Автор: alexxlab

Функция y = x2 и её график

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Тема: Функция y = x2 и её график.

15. Свойства функции y = x2

English     Русский Правила

Математическая задача: Парабола 3 — вопрос № 3532, алгебра, уравнение

Найдите уравнение параболы с фокусом в точке (0,2) и вершиной в начале координат.
f:y=x2+bx+c

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

. Спасибо!

Советы для связанных онлайн-калькуляторов

У вас есть линейное уравнение или система уравнений и вы ищете ее решение? Или у вас есть квадратное уравнение?

Для решения этой задачи по математике вам необходимо знать следующие знания:

• алгебра
• уравнение
• система уравнений
• арифметика
• квадрат (вторая степень, квадратичный)
• планиметрия
• парабола

Класс решения задачи:

• средняя школа

Мы рекомендуем вам посмотреть это обучающее видео по этой математической задаче: видео1

• Парабола
  Найдите уравнение параболы, содержащей точки A[10; -5], Б[18; -7], С[20; 0]. (используйте y = ax²+bx+c)
• Предположим, 10
  Предположим, что 4+7i является решением 5z2+Az+B=0, где A, B∈R. Найдите A и B.
• Координата X 81737
  В треугольнике ABC определите координаты точки B, если известно, что точки A и B лежат на прямой 3x-y-5=0, точки A и C лежат на прямой 2x +3y+4=0, точка C лежит на оси координат x, угол при вершине C прямой.
• Найдите 5
  Найдите уравнение окружности с центром в точке (1,20), которая касается прямой 8x+5y-19=0
• Пересечения 62784
  Дана квадратичная функция: y = -x² + 2x + 3 a) определить точки пересечения с осью x, y и пиком V b) нарисовать график и описать c) для которого применяется x f (x) = 3
• В строке
  В строке p: x = 4 + t , y = 3 + 2t, t есть R, найти точку C, которая находится на одинаковом расстоянии от точек A [1,2] и B [-1,0].
• Определить 80662
  Дана функция y = x² — 4x + 3. Определить все действительные числа z такие, что g(x) = g(-2).
• Вычислить 8
  Вычислить координаты точки B, осесимметричной с точкой A[-1, -3] вдоль прямой линии p : x + y — 2 = 0.
• Декартова система координат
  1. В декартовой системе координат, функций f и g мы знаем, что: Функция (f) определяется как f (x) = 2x², функция (g) определяется как g (x) = x + 3, точка (O) является началом координат опорной, а точка (C) является точкой пересечения графа
• Касательные эллипса
  Найдите модуль угла, под которым эллипс x² + 5 y² = 5 виден из точки P[5, 1].
• Неравенства: 4229
  Найдите количество всех целых чисел x, удовлетворяющих следующим двум неравенствам: | х + 2 | = 3
• Найдите
  Найдите образ A’ точки A [1,2] в осевой симметрии с осью p: x = -1 + 3t, ​​y = -2 + t (t = вещественное число)
• Общие уравнения прямой
  Во всех примерах запишите ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ прямой, которая задана каким-либо образом. А) линия задана параметрически: х = — 4 + 2р, у = 2 — 3р Б) форма наклона дает линию: у = 3х — 1 В) линия задана двумя точками: А [3; -3], Б [-5; 2] D) линия
• Квадратное уравнение
  Найдите корни квадратного уравнения: 3x²-4x + (-4) = 0.
• Окружность — AG
  Найдите координаты окружности и ее диаметр, если ее уравнение: x² + y² — 6x- 4y=36
• Форма наклона
  Найдите уравнение прямой с точкой X(8, 1) и наклоном -2,8.

Как построить график y=-1/3x+1 ?

Выберите область веб-сайта для поиска

MathAllУчебные пособияПомощь по выполнению домашних заданийПланы уроков

Искать на этом сайте

Начать бесплатную пробную версию

Укажите эту страницу следующим образом:

«Как построить график y=-1/3x+1?» eNotes Editorial , 1 февраля 2013 г. , https://www.enotes.com/homework-help/how-do-show-y-1-3x-1-graph-382716. По состоянию на 21 апреля 2023 г.

Ответы экспертов

`y=-1/3x +1` является линейным уравнением. Следовательно, его график представляет собой прямую.

Кроме того, данное уравнение представлено в виде точки пересечения наклона y=mx+b, где m — наклон, а b — точка пересечения с осью y.

Итак, наклон линии равен «-1/3», а ее точка пересечения по оси Y равна (0,1).

Чтобы построить график, начните с точки (0,1). Затем используйте наклон для определения других точек.

Поскольку наклон отрицательный, одна из точек находится на 1 единицу вниз и на 3 единицы вправо от точки пересечения оси Y. Это точка (3, 0). Отсюда снова переместитесь на 1 единицу вниз и на 3 единицы вправо. Тогда другой точкой будет (6, -1).

Кроме того, точки выше точки пересечения с осью y можно определить, переместив их на 1 единицу вверх и на 3 единицы влево. Итак, одна из точек равна (-3, 2). Повторяя шаги, другая точка (-6, 3).

Теперь, когда известны некоторые точки y=-1/3x+1, соедините их. И продлите линию на обоих концах.

Следовательно, график `y=-1/3x+1`:

См. eNotes без рекламы

Начните 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые ответили наши эксперты.

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Задайте вопрос

Похожие вопросы

Математика

Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.

Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?

14 Ответы педагога

Математика

Последний ответ опубликован 25 февраля 2016 г. в 18:48:45.

Сколько времени (в часах) займет ваше путешествие, если вы проедете 350 км со средней скоростью 80 км/ч? Какова формула с данными: время, расстояние, скорость или скорость?

1 Ответ учителя

Математика

Последний ответ опубликован 09 октября 2017 г. в 00:54:39

Добавьте 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4. . . вплоть до 100.

3 Ответа учителя

Математика

Последний ответ опубликован 02 сентября 2012 г. в 3:00:53.

Как ограничения (пределы исчисления) используются или применяются в повседневной жизни? Или применительно к проблемам реального мира? Мне нужно пару примеров! Спасибо!

1 Ответ учителя

Математика

Последний ответ опубликован 23 мая 2012 г.

Вопрос

Обновлено:26/04/2023

АНГЛИЙСКИЙ SAT-ПАСПОРТ К РАСШИРЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ-Множественный выбор

РЕКЛАМА

Text Solution

Правильный ответ B

Расшифровка

которая из следующего равно Y в степени 3 на 2 для всех значений Y, для которых определено выражение, варианты: кубический корень над y квадратный корень над y кубический корень над Y в степени половины и кубический корень слова Y OK поэтому выражение, данное в вопросе, состоит в том, почему часть 3 на 2 Y в степени 3 на 2, и нас спросили, какое из этих четырех выражений совпадает с этим выражением, поэтому мы можем диета этот поворот Y в степени 3 на 2 равно почему на часть 3 на половину 9

означает квадратный корень из этого члена, поэтому мы пришли к решению Y в степени 3 на 2 равно корню из куба y, и мы можем видеть, что вариант to является правильным вариантом

Ответ

Пошаговое решение экспертами, чтобы помочь вам в разрешении сомнений и получении отличных оценок на экзаменах.

Ab Padhai каро бина объявления ке

Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!

Похожие видео

x3/4.Y2/3 ?

152618557

Выражение 7y−3y+2 эквивалентно какому из следующих?

167969623

Что из следующего равно b−12 для всех значений b, для которых определено выражение?

167970209

Что из следующего равно a23 для всех значений a ?

181168288

Выражение x(x3y2)−4 эквивалентно какому из следующих выражений

185018229

Для всех a > 0 какое из следующих выражений равно a−2?

195773195

Текст Решение

Определите, какие из следующих алгебраических выражений являются полиномами, а какие нет. Кроме того, определите степени тех выражений, которые являются полиномами:
y−3−y−1+2

213711727

ЕСЛИ y=3x, какое из следующих выражений эквивалентно 9x−3x+2 для всех положительных целых значений х?

217887476

Если x+y=7 и x2+y2=25, то какое из следующих чисел равно значению x3+y3? 92 А площадь, ограниченная линией y = mx, равна 9/2.

формула, чему равна, как найти

Что такое площадь треугольника

Определение

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами.

Определение

Площадь треугольника — это величина плоскости, заключенной между сторонами этой геометрической фигуры.У треугольника она равна произведению половины основания на высоту.

Математически это выглядит так:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

\(S=\frac12a\times h\)

где a — основание треугольника, а h — его высота.

Способы нахождения площади

Но существуют также и другие способы, по которым можно найти S этого многоугольника. Рассмотрим основные из них.

Через две стороны и угол

Если вам известны две стороны любого треугольника и угол между ними, найти площадь можно по формуле:

\(S=\frac12a\times b\times\sin\alpha\)

где a и b — стороны фигуры, а α — угол между ними.

Через радиус описанной окружности и три стороны

Если вам известен радиус окружности, которая описана вокруг вашего треугольника, а также все его стороны, можно вычислить S следующим образом:

\(S=\frac{a\times b\times c}{4\times R}\)

где a, b и c — стороны фигуры, а R — радиус описанной окружности.

Через радиус вписанной окружности и три стороны

В случае, если вам известны все три стороны и радиус вписанной в треугольник окружности, можно найти его площадь по формуле:

\(S=r\times\frac{a+b+c}2\)

где r — радиус вписанной окружности, \(\frac{a+b+c}2\) — полупериметр фигуры.

Таким образом, формулу можно выразить всего двумя множителями:

\(S=r\times p\)

где p — полупериметр треугольника. \circ-(\alpha+\beta)\)

Для прямоугольного треугольника

В случае треугольника с прямым углом формулы для нахождения площади будут немного отличаться. Найти S можно будет несколькими способами.

По двум сторонам

Если вам известны оба катета данной фигуры, рассчитать S можно умножив их друг на друга, а потом разделив на пополам:

\(S=\frac{a\times b}2\)

где a и b — катеты прямоугольного треугольника.

Через гипотенузу и острый угол

Зная длину гипотенузы и величину одного из острых углов, мы можем найти один из его катетов по определению косинуса. И уже потом можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.

Начнем с поиска катета:

\(\cos\left(\alpha\right)=\frac ac\)

\(a=c\times\cos\left(\alpha\right)\)

где c — гипотенуза треугольника, a — его катет, а α —  угол между ними. 2\times\tan\left(\alpha\right)\)

Через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Зная радиус вписанной в данную фигуру окружности и гипотенузу, мы можем использовать следующее уравнение для расчета:

\(S=r\times(r+c)\)

где r — радиус вписанной окружности, c — гипотенуза.

Через вписанную окружность

Радиус, опущенный в точку касания окружности и гипотенузы прямоугольного треугольника, делит эту гипотенузу на неравные отрезки. Если нам известны величины этих отрезков, мы можем найти площадь фигуры по формуле:

\(S=с_1\times с_2\)

где \(с_1\) и \(с_2\) — неравные отрезки гипотенузы.

По формуле Герона

Если мы знаем длины всех сторон данного многоугольника, мы можем рассчитать S по формуле Герона:

\(S=(p-a)\times(p-b)\)

где \(p=\frac{a+b+c}2\) — полупериметр фигуры. 2\).

Площадь треугольника — все формулы

Теперь вам не нужно тратить время на долгие вычисления, прежде чем вы сможете узнать площадь треугольника. Зная методы расчета, используемые для расчета площади треугольника, вы легко сможете это сделать самостоятельно. Действительно, всегда лучше знать формулы площади треугольника. Треугольники могут быть разными и вы это знаете, но как найти площадь треугольника если вам практически ничего неизвестно о треугольнике? И что нужно знать из размеров треугольника, чтобы найти его площадь. Давайте разбираться. При этом тема не так проста как кажется на первый взгляд, наверное, поэтому задачи нахождения площади треугольника есть и в ОГЭ и в ЕГЭ по математике.

Содержание

Что такое треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Сумма трех углов треугольника должна быть равна 180°.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Мы узнаем разносторонний треугольник по трем сторонам, которые имеют разную длину. Эта треугольная форма может быть построена только с тремя разными углами. Кроме того, один из них может быть прямым углом (или углом 90 °). В общем, название «произвольный треугольник» используется для разностороннего треугольника.

Равнобедренный треугольник

Мы говорим, что треугольник равнобедренный, если он имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла при основании. Равнобедренный треугольник также можно узнать по тому факту, что его высота представляет его ось симметрии, его медиану и биссектрису.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник обязательно имеет прямой угол. Другими словами, сумма двух других его углов должна быть равна 90°. Прямоугольный треугольник также имеет гипотенузу.

Это противоположная сторона вершине с прямым углом. Прямой треугольник может быть разносторонним (или любым), если его три стороны имеют разную длину.

Кроме того, он может быть равнобедренным в том случае, если он имеет два одинаковых катета.

Равносторонний треугольник

Треугольник называется равносторонним, если он имеет три стороны одинаковой длины. Поэтому все его углы также равны и каждый по 60°. В равностороннем треугольнике любая высота также выступает в качестве медианы и биссектрисы.

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Вычисляем площадь треугольника без особенностей – все его стороны разные и все углы разные.

Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь разностороннего треугольника вычисляется по формуле “площадь треугольника через две стороны и угол между ними”:

Если известны высота в треугольнике и основание, то используется формула площади треугольника через основание и высоту:

Формула Герона определения площади треугольника

Если известны стороны любого треугольника, то его площадь можно определить по формуле Герона.

, где

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь треугольника через основание и сторону можно найти, если известны сторона и основания равнобедренного треугольника.

К равнобедренному треугольнику также применима формула площади треугольника через основание, сторону и угол между ними:

Найти площадь равнобедренного треугольника можно также через боковые стороны и угол между ними.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

Площадь прямоугольного треугольника

Приведем формулы площади прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол:

Площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника, если в него вписана окружность:

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника можно найти через радиус описанной окружности.

Если дан радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

Площадь равностороннего треугольника, если известна сторона треугольника:

Площадь равностороннего треугольника, если известна высота треугольника:

Площадь треугольника Определения и примеры

Площадь треугольника Определения и примеры

Введение

Определения треугольников и примеры важны для математики. В этом сообщении блога мы рассмотрим три различных определения треугольника площади и примеры. Таким образом вы сможете лучше понять, как работают эти концепции и как они могут помочь вашим математическим навыкам.

Какова площадь треугольника?

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Формула: A = 1/2 × b × h .

Определение треугольника

Треугольник — это трехсторонняя фигура с двумя углами, равными 90 градусам. Угол при вершине — это угол между основанием и вершиной треугольника, а два других угла называются боковыми углами. Прямоугольный треугольник имеет прямой угол при вершине и сумму углов, равных 180 градусам. В случае треугольника с острым углом, например, 90 градусов, один из его углов умножается на 3, чтобы найти его меру.

Площадь треугольника

Треугольник — это трехсторонняя геометрическая фигура с двумя равными сторонами и третьей стороной, которая короче двух других. Треугольник имеет шесть точек пересечения, которые называются вершинами. Три вершины одинакового размера образуют основание треугольника. Точка в середине основания называется вершиной треугольника.

Три вершины на одной стороне треугольника называются внутренними углами. Угол, противолежащий любому внутреннему углу с одной стороны, называется внешним углом. Внешний угол с одной стороны также считается внутренним углом, если он имеет общую вершину с другим внешним углом с той же стороны. 93

Если треугольник прямоугольный, то значение «base_a» равно 0, а все остальные значения равны 1. Если треугольник не прямоугольный, то «base_a» может быть любым действительным числом, а «height_a» всегда будет положительный.

Площадь треугольника с двумя сторонами и прилежащим углом (SAS)

Формула: Площадь = (a x b x sin c)/2 , где a, b — две стороны, а c — угол между ними.

Другим определением является сумма длин трех сторон, также известная как мера длины или линейная мера. Другой способ подумать об этом — представить, что каждая сторона отрезается посередине между двумя концами, и подсчитывается, сколько дюймов (или сантиметров) получаются разрезы. Это также называется базовой длиной или иногда просто базой.

Третье определение называется радиусом описанной окружности, и это как раз то, что вы ожидаете — радиус вокруг одного из углов треугольника. Наконец, есть особый тип треугольника, называемый равносторонним треугольником, у которого все углы равны 90 градусам. Все эти определения важны при работе с Треугольниками в задачах и расчетах, поэтому к ним стоит привыкнуть!

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна сумме трех сторон. Основание всегда самая длинная сторона, а высота самая короткая.

Площадь треугольника можно найти, умножив длину основания на высоту. Например, если у вас есть треугольник с основанием 10 дюймов и высотой 12 дюймов, то его площадь составит 120 квадратных дюймов.

Типы треугольников

Существует много типов треугольников, некоторые из них более распространены, чем другие. Вот некоторые из них:

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, а третья сторона имеет ту же длину, что и две другие.

Треугольник в правой вертикальной плоскости

В геометрии треугольник в правой вертикальной плоскости — это треугольник, вершины которого центрированы на верхнем, нижнем и левом краях листа. Прямоугольный треугольник в этом контексте имеет один угол, равный 90 градусам.

Заключение

В этой статье мы обсудили три наиболее распространенных типа треугольников и их определения. Прочитав это, вы должны лучше понять, что такое треугольник и как его идентифицировать в различных ситуациях. Надеюсь, вам понравится узнавать об этих важных формах!

Результат

Определение

Определяющие неравенства

Свойства пластин

Механические свойства

Свойства расстояния 900 05

Альтернативная форма

Альтернативные формы при условии, что a, b и c положительны

Площадь треугольника: формула Герона, решенные примеры

• Автор Асит Баранкар
• Последнее изменение 25-01-2023

Площадь треугольника: В двумерной плоскости площадь треугольника — это область, заключенная в нем. Треугольник, как мы все знаем, представляет собой замкнутую форму с тремя сторонами и тремя вершинами. В результате площадь треугольника равна общему пространству, занимаемому тремя сторонами треугольника. Половина произведения основания треугольника на высоту — это обычная формула вычисления его площади.

Область, занимаемая внутри границы плоского объекта или фигуры, определяется как «площадь» в целом. Измерение производится в квадратных единицах, при этом квадратные метры являются обычной единицей измерения (м2). Существуют предопределенные формулы для вычисления площади квадратов, прямоугольников, кругов, треугольников и других фигур. В этом посте мы изучим формулы площади треугольников для нескольких видов треугольников, а также рассмотрим некоторые примеры задач.

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами. Его также можно определить фигурой, ограниченной или заключенной в трехлинейные отрезки. Ясно, что треугольник будет иметь три стороны и три вершины.

Узнайте о треугольниках здесь

Классификация треугольников

Треугольники классифицируются двумя основными способами:
а) классификация на основе длины сторон треугольника
б) классификация на основе внутренних углов треугольника.

Классификация треугольников по длине сторон

В зависимости от длины сторон треугольники делятся на три типа: разносторонний треугольник, равнобедренный треугольник и равносторонний треугольник.

Если все три стороны треугольника различны по длине или если ни одна из сторон треугольника не равна, то такой треугольник называется разносторонним. Треугольник, приведенный ниже, является разносторонним треугольником. В этом треугольнике все три угла имеют разную величину.

Если любые две из трех сторон треугольника равны, то такой треугольник называется равнобедренным.

В приведенном выше треугольнике указаны две равные стороны. Это равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике два угла, противолежащие двум равным сторонам, равны по величине.

Если все три стороны треугольника имеют одинаковую длину, то такой треугольник называется равносторонним. 9{\rm{o}}}\) называется тупоугольным треугольником.)

Термины, относящиеся к площади треугольника

Высота треугольника

Перпендикуляр, проведенный из любой вершины в сторону, противоположную вершине, называется высотой треугольника из этой вершины.

На приведенном выше рисунке перпендикуляр \(AD\) проведен из вершины \(A\) на сторону \(BC.\). Итак, \(AD\) называется высотой треугольника.

На приведенном выше рисунке перпендикуляры \(AD,\,BE\) и \(CF\) проведены из вершин \(A,\,B\) и \(C\) на противоположных сторонах \(BC ,\,CA\) и \(AB,\) соответственно. В этом случае \(AD\) считается высотой треугольника из вершины \(A\) относительно основания \(BC.\). Аналогично, \(BE\) и \(CF\) считаются высотами треугольника из вершины \(B\) и \(C\) относительно оснований \(CA\) и \(AB,\) соответственно. Три высоты треугольника всегда совпадают. Общая точка называется ортоцентром треугольника.

Иногда перпендикуляр, проведенный из вершины, не достигает противоположной стороны. Он лежит на расширенной противоположной стороне.
На приведенном выше рисунке перпендикуляр \(AD\) проведен к продолжению \(BC.\). В этом случае \(AD\) считается высотой треугольника \(ABC\) относительно основания \(BC .\)

Медиана треугольника

Медиана определяется как отрезок, соединяющий вершину треугольника и среднюю точку противоположной стороны треугольника.

На приведенном выше рисунке, если \(D\) является серединой \(BC,\), то \(AD\) называется медианой, проведенной из вершины \(A\) на противоположной стороне \(BC .\)

В любом треугольнике из каждой вершины на противоположных сторонах можно провести три медианы, как показано на рисунке выше. В любом треугольнике три медианы пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан треугольника называется центром тяжести треугольника.

Какова площадь треугольника?

Площадь треугольника — это область или пространство, ограниченное тремя сторонами треугольника.

Существует несколько формул, используемых для расчета площади треугольника. Они обсуждаются ниже:

Площадь треугольника при заданных основании и высоте

Площадь треугольника \({\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2} }}{\rm{ \times base \times height}}\)

Приведенная выше формула используется, когда известны или даны длина любой стороны и соответствующая высота.
Для приведенного выше рисунка площадь треугольника \(= \frac{1}{2} \times {\rm{основание \times height}} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times b \times h\)

Площадь прямоугольного треугольника

Приведенная выше формула используется непосредственно для прямоугольных треугольников.

Следовательно, формула, используемая для вычисления площади треугольника, выглядит следующим образом: \(\frac{1}{2} \times {\rm{основание \times height}} = \frac{1}{2} \times b \ раз h\), где \(b\) — основание, а \(h\) — высота.

Типы треугольников, для которых используется эта формула

Помимо прямоугольных треугольников, эта формула может использоваться для расчета площади любого типа треугольника, если длина основания и высота заданы или могут быть получены из заданных Информация о треугольнике.

Площадь треугольника с 3 сторонами: формула Герона

Эта формула используется для вычисления площади треугольника, если известны или даны длины всех трех сторон.

Согласно этой формуле площадь треугольника определяется выражением
\({\rm{площадь}} = \sqrt {s(s — a)(s — b)(s — c)} \), где , \(a,\,b\) и \(c\) — длины сторон треугольника, а \(s\) — полупериметр треугольника, определяемый выражением \(s = \frac{{a + b + c}}{2}.\)

Площадь равностороннего треугольника

Формулу Герона можно использовать для получения специальной формулы, применимой для расчета площади равностороннего треугольника.

В равностороннем треугольнике все три стороны равны по длине. Итак, в этом случае \(a = b = c.\)
Итак, \(s = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{a + a + a}}{2 } = \frac{{3\,a}}{2}\)

Итак, \({\rm{площадь}} = \sqrt {s(s – a)(s – b)(s – c )}   = \ sqrt {\ frac {{3a}} {2} \ times \ left ( {\ frac {{3a}} {2} — a} \ right) \ times \ left ( {\ frac {{3a}) {2} – a} \right) \times \left( {\frac {{3a}}{2} – a} \right)} \) 92}}}{4}} \)

Площадь треугольника при заданных координатах его вершин

Площадь треугольника можно вычислить, если известны координаты трех вершин треугольника на декартовой плоскости.

В треугольнике \(ABC\), показанном выше, \(A\left( {{x_1},\,{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2},\,{y_2} } \right)\) и \(C\left( {{x_3},\,{y_3}} \right)\) — координаты вершин треугольника.

Площадь этого треугольника можно рассчитать по формуле
\( {{площадь}} = \frac{1}{2}\left| { {x_1}\left({{y_2} – {y_3}} \right) + {x_2}\left({{y_3} – {y_1}} \right) + {x_3}\left({{y_1} – {y_2}} \right)} \right|\)

Связь между площадями двух треугольников, лежащих на одном основании и между одинаковыми параллелями

Существует интересная связь между площадями двух разных треугольников, если они лежат на одном основании и находятся между двумя одинаковыми параллельными прямыми. Можно доказать, что площади двух треугольников с одинаковым основанием, лежащих между двумя одинаковыми параллельными прямыми, равны.

Здесь прямая \(BC\) параллельна прямой \(DQ.\) Отсюда ясно, что \(\Delta ABC\) и \(\Delta PBC\) имеют одно и то же основание \(BC\) и они лежат между одними и теми же параллельными прямыми \(BC\) и \(DQ. \)
Итак, площади \(\Delta ABC\) и \(\Delta PBC\) равны. Следовательно, \({\mathop{\rm area}\nolimits} \Delta ABC = {\rm{area}}\Delta PBC.\)

Связь между площадью треугольника и площадью параллелограмма, лежащего на одном и том же треугольнике. Основание и между одинаковыми параллелями

Интересная связь также существует между площадью треугольника и площадью параллелограмма, если они лежат на одном основании и между одними и теми же двумя параллельными прямыми. Можно доказать, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, если они имеют одно основание и лежат между одними и теми же двумя параллельными прямыми.

Здесь прямая \(AB\) параллельна прямой \(QD\) Отсюда, очевидно, \(\Delta ABC\) и параллелограмм \(ABDC\) и \(ABPQ\) имеют одно и то же основание \(AB\) и лежат между одними и теми же параллельными прямыми \(AB\) и \(QD\)

Значит, площадь \(\Delta ABC\) равна половине площади параллелограмма \(ABDC\) а также параллелограмм \(ABPQ\). 2}.\)

Q.2. Найдите площадь треугольника, длины сторон которого равны \({\rm{3\,см}}\).\({\rm{4\,см}}\) и \({\rm{ 5\,см}}\)
Ответ: Здесь даны длины трех сторон. Итак, воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника. Здесь \(a = 3\;{\rm{см}},b = 4\;{\rm{см}}\) и \(c = 5\,{\rm{см}}\) согласно по этой формуле площадь треугольника определяется выражением \({\rm{area}} = \sqrt {s(s — a)(s — b)(s — c)} ,\), где \(a ,\,b\) и \(c\) — длины сторон треугольника, а \(s\) — полупериметр треугольника, определяемый выражением \(s = \frac{{a + b + c }}{2}.\) Итак, \(s = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = \frac{{12} }{2} = 6\;{\rm{см}}\)Следовательно, площадь данного треугольника\( = \sqrt {s\left( {s – a} \right)\left( {\left( {s – b} \right)\left( {s – c} \right)} \right)} = \sqrt {6\left( {6 – 3} \right)\left( {6 – 4} \right )\left( {6 – 5} \right)} \)\(= \sqrt {6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt {36} = 6\;{\rm{c}}{ {\ гт {м}} ^ 2} \) 92}]\)

Резюме

В двумерной плоскости площадь треугольника определяется как общее пространство, занимаемое тремя его сторонами. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, поэтому A = 1/2bh — основная формула. Эта формула работает для любого треугольника, будь то разносторонний треугольник, равнобедренный треугольник или равносторонний треугольник. Важно помнить, что основание и высота треугольника перпендикулярны друг другу.

Эта статья поможет всесторонне узнать о том, как вычислить площадь различных видов треугольников в зависимости от того, какая информация доступна о треугольнике. Зная это, можно рассчитать площадь любой земли треугольной формы или любого другого предмета треугольной формы.

Это также помогает в вычислении площади любой земли правильной или неправильной многоугольной формы или любого другого объекта путем деления многоугольника на треугольники по диагоналям, а затем получения площади каждого треугольника и сложения их.

Часто задаваемые вопросы о площади треугольника

Q.1. Сколько высот может быть у треугольника?
Ответ: Треугольник может иметь \(3\) (три) высоты.

Q.2 . Как найти площадь треугольника, если не дана высота, но даны длины трех сторон?
Ответ: Если высота не дана, но даны длины трех сторон, то можно использовать формулу Герона.
Согласно этой формуле площадь треугольника определяется выражением
\({\rm{площадь}} = \sqrt {s(s — a)(s — b)(s — c)} ,\)
где \(a,b\) и \(c\) — длины сторон треугольника, а \(s\) — полупериметр треугольника, определяемый выражением \(s = \frac{{a + b + c}}{2}.\)

Q.3 . Какая формула обычно используется для нахождения площади прямоугольного треугольника, если известны длина и высота?
Ответ: Если длина основания и высота известны, то можно использовать формулу \({\rm{area = }}\frac{{\rm{1}}}{{ \rm{2}}}{\rm{ \times base \times height}}{\rm{.}}\)

Q.4. Для расчета площади треугольника по формуле \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ \times base \times height}}\) 9{\rm{2}}}\)

Q.

вычислить значение функции онлайн

Вы искали вычислить значение функции онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и значение функции онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычислить значение функции онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычислить значение функции онлайн,значение функции онлайн,значения функции калькулятор,как найти множество значений функции онлайн,калькулятор множество значений функции,калькулятор область значения функции,калькулятор онлайн область значения функции,калькулятор функции,калькулятор функция,множество значений функции калькулятор,множество значений функции онлайн,множество значений функции онлайн калькулятор,найдите множество значений функции онлайн,найдите область значений функции онлайн калькулятор с решением,найдите область значения функции онлайн калькулятор с решением,найти значение функции онлайн,найти множество значений функции калькулятор онлайн,найти множество значений функции онлайн,найти множество значений функции онлайн калькулятор,найти множество значений функции онлайн калькулятор с решением,найти нули функции онлайн калькулятор,найти область значение функции онлайн калькулятор,найти область значений функции онлайн,найти область значения функции онлайн,найти область значения функции онлайн с решением,нахождение области значения функции онлайн,область допустимых значений функции онлайн,область значение функции онлайн,область значений онлайн,область значений функции онлайн,область значения функции калькулятор онлайн,область значения функции онлайн,область значения функции онлайн калькулятор,область значения функции онлайн калькулятор с решением,онлайн калькулятор область значения функции,онлайн нахождение области значения функции,определить область значения функции онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычислить значение функции онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, значения функции калькулятор).

Решить задачу вычислить значение функции онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Область определения функции | Онлайн калькулятор

/

org/ListItem»>Учеба и наука

/

Математика

/   Область определения функции

Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.
Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. Областью определения показательной функции, также как и у постоянной функции, является множество всех действительных чисел.

Областью определения сложных функций y=f1(f2(x)) является пересечение двух множеств: x∈D(f2) и множества всех x, для которых f2(x) ∈ D(f1). Следовательно, для того чтобы найти область определения сложной функции, необходимо решить систему неравенства.
Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать и понимать, как находить область определения функции. Чтобы получить ответ, укажите функцию, для которой Вы хотите найти область определения. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Основные функции : x^a модуль x: abs(x) : Sqrt[x] : x^(1/n) : a^x : Log[a, x] : Log[x] : cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x] : tan[x] или Tan[x] : cot[x] или Cot[x] : sec[x] или Sec[x] : csc[x] или Csc[x] : ArcCos[x] : ArcSin[x] : ArcTan[x] : ArcCot[x] : ArcSec[x] : ArcCsc[x] : cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x] : tanh[x] или Tanh[x] : coth[x] или Coth[x] : sech[x] или Sech[x] : csch[x] или Csch[е] : ArcCosh[x] : ArcSinh[x] : ArcTanh[x] : ArcCoth[x] : ArcSech[x] : ArcCsch[x] [19. 67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Select rating12345

Рейтинг: 3.4 (Голосов 24)

Сообщить об ошибке

Вам помог этот калькулятор?

Предложения и пожелания пишите на [email protected]

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.

НЕТ

Смотрите также

Решение комплексных чисел	Математический анализ	Решение интегралов	Решение неравенств	Решение уравнений
Решение функций	Производные функции	Графические построения	Решение логарифмов	Решение прогрессии

Калькулятор домена и диапазона для построения графика функции

Онлайн-калькулятор домена и диапазона с пошаговыми инструкциями находит домен и диапазон для функции за пару кликов. Исследует диапазон, в котором существует область определения определенной математической функции. Не только это, но вы также получите результаты в правильно заданных интервальных обозначениях.

Что такое домен?

Определенный набор значений, которые помогают определить функцию после того, как они были введены в нее нашим калькулятором предметной области.

Какой диапазон?

Набор значений, которые возвращает функция после помещения в нее значений домена.

Пример:

Рассмотрим рисунок ниже:

На следующем рисунке:

• D не относится ни к одному из объектов диапазона, поэтому он не рассматривается как область определения функции
• Аналогично, число 2 не связано ни с одним элементом домена, что делает его лишним для диапазона

На самом деле, вычисление домена и диапазона функции позволит вам исследовать поведение

Как найти домен и диапазон функции?

Просмотрите приведенный ниже пример, чтобы лучше понять, как найти домен функции вместе с ее диапазоном!

Утверждение:

Найдите область определения и диапазон функции графика, заданной следующим образом:

$$ y=\dfrac{x+3}{10-x} $$

Решение:

Домен:

Сначала найдите значение x, при котором знаменатель будет равен нулю. В нашем случае это 10, так что;

$$ 10-x = 10-10 = 0 $$

Итак, 10 — это число, которое не определяет все выражение. Вот почему он не включен в домен.

Диапазон:

Решение для x:

$$ y=\dfrac{x+3}{10-x} $$

$$ y\left(10-x\right)=x +3 $$

$$ 10y-xy=x+3 $$

$$ -xy-x=3-10y $$

$$ -x\left(y+1\right) $$

$$ -x=\dfrac{3-10y}{\left(y+1\right)} $$

$$ x= \dfrac{10y-3}{-\left(y+1\right)} $$

Теперь, если вы поместите значение y как -1, оно снова сделает знаменатель равным нулю, так что:

$$ x =\dfrac{10y-3}{-\left(\left(-1\right)+1\right)} $$

Как работает функция расчета домена и диапазона?

Хотите рассчитать домен и диапазон функций с помощью нашего поисковика доменов? Следуйте руководству ниже!

Ввод:

• Введите функцию и нажмите «Вычислить», чтобы найти результат

Вывод:

• Домен и диапазон функции

7 — домен или диапазон?

7 означает y=7 и указывает на уравнение прямой линии. Приступая к делу, его областью определения являются все действительные числа, а диапазон — только 7. Для дальнейшей проверки вы можете поместить выражение в онлайн-калькулятор домена и диапазона с шагами, чтобы свести на нет ваши сомнения.

Ссылки:

Из источника Википедии: Область определения функции, Естественная область определения, Теоретические понятия множества

Из источника Академии Хана: Область определения и диапазон из графа, Интервалы функции с помощью этих онлайн-калькуляторов

Если вы хотите быстро вычислить область определения и диапазон функции, вы можете использовать онлайн-калькуляторы, чтобы решить эту сложную математическую задачу. Все, что вам нужно сделать, это ввести входные данные в указанное поле и нажать кнопку расчета, чтобы получить результат в течение нескольких секунд.

Давайте познакомимся с различными онлайн-калькуляторами, которые можно использовать для расчета домена и диапазона функции.

Понимание предметной области и диапазона

Мы можем представить себе функцию машины на конвейере. На одном конце воображаемой сборочной линии есть винты и болты, а на другом конце – автомобиль в сборе. Здесь машину посередине можно назвать функцией.

Винты и болты, используемые для ввода в машину (функции), можно назвать доменом. А машину (выход) на другом конце можно назвать полигоном.

Как найти домен и диапазон функции с помощью онлайн-калькуляторов

Найти домен и диапазон функции с помощью онлайн-калькуляторов намного проще, чем пытаться решить сложную математическую задачу самостоятельно. Вы можете выполнить следующие простые шаги:

1. Введите требуемую функцию в поле ввода .
2. Теперь нажмите  Рассчитать домен и диапазон , чтобы найти результат.
3. Наконец, результаты будут отображаться в новом окне

Связано: Как использовать Microsoft Edge для решения математических задач

Как мы знаем, диапазон и домен функции выражаются в интервальной нотации. Таким образом, вам нужно убедиться, что вы придерживаетесь правильного формата при вводе любых проблем.

• Запишите числа через запятую в порядке возрастания.
• Заключите число в круглые скобки, чтобы убедиться, что значение конечной точки не включено.

Ниже приведены некоторые из лучших онлайн-калькуляторов, чтобы вы могли выбрать правильный, который вам поможет.

Это, пожалуй, лучший онлайн-калькулятор для простого нахождения домена и диапазона функции. Откройте специальную веб-страницу и просто введите свой запрос в поле поиска. Затем нажмите знак равенства в строке поиска, чтобы получить значения домена и диапазона.

WolframAlpha также предлагает расширенный калькулятор со всеми необходимыми символами, облегчающими ввод значений. С Pro-версией этого программного обеспечения вы также можете загрузить страницу с полными результатами в виде статического документа для использования в автономном режиме.

Воспользуйтесь онлайн-калькулятором доменов и диапазонов EasyCalculation, чтобы с легкостью решать свои задачи.

Просто введите выражение с переменной ‘x’ и отправьте запрос в строке поиска, чтобы узнать значения. Убедитесь, что вы вводите входные данные в соответствии с форматом, необходимым для получения быстрых результатов.

BYJU’S — это онлайн-калькулятор, который быстро выполняет расчеты. Просто введите функцию в поле ввода и нажмите Calculate Domain and Range 9кнопка 0006.   После расчета результаты будут отображаться в новом окне.

Простой и удобный калькулятор Mathway выдает мгновенные результаты. Введите функцию, домен которой вы хотите найти, в редактор и нажмите синюю стрелку.

Появится новое окно с множеством опций для вашего математического запроса. Нажмите Найти домен и диапазон , чтобы получить результаты.

Kiodigital предлагает простой пользовательский интерфейс с минимальными шагами для расчета домена и диапазона функции. Введите функцию в поле ввода и нажмите кнопку Рассчитать домен и диапазон. Откроется новое окно для отображения вывода.

Связанный: онлайн-калькуляторы для всех, кто не связан с математикой

Symbolab также предлагает хороший онлайн-калькулятор, предлагающий помощь в различных вычислениях. Введите функцию в строку поиска, и результаты будут немедленно отображены.

Онлайн-калькулятор также предлагает вариант с полной панелью или компактным калькулятором, чтобы помочь пользователям с легкостью вводить свои запросы.

Используйте удобный инструмент LearnCram, чтобы получить домен и диапазон функции и получить результат за считанные секунды. Все, что вам нужно сделать, это ввести функцию в поле ввода и нажать синюю кнопку, чтобы немедленно получить значения домена и диапазона.

Связано: Лучшие веб-сайты для закладок для изучения математики шаг за шагом

Решайте повседневные задачи с помощью калькуляторов доменов и диапазонов

Чаще всего мы используем математику в нашей повседневной жизни для решения задач.

Как решать абстрактные дробные (рациональные) уравнения — Криста Кинг Математика

Как мы решаем рациональные уравнения?

Иногда нам хочется взять уравнение, в знаменателе которого есть хотя бы одна дробь с переменной, и записать уравнение по-другому.

Мы будем называть такое уравнение абстрактным дробным уравнением . В этом уроке мы рассмотрим, как это сделать.

Есть несколько вещей, которые мы хотим помнить о рациональных функциях в целом.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

1. Умножение дроби на обратную всегда даст вам значение ???1???.

Например ???x/y??? имеет обратную величину ???y/x??? потому что

???\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}=1???

Помните, что на ???0??? делить нельзя??? так что некоторые инструкторы могут захотеть, чтобы вы включили это ???x??? и ???й??? не может равняться ???0??? вот так:

???\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}=1??? где ???х,у\neq0???

2. Чтобы убрать дробь из уравнения, умножьте все члены в обеих частях уравнения на знаменатель дроби.

Например, чтобы очистить ???b??? из дроби

???ax+\frac{m}{b}=c???

умножить уравнение на ???b??? с обеих сторон.

???ax+\frac{m}{b}=c???

???b\left(ax+\frac{m}{b}=c\right)???

???abx+m=bc???

И на случай, если ваш инструктор захочет это увидеть, помните, что вы не можете делить на ???0???, так что это означает, что ваше новое уравнение верно только там, где ???b\neq0???.

Как решать рациональные (абстрактные дробные) уравнения путем умножения на наименьшее общее кратное всех знаменателей

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Узнать больше

Решение уравнения путем очистки знаменателей

Пример

Решить дробное выражение для ???n???, если ???n\neq0???.

???\frac{m}{n}+x+ab=c???

Чтобы избавиться от дроби, мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на знаменатель ???m/n???.

???\frac{m}{n}+x+ab=c???

???n\left(\frac{m}{n}+x+ab=c\right)???

???n\cdot\frac{m}{n}+n(x)+n(ab)=n(c)???

???m+nx+nab=nc???

Чтобы найти ???n???, нам нужно собрать все термины, содержащие ???n??? с одной стороны уравнения, а затем вычти ???n???.

Двигаемся ???м??? на правую сторону и ???nc??? Слева.

???nx+nab-nc=-m???

Теперь вычитаем ???n???.

???n(x+ab-c)=-m???

Разделите обе части на ???(x+ab-c)???.

???n=\frac{-m}{x+ab-c}???

Напишите знак минус впереди.

???n=-\frac{m}{x+ab-c}???

Попробуем еще.

Чтобы удалить дробь из уравнения, умножьте все члены в обеих частях уравнения на знаменатель дроби.

Пример

Решить для ???x??? если ???x\neq0??? и ???y\neq0???.

???\frac{1}{x}-\frac{m}{y}=p???

Чтобы избавиться от дробей, мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на оба знаменателя, ???x??? и ???y???.

???\frac{1}{x}-\frac{m}{y}=p???

???xy\left(\frac{1}{x}-\frac{m}{y}=p\right)???

???xy\left(\frac{1}{x}\right)-xy\left(\frac{m}{y}\right)=xy(p)???

???1y-mx=xyp???

???y-mx=xyp???

Найти ???x??? нам нужно собрать все термы, содержащие ???x??? с одной стороны уравнения, а затем вычеркните ???x???.

Давайте двигаться ???mx??? вправо, чтобы получить

???y=mx+xyp???

Теперь вычтем ???x???.

???y=x(m+yp)???

Разделите обе части на ???m+yp???.

???\frac{y}{m+yp}=\frac{x(m+yp)}{m+yp}???

???\frac{y}{m+yp}=x???

Получить доступ к полному курсу Алгебра 2

Начать

Изучение математикиКриста Кинг 2 марта 2021 г. математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, алгебра, алгебра 2, алгебра II, дробные уравнения, рациональные уравнения, абстрактные дробные уравнения, дроби с уравнениями, решение уравнений с дробями, решение рациональных уравнения, умножая на обратную

0 лайков

Калькулятор уравнений алгебраических дробей

• Выражение
• Уравнение
• Неравенство
• Свяжитесь с нами

• Упростить
• Коэффициент
• Расширить 9002 0
• GCF
• LCM

• Решить
• График
• Система

• Решить
• График
• Система

• Математический решатель на вашем сайте

Наших пользователей:

Какой замечательный дружественный интерфейс, полный цветов, делает программное обеспечение Algebrator простой программой для работы, а также с ним так легко работать, вам не нужно прерывать поток своих мыслей каждый раз, когда вам нужно взаимодействовать с программой.
Кеннет Шнайдер, Западная Вирджиния

Знаете, в качестве пошаговой программы для обучения алгебре я рекомендую Algebrator каждому ученику, родителю, репетитору, учителю и члену правления, которому я могу!
Джеймс Дж. Кидд, Техас

Одной из лучших особенностей этой программы является возможность видеть столько шагов в задаче, сколько ребенку нужно для ее решения. Как родитель, я в восторге, потому что теперь мне больше не нужно по ночам помогать детям с математикой.
Саманта Джордан, Невада

Каждый раз, когда я использую программу Algebrator, я открываю для себя что-то новое и полезное, я думаю, что эта программа должна быть прикреплена к каждому школьному компьютеру в США, особенно учитывая ее цену.
Алекс Мартин, NH

До использования Алгебратора я едва мог выполнять деление в длинное число. Теперь я как лучший ученик в классе алгебры, и без этого я бы никогда не смог получить такой результат! Большое спасибо!
Перри Хьюз, Кентукки

---

Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь.

Число е | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

С замечательным числом e мы впервые встречаемся, начиная изучать показательную функцию, логарифмы и производные. Поэтому для лучшего понимания мы рекомендуем вам прочитать наши статьи «Показательная функция» и «Геометрический смысл производной».

В статье «Показательная функция» мы говорили о важнейшем свойстве функции — при эта функция очень быстро растет. И не просто «быстро растет» — чем больше x, тем больше скорость ее роста, тем круче идет график. Можно сказать, что с увеличением x растут и значения показательной функции, и ее производная. А если аргументом показательной функции является время, то при такая функция является математическим выражением стремительно развивающегося процесса.

Среди показательных функций есть особенная. Называется она экспонента, ее формула . Особенность ее в том, что в каждой точке скорость роста этой функции равна значению самой функции в этой точке. Другими словами, , то есть производная функции равна ей самой.

Нарисуем несколько графиков функции при , а также при . Среди этих графиков есть такой, что касательная к нему, проведенная в точке , идет ровно под углом к положительному направлению оси OX.

Это и есть график функции . Само число e — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приблизительно оно равно 2,718.

Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается . Если в уравнении или неравенстве вам встретились такие логарифмы, вы работаете с ними так же, как и с любыми другими, у которых основание больше 1.

Функция также обладает интересным свойством:

Это значит, что с ростом x график логарифмической функции идет более и более полого, скорость роста его уменьшается, что мы и видим.

Формулы для производных функций и содержат в себе выражение :

Число e, как и число , является одной из мировых констант. Так называют числа, которые можно встретить в математических формулах, выражающих фундаментальные законы природы, — в физике, статистике, биологии или экономике.

Число известно людям с глубокой древности. Оно равно отношению длины окружности к ее диаметру.  А вот с числом e (названным так в честь великого математика Леонарда Эйлера) человечество познакомилось намного позже. Впервые его вычислил математик Якоб Бернулли в начале XVIII века, причем сделал это, решая чисто практическую задачу о начислении процентов на банковский вклад.

В заданиях вариантов ЕГЭ вам встречались задачи, где вклад величиной x помещен в банк под p % годовых. Найти нужно было, например, каким станет вклад через два года. Рассказывая о решении таких задач, мы вывели удобные формулы:

• если величину x увеличить на p процентов, получится
• если величину x дважды увеличить на p процентов, получим Именно таким станет вклад через два года;
• если вклад пролежит в банке n лет, его величина станет равной

Итак, если вклад поместить банк под 10% годовых, он вырастет за год в 1,1 раз, за два года — в 1,21 раза, за десять — примерно в 2,6 раза. Значит, рост вклада зависит от того, сколько он пролежит в банке, то есть сколько раз начисляются проценты. А что будет через сто лет? А если найти такой банк, где процент начисляется не раз в год, а раз в день? И пусть даже каждый день начисляется совсем небольшой процент, но ведь дней-то много! Верно ли, что можно положить в такой банк один доллар под одну сотую процента в день, а через пару десятков лет забрать из банка миллион?

Давайте так и сформулируем задачу. Пусть банк начисляет каждый день по одной сотой процента. Во сколько раз вырастет вклад через 10000 дней (это двадцать семь с лишним лет)? Иными словами, чему приближенно равна величина ? И к чему будет стремиться величина , если n стремится к бесконечности?
Вот такую задачу и решал Бернулли. Если n будет очень большим, или, как говорят математики, бесконечно большим, будет стремиться к бесконечности (то есть больше миллиона, больше миллиарда, больше двух миллиардов. . . ) — то величина    будет, наоборот, очень малой. Можно сказать, что будет стремиться к нулю.

Оказывается, что в этом случае величина  будет стремиться к числу e. Если банк каждый год начисляет по 1%, через 100 лет вклад увеличится примерно в e раз (напомним, что e ≈ 2,718). Еще большая точность будет достигнута, если каждый день банк начисляет по 0,01 процента. Через 10000 дней вклад увеличится примерно в e раз. Итак, если n стремится к бесконечности, то величина стремится к числу e.

Этот неожиданный факт называется вторым замечательным пределом. Вы встретитесь с ним в курсе математического анализа.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Число е» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Число е | это… Что такое Число е?

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.

2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…^[1]

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

• Через предел:

  (второй замечательный предел).

• Как сумма ряда:

  или .

• Как единственное число a, для которого выполняется

• Как единственное положительное число a, для которого верно

Свойства

• 
  Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.
• Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
• , см. формула Эйлера, в частности
• Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т.  н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

• Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

• Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:

  , то есть

• Представление Каталана:

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler).

Способы запоминания

• Для получения приблизительного значения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли».
• Стишок:

Два и семь, восемнадцать,

Двадцать восемь, восемнадцать,

Двадцать восемь, сорок пять,

Девяносто, сорок пять.

• Легко запомнить как 2, далее запоминаем 71, потом повторяющиеся 82, 81, 82
• Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
• Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
• В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

Доказательство иррациональности

Пускай рационально. Тогда , где и целые положительные, откуда

Умножая обе части уравнения на , получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно:

— целое

Но с другой стороны

Получаем противоречие.

Интересные факты

• В IPO компании 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
• В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN^[2]:

Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма e, которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.

Таким образом, записи типа 7.38e-43 в языках программирования будет соответствовать число , а не .

Примечания

1. ↑ 2 миллиона цифр после запятой
2. ↑ Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java. — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — (Библиотека программиста). — ISBN 978-5-388-00003-3

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Ссылки

• История числа e (англ.)
• e for 2.71828… (история и правило Джексона, англ.)
• последовательность A001113 в OEIS

Объяснение числа Эйлера (e) и его использование в финансах

Что такое число Эйлера (e)?

Термин число Эйлера (e) относится к математическому выражению основания натурального логарифма. Это представлено неповторяющимся числом, которое никогда не заканчивается. Первые несколько цифр числа Эйлера — 2,71828. Число обычно обозначается буквой e и обычно используется в задачах, связанных с экспоненциальным ростом или затуханием. Вы также можете интерпретировать число Эйлера как основу экспоненциальной функции, значение которой всегда равно ее производной. Другими словами, e — единственное возможное число, такое что e ^x увеличивается со скоростью e ^x для каждого возможного x.

Ключевые выводы

• Число Эйлера — важная константа, которая встречается во многих контекстах и ​​является основой для натуральных логарифмов.
• Иррациональное число, представленное буквой e, число Эйлера равно 2,71828…, где цифры продолжаются бесконечно в ряду, который никогда не заканчивается и не повторяется (аналогично числу пи).
• Число Эйлера используется везде, от объяснения экспоненциального роста до радиоактивного распада.
• В финансах число Эйлера используется для расчета того, как богатство может расти за счет сложных процентов.
• Не путайте число Эйлера с константой Эйлера, которая является еще одним иррациональным и неограниченным числом, начинающимся с 0,57721.

Понимание числа Эйлера (e)

Как отмечалось выше, число Эйлера используется для выражения основания натурального логарифма. E — это ряд чисел, начинающихся с 2,71828. Как и число Пи, оно не имеет конца, что означает, что оно продолжается и продолжается. Это также иррациональное число, что означает, что его нельзя представить в виде дроби. Вы можете использовать его для расчета снижения или роста определенного фактора с течением времени, например сложных процентов.

Представьте, что вы даете деньги взаймы под 100% процентную ставку, начисляемую каждый год. Через год ваши деньги удвоятся. Но что, если бы процентная ставка была снижена вдвое и начислялась бы в два раза чаще? При 50% каждые шесть месяцев ваши деньги вырастут на 225% за год.

По мере того, как интервал становится меньше, общая доходность становится немного выше. Если проценты рассчитываются n раз в год по ставке 100%/n, общее накопленное богатство в конце первого года будет чуть больше, чем в 2,7 раза больше первоначальных инвестиций, если n достаточно большой.

История числа Эйлера (e)

Хотя обычно он ассоциируется со швейцарским математиком Леонардом Эйлером и назван в его честь, он был впервые обнаружен в 1683 году математиком Якобом Бернулли. Он пытался определить, как будет расти богатство, если проценты будут начисляться чаще, а не ежегодно.

Самая важная работа, связанная с числом, была выполнена Леонардом Эйлером лишь несколько десятилетий спустя. В своей книге Introductio in Analysin Infinitorum (1748 г.) Эйлер доказал, что это иррациональное число, цифры которого никогда не повторяются. Он также доказал, что число можно представить в виде бесконечной суммы обратных факториалов:

е «=» 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 × 2 × 3 + 1 1 × 2 × 3 × 4 + . . . + 1 н ! e = 1 + \ frac { 1 }{ 1 } + \ frac { 1 }{ 2 } + \ frac { 1 }{ 1 \ times 2 \ times 3 } + \ frac {1 }{ 1 \ times 2 \ times 3 \times 4 } + … + \frac { 1 }{ n! } e=1+11​+21​+1×2×31​+1×2×3×41​+…+n!1​

Эйлер использовал букву e для показателей степени, но теперь эта буква широко ассоциируется с его именем. Он обычно используется в широком спектре приложений, включая рост популяции живых организмов и радиоактивный распад тяжелых элементов, таких как уран, учеными-ядерщиками. Его также можно использовать в тригонометрии, вероятности и других областях прикладной математики.

Число Эйлера (e) не следует путать с постоянной Эйлера, которая обозначается строчной гаммой (γ). Также известная как постоянная Эйлера-Маскерони, последняя связана с гармоническим рядом и имеет значение приблизительно 0,57721…9.0017

Число Эйлера (e) в финансах: сложные проценты

Сложные проценты были провозглашены чудом финансов, когда проценты начисляются не только на первоначальные суммы инвестиций или депозитов, но и на ранее полученные проценты. Непрерывное начисление процентов достигается, когда проценты реинвестируются в течение бесконечно малой единицы времени. Хотя в реальном мире это практически невозможно, эта концепция имеет решающее значение для понимания поведения многих различных типов финансовых инструментов, от облигаций до контрактов на деривативы. 9{rt}\\&\textbf{где:}\\&\text{FV} = \text{Будущая стоимость}\\&\text{PV} =\text{Текущая стоимость баланса или суммы}\\&e = \text{Формула Эйлера}\\&r = \text{Процентная ставка начисляется}\\&t = \text{Время в годах}\end{выровнено} ​FV=PVertwhere:FV=Будущее значениеPV=Текущая стоимость баланса или = Формула Эйлера=Процентная ставка начисляется t=Время в годах есть: 9{ 12 \ умножить на 3 } = \ $ 1061,78 $1000(1+12,02​)12×3=$1061,78

Здесь разница составляет всего несколько центов, но по мере того, как наши суммы становятся больше, процентные ставки становятся выше, а количество времени увеличивается, непрерывное начисление сложных процентов с использованием Постоянная Эйлера становится все более и более ценной по сравнению с дискретным начислением процентов.

Почему число Эйлера важно?

Число Эйлера часто появляется в задачах, связанных с ростом или уменьшением, где скорость изменения определяется текущим значением измеряемого числа. Одним из примеров является биология, где ожидается удвоение популяции бактерий через определенные промежутки времени. Другим случаем является радиометрическое датирование, когда ожидается, что количество радиоактивных атомов уменьшится в течение фиксированного периода полураспада измеряемого элемента.

Как число Эйлера используется в финансах?

Число Эйлера появляется в задачах, связанных со сложными процентами. Всякий раз, когда инвестиция предлагает фиксированную процентную ставку в течение определенного периода времени, будущая стоимость этой инвестиции может быть легко рассчитана с точки зрения e.

Что такое число Эйлера?

Проще говоря, число Эйлера является основанием экспоненциальной функции, скорость роста которой всегда пропорциональна ее текущему значению. Показательная функция e ^x всегда растет со скоростью e ^x , что не относится к другим системам счисления и значительно упрощает алгебру, связанную с показателями степени и логарифмами. Это число иррациональное, его значение приблизительно равно 2,71828….

Итог

Число Эйлера — одна из важнейших констант в математике. Он часто появляется в задачах, связанных с экспоненциальным ростом или спадом, где скорость роста пропорциональна существующему населению. В финансах, e также используется в расчетах сложных процентов, когда богатство растет с заданной скоростью с течением времени.

Исправление – дек. 5, 2021: В более ранней версии этой статьи число Эйлера было неправильно объединено с константой Эйлера.

Что означает E в математике?

Обновлено 20 декабря 2020 г.

Автор Chris Deziel

Буква E может иметь два разных значения в математике, в зависимости от того, является ли она заглавной E или строчной e. Обычно вы видите заглавную Е на калькуляторе, где она означает возведение числа, следующего за ней, в степень 10. Например, 1E6 будет означать 1 × 10 ⁶ или 1 миллион. Обычно буква E используется для чисел, которые были бы слишком длинными для отображения на экране калькулятора, если бы они были написаны от руки.

Математики используют строчную букву e для гораздо более интересной цели — для обозначения числа Эйлера. Это число, как и π, является иррациональным числом, потому что оно имеет неповторяющуюся десятичную дробь, простирающуюся до бесконечности. Подобно иррациональному человеку, иррациональное число кажется бессмысленным, но число, которое обозначает e, не обязательно должно иметь смысл, чтобы быть полезным. На самом деле, это одно из самых полезных чисел в математике.

E в научной записи и значение 1E6

Вам не нужен калькулятор, чтобы использовать E для выражения числа в научной записи. Вы можете просто позволить E обозначать основной корень экспоненты, но только тогда, когда основание равно 10. Вы не будете использовать E для обозначения основания 8, 4 или любого другого основания, особенно если основание является числом Эйлера, e.

Когда вы используете E таким образом, вы записываете число x E y , где x  – первый набор целых чисел в числе, а y — показатель степени. Например, число 1 миллион можно записать как 1E6. В обычной научной записи это 1 × 10 ⁶ , или 1 с 6 нулями. Точно так же 5 миллионов будут 5E6, а 42 732 будут 4,27E4. При написании числа в экспоненциальном представлении, независимо от того, используете ли вы E или нет, вы обычно округляете число до двух знаков после запятой.

Откуда взялось число Эйлера e?

Число, представленное буквой e, было открыто математиком Леонардом Эйлером как решение проблемы, поставленной другим математиком, Якобом Бернулли, 50 лет назад. Проблема Бернулли была финансовой. 9n

где ​ r ​ равно 1 и n период платежа.

Оказывается, по мере того, как n приближается к бесконечности, результат становится все ближе и ближе к e, который равен 2,7182818284 с точностью до 10 знаков после запятой. Вот как это открыл Эйлер. Максимальный доход, который вы можете получить от инвестиций в размере 1000 долларов в год, составит 2718 долларов.

Синус — что это такое, значения синусов для разных углов

Синусы каких углов выражаются формулами?

В 8 классе ученики заучивают таблицу синусов и других тригонометрических функций. Она выглядит так:

Есть очень хороший мнемонический приём, позволяющий запомнить значения тригонометрических функций табличных углов. o = \frac{\sqrt{5}+1}{4}\frac{\phi}{2}$

Можно выражать с помощью форул с корнями синусы сумм и разностей углов, тригонометрические функции которых тоже выражаются формулами с корнями. Поскольку все исходные углы делятся на 3, то и точные формулы тригонометрических функций можно получить для углов, кратных тём градусам. Приведём значения значения синусов. Значения остальных фнукций углов можно получить, воспользовавшись формулами приведения и соотношениями между тригонометрическими функциями.

sin 0^o = 0
sin 3^o = $\frac{(2-\sqrt{12})\sqrt{5+\sqrt5}+(\sqrt{10}-\sqrt2)(\sqrt3+1)}{16}$ — это центральный угол правильного 60-угольника
sin 6^o = $\frac{\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt5-1}{8}$ — это центральный угол правильного 30-угольника
sin 9^o = $\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{10}+\sqrt2-2\sqrt{5-\sqrt5}\right]$ — это центральный угол правильного 20-угольника
sin 12^o = $\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{2(5+\sqrt5)}+\sqrt3-\sqrt{15}\right]$ — это центральный угол правильного 15-угольника
sin 15^o = $\tfrac{1}{4}(\sqrt6-\sqrt2)$
sin 18^o = $\tfrac{1}{4}\left(\sqrt5-1\right)$ — это центральный угол правильного 10-угольника
sin 21^o = $\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3+1)\sqrt{5-\sqrt5}-(\sqrt6-\sqrt2)(1+\sqrt5)\right]$
sin 24^o = $\tfrac{1}{8}\left[\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right]$
sin 27^o = $\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt2\;(\sqrt5-1)\right]$
sin 30^o = $\frac{1}{2}$ — это центральный угол правильного 6-угольника
sin 33^o = $\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3-1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(1+\sqrt3)(\sqrt5-1)\right]$
sin 36^o = $\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}}{4}$ — это центральный угол правильного 5-угольника
sin 39^o = $\tfrac1{16}[2(1-\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3+1)(\sqrt5+1)]$
sin 42^o = $\frac{\sqrt{30+\sqrt{180}}-\sqrt5+1}{8}$
sin 45^o = $\frac{1}{\sqrt2}$ — это центральный угол правильного 4-угольника
sin 48^o = $\frac{\sqrt{15}-\sqrt3+\sqrt{10+\sqrt{20}}}{8}$
sin 51^o = $\tfrac1{16}[2(1+\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3-1)(\sqrt5+1)]$
sin 54^o = $\frac{\sqrt5+1}{4}$
sin 57^o = $\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3+1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(1-\sqrt3)(\sqrt5-1)\right]$
sin 60^o = $\frac{sqrt{3}}{2}$
sin 63^o = $\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2\;(\sqrt5-1)\right]$
sin 66^o = $\tfrac{1}{8}\left(\sqrt{6(5-\sqrt5)}+\sqrt5+1\right)$
sin 69^o = $\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3-1)\sqrt{5-\sqrt5}+(\sqrt6+\sqrt2)(1+\sqrt5)\right]$
sin 72^o = $\tfrac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt5)}$
sin 75^o = $\tfrac{1}{4}(\sqrt6+\sqrt2)$
sin 78^o = $\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{6(5+\sqrt5)}+\sqrt5-1\right]$
sin 81^o = $\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{10}+\sqrt2+2\sqrt{5-\sqrt5}\right]$
sin 84^o = $\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3+\sqrt{15}}{8}$
sin 87^o = $\frac{(2+\sqrt{12})\sqrt{5+\sqrt5}+(\sqrt{10}-\sqrt2)(\sqrt3-1)}{16}$
sin 90^o = 1

Итак, только для этих целых углов первой четверти синусы, косинусы и им подобные функции можно выразить точно. o=\frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ 2\sqrt{17+3\sqrt{17}- \sqrt{34-2\sqrt{17}}- 2\sqrt{34+2\sqrt{17}}})$

Также существуют методы построения для правильного 257- и 65537 угольников. Они дают точные формулы для бесконечного количества синусов рациональных углов.

Тригонометрия на пальцах — IntoMath

Как вы, возможно, уже знаете, тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между длинами сторон и углами треугольников. В тригонометрии используются три основные функции: синус, косинус, тангенс, обычно обозначаются как sin, cos, tan соответственно.
Давайте рассмотрим, что делает каждая из вышеперечисленных функций. Давайте также научимся делать тригонометрию на пальцах.

В непрямоугольных треугольниках мы используем законы синусов и законы косинусов для определения длин сторон и углов.

Тригонометрия широко используется во многих сферах нашей жизни, особенно в строительстве, астрономии, физике, электронной музыке, бортовой технике, морской технике, навигации, медицине, картографии, электричестве и т. д.
Рассмотрим один из практических Использование тригонометрии в нашей жизни.