Автор: alexxlab

Таблица кубов

К содержанию

Куб числа — есть данное число, возведенное в третью степень. «Кубом» оно называется, потому что такая операция используется для нахождения объема куба (по аналогии с квадратом числа). То есть, чтобы найти объем куба, необходимо возвести в третью степень длину ребра куба. Точно также, чтобы найти куб числа нужно возвести его в третью степень. В таблице приведены значения кубов натуральных чисел от 1 до 100.

Другие заметки по алгебре и геометрии

Полезная информация?

Таблица кубов

Определение Калькулятор — куб числа Таблица кубов

Определение. Куб числа — есть данное число, возведенное в третью степень.

a³ = a · a · a

«Кубом» оно называется, потому что такая операция аналогична вычислению объема куба.

Калькулятор для вычисления куба числа

³ = 827 ≈ 0.2962962962962963

Ниже приведены две удобные таблицы кубов натуральных чисел от 1 до 100.

Таблица кубов чисел от 1 до 100

 Распечатать таблицу кубов

Таблица кубов

 Распечатать таблицу кубов

© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне [email protected]

Поделитесь этой ссылкой для ответа: help
Вставьте эту ссылку в электронное письмо, текст или социальные сети.

Получить виджет для этого калькулятора

© Calculator Soup

Поделитесь этим калькулятором и страницей

Калькулятор Использование

Найдите значение числа в кубе n . Введите положительные или отрицательные целые числа, десятичные числа или научную нотацию E.

Что такое число в кубе?

Любое число n с показателем степени 3 записывается как n³ . Вы произносите это как « n в кубе» или « n в третьей степени». Чтобы получить куб числа, умножьте его само на себя 3 раза.

Следовательно, формула куба n³ = n × n × n .

Что такое идеальный куб?

Идеальный куб получается при возведении в куб целого числа или целого числа без десятичных знаков и дробей. Например, 3 в кубе записывается как 3³, а 3³ = 3 × 3 × 3 = 27,9.0003

Поскольку 3 — целое число, 27 — совершенный куб.

Представьте себе блок меньших кубиков 3 в высоту, 3 в ширину и 3 в глубину, напоминающий кубик Рубика. По сути, это 3 набора по 9 блоков, расположенных по схеме 3 х 3. Поскольку 3 x 3 равно 9, что также равно 3 в квадрате или 3 ² , вам просто нужно снова умножить на 3, чтобы получить 3 в кубе, 3 ³ = 27.

Это может помочь представить любое число в кубе как набор блоков. 10 ³ или 10 в кубе, например, будет набором блоков 10 в высоту, 10 в ширину и 10 в глубину. Одна грань куба будет иметь набор 10 93 = 1000 \]

Изображение ниже представляет собой большой куб из 10³ = 1000 меньших кубов. Обратите внимание, что каждый слой равен 10 х 10 = 100 кубов.

Числа от 0 до 10 в кубе и полученные в результате совершенные кубы

• 0 в кубе равно 0³ = 0 × 0 × 0 = 0
• 1 куб равен 1³ = 1 × 1 × 1 = 1
• 2 в кубе равно 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
• 3 в кубе равно 3³ = 3 × 3 × 3 = 27
• 4 в кубе равно 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
• 5 в кубе равно 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
• 6 в кубе равно 6³ = 6 × 6 × 6 = 216
• 7 в кубе равно 7³ = 7 × 7 × 7 = 343
• 8 в кубе равно 8³ = 8 × 8 × 8 = 512
• 9 в кубе равно 9³ = 9 × 9 × 9 = 729
• 10 в кубе равно 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000

См. наш список первых 100 идеальных кубов.

Куб отрицательных чисел

При возведении в куб отрицательного числа результатом всегда будет отрицательное число. Но важно понимать, как использование круглых скобок влияет на интерпретацию операции.

Знак «минус» перед числом или вне круглых скобок означает «возьмите отрицательное число в кубе», как в

• -2³ означает -(2 × 2 × 2) = -8
• -(2)³ означает -(2 × 2 × 2) = -8

Знак «минус» внутри скобок означает «возвести отрицательное число в куб», как в

• (-2)³ означает (-2 × -2 × -2) = -8

Как видите, вы всегда получите отрицательный результат с нечетным показателем степени и отрицательным знаком, независимо от того, находится ли он внутри или снаружи круглых скобок. Но когда у вас четный показатель степени, результат зависит от интерпретации отрицательного знака и наличия скобок.

Может быть полезно использовать круглые скобки, чтобы четко указать, какое вычисление степени вы собираетесь вычислять. Например, при четных показателях и отрицательном знаке круглые скобки влияют на результат.

• -4² означает -(4 × 4) = -16
• -(4)² означает -(4 × 4) = -16
• (-4)² означает (-4 × -4) = 16

Вы можете видеть, что Square Calculator использует эту строгую интерпретацию. Без круглых скобок -4² означает «минус 4²», что равно -16.

Дополнительная литература

Википедия «Куб (алгебра)» на https://en.wikipedia.org/wiki/Куб_(алгебра)

Подписаться на калькуляторSoup:

Куб от 1 до 100 | Значения кубиков от 1 до 100

Кубики от 1 до 100 — это список кубиков всех чисел от 1 до 100. Значения кубиков от 1 до 100 варьируются от 1 до 1000000. Запоминание этих значений поможет учащимся упростить трудоемкие уравнения быстро. Куб от 1 до 100 в экспоненциальной форме выражается как (x) ³ .

Изучение кубов от 1 до 100 может помочь учащимся распознавать все совершенные кубы от 1 до 1000000 и аппроксимировать кубический корень путем интерполяции между известными кубами. Значения кубов от 1 до 100 перечислены в таблице ниже.

Учащимся рекомендуется тщательно запомнить эти значения кубов от 1 до 100 для более быстрого выполнения математических расчетов.

В этом методе число умножается три раза (x × x × x), и полученное произведение дает нам куб этого числа. Например, куб числа 8 = 8 × 8 × 8 = 512. Здесь результирующее произведение «512» дает нам куб числа «8». Этот метод хорошо работает для небольших чисел.

Сколько стоит куб от 1 до 100?

Значение кубов от 1 до 100 – это список чисел, полученных путем трехкратного умножения целого числа (x ³ ). Это всегда будет положительное число для чисел от 1 до 100. 

Какие существуют методы вычисления кубов от 1 до 100?

Мы можем вычислить куб числа, используя повторяющееся умножение. Например, куб числа 3 можно вычислить, умножив 3 трижды (3 × 3 × 3).

Если взять кубики от 1 до 100, сколько из них будет четных чисел?

Четные числа от 1 до 100: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100. Так как кубы четных чисел всегда четные. Следовательно, значение кубиков чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98 будут четными.

Используя таблицу кубов от 1 до 100, найдите значение 10 плюс 10 куб плюс 20 куб.

Значение 10 ³ равно 1000, а 20 ³ равно 8000. Таким образом, 10 + 10 ³ + 20 ³ = 10 + 1000 + 8000 = 10 + 1000 + 8000 = 9010 куб. плюс 20 кубов равно 9010.

Какие значения кубов от 1 до 100 находятся в диапазоне от 1 до 1000 включительно?

Значения кубов от 1 до 100 от 1 до 1000 равны 1 ³ (1), 2 ^{3 (8), 3 3 (27), 4 3 (64), 5 3 (125), 6 3 (216), 7 3 (3905), 8 3} (512), 9 ^{3 (729) и 10 3 (1000).}

Пример №1:

Решим уравнение:

\(\sqrt{3x} = 6\)

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, при условии, что они неотрицательные.

\(\left\{ \begin{matrix} 3x \geq 0 \\ 6 \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Определить знак числа справа можно сразу, 6 – положительное число, а значит больше нуля. В первом неравенстве выразим «х», получим:

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Система имеет решение при \(x = 12\). Запишем ответ.

Ответ: 12.

Если a < 0, то решений нет

Например, решим уравнение:

\(\sqrt{3x} = \ –6\)

1. Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} 3x \geq 0 \\ –6 \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Второе неравенство не имеет смысла, поэтому вся система не имеет решений.

Ответ: \(\mathbf{\varnothing}\)

То, что мы с вами сейчас сделали будет верно для любого корня четной степени. {n}\)

Пример №2:

Решим уравнение:

\(\sqrt[3]{3x} = \ –6\)

1. Видим корень нечетной степени – сразу возводим в эту степень обе части:

\(\sqrt[3]{3x} = \ –6\)

\(3x = \ –216\)

\(x = \ –72\)

2. Записываем ответ. Уравнение не имеет никаких ограничений.

Ответ: –72.

ВТОРОЙ ТИП ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «КОРЕНЬ=КОРЕНЬ»:

\(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\)

Решение:

Если и слева и справа будет стоять корень алгоритм остается тот же: записываем ОДЗ и возводим обе части в квадрат.

\(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) = g(x) \\ \end{matrix} \right.\ \)

Пример №3:

Решим уравнение:

\(\sqrt{–2x + 6} = \sqrt{15 + x}\)

1. Составим систему:

\(\left\{ \begin{matrix} –2x + 6 \geq 0 \\ 15 + x \geq 0 \\ –2x + 6 = 15 + x \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. {2}\ –\ 20x + 36 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

5. Решим квадратное уравнение через теорему Виета:

\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 18}{x_{2} = 2} \right.\ \)

Только \(x = 2\) является уравнением системы. Это значение переменной и запишем в ответ.

Ответ: 2.

ПЯТЫЙ ВИД ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ «КОРЕНЬ – КОРЕНЬ = ЧИСЛО»:

\(\sqrt{f(x)}\ –\ \sqrt{g(x)} = a\)

Решение:

\(\sqrt{f(x)} = a + \sqrt{g(x)}\)

И решаем такое уравнение как четвертый вид «корень + корень = число».

Пример решения иррационального уравнения с двумя корнями

Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). В его записи присутствуют два корня и еще одно слагаемое помимо них. Такие иррациональные уравнения очень характерны, для их решения обычно используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Причем, для избавления от обоих радикалов к возведению обеих частей уравнения в степень придется прибегать два раза.

Напомним последовательность действий для решения иррациональных уравнений по методу возведения обеих частей в одну и ту же степень:

• Во-первых, переходим к более простому уравнению, для чего циклически выполняем следующие три действия:
  • Уединяем радикал.
  • Возводим обе части полученного уравнения в одну и ту же натуральную степень.
  • Упрощаем вид уравнения, полученного после возведения в степень.
• Во-вторых, решаем полученное уравнение.
• В-третьих, отсеиваем посторонние корни, если выше проводилось возведение в четную степень.

Начнем. Выполним тройку действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида – в первый раз.

Уединение радикала приводит нас к уравнению .

Так как степень уединенного корня равна двум, то возведем обе части уравнения во вторую степень: , что дальше позволит избавиться от уединенного радикала.

Теперь упростим вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений. В первую очередь, базируясь на определении корня, заменим выражение в левой части тождественно равным выражением x−6, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», заменим выражение в правой части тождественно равными ему выражением . Имеем . Продолжим упрощать вид уравнения. Вновь оттолкнемся от определения корня для замены выражения тождественно равным ему выражением x+2, а числовое выражение 2² заменим его значением четыре: . Дальнейшие преобразования не нуждаются в комментариях:

Очевидно, после первого прохода цикла мы освободились от одного корня, но остался еще один корень. Поэтому второй раз выполним указанную тройку действий – уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень, упрощение выражения.

В уравнении уединять радикал не нужно, так как это уже сделано.

Для избавления от квадратного корня выполним возведение обеих частей уравнения в квадрат: .

Упрощаем вид полученного уравнения:
x+2=9,
x=7.

Так мы получили тривиальное уравнение. На этом первый этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершен. Переходим ко второму этапу.

Второй этап – решение полученного уравнения – также можно считать завершенным, так как корень уравнения x=7 очевиден. Это число 7.

Остается третий этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае отсеивание обязательно, так как некоторые из проводимых выше преобразований могли привести к появлению посторонних корней. Действительно, мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, такое преобразование может привести к появлению посторонних корней. Также в цепочке преобразований был переход от уравнения к уравнению x+2=9, при котором расширилась ОДЗ, что тоже могло привести к появлению посторонних корней. Так что проведем отсеивание посторонних корней. Сделаем это через проверку подстановкой. Подставим найденный корень в иррациональное уравнение , имеем

Подстановка дала верное числовое равенство, значит, x=7 является искомым корнем.

На этом решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершено, оно потребовало двух возведений в степень для избавления от двух корней.

Приведем краткий вариант решения:

Алгебра — уравнения с радикалами

Онлайн-заметки Пола
Главная / Алгебра / Решение уравнений и неравенств / Уравнения с радикалами

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2.10: Уравнения с радикалами

Название этого раздела может немного ввести в заблуждение. Название, кажется, подразумевает, что мы будем рассматривать уравнения, в которых есть радикалы. Однако мы собираемся ограничиться уравнениями с квадратными корнями. Методы, которые мы собираемся применить здесь, можно использовать для решения уравнений с другими радикалами, однако работа обычно значительно сложнее, чем при работе с квадратными корнями. Поэтому в этом разделе мы будем работать только с квадратными корнями.

Прежде чем продолжить, следует также упомянуть, что в некоторых учебниках по алгебре вы найдете этот раздел с уравнениями, приводимыми к квадратичной форме. Причина в том, что в большинстве случаев мы на самом деле приходим к решению квадратного уравнения. Однако подход существенно отличается, поэтому в этом курсе мы разделим две темы на разные разделы.

Обычно лучше всего посмотреть, как они работают, на примере.

Пример 1 Решить \(x = \sqrt {x + 6} \).

Показать решение

В этом уравнении основной проблемой является квадратный корень. Если бы этого не было, мы могли бы решить проблему. Весь процесс, который мы собираемся пройти здесь, настроен на устранение квадратного корня. Однако, как мы увидим, шаги, которые мы собираемся предпринять, на самом деле могут вызвать у нас проблемы. Итак, давайте посмотрим, как это все работает. 92} — x — 6 & = 0\\ \left( {x — 3} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}x = 3,\,\,\,x = — 2\end{align*}\]

После возведения в квадрат обеих частей мы видим, что мы получаем факторизуемое квадратное уравнение, которое дает нам два решения \(x = 3\) и \(x = — 2\).

Теперь, без всякой видимой причины, давайте сделаем то, чего мы фактически не делали со времен раздела о решении линейных уравнений. Давайте проверим наши ответы. Помните также, что нам нужно проверить ответы в исходном уравнении! Это очень важно. 9? \sqrt { — 2 + 6} \\ — 2 & \ne \sqrt 4 = 2\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{НЕ ОК}}\end{align*}\]

У нас проблема. Напомним, что квадратные корни ВСЕГДА положительны, поэтому \(x = — 2\) не работает в исходном уравнении. Одна из возможностей здесь заключается в том, что мы где-то допустили ошибку. Однако мы можем вернуться и посмотреть, и мы быстро увидим, что не ошиблись.

Итак, в чем дело? Помните, что нашим первым шагом в процессе решения было возведение обеих сторон в квадрат. Заметьте, что если мы подставим \(x = — 2\) в квадратное уравнение, которое мы решили, оно на самом деле будет его решением. Когда мы возвели в квадрат обе части уравнения, мы фактически изменили уравнение и в процессе ввели решение, которое не является решением исходного уравнения.

При таких проблемах жизненно важно проверить свои решения, так как это часто случается. В этом случае мы берем только те значения, которые являются фактическими решениями исходного уравнения.

Итак, исходное уравнение имело единственное решение \(x = 3\).

Теперь, как показал этот пример, мы должны быть очень осторожны при решении этих уравнений. Когда мы решим квадратное уравнение, мы получим два решения, и возможно, что оба из них, одно из этих или ни одно из этих значений не являются решениями исходного уравнения. Единственный способ узнать это проверить свои решения!

Давайте поработаем еще с парой примеров, которые немного сложнее.

Пример 2. Решите каждое из следующих уравнений.

1. \(у + \sqrt {у — 4} = 4\)
2. \(1 = t + \sqrt {2t — 3} \)
3. \(\sqrt {5z + 6} — 2 = z\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(y + \sqrt {y — 4} = 4\) Показать решение

В этом случае давайте заметим, что если мы просто возведем в квадрат обе стороны, у нас будут проблемы. 92}\]

с \(a = y\) и \(b = \sqrt {y — 4} \). Вы должны быть в состоянии сделать это, потому что, хотя это, возможно, не сработало здесь, нам понадобится такая работа в следующем наборе задач.

В чем проблема? Хорошо помните, что смысл возведения в квадрат обеих сторон в первой задаче заключался в том, чтобы исключить квадратный корень. Мы этого не сделали. В задаче по-прежнему есть квадратный корень, и мы сделали оставшуюся часть задачи еще более беспорядочной. 92} — 9y + 20\\ 0 & = \left( {y — 5} \right)\left( {y — 4} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = 4 ,\,\,\,y = 5\end{align*}\]

Как и в первом примере, нам нужно убедиться и проверить оба этих решения. Опять же, убедитесь, что вы проверили исходное уравнение. Как только мы возведем в квадрат обе стороны, мы изменим задачу, и поэтому проверка здесь не принесет нам никакой пользы. На самом деле проверка там вполне может привести нас к неприятностям.

Итак, как и в первом примере, который мы рассмотрели, на самом деле существует единственное решение исходного уравнения \(y = 4\). 2} — z — 2\\ & 0 = \left( {z — 2 } \right)\left( {z + 1} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,z = — 1,\,\,\, \,z = 2\конец{выравнивание*}\] 9? 2\\ 4 — 2 & = 2\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{OK}}\end{align*}\]

Это тоже было решением.

Итак, в данном случае мы увидели пример, в котором оба возможных решения фактически также являются решениями исходного уравнения.

Итак, как мы видели в предыдущем наборе примеров, как только мы получим список возможных решений, от ни одного до всех, они могут быть решениями исходного уравнения. Не забывайте проверять свои ответы!

Хорошо, давайте поработаем еще с одним набором примеров, которые имеют дополнительную сложность. До сих пор все уравнения, которые мы рассматривали, содержали один квадратный корень. Однако в этих уравнениях может быть более одного квадратного корня. Следующий набор примеров предназначен для того, чтобы показать нам, как справляться с такого рода проблемами.

Пример 3. Решите каждое из следующих уравнений.

1. \(\sqrt {2x — 1} — \sqrt {x — 4} = 2\)
2. \(\sqrt {t + 7} + 2 = \sqrt {3 — t} \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

В обоих из них есть два квадратных корня в задаче. Однако мы будем работать с ними в основном таким же образом. Первый шаг состоит в том, чтобы получить один из квадратных корней в одной части уравнения, а затем возвести в квадрат обе части. На этом этапе процесс отличается, поэтому мы увидим, как двигаться дальше, как только мы достигнем его в первом примере. 92}\\ 2x — 1 & = 4 + 4\sqrt {x — 4} + x — 4\\ 2x — 1 & = 4\sqrt {x — 4} + x\end{align*}\]

Итак, у нас все еще есть квадратный корень в задаче, но нам удалось исключить один из них. Не только это, но и то, что у нас осталось, идентично примерам, с которыми мы работали в первой части этого раздела. 2} — 18x + 65 & = 0 \\ \left( {x — 13} \right)\left( {x — 5} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 13,\,\,\ ,х = 5\конец{выравнивание*}\] 9? \sqrt 9 \\ 1 + 2 & = 3\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{OK}}\end{align*}\]

Похоже, в этом случае у нас есть единственное решение, \(t = — 6\).

Итак, когда в задаче больше одного квадратного корня, мы снова сталкиваемся с задачей проверки наших возможных решений. Вполне возможно, что все возможные решения, от нуля до всех, на самом деле будут решениями, и единственный способ узнать наверняка — проверить их в исходном уравнении.

10.7: Решение радикальных уравнений — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете: 9{2}−6n+8=0\).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 6.45.

Решение подкоренных уравнений

В этом разделе мы будем решать уравнения, в которых подкоренное выражение содержит переменную. Уравнение этого типа называется радикальным уравнением .

Определение: подкоренное уравнение

Уравнение, в котором переменная стоит под корнем подкоренного выражения, называется подкоренным уравнением .

Как обычно, при решении этих уравнений то, что мы делаем с одной частью уравнения, мы должны делать и с другой его частью. Как только мы изолируем радикал, наша стратегия будет состоять в том, чтобы возвести обе части уравнения в степень индекса. Это устранит радикал. 9{п}=а\).

Пример \(\PageIndex{1}\) решения радикального уравнения

Решите: \(\sqrt{5 n-4}-9=0\).

Решение :

Таблица 8.6.1

Шаг 1 : Выделите радикал на одной стороне уравнения.	Чтобы изолировать радикал, добавьте \(9\) к обеим сторонам. Упростить.	\(\ begin{array}{c}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5 n-4}-9\color{red}{+9{2}=а\).	\(\begin{выровнено} 5 n-4 &=81 \\ 5 n &=85 \\ n &=17 \end{выровнено}\)
Шаг 4 : Проверьте ответ в исходном уравнении.		Проверьте ответ. \(\ begin{array}{r}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5(\color{red}{17}\color{black}{)}- 4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{85-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{81}-9 \stackrel{? }{=} 0} \\ {9-9=0} \\ {0=0}\конец{массив}\) Решение: \(n=17\).

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Решите: \(\sqrt{3 m+2}-5=0\).

Ответить

\(м=\фракция{23}{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Решите: \(\sqrt{10 z+1}-2=0\).

Ответить

\(z=\frac{3}{10}\)

Решите радикальное уравнение с одним радикалом

1. Изолируйте радикал с одной стороны уравнения.
2. Возведите обе части уравнения в степень индекса.
3. Решите новое уравнение.
4. Проверьте ответ в исходном уравнении.

Когда мы используем радикальный знак, он указывает на главный или положительный корень. Если уравнение имеет радикал с четным индексом, равным отрицательному числу, то это уравнение не будет иметь решения.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Решите: \(\sqrt{9 k-2}+1=0\).

Решение :

Таблица 8. 6.2

Чтобы изолировать радикал, вычтите \(1\) с обеих сторон.
Упрощение.

Поскольку квадратный корень равен отрицательному числу, уравнение не имеет решения.

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Решите: \(\sqrt{2 r-3}+5=0\).

Ответить

нет решения

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Решите: \(\sqrt{7 s-3}+2=0\).

Ответить

нет решения

Если одна часть уравнения с квадратным корнем является двучленом, мы используем образец произведения биномиальных квадратов, когда возводим его в квадрат. 9{2}}\end{array}\)

Не забудьте средний термин!

Пример \(\PageIndex{3}\)

Решить: \(\sqrt{p-1}+1=p\).

Решение :

Таблица 8.6.3

Чтобы изолировать радикал, вычтите \(1\) с обеих сторон.
Упрощение.
Возведите в квадрат обе части уравнения.
Упростите, используя образец произведения биномиальных квадратов справа. Затем решите новое уравнение.
Это квадратное уравнение, поэтому с одной стороны получаем ноль.
Фактор правой стороны.
Использовать свойство нулевого продукта.
Решите каждое уравнение.
Проверьте ответы.

Решения: \(p=1, p=2\).

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Решите: \(\sqrt{x-2}+2=x\).

Ответить

\(х=2, х=3\)

9{3}\) Упрощение. \(5 х+1=-64\) Решите уравнение. \(5 х=-65\)   \(х=-13\) Проверьте ответ.       Решение: \(x=-13\). Таблица 8.6.4

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Решить: \( \sqrt[3]{4 x-3}+8=5\)

Ответ

\(х=-6\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Решить: \(\sqrt[3]{6 x-10}+1=-3\)

Ответ

\(х=-9\)

Иногда уравнение может содержать рациональные показатели вместо радикала. Мы используем те же методы для решения уравнения, что и в случае, когда у нас есть радикал. Возведем каждую часть уравнения в степень знаменателя рационального показателя. {m \cdot n}\), мы имеем, например, 9{4}\) Упрощение. \(3 х-2=16\) Решите уравнение. \(3x=18\)   \(х=6\) Проверьте ответ.       Решение: \(x=6\). 9{\frac{1}{4}}+5=7\)

Ответ

\(х=6\)

Иногда решение радикального уравнения приводит к двум алгебраическим решениям, но одно из них может быть посторонним решением !

Пример \(\PageIndex{6}\)

Решите: \(\sqrt{r+4}-r+2=0\).

Решение :

{2}-5 р\)

Таблица 8.6.6

	\(\sqrt{r+4}-r+2=0\)
Фактор правой стороны.	\(0=r(r-5)\)
Использовать свойство нулевого продукта.	\(0=r \quad 0=r-5\)
Решите уравнение.	\(r=0 \квадратный r=5\)
Проверьте свой ответ.
	Решение: \(r=5\).
	\(r=0\) — экстравагантное решение.

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Решить: \(\sqrt{m+9}-m+3=0\)

Ответ

\(м=7\)

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Решите: \(\sqrt{n+1}-n+1=0\).

Ответить

\(n=3\)

Когда перед корнем стоит коэффициент, мы должны возвести и его в степень индекса.

Пример \(\PageIndex{7}\)

Решите: \(3 \sqrt{3 x-5}-8=4\).

Решение :

Таблица 8.6.7

	\(3 \sqrt{3 x-5}-8=4\)
Изолируйте радикальный термин.	\(3 \sqrt{3 x-5}=12\)
Изолируйте радикал, разделив обе части на \(3\). 9{2}\)
Упростите, затем решите новое уравнение.	\(3 х-5=16\)
	\(3x=21\)
Решите уравнение.	\(х=7\)
Проверьте ответ.
	Решение: \(x=7\).

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Решите: \(2 \sqrt{4 a+4}-16=16\).

Ответить

\(а=63\)

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Решить: \(3 \sqrt{2 b+3}-25=50\)

Ответ

\(б=311\)

Решение радикального уравнения с двумя радикалами

Если радикальное уравнение имеет два радикала, мы начинаем с выделения одного из них. Часто проще всего сначала выделить более сложный радикал. 9{3}\)

Упростите, затем решите новое уравнение.

\(\begin{align} 4 x-3 &=3 x+2 \\ x-3 &=2 \\ x &=5 \end{align}\)

Решение \(x=5 \).

Проверьте ответ.

Мы предоставляем вам показать, что \(5\) проверяет!

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

Решите: \(\sqrt[3]{5 x-4}=\sqrt[3]{2 x+5}\).

Ответить

\(х=3\)

Упражнение \(\PageIndex{16}\)

Решите: \(\sqrt[3]{7 x+1}=\sqrt[3]{2 x-5}\).

Ответить

\(х=-\фракция{6}{5}\)

Иногда после возведения обеих частей уравнения в степень у нас все еще есть переменная внутри корня. Когда это происходит, мы повторяем Шаг 1 и Шаг 2 нашей процедуры. Мы изолируем радикал и снова возводим обе части уравнения в степень индекса.

Пример \(\PageIndex{9}\) как решить радикальное уравнение

Решите: \(\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}\).

Решение :

Таблица 8.6.8

Шаг 1 : Выделите один из радикальных членов на одной стороне уравнения.	Радикал справа изолирован.	\(\sqrt{м}+1=\sqrt{м+9}\)
Шаг 2 : Возведите обе части уравнения в степень индекса.	Подравниваем обе стороны. 9{2}\)
Шаг 3 : Есть еще радикалы? Если да, повторите Шаг 1 и Шаг 2 еще раз. Если нет, решите новое уравнение.	В уравнении все еще есть радикал. Итак, мы должны повторить предыдущие шаги. Выделите корневой термин. Здесь мы можем легко выделить радикал, разделив обе части на \(2\). 9{2} \\ m &=16 \end{выровнено}\)
Шаг 4 : Проверьте ответ в исходном уравнении.		\(\begin{align}\sqrt{m}+1&=\sqrt{m+9} \\ \sqrt{\color{red}{16}}\color{black}{+}1& \stackrel{? }{=} \sqrt{\color{red}{16}\color{black}{+}9} \\ 4+1& \stackrel{?}{=} 5 \\ 5&=5\end{выровнено}\ ) Решение: \(m=16\).

Упражнение \(\PageIndex{17}\)

Решите: \(3-\sqrt{x}=\sqrt{x-3}\).

Ответить

\(х=4\)

Упражнение \(\PageIndex{18}\)

Решите: \(\sqrt{x}+2=\sqrt{x+16}\).

Ответить

\(х=9\)

Здесь мы суммируем шаги. Мы скорректировали наши предыдущие шаги, чтобы включить в уравнение более одного радикала. Теперь эта процедура будет работать для любых радикальных уравнений. 9{2}\).

Пример \(\PageIndex{10}\)

Решите: \(\sqrt{q-2}+3=\sqrt{4 q+1}\).

Решение :

Таблица 8.6.9

Радикал справа изолирован. Подровняйте обе стороны.
Упрощение.
В уравнении все еще есть радикал, поэтому мы должны повторить предыдущие шаги. Изолировать радикал.
Квадрат с обеих сторон. Разделение обеих частей на \(6\) не помогло бы. Не забудьте возвести в квадрат как \(6\), так и \(\sqrt{q-2}\).
Упростите, затем решите новое уравнение.
Распределить.
Это квадратное уравнение, поэтому с одной стороны получаем ноль.
Фактор правой стороны.
Использовать свойство нулевого продукта.
Чеки оставляются вам.	Решения: \(q=6\) и \(q=2\).

Упражнение \(\PageIndex{19}\)

Решить: \(\sqrt{x-1}+2=\sqrt{2 x+6}\)

Ответ

\(х=5\)

Упражнение \(\PageIndex{20}\)

Решить: \(\sqrt{x}+2=\sqrt{3 x+4}\)

Ответ

\(х=0 х=4\)

Использование радикалов в приложениях

По мере прохождения курсов в колледже вы столкнетесь с формулами, содержащими радикалы, во многих дисциплинах. Мы немного изменим нашу стратегию решения задач для приложений геометрии, чтобы получить план решения приложений с формулами из любой дисциплины.

Используйте стратегию решения проблем для приложений с формулами

1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
2. Определите , что мы ищем.
3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для данной ситуации. Замените предоставленную информацию.
5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Одно из применений радикалов связано с влиянием гравитации на падающие предметы. Формула позволяет определить, через какое время упавший предмет ударится о землю.

Определение: Падающие предметы

На Земле, если объект падает с высоты \(h\) футов, время в секундах, необходимое для достижения земли, определяется по формуле

\(t=\frac{\sqrt{ h}}{4}\)

Например, если объект падает с высоты \(64\) футов, мы можем найти время, необходимое для достижения земли, подставив \(h=64\) в формула.

Таблица 8.6.10

Извлеките квадратный корень из \(64\).
Упростите дробь.

Предмету, упавшему с высоты \(64\) футов, потребуется \(2\) секунды, чтобы достичь земли.

Пример \(\PageIndex{11}\)

Марисса уронила солнцезащитные очки с моста \(400\) футов над рекой. Используйте формулу \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\), чтобы найти, сколько секунд потребовалось солнцезащитным очкам, чтобы достичь реки.

Решение :

Таблица 8. 6.11

Шаг 1 : Прочтите задачу.
Шаг 2 : Определите что мы ищем.	Время, за которое солнечные очки достигают реки.
Шаг 3 : Назовите то, что мы ищем.	Пусть (t=\) время.
Шаг 4 : Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу. Замените предоставленную информацию.
Шаг 5 : Решите уравнение .
Шаг 6 : Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
\(5\) секунд кажется разумным отрезком времени?	Да.
Шаг 7 : Ответьте на уравнение.	Солнцезащитные очки доберутся до реки через \(5\) секунд.

Упражнение \(\PageIndex{21}\)

Вертолет сбросил спасательный пакет с высоты \(1296\) футов. Используйте формулу \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\), чтобы найти, сколько секунд потребовалось пакету, чтобы достичь земли.

Ответить

\(9\) секунд

Упражнение \(\PageIndex{22}\)

Мойщик окон уронил швабру с платформы \(196\) футов над тротуаром. Используйте формулу \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\), чтобы найти, сколько секунд потребовалось, чтобы швабра достигла тротуара.

Ответить

\(3,5\) секунд

Полицейские, расследующие автомобильные аварии, измеряют длину следов заноса на тротуаре. Затем они используют квадратные корни, чтобы определить скорость , в милях в час, автомобиль ехал до того, как затормозил.

Определение: следы заноса и скорость автомобиля

Если длина следов заноса составляет \(d\) футов, то скорость \(s\) автомобиля до включения тормозов можно найти по формуле используя формулу

\(s=\sqrt{24 d}\)

Пример \(\PageIndex{12}\)

После автомобильной аварии следы заноса одного автомобиля измерялись \(190\) футов. Используйте формулу \(s=\sqrt{24d}\), чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

Решение :

Таблица 8.6.12

Шаг 1 : Прочтите задачу.
Шаг 2 : Определите , что мы ищем.	Скорость автомобиля.
Шаг 3 : Имя то, что мы ищем.	Пусть \(s=\) скорость.
Шаг 4 : Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу. Замените предоставленную информацию.
Шаг 5 : Решите уравнение .
Округлить до \(1\) десятичного знака.
	Скорость автомобиля до торможения составляла \(67,5\) миль в час.

Упражнение \(\PageIndex{23}\)

Исследователь ДТП измерил следы заноса автомобиля. Длина следов заноса составляла \(76\) футов. Используйте формулу \(s=\sqrt{24d}\), чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

Ответить

\(42,7\) миль/ч

Упражнение \(\PageIndex{24}\)

Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, были \(122\) футов в длину. Используйте формулу \(s=\sqrt{24d}\), чтобы найти скорость транспортного средства до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

Ответить

\(54,1\) миль/ч

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения радикальных уравнений. 9{2}}\конец{массив}\)

Решение радикального уравнения

1. Изолируйте один из радикальных членов на одной стороне уравнения.
2. Возведите обе части уравнения в степень индекса.
3. Есть еще радикалы?
   Если да, повторите Шаг 1 и Шаг 2 еще раз.
   Если нет, решите новое уравнение.
4. Проверьте ответ в исходном уравнении.

Стратегия решения проблем для приложений с формулами

1. Прочитайте задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
2. Определите, что мы ищем.
3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для данной ситуации. Замените предоставленную информацию.
5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Падающие предметы

• На Земле, если объект падает с высоты \(h\) футов, время в секундах, необходимое для достижения земли, определяется по формуле \(t=\frac{\sqrt{h} {4}\).

Следы заноса и скорость автомобиля

• Если длина следов заноса составляет \(d\) футов, то скорость \(s\) автомобиля до включения тормозов можно найти по формуле \(s=\sqrt{24d} \).

Глоссарий

радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная стоит под корнем подкоренного выражения, называется подкоренным уравнением.

---

10.7: Solve Radical Equations распространяется по незаявленной лицензии и был создан, изменен и/или курирован LibreTexts.

§ Способ группировки. Разложение многочлена на множители.

Что такое многочлен. Степень многочлена Стандартный вид многочлена. Приведение подобных Сложение и вычитание многочленов Умножение многочлена на одночлен Умножение многочлена на многочлен Деление многочлена на одночлен Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки

Кроме вынесения общего множителя за скобки существует еще один способ разложения многочлена на множители — способ группировки.

Этот способ разложения на множители считается более сложным, поэтому перед его изучением, убедитесь, что вы уверенно выносите общий множитель за скобки.

Запомните!

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

1. Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
2. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
3. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

Рассмотрим пример разложения многочлена на множители способом группировки.

1. Подчеркнем повторяющиеся буквенные множители в одночленах.
У нас получится две группы одночленов с повторяющимися буквенными множителями.
2. Вынесем общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
Проверим, верно ли мы вынесли общий множитель за скобки. Для этого раскроем скобки обратно. Мы получили исходный многочлен, значит, мы правильно вынесли общий множитель за скобки.
3. Теперь в полученном результате вынесем общий многочлен «(a + b)» за скобки.

Группировать одночлены можно по-разному. При правильной группировке должен появиться общий многочлен.

Рассмотрим пример. Требуется разложить многочлен на множители, используя способ группировки.

Первый способ

48xz² + 32xy² − 15z² − 10y² =

Обратим внимание, что в двух одночленах повторяется «y²» и «z²». Подчеркнем повторяющиеся одночлены и запишем их друг за другом. Затем вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48xz² + 32xy² − 15z² − 10y² = 48xz² − 15z² + 32xy² − 10y² = 3z²(16x − 5) + 2y²(16x − 5) =
= (16x − 5)(3z² + 2y²)

Второй способ

Запишем пример еще раз. Теперь обратим внимание, что в первых двух одночленах повторяется «x». Подчеркнем повторяющиеся одночлены. Вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48xz² + 32xy² − 15z² − 10y² = 16x(3z² + 2y²) − 5(3z² + 2y²) = (3z² + 2y²)(16x − 5)

В итоге получился такой же ответ, как и при первом способе.

Рассмотрим еще один пример разложения многочлена способом группировки.

• 4q(p − 1) + p − 1 = 4q(p − 1) + (p − 1) = 4q(p − 1) + 1 · (p − 1) = (p − 1)(4q + 1)
  В этом примере следует отметить, что для вынесения общего многочлена мы добавили умножение на 1 к многочлену (p − 1), что не изменяет результат умножения.
  Это помогает понять, что останется во второй скобке после вынесения общего многочлена.

Смена знаков в скобках

Важно!

Иногда для вынесения общего многочлена требуется сменить все знаки одночленов в скобках на противоположные.

Для этого за скобки выносится знак «−», а в скобках у всех одночленов меняются знаки на противоположные.

2ab² − 3x + 1 = −(−2ab² + 3x − 1)

Рассмотрим пример способа группировки, где для вынесения общего многочлена, нам потрубуется выполнить смену знаков в скобках.

• 2m(m − n) + n − m = −2m( −m + n) + (n − m) = −2m(n − m) + 1 · (n − m) =
  = (n − m)(−2m + 1)

Что такое многочлен. Степень многочлена Стандартный вид многочлена. Приведение подобных Сложение и вычитание многочленов Умножение многочлена на одночлен Умножение многочлена на многочлен Деление многочлена на одночлен Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Разложение многочлена на множители: примеры, правило

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x1  и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·. ..·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  на (x-s), тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s, тогда получим

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x)+Pn(s) , где Qn-1(x)  является многочленом со степенью n-1.

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена Pn(x) считается s, тогда Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида ax2+bx+c  можно разложить на линейные множители. тогда получим, что ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2  — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4×2-5x+1=0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D=(-5)2-4·4·1=9 . Отсюда имеем, что

x1=5-92·4=14×2=5+92·4=1

Отсюда получаем, что 4×2-5x+1=4x-14x-1.

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3×2-7x-11.

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3×2-7x-11=0.

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3×2-7x-11=0D=(-7)2-4·3·(-11)=181×1=7+D2·3=7+1816×2=7-D2·3=7-1816

Отсюда получаем, что 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

Произвести разложение многочлена 2×2+1  на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2×2+1=0 и найти его корни. Получим, что

2×2+1=0x2=-12×1=-12=12·ix2=-12=-12·i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2×2+1=2x-12·ix+12·i .

Произвести разложение квадратного трехчлена x2+13x+1.

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x2+13x+1=0  и найти его корни.

x2+13x+1=0D=132-4·1·1=-359×1=-13+D2·1=-13+353·i2=-1+35·i6=-16+356·ix2=-13-D2·1=-13-353·i2=-1-35·i6=-16-356·i

Получив корни, запишем

x2+13x+1=x—16+356·ix—16-356·i==x+16-356·ix+16+356·i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x-x1) . Полученный многочлен нуждается  в нахождении корня x2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями  и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x1=0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4×3+8×2-x  на множители.

Решение

Видим, что x1=0  — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4×2+8x-1 .  Найдем дискриминант и корни:

D=82-4·4·(-1)=80×1=-8+D2·4=-1+52×2=-8-D2·4=-1-52

Тогда следует, что

4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx—1+52x—1-52==4xx+1-52x+1+52

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1.

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Произвести разложение выражения f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа -18. Получим, что ±1,±2,±3,±6,±9,±18. Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить  коэффициенты разложения многочлена:

Отсюда следует, что х=2 и х=-3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x2+2x+3.

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Произвести разложение на множители f(x)=2×3+19×2+41x+15.

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y=2x, следует переходить  к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4. Получаем, что

4f(x)=23·x3+19·22·x2+82·2·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)

Когда получившаяся функция  вида g(y)=y3+19y2+82y+60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Перейдем  к вычислению функции g(y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g(1)=13+19·12+82·1+60=162g(-1)=(-1)3+19·(-1)2+82·(-1)+60=-4g(2)=23+19·22+82·2+60=308g(-2)=(-2)3+19·(-2)2+82·(-2)+60=-36g(3)=33+19·32+82·3+60=504g(-3)=(-3)3+19·(-3)2+82·(-3)+60=-42g(4)=43+19·42+82·4+60=756g(-4)=(-4)3+19·(-4)2+82·(-4)+60=-28g(5)=53+19·52+82·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19·(-5)2+82·(-5)+60

Получаем, что у=-5 – это корень уравнения вида y3+19y2+82y+60, значит, x=y2=-52 — это корень исходной функции.

Необходимо произвести деление столбиком 2×3+19×2+41x+15  на x+52 . 

Решение

Запишем и получим:

Значит,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x2+7x+3. Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x2+7x+3=0D=72-4·1·3=37×1=-7+372×2=-7-372⇒x2+7x+3=x+72-372x+72+372

Отсюда следует, что

2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Искусственные приемы при  разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Произвести разложение многочлена x4+4×3-x2-8x-2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1, -1, 2 и -2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

14+4·13-12-8·1-2=-6≠0(-1)4+4·(-1)3-(-1)2-8·(-1)-2=2≠024+4·23-22-8·2-2=26≠0(-2)4+4·(-2)3-(-2)2-8·(-2)-2=-6≠0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x2-2=0x2=2×1=2×2=-2⇒x2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4·1·1=12×1=-4-D2·1=-2-3×2=-4-D2·1=-2-3⇒x2+4x+1=x+2-3x+2+3

Значит:

x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Произвести разложение на множители многочлен x4+3×3-x2-4x+2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)

После разложения на множители получим, что

x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Произвести разложение многочлена x4+4×3+6×2+4x-2  на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x+14.

Значит, имеем x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.

После применения разности квадратов, получим

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

Произвести разложение на множители x3+6×2+12x+6.

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x3+6×2+12x+6=x3+3·2·x2+3·22·x+23-2=(x+2)3-2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Произвести разложение на множители многочлена вида x6+5×3+6.

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y=x3 . Получаем:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6

Корни полученного квадратного уравнения равны y=-2 и y=-3, тогда

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении  и разложении многочлена на множители разными способами.

Факторинг — Математика GCSE — шаги, примеры и рабочий лист

Вот все, что вам нужно знать о факторинге для математики GCSE (Edexcel, AQA и OCR). Вы изучите основы факторизации выражений и факторизации квадратичных чисел, включая факторизацию в одинарные и двойные скобки.

Обратите внимание на рабочие листы факторинга и экзаменационные вопросы в конце.

Что такое факторизация

Факторизация — это процесс, обратный раскрытию скобок. Чтобы полностью разложить выражение на множители, нужно заключить его в скобки, вынеся старшие общие множители.

Простейший способ разложения на множители:

• Найдите наибольший общий делитель каждого члена выражения.
• Запишите наибольший общий делитель (HCF) перед любыми скобками
• Заполните каждый термин в скобках путем умножения.

Однако существуют разные способы разложения на множители различных типов алгебраических выражений; мы узнаем о них всех здесь.

Что такое факторинг?

Таблица по факторингу (смешанная)

Получите бесплатную таблицу по факторингу, содержащую более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Рабочий лист по факторингу (смешанный)

Получите бесплатный рабочий лист по факторингу, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Как факторизовать выражения

Для факторизации алгебраических выражений существует три основных метода. Когда вы факторизуете квадратные числа, вы обычно используете метод двойных скобок или разности двух квадратов.

1. Разложение одинарных скобок на множители

Пример разложения на множители алгебраического выражения:

Помните: 3x+6 называется биномом, потому что это выражение с двумя членами

2. Факт двойные упорные скобы

а) При разложении квадратных выражений вида x ² + bx + c

b) При разложении квадратных выражений вида ax ² + bx + c

Помните:
Выражения с тремя членами типа x ² + 6x + 5 и 2x ² + 5x + 3 известны как трехчлены.

3. Разность двух квадратов

Используя разность двух квадратов:

Объясните, как разложить выражения на множители

Методы факторизации

Каждый метод факторизации или факторизации выражений приводится ниже. Для получения подробных примеров, практических вопросов и рабочих листов по каждому из них следуйте ссылкам на пошаговые руководства.

1. Факторизация одинарных скобок

Пример факторизации с использованием одинарных скобок

Чтобы полностью разложить на множители:

\[\color{#00BC89}3x + \color{#7C4DFF}6\]

1. Найдите наибольший общий множитель ( HCF) чисел 3 (коэффициент при x) и 6 (константа).

Факторы 3:
1, 3

Факторы 6:
1, 6
2, 3

Совет:
Запись пар множителей облегчает перечисление всех факторов

Наибольший общий делитель (HCF) чисел 3x и 6 равен 3

2 Запишите наибольший общий делитель (HCF) перед одиночной скобкой.

\[\color{#FF9100}3(\quad+\quad)\]

3 Заполните каждый термин в скобках путем умножения.

На что мне нужно умножить 3, чтобы получить 3x?

\[\color{#FF9100}3 \times \color{#62F030}x = \color{#00BC89}3 x\]

На что мне нужно умножить 3, чтобы получить 6?

\[\color{#FF9100}3 \times \color{#92009E}2 = \color{#7C4DFF}6\]

\[\color{#FF9100}3(\color{#62F030}x + \color{#92009E}2)\]

Мы можем проверить ответь умножением скобки!

\[3(x+2)=3 x+6\]

Пошаговое руководство: Разложение одинарных скобок на множители

Пример факторизации квадратного выражения в форме x ² + bx + c

Чтобы полностью разложить на множители: 92 + \color{#00bc89}6x + \color{#7C4DFF}5\]

1. Выпишите пары множителей последнего числа (5)

Делители 5:
1, 5

2 Найдите пару делителей, которые + дают среднее число (6) и ✕ дают последнее число (5).

  1  +  5  =  6  ✔
  1  ✕  5  =  5  ✔ 

3 Запишите две скобки и поставьте переменную в начале каждой.

\[(х\qquad)(х\qquad)\] 92 + \color{#00bc89}5x \color{#7C4DFF}{+3}\]

1. Умножьте конечные числа (2 и 3), затем запишите пары множителей этого нового числа в порядке

Делители 6:
1, 6
2, 3

2 Нам нужна пара множителей, которые + дают среднее число (5) и ✕ дают это новое число (6)

2 + 3 = 5 ✔

2 ✕ 3 = 6 ✔

3 Перепишите исходное выражение, на этот раз разделив средний член на два множителя, которые мы нашли на шаге 2. 9{2}\color{#FF9100}{+2 x+3 x}+3\]

4 Разделите уравнение пополам и полностью разложите каждую половину на множители.

\[\color{#398CDA}{2 x}\color{#62F030}{(x+1)}\color{#398CDA}{+3}\color{#62F030}{(x+1)} \]

5 Разложите все выражение на множители, вынеся все, что находится в скобках, на передний план и запишите два других члена в другой скобке.

\[(\color{#398CDA}{2x+ 3})\color{#62F030}{(x + 1)}\]

Пошаговое руководство: Факторизация квадратичных уравнений 92}}=\color{#FE47EC}{2 x}\]

\[(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)\]

3 Извлеките корень из последнего члена и запишите его справа от обеих скобок.

\[\sqrt{\color{#7C4DFF}9}=\pm\color{#7C4DFF}3\]

\[(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3 )(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3)\]

4 Поставьте + в середине одной скобки и – в середине другой (порядок не имеет значения) .

\[(\color{#FE47EC}{2x}+\color{#7C4DFF}3)(\color{#FE47EC}{2x}-\color{#7C4DFF}3)\] 9{2}-2х-3)

Чтобы разложить на множители квадратное выражение, мы ищем числа, которые умножаются на -3 и в сумме дают -2. Рассматривая пары факторов, мы приходим к выводу, что нам нужно использовать +1 и -3.

2(х+1)(х-3)

(х+3)(х+3)

(х+1)(х-9)

(х+3)(х-3)

(х+1)(х-3)

Это частный случай (разность двух квадратов), а это значит, что мы можем взять квадратные корни из коэффициента при х и постоянного члена, затем записать одну скобку со знаком +, а другую скобку со знаком –.

(3x+4)(3x-4)

(3x-4)(3x-4)

(9x+16)(x-1)

(3x+1)(3x-16)

Это частный случай (разность двух квадратов), а это значит, что мы можем взять квадратные корни из коэффициента при х и постоянного члена, затем записать одну скобку со знаком +, а другую скобку со знаком –.

Факторинг вопросов GCSE (смешанный)

1. Разложить на множители: 9x − 18

Показать ответ

9(x − 2)

(1 балл)

2. Разложить на множители полностью: 16x ² + 20xy

Показать ответ

4x(4x + 5y)

(2 балла)

3. Разложить полностью: 3y ² − 4y − 4

Показать ответ

(3 года + 2)( у — 2)

(2 балла)

Учебный контрольный список

Теперь вы научились:

• Манипулировать алгебраическими выражениями, вынося общие множители и разлагая их в одну скобку.
• Факторизация квадратичных выражений вида x ² + bx + c
• Разложить на множители квадратные выражения в виде разности двух квадратов.
• Факторизация квадратичных выражений вида ax ² + bx + c (H)

Все еще зависает?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.

Факторинг в алгебре

Факторы

Числа имеют множители:

И выражения (например, x ² +4x+3 ) также имеют множители:

Факторинг

Факторинг (называемый « Факторинг » в Великобритании) — это процесс нахождения факторов :

Факторинг: поиск того, что нужно перемножить, чтобы получить выражение.

Это похоже на «разбиение» выражения на произведение более простых выражений.

Пример: коэффициент 2y+6

И 2y, и 6 имеют общий делитель 2:

• 2y равно 2×y
• 6 равно 2×3

Итак, мы можем разложить все выражение на:

2y+6 = 2(y+3)

Таким образом, 2y+6 было «разложено в» 2 и y+3

Факторинг также противоположен расширению:

Общий коэффициент

В предыдущем примере мы видели, что 2y и 6 имеют общий делитель 9. 0110 2

Но для правильной работы нам нужен наибольший общий делитель , включая любые переменные

Пример: множитель 3y

Во-первых, 3 и 12 имеют общий делитель 3.

Таким образом, мы могли бы иметь: +4г)

Но мы можем лучше!

3y ² и 12y также имеют общую переменную y.

Вместе это составляет 3 года:

• 3 года ² это 3г × г
• 12 лет — это 3 года × 4

Таким образом, мы можем разложить все выражение на:

3y ² +12y = 3y(y+4)

Проверить: 3y(y+4) = 3 у × у + 3у × 4 = 3 года ² +12 лет

Более сложный факторинг

Факторинг может быть сложным!

До сих пор примеры были простыми, но разложение на множители может быть очень сложным.

Потому что мы должны цифру то, что было умножено на , чтобы получить выражение, которое нам дано!

Это все равно, что пытаться выяснить, какие ингредиенты
вошли в торт, чтобы сделать его таким вкусным.
Это может быть трудно понять!

Опыт помогает

Чем больше опыта, тем проще факторинг.

Пример: Фактор

Хммм… кажется, нет никаких общих факторов.

Но знание специальных биномиальных произведений дает нам подсказку, называемую «разность квадратов» :

Потому что 4x ² равно (2x) ² и 9 9011 2 равно (3) ² ,

Итак, мы имеем:

4x ² − 9 = (2x) ² − (3) ²

И это можно получить по формуле разности квадратов:

(a+b)(a−b) = a ² − b ²

Где a равно 2x, а b равно 3.

Попробуем сделать так:

(2x+3)(2x−3) = (2x) ² − (3) ² = 4x ² − 9

Да!

Итак, множители 4x ² − 9 равны (2x+3) и (2x−3) :

Ответ: 4x 90 060 2 — 9 = (2x+3)( 2x−3)

Как этому научиться? Получив много практики и зная «Идентичности»!

Запомнить эти личности

Вот список общих «Идентификаций» (включая «разность квадратов» , использованную выше).

Их стоит запомнить, так как они могут упростить факторинг.

Таких много, но эти самые полезные.

Совет

Обычно лучше использовать факторизованную форму.

При попытке факторинга выполните следующие действия:

• «Вынести за скобки» любые общие термины
• Посмотрите, подходит ли оно к какой-либо из идентификаций, а также к тому, что вы знаете
• Продолжайте, пока не перестанете множить

Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и другие, которые могут выполнять факторинг.

Другие примеры

Опыт помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:

Пример: w

Функция корень из х. Ее свойства и график

Похожие презентации:

Функция у х, её свойства и график

Функция у=n квадратный корень из х, их свойства и графики

Функция у=√х, её свойства и график

Свойства и график функции у = sin x

Функции и их свойства

Функция у=kx², её свойства и график

Функция у=кх², её свойства и график

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Функция у=х в степени n , график и свойства

Функции. Их свойства и графики

Функция
у х,
её свойства и график.
Решить уравнения:
a )2 x 8 10;
1
б)
x 9 6;
3
в) x x 2
1)Вычислите:
11
1
0,36 ; 1 ;0,2 400 ; 81;
25
3
0,49 0,09 ; 2 1; 5 12 .
3
2)Решите уравнение:
x 4; x 4
2
x 1; x 1
2
2
2
Решите уравнение
1
x 5
3
1
x 52
3
1
x 25
3
x 75
Ответ : 75
Решите уравнение:
а )( x 3)( x 1) 0
б )( x 2)( x 1) 0
Вычислите, укажите правильный
ответ
64
36
63
7
1,2
2
3
16
14
8
5
12
10
3,2
Вычислите, укажите правильный
ответ
169 16
63
7
1,2
2
3
16
150
8
5
12
10
3,2
Какое целое число заключено между
45 и
54
63
7
1,2
2
180
16
150
8
5
12
10
3,2
Что больше?
π; 5 ;3,2
63
100
1,2
2
180
16
150
8
5
12
10
3,2
Найти наибольшее значение
функции
y= x на отрезке [1;25]
63
100
1,2
2
180
16
150
8
5
12
10
270
Решить уравнение:
x =4
63
100
1,2
2
180
16
150
8
260
12
10
270
Найти наибольший корень
уравнения:
x 4
2
63
100
1,2
2
180
280
150
8
260
12
10
270
Вычислите, укажите правильный
ответ
49
81
63
100
1,2
290
180
280
150
8
260
12
10
270
Вычислите, укажите правильный
ответ
81 1
300
100
1,2
290
180
280
150
8
260
12
10
270
Вычислите, укажите правильный
ответ
11
1
25
300
100
1,2
290
180
280
150
8
260
12
310
270
Найти сторону квадрата, если его
площадь равна
64 см
2
300
100
320
290
180
280
150
8
260
12
310
270
Найти периметр квадрата, если его
площадь равна
2
см
9
300
100
320
290
180
280
150
330
260
12
310
270

18.

Арифметический квадратный кореньАРИФМЕТИЧЕСКИЙ
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
выражение
-3 49
уравнение
x 8
функция
?
у х
х≥0
Х
0
У
0
1 2,25 4 6,25 9
1 1,5 2 2,5 3
у
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
х
Свойства функции
1.Область
1. D ( у ) 0 ;
определения
у
2.
2.Область
значений
3. у=0, если х= 0 4
у>0, если
3
у=√х:
E ( у ) 0;
х 0;
1
х
4. Функция
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
возрастает
при х 0 ;
ограничена снизу, но не
5. Функция
Ограниченность
ограничена сверху.
6. унаим.= 0
Непрерывна.
7. Непрерывность
7.
унаиб.= НЕТ
у х
х≥0
Х
0
У
0
1 2,25 4 6,25 9
-1 -1,5 -2 -2,5 -3
у
х
-1
-2
-3
-4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Свойства функции
1.Область
1. D ( у ) 0 ;
определения
2.
2.Область
значений
3. у=0, если х= 0
E ( у ) ;0
у<0, если
х 0;
4. Функция
убывает
при х 0 ;
-1
-2
-3
-4
у=-√х:
у
х
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ограничена сверху, и не
5. Функция
Ограниченность
ограничена снизу.
6. унаим.= НЕТ
Непрерывна.
7. Непрерывность
7.
унаиб.= 0
Постройте график
функции:
у
y х 3 4
система
координат:
х= 3
у= 4
-2 -1
2. Привязываем к
ней график функции
х
y х 3 4
7
6
5
4
3
2
1
1.Вспомогательная
y
х=3
-1
-2
у=4
х
01 2 3 4 5 6 7 8 9
Х
0
1
У
0
1
4
2
Найдите наименьшее и наибольшее значения
у х
функции
на отрезке от 0 до 4.
у
4
3
2
1
у х
х
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Унаим.=0
Унаиб.=2
Найдите наименьшее и наибольшее значения
функции у х 2 на отрезке от 3 до 11.
у
х=2
4
3
у х 2
1
х
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Унаим.=1
Унаиб. =3
Решить графически уравнение:
√х=х-6
1
4
3
2
Построим в одной системе
координат графики функций:
у=√х
у=х-6
Х 0 6
У -6 0
2
3
у х
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Х 0 1 4 9
У 0 1 2 3
у
х
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
у=х-6
Найдём абсциссы точек
пересечения графиков
ОТВЕТ:
9
Решить графически систему уравнений:
у
9
8
7
Построим в одной системе
1 координат графики функций: 6
5
у=(х-3)²
4
В.С.К. х=3, у=0
3
у=х²
2
Х 0 ±1 ±2±3
1
у=(х-3)²
у=√х-3
У 0 1 4 9
у=√х-3
В.С.К. х=3, у=0
0
4
Х
1
у=√х
У 0 1 2
-1
х=3
у=(х-3)²
у=√х-3
(4;1)
у=0
01 2 3 4 5 6 7 8 9 х
(3;0)
Найдём координаты точек
пересечения графиков
2
3 ОТВЕТ
(3;0) , (4;1)

English     Русский Правила

График функции 1 корень. Степенная функция и корни

Квадратный корень как элементарная функция.

Квадратный корень — это элементарная функция и частный случай степенной функции при . Арифметический квадратный корень является гладким при , а нуле он непрерывен справа, но не дифференцируется.

Как функция комплексный переменный корень — двузначная функция, у которой листы сходятся в нуле.

Построение графика функции квадратного корня.

1. Заполняем таблицу данных:

2. Наносим точки, которые мы получили на координатную плоскость.

3. Соединяем эти точки и получаем график функции квадратного корня:

Преобразования графика функции квадратного корня.

Определим, какие преобразования функции необходимо сделать для того, чтобы построить графики функций. Определим виды преобразований.

	Вид преобразования	Преобразование
		Перенос функции по оси OY на 4 ед. вверх.
	внутреннее	Перенос функции по оси OX на 1 ед. вправо.
	внутреннее	График приближается к оси OY в 3 раза и сжимается по оси OХ .
		График отдаляется от оси OX OY .
	внутреннее	График отдаляется от оси OY в 2 раза и растягивается по оси OХ .

Зачастую преобразования функций оказываются комбинированными.

Например , нужно построить график функции . Это график квадратного корня , который нужно перенести на одну единицу вниз по оси OY и на единицу вправо по оси ОХ и одновременно растянув в 3 раза его по оси OY .

Бывает непосредственно перед построением графика функции, нужны предварительные тождественные преобразования либо упрощения функций.

Основные цели:

1) сформировать представление о целесообразности обобщённого исследования зависимостей реальных величин на примере величин, связанных отношением у=

2) формировать способность к построению графика у= и его свойства;

3) повторить и закрепить приёмы устных и письменных вычислений, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня.

Оборудование, демонстрационный материал: раздаточный материал.

1. Алгоритм:

2. Образец для выполнения задания в группах:

3. Образец для самопроверки самостоятельной работы:

4. Карточка для этапа рефлексии:

1) Я понял, как построить график функции у=.

2) Я могу по графику перечислить его свойства.

3) Я не допустил ошибок в самостоятельной работе.

4) Я допустил ошибки в самостоятельной работе (перечислить эти ошибки и указать их причину).

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа:

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с действительными числами.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Что мы изучали на прошлом уроке? (Мы изучали множество действительных чисел, действия с ними, построили алгоритм для описания свойств функции, повторяли функции изученные в 7 классе).

– Сегодня мы продолжим работать с множеством действительных чисел, функцией.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа:

1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: функция, независимая переменная, зависимая переменна, графики

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = — x 2 ,

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов;

4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. Давайте вспомним как можно задать зависимости между величинами? (С помощью текста, формулы, таблицы, графика)

2. Что называется функцией? (Зависимость между двумя величинами, где каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной y = f(x)).

Как называется х? (Независимая переменная — аргумент)

Как называется у? (Зависимая переменная).

3. В 7- м классе мы изучили функции? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = — x 2 , ).

Индивидуальное задание:

Что является графиком функций y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Выявление причин затруднений и постановка цели деятельности

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

2) согласовать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Что особенного в этом задании? (Зависимость задана формулой y = с которой мы еще не встречались).

– Какая цель урока? (Познакомиться с функцией y = , ее свойствами и графиком. Функцией в таблице определять вид зависимости, строить формулу и график.)

– Можно сформулировать тему урока? (Функция у=, ее свойства и график).

– Запишите тему в тетради.

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Работу на этапе можно организовать по группам, предложив группам построить график y = , затем проанализировать получившиеся результаты. Также группам можно предложить по алгоритму описать свойства данной функции.

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Постройте график у= — и опишите его свойства.

Свойства у= — .

1.Область определения функции.

2.Область значений функции.

3. y = 0, y> 0, y

y =0, если x = 0.

y

4.Возрастания, убывания функции.

Функция убывает при х .

Построим график у=.

Выделим его часть на отрезке . Заметим, что у наим. = 1 при х = 1, а у наиб. =3 при х = 9.

Ответ: у наим. = 1, у наиб. =3

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, проводят самопроверку по эталону, анализируют, исправляют ошибки.

Построим график у=.

С помощью графика найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

7. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: 2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках.

Организация учебного процесса на этапе 7:

Решите графически уравнение: = х – 6.

Один ученик у доски остальные в тетрадях.

8. Рефлексия деятельности

Цель этапа:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Ребята, какая цель стояла сегодня перед нами? (Изучить функцию у=, ее свойства и график).

– Какие знания нам помогли в достижении цели? (Умение искать закономерности, умение читать графики.)

– Проанализируйте свою деятельность на уроке. (Карточки с рефлексией)

Домашнее задание

п. 13 (до примера 2) № 13.3, 13.4

Решите графически уравнение.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1

ст. Брюховецкой

муниципального образования Брюховецкий район

Учитель математики

Гученко Анжела Викторовна

2014 год

Функция у =
, ее свойства и график

Тип урока: изучение нового материала

Цели урока:

Задачи, решаемые на уроке:

научить учащихся самостоятельно работать;

высказывать предположения и догадки;

уметь делать обобщение изучаемых факторов.

Оборудование: доска, мел, мультимедийный проектор, раздаточный материал

Хронометраж урока.

Определение темы урока совместно с учащимися – 1мин.

Определение целей и задач урока совместно с учащимися – 1мин.

Актуализация знаний (фронтальный опрос) – 3мин.

Устная работа — 3мин.

Объяснение нового материала, построенное на создании проблемных ситуаций — 7мин.

Физминутка – 2мин.

Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях и определением свойств функции, работа с учебником – 10мин.

Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразований графиков – 9мин .

Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.

Задание на дом – 1мин.

Итого 40 минут.

Ход урока.

Определение темы урока совместно с учащимися (1мин).

Тема урока определяется учащимися при помощи наводящих вопросов:

функция — работа, производимая органом, организмом в целом.

функция — возможность, опция, умение программы или прибора.

функция — обязанность, круг деятельности.

функция персонажа в литературном произведении.

функция — вид подпрограммы в информатике

функция в математике — закон зависимости одной величины от другой.

Определение целей и задач урока совместно с учащимися (1мин).

Учитель при помощи учащихся формулирует и проговаривает цели и задачи данного урока.

Актуализация знаний (фронтальный опрос – 3мин).

Устная работа – 3 мин.

Фронтальная работа.

(А и В принадлежат, С нет)

Объяснение нового материала (построено на создании проблемных ситуаций – 7мин).

Проблемная ситуация: описать свойства неизвестной функции.

Разбить класс на команды по 4-5 человек, раздать бланки для ответов на поставленные вопросы

Бланк №1

у=0, при х=?

Область определения функции.

Множество значений функции.

На каждый вопрос отвечает один из представителей команды, остальные команды голосуют «за» или «против» сигнальными карточками и, если нужно, дополняют ответы одноклассников.

Вместе с классом сделать вывод об области определения, множестве значений, нулях функции у=.

Проблемная ситуация : попробовать построить график неизвестной функции (идет обсуждение в командах, поиск решения).

С учителем вспоминается алгоритм построения графиков функций. Учащиеся командами пробуют изобразить график функции у= на бланках, затем обмениваются бланками друг с другом для само- и взаимопроверки.

Физминутка (Клоунада)

Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях – 10мин.

После общего обсуждения выполняется задание построения графика функции у= индивидуально каждым учеником в тетради. Учитель в это время оказывает дифференцированную помощь учащимся. После выполнения задания учащимися на доске показывается график функции и учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

Вывод: вместе с учащимися сделать еще раз вывод о свойствах функции и прочитать их по учебнику:

Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразования графика – 9мин.

Учащиеся работают по своей карточке (по вариантам), затем меняются и проверяют друг друга. После на доске показываются графики, и учащиеся оценивают свою работу, сравнивая с доской.

Карточка №1

Карточка №2

Вывод: о преобразованиях графика

1) параллельный перенос вдоль оси ОУ

2) сдвиг вдоль оси ОХ.

9. Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.

СЛАЙДЫ – вставить пропущенные слова

Область определения данной функции, все числа, кроме…(отрицательных).

График функции расположен в … (I) четверти.

При значении аргумента х = 0, значение… (функции) у = …(0).

Наибольшее значение функции… (не существует), наименьшее значение — …(равно 0)

10. Задание на дом (с комментариями – 1 мин).

По учебнику — §13

По задачнику – №13.3, №74 (повторение неполных квадратных уравнений)

Цели урока:

Оборудование:

Компьютер, интерактивная доска, раздаточный материал.

Презентация к уроку.

ХОД УРОКА

План урока.

Вступительное слово учителя.

Повторение ранее изученного материала.

Изучение нового материала (групповая работа).

Исследование функции. Свойства графика.

Обсуждение графика (фронтальная работа).

Игра в математические карты.

Итоги урока.

I. Актуализация опорных знаний.

Приветствие учителя.

Учитель :

Зависимость одной переменной от другой называется функцией. До сих пор Вы изучили функции y = kx + b; y =к/х, у=х 2 . Сегодня мы продолжим изучение функций. На сегодняшнем уроке вы узнаете, как выглядит график функции квадратного корня, научитесь сами строить графики функций квадратного корня.

Запишите тему урока ( слайд1).

2. Повторение изученного материала.

1. Как называются функции, задаваемые формулами:

а) у=2х+3; б) у=5/х; в) у = -1/2х+4; г) у=2х; д) у=-6/х е) у =х 2 ?

2. Что представляет собой их график? Как он расположен? Укажите область определения и область значения каждой из этих функций (на рис. изображены графики функций, заданные данными формулами, для каждой функции укажите её вид) ( слайд2).

3. Что представляет из себя график каждой функции, как эти графики строятся?

( слайд3, строятся схематически графики функций).

3. Изучение нового материала.

Учитель :

Итак, сегодня мы изучаем функцию
и её график.

Мы знаем, что графиком функции у=х 2 является парабола. Что будет графиком функции у=х 2 , если взять только х≥ 0 ? Является часть параболы — её правая ветвь. Построим теперь график функции
.

Повторим алгоритм построения графиков функций(слайд 4, с алгоритмом )

Вопрос : Как вы считаете, глядя на аналитическую запись функции, можно сказать о том, какие значения х допустимы? (Да, х≥0 ). Так как выражение
имеет смысл при всех х больших или равных 0.

Учитель: В явлениях природы, в человеческой деятельности часто встречаются зависимости между двумя величинами. Каким графиком можно представить эту зависимость? (групповая работа )

Класс разбивается на группы. Каждая группа получает задание: построить график функции
на миллиметровой бумаге, выполняя все пункты алгоритма. Затем от каждой группы выходит представитель и показывает работу группы. (открывается слад 5, идет проверка, затем график строится в тетрадях)

4. Исследование функции.(продолжается работа вгруппах)

Учитель:

найдите область определения функции;

найдите область значения функции;

определите промежутки убывания (возрастания) функции;

у>0, у

Записывамв результаты( слайд6).

Учитель: Проведем анализ графика. Графиком функции является ветвь параболы.

Вопрос : Скажите, вы встречали где-нибудь этот график раньше?

Посмотрите на график и скажите, пересекает ли он прямую ОХ? (Нет) ОУ? (Нет) . Посмотрите на график и скажите, имеет ли график центр симметрии? Ось симметрии?

Подведем итоги:

Атеперь поверим, как усвоили новую тему и повторили пройденный материал. Игра в математические карты.(правила игры: каждой группе из 5 человек предлагается комплект карточек (25 карт). Каждый игрок получает по 5 карт, на которых написаны вопросы. Первый ученик дает одну из карт второму ученику, который должен ответить на вопрос из карточки. Если ученик отвечает на вопрос, то карта бита, если нет, то ученик забирает карту себе и предает ход и т.д. всего 5 ходов. Если у ученика не осталось карт, то оценка -5, осталась 1 карта-оценка 4, 2 карты – оценка 3, 3 карты – оценка- 2)

5. Итоги урока. (выставляются оценки обучающимся по контрольным листам)

Задание на дом.

Изучить п.8.

Решить №172, №179, №183.

Подготовить сообщения на тему “Применение функции в различных областях науки и в литературе”.

Рефлексия.

Покажите свое настроение с помощью картинок на вашем столе.

Сегодня урок

Мне понравилось.

Мне не понравилось.

Материал урока я (понял, не понял).

Как построить график \\[y = \\sqrt {x + 1} \\], сравнить его с родительским графиком и что такое домен и диапазон?

Подсказка: Мы должны нарисовать график для данной функции, взяв различные значения \[x\], затем найти соответствующие значения \[y\], используя данную функцию, а затем нанести точки на графики \ [x\]-ось и \[y\]-ось. И мы должны найти домен и диапазон данной функции, мы знаем, что домен — это набор значений, для которых определена функция, а диапазон — это набор всех значений, которые функция \[y\] может достичь для этих значения \[x\], которые находятся в области определения функции \[y\].

Полное пошаговое решение:
Дан граф \[y = \sqrt {x + 1} \],
Родительский граф данного графа \[\sqrt {x + 1} \] равно \[\sqrt x \].
Домен функции — это когда бит внутри квадратного корня больше или равен нулю (иначе он не был бы определен в терминах действительных чисел). Мы можем узнать, когда это так, решив следующее неравенство0009 \[ \Rightarrow x + 1 — 1 \geqslant 0 — 1\],
Упрощая, получаем,
\[ \Rightarrow x \geqslant — 1\],
Таким образом, искомый домен равен \[\left\{ {x|x \geqslant — 1} \right\}\],
Теперь диапазон родительского графа,\[\sqrt x \] состоит из всех действительных положительных чисел и нулей, и перемещение влево ничего не меняет что, таким образом, областью действия этой функции также являются все положительные действительные числа и ноль, \[ R \].
Теперь, чтобы построить график, мы должны взять любые случайные значения для \[x\], чтобы получить соответствующие значения для \[y\].
Теперь возьмем \[x = — 1\], теперь подставив в функцию \[y = \sqrt {x + 1} \] получим,
\[ \Rightarrow y = \sqrt { — 1 + 1} \] ,
Теперь упрощая получаем,
\[ \Rightarrow y = \sqrt 0 \],
Итак снова упрощая получаем,
\[ \Rightarrow y = 0\],
Теперь берем \[x = 0\], теперь подставляя в функцию \[y = \sqrt {x + 1} \] получаем,
\[ \Rightarrow y = \sqrt {0 + 1} \],
Теперь упрощая получаем,
\[ \Rightarrow y = \sqrt 1\],
Итак, снова упрощая, получаем,
\[ \Rightarrow y = 1\],
Теперь возьмем \[x = 1\], теперь подставив в функцию \[y = \sqrt {x + 1} \] получим,
\[ \Rightarrow y = \sqrt {1 + 1} \],
Теперь, упрощая, получаем,
\[ \Rightarrow y = \sqrt 2 \],
Итак, снова упрощая, получаем,
\[ \Rightarrow y = 1,414\],
Теперь рисуем координаты на плоскости получаем,

Родительский граф данного графа \[\sqrt {x + 1} \] равен \[\sqrt x \], а \[\sqrt {x + 1} \] — тот же график, но сдвинутый на 1 единицу влево.

Калькулятор деления столбиком с остатком

Данный калькулятор выполнит деление двух целых чисел с остатком и отобразит запись деления столбиком.

Введите целые неотрицательные числа

÷

Как оформлять деление столбиком

1. Делимое располагается слева от вертикальной черты, под ним следует записать промежуточное решение, а в конце остаток.
2. Справа от вертикальной черты записывается делитель, под ним находится горизонтальная черта.
3. Под горизонтальной чертой записывается частное .

Как делить столбиком

Приведем правила деления в столбик с остатком на примере. Разделим 453 на 2.

Первое, что необходимо сделать – это определить неполное делимое. Неполное делимое должно быть меньше делителя. В нашем случае это число 4, выделим это число зеленым цвет

Теперь определим сколько раз число 2 содержится в числе 4. Число 2 содержится в числе 4 два раза. Следовательно, умножаем 2 на 2 и вычитаем результат произведения из неполного делимого 4 – 4 = 0. В результате вычитания у нас получился ноль, поэтому сносим следующую цифру 5 из числа 453 и выделим ее зеленым цветом. Запишем 2 под горизонтальной чертой и выделим синем цветом.

354_

4

50

Далее снова определяем сколько раз делитель – число 2 содержится теперь уже в числе 5. Число 2 содержится в числе 5 два раза. Запишем еще оду двойку под горизонтальной чертой и выделим ее синем цветом. Умножим 2 на 2, получим 4 и вычитаем из 5 число 4.

354_

4

50_

4

1

Сносим последнее число 3, в результате имеем число 13. В числе 13 число 2 содержится 6 раз. Запишем число 6 под горизонтальной чертой. Умножим 6 на 2, получим 12. Вычтем из 13 число 12. 13 – 12 = 1. Остаток от деления = 1.

354_

4

50_

4

31_

21

1

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N2 | Двоичная система счисления

N3 | Троичная система счисления

N4 | Четырехичная система счисления

N5 | Пятеричная система счисления

N6 | Шестеричная система счисления

N7 | Семеричная система счисления

N8 | Восьмеричная система счисления

N9 | Девятеричная система счисления

N11 | Одиннадцатиричная система счисления

N12 | Двенадцатеричная система счисления

N13 | Тринадцатеричная система счисления

N14 | Четырнадцатеричная система счисления

N15 | Пятнадцатеричная система счисления

N16 | Шестнадцатеричная система счисления

N17 | Семнадцатеричная система счисления

N18 | Восемнадцатеричная система счисления

N19 | Девятнадцатеричная система счисления

N20 | Двадцатеричная система счисления

N21 | Двадцатиодноричная система счисления

N22 | Двадцатидвухричная система счисления

N23 | Двадцатитрехричная система счисления

N24 | Двадцатичетырехричная система счисления

N25 | Двадцатипятеричная система счисления

N26 | Двадцатишестеричная система счисления

N27 | Двадцатисемеричная система счисления

N28 | Двадцативосьмеричная система счисления

N29 | Двадцатидевятиричная система счисления

N30 | Тридцатиричная система счисления

N31 | Тридцатиодноричная система счисления

N32 | Тридцатидвухричная система счисления

N33 | Тридцатитрехричная система счисления

N34 | Тридцатичетырехричная система счисления

N35 | Тридцатипятиричная система счисления

N36 | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Калькулятор делителей числа

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Онлайн калькулятор деление в столбик

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Отметим, что сложение векторов производится аналогично планиметрии, только все действия выполняются в пространстве.

Итак, пусть заданы два произвольных вектора в пространстве (рис. 1):

Рис. 1. Произвольные векторы в пространстве

Определим, что же называется суммой двух этих векторов.

Точно так же, как в планиметрии, из любой удобной точки, назовем ее точкой А, можно единственным образом отложить вектор, равный вектору . Напомним, что заданные векторы, как и любые другие, свободны, важно лишь направление и длина, сам вектор можно параллельно переносить в любое место как на плоскости, так и в пространстве. Так, мы получили вектор  – в результате действия вектора  точка А переместилась в точку В. Теперь из точки В откладываем единственно возможным образом вектор , получаем вектор  – так, в результате действия вектора  точка В переместилась в точку С. В результате точка А переместилась в точку С, получен вектор , который и называется суммой векторов  и  (рис. 2).

Рис. 2. Сумма двух векторов в пространстве

Так, получено правило треугольника для сложения векторов в пространстве.

Правило треугольника

Из любой точки пространства (точка А) откладываем первый вектор, из конца первого вектора (точка В) откладываем второй вектор и получаем точку С. Вектор, соединяющий начало первого вектора (точка А) и конец второго (точка С), и будет результирующим.

Отметим, что результат сложения векторов не зависит от выбора начальной точки, существует соответствующая теорема, которая это доказывает на основании того, что из точки можно отложить вектор, равный заданному, единственным образом.

Определение

Разностью двух векторов называется такой третий вектор, который, будучи сложенным со вторым вектором, даст первый вектор.

Введем разность векторов  и , для этого сложим вектор  с противоположным вектором :

Итак, из произвольной точки А откладываем вектор , получаем точку В. Чтобы получить вектор  мы строим вектор, равный вектору  по длине, но противонаправленный. Полученный вектор откладываем из точки В – получаем точку D. Вектор  и будет искомым вектором разности.

Проиллюстрируем (рис. 3):

Рис. 3. Вычитание двух векторов в пространстве

Построим на заданных векторах  и  параллелограмм (рис. 4):

Рис. 4. Параллелограмм на двух заданных векторах

Т. к. вектор ; аналогично .

По правилу треугольника:

Так, одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов.

Рассмотрим разность векторов. По правилу треугольника:

.

Так, вторая диагональ параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует разности этих векторов.

Для сложения и вычитания нескольких векторов применяется правило многоугольника. Пусть заданы векторы  и :

Рис. 5. Три вектора в пространстве

Необходимо построить вектор .

Видим, что перед некоторыми векторами стоят численные множители. Напомним, что при умножении вектора на число получаем сонаправленный вектор, длина которого – это длина исходного вектора, умноженная на заданное число. Получим векторы  и . Вектор  сонаправлен с вектором , длина его в три раза больше. Вектор  противонаправлен вектору , длина его в два раза больше. Проиллюстрируем (рис. 6):

Рис. 6. Умножение вектора на число

Приступаем к сложению. Из произвольной точки А откладываем полученный вектор  – получаем точку В. Из точки В откладываем вектор  – получаем точку С. Из точки С откладываем вектор  – получаем точку D. Согласно правилу многоугольника, вектор  соответствует искомому вектору :

Рис. 7. Сложение векторов по правилу многоугольника

Задача 1:

Задан тетраэдр ABCD (рисунок 8). Доказать:

Рис. 8. Тетраэдр, задача 1

Решение:

По правилу треугольника:

Аналогично:

, ч. т. д.

По правилу треугольника:

Аналогично: , ч. т. д.

Задача 2

Упростить выражение:

Рассмотрим отдельно сумму двух векторов: , ее значение очевидно:

Проиллюстрируем (рис. 9):

Рис. 9. Сумма двух векторов

Теперь сократим противоположные векторы:

Можно было сразу заметить:

.

В результате упрощения получено:

.

Итак, мы ввели операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число в стереометрии, отметили, что операции аналогичны таким же для планиметрии. Кроме того, решили несколько задач, базирующихся на описанных операциях.

Список литературы

1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10–11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ru.onlinemschool.com (Иточник).
2. Emomi.com (Источник).
3. Cleverstudents.ru (Источник).

Домашнее задание

Задача 1: задан параллелепипед (рисунок 10). Доказать:

1.

2.

3.

Рис. 10. Параллелепипед

Задача 2: упростить выражение:

Задача 3: построить вектор , если векторы  и  заданы на рисунке 11:

Рис. 11. Векторы, задача 3

§1. Определение вектора. Операции над векторами — ЗФТШ, МФТИ

1. Основные определения

Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно — как с геометрическими объектами — геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).

Стрелка компаса — не вектор, т. к. для неё нет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение — букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.

Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую — концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является нача­лом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A` (рис. 2).

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`.  Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны. 

На рис. 4 слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа — равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).

В физике точка приложения вектора иногда имеет  принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется  относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке  приписать эту скорость?  Всем точкам движущейся системы!

2. Сложение двух векторов.

Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5а). 

Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рис. 5б — это вектор `vec c`.

Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать

Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника.

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах,  параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно — суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали (рис. 5в).

Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют  правило  треугольника. Поясним сказанное.

3. Сложение трёх и более векторов. 

Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6). 

Для этого  по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим  вектором  `vec d`. Тогда  полученный  вектор `vec f = vec c + vec d` и  будет представлять собой сумму  трёх  векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.

Чтобы упростить процесс сложения трёх и более векторов, обычно не находят промежуточные суммы типа `vec c = vec a + vec b`, а применяют правило многоугольника: параллельными переносами из конца первого вектора откладывают второй, из конца второго — откладывают третий, из конца третьего  — четвёртый  и  т.  д. 

Так,  на рис. 7 вектор  `vec g`  представляет собой сумму векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`,  найденную по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.

В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.

4. Умножение вектора на скаляр. 

Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k < 0`, а модуль `b` равен

где `|k|` — абсолютная величина числа `k`.  

Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только ска­лярным множителем, не равным  нулю, то они коллинеарны.      

В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` представляет собой нулевой  вектор,  направление которого не определено.

Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны (рис. 8а).

При `k = — 1` получим `vec b = — vec a`. Вектор `- vec a` имеет модуль, равный модулю вектора `vec a`, но направлен в противоположную сторону (рис. 8б).

Импульс тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ней в одну сторону, т. к. массы всех тел положительны. Чуть ранее говорилось об аддитивности импульса. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т. е. имели импульсы `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент обладает импульсом  

При этом каждое из слагаемых здесь должно быть найдено по правилу умножения вектора (скорости данной частицы) на скаляр (её массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.

5. Разность двух векторов.

Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор   `- vec b`:

см. рис.  9а, 9б.

Упрощение выражений | nool

Перейти к основному содержанию

Домашняя страница Технологического института Онтарио

nool

Алгебраические выражения иногда могут выглядеть беспорядочно, поскольку они содержат не только числа, но и буквы алфавита. Давайте подробнее рассмотрим, как мы можем упростить эти выражения.

Чтобы упростить алгебраическое выражение, мы должны собрать одинаковые термины. При упрощении алгебраического выражения находится эквивалентное выражение, которое проще исходного. Обычно это означает, что упрощенное выражение меньше исходного выражения. Существует множество различных видов алгебраических выражений, поэтому стандартной процедуры для их упрощения не существует. Вот список шагов, которым нужно следовать.

• Подготовьте алгебраическое выражение для упрощения (например, путем расширения).
• Определите и сгруппируйте похожие термины.
• Объедините похожие термины.

Пример: Упростите выражение 5x + 3y -9z -8x + 6y.

Решение:

Выражение не нужно готовить, поэтому сначала определите и сгруппируйте одинаковые члены:

(5x — 8x) + (3y + 6y) — 9z

Затем объедините одинаковые члены:

-3x + 9y — 9z

Пример: Упростите выражение 4(5a — 4b) -7(6a + 2b).

Решение:

Сначала подготовьте выражение для упрощения (расширьте): 20a — 16b — 42a- 14b

Затем определите и сгруппируйте одинаковые термины: (20a — 42a) + (-16b — 14b)

Наконец, объедините одинаковые термины: -22a — 20b

Важно понимать, что не все алгебраические выражения можно упростить. Например, выражение 56a — 8b + 7c -5 не может быть упрощено дальше, так как в выражении нет одинаковых членов.

Закончим еще одним примером выражения, в котором есть произведения и частные простых множителей, включающих степени с одним и тем же основанием. Их можно легко упростить, добавляя и вычитая индексы степеней (используя экспоненциальные законы).

Пример: Упростите выражение 004 Выражение не нужно подготавливать, поэтому объедините похожие термины: 12w ³ x ⁵ /yz

Пример — объединение рациональных выражений: