Автор: alexxlab

Косинус угла онлайн. Таблица косинусов. Формула косинуса угла.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

cos(0°) = 1cos(π/12) = cos(15°) = 0.9659258263cos(π/6) = cos(30°) = 0.8660254038cos(π/4) = cos(45°) = 0.7071067812cos(π/3) = cos(60°) = 0.5cos(5π/12) = cos(75°) = 0.2588190451cos(π/2) = cos(90°) = 0cos(7π/12) = cos(105°) = -0.2588190451cos(2π/3) = cos(120°) = -0.5cos(3π/4) = cos(135°) = -0.7071067812cos(5π/6) = cos(150°) = -0.8660254038cos(11π/12) = cos(165°) = -0.9659258263cos(π) = cos(180°) = -1cos(13π/12) = cos(195°) = -0.9659258263cos(7π/6) = cos(210°) = -0.8660254038cos(5π/4) = cos(225°) = -0.7071067812cos(4π/3) = cos(240°) = -0.5cos(17π/12) = cos(255°) = -0.2588190451cos(3π/2) = cos(270°) = 0cos(19π/12) = cos(285°) = 0.2588190451cos(5π/3) = cos(300°) = 0.5cos(7π/4) = cos(315°) = 0. 7071067812cos(11π/6) = cos(330°) = 0.8660254038cos(23π/12) = cos(345°) = 0.9659258263

cos(0) = 1	cos(120) = -0.5	cos(240) = -0.5
cos(1) = 0.9998476952	cos(121) = -0.5150380749	cos(241) = -0.4848096202
cos(2) = 0.999390827	cos(122) = -0.5299192642	cos(242) = -0.4694715628
cos(3) = 0.9986295348	cos(123) = -0.544639035	cos(243) = -0.4539904997
cos(4) = 0.9975640503	cos(124) = -0.5591929035	cos(244) = -0.4383711468
cos(5) = 0.9961946981	cos(125) = -0.5735764364	cos(245) = -0.4226182617
cos(6) = 0.9945218954	cos(126) = -0.5877852523	cos(246) = -0.4067366431
cos(7) = 0.9925461516	cos(127) = -0.6018150232	cos(247) = -0.3907311285
cos(8) = 0.9902680687	cos(128) = -0.6156614753	cos(248) = -0.3746065934
cos(9) = 0. 9876883406	cos(129) = -0.629320391	cos(249) = -0.3583679495
cos(10) = 0.984807753	cos(130) = -0.6427876097	cos(250) = -0.3420201433
cos(11) = 0.9816271834	cos(131) = -0.656059029	cos(251) = -0.3255681545
cos(12) = 0.9781476007	cos(132) = -0.6691306064	cos(252) = -0.3090169944
cos(13) = 0.9743700648	cos(133) = -0.6819983601	cos(253) = -0.2923717047
cos(14) = 0.9702957263	cos(134) = -0.6946583705	cos(254) = -0.2756373558
cos(15) = 0.9659258263	cos(135) = -0.7071067812	cos(255) = -0.2588190451
cos(16) = 0.9612616959	cos(136) = -0.7193398003	cos(256) = -0.2419218956
cos(17) = 0.956304756	cos(137) = -0.7313537016	cos(257) = -0.2249510543
cos(18) = 0.9510565163	cos(138) = -0.7431448255	cos(258) = -0. 2079116908
cos(19) = 0.9455185756	cos(139) = -0.7547095802	cos(259) = -0.1908089954
cos(20) = 0.9396926208	cos(140) = -0.7660444431	cos(260) = -0.1736481777
cos(21) = 0.9335804265	cos(141) = -0.7771459615	cos(261) = -0.156434465
cos(22) = 0.9271838546	cos(142) = -0.7880107536	cos(262) = -0.139173101
cos(23) = 0.9205048535	cos(143) = -0.79863551	cos(263) = -0.1218693434
cos(24) = 0.9135454576	cos(144) = -0.8090169944	cos(264) = -0.1045284633
cos(25) = 0.906307787	cos(145) = -0.8191520443	cos(265) = -0.08715574275
cos(26) = 0.8987940463	cos(146) = -0.8290375726	cos(266) = -0.06975647374
cos(27) = 0.8910065242	cos(147) = -0.8386705679	cos(267) = -0.05233595624
cos(28) = 0.8829475929	cos(148) = -0. 8480480962	cos(268) = -0.0348994967
cos(29) = 0.8746197071	cos(149) = -0.8571673007	cos(269) = -0.01745240644
cos(30) = 0.8660254038	cos(150) = -0.8660254038	cos(270) = 0
cos(31) = 0.8571673007	cos(151) = -0.8746197071	cos(271) = 0.01745240644
cos(32) = 0.8480480962	cos(152) = -0.8829475929	cos(272) = 0.0348994967
cos(33) = 0.8386705679	cos(153) = -0.8910065242	cos(273) = 0.05233595624
cos(34) = 0.8290375726	cos(154) = -0.8987940463	cos(274) = 0.06975647374
cos(35) = 0.8191520443	cos(155) = -0.906307787	cos(275) = 0.08715574275
cos(36) = 0.8090169944	cos(156) = -0.9135454576	cos(276) = 0.1045284633
cos(37) = 0.79863551	cos(157) = -0.9205048535	cos(277) = 0.1218693434
cos(38) = 0. 7880107536	cos(158) = -0.9271838546	cos(278) = 0.139173101
cos(39) = 0.7771459615	cos(159) = -0.9335804265	cos(279) = 0.156434465
cos(40) = 0.7660444431	cos(160) = -0.9396926208	cos(280) = 0.1736481777
cos(41) = 0.7547095802	cos(161) = -0.9455185756	cos(281) = 0.1908089954
cos(42) = 0.7431448255	cos(162) = -0.9510565163	cos(282) = 0.2079116908
cos(43) = 0.7313537016	cos(163) = -0.956304756	cos(283) = 0.2249510543
cos(44) = 0.7193398003	cos(164) = -0.9612616959	cos(284) = 0.2419218956
cos(45) = 0.7071067812	cos(165) = -0.9659258263	cos(285) = 0.2588190451
cos(46) = 0.6946583705	cos(166) = -0.9702957263	cos(286) = 0.2756373558
cos(47) = 0.6819983601	cos(167) = -0.9743700648	cos(287) = 0. 2923717047
cos(48) = 0.6691306064	cos(168) = -0.9781476007	cos(288) = 0.3090169944
cos(49) = 0.656059029	cos(169) = -0.9816271834	cos(289) = 0.3255681545
cos(50) = 0.6427876097	cos(170) = -0.984807753	cos(290) = 0.3420201433
cos(51) = 0.629320391	cos(171) = -0.9876883406	cos(291) = 0.3583679495
cos(52) = 0.6156614753	cos(172) = -0.9902680687	cos(292) = 0.3746065934
cos(53) = 0.6018150232	cos(173) = -0.9925461516	cos(293) = 0.3907311285
cos(54) = 0.5877852523	cos(174) = -0.9945218954	cos(294) = 0.4067366431
cos(55) = 0.5735764364	cos(175) = -0.9961946981	cos(295) = 0.4226182617
cos(56) = 0.5591929035	cos(176) = -0.9975640503	cos(296) = 0.4383711468
cos(57) = 0.544639035	cos(177) = -0. 9986295348	cos(297) = 0.4539904997
cos(58) = 0.5299192642	cos(178) = -0.999390827	cos(298) = 0.4694715628
cos(59) = 0.5150380749	cos(179) = -0.9998476952	cos(299) = 0.4848096202
cos(60) = 0.5	cos(180) = -1	cos(300) = 0.5
cos(61) = 0.4848096202	cos(181) = -0.9998476952	cos(301) = 0.5150380749
cos(62) = 0.4694715628	cos(182) = -0.999390827	cos(302) = 0.5299192642
cos(63) = 0.4539904997	cos(183) = -0.9986295348	cos(303) = 0.544639035
cos(64) = 0.4383711468	cos(184) = -0.9975640503	cos(304) = 0.5591929035
cos(65) = 0.4226182617	cos(185) = -0.9961946981	cos(305) = 0.5735764364
cos(66) = 0.4067366431	cos(186) = -0.9945218954	cos(306) = 0.5877852523
cos(67) = 0.3907311285	cos(187) = -0. 9925461516	cos(307) = 0.6018150232
cos(68) = 0.3746065934	cos(188) = -0.9902680687	cos(308) = 0.6156614753
cos(69) = 0.3583679495	cos(189) = -0.9876883406	cos(309) = 0.629320391
cos(70) = 0.3420201433	cos(190) = -0.984807753	cos(310) = 0.6427876097
cos(71) = 0.3255681545	cos(191) = -0.9816271834	cos(311) = 0.656059029
cos(72) = 0.3090169944	cos(192) = -0.9781476007	cos(312) = 0.6691306064
cos(73) = 0.2923717047	cos(193) = -0.9743700648	cos(313) = 0.6819983601
cos(74) = 0.2756373558	cos(194) = -0.9702957263	cos(314) = 0.6946583705
cos(75) = 0.2588190451	cos(195) = -0.9659258263	cos(315) = 0.7071067812
cos(76) = 0.2419218956	cos(196) = -0.9612616959	cos(316) = 0.7193398003
cos(77) = 0. 2249510543	cos(197) = -0.956304756	cos(317) = 0.7313537016
cos(78) = 0.2079116908	cos(198) = -0.9510565163	cos(318) = 0.7431448255
cos(79) = 0.1908089954	cos(199) = -0.9455185756	cos(319) = 0.7547095802
cos(80) = 0.1736481777	cos(200) = -0.9396926208	cos(320) = 0.7660444431
cos(81) = 0.156434465	cos(201) = -0.9335804265	cos(321) = 0.7771459615
cos(82) = 0.139173101	cos(202) = -0.9271838546	cos(322) = 0.7880107536
cos(83) = 0.1218693434	cos(203) = -0.9205048535	cos(323) = 0.79863551
cos(84) = 0.1045284633	cos(204) = -0.9135454576	cos(324) = 0.8090169944
cos(85) = 0.08715574275	cos(205) = -0.906307787	cos(325) = 0.8191520443
cos(86) = 0.06975647374	cos(206) = -0.8987940463	cos(326) = 0. 8290375726
cos(87) = 0.05233595624	cos(207) = -0.8910065242	cos(327) = 0.8386705679
cos(88) = 0.0348994967	cos(208) = -0.8829475929	cos(328) = 0.8480480962
cos(89) = 0.01745240644	cos(209) = -0.8746197071	cos(329) = 0.8571673007
cos(90) = 0	cos(210) = -0.8660254038	cos(330) = 0.8660254038
cos(91) = -0.01745240644	cos(211) = -0.8571673007	cos(331) = 0.8746197071
cos(92) = -0.0348994967	cos(212) = -0.8480480962	cos(332) = 0.8829475929
cos(93) = -0.05233595624	cos(213) = -0.8386705679	cos(333) = 0.8910065242
cos(94) = -0.06975647374	cos(214) = -0.8290375726	cos(334) = 0.8987940463
cos(95) = -0.08715574275	cos(215) = -0.8191520443	cos(335) = 0.906307787
cos(96) = -0.1045284633	cos(216) = -0. 8090169944	cos(336) = 0.9135454576
cos(97) = -0.1218693434	cos(217) = -0.79863551	cos(337) = 0.9205048535
cos(98) = -0.139173101	cos(218) = -0.7880107536	cos(338) = 0.9271838546
cos(99) = -0.156434465	cos(219) = -0.7771459615	cos(339) = 0.9335804265
cos(100) = -0.1736481777	cos(220) = -0.7660444431	cos(340) = 0.9396926208
cos(101) = -0.1908089954	cos(221) = -0.7547095802	cos(341) = 0.9455185756
cos(102) = -0.2079116908	cos(222) = -0.7431448255	cos(342) = 0.9510565163
cos(103) = -0.2249510543	cos(223) = -0.7313537016	cos(343) = 0.956304756
cos(104) = -0.2419218956	cos(224) = -0.7193398003	cos(344) = 0.9612616959
cos(105) = -0.2588190451	cos(225) = -0.7071067812	cos(345) = 0.9659258263
cos(106) = -0. 2756373558	cos(226) = -0.6946583705	cos(346) = 0.9702957263
cos(107) = -0.2923717047	cos(227) = -0.6819983601	cos(347) = 0.9743700648
cos(108) = -0.3090169944	cos(228) = -0.6691306064	cos(348) = 0.9781476007
cos(109) = -0.3255681545	cos(229) = -0.656059029	cos(349) = 0.9816271834
cos(110) = -0.3420201433	cos(230) = -0.6427876097	cos(350) = 0.984807753
cos(111) = -0.3583679495	cos(231) = -0.629320391	cos(351) = 0.9876883406
cos(112) = -0.3746065934	cos(232) = -0.6156614753	cos(352) = 0.9902680687
cos(113) = -0.3907311285	cos(233) = -0.6018150232	cos(353) = 0.9925461516
cos(114) = -0.4067366431	cos(234) = -0.5877852523	cos(354) = 0.9945218954
cos(115) = -0.4226182617	cos(235) = -0.5735764364	cos(355) = 0. 9961946981
cos(116) = -0.4383711468	cos(236) = -0.5591929035	cos(356) = 0.9975640503
cos(117) = -0.4539904997	cos(237) = -0.544639035	cos(357) = 0.9986295348
cos(118) = -0.4694715628	cos(238) = -0.5299192642	cos(358) = 0.999390827
cos(119) = -0.4848096202	cos(239) = -0.5150380749	cos(359) = 0.9998476952

Косинус онлайн калькулятор

Данный калькулятор вычислит синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс угла как в градусной, так и в радианной мере.

Введите число

синус (sin)косинус (cos)тангенс (tg)котангенс (ctg)секанс (sec)косеканс (cosec)градусырадианы

Что такое косинус угла

Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с острым углом α, тогда косинусом угла α будет отношение прилежащего катета к гипотенузе cos α = AB/AC.

Так же для определения косинуса угла можно воспользоваться окружностью, построенной в декартовой системе координат, радиуса R и центром в начале координат O. На окружности отметим точку P с координатами (1;0), теперь повернем луч OP на некоторый угол α. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелки – отрицательным.
Косинусом угла α будет отношение абсциссы точки X_P к радиусу окружности. cos α = X_P/R, в случае, если окружность единичная (радиус окружности = 1), формула примет вид cos α = X_P.

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Калькулятор делителей числа

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N2 | Двоичная система счисления

N3 | Троичная система счисления

N4 | Четырехичная система счисления

N5 | Пятеричная система счисления

N6 | Шестеричная система счисления

N7 | Семеричная система счисления

N8 | Восьмеричная система счисления

N9 | Девятеричная система счисления

N11 | Одиннадцатиричная система счисления

N12 | Двенадцатеричная система счисления

N13 | Тринадцатеричная система счисления

N14 | Четырнадцатеричная система счисления

N15 | Пятнадцатеричная система счисления

N16 | Шестнадцатеричная система счисления

N17 | Семнадцатеричная система счисления

N18 | Восемнадцатеричная система счисления

N19 | Девятнадцатеричная система счисления

N20 | Двадцатеричная система счисления

N21 | Двадцатиодноричная система счисления

N22 | Двадцатидвухричная система счисления

N23 | Двадцатитрехричная система счисления

N24 | Двадцатичетырехричная система счисления

N25 | Двадцатипятеричная система счисления

N26 | Двадцатишестеричная система счисления

N27 | Двадцатисемеричная система счисления

N28 | Двадцативосьмеричная система счисления

N29 | Двадцатидевятиричная система счисления

N30 | Тридцатиричная система счисления

N31 | Тридцатиодноричная система счисления

N32 | Тридцатидвухричная система счисления

N33 | Тридцатитрехричная система счисления

N34 | Тридцатичетырехричная система счисления

N35 | Тридцатипятиричная система счисления

N36 | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

соз(х) | функция косинуса

cos(x), функция косинуса.

• Определение косинуса
• График косинуса
• Правила косинуса
• Функция арккосинуса
• Таблица косинусов
• Калькулятор косинуса

Определение косинуса

В прямоугольном треугольнике ABC синус α, sin(α) равен определяется как отношение между стороной, примыкающей к углу α, и сторона, противоположная прямому углу (гипотенуза):

cos α = b / c

Пример

b = 3 дюйма

c = 5 дюймов

9002 cos

α 24 / с = 3 / 5 = 0,6

График косинуса

TBD

 Правила косинуса

Функция арккосинуса

Арккосинус x определяется как функция арккосинуса x, когда -1≤x≤1.

Когда косинус y равен x:

cos y = x

Тогда арккосинус x равен функции арккосинуса x, которая равна y:

arccos5 x = cos ^-1 х = у

Пример

arccos 1 = cos ^-1 1 = 0 рад = 0 °

См.: Функция Arccos

Косинус Таблица

См.

• Калькулятор Cos
• Функция Arccos
• Синусоидальная функция
• Перевод градусов в радианы

Калькулятор закона косинусов

Создано Bogna Szyk и Hanna Pamula, PhD

Отзыв от Jack Bowater

Последнее обновление: 10 февраля 2023 г.

• Что такое закон косинусов 9005 косинусы?
• Применение закона косинусов
• Закон косинусов доказательство
• Как пользоваться калькулятором закона косинусов
• Закон косинусов – SSS пример
• Часто задаваемые вопросы

Калькулятор закона косинусов может помочь вам решить огромное количество треугольных задач. Вы узнаете, что такое закон косинусов (также известный как правило косинусов), формулу закона косинусов и ее приложения. Прокрутите вниз, чтобы узнать, когда и как использовать закон косинусов, и ознакомьтесь с доказательствами этого закона. Благодаря этому калькулятору треугольников вы сможете быстро найти свойства любого произвольного треугольника.

Но если вам почему-то интересно, что такое косинус, лучше взгляните на наш калькулятор косинуса.

Формула закона косинусов

Закон косинусов гласит, что для треугольника со сторонами и углами, обозначенными символами, как показано выше, a² + c² — 2ac × cos(β)

c² = a² + b² - 2ab × cos(γ)

Для прямоугольного треугольника угол гамма, который является углом между катетами a и b , равно 90°. Косинус угла 90° = 0, поэтому в этом частном случае формула закона косинусов сводится к известному уравнению теоремы Пифагора:

a² = b² + c² - 2bc × cos(90°)

a² = b² + c²

Что такое закон косинусов?

Закон косинусов (альтернативно формула косинуса или правило косинуса) описывает отношение между длинами сторон треугольника и косинусом его углов. Его можно применять ко всем треугольникам, а не только к прямоугольным. Этот закон обобщает теорему Пифагора, так как позволяет вычислить длину одной из сторон, зная длину обеих сторон и угол между ними.

Закон появился в Элементе Евклида, математическом трактате, содержащем определения, постулаты и геометрические теоремы. Евклид не сформулировал его так, как мы изучаем его сегодня, поскольку понятие косинуса еще не было разработано.

AB² = CA² + CB² - 2 × CA × CH (для острых углов, «+» для тупых)

Однако мы можем легко переформулировать теорему Евклида в текущей форме формулы косинуса:

CH = CB × cos(γ) , поэтому AB² = CA² + CB² - 2 × CA × (CB × cos(γ))

Меняя обозначения, получаем знакомое выражение:

c² = a² + b² - 2ab × cos(γ) первое явное уравнение косинуса было представлено персидским математиком д'Аль-Каши в 15 веке. В 16 веке закон был популяризирован известным французским математиком Виете, прежде чем он получил свою окончательную форму в 19 веке.

Применение закона косинусов

Вы можете преобразовать эти формулы закона косинусов для решения некоторых задач триангуляции (решение треугольника). Вы можете использовать их, чтобы найти:

1. Третья сторона треугольника , зная две стороны и угол между ними (SAS):

   • а = √[b² + c² - 2bc × cos(α)]

   • b = √[a² + c² - 2ac × cos(β)]

   • с = √[a² + b² - 2ab × cos(γ)]

2. Углы треугольника , зная все три стороны (SSS):

   • α = arccos [(b² + c² - a²)/(2bc)]

   • β = arccos [(a² + c² - b²)/(2ac)]

   • γ = arccos [(a² + b² - c²)/(2ab)]

3. Третья сторона треугольника , зная две стороны и угол, противолежащий одной из них (SSA):

   • a = b × cos(γ) ± √[c² - b² × sin²(γ)]

   • b = c × cos(α) ± √[a² - c² × sin²(α)]

   • c = a × cos(β) ± √[b² - a² × sin²(β)]

Просто помните, что зная две стороны и прилежащий угол, можно получить два различных возможных треугольника (или одно или ноль положительных решений, в зависимости от заданных данных). Вот почему мы решили реализовать в этом инструменте SAS и SSS, но не SSA.

Закон косинусов — один из основных законов, широко используемый во многих геометрических задачах. Мы также используем этот закон во многих Omnitools, если упомянуть лишь некоторые из них:

• Калькулятор угла треугольника
• Калькулятор площади треугольника
• Калькулятор периметра треугольника
• Калькулятор с треугольной призмой

Также калькулятор закона косинусов можно совмещать с законом синусов для решения других задач, например, нахождения стороны треугольника по двум углам и одной стороне (AAS и ASA).

Доказательство закона косинусов

Есть много способов доказать уравнение уравнения косинусов. Вы уже читали об одном из них — он исходит непосредственно из формулировки закона Евклидом и применения теоремы Пифагора. Вы можете написать другие доказательства закона косинусов, используя:

1. Тригонометрия

Проведите линию для высоты треугольника и разделите перпендикулярную к ней сторону на две части:

b = b₁ + b₂

Из определений синуса и косинуса можно выразить b₁ как a × cos (γ) и b₂ = c × cos (α) . Отсюда:

b = a × cos(γ) + c × cos(α) и, умножая на b , получаем:

b² = ab × cos(γ) + bc × cos(α ) (1)

Аналогичные уравнения можно вывести для двух других сторон:

a² = ac × cos(β) + ab × cos(γ) (2)

c² = bc × cos(α) + ac × cos( β) (3)

Чтобы закончить доказательство закона косинусов, нужно сложить уравнения (1) и (2) и вычесть (3):

a² + b² - c² = ac × cos(β) + ab × cos(γ) + bc × cos(α) + ab × cos(γ) - bc × cos(α) - ac × cos(β)

Сокращение и упрощение уравнения дают одну из форм правило косинусов:

a² + b² - c² = 2ab × cos(γ)

c² = a² + b² - 2ab × cos(γ)

Изменяя порядок их сложения и вычитания, можно вывести формулу другого закона косинуса.

2. Формула расстояния

Пусть C = (0,0) , A = (b,0) , как на рисунке.

Чтобы найти координаты B, мы можем использовать определение синуса и косинуса:

B = (a × cos(γ), a × sin(γ))

Из формулы расстояния мы можем найти, что:

c = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(a × cos(γ) - b)² + ( a × sin(γ) - 0)²]

Таким образом:

c² = a² × cos(γ)² - 2ab × cos(γ) + b² + a² × sin(γ)²

c² = b² + a²(sin(γ)² + cos(γ)²) - 2ab × cos(γ)

Поскольку сумма квадратов синуса и косинуса равна 1, получаем окончательную формулу:

c² = a² + b² - 2ab × cos(γ)

3. Теорема Птолемея

Доказательство другого закона косинусов, которое относительно легко понять, использует теорему Птолемея:

• Предположим, у нас есть треугольник ABC, нарисованный по описанной окружности, как показано на рисунке.

• Постройте конгруэнтный треугольник ADC, где AD = BC и DC = BA

• Высоты из точек B и D делят основание AC на E и F соответственно. CE равно FA.

• Из определения косинуса мы можем выразить CE как а × cos(γ) .

• Таким образом, мы можем написать, что BD = EF = AC - 2 × CE = b - 2 × a × cos(γ) .

• Тогда для нашего четырехугольника ADBC ​​мы можем использовать теорему Птолемея , которая объясняет связь между четырьмя сторонами и двумя диагоналями. Теорема утверждает, что для вписанных четырехугольников сумма произведений противоположных сторон равна произведению двух диагоналей:

  ВС × DA + CA × BD = AB × CD

  , в нашем случае:

  .

  a² + b × (b - 2 × a × cos(γ)) + a² = c²

• После сокращения получаем окончательную формулу:

  c² = a² + b² - 2ab × cos(γ))

Большим преимуществом этих трех доказательств является их универсальность — они работают для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников.

4. Использование закона синусов
5. Использование определения скалярного произведения
6. Сравнение площадей
7. Геометрия круга

Последние два доказательства требуют различия между различными случаями треугольника. Доказательство, основанное на определении скалярного произведения, показано в другой статье, а доказательство с использованием закона синусов довольно сложное, поэтому мы решили не воспроизводить его здесь. Если вам интересно узнать об этих доказательствах закона косинусов, ознакомьтесь с объяснением в Википедии.

Как пользоваться калькулятором закона косинусов

1. Начните с формулирования проблемы. Например, вы можете знать две стороны треугольника и угол между ними и искать оставшуюся сторону.

2. Введите известные значения в соответствующие поля этого калькулятора треугольников. Не забудьте еще раз свериться с рисунком выше, правильно ли вы обозначили стороны и углы правильными символами.

3. Посмотрите, как наш калькулятор закона косинусов выполнит все расчеты за вас!

Закон косинусов – пример SSS

Если ваша задача состоит в том, чтобы найти углы треугольника по всем трем сторонам, все, что вам нужно сделать, это использовать преобразованные формулы правила косинуса:

α = arccos [(b² + c² - a²)/(2bc)]
β = arccos [(a² + c² - b²)/(2ac)]
γ = arccos [(a² + b² - c²)/(2ab)]

Вычислим один из углов. Предположим, у нас есть a = 4 дюйма, b = 5 дюймов и c = 6 дюймов. Мы будем использовать первое уравнение, чтобы найти α:

α = arccos [(b² + c² - a²)/(2bc)]

= arccos [(5² + 6² - 4²)/(2 × 5 × 6)]

= arccos [( 25 + 36 - 16)/60]

= arccos [(45/60)] = arccos [0,75]

α = 41,41°

Второй угол можно вычислить из второго уравнения аналогично, а третий угол можно найти, зная, что сумма углов треугольника равна 180° (π/2).

Если вы хотите сэкономить время, введите длины сторон в наш калькулятор закона синусов - наш инструмент - беспроигрышный вариант! Просто следуйте этим простым шагам:

1. Выберите вариант в зависимости от заданных значений . Нам нужно выбрать второй вариант — SSS (3 стороны) .

2. Введите известные значения . Введите стороны: a = 4 дюйма, b = 5 дюймов и c = 6 дюймов.

3. Калькулятор показывает результат! В нашем случае углы равны α = 41,41°, β = 55,77° и γ = 82,82°.

После такого объяснения мы уверены, что вы поняли, что такое закон косинуса и когда его использовать. Попробуйте этот инструмент, выполните несколько упражнений и помните, что практика делает его постоянным!

Часто задаваемые вопросы

Когда следует использовать закон косинусов?

Используйте закон косинусов, если вам нужно вычислить:

• Сторона треугольника, равная двум другим сторонам и углу между ними.
• Три угла треугольника при данных его сторонах.
• Сторона треугольника, если даны две другие стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон.

Когда следует использовать закон косинусов против теоремы Пифагора?

Закон косинусов является обобщением теоремы Пифагора, поэтому всякий раз, когда работает последняя, ​​можно применять и первую. Но не наоборот!

Закон косинусов справедлив только для прямоугольных треугольников?

Нет , закон косинусов справедлив для всех треугольников. На самом деле, применяя закон косинусов к прямоугольному треугольнику, вы придёте к старой доброй теореме Пифагора.

Чему равна третья сторона треугольника со сторонами 5 и 6?

Кроме двух сторон нужно знать один из внутренних углов треугольника. Допустим, это угол γ = 30° между сторонами 5 и 6 . Тогда:

1. Вспомним формулу закона косинусов c² = a² + b² - 2ab × cos(γ)
2. Подставьте значения a = 5 , b = 6 , γ = 30° .

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. 2x=0 — вопрос №1853378 — Учеба и наука
Ответы

22. 02.16

Число 6

Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители…

Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел…

Сейчас изучают числа:

562500000000 2 и 4 249856 732 2670660 2421844 1102002210210 720001 719999 518400000000 237568 703 2576200 2589015 1100120122200 703126 703124 494384765625 106997 230997 686 2535225 1269528 1022201111200

Шесть

Описание числа 6

Целое рациональное однозначное число 6 является составным числом. Является полупростым число. 6 — сумма цифр. 4 — количество делителей числа. 12 — сумма делителей числа. 6 и 0.16666666666666666 являются обратными числами.
Факторизация числа 6: 2 * 3.

Представление числа 6 в других системах счисления: двоичный вид: 110, троичный вид: 20, восьмеричный вид: 6, шестнадцатеричный вид: 6. В числе байт 6 содержится 6 байтов информации.

Число азбукой Морзе: -….

Косинус числа: 0.9602, синус числа: -0.2794, тангенс числа: -0.2910. Число имеет натуральный логарифм: 1.7918. Логарифм десятичный: 0.7782. Если из числа 6 извлечь квадратный корень, получится 2.4495, а если кубический корень — 1.8171 Число 6 в квадрате это 36.000.

6 секунд — столько в числе 6 секунд. Цифра 6 — это нумерологическое значение этого числа.

• ← 5
• 7 →

Наименьшее общее кратное 2 и 4

Второй способ нахождения НОК для чисел 2 и 4 заключается в перечислении всех кратных для обоих чисел и выбор первого совпадающего:

Кратные числа 2: 2, 4, 6, 8

Кратные числа 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228, 232, 236, 240, 244, 248, 252, 256, 260, 264, 268, 272, 276, 280, 284, 288, 292, 296, 300, 304, 308, 312, 316, 320, 324, 328, 332, 336, 340, 344, 348, 352, 356, 360, 364, 368, 372, 376, 380, 384, 388, 392, 396, 400, 404, 408, 412, 416, 420, 424, 428, 432, 436, 440, 444, 448, 452, 456, 460, 464, 468, 472, 476, 480, 484, 488, 492, 496, 500, 504, 508, 512, 516, 520, 524, 528, 532, 536, 540, 544, 548, 552, 556, 560, 564, 568, 572, 576, 580, 584, 588, 592, 596, 600, 604, 608, 612, 616, 620, 624, 628, 632, 636, 640, 644, 648, 652, 656, 660, 664, 668, 672, 676, 680, 684, 688, 692, 696, 700, 704, 708, 712, 716, 720, 724, 728, 732, 736, 740, 744, 748, 752, 756, 760, 764, 768, 772, 776, 780, 784, 788, 792, 796, 800, 804, 808, 812, 816, 820, 824, 828, 832, 836, 840, 844, 848, 852, 856, 860, 864, 868, 872, 876, 880, 884, 888, 892, 896, 900, 904, 908, 912, 916, 920, 924, 928, 932, 936, 940, 944, 948, 952, 956, 960, 964, 968, 972, 976, 980, 984, 988, 992, 996, 1000, 1004, 1008, 1012, 1016, 1020, 1024, 1028, 1032, 1036, 1040, 1044, 1048, 1052, 1056, 1060, 1064, 1068, 1072, 1076, 1080, 1084, 1088, 1092, 1096, 1100, 1104, 1108, 1112, 1116, 1120, 1124, 1128, 1132, 1136, 1140, 1144, 1148, 1152, 1156, 1160, 1164, 1168, 1172, 1176, 1180, 1184, 1188, 1192, 1196, 1200, 1204, 1208, 1212, 1216, 1220, 1224, 1228, 1232, 1236, 1240, 1244, 1248, 1252, 1256, 1260, 1264, 1268, 1272, 1276, 1280, 1284, 1288, 1292, 1296, 1300, 1304, 1308, 1312, 1316, 1320, 1324, 1328, 1332, 1336, 1340, 1344, 1348, 1352, 1356, 1360, 1364, 1368, 1372, 1376, 1380, 1384, 1388, 1392, 1396, 1400, 1404, 1408, 1412, 1416, 1420, 1424, 1428, 1432, 1436, 1440, 1444, 1448, 1452, 1456, 1460, 1464, 1468, 1472, 1476, 1480, 1484, 1488, 1492, 1496, 1500, 1504, 1508, 1512, 1516, 1520, 1524, 1528, 1532, 1536, 1540, 1544, 1548, 1552, 1556, 1560, 1564, 1568, 1572, 1576, 1580, 1584, 1588, 1592, 1596, 1600, 1604, 1608, 1612, 1616, 1620, 1624, 1628, 1632, 1636, 1640, 1644, 1648, 1652, 1656, 1660, 1664, 1668, 1672, 1676, 1680, 1684, 1688, 1692, 1696, 1700, 1704, 1708, 1712, 1716, 1720, 1724, 1728, 1732, 1736, 1740, 1744, 1748, 1752, 1756, 1760, 1764, 1768, 1772, 1776, 1780, 1784, 1788, 1792, 1796, 1800, 1804, 1808, 1812, 1816, 1820, 1824, 1828, 1832, 1836, 1840, 1844, 1848, 1852, 1856, 1860, 1864, 1868, 1872, 1876, 1880, 1884, 1888, 1892, 1896, 1900, 1904, 1908, 1912, 1916, 1920, 1924, 1928, 1932, 1936, 1940, 1944, 1948, 1952, 1956, 1960, 1964, 1968, 1972, 1976, 1980, 1984, 1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2084, 2088, 2092, 2096, 2100, 2104, 2108, 2112, 2116, 2120, 2124, 2128, 2132, 2136, 2140, 2144, 2148, 2152, 2156, 2160, 2164, 2168, 2172, 2176, 2180, 2184, 2188, 2192, 2196, 2200, 2204, 2208, 2212, 2216, 2220, 2224, 2228, 2232, 2236, 2240, 2244, 2248, 2252, 2256, 2260, 2264, 2268, 2272, 2276, 2280, 2284, 2288, 2292, 2296, 2300, 2304, 2308, 2312, 2316, 2320, 2324, 2328, 2332, 2336, 2340, 2344, 2348, 2352, 2356, 2360, 2364, 2368, 2372, 2376, 2380, 2384, 2388, 2392, 2396, 2400, 2404, 2408, 2412, 2416, 2420, 2424, 2428, 2432, 2436, 2440, 2444, 2448, 2452, 2456, 2460, 2464, 2468, 2472, 2476, 2480, 2484, 2488, 2492, 2496, 2500, 2504, 2508, 2512, 2516, 2520, 2524, 2528, 2532, 2536, 2540, 2544, 2548, 2552, 2556, 2560, 2564, 2568, 2572, 2576, 2580, 2584, 2588, 2592, 2596, 2600, 2604, 2608, 2612, 2616, 2620, 2624, 2628, 2632, 2636, 2640, 2644, 2648, 2652, 2656, 2660, 2664, 2668, 2672, 2676, 2680, 2684, 2688, 2692, 2696, 2700, 2704, 2708, 2712, 2716, 2720, 2724, 2728, 2732, 2736, 2740, 2744, 2748, 2752, 2756, 2760, 2764, 2768, 2772, 2776, 2780, 2784, 2788, 2792, 2796, 2800, 2804, 2808, 2812, 2816, 2820, 2824, 2828, 2832, 2836, 2840, 2844, 2848, 2852, 2856, 2860, 2864, 2868, 2872, 2876, 2880, 2884, 2888, 2892, 2896, 2900, 2904, 2908, 2912, 2916, 2920, 2924, 2928, 2932, 2936, 2940, 2944, 2948, 2952, 2956, 2960, 2964, 2968, 2972, 2976, 2980, 2984, 2988, 2992, 2996, 3000, 3004, 3008, 3012, 3016, 3020, 3024, 3028, 3032, 3036, 3040, 3044, 3048, 3052, 3056, 3060, 3064, 3068, 3072, 3076, 3080, 3084, 3088, 3092, 3096, 3100, 3104, 3108, 3112, 3116, 3120, 3124, 3128, 3132, 3136, 3140, 3144, 3148, 3152, 3156, 3160, 3164, 3168, 3172, 3176, 3180, 3184, 3188, 3192, 3196, 3200, 3204, 3208, 3212, 3216, 3220, 3224, 3228, 3232, 3236, 3240, 3244, 3248, 3252, 3256, 3260, 3264, 3268, 3272, 3276, 3280, 3284, 3288, 3292, 3296, 3300, 3304, 3308, 3312, 3316, 3320, 3324, 3328, 3332, 3336, 3340, 3344, 3348, 3352, 3356, 3360, 3364, 3368, 3372, 3376, 3380, 3384, 3388, 3392, 3396, 3400, 3404, 3408, 3412, 3416, 3420, 3424, 3428, 3432, 3436, 3440, 3444, 3448, 3452, 3456, 3460, 3464, 3468, 3472, 3476, 3480, 3484, 3488, 3492, 3496, 3500, 3504, 3508, 3512, 3516, 3520, 3524, 3528, 3532, 3536, 3540, 3544, 3548, 3552, 3556, 3560, 3564, 3568, 3572, 3576, 3580, 3584, 3588, 3592, 3596, 3600, 3604, 3608, 3612, 3616, 3620, 3624, 3628, 3632, 3636, 3640, 3644, 3648, 3652, 3656, 3660, 3664, 3668, 3672, 3676, 3680, 3684, 3688, 3692, 3696, 3700, 3704, 3708, 3712, 3716, 3720, 3724, 3728, 3732, 3736, 3740, 3744, 3748, 3752, 3756, 3760, 3764, 3768, 3772, 3776, 3780, 3784, 3788, 3792, 3796, 3800, 3804, 3808, 3812, 3816, 3820, 3824, 3828, 3832, 3836, 3840, 3844, 3848, 3852, 3856, 3860, 3864, 3868, 3872, 3876, 3880, 3884, 3888, 3892, 3896, 3900, 3904, 3908, 3912, 3916, 3920, 3924, 3928, 3932, 3936, 3940, 3944, 3948, 3952, 3956, 3960, 3964, 3968, 3972, 3976, 3980, 3984, 3988, 3992, 3996, 4000, [. ..], 4

Следовательно, НОК для 2 и 4 равняется 4

новых кодов NOC — вот все, что вам нужно знать!

Обновление забастовки – 26 апреля 2023 г.

Конец дня 8 Забастовка Правительство Канады твердо стоит на своей позиции, поскольку Мона Фортье снова заявила сегодня: «Я не могу выписать чек-карту», ​​и 9% кажутся справедливым предложением.

Премьер-министр Трюдо сказал, что со временем у канадцев может возникнуть больше проблем с доступом к услугам, но правительство пытается договориться с профсоюзом о наилучших условиях, потому что в конечном итоге стоимость повышения заработной платы ляжет на налогоплательщиков.

Премьер-министр Джастин Трюдо подвергается критике со стороны оппозиции за то, что он посетил прием, устроенный генеральным консулом Канады в Нью-Йорке в связи с продолжающейся забастовкой.

Президент PSAC говорит: «Если премьер-министр сможет отвернуться от этих забастовщиков, он отвернется от каждого рабочего в этой стране».

Профсоюз продолжает заявлять, что будет продолжать забастовку до тех пор, пока не будут выполнены их требования.

Однако некоторые сотрудники могут найти 9Повышение заработной платы на % должно быть реальным повышением, но хотелось бы еще несколько дней посмотреть, сможет ли профсоюз получить более выгодное предложение.

Ниже приведены последние новости от президента Казначейства Моны Фортье, которая ведет переговоры с профсоюзом.

3 ключевых требования остаются на столе переговоров:

Налоговая служба Канады подтвердила, что они не будут продлевать крайний срок уплаты налогов до 1 мая этого года.

Новости о забастовке – 25 апреля 2023 г.

Из конфиденциальных источников INC – Immigration News Canada поступают сообщения о том, что иммиграционный департамент проинструктировал команду Международной сети в Канаде отдавать приоритет временным визовым файлам из Индии, Китая и Филиппин.

Это делается для того, чтобы «НЕ» допускать накопления незавершенной работы из-за забастовки IRCC, поскольку в этих 3 странах обычно находится наибольшее количество заявок, находящихся в обработке в любой момент времени.

Однако это не означает, что заявки из других стран не обрабатываются.

Международная сеть (IN) включает временных сотрудников, нанятых по краткосрочным контрактам, которые были наняты в конце 2022 г. и начале 2023 г. для сокращения незавершенных работ.

Эти наемные работники в основном имеют дело с заявлениями на временные визы со всего мира, в том числе на гостевые, рабочие и учебные визы.

Каждый день они получают 80 заявлений на получение временной визы из разных стран.

Однако более сложные заявки на постоянное проживание и гражданство в основном обрабатываются постоянным персоналом, который в настоящее время находится в забастовке IRCC.

Новости о забастовке – 24 апреля 2023 г.

Президент PSAC сегодня отвечает на открытое письмо Моны Фортье; сказали, что они снизили ожидания повышения заработной платы.

Требовали 13,5%, а правительство предложило 9%, что не кажется разумным.

Тем не менее, они попросили правительство предоставить более выгодное предложение, чем 9%, которое они еще не услышали.

Он говорит, что профсоюз хочет прекратить забастовку (включая забастовку IRCC) и считает, что правительство хочет сделать то же самое, что и в открытом письме, что он считает позитивным событием.

Мона Фортье, председатель Совета казначейства, ответственная за обсуждение требований о забастовке, направила открытое письмо всем государственным служащим и канадцам. 👇

Забастовка государственных служащих, включая сотрудников IRCC, продолжается уже 6-й день, и профсоюз, который их представляет, пытается заблокировать доступ к портам.

Около 100 000 членов Альянса общественных служб Канады (PSAC) продолжают бастовать, и некоторые из них могут сегодня перенести свои пикеты в «стратегические места», такие как порты, где они могут влиять на федеральное правительство.

Важные новости о забастовке, на которые следует обратить внимание сегодня, касаются того, будет ли премьер-министр Канады Трюдо участвовать в переговорах, к чему вчера призвал президент PSAC.

«Даже если правительство, похоже, удовлетворится продлением этой забастовки и ее последствий для канадцев, я знаю, что у вас есть коллективная сила, чтобы в ближайшие дни добиться справедливой сделки». Президент PSAC

Новости о забастовке — 23 апреля 2023 г.

Союз заявил, что в понедельник, 24 апреля 2023 г., они переместят линии пикетов в «стратегические места», чтобы еще больше нарушить работу правительства.

Национальный президент PSAC Крис Эйлуорд сказал, что пикеты могут быть нацелены на «стратегические местоположения, которые окажут влияние на правительство и, в частности, на потоки доходов».

Профсоюз и Казначейский совет, официальный работодатель государственных служащих, возглавляемый председателем Казначейского совета Моной Фортье, продолжили переговоры в выходные дни.

Фортье подчеркнул, что переговоры должны быть урегулированы за столом переговоров и что правительство будет следить за тем, чтобы линии пикетов были законными.

Тот факт, что мы все еще за столом переговоров, заметила она, по ее мнению, является отличной новостью.

Что касается трех ключевых вопросов, по которым ведутся переговоры до сих пор, — заработной платы, удаленной работы и вопроса о выслуге лет во время увольнений — обе стороны признают, что в удовлетворении требований все еще существует пробел.

Однако Фортье заявил: «Я считаю, что на столе стоит хорошая сделка, и я считаю, что пришло время закрыть эту сделку»,

Президент профсоюза Эйлуорд заявил в воскресенье, что они хотят возобновить работу и положить конец забастовке. как можно быстрее, но это зависит от правительства.

Он также добавил, что должен серьезно отнестись к забастовке и обсудить 3 темы «содержательным образом».

Работники, члены профсоюза получают 75 долларов в день в качестве забастовки, что составляет более 11,62 миллиона долларов, если умножить на 155 000 членов профсоюза.

Тем не менее, Aylward постоянно утверждает, что компенсация за забастовку не является проблемой, поскольку у них есть доступ к более чем 200 миллионам долларов.

Он сказал «Я призываю премьер-министра, Джастина Трюдо вернуться к переговорам — принять личное участие. Похоже, он не воспринимает это всерьез. У нас на руках самая крупная забастовка в стране, и премьер-министр не воспринимает это всерьез».

Обновление забастовки – 22 апреля 2023 г.

Большое обновление: В конце субботы президент PSAC обращается к правительству, говоря, что совет казначейства некомпетентен в работе с их пакетом переговоров и не ответил на них.

По словам президента PSAC, они передали правительству Канады всеобъемлющий пакет мер, который, по их мнению, должен положить конец забастовке и достичь соглашения в четверг вечером.

А утром в пятницу федералы сказали, что ответят на них, но только по одному из вопросов, указанных в пакете.

TREASURY BOARD BARGAINING UPDATE pic.twitter.com/NmD2lesftb

— PSAC-AFPC (@psac_afpc) April 22, 2023

Однако президент PSAC указал, что они не получили никакого ответа от правительства Канады.

Далее он указал, что это отражает некомпетентность президента Совета казначейства Моны Фортье.

Согласно PSAC, даже премьер-министр Джастин Трюдо не сделал ничего конкретного, чтобы продвинуть переговоры вперед, кроме того, что просто сказал, что они хотят заключить сделку.

Официальный ответ правительства Канады

Новое сообщение: Только 35 процентов из 120 000 бастующих федеральных служащих проголосовали за забастовку, согласно постановлению, поданному в четверг федеральным советом по труду.

Документы показывают, что только 42 421 член Союза государственных служащих Канады (PSAC) проголосовал, и из них более 80 процентов проголосовали за забастовку.

Забастовка продолжается в выходные дни, но члены профсоюза не будут проводить пикеты.

PSAC заявила, что рабочие, работающие посменно в выходные дни, не явятся на работу, поскольку продолжают бастовать.

Новости о забастовке – 21 апреля 2023 г.

Поступают новые сообщения о том, что канадское правительство просит некоторых федеральных государственных служащих продолжать работать и получать обычную зарплату во время забастовки.

Один из лидеров профсоюза говорит, что правительство «лицемерно» и противоречит обещанному закону о борьбе с паршой.

Законодательство о борьбе с паршой запрещает профсоюзам работодателей в частном секторе, регулируемом на федеральном уровне, использовать подменных работников, которых часто называют «штурмовиками», во время локаута или забастовки.

Похоже, у правительства Канады есть планы утомить бастующих сотрудников, предложить отказаться от забастовки, а затем дойти до финальных переговоров.

Основная проблема, которую правительство и профсоюз не могут решить, касается аспекта «возвращения к работе».

Эксперты говорят, что забастовка продлится недолго; либо правительство и профсоюз придут к соглашению, либо правительству Канады придется использовать «законодательство о возвращении к работе» (учитывая степень воздействия на работу).

Закон о возвращении на работу — это специальный закон, уже принятый в Канаде, который может предписать государственным служащим прекратить забастовку и вернуться к работе без выполнения каких-либо требований или выполнения частичных требований.

В настоящее время либеральное правительство ясно заявило, что не будет использовать закон о возвращении к работе и позволит рабочим выдвигать свои требования, предлагая справедливый шанс достичь консенсуса в духе доброй воли.

На данный момент конкретных официальных обновлений нет, но ожидается, что забастовка может продолжиться и после выходных.

Несколько заявителей сообщают, что они получают электронные письма о том, что их церемония получения гражданства отменяется из-за продолжающейся забастовки.

В настоящее время профсоюз или правительственные чиновники не запланировали никаких собраний, и кажется, что решение проблемы забастовки идет довольно медленно.

«Как вы можете себе представить, переговоры идут туда-сюда, очень усердно работают, чтобы понять, какая сторона чего-то хочет, и найти компромисс, и я считаю, что лучший способ достичь соглашения — за столом», — Фортье, председатель Совета казначейства. .

Далее она добавила: «Сегодня мы продолжим очень усердно работать, чтобы заключить конкурентоспособную сделку для работников, справедливую и разумную для канадцев, потому что нам нужно найти баланс для обоих».

Кроме того, он добавил, что сотрудники международной сети продолжают работать, и есть люди, которые оказывают необходимые услуги в чрезвычайных ситуациях, чтобы компенсировать последствия забастовки.

Кроме того, он сказал, что устранение пробелов в обслуживании департамента очень серьезно влияет на заявления об иммиграции и гражданстве.

Министр сказал, что некоторые мероприятия, например, церемония вручения гражданства, будут отменены, потому что очень сложно управлять ситуацией с сетями.

Репортер указал на более длительное время обработки, чем обычно, и попросил министра иммиграции предоставить обновленную информацию о мерах / шагах, которые они предпринимают для уменьшения воздействия забастовки.

Фрейзер сказал, что компенсация последствий забастовки является его приоритетом, они делают все возможное, используя международную сеть, чтобы свести к минимуму влияние забастовки на деятельность отдела.

Он сказал, что IRCC оказывает услуги в первую очередь основным службам, таким как люди, спасающиеся от войны или находящиеся в трудных обстоятельствах.

Министр также добавил, что воздействие забастовки не определено, и может потребоваться некоторое время, чтобы понять решение по уменьшению воздействия забастовки.

В конце концов, министр IRCC сказал, что он по-прежнему оптимистичен, но предстоит проделать большую работу в переговорах с профсоюзом работников и достижении решения для работников, особенно уровня, соответствующего условиям возвращения рабочих в офис.

Шон Фрейзер ясно дал понять, что хочет быстрее найти решение, и урегулирование забастовки является главным приоритетом канадского правительства.

8.8. Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет Нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами А и , если ее плотность вероятности имеет вид

.

Кривую нормального закона распределения называют Нормальной или Гауссовой кривой.

На рис. 8.14 приведены нормальная кривая Р(Х) с параметрами А и , т. е. , и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон

Рис. 8.14

Нормальная кривая симметрична относительно прямой Х = а, имеет максимум в точке Х = а, равный , и две точки перегиба с ординатой .

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, , .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(Х) по формуле

,

Где .

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал Определяется формулой

.

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания А не превысит величину (по абсолютной величине), равна

.

«Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами А и т. е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

.

Асимметрия нормального распределения А = 0; эксцесс нормального распределения Е = 0.

Пример 8.23. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией

.

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.

Решение. Сравнивая данную функцию Р(Х) с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами А = 1 и .

Тогда , , .

Функция распределения случайной величины Х имеет вид

.

Пример 8.24. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед.

Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. С помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

Решение. Так как А = 15 и , то

По «правилу трех сигм» и, следовательно, . Окончательно .

Пример 8.25. Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонение Х от контрольного размера по модулю не превышает 0,8 мм. Каково наиболее вероятное число годных деталей из 150, если случайная величина Х распределена нормально с Мм?

Решение. Найдем вероятность отклонения при и

Считая приближенно Р = 0,95 и в соответствии с формулой

Где  — наивероятнейшее число, находим при

Откуда

Пример 8. 26. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием А = 2,5 см и средним квадратическим отклонением См.
В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?

Решение. По «правилу трех сигм» . Отсюда , т. е. .

Пример 8.27. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение — 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.

Решение. Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу :

Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интервалу (170; 180) Q = 1 — 0,6 = 0,4.

Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от
170 до 180 см равна

.

Пример 8.28. Браковка шариков для подшипников производится следу­ющим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром , но проходит через отверстие диаметром , то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика есть случайная величина с характеристиками и . Определить вероятность того, что шарик будет забракован.

Решение.

Так как , то

< Предыдущая		Следующая >

Примеры решения задач

Пример 1.

Пусть – количество очков при бросании игральной кости. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Решение. Закон распределения имеет вид:

	1	2	3	6	5	6
							1

.

Дисперсию вычислим по формуле:

.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

	1	4	9	16	25	36
							1

,

,

.

Пример 2.

Случайная величина – задана дифференциальной функцией распределенияв интервале. Вне этого интервала. Найти математическое ожидание величины.

Решение.

Для . Если.

Для

.

Пример 3.

Найти дисперсию случайной величины , заданной интегральной функцией

Решение.Найдем дифференциальную функцию распределения случайной величины:

.

.

Пример 4.

Дана функция

Определить, при каком значении функцияможет быть принята за плотность вероятности случайной величины. Определить это значение, найтии.

Решение.

– плотность некоторой случайной величины.

.

.

.

.

,.

§ 3. Примеры распределения случайных величин

3.1 Биномиальное распределение

Определение. Распределение случайной величины, равной количеству появлений событияв схеме Бернулли изиспытаний, называетсябиномиальным распределением.

В этом распределении значению случайной величинысоответствует вероятность, где– вероятность наступления событияв одном испытании, а.

Теорема. Пусть– случайная величина с биномиальным распределением. Тогда

,,.

Доказательство.

Т.к. биномиальное распределение дискретно, имеем:

Очевидно, что , где– случайная величина, равная количеству наступлений событияв-ом испытании. Всенезависимы и имеют закон распределения:

О

0	1

тсюда.

.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии имеем:

,

,

.

3.2 Распределение Пуассона

Определение. Распределение случайной величины, принимающей значенияс вероятностями, где– некоторый параметр, называетсяпуассоновским распределениемилираспределением Пуассона.

Теорема. Пусть– случайная величина, подчиненная пуассоновскому закону распределения. Тогда

,,.

Доказательство.

Т.к. пуассоновское распределение дискретно, имеем:

.

.

.

3.3 Нормальное распределение

Определение. Распределение непрерывной случайной величины, заданное дифференциальной функцией распределения

, (1)

где и– некоторые параметры, называетсянормальным распределением.

Теорема.Если– нормально распределенная случайная величина с дифференциальной функцией распределения (1), то

,,.

Теорема устанавливает, таким образом, вероятностный смысл параметров нормального распределения.

Нормальное распределение (нормальная случайная величина) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и в приложениях теории вероятности к практическим задачам.

Эта роль объясняется установленным фактом. Если известно, что изучаемая случайная величина складывается из большого количества случайных величин, каждое из которых оказывает лишь небольшое влияние на всю сумму, то можно считать, чтораспределена нормально.

Например, ошибка, допускаемая при измерении какой-либо физической величины, складывается, по-видимому, из большого числа ошибок, вызванных многочисленными причинами. Поэтому, как правило, случайная ошибка измерения имеет нормальное распределение.

Рассмотрим нормальное распределение более подробно.

График функции (1) изображен на рис. 14.1. Его можно получить из “стандартного графика” нормального распределения (,) сдвигом наединиц вправо, с последующим растяжением по горизонтали относительно оси симметрии враз. Функциятабулирована. Она упоминается в формулировке локальной теоремы Муавра-Лапласа. Криваясимметрична относительно прямой. Точкаявляется точкой максимума функции, а точки– точками перегиба. Чем больше, тем кривая положе.

Интегральный закон распределения, соответствующий дифференциальному закону (1), имеет вид:

. (2)

Интеграл (2) нельзя вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. Однако удобно выразить через табулированную функцию Лапласа:

. (3)

Именно,

. (4)

По интегральной теореме Муавра-Лапласа имеем:

(5)

или

, где.

Пример.

Величина распределена нормально с параметрами,. Найти вероятность того, чтопримет значение в интервале.

Решение.

.

Функция быстро убывает при. Площадь под всей кривой равна 1. Площади криволинейных трапеций над интервалами,иравны соответственно,,. Таким образом, почти вся площадь под кривой сосредоточена над интервалом. Поскольку площадь криволинейной трапеции численно равна вероятности того, что случайная величина примет значение в соответствующем интервале, имеем

.

Это утверждение составляет содержание правила “трех сигм” для нормального распределения: практически достоверно, что нормальная случайная величина с параметрами ипринимает значения в интервале. Слова “практически достоверно” означают – с вероятностью.

Word Проблемы с нормальным распределением | Superprof

Что такое частота?

Когда люди думают о современной статистике, они часто думают об огромных достижениях в области машинного обучения и искусственного интеллекта. В то время как беспилотные автомобили и роботы представляют собой невероятное применение науки и математики, большинство статистических данных, которые используются ежедневно, на самом деле довольно просты. Частота, описательная статистика, является одним из примеров этого.

 

Частота определяется как количество раз, когда что-то происходит. Взгляните на несколько примеров ниже.

Как вы можете видеть выше, частота вычисляется простым подсчетом количества раз, когда что-то происходит. Информация, отображаемая на приведенной выше диаграмме, обычно резюмируется, как в таблице ниже.

 

	Частота	Частота
Люди 90 020	1 детский	3 взрослый
Шарики	2 синий	4 красный

 

Лучшие репетиторы по математике доступны

Поехали

Распределение частот

 

900 04 Частотное распределение может быть формулой, но чаще всего оно является визуальным представлением частоты. Независимо от того, как оно отображается, частотное распределение помогает нам лучше понять, как распределена переменная или как она выглядит. В следующей таблице указано количество пассажиров, ехавших на автобусе в каждый день недели.

 

9004 7

День	Частота
Понедельник	145
Вторник	205
Среда	199
Четверг	220
Пятница	250
Суббота	390
Воскресенье	405

 

Хотя иметь эту информацию в виде таблицы очень удобно, ее часто бывает трудно понять простыми числами. Отображение частотного распределения — это простой способ представить частоту в более понятной форме.

Что такое вероятность?

Чтобы дать определение вероятности, сначала нужно понять несколько основных определений. Эти определения вместе с примерами приведены ниже.

 

Концепция	Определение	Пример	Обозначение
Случайные переменные способный	Переменная, результат которой неизвестен	Результат подбрасывания монеты	Обычно заглавная буква как
Выборочное пространство	Все возможные результаты случайной величины	Орел и решка	S = {H,T}
Событие	Один или несколько результатов в выборке	Головы	A = H

 

9000 4 Вероятность определяется как шанс или вероятность того, что событие произойдет. Продолжая таблицу выше:

 

90 018 Обозначение

Концепция	Определение	Пример
Вероятность	Вероятность события	Вероятность выпадения орла (событие A)	P(A) = 0,5 (50%)

 

Вероятность Распределение

 

Вероятностное распределение — это визуализация, которая позволяет вам увидеть все возможные значения, которые может принимать случайная величина, а также вероятность возникновения каждого значения. Хотя это может показаться странным понятием, мы можем думать об этом с точки зрения роста людей в населении.

На изображении выше показан пример распределения вероятности роста, где средний рост составляет 175 см. Распределение показывает нам, что рост, который находится на нижнем и верхнем конце, например, 150 или 200 см, гораздо реже встречается в популяции. Другими словами, маловероятно, что чей-то рост находится на одном из этих концов.

 

Типы распределений

Как вы можете догадаться, разные переменные имеют разные распределения. Знание распределения переменной позволяет нам рассчитывать вероятности. Это потому, что каждое распределение имеет уравнение вероятности.

 

9002 6

Распределение	Параметры	Уравнение
Стандартный Нормальный	N(, )
Биномиальный	B(n,p )
Пуассона	Po()

 

9000 4 В приведенной выше таблице показаны три наиболее распространенных распределения вероятностей. Стандартное нормальное распределение весьма специфично. Одно из основных отличий состоит в том, что его вероятность можно найти только вместе с z-таблицей.

 

Нормальное распределение

Нормальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей, которое является симметричным и имеет колоколообразную форму. Стандартное нормальное распределение похоже на нормальное. Вместо того, чтобы иметь интересующую переменную на оси X в виде необработанной оценки или простого числа, стандартное нормальное распределение показывает каждое значение случайной переменной в терминах стандартного отклонения. Каждое значение стандартизировано с использованием уравнения в приведенной выше таблице, в результате чего получается то, что известно как z-оценка.

 

9001 8 0,02 90 018 0,50000 90 018 0,58706

Z	0	0,01	0,03	0,04
0	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595
0,1	0,53983	0 . 54380	0,54776	0,55172	0,55567
0,2	0,57926	0,58317	0,59095	0,59483
0,3	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307

 

В приведенной выше таблице показан пример z-таблицы. На изображении ниже показано, как найти z-оценку в z-таблице.

Задача 1

Нам интересно узнать, насколько вероятно, что один тип дерева вырастет до определенной длины. Длина этих деревьев имеет нормальное распределение. Дерево, которое вы измеряете, составляет 120 см. Учитывая следующую информацию, считаете ли вы, что такая длина дерева необычна для этого типа деревьев?

• Среднее значение: 100
• Стандартное отклонение: 10
• Формула:

Решение 1 . Помните, что стандартное нормальное распределение имеет среднее значение в центре с z-показателем, равным 0.

На изображении ниже представлены среднее значение и распределение высоты деревьев.

На данный момент мы знаем, что 120 см находится справа от 100 на распределении. Чтобы найти его точное местоположение, нам нужно найти z-показатель 120.

 

   

 

Z-показатель равен 2, что означает, что высота 120 на 2 стандартных отклонения выше средней высоты 100. Затем мы можем найти этот z-показатель в z-таблице.

Это дает нам вероятность 0,9772, что очень вероятно.

 

Задача 2

Вас интересует, насколько одинаковой длины носки, произведенные на фабрике. Вы измеряете распределение и видите, что существует нормальное распределение длины носков. Учитывая следующую информацию, насколько вероятно, что носок выше 25 см.

• Среднее значение: 20
• Стандартное отклонение: 10,5
• Формула:

 

Решение 2

На этот раз мы хотим узнать, насколько вероятно, что носок длина от 25 см и выше. Это означает, что мы ищем вероятность правого хвоста вместо вероятности левого хвоста. Взглянув на дистрибутив, вы поймете, почему.

Сначала мы находим z-значение.

 

   

 

Затем мы смотрим на z-таблицу, чтобы найти вероятность.

Это дает нам вероятность 0,0004, что крайне маловероятно.

 

Нормальное распределение | Примеры, формулы и использование

Опубликован в 23 октября 2020 г. к Прита Бхандари. Отредактировано 9 января 2023 г.

При нормальном распределении данные распределяются симметрично без перекоса. При нанесении на график данные имеют форму колокола, при этом большинство значений группируются вокруг центральной области и сужаются по мере удаления от центра.

Нормальные распределения также называют распределениями Гаусса или кривыми нормального распределения из-за их формы.

Содержание

1. Почему нормальное распределение имеет значение?
2. Каковы свойства нормального распределения?
3. Эмпирическое правило
4. Центральная предельная теорема
5. Формула нормальной кривой
6. Что такое стандартное нормальное распределение?
7. Часто задаваемые вопросы о нормальном распределении

Почему нормальное распределение имеет значение?

Все виды переменных в естественных и социальных науках нормально или приблизительно нормально распределены. Рост, вес при рождении, умение читать, удовлетворенность работой или результаты SAT — вот лишь несколько примеров таких переменных.

Поскольку нормально распределенные переменные очень распространены, многие статистические тесты предназначены для нормально распределенных совокупностей.

Понимание свойств нормального распределения означает, что вы можете использовать статистику логического вывода для сравнения различных групп и делать оценки совокупности с использованием выборок.

Каковы свойства нормального распределения?

Нормальные распределения имеют ключевые характеристики, которые легко заметить на графиках:

• Среднее, медиана и мода точно такие же.
• Распределение симметрично относительно среднего — половина значений ниже среднего и половина выше среднего.
• Распределение можно описать двумя значениями: средним значением и стандартным отклонением.

Среднее значение — это параметр местоположения, а стандартное отклонение — параметр масштаба.

Среднее значение определяет центр пика кривой. Увеличение среднего значения сдвигает кривую вправо, а уменьшение — влево.

Стандартное отклонение растягивает или сжимает кривую. Небольшое стандартное отклонение приводит к узкой кривой, а большое стандартное отклонение приводит к широкой кривой.

Получение отзывов о языке, структуре и форматировании

Профессиональные редакторы вычитывают и редактируют вашу статью, уделяя особое внимание:

• Академический стиль
• Расплывчатые предложения
• Грамматика
• Согласованность стиля

См. пример

Эмпирическое правило

Эмпирическое правило , или правило 68-95-99,7, говорит вам, где находится большинство ваших значений в нормальном распределении:

• Около 68% значений находятся в пределах 1 стандартного отклонения от среднего.
• Около 95% значений находятся в пределах 2 стандартных отклонений от среднего.
• Около 99,7% значений находятся в пределах 3 стандартных отклонений от среднего значения.

Пример: Использование эмпирического правила в нормальном распределенииВы собираете баллы SAT от учащихся на новом курсе подготовки к экзаменам. Данные подчиняются нормальному распределению со средним значением ( M ) 1150 и стандартным отклонением ( SD ) 150.

Следуя эмпирическому правилу:

• Около 68% баллов находятся в диапазоне от 1000 до 1300, что на 1 стандартное отклонение выше и ниже среднего.
• Около 95% баллов находятся в диапазоне от 850 до 1450, что на 2 стандартных отклонения выше и ниже среднего.
• Около 99,7% баллов находятся в диапазоне от 700 до 1600, что на 3 стандартных отклонения выше и ниже среднего.

Эмпирическое правило — это быстрый способ получить обзор ваших данных и проверить любые выбросы или экстремальные значения, которые не соответствуют этому шаблону.

Если данные из небольших выборок не соответствуют этой схеме, то другие распределения, такие как t-распределение, могут быть более подходящими. Как только вы определите распределение вашей переменной, вы можете применить соответствующие статистические тесты.

Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема является основой того, как нормальные распределения работают в статистике.

В исследованиях, чтобы получить хорошее представление о среднем значении популяции, в идеале вы должны собирать данные из нескольких случайных выборок в популяции. Распределение выборки среднего значения — это распределение средних значений этих различных выборок.

Центральная предельная теорема показывает следующее:

• Закон больших чисел: по мере увеличения размера выборки (или количества выборок) среднее значение выборки будет приближаться к среднему значению генеральной совокупности.
• При наличии нескольких больших выборок выборочное распределение среднего имеет нормальное распределение, даже если исходная переменная не имеет нормального распределения.

Параметрические статистические тесты обычно предполагают, что выборки поступают из нормально распределенных совокупностей, но центральная предельная теорема означает, что это предположение не является обязательным, когда у вас достаточно большая выборка.

Вы можете использовать параметрические тесты для больших выборок из совокупностей с любым типом распределения, если выполняются другие важные предположения. Размер выборки 30 и более обычно считается большим.

Для небольших выборок предположение о нормальности важно, поскольку выборочное распределение среднего значения неизвестно. Чтобы получить точные результаты, вы должны быть уверены, что популяция распределена нормально, прежде чем вы сможете использовать параметрические тесты с небольшими выборками.

Формула нормальной кривой

Когда у вас есть среднее значение и стандартное отклонение нормального распределения, вы можете подогнать к вашим данным нормальную кривую, используя функцию плотности вероятности .

В функции плотности вероятности площадь под кривой говорит о вероятности. Нормальное распределение представляет собой распределение вероятностей , поэтому общая площадь под кривой всегда равна 1 или 100%.

Формула для нормальной функции плотности вероятности выглядит довольно сложной. Но чтобы использовать его, вам нужно знать только среднее значение генеральной совокупности и стандартное отклонение.

Для любого значения x вы можете подставить среднее значение и стандартное отклонение в формулу, чтобы найти плотность вероятности переменной, принимающей это значение х .

Формула плотности нормальной вероятности	Пояснение
	f ( x ) = вероятность x = значение переменной мк = среднее σ = стандартное отклонение σ 2 = дисперсия

Пример: использование функции плотности вероятностиВы хотите узнать вероятность того, что баллы SAT в вашей выборке превысят 1380.

На вашем графике функции плотности вероятности вероятность — это заштрихованная область под кривой, расположенной справа от того места, где ваш результат SAT равен 1380.

Вы можете найти значение вероятности этой оценки, используя стандартное нормальное распределение.

Что такое стандартное нормальное распределение?

Стандартное нормальное распределение , также называемое z -распределением , является особым нормальным распределением, где среднее значение равно 0, а стандартное отклонение равно 1.

Каждое нормальное распределение представляет собой версию стандартного нормального распределения, которая была растянута или сжата и перемещена по горизонтали вправо или влево.

В то время как отдельные наблюдения из нормального распределения обозначаются как x , они обозначаются как z в распределении z . Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное нормальное распределение, превратив отдельные значения в z -баллов.

Z -счет показывает, на сколько стандартных отклонений от среднего лежит каждое значение.

 

Вам нужно знать только среднее значение и стандартное отклонение вашего распределения, чтобы найти z -оценку значения.

Z — формула счета	Пояснение
	x = индивидуальное значение мк = среднее σ = стандартное отклонение

Мы конвертируем нормальное распределение в стандартное нормальное распределение по нескольким причинам:

• Чтобы найти вероятность наблюдений в распределении выше или ниже заданного значения.
• Чтобы найти вероятность того, что среднее значение выборки значительно отличается от известного среднего значения генеральной совокупности.
• Для сравнения оценок по разным распределениям с разными средними значениями и стандартными отклонениями.

Нахождение вероятности с помощью

з -распределение

Каждая z -оценка связана с вероятностью, или p -значением, которая говорит вам о вероятности появления значений ниже этой z -оценки. Если вы преобразуете отдельное значение в z -показателей, вы можете затем найти вероятность того, что все значения до этого значения встречаются в нормальном распределении.

Пример: Нахождение вероятности с использованием распределения z 0557 z

Среднее значение нашего распределения равно 1150, а стандартное отклонение равно 150. Показатель z показывает, на сколько стандартных отклонений от 1380 от среднего значения.

Для z -значения 1,53 значение p равно 0,937. Это вероятность того, что баллы SAT будут равны 1380 или меньше (93,7%), и это область под кривой слева от заштрихованной области.

Чтобы найти заштрихованную площадь, отнимите 0,937 от 1, что является общей площадью под кривой.

Вероятность x > 1380 = 1 – 0,937 = 0,063

Это означает, что только 6,3% баллов SAT в вашей выборке превышают 1380.

Часто задаваемые вопросы о нормальном распределении

Что такое нормальное распределение?

При нормальном распределении данные распределяются симметрично без перекоса. Большинство значений группируются вокруг центральной области, при этом значения сужаются по мере удаления от центра.

Меры центральной тенденции (среднее, мода и медиана) в нормальном распределении точно такие же.

Что такое эмпирическое правило?

Эмпирическое правило, или правило 68-95-99,7, говорит вам, где большинство значений находится в нормальном распределении:

• Около 68% значений находятся в пределах 1 стандартного отклонения от среднего.
• Около 95% значений находятся в пределах 2 стандартных отклонений от среднего значения.
• Около 99,7% значений находятся в пределах 3 стандартных отклонений от среднего значения.

Эмпирическое правило — это быстрый способ получить обзор ваших данных и проверить любые выбросы или экстремальные значения, которые не соответствуют этому шаблону.

Что такое t-распределение?

org/Answer»>

Распределение t — это способ описания набора наблюдений, где большинство наблюдений падают близко к среднему, а остальные наблюдения составляют хвосты с обеих сторон. Это тип нормального распределения, используемый для небольших выборок, когда дисперсия данных неизвестна.

Распределение t образует колоколообразную кривую при нанесении на график. Его можно описать математически, используя среднее значение и стандартное отклонение.

Процитировать эту статью Scribbr

Если вы хотите процитировать этот источник, вы можете скопировать и вставить цитату или нажать кнопку «Цитировать эту статью Scribbr», чтобы автоматически добавить цитату в наш бесплатный генератор цитирования.

Бхандари, П. (2023, 09 января). Нормальное распределение | Примеры, формулы и использование. Скриббр. Проверено 7 мая 2023 г., с https://www.

Подробная таблица тригонометрических функций. Тригонометрические функции

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось. .. к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы :

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z …. 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

tg до 900 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967

а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен. Перейдите по ссылке настенные отбойники бескаркасные (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) и узнайте подробнее.

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Тригонометрические и геометрические преобразования, sin(A + B), sin(A

Коэффициенты для суммы углов

Как демонстрируют различные примеры, иногда нам нужны значения углов, отличных от 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. В этой главе вы должны научиться двум вещам:
1. sin(A + B) не является равным sinA + sinB. В этом случае не срабатывает простое раскрытие скобок, как в алгебре.
2. Формулу, по которой вычисляется sin(A + B).

Во-первых, покажем, что раскрытие скобок не «срабатывает». Пусть A = 30 градусов и B = 45 градусов. Sin30 равен 0.5. Sin45 равен 0.7071. Складывая, получим 1.2071.

Вы знаете, что ни синус, ни косинус не может быть больше 1. Почему? Потому что в дробях, по которым они вычисляются, гипотенуза выступает в качестве знаменателя. Самое большее значение мы получим, если числитель равен знаменателю. Синус или косинус не может быть больше 1, и поэтому значение 1,2071 не верно.

Нахождение синуса, косинуса или тангенса полного угла (A + B)

Нахождение sin(A + B)

Самый простой способ найти sin (A + B) — используя геометрическое построение, показанное на рисунке. Большой угол (A + B), состоит из двух маленьких, А и В. Рисунок (1) показывает, что противоположная сторона состоит из двух частей. Нижняя часть, разделенная линией между углами (2), есть синус А. Линия между двумя углами, разделенная гипотенузой (3), есть косинус B. Умножаем их. Средняя линия и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются, оставляя нижнюю часть противоположной стороны над гипотенузой (4).

Обратите внимание на маленький прямоугольный треугольник (5). Затененный угол есть A, потому что линия на его верхней части параллельна линии в основании. Подобные прямоугольные треугольники с углом А показывают, что верхний угол, отмеченный А также равен оригинальному углу А. Верхняя часть противоположной (6) над длинной, заштрихованный треугольник является соs А. Противоположный над основной гипотенузой (7) есть синус. Поскольку стороны с пометкой «противоположные» (7) и в числителе и знаменателе, когда cos и sin перемножаются, cosAsinB есть верхняя часть оригинального противоположного — для (A + B) — разделенные основной гипотенузой (8).

Теперь, сложим это все вместе (9). Sin(A + B) есть две части противоположного — все разделенные гипотенузой (9). Записывая это в тригонометрическую форму: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.

Нахождение cos(A + B)

Очень похожая конструкция находит формулу для косинуса угла созданного двумя углами, сложенными вместе.

Используя ту же самую конструкцию (1), обратите внимание, что смежная сторона является полной линией основания (для соs A), c частью, которая вычитается справа. Каждая часть должна использовать тот же знаменатель, гипотенузу (A + B) треугольника.

Полная линия основания, разделенная линией между углами A и E есть cosA (2). Эта разделяющая линия, деленная гипотенузой (A + B) треугольника, есть cos B (3). Поэтому, полная линия основания, деленная гипотенузой есть произведение cosAcosB (4).

Теперь, небольшая часть, которая должна быть вычтена. Заштрихованная часть (5) представляет sinA, который умножается заштрихованной частью (6) есть sin E, который есть другой частью и , которая нам нужна (7). Вычитание дает соs (А + В) (8), поэтому формула, которая нам нужна:
            cos(A + B) = cos A cos B — sin A sin B

Нахождение tan(A + B)

Полный геометрический вывод формулы для tg (A + B) является сложным. Проще всего вывести его из двух формул, которые мы уже сделали. В любом угле, тангенс равен синус, деленному на косинус. Используя тот факт, tan (A + B) = sin(A + B)/соs(A + B). Это выражение можно расширить к виду:
      tan(A + B) = [sin A cos B + cos A sin B]/[cos A cos B — sin A sin B]
Разделив верхнюю и нижнюю часть на cos A cos B, что превращает все члены в тангенсы, получаем:
            tan(A + B) = [tan A + tan B]/[1 — tan A tan B]

Коэффициенты для 75 градусов

Покажем коэффициенты синуса, косинуса и тангенса, подставляя в формулу суммы, и потом упрощая результат к своей простейшей форме, прежде чем находить суммы. После внесения основных замен в каждом конкретном случае, примерная работа в заштрихованной части, чтобы показать, как результат сводится к простейшей форме для оценки.

Если вы используете ваш карманный калькулятор для оценки, скорей всего, не имеет значения или вы упрщаете выражения сначала или просто пропускаете его! Все зависит от калькулятора: некоторые вычисля. т разницу, некоторые нет!

Коэффициенты углов, больших, чем 90 градусов

До сих пор рассматривалось соотношение острых углов (между 0 и 90 градусами). Другие треугольники с тупым углом (более 90 градусов) и до 180 градусов могут появиться в последующих задачах. Для упрощения классификации углов по размеру, они делятся на сектора (квадранты).

Квадрант есть четвертой частью круга. Так как круг делится на 360 градусов, квадранты имеют по 90 градусов. 0-90 градусов это первый квадрант, 90-180 — второй, 180-270 — третий и 270-360 — четвертый.

Используя линии, обозначающие границы квадранта, 0 или 360 это горизонталь направо, 90 — вертикально вверх, 180 — горизонталь слева и 270 сверху вниз. Теперь, используем этот метод для построения графиков.

Большие углы определяется вектором вращения, начиная с нуля и вращением против часовой стрелки. Горизонтальные элементы х: положительные справа, отрицательные слева. Вертикальные элементы у: положительные вверх, отрицательные вниз. Вращающийся вектор является р. Таким образом, синус угла есть y/r, косинус х/r, и тангенс у/х. Вектор r — всегда положителен. Таким образом, знак отношения может быть вычислен для различных секторов.

Здесь приведены знаки для трех отношений в четырех квадрантах. Кроме того, как эквивалентный угол в первой четверти «переключается» когда вектор переходит из одного квадранта в другой. В первой четверти, стороны определены в соотношениях для синуса, косинуса и тангенса. При перемещении к большим углам в остальных секторах, противоположная сторона всегда есть вертикальная (у). То, что называется смежное, всегда есть горизонталью (х). Гипотенуза это всегда вращающийся вектор (r). Вы можете видеть картину как изменяются тригонометрические соотношения для углов.

Отношения в четырех квадрантах

Отношения для различных углов

Теперь у вас есть два пути получить формулы для различных углов. Во-первых, используя геометрическую конструкцию, такую, которая, например, была использована для суммы углов, реверсивную так, что (A — B) есть угол B вычитающийся из угла A.

В рассуждениях, аналогичных тем, которые были использованы для суммы углов, здесь представлены несколько сокращенные формулы для синуса и косинуса:
        sin(A — B) = sin A cos B — cos A sin B
and
        cos(A — B) = cos A cos B + sin A sin B
      Геометрическая конструкция

Формулы суммы и разницы

Второй способ нахождения формулы для разницы углов использует уже полученную формулу суммы, но делает B отрицательным. Из нашего исследования знаков для различных секторов, отрицательные углы с 1-го квадранта будут в 4 квадранте. Проводя эту подстановку, получим тот же результат, который был получен геометрически в предыдущем разделе.

Поиск формулы тангенса проходит тем же методом, или заменой синуса и косинуса в формулах или более непосредственно, превращая tg(-B) = — tg B. В любом случае вы получите:
          tan(A — B) = [tan A — tan B]/[1 + tan A tan B]

Отношения с помощью четырех секторов

Вы можете вывести несколько отношений с формулами суммы и разности. Вы уже сделали соотношение для 75 градусов. Теперь можно выполнить то же для 15 градусов. Эти формулы дают соотношения для углов в 15 градусов интервалы через четыре квадранта. Построив их на 360 градусов, вы можете увидеть, как эти три соотношения изменяются, когда вектор проходит через четыре квадранта.

«Волна» синуса и косинуса колеблется вверх и вниз между +1 и -1. Обратите внимание, что «волны» смещены на 90 градусов друг относительно друга. Этот факт станет важным позже.

Кривая тангенса начинается, как синусоида, но вскоре она стремится достичь бесконечности на 90 градусах. Двигаясь » вне видимости» в положительном направлении, она «приходит» с отрицательного направления с другой стороны на 90 градусах. Проходя через точку в 180 градусов, функция тангенса повторяет то, что она «делала» проходя 0 или 360 градусов. На 270 градусах она повторяет то же, было на 90 градусах.

Пифагор в тригонометрии

Формула часто может быть упрощена, так как были найдены выводы формулы тангенса от формул синуса и косинуса, а также изменение ее членов одного отношения к другому отношению, использeущеuj другие члены. При этом, теорема Пифагора, выраженная в тригонометрическом соотношении, очень удобна.

Предположим, что прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длиной 1. Тогда одна из сторон будет иметь длину sinA, а другая — cosA. Отсюда, согласно теореме Пифагора: cos² A + sin² A = 1. Это выражение всегда истинно для любого значения A.

Формула Пифагора может быть выражена иначе. Например, две другие формы:
cos² A = 1 — sin² A, и sin² = 1 — cos² A.

Умножение углов

Формулы сумм, вместе с теоремой Пифагора, используются для углов, которые в 2, 3 или больше раз кратны любым оригинальным углам. Здесь приводятся формулы для 2А и 3А.

Формула суммы работает, когда оба угла одинаковые или различны: sin(A + B) или sin(A + A). Однако, sin(A + A) в действительности sin 2A. Поэтому, sin 2A есть sin A cos A + cos A sin A. Оба члена выражения есть одним и тем же произведением, записанным в разном порядке, так что это выражение может быть упрощено до sin 2A = 2 sin A cos A.

Подобным образом, cos 2A = cos A cos A — sin A sin A, что также может быть записано как: cos 2A = cos² A — sin² A. Используя теорему Пифагора, изменяем это к виду: cos 2A = 2cos² A — 1. Наконец, tg 2A = 2 tg A/[1 — tg² A].

Теперь тройной угол (3А) используется, чтобы показать, как получены следующие кратные углы. В основном, это так же просто, как запись 3A = 2 + A и повторного применения формулы суммы. Но тогда, чтобы получить в результате формулу в работающем виде, необходимо заменить часть 2А, на выражения с простым углом А.

На рисунках внизу вы можете видеть, что с каждым разом вычисления становятся сложнее.

УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ       Производные от формул суммы

УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ       Соотношения для 3A

Свойства равнобедренного треугольника

Вы уже видели, что прямоугольный треугольник является полезным строительным блоком для других фигур. Равнобедренный треугольник имеет несколько различных видов использования. Дело в том, что его использование основывается на том, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равные углы между основанием и боковыми равными сторонами. Перпендикуляр из третьего угла на третью сторону делит ее пополам. Таким образом весь треугольник делится на два равных прямоугольных треугольника.

Любой треугольник, за исключением прямоугольного треугольника, можно разделить на три прилегающих равнобедренных треугольника, разделив каждую сторону на две равные части и построить перпендикуляры из точек разделения. Там, где любые два из этих перпендикуляров встречаются, если линии тянутся к углам исходного треугольника, три линии должны быть равны, потому что две из них образуют стороны равностороннего треугольника. Таким образом, перпендикуляр с третьей стороны исходного треугольника должен также встретиться в одной точке.

Это утверждение справедливо, как мы покажем здесь, независимо от того, является ли исходный треугольник острым или тупым. Разница с тупым прямоугольным треугольником в том, что место встречи перпендикуляров лежит снаружи исходного треугольника, а не внутри.

Что происходит в прямоугольном треугольнике? Перпендикуляры от средней точки гипотенузы другой стороны будут делить пополам эти две стороны — вы получаете два из трех! Место встречи находится гипотенузе.

Углы в окружности

Основное свойство окружности это то, что ее центр находится на одинаковом расстоянии от любой точки окружности. Это расстояние есть радиусом окружности.

Если вы нарисуете любой треугольник внутри круга, перпендикуляры из средней точки его сторон встретятся в центре окружности а радиусы из углов треугольника делят его на три равнобедренных треугольника

Теперь, если вы назовете равные пары углов в каждом равнобедренном треугольнике A, A, B, B, C, C, вы обнаружите, что исходный треугольник имеет один угол A+B, один угол B+C, и один угол A+ C. Три угла в сумме дают 2A + 2B + 2С, а это как известно равно 180 градусов.

В любом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Поэтому, согласно предыдущего пункта, 180 — 2A должен быть такой же, как и 2B + 2С, например.

Рассмотрим угол правый нижний угол, опирающийся на окружность. Угол в центре равен 2B + 2С. Углом, опирающийся на окружность равен B + C. Вы видите, что для любого сегмента круга, угол в центре всегда в два раза больше угла, опирающегося на окружность.

Утверждение выше приводит к интересным фактам об углах в окружностях. Вместо определения углов со стороной треугольника, используют дугу (часть окружности) круга. Часть окружности, которая определяется углом в центре называется хордой окружности.

Угол в центре в два раза больше чем угол на окружности

Любой угол, касающийся окружности, используя хорду как ограничение угла, равен половине угла в центре. Таким образом, все углы в круге, с основанием на той же хорде, должны быть равны. Предположим, что хорда имеет угол 120 градусов. Угол на окружности будет равен 60 градусам.

Особый случай представляет собой полукруг (точный полукруг). Угол в центре представляет собой прямую линию (180 градусов). Каждый угол в полукруге равен 90 градусам (прямой угол). Любой треугольник в полукруге является прямоугольным треугольником.

Определения

Выше мы часто использовали углы, которые дополняют углы до прямого угла (90 градусов) или до двух прямых углов (180 градусов). Когда два угла образовывают угол 180 градусов (два прямых угла), они называются дополнительными. Если два угла добавить до 90 градусов (один прямой угол), их называют комплементарными

Вопросы и задачи

1. Синус угла А равен 0,8 и синус угла B равен 0.6. Из различных зависимостей, полученных до сих пор, найдите следующее: тангенс А, тангенс B, синус (A + B), косинус (A + B), синус (A — B), косинус (A — B), тангенс (А + B) и тангенс (A — B) без использования таблиц или тригонометрических клавиш калькулятора.

2.На экваторе Земля имеет радиус 4000 км. Углы вокруг экватора измеряется в меридианах долготы, с линией с севера на юг проходящей через Гринвич (Англия), в качестве нулевого отсчета. Два места используются для наблюдения за луной: первое это Кения, на экваторе 37,5 к востоку от Гринвича, а другой является Суматра, на экваторе к востоку 100,5. Как далеко друг от друга эти два места, если расстояние измерять мнимой прямой, проходящей через Землю?

3.Если бы наблюдения были сделаны горизонтально от точки наблюдения в вопросе 2 (к востоку от первой, к западу от второй), под каким углом была бы линия пересечения наблюдений?

4.В определенное время, точно синхронизированное в обоих местах, наблюдается спутник. В Кении, высота линии визирования с центром на спутнике составляет 58 градусов выше горизонтали на восток. На Суматре, высота составляет 58 градусов выше горизонтали на запад. Как далеко находится спутник? Используйте расстояние между точками рассчитанное в вопросе 2.

5. Косинус определенного угла в два раза больше синуса того же угла. Чему равен тангенс этого угла? Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.

6. Синус определенного угла равен именно 0.28. Найдите косинус и тангенс этого угла. Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.

7. Синус определенного угла равен 0.6. Найдите синус углов, больших чем заданный в два и три раза.

8. Найдите синус и косинус угла, большего ровно в два раза чем угол из вопроса 7.

9. Используя 15 градусов, как единичный угол, и формулы для отношения 2А и 3А найдите значения синусов 30 и 45 градусов.

10. Используя 30 градусов, как единичный угол, найти значения синусов 60 и 90 градусов.

11. Используя 45 градусов, как единичный угол, найдите значения тангенсов 60 и 90 градусов.

12. Используя 60 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 120 и 180 градусов.

13. Используя 90 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 180 и 270 градусов.

14. Используя формулы тангенса для умножения углов и таблицы, найдите тангенсы утроенных углов в 29, 31, 59 и 61 градусов. Посчитайте изменения знака между утроенным углом 29 и 31 градусов и между 59 и 61 градусов.

15. Синус угла составляет 0,96. Найдите синус и косинус удвоенного угла.

16. Задача сводится к алгебраической выражению вида 8cos² A + cos A = 3. Решите для косинуса А, и укажите, в каком квадранте будет угол, представляющий каждое решение придет. Приведите приближенные значения из таблицы или используя калькулятор.

Тригонометрическая таблица — как создать, формула, примеры и часто задаваемые вопросы °.

Определение тригонометрической таблицы

Табличное представление значений всех шести тригонометрических функций для их общих углов называется тригонометрической таблицей. Значение различных тригонометрических отношений можно узнать с помощью приведенной ниже таблицы:

Тригонометрические функции

Тригонометрия имеет 6 основных тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Теперь давайте рассмотрим тригонометрические функции. Для любого прямоугольного треугольника с перпендикуляром (P), основанием (B) и гипотенузой (H) шесть тригонометрических функций следующие:0007

• Синус: Определяется как отношение перпендикуляра к гипотенузе и представляется как sin θ
• Косинус: Определяется как отношение основания к гипотенузе и представляется как cos θ
• Тангенс: Определяется как отношение синуса и косинуса угла. Таким образом, определение тангенса представляет собой отношение перпендикуляра к основанию и представляется как tan θ
• Косеканс: Это величина, обратная sin θ, и представляется как cosec θ.
• Секанс: Это величина, обратная cos θ, обозначается как sec θ.
• Котангенс: Обратная величина тангенса θ и представлена ​​как cot θ.

Изучите приведенную ниже таблицу, чтобы легко запомнить тригонометрические соотношения.

Как создать тригонометрическую таблицу?

Изучите следующие шаги, чтобы создать тригонометрическую таблицу стандартных углов.

Шаг 1: Создайте таблицу

Создайте таблицу и перечислите все углы, такие как 0°, 30°, 45°, 60° и 90°, в верхней строке. Введите все тригонометрические функции sin, cos, tan, cosec, sec и cot в первый столбец.

Шаг 2: Оцените значение для всех углов функции sin.

Для нахождения значений функции sin разделите 0, 1, 2, 3 и 4 на 4 и возьмите под корень каждого значения соответственно как

Для значения sin 0° = √( 0/4) = 0
Аналогично,
sin 30° = √(1/4) = 1/2
sin 45° = √(2/4) = 1/√2
sin 60° = √(3/ 4) = √3/2
sin 90° = √(4/4) = 1

Шаг 3: Оценить значение для всех углов функции cos

Значение функции cos противоположно значению функции sin, т. е. cos 0° = sin 90°, cos 30° = sin 60° и cos 45° = sin 45°, поэтому

Шаг 4: Оценка значения для всех углов функции тангенса

Значение функции тангенса равно функции sin, деленной на функцию cos, т. е. tan x = sin x / cos x . Значение всех углов в функции тангенса рассчитывается как

тангенс 0°= sin 0° / cos 0° = 0/1 = 0, аналогично

В буфете тарелок было в.