Рубрика: Школьная жизнь

Средняя линия треугольника и площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Вывод:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Поскольку

то 

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то 

то есть

Вывод:

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

www.treugolniki.ru

Найти площадь треугольника, средняя линия

Рассмотрим задачу на  подобие, где требуется найти площадь треугольника, средняя линия которого делит его на части.

Утверждение.

Средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3.

    Дано: ∆ ABC,

FK — средняя линия

Доказать:

Доказательство:

Рассмотрим ∆ FCK и ∆ ACB

По свойству средней линии треугольника, FK∥AB и FK=1/2 AB.

Отсюда, ∠CFK=∠CAB (как соответственные при FK∥AB и секущей AC).

∠C — общий.

Следовательно, ∆ FCK и ∆ ACB подобны (по двум углам).

Так как площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

Таким образом,

а так как

Итак, средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых, соответственно, составляют одну четверть и три четверти от площади исходного треугольника, значит,

Что и требовалось доказать.

Задача.

    Дано:

∆ ABC,

F — середина AC,

K — середина BC,

Найти:

Решение:

Пусть

По доказанному выше утверждению,

Значит,

Поскольку

Ответ: 18 см².

www.uznateshe.ru

Средняя линия треугольника | Треугольники

Что такое средняя линия треугольника?

Каковы свойства средней линии треугольника?

Сколько средних линий в треугольнике?

Определение.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

M — середина AB,

N — середина BC.

MN — средняя линия треугольника ABC.

Поскольку в треугольнике три стороны, треугольник имеет три средние линии.

MN, MP, PN — средние линии треугольника ABC.

Теорема (Свойства средней линии треугольника).

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:

Задача.

Стороны треугольника равны a, b, c. Найти стороны и периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

    Дано: ∆ ABC, AB=c, BC=a, AC=b,

M — середина AB, N — середина BC,

P — середина AC.

Найти: MN, PN, MP, P(∆ ABC).

Решение:

Так как точки M, N и P являются серединами сторон треугольника ABC, то отрезки MN, PN и MP- средние линии этого треугольника (по определению).

По свойству средней линии треугольника

Периметр треугольника MNP

Заметим, что

откуда

то есть периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен половине периметра данного треугольника.

www.treugolniki.ru

Средняя линия треугольника, теория в ЕГЭ по математике

\[{\Large{\text{Подобие треугольников}}}\]

Определения

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
(стороны называются сходственными, если они лежат напротив равных углов).

Коэффициент подобия (подобных) треугольников – это число, равное отношению сходственных сторон этих треугольников.

Определение

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Теорема

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) со сторонами \(a,b,c\) и \(a_1, b_1, c_1\) соответственно (см. рисунок выше).

Тогда \(P_{ABC}=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_{A_1B_1C_1}\)

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство

Пусть треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, причём \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = k\). Обозначим буквами \(S\) и \(S_1\) площади этих треугольников соответственно.

Так как \(\angle A = \angle A_1\), то \(\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}\) (по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу).

Так как \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = k\), то \(\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1}\cdot\dfrac{AC}{A_1C_1} = k\cdot k = k^2\), что и требовалось доказать.  

\[{\Large{\text{Признаки подобия треугольников}}}\]

Теорема (первый признак подобия треугольников)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) – треугольники такие, что \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Тогда по теореме о сумме углов треугольника \(\angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — \angle A_1 — \angle B_1 = \angle C_1\), то есть углы треугольника \(ABC\) соответственно равны углам треугольника \(A_1B_1C_1\).

Так как \(\angle A = \angle A_1\) и \(\angle B = \angle B_1\), то \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}\) и \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot BC}{A_1B_1\cdot B_1C_1}\).

Из этих равенств следует, что \(\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1}\).

Аналогично доказывается, что \(\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1}\) (используя равенства \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle C = \angle C_1\)).

В итоге, стороны треугольника \(ABC\) пропорциональны сходственным сторонам треугольника \(A_1B_1C_1\), что и требовалось доказать.

Теорема (второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника \(ABC\) и \(A’B’C’\), таких что \(\dfrac{AB}{A’B’}=\dfrac{AC}{A’C’}\), \(\angle BAC = \angle A’\). Докажем, что треугольники \(ABC\) и \(A’B’C’\) – подобны. Учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно показать, что \(\angle B = \angle B’\).

Рассмотрим треугольник \(ABC»\), у которого \(\angle 1 = \angle A’\), \(\angle 2 = \angle B’\). Треугольники \(ABC»\) и \(A’B’C’\) подобны по первому признаку подобия треугольников, тогда \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC»}{A’C’}\).

С другой стороны, по условию \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’}\). Из последних двух равенств следует, что \(AC = AC»\).

Треугольники \(ABC\) и \(ABC»\) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \(\angle B = \angle 2 = \angle B’\).

Теорема (третий признак подобия треугольников)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть стороны треугольников \(ABC\) и \(A’B’C’\) пропорциональны: \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}\). Докажем, что треугольники \(ABC\) и \(A’B’C’\) подобны.

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что \(\angle BAC = \angle A’\).

Рассмотрим треугольник \(ABC»\), у которого \(\angle 1 = \angle A’\), \(\angle 2 = \angle B’\).

Треугольники \(ABC»\) и \(A’B’C’\) подобны по первому признаку подобия треугольников, следовательно, \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC»}{B’C’} = \dfrac{C»A}{C’A’}\).

Из последней цепочки равенств и условия \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}\) вытекает, что \(BC = BC»\), \(CA = C»A\).

Треугольники \(ABC\) и \(ABC»\) равны по трем сторонам, следовательно, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A’\).

\[{\Large{\text{Теорема Фалеса}}}\]

Теорема

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

Доказательство

Докажем сначала лемму: Если в \(\triangle OBB_1\) через середину \(A\) стороны \(OB\) проведена прямая \(a\parallel BB_1\), то она пересечет сторону \(OB_1\) также в середине.

Через точку \(B_1\) проведем \(l\parallel OB\). Пусть \(l\cap a=K\). Тогда \(ABB_1K\) — параллелограмм, следовательно, \(B_1K=AB=OA\) и \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\) как вертикальные. Значит, по второму признаку \(\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть \(OA=AB=BC\), \(a\parallel b\parallel c\) и нужно доказать, что \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\).

Таким образом, по данной лемме \(OA_1=A_1B_1\). Докажем, что \(A_1B_1=B_1C_1\). Проведем через точку \(B_1\) прямую \(d\parallel OC\), причем пусть \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\). Тогда \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) — параллелограммы, следовательно, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\). Таким образом, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) как вертикальные, \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) как накрест лежащие, и, значит, по второму признаку \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

Теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Доказательство

Пусть параллельные прямые \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) разбили одну из прямых на отрезки \(a, b, c, d\). Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки \(ka, kb, kc, kd\) соответственно, где \(k\) – некоторое число, тот самый коэффициент пропорциональности отрезков.

Проведем через точку \(A_1\) прямую \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) — параллелограмм, следовательно, \(AB=A_1B_2\)). Тогда \(\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\) по двум углам. Следовательно, \(\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb\).

Аналогично проведем через \(B_1\) прямую \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) и т.д.

\[{\Large{\text{Средняя линия треугольника}}}\]

Определение

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство

1) Параллельность средней линию основанию следует из доказанной выше леммы.

2) Докажем, что \(MN=\dfrac12 AC\).

Через точку \(N\) проведем прямую параллельно \(AB\). Пусть эта прямая пересекла сторону \(AC\) в точке \(K\). Тогда \(AMNK\) — параллелограмм (\(AM\parallel NK, MN\parallel AK\) по предыдущему пункту). Значит, \(MN=AK\).

Т.к. \(NK\parallel AB\) и \(N\) – середина \(BC\), то по теореме Фалеса \(K\) – середина \(AC\). Следовательно, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\).

Следствие

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом \(\frac12\).

shkolkovo.net

Формула площади треугольника через среднюю линию

Одна из сторон треугольника имеет длину 3дм 6см, а другая вдвое длиннее.Длина третьей стороны на 4дм 3см меньше,чем сумма длин первых двух сторон.Найдите периме.

Средняя линия треугольника и его площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

То можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

Или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Формула площади треугольника через среднюю линию

Средняя линия треугольника и его площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

То можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

Или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Формула площади треугольника через среднюю линию

Площадь треугольника ABC равна 16. DE-средняя линия. Найдите площадь трапеции ABDE.

Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

Angelinademyan 31.01.2013

Ответы и объяснения

Katyuha85 почетный грамотей

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Если DЕ — средняя линия, то коэффициент подобия треугольников равен 1/2, и отношение площадей составит 1/4. Следовательно, площадь треугольника ECD равна 16 * 1/4 = 4.

poiskvstavropole.ru

Как найти площадь треугольника со средней линией

прямые параллельны (рис.1). Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ? 4 = ? 6. Докажем, что а || b. Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в.

Средняя линия треугольника и его площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

То можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

Или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Как найти площадь треугольника со средней линией

Площадь треугольника ABC равна 16. DE-средняя линия. Найдите площадь трапеции ABDE.

Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

Angelinademyan 31.01.2013

Ответы и объяснения

Katyuha85 почетный грамотей

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Если DЕ — средняя линия, то коэффициент подобия треугольников равен 1/2, и отношение площадей составит 1/4. Следовательно, площадь треугольника ECD равна 16 * 1/4 = 4.

Как найти площадь треугольника со средней линией

Средняя линия треугольника и его площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

То можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

Или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

poiskvstavropole.ru

Средняя линия треугольника Википедия

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника[ | ]

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника^[1].

Свойства[ | ]

• средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
• средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
• три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки[ | ]

• Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника[ | ]

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства[ | ]

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

• Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
• Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
• Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре т

ru-wiki.ru

ФОРМУЛЫ по физике

p=F_внешt=mV

A=Fscos

A={S под граф. F_s(s)}

P=A/t=F­V_cpcos

=A_пол/A_затр= P_пол/P_затр

E_k=mV²/2

E_k=A

E_п=mgh

[Пружина] E_п=kx²/2

E=E_k+E_п=const

E=E₂-E₁=A_внеш+A_тр

АБС.УПР.УДАР

m₁V­₁-m₂V₂=-m₁U₁+m_2­U_2­

E_k1+E_k2[до]=E_k1+E_k2[после]

Если m₁=m₂, то V₁=U₂ V₂=U₁

АБС.НЕУПР.УДАР

m₁V­₁-m₂V₂=(m₁+m₂)U[m₁>m₂]

[до] E_k1+E_k2=E_k1

[после] E_k2=0.5(m₁V­₁-m₂V₂)²/(m₁₊m₂)

Q= E_k1-E_k2

РАВН.ВРАЩЕНИЕ

a_n=V²/R=²R=(2/T)²R=(2)²R

ТЯГОТЕНИЕ

G=6.67e-11м³/кгс

G=9.81м/с²

F=Gm₁m₂/r²

[внутри З] g=g₀r/R₃

[сверху] g=g₀R₃²/(R₃+h)²

g₀=GM_пл/R_пл²

V_1косм={g₀R}

V_2косм=2’V₁

СТОЯЧИЕ МОМЕНТЫ

M=Fd

[в 1 точке] M=0

[к 1 телу] F=0

ВОДИЧКА

p_атм=1e5Па

p=F_n/s

p=p_атм+gh

p_стенки=0.5p_дна.ср

[пресс] F₂=F₁S₂/S₁

[сообщ. cос.] p₁=p₂

F_A=_жgV_{погр.части}

КОЛЕБАНИЯ

₀=2

x=Acos(₀t+₀)

V=x^|; a=V^|

V₀=A₀; a₀=A₀²

E_p=kx²/2

E=kA²/2=m₀²A²/2

МАЯТНИК

T=2/₀=2{L/g}

[при движении] T=2{L/|g-a₀|}

[если есть F] T=2{L/|g+F/m|}

ПРУЖИНКА

T=2/₀=2{m/k}

ГАЗЫ

N_A=6.02e23моль^-1

[мол. Объем; н.у.] V₀=22.4e-3 м³/моль

[больцмана] k=1.38e-23Дж/К

[универ. газ. const] R=kN_A=8.31Дж/мольК

m_1мол=/N_A

N=N_A/m=N_A

=m/

[конц.] n=N/V=N_A/

[ср.  скорость] V_кв={3kT/m₁}={3RT/}

t_ноль=273⁰C=1K

p=nkT

p=nm₁V_кв²/3=2n/3

[E поступ. движ. мол.] =3kT/2=m₁V_кв²/2

(p₁+p₂…)V=(m₁/₁+m₂/₂…)RT

ТЕПЛОЁМК.ГАЗОВ

[t‘ёмкость] C=Q/T

[уд.t’ёмк.] c=C/m

[мол.t’ёмк] C_=C/=c

ЗАРЯДЫ

q_e=-q_p=1.6e-19Кл

m_e=9.11e-31кг

m_p=1.67e-27кг

₀=8.85e-12ф/м

k=(4₀)^-1=9e9м/ф

F=kq₁q₂/r²

[пов. плотн. q] =q/t;Кл/м²

[напр.] E=F/q

[1заряд] E=kq/r²

[плоскость] E=0.5/₀

[внутри сферы] E=0

[вне сферы] E=kq/r²

ПОТЕНЦИЯ

[1заряд] =kq/r

[внутри сферы] =kq/R

[вне сферы] =kq/r

U=₁-₂=A_12/q

[А поля] A=qU

E=U/d

F_k=qE

КОНДЕНСАТОР

C=q/;ф

C=4₀R

E=/(₀)

=U=Ed=qd/(₀S)=d/(₀)

[плоский] C=₀S/d

[послед] C^-1=^;q=const;U=

[парал] C=;q=;U=const

[провод] W=0.5q=0.5C²=0.5q²/C

[-||-] W=0.5qU=0.5CU²=0.5q²/C

ЗАКОН ОМА

I=q/t

I=[S под I(t)]

[плотность] j=I/s_пров=|q_e|nV

I=U/R

R=_элl/s

[послед] R=;I=const;U=

[парал] R^-1=^-1;I=;U=const

I=I_Amax+I_ш

I_AmaxR_A=I_шR_ш

[расширь шкалу A в n] R_ш=R_A/(n-1)

U_VmaxR_доб=U_добR_V

[расширь шкалу V в n] R_доб=R_V(n-1)

=A_ст/q₀

I=/(R+r)

[ток течет +—]

ТОК И ТЕПЛО

A=qU=iUt

Q=A=I²Rt=U²t/r

P=A/t=IU=²R/(R+r)

[полная] P₀=I²(R+r)

[полезная] P_п=I²R=IU=e²R/(R+r)²

=P_п/P₀=R/(R+r)

[при R=r;=50%] P_п.max=²/(4r)

ВЫДЕЛЕНИЯ

F=9.65e4Кл.моль

m=kq=kIt

[n-вал.] k=/(Fn)

ПОЛЯ МАГНИТОВ

[-магн.прониц.среды]

[H-напр.магн.поля]

₀=4e-7Гн/м

B=₀H

|F_A|=ILBsin(I^B)

|F_Л|=qVBsin(V^B)

[еслиVB,част.дв.по окр.] qVB=mV²/2; T=2R/V=2m/(qB)

[еслиV||B,поле не действ.]

Магн.поток

[N-колво витков] =NBSsin(B^S)

_инд=-(₂-₁)/t=-^|

I_инд=_инд/R=||/(Rt)

q=It=||/R

=_инд=BVLsin(V^B)

ДВИЖ.ПРОВОДНИКА

_инд=-BVLsin(B^V)

_сам=LI

[если L=const] _сам=-/t=-LI/t

W=0.5I=0.5LI²=0.5²/L

КОНТУР

U_max=q_max/C

[t=0] W=CU_max²/2=0.5q_max²/C

[t=T/4] W=LI_max²/2

[t=T/2] q=q_max;U=U_max;I=0

T=2{LC}

=T^-1

q=q_maxsin(t+₀)

U=q/C=U_maxsin(t+₀)

I=q^|

[с-скор.света] =cT=c/

ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

=_maxsin(t+₀)

T=2/

[реактивные] X_L=L;X_C=(C)^-1

[общее] Z={R²+(X_L-X_C)²}

I_эфф=I₀/2

U_эфф=U₀/2

ОПТИКА

c=3e8м/с

[Vсвета в вещ-ве] V=c/n

n_падsin(пад)=n_прелsin(прел)

[предел,луч скользит] sin_пр=n_прел/n_пад

[опт.сила,дптр] D=F^-1

[d-предмлинза]

[-изобрлинза]

[F-фок.расст]

±d^-1±^-1=±F^-1

[лин.увел]|/d|=A₁B₁/AB

D_общ=

studfiles.net

Формулы по физике

shalash.dp.ua

Все формулы по физике 11 класса

zakon-oma.ru

Основные формулы по физике — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи

Знание формул по физике является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по физике. Формулы по физике, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении физических задач. На этой странице сайта представлены основные формулы по школьной физике в двух частях. В первой части Вы найдете самые важные физические формулы, а во второй — дополнительный набор полезных формул по физике.

Оглавление:

Основные формулы по школьной физике (Часть I)

К оглавлению…

Основные формулы по школьной физике (Часть II)

К оглавлению…

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

educon.by

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ.. Физические основы механики.

3.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ Средняя длина свободного пробега молекулы n, где d эффективное сечение молекулы, d эффективный диаметр молекулы, n концентрация молекул Среднее число соударений, испытываемое молекулой

Теория вероятностей, действия над вероятностями

Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B. Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B, или одновременно A и B.

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

       (3)

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Можно рассчитать как классические, так и статистические вероятности.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие — «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А:

и события В:

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q. В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

и .

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ. Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

         (5)

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий:  или АВ. Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Поэтому

                              (6)

Аналогично:

Поэтому

                             (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

             (8)

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P(AB) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

Решение.

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность  того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A — выпадение герба на первой монете. Событие B — выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Логическим произведением двух событий А и В, обозначаемым А ∩ В, называют событие, которое понимают как одновременное наступление событий А и В. Больше о сути логического произведения можно узнать в соответствующем месте статьи «Булева алгебра (алгебра логики)».

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

                   (4)

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово «конец».

Посмотреть правильное решение и ответ.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.

Решение. Найдём вероятности противоположных событий – того, что груз не будет доставлен одним из видов транспорта:

Теперь у нас есть всё, чтобы найти требуемую в условии задачи вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта:

Решить задачу на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 11. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре карты. Событие А — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая. Событие B — среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная. Найти вероятность события C = A + B.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

Если наступление одного события влияет на вероятность наступления второго события, то события называют взаимно зависимыми.

Если события А и В взаимно зависимы, то условной вероятностью называют вероятность события В, принимая, что событие А уже наступило.

Теорема умножения вероятностей взаимно зависимых событий. Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого, то есть вычисляется по формуле:

или

Пример 12. В ящике 26 лотерейных билетов, из которых 3 с выигрышем. Найти вероятности того, что первый билет будет с выигрышем, вероятность того, что второй билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике и вероятность того, что два взятые подряд билета будут с выигрышем.

Решение. Найдём вероятность того, что первый взятый билет будет с выигрышем:

Найдём вероятность того, что второй взятый билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике:

Найдём теперь вероятность того, что оба взятые подряд билеты будут с выигрышем, т.е. вероятность общего наступления двух зависимых событий, которая является произведением вероятности первого события и условной вероятности второго события:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

function-x.ru

сложение и умножение вероятностей математика

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Лекция для студентов землеустроительного факультета

заочной формы обучения

Горки, 2012

Сложение и умножение вероятностей. Повторные

независимые испытания

1. Сложение вероятностей

Суммой двух совместных событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В. Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении или события А, или события В. Аналогично суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.

Справедлива теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. . Эту теорему можно распространить на любое конечное число несовместных событий.

Из данной теоремы следует:

сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;

сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. .

Пример 1. В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих шара. Шары перемешивают и наугад извлекают один. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение. Обозначим события:

A={извлечён цветной шар};

B={извлечён белый шар};

C={извлечён красный шар};

D={извлечён синий шар}.

Тогда A=C+D. Так как события C, D несовместны, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий: .

Пример 2. В урне находятся 4 белых шара и 6 – чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета?

Решение. Обозначим события:

A={вынуты шары одного цвета};

B={вынуты шары белого цвета};

C={вынуты шары чёрного цвета}.

Так как A=B+C и события В и С несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий . Вероятность событияВ равна , где4,

. Подставим k и n в формулу и получим Аналогично найдём вероятность событияС: , где,, т.е.. Тогда.

Пример 3. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трёх тузов.

Решение. Обозначим события:

A={среди вынутых карт не менее трёх тузов};

B={среди вынутых карт три туза};

C={среди вынутых карт четыре туза}.

Так как A=B+C, а события В и С несовместны, то . Найдём вероятности событийВ и С:

, . Следовательно, вероятность того, что среди вынутых карт не менее трёх тузов, равна

0.0022.

2. Умножение вероятностей

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий: . Это определение распространяется на любое конечное число событий.

Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. События ,, … ,называютсянезависимыми в совокупности, если вероятность наступления каждого из них не зависит от того, произошли или не произошли другие события.

Пример 4. Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события:

A={первый стрелок попал в цель};

B={второй стрелок попал в цель}.

Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы.

Справедлива теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: .

Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий: .

Пример 5. Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка одновременно делают по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель.

Решение. Обозначим события:

A={первый стрелок попадёт в цель};

B={второй стрелок попадёт в цель};

C={оба стрелка попадут в цель}.

Так как , а событияА и В независимы, то , т.е..

События А и В называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое событие или нет. Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается или.

Пример 6. В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны извлекаются шары. Обозначим события:

A={извлечён белый шар} ;

B={извлечён чёрный шар}.

Перед началом извлечения шаров из урны . Из урны извлекли один шар и он оказался чёрным. Тогда вероятность событияА после наступления события В будет уже другой, равной . Это означает, что вероятность событияА зависит от события В, т.е. эти события будут зависимыми.

Справедлива теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило, т.е. или.

Пример 7. В урне находятся 4 белых шара и 8 красных. Из неё наугад последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными.

Решение. Обозначим события:

A={первым извлечён чёрный шар};

B={вторым извлечён чёрный шар}.

События А и В зависимы, так как , а. Тогда.

Пример 8. Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение. Обозначим события:

A={произойдут два попадания в цель};

B={первый стрелок попадёт в цель};

C={второй стрелок попадёт в цель};

D={третий стрелок попадёт в цель};

={первый стрелок не попадёт в цель};

={второй стрелок не попадёт в цель};

={третий стрелок не попадёт в цель}.

По условию примера ,,,

, ,. Так как, то используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим:

.

Пусть события образуют полную группу событий некоторого испытания, а событииА может наступить только с одним из этих событий. Если известны вероятности и условные вероятностисобытияА, то вероятность события А вычисляется по формуле:

или . Эта формула называетсяформулой полной вероятности, а события гипотезами.

Пример 9. На сборочный конвейер поступает 700 деталей с первого станка и 300 деталей со второго. Первый станок даёт 0.5% брака, а второй – 0.7%. Найти вероятность того, что взятая деталь будет бракованной.

Решение. Обозначим события:

A={взятая деталь будет бракованной};

={деталь изготовлена на первом станке};

={деталь изготовлена на втором станке}.

Вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, равна . Для второго станка. По условию вероятность получения бракованной детали, изготовленной на первом станке, равна. Для второго станка эта вероятность равна. Тогда вероятность того, что взятая деталь будет бракованной, вычисляется по формуле полной вероятности

.

Если известно, что в результате испытания наступило некоторое событие А, то вероятность того, что это событие наступило с гипотезой , равна, где— полная вероятность событияА. Эта формула называется формулой Байеса и позволяет вычислять вероятности событий после того, как стало известно, что событиеА уже наступило.

Пример 10. Однотипные детали к автомобилям производятся на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 80% общего количества деталей, а второй – 20%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных деталей, а второго – 95%. Покупатель купил одну деталь и она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором заводе.

Решение. Обозначим события:

A={куплена стандартная деталь};

={деталь изготовлена на первом заводе};

={деталь изготовлена на втором заводе}.

По условию примера ,,и. Вычислим полную вероятность событияА: 0.91. Вероятность того, что деталь изготовлена на втором заводе, вычислим по формуле Байеса:.

Задания для самостоятельной работы

1. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего – 0.9. Стрелки произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что имеет место не менее двух попаданий в цель.

2. В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются в замене двигателя, а остальные – в замене отдельных узлов. Случайным образом отбираются три трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима не более, чем двум отобранным тракторам.

3. На железобетонном заводе изготавливают панели, 80% из которых – высшего качества. Найти вероятность того, что из трёх наугад выбранных панелей не менее двух будут высшего сорта.

4. Три рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0.7, вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля наугад взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Найти вероятность того, что не менее двух из них будут высшего качества.

5. Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего – 0.25. Имеются по одному билету каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграет не менее двух билетов.

6. Бухгалтер выполняет расчёты, пользуясь тремя справочниками. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом справочнике, равна 0.6, во втором – 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность того, что интересующие бухгалтера данные содержатся не более, чем в двух справочниках.

7. Три автомата изготавливают детали. Первый автомат изготавливает деталь высшего качества с вероятностью 0.9, второй – с вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью 0.6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что среди них не менее двух высшего качества.

8. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления нестандартной детали для первого станка равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные детали складываются в одном месте. Среди них 67% с первого станка, а остальные – со второго. Наугад взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

9. В мастерскую поступили две коробки однотипных конденсаторов. В первой коробке было 20 конденсаторов, из которых 2 неисправных. Во второй коробки 10 конденсаторов, из которых 3 неисправных. Конденсаторы были переложены в один ящик. Найти вероятность того, что наугад взятый из ящика конденсатор окажется исправным.

10. На трёх станках изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Среди всех деталей 20% с первого автомата, 30% — со второго и 505 – с третьего. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0.8, на втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, эта деталь изготовлена на третьем станке.

11. Комплектовщик получает для сборки 40% деталей с завода А, а остальные – с завода В. Вероятность того, что деталь с завода А – высшего качества, равна 0.8, а с завода В – 0.9. Комплектовщик наугад взял одну деталь и она оказалась не высшего качества. Найти вероятность того, что эта деталь с завода В.

12. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 студентов из первой группы и 8 – из второй. Вероятность того, что студент из первой группы попадёт в сборную академии, равна 0.8, а со второй – 0.7. Наугад выбранный студент попал в сборную. Найти вероятность того, что он из первой группы.

3. Формула Бернулли

Испытания называются независимыми, если при каждом из них событие А наступает с одной и той же вероятностью , не зависящей от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях. Вероятность противоположного событияв этом случае равна.

Пример 11. Бросается игральный кубик n раз. Обозначим событие A={выпадение трёх очков}. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна и не зависит от того, произошло или не произошло это событие в других испытаниях. Поэтому эти испытания являются независимыми. Вероятность противоположного события{не выпадение трёх очков} равна.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p, событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), вычисляется по формуле , где. Эта формула называетсяформулой Бернулли и удобна она в том случае, если число испытаний n не слишком велико.

Пример 12. Доля плодов, заражённых болезнью в скрытой форме, составляет 25%. Случайным образом отбирается 6 плодов. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется: а) ровно 3 заражённых плода; б) не более двух заражённых плодов.

Решение. По условию примера .

а) По формуле Бернулли вероятность того, что среди шести отобранных плодов заражёнными окажутся ровно три, равна

0.132.

б) Обозначим событие A={заражённых будет не более двух плодов}. Тогда . По формуле Бернулли:

0.178;

0.356;

0.297.

Следовательно, 0.178+0.356+0.297=0.831.

4. Теоремы Лапласа и Пуассона

По формуле Бернулли находится вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях и в каждом испытании вероятность события А постоянна. При больших значениях n вычисления по формуле Бернулли становятся трудоёмкими. В этом случае для вычисления вероятности события А целесообразнее использовать другую формулу.

Локальная теорема Лапласа. Пусть вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при достаточно большом числе n испытаний, вычисляется по формуле

, где , а значения функцииприведены в таблице.

Основными свойствами функции являются:

Функция определена и непрерывна в интервале.

Функция положительна, т.е.>0.

Функция чётная, т.е..

Так как функция чётная, то в таблице приведены её значения только для положительных значенийх.

Пример 13. Всхожесть семян пшеницы составляет 80%. Для опыта отбирается 100 семян. Найти вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90.

Решение. По условию примера n=100, k=90, p=0.8, q=1-0.8=0.2. Тогда . По таблице найдём значение функции:. Вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90, равна0.0044.

При решении практических задач возникает необходимость найти вероятность наступления события А при n независимых испытаниях не менее раз и не болеераз. Такая задача решается с помощьюинтегральной теоремы Лапласа: Пусть вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие наступит не менее раз и не болеераз при достаточно большом числе испытаний, вычисляется по формуле

, где ,.

Функция называетсяфункцией Лапласа и не выражается через элементарные функции. Значения этой функции приведены в специальных таблицах.

Основными свойствами функции являются:

.

Функция возрастает в интервале.

при .

Функция нечётная, т.е..

Пример 14. Предприятие выпускает продукцию, из которой 13% не высшего качества. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 единиц продукции высшего качества будет не менее 125 и не более 135.

Решение. Обозначим . Вычислим,

studfiles.net

3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Рассматривается эксперимент Е. Предполагается, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут появляться различные события, составляющие некоторое множество F. Наблюдаемые события разделяются на три вида: достоверное, невозможное, случайное.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате проведения эксперимента Е. Обозначается Ω.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате проведения эксперимента Е. Обозначается .

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента Е.

Дополнительным (противоположным) событию А называется событие, обозначаемое , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событиеА.

Суммой (объединением) событий называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий (рисунок 3.1). Обозначения .

Рисунок 3.1

Произведением (пересечением) событий называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда все данные события происходят вместе (одновременно) (рисунок 3.2). Обозначения . Очевидно, что события А и Внесовместны, если .

Рисунок 3.2

Полной группой событий называется множество событий, сумма которых есть достоверное событие:

.

Событие В называют частным случаем события А, если с появлением события В появляется и событие А. Говорят также, что событие В влечет событие А (Рисунок 3.3). Обозначение .

Рисунок 3.3

События А и В называются эквивалентными, если они происходят или не происходят совместно при проведении эксперимента Е. Обозначение . Очевидно, что, еслии.

Сложным событием называют наблюдаемое событие, выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью алгебраических операций.

Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляют с помощью формул сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей

. (3.1)

Следствия:

1) в случае, если события А и В несовместны, теорема сложения приобретает вид:

; (3.2)

2) в случае трех слагаемых теорема сложения записывается в виде

(3.3)

3) сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна 1:

. (3.4)

Совокупность событий ,, …,называютполной группой событий, если

и .

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:

. (3.5)

Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называют условной вероятностью и обозначают или.

А и В – зависимые события, если .

А и В – независимые события, если .

Теорема умножения вероятностей

. (3.6)

Следствия:

1) для независимых событий А и В

; (3.7)

2) в общем случае для произведения трех событий теорема умножения вероятностей имеет вид:

. (3.8)

Образцы решения задач

Пример 1 ‑ В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны ,,. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение

Первый способ.

Обозначим события: — в цепи произошел отказ соответственно первого, второго и третьего элементов.

Событие А – тока в цепи не будет (откажет хотя бы один из элементов, так как они включены последовательно).

Событие ‑ в цепи ток (работают три элемента), . Вероятность противоположных событий связана формулой (3.4). Событие представляет собой произведение трех событий, являющихся попарно независимыми. По теореме умножения вероятностей независимых событий получаем

.

Тогда вероятность искомого события .

Второй способ.

С учетом принятых ранее обозначений запишем искомое событие А – откажет хотя бы один из элементов:

.

Так как слагаемые, входящие в сумму, совместны, следует применить теорему сложения вероятностей в общем виде для случая трех слагаемых (3.3):

.

Ответ: 0,388.

Задачи для самостоятельного решения

1 В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

2 В мешке смешаны нити, среди которых 30 % белых, а остальные –красные. Определить вероятности того, что вынутые наудачу две нити будут: одного цвета; разных цветов.

3 Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за определенный промежуток времени первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за это время безотказно будут работать: только один элемент; только два элемента; все три элемента; хотя бы два элемента.

4 Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

а) на каждой грани из выпавших появится пять очков;

б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков;

в) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани – другое число очков;

г) на всех выпавших гранях появится разное число очков.

5 Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

6 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: в первый раз; во второй раз; в оба раза.

7 Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина очередной раз будет продана пара обуви 46-го размера, равна 0,01. Сколько должно быть продано пар обуви в магазине, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было ожидать, что будет продана хотя бы одна пара обуви 46-го размера?

8 В ящике 10 деталей, среди которых две нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных шести деталях окажется не более одной нестандартной.

9 Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:

а) из трех проверенных изделий только два окажутся нестандартными;

б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

10 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки:

а) три карточки вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «мир»;

б) извлеченные три карточки можно поменять местами произвольным образом. Какова вероятность того, что из них можно сложить слово «мир»?

11 Истребитель атакует бомбардировщик и дает по нему две независимые очереди. Вероятность сбить бомбардировщик первой очередью равна 0,2, а второй ‑ 0,3. Если бомбардировщик не сбит, он ведет по истребителю стрельбу из орудий кормовой установки и сбивает его с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что в результате воздушного боя сбит бомбардировщик или истребитель.

Домашнее задание

1 Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2 Решить задачи

Задача 1. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего первый станок, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего.

Задача 2. Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку поступающей информации, располагает двумя вычислительными устройствами. Известно, что каждое из них имеет вероятность отказа за некоторое время, равную 0,2. Требуется определить вероятность:

а) того, что откажет одно из устройств, а второе будет исправно;

б) безотказной работы каждого из устройств.

Задача 3. Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности: следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания для первого охотника равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено выстрелов:

а) один;

б) два;

в) три;

г) четыре.

Задача 4. Деталь проходит четыре операции обработки. Вероятность получения брака при первой операции равна 0,01, при второй – 0,02, при третьей – 0,03, при четвертой – 0,04. Найти вероятность получения детали без брака после четырех операций, предполагая, что события получения брака на отдельных операциях являются независимыми.

studfiles.net

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Примеры решения задач

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными.
Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий.
События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B),
где А, В — несовместные события.

Теорема сложения вероятностей совместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB), где А и В — совместные события.

Теорема умножения вероятностей независимых событий
,
где А и В независимые события.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Р(АВ)=Р(А)Р_A(B),
где Р_A(B) — вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.

Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности. Решение.
Испытание — Производится два выстрела по мишени.
Событие А — оба раза промахнулся.
Событие В — попал один раз.
Событие С — оба раза попал.
.

Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Задача 2.
Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер? Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем:
Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Задача 3.
На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны? Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность  Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем

Задача 4.
Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранная вещь окажется высшего сорта равна, 0,8; первого сорта – 0,7; второго сорта – 0,5. Найти вероятность того, что из трех наудачу отобранных изделий будут:
а) только два высшего сорта;
б) все разные. Решение. Пусть событие  — изделие высшего сорта; событие — изделие первого сорта; событие — изделие второго сорта.
По условию задачи ; ;  События — независимы.
а) Событие А – только два изделия высшего сорта будет выглядеть так тогда

б) Событие В – все три изделия различны — выразим так:, тогда .
Задача 5.
Вероятности  попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8;  p2=0,7;  p3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события  (попадание первого орудия),  (попадание второго орудия) и  (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям  (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

Искомая вероятность
Задача 6.
В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А). Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
Искомая вероятность . Задача 7. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых три в переплете . Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:
А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: .
Вероятность наступления события А1  p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4.
Тогда искомая вероятность наступления события:
P(A)=0,5*0,4=0,2.

www.matem96.ru

Теорема сложения вероятностей, следствия и формулы

Теорема сложения вероятностей совместных событий

В случае если события и несовместны, то есть , то имеет место следующая теорема.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий , равна сумме вероятностей этих событий

Следствие 2. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Следствие 3. Сумма противоположных событий равна единице, то есть

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Сложение и умножение вероятностей

    Сложение и умножение вероятностей. В этой статье речь пойдёт о решении задач по теории вероятностей. Ранее мы с вами уже разбирали некоторые простейшие задания, для их решения достаточно знать и понимать формулу классической вероятности (советую повторить). 

Есть тины задачи немного сложнее, для их решения необходимо знать и понимать: правило сложения вероятностей, правило умножения вероятностей, понятия зависимые и независимые события, противоположные события, совместные и несовместные события. Не пугайтесь определений, все просто )). В этой статье мы с вами именно такие задачи и рассмотрим.

Немного важной и простой теории:

Определение: События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.  

Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий несовместно с другими и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном испытании). Тоже самое с монетой — выпадение «орла» исключает возможность выпадение «решки».

Также это относится и к более сложным комбинациям. Например, горят две лампы освещения. Каждая из них может перегореть или не перегореть в течение какого-то времени. Существую варианты:

1. Перегорает первая и перегорает вторя
2. Перегорает первая и не перегорает вторая
3. Не перегорает первая и перегорает вторая
4. Не перегорает первая и перегорает вторая.

Все эти 4 варианта событий несовместны — они вместе произойти просто не могут и никакое из них с любым другим…

Определение: События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого.

Пример: из колоды карт будет взята дама и из колоды карт будет взята карта пик. Рассматриваются два события. Данные события не исключают друг друга — можно вытащить даму пик и, таким образом, произойдут оба события .

О сумме вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А или событие В или оба одновременно.

Если происходят несовместные события А и В, то вероятность суммы данных событий равна сумме вероятностей событий:

Пример с игральной костью:

Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?

Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна:

Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6  = 0,5.

*Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учёта их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) -Р(АВ)

Об умножении вероятностей

Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности соответственно равны Р(А) и Р(В). Произведением двух событий  А и В  называют такое событие А·В, которое состоит в том что эти события произойдут вместе, то есть произойдёт и событие А и событие В. Вероятность такого события равна произведению вероятностей событий А и В. Вычисляется по формуле:

Как вы уже заметили логическая связка «И» означает умножение.

Пример с той же игральной костью: Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна  1/6. Вероятность выпадения шестёрки и в первый раз и во второй раз равна произведению вероятностей:

Говоря простым языком: когда в одном испытании происходит некоторое событие, И далее происходит(ят) другое (другие), то вероятность того что они произойдут вместе равна произведению вероятностей этих событий.

Задачи с игральной костью мы решали, но пользовались только логическими рассуждениями, формулу произведения не использовали. В рассматриваемых же ниже задачах без формул не обойтись, вернее с ними будет получить результат проще и быстрее.

Стоит сказать ещё об одном нюансе. При рассуждениях в решении задач используется понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения событий. События происходят ОДНОВРЕМЕННО — это не означает, что они происходят в одну секунду (в один момент времени). Это значит, что они происходят в некоторый промежуток времени (при одном испытании).

Например:

Две лампы перегорают в течение года (может быть сказано — одновременно в течение года)

Два автомата ломаются в течении месяца (может быть сказано — одновременно в течение месяца)

Игральная кость бросается три раза (очки выпадают одновременно это означает при одном испытании)

Биатлонист делает пять выстрелов. События (выстрелы) происходят во время одного испытания.

События А и В являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события. 

Рассмотрим задачи:

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.

Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,35∙0,04 = 0,0140.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,65∙0,02 = 0,0130.

Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это несовместные события, то есть полученные вероятности складываем:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Ответ: 0,027

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза, то есть выиграть первый раз И при этом выиграть ещё и второй раз. В случае, когда независимые события должны произойти совместно вероятности этих событий перемножаются, то есть используется правило умножения.

Вероятность произведения указанных событий  будет равна  0,62∙0,2 = 0,124.

Ответ: 0,124

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

То есть необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности суммируются, так как это события несовместные и произойти может любое из этих событий:  0,3 + 0,25 = 0,55.

*Несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно.

Ответ: 0,55

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.

Поскольку биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,9, то он промахивается с вероятностью 1 – 0,9 = 0,1  

*Промах и попадание это  события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1.

Речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий. Если происходит событие и при этом происходит другое (последующие) в одно время (испытание), то вероятности этих событий перемножаются.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Округляем до сотых, получаем 0,07

Ответ: 0,07

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.

Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951. 

*Исправны оба и какой-то один полностью – отвечает условию  «хотя бы один».

Можно представить вероятности всех (независимых) событий для проверки:

1.    «неисправен-неисправен»  0,07∙0,07 = 0,0049

2.    «исправен-неисправен»      0,93∙0,07 = 0,0651

3.    «неисправен-исправен»      0,07∙0,93 = 0,0651 

4.    «исправен-исправен»          0,93∙0,93 = 0,8649

Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4:

0,0651 + 0,0651 + 0,8649 = 0,9951

Ответ: 0,9951

Посмотреть решение

Есть ещё два определения (из основ теории вероятностей):

Определение: Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение: События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

В следующей статье мы рассмотрим ещё задачи, где используется сумма и произведение вероятностей событий, не пропустите!

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Марья Ивановна ругает Васю:
— Петров, ты почему вчера не был в школе?!
— Мне мама вчера штаны постирала.
— Ну и что?
— А я шел мимо дома и увидел, что Ваши висят. Думал, не придете.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Рассмотрим несовместные случайные события.

Известно, что несовместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ несовместные, то событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий. Имеем $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Теорема 1

Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Примечание 1

Следствие 1. Вероятность суммы любого количества несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий (сумма вероятностей всех элементарных событий) равна единице.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поскольку они образуют полную группу несовместных событий.

Пример 1

Вероятность того, что на протяжении некоторого времени в городе ни разу не будет идти дождь, $p=0,7$. Найти вероятность $q$ того, что на протяжении этого же времени дождь в городе будет идти хотя бы один раз.

События «на протяжении некоторого времени в городе ни разу не шел дождь» и «на протяжении некоторого времени дождь в городе шел хотя бы один раз» противоположные. Поэтому $p+q=1$, откуда $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Рассмотрим совместные случайные события.

Известно, что совместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ совместны, то из всего количества $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий определенное количество $m_{AB} $ благоприятствует одновременно и событию $A$, и событию $B$, то есть совместному их наступлению (произведению событий $A\cdot B$). Это количество $m_{AB} $ вошло одновременно и в $m_{A} $, и в $m_{B} $ Итак событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} -m_{AB} $ элементарных событий. Имеем: $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} -m_{AB} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} -\frac{m_{AB} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\right)$.

Теорема 2

Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий за минусом вероятности их произведения.

Замечание. Если события $A$ и $B$ несовместны, то их произведение $A\cdot B$ является невозможным событием, вероятность которого $P\left(A\cdot B\right)=0$. Следовательно, формула сложения вероятностей несовместных событий является частным случаем формулы сложения вероятностей совместных событий.

Пример 2

Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных кубиков цифра 5 выпадет хотя бы один раз.

При одновременном бросании двух игральных кубиков число всех равновозможных элементарных событий равно $n=36$, поскольку на каждую цифру первого кубика может выпасти шесть цифр второго кубика. Из них событие $A$ — выпадение цифры 5 на первом кубике — осуществляется 6 раз, событие $B$ — выпадение цифры 5 на втором кубике — тоже осуществляется 6 раз. Из всех двенадцати раз цифра 5 один раз выпадает на обоих кубиках. Таким образом, $P\left(A+B\right)=\frac{6}{36} +\frac{6}{36} -\frac{1}{36} =\frac{11}{36} $.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим независимые события.

События $A$ и $B$, которые происходят в двух последовательных испытаниях, называются независимыми, если вероятность появления события $B$ не зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечение шара. Событие $A$ — «вынут белый шар в первом испытании». Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар положили назад и провели второе испытание. Событие $B$ — «вынут белый шар во втором испытании». Вероятность $P\left(B\right)=\frac{1}{2} $. Вероятность $P\left(B\right)$ не зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно события $A$ и $B$ независимы.

Известно, что независимые случайные события $A$ и $B$ двух последовательных испытаний имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность произведения $A\cdot B$ этих событий, то есть вероятность совместного их появления.

Предположим, что в первом испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{1} $. Из них событию $A$ благоприятствуют $m_{1} $ элементарных событий. Предположим также, что во втором испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{2} $. Из них событию $B$ благоприятствуют $m_{2} $ элементарных событий. Теперь рассмотрим новое элементарное событие, которое состоит в последовательном наступлении событий из первого и второго испытаний. Общее количество таких равновозможных элементарных событий равно $n_{1} \cdot n_{2} $. Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то из этого числа совместному наступлению события $A$ и события $B$ (произведения событий $A\cdot B$) благоприятствует $m_{1} \cdot m_{2} $ событий. Имеем: $P\left(A\cdot B\right)=\frac{m_{1} \cdot m_{2} }{n_{1} \cdot n_{2} } =\frac{m_{1} }{n_{1} } \cdot \frac{m_{2} }{n_{2} } =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Теорема 3

Вероятность произведения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим зависимые события.

В двух последовательных испытаниях происходят события $A$ и $B$. Событие $B$ называется зависимым от события $A$, если вероятность появления события $B$ зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$. Тогда вероятность события $B$, которая была вычислена при условии, что событие $A$ состоялось, называется условной вероятностью события $B$ при условии $A$ и обозначается $P\left(B/A\right)$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечением шара. Событие $A$ — «вынут белый шар в первом испытании». Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар назад не кладут и выполняют второе испытание. Событие $B$ — «вынут белый шар во втором испытании». Если в первом испытании был вынут белый шар, то вероятность $P\left(B/A\right)=\frac{1}{3} $. Если же в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность $P\left(B/\overline{A}\right)=\frac{2}{3} $. Таким образом вероятность события $B$ зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно, событие $B$ зависит от события $A$.

Предположим, что события $A$ и $B$ происходят в двух последовательных испытаниях. Известно, что событие $A$ имеет вероятность появления $P\left(A\right)$. Известно также, что событие $B$ является зависимым от события $A$ и его условная вероятность при условии $A$ равна $P\left(B/A\right)$.

Теорема 4

Вероятность произведения события $A$ и зависимого от него события $B$, то есть вероятность совместного их появления, может быть найдена по формуле $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Справедливой является также симметричная формула $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, где событие $A$ предполагается зависимым от события $B$.

Для условий последнего примера найдем вероятность того, что белый шар будет извлечен в обоих испытаниях. Такое событие является произведением событий $A$ и $B$. Его вероятность равна $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{6} $.

spravochnick.ru

Математическое ожидание. (вся правда)

 наберитесь терпения и прочитайте это..

Игра с положительным математическим ожиданием — жизненно важная концепция для всех спекулянтов, это концепция, на которой строится система веры, но сама концепция не может быть построена на вере. Казино не работают на вере. Казино оперирует, управляя своим бизнесом, основываясь на чистой математике. Казино знает, что, в конечном счете, законы рулетки и игры в кости возьмут верх. Поэтому казино не дает игре останавливаться. Казино не против того чтобы подождать, но казино не останавливается и играет круглые сутки, ведь чем дольше вы играете в его игру отрицательного математического ожидания, тем больше организаторы казино уверены, что получат ваши деньги.

Трейдеру необходимо иметь понятие о математическом ожидании. В зависимости от того, у кого математическое преимущество в игре, оно называется либо преимуществом игрока — положительное ожидание, либо преимуществом игорного дома — отрицательное ожидание. Допустим, мы играем с вами в орла-или-решку. Ни у вас, ни у меня нет преимущества у каждого 50% шансов на выигрыш. Но если мы перенесем эту игру в казино, которое снимает 10% с каждого кона, то вы выиграете только 90 центов на каждый проигранный доллар. Это преимущество игорного дома оборачивается для вас как игрока сильным отрицательным математическим ожиданием. И ни одна система контроля, над капиталом, ни одна стратегия не может одолеть игру с отрицательным ожиданием.

В играх с отрицательным математическим ожиданием не имеется никакой схемы управления деньгами (стратегии) которая сделает вас победителем.

Интересная штука рулетка, передовик всех азартных игр, в основу возьмем ее. Итак, казино, крики, шум, эмоции и роскошная показуха, но мы сосредоточимся на рулетке. Давайте рассчитаем математическое ожидание игры в рулетку, если играть только на красное-черное (в трейдинге кстати это лонг или шорт). Итак на рулетке всего 38 игровых полей — 36 цифр (18 красных и 18 черных полей), а также два зеро (возьмем релетку с двумя зеро). Таким образом, вероятность выигрыша при ставке на красное или черное составляет приблизительно 0.45 (18/38). В случае положительного исхода ставки мы удваиваем свою ставку, а в случае неудачи теряем все поставленное. Ах да, в случае выпадения зеро мы так же теряем свои деньги. Отсюда имеем отрицательное математическое ожидание. Данную игру можно назвать невыгодной по причине наличия среди игровых полей двух зеро, при выпадении которых нашу ставку забирает в свою пользу казино. Одна ячейка — это примерно 2,6% колеса рулетки, две ячейки это более 5%, именно такой процент хозяева казино кладут себе в карман в среднем с каждой сделки, так казино медленно выкачивает деньги из клиентов, зарабатывая уже много десятилетий.

Безусловно для казино эта игра с положительным математическим ожиданием, при двух зеро казино получит деньги игрока в двадцати случаях из 38. И чем больше игра будет продолжаться, тем больше казино получит прибыли.

А каково математическое ожидание финансовых игр? Ставки на финансовые инструменты обладают всеми внешними атрибутами азартных игр, финансовые игры на бирже распыляют зеро рулетки на большое количество компонентов вероятности — спрэд, комиссионные бирже, комиссионные брокеру, абоненская плата за пользованием биржевого терминала, плата за перевод средств на счета и по сути 13% налог на будущую прибыль в совокупности являются своеобразными аналогами зеро рулетки. Это дает основание говорить об отрицательном, изначально неблагоприятном математическом ожидании для игрока (трейдера).

Я хочу что бы вы поняли — Никакой метод управления капиталом, никакая стратегия, не может превратить отрицательное ожидание в положительное. Это абсолютно верное замечание. Математических доказательств этому утверждению нет. Однако это не означает, что такое не может произойти. Конечно в азартных играх участник может выйти на полосу выигрышей, совпадений и просто прекратить игру, в результате такой человек по сути окажется победителем. Но на долго ли он завяжет с игрой?…

Поэтому единственный случай, когда у вас есть шанс выиграть в долгосрочной перспективе, — это игра с положительным математическим ожиданием. Думаю, вы можете выиграть как правило при многократном использовании ставки одинакового размера и только при отсутствии верхнего поглощающего барьера. Азартный игрок, который начинает со 100 долларов, прекратит играть, если его счет вырастит до 101 доллара. Эта верхняя цель (101 доллар) называется поглощающим барьером. Допустим, игрок всегда ставит 1 доллар на красный цвет рулетки где 18 полос красные, 18 полос черные, 2 полосы ноль,  при нуле деньги уходят в казино. Таким образом, игра идет при небольшом отрицательном математическом ожидании. У игрока больше шансов увидеть, как его счет вырастет до 101 доллара и игрок прекратит играть, чем то, что его счет уменьшится до нуля, и игроку будет не на что играть. Если игрок будет играть на рулетке снова и снова, то окажется жертвой отрицательного математического ожидания. Если сыграть в такую игру только раз, то аксиома неизбежного банкротства, конечно же, не применима, если сыграть один раз то скажем так сила отрицательного мат. ожидания будет максимально слаба. Различие между отрицательным ожиданием и положительным ожиданием — это различие между жизнью и смертью вашего депозита.

Когда вы понимаете, что игра имеет отрицательное математическое ожидание, то лучшей ставкой будет отсутствие ставки. Помните, что нет стратегии управления деньгами, которая может превратить проигрышную игру в выигрышную. Допустим вы все же должны сделать ставку в игре с отрицательным ожиданием, то наилучшей стратегией будет «стратегия максимальной смелости». Другими словами, вам надо сделать как можно меньше ставок (в противоположность игре с положительным ожиданием, где следует ставить как можно чаще, желательно вообще не выходить из игры). Итак чем больше попыток, тем больше вероятность, что при отрицательном ожидании вы проиграете. Поэтому при отрицательном ожидании меньше возможности для проигрыша, если длина игры укорачивается (то есть когда число попыток приближается к 1). Если вы играете в игру, где есть шанс 49% выиграть 1 доллар и 51% проиграть 1 доллар, то лучше всего сделать только одну попытку. Чем больше ставок вы будете делать, тем больше сила вероятности, что вы проиграете (с вероятностью проигрыша, приближающейся к 100% уверенности, когда игра приближается к бесконечности при отрицательном мат. ожидании).

Организаторы игры, казино — не расскажут трейдеру о математическом ожидании, «они» расскажут трейдеру о возможности выиграть и найдут различные причины для трейдера сделать ставку. Слушая организаторов игры и огромного количества околорыночников которые получают комиссию не рискуя своими деньгами трейдер полагает, что для успешной игры важно проанализировать график, новости, нарисовать черточки по лженауке тех анализа и тем самым найти подходящий момент для открытия позиций и этим якобы повысить надежность своей системы-стратегии (если она есть) и победить рынок. Но правда кроется в том, что не менее 97% людей, пытающихся изобрести системы-стратегии трейдинга, просто пытаются найти идеальный входной сигнал. Этот входной сигнал бессилен против изначального математически отрицательного ожидания. Фактически трейдеры почти всегда говорят о своих системах, имеющих коэффициент надежности не менее 60%. Но при этом их удивляет, почему они не зарабатывают денег, в долгосрочной перспективе трейдеры теряют деньги! Поймите, даже система с высоким процентом выигрышей при отрицательном математическом ожидании это путь в никуда, лучшее что может сделать трейдер это остановиться на полосе побед и больше не входить в рынок.

Еще такая интересная подробность, допустим вы начинаете игру с одного доллара, выигрываете при первом броске и зарабатываете  доллар. При следующем броске вы ставите весь счет (2 доллара), однако на этот раз проигрываете и теряете их. Вы проиграли первоначальную сумму в 1 доллар и 1 доллара прибыли, Дело в том, что если вы используете 100% счета, то выйдете из игры, как только столкнетесь с проигрышем который является неизбежным событием. Из этого вытекает важное правило, если вы все таки начали игру, то играйте одинаковыми ставками, а прибыль забирайте себе. Не входите в рынок большими ставками при отрицательном математическом о

Постоянно краткосрочные трейдеры рассказывают типа Я успешный дэй-трейдер. Вхожу в рынок и выхожу из него по нескольку раз в день. И почти каждый день зарабатываю деньги. Но за один вчерашний день я потерял почти годовую прибыль и очень этим расстроен. Такие ошибки возникают в результате изменения ставки, попадании в ловушку с использованием плечей и эмоциональном трейдинге. Подбор входа, заработок в течении некоторого времени и слив счета в итоге, это судьба подавляющего большинства трейдеров играющих но поле отрицательного мат. ожидания.

Как трейдеры борятся с рынком? Попытки преломить отрицательное математическое ожидание – это одинаковые серии ставок по одинаковым «событиям». Это — классический пример азартной игры, где участники пытаются воспользоваться сериями. Единственный случай, который приводит их к проигрышу при таком подходе, — это когда в серии наблюдается много одинаковых выпадений подряд. Серии, чем более мелкие тем лучше — более эффективны чем слепая игра, тем не менее серии не обеспечивают положительное математическое ожидание.

Все вы наверно слышали про Мартингейл, это усовершенствованная стратегия серий. Тут игрок начинает с минимальной ставки, обычно с 1 доллара, и после каждого проигрыша удваивает ставку. Теоретически он рано или поздно должен выиграть и тогда получит обратно все проигранное плюс один доллар. После этого он опять может сделать минимальную ставку и начать сначала. Базовая концепция метода Мартингейл строится на том, что по мере уменьшения суммы в результате убытков возможность компенсации потерь либо увеличивается, либо остается прежней. Это популярный тип управления капиталом для игроков в азартные игры. Система удвоения выглядит беспроигрышной до того момента, когда вы сообразите, что длинная полоса неудач разорит любого игрока, сколь бы богат он ни был. Игрок, начавший с 1 доллара и проигравший 46 раз, должен поставить 47-ю ставку в 70 триллионов долларов, а это больше, чем стоимость всего мира (примерно 50 триллионов). Ясно, что намного раньше у него кончатся деньги или он упрется в ограничения его депозита или казино. Считаю что система удвоения бесполезна, если у вас отрицательное математическое ожидание и слишком рискованна для того что бы использовать эту систему на свои деньги.

В бесконечном продолжении игра с отрицательным математическим ожиданием является бесперспективной. Но при ограниченном числе серий вероятность выйти победителем есть. Либо нужно искать мат. положительную игру где возможная прибыль будет больше, чем возможный убыток на 1 ставку. 

Большинство трейдеров гибнут от одной из двух пуль это незнание и эмоции. Профаны играют по наитию, ввязываясь в сделки, которые им — вследствие отрицательного математического ожидания — следовало бы пропустить. Если они выживают, то, подучившись, начинают разрабатывать системы поумнее. Затем, уверившись в себе, они высовывают голову из окопа — и попадают под вторую пулю. От самонадеянности они ставят слишком много на одну сделку и вылетают из игры после короткой вереницы потерь. Эмоциональность оказывает самое непосредственное влияние на финансовый результат, получаемый инвестором — в большей степени игроком от финансовых спекуляций. И чем эмоциональней поведение человека, тем значительней будет отклонение математического ожидания финансовых результатов его торговли от реальности. Для азартных игр, обладающих отрицательным математическим ожиданием финансовые результаты, полученные под влиянием эмоций, это похороны депозита.

Как правило, любые игры с денежным выигрышем, будь это лотерея, ставки на ипподроме и в букмекерских конторах, игральные автоматы и т.п., являются играми с отрицательным математическим ожиданием для игрока. Казино не просто так организуют для вас эти игры. Особенность среднестатистического трейдера состоит в том, что он не способен просчитать все мелочи которые ожидают его в будущем, потому и будущее его игры предрешено.

Хочу что бы вы поняли — участие в любой из игр с отрицательным математическим ожиданием нельзя расценивать как источник стабильного дохода.

Что делать? Каждый решает для себя сам, я нашел математически положительное ожидание на биржевых опционах, но даже там постоянные изменения правил игры брокерами и биржами приводят к сильному уменьшению итогового дохода. Размазанный ноль рулетки на спредах, поборах, брокеров и других мелочах жестоко уменьшает итоговую прибыль, но именно с использованием опционов и только можно выстроить мат+ систему в этом «казино 21 века». 

Ищите математически положительное ожидание любыми способами!

Думаю так, ключ к зарабатыванию денег на финансовом рынке состоит в том, чтобы иметь систему с высоким положительным математическим ожиданием, используя эту систему крайне важно использовать изначально установленый размер позиции, работать строго по правилам и многократно и как можно дольше раз продолжать игру и зарабатывать борясь с выходками организаторов этого «казино».

Удачи вам!

smart-lab.ru

Математическое ожидание. Просто о сложном.

При размещении ставок любого типа всегда существует определенная вероятность получения прибыли и риск потерпеть неудачу. Положительный исход сделки, и риск потерять деньги неразрывно связаны с математическим ожиданием. В данной статье мы подробно остановимся на этих двух аспектах трейдинга.

Математическое ожидание —среднее значениеслучайной величины при количестве выборок или количества её измерений (иногда говорят — количества испытаний) стремящимся к бесконечности.

Смысл в том, что положительное математическое ожидание ведет к положительной (с повышением прибыли) торговле, а нулевое или отрицательное математическое ожидание означают, что не нужно торговать вообще.

Что бы было легче разобраться в данном вопросе, давайте рассмотрим понятие математического ожидания при игре в рулетку. Пример с рулеткой очень прост для понимания.

Рулетка —азартная игра ( Крупье запускает шарик в противоположную сторону вращения колеса, с того номера на какой шарик упал в предыдущий раз, который должен упасть в одну из пронумерованных ячеек, сделав не менее трёх полных оборотов по колесу.

Ячейки, пронумерованные числами от 1 до 36, окрашены в чёрный и красный цвета. Номера расположены не по порядку, хотя цвета ячеек строго чередуются, начиная с 1 — красного цвета. Ячейка, обозначенная цифрой 0, окрашена в зелёный цвет и называется зеро

Рулетка- это игра с отрицательным математическим ожиданием. Все из-за поля зеро.«0», которое не является ни черным, ни красным.

Поскольку (в общем случае) если не применять изменение ставки, игрок теряет 1$ за каждые 37 вращений колеса (при ставке 1$ за раз), что приводит к линейному убытку на уровне -2,7%, который увеличивается по мере роста числа ставок (в среднем).

Конечно у игрока на интервале , к примеру, в 1000 игр, могут случаться серии побед, и человек может начать ошибочно считать, что он может зарабатывать, обыгрывая казино, так и серии поражений. Серия побед в таком случае может увеличить капитал игрока на большее значение, чем у него было изначально, в таком случае, если у игрока была 1000$, после 10 игр по 1$ у него в среднем должно остаться 973$. Но если в таком сценарии у игрока окажется денег меньше или больше, мы будем называть такую разницу между текущим капиталом дисперсией. Зарабатывать на игре в рулетку можно только в рамках дисперсии.Если игрок продолжит следовать этой стратегии, в конечном счете человек останется без денег, а казино заработает.

Второй пример — знаменитые бинарные опционы. Вам дают сделать ставку, при удачном исходе вы забираете аж 90 процентов сверху от своей ставки, а при неудачном- теряете все 100. И дальше владельцам БО достаточно просто ждать, рынок и отрицательное мат ожидание сделают свое дело. А временная дисперсия даст надежду трейдеру бинарных опционов, что на данном рынке можно зарабатывать. Но это временно.

В чем же плюс криптовалютного трейдинга ( как и трейдинга на фондовом рынке) ?

Человек сам может создать для себя систему. Сам может ограничить свой риск, и стараться забрать с рынка максимум возможной прибыли. (Причем если со вторым ситуация довольно спорная, то риск нужно контролировать очень четко.)

Чтобы понимать в каком направлении вас ведёт ваша стратегия необходимо ведение статистики. Трейдер должен знать:

1. Количество своих трейдов. Чем больше количество трейдов по заданной стратегии, тем точнее будет математическое ожидание
2. Частота удачных входов. (Вероятность) (R)
3. Свой профит по каждой положительной сделке.
4. Смещение (коэффициент прибыльных сделок) (B)
5. Средний размер вашей ставки (стоп ордер) (S)

Математическое ожидание (Е) = B * R – (1 – B) = B * (1 + R) –1

Чтобы примерно узнать свой итоговый заработок или убыток на счете (EE), к примеру, на дистанции в 1000 трейдов, воспользуемся формулой.

EE =E* N * S

Где N — количество трейдов, которые мы планируем исполнить.

Для примера возмем начальные данные:

стоп лосс — 30 долларов.

профит — 100 долларов.

Количество сделок 30

Математическое ожидание отрицательное только при соотношении прибыльных и убыточных сделок (R) 20%/80% или хуже В остальных случаях положительное.

Пусть теперь профит будет 150. Тогда отрицательным мат ожидание будет при соотношении 16%/84%. Или ниже.

Вывод.

Что с этим делать? Начните вести статистику, если еще не начинали. Проверьте свои трейды, определите Ваше мат ожидание. Найдите то, что можно улучшить ( количество верных входов, добор профита, урезание убытков)

expertcoin.com

Отрицательное математическое ожидание в ставках

Часто происходит так, что после продолжительной серии успешных ставок беттор вдруг начинает «сыпаться». Та стратегия игры, которая давала результат вчера, сегодня приносит лишь одни убытки. Одна из основных ошибок бетторов состоит в том, что они полностью полагаются на свой успех в прогнозировании, при этом не рассчитывая реальные вероятности прохода тех или иных рынков.

Возьмем обычный пример, чтобы посмотреть, как себя ведут различные типы игроков.

К примеру, в теннисной игре встречаются Джокович и Вавринка. Букмекер дает на Джоковича коэффициент 1.3, а на Вавринку 3.70.

Как размышляет обычный игрок:

• Джокович сильнее Вавринки;
• У Джоковича хорошая форма;
• Джокович победит.

После этого делается ставка на победу серба.

Как размышляет опытный беттор:

• У Джоковича превосходство в личных встречах;
• Джокович – универсал, поэтому сила Вавринки на харде не сыграет большого значения;
• С учетом погоды, мотивации, формы и других факторов вероятность победы Джоковича равна 70%.

После этого делается ставка на серба.

Как размышляет профессиональный гандикапер:

• Так же, как и опытный беттор, но так как вероятность победы Джоковича равна 70%, то минимальный коэффициент безубыточности должен быть равен 1.43. Поэтому ставка на коэффициент 1.30 будет невыгодным вложением средств;
• Вероятность победы Вавринки составляет не менее 30%. В этом случае коэффициент 3.34 уже на дистанции даст возврат средств, а так как на Вавринку дают коэффициент 3.70, то делается ставка именно на него.

Допустим, что Джокович все же победил Вавринку в трех сетах. В этом случае первый игрок порадуется «легким» деньгам, опытный беттор оценит свое умение анализировать, а профессионал даже не обратит внимания на исход данного противостояния.

Дело в том, что по логике двух первых игроков ставка сделана верно, так как она прошла. При этом они не учитывают, того, что в 70% случаев эта ставка должна быть выигрышной и поэтому на дистанции у них не будет преимущества над линией. Если вероятность составляет 75%, а букмекер дает коэффициент, который равносилен 70% вероятности, то такая ставка будет с отрицательным математическим ожиданием. Можно получить от данных ставок сиюминутную прибыль, но со временем депозит будет проигран.

Вывод

При анализе вы должны не указать победителя предстоящей игры, а правильно оценить шансы соперников. Сопоставив шансы с коэффициентами букмекеров, можно понять, насколько такая ставка будет выгодна на дистанции.

bukmekerskie-kontory.bet

Игра с отрицательным мат. ожиданием

Это жизненно важная концепция для всех спекулянтов, это концепция, на которой строится система веры, но сама концепция не может быть построена на вере. Казино не работают на вере. Они оперируют, управляют своим бизнесом, основываясь на чистой математике. Они знают, что, в конечном счете, законы рулетки или игры в кости возьмут верх. Поэтому они не дают игре останавливаться. Они не против того, чтобы подождать, но они не останавливаются. Они играют круглые сутки также не без причины чем дольше вы играете в их игру отрицательного математического ожидания, тем больше они уверены, что получат ваши деньги.  [c.193]
В отношении управления капиталом очень важно понимать, что при игре с отрицательным ожиданием нет схемы управления деньгами, которая может сделать вас победителем. Если вы продолжаете играть, то независимо от способа управления деньгами вы проиграете весь ваш счет, каким бы большим он ни был е начале.  [c.25]

Эта аксиома верна не только для игры с отрицательным ожиданием, она истинна также для игры с равными шансами. Поэтому единственный случай, когда у вас есть шанс выиграть в долгосрочной перспективе, — это игра с положительным математическим ожиданием. Кроме того, вы можете выиграть только в двух случаях. Во-первых, при использовании ставки одинакового размера, во-вторых, используя ставки при f, меньшем значения f, соответствующего точке, в которой среднее геометрическое HPR становится равным или меньшим 1.  [c.25]

Эта аксиома истинна только при отсутствии верхнего поглощающего барьера. Например, азартный игрок, который начинает со 100 долларов, прекратит играть, если его счет вырастет до 101 доллара. Эта верхняя цель (101 доллар) называется поглощающим барьером. Допустим, игрок всегда ставит 1 доллар на красный цвет рулетки. Таким образом, у него небольшое отрицательное математическое ожидание. У игрока больше шансов увидеть, как его счет вырастет до 101 доллара и он прекратит играть, чем то, что его счет уменьшится до нуля, и он будет вынужден прекратить играть. Если он будет повторять этот процесс снова и снова, то окажется в отрицательном математическом ожидании. Если сыграть в такую игру только раз, то аксиома неизбежного банкротства, конечно же, не применима. Различие между отрицательным ожиданием и положительным ожиданием — это различие между жизнью и смертью. Не имеет значения, насколько положительное или насколько отрицательное ожидание важно только то, положительное оно или  [c.25]

Допустим, вы начинаете игру с одного доллара, выигрываете при первом броске и зарабатываете два доллара. При следующем броске вы также ставите весь счет (3 доллара), однако на этот раз проигрываете и теряете 3 доллара. Вы проиграли первоначальную сумму в 1 доллар и 2 доллара, которые ранее выиграли. Если вы выигрываете при последнем броске, то зарабатываете 6 долларов, так как сделали 3 ставки по 1 доллару. Дело в том, что если вы используете 100% счета, то выйдете из игры, как только столкнетесь с проигрышем, что является неизбежным событием. Если бы мы могли переиграть предыдущий сценарий и вы делали бы ставки без реинвестирования, то выиграли бы 2 доллара при первой ставке и проиграли 1 доллар при второй. Теперь ваша чистая прибыль 1 доллар, а счет равен 2 долларам. Где-то между этими двумя сценариями находится оптимальный выбор ставок при положительном ожидании. Однако сначала мы должны рассмотреть оптимальную стратегию ставок для игры с отрицательным ожиданием. Когда вы знаете, что игра имеет отрицательное математическое ожидание, то лучшей ставкой будет отсутствие ставки. Помните, что нет стратегии управления деньгами, которая может превратить проигрышную игру в выигрышную. Однако если вы должны сделать ставку в игре с отрицательным ожиданием, то наилучшей стратегией будет стратегия максимальной смелости. Другими словами, вам надо сделать как можно меньше ставок (в противоположность игре с положительным ожиданием, где следует ставить как можно чаще). Чем больше попыток, тем больше вероятность, что при отрицательном ожидании вы проиграете. Поэтому при отрицательном ожидании меньше возможности для проигрыша, если длина игры укорачивается (то есть когда число попыток приближается к 1). Если вы играете в игру, где есть шанс 49% выиграть 1 доллар и 51% проиграть 1 доллар, то лучше всего сделать только одну попытку. Чем больше ставок вы будете делать, тем больше вероятность, что вы проиграете (с вероятностью проигрыша, приближающейся к уверенности, когда игра приближается к бесконечности). Это не означает, что вы достигаете  [c.31]

Необходимо отметить, что залог под открытые позиции не имеет ничего общего с тем, какое математически оптимальное количество контрактов надо открывать. Залог не так важен, поскольку размеры отдельных прибылей и убытков не являются продуктом залоговых средств. Прибыли и убытки зависят от выигрыша и убытка в расчете на одну открытую единицу (один фьючерсный контракт). Для управления деньгами залог не имеет значения, так как размер убытка не ограничивается только залоговыми средствами. Многие ошибочно полагают, что f является линейной функцией, и чем большей суммой рисковать, тем больше можно выиграть, так как по мнению сторонников такого подхода положительное математическое ожидание является зеркальным отражением отрицательного ожидания, то есть если увеличение общего оборота в игре с отрицательным ожиданием в результате приносит более быстрый проигрыш, то увеличение общего оборота в игре с положительным ожиданием в результате принесет более быстрый выигрыш. Это неправильно. В некоторой точке в ситуации с положительным ожиданием дальнейшее увеличение общего оборота работает против вас. Эта точка является функцией как прибыльности системы, так и ее стабильности (то есть ее средним геометрическим), так как вы реинвестируете прибыли обратно в систему. Когда два человека сталкиваются с одной и той же последовательностью благоприятных ставок или сделок, и один использует оптимальное f, а другой использует любую другую систему управления деньгами, математическим фактом является то, что отношение счета держащего пари на  [c.35]

Я подозреваю, что большинство теорий, основанных на эффекте нескольких следующих друг за другом выигрышных и/или проигрышных сделок, проникло в мир торговли из азартных игр. Азартная игра основана на теории полос. Любой профессиональный игрок скажет вам, что невозможно обратить неблагоприятную ситуацию в свою пользу. Таким образом, схемы управления капиталом, которые используют азартные игроки, берут свое начало в сфере управления полосами удач и неудач. Вспомним пример с подбрасыванием монеты и пари с отрицательным ожиданием. В некоторых ситуациях  [c.147]

Приведем интересный сценарии. Я все время напоминаю, что никакой метод управления капиталом не может превратить отрицательное ожидание в положительное. Это абсолютно верное замечание. Математических доказательств этому утверждению нет. Однако это не означает, что такое не может произойти. В азартных играх участник может выйти на полосу выигрышей и просто прекратить игру. Такой человек оказывается победителем. Торговлю с использованием скользящей средней капитала нельзя сравнивать с азартной игрой. Но в некоторых ситуациях использование этого метода может дать положительные результаты, даже если система и/или метод приводят к убыткам по всем сделкам. Трейдеры стараются не торговать на некоторых рынках и избегают некоторых методов, потому что опасаются потерять деньги. При этом ожидания могут быть вполне положительными. Независимо оттого, насколько положительными могут быть ожидания, используемый метод или система не всегда следуют одному и тому же правилу. Рассмотрим следующий торговый поток  [c.163]

Трейдеру необходимо иметь понятие о математическом ожидании. В зависимости от того, у кого математическое преимущество в игре, оно называется либо преимуществом игрока — положительное ожидание, либо преимуществом игорного дома — отрицательное ожидание. Допустим, мы играем с вами в орла-или-решку. Ни у вас, ни у меня нет преимущества у каждого 50% шансов на выигрыш. Но если мы перенесем эту игру в казино, которое снимает 10% с каждого кона, то вы выиграете только 90 центов на каждый проигранный доллар. Это преимущество игорного дома оборачивается для вас как игрока отрицательным математическим ожиданием. И ни одна система контроля над капиталом не может одолеть игру с отрицательным ожиданием.  [c.278]

Кстати, игры с нулевым математическим ожиданием обладают отрицательным ожиданием полезности, так как полезность прироста меньше ущерба от возможного убытка аналогичной суммы. Это будет хорошо видно в материале главы, посвященной психологии.  [c.125]

Для красных PL = 0,04, a AL = 3 поэтому PL xAL = 0,04 х 3 = 0,12. Сложив их, получим 0,5 + 0,2 + 0,12 = 0,82. Это сумма всех отрицательных ожиданий игры.  [c.159]

И наконец, общее ожидание для игры равно разности этих двух сумм. Мы найдем эту разность, вычтя сумму отрицательных ожиданий (0,82) из суммы положительных ожиданий (1,6). Ответ равен 0,78. Таким образом, в этой игре в результате многих извлечений шаров вы можете ожидать выигрыша, равного 78 центам на каждый вложенный в игру доллар или на каждый доллар риска. Отметим, что эта игра почти в четыре раза более прибыльна, чем первая игра.  [c.159]

Большинство полагает, что основное назначение входных сигналов состоит в том, чтобы улучшить выбор подходящего момента для открытия позиций и тем самым повысить надежность вашей системы. По моей оценке, не менее 95% людей, пытающихся изобрести системы трейдинга, просто пытаются найти замечательный входной сигнал. Фактически трейдеры почти всегда говорят мне о своих краткосрочных системах, имеющих коэффициент надежности не менее 60%. Но при этом их удивляет, почему они не зарабатывают денег. Если вы начали читать книгу не с этой главы, то должны знать, что система с высоким процентом выигрышей может все же иметь отрицательное ожидание. Ключ к зарабатыванию денег состоит в том, чтобы иметь систему с высоким положительным ожиданием, и в том, чтобы использовать такую модель установления размера позиции, которая при данном показателе ожидания позволит вам все же не выходить из игры. Вход составляет лишь малую часть игры в зарабатывание денег на рынке. И все же следует затратить определенную энергию, чтобы найти такие входы (правила входа), которые отвечают вашим целям. Для решения этой задачи существует два подхода.  [c.217]

Не один раз краткосрочные трейдеры звонили мне по телефону с заявлениями типа Я дэй-трейдер. Вхожу в рынок и выхожу из него по нескольку раз в день. И почти каждый день зарабатываю деньги. Это замечательно Но за один вчерашний день я потерял почти годовую прибыль и очень этим расстроен . Это явно психологическая проблема. Такие ошибки возникают в результате грубых промахов при трейдинге либо психологических просчетов, связанных с игрой при отрицательном ожидании. В такой игре выигрыши идут почти посто-  [c.305]

Важно помнить, что исторически ваш проигрыш может быть такой же большой, как и процент f (в смысле возможного уменьшения баланса). В действительности вам следует ожидать, что в будущем он будет выше, чем данное значение. Это означает, что комбинация двух рыночных систем, даже если они имеют отрицательную корреляцию, может привести к уменьшению баланса на 44%. Это больше, чем в системе с положительным математическим ожиданием, в которой оптимальное f= 0,25, и поэтому максимальный исторический проигрыш уменьшит баланс только на 25%. Мораль такова диверсификация, если она произведена правильно, является методом, который повышает прибыли. Она не обязательно уменьшает проигрыши худшего случая, что абсолютно противоречит популярному представлению. Диверсификация смягчает многие мелкие проигрыши, но она не уменьшает проигрыши худшего случая. При оптимальном f максимальные проигрыши могут быть существенно больше, чем думают многие. Поэтому, даже если вы хорошо диверсифицировали портфель, следует быть готовым к значительным уменьшениям баланса. Однако давайте вернемся и посмотрим на результаты, когда коэффициент корреляции между двумя играми равен 0. В такой ситуации, какими бы ни были результаты одного броска, они не влияют на результаты другого броска. Таким образом, есть четыре возможных результата  [c.49]

Отметьте, что в этом примере ставки как после выигрышей, так и после проигрышей все еще имеют положительное математическое ожидание. Что произойдет, если после проигрыша вероятность выигрыша будет равна 0,3 В таком случае математическое ожидание имеет отрицательное значение и оптимального f не существует, таким образом, вам не следует использовать эту игру (1.03) МО=(0,3 2)+(0,7 -1) =0,6-0,7 =-0,1  [c.64]

Как мы уже знаем (см. главу 2), добавление рыночных систем увеличивает среднее геометрическое по портфелю в целом. Однако возникает проблема каждая следующая рыночная система вносит все меньший и меньший вклад в среднее геометрическое и все больше ухудшает его, понижая эффективность из-за одновременных, а не последовательных результатов. Поэтому не следует торговать слишком большим числом рыночных систем. Более того, реальное применение теоретически оптимальных портфелей осложняется из-за залоговых требований. Другими словами, вам лучше торговать 3 рыночными системами при полном оптимальном f, чем 300 рыночными системами при значительно пониженных уровнях, согласно уравнению (8.08). Скорее всего вы придете к выводу, что оптимальное число рыночных систем для торговли должно быть невелико. Особенно это обстоятельство важно, когда у вас много ордеров к исполнению и увеличивается вероятность ошибок. Если одна или несколько рыночных систем в портфеле имеют оптимальные веса больше единицы, может возникнуть еще одна проблема. Рассмотрим рыночную систему с оптимальным f=0,8 и наибольшим проигрышем, составляющим 4000 долларов. Для этой рыночной системы f = 5000 долларов. Давайте предположим, что оптимальный вес данного компонента в портфеле равен 1,25, поэтому вы будете торговать одной единицей компонента на каждые 4000 долларов ( 5000/1,25) баланса счета. Как только компонент столкнется с наибольшим проигрышем, весь активный баланс на счете будет обнулен, если прибылей в других рыночных системах не хватит для сохранения активного баланса. Рассмотренная проблема наиболее актуальна для систем, которые редко генерируют сделки. Если бы у нас были две рыночные системы с отрицательной корреляцией и положительным ожиданием, необходимо было бы открывать бесконечное количество контрактов на рынке. Когда один из компонентов проигрывает, другой выигрывает равную или большую сумму. Таким образом, мы получаем прибыль в каждой игре, однако только в том случае, когда рыночные системы ведут игру одновременно. Рассматриваемая же торговля аналогична гипотетической ситуации, когда один из компонентов в игре не активен, но используется другая рыночная система с бесконечным числом контрактов. Проигрыш может быть катастрофическим. Проблему можно решить следующим образом разделите единицу на наибольший вес компонента портфеля и используйте полученное значение в качестве верхней границы активного баланса, если оно меньше, чем значение, найденное из уравнения (8.08). В таком случае, если в будущем произойдет проигрыш той же величины, что и наибольший проигрыш (на основе которого рассчитано f), мы не потеряем все деньги. Например, наибольший вес компонента в нашем портфеле составляет 1,25. Если значение из уравнения (8.08) будет больше 1 / 1,25 = 0,8, следует использовать 0,8 в качестве верхней границы для доли активного баланса. Если первоначальная доля активного баланса небольшая, вышеописанная проблема может и не возникнуть, однако более агрессивному трейдеру следует всегда принимать ее во внимание. Альтернативное решение состоит в введении дополнительных ограничений в матрице портфеля (например, для каждой рыночной системы можно ограничить максимальные веса единицей и ввести дополнительные ограничения по залоговым средствам). Подобные дополнительные ограничения  [c.241]

Заметьте, что оптимальное /, доставляющее максимум роста, одинаково для всех конов игры, хотя и является функцией того, как долго вы будете играть. Если вы собираетесь остановиться после первого кона, то оптимальное / максимизирует среднее арифметическое HPR (для игры с положительным математическим ожиданием это/всегда равно 1,0, а игры с отрицательным математическим ожиданием — 0,0). Для игры с положительным математическим ожиданием оптимальное/убывает по мере увеличения времени до остановки (асимптотически убывает для бесконечной игры) и максимизирует среднее геометрическое HPR. Для игры с отрицательным математическим ожиданием оптимальное / всегда остается нулевым.  [c.106]

Это — классический пример азартной игры, где участники пытаются воспользоваться сериями. Единственный случай, который приводит их к проигрышу при таком подходе, — это когда в серии наблюдается 6 одинаковых выпадений подряд. Тем не менее здесь все же не обеспечивается положительное математическое ожидание. С математической точки зрения мы обсудим серии несколько позже. Сейчас же, как я думаю, будет достаточно рассказать вам о том, каким образом повела себя следующая серия, состоящая из 100 подбрасываний. У меня получилось 9 серий из 3 орлов или решек подряд. Однако только четыре из них дали противоположный результат при четвертом подбрасывании. В этих 4 сериях выигрыши составили 16 долларов. Только одна серия дала противоположный результат после пятого подбрасывания монеты. Она добавила еще 3 доллара выигрыша, общая сумма которого составила 19 долларов. Две серии закончились после шести одинаковых выпадений подряд и обеспечили еще по 1 доллару, что привело к совокупному итогу в 21 доллар. Были также еще две серии, которые давали подряд 6 орлов или решек. В результате каждая из этих двух серий принесла убыток в размере 35 долларов. Это привело к тому, что общая сумма выигрыша по итогу второй группы серий была отрицательной (49 долларов), и общий результат после двух  [c.27]

Может показаться, что эта тема является неуместной в книге по управлению капиталом. Тем не менее косвенным образом она тесно связана с вопросами, рассматриваемыми в этом издании. Управление капиталом без метода или системы торговли попросту бесполезно. Помимо этого, использование в торговле метода с отрицательным математическим ожиданием тоже бесполезно. Таким образом, метод или торговая система должны давать деньги для того, чтобы в игру вступили факторы роста, ведущие происхождение от управления капиталом и позволяющие получить хорошие конечные результаты. Откройте любой журнал по торговле и вы найдете там больше торговых систем и методов, чем сумеете опробовать. Все они кажутся великолепными, и большинство из них, как утверждается, являются самыми лучшими способами создания денег. Помимо всего прочего, основой для большинства таких утверждений являются гипотетические результаты. Как-то раз я получил «рассылку», автор которой утверждал, что он «превратил» 200 долларов в 18.000.000 долларов (здесь нет ошибки — в 18 миллионов долларов) за какие-то несколько лет. Там же говорилось, что вы тоже сумеете это сделать, приобретя книгу за 39,95 доллара и прочитав о невероятном методе, описанном в ней. (За небольшую плату я скажу вам, что собой представляет эта книга). Дело в том, что большинство этих гипотетических результатов появляется только после проведения значительного оптимизационного тестирования представляемого метода. Если управление капиталом сложным образом связано с системой или методами, используемыми в торговле, то гипотетические результаты становятся особенно важны в момент принятия решения о том, стоит ли пользоваться данным методом или системой.  [c.188]

Большинство игроков погибают от одной из двух пуль от невежества или от эмоций. Любители играют по интуиции и заключают такие сделки, которые не следует заключать никогда из-за отрицательного математического ожидания. Те, кто переживает стадию исходного невежества, начинает строить более приемлемые системы игры. Когда они становятся более уверенными, они высовывают голову из окопа, и вторая пуля поражает их Уверенность делает их жадными, они рискуют слишком большой суммой в одной сделке, и короткая череда неудач выметает их с рынка.  [c.149]

Система удвоения выглядит беспроигрышной до того момента, когда вы сообразите, что длинная полоса неудач разорит любого игрока, сколь бы богат он ни был. Игрок, начавший с 1 доллара и проигравший 46 раз, должен поставить 47-ю ставку в 70 триллионов долларов, а это больше, чем стоимость всего мира (примерно 50 триллионов). Ясно, что намного раньше у него кончатся деньги или он упрется в ограничения казино. Система удвоения бесполезна, если у вас отрицательное или нулевое математическое ожидание. Она самоубийственна, если у вас хорошая система игры и положительное математическое ожидание.  [c.150]

Игра с отрицательным математическим ожиданием  [c.164]

Дополнительно к этому отметим, что неприглядная роль спрэда усугубляется еще и тем, что из-за него не только возникает неблагоприятное соотношение вероятностей успеха и неудачи , но и становится отрицательным средний итог игры, т.е. математическое ожидание результата.  [c.122]

В бесконечном продолжении такая игра является бесперспективной (потому что математическое ожидание имеет отрицательное значение). Но при ограниченном числе серий вероятность выйти победителем достаточно убедительна (вероятность достижения 0,79).  [c.126]

Большинство трейдеров гибнут от одной из двух пуль это незнание и эмоции. Профаны играют по наитию, ввязываясь в сделки, которые им — вследствие отрицательного математического ожидания — следовало бы пропустить. Если они выживают, то, подучившись, начинают разрабатывать системы поумнее. Затем, уверившись в себе, они высовывают голову из окопа — и попадают под вторую пулю От самонадеянности они ставят слишком много на одну сделку и вылетают из игры после короткой вереницы потерь.  [c.281]

Здесь мы видим, что математическое ожидание игры в рулетку при игры на красное-черное отрицательное и равно -0.0526. Данную игру, таким образом, можно назвать невыгодной. Произошло это по причине наличия среди игровых полей двух зеро, при выпадении которых наш жетон забирает в свою пользу казино. В принципе, именно зеро и является прямым доходом казино во всех играх в рулетку.  [c.172]

В играх с отрицательным математическим ожиданием не имеется никакой схемы управления деньгами, которая сделает вас победителем  [c.172]

Эмоциональность оказывает самое непосредственное влияние на финансовый результат, получаемый инвестором н в большей степени игроком от финансовых спекуляций. И чем эмоциональней поведение человека, тем значительней будет отклонение математического ожидания финансовых результатов его торговли от реальности. Для азартных игр, обладающих отрицательным математическим ожиданием финансовые результаты, полученные под влиянием эмоций, будут выглядеть как это показано на нижеприведенном рисунке.  [c.263]

У вас может возникнуть закономерный вопрос а каково математическое ожидание финансовых игр С одной стороны, эти игры обладают всеми внешними атрибутами азартных игр — спрэд и комиссионные являются своеобразными аналогами зеро рулетки. Это дает основание говорить об отрицательном математическом ожидании. Однако финансовые игры имеют одно кардинальное отличие от азартных игр — главным действующим лицом в них является не господин случай, а человек. Если поведение человека прогнозируемо и подчиняется определенным закономерностям, то и рынок может быть прогнозируемым.  [c.113]

Из этого раздела можно сделать два вывода. Первый состоит в том, что при одновременных ставках или торговле портфелем существует небольшая потеря эффективности, вызванная невозможностью рекапитализировать счет после каждой отдельной игры. Второй заключается в том, что комбинирование рыночных систем, при условии, что они имеют положительные математические ожидания (даже если они положительно коррелированы), никогда не уменьшит ваш общий рост за определенный период времени. Однако когда вы продолжаете добавлять все больше и больше рыночных систем, эффективность уменьшается. Если у вас есть, скажем, 10 рыночных систем, и все они одновременно несут убытки, совокупный убыток может уничтожить весь счет, так как вы не сможете уменьшить размер каждого проигрыша, как в случае последовательных сделок. Таким образом, при добавлении новой рыночной системы в портфель польза будет только в двух случаях когда рыночная система имеет коэффициент корреляции меньше 1 и положительное математическое ожидание или же когда система имеет отрицательное ожидание, но достаточно низкую корреляцию с другими составляющими портфеля, чтобы компенсировать отрицательное ожидание. Каждая добавленная рыночная система вносит постепенно уменьшающийся вклад в среднее геометрическое. То есть каждая новая рыночная система улучшает среднее геометрическое все в меньшей и меньшей степени. Более того, когда вы добавляете новую рыночную систему, теряется общая эффективность из-за одновременных, а не последовательных результатов. В некоторой точке добавление еще одной рыночной системы принесет больше вреда, чем пользы.  [c.67]

Согласно этому методу, по мере уменьшения суммы счета размер последующей торговли увеличивается. Базовая концепция метода Мартингейл строится на том, что по мере уменьшения суммы в результате убытков возможность компенсации потерь либо увеличивается, либо остается прежней. Это популярный тип управления капиталом для игроков в азартные игры. Как сказано во второй главе, никакой тип управления капиталом не может превратить сценарий с «отрицательным ожиданием» в сценарий с «положительным ожиданием». Поэтому игроки не пытаются изменить шансы, они стараются воспользоваться сериями. Рассмотрим следующий пример.  [c.26]

В случае ожидания резкого скачкообразного изменения курса валюты несбалансированность спроса и предложения на нее в любом случае будет вызвана нормальными операциями по покрытию рисков продажа поступлений и отсутствие сделок по покупке валюты, в отношении которой ожидаются обесценение, хеджирование риска вложений в этой валюте. Опережения и задержки ( лидз энд лэгз ) по валютным расчетам и валютным сделкам достигают миллиардных сумм и вызывают огромное давление на курс. Спекулятивные валютные сделки могут многократно усилить такие воздействия. Игра на повышение и понижение курса валют дезорганизует валютный рынок, нарушает равновесие между спросом и предложением валюты, отрицательно влияет на валютно-экономическое положение соответствующих стран и мировую валютную систему.  [c.360]

Normal Distribution — нормальное распределение распределение вероятностей случайной величины X, возникающее обычно, когда X представляет собой сумм большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначительную роль. Нормальное распределение унимодально, описывается колоколообразной кривой его средняя (математическое ожидание) совпадает с модой. Н.р. широко используется в математической статистике. Предпосылка Н.р. учитывается в большинстве критериев статистической проверки гипотез. Математики считают, что Н.р. в экономике во многих случаях неприменимо например, вряд ли можно себе представить его в модели ценообразования, тогда в нее вошли бы также отрицательные цены.  [c.35]

По отношению к личности группа может играть как положительную, так и отрицательную роль. Если группа обеспечивает удовлетворение потребностей личности, а установленный группой статус соответствует ожиданиям личности, это можно считать положительным моментом в ее развитии (профессиональном, социальном, культурном, физическом и т. д.). Если этого не наблюдается, возможна деградация личности, искажение развития, конфликт между личностью и группой. Это отмечали немецкие ученые В. Зигерт и Л. Ланг, особенно для личности, находящейся на стадии удовлетворения потребностей в уважении и самореализации.  [c.112]

У игроков в рулетку математическое ожидание отрицательное. На колесе американской рулетки 38 ячеек, на европейском — 37, но в обоих случаях в игре участвует только 36. Одну или две ячейки оставляет за собой казино. Поскольку одна ячейка — это примерно 2,7% колеса рулетки, именно такой процент хозяева казино кладут себе в карман в среднем с каждой сделки, медленно выкачивая деньги из клиентов. Есть примитивная система управления капиталом, называемая мартингал (martingale) игрок начинает с минимальной ставки, обычно с 1 доллара, и после каждого проигрыша удваивает ставку. Теоретически он рано или поздно должен выиграть и тогда получит обратно все проигранное плюс один доллар. После этого он опять может сделать минимальную ставку и начать сначала. В реальной жизни системой мартингал воспользоваться нельзя, так как казино ограничивают максимальную ставку. Как только  [c.236]

Эта интерпретация U — U (7) как полезности, приписываемой конкретному риску, непосредственно соотносится с вопросом, которому фон Нейман и Моргенштерн и комментаторы их работы уделили много внимания, а именно, вопросу, может ли человек распознавать полезность (положительную или отрицательную) простого акта риска», азартной игры, ведь полезность не учитывается при использовании математического ожидания (von Neumann and Morgenstern. Op. it. P. 28 рус. изд. С. 58). С нашей точки зрения, гипотезу лучше интерпретировать как довольно нестандартное объяснение того, почему азартные игры имеют для потребительской единицы полезность или вредность, и ее лучше интерпретировать как дающую конкретную меру полезности или вредности, чем как отрицание того, что азартные игры имеют полезность (см. там же, стр. 28, 629—632 рус. изд. С. 58, 626—630).  [c.225]

Например. Так, рассчитаем математическое ожидание игры в рулетку, если играть только на красное-черное . Прн это задано, что всего 38 игровых полей — 36 цифр (по 18 красных и черных полей), а также два зеро . Таким образом, вероятность выигрыша при ставке на красное или черное составляет приблизительно 0.4737 (18/38). В случае положительного исхода ставки мы получаем 1 жетон, а в случае неудачи теряем один жетон. Отсюда имеем отрицательное матожндание  [c.172]

Как правило, любые игры с денежным выигрышем, будь это лотерея, ставки на ипподроме и в букмекерских конторах, игральные автоматы и т.п., являются играми с отрицательным математическим ожиданием. Поэтому участие в любой из них нельзя расценивать как источник стабильного дохода.  [c.172]

Ответ мы найдем у тех же рыночных участников. В любой сделке неизменно участвуют две стороны — покупатель н продавец. То, что хорошо для покупателя, как правило, ие хорошо для продавца и наоборот. Я здесь не рассматриваю случаи вынужденной продажи, к которой могут прибегать инвесторы, нуждающиеся в деньгах, импортеры и экспортеры в другой валюте, хеджеры в конкретном товаре и т.д. Тогда можно рассчитать, что максимальное положительное математическое ожидание покупателя на уровне поддержки является максимальным отрицательным матожиданием для продавца. Вряд ли вы найдете много таких продавцов. Скорее всего это будут или недальновидные игроки, или вынужденные рыночные участники. Таким образом, наибольшие объемы сделок действительно будут находиться в зонах, где матожидания прибыли покупателей н продавцов будут как можно больше совпадать. Небольшую подвижку в значениях матожиданий будет играть разница в оценках уровней сопротивления и поддержки, присущая разным рыночным участникам.  [c.176]

economy-ru.info

Математическое ожидание в трейдинге. Риски

В трейдинге достаточно много нюансов, которые, не являясь значительными в принципе, существенно влияют на конечный результат. К примеру, математическое ожидание. Примечательно, что, даже хорошо владея фундаментальным и техническим анализом, трейдер, чья торговая система показывает отрицательное математическое ожидание, не добьётся успеха и сольёт депозит в долгосрочной перспективе.  В этой статье мы постараемся максимально просто объяснить, что такое математическое ожидание в трейдинге, каким оно бывает и как сказывается на торговле. Также мы обсудим, что можно сделать, чтобы повысить мат. ожидание по сделкам.

Математическое ожидание в трейдинге – простыми словами

Если говорить просто, то математическое ожидание – это усреднённый статистический показатель, дающий представление о прибыльности торговой системы или стратегии. Расчёт математического ожидания позволяет трейдеру  увидеть, что превалирует в его торговле – убыток или прибыль.

Казалось бы, чтобы это понять, достаточно просто подбить процент прибыльных и убыточных сделок по итогу какого-то периода – недели, месяца и т. п.  Но такая статистика не всегда будет объективна, ведь на прибыльность сделок в этот период могли влиять самые разные факторы, не имеющие отношения к эффективности торговой системы.

Для расчёта же математического ожидания берётся как минимум, 100 сделок. Расчёт происходит по простой формуле: От процента успешных сделок торговой системы, умноженного на прибыль в средней прибыльной сделке, отнимается процент убыточных сделок, умноженный на средний убыток в такой сделке. Статистические данные для расчёта можно без труда выгрузить из торгового терминала.

Каким бывает математическое ожидание и что это даёт?

Математическое ожидание бывает положительным и отрицательным.  То есть, если после расчёта по вышеприведённой формуле у Вас получилась цифра от 0 и выше, мат. ожидание положительное. Если же получилась цифра со знаком «минус» — оно отрицательное. Что это даёт трейдеру?

Положительное мат. ожидание означает, что доход от прибыльных сделок способен перекрыть потери от убыточных. Следовательно, торговая система работает хорошо, трейдер всегда в плюсе, даже несмотря на периодические неудачи. Поэтому, в долгосрочной перспективе можно рассчитывать на рост депозита.

Отрицательное значение математического ожидания – плохая новость для трейдера. Это означает, что торговая система работает не так, как должна, а убытки превышают прибыль. Даже если на данном этапе процент прибыльных сделок превышает процент убыточных, но имеет место отрицательное математическое ожидание, в долгосрочной перспективе трейдер уйдёт в минус и неизбежно сольёт депозит. Как такое возможно?

Тут всё достаточно просто. К примеру, у трейдера 70% прибыльных сделок. Это хороший показатель. Но при этом, математическое ожидание показывает минус. Это значит, что общая сумма прибыли от этих 70% не перекроет сумму убытков от оставшихся 30% убыточных.

Поясним на примере. Допустим, трейдер заключил 100 сделок. Из них было 70 прибыльных и 30 убыточных. На прибыльных он заработал в сумме 1000 долларов, а на убыточных потерял 1200 долларов. В итоге, убытки на 200 долларов превысили доход, хотя прибыльных сделок и было больше. В чём причина? Скорее всего, прибыльными оказались более мелкие позиции, а убыточными оказались крупные.

По сути, именно такую вероятность развития событий прогнозирует отрицательное математическое ожидание, даже если на момент расчёта убытки ещё не превышают прибыль.

Итак, что даёт трейдеру расчёт мат. ожидания? По сути, возможность оценить эффективность своей торговой системы в перспективе. Либо по результатам расчётов он ещё раз убедится, что делает всё правильно, либо заметит риск слива депозита и поймёт, что необходимо пересмотреть систему и стратегию, и то-то поменять. В каком-то смысле, расчёт математического ожидания – как система раннего оповещения о потере депозита (если он отрицательный).

Мат. ожидание в минусе. Всё плохо?

Если говорить откровенно, то да, перспективы у трейдера с отрицательным математическим ожиданием не радужные. Но это лишь в том случае, если он не захочет ничего предпринять. А что можно сделать, чтобы повысить математическое ожидание?

Один из самых эффективных вариантов – повысить соотношение между стоп-лоссом и тейк-профитом. Вероятнее всего, математическое ожидание показало минус, потому что соотношение между стопом и тейком сейчас 1:1 или 1:2. При соотношении 1:1 убытки почти гарантированы, поскольку на бирже взымают комиссионные, что уже лишает это соотношение равенства.   Соотношение 1:2 уже лучше, но если трейдеру предстоит пройти через череду неудач, этот показатель его не спасёт.

Многие считают, что оптимальное соотношение стопа к тейку – 1:3 или 1:4. В этом действительно есть смысл, ведь при таких соотношениях прибыль сможет перекрыть убытки даже в трудные времена для трейдера.

Однако стоит понимать, что чем больше это соотношение, тем больше риск, что цена попросту не дойдёт до отметки тейка. Тут нужно сохранять уравновешенность – вероятность, что цена пройдёт путь до тейка при соотношении 1:3 гораздо выше, чем, что она пройдёт этот путь при соотношении 1:10. Таковы уж рыночные условия – редко можно наблюдать такую волатильность  достаточно долго, чтобы она сорвала тейк.

Итак, как видно, математическое ожидание в трейдинге – полезный показатель для оценки эффективности своей торговли в перспективе. Он позволяет вовремя заметить проблему и успеть предпринять меры для её решения до того, как трейдер окажется в минусе.

Помочь создать эффективную торговую систему с положительным математическим ожиданием может обучение в Школе трейдинга Александра Пурнова у опытного наставника. А полезные материалы на тему трейдинга из нашего блога будут доступны Вам в полном объёме после подписки.

Читайте также:

blog.purnov.com

Положительное математическое ожидание — Мегаобучалка

 

Если вы знаете, как считать карты в очко, у вас может быть преимущество перед казино, если они не заметят этого и не выкинут вас вон. Казино обожают пьяных игроков и не переносят считающих карты. Преимущество позволит вам со временем выиграть большее число раз, чем проиграть. Хорошее управление капиталом может помочь вам извлечь

больше прибыли из вашего преимущества и сократить потери. Без преимущества вам лучше отдать деньги на благотворительность. В игре на бирже преимущество даёт система игры, создающая большую прибыль, чем потери, разница цен и комиссионные. Никакое управление капиталом не спасёт плохую игровую систему.

Вы можете выиграть только тогда, когда у вас положительное математическое ожидание, разумная система игры. Игра по интуиции приводит к катастрофе. Многие игроки ведут себя как пьяницы в казино, переходящие от стола к столу. Тех, кто играет слишком много, убивают разница цен и комиссионные.

Лучшие системы игры жёсткие и практичные. Они состоят из небольшого числа элементов. Чем сложнее система, тем большее число её элементов могут не сработать. Игроки любят оптимизировать свои системы по прошлым данным. К сожалению, ваш брокер не позволит вам играть в прошлом. Рынки изменяются, и параметры, идеальные в прошлом, могут не быть таковыми сегодня. Попробуйте вместо этого деоптимизировать вашу систему. Посмотрите, как она будет работать в неблагоприятных условиях. Практичная система ведёт себя хорошо, когда рынок изменяется. В реальной игре она, вероятно, превзойдёт глубоко оптимизированную систему.

И, наконец, если вы разработали хорошую систему, не балуйтесь с ней. Разработайте другую, если вам нравится разнообразие. Роберт Причер формулирует это так: «Большинство игроков берут хорошую систему игры и ломают её, пытаясь сделать совершенной». Если у вас уже есть система игры, то пора установить правила управления капиталом.

 

Управление капиталом

 

Предположим, я и вы играем на 1 пенс, подбрасывая монетку. Если «орёл», то вы выигрываете, если грешка», то проигрываете. Предположим, что у вас 10 долларов рискового капитала, а у меня 1 доллар. Хотя у меня и меньше денег, мне нечего бояться: нужна последовательность из 100 поражений, чтобы я проиграл. Мы можем играть очень долго, если, конечно, между нами не встанут два брокера и не вытянут капитал через разницу цен и комиссионные.

Шансы резко изменятся, если мы поднимем ставку до четвертака. Если у меня всего 1 доллар, то четыре поражения меня доконают. Если у вас 10 долларов, то вы можете проиграть четвертак в серии 40 игр подряд. Серия из четырёх проигрышей наступит, вероятно, гораздо раньше, чем из сорока. При равенстве всех остальных факторов, более бедный из двух игроков должен разориться первым.

Большинство любителей думают, что «остальные факторы» далеки от равенства. Они считают себя умнее большинства из нас. Биржевая индустрия старательно поддерживает это заблуждение, утверждая, что победители получают деньги проигравших. Она пытается скрыть, что у игры на бирже отрицательная сумма (см. глава 2). Шальные любители идут на бешенный риск, обеспечивая комиссионные брокерам и прибыль торговцам в зале. Когда они вымываются с рынка, приходят новые сопляки, поскольку надежда никогда не умирает.

 

Выживание прежде всего

 

Первой задачей управления капиталом является обеспечение выживания. Вам нужно избегать риска, способного вывести вас из игры. Вторая цель состоит в обеспечении устойчивого потока прибыли, а третья в получении сверхдохода, но выживание идёт первым. «Не рискуйте всем состоянием» – вот первая заповедь игры. Неудачники нарушают её, поставив слишком много на одну сделку. Они продолжают играть с той же или даже большей позицией, когда она даёт убыток. Большинство неудачников окончательно разоряется при попытке оправиться от удара. Хорошее управление капиталом, прежде всего, сохранит вас от удара.

Чем в большую яму вы попадаете, тем более скользкие у неё стенки. Если вы потеряли 10 процентов, то вам нужно сделать 11 процентов, чтобы восстановиться, а если вы потеряли 20 процентов, то вам уже нужно заработать 25, чтобы вернуть своё. При потере 40 процентов нужно сделать блистательные 67 процентов, а если вы потеряли 50, то вам нужна 100 процентная прибыль просто для возвращения к исходному уровню. Когда потери растут в арифметической прогрессии, прибыли, необходимые для их возмещения, растут в геометрической.

Вам нужно знать заранее, сколько вы можете проиграть, когда и на каком уровне вы ограничите свои потери. Профессионалы тяготеют убегать при первых признаках беды и возвращаться на рынок, когда замечают подходящий момент. Любители – ждут и надеются.

 

Богатейте медленно

 

Любитель, стремящийся разбогатеть быстро, похож на обезьяну на тонкой ветке. Он тянется к зрелым плодам, но падает, когда ветка ломается.

Игроки, выступающие за фирму, обычно более успешны, как группа, чем индивидуальные игроки. Они обязаны этим своим начальникам, которые обеспечивают дисциплину (см. главу 2.3). Если игрок теряет больше предельной величины в одной сделке, его выгоняют за неподчинение. Если он проигрывает свой месячный лимит, то его лишают права играть до конца месяца и он становится мальчиком, который приносит остальным кофе. Если он проигрывает свой месячный лимит несколько раз подряд, фирма увольняет или переводит его. Эта система заставляет корпоративных игроков избегать потерь. Индивидуальные игроки действуют по собственному усмотрению.

Игрок, открывающий счёт в 20 000 долларов и надеющийся превратить его в два миллиона через два года, похож на подростка, убегающего в Голливуд, чтобы стать популярным певцом. Он может преуспеть в этом, но исключения только подтверждают правило. Любители хотят разбогатеть быстро, но губят себя, когда идут на высокий риск. Они могут преуспевать некоторое время, но повесятся, если им хватит верёвки.

Любители часто спрашивают меня, какой процент прибыли они смогут ежегодно получать от игры на бирже. Ответ зависит от их мастерства, везения и состояния рынка. Любители никогда не задают более важный вопрос: «Как много я проиграю до того, как прекращу играть и заново оценю себя, свою систему и рынки?» Если вы позаботитесь о продолжении процесса, прибыли позаботятся о себе сами.

Тот, кто делает 25 процентов в год – король Wall Street. Многие из финансистов высокого полёта отдадут своего первенца, чтобы добиться этого. Игрок, способный удвоить капитал за год – это звезда, столь же редкая, как популярный певец или великий спортсмен.

Если вы ставите перед собой скромные цели и достигаете их, вы можете пойти очень далеко. Если вы сможете делать 30 процентов в год, люди будут умолять вас принять их деньги под ваше руководство. Если вы будете управлять 10 миллионами, что не редкость в наши дни, то только ваша плата как менеджера составит 6 процентов, то есть 600 000 долларов в год. Если вы сделаете 30 процентов прибыли, то 15 процентов будут вашими как премия, то есть ещё 450 000 ‘долларов в год. Вы заработаете на биржевой игре более миллиона в год, не идя на большой риск. Когда вы будете планировать свою следующую сделку, имейте эти цифры в виду. Играйте для того, чтобы получить хороший послужной список с постоянными прибылями и небольшими потерями.

 

Скольким рисковать

 

Большинство игроков погибают от одной из двух пуль: от невежества или от эмоций. Любители играют по интуиции и заключают такие сделки, которые не следует заключать никогда из-за отрицательного математического ожидания. Те, кто переживает стадию исходного невежества, начинает строить более приемлемые системы игры. Когда они становятся более уверенными, они высовывают голову из окопа, и вторая пуля поражает их! Уверенность делает их жадными, они рискуют слишком большой суммой в одной сделке, и короткая череда неудач выметает их с рынка.

Если в каждой сделке вы рискуете четвертью своего счета, то ваш крах неминуем. Вас разорит короткая серия неудач, которая случается даже с самыми лучшими игровыми системами. Даже если вы будете рисковать только десятой долей вашего счёта в одной сделке, то и тогда продержитесь не намного дольше.

Профессионал может позволить себе рисковать только очень небольшой долей своих средств в одной сделке. У любителя тот же подход к игре, что у алкоголика к выпивке. Он начинает, чтобы хорошо провести время, а заканчивает самоуничтожением.

Обширные исследования показали, что максимальной суммой, которой игрок может рисковать в одной сделке, не ухудшая своих долговременных перспектив, являются 2 процента его активов. Этот предел учитывает разницу цен и комиссионные. Если у вас счёт в 20 000 долларов, вы не можете рисковать большим, чем 400 долларов в любой сделке. Если у вас счёт в 100 000 долларов, вы не должны рисковать большим, чем 2000 долларов, а если у вас всего 10 000 долларов, то максимальный риск в одной сделке не должен превышать всего 200 долларов.

Большинство любителей качают головой, когда им говорят об этом. У многих маленькие счета и правило 2 процентов разбивает мечту о больших прибылях. Большинство успешных профессионалов, напротив, считают предел в 2 процента завышенным. Они не позволяют себе рисковать большим, чем 1 или 1,5 процента в одной сделке.

Правило 2 процентов надёжно ограничивает ущерб, который рынок может нанести вашему счету. Даже последовательность из пяти или шести убыточных операций не способна значительно ухудшить ваши перспективы. В любом случае, если вы играете для того, чтобы иметь хороший послужной список, вам вряд ли захочется показать 6 или 8 процентов месячных убытков. Если вы подошли к этому пределу, перестаньте играть до конца месяца. Используйте это время отдыха для того, чтобы заново оценить себя, ваши методы и рынок.

Правило 3 процентов удержит вас от самых рискованных сделок» Когда ваша система даёт сигнал о вступлении в игру, посмотрите, где разумно доставить остановку. Если при этом под угрозой окажется более 2 процентов ваших активов, то пропустите такую возможность. Полезно ждать возможностей сыграть с очень близкой остановкой (см. главу 9). Ожидание уменьшит удовольствие от игры, но повысит потенциальные Прибыли. Выбирайте, что вам на самом деле дороже.

Правило 2 процентов помогает решить, сколько контрактов должно быть в игре. Например, у вас на счету 20 000 и вы можете рискнуть 400 долларами на сделку. Если ваша система показывает привлекательную сделку с риском в 275 долларов, то вы можете сыграть только на один контракт. Если риск всего 175 долларов, то можно сыграть на два контракта.

Как насчёт добавления, увеличения вашей позиции, когда рынок движется в вашу пользу? Правило 2 процентов поможет и здесь. Если вы получили прибыль на следующей за трендом позиции, вы можете добавить к ней, если ваша открытая позиция заведомо безубыточна и добавление не ставит под вопрос больше 2 процентов ваших активов.

 

Система удвоения

 

После того, как вы установили максимальный риск на сделку, вам нужно решить, рисковать ли этой суммой в каждой сделке. Большинство систем таковы, что вы рискуете в разных сделках разными суммами. Одна из древнейших систем управления капиталом, это система удвоения, первоначально придуманная для азартных игр. Она подсказывает вам ставить больше после неудачи, чтобы «поправить дела». Не надо говорить о том, насколько этот подход эмоционально привлекателен для неудачников.

Игрок на удвоение в казино продолжает ставить 1 доллар, пока выигрывает, но после проигрыша он ставит 2 доллара. Если он выигрывает, то уходит с прибылью в 1 доллар (-1+2) и возвращается к ставке в 1 доллар. Если же он проигрывает, то удваивает опять и ставит 4 доллара. Если он выиграет, то получит 1 доллар (-1-2+4), а если он проиграет, то поставит 8 долларов. Пока он продолжает удваивать, первый же выигрыш вернёт все проигранное и даст прибыль, равную первоначальной ставке.

Система удвоения выглядит беспроигрышной до того момента, когда вы сообразите, что длинная полоса неудач разорит любого игрока, сколь бы богат он ни был. Игрок, начавший с 1 доллара и проигравший 46 раз, должен поставить 47-ю ставку в 70 триллионов долларов, а это больше, чем стоимость всего мира (примерно 50 триллионов). Ясно, что намного раньше у него кончатся деньги или он упрётся в ограничения казино. Система удвоения бесполезна, если у вас отрицательное или нулевое математическое ожидание. Она самоубийственна, если у вас хорошая система игры и положительное математическое ожидание.

Любители любят систему удвоения из-за её эмоциональной привлекательности. Распространённым заблуждением является то, что не повезти может только до определённого предела или что удача обязательно улыбнётся. Неудачники часто играют более крупно после неудачи. Неудачник, стремящийся к компенсации, часто удваивает объем сделки после неудачи. Это очень плохой метод управления капиталом.

Если вы хотите менять объем сделки, то логика подсказывает, что нужно играть крупнее, когда ваша система соответствует рынку и делает деньги. Если ваш счёт растёт, правило 2 процентов позволит вам играть на большие суммы. Вам надо играть скромнее, когда ваша система не в ладах с рынком и теряет деньги.

 

Оптимальное f

 

Некоторые игроки, разработавшие компьютеризированные системы игры, верят в то, что они называют оптимальным f – «оптимальной фиксированной долей» активов. Доля счета, которой они рискуют в одной сделке, определяется по формуле, основанной на результатах их системы и размерах счета. Это сложный метод, но вы можете воспользоваться некоторыми его идеями независимо от того, используете ли вы сам метод.

Ральф Вине показал в своей книге «Формулы управления портфелем», что

1) оптимальное f переменно,

2) если вы играете крупнее оптимального f, то не получаете преимущества и, в принципе, должны разориться,

3) если вы играете мельче, чем оптимальное f, то ваш риск уменьшается в арифметической прогрессии, а прибыль – в геометрической.

Игра на уровне оптимального f эмоционально тяжела, поскольку может давать 85 процентов неудач. Её можно практиковать только с действительно рисковым капиталом. Ключевым пунктом является то, что если вы играете крупнее оптимального f, то обязательно погубите свой счёт. Урок прост: если сомневаетесь, рискуйте меньшим.

Компьютеризированное исследование правил управления капиталом подтвердило некоторые старинные правила и наблюдения. Истинным показателем риска для данной системы игры является размер максимальной проигранной сделки. Ущерб зависит от длительности полосы неудач, которую нельзя предсказать. Диверсификация позволяет сгладить эффект неудач. Вы можете диверсифицироваться, играя на нескольких рынках с разными системами. Тесно связанные рынки, такие, как валютный, не допускают диверсификацию. Мелкий игрок вынужден следовать простому правилу: сложите все яйца в одну корзину и внимательно следите за ней.

Согласно Винсу, компьютерное тестирование подтвердило некоторые общие правила управления капиталом: никогда не округляйте вниз, никогда не выходите на предел маржи, если вам нужны средства, ликвидируйте худшую позицию, первая ошибка самая дешёвая.

 

megaobuchalka.ru

Ставки с отрицательным математическим ожиданием

Несмотря на то, что вероятность наступления того или иного события в спорте — вещь порой очень субъективная и иной раз кажется, что законы теории вероятности здесь не работают вовсе, стоит понимать, что некоторые действия игрока априори не могут быть плюсовыми на дистанции.

Речь пойдет о ставках на спорт с отрицательным математическим ожиданием или, как ещё говорят, минусовых ставках.

Главной ошибкой рядовых клиентов букмекерских контор, которые не рассматривают ставки на спорт как долгосрочные инвестиции, является то, что они полностью отождествляют прогнозирование и беттинг. Что не так? Безусловно, все мы (и профессионалы, и любители) хотим верно спрогнозировать результат того события, на которое делаем ставку, и чем больше верных ставок, тем лучше.

Однако, профессиональный игрок делает не только прогноз, но и пытается сопоставить его выгодность/убыточность на дистанции с теми котировками, которые предлагают букмекерские конторы. Обычный же клиент БК, который не хочет обременять себя теорией беттинга, делает ставку «на глазок», т.е. он, конечно, смотрит на коэффициенты в линии букмекерской конторы и чем больше они, тем лучше (это он понимает), но попан не сопоставляет вероятность своей оценки наступления события с вероятностью и маржой, которую заложил букмекер в котировки …

Главное для данного типа игроков — просто угадать/спрогнозировать исход поединка, а выгодно ли было это решение с точки зрения математики — дело десятое …

Для пояснения написанного выше о ставках на спорт с отрицательным математическим ожиданием разберем пару элементарнейших примеров с монеткой, которые в той или иной редакции приводятся в любом рассказе о теории вероятности. 

Классические примеры с монеткой

Подбрасываем монетку, вероятность «орла» или «решки» «фифти-фифти», если, конечно, отбросить вероятность зависания в воздухе и вечное кручение на ребре, о которых спорили в одном бородатом анекдоте мужья, нежелающие  нести зарплату женам и хотевшие таким путем разыграть пьянку или поход к проституткам.

Если незадачливый «собутыльник-букмекер» предложит Вам на подобное подбрасывание монетки коэффициенты не 1.95 — 1.95 (за вычетом маржи 50 на 50), а например, ставить на выпадение «решки» за 2.20, то Вы должны хвататься за такое предложение руками и ногами. Вытекает это из элементарных соображений выгодности/убыточности на игры на дистанции.

В первом случае, пускай по чуть-чуть, Вы будете проигрывать в перспективе, во втором, несмотря на возможные серии поражений, выигрывать. Кстати о выигрышных и проигрышных сериях, в одном материале я читал, что в неком казино Монако был задокументирован факт выпадения монеты на одну и ту же сторону … 20 раз подряд. Ещё один контраргумент для любителей поиграть классическим догоном, а также порассуждать о верности/ошибочности прогноза после его результата.

Конкретный пример проверки ставки на «минусовость»

Однако, оговоримся, что в реальных «боевых условиях» всё намного сложнее и не так однозначно. Допустим, онлайн-букмекер Pinnacle выставил котировки на теннисный матч Джокович — Киргиос: 1.30 — 3.90. Если переводить коэффициенты в проценты (со скидкой на 2% маржи от конторы Pinnacle) это равняется примерно 75% на успех серба и 25% на викторию австралийца.

Один эксперт Вам скажет, что Джокович победит Киргиоса с вероятностью в 70%, другой «каппер» оценит это событие в 65%. Несмотря на знание котировок, они будут Вам рекомендовать ставить … Вы аналогично, как и «эксперты», оценивали успех Джоковича в диапазоне 70-65%.

Продолжим размышление и предположим стандартную картину: Вы не стали мучить себя категориями «выгодно/невыгодно», переводить проценты в коэффициенты, а просто сделали ставку и она прошла. По логике обычного человека: всё круто, ставка сыграла и это — главное. С точки же зрения теории: сделали ставку с отрицательным математическим ожиданием (при условии более-менее точного умения определять вероятности наступления событий на дистанции). Сейчас ставка зашла, но если Вы будете регулярно придерживаться подобной «тактики», то будете нести убытки. Так как если соглашаться со своей оценкой, то ставить Вы должны были начинать на Джоковича с коэффициента не ниже 1.40 (70%).

Был приведен пример с номинальным фаворитом, но естественно, что более показательны случаи с недооценкой аутсайдеров. Там проще говорить о стратегии value betting.

Хватит ли у Вас дисциплины строить свои действия согласно теории беттинга? Верно ли Вы будете оценивать шансы команд/спортсменов на дистанции? Не будете ли делать ставок ради ставок, оправдывая это формулировками типа: «А мне просто было скучно и захотелось поставить …»? Какие финансовые стратегии ставок на спорт Вы применяете? От этих многих других условий и будет зависеть Ваш конечный успех в ставках на спорт!

Всем удачи! Надеюсь, что материал был полезен для Вас!

 

betsmagazine.com

3.3. Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть переменныхназываются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальныепеременных называются неосновными (или свободными). Каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетанийто и базисных решений имеется не более

Совместная система линейных уравнений спеременнымиимеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими:

— менее трудоемкий метод;

— позволяет однозначно установить, совместна система или нет и в случае совместности найти ее решение;

— дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Составим расширенную матрицу по данной системе

поменяем местами первую и вторую строку

умножим первую строку на и сложим со второй строкой; умножим первую строку наи сложим с третьей строкой

умножим вторую строку на и сложим с третьей строкой

последняя строка вычеркивается, так как все ее элементы равны нулю

Ранг основной матрицы ранг расширенной матрицыследовательно, система совместна. Число строк в основной матрицечисло столбцов в основной матрицеследовательно, система имеет множество решений.

Выявим базисные переменные

следовательно, базисные переменные, тогда

3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений спеременными называетсясистемой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю.

Системы линейных однородных уравнений:

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как имеет, по крайней мере, нулевое решение

Если в однородной системе а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение.

Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при

Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Составим по данной системе расширенную матрицу

поменяем местами первую и третью строки

умножим первую строку на и сложим со второй строкой, а затем с третьей строкой, получим

умножим вторую строку на и сложим с третьей строкой

разделим последнюю строку на

Таким образом, ранг расширенной матрицы и ранг основной матрицы равны следовательно, система совместна. Число строк в основной матрице равно 3, а число столбцов равно 4, т.е. решений множество. Определим базисные переменные

базисные переменные.

Перейдем от матрицы к системе, выразим переменные через другие переменные

Контрольные вопросы

1. Сформулировать теорему Кронекера – Капелли.

2. Сформулировать Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными.

3. Дать определение базисному решению систем линейных алгебраических уравнений.

4. Какие системы линейных алгебраических уравнений называют однородными?

Лекция №4. Векторы

4.1. Векторы в науке и технике. Понятие вектора. Координаты вектора.

4.2. Линейные операции над векторами.

4.3. Декартова система координат. Базис векторного пространства.

4.4. Скалярное произведение векторов, основные свойства и выражение в координатной форме.

4.5. Векторное произведение векторов. Основные свойства векторного произведения векторов и выражение в координатной форме.

4.6. Применение векторного произведения векторов к решению задач.

4.7. Смешанное произведение векторов. Основные свойства смешанного произведения векторов и выражение в координатной форме.

4.8. Применение смешанного произведения векторов к решению задач.

1. Векторы в науке и технике. Понятие вектора. Координаты вектора

В физике и математике вектор – это величина, которая характеризуется численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, которые характеризуются направлением. Например, сила, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким как масса, объем, давление, температура, плотность, которые можно описать обычным числом и называются они скалярными величинами.

Векторная запись используется при работе с величинами, которые невозможно задать полностью с помощью обычных чисел. Например, необходимо описать положение предмета, но полностью определить местоположение предмета невозможно, пока не будет известно направление, в котором он находится. Таким образом, местонахождение предмета характеризуется численным значением (расстоянием в километрах) и направлением.

При изучении и расчете цепей переменного тока удобно пользо­ваться векторными диаграммами, на которых синусоидальные напряжения и токи условно изображают с помощью векто­ров. Применение этих диаграмм упрощает изучение и расчет цепей и вносит наглядность в рассматриваемые соотношения.

Вектором на плоскости называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкойкоторый можно перемещать параллельно самому себе.

Рис. 1

Вектор на плоскости

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным или совпадающим прямым на одно и тоже расстояние.

Нулевой вектор – точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления.

Абсолютной величиной или модулем вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Другими словами длина вектора есть расстояние между началом и концом вектора

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Если векторы иколлинеарны и их лучи сонаправлены, то векторыиназываютсонаправленными. Обозначают Если векторыиколлинеарны, а их лучи не являются сонаправленными, то векторы называютпротивоположно направленными. Обозначают Нулевой вектор условились считать сонаправленным с любым вектором.

Рис.2

Коллинеарные вектора

Свойство коллинеарных векторов.

Если векторы иколлинеарны и, то существует числотакое, что. Причем, еслито векторыисонаправленные, еслито противоположно направленные.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Признак компланарности трех векторов.

Если вектор можно разложить по векторами, т.е. представить в виде, где-некоторые числа, то векторы-компланарны.

Рис.3

Компланарные вектора

, где ;

, где

, где

studfiles.net

17 Системы линейных уравнений

§1. Системы линейных уравнений.

Система вида

(1)

называется системой mлинейных уравнений сnнеизвестными.

Здесь — неизвестные,— коэффициенты при неизвестных,— свободные члены уравнений.

Если все свободные члены уравнений равны нулю, система называется однородной.Решениемсистемы называется совокупность чисел, при подстановке которых в систему вместо неизвестных все уравнения обращаются в тождества. Система называетсясовместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система, имеющая единственное решение, называетсяопределенной. Две системы называютсяэквивалентными, если множества их решений совпадают.

Система (1) может быть представлена в матричной форме с помощью уравнения

(2)

где

.

§2. Совместность систем линейных уравнений.

Назовем расширенной матрицей системы (1) матрицу

Теорема Кронекера — Капелли. Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:

.

§3. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим неоднородную систему nлинейных уравнений сnнеизвестными:

(3)

Теорема Крамера. Если главный определитель системы (3), то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

т.е. ,

где — определитель, получаемый из определителязаменой-го столбца на столбец свободных членов.

Если , а хотя бы один из≠0, то система решений не имеет.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Систему (3) можно решить, используя ее матричную форму записи (2). Если ранг матрицы Аравенn, т.е., то матрицаАимеет обратную. Умножив матричное уравнениена матрицуслева, получим:

.

Последнее равенство выражает способ решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пример. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение. Матрицаневырожденная, так как, значит, существует обратная матрица. Вычислим обратную матрицу:.

Тогда

,

т.е. .

Задание. Решить систему методом Крамера.

§4. Решение произвольных систем линейных уравнений.

Пусть дана неоднородная система линейных уравнений вида (1).

Предположим, что система совместна, т.е. выполнено условие теоремы Кронекера-Капелли: . Если ранг матрицы(числу неизвестных), то система имеет единственное решение. Если, то система имеет бесконечно много решений. Поясним.

Пусть ранг матрицы r(A)=r<n. Поскольку, то существует некоторый ненулевой минор порядкаr. Назовем его базисным минором. Неизвестные, коэффициенты которых образуют базисный минор, назовем базисными переменными. Остальные неизвестные назовем свободными переменными. Переставим уравнения и перенумеруем переменные так, чтобы этот минор располагался в левом верхнем углу матрицы системы:

.

Первые rстрок линейно независимы, остальные выражаются через них. Следовательно, эти строки (уравнения) можно отбросить. Получим:

Дадим свободным переменным произвольные числовые значения: . Оставим в левой части только базисные переменные, свободные перенесем в правую часть.

Получили систему rлинейных уравнений сrнеизвестными, определитель которой отличен от 0. Она имеет единственное решение.

Эта система называется общим решением системы линейных уравнений (1). Иначе: выражение базисных переменных через свободные называется общим решениемсистемы. Из него можно получить бесконечное множествочастных решений, придавая свободным переменным произвольные значения. Частное решение, полученное из общего при нулевых значениях свободных переменных называетсябазисным решением. Число различных базисных решений не превосходит. Базисное решение с неотрицательными компонентами называетсяопорнымрешением системы.

Пример.

,r=2.

Переменные — базисные,— свободные.

Сложим уравнения; выразим через:

— общее решение.

— частное решение при.

— базисное решение, опорное.

§5. Метод Гаусса.

Метод Гаусса — это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному (или треугольному) виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.

Элементарными преобразованиямисистемы являются:

— умножение уравнения на число, отличное от нуля;

— сложение уравнения, умноженного на любое число, с другим уравнением;

— перестановка уравнений;

— отбрасывание уравнения 0 = 0.

Элементарные преобразования можно совершать не над уравнениями, а над расширенными матрицами получающихся эквивалентных систем.

Пример.

Решение.Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Выполняя элементарные преобразования, приведем левую часть матрицы к единичному виду: на главной диагонали будем создавать единицы, а вне ее — нули.

Замечание. Если при выполнении элементарных преобразований получено уравнение вида 0= к (где к0), то система несовместна.

Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы.

Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.

В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению преобразований Жордана:

1. Выбирают переменную , которая станет базисной. Соответствующий столбец называют ключевым. Выбирают уравнение, в котором эта переменная останется, будучи исключенной из других уравнений. Соответствующую строку таблицы называют ключевой. Коэффициент, стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называют ключевым.

2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.

3. Ключевой столбец заполняют нулями.

4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника. Составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали, полученную разность делят на ключевой элемент.

Пример. Найти общее решение и базисное решение системы уравнений:

Решение.

Общее решение системы :

Базисное решение: .

Перейти от одного базиса системы к другому позволяет преобразование однократного замещения: вместо одной из основных переменных в базис вводят одну из свободных переменных. Для этого в столбце свободной переменной выбирают ключевой элемент и выполняют преобразования по указанному выше алгоритму.

§6. Нахождение опорных решений

Опорным решением системы линейных уравнений называется базисное решение, не содержащее отрицательных компонент.

Опорные решения системы находят методом Гаусса при выполнении следующих условий.

1. В исходной системе все свободные члены должны быть неотрицательны: .

2. Ключевой элемент выбирают среди положительных коэффициентов.

3. Если при переменной, вводимой в базис, имеется несколько положительных коэффициентов, то в качестве ключевой строки берется та, в которой отношение свободного члена к положительному коэффициенту будет наименьшим.

Замечание 1. Если в процессе исключения неизвестных появится уравнение, в котором все коэффициенты неположительны, а свободный член, то система не имеет неотрицательных решений.

Замечание 2. Если в столбцах коэффициентов при свободных переменных нет ни одного положительного элемента, то переход к другому опорному решению невозможен.

Пример.

studfiles.net

Частные случаи решения систем линейных уравнений

Системы уравнения решаются графически. Однако такой способ решения оказывается неудобным: если точка пересечения графиков значительно удалена от начала координат. Кроме того, при графическом способе не может быть обеспечена большая точность результата. Поэтому применяют и другие методы решения.

Чаще всего для решения предлагаются такие системы линейных уравнений, в которых коэффициенты при переменных отличны от нуля. В этом случае систему необходимо преобразовать так, чтобы хотя бы в одном из уравнений коэффициент при какой-либо переменной стал равен нулю. Если коэффициент при переменной в одном из уравнений системы двух линейных уравнений равен нулю, такую систему легко решить без построения графиков.

Рассмотрим примеры решения систем уравнений с двумя переменными.

Пример 1.

Решим систему

{3х – 7у = 2,
{2х + 0у = 20.

Решение.

Уравнению  2х + 0у = 20 удовлетворяет любая пара значений переменных х и у вида (10; n), где n – любое число, и никакая другая пара.

Из множества пар вида (10; n) выделим те, которые удовлетворяют первому уравнению системы. Для этого в уравнение 3х – 7у = 2 вместо х подставим 10. Получим 3 × 10 – 7у = 2. Отсуда, у = 4. Следовательно, пара чисел (10; 4) удовлетворяет как первому, так и второму уравнению системы, то есть является решением данной системы, и притом единственным.

Пример 2.

Решим систему:

{3х = -12,
{х + у = 1.

Решение.

Первое уравнение содержит только одну переменную х и обращается в истинное равенство при х = -4.

Как известно, решением системы уравнений с двумя переменными служит пара чисел. Можно ли говорить, что первому уравнению удовлетворяет пара вида (-4; n), если в нём отсутствует переменная у?

Если условиться, что уравнение 3х =  -12, входящие в данную систему, есть сокращённая запись уравнения 3х + 0у = -12, то ему будет удовлетворять любая пара значений х и у вида (-4; n), где n – какое угодно число. Подставив значение х = -4 во второе уравнение системы, найдём, что у = 5. Следовательно, пара чисел (-4; 5) является решением данной системы уравнений.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

27. Однородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Общее решение ослу.

Однородная система линейных уравнений

 или 

всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных, то тривиальное решение единственное. Предположим, что. Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрицаоднородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду, т.е.. Поэтому из (5.11) получаемобщее решение однородной системы уравнений:

Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.

Свойства решений однородной системы уравнений

1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинациятакже является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений, придавая свободным переменным следующиестандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

Получим решений

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен . Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решенийоднородной системы называетсяфундаментальной системой (совокупностью) решений.

Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.

Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец

при любых значениях произвольных постоянных также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных, при которых это решениеудовлетворяет равенству (5.14).

Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу, приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец

Найдем ранг этой матрицы. Так как первые столбцов линейно независимы, то. Так как каждый из столбцов матрицыявляется решением системы, то по первой формуле из (5.13) получаем

Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последнихстрок этой матрицы.

По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы является линейной комбинацией последнихстрок этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицыявляется линейной комбинацией последнихстрок этой матрицы. Значит, первыестрок матрицыможно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно,, так как после вычеркивания в матрицебудет всегострок. Таким образом,. Значит, есть базисный минор матрицы, который расположен в первыхее столбцах, а столбецне входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа, чтоИтак, обратное утверждение доказано.

studfiles.net

Решение однородных систем линейных уравнений

Однородная система всегда совместна и имеет тривиальное решение. Для существования нетривиального решения необходимо, чтобы ранг матрицыбыл меньше числа неизвестных:

.

Фундаментальной системой решений однородной системы называют систему решений в виде векторов-столбцов, которые соответствуют каноническому базису, т.е. базису, в котором произвольные постоянныепоочередно полагаются равными единице, тогда как остальные приравниваются нулю.

Тогда общее решение однородной системы имеет вид:

,

где — произвольные постоянные. Другими словами, общее решение есть линейная комбинация фундаментальной системы решений.

Таким образом, базисные решения могут быть получены из общего решения, если свободным неизвестным поочередно придавать значение единицы, полагая все остальные равные нулю.

Пример. Найдем решение системы

Примем , тогда получим решение в виде:

Построим теперь фундаментальную систему решений:

.

Общее решение запишется в виде:

Решения системы однородных линейных уравнений имеют свойства:

1. Если — решение системы, то и— также решение.

2. Если и— решения системы, то и- также решение.

Другими словами, любая линейная комбинация решений однородной системы есть опять решение.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Решение систем линейных уравнений интересует математиков несколько столетий. Первые результаты были получены в XVIII веке. В 1750 г. Г.Крамер (1704 –1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы. В 1809 г. Гаусс изложил новый метод решения, известный как метод исключения.

Метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. Такие системы позволяют последовательно находить все неизвестные в определенном порядке.

Предположим, что в системе (1) (что всегда возможно).

(1)

Умножая поочередно первое уравнение на так называемые подходящие числа

и складывая результат умножения с соответствующими уравнениями системы, мы получим эквивалентную систему, в которой во всех уравнениях, кроме первого, будет отсутствовать неизвестная х₁

(2)

Умножим теперь второе уравнение системы (2) на подходящие числа, полагая, что

,

и складывая его с нижестоящими, исключим переменную из всех уравнений, начиная с третьего.

Продолжая этот процесс, после шага мы получим:

(3)

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система (1) несовместна. Обратно, для любой совместной системы числаравны нулю. Число— это ни что иное, как ранг матрицы системы (1).

Переход от системы (1) к (3) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из (3) – обратным ходом.

Замечание: Преобразования удобнее производить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы (1).

Пример. Найдем решение системы

.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Прибавим к строкам 2,3,4 первую, умноженную на (-2), (-3), (-2) соответственно:

.

Поменяем строки 2 и 3 местами, затем в получившейся матрице добавим к строке 4 строку 2, умноженную на :

.

Прибавим к строке 4 строку 3, умноженную на :

.

Очевидно, что , следовательно, система совместна. Из полученной системы уравнений

находим решение обратной подстановкой:

, ,,.

Пример 2. Найти решение системы:

.

Очевидно, что система несовместна, т.к. , а.

Достоинства метода Гаусса:

1. Менее трудоемкий, чем метод Крамера.

2. Однозначно устанавливает совместность системы и позволяет найти решение.

3. Дает возможность определить ранг любых матриц.

studfiles.net

Произвольные системы m линейных уравнений с n неизвестными. Понятие общего, частного и базисного решений системы уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А*= называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:

Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.

• Базисное решение (вектор) называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
• Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

32.Метод Жордана-Гаус­са.

Переход от одного базисного решения к другому. ( не нашел, к сожалению)

Понятия опорного и допустимого решений систем линейных уравнений.

Решение системы m-линейных уравнений с n-неизвестными, в которых значения всех переменных неотрицательны называются допустимыми решениями, а совокупность всех допустимых значений областью допустимых решений. Базисные допустимые решения называются опорными решениями, число которых решений меньше числа базисных.

35.Симплексные преобразования. Теорема о симплексных преобразованиях.

Переход от одного опорного решения к другому.

Общая задача оптимизации.

Типы задач математического программирования: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование.

Оптимизационные задачи, в которых приходится учитывать последовательность действий или фактор времени, рассматриваются в разделе динамического программирования. В отличие от предыдущих задач математического программирования задачи динамического программирования являются многоэтапными или многошаговыми.

Таблица степеней 2 (двойки)

Mathway | Популярные задачи