Автор: alexxlab

Финансовая математика (учебное пособие для студентов)

Самаров К.Л.

Учебное пособие для студентов по математике

СОДЕРЖАНИЕ

1. Схемы предоставления ссуд
   • Простейшие сведения о процентах
   • Предоставление ссуд на срок в 1 год на основе годовых процентных и учетных ставок
   • Предоставление ссуд на срок, выражаемый в годах, по схемам простых и сложных процентов на основе процентной ставки
   • Предоставление ссуд на срок, выражаемый в годах, по схемам простых и сложных процентов на основе учетной ставки
   • Способы определения срока возврата ссуд в годах для ссуд, выданных на срок, исчисляемый в днях
   • Ссуды, обеспеченные залогом (ломбардные кредиты)
   • Сравнение денежных сумм, выплаченных в различные моменты времени
   • Предоставление ссуд по схеме непрерывных процентов на основе процентной ставки
   • Консолидация ссуд
   • Простейшие сведения о конверсии валют
2. Схемы погашения ссуд
   • Погашение ссуд одинаковыми платежами (потребительские кредиты)
   • Погашение ссуд одинаковыми платежами, на которые начисляются процентные деньги
   • Погашение ссуд одинаковыми платежами в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Погашение ссуд платежами, содержащими одинаковые выплаты долга, в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Погашение ссуд при помощи выплат долга, изменяющихся по арифметической прогрессии в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Погашение ссуд при помощи выплат долга, изменяющихся по геометрической прогрессии, в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Погашение ссуд при помощи аннуитетов, последний из которых может отличаться от остальных в случае, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга
   • Выбор оптимального варианта погашения кредита
   • Постоянные финансовые ренты
3. Схемы покупки долгов
   • Учет и переучет векселей
   • Форфейтинговый кредит
4. Доходность финансовых операций
   • Аналогия финансовых операций по схемами предоставления ссуд
   • Мгновенная доходность финансовых операций
5. Примеры и задачи для самостоятельного решения
6. Библиографический список

Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть разделы нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты» и «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наше учебное пособие «Задачи на проценты».

Наверх

6.2: Сложные проценты — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Рупиндер Секон и Роберта Блум
• Колледж Де Анза

Цели обучения

В этом разделе вы научитесь:

1. Находить будущую стоимость паушальной суммы.
2. Найдите текущую стоимость паушальной суммы.
3. Найдите эффективную процентную ставку.

Сложные проценты

В предыдущем разделе мы рассмотрели задачи, связанные с простыми процентами. Простые проценты обычно начисляются, когда период кредитования короткий и часто меньше года. Когда деньги ссужаются или берутся взаймы на более длительный период времени, если проценты выплачиваются (или начисляются) не только на основную сумму, но и на прошлые проценты, тогда мы говорим, что проценты равны 9.0046 составной.

Предположим, мы вносим 200 долларов на счет, который выплачивает 8% годовых. В конце года у нас будет 200 долларов + 200 долларов (0,08) = 200 долларов (1 + 0,08) = 216 долларов.

Теперь предположим, что мы положили эту сумму, 216 долларов, на тот же счет. Еще через год у нас будет 216 долларов + 216 долларов (0,08) = 216 долларов (1 + 0,08) = 233,28 долларов.

Таким образом, первоначальный депозит в размере 200 долларов за два года увеличился до 233,28 долларов. Кроме того, обратите внимание, что если бы это были простые проценты, эта сумма составила бы всего 232 доллара. Причина, по которой сумма немного выше, заключается в том, что проценты (16 долларов), которые мы заработали за первый год, были возвращены на счет. 2=\$ 233. 28 \nonumber \] 9{5}=\$ 293,87 \номер\]

Суммируем следующим образом:

ПЕРИОДЫ НАЧИСЛЕНИЯ

Банки часто начисляют проценты более одного раза в год. {t}\), когда \(n = 1\). 9{t}
\end{aligned} \nonumber \]

Мы используем логарифмы для нахождения значения \(t\), поскольку переменная \(t\) находится в показателе степени.

\[t=\log _{1.04}(1.5) \nonumber \]

Используя формулу замены основания, мы можем найти \(t\):

\[t=\frac{\ln (1.5 )}{\ln (1.04)}=10,33 \text { years } \nonumber \]

Требуется 10,33 года, чтобы 4000 долларов накопились до 6000 долларов при условии инвестирования под 4% годовых с начислением сложных процентов

Пример \(\PageIndex{4 }\) 9{1 / 24}=1+\frac{\mathrm{r}}{4} \nonumber \]

Вычисление левой части уравнения дает

\[\begin{array}{l}
1,0197765=1 +\frac{\mathrm{r}}{4} \\
0,0197765=\frac{\mathrm{r}}{4} \\
\mathrm{r}=4(0,0197765)=0,0791
\end{array } \nonumber \]

Процентная ставка 7,91% необходима для того, чтобы 5000 долларов, вложенных сейчас, накопились до 8000 долларов через 6 лет, с ежеквартальным начислением процентов.

Эффективная процентная ставка

Банки должны указывать свою процентную ставку в виде «эффективная доходность» » или «эффективная процентная ставка» , для целей сравнения. Эффективная ставка также называется годовой процентной доходностью (APY) или годовой процентной ставкой (APR).

Эффективная ставка представляет собой процентную ставку, начисляемую ежегодно, которая будет эквивалентна установленной ставке и периодам начисления процентов. В следующем примере показано, как рассчитать эффективную ставку.

Чтобы проверить несколько инвестиций, чтобы определить, какая из них имеет лучшую ставку, мы находим и сравниваем эффективную ставку для каждой инвестиции.

В примере \(\PageIndex{5}\) показано, как рассчитать эффективную ставку.

Пример \(\PageIndex{5}\)

Если банк А ежемесячно выплачивает 7,2% годовых, какова эффективная процентная ставка?
Если банк B выплачивает 7,25% годовых с начислением сложных процентов, какова эффективная процентная ставка? Какой банк платит больше процентов?

Решение

Банк A: Предположим, мы вложим 1 доллар в этот банк и оставим его на год, мы получим

\[\begin{array}{l} 9{2}-1=0,0738 \номер\]

Эффективная процентная ставка составляет 7,38% .

Банк А платит несколько более высокие проценты с эффективной ставкой 7,44% по сравнению с Банком Б с эффективной ставкой 7,38%.

Непрерывное начисление сложных процентов

Проценты могут начисляться ежегодно, раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно и ежедневно. Используя те же методы расчета, мы могли бы вычислять каждый час, каждую минуту и ​​даже каждую секунду. По мере того как период начисления процентов становится все короче и короче, мы движемся к концепции непрерывного начисления процентов.

Но что мы имеем в виду, когда говорим, что проценты начисляются непрерывно, и как мы вычисляем такие суммы? Когда проценты начисляются «бесконечно много раз», мы говорим, что проценты равны , непрерывно начисляемым . Наша следующая цель — вывести формулу для моделирования непрерывного начисления процентов.

Предположим, мы положили 1 доллар на счет со 100% процентной ставкой. Если проценты начисляются один раз в год, общая сумма через год будет \(\$ 1(1+1)=\$ 2\). {n}\) 9{0,07}-1 \\
\mathrm{r}_{\mathrm{EFF}}=1,0725-1 \\
\mathrm{r}_{\mathrm{EFF}}=0,0725 \text {или} 7,25 \%
\end{array} \nonumber \]

Пример \(\PageIndex{8}\)

Если сумма инвестируется под 7% непрерывного начисления сложных процентов, сколько времени потребуется, чтобы удвоиться?

Мы предлагаем два решения.

Решение 1 использует логарифмы для вычисления точного ответа, поэтому оно предпочтительнее. Мы уже использовали этот метод в примере \(\PageIndex{3}\) для определения времени, необходимого для накопления инвестиций до указанной будущей стоимости. 9{.07 t}=2 \nonumber \]

Используя натуральный логарифм:

\[\begin{array}{l}
.07 \mathrm{t}=\ln (2) \\
\mathrm{t }=\ln (2) / .07=9,9 \: \mathrm{years}
\end{array} \nonumber \]

Деньги удваиваются за 9,9 лет, если их инвестировать под 7% годовых.

Решение 2: Оценка ответа с использованием закона 70: ​​

Закон 70 — полезный инструмент для оценки времени, необходимого для удвоения стоимости инвестиций. Это приближение, оно не является точным и исходит из нашего предыдущего решения. Мы подсчитали, что

\[\mathrm{t}=\ln (2) / \mathrm{r} \text{ где } \mathrm{r} \text{ было 0,07 в этом решении.} \nonumber \]

Оценка \( \ln(2) = 0,693\), дает \(t = 0,693/\mathrm{r}\). Умножение числителя и знаменателя на 100 дает \(t = 69,3/(100\mathrm{r})\)

Если мы оценим 69,3 на 70 и укажем процентную ставку в процентах вместо десятичной дроби, мы получим закон 70 :

Закон 70-х: Количество лет, необходимое для удвоения денег ≈ 70 ÷ процентная ставка

• Обратите внимание, что это приблизительная оценка.
• Процентная ставка указывается в процентах (не десятичных) в Законе 70-ти.

Использование Закона 70 дает нам \(t\) ≈ 70/7=10, что близко, но не точно к значению 9,9 лет, рассчитанному в Решении 1.

Схема в таблице аппроксимирует Закон 70.

При наличии технологий для выполнения вычислений с использованием логарифмов мы будем использовать Закон 70 только для быстрой оценки времени удвоения. Использование закона 70 в качестве оценки работает только для времени удвоения, но не для других множителей, поэтому он не заменяет знания о том, как находить точные решения.

Тем не менее, Закон 70 может быть полезен для быстрой мысленной оценки многих проблем «времени удвоения», что может быть полезно в приложениях со сложными процентами, а также в других приложениях, связанных с экспоненциальным ростом.

Пример \(\PageIndex{9}\)

1. При пиковых темпах роста в 1960-х годах население мира удваивалось за 35 лет. В то время примерно какой был темп роста?
2. По состоянию на 2015 год ежегодный прирост населения мира составлял примерно 1,14%. Основываясь на этой скорости, найдите приблизительное время удвоения.

Раствор

время удвоения = \(35 \приблизительно 70 \дел r\)

\(r \приблизительно 2\), выраженное в процентах

Таким образом, население мира росло примерно на 2% в 1960-х годах.

b.. Согласно закону 70,

время удвоения \(t \примерно 70 \дел r = 70 \дел 1,14 \приблизительно 61\) лет

Если бы население мира продолжало расти в годовом исчислении при темпах роста 1,14 % потребуется примерно 61 год, чтобы население удвоилось. 9{\mathbf{r}}-1 \номер\]

Количество лет для удвоения денег примерно равно 70 ÷ процентная ставка

Эта страница под названием 6.2: Compound Interest распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Рупиндером Секоном и Робертой Блум с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Рупиндер Сехон и Роберта Блум

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. сложные проценты
   2. непрерывное компаундирование
   3. источник@https://www. deanza.edu/faculty/bloomroberta/math21/afm3files.html.html

Сложные проценты | Математика для гуманитарных наук Базовый курс

Результаты обучения

• Расчет сложных процентов по сценарию с процентами
• Расчет начального баланса с учетом процентного сценария
• Нахождение времени в задаче на сложные проценты

Начисление сложных процентов

С простыми процентами мы предполагали, что мы присвоили проценты, когда мы их получили. На стандартном банковском счете любые проценты, которые мы зарабатываем, автоматически добавляются к нашему балансу, и мы получаем проценты на эти проценты в последующие годы. Это реинвестирование процентов называется рецептура .

Предположим, что мы кладем 1000 долларов на банковский счет с ежемесячной процентной ставкой 3%. Как будут расти наши деньги?

Процентная ставка в размере 3% представляет собой годовую процентную ставку (годовая) – общая сумма процентов, подлежащих выплате в течение года. Поскольку проценты выплачиваются ежемесячно, каждый месяц мы будем зарабатывать [latex]\frac{3%}{12}[/latex]= 0,25% в месяц.

В первый месяц

• P ₀ = 1000 долларов
• r = 0,0025 (0,25%)
• I = 1000 долл. США (0,0025) = 2,50 долл. США
• A = 1000 долл. США + 2,50 долл. США = 1002,50 долл. США

В первый месяц мы заработаем 2,50 доллара в виде процентов, увеличив баланс нашего счета до 1002,50 доллара.

Во второй месяц

• P ₀ = 1002,50
долл. США
• I = 1002,50 долл. США (0,0025) = 2,51 долл. США (округлено)
• A = 1002,50 долл. США + 2,51 долл. США = 1005,01 долл. США

Обратите внимание, что во второй месяц мы заработали больше процентов, чем в первый месяц. Это связано с тем, что мы заработали проценты не только на первоначальные 1000 долларов США, которые мы внесли, но мы также получили проценты на 2,50 доллара США процентов, которые мы заработали в первый месяц. Это ключевое преимущество составляет  проценты дают нам.

Подсчет еще нескольких месяцев дает следующее:

Месяц	Начальный баланс	Полученные проценты	Конечный баланс
1	1000.00	2,50	1002.50
2	1002.50	2,51	1005.01
3	1005.01	2,51	1007,52
4	1007,52	2,52	1010.04
5	1010.04	2,53	1012,57
6	1012,57	2,53	1015.10
7	1015.10	2,54	1017,64
8	1017,64	2,54	1020.18
9	1020. 18	2,55	1022,73
10	1022,73	2,56	1025,29
11	1025,29	2,56	1027,85
12	1027,85	2,57	1030.42

Мы хотим упростить процесс расчета сложных процентов, поскольку создание таблицы, подобной приведенной выше, требует много времени. К счастью, математика хорошо подсказывает, как срезать путь. Чтобы найти уравнение, представляющее это, если P _м представляет собой сумму денег через м месяцев, тогда мы могли бы написать рекурсивное уравнение: _м = (1+0,0025) P _m-1

Вы можете признать это рекурсивной формой экспоненциального роста.

рекурсивный рост

Вспомните основной процесс рекурсивного роста. Начиная с начального количества, [latex]P_0[/latex], каждое последующее количество, [latex]P_m[/latex], растет пропорционально себе, [latex]P_{m-1}[/latex], с некоторой скоростью. [латекс]г[/латекс]. 9{m+n}[/латекс].

То есть при умножении подобных оснований мы складываем степени.

Пример

Постройте явное уравнение для роста 1000 долларов, размещенных на банковском счете с процентной ставкой 3%, ежемесячно начисляемой на сложные проценты.

Посмотрите это видео, чтобы ознакомиться с концепцией сложных процентов.

Хотя эта формула работает нормально, чаще используется формула, включающая количество лет, а не количество периодов начисления сложных процентов. Если N — количество лет, тогда м = N k . Это изменение дает нам стандартную формулу сложных процентов.

[латекс]m=Nk[/латекс]

Как мы получили [латекс]m = Nk[/латекс]?

Напомним, что [latex]m[/latex] представляет собой количество периодов начисления процентов, в течение которых инвестиция остается на счете, а [latex]k[/latex] представляет количество раз в год, когда ваши проценты начисляются. Если проценты по вашему депозиту начисляются ежемесячно, то [latex]k = 12[/latex]. Если оставить депозит на [latex]1[/latex] год, то [latex]m = 12[/latex]. Но если [latex]k = 12[/latex] и вы оставляете залог на [latex]2[/latex] лет, тогда [latex]m = 2*12 = 24[/latex]. Если посмотреть на это с другой стороны, [латекс]м = N\текст{ лет} * к[/латекс].

[латекс]m = Nk[/латекс].

Пример. Инвестиции в размере 1000 долларов США, приносящие проценты по ставке 4%, начисляемые ежеквартально (4 раза в год), остаются на счете в течение [latex]3[/latex] лет.

У нас есть [латекс]4[/латекс] периода начисления процентов в год, поэтому [латекс]k = 4[/латекс]

Если мы оставим наши деньги на [латекс]1[/латекс] год, количество периоды начисления составляют [латекс]1*4: m=4[/латекс].

Если мы оставим наши деньги на [латекс]3[/латекс] лет, [латекс]m = 3*4[/латекс] или [латекс]12[/латекс]. 9{Nk}[/latex]

• P _N это остаток на счете после N лет.
• P ₀ начальный баланс счета (также называемый начальным депозитом или основной суммой)
• r — годовая процентная ставка в десятичной форме
• k — количество периодов начисления сложных процентов в одном году.
  • Если начисление производится ежегодно (раз в год), к = 1.
  • Если начисление процентов производится ежеквартально, к = 4.
  • Если начисление процентов производится ежемесячно, k = 12.
  • Если начисление процентов производится ежедневно, k = 365.

Самое важное, что нужно помнить об использовании этой формулы, это то, что она предполагает, что мы кладем деньги на счет один раз и оставляем их там, чтобы получать проценты.

В следующем примере мы покажем, как использовать формулу сложных процентов, чтобы найти остаток по депозитному сертификату через 20 лет.

не забудьте преобразовать проценты в десятичную форму

Обычно для выполнения вычислений над числом, выраженным в процентах, вам необходимо преобразовать его в десятичную форму. Ставка [latex]r[/latex] в формулах процентов должна быть преобразована из процентов в десятичную форму перед использованием формулы.

Пример

Депозитный сертификат (CD) — это сберегательный инструмент, который предлагают многие банки. Обычно это дает более высокую процентную ставку, но вы не можете получить доступ к своим инвестициям в течение определенного периода времени. Предположим, вы вкладываете 3000 долларов в депозитный сертификат с ежемесячной процентной ставкой 6%. Сколько будет у вас на счету через 20 лет?

Ниже представлено видео с решением этой проблемы.

Давайте сравним сумму денег, заработанную на сложном проценте, с суммой, которую вы заработаете на простых процентах

Годы	Простые проценты (15 долларов США в месяц)	6% ежемесячно начисляется = 0,5% каждый месяц.
5	$3900	4046,55 $
10	4800 $	5458,19 $
15	$5700	7362,28 $
20	6600 $	9930,61 $
25	7500 $	13394,91 $
30	$8400	18067,73 $
35	$9300	24370,65 $

Как видите, в течение длительного периода времени начисление сложных процентов сильно влияет на баланс счета. Вы можете распознать в этом разницу между линейным ростом и экспоненциальным ростом.

Линейный рост против экспоненциального роста

Напомним, что линейный рост увеличивается с постоянной скоростью. График линейного роста будет описывать прямую линию между любыми двумя точками на графике. График изменяется на ту же аддитивную величину на единицу ввода.

Например, банковский счет, который увеличивается на 5 долларов в год, имеет линейный рост.

Экспоненциальный рост описывает количество, растущее со скоростью, пропорциональной самой себе на каждую единицу ввода. График изменяется кратно своему текущему значению на единицу ввода. График будет описывать быстро возрастающую кривую. 9{x}}\пробел 240[/латекс]. Попробуйте — у вас должно получиться что-то около 3.3102044758.

Пример

Вы знаете, что вам потребуется 40 000 долларов на образование вашего ребенка через 18 лет. Если ваш счет зарабатывает 4% ежеквартально, сколько вам нужно внести сейчас, чтобы достичь своей цели?

Попробуйте

Округление

Важно быть очень осторожным с округлением при вычислениях с показателями степени. В общем, вы хотите сохранить как можно больше десятичных знаков во время вычислений. Обязательно сохранить не менее 3 значащих цифр (числа после любых начальных нулей). Округление 0,00012345 до 0,000123 обычно дает «достаточно близкий» ответ, но всегда лучше оставить больше цифр.

Пример

Чтобы понять, почему недопустимость чрезмерного округления так важна, предположим, что вы инвестируете 1000 долларов США под 5% годовых, начисляемых ежемесячно в течение 30 лет.

Если мы сначала вычислим r/k , то получим 0,05/12 = 0,00416666666667

Вот результат округления до различных значений:

Если вы работаете в банке, вы, конечно, вообще не будете округлять. Для наших целей ответ, который мы получили, округлив до 0,00417, трех значащих цифр, достаточно близок — скидка 5 долларов с 4500 долларов не так уж и плоха. Конечно, сохранение этого четвертого знака после запятой не помешало бы.

Просмотрите следующее для демонстрации этого примера.

Использование калькулятора 9{360}}[/латекс].

Теперь мы можем использовать калькулятор.

Использование калькулятора продолжение

Предыдущие шаги предполагали, что у вас есть калькулятор «одна операция за раз»; более продвинутый калькулятор часто позволяет вам ввести вычисляемое выражение целиком.

11 лучших примеров химических изменений в повседневной жизни

Химическое изменение — это процесс, в котором одно или несколько веществ превращаются в одно или несколько новых и разных веществ. Эти вещества могут быть как химическими элементами, так и соединениями.

Химические изменения происходят в результате химических реакций. В ходе химической реакции происходит перегруппировка атомов, и реакция сопровождается изменением энергии, поскольку образуются новые вещества.

Другими словами, химические изменения — это фундаментальные изменения, которые порождают новые комбинации материи. Эти изменения обычно необратимы или обратимы только при дополнительном химическом изменении.

Хотя существуют сотни тысяч различных химических реакций, большинство из них имеют схожие свойства. Эти сходства позволяют нам разделить химические изменения на три широкие категории.

• Органические изменения включают химические реакции сложных углеродных соединений, в которых один или несколько атомов углерода ковалентно связаны с атомами других элементов, чаще всего водорода, азота или кислорода.
• Неорганические изменения — это химические реакции веществ, в которых, как правило, не участвуют атомы углерода. Эти изменения обычно происходят в лабораториях и тяжелой промышленности.
• Биохимические изменения происходят в живых организмах. Они контролируются или регулируются гормонами и ферментами.

Чтобы объяснить этот процесс более подробно, мы перечислили несколько наиболее распространенных примеров химических изменений, которые вы видите в повседневной жизни.

11. Выпечка торта

Тип: неорганическое изменение

Когда вы печете пирог, его ингредиенты (мука, яйцо, сахар, пекарский порошок и т.д.) претерпевают химические изменения. Это происходит в процессе выпечки:

• Тепло позволяет пекарскому порошку образовывать крошечные пузырьки газа, что делает пирог пушистым.
• Под воздействием тепла яичный белок изменяется и делает пирог твердым.
• Масло не дает теплу высушить пирог.

Поскольку этот процесс выпечки требует тепла, это эндотермическая реакция. Она не может быть обращена вспять, поскольку сахар и дрожжи создали новые вещества. Это означает, что после выпечки пирога вы не сможете разделить его на исходные компоненты (муку, яйца, сахар).

10. Сжигание природного газа

Тип: Органическое изменение

Природный газ — это углеводородная смесь, состоящая из множества различных соединений. Его основной компонент — метан (Ch5), соединение с одним атомом углерода и четырьмя атомами водорода. При сгорании метана в присутствии воздуха (кислорода) образуется вода, углекислый газ и тепло (в виде голубого пламени).

9. Взрыв фейерверка

Тип: Неорганические изменения

Фейерверки — это великолепное сочетание науки и инноваций. Они состоят из высокоэнергетических соединений, которые создают взрывы. При выделении достаточного количества тепла (энергии активации) в них происходит несколько химических реакций в быстрой последовательности.

Точнее, высокоэнергетические соединения, плотно упакованные внутри фейерверка, сгорают с кислородом воздуха и превращаются в другие соединения, выделяя при этом звук, тепло и газы (такие, как угарный газ, углекислый газ и азот).

Различные соединения дают разные цвета и оттенки, которые мы видим в темном ночном небе. Например, барий дает зеленый цвет, медь — синий, натрий — желтовато-оранжевый, а стронций — красный.

8. Созревание плодов

Тип: Органическое изменение

Созревание связано с изменениями в составе (например, превращение крахмала в сахар). Это процесс, в результате которого плоды приобретают желаемый вкус, цвет, качество и другие характеристики. По характеру созревания фрукты можно разделить на две группы:

• Климактерические плоды могут созревать после снятия с растения. Например, бананы, манго и яблоки продолжают созревать и не выдерживают жестких условий транспортировки и многократного перемещения.
• Неклимактеричные плоды не могут созревать после сбора урожая. Они производят небольшое количество этилена (гораздо меньше, чем климактерические плоды) и не реагируют на обработку этиленом. В качестве примера можно привести апельсин, виноград, ежевику, гранат и арбуз.

Поскольку созревание включает образование новых углеродсодержащих химикатов, которые приводят к изменению цвета и вкуса, можно смело назвать процесс созревания органическим химическим изменением.

7. Переваривание пищи

Тип: Органическое

В отличие от механического пищеварения, которое начинается во рту с жевания, химическое пищеварение — это сложный процесс, который разбивает пищу на составляющие. Эти строительные блоки в конечном итоге всасываются в плазму крови для питания клеток организма.

Более конкретно, большие молекулы пищи редуцируются до субъединиц, которые достаточно малы для поглощения слизистой оболочкой пищеварительного тракта.

• Белки распадаются на аминокислоты.
• Нуклеиновые кислоты распадаются на нуклеотиды.
• Углеводные сахара распадаются на моносахариды.
• Жиры расщепляются на жирные кислоты и моноглицериды.

Это достигается с помощью различных ферментов (таких, как ферменты слюны, желудка, щеточной каймы и ферменты поджелудочной железы) посредством гидролиза.

6. Гальваническое покрытие металла

Тип: неорганическое изменение

Гальваника — это процесс осаждения материала на твердую подложку с помощью электрического тока. Он используется для улучшения химических, физических и механических свойств подложки.

В этом процессе раствор, содержащий ионы металлов, помещается в резервуар, а подложка, на которую наносится покрытие, подключается к электрической сети, чтобы сделать ее катодом. Ионы металла в растворе движутся к катоду, где они приобретают электроны и образуют металлическое покрытие.

Распространенная форма гальванического покрытия используется для производства монет. Например, американский пенни сделан из цинка, покрытого слоем гальванической меди.

5. Прокисание молока

Тип: Органическое изменение

Испорченное молоко кислое, с неприятным запахом и вкусом. Со временем оно становится комковатым и свертывается. В процессе скисания образуются новые молекулы, и этот процесс нельзя обратить вспять.

Сырое молоко содержит сахар лактозу. Если оставить молоко на несколько часов при комнатной температуре, содержащиеся в нем бактерии лактобактерии начинают превращать лактозу в молочную кислоту, которая имеет кислый вкус. Бактерии Lactobacillus часто встречаются в молоке, и они не причиняют никакого вреда.

Кислое молоко также получают путем добавления кислоты (с добавлением или без добавления микробных организмов). Такое молоко называется подкисленным. По вкусу оно отличается от молока, полученного путем бактериальной ферментации, поскольку кислоты, добавляемые в процессе промышленного производства, имеют другой вкус, чем молочная кислота.

4. Смешивание кислоты с основанием

Тип: Неорганическое изменение

Смешивание кислоты с основанием — одна из самых распространенных химических реакций, проводимых в химических лабораториях. При смешивании в равных пропорциях они уравновешивают друг друга и образуют соль и воду. Это называется реакцией нейтрализации.

Например, в результате реакции между соляной кислотой (сильная кислота) и гидроксидом натрия (сильное основание) образуется хлорид натрия (поваренная соль).

HCl + NaOH → NaCl + h3O + тепло

В таких реакциях катион H(+) кислоты соединяется с анионом OH(-) основания, образуя соль и воду.

В некоторых реакциях образуются газы. Например, если смешать уксус (слабую кислоту) с пищевой содой (слабым основанием), то вместе с ацетатом натрия (солью) образуется углекислый газ.

3. Ржавое железо

Тип: Неорганическое изменение

Когда железные предметы остаются в воде или влажной атмосфере в течение длительного времени, они покрываются красновато-коричневой чешуйчатой массой, называемой ржавчиной. Ржавление — это непрерывный процесс, который постепенно разрушает предметы и делает их бесполезными. Различные факторы, такие как кислотная среда и соленая вода, могут ускорить процесс ржавления железа.

Ржавчина — это не что иное, как оксид железа, соединение, образующееся при реакции железа с кислородом и водой. Хотя это сложный процесс, его химическое уравнение можно записать как:

4Fe + 3O₂ + 6H₂O → 4Fe(OH)₃ 

Этот процесс также является хорошим примером коррозии, когда металлические поверхности разлагаются на более химически устойчивые оксиды.

2. Варка яйца

Тип: Неорганические изменения

Сырые яйца содержат сложные сети белка и воды. На каждую молекулу белка приходится почти тысяча молекул воды.

Молекулы белка относительно велики и содержат сотни аминокислот, связанных между собой в длинные цепочки. Цепочки складываются в компактные шарики, которые удерживаются вместе слабыми химическими связями (нековалентными).

Когда вы нагреваете яйца, их молекулы движутся быстрее и сталкиваются. При повышении температуры скорость столкновения увеличивается. Слабые связи (которые удерживают цепочки аминокислот) начинают разрываться, и белки яйца разворачиваются. В конце концов, белковые нити запутываются в трехмерную паутину.

В вареном яйце теперь содержится вода, которая диспергируется в белковой паутине, так что она больше не может сливаться воедино. В результате жидкое яйцо превращается в полутвердое.

По сути, вы изменили химические вещества, из которых состоит яйцо, применив тепло. Это необратимое изменение, а значит, вареное яйцо нельзя превратить обратно в сырое.

1. Фотосинтез

Тип: Биохимическое изменение

Фотосинтез — это процесс, используемый растениями и другими организмами для производства пищи. В этом естественном процессе световая энергия (солнечный свет) преобразуется в химическую энергию.

Растения являются основными продуцентами, которые составляют основу нашей экосистемы и подпитывают следующие трофические уровни. Они используют фотосинтез для преобразования солнечного света, воды, углекислого газа в кислород и простой сахар.

6CO₂ + 6H₂O + Световая энергия → C₆H₁₂O₆ (сахар) + 6O₂ 

Поскольку для фотосинтеза требуется внешняя энергия (солнечный свет), чтобы привести в движение химические изменения, это эндотермическая реакция. Этот процесс не только используется растениями для получения пищи и роста, но и оказывает огромное влияние на нашу атмосферу и океаны, поскольку поглощает углекислый газ и производит кислород.

Без фотосинтеза на Земле было бы слишком мало кислорода — его не хватало бы для выживания людей.

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между химическим изменением и физическим изменением?

Физическое изменение влияет на форму вещества. Он включает в себя изменения таких свойств, как прочность, долговечность, температура плавления, форма кристаллов, объем, плотность, форма, размер, цвет и текстура. Хорошим примером может служить закалка стали для изготовления лезвия ножа.

Химическое изменение, с другой стороны, включает в себя изменения в составе вещества. Оно происходит, когда различные вещества соединяются, образуя новые вещества с новыми свойствами. Эти химические реакции необратимы и сопровождаются изменением энергии.

Как определить химическое изменение?

Не всегда легко определить, произошло ли химическое изменение (в отличие от физического). Однако можно обратить внимание на такие признаки, как:

• Изменение цвета или порядка.
• Разложение органических веществ, таких как продукты питания и овощи.
• изменение энергии или температуры, например, потеря (эндотермическая) или выделение (экзотермическая) тепла.
• Образование газов или осадков.
• Изменение состава, например, при сжигании дерева оно превращается в пепел.
• Изменения невозможно обратить вспять.
• Некоторые химические реакции производят свет.

Какое вещество не может быть изменено обычными химическими реакциями?

Элемент — это чистое вещество, которое никогда не может быть уменьшено до более простой формы в результате какой-либо химической реакции. Это означает, что вы не можете превратить элемент в другой элемент или разложить его обычными химическими средствами, такими как электролиз, нагревание или реакция. Кислород, азот, золото и серебро являются примерами чистых веществ.

Примеры химических реакций в повседневной жизни

Примеры химических реакций в повседневной жизни

• Получить ссылку
• Facebook
• Twitter
• Pinterest
• Электронная почта
• Другие приложения

Химия происходит в мире вокруг вас, а не только в лаборатории. Материя взаимодействует с образованием новых продуктов в процессе, называемом химической реакцией или  химическим изменением . Каждый раз , когда вы готовите или чистая, это  химия в действии . Ваше тело живет и растет благодаря химическим реакциям . Есть реакции, когда вы принимаете лекарства, зажигаете спичку и дышите. Эти примеры химических реакций из повседневной жизни представляют собой небольшую выборку из сотен тысяч реакций, которые вы испытываете в течение дня.

фотосинтез

Фрэнк Крахмер / Getty Images

Растения применяют  химическую реакцию  под названием фотосинтез для превращения  углекислого газа  и воды в пищу (глюкозу) и кислород. Это одна из самых  распространенных повседневных химических реакций,  а также одна из самых важных, потому что именно так растения производят пищу для себя и животных и превращают углекислый газ в кислород. Уравнение для реакции:

6 СО 2  + 6 Н 2 О + свет → С 6 Н 12 О 6  + 6 O 2

Аэробное клеточное дыхание

Катерина Кон / Научная фототека / Getty Images

Аэробное клеточное дыхание  — это противоположный процесс фотосинтеза, в котором молекулы энергии объединяются с кислородом, которым мы дышим, чтобы высвободить энергию, необходимую нашим клеткам, а также углекислому газу и воде. Энергия, используемая клетками, — это химическая энергия в форме АТФ или аденозинтрифосфата.

Вот общее уравнение для аэробного клеточного дыхания:

C 6 H 12 O 6  + 6O 2  → 6CO 2  + 6H 2 O + энергия (36 АТФ)

03

из 11

Анаэробное дыхание

Tastyart Ltd Роб Уайт / Getty Images

Анаэробное дыхание — это  набор химических реакций,  которые позволяют клеткам получать энергию из сложных молекул без кислорода.  Ваши мышечные клетки выполняют анаэробное дыхание всякий раз, когда вы исчерпываете поступающий к ним кислород, например, во время интенсивных или длительных упражнений. Анаэробное дыхание дрожжами и бактериями используется для брожения с получением этанола, углекислого газа и других химических веществ, которые делают сыр, вино, пиво, йогурт, хлеб и многие другие распространенные продукты.

Общее химическое уравнение для одной формы анаэробного дыхания:

C 6 H 12 O 6  → 2C 2 H 5 OH + 2CO 2  + энергия

горение

WIN-инициатива / Getty Images

Каждый раз, когда вы зажигаете спичку, зажигаете свечу, разжигаете огонь или зажигаете гриль, вы видите реакцию горения. Сжигание объединяет энергетические молекулы с кислородом для производства углекислого газа и воды.

Например, уравнение для  реакции сгорания  пропана, найденного в газовых грилях и некоторых каминах, имеет вид:

C 3 H 8  + 5O 2  → 4H 2 O + 3CO 2  + энергия 

Ржавчина

Алекс Дауден / EyeEm / Getty Images

Со временем железо образует красное, слоистое покрытие, называемое ржавчиной.  Это  пример реакции окисления . Другие повседневные примеры включают образование зелени на меди и потускнение серебра.

Вот  химическое уравнение  для ржавления железа:

Fe + O 2  + H 2 O → Fe 2 O 3 . XH 2 O

метатеза

Ники Дуган Пог / Flickr / CC BY-SA 2.0

Если вы комбинируете уксус и  пищевую соду для химического вулкана  или молока  с разрыхлителем  по рецептуре, вы испытываете  двойное смещение или реакцию метатезиса (плюс некоторые другие). Ингридиенты рекомбинируют для производства  углекислого газа  и воды. Углекислый газ образует пузырьки в вулкане и  способствует росту выпечки .

Эти реакции кажутся простыми на практике, но часто состоят из нескольких этапов. Вот  общее химическое уравнение  для реакции между пищевой содой и уксусом:

HC 2 H 3 O 2 (водн.) + NaHCO 3 (вод.) → NaC 2 H 3 O 2 (вод.) + H 2 O () + CO 2 (г)

электрохимия

Антонио М. Росарио / Имидж Банк / Getty Images

Батареи используют электрохимические или окислительно-восстановительные реакции для преобразования  химической энергии  в электрическую энергию.  Спонтанные окислительно — восстановительные реакции протекают  в гальванических элементах , в то время как  неспонтанные химические реакции  принимают  место в электролизерах .

пищеварение

Питер Дазли / Выбор фотографа / Getty Images

Тысячи химических реакций  происходят во время пищеварения. Как только вы кладете пищу в рот, фермент в слюне, называемый амилазой, начинает расщеплять сахара и другие углеводы в более простые формы, которые ваш организм может усваивать. Соляная кислота  в желудке вступает в реакцию с пищей, что приводит к ее дальнейшему расщеплению, в то время как ферменты расщепляют белки и жиры, поэтому они могут всасываться в кровь через стенки кишечника.

Кислотно-основные реакции

Lumina Imaging / Getty Images

Всякий раз, когда вы объединяете кислоту (например, уксус, лимонный сок,  серную кислоту или соляную кислоту ) с основанием (например,  пищевая сода , мыло, аммиак или ацетон), вы выполняете кислотно-щелочную реакцию. Эти реакции нейтрализуют кислоту и основание с образованием соли и воды.

Хлорид натрия — не единственная соль, которая может образоваться. Например, вот  химическое уравнение для кислотно-щелочной реакции,  которая дает хлорид калия, заменитель обычной поваренной соли:

HCl + KOH → KCl + H 2 O

Мыльные и моющие реакции

JGI / Джейми Гриль / Getty Images

Мыло и моющие средства очищаются путем химических реакций . Мыло эмульгирует грязь, что означает, что масляные пятна связываются с мылом, поэтому их можно удалить водой. Моющие средства действуют как поверхностно-активные вещества, снижая поверхностное натяжение воды, чтобы она могла взаимодействовать с маслами, изолировать их и смывать их.

приготовление еды

Дина Беленко Фото / Getty Images

При приготовлении пищи используется тепло, чтобы вызвать химические изменения в пище. Например, при сильном кипении яйца сероводород, полученный при нагревании яичного белка, может реагировать с железом из яичного желтка с образованием серовато-зеленого кольца вокруг желтка .  Когда вы обжариваете мясо или выпечку, реакция Майяра между аминокислотами и сахарами дает коричневый цвет и желательный вкус.

• Получить ссылку
• Facebook
• Twitter
• Pinterest
• Электронная почта
• Другие приложения

Популярные сообщения из этого блога

Виртуальная реальность (VR) выводит химическое образование на новый уровень

Виртуальная реальность (VR) выводит химическое образование на новый уровень Понимание, а не запоминание Чтобы понять химию, вы должны понимать, что происходит на молекулярном уровне.  Просто запоминание формул и фактов недостаточно. И что может быть лучшим способом понять поведение атомов, ионов и молекул, чем вовлечь себя в химические реакции, увидеть все эти частицы своими глазами. Соединяя реальный мир с миром молекул Каждый урок начинается в лаборатории, а затем мы приближаемся к молекулярному уровню. Представьте, что вы способны сжаться в миллиард раз, как человек-муравей, что позволяет вам увидеть то, что в противном случае осталось бы невидимым. Химия сложна, потому что вы должны соединить макро и микро миры в общую концепцию и посмотреть, как они связаны.  VR делает это очень визуально. Интерактивные эксперименты с атомами и молекулами Мы не подражаем классической лаборатории, а предоставляем интерактивные ур

Далее…

Химия атома

В этом видео Хэнк делает все возможное, чтобы убедить нас, что химия — это не пытка, а удивительная и красивая наука о вещах. Химия может сказать нам, как три крошечные частицы — протон, нейтрон и электрон — объединяются в триллионы комбинаций, образуя … все. В этом первом выпуске Crash Course Chemistry мы начинаем с одной из самых больших идей в химии, когда-либо существовавших — материал сделан из атомов. Более конкретно, мы узнаем о свойствах ядра и почему они важны для определения того, что на самом деле представляет собой атом.

Далее…

Wolfram|Alpha Примеры: Химия

О-о! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.

Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.

Примеры для

Химия изучает материю, от отдельных атомов и ионов до больших биомолекул. С помощью Wolfram|Alpha вы можете исследовать данные о химических соединениях, реакциях, в которых они участвуют, растворимости и теории химических графов. Он также содержит информацию о химических количествах, преобразовании единиц измерения, расчетах молярности и стехиометрии. Используйте Wolfram|Alpha, чтобы ответить на вопросы по химии, будь то домашнее задание или просто любопытство.

Используйте Wolfram|Alpha для изучения элементов периодической таблицы.

Найти количество элементов:

Получить информацию о химическом элементе:

Найти элементы, отвечающие заданным критериям:

Начертить свойство для класса элементов:

Узнайте о положительно и отрицательно заряженных ионах и их свойствах.

Получить информацию об ионе:

Сравнить несколько ионов:

Сравнить ионы данного элемента:

Найти конкретное значение свойства для класса ионов :

Используйте Wolfram|Alpha, чтобы сбалансировать химические уравнения, определить стехиометрию реакции и предсказать продукты.

Сбалансируйте химическое уравнение:

Рассчитайте стехиометрию реакции:

Найти химические реакции с использованием реагентов или продуктов:

Используйте Wolfram|Alpha для изучения химико-информатических свойств с помощью инвариантов графов, таких как индекс J Балабана или индекс Индекс Hosoya для дескрипторов QSAR, таких как количество доноров водорода или самая длинная цепь.

Найдите наибольшую общую подструктуру между двумя молекулами:

Найдите ароматические атомы:

Найдите доноров и акцепторов водородных связей:

Вычислите набор топологических индексов для молекулы:

Исследуйте ядерную химию с помощью Wolfram|Alpha.

Запишите символ нуклида:

Найдите номер нейтрона:

Рассчитать энергию связи:

Исследовать источник элементов:

Поиск химических веществ по названию, химической формуле или другому идентификатору.

Получить информацию о химическом соединении:

Указать соединение по химическому идентификатору:

Сравните различные органические химические вещества:

См. примеры липидов, включая глицерофосфолипиды, жирные кислоты и т. д.:

Вычислите экстенсивные свойства химических веществ, которые зависят от количества присутствующего вещества, и преобразуйте количества в различные единицы.

Введите количества по массе:

Найдите число молей из заданной массы:

Переведите количества в объемы: 930 атомов гелия в литрыБольше примеровХимическая термодинамика

Вычисление термодинамических свойств, таких как энтропия, теплоемкость или давление пара, для самых разных химических веществ.

Найти свойства вещества в данной фазе:

Вычислить свойства при заданной температуре:

Выполнить расчеты по уравнению Аррениуса:

Оценить термодинамические свойства по методу Джобака:

Свяжите химические свойства с лежащей в основе квантово-механической природой атомов и молекул.

Соберите электронную конфигурацию:

Соберите орбитальную диаграмму основного состояния:

Найдите атомный радиус:

Подсчитайте количество валентных электронов:

GO Дальнейшее

Пошаговые растворы для химии

Связанные примеры

Исследуйте свойства различных растворов, которые зависят от растворителя, растворенного вещества и концентрации.

Вычислить свойства химического раствора:

Расчет свойств количества раствора:

Вычисления титрования:

Исследуйте функциональные группы, такие как цианаты, пероксиды, алканы и галогениды.

Получить информацию о функциональной группе:

Получить информацию о защитной группе:

Найдите поведение защитной группы в определенных условиях:

Исследуйте свойства электронных орбиталей и связей, которые они образуют. Найдите связи по составляющим их атомам, по типу связи или по исходному химическому веществу.

Получить сводную информацию о связях для химического вещества:

Вычислить гибридизацию в соединении:

Сравните гибридизацию двух соединений:

Химия в повседневной жизни — WorldOfChemicals

Вы когда-нибудь задумывались, почему химия так важна? Зачем мы изучаем химию? Какова роль химии в жизни?

Мы все сделаны из химических веществ, и все вокруг нас состоит из химических веществ. Все, что мы слышим, видим, обоняем, пробуем на вкус и осязаем, связано с химией и химическими веществами (материей). Слух, зрение, вкус и осязание включают в себя сложную серию химических реакций и взаимодействий в нашем теле. Многие изменения, которые мы наблюдаем в окружающем мире, вызваны химическими реакциями. Химия не ограничивается стаканами и лабораториями. Он окружает нас повсюду, и чем лучше мы знаем химию, тем лучше мы познаем наш мир. Химия присутствует во всех аспектах жизни, и несколько примеров химии в повседневной жизни:0004

Цвет предмета определяется светом, который он отражает. Белый свет солнца содержит все длины волн, но когда он падает на объект, часть его длин волн поглощается, а часть отражается. Синий цвет неба можно объяснить с учетом явления, называемого рэлеевским рассеянием, которое состоит в рассеянии света частицами, намного меньшими, чем его длина волны. Этот эффект особенно силен, когда свет проходит через газы.

Лед менее плотный, чем жидкая вода. Более тяжелая вода вытесняет более легкий лед, поэтому лед остается на поверхности.

Солнцезащитный крем сочетает в себе органические и неорганические химические вещества для фильтрации солнечного света, чтобы меньше его проникало в более глубокие слои кожи. Светоотражающие частицы солнцезащитного крема обычно состоят из оксида цинка или оксида титана.

Скороварка имеет более сложную крышку, которая полностью закрывает кастрюлю. Когда мы нагреваем воду, она закипает, и пар не может выйти, поэтому он остается внутри и начинает нагнетать давление. Под давлением температура приготовления повышается намного выше, чем в обычных условиях, поэтому пища готовится намного быстрее. Это означает роль химии в нашей повседневной жизни.

Роль химии лежит в основе каждого шага в отношениях. Когда мы влюбляемся, наш мозг претерпевает некоторые изменения, а также высвобождаются определенные химические соединения. Любовь управляется этими гормонами: окситоцином, вазопрессином, эндорфинами.

Кофе помогает нам уснуть из-за присутствия в мозге химического вещества, называемого аденозином. Он связывается с определенными рецепторами и замедляет активность нервных клеток, когда поступает сигнал сна.

Многие овощи и фрукты имеют яркую окраску, потому что они содержат особое химическое соединение, называемое каротиноидами. Эти соединения имеют область, называемую хромофором, которая поглощает и испускает свет с определенной длиной волны, создавая цвет, который мы затем воспринимаем.

На языке линейной алгебры это определение означает, что $P(x)$ является линейной комбинацией конечного набора целых степеней переменной $x$. Ключевой здесь является конечность этого набора.

Полиномы обладают рядом важных свойств.

1. Полиномы определены при всех $x \in \mathbb{R}$ и являются бесконечно-дифференцируемыми функциями при всех $x$.

2. Сумма и произведение любого конечного числа полиномов является полиномом.

3. Производная любого порядка от полинома является полиномом.

4. Суперпозиция полиномов является полиномом: если $P(x)$, $Q(t)$ — полиномы переменных $x$ и $t$ соответственно, то $Q(P(x))$ является полиномом переменной $x$.

Аналогичным образом можно определить и полиномы от нескольких переменных. Полиномы от пескольких переменных также обладают описанными выше свойствами. Степень определяется как максимальная суммарная (по всем переменным) степень одночлена. 3$ является полиномом от переменных $x,y$ причем степень этого полинома равна 2+3=5.

8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства

Определение. Пусть $P(x)$, $Q(x)$ — полиномы переменной $x$. Тогда выражение

\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]

называется дробно-рациональной функцией переменной $x$ (или, короче, рациональной функцией).

Опишем свойства дробно-рациональных функций.

1. Они определены при всех $x$, отличных от нулей знаменателя, и являются в этой области определения бесконечно-дифференцируемыми функциями.

2. Сумма и произведение любого конечного числа дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией.

3. Производная любого порядка от дробно-рациональной функции является дробно-рациональной функцией.

4. Суперпозиция дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией: если $R(x)$, $S(t)$ — дробно-рациональные функции переменных $x$ и $t$ соответственно, то $S(R(x))$ является дробно-рациональной функцией переменной $x$.

Можно определить и дробно-рациональные функции нескольких переменных. Они также обладают описанными выше свойствами (при уточняющей формулировке).

8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций

Теория дробно-рациональных функций во многом подобна теории рациональных чисел. Напомним, что рациональное число $r=p/q>0$ ($p$ и $q$ — целые положительные числа) называется правильным, если $p \ q$. Неправильное рациональное число можно представить в виде $r=n+s/q$, где $n$ — целое число (называется целой частью $r$, а $s/q$ — правильное рациональное число. Обычно это представление получают делением нацело $p$ на $q$, при этом $n$ — результат этого деления, а $s$ — остаток.

Определение.

Дробно-рациональная функция $R(x)=P(x)/Q(x)$ ($P(x),Q(x)$ — полиномы переменной $x$) называется правильной, если $degP(x)

Теорема. Любую дробно-рациональную функцию $R(x)$ можно представить в виде суммы полинома $T(x)$ и правильной дробно-рациональной функции,

\[ R(x)=T(x)+\frac{S(x)}{Q(x)}, \]

$degS(x)

На практике это представление находят с помощью процедуры, носящей название «деление уголком». {1-k}}{1-k}+C, k=2,3,4,… \end{array} \right. \]

Теорема. Любая правильная дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробно-рациональных функций.

Пример.

Разложим в сумму простейших дробно-рациональную функцию \[ R(x)=\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}. \]

В знаменателе присутствуют $(x-1)$ и $(x+1)$ в первой степени. Соответственно, полагаем

\[ \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{\alpha }{x-1}+\frac{\beta}{x+1}, \]

где в знаменателе стоят соответственно первые степени $(x-1)$ и $(x+1)$, а параметры $\alpha$, $\beta $ подлежат определению. Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

\[ \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{\alpha (x+1)+\beta (x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]

Приравнивая числители, находим:

\[ x+2=\alpha (x+1)+\beta(x-1). 4-1}. \]

8.2 Интегралы от тригонометрических функций

1) Дробно-рациональные функции, числитель которой представлен в виде многочлена второй степени.

Базовые функции:

1) a (x)=x+1/x;

2) b (x)=x-1/x.

2) Дробно-рациональные функции, знаменатель которой представлен в виде мрогочлена второй степени.

3) Дробно-рациональные функции, числитель и знаменатель которой представлен в виде многочлена второй степени.

Параграф 5. Взимнообратные функции.

Определение 1. Функция называется обратимой, если равенство

Замечание 1. Если функция чётная или периодическая, или нечётная, но переодическая, то эта функция не является обратимой.

Определение 2. Пусть функция y=f (x) задана на множестве X является обратимой функцией, и Y — множество её значений. Тогда на множестве Y может быть задана функция x=g (y) такая, что каждому значению y, принадлежащему Y, ставится в соответствие вполне определённое значение x из множества X, которое служит корнем уравнения y=f (x).

В этом случае функцию x=g (y) называют обратной функцией к фкнкции y=f (x).

Теорема 1. Всякая строоо монотонная функция обратима.

Следствие 1. Всякая сторого монотонная функция имеет себе обратную.

Замечание 2. Ошибочно считать, что только строго монотонные функции имеют себе обратную.

Теорема 2. Функция обратная к возрастающей является возрастающей функцией.

Теорема 3. Функция обратная к убывающей является убывающей.

Теорема 4. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

Параграф 6 . Алгебраическая функция. Иррациональные функции.

Пусть задана целая рациональная функция. Зависимость между x, y обозначим P (x, y).

Определение 1. Уравеение вида P (x, y)=0 назовём алгебраическим. Оно определяет алгебраическую функциональную зависимость между x, y.

Определение 2. Если функция y=f (x) в некотором числовом промежутке удовлетвопяет алгебраическому уравнению, то она нащывается алгебраической функцией.

Алгебраические функции:

1. Целая рациональная функция является алгебраической.

2. Дробно-рациональная функция так же является алгебраической:

Теорема 1. Всякая дробно-рациональная функция является алгебраической.

Определение 3. Всякая алгебраическая функция, которая не является рациональной, называется иррациональной функцией.

3. Иррациональные функции являются алгебраическими.

Базовые иррациональные функции.

Параграф 7. Показательная функция.

Так как каждому значению х соответствует единственное значение у, то f является функцией, которую мы будем называть показательной.

Рассмотрим свойства функции на множестве рационаььных чисел.

1. Для a> 1:

2. Для 0 <a <1

Показательная функция на множестве действительных чисел.

Было показано, что функция показательная определена и имеет значения в каждой точке-рациональное число. Необходимо доопределить функцию и найти её значение в каждой токе-иррациональное число.

Теорема. Если функция f (x), заданная в некоторой окрестности точки c, непрерывна в самой точке c, то значения функции в этой функции могут быт вычисленны, если известны, значения функции в каждой точке последовательности, которая имеет своим пределом точку c.

Чтобы все войства рассмотреть для показателя спенени в виде иррационаьного числа, нужно выполнить предельный переход, изображённый в теореме.

Изобразим график этой функции.

Исследуем функцию на выпуклость на всей области действительных чисел.

Параграф 8. Логарифмическая функция.

Определение 1. Логарифмом положительного числа b по основанию a,где a больше нуля и отлично от единице, называется показатель степени, при возведении в который число a получаем число b.

Основное логарифмическое тождество:

Теорема 1 (о существовании логарифма). Если a больше нуля и не равно единице, то существует единственное действительное число альфа такое, что a в степени альфа равно N, где N — наперёд заданное положительное число.

Доказательство.

Замечание 1. Логарифм нуля или отрицательного действительного числа не определяется, так как в основе понятия логарифма числа лежит значение показательной функции, которое только положительно.

Замечание 2. Логарифм с отрицательным основанием рассматриваться не будет в силу неоднозначности следующей операции:

Замечание 3. Соотношение, которое получается на основе основного логарифмического тождества, является тождеством только для положительных x:

Свойства логарифма:

Определение 2. Логарифмической называют функцию, заданную формулой

Свойства логарифмической функции:

Параграф 10. Тригонометрические функции.

1. Основные тригонометрические функции.

Известно, что каждому числу х соответствует единственная точка на единичной окружности, получаемая поворотом точки (1, 0) на угол х радиан. Для этого угла определены sin x, cos x, тем самым каждому действительному числу х поставлено в соответствии числа sin x, cos x, то есть на множестве всех действительных чисел определены функции y=sin x, y=cos x. Областью определения будет всё множество действительных чисел.

Рассмотрим мнлжество значений.

Областью определения функции y=tg x является множество чисел

2. Чётность и нечётность, периодичность триоонометрических функций.

Каждая из функций sin x, cos x определена на множестве действительных чисел и для любого значния хверно равенство

Определение 1. Функцию f (x) называют периодичесткой, если существует такое число Т, отличное от нуля, что для любого х из области определения этой функции, выполняется равенство

Число Т называется периодом функции.

Следствие. Если х принадлежит области определения функции, то числа х+Тn, х-Тn также принадлежат области определения этой функции, где n принадлежит множеству целых значений.

3. Свойства функции y=cos x.

Функция y=cos x определена на множестве действительных чисел и областью значений является отрезок [-1,1]. Следовательно, график этой функции ограничен и лежит в полосе, между прямыми у=1, у=-1.

Так как эта функции имеет период 2П, то достаточно постоить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2П.

Пострьив график функции на отрезке 0, 2П, мы можем построить график функции при помощи сдвигов на 2Пn, n принадлежит Z.

Функция является чётной, поэтому её график симметричен относительно оси Оу.

Для того, чтобы построить график на отрезке 0, 2П, достаточно построить его на отрезке 0, П, а затем симметрично отразить егь относительнт оси Ох.

Функция убывает на отрезке 0, П.

При повороте точки с координатами 1, 0 вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до П абсцис точки, то cos x1 уменьшается от 1 до -1, поэтому если

,

то cos x1 > cos x2. Это означает, что функция убывает на отрезке от 0 до П.

4. Функция у=sin x.

Определена на всей числовой прямой, явьяется нечётной и периодической.

График функции можно получить при помощи параллельного переноса вправо на п/2.

График такой функции называется синусоидой.

Основные свойства функции y=sin x:

5. Свойства функции y=tg x.

Определена на всей числовой прямой, кроме х=п/2+2Пn, является нечётной и пертодической с периодом П. Поэтому достаточно построить её график на промежутке 0, п/2, затем отразить его симметрично относительно начала координат, получив график на промежутке -п/2, п/2, используя периодичность, построить на всей области определения.

Основные свойства функции:

6. Обратные тригонометрические функции.

Вспомним некоторые сведения из математического анализа.

Пусть функция y=f (x) задана на промежутке [a, b] и непрерывна на нём, тогда, опираясь на теоремы Больцано и Вейерштрасса, имеем следующие выводы:

1. Теорема Вейерштрасса. Для y=f (x) достигает в каких-то точках отрезка [a, b] своего наименьшего значения A и своего наибольшего значения B, где максимальное значение функции равно B и минимальное равно A, значения аргумента функции в этих точках принадлежат данному отрезку.

2. Теоремс Блльцано. Функция y=f (x) на отрезке [a, b] принимает, и, возможно, неоднократно, некоторое любое значение C, заключённое между значениями A, B. Тогда каково бы не было значение y из данного отрезка [A, B], уравнение y=f (x) имеет по крайней мере один корень x из отрезка [a, b].

Теперь сопоставим с каждым значением y из отрезка [A, B] все те значения x, которые служат корнями уравнения y=f (x), получаем обратную функцию x=g (y).

Рассмотрим функцию sin x, которая задана на промежутке от 0 до 2П, где функция непрерывна, значит достигает своего наибольшего и наименьшего значения в интервале от -1 до 1.

Некоторые значения функция принимает неоднократно.

Найдём корни уравнения y=sin x.

x1=arcsin y, x2=П-arcsin y. Теперь каждому значению у из интервала -1, 1 поставим в соответствие те значения х, которые стали корнями уравнения. Получим обратную тригонометрическую функцию x=arcsin y.

Теорема. Если функция y=f (x) строго монотонная и непрерывна на [a, b], то обратная функция x=g (y) однозначна строго монотонна в том же направлении и непрерывна на промежутке [A, B], где f (a)=A, f (b)=B.

Используя вывод этой теоремы, рассмотрим функцию y=sin x на промежутке о -П/2 до П/2, где она непрерывна и строго возрастает. Тогда существует, и при том только одна, одиночная обратная функция.

Определение 1. Arcsin x, x из [-1, 1], называется такое действительное число y из [-П/2, П/2], sin которого равен x.

График функции y=arcsin x получается из графика функции y=sin x. Надо провести прямую y=x и отразить от этой прямой часть синусоиды.

Свойства функции y=arcsin x:

Определение 2. Arccos x, x из [-1, 1], называется такое действительное число y из [0, П], cos которого равен x.

Свойства:

Определение 3. Arctan x называется такое действительное число y из [-П/2, П/2], tan которого равен x.

Свойства:

Определение 4. Arccot x называется такое действительное число y из [0, П], cot которого равен x.

Свойства:

Тригонометрические функции связаны между собой большим количеством формул. Обратные тригонометрические функции чрезвычайно обогащают форменный аппарат тригонометрии, но пользоваться соотношениями , содержащие обратные функции, приходится, на самом деле, не очень часто. Математическая практика указывает , какие формулы заслуживают внимания:

1. х, где а> 0 и отлично от 1, является трансцендентной функцией.

Доказательство:

Требуется показать, что показательная функция не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению.

Допустим обратное.

Теорема 2. Логарифмическая функция с основание больше нуля и отличным от 1 является трансцендертной.

Доказательство:

Предположим, что функция у=log_a (x) является алгебраической функцией. Значит она удовлетворяет алгебраическому уравнению P (x, y)=0 в промежутке (0, +беск), где многочлен отличен от нуля.

Воспользуемся определением логарифма:

Теорема 3. Тригонометрические функции числового аргумента являются трансцендентными функциями.

Доказательство:

Было показано, что основные тригонометрические функции числового аргумента, пеииодические функции. Значит, одно и тоже значение c эти функции принимают в бесконечном ряде различных точек. Предположим, что эти функции алгебраические, то есть каждая из них в некотором промежутке (область определения функции) удовлетворяет некотооому алгебраическому уравнению P (x, y)=0. Степень алгебраического уравнения относительно переменной у определяется степенью вхождения переменной у в запись уравнения — это конкретное целое число.

Тогда уравнение P (x, c)=0 будет иметь бесконечное число решений, но алгебраическое уравнение имеет конечное число решений, равное высшей степени этого уравнения. Мы получили противоречие, которое отвергает наше допущение.

Следовательно, основные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями.

Параграф 12. Алгебра графиков.

1. Сложение и вычитание графиков.

1. Если необходимо построить график суммы двух функций, то нужно построить графики этих функций на одном чертеже, потом при каждом x сложить ординаты двух функций.

2. Если необходимо построить график разности двух функций, то этот случай сводится к построению суммы y=f (x)+(-g (x)). Причём график функции y=-g (x) получается из графика функции y=g (x) путём симметричного отражения отражения относительно оси Ох.

В случае, когда вторая функция постоянна, то графическое сложение означает сдвиг графика первой функции по вертикали на эту постоянную.

2. Произведение графиков.

В плоскости Оху выполнить построение каждого графика на общей части их областей определения. При умножении графиков при фиксированной абсциссе точки перемножаются ординаты этой точки.

Полезно обращать внимание на характерные точки обоих графиков.

3. Отношение графиков.

В плоскоти координат построить график данных функций. В тех точках, где функция, являющаяся делителем, принимает значения, равные нулю, мы будем иметь вертикальные асимптоты для данного графика.

4. Построение сложных функций.

Построить график внутренней функции. Дальнейшее построение вести по характерным точкам.

Объяснение урока: Область определения и область значений рациональной функции

В этом объяснении мы узнаем, как найти область определения и область значений рациональной функции либо из его графика, либо из его определяющего правила.

Прежде чем мы начнем искать область определения и область значений рациональных функций, давайте напомнить себе, что мы имеем в виду, когда говорим о домене и диапазоне функции.

Если мы подумаем о функции как об отображении, которое переводит вход в выход, домен будет набор входов и диапазон набор выходов. Рассмотрим следующее отображение схема:

Мы видим входы слева и выходы справа. Здесь домен представляет собой набор {1, 2, 3, 4}, а диапазон — это набор {2, 4, 6, 8}. Если мы рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=3𝑥+2 с доменом {3, 5, 7, 9}, то мы можем вычислить диапазон по подставляя каждое из значений области определения в функцию: 3(3)+2=11,3(5)+2=17,3(7)+2=23,3(9)+2=29.

Таким образом, диапазон равен набору {11, 17, 23, 29}.

Прежде чем двигаться дальше, напомним, что

• ℕ — это набор натуральных чисел.
• ℤ — набор целых чисел.
• ℚ — множество рациональных чисел.
• ℝ — набор действительных чисел.
• ℂ — набор комплексных чисел.

Если мы рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=4𝑥−2 с областью определения 𝑥∈ℝ (что означает, что 𝑥 принадлежит множеству действительных чисел), при размышлении о диапазоне функции может быть полезно рассмотреть ее график.

Здесь мы видим, что график представляет собой прямую линию, и каждое введенное действительное число имеет действительное число. вывод, а поскольку линия бесконечно продолжается в обоих направлениях, вывод любого действительного числа возможный. Следовательно, диапазон — это все действительные числа.

Если мы посмотрим на квадратичную функцию, например, 𝑓(𝑥)=𝑥, область определения которой действительные числа, и если мы посмотрим на график 𝑦=𝑓(𝑥), мы можем использовать это для определения диапазона.

Мы видим, что для любого входа выход положительный, поэтому диапазон Функция — это любое действительное число, большее или равное нулю.

Теперь, учитывая этот обзор, давайте введем понятие рациональных функций. Как правило, мы склонны определить область определения и диапазон функций над действительными числами, и мы будем делать то же самое здесь. Мы по-другому подходим к определению областей и диапазонов рационального функций, так как не всегда легко начертить их графики. Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=2𝑥+3.

Обратите внимание, при вводе -3 мы получаем 20.

Любое деление на ноль не определено, поэтому мы имеем, что функция не определена на данный момент. Однако любой ненулевой вход будет иметь соответствующий выход в действительных числах, поэтому мы можем заявить, что домен — это действительные числа, исключая -3, записанные ℝ−{−3}.

Рассматривая природу функции, мы также видим, что любое действительное число может быть выведено. достигается за исключением нуля: по мере того, как 𝑥 становится все больше в величина, выход становится все меньше; однако выход никогда не может достичь нуль. Следовательно, диапазон функции равен ℝ−{0}.

В общем, чтобы вычислить область определения рациональной функции, нам нужно идентифицировать любую точку где функция не определена, то есть любая точка, которая дала бы знаменатель, равный равен нулю. Чтобы найти область значений рациональной функции, нам нужно определить любую точку, которая не может быть достигнуто ни от какого входа; их обычно можно найти, рассматривая пределы функция, поскольку величина входных данных становится очень большой. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. Нахождение области определения и области значений рациональной функции с одним неизвестным в Знаменатель

Найдите область определения и диапазон функции 𝑓(𝑥)=−1𝑥−5.

Ответ

Судя по графику, домен равен ℝ−{5}, а диапазон равен ℝ−{0}. Однако мы должны также проверить это алгебраически.

Мы знаем, что рациональная функция не определена для любых входных данных, которые приводят к нулю знаменатель. Мы можем приравнять знаменатель функции к нулю, чтобы найти неопределенное точка. У нас есть 𝑥−5=0, что дает решение 𝑥=5.

Это подтверждает, что домен ℝ−{5}. К подтвердите диапазон, который нам нужен, чтобы определить все значения, которые не могут быть достигнуты с учетом домена. По мере того, как 𝑥 становится все больше по величине, выход стремится к нулю но никогда не достигнет нуля. Поэтому диапазон действительно ℝ−{0}.

Давайте теперь рассмотрим пример, где нам не дан график и мы должны приблизиться к вопрос алгебраически.

Пример 2. Алгебраическое определение области определения и области значений рациональной функции с одним неизвестным в знаменатель

Определить домен и диапазон функции 𝑓(𝑥)=1𝑥−2.

Ответ

Помните, что выражение 10 не определена, и отсюда мы можем определить, что рациональная функция не определена ни для какого ввод, который приводит к нулевому знаменателю. Мы можем приравнять знаменатель функции к ноль, чтобы найти неопределенную точку. У нас есть 𝑥−2=0, что дает решение 𝑥=2.

Следовательно, мы можем указать домен как ℝ−{2}. К найти диапазон, нам нужно определить все значения, которые не могут быть достигнуты с учетом домена. По мере того, как 𝑥 становится все больше по величине, выход становится прогрессивно приближается к нулю, но фактически никогда не достигнет нуля. Следовательно, диапазон ℝ−{0}.

Теперь рассмотрим пример нахождения области определения и области значений функции с неизвестным вверху и внизу выражения.

Пример 3. Нахождение области определения и области значений рациональной функции алгебраически с неизвестным в Числитель и знаменатель

Определить функцию действительных чисел как 𝑓(𝑥)=2𝑥+34𝑥+5.

1. Какова область определения функции?
2. Найдите единственное значение, которое 𝑓(𝑥) не может принимать.
3. Каков диапазон функции?

Ответ

Часть 1

Чтобы найти область определения функции, нам нужно установить, существуют ли значения 𝑥 для который 𝑓(𝑥) не определен. Поскольку это рациональная функция, она будет undefined, когда его знаменатель принимает нулевое значение. Поэтому график функции будет иметь асимптоту, когда 4𝑥+5=0. Если мы вычтем из каждой части уравнения по 5, а затем разделим на 4, получим, что асимптота имеет уравнение 𝑥=−54. Следовательно, домен функция представляет собой все действительные числа, кроме −54, обозначенные ℝ−−54.

Часть 2

Чтобы определить значение, которое не может принимать 𝑓(𝑥), нам нужно исследовать предел функции. То есть, что происходит, когда 𝑥 получает большой. Чтобы упростить этот процесс, полезно разделить верхнюю и нижнюю часть используйте 𝑥, чтобы получить 𝑓(𝑥)=2+4+.

Отсюда мы можем видеть, что по мере того, как 𝑥 становится все больше, 3𝑥 и 5𝑥 все ближе и ближе ноль, и, следовательно, функция становится все ближе и ближе к 12, но никогда на самом деле не достичь его.

Часть 3

Из решения части 2 видно, что весь диапазон функции реален числа, кроме 12, обозначаются ℝ−12.

Давайте теперь рассмотрим пару более сложных примеров. Во-первых, вопрос, где рациональная функция представлена ​​как сумма двух функций, и, во-вторых, рациональная функция числитель и доминатор которого нелинейны.

Пример 4. Нахождение области определения суммы рациональных выражений

Определить область определения функции 𝑓(𝑥)=3𝑥−3+1𝑥+4.

Ответ

Напомним, что рациональные функции определены, когда их знаменатели отличны от нуля. Из функции, записанной в таком виде, мы можем видеть, что есть две точки, в которых функция не определено: когда 𝑥−3=0 и когда 𝑥+4=0. Это означает что функция не определена, когда 𝑥=−4 и 𝑥=3. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме −4 и 3, обозначается ℝ−{−4,3}.

В качестве дополнительной информации, если бы мы пытались найти диапазон этого функции, хотя каждое из суммируемых рациональных выражений не может принимать значение ноль, существует вход 𝑥, который отображается в ноль, что равно 𝑥=−94. Следовательно, диапазон этой функции на самом деле целые действительные числа (ℝ).

Пример 5. Нахождение области определения более сложного рационального выражения

Нахождение области определения вещественной функции 𝑓(𝑥)=𝑥−1610𝑥+70𝑥.

Ответ

Помните, что рациональная функция определена только тогда, когда ее знаменатель отличен от нуля. Следовательно, для нахождения области необходимо найти нули уравнения 10𝑥+70𝑥=0. Чтобы решить это, мы можем факторизовать из 𝑥 получить 𝑥10𝑥+70=0.

Отсюда мы можем видеть, что у нас есть ноль, когда 𝑥=0. квадратичный Однако 10𝑥+70 не имеет настоящих корней. Поэтому единственный ноль знаменатель 𝑥=0. Таким образом, областью определения являются все действительные числа, кроме 0, обозначается ℝ-{0}.

Ключевые точки

Чтобы найти область определения и область значений рациональных функций, запомните следующие шаги:

• привести к знаменателю нуля.
• Чтобы найти диапазон рациональной функции, нам нужно идентифицировать все значения, которые функция не может принять. Часто бывает полезно взглянуть на пределы функции, чтобы помочь нам в этом процессе.
• Может быть полезно рассмотреть график функции, чтобы помочь в процессе определение области и области действия функции.

Домен и диапазон рациональной функции (3 ключевые идеи) – JDM Educational

Когда мы работаем с рациональными функциями, нам часто нужно найти домен и диапазон. Это помогает нам построить график функции, включая любые горизонтальные и вертикальные асимптоты.

Итак, каковы область определения и область значений рациональной функции? Область определения рациональной функции — это множество всех действительных чисел, кроме тех, у которых знаменатель равен нулю. Диапазон рациональной функции — это набор возможных выходных значений, который часто находится при анализе графика или нахождении области определения обратной функции.

Конечно, мы должны уметь пользоваться различными методами разложения на множители (включая разность квадратов, совершенные квадратные трехчлены и т. д.), чтобы иметь возможность находить нули знаменателя рациональной функции.

В этой статье мы поговорим о том, как найти область определения и область значений рациональной функции как с помощью алгебры, так и по графикам.

Начнем.

Домен и диапазон рациональной функции

Во-первых, важно определить ключевые термины. Помните, что рациональная функция есть частное двух многочленов.

То есть рациональная функция R(x) имеет вид P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) — многочлены.

Многочлен представляет собой сумму членов вида a _n x ⁿ , где a _n — коэффициент, а x ⁿ — переменная, возведенная в n-ю степень. For example, the following are polynomials:

Uses Of Trig Functions

Please enable JavaScript

Uses Of Trig Functions

• 5
• 2x + 5
• x ² + 5
• х ² + 3х + 5
• x ³ – 4x ² + 2x – 7
• …и т. д.

Рациональная функция — это просто частное полиномов, подобных приведенным выше. Например, рациональными функциями являются:

• 5 / (х + 1)
• (х — 4) / (х ² — 9)
• — 2 + ^{5) / (x 3 – 4x 2 + 3x – 8)}
• … и т. д.

Теперь, когда мы знаем, что такое рациональная функция, мы можем найти ее область определения и область значений.

Проще говоря:

• Область рациональной функции представляет собой набор входных данных (значений x), которые не приводят к нулевому знаменателю. Например, областью определения f(x) = 1/x являются все действительные числа, кроме x = 0, часто обозначаемые как R – {0}.
• Диапазон рациональной функции представляет собой набор всех возможных выходных значений (y-значений). Например, диапазон g(x) = 1/x ² — все положительные действительные числа, часто обозначаемые как R ⁺ .

Лучший способ проанализировать рациональную функцию — найти область определения путем проверки нулевых знаменателей (чтобы найти область определения), а затем найти возможный набор выходных значений (чтобы найти диапазон).

Графики также могут помочь с обоими этими шагами.

Давайте сначала посмотрим, как найти область определения рациональной функции, а затем мы посмотрим, как найти диапазон.

Как найти область определения рациональной функции

Чтобы найти область определения рациональной функции, нам нужно найти входные данные (значения x), при которых знаменатель равен нулю, и исключить их из области определения.

Итак, допустим, что наша рациональная функция есть f(x) = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) — многочлены. Вот шаги, чтобы найти домен:

1. Во-первых, возьмите многочлен знаменателя и установите его равным нулю; то есть Q(x) = 0,
2. Затем полностью разложите Q(x), используя необходимые методы факторизации (такие как разность квадратов, разложение на множители, трехчлены с совершенными квадратами и т. д.)
3. Затем, после полного разложения Q(x) на множители, выпишите решения уравнения Q(x) = 0.
4. Наконец, запишите домен как действительные числа, исключая решения на шаге 3.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как это работает.

Пример 1. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = 1 / x.

Вы можете увидеть график функции ниже.

Это график рациональной функции f(x) = 1/x. Это также называется обратной функцией. Он является обратным сам себе и имеет горизонтальную асимптоту при x = 0 и вертикальную асимптоту при y = 0,9.0002 Знаменатель представляет собой полином Q(x) = x.

Наш первый шаг — приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x = 0.

Наш второй шаг — полностью разложить Q(x) на множители. Это уже сделано, так как x неприводим.

Наш третий шаг — записать решения для Q(x) = 0. Это дает единственное решение x = 0.

Наш четвертый шаг — записать область определения f(x) как R – {0} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение двух множеств: (-∞, 0)u(0, ∞).]

Пример 2. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = (x + 2) / (x ² – 9).

Вы можете увидеть график функции ниже.

График рациональной функции f(x) = (x + 2) / (x ² – 9) имеет вертикальные асимптоты при x = -3 и x = 3 с горизонтальной асимптотой при y = 0.

Знаменатель представляет собой многочлен Q(x) = x ² – 9.

Наш первый шаг – приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x ² – 9 = 0.

Наш второй шаг – полностью факторизовать Q(x). Заметим, что x ² – 9 – это разность квадратов, которая умножается как (x + 3)(x – 3).

Наш третий шаг — выписать решения для Q(x) = 0. Для (x + 3)(x – 3) = 0 два решения равны x = -3 и x = 3.

Наш четвертый шаг состоит в том, чтобы записать домен f(x) как R – {-3, 3} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение трех множеств: (-∞, -3)u(-3, 3)u(3, ∞).

Пример 3. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = (x ² + 3) / (x ³ + 3x ² + 2x).

Вы можете увидеть график функции ниже.

График рациональной функции f(x) = (x ² + 3) / (x ³ + 3x ² + 2x), имеющей вертикальные асимптоты при x = -2, x = -1, и x = 0, а также горизонтальную асимптоту при y = 0.

Знаменатель представляет собой полином Q(x) = x ³ + 3x ² + 2x.

Наш первый шаг — приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x ³ + 3x ² + 2x = 0.

Наш второй шаг — полностью разложить Q(x) на множители. Мы замечаем, что мы можем выделить GCF (наибольший общий множитель) x, а затем перейти от этого:

x(x ² + 3x + 2) = 0   [вычесть GCF x]

x(x+ 1)(x + 2) = 0

Наш третий шаг — выписать решения Q(x) = 0. Для x(x + 1)(x + 2) = 0 , три решения: x = 0, x = -1 и x = -2.

Наш четвертый шаг — записать область определения f(x) как R – {-2, -1, 0} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение четырех множеств: (-∞, -2)u(-2, -1)u(-1, 0)u(0, ∞).

Пример 4. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = (x ³ + 7x + 1) / (x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x).

Вы можете увидеть график функции ниже.

График рациональной функции f(x) = (x ³ + 7x + 1) / (x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x), имеющей вертикальные асимптоты при x = — 2, -1, 0 и 1, с горизонтальной асимптотой при y = 0.

Знаменатель представляет собой полином Q(x) = x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x.

Наш первый шаг — приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x = 0.

Наш второй шаг – полностью факторизовать Q(x). Попробуем разложить по группам, глядя на пары термов:

• x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x = 0   [Q(x) = 0]
5 (x 9 ⁴ + 2x ³ ) – (x ² + 2x) = 0   [сгруппировать пары терминов, чтобы помочь коэффициенту]
• x ³ (x + 2) – x(x + 2) = 0   [вынести GCF из каждой пары]
• (x ³ – x)(x + 2) = 0
• x(x ² – 1)(x + 2) = 0 [вычесть GCF x из x ³ – x ² ]
• x(x + 1)(x – 1)(x + 2) = 0   [множитель x ² – 1 как разность квадратов]

Наш третий шаг: чтобы выписать решения Q (x) = 0. Для x (x + 1) (x – 1) (x + 2) = 0 четыре решения: x = -2, x = -1, x = 0 , и x = 1.

Наш четвертый шаг — записать область определения f(x) как Р — {-2, -1, 0, 1} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение пяти множеств: (-∞, -2)u(-2, -1)u(-1, 0)u(0, 1)u(1, ∞ ).

Как найти диапазон рациональной функции

Чтобы найти диапазон рациональной функции, мы можем воспользоваться несколькими подходами.

Один из способов найти обратную функцию и взять ее область определения, которая является диапазоном исходной функции.

Другой метод — построить график функции и использовать его, чтобы помочь нам найти диапазон (используя горизонтальные асимптоты).

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как это работает.

Пример 1. Найдите область значений рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = 1/x.

Поскольку эта функция обратима в области определения (x не равен нулю), мы можем найти обратную и использовать тот факт, что область значений функции f(x) является областью определения ее обратной функции f ^-1 (x) .

Итак, у нас есть функция f(x) = 1/x. Мы используем стандартные шаги, чтобы найти обратную функцию:

• f(x) = 1/x   [исходная функция]
• y = 1/x   [заменить f(x) на y]
• x = 1/y 9014 x и y [переключить переменные]
• xy = 1   [умножить на y с обеих сторон]
• y = 1/x   [разделить на x с обеих сторон]
• f ^-1 (x) = 14/4 [заменим y на f ^-1 (x)]

Итак, наша обратная функция: f ^-1 (x) = 1/x. Мы можем видеть, что эта рациональная функция имеет знаменатель x, который равен нулю, когда x = 0.

Итак, домен f ^-1 (x) равен R – {0} . Это означает, что диапазон f(x) равен 90 143 R – {0} 90 144 . Мы можем убедиться в этом с помощью графика функции, показанного ниже.

График рациональной функции f(x) = 1/x, у которого область значений x не равна нулю, а диапазон значений y не равен нулю.

Пример 2. Найдите область значений рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = 1 / (x ³ – 8).

Поскольку эта функция обратима в области определения (x не равно 2), мы можем найти обратную и использовать тот факт, что областью значений функции f(x) является область определения ее обратной функции f ^-1 (x) .

Итак, у нас есть функция f(x) = 1 / (x ³ – 8). Мы используем стандартные шаги, чтобы найти обратную функцию:

• f(x) = 1 / (x ³ – 8)   [исходная функция]
• y = 1 / (x ³ – 8)   [заменить f(x) на y]
• x = 1/(y ³ – 8)     [переставить переменные x и y]
• x(y ³ – 8) = 1   [умножить на y ³ – 8 с обеих сторон]
• y ³ – 8 = 1/x   [разделить на x с обеих сторон]
• 6
  = (1/x) + 8)   [добавьте 8 к обеим сторонам]
  • y ³ = (8x + 1)/x   [общий знаменатель 8]
  • y = ^{6 √ 3 (8x + 1)/x)}   [извлечь кубический корень из обеих частей]

  Итак, наша обратная функция: f ^-1 (x) = ³ √((8x + 1)/8). Обратите внимание, что знаменатель подкоренной дроби не может быть равен нулю. Итак, х не равен нулю.

  Обратите внимание, что здесь у нас может быть отрицательное подкоренное число, поскольку мы берем кубический, а не квадратный корень.

  Итак, домен f ^-1 (x) равен R – {0} . Это означает, что диапазон f(x) равен 90 143 R – {0} 90 144 . Мы можем убедиться в этом с помощью графика функции, показанного ниже.

  Это график рациональной функции f(x) = 1 / (x ³ – 8), которая имеет вертикальную асимптоту при x = 2 и горизонтальную асимптоту при y = 0.

  Пример 3: Найдите диапазон рациональной функции

  Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = x / (x – 1).

  Так как эта функция обратима на области определения (x не равно 1), мы можем найти обратную и использовать тот факт, что областью значений функции f(x) является область определения ее обратной функции f ^-1 ( х) .

  Итак, у нас есть функция f(x) = x / (x – 1). Мы используем стандартные шаги, чтобы найти обратную функцию:

  • f(x) = x / (x – 1)   [исходная функция]
  • y = x / (x – 1)   [заменить f(x) на y]
  • x = y / (y – 1)   [переставить переменные x и y]
  • x(y– 1) = y   [умножить на y – 1 с обеих сторон]
  • xy – x = y   [распределить через круглые скобки]
  • xy – y = x [изолировать y слева]
  y(x 901 – 1) = x   [вынести y]
  • y = x / (x – 1)   [разделить на x – 1 с обеих сторон]

  Итак, наша обратная функция равна f ^-1 (х) = х / (х — 1). Знаменатель x – 1 не может быть равен нулю, поэтому область определения f ^-1 (x) равна R – {1} .

  Это означает, что диапазон f(x) равен R – {1} . Мы можем убедиться в этом с помощью графика функции, показанного ниже.

Бросить монетку онлайн

Зачем подбрасывают монетку?

Подбрасывание монеты – это действие, которое достаточно часто используется в повседневной жизни, как теория вероятности при «генерации случайностей».

Для того чтобы подбросить монетку, необходимо совершить действие, которое очень часто в повседневной жизни и в теории вероятности выступает, как генератор некой случайности. При этой теории монетка может выдавать такие позиции, как орёл и решка:

Орёл

Решка

В качестве развлечения могут использоваться две монеты, а также три монеты по нескольку раз. Эти действия с монетками могут понадобиться при необходимости принять какое-либо решение из двух разных вариантов, как правило, это может возникать при различных спорах. Также подбрасывать монетку можно во время игры, типа орлянки или при жеребьевке разных видов спорта, например, перед футбольным матчем.

При подкидывании монеты всегда очень важны именно ее вращательные движения и колебания, а также при падении в конце траектории вероятность ее отскока.

Американские математики продемонстрировали наличие определенной методики, которая позволяет бросить монетку таким образом, чтобы она не переворачивалась в воздухе. Внешне такой бросок будет совершенно обычным. Но если овладеть определенным мастерством и хорошенько потренироваться, то данный прием можно использовать при работе с фокусами или в каких-то профессиональных играх. Иногда при броске монетка может вставать на ребро, но это происходит достаточно редко.

Примеры использования подбрасывания монеты

Вот ещё несколько примеров использования подбрасывания монеты в жизни.

🦅 Игра «Орлянка»

Смысл данной игры достаточно прост. Необходимо подкинуть монету и смотреть на то, как она упала. Если сверху на монете окажется изображение орла, то выиграет первый бросивший игрок, если будет изображение решки — то победу одержит, соответственно, второй игрок. При падении монетки всегда существует почти 100% вероятность того, что монетка упадет на одну из сторон, а не встанет на ребро.

🪙 Игра «Ту-ап»

В этой игре сначала игроками и зрителями делаются ставки на какую-либо комбинацию, после чего игрок занимает позицию в центре круга со специальной дощечкой в руках. На этой дощечке находятся две монеты. Одна из них лежит кверху «решкой», а другая — «орлом».

Игрок начинает подкидывать с дощечки монеты и если обе выпадут в позиции «орёл», то этот игрок выиграл, а если в комбинации будет одна «решка» и один «орёл», то участник должен сделать еще один бросок. В случае, если выпадет две «решки» — игрок проиграл и должен передать ход следующему участнику.

За процессом соблюдения всех правил, а также за ставками в игре следит специальный арбитр.

⚽ Перед футбольным матчем

Перед началом матча рефери подбрасывает монетку для того, чтобы определить прерогативу по введению мяча в игру и определить какая из команд первой будет начинать игру с центрального круга, а какая — с ворот.

Монетка с помощью изображения решки или орла способна решить исход этого судьбоносного жребия в матче. По сути, монетка является очень важным атрибутом каждого судьи. Зачастую наличие эффективного подкидывания монетки является хорошим фундаментом для победы команды, которая угадает правильную сторону.

🧘 Техника «Прояснение чувств»

Данная техника приписывается Зигмунду Фрейду. Она необходима для оказания помощи в принятии каких-то трудных решений. Заключается в подбрасывании монеты не для самого определения решения, а для того, чтобы прояснить именно чувства того лица, которое принимает решение.

Зигмунд Фрейд объяснял свои доводы так: «Вы не должны всегда слепо следовать тому, что говорит монета. Вы должны обратить внимание на что она указывает, а уже после этого проследить за своими собственными реакциями. Вы должны спросить сами себя: доволен ли я всем этим? А может быть я разочарован?»

Именно это, по словам знаменитого психолога, помогает понять, как человек на самом деле относится к тому или иному вопросу глубоко внутри себя.

Взяв это за основу, такой человек всегда будет готов прийти к верному умозаключению и принять правильное решение.

🤔 Задачи с монеткой на вероятность

Для таких задач отлично подходят формулы, по которым определяется вероятность:

m / n = P

n — является числом исходов с подбрасыванием монеты;

m — число исходов, благоприятных какому-то событию.

А как именно определить эти исходы?

Для этого нужно два раза бросить монету и найти вероятность того, что орёл выпадет именно 1 раз.

• P — это решка
• О — это орёл

Формула выпадения записывается в таком виде: РР, ОР, РО, ОО.

Это говорит о том, что выпало 2 решки, после этого орёл+решка, затем решка+орёл, а в конце — 2 орла. При подсчете данной комбинации получается n — 4.

Далее определяются только те комбинации, которые подходят под условие, где орёл выпадает только 1 раз. Вот эти комбинации: ОР и РО.

В итоге получается m — 2.

Таким образом формула вероятности будет выглядеть так: P=2/4=1/2=0.5

🎲 Ошибка игрока и ложный вывод Монте-Карло

Очень часто людям кажется, что предыдущие подбрасывания каким-то волшебным образом влияют на все последующие. То есть, если, например, 5 раз подряд выпала решка, то создается впечатление, что вероятность выпадения орла в 6 раз выше, хотя на самом деле она равна 50%, так как сами события между собой совершенно независимы.

Ошибка игрока подразумевает под собой неверное понимание череды событий, дающих убеждение в том, что будущие отклонения в противоположном направлении становятся более вероятными. Но тогда каждое событие следует рассматривать в отдельности не как в цепи событий, а как статистически независимые от предыдущих событий.

Реальные эксперименты с подбрасыванием монеты

Существует мнение, что при многократном подбрасывании монеты выпадет примерно одинаковое количество орлов и решек (50х50). Но достоверные опыты Жоржа-Луи Леклерка и графа де Бюффона доказывают, что такая вероятность может отклоняться. И это неудивительно, ведь подкидывание монетки — это независимые и совершенно случайные события.

Ниже показана таблица с результатами опытов де Бюффона в играх.

По предположению графа, нормальная плата, например, за одну партию игры должна быть примерно 5 экю, а не огромной суммой, как показывает теория вероятности.

Для обоснования этого вывода де Бюффон выдвинул остроумные аргументы, которые, надо признать, были с формально математической точки зрения ошибочными и содержали идеи относительно практической невозможности наступления событий самой минимальной вероятности и полезности денег.

❓Вопросы и ответы

А также обратите внимание на ответы на некоторые часто задаваемые вопросы.

Если монетку подбросить 2 раза, будет ли вероятность того, что оба раза выпадет решка?

Такая вероятность составляет 25%, поскольку 50% будет в первый раз и 50% во второй. А так как эти события независимые, то и вероятности перемножаются.

Если монету бросить 2 раза и при этом выпадет решка, какая существует вероятность, что решка выпадет и в третий раз?

Вероятность — 50%, поскольку каждый новый бросок является независимым событием.

Зачем бросают монетку в воду?

Существует примета, согласно которой для того, чтобы вернуться на место, в котором находится человек, необходимо бросить монетку в воду.

Может ли монетка упасть на ребро?

В жизни, возможно, такое и случается, но у нас на сайте — это исключено и существует только 2 варианта — либо орёл, либо решка.

Поделитесь в соцсетях

Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

Бросить монетку онлайн, кинуть монетку бесплатно

Судьба — сложная штука. Предопределить её очень сложно, так же как и принять верное решение без онлайн гадания. Порой человека одолевают сомнения в правильности выбранного пути, и тут уже к гадалке не ходи — нужно что-то решать. Бесплатный онлайн сервис бросить монетку решит вашу дилемму в онлайн режиме.

Настройки:

Основные:

Вид:

Количество: min=»1″, max=»20″

Оформление:

Результат:

Всего монеток: 0

True: 0 ^0.00%

False: 0 ^0.00%

84.02%

Перевести обыкновенную дробь в десятичную. Калькулятор онлайн.

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Десятичные дроби стали использовать для более удобной записи обыкновенных дробей.

Чтобы записать десятичную дробь необходимо целую и дробную части отделить друг от друга запятой.

Если дробь не содержит целой части, необходимо поставить ноль перед запятой. Если дробь имеет знаменатель вида 10, 100, 1000 и т.д. и количество цифр в числителе меньше, чем в знаменателе, то для перевода такой дроби в обыкновенную необходимо посчитать число цифр в числителе и число нулей в знаменателе. Например, у дроби

12

1000

(ноль целых 12 тысячных) 2 цифры в числителе и 3 ноля в знаменателе. 3 – 2 = 1, следовательно, необходимо записать один ноль после запятой

12

1000

= 0,012

Приведем еще пример, дробь

У этой дроби в числителе 1 цифра, 3 ноля в знаменателе. 3 – 1 = 2, следовательно, необходимо записать два ноля после запятой

= 0,003

И последний пример, дробь

У данной дроби в числителе 2 цифры и в знаменателе 2 ноля. 2 – 2 = 0, следовательно, не нужно добавлять ноль после запятой

= 0,12

В случае если знаменатель дроби является числом отличным от чисел типа 10, 100, 1000 и т.д., то тогда необходимо такую дробь привести к знаменателю вида 10, 100, 1000 и т.д. Первым делом необходимо привести дробь к несократимому виду. Затем разложить знаменатель дроби на простые множители.

Если в разложении будет хотя бы один множитель отличный от 2 или 5, то такую дробь можно представить только в виде бесконечной десятичной дроби.

Если в разложении дроби все множители являются числами 2 или 5, тогда необходимо сделать так, чтобы число двоек и пятерок было одинаковым. Для этого нужно до множить числитель и знаменатель дроби на недостающее количество двоек или пятерок. Например,

=

1

2∙2∙2∙5

=

1∙5∙5

2∙2∙2∙5∙5∙5

=

25

1000

= 0,025

Приведем еще один пример

5

301

200

=

6

101

200

=

6

101

2∙2∙2∙5∙5

=

6

101∙5

2∙2∙2∙5∙5∙5

=

6

505

1000

= 6,505

Приведем пример бесконечной десятичной дроби

= 0,333333333333333. ..

При переводе данной дроби в десятичную получается бесконечная десятичная дробь.

Более подробно о десятичных дробях можно прочитать в данной статье.

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N2 | Двоичная система счисления

N3 | Троичная система счисления

N4 | Четырехичная система счисления

N5 | Пятеричная система счисления

N6 | Шестеричная система счисления

N7 | Семеричная система счисления

N8 | Восьмеричная система счисления

N9 | Девятеричная система счисления

N11 | Одиннадцатиричная система счисления

N12 | Двенадцатеричная система счисления

N13 | Тринадцатеричная система счисления

N14 | Четырнадцатеричная система счисления

N15 | Пятнадцатеричная система счисления

N16 | Шестнадцатеричная система счисления

N17 | Семнадцатеричная система счисления

N18 | Восемнадцатеричная система счисления

N19 | Девятнадцатеричная система счисления

N20 | Двадцатеричная система счисления

N21 | Двадцатиодноричная система счисления

N22 | Двадцатидвухричная система счисления

N23 | Двадцатитрехричная система счисления

N24 | Двадцатичетырехричная система счисления

N25 | Двадцатипятеричная система счисления

N26 | Двадцатишестеричная система счисления

N27 | Двадцатисемеричная система счисления

N28 | Двадцативосьмеричная система счисления

N29 | Двадцатидевятиричная система счисления

N30 | Тридцатиричная система счисления

N31 | Тридцатиодноричная система счисления

N32 | Тридцатидвухричная система счисления

N33 | Тридцатитрехричная система счисления

N34 | Тридцатичетырехричная система счисления

N35 | Тридцатипятиричная система счисления

N36 | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Калькулятор делителей числа

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Деление дробей онлайн с решением. Калькулятор деления дробей.

Чтобы разделить дробь на дробь нужно умножить первую дробь на дробь обратную второй.

Правила деления дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь обратную делителю

÷

=

×

=

a × d

b × c

Как делить обыкновенные дроби

Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно вторую дробь сделать обратной затем умножить на вторую дробь по правилам умножения дробей.

Разберём пример: разделим дробь 1/4 на 1/3. Для этого развернём вторую дробь 3/1. Получится выражение 1/4 &times 3/1. Перемножим числители 1 × 3 = 3 и знаменатели 4 × 1 = 4 в итоге у нас получится дробь 3/4

÷

=

×

=

1 × 3

4 × 1

=

Как разделить натуральное число на дробь

Чтобы разделить натуральное число на дробь, нужно сделать дробь обратной. Числитель обратной дроби умножить на натуральное число а знаменатель обратной дроби останется без изменения.

÷

=

×

=

a × c

b

Как разделить смешанную дробь на целое число

Чтобы разделить смешанную дробь на целое число нужно смешанную дробь перевести в неправильную. Затем целое число представить в виде обратной дроби и умножить на неправильную дробь. После чего выполнить умножение обыкновенных дробей.

Разберём пример: разделим смешанную дробь 3 целые 3/4 на целое число 7.

Перед делением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 3 целые 3/4 = 15/4. Представим целое число в виде обратной дроби7 это 1/7. Умножим дроби 15/4 и 1/7. Перемножим числители 15*1 = 15, перемножим знаменатели4*7 = 28

÷

=

3 × 4 + 3

4

÷

=

÷

=

×

=

15 × 1

4 × 7

=

Как разделить смешанную дробь на смешанную дробь

Для деления смешанной дроби ра смешанную дробь нужно обе дроби представить в виде неправильных. Затем вторую дробь преобразовать в обратную. После чего перемножить обе дроби по правилам умножения обыкновенных дробей.

Разберём пример: разделим смешанную дробь 2 целые 3/5 на смешанную дробь 3 целые 1/2

Преобразуем обе дроби в неправильные

÷

=

2 × 5 + 3

5

÷

3 × 2 + 1

2

=

÷

Развернём вторую дробь и изменим знак деления на умножение

Перемножим дроби по правилам умножения обыкновенных дробей

×

=

13 × 2

5 × 7

=

Разделить дробь 20/16 на дробь 9/22
Разделить дробь 5/2 на дробь 4/4
Разделить дробь 22/13 на дробь 11/7
Разделить дробь 5/22 на дробь 24/11
Разделить дробь 23/2 на дробь 1/25
Разделить дробь 12/8 на дробь 3/15

Похожие калькуляторы

Перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную дробь

Перевести десятичную дробь в обыкновенную

Привести дробь к новому знаменателю

Умножение дробей

Преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь

Преобразовать неправильная дробь в смешанную дробь

Сравнение дробей

Сложение дробей

Вычитание дробей

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Сократить дробь

Калькулятор дробей

Базовый калькулятор

Порядок/сортировка дробей

Используйте целые числа, десятичные дроби, дроби, смешанные числа или проценты
через запятую

В порядке возрастания от наименьшего к наибольшему
По убыванию от наибольшего к наименьшему

Ответ:

Порядок от наименьшего к наибольшему

-1/8 < 0,33 < 3/8 < 75% < 1 5/8

7

Как рассчитать радиус? – Обзоры Вики

Как найти радиус круга?

1. Когда диаметр известен, формула Радиус = Диаметр/2.
2. Когда длина окружности известна, формула Радиус = Окружность/2u03c0.
3. Когда площадь известна, формула для радиуса: Радиус = u23b7(Площадь круга/u03c0).

Отсюда, как вы находите радиус круга калькулятор? Чтобы найти радиус по окружности круга, вам нужно сделать следующее:

1. Разделите длину окружности на u03c0 или 3.14 для оценки. В результате получится диаметр круга.
2. Разделите диаметр на 2.
3. Итак, вы нашли радиус круга.

Радиус равен половине диаметра? Радиус половина длины диаметра.

Дополнительно Как найти радиус от площади? Чтобы найти радиус, разделите площадь на пи, затем извлеките квадратный корень.

Как найти радиус из объема? Ответ: Чтобы найти радиус сферы с объемом, мы используем формулу: г = (3В/4π)

Что такое радиусы в окружности?

В классической геометрии радиус круга или сферы равен любой из отрезков от центра до периметра, а в более современном использовании это также их длина. Название происходит от латинского радиуса, означающего луч, но также и спицы колеса колесницы.

Как найти радиус окружности в общем виде? Общая форма уравнения окружности: x² + у² + 2gx + 2fy + c = 0. Эта общая форма уравнения окружности имеет центр (-g, -f), а радиус окружности равен г = √g2+f2−cg2 + f2−c.

Как найти радиус через объем и высоту? Радиус цилиндра(г) = √ (V / π × h), где V — объем цилиндра, h — высота цилиндра, а π (Pi) — математическая константа с приблизительным значением 3.14.

Как найти радиус сферы с помощью уравнения?

Общее уравнение сферы: (x — a) ² + (y — b) ² + (z — c) ² = r², где (a, b, c) представляет центр сферы, r представляет радиус, а x, y и z — координаты точек на поверхности сферы.

Также Как вы находите радиус сферы с объемом? Как рассчитать радиус сферы?

1. Радиус = Диаметр / 2. Когда указана площадь поверхности, формула, используемая для определения радиуса сферы, выглядит так:
2. Радиус = ⎷ [Площадь поверхности / (4 π)] Когда задан объем, формула, используемая для определения радиуса сферы, выглядит следующим образом:
3. Радиус = ³⎷ [3 * Объем / (4 π)]

Радиус и радиус одинаковы?

Радиусы множественное число слова радиус.

Что означает радиус в математике? прямая линия, идущая от центра круга или сферы к окружности или поверхности: Радиус круга равен половина диаметра. длина такой строчки.

Радиус и радиус это одно и то же?

Радиус круга, который мы используем для единственного члена и слово радиусы используется для обозначения множественного числа.

Как найти радиус с высотой?

Все они были получены непосредственно из приведенных выше уравнений.

1. Заданные высота и объем: r = √ (V / (π * h)),
2. Заданная высота и поперечная площадь: r = A_l / (2 * π * h),
3. Заданная высота и общая площадь: r = (√ (h² + 2 * A / π) — h) / 2,
4. Заданные высота и диагональ: r = √ (h² + d²) / 2,

Как найти радиус через диаметр? Просто не забудьте разделите диаметр на два чтобы получить радиус. Если бы вас попросили найти радиус вместо диаметра, вы бы просто разделили 7 футов на 2, потому что радиус составляет половину меры диаметра.

Каков радиус сферы? Радиус круга или сферы равен равно диаметру, деленному на 2.

Как найти недостающий радиус сферы?

Как найти радиус сферы без диаметра?

Что такое радиус во множественном числе? имя существительное. радиус · нас | ˈrā-dē-əs множественное число радиусы rā-dē-ī также радиусы.

Что такое единственное число радиусов?

Множественное число слова «радиус» на самом деле ‘радиусы’. Вместо добавления «-s» в конце, чтобы сделать его множественным, добавляется второе «i», потому что радиус…

Как называется половина радиуса? В математике (а точнее в геометрии) полукруг — одномерное геометрическое место точек, образующее половину окружности. Полная дуга полукруга всегда равна 180 ° (эквивалентно π радиан или пол-оборота).

Каков пример радиусов?

Радиус — это линия от центра к внешней стороне круга или сферы. Пример радиуса спица велосипедное колесо. Круглая площадь, измеряемая заданным радиусом.

Сколько радиусов в радиусе?

Расстояние между центром круга и его окружностью называется его радиусом. Мы можем провести столько радиусов в точку на окружности, соединив центр. Таким образом каждый круг имеет бесконечное количество радиусов.

Радиус кривой Калькулятор | Вычислить Радиус кривой

👎

Формула

сбросить

👍

Радиус кривой Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Степень изгиба: 60 степень —> 1.0471975511964 Радиан (Проверьте преобразование здесь)

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

95.4929666666847 метр —> Конверсия не требуется

< 25 Круговые кривые Калькуляторы

Центральный угол кривой для заданного касательного расстояния

Идти Центральный угол кривизны = (Расстояние по касательной/(sin(1/2)*Радиус круговой кривой)*(pi/180))

Радиус кривой с использованием касательного расстояния

Идти Радиус круговой кривой = Расстояние по касательной/(sin(1/2)*(Центральный угол кривизны*(180/pi)))

Радиус кривой с использованием внешнего расстояния

Идти Радиус круговой кривой = Внешнее расстояние/((sec(1/2)*(Центральный угол кривизны*(180/pi)))-1)

Центральный угол кривой для данной длины длинной хорды

Идти Центральный угол кривизны = (Длина длинной хорды/(2*Радиус круговой кривой*sin(1/2)))*(pi/180)

Точное расстояние по касательной

Идти Расстояние по касательной = Радиус круговой кривой*tan(1/2)*(Центральный угол кривой*(180/pi))

Внешнее расстояние

Идти Внешнее расстояние = Радиус круговой кривой*(sec(1/2)*(Центральный угол кривизны*(180/pi))-1)

Радиус кривой при заданной длине длинной хорды

Идти Радиус круговой кривой = Длина длинной хорды/2*sin(1/2)*(Центральный угол кривизны*(180/pi))

Длина длинной хорды

Идти Длина длинной хорды = 2*Радиус круговой кривой*sin(1/2)*(Центральный угол кривизны*(180/pi))

Длина кривой или хорды по центральному углу с учетом смещения касательной для хорды длины

Идти Длина кривой = sqrt(Смещение касательной*2*Радиус круговой кривой)

Радиус кривой с использованием Midordinate

Идти Радиус кривой = Средняя/(1-(cos(1/2)*(Центральный угол кривизны)))

Длина кривой или хорды, определяемая центральным углом при заданном смещении хорды для хорды длины

Идти Длина кривой = sqrt(Смещение аккорда*Радиус круговой кривой)

Длина кривой или хорды по центральному углу при заданном центральном угле части кривой

Идти Длина кривой = (100*Центральный угол для части кривой)/Степень изгиба

Центральный угол участка кривой приблизительно для определения хорды

Идти Центральный угол для части кривой = (Степень изгиба*Длина кривой)/100

Центральный угол участка кривой точно для определения дуги

Идти Центральный угол для части кривой = (Степень изгиба*Длина кривой)/100

Длина кривой с учетом центрального угла для части кривой

Идти Длина кривой = (Центральный угол для части кривой*100)/Степень изгиба

Степень изгиба при центральном угле участка кривой

Идти Степень изгиба = (100*Центральный угол для части кривой)/Длина кривой

Смещение касательной для хорды длины

Идти Смещение касательной = Длина кривой^2/(2*Радиус круговой кривой)

Центральный угол кривой для данной длины кривой

Идти Центральный угол кривой = (Длина кривой*Степень изгиба)/100

Степень изгиба для данной длины изгиба

Идти Степень изгиба = (100*Центральный угол кривой)/Длина кривой

Точная длина кривой

Идти Длина кривой = (100*Центральный угол кривой)/Степень изгиба

Приблизительное смещение хорды для хорды длины

Идти Смещение аккорда = Длина кривой^2/Радиус круговой кривой

Степень изгиба для данного радиуса изгиба

Идти Степень изгиба = (5729. 578/Радиус кривой)*(pi/180)

Радиус кривой

Идти Радиус кривой = 5729.578/(Степень изгиба*(180/pi))

Радиус кривой с использованием степени кривой

Идти Радиус кривой = 50/(sin(1/2)*(Степень изгиба))

Радиус кривой точно для хорды

Идти Радиус кривой = 50/(sin(1/2)*(Степень изгиба))

Радиус кривой формула

Радиус кривой = 5729. 578/(Степень изгиба*(180/pi))
R_C = 5729.578/(D*(180/pi))

Как рассчитать радиус кривой?

Радиус кривой может быть рассчитан точным и приближенным методом с использованием эмперических формул, полученных для дорог.

Share

Copied!

Измерьте радиус Земли с помощью секундомера

    время между исчезновениями угол, на который вращается Земля
    "=" -----------
         целый день 360 градусов
 

Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

135.4K

Признак делимости — это алгоритм, который помогает быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Рассмотрим алгоритмы для чисел от 1 до 10.

Понятие делимости

Признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые позволяют определить, кратно число делителю или нет.

Свойства делимости:

1. Все целые числа делятся на единицу.

2. Каждое целое число, не равное нулю, делится на натуральное число, равное модулю от данного целого.

3. Все натуральные числа являются делителями нуля.

4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

6. Единственный делитель единицы — сама единица.

7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b, необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

8. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости можно использовать при решении задач и доказательстве теорем.

Четные числа — это числа, которые делятся на два: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. Ноль тоже относится к четным числам.

Нечетные числа — это числа, которые на два не делятся: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Признаки делимости

Рассмотрим признаки делимости на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Признак делимости на 1

Каждое целое число делится на 1.

Признаки делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра четная.

Пример: число 2164 делится на 2, так как последняя цифра (6) — четная.

Признаки делимости на 3

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

Пример: число 81 300 делится на 3, так как сумма его цифр 8 + 1 + 3 + 0 + 0 = 12 делится на 3.

Признаки делимости на 4

Число делится на 4, если две последние его цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

Примеры:

• число 37 100 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями;

• число 7524 делятся на 4, так как две последние цифры (24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5

На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5.

Пример: число 450 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признаки делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

Примеры:

• число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3;

• число 861 не делится на 6, так как оно делится на 3, но не делится на 2.

Признаки делимости на 7

Делимость на число 7 можно проверить так:

1. Последнюю цифру числа умножить на два.

2. Полученное произведение вычесть от оставшегося числа (без последней цифры).

3. Полученная разность должна быть кратна 7.

Пример: число 343 делится на 7, так как 34 − (2 · 3) = 28, и 28 делится на 7.

Признаки делимости на 8

На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.

Пример:

• число 11 000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями;

• число 12 128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признаки делимости на 9

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Пример: число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10

На 10 делятся те числа, которые оканчиваются на ноль или несколько нулей.

Пример:

• число 980 делится на 10;

• число 462 не делится на 10 — последняя цифра 2.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

435.2K

Область определения функции

К следующей статье

Простые и составные числа

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Делимость натуральных чисел.

Признаки делимости.

1. Делители и кратные
2. Признаки делимости
3. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители
4. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)

Сегодня мы расскажем про делители и кратные натуральных чисел. Вам будет интересно узнать про признаки делимости чисел и деление всех чисел на простые и составные. Мы рассмотрим разложение на простые множители и научимся находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел.

Делители и кратные

Предположим, у нас с вами есть 6 яблок, и мы хотим разделить их поровну между двумя нашими друзьями. Мы можем это сделать — каждый получит по три яблока. А между тремя? Тогда каждый получит по 2 яблока. А между четырьмя друзьями? Можно ли разделить поровну, в том смысле, чтобы каждый получил целое количество яблок? Нельзя! Шесть на четыре нацело не делится. Между пятью  тоже нельзя.

Всё просто. Шесть делится нацело на 1, 2, 3 и 6. Эти числа 1236 называются делителями числа 6. Они его делят нацело, а число 6, в свою очередь, делится на них нацело и называется кратным этим числам. Число 6 кратно одному, кратно двум, кратно трём и кратно 6.

Нетрудно заметить, что у любого натурального числа есть хотя бы как минимум два делителя — это единица и само это число, кроме единицы, потому что единица делится нацело только на единицу.

Делителем натурального числа А называется натуральное число, на которое А делится нацело.

Кратным числу А называется натуральное число, которое делится на А нацело.

Нетрудно заметить, что любое натуральное число имеет бесконечно много кратных, наименьшее из которых — само это число.

Признаки делимости

Какие бывают признаки делимости натуральных чисел? Рассмотрим число 123456, можете сказать об этом числе по внешнему виду. Как по внешнему виду определить, на что можно разделить это число. Это и есть признаки делимости натуральных чисел

Признак делимости на 2

На 2делится любое натуральное число, запись которых заканчивается на 0, 2, 4, 6

Например, очень большое число 120345876568 точно делится на два, так как его запись оканчивается цифрой 8

Так же следует запомнить, что любое число, которое делится на 2, а также число, которое заканчивается либо на 0, либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо на 8, называются четным.

Любое число, которое не делится на два, то есть заканчивается либо на 1, либо на 3, либо 5, либо на 7 или 9, называется, соответственно, нечетным.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр любого натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Число 156879 делится на 3, так как 1+5+6+8+7+9=36 делится на 3.

Признак делимости на 4

Если в записи числа последние две цифры образуют число, которое делится на 4, то такое число делится на 4.

Число 362836 делится на 4, так как последние 2 цифры образуют число 36, которое делятся на 4.

Признак делимости на 5

Если запись числа оканчивается на цифру либо 0, либо 5, такое число делится на 5.

Признак делимости на 6

Если число делится на 2 и на 3 одновременно, то оно делится на 6.

Признак делимости на 8

Если в записи числа последние три цифры образуют число, которое делится на 8, то такое число делится на 8.

Число 12586023064 делится на 8, так как последние 3 цифры образуют число 64, которое делятся на 8.

Признак делимости на 9

Этот признак делимости похож на 3. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.

Признак делимости на 25

Если в записи числа последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 25, то такое число делится на 25.

Признак делимости на 10

Если число оканчивается на 0 то, оно делится на 10.

 

Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители

Натуральное число называют простым, если оно имеет 2 делителя — единица и самое это число. То есть, если натуральное число не делится нацело ни на что, кроме как на единицу и на само это число, то такое число – простое.

Теперь, зная определение простых чисел, узнаем, какое существует наименьшее простое число. Единица? Нет, единица имеет только один делитель, а по определению простое число имеет два.

Наименьшее простое число — это 2. Оно делится на 2 и на 1. 2 — это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа – нечетные.

Но необязательно нечетное число является простым. Те числа, которые имеют больше двух делителей, называются составными.

Куда отнести тогда единицу, спросите вы? Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.

Любое составное число можно представить в виде двух множителей, каждый из которых больше единицы.

Разложение натурального числа на простые множители:

Шаг 1.

Выберите число, которое необходимо разложить на простые множители

Шаг 2.

Убедитесь в том, что это число составное, то есть делится еще на какие-то числа, кроме единицы и самого себя. В этом вам помогут признаки делимости чисел.

Шаг 3. Нарисуйте схему, как на рисунке. У нас есть черта, слева от неё записываем числа, которые будут получаться в результате разложения, а справа нужные нам простые множители. Сразу проверяем, делится ли исходное число на 2. В нашем случае делится. Записываем 2 справа. Результат деления исходного числа на 2, а именно 142, записываем слева. Таким образом, мы проверяем каждый раз, на какие простые числа делится следующий результат деления. Когда получилось 71, проверяем, на какие простые числа делится 71. Число 71 не делится ни на что, кроме как на единицу и на само себя. Поэтому записываем число 71 справа, как простое число, а результат деления единицу записываем слева. Именно единицей должна оканчиваться любая схема разложения. Проверяем, чтобы справа были все простые числа. Получилось следующее разложение: 284 равно 2 * 2 * 71

 

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)

Для того чтобы усвоить данную тему, следует хорошо разобраться в том, как раскладывать число на простые множители.

Наибольшим общим делителем (НОД) называют наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.

Как найти НОД? Для этого нужно выполнить два пункта:

1. Разложите два числа на простые множители

2. Найдите произведение общих делителей этих чисел

Наименьшим общим кратным (НОК) называется наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел.

Как найти НОК двух чисел?

1. Разложите эти два числа на простые множители

2. Запишите разложение одного из этих чисел

3. Дописать в это разложение те множители другого разложения, которые еще не вошли в данное разложение, и вычислить произведение всех получившихся чисел.

Правил доказательства делимости | Brilliant Math & Science Wiki

Тапас Мазумдар, Ада Мизи, Самир Хан, и

способствовал

Содержимое

• Правила делимости для некоторых выбранных целых чисел
• Доказательства
• Делимость на 2 (Аналогично для 5 и 10)
• Делимость на 3 (аналогично 9)
• Делимость на 4 (аналогично 25)
• Делимость на 6
• Делимость на 7
• Делимость на 8 (аналогично 125)
• Делимость на 11
• Делимость на 12
• Делимость на 13
• Смотрите также

• Делимость на 1: Каждое число делится на \(1\).
• Делимость на 2: Число должно иметь \(0, \2, \4, \6,\) или \(8\) в качестве разряда единиц.
• Признак делимости на 3: Сумма цифр числа должна делиться на \(3\).
• Признак делимости на 4: Число, образованное разрядом десятков и единиц, должно делиться на \(4\).
• Делимость на 5: Число должно иметь \(0\) или \(5\) в качестве разряда единиц.
• Делимость на 6: Число должно делиться как на \(2\), так и на \(3\).
• Делимость на 7: Абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, должна делиться на \(7\) (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не придем к достаточно малому числу). число).
• Признак делимости на 8: Число, образованное разрядом сотен, десятков и единиц, должно делиться на \(8\).
• Делимость на 9: Сумма цифр числа должна делиться на \(9\).
• Делимость на 10: Число должно иметь \(0\) в качестве разряда единиц.
• Делимость на 11: Абсолютная разница между суммой чередующихся пар цифр должна делиться на \(11\).
• Делимость на 12: Число должно делиться как на \(3\), так и на \(4\).
• Делимость на 13: Сумма четырехкратных цифр единиц с числом, образованным остальными цифрами, должна делиться на \(13\) (этот процесс можно повторять много раз, пока мы не придем к достаточно малому числу). число).
• Делимость на 25: Число, образованное разрядом десятков и единиц, должно делиться на \(25\).
• Признак делимости на 125: Число, образованное разрядом сотен, десятков и единиц, должно делиться на \(125\).

Теперь мы обсудим вывод этих правил. В каждом доказательстве переменная будет иметь вид

\[ N = \overline {a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1 a_0}\]

\[\text{or}\ ] 9k,\), где \(k \ge 1,\) всегда делится на \(5\) и \(10\) и, следовательно, значения, подходящие для \(a_0\) в этом случае, равны \(0\ ) и \(5\) для числа \(5\) и \(0\) для числа \(10\), тем самым подтверждая признаки делимости \(5\) и \(10\). k — 1,\), где \(k \ge 1,\) всегда делится на \(9\) и, следовательно, сумма цифр числа в этом случае должна делиться на \(9\), так что само число делится на \(9\), тем самым доказывая признак делимости \(9\) .

Любое число, у которого цифры десятков и единиц, занимаемые в таком порядке, делятся на \(4\), само также делится на \(4\).

Докажите, что число \(11564\) делится на \(4\), так как \(64\) делится на \(4\).

---

У нас есть 9k,\), где \(k \ge 2,\) также всегда делится на \(25\) и, следовательно, если цифры в разряде десятков и единиц числа, взятого в этом порядке, делятся на \(25\ ), то число также делится на \(25\).

Любое число, которое делится и на \(2\), и на \(3\), также делится и на \(6\).

Докажите, что число \(678\) делится на \(6\), поскольку \(678\) делится и на \(2\), и на \(3\).

---

Это не требует никаких подробных доказательств, кроме того факта, что

, если \(N \эквив 0 \pmod{2}\) и \(N \эквив 0 \pmod{3}\), то \(N \эквив 0 \pmod{2 \times 3 = 6}\),

, так как \(2\) и \(3\) взаимно простые числа. \(_\квадрат\)

Любое число, у которого абсолютная разность между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, равна \(0\) или делится на \(7\), само делится на \(7\).

Докажите, что число \(343\) делится на \(7\), потому что \(34 — 2 \times 3 = 28\) также делится на \(7\). 9{n-3} a_{n-2} + \cdots + 10 a_2 + a_1 — 2 a_0 \право) \\ &\эквив 0 \pmod{7}\\\\ \Rightarrow 10 \left( \overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_2 a_1} — 2 a_0 \right) &\equiv 0 \pmod{7}. \конец{выравнивание}\]

Следовательно, поскольку \(10 \equiv 3 \pmod{7},\) для того, чтобы \(N\) делилось на \(7,\), должно быть верно, что \(\overline{a_n a_{n-1 } a_{n-2} \ldots a_2 a_1} — 2 a_0 \equiv 0 \pmod{7}\).

Таким образом, для числа, если абсолютная разница между удвоенной цифрой единиц и числом, состоящим из остальных цифр, равна \(0\) или делится на \(7,\), то это число также делится на \( 7\). \(_\квадрат\) 9k, \text{ где } k \ge 3, \text{ всегда делится на } 8\big) \\ & \эквив 100 а_2 + 10 а_1 + а_0 \пмод{8}. k,\) где \(k \ge 3,\) всегда делится на \(125\) и, следовательно, если разряды сотен, десятков и единиц числа, взятые в таком порядке, делятся на \(125\), то число также делится на \(125\). 9k \equiv -1 \bmod{11} \text{ если } k \text{ нечетное}\big)\]

• Предположим, что \(n\) четно, тогда мы имеем \[\начать{выравнивать} Н &\equiv a_n — a_{n-1} + a_{n-2} — \cdots + a_2 — a_1 + a_0 \pmod{11} \\ &\equiv \left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_3 + a_1 \right ) \pmod{11}. \конец{выравнивание}\] Следовательно, \(N \equiv 0 \pmod{11}\), если \(\left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_3 + a_1 \right) \equiv 0 \pmod{11},\) при условии, что \(n\) четно.

• Предположим, что \(n\) нечетно, тогда мы имеем \[\начать{выравнивать} Н &\equiv -a_n + a_{n-1} — a_{n-2} + \cdots + a_2 — a_1 + a_0 \pmod{11} \\ &\equiv \left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_3 + a_1 \right ) \pmod{11}. \конец{выравнивание}\] Следовательно, \(N \equiv 0 \pmod{11}\), если \(\left( a_{n-1} + a_{n-3} + \cdots + a_2 + a_0 \right) — \left( a_n + a_{n-2} + \cdots + a_3 + a_1 \right) \equiv 0 \pmod{11},\) при условии, что \(n\) нечетно.

Из двух приведенных выше условий мы заключаем, что для того, чтобы число делилось на \(11\), его абсолютная разность между суммой цифр, стоящих на четных позициях, и суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, должна быть \( 0\) или делится на \(11\). \(_\квадрат\)

Любое число, которое делится и на \(3\), и на \(4\), также делится и на \(12\).

Докажите, что число \(1092\) делится на \(12\), так как \(1092\) делится как на \(3\), так и на \(4\).

---

Это также не требует никаких подробных доказательств, кроме того факта, что

, если \(N \эквив 0 \pmod{3}\) и \(N \эквив 0 \pmod{4}\), то \(N \эквив 0 \pmod{3 \times 4 = 12},\) поскольку \(3\) и \(4\) взаимно простые числа. \(_\квадрат\)

Любое число, у которого сумма четырехкратного числа единиц и числа, образованного остальными цифрами, делится на \(13\), само также делится на \(13.\)

Следовательно, поскольку \(10 \equiv 10 \pmod{13}\), то для того, чтобы \(N\) делилось на \(13\), должно быть верно, что \(\overline{a_n a_{n-1 } a_{n-2} \ldots a_2 a_1} + 4 a_0 \equiv 0 \pmod{13}\).

Таким образом, для числа, если сумма четырехкратной цифры его единиц и числа, образованного остальными цифрами, делится на \(13\), то это число также делится на \(13\). \(_\квадрат\)

При таком же логическом подходе тест на делимость можно провести для каждого числа, просто наблюдая за их закономерностью в последовательных степенях \(10\).

• SAT Математика: множители, делимость и остатки
• Применение правил делимости
• Правила делимости

Цитировать как: Правила доказательства делимости. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/доказательство делимости-правил/

Определение, таблица, правила деления от 1 до 13

Делимое

Представьте, что 3 друга пытаются поделиться 10 печеньками. Каждый из них получает по 3 печенья, и остается одно печенье. Они не уверены, что с этим делать; получит ли один человек дополнительное печенье? Это казалось несправедливым по отношению к трем друзьям, которые любили делиться всем поровну.

Если бы было 9 куки, они бы поделили куки между собой поровну, и не было бы путаницы. Потому что 9 делится на 3 . Это означает, что 9 файлов cookie можно было бы разделить на три равные части, не оставив лишних файлов cookie.

Родственные игры

Что означает «делимый»?

В математике говорят, что число точно делится на другое число, если остаток после деления равен 0. является ли число абсолютно делится на другое число. Правила делимости могут помочь вам использовать быструю проверку, чтобы определить, будет ли число полностью делиться на другое число.

Давайте рассмотрим некоторые правила делимости:

Правило делимости 1

Каждое число , когда-либо делится на 1. Подумайте о любом числе, независимо от того, насколько оно велико или мало, например, 423 или 45678, они все делятся на 1.

Правило делимости 2

Каждое четное число делится на 2. То есть любое число, оканчивающееся на 2, 4, 6, 8 или 0, даст 0 в качестве остатка при делении на 2. Например, 12, 46 и 780 делятся на 2.  

Правило делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то число в целом также делится на 3. Например, возьмем число 753.

$7 + 5 + 3 =$  15. 15 делится на 3, поэтому 753 также делится на 3.

Правило делимости числа 4

тогда число в целом тоже делится на 4. Например, возьмем число 3224. Последние две цифры 24, что образует число, которое делится на 4. Значит, 3224 тоже делится на 4.

Правило делимости числа 5

Если число оканчивается на 0 или 5, оно делится на 5. Например, 35, 790 и 55 делятся на 5.

Правило делимости 6

Если число делится и на 2, и на 3, то оно будет делиться и на 6. Например, 12 делится и на 2, и на 3, а значит, делится и на 6.

Правило делимости 7

Это немного сложно понять. Если разница между удвоением последней цифры и остальными цифрами числа делится на 7, то и число в целом будет делиться на 7. Вы это поняли? Давайте попробуем это на примере: возьмем число 343. Последняя цифра — 3. Двойное число 3 — 6. Теперь, если бы мы получили разницу оставшихся цифр с 6, это было бы 34 доллара — 6 = 28 долларов. , который делится на 7. Следовательно, 343 также делится на 7.

Правило делимости числа 8

Для понимания этого также требуется небольшая практика. Если число, образованное тремя последними цифрами числа, делится на 8, мы говорим, что исходное число делится на 8. Например, в числе 4176 последние 3 цифры равны 176. Если мы разделим 176 на 8, получаем:

Поскольку 176 делится на 8, 4176 также делится на 8.

Правило делимости 9

Точно так же, как правило делимости 3, если сумма цифр числа делится на 9, то число в целом тоже будет делиться на 9. Например, возьмем число 882.

$8 + 8 + 2 = $ 18. 18 делится на 9, значит, 882 тоже делится на 9.

Правило делимости 10

Если последняя цифра числа 0, оно всегда делится на 10. Например, 200, 30 и 67890 делятся на 10.

Правило делимости 11

Пожалуй, это самое интересное из всех правил делимости. В заданном числе, если разница между суммами нечетных и четных цифр числа равна 0 или является числом, кратным 11, то оно делится на 11.

Интересный факт!

Когда число делится на другое число, оно также делится на каждый из множителей этого числа. Например, число, которое делится на 6, будет также делиться на 2 и 3. Число, которое делится на 10, также делится на 5 и 2.

Решенные примеры скажите, что он делится на 2, а?

Решение: Да, потому что 4 делится на 2.

Пример 2: Сумма цифр числа делится на 9. Последние две цифры числа делятся на 4. Делится ли целое число на 12?

Решение: Да, если число делится на 9, мы можем заключить, что оно делится и на 3 (поскольку 3 — это коэффициент 9).

Поскольку оно делится на 3 и 4, оно делится и на 12 (еще раз применяется правило множителей).

Пример 3: Сумма цифр круглого числа делится на 3. Делится ли число на 6?

Решение: Да. Если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3.

Поскольку это круглое число, т. е. оканчивается на 0, оно является четным числом и делится на 2.

Поскольку оно делится и на 3, и на 2, то оно делится и на 6.

Практические задачи

1

Какое из следующих чисел делится на 7?

371

869

823

426

Правильный ответ: 371
. Поскольку 35 делится на 7, значит, 371 делится на 7.

2

Мы знаем, что 165 делится на 3. На какое из следующих чисел также делится 165?

9

6

11

4

Правильный ответ: 11
Сумма нечетных цифр в числе 165 равна $1 + 5 = 6 $
Сумма четных цифр в числе 1908 равна 6 $6 – 6 = 0$
Следовательно, 165 делится на 11.

3

Четное число делится на 3. На какое из следующих чисел оно также делится?

11

6

5

10

Правильный ответ: 6
Поскольку это четное число, оно должно делиться на 2.

GLI Lung Function Calculator

Добро пожаловать в калькуляторы Global Lung Function Initiative для спирометрии, TLCO и легких объем.

Щелкните здесь для дополнительную информацию о каждом калькуляторе и Нажмите здесь, чтобы получить помощь и дополнительную информацию о том, как получить расчеты для одной и нескольких записей и как получить доступ к нашему API.

Добро пожаловать в калькуляторы Global Lung Function Initiative для спирометрии, TLCO и легких объем.

Нажмите здесь для получения дополнительной информации о каждом калькуляторе и нажмите здесь для Справка и дополнительная информация о том, как получить расчеты для одной и нескольких записей и как получить доступ к нашему API.

Этническая принадлежность: Уравнения TLCO и Volume основаны на кавказских только данные, однако возвращенные данные спирометрии основаны на значении, которое вы указали в поле спирометрии. раздел в меню ( Кавказский ).

Уравнения и справочные таблицы находятся в свободном доступе для программного обеспечения ИТ-специалистов. инженеры и компании медицинского оборудования.

Пакеты программного обеспечения GLI должны использоваться для исследований, обучения, обучения и проверки реализации в программном обеспечении, а не для использования в лечении пациентов.

В целях лечения/диагностики используйте эталонные уравнения GLI, реализованные компании медицинского оборудования.

Конструктор веб-калькуляторов — Calculoid.com

Не требуется кодирование/100% мобильные/Zapier Integrations/Легко встроить/SSL Protected/PayPal & Stripe Payments

Все, что вам нужно для интерактивного веб -расчета

Все математические функции

Рассчитайте что -либо, например, спреда. Легко, онлайн и в режиме реального времени.

Индивидуальный дизайн

Легко создавайте и брендируйте свои калькуляторы, чтобы они выглядели как родная часть вашего веб-сайта.

100% Безопасность

Все калькуляторы, а также передаваемые данные защищены шифрованием SSL.

Все платформы

Калькуляторы могут быть встроены в любой веб-сайт или веб-приложение. Легко и с минимальными усилиями.

100 % мобильность

Все калькуляторы Calculoid 100 % мобильны и совместимы с сенсорным экраном.

Шаблоны веб-калькуляторов

Рассчитайте что угодно. Выберите шаблон или начните с нуля.
Повысьте интерактивность своего сайта, привлекайте потенциальных клиентов, принимайте платежи.

Включены онлайн-платежи

Калькулятор цен

Рассчитайте цены на товары или услуги в режиме реального времени и получите оплату онлайн.

Шаблон просмотра

Калькулятор рентабельности инвестиций

Рассчитайте рентабельность ваших продуктов и услуг и соберите потенциальных клиентов.

Шаблон просмотра

Калькулятор займов и долгов

Любые финансовые расчеты для ваших пользователей — страхование, кредиты, долги.

Шаблон просмотра

Калькулятор затрат

Рассчитайте стоимость проектов или услуг онлайн и легко.

Шаблон просмотра

Калькулятор экономии

Рассчитайте любую экономию для ваших клиентов и отправьте электронное письмо для сбора лидов.

Шаблон просмотра

Включены онлайн-платежи

Интернет-магазин

Создайте простой интернет-магазин, рассчитайте окончательную цену и получайте оплату онлайн.

Шаблон просмотра

Зарегистрироваться бесплатно

Веб-калькулятор, викторина или опрос в несколько кликов

1 Выберите шаблон

Выберите один из профессиональных шаблонов Calculoid или создайте новый калькулятор с нуля.

2 Настройте его в соответствии со своими потребностями

Легко настраивайте свои поля, расчеты или дизайн с помощью интуитивно понятного мастера перетаскивания.

3 Простота публикации

Публикация вашего калькулятора на любом веб-сайте занимает считанные секунды с помощью кода для встраивания или Iframe.

Таблица менделеева — Электронный учебник K-tree

Электронный учебник

Периодический закон, открытый Д. И. Менделеевым был выражен в таблице. Периодическая таблица химических элементов, или таблица менделеева.

1

H

1.008

2

He

4.003

3

Li

6.938

4

Be

9.012

5

B

10.806

6

C

12.01

7

N

14.006

8

O

15.999

9

F

18.998

10

Ne

20.18

11

Na

22.99

12

Mg

24.304

13

Al

26.982

14

Si

28.084

15

P

30.974

16

S

32.059

17

Cl

35.446

18

Ar

39.948

19

K

39.098

20

Ca

40.078

21

Sc

44.956

22

Ti

47.867

23

V

50.942

24

Cr

51. 996

25

Mn

54.938

26

Fe

55.845

27

Co

58.933

28

Ni

58.693

29

Cu

63.546

30

Zn

65.38

31

Ga

69.723

32

Ge

72.63

33

As

74.922

34

Se

78.971

35

Br

79.901

36

Kr

83.798

37

Rb

85.468

38

Sr

87.62

39

Y

88.906

40

Zr

91.224

41

Nb

92.906

42

Mo

95.95

44

Ru

101.07

45

Rh

102.906

46

Pd

106.42

47

Ag

107.868

48

Cd

112.414

49

In

114.818

50

Sn

118.71

51

Sb

121.76

52

Te

127.6

53

I

126.904

54

Xe

131.293

55

Cs

132.905

56

Ba

137.327

57

La

138.905

72

Hf

178. 49

73

Ta

180.948

74

W

183.84

75

Re

186.207

76

Os

190.23

77

Ir

192.217

78

Pt

195.084

79

Au

196.967

80

Hg

200.592

81

Tl

204.382

82

Pb

207.2

83

Bi

208.98

58

Ce

140.116

59

Pr

140.908

60

Nd

144.242

62

Sm

150.36

63

Eu

151.964

64

Gd

157.25

65

Tb

158.925

66

Dy

162.5

67

Ho

164.93

68

Er

167.259

69

Tm

168.934

70

Yb

173.045

71

Lu

174.967

90

Th

232.038

91

Pa

231.036

92

U

238.029

В таблице менделеева колонки называются группами, строки называются периодами. Элементы в группах как правило имеют одинаковые электронные конфигурации внешних оболочек, например, благородные газы — последняя группа, имеют законченную электронную конфигурацию.

Как заполняется электронная конфигурация элементов подробно описано в статье

Скачать таблицу менделеева в хорошем качестве

© 2015-2022 — K-Tree.ru • Электронный учебник
По любым вопросам Вы можете связаться по почте [email protected]

Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.

Степень окисления

Назначьте степень окисления каждому атому в каждом элементе, ионе или com…

Последние каналы

• Общая химия

Химия

• Общая химия
• Органическая химия
• Аналитическая химия
• GOB Химия
• Биохимия

Биология

• Общая биология
• Микробиология
• Анатомия и физиология
• Генетика
• Биология клетки

Математика

• Алгебра колледжа
• Тригонометрия
• Предварительный анализ

Физика

• Физика 9 0008

Бизнес

• Микроэкономика
• Макроэкономика
• Финансовый учет

Общественные науки

• Психология

Начните вводить текст, затем используйте стрелки вверх и вниз, чтобы выбрать вариант из списка.

Общая химия6. Химические количества и водные реакцииРасчет степеней окисления

6:23

минуты

Задача 94

Вопрос из учебника

Проверенное решение

Наши преподаватели рекомендовали это видео-решение как полезное для описанной выше задачи.

Было ли это полезно?

Смотреть дальше

Master Расчет чисел окисления с небольшим видео-объяснением от Жюля Бруно

Начать обучение

Похожие видео номер

Leah5sci MCAT

Как рассчитать число окисления или степень окисления? Easy Trick

Академия Najam

Вычисление степени окисления

Не думайте слишком много! с Praxis Academic

Расчет степеней окисления

Жюль Брюно

Как рассчитать степень окисления переходных металлов в координационных соединениях

Полное руководство ко всему

Как рассчитать степени окисления — Основы введения — Dr K

ChemSimplified

Присвоение чисел окисления — Учебное пособие по химии

TheChemistrySolution

Как рассчитать числа окисления Практические задачи

Тайлер ДеВитт

Как найти O Числа окисления (правила и примеры)

Wayne Breslyn

Расчет чисел окисления Пример 1

Jules Bruno

Расчет степеней окисления

Jules Bruno

Расчет степеней окисления Пример 2

Расчет числа окисления Пример 4

Жюль Брюно

Окисление и восстановление

Первоначальный взгляд на окисление и восстановление заключается в добавлении или удалении кислорода. Альтернативный подход состоит в том, чтобы описывать окисление как потерю водорода, а восстановление как приобретение водорода. Это имеет преимущество при описании сжигания метана. CH 4 + 2O 2 -> CO 2 + 2H 2 O При таком подходе ясно, что углерод окисляется (теряет все четыре атома водорода), а часть кислорода восстанавливается (приобретает водород). Еще одна реакция, в которой водородный подход проясняет ситуацию, — это пропускание метанола через горячую медную сетку с образованием формальдегида и газообразного водорода (Хилл и Колб): . СН 3 ОН -> СН 2 О + Н 2 Обе углеродсодержащие молекулы имеют одинаковое содержание кислорода, но образование формальдегида рассматривается как окисление, поскольку теряется водород. Образование H 2 представляет собой процесс восстановления, когда два высвобождающихся атома водорода объединяются. Образование метанола в результате реакции монооксида углерода с водородом сочетает окисление и восстановление в единый молекулярный продукт. CO + H 2 -> CH 3 OH CO восстанавливается, потому что он получает водород, а водород окисляется в результате его ассоциации с кислородом.

Индекс Окисление/ Концепции восстановления Ссылка Hill & Kolb Ch 8

Гиперфизика***** Квантовая физика ***** Химия Р Неф

Назад

Первоначальный взгляд на окисление и восстановление заключается в добавлении или удалении кислорода. Альтернативная точка зрения состоит в том, чтобы описывать окисление как потерю электронов и восстановление как приобретение электронов. Одним из примеров, в котором этот подход имеет значение, является высокотемпературная реакция двуокиси свинца. 2PbO 2 -> 2PbO + O 2 В этой реакции атомы свинца получают электрон (восстановление), а кислород теряет электроны (окисление). Этот электронный взгляд на окисление и восстановление поможет вам понять тот факт, что «окисление» может происходить даже при отсутствии кислорода! Определение окислительно-восстановительных реакций расширено и включает другие реакции с неметаллами, такими как хлор и бром. Например, реакция Mg + Cl 2 -> Mg 2+ + 2Cl — Магний теряет электроны и поэтому называется «окисленным», тогда как хлор приобретает электроны и считается восстановленным. Другой способ судить о восстановлении хлора состоит в том, что заряд атомов становится более отрицательным или уменьшается. Обработка этого заряда как «степени окисления» — еще один способ охарактеризовать окисление и восстановление. Взгляд на окисление и восстановление как на потерю и приобретение электронов соответственно особенно подходит для обсуждения реакций в электрохимических элементах. Например, в цинково-медном элементе полуреакции окисления и восстановления составляют Zn(s) -> Zn 2+ (водн.) + 2e — Цинк «полу- реакция» классифицируется как окисление, так как она теряет электроны. Терминал, на котором происходит окисление, называется «анод». Для аккумулятора это минусовая клемма. «Полуреакция» меди классифицируется как восстановление, так как она приобретает электроны. Терминал, на котором происходит восстановление, называется «катодом». Для аккумулятора это плюсовая клемма. Cu 2+ (водный) + 2e — -> Cu(s)

Индекс Окисление/ Концепции восстановления Ссылка Hill & Kolb Ch 8

902 21 Гиперфизика***** Квантовая физика ***** Химия R Nave

Назад