Рубрика: Школьная жизнь

Определенный интеграл, примеры решений

Определенный интеграл от функции на промежутке обозначается и равен разности двух значений первообразной функции, вычисленных при и (формула Ньютона-Лейбница):

Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции , осью и прямыми и (рис. 1), то есть

Для вычисления определенных интегралов подходят все методы, которые используются для нахождения неопределенных интегралов.

Примеры

ru.solverbook.com

Вычисление определенного интеграла

Здравствуйте. Меня зовут Андрей Зварыч. Я онлайн-репетитор сайта Tutoronline по высшей математике. Очень часто ко мне обращаются студенты с просьбой помочь разобраться с вычислением определенных интегралов. Сегодня я покажу несколько примеров решения. Надеюсь, моя статья будет полезной.

Итак, если F(x) – одна из первообразных непрерывной функции f(x) на [a,b], то справедлива формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x = φ(t) непрерывно дифференцирована на отрезке [t₁,t₂], причем a = φ(t₁), b = φ(t₂), то имеет место формула

Если функции u(x), v(x) и их производные u'(x), v'(x) непрерывны на отрезке [a,b], то справедлива формула интегрирования по частям

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 4 Вычислить интеграл

Решение.

На основании формулы произведения синусов, таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей,

Решив систему

Получим 

Тогда на основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем замену e^x + 4 = t², тогда e^x= t²– 4, e^x dx = 2t dt,  

Если x= ln5, то t = 3; если x= ln12, то t = 4. Тогда

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем подстановку t = cosx

Если x = 0, то t = cos 0 = 1, если

Следовательно

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Найдем пределы по t:

Находим

Следовательно,

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение.

Хороший метод решения интегралов, это метод занесения под дифференциал, его плюс состоит в том, что не требуется менять пределы интегрирования

Пример 11. Вычислить интеграл

Решение. На основании таблицы основных интегралов и формулы (3) имеем (интегрируем по частям)

Если у Вас остались вопросы или Вам нужна помощь в решении «ваших интегралов», записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Определенный интеграл. Примеры решений — Мегаобучалка

Для того, чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить соответствующие неопределенные интегралы.

2) Уметь вычислить определенный интеграл.

Как видите, для того, чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому, если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще не совсем закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений.

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом?

Прибавились пределы интегрирования.

Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой a.

Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой b.

Отрезок [a; b] включает граничные точки и называется отрезком интегрирования.

Что такое определенный интеграл? Можно посмотреть в учебниках про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т. д., но урок носит практический характер. Поэтому скажем, что определенный интеграл – это, прежде всего, самое что ни на есть обычное ЧИСЛО.

Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл?Есть. И очень хороший. Самая популярная задача вычисления определённого интеграла – вычисление площади с помощью определенного интеграла.

Что значит решить определенный интеграл?Решить определенный интеграл – это значит, найти число, равное приращению первообразной функции на отрезке [a; b].

Как решить определенный интеграл?С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

.

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию F(X) (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа C в определенном интеграле никогда не добавляется.

Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись

?

Это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b).

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(a).

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность F(b)-F(a), то есть, находим число, равное приращению первообразной (от подынтегральной) функции на отрезке [a; b].

Готово.

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда существует всё, что мы напишем в виде определённого интеграла. Например, интеграла

не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции и значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными. А вот менее очевидный пример:

.

Такого интеграла тоже не существует на всём отрезке [-2; 3], так как в точках

,

этого отрезка подынтегральная функция f(x) = tg(x) не существует.

Для того, чтобы определенный интеграл существовал на данном отрезке, необходимо, чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.

Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. Бывает так, что подолгу мучаешься с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находишь, то ещё и ломаешь голову над вопросом: «что за ерунда получилась?». Например, если получилось примерно так:

???!!!

то нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Если для решения в контрольной работе, на зачете или экзамене Вам предложен несуществующий интеграл вроде

,

то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу?Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования?Может, и такая ситуация реально встречается на практике. Интеграл

преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например, в определенном интеграле перед интегрированием

целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

.

В таком виде интегрировать значительно удобнее.

Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

Это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям: .

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

.

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы

.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница

.

Сначала подставляем в x³ верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

.

Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.

Пример 3

Вычислить определенный интеграл

.

Решение:

.

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница.

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряем на третьем слагаемом:

,

т. к. очень часто машинально пишут

.

Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, так:

.

Здесь устно использованы правила линейности, устно проинтегрированы табличные интегралы. Получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов:

(в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию мы сначала подставили 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме.

При втором способе существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, поэтому студенту-чайнику лучше использовать первый способ, чтобы не терять знаки.

Несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная.

находится в одной скобке.

megaobuchalka.ru

Определенный интеграл, теория и примеры

Например.

Детальный разбор понятия «Определенный интеграл»

Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную на некотором отрезке . Выполним разбиение заданного отрезка с помощью точек на частичных отрезков , ,…, . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение заданной функции в ней. Умножим полученное значение на длину соответствующего частичного отрезка: . Составим сумму всех таких произведений:

Такая сумма называется интегральной суммой функции на отрезке .

Пусть – длина наибольшего частичного отрезка: . Если предел интегральной суммы , когда максимальный диаметр разбиения , не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от заданной функции на отрезке и обозначается , то есть

Здесь числа и называются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования; – подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования; – область или отрезок интегрирования.

Примеры решения задач

Функция называется интегрируемой на отрезке , если для нее на этом отрезке существует определенный интеграл .

ru.solverbook.com

Примеры вычисления определенного интеграла

Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определённый интеграл

а)

Решение

а) Для вычисления интеграла в подинтегральной функции проведём замену переменной

t t-1=(t-1)²=d(t-1)²=2(t-1)dt).

Найдём пределы интегрирования для новой переменной .

При x=0 имеемt = 1, приx= 1,t= 2.

Получим dt=

=dt.

Для вычисления полученного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница: =Окончательно будем иметь:

=

ln2)-2(ln1) =ln2-1.

б) Вычислить определённый интеграл cos³

Решение

Для нахождения определённого интеграла воспользуемся формулой и методом подведения под знак дифференциала:

=

= —(⁵⁵0)=

в) Вычислить определённый интеграл ln()

Решение

Воспользуемся способом интегрирования по частям в определённом интеграле

udv=uvvdu

Положим ln()=u,dv=. Найдёмd(ln())=du

du,v=

Вычислим интеграл

ln()=ln()ln2-=

=ln2- +ln2-xln()

=ln2-(1-0)+ (ln2-ln1)=2ln2-1

Задания для самостоятельной работы

Вычислить значения определенных интегралов:

1)72)²3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) ln

10) 11)12)

13) 14) 15) ln()

Геометрический смысл определенного интеграла.

Примеры на вычисление площадей.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: иСделать чертёж.

Решение:

1. Найдём абсциссы точек пересечения парабол из уравнения:

2. Изобразим на координатной плоскости ХОУ данную фигуру, ограниченную двумя параболами: и

1. Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций: S==—=

Задания для самостоятельной работы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями иСделать чертёж.

1) =и=

2) =и=

3) =и=

4) =и=

5) =и=

6) =и=

7) =и=

8) и=

9) =и=

10) y=sinx,y=0,x=0,x=

11) y=cosx,y=0,x=0,x=.

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Функции двух переменных

Пример1. Построить область определения функцииz = arcsin(0,5 +x) + arcsin(0,7 +y).

Так как аргументarcsin(x) не может превышать по абсолютной величине единицу, то ограничения имеют вид:

-1 ≤ (0,5 + x) ≤ 1;

-1 ≤ (0,7 + y) ≤ 1, записав иначе, получим,

-1,5 ≤ x ≤ 0,5;

-1,7 ≤ y ≤ 0,3.

Соответствующая область определения приведена на рисунке 4.

Пример 2. Построить в плоскости0xy область определенияD функцииz=f(x,y), ограниченной прямойx=0, кривымиy=sinxи y=cosx.

Построив указанные прямую и кривые на плоскости 0xy, получим искомую область (рисунок 5). Точку пересечения кривых найдем из решения системы

y=sinx;

y=cosx;

Примеры для самостоятельного решения

Пример 3. Построить в плоскости0xy область определенияD функции

Пример 4. Построить в плоскости0xy область определенияD функции

Пример. Построить в плоскости0xy область определенияD функцииz=f(x,y),еслиD ограничена:

№5.Прямымиx = 0;y=1 и кривой y=tgx;

№6. Прямымиy = 0;y=x; y=1;y=3—x;

№7. Прямымиy = 0;y=1 и кривыми y=x²;y=(x-3)²;

№8. Прямымиx = 4;y=0 и кривой y=x^1/2;

№9. Прямымиy=0 и кривой y=1 –x².

Линии уровня.

Пример 10.В плоскости0xyопределено скалярное поле как расстояниеR(x,y) от заданной точкиM₀(x₀,y₀). Построить линии уровней для заданного скалярного поля.

Зафиксировав конкретное расстояние R(x,y) =R₀от заданной точки, найдем токи равноудаленные отM₀(x₀,y₀). Эти точки образуют окружность с центромM₀(x₀,y₀) и радиусомR₀. ПридаваяRразличные значения, получим линии уровня — системуконцентрических окружностей с общим центром в точкеM₀(x₀,y₀).

Если аналогичное скалярное поле задано в трехмерном пространстве, то поверхностями уровня будут вложенные друг в друга сферы.

Пример 11. Скалярное поле задано на плоскости0xyкак расстояние от заданной прямойAx+By+C=0. Построить линии уровня скалярного поля.

Все точки, равноудаленные от прямой на фиксированное расстояние, образуют две параллельные прямые по обе стороны от заданной. Задавая различные расстояния, получим систему параллельных прямых.

Пример 12.Пусть скалярное поле задано в виде функции двух переменныхz(x,y)=x²+y²— параболоид вращения. Построить линии уровня для заданного скалярного поля.

Будем придавать с равными шагами различные фиксированные значения функции z(x,y)=C_i. В результате получим уравнения окружностей с различными радиусамиx²+y²=C_i. В результате сечения трехмерного графика (рисунок 2) плоскостями параллельными плоскости0xyпо высоте получим окружности.

Их проекция на плоскость 0xyпредставляет собой так же систему концентрических окружностей.

В примере следует обратить внимание на то, что несмотря на равномерное разбиении по высоте, радиусы окружностей возрастают неравномерно (рисунок 7). Чем быстрее изменяется функция, чем круче ее график, тем плотнее располагаются линии уровня — окружности.

studfiles.net

Определённый интеграл, его свойства

Пусть на отрезке задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками . На каждом отрезкеразбиения выберем некоторую точкуи положим, где. Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точекна каждом из отрезков разбиения,.

Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезкаи выбора точек, то этот предел будем называтьопределённым интегралом функции f(x) на отрезке и обозначать символом т.е.

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этомf(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма –интегральной суммой.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определённого интеграла

1.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:

4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:

5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:

где a<c<b.

6. Теорема об оценке интеграла

Если для , тогда значения интеграла от этой функции не менее произведения m на длину отрезка и не более произведения M на длину отрезка.

7. Теорема о среднем значении

Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует такое значение, что f(x₀)=f_ср – среднее значение f на отрезке.

2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

При вычислении интегралов ее часто записывают в виде

Например, =

Замена переменной в определённом интеграле

Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке , функцияимеет на отрезкенепрерывную производную, при этомиТогда

Пример 9. Найдём

Решение:

Воспользуемся подстановкой x=sint; тогда . Найдём новые пределы интегрирования: еслих=0, то t=0, если х=1, то . Получим

.

Интегрирование по частям

Пусть u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые на функции. Тогда справедлива формула

или

Пример 10. Найти

Решение: Положим u=x, откуда

Согласно формуле находим

2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этомf(x)на этом отрезке, то площадьS криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

Замечания:

1. Если же на, то –f(х)на этом отрезке. Поэтому площадьS соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

или

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которыхf(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=₂(y), слева – графиком функции x₁=₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

Пример 11. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sinx и осью абсцисс при условии .

Решение:

Разобьём отрезок на два отрезка:и. На первом из них sinx, на второмsinx. Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

studfiles.net

Определенный интеграл.

Пора познакомиться с мощнейшим средством исследования в математике, физике, механике и других точных дисциплинах. Это средство — определенный интеграл. В средней школе определенный интеграл применяют при вычислениях площадей криволинейных трапеций, объемов тел вращения, нахождении моментов инерции и т.д.

Что такое определенный интеграл? Чем он отличается от неопределенного, с которым мы уже достаточно знакомы.

Сравните:

 a и b — это границы, в которых изменяется переменная интегрирования х.

Сравниваем далее:

Неопределенный интеграл графически представляет собой семейство кривых, совмещаемых параллельным переносом (11.1.9).

Определенный интеграл (см. рисунок слева) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, а слева и справа прямыми x=a и х=b.

Значение определенного интеграла есть площадь S этой криволинейной трапеции:

Рассмотрим примеры на вычисление определенного интеграла.

Пример 1.

Найдем первообразную F (x) для подынтегральной функции f (x)=3x²-2x+1, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л).

Пример 2.

Возникает вопрос: раз определенный интеграл выражает собой площадь криволинейной трапеции, то нельзя ли увидеть эту криволинейную трапецию? А можно! Проиллюстрируем пример 2.

Полученный результат

выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=(x+1)⁴, осью Ох и прямыми: х=0 (осью Оy) и х=1.

График функции y=(x+1)⁴ — парабола, ветви которой направлены вверх,

а вершина находится в точке О′(-1; 0).

Площадь этой криволинейной трапеции:

www.mathematics-repetition.com

Размеры чертежей формата А0, А1, А2, А3, А4, А5

Основные форматы чертежей получены путем последовательного деления формата А0, площадь которого равна 1 м², на две равные части параллельно меньшей стороне соответствующего формата. В таблице основные форматы выделены серым цветом.

Дополнительные форматы листов чертежей образуются увеличением коротких сторон основных форматов на величину, кратную их размерам.

Предельные отклонения сторон форматов листов чертежей

tekhnar.ru

Формат бумаги, размеры А0, А1, А2, А3, А4, А5, А6

Большая часть стандартной полиграфической продукции печатается стандартными форматами: А6 , А5, А4 , А3, А2, DL «евроформат» — 99×210 мм (1/3 А4) или же размерами, которые удобно ложатся на формат листа.

Это понятно, минимальное количество бумажного «отхода» при печати выгодно всем: производителям печатного оборудования, производителям бумаги, типографиям и полиграфическим центрам. Поэтому при разработке макета обязательно этот момент нужно учитывать.

Если Вы предложите типографии напечатать неформатное изделие, скорее всего, придется переплатить за бумагу, которая попадёт в мусор, а в лучшем случае на переработку. Главным образом это касается бумаг которые предназначены для цифровой и офсетной печати. А вот, например, дизайнерские картоны и бумаги имеют размер в большинстве случаев 700х1000 мм (примерно В1 формат 707х1000мм). При печати на таких бумагах нужно более тщательно подойти к размеру изделия, так как стоимость таких материалов на порядки выше.
Я постараюсь максимально кратко, но информативно описать формат печатного листа серии А, как одного из основных в мире. Понимая различие в размерах, Вам будет намного проще общаться с менеджерами типографий.

Таблица форматов бумаги (размеры в мм), стандарт ISO 216

  Таблица форматов бумаги (размеры в см)

Формат листа SRA3

 Преимущественно, цифровые печатные машины имеют основной размер печатного листа SRA3 – 320х450 мм. Максимально и оптимально в этот размер войдут такие изделия (с учетом вылета под обрез 2мм на сторону)

А3 – 1 шт, А4 – 2 шт, А5 – 4 шт, А6 – 8 шт, DL (евроформат) – 6 шт, карманный календарь 100х70мм – 16 шт, визитка 90х50 мм – 24 шт.

 Скачать раскладку на формате бумаги SRA3 .PDF

 Скачать таблицу форматов бумаги .PDF

 Скачать таблицу форматов бумаги .CDR

 Создавая макет полиграфической продукции эту раскладку лучше держать под рукой, ведь понимая как этот процесс будет происходить в типографии, есть возможность неплохо сэкономить.

printexx.ru

Ответы@Mail.Ru: Помогите с алгеброй, сроооочнооо. Упростить выражение 3а (а + 2) – (а + 3)2 и найти его числовое значение при а =

3а*(а+2)-(а+3)*2=3a^2+6*a-2*а-6=3a^2+4*а-6 если а=-5 то значение выражения 3a^2+4*а-6=3*(-5)*(-5)-4*5-6=75-20-6=49

3а (а + 2) – (а + 3)2= (3а*2+ 6а) — (2а+6)= 3а*2 +4а-6 — квадратное уравнение, далее через дискриминант.. . надеюсь, умеете формулами пользоваться? ) Ну, или просто подставить заданное число…)

3а (а+2)-(а+3)2=3а в квадрате+6а-2а+6=9а в кубе -2а+6=7а в квадрате+6 7а в кв+6=-5 = 7авкв=-5+6=7авкв=1

Вот ссылка у меня там профиль: <a rel=»nofollow» href=»https://author24.ru/?ref=4fed5af13dc9c59b» target=»_blank»>https://author24.ru/?ref=4fed5af13dc9c59b</a>. Все решу с пояснениями.

touch.otvet.mail.ru

3(А2 – в2) – 2ав

Имеем

Умножение на единичную матрицу

На основании правила умножения матриц получаем:

т.е. АЕ = ЕА = А (11)

Произведение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу равняется первоначальной матрице. Таким образом, при умножении матриц единичная матрица играет роль единицы, поэтому и называется единичной.

Понятие обратной матрицы

Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), даёт единичную матрицу. Обозначив обратную матрицу через А^-1, запишем

А^-1А = АА^-1 = Е (12)

Если обратная матрица А^-1 существует, то матрица А называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы называется обращением матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

studfiles.net

Постройте график функции y = 4/x

Задание.
Построить график функции y = 4x

Решение.
Проанализируем данную функцию.
Функция имеет вид (при этом b = 0), поэтому данная функция — линейная. Нет ничего проще, чем построить график линейной функции, поскольку для его построения достаточно всего двух точек, через которые необходимо провести прямую линию.
Очевидно, что линия не имеет ни начала, ни конца, следовательно, область ее определения, а также и область ее значений является всей числовой прямой.
Определим, является ли данная функция четной или нечетной. Для этого вместо аргумента х в функцию подставим аргумент —х и сделаем вывод по полученному результату:

В результате получаем, что функция является нечетной.
Для построения необходимы две точки, через которые пройдет функция. Для вычисления их координат найдем точки, в которых функция пересекается с обеими координатными осями.
Точка пересечения с координатной осью Оу будет удовлетворять тому условию, что х = 0. Подставим это значение в функцию:

Функция пересекается с осью Оу в точке (0; 0).
Точка пересечения с координатной осью Ох будет удовлетворять условию у = 0. Получим уравнение:

Точка пересечения с осью Оx также имеет координаты (0; 0).
Получается, что прямая пересекается с осями координат в одной лишь точке (0;0), которая к тому же является началом координат.
Одна точка прямой у нас есть. Найдем вторую. Для этого вместо переменной х подставим значение 1 и вычислим значение функции от этого числа:
х = 1

Вторая точка имеет координаты (1; 4).
Нанесем на координатную плоскость полученные точки и соединим их прямой.

\textit{11-08\_19.jpg}

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = (x-4)^2

Задание.
Постройте график функции y = (x — 4)^2.
 
Решение.
В уравнении функции переменная находится во второй степени, следовательно, функция является квадратной. Из курса школьной алгебры известно, что график квадратной функции представляет собой параболу. Парабола имеет вершину и ее ветви будут пересекать координатные оси. Поэтому найдем координаты вершины параболы, которая описана заданным уравнением:

Для простоты решения раскроем скобки и запишем уравнение в виде:

Тогда:

Подставим полученное значение переменной х в уравнение:

Вершиной параболы будет точка (4; 0).
Таким образом получили, что вершина параболы будет лежать на оси Ох, а так как ветви параболы направлены вверх (это видно из уравнения, поскольку х положительный), то они пересекаться с координатными осями больше не будут.
В таком случае дополнительные точки для построения кривой функции можно получить простой подстановкой любых значений переменной х в уравнение.
Возьмем х = 1:

Получена первая точка — (1; 9).
Возьмем х = 2:

Получена вторая точка — (2; 4).
При х = 5 функция — третья точка (5; 1)
При х = 6 функция — четвертая точка (6; 4)
Построим точки на графике и соединим их плавной кривой.

 

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = –4/x

Задание.
Постройте график функции y = —4/x.

Решение.
Посмотрим на функцию. О ней можно сказать, что такое выражение не будет иметь смысла при знаменателе, равном 0.
Любые ограничения для аргумента функции (когда они имеются) исключаются из области, на которой определена данная функция. Таким образом, получаем, что заданная функция определена на области, в которой содержатся все возможные значения аргумента, кроме х = 0. Это значит, что функция не будет пересекаться с осью Оу.
Исследуем функцию на четность:

В результате получили нечетность функции, а значит — она симметрична относительно точки (0; 0).
Это дает нам простоту построения. Можно построить одну часть функции из второй части области, на которой она определена (для положительных х), а затем отобразить ее относительно точки (0; 0). Таким образом, получим полный график заданной функции.
Для построения найдем несколько точек графика функции. Точки будем выбирать из положительных значений х, для которых рассчитаем соответствующие значения координаты у:

Получили 6 точек с координатами , , , , , .
Теперь построим одну часть кривой и отобразим ее, получив вторую ее часть.
График построен.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y=4/x-1

Задание.
Постройте график функции y = 4 / x — 1.

Решение.
Каждое построение должно начинаться с анализа функции. Это поможет понять, что за график должен получиться, избавит от лишних расчетов и в большинстве случаев от ошибок построения.
В записи функции присутствует дробь, а как известно, дробь может существовать не при всех значениях знаменателя, так как в знаменателе стоит неизвестное число. Для данной дроби единственным ограничением на существование будет неравенство знаменателя нулю. Поэтому и функция будет существовать для любых значений аргумента х, кроме нуля.
Если в знаменателе функции стоит переменная, то графиком функции обычно является гипербола.
Проверим данную функцию на четность или нечетность:

Получается, что функция y = 4 / x — 1 не является ни четной, ни нечетной.
Найдем точки пересечения ее с осями Ох и Оу.
С осью Ох функция пересечется при условии, что у = 0:

То есть функция пересекается с осью Ох в точке (4; 0).
С осью Оу функция пересечется при условии, что х = 0, а как мы определили, при таком значении аргумента х функция существовать не может, поэтому точек пересечения с осью Оу у функции нет.
Остается методом подбора значений х вычислить координаты точек графика. Сделаем это для промежутка от «минус бесконечности до 0» и от «0 до плюс бесконечности».

ru.solverbook.com

Постройте график функции y=4х

Задание.
Постройте график функции y = 4/x.

Решение.
Прежде всего в начале решения подобных задач нужно найти область, на которой определена заданная функция, то есть определить те значения переменной х, при которых данная функция не будет существовать.
Из записи функции видно, что она не будет существовать, если ее знаменатель будет равен 0. Таким образом, получили область определения, в которую входят лишь те значение, для которых :

Из этого следует, что функция не будет иметь точек пересечения с координатной осью Оу.
Определимся с четностью функции:

Следовательно, функция — нечетная, то есть ее график будет расположен симметрично началу координат. Тогда будет достаточным построение одной ее части, например, для значений переменной х выше нуля, а далее симметричное отображение этой части относительно начала координат.
Найдем координаты нескольких точек, которые будут лежать на графике одной части функции. Возьмем только положительные значения переменной х и рассчитаем соответствующие этим значениям координаты у:

Получили 6 точек , , , , , .
Отметим эти точки на координатной плоскости, соединим их и относительно начала координат отобразим полученную часть.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = 2x – 4

Задание.
Постройте график функции y = 2x — 4.

Решение.
Построить график функции без небольшого анализа самой функции практически невозможно. Это необходимо как минимум для того, чтобы проконтролировать правильность построения. Поэтому с небольшого анализа и начнем.
Первое, на что необходимо обратить внимание — это разновидность заданной функции. От этой разновидности будет зависеть и кривая графика.
В нашем случае заданная функция — линейная, поэтому ее графиком будет прямая линия. Такой короткий анализ уже намного упрощает задание.
О прямой линии известно, что ее можно построить с помощью двух точек. Поэтому достаточно найти две точки графика и провести через них прямую.
Точка принадлежит графику, если выполняется условие, что:

Найдем такие 2 точки, выбрав произвольные значения аргумента х. Например, возьмем 0 и 5.
При х = 0 значение функции будет:

Есть две точки (0; -4) и (5; 6). Проведем через них прямую, которая будет графиком заданной в условии функции.

Можно было подставлять не произвольные значения переменной х, а найти точки пересечения функции с координатными осями. Оба варианта приведут к одному и тому же результату и являются равными по сложности расчетов.

ru.solverbook.com

Построение графиков онлайн, подробное

На данной странице представлен удобный сервис для построения графиков функций онлайн. Наш сервис работает совершенно бесплатно и не требует регистрации. Для построения графика онлайн введение функцию (Можно ввести несколько функций и графики будут построены на одном рисунке), задайте интервалы видимости и нажмите кнопку «Построить график», после чего внизу появятся подробные графики введенных функций!

Как построить график функции онлайн?

Наш онлайн калькулятор помогает студентам и школьникам построить график функции любой сложности всего за пару минут, для этого достаточно выполнить несколько простых шагов. Введите данные для построения графика функции:

• Введите сами функции. В нашем сервисе можно вводить неограниченное количество функций, чтобы можно было посмотреть их поведение одновременно, найти точки пересечения с осями, нули функции и другие параметры, необходимые для исследования функции.
• Задайте интервалы видимости. По умолчанию, они заданы от -10 до 10, но вы можете выбрать любые, ведь график может быть очень большим и просто не поместить в заданные промежутки.
• Нажмите кнопку «Построить график», после чего внизу появится график!

ru.solverbook.com

Пределы для чайников, с подробными примерами

Определение предела

Предел числовой последовательности обозначается как .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Часто используемые пределы

Приведем часто употребляемые пределы и их значения, которые можно (и даже нужно) запомнить как формулы:

1.

Здесь запись означает соответствующую неопределенность, которая требует дальнейшего «раскрытия» (то есть от неопределенности необходимо избавиться).

2.

3. – первый замечательный предел.

4. – второй замечательный предел.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Как быстро освоить высшую математику?

Спешу вас обрадовать – это реально. Даже если теорема Пифагора благополучно забыта после 9 класса. И даже если через пару дней вам нужно сдавать контрольную / зачёт в ВУЗе. Или вообще завтра. Или, как оно бывает, вчера.

Приветствую тех, кто зашёл с поисковика – меня зовут Александр Емелин, я преподаватель математики и автор сайта mathprofi.ru. За годы работы по моим лекциям и урокам успешно и быстро (!) подготовились группы и группы студентов, и на этой странице я рад представить вам долгожданные книги!

По существу, их можно назвать печатной версией статей, с которыми вы можете  свободно ознакомиться на mathprofi.ru. НО! Я постарался сделать высшую математику ещё доступнее, и преимущества книжного формата таковы:

Собственно, удобный формат pdf (A4), обеспечивающий комфортное чтение на большинстве устройств.

Улучшенная структура и стилевое оформление текста. Одно за другим – ничего лишнего!

Возможность распечатать файлы и изучать тему оффлайн (что, кстати, эффективнее).

Пятилетняя выдержка. Да, мои материалы прошли испытания временем и получили тысячи положительных отзывов. Я постоянно поддерживаю диалог с читателями, выясняю непонятные моменты и улучшаю качество своих лекций!

Дополнительные материалы и примеры. И, конечно, новый юмор =)

В настоящий момент создано восемь интенсивных курсов,

и во избежание недопонимания и претензий, сразу пояснение:

Интенсивные курсы предназначены для того, чтобы вы БЫСТРО (буквально за считанные часы) научились решать* примеры по той или иной теме. В них я не останавливаюсь на сути понятий, но зато вам потребуется минимум знаний для освоения техники решения, что может быть критически важным, когда «на носу» контрольная / зачёт / экзамен.

И поэтому курсы доступны ПРЯМО СЕЙЧАС – сразу после символической оплаты

(эл. деньгами, сотовым, пластиковой картой, через онлайн-банк, др. способами)

Далее по законам жанра обычно пишут про бонусы. Бонус есть!

Вы получаете самое свежее издание книги!

Я постоянно улучшаю и обновляю свои материалы; так, некоторые статьи сайта подвергались правке более 100 (!) раз. Критические недочёты исправляются в кратчайшие сроки, и через пару минут обновлённый файл отправляется не только в продажу, но и в Личный кабинет каждого покупателя!

Внимание! Перед покупкой ОБЯЗАТЕЛЬНО откройте демо-версию книги и проверьте, корректно ли у вас отображается pdf-файл. Об устранении проблем на платформах Windows, Mac OS, Android можно прочитать здесь. Кроме того, файлы упакованы в zip-архивы (тестовый архив на всякий случай).

Интенсивный курс «Матрица, определитель и зачёт!»

Описание: чтобы освоить данный курс нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить. Уже через 2-3 часа вы будете уверенно выполнять действия с матрицами и вычислять определители. Объяснения ведутся только на типовых практических примерах – ничего лишнего. Более того, приложенный Матричный калькулятор не пропустит ни одной ошибки – забудьте о том, что такое «незачёт»!

Формат: pdf-книга, А4, 56 страниц + Памятка по арифметике + Матричный калькулятор (требуется MS Excel).

Посмотреть демо-версию курса >>>

Интенсивный курс «Учимся решать пределы»

Описание: курс ориентирован на студентов-заочников с начальным уровнем подготовки и позволяет в кратчайшие сроки научиться решать типовые пределы функций одной переменой и пределы числовых последовательностей. Обладая большим практическим опытом, я включил в курс именно те задания, которые реально встретятся в ваших контрольных работах!

Формат: pdf-книга, А4, 66 страниц (с Приложениями включительно)

Посмотреть демо-версию курса >>>

Интенсивный курс «Как найти производную?»

Описание: курс позволяет в кратчайшие сроки научиться дифференцировать (находить производные) функции одной переменной. Материал предназначен, прежде всего, для учащихся средней школы и студентов-заочников с начальными («школьными») навыками. Однако планка поднимается высоко, и поэтому методичка может быть интересна и читателям с более высоким уровнем подготовки.

Формат: pdf-книга, А4, 58 страниц (с Приложениями включительно)

Посмотреть демо-версию курса >>>

И специальное предложение! Пределы + Производные:

Кроме того, в магазине действуют накопительные скидки, и это отличная возможность получить новые курсы с дополнительным дисконтом! (используйте один и тот же почтовый ящик)

Интенсивный курс «Частные производные»

Описание: буквально за пару часов вы научитесь находить частные производные (1-го и 2-го порядка) функции двух и трёх переменных. Курс доступен и полезен для студентов всех форм обучения – как «чайников», так и «самоваров» =)

Предполагается, что читатель умеет находить «обычные» производные.

Формат: pdf-книга, А4, 41 страница (с Приложениями включительно)

Посмотреть демо-версию курса >>>

Экстремально короткий курс «Горячие интегралы»

Описание: всего лишь 68 страниц «чистых объяснений», после которых вы сможете уверенно взять практически любой неопределённый интеграл! Курс предназначен для студентов с нулевым (в интегральном исчислении) уровнем подготовки, в том числе для студентов-«технарей». Значительную часть темы реально поднять за пол суток (например, день-вечер).

Чтобы освоить этот материал, нужно уметь дифференцировать!
(см. курс «Как найти производную?»)

Формат: pdf-книга, А4, 96 страниц (с Приложениями включительно)

Посмотреть демо-версию курса >>>

Часть 2. «Определённые и несобственные интегралы»

Описание: этот невероятно короткий курс позволит вам закрепить навыки решения неопределенных интегралов, научиться решать определённые и несобственные интегралы, а также распространённые тематические задачи (нахождение площади плоской фигуры и объёма тела вращения).

Для освоения 2-й главы нужно уметь решать несложные пределы
(см. курс «Учимся решать пределы»)

Формат: pdf-книга, А4, 66 страниц с Приложениями и 40 (!) иллюстрациями включительно + калькулятор в MS Excel (на тот случай, если под рукой нет своего калькулятора).

Посмотреть демо-версию курса >>>

И, конечно, обе Части со скидкой – все интегралы в одном флаконе: неопределенные, определённые, несобственные.

Прилагается инструкция для аварийной сверхбыстрой подготовки по теме!

Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

Описание: данный курс позволяет в кратчайшие сроки (1-2-3 дня) научиться решать наиболее распространённые типы дифференциальных уравнений. Книга предназначена для студентов-заочников с нулевым (в теме) уровнем подготовки, а также для всех тех, кому нужно ОЧЕНЬ БЫСТРО научиться решать типовые диффуры, например, перед письменным зачётом или экзаменом.

Чтобы освоить этот материал нужно уметь находить неопределённые интегралы и производные, в том числе частные – для изучения параграфа 1.6

Формат: pdf-книга, А4, 105 страниц с Приложениями включительно

Посмотреть демо-версию курса >>>

«Ряды – рядом!» Экспресс-курс по числовым и степенным рядам

Описание: данный курс позволяет в минимальные сроки (в пределах 1-2 дней) научиться решать наиболее распространённые типы задач (>90%) по числовым и степенным рядам. Материал предназн

mathprofi.com

Высшая математика. Первый семестр/Пределы — Викиучебник

Пусть задана некоторая меняющаяся величина y{\displaystyle y}, зависящая от переменного x{\displaystyle x}. Предположим, что это переменное x{\displaystyle x} можно менять так, что выполняется некоторое условие B{\displaystyle {\mathcal {B}}}: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина y{\displaystyle y} каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу L{\displaystyle L}. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины y{\displaystyle y} при данном условии B{\displaystyle {\mathcal {B}}} для x{\displaystyle x} и обозначается

limB

ru.wikibooks.org

Книга «Высшая математика для чайников. Предел функции» из жанра Научные

	Высшая математика для чайников. Предел функции Автор: Виосагмир И. А. Жанр: Математика Язык: русский Издатель: Интернет-издание Город: 2011 Статус: Закончена Добавил: Admin 17 Сен 15 Проверил: Admin 17 Сен 15 Формат:  PDF (6734 Kb) Рейтинг: 0.0/5 (Всего голосов: 0) Аннотация Название книги уже должно Вам многое о ней рассказать, но Вы его можете совершенно не так понять. Эта книга посвящена не «чайникам», а всем тем, кому нелегко понять то, что творят профессоры в своих книгах. Так чем же эта книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не «заумный»; во-вторых здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится вам; в-третьих, текст имеет существенное различие между собой — главные вещи выделены определенными маркерами, и наконец, цель книги — ваше понимание. От Вас требуется только одного: желания и умения. Умения запоминать и понимать. Вообще рекомендуется завести отдельно тетрадку листов на 65, и все в ней писать. Так же лучше пользоваться разноцветными фломастерами. Если Вы добьете эту книгу, Вы сможете многое! В книге будут встречаться некоторые обозначения. Крайне рекомендовано им следовать. Объявления Где купить? Нравится книга? Поделись с друзьями! Другие книги автора Виосагмир И. А. Похожие книги Комментарии к книге «Высшая математика для чайников. Предел функции» Комментарий не найдено Чтобы оставить комментарий или поставить оценку книге Вам нужно зайти на сайт или зарегистрироваться

www.rulit.me

Как найти производную по определению?

Составить отношение и вычислить предел .

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

Пример 1

Найти производную функции , пользуясь определением производной

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим предел:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.

Итак, .

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем:

Ответ: по определению производной:

Готово.

В который раз порадуемся логарифмам:

Пример 2

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .

Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .

Ответ: по определению производной:

Или сокращённо:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Пример 3

Найти производную по определению

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Пример 3:Решение: рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Найдём производную в точке :

Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и
Ответ: по определению производной

Пример 4

Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .

Пример 4:Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение . Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Используем замечательный предел

Ответ: по определению

Пример 5

Найти производную функции , используя определение производной

Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число и так же подставляем его в функцию вместо «икса»: . Записываем разность , при этом необходимо полностью взять в скобки.

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить. Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

В итоге:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .

Ответ: по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы:

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Пример 6

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Пример 6:Решение: рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Вычислим производную:

Таким образом:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то и
Ответ: по определению.

Вернёмся к стилю №2:

Пример 7

Пользуясь определением, найти производную функции

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:

Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:

Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу .

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ: по определению

Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пример 8

Пользуясь определением, найти производную функции

Пример 8:Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение и составим приращение функции:

Найдём производную:

Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Ответ: по определению

Разберём более редкую версию задачи:

Пример 9

Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число

Вычислим ответ стандартным способом:

Решение: с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу:

Ответ: по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Пример 10

Используя определение, найти производную функции в точке

Пример 10:Решение: Зададим приращение в точке . Тогда приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

Ответ: по определению производной в точкеЗаключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

Пример 11

Будет ли дифференцируема функция в точке ?

Решение: очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема?

Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

1) Находим левостороннюю производную в данной точке: .

2) Находим правостороннюю производную в данной точке: .

3) Если односторонние производные конечны и совпадают: , то функция дифференцируема в точке и геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной). Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным), то функция не дифференцируема в точке .

Если же обе односторонние производные равны бесконечности (пусть даже разных знаков), то функция не дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику (см. Пример 5 урока Уравнение нормали).

! Примечание: таким образом, между вопросами «Будет ли дифференцируема функция в точке?» и «Существует ли производная в точке?» есть разница!

Всё очень просто!

1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: , а слева от точки расположена парабола , поэтому приращение функции равно:

И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:

2) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно: . Таким образом, приращение функции:

Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:

3) Односторонние производные конечны и различны:

Ответ: функция не дифференцируема в точке .

Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной.

Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.

 

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Производная функции по определению

Пример 1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования),  найти производную функции

 

Решение. Дадим х приращение , тогда у получит приращение :

Найдем приращение функции:

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел этого отношения при

Следовательно, по определению производной

---

 

Пример 2. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования),  найти производную функции

Решение. Находим приращение функции: . Отсюда и

Таким образом,

Итак, .

 

 

Пример 3. Найти производную (добавлено по просьбам)

Решение. Исходную функцию желательно сразу сократить Находим приращение функции: . Отсюда  и

Таким образом,

anet.lectra.me

Производная по определению (через предел). Примеры решений

Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-топросто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на светтаблицы производных и правил дифференцирования. Начало положено в статьео смысле производной, которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,

рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную?и Производная сложной функции.

Но без чего-чегосейчас точно не обойтись, так это безпределов функций. Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, чтопроизводная

функции в точке определяется формулой:

Напоминаю обозначения и термины: называютприращением аргумента;

– приращением функции;

– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).

Очевидно, что является «динамической» переменной,– константой и результат вычисления предела– числом(иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью).

В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение, принадлежащееобласти определения функции, в котором существует производная.

! Примечание: оговорка «в котором существует производная» –в общем случае существенна! Так, например, точкахоть и входит в область определения функции, но производной

там не существует. Поэтому формула

не применима в точке,

и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.

Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела

является производная функция.

Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

–Найти производную в точке, используя определение производной.

–Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.

Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность), а во втором –

функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

Как найти производную по определению?

Составить отношение и вычислить предел.

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу

. Кажется волшебством, но в

действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожитьтаблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

Пример 1

Найти производную функции , пользуясь определением производной

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку, принадлежащуюобласти определения функции, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим предел:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим

числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.

Итак, .

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точкуинтервала

, то, осуществив замену, получаем:

Ответ: по определению производной:

Готово.

В который раз порадуемся логарифмам:

Пример 2

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от

подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву.

Рассмотрим произвольную точку, принадлежащуюобласти определения функции(интервалу), и зададим в ней приращение.А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может

возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому:– античная статуя, а– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1)Используем свойство логарифма .

(2)В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3)В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы

воспользоваться замечательным пределом , при этом в качествебесконечно малой величины выступает.

Ответ: по определению производной:

Или сокращённо:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Пример 3

Найти производную по определению

тоже вполне конкретное число		и так же подставляем его в
функцию	вместо «икса»:
		. Записываем разность
	, при этом	необходимо полностью взять в
скобки.

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить. Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

В итоге:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём заменуи получим.

Ответ:по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил

дифференцирования и таблицы:

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Пример 6

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Вернёмся к стилю №2: Пример 7

Пользуясь определением, найти производную функции

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:

Решение: рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение аргументаи составим приращение

функции:

Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу

.

(2)Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3)Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4)В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом

указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ:по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в

сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки,по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться1-говарианта с «икс нулевым».

Пример 8

Пользуясь определением, найти производную функции

Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.

Разберём более редкую версию задачи:

Пример 9

Найти производную функции в точке, пользуясь определением производной.

Во-первых,что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:

Решение: с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формулевместо

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительная бонус-задачапредназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

Пример 11

Будет ли дифференцируема функция в точке?

Решение: очевидно, чтокусочно-заданнаяфункциянепрерывна в точке, но будет ли она там дифференцируема?

Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

1)Находим левостороннюю производнуюв данной точке: .

2)Находим правостороннюю производнуюв данной точке: .

3)Если односторонние производныеконечны и совпадают:

, то функциядифференцируема в точкеи

геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной).

Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным), то функция не дифференцируема в точке.

Если же обе односторонние производные равны бесконечности

(пусть даже разных знаков), то функция не

дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику(см. Пример 5 урока Уравнение нормали).

Ответ:по определению производной

Ответ:по определению.

Пример 8: Решение: рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращениеи составим приращение функции:

Найдём производную:

Используем тригонометрическую формулу

и первый замечательный

предел:

Ответ:по определению

Пример 10: Решение: Зададим приращениев точке. Тогда приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

Ответ:по определению производной в точке

studfiles.net

§1. Определение производной.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при .

Производную принято обозначать так: .

Таким образом, по определению

.

Для обозначения производной употребляются также символы .

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точкеравен .

Пример.

Найдите производную функции в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел отношения при :

.

Таким образом, .

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

Имеем:

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

Решение:

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при .

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Тогда

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)’=u’+v’.(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=[u(x+∆x)+v(x+∆x)]—[u(x)+v(x)]=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)’=u’+v’.

Теорема 2.Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)’=u’v+uv’. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3. Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если то(5)

Теорема 4.Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y’=0.

Теорема 5.Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y’=Cu'(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Решение.

Данная функция имеет вид , гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Решение.

Применим формулу (5).

Здесь ;.

.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2); 12);

3)13)

4)14)

5)15)

6)16)

7)17)

8)18)

9)19)

10)20)

studfiles.net

Производная функции: основные понятия и определения

Пусть задана функция . Рассмотрим два значения (исходное) и (новое) из области определения функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается («дельта икс»):

   

Замечание. Символ рассматривается как единый, а не представляет собой произведение, то есть .

Значение рассматриваемой функции в точке равно . Зададим аргументу приращение . Получим значение функции в новой точке .

Приращение функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Приращением функции в точке , соответствующее приращению аргумента , называется величина

   

Определение производной

Функция имеет производную на интервале , если производная существует в каждой точке этого интервала.

Левая и правая производные функции

Основные теоремы производных

ТЕОРЕМА (О непрерывности функции в точке.) Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.

ТЕОРЕМА (О необходимом и достаточном условии дифференцируемости.) Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют также дифференцированием этой функции.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Что такое производная

Производная — главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x

Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

То есть,

         (1)

Наиболее употребительны следующие обозначения производной:

Пример 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции

.

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления.

Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции:

.

Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть требуемую в условии задачи производную:

К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в более широком смысле — задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки.

Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути. Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени . Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t) называется предел средней скорости при :

(при условии, что этот предел существует и конечен).

Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s(t) к приращению аргумента t при Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:.

.

Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной. Итак, производной функции y=f(x) в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.

Шаг 1. Дадим аргументу приращение и найдём

Шаг 2. Найдём приращение функции:

Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при , то есть производную:

Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МР при , или, что то же при .

Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел

,

причём предел равен углу наклона касательной к оси .

Теперь дадим точное определение касательной.

Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x. В этом состоит геометрический смысл производной:

где — угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.

Пример 3. Найти производную функции и значение этой производной при .

Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.

Шаг 1.

Шаг 2.

Шаг 3.

Шаг 4.

Выражение под знаком предела не определено при (неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:

Найдём значение производной при :

Весь блок «Производная»

function-x.ru

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Общее правило: находим , потом и затем обношение

Правила и формулы дифференцирования элементарных функций.

Дифференцирование– это взятие производной от функции.

Правила дифференцирования:

1)производная постоянной равна нулю

(c)ʹ = 0, c — const

2)производная Х равна 1

(x)ʹ = 1

3) постоянный множитель выносится за знак производной

(c*u)ʹ=c*uʹ, c — const

4) производная алгебраической суммы функции равна алгебраической сумме производных от каждого слагаемого

(u+γ-ω) ʹ= uʹ+γʹ-ωʹ

5) производная произведения равна производной первого множителя на второй, плюс производная второго множителя, умноженного на первый

(u*γ) ʹ= uʹγ+ γʹu

6) производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель и делить на знаменатель в квадрате

 

Формулы дифференцирования:

 

Дифференцирование логарифмической функции. Производная показательной функции.

Производная показательной функции.

Дифференцирование тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций.

см 2 билет ( косинусы, синусы, тангенсы, катангенсы, арккосинусы, арксинусы, арктангенсы)

 

Производная второго порядка и её механический смысл. Уравнение касательной.

Производную от функции часто называют производной первого порядка (первой производной). Очевидно, что производная также является функцией и если она дифференцируема, то от нее в свою очередь можно взять производную, которую называют производной второго порядка (второй производной) и обозначают yʹʹ,

Пусть тело движется прямолинейно по закону S=f(t). Как известно, скорость U движения тела в данный момент времени равно производной пути по времени, т.е. U=S

Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение

В этом случае величина отношения показывающаяся изменение скорости за единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t+

Пусть , тогда t+ , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорение в данный момент времени t

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Уравнение касательной:

 

 

y=f(x)

 

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление дифференциала.

Дифференциал– главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, обозначается знаком d т.е.

Геометрический смысл: дифференциал функции геометрический изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке М(x;y) при данных значениях x и

дифференциал можно вычислить по формуле

 

Точка перегиба. Алгоритм нахождения точки перегиба. Исследование функции и построение графика.

Точка перегиба – точка на кривой, где меняется направление выпуклости

Алгоритм:

1. находим 2-ую производную

2. приравниваем ее к 0 и решаем уравнение y

3. отмечаем решение на прямой и узнаем знак второй производной на каждом интервале.

Если смена равна производной, то х = с – абсцисса точки перегиба

Чтобы найти ординату для точек надо подставить ее в функцию

Правило:

Если 2-ая производная на интервале положительна, то функция выпукла вверх

Если 2-ая производная на интервале отрицательна, то функция выпукла вниз

(начало 8 билет)

y

6х=0

х=0

х=0 – абсцисса точки перегиба

у(0)=-9*0+0 => (0;0) – точка перегиба

Формулы интегрирования. Вычисление неопределенного интеграла. Пример.

 

Тут надо придумать. Можно что-то простое

 

Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбица.

Геометрический смысл: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x) прямыми х=а и х=b и отрезками ab на ОХ

Определенный интеграл высчитывается по формуле Ньютона-Лейбица:

 

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Их следствия. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются в пространстве.

Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы:

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.

2.Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.

3.Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из них:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: возьмем точку принадлежащую прямой. Через две точки проведем прямую, назовем b. Имея две пересекающиеся прямые по аксиоме мы может провести плоскость и притом только одну.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости.

Доказательство: пусть a – данная прямая и α — данная плоскость. Проведем через прямую a и точку A плоскость α`. Если плоскость α` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве:

Прямые, лежащие на одной плоскости, имеющих одну общую точку ,называютпересекающимися.

Прямые называютсяпараллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Прямые называются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.

 

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Общее правило: находим , потом и затем обношение

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Квадратные уравнения, примеры решений

Теория по квадратным уравнениям

Возможны такие случаи:

, тогда имеем квадратное уравнение вида и .

, тогда имеем квадратное уравнение вида , если ; если – корней нет.

, тогда имеем квадратное уравнение вида .

, тогда имеем полное квадратное уравнение , которое решается или с помощью дискриминанта:

Или по теореме Виета:

Примеры

ru.solverbook.com

Решение уравнений, формулы и примеры

Определение и степень уравнения

Например. .

Например. Уравнение является уравнением седьмой степени, поскольку максимальную — седьмую — степень имеет одночлен .

Решение уравнения и его корни

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Основные свойства уравнений

1. Если хотя бы в одной части уравнения выполнить тождественные преобразования, то в результате получим уравнение, равносильное заданному.

   Например. .

2. Если из одной части уравнения перенести слагаемые в другую его часть, при этом изменив их знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное заданному.

   Например. .

3. Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и тоже ненулевое число, то получим уравнение, равносильное данному.

   Например. .

ru.solverbook.com

Примеры решения показательных уравнений

Решение показательных уравнений различными способами

методы решения

образцы решения

1) в обеих частях уравнения привести степени к одному основанию

2) приравнять показатели степеней

а)

Ответ: 3.

б)

Ответ: 5

в)

Ответ: — 3.

г)

Ответ: .

д)

D=

Ответ: 1; .

е)

Ответ: 2; 3.

представить 1 в виде степени числа а с нулевым показателем

а)

Ответ: — 2.

б)

или

Ответ: 2; 3.

(A, k,B числовые коэффициенты)

1 )вынести общий множитель за скобки

2) выполнить преобразования и привести уравнение к виду

а)

Ответ: 4.

б)

Ответ: 1.

в)

или

Ответ: -1; 1.

1) обозначить

2) решить полученное квадратное уравнение относительно у

3) выполнить обратную замену и решить уравнения , относительно х

а)

или

Ответ: 0; 1.

б)

или

1)

2)

корней нет,

т.к. > 0 при любом

Ответ: 2.

в)

т.к , умножим всё уравнение на

или

1)

2)

нет решений,

т. к.> 0 при любом

Ответ: 2.

г)

всё уравнение можно поделить на

или

1)

корней нет

2)

Ответ: 0.

infourok.ru

Квадратные уравнения. Примеры решения

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный — ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение — то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0.

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта

Корень из данного значения равен 14, его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней

и получаем

Задача 2. Решить уравнение

2x²+x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант


По известным формулам находим корни квадратного уравнения

Задача 3. Решить уравнение

9x²-12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант

Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см².

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х²-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

Задача 6. Разложить квадратное 10x²-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х²+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет — а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

Пример 2. При каких значениях параметра а, уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

yukhym.com

Решение простых показательных уравнений

Простые примеры на показательные уравнения позволят овладеть методикой их решения. Задания не слишком сложные и будут полезными для всех кто изучает показательные уравнения, готовится к тестированию, контрольным или вступительным экзаменам.

Пример 1. Решить уравнение (0,5)^х =.
Решение: Первое что нужно сделать это свести уравнение к одному основанию. С этой целью преобразуем правую сторону показательного уравнения

В итоге уравнение сведется к виду

Теперь основы ровны, поэтому можем приравнять показатели

и найти ответ x=-2,5.

Вот такие простые вычисления.

Пример 2. Решить уравнение (2/3)^х*(9/8^)х =27/64.
Решение: Преобразим правую и левую сторону показательного уравнения к одной основе


Подставим в уравнение и приравняем показатели

Таким простым методом нашли решение показательного уравнения x=3.

Пример 3. Решить уравнение 5^2х-7^х-35*5^2х+35*7^х=0.
Решение: Сгруппируем слагаемые, содержащие 5^2х и 7^х.


Последняя запись показательного уравнения многих заводит в тупик. (Не всем легко найти ответ).
Тогда, давайте перепишем уравнение в виде

Согласно свойствам показательных функций решение равно нулю x=0. Только возведением к 0 степени можно получить единицу.
Для наглядности посмотрите графики показательных функций. Они пересекаются в точке x=0.

Пример 4. Решить уравнение 14^х+2+5*14^х-1=2749.
Решение: В подобных задачах необходимо вынести основу с наименьшим показателем. Для этого распишем уравнение к виду




Получили что решение равно единице.

Пример 5. Решить уравнение (0,6)^х+2 =25/9 .
Решение: Такого рода задачи следует решать по следующей схеме.
Обязательно превратить число 0,6 к дробному виду

Далее уже поступают исходя из условия, в нашем случае превращаем правую сторону.

Приравниваем показатели, предварительно изменив знак в каком либо, чтобы получить одинаковую основу
x+2=-2; x=-2-2=-4.
Решение показательного уравнения x=-4.

Пример 6. Решить уравнение (0,25)^х-1=2*sqrt(2)
Решение: Преобразим показательное уравнение к одной основе

Подставим выражение в уравнение



Решение уравнения равно 1/4.

Пример 7. Решить уравнение (1,44)^х-4=6/5.
Решение: Не сразу можно догадаться как упрощать уравнения.
Распишем сначала правую сторону 6/5=1,2.
Основу в показателе сводим к виду

После подстановки приравниваем показатели при одинаковых основаниях

2(x-4)=1; 2x-8=1; 2x=9;x=9/2=4,5.

Решения уравнения x=4,5.

Пример 8. Решить уравнение
Решение: Используем основополагающее правило для показательных уравнений — свести уравнение к слагаемым с одинаковым основанием.
Выполним манипуляции с основой


Подставляем в уравнение и приравниваем степени

Решение показательного уравнения равно x=-2.

Пример 9. Решить уравнение 3^х-1+3^х-2+3^х-3=13.
Решение: Расписываем слагаемые так, чтобы потом сгруппировать слагаемые с одинаковим показником

Дальнейшие действия достаточно просты

Уравнение удавлетваряет значение x=3.

Пример 10. Найти сумму решений уравнения
Решение: Можно догадаться что придется вычислять квадратное уравнение. Но к нему еще нужно прийти. Для начала запишем 0,6 в виде

Подставим в показательное уравнения

Теперь можно приравнять степени при основаниях

Корни уровнения x=0; x=-1/2.
Их сумма равна
0-1/2=-0,5.

На этом знакомство с возможными примерами простых показательных уравнений завершено. Сложные примеры можно найти на страницах сайта. Оставайтесь с нами и мы подготовим Вас лучше репетиторов.

Похожие материалы:

yukhym.com

Математический маятник

Математический маят­ник — это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерас­тяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник — это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный ма­ятник можно считать математическим, если длина нити  много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему в данном случае образуют нить, присо­единенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.

,

где а_х – ускорение, g – ускорение свободного падения, х — смещение, l – длина нити маятника.

Это уравнение называется урав­нением свободных колебаний математического маятника.  Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)  будем считать, что силы трения, действующие на тело, пре­небрежимо малы и потому, их можно не учитывать;

2)   рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.

Свободные колебания любых систем во всех слу­чаях описываются аналогичными уравнениями.

Причинами свободных колебаний математическо­го маятника являются:

1.  Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, пре­пятствующей его смещению из положения равновесия и заставляю­щей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.

Период свободных колебаний математического ма­ятника

.

Период свободных колебаний математического маятника не за­висит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.

Превращение энергии при гармонических колебаниях

При гармонических колебаниях пружинного маятника проис­ходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного телав его кинетическую энергию, гдеk – коэффициент упругости,х — модуль смещения маятника из поло­жения равновесия,m— масса маятника,v— его скорость. В соот­ветствии с уравнением гармонических колебаний:

,.

Полная энергия пружинного маятника:

.

Полная энергия для математического маятника:

В случае математического маятника

Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии (). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая — уменьшается. Когда маятник проходит положение равно­весия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.

Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.

Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания, происходящие под действием внеш­ней периодической силы, называются вынужден­ными колебаниями. Внешняя периодическая си­ла, называемая вынуждающей, сообщает колеба­тельной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, проис­ходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или коси­нуса, то вынужденные колебания будут гармониче­скими и незатухающими.

В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из со­стояния равновесия), в случае вынужден­ных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периоди­ческой силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на пре­одоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему ос­тается неизменной.

Частота вынужденных колебаний равна часто­те вынуждающей силы. В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной ча­стотой колебательной системы υ₀, происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колеба­ний — резонанс. Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ₀  внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает по­ложительную работу: энергия колеблющегося те­ла увеличивается, и амплитуда его колебаний ста­новится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А_т от частоты вынужда­ющей силы υ  представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:

Явление резонанса играет большую роль в ря­де природных, научных и производственных про­цессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.

studfiles.net

Математический маятник, формулы и примеры

Определения и формулы математического маятника

Рис.1. Математический маятник

Математический маятник – это модель системы, совершающей гармонические колебания. Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения описываются уравнением гармонических колебаний.

В положении равновесия сила тяжести и сила упругости нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол на тело будет действовать возвращающая сила , которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:

Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки, уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения , тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна. Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь в направлении, противоположном силе , сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается, и затем начинает двигаться в обратном направлении.

Период колебаний математического маятника

Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды колебаний.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

№5 Математический маятник

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Тема: «Изучение зависимости периода колебаний нитяного маятника от длины нити»

Цель:установить математическую зависимость периода нитяного маятника от длины нити маятника.

Оборудование:штатив с держателем, шарик на нити, измерительная лента или линейка, секундомер.

Теоретическая часть

Математическим маятникомназывается материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. Моделью может служить тяжёлый шарик, размеры которого весьма малы по сравнению с длинной нити, на которой он подвешен (не сравнимы с расстоянием от центра тяжести до точки подвеса).

Учёные Галилей, Ньютон, Бессель и др. установили следующие законы колебания математического маятника:

1.Период колебания математического маятника не зависит от массы маятника и от амплитуды, если угол размаха не превышает 10.

2.Период колебания математического маятника прямо пропорционален квадратному корню из длины маятника и обратно пропорционален квадратному корню из ускорения свободного падения. На основании этих законов можно написать формулу для периода колебаний математического маятника:.

Используя модель и законы колебаний математического маятника, можно пронаблюдать свободные колебания, а так же с их помощью определить ускорение свободного падения для своей местности и сравнить со справочным значением g.

Порядок выполнения работы:

1. Укрепить нить маятника в держателе штатива.

2. Измерить длину маятника (длина маятника считается от точки подвеса до центра тяжести шарика).

3. Отклонить шарик на угол не более 10° и отпустить.

4. Определить время, за которое маятник совершил 20 колебаний.

5. Вычислить период колебания маятника, используя формулу Т= t/N.

6. Повторить опыт еще три раза, уменьшая (или увеличивая) длину нити маятника.

7. Данные всех опытов и результаты расчетов внести в таблицу.

8. Проанализировать результаты опытов и сделать вывод о зависимости периода нитяного маятника от длины его нити.

ОТЧЕТ ПО РАБОТЕ

Контрольные вопросы:

1. Изобразите математический маятник в крайней правой точке и покажите на чертеже силы, действующие на шарик в данной точке траектории. Нарисуйте равнодействующую сил. Как меняется величина и направление равнодействующей сил в течение периода?

2. Каким будет характер движения маятника А) при его перемещении от положения равновесия до амплитудного значения координаты? Б) при его перемещении от амплитудного значения к положению равновесия?

3. Как будет меняться период колебаний ведерка с водой, подвешенного на очень длинном шнуре: А) если из отверстия в его дне постепенно будет вытекать вода?; Б) если увеличить длину шнура? Какой математический закон или формулу вы использовали при ответе на данные вопросы?

ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

studfiles.net

А. Математический маятник — PhysBook

Математический маятник. Период колебаний математического маятника

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы).

Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно. Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С. При этом действующие на него сила тяжести \(\vec F\) и сила упругости \(\vec F_{ynp}\) нити взаимно компенсируются.

Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 13.11). В этом случае силы \(\vec F\) и \(\vec F_{ynp}\) не уравновешивают друг друга. Тангенциальная составляющая силы тяжести \(\vec F_\tau\), действуя на маятник, сообщает ему тангенциальное ускорение \(\vec a_\tau\) (составляющая полного ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения математического маятника), и маятник начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Тангенциальная составляющая силы тяжести \(\vec F_\tau\) является, таким образом, возвращающей силой. Нормальная составляющая \(\vec F_n\) силы тяжести направлена вдоль нити против силы упругости \(\vec F_{ynp}\). Равнодействующая сил \(\vec F_n\) и \(\vec F_{ynp}\) сообщает маятнику нормальное ускорение \(~a_n\), которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ABCD.

Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей \(~F_\tau = F \sin \alpha\). В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая \(\vec F_\tau\) направлена против скорости. С увеличением угла отклонения а модуль силы \(\vec F_\tau\) увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.

Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника.

Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса l, а массу маятника — m.

Из рисунка 13.11 видно, что \(~F_\tau = F \sin \alpha\), где \(\alpha =\frac{S}{l}.\) При малых углах \(~(\alpha <10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.

Согласно второму закону Ньютона \(m \vec a = m \vec g + F_{ynp}.\) Спроецируем векторные величины этого уравнения на направление касательной к траектории движения математического маятника

Из этих уравнений получим

\(a_\tau = -\frac{g}{l}S\) — динамическое уравнение движения математического маятника. Тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия. Это уравнение можно записать в виде\[a_\tau+\frac{g}{l}S = 0\]. Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний \(~a_x + \omega^2x = 0\) (см. § 13.3), можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.

Обозначим \(\frac{g}{l} = \omega^2.\) Откуда \(\omega = \sqrt \frac{g}{l}\) — циклическая частота колебаний маятника.

Период колебаний маятника \(T = \frac{2 \pi}{\omega}.\) Следовательно,

Это выражение называют формулой Гюйгенса. Оно определяет период свободных колебаний математического маятника. Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника: 1) не зависит от его массы и амплитуды колебаний; 2) пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения. Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем.

Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий: 1) колебания маятника должны быть малыми; 2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится.

Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением \(\vec a\) то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле

где \(~g’\) — «эффективное» ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения \(\vec g\) и вектора, противоположного вектору \(\vec a\), т.е. его можно рассчитать по формуле

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 374-376.

www.physbook.ru

Математический маятник: задачи среднего уровня

Рассмотрим задачи среднего уровня, связанные с колебаниями тела на нити – то есть с математическим маятником. Навык решения задач – основной навык, который гарантирует высокие баллы на ЕГЭ.

Математический маятник

Задача 1. Один математический маятник имеет период с. ‚ другой – с. Каков период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин данных маятников

Запишем периоды колебаний обоих маятников:

Возведем в квадрат оба уравнения:

Выразим длины нитей обоих маятников:

Сложим длины нитей:

Определим период маятника с такой длиной нити:

Ответ:
Задача 2. Математический маятник подвешен вблизи вертикальной стены и колеблется в плоскости, параллельной стене. В стену вбит гвоздь так, что середина нити маятника наталкивается на него каждый раз, когда маятник проходит положение равновесия справа налево (рис.). Найти длину нити, если период колебаний такого маятника (с помехой в виде гвоздя) с.

К задаче 2

Период колебаний такого маятника состоит из двух частей: одна часть, соответствующая длине нити , и вторая, соответствующая длине нити .

Тогда

Период равен

Чтобы найти длину нити, возведем в квадрат период:

«Вытащим» :

Немного «причешем»:

Домножим на 2 числитель и знаменатель:

Ответ:
Задача 3. Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз его поднимают по вертикали до точки подвеса, второй раз отклоняют на небольшой угол. В каком из этих случаев шарик быстрее возвратится к начальному положению?

Если шарик висел на нити длиной и его подняли на высоту , то, когда он будет отпущен, он упадет за время согласно формулам кинематики:

Если шарик отклонить, то для возвращения ему потребуется полпериода:

Понятно, что число больше, чем .

Задача 4. Два математических маятника начинают колебаться одновременно. Когда первый маятник совершил полных колебаний, второй совершил только полных колебаний. Какова длина первого маятника, если длина второго м?

Так как второй маятник успевает выполнить вдвое меньше колебаний, то, следовательно, период этих колебаний вдвое больше, чем у первого маятника: . Вычислим отношение периодов:

По условию, отношение периодов равно 2:

Если , то .

Ответ:  м.
Задача 5. Маятниковые часы за сут отстают  на 1 час. Что нужно сделать с маятником, чтобы они шли верно?

Если часы отстают на 1 час, то, следовательно, то количество качаний, которые эти часы должны выполнять за 24 часа, они выполняют за 23 часа. Пусть это количество качаний . Найдем положенный период и фактический:

Отношение периодов маятников

Тогда, возводя в квадрат, получим:

То есть фактическая длина меньше, чем надо, следовательно, нить маятника нужно удлинить на .

easy-physic.ru

Математический маятник

«Мир, в котором мы живём,

удивительно склонен к колебаниям….

Колеблются даже атомы,

из которых мы состоим».

Данная тема посвящена решению задач на математический маятник.

Задача 1. Математический маятник совершил 30 колебаний за минуту. Найдите период и частоту колебаний, а также длину маятника.

Ответ: период – 2 с, частота – 0,5 Гц, длина маятника – 99 см.

Задача 2. При уменьшении длины математического маятника на 2 см, период его колебаний уменьшается в 1,5 раза. Найдите первоначальную длину маятника.

Ответ: 3,6 см.

Задача 3. Математический маятник, проходя нижнюю точку имеет скорость 1 м/с, а его длина равна 20 см. Определите вертикальное отклонение маятника от положения равновесия в момент времени t = 5 с, если в начальный момент времени маятник находится на максимальной высоте.

Ответ: 4,5 см.

Задача 4. Шарик массой 200 г, подвешенный на нити совершает колебания. Шарику сообщили заряд 300 мкКл и поместили всю систему в электростатическое поле, линии напряжённости которого направлены вертикально вниз. После этого циклическая частота колебаний увеличилась вдвое. Найдите напряжённость поля.

Ответ: 1960 Н/Кл.

Задача 5. Материальная точка на нерастяжимой нити длиной 0,3 м совершает колебания, так что максимальный угол отклонения нити от вертикали составляет 30º. Найдите положение материальной точки в момент времени t = 5 с в системе отсчёта, связанной с положением равновесия. В начальный момент времени точка находится в положении равновесия.

Ответ: (–4,8 см; 1,3 см).

videouroki.net

Математический маятник, теория и онлайн калькуляторы

Физический маятник

Физическим маятником считают твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной оси, расположенной горизонтально.

Точка пересечения этой оси с вертикальной плоскостью, которая проходит через центр масс маятника называют точкой подвеса маятника. Положение тела в каждый момент времени физического маятника характеризуют углом отклонения его от положения равновесия ($\varphi $). Угол $\varphi $ выполняет роль обобщенной координаты. Кинетическая энергия ($E_k$) качающегося физического маятника может быть определена как:

где $J$ — момент инерции маятника по отношению к точке подвеса; $\omega =\frac{d\varphi }{dt}=\dot{\varphi }$ — угловая скорость.

Потенциальная энергия ($E_p$) в случае малых колебаний маятника вычисляется как:

где $a$ — расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ — масса мятника; $g$ — ускорение свободного падения.

Малые колебания физического маятника можно считать гармоническими с циклической частотой (${\omega }_0$) равной:

Полная энергия колебаний маятника равна:

где $A$ — амплитуда колебаний.

Математический маятник — частный случай физического маятника

Математическим маятником называют физический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Чаще всего математический маятник рассматривают как шарик, который подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику считают тяжелый маленький шарик, совершающий колебания на тонкой длинной нити.

Для математического маятника расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса ($a$) равно длине нити ($l$), момент инерции шарика равен $J=ml^2$тогда формулу для циклической частоты колебаний математического маятника запишем как:

Период колебаний математического маятника ($T$) при этом:

Уравнение движения математического маятника и его решение

Математический маятник является примером гармонического осциллятора, совершающим гармонические колебания описываемые уравнением:

Решением уравнения (7) является выражение:

где $\alpha $ — начальная фаза колебаний; ${\varphi }_0$ — амплитуда колебаний.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической или квантовой механики.

Примеры задач с математическим маятником

Задание. Каков период (T) колебаний математического маятника, который подвешен к потолку кабины лифта, движущегося вертикально вниз 1) равномерно; 2) с ускорением $a$? Длина нити маятника равна $l$.

Решение. Сделаем рисунок.

Период колебаний при равномерном движении математического маятника равен:

При движении с ускорением вниз период равен:

Ответ. 1) $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$ 2) $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$

Задание.Какова возвращающая сила ($F$), действующая на шарик, массой $m$, математического мятника при $t’$ и его полная энергия (E), если колебания совершаются по закону $x=0,2{\cos ({\omega }_0t)\ }$, где ${\omega }_0=\frac{2\pi }{3}$($\frac{рад}{с}$)?

Решение. 1) Для нахождения силы, действующей на материальную точку в которой сосредоточена масса математического маятника, воспользуемся вторым законом Ньютона:

Ускорение шарика найдем как:

Получаем, то сила равна:

2) Полная энергия маятника:

Ответ. $F$=$-m\frac{4{\pi }^2}{45}{cos \left({\omega }_0t’\right)\ \left(Н\right)\ }.E=\frac{4}{15}{\pi }^2m\ Дж$

Читать дальше: механика.

www.webmath.ru

Понятие функции | Алгебра

Понятие функции в математике — одно из основных. Выражает зависимость одних переменных величин от других.

Определение.

Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Пусть каждому числу x из множества значений D поставлено в соответствие число y из множества значений E.

«Поставлено в соответствие» — значит, указан определённый способ (правило), по которому для каждого x∈D  находят y∈E. (∈ — знак принадлежности. Запись x∈D читают «икс принадлежит дэ»).

Чаще всего этот способ обозначают как y=f(x). Для обозначения функции применяют и другие буквы: y=g(x), s=f(t) и т.д.

Если функция задана соответствием y=f(x), переменная x называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной или функцией.

Множество значений D, которые может принимать x, называется областью определения функции.

Множество значений E, которые может принимать y, называется областью значений функции.

Функцию можно задать несколькими способами:

— аналитическим (с помощью формулы),

— графическим,

— табличным,

— описанием с помощью словесной формулировки).

Функции, в которых значения аргумента и значения функции — числа, называются числовыми функциями. В курсе алгебры изучаются, в основном, числовые функции.

Примеры функций.

1) При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь является функцией от времени .

Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 60 км/ч, зависимость пути от времени можно задать формулой s=60t, где s — пройденный путь (в километрах), t — время (в часах).

2) Периметр квадрата является функцией от его стороны.

Зависимость периметра от стороны квадрата можно задать формулой P=4a, где P — периметр, a — длина стороны.

www.algebraclass.ru

Функции и графики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону — слева направо):

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x₁; 0) и (x₂; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x₀; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax² + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
• если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T₁, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

educon.by

Что такое функция — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Понятие функции – одно из основных в математике.

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула – это зависимость давления жидкости от глубины .

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому .

Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется .

Совсем необязательно обозначать переменные и . Например, – зависимость длины от температуры , то есть закон теплового расширения. Сама запись означает, что величина зависит от .

2. Можно дать и другое определение.

Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается – а на выходе получается .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .

Повторим еще раз: каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество называется областью определения функции. Множество – областью значений.

Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.

Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция . Каждому значению соответствует одно и только одно значение . И наоборот – зная , можно однозначно найти .

Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:

Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.

Пример такого соответствия в математике – функция . Один и тот же элемент второго множества соответствует двум разным элементам первого множества: и .

А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:

Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.

Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?

Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?

Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению соответствует не одно, а целых три значения .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Перечислим способы задания функции.

1. С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:

,

,

,

.

Это примеры функций, заданных формулами.

2. Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.

К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.

3. С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» — строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.

4. С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция задается описанием:

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Виды функций и их графики

Умножение матриц

Каталин Дэвид

Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Алгоритм умножения матриц

Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.

1. Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
   
   • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
   • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
   • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
   • Складываем полученные произведения.
   • Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
2. Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
   
   • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
   • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
   • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
   • Складываем полученные произведения.
   • Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
3. Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
4. Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
5. Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.

Пример 7
$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 5\\ \end{pmatrix}$

Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.

Какие вида масштаба существуют? Приведите пример численного масштаба . Переведите его в именованый масштаб

Масшта́б (нем. Maßstab, букв. «мерная палка»:  Maß «мера»,  Stab «палка») — в общем случае отношение двух линейных размеров. Во многих практических областях применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.

То есть, на картах, планах, аэро- или космических снимках это отношение длины отрезка к его действительной длине на местности. Принято, на картах принимать за единицу измерения — 1 сантиметр, а на местности измерять расстояние в метрах.

Виды указания масштабов

Существует три вида указания масштаба:

• численный;
• именованный;
• линейный.

Численный масштаб (самый распространенный и удобный) — масштаб дробного вида, где числитель — единица, а знаменатель — число, показывающее во сколько раз уменьшено данное изображение територии (пример: 1:100 000; 1:15 000). Обе цифры указаны в сантиметрах, что делает невозможным ошибку в переводе, конвертации одних единиц измерения в другие. Но на практике использование такого масштаба не является удобным. Поэтому, при роботе непосредственно на местности, численный масштаб чаще всего переводят в именованный.

Именованный (или словесный) масштаб — словесное указание того, какое расстояние на местности соответствует 1 сантиметру на карте (пример: в 1 см 5 км или 1 см = 500 метров). Такой вид масштаба понятен человеческому уму, но будет сложно производить расчеты и очень легко сделать ошибку.

Существует так же и третий вид указания масштаба. Это линейный масштаб.

Линейный масштаб — вспомогательная мерная линейка на картах для быстрого измерения расстояний, без расчетов.

Масштаб карт всегда одинаков во всех ее точках.

Стандарты топографических карт и планов

В России приняты стандартные численные масштабы:

1:1 000 000
1:500 000 
1:200 000
1:100 000
1:50 000
1:25 000
1:10 000.

*Для специальных целей создают также топографические карты в масштабах 1:5 000 и 1:2 000. 

Точность масштаба

Предельная возможность измерения и построения отрезков на картах и планах ограничена величиной 0,01 см.

Точность масштаба имеет большое значение, когда в задании нам нужно указать возможную погрешность измерения.
Поэтому, для ее определения следует знаменатель численного масштаба разделить на 10 000 (1 м содержит 10 000 отрезков по 0,01 см). Так, для карты масштаба 1:25 000 точность масштаба равна 2,5 м.

Перевод численного масштаба в именованный

Так как длины линий на местности принято измерять в метрах, а на картах и планах — в сантиметрах, то масштабы удобней всего выражать в словесной форме, например:

в одном сантиметре 100 метров. Это соответствует численному масштабу 1:10 000. Поскольку 1 метр равняется 100 сантиметрам, то число метров на местности, содержащееся в 1 см на карте, легко определяется путем деления знаменателя численного масштаба на 100. Или на 100 000 — для перевода в км.

Примеры:
1:1000 — в 1 см 10 метров
1:500 000 — в 1 см 5 км.

Задание:
перевести в именованный масштаб.
1:5 000 —
1:12 500 —
1:1000 000 —
1: 200 —

vashurok.ru

3. Виды масштабов. Точность.

Масштаб – степень уменьшения горизонтальных проложений линий местности при их изображении на плане и карте. М вычисляют как отношение длины линии на чертеже, плане, карте к длине горизонтального проложения этой линии на местности.

Горизонтальное проложение – ортогональная проекция линии с физической поверхности Земли на горизонтальную плоскость. Виды Масштаба:

а) численный;

Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень уменьшения проекции. Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.

Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1:1 000 крупнее, чем масштаб 1:25 000.

б) именованный;

вид масштаба, словесное указание того, какое расстояние на местности соответствует 1 см на карте, плане, снимке.

в) линейный;

Линейный масштаб — это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделённой на равные части.

г) поперечный

масштаб — график (обычно на металлической пластинке) для измерения и откладывания расстояний на карте с предельной графической точностью (0,1 мм).

Расстояние на местности, соответствующее наименьшему делению линейного масштаба карты. Расстояние на местности, соответствующее 0,1 мм в масштабе карты, называется предельной точностью масштаба.

Виды карт: Оперативные (1:10⁶,500к,200к) тактические (1:100к,50к,25к,10к). Типы: Мелко-(1,2), средне-(3,4), крупномасштабные(5,6,7)

4.Понятия о плане и карте. Условные знаки.

План местности — простейшая разновидность географической карты; чертёж небольшого участка местности в крупном масштабе. Планы применяются туристами, коммунальными и аварийными службами, в сельском хозяйстве и в других местах, где нужно ориентироваться на местности и изучать участки

Карта — Географической картой называется уменьшенное в определенном масштабе изображение на плоскости земной поверхности в определенной картографической проекции. Это изображение обычно условное, так же это может быть чертеж земной поверхности или объекта, в уменьшенном или обобщенном виде.

В отличие от плана карта имеет более мелкий масштаб. Так на плане он крупнее, чем 1 : 5000. Изображения земной поверхности с более мелким масштабом можно считать картами.

Масштаб влияет на изображаемую площадь. Чем крупнее масштаб, тем меньшую площадь можно изобразить. Соответственно на планах изображается небольшая территория, а на картах можно изобразить любую площадь, в том числе и весь земной шар.

На планы обычно стараются нанести все детали изображаемой местности, а на карту только наиболее существенные объекты. Причем карты бывают разного типа, и соответственно важные объекты для каждого типа карты свои.

На планы не наносят параллели и меридианы, в то время как на картах их обозначают всегда.

Условные знаки служат для того, чтобы на карте показать тот или иной объект (очень простым языком)

Картографические условные знаки — система символических графических обозначений (знаков), применяемая для изображения на картах различных объектов и явлений, их качественных и количественных характеристик. Условные знаки иногда также называют «легенда карты».

Например: Леса (вырубленный, горелый и др), колодцы, пещеры, ямы, болота, мосты, скалы, пещеры, ключи, жд дороги, овраги и тд.

ВОТ ВАМ КАК ПРИМЕР

studfiles.net

Масштаб — это, что такое, какие, определение, значение, доклад, реферат, конспект, сообщение, вики — WikiWhat

Виды масштабов

Масштаб можно написать цифрами или словами, или изобразить графически.

• Численный.
• Именованный.
• Графический.
  • Линейный.
  • Поперечный.

Численный масштаб

Численный масштаб подписывают цифрами внизу плана или карты. Например, масштаб «1 : 1000» означает, что на плане все расстояния уменьшены в 1000 раз. 1 см на плане соответствует 1000 см на местности, или, по­скольку 1000 см =10 м, 1 см на плане соответствует 10 м на мест­ности.

Именованный масштаб

Именованный масштаб плана или карты обозначают словами. Например может быть написано «в 1 см — 10 м».

Линейный масштаб

Удобнее всего пользоваться масштабом, изображённым в виде отрезка прямой линии, разделённой на равные части, обычно сантиметры (рис. 15). Такой масштаб называется линейным, он также показывается внизу карты или плана. Обратите внимание, что при вычерчивании линейного масштаба нуль ставят, отступая на 1 см от левого конца отрезка, а первый сантиметр делят на пять частей (по 2 мм).

Возле каждого сантимет­ра подписано, какому расстоянию это соответствует на плане. Один сантиметр разделен на части, возле которых написано, како­му расстоянию на карте они соответствуют. Циркулем-измерите­лем или линейкой измеряют длину какого-либо отрезка на плане и, прикладывая этот отрезок к линейному масштабу, определяют его длину на местности.

Применение и использование масштаба

Зная масштаб, можно определять расстояния между географи­ческими объектами, измерять сами объекты.

Если расстояние от дороги до реки на плане с масштабом 1 : 1000 («в 1 см — 10 м») равно 3 см, значит, на местности оно равно 30 м. Материал с сайта http://wikiwhat.ru

Предположим, от одного объекта до другого 780 м. По­казать в натуральную величину это расстояние на бумаге невоз­можно, поэтому придётся вычертить его в масштабе. Например, если все расстояния будут изображены в 10 000 раз меньшими, чем в дей­ствительности, т. е. 1 см на бумаге будет соответствовать 10 тыс. см (или 100 м) на местности. Тогда в масштабе расстоя­ние в нашем примере от одного объекта до другого будет равно 7 см и 8 мм.

Картинки (фото, рисунки)

• Рис. 15. Линейный масштаб