единица, а знаменатель М — число, показывающее, во сколько раз уменьшены размеры на карте или плане (1:М)

В России для топографических карт приняты стандартные численные масштабы: 1:1 000 000; 1:500 000; 1: 300 000; 1: 200 000; 1: 100 000; 1: 50 000; 1: 25 000; 1: 10 000.

Для специальных целей создают также топографические карты в масштабах 1: 5 000 и 1: 2 000. Основными масштабами топографических планов в России являются: 1:5000, 1:2000, 1:1000 и 1:500.

Однако в землеустроительной практике планы землепользований чаще всего составляют в масштабах 1: 10 000 и 1:25 000, а иногда— 1: 50 000.

При сравнении различных численных масштабов более мелким является тот, у которого больше знаменатель М, и, наоборот, чем меньше знаменатель М, тем крупнее масштаб плана или карты.

Так, масштаб 1: 10 000 крупнее, чем масштаб 1: 100 000, а масштаб 1: 50 000 мельче масштаба 1: 10 000. Именованный масштаб

Так как длины линий на местности принято измерять в метрах, а на картах и планах — в сантиметрах, то масштабы удобно выражать в словесной форме, например:

В одном сантиметре 50 метров. Это соответствует численному масштабу 1: 5000. Поскольку 1 метр равен 100 сантиметрам, то число метров местности, содержащееся в 1 см карты или плана, легко определяют путем деления знаменателя численного масштаба на 100.

Линейный масштаб

Представляет собой график в виде отрезка прямой, разделенного на равные части с подписанными значениями соразмерных им длин линий местности. Линейный масштаб позволяет без вычислений измерять или строить расстояния на картах и планах.

Точность масштаба

Предельная возможность измерения и построения отрезков на картах и планах ограничена величиной 0,01 см. Соответствующее ей число метров местности в масштабе карты или плана представляет собой предельную графическую точность данного масштаба. Поскольку точность масштаба выражает длину горизонтального проложения линии местности в метрах, то для ее определения следует знаменатель численного масштаба разделить на 10 000 (1 м содержит 10 000 отрезков по 0,01 см). Так, для карты масштаба 1 : 25 000 точность масштаба равна 2,5 м; для карты 1 : 100 000— 10 м и т. п.

Масштабы топографических карт

Численный масштаб  карты	Название карты	1 см на карте соответствует на местности расстоянию	1 см2 на карте соответствует на местности площади
1: 5 000 1: 10 000 1: 25 000 1: 50 000 1: 100 000 1: 200 000 1: 500 000   1: 1 000 000	Пятитысячная Десятитысячная Двадцатипятитысячная Пятидесятитысячная Стотысячная Двухсоттысячная Пятисоттысячная, или полумиллионная Миллионная	50 м 100 м 250 м 500 м 1 км 2 км 5 км   10 км	0,25 га 1 га 6,25 га 25 га 1 км2 4 км2 25 км2   100 км2

Ниже приведены численные масштабы карт и соответствующие им именованные масштабы:

1.      Масштаб 1:  100 000

1 мм на карте — 100 м (0,1 км) на местности

1 см на карте — 1000 м (1 км) на местности

10 см на карте — 10000 м (10 км) на местности

2.      Масштаб 1:10000

1 мм на карте – 10 м (0,01 км) на местности

1 см на карте — 100 м (0,1 км) на местности

10 см на карте — 1000м (1 км) на местности

3.      Масштаб 1:5000

1 мм на карте – 5 м (0,005 км) на местности

1 см на карте — 50 м (0,05 км) на местности

10 см на карте – 500 м (0,5 км) на местности

4.      Масштаб 1:2000

1 мм на карте – 2 м (0,002 км) на местности

1 см на карте – 20 м (0,02 км) на местности

10 см на карте – 200 м (0,2 км) на местности

5.      Масштаб 1:1000

1 мм на карте – 100 см (1 м) на местности

1 см на карте – 1000см (10 м) на местности

10 см на карте – 100 м на местности

6.      Масштаб 1:500

1 мм на карте – 50 см (0,5 метра) на местности

1 см на карте – 5 м на местности

10 см на карте – 50 м на местности

7.      Масштаб 1:200

1 мм на карте –0,2 м (20 см) на местности

1 см на карте – 2 м (200 см) на местности

10 см на карте – 20 м (0,2 км) на местности

8.      Масштаб 1:100

1 мм на карте – 0,1 м (10 см) на местности

1 см на карте – 1 м (100 см) на местности

10 см на карте – 10м (0,01 км) на местности

Чтобы перевести численный масштаб в именованный, необходимо число, стоящее в знаменателе и соответствующее количеству сантиметров, перевести в километры (метры) . Например, 1: 100 000 в 1 см — 1 км. 

Чтобы перевести именованный масштаб в численный, надо количество километров перевести в сантиметры. Например, в 1 см — 50 км 1: 5 000 000.

Номенклатура топографических планов и карт

Номенклатура – система разграфки и обозначений топографических планов и карт.

Деление многолистной карты на отдельные листы по определенной системе называется разграфкой карты, а обозначение листа многолистной карты — номенклатурой.

В картографической практике применяются следующие системы разграфки карт:
• по линиям картографической сетки меридианов и параллелей;
• по линиям прямоугольной координатной сетки;
• по вспомогательным линиям, параллельным среднему меридиану карты и линии ему перпендикулярной и т.п.

Наибольшее распространение в картографии получила разграфка карт по линиям меридианов и параллелей, поскольку в этом случае положение каждого листа карты на земной поверхности точно определено значениями географических координат углов рамки и положением ее линий. Такая система является универсальной, удобной для изображения любых территорий Земного шара, кроме полярных областей. Она применяется в России, США, Франции, Германии и многих других странах мира.

В основу номенклатуры карт на территории Российской Федерации положена международная разграфка листов карты масштаба 1:1 000000. Для получения одного листа карты этого масштаба земной шар делят меридианами и параллелями на колонны и ряды (пояса).

Меридианы проводят через каждые 6°. Счет колонн от 1 до 60 идет от 180°  меридиана от 1 до 60 с запада на восток, против часовой стрелки. Колонны совпадают с зонами прямоугольной разграфки, но их номера отличаются ровно на 30. Так для зоны 12 номер колонны 42.

Номера колонн

колонна	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41
от	0°	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
до	6°	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66
колонна	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52
от	66°	72	78	84	90	96	102	108	114	120	126
до	72°	78	84	90	96	102	108	114	120	126	132

Параллели проводят через каждые 4°. Счет поясов от А до W идет от экватора к северу и югу.
Номера рядов

ряд	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
от	0°	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
до	4°	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44
ряд	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V
от	44°	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84
до	48°	52	56	60	64	68	72	76	80	84	88

Лист карты 1:1 000 000 содержит 4 листа карты 1:500 000, обозначаемых заглавными буквами А, Б, В, Г; 36 листов карты 1:200 000, обозначаемых от I до XXXVI; 144 листа карты 1:100 000, обозначаемых от 1 до 144.

Лист карты 1:100 000 содержит 4 листа карты 1:50 000, которые обозначаются заглавными буквами А, Б, В, Г.

Лист карты 1:50 000 делится на 4 листа карты 1:25 000, которые обозначаются строчными буквами а, б, в, г.

В пределах листа карты 1:1 000 000 расстановка цифр и букв при обозначении листов карт 1:500 000 и крупнее производится слева направо по рядам и в направлении к южному полюсу. Начальный ряд примыкает к северной рамке листа.

Недостаток этой системы разграфки — изменение линейных размеров северной и южной рамок листов карт в зависимости от географической широты. В результате по мере удаления от экватора листы приобретают вид все более узких полос, вытянутых вдоль меридианов. Поэтому топографические карты России всех масштабов от 60 до 76° северной и южной широт издаются сдвоенными по долготе, а в пределах от 76 до 84° — счетверенными (в масштабе 1:200 000 — строенными) по долготе листами.

Видео по теме

Номенклатуры листов карт масштабов 1:500 000, 1:200 000 и 1:100 000 слагаются из номенклатуры листа карты 1:1 000 000 с последующим добавлением обозначений листов карт соответствующих масштабов. Номенклатуры сдвоенных, строенных или счетверенных листов содержат обозначения всех отдельных листов представлены в таблице: 

Номенклатуры листов топографических карт для северного полушария.

1:1 000 000	N-37	P-47,48	T-45,46,47,48
1:500 000	N-37-Б	Р-47-А,Б	Т-45-А,Б,46-А,Б
1:200 000	N-37-IV	P-47-I,II	T-47-I,II,III
1:100 000	N-37-12	P-47-9,10	T-47-133, 134,135,136
1:50 000	N-37-12-A	P-47-9-А,Б	Т-47-133-А,Б, 134-А.Б
1:25 000	N-37-12-A-a	Р-47-9-А-а,б	T-47-12-A-a, б, Б-а, б

 

На листах южного полушария справа от номенклатуры помещается подпись (ЮП). 

N37 

Расположение и порядок нумерации листов карт 1:100 000-1:500 000 на листе карты 1:1 000 000. 

На листах топографических карт всего масштабного ряда наряду с номенклатурными помещаются их кодовые цифровые обозначения (шифры), необходимые для учета карт с помощью автоматизированных средств. Кодирование номенклатуры заключается в замене в ней букв и Римских цифр арабскими цифрами. При этом буквы заменяют их порядковыми номерами по алфавиту. Номера поясов и колонн карты 1:1 000 000 обозначают всегда двухзначными числами, для чего к однозначным номерам спереди приписывается нуль. Номера листов карты 1:200 000 в рамках листа карты 1:1 000 000 также обозначают двухзначными числами, а номера листов карты 1:100 000 — трехзначными (к однозначным и двухзначным номерам спереди приписывают соответственно один или два нуля). 

Зная номенклатуру карт и систему ее построения, можно определить масштаб карты и географические координаты углов рамки листа, то есть определить, к какой части земной поверхности относится данный лист карты. И, наоборот, зная масштаб листа карты и географические координаты углов его рамки, можно установить номенклатуру этого листа. 

Для подбора необходимых листов топографических карт на конкретный район и быстрого определения их номенклатуры имеются специальные сборные таблицы: 

Разграфка листов карты масштабов 1:50 000 и 1:25 000 на листе карты 1:100 000. Сборные таблицы представляют собой схематические бланковые карты мелкого масштаба, разделенные вертикальными и горизонтальными линиями на клетки, каждая из которых соответствует определенному листу карты соответствующего масштаба. На сборных таблицах указывают масштаб, подписи меридианов и параллелей, обозначения колонн и поясов разграфки карты 1:1 000 000, а также вразрядку номера листов карт более крупного масштаба в пределах листов миллионной карты. Сборные таблицы используются при составлении заявок на необходимые карты, а также для географического учета топографических карт в войсках и на складах, составления документов о картографической обеспеченности территорий. На сборную таблицу карт наносят полосу или район действий войск (маршрут движения, район учений и т.п.), затем определяют номенклатуру листов, покрывающих полосу (район). 

Секретность 

Топографические карты территории России до масштаба 1:50 000 включительно являются секретными, топографические карты масштаба 1:100 000 — предназначены для служебного пользования (ДСП), мельче масштаба 1:100 000 — являются несекретными. 

Работающие с картами до масштаба 1:50 000 обязаны, помимо разрешения (лицензии) от Федеральной службы государственной регистрации, кадастра и картографии либо свидетельства саморегулируемой организации (СРО), получить разрешение ФСБ, поскольку такие карты составляют государственную тайну. За утерю карты масштаба 1:50 000 и крупнее в соответствии со статьей 284 УК РФ «Утрата документов, содержащих государственную тайну» предусмотрено наказание до трёх лет лишения свободы. 

При этом, после 1991 года секретные карты всей территории СССР, хранившиеся в штабах военных округов, расположенных за пределами России, появились в свободной продаже. Поскольку у руководства, например, Украины или Беларуси нет необходимости соблюдать секретность карт иностранных территорий. 

Проблема существующей секретности на карты остро проявилась в феврале 2005 года в связи с запуском проекта Google Maps, позволяющего любому желающему пользоваться цветными космическими снимками высокого разрешения (до нескольких метров), хотя в России любой космический снимок с разрешением точнее 10 метров считается секретным и требует заказа в ФСБ процедуры рассекречивания. 

В других странах данная проблема разрешена тем, что применяется не площадная, а объектовая секретность. При объектной секретности запрещается свободное распространение крупномасштабных топографических карт и снимков строго определённых объектов, например, районов военных действий, военных баз и полигонов, стоянок военных кораблей. Для этого разработана методика создания топографических карт и планов любых масштабов, не имеющих грифа секретности и предназначенных для открытого пользования.

zem-advokat.ru

4)Определить точность масштабов: 1:1000, 1:2000, 1:5000, 1:10000.

В 1 мм плана 1:1000 содержится 1000мм, значит точность масштаба- 0,1*1000=100мм=0,1м. Аналогично: 1:2000 – 0,2м

1:5000 – 0,5м

1:10000 – 1м.

Билет 8

1)Порядок измерения вертикального угла теодолитом 2т30.

Угол наклона — вертикальный угол, составленный направлением на данную точку с горизонтальной плоскостью.

Вертикальный угол измеряется с помощью вертикального круга. Вертикальный круг состоит из лимба и алидады. В отличие от горизонтального круга, лимб вращается вместе со зрительной трубой при неподвижной алидаде.

Нулевой диаметр алидады приводится в горизонтальное положение при помощи цилиндрического уровня. Если нулевой диаметр алидады параллелен оси уровня, то отсчет по вертикальному кругу дает угол наклона ν. Если это условие не выполняется, необходимо определить место нуля вертикального круга. Перед измерением угла наклона прибор устанавливают в рабочее положение. Наводят среднюю горизонтальную нить сетки на определяемую точку – например, при круге право. Пузырек может при этом отойти от середины ампулы. В таком случае его устанавливают в середину подъемным винтом, расположенным в направлении визирования. Если горизонтальная нить сетки сойдет с точки, ее снова подводят. И производят отсчет при круге право. Отсчет записывают в журнал. Затем переводят трубу через зенит и поворачивают алидаду на 180^o. И производят аналогичные действия при круге лево. Затем вычисляют место нуля (М0).

Местом нуля называется отсчет по вертикальному кругу, когда визирная ось зрительной трубы горизонтальна, а пузырек уровня находится в нуль-пункте.

Показателем правильности измерения служит постоянство места нуля, колебание которого не должно превышать двойной точности прибора, то есть 1‘ для (2T30).

2) Абсолютные и относительные высоты точек земной поверхности.

Для полного определения положения точек земной поверхности необходимо знать высоты точек над принятой уровенной поверхностью.

Абсолютная высота – длина перпендикуляра, опущенного из точки на уровенную поверхность, принятую за начало отсчета (поверхность эллипсоида).

За начало счета абсолютных высот принимается нуль Кронштадтского футштока (средний уровень воды в Балтийском море). Такая система высот называется Балтийской.

_______Уровень Балтийского моря установленный по данным многолетних наблюдений и отмеченный награвированной чертой на металлической пластине, вмурованной в гранитный устой одного из мостов через обводной канал в Кронштадте, является началом счета высот уже третий век. Если счет высот ведется от другой уровенной поверхности, такая высота называется относительной высотой.

_Числовые значения абсолютных высот точек земной поверхности называют отметками. Разность абсолютных высот двух любых точек называютпревышением (h).

3) Составление картограммы земляных работ и вычисление объёмов земляных работ с использованием фактических и проектных отметок в вершинах квадратов.

Графическим документом по вертикальной планировке является картограмма земляных работ. На картограмме указываются фактические, проектные и рабочие отметки, положение линии нулевых работ. При переходе от насыпи к выемке и наоборот находится точка нулевых работ. Положение точек нулевых работ на сторонах квадратов в виде расстояния x_i от любой вершины, определяют аналитическим способом по формуле

 Здесь d_i – длина стороны квадрата; r_i и r_i+1 – рабочие отметки.

 

Определение точек нулевых работ, расположенных на сторонах квадратов, проводится между смежными рабочими отметками, имеющими разные знаки.

Соединив точки нулевых работ, получают линию нулевых работ.

Вычисление объемов земляных работ. Объем земляных работ наиболее часто вычисляют методом четырехгранных или методом трехгранных призм. Объем четырехгранной призмы определяется по формуле

 

Здесь – высота однородной призмы, равная среднему арифметическому из рабочих отметок, находящихся в вершинах соответствующей положительной или отрицательной площадки площади S.

4) Проектная отметка ПК0 на рофиле Н=125,36 , уклон проектной линии u= +0.007. Вычислить проектные отметки пикетов ПК2 и ПК3.

Расстояния между пикетами 100 м, поэтому превышения h= 0.007*100=0.7 Нпк1=Нпк0+h=125.36+0.7=126.06

Нпк2=Нпк1+h=126.06+0.7=126.76

Нпк3=Нпк2+h=126.76+0.7=127.46

Билет 9

studfiles.net

Тема 2. Топографические карты и планы

Лекция 3:

2.1. Масштабы

Топографические материалы — карты и планы представляют собой уменьшенное изображение ситуации и рельефа местно­сти, профили — это уменьшенное изображение вертикального разреза местности. Строительная техническая документация, на­пример строительные планы и разрезы, также являются умень­шенным изображением проектируемых зданий, сооружений или их конструктивных элементов. Топографические материалы и строительная документация являются разновидностями техни­ческого рисунка — чертежа.

Отношение длины отрезка на плане или карте к соответствующему горизонтальному проложению линии на местности называется масштабом.

Если l — длина отрезка на плане, d— длина горизонтального проложения этой же линии на местности, то масштаб плана будет равен

,

где М — знаменатель масштаба. Масштаб, выраженный дробью с единицей в числителе, называют численным. Так, численный масштаб 1:10000 означает, что отрезку на карте длиной в 1 см на местности соответствует длина горизон­тального проложения в десять тысяч раз большая, т. е. 100 м. Отрезку длиной в 1 см на плане масштаба 1:500 в натуре со­ответствует горизонтальная линия длиной 5 м. Чем больше зна­менатель численного масштаба, тем больше степень уменьше­ния, т.е. тем меньше масштаб. Из двух численных масштабов более крупный тот, у которого знаменатель меньше.

Зная знаменатель М численного масштаба и длину L гори­зонтального проложения линии на местности, можно определить величину отрезка на плане. Зная длину отрезка l на плане, можно вычислить длину линии L на местности. Например, если длина линии на местности L = 54,0 м, то на плане масштаба 1:500 длина соответствую­щего отрезка будет

l = 54,0 м/500 = 0,108 м = 10,80 см.

Наоборот, если на плане масштаба 1:2000 длина отрезка l =152 мм, то на местности ему соответствует линия длиной

L = 152 мм × 2000 = 304 000 мм = 304 м.

За точность масштаба и построения отрезков на планах и картах принимается длина горизонтального проложения линии на местности, соответствующая 0,1 мм на плане или карте. Так, для карты масштаба 1:25000 точность масштаба составит 2,5 м, а для плана мас­штаба 1: 500 — 0,05 м и т. п.

Графические масштабы бывают линейные и поперечные. Более простым, не требующим вычислений, является опре­деление по картам и планам длин линий при помощи линейного масштаба (рис. 2.1).

Рис. 2. 1. Линейный масштаб

Линейный масштаб представляет собой шкалу в виде от­резка прямой с делениями, соответствующими данному численному масштабу. Прямая линия разбивается на равные отрезки, называемые основанием. Чаще всего основания масштаба принимается равным 2 см. Левое крайнее основание делят на 10 равных частей. Концы оснований подписывают числами, соответствую­щими расстояниям на местности. На рис.2.1 приведен линейный масштаб для численного масштаба 1:2000, т.е. в одном сантиметре 20 м, тогда длина линии составит 2 × 40 + 4 × 4 + 0, 5 × 4 = 98м.

Взятое раствором циркуля с карты расстояние переносят на линейный масштаб так, чтобы одна игла циркуля совпала с ну­левым или с каким-либо справа от него находящимся штрихом, а по другой отсчитывают части левого основания.

Поперечный масштаб (рис. 2.2) используют для измерений и построений с более высокой точностью, чем линейный масштаб. Для этого на прямой линии, как и при построении линей­ного масштаба, откладывают несколько раз основание мас­штаба и первый отрезок делят на 10 частей. Деления оснований подписывают так же, как и при построении линейного мас­штаба. Из концов оснований восстанавливают перпендикуляры, крайние из которых делят на 10 равных частей, через получен­ные точки на перпендикулярах проводят прямые линии парал­лельные основанию. Верхнее левое основание делят также на 10 равных частей. Точки верхнего и нижнего левых оснований соединяют наклонными линиями так, как показано на рис.2.2. Полученные наклонные линии называются трансверсалями. Такой поперечный масштаб, где число делений крайнего основания по вертикали и горизонтали составляет 10 × 10 называют сотенным, т.е. точность такого масштаба составляет одну сотую основания.

Поперечный масштаб – это графическое изображение определенного численного масштаба. На рис.2.2 приведен поперечный масштаб для численного масштаба 1:25000 (в 1 см 250 м), тогда в 2см – 500 м, в 2 мм – 50 м, в 0,2 мм – 5 м.

Рис. 2.2. Поперечный масштаб

Длина линии будет равна 500 + 5 × 50 + 5 × 5 = 775м,= 1000 + 8 × × 50 + 7 × 5 = 1435м.

На этом рисунке поперечный масштаб с основанием 2 см имеет подписи, соответствующие численному масштабу 1:500; длина основания равна 10 м, а длина наименьшего отрезка, состав­ляющего 0,01 часть основания, — 0,1 м.

studfiles.net

1.3. Выполнение лабораторной работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра лесной таксации и лесоустройства

О. В. Сычугова А.Г. Магасумова Ю.С. Жданова Г.В. Анчугова

МАСШТАБЫ КАРТ И ПЛАНОВ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ КАРТЕ

Методические указания к лабораторным работам по инженерной геодезии

для студентов специальностей 250201, 250203 и 250100 очной и заочной форм обучения

по направлению 250100 «Лесное дело»

Екатеринбург

2008

Печатается по рекомендации методической комиссии лесохозяйствен-ного факультета. Протокол № 2 от 20.02.2008 г.

Редактор Е.Л. Михайлова Оператор А.А. Сидорова

Подписано в печать 10.06.08.

Поз. 90

Плоская печать

Формат 60х84 1/16

Тираж 170 экз.

Заказ

Печ.л. 1,63

Цена 5 р. 60 к.

Редакционно-издательский отдел УГЛТУ Отдел оперативной полиграфии УГЛТУ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 МАСШТАБЫ КАРТ И ПЛАНОВ

Цель работы: изучить общие понятия о масштабах и их точности; освоить перевод натуральных величин в масштабные и обратно; овладеть техникой использования поперечных масштабов при графическом изобра-жении натуральных величин в масштабах; овладеть навыками измерения расстояний и определения площадей участков по карте.

Задание к лабораторной работе

Построить поперечный масштаб черной тушью. Все графические построения выполнять при помощи поперечных масштабов.

Определить точность масштабов 1:500 — 1:5000.

Построить графически в масштабах 1:500 — 1:5000 по три отрезка, соответствующих заданным натуральным расстояниям.

Построить в масштабах 1:500 — 1:2000 прямоугольники по задан-ным натуральным размерам (ширина, длина).

Измерить необходимые элементы заданных геометрических фи-гур в разных масштабах (ширину, длину сторон и т.д.) и вычислить пло-щади этих фигур в натуральных величинах — квадратных метрах и гекта-рах.

Указания по выполнению работы

Общие понятия о масштабах и их точности. Измерение на плане длин отрезков линий

При составлении планов и измерении на них отрезков линий поль-зуются масштабами.

Масштабом плана (карты) М называется отношение длины отрез-ка на плане или карте (l) к соответствующей ему горизонтальной проекции на местности (L), т.е. это степень уменьшения натуральных величин при изображении их на планах и картах:

М = _L^l

Масштабы бывают численными и графическими (линейными и поперечными).

Дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель — числу m, показывающему, во сколько раз уменьшены на плане горизонтальные про-екции отрезков линий местности, называется численным масштабом.

Например, 1:1000, 1:5000 и т.д. Чем больше знаменатель численного масштаба, тем масштаб считается мельче и наоборот. Формулу для вы-числения масштабов можно выразить следующим образом:

М = _L^l = _m¹

Читаются численные масштабы так: в одной единице длины на пла-не, карте содержится m таких же единиц на местности.

Внимание! Важно знать, что ЧИСЛЕННЫЙ МАСШТАБ − ВЕЛИЧИ-НА ОТВЛЕЧЕННАЯ И НЕ ЗАВИСИТ ОТ СИСТЕМЫ (ЕДИНИЦ) ЛИ-НЕЙНЫХ МЕР.

Возможно преобразование натуральных величин в масштабные и обратно. Рассмотрим две задачи.

1. Задача

Отрезком какой величины на плане (l_x) масштаба 1:2000 изобразится линия, имеющая в натуральной величине (на местности) длину 78 м?

Дано:

1:2000

L_x=78м

Найти: l_x

Для решения задачи воспользуемся формулой

1

= _L = _m

проведем соответствующие преобразования этой формулы и вычисления длины линии на плане l_x:

1ЧL_x

1 Ч78м

lм =

см=

мм= 0,039 = 3,9 = 39

x

m

2000

Ответ: длина линии на плане l_x составит 39 мм.

2. Обратная задача

Какой длины L_x в натуральную величину будет линия , изображен-ная на плане (карте) масштаба 1:5000 отрезком длиной 42 мм?

Дано:

1:5000 l_x=42мм Найти:

L_x

Для решения обратной задачи вновь воспользуемся форму-

лой

1

= _L = _m

проведем соответствующие преобразования этой форму-лы и вычисления длины линии на местности L_x:

Lмм=

l _x Чm

=м

42 ммЧ5000

= 210000 = 210

x

1

1

Ответ: длина линии на местности L_x составит 210 м.

Численные масштабы являются основой для построения графических

– линейных и поперечных − масштабов, предназначенных для упрощения или повышения точности графических работ на планах и картах.

Графические линейные масштабы позволяют перевести линейные еди-ницы в масштабные и наоборот без проведения дополнительных расчетов.

Линейный масштаб – это шкала, т.е. прямая линия длиной 8-10 см, разделенная штрихами на равные отрезки длиной 1-2 см, называемые ос-нованием масштаба (δ).

Для построения линейного масштаба (рис. 1) на прямой несколько раз откладывают один и тот же отрезок δ (основание масштаба) 1-2 см. Крайний левый отрезок делят обычно на 10 равных частей. У концов каж-дого основания подписываются числа, которые в заданном масштабе ука-зывают длину соответствующих линий в натуре в нарастающем порядке от нулевого деления основания слева на право.

Определение расстояний: измерителем на плане определяем длину линии (в створ) и перено-сим на линейный масштаб таким образом, чтобы правая ножка из-мерителя касалась одного из кон-цов оснований, а другая находи-лась в левой части масштаба, раз-деленной на короткие отрезки.

Рис. 1. Линейный масштаб 1:10000

Например, на рис 1 изображен линейный масштаб 1:10000, т.е. в од-ной единице длины плана содержится 10000 таких же единиц длины на местности, или в 1 см (мм, м, км и т.д .) плана содержится 10000 см (мм, м, км и т.д.) на местности (в 1 см плана содержится 100 м на местности, т.к.

1 м=100 см).

Основанию масштаба δ в 2 см соответствует 200 м длины на местно-сти, крайний левый отрезок масштаба разделен на 10 равных частей, длина каждого короткого левого отрезка в 10 раз меньше, чем основание мас-штаба δ, что соответствует 20 м длины на местности. Из этого следует, что длина линии на местности Lx, взятая в створ измерителя, равна:

L_x= 4 больших отрезка (δ) по 200м + 4 малых отрезка по 20м = 880м.

С помощью линейного масштаба можно решить и обратную задачу, т.е. определить длину линии на плане, зная ее величину на местности.

Недостаток линейных масштабов заключается в том, что доли наи-меньших делений на них оцениваются на глаз.

Для более точного построения и измерения отрезков пользуются поперечными масштабами. Поперечный масштаб позволяет сущест-венно повысить точность графических работ на планах и картах. Дости-гается это за счет разделения коротких отрезков линейного масштаба на

несколько (обычно на 10) более мелких частей с помощью простых гео-метрических построений (рис. 2):

Рис. 2. Поперечный масштаб 1:1000

Для этого от нижнего основания масштаба – прямой линии AF, раз-деленной на отрезки равной длины AB, BC, CD, DI, IF и т.д. (по 1-2 см, как горизонтальное основание масштаба δ_г ), восстанавливают перпендикуля-ры AA’, BB’, CC’, DD’, II’, FF’ (от конца каждого горизонтального основа-ния) равной длины по 2 -5 см, как вертикальное основание масштаба δв. Вертикальное основание AA’ (FF’) делят на отрезки Aa, ab, bc… (обычно их количество n_в равно 10) равной длины и проводят параллельные гори-зонтальному основанию линии aa’, bb’, cc’ и т.д. Крайнее левое горизон-тальное основание δ_гAB (нижнее) и A’B’ (верхнее) также делят на произ-вольное, но одинаковое число равных частей (n_г=10) и соединяют наклон-ными прямыми линиями начало каждого короткого отрезка нижнего осно-вания (от нуля) с концом соответствующего короткого отрезка верхнего основания.

Перед использованием поперечного масштаба определяют величину его наименьшего деления. Из рис. 2 следует, что наименьшее деление х на линии aa’, параллельной горизонтальному основанию масштаба AF, опреде-

ляется из подобия прямоугольных треугольников с основаниями (δ_Г/п_Г) и х:

δ_В

δ_Г

δ_Г

^{х :} п_В

⁼ п_Г

: δ_В;

х =

п_Г × п_В

Таким образом, если горизонтальное основание поперечного мас-штаба δ_Г= 2 см и оба основания разделены на равное количество делений,

например, п_Г= п_В=10, тогда х = 0,01 ×δ_Г= 0,01 × 2 см = 0,2 мм.

Не сложно показать, что наименьшее деление на горизонтальной ли-нии bb’ масштаба будет равно 2х = 0,02δ_Г, на третьей линии cc’ — 3х = 0,03δ_Г и т.д. (см. рис. 2), т.е. каждый следующий меньший отрезок отлича-ется от предыдущего на 0,01 горизонтального основания масштаба.

Масштаб, у которого горизонтальное и вертикальное основания рав-ны и оба разделены на 10 частей, называется нормальным поперечным (сотенным) масштабом. Среди других поперечных масштабов он явля-ется наиболее удобным для работы.

Для определения натуральной длины линии между точками на карте, например, в масштабе 1:1000 (рис. 3), переносят эту линию K’L’ раствором циркуля с карты на линию нижних оснований поперечного масштаба так, чтобы правая игла совместилась с одной из вертикалей (20), а ле вая игла попала бы в пределы крайнего левого основания (в пределах от 20 до 0), разделенного на мелкие части. Затем перемещают обе иглы вверх до мо-мента, когда левая игла попадет на ближайшую наклонную линию сетки масштаба (точка K), правая игла будет находиться на прежней вертикали (в точке L), и обе иглы будут располагаться на одной из горизонтальных линий масштаба либо параллельно им.

Рис.3. Определение длины линии с помощью поперечного масштаба 1:1000

Искомую длину линии KL получим путем суммирования расстояний от правой иглы до левой иглы циркуля:

в делениях поперечного масштаба и в миллиметрах

2 ×20 мм + 3 × 2 мм + 7 × 0,2 мм = 47,4 мм;

в метрах, после перевода длины линии из масштаба 1:1000 в на-туру, 47,4 м.

Длину линии KL можно определить и без промежуточных вычисле-ний, зная, какой длине в натуральную величину соответствуют деления поперечного масштаба:

— 2 деления ×20 м + 3 деления × 2 м + 7 делений × 0,2 м = 47,4 м.

Аналогично решается обратная задача преобразования натуральной длины этой линии с помощью поперечного масштаба [1].

Определение точности масштаба

Предельные размеры предметов, различаемые на плане, определяют-ся точностью масштаба. При нормальном зрении на плане можно разли-чить расстояние, приблизительно равное 0.1 мм.

Точностью масштаба называется величина t отрезка линии в на-туре, соответствующая 0,1 мм на плане или карте данного масштаба, т.е.

t = 0,1 мм × m = 0,0001 м × m,

где m – знаменатель масштаба.

Пользуясь точностью масштаба и зная размеры предметов местности можно определить, какие из предметов показать контуром, какие по мало-сти лишь точкой или линией , а какие – условным знаком. Точностью мас-штаба обосновывают выбор масштаба плана, на котором должны быть изображены нужные предметы местности с сохранением подобия их кон-туров.

Определение площадей участков на планах и картах

Площади участков на планах и картах измеряют или вычисляют из-вестными геометрическими, механическими или аналитическими спосо-бами. Рассмотрим геометрический способ и вычислим площади простей-ших геометрических фигур в натуральную величину: прямоугольников, треугольников, трапеций (рис. 4).

Для определения натуральной величины S площади, например пря-моугольника, по карте измеряют длины его сторон в масштабе a и b, пере-водят их из масштабных в натуральные a×m и b×m, затем вычисляют на-туральную площадь прямоугольника как произведение длин его сторон:

S_прям = (a×m) × (b×m) = a×b×m² = S ×m²

Рис. 4. Определение площадей простейших геометрических фигур

Таким образом, для перевода измеренной или вычисленной по плану площади в натуральную величину S необходимо масштабную величину площади S умножить на квадрат знаменателя масштаба m².

Соответственно формулы определения площади треугольника и тра-

пеции выглядят следующим образом:

S_треуг = ½ ((a×m) × (b×m)) = ½ a×b×m² = S ×m²

Sтрапеция =

(a ×m) + (b ×m)

×(h ×m) =

(a +b)

×h ×m²

= S ×m²

2

2

где h – высота трапеции,

S – площадь фигур в единицах карты (плана).

Пример: найти площадь прямоугольника, если известен масштаб плана 1:200, длины его сторон a и b на плане 30 и 50 мм. Решение:

S_прям = (30мм×200) × (50мм×200) = 30мм×50мм×200² = =1500мм² ×200²=60000000мм²=600000см²=60м²=0,0060га

(т.к. 1 га=10000 м², 1 м²=10000 см²=1000000 мм²).

Лабораторная работа выполняется на стандартных листах формата

А₄ и оформляется титульным листом.

соответствии с указаниями к лабораторной работе (п. 1.2) и задан-ным масштабом вычерчивается черной тушью поперечный масштаб.

Задание 2-5 лабораторной работы выполняют в таблице. Пример рас-смотрен в табл. 1.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ КАРТЕ

Цель работы: изучить общие понятия о картах и планах, научиться решать задачи по топографическим картам.

Задание

Определить масштаб карты.

Записать данные по карте о магнитном склонении стрелки, сближе-нии меридианов и нарисовать схему их взаимного расположения.

Определить квадраты, в которых находятся точки А, В и С по пря-моугольным координатам Х и У этих точек.

Скопировать внутреннюю ситуацию квадратов (горизонтали, вод-ные объекты, населенные пункты и т.д.), в пределах которых расположены точки А, В и С на кальку.

По прямоугольным координатам Х и У определить точное место-положение точек А, В, С и нанести их на кальку; соединить точки А и В, В

С прямыми линиями.

Определить географические координаты точек А, В, С.

Определить дирекционные углы направлений АВ и ВС, а также их азимуты и румбы (магнитные и истинные).

.

Выполнение пунктов 2-5 лабораторной работы «Масштабы кар

Масшт

Точность

Построить отрезки линий

Построить геометричес

аб

масштаба

в масштабах

фигуры в масштабах

1 Ч27.1

Прямоугольник

lм=

₅₀₀мм= 0,054

= 54

1 Ч18.5

= 37

27,1 м

l_aм =

мм = 0,037

500

l_bм=

1Ч27.1

= 54

1 Ч18,5

мм = 0,054

t =

lм=

= 37

500

1: 500

мм= 0,037

=500⋅0,0001

500

1

=0,05 м

18,5 м

lм=

1 Ч7,0

= 14

27,1 м

₅₀₀мм= 0,014

1 Ч59,4

7,0 м

Прямоугольный треугольн

lм=

= 59

мм= 0,059

1 Ч27.1

1000

l_aм =

= 27

59,4 м

мм = 0,027

1000

l_bм=

1 Ч59,4

= 59

1Ч27.1

мм = 0,059

1: 1000

t =

lм=

= 27

1000

мм= 0,027

=1000⋅0,0001=

1000

27,1

0,1 м

27,1 м

м

lм=

1 Ч18,5

= 19

мм= 0,019

59,4 м

1000

18,5 м

lм=

1 Ч159,4

= 80

Трапеция

мм = 0,080

1 Ч127.1

2000

lм =

= 0,064

= 64

мм

159,4 м

a

2000

l_bм=

1 Ч159,4

= 0,080

= 80

1 Ч127.1

мм

t =

lм=

= 64

2000

1: 2000

мм = 0,064

lм =

1 Ч48,5

0,024 = 24

=2000⋅0,00001

2000

мм =

127,1 м

h

2000

= 0,2 м

127,1 м

28,5 м

lм=

1 Ч28,5

мм= 0,014 = 14

2000

159,4 м

lм=

1 Ч259,4

= 0,052

=

52

мм

5000

259,4 м

lм=

1 Ч207.0

= 0,041

=

41

1: 5000

t = 5000⋅0,0001

мм

5000

—

= 0,5 м

207,0 м

lм=

1 Ч172,1

=

34

мм

= 0,034

5000

172,1 м

Определить высоту сечения рельефа на карте и подписать отметки всех горизонталей на кальке.

Определить отметки точек А, В, С с точностью 10 см.

Определить горизонтальные проложения линий АВ и ВС, исполь-зуя масштаб карты.

Определить i уклон линий АВ и ВС в тысячных долях, промиллях

процентах.

Построить линию с заданным уклоном i_з в направлении от точки В к точке С.

Дать описание топографических условий – ситуации и рельефа в пределах заданных квадратов местности.

Зарисовать и дать определения основным формам рельефа.

Построить профиль местности в направлении от точки А до точки С через точку В.

Определить и отметить на кальке направление водораздельных и водосборных линий.

Определить бассейн водосбора.

studfiles.net

Порядок построения линейного масштаба — Мегаобучалка

 

1.проводят две параллельные линии на расстоянии 2 — 3 мм одна от другой, на которых несколько раз откладывают равные отрезки, называемые основанием масштаба(основание 2 см — нормальный масштаб)

 

 

основание

масштаба

 

2.Основание масштаба выбирают таким по размеру, чтобы оно в данном численном масштабе выражало круглое число метров.

3.Первой левый отрезок делят на 10 равных частей

4.В конце каждого основания подписывают длину линии на местности. О, 20, 40, 60 в метрах.

 

5.Определение расстояния проводят с использованием циркуля измерителя:

6.Правую иглу ставят на одно из целых делений масштаба, левую иглу ставят в

пределах левого основания. Погрешность измерения 0,1 основания масштаба.

 

Поперечный масштаб

 

— это график, построенный на основе линейного масштаба. Служит для измерения расстояний с повышенной точностью.

Порядок построения:

 

На основании масштаба откладывают несколько раз основание масштаба (2 см).

2. В концы каждого отрезка опускают перпендикуляры. На крайних перпендикулярах откладывают 10 отрезков равной длины и через точки деления проводят прямые линии.

 

 

3. Нижнее и верхнее левые основания делят на 10 равных частей

 

 

4. Нулевой штрих нижнего основания соединяют с первым штрихом (М) верхнего
основания. Через остальные точки деления проводят параллельные МО линии
(трансверсали).

 

Определение величины наименьшего деления поперечного масштаба

из подобия треугольников OMN и Omn:

mn/MN=On/ON

mn=MN*On/ON

Т.к. On=1/10 ON, MN=1/10 OA,

Следовательно mn= 0,1 OA*0,1 ON/ON

mn=0.01 OA

а) наименьшее деление нормального поперечного масштаба составляет одну сотую его
основания. 0,2 мм

б) половина наименьшего деления нормального поперечного масштаба, которую можно
оценить на глаз, равна 0,1 мм.

Горизонтальное проложение линий на местности, соответствующее 0,1 мм на плане,
называется точностью поперечного масштаба.

Численный масштаб 1:1000 1:2000

Точность масштаба, м 0,1 0,2

в) измерения расстояний по поперечному масштабу проводят с использованием циркуля измерителя.

 

Предельная и графическая точность масштаба

Горизонтальное расстояние на местности, соответствующее в данном масштабе 0,1 мм, на плане называется предельной точностью масштаба.

 

Горизонтальное расстояние на местности, соответствующее в данном масштабе 0,2 мм, на
плане называется графической точностью масштаба.

Такие точности измерений по каре могут быть достигнуты применением поперечного масштаба

 

 

 

Числ. масштаб	1:1000	1:2000	1:10000
Точность масштаба, м.
-предельная	0,1	0,2	1,0
— графическая	0,2	0,4	2,0

 

 

megaobuchalka.ru

Что такое масштаб 1 10000

820. Определите по карте (рис. 36) расстояние от опушки леса (точка А) до точки пересечения дороги с рекой. Масштаб карты 1:100000.

821. Расстояние между городами А и В на карте равно 8,5 см. Найдите расстояние между городами на местности, если масштаб карты 1/1000000.

822. Длина железной дороги Москва — Санкт-Петербург приближённо равна 650 км. Изобразите отрезком эту дорогу, применив масштаб 1: 10000000.

823. Расстояние от Бреста до Владивостока более 10000 км. Уместится ли на одной странице тетради это расстояние в масштабе одна десятимиллионная?

824. На рисунке 37 дан план квартиры в масштабе 1:100. Определите по плану, какие размеры имеют кухня, ванная и комнаты и какова их площадь в действительности.

825. Отрезку на карте, длина которого 3,6 см, соответствует расстояние на местности в 72 км. Каково расстояние между городами, если на этой карте расстояние между ними 12,6 см?

826. Длина железнодорожной магистрали 3140 км. Какой длины получится линия, изображающая эту магистраль на карте, сделанной в масштабе:
а) 1:10000000;
б) 1:2000000?

827. Отрезок на местности длиной 3 км изображён на карте отрезком 6 см. Какова на карте длина отрезка, изображающего отрезок 10 км? Какой отрезок на местности изображает отрезок на карте длиной 1,8 см?

828. Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1:5, равна 7,2 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже, сделанном в масштабе 1:3? в масштабе 2:1?

829. Вычислите устно:

830. Какое число надо отнять от числителя и знаменателя дроби чтобы получить дробь, равную 5/9?

831. Составьте три пропорции, используя верное равенство:
а) 18: 2 = 54: 6;
б) 4,5: 1,5 = 1,26: 0,42;
в) 2,8 45 = 6,3 20;
г) 3,9 0,14 = 0,6 0,91.

832. Две трети от двух третьих числа равны двум третьим. Какое это число?

833. Сколько гектаров в 1 м2? Сколько часов в 1 с? Сколько литров в 1 см3?

834. Известно, что объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы такой же высоты и с таким же основанием (рис. 38). Вычислите объём четырёхугольной пирамиды, в основании которой прямоугольник со сторонами 2/3 дм и 9/10 дм, а высота равна 5 дм.

835. Чтобы приготовить 4 порции картофельной запеканки, нужно взять 0,44 кг картофеля. Сколько картофеля потребуется, чтобы приготовить 12 порций запеканки?

836. Некоторое расстояние ласточка пролетела за 0,5 ч со скоростью 50 км/ч. За сколько минут пролетит то же расстояние стриж, если будет лететь со скоростью 100 км/ч?

837. Начертите окружность и постройте два её радиуса, угол между которыми 120°. Закрасьте часть круга между этими радиусами. Какая часть круга окажется закрашенной и какая часть круга останется незакрашенной?

838. Решите задачу:
1) Сумма двух чисел 7,2, причём 1/3 большего числа равна меньшему числу. Найдите эти числа.
2) Разность двух чисел 1,5, причём 1/4 большего числа равна меньшему числу. Найдите эти числа.

839. Решите уравнение:

840. Найдите с помощью карты расстояние от Москвы до Киева.

kredzaim.ru

1.1.Масштабы карт — Планконспект

Масштаб карты показывает, во сколько раз длина линии на карте меньше соответствующей ей длины на местности. Он выражается в виде отношения двух чисел. Например, масштаб 1:50 000 означает, что все линии местности изображены на карте с уменьшением в 50000 раз, т. е. 1 см на карте соответствует 50000 см (или 500 м) на местности.

Рис. 1. Оформление численного и линейного масштабов на топографических картах и планах городов

Масштаб указывается под нижней стороной рамки карты в цифровом выражении (численный масштаб) и в виде прямой линии (линейный масштаб), на отрезках которой подписаны соответствующие им расстояния на местности (рис. 1). Здесь же указывается и величина масштаба — расстояние в метрах (или километрах) на местности, соответствующее одному сантиметру на карте.

Полезно запомнить правило: если в правой части отношения зачеркнуть два последних нуля, то оставшееся число покажет, сколько метров на местности соответствует 1 см на карте, т. е. величину масштаба.

При сравнении нескольких масштабов более крупным будет тот, у которого число в правой части отношения меньше. Допустим, что на один и тот же участок местности имеются карты масштабов 1:25000, 1:50000 и 1:100000. Из них масштаб 1:25000 будет самым крупным, а масштаб 1:100 000-самым мелким.
Чем крупнее масштаб карты, тем подробнее на ней изображена местность. С уменьшением масштаба карты уменьшается и количество наносимых на нее деталей местности

Подробность изображения местности на топографических картах зависит от ее характера: чем меньше деталей содержит местность, тем полнее они отображаются на картах более мелких масштабов.

В нашей стране и многих других странах в качестве основных масштабов топографических карт приняты: 1:10000, 1:25000, 1: 50000, 1: 100000, 1: 200000, 1: 500000 и 1:1000000.

Используемые в войсках карты подразделяются на крупномасштабные, среднемасштабные и мелкомасштабные.

Масштаб карты	Наименование карты	Классификация карт
		по масштабам	по основному назначению
1:10 000 (в 1 см 100 м)	десятитысячная	крупномасштабные	тактические
1:25 000 (в 1 см 250 м)	двадцатипятитысячная
1:50 000 (в 1 см 500 м)	пятитысячная
1:100 000 ( в 1 см 1 км)	стотысячная	среднемасштабные
1:200 000 (в 1 см 2 км)	двухсоттысячная		оперативные
1:500 000 (в 1 см 5 км)	пятисоттысячная	мелкомасштабные
1:1 000 000 ( в 1 см 10 км)	миллионная

 

Читать полный конспект Измерение по карте расстояний, площадей и углов

plankonspekt.ru

Беспроводные bluetooth наушники TWS X2T в сравнении с QCY Q29

• Цена: 26USD (168RMB) за версию с базой

В комментариях к недавнему обзору QCY Q29 мне написали про большую автономность этих наушников. Действительно 85 мАч против 43 мАч должны давать неплохую добавку ко времени работы.

Но вот как у них с защитой от помех и стабильностью? Давайте проверим, всё познаётся в сравнении.

Товар куплен напрямую с сайта Таобао в КНР
Также доступен для заказа на популярных площадках

На страничке продавца можно выбрать две версии — с боксом-зарядкой и без, более дешевая версия стоит 18.4USD (118RMB). Также доступны несколько цветов на выбор. На удивление с трудом нашел бренд, под которым продаются наушники — это TWS, он указан мимоходом в тексте описания, упор на это не делается. Возможно это и не название бренда. Производитель, контакты, адрес — ничего на упаковке и в инструкции нет. Видимо упор шёл на ОЕМ, как говорится neutral box.

покупка

Краткие характеристики указанные производителем
— модель Х2Т
— CSR процессор родом из Великобритании
— версия Bluetooth 4.2
— рабочая частота 2,4 ГГц
— максимальная дальность соединения: в моно режиме 15 метров
— максимальная дальность соединения: в стерео режиме 10 метров
— емкость батареи наушника 85 мАч
— емкость док-станции 1500 мАч
— время работы в режиме одного наушника 6-7 часов
— время работы в режиме обоих наушников совместно 4-5 часов
— время работы в режиме ожидания одного наушника около 240 часов
— время работы в режиме ожидания обоих наушников совместно около 120 часов
— время зарядки (наушника и док-станции) 2 часа
— поддержка работы с двумя устройствами
— поддержка A2DP1.3/HFP1.6/HSP1.2/AVRCP1.6/DI1.3
— активное шумоподавление CVC6.0
— встроенный микрофон с улучшенными характеристиками

Пришла посылка в обычной коробке, внутри которой весело болталась упаковка с наушниками. Её я не сфотографировал и не сохранил в силу ее малой ценности, но в Россию

mysku.me

Решите систему x=2+t y=1+3*t z=5+2*t (х равно 2 плюс t у равно 1 плюс 3 умножить на t z равно 5 плюс 2 умножить на t) нескольких уравнений [Есть ОТВЕТ!]

Дана система ур-ний
$$x = t + 2$$
$$y = 3 t + 1$$
$$z = 2 t + 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- t + x = 2$$
$$- 3 t + y = 1$$
$$- 2 t + z = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\\-3 & 0 & 1 & 0 & 1\\-2 & 0 & 0 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\-3\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 1 & 0 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & 1 & 0 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\\0 & -3 & 1 & 0 & -5\\-2 & 0 & 0 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\\0 & -3 & 1 & 0 & -5\\0 & -2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-3\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-3 & 0 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3 & 0 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\\-3 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & -2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 1 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\\-3 & 0 & 1 & 0 & 1\\-2 & 0 & 0 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\-3\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 1 & 0 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & 1 & 0 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\\0 & -3 & 1 & 0 & -5\\-2 & 0 & 0 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\\0 & -3 & 1 & 0 & -5\\0 & -2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-3\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-3 & 0 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3 & 0 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\\-3 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & -2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 1 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 2\\-3 & 0 & 1 & 0 & 1\\-2 & 0 & 0 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$

Все почти готово — осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{1} + x_{2} — 2 = 0$$
$$- 3 x_{1} + x_{3} — 1 = 0$$
$$- 2 x_{1} + x_{4} — 5 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = x_{2} — 2$$
$$x_{1} = \frac{x_{3}}{3} — \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = \frac{x_{4}}{2} — \frac{5}{2}$$
где x2, x3, x4 — свободные переменные

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите систему x=3*t y=1-2*t (х равно 3 умножить на t у равно 1 минус 2 умножить на t) нескольких уравнений [Есть ОТВЕТ!]

Дана система ур-ний
$$x = 3 t$$
$$y = — 2 t + 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 3 t + x = 0$$
$$2 t + y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & — \frac{-2}{3} & 1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{2}{3} & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & — \frac{2}{3} + \frac{2}{3} & 1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & — \frac{-2}{3} & 1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{2}{3} & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & — \frac{2}{3} + \frac{2}{3} & 1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$

Все почти готово — осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 3 x_{1} + x_{2} = 0$$
$$2 x_{1} + x_{3} — 1 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{x_{2}}{3}$$
$$x_{1} = — \frac{x_{3}}{2} + \frac{1}{2}$$
где x2, x3 — свободные переменные

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите уравнение x^2+t*x+3=0 (х в квадрате плюс t умножить на х плюс 3 равно 0)

Найду корень уравнения: x^2+t*x+3=0

Решение

Подробное решение

[LaTeX]

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = t$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(t)^2 - 4 * (1) * (3) = -12 + t^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = — \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{t^{2} — 12}$$
$$x_{2} = — \frac{t}{2} — \frac{1}{2} \sqrt{t^{2} — 12}$$ Быстрый ответ

[LaTeX]

                 /              ____________________________________________                                                 \       ____________________________________________                                                 
                 |             /                        2                       /     /                       2        2   \\|      /                        2                       /     /                       2        2   \\
                 |          4 /  /        2        2   \        2      2        |atan2\2*im(t)*re(t), -12 + re (t) - im (t)/||   4 /  /        2        2   \        2      2        |atan2\2*im(t)*re(t), -12 + re (t) - im (t)/|
                 |          \/   \-12 + re (t) - im (t)/  + 4*im (t)*re (t) *sin|-------------------------------------------||   \/   \-12 + re (t) - im (t)/  + 4*im (t)*re (t) *cos|-------------------------------------------|
       re(t)     |  im(t)                                                       \                     2                     /|                                                       \                     2                     /
x1 = - ----- + I*|- ----- - -------------------------------------------------------------------------------------------------| - -------------------------------------------------------------------------------------------------
         2       \    2                                                     2                                                /                                                   2                                                

$$x_{1} = i \left(- \frac{1}{2} \sqrt[4]{\left(\left(\Re{t}\right)^{2} — \left(\Im{t}\right)^{2} — 12\right)^{2} + 4 \left(\Re{t}\right)^{2} \left(\Im{t}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{t} \Im{t},\left(\Re{t}\right)^{2} — \left(\Im{t}\right)^{2} — 12 \right )} \right )} — \frac{\Im{t}}{2}\right) — \frac{1}{2} \sqrt[4]{\left(\left(\Re{t}\right)^{2} — \left(\Im{t}\right)^{2} — 12\right)^{2} + 4 \left(\Re{t}\right)^{2} \left(\Im{t}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{t} \Im{t},\left(\Re{t}\right)^{2} — \left(\Im{t}\right)^{2} — 12 \right )} \right )} — \frac{\Re{t}}{2}$$

                 /              ____________________________________________                                                 \       ____________________________________________                                                 
                 |             /                        2                       /     /                       2        2   \\|      /                        2                       /     /                       2        2   \\
                 |          4 /  /        2        2   \        2      2        |atan2\2*im(t)*re(t), -12 + re (t) - im (t)/||   4 /  /        2        2   \        2      2        |atan2\2*im(t)*re(t), -12 + re (t) - im (t)/|
                 |          \/   \-12 + re (t) - im (t)/  + 4*im (t)*re (t) *sin|-------------------------------------------||   \/   \-12 + re (t) - im (t)/  + 4*im (t)*re (t) *cos|-------------------------------------------|
       re(t)     |  im(t)                                                       \                     2                     /|                                                       \                     2                     /
x2 = - ----- + I*|- ----- + -------------------------------------------------------------------------------------------------| + -------------------------------------------------------------------------------------------------
         2       \    2                                                     2                                                /                                                   2                                                

$$x_{2} = i \left(\frac{1}{2} \sqrt[4]{\left(\left(\Re{t}\right)^{2} — \left(\Im{t}\right)^{2} — 12\right)^{2} + 4 \left(\Re{t}\right)^{2} \left(\Im{t}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{t} \Im{t},\left(\Re{t}\right)^{2} — \left(\Im{t}\right)^{2} — 12 \right )} \right )} — \frac{\Im{t}}{2}\right) + \frac{1}{2} \sqrt[4]{\left(\left(\Re{t}\right)^{2} — \left(\Im{t}\right)^{2} — 12\right)^{2} + 4 \left(\Re{t}\right)^{2} \left(\Im{t}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (2 \Re{t} \Im{t},\left(\Re{t}\right)^{2} — \left(\Im{t}\right)^{2} — 12 \right )} \right )} — \frac{\Re{t}}{2}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Обзор и тест беззеркальной камеры Fujifilm X-T2

Дата публикации: 05.10.2016

Обзор Fujifilm X-T2. Эргономика и дизайн

X-T2 / XF35mmF2 R WR УСТАНОВКИ: ISO 200, F4, 1/750 с, 53.0 мм экв.

Глубокая философия, богатая традициями история, внимание к мелочам, передовые технологии и лаконичность — всё это отражает концепцию Fujifilm. Новая фотокамера Fujifilm X-T2 получилась компактной, мощной, тихой, с выверенным дизайном. Она попала к нам на тест в преддверии Дня города Москвы и открытия Московского центрального кольца. Два этих события помогли ощутить потенциал новинки.

Ознакомиться с ценами и купить Fujifilm X-T2

Fujifilm X-T2 — очень солидный фотоаппарат. Вес камеры с батареей и картой памяти составляет немногим 507 грамм при размерах 91,8 x 132,5 x 49,2 мм. Это идеальное, на мой взгляд, соотношение веса и габаритов: складывается впечатление надёжности и одновременно компактности. Корпус выполнен из магниевого сплава и имеет защиту от пыли и влаги. Мне уже доводилось испытывать камеру из магниевого сплава с защитой от непогоды на примере другого флагмана Fujifilm — фотокамеры Fujifilm X-Pro2. Она без проблем пережила январские морозы, оттепель и высокую влажность. Поэтому в защищённости Fujifilm X-T2 сомневаться не приходится.

Благодаря анатомической ручке и прорезиненной поверхности, держать фотоаппарат очень удобно как одной, так и двумя руками. Для полного единения с камерой не хватает разве что дополнительной ручки в лице батарейного блока VPB-XT2. С ней всё буквально встаёт на свои места.

Невозможно обойти вниманием уникальный аналоговый интерфейс и ручное управление. Селекторы выполнены из металла. С их помощью можно изменять чувствительность ISO и значение выдержки. Чтобы случайно не сбить выставленные настройки, реализованы надёжные механизмы блокировки. Колесо чувствительности ISO имеет значение от 200 до 12 800 единиц с возможностью установки автоматического значения ISO, работы в верхних (High) и нижних пределах (Low). Колесо выдержек также имеет автоматический, ручной (T) и длительный (B) режимы. Доступны значения выдержки от 1 до 1/8000 секунды в режиме механического затвора. Электронный затвор сокращает минимальную выдержку до 1/32000 секунды. Под селектором чувствительности ISO находится кольцо управления режимами съёмки видео, брекетинга, покадровой и скоростной съёмки, съёмки с двойной экспозицией, съёмки с эффектами и режимом панорамы. Под колесом управления выдержкой расположено кольцо управления экспозамером с 4 режимами работы. Ещё одно колесо на верхней панели — коррекция экспозиции с большим шагом в +/- 3 ступени, 0,3 ступени и пользовательским режимом работы с возможностью коррекции до +/-5 ступеней.

Боковые панели фотокамеры Fujifilm X-T2 такие же «навороченные». На левой панели под плотной крышкой находятся микрофонный вход, выход для наушников, разъёмы USB 3.0 и микро-USB. На правой панели под крышкой с защёлкой спрятаны два слота для карт памяти SD, оба с поддержкой UHS-II. Кстати, разъём USB 3.0 и поддержка карт памяти UHS-II встречаются в камерах пока не так часто, а в беззеркальных камерах ещё реже.

На передней панели расположился селектор управления фокусом с возможностью переключения на ручную фокусировку, покадровый и следящий режимы работы автофокуса. Также на передней панели имеется разъём для синхронизации со студийным освещением, кнопка управления эффектами (программируемая) и многофункциональное колёсико.

Фотокамера Fujifilm X-T2 имеет большой 3-дюймовый ЖК-экран с разрешением в 1 млн точек. Экран поворачивается в трёх плоскостях: вниз на 45 градусов, вверх на 90 градусов и (внимание!) на правый бок на 45 градусов. Последнее, кстати, очень удобно при съёмке вертикальных кадров с верхнего ракурса или горизонтальных снимков с угла. Фишка с поворачивающимся дисплеем в трёх плоскостях реализована пока только у Fujifilm X-T2 и является нововведением.

Кнопка удаления и просмотра снимков, кнопка блокировки экспозиции и фокуса, заднее колесо управления, многофункциональный навипад и кнопка disp/back остались на своих местах. Кнопка Q для быстрого перехода в меню «переехала», а на её месте расположился джойстик управления точкой фокусировки. Это существенное улучшение эргономики. Джойстик позволяет очень оперативно менять область автофокусировки, перемещая «курсор» между точками не только по горизонтали и вертикали, но и по диагонали кадра. Подобный орган управления — обязательный элемент в любой профессиональной фотокамере.

Электронный видоискатель кардинальных изменений не претерпел. Это по-прежнему яркий и сочный ЭВИ с коэффициентом увеличения 0,77x и разрешением 2,36 млн точек, один из самых лучших. Однако он стал в 2 раза ярче (по заверению производителя), в нём появилась функция автоматической корректировки яркости в зависимости от уровня освещения. Частота обновления экрана электронного видоискателя составляет до 100 кадров в секунду в форсированном и 60 кадров в секунду в обычном режиме. Он обладает датчиком включения/выключения (Eye Sensor) для экономии заряда батареи.

В Fujifilm X-T2 реализованы широкие возможности кастомизации. В меню настроек можно найти целый список с настройками тех или иных функций, есть различные кнопки и диски. Всего можно перепрограммировать 9 кнопок: 1 на передней панели, 1 на верхней и 7 на задней.

В том же меню можно отредактировать, что будет отображаться в меню быстрого доступа (Quick Menu).

Настройки быстрого меню

К Fujifilm X-T2 выпускается огромное количество дополнительных аксессуаров, которые позволяют собрать полноценную профессиональную систему для работы в самых разных жанрах и условиях. Фотографу доступна полная линейка объективов, вспышек, телеконвертеров, спусковых тросиков, сменных ручек, микрофон для записи звука и многое другое.

Fujifilm X-T2 — одна из немногих камер, к которой кроме батарейной ручки выпускается дополнительный металлический хват, увеличивающий высоту рукоятки и максимально приближающий эргономику фотоаппарата к привычным многим профессионалам зеркалкам. Приятным бонусом этого аксессуара является профиль Arca-Swiss, позволяющий ставить камеру с металлическим хватом на ряд штативных головок без использования специализированной площадки.

prophotos.ru

№85. Движение двух автомобилей описывается уравнениями х1 = 2t + 0,2t2 и х2 = 80— 4t. Величины измерены в единицах СИ. Опишите характер движения каждого автомобиля, постройте графики зависимости их скоростей от времени. Когда и где произойдет встреча авто

Источник:

Решебник по физике за 9, 10, 11 класс (Г.Н.Степанова, 2000 год),
задача №85
к главе «4. Неравномерное прямолинейное движение. Равноускоренное прямолинейное движение тел».

Все задачи >

№85. Движение двух автомобилей описывается уравнениями х₁ = 2t + 0,2t² и х₂ = 80— 4t. Величины измерены в единицах СИ. Опишите характер движения каждого автомобиля, постройте графики зависимости их скоростей от времени. Когда и где произойдет встреча автомобилей? По какому закону изменяется расстояние между ними с течением времени? Найдите расстояние между ними через 10 с после начала движения. Какое перемещение совершит каждый автомобиль за это время?

I. равноускоренное

II. равномерное

При встрече X₁ = X₂ = X_встр

t₂ < 0, что не возможно по условию, следовательно, t_встр = 10с.

Т.к. при 10с автомобили встретятся, то r = 0

← №84. Уравнения движения дву к тел имеют вид х1 = 10t + + 0.4t2 и х2 = —6t + 2t2. Опишите характер движения каждого тела. Найдите место и время их встречи. В какой момент времени тела будут иметь одинаковые по модулю скорости и совпадать по направлению? Бу№86. Два поезда одинаковой длины идут навстречу друг другу по параллельным путям с одинаковой скоростью 36 км/ч. В момент, когда поравнялись головные вагоны, один из поездов начинает тормозить и полностью останавливается к моменту, когда поравнялись после →

• Вконтакте
• Facebook

5terka.com

Решите уравнение x^2+t-1=0 (х в квадрате плюс t минус 1 равно 0)

Найду корень уравнения: x^2+t-1=0

Решение

Подробное решение

[LaTeX]

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = t — 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1 + t) = 4 - 4*t

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 t + 4}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} \sqrt{- 4 t + 4}$$ Быстрый ответ

[LaTeX]

          _______________________                                      _______________________                              
       4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\
x1 = - \/  (1 - re(t))  + im (t) *cos|------------------------| - I*\/  (1 - re(t))  + im (t) *sin|------------------------|
                                     \           2            /                                   \           2            /

$$x_{1} = — i \sqrt[4]{\left(- \Re{t} + 1\right)^{2} + \left(\Im{t}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- \Im{t},- \Re{t} + 1 \right )} \right )} — \sqrt[4]{\left(- \Re{t} + 1\right)^{2} + \left(\Im{t}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- \Im{t},- \Re{t} + 1 \right )} \right )}$$

        _______________________                                      _______________________                              
     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\     4 /            2     2        /atan2(-im(t), 1 - re(t))\
x2 = \/  (1 - re(t))  + im (t) *cos|------------------------| + I*\/  (1 - re(t))  + im (t) *sin|------------------------|
                                   \           2            /                                   \           2            /

$$x_{2} = i \sqrt[4]{\left(- \Re{t} + 1\right)^{2} + \left(\Im{t}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- \Im{t},- \Re{t} + 1 \right )} \right )} + \sqrt[4]{\left(- \Re{t} + 1\right)^{2} + \left(\Im{t}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- \Im{t},- \Re{t} + 1 \right )} \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Инвестиции целесообразно осуществлять, если  (*ответ*) их чистая приведенная стоимость положительна

Инвестиции целесообразно осуществлять, если
 (*ответ*) их чистая приведенная стоимость положительна
 внутренняя норма доходности меньше средневзвешенной стоимости капитала привлеченного для финансирования инвестиций
 их чистая приведенная стоимость равна нулю
Индикатором спроса на акции компании служит показатель рыночной активности
 (*ответ*) отношение «цена акции прибыль на акцию»
 дивидендная доходность
 отношение рыночной цены акции к ее книжной цене
 прибыль на акцию
Использование принципа начислений означает расчет прибыли в момент
 (*ответ*) отгрузки и предъявления покупателям, заказчикам расчетных документов
 поступления денежных средств на счета предприятия
Испытывают больший уровень делового риска фирмы с …
 (*ответ*) большей долей постоянных затрат
 паритетными долями постоянных и переменных затрат
 перевесом переменных затрат
Источник выплаты дивидендов по привилегированным акциям при нехватке прибыли у акционерного общества
 (*ответ*) эмиссия облигаций
 выпуск векселя
 дополнительная эмиссия акций
 краткосрочный банковский кредит
 резервный фонд
Капитальные вложения — это
 (*ответ*) процесс воспроизводства основных фондов предприятия
 вложение денежных средств в активы, приносящие максимальный доход
 долгосрочное вложение денежных средств в различные активы
Коммерческие расходы включают затраты
 (*ответ*) по сбыту продукции
 затраты на основные и вспомогательные сырье и материалы
 на производство продукции
 общецеховые затраты
Корпоративное управление — это
 (*ответ*) система взаимодействия менеджмента с акционерами и другими заинтересованными сторонами
 постановка менеджмента в открытых акционерных обществах
 управление производственно0технологическими процессами
 управление финансами на предприятиях
Косвенное финансирование — это
 (*ответ*) финансирование путем обращения за банковскими кредитами
 направление части прибыли на инвестиции
 получение прямых иностранных инвестиций
 финансирование путем выпуска акций и облигаций
Косвенные издержки — это
 (*ответ*) издержки, связанные с производством нескольких продуктов
 расходы по оплате труда производственных рабочих
 суммарные издержки
Коэффициент обеспеченности собственными средствами можно повысить путем уменьшения …
 (*ответ*) внеоборотных активов
 капитала и резервов
 фондов потребления
Коэффициент оборачиваемости средств характеризует …
 (*ответ*) размер объема выручки от реализации в расчете на один рубль оборотных средств
 отношение объема выручки от реализации продукции к среднегодовой стоимости основных фондов
 соотношение собственных средств по отношению к сумме средств из всех возможных источников
Коэффициент покрытия дивидендов измеряет
 (*ответ*) максимально возможный уровень дивидендов на обыкновенные акции
 уровень фактически выплаченных дивидендов на обыкновенные акции
 установленный уровень дивидендов на привилегированные акции

Ответов: 1 | Категория вопроса: Экономические дисциплины

abiturient24.com

Основные инвестиционные цели —

Ни одно государство с развитой рыночной системой не способно эффективно проводить экономическое развитие без активной инвестиционной деятельности. Поэтому инвестиции целесообразно рассматривать: во-первых, в качестве самого процесса движения стоимости, во-вторых, как экономическую категорию, то есть отношения по поводу движения стоимости.

Сам экономический смысл инвестиций оправдывается целями, которые преследует инициатива, связанная с вложением каких-либо средств.

Основная цель инвестиций состоит в получении дохода путем размещения активов в определенный вид предпринимательской деятельности.

Инвестиционные цели можно классифицировать в соответствии со стратегией, которая разработана на предприятии, согласно которой все инвестиционные вложения подразделяются на следующие группы:

• инвестиции, направляемые для получения дополнительной прибыли;
• инвестиционные вложения с целью диверсификации деятельности;
• инвестиции, увеличивающие капитал;
• инвестиции, которые способствуют увеличению ликвидности свободных денежных средств на максимально приемлемом уровне для самого инвестора;
• инвестиции, связанные с уменьшением предпринимательского риска.

Достижение первой цели предполагает стабильное получение дополнительного дохода в определенном периоде времени. Инструментами данной цели являются, в основном, краткосрочные инвестиционные проекты, в которых рассчитана периодичность финансовых поступлений. Например, получение процентов по банковскому вкладу или начисление дивидендов по ценным бумагам. Обычно, данный вид доходов учитывается при составлении плана о поступлении денежных потоков, так как оказывает непосредственное влияние на платежеспособность предприятия и его финансовую стабильность.

Инвестиционные вложения с целью диверсификации деятельности предприятия служат не только для увеличения прибыльности, но и средством снижения предпринимательского риска. Так, например, в случае потери части доходов от основного вида деятельности в силу воздействия внешних или внутренних факторов, вероятность полной потери доходов при диверсификации значительно снижается. Инструментом для достижения данной цели служит инвестиционный проект, направленный на деятельность, отличающуюся от основного вида производства (оказания услуг, выполнения работ).

Цель инвестиционных вложений, которая направлена на увеличение капитала, достигается путем финансовых вложений в объекты, которые в течение некоторого времени увеличивают свою первоначальную стоимость. Ярким примером таких инвестиционных вложений является приобретение акций молодых компаний, расширение деятельности которых положительным образом влияет на стоимость их ценных бумаг. Так же в качестве примера в данном случае можно привести инвестиционный проект по приобретению или строительству объектов недвижимости, с целью их дальнейшего использования (аренда, перепродажа по частям и т.д.).

Обеспечение ликвидности денежных средств обеспечивает возможность быстрого обращения инвестиций в наличность без значительных потерь в стоимости, а также в случае необходимости быстрой реализации инвестиционного проекта. Данная цель вполне достижима только в том случае, когда инвестиционные (свободные) средства вкладываются в финансовые активы, имеющие достаточно устойчивый спрос на фондовом и иных рынках.

Цель инвестиций, направленная на снижение предпринимательского риска, обеспечивается вложением средств в государственные программы. То есть, как показывает мировая практика, максимально безопасными являются различные долговые обязательства правительства. В данном случае, вложение инвестиций в государственные приоритетные программы с целью получения дополнительного дохода, носит чисто условный характер, так как доход по государственным долговым обязательствам не превышает сложившийся среднерыночный уровень. Однако, цель оправдывает средства, поэтому вложение инвестиционных ресурсов минимизирует риск непредвиденных потерь, потому как подкрепляется государственными гарантиями.

Акции остальных эмитентов способствуют получению большего дохода, но в данном случае существует риск не только неполучения прибыли, но и потери инвестиционных ресурсов.

Какова бы ни была цель инвестиционной деятельности, все их объединяет единственное направление – использование свободных средств для получения дополнительного дохода. И как любой вид предпринимательской деятельности, инвестирование сопряжено с определенным риском, в рамках которого действует инвестор. Естественно, чем выше ожидаемый доход, тем больше возрастает вероятность риска. Поэтому каждый инвестор, выбирая цель, действует в границах приемлемой рискованности в индивидуальном порядке. Снижение инвестиционных рисков, то есть достижение цели возможно в том случае, когда идет тщательный подбор объектов, гарантирующих возврат инвестированного капитала и получение прибыли по уровню, запланированному ранее.

Вложение средств в такие объекты не только снижают рискованность от новых вложений, но и оказывают прямое воздействие на снижение риска потерь от основного вида деятельности. Однако, не стоит забывать, что снижение рисков до минимального уровня далеко не всегда позволяет устранить вероятность отрицательных последствий в полной мере. Данная цель призвана достичь допустимого уровня потерь при одновременном обеспечении ожидаемой инвестором прибыльности.

investipedia.ru

Тест: Правильные ответы на тест по инвестициям

Тема: Правильные ответы на тест по инвестициям

Раздел: Бесплатные рефераты по инвестициям

Тип: Тест | Размер: 10.31K | Скачано: 234 | Добавлен 19.01.14 в 15:38 | Рейтинг: +3 | Еще Тесты

Вопросов по предмету 60

Вопросы и ответы:
1    Под инвестициями понимается:    
Вложение средств, с определенной целью отвлеченных от непосредственного потребления

2    Какие виды инвестиций в большей степени значимы для современной российской экономики:    Реальные инвестиции

3    Инвестиционный рынок состоит из:    
Рынка объектов реального инвестирования, рынка объектов финансового инвестирования и рынка объектов инновационных инвестиций

4    Инвестиционная привлекательность региона характеризует:    
Объективные предпосылки для инвестирования в регионе

5    Инвестиционный потенциал представляет собой:    
Количественную характеристику, учитывающую основные макроэкономические условия развития страны, региона или отрасли

6    Инвестиционный риск региона определяется:    
Вероятностью потери инвестиций или дохода от них

7    К трансфертным платежам относятся:    
Все виды внутренних перемещений денежных средств, которые не отражают реальных затрат или выгод страны

8    Законодательные условия инвестирования представляют собой:    
Нормативные условия, создающие законодательный фон, на котором осуществляется инвестиционная деятельность

9    Под инвестиционной стратегией следует понимать:    
Формирование долгосрочных целей инвестиционной деятельности и выбор наиболее эффективных путей их достижения

10    Государственные льготы не включают в себя:
Выбор торговой марки акционерного предприятия

11    К микроэкономическим инструментам регулирования инвестиционной деятельности  не относятся:    Введение внешнеторгового режима

12    Широко распространенные экономические модели, тайваньская, американская и японская, описывают:    Инвестиционное развитие экономики страны

13    Первый этап оценки инвестиционного проекта заключается в:
 Оценке эффективности проекта в целом

14    На втором этапе оценки инвестиционного проекта осуществляется:  
 Оценка эффективности проекта для каждого из участников

15    Показатели коммерческой эффективности учитывают:    
Последствия реализации проекта для отдельной, генерирующей проект организации без учета схемы финансирования

16    При расчете показателей общественной эффективности учитываются:    
Затраты и результаты, связанные с реализацией проекта, выходящие за рамки прямых финансовых интересов участников инвестиционного проекта, а отражающие интересы всего народного хозяйства

17    Показатели бюджетной эффективности отражают:    
Влияние  результатов осуществления проекта на доходы и расходы бюджетов всех уровней

18    Какое значение показателя чистого дисконтированного дохода (NPV) характеризует эффективный инвестиционный проект?    
NPV >или= 0

19    Какое значение показателя индекса доходности (PI) говорит об эффективности инвестиционного проекта?  
 PI  >или= 1

20    При каком значении нормы дисконта проект считается эффективным?  
 r

21    При каком значении дисконтированного срока окупаемости проект может считаться эффективным?
 tок

22    Пограничная точка на оси абсцисс графика NPV, разделяющая ситуации, «улавливаемые» критерием NPV, и «не улавливаемые» критерием IRR — это:    
Точка Фишера

23    MIRR – это:    
Модифицированная норма доходности

24    Выбор нормы дисконта не влияет на:    
Простой срок окупаемости

25    Одним из источников финансирования является:  
 Лизинг

26    Что из ниже перечисленного не может стать окончанием проекта:    
Ни одно положение из названного

27    С чем связана необходимость проведения дисконтирования:    
С уменьшением ценности денег во времени

28    Риск — это:    
Возможность возникновения условий, приводящих к негативным последствиям

29    Анализ чувствительности — это:    
Метод оценки рисков, состоящий в измерении влияния возможных отклонений отдельных параметров проекта от расчетных значений на конечные показатели ценности проекта

30    Под страхованием инвестиций понимают:    
Один из важнейших методов управления риском при инвестировании

31    Резервирование является:    
Методом управления рисками

32    Под хеджированием следует понимать:    
Совокупность операций со срочными биржевыми и не биржевыми инструментами, целью которых является снижение влияния рыночных (ценовых) рисков на результаты деятельности компании

33    Что из перечисленного ниже не способствует снижению риска:  
 Низкая квалификация производственного персонала

34    Показатели предельного уровня характеризуют:    
Степень устойчивости проекта по отношению к возможным изменениям условий его реализации

35    Выражение «Не кладите все яйца в одну корзину» относится к:    
Диверсификации

36    Как влияет предоставление государственных гарантий (поддержки) на величину нормы дисконта:    
Снижает норму дисконта

37    При определении точки безубыточности должны соблюдаться ряд ограничений. Выделите, что из приведенного ниже перечня не относится к этим ограничениям:    
Продолжительность периода, в течение которого определяется точка безубыточности, должны быть равна одному году

38    При осуществлении проектного финансирования не оценивается:  
 Предшествующая хозяйственная деятельность заемщика

39    Инвестиционное кредитование представляет собой:    
Долгосрочное кредитование

40    Какие из перечисленных ниже банков могут выступать в качестве банков-инициаторов при осуществлении проектного финансирования:    
ЕБРР, МБРР, Сбербанк

41    Модель доходности финансовых активов описывает зависимость между:
Рыночным риском и требуемой нормой доходности финансовых активов, представляющих собой хорошо диверсифицированный портфель

42    Под паевым инвестиционным фондом обычно понимают:    
Форму коллективного инвестирования, при которой средства множества вкладчиков инвестируются профессиональным управляющим в ценные бумаги с целью получения прироста на вложенный капитал

43    Финансовые деривативы – это:    
Производные финансовые инструменты, в основе которых лежат более простые финансовые инструменты

44    В российской практике оценки недвижимость – это:  
 Строения (здания и сооружения) и земельные участки, расположенные как под этими строениями, так и отдельно

Чтобы полностью ознакомиться с ответами на тест, скачайте файл!

Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).

Чтобы скачать бесплатно Тесты на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.

Важно! Все представленные Тесты для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.

Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.

Если Тест, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.

Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.

studrb.ru

1. Перечислите виды инвестиций, которые может осуществлять п/п.

Инвести́ции — долгосрочные вложения капитала с целью получения прибыли

В коммерческой практике принято различать следующие виды инвестиций:

-инвестиции в физические активы;

-инвестиции в денежные активы;

-инвестиции в нематериальные активы.

Под физическими активами понимаются производственные здания и сооружения, а также любые виды машин и оборудования со сроком службы более года. Под денежными активами понимаются права на получение денежных сумм от физических и юридических лиц (например, депозитов в банке, акций, облигаций и т.п.). Под нематериальными активами понимаются ценности, приобретаемые фирмой в результате приобретения лицензий, разработки торговых знаков, проведения программ повышения квалификации персонала и т.п.

Инвестиции в ценные бумаги (ЦБ) принято называть портфельными инвестициями, а инвестиции в физические активы, в землю и во все то, что жестко привязано к ней, называют инвестициями в реальные активы. Оба типа инвестиций имеют большое значение в экономике, поскольку именно они обеспечивают механизм, необходимый для роста и развития экономики страны

2. Какие инвестиции наиболее защищены от последствия инфляционного роста.

3. Реальным инвестициям относятся следующие вложения средств (перечислите):

Реальные инвестиции – это вложения в отрасли экономики и виды экономической деятельности, приносящие приращение реального капитала, т.е. увеличение средств производства, материально-вещественных ценностей.

К реальным инвестициям относятся следующие вложения:

— в материально-производственные запасы;

— вложения в основной капитал;

— также к реальным инвестициям относятся и вложения в нематериальные активы.

Вложения в основной капитал в свою очередь включают инвестиции и капитальные вложения в недвижимость. Осуществляются капитальные вложения в форме вложения материально-технических и финансовых ресурсов в воспроизводство и создание главных фондов путем нового строительства, реконструкции, технического перевооружения, расширения, а еще поддержания мощностей уже действующего производства.

Под недвижимостью подразумевается (в соответствии с принятой классификацией) земля, а еще все то, что находится под и над поверхностью земли, включая те объекты, которые присоединены к ней, вне зависимости от того, имеют они природное происхождение или же созданы человеческими руками.

4. Перечислите источники собственного финансирования проектов.

Основными источниками собственного финансирования

являются:

– амортизационные отчисления;

– прибыль, остающаяся в распоряжении предприятия.

Амортизационные отчисления — самые мощные источники инвестирования. Начисление амортизации осуществляется для возмещения затрат на приобретение основных фондов. Соответственно амортизация предназначена для инвестирования их замещения.

Эффективность использования амортизационных отчислений в качестве источника финансирования простого воспроизводства основных фондов можно проверить путем определения величины чистых инвестиций как разницы между объемом валовых инвестиций предприятия и суммой амортизационных отчислений за определенный период.

Прибыль — главная форма чистого дохода предприятия, выражающая стоимость прибавочного продукта. Ее величина выступает как часть денежной выручки, составляющая разницу между реализационной ценой продукции (работ, услуг) и ее полной себестоимостью.

studfiles.net

Lan-Testing: Ответы на Lan-Testing по инвестициям

Тема: Ответы на Lan-Testing по инвестициям

Раздел: Бесплатные рефераты по инвестициям

Тип: Lan-Testing | Размер: 10.14K | Скачано: 938 | Добавлен 07.10.08 в 16:09 | Рейтинг: +34 | Еще Lan-Testing

Вопрос    Ответ
В договоре подряда на заказчика возлагаются следующие обязанности:    
своевременно принять и оплатить выполненные строительно-монтажные работы

В договоре подряда на заказчика возлагаются следующие обязанности:    
своевременно обеспечивать строительство проектно-сметной документацией

В договоре подряда на подрядчика возлагаются следующие обязанности:    
обеспечить сохранность имущества на строительной площадке

В договоре подряда на подрядчика возлагаются следующие обязанности:    
выполнять строительные работы в соответствие  с графиками ведения работ и надлежащего качества

В совокупную налоговую нагрузку включаются:    
таможенные пошлины за исключением особых видов пошлин, вызванных применением мер по защите экономических интересов РФ

В совокупную налоговую нагрузку включаются:  
 федеральные налоги за исключением акцизов и налога на добавленную стоимость

В совокупную налоговую нагрузку включаются:    
взносы в государственные внебюджетные фонды за исключением  взносов в Пенсионный фонд РФ

Возвратный денежный поток от использования акций включает в себя:
сумму курсовой разницы

Возвратный денежный поток от использования акций включает в себя:
дивиденды

Возвратный денежный поток от погашения облигаций включает в себя:
стоимость облигации на момент погашения

Возвратный денежный поток от реализации инвестиционного проекта включает в себя:
часть чистой прибыли

Возвратный денежный поток от реализации инвестиционного проекта включает в себя: 
амортизационные отчисления

Возвратный поток денежных средств от реализации облигаций включает в себя: 
проценты

Воспроизводственной структурой капитальных вложений называется соотношение   в общем объеме капитальных вложений затрат на: 
новое строительство, расширение, реконструкцию и техническое перевооружение

Дисконтированный срок окупаемости инвестиционного проекта:
больше простого срока окупаемости

Если  принятие к исполнению нового проекта способствует росту доходов по одному или нескольким другим проектам, то такие проекты называются:
 комплиментарными (взаимодополняющими)

Если внутренняя  реальная стоимость акции  превышает текущий рыночный курс, то такая акция считается:
 недооцененной

Если внутренняя реальная стоимость акции меньше текущего рыночного курса,  то такая акция считается:
 переоцененной

Если договор подряда на строительство заключается с одним подрядчиком, который координирует строительство, то такой договор называется:
генеральный договор подряда

Если поток реальных денег от осуществления инвестиций состоит из исходных инвестиций, сделанных одновременно или в течение нескольких последовательных периодов, и последующих притоков денежных средств, то такой поток называется:
ординарным

Если принятие нового проекта приводит к некоторому снижению  доходов по одному или нескольким другим проектам, то такие проекты называются:
замещающими

Если притоки реальных денег чередуются с оттоками при осуществлении инвестиций, то такой поток денег называется:
неординарным

Если строительство ведется силами самого заказчика , то такой способ строительства называется: 
 хозяйственным

Если строительство осуществляется за счет бюджетных ассигнований, то между заказчиком и подрядчиком заключается следующий договор: 
государственный контракт

Имеет ли право предприятие совмещать функции двух и более субъектов инвестиционной деятельности?    да
Имеют ли право субъекты инвестиционной деятельности обжаловать в суде действия (бездействие) органов государственной власти?
да

Инвестиционная фаза развития проекта включает в себя: 
сдачу в эксплуатацию и пуск объекта

Инвестиционная фаза развития проекта включает в себя:
определение правовой финансовой и организационной основ проекта

Инвестиционная фаза развития проекта включает в себя: 
приобретение земли, строительно-монтажные работы и установку оборудования

Инвестиционный проект можно принимать, если внутренняя норма доходности: 
больше цены инвестируемого капитала

Инвестиционный проект можно принимать, если чистый дисконтируемый доход (NPV): 
больше нуля

Инвестор, осуществляющий инвестиционную деятельность за счет собственных средств, называется:
 индивидуальным

Инвестор, осуществляющих инвестиционную деятельность за счет чужих привлеченных средств, называется: 
 институциональным

К долговым ценным бумагам относятся:
облигации

К долговым ценным бумагам относятся:
векселя

К долевым ценным бумагам относятся: 
акции

К заемным источникам финансирования капитальных вложений относятся:
средства, полученные от выпуска облигаций

К заемным источникам финансирования капитальных вложений относятся:
средства, полученные по лизингу

К заемным источникам финансирования капитальных вложений относятся:
кредиты коммерческих банков

К индивидуальным инвесторам относятся:
работники приватизируемых предприятий

К какому из перечисленных видов риска относится угроза потери активов предприятия:
катастрофическому

К какому из перечисленных видов риска относится угроза потери выручки от реализации продукции:
 критическому

К какому из перечисленных видов риска относится угроза потери прибыли: 
допустимому

К методам косвенного регулирования и инвестиционной деятельности государством относятся:
защита интересов инвесторов

К методам косвенного регулирования инвестиционной деятельности государством относятся:
 совершенствование налогового законодательства

К методам косвенного регулирования инвестиционной деятельности государством относятся: 
принятие антимонопольных мер

К привлеченным источникам  финансирования капитальных вложений относятся:
паевые взнося членов трудового коллектива

К привлеченным источникам финансирования капитальных вложений относятся:
средства, полученные от выпуска акций

К производным ценным бумагам относятся:
опционы

К простым (статическим) показателям оценки эффективности инвестиционных проектов относится:
коэффициент эффективности инвестиций

К реальным инвестициям относятся вложения в:
материально-производственные запасы

К реальным инвестициям относятся вложения в:
основные фонды

К реальным инвестициям относятся вложения в:
недвижимость

К реальным инвестициям относятся вложения в:
оборудование

К сложным (динамическим) показателям оценки  эффективности инвестиционных проектов относится:
чистый дисконтируемый доход

К сложным динамическим показателям оценки  эффективности инвестиционных проектов относится:
внутренняя норма доходности

К собственным источникам финансирования капитальных вложений  относятся:
амортизационные отчисления

К собственным источникам финансирования капитальных вложений относятся:
выручка от продажи основных фондов

К собственным источникам финансирования капитальных вложений относятся:
 чистая прибыль

К финансовым инвестициям относятся вложения в:
 акции

К финансовым инвестициям относятся вложения в:
 объекты тезаврации

К финансовым инвестициям относятся вложения в:
облигации казначейства

К финансовым инвестициям относятся вложения в:
иностранные валюты

Косвенное регулирование инвестиционной деятельности государство осуществляет посредством: 
создания благоприятных условий для развития инвестиционной деятельности

Могут ли имущественные и иные права быть объектом инвестиционной деятельности?
да

Могут ли общественные организации быть субъектами инвестиционной деятельности?
да

Могут ли физические лица быть субъектами инвестиционной деятельности?
да

Несистематический риск инвестирования вызывается следующей причиной?
неквалифицированным руководством предприятием

Несистематический риск инвестирования вызывается следующей причиной:
нерациональной структурой инвестирования предприятия

Несистематический риск инвестирования измеряется следующим показателем: 
 среднеквадратическое отклонение

Показатели оценки эффективности инвестиционных проектов, основанные на временной оценке денег, называются:
сложными (динамическими)

Показатели оценки эффективности инвестиционных проектов, основанные на учетных (бухгалтерских) оценках, называются:
простыми (статическими)

Предынвестиционная  фаза развития проекта включает в себя:
окончательную формулировку проекта и оценку его технико-экономической приемлемости

Предынвестиционная фаза развития проекта включает в себя:
поиск инвестиционных концепций

Предынвестиционная фаза развития проекта включает в себя:
финальное рассмотрение и принятие решений по проекту

Предынвестиционная фаза развития проекта включает в себя:
предварительную подготовку проекта и составление бизнес-плана

При принятии законодательных актов, ограничивающих права субъектов инвестиционной деятельности соответствующие положения этих актов  могут вводиться в действие:
не ранее чем через год с момента их опубликования

Проекты, которые могут быть приняты к исполнению одновременно, называются:
независимые

Проекты, принятие одного из которых означает  непринятие другого, называются:
альтернативные

Прямое участие государства в инвестиционной деятельности заключается в:
разработке, утверждении и финансировании инвестиционных проектов

Прямое участие государства в инвестиционной деятельности осуществляется путем: 
разработки, утверждения и финансирования инвестиционных проектов

Прямое участие государства в инвестиционной деятельности осуществляется путем:
предоставления на конкурсной основе государственных гарантий

Прямое участие государства в инвестиционной деятельности осуществляется путем:
размещения на конкурсной основе средств бюджета

Прямое участие государства в инвестиционной деятельности осуществляется путем:
формирования перечня строек и объектов для федеральных нужд

Систематический риск инвестирования обусловлен следующей причиной:
политической нестабильностью

Систематический риск инвестирования обусловлен следующей причиной:
инфляцией

Систематический риск инвестирования обусловлен следующей причиной:
экономический спад в стране

Стабильность налоговой нагрузки  в течение срока  окупаемости сохраняется для: 
приоритетных инвестиционных проектов

Субъектами инвестиционной деятельности, для которых создаются объекты инвестиций, являются: 
 пользователи результатов инвестиций

Субъектом инвестиционной деятельности, вкладывающим средства в объекты предпринимательской деятельности, является:
инвесторы

Субъектом инвестиционной деятельности, выполняющим по договору работы, является:
подрядчик

Субъектом инвестиционной деятельности, уполномоченным  осуществлять реализацию инвестиционного проекта, является: 
заказчик

Субъекты инвестиционной деятельности обязаны:
выполнять требования государственных органов и должностных лиц, не противоречащие нормам законодательства РФ

Технологической структурой капитальных вложений называется соотношение в общем объеме капитальных вложений затрат на :
проектно-изыскательские работы, строительно-монтажные работы, приобретение оборудования, инструмента и инвентаря и прочие капитальные вложения

Эксплуатационная фаза развития проекта включает в себя:
получение выручки от реализации и возмещение инвестиционных затрат

Эксплуатационная фаза развития проекта включает в себя:
разработку проекта реабилитации

Чтобы полностью ознакомиться с ответами на тест, скачайте файл!

Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).

Чтобы скачать бесплатно Lan-Testing на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.

Важно! Все представленные Lan-Testing для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.

Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.

Если Lan-Testing, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.

Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.

studrb.ru

Тема 6. Финансирование инвестиционных проектов

Предприятие берет кредит для реализации инвестиционного проекта. Эти средства являются:

+—заемными

Лизинговые платежи осуществляются за счет:

+—себестоимости

Привлечение заемных средств для финансирования капитальных вложений целесообразно, если процент по кредиту:

+—ниже рентабельности собственного капитала

К внутренним источникам финансирования проекта относятся:

+—реинвестируемая часть чистой прибыли

Полученные за счет амортизационных отчислений суммы денежных средств можно отнести к привлеченным источникам финансирования инвестиционного проекта

+—нет, такие средства относятся к собственным, а не привлеченным

Заемные источники финансирования инвестиционного проекта – это:

+—средства, полученные за счет эмиссии облигаций

Фирма реализует крупномасштабный проект. Областная администрация выделяет целевые ассигнования. Данные средства относятся к источникам финансирования инвестиционного проекта.

+—да

Способ кредитования поставщика с условием возврата кредита в форме уступки права требования к покупателю, основанный на вексельном обращении, называется:

+—форфейтинг

Форма кредита, связанная с кредитованием оборотных средств и предоставляющая собой разновидность торгово-комиссионной операции — это:

+—факторинг

Факторинг имеет смысл применять:

+—если выгода от немедленного получения денег больше, чем от их получения в свой срок

Факторинг – это:

+—продажа дебиторской задолженности

Предприятие может прибегнуть к факторинговой услуге в случае:

+—недостатка источников финансирования

Рациональное соотношение собственного и заемного капитала зависит от:

+—рентабельности собственного капитала

Привлечение дополнительных заемных источников финансирования целесообразно, если ставка процентов за кредит:

+—ниже рентабельности собственного капитала

Два предприятия имеют одинаковую финансовую рентабельность активов, но оборачиваемость активов на первом предприятии вдвое выше, чем на втором. Инвестиционная привлекательность предприятия выше:

+—у первого

Арендные платежи по лизингу лизингополучатель включает:

+—в себестоимость продукции

Соглашение, предусматривающее выплату в течение периода своего действия сумм, покрывающих полную стоимость амортизации арендованного оборудования или большую ее часть, называется:

+—финансовым лизингом

Иностранный инвестор приобрел 15% акций предприятия, реализующего инвестиционный проект. Он осуществил финансирование проекта.

+—да, если он приобрел акции на первичном рынке

В качестве источника финансирования инвестиционного проекта из видов банковских кредитов может рассматриваться:

+—любой

Средства, полученные в результате эмиссии акций, являются:

+—привлеченным источником финансирования

Объектами лизинга могут являться:

+—технологическое оборудование

Лизинг, при котором по окончании срока договора имущество возвращается лизингодателю, — это:

+—оперативный лизинг

Переход права собственности на объект лизинга от лизингодателя к лизингополучателю по окончании договора лизинга предусматривается при:

+—финансовом лизинге

При финансовом лизинге расходы по техническому обслуживанию несет:

+—лизингополучатель

Предметом лизинга в соответствии с действующим законодательством могут быть:1)ценные бумаги,2)транспортные средства,3)денежные средства,4)здания:

+—2,4

В состав лизингового платежа не входит:

+—стоимость участка земли

Лизингодателем может выступать в соответствии с законом «О лизинге» №164-ФЗ от 29.10.98г.:

+—и физические, и юридические лица

В соответствии с действующим законодательством объектом лизинговой сделки земельные участки могут ли быть:

+—нет

Субъектом лизинговой сделки не может быть:

+—негосударственный пенсионный фонд

Финансирование инвестиционных проектов, при котором сам проект является способом обслуживания долговых обязательств, носит название:

+—проектное финансирование

При финансировании проекта без права регресса на заемщика:

+—кредитор не имеет никаких гарантий от заемщика и принимает на себя все риски, связанные с реализацией проекта

Инвестиционный налоговый кредит может быть предоставлен организации:

+—по налогу на прибыль

Инвестиционный налоговый кредит предоставляется организации – налогоплательщику на: 1)проведение научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ; 2)осуществление организацией инновационной деятельности; 3)осуществление организацией сельскохозяйственной деятельности; 4)выполнение организацией заказа по социально-экономическому развитию региона; 5)выполнение организацией работ по реконструкции жилых зданий:

+—1,2,4

Кредит, при котором текущий счет предприятия ведется банком- кредитором с оплатой банком расчетных документов и зачислением выручки, называется:

+—контокоррентный кредит

К преимуществам использования акционерного финансирования можно отнести:

+—использование привлеченных инвестиционных ресурсов не ограничено сроком

Синоним термина «венчурный капитал» является:

+—рисковый капитал

К собственным источникам относятся: 1) чистая прибыль; 2) амортизационные отчисления; 3) кредиты банков; 4) средства от облигационного займа; 5)безвозмездно предоставленные средства:

+—1, 2

Инкассирование дебиторских счетов своих клиентов и получение причитающихся в их пользу платежей является целью деятельности:

+—факторинговой компании

Регресс — это:

+—требование о возмещении, возврате предоставленной в заем суммы

Для финансирования проектов, выполняемых по заказам государства, применяется:

+—финансирование с полным регрессом на заемщика

Под методом финансирования инвестиций понимают:

+—механизм привлечения инвестиционных ресурсов с целью финансирования инвестиционного процесса

Денежные выплаты из государственного бюджета населению и частным предпринимателям, не связанные с выполнением ими государственных заказов работ, а осуществляемые в порядке перераспределения средств в пользу более нуждающихся в них граждан через бюджет, носят название:

+—трансфертные платежи

При осуществлении форфейтирования экспортер передает полученные векселя от импортера коммерческому банку на условиях:

+—без права оборота векселей на себя и получением денег за реализованный товар

Источник финансирования инвестиционных проектов, предоставляемый в денежной или товарной форме на условиях платности, срочности и возвратности, называется:

+—кредитное финансирование

Кредитное финансирование инвестиционных проектов может осуществляться в следующих формах: 1)кредит; 2)облигационный займ; 3)эмиссия акций; 4)лизинг; 5)факторинг:

+—1, 2

Фактор-фирма при осуществлении операции факторинга:

+—приобретает у клиентов право на взыскание долгов и частично оплачивает клиентам требования их должникам, возвращая долги в размере от 70 до 90% до наступления срока их оплаты

Чем ниже процентная ставка по кредиту, тем:

+—выше предпочтение ликвидности

Кредитное финансирование инвестиционных проектов предоставляется:

+—только в денежной форме

Банк, выкупающий у экспортера денежное обязательство импортера оплатить купленный им товар сразу же после поставки товара и производящий досрочную оплату стоимости товара экспортеру, называется:

+—форфейтор

К заемным источникам финансирования инвестиций относятся:1) кредиты банков; 2) прибыль; 3) взносы инвесторов в уставной капитал предприятия; 4)налоговый инвестиционный кредит:

+—1, 4

Средства, полученные за счет эмиссии облигаций, относятся:

+—к заемным источникам финансирования инвестиционных проектов

Чистая прибыль представляет собой:

+—разницу между валовой прибылью и суммой направляемой в форме налоговых платежей в бюджет

Выберите верное утверждение:

+—Венчурный капитал – это акционерный капитал, предоставляемый профессиональными фирмами, инвестируемый в предприятия, демонстрирующие значительный потенциал роста на их начальном этапе развития, в процессе расширения, одновременно управляя этим предприятием

Бюджетное финансирование инвестиционных проектов в форме бюджетных средств, предоставляемых другому уровню бюджетной системы на безвозмездной и безвозвратной основе для покрытия текущих расходов, носит название:

+—дотация

Бюджетное финансирование, осуществляемое на безвозмездной и безвозвратной основе на основе долевого финансирования целевых расходов, осуществляется в форме:

+—субсидия

Рентинг – это:

+—кратковременная аренда машин и оборудования без права их последующего выкупа арендатором

Выделите принципы кредитования: 1)диверсификации; 2)срочность; 3)платность; 4)прибыльность; 5)ликвидность; 6)возвратность:

+—2,3,6

К преимуществам кредитного финансирования можно отнести:

+—высокий объем возможного привлечения инвестиционных ресурсов

Предварительная аккумуляция денежных средств в общих финансовых фондах является принципом деятельности при:

+—венчурном финансировании

По способу привлечения источники финансирования инвестиций можно классифицировать на:

+—внутренние, внешние

Лизинговый процент включает в себя: 1)амортизацию; 2)плату за ресурсы, привлекаемые лизингодателем для осуществления сделки; 3)лизинговую маржу; 4)рисковую премию:

+—2, 3, 4

Уставный капитал равен совокупной номинальной стоимости:

+—оплаченных акций

Эмиссионная ценная бумага, закрепляющая право ее владельца на получение от эмитента в предусмотренный в ней срок ее номинальной стоимости или иного имущественного эквивалента, называется:

+—облигацией

Эмиссионная ценная бумага – это ценная бумага, которая: 1)выпускается только в документарной форме; 2)выпускается только в бездокументарной форме; 3)закрепляет совокупность имущественных прав; 4)размещается выпусками; 5)имеет равные объем и сроки осуществления прав внутри одного выпуска независимо от времени приобретения:

+—3, 4 и 5

Укажите в каких формах могут выпускаться эмиссионные ценные бумаги:

+—именные бездокументарные ценные бумаги и документарные ценные бумаги на предъявителя

Ценная бумага, закрепляющая права ее владельца на получение части прибыли акционерного общества, на участие в управлении акционерным обществом и на часть имущества после его ликвидации, называется:

+—обыкновенной акцией

Одновременный выпуск акций и облигаций законодательно:

+—запрещен

Кредитор не принимает на себя никаких рисков, связанных с проектом, ограничивая свое участие предоставлением средств против гарантий организаторов проекта или третьих лиц, при:

+—финансировании с полным регрессом на заемщика

Лизингодатель – это:

+—компания, приобретающая оборудование за свой счет и сдающая его в аренду на несколько лет

Кредиты, используемые на финансирование инвестиций, по классификационному признаку – тип кредитора подразделяются на:

+—иностранный, государственный, банковский, коммерческий

Авансирование клиентов-экспортеров со стороны компании под будущую выручку от экспорта при одновременном предоставлении клиенту полной гарантии от валютного и кредитного рисков является разновидностью операции:

+—факторинга

Государственные заимствования под гарантию государства с образованием государственного долга и последующим распределением инвестиций по проектам и субъектам инвестиционной деятельности – это:

+—дефицитное финансирование

К недостаткам валютных кредитов в качестве источника финансирования инвестиционных проектов относятся:

+—Необходимость получения доходов в валюте заимствования, иначе возможен рост валютного риска

К недостаткам частного размещения акций в качестве источника финансирования инвестиционных проектов относятся:

+—Ведет к разбавлению капитала

К преимуществам выпуска облигаций в качестве источника финансирования инвестиционных проектов относятся:

+—Отсутствует разбавление акционерного капитала

studfiles.net

2. Экономическая оценка целесообразности инвестирования.

В условиях рыночной экономики пробле­ма| определения целесообразности инвестирования базируется на оценке соотношения дохода и риска от реализации инвестиций. Для принятия решений об инвестировании менеджер должен приблизительно подсчитать объем и распределение во времени денежных потоков, оценить риск инвестиций и рассмотреть ожидаемое влияние проекта на прибыль предприятия. Процесс принятия решений относительно целесообразности инвестирования предусматривает прохождение определенных этапов.

Первый этап. Расчет суммы начальных инвестиций (в случае реализации реальных инвестиций). При условиях реализации финансовых инвестиции сумма инвестиций определяется, в соответствии с целями инвестора (спекулятивные, увлечение компании, усиления собственного влияния, на предприятия и тому подобное).

Величина реальных начальных инвестиций может состоять из таких элементов:

1) рыночной цены оборудования и других орудий труда, которые|какие| необходимо приобрести;

2) дополнительных расходов, связанных|повязал| с доставкой и монтажом нового оборудования;

3) расходов на демонтаж установленного оборудования, которое|какое| нуждается в замене;

4) расходов на строительство;

5) расходов на обязательные мероприятия по охране окружающей| естественной|природной| среды;

6) расходов на создание производственных запасов|припаса| (оборотных|обратимых| средств|) или на рост производственных запасов|припаса| — в случае, когда предусматривается| инвестирование в реконструкцию предприятия, связанную| с увеличением объемов производства;

7) стоимости нематериальных|нематериальных| активов и тому подобное.

От суммы указанных элементов расходов необходимо вычесть выручку от продажи оборудования, которое меняется, с учетом уплаты налога (налог на прибыль). Полученный результат будет составлять величину начальных инвестиций (К).

Второй этап. Расчет дохода от реализации инвестиций (инвестиционного дохода). Реальные инвестиции часто связаны с инвестированием в долгосрочные капитальные активы. За исключением земли, эти активы постепенно амортизируются в течение их жизненного цикла, то есть за время их использования предусматривается повернуть начальные инвестиции, и в то же время получить выгоду от вложенного капитала. Хотя доход от инвестирования не обязательно гарантирован, именно его ожидание побуждает инвестора вкладывать средства в инвестиционный проект.

Определение инвестиционного дохода осуществляется на основе|основании|:

— прогнозирования доходов и операционных расходов предприятия| за время жизненного цикла проекта;

— корректировка доходов с учетом налогов |;

— расчет инвестиционных доходов;

— определение денежных потоков.

Инвестиционным доходом от реализации реальных инвестиций считается сумма годовой прибыли (П) в результате, например, нового строительства, начала бизнеса или сумма дополнительного годового дохода (), которую получит действующее предприятие в результате осуществления, например, реконструкции, модернизации и тому подобное.

Величина дополнительного годового дохода определяется по формуле:

, где

П1 и По — годовая прибыль предприятия соответственно «после» и «до» реализации инвестиций.

Для определения конечного финансового результата от реализации инвестиций следует принять во внимание условия налогообложения доходов от разных финансовых инструментов или реальных инвестиций. В случае, когда предприятие не пользуется льготами при уплате налога на прибыль, целесообразно было бы при расчетах дохода от реализации инвестиций учитывать сумму оплаченного налога на прибыль () и определить:

— чистую прибыль (Пч) предприятия (в случае нового строительства)

, или

— прирост чистой прибыли () предприятия (в случае реконструкции)

Величина налога на прибыль определяется на основе данных налогового учета с использованием законодательно установленной ставки налога на прибыль (25 %) и суммы налоговой прибыли: 0,25 • П.

Совокупный ожидаемый инвестиционный доход от реализации финансовых инвестиций состоит из текущего и курсового доходов.

Текущий доход, как правило, существует в виде процентов на облигации, дивидендов по акциям и тому подобное. Текущий доход — это средства, которые периодически получают в результате владения инвестиционным инструментом.

Инвестор, вкладывая средства в объекты инвестирования, ожидает не только получение текущего дохода, а также и доход на вложенные средства когда-либо в будущем. Сумма, на которую выручка от реализации инвестиционных инструментов превышает начальную цену покупки, называется приростом капитала, или курсовым доходом.

Совокупный доход — это сумма текущего дохода и прироста капитала, полученная от инвестирования за определенный период.

Третий этап. Расчет показателей экономической эффективности реальных инвестиций. Показатели экономической эффективности инвестиций используются в двух вариантах: — для определения эффективности предложенных независимых| инвестиционных проектов (так называемая абсолютная эффектив­ность|), когда делается вывод о принятии или отклонении проекта;

— для определения эффективности взаимоисключающих инвестиционных| проектов (сравнительная эффективность), когда делается вывод о том, какой проект принять из|с| нескольких альтерна­тивных|.

Решение о целесообразности| инвестирования должно приниматься на основе анализа эффектив­ности| вложения капитала именно в определенный проект, на основе мнения|, что он должен покрывать альтернативную стоимость инвестиционных| средств|средства|. Обычно это происходит, когда инвестирование осуществляется не для поддержки| действующих производственных мощностей, то есть необходимо для увеличения их функционирования. Например, при условиях прибыльности| капитала на денежном рынке в 20 % годовых — прибыль, которую|какую| получило бы|б| предприятие, положив средства|средство| на депозитный банковский счет|, инвестиционный проект должен обеспечить не меньший уровень| прибыли на вложенный капитал.

На этом этапе можно воспользоваться такими показателями как рентабельность и срок окупаемости инвестиций.

Рентабельность инвестиций (R) определяется в случае нового строительства по формуле:

,

где К — величина начальных инвестиций;

П — годовая прибыль предприятия.

В случае расширения или реконструкции предприятия

,

где — величина дополнительного годового дохода предприятия, полученного в результате расширения или реконструкции.

Предложенными формулами можно пользоваться при условии, что величина годовой прибыли является постоянной каждый год жизненного цикла проекта. В иных случаях следует применять| сумму среднегодовой прибыли.

Срок возмещения (срок окупаемости) инвестиций определяется таким образом:

— в случае нового строительства (основание бизнеса)

Т=, лет,

где — среднегодовая величина денежных потоков, грн.

Денежный поток – это сумма чистого дохода предприятия и амортизационных отчислений.

— в случае расширения или реконструкции предприятия

Т=, лет,

где — среднегодовая величина прироста денежных потоков, грн.

Отмеченные формулы для определения срока окупаемости мо­гут| быть использованы при условии, что денежные потоки каждый год имеют одинаковые значения. Если же денежные потоки не одинаковы, период окупаемости определяют|исчисляющий|, добавляя|додает| ежегодные денежные потоки пока|покуда| начальные инвестиции, не будут возмещены|.

Четвертый этап. Оценка риска инвестирования, связанного с фактором времени (с учетом концепции стоимости денег во времени), т.е. применение дисконтных моделей оценки. Дисконтные модели используют дисконтные денежные потоки, которые являются будущими денежными потоками, приведенными к их нынешней стоимости.

Средства|средство|, привлеченные для реализации инвестиционного проекта, признаются эффективно привлеченными, если их достаточно для возврата| исходной|выходной| суммы капитальных вложений и обеспечения необходимой прибыли на вложенный капитал. Учесть это можно с помощью чистой дисконтной стоимости по формуле:

ЧДС = ++++…+, грн.;

где ДП, ДП,…ДП- ожидаемые денежные потоки в каждом году за весь период реализации проекта, грн.;

R – ставка дисконта.

Ставка дисконта(R) – это процентная ставка, которая учитывает риски и характеризует норму прибыли, на которую ежегодно рассчитывает инвестор.

Положительная чистая дисконтная стоимость свидетельствует о том, что исходные инвестиции покрыты, необходимая величина рентабельности достигнута и получен позитивный для предприятия результат от осуществления инвестирования.

Пятый этап. Учет риска инвестирования. Инвестиции в любой|какой-нибудь| проект связаны|повязал| с определенными рисками, которые влияют на результат деятельности предприятия: проект может завершиться неудачей|невезеньем|, то есть быть нереализованным, неэффективным или менее эффективным, чем ожидалось.

Риски связаны|повязал| с тем, что доход от проекта и затраты|расхода| на его осуществление является вероятными, а не детерминированными величинами (то есть неизвестными на момент принятия| решения об инвестировании).

При этом возникает вероятность как потери части ресурсов предприятия, так и возможности получения значительно большего дохода, чем ожидалось. Но поскольку для| предпринимательской деятельности представляет угрозу только потеря ожидаемого дохода, то основное внимание уделяется анализу негативных последствий неопределенности исходных данных.

Таким образом, при анализе инвестиционного проекта или при выборе наиболее эффективного варианта проекта из|с| нескольких предложенных, необходимо учитывать факторы| риска, провести их анализ и осуществить мероприятия по их минимизации.

Причинами, которые вызывают появление рисков, могут быть:

— неполное знание всех параметров и обстоятельств для выбора оптимального решения по проекту, а также невозможность адекватного и точного учета всей информации|;

— наличие вероятных характеристик параметров проекта;

— наличие фактора случайности, то есть появление факторов, которые|какие| невозможно предвидеть:

— наличие субъективных факторов противодействия, когда принятие решений проводится| в ситуации игры партнеров с противоположными интересами или их интересы не совпадают|.

Таким образом, факторы, которые|какие| необходимо учитывать:

— инфляция:

— неопределенность исходной|выходной| информации:

— возможные риски.

studfiles.net

Задачи по статистике с решениями и выводами

Статистическая сводка и группировка

Кратко рассматривается статистическая сводка и группировка, виды группировок, а также формула Стерджесса. Приведен пример решения задачи на группировку статистической совокупности.

Относительные показатели планового задания и выполнения плана

Рассматриваются относительные показатели планового задания, выполнения плана, динамики и их взаимосвязь между собой. Приведены примеры расчета рассматриваемых относительных величин.

Относительные величины структуры и координации

На странице рассмотрен расчет относительных показателей структуры (ОВС) и координации (ОВК). Приведены примеры расчета рассматриваемых относительных величин.

Относительные величины динамики и интенсивности

На странице рассматриваются относительные показатели динамики (ОВД) и интенсивности (ОВИ). Приведены примеры расчета рассматриваемых относительных величин.

Средние величины

Решено несколько задач по статистике на использование средних величин. Приведены примеры вычислений средней арифметической простой, средней арифметической взвешенной, средней гармонической взвешенной. Решение задач предваряет краткая теория.

Средняя хронологическая

Рассматривается понятие средней хронологической величины в рядах динамики, виды средней хронологической. Приведены примеры расчета средней хронологической для моментных и интервальных рядов с равноотстоящими и неравноотстоящими интервалами.

Структурные средние (мода, медиана, квартиль, дециль)

Описание структурных средних дискретного и интервального рядов. На примерах решения задач показан расчет показателей — моды, медианы, квартилей, децилей.

Показатели вариации

В приведенной на странице задаче показано вычисление абсолютных и относительных показателей вариации интервального ряда — размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации.

Правило сложения дисперсий

На странице рассмотрена задача на правило сложения дисперсий и сопутствующий расчет средней внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.

Расчет характеристик выборки

Вычисление числовых характеристик выборки. Рассчитаны такие характеристики как выборочная средняя, мода и медиана, средний квадрат отклонений (дисперсия), выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Приведен пример вычисления предельной ошибки выборочной средней и выборочной доли, а также границ генеральной средней и удельного веса.

Ошибка выборки

Страница содежит описание методов выборочного наблюдения, приведены формулы для расчета средней и предельной ошибок выборки. Изложены сведения по методам собственно-случайного отбора, механической выборки, типической (районированной) выборки, серийной выборки. Привена таблица с формулами для определения численности выборки при различных методах отбора.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Приведена краткая теория и рассмотрен пример решения задачи на расчет коэффициента корреляции знаков Фехнера.

Коэффициент корреляции Пирсона

Формула и смысл коэффициента линейной корреляции Пирсона, значимость линейного коэффициента корреляции. Страница содержит краткую теорию и типовой пример по расчету коэффициента корреляции Пирсона и проверке его значимости.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Содержится краткая теория и пример решения задачи на ранговую корреляцию. Дано понятие ранговой корреляции, показан расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

На странице рассмотрено применение ранговой корреляции и коэффициента ранговой корреляции Кендалла в статистике. Приведена краткая теория, а также задача с примером расчета коэффициента Кендалла с проверкой гипотезы о его значимости.

Эмпирическое корреляционное отношение

Рассмотрено вычисление эмпирического корреляционного отношения и эмпирического коэффициента детерминации, на примере показан расчет внутригрупповой и межгрупповой дисперсии.

Коэффициенты ассоциации и контингенции

Дана краткая теория и на примере решения задачи показан расчет коэффициентов ассоциации и контингенции.

Коэффициенты взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона

Страница содержит сведения по методам изучения взаимосвязей между качественными признаками с помощью коэффициентов взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона.

Показатели ряда динамики

На странице рассмотрены задачи на ряды динамики. Показано вычисление цепных, базисных и средних показателей динамики, а также недостающих уровней динамических рядов. Приведены формулы цепных, базисных и средних абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста.

Методы скользящей средней и укрупнения интервалов

Страница содержит последовательное и систематизированное изложение проверенных практикой методов обработки динамических рядов — метода скользящей средней и метода укрупнения интервалов.

Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

Содержатся сведения по анализу рядов динамики — изучение тренда временного ряда с помощью аналитического выравнивания по прямой методом наименьших квадратов, построение точечного и интервального прогноза.

Расчет общих и средних индексов

Представлены базовые методы индексного анализа. В решенных задачах рассчитаны индивидуальные и общие индексы цен, себестоимости, физического объема, стоимости товарооборота и затрат, а также показано разложение абсолютного прироста по факторам. Приведен расчет средних индексов — индексов цен и себестоимости переменного и постоянного составов, а также индекс структурных сдвигов. Показано разложение абсолютного прироста средней цены и себестоимости на факторы.

Индексы Пааше, Ласпейреса, Фишера

Приведен пример решения задачи на вычисление индексов цен Пааше, Ласпейреса, Фишера, а также индексов физического объема Ласпейреса и Пааше. Показана взаимосвязь между исчисленными индексами.

Фонды рабочего времени

Изложена методика расчета календарного, табельного и максимально-возможного фондов рабочего времени, а также коэффициентов их использования. Содержатся сведения по составлению балансов рабочего времени на предприятии. Рассматриваются коэффициенты использования рабочего дня, рабочего периода, а также интегральный показатель использования рабочего времени.

Индексы средней производительности труда

Решена задача с вычислением уровня и динамики производительности труда. Рассчитаны индексы средней производительности труда — индекс переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов. Показано разложение на факторы прироста продукции, вычисление числа высвободившихся работников в связи с ростом производительности.

Индексы средней заработной платы

В представленной на странице задаче вычислены индексы средней заработной платы переменного состава, постоянного состава, структурных сдвигов, показано разложение на факторы изменения средней заработной платы и фонда заработной платы.

Показатели движения рабочей силы на предприятии

Страница содержит краткое описание показателей движения рабочей силы, также на примере показаны расчеты коэффициентов текучести кадров, оборота по приему и увольнению, общего оборота и постоянства кадров.

Статистика основных фондов

Рассмотрены основные показатели статистики основых фондов — полная и остаточная стоимость основных фондов, коэффициенты годности и износа, коэффициенты обновления и выбытия, показатели фондоотдачи и фондоемкости.

Показатели эффективности использования оборотных средств

Рассмотрена краткая теория и решена задача по статистике оборотных средств предприятия. На примере показаны расчеты показателей эффективности использования оборотных средств — коэффициента оборачиваемости, закрепления, продолжительности одного оборота.

Показатели естественного движения и миграции населения

Страница содержит описание показателей естественного и механического движения населения. Рассмотрены общие коэффициенты рождаемости, смертности, механического движения, естественного и общего прироста населения.

Статистика трудовых ресурсов

Рассматриваются показатели статистики трудовых ресурсов — трудоспособное население, экономически активное население, коэффициенты замещения и воспроизводства трудовых ресурсов, коэффициент пенсионной нагрузки, коэффициент экономической активности населения, коэффициенты занятости и безработицы.

Система национальных счетов

Краткое описание системы национальных счетов и основные показатели этой системы. Рассматривается пример решения задачи на составление консолидированных счетов СНС.

Методы расчета ВВП

Приведены необходимые теоретические сведения и образцы решения задач для расчета валового внутреннего продукта (ВВП) тремя методами — производственным методом, распределительным методом и методом конечного использования.

Номинальный и реальный ВВП. Индекс-дефлятор

На странице рассмотрены понятия номинальной и реальной стоимости ВВП — валового внутреннего продукта в текущих и постоянных ценах. Рассмотрена задача с применением индекса-дефлятора и индекса физической стоимости ВВП.

Задачи с решением по другим предметам

100task.ru

Задачи по статистике с решениями

Примеры решения задач по статистике

Задача Статистическая сводка и группировка.

Теория по решению задачи.

Статистическая сводка – научно обработанный материал статистического наблюдения в целях получения обобщенной характеристики изучаемого явления.

Группировка – распределение единиц изучаемого объекта на однородные типичные группы по существенным для них признакам.

Интервал – разница между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.

, где

i – величина интервала;

R – размах колебания (R=xmax-xmin)

n – принятое число групп;

xmax, xmin – наибольшее и наименьшее значение признака в изучаемой совокупности.

, где

N – число наблюдений

Типовая задача № 1

Распределите потребительские общества по размеру товарооборота на 3 группы с равными интервалами. В каждой группе подсчитайте количество потребительских обществ, сумму товарооборота, сумму издержек обращения. Результаты группировок представьте в табличной форме. К какому виду статистических таблиц относится составление вами таблица, и какой вид группировки она содержит?

Имеются основные экономические показатели потребительских обществ за отчетный период:

Таблица № 1

№ п/п	Товарооборот в млн. грн.	Издержки обращения, в млн. грн.	Прибыль, в млн. грн.
1	390	14	40
2	190	8	15
3	180	8	15
4	450	16	42
5	200	10	20
6	390	14	40
7	180	10	13
8	250	11	25
9	330	12	25
10	240	8	21
11	300	11	24
12	230	10	15
13	420	12	36
14	190	14	12
15	450	15	42
16	200	8	23
Итого	4590	181	408

Ход решения задачи:

Т. к. нам известен группировочный признак, работу необходимо начать в определения величины интервала по формуле:

Образец 3 группы потребительских обществ по размеру товарооборота.

Определяем границы групп:

1 группа: 180+90=270 (180-270)

2 группа: 270+90=360 (270-360)

3 группа: 360+90+450 (360-450)

После того, как выбран группировочный признак, намечено число групп и образованы сами группы, необходимо отобрать показатели, которыми будут характеризоваться группы, и определить их величину по каждой группе.

В нашем примере каждую группу необходимо охарактеризовать следующими показателями:

а) количеством потребительских обществ;

б) суммой товарооборота;

в) суммой издержек обращения.

Для заполнения итоговой таблицы составим предварительно рабочие таблицы № 2, 3, 4.

Группа потребительских обществ с товарооборотом от 180 до 270 млн. грн.

Таблица № 2

№ п/п	Номер потребительского общества	Товарооборот, в млн. грн.	Сумма издержек обращения, в млн. грн.
1	2	190	8
2	3	180	8
3	5	200	10
4	7	180	10
5	8	250	11
6	10	240	8
7	12	230	10
8	14	190	14
9	16	200	8
Итого	9	1860	87

Группа потребительских обществ с товарооборотом от 270 до 3660 млн. грн.

Таблица № 3

№ п/п	Номер потребительского общества	Товарооборот, в млн. грн.	Сумма издержек обращения, в млн. грн.
1	9	330	12
2	11	300	11
Итого	2	630	23

Группа потребительских обществ с товарооборотом от 360 до 450 млн. грн.

Таблица № 4

№ п/п	Номер потребительского общества	Товарооборот, в млн. грн.	Сумма издержек обращения, в млн. грн.
1	1	390	14
2	4	450	16
3	6	390	14
4	13	420	12
5	15	450	15
Итого	5	2100	71

Итоговые показатели рабочих таблиц занесем в окончательную итоговую таблицу и получим групповую таблицу № 5.

Группировка потребительских обществ, по размеру товарооборота:

Таблица № 5

Группы потребительских обществ по размеру товарооборота, млн. грн.	Количество потребительских обществ	Товарооборот, в млн. грн.	Сумма издержек обращения, в млн. грн.
180-270	9	1860	87
270-360	2	630	23
360-450	16	4590	181

Вывод: По результатам итоговой таблицы можно сделать вывод, что с увеличением объема товарооборота потребительских обществ, относительный показатель уровня издержек обращения снижается. Следовательно, между ними существует обратная связь. Составленная нами таблица является групповой таблицей, т. к. ее подлежащее содержит группы потребительских обществ по размеру товарооборота. Она содержит аналитический вид группировки.

 

Задача — Ряды распределения и статистические таблицы.

Теория по решению задачи.

Статистический ряд распределения – упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

Дискретный вариационный ряд – характеризует распределение единиц совокупности по дискретному (прерывному) признаку.

Интервальный вариационный ряд – характеризует распределение единиц совокупности по интервальному (непрерывному) признаку.

Для изображения дискретных вариационных рядов распределения используется «полигон распределения». Для графического изображения интервального вариационного ряда применяются «гистограмма» и «кумулята».

Задача 1.

На экзамене по истории студенты получили оценки:

3 4 4 4 3 4

3 4 3 5 4 4

5 5 2 3 2 3

3 4 4 5 3 3

5 4 5 4 4 4

Построить дискретный вариационный ряд распределения студентов по баллам и изобразить его графически.

Ход решения задачи:

Определяем элементы ряда распределения: варианты, частоты, частоты.

Оценка, баллы	Кол-во студентов с такой оценкой, человек	В процентах к итогу
2	2	6,7
3	9	30
4	13	43,3
5	6	20
Итого	30	100

Теперь графически изобразим дискретный ряд распределения в виде помпона распределения.

 

Можно сделать вывод о том, что преобладающее большинство студентов получило «4» (43,3 %).

Задача 2.

Во время выборочной проверки было установлено, что продолжительность одной покупки в кондитерском отделе магазина была такой: (секунды).

77 70 82 81 81

82 75 80 71 80

81 89 75 67 78

73 76 78 73 76

82 69 61 66 84

72 74 82 82 76

Построить интервальный вариационный ряд распределения покупок по продолжительности, создав 4 группы с одинаковыми интервалами. Обозначить элементы ряда. Изобразить его графически, сделать вывод.

Ход решения задачи по статистике:

Определяем элементы ряда распределения: варианты, частоты, частости, накопленные частоты.

Но прежде рассчитаем границы 4 заданных групп с одинаковыми интервалами:

Величину интервала определим по формуле .

В нашем случае

Границы групп соответственно равны:

I 61+7=68 (61-68)

II 68+7=75 (68-75)

III 75+7=82 (75-82)

IV 82+7=89 (82-89)

Группы покупок по продолжительности, сек.	Число покупок	В процентах к итогу	Накопленные частоты
61-68	3	10	3
68-75	9	30	12
75-82	16	53,3	28
82-89	2	6,7	30
Итого	30	100

Теперь графически отобразим наш интервальный вариационный ряд в виде гистограммы и кумуляты.

 

По таблице и графика можно сделать вывод о том, что преобладающее большинство покупок (16 или 53.3%) находится во временном интервале 75-82, сек.

 

Статистика задача — Абсолютные и относительные величины.

Теория по решению статистической задачи.

Абсолютные величины – показатели, которые выражают размеры общественных явлений и процессов числом единиц совокупности.

Относительные величины – показатели, выражающие количественные соотношения численностей или величин признаков изучаемых явлений.

Виды относительных величин:

1)  Относительная величина выполнения плана:

2)  Относительная величина планового задания:

3)  Относительная величина динамики:

4)  Относительная величина структуры:

5)  Относительная величина сравнения отражает соотношение двух объемов или уровней в пространстве: соотношение производства автомобилей в Украине и России, соотношение уровней оплаты труда в разных хозяйствах, соотношение уровней производительности на разных предприятиях отрасли и т. д.

6)  Относительная величина координации получается посредством деления друг на друга разноименных исходных показателей, она дает типичную характеристику соотношения одно-порядковых по значимости исходных показателей, во-первых, непосредственно связанных между собой, во-вторых, обладающих некоторой общностью.

7)  Относительная величина интенсивности:

Типовая задача № 1

Два консервных завода выработали по 100 тыс. шт. банок виноградного сока. На первом заводе емкость каждой банки составляет 500 см3, а на втором – 200 см3. Можно ли сказать, что оба завода работали одинаково?

Ход решения задачи по статистике:

Для того, чтобы ответить на этот вопрос необходимо установить коэффициенты перевода фактического объема банок в условные банки и затем умножить количество выпущенных банок на эти коэффициенты. Представим расчет в таблице № 1.

Таблица № 1

Заводы	Количество выпущенных банок, тыс. шт.	Объем банки см3	Коэффициенты перевода	Количество выпущенных условных банок, тыс. шт.
№ 1	100	500		100*1,414=141,4
№ 2	100	200		100*0,566=56,6

Таким образом, завод № 1 по сравнению с заводом № 2 выпустил виноградного сока на 84,8 тыс. Банок больше (141,4-56,6).

Статистика — Типовая задача № 2

Имеются следующие данные розничного товарооборота:

Таблица № 2

Универмаги	Розничный товарооборот (млн. грн.)
Фактически за базисный год	Отчетный год
По плану	Фактически
«Крым»	105	110	98
«Центральный»	137	148	150

Определить:

1.  Относительную величину выполнения плана.

2.  Относительную величину планового задания.

3.  Относительную величину динамики.

Ход решения задачи:

1.  Определяем относительную величину выполнения плана по двум универмагам:

2.  Определим относительную величину планового задания:

3.  Определяем относительную величину динамики:

 

Статистическая задача — Средние и структурные средние величины.

Теория по решению статистической задачи:

Средние величины – это показатели. Выражающие типичные черты и дают обобщающую количественную характеристику уровня признака по совокупности однородных явлений.

1.  Средняя арифметическая:

2.  Средняя гармоническая:

3.  Средняя квадратическая:

4.  Средняя хронологическая:

5.  Средняя геометрическая:

К1, К2, К3 и Кn – коэффициенты динамики по отношению к предыдущему периоду.

6.  мода интервальных рядов распределения вычисляется по следующей формуле:

х0 – минимальная граница модального интервала;

i – величина интервала;

f2 – частота модального интервала;

f1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f3 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода для дискретных рядов распределения – это наиболее часто встречающаяся величина признака в данной совокупности.

7.  Медиана для интервальных рядов распределения вычисляется по формуле:

x0 – нижняя граница медианного интервала;

i – величина медианного интервала;

∑f – сумма частот ряда;

SМЕ-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fМЕ – частота медианного интервала.

Чтобы определить медиану в дискретном вариационном ряду. Необходимо сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить ½.

Типовая задача № 1

Имеются следующие данные о заработной плате рабочих:

Таблица № 1

Месячная заработная плата (грн.) (х)	Число рабочих (f)	х*f
х1=120	27	3240
х2=145	33	4785
х4=200	48	9600
х5=208	51	10608
х6=250	16	4000
х7=337	28	9436
Итого	203	41669

Определите среднюю заработную плату одного рабочего.

Ход решения:

Среднюю заработную плату определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Т. о. средняя заработная плата рабочего составила 205,27 грн.

Типовая задача (статистика) № 2

Имеются, следующие данные выпуска литья в литейном цехе завода за пятилетний период:

Таблица № 2

Годы	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
Выпуск литья, тонн	528,34	336,98	439,24	297,55	672,17
В % к предыдущему году	—	63,8	130,3	67,7	225,9

Требуется определить средний темп выпуска литья.

Ход решения задачи:

Для определения среднего темпа выпуска литья используем формулу средней геометрической:

Типовая задача № 3

Имеются следующие данные:

Таблица № 3

Група рабочих по размеру заработной платы (в грн.)	Число рабочих	SМЕ
150-200	28	28
200-250	54	82
250-300	30	112
300-350	47	159
350-400	63	222
400-450	18	240
450-500	22	262
Итого	262	—

Определить моду и медиану.

Ход решения задачи:

1.  Определяем моду:

2.  Определяем медиану:

Практические задачи  по статистике для самостоятельного решения с ответами

Задача по статистике 1.

Имеются следующие данные об урожайности зерновых культур:

Урожайность зерновых культур	Количество хозяйств
До 20	30
20-30	40
30-40	60
40 и выше	20

Определить среднюю урожайность зерновых культур, моду и медиану.

Ответ.

средняя урожайность: 30,3 ц/га

мода: 33,3

медиана: 30,8

Задача 2.

Годы	97г.	98г.	99г.	2000г.	2001г.
Производства зерна, тыс. тонн	150	168	179	186	191

Требуется определить: (цепным и базисным способом):

1)  абсолютный прирост;

2)  темп роста и прироста;

3)  средний абсолютный прирост;

4)  средние темпы роста и прироста.

Ответ 2.

цепным способом                             базисным способом

абсолютный прирост 18                      абсолютный прирост 18

11                                                        29

7                                                          36

5                                                          41

темп роста 1,12                                 темп роста 1,12

1,07                                                      1,19

1,04                                                      1,24

1,03                                                      1,27

темп прироста 0,12                            темп прироста 0,12

0,07                                                      0,19

0,04                                                      0,24

0,03                                                      0,27

средний абсолютный прирост: 31       средний абсолютный прирост: 31

средний темп роста 1,02                    средний темп роста: 1,05

средний темп прироста 0,02                средний темп прироста: 0,05

Задача 3.

Методом случайной повторной выборки было взято для проверки на вес 200 шт. деталей. В результате проверки был установлен средний вес детали 30 г. при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,954 требуется определить предел в котором находится средний вес деталей в генеральной совокупности.

Ответ.

Средний вес детали колеблется в пределах 29,44 ‹ х ‹ 30,56.

Задача 4.

По имеющимся данным определить индивидуальные и общий индексы себестоимости и экономию (перерасход) от снижения (роста) себестоимости.

Вид товара	Общие затраты, грн.		Имеющие единицы себестоимость в отчетном году, %
	Базисный год	Отчетный год
Электробритва	9500	10244	-1,5
Электрофен	600	612	+2,0

Ответ.

Индивидуальный индекс себестоимости по электробритве 0,985

Индивидуальный индекс себестоимости электрофену 1,02

Общий индекс себестоимости 0,99.

Перерасход денежных средств от роста себестоимости 144 грн.

Задача 5.

Полная первоначальная стоимость оборудования 250,4 тыс. грн. Это оборудование может работать 20 лет при условии проведения в капитальных ремонтов на сумму 2,5 тыс. грн. каждый. После полного износа оборудования может быть реализовано как металлолом за 1 тыс. грн. Затраты на модернизацию в течении срока службы 62,6 тыс. грн. Определить сумму ежегодных амортизационных отчислений, общую норму амортизации.

Ответ.

Сумма ежегодных отчислений 16,6 тыс. грн.

Общая норма амортизации 6,6 %.

Задача по статистике 6.

Определить календарный, режимный, располагаемый (плановый) и фактический фонды станочного времени по 2 видам станков и коэффициенты использования станочного времени за апрель по таким данным:

Виды станков	Количество установленных станков	Фактически отработано станкочасов	Запланировано на ремонт станков, станкочасов
Токарные	48	15127	60
Фрезерные	52	16420	80

Число рабочих дней в апреле 22. Режим работы – 2 смены. Установленная продолжительность смены: 8 часов.

Ответ.

Календарный фонд 72000 станкочасов

Режимный фонд 35200 станкочасов

Плановый фонд 35060 станкочасов

Фактический фонд 31547 станкочасов

Коэффициент использования календарного фонда 43,8 %

Коэффициент использования режимного фонда 89,6 %

Коэффициент использования планового фонда 90 %

Задача 7.

В квартале 62 рабочих дня, отработало 136400 человеко-дней; целодневные простои 930 человеко-дней; неявок по различным причинам (включая праздничные и выходные) 69670 человеко-дней. Определить: коэффициенты использования среднесписочной и среднеявочной численности.

Ответ.

К использования среднесписочной численности 0,96 %

Коэффициент использования среднеявочной численности 0,99 %

Задача 8.

На заводе с численностью персонала 3000 человек производительность труда выросла на 25 %, а на заводе, где работают 5000 человек, снизилась на 5 %. Как изменилась производительность труда на 2-х заводах вместе.

Ответ.

Увеличилась на 6 % производительность на двух заводах.

Задача 9 по статистике

Объем продукции в натуральном выражении на предприятии вырос за отчетный период на 28 %, а производственные затраты в целом возросли на 19 %. Определить как изменилась себестоимость единицы продукции.

К задаче 9 ответ

Себестоимость единицы продукции снизилась на 7 %.

Задача 10.

Какой была численность населения в начале и конце года, если среднегодовой показатель ее за этот год составил 800 тыс. человек, сальдо миграции + 32 тысячи человек, коэффициент естественного прироста 30 % 0.

Ответ — Численность на начало года 772000 человек.

К задаче 10.

Численность на конец года 828000 человек.

zadachi-ru.com.ua

Задачи по статистике

Задача — Ряды распределения и статистические таблицы.

Теория по решению задачи.

Статистический ряд распределения – упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

Дискретный вариационный ряд – характеризует распределение единиц совокупности по дискретному (прерывному) признаку.

Интервальный вариационный ряд – характеризует распределение единиц совокупности по интервальному (непрерывному) признаку.

Для изображения дискретных вариационных рядов распределения используется «полигон распределения». Для графического изображения интервального вариационного ряда применяются «гистограмма» и «кумулята».

Задача 1.

На экзамене по истории студенты получили оценки:

3 4 4 4 3 4

3 4 3 5 4 4

5 5 2 3 2 3

3 4 4 5 3 3

5 4 5 4 4 4

Построить дискретный вариационный ряд распределения студентов по баллам и изобразить его графически.

Ход решения задачи:

Определяем элементы ряда распределения: варианты, частоты, частоты.

Оценка, баллы	Кол-во студентов с такой оценкой, человек	В процентах к итогу
2	2	6,7
3	9	30
4	13	43,3
5	6	20
Итого	30	100

Теперь графически изобразим дискретный ряд распределения в виде помпона распределения.

 

Можно сделать вывод о том, что преобладающее большинство студентов получило «4» (43,3 %).

Задача 2.

Во время выборочной проверки было установлено, что продолжительность одной покупки в кондитерском отделе магазина была такой: (секунды).

77 70 82 81 81

82 75 80 71 80

81 89 75 67 78

73 76 78 73 76

82 69 61 66 84

72 74 82 82 76

Построить интервальный вариационный ряд распределения покупок по продолжительности, создав 4 группы с одинаковыми интервалами. Обозначить элементы ряда. Изобразить его графически, сделать вывод.

Ход решения задачи по статистике:

Определяем элементы ряда распределения: варианты, частоты, частости, накопленные частоты.

Но прежде рассчитаем границы 4 заданных групп с одинаковыми интервалами:

Величину интервала определим по формуле .

В нашем случае 

Границы групп соответственно равны:

I 61+7=68 (61-68)

II 68+7=75 (68-75)

III 75+7=82 (75-82)

IV 82+7=89 (82-89)

Группы покупок по продолжительности, сек.	Число покупок	В процентах к итогу	Накопленные частоты
61-68	3	10	3
68-75	9	30	12
75-82	16	53,3	28
82-89	2	6,7	30
Итого	30	100

Теперь графически отобразим наш интервальный вариационный ряд в виде гистограммы и кумуляты.

 

По таблице и графика можно сделать вывод о том, что преобладающее большинство покупок (16 или 53.3%) находится во временном интервале 75-82, сек.

 

Статистика задача — Абсолютные и относительные величины.

Теория по решению статистической задачи.

Абсолютные величины – показатели, которые выражают размеры общественных явлений и процессов числом единиц совокупности.

Относительные величины – показатели, выражающие количественные соотношения численностей или величин признаков изучаемых явлений.

Виды относительных величин:

1)  Относительная величина выполнения плана:

2)  Относительная величина планового задания:

3)  Относительная величина динамики:

4)  Относительная величина структуры:

5)  Относительная величина сравнения отражает соотношение двух объемов или уровней в пространстве: соотношение производства автомобилей в Украине и России, соотношение уровней оплаты труда в разных хозяйствах, соотношение уровней производительности на разных предприятиях отрасли и т. д.

6)  Относительная величина координации получается посредством деления друг на друга разноименных исходных показателей, она дает типичную характеристику соотношения одно-порядковых по значимости исходных показателей, во-первых, непосредственно связанных между собой, во-вторых, обладающих некоторой общностью.

7)  Относительная величина интенсивности:

Типовая задача № 1

Два консервных завода выработали по 100 тыс. шт. банок виноградного сока. На первом заводе емкость каждой банки составляет 500 см3, а на втором – 200 см3. Можно ли сказать, что оба завода работали одинаково?

Ход решения задачи по статистике:

Для того, чтобы ответить на этот вопрос необходимо установить коэффициенты перевода фактического объема банок в условные банки и затем умножить количество выпущенных банок на эти коэффициенты. Представим расчет в таблице № 1.

Таблица № 1

Заводы	Количество выпущенных банок, тыс. шт.	Объем банки см3	Коэффициенты перевода	Количество выпущенных условных банок, тыс. шт.
№ 1	100	500		100*1,414=141,4
№ 2	100	200		100*0,566=56,6

Таким образом, завод № 1 по сравнению с заводом № 2 выпустил виноградного сока на 84,8 тыс. Банок больше (141,4-56,6).

Статистика — Типовая задача № 2

Имеются следующие данные розничного товарооборота:

Таблица № 2

Универмаги	Розничный товарооборот (млн. грн.)
Фактически за базисный год	Отчетный год
По плану	Фактически
«Крым»	105	110	98
«Центральный»	137	148	150

Определить:

1.  Относительную величину выполнения плана.

2.  Относительную величину планового задания.

3.  Относительную величину динамики.

Ход решения задачи:

1.  Определяем относительную величину выполнения плана по двум универмагам:

2.  Определим относительную величину планового задания:

3.  Определяем относительную величину динамики:

 

Статистическая задача — Средние и структурные средние величины.

Теория по решению статистической задачи:

Средние величины – это показатели. Выражающие типичные черты и дают обобщающую количественную характеристику уровня признака по совокупности однородных явлений.

1.  Средняя арифметическая:

2.  Средняя гармоническая:

3.  Средняя квадратическая:

4.  Средняя хронологическая:

5.  Средняя геометрическая:

К1, К2, К3 и Кn – коэффициенты динамики по отношению к предыдущему периоду.

6.  мода интервальных рядов распределения вычисляется по следующей формуле:

х0 – минимальная граница модального интервала;

i – величина интервала;

f2 – частота модального интервала;

f1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f3 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода для дискретных рядов распределения – это наиболее часто встречающаяся величина признака в данной совокупности.

7.  Медиана для интервальных рядов распределения вычисляется по формуле:

x0 – нижняя граница медианного интервала;

i – величина медианного интервала;

∑f – сумма частот ряда;

SМЕ-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fМЕ – частота медианного интервала.

Чтобы определить медиану в дискретном вариационном ряду. Необходимо сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить ½.

Типовая задача № 1

Имеются следующие данные о заработной плате рабочих:

Таблица № 1

Месячная заработная плата (грн.) (х)	Число рабочих (f)	х*f
х1=120	27	3240
х2=145	33	4785
х4=200	48	9600
х5=208	51	10608
х6=250	16	4000
х7=337	28	9436
Итого	203	41669

Определите среднюю заработную плату одного рабочего.

Ход решения:

Среднюю заработную плату определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Т. о. средняя заработная плата рабочего составила 205,27 грн.

Типовая задача (статистика) № 2

Имеются, следующие данные выпуска литья в литейном цехе завода за пятилетний период:

Таблица № 2

Годы	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
Выпуск литья, тонн	528,34	336,98	439,24	297,55	672,17
В % к предыдущему году	—	63,8	130,3	67,7	225,9

Требуется определить средний темп выпуска литья.

Ход решения задачи:

Для определения среднего темпа выпуска литья используем формулу средней геометрической:

Типовая задача № 3

Имеются следующие данные:

Таблица № 3

Група рабочих по размеру заработной платы (в грн.)	Число рабочих	SМЕ
150-200	28	28
200-250	54	82
250-300	30	112
300-350	47	159
350-400	63	222
400-450	18	240
450-500	22	262
Итого	262	—

Определить моду и медиану.

Ход решения задачи:

1.  Определяем моду:

2.  Определяем медиану:

studfiles.net

Задача №5

По трем населенным пунктам имеются следующие данные:

Населенные пункты	Число жителей всего, тыс. чел.	% лиц, старше 18 лет	% лиц, старше 18 лет, занятых в общественном производстве
	a	b	c
1 2 3	100 60 85	60 69 54	70 75 83

Определить среднее значение каждого признака.

Решение.

1)

Используем формулу средней арифметической простой:

тыс. чел.

2)

Используем формулу средней арифметической взвешенной:

тыс. чел.

3)

Используем формулу средней арифметической взвешенной:

тыс. чел.

Ответ: г) 81,7; 60,1; 75,5.

 

www.ekonomstat.ru

Задача №3

Количество пряжи, выработанной поддельным цехом фабрики, увеличилось по сравнению с прошлым годом в полтора раза, а количество пряжи, вырабатывавшейся за 1 чел/час, возросло на 10%. Определить, как изменилось общее число отработанных чел/часов.

Решение.

Общее количество выработанной пряжи равно произведению количества пряжи, выработанной за один человеко-час , на общее число отработанных человеко-часов :

.

Следовательно, между соответствующими им индексами существует аналогичная взаимосвязь:

.

По условию,

;

.

или 136,4%,

то есть общее число отработанных человеко-часов увеличилось в 1,36 раза.

Ответ: г) увеличилось в 1,36 раза.

 

www.ekonomstat.ru

Задачи по статистике с решениями

Нужна ли статистика экономисту? Отвечу Вам — нужна. Эта отрасль знаний производит сбор, исследование, измерение первичных данных. В этой статье приведены задачи по статистике с решением и будет началом циклу задачи по статистике срешением, полный список которых Вы сможете найти, перейдя по ссылке Статистика.

Часть 1. Приведем исходное условие в таблица 1.

Табл. 1 Стоимость станков компании, млн. грн.

Руководство к решению задачи по статистике

1) Определим средние величины:

— арифметическая:

— гармоническая:

— квадратическая:

2) Размах вариации:

R_x = 59,5 – 8,8 = 50,7 млн. гривен

3) Среднее линейное отклонение:

4) Дисперсия:

5) Средне квадратическое отклонение:

6) Коэффициент вариации:

Как показывает последние расчеты, исходные данные являются не однородными.

Часть 2. Приведем исходное условие в таблица 2.

Табл. 2 Стоимость станков компании, млн. грн.

Руководство к решению задачи по статистике

1) Определим средние величины:                                                      

— арифметическая:

— гармоническая:

— квадратическая:

2) Размах вариации:

R_x = 72– 4,4 = 67,6 млн. гривен

3) Среднее линейное отклонение:

4) Дисперсия:

5) Средне квадратическое отклонение:

6) Коэффициент вариации:

Как показывает последние расчеты, исходные данные являются не однородными.

Задачи по статистике с решением помогают понять применимость теории статистика, изучаемую на лекциях. Так же на сайте Вы найдете как провести дисперсионный анализ, проанализироватья выборочное наблюдение, определить корреляционную взаимосвязь, найти показатели анализа рядов рядов динамики. 

madgicbox.com

1.4. Способы соединения сопротивлений и расчет эквивалентного сопротивления электрической цепи

Сопротивления в электрических цепях могут быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник». Расчет сложной схемы упрощается, если сопротивления в этой схеме заменяются одним эквивалентным сопротивлением R_экв, и вся схема представляется в виде схемы на рис. 1.3, где R=R_экв, а расчет токов и напряжений производится с помощью законов Ома и Кирхгофа.

Электрическая цепь с последовательным соединением элементов

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Последовательным называют такое соединение элементов цепи, при котором во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток I (рис. 1.4).

На основании второго закона Кирхгофа (1.5) общее напряжение U всей цепи равно сумме напряжений на отдельных участках:

U = U₁ + U₂ + U₃ или IR_экв = IR₁ + IR₂ + IR₃,

откуда следует

(1.5)

R_экв = R₁ + R₂ + R₃.

Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи общее эквивалентное сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных участков. Следовательно, цепь с любым числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением R_экв (рис. 1.5). После этого расчет цепи сводится к определению тока I всей цепи по закону Ома

,

и по вышеприведенным формулам рассчитывают падение напряжений U₁, U₂, U₃ на соответствующих участках электрической цепи (рис. 1.4).

Недостаток последовательного включения элементов заключается в том, что при выходе из строя хотя бы одного элемента, прекращается работа всех остальных элементов цепи.

Электрическая цепь с параллельным соединением элементов

Параллельным называют такое соединение, при котором все включенные в цепь потребители электрической энергии, находятся под одним и тем же напряжением (рис. 1.6).

Рис. 1.6

В этом случае они присоединены к двум узлам цепи а и b, и на основании первого закона Кирхгофа (1.3) можно записать, что общий ток I всей цепи равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей:

I = I₁ + I₂ + I₃, т.е. ,

откуда следует, что

(1.6)

.

В том случае, когда параллельно включены два сопротивления R₁ и R₂, они заменяются одним эквивалентным сопротивлением

(1.7)

.

Из соотношения (1.6), следует, что эквивалентная проводимость цепи равна арифметической сумме проводимостей отдельных ветвей:

g_экв = g₁ + g₂ + g₃.

По мере роста числа параллельно включенных потребителей проводимость цепи gэкв возрастает, и наоборот, общее сопротивление R_экв уменьшается.

Напряжения в электрической цепи с параллельно соединенными сопротивлениями (рис. 1.6)

U = IR_экв = I₁R₁ = I₂R₂ = I₃R₃.

Отсюда следует, что

,

т.е. ток в цепи распределяется между параллельными ветвями обратно пропорционально их сопротивлениям.

По параллельно включенной схеме работают в номинальном режиме потребители любой мощности, рассчитанные на одно и то же напряжение. Причем включение или отключение одного или нескольких потребителей не отражается на работе остальных. Поэтому эта схема является основной схемой подключения потребителей к источнику электрической энергии.

Электрическая цепь со смешанным соединением элементов

Смешанным называется такое соединение, при котором в цепи имеются группы параллельно и последовательно включенных сопротивлений.

Рис. 1.7

Для цепи, представленной на рис. 1.7, расчет эквивалентного сопротивления начинается с конца схемы. Для упрощения расчетов примем, что все сопротивления в этой схеме являются одинаковыми: R₁=R₂=R₃=R₄=R₅=R. Сопротивления R₄ и R₅ включены параллельно, тогда сопротивление участка цепи cd равно:

.

В этом случае исходную схему (рис. 1.7) можно представить в следующем виде (рис. 1.8):

Рис. 1.8

На схеме (рис. 1.8) сопротивление R₃ и R_cd соединены последовательно, и тогда сопротивление участка цепи ad равно:

.

Тогда схему (рис. 1.8) можно представить в сокращенном варианте (рис. 1.9):

Рис. 1.9

На схеме (рис. 1.9) сопротивление R₂ и R_ad соединены параллельно, тогда сопротивление участка цепи аb равно

.

Схему (рис. 1.9) можно представить в упрощенном варианте (рис. 1.10), где сопротивления R₁ и R_ab включены последовательно.

Тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы (рис. 1.7) будет равно:

.

Рис. 1.10

Рис. 1.11

В результате преобразований исходная схема (рис. 1.7) представлена в виде схемы (рис. 1.11) с одним сопротивлением R_экв. Расчет токов и напряжений для всех элементов схемы можно произвести по законам Ома и Кирхгофа.

Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

В электротехнических и электронных устройствах элементы цепи соединяются по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления R₁₂, R₁₃, R₂₄, R₃₄ включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

В мостовой схеме сопротивления R₁₃, R₁₂, R₂₃ и R₂₄, R₃₄, R₂₃ соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R₂₄ R₃₄ R₂₃ звездой R₂ R₃ R₄ (рис. 1.13). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям:

(1.8)

; ; .

Для замены схемы «звезда» эквивалентным треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника:

(1.9)

; ; .

После проведенных преобразований (рис. 1.13) можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы (рис. 1.12)

.

studfiles.net

Расчет эквивалентного сопротивления электрической цепи — Мегаобучалка

Любое последовательное соединение можно преобразовать к последовательному соединению одного эквивалентного резистора и одного источника ЭДС. Причем, сопротивление эквивалентного резистора равно сумме всех сопротивлений входящих в соединение, а ЭДС эквивалентного источника равна алгебраической сумме ЭДС источников входящих в соединение.

R₄=20 Ом, R₅=40 Ом, R₆=15 Ом (пример)

Путем сворачивания цепи с помощью преобразований последовательно и параллельно соединенных проводников, можно максимально упростить для дальнейшего расчета сколь угодно сложную схему. Исключением служат цепи содержащие сопротивления, соединенные по схеме звезда и треугольник.

 

9. СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕЗДОЙ И ТРЕУГОЛЬНИКОМ

Схему еоедииения трех ветвей, образующих замкнутый контур с тремя узлами называют треугольником.

взаимные замены треугольника и звезды сопротивлений должны быть эквивалентными, т. е. при соответственно равных напряжениях между вершинами А, Б и В треугольника и звезды токи I_A, I_Б, 1_В в подводящих проводах, соединяющих эти вершины с остальной частью цепи, должны остаться без изменений. Равенство токов должно выполняться при любых изменениях и переключениях в остальной части цепи и, в частности, при обрывах некоторых ее ветвей.

Рис 2.8 Соединение резисторов треугольником (а) и звездой (б)

Сопротивления эквивалентной звезды r_а, r_б, r_в находятся в определенных соотношениях с сопротивлениями треугольника r_аб, r_бв, r_ва. Для выяснения этой зависимости допустим сначала, что в вершине А произошел обрыв подводящего провода и, следовательно, ток I_а=0. Сопротивления между двумя оставшимися присоединенными вершинами Б и В для обеих схем должны быть одинаковы, чтобы были соответственно равны токи I_Б и I_в в обеих схемах.

 

Чтобы преобразовать треугольник в звезду при заданных сопротивлениях сторон треугольника r_аб,r_бв, r_ва, требуется определить сопротивления лучей эквивалентной звезды r_а, r_б, r_в . Для этого составим полусумму левых и правых частей уравнений (2.15) и (2.16):

 

и вычтем из полученного выражения уменьшенные вдвое левую и правую части (2.14). В результате получим

(2.17)

Аналогично получим

(2.18)

(2.19)

 

сли сопротивления треугольника равны друг другу: r_аб = r_бв=r_ва=r_Δ, то будут равны друг другу и сопротив

ления звезды, т. е. r_а = r_б=r_в=r _λ, причем из формул (2.17)—(2.19) получается простое соотношение

(2.20)

При обратном преобразовании звезды в эквивалентный треугольник, т. е. при заданных сопротивленияхr_а, r_б, r_в, надо решить три уравнения (2.17)—(2 19) относительно сопротивлений r_аб, r_бв:

 

 

Таким образом, сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений двух лучей звезды, присоединенных к тем же вершинам, что и сторона треугольника, и их произведения, деленного на сопротивление третьего луча звезды.

11. Режимы работы электрической цепи

· Режим короткого замыкания ( КЗ )

В режиме короткого замыкания источник питания замкнут накоротко. Режим является аварийным. Ток короткого замыкания КЗ во много раз превышает значение номинального тока.

R_н = 0 I = max

· Режим холостого хода ( ХХ )

В режиме холостого хода источник питания отсоединен от нагрузки и работает вхолостую. Сопротивление внешнего участка цепи и ток равен 0. R_н = ∞

· Режим согласованной нагрузки

Свойства электрической цепи – наибольшая мощность нагрузки развивается источником, когда сопротивление нагрузки ровно внутреннему сопротивлению источника.

R_н = I₀

Из графика видно с ростом сопротивления нагрузки растёт мощность на нагрузке при R_н = I₀ мощность нагрузки наибольшая при дальнейшем росте Rн – P_Rн уменьшается.

Мощность электрического тока

P = UI

 

 

megaobuchalka.ru

Физическая формула расчета (определения) эквивалентного сопротивления в цепи

Если электрическая цепь содержит несколько резисторов, то для подсчёта её основных параметров (силы тока, напряжения, мощности) удобно все резистивные устройства заменить на одно эквивалентное сопротивление цепи. Только для него должно выполняться следующее требование: его сопротивление должно быть равным суммарному значению сопротивлений всех элементов, то есть показания амперметра и вольтметра в обычной схеме и в преобразованной не должны измениться. Такой подход к решению задач называется методом свёртывания цепи.

Метод свёртывания цепи

Внимание! Расчёт эквивалентного (общего или суммарного) сопротивления в случае последовательного или параллельного подключения выполняется по разным формулам.

Последовательное соединение элементов

В случае последовательного подключения все приборы соединяются последовательно друг с другом, а собранная цепь не имеет разветвлений.

При таком подключении сила тока, проходящая через каждый резистор, будет одинаковая, а общее падение напряжения складывается из суммарных падений напряжения на каждом из приборов.

Последовательное подключение приборов

Чтобы определить суммарное значение в этом случае, воспользуемся законом Ома, который записывается следующим образом:

I = U/R.

Из вышестоящего выражения получаем значение R:

R = U/I (1).

Поскольку при последовательном соединении:

• I = I1 = I2 =…= IN (2),
• U = U1 + U2 +…+ UN (3),

формула для расчёта эквивалентного сопротивления (Rобщ или Rэкв) из (1) – (3) будет иметь вид:

• Rэкв = (U1 + U2 + …+ UN)/I,
• Rэкв = R1 + R2 + … + RN (4).

Таким образом, если имеется N последовательно соединённых одинаковых элементов, то их можно заменить на одно устройство, у которого:

Rобщ = N·R (5).

Параллельное соединение

При таком подключении входы от всех устройств соединены в одной точке, выходы – в другой точке. Эти точки в физике и электротехнике называются узлами. На электрических схемах узлы представляют собой места разветвления проводников и обозначаются точками.

Параллельное соединение

Расчет эквивалентного сопротивления также выполняем с помощью закона Ома.

В этом случае общее значение силы тока складывается из суммы сил токов, протекающих по каждой ветви, а величина падения напряжения для каждого устройства и общее напряжение одинаковые.

Если имеются N резистивных устройств, подключенных таким образом, то:

I = I1 + I2  + … + IN (6),

U = U1 = U2 = … = UN (7).

Из выражений (1), (6) и (7) имеем:

• Rобщ = U/(I1 + I2 + …+ IN),
• 1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 +…+ 1/RN (8).

Если имеется N одинаковых резисторов, имеющих подключение данного типа, то формула (8) преобразуется следующим образом:

Rобщ = R · R / N·R = R / N (9).

Если соединены несколько катушек индуктивности, то их суммарное индуктивное сопротивление рассчитывается так же, как и для резисторов.

Расчёт при смешанном соединении устройств

В случае смешанного подключения присутствуют участки с последовательным и параллельным подключениями элементов.

При решении задачи используют метод сворачивания цепи (метод эквивалентных преобразований). Его используют для вычисления параметров в том случае, если есть один источник энергии.

Предположим, задана следующая задача. Электрическая схема (см. рис. ниже) состоит из 7 резисторов. Рассчитайте токи на всех резисторах, если имеются следующие исходные данные:

• R1 = 1Ом,
• R2 = 2Ом,
• R3 = 3Ом,
• R4 = 6Ом,
• R5 = 9Ом,
• R6 = 18Ом,
• R7 = 2,8Ом,
• U = 32В.

Электрическая схема

Из закона Ома имеем: 

I = U/R,

где R – суммарное сопротивление всех приборов.

Его будем находить, воспользовавшись методом сворачивания цепи.

Элементы R2 и R3 подключены параллельно, поэтому их можно заменить на R2,3, величину которого можно рассчитать по формуле:

R2,3= R2·R3 / (R2+R3).

R4, R5 и R6 также включены параллельно, и их можно заменить на R4,5,6, которое вычисляется следующим образом:

1/R4,5,6 = 1/R4+1/R5+1/R6.

Таким образом, схему, изображённую на картинке выше, можно заменить на эквивалентную, в которой вместо резисторов R2, R3 и R4, R5, R6 используются R2,3 и R4,5,6.

Эквивалентная схема

Согласно картинке выше, в результате преобразований получаем последовательное соединение резисторов R1, R2,3, R4,5,6 и R7.

Rобщ может быть найдено по формуле:

Rобщ = R1 + R2,3 + R4,5,6 + R7.

Подставляем числовые значения и рассчитываем R для определённых участков:

• R2.3 = 2Ом·3Ом / (2Ом + 3Ом) = 1,2Ом,
• 1/R4,5,6 = 1/6Ом + 1/9Ом + 1/18Ом = 1/3Ом,
• R4,5,6 = 3Ом,
• Rэкв = 1Ом + 1,2Ом + 3Ом + 2,8Ом= 8Ом.

Теперь, после того, как нашли Rэкв, можно вычислять значение I:

I = 32В / 8Ом = 4А.

После того, как мы получили величину общего тока, можно вычислить силу тока, протекающую на каждом участке.

Поскольку R1, R2,3, R4,5,6 и R7 соединены последовательно, то:

I1 = I2,3 = I4,5,6 = I7 = I = 4А.

На участке R2,3 напряжение находим по формуле:

• U2,3 = I2,3·R2,3,
• U2,3 = 4А·1,2Ом = 4,8В.

Поскольку R2 и R3 подключены параллельно, то U2,3 = U2 = U3, следовательно:

• I2 = U2 / R2,
• I2 = 4,8В / 2Ом = 2,4А,
• I3 = U3 / R3,
• I3 = 4,8В / 3Ом = 1,6А.

Проверяем правильность решения:

• I2,3 = I2 + I3,
• I2,3 = 2,4А + 1,6А = 4А.

На участке R4,5,б напряжение также находим, исходя из закона Ома:

• U4,5,6 = I4,5,6·R4,5,6,
• U4,5,6 = 4А·3Ом = 12В.

Так как R4, R5, Rб подключены параллельно друг к другу, то:

U4,5,6 = U4 = U5 = U6 = 12В.

Вычисляем I4, I5, I6:

• I4 = U4 / R4,
• I4 = 12В / 6Ом = 2А,
• I5 = U5 / R5,
• I5 = 12В / 9Ом » 1,3А,
• I6 = U6 / R6,
• I5 = 12В / 18Ом » 0,7А.

Проверяем правильность решения:

I4,5,6 = 2А + 1,3А + 0,7А = 4А.

Чтобы автоматизировать выполнение расчётов эквивалентных значений для различных участков цепи, можно воспользоваться сервисами сети Интернет, которые предлагают на их сайтах выполнить онлайн вычисления нужных электрических характеристик. Сервис обычно имеет встроенную специальную программу – калькулятор, которая помогает быстро выполнить расчет сопротивления цепи любой сложности.

Таким образом, использование метода эквивалентных преобразований при расчёте смешанных соединений различных устройств позволяет упростить и ускорить выполнение вычислений основных электрических параметров.

Видео

Оцените статью:

elquanta.ru

Расчет сопротивления цепи

Расчет сопротивления цепи необходим при решении различных задач по электротехнике. Суть заключается в приведении сложной разветвленной электрической цепи к цепи с единственным эквивалентным сопротивлением, которую называют простой электрической цепью. 

Пример 1

 

Цепь в данном примере состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений, следовательно, их общее сопротивление будет равно сумме их сопротивлений. Подробнее о видах соединений тут.

Допустим, что R₁=10 Ом R₂=20 Ом, тогда 

Пример 2

 

Два сопротивления соединены параллельно, значит при сворачивании схемы, общее сопротивление будет равно (значения R₁,R₂ такие же как и в примере 1) 

Можно заметить, что при параллельном соединении общее сопротивление меньше, чем при последовательном в несколько раз. 

Пример 3

 

В данном примере ситуация аналогична примеру 2, за тем лишь исключением, что сопротивлений три. Тогда общее сопротивление будет равно (R₁,R₂ прежние, R₃=105 Ом) 

 

Пример 4

 

Чтобы рассчитать общее сопротивление смешанного соединения проводников, необходимо для начала найти общее сопротивление резисторов R₁ и R₂ соединенных параллельно, а затем общее сопротивление, как сумму R₁₂ и R₃ соединенных последовательно. 

 Пример 5

Данная электрическая цепь сложнее, чем предыдущие, но как можно увидеть, она также состоит из последовательно или параллельно соединенных сопротивлений, которые можно постепенно сворачивать, приводя цепь к единственному эквивалентному сопротивлению R.

R₄=20 Ом, R₅=40 Ом, R₆=15 Ом 

Путем сворачивания цепи с помощью преобразований последовательно и параллельно соединенных проводников, можно максимально упростить для дальнейшего расчета сколь угодно сложную схему. Исключением служат цепи содержащие сопротивления, соединенные по схеме звезда и треугольник.  

Просмотров: 15581

electroandi.ru

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Главная → Примеры решения задач ТОЭ → Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Основными законами, определяющими расчет электрической цепи, являются законы Кирхгофа.

На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока, позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.

Существенно упростить вычисления, а в некоторых случаях и снизить трудоемкость расчета, возможно с помощью эквивалентных преобразований схемы.

Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда» в эквивалентный «треугольник» и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.

В данной статье по теоретическим основам электротехники рассмотрены примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока с использованием метода эквивалентных преобразований типовых схем соединения источников и потребителей энергии, приведены расчетные формулы.

Решение задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

---

Задача 1. Для цепи (рис. 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g, если известно: R₁ = R₂ = 0,5 Ом, R₃ = 8 Ом, R₄ = R₅ = 1 Ом, R₆ = 12 Ом, R₇ = 15 Ом, R₈ = 2 Ом, R₉ = 10 Ом, R₁₀= 20 Ом.

Рис. 1

Решение

Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g:

---

Задача 2. Для цепи (рис. 2, а), определить входное сопротивление если известно: R₁ = R₂ = R₃ = R₄= 40 Ом.

Рис. 2

Решение

Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис. 2, б), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивленияможно воспользоваться формулой:

где R – величина сопротивления, Ом;

n – количество параллельно соединенных сопротивлений.

---

Задача 3. Определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a–b, если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R₅ = R₆ = 10 Ом (рис. 3, а).

Рис. 3

Решение

Преобразуем соединение «треугольник» f−d−c в эквивалентную «звезду». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис. 3, б):

По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:

На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e–b, тогда эквивалентное сопротивление равно:

И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:

---

Задача 4. В заданной цепи (рис. 4, а) определить методом эквивалентных преобразований входные сопротивления ветвей a−b, c–d и f−b, если известно, что: R₁ = 4 Ом, R₂ = 8 Ом, R₃ =4 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 2 Ом, R₆ = 8 Ом, R₇ = 6 Ом, R₈ =8 Ом.

Решение

Для определения входного сопротивления ветвей исключают из схемы все источники ЭДС. При этом точки c и d, а также b и f соединяются накоротко, т.к. внутренние сопротивления идеальных источников напряжения равны нулю.

Рис. 4

Ветвь a−b разрывают, и т.к. сопротивление R_a–b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис. 4, б):

Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей R_cd и R_bf. Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает ( «закорачивает») из схемы сопротивления R₁, R₂, R₃, R₄ в первом случае, и R₅, R₆, R₇, R₈ во втором случае.

---

Задача 5. В цепи (рис. 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I₁, I₂, I₃ и составить баланс мощностей, если известно: R₁ = 12 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, U = 120 В.

Рис. 5

Решение

Эквивалентное сопротивлениедля параллельно включенных сопротивлений:

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

Ток в неразветвленной части схемы:

Напряжение на параллельных сопротивлениях:

Токи в параллельных ветвях:

Баланс мощностей:

---

Задача 6. В цепи (рис. 6, а), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра, если известно: R₁ = 2 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, R₄ = 40 Ом, R₅ = 10 Ом, R₆ = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.

Рис. 6

Решение

Если сопротивления R₂, R₃, R₄, R₅ заменить одним эквивалентным сопротивлением R_Э, то исходную схему можно представить в упрощенном виде (рис. 6, б).

Величина эквивалентного сопротивления:

Преобразовав параллельное соединение сопротивлений R_Э и R₆ схемы (рис. 6, б), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:

откуда ток I₁:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей U_ab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием R_Э и R₆:

Тогда амперметр покажет ток:

---

Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис. 7, а), если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 3 Ом, J = 5 А, R₅ = 5 Ом.

Рис. 7

Решение

Преобразуем «треугольник» сопротивлений R₁, R₂, R₃ в эквивалентную «звезду» R₆, R₇, R₈ (рис. 7, б) и определим величины полученных сопротивлений:

Преобразуем параллельное соединение ветвей между узлами 4 и 5

Ток в контуре, полученном в результате преобразований, считаем равным току источника тока J, и тогда напряжение:

И теперь можно определить токи I₄ и I₅:

Возвращаясь к исходной схеме, определим напряжение U₃₂ из уравнения по второму закону Кирхгофа:

Тогда ток в ветви с сопротивлением R₃ определится:

Величины оставшихся неизвестными токов можно определить из уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов 3 и 1:

---

Электронная версия статьи Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Примеры решения задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

---

Метод эквивалентных преобразований 

02.09.2011, 237358 просмотров.

rgr-toe.ru

1. Законы электрических цепей постоянного тока

1.1 Определения.

Законы электрических цепей постоянного тока подробно изучаются в школьном и вузовском курсах физики, поэтому в данном учебном пособии излагаются кратко. Приведем лишь некоторые определения и формулировки основных законов.

Узлом электрической цепи называется точка, в которой соединяется не менее трех проводников. Однородный участок цепи – это такой участок, на котором не действуют сторонние силы.

Эквивалентным сопротивлением участка цепи называется сопротивление, которым можно заменить все сопротивления рассматриваемого участка, при этом параметры других участков цепи не изменятся.

1.2 Основные законы.

Закон Ома для участка цепи:

Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на этом участке и обратно пропорциональна его эквивалентному сопротивлению.

(1.1)

Закон Ома для полной цепи:

Сила тока прямо пропорциональна электродвижущей силе (э.д.с.) источника тока и обратно пропорциональна полному сопротивлению этой цепи : . (1.2)

Здесь r – внутреннее сопротивление источника тока.

Рассчитать электрическую цепь – значит определить токи и падения напряжения на всех ее участках. Часто при расчете электрических цепей применяют законы Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

ΣI_k = 0 (1.3)

При этом токи, входящие в узел, и выходящие из него, берутся с разными знаками.

Другая формулировка этого закона: Сумма входящих в узел токов равна сумме токов, выходящих из него.

2-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма э.д.с., входящих в замкнутый контур, равна сумме падений напряжений на элементах этого контура:

ΣЕ_k = ΣU_k (1.4)

При этом э.д.с., совпадающие по направлению с обходом контура, берутся со знаком «+», а противоположного направления – со знаком «-».

Закон баланса мощности электрической цепи: Алгебраическая сумма мощностей, генерируемых источниками напряжения, равна сумме мощностей, потребляемых приемниками электрической энергии:

ΣР_ист= ΣР_пр (1.5)

Закон баланса мощности являются универсальным инструментом, с помощью которого можно проверить правильность расчета электрической цепи.

1.3 Правила расчета эквивалентных сопротивлений.

Рассмотрим различные схемы соединения электрических элементов.

1. Последовательное соединение элементов.

Последовательное соединение элементов изображено на рис.1.1.

Цепь, через все элементы которой протекают один и тот же ток, называется неразветвленной.

Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных элементов равно сумме сопротивлений этих элементов:

R_экв= ΣR_{k ,} (1.6)

или : R_экв=R₁ + R₂ +…+ R_k (1.7)

Падение напряжения на любом из k элементов может быть найдено по формуле:

U_k=I· R_k (1.8)

а) б)

Рис.1.1 Схема последовательного соединения (а)

и ее эквивалентная схема (б)

Применив 2-й закон Кирхгофа и закон баланса мощности, можно проверить правильность расчета электрической цепи с

последовательным соединением элементов. Должны выполняться соотношения (1.4) и (1.5) в следующем виде :

U_ист = ΣU_к =U₁ + U₂ +…+U_k (1.9)

и

Р_ист =I·U_ист= ΣР_{пр к} = Р₁+Р₂+…+Р_k (1.10)

здесь Р_{пр к}= I_k²·R_{k —} мощность, потребляемая k-тым приемником;

Р_ист – мощность источника тока.

studfiles.net

Способы соединения сопротивлений и расчет эквивалентного сопротивления электрической цепи

Поиск Лекций

---

Сопротивления в электрических цепях могут быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник».

 

Электрическая цепь с последовательным соединением элементов

Рис. 2.1

Рис. 2.2

 

Последовательным называют такое соединение элементов цепи, при котором во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток I (рис. 2.1).

На основании второго закона Кирхгофа (1.5) общее напряжение U всей цепи равно сумме напряжений на отдельных участках:

или ,

откуда следует

(1.6).

Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи общее эквивалентное сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных участков. Следовательно, цепь с любым числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением (рис. 2.2). После этого расчет цепи сводится к определению тока I всей цепи по закону Ома , и по вышеприведенным формулам рассчитывают падение напряжений , , на соответствующих участках электрической цепи (рис. 2.1).

Недостаток последовательного включения элементов заключается в том, что при выходе из строя хотя бы одного элемента, прекращается работа всех остальных элементов цепи.

 

Электрическая цепь с параллельным соединением элементов

Параллельным называют такое соединение, при котором все включенные в цепь потребители электрической энергии, находятся под одним и тем же напряжением (рис. 2.3).

 

 

Рис. 2.3

 

В этом случае они присоединены к двум узлам цепи а и b, и на основании первого закона Кирхгофа (1.3) можно записать, что общий ток I всей цепи равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей:

, т.е. ,

откуда следует, что

(1.7).

В том случае, когда параллельно включены два сопротивления и , они заменяются одним эквивалентным сопротивлением

(1.8).

Из соотношения (1.6), следует, что эквивалентная проводимость цепи равна арифметической сумме проводимостей отдельных ветвей:

.

По мере роста числа параллельно включенных потребителей проводимость цепи возрастает, и наоборот, общее сопротивление уменьшается.

Напряжения в электрической цепи с параллельно соединенными сопротивлениями (рис. 2.3)

.

Отсюда следует, что

,т.е. ток в цепи распределяется между параллельными ветвями обратно пропорционально их сопротивлениям.

По параллельно включенной схеме работают в номинальном режиме потребители любой мощности, рассчитанные на одно и то же напряжение. Причем включение или отключение одного или нескольких потребителей не отражается на работе остальных. Поэтому эта схема является основной схемой подключения потребителей к источнику электрической энергии.

Электрическая цепь со смешанным соединением элементов

Смешанным называется такое соединение, при котором в цепи имеются группы параллельно и последовательно включенных сопротивлений.

 

 

Рис. 2.4

 

Для цепи, представленной на рис. 2.4, расчет эквивалентного сопротивления начинается с конца схемы. Для упрощения расчетов примем, что все сопротивления в этой схеме являются одинаковыми: . Сопротивления и , R5 включены параллельно, тогда сопротивление участка цепи равно:

.

В этом случае исходную схему (рис. 2.4) можно представить в следующем виде (рис. 2.5):

 

 

Рис. 2.5

 

На схеме (рис. 2.5) сопротивление и соединены последовательно, и тогда сопротивление участка цепи равно:

.

Тогда схему (рис. 2.5) можно представить в сокращенном варианте (рис. 2.6):

 

Рис. 2.6

На схеме (рис. 2.6) сопротивление и соединены параллельно, тогда сопротивление участка цепи равно:

.

Схему (рис. 2.6) можно представить в упрощенном варианте (рис. 2.7), где сопротивления и включены последовательно.

Тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы (рис. 2.4) будет равно:

Рис. 2.7

 

Рис. 2.8

 

В результате преобразований исходная схема (рис. 2.4) представлена в виде схемы (рис. 2.8) с одним сопротивлением . Расчет токов и напряжений для всех элементов схемы можно произвести по законам Ома и Кирхгофа.

 

Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

В электротехнических и электронных устройствах элементы цепи соединяются по мостовой схеме (рис. 2.9). Сопротивления , , , включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.

Рис. 2.9

 

Рис. 2.10

 

В мостовой схеме сопротивления , , и , , соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника звездой (рис. 2.10). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям:

, , (1.9)

Для замены схемы «звезда» эквивалентным треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника:

, , (1.10)

После проведенных преобразований (рис. 2.10) можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы (рис. 2.9)

.

 

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Числовые ряды. Знакоположительные ряды | Математика, которая мне нравится

Определение. Пусть — последовательность вещественных чисел. Числовым рядом называется

   

Сумма называется частной суммой ряда.

Определение. Если последовательность чисел сходится к конечному пределу , то говорят, что ряд сходится и его сумма равна

   

Если же последовательность расходится, то говорят, что ряд расходится.

Числа называются членами ряда. Всякая конечная сумма называется отрезком ряда.

Если все числа положительны (неположительны, неотрицательны, отрицательны), ряд называется знакоположительным (знаконеположительным, знаконеотрицательным, знакоотрицательным).

Пример. Рассмотрим ряд

   

где — некоторое фиксированное число. Частные суммы этого ряда

   

Если , то .

При ряд расходится, так как неограниченно возрастает.

При . Следовательно, ряд расходится.

При Следовательно, не имеет предела, и ряд расходится.

Значит, ряд сходится при , а при расходится.

Теорема (критерий Коши для ряда). Ряд

   

сходится тогда и только тогда, когда

   

В частности, если ряд сходится, то для любого . Таким образом, у сходящегося ряда — необходимое условие сходимости. Однако оно не является достаточным.

Для знаконеотрицательных рядов из ограниченности последовательности частичных сумм следует сходимость ряда.

Теорема (признак сравнения). Если знаконеотрицательный ряд сходится и существуют и : , то тогда и ряд сходится.

Доказательство. Пусть , . Тогда при

   

Последовательность возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел.

Пример. Если для неотрицательного ряда

   

где и , то ряд сходится.

Теорема (признак Даламбера). Если для знакоположительного ряда

   

выполняется неравенство

   

то ряд сходится.

Если

   

то ряд расходится.

Доказательство. Если , то существует : начиная с некоторого номера , выполняется неравенство

   

Отсюда

   

и по признаку сравнения ряд сходится.

С именем Даламбера связан один забавный случай. Рассказывают, что, обучая математике очень тупого и очень знатного ученика и не добившись  понимания доказательства, Даламбер в отчаянии воскликнул: “Ну, честное  слово, сударь, эта теорема верна!” На что ученик отвечал: “Сударь, почему вы сразу так мне не сказали? Вы — дворянин, и я — дворянин; Вашего слова для меня вполне достаточно”.

Пример. Ряд

   

сходится, поскольку

   

Теорема (признак Коши). Если для знакоположительного ряда

   

выполняется неравенство

   

то ряд сходится.

Если же

   

то ряд расходится.

Доказательство. Если , то существует : . Следовательно, , и по признаку сравнения ряд сходится.

Если же , то существует : . Значит, члены ряда не стремятся к нулю, и ряд расходится.

Пример. Ряд

   

сходится, так как

   

Пример. Гармонический ряд (каждый член этого ряда, начиная со второго, — среднее гармоническое двух соседних его членов: ) расходится.

Доказательство.

   

Частная сумма гармонического ряда может быть сделана больше чего угодно.

hijos.ru

24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.

Числовые ряды – рассмотрим числовую последовательность: u_n – числа.

Составим суммы: ;

;

…………………..

;

Выражение: – называется числовым рядом (1)

Числа — называются членами ряда. Если они положительны, то ряд называется знакоположительным.

— называется n-ый член ряда или общий член ряда.

— частичные суммы.

Числовой ряд (1) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится к некоторому числу S, которое называется суммой ряда, т.е. ряд сходится если существует предел: . Если предел не существует или равен бесконечности, то ряд называетсярасходящимся. Ряд может быть задан перечислением нескольких членов или в виде формулы общего члена ряда.

Ряд геометрической прогрессии – Исследуем на сходимость ряд: Этот ряд называетсярядом (2)

геометрической прогрессии. Сумму первых n-членов ряда геометрической прогрессии находим по формуле: ,

Найдем

Рассмотрим следующие случаи:

1), тогда , поэтому – ряд сходится;

2), тогда , и — ряд расходится;

3), тогда ряд (2) имеет вид: , его сумма,- ряд расходится;

Вывод: ряд геометрической прогрессии (2) сходится, при иего и расходится, при.

25.Свойства числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.

Простейшие свойства числовых рядов:

1.Суммой двух рядов иназывается ряд;

2.Произведением ряда на действительное число α называется ряд: ;

3.Сходимость ряда не нарушается, если произвольно изменить (переставить, добавить или отбросить) конечное число членов. Сумма может измениться;

4.Сходящийся ряд можно почленно умножать на любой множитель α, и если сумма ряда равна , то сумма;

5.Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать: ; ,то ;

Необходимое условие сходимости ряда:

Теорема: Если ряд сходится, то его общий член, т.е. (1)

Доказательство: Если ряд , .Запишем: и найдем его предел ч.т.д.

Если условие (1) не выполняется, то ряд расходится. Условие (1) не является достаточным условием сходимости ряда, т.е. из выполнения равенства не обязательно вытекает сходимость ряда.

26.Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши.

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, о том сходится ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда можно установить с помощью достаточных признаков.

Признак Даламбера – пусть дан ряд знакоположительный и существует предел отношения последнего члена ряда к предыдущему, т.е.:, тогда, если.

Радикальный признак Коши – дан знакоположительный ряд , если существует предел, тогда если.

27.Достаточный признак сходимости: интегральный признак Коши. Сходимость обобщённого гармонического ряда.

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, о том сходится ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда можно установить с помощью достаточных признаков.

Интегральный признак Коши – дан знакоположительный ряд , пусть его члены могут быть представлены как числовые значения некоторой функцииf(x), которая убывает на промежутке [1;+∞), т.е.: ;

;

…………..

;

тогда: 1.Если несобственный интеграл: сходится, то и ряд сходится;

2.Если несобственный интеграл: расходится, то и ряд расходится;

Замечание (о сходимости несобственного интеграла): интеграл сходится, еслиlim = ∞, или не существует, интеграл расходится.

Обобщенный гармонический ряд:

, где p>0 – действительное число (1)

Ряд (1) называется рядом Дирихле. Исследуем ряд на сходимость по интегральному признаку. Рассмотрим функцию , это функция убывает на интервале (1; ).

Вывод: ряд Дирихле

при

Этот ряд удобно использовать в признаках сравнения.

studfiles.net

Определения

Ряды в настоящее время представляют собой особо широко используемый математический аппарат для точного и приближенного решения различных уравнений.

Определение 1. Рядом называется сумма некоторой последовательности, другими словами ряд – есть сумма бесконечного числа членов, каждый из которых является элементом заданной последовательности.

Ряды бывают двух видов:

1) числовые ряды, если каждый член ряда – число, в этом случае

,

причем в правой части записан числовой ряд, в левой части – его сокращенное обозначение, здесь означает суммирование членов ряда от первого до сколь угодно большого,общий (й) член ряда.

2) функциональные ряды, когда каждый член ряда есть функция:

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если его сумма имеет конечное значение, если сумма ряда не существует, или равна бесконечности, ряд – расходящийся.

Определение 3. Сумму первых членов ряда называютчастичной суммой ряда.

Очевидно, сумма ряда определяется формулой. Однако применение этой формулы сопряжено с большими, порой непреодолимыми, трудностями. Далеко не всегда удается в компактной форме записатью частичную сумму ряда, а, следовательно, вычислить ее предел. Почленное суммирование ряда — еще менее перспективная процедура, бесконечное число членов не просуммируешь.

Вследствие этого точное значение суммы ряда можно установить в очень небольшом числе случаев.

Приведем пример геометрической прогрессии

,

знаменатель которой .

Известна сумма первых членов этого ряда. Вычислим ее предел. Если, то, следовательно,. При, и. Ряд расходится. Приряд также расходится. Итак, подтверждается утверждение, что геометрическая прогрессия сходится прии расходится при.

В большинстве случаев приходится вычислять суммы рядов приближенно, но для этого необходимо знать, существует ли конечное значение этой суммы, то есть сходящийся ли ряд.

Теория рядов, следовательно, создана для установления сходимости или расходимости рядов. При необходимости сумму сходящегося ряда вычисляют приближенно, расходящиеся ряды практической ценности не представляют.

Числовые ряды Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то .

Доказательство. Если ряд сходящийся, существует его конечная сумма , причем. Вычислим

.

Основное свойство рядов

Если ряд сходящийся, то его остаток , образованный отбрасыванием первыхчленов ряда, тоже сходится. Если ряд расходящийся, то его остаток также является расходящимся рядом.

В самом деле,

.

Если ряд сходится, то существует его конечная сумма , а- всегда конечна как сумма конечного числа членов. Тогда изследует, чтоконечное число, и остаток ряда – сходится. Когда ряд расходящийся,. Поскольку сумма ряда в правой части равенства не существует (ряд расходящийся), аимеет конечное значение, сумма ряда в левой части также не существует.

Переходим к рассмотрению частных случаев рядов. Вначале исследуем сходимость числовых рядов.

Знакоположительные числовые ряды

Начнем с теорем сравнения знакоположительных рядов.

Первая теорема сравнения. Даны два знакоположительных числовых ряда и, причем. Из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда. Из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда.

Доказательство.

1) Пусть ряд сходится, и его суммаконечна. Рассмотрим частичные суммы обоих рядови. Так как члены обоих рядов положительны, при любомимеем, из условияимеем. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда. Она монотонно возрастает с ростом(суммируется все большее число положительных членов). В то же время она ограничена сверху числом. Но имеется теорема, утверждающая, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. Итак,, следовательно,является суммой ряда.

2) Пусть ряд расходится. Поскольку все его члены положительны, его сумма равна бесконечности. По условию теоремы, следовательно,, то есть при неограниченном возрастании суммынеограниченно растет и сумма. Больший ряд также расходится.

Вторая теорема сравнения (упрощенная постановка). Даны два знакоположительных ряда и, причем, в этом случае оба ряда ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Из следует, что

.

Из записанной формулы следует, что начиная с и для всех остальных выполняется неравенство, из которого имеем, или.

1)Рассмотрим правую часть неравенства. Пусть ряд сходится, тогда сходится и его остаток, следовательно, сходится и ряд. Поскольку, из первой части первой теоремы сравнения следует сходимость ряда, а, следовательно, и самого ряда.

2) Пусть ряд расходится, тогда расходится и его остаток. Подберемтак, чтобы, тогда рядтоже расходится. Но из левой части полученного выше неравенства следует, что, значит, члены рядабольше членов расходящегося ряда, из первой теоремы сравнения следует, что рядрасходящийся, расходится и ряд.

Доказано, что из сходимости (расходимости) ряда следует сходимость (расходимость) ряда.

Рассмотрим теперь . Очевидно,, то есть условия только что доказанной теоремы выполнены. Но в этом случае можно утверждать, что из сходимости (расходимости) рядаследует сходимость (расходимость) ряда. Итак, ряды при выполнении условий теоремы ведут себя одинаково.

Доказаны две важнейшие теоремы. Однако для сравнения рядов необходимо иметь информацию о сходимости или расходимости хотя бы нескольких рядов, с которыми можно было бы сравнивать другие ряды.

Для этой цели рассмотрим несколько достаточных условий, позволяющих исследовать сходимость конкретных рядов.

Признак Даламбера

сходимости знакоположетельных рядов

Теорема. Ряд при условиисходится, когдарасходится, еслипризнак Даламбера неприменим.

Доказательство. Если , то

,

откуда следует

1) Для доказательства первой части теоремы воспользуемся правой частью неравенства, записав его в виде , где,. По условию теоремы. Зададимнастолько малым, чтобы. Тогда

,

,

,

……………………

Рассмотрим теперь два ряда

и

.

Нижний ряд представляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию, так как . Члены верхнего ряда меньше соответствующих членов нижнего ряда, на основании первой теоремы сравнения рядсходится. Но этот ряд является остатком рассматриваемого ряда, следовательно, он тоже сходится.

2) Для доказательства второй части теоремы при воспользуемся полученным ранее неравенством, подобравтак, чтобы. Тогда, то есть положительные члены ряда растут с ростом. Очевидно,, но ряд может сходиться только в случае. Ряд расходится.

3) При условииневозможно доказать сходимость, или расходимость ряда. Следовательно, в этом случае признак Даламбера неприменим.

Рекомендация. Признак Даламбера дает положительный ответ практически всегда, если общий член ряда содержит показательную функцию или факториалы.

Пример 1. . Очевидно,. Тогда

. Ряд сходится.

Пример 2. ..

Чтобы решить этот пример, вспомним некоторые формулы для «факториала» ,.

.

Ряд расходится.

Радикальный признак Коши

сходимости знакоположительных рядов

Теорема. Дан ряд . Если, а, то ряд сходится, приряд расходится, припризнак не работает.

Доказательство. Из следует, что

,

другими словами, начиная с некоторого и для всех последующих, оттуда следует, или, где,.

1. Докажем справедливость первого утверждения теоремы. В этом случае , зададимтак, чтобы выполнялось. Из правой части полученного двойного неравенства следует, что. Если сравнить рядыи, то члены первого ряда меньше соответствующих членов второго ряда, являющегося сходящимся как геометрическая прогрессия со знаменателем меньшим единицы. Из первой теоремы сравнения рядов следует, что ряд, то есть остаток рядасходится, следовательно, сходится и сам ряд.

2. При доказательстве второго утверждения теоремы учтем, что и зададимтак, чтобы. Воспользуемся левой частью двойного неравенства. Сравним рядс расходящейся геометрической прогрессией. И поскольку члены рядабольше соответствующих членов расходящейся геометрической прогрессии, он расходится. Так как этот ряд является остатком ряда, то и сам ряд расходится.

3. При ряд может как сходиться, так и расходиться, следовательно, признак неприменим.

Замечание. Радикальный признак удобно применять, когда хорошо извлекается корень й степени из общего члена ряда.

Пример 1. ., ряд сходится.

Пример 2. .,

ряд расходится.

Интегральный признак Маклорена – Коши

сходимости знакоположительных рядов

Теорема. Знакоположительный ряд сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл, причем подынтегральная функцияполучается из общего члена ряда заменой дискретно меняющейся переменнойна действительную переменную.

Доказательство.

1) Пусть интеграл — сходится, то есть принимает конечное значение. Рассмотрим интеграл, его значение дает площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми,,и кривой. Разобьем отрезокнаравных частей, длина каждого элементарного отрезка равна 1. Из точек разбиения восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой, длины этих перпендикуляров, где- члены исследуемого ряда, что следует из условия теоремы. Построим вписанные в криволинейную трапецию прямоугольники, одна из сторон каждого из них равна 1, другие имеют длинысоответственно. Подсчитаем сумму площадей вписанных прямоугольников

,

сумма площадей численно равна й частичной сумме ряда без первого члена. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда. Она растет с ростом величины верхнего предела интеграла, так как растет количество вписанных прямоугольников. В то же время любая частичная сумма ряда, как уже говорилось выше, совпадающая численно с площадью вписанных прямоугольников, не может превышать площади криволинейной трапеции, которая сама меньше значения интеграла. Итак, последовательность частичных сумм ряда монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет конечный предел, но это сумма рядапо определению. Значит, ряд сходится.

2) Пусть интеграл расходящийся. Так как, то. Построим описанные прямоугольники, одна из сторон каждого из них равна 1, другие соответственно. Сумма площадей этих прямоугольников равнаи совпадает счастичной суммой ряда. Поскольку сумма площадей описанных прямоугольников больше площади криволинейной трапеции, которая равна, то и частичные суммы ряда неограниченно возрастают. Очевидно,. Ряд расходится.

Итак, получен универсальный признак сходимости, который, в отличие от предыдущих двух признаков, работает всегда. Но его применение приводит к необходимости исследования сходимости несобственного интеграла, что далеко не просто, да и не всегда возможно.

Исследуем ряд с помощью интегрального признака. Для этого необходимо исследовать сходимость интеграла, что было проделано ранее. Он сходится прии расходится при. Тогда и рядсходится прии расходится при.

Пример 1. . Вычислим интеграл

,

интеграл сходится и ряд тоже.

Пример 2. . Вычислим интеграл

,

интеграл, а вместе с ним ряд сходятся.

Исследование сходимости знакоположительных рядов с помощью МАКСИМЫ

Рассмотрим ряд

Поскольку не выполняется необходимое условие сходимости ряда (предел n — го члена равен бесконечности), он расходящийся.

Рассмотрим ряд

Поскольку предел n — го члена равен нулю, ряд может как сходиться, так и расходиться. Применение признака Даламбера дает , что меньше 1, ряд сходится.

Исследуем ряд

Проверка необходимого условия показывает, что ряд может и сходиться, и расходиться. Признак Даламбера дает 1, то есть не работает. Интегральный признак приводит к сходящемуся интегралу, следовательно, ряд сходится.

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать сходимость рядов, используя теоремы сравнения и признаки сходимости

15.1. , 15.2., 15.3., 15.4.,

15.5. , 15.6., 15.7., 15.8,

15.9. , 15.10., 15.11., 15.12..

Ответы. 15.1. Сходится. 15.2. Сходится. 15.3.Сходится. 15.4. Сходится.

15.5. Сходится. 15.6. Расходится. 15.7. Сходится. 15.8. Расходится.

15.9. Сходится. 15.10. Сходится. 15.11. Сходится. 15.12. Расходится.

studfiles.net

Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения.

Понятие числового ряда. Числовым рядом называется символ

а₁ + а₂ + а₃ + … + а_n,

где а₁, а₂, а₃,…, a_n – элементы некоторой числовой последовательности. Иначе говоря, ряд есть сумма бесконечного числа слагаемых. Число a_n называется n-м членом ряда.

Сумма S_n = a₁ + a₂ +…+a_n называется n-й частной суммой ряда. Рассмотрим последовательность S_n, сост

,

авленную из частных сумм некоторого ряда: S₁, S₂, … S_n… Если

то данный ряд называется сходящимся, а число S = — суммой ряда. Если последовательность, составленная из частных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся . Таким образом, сумма бесконечного числа слагаемых не всегда имеет смысл.

Примеры:

1. Сумма бесконечного числа членов геометрической прогрессии с : 1 +q² +…+ qⁿ + … Существует сумма ряда . Поэтому такой ряд является сходящимся.

2. Ряд сходится.

3. Ряд (гармонический) расходится.

Необходимый признак сходимости. Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то . Доказательство: мы имеем

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n-1 + a_n;

S_n-1 = a₁ + a₂ + … + a_n-1.

Отсюда a_n = S_n – S_n-1. Так как данный ряд сходится, то . Следовательно

ч. т. д.

Некоторые ряды (например, гармонический) удовлетворяют этому признаку, однако являются расходящимися.

Замечания:

1. Если ряд сходится и имеет сумму A, то ряд (k = const  0) также сходится и имеет сумму kA. Если ряд расходится, то также расходится.

Доказательство: рассмотрим n-ю частную сумму ряда :

ka₁ + ka₂ +…+ ka_n = k (a₁ + a_n) = kA_n.

Константу можно выносить за знак предела, поэтому ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится ряд .

2. Если отбросить конечное число первых членов ряда, то характер сходимости не изменится. Доказательство: отбросим первые k членов ряда:

a_k+1 + a_{k + 2} = _n = a_k+1 +…+ a_k+n.

Весь ряд S_k+n:

S_k+n = a₁ + a₂ +…+ a_k + _n = _n + const.

Поэтому ряд с отброшенными k членами сходится тогда же, когда сходится исходный ряд (по свойствам пределов).

3. Пусть даны два ряда: и. Тогда:

а) Если оба ряда сходятся и имеют суммы А и В соответственно, то ряд также сходится и имеет сумму А + В.

б) Если один ряд сходится, а другой расходится, то ряд расходится.

Доказательство: а) Ряд получается почленным сложением двух исходных, поэтому таким же образом получаются и частные суммы. Поскольку предел суммы существует и равен сумме пределов, то рядсходится, а его сумма равна А + В; б) Предположим, что рядS_n = cходится. Ряд сходится, т.е. существует; рядрасходится, т.е. не существует предела последовательности его частных суммB_n. Так как ряд получен почленным сложением двух исходных, тоB_n = S_n – A_n. Предел правой части существует, следовательно должен существовать и предел левой. Но это не так. Мы пришли к противоречию. Следовательно, ряд расходится.

Если оба ряда расходятся, то о сходимости ряда, полученного их почленным сложением ничего сказать нельзя. Например, ряды 1 + 1 + 1 + 1… и – 1 – 1 – 1 – 1 расходятся, их сумма равна 0 + 0 + 0 + 0, она сходится; ряды 1/n и 2/n расходятся, их сумма 3/n также расходится.

Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Ряд называется знакоположительным, если для всех n а_n  0.

1-й признак сравнения: пусть даны два знакоположительных ряда и, причем все члены первого ряда меньше соответствующих членов второго ряда:. Тогда а) если рядсходится, то и рядсходится; б) если рядрасходится, то и рядрасходится.

Доказательство: а) известно, что знакоположительный ряд сходится:. Заметим, чтоB_n монотонно возрастающая последовательность, имеющая предел, следовательно, она ограничена сверху. Поэтому В_n B (В – точная верхняя граница). Но . Следовательно, последовательность монотонно возрастающая последовательность A_n также ограничена сверху и имеет предел, следовательно ряд сходится, ч. т. д.; б) имеем расходящийся ряд. Допустим, что рядсходится. Тогда меньший рядтакже сходится (см. пункт а) данной теоремы), а это не так. Мы пришли к противоречию. Следовательно, ряд.

Замечание: 1-й признак сравнения остается в силе, если неравенство a_n b_n верно не для всех n, а для n  n₀. Это вытекает из свойств сходимости.

2-й признак сходимости: пусть даны два знакоположительных ряда ии пусть существует= С 0 (С > 0, т.к. предел отношения двух положительных последовательностей также положителен). Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: по условию , это означает, чтоили - < — C < ; С —  < < C + ;

(C — ) b_n < a_n < (C + ) b_n. *)

Поскольку  — любое число, мы можем взять 0 <  < C, тогда С —  > 0. Допустим, что ряд сходится. Тогда, по 1-му признаку сравнения, рядтакже сходится, следовательно (по тому же признаку) сходится и ряд(неравенство выполняется, начиная с некоторого номера). Аналогично (через правую часть двойного неравенства *) доказывается эта теорема для двух расходящихся рядов.

studfiles.net

Знакоположительные ряды. Теоремы сравнения.



Обратная связь

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

---

Как определить диапазон голоса — ваш вокал

---

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

---

Целительная привычка

---

Как самому избавиться от обидчивости

---

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

---

Тренинг уверенности в себе

---

Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»

---

Натюрморт и его изобразительные возможности

---

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

---

Как научиться брать на себя ответственность

---

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

---

Световозвращающие элементы на детской одежде

---

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

---

Как слышать голос Бога

---

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

---

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

---

Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

---

Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

---

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Лекция 5

Тема: Числовой ряд. Ряд из членов геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости ряда. Действие над рядами. Законоположительные ряды. Признаки сравнения.

Определение ряда. Определение сходимости ряда. Примеры.

Определение 1. Выражение вида + = называется рядом, , …- члены ряда, — общий член ряда.

Вначале будем изучать ряды, членами которых являются действительные числа.

Приведем примеры рядов:

– гармонический ряд,

= + q+ +… а — первый член прогрессии, q — знаменатель прогрессии.

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если существует предел его частных сумм, т.е. , где — сумма первых n членов ряда. Если не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость гармонический ряд

Решение: Рассмотрим группу слагаемых

, где каждая их скобок больше .

Отсюда следует, что , т.е. предел не существует, т.к. при n число скобок в тоже стремиться к . Гармонический ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд из членов геометрической прогрессии , a , q

Решение: Рассмотрим частичную сумму данного ряда.

q

(1-q)

Если q то = .

Рассмотрим предел частичных сумм:

=

Остается рассмотреть случай, когда q=1. В этом случае имеем ряд а+а+а….,

, т.к. а .

Итак, ряд из членов геометрической прогрессии при сходится и его сумма s= , а при расходится.

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Данный ряд является рядом из членов геометрической прогрессии, где а=2, q= Так как , то данный ряд сходится и s=

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд . Является рядом из членов геометрической прогрессии, где a=-2, q= -1. Так как , то данный ряд расходится.

Необходимый признак сходимости.

Теорема 1. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен 0,

т.е. .

Доказательство. По условию данный ряд сходится. Это означает, что

, … = lim( — )= .

Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится.

Действие над рядами.

1) Сложение рядов.

Пусть даны два ряда Суммой двух рядов называется ряд

Теорема 2.Если ряды сходятся соответственно к то ряд сходится к .

Доказательство. По условию ряды сходятся, то и

2) Умножение ряда на число.

Произведение ряда на число или числа на ряд называется ряд (3)

Теорема 3. Если ряд сходится и его сумма равна s, то ряд тоже сходится и его сумма равна .

Если то оба ряда и либо одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из равенства:

Теорема 4. Сходимость ряда не измениться если отбросить или прибавить конечное число первых членов ряда.

Доказательство. Рассмотрим два ряда:

+ +….+ + …+ +… (4)

+ +…+ +… (5)

Справедливость теоремы вытекает из равенства:

= + +….+ + …+ = + ,где является константой, не зависящей от n.

Знакоположительные ряды. Теоремы сравнения.

Ряд называется знакоположительным, если .

Теоремы, которые справедливы для знакоположительных рядов, справедливы для знакоотрицательных рядов, так, как умножение ряда на (-1), сходимость ряда не изменяет.

Теорема 5:

Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Доказательство. Дан знакоположительный ряд

, , , = + + …+ .

….. ….

Последовательность частичных сумм , неубывающая. Для того, чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

Теорема 6:

Пусть даны два знакоположительных ряда (1) , для которых выполняются неравенства

Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится. Если же ряд (1) расходится, то ряд (2) тоже расходится.

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из неравенства = + …+ + +… = и теоремы 4. В самом деле, если ряд (2) сходится, то последовательность { } ограничена сверху, тогда { } ограничена сверху и ряд (1) сходится. Если ряд (1) расходится, то { не ограничена сверху и тем более не ограничена сверху. Следовательно, ряд (2) расходится.

Замечание 1. Учитывая теорему 3, можно утверждать, что теорема 5 справедлива при выполнении неравенств , .

Чтобы применять теорему 5 при исследовании сходимости рядов, нужно иметь набор сходящихся и расходящихся рядов. Примером сходящихся рядов могут служить знакоположительные ряды из членов геометрической прогрессии при q , а примерами расходящихся рядов могут быть знакоположительные ряды из членов геометрической прогрессии, при 1 .

Примером расходящегося ряда может служить гармонический ряд .

Ряды Дирихле:

Ряды Дирихле мы исследуем позже с помощью интегрального признака Коши.

А сейчас отметим, что ряды Дирихле при 1<S сходятся, а при S расходятся.

Ряд Дирихле при S=1 является гармоническим рядом.

Пример 5:Исследовать на сходимость ряд .

Решение: 0 , . Так как ряд Дирихле сходится, то по теореме сравнения данный ряд тоже сходится.

Пример 6:Исследовать на сходимость ряд

Решение: < Так как гармонический ряд расходится, то данный ряд тоже расходится.

Теорема 7:

Пусть даны два знакоположительных ряда (1) ; для которых существует предел = c , то ряды (1) и (2) либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Пример 7:Исследовать на сходимость ряд

Решение: так как Sinx при x то данный ряд надо сравнить с рядом Дирихле , который сходится.

Рассмотрим предел = 1 0 в силу первого замечательного предела.

Следовательно, данный ряд сходится.

 

---

megapredmet.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Пусть . Тогда ряд будем называть знакоположительным. Сформулируем некоторые достаточные условия сходимости таких рядов.

Признак сравнения

Пусть и– знакоположительные ряды. Если для всехвыполняется неравенство, то из сходимости рядаследует сходимость ряда, а из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Этот признак остается в силе, если неравенство выполняется не при всех, а лишь начиная с некоторого номера. Его можно проинтерпретировать следующим образом: если больший ряд сходится, то меньший тем более сходится; если расходится меньший ряд, то больший также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда , если

а)

;

б)

;

Решение.

а) Заметим, что для всех . Ряд с общим членом сходится, т.к. является рядом геометрической прогрессии со знаменателем (см. пример 1), поэтому данный ряд сходится по признаку сравнения.

б) Сравним ряд с рядом. Очевидно, что для всех, поэтому. В примере 3 было доказано, что ряд с общим членом расходится, значит, данный ряд также расходится.

Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.

Предельный признак сравнения

Пусть и– знакоположительные ряды. Если существуетконечный и не равный нулю предел , то оба рядаи

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида . Такой ряд называетсярядом Дирихле. В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с ирасходится. Можно пока-

зать, что ряд.

Если , то рядназывается гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью предельного признака сравнения, если

Решение. а) Так как при достаточно больших ~, а

~ , то~. Выберем для

сравнения с данным гармонический ряд , т.е. .

( см. [5] ).

Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

б) При достаточно больших ~,~, поэтому– общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:

( см. [5] ).

Ряд сходится (ряд Дирихле с ), поэтому данный ряд также сходится.

в) , поэтому бесконечно малую можно

заменить на эквивалентную ей при величину(~при– см. [5]).

Тогда – общий член ряда для сравнения.

.

Так как предел конечен и не равен нулю, а ряд расходится (ряд Дирихле с ), то данный ряд расходится.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости или расходимости данного ряда, не сравнивая его с рядом, поведение которого известно.

Признак Даламбера

Пусть – знакоположительный ряд. Если существует , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда. В этом случае необходимо дополнительное исследование, например, с помощью признаков сравнения.

В примерах 5 а), б) с помощью предельного признака сравнения было установлено, что ряд расходится, а рядсходится. Посмотрим, как работает применительно к этим рядам признак Даламбера:

,

;

(см. [5]).

Таким образом, в каждом из этих случаев признак Даламбера не приводит к определенному ответу: при ряд может быть и сходящимся, и расходящимся.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака

Даламбера, если

а)	;		б)	;			в)	;
г)		;			д)	.

Решение. а) Так как , то

Это означает, что ряд расходится.

б) Символ (читается “эн факториал”) – сокращенное обозначение произведения всех натуральных чисел от единицы до данного натурального числаn:

. Например, ,,

,

,

,

.

Так как , то для любого

и поэтому ряд сходится. Отсюда можно сделать весьма важный вывод: так как при любом рядсходится, то по необходимому признаку сходимости.

в) Так как , то

(см. [5]), т. е. ряд сходится.

г) Для того, чтобы записать , заменим вна. Тогда к

произведению добавится еще один сомножитель, равный

, а к произведению – еще два сомножителя:

, поэтому

.

Значит, данный ряд сходится.

д) Заметим, что при , поэтому при вычислении предела можно воспользоваться принципом замены эквивалентных бесконечно малых (см. [5]), заменивна эквивалентную бесконечно малую величину :

.

Следовательно, ряд сходится.

Анализ рассмотренных примеров позволяет сделать следующий вывод: признак Даламбера непременно дает ответ на вопрос о сходимости рядов, общий член которых содержит факториал или показательную функцию .

Радикальный признак Коши

Пусть – знакоположительный ряд. Если существует ,

то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Если ряд может как сходиться, так и расходиться. Выяснить это можно с помощью дополнительного исследования, например, используя признаки сравнения.

При применении радикального признака Коши бывает полезно знать, что

. (3)

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд с помощью радикального признака Коши

г)

;

д)

.

Решение. а) Так как и ,

(см. равенство (3) ), то и поэтому ряд сходится.

б) В этом случае . Так как

(см. [5]), а , то

Это означает, что данный ряд сходится.

в) В этом случае удобно применить признак Коши, т. к. , а предел этого выражения находится просто:

.

Значит, ряд сходится.

г) Заметим, что при , а.

Кроме того, т. к. , то , поэтому

и поэтому ряд расходится.

д) Так как и

(см. [5] ), то .

Следовательно, ряд расходится.

Признак Даламбера и радикальный признак Коши основаны, по существу, только на свойствах геометрической прогрессии. Поэтому при исследовании медленно сходящихся или медленно расходящихся рядов (прогрессии в их число не входят) эти признаки оказываются нечувствительными . В таких случаях, кроме признаков сравнения, можно использоватьинтегральный признак Коши. Этот признак четко проводит различия между сходящимися и расходящимися рядами, даже если члены одного из них лишь незначительно отличаются от членов другого.

Интегральный признак Коши

Пусть члены знакоположительного ряда не возрастают:

. Пусть, кроме того, – непрерывная,

невозрастающая функция, определенная для всех , такая, что

. Тогда ряд и несобст-

венный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши, если

Решение. а) – ряд Дирихле с. Ранее было отмечено, что этот ряд расходится. Докажем это. Рассмотрим функцию. Она не-

прерывна и убывает при всех . Кроме того,, поэтомуудовлетворяет условиям теоремы.

Вычислим .

Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и данный ряд.

б) – ряд Дирихле с. Как было отмечено, этот ряд сходится.

Чтобы убедиться в этом, применим интегральный признак Коши: ,

; .

Несобственный интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд.

в) Рассмотрим при функцию. Ее производная

при всех . Следовательно,убывает

и .

.

Несобственный интеграл сходится, а потому сходится и данный ряд.

г) Функция непрерывна и убывает при всех. Несобственный интеграл

,

т. е. расходится, значит, ряд тоже расходится.

studfiles.net

Свойства числовых рядов.

1. Если сходится а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=, то сходится и ряд а_m+1+а_m+2+а_m+3+…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

2. Если ряд а₁+а₂+а₃+… сходится и его сумма равна S, то ряд Са₁+Са₂+…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.

3. Если ряды а₁+а₂+… и b₁+b₂+… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а₁+b₁)+(а₂+b₂)+(а₃+b₃)+… и (а₁-b₁)+(а₂-b₂)+(а₃-b₃)+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.

4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).

— необходимый признак (условие) сходимости ряда.

б). Если то ряд расходящийся –достаточное условие расходимости ряда.

-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.

Знакоположительные ряды.

Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.

1. Первый признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=(1) иb₁+b₂+b₃+…+b_n+…=(2).

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. а_nb_n и ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.

Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. а_nb_n и ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.

Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.

2. Второй признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.

3. Признак Даламбера.

Если для знакоположительного ряда (а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=) существует (1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

4. Признак Коши радикальный.

Если для знакоположительного ряда существует предел (2), то ряд сходится, еслиq<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

5. Признак Коши интегральный.

Вспомним несобственные интегралы.

Если существует предел . Это есть несобственный интеграл и обозначается.

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=— знакоположительный ряд.

Обозначим a_n=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Очень часто встречаются ряды —ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

studfiles.net