Автор: alexxlab

Онлайн калькулятор: Объем геометрических фигур

УчебаМатематикаГеометрия

Рассчитывает объем геометрических фигур (куб, призма, пирамида, усеченная пирамида, конус, цилиндр, сфера, эллипсоид, тороид).

Данная статья содержит калькуляторы для расчета объема различных геометрических фигур. Основной источник формул: Spiegel, Murray R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Schaum’s Outline series in Mathematics. McGraw-Hill Book Co., 1968.

Объем куба

Формула:

Объем куба

Сторона (H)

Длина ребра куба (H)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

Объем прямоугольной призмы

Формула:

Объем прямоугольной призмы

Ширина (W)

Высота (H)

Высота (H)

Длина (L)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

Объем пирамиды

Формула:

Объем пирамиды

Площадь основания (Sb)

Площадь основания

Высота (H)

Высота (H)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

Объем усеченной пирамиды

Формула:

Объем усеченной пирамиды

Площадь первого основания (Sb1)

Площадь второго основания (Sb2)

Высота (H)

Высота (H)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

Объем конуса

Формула:

Объем конуса

Радиус (R)

Высота (H)

Высота (H)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

Объем цилиндра

Formula:

Объем цилиндра

Высота (H)

Высота (H)

Радиус (R)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

Объем сферы

Формула:

Объем сферы

Радиус (R)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

Объем эллипсоида

Формула:

Объем эллипсоида

Радиус 1 (R1)

Радиус 2 (R2)

Радиус (R3)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

Объем тороида

Формула:

Объем тора

Радиус 1 (R1)

Радиус 2 (R2)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 5

Объем

Ссылка скопирована в буфер обмена

Похожие калькуляторы

• • Куб
• • Конус
• • Тор
• • Объем сегмента цилиндра
• • Объем жидкости в прямоугольном баке под наклоном
• • Раздел: Геометрия ( 97 калькуляторов )

 #геометрия #объем Геометрия Инженерные конус куб Математика объем пирамида прямоугольная призма сфера тор тороид усеченная пирамида цилиндр эллипсоид

 PLANETCALC, Объем геометрических фигур

Anton2020-11-03 14:19:26

по 4 сторонам и тд

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади трапеции по разным исходным данным: через длины оснований и высоту, по всем сторонам, через диагонали и угол между ними.

• Расчет площади
  • 1. Через основания и высоту
  • 2. По 4 сторонам (формула Герона)
  • 3. Через диагонали и угол между ними

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через основания и высоту

Формула расчета

2. По 4 сторонам (формула Герона)

Формула расчета

p – полупериметр трапеции, считается так:

3. Через диагонали и угол между ними

Формулы расчета

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Калькулятор объема трапециевидной призмы

Создано Wei Bin Loo

Отредактировано Анна Щепанек, доктор философии и Стивен Вудинг

Последнее обновление: 09 февраля 2023 г.

• Что такое объем трехмерного объекта?
• Как найти объем трапециевидной призмы?
• Часто задаваемые вопросы

С помощью этого калькулятора объема трапециевидной призмы мы стремимся помочь вам рассчитать объем трапециевидной призмы . Вы можете проверить наш калькулятор трапеции и калькулятор площади трапеции, чтобы понять больше по этой теме.

Мы написали эту статью, чтобы помочь вам понять что такое объем трапециевидной призмы и как найти объем трапециевидной призмы . Мы также продемонстрируем несколько примеров, которые помогут вам понять формулу объема трапециевидной призмы.

Что такое объем трехмерного объекта?

Объем 3D-объекта – это объем пространства, занимаемый  3D-объектом. Чем больше объем, тем больше места занимает объект. Одним из способов измерения объема является измерение количества воды, которое вытесняет объект, когда его опускают в воду.

Пожалуйста, ознакомьтесь с нашим калькулятором объема, чтобы лучше понять эту тему.

Как найти объем трапециевидной призмы?

Чтобы понять формулу объема трапециевидной призмы, рассмотрим пример ниже:

• Длина короткого основания (b): 5 м
• Длина длинной базы (B): 5 м
• Длина (ℓ): 5 м
• Высота (в): 3 м

1. Определите длину короткой базы (b).

   Первым шагом является определение длины короткого основания b трапециевидной призмы. Для нашего примера b равно 5 м .

2. Определите длину длинной базы (B).

   Следующим шагом является определение длины длинного основания B трапециевидной призмы. Для нашего примера b равно 5 м .

3. Рассчитать длину (ℓ).

   Теперь вам нужно вычислить длину ℓ трапециевидной призмы. л этой трапециевидной призмы составляет 5 м .

4. Определить высоту (h).

   Кроме того, высота h трапециевидной призмы равна 3 м .

5. Вычислите объем трапециевидной призмы.

   Последним шагом является расчет объема трапециевидной призмы по формуле:

   ((б + В) / 2) × ч × л

   Таким образом, объем трапециевидной призмы равен ((5 м + 5 м)/2) × 5 м × 3 м = 75 м³ .

Часто задаваемые вопросы

Может ли громкость быть отрицательной?

Нет , объем не может быть отрицательным. Это потому, что нулевого и отрицательного объема просто не существует. Объект не может иметь нулевой или отрицательный объем.

Каков объем трапециевидной призмы со всеми сторонами 1 м?

Объем этой трапециевидной призмы будет 1 м³ . Вы можете рассчитать его по следующей формуле:

объем = ((длина короткого основания + длина длинного основания) / 2) × высота × длина .

Как рассчитать объем трапециевидной призмы?

Объем трапециевидной призмы можно рассчитать за пять шагов:

1. Определить длину короткой базы (b)

2. Определить длину длинной базы (B)

3. Рассчитать длину (ℓ)

4. Определить высоту (h)

5. Примените формулу объема трапециевидной призмы :

   ((б + В) / 2) × ч × л

Что такое боковая область для трехмерного объекта?

Боковая площадь трехмерного объекта представляет собой сумму площадей всех сторон трехмерного объекта, кроме основания и вершины .

Вэй Бин Лоо

Высота

Длина

Длинная база (B)

Короткая база (b)

Объем

Посмотреть 23 похожих калькулятора 3d геометрии

Объем трапециевидной призмы

LearnPracticeDownload

Объем трапециевидной призмы — это емкость призмы. Его также можно определить как пространство внутри трапециевидной призмы. Призма имеет конгруэнтные многоугольники на верхней и нижней гранях, а основания одинаковы. Боковые грани призмы представляют собой параллелограммы, которые называются боковыми гранями. Призму можно назвать по форме двух одинаковых граней на ее конце. Трапециевидная призма представляет собой трехмерное тело, имеющее два основания трапеции/трапеции внизу и вверху. Форма боковых граней/боковых граней трапециевидной призмы – параллелограмм.

Каков объем трапециевидной призмы?

Объем трапециевидной призмы – это пространство внутри нее. Трапециевидная призма представляет собой трехмерную фигуру с двумя трапециевидными основаниями и четырьмя гранями в виде параллелограмма. Призма представляет собой многогранник с равными многоугольниками на верхней и нижней гранях и имеет одинаковые основания. Трапециевидные призмы бывают двух видов: косые и прямые. У косой трапециевидной призмы боковые грани — параллелограммы, а у правильной трапециевидной призмы — прямоугольники. В общем случае трапециевидная призма означает правильную трапециевидную призму. Следовательно, боковые грани прямоугольники. Таким образом, у трапециевидной призмы всего 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Два основания имеют форму трапеции или трапеции, которые конгруэнтны друг другу. Он имеет

• 6 сторон
• 12 кромок
• 8 вершин
• 4 стороны: прямоугольник
• Трапеция/трапеция в качестве основания снизу и сверху

Объем трапециевидной призмы Формула

Объем трапециевидной призмы — вместимость призмы (или) объем трапециевидной призмы — пространство внутри нее. Измеряется в кубических единицах, таких как мм ³ , см ³ , ³ и т. д. Мы увидим формулы для расчета объема трапециевидной призмы. Объем призмы можно получить, умножив площадь ее основания на общую высоту призмы. т. е. объем призмы = площадь основания × высота призмы. Мы также будем использовать эту формулу для расчета объема трапециевидной призмы. Рассмотрим трапециевидную призму, две параллельные стороны основания которой равны \(b_1\) и \(b_2\), высота равна ‘h’, а длина призмы равна L. Мы знаем, что основание трапециевидная призма — это трапеция/трапеция. Таким образом,

Площадь основания (площадь трапеции) = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})× h }\)

Теперь, используя объем призмы формула (как указано выше),

Объем трапециевидной призмы = площадь основания × длина = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})×h}×L\)

Как рассчитать объем трапециевидной призмы?

Ниже приведены шаги для расчета объема трапециевидной призмы. Убедитесь, что все измерения выполнены в одних и тех же единицах. Обратитесь к следующему примеру.

• Шаг 1: Определите, что параллельные стороны основания (трапеции) равны \(b_1\) и \(b_2\), а перпендикулярное расстояние между ними равно \(h\), и найдите площадь трапеции, используя формула:
  Площадь трапеции = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})× h}\)
• Шаг 2: Определите его высоту/длину призмы (расстояние по вертикали между двумя основаниями).
• Шаг 3: Умножьте площадь основания, полученную на шаге 1, и высоту, полученную на шаге 2, чтобы найти объем.

Примеры объема трапециевидной призмы

1. Пример 1: Найдите объем трапециевидной призмы заданных размеров.

   Решение:

   На приведенном выше рисунке, Учитывая, что

   Основание 1 (\(b_1\)) = 6 дюймов, основание (\(b_2\)) = 20 дюймов

   Высота основания трапеции = 12 в

   Длина трапеции = 17 в

   Площадь трапеции/трапеции = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})× h}\)

   ⇒ A = \(\dfrac{1}{2}\) (6 + 20) × 12
   ⇒ А = 13 × 12
   ⇒ a = 156 в ²

   Как мы знаем, объем трапециевидной призмы = область × общая длина трапеции

   ⇒ 156 ^{× 17}

   ⇒ 2652 в ³

   . трапецеидальная призма равна 2652 в ³ .

2. Пример 2: Рассчитайте объем трапециевидной призмы, учитывая, что высота основания трапеции 5 см, а длины ее параллельных сторон 14 см и 10 см, длина призмы 6 см.

   Решение:

   На приведенном выше рисунке Учитывая, что

   Основание 1 (\(b_1\)) = 14 см, основание (\(b_2\)) = 10 см

   Высота основания трапеции (h ) = 5 см

   Общая длина трапеции = 6 см

   Площадь трапеции/трапеции = \(\dfrac{1}{2}{(b_{1} + b_{2})× h }\)

   ⇒ А = (1/2) (14 + 10 ) × 5
   ⇒ А = 12 × 5
   ⇒ A = 60 см ²

   Как мы знаем, объем трапециевидной призмы = площадь × длина трапеции

   объем = 60 ^{× 6 = 360 см 3}

   Ответ : Объем трапециевидной призмы равен 360 см ³ .

перейти к слайдуперейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Запись на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по объему трапециевидной призмы

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об объеме трапециевидной призмы

Имеет ли трапециевидная призма объем?

Призма представляет собой трехмерное твердое тело. Трехмерное твердое тело имеет внутри себя пространство. Объем объясняется как пространство внутри объекта. Таким образом, трапециевидная призма имеет объем, поскольку представляет собой трехмерную форму и измеряется в кубических единицах.

Что вы подразумеваете под объемом трапециевидной призмы?

Объем трапециевидной призмы — вместимость призмы. Формула объема трапециевидной призмы представляет собой площадь основания × высоту призмы в кубических единицах.

По какой формуле найти объем трапециевидной призмы?

Объем трапециевидной призмы равен произведению площади основания на высоту призмы в кубических единицах.

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае — к тому что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если на одну чашу весов положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, и на другую чашу так же положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно что яблоки в пакетах лежат вразброс.

Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом,  между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Полагаем что вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

a + b = b + a

Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а, число 3 место b

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:

2 + 3 + 5

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

---

Переместительный закон умножения

Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

5 × 2 = 10

2 × 5 = 10

В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 × 2 = 2 × 5

10 = 10

Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:

a × b = b × a

Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

x × y = y × x

---

Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

---

Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:

---

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

(3 + 5) = 8

В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или ещё короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b

---

Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

---

Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.

Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)

Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20

---

Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)

Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

3 × (7 + 8)

Решение:

3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 ×­ 8 = 21 + 24 = 45

Показать решение

Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

5 × (6 + 8)

Решение:

5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70

Показать решение

Задание 3. Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

Показать решение

Задание 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81

Показать решение

Задание 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)

Решение:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169

Показать решение

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

Законы математики — intmag24.

ru

Законы математики — это те правила, которые помогают правильно и быстро выполнять любые арифметические действия. Их использование  значительно упрощают даже самые сложные процессы вычислений. А их несоблюдение может привести к тому, что будет больше времени затрачиваться на вычисления, будут появляться ошибки и т.д.

В статье рассмотрим следующие законы:

• Переместительный закон сложения,
• Сочетательный закон сложения,
• Переместительный закон умножения,
• Сочетательный закон умножения,
• Распределительный закон умножения.

✅  Переместительный закон сложения
от перемены мест слагаемых сумма не изменяется.

Формула: a + b = b + a

Пример:  2+3=5  и  3+2=5   ⇒   2+3=3+2

Действительно,
➜ если мы в пакет положим сначала два яблока, а потом три — получим пять яблок;
➜ если мы в пакет положим сначала три яблока, а потом два — также получим пять яблок.

 

✅  Сочетательный закон сложения
если в примере есть несколько слагаемых, то можно сложить два из них между собой, а потом к результату прибавить оставшееся слагаемое.

Формула: (a + b) + c = a + (b + c)

Пример: (2+3)+5=10  и  2+(3+5)=10   ⇒   (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.  Таким образом, можно значительно ускорить выполнение вычислений и складывать сколько угодно большие выражения. 

Рассмотрим, как можно применять сочетательный закон на практике:
Так как проще складывать десятки, то при сложении чисел нужно в первую очередь группировать слагаемые, которые в сумме дадут десятки без единиц, то есть 10, 20, 30 и так далее.
Например: 13+28+15+17+2=(13+17)+(28+2)+15=30+30+15=60+15=75

 

✅  Переместительный закон умножения
от перемены мест множителей произведение не меняется.

То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение не изменится.

Формула: a × b = b × a

Пример: 5×2=10  и  2×5=10  ⇒   5×2 = 2×5

Действительно,
➜ если мы возьмем 2 пакет яблок по 5 штук — получим 10 яблок;
➜ если мы возьмем 5 паков яблок по 2 штуки — также получим 10 яблок.

 

✅  Сочетательный закон умножения
если выражение состоит из нескольких множителей, то их произведение не зависит от порядка действий.

Таким образом, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.

Формула: a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

Пример: 2×3×4=24  и  (2×3)×4=24  и  2×(3×4)=24   ⇒ 2×3×4 = (2×3)×4 = 2×(3×4)=24

Любой пример, в котором присутствует только умножение, можно вычислять в любом порядке.
В нашем примере:
➜ сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4;
➜ сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

 

✅  Распределительный закон умножения

• Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
• Чтобы сумму чисел умножить на число, нужно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

Формула: (a+b)×c = a×c + b×c

где: выражение в скобках (a + b) — это множимое;  переменная с — множитель.

Пример: (2+3)×4=5×4=20  и  4×(2+3)=4×5=20  и  2×4+3×4=8+12=20   
⇒ (2+3)×4  =  4×(2+3)  =  2×4+3×4

Из переместительного закона умножения:  от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится. Таким образом, если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c×(a+b). 

Чтобы применять законы математики, необходимо также знать темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.

Основные законы математики

В нашей жизни есть правила, которым мы должны подчиняться. Соблюдение правил гарантирует мирную и беззаботную жизнь. Когда вы не соблюдаете законы, это приводит к печальным последствиям.

В математике есть свои законы, которым тоже нужно следовать. Несоблюдение законов математики в лучшем случае приведет к снижению оценок, а в худшем к падению самолетов, зависанию компьютеров, сносу крыш из-за сильного ветра, плохой связи и тому подобным плохим вещам.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства знакомы нам со школы. Но не помешает вспомнить их еще раз, а еще лучше записать и выучить наизусть.

В этом уроке мы рассмотрим лишь небольшую часть законов математики. Их нам хватит для дальнейшего изучения математики.

Коммутативный закон сложения

Определение. Переместительный закон сложения гласит, что не имеет значения, в каком порядке вы складываете числа.

Действительно, прибавь пятерку к двойке и получишь семерку. И наоборот, к пятерке прибавляем двойку и снова получаем семерку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если в один мешок положить 10 кг яблок, а в другого мешка, мешков будет поровну, и неважно, что яблоки в мешках перемешаны случайным образом. Если взять мешок с весов и смешать в нем яблоки, как шарики в лотерейном мешке, мешок все равно будет весить 10 килограммов. Сумма не изменится от перестановки слагаемых. Слагаемые в данном случае — яблоки, а сумма — общий вес.

Таким образом, выражения 5+2 и 2+5 можно приравнять. Это будет означать, что их сумма равна:

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Предположим, что вы усвоили один из предыдущих уроков, который назывался выражениями, поэтому запишем закон перестановки сложения с использованием переменных:

a + b = b + a

Этот коммутативный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмем любые два числа. Пусть a = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3. Эти значения войдут в основное выражение a + b = b + a и подставят там, где это необходимо. Номер 2 будет заменен на a, номер 3 будет заменен на b

---

Ассоциативный закон сложения

Определение. Ассоциативный закон сложения гласит, что изменение группировки складываемых чисел не меняет их результирующей суммы. Этот закон позволяет группировать слагаемые вместе для облегчения вычислений.

Рассмотрим сумму трех слагаемых:

2 + 3 + 5

Для вычисления этого выражения можно сначала сложить числа 2 и 3 и прибавить результат к числу 5. Для удобства сумма чисел 2 и 3 можно поставить в круглые скобки, указывая, что эта сумма будет рассчитана первой:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Или можно сложить числа 3 и 5, затем прибавить результат к числу 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Как видите, в обоих случаях вы получаете одинаковый результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем ассоциативный закон сложения по переменным:

(a + b) + c = a + (b + c)

---

Ассоциативный закон умножения

Определение. Ассоциативный закон умножения гласит, что независимо от того, как вы группируете числа, вы умножаете их вместе.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Это выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно умножить числа 2 и 3, а результат умножить на 4:

Или можно сначала перемножить числа 3 и 4, а результат умножить на число 2

Таким образом, между выражениями (2×3)×4 и 2×(3×4) можно положить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

Запишем комбинаторный закон умножения с использованием переменных:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × в)

---

Пример 2 . Найдите значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке действий:

---

Распределительный закон умножения

Определение. Распределительный закон умножения гласит, что любое число, умноженное на сумму двух или более чисел, равно сумме этого числа, умноженного на каждое из чисел в отдельности.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала нужно выполнить действие в скобках. Делаем так:

(3 + 5) = 8

В основном выражении (3 + 5) × 2 замените выражение в скобках на полученную восьмерку:

8 × 2 = 16

Ответ равно 16. Тот же пример можно решить, используя распределительный закон умножения. Для этого умножьте каждое слагаемое в скобках на 2, затем сложите результаты:

Мы слишком подробно рассмотрели распределительный закон умножения. В школе этот пример записали бы очень кратко. Вам тоже нужно привыкнуть к этому типу обозначений. Выглядит так:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или еще короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с использованием переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Его начало выглядит так: (a+b)×c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b) в целом, то оно будет множителем, а переменная c будет множителем, потому что они связаны знаком умножения ×

Из коммутативного закона умножения мы узнали, что если поменять местами первый множитель и второй, произведение не изменится.

Если поменять местами множитель (a + b) и множитель c, мы получим выражение c × (a + b). Затем мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Чтобы сделать это умножение, мы применяем распределительный закон умножения. В этом случае переменная c должна быть умножена на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b

---

Пример 2 . Найдите значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножьте число 5 на каждое слагаемое в скобках и сложите результаты:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

---

Пример 3 . Вычислите 6 × (5 + 2)

Умножьте 6 на каждое слагаемое в скобках и сложите результаты:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если скобки являются не суммой, а разницей, необходимо сначала умножить множитель на каждое число, указанное в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число. В принципе, ничего нового.

---

Пример 4 . Найдите значение выражения 5 × (6 — 2)

Умножьте 5 на каждое число в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20

---

Пример 5 . Вычислите 7 × (3 — 2)

Умножьте 7 на каждое число в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число:

7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7

---

Упражнения

Задача 1. Найдите значение выражения с помощью распределительного закона умножения:

3 × (7 + 8)

Решение:

3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 × 8 = 21 + 24 = 45

Показать решение

Задание 2. Найдите значение выражения по дистрибутивному закону умножения:

5 × (6 + 8)

Решение:

5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70

Показать решение

Задача 3. Найдите значение выражения, используя порядок действий:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

Показать решение

Задача 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81

Показать решение

Задача 5. Найдите значение выражения с помощью распределительного закона умножения:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)

Решение:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169

Показать решение

---

Коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные законы

Вау! Какой набор слов! Но идеи простые.

h2zsWdHC_V8

Коммутативные законы

«Законы коммутации» говорят, что мы можем поменять местами числа и все равно получить тот же ответ…

… когда мы добавляем :

а + б  =  б + а

Пример:

 

… или когда мы умножаем :

а × б  =  б × а

Пример:

 

Проценты тоже!

Потому что a × b  =  b × a также верно, что:

а% от б  =  б% от

Пример: чему равно 8% от 50?

8% от 50 = 50% от 8
  = 4

 

Почему «коммутативный » . .. ?

Потому что номера могут перемещаться туда-сюда, как пассажир .

4591, 4599, 4615, 4639, 4647, 4592, 4600, 4616

 

КБфнкУГЭМВИ

Ассоциативные законы

«Ассоциативные законы» говорят, что не имеет значения, как мы группируем числа (т.е. какие мы вычисляем первыми)…

… когда мы добавляем :

(а + б) + в  =  а + (б + в)

… или когда мы умножаем :

(а × б) × в  =  а × (б × в)

Примеры:

Это:	(2 + 4) + 5  =  6 + 5  =  11
Имеет тот же ответ, что и этот:	2 + (4 + 5)  =  2 + 9  =  11

Это:	(3 × 4) × 5  =  12 × 5  =  60
Имеет тот же ответ, что и этот:	3 × (4 × 5)  =  3 × 20  =  60

Использование:

Иногда проще складывать или умножать в другом порядке:

Сколько будет 19+36+4?

19 + 36 + 4 = 19 + (36 + 4)
= 19 + 40 = 59

Или немного переставить:

Что такое 2 × 16 × 5?

2 × 16 × 5  =  (2 × 5) × 16  
=  10 × 16 = 160

 

4603, 4610, 4627, 4631, 4643, 4654, 4606, 4612

 

0v-G6OwcKmU

Распределительный закон

«Распределительный закон» — САМЫЙ ЛУЧШИЙ из всех, но требует особого внимания.

Вот что он позволяет нам делать:

3 партии (2+4) идентичен 3 партии 2 плюс 3 партии 4

Итак, 3× можно «распределить» по 2+4 , на 3×2 и 3×4

И пишем так:

a × (b + c)  =  a × b  +  a × c

Попробуйте посчитать сами:

• 3 × ( 2 + 4 )  =  3 × 6  =  18
• 3×2 + 3×4 = 6 + 12 = 18

В любом случае ответ один.

По-английски мы можем сказать:

Мы получим тот же ответ, если:

• умножим число на группу чисел, сложенных вместе или
• сделать каждый умножить отдельно, затем добавить их

 

Использование:

Иногда бывает проще разбить сложное умножение:

Пример: Что такое 6 × 204?

6 × 204 = 6 × 200 + 6 × 4
= 1200 + 24
= 1224

Или комбинировать:

Пример. Сколько будет 16 × 6 + 16 × 4?

16 × 6 + 16 × 4 = 16 × (6+4)
= 16 × 10  
=  160

Мы также можем использовать это в вычитании:

Пример: 26×3 — 24×3

26×3 — 24×3 = (26 — 24) × 3  
=  2 × 3    
=  6

Мы могли бы использовать его и для длинного списка дополнений:

Пример: 6×7 + 2×7 + 3×7 + 5×7 + 4×7

6 ×7 + 2 ×7 + 3 ×7 + 5 ×7 + 4 × 7
= (6+2+3+5+4) × 7
= 20 × 7
= 140

 

5656, 5657, 5658, 5659, 5660, 5661, 3172

Таковы Законы.

Степенные или показательные уравнения.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=aⁿ

1. a⁰ = 1 (a ≠ 0)

2. a¹ = a

3. aⁿ • a^m = a^{n + m}

4. (aⁿ)^m = a^nm

5. aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

6. a^-n= 1/aⁿ

7. aⁿ/a^m= a^{n — m}

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

6^x=36

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2^x*5=10
16^x — 4^x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2^х = 2³

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2^х = 2³
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

2^х+2 = 2⁴

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3^3х — 9^х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

3^3х = 9^х+8

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3² . Воспользуемся формулой степеней (aⁿ)^m = a^nm.

3^3х = (3²)^х+8

Получим 9^х+8 =(3²)^х+8 =3 ^2х+16

3^3х = 3 ^2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2^2х+4 — 10•4^х = 2⁴

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (aⁿ)^m = a^nm.

4^х = (2²)^х = 2^2х

И еще используем одну формулу aⁿ • a^m = a^{n + m}:

2^2х+4 = 2^2х•2⁴

Добавляем в уравнение:

2^2х•2⁴ — 10•2^2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2^2х ,вот и ответ — 2^2х мы можем вынести за скобки:

2^2х(2⁴ — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2⁴ — 10 = 16 — 10 = 6

6•2^2х = 24

Все уравнение делим на 6:

2^2х = 4

Представим 4=2²:

2^2х = 2² основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9^х – 12*3^х +27= 0

Преобразуем:
9^х = (3²)^х = 3^2х

Получаем уравнение:
3^2х — 12•3^х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

3^х = t

Тогда 3^2х = (3^х)² = t²

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t² — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t₁ = 9
t₂ = 3

Возвращаемся к переменной x.

Берем t₁:
t₁ = 9 = 3^х

Стало быть,

3^х = 9
3^х = 3²
х₁ = 2

Один корень нашли. 2Формула экспонентов

 – Что такое формула экспонентов? Примеры

Показатель степени числа означает, сколько раз любое число умножается само на себя. Существуют различные формулы показателей степени, используемые для решения уравнений. Показатели важны, потому что они помогают в представлении продуктов, где число повторяется само по себе много раз. Давайте узнаем о формулах экспонент с несколькими решенными примерами в конце.

Что такое формулы экспоненты?

Формулы экспоненты относятся к формулам, которые помогают вычислять экспоненты. Показатель степени числа представлен в виде: x ⁿ , что означает, что x умножается сам на себя n раз.   Здесь

• x называется «основой»
.
• n называется «показатель степени» или «степень»
• x ⁿ читается как «x в степени n» (или) «x в степени n»

Формулы степени

Формулы степени выражены как:

• a ⁰  = 1
• а ¹  = а
• a ^м  × a ⁿ  = a ^m+n
• a ^m  / a ⁿ  = a ^m−n
• а ^{− м} = 1/а ^м
• (a ^м ) ⁿ  = a ^mn
• (ab) ^м  = a ^м b ^м
• (a/b) ^м  = a ^м /b ^м

Давайте лучше разберемся в формулах экспонент на нескольких решенных примерах.

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Примеры с использованием экспонентных формул

Пример 1: В лесу на каждом дереве около 5 ⁷ листьев, а в лесу около 5 ³ деревьев. Используя формулу показателей, найдите общее количество листьев.

Решение: 

Найти: Общее количество листьев.

Количество деревьев в лесу = 5 ³

Количество листьев на каждом дереве = 5 ⁷ (дано)

Используя формулу показателей, ^x+y

Подстановка значений 0008  = 5 ¹⁰

Ответ: общее количество листьев 5 ¹⁰ .

Пример 2: Размеры шкафа: x ⁵ дюймов, y ³ дюймов и x ⁸ дюймов. Найдите его объем.

Решение: 

Найти: объем гардероба.

Размеры шкафа: длина (д) = x ⁵ дюймов, ширина (ш) = y ³ дюймов, высота (h) = x ⁸ дюймов (данные)

Использование формулы показателей ,

a ^x  x a ^y  = a ^x+y

Подстановка значений,

Volume = x ⁵ × 7 × x

Урок по теме «Уравнение и неравенства с модулем». 10-й класс

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков.

Цели урока:

Дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения.

Развивающая: развивать логическое мышление, память познавательный интерес, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

Воспитательная: развивать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыков контроля и самоконтроля.

Ход урока

1. Организационный этап (1 минута).

2. Постановка цели (3 минуты).

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения уравнений и неравенств с модулем, используя как традиционные методы, так и нестандартные подходы.

3. Проверка домашнего задания (10 минут).

Если учащиеся не готовы показать все способы, то решение показывается на экране интерактивной доски. (Приложение 1)

Учитель вызывает по желанию 7-х человек к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам. (Приложение 2) Выставляет оценку за д/з.

На дом вам было предложено решить уравнения

|x – 6| = x² – 5x + 9

|x² + 4x + 3| = x + 3

|x – 6| = |x² – 2x|

|x – 2| + |x – 1| = x – 8

и неравенства |x + 2| < 3 различными способами. Посмотрим ваше решение.

4. Выполнение упражнений (20 минут).

Многообразие приёмов решения задач с модулем подталкивает нас к выбору более рационального из них при решении конкретных уравнений или неравенств.

№ 1 (устно).

Учитель направляет на выбор рационального метода решения.

Учащиеся предлагают методы решения, один учащийся устно объясняет решение уравнения №1.

Решить уравнение |x² – 6x – 7| = 7 + 6x – x².

Решение (на основе аналитического определения модуля).

№2 Решить уравнение .

Учитель совместно с учащимися выбирает метод решения уравнения.

Следит за грамотным решением предложенного уравнения и одновременно проверяет индивидуальные решения уравнений у учащихся работающих на боковой доске по карточке, выставляет оценки за работу.

2 человека работают на боковой доске индивидуально (Приложение 3), остальные записывают в тетрадь решение уравнения №2.

Решение (применение геометрической интерпретации модуля).

На геометрическом языке: требуется найти точки с координатами х такие, что сумма расстояний от этих точек до точек с координатами -1 и 1 равна 2. Очевидно, что эти точки располагаются на отрезке [–1;1]

Ответ: [–1;1].

№3 Решите неравенство

Учитель направляет на выбор рационального метода решения.

Один ученик решает неравенство № 3. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения неравенства. Записывают решение в тетрадь.

Решение (функционально графический метод).

Обе части неравенства определены на R. Левая часть неравенства принимает значения из отрезка [–1;1], а значения правой части составляют луч [1;∞]. Следовательно, исходное неравенство может иметь решение только, если выполняется система

Ответ: 0

№ 4 Найти все значения параметра b при которых уравнение ||x + 1| – 2| – 3 = b имеет ровно три различных корня.

Один ученик решает задание № 4 у доски. Три ученика работают по карточкам (Приложение 4), остальные записывают в тетрадь решение задания № 4.

Учитель следит за верностью рассуждений учащихся и одновременно проверяет решение заданий по карточкам, выставляет оценки за работу.

Решение (графический способ).

Рассмотрим функцию у = ||x + 1| – 2| – 3 и построим её график используя преобразования, содержащие модуль, а также параллельный перенос.

Графиком функции у = b является прямая параллельная оси х.

Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно три различных корня при b=-1.

Ответ: b = -1.

№ 5 Решить неравенство

Один ученик решает у доски, остальные записывают решение неравенства №5 в тетради.

Учитель обсуждает совместно с учащимися метод решения неравенства, следит за грамотностью рассуждений учащихся и верной записью решения неравенства. Выставляет оценку за работу.

 Решение (метод интервалов).

Решим уравнение f(x)=0. Получим:

5. Домашнее задание (3 минуты).

(Заранее приготовлен слайд на интерактивной доске.)

1) Решить неравенство ||2x – 1| – 3| > 3.

2) Найти все значения параметра b при которых уравнение |x – 3| + |x + 1| = b имеет ровно два различных корня.

3) Решить уравнение cosx = |cosx|(x + 1.5)².

(Приложение №5)

Учитель поясняет домашнее задание, обращая внимание учащихся на то, что аналогичные задания были разобраны на уроке.

Первое неравенство можно решить методом интервалов, второе уравнение – графически, а третье-с помощью аналитического определения модуля, рассматривая три случая (подмодульное выражение больше нуля, равно нулю и меньше нуля ) отдельно.

6. Подведение итогов урока (3 минуты).

Решение уравнений и неравенств с модулем требует от учащихся глубоких теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания трудолюбия, сообразительности. Наверное, поэтому такие задания и включены в материалы ЕГЭ.

Сегодня на уроке все очень хорошо поработали, 15 человек получили оценки. Молодцы ребята!

Контрольные работы по спецкурсу для 10 класса «Уравнения и неравенства с модулем» | Элективный курс по математике (10 класс) на тему:

КИМы  по  спецкурсу  для  10   КЛАССА

Всего  контрольных  работ – 6.

Контрольные  работы  полностью  соответствуют  плану  спецкурсу.

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  № 1  по  теме  «Модуль  числа.  Уравнения,  содержащие  модуль» 

Контрольная  работа  №  1   состоят из  4   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  4 заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3  заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:

а)  упрощения  иррациональных  выражений,  б)  построения  графиков  функций;

 в) решения  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  №  1.  

 Вариант  1.

       1.Найти  значение  выражения:  

а)  ∙ ;    б)     ;                          

 в)  -.

       2.Упростите  выражение:  а)  ;  б)    ;   в)  .

      3.Построить  график  функции:  а)  у = ;  б)  у = 2.  в)  у = х2 — 4 +3.

       4. Решите  уравнение:  а) = 1;   б)   — =9;  в)  + = 6.

Вариант  2.

1. Найти  значение  выражения:  

а)  ∙ ;    б)     ;                          

 в)  -.

       2.Упростите  выражение:  а)  ;  б)    ;   в)  .

      3.Построить  график  функции:  а)  у = ;  б)  у = 2.  в)  у = х2 — 6 + 5.

       4. Решите  уравнение:  а) = 1;   б)   — =9;  в)  + = 6.

С/ р    Неравенства с модулем

1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»

1) . |2x + 3|

4). |x2 + 2x – 7|

7). |x3 — 2x -4|

2. Неравенства вида «Модуль больше функции»

1). |3x +1| > 5 — 4x ;   2). |x2 + 2x -3|> x ;   3). |2×2 — 9x +15|> 20 ;

4). |x2 — x -6 |>x +3;   5). |x2 -8x + 2|- x2 > 2x + 2 .

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  № 2  по  теме  «Неравенства,  содержащие  модуль».

Контрольная  работа  №  2   состоят из  4   заданий  в  два  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3 заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:

а)  упрощения  иррациональных  выражений,  б)  построения  графиков  функций;

 в) решения  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  №  2.  

 Вариант  1.

1.Решить  неравенства  по  определению: а) ;  б)   

 2.Решите  неравенство  ;

 3. При  каких  значениях   х  выражение | |x| -3x + 5|  больше  3.

 4. Найдите  целые  решения  неравенства  ,  решив  его  методом  интервалов.

Вариант  2.

1.Решить  неравенства: а) ;  б)  .

2. Решите  неравенство  ;

3. При  каких  значениях   х  выражение | |x| + 3x — 5|  меньше  3.

4. Найдите  целые  решения  неравенства:,  решив  его  методом  интервалов.

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  № 3  по  теме  «Решение  уравнений»

Контрольная  работа  №  3   состоят из  4   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  3  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3 заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:  

а) решения  уравнений:  иррациональных,  показательных,  логарифмических,

     тригонометрических;

б) нахождения  частных  решений  тригонометрических  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  №  3.  

 Вариант  1

1.Решите  уравнения: а) ;  б) ;  в)  .

2.Найдите  наибольший  корень  уравнения:  а) ;  

   б) ;  в)  .

3.Найдите  корни  уравнения:  а) 2lg x = lg (6 – x)2;   б)  lоg4 (x2 -15х ) = 2;

  в) 2lоg2(-х)  = 1 + lоg2 (х + 4).

4.Решите  уравнений:  a)  2cos (x- ;   б)  sin2x — .

  б)  Найдите  сумму  корней  уравнения  (sin x + cos x)2 = 1 + sin x∙ cos x,  принадлежащие  

       отрезку  .

Вариант  2

1.Решите  уравнения: а) ;  б) ;

 в)  .

2.Найдите  наибольший  корень  уравнения:  а) ;  

   б) ;  в)  .

3.Найдите  корни  уравнения:  а) 2lg x = lg (4 – x)2;   б)  lоg3 (x2 — 6х ) = 3;

  в) 2lоg3(-х)  = 2 + lоg3 (х — 2).

4.Решите  уравнений:  a)  2 sin (x — ;   б) cos2 x — .

  б)  Найдите  сумму  корней  уравнения  sin4 x — cos 4х = sin2 x — 1,  принадлежащие  

       отрезку  .

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  №  4  по  теме   «Общие  методы  решения  уравнений».

Контрольная  работа  №  4   состоят из  4   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3 заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:  

а) решения  уравнений:  иррациональных,  показательных,  логарифмических,

     тригонометрических,  используя  общие  методы  решения  уравненийю

б) нахождения  частных  решений  тригонометрических  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  по  теме   «Общие  методы  решения  

Вариант  1

      1.Решите  уравнение:  а)  25∙;  б) х2 + х + 2 + ;

         в)  4.

2.Найдите  количество  корней  уравнения:  а)  ;

б)  41-х + 4х = 5,  в)  3⋅4х -5∙6х + 2⋅9х = 0.

      3.Решите  уравнения:  а)  lоg( х — 1 ) ∙ lоgх  = lоgх  

        б)  lоg х + lоgх  = 0;  в)  lоg(4 х ) — lоgх  — 2= 0.

      4. Решите  уравнение  а)  sin 3x – sin x = 0; в) 1+ cos 4x = cos  2x;

             и  найдите  его  корни  принадлежащие  промежутку  .

Вариант  2

      1.Решите  уравнение:  а) х2∙;  б) х2 — х +;

в) .

2.Найдите  количество  корней  уравнения:  а)  ;

б)  2х – 22-х = 3,  в)  3⋅25х — 8∙15х + 5⋅9х = 0.

      3.Решите  уравнения:  а)  lоgх = lоg ( х + 1 ) ∙ lоgх ;

        б)  lоgх — lоgх  = 0;  в)  lоg(2 х ) +3 lоgх  + 3= 0.

      4. Решите  уравнение  а)  cos 3x + cos x = 0;  в) 1- cos 4x = sin 2x;

           и  найдите  его  корни  принадлежащие  промежутку  .

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  №  5  по  теме   «Неравенства».

Контрольная  работа  №  5   состоят из  4   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  4  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  3 заданий;

2) Цели

1. Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:  

а) решения  уравнений:  иррациональных,  показательных,  логарифмических,

     тригонометрических,  используя  общие  методы  решения  уравненийю

б) нахождения  частных  решений  тригонометрических  уравнений.

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

   3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  по  теме   «Неравенства».

 Вариант  1

1.Решите  рациональное  неравенство:  а) 3х2 – 2х – 8 > 0;  б) ;

     в) .

2.Решите  показательное  уравнение:  а) 0,2;  б)  3х+1 ∙9х-0,5 ;

    в)  32х – 9х-1 + 27> 51.

3. решите  логарифмическое  уравнение :  а)  lоg(1 — 2х)

   б)  lоg0,5 (1 + 2х) > -1;  в)  lоg0,5 (х2 – 5х + 6) > -1.

4.  Решите  неравенство  методом  интервалов: а)  ;  б)  ;

     в) (х2 – 9) ∙ lоg0,5 х

     Вариант  2

    1. Решите  рациональное  неравенство:  а)  2х2 – 3х – 9 ;

     в)

 2.Решите  показательное  уравнение:  а) 0,5;  б)  2х-1 ∙4х+0,5 ;

    в)  22х – 4х-1 + 814.

3. Решите  логарифмическое  уравнение :  а)  lоg (1 -3х)

   б)  lоg0,5 (1 — 2х) > -2;  в)  lоg0,5 (х2 – 7х + 12) > -1.

4.  Решите  неравенство  методом  интервалов: а)  ;  б)  ;

     в) (х2 – 16) ∙ lоg0,2 х > 0.

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  №  6   по  теме   «Решение  заданий  к  ЕГЭ».

Контрольная  работа  №  6   состоят из  5   заданий  в  три  варианта.

На  оценку  «5»  —  необходимо  выполнить  верно  5  заданий;

На  оценку  «4»  —  необходимо  выполнить  верно  5  заданий;

На  оценку  «3»  —  необходимо  выполнить  верно  5 заданий;

2) Цели

1.Проверить   знания,  умения  их  применять  для  выполнения  учащимися:  

а) решения  уравнений:  иррациональных,  показательных,  логарифмических,

     тригонометрических,  используя  общие  методы  решения  уравнений

 б) решения  неравенств:  рациональных,  показательных,  логарифмических,

      используя   методы  решения  неравенств.

в) нахождения  частных  решений   уравнений, неравенств

2.Проверка   уровня  сформированности   навыка   решения   различных  заданий

   по  изученным темам.  

3. Формировать  вычислительные  навыки  учащихся.

Текст  контрольной  работы  №  6  будет  составлен  на  основании  сборника для  подготовки  к  ЕГЭ  за 2019г.

A2H Module 10 Review — Rationals

Поиск среди миллионов викторин

ВИКТОРИНА

Математика

5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Вычисление объемов с помощью двойного интегралаС помощью двойного интеграла, если воспользоваться его геометрической трактовкой, можно вычислить объем цилиндроида; формула для вычисления объема цилиндроида имеет вид:

где функция  задает поверхность, ограничивающую цилиндроид сверху (Рис. 9)Более общая формула для вычисления объема тела с помощью двойного интеграла имеет вид:Она получается как разность объемов двух цилиндроидов (Рис. 10).Объемы других тел вычисляются двойным интегралом только в случаях, когда эти объемы представляются как сумма или разность объемов цилиндроидов.Напомним, что цилиндроидом называется геометрическое тело, которое в координатной системе XOYZ ограничено снизу областью , сверху – частью некоторой поверхности , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Вычисление площади фигуры с помощью двойного интеграла. Двойной интеграл применяется для вычисления площади плоской фигуры. f(x;y)=1 с высотой H=1. Объем такого цилиндра равен S обл. D. В полярных координатах эта формула будет иметь вид: Двойной интеграл легко вычисляется, если область D является прямоугольником. В этом случае двойной интеграл будет вычисляться через двукратный интеграл (повторный). — двукратный интеграл, где интеграл f(x;y)dy — внутренний интеграл, а интеграл dx — внешний интеграл. Пределы интегрирования внешнего интеграла всегда должны быть числами. Пределы интегрирования внутреннего интеграла могут представлять либо числа, либо функцию. Подынтегральная функция f(x;y) может разделяться на 2 переменных x и y в том случае, если представляет собой произведение или частное x и y. Если же функция представляет собой сумму или разность двух переменных x и y, то ее полностью записывают во внутренний интеграл и разделить ее нельзя. 

6. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла.

Вычисление площади плоской фигурыПлощадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле . (105)Если область определена в прямоугольной системе координат неравенством  , то из (105) имеем . (106)Если область D определена в полярных координатах неравенством  ,  , то . (107)

Вычисление площади пространственных поверхностейЕсли гладкая однозначная поверхность задана уравнением z = f (x,y),то площадь этой поверхности выражается формулой , (108)где D есть проекция данной поверхности на плоскость хОу.Если поверхность задана уравнением x = f (y, z),то для вычисления площади имеем аналогичную формулу . (109)Однако здесь D есть проекция поверхности на плоскость yOz.Аналогично, если поверхность задана уравнением y = f (x, z), , (110)где D – проекция поверхности на плоскость xOz.

Пусть в плоскости Oxy есть материальная пластинка, то есть некоторая область D, п о которой распределена масса с плотностью μ(x, y). Тогда:масса пластинки

.статические моменты относительно координатных осей:

,  координаты (x_c, y_c) центра масс пластинки:

, 

момент инерции пластинки относительно оси O_y  относительно оси O_x  относительно начала координат 

Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. (Лекция 2.1)

1. Лекция 2.1 9 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 9.1 Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл.

z
y
D
z = z ( x, y ) ³ 0
x
Цилиндрическим телом называется тело,
ограниченное замкнутой областью D плоскости Oxy,
поверхностью z=z(x,y), где z=z(x,y) непрерывна и
неотрицательна в области D и цилиндрической
поверхностью с образующей параллельной оси Oz и
направляющей – границей области D.

2. Разобьем область D на n произвольных частичных областей (k(1,…,n)).

Разобьем область D на n произвольных частичных
областей Ds k (k (1,…,n)).
Ds k
y
( xk , yk )
D
x
Выберем в каждой из частичных областей произвольную точку с
(
)
координатами xk , yk . Объем цилиндрического тела между
опорной плоскостью Oxy и поверхностью z=z(x,y) над частичной
областью Ds k равен DVk » z xk , yk Ds k
. Объем всего
цилиндрического тела равен
(
n
n
k =1
k =1
)
V = å DVk » å z ( xk , yk ) Dsk

Устремим наибольший диаметр частичных областей
max diam ( Dsk ) ® 0 , n ® ¥
Ds k
и рассмотрим предел интегральной суммы
к нулю, при этом
n
lim
max diam( Dsk
n®¥
z ( xk , yk ) Dsk
å
) ®0
k =1
Если этот предел существует, то очевидно, что
V=
n
lim
max diam( Dsk
n®¥
z ( xk , yk ) Dsk
å
) ®0
k =1

4. Определение.

Двойным интегралом от функции z=z(x,y) по области D
называется предел, к которому стремится интегральная
сумма при стремлении к нулю наибольшего диаметра
частичных областей
n
lim
max diam( Dsk
n ®¥
z ( xk , yk ) Dsk = òò z ( x, y ) d s
å
) ®0
k =1
D
z ( x, y ) ds
– подынтегральное выражение;
z(x,y) – подынтегральная функция;
ds — элемент (дифференциал) площади;
D – область интегрирования.
Таким образом, V = z ( x, y ) d s
òò
D

5. Теорема существования двойного интеграла.

Если z(x,y) непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, то ее интегральная
сумма стремится к пределу при стремлении к
нулю наибольшего диаметра частичных
областей. Этот предел не зависит от способа
разбиения области на частичные области Ds k
и выбора в них точек ( xk , yk ) .

6. 9.2 Свойства двойных интегралов.

1)
D
òò ( z1 ( x, y ) ± … ± zn ( x, y ) ) d s = òò z1 ( x, y ) d s ± … ± òò zn ( x, y ) d s
2)
D
òò cz ( x, y ) d s = c òò z ( x, y ) d s
D
D
D
3) D = D1 U D2 , D1 I D2 = Æ .
Тогда
òò z ( x, y ) d s = òò z ( x, y ) d s + òò z ( x, y ) d s
D
D1
D2

7. Свойства двойных интегралов.

4) Если (x,y) D z1 ( x, y ) ³ z2 ( x, y )
то
òò z1 ( x, y ) d s ³ òò z2 ( x, y ) d s
D
D
D
5) Если m = zвнаим
, M = zвнаиб
mS £ òò z ( x, y ) d s £ MS
то
D
6)
z ( x, y ) d s = z ( x, h) S , ( x, h) D
òò
D
D
z ( x, h )
,
, где S = òò d s .
D
— среднее значение z в области D.

8. 9.3 Вычисление двойных интегралов.

Разобьем область D с помощью линий,
параллельных осям координат
с шагом dx и dy соответственно.
Тогда d s = dxdyи, следовательно,
y
ds
D
òò z ( x, y ) d s = òò z ( x, y ) dxdy.
D
D
При вычислении двойного интеграла будем использовать
b
формулу
V = ò S ( x ) dx,
(9.1)
a
где
— площадь поперечного
сечения тела плоскостью
S ( x)
x=const.
Предположим, что любая прямая, параллельная осям Ox или
Oy, пересекает границу области D не более чем в двух точках.
x
y
E
d
y = y2 ( x )
B
A
c
a
z = z ( x, y )
y
z
C
y = y1 ( x )
b
S ( x) =
D
x
a
y2 ( x )
b
x
ò z ( x, y ) dy
y1( x )
• Здесь при вычислении интеграла по dy считается,
чтоö x –
b æ y2 ( x )
постоянная.
z ( x, y ) dy ÷ dx =
V = z ( x, y ) dxdy = ç
• Согласно (9. 1)
y2 ( x )
b получим:
= ò dx
a
ò z ( x, y ) dy
y1( x )
òò
D
.
òç ò
a è y1( x )
÷
ø
(9.2)
• Изменив порядок интегрирования, аналогично
получим
d
x2 ( y )
c
x1( y )
òò z ( x, y ) dxdy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
.
(9.3)
• Правые части формул (9.2) и(9.3) называются
повторными (или двухкратными) интегралами.
• Процесс расстановки пределов интегрирования
называется приведением двойного интеграла к
повторному.

11. Примеры:

1)
y
d
D
c
x
a
b
b
d
d
b
a
c
c
a
òò z ( x, y ) dxdy = ò dx ò z ( x, y ) dy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
y
y=x
a
y=0
x=a
x
a
a
x
a
a
0
0
0
y
òò z ( x, y ) dxdy = ò dx ò z ( x, y ) dy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
y
1
y = x2
x+ y =2
y=0
x
2
1
1
x2
2
2- x
1
2- y
0
0
1
0
0
y
òò z ( x, y ) dxdy = ò dx ò z ( x, y ) dy + ò dx ò z ( x, y ) dy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
y
y = y2 ( x )
y = y1 ( x )
a
b
x
b
y2 ( x )
a
y1( x )
òò z ( x, y ) dxdy = ò dx ò z ( x, y ) dy
D
y
d
c
.
x = x1 ( y )
x = x2 ( y )
x
d
x2 ( y )
c
x1( y )
òò z ( x, y ) dxdy = ò dy ò z ( x, y ) dx
D
y
D1
D = D1 + D2 + D3
D2
D3
x
òò z ( x, y ) dxdy =
D
= òò z ( x, y ) dxdy +
D1
òò z ( x, y ) dxdy + òò z ( x, y ) dxdy
D2
D3

Двойные интегралы

и объем

Двойные интегралы и объем

Определение объема

Напомним, что площадь между двумя кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус нижняя кривая. Эту идею можно довести до трех размеры. Мы определили объем между двумя поверхностями как двойной интеграл верхней поверхности минус нижняя поверхность. Это можно написать формально с теоремой ниже.

Теорема Фубини Пусть f, г 1 , г 2 , ч 1 , и ч 2 быть определенная и непрерывная на области R. Тогда объем поверхности равен двойным интегралам:

 

Обратите внимание, что все типичные свойства двойного интеграла держать. Например, можно вытащить константы и получить двойной интеграл от сумма двух функций есть сумма двойных интегралов каждой функции.

---

Поиск тома

 

Пример

Установите интеграл, чтобы найти объем твердого тела, лежащего ниже конуса

и выше плоскости xy.

 

Раствор

Конус нарисован ниже

Мы видим, что область R представляет собой синий кружок в плоскости xy. Мы можем найти уравнение, установив z = 0,

Решение для y (переместив квадратный корень влево, возведя в квадрат обе стороны и т. д.) дает

«-» соответствует нижнему пределу, а «+» — верхнему пределу. Для внешних границ мы видим, что

-4 < х < 4

Все это вместе дает

Либо вручную или на машине мы можем получить результат

Объем = 64 стр/3

Обратите внимание, что это согласуется с формулой

Объем =  p r ² ч/3

 

Упражнение

Настройте двойной интеграл для этой задачи с помощью dxdy вместо dyx. Затем покажите, что два интеграла дают один и тот же результат.

 

Пример

Установите двойной интеграл, который дает объем твердого тела лежащий под сферой

х ² + у ² + z ²   =  6

и выше параболоид

г =  х ² + у ²  

 

Раствор

На картинке ниже указано, что регион — это диск, который лежит внутри этой окружности пересечения двух поверхностей. Подставляем

х ² + у ² + (х ² + у ² ) ² =  6

или

        x ² + у ² + (х ² + у ² ) ² — 6  = 0

Теперь разложите x ² + y ² в качестве переменной, чтобы получить

(х ² + у ² — 2)(х ² + у ² + 3) =  0

Второй множитель не имеет решения, а первый

        x ² + у ²   =  2

Решение для y дает

и

—  < х < 

Просто как мы сделали в одном исчислении переменных, объем между двумя поверхностями равен двойной интеграл верхней поверхности минус нижняя поверхность. У нас есть

Снова мы можем выполнить этот интеграл вручную или на машине и получить

Объем =  7,74

---

Среднее значение

Мы думаем о среднем как о сумме всех деленных на общий. Двойной интеграл действует как сумма, а сумма есть область. Это приводит нас к следующему определению.

Пусть f(x,y) — интегрируемая функция по области R с площадью А, затем Среднее значение из ф над R является

 

Пример

Вы продаете футболки и толстовки и определили, что функция прибыли от продажи x футболок и y толстовок определяется как

.

P(x,y) = 10000 +2100 x — 3x ² + 3(y — 400) ²  

Найдите среднюю прибыль, если вы продаете от 200 и 400 футболок и между 300 и 400 толстовки.

 

Раствор

Находим двойной интеграл

Далее разделить на общую площадь

А = (400–300)(400–200) = 20000

по получить

Средняя прибыль = 350000

или 3500 долларов.

 

---

Население

Предположим, что плотность популяции муравьев в точке (x,y) в метрах, где происхождение соответствует источнику воды, можно смоделировать к

30000
Р (х, у) =                         
1+ х ² + у ²

Установите интеграл, который оценивает общую популяцию муравьев в пределах 100 метров от источника воды. Затем используйте калькулятор, чтобы вычислить этот интеграл.

 

Раствор

Область представляет собой окружность радиусом 100

х ² + у ²   =  10000

Находим

Калькулятор дает нам популяцию около 868 000 муравьев.

 

---

Назад на главную страницу Math 117

Назад к математике Дом Департамента

электронная почта Вопросы и предложения

Численность, математика и статистика — Набор для академических навыков

Двойные и тройные интегралы

ContentsToggle Main Menu 1 Двойные интегралы 1.