Автор: alexxlab

Ответы

04. 10.15

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его .

Приклади на парність та непарність функцій

Продовжуємо цикл публікацій із ЗНО підготовки на властивості елементарних функцій. Сьогодні розберемо приклади на парність та непарність функцій, формули перевірки парності та непарності,  далі вивчатимемо періодичність тригонометричних функцій. Завдання досить прості, тому Ви швидко зможете засвоїти основні властивості функцій та алгоритми обчислень подібних завдань.

Розділ 22. Елементарні функції та їх властивості

Приклад 22.12 Указати парну функцію.

Розв’язування: Функція y=f(x) називається парною, якщо y(-x)=y(x).
Перевіримо парність y(x)=4^x, для від’ємних значень маємо , робимо висновок що функція y(x)=4^x не є парною;
y(x)=x, тоді y(-x)=-x ≠y(x) — не є парною;
y(x)= √x, тоді — не є парною;
y(x)=tg(x), тоді y(-x)=tg(-x)=-tg(x)≠y(x) — не є парною;
y(x)=|x|, тоді y(-x)=|-x|=x=y(x) — функція є парною.
Відповідь: y=|x| – Д.

Приклад 22.13 Яка з наведених функцій є непарною?

Розв’язування: Функція y=f(x) називається непарною, якщо y(-x)=-y(x).
Розглянемо y(x)=x+|x|, розпишемо y(-x)=-x+|-x|=-x+|x|≠y(x) — не є непарною;
y(x)=sin²(x), тоді y(-x)=sin²(-x)= sin²(x) |≠y(x) — не є непарною;
, тоді — не є непарною;
, розпишемо — не є непарною;
, тоді — функція є непарною.
Відповідь: – Д.

Приклад 22.14 Функція f(x) — парна, а функція g(x) — непарна. f(7)=-11, g(5)=-2. Обчислити 2f(-7)-3g(-5).

Розв’язування: Оскільки функція f(x) — парна, то f(-x)=f(x), звідси f(-7)=f(7)=-11.
Оскільки функція g(x) — непарна, то g(-x)=-g(x), звідси g(-5)=-g(5)=2.
Обчислюємо значення виразу
2f(-7)-3g(-5)=2•(-11)-3•2=-22-6=-28.
Відповідь: -28 – А.

Приклад 22.15 На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-4;4].

Знайти множину всіх значень x, для яких f(x) ≤-2.

Розв’язування: Проведемо пряму y=-2 (паралельно осі Ox), та знайдемо такі значення x, при яких графік функції y=f(x) знаходиться під прямою y=-2

(і на прямій також, бо нерівність нестрога), тобто знайдемо розв’язки нерівності f(x) ≤-2:
x∈[0;3] .
Відповідь: [0;3] – А.

Приклад 22.16 За ескізом графіка y=ax+b вказати знаки параметрів a і b.

Розв’язування: Графіком функції y=ax+b є пряма. Функція зростає: f(x1)>f(x2), якщо x1>x2, або f(x1)<f(x2), якщо x1<x2, тоді a>0 (або якщо пряма утворює гострий кут з додатним напрямком осі Ox).
У завданні функція зростає, тому a>0.
Параметр b вказує на ординату перетину прямої y=ax+b з віссю Oy. На ескізі графіка b=-2<0.
Відповідь: a>0, b<0.

Приклад 22.39 Установити відповідність між функціями (1–4) та їх парністю (А–Д).

Розв’язування: Функція y=y(x) парна, якщо y(-x)=y(x) (графік симетричний відносно осі Oy).
Функція y=y(x) непарна, якщо y(-x)=-y(x) (графік симетричний відносно початку координат).
Наведемо допоміжний рисунок, щоб Ви переконалися в правильності міркувань.

1. y=0 — функція і парна, і непарна (особливий випадок) 1 — Д.
Запам’ятайте цей момент, оскільки на цьому рідко наголошують.
На графіку задана функція зображена чорним кольором (вісь Ox).

2. y(x)=x³+tg(x).
y(-x)=(-x)³+tg(-x)=-³-tg(x)=-(x³+tg(x))=-tg(x) — функція непарна 2 — В.
Функція y(x)=x³+tg(x) зображена синім кольором (симетрична відносно початку координат).

3. y(x)=x⁴-sin(x).
y(-x)=(-x)⁴-sin(-x)=x⁴+sin(x)≠±y(x) — функція ні парна, ні непарна 3 — Г.
Функція на графіку y(x)=x³+tg(x) зображена зеленим кольором.

4. y(x)=x⁵·sin(x).
y(-x)=(-x)⁵•sin(-x)=-x⁵•(-sin(x))=x⁵•sin(x)=y(x) — функція парна 4 — Б.
На графіку y(x)=x⁵·sin(x) зображена червоним кольором (симетрична відносно осі Oy).

Приклад 22.52 За якого найбільшого значення параметра a функція буде непарною?
Розв’язування: Функція f(x) непарна, якщо f(-x)=-f(x).
Складаємо рівняння з умови на парність
.
Розв’яжемо логарифмічне рівняння:
відносно параметра a.

a²=1,
a₁=1,
a₂=-1.
a=1 — найбільше значення, за якого функція буде непарною.
Відповідь: 1.

 Знання властивостей функцій потрібні для швидкого їх дослідження, що перевіряється в шкільній практиці та продовжують вивчати у ВУЗах. Вступні тести є перехідним етапом, але через обмеженість часу Ви маєте вивчити великий об’єм матеріалу, тому починайти готуватися завчасно.

Вас може зацікавити:
1. Область визначення складних кореневих, логарифмічних, тригонометричних функцій
2. Дослідження функції на монотонність, екстремуми, побудова графіка
3. Дослідження функції на монотонність, екстремуми, побудова графіка
4. Паралельне перенесення графіку функції, симетричне відображення, розтяг та стиск

Числові функції.

При вивченні множин ми бачили, що можна задати зв’язок між множинами, тобто поставити відповідність між елементами двох множин. Така залежність, при якій кожному елементу з однієї множини (множини Х) ставиться у відповідність єдиний елемент з другої множини (множини Y), називається функцією. Зазначимо, що функція не є взаємно однозначною відповідністю: деякому елементу з множини Y може відповідати декілька елементів з множини X. Найчастіше позначається функція записом f, f(x),y, y(x).

Існує декілька способів задання функції.

Формульний. Наприклад, y=2x+4. Перевагою такого способу є те, що можна знайти значення функції в кожній точці. Недоліком є те, що потрібно час на обчислення, відсутня наочність.

Табличний. Задається таблицею, де прописується пара x,y.Перевагою такого способу є те, що дуже швидко знаходиться значення функції в певних точках. Недоліком є те, що не для всіх чисел задано значення.

Графічний. Перевагою цього способу є те, що наочно видно залежність між х та у, видно зміну значень. Недоліком є те, що неможливо встановити точного значення функції в певній точці.

Словесний. Застосовується тоді, коли функцію важко задати іншими способами.

Чим характеризується кожна функція? По-перше, можна вказати відповідні множини Х та У. Множина Х називається областю визначення функції і позначається D(y), множина Y називається областю значень функції і позначається E(Y).

Приклад 1.

Задано функцію y=4+x². Знайти область визначення та область значень функції.

Розв’язання. Оскільки замість х ми можемо поставити будь-яке дійсне число, то областю визначення функції є всі дійсні числа. Тобто D(y): x∈R (або x∈(-∞;+∞). Оскільки x² може приймати значення від 0 до +∞, то 4+x² може приймати значення від 4 до +∞. Тобто E(y): y∈[4;+∞).

Щоб отримати значення функції в певній точці, достатньо підставити у рівняння функції замість невідомої значення абсциси (х) точки. Відповідно, для того, щоб перевірити, чи належить точка графіку функції, достатньо підставити відповідні значення абсциси та ординати у рівняння. Якщо отримаємо рівність, то точка належить графіку функції, якщо ні — то не належить.

Приклад 2.

Знайти значення функції y=3x²+4x-2 в точці 5.

Розв’язання. у(5)= 3⋅5²+4⋅5-2=3⋅25+20-2=75+20-2=93.

Приклад 3.

Перевірити, чи належать точки (2;12),(3;38) графіку функції y=4x²+2x-4.

Розв’язання. 1) Підставимо замість х число 2, замість у число 12. Отримаємо 12=4⋅2²+2⋅2-4, тобто 12=16. Рівність не вірна, тому точка (2;12) не належить графіку функції.
2) Підставимо замість х число 3, замість у число 38. Отримаємо 38=4⋅3²+2⋅3-4, тобто 38=38. Рівність вірна, тому точка (3;38) належить графіку функції.

Одним зі способів задання функції є графічний, коли показано залежність між множинами. Це дозволяє швидко охопити картину поведінки функції. Тому доцільно для функції будувати її графік. Отже, графік функції y(x) — множина точок координатної площини з координатами (х,у), де х∈D(y), y — відповідне значення функції при даному значенні х.

Властивості функції.

Якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції (якщо x₁<x₂, то y₁<y₂), то така функція називається зростаючою. Якщо ж навпаки, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції (якщо x₁<x₂, то y₁>y₂), то така функція називається спадною. Графік зростаючої функції виглядає як підйом у гору, а спадної — як спуск з гори.

Функція називається парною, якщо для будь-якого х з її області визначення f(-x)=f(x). Якщо значення функції при протилежних значення аргументу співпадає, то така функція називається парною. Прикладом парної функції є y=x² (y(-x)=(-x)²=x²=y(x)). Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Якщо ж протилежним значенням аргумента відповідають протилежні значення функції, тобто f(-x)=-f(x), то така функція називається непарною.

Функція називається непарною, якщо для будь-якого х з її області визначення f(-x)=-f(x)

Прикладом непарної функції є y=x³ (y(-x)=(-x)³=-x³=-y(x)). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Зверніть увагу, що є також функції, які не є ні парними, ні непарними. Прикладом такої функції є y=x²+4х (y(-x)=(-x)²+4⋅(-х)=x²-4х. Таке значення не співпадає ні з y(x), ні з -y(x).

Приклад 4.

Дослідити функції на парність та непарність. 1) y=x⁴+3x²+5; 2) y=x³-2x; 3) y=x²+4x.

Розв’язання. 1) y(-x)=(-x)⁴+3(-x)²+5=x⁴+3x²+5=y(x). Функція парна. 2) y(-x)=(-x)³-2(-x)=-x³+2x=-(x³-2x)=-y(x). Функція непарна. 3) y(-x)=(-x)²+4(-x)=x²-4x. y(-x) не дорівнює y(x), y(-x) не дорівнює -y(x). Функція ні парна, ні непарна.

Приклад 5.

Дослідити функції на парність та непарність за її графіком.

Розв’язання. 1) Оскільки графік функції симетричний відносно осі ОУ, то функція парна. 2) Оскільки графік функції не симетричний ні відносно осі ОУ, ні відносно початку координат, то функція ні парна, ні непарна. 3) Оскільки графік функції симетричний відносно початку координат, то функція непарна.

Определение функции четности и интуиция, характеристическая функция множества.

Мы определяем $\tilde x\in\mathbb{Z}$ и $\tilde x_i\in\mathbb{Z_2}$ (это битовое значение),

и $\tilde x_i = 1-2x_i$ ясно представлена ​​следующая функция:

\begin{align*} f(x) = \begin{случаи} 1 &\text{если $x$ = 0}\\ -1 &\text{если $x$ = 1} \end{cases}\end{align*}

Когда $x$ (входной бит) равен $0$, функция возвращает $1$, иначе, если $x$ равно $1$, функция возвращает $-1$ . 9{N-1} е (\ тильда x_i), \end{align*}

Заглавная буква «пи» обозначает умножение последовательных значений. Следовательно, мы перемножаем вместе все четности. А поскольку $f(x)$ возвращает либо $1$, либо $-1$, то $P(\tilde x)$ возвращает либо значение $-1$, либо значение $1$. Процесс $P$ является итеративным, и значение $-1$ никогда не изменяется, если последующая четность также не равна $-1$ (тогда она меняет свой знак), эта четность будет переворачиваться столько раз, сколько единиц в таблице. бинарное расширение ($\tilde x$) и сохранение конечного состояния при $i=N-1$. Конечное состояние в основном зависит от количества $1$ в двоичном расширении. Короче говоря, каждый раз, когда $\tilde x_i=1$, произведение будет менять свой знак, но когда $\tilde x_i=0$, произведение никак не повлияет на результат. Эти два ряда действий легко понять, когда $x\cdot -1=-x$ и $x\cdot 1=x$. то есть:

$$+\cdot+ = +$$ $$+\cdot- = -$$ $$-\cdot+ = -$$ $$-\cdot- = +$$

Из приведенных выше рассуждений мы можем вывести некоторые факты:

1. когда $\tilde x$ имеет нечетное количество $1$ в своем двоичном представлении, $P$ вернет $-1$.
2. , когда $\tilde x$ имеет четное число $1$ в своем двоичном представлении, $P$ вернет $1$.

Примеры:

$$P(2_{10}) = P(10_2) = -1$$ $$P(13_{10}) = P(1101_2) = -1$$ $$P(27_{10}) = P(11011_2) = 1$$ $$P(60_{10}) = P(111100_2) = 1$$

Другие факты:

Длина бита сама по себе не влияет на четность.

Ответы:

1) Функция, которая возвращает младший (самый правый) бит аргумента.

$$P(00_2) = 1$$ $$P(01_2) = -1$$ $$P(10_2) = -1$$ $$P(11_2) = 1$$

Есть два возможных входа, при которых возвращается $1$: $0$ и $3_{10}$.

2) Функция, возвращающая k-нумерованный бит аргумента, где k меньше n.

Я не уверен, что вы имеете в виду под k-нумерованным битом аргумента. Предполагая, что вы имеете в виду битовую длину аргумента, это не влияет на выходную четность.

3) const f(x) = 1

Функция является четной только тогда, когда $\tilde x = 0$ или в двоичном представлении $\tilde x$ есть четное число $1$.

4) const f(x) = 0

$0=$ паритет $1$

5) «Характеристическая функция множества мощности 5»

Предположим, вы имеете в виду, что паритет $1$ четный, тогда $5$ четный.

6) f(x)=1, только если x имеет нечетное количество единиц при записи в двоичном формате

False, $P(\tilde x)=-1$, если число единиц нечетное.

7) f(x)=1, только если x имеет четное число единиц при записи в двоичном формате

Верно, $P(\tilde x)=1$, если число единиц четное.

Определение, формула, принцип работы и примеры

Что такое паритет пут-колл?

Термин «паритет пут-колл» относится к принципу, определяющему взаимосвязь между ценой европейских опционов пут и колл одного и того же класса. Проще говоря, эта концепция подчеркивает согласованность этих же классов. Опционы пут и колл должны иметь одинаковый базовый актив, цену исполнения и дату экспирации, чтобы быть в одном классе. Паритет пут-колл, применимый только к европейским опционам, можно определить с помощью уравнения.

Основные выводы

• Паритет пут-колл показывает взаимосвязь, которая должна существовать между европейскими опционами пут и колл, имеющими одинаковый базовый актив, дату истечения и цену исполнения.
• Эта концепция гласит, что цена колл-опциона подразумевает определенную справедливую цену соответствующего пут-опциона с той же ценой исполнения и сроком действия, и наоборот.
• Паритет пут-колл не применяется к американским опционам, поскольку вы можете исполнить их до даты истечения срока.
• Если соотношение пут-колл нарушается, возникают возможности для арбитража.
• Вы можете определить сторону пут-колл, используя формулу C + PV(x) = P + S.
  

Паритет пут-колл

Понимание четности пут-колл

Как отмечалось выше, паритет пут-колл — это концепция, применимая к европейским опционам. Эти опционы относятся к одному классу, то есть у них есть базовый актив, цена исполнения и дата экспирации. Таким образом, этот принцип не применяется к американским опционам, которые могут быть исполнены в любое время до истечения срока действия.

Паритет пут-колл утверждает, что одновременное владение коротким европейским путом и длинным европейским коллом того же класса принесет такую ​​же прибыль, как и владение одним форвардным контрактом на тот же базовый актив с тем же сроком действия и форвардной ценой, равной страйку опциона. цена.

Если цены опционов пут и колл расходятся так, что это соотношение не сохраняется, существует возможность арбитража. Это означает, что опытные трейдеры теоретически могут получать безрисковую прибыль. Такие возможности редки и недолговечны на ликвидных рынках.

Уравнение, выражающее паритет пут-колл:

С + п В ( Икс ) «=» п + С где: С «=» Цена европейского колл-опциона п В ( Икс ) «=» Текущая стоимость цены исполнения (x), со скидкой от стоимости по истечении срока действия дата по безрисковой ставке п «=» Цена европейского пута С «=» Спотовая цена или текущая рыночная стоимость базового актива \begin{aligned}&C + PV(x) = P + S \\&\textbf{где:} \\&C = \text{Цена европейского колл-опциона} \\&PV(x) = \text{Текущая стоимость от цены исполнения (x),} \\&\text{дисконтировано от значения на момент экспирации} \\&\text{дата по безрисковой ставке} \\ &P = \text{Цена европейского пут} \\&S = \text{Спотовая цена или текущая рыночная стоимость} \\&\text{базового актива} \\\end{aligned} ​C+PV(x)=P+S, где:C=Цена европейского колл-опционаPV(x)=Текущая стоимость цены исполнения (x), дисконтированная от стоимости на дату экспирации по безрисковой ставкеP=Цена европейский пут=цена спот или текущая рыночная стоимость базового актива​

Концепция паритета пут-колл была введена экономистом Хансом Р. Столлом в его статье «Взаимосвязь между ценами опционов пут и колл» в декабре 1969 года, которая была опубликована в The Journal of Finance .

Особые указания

Когда одна сторона уравнения паритета пут-колл больше другой, это представляет собой возможность арбитража. Вы можете продать более дорогую часть уравнения и купить более дешевую, чтобы получить во всех смыслах безрисковую прибыль.

На практике это означает продажу пут, короткую продажу акций, покупку колла и покупку безрискового актива (например, TIPS). На самом деле возможности для арбитража недолговечны и их трудно найти. Кроме того, маржа, которую они предлагают, может быть настолько незначительной, что для того, чтобы воспользоваться ими, потребуется огромный капитал.

Паритет пут-колл и арбитраж

На двух графиках выше ось y- представляет стоимость портфеля, а не прибыль или убыток, потому что мы предполагаем, что трейдеры раздают опционы. Но это не так, и цены европейских опционов пут и колл в конечном итоге регулируются паритетом пут-колл. На теоретическом, совершенно эффективном рынке цены на европейские опционы пут и колл будут регулироваться уравнением, которое мы отметили выше:

С + п В ( Икс ) «=» п + С \begin{выровнено}&C + PV(x) = P + S \\\end{выровнено} ​C+PV(x)=P+S​

Предположим, что безрисковая ставка составляет 4%, а акции TCKR торгуются по 10 долларов. Давайте продолжим игнорировать комиссии за транзакции и предположим, что TCKR не выплачивает дивиденды. Для опционов TCKR со сроком действия один год и ценой исполнения 15 долларов мы имеем:

С + ( 15 ÷ 1,04 ) «=» п + 10 4,42 «=» п − С \begin{выровнено}&C + ( 15 \div 1.04 ) = P + 10 \\&4.42 = P — C \\\end{выровнено} С+(15÷1,04)=Р+104,42=Р-С

На этом гипотетическом рынке путы TCKR должны торговаться с премией в 4,42 доллара к соответствующим коллам. Поскольку TCKR торгуется по цене всего 67% от цены исполнения, бычий колл, кажется, имеет более высокие шансы, что интуитивно понятно. Допустим, это не так, хотя по какой-то причине путы торгуются по 12 долларов, а коллы по 7 долларов.

Допустим, вы покупаете европейский колл-опцион на акции TCKR. Дата экспирации — через год, цена исполнения — 15 долларов, а покупка колла стоит 5 долларов. Этот контракт дает вам право, но не обязательство, купить акции TCKR по истечении срока действия за 15 долларов, какой бы ни была рыночная цена.

Если через год TCKR будет торговаться по 10 долларов, вы не воспользуетесь опционом. Если, с другой стороны, TCKR торгуется по 20 долларов за акцию, вы воспользуетесь опционом, купите TCKR по 15 долларов и безубыточности, поскольку изначально вы заплатили 5 долларов за опцион. Любая сумма TCKR, превышающая 20 долларов США, является чистой прибылью при нулевой комиссии за транзакцию.

7 + 14.42 < 12 + 10 21.42 доверительный звонок < 22 защищенный пут \begin{выровнено}&7 + 14.42 < 12 + 10 \\&21.42 \ \text{фидуциарное требование} < 22 \ \text{защищенное размещение} \\\end{выровнено} ​7+14.42<12+1021.42 фидуциарный вызов<22 защищенный пут​

Защитный слой

Еще один способ представить паритет пут-колл — сравнить производительность защитного пут-опциона и фидуциарного колл-опциона одного и того же класса. Защитный пут — это длинная позиция по акциям в сочетании с длинным путом, который ограничивает отрицательную сторону владения акциями.

Фидуциарный звонок

Фидуциарный колл — это длинный колл в сочетании с денежными средствами, равными приведенной стоимости (с поправкой на ставку дисконтирования) цены реализации; это гарантирует, что у инвестора будет достаточно денежных средств для исполнения опциона в дату истечения срока действия. Ранее мы говорили, что опционы пут и колл TCKR со страйком $15 и сроком действия в один год торгуются по $5, но давайте на секунду предположим, что они торгуются бесплатно.

Пример паритета пут-колл

Допустим, вы также продаете (или «выписываете» или «коротко») европейский пут-опцион на акции TCKR. Дата экспирации, цена исполнения и стоимость опциона одинаковы. Вы получаете 5 долларов за продажу опциона, и вам не решать, использовать ли опцион или нет, поскольку вы им не владеете. Покупатель приобретает право, но не обязательство, продать вам акции TCKR по цене исполнения. Это означает, что вы обязаны заключить эту сделку, какой бы ни была рыночная цена акций TCKR.

Таким образом, если TCKR торгуется по 10 долларов через год, покупатель продает вам акции по 15 долларов. Вы оба безубыточны — вы уже заработали 5 долларов на продаже опциона пут, восполнив свой дефицит, в то время как покупатель уже потратил 5 долларов на его покупку, поглотив свою прибыль. Если TCKR торгуется по цене 15 долларов или выше, вы зарабатываете 5 долларов и только 5 долларов, поскольку другая сторона не использует опцион. Если TCKR торгуется ниже 10 долларов, вы теряете деньги — до 10 долларов, если TCKR падает до нуля.

Прибыль или убыток по этим позициям для разных цен на акции TCKR выделены на графике непосредственно над этим разделом. Обратите внимание, что если вы добавите прибыль или убыток от длинного колла к короткому путу, вы заработаете или потеряете ровно столько, сколько получили бы, если бы просто подписали форвардный контракт на акции TCKR по цене 15 долларов, срок действия которого истекает через год. Если акции продаются менее чем за 15 долларов, вы теряете деньги. Если они пойдут на большее, вы выиграете. Опять же, этот сценарий игнорирует все комиссии за транзакции.

Еще один способ представить паритет пут-колл — сравнить производительность защитного пут-опциона и фидуциарного колл-опциона одного и того же класса. Защитный пут — это длинная позиция по акциям в сочетании с длинным путом, который ограничивает отрицательную сторону владения акциями.

Фидуциарный колл — это длинный колл в сочетании с денежными средствами, равными приведенной стоимости (с поправкой на ставку дисконтирования) цены реализации; это гарантирует, что у инвестора будет достаточно денежных средств для исполнения опциона в дату истечения срока действия. Ранее мы говорили, что опционы пут и колл TCKR со страйком $15 и сроком действия в один год торгуются по $5, но давайте на секунду предположим, что они торгуются бесплатно.

Почему важен паритет пут-колл?

Паритет пут-колл позволяет рассчитать приблизительную стоимость пут-колла по отношению к другим его компонентам. Если соотношение пут-колл нарушается, что означает, что цены опционов пут и колл расходятся, так что это соотношение не сохраняется, существует возможность арбитража. Хотя такие возможности редки и краткосрочны на ликвидных рынках, опытные трейдеры теоретически могут получать безрисковую прибыль. Кроме того, он предлагает гибкость для создания синтетических позиций.

Какова формула паритета пут-колл?

Паритет пут-колл утверждает, что одновременная покупка и продажа европейского колл-опциона и пут-опциона одного и того же класса (тот же базовый актив, цена исполнения и дата экспирации) идентична покупке базового актива прямо сейчас. Обратное этому соотношению также было бы верно.

Цена опциона «колл» + PV(x) = цена опциона «пут» + текущая цена базового актива

-или-

Текущая цена базового актива = цена опциона «колл» — цена опциона «пут» + PV(x)

где: PV(x) = текущая стоимость цены исполнения (x), дисконтированная от стоимости на дату экспирации по безрисковой ставке

Как оцениваются опционы?

Цена опциона представляет собой сумму его внутренней стоимости, которая представляет собой разницу между текущей ценой базового актива и ценой исполнения опциона, и временной стоимости, которая напрямую связана со временем, оставшимся до истечения срока действия опциона.

Как найти частное двух комплексных чисел: формула, примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Деление комплексных чисел

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти частное двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

• Деление в алгебраической форме
• Деление в геометрической форме

Деление в алгебраической форме

Результатом деления (т.е. частное) двух комплексных чисел x = a₁ + b₁i и y = a₂ + b₂i также является комплексное число z:

Порядок действий следующий:

1. Делимое и делитель умножаем на число, комплексно сопряженное делителю. Не забываем, что i² = -1.
   
   Примечание: Для (a + bi) комплексно сопряженным будет число (a – bi), т.е. действительная часть остается той же, а у мнимой знак меняется на противоположный.
2. В результате выполнения умножения в знаменателе получается обычное действительное число.
   (a₂ + b₂i)(a₂ – b₂i) = a₂ ⋅ a₂ – a₂ ⋅ b₂i + b₂i ⋅ a₂ – b₂i ⋅ b₂i = a₂² – b₂² ⋅ i² = a₂² + b₂².
3. Теперь выполним аналогичное действие в числителе:
   (a₁ + b₁i)(a₂ – b₂i) = a₁ ⋅ a₂ – a₁ ⋅ b₂i + b₁i ⋅ a₂ – b₁i ⋅ b₂i = a₁a₂ – b₁b₂i² – a₁b₂i + b₁a₂i = (a₁a₂ + b₁b₂) + (a₂b₁ – a₁b₂) ⋅ i.
4. Делим полученный числитель на знаменатель:
   

Пример 1:
Разделим комплексное число (3 – i) на (-5 + 2i).

Решение:
Руководствуемся планом действий, описанным выше, и получаем:

Деление в геометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, например, x = |x| ⋅ (cos φ₁ + i ⋅ sin φ₁) и y = |y| ⋅ (cos φ₂ + i ⋅ sin φ₂), то разделить их можно по формуле ниже:

Пример 2
Найдем частное комплексных чисел: x = 4 ⋅ (cos 60° + i ⋅ sin 60°) и y = 2 ⋅ (cos 25° + i ⋅ sin 25°).

Решение:
|x| : |y| = 4 : 2 = 2
φ₁ – φ₂ = 60° – 25° = 35°
x : y = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°)

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

как делать в алгебраической, показательной и тригонометрической форме

Содержание:

• Деление комплексных чисел — основные правила
• В каких формах это можно делать
• Формула деления в алгебраической форме
• Формула деления в тригонометрической форме
• Формула деления в показательной форме
• Примеры решения задач

Содержание

• Деление комплексных чисел — основные правила
• В каких формах это можно делать
• Формула деления в алгебраической форме
• Формула деления в тригонометрической форме
• Формула деления в показательной форме
• Примеры решения задач

Деление комплексных чисел — основные правила

Определение 1

Частным двух комплексных чисел  \(z_{1}=a_{1}+b_{1} i\) и  \(z_{2}=a_{2}+b_{2} \)i называют число z, заданное соотношением: \(z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+\frac{a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} i\)

Общий алгоритм для деления комплексных чисел на практике:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• умножение делимого и делителя на число, комплексно сопряженное делителю, что преобразует делитель в действительное число;
• в числителе умножают пару комплексных чисел;
• полученную дробь почленно делят.

В каких формах это можно делать

Комплексные числа делят разными методами, подтвержденными доказательствами. Существуют алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы для подобных операций. В каждом перечисленном случае необходимо использовать определенную формулу.

Формула деления в алгебраической форме

Когда требуется выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, в первую очередь числитель и знаменатель умножают на число, сопряженное к знаменателю. Таким образом, удается исключить комплексность в знаменателе:

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} = \frac{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} + i\frac{a_2 \cdot b_1 — a_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2}\)

Формула деления в тригонометрической форме

Деление в тригонометрической форме подразумевает деление модулей комплексных чисел. {(\varphi_1 — \varphi_2)i}\)

Примеры решения задач

Задача 1

Задача

Необходимо найти частное пары комплексных чисел:

\(z_1 = 3+i\) и \(z_2 = 2-3i\)

Решение:

Заметим, что комплексные числа заданы в алгебраической форме. В связи с этим целесообразно использовать в действиях соответствующую формулу.

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{3+i}{2-3i} =\)

Сопряженное комплексное число к знаменателю:

\(\overline{z_2} = 2+3i\)

Нужно домножить и разделить на сопряженное комплексное число к знаменателю дроби. Таким образом, получится исключить комплексность в знаменателе:

\(= \frac{(3+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{6 + 9i + 2i — 3}{4 + 6i — 6i + 9} =\)

Далее следует привести подобные слагаемые и записать вывод с ответом:

\(= \frac{3 + 11i}{13} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i\)

Ответ: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i\)

Задача 2

Задача

Требуется выполнить деление комплексных чисел:

\(z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{6})\)

\(z_2 = 4(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})\)

Решение:

Комплексные числа в условии задачи записаны в тригонометрической форме. {2}}=\)

\(=\frac{-3-i}{1-(-1)}=\frac{-3-i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}\)

Ответ:\( \frac{-2+i}{1-i}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}\)

Задача 5

Задача

Необходимо найти частное:

\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)

При условии, что:

\(z_{1}=2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)\)

\(z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\)

Решение:

Искомое частное:

\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)}{\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}}=\)

\(=\frac{2}{1} \cdot\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right]=\)

\(=2 \cdot\left[\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right]=2 \cdot(0+i)=2 i\)

Ответ: \(\frac{z_{1}}{z_{2}}=2 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)=2 i\)

Задача 6

Задача

Необходимо разделить два комплексных числа:

\(z_{1}=-1+3i\)

\(z_{2}=1+2i\)

Решение:

С помощью соответствующей формулы можно записать уравнение:

\(z_{1} \div z_{2} = \frac{-1+3i}{1+2i} = \frac{(-1+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-1 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}} + i \frac{3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2)}{1^{2}+2^{2}} =\)

\(= \frac{5}{5} + i \frac{5}{5}=1+i\)

Ответ: \( z_{1} \div z_{2} = 1+i\)

Задача 7

Задача

Необходимо вычислить частное комплексных чисел:

\(z_{1}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)\)

\(z_{2}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)\)

Решение:

Используя соответствующую формулу, запишем:

\(z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} — \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} — \varphi _{2})) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) \right) =\)

\(= 1 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\)

Ответ:\( z_{1} \div z_{2} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\)

Задача 8

Задача

Требуется разделить два комплексных числа:

\(z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i}\)

\(z_{2} = 2 e^{-\frac{\pi}{4}i}\)

Решение:

Используя соответствующую формулу деления комплексных чисел, можно решить уравнение:

\(z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} — \varphi _{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{4} \right) } = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i}\)

Ответ: \(z_{1} \div z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i}\)

Бесплатные уроки по математике

Мы дарим вам более сотни бесплатных уроков по математике в виде обучающих статей от репетиторов tutoronline.ru. Изучив данные уроки, вы как минимум улучшите знания в области математики, а применив многие из них на практике, можно самому подготовиться к ЕГЭ! Выберите нужный раздел и устраните пробелы в знаниях самого удивительного школьного предмета!

Сравнение

• Сравнение чисел 
• Равные дроби 
• Обратная пропорциональность
• Неравенства с параметром
• Нестандартные методы решения неравенств
• Рациональные неравенства

Проценты

• Решение задач на проценты 
• Задачи на проценты

Числа

• Смешанные числа 
• Задачи на целые числа
• Три вида задач на дроби
• Комплексные числа
• Признаки делимости
• Признаки делимости чисел. Часть II
• Множества чисел

Графики

• График линейной функции
• Линейная функция
• График дробно-линейной функции
• Общая схема исследования функции
• Функции
• Виды функций и графики
• Линейные уравнения с параметром

Системы уравнений

• Графическое решение состем уравнения
• Решение систем уравнений с помощью метода подстановки
• Системы уравнений и количество их решений
• Системы неравенств с двумя переменными
• Решение задач с помощью составления систем уравнений
• Системы уравнений с параметром
• Задание на координатной плоскости фигур, при помощи уравнений и неравенств 
• Одна система — два решения
• Задачи на концентрацию сплавов и смесей
• Задачи на составление уравнений и неравенств
• Частные случаи решений систем уравнений
• Хитрые системы уравнений

Числовые последовательности

• Числовые последовательности
• Прогрессии
• Числа Фибоначчи 
• Прогрессии в геометрических задачах

Многочлены 

• Одночлены и многочлены
• Решение квадратных уравнений
• Использование теоремы Виета
• Решение квадратных уравнений методом переброски
• Разложение многочленов на множители 
• Уравнение с двумя переменными
• Уравнения высших степеней
• Симметрические уравнения
• Квадратичная функция
• Решение уравнений при помощи замены
• Квадратные и биквадратные уравнения

Тригонометрия

• Тригонометрические уравнения
• Решение тригонометрических уравнений
• Решение тригонометрических уравнений с синусами
• Основные методы решения тригонометрических уравнений
• Тождественные преобразования тригонометрических выражений
• Решение простейших тригонометрических неравенств
• Решение задач с помощью тригонометрических подстановок 
• Обратные тригономестрические функции 
• Тригонометрия на ЕГЭ 
• Тригонометрические функции

Иррациональные цифры и уравнения

• Решение задач с корнем
• Иррациональные уравнения  

Модули

• Уравнения с модулем
• Графики функций с модулем
• Строим графики функций, содержащих модуль
• Уравнение с параметрами
• Метод интервалов для решения модульных уравнений
• Неравенства с модулем
• Кусочно-заданная функция
• Геометрический смысл модуля 
• Модуль в тригонометрических выражениях    

Логарифмы

• Логарифмы
• Решение логарифмических уравнений 
• Решение логарифмических неравенств
• Логарифмическая функция и ее график
• Логарифмические преобразования

Производные

• Производная функций
• Применение производных
• Наибольшие и наименьшие значения функций
• Экстремумы функций 
• Исследование функций с помощью производных
• Применение производных к постоению графиков функций 

Показательная функция

• Показательные уравнения и неравенства 
• Свойства степени с натуральным показателем 

Интегралы

• Первообразные
• Решение интегралов Онлайн
• Вычисление площадей, ограниченных задаными линиями

1. Точка, отрезок, луч, прямая. Основы геометрии 
2. Деление отрезка в заданном отношении
3. Задачи на построение 
4. Геометрические неравенства
5. Несколько способов решения одной геометрической задачи
6. Решение задач по планиметрии 
7. Параллельные прямые
8. Смежные, центральные и вписанные углы

Треугольники

• Классификация треугольников
• Задачи про равнобедренные треугольники
• Признаки равенства прямоугольных треугольников
• Доказательства теоремы Пифагора
• Задачи на произвольные треугольники
• Свойства подобных треугольников
• Подобие треугольников. Часть II       

Параллелограмм

• Задачи на параллелограмм

Ромб

• Задачи на ромб

Трапеция

• Трапеция и ее свойства
• Как найти площадь трапеции – примеры и формулы

Окружность

• Задачи на окружности и круг
• Окружность или круг. Площадь круга

Координаты и Векторы

• Решение задач на векторы
• Принцип Дирихле в геометрии  

Периметр

• Периметр различных фигур 

Площадь

• Равновеликие фигуры
• Площади плоских фигур 

Стереометрия

• Решение задач по стереометрии 
• Построение сечений многогранников
• Задачи на усеченную пирамиду
• Двугранный угол  
• Шар
• Цилиндр  
• Конус
• Пирамида
• Примеры стереометрических задач

1. Решение задач, при помощи кругов Эйлера. Теория множеств 
2. Нестандартные задачи по математике для 4-5 классов
3. Решение задач по комбинаторике 
4. Решение задач с помощью составления уравнений 
5. Решение задач на движение при подготовке к ЕГЭ 
6. Задачи на движение
7. Метод перебора
8. Задачи на пропорциональную зависимость
9. Решение задач графически. Как перепроверить решение    

Математика с нуля. Пошаговое изучение математики

«Математика с нуля. Пошаговое изучение математики для начинающих» – это новый проект, предназначенный для людей, которые хотят изучить математику самостоятельно с нуля.

Сразу скажем, здесь нет лёгких решений и подобных заявлений как «Купи эту книгу и сдай математику на 5» или «Освой математику за 12 часов» вы тут не увидите. Математика большая наука, которую следует осваивать последовательно и очень медленно.

Сайт представляет собой уроки по математике, которые упорядочены по принципу «от простого к сложному». Каждый урок затрагивает одну или несколько тем из математики. Уроки разбиты на шаги. Начинать изучение следует с первого шага и далее по возрастанию.

Каждый пройденный урок обязательно должен быть усвоен. Поэтому, не поняв одного урока, нельзя переходить к следующему, поскольку каждый урок в математике основан на понимании предыдущего. Если Вы с первого раза урок не поняли – не расстраивайтесь. Знайте, что некоторые люди потратили месяцы и годы, чтобы понять хотя бы одну единственную тему. Отчаяние и уныние точно не ваш путь. Читайте, изучайте, пробуйте и снова пробуйте.

Математика хорошо усваивается, когда человек самостоятельно открыв учебник, учит самогó себя. При этом вырабатывается определенная дисциплина, которая очень помогает в будущем. Если Вы будете придерживаться принципа «от простого к сложному», то с удивлением обнаружите, что математика не так уж и сложна. Возможно даже она покажется вам интересной и увлекательной.

Что даст вам знание математики? Во-первых, уверенность. Математику знает не каждый, поэтому осознание того, что вы знаете хоть какую-то часть этой серьёзной науки, делает вас особенным. Во-вторых, освоив математику, вы с лёгкостью освоите другие науки и сможете мыслить гораздо шире. Знание математики позволяет овладеть такими профессиями как программист, бухгалтер, экономист. Никто не станет спорить, что эти профессии сегодня очень востребованы.

В общем, дерзай друг!

Желаем тебе удачи в изучении математики!

• Шаг 1. Числа
• Шаг 2. Основные операции
• Шаг 3. Выражения
• Шаг 4. Замены в выражениях
• Шаг 5. Разряды для начинающих
• Шаг 6. Умножение
• Шаг 7. Деление
• Шаг 8. Порядок действий
• Шаг 9. Законы математики
• Шаг 10. Делители и кратные
• Шаг 11. НОД и НОК
• Шаг 12. Дроби
• Шаг 13. Действия с дробями
• Шаг 14. Смешанные числа
• Шаг 15. Сравнение дробей
• Шаг 16. Единицы измерения
• Шаг 17. Применение дробей
• Шаг 18. Десятичные дроби
• Шаг 19. Действия с десятичными дробями
• Шаг 20. Применение десятичных дробей
• Шаг 21. Округление чисел
• Шаг 22. Периодические дроби
• Шаг 23. Перевод единиц
• Шаг 24. Соотношения
• Шаг 25. Пропорция
• Шаг 26. Расстояние, скорость, время
• Шаг 27. Прямая и обратная пропорциональность
• Шаг 28. Проценты
• Шаг 29. Отрицательные числа
• Шаг 30. Модуль числа
• Шаг 31. Что такое множество?
• Шаг 32. Сложение и вычитание целых чисел
• Шаг 33. Умножение и деление целых чисел
• Шаг 34. Рациональные числа
• Шаг 35. Сравнение рациональных чисел
• Шаг 36. Сложение и вычитание рациональных чисел
• Шаг 37. Умножение и деление рациональных чисел
• Шаг 38. Дополнительные сведения о дробях
• Шаг 39. Буквенные выражения
• Шаг 40. Вынесение общего множителя за скобки
• Шаг 41. Раскрытие скобок
• Шаг 42. Простейшие задачи по математике
• Шаг 43. Задачи на дроби
• Шаг 44. Задачи на проценты
• Шаг 45. Задачи на движение
• Шаг 46. Производительность
• Шаг 47. Элементы статистики
• Шаг 48. Общие сведения об уравнениях
• Шаг 49. Решение задач с помощью уравнений
• Шаг 50. Решение задач с помощью пропорции
• Шаг 51. Системы линейных уравнений
• Шаг 52. Общие сведения о неравенствах
• Шаг 53. Системы линейных неравенств с одной переменной
• Шаг 54. Операции над множествами
• Шаг 55. Степень с натуральным показателем
  
• Шаг 56. Степень с целым показателем
  
• Шаг 57. Периметр, площадь и объём
  
• Шаг 58. Одночлены
  
• Шаг 59. Многочлены
• Шаг 60. Формулы сокращённого умножения
  
• Шаг 61. Разложение многочлена на множители
  
• Шаг 62. Деление многочленов
  
• Шаг 63. Тождественные преобразования многочленов
• Шаг 64. Квадратный корень
• Шаг 65. Алгоритм извлечения квадратного корня
  
• Шаг 66. Квадратное уравнение
• Шаг 67. Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
  
• Шаг 68. Теорема Виета
  
• Шаг 69. Разложение квадратного трёхчлена на множители
• Шаг 70. Обобщённое понятие модуля числа
  
• Шаг 71. Уравнение с модулем
• Шаг 72. Решение уравнений с модулем методом интервалов
  
• Шаг 73. Неравенства с модулем
  
• Шаг 74. Решение неравенств с модулем методом интервалов
  
• Шаг 75. Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
  

Новые уроки будут скоро. Оставайся с нами!

Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Лекции по алгебре

Лекции по алгебре

Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА § 1. Теория делимости целых чисел 2. Деление с остатком. 3. Наибольший общий делитель. 4. Алгоритм Евклида. 5. Взаимно простые числа. 6. Простые числа. § 2. Теория сравнений 2. Действия над классами. 3. Приведенная система вычетов и примитивные классы. § 3. Некоторые общие понятия алгебры 2. Кольца и поля. 3. Изоморфизм. ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Обоснование комплексных чисел 3. Свойства действий. 4. Возвращение к обычной форме записи. 5. Вычитание и деление комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексного числа 2. Модуль и аргумент комплексного числа. 3. Тригонометрическая запись комплексного числа. 4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел. 5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи. 6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра. 7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. § 3. Извлечение корня из комплексного числа 2. Исследование формулы извлечения корня. 3. Извлечение квадратного корня. § 4. Корни из единицы § 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ § 1. Полиномы от одной буквы 2. Высший член и степень полинома. 3. Степени элемента в ассоциативном кольце. 4. Значение полинома. 5. Схема Хорнера и теорема Безу. 6. Число корней полинома в коммутативной области целостности. 7. Теорема о тождестве. § 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени 2. Исследование формулы Кардано. 3. Решение уравнений четвертой степени. § 3. Полиномы от нескольких букв 3. Теорема о тождестве. 4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств. ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. Матрицы и действия над ними 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. 3. Умножение матриц. 4. Транспонирование матриц. 5. Обзор действий над матрицами. § 2. Теория определителей 2. Элементарные сведения теории перестановок. 3. Определитель порядка n. Определение. 4. Свойства определителя. 5. Алгебраические дополнения и миноры. 6. Вычисление определителей. 7. Определитель Вандермонда. 9. Некоторые следствия из теоремы Крамера. § 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) 2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками. 3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций. 4. Базис и ранг совокупности строк. 5. Линейно эквивалентные совокупности строк. 6. Ранг матрицы. 7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы. 8. Ранг матрицы в терминах определителей. 9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований. § 4. Системы линейных уравнений общего вида § 5. Дальнейшие свойства определителей 2. Умножение матриц, разбитых на клетки. 3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов). 4. Определитель произведения двух квадратных матриц. 5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей. 6. Теорема Бине — Коши. § 6. Обращение квадратных матриц § 7. Характеристический полином матрицы 2. Теорема Кэли—Гамильтона. ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв § 2. Закон инерции квадратичных форм 2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы. 3. Закон инерции квадратичных форм. § 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду 2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы. 3. Построение ортогональных матриц. 4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду. 5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы. 6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду. § 4. Эрмитовы формы 2. Свойства эрмитовых форм. ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ § 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы § 2. Производная 2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена. 3. Разделение множителей различной кратности. § 3. Рациональные дроби 2. Поле частных. 3. Правильные рациональные дроби. 4. Разложение рациональной дроби на простейшие. 5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел. 6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R вещественных чисел. 7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители. § 4. Интерполяция 2. Интерполяционная формула Лагранжа. 3. Способ интерполяции Ньютона. 4. Приближенная интерполяция. ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ § 1. Сравнения в кольце полиномов над полем § 2. Расширение полей 2. Конструирование простых расширений. ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ § 1. Полиномы с целыми коэффициентами § 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА § 1. Существование корней в С § 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной 2. Принцип аргумента. 3. Теорема Руше. 4. Непрерывность корней полинома. § 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами 2. Теорема Штурма. 3. Построение ряда Штурма. § 4. Обобщенная теорема Штурма § 5. Приближенное вычисление корней полинома 2. Метод непрерывных дробей. ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП § 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы § 3. Гомоморфизм § 4. Прямое произведение групп § 5. Группы преобразований 2. Классы сопряженных элементов. 3. Строение однородных пространств. 4. К теории подстановок. 5. Примеры из геометрии. 6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы. 7. Центр p-группы. 8. Преобразования. 9. Автоморфизмы группы. § 6. Свободная группа § 7. Свободные произведения групп § 8. Конечные абелевы группы § 9. Конечно порожденные абелевы группы ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ § 1. Выражение симметрических пэлииов через основные § 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома 2. Степенные суммы. 3. Дискриминант полинома. 4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов. § 3. Результант 2. Другой способ построения результанта. 3. Линейное представление результанта. 4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. 5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и его производной. ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость. 3. Координаты вектора. 4. Замена базиса и преобразование координат. § 2. Подпространства 3. Прямая сумма подпространств. 4. Относительная линейная независимость и относительный базис. 5. Факторпространство. § 3. Линейные функции § 4. Линейные отображения векторных пространств § 5. Линейные операторы в векторном пространстве 2. Действия над операторами. 3. Инвариантные подпространства. 4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора. 5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином. 6. Минимальный полином оператора. 7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств. 8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств. 9. Модули над кольцом главных идеалов. 10. Некоторые следствия. 11. Каноническая форма матрицы оператора. 12. Оператор проектирования. 13. Полуобратные линейные отображения. § 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел 2. Корневые векторы. 3. Нильпотентный оператор. 4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора. 5. Пример. § 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Скалярное произведение. § 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства § 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами § 4. Операторы в унитарном пространстве § 5. Операторы в евклидовом пространстве § 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду § 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное § 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ § 2. Действия над тензорами § 3. Симметричные и антисимметричные тензоры § 4. Тензорные произведения векторных пространств ГЛАВА XV. АЛГЕБРЫ 1. Определение и простейшие свойства алгебр. 2. Структурные константы алгебры. 3. Некоторые классы алгебр. 4. Идеалы алгебры. 5. Присоединение единицы. 6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц. § 2. Алгебра кватернионов § 3. Внешняя алгебра СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основные свойства модуля действительного числа

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Основные свойства модуля действительного числа

Ниже представлены основные свойства модуля действительного числа (т.е. положительного, отрицательного и нуля).

• Свойство 1
• Свойство 2
• Свойство 3
• Свойство 4
• Свойство 5
• Свойство 6
• Свойство 7
• Свойство 8

Свойство 1

Модуль числа представляет собой расстояние, которое не может быть отрицательным. Следовательно, и модуль не может быть меньше нуля.

|a| ≥ 0

Свойство 2

Модуль положительного числа равняется этому же числу.

|a| = a, при a > 0

Свойство 3

Модуль отрицательного числа равняется этому же числу, но с противоположным знаком.

|-a| = a, при a < 0

Свойство 4

Модуль числа ноль равняется нулю.

|a| = 0, при a = 0

Свойство 5

Модули противоположных чисел равны между собой.

|-a| = |a| = a

Свойство 6

Модуль числа a – это квадратный корень из a².

Свойство 7

Модуль произведения равняется произведению модулей чисел.

|ab| = |a| ⋅ |b|

Свойство 8

Модуль частного равняется делению одного модуля на другой.

|a : b| = |a| : |b|

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Любое комплексное число можно записать в виде суммы комплексных чисел по модулю 1?

Задавать вопрос

спросил 9 лет, 6 месяцев назад

Изменено 9 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 334 раза

$\begingroup$

Я нашел эту задачу в учебнике, решения не предложил. Мне любопытно, потому что это кажется очень интересным результатом. Полное утверждение:

Пусть $M \subseteq \mathbb{C}$, набор со следующими свойствами:
1. если $x\in{\mathbb{C}}$ с $|x|=1$, тогда $x \in{M}$
2. если $x=a_1+a_2$ и $a_1,a_2 \in{M}$, то $x \in{M}$

Покажите, что $M=\mathbb {С} $.

Приветствуются любые предложения, заранее спасибо 🙂

• комплексные числа

9{я(\фи-\тета)}. $$

$\endgroup$

$\begingroup$

Думай геометрически. Начните с любой точки комплексной плоскости и нарисуйте окружность единичного радиуса с центром в вашей точке. Выберите точку на окружности ближе к началу координат и используйте ее в качестве центра другой единичной окружности. Повторяйте этот процесс, пока не получите цепочку единичных окружностей, последняя из которых пересекает единичную окружность с центром в начале координат.

Теперь соедините центры этих окружностей от начала координат до вашей точки. Вуаля. Ваше комплексное число выставляется как сумма комплексных чисел по модулю единицы.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Геометрически равно тому, что между любыми двумя точками на плоскости можно провести цепочку из окружностей единичного радиуса, центр каждой из которых находится на окружности предыдущей. В конце концов они должны пересечься. Плоскость становится диаграммой Аргана.

Предположим, вы начинаете с точки $a+bi$. Можно нарисовать окружность, чтобы найти новую точку $a-1 + bi$, и постоянно уменьшать действительную и мнимую составляющие до значения, меньшего единицы. Тогда имеется точка $A+Bi$, лежащая в единичной окружности. Окружность, проведенная вокруг этой точки, пересечет единичную окружность в точке $c+di$. Окружность, проведенная в точке $c+di$, пройдет через точку $A+Bi$, и по цепочке можно будет вернуться к точке $a+bi$.

$\endgroup$

Как найти модуль комплексного числа

Как найти модуль комплексного числа

Как найти модуль комплексного числа?

Пусть z = a + ib — комплексное число.

Модуль или абсолютное значение z, обозначаемое | г | определяется как

Модуль свойств комплексных чисел

Свойство 1 :

Модули суммы двух комплексных чисел всегда меньше или равны сумме их модулей.

Приведенное выше неравенство может быть немедленно распространено по индукции на любое конечное число комплексных чисел, т. е. для любых n комплексных чисел z ₁ , z ₂ , z ₃ , …, z _n

90 002 |г ₁ + z ₂ + z ₃ + … + zn | ≤ | я ₁ | + | я ₂ | + … + | я _н |

Свойство 2 :

Модуль разности двух комплексных чисел всегда больше или равен разности их модулей.

Свойство 3 :

Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей.

Свойство 4 :

Модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению их модулей.

Давайте рассмотрим несколько примеров, основанных на приведенной выше концепции.

Пример 1:

Найдите модуль следующего комплексного числа

− 2 + 4i

Решение:

Пусть z =  -2 + 4i

|z| =  √(-2 + 4i)

|z| =  √(-2) ² + 4 ² 

  =  √4 + 16

  =  √20

Разложив число внутри корня, получим

90 002   =  √(2 ⋅ 2 ⋅ 5)

  =  2√5

Пример 2:

Найдите модуль следующего комплексного числа

2 − 3i

Решение: 900 03

Пусть z  =  2 − 3i

|з| =  √(2 — 3i)

|z| =  √2 ²  + (-3) ² 

  =  √4 + 9

  =  √13

Пример 3 : 900 03

Найдите модуль следующего комплексного числа

− 3 − 2i

Решение:

Пусть z =  − 3 − 2i

|z| =  √(− 3 − 2i)

|z| =  √(-3) ²  + (-2) ² 

  =  √9 + 4

  =  √13

Пример 4 :

Найдите модуль следующего комплексного числа

4 + 3i

Решение:

Пусть z = 4 + 3i

|z| =  √(4 + 3i)

|z| =  √4 ²  + 3 ² 

  =  √16 + 9

  =  √25

Разложив число внутри корня, получим

900 02   =  √(5 ⋅ 5)

=  √5

Давайте рассмотрим следующий пример «Как найти модуль комплексного числа».

Пример 5:

Найдите модуль или абсолютное значение

[(1 + 3i) (1 — 2i)] / (3 + 4i)

Решение:

900 02 |[(1 + 3i ) (1 — 2i)] / (3 + 4i) | =  |(1 + 3i) (1 — 2i)| / |3 + 4i|

  =  |(1 + 3i)| |(1 — 2i)| / |3 + 4i|

  =  √(1 ²  + 3 ² ) √(1 ²  + (-2) ² )  / √3 ²  + 4 ²

  = ( √(1 + 9 )   √(1 + 4))  / √(9+ 16)

  = ( √10   √5)  / √25

  =  √50 / √25  =  5√2/5  = √2   90 003

Похожие темы

• Свойства комплексных чисел
• Добавить и вычесть комплексные числа
• Как найти модуль и аргумент комплексного числа
  

После того, как мы ознакомились с вышеизложенным, мы надеемся, что учащиеся поняли «Как найти модуль комплексного числа».

Помимо материалов, приведенных в этом разделе «Как найти модуль комплексного числа», если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Конвертируем JPG в Word онлайн и на ПК — 5 способов

Во время работы с файлами разных типов случаются ситуации, когда пользователю понадобилось преобразовать формат JPG в Word. В данном случае, файл JPG необходимо преобразовать в текст Word.

JPG (JPEG) — растровый графический формат со сжатием данных. Изображение, сохраненное в этом формате, имеет несколько расширений имен файлов, в том числе самые распространенные: «*.jpg» и «*.jpeg».

Содержание:

1. Как преобразовать JPG в Word онлайн с помощью Google Документы
2. Как распознать JPG в Word при помощи ABBYY FineReader
3. Распознавание JPG в Word на Aspose
4. Как распознать JPG в Word онлайн бесплатно на Online-Convert.com
5. Как конвертировать JPG в текст Word на Free Online OCR
6. Выводы статьи
7. Конвертируем JPG в текст Word онлайн и на ПК (видео)

Формат Word — файл офисного приложения MS Word, входящего в офисный пакет Microsoft Office. Это текстовый формат документов, имеющий расширения: «*. docx» и «*.doc».

Наша задача усложняется тем, что это два разных типа файла. В одном случае — графический файл: изображение, картинка, фотография, рисунок, а в другом — документ Word с текстовым содержимым, вставленными изображениями или другими объектами.

В основном, пользователи используют два варианта, позволяющие вставить файл JPG в Word:

• Простое добавление изображения на страницу документа.
• Преобразование JPG в Word с распознаванием текста.

Первый случай не вызовет никаких сложностей. В программе Word имеется функционал для добавления изображений в документ методом копирования/вставки, или при помощи инструментария из вкладки «Вставка», когда в группе «Иллюстрации» можно вставить рисунок. В результате, в окне документа Word появится картинка.

Второй вариант, наоборот, более сложный. Рассмотрим типичную ситуацию, при которой пользователям необходимо конвертировать JPEG в Word.

Например, у вас есть изображение в формате JPG, например, скан или снимок документа, на котором имеется текст. Вам необходимо конвертировать JPG в Word таким образом, чтобы извлечь текстовое содержимое из изображения для вставки в документ Word. Затем распознанный текст вы отредактируете по своему усмотрению.

В этом случае, потребуется использование технологии OCR (Optical Character Recognition), которая позволяет выполнить оптическое распознавание символов на изображениях. После выполнения этой операции, распознанный текст можно сохранить в документе редактируемого формата.

Мы извлекаем из изображения текстовое содержимое, а затем сохраняем его в качестве файла документа Word, который потом мы можем редактировать.

Выполнить преобразование между данными форматами можно двумя способами:

• Конвертировать JPG в Word онлайн.
• Перевести JPG в Word с помощью программы на компьютере.

Из этой статьи вы узнаете о том, как распознать текст из JPG в Word с помощью программы, установленной на ПК, или используя веб-приложение в Интернете. Во втором случае, вам нужно будет загрузить изображение на онлайн сервис, который выполнит все необходимые операции без использования ресурсов вашего устройства.

В инструкциях подобраны ресурсы, способные преобразовать JPG в Word онлайн с распознаванием текста, выполняющие свои функции без ограничений и регистраций.

Как преобразовать JPG в Word онлайн с помощью Google Документы

Онлайн сервис Google Docs входит в состав облачного хранилища Google Drive, доступ к которому имеют все обладатели почты Gmail. Там вы можете сохранить JPEG в Word при помощи встроенных инструментов.

Пройдите несколько шагов:

1. Добавьте файл изображения в облачное хранилище Google Drive.
2. Нажмите на кнопку «Создать».
3. В открывшемся меню выберите «Загрузить файлы», чтобы добавить изображение в «облако».

4. Щелкните правой кнопкой мыши по файлу в Google Диске.
5. В контекстном меню сначала выберите «Открыть с помощью», а затем «Google Документы».

6. После распознавания в окне документов Google откроется страница, на которой сверху вы увидите исходное изображение, а внизу распознанный текст.

7. В окне редактора удалите изображение. Отформатируйте текст, если буквы в тексте имеют разный размер шрифта. Отредактируйте, если в тексте есть неточности.
8. Нажмите на меню «Файл».
9. В выпадающем меню выберите «Скачать», а затем «Microsoft Word (DOCX)».

Откройте документ Word на компьютере для ознакомления с результатом работы.

Как распознать JPG в Word при помощи ABBYY FineReader

ABBYY FineReader — программа, предназначенная для распознавания символов на изображениях, чтобы в дальнейшем перевести их в формат электронных документов. Это платное приложение, разработанное российской компанией ABBYY.

С помощью программы вы можете преобразовать JPG в Word или выполнить другие необходимые операции.

Проделайте следующее:

1. Запустите Эбби ФайнРидер на компьютере.
2. В окне «ABBYY FineReader PDF» откройте вкладку «Открыть».
3. Нажмите на кнопку «Конвертировать в Microsoft Word».

4. Выберите файл в формате JPG (JPEG) на своем компьютере.
5. В новом окне программы убедитесь, что по умолчанию установлен параметр форматирования «Редактируемая копия» и выбран правильный язык для распознавания.
6. Нажмите на кнопку «Конвертировать в Word».

7. Выберите место для сохранения файла.
8. После того, как конвертация JPG в Word будет завершена, распознанное содержимое откроется в окне документа Ворд.

Распознавание JPG в Word на Aspose

Aspose.app — сервис в Интернете, на котором вы можете выполнить распознавание JPG в Word онлайн бесплатно. Помимо этого, здесь имеются другие полезные инструменты.

Выполните следующее:

1. Перейдите на страницу «Конвертер JPG в Word» по адресу: https://products.aspose.app/words/ru/conversion/jpg-to-word.
2. Выберите JPG файлы с компьютера или перетащите их с помощью мыши.

Обратите внимание, что на странице активирован пункт «Использовать OCR», выбран русский язык для распознавания и установлен параметр «Сохранить как DOCX».

3. Нажмите на кнопку «Конвертировать».
4. Некоторое время занимает процесс обработки файла на удаленном сервере.
5. Нажмите на кнопку «Скачать», чтобы загрузить его на свой ПК или отправьте адресату по электронной почте.

Как распознать JPG в Word онлайн бесплатно на Online-Convert.com

На сайте Online-Convert.com имеется онлайн конвертер JPG в Word, а также много других конвертеров для разных типов файлов.

Чтобы перевести JPG в Word онлайн, сделайте следующее:

1. Зайдите на страницу сайта Online-Convert.com: https://document.online-convert.com/ru/convert/jpg-to-docx.
2. Нажимайте на кнопку «Выберите файлы» для добавления изображения со своего устройства, введите URL-адрес, загрузите картинку из облачных хранилищ Dropbox или Google Drive.
3. Перейдите к разделу «Дополнительные настройки».
4. Поставьте флажок в пункте «Оптическое распознавание текста».
5. Выберите язык текста. Если в тексте есть слова на другом языке, установите 2-ой язык оригинала для более точного распознавания.
6. Нажмите на кнопку «Начать конвертирование».

7. Готовый файл в формате DOCX можно скачать на в виде обычного файла, в ZIP-архиве или загрузить в «облако».

Читайте также: Как конвертировать Word в JPG разными способами

Как конвертировать JPG в текст Word на Free Online OCR

На сервисе Free Online OCR можно преобразовать файл JPG в Word онлайн бесплатно. Это специализированный бесплатный OCR сервис.

Пройдите шаги:

1. Откройте страницу сайта Free Online OCR: https://www.newocr.com/.
2. В пункте «Select your file» нажмите на кнопку «Обзор…» для загрузки файла с вашего устройства.
3. Нажмите на «Preview».

4. Веб-приложение определило исходный язык, нажмите на кнопку «OCR».

Если на картинке имеется несколько колонок текста, активируйте пункт «Page layout analysis — split multi-column into columns», чтобы повысить точность предстоящей операции.

5. После преобразования, внизу на странице появится специальная форма с распознанным текстом.

Вы можете сразу внести изменения в тексте или закончить редактирование в сохраненном документе.

6. Щелкните по кнопке «Download», выберите «Microsoft Word (DOC)».

Выводы статьи

Если перед пользователем стоит задача перевести тест, имеющийся на изображении, в формат офисного документа, мы конвертируем JPG в Word. Для решения задачи потребуется использование технологии OCR в локальном приложении или на веб-сайте. Вы сможете преобразовать текст с JPG в Word онлайн в Интернете или с помощью программы на компьютере.

Конвертируем JPG в текст Word онлайн и на ПК (видео)

Нажимая на кнопку, я даю согласие на обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности

конвертирование в DOCX онлайн (БЕСПЛАТНО)

+ —

Преобразовывайте PDF в редактируемый документ Word за несколько секунд.

Выберите файл PDF

Выбрать конвертер:

Загрузить

Начать сначала

Больше действий:

Выбрать другой файл

Как конвертировать PDF в Word

1. org/HowToStep»> Выберите на своем компьютере PDF-файл, который нужно конвертировать.
2. Наш конвертер PDF в Word начнет извлечение текста, изображений и отсканированных страниц (OCR) из PDF.
3. За несколько секунд создается идеально отформатированный документ Word, готовый к загрузке. Затем конвертер PDF в Word удаляет все копии файла с сервера, сохраняя безопасность ваших данных.

Лучший конвертер PDF в Word

Наш конвертер PDF – лучшее средство для конвертации файлов PDF в документ Word, лист Excel, PowerPoint или даже PNG и JPG.

Доступ к 20 инструментам для конвертирования PDF

С помощью набора других удобных инструментов для объединения, разделения, сжатия, вращения и удаления страниц наш конвертер избавит вас от обычных ограничений PDF-файлов.

Шифрование файлов в целях безопасности

Наш PDF-конвертер защищает ваши файлы путем 256-битного шифрования SSL, а отправленные вами данные не передаются другим лицам и остаются доступны только вам.

Быстрое конвертирование с автоматическим удалением

Когда вы отправляете PDF для преобразования в Word, ваши файлы преобразуются немедленно и удаляются сразу же после его окончания без сохранения резервных копий.

Используйте на любом компьютере, где угодно

Наш PDF-конвертер работает с компьютерами Mac, Windows и Linux. Поэтому можно использовать его на любом компьютере, где бы вы ни находились.

Конвертируйте PDF в Word бесплатно, используя пробную версию

Попробуйте бесплатную пробную версию конвертера PDF в Word либо оформите одномесячную, годовую или бессрочную подписку, чтобы получить полный доступ ко всем нашим инструментам, включая неограниченный размер файлов и возможность конвертировать несколько документов одновременно.

Познакомьтесь с полным семейством наших продуктов

Работайте более продуктивно

Подписка

• Мгновенная конвертация
• Неограниченные конверсии
• Неограниченный размер файла
• Расширенные возможности

Пожалуйста, подождите или подпишитесь, чтобы конвертировать следующий файл.

Зарегистрироваться

• Мгновенная конвертация
• Неограниченные конверсии
• Неограниченный размер файла
• Расширенные возможности

Пожалуйста, зарегистрируйтесь

Для использования всех возможностей PDF-конвертера вам необходима версия PRO.

Подписка

• Мгновенная конвертация
• Неограниченные конверсии
• Неограниченный размер файла
• Расширенные возможности

Продолжайте пользоваться бесплатными

Преобразование JPG в Word: онлайн и бесплатно

JPG в Word

Выберите файлы

или перетащите файл сюда

Как преобразовать JPG в формат Docx?

Независимо от причин, по которым вы конвертируете JPG в Docx, программа A1Office Image to Docx Converter поможет легко преобразовать файл JPEG в Docx! Лучшая часть нашего инструмента — вам не нужно тратить время и усилия на то, чтобы разобраться во всем этом самостоятельно! Конвертер A1Office jpeg в docx — это простой и безопасный инструмент, который обеспечивает бесплатное и мгновенное преобразование изображений в Docx с сохранением качества.

Онлайн-конвертер JPG в Docx предоставляет вам лучший способ преобразовать любое количество изображений в формат Word за несколько секунд. Все преобразованные файлы Word хранятся в облаке. Мы обеспечиваем 100% конфиденциальность и безопасность ваших данных. Вам не нужно скачивать и устанавливать какое-либо программное обеспечение. Все преобразования JPEG в Docx выполняются в облаке и не используют ресурсы вашего компьютера. Наш сервер мгновенно удаляет все загруженные файлы изображений и конвертирует текстовые файлы после завершения преобразования. Конвертер A1Office JPG в Docx предлагает пользователям свободу использования инструмента преобразования из любого места, на любом ПК или даже с мобильного устройства. Он совместим со всеми последними операционными системами и современными браузерами, такими как Google Chrome, Firefox, Opera и Safari.

Чтобы преобразовать JPG в Docx, вам необходимо выполнить шаги, описанные ниже:

Ниже приведены шаги для преобразования

Особенности конвертера JPEG в Docx:

Ниже приведены функции A1Office Conversion Tool

Часто задаваемые вопросы

Бесплатный онлайн-инструмент A1Office для преобразования JPG в Docx доступен на нашей веб-странице во всех последних операционных системах и современных браузерах. Мгновенно изменить файл изображения на документ Word:

1. Посетите домашнюю страницу A1Office и выберите конвертер изображений в Docx
2. Загрузите или перетащите файл JPG/JPEG в конвертер
3. Файл JPG будет загружен и преобразован в документ Word за несколько секунд

Так же, как и любой другого онлайн-инструмента преобразования, преобразование Word в JPG — довольно простая задача. Перейдите к онлайн-инструменту конвертации Word в JPG с домашней страницы A1Office. Выполните шаги, указанные ниже:

1. Откройте Word to JPG Converter
2. Загрузите или перетащите файл Docx в панель инструментов
3. Подождите, пока инструмент преобразует Word в JPG
4. Сохраните и загрузите файл JPG на свой компьютер

Ну, мы постарались сделать задачу преобразования простой и легкой для пользователи. При разработке этого онлайн-инструмента для преобразования JPG в Docx мы позаботились о том, чтобы наши пользователи не утруждали себя загрузкой и установкой программного обеспечения на свои устройства, а просто получали к нему доступ в Интернете со своих компьютеров или устройств Android. Однако, если вы хотите просмотреть некоторые полезные и продуктивные приложения, мы хотели бы, чтобы вы установили и изучили наше мобильное приложение из магазина Google Play, чтобы получить доступ к аналогичным инструментам, программам для чтения и конвертации.

Вы можете связаться с нашей командой поддержки.

Бесплатный онлайн OCR — Конвертация JPEG, PNG, GIF, BMP, TIFF, PDF, DjVu в текст

Возможности

Бесплатный онлайн OCR сервис предлагает неограниченную загрузку файлов и не требует регистрации. Ваши данные хранятся у нас в безопасности, и все ваши файлы будут удалены с сервера после использования для дополнительной конфиденциальности. Наш сервис основан на движке Tesseract OCR и поддерживает 122 языка и шрифты распознавания, что делает его идеальным для многоязычного распознавания. Он также способен распознавать математические уравнения и анализировать макеты страниц для улучшения распознавания текста. Вы можете выбрать определенную область на странице для OCR и повернуть страницы по часовой стрелке или против часовой стрелки в течение 9 секунд. 0°, шаг 180°. После обработки OCR у вас есть несколько вариантов отображения и обработки полученного текста, включая загрузку в виде файла, редактирование в Google Docs, перевод с помощью Google Translate или Bing Translator, публикацию в Интернете, копирование в буфер обмена и многое другое. Наш сервис способен обрабатывать даже плохо отсканированные и сфотографированные страницы и изображения с низким разрешением.

Форматы входных файлов

Бесплатная онлайн-служба OCR способна обрабатывать широкий спектр форматов входных файлов, включая популярные форматы изображений, такие как JPEG, JFIF, PNG, GIF, BMP, PBM, PGM, PPM и PCX. Мы также можем работать со сжатыми файлами, такими как сжатие Unix, bzip2, bzip и gzip. Для многостраничных документов мы поддерживаем форматы TIFF, PDF и DjVu. Кроме того, наш сервис может обрабатывать файлы DOCX и ODT с изображениями и несколькими изображениями в ZIP-архиве, что делает его универсальным инструментом для всех ваших потребностей в распознавании текста.

Форматы выходных файлов

Бесплатная онлайн-служба OCR предоставляет различные форматы выходных файлов для удовлетворения ваших потребностей. Выберите обычный текст (TXT), Microsoft Word (DOC) или Adobe Acrobat (PDF). Независимо от того, какой формат вы выберете, вы можете быть уверены, что полученный текст будет точным и с ним будет легко работать. Нужен ли вам простой текстовый документ, полностью отформатированный документ Word или PDF-файл профессионального уровня, наша служба OCR поможет вам.

Языки распознавания

Бесплатная онлайн-служба OCR предлагает распознавание на самых разных языках, включая африкаанс, амхарский, арабский, ассамский, азербайджанский, белорусский, бенгальский, тибетский, боснийский, бретонский, болгарский, каталонский, валенсийский, кебуано, чешский, китайский (упрощенный и традиционный), чероки, валлийский, датский, немецкий, дзонг-ка, греческий (современный и древний), английский, эсперанто, эстонский, баскский, персидский, финский, французский, франкский, ирландский, галисийский, гуджарати, гаитянский креольский, иврит , хинди, хорватский, венгерский, инуктитут, индонезийский, исландский, итальянский, яванский, японский, каннада, грузинский, казахский, центральный кхмерский, киргизский, корейский, курдский, лаосский, латинский, латышский, литовский, люксембургский, малаялам, маратхи, македонский, Мальтийский, монгольский, маори, малайский, бирманский, непальский, голландский, норвежский, окситанский, ория, панджаби, польский, португальский, пушту, кечуа, румынский, русский, санскрит, сингальский, словацкий, словенский, синдхи, испанский, албанский, сербский, Суданский, суахили, шведский, сирийский, тамильский, татарский, телугу, таджикский, тагальский, тайский, тигринья, тонга, турецкий, уйгурский, украинский, урду, узбекский, вьетнамский, идиш и йоруба.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Элементарная математика

Сканави М.И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. — 592с. Книга представляет собой повторительный курс элементарной математики и рассчитана на тех, кто хочет пополнить, укрепить и систематизировать свои знания. Как и в первом издании, содержание ориентировано на программы вступительных экзаменов в технические вузы и, в особенности, на программы подготовительных отделений при высших учебных заведениях, для учащихся которых, как мы надеемся, книга окажется полезной. (Книга включает в себя Ч1 — Арифметика, алгебра и элементарные функции и Ч2 — Геометрия. Каждый раздел включает в себя теоретическую часть и большое количество задач с решениями.) Оглавление ВВЕДЕНИЕ Часть первая. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 2. Простые и составные числа. Признаки делимости. 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. 4. Целые числа. Рациональные числа. 5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями. 6. Иррациональные числа. Действительные числа. 7. Действия с приближенными числами. 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости. § 2. Степени и корни 9. Степени с натуральными показателями. 10. Степени с целыми показателями. 11. Корни. 12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями. 13. Алгоритм извлечения квадратного корня. § 3. Комплексные числа 14. Основные понятия и определения. 15. Рациональные действия с комплексными числами. 16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. 17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра. 18. Извлечение корня из комплексного числа. Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены. 20. Формулы сокращенного умножения. 21. Бином Ньютона. n. 41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени. 42. Показательная функция. 43. Логарифмическая функция. § 3. Преобразование графиков 44. Параллельный сдвиг графика. 45. График квадратного трех члена. 46. График дробно-линейной функции. 47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика. 48. Построение графиков функций. 49. Сложение графиков. § 4. Некоторые сведения о рациональных функциях 50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов. 51. Схема Горнера. Теорема Безу. 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители. Глава V. УРАВНЕНИЯ 53. Уравнение. Корни уравнения. 54. Равносильные уравнения. 55. Системы уравнений. 56. Графическое решение уравнений. §. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной 57. Число и кратность корней. 58. Уравнения первой степени (линейные уравнения). 59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения). 60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители. 61. Исследование квадратного уравнения. 62. Уравнения высших степеней. Целые корни. 63. Двучленные уравнения. 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным. 65. Возвратные уравнения. § 3. Системы алгебраических уравнений 66. Линейные системы. 67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными. 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения. 69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней. § 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения 70. Иррациональные уравнения. 71. Показательные уравнения. 72. Логарифмические уравнения. 73. Разные уравнения. Системы уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА 74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами. 75. Алгебраические неравенства. § 2. Решение неравенств 76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства. 77. Графическое решение неравенств. 79. Квадратные неравенства. 80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х. 81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства. 82. Неравенства с двумя неизвестными. Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 83. Числовая последовательность. 84. Предел числовой последовательности. 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода. § 2. Арифметическая прогрессия 86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена. 87. Свойства арифметической прогрессии. 88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии. § 3. Геометрическая прогрессия 89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена. 90. Свойства геометрической прогрессии. 91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии. 92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ) 93. Вектор, проекция вектора. 94. Положительные углы и дуги, меньшие 360°. 95. Углы и дуги, большие 360°. 96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов. § 2. Тригонометрические функции произвольного угла 97. Определение основных тригонометрических функций. 98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi. § 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла 99. Основные тригонометрические тождества. 100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них. 101. Значения тригонометрических функций некоторых углов. § 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 102. Четность и нечетность. 103. Понятие периодической функции. 104. Периодичность тригонометрических функций. § 5. Формулы приведения 105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов. 106. Формулы приведения. Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ § 1. Тригонометрические функции числового аргумента 108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций. 109. Некоторые неравенства и их следствия. § 2. Графики тригонометрических функций 110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций. 111. Основные графики. 112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций. 113. Дальнейшие примеры построения графиков функций. Глава X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 114. Расстояние между двумя точками на плоскости. 115. Косинус суммы и разности двух аргументов. 116. Синус суммы и разности двух аргументов. 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов. 118. О формулах сложения для нескольких аргументов. § 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a 119. Тригонометрические функции двойного аргумента. 120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n. 121. Тригонометрические функции половинного аргумента. 122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg(a/2). § 3. Преобразование в сумму выражений вида sina•cosb, cosa•cosb и sinа•sinb § 4. Преобразование в произведение сумм вида § 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента 127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa. 128. Преобразование в произведение выражений a•sina+b и a•cosa+b 129. Преобразование в произведение выражения a•tga+b. Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 130. Функция у = arcsin x (арксинус). 131. Функция y = arccos x (арккосинус). 132. Функция y = arctg x (арктангенс). 133. Функция y = arcctg x (арккотангенс). 134. Пример. § 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями 135. Тригонометрические операции. 136. Операции сложения (вычитания). § 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями 137. Функция у = arcsin (sin x). 138. Функция y = arctg (tg x). Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 139. Уравнение sin х = а. 140. Уравнение cos х = a. 141. Уравнение tg x = a. 142. Уравнение ctg x = a. 143. Некоторые дополнения. § 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента 145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента. 146. Способ разложения на множители. 147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t. § 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем 148. Введение вспомогательного аргумента. 149. Преобразование произведения в сумму или разность. 150. Переход к функциям удвоенного аргумента. 151. Решение уравнения типа… 152. Применение подстановок sinx ± соsx = y. § 4. Решение тригонометрических неравенств 154. Простейшие тригонометрические неравенства. 155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим. Часть вторая. ГЕОМЕТРИЯ 156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок. 157. Плоскость. Фигуры и тела. 160. Равенство фигур. Движение. 161. Равенство тел. § 2. Измерение геометрических величин 162. Сложение отрезков. Длина отрезка. 163. Общая мера двух отрезков. 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных. 165. Измерение углов. 166. Радианная мера угла. 167. Измерение площадей. 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 169. Перпендикуляр и наклонные. 170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине. 171. Параллельные прямые. 172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей. 173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Геометрические места точек. Окружность 174. Геометрическое место точек. 175. Свойство биссектрисы угла. 176. Окружность. 177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая. 178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент. 179. Взаимное расположение двух окружностей. § 3. Основные задачи на построение 181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров. 182. Построение углов. 183. Другие задачи на построение. Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 184. Стороны и углы треугольника. 185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность. 186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность. 187. Медианы и выcоты треугольника. 188. Равенство треугольников. 189. Построение треугольников. 190. Равнобедренные треугольники. 191. Прямоугольные треугольники. § 2. Параллелограммы 192. Четырехугольники. 193. Параллелограмм и его свойства. 194. Прямоугольник. § 3. Трапеция 196. Трапеция. 197. Средняя линия треугольника. 198. Средняя линия трапеции. 199. Деление отрезка на равные части. § 4. Площади треугольников и четырехугольников 200. Площадь параллелограмма. 201. Площадь треугольника. 202. Площадь трапеции. Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 203. Пропорциональные отрезки. 204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника. § 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия) 205. Определение гомотетичных фигур. 206. Свойства преобразования подобия. § 3. Общее подобное соответствие фигур 207. Подобные фигуры. 208. Периметры и площади подобных треугольников. 209. Применение подобия к решению задач на построение. Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ 210. Углы с вершиной на окружности. 211. Углы с вершиной внутри и вне круга. 212. Угол, под которым виден данный отрезок. 213. Четырехугольники, вписанные в окружность. 214. Пропорциональные отрезки в круге. 215. Задачи на построение. § 2. Метрические соотношения в треугольнике 216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. 218. Теорема синусов. Формула Герона. 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов. 218. Теорема синусов. Формула Герона. 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей. § 3. Решение треугольников 220. Таблицы функций. 221. Решение треугольников. Сводка основных формул. 222. Решение прямоугольных треугольников. 223. Решение косоугольных треугольников. Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА 224. Выпуклые многоугольники. 225. Правильные многоугольники. 226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой. 227. Периметр и площадь правильного n-угольника. 228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника. § 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей 229. Длина окружности. 230. Площадь круга и его частей. Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. 232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости. 233. Взаимное расположение двух плоскостей. 234. Свойства параллельных прямых и плоскостей. 235. Построения в стереометрии. § 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей 236. Перпендикуляр к плоскости. 237. Перпендикуляр и наклонные. 238. Угол между прямой и плоскостью. 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей. 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. § 3. Двугранные и многогранные углы 241. Двугранный угол. 242. Взаимно перпендикулярные плоскости. 243. Трехгранные углы. 244. Многогранные углы. § 4. Многогранники 245. Многогранники. 246. Правильные многогранники. Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА 247. Цилиндры и призмы. 248. Параллелепипеды. 249. Объемы призм и цилиндров. 250. Площадь боковой поверхности призмы. 251. Площадь поверхности цилиндра. § 2. Пирамида. Конус 252. Свойства пирамиды и конуса. 253. Объем пирамиды и конуса. 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса. 255. Усеченный конус и усеченная пирамида. § 3. Шаровая поверхность. Шар 256. Шар и шаровая поверхность. 257. Объем шара и его частей. 258. Площадь поверхности шара и ее частей. 259. Понятие телесного угла. Ответы к упражнениям Приложения

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. Сколько осталось дней до 3 ноября: Сколько дней осталось до 3 ноября alexxlab / 07.07.202321.04.2023 / Разное Сколько дней осталось до наступления 3 ноября? 🌕Какой сегодня праздник Счетчик отсчитывает сколько дней осталось до 3 ноября. Здесь сможете легко определить сколько дней осталось до нужной вам даты, наш таймер покажет это онлайн и не потребует дополнительных вычислений. Всем часто нужно знать, сколько дней, часов, минут и секунд осталось до 3 ноября! Счётчик поможет подсчитать всего в один клик, через сколько дней наступит нужное вам событие – сейчас откройте сайт. Попробуйте сами и поймете, насколько это точно, с этим справится даже ребенок. Отсчет происходит автоматически, в реальном времени. Только на этой странице вы можете посмотреть правильный таймер – обратного отсчета времени оставшегося до наступления 3 ноября, данные которые показываются: Месяцы; Дни; Часы; Минуты; Секунды. Наша мечта вращается вокруг времени, вот почему она такая богатая и разнообразная. Календарь на каждый день, это простейший инструмент, часть формы подсчета времени. Мы стремимся предоставлять точную информацию, онлайн-сервис нашего интернет сайта поможет вам узнать, через сколько наступит нужное вам событие. Используйте наш официальный информационный таймер, чтобы мгновенно рассчитать сколько нужно ждать до наступления 3 ноября. Напомним о том сколько в сутках: – часов, минут, секунд, миллисекунд: Единицы измерения времени состоят: День состоит из 24 h (hr) – часов, 14400 m (min) – минут, 86400 s (sec) – секунд, 86400000 ms – миллисекунд. Философское определение – время, объективная форма существования материи, заключающаяся в координации постоянно сменяющих друг друга событий. 1 день = 24 часа 1 час = 60 минут = 3600 секунд 24 часа = 3600*24 = 86400 секунд 24 часа = 3600*24 = 86400*1000 = 86400000 миллисекунд Минута – это единица измерения времени, равная 60 секундам = 1/60 часа, сокращенно – мин. Минута – в переводе с латинского языка, на русский язык – означает, малость. 1 секунда, международное название – sec, состоит из 1000 миллисекунд. День, сутки – 24 часа или 1440 минуты. За такой период Земля вращается вокруг своей оси. Календарный год состоит из 365.2425 суток, но календари измеряют дни в целых числах. Поэтому каждый 4-й год мы добавляем 29 февраля. Чтобы измерения были точными, ведь средняя продолжительность земного года оказывается равной 365,2425 суток. Римский император Юлий Цезарь решил в 45 г. до н. э., что римляне будет использовать новый календарь, – Юлианский календарь. Эта версия была не правильной. Улучшенный календарь был введен Папой Римским Григорием XIII в 1582 году, он стал называться григорианский календарь. Счет дней был передвинут на 10 суток вперед, и следующий за четвергом – 4 октября 1582 г., день решили считать не 5, а пятница 15 октября с сохранением подсчета дней недели. Здесь вы можете подобрать точный календарь на все года и получить полную информацию про каждый день года. Дополнительно: тут вы можете посмотреть таймер на другую нужную вам дату. Сколько дней до 03 ноября 2024? Калькулятор «Дней до даты» Сколько дней до Через сколько времени будет 03 ноября 2024? Ответ: Осталось 1 год, 6 месяцев и 12 дней до 03 ноября 2024 (сегодня (21 апреля 2023) это 1 год, 6 месяцев и 1 неделю до 03 ноября 2024) это также 1,536 Год или 18,422 Месяцев или 80,286 Недель или 562 Дня или 13 488 Часов или 809 280 Минут или 48 556 800 Секунд или 1 год, 6 месяцев и 12 дней 03 ноября 2024 — Отсчет времени Временная шкала 21 апреля 2023 18.42 месяцев 03 ноября 2024 80.29 недель Информация о дне: 03 ноября 2024 Календарь на Ноябрь 2024 Поделитесь текущим расчетом Печать https://calculat. io/ru/date/how-many-until/3-november-2024 <a href=»https://calculat.io/ru/date/how-many-until/3-november-2024″>Сколько дней до 03 ноября 2024? — Calculatio</a> О калькуляторе «Дней до даты» Онлайн калькулятор времени до даты поможет узнать сколько времени осталось до заданной даты. Например, легко узнать сколько времени осталось до вашего Дня Рождения. Также, можно узнать сколько времени прошло с заданной даты. Например, он может помочь узнать через сколько времени будет 03 ноября 2024? Выберите нужную дату, (например ’03 ноября 2024′) и нажмите кнопку ‘Посчитать’. Калькулятор «Дней до даты» Сколько дней до Таблица конвертации Дата Время до даты 20 октября 2024 1 год, 5 месяцев и 29 дней 21 октября 2024 1 год и 6 месяцев 22 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 1 день 23 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 2 дня 24 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 3 дня 25 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 4 дня 26 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 5 дней 27 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 6 дней 28 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 7 дней 29 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 8 дней 30 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 9 дней 31 октября 2024 1 год, 6 месяцев и 10 дней 01 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 10 дней 02 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 11 дней 03 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 12 дней 04 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 13 дней 05 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 14 дней 06 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 15 дней 07 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 16 дней 08 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 17 дней 09 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 18 дней 10 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 19 дней 11 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 20 дней 12 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 21 день 13 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 22 дня 14 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 23 дня 15 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 24 дня 16 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 25 дней 17 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 26 дней 18 ноября 2024 1 год, 6 месяцев и 27 дней Сколько дней до 3 ноября? Подсчитайте, сколько дней осталось до 3 ноября 03 ноября 2023 года составляет 196 дней от сегодня Сколько осталось до 3 ноября? С сегодняшнего дня до 3 ноября осталось 196 дней. Это означает, что до этого момента осталось 28,0 недель, 4704,0 часа и 7,0 месяцев. Мы используем этот расчет довольно часто в календаре, даже если мы этого не осознаем. Обратный отсчет чьего-то дня рождения, юбилея или особой даты важен, чтобы вовремя заказать подарки! Если 3 ноября для вас особенное событие, сделайте одолжение себе в будущем и установите напоминание в календаре на день раньше и сделай это повторяющимся. Пожалуйста. Обратный отсчет до 3 ноября Дней до 3 ноября? 196 дней Недели до 3 ноября? 28,0 недель Часов до 3 ноября? 4704,0 часа Месяцев до 3 ноября? 7,0 месяцев Сколько минут до 3 ноября 282240 минут Сколько секунд до 3 ноября 16939400 секунд0019 Сколько лет до 3 ноября 0,54 года 3 ноября составляет 84% в течение года 84% Сколько рабочих дней до 3 ноября? До 3 ноября осталось 140 рабочих дней. В деловом мире время до определенной даты совершенно другое. Десять рабочих дней составляют две календарные недели. и один месяц составляет всего двадцать дней производства. Это меняет то, сколько времени корпорация отрабатывает традиционный 9-5 система подсчета времени реально можно потратить на проекты или работу. Это может добавить слой сложность на расчеты времени. Чрезмерное упрощение расчета рабочих дней до 3 ноября заключается в подсчете общего количества дней 196 и вычитании общего количества выходных. Самый простой способ настроить разницу во времени? Используйте калькулятор даты и времени, подобный этому, и мгновенно получите отвечать. В период с 3 ноября среднестатистический человек тратил… 42100,8 часов Сон 5597,76 часов Еда и питье 9172,8 часов Домашняя деятельность 2728,32 часа Работа по дому 3010,56 часов Приготовление пищи и уборка 940,8 часов Уход за газоном и садом 16464,0 часа Работа и связанная с работой деятельность 15146,88 часов Рабочий 24790,08 часов Отдых и спорт 13453,44 часа Просмотр телевизора 3 ноября Статистика: В этом году 3 ноября — пятница В следующем году 3 ноября будет суббота День недели: Пятница День года: 307 День месяца: 3 В пятницу, 3 ноября, было 307, что составляет 84% до 2023 года. и 10,0% в течение ноября. Известные спортивные и музыкальные события 3 ноября 1953 «Токийская история», японский фильм режиссера Ясудзира Одзу, в котором снимались ЧишА<< Ря<<, Чиеко Хигасияма и Сэцуко Хара, 1991 Айртон Сенна выигрывает Гран-при Австралии в Аделаиде; самая короткая гонка F1 из когда-либо проводившихся (14 кругов) из-за влажных условий; Сенна сохраняет свой 3-й чемпионат мира среди водителей с преимуществом в 24 очка от Найджела Мэнселла 9.0077 Другие даты около 3 ноября Сколько дней до 29 октября? Сколько дней до 30 октября? Сколько дней до 31 октября? Сколько дней до 1 ноября? Сколько дней до 2 ноября? Сколько дней до 4 ноября? Сколько дней до 5 ноября? Сколько дней до 6 ноября? Сколько дней до 7 ноября? Сколько дней до 8 ноября? Обратный отсчет до даты, похожей на 3 ноября Сколько дней до 3 декабря? Сколько дней до 3 января? Сколько дней до 3 февраля? Сколько дней до 2 марта? Сколько дней до 2 апреля? Сколько дней до 2 мая? Сколько дней до 2 июня? Сколько дней до 2 июля? Сколько дней до 2 августа? Сколько дней до 2 сентября? Сколько дней осталось до 3 ноября 2023 года? Калькулятор «Дней до даты» Сколько дней осталось до Сколько осталось до 03 ноября 2023 г. ? Ответ: Есть 6 месяцев и 12 дней до 03 ноября 2023 г. ( Сегодня (21 апреля, 6 месяцев, 6 дней до 1 ноября 2021 г.) составляет 60 03, 2023 ) Он же 0,537 Годы или 6,422 Месяцы или 28 Недели или 196 Дни или 77 4,7104 Часы 90 6 или 282 240 Минуты или 16 934 400 Секунды или 6 месяцев и 12 дней 3 ноября 2023 г. — обратный отсчет Хронология 21 апреля 2023 г. 2 месяца 90.0012 03 ноября 2023 г. 28 недель О дне: 03 ноября 2023 г. 03 ноября 2023 г. день недели 700019 70019 пятница () Этот день 44 (сорок -четвертый) Неделя 2023 Это 307-й (триста седьмой) День года До конца 2023 года осталось 58 Дней Ноябрь 03 4.1018 9.018 9. из год завершен Это 64-й (шестьдесят четвертый) День осени 2023 2023 год не високосный год (365 дней) Счет дней в ноябре 2023 года: 8 6 6 Zodi 9001 Знак 03 ноября, 2023 is Scorpio (scorpio) 03 ноября 2023 как временная метка Unix : 1698969600 Добавьте 70 03 ноября 2023 0 в свой календарь Google Ноябрь 2023 Календарь Поделиться этим расчетом https://calculat.io/en/date/how-many-until/3-november-2023 io/en/date/ сколько-до/3-ноября-2023″>Сколько дней до 3 ноября 2023 года? — Расчет О калькуляторе «Дней до даты» Этот онлайн-калькулятор дат поможет вам рассчитать, сколько дней осталось до определенной даты. Например, легко узнать, сколько времени осталось до дня рождения. Вы также можете узнать, сколько времени прошло с определенной даты. Например, это может помочь вам узнать, сколько осталось до 03 ноября 2023 года? Выберите нужную дату (например, «03 ноября 2023 г.») и нажмите кнопку «Рассчитать». Калькулятор «Дней до даты» Сколько дней осталось до Таблица преобразования 309 3 октября 20334 2333 3 3 3 октября 26, 324 903 4 3 ноября 8, 334 9033 Дата Дата Время 330 20 октября 2023 г. 5 месяцев и 29 дней 21 октября 2023 г. 6 месяцев 22 октября 2023 г. 6 месяцев и 1 день 6 месяцев и 2 дня 24 октября 2023 г. 6 месяцев и 3 дня 25 октября 2023 г. 6 месяцев и 4 дня 6 месяцев и 5 дней Октябрь 27 октября 2023 г. 6 месяцев и 6 дней 28 октября 2023 г. 6 месяцев и 7 дней 29 октября 2023 г. дня 29 30 октября 2023 г. 6 месяцев и 9 дней 31 октября 2023 г. 6 месяцев и 10 дней 01 ноября 2023 г. 6 месяцев и 34 дня 02 ноября 2023 г. 6 месяцев и 11 дней 03 ноября 2023 г. 6 месяцев и 12 дней 04 ноября 2023 г. 23 6 месяцев и 14 дней 06 ноября 2023 г. 6 месяцев и 15 дней 07 ноября 2023 г. 6 месяцев и 16 дней 6 месяцев и 17 дней Ноябрь 09, 2023 6 месяцев и 18 дней 10 ноября, 2023 6 месяцев и 19 дней 11 ноября, 2023 3 месяца и 3 дня 12 ноября 2023 г. Перевести матрицу в обратную матрицу: Обратная матрица онлайн alexxlab / 07.07.202317.04.2023 / Разное Как найти обратную матрицу: формула, пример В данной публикации мы рассмотрим, что такое обратная матрица, а также на практическом примере разберем, как ее можно найти с помощью специальной формулы и алгоритма последовательных действий. Определение обратной матрицы Алгоритм нахождения обратной матрицы Определение обратной матрицы Для начала вспомним, что из себя представляют обратные значения в математике. Допустим, у нас есть число 7. Тогда обратное ему будет равняться 7-1 или 1/7. Если умножить данные числа, в результате получится один, т.е. 7 · 7-1 = 1. Почти то же самое и с матрицами. Обратной называется такая матрица, умножив которую на исходную, мы получим единичную. Обозначается она как A-1. A · A-1 = E Алгоритм нахождения обратной матрицы Для нахождения обратной матрицы нужно уметь вычислять определитель матрицы, а также иметь навыки выполнения определенных действий с ними. Сразу отметить, что найти обратную можно только для квадратной матрицы, а делается это по формуле ниже: |A| – определитель матрицы; ATM – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Примечание: если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Пример Давайте найдем для матрицы A ниже обратную ей. Решение 1. Для начала найдем определитель заданной матрицы. 2. Теперь составим матрицу миноров, которая имеет те же самые размеры, что и исходная: Нам нужно выяснить, какие числа должны стоять на месте звездочек. Начнем с верхнего левого элемента матрицы. Минор к нему находится путем зачеркивания строки и столбца, в котором он находится, т.е. в обоих случаях под номером один. Число, которое останется после зачеркивания, и является требуемым минором, т.е. M11 = 8. Аналогичным образом находим миноры для оставшихся элементов матрицы и получаем такой результат. 3. Определяем матрицу алгебраических дополнений. Как их посчитать для каждого элемента мы рассмотрели в отдельной публикации. Например, для элемента a11 алгебраическое дополнение считается так: A11 = (-1)1+1 · M11 = 1 · 8 = 8 4. Выполняем транспонирование полученной матрицы алгебраических дополнений (т. е. поменяем столбцы и строки местами). 5. Остается только воспользоваться формулой выше, чтобы найти обратную матрицу. Ответ можем оставить в таком виде, не деля элементы матрицы на число 11, так как в этом случае получится некрасивые дробные числа. Проверка результата Чтобы убедиться в том, что мы получили обратную исходной матрицу, мы можем найти их произведение, которое должно равняться единичной матрице. В результате мы получили единичную матрицу, значит все сделали верно. Функция МОБР — Служба поддержки Майкрософт Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. ..Меньше Функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, храняной в массиве. Примечание: Если у вас установлена текущая версия Microsoft 365, можно просто ввести формулу в верхней левой ячейке диапазона вывода и нажать клавишу ВВОД, чтобы подтвердить использование формулы динамического массива. Иначе формулу необходимо вводить с использованием прежней версии массива, выбрав диапазон вывода, введя формулу в левой верхней ячейке диапазона и нажав клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД для подтверждения. Excel автоматически вставляет фигурные скобки в начале и конце формулы. Дополнительные сведения о формулах массива см. в статье Использование формул массива: рекомендации и примеры. Синтаксис МОБР(массив) Аргументы функции МОБР описаны ниже. Замечания org/ListItem»> Массив может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3 как массив констант, например {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9} или как имя диапазона или массива. Если какие-либо ячейки в массиве пустые или содержат текст, функции МОБР возвращают #VALUE! ошибку «#ВЫЧИС!». МоБР также возвращает #VALUE! если массив не имеет равного числа строк и столбцов. Обратные матрицы, такие как определители, обычно используются для решения систем математических уравнений с несколькими переменными. Произведением матрицы и обратной является матрица удостоверений — квадратный массив, в котором диагональные значения равны 1, а все остальные — 0. В качестве примера вычисления обратной матрицы, рассмотрим массив из двух строк и двух столбцов A1:B2, который содержит буквы a, b, c и d, представляющие любые четыре числа. В таблице приведена обратная матрица для массива A1:B2. Столбец A Столбец B Строка 1 d/(a*d-b*c) b/(b*c-a*d) Строка 2 c/(b*c-a*d) a/(a*d-b*c) org/ListItem»> Функция МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих цифр, что может привести к незначительным ошибкам округления. Некоторые квадратные матрицы невозможно инвертировать и возвращают #NUM! в функции МОБР. Определител непревратимой матрицы 0. Примеры Чтобы указанные выше формулы вычислялись правильно, нужно вводить их в виде формул массивов. После ввода формулы нажмите ввод, если у вас есть текущая Microsoft 365 подписка. в противном случае нажмите CTRL+SHIFT+ВВОД. Если формула не будет введена как формула массива, возвращается единственный результат. Дополнительные сведения Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community. Обратные матрицы Цели Поймите, что означает обратимость квадратной матрицы. Узнайте об обратимых преобразованиях и поймите взаимосвязь между обратимыми матрицами и обратимыми преобразованиями. Рецепты: вычислить обратную матрицу, решить линейную систему, взяв обратные. Изображение: обратное преобразование. Словарные слова: обратная матрица , обратное преобразование . В разделе 3.1 мы научились перемножать матрицы. В этом разделе мы научимся «делить» по матрице. Это позволяет нам элегантно решить матричное уравнение Ax=b: Ах=b⇐⇒x=A−1b. Однако при «делении на матрицы» следует соблюдать осторожность, поскольку не каждая матрица имеет обратную, а порядок умножения матриц важен. Взаимная или обратное ненулевого числа a есть число b, которое характеризуется тем свойством, что ab=1. Например, обратное число 7 равно 1/7. Мы используем эту формулировку для определения обратной матрицы. Определение Пусть A — матрица размера n × n (квадратная). Мы говорим, что A является обратимым , если существует матрица B размера n × n такая, что AB=In и BA=In. В этом случае матрица B называется обратной матрицы A, и мы пишем B=A−1. Мы должны потребовать AB=In и BA=In, потому что в общем случае умножение матриц не является коммутативным. Однако в этом следствии в разделе 3.6 мы покажем, что если A и B являются матрицами размера n × n, такими что AB = In, то автоматически BA = In. Пример Факты об обратимых матрицах Пусть A и B — обратимые матрицы размера n × n. A−1 обратим, и его обращение равно (A−1)−1=A. AB обратим, и его инверсия равна (AB)−1=B−1A−1 (обратите внимание на порядок). Доказательство Уравнения AA-1=In и A-1A=In одновременно представляют A-1 как инверсию A и A как инверсию A-1. Мы вычисляем (B-1A-1)AB=B-1(A-1A)B=B-1InB=B-1B=In. Здесь мы использовали ассоциативность матричного умножения и тот факт, что InB=B. Это показывает, что B−1A−1 является инверсией AB. Почему инверсия AB не равна A−1B−1? Если бы это было так, то у нас было бы . In=(AB)(A-1B-1)=ABA-1B-1. Но нет никаких оснований для того, чтобы ABA-1B-1 равнялась единичной матрице: нельзя поменять порядок A-1 и B, поэтому в этом выражении нечего отменять. На самом деле, если In=(AB)(A−1B−1), то мы можем умножить обе части справа на BA, чтобы сделать вывод, что AB=BA. Другими словами, (AB)-1=A-1B-1 тогда и только тогда, когда AB=BA. В более общем смысле, обратным произведением нескольких обратимых матриц является произведение обратных в обратном порядке; доказательство такое же. Например, (АВС)-1=С-1В-1А-1. До сих пор мы определяли обратную матрицу, не давая никакой стратегии ее вычисления. Мы делаем это сейчас, начиная со специального случая матриц 2×2. Затем мы дадим рецепт для случая n×n. Определение Определитель матрицы 2×2 есть число detFabcdG=ad-bc. Предложение Пусть A=FabcdG. Если det(A)A=0, то A обратим, и A-1=1det(A)Fd-b-caG. Если det(A)=0, то A необратима. Существует аналогичная формула для обратной матрицы размера n×n, но она не так проста и требует больших вычислительных ресурсов. Заинтересованный читатель может найти его в этом подразделе Раздела 4.2. Пример Следующая теорема дает общую процедуру вычисления A−1. Теорема Пусть A — матрица размера n × n, и пусть (A|In) — матрица, полученная путем увеличения A единичной матрицей. Если редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) имеет форму (In|B), то A обратима и B=A−1. В противном случае A необратима. Доказательство Сначала предположим, что редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) не имеет формы (In|B). Это означает, что в первых n столбцах (нерасширенная часть) содержится менее n опорных точек, поэтому у A меньше n опорных точек. Отсюда следует, что Nul(A)A={0} (уравнение Ax=0 имеет свободную переменную), поэтому в Nul(A) существует ненулевой вектор v. Предположим, что существует матрица B такая, что BA=In. Затем v=Inv=BAv=B0=0, , что невозможно, так как vA=0. Следовательно, A необратима. Теперь предположим, что редуцированная ступенчатая форма строки (A|In) имеет вид (In|B). В этом случае все опорные точки содержатся в нерасширенной части матрицы, поэтому расширенная часть не играет роли в сокращении строк: элементы расширенной части не влияют на выбор используемых операций над строками. Следовательно, редукция строк (A|In) эквивалентна решению n систем линейных уравнений Ax1=e1,Ax2=e2,…,Axn=en, где e1,e2,…,en стандартные векторы координат : Ax1=e1:C1041000120100-3-4001DAx2=e2:C1041000120100-3-4001DAx3=e3:C1041000120100-3-4001D. Столбцы x1,x2,. ..,xn матрицы B в приведенной по строкам форме являются решениями следующих уравнений: AC100D=e1:C1001-6-20100-2-100103/21/2DAC-6-23/2D=e2:C1001-6-20100-2-100103/21/2DAC-2-11/2D=e3:C1001- 6-20100-2-100103/21/2Д. В соответствии с этим фактом в разделе 3.3 произведение Bei является просто i-м столбцом xi матрицы B, поэтому ei=Axi=ABei для всех i. По тому же факту i-й столбец матрицы AB равен ei, а это означает, что матрица AB единична. Таким образом, B является инверсией A. Пример (обратимая матрица) Пример (необратимая матрица) В этом подразделе мы научимся решать Ax=b «делением на A». Теорема Пусть A — обратимая матрица размера n × n, а b — вектор в Rn. Тогда матричное уравнение Ax=b имеет ровно одно решение: х=А-1б. Пруф Рассчитаем: Ax=b=⇒A−1(Ax)=A−1b=⇒(A−1A)x=A−1b=⇒Inx=A−1b=⇒x=A−1b. Здесь мы использовали ассоциативность матричного умножения и тот факт, что Inx=x для любого вектора b. Пример (Решение системы 2 × 2 с использованием инверсий) Пример (Решение системы 3 × 3 с использованием инверсий) Преимущество решения линейной системы с использованием обратных величин заключается в том, что решение матричного уравнения Ax=b для других или даже неизвестных значений b становится намного быстрее. Например, в приведенном выше примере решение системы уравнений E2x1+3×2+2×3=b1x1+3×3=b22x1+2×2+3×3=b3, , где b1,b2,b3 неизвестны, равно Cx1x2x3D=C232103223D-1Cb1b2b3D=C-6-5932−422−3DCb1b2b3D=C−6b1−5b2+9b33b1+2b2−4b32b1+2b2−3b3D. Как и в случае умножения матриц, обращение матриц полезно понимать как операцию линейных преобразований. Напомним, что тождественное преобразование на Rn обозначается IdRn. Определение Преобразование T:Rn→Rn является обратимым , если существует преобразование U:Rn→Rn такое, что T◦U=IdRn и U◦T=IdRn. В этом случае преобразование U называется обратным преобразования T, и мы пишем U=T−1. Инверсия U к T «отменяет» все, что сделал T. У нас есть T◦U(x)=xandU◦T(x)=x для всех векторов x. Это означает, что если вы примените T к x, затем примените U, вы получите вектор x обратно, и то же самое в другом порядке. Пример (функции одной переменной) Пример (Расширение) Пример (вращение) Пример (Отражение) Не пример (проекция) Предложение Преобразование T:Rn→Rn обратимо тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно и на. Если уже известно, что Т обратимо, то U:Rn→Rn является инверсией T при условии, что либо T◦U=IdRn, либо U◦T=IdRn: необходимо проверить только одно. Как и следовало ожидать, матрица, обратная линейному преобразованию, является обратной матрицей преобразования, как утверждает следующая теорема. Теорема Пусть T:Rn→Rn — линейное преобразование со стандартной матрицей A. Тогда T обратимо тогда и только тогда, когда A обратимо, и в этом случае T−1 линейно со стандартной матрицей A−1. Доказательство Предположим, что T обратим. Пусть U:Rn→Rn — обратное к T. Мы утверждаем, что U линейно. Нам нужно проверить определяющие свойства в Разделе 3.3. Пусть u,v — векторы в Rn. Затем u+v=T(U(u))+T(U(v))=T(U(u)+U(v)) по линейности T. Применение U к обеим сторонам дает U(u+v)=UAT(U(u)+U(v))B=U(u)+U(v). Пусть c — скаляр. Затем cu=cT(U(u))=T(cU(u)) по линейности T. Применение U к обеим сторонам дает U(cu)=UAT(cU(u))B=cU(u). Поскольку U удовлетворяет определяющим свойствам в разделе 3.3, это линейное преобразование. Теперь, когда мы знаем, что U является линейным, мы знаем, что у него есть стандартная матрица B. В соответствии с совместимостью матричного умножения и композиции в разделе 3.4 матрица для T◦U равна AB. Но T◦U — это тождественное преобразование IdRn, а стандартной матрицей для IdRn является In, поэтому AB=In. Аналогичным образом показано, что BA=In. Следовательно, A обратим и B=A−1. Обратно, предположим, что A обратима. Пусть B=A−1, и определим U:Rn→Rn как U(x)=Bx. По совместимости матричного умножения и композиции в разделе 3.4 матрица для T◦U есть AB=In, а матрица для U◦T есть BA=In. Следовательно, T◦U(x)=ABx=Inx=xandU◦T(x)=BAx=Inx=x, , который показывает, что T обратим с обратным преобразованием U. Пример (Расширение) Пример (вращение) Пример (Отражение) Комментарии, исправления или предложения? (Требуется бесплатная учетная запись GitHub) Как, черт возьми, инвертировать матрицу? И почему? Предупреждение и задача со словом Purplemath Можно ли разделить на матрицу? Для матриц нет такого понятия, как деление. Вы можете складывать, вычитать и умножать матрицы, но не можете их делить. Однако существует родственная концепция, которая называется «инверсия». Сначала я объясню, почему инверсия полезна, а затем покажу вам, как это сделать. Содержание продолжается ниже MathHelp. com Вспомните, когда вы впервые узнали, как решать линейные уравнения. Если бы вам дали что-то вроде 3 x  = 6, вы бы решили, разделив обе части на 3. Поскольку умножение на 1/3 равносильно делению на 3, вы также можете умножить обе части на 1/3, чтобы получить тот же ответ: x  = 2. Если вам нужно решить что-то вроде (3/2) x  = 6, вы все равно можете разделить обе части на 3/2, но, вероятно, проще умножить обе стороны на 2/3. Обратная дробь 2/3 обратна 3/2, потому что, если вы перемножите две дроби, вы получите 1, что в данном контексте называется (мультипликативной) тождественностью;: 1 называется мультипликативной тождественностью, потому что умножение чего-либо на 1 не меняет своего значения. Эта терминология и эти факты очень важны для матриц. Если вам дано матричное уравнение типа AX  =  C , где вам даны A и C и вам предлагается вычислить X , вы хотели бы разделить матрицу A . Но вы не можете делать деление с матрицами. Для чего используются обратные матрицы? Учитывая матричное уравнение AX  =  C , что, если бы вы могли найти обратную A , что-то похожее на нахождение обратных дробей для решения линейных уравнений? Вы можете использовать инверсию A , записанную как A −1 и произносимую как « A обратное», чтобы исключить A из матричного уравнения; это позволит вам затем решить матричное уравнение для X . АХ = С А −1 АХ = А −1 С IX = А −1 С X = A −1 C Как « A −1 AX » в левой части уравнения (во второй строке выше) превратилось в «10 X » » в последней строке? Вспомните природу инверсий для обычных чисел. Если у вас есть число (например, 3/2) и обратное ему число (в данном случае 2/3), и вы умножаете их, вы получаете 1. А 1 — это мультипликативное тождество, называемое так потому, что 1 x  =  x для любого числа x . Инверсия работает так же для матриц. Если вы умножите матрицу (такую ​​как A ) и ее обратную (в данном случае A −1 ), вы получите единичную матрицу I , которая является матричным аналогом числа 1. И точка единичной матрицы состоит в том, что IX  =  X для любой матрицы X (имеется в виду, конечно, «любая матрица правильного размера»). Следует отметить, что порядок умножения выше важен и вовсе не произволен. Напомним, что для матриц умножение не является коммутативным. то есть AB почти никогда не совпадает с BA . Таким образом, умножение матричного уравнения «слева» (чтобы получить A −1 AX ) совсем не то же самое, что умножение «справа» (чтобы получить AXA −1 ). Произведение AXA −1 не равно A −1 AX , потому что нельзя изменить порядок умножения матриц. Вместо этого вы должны умножить A −1 слева, поместив его рядом с A в исходном матричном уравнении. А поскольку при решении вы должны проделать одно и то же с обеими частями уравнения, вы должны умножить «слева» и на правую часть уравнения, в результате чего получится A — 1 С . Вы не можете быть случайным с размещением матриц; вы должны быть точными, правильными и последовательными. Это единственный способ успешно отменить A и решить матричное уравнение. Как вы видели выше, обратные матрицы могут быть очень полезны для решения матричных уравнений. Но… Как найти обратную матрицу? Чтобы найти обратную матрицу, выполните следующие действия: Запишите матрицу, которую вы хотите инвертировать. Добавьте к этой матрице единичную матрицу, сделав одну матрицу, которая теперь в два раза шире, чем в высоту. Используя операции со строками, преобразуйте левую половину двойной ширины в единичную матрицу. Новая правая часть двойной ширины является обратной исходной матрице. Этот метод инвертирования матриц довольно умный. Вот пример того, как это работает: Найдите обратное число . Сначала я записываю элементы матрицы A , но я записываю их в матрицу двойной ширины: В другой половине матрицы двойной ширины я записываю единичную матрицу: Теперь я буду выполнять операции со строками матрицы, чтобы преобразовать левая сторона двойной ширины в личности. (Как всегда с операциями со строками, не существует единственного «правильного» способа сделать это. Ниже приведены лишь шаги, которые произошли со мной. Ваши расчеты легко могут выглядеть совершенно по-другому.) Теперь, когда левая часть двойной ширины содержит единицу, правая часть содержит обратную. То есть обратная матрица следующая: Откуда вы знаете, что эта матрица является обратной? Обратите внимание, что мы можем подтвердить, что эта матрица является обратной A , перемножив две матрицы и увидев, что мы получаем тождество. Поскольку умножение закончилось единичной матрицей, подтверждено, что найденная нами матрица является обратной исходной матрице, которую нам дали. Имейте в виду, что в «реальной жизни» обратная матрица редко представляет собой матрицу, заполненную красивыми аккуратными целыми числами, подобными этому. Однако, если повезет, особенно если вы делаете инверсии вручную, вам дадут хорошие, подобные этому. Есть ли формула для инвертирования матрицы 2×2? Чтобы найти обратную матрицу 2 на 2, используйте следующую формулу: Для следующей матрицы: . « Предыдущая 1 … 130 131 132 133 134 … 3 226 Следующая »