Автор: alexxlab

Сравнение двоичных чисел | Основы электроакустики

Главная » Микросхемы

Сравнение двоичных чисел Сравнение многоразрядных чисел основывается на проверке равенства цифр чисел. Пусть даны два числа А3А2А1А0 и В3В2В1В0 . Сравниваются В3 и А3 , В2 и А2 , В1 и А1 , В0 и А0 , по результатам сравнения делается вывод: если совпали и третьи цифры, и вторые, и первые, и нулевые, то числа одинаковы. Таблица истинности поразрядного сравнения изображена на рис. 22.7.

рис. 22.7. Таблица истинности поразрядного сравнения

С помощью законов алгебры логики возможно представить выражение выходного сигнала:

Переключательную функцию F позволяют реализовать логические двухвходовые элементы «Исключающее ИЛИ». На рис. 22.8 показан один из вариантов реализации схемы сравнения.

Рис. 22.8. Реализация схемы сравнения на ИС 155ЛП5 и 155ЛР3

Возможно построение более сложной схемы сравнения, которая определяет равенство чисел, а также, какое из чисел больше. Она может определять равенство двух двоичных чисел А и В с одинаковым количеством разрядов либо вид неравенства А > В или А < В. Цифровые компараторы имеют три выхода. Схема одноразрядного компаратора представляет собой структуру логического элемента «Исключающее ИЛИ-НЕ» (рис. 22.9). 

Рис. 11.9. Цифровой компаратор с тремя выходами

Из анализа схемы следует, что если А = В, то F = 1, в противном случае, т.е. при А ≠ В, F = 0. Если А > В, т. е. А = 1, В = 0, то С = 1, а если А < В, т.е. А = 0, В = 1, то D = 1.

Если попарно равны между собой все разряды двух n-разрядных двоичных чисел, то равны и эти два числа А и В. Применяя цифровой компаратор для каждого разряда, например, четырехзначных чисел, и определяя значения F1, F2, F3, F4 логических переменных на выходах компараторов, факт равенства А = В установим в случае, когда F = F1• F2 • F3 • F4 = 1. Если же F = 0, то А ≠ В.

Неравенство А > В обеспечивается (для четырехразрядного числа) в четырех случаях: или А4 > В4, или А4 = В4 и А3 > В3, или А4 = В4, А3 = В3 и А2 > В2, или А4 = В4, А3 = В3, А2 = В2 и A1 > B1 (где А4 и В4 – старшие разряды чисел А и В). Очевидно, что если поменять местами Ai и Вi, то будет выполняться неравенство А < В.

В настоящее время промышленностью выпускаются готовые четырехразрядные схемы сравнения чисел (рис. 22.10).

Рис. 22.10. Цифровые компараторы: а) К134СП1, б) К555СП1

Представленные микросхемы являются четырехразрядными компараторами, в которых каждый из одноразрядных компараторов аналогичен рассмотренной ранее схеме. Данные микросхемы имеют расширяющие входы А < В, А = В, А >В, что позволяет наращивать разрядность обоих чисел.

Сумматоры Суммирование двоичных чисел

Вычитание двоичных чисел

Переход от десятичных чисел к двоичным

Дешифраторы и шифраторы

Аналоговые компараторы напряжения Устройство и принцип действия

Простейшие компараторы на операционных усилителях

Логические элементы

Компараторы на интегральных микросхемах

Цифровые устройства

Пухальский Г. И., Новосельцева Т. Я. Цифровые устройства: Учебное пособие для втузов. — СПб.: Политехника, 1996. — 885 с. Изложены основы теории переключательных функций и цифровых автоматов, позволяющие простейшими методами решать задачи проектирования цифровых устройств на интегральных схемах (ИС). Даны оригинальные математические методы анализа и синтеза автоматов, основанные на операторах переходов и решений систем логических уравнений. Приведено полное аналитическое описание нескольких сот отечественных и зарубежных ИС. Приложения ориентированы на быстрый поиск цоколевки и параметров интересующей ИС по ее отечественному и зарубежному обозначению. Учебное пособие обеспечивает все виды занятий по цифровой технике по курсу «Цифровые и микропроцессорные устройства» и может служить справочником при проектировании интерфейсных устройств микроЭВМ. Оглавление Предисловие Глава 1. Основы теории переключательных функций 1. 2. Позиционные системы счисления 1.3. Переключательные функции 1.4. Принцип и закон двойственности 1.5. Теоремы разложения 1.6. Решение систем логических уравнений 1.7. Первичные термы, минтермы и макстермы 1.8. Совершенные нормальные формы представления функций 1.9. Конъюнктивные и дизъюнктивные термы 1.10. Минимизация переключательных функций 1.11. Диаграммы Вейча 1.12. Минимизация неполностью определенных функций, совместная минимизация нескольких функций 1.13. Скобочные формы функций 1.14. Закон двойственности для логических схем 1.15. Линейные функции Глава 2. Анализ и синтез логических схем 2.2. Модели логических элементов 2.3. Модели логических схем 2.4. Анализ логических схем 2.5. Синтез комбинационных схем, свободных от состязаний Глава 3. Синтез асинхронных потенциальных автоматов 3.2. Асинхронные потенциальные автоматы 3.3. Асинхронные потенциальные триггеры и элементы памяти Триггеры типа R-S Триггеры типа D-L Триггеры типа D-L-R с приоритетом входа R. Триггеры типа D-L-R с приоритетом входа L. Триггеры типа R-S-L. Триггеры типа DN-LN Аналитический метод синтеза и анализа триггеров. 3.4. Задание асинхронных потенциальных автоматов таблицами и графами переходов 3.5. Синтез асинхронных потенциальных счетчиков 3.6. Синтез асинхронных импульсных триггеров Триггеры типа dJ-dK. Классификация триггеров. 3.7. Синтез синхронных триггеров Триггеры типа J-K Синхронно-асинхронные триггеры. 3.8. Примеры синтеза асинхронных потенциальных автоматов Цифровые фазочастотные детекторы. Квантизатор временных интервалов. 3.9. Генераторы сигналов Автогенераторы. Управляемые автогенераторы. Глава 4. Синтез синхронных автоматов 4.2. Синхронные триггеры Триггеры типов D и R-S с импульсным тактовым сигналом. Синхронные триггеры типов R-S и D-L Синхронно-асинхронные триггеры. Синхронные триггеры типа J-K Триггеры типа Т. Классификация синхронных триггеров. Преобразования типов синхронных триггеров. Триггеры типов D-T-L и D-T-L/R Функции переходов синхронно-асинхронных триггеров. 4.3. Примеры синтеза синхронных автоматов 4.4. Сдвигающие регистры Синтез счетчиков на сдвигающих регистрах. Сдвигающие регистры с загрузкой данных. Реверсивные сдвигающие регистры. 4.5. Синхронные счетчики Синхронные двоичные счетчики. Синхронные двоично-десятичные счетчики. Каскадирование двоичных и двоично-десятичных счетчиков. Синхронные двоичные реверсивные счетчики. Реверсивные двоично-десятичные счетчики. Каскадирование реверсивных счетчиков. Счетчики на сдвигающих регистрах. Кольцевые счетчики. Линейные счетчики. Программируемые счетчики. 4.6. Асинхронные счетчики Асинхронные счетчики с умножением частоты счетного сигнала. Асинхронные импульсно-потенциальные счетчики. Асинхронное программирование модуля пересчета счетчиков. Глава 5. Логические элементы и триггеры Логические элементы. Классификация ИС по степени интеграции. 5.2. Интегральные схемы КМОП серий 5.3. Триггеры Шмитта 5.4. Логические элементы с открытым коллекторным выходом Логические элементы с открытым коллекторным выходом. Применения ЛЭ с открытым коллекторным выходом. Интерфейсные ЛЭ с открытым коллекторным выходом. Логические элементы с открытым стоковым выходом. Типовые цоколевки ИС. 5.5. Логические элементы с тремя состояниями выхода Шинные драйверы с Z-состоянием выхода. Основные правила графического изображения ИС. 5.6. Преобразователи уровней напряжения и тока 5.7. Асинхронные потенциальные триггеры и регистры памяти 5.8. Синхронные триггеры и регистры памяти 5.9. Шинные приемопередатчики Шинные приемопередатчики с Z-состоянием выхода. Шинные приемопередатчики с открытым коллекторным выходом. Шинные приемопередатчики с регистрами памяти. Шинные приемопередатчики со сдвигающим регистром. Шинные трехнаправленные приемопередатчики. 5.10. Мультивибраторы 5. 11. Генераторы Схемы устранения “дребезга” механических контактов. Автогенераторы периодических сигналов. 5.12. Рекомендации по выбору серий ИС Глава 6. Коммутаторы и арифметические устройства 6.1. Дешифраторы 6.2. Демультиплексоры 6.3. Мультиплексоры Мультиплексоры без стробирования. Мультиплексоры со стробированием. Мультиплексоры с Z-состоянием выхода. Каскадирование мультиплексоров. Функциональные мультиплексоры. Регистры памяти с мультиплексными входами данных. Мультиплексоры с регистрами памяти данных и адреса. Сдвигающие мультиплексоры. 6.4. Синтез комбинационных схем и цифровых автоматов на мультиплексорах Синтез схем на 8-канальных мультиплексорах. Синтез на двухразрядных 4-канальных мультиплексорах. Синтез генератора синусоидальной функции на мультиплексорах. Синтез триггеров на мультиплексорах. Синтез счетчиков на мультиплексорах. 6.5. Аналоговые ключи и мультиплексоры-демультиплексоры 6. 6. Шифраторы 6.7. Цифровые компараторы Программируемые цифровые компараторы. Адресные компараторы. Применения адресных компараторов. 6.8. Схемы сравнения двоичных чисел 8-разрядные схемы сравнения двоичных чисел. 6.9. Прямой, обратный и дополнительный коды Дополнительный код. Сложение чисел в обратном коде. Код с избытком 3. 6.10. Сумматоры Двоичные параллельные сумматоры с последовательным переносом. Двоичные сумматоры с параллельным переносом. Применения сумматоров. Десятичные сумматоры. Последовательные двоичные сумматоры. 6.11. Арифметическо-логические устройства 6.12. Пороговые схемы и мажоритарные элементы 6.13. Умножители двоичных чисел Быстрые умножители. БИС умножителя 12×12 разрядов 1802ВР4. Последовательные умножители. 6.14. Конвейерные устройства Конвейерный быстрый умножитель. Конвейерные АЦП. 6.15. Синтез линейных комбинационных схем Сумматор по модулю q. Умножитель по модулю q. Глава 7. Сдвигающие регистры и счетчики 7.1. Сдвигающие регистры без параллельной записи данных Сдвигающие устройства с выходными регистрами памяти. 7.2. Сдвигающие регистры с параллельной записью данных Сдвигающие регистры с расширением знака. Сдвигающие регистры с входным регистром памяти. 7.3. Реверсивные сдвигающие регистры Реверсивные сдвигающие регистры типов PI/SO и PI/PO. Многофункциональные устройства на основе реверсивных сдвигающих регистров. 7.4. Асинхронные счетчики Двоично-десятичные асинхронные счетчики. 7.5. Синхронные двоичные счетчики Программирование модуля пересчета двоичных счетчиков. Переключение модулей пересчета двоичных счетчиков. Функциональные устройства на основе двоичных счетчиков. 7.6. Синхронные двоично-десятичные счетчики 7.7. Синхронные реверсивные счетчики 7.8. Счетчики с расщепленным тактовым сигналом 7.9. Счетчики на сдвигающих регистрах 7.10. Кольцевые счетчики 7.11. Делители частоты Нормированные умножители частоты. 7.12. Линейные генераторы Приложение 1. Перечень отечественных и зарубежных ИС Приложение 2. Параметры интегральных схем

Двоичный файл — SparkFun Learn

Авторы: Джимблом

Избранное Любимый 52

Существует несколько способов работы с двоичными значениями. Точно так же, как с десятичными числами, вы можете выполнять стандартные математические операции — сложение, вычитание, умножение, деление — с двоичными значениями (о которых мы поговорим на следующей странице). Вы также можете манипулировать отдельными битами двоичного значения, используя побитовые операторы .

Побитовые операторы выполняют функции побитно над одним или двумя полными двоичными числами. Они используют логическую логику, работающую с группой двоичных символов. Эти побитовые операторы широко используются как в электронике, так и в программировании.

Дополнение (НЕ)

Дополнение двоичного значения похоже на нахождение полной противоположности всего, что в нем есть. Функция дополнения смотрит на число и превращает каждые 1 в 9.0015 0 и каждый 0 становится 1 . Оператор дополнения также называется NOT .

Например, чтобы найти дополнение 10110101:

 НЕ 10110101 (десятичное число 181)
    "="
    01001010 (десятичное число 74)
 

NOT — единственный побитовый оператор, который работает только с одним двоичным значением.

ИЛИ

ИЛИ берет два числа и производит их объединение . Вот процесс ИЛИ двух двоичных чисел вместе: выровняйте каждое число так, чтобы биты совпадали, затем сравните каждый из их битов, которые имеют общую позицию. Для каждого битового сравнения, если один или оба бита равны 1, значение результата в этой битовой позиции равно 1. Если оба значения имеют 0 в этой позиции, результат также получает 0 в этой позиции.

Четыре возможных комбинации ИЛИ и их результат:

• 0 ИЛИ 0 = 0
• 0 ИЛИ 1 = 1
• 1 ИЛИ 0 = 1
• 1 ИЛИ 1 = 1

Например, чтобы найти 10011010 ИЛИ 01000110, выровняйте каждое из чисел побитно. Если один или оба числа имеют 1 в столбце, значение результата также имеет 1 :

 10011010
ИЛИ 01000110
   "="
   11011110
 

Думайте об операции ИЛИ как о двоичном сложении без переноса. 0 плюс 0 равно 0, но 1 плюс что угодно будет 1.

И

И берет два числа и производит их соединение . AND выдаст 1 только в том случае, если оба значения, с которыми он работает, также равны 1 .

Процесс объединения двух двоичных значений по И аналогичен процессу ИЛИ. Выровняйте каждое число так, чтобы биты совпадали, затем сравните каждый из их битов, которые имеют общую позицию. Для каждого битового сравнения, если один или оба бита равны 0 , значение результата в этой битовой позиции равно 0 . Если оба значения имеют 1 в этой позиции, результат также получает 1 в этой позиции.

Четыре возможных комбинации И и их результат:

• 0 И 0 = 0
• 0 И 1 = 0
• 1 И 0 = 0
• 1 И 1 = 1

Например, чтобы найти значение 10011010 И 01000110, начните с выстраивания каждого значения в ряд. Результат каждой битовой позиции будет только 1 , если оба бита в этом столбце также равны 1 .

 10011010
И 01000110
    "="
    00000010
 

Думайте об И как о чем-то вроде умножения. Всякий раз, когда вы умножаете на 0, результат также будет 0.

XOR

XOR — это исключающее ИЛИ . XOR ведет себя как обычное ИЛИ, за исключением того, что только выдает 1 , если одно или другое число имеет 1 в этой битовой позиции.

Четыре возможных комбинации XOR и их результат:

• 0 XOR 0 = 0
• 0 Исключающее ИЛИ 1 = 1
• 1 Исключающее ИЛИ 0 = 1
• 1 Исключающее ИЛИ 1 = 0

Например, чтобы найти результат 10011010 XOR 01000110:

 10011010
XOR 01000110
    "="
    11011100
 

Обратите внимание на бит 2 ^nd , 0 , полученный в результате двух операций XOR 1 вместе.

Битовые сдвиги

Битовые сдвиги не обязательно являются побитовыми операциями, подобными перечисленным выше, но они представляют собой удобный инструмент для работы с одним двоичным значением.

Битовый сдвиг состоит из двух компонентов: направление и количество бит для сдвига. Вы можете сдвинуть число либо на влево, либо на вправо, а также на один или несколько битов.

При сдвиге вправо один или несколько младших битов (в правой части числа) просто обрезаются, сдвигаются в бесконечное ничто. Ведущие нули могут быть добавлены, чтобы сохранить одинаковую длину бита.

Например, сдвиг 10011010 на два бита вправо:

 ПРАВЫЙ SHIFT-2 10011010 (десятичное число 154)
              "="
              00100110 (десятичное число 38)
 

Сдвиг влево складывает все биты в направлении старшей (левой) стороны числа. При каждом сдвиге в позицию младшего бита добавляется ноль.

Например, сдвиг 10011010 на один бит влево:

 LEFT-SHIFT-1 10011010 (десятичное число 154)
             "="
            100110100 (десятичное число 308)
 

Этот простой битовый сдвиг на самом деле выполняет относительно сложную математическую функцию. Сдвиг влево n бит умножает число на 2 ⁿ (посмотрите, как в последнем примере ввод умножается на два?), а сдвиг n бит вправо приведет к делению целого числа на 2 ^п . Сдвиг вправо для деления может стать странным — любые дроби, полученные при делении сдвига, будут отсечены, поэтому 154, сдвинутое дважды вправо, равняется 38, а не 154/4=38,5. Битовые сдвиги могут быть очень быстрым способом деления или умножения на 2, 4, 8 и т. д.

Эти побитовые операторы предоставляют нам большинство инструментов, необходимых для выполнения стандартных математических операций над двоичными числами.

справочный вопрос — Как компьютер определяет, является ли число меньше или больше другого?

спросил 10 лет, 4 месяца назад

Изменено 5 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 31к раз

$\begingroup$

Это может показаться глупым вопросом, но мне действительно любопытно узнать, как компьютер узнает, что $1<2$? Кроме того, откуда компьютер знает, что порядок целых чисел равен $1,2,3,4,5,\ldots$, а алфавит — A,B,C,D,...? Хранится ли она где-то в оборудовании или операционная система предоставляет такую ​​информацию?

• компьютерная архитектура
• справочный вопрос

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Сначала ваши целые числа преобразуются в двоичные числа. Например, целое число 2 преобразуется в 0010.

ЦП использует цифровой компаратор:

Цифровой компаратор или компаратор величин представляет собой аппаратное электронное устройство, которое принимает на вход два числа в двоичной форме и определяет одно число больше или меньше или равно другому число.

Компараторы

используются в центральных процессорах (ЦП) и микроконтроллерах.

Источник: https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_comparator

В компараторах используются некоторые вентили (И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ, XOR и т.д.). Эти вентили принимают двоичные входы и дают результат в двоичном виде. Результат можно увидеть из таблицы истинности.

 Входы Выходы
А В А>В А=В А<В
0 0 0 1 0
0 1 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
 

Здесь 0 и 1 — электронные напряжения для затвора.
1 - Представляет некоторое пороговое напряжение, которое указывает на некоторое положительное напряжение.
0 - Представляет напряжение ниже порогового значения.

предположим, что компаратор работает на 5 вольт (это рассмотрение для объяснения), тогда:
Напряжение более 3 вольт можно рассматривать как двоичный-1 .
Напряжение ниже 3 вольт считается двоичным-0

Если вентиль получает один вход как 3,5 вольта, а другой вход как 2 вольта, то он считает, что он принимает один вход как двоичную 1, а другой вход как двоичный 0.

Эти последовательности 1 и 0 обеспечиваются очень быстро через схема переключения.

Работа двухбитного цифрового компаратора может быть выражена в виде таблицы истинности:

 Входы Выходы
   А1 А0 В1 В0 А>В А=В А<В
    0 0 0 0 0 1 0
    0 0 0 1 1 0 0
    0 0 1 0 1 0 0
    0 0 1 1 1 0 0
    0 1 0 0 0 0 1
    0 1 0 1 0 1 0
    0 1 1 0 1 0 0
    0 1 1 1 1 0 0
    1 0 0 0 0 0 1
    1 0 0 1 0 0 1
    1 0 1 0 0 1 0
    1 0 1 1 1 0 0
    1 1 0 0 0 0 1
    1 1 0 1 0 0 1
    1 1 1 0 0 0 1
    1 1 1 1 0 1 0
 

Цитата из Википедии:

Примеры: Рассмотрим два 4-битных двоичных числа A и B, такие что


Здесь каждый нижний индекс представляет одну из цифр в числах.

Равенство

Двоичные числа A и B будут равны, если все пары значащих цифр обоих чисел равны, то есть
. . .

Поскольку числа двоичные, цифры равны 0 или 1, а логическая функция равенства любых двух цифр и > может быть выражена как

равно 1, только если и равны.

Для равенства A и B все переменные (при i=0,1,2,3) должны быть равны 1. Таким образом, условие качества A и B может быть реализовано с помощью операции И как

Двоичная переменная (A=B) равна 1, только если все пары цифр двух чисел равны.

Неравенство

Чтобы вручную определить большее из двух двоичных чисел, мы проверяем относительные величины пар значащих цифр, начиная с самого старшего бита, постепенно переходя к младшим значащим битам, пока не будет найдено неравенство. Когда неравенство найдено, если соответствующий бит A равен 1, а бит B равен 0, мы заключаем, что A>B. Это последовательное сравнение можно логически выразить так:

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Он не просто "знает", он каждый раз проверяет. По сути, он делает то же самое, что и вы: для сравнения он проверяет (слева направо), у какого числа первая цифра больше, чем соответствующая цифра в другом числе. Конечно, вы должны добавить ведущие нули к более короткому числу.

Буквы для компьютера - это просто цифры. Люди присвоили номера, например. ASCII или Unicode для букв, чтобы сравнение чисел также давало «правильный» порядок букв.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Не операционная система сравнивает целые числа, об этом заботится процессор. Это сделано на уровне логических элементов, пожалуйста, обратитесь к этим слайдам, чтобы увидеть, как это можно сделать.

Что касается алфавита, в ASCII буквенно-цифровые и другие специальные символы представлены как целые числа, поэтому их сравнение также является операцией сравнения целых чисел, которая выполняется ЦП.

$\endgroup$

0

$\begingroup$

На самом деле, и для того, чтобы получить полное представление о нем, я думаю, было бы весьма полезно увидеть своими глазами путь данных реального процессора, например MIPS:

Как видите, на самом деле есть второй выходной сигнал от АЛУ, который является сигналом, который называется Нуль. Он существует для выполнения быстрых операций ветвления после определения того, равны ли два операнда сравнения нулю или нет , поскольку большинство сравнений в программе связаны с ветвлениями. Поэтому, когда вы создаете в своем коде возможность перехода, например:

if(a < b) {...}

Это переводится в машинный код, например, в mips: blt s0,s1,If $~\Rightarrow$, если a < b выполнить инструкции в скобках, иначе продолжить выполнение за пределами if{}. В частности, эта инструкция является псевдоинструкцией, что означает, что она транслируется в две другие (простые) инструкции MIPS $~\Rightarrow$
slt at,s0,s1 и затем bne at,zero,If (slt: Set Меньше чем & bne: переход на не равно).

Обратите внимание, что нулевой сигнал является одним из входов логического элемента И, который определяет, откуда счетчик программ (ПК) будет получать свое значение: Предполагая, что сигнал перехода равен «1», так как у нас есть операция перехода

• Zero = 0 $\Rightarrow$ Результат вычитания не был равен нулю, поэтому Мультиплексор выберет адрес из Branch target и выполнение продолжится с инструкции, которую ведет ветвь.
• Ноль = 1 $\Rightarrow$ Результат был 0 (a = b) и поэтому MUX выбирает адрес из сумматора, где вычисляется адрес следующей инструкции в обычном исполнении (последовательном). Переход не выполняется, так как условие (a < b) недействительно.

Надеюсь, я помог вам заглянуть "под капот". Не стесняйтесь обращаться за дальнейшим анализом по этому вопросу. Многие вещи мы считаем само собой разумеющимися, процессоры делают их очень увлекательным образом!

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Если вы хотите узнать, как это делает реальный ЦП, то вот что-то вроде этого.

ЦП работает только с числами определенного размера. В настоящее время это обычно 64-битные целые числа (мы будем игнорировать числа с плавающей запятой; идея будет аналогичной).

Таким образом, мы должны признать, что

1. ЦП хранит числа длиной до (скажем) 64 бита в двоичном формате в каком-то формате (вероятно, с дополнением до 2, но это не имеет большого значения).

2. ЦП изначально не может ничего делать с большими числами. Мы должны написать программные алгоритмы, если хотим сравнивать большие числа.

Итак, допустим, у нас есть два числа, каждое из которых соответствует 64-битному целому нормальному размеру. Произнесите $a$ и $b$. Как процессор их сравнивает? Обычно он вычитает одно из другого (это единственная встроенная операция, реализованная аппаратно).

Теперь процессор сохранил единственное число $a-b$. Опять же, это число имеет длину не более 64 бит, поэтому оно помещается в «регистр» длиной 64 бита, где мы храним наши числа для вычислений. Теперь он просто проверяет, меньше ли $a-b$ нуля. Он делает это с помощью одной собственной операции, которая может работать на уровне схемы, например алгоритмы сравнения, описанные в других ответах. Это будет очень похоже на эти, но все они реализованы в схемах (поскольку число имеет максимальную длину 64 бита, это схема определенного размера, которую мы можем жестко подключить и прикрепить к ЦП). В зависимости от того, как ЦП хранит числа, он может быть даже быстрее, потому что может случиться так, что все отрицательные числа имеют первый бит, равный единице, или что-то в этом роде. В любом случае, всего 64 бита, так что мы точно можем проверить, является ли это число отрицательным.

Если да, то мы знаем, что $a < b$; если нет, то мы знаем $a \geq b$.

Теперь, для больших чисел, мы должны реализовать что-то в программном обеспечении, которое будет использовать эти маленькие сравнения как подпрограммы.

$\endgroup$

$\begingroup$

Чтобы ответить на этот вопрос, позвольте мне сначала указать, что существует по крайней мере два уровня абстракции для чисел сравнения на компьютере: машинный уровень и программный уровень 9.0008 .

Сравнение чисел на машинном уровне

ЦП современного компьютера имеет богатый набор инструкций. Эти инструкции включают, например, загрузку ячейки памяти в регистр, увеличение регистра, добавление двух регистров и многое другое. Также должны быть инструкции для условных переходов . Например, процессоры семейства Intel x86 поддерживают инструкции jnz (переход, если не ноль), jne (переход не равен) и так далее. Если бы они отсутствовали, ЦП не был бы полным по Тьюрингу. Переменные, от которых зависит условный переход, хранятся в регистрах. Таким образом, эти инструкции жестко зашиты в архитектуре ЦП в виде схемы, построенной из логических вентилей. Это единственный способ, которым ЦП может сравнить два числа.

Сравнение чисел на программном уровне

Если вы сравниваете два числа, скажем, в программе на C++, то это преобразуется в машинный код и, следовательно, выполняется на машинном уровне. Однако такое сравнение может оказаться более сложным. Это действительно зависит от типа данных, который вы использовали, как сравнение преобразуется в машинный код. Только один пример: числа, которые вы хотите сравнить, взяты из 64-битных слов, но ваша машина работает только с 32-битными. Тогда это число не помещается в регистр, поэтому компилятор разбивает сравнение на последовательность сравнений на уровне машинного кода. То же самое относится и к более сложным типам данных/структурам данных, представляющим, например, рациональные числа, строки или символы. Следовательно, когда вам нужно сравнить два символа, это должно быть переведено программным обеспечением (операционной системой, компилятором, интерпретатором и т. д.) в машинный код. Фактический перевод зависит от кодировки символа/числа.

В заключение хочу отметить, что стандартные процессоры также могут работать с различными представлениями чисел (целые числа со знаком в дополнении до 1 или 2, числа с плавающей запятой). Также сравнения могут быть проведены в других частях компьютера, таких как графический процессор.

$\endgroup$

$\begingroup$

другие ответы хороши, просто добавлю еще один для дальнейшего рассмотрения/понимания с привкусом/поворотом CS. можно построить FSM, конечный автомат, который может сравнивать два двоичных числа любой длины, начиная попарно со старших битов и работая до наименее значимого бита (LSB). его также можно использовать для концептуализации цифрового компаратора, данного в другом ответе, но FSM не требует двоичных чисел конечной длины. он может даже работать с целыми числами с двоичными дробями после LSB. он имеет индуктивный и рекурсивный характер, и его правильность может быть доказана с помощью простой индукции. работает следующим образом:

• введите две старшие двоичные цифры как пару (a,b)
• , если a=1 и b=0, левое число больше.
• , если a=0 и b=1, правильное число больше.
• иначе числа "до сих пор равны", перейти к следующей паре.

, другими словами, наибольшее число — это число, в котором первое вхождение бита равно единице, а второе равно нулю после начального запуска из нуля или более идентичных единиц. цифровой компаратор конечной длины, состоящий из логических элементов или 1-битных компараторов, можно рассматривать как основанный на фиксировании длины этой операции FSM до некоторого фиксированного числа битов. (да, существует строгое соответствие между всеми конечными схемами и «фиксацией длины» вычислений FSM.)

это может показаться теоретическим упражнением, но на самом деле логика в программном обеспечении для представления чисел произвольной точности работает чем-то аналогичным этому автомату, за исключением того, что он закодирован в компьютерном цикле, который можно рассматривать как повторение или моделирование шагов конечного автомата. (эффективная реализация может отслеживать с помощью индекса местоположение MSB).

также позволяет разумно интерпретировать/обобщить этот вопрос как , не ограничиваясь целыми числами . вопрос относится к целым числам, но заголовок относится только к числам. удивительно, что до сих пор никто не упомянул арифметику с плавающей запятой. 9b$, $a$ мантисса, b показатель степени. мантисса может быть нормализована до числа, где первая цифра всегда отлична от нуля. затем, чтобы сравнить два числа, логика сначала сравнивает показатели степени $b$, и если они не равны, она может вернуть результат без сравнения мантиссы (используя, скажем, схему компаратора).

Конвертировать JPG в PDF онлайн ⭐️ DocTranslator

Войти через Google

Используйте свою учетную запись Google для входа в DocTranslator.

Больше не нужно запоминать пароли. Вход быстрый, простой и безопасный.

Продолжать

JPG — это формат файла, который расшифровывается как Joint Photographic Experts Group. Это популярный формат изображений, поскольку он имеет относительно небольшой размер файла, но он не так полезен, как PDF, когда вам нужно просмотреть документ на компьютере.

Загрузите и конвертируйте файл

Перетащите файлы сюда или просмотрите свой компьютер

Что такое JPG?

Файл JPG представляет собой растровое изображение, сохраненное в формате JPEG, обычно используемое для хранения цифровых фотографий и графики, созданных программным обеспечением для редактирования изображений. JPEG имеет сжатие с потерями, которое может значительно уменьшить размер изображения без значительного ухудшения качества, и поддерживает до 16 777 216 цветов.

Что такое PDF?

PDF означает Portable Document Format. Это адаптируемый файл, который позволяет людям легко представлять документы и обмениваться ими.

PDF может содержать ссылки, кнопки, аудио, видео и множество скриптов для самых разных возможностей.

Вы ищете способ конвертировать файл JPG в файл PDF?

Хорошая новость в том, что это очень просто! Вот что вам нужно сделать:

1. Откройте файл JPG в выбранной вами программе, такой как Photoshop или GIMP.

2. Убедитесь, что ваше изображение имеет разрешение 100% и не имеет сжатия. Это гарантирует, что качество вашего изображения не пострадает в процессе преобразования.

3. Выберите «Экспорт» в строке меню в верхней части экрана, а затем выберите «Сохранить как».

4. В этом новом окне выберите «PDF» в раскрывающемся меню с надписью «Формат». Затем нажмите «Сохранить». Готово!

Наш рабочий процесс

Шаг 1

Подготовьте документы. Отсканируйте или сфотографируйте все документы, которые вы хотите, чтобы мы переводили.

Шаг 2

Закажите и оплатите онлайн. Загрузите свои файлы и заполните нашу простую онлайн-форму. Оплачивайте онлайн любой кредитной или дебетовой картой.

Шаг 3

Получите перевод. Машинный перевод будет готов к загрузке через 2-3 минуты! Не нужно ждать дни.

Что мы можем сделать

Пользователи DocTranslator.com могут быстро перевести любую банковскую выписку, будь то MS Word, PDF, Excel или PowerPoint, с английского на испанский и обратно.

Всего DocTranslator поддерживает более 100 языков, включая английский, испанский, французский, немецкий, португальский, итальянский, японский, кантонский, китайский и корейский.

Переводчик документов

DocTranslator.com — это инструмент автоматического перевода документов, который преобразует любой файл PDF, Word или Excel на более чем 100 языков. Созданный с учетом простоты, этот инструмент предлагает самые низкие цены на Земле, начиная с 0,005 доллара США за слово. Это в 60 раз дешевле самой конкурентоспособной цены, которую предлагают люди, живущие в самой малоизвестной и дешевой части мира.

Как перевести ваши документы

За несколько коротких шагов мы упростим перевод вашего документа: загрузите файл, выберите язык для перевода и конвертируйте! Программное обеспечение может взять ваше слово, Excel, PowerPoint, PDF и т. д. и перевести его на английский, арабский, чешский, немецкий, испанский, французский, итальянский, японский, португальский, русский, турецкий, китайский и другие языки!

Нажмите кнопку ниже, чтобы загрузить файл

Наш онлайн-переводчик документов позволяет вам переводить любой документ на любой язык (их более 100!). Он использует последние достижения в области машинного обучения (ИИ), которые создают перевод, подобный человеческому, без постоянных проблем, подобных человеческим: дорогие люди и медленное время выполнения работ. .

Хорошор чтобы начать использовать DocTranslator, вам необходимо создать бесплатную учетную запись. Как только вы это сделаете, вы обнаружите, что все документы длиной менее 1000 слов являются предложил бесплатно. Вот так! Плата за перевод небольших документов не взимается.

Необходимые шаги:

• Создайте бесплатную учетную запись на DocTranslator.com
• Перейдите на вкладку «Переводы» и выполните четыре простых шага.
• Шаг 1. Выберите файл
• Шаг 2. Выберите исходный язык
• Шаг 3. Выберите целевой язык
• Шаг 4. Загрузить
• Подождите, пока перевод обрабатывается. Размер файла влияет на время перевода.
• Нажмите кнопку « Скачать » и сохраните переведенный файл.

Как именно вы конвертируете файл JPG?

После просмотра этого видео на YouTube вы будете точно знать, как быстро и легко преобразовать документ в файл любого другого типа.

Ценности, которыми мы живем

Сотрудничество с нашими партнерами

Страсть к результатам

Постоянное улучшение

Доверено

Ведущие организации по всему миру доверяют Doc Translator

750 +

Переводы за последний год

0 /5

Уровень удовлетворенности клиентов

2000

Профессиональные члены команды

Переводчик документов

Хотите попробовать?

Зарегистрируйте бесплатную учетную запись и начните переводить свои документы уже сегодня!

JPG в PDF | Онлайн конвертер изображений в PDF

Деятельность по сохранению и обмену изображениями – это почти каждый, кто использует Интернет. И есть несколько форматов, используемых для сохранения и обмена изображениями, причем JPG является одним из наиболее распространенных.

Несмотря на популярность JPG, время от времени и в зависимости от контекста сохранение или совместное использование файлов изображений в JPG может не привести к его снижению.

Например, вы можете отправить несколько JPG одному человеку. Лучший способ сделать это – объединить все файлы JPG в один документ, чтобы сэкономить место и время, а не отправлять разные файлы по отдельности.

Некоторые люди даже отправляют документ с изображением отдельно и отправляют другой текстовый документ с информацией об изображениях.

Как вы можете решить это? Ну, вам нужен гибкий и более универсальный формат.

И именно здесь начинается преобразование ваших изображений JPG в формат Portable Document Format (PDF). Познакомьтесь с нашим конвертером JPG в PDF.

КОНВЕРТАЦИЯ JPG В PDF ОТ SMALL SEO TOOLS

Этот конвертер [от Small SEO Tools] – бесплатное веб-приложение для простого превращения ваших изображений JPG в документ PDF. Этот инструмент создан для того, чтобы сохранить качество вашего изображения в целости и сохранности при преобразовании его в формат переносимого документа.

Конвертер PDF в JPG учитывает новейшие и лучшие технологии для работы с цифровыми изображениями.

Короче говоря, этот бесплатный инструмент для конвертирование файлов специально создан для достижения наилучшего результата за минимально возможное время, поскольку он автоматически оптимизирует ваши изображения и сохраняет исходное разрешение.

Будучи веб-приложением, конвертация в JPG работает независимо и поддерживает все платформы, включая Mac, Windows, Linux и даже мобильные.

Конвертация происходит в Cloud а это означает, что оно не потребляет ресурсов вашего CPU . Вам даже не нужно устанавливать его на свой компьютер.

ЧТО ОЖИДАЕТ ОТ ЭТОГО “КОНВЕРТАЦИЯ JPG В PDF”

Бесплатный сервис в любое время! Потому что лучшие вещи в жизни бесплатны.

Нет водяного знака: мы стараемся испортить ваш документ с раздражающими водяными знаками. Это бесплатный инструмент, который лучше, чем большинство платных.

Простота конвертации: этот инструмент является самым простым в использовании, хотя и наиболее полезным.

Онлайн конвертация: все происходит в выбранном вами браузере. Не нужно устанавливать дополнительное программное обеспечение.

Круглосуточная доступность: поскольку наш инструмент онлайн, вы всегда можете зайти на эту страницу в любое время и из любого места, чтобы использовать его.

Регистрация не требуется: В отличие от многих других программ для конвертации JPG, наш инструмент НЕ требует, чтобы вы регистрировались на нашем веб-сайте перед его использованием.

Быстрое конвертирование: инструмент конвертирует ваш JPG в PDF не дольше, чем несколько секунд.

Высокое качество PDF: ваш PDF сохраняет качество вашего JPG и обладает всеми характеристиками профессионального PDF-файла.

Непревзойденная безопасность: ваши изображения передаются по протоколу HTTPS, поэтому никто не может шпионить. Мы автоматически удаляем ваши JPG и PDF с наших серверов сразу после того, как вы закончите конвертацию.

Несколько вариантов загрузки: Хотите загрузить из локального хранилища? Нет проблем! Из Cloud ? Это тоже возможно. Только не забудьте нажать на правильный!

Без ограничения использования: конвертировать столько JPG, сколько сможете. Мы беспокоимся только о вашем времени ?.

Без проблем: не нужно входить в систему, прежде чем конвертировать. Вам даже не нужен ваш адрес электронной почты, чтобы отправить конвертированный файл. Вы скачиваете это прямо сейчас. Нет лишних шагов. Просто зайдите на страницу инструмента, загрузите JPG и мгновенно загрузите результат.

КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ НАШ КОНВЕРТАЦИЯ JPG В PDF

Поверьте, что это самая простая в использовании программа JPG-PDF.

На самом деле, вам нужно всего лишь выполнить три простых шага для конвертации ваших файлов:

Шаг № 1: Перейдите в раздел выше этой страницы (https://smallseotools.com/jpg-to-pdf/).

Шаг № 2: Загрузите файл в формате JPG, нажав «Загрузить» или выбрав с Google Drive или Dropbox.

Шаг № 3: Просто нажмите «Конвертировать в PDF» и дождитесь волшебства.

Инструмент через несколько секунд вернет результат с помощью кнопки – загрузить преобразованный файл.

И все готово!

JPG И PDF: БЫСТРОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ

JPG – это формат, используемый для сохранения и обмена файлами изображений. Это один из самых распространенных форматов файлов таких как PNG и GIF.

JPG была основана группой под названием Joint Photographic Experts Group (JPEG), поэтому JPG иногда называют JPEG.

Этот формат обычно используется для хранения цифровых фотографий . Он также стал стандартом для сжатия файлов изображений, поскольку он занимает меньше места при сохранении довольно хорошего качества изображения.

С другой стороны, PDF расшифровывается как Portable Document Format. Это формат файла, созданный в 1990-х годах компанией Adobe.

Он был разработан с целью представления документов, включая форматирование текста и изображений, способом, который не зависит от программного обеспечения.

Люди предпочитают сохранять и конвертировать в формате PDF из-за способности сохранение структуры. Это означает, что PDF универсален; он будет выглядеть одинаково при просмотре с использованием разных устройств, программного обеспечения и операционных систем.

Другой ключевой причиной является то, что вы можете объединить несколько изображений в один файл PDF. Это значительно уменьшает пространство для хранения или передачи ваших документов.

Кроме того, файлы PDF могут быть защищены паролем. Это очень полезно для защиты конфиденциальной. Фактически, файл PDF может быть настроен так, что вы можете просматривать его, но никогда не сможете его редактировать. В некоторых случаях вы даже не можете загрузить их из интернета.

По этим причинам вы можете захотеть конвертировать файлы JPG в PDF.

ВАШИ ДАННЫЕ И ФАЙЛЫ БЕЗОПАСНЫ!

“Мы очень профессиональны в обработке ваших данных и файлов. Ваша конфиденциальность гарантирована. Никто не имеет доступа к вашим файлам JPG и PDF, и они будут окончательно удалены с наших серверов сразу после того, как вы завершите конвертацию. ”

Другие языки:English, русский, 日本語, italiano, français, Português, Español, Deutsche, 中文

Объединить PDF – онлайн-объединитель PDF

ЗАГРУЗИТЬ ФАЙЛЫ

Перетащите сюда свои файлы

В отличие от традиционных файлов DOC, например, создаваемых с помощью Microsoft Word или Google Docs, PDF-файл выглядит одинаково в любой системе. Это связано с тем, что файлы DOC извлекают информацию из системы, в которой они открыты, например, установленные шрифты и другие сведения, относящиеся к операционной системе. Однако PDF-файлы больше похожи на изображения, поэтому они всегда выглядят одинаково.

Эта универсальность делает файлы PDF идеальными для обмена документами в Интернете! Однако их также труднее редактировать, и с ними может быть сложно работать, поэтому приходится идти на компромиссы.

Зачем вам нужно объединять PDF-файлы?

Если у вас есть файл DOC и вы хотите добавить к нему части другого файла DOC, процесс прост: просто вырежьте и вставьте все из одного файла в другой.

С PDF все не так просто. Если у вас нет программного обеспечения для редактирования PDF, вы не можете добавить новую страницу. Также сложно копировать текст из одного PDF-файла в другой, особенно если один PDF-файл является отсканированной физической бумагой.

К счастью, мы можем объединить PDF для вас бесплатно без какого-либо дополнительного программного обеспечения!

Как бесплатно объединить файлы PDF?

Наш инструмент выше может объединить два или даже до 20 PDF-файлов для вас. Это простой способ объединить несколько PDF-файлов в один.

Для начала нажмите кнопку «ЗАГРУЗИТЬ ФАЙЛЫ» и загрузите до 20 PDF-файлов. И наоборот, вы можете перетащить свои PDF-файлы в область с надписью «Перетащите сюда свои файлы».

После того, как вы загрузили все свои файлы, убедитесь, что они расположены в правильном порядке. Наш инструмент поместит первый PDF-файл вверху нового PDF-файла, второй — под ним и далее в указанном порядке. Вы можете перетаскивать файлы в очередь, чтобы убедиться, что они верны.

Когда все выглядит хорошо, нажмите кнопку «ОБЪЕДИНИТЬ». Наша система объединит все PDF-файлы в один PDF-файл и начнет загрузку для вас.

Хотите объединить более 20 PDF-файлов? Вы тоже можете это сделать! Объедините свои первые 20 PDF-файлов, используя шаги, которые мы только что обсуждали. Затем загрузите этот объединенный PDF-файл, который вы только что создали, вместе с остальными PDF-файлами, которые вы хотите добавить. Нажмите «ОБЪЕДИНИТЬ» еще раз, чтобы получить новый, еще более длинный PDF-файл. Вы можете делать это столько раз, сколько вам нужно!

Однако следует помнить, что вы должны загрузить объединенные PDF-файлы в течение одного часа. Если вы этого не сделаете, вам нужно будет повторно загрузить файлы и повторить попытку.

Безопасно ли объединять файлы PDF?

Если вы беспокоитесь о потере файлов PDF, вам не о чем беспокоиться. Когда вы загружаете файл в нашу систему, мы делаем копию вашего оригинала. Эта копия и есть то, что мы объединяем. Ваш исходный файл остается в безопасности на вашем компьютере!

Вы беспокоитесь о том, что мы сохраним вашу конфиденциальную информацию? Вам также не нужно беспокоиться об этом, потому что наша система стирает все — загрузки и конверсии — через час. Ничто из того, что вы загружаете, не будет длиться более 60 минут, прежде чем будет окончательно удалено. Это гарантирует, что ваши данные в безопасности.

Конвертер JPG в PDF онлайн

• Бесплатный конвертер JPG в PDF — это лучший способ быстро и точно преобразовать любое изображение или картинку в документ PDF.
• С помощью нашего сервиса вы можете конвертировать не только файлы JPG в PDF, но и многие другие форматы файлов изображений, включая JPEG, PNG, GIF, BMP, TIF, TIFF, WMF.
• Удобные настройки позволяют изменять параметры и размеры исходного изображения для преобразования его в документ PDF. Настройки позволяют установить поля (px), ориентацию страницы, изменить размер изображения, задать угол поворота изображения.
• Скорость и простота использования, отсутствие ограничений на размер jpg и качество результатов были нашими главными приоритетами, когда мы начинали работу над этим ресурсом. Мы будем рады, если вы найдете наш сервис полезным для ваших нужд.

Левый

Вершина

Верно

Нижний

ПортретПейзаж

Изменить размер По размеру страницыИсходный размерУвеличить до размера страницы

Угол (+/-) °

Загрузить файл

Конвертировать

Перетащите сюда свое изображение

Поддерживаемые форматы: BMP, GIF, JPEG, JPG, PNG, TIFF, TIF, WMF

Как конвертировать изображения в PDF онлайн

1. Нажмите «Загрузить файл» и выберите файл изображения, который вы хотите преобразовать.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c.

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

ax² + bx + c = 0

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x₁ и x₂ следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

a(x − x₁)(x − x₂)

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

x² − 8x + 12

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

x² − 8x + 12 = 0

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

Итак, x₁ = 6, x₂ = 2. Теперь воспользуемся формулой ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). В левой части вместо выражения ax² + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x² − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x₁ = 6, x₂ = 2

x² − 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

x² − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x² − 8x + 12

(x − 6)(x − 2) = x² − 6x − 2x + 12 = x² − 8x + 12

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

2x² − 14x + 24

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

2x² − 14x + 24 = 0

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

Итак, x₁ = 4, x₂ = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x² − 14x + 24 к выражению a(x − x₁)(x − x₂), где вместо переменных a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2

2x² − 14x + 24 = 2(x − 4)(x − 3)

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x² − 14x + 24

2(x − 4)(x − 3) = 2(x² − 4x −3x + 12) = 2(x² − 7x + 12) = 2x² − 14x + 24

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

x² + bx + c

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Тогда приведённый квадратный трехчлен x² + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x₁ + x₂ = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x² + bx + c

Раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель −x₂

Далее замечаем, что выражение (x − x₁) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Мы пришли к тому, что выражение x² + bx + c стало равно (x − x₁)(x − x₂)

x² + bx + c = (x − x₁)(x − x₂)

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax² + bx + c = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax² + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax² + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и

Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax² + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax₁ − ax₂ и ax₁x₂, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax₂

Далее замечаем, что выражение x − x₁ тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

Мы пришли к тому, что выражение ax² + bx + c стало равно a(x − x₁)(x − x₂)

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x₁)(x − x₂) вместо переменных x₁ и x₂.

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x₁ и x₂. Например, квадратный трёхчлен x² + 4x + 4 имеет только один корень −2

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x₁ и x₂. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2)² поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² − 2x − 1

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x² − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x₁)(x − x₂), где вместо a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения:

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3 − 11x + 6x²

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

6x² − 11x + 3

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² + 7x − 6

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x² − 8x + k содержит множитель (x − 2)

Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x₁

Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби 

Выразим из первого равенства переменную x₂ и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x₂

Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 12. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Разложение квадратного уравнения на множители – формула

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 178.

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 178.

Квадратное уравнение – это основа большей части задач и примеров школьного курса математики. Разложение квадратного уравнения на множители – процесс необходимый для решения дробно рациональных уравнений.

Формула квадратного уравнения

Давайте разберемся. Квадратное уравнение раскладывать на множители приходится крайне редко. 2-21x-70}\over{7x+14}}= (х-5)$$

Что мы узнали?

Мы разделили понятия квадратного уравнения и квадратного трехчлена, разобрались с понятием формулы разложения на множители квадратного уравнения и привели пример использования этой формулы.

Тест по теме

Доска почёта

Функции и графики. Производная и первообразная

Понятие функции – одно из основных в математике. Более того – именно с функций и графиков начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции – это все-таки арифметика. Математика – наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Функции и графики – универсальный язык, понятный физику и биохимику, астроному, инженеру и экономисту.

Знаете ли вы, что определение функции можно дать четырьмя способами, дополняющими друг друга? И все их надо знать. Подробно – здесь:

Что такое функция?

Что такое нули функции? Точки максимума и минимума функции? Промежутки возрастания и убывания? Какие функции называются монотонными и как это увидеть на графике? Об этом – в следующей статье:

Чтение графика функции

Материалы для старшеклассников и студентов:

Четные и нечетные функции

Периодические функции

Обратная функция

Существует всего 5 типов элементарных функций. Это степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Их графики и свойства надо знать наизусть. Любая функция, которую вы можете встретить в задачах ЕГЭ, относится к одному из пяти типов – или является их комбинацией.

Подробно о функциях:

Элементарные функции и их графики

Линейная функция

Квадратичная функция

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Как строить графики функций? Читайте наши материалы:

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Поведение функции в бесконечности и асимптоты

Производная функции – мощный математический инструмент. С помощью производной можно находить точки максимума и минимума функций и промежутки их возрастания и убывания. Можно более точно строить графики. Главное, что нужно запомнить: производная – это скорость изменения функции.

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задачи ЕГЭ на производную и ее применение – это задание 7 и задание 11.

Тема «Функции и графики» особенно полезна тем, кто сдает ЕГЭ на высокие баллы. Без них не решить задачи с параметрами. Зато, нарисовав график функции, вы можете сразу увидеть решение. Останется только записать его.

И если вы продолжите изучение математике в вузе — первая же лекция из курса математического анализа будет посвящена элементарным функциям и их графикам.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Функции и графики. Производная и первообразная» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Помогите построить графики функций, определить проходит ли график функции через определенные точки и решить систему уравнений графически.

Популярное

Сообщества

1. определить проходит ли график функции у=х2+10 через след точки:

А(2:14), В(-2:14),С(5:-35), D(-5:35)

2.построить график функции-2х-3

3.построить график функции х2+2

4. построить график функции-1/х-5

5. решить систему уравнений графически у=-(х+1) и у=х-1

Математика

Анна И.

5 февраля 2020  ·

15,4 K

ОтветитьУточнить

Nota Bene Journal

-4

Популяризуем социально-экономические науки, развиваем критическое мышление и навыки. 2+2. В данном случае графиком функции является парабола, начальная точка которого сдвинута по оси ординат(у) на 2 вверх. То есть, при х=0, у = 2. В остальном, построение параболы не изменится. Вы можете подставить несколько точек для проверки или для более детального построения. Например, при x = 1 или (-1), y = 3. При х= 2 или (-2), у = 6 и т.д.

Расскажу об экономике, учёбе за рубежом, опыте работы в Академии и Индустрии.

Перейти на vk.com/nb_journal

1 эксперт согласен

Комментировать ответ…Комментировать…

Инструменты Е14

3

Директор магазина «Инструменты Е14»  · 6 февр 2020

Здравствуйте.
Для решения задач такого рода Вам всего лишь нужно подставлять разные значения Х и У (В случае с задачей 1 нужно подставлять уже известные Х и У)
Например, точка А имеет координаты Х=2, а У=14, подставляем в формулу у=2х+10 значения (14=2*2+10; 14=14; Если обе части функции совпали, график проходит через точку, имеющую координаты Х=2, У=14)

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

1 ответ скрыт(Почему?)

Графики рациональных функций

Горячая математика

Рациональные функции имеют вид у «=» ф Икс , где ф Икс это рациональное выражение .

Некоторые из примеров рациональных функций:

у «=» 1 Икс , у «=» Икс Икс 2 − 1 , у «=» 3 Икс 4 + 2 Икс + 5

Графики рациональных функций нарисовать сложно. Чтобы начертить график рациональной функции, вы можете начать с нахождения асимптоты и перехватывает.

Этапы построения графика рациональных функций:

1. Найдите асимптоты рациональной функции, если они есть.
2. Нарисуйте асимптоты в виде пунктирных линий.
3. Найди Икс -перехват (песок у -перехват рациональной функции, если таковая имеется.
4. Найдите значения у для нескольких различных значений Икс .
5. Нанесите точки и нарисуйте плавную кривую, чтобы соединить точки. Следите за тем, чтобы график не пересекал вертикальные асимптоты.

Пример:

График рациональной функции

у «=» 4 Икс + 1 2 Икс + 1

Вертикальная асимптота рациональной функции равна Икс -значение, где знаменатель функции равен нулю. Приравнять знаменатель к нулю и найти значение Икс .

2 Икс + 1 «=» 0 Икс «=» − 1 2

Вертикальная асимптота рациональной функции равна Икс «=» − 0,5 .

Эта функция имеет Икс -перехват в − 1 4 , 0 и у -перехват в 0 , 1 . Найдите больше точек на функции и постройте график функции.

Иногда заданную рациональную функцию необходимо упростить, прежде чем строить ее график. В этом случае, если есть какие-либо исключенные значения (где функция не определена), отличные от асимптот, то для построения графика функции требуется дополнительный шаг.

Чтобы представить неопределенную функцию, убедитесь, что функция не является непрерывной гладкой кривой при исключенном значении. Это исключенное значение обычно называют дырой в рациональной функции.

Например, рациональная функция у «=» 4 Икс 2 + Икс 2 Икс 2 + Икс имеет отверстие в Икс «=» 0 .

Обратите внимание, что графики рациональных функций удовлетворяют тест вертикальной линии .

Графические линейные функции | Колледж Алгебра |

Графики линейных функций

В линейных функциях мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике. Таким образом, построив график двух функций, мы сможем легче сравнить их характеристики.

Существует три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в построении точек, а затем проведении линии через точки. Во-вторых, с использованием точки пересечения и наклона y-. И третий — с помощью преобразований функции тождества

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

.

График функции путем построения точек

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию при этих входных значениях и вычислить выходные значения. Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике. Например, учитывая функцию,

f(x)=2xf\left(x\right)=2xf(x)=2x

, мы могли бы использовать входные значения 1 и 2. Вычисление функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, который представлен точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4). Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не лежат на одной линии, мы знаем, что допустили ошибку.

Как: Для заданной линейной функции построить график по точкам.

1. Выберите не менее двух входных значений.
2. Оценить функцию для каждого входного значения.
3. Используйте полученные выходные значения для идентификации пар координат.
4. Нанесите пары координат на сетку.
5. Проведите линию через точки.

Пример 1. График по точкам

График

f(x)=−23x+5f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5f(x)=−32​ x+5

по точкам.

Раствор

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает в себя дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем кратные 3 в качестве входных значений. Мы выберем 0, 3 и 6.

Вычислите функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для идентификации пар координат.

{х=0f(0)=-23(0)+5=5⇒(0,5)х=3f(3)=-23(3)+5=3⇒(3,3)х=6f (6)=−23(6)+5=1⇒(6,1)\begin{cases}x=0& & f\left(0\right)=-\frac{2}{3}\left(0 \right)+5=5\Стрелка вправо \left(0,5\right)\\ x=3& & f\left(3\right)=-\frac{2}{3}\left(3\right)+ 5=3\Стрелка вправо\влево(3,3\вправо)\\ x=6& & f\влево(6\вправо)=-\frac{2}{3}\влево(6\вправо)+5=1\ Стрелка вправо\влево(6,1\вправо)\конец{случаи}⎩

⎨

⎧​x=0x=3x=6​f(0)=−32​(0)+5=5⇒(0,5)f(3)=−32​(3)+5 =3⇒(3,3)f(6)=−32​(6)+5=1⇒(6,1)​

Постройте пары координат и проведите линию через точки. На рисунке 1 показан график функции

f(x)=−23x+5f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5f(x)=−32​x+5

.

Рисунок 1

Попробуйте 1

График

f(x)=−34x+6f\left(x\right)=-\frac{3}{4}x+6f(x)=− 43​x+6

по точкам. Решение

График линейной функции с использованием точки пересечения

y- и наклона

Другой способ построения графика линейных функций заключается в использовании конкретных характеристик функции, а не точек на графике. Первой характеристикой является точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить x = 0 в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон м , что является мерой его крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон функции равен отношению изменения выходов к изменению входов. Другой способ представить уклон — это разделить вертикальную разницу, или подъем, на горизонтальную разницу, или пробег. Мы столкнулись как с точкой пересечения y-, так и с наклоном в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

f(x)=12x+1f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1f(x)=21​x+1

Наклон равен

12\frac{1}{2}21​

. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклонен вверх слева направо. Точка пересечения y- представляет собой точку на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения и . Мы можем начать построение графика, нанеся точку (0, 1). Мы знаем, что уклон представляет собой подъем над пробегом,

m=riserunm=\frac{\text{rise}}{\text{run}}m=runrise​

. В нашем примере у нас есть

m=12m=\frac{1}{2}m=21​

, что означает, что подъем равен 1, а пробег равен 2. Таким образом, начиная с нашего y -intercept ( 0, 1), мы можем подняться на 1, а затем пробежать 2, или пробежать 2, а затем подняться на 1. Мы повторяем, пока у нас не будет несколько точек, а затем мы проводим линию через точки, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2

A Общее примечание: Графическая интерпретация линейной функции

В уравнении

f(x)=mx+bf\left(x\right)=mx+bf(x)=mx+b

• b  является y -пересечением графика и указывает точку (0, b ), при котором график пересекает ось y .
• м  является наклоном линии и указывает вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек. Напомним формулу наклона:

м = изменение на выходе (рост) изменение на входе (прогон) = ΔyΔx = y2−y1x2−x1m=\frac{\text{изменение на выходе (рост)}}{\text{изменение на входе (прогон)} }=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1} }m=изменение на входе (выполнение)изменение на выходе (рост)=ΔxΔy​=x2​−x1​y2​−y1​​

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют и -пересечения?

Да. Все линейные функции пересекают ось y и, следовательно, имеют точки пересечения с осью y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси Y, не имеет точки пересечения с Y, но это не функция. )

Как: Имея уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точки пересечения

и и наклон.

1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти г- перехват.
2. Определите наклон как скорость изменения входного значения.
3. Нанесите точку, представленную точкой пересечения y-.
4. Используйте

   risrun\frac{\text{rise}}{\text{run}}runrise​

   , чтобы определить как минимум еще две точки на линии.
5. Нарисуйте линию, проходящую через точки.

Пример 2: построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона х)=−32​x+5

с использованием точки пересечения y- и наклона.

Решение

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y-. Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересекает ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии равен

−23-\frac{2}{3}−32​

. Это говорит нам о том, что при каждом вертикальном уменьшении «подъема» на –2 единицы «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив y — точка пересечения на рисунке 3. От начального значения (0, 5) перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Рисунок 3

Попробуйте 2

Найдите на графике, который мы нарисовали в Примере 2, точку с отрицательным значением x .

Решение

График линейной функции с использованием преобразований

Другим вариантом построения графика является использование преобразований тождественной функции

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

. Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функцию также можно преобразовать с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении

f(x)=mxf\left(x\right)=mxf(x)=mx

м  действуют как вертикальное растяжение или сжатие функции тождества. Когда м  отрицательно, также имеется вертикальное отражение графика. Обратите внимание на рис. 4 , что умножение уравнения

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

на м растягивает график f в м единиц. если м > 1 и сжимает график f в м единиц, если 0 м м, тем круче наклон.

Рис. 4. Вертикальные растяжения, сжатия и отражения функции

f(x)=xf\влево(x\вправо)=xf(x)=x

.

Вертикальное смещение

В

f(x)=mx+bf\left(x\right)=mx+bf(x)=mx+b

, b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что на рисунке 5 добавление значения b к уравнению

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

сдвигает график f  всего на b  единиц вверх, если b положительный и | б | единицы вниз, если b отрицательное значение.

Рис. 5. На этом графике показаны вертикальные сдвиги функции

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

.

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ взглянуть на определение различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построения графика функции такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Как: Имея уравнение линейной функции, используйте преобразования для построения графика линейной функции в виде

f(x)=mx+bf\left(x\right)=mx+bf(x)=mx+b

.

1. График

   f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

   .
2. Растянуть или сжать график по вертикали с коэффициентом m .
3. Сдвиг графика вверх или вниз b  ед.

Пример 3. График с использованием преобразований

График

f(x)=12x−3f\left(x\right)=\frac{1}{2}x — 3f(x)=21​x−3

с помощью преобразований.

Решение

Уравнение для функции показывает, что

m=12m=\frac{1}{2}m=21​

, поэтому функция идентичности вертикально сжата на

12\frac{1}{2 }21​

. Уравнение для функции также показывает, что b = –3, поэтому функция идентичности смещена по вертикали на 3 единицы вниз. Во-первых, нарисуйте график функции идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Рис. 6. Функция, y  = x , сжатое в

12\frac{1}{2}21​

. Затем покажите вертикальное смещение.

Рис. 7. Функция

y=12xy=\frac{1}{2}xy=21​x

, сдвинутая вниз на 3 единицы.

Попробуйте 3

График

f(x)=4+2xf\left(x\right)=4+2xf(x)=4+2x

, используя преобразования. Решение

Вопросы и ответы

Можно ли в примере 3 нарисовать график, поменяв порядок преобразований на обратный?

Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на данном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку: пусть вход будет 2.

{f(2)=12(2)−3=1−3=−2\begin{cases}f\text{(2)}=\ frac{\text{1}}{\text{2}}\text{(2)}-\text{3}\qquad \\ =\text{1}-\text{3}\qquad \\ =- \text{2}\qquad \end{case}⎩

⎨

⎧​f(2)=21​(2)−3=1−3=−2​

Лицензии и атрибуции

Лицензионный контент CC, совместно используемый ранее

• Precalculus.

Список уравнений реакций (Страница 10)

Фосфор и его соединения

Фосфор (P) — открыт алхимиком Х. Брандом в 1669 году. В свободном состоянии в природе не встречается.
Электронная конфигурация 1S22S22P63S23P3
 
Важнейшие аллотропные модификации
 
Белый фосфор. Получается при конденсации паров. Состоит из молекул P4. Мягкое, бесцветное вещество, ядовит, имеет чесночный запах, t°пл.= 44°С, t°кип.= 280°С, растворим в сероуглероде (CS2), летуч. Очень реакционноспособен, окисляется на воздухе (при этом самовоспламеняется), в темноте светится.
 
Красный фосфор. Без запаха, цвет красно-бурый, не ядовит. Атомная кристаллическая решётка очень сложная, обычно аморфен. Нерастворим в воде и в органических растворителях. Устойчив. В темноте не светится. Физические свойства зависят от способа получения.
 
Чёрный фосфор — полимерное вещество с металлическим блеском, похож на графит, без запаха, жирный на ощупь. Нерастворим в воде и в органических растворителях. Атомная кристаллическая решётка, полупроводник. t°кип.= 453°С (возгонка), t°пл.= 1000°C (при p=1,8 • 109 Па), устойчив.
 
Получение
 
Красный и черный фосфор получают из белого. Белый фосфор получают восстановлением фосфата кальция (сплавление в электрической печи):
 
Ca3(PO4)2 + 3SiO2 + 5C  –t°®  3CaSiO3 + 5CO­ + 2P­
 
Химические свойства.
 

      1.      Реакции с кислородом:

4P0 + 5O2  –t°®  2P2+5O5
 

      (при недостатке кислорода: 4P0 + 3O2  –t°®  2P2+3O3)

      2.      С галогенами и серой:

2P + 3Cl2 ® 2PCl3
2P + 5Cl2 ® 2PCl5
2P + 5S  –t°®  P2S5
 

      (галогениды фосфора легко разлагаются водой, например:
      
      PCl3 + 3h3O ® h4PO3 + 3HCl
      PCl5 + 4h3O ® h4PO4 + 5HCl)

      3.      С азотной кислотой:

 
3P0 + 5HN+5O3 + 2h3O ® 3h4P+5O4 + 5N+2O­
 

      4.      С металлами образует фосфиды, в которых фосфор проявляет степень окисления — 3:

 
2P0 + 3Mg ® Mg3P2-3
 

      (фосфид магния легко разлагается водой

 
Mg3P2 + 6h3O ® 3Mg(OH)2 + 2Ph4­(фосфин))
3Li + P ® Li3P-3
 

      5.       Со щелочью:

4P + 3NaOH + 3h3O ® Ph4­ + 3Nah3PO2
 
 В реакциях (1,2,3) — фосфор выступает как восстановитель, в реакции (4) — как окислитель; реакция (5) — пример реакции диспропорционирования.
 
Соединения фосфора
 
P-3h4 Фосфин – газ, с неприятным запахом тухлой рыбы, бесцветный, малорастворим в воде, нестоек, ядовит; t°пл.= -87,5°С, t°кип.= -134°С.
 
Получение
 
Фосфиды щелочных и щелочноземельных металлов разлагаются водой и кислотами с образованием фосфина:
 
Ca3P2 + 6HCl ® 3CaCl2 + 2Ph4­
Ca3P2-3 + 6h3O ® 3Ca(OH)2+ 2P-3h4­
 
Химические свойства.
 

      1)     Разлагается при нагревании:

2Ph4  –t°®  2P + 3h3
 

      2)     Проявляет слабые основные свойства:

 
Ph4 + HI ® [Ph5]+I-
йодистый фосфоний менее устойчивый, чем соли аммония.
 

      3)     Сильный восстановитель. На воздухе самовоспламеняется.

 
P2+3 O3 Фосфористый ангидрид (оксид фосфора (III)).
Белые кристаллы, t°пл.= 24°С; t°кип.= 175°C. Существует в виде нескольких модификаций. В парах состоит из молекул P4O6. P2O3 соответствует фосфористая кислота h4PO3.
 
Получение
 
Окисление фосфора при недостатке кислорода
 
4P + 3O2 ® 2P2O3
 
Химические свойства
 

      1.      Все свойства кислотных оксидов.

P2O3 + 3h3O ® 2h4PO3
 

      2.      Сильный восстановитель

O2+ P2+3O3 ® P2+5O5
 
P2+5O5 Фосфорный ангидрид (оксид фосфора (V)).
Белые кристаллы, t°пл.= 570°С, t°кип.= 600°C, r = 2,7 г/см3. Имеет несколько модификаций. В парах состоит из молекул P4h20, очень гигроскопичен (используется как осушитель газов и жидкостей).
 
Получение
 
4P + 5O2 ® 2P2O5
 
Химические свойства
 
Все химические свойства кислотных оксидов: реагирует с водой, основными оксидами и щелочами
 

      1)     

P2O5 + h3O ® 2HPO3(метафосфорная кислота)
P2O5 + 2h3O ® h5P2O7(пирофосфорная кислота)
P2O5 + 3h3O ® 2h4PO4(ортофосфорная кислота)
 

      2)     

P2O5 + 3BaO ® Ba3(PO4)2
 

      3)     

P2O5 + 6KOH ® 2K3PO4+ 3h3O
 
P2O5 — сильное водоотнимающее средство:
 

      4)     

P2O5+ 2HNO3 ® 2HPO3 + N2O5
P2O5+ 2HClO4 ® 2HPO3+ Cl2O7
 
HP+5O3 Метафосфорная кислота.
 

 
Получение
 
P2O5+ h3O ® 2HPO3
 
Соли метафосфорной кислоты — метафосфаты (KPO3 – метафосфат калия)
 
Химические свойства
 
Характерны все свойства кислот.
 
h4P+5O3 Фосфористая кислота
 

 
Бесцветное кристаллическое вещество; t°пл.= 74°С, хорошо растворимое в воде.
 
Получение
 
PCl3+ 3h3O ® h4PO3+ 3HCl
 
Химические свойства
 

      1)     Водный раствор h4PO3 — двухосновная кислота средней силы (соли – фосфиты):

 
h4PO3+ 2NaOH ® Na2HPO3+ 2h3O
 

      2)     При нагревании происходит превращение в ортофосфорную кислоту и фосфин:

 
4h4PO3 ® 3h4PO4+ Ph4
 

      3)     Восстановительные свойства:

 
h4PO3+ HgCl2+ h3O ® h4PO4+ Hg + 2HCl
 
h4P+5O4 Ортофосфорная кислота.
 

 
Белое твердое вещество, гигроскопичное, хорошо растворимое в воде; t°пл.= 42°С, r = 1,88 г/см3.
 
Диссоциация:
h4PO4 « 3H+ + PO4-3
h4PO4+ 3h3O « 3h4O+ + PO43-
h4PO4 « H+ + h3PO4-
h3PO4- « H+ + HPO42-
HPO42- « H+ + PO43-
 
Ортофосфорная кислота — средней силы, не является окислителем, трехосновная. Она образует средние соли — ортофосфаты (Na3PO4) и два типа кислых солей — дигидрофосфаты (Nah3PO4) и гидрофосфаты (Na2HPO4).
 
Получение
 

      1)     

P2O5+ 3h3O ® 2h4PO4
 
Промышленный способ:
 

      2)     

Ca3(PO4)2(твердый) + 3h3SO4(конц.) ® 2h4PO4+ 3CaSO4¯
 

      3)     

3P + 5HNO3+ 2h3O ® 3h4PO4+ 5NO­
 
Химические свойства
 
Для ортофосфорной кислоты характерны все свойства кислот – неокислителей. При нагревании она превращается в пирофосфорную кислоту.
 
2h4PO4  –t°®  h5P2O7 + h3O
 
Качественная реакция на обнаружение в растворе анионов PO43-
 
3Ag+ + PO43- ® Ag3PO4¯(ярко-желтый осадок)
 
Фосфорные удобрения
 
Фосфорными удобрениями являются кальциевые и аммонийные соли фосфорной кислоты.
 
Фосфоритная мука
Получают при тонком размоле фосфоритов. Так как она содержит нерастворимую соль Ca3(PO4)2, то усваиваться растениями может только на кислых почвах.
При обработке фосфоритов или аппатитов серной или фосфорной кислотой получают растворимые в воде соединения, хорошо усваемые растениями на любых почвах:
 
Ca3(PO4)2 + 2h3SO4 ® Ca(h3PO4)2 + 2CaSO4
(Ca(h3PO4)2 простой суперфосфат (обычно применяют в виде гранул Æ 2-4 мм))
Ca3(PO4)2 + 4h4PO4 ® 3Ca(h3PO4)2(двойной суперфосфат)
 
Нейтрализацией гашеной извести фосфорной кислотой получают преципитат:
 
h4PO4 + Ca(OH)2 ® CaHPO4 • 2h3O
 
Нейтрализацией фосфорной кислоты аммиаком получают аммофос – (Nh5)2HPO4 + Nh5h3PO4, содержащий N и P. Разновидности: нитроаммофос – Nh5h3PO4 + Nh5NO3; аммофоска – (Nh5)2HPO4 + Nh5h3PO4 + KCl.

Презентация на тему «Бинарные соединения»

#8 класс #Химия #Учебно-методические материалы #Презентация #Учитель-предметник #Школьное образование

ДЕВИЗ УРОКА : ДЕВИЗ УРОКА : УЗНАТЬ СМОТРЕТЬ ПРОБОВАТЬ ЕСТЕСТВЕННО ХОТЕТЬ

Закончите предложения: Степень окисления (СО) простых веществ равна ____ . Сумма СО всех входящих в её состав атомов элементов равна ____ . СО Ме всегда имеет _______________ значение. Постоянную СО имеют элементы _____ групп главных подгрупп – определяется по ____________ . СО фтора во всех соединениях равна ___ . СО водорода — ___, искл. ___________ , где СО водорода равна ___ . СО кислорода — ___, искл. _________ , где СО кислорода равна ___ . СО остальных элементов имеет ______________ значение. Высшая СО элемента определяется по ______________. Низшая — _______________________.

Определите степени окисления атомов элементов в сложных веществах, назовите эти вещества: 1 вариант 2 вариант Mg3P2 – Ca2Si – SiC – CuI2 – NF3 – Fe2O3 – Li3N – NaCl –

№ 1 № 2 № 3

Она и дождь, и град, и снег, Туман и гололед, Носитель благ, предвестник бед — И радуга, и лед. Фалес Милетский

№ 3 Песок

Н2О SiO2 CO2

БИНАРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ Учитель химии МОУ «СОШ №32» г. о. Саранск Нуянзина М.И.

ОКСИДЫ – ЭТО СЛОЖНЫЕ ВЕЩЕСТВА, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ, ОДНИМ ИЗ КОТОРЫХ ЯВЛЯЕТСЯ КИСЛОРОД СО СТЕПЕНЬЮ ОКИСЛЕНИЯ -2. ОКСИДЫ – ЭТО СЛОЖНЫЕ ВЕЩЕСТВА, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ, ОДНИМ ИЗ КОТОРЫХ ЯВЛЯЕТСЯ КИСЛОРОД СО СТЕПЕНЬЮ ОКИСЛЕНИЯ -2.

ИЗ ПРЕДЛОЖЕННЫХ ВЕЩЕСТВ ВЫБЕРИТЕ ОКСИДЫ И НАЗОВИТЕ ИХ NO2, CaSO4, Bа(OH)2, NaCl, SO3, KNO3, Li2O, MgO, h3S

NO2 – ОКСИД АЗОТА (IV) NO2 – ОКСИД АЗОТА (IV) SO3 – ОКСИД СЕРЫ (VI) Li2O – ОКСИД ЛИТИЯ MgO — ОКСИД МАГНИЯ

КЛАССИФИКАЦИЯ ОКСИДОВ ОКСИДЫ ОСНОВНЫЕ КИСЛОТНЫЕ (ОКСИДЫ МЕТАЛЛОВ) (ОКСИДЫ НЕМЕТАЛЛОВ) Li2O, MgO NO2, SO3

СДЕЛАЙТЕ ВЫВОДЫ О ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ОКСИДОВ. СДЕЛАЙТЕ ВЫВОДЫ О ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ОКСИДОВ. ШИРОКА НАТУРА У ОКСИДОВ, МОЖЕТ ЧЕРНЫМ БЫТЬ, И БЕЛЫМ, КАМНЕМ ВНИЗ, А ТО РЕКОЙ ТЕЧЕТ, МОЖЕТ С ЗАПАХОМ И БЕЗ, А ЗАХОЧЕТ — ГАЗ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ, НЕ ОСТАВИТ ВАС БЕЗ ДЕЛА: И ВЕЩЕСТВ СОЗДАСТ КРУГОВОРОТ. «ИЗУЧАЙТЕ — МИР ЧУДЕС!»  

Чем сходны данные соединения? NaH, h4N, HCl, Mgh3, Sih5, h3S, Bah3, KH

КЛАССИФИКАЦИЯ ВОДОРОДНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ВОДОРОДНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ МЕТАЛЛОВ НЕМЕТАЛЛОВ NaH, Mgh3, h4N, HCl, Bah3, KH Sih5, h3S

ГИДРИДЫ МЕТАЛЛОВ Гидриды металлов – твердые, нелетучие, тугоплавкие вещества.

ГИДРИДЫ НЕМЕТАЛЛОВ

ЗАПИШИТЕ ФОРМУЛЫ ТЕХ ОКСИДОВ, КОТОРЫЕ ВСТРЕЧАЮТСЯ В РАССКАЗЕ: В ЗЕМНОЙ КОРЕ – ЛИТОСФЕРЕ НАХОДЯТСЯ ГЛИНА, В ЕЁ СОСТАВ ВХОДИТ ОКСИД АЛЮМИНИЯ ___1__ , ОКСИД КРЕМНИЯ (IV) __2___ (ПЕСОК), ОКСИД ЖЕЛЕЗА (III) __3__ (СОДЕРЖИТСЯ В КРАСНОМ ЖЕЛЕЗНЯКЕ). ВОДНАЯ ОБОЛОЧКА ЗЕМЛИ – ГИДРОСФЕРА – ЭТО ОКСИД ВОДОРОДА ___4__. В ВОЗДУХЕ ЕСТЬ ОКСИД УГЛЕРОДА (IV) __5__ (УГЛЕКИСЛЫЙ ГАЗ). В РЕЗУЛЬТАТЕ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА ОБРАЗУЮТСЯ ВЕЩЕСТВА, ЗАГРЯЗНЯЮЩИЕ АТМОСФЕРУ: ОКСИД УГЛЕРОДА (II) ____6____ (УГАРНЫЙ ГАЗ), ОКСИД СЕРЫ (IV) _____7____ (СЕРНИСТЫЙ ГАЗ), ОКСИД АЗОТА (II) ____8___ И ОКСИД АЗОТА (IV) ___9__.

Лежу на берегу, вокруг одни оксиды, Куда не погляжу – прекраснейшие виды: Песочек – пляж, вода морская, А с моря бриз. Волна крутая. И воздух… дышится легко, Вода – парное молоко. Забудешь беды и обиды… А все же… где же здесь оксиды?!

Что, как сбалансировать и часто задаваемые вопросы —

Вишнуприя Тадури

Фосфид магния (Mg ₃ P ₂ ) представляет собой соль, состоящую из трех металлов Mg и двух неметаллов P. Бромоводород (HBr) — сильная кислота. Рассмотрим реакцию HBr и Mg ₃ P _{2 .}

Фосфид магния представляет собой белое кристаллическое кубическое твердое вещество. Воспламеняется при контакте с воздухом и интенсивно реагирует с водой. Это сильный восстановитель, который в основном используется в качестве фумиганта в сельском хозяйстве. HBr — острая кислота и сильный окислитель, используемый в производстве броморганических соединений.

В этой статье мы обсуждаем различные факты и часто задаваемые вопросы о HBr + Mg продукт HBr и Mg ₃ P ₂ ?

HBr реагирует с фосфидом магния с образованием бромида магния (MgBr ₂ ) вместе с выделением газа фосфина (PH ₃ ).

6HBr + Mg ₃ P ₂ —> 3MgBr ₂ + 2PH ₃

Какой тип реакции HBr + Mg

3 0 6 P 900?

Реакция HBr + Mg ₃ P ₂ является примером реакции двойного замещения, также известной как реакция метатезиса солей   .

Как сбалансировать HBr + Mg

₃ P ₂ ?

Шаги для балансировки HBr + Mg ₃ P ₂ следующим образом –

• Присвойте алфавит каждому соединению в реагенте и продукте, чтобы представить неизвестные коэффициенты.
• а HBr + b Mg ₃ P ₂ —– > c MgBr ₂ + d PH ₃ 90 составить все уравнение коэффициенты каждого элемента, участвующего в реакция.
• H → a=3d, Br → a=2c, Mg → 3b=c, P → 2b=d
• Примените метод исключения Гаусса для определения значений каждого назначенного коэффициента.
• Значение коэффициентов, полученных после упрощения, равно a= 6, b=1, c=3, d=2.
• Общее сбалансированное уравнение: 0018

HBr + Mg

₃ P ₂ титрование

HBr + Mg ₃ P ₂ титрования обычно избегают, так как их токсическая реакция протекает энергично 18 фосфиновый газ.

HBr + Mg

₃ P ₂ результирующее ионное уравнение

результирующее ионное уравнение между HBr+ Mg _{3 P равно 2:9005 3 P 0018}

6H ⁺ (водный) + Мг ₃ P ₂ (s) = 3Mg ²⁺ (водн. ) + PH ₃ (g)

Итоговое ионное уравнение выводится с помощью следующих шагов: 0096 Запись сбалансированное уравнение, указывающее физические состояния каждой молекулы.

6HBr (водн.) + Mg ₃ P ₂ (с) = 3MgBr ₂ (водн.) + 2PH ₃ (г)

9 90ионная форма растворимые электролиты, присутствующие в реакции. Следовательно, полное ионное уравнение имеет вид –

6H ⁺ (водн.) + 6Br ^– (водн.) + Mg ₃ P ₂ (тв)  =  6Mg ²⁺ (водн.) + р) + РН ₃ (g)

Наконец, чтобы получить результирующее ионное уравнение, уберите ионы-спектаторы (6Br ^– ) по обе стороны от реакции .

6H ⁺ (водн.) + Mg ₃ P ₂ (с) = 3Mg ²⁺ (водн.) + PH ₃ (г)

0031 HBr + Mg ₃ P ₂ сопряженных пар

• HBr представляет собой сильную кислоту с Br ^– в качестве сопряженного основания.
• Сопряженной пары Mg ₃ P ₂ нет, так как чувствителен к влаге.

HBr + Mg

₃ P ₂ межмолекулярные силы

• Диполь-дипольные взаимодействия в основном существуют в HBr из-за огромной электроотрицательной разницы между атомом брома и водорода. Другими межмолекулярными силами, действующими в HBr, являются дисперсионные силы Лондона и сила Вандер-Ваала.
• Ионная связь наблюдается в Mg ₃ P ₂ , так как она состоит из металла и неметалла. Mg ₃ P ₂ представляет собой бинарное ионное соединение.

HBr + Mg

₃ P ₂ энтальпия реакции

HBr + Mg ₃ P ₂ энтальпия реакции 4 составляет -399 кДж/моль. Значения энтальпии образования приведены ниже –

Реагенты и продукты	Энтальпия в кДж/моль
HBr	-35,66
Mg 4 0 6 P 2 6 P 2 6 0343 -80
MgBr 2	-524
PH 3	+9

Значения энтальпии

• ∆H _f ^{° ∆H _f ° 005 ф ° (продукты) – ∆H _ф ° (реагенты)}

= -515 – (-115,66)

= -399,34 кДж/моль

Is HBr + Mg 9 0900 P

3 3 06 буферный раствор?

HBr + Mg ₃ P ₂ не является буферным раствором, так как HBr является сильной кислотой, а Mg ₃ P ₂ является неорганической солью, которая не может ни образовывать буферный раствор, ни поддерживать pH уровень других решений.

Is HBr + Mg

₃ P ₂ полная реакция?

HBr + Mg ₃ P ₂ является полной реакцией, так как вместе с газообразным фосфином образуется водорастворимая соль бромида магния.

Является ли HBr + Mg

₃ P ₂ экзотермической реакцией?

HBr + Mg ₃ P ₂ является экзотермической реакцией, при которой выделяется огромное количество тепла вместе с выделением газообразного фосфина.

HBr + Mg

₃ P ₂ окислительно-восстановительная реакция?

HBr + Mg ₃ P ₂  не является окислительно-восстановительной реакцией , поскольку в ходе реакции не происходит переноса электронов. Более того,   в реакции HBr + Mg ₃ P ₂ не происходит изменения степени окисления ни одного элемента; таким образом, это не окислительно-восстановительная реакция.

Является ли HBr + Mg

₃ P ₂ реакцией осаждения?

HBr + Mg ₃ P ₂ не является реакцией осаждения, поскольку продукт (MgBr ₂ ), образующийся в ходе химической реакции, представляет собой электрически нейтральную соль, растворимую в воде.

Является ли HBr + Mg

₃ P ₂ необратимой реакцией?

HBr + Mg ₃ P ₂ является необратимой реакцией, поскольку реакция никогда не может достичь равновесия из-за выделения газообразного фосфина.

Является ли HBr + Mg

₃ P ₂ реакцией замещения?

HBr + Mg ₃ P ₂ представляет собой реакцию двойного замещения, поскольку более реакционноспособный магний вытесняет водород из HBr, а H соединяется с неметаллом P с образованием PH ₃ .

 

Двойная реакция замещения

Заключение

Фосфид магния представляет собой бинарную соль щелочного металла, слабо растворимую в кислотах. MgBr ₂ , образующийся в этой реакции, в основном используется в качестве транквилизатора и катализатора в синтезе органических соединений. PH ₃ используется для фумигации продовольственного зерна.

Mg(3)P(2) при гидролизе образует

• Курс
  • NCERT
    • Класс 12
    • Класс 11
    • Класс 10
    • Класс 9
    • Класс 7
    • Класс 6
  • IIT JEE

• Экзамен
  • JEE MAINS
  • JEE ADVANCED
  • X BOARDS
  • XII BOARDS
  • NEET
    • Neet Предыдущий год (по годам)
    • Физика Предыдущий год
    9
    • Биология Предыдущий год
    • Нет Все образцы документов
    • Примеры работ по биологии
    • Примеры работ по физике
    • Примеры работ по химии

• Скачать PDF-файлы
  • Класс 12
  • Класс 11
  • Класс 10
  • Класс 9
  • Класс 8
  • Класс 7
  • Класс 6

Угол экзамена 95
• Онлайн-класс

• Викторина

• Задать вопрос WhatsApp

• Поиск Doubtnut

• Английский словарь

• Обсуждение Toppers

• Блог
909958 О нас

• Карьера

• Скачать

• Получить приложение

Вопрос

Обновлено: 29. 11.2019 МЕНЦ-Задание (Раздел-J)

10 видео

РЕКЛАМА

Текст Решение

Проверено экспертами

Правильный ответ:

A, C

Был ли этот ответ полезен?

74

Ab Padhai каро бина объявления ке

Khareedo DN Про и дехо сари видео бина киси объявление ки рукаават ке!

---

Похожие видео

Степень окисления P в Mg2P2O7 равна

11032647

01:09

Что из следующего получается при гидролизе Mg_(2)C_(3) ?

12676546

01:18

Моль углеводорода, полученного при гидролизе 1 моля Mg_(2)C_(3) (карбида магния)

18238887

01:10

3

18239019

02:52

Нет соединений, образующих газ при гидролизе (с H_(2)O ), Al_(4)C_(3),BaC_(2),Mg_(2)C_(3),SiC,B_(2 )H_(6),Fe_(3)C

33102524

Текст Решение

Масса Mg_(3)N_(2), полученного при взаимодействии 48 г металла с 34 г газа NH_(3), равна Mg + NH_(3) в Mg_(3)N_(2) ) + H_(2)

34125068

Text Solution

Степень окисления P в Mg2P2O7 равна

60007105

01:09

Mg2P2O7 Номер телефона:

94847455

04:56

Если 0,1 г соединения орана, содержащего фосфор, дает 0,222 г Mg_(2)P_(2)O_(7), то процент фосфора, присутствующего в соединении, равен

112987659

02:34

Реакция борида магния (Mg_(3)B_(2)) с раствором кислоты дает

233489486

01:03

902g2 органическое соединение Mg2 Р2О7. Каково процентное содержание фосфора в соединении? (P=31) (Молярная масса Mg2P2O7=222 г)

642795674

Текстовый раствор

0,12 г органического соединения дает 0,22 г Mg_(2)P_(2)O_(7) . Каково процентное содержание фосфора в соединении? (P= 31) (Молярная масса Mg_(2)P_(2)O_(7)= 222 г)

642811402

Text Solution

Щелочной гидролиз P_(4) с NaOH дает

643885275

Text Solution

Степень окисления P в Mg_(2_P0O7)03 равна _{(2) 2 644116555}

01:14

Mg3P2 при гидролизе дает

644350680

01:47

РЕКЛАМА

90 CK ELEMENTS-Назначение (Раздел-J)

• Верно из следующего

  03:12

• В ячейке Кастнера-Келинера при электролизе рассола 23 г натрия р… к продукту. Продукт будет

  00:57

• Какой из хлоридов наименее растворим в воде?

  03:08

• Порядок энтальпии решетки такой же, как

  01:57

• 0003

  01:25

• Щелочноземельные металлы в жидк.

§ Квадратные уравнения. Формула для корней квадратного уравнения

Как решать квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения

В предыдущих уроках мы разбирали «Как решать линейные уравнения», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2», значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

• 5x² − 14x + 17 = 0
• −x² + x + = 0
• x² + 0,25x = 0
• x² − 8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

ax² + bx + c = 0

«a», «b» и «c» — заданные числа.

• «a» — первый или старший коэффициент;
• «b» — второй коэффициент;
• «c» — свободный член.

Чтобы найти «a», «b» и «c» нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a», «b» и «c» в квадратных уравнениях.

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней.

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

• привести квадратное уравнение к общему виду «ax² + bx + c = 0». То есть в правой части должен остаться только «0»;
• использовать формулу для корней:

x_1;2 =

−b ± √b2 − 4ac

2a

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

x² − 3x − 4 = 0

Уравнение « x² − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax² + bx + c = 0» и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения.

Определим коэффициенты «a», «b» и «c» для этого уравнения.

Уравнение	Коэффициенты
x2 − 3x − 4 = 0	a = 1 b = −3 с = −4

Подставим их в формулу и найдем корни.

x² − 3x − 4 = 0
x_1;2 =

−b ± √b2 − 4ac

2a

x_1;2 =

−(−3) ± √(−3)2 − 4 · 1· (−4)

2 · 1

x_1;2 =

3 ± √9 + 16

2

x_1;2 =

3 ± √25

2

x_1;2 =

3 ± 5

2

x1 = 3 + 5 2	x2 = 3 − 5 2
x1 =	x2 =
x1 = 4	x2 = −1

Ответ: x₁ = 4; x₂ = −1

Важно!

Обязательно выучите наизусть формулу для нахождения корней.

x_1;2 =

−b ± √b2 − 4ac

2a

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x_1;2 =

−b ± √b2 − 4ac

2a

» часто заменяют подкоренное выражение
«b² − 4ac» на букву «D» и называют дискриминантом. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант».

---

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x² + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a», «b» и «c» довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax² + bx + c = 0».

Используем правило переноса и упростим подобные члены.

x² + 9 + x = 7x
x² + 9 + x − 7x = 0
x² + 9 − 6x = 0
x² − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

x_1;2 =

−(−6) ± √(−6)2 − 4 · 1 · 9

2 · 1

x_1;2 =

6 ± √36 − 36

2

x_1;2 =

6 ± √0

2

x_1;2 =

6 ± 0

2

x =
x = 3
Ответ: x = 3

---

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Мы помним из определения квадратного корня о том, что извлекать квадратный корень из отрицательного числа нельзя.

Рассмотрим пример квадратного уравнения, у которого нет корней.

5x² + 2x = − 3
5x² + 2x + 3 = 0
x_1;2 =

−2 ± √22 − 4 · 3 · 5

2 · 5

x_1;2 =

−2 ± √4 − 60

10

x_1;2 =

−2 ± √−56

10

Ответ: нет действительных корней.

Итак, мы получили ситуацию, когда под корнем стоит отрицательное число. Это означает, что в уравнении нет корней. Поэтому в ответ мы так и записали «Нет действительных корней».

Важно!

Что означают слова «нет действительных корней»? Почему нельзя просто написать «нет корней»?

На самом деле корни в таких случаях есть, но в рамках школьной программы они не проходятся, поэтому и в ответ мы записываем, что среди действительных чисел корней нет. Другими словами «Нет действительных корней».

Неполные квадратные уравнения

Иногда встречаются квадратные уравнения, в которых отсутсвуют в явном виде коэффициенты «b» и/или «c». Как например, в таком уравнении:

4x² − 64 = 0

Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. Как их решать рассмотрено в уроке «Неполные квадратные уравнения».

Как решать квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения

---

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

---

Решение квадратных уравнений через производные / Хабр

Здравствуйте, уважаемые читатели. После прочтения статьи у вас, вероятно, возникнет закономерный вопрос: «А зачем, собственно, это надо?». В силу этого сперва считаю необходимым заблаговременно сообщить, что искомый метод решения квадратных уравнений представлен скорее с морально-эстетической стороны математики, нежели со стороны практического сухого применения. Также заранее извиняюсь перед теми читателями, которые посчитают мои дилетантские изречения неприемлемыми. Итак, начнем забивать гвозди микроскопом.

Имеем алгебраическое уравнение второй степени (оно же квадратное) в общем виде:

Перейдем от квадратного уравнения к квадратичной функции:

Где, очевидно, необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль.

Кажется, нужно просто решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Но мы ведь собрались здесь не для этого. Давайте-ка лучше возьмем производную!

Исходя из определения физического смысла производной первого порядка ясно, что подставляя аргумент в получившуюся выше функцию мы (в частности) получим скорость изменения функции в заданной этим аргументом точке.

Что же дальше делать? Непонятно. А в любом непонятном случае нужно брать производную ещё раз:

На этот раз мы получили «скорость скорости» изменения функции (то бишь ускорение) в конкретной точке. Немного проанализировав полученное, можно сделать вывод, что «ускорением» является константа, которая не зависит от аргумента функции — запомним это.

Сейчас вспомним немного физику и равноускоренное движение (РУД). Что у нас есть в арсенале? Верно, имеется формула для определения координаты перемещения по оси при искомом движении:

Где — время, — начальная скорость, — ускорение.
Нетрудно заметить, что наша изначальная функция как раз представляет из себя РУД.

Разве формула перемещения для РУД не является следствием решения квадратного уравнения?

Нет. Формула для РУД выше по факту есть результат взятия интеграла от формулы скорости при ПРУД. Или из графика можно найти площадь фигуры. Там вылезет трапеция.
Формула перемещения при РУД не вытекает из решения каких-либо квадратных уравнений. Это очень важно, иначе не было бы смысла статьи.

Теперь осталось разобраться что есть что, и чего нам не хватает.

«Ускорение» у нас уже есть — им является производная второго порядка , выведенная выше. А вот чтобы получить начальную скорость , нам нужно взять в общем-то любой (обозначим его как ) и подставить его в производную теперь уже первого порядка — ибо она и будет искомым.

В таком случае возникает вопрос, какой же нужно взять? Очевидно, такой, чтобы начальная скорость была равна нулю, чтобы формула «перемещения при РУД» стала иметь вид:

В таком случае составим уравнение для поиска :

[подставили в производную первого порядка ]

Корнем такого уравнения относительно будет:

А значением исходной функции при таком аргументе будет:

Вспомним, какой целью мы задались в самом начале: «необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль». Иными словами, нам от положения необходимо «дойти до нуля».

Так как теперь нам известна начальная скорость, ускорение и какой путь необходимо пройти, то настало время отметить следующее:

, также как и

Тогда, подставив все известные величины, получим:

Поделим все на :

Теперь становится очевидно, что:

Соединим все «детали пазла» воедино:

Вот мы и получили окончательное решение поставленной задачи. Вообще Америку мы не открыли — мы просто пришли к формуле решения квадратного уравнения через дискриминант окольными путями. Практического смысла это не несет (примерно таким же образом можно решать уравнения первой/второй степени любого (не обязательно общего) вида).

Целью этой статьи является, в частности, подогрев интереса к анализу мат. функций и вообще к математике.

С вами был Петр, спасибо за внимание!

2} + bx + c = 0, потому что трехчлен в левой части нельзя легко разложить на множители. Это не значит, что квадратное уравнение не имеет решения. На этом этапе нам нужно обратиться к прямому подходу квадратной формулы, чтобы найти решения квадратного уравнения или, проще говоря, определить значения x, которые могут удовлетворять уравнению.

Чтобы использовать квадратную формулу, квадратное уравнение, которое мы решаем, должно быть приведено к «стандартной форме», иначе все последующие шаги не будут работать. Цель состоит в том, чтобы преобразовать квадратное уравнение так, чтобы квадратное выражение было изолировано на одной стороне уравнения, а противоположная сторона содержала только число ноль, 0,9.2} + bx + c = 0.

Притормози, если нужно. Будьте осторожны с каждым шагом, упрощая выражения. Именно здесь обычно случаются распространенные ошибки, потому что учащиеся склонны «расслабляться», что приводит к ошибкам, которые можно было бы предотвратить, например, при сложении, вычитании, умножении и/или делении действительных чисел.

---

Примеры решения квадратных уравнений с помощью квадратной формулы

Пример 1 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью квадратной формулы.

При осмотре становится очевидным, что квадратное уравнение имеет стандартную форму, поскольку правая часть равна нулю, а остальные члены остаются в левой части. Другими словами, у нас есть что-то вроде этого

Это здорово! Что нам нужно сделать, так это просто определить значения a, b и c, а затем подставить их в квадратичную формулу.

Вот оно! Сделайте привычкой всегда проверять решенные значения x обратно в исходное уравнение для проверки.

---

Пример 2 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение абсолютно не в той форме, которую мы хотим, потому что правая часть НЕ ноль. Мне нужно исключить 7 справа, вычитая обе стороны на 7. Это решит нашу проблему. После этого найдите x как обычно.

Окончательные ответы: {x_1} = 1 и {x_2} = — {2 \over 3}.

---

Пример 3 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение выглядит как «каша». У меня есть переменные x и константы с обеих сторон уравнения. Если мы сталкиваемся с чем-то подобным, всегда придерживаемся того, что знаем. Да, это все о стандартной форме. Мы должны заставить правую часть быть равной нулю. Мы можем сделать это в два этапа.

Сначала я вычту обе части в 5 раз, а затем прибавлю 8.

Значения, которые нам нужны:

a = — 1, b = — \,8 и c = 2

---

Пример 4 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя квадратную формулу.

Что ж, если вы думаете, что пример 3 — это «беспорядок», то этот должен быть еще «беспорядок». Однако вскоре вы поймете, что они действительно очень похожи.

Сначала нам нужно выполнить некоторую очистку, преобразовав это квадратное уравнение в стандартную форму. Звучит знакомо? Поверьте мне, эта проблема не так серьезна, как кажется, если мы знаем, что делать.

Напоминаем, что нам нужно нечто подобное 92} член с правой стороны.

• Удалите член x с правой стороны.

• Удалите константу с правой стороны.

После получения правильной стандартной формы на предыдущем шаге пришло время подставить значения a, b и c в квадратичную формулу, чтобы найти x.

• Из преобразованной стандартной формы извлеките необходимые значения.

a = 1, b = — \,4 и c = — \,14

• Затем вычислите эти значения по квадратичной формуле.

---

Вас также могут заинтересовать:

Решение квадратных уравнений методом квадратного корня
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений методом возведения в квадрат

Как решать квадратные уравнения? Решение квадратных уравнений

Прежде чем перейти к решению квадратных уравнений, давайте вспомним несколько фактов о квадратных уравнениях. Слово «квадратный» произошло от слова «квадрат» и означает «квадрат». Это означает, что в квадратном уравнении есть переменная, возведенная в степень 2 как член наибольшей степени. Стандартная форма квадратного уравнения задается уравнением ax ² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Мы знаем, что любое значение (значения) x, удовлетворяющее уравнению, известно как решение (или) корень уравнения, и процесс нахождения значений x которые удовлетворяют уравнению ax ² + bx + c = 0, называется решением квадратных уравнений.

Существуют различные методы решения квадратных уравнений. Но самым популярным методом является решение квадратных уравнений методом факторизации. Давайте подробно изучим все методы здесь вместе с несколькими решенными примерами.

1.	Как решать квадратные уравнения?
2.	Решение квадратичных уравнений с помощью факторинга
3.	Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
4.	Решение квадратичных уравнений с помощью графика
5.	Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле
6.	Часто задаваемые вопросы о решении квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения?

Решение квадратных уравнений означает нахождение значения (или) значений переменной, которые удовлетворяют уравнению. Значение (я), которые удовлетворяют квадратному уравнению, известны как его корни (или) решения (или) нули. Поскольку степень квадратного уравнения равна 2, оно может иметь максимум 2 корня. Например, легко видеть, что x = 1 и x = 2 удовлетворяют квадратному уравнению x ² — 3x + 2 = 0 (можно подставить каждое из значений в это уравнение и проверить). Таким образом, x = 1 и x = 2 являются корнями x ² — 3x + 2 = 0. Но как их найти, если они не заданы? Существуют различные способы решения квадратных уравнений.

• Решение квадратных уравнений методом факторизации
• Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
• Решение квадратных уравнений с помощью графика
• Решение квадратных уравнений по квадратной формуле

Помимо этих методов, существуют и другие методы, которые используются только в особых случаях (когда в квадратном уравнении отсутствуют члены), как описано ниже.

Решение квадратных уравнений отсутствует b

В квадратном уравнении ax ² + bx + c = 0, если член с b отсутствует, уравнение принимает вид ax ² + c = 0. Это можно решить, взяв квадратный корень с обеих сторон. Процесс поясняется примерами ниже.

• x ² — 4 = 0 ⇒ x ² = 4 ⇒ x = ±√4 ⇒ x = ± 2
  Таким образом, корни уравнения равны 2 и -2.
• x ² + 49 = 0 ⇒ x ² = -49 ⇒ x = ±√(-49) ⇒ x = ± 7i
  Таким образом, корни уравнения равны 7i и -7i.
  (обратите внимание, что это мнимые (или) комплексные числа).

Решение квадратных уравнений отсутствует c

В квадратном уравнении ax ² + bx + c = 0, если член с c отсутствует, уравнение становится ax ² + bx = 0. Чтобы решить уравнение этого типа, мы просто выносим x из левой части, устанавливаем каждый из множителей равным нулю и решаем. Процесс поясняется примерами ниже.

• х ² — 5х = 0 ⇒ х (х — 5) = 0 ⇒ х = 0; х — 5 = 0 ⇒ х = 0; х = 5
  Таким образом, корни уравнения равны 0 и 5.
• х ² + 21х = 0 ⇒ х (х + 21) = 0 ⇒ х = 0; х + 21 = 0 ⇒ х = 0; х = -21
  Таким образом, корни уравнения равны 0 и -11.

Теперь мы изучим методы решения квадратных уравнений в каждом из вышеупомянутых методов.

Решение квадратичных уравнений с помощью факторинга

Решение квадратичных уравнений с помощью факторизации — один из известных методов, используемых для решения квадратных уравнений. Пошаговый процесс решения квадратных уравнений факторингом объясняется вместе с примером.

• Шаг — 1: Приведите уравнение к стандартной форме. т. е. получить все члены с одной стороны (обычно с левой стороны) уравнения так, что другая сторона равна 0,
• Шаг — 2: Фактор квадратного выражения. Если вы хотите узнать, как разложить квадратное выражение на множители, нажмите здесь.
• Шаг — 3: По нулевому свойству продукта установите каждый из коэффициентов равным нулю.
• Шаг — 4: Решите каждое из приведенных выше уравнений.

Пример: Решите квадратное уравнение x ² — 3x + 2 = 0, разложив его на множители.

Решение:

Разлагая на множители левую часть, получаем (x — 1) (x — 2) = 0,

Тогда x — 1 = 0 (или) x — 2 = 0

что дает x = 1 (или) x = 2.

Таким образом, решения квадратного уравнения x ² — 3x + 2 = 0 равны 1 и 2. Этот метод применим только тогда, когда квадратное выражение факторизуемо. Если это НЕ факторизуемо, то мы можем использовать один из других методов, как описано ниже. Подобно квадратным уравнениям, у нас есть решения для линейных уравнений, которые используются для решения задач линейного программирования.

Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Завершение квадрата означает запись квадратного выражения ax ² + bx + c в форме a (x — h) ² + k (которая также известна как вершинная форма), где h = -b/2a и «k» можно получить, подставив x = h в ax ² + bx + c. Пошаговый процесс решения квадратных уравнений путем заполнения квадрата объясняется вместе с примером.

• Шаг — 1: Приведите уравнение к стандартной форме.
• Шаг — 2: Заполните квадрат с левой стороны. Если вы хотите узнать, как заполнить квадрат, нажмите здесь.
• Шаг — 3: Решите это для x (Нам нужно будет извлечь квадратный корень с обеих сторон по пути).

Пример: Решите 2x ² + 8x = -3, заполнив квадрат.

Решение:

Данное уравнение в стандартной форме имеет вид 2x ² + 8x + 3 = 0. Заполнив квадрат слева, получим 2 (x + 2) ² — 5 = 0. Теперь решим это для x,

Прибавив 5 с обеих сторон,
2 (х + 2) ² = 5
Разделив обе части на 2,
(х + 2) ² = 5/2
Извлекая квадратный корень с обеих сторон,
х + 2 = √(5/2) = √5/√2 · √2/√2 = √10/2
Вычитание 2 с обеих сторон,
x = -2 ± (√10/2) = (-4 ± √10) / 2

Таким образом, корни квадратного уравнения 2x ² + 8x = -3 равны (-4 + √10)/2 и (-4 — √10)/2.

Решение квадратичных уравнений с помощью графика

Для решения квадратного уравнения путем построения графика сначала нужно построить квадратное выражение (когда уравнение имеет стандартную форму) либо вручную, либо с помощью графического калькулятора. Тогда точки пересечения графика (точки, в которых график пересекает ось x) являются не чем иным, как корнями квадратного уравнения. Вот шаги, чтобы решить квадратные уравнения с помощью графика.

• Шаг — 1: Войдите в стандартную форму.
• Шаг — 2: Нарисуйте квадратное выражение (которое находится слева).
• Шаг — 3: Идентифицируйте точки пересечения.
• Шаг — 4: Координаты абсцисс точек пересечения абсцисс являются не чем иным, как корнями квадратного уравнения.

Пример: Решите квадратное уравнение 3x ² + 5 = 11x с помощью графика.

Решение:

Преобразование данного уравнения в стандартный вид, вычитание 11x с обеих сторон, 3x ² — 11x + 5 = 0. Теперь нарисуйте квадратное выражение. Нарисуйте квадратную функцию y = 3x ² — 11x + 5 либо вручную или с помощью графического калькулятора (GDC) и определите точки пересечения по оси x. Его график равен

Таким образом, решения квадратного уравнения 3x ² + 5 = 11x равны 0,532 и 3,135.

Из приведенного выше примера видно, что графический метод решения квадратных уравнений может не давать точных решений (т. е. давать только десятичные приближения корней, если они иррациональны). т. е., если мы решим то же уравнение с помощью дополнения квадрата, мы получим x = (11 + √61) / 6 и x = (11 — √61) / 6. Но мы не можем получить эти точные корни графическим методом.

Что делать, если график вообще не пересекает ось X? Это означает, что квадратное уравнение имеет два комплексных корня. т. е. метод построения графика НЕ ​​помогает найти корни, если они являются комплексными числами. Мы можем использовать квадратичную формулу (которая объясняется в следующем разделе), чтобы найти любой тип корней.

Решение квадратных уравнений по формуле квадратов

Как мы уже видели, предыдущие методы решения квадратных уравнений имеют некоторые ограничения, такие как метод факторизации полезен только тогда, когда квадратное выражение факторизуемо, метод построения графиков полезен только тогда, когда квадратное уравнение имеет действительные корни и т. д. Но решение квадратных уравнений по квадратной формуле преодолевает все эти ограничения и полезно для решения любого типа квадратных уравнений. Вот пошаговое объяснение решения квадратного уравнения по формуле квадратного уравнения.

• Шаг — 1: Входим в стандартную форму.
• Шаг — 2: Сравните уравнение с ax ² + bx + c = 0 и найдите значения a, b и c.
• Шаг — 3: Подставьте значения в квадратную формулу, которая говорит x = [-b ± √(b² — 4ac)] / (2a). Тогда мы получим
• Шаг — 4: Упрощение.

Пример: Решите квадратное уравнение 2x ² = 3x — 5 по квадратной формуле.

Решение:

Приведенное выше уравнение в стандартной форме 2x ² — 3x + 5 = 0.

Сравнивая уравнение с ax ² + bx + c = 0, получаем a = 2, b = -3. и c = 5.

Подставляем значения в квадратную формулу

x = [-(-3) ± √((-3)² — 4(2)(5))] / (2(2))
= [ 3 ± √(9 — 40) ] / 4
= [ 3 ± √(-31) ] / 4
= [ 3 ± i√(31) ] / 4

Таким образом, корнями квадратного уравнения 2x ² = 3x — 5 являются [ 3 + i√(31) ] / 4 и [ 3 — i√(31) ) ] / 4. В квадратичной формуле выражение b² — 4ac называется дискриминантом (обозначается буквой D). т. е. D = b² — 4ac. Это используется для определения природы корней квадратного уравнения.

Природа корней с использованием дискриминанта

• Если D > 0, то уравнение ax ² + bx + c = 0 имеет два действительных и различных корня.
• Если D = 0, то уравнение ax ² + bx + c = 0 имеет только один действительный корень.
• Если D < 0, то уравнение ax ² + bx + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Таким образом, используя дискриминант, мы можем найти количество решений квадратных уравнений, фактически не решая его.

Важные замечания по решению квадратных уравнений:

• Метод факторизации нельзя применять, если квадратное выражение НЕ факторизуемо.
• Графический метод не может дать комплексные корни, а также не может дать точные корни в случае, если квадратное уравнение имеет иррациональные корни.
• Завершение метода квадратов и метода квадратичных формул может быть применено для решения любого типа квадратного уравнения.
• Корни квадратного уравнения также известны как «решения» или «нули».
• Для любого квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0,
  сумма корней = -b/a
  произведение корней = с/а.

☛Связанные темы:

• Решение квадратных уравнений с помощью калькулятора квадратных формул
• Решение квадратных уравнений с помощью квадратного калькулятора
• Калькулятор корней квадратного уравнения
• Решение квадратных уравнений с помощью калькулятора факторинга

Часто задаваемые вопросы о решении квадратных уравнений

В чем смысл решения квадратных уравнений?

Решение квадратных уравнений означает нахождение их решений или корней. т. е. это процесс нахождения значений переменной, удовлетворяющих уравнению.

Какие самые популярные способы решения квадратных уравнений?

Существуют разные способы решения квадратичных уравнений. Но самыми популярными способами являются «решение квадратных уравнений факторингом» и «решение квадратных уравнений по квадратной формуле».

Каковы этапы решения квадратных уравнений с помощью графика?

Чтобы решить квадратное уравнение с помощью графика, сначала приведите к стандартной форме ax ² + bx + c = 0. Затем начертите квадратное выражение ax ² + bx + c. Найдите, где график пересекает ось x. X-координата x-перехвата (ов) — это не что иное, как решения квадратного уравнения.

Какие 4 способа решения квадратичных уравнений?

Существует 4 способа решения квадратных уравнений.

• по факторингу
• , заполнив квадрат
• по графику
• по квадратичной формуле

Как решать квадратные уравнения по квадратным формулам?

Решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 находятся по квадратной формуле x = [-b ± √(b² — 4ac)] / (2a). Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы, просто приведите уравнение к стандартной форме: ax ² + bx + c = 0 и примените квадратную формулу.

Как узнать, какой метод использовать при решении квадратных уравнений?

Мы можем решать квадратные уравнения любого типа, дополняя квадрат или квадратную формулу. Но если квадратное выражение факторизуемо, то проще всего применить метод факторинга. Мы можем решить его и графическим методом, но он дает только аппроксимированные вещественные корни (т.е. комплексные корни не могут быть найдены в этом методе).

Какой самый простой способ решения квадратных уравнений?

Самым простым способом решения квадратных уравнений является метод факторинга. Но не всегда квадратные выражения факторизуемы. В этом случае мы можем либо использовать квадратичную формулу, либо использовать метод завершения квадрата.

Какие этапы решения квадратичных уравнений путем заполнения квадрата?

Чтобы решить квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 путем завершения квадрата, преобразуйте ax ² + bx + c в вершинную форму a (x — h) ² + k, где h = -b /2a и k получается подстановкой x = h в ax ² + бх + в. Тогда мы можем легко решить (x — h) ² + k = 0, изолируя x. В этом процессе нам придется извлекать квадратный корень с обеих сторон.

Как решать квадратные уравнения с помощью факторинга?

Для решения квадратных уравнений методом факторизации сначала приведите его к стандартной форме (ax ² + bx + c = 0). Затем разложите левую часть на множители, используя методы факторизации квадратных выражений, установите каждый из множителей равными нулю, что приведет к двум линейным уравнениям, и, наконец, решите линейные уравнения.

Как факторизованная форма помогает решать квадратные уравнения?

Если квадратное выражение в стандартной форме квадратного выражения в нем факторизуемо, то мы можем просто установить каждый множитель равным нулю и решить их. Решения — это не что иное, как корни квадратного уравнения.

Как найти корни квадратных уравнений?

Корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 можно найти с помощью квадратной формулы, которая гласит: x = [-b ± √(b² — 4ac)] / (2a).