Автор: alexxlab

Урок математики на пляже проводится на пляже в Лос-Анджелесе для мальчика, который совсем не умеет вычислять проценты. Он задает процентный вопрос, а затем помогает мальчику ответить на него, прежде чем дать ему попробовать самому. Это супер видео, чтобы зацепить ваших учеников в начале урока.

Узнать больше: yaymath

В этом математическом задании для потребителей с бесплатными печатными листами используется реальный пример распродаж в Черную пятницу, чтобы предложить учащимся простые расчеты процентов. Они будут работать, чтобы рассчитать цену продажи; начиная с фактической цены.

Дополнительные сведения: Курсы повышения квалификации

Ученикам понравится создавать эти классные круговые диаграммы о себе. Сначала они создадут наборы данных, которые затем смогут преобразовать в проценты для использования в своих круговых диаграммах. Очень здорово возвращаться к этому занятию через какое-то время и наблюдать за изменениями в графиках.

Узнать больше: Cindy deRosier

4. Онлайн-игра «Планируй парк»

Эта увлекательная онлайн-игра — отличный способ для школьников наглядно представить процентные значения. Студенты будут планировать свой парк так, как они пожелают; лишь бы проценты были правильными. Это отличное занятие для быстро заканчивающих учеников.

Узнайте больше: Детские математические игры онлайн

Преобразование процентов в дроби — важный, но трудный навык! Эта игра в бинго — интересный способ попрактиковаться в этом навыке. Наличие нескольких вариантов ответа поддержит учащихся, испытывающих затруднения, и снимет напряжение, но при этом поможет им учиться.

Узнайте больше: Ресурсы для учителей математики

Эта творческая идея использует кегли как визуальное представление процентов. Учащиеся получают несколько кеглей, и им нужно будет рассчитать процентное соотношение каждого цвета в их общем количестве.

Узнать больше: Преподавание с видом на горы

Это яркое раскрашивание — еще одно супер-упражнение, которое поможет вашим учащимся распознавать визуальные представления различных процентных величин и их соответствие десятичным и десятичным дробям. процентные преобразования. Ячейки с дробями рядом с вашим квадратом 100 помогут укрепить представление о том, что проценты и дроби могут быть эквивалентны.

Дополнительные сведения: Художественные математические проекты

В этом анимационном видеоролике по математике даются наглядные примеры того, как учащиеся могут преобразовывать проценты, дроби и десятичные числа. Видео показывает математический процесс и связанные с ним расчеты, помогая учащимся пройти каждый этап.

Узнайте больше: EarthPen

Игры и другие интерактивные занятия — отличный способ дать вашим ученикам возможность практиковать то, что они узнали. В этой игре учащимся предлагается выполнить простые процентные расчеты, а в их поддержку даже предлагаются поля для ответов с несколькими вариантами ответов.

Узнать больше: Математический уголок

Посмотреть эту публикацию в Instagram 0003

Это фантастическое занятие игра для студентов, чтобы сопоставить общие проценты с соответствующими им простыми дробями и десятичными числами. Это супер простой ресурс для создания! Единственное, что вам понадобится, это несколько карточек с образцами цветов.

Узнайте больше: @teachingwithpenguins

Это задание с бесплатными распечатываемыми карточками заданий идеально подходит для тренировки вычисления процентов от целых сумм. Гистограмма позволяет учащимся наглядно увидеть концепцию разделения суммы на требуемый процент.

Узнать больше: разобраться в математике

 «Если бы мир был деревней» — это фантастическая идея и отличный способ превратить свое процентное обучение в долгосрочное занятие. , многоаспектный проект. Учащиеся могут использовать набор данных из NRICH, а затем выполнять задания в классе, например преобразовывать данные в проценты и использовать их для создания графиков и диаграмм.

Узнайте больше: NRICH и Home School Share

Это видео предлагает учащимся прекрасное наглядное представление долей целых сумм. Затем он демонстрирует учащимся математику, лежащую в основе вычисления процента от общей суммы. Вы можете использовать это видео как зацепку для следующего урока по процентам.

Узнать больше: улыбайся и учись

Это увлекательное раскрашивание дает учащимся возможность преобразовать проценты в дроби и увидеть, как дроби выглядят на картинках. Студенты могут иметь полную свободу действий при выполнении этой задачи, или вы можете точно указать, какой процент каждого цвета вы хотите, чтобы они использовали.

Узнать больше: To The Square Inch

Интерактивные занятия, подобные этой супер-игре, — отличный способ познакомить учащихся с процентами. Учащиеся должны закрасить правильный процент каждой фигуры, состоящей из 100 квадратов. Эта игра — отличное начальное упражнение для вашего урока, чтобы продемонстрировать проценты от 100. 

Узнать больше: Math Nook

Эта забавная песенка станет отличным поводом для следующего урока по процентам. Он перечисляет различные проценты, с которыми учащиеся могут столкнуться в реальной жизни, и обсуждает, хороши они или плохи!

Узнайте больше: г-н Колин Доддс

Это бесплатное занятие по поиску мусора направлено на повышение финансовой грамотности. Студентам предлагается попрактиковаться в вычислении процентов. Начиная с фактической цены, учащиеся должны рассчитать продажную цену товара после процентной скидки. Это фантастическое занятие, которое можно использовать на открытом воздухе во время обучения на свежем воздухе.

Дополнительные сведения: Scaffolded Math

Это занятие представляет собой интересный и новаторский способ побудить учащихся записывать свои знания о десятичных и процентных преобразованиях. Под каждым клапаном они напишут, как выполнить каждое преобразование. Это может затем использоваться в качестве удобного инструмента, чтобы помочь им в будущей работе.

Узнайте больше: Когнитивная кардио-математика

Эта игра в домино дает детям возможность попрактиковаться в определении соответствующих обыкновенных процентов и простых дробей. Они будут сопоставлять десятичные дроби соответствующим процентам; создание ярких дисплеев с их работой.

Узнать больше: Первый класс мисс Уорд

В этом превосходном бесплатном наборе заданий содержится множество замечательных заданий, посвященных различным аспектам обучения процентам, включая преобразование десятичных дробей в проценты и применение процентов в контекст реального мира.

Узнать больше: Идеи для обучения

Похожие сообщения:

Допуск Calvin’s | 3 Act Math Task

Работа с процентами для оценки и расчета скидок

В следующем учебном материале представлены реальных математических задач , которые были созданы с учетом учебной программы по математике Онтарио для 6 класса.

Учителя из школ Онтарио, а также школ по всему миру могут использовать этот урок и серию видео/фотографий в своих классах, чтобы познакомить своих учеников с реальным приложением, чтобы укрепить навыки оценки и вычисления процентов, а также применять их понимание скидок в процентах. На протяжении всего урока учащимся предлагается оценка стоимости каждого предмета одежды после применения скидки при одновременном поощрении использования понятных чисел и понимания их в процентах как части (процентах) от целого (из 100). Затем учащиеся смогут взять свою оценку и выполнить расчет с помощью калькулятора, чтобы сравнить свою оценку с фактическим результатом.

Цели обучения:

Затем спросите учащихся:

Что вы заметили? Что вам интересно?

Дайте учащимся время записать некоторые из своих замечаний и вопросов на листе бумаги или на доске/столе с помощью неперманентного маркера. Обычно я даю студентам минуту времени на то, чтобы они «быстро записали» эти идеи.

Затем я предлагаю учащимся поделиться своими наблюдениями и сомнениями, а я обычно перечисляю их в форме баллов на доске или в заметке на моем компьютере, чтобы все видели. Присвоение названий этим идеям может быть хорошим способом повысить ответственность и поощрить обмен мнениями.

Так как цена в видео явно заблокирована, я надеюсь, что кого-то интересует цена или цена со скидкой на пиджак с такими идеями:

Сколько стоит до скидки?
Сколько скидка сэкономит вам?
Какую цену продажи вы должны заплатить?
И многое другое…

Хотя вопросы, которые я ловлю, не всегда выходят, это нормально. Обсуждение имеет ключевое значение для того, чтобы зацепить моих студентов, и их любопытство может быть легко сформировано после того, как они поделились таким количеством интересных идей. Мы часто тратим некоторое время, пытаясь ответить на другие их вопросы, чтобы убедиться, что студенты знают, что их голос ценится.

Затем я прошу учащихся сделать прогноз.

Я попрошу учащихся поделиться этими прогнозами, записать свои имена и попытаться устроить в классе небольшое дружеское соревнование, чтобы вызвать студенческую беседу в нашей безопасной классной среде.

Акт 2 – Дайте некоторую информацию

Затем мы попросим учащихся посмотреть видео акта 2, сцена 1, чтобы узнать первоначальную розничную цену.

Затем учитель может попросить учащихся провести обсуждение в своих группах за столом, чтобы определить, как они могут оценить цену продажи после скидки. Несколько наводящих вопросов:

• Какие дружественные проценты мы можем использовать, чтобы получить близкое приближение?
• Помогает ли здесь округление розничной цены до удобного числа?
• и так далее…

После обсуждения учащиеся могут поделиться своими идеями через Apple TV или использовать диаграммную бумагу в классе, чтобы смоделировать как можно больше творческих решений. Затем учащиеся могут проверить свои оценки с помощью калькулятора и, возможно, побудить их попытаться найти более эффективную стратегию по мере выполнения оставшихся заданий.

Акт 2, Сцена 2

Учащиеся будут смотреть видео акта 2, сцены 2.

Затем учащиеся могут использовать стратегии оценки, чтобы найти скидку и цену продажи товара.

Акт 2, сцена 3

Учащиеся посмотрят видео акта 2, сцены 3.

Затем учащиеся могут использовать стратегии оценки, чтобы найти скидку и цену продажи товара.

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

$S=\frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=\frac{1}{4}\sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$

Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника. 2\sqrt{3}}{4}$

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

$S=\frac{abc}{4R}$

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

$S=\frac{(a+b+c)r}{2}=pr$

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}$

При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой — отрицательным.

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

$\frac{1}{2}|x_1 y_2 — x_2 y_1|$

13. Формула площади треугольника по трём медианам

$S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma — m_a)(\sigma — m_b)(\sigma — m_c)}$,
где $\sigma$ — полусумма медиан. {2} \sin \alpha \sin \beta\sin \gamma$

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

Геометрия 8-го класса в планиметрических задача ЕГЭ

Цели занятий:

• Образовательные: систематизировать знания учащихся при подготовке экзаменам, применять теоретический при решении задач.
• Развивающие: развитие познавательного интереса, внимания, логического мышления.
• Воспитательные: воспитание настойчивости для преодоления возникающих трудностей, повышение самооценки учащихся.

Тип занятий: обобщающее повторение на факультативах и уроках геометрии при подготовке к ЕГЭ по учебнику Атанасяна Л. С., Бутузова В.Ф.и других, Москва, “Просвещение”, 2006г.

I блок. Свойство медианы треугольника.

Теория:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (п. 62).

2. Задача № 571:

значит, .

3. Медианы разбивают заданный треугольник на шесть равновеликих.

Доказательство:

т.к. OC₁— медиана _то

т.к. 1=2 (п.52), значит

Аналогично рассуждая, получим: .

Задача 1. Площадь треугольника ABC равна 60. Точка C является серединой отрезка AC₁. Медиана AA₁ треугольника ABC₁ пересекает сторону BC в точке M. Найдите площадь четырёхугольника CMA₁C₁.

По условию задачи AA₁ и BC – медианы .

Провели медиану C₁K. разбился на 6 равновеликих треугольников. Тогда .

Ответ: 40

Задача 2. В треугольнике медианы, длины которых 3 и 4, пересекаются под прямым углом. Найти площадь треугольника.

BB₁ и CC₁ — медианы,

BB_{1 CC1 ; BB1 = 4; CC1= 3.}

По свойству медиан C₁O = , тогда C₁O = 1; ; .

Ответ: 8.

II блок. Вписанная окружность.

Теория:

1. Свойство касательных: отрезки касательных к окружности, проведённые из одной из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр и эту точку (п. 69).
2. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
3. Суммы длин противоположных сторон описанных четырёхугольников равны (п.74).
4. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис описанного многоугольника.
5. Формула площади описанного многоугольника: , где r – радиус вписанной окружности, P – периметр многоугольника.

Задача 3. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Через центр О вписанной окружности проведён луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что . Найдите гипотенузу.

Т.к. О – точка пересечения биссектрис, то ABM=CBM, значит MAB=MBA, следовательно, — равнобедренный, тогда .

C=90⁰ ,A=MBC, т.е.

Из по теореме Пифагора

Составим уравнение

Из по т. Пифагора: =

Ответ: 24

Задача 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. найдите радиус окружности, если АМ=6, ВМ=24

Т.к - равнобедернный, то AB=AC=30

По свойству касательных: АМ=АЕ=6,СЕ=СК=24,ВМ=КВ=24,значит ВС=48

По формуле Герона

Ответ: 8

Задача 5. прямоугольная трапеция описана около окружности радиусом 2. Найдите площадь трапеции, если одно из её оснований больше другого основания на 3.

; М, Е, К, N – точки касания, О — точка пересечения биссектрис, С+D=180⁰ , тогда , значит,

M – точка касания, OM – радиус, проведённый в точку касания, следовательно , OMCD.Воспользуемся пропорциональностью отрезков в прямоугольном треугольнике (п. 63). OM – среднее геометрическое для отрезков CM и MD:

 Примем , тогда . По свойству касательных 

Так как трапеция прямоугольная , то OK=BN=BK, OE=AN=AE. Т. к. AD>BC на 3, то AD=BC+3

Задача 6. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длинной 1 и 9 . Найти площадь трапеции.

Аналогично решению задачи №5

По свойству сторон описанного четырехугольника , тогда P=32

Ответ: 48.

III блок. Описанная окружность

Теория:

1. Центральный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается (п.70)
2. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
3. Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (п.71)

Задача 7. Высоты АН и ВК остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке М, АВМ=105⁰ . Найдите градусную меру угла АВО, где О- центр окружности, описанной около треугольника АВС

Задача 8. в треугольнике ABC угол В равен 30⁰ . около треугольника описана окружность радиуса 12. хорда ВК проходит через середину М стороны АС, причем МК=2. Найдите ВМ

IV Блок. Подобные треугольники. (пп 59, 60, 61)

Задача 9. В прямоугольном треугольнике ABC (C=90⁰ ), из вершины прямого угла проведена высота CH. Периметры треугольников ACH и BCH равны соответственно 3 см и 4 см. Найдите периметр треугольника ABC.

Примем CH=x, x>0, тогда

В треугольнике ABC BC – среднее геометрическое для AB и BH . По условию P периметр равен 4 см, тогда , X=1

Значит, CH=1см; P_ABC= 7 – 5 = 5. Ответ: 5

Задача 10. Найти периметр равнобедренного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3, а высота, проведённая к основанию, равна 8.

P_ABC = 2AB + AC

M – точка касания. Проведём ОМ. ОМОС (как радиус, проведённый в точку касания).

( OBM – общий, BMO = BHC = 90⁰ )

Из по теореме Пифагора

Из по теореме Пифагора .

Ответ: 32

V Блок. Свойства биссектрисы треугольника.

Теория:

1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон (п. 72)
2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника (№ 535)

Задача11. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВМ и АН пересекаются в точке К, причём АК=5, КН=3. Найдите площадь треугольника АВК. Проведём высоту СЕ. Она проходит через точку К (п. 73).

S_АВК=. Так как треугольник АВС – равнобедренный, то высота ВМ является биссектрисой.

КЕ=КН=3. Из треугольника АЕК по т. Пифагора . В треугольнике АВН  ВН — биссектриса и делит сторону АН на отрезки, пропорциональные сторонам АВ и ВН:.

Примем ВН = х, где х>0, тогда . АВ = 6+4=10.

. Ответ 15.

Задача 12. В ромбе АВСD из вершины тупого угла В проведена высота ВН к стороне АD. Она пересекает диагональ АС в точке М. Сторона ромба равна 15, а его площадь равна 135.

Найдите площадь треугольника АМН

.

. S_ABCD= AD^. BH. ВН = 135:15 = 9. Из треугольника АВН по теореме Пифагора,. Так как диагональ ромба является биссектрисой (п.46), то по свойству биссектрисы треугольника АВН  получим Примем МН=х, х>0, тогда

Ответ:24.

Задача 13. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 20. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты BD и АН, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника ВКН, если

.

тогда  АВ=ВС (так как треугольник АВС-равнобедренный). Из треугольника АВН :

1) по т. Пифагора

2) ВК – биссектриса, поэтому .

Примем КН = х, х>0, тогда ,, КН = . . Ответ: 4,5.

Литература:

1. Учебник для общеобразовательных учреждений “Геометрия 7-9”, Л.С. Атанасян,В.Ф. Бутузов и другие. Москва, “Просвещение”, 2006г.
2. КИМ “ЕГЭ -2006” под редакцией Л.О.Денищевой. Москва, “Просвещение”, 2006г
3. “Типовые тестовые задания ЕГЭ” — 2007г, Т.А. Корешкова, Ю.А.Глазков, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. Москва, “Экзамен”, 2007
4. КИМ “ ЕГЭ – 2007”, Ю.А. Глазков, Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В.Шевелёва. Москва, “Экзамен” -2007г
5. “Тренировочные задания ЕГЭ” -2008, Т.А. Корешкова, Н.В.Шевелёва, В.В. Мирошин. Москва, “Эксмо” -2008.

Центроид треугольника | Brilliant Math & Science Wiki

Содержимое

• Нахождение центроида
• Доказательство существования
• Характеристики
• Отношения с другими центрами треугольника
• Другие полигоны
• Смотрите также

Центр тяжести легко найти с помощью координат: треугольник с вершинами в точках \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\) имеет центроид в точке \(\left(\frac{x_1+x_2) +x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right). \)

Треугольник \(ABC\) имеет вершины \(A = (3,4)\), \(B=(5,12)\) и \(C=(8,15)\). Каковы координаты центра тяжести треугольника \(ABC\)?

---

Центр тяжести находится на

\[\left(\frac{3+5+8}{3}, \frac{4+12+15}{3}\right)=\left(\frac{16}{3}, \frac{ 31}{3}\справа).\ _\квадрат\]

Простейшее доказательство является следствием теоремы Чевы, которая утверждает, что \(AD, BE, CF\) совпадают тогда и только тогда, когда

\[\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{ DB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1.\]

В этом случае \(D,E,F\) являются серединами соответствующих сторон. Следовательно, \(AE=EC, CD=DB,\) и \(BF=FA,\), поэтому вышеприведенное равенство сразу верно, что демонстрирует существование центроида.

Медиана треугольника — это отрезок прямой между вершиной треугольника и серединой противоположной стороны. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Центроид — это пересечение трех медиан.

Три медианы также делят треугольник на шесть треугольников, каждый из которых имеет одинаковую площадь. 92 = 70\). Геометрическое место \(P\) представляет собой окружность радиуса \(r\), где \(r\) может быть выражено в форме \(\frac{m}{n}\) для некоторых относительно простых натуральных чисел \ (м\) и \(п\). Найдите \(100m+n\).

Аналогичное свойство следующее: если любая линия, проходящая через центроид, попадает в \(AB\) в точке \(D\) и \(AC\) в точке \(E\), то

\[\frac{BD}{DA}+\frac{CE}{EA}=1.\]

Можно также вычислить длину медианы из длин сторон:

На приведенной выше диаграмме прямая \(l\) проходит через центр тяжести \(\треугольника ABC.\)

Если расстояние по перпендикуляру между \(A\) и линией \(l\) равно 2, а расстояние по перпендикуляру между \(B\) и линией \(l\) равно 6, тогда каково расстояние по перпендикуляру между \(C\) и линией \(l?\)

Пусть \(a, b, c\) — длины сторон треугольника \(ABC\) выше, а \(d, e, f\) — расстояния от его центра тяжести \(O\) до вершин . (Красные линии — медианы.) 92}?\)

В треугольнике \(ABC\) случайная прямая проходит через его центр тяжести (пересечение трех медиан), разделяя его на две области. Найдите минимально возможное отношение площади меньшей области к площади большей области.

Другие центры треугольника включают

• ортоцентр
• в центре
• центр окружности.

Ортоцентр — это точка, где сходятся три высоты треугольника. Высота — это отрезок, проведенный из одной вершины в противоположную сторону и перпендикулярный противоположной стороне. 92\большой).\ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

Центроид также лежит на линии Эйлера треугольника, поэтому

\[GH = \frac{2}{3}OH,\quad GO=\frac{1}{3}OH,\]

где \(H\) — ортоцентр треугольника.

Если \(A’, B’, C’\) являются центрами описанных окружностей треугольников \(BCG, ACG, ABG,\) соответственно, то

\(O\) — центр тяжести треугольника \(A’B’C’\). Кроме того, \(G\) является симедианой точки \(\треугольника A’B’C’\).

Наконец, медианы \(\треугольника A’B’C’\) проходят через середины \(AB, BC,\) и \(CA\), поэтому медианы \(\треугольника A’B ‘C’\) и \(\треугольник ABC\) пересекаются в середине исходного треугольника.

Рассмотрим равнобедренный \(\треугольник ABC\) с \(AB=AC=5, BC=6,\), где \(I,O,H\) обозначают его центр вписанной окружности, центр описанной окружности, ортоцентр соответственно.

Найдите площадь \(\треугольника IOH\).

Другие многоугольники имеют аналогичную интерпретацию центроида; он остается центром масс вершин многоугольника.

Однако центр тяжести больше не является (обязательно) пересечением медиан; на самом деле медианы не обязательно пересекаются в больших многоугольниках.

• Циркумцентр
• Инцентр
• Ортоцентр

Процитировать как: Центроид треугольника. Brilliant. org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/triangles-centroid/

Калькулятор треугольников

Введите 3 значения, включая хотя бы одну сторону, в следующие 6 полей и нажмите кнопку «Рассчитать». Если в качестве единицы измерения угла выбран радиан, он может принимать такие значения, как пи/2, пи/4 и т. д.

Треугольник — это многоугольник с тремя вершинами. Вершина — это точка, в которой встречаются две или более кривых, линий или ребер; в случае треугольника три вершины соединены тремя отрезками, называемыми ребрами. Треугольник обычно называют его вершинами. Следовательно, треугольник с вершинами a, b и c обычно обозначается как Δabc. Кроме того, треугольники, как правило, описываются на основе длины их сторон, а также их внутренних углов. Например, треугольник, в котором все три стороны имеют одинаковую длину, называется равносторонним треугольником, а треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину, называется равнобедренным. Когда ни одна из сторон треугольника не имеет одинаковой длины, он называется разносторонним, как показано ниже.

Засечки на ребрах треугольника — общепринятое обозначение, отражающее длину стороны, где одинаковое количество засечек означает одинаковую длину. Аналогичные обозначения существуют для внутренних углов треугольника, обозначаемых разным количеством концентрических дуг, расположенных в вершинах треугольника. Как видно из приведенных выше треугольников, длина и внутренние углы треугольника напрямую связаны, поэтому имеет смысл, что равносторонний треугольник имеет три равных внутренних угла и три стороны одинаковой длины. Обратите внимание, что треугольник, представленный в калькуляторе, показан не в масштабе; хотя он выглядит равносторонним (и имеет маркировку углов, которые обычно читаются как равные), он не обязательно является равносторонним и представляет собой просто изображение треугольника. При вводе фактических значений выходные данные калькулятора будут отражать форму входного треугольника.

Треугольники, классифицированные по их внутренним углам, делятся на две категории: прямоугольные и косоугольные. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен 90°, и обозначается двумя отрезками, образующими квадрат в вершине, составляющей прямой угол. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. Любой треугольник, который не является прямоугольным, классифицируется как косоугольный и может быть либо тупоугольным, либо остроугольным. В тупоугольном треугольнике один из углов треугольника больше 90°, а в остроугольном треугольнике все углы меньше 90°, как показано ниже.

Факты, теоремы и законы треугольника

• Зная длины всех трех сторон любого треугольника, каждый угол можно вычислить с помощью следующего уравнения. Обратитесь к треугольнику выше, предполагая, что значения a, b и c известны.

Площадь треугольника

Существует несколько различных уравнений для расчета площади треугольника, в зависимости от того, какая информация известна. Вероятно, наиболее известное уравнение для вычисления площади треугольника включает его основание, b и высота h . «Основание» относится к любой стороне треугольника, где высота представлена ​​длиной отрезка, проведенного от вершины, противоположной основанию, к точке на основании, образующей перпендикуляр.

Зная длину двух сторон и угол между ними, можно использовать следующую формулу для определения площади треугольника. Обратите внимание, что используемые переменные относятся к треугольнику, показанному в калькуляторе выше. Учитывая а = 9, b = 7 и C = 30°:

Другой метод вычисления площади треугольника использует формулу Герона. В отличие от предыдущих уравнений, формула Герона не требует произвольного выбора стороны в качестве основания или вершины в качестве начала координат. Однако для этого требуется, чтобы длины трех сторон были известны. Опять же, в отношении треугольника, представленного в калькуляторе, если a = 3, b = 4 и c = 5:

Медиана, внутренний радиус и радиус описанной окружности

Медиана

Медиана треугольника определяется как длина отрезка, проходящего от вершины треугольника до середины противоположной стороны. Треугольник может иметь три медианы, каждая из которых будет пересекаться в центре тяжести (среднее арифметическое положение всех точек треугольника) треугольника. Обратитесь к приведенному ниже рисунку для пояснения.

Медианы треугольника представлены отрезками m _a , m _б и м _с . Длину каждой медианы можно рассчитать следующим образом:

Где a, b и c представляют длину стороны треугольника, как показано на рисунке выше.

Например, учитывая, что a=2, b=3 и c=4, медиану m _a можно рассчитать следующим образом: круг, который поместится внутри заданного многоугольника, в данном случае треугольника. Внутренний радиус перпендикулярен каждой стороне многоугольника. В треугольнике внутренний радиус можно определить, построив две биссектрисы угла, чтобы определить центр треугольника. Внутренний радиус — это расстояние по перпендикуляру между центром вписанной стороны и одной из сторон треугольника. Можно использовать любую сторону треугольника, если определено перпендикулярное расстояние между стороной и центром вписанной стороны, поскольку центр вписанной стороны по определению равноудален от каждой стороны треугольника.

Для целей этого калькулятора внутренний радиус рассчитывается с использованием площади (Area) и полупериметра (s) треугольника по следующим формулам:

где a, b и c — стороны треугольника

Радиус окружности

Радиус окружности определяется как радиус окружности, проходящей через все вершины многоугольника, в данном случае треугольника. Центр этой окружности, где встречаются все серединные перпендикуляры каждой стороны треугольника, является центром описанной окружности треугольника и является точкой, от которой измеряется радиус описанной окружности.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, а основание переписывают один раз.  Зная результат, можно найти степень второго множителя, вычитанием из 25 показателя степени первого множителя.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.  Подбирайте степени так, чтобы сумма всех показателей степени слева была равна показателю степени справа от равно.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем. Подбирайте степени так, чтобы сумма всех показателей степени слева была равна показателю степени справа от равно.

При произведении степеней  одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

Используйте таблицу степеней. Примените свойство: при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

Используйте таблицу степеней. Примените свойство: при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

Чётная степень всегда положительна, нечётная степень сохраняет знак основания степени.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем. 

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем. При произведении - показатели складываем.
Подбирайте показатели таким образом, чтобы в результате сложения или вычитания показателей слева получился показатель справа от равно.

Сначала в левой части уравнения применим свойство деления степеней. Затем приравниваем показатели, т. к. основания одинаковые, и решаем линейное уравнение.

Делимое : Делитель = Частное

1) чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
2) чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Используем свойства степени:
1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;
2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.
Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

Используем свойства степени:

1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;

2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.

Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

Используем свойства степени:

1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;

2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем. 

Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Применяем все известные свойства степени.

Сначала приведем все к одному основанию степени, затем применим все известные свойства степеней.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Применяем свойства:
1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.
2) При произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем.

Применяем свойства произведения и деления степеней с одинаковым основанием.

Используем свойство возведения степени в степень.

Используем свойства:

1) При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

2) При произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем.

Применяем свойства:

1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.

2) При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.

Примените все известные вам свойства степеней.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Сначала в левой части уравнения упростите выражение с помощью свойств степеней. Затем уравнение можно решить подбором корней.

Вопросники:

Вопрос:

Вопрос:

Вопрос:

Пары:

Пропуски:

вычитаютумножаютскладываютвычитаютумножаютскладываютвычитаютумножаютскладывают

Последовательности:

7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства. — Возведение в степень .

На этом уроке мы изучим возведение степени в степень. Вначале вспомним определение степени и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковым основанием. Далее будет сформулирована теорема о возведении степени в степень. Затем мы приведем примеры ее использования на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач и будем решать типичные примеры с помощью всех теорем.

На­по­ми­на­ние:

Ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

Здесь a – ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

n – по­ка­за­тель сте­пе­ни,

– n-ая сте­пень числа.

Тео­ре­ма 1. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся, ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

Тео­ре­ма 2. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k, таких, что  n > k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При де­ле­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли от­ни­ма­ют­ся, а ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

На этом уроке будет рас­смот­ре­на сле­ду­ю­щая тео­ре­ма.

Тео­ре­ма 3. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Вывод: част­ные слу­чаи под­твер­ди­ли пра­виль­ность фор­му­лы . До­ка­жем ее в общем слу­чае, то есть для лю­бо­го а и любых на­ту­раль­ных n и k.

По опре­де­ле­нию сте­пе­ни:

При­ме­ним тео­ре­му 1:

Итак, мы до­ка­за­ли: , где а – любое число, n и k – любые на­ту­раль­ные числа.

Дру­ги­ми сло­ва­ми, чтобы воз­ве­сти сте­пень в сте­пень по­ка­за­те­ли нужно пе­ре­мно­жить, а ос­но­ва­ние оста­вить неиз­мен­ным.

При­мер 1: Упро­стить.

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров вос­поль­зу­ем­ся свой­ством .

а) 

б)

в) 

Ком­мен­та­рий к при­ме­ру 1.

Мы на­пи­са­ли, что , но в то же время , так как .

Ана­ло­гич­но,   .

В ка­че­стве ос­но­ва­ния может быть любое до­пу­сти­мое ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние:

При­мер 2:Упро­стить.

а) 

б) 

При­мер 3: Вы­чис­лить.

а)  

б)  

в) 

г). Ком­мен­та­рий:

д). Ком­мен­та­рий:

е). Ком­мен­та­рий:

При­мер 4: Упро­стить.

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров будем поль­зо­вать­ся тео­ре­ма­ми 1, 2, 3.

а) 

б) 

в) 

г)

д) или быст­рее 

е) = 

При­мер 5: Вы­чис­лить:

а)= 

Тема: Сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем и ее свой­ства

Урок: Умно­же­ние и де­ле­ние сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми

На­по­ми­на­ние:

Ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

Здесь a — ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

 n — по­ка­за­тель сте­пе­ни,

— n-ая сте­пень числа.

Тео­ре­ма 1. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n иk спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся, ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

Тео­ре­ма 2. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k, таких, что n > k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

При де­ле­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли от­ни­ма­ют­ся, а ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

Тео­ре­ма 3. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n иk спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Все пе­ре­чис­лен­ные тео­ре­мы были о сте­пе­нях с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми, на этом уроке будут рас­смот­ре­ны сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми.

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щие при­ме­ры:

Рас­пи­шем вы­ра­же­ния по опре­де­ле­нию сте­пе­ни.

1) 

2) 

Вывод: из при­ме­ров можно за­ме­тить, что , но это еще нужно до­ка­зать. Сфор­му­ли­ру­ем тео­ре­му и до­ка­жем ее в общем слу­чае, то есть для любых а и b и лю­бо­го на­ту­раль­но­го n.

Тео­ре­ма 4

Для любых чисел а и b и лю­бо­го на­ту­раль­но­го n спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

До­ка­за­тель­ство тео­ре­мы 4.

По опре­де­ле­нию сте­пе­ни:

 .

Итак, мы до­ка­за­ли, что .

Чтобы пе­ре­мно­жить сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, до­ста­точ­но пе­ре­мно­жить ос­но­ва­ния, а по­ка­за­тель сте­пе­ни оста­вить неиз­мен­ным.

Сфор­му­ли­ру­ем тео­ре­му для де­ле­ния сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми.

Тео­ре­ма 5

Для лю­бо­го числа а и b () и лю­бо­го на­ту­раль­но­го n спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

До­ка­за­тель­ство тео­ре­мы 5.

Рас­пи­шем  и по опре­де­ле­нию сте­пе­ни:

Итак, мы до­ка­за­ли, что .

Чтобы раз­де­лить друг на друга сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, до­ста­точ­но раз­де­лить одно ос­но­ва­ние на дру­гое, а по­ка­за­тель сте­пе­ни оста­вить неиз­мен­ным.

При­мер 1: Пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния сте­пе­ней.

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой 4.

а) 

б)

в) 

Для ре­ше­ния сле­ду­ю­ще­го при­ме­ра вспом­ним фор­му­лы:

г) 

д) 

е) 

ж) 

Обоб­ще­ние тео­ре­мы 4:

з) 

и) 

к) 

л) 

При­мер 2: За­пи­ши­те в виде сте­пе­ни про­из­ве­де­ния.

а) 

б) 

в)

г) 

При­мер 3: За­пи­ши­те в виде сте­пе­ни с по­ка­за­те­лем 2.

а)  

б)  

При­мер 4: Вы­чис­лить самым ра­ци­о­наль­ным спо­со­бом.

а) 

б) 

Источник конспекта: http://interneturok. ru/ru/school/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/vozvedenie-stepeni-v-stepen-formula-a-sup-n-sup-sup-k-sup-a-sup-nk-sup?konspekt&chapter_id=2

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/umnozhenie-i-delenie-stepeney-s-odinakovymi-pokazatelyami?konspekt&chapter_id=2

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=YgxoKBgwok0

Уравнения первой степени, неравенства… Пошаговое решение математических задач

7.1  Уравнения первой степени

  Уравнения первой степени, если их можно записать в виде ax + b = c, где x — переменная, а a, b и c — известные константы, a a!=0. Мы обсуждали методы решения уравнений первой степени в разделе 3.4 и снова в разделе 3.5, когда речь идет о формулах. Кроме того, нахождение решений пропорций, обсуждавшихся в разделах 6.6 и 6.7, включало решение уравнений первой степени.

  Эта тема является одной из самых основных и важных для любого начинающего изучать алгебру и снова представлена ​​здесь для положительного подкрепления и подготовки к решению различных приложений в разделах 7. 3, 7.4 и 7.5.

  У уравнения первой степени с одной переменной существует ровно одно решение. Это утверждение можно доказать методом от противного. Доказательство здесь не приводится. Уравнения, имеющие более одного решения, будут обсуждаться в главах 8, 9 и 10.

Примеры

   Решите следующие уравнения.

  1. 3x+14=x-2(x+1)  Запишите уравнение.
   3x+14=x-2x-2  Используйте распределительное свойство, чтобы удалить скобки.

   3x+14=-x-2  Упрощение.

   4x+14=-2  Прибавьте x к обеим сторонам.

   4x=-16  Добавьте -14 к обеим сторонам.

   x=-4  Поделите обе части на 4.

  2. 1+2x+3-3x=20-x+6x  Запишите уравнение.
   4-x=20+5x  Упрощение.

   4=20+6x  Прибавьте x к обеим сторонам.

   -16=6x  Добавьте -20 к обеим сторонам.

   -8/3=x  Поделить обе части на 6 и уменьшить.

  3. (3x)/4-7=-1  Запишите уравнение.
   (3x)/4=6  Добавьте +7 к обеим сторонам.
   3x=24  Умножьте обе части на 4.

   x=8  Поделите обе части на 3 и уменьшите.

  Поскольку (3x)/4=3/4*x/1=3/4x, мы можем решить такое уравнение, как (3x)/4=6, за один шаг, умножив обе части на 4/3, обратное 3 /4 следующим образом:

   (3x)/4=6

   (4/3*3/4)x=4/3*6

   x=8

  Пример 3 также можно решить, умножив сначала на 4 вместо добавления +7 сначала. Однако в этой процедуре мы должны обязательно умножать каждый член на 4 в обеих частях уравнения.

   (3x)/4-7=-1  Запишите уравнение.
   (3x)/4*4-7*4=-1*4  Умножьте каждое слагаемое на 4.
   3x-28=-4  Упростите.

   3x=24  Добавьте +28 к обеим сторонам.

   x=8  Поделить обе части на 3 и уменьшить.

  Этот последний метод имеет то преимущество, что оставляет только целые коэффициенты и константы. Если дробей больше одной, то каждое слагаемое следует умножить на НОК знаменателей дробей.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решить похожую задачуВведите свою задачу

Пример

    (2x)/5+1/4=-(1/2)

   (2x)/5*20+1/4*20=- (1/2)*20  Умножьте каждое слагаемое на 20 НОК 5, 4 и 2. (15/8)

7,2 Линия действительных чисел и неравенства первой степени

   Мы обсудили целые числа, которые включают целые числа и их противоположности,

  …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4… (целые числа)

   и дроби, образованные с использованием целых чисел в числителе и знаменателе без знаменателя, равного 0. Формальное название таких дробей — рациональные числа. Рациональное число — это любое число, которое можно записать в виде

  a/b  , где a и b — целые числа, а b!=0

   В десятичной форме все рациональные числа можно записать в виде повторяющихся десятичных дробей. Например, 92=4/9

Символ √ называется подкоренным знаком, а число под подкоренным знаком называется подкоренным знаком.

Не все корни являются целыми или рациональными числами. Такие числа, как корень (5), корень (7), корень (39) и -корень (10), называются иррациональными числами. В десятичной форме все иррациональные числа можно записать как неповторяющиеся десятичные дроби. Другие примеры иррациональных чисел:

  корень(2)=1,4142136…  (квадратный корень из 2)
  корень(3,4)=1,5874011…  (кубический корень из 4)
  PI=3,14159265358979…  (пи, отношение длины окружности к диаметру)

  E=2,718281828459045…  (основание натуральных логарифмов)

  Иррациональные числа так же важны, как и рациональные числа, и столь же полезны при решении уравнений, как мы увидим в главе 10. Числовые линии имеют точки, соответствующие как иррациональным, так и рациональным числам (см. рис. 7.1).

Рисунок 7.1

  Рассмотрим круг диаметром 1 единицу, катящийся по прямой. Если окружность касается прямой в точке 0, то в какой точке прямой та же самая точка окружности снова коснется прямой?
  Точка будет в PI на числовой прямой, потому что PI — это длина окружности. (См. рис. 7.2.)

  Вместе рациональные и иррациональные числа образуют действительные числа. То есть каждое рациональное число и каждое иррациональное число также является действительным числом. Свойства действительных чисел при сложении и умножении перечислены ниже на рис. 7.2 на стр. 181.

  Рис.0002   Для действительных чисел a,b и c,

  Распределительное свойство: a(b+c)=ab+ac

  Числовые линии теперь называются линиями действительных чисел, потому что для каждого действительного числа есть одна соответствующая точка на линии, и для каждой точки на линии есть одно соответствующее действительное число.

  Теперь нас интересует решение неравенств первой степени и графическое отображение их решений на прямой с действительными числами. Неравенство, которое можно записать в виде ac+bor ax + b <= c, где x — переменная, a, b, c — константы, a!=0, называется неравенством первой степени.
Решение неравенства, такого как 2x + 1 < 7, похоже на решение уравнения первой степени. Цель состоит в том, чтобы найти эквивалентное неравенство (с теми же решениями), но более простое по форме.

    2x+1<7

    2x+1-1<7-1

    2x<6

    (2 x)/2<6/2

    x<3

    Заштрихованы все действительные числа меньше 3 , Незакрашенный кружок вокруг цифры 3 означает, что цифра 3 не включена в график.

  Важным различием между решением уравнений и решением неравенств является умножение или деление на отрицательные числа. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число меняет смысл неравенства на противоположный; «меньше чем» становится «больше чем» и наоборот. Например (стрелки указывают, где неравенство меняется на противоположное)

  Решение неравенства первой степени зависит от следующей аксиомы:

  1. Если к обеим частям неравенства добавить ненулевую константу, новое неравенство эквивалентно исходному неравенству.

   2. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на положительную константу, новое неравенство того же смысла эквивалентно исходному неравенству.

   3. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательную константу, новое неравенство противоположного смысла эквивалентно исходному неравенству.

Примеры

   Решите следующие неравенства и нарисуйте решения

  1. 5x+4<=-1  Запишите неравенство.

   5x+4-4<=-1-4  Добавьте -4 к обеим сторонам.

   5x<=-5  Упрощение.

   (5x)/5<=-5/5  Поделите обе части на 5.

   x<=-1  Упростите.

     (Примечание: сплошная точка означает -1 включено. )

Давайте посмотрим, как наш решатель неравенств решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решить похожую задачуВведите свою задачу  1>=3-3x

     1-3>=3 -3x-3

     -2>=-3x

     -2/-3<=(-3x)/-3

     2/3<=x 9000 5

   Альтернативная процедура.

      x+1>=3-2x

     x+1+2x>=3-2x+2x

     3x+1>=3

     3x+1-1>=3-1

     3x>=2

     (3x)/3>=2/3

     x>=2/3  Обратите внимание, что два неравенства, 2/3<=x и x>=2/3, идентичны по смыслу.

   Мы также можем использовать числовую прямую для построения графика чисел, удовлетворяющих более чем одному неравенству. Например, 3 < x < 4 говорит, что x меньше 4 и больше 3. Также x>=2 или x < 0 говорит, что x больше или равно 2 или меньше 0. Графики этих неравенств приведены ниже в качестве примеров.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решите похожую задачуВведите свою задачу

Примеры

   Нарисуйте решения каждого из следующих неравенств

  1. 3 < x < 4  

  2. x>=2 или x<0  

   ( Затенение круга вокруг 2 означает, что 2 включено.)

  3. который вы решаете Конкретная проблема зависит от многих факторов, включая ваш личный опыт и общие способности к рассуждению. Например, предположим, что вам дали следующую задачу:

  «Автомобиль проезжает 170 миль за 3 часа. Какова была средняя скорость?»
  В задаче прямо не говорится о УМНОЖЕНИИ, ДЕЛЕНИИ, СЛОЖЕНИИ или ВЫЧИТАНИИ. Вы должны знать, что скорость, умноженная на время, равна расстоянию или r*t=d. Вам дано расстояние (170 миль) и время (3 часа). Вам нужно найти среднюю скорость. Инструмент, который вам нужен, — это формула r*t=d.
Пусть r = средняя скорость. Тогда

  3*r=170

  r=56*2/3 миль в час

Пример 1: Расстояние

   Мужчина уезжает в командировку, а в это же время его жена везет детей к бабушке и дедушке. Автомобили, движущиеся в противоположных направлениях, через 3 часа находятся на расстоянии 360 миль друг от друга. Если средняя скорость мужчины на 10 км/ч больше, чем у его жены, какова ее средняя скорость?

  Позвольте x = средняя скорость жены

  скорость*время=расстояние

  3x+3x+30=360

  6x=330

  x=55 миль в час

  Средняя скорость жены 55 миль в час

Пример 2: Расстояние

   Два поезда, A и B, находятся на расстоянии 540 километров друг от друга и движутся навстречу друг другу по параллельным путям. Поезд А движется со скоростью 40 км/ч, а поезд В — со скоростью 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

  Позвольте x = время

  скорость*время=расстояние

  40x+50x=540

  90x=540

  x=6 часов

Пример 3: Геометрия

  Прямоугольник с периметром 140 метров имеет длину, которая на 20 метров меньше, чем удвоенная ширина. Найдите размеры прямоугольника.

  Нарисуйте диаграмму и используйте формулу P=2l+2w.

  Let  w= ширина

  2w-20= длина

  2(w)+2(2w-20)=140

  6w=180

  w=30 метров

  2w-20=40 метров

  Ширина 30 метров, длина 40 метров.

7.4  Заявки (проценты, работа)

  Люди в бизнесе знают несколько формул, включающих основную сумму (сумма вложенных денег), ставку (процент или процентная ставка) и процент (фактическая прибыль или полученный процент). Эти формулы могут зависеть от таких связанных тем, как способ выплаты процентов по кредиту (ежемесячно, ежедневно, ежегодно и т. д.), предусмотрены ли штрафы за досрочное погашение кредита или оговорки о повышении, если инвестиции особенно важны. прибыльный.

  В этом разделе мы будем использовать только основную формулу, которая вычисляет проценты на годовой основе: P * R = {Iota}, или основная ставка, умноженная на проценты.

Пример 1: Проценты

  Человек инвестирует в определенную облигацию с доходностью 9%, а затем вкладывает 500 долларов в акции с высоким риском, доходность которых составляет 12%. Через год его общий процент от двух инвестиций составляет 240 долларов. Какую сумму он вложил в облигацию?

  Пусть основная сумма вложена в размере 9%.

  основная*ставка=проценты

  0,09P+60=240

  0,09P=180

  (0,09P)/(0,09)=(180)/(0,09) 9000 5

  P=2000$

  Он вложил 2000$ в облигацию с доходностью 9% интерес.

Пример 2: Проценты

  У женщины есть 7000 долларов. Она решает разделить свои средства на две инвестиции. Один дает процентную ставку 6%, а другой 10%. Если она хочет, чтобы годовой доход от инвестиций составлял 580 долларов, как ей разделить деньги?

  Поскольку мы знаем, что общая сумма инвестиций составляет 7000 долларов, если одна инвестиция равна х долларов, то другая должна быть равна 7000-х долларов.

  Позвольте  x = сумма инвестиций под 10%
      7000 — x = сумма инвестиций под 6% 0005

  10x+6(7000-x)=5800  Умножьте каждое слагаемое на 100, чтобы убрать десятичные дроби.

  10x+42000-6x=5800

  4x=16000

  x=4000$@10%

  7000-x=300$ 0@6%

  Она должна инвестировать 4000 долларов под 10% и 3000 долларов под 6%.

  Задачи, связанные с «работой», могут быть очень сложными и требуют вычислений и физики. Проблемы, которые нас будут интересовать, связаны со временем, затрачиваемым на выполнение работы по конкретному заданию. Эти проблемы связаны только с представлением о том, какая часть работы выполняется за единицу времени (часы, минуты, дни, недели и т. д.). Например, если человек может вырыть канаву за 4 часа, какую часть (работы по копке канавы) он сделал за один час? Ответ: 1/4. Если бы работа заняла 5 часов, он сделал бы 1/5 за один час. Если бы работа заняла x часов, он сделал бы 1/x за один час.

Пример 3: Работа

  Майк может почистить семейный бассейн за 2 часа. Его младшая сестра Стейси может сделать это за 3 часа. Если они будут работать вместе, сколько времени им понадобится, чтобы очистить бассейн?

  Позвольте x = количество часов совместной работы

  1/2(6x)+1/3(6x)=1/x(6x)  Умножьте каждый член в обеих частях уравнения на 6-кратный НОК знаменателей.

  3x+2x=6

  5x=6

  x=6/5ч

  Вместе они могут очистить бассейн за 6/5 часов или 1 час 12 минут.

Пример 4: Работа

  Мужчине сказали, что его новый бассейн с джакузи наполнится через впускной клапан за 3 часа. Он понял, что что-то не так, когда бассейн наполнился за 8 часов. Он обнаружил, что оставил сливной клапан открытым. Сколько времени потребуется, чтобы осушить бассейн?

  Позвольте t = время слить бассейн.

  (Примечание: в этом случае впускной и выпускной клапаны работают против друг друга.)

  1/3(24t)-1/t(24t)=1/8(24t)

  8t-24=3t

  5t=24

  t=24/5

  Бассейн будет сливаться через 24/5 часов или 4 часа 48 минут.

7.5  Применения (Смесь, Неравенства)

   Задачи, связанные со смесями, встречаются в физике и химии, а также в таких местах, как кондитерская или табачная лавка. Необходимо смешать два или более предметов с различным процентным содержанием химического вещества, такого как соль, хлор или антифриз; или два или более видов табака должны быть смешаны для получения конечной смеси, которая удовлетворяет определенным условиям процентной концентрации.

  Основной план состоит в том, чтобы написать уравнение, которое имеет дело только с одной частью смеси. Следующие примеры объясняют, как это можно сделать.

Пример 1: Смесь

  Для конкретного химического эксперимента требуется 10% раствор кислоты. Если у лаборанта есть 9 унций 5% раствора, сколько кислоты нужно добавить, чтобы получить 10% раствор? (Подсказка: напишите уравнение, которое имеет дело только с количеством кислоты.)

  Позвольте x = количество добавляемой кислоты.

  количество раствора ⋅ процент кислоты = количество кислоты

  5(9)+100(x)=10(x+9)

  45+100x=10x+90  Умножить каждый член на 100.

  90 х=45

  х=45/90

  х =0,5 унции кислоты

Чек:

  0,45+0,5=0,10(9,5)

  0,95=0,95

  10% раствор можно получить, добавив 0,5 унции кислоты.

Пример 2: Смесь

  Сколько галлонов 20% раствора соли нужно смешать с 30% раствором соли, чтобы получить 50 галлонов 23% раствора? (Подсказка: напишите уравнение, которое имеет дело только с количеством соли.)

  Позвольте  x количество 20% раствора  Примечание: Поскольку общее количество галлонов известно. одна сумма находится путем вычитания другой суммы из общей суммы.
  50-x = количество 30% раствора

  количество раствора ⋅ процент соли = количество соли

  20x+30(50-x)=23(50)

  20x+1500-30x=1150

  -10x=1150-1500 90 005

  -10x=-350

  x=35 гель 20% раствор

Чек:

  7,0+0,30(15)=11,5

  7,0+4,5=11,5

  11,5=11,5

  К 15 галлонам 30% раствора нужно добавить 35 галлонов 20% раствора.

  Следующий пример с использованием неравенств не требует пояснений. Внимательно изучите его.

Пример 3: Неравенства

  Студент-физик имеет оценки 85, 98, 93 и 90 на четырех экзаменах. Если он должен в среднем 90 или лучше, чтобы получить пятерку за курс, Какие баллы он может получить на выпускном экзамене и получить пятерку?

  Пусть x = балл на выпускном экзамене.

  (Среднее значение находится путем сложения баллов и деления на 5.)

  (85+98+93+90+x)/5>=90

  (366+x)/5>=90

  366+x>=450

  x>=450-366

  x>=84

  пятёрка по физике.

Правильные многоугольники — Свойства

Многоугольник

Многоугольник представляет собой плоскую форму (двумерную) с прямыми сторонами. Примеры включают треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и так далее.

Обычный

Здесь мы рассматриваем только правильных многоугольников .

Свойства

Итак, что мы можем знать о правильных многоугольниках? Прежде всего, мы можем работать с углами.

Все внешние углы многоугольника в сумме дают 360°, поэтому:

Каждый внешний угол должен быть равен 360°/n

(где n — количество сторон)

Нажмите кнопку воспроизведения кнопку, чтобы увидеть.

Угол внешний
(правильного восьмиугольника)

Пример.

Восьмиугольник имеет 8 сторон, поэтому:

Внешний угол = 360° / n

= 360° / 8

= 45°

Внутренний угол = 180° − Внешний угол

Мы знаем Внешний угол = 360°/n , поэтому:

Внутренний угол = 180° − 360°/n

Которые можно переставить следующим образом:

Внутренний угол = 180° − 360°/n

 = (n × 180°/n) − (2 × 180°/n)

  = (n−2) × 180°/n

Таким образом, у нас также есть это:

Внутренний угол = (n−2 ) × 180° / n

Пример. Каков внутренний угол правильного восьмиугольника?

У правильного восьмиугольника 8 сторон, поэтому:

Внешний угол = 360 ° / 8 = 45°

Внутренний угол = 180° − 45° = 135°

Внутренний угол
(правильного восьмиугольника) 91 202

Или мы могли бы использовать:

Внутренний угол = (n − 2) × 180° / n

= (8−2) × 180° / 8

= 6 × 180° / 8

= 135° внешние углы правильного шестиугольника?

Правильный шестиугольник имеет 6 сторон, значит:

Внешний угол = 360 ° / 6 = 60°

Внутренний угол = 180 ° − 60° = 120°

А теперь некоторые имена:

«Окружность, вписанная окружность, радиус и апофема.

..»

Звучит довольно музыкально, если повторить несколько раз, но это всего лишь названия «внешней» и «внутренней» окружностей (и каждого радиуса), которые можно нарисовать на многоугольнике вот так:

 

«Внешний» круг называется описывает окружность и соединяет все вершины (угловые точки) многоугольника.

Радиус описанной окружности также равен радиусу многоугольника.

 

«Внутренняя» окружность называется вписанной окружностью , и она касается каждой стороны многоугольника в своей средней точке.

Радиус вписанной окружности равен апофеме многоугольника.

 

(этими свойствами обладают не все многоугольники, но треугольники и правильные многоугольники).

Разбиение на треугольники

Мы можем многое узнать о правильных многоугольниках, разбив их на треугольники следующим образом:

Обратите внимание, что:

• «основание» треугольника — это одна сторона многоугольника.
• «высота» треугольника является «Апофемой» многоугольника

Теперь площадь треугольника равна половине основания, умноженному на высоту, поэтому:

Площадь одного треугольника = основание × высота / 2 = сторона × апофема / 2

Чтобы получить площадь всего многоугольника, просто добавьте площади всех маленьких треугольников (n из них):

Площадь многоугольника = n × сторона × апофема / 2

А поскольку периметр равен всем сторонам = n × сторона, мы получаем:

Площадь многоугольника = периметр × апофема / 2

Меньший треугольник

Разрезав треугольник пополам, мы получим:

(Примечание: углы указаны в радианах, а не в градусах)

 

Маленький треугольник прямоугольный, поэтому мы можем использовать найти как сторона , радиус , апофема и n (число сторон) связаны:

sin(π/n) = (сторона/2) / радиус		Сторона = 2 × радиус × sin(π/n)
cos(π/n) = Апофема / Радиус		Апофема = Радиус × cos(π/n)
tan(π/n) = (Сторона/2) / Апофема		Сторона = 2 × Апофема × тангенс (π/n)

Таких отношений гораздо больше (большинство из них просто «перестановки»), но пока что хватит и этих.

Другие формулы площади

Мы можем использовать это для вычисления площади, когда мы знаем только Апофему:

Площадь малого треугольника = ½ × Апофема × (Сторона/2) Формула выше), что:

Сторона = 2 × Апофема × тангенс (π/n)

Итак:

Площадь малого треугольника = ½ × apothem × (apothem × tan (π/n))

= ½ × apothem ² × tan (π/n)

, и есть 2 такие треугольные весь многоугольник :

Площадь многоугольника = n × Apothem ² × tan(π/n)

Когда мы не знаем Apothem, мы можем использовать ту же формулу, но переработанную для радиуса или для Сторона:

Площадь многоугольника = ½ × n × радиус ² × sin(2 × π/n)

Площадь многоугольника = ¼ × n × сторона ² / tan(π/n)

Таблица значений

А вот таблица сторон, апофем и площадей в сравнении с радиусом «1», используя формулы, которые мы разработали:

Тип	Имя, когда Обычный	стороны (н)	Форма	Внутренний уголок	Радиус	Боковой	Апофема	Район
Треугольник (или Тригон)	Равносторонний Треугольник	3		60°	1	1,732 (√3)	0,5	1,299 (¾√3)
Четырехугольник (или Тетрагон)	Площадь	4		90°	1	1,414 (√2)	0,707 (1/√2)	2
Пентагон	Обычный Пентагон	5		108°	1	1,176	0,809	2,378
Шестигранник	Обычный Шестигранник	6		120°	1	1	0,866 (½√3)	2,598 ((3/2)√3)
Семиугольник (или септагон)	Обычный Семиугольник	7		128,571°	1	0,868	0,901	2,736
Октагон	Обычный Октагон	8		135°	1	0,765	0,924	2,828 (2√2)
. Концентрации раствора формула химия: 5 Easy Ways to Calculate the Concentration of a Solution alexxlab / 08.07.202302.05.2023 / Разное 4.5: Концентрация растворов — Химия LibreTexts Последнее обновление Сохранить как PDF Идентификатор страницы 21718  Цели обучения Количественно описать концентрации растворов Многие люди имеют качественное представление о том, что подразумевается под концентрацией . Любой, кто готовил растворимый кофе или лимонад, знает, что слишком много порошка дает сильно ароматизированный, высококонцентрированный напиток, тогда как слишком мало дает разбавленный раствор, который трудно отличить от воды. В химии концентрация раствора — это количество растворенного вещества , которое содержится в определенном количестве растворителя или раствора. Знание концентрации растворенных веществ важно для контроля стехиометрии реагентов для растворных реакций. Химики используют множество различных методов для определения концентрации, некоторые из которых описаны в этом разделе. Молярность Наиболее распространенной единицей концентрации является молярность , которая также наиболее полезна для расчетов, связанных со стехиометрией реакций в растворе. Молярность (М) определяется как количество молей растворенного вещества, присутствующего ровно в 1 л раствора. Это эквивалентно количеству миллимолей растворенного вещества, присутствующего ровно в 1 мл раствора: \[ молярность = \dfrac{моли\: of\: растворенное вещество}{литры\: of\: раствора} = \dfrac{mmoles \: of\: раствор} {миллилитров\: of\: раствор} \label{4.5.1} \] Таким образом, единицами молярности являются моли на литр раствора (моль/л), сокращенно \(М\). Водный раствор, содержащий 1 моль (342 г) сахарозы в количестве воды, достаточном для получения конечного объема 1,00 л, имеет концентрацию сахарозы 1,00 моль/л или 1,00 М. В химических обозначениях квадратные скобки вокруг названия или формулы растворенное вещество представляет собой молярную концентрацию растворенного вещества. Следовательно, \[[\rm{сахароза}] = 1,00\: M \номер \] читается как «концентрация сахарозы 1,00 молярная». Отношения между объемом, молярностью и молями могут быть выражены как \[ V_L M_{моль/л} = \cancel{L} \left( \dfrac{mol}{\cancel{L}} \right) = моли \label{4.5.2} \] или \[ V_{мл} M_{ммоль/мл} = \cancel{мл} \left( \dfrac{ммоль} {\cancel{мл}} \right) = ммоль \label{4.5.3} \] На рисунке \(\PageIndex{1}\) показано использование уравнений \(\ref{4.5.2}\) и \(\ref{4.5.3}\). Рисунок \(\PageIndex{1}\): Приготовление раствора известной концентрации с использованием твердого растворенного вещества Пример \(\PageIndex{1}\): Расчет молей по концентрации NaOH Рассчитайте количество молей гидроксида натрия (NaOH) в 2,50 л 0,100 М NaOH. Дано: идентичность растворенного вещества, объем и молярность раствора Запрошено: количество растворенного вещества в молях Стратегия: Используйте либо уравнение \ref{4. 5.2}, либо уравнение \ref{ 4.5. 3}, в зависимости от единиц измерения, указанных в задаче. Решение: Поскольку нам дан объем раствора в литрах и задано количество молей вещества, уравнение \ref{4.5.2} более полезно: \( моль\: NaOH = V_L M_{моль/л} = (2,50\: \отменить{L}) \влево(\dfrac{0,100\: моль} {\отменить{L}} \вправо) = 0,250\: моль\: NaOH \) Упражнение \(\PageIndex{1}\): Расчет молей по концентрации аланина Рассчитайте количество миллимолей аланина, биологически важной молекулы, в 27,2 мл 1,53 М аланин. Ответить 41,6 ммоль Расчеты с использованием молярности (M): Расчеты с использованием молярности (M), YouTube(opens in new window) [youtu.be] Концентрации также часто указываются в пересчете на массу (м/м) или на основе массы на объем (м/об), особенно в клинических лабораториях и инженерных приложениях. Концентрация, выраженная в м/м, равна количеству граммов растворенного вещества на грамм раствора; концентрация на основе m/v представляет собой количество граммов растворенного вещества на миллилитр раствора. Каждое измерение можно выразить в процентах, умножив отношение на 100; результат сообщается как процент масс./масс. или процент масс./об. Концентрации очень разбавленных растворов часто выражаются в Части на миллион ( ч / млн ), которые составляют граммы растворенного вещества на 10 6 г решения, или в частях на миллиард ( ч / млн ), которые представляют собой граммы растворенного. решение. Для водных растворов при 20°C 1 ppm соответствует 1 мкг на миллилитр, а 1 ppb соответствует 1 нг на миллилитр. Эти концентрации и их единицы приведены в таблице \(\PageIndex{1}\). Таблица \(\PageIndex{1}\): Общие единицы концентрации Концентрация Единицы м/м г растворенного вещества/г раствора т/х г растворенного вещества/мл раствора частей на миллион г растворенного вещества/10 6 г раствора мкг/мл частей на миллиард г растворенного вещества/10 9 г раствора нг/мл Приготовление растворов Для приготовления раствора, содержащего указанную концентрацию вещества, необходимо растворить желаемое количество молей растворенного вещества в достаточном количестве растворителя, чтобы получить желаемый конечный объем раствора. На рисунке \(\PageIndex{1}\) показана эта процедура для раствора дигидрата хлорида кобальта (II) в этаноле. Обратите внимание, что объем растворитель не указан. Поскольку растворенное вещество занимает место в растворе, объем необходимого растворителя почти всегда на меньше, чем на желаемый объем раствора. Например, если желаемый объем равен 1,00 л, было бы неправильно добавлять 1,00 л воды к 342 г сахарозы, поскольку в результате получится более 1,00 л раствора. Как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\), для некоторых веществ этот эффект может быть значительным, особенно для концентрированных растворов. Рисунок \(\PageIndex{2}\): Приготовление 250 мл раствора (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 в воде. Растворенное вещество занимает место в растворе, поэтому для приготовления 250 мл раствора требуется менее 250 мл воды. 45 мл воды остается в мерном цилиндре даже после добавления до метки мерной колбы. Пример \(\PageIndex{2}\) Раствор содержит 10,0 г дигидрата хлорида кобальта(II), CoCl 2 • 2H 2 O, в этаноле, достаточном для получения ровно 500 мл раствора. Какова молярная концентрация \(\ce{CoCl2•2h3O}\)? Дано: масса растворенного вещества и объем раствора Запрошено: концентрация (M) Стратегия: Чтобы найти число молей \(\ce{CoCl2•2h3O}\), разделите масса соединения по его молярной массе. Рассчитайте молярность раствора, разделив количество молей растворенного вещества на объем раствора в литрах. Решение: Молярная масса CoCl 2 •2H 2 O составляет 165,87 г/моль. Следовательно, \[ моль\: CoCl_2 \cdot 2H_2O = \left( \dfrac{10,0 \: \cancel{g}} {165,87\: \cancel{g} /mol} \right) = 0,0603\: моль \номер \] Объем раствора в литрах равен \[ объем = 500\: \cancel{мл} \left( \dfrac{1\: L} {1000\: \cancel{мл}} \right) = 0,500\: L \nonumber \] Молярность — это количество молей растворенного вещества на литр раствора, поэтому молярность раствора равна \[ молярность = \dfrac{0,0603\: моль} {0,500\: L} = 0,121\: M = CoCl_2 \cdot H_2O \номер\] Упражнение \(\PageIndex{2}\) Раствор, показанный на рисунке \(\PageIndex{2}\), содержит 90,0 г (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 901 76 дюймов достаточное количество воды, чтобы получить окончательный объем ровно 250 мл. Какова молярная концентрация дихромата аммония? Ответить \[(NH_4)_2Cr_2O_7 = 1,43\: М \номер\] Чтобы приготовить определенный объем раствора, который содержит указанную концентрацию растворенного вещества, нам сначала необходимо рассчитать количество молей растворенного вещества в желаемом объеме раствора, используя соотношение, показанное в уравнении \(\ref{4.5.2 }\). Затем мы переводим количество молей растворенного вещества в соответствующую массу необходимого растворенного вещества. Эта процедура проиллюстрирована в примере \(\PageIndex{3}\). Пример \(\PageIndex{3}\): Раствор D5W Так называемый раствор D5W, используемый для внутривенного замещения жидкостей организма, содержит 0,310 М глюкозы. (D5W представляет собой примерно 5% раствор декстрозы [медицинское название глюкозы] в воде.) Рассчитайте массу глюкозы, необходимую для приготовления пакета D5W объемом 500 мл. Глюкоза имеет молярную массу 180,16 г/моль. Дано: молярность, объем и молярная масса растворенного вещества Запрошено: масса растворенного вещества Стратегия: Рассчитайте количество молей глюкозы, содержащихся в указанном объеме раствора, умножив объем раствора на его молярность. Получите необходимую массу глюкозы, умножив число молей соединения на его молярную массу. Решение: A Сначала нужно вычислить количество молей глюкозы, содержащихся в 500 мл 0,310 М раствора: \(V_L M_{моль/л} = моль \) \( 500\: \cancel{mL} \left( \dfrac{1\: \cancel{L}} {1000\: \cancel{mL}} \right) \left( \dfrac{0.310\ : моль\: глюкоза} {1\: \cancel{L}} \right) = 0,155\: моль\: глюкоза \) B Затем мы преобразуем количество молей глюкозы в требуемую массу глюкоза: \( масса \: of \: глюкоза = 0,155 \: \cancel{mol\: глюкоза} \left( \dfrac{180,16 \: g\: глюкоза} {1\: \cancel{mol\: глюкоза }} \right) = 27,9 \: g \: глюкоза \) Упражнение \(\PageIndex{3}\) Другим раствором, обычно используемым для внутривенных инъекций, является физиологический раствор, 0,16 М раствор хлорида натрия в воде. Рассчитайте массу хлорида натрия, необходимую для приготовления 250 мл физиологического раствора. Ответить 2,3 г NaCl Раствор нужной концентрации также можно приготовить путем разбавления небольшого объема более концентрированного раствора дополнительным растворителем. Исходный раствор представляет собой коммерчески приготовленный раствор известной концентрации и часто используется для этой цели. Разбавление маточного раствора предпочтительнее, потому что альтернативный метод, взвешивающий крошечные количества растворенного вещества, трудно выполнить с высокой степенью точности. Разбавление также используется для приготовления растворов из веществ, которые продаются в виде концентрированных водных растворов, таких как сильные кислоты. Процедура приготовления раствора известной концентрации из маточного раствора показана на рисунке \(\PageIndex{3}\). Это требует расчета количества молей растворенного вещества, желаемого в конечном объеме более разбавленного раствора, а затем расчета объема исходного раствора, содержащего это количество растворенного вещества. Помните, что разбавление заданного количества основного раствора растворителем , а не изменяет число молей присутствующего растворенного вещества. Таким образом, соотношение между объемом и концентрацией исходного раствора и объемом и концентрацией желаемого разбавленного раствора равно 9.0036 \[(V_s)(M_s) = моли\: of\: растворенное вещество = (V_d)(M_d)\метка{4.5.4} \] , где индексы s и d указывают запас и разбавленные растворы соответственно. Пример \(\PageIndex{4}\) демонстрирует расчеты, связанные с разбавлением концентрированного маточного раствора. Рисунок \(\PageIndex{3}\): Приготовление раствора известной концентрации путем разбавления маточного раствора. (a) Объем ( V s ), содержащий требуемые моли растворенного вещества (M s ) измеряется в исходном растворе известной концентрации. (b) Измеренный объем маточного раствора переносят во вторую мерную колбу. (c) Измеренный объем во второй колбе затем разбавляют растворителем до метки объема ]. Пример \(\PageIndex{4}\) Какой объем исходного раствора глюкозы 3,00 М необходим для приготовления 2500 мл раствора D5W в примере \(\PageIndex{3}\)? Дано: объем и молярность разбавленного раствора Запрошено: объем исходного раствора Стратегия: Рассчитайте количество молей глюкозы, содержащихся в указанном объеме разбавленного раствора, путем умножения объем раствор по его молярности. Чтобы определить необходимый объем исходного раствора, разделите число молей глюкозы на молярность исходного раствора. Решение: A Раствор D5W в примере 4.5.3 представлял собой 0,310 М глюкозу. Начнем с использования уравнения 4.5.4 для расчета количества молей глюкозы, содержащихся в 2500 мл раствора: \[ моль\: глюкоза = 2500\: \cancel{мл} \left( \dfrac{1\: \cancel{L}} {1000\: \cancel{мл}} \right) \left( \dfrac{0,310\: моль\: глюкоза} {1\: \cancel{L}} \right) = 0 . 775\: моль\: глюкоза \номер \] B Теперь мы должны определить объем 3,00 М маточного раствора, содержащего такое количество глюкозы: \[объем\: из\: запас\: раствор = 0,775\: \отменить{моль\: глюкоза} \влево( \dfrac{1\: л} {3,00\: \отменить{моль\ : глюкоза}} \справа) = 0,258\: л\: или\: 258\: мл \номер\] При определении необходимого объема исходного раствора мы должны были разделить желаемое количество молей глюкозы по концентрации исходного раствора для получения соответствующих единиц. Кроме того, количество молей растворенного вещества в 258 мл исходного раствора такое же, как количество молей в 2500 мл более разбавленного раствора; изменилось только количество растворителя . Полученный нами ответ имеет смысл: разбавление исходного раствора примерно в десять раз увеличивает его объем примерно в 10 раз (258 мл → 2500 мл). Следовательно, концентрация растворенного вещества должна уменьшиться примерно в 10 раз, как это и происходит (3,00 М → 0,310 М). Мы также могли бы решить эту задачу за один шаг, решив уравнение 4.5.4 для V s и подставив соответствующие значения: \[ V_s = \dfrac{( V_d )(M_d )}{M_s } = \dfrac{(2.500\: L)(0.310\: \cancel{M})} {3.00\: \cancel{M}} = 0.258\: L \nonumber \] Как мы уже отмечали, часто существует более одного правильного способа решения проблемы. Упражнение \(\PageIndex{4}\) Какой объем исходного раствора 5,0 М NaCl необходим для приготовления 500 мл физиологического раствора (0,16 М NaCl)? Ответить 16 мл Концентрация ионов в растворе В примере \(\PageIndex{2}\) концентрация раствора, содержащего 90,00 г бихромата аммония в конечном объеме 250 мл, рассчитана как 1,43 М. Рассмотрим подробнее именно то, что это означает. Дихромат аммония представляет собой ионное соединение, содержащее два NH 9{2-} (aq)\label{4.5.5} \] Таким образом, 1 моль формульных единиц дихромата аммония растворяется в воде с образованием 1 моля Cr 2 O 7 2 − анионов и 2 моль катионов NH 4 + (см. рисунок \(\PageIndex{4}\)). Рисунок \(\PageIndex{4}\): Растворение 1 моль ионного соединения. В этом случае при растворении 1 моля (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 получается раствор, содержащий 1 моль Cr 2 O 7 2 − ионов и 2 моль NH 4 + ионов. (Молекулы воды опущены из молекулярного изображения раствора для ясности.) 1 моль дихромата аммония показан в мерной колбе объемом 1 л. Полученная мерная колба справа содержит 1 литр раствора после растворения в воде. Порошкообразная форма бихромата аммония также включена в схему. При проведении химической реакции с использованием раствора соли, такой как дихромат аммония, важно знать концентрацию каждого иона, присутствующего в растворе. Если раствор содержит 1,43 М (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 , то концентрация Cr 2 O 7 2 − 901 05 также должно быть 1,43 М, потому что есть один Cr 2 O 7 2 − ион на формульную единицу. Однако существует два иона NH 4 + на единицу формулы, поэтому концентрация NH 4 + ионы составляет 2 × 1,43 М = 2,86 М. Поскольку единица формулы (NH 4 ) М. 2 Cr 2 O 7 образует три иона при растворении в воде (2NH 4 + + 1Cr 2 O 7 90 104 2 − ), общая концентрация ионов в растворе 3 × 1,43 M = 4,29 M. Концентрация ионов в растворе из растворимой соли: концентрация ионов в растворе из растворимой соли, YouTube (opens in new window) [youtu.be] Пример \(\PageIndex{5}\) Каковы концентрации всех видов, полученных из растворенных веществ в этих водных растворах? 0,21 М NaOH 3,7 М (CH 3 ) 2 CHOH 0,032 М In(№ 3 ) 3 Дано: молярность Запрошено: концентрации Стратегия: A Классифицируйте каждое соединение как сильный электролит или неэлектролит. — (водн.) \) B Поскольку каждая формульная единица NaOH производит один ион Na + и один ион OH — , концентрация каждого иона такая же, как концентрация NaOH: [Na + ] = 0,21 М и [ ОН — ] = 0,21 М. A Формула (CH 3 ) 2 CHOH представляет собой 2-пропанол (изопропиловый спирт) и содержит группу –OH, поэтому это спирт. Напомним из раздела 4.1, что спирты представляют собой ковалентные соединения, которые растворяются в воде с образованием растворов нейтральных молекул. Таким образом, спирты являются неэлектролитами. 9- (водн.) \) B Одна формульная единица In(NO 3 ) 3 дает один ион In 3 + и три иона NO 3 − , поэтому 0,032 М В (№ 3 ) 3 раствор содержит 0,032 М In 3 + и 3 × 0,032 М = 0,096 М NO 3 – — то есть [In 3 901 04 + ] = 0,032 М и [NO 3 − ] = 0,096 М. Упражнение \(\PageIndex{5}\) Каковы концентрации всех видов, полученных из растворенных веществ в этих водных растворах? 0,0012 М Ba(OH) 2 0,17 М Na 2 SO 4 0,50 М (CH 3 ) 2 CO, широко известный как ацетон Резюме Концентрации растворов обычно выражаются в молях и могут быть приготовлены путем растворения известной массы растворенного вещества в растворителе или разбавления маточного раствора. определение молярности: \[ молярность = \dfrac{моль\: из\: растворенного вещества}{литры\: из\: раствора} = \dfrac{ммоль\: из\: растворенного вещества} {миллилитров\: из \: решение} \номер\] связь между объемом, молярностью и молями : \[ V_L M_{моль/л} = \cancel{L} \left( \dfrac{mol}{\cancel{L}} \right) = моли \nonumber \ ] связь между объемом и концентрацией основного и разбавленного растворов : \[(V_s)(M_s) = моли\: of\: растворенное вещество = (V_d)(M_d) \номер\] Концентрация вещества представляет собой количество растворенного вещества, присутствующего в данном количестве раствора. Концентрации обычно выражают в терминах молярности , определяемой как число молей растворенного вещества в 1 л раствора. Растворы известной концентрации можно приготовить либо растворением известной массы растворенного вещества в растворителе и разбавлением до желаемого конечного объема, либо разбавлением соответствующего объема более концентрированного раствора (исходный раствор 9).0033 ) до желаемого конечного объема. Авторы и авторство 4.5: Concentration of Solutions распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0, автором, ремиксом и/или куратором является LibreTexts. Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или Страница Лицензия CC BY-NC-SA Версия лицензии 3,0 Показать страницу TOC № на стр. Теги концентрация молярность частей на миллиард Частей на миллион базовый раствор Концентрация раствора Водный раствор состоит как минимум из двух компоненты, растворитель (вода) и растворенное вещество (вещество, растворенное в вода). Обычно нужно отслеживать количество растворенного вещества. в растворе. Мы называем это концентрациями. Можно было бы сделать, сохраняя отслеживать концентрацию путем определения массы каждого компонента, но Обычно жидкости легче измерять по объему, а не по массе. Сделать это обычно используется мера, называемая молярностью. Молярность (M) определяется как число количество молей растворенного вещества (n), деленное на объем (V) раствора в литрах. Важно отметить, что молярность определяется как моль растворенного вещества на литр раствора, а не моль растворенного вещества на литр растворителя. Это потому, что когда вы добавляете вещество, например, соль, к некоторому объему воды объем полученного раствора будет другим чем исходный объем каким-то непредсказуемым образом. Чтобы обойти эту проблему химики обычно готовят растворы в мерных колбах. Это колбы, имеющие длинное горлышко с вытравленной линией, указывающей объем. Сначала в колбу добавляют растворенное вещество (возможно, соль), а затем воду. добавляют до тех пор, пока раствор не достигнет отметки. Колбы имеют очень хорошую калибровку поэтому объемы обычно известны как минимум с четырьмя значащими цифрами. Пример #1 : Расчет молярности Уравнение для расчета молярности по моли и объем очень прост. Просто разделите моли растворенного вещества на объем решение. Молярность (M) = моли растворенного вещества / объем раствора (в литрах) Какова молярность (с правильными цифрами значительных цифры) 0,40 моль NaCl растворить в 0,250 л? Ответ Пример #2: Приготовление разбавлений Раствор можно сделать менее концентрированным путем разбавления растворителем. Если раствор разбавить от V 1 до V 2 , молярность этого решения изменяется согласно уравнению: M 1 V 1 = M 2 V 2 Моль растворенного вещества в исходном растворе 1 = моли растворенного вещества в разбавленном растворе 2·   Единицы измерения объема должны быть одинаковыми для обоих объемов. в этом уравнении. В общем, М 1 обычно называют начальным молярность раствора. V 1 относится к объему, который перенесено. M 2 относится к конечной концентрации раствора и V 2 — конечный общий объем раствора. Помните, что номер молей растворенного вещества не меняется при добавлении к раствору большего количества растворителя. Однако концентрация изменяется при добавлении количества растворителя. (иллюстрация) Не забывайте об этой концепции. Вы будете использовать его снова в кислотно-щелочном равновесии.   Пример расчета разбавления: Как приготовить 100 мл 0,40 М MgSO 4 из исходный раствор 2,0 М MgSO 4 ? Ответ: Есть два решения в этой проблеме. Обратите внимание, что вам даны две концентрации, но только один том. Решение № 1 — это то, для которого у вас есть только концентрация — решение, которое уже лежит на полке. Х3 х: купить, продать и обменять машину alexxlab / 08.07.202324.04.2023 / Разное Хомут Х 1, Х 2, Х3, Х 4, Х 5, Х 7, Х 8, Х 10, Х 11, Х 12, Х 14, Х 15, Х 15, Х 16, Х 24, Х 25, Х 42, Х 51, Х 60. Цена, фото, чертеж, вес можно посмотреть ниже Главная Продукция Хомуты Х «Металлоконструкции качественно и в срок» Каталог продукции Посмотреть Наша компания “MetallEnergo” занимается производством хомутов различных серий Х. Сам хомут Х предназначен для крепления любых металлоконструкций к опорам линий электропередач(ЛЭП). Производство хомутов сопровождается обработкой битумным лаком БТ-577 в два слоя, придающим деталям высокие защитные и антикоррозийные свойства, что бы изделие могло выдержать внешние и природные воздействия в течении долгого времени. Так же наши хомуты серии Х производятся из высокоуглеродистой, оцинкованной или нержавеющей стали. В комплекте идут шайбы, гайки и метизы. Все виды хомутов, их цены, чертежи и вес указаны в нашем каталоге Доставка производится по всей России. Для того, чтобы задать вопрос или оформить заказ свяжитесь с нашими менеджерами при помощи указанных телефонов или почты. Изделие для ЛЭП Полухомут Х-261 (3.407.1-164.1) … Цена: 1106,51 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-262 (3.407.1-164.1) … Цена: 1330,96 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-263 (3. 407.1-164.1) … Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-264 (3.407.1-164.1) … Цена: 1565,51 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-265 (3.407.1-164.1) … Цена: 1729,41 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-267 (3.407.1-164.1) … Цена: 1751,21 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-268 (3.407.1-164.1) … Цена: 1460,37 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-270 (3.407.1-164.1) … Цена: 583,47 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-271 (3.407.1-164.1) … Цена: 254,22 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-272 (3.407.1-164.1) … Цена: 229,28 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-273 (3. 407.1-164.1) … Цена: 223,21 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-274 (3.407.1-164.1) … Цена: 227,71 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-275 (3.407.1-164.1) … Цена: 237,70 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-276 (3.407.1-164.1) … Цена: 275,90 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-277 (3.407.1-164.1) … Цена: 262,64 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-278 (3.407.1-164.1) … Цена: 221,08 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-279 (3.407.1-164.1) … Цена: 207,71 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-280 (3.407.1-164.1) … Цена: 221,08 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-281 (3. 407.1-164.1) … Цена: 227,71 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Полухомут Х-282 (3.407.1-164.1) … Цена: 275,90 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Х-2с (3.407.1-173.1) производится по … Цена: 91,44 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Хомут Х-3 (3.407-85) производится по … Цена: 12,36 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Хомут Х-3 (3.407.1-143.8) производится по … Цена: 96,38 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Хомут Х-31 (25.0017-42) производится по … Цена: 36,62 руб Описание товара Изделие для ЛЭП Хомут Х-32 (26.0085) производится по … Цена: 91,44 руб Описание товара Благодарственные письма Наши преимущества Демократичная цена Индивидуальный подход в рамках проекта Опыт государственных оборонных проектов Точные сроки поставки Отдел контроля качества Работаем без выходных в две смены Гарантия монтажа Собственное производство Соответсвие ГОСТу и ТУ Фотографии с Завода Фото Портала ОРУ с нашего объекта Линия обработки уголка Мачта прожекторная Портал ОРУ Больше фотографий Кран проходной 1/2″х3/4″х1/2″ для подключения стиральной машины ARCO Категории КатегорииКорзинаУчетная записьПоискНедавно смотрелиВверх Описание Характеристики Доставка Отзывов (0) Кран шаровой для подключения стиральной машины 3-х проходной 1/2″х3/4″х1/2″ ARCO Используется для подключения стиральной машины и других сантехнических приборов к системе воодопровода. Особенность трехпроходной конструкции заключается в том, что при отключении подачи воды на стиральную машину, все остальные потребители будут оставаться подключёнными.  Диаметр  1/2″х3/4″х1/2″  Резьба  наружная/наружная/внутренняя  Корпус  Хромированная латунь CW 617N  Температурный диапазон  -0°C – +95°C   Максимальное рабочее давление  16 Бар Наименование Кран шаровой Резьба 1/2″х3/4″х1/2″, наружная/наружная/внутренняя Страна производитель Испания Написать отзыв Ваш отзыв: Примечание: HTML разметка не поддерживается! Используйте обычный текст. Оценка:     Плохо           Хорошо Как заказать товар 1. Большинство товаров, представленных в Интернет-магазине «Аква-гарант», имеется в постоянном наличии на складе. Поэтому приобрести продукцию Вы можете непосредственно у нас в магазине, по адресу: г.Волгоград, ул.Восточная, 21Б.  Заказать товар вы можете: с помощью корзины заказов прислать список необходимых товаров с точным наименованием и артикулом на электронную почту [email protected]  прислать список товаров на Viber/WhatsApp 8-902-098-37-38 При оформлении заказа обязательно указывайте: — город доставки — контактные данные  — форма оплаты (при безналичной форме оплаты от организации, необходима будет карта партнера для выставления счета). Как найти производную в экселе: Вычисление производной в Excel | Блог Александра Воробьева alexxlab / 08.07.202325.04.2023 / Разное Вычисление производной в Excel | Блог Александра Воробьева Опубликовано 13 Янв 2016 Рубрика: Справочник Excel | 3 комментария Чем может помочь Excel при вычислении производной функции? Если функция задана уравнением, то после аналитического дифференцирования и получения формулы Excel поможет быстро рассчитать значения производной для любых интересующих пользователя значений аргумента. Если функция получена практическими измерениями и задана табличными значениями, то Excel может оказать в этом случае более существенную помощь при выполнении численного дифференцирования и последующей обработке и анализе результатов. На практике задача вычисления производной методом численного дифференцирования может возникнуть и в механике (при определении скорости и ускорения объекта по имеющимся замерам пути и времени) и в теплотехнике (при расчете теплопередачи во времени). Это также может быть необходимо, например, при бурении скважин для анализа плотности проходимого буром слоя грунта, при решении целого ряда баллистических задач, и т. д. Похожая ситуация имеет место при «обратной» задаче расчета сложно нагруженных балок, когда по прогибам возникает желание найти значения действующих нагрузок. Во второй части статьи на «живом» примере рассмотрим вычисление производной по приближенной формуле численного дифференцирования с применением выражений в конечных разностях и разберемся в вопросе – можно ли используя приближения производных конечными разностями по прогибам балки определять действующие в сечениях нагрузки? Минимум теории. Производная определяет скорость изменения функции, описывающей какой-либо процесс во времени или в пространстве. Предел отношения изменения в точке функции к изменению переменной при стремлении изменения переменной к нулю называется производной непрерывной функции. y’(x)=lim (Δy/Δx)  при Δx→0 Геометрический смысл производной функции в точке – это тангенс угла наклона к оси x касательной к графику функции  в этой точке. tg (α)=Δy/Δx Если функция дискретная (табличная), то приближенное значение ее производной в точке находят с помощью конечных разностей. y’(x)i≈(Δy/Δx)i=(yi+1-yi-1)/(xi+1-xi-1) Конечными разности называют потому, что они имеют конкретное, измеримое, конечное значение в отличие от величин, стремящихся к нулю или бесконечности. В таблице ниже представлен ряд формул, которые пригодятся при численном дифференцировании табличных функций. Центрально-разностные формулы дают, как правило, более точные результаты, но часто их нельзя применить на краях диапазонов значений. Для этих случаев пригодятся приближения левыми и правыми конечными разностями. Вычисление производной второго порядка на примере расчета моментов в сечениях балки по известным прогибам. Дано: На балку длиной 8 метров с шарнирными опорами по краям изготовленную из двух спаренных стальных (Ст3) двутавров 30М опираются 7 прогонов с шагом 1 метр. К центральной части балки крепится  площадка с оборудованием. Предположительно усилие от покрытия, передаваемое через прогоны на балку, во всех точках одинаково и равно F1. Подвесная площадка имеет вес 2*F2 и крепится к балке в двух точках. Предполагается, что балка до приложения нагрузок была абсолютно прямой, а после нагружения находится в зоне упругих деформаций. На рисунке ниже показана расчетная схема задачи и общий вид эпюр. На следующем скриншоте представлены исходные данные. Расчетные исходные данные: 3. Погонная масса двутавра 30М: γ=50,2 кг/м Сечение балки составлено из двух двутавров: n=2 Удельный вес балки: q=γ*n*g=50,2*2*9,81/1000=0,985 Н/мм 5. Момент инерции сечения двутавра 30М: Ix1=95 000 000 мм4 Момент инерции составного сечения балки: Ix=Ix1*n=95 000 000*2=190 000 000 мм4 10.  Так как балка нагружена симметрично относительно своей середины, то реакции обеих опор одинаковы и равны каждая половине суммарной нагрузки: R=(q*zmax+8*F1+2*F2)/2=(0,985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 Н В расчете учитывается собственный вес балки! Задача: Найти значения изгибающего момента Mxi в сечениях балки аналитически по формулам сопротивления материалов и методом численного дифференцирования расчетной линии прогибов. Сравнить и проанализировать полученные результаты. Решение: Первое, что мы сделаем, это выполним расчет в Excel поперечных сил Qy, изгибающих моментов Mx, углов поворота Ux оси балки и прогибов Vx по классическим формулам сопромата во всех сечениях с шагом h. (Хотя, в принципе, значения сил и углов нам в дальнейшем не понадобятся. ) Результаты вычислений находятся в ячейках I5-L54. На скриншоте ниже показана половина таблицы, так как значения во второй ее части зеркальны или аналогичны представленным значениям. Использованные в расчетах формулы можно посмотреть здесь. Ссылка для скачивания файла с рассмотренным в статье примером: vychisleniye-proizvodnoy (xls 250,0KB). Итак, нам известны точные значения моментов и прогибов. Из теории мы знаем, что: Угол поворота – это первая производная прогиба U=V’. Момент – это вторая производная прогиба M=V’’. Сила – это третья производная прогиба Q=V’’’. Предположим, что столбец точных значений прогибов получен не аналитическими расчетами, а замерами на реальной балке и у нас больше нет никаких других данных. Вычислим вторые производные от точных значений прогибов, используя формулу (6) из таблицы предыдущего раздела статьи, и найдем значения моментов методом численного дифференцирования. Mxi=Vy’’≈((Vi+1-2*Vi+Vi-1)/h2)*E*Ix Итог расчетов мы видим в ячейках M5-M54. Точные значения моментов, рассчитанные по аналитическим формулам сопромата с учетом веса самой балки, отличаются от найденных по приближенным формулам вычисления производных незначительно. Моменты определены весьма точно, судя по относительным погрешностям, рассчитанным в процентах в ячейках N5-N54. ε=(Mx-Vy’’)/Mx*100% Поставленная задача решена. Мы выполнили вычисление производной второго порядка по приближенной формуле с использованием центральных конечных разностей и получили отличный результат. Зная точные значения прогибов можно методом численного дифференцирования с высокой точностью найти действующие в сечениях моменты и определить степень нагруженности балки! Однако… Увы, не стоит думать, что на практике легко получить необходимые высокоточные результаты измерений прогибов сложно нагруженных балок! Дело в том, что измерения прогибов требуется выполнять с точностью ~1 мкм и стараться максимально уменьшать шаг замеров h, «устремляя его к нулю», хотя и это может не помочь избежать ошибок. Зачастую уменьшение шага замеров при значительных погрешностях измерений прогибов может привести к абсурдным результатам. Следует быть очень внимательными при численном дифференцировании, чтобы избежать фатальных ошибок. Сегодня есть приборы — лазерные интерферометры, обеспечивающие высокую скорость, стабильность и точность измерений до 1 мкм, программно отсеивающие шум, и еще много чего программно умеющие, но их цена – более 300 000$… Давайте посмотрим, что произойдет, если мы просто округлим точные значения прогибов из нашего примера до двух знаков после запятой – то есть до сотых долей миллиметра и заново по той же формуле вычисления производной пересчитаем моменты в сечениях. Если раньше максимальная ошибка не превышала 0,7%, то сейчас (в сечении i=4) превышает 23%, хотя и остается приемлемой в наиболее опасном сечении (ε21=1,813%). Кроме рассмотренного численного метода вычисления производных с помощью конечных разностей можно (а часто и нужно) применить другой способ — аппроксимировать замеры степенным многочленом и найти производные аналитически, а затем сверить результаты, полученные разными путями. Но следует понимать, что дифференцирование аппроксимационного степенного многочлена – это тоже в конечном итоге приближенный метод, существенно зависящий от степени точности аппроксимации. Исходные данные – результаты измерений – в большинстве случаев перед использованием в расчетах следует обрабатывать, удаляя выбивающиеся из логического ряда значения. Вычисление производной численными методами всегда необходимо выполнять очень осторожно! Другие статьи автора блога На главную Статьи с близкой тематикой Отзывы Вычислить производную в Excel по таблицам данных Несколько недель назад я писал о вычислении интеграла данных в Excel. На этой неделе я хочу изменить направление и показать, как вычислить производную в Excel. Как и при численном интегрировании, есть два способа выполнить это вычисление в Excel: Производные табличных данных на листе Производные от Функция с использованием VBA (или Visual Basic для приложений) В этом посте я собираюсь сосредоточиться на вычислении производных табличных данных с сообщением о вычислении того же с использованием VBA более поздняя дата. Это вид вычисления производной, который обычно выполняется на экспериментальных данных. Это может быть особенно полезно, когда вы не могли напрямую измерить интересующее количество, но смогли измерить его интегральную функцию. [Примечание: хотите узнать больше о расширенных Методы Excel? Смотрите мое бесплатное обучение только для инженеров. В серии видео из трех частей я покажу вам, как легко решать инженерные задачи в Excel. Нажмите здесь, чтобы начать.] Классическим примером, конечно же, являются положение и скорость: Скажем, например, вы провели некоторый эксперимент, в котором было трудно получить скорость напрямую. Итак, вместо этого вы измеряли позицию в разное время, t . Вы можете импортировать данные в Excel и рассчитать скорость как производную от положения по времени. Для выполнения этого вычисления в Excel используется метод конечных разностей. Чтобы использовать метод конечных разностей в Excel, мы вычисляем изменение «y» между двумя точками данных и делим на изменение «x» между теми же самыми точками данных: Это называется односторонней оценкой, потому что она учитывает только наклон данных на одном сторона точки интереса. Более точной оценкой было бы вычисление среднего уклона в точке интереса путем усреднения наклона непосредственно до и после этой точки. Итак, если мы хотим найти наклон в y 2 (z), мы могли бы использовать этот расчет: Давайте посмотрим, как вычислить производную в Excel на примере. Мы можем использовать данные о положении, которые были рассчитаны путем интегрирования данных скорости в предыдущем посте, и использовать их для расчета скорости и ускорения. В качестве проверки мы сравним рассчитанные данные об ускорении с исходными данными об ускорении. Чтобы упростить задачу, я спрятал старые данные об ускорении и скорости. В конце мы посмотрим, как они сравниваются. Сначала я вычисляю скорость, используя уравнение конечных разностей выше. Поскольку нам нужны y3 и y1, я начинаю вычисление в ячейке E5 и заполняю ее. [Примечание. Хотите узнать еще больше о передовых методах работы с Excel? Посмотрите мое бесплатное обучение только для инженеров. В серии из трех видео я покажу вам как легко решать инженерные задачи в Excel. Нажмите здесь, чтобы начать.] Затем, используя вычисленную скорость, я могу рассчитать ускорение тем же методом. На этот раз расчет начинается в строке 6. Теоретически, если мы дифференцируем данные, полученные путем интегрирования, тогда мы должны вернуться к исходным данным. Конечно, все численные методы вносят в данные какую-то ошибку. Но насколько велика ошибка? Давайте сравним . В этом случае мы видим небольшие отличия между исходными данными об ускорении и данными, полученными путем дифференцирования. Есть также некоторые незначительные различия в двух наборах данных о скорости. К счастью, ошибка численного дифференцирования n не является кумулятивным, в отличие от численного интегрирования. Таблицы данных – не идеальный способ изучить эти данные, поэтому давайте посмотрим на графики: Трудно увидеть, потому что две линии расположены друг над другом, но для всех практических целей скорости идентичны. Как насчет разгона? Здесь мы можем видеть, что во время периодов неуклонного увеличения или постоянного ускорения два набора данных очень похожи. Однако, когда в данных ускорения наблюдается разрыв (например, время 0,1, 0,45, 0,5, 0,7 и 0,75 с), ускорение, полученное дифференцированием (оранжевый), не соответствует исходным данным ускорения (синий). Это связано с уравнением, которое мы использовали для выполнения дифференцирования. Помните, как мы получили производную в точке путем усреднения наклона по обе стороны от этой точки? Мы видим результаты здесь. Если вы следовали инструкциям, поздравляем! Вы только что выполнили численное дифференцирование в Excel. Конечно, вычислить производную в Excel не так сложно, если вы знаете, как это сделать. Использовали ли вы этот метод для некоторых данных? Расскажите мне об этом в комментариях ниже. [Примечание: Хотите узнать еще больше о продвинутых методах Excel? Смотрите мое бесплатное обучение только для инженеров. В серии видео из трех частей я покажу вам, как легко решать инженерные задачи в Excel. Щелкните здесь, чтобы начать.] RDF> -> Как делать производные в Excel | Малый бизнес Аарон Парсон В Microsoft Excel нет возможности генерировать уравнение производной по заданной формуле, но вы все равно можете использовать программу для расчета значений как формулы, так и ее производной, и отображать их на графике . Это позволяет вам сравнивать формулу с ее производной, даже если вы не знаете самой производной. Поскольку Excel берет на себя все расчеты, вы можете использовать этот метод, даже если не знаете математических вычислений. Введите нижний предел горизонтального диапазона, который вы хотите отобразить в ячейке A1. Например, чтобы построить график от -2 до 2, введите «-2» в ячейке A1 (исключая кавычки здесь и на всех этапах). Введите расстояние между точками графика в ячейке D1. Чем меньше расстояние, тем точнее будет выглядеть ваш график, но использование слишком большого количества точек графика может замедлить обработку. Для этого примера введите «0,1», что обеспечит 41 точку графика от -2 до 2. Если вы используете меньший или больший диапазон, соответственно измените расстояние, чтобы получить как минимум несколько десятков точек, но не более нескольких тысяч. . 92.» Обратите внимание, что Excel не умножает соседние термины автоматически, поэтому вам нужно ввести звездочку для умножения. Дважды щелкните маркер заполнения в ячейке B1, чтобы заполнить все необходимые ячейки в столбце B. Введите «=(B2-B1)/$D$1» в ячейке C1. Это уравнение находит производную для вашей формулы в каждой точке, используя определение производной «dy/dx»: разница между каждой строкой в ​​столбце B составляет «dy», а значение, которое вы выбрали для D1, представляет «dx». Дважды щелкните маркер заполнения в C1, чтобы заполнить столбец. Прокрутите вниз и удалите последнее число в столбце C, чтобы избежать неточного значения последней производной. Щелкните и перетащите от заголовка столбца A к заголовку C, чтобы выделить первые три столбца. Откройте вкладку «Вставка» на ленте и нажмите «Диаграммы», «Распределение», а затем «Рассеивание с плавными линиями» или другой тип точечной диаграммы, если это необходимо. Excel отобразит вашу исходную формулу как «Серию 1», а вашу производную как «Серию 2». Ссылки Microsoft Office: автоматическое заполнение данных в ячейках рабочего листа Microsoft Office: создание диаграммы Microsoft Office: изменение записей легенды диаграммы a Линейная диаграмма Советы Из-за того, как Excel вычисляет формулы, любая точка «0» в столбцах от A до C может отображаться как чрезвычайно маленькое число в экспоненциальном представлении. Вы можете заменить их на «0» вручную, если хотите, но это не будет иметь существенного значения. Чтобы сделать график более наглядным, вы можете переименовать «Серия 1» и «Серия 2». Щелкните правой кнопкой мыши график, нажмите «Выбрать данные», выберите серию для переименования и нажмите «Изменить». Введите новое имя в поле «Имя серии». Excel не позволит вам начинать имя со знака равенства, поэтому, если вы хотите использовать формулу столбца в качестве имени, заключите ее в кавычки. Предупреждения Информация в этой статье относится к Excel 2013, 2010 и 2007. В других версиях она может незначительно или существенно отличаться. Writer Bio Аарон Парсон пишет об электронике, программном обеспечении и играх с 2006 года, участвует в создании нескольких технологических веб-сайтов и работает с NewsHour Productions. Парсон получил степень бакалавра гуманитарных наук в Государственном колледже Эвергрин в Олимпии, штат Вашингтон. Вычисление производной в Excel Несколько недель назад я писал о вычислении интеграла данных в Excel. На этой неделе я хочу изменить направление и показать, как вычислить производную в Excel. Как и в случае численного интегрирования, в Excel есть два способа выполнить этот расчет: Производные табличных данных на рабочем листе Производная функция с использованием VBA (или Visual Basic для приложений) В этом посте я сосредоточусь на вычислении производных табличных данных, а пост о вычислении того же с помощью VBA появится позже. Как произвести дифференцирование в Excel Это вид расчета производной, который обычно выполняется на основе экспериментальных данных. Это может быть особенно полезно, когда вы не можете напрямую измерить интересующую величину, но можете измерить ее подынтегральную функцию. Классический пример, конечно, это положение и скорость: Скажем, например, вы провели какой-то эксперимент, в котором было трудно получить скорость напрямую. Так что вместо этого вы измерили положение в разное время, t . Вы можете импортировать данные в Excel и рассчитать скорость как производную от положения по времени. Вы изо всех сил пытаетесь найти правильные решения ваших технических проблем в Excel? В  Инжиниринг с помощью Excel вы изучите Excel для сложных инженерных расчетов с помощью пошаговой системы, которая поможет инженерам быстро и точно решать сложные проблемы. Производная формула Excel с использованием метода конечных разностей Метод, используемый для выполнения этого вычисления в Excel, представляет собой метод конечных разностей. Чтобы использовать метод конечных разностей в Excel, мы вычисляем изменение «y» между двумя точками данных и делим на изменение «x» между теми же точками данных: Это называется односторонней оценкой, поскольку она учитывает наклон данных только с одной стороны интересующей точки. Приведенная выше формула возвращает тот же результат, что и функция НАКЛОН в Excel, поэтому мы могли бы ее использовать. Однако это не предпочтительный метод. Лучшей оценкой будет вычисление среднего уклона в интересующей точке путем усреднения уклона непосредственно до и после этой точки. Итак, если бы мы хотели найти наклон при y 2 (z), мы могли бы использовать этот расчет: Эта формула производной известна как центральная конечная разность. Пример: расчет производной в Excel Давайте рассмотрим, как рассчитать производную в Excel на примере. Мы можем использовать данные о положении, которые были рассчитаны путем интегрирования данных о скорости в предыдущем посте, и использовать их для расчета как скорости, так и ускорения. В качестве проверки сравним рассчитанные данные ускорения с исходными данными ускорения. Чтобы упростить задачу, я спрятал старые данные об ускорении и скорости. Мы посмотрим, как они сравниваются в конце. Как рассчитать скорость в Excel Сначала я вычисляю скорость как производную данных о положении, используя вышеприведенное уравнение конечных разностей. Поскольку нам нужны y3 и y1, я начинаю расчет в ячейке E5 и заполняю ее. Как вычислить первую производную в Excel Затем, используя вычисленную скорость, я могу рассчитать ускорение (которое является первой производной скорости) тем же методом. На этот раз расчет начинается в строке 6. Результаты Теоретически, если мы продифференцируем данные, полученные интегрированием, мы должны вернуться к исходным данным. Конечно, все численные методы вносят какую-то ошибку в данные. Но насколько серьезна ошибка? Давайте сравним. В этом случае мы видим небольшие отличия между исходными данными ускорения и данными, полученными дифференцированием в Excel. Есть также некоторые небольшие различия в двух наборах данных скорости. К счастью, ошибка при численном дифференцировании не накапливается, в отличие от численного интегрирования. Таблицы данных не являются идеальным способом изучения этих данных, поэтому давайте посмотрим на графики: Это трудно увидеть, потому что две линии лежат друг над другом, но для всех практических целей скорости идентичны . Как насчет ускорения? Здесь мы видим, что в периоды постоянного или стабильного ускорения два набора данных очень похожи. Однако при наличии разрыва в данных об ускорении (т. е. в моменты времени 0,1, 0,45, 0,5, 0,7 и 0,75 с) ускорение, полученное дифференцированием (оранжевый цвет), не соответствует исходным данным ускорения (синий цвет). Это связано с уравнением, которое мы использовали для дифференцирования. Помните, как мы получили производную в точке по , усредняя наклон по обе стороны от этой точки? Мы видим результаты этого здесь. 63 разделить на 7: Как разделить 63 на 7? – Обзоры Вики alexxlab / 08.07.202321.04.2023 / Разное Как разделить 63 на 7? – Обзоры Вики Используя калькулятор, если вы введете 63, разделенные на 7, вы получите 9. Точно так же, каково частное 63 и 7? знаменатель) равен «7». Используя процесс длинного деления, 63 делится на 7, и ответ 9. Следовательно, частное при делении 63 на 7 составляет 9 -> 63/7 = 9. Как решить 64, разделенное на 7? Используя калькулятор, если вы наберете 64, разделенные на 7, вы получите 9.1429. Вы также можете выразить 64/7 в виде смешанной дроби: 9 1/7. На что можно разделить 63? Множители 63 — это целые числа, которые можно разделить на 63 без остатка. Всего имеется 6 множителей 63, т.е. 1, 3, 7, 9, 21 и 63 где 63 — самый большой фактор. Во-вторых, что можно разделить на 7? Делим на 7 Возьмите последнюю цифру в числе. Удвойте и вычтите последнюю цифру вашего числа из остальных цифр. Повторите процесс для больших чисел. Пример: возьмем 357. Удвойте 7, чтобы получить 14. Вычтите 14 из 35, чтобы получить 21, что делится на 7, и теперь мы можем сказать, что 357 делится на 7. Делится ли 63 на 3 да или нет? Поскольку ответом на наше деление является целое число, мы знаем, что 63 делится на 3. тогда чему кратно 7? Кратность 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70,… Общее кратное — это целое число, являющееся общим кратным для каждого набора чисел. Кратные, общие для двух или более чисел, называются общими кратными этих чисел. Как узнать, делится ли число на 7? Как узнать, делится ли число на 7 Возьмите последнюю цифру проверяемого числа и удвойте ее. Вычтите это число из остальных цифр исходного числа. Если это новое число либо 0, либо число, которое делится на 7, то вы знаете, что исходное число также делится на 7. 63 делится на любое число? Когда мы перечисляем их таким образом, легко увидеть, что числа, на которые делится 63, равны 1, 3, 7, 9, 21 и 63. Каким будет остаток от 63, разделенный на 5? Используя калькулятор, если вы введете 63, разделенные на 5, вы получите 12.6. Вы также можете выразить 63/5 в виде смешанной дроби: 12 3/5. Как разделить 63 на 3? Используя калькулятор, если вы наберете 63, разделенное на 3, вы получите 21. Вы также можете выразить 63/3 в виде смешанной дроби: 21 0/3. Если вы посмотрите на смешанную дробь 21 0/3, вы увидите, что числитель такой же, как остаток (0), знаменатель — это наш исходный делитель (3), а целое число — наш окончательный ответ (21) … Каковы множители 7? Коэффициенты 7 являются 1 и 7. У числа 7 только два делителя, следовательно, это простое число. Как вы учите числа, кратные 7? Не кратно ли 7? 49 ÷ 7 = 7, поэтому 49 можно разделить на 7, и оно также кратно 7. Так как 7 * 7 = 49. … Список кратных 7. Умножение Кратное 7 7 * 2 14 7 * 3 21 7 * 4 28 7 * 5 35 Как разделить окружность на 7 равных частей без транспортира и циркуля? Что получится разделить 7 на 2? Используя калькулятор, если вы наберете 7, разделенные на 2, вы получите 3.5. Вы также можете выразить 7/2 как смешанную дробь: 3 1/2. Если вы посмотрите на смешанную дробь 3 1/2, вы увидите, что числитель такой же, как остаток (1), знаменатель — это наш исходный делитель (2), а целое число — это наш окончательный ответ (3) . Как найти число, кратное 7? Чтобы проверить, кратно ли число 7, удвойте последнюю цифру, вычтите ее из оставшихся цифр . Если ответ равен 0 или другому кратному 7, то исходное число кратно 7. … Первые несколько кратных 7: 1 × 7 = 7. 2 × 7 = 14. 3 × 7 = 21. 4 × 7 = 28. 5 × 7 = 35. 6 × 7 = 42. 7 × 7 = 49. 8 × 7 = 56. Почему правило делимости на 7 работает? Делимость на 7: Абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, образованным остальными цифрами, должна делиться на 7 7 7. (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не дойдем до достаточно малого числа). Когда число «нет» делится на 7, его остаток всегда равен? При делении числа на 7 остаток всегда меньше, чем 7. Что может разделить 99? Множители числа 99 1, 3, 9, 11, 33 и 99. 1 — простое число? Используя это определение, 1 можно разделить на 1 и само число, которое также равно 1, поэтому 1 — простое число. Однако современные математики определяют число как простое, если оно делится ровно на два числа. Например: 13 — простое число, потому что оно делится ровно на два числа: 1 и 13. На какие числа можно разделить 100? Факторы 100 — это числа, которые делят 100 точно без остатка. Следовательно, коэффициенты 100 равны 1, 2, 4, 5,10, 20, 25, 50 и 100. Как разделить 63 на 6? Ответ на 63, разделенный на 6: 10 с остатком 3: 63/6 = 10 р. Сколько 63 делится на 8 с остатком? Используя калькулятор, если вы введете 63, разделенные на 8, вы получите 7.875. Вы также можете выразить 63/8 в виде смешанной дроби: 7 7/8. Если вы посмотрите на смешанную дробь 7 7/8, вы увидите, что числитель такой же, как остаток (7), знаменатель — это наш исходный делитель (8), а целое число — наш окончательный ответ (7) … Чему равно 63 разделить на 4 с остатком? Дополнительные расчеты для вас Вы также можете выразить 63/4 как смешанную дробь: 15 3/4. 2

Сколько 63 разделить на 7 с использованием длинного деления?

Запутались в длинном делении? К концу этой статьи вы сможете разделить 63 на 7, используя деление в длинную сторону, и сможете применить ту же технику к любой другой задаче на деление в длинную сторону! Давайте взглянем.

Хотите быстро научиться или показать учащимся, как решить деление числа 63 на 7 с помощью деления в большую сторону? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!

Итак, первое, что нам нужно сделать, это уточнить термины, чтобы вы знали, что представляет собой каждая часть деления:

• Первое число, 63, называется делимым.
• Второе число 7 называется делителем.

Здесь мы разберем каждый шаг процесса длинного деления на 63, разделенного на 7, и объясним каждый из них, чтобы вы точно поняли, что происходит.

63 разделить на 7 пошаговое руководство

Шаг 1

Первый шаг — поставить нашу задачу деления с делителем слева и делимым справа, как показано ниже:

Шаг 2

Мы можем выяснить, что делитель (7) входит в первую цифру делимого (6), 0 раз. Теперь, когда мы это знаем, мы можем поставить 0 вверху:

Шаг 3

Если мы умножим делитель на результат предыдущего шага (7 x 0 = 0), то теперь мы можем добавить этот ответ под делимым:

Шаг 4

Далее из второй цифры делимого (6 — 0 = 6) вычтем результат предыдущего шага и запишем этот ответ ниже:

		0
7		6	3	—5 39 0 6 Шаг 5 Переместите вторую цифру делимого (3) вниз следующим образом: 002 Делитель (7) входит в нижнее число (63) 9 раз, поэтому мы можем положить 9 сверху: 0 7 8 6 8 6 8 — 0 6 3 0 9 7 3 3 3 90 — 0 6 3 Шаг 7 Если мы умножим делитель на результат предыдущего шага (7 x 9 = 63), то теперь мы можем добавить этот ответ под делимым: 0 0 9 7 6 3 — 6 3 6 3 Шаг 8 Далее вычтем результат предыдущего шага из третьей цифры делимого (63 — 63 = 0) и запишем этот ответ ниже: — 9 0 2 7? Если вы дочитали до этого урока, молодец! Больше не осталось цифр, чтобы двигаться вниз от делимого, а это значит, что мы решили задачу деления в длинную сторону. Ваш ответ — это верхнее число, а любой остаток будет нижним числом. Итак, для 63, разделенных на 7, окончательное решение: 9 Остаток 0 Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы ни использовали это. Мы очень ценим вашу поддержку! Чем 63 делится на 7 с помощью Длинный дивизион? «Сколько 63 разделить на 7 с использованием длинного деления?». VisualFractions.com . По состоянию на 21 апреля 2023 г. http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-63-divided-by-7-using-long-division/. «Сколько 63 разделить на 7 с использованием длинного деления?». VisualFractions. com , http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-63-divided-by-7-using-long-division/. По состоянию на 21 апреля 2023 г. Сколько 63 разделить на 7 с использованием длинного деления?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-63-divided-by-7-using-long-division/. Дополнительные расчеты для вас Теперь вы изучили подход деления 63 на 7, вот несколько других способов, которыми вы можете выполнить расчет: С помощью калькулятора, если вы набрали 63 разделить на 7 , вы получите 9. Вы также можете представить 63/7 в виде смешанной дроби: 9 0/7 Если вы посмотрите на смешанную дробь 9 0/7, вы увидите, что числитель совпадает с остатком (0), знаменатель — это наш первоначальный делитель (7), а целое число — это наш окончательный ответ (9). Калькулятор деления на длинное деление Введите еще одну задачу на деление на длинное деление Следующая задача на деление на длинное деление Хотите еще больше деления на длинное деление, но не хотите вводить два числа в калькулятор выше? Не беспокойся. Вот следующая задача, которую вам нужно решить: Сколько будет 63, разделенное на 8 с помощью деления в длинное число? Случайные задачи на длинное деление Если вы добрались до этого конца страницы, значит, вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО любите задачи на длинное деление, а? Ниже приведена куча случайно сгенерированных вычислений для вашего долгого деления удовольствия: Чему равно 361, разделенное на 929 с использованием длинного деления? Чему равно 685, разделенное на 999 в длинное деление? Чему равно 598, разделенное на 854 в длинное деление? Чему равно 620, разделенное на 928 с использованием длинного деления? Сколько 151 разделить на 250 в длинное деление? Чему равно 925, разделенное на 982 с использованием длинного деления? Сколько 823 разделить на 891 в длинное деление? Чему равно 363, разделенное на 681 в длинное деление? Чему равно 44, разделенное на 568 с использованием длинного деления? Чему равно 436, разделенное на 939 с помощью деления в большую сторону? Чему равно 567, разделенное на 918 с использованием длинного деления? Чему равно 484, разделенное на 914 в длинное деление? Чему равно 106, разделенное на 325 с использованием длинного деления? Чему равно 20, разделенное на 757 в длинное деление? Чему равно 713, разделенное на 963 в длинное деление? Сколько 317 разделить на 731 с помощью деления в большую сторону? Чему равно 617, разделенное на 920 в длинное деление? Что такое 902 разделить на 938 с использованием длинного деления? Чему равно 705, разделенное на 844 с использованием длинного деления? Чему равно 571, разделенное на 593 в длинное деление? Сколько 112 разделить на 778 в длинное деление? Сколько 18 разделить на 693 с помощью деления в длинное число? Чему равно 311, разделенное на 381 в длинное деление? Чему равно 315, разделенное на 359 в длинное деление? Чему равно 778, разделенное на 991 в длинное деление? Чему равно 118, разделенное на 862 в длинное деление? Сколько 197 разделить на 949 в длинное деление? Чему равно 609, разделенное на 640 в длинное деление? Сколько 87 разделить на 702 в длинное деление? Чему равно 75, разделенное на 415 с использованием длинного деления? Чему равно 138, разделенное на 396 в длинное деление? Сколько 878 разделить на 884 в длинное деление? Сколько 299 разделить на 911 с помощью деления в большую сторону? Чему равно 744, разделенное на 993 в длинное деление? Что такое 779разделить на 921 с помощью длинного деления? Чему равно 666, разделенное на 880 с использованием длинного деления? Чему равно 502, разделенное на 733 с использованием длинного деления? Чему равно 352, разделенное на 647 с помощью деления в большую сторону? Чему равно 726, разделенное на 977 с использованием длинного деления? Чему равно 455, разделенное на 476 в длинное деление? Чему равно 765, разделенное на 915 с использованием длинного деления? Чему равно 932, разделенное на 975 в длинное деление? Сколько будет 249 разделить на 901 с использованием длинного деления? Чему равно 792, разделенное на 986 в длинное деление? Чему равно 888, разделенное на 916 в длинное деление? Чему равно 853, разделенное на 864 в длинное деление? Чему равно 813, разделенное на 857 с использованием длинного деления? Чему равно 88, разделенное на 404 с использованием длинного деления? Чему равно 748, разделенное на 915 с использованием длинного деления? Чему равно 552, разделенное на 975 с использованием длинного деления? Чему равно 138, разделенное на 591 в длинное деление? Чему равно 394, разделенное на 427 в длинное деление? Чему равно 843, разделенное на 907 в длинное деление? Чему равно 80, разделенное на 210 с использованием длинного деления? Чему равно 817, разделенное на 927 в длинное деление? Сколько 21 разделить на 261 с помощью деления в большую сторону? Сколько 163 разделить на 757 в длинное деление? Чему равно 843, разделенное на 976 в длинное деление? Чему равно 172, разделенное на 673 в длинное деление? Чему равно 61, разделенное на 584 в длинное деление? Чему равно 390, разделенное на 467 в длинное деление? Чему равно 512, разделенное на 556 с использованием длинного деления? Чему равно 513, разделенное на 972 в длинное деление? Чему равно 442, разделенное на 965 с использованием длинного деления? Чему равно 505, разделенное на 706 с использованием длинного деления? Чему равно 984, разделенное на 987 в длинное деление? Чему равно 906, разделенное на 973 с использованием длинного деления? Сколько 778 разделить на 780 в длинное деление? Сколько будет 20 разделить на 293 с использованием длинного деления? Чему равно 100, разделенное на 378 в прямом делении? Чему равно 443, разделенное на 616 в длинное деление? Чему равно 888, разделенное на 967 в длинное деление? Сколько будет 262, разделенное на 662 с использованием длинного деления? Чему равно 178, разделенное на 195 в длинное деление? Чему равно 715, разделенное на 972 с использованием длинного деления? Чему равно 248, разделенное на 712 с использованием длинного деления? Чему равно 427, разделенное на 850 в длинное деление? Чему равно 46, разделенное на 371 с использованием длинного деления? Чему равно 984, разделенное на 989 ​​в длинное деление? Чему равно 456, разделенное на 690 в длинное деление? Чему равно 535, разделенное на 556 с использованием длинного деления? Чему равно 708, разделенное на 788 с использованием длинного деления? Чему равно 366, разделенное на 376 в длинное деление? Чему равно 340, разделенное на 938 с использованием длинного деления? Чему равно 118, разделенное на 982 в длинное деление? Что такое 339разделить на 703 с использованием длинного деления? Чему равно 955, разделенное на 956 в длинное деление? Чему равно 627, разделенное на 853 в длинное деление? Чему равно 684, разделенное на 852 с использованием длинного деления? Чему равно 818, разделенное на 915 в длинное деление? Сколько 134 разделить на 374 в длинное деление? Чему равно 784, разделенное на 800 с использованием длинного деления? Чему равно 858, разделенное на 871 в длинное деление? Чему равно 42, разделенное на 633 в длинное деление? Чему равно 861, разделенное на 929 с использованием длинного деления? Сколько 243 разделить на 354 с помощью деления в большую сторону? Чему равно 995, разделенное на 999 в длинное деление? Чему равно 293, разделенное на 529 в длинном делении? Чему равно 453, разделенное на 630 с использованием длинного деления? Чему равно 806, разделенное на 843 в длинное деление? Чему равно 239, разделенное на 818 в длинном делении? Как 63 разделить на 7? – Reviews Wiki Используя калькулятор, если вы наберете 63, разделенное на 7, вы получите 9 . Точно так же, каково частное 63 и 7? знаменатель) равен «7». Используя процесс длинного деления, 63 делится на 7 и получается 9 . Следовательно, частное при делении 63 на 7 равно 9 -> 63/7 = 9. Как разделить 64 на 7? Используя калькулятор, если вы введете 64, разделенное на 7, вы получите 9,1429 . Вы также можете выразить 64/7 в виде смешанной дроби: 9 1/7. На что можно разделить 63? Множители 63 — это целые числа, которые можно разделить на 63 без остатка. Всего есть 6 делителей 63, т. е. 9.0543 1, 3, 7, 9, 21 и 63 , где 63 — самый большой коэффициент. Во-вторых Что можно делить на 7? Деление на 7 Возьмите последнюю цифру числа. Удвойте и вычтите последнюю цифру вашего номера из остальных цифр. Повторите процесс для больших чисел. Пример: Возьмем 357. Удвоим 7, чтобы получить 14. Вычтем 14 из 35, чтобы получить 21, что делится на 7, и теперь мы можем сказать, что 357 делится на 7. 63 делится на 3 да или нет? Поскольку ответом на наше деление является целое число, мы знаем, что 63 делится на 3 . тогда Чему кратно 7? Кратные 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 , … Общее кратное — это целое число, которое является общим кратным каждого набора чисел. Общие кратные двух или более чисел называются общими кратными этих чисел. Как узнать, делится ли число на 7? Как узнать, делится ли число на 7 Возьмите последнюю цифру проверяемого числа и удвойте ее. Вычтите это число из остальных цифр исходного числа. Если это новое число либо 0, либо число, которое делится на 7, то вы знаете, что исходное число также делится на 7. Делится ли 63 на какое-либо число? Когда мы перечисляем их таким образом, легко увидеть, что числа, на которые делится 63, равны 9. 0543 1, 3, 7, 9, 21 и 63 . Какой остаток от деления 63 на 5? Используя калькулятор, если вы введете 63, разделенное на 5, вы получите 12,6 . Вы также можете выразить 63/5 в виде смешанной дроби: 12 3/5. Как разделить 63 на 3? Используя калькулятор, если вы наберете 63, разделенное на 3, вы получите 21 . Вы также можете представить 63/3 в виде смешанной дроби: 21 0/3. Если вы посмотрите на смешанную дробь 21 0/3, вы увидите, что числитель совпадает с остатком (0), знаменатель — это наш первоначальный делитель (3), а целое число — это наш окончательный ответ (21). … Каковы делители числа 7? Коэффициенты 7 равны 1 и 7 . Число 7 имеет только два делителя и, следовательно, является простым числом. Как вы обучаете числам, кратным 7? Не кратно 7? 49÷7 = 7, поэтому 49 можно разделить на 7, а также кратно 7. Так как 7 * 7= 49. … Список кратных 7. 0 9 7 6 3 — 9 9 6 3 — 6 3 0 * 9 0039 Умножение Кратность 7 * 7 2 14 * 7 3 21 * 7 4 7 35 Как разделить круг на 7 равных частей без транспортира и циркуля? Чему равно 7 разделить на 2? Используя калькулятор, если вы введете 7, разделенное на 2, вы получите 3,5 . Вы также можете представить 7/2 в виде смешанной дроби: 3 1/2. Если вы посмотрите на смешанную дробь 3 1/2, вы увидите, что числитель совпадает с остатком (1), знаменатель — это наш первоначальный делитель (2), а целое число — это наш окончательный ответ (3) . Как найти числа, кратные 7? Чтобы проверить, является ли число кратным 7, удвойте последнюю цифру, вычтите ее из оставшихся цифр . Если ответ равен 0 или другому кратному 7, то исходное число кратно 7. … Первые несколько кратных 7: 1 x 7 = 7. 2 x 7 = 14. 3 х 7 = 21. 4 х 7 = 28. 5 х 7 = 35. 6 х 7 = 42, 7 x 7 = 49. 8 x 7 = 56. Почему правило делимости для 7 работает? Признак делимости на 7: Абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, должна делиться на 7 7 7 (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не получим достаточно малое число). Когда нет делится на 7, всегда остается остаток? При делении числа на 7 в остатке всегда меньше 7 . На что можно разделить 99? Делители числа 99 равны 1, 3, 9, 11, 33 и 99 . Является ли 1 простым числом? Используя это определение, 1 можно разделить на 1 и на само число, которое также равно 1, поэтому 1 является простым числом . Площадь сферы онлайн калькулятор: Онлайн калькулятор. Площадь шара alexxlab / 08.07.202315.04.2023 / Разное Отношение поверхности к объему сферы при заданном объеме Калькулятор ✖Объем Сферы – это общее количество трехмерного пространства, заключенного на поверхности Сферы.ⓘ Объем сферы [V] Акр-футАкр-фут (исследование США)Акко-дюймовыйБочка (масло)Бочка (UK)Ствол (США)Ванна (библейский)Совет для ногКабина (библейский)СантилитрКентум кубический футКор (библейский)шнурКубический Ангстремкубический сантиметркубический дециметркубический футкубический дюймКилометры CubicКубический метрКубический Mileкубический миллиметркубический ярдКубок (метрический)Кубок (Великобритания)Кубок (США)ДекалитрДецилитрДестистерДекастерДесертная ложка (Великобритания)Десертная ложка (США)драхмаКапляFemtoliterЖидкость Унция (Великобритания)Жидкость Унция (США)Галлон (Великобритания)Галлона (США)гигалитрГилл (Великобритания)Гилл (США)ГектолитрHin (библейский)хогсхедГомер (библейский)Сто кубический футкилолитрЛитрLog (библейский)мегалитрМикролитрМиллилитрMinim (Великобритания)Minim (США)нанолитрPetaliterпиколитрПинта (Великобритания)Пинта (США)Кварта (Великобритания)Quart (США)StereСтоловая ложка (метрическая)Столовая ложка (Великобритания)Столовая ложка (США)Таза (испанский)Чайная ложка (метрическая)Чайная ложка (Великобритания)Чайная ложка (США)тералитрTon РегистрацияТунОбъем Земли +10% -10% ✖Отношение поверхности к объему сферы — это численное отношение площади поверхности сферы к объему сферы. ⓘ Отношение поверхности к объему сферы при заданном объеме [RA/V] 1 / сантиметр1 на экваториальный радиус Земли1 / фут1 дюйм1 / километр1 на метр1 / микрометр1 / миля1 / миллиметр1 / Nautical Mile (международный)1 на радиус Солнца1 / двор ⎘ копия 👎 Формула сбросить 👍 Отношение поверхности к объему сферы при заданном объеме Решение ШАГ 0: Сводка предварительного расчета ШАГ 1. (1/3)) Что такое Сфера? Сфера — это замкнутая и симметричная трехмерная форма, состоящая из всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки. Фиксированная точка называется центром сферы, а фиксированное расстояние называется радиусом сферы. Сферы — это трехмерное расширение кругов в двух измерениях. Share Copied! Калькулятор площади и объема сферы Алгебра Рельефы Инструкции: Используйте эту область и объем калькулятора сферы, введя радиус \(r\) сферы и соответствующую единицу (см, MT, FT и т. 3 = \frac{108}{3} \pi = 36 \pi \] который завершает расчет. Что если вы имеете дело с кружком вместо этого? Для круга расчеты разные, в этом случае вы должны использовать это Область Круга и калькулятор Перименра Отказ Другие геометрические калькуляторы У нас есть другие калькуляторы для поиска громкости и поверхности различных геометрических форм.Проверьте наш Объем Цилиндра С Квадарный пирамидный калькулятор и наш Объем Конуса калькулятора упомянуть некоторые из них. Алгебра Рельвер Площадь и объем калькулятора сферы Базовая алгебра пакет Калькулятор площади и объема сферы Площадь Сферы. Калькулятор Автор Dominik Czernia, PhD Отзыв от Bogna Szyk и Adena Benn Последнее обновление: 21 ноября 2022 г. Содержание: Как найти площадь сферы? Чему равна формула площади сферы? С помощью нашего калькулятора площади сферы вы можете проанализировать любой параметр сферы, который вы хотите, но в основном посвящен площади ее поверхности . Как найти площадь шара? Если вы хотите только оценить его значение, введите одно из выбранных значений в правое поле. Однако, если вы хотите узнать о площадь сферы формулы , продолжайте читать. Сфера представляет собой трехмерный (3D) объект, контуры и плоские сечения которого представляют собой окружности. Другими словами, все точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки (центра). В этом калькуляторе площади сферы используется множество величин, и обозначения следующие: r — радиус сферы; d — диаметр шара; V — объем шара; А — площадь сферы; и А/В — отношение поверхности к объему сферы. Сфера — это особый объект, который имеет наименьшее отношение поверхности к объему среди всех других замкнутых поверхностей с заданным объемом. Это как круг, который охватывает наибольшую площадь с заданным периметром по сравнению с другими плоскими фигурами. Если вам нужна более общая информация о сферах, перейдите на страницу калькулятора сфер! Мы можем разделить любую сферу на две равные части, которые называются полушария . Уравнения, описывающие полушария, очень похожи на те, которые мы представили ниже для полной сферы. Вам интересно, каковы свойства полушарий? Посмотрите наш калькулятор площади полушария, чтобы узнать больше об объектах такого типа! Как найти площадь сферы? Первым, кто ответил на вопрос, как найти площадь шара, был древнегреческий — Архимед . Он обнаружил, что ортогональная проекция боковой поверхности цилиндра на сферу сохраняет его площадь. Глядя на картинку ниже, вы можете видеть, что оба объекта имеют одинаковый радиус r , а высота цилиндра равна диаметру сферы d . Следовательно, используя формулу площади боковой поверхности цилиндра, получаем следующее: A = 2 × π × r × h ; A = 2 × π × r × d , а поскольку d = 2 × r : A = 2 × π × r × 2 × r ; и A = 4 × π × r² , , что является хорошо известной областью формулы сферы. Если вы хотите увидеть аналогичные соображения для радиуса, посетите калькулятор радиуса сферы. Какова формула площади сферы? Представленная выше формула площади сферы записывается через радиус. Однако как найти площадь сферы, если у нас есть не радиус r , а другая величина, описывающая эту сферу? Сначала напомним уравнения для этих возможных величин: Диаметр сферы: d = 2 × r ; Объем сферы: V = 4/3 × π × r³ ; и Отношение поверхности к объему сферы: A / V = ​​3 / r . Теперь мы можем попытаться вывести различные формулы площадей сфер. В этом калькуляторе площади сферы мы используем четыре уравнения : Учитывая радиус : A = 4 × π × r² ; Дан диаметр : A = π × d² ; Учитывая объемов : A = ³√(36 × π × V²) ; и Учитывая отношение поверхности к объему : A = 36 × π / (A/V)² . Наш калькулятор площади сферы позволяет вычислять площадь во многих различных единицах, включая системы СИ и имперские единицы. Кроме того, если вы хотите узнать, как оценить площадь поверхности других фигур, воспользуйтесь нашим калькулятором площади поверхности, который является более универсальным инструментом. Доминик Черня, доктор философии Радиус Диаметр Объем Отношение поверхности к объему Площадь поверхности Площадь поверхности Ознакомьтесь с 23 похожими калькуляторами трехмерной геометрии 📦 Площадь полушарияCubeCube Рассчитать: найти v, a, d… еще 20 трехмерная фигура, идеально симметричная и круглая по форме, похожая на шар или глобус. В геометрии сфера — это трехмерная твердая фигура круглой формы. С математической точки зрения это комбинация набора точек, соединенных одной общей точкой на равных расстояниях в трех измерениях. Что такое калькулятор сфер? ‘ Калькулятор сфер ‘ — это онлайн-инструмент, который помогает рассчитать площадь поверхности и объем сферы. Калькулятор сфер поможет вам рассчитать площадь поверхности и объем сферы за несколько секунд. Калькулятор сфер Как пользоваться калькулятором сфер? Чтобы использовать калькулятор, выполните следующие действия: Шаг 1: Выберите раскрывающийся список, чтобы найти значение площади поверхности и объема сферы. Шаг 2: Введите радиус в соответствующие поля ввода. Шаг 3: Нажмите кнопку « Вычислить «, чтобы найти значение площади поверхности и объема сферы. Шаг 4: Нажмите кнопку » Сбросить «, чтобы очистить поле и ввести новые значения. Как найти площадь поверхности и объем сферы? Площадь поверхности сферы — это количество единичных квадратов, которые могут вместиться в нее, и измеряется в квадратных единицах. Площадь поверхности сферы рассчитывается по формуле: Площадь поверхности сферы = 4πr 2 Где ‘r’ – радиус сферы. Объем сферы – это емкость сферы или мера занимаемого ею пространства. Объем сферы можно рассчитать по формуле: Объем сферы = 4/3 × π × r 3 Где «r» – радиус сферы. Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды? Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами. Записаться на бесплатный пробный урок Решенные примеры на калькуляторе сфер Пример 1: Найдите площадь поверхности и объем сферы, если радиус равен 3 единицам, и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора сфер . Решение: Дано: Радиус = 3 единицы Площадь поверхности сферы = 4πr 2 = 4 × 3,14 × 3 2 = 4 × 3,14 × = 113,04 квадратные единицы Объем сферы = 4/3 × π × r 3 9000 2 × 4 × /3 × 3,14 × 3 3 = 4 × 3,14 × 9 = 113,04 кубических единиц с помощью онлайн-калькулятора сфер. Показательные неравенства с заменой переменной: Показательные неравенства alexxlab / 08.07.202305.05.2023 / Разное Показательные неравенства 12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 — 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация   Педагогическое сообщество УРОК.РФ   Бесплатные всероссийские конкурсы Бесплатные сертификаты за публикации  Нужна помощь? Инструкции для новых участников Бесплатная   онлайн-школа для 1-4 классов Всё для аттестацииПубликация в сборникеВебинарыЛэпбукиПрофтестыЗаказ рецензийНовости Библиотека ▪Методические разработки ▪Уроки Материал опубликовала 5 #11 класс #Математика #ФГОС #1957 #Методические разработки #Урок #Учитель-предметник #Школьное образование Учитель математики МБОУ «Гимназия №1 им. Р.Фахреддина» г.Альметьевск РТ Закирова М.А. 11б класс. Тема: Показательные неравенства Тип урока: Урок формирования новых знаний Цели урока: — познакомить обучающихся с показательными неравенствами, формирование знаний об основных методах решения показательных неравенств. – развитие умений сравнивать, выявлять закономерность, обобщать, развитие логики, памяти. – воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательности. Оборудование: проектор, презентация «Показательные неравенства», карточки Этапы урока и их содержание 1. Организационный этап. На уроке будут рассмотрены показательные неравенства, решение которых требует хорошего знания теоретического материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по математике. 2.Проверка домашнего задания. №12.18; 12.23; 12.25 3. Актуализация знаний. А)Теоретический опрос: слайд 1 1) функцию какого вида называют показательной; 2) какова область определения показательной функции; 3) каково множество значений показательной функции; 4) что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а; 5) уравнение какого вида называется показательным; Б) Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: слайд 2         В) Какие из заданных функций являются возрастающими, какие убывающими?   г). Решите уравнения: слайд 4           Ответ: а) 3; б) 2; в)2; г)6. 4.Изучение новой темы Определение: Показательными неравенствами называются неравенства вида , где а>0 и а≠1. Слайд 5 Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод, что неравенство при равносильно неравенству а при равносильно неравенству Простейшие показательные неравенства имеют вид (слайды 9,10,11) решений не имеет, а неравенство выполняется при всех значениях аргумента, поскольку Способы решения показательных уравнений и неравенств: слайд 8 Уравнивание оснований Введение новой переменной (замена переменной) Вынесение общего множителя за скобку Деление на показательную функцию Графический способ Рассмотрим 1 способ – способ уравнивания оснований 1. слайд 12 2) Рассмотрим решение ещё нескольких показательных неравенств:( слайды 14,15) а)           б)                 в)               3.) А теперь рассмотрим решение двойных неравенств: слайд 16           Ответ: (- 4; -1).   Рассмотрим 2 способ — метод замены переменной. А теперь рассмотрим решение показательных неравенств методом введения новой переменной или замены переменной: слайды 17,18 Пример 1: Сведение к квадратному неравенству.   Примеры некоторых заданий профильного уровня ЕГЭ- 2015 из сайта «Алексарин Ларин», которые решаются методом замены переменной. (разобрать образцы 17 задания ЕГЭ-2015 профильного уровня) Пример 2: Сведение к рациональному неравенству, которое решаем применяя метод интервалов для непрерывных функций.   Ответ: 4.Закрепление изученной темы: Решить устно №13.1; №13.2 Решить письменно №13.3; №13.5; 13.8 5.Самостоятельная работа по карточкам (слайд 22) 6. Домашнее задание. Прочитать п 13; решить № 13.4; 13.6; 13.8 7.Итоги урока. Опубликовано 21.11.15 в 14:34 в группе «Математика -царица наук» Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться. Показательные неравенства на ЕГЭ по математике Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств. 1. 2x > 8 Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2: 2x > 23 Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2x. Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2x1 > 2x2, то x1 > x2 . Итак, от неравенства 2x > 23 можно перейти к алгебраическому неравенству x > 3. Ответ: . 2. Следующее неравенство: 2x > 7 Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно: 7 = 2log27. Получаем: 2x > 2log27; x > log27. 3. Еще одно неравенство: Здесь правую часть удобно представить как . . Вспомним, как выглядит график функции : Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства следует, что x < 4. Знак неравенства меняется! 4. Решите неравенство Умножим обе части неравенства на Сделаем замену Получили квадратичное неравенство относительно переменной t. Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной х. Запомнили? Разложим левую часть неравенства на множители. где и — корни квадратного уравнения Получим: Только теперь возвращаемся к переменной х. «Отбрасываем» основания степеней и получаем ответ. Ответ: 5. Решите неравенство: Сделаем замену переменной: Обратите внимание, что возвращаться к переменной х еще рано. Сначала решим неравенство с переменой t методом интервалов: Поскольку получим: Тогда Обратите внимание, как мы представили 4 и 9 в виде степеней с основанием 7. Мы применили основное логарифмическое тождество. Ответ: 6. 4x − 2 · 52x − 10x > 0. Заметим, что 4x = 22x, 10x=5x·2x, и запишем неравенство в виде: 22x − 5x·2x − 2 · 52x > 0. Разделим обе части на положительную величину 52x и обозначим . Получим квадратное неравенство: t2 − t − 2 > 0. Кроме того, t > 0. Графиком функции y = t2 − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение t2 − t − 2 = 0, получим t1 = −1, t2 = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t. Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t2 − t − 2 > 0 и t > 0. Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2. Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что и получим: Представим 2 в виде степени с основанием : Получим: x < 7. Решите неравенство Здесь присутствуют степени с основаниями 3 и 5. Поделим на 3 обе части неравенства: Возьмем логарифмы от левой и правой частей неравенства по основанию 3. Логарифм произведения запишем как сумму логарифмов. Разложим на множители Ответ: 8. Решите неравенство: Эта задача составлена Анной Малковой для одного из вариантов Математических тренингов. Мы видим, что неравенство комбинированное. Надо уметь решать и иррациональные неравенства, и показательные. Сделаем замену Получим: Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Мы получили, что Значит, Это ответ. Теперь подробно о каждом действии. Посмотрим на неравенство Область его допустимых значений: В левой его части — квадратный корень, величина неотрицательная. А вот правая часть может быть и больше нуля, и меньше, и равна нулю. Значит, возможны два случая: 1) Если правая часть неравенства тоже неотрицательна, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Получим систему: 2) Если правая часть неравенства отрицательна, то неравенство выполняется для всех х, принадлежащих ОДЗ. Получим: Вот откуда в решении взялась совокупность двух систем. Квадратичное неравенство из первой системы решаем стандартным способом. Находим корни уравнения Его дискриминант , корни Объединяем решения обоих систем на числовой прямой. Получаем, что значит, Ответ: Подведем итоги. Каким бы ни было показательное неравенство — его надо упростить до неравенства Знак здесь может быть любой: . Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились степени с одинаковыми основаниями. И после этого «отбрасываем» основания! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что , знак неравенства меняется на противоположный. Смотри также: Логарифмические неравенства   Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Показательные неравенства на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела. Публикация обновлена: 07.04.2023 {x}=17[/латекс]. Мы не знаем, до какого числа [латекс]3[/латекс] нужно увеличить, чтобы получить [латекс]17[/латекс]. Все, что мы знаем, это то, что он больше, чем [latex]2[/latex], и меньше, чем [latex]3[/latex]. Нам нужно использовать свойство математического объекта, называемое логарифмом , чтобы уменьшить [латекс]х[/латекс] и изолировать его на одной стороне уравнения. Возможно, вы уже изучали логарифмы раньше, но даже если вы этого не сделали, вы все равно можете использовать свойство числа : логарифмирование с обеих сторон. Давайте разовьем этот навык, начав с некоторых определений. A ЛОГАРИФМ A логарифм число. В частности, это показатель. Логарифм — это число [латекс]\log_{b}(M)[/латекс] , до которого мы должны возвести основание [латекс]b[/латекс] , чтобы получить [латекс ]М[/латекс] . Мы называем [латекс]b[/латекс] основанием и [латекс]М[/латекс] аргумент логарифма. Когда [латекс]b=10[/латекс], мы называем логарифм десятичным логарифмом и сокращаем его [латекс]\log M[/латекс]. ЛОГАРИТМ Логарифм по основанию 10, [латекс]\log_{10}M[/латекс], называется десятичным логарифмом и сокращенно [латекс]\лог М[/латекс]. Но понимание логарифма не обязательно для того, чтобы использовать его так, как мы хотим, при работе с определенными формулами. Логарифмы обладают определенным свойством: когда они применяются к обеим частям уравнения, они выводят интересующую переменную из показателя степени и преобразуют выражение в произведение показателя степени и логарифма. Мы называем это свойство 9{x}=x\cdot\log2 \приблизительно 0,30103x[/латекс]. Это иногда называют расширением логарифма. Потренируйтесь вычислять некоторые десятичные логарифмы с помощью калькулятора ниже. попробуй Теперь, когда вы научились преобразовывать экспоненциальные выражения с помощью правила степени для десятичных логарифмов и вычислять логарифмы на своем калькуляторе, пришло время научиться применять эти навыки к уравнению, в котором содержится интересующая переменная. в экспоненте. 9{x} = \log 17[/latex]                    возьмем десятичный логарифм с обеих сторон [latex]x\log 3= \log 17[/latex]                          примените правило степени для десятичного логарифма [позднее х]\dfrac{ x \cancel\log 3}{\cancel\log 3}= \dfrac{\log 17}{\log 3}[/latex]                  разделить [latex]\log 3[/latex] из обеих частей уравнения [latex]x=\dfrac{\log 17}{\log 3} \приблизительно 2,579[/latex]                используйте кнопку LOG на калькуляторе, чтобы оценить [latex]\dfrac{\log 17}{\log 3}[/ латекс] и округлить до 3 знаков после запятой Другой логарифм по специальному основанию называется натуральным логарифмом . Этот логарифм имеет основание [латекс] и [/латекс], иррациональную константу, приблизительно равную 2,718. НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ Логарифм по основанию [латекс]е[/латекс], [латекс]\log_{е}М[/латекс] называется натуральным логарифмом и сокращенно [латекс]\ Ин М[/латекс]. Степенное правило с десятичным логарифмом, [latex]\log M[/latex], или натуральным логарифмом, [latex]\ln M[/latex], может использоваться для преобразования показателя степени в произведение. Чтобы вычислить натуральный логарифм, используйте кнопку LN на вашем калькуляторе. Особенностью логарифмов является то, что [латекс]\dfrac{\log M}{\log N} = \dfrac{\ln M}{\ln N} [/latex] В следующем видео приведены примеры использования натурального логарифма или десятичного логарифма. решать показательные уравнения. Иногда вам придется проделать некоторую работу, чтобы изолировать термин, содержащий показатель степени, прежде чем применять правило степени. См. пример и видео ниже для примеров этих типов уравнений. попробуйте Экспоненциальные и логарифмические уравнения Экспоненциальное уравнение — это уравнение, в котором переменная входит в показатель степени. Логарифмическое уравнение — это уравнение, включающее логарифм выражения, содержащего переменную. Чтобы решить показательные уравнения, сначала посмотрите, можете ли вы записать обе части уравнения в виде степеней одного и того же числа. Если вы не можете, возьмите десятичный логарифм обеих частей уравнения и затем примените свойство 7. Пример 1 Решите следующие уравнения. 3 x = 5 6 x – 3 = 2 2 3 x – 1 = 3 2 x – 2  9 0006 Деление обеих сторон на бревно 3, Использование калькулятора для приближения,  Деление обеих сторон на бревно 6, Использование калькулятора для приближения,  Используя свойство распределения, 3 x log 2 – log 2 = 2 x log 3 – 2 log 3  Сбор всех членов, включающих переменную, в одной части уравнения,  3 х журнал 2 – 2 x журнал 3 = журнал 2 – 2 журнал 3  Вынесение на множители x ,  x (3 log 2 – 2 log 3) = log 2 – 2 log 3 Разделив обе стороны на 3 log 2 – 2 log 3,  Использование калькулятора для приближения, x ≈ 12,770  Чтобы решить уравнение с логарифмами, используйте свойства логарифмов, чтобы записать уравнение в форме log b M = N , а затем измените это на показатель степени иальная форма, M = б Н . Пример 2 Решите следующие уравнения. журнал 4 (3 x – 2) = 2 логарифм 3 x + логарифм 3 ( x – 6) = 3 log 2 (5 + 2 x ) – log 2 (4 – x ) = 3  логарифм 5 (7 x – 9) = логарифм 5 ( x 2 – x – 29) log 4 (3 x – 2) = 2 Переход к экспоненциальной форме. Проверьте ответ. Это верное утверждение. Следовательно, решение x = 6.  Перейдите к экспоненциальной форме. Проверьте ответы. Поскольку логарифм отрицательного числа не определен, единственным решением является x = 9. 2 (4 – х ) = 3 Переход к экспоненциальной форме. Используя свойство перекрестных произведений, Проверьте ответ. « Предыдущая 1 … 127 128 129 130 131 … 3 226 Следующая »