Автор: alexxlab

Что можно получить из бензойной кислоты: разбираем варианты и способы

Бензойная кислота (химическая формула С6Н5СООН) – органическое соединение, которое представляет собой карбоновую кислоту из ряда ароматических соединений (аренов). В каталоге нашего сайта её можно найти по ссылке: https://teh-impex.ru/katalog/raw-material/benzoic-acid/ .

Сегодня промышленная бензойная кислота широко применяется в лакокрасочной индустрии, производстве шин. Но она известна науке ещё с 16 века, тогда удалось её выделить из бензойной смолы. В 19 веке активно использовалась в консервации фруктов из-за её противогрибковых свойств. Физически бензойная кислота представляет собой белые кристаллы, плохо растворимые в воде, но при этом хорошо растворимые в эфире, спиртах и хлороформе. В химической промышленности из данного органического соединения получают много важных химических веществ, которые используют в химическом производстве:

• Бензол;
• Бензоилхлорид;
• Бензоатные пластификаторы, такие как гликоль-, диэтиленгликоль- и триэтиленгликолевые эфиры;
• Фенол;
• Соли бензойной кислоты: бензоаты натрия, калия, кальция и т. д.

Получение бензола из бензойной кислоты.

Бензол (C6H6) из бензойной кислоты получают её взаимодействием с гидроксидом натрия (при этом надёжнее использовать натронную известь – смесь NaOH и Ca(OH)2)). Реакция начнётся только при прокаливании смеси данных веществ. Формула реакции выглядит следующим образом:

C6H5-COOH + 2NaOH—>C6H6 + Na2CO3 + h3O.

Получение бензоилхлорида из бензойной кислоты.

В лабораторных условиях бензоилхлорид (C7H5CIO) становится продуктом реакции раствора бензойной кислоты и пентахлорида фосфора:

С6Н5СООН + РСI5 → C7H5CIO + POCI3 + HCI.

В промышленном производстве используется другая технология. Там проводят фосгенирование, то есть взаимодействие соединения с фосгеном (дихлорангрдридом угольной кислоты – СОСI2), в качестве катализатора реакции выступает хлорид железа (III), химическая формула FeCI3:

С6Н5СООН + СОСI2 → C7H5CIO + CO2 + HCI.

Получение бензоатных пластификаторов из бензойной кислоты.

В качестве бензоатных пластификаторов чаще всего выступают эфиры, такие как гликоль, диэтиленгликоль или триэтиленгликоль. Получают их в два этапа. Сначала из бензойной кислоты путём конденсации с метанолом (Ch4OH) в кислой среде выводят метилбензоат (C6H5COOCh4), то есть её метиловый эфир:

С6H5COOH + Ch4OH → C6H5COOCh4 + h3O.

Затем с помощью реакции переэтерификации, то есть обмена структурными единицами между сложными эфирами и гидоксильными группами спиртов, с подходящим гликолем (двухатомным спиртом) на выходе имеем бензоатный пластификатор.

Получение фенола из бензойной кислоты.

На производстве фенол получают путём окисления бензойной кислоты в газообразном состоянии при температуре в 200 – 400°С и твердых катализаторов (к примеру сульфата меди (II), CuSO4). Продуктами реакции являются помимо фенола ещё и бензол, и дифенилоксид. Фенол же, в свою очередь, может быть синтезирован в циклогексанол, который является отправной точкой в производстве нейлона.

Получение бензоатов из бензойной кислоты.

Соли бензойной кислоты нашли своё широкое применение в качестве пищевых и косметических консервантов, а также ингибиторов коррозии. Получение бензоатов происходит однотипно, так как является типовой реакцией взаимодействия карбоновых кислот с основаниями. Бензойная кислота смешивается с каким-нибудь основанием, на выходе имеем её соль и воду. Вот пример реакции этой кислоты с гидроксидом натрия:

C6H5-COOH + NaOH—> C7H5O2Na + h3O.

Подводя итог всему вышесказанному, можно смело утверждать, что бензойная кислота является одним из важнейших сырьевых компонентом в химической и нефтехимической промышленности.

Сода каустическая

Главная / Химическое сырье / Сода каустическая (натр едкий, гидрооксид натрия NaOH)

%D
%d.%M.%y %h~:~%m

     Едкий натр (гидроокись натрия, NaOH), известный в технике также под названием  сода каустическая (или каустик), представляет собой в чистом виде белую непрозраную массу, расплывающуюся на воздухе. Существуют две модификации соды каустической а (кристалы ромбической системы) и b (кристалы кубической системы).

     Сода каустическая, независимо от способа производства, всегда содержит примеси: соду кальцинированную Na2CO3, хлористый натрий NaCL, окислы железа и алюминия Fe2O3 и Al2O3, соединения кремния и т.п.

     Молекулярный вес соды каустической (NaOH)Теплота образования соды каустической из элементов составляет 101960 кал/г-мол, или 2549 ккал/кг, при образовании NaOH из ионов в бесконечно разбавленном растворе выделяется 112139 кал/г-мол, или 2803,5 ккал/кг. Удельный вес твердого едкого натра при 20 радусов равен 2,13 г/см3.

   Едкий натр (соду каустическую) получают в промышленности электрохимическим и химическим способами.

Электрохимический способ получения соды каустической

    Электрохимический способ производства каустической соды основан на электролизе в специальных ваннах) водных растворов поваренной соли.

    В водном растворе NaCL (натрий хлористый) вследствие электролитической диссоциации вода и хлористый натрий распадаются на ионы:

 При пропускании постоянного электрического тока через раствор на аноде выделяется газообразный хлор, а на катоде водород:

    Одновременно происходит накопление в растворе ионов Na(+) и OH (-), в результате чего получается едкий натр (сода каустическая).

Химические способы производства соды каустической

  Из многообразия химических способов получения соды каустической в промышленности нашли применение только известковый и ферритный. 

Производство каустической соды известковым способом началась в России на заводе Ю.А. Пранта в Барнаульской губерни.

  По данным Д.И. Менделеева, в 1897г. в России 10 заводов вырабатывали каустическую соду известковым способом.

  Едкий натр (сода каустическая) получается при взаимодействии раствора соды кальцинированной с гашенной известью по следующей реакции:

  Это процесс называется каустификацией.

  Раствор едкого натра (соды каустической) упаривают, после чего его можно перерабатывать в твердый плавленный продукт, углекислый кальций является отбросом производства.

   Ферритный способ производства соды каустической применяется в настоящее время только в России его начали применять в 90-х годах 19 века. Принципиальная схема производства по этому способу протекает в две стадии. При прокаливании смеси углекислого натрия с окисью железа образуется феррит натрия:

  Феррит натрия разлагают водой:

   Полученный раствор едкого натра упаривают из упаренного раствора получают твердый продукт. Окись железа возвращается в производственный цикл.

   Едкий натр (сода каустическую) широко применяют во многих отраслях промышленности и народного хозяйства: в производстве бумаги, искуственного волокна, органических красителей, мыла хозяйственного, мыла туалетного, мыла жидкого, для отчистки минеральных масел, нефти и продуктов ее переработки, текстильной, металлургической, основной химической промышленности и промышленности органического синтеза.

Качество соды каустической (едкого натра)

  Завды выпускают твердый и жидкий едкий натр (соду каустическую). Каждый из продуктов должен удовлетворять требованиям ГОСТ, ТУ, СТО.

В соответствии с ГОСТ твердый едкий натр (сода каустическая) изготавливается в виде твердой массы или пластин-чешуек двух марок: марка А  «Химический» и марка Б «Диафрагменный». В табл. 3 приводится состав едкого натра перечисленных марок.

        В едком натре марки А 1-го сорта, применяемом для получения металлического натрия, должно быть  (в %) не более:

     Жидкий едкий натр (сода каустическая) выпускают пяти марок: марка А «Ртутный», марка Б «Диафрагменный улучшенный», марка В «Диафрагменный», марки Г и Д  «Химический».

     В табл. 4 приводится состав жидкого едкого натра (соды каустической) перечисленных марок.

    Кроме перечисленных марок, выпускается жидкий едкий натр чистый (электролитический) с содержание NaOH не менее 40% и жидкий едкий натр отход (жидкий каустик) с содержанием NaOH не менее 230 г/л.

    При плавке твердого едкого натра получается отход (расплавленного каустика в плавильных котлах), так называемый красный каустик (сода каустическая), который отгружается отдельным потребителям.

    Твердый едкий натр (соду каустическую) упаковывают в полипропиленовые мешки и стальные барабаны. Жидкий едкий натр (сода каустическая) отгружают в цистернах, металлических контейнерах или стальных бочках.

Производство гидроксида натрия из растворов карбоната и бикарбоната натрия с использованием мембранного электролиза: ТЭО

%PDF-1.7 % 1 0 объект > /Метаданные 2 0 R /Контуры 3 0 R /Страницы 4 0 Р /StructTreeRoot 5 0 R /Тип /Каталог /ViewerPreferences > >> эндообъект 6 0 объект > эндообъект 2 0 объект > транслировать application/pdf

1. Оценить количество NAOH и NA2CO3 в данной смеси NaOH и NA2CO3

ПИСА

. Требуется химическое вещество:

1. Раствор гидроксида натрия (NAOH)
2. Карбонат натрия
3. Sulfuric Acid
4. Phenolphtale
5. Sulfuric Acid
6. .0004
7. метиловый апельсин    

ТЕОРИЯ:

                 Метод определения силы данного неизвестного раствора с помощью известного стандартного раствора называется титрованием.

                          Смесь NAOH и NA2CO3 анализируют методом двойного титрования. Раствор смеси титруют сначала фенолфталеином, а затем метилоранжем.

 Участвуют следующие реакции:

2NAOH + H3SO4 → NA2SO4 + 2H3O

2NA2CO3 + H3SO4 → 2NAHC03 + NA2SO4

2NAHCO3 + H3SO4 → NA2SO4 + 2H3 + 2C02

. и фенолфталеин дает их конечную точку, но когда начинается реакция (iii), выделение СО2 снижает рН, что приводит к розовому цвету фенолфталеина до точки эквивалентности, поэтому для этой стадии используется метиловый оранжевый.

              Объем стандартного и израсходованного фенолфталеина соответствует всему количеству NAOH и половине количества NA2CO3, присутствующих в смеси.

         Дальнейший объем стандартной кислоты, потребляемой в метилоранже, соответствует оставшейся половине количества NA2CO3.

           Объем стандартной кислоты, израсходованной в фенолфталеине = X мл

           Объем стандартной кислоты, израсходованной в метилоранже = Y мл

          кислоты прореагировала с NA2CO3 смеси = 2Y мл

           Закон эквивалентности (химический) утверждает

1G equ кислоты = 1 г равенства основания

или 100 мл 1n кислоты = 100 мл 1n NaOH

= 100 мл 1n Na2CO3

= 40 г NAOH

= 50 г NA2CO3

МЕТОДИКА

  Прежде всего данный аппарат, используемый для титрования, т. е. бюретка, пипетка, коническая колба, должным образом очищались водой. Затем бюретку промывали стандартной кислотой h3SO4 N/10 (F=1,02) и заполняли стандартной кислотой. Пипетку промывали раствором смеси щелочей в конической колбе. После этого в коническую колбу добавляли 1-2 капли индикатора фенолфталеина, где появлялась розовая окраска при титровании до исчезновения розовой окраски. При анализе опыта методом двойного индикатора титрования в него добавляли 1-2 капли метилового оранжевого, при этом появлялась светло-желтая окраска, и снова титровали, после чего появлялась довольно розовая окраска. Наконец, процесс был повторен для одновременного чтения.

OBSERVATION TABLE: strength of h3SO4 solution = N/10(f=1.02)

Burette   reading   standard   h3SO4 In phenolphthalein

S. N.	Volume    of alkali	initial	final	разница	одновременный
1.	10 мл	0	14	14
2.
2.
.0106	18	29.5	11.5	11.5 ml
3.	10 ml	34	45.5	11.5

Burette   reading   standard   h3SO4 In methyl orange

Расчет:

Том фенолфталеина из конечной точки (x) = 11,5 мл

Объем метильной оранжевой точки (y) = 4. 0007

Том H3SO4, потребляемый NaOH (x — y) = (11,5 — 4,5) мл

= 7 мл

Объем H3SO4, потребляемый Na2CO3 = 2y = 2 × 4,5 = 9 мл

для NaOH

Объем NAOH (V1) = 10 мл                     сила NAOH (N1) =?

Объем H3SO4 (V2) = 7 мл прочности H3SO4 (N2) = f/10 = 0,102

Тогда N1V1 = N2V2

или, N1 = 0,102 × 7 мл

10 мл

= 0,0714

и гм/литр = 0,0714 × 40

= 2,867 г/литр

для NA2CO3

том NA2CO3 (V1) = 10 мл прочности NA2CO3 (N1) =?

Объем H3SO4 (V2) = 9 мл прочности H3SO4 (N2) = f/10 = 0,102

Тогда N1V1 = N2V2

или, N1 = 0,102 × 9 мл

10 мл

= 0,0918

и гм/литр = 0,0918 × 53

= 4,865 г/литр

Результат:

С начала наблюдения, количество NaOH и Na2CO3. г/л и 4,867 г/л соответственно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ :

                           Таким образом, количество NAOH и NA2CO3 можно определить методом двойного титрования.

Область определения функции

Каждая функция имеет свою собственную область определения. Целью этого материала является объяснение этого понятия и описание способов ее вычисления. Сначала мы введем основное определение, а потом на конкретных примерах покажем, как выглядит область определения основных элементарных функций (степенной, постоянной и др.) Разбирать случаи с более сложными функциями мы пока не будем.

В рамках данной статьи мы рассмотрим область определения функций, включающих в себя только одну переменную.

Понятие и обозначение области определения функции

Самое простое определение этого понятия дается в учебниках тогда, когда впервые вводится понятие функции как таковой. На этом этапе термином «область определения» обозначают множество всех возможных значений аргумента.

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так, в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Определение 1

Числовая функция с областью определения D – это соответствие значений переменной x некоторому числу y, которое находится в зависимых отношениях с x.

Используя это определение, охарактеризуем нужное нам понятие более четко:

Определение 2

Областью определения функции называется множество значений аргумента, на котором можно задать эту функцию.

Теперь рассмотрим, как правильно обозначать ее на письме. Ранее мы договорились, что для записи самих функций будем использовать маленькие латинские буквы, например, g, f и др. Чтобы указать на наличие функциональной зависимости, используется запись вида y=f(x). Таким образом, функция f представляет собой некоторое правило, согласно которому каждому значению переменной x можно поставить в соответствие значение другой переменной y, которая находится в зависимых отношениях от x.

Пример 1

Возьмем для примера функцию y=x2^. Можно записать ее как f(x)=x2.  Это функция возведения в квадрат, которая ставит в соответствие каждому значению переменной x=x0 некоторое значение y=x02^. Так, если мы возьмем число 3, то функция поставит ему в соответствие 9, поскольку 32=9.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используется запись D(f). Однако нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения, например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках иногда встречаются записи вида D(sin) или D(arcsin). Их следует понимать как области определения синуса и арксинуса соответственно. Допустима и запись вида D(f), где f – функция синуса или арксинуса.

Если мы хотим записать, что функция f определена на множестве значений x, то используем формулировку D(f)=X. Так, для того же арксинуса запись будет выглядеть как D(arcsin)= [−1, 1] (подробнее об области определения арксинуса мы расскажем далее.)

Как найти области определения для основных элементарных функций

Прочитав определения выше, легко понять, что понятие области определения очень важно для любой функции. Это ее неотъемлемая часть, которую задают вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим какую-либо функцию, то мы сразу указываем и область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорциональности, затем линейные функции, потом y=x2 и т.д., а их области определения указываются в качестве основных свойств.

В этом пункте мы расскажем, какие области определения имеют основные элементарные функции.

Область определения постоянной функции

Определение 3

Вспомним формулу, которой задается постоянная функция: y=C, или f(x)=C. Переменная C может быть любым действительным числом.

Смысл функции в том, что каждому значению аргумента будет соответствовать значение, равное C, следовательно, областью определения данной функции будет множество всех действительных чисел. Обозначим его R.

Пример 2

Так, если у нас есть функция y=−3 (или в другой записи f(x)=−3), то (D(f)= (−∞, +∞) или D(f)=R).

Если же мы возьмем функцию y=73, то для нее, как и для любой постоянной функции, область определения будет равна R.

Область определения функции с корнем

С помощью знака корня, или радикала, мы можем задать функцию извлечения квадратного корня y=x, либо в обобщенном виде функцию корня степени N, которую можно записать в виде формулы y=xn. В этих случаях n может быть любым натуральным числом, которое больше 1.

Область определения таких функций будет зависеть от того, является ли показатель четным или нечетным числом.

Определение 4

1. Возьмем сначала случай, когда n – четное число, т.е. n=2·m, где m∈N. Тогда областью определения станет множество всех неотрицательных действительных чисел: D2·m=[0; +∞).
2. Если же n представляет из себя нечетное число, которое больше 1, т.е. n=2·m+1, то областью определения будет множество всех действительных чисел: D2·m+1=(-∞; +∞).

Пример 3

Таким образом, область определения функций с корнем y=x, y=x4, y=x6 – это числовое множество [0, +∞), а функций  y=x3, y=x5,  y=x7 – множество (−∞, +∞).

Область определения степенной функции

Запись степенной функции выглядит как y=xa или f(x)=xa, где x является переменной, которая лежит в основании степени, и a представляет из себя определенное число в ее показателе. Мы берем область определения степенной функции в зависимости от значения ее показателя.

Перечислим возможные варианты.

Определение 5

1. Допустим, что a будет положительным целым числом. Тогда областью определения степенной функции будет множество действительных чисел (−∞, +∞).
2. Если a является нецелым положительным числом, то D(f)= [0, +∞).
3. В случае, когда a относится к целым отрицательным числам, областью определения такой функции становится множество (−∞, 0)∪(0, +∞).
4. В остальных случаях, т.е. когда a будет отрицательным нецелым числом, область определения будет числовым промежутком (0, +∞).
5. Если a имеет нулевое значение, то такая степенная функция будет определена для всех действительных x, кроме нулевого. Это связано с неопределенностью 00.  Мы знаем, что любое число, кроме 1, при возведении в нулевую степень будет равно 1, тогда при a=0 у нас получится функция y=x0=1, область определения которой (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Поясним нашу мысль несколькими примерами.

Пример 4

Для функций y=x5, y=x12 область определения представляет собой множество всех действительных чисел R, поскольку показатели степени являются целыми положительными числами.

Пример 5

Для степенных функций y=x63, y=xπ, y=x74, y=x23 будут определены на интервале [0, +∞), поскольку показатели являются положительными, но не целыми числами.

Пример 6

3. Для функции y=x−5 с целыми отрицательными показателями областью определения будет множество (−∞, 0)∪(0, +∞).

Пример 7

4. Для степенных функций y=x-19, y=x-3e, y=x-98, y=x-311 область определения будет представлять из себя открытый числовой луч (0, +∞), т.к. их показателями являются нецелые отрицательные числа.

Область определения показательной функции

Определение 6

Такую функцию принято записывать как y=ax, причем переменная будет располагаться в показателе функции. Основанием степени здесь является число a, которое больше 0 и не равно 1.

Область определения такой функции есть множество всех действительных чисел, т.е. R.

Пример 8

Например, если у нас есть показательные функции y=14x, y=ex, y=13x, y=15x, то они будут определены на промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения логарифмической функции

Определение 7

Функция логарифма задается как y=logax , где a – основание, большее 0 и не равное 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел. Это можно записать как D(loga)=(0, +∞), например, D(ln)=(0, +∞) и D(lg)=(0, +∞).

Пример 9

Так, для логарифмических функций y=log23x, y=log3x, y=log7x, y=lnx областью определения будет множество (0, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Чтобы узнать, на каком промежутке будут определены тригонометрические функции, нужно вспомнить, как именно они задаются и как называются.

Определение 8

• Формула y=sin x обозначает функцию синуса (sin). Она будет определена на множестве всех действительных чисел. Можно записать, что D(sin)=R.
• Формула y=cos x означает функцию косинуса (cos). Она также будет определена на множестве всех действительных чисел, т.е. D(cos)=R.
• Формула y=tg x означает функцию тангенса (tg), а y=ctg x– котангенса. Областью определения тангенса будет множество всех действительных чисел, за исключением π2+π·k, k∈Z.

Областью определения котангенса будет также множество R, за исключением π·k, k∈Z.

Иными словами, если мы знаем, что x является аргументом функций тангенса и котангенса, то нужно помнить, что данные функции определены при x∈R, x≠π2+π·k, k∈Z и x∈R, x≠π·k, k∈Z.

Область определения тригонометрических функций

К обратным тригонометрическим относятся функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Определение 9

• Формула y=arcsin x обозначает функцию арксинуса. Обычно она рассматривается на отрезке [−1, 1]] и обозначается arcsin. Промежуток [−1, 1] и будет нужной нам областью определения данной функции. Можно записать, что D(arcsin)=[−1, 1].
• Формула y=arccos x выражает функцию арккосинуса (обозначается arccos). Она рассматривается на том же отрезке, что и арксинус. Следовательно, областью определения данной функции является [−1, 1], т.е. D(arccos)=[−1, 1].
• Функции y=arctg x и y=arcctg x означают арктангенс и арккотангенс. Они рассматриваются на множестве всех действительных чисел, значит, областью их определения является R. Можем записать, что D(arctg)=R и D(arcctg)=R.

Области определения основных функций в табличном виде

Чтобы запомнить или легко найти нужные нам области, правила вычисления которых мы объяснили выше, представим всю информацию в табличном виде. Не лишним будет оформить ее на отдельном листе и держать под рукой, так же, как и таблицу простых чисел, квадратов и др. Она очень пригодится при работе с функциями, пока вы не выучите ее содержимое наизусть.

Области определения функций
Функиця	Ее область определения
Постоянная y=C	R
Корень y=xn	[0; +∞), если n — четное -∞; +∞, если n — нечетное
Степенная y=xa	-∞; +∞, если a>0, a∈Z [0; +∞), если a>0, a∈R, a∉Z -∞; 0∪0; +∞, если a<0, a∈Z 0; +∞, если a∈R, a≠Z -∞; 0∪0, +∞, если a=0
Показательная y=ax	R
Логарифмическая y=logax	0; +∞
Тригонометрические y=sin xy=cos xy=tg xy=ctg x	RRx∈R, x≠π2+π·k, k∈Zx∈R, x≠π·k, k∈Z
Обратные тригонометрические y=arcsin xy=arccos xy=arctg xy=arcctg x	-1; 1-1; 1RR

Подводя итоги статьи, следует отметить, что в рамках школьного курса изучаются не только основные элементарные функции, но и их различные сочетания. Задачи такого типа встречаются очень часто. Области определения таких комбинированных функций указываются далеко не всегда. Авторы задач подразумевают, что в таких случаях областью определения функции можно считать множество таких значений аргумента, при которых она будет иметь смысл. Это позволяет нам приблизиться к ответу на вопрос, как именно вычисляется область определения функции в подобных случаях.

Область определения функции

Каждая функция имеет свою собственную область определения. Целью этого материала является объяснение этого понятия и описание способов ее вычисления. Сначала мы введем основное определение, а потом на конкретных примерах покажем, как выглядит область определения основных элементарных функций (степенной, постоянной и др.) Разбирать случаи с более сложными функциями мы пока не будем.

В рамках данной статьи мы рассмотрим область определения функций, включающих в себя только одну переменную.

Понятие и обозначение области определения функции

Самое простое определение этого понятия дается в учебниках тогда, когда впервые вводится понятие функции как таковой. На этом этапе термином «область определения» обозначают множество всех возможных значений аргумента.

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так, в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Определение 1

Числовая функция с областью определения D – это соответствие значений переменной x некоторому числу y, которое находится в зависимых отношениях с x.

Используя это определение, охарактеризуем нужное нам понятие более четко:

Определение 2

Областью определения функции называется множество значений аргумента, на котором можно задать эту функцию.

Теперь рассмотрим, как правильно обозначать ее на письме. Ранее мы договорились, что для записи самих функций будем использовать маленькие латинские буквы, например, g, f и др. Чтобы указать на наличие функциональной зависимости, используется запись вида y=f(x). Таким образом, функция f представляет собой некоторое правило, согласно которому каждому значению переменной x можно поставить в соответствие значение другой переменной y, которая находится в зависимых отношениях от x.

Пример 1

Возьмем для примера функцию y=x2^. Можно записать ее как f(x)=x2.  Это функция возведения в квадрат, которая ставит в соответствие каждому значению переменной x=x0 некоторое значение y=x02^. Так, если мы возьмем число 3, то функция поставит ему в соответствие 9, поскольку 32=9.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используется запись D(f). Однако нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения, например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках иногда встречаются записи вида D(sin) или D(arcsin). Их следует понимать как области определения синуса и арксинуса соответственно. Допустима и запись вида D(f), где f – функция синуса или арксинуса.

Если мы хотим записать, что функция f определена на множестве значений x, то используем формулировку D(f)=X. Так, для того же арксинуса запись будет выглядеть как D(arcsin)= [−1, 1] (подробнее об области определения арксинуса мы расскажем далее. )

Как найти области определения для основных элементарных функций

Прочитав определения выше, легко понять, что понятие области определения очень важно для любой функции. Это ее неотъемлемая часть, которую задают вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим какую-либо функцию, то мы сразу указываем и область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорциональности, затем линейные функции, потом y=x2 и т.д., а их области определения указываются в качестве основных свойств.

В этом пункте мы расскажем, какие области определения имеют основные элементарные функции.

Область определения постоянной функции

Определение 3

Вспомним формулу, которой задается постоянная функция: y=C, или f(x)=C. Переменная C может быть любым действительным числом.

Смысл функции в том, что каждому значению аргумента будет соответствовать значение, равное C, следовательно, областью определения данной функции будет множество всех действительных чисел. Обозначим его R.

Пример 2

Так, если у нас есть функция y=−3 (или в другой записи f(x)=−3), то (D(f)= (−∞, +∞) или D(f)=R).

Если же мы возьмем функцию y=73, то для нее, как и для любой постоянной функции, область определения будет равна R.

Область определения функции с корнем

С помощью знака корня, или радикала, мы можем задать функцию извлечения квадратного корня y=x, либо в обобщенном виде функцию корня степени N, которую можно записать в виде формулы y=xn. В этих случаях n может быть любым натуральным числом, которое больше 1.

Область определения таких функций будет зависеть от того, является ли показатель четным или нечетным числом.

Определение 4

1. Возьмем сначала случай, когда n – четное число, т.е. n=2·m, где m∈N. Тогда областью определения станет множество всех неотрицательных действительных чисел: D2·m=[0; +∞).
2. Если же n представляет из себя нечетное число, которое больше 1, т.е. n=2·m+1, то областью определения будет множество всех действительных чисел: D2·m+1=(-∞; +∞).

Пример 3

Таким образом, область определения функций с корнем y=x, y=x4, y=x6 – это числовое множество [0, +∞), а функций  y=x3, y=x5,  y=x7 – множество (−∞, +∞).

Область определения степенной функции

Запись степенной функции выглядит как y=xa или f(x)=xa, где x является переменной, которая лежит в основании степени, и a представляет из себя определенное число в ее показателе. Мы берем область определения степенной функции в зависимости от значения ее показателя.

Перечислим возможные варианты.

Определение 5

1. Допустим, что a будет положительным целым числом. Тогда областью определения степенной функции будет множество действительных чисел (−∞, +∞).
2. Если a является нецелым положительным числом, то D(f)= [0, +∞).
3. В случае, когда a относится к целым отрицательным числам, областью определения такой функции становится множество (−∞, 0)∪(0, +∞).
4. В остальных случаях, т.е. когда a будет отрицательным нецелым числом, область определения будет числовым промежутком (0, +∞).
5. Если a имеет нулевое значение, то такая степенная функция будет определена для всех действительных x, кроме нулевого. Это связано с неопределенностью 00.  Мы знаем, что любое число, кроме 1, при возведении в нулевую степень будет равно 1, тогда при a=0 у нас получится функция y=x0=1, область определения которой (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Поясним нашу мысль несколькими примерами.

Пример 4

Для функций y=x5, y=x12 область определения представляет собой множество всех действительных чисел R, поскольку показатели степени являются целыми положительными числами.

Пример 5

Для степенных функций y=x63, y=xπ, y=x74, y=x23 будут определены на интервале [0, +∞), поскольку показатели являются положительными, но не целыми числами.

Пример 6

3. Для функции y=x−5 с целыми отрицательными показателями областью определения будет множество (−∞, 0)∪(0, +∞).

Пример 7

4. Для степенных функций y=x-19, y=x-3e, y=x-98, y=x-311 область определения будет представлять из себя открытый числовой луч (0, +∞), т. к. их показателями являются нецелые отрицательные числа.

Область определения показательной функции

Определение 6

Такую функцию принято записывать как y=ax, причем переменная будет располагаться в показателе функции. Основанием степени здесь является число a, которое больше 0 и не равно 1.

Область определения такой функции есть множество всех действительных чисел, т.е. R.

Пример 8

Например, если у нас есть показательные функции y=14x, y=ex, y=13x, y=15x, то они будут определены на промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения логарифмической функции

Определение 7

Функция логарифма задается как y=logax , где a – основание, большее 0 и не равное 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел. Это можно записать как D(loga)=(0, +∞), например, D(ln)=(0, +∞) и D(lg)=(0, +∞).

Пример 9

Так, для логарифмических функций y=log23x, y=log3x, y=log7x, y=lnx областью определения будет множество (0, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Чтобы узнать, на каком промежутке будут определены тригонометрические функции, нужно вспомнить, как именно они задаются и как называются.

Определение 8

• Формула y=sin x обозначает функцию синуса (sin). Она будет определена на множестве всех действительных чисел. Можно записать, что D(sin)=R.
• Формула y=cos x означает функцию косинуса (cos). Она также будет определена на множестве всех действительных чисел, т.е. D(cos)=R.
• Формула y=tg x означает функцию тангенса (tg), а y=ctg x– котангенса. Областью определения тангенса будет множество всех действительных чисел, за исключением π2+π·k, k∈Z.

Областью определения котангенса будет также множество R, за исключением π·k, k∈Z.

Иными словами, если мы знаем, что x является аргументом функций тангенса и котангенса, то нужно помнить, что данные функции определены при x∈R, x≠π2+π·k, k∈Z и x∈R, x≠π·k, k∈Z.

Область определения тригонометрических функций

К обратным тригонометрическим относятся функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Определение 9

• Формула y=arcsin x обозначает функцию арксинуса. Обычно она рассматривается на отрезке [−1, 1]] и обозначается arcsin. Промежуток [−1, 1] и будет нужной нам областью определения данной функции. Можно записать, что D(arcsin)=[−1, 1].
• Формула y=arccos x выражает функцию арккосинуса (обозначается arccos). Она рассматривается на том же отрезке, что и арксинус. Следовательно, областью определения данной функции является [−1, 1], т.е. D(arccos)=[−1, 1].
• Функции y=arctg x и y=arcctg x означают арктангенс и арккотангенс. Они рассматриваются на множестве всех действительных чисел, значит, областью их определения является R. Можем записать, что D(arctg)=R и D(arcctg)=R.

Области определения основных функций в табличном виде

Чтобы запомнить или легко найти нужные нам области, правила вычисления которых мы объяснили выше, представим всю информацию в табличном виде. Не лишним будет оформить ее на отдельном листе и держать под рукой, так же, как и таблицу простых чисел, квадратов и др. Она очень пригодится при работе с функциями, пока вы не выучите ее содержимое наизусть.

Области определения функций
Функиця	Ее область определения
Постоянная y=C	R
Корень y=xn	[0; +∞), если n — четное -∞; +∞, если n — нечетное
Степенная y=xa	-∞; +∞, если a>0, a∈Z [0; +∞), если a>0, a∈R, a∉Z -∞; 0∪0; +∞, если a<0, a∈Z 0; +∞, если a∈R, a≠Z -∞; 0∪0, +∞, если a=0
Показательная y=ax	R
Логарифмическая y=logax	0; +∞
Тригонометрические y=sin xy=cos xy=tg xy=ctg x	RRx∈R, x≠π2+π·k, k∈Zx∈R, x≠π·k, k∈Z
Обратные тригонометрические y=arcsin xy=arccos xy=arctg xy=arcctg x	-1; 1-1; 1RR

Подводя итоги статьи, следует отметить, что в рамках школьного курса изучаются не только основные элементарные функции, но и их различные сочетания. Задачи такого типа встречаются очень часто. Области определения таких комбинированных функций указываются далеко не всегда. Авторы задач подразумевают, что в таких случаях областью определения функции можно считать множество таких значений аргумента, при которых она будет иметь смысл. Это позволяет нам приблизиться к ответу на вопрос, как именно вычисляется область определения функции в подобных случаях.

H63: Использование атрибута области для связывания ячеек заголовков и ячеек данных в таблицах данных

Важную информацию об использовании этих информативных методов и о том, как они соотносятся с нормативными критериями успеха WCAG 2.0, см. в разделе «Понимание методов для критериев успеха WCAG». В разделе «Применимость» объясняется область применения метода, и наличие методов для конкретной технологии не означает, что эту технологию можно использовать во всех ситуациях для создания контента, соответствующего WCAG 2.0.

Цель этого метода — связать ячейки заголовков с ячейками данных в сложных таблицах с помощью область атрибут. Атрибут scope может использоваться для уточнения область действия любой ячейки, используемой в качестве заголовка. Область определяет, является ли ячейка заголовок для строки, столбца или группы строк или столбцов. Значения строк , col , rowgroup и colgroup идентифицируют их возможные области применения соответственно.

Для простых таблиц данных, в которых заголовок не находится в первой строке или столбце, например в примере 1 можно использовать эту технику. Основываясь на сегодняшней поддержке программы чтения с экрана, ее использование предлагается в двух ситуациях, относящихся к простым таблицам:

• ячейки данных, помеченные td , которые также функционируют как заголовок строки или столбца заголовок

• ячейки заголовка, размеченные td вместо th . Иногда авторы используйте это, чтобы избежать характеристик дисплея, связанных с -м -м, а также не выбирайте использование CSS для управления отображением для -го -го.

Примечание 1: Для простых таблиц, заголовки которых находятся в первой строке или столбце, достаточно просто использовать элементы TH без области видимости.

Примечание 2: Для сложных таблиц используйте идентификаторы и заголовки, как в h53: Использование атрибутов id и заголовков для связывания ячеек данных с ячейками заголовков в таблицы данных .

Примечание 3: Некоторым пользователям может быть проще работать с несколькими простыми таблицами, чем с одной более сложной таблицей. Авторы могут подумать, могут ли они преобразовать сложные таблицы в одну или несколько простых таблиц.

В следующем примере столбец № 1 содержит порядковые номера строк в таблице. а второй столбец содержит значение ключа для строки. Клетки во втором столбец может затем использовать область = "строка" . Ячейки в первой строке тоже помечены td и использовать область = "кол" .

Пример кода:

 <граница таблицы="1">
  Контактная информация
  
    <тд>
    Имя
    Телефон#
    Факс#
    Город
  
    1.
    Джоэл Гарнер
    412-212-5421
    412-212-5400
    Питтсбург
  
    2.
    Клайв Ллойд
    410-306-1420
    410-306-5400
    Балтимор
  
    3.
    Гордон Гринидж
    <тд>281-564-6720
    <тд>281-511-6600
    Хьюстон
  
 

Ресурсы предназначены только для информационных целей, одобрение не подразумевается.

• Ячейки таблицы HTML 4.01: атрибут области

• HTML 4.01 Ячейки таблицы: элементы TH и TD

• Вспомогательные технологии столы для чтения

Процедура

Для каждой таблицы данных:

1. Проверить, что все -е элементов имеют область атрибут.

2. Проверить, что все элементы td , которые действуют как заголовки для других элементов иметь атрибут Scope .

3. Убедитесь, что все атрибуты области имеют значение , строка , col , rowgroup или colgroup .

Ожидаемые результаты

Если это достаточный метод для критерия успеха, то неудача этой процедуры тестирования не обязательно означает, что критерий успеха не был удовлетворен каким-либо другим способом, а только то, что этот метод не был успешно реализован и не может использоваться для утверждения соответствия.

Атрибут области HTML th

❮ Тег HTML

Пример

Укажите, что две ячейки заголовка являются заголовками для столбцы:

 
   
   
   
 
 
   
   
   
 
 
   
   
   
 

	Месяц	Экономия
1	Январь	100 долларов США
2	Февраль	80 долларов США

Попробуйте сами »

2

Определение и использование

Атрибут Scope указывает, является ли ячейка заголовка заголовком для столбца, строки или группы столбцов или строк.

Примечание: Атрибут scope не имеет визуального эффекта в обычных веб-браузерах, но может быть используется программами чтения с экрана.

---

Поддержка браузера

Атрибут
прицел	Да	Да	Да	Да	Да

---

Синтаксис

Значения атрибутов

Значение	Описание
цвет	Указывает, что ячейка является заголовком для столбца
ряд	Указывает, что ячейка является заголовком для строки
колгруппа	Указывает, что ячейка является заголовком для группы столбцов
группа строк	Указывает, что ячейка является заголовком для группы строк

---

❮ Тег HTML

ВЫБОР ЦВЕТА

---

---

---

Лучшие учебники

Учебник по HTML
Учебник по CSS
Учебник по JavaScript
Учебник How To
Учебник по SQL
Учебник по Python
Учебник по W3. CSS
Учебник по Bootstrap
Учебник по PHP
Учебник по Java
Учебник по C++
Учебник по jQuery

903 Справочник 903

903 Справочник по HTML
Справочник по CSS
Справочник по JavaScript
Справочник по SQL
Справочник по Python
Справочник по W3.CSS
Справочник по Bootstrap
Справочник по PHP
Цвета HTML
Справочник по Java
Справочник по Angular
Справочник по jQuery

Основные примеры

Примеры HTML
Примеры CSS
Примеры JavaScript
Примеры How To Примеры
Примеры SQL
Примеры Python
Примеры W3.CSS
Примеры Bootstrap
Примеры PHP
Примеры Java
Примеры XML
Примеры jQuery

| О

W3Schools оптимизирован для обучения и обучения. Примеры могут быть упрощены для улучшения чтения и обучения. Учебники, ссылки и примеры постоянно пересматриваются, чтобы избежать ошибок, но мы не можем гарантировать полную правильность всего содержания.

5. Окислительно-восстановительные процессы.

Окислительно-восстановительными реакциями называют реакции, протекающие с изменением степени окисления (СО) элементов. Степень окисления – это тот условный заряд атома элемента, который вычисляют, исходя из предположения, что молекула состоит только из ионов (как правило, обозначают арабской цифрой, заряд ставят перед цифрой). СО рассчитывается на основании положения, что сумма СО всех атомов, входящих в молекулу равно нулю, а всех атомов , составляющих ион – заряду иона.

Ряд элементов имеют постоянную СО. Например:

Водород Н (за исключением гидридов, где, СО Н = — 1) +1

Щелочные металлы (Nа, К, Li и др.) +1

Металлы 2 группы периодической системы (Са, Zn и т. д.) +2

Металлы 3 группы периодической системы (А1) +3

Кислород О -2

(За исключением ОF₂, где СО кислорода +1; перекисей Н₂О₂, Na₂О₂ и т. д., где СО кислорода – 1).

Составление уравнений окислительно-восстановительных реакций.

Прежде всего необходимо рассчитать степени окисления всех элементов реакции в левой и правой частях уравнения. Для нахождения коэффициентов при составлении окислительно-восстановительных реакций необходимо:

— соблюдение принципа электронного баланса (число электронов, отданных восстановителем (Red) , должно быть равно числу электронов, принятых окислителем (Ox), например:

Al + O₂  Al₂O₃

Red Ox

4 Al — 3ē = Al³⁺()

3 O₂ + 4ē = 2O²¯

4Al + 3O₂ = 2Al₂O₃

В реакциях, протекающих в водных растворах, следует использовать среду (кислую, щелочную, нейтральную). Например, в кислой среде:

K₂Cr₂O₇ + KJ + H₂SO₄  Cr₂(SO₄)₃ + J₂ + H₂O+ K₂SO₄

3 2J^— — 2ē = J₂

1 Cr₂O₇^2- + 6ē + 14H⁺ = 2Cr⁺³ + 7H₂O

Суммарное молекулярное уравнение реакции:

K₂Cr₂O₇ + 6KJ + 7H₂SO₄  Cr₂(SO₄)₃ + 3J₂ + 7H₂O + 4K₂SO₄

В щелочной среде:

KCrO₂ + KClO₄ + KOH → K₂CrO₄ + KCl + H₂O

8 CrO₂^— — 3ē + 4OH^— → CrO₄^2- + 2H₂O

3 ClO₄^— + 8ē + 4H₂O → Cl^— + 8OH^—

Суммарное молекулярное уравнение реакции

8KCrO₂ + 3KClO₄ + 8KOH → 8K₂CrO₄ + 3KCl + 4H₂O

Среда нейтральная:

KMnO₄ + MnSO₄ + H₂O → MnO₂ + K₂SO₄ + H₂SO₄

3 Mn — 2ē + 2H₂O = MnO₂ + 4H⁺

2 MnO₄ + 3ē + 2H₂O = MnO₂ + 4OH^—

6H₂O + 4H₂O → 12H⁺ + OH^—

2H₂O → 4H⁺

Суммарное молекулярное уравнение реакции:

2KMnO₄ + 3MnSO₄ + 2H₂O = 5MnO₂ + K₂SO₄ + 2H₂SO₄

Задания 161-180. Составьте электронно-ионные схемы и молекулярные уравнения реакций. Укажите окислитель и восстановитель. Для каждого задания по две реакции (а, б):

161. a) Na₂SeO₃ + KBrO + H₂O  Br₂; SeO₄^2-

б) HCl + HNO₃  Cl₂; NO

162. a) Cr₂(SO₄)₃ + Cl₂ + KOH  CrO₄^2-; Cl^—

б) NaNO₂ + KJ + H₂SO₄  NO; J₂

163. a) NaCrO₂ + NaClO + KOH  CrO₄^2-; Cl^—

б) H₂S + SO₂  S; H₂O

164. a) HNO₃ + Ni⁰  N₂O; Ni²⁺

б) SO₂ + Br₂ + H₂O  HBr; H₂SO₄

165. a) K₂Cr₂O₇ + Na₃AsO₃ + H₂SO₄  AsO₄^3-; Cr³⁺

б) KCrO₂ + Cl₂ + KOH  CrO₄^2-; Cl^—

166. a) SO₂ + NaClO₃ + H₂O  SO₄^2-; Cl^—

б) K₂Cr₂O₇ + HCl  Cr³⁺; Cl₂

167. a) KMnO₄ + H₂S + H₂SO₄  Mn²⁺; SO₄^2-

б) J₂ + Cl₂ + H₂O  JO₃^—; Cl^—

168. SnCl₂ + KBrO₃ + HCl  Sn⁴⁺; Br^—

б) KClO₃ + KCrO₂ + NaOH  CrO₄^2-; Cl^—

169. Ni(OH)₂ + NaClO + H₂O  Ni(OH)₃; Cl^—

б) KMnO₄ + Na₂SO₃ + H₂O  MnO₂; SO₄^2-

170. a) MnSO₄ + PbO₂ + H₂SO₄  Pb²⁺; MnO₄^—

б) FeCl₂ + KMnO₄ + H₂SO₄  Fe⁺³; Mn⁺²

171. a) H₃PO₃ + KMnO₄ + H₂SO₄  Mn⁺²; H₃PO₄

б) MnO₂ + KClO₂ + KOH  MnO₄^2-; Cl^—

172. a) KMnO₄ + NaNO₂ + H₂O  NO₃^—; MnO₂

б) S + HNO₃  SO₂; NO

173. a)H₂S + K₂Cr₂O₇ + H₂SO₄  S; Cr⁺³

б) KNO₃ + Zn + KOH  ZnO₂^2-; NH₃

174. a) Cr₂O₃ + KClO₃ + KOH  CrO₄^2-; Cl^—

б) FeCl₂ + HNO₃ + HCl  Fe⁺³; N₂O

175. a) KClO₃ + MnO₂ + KOH  MnO₄^2-; Cl^—

б) Na₃AsO₃ + J₂ + H₂O  AsO₄^3-; J^—

176. a) H₂S + HNO₃  SO₄^2-; Cl^—

б) J₂ + Na₂SO₃ + H₂O  J^—; SO₄^2-

177. a) C + HNO₃  CO₂; NO₂

б) H₂S + Cl₂ + H₂O  SO₄^2-; Cl^—

178. a) SnCl₂ + Na₃AsO₃ + HCl  As; Sn⁺⁴

б) KNO₃ + Zn + NaOH  ZnO₂^2-; NH₃

179. a) Cr₂O₃ + KClO₃ + KOH  CrO₄^2-; Cl^—

б) KMnO₄ + Na₂SO₃ + H₂SO₄  Mn⁺²; SO₄^2-

180. a) Mn(NO₃)₂ + NaBiO₃ + HNO₃  Bi⁺³; MnO₄^—

б) H₂S + Br₂ + H₂O  SO₄^2-; Br^—

Соли хрома: химические свойства и получение

определение, теорема и примеры решения задач

Содержание:

• Теорема Крамера
• Примеры решения систем уравнений

Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод.

Теорема Крамера

Теорема

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

$x_{i}=\frac{\Delta_{i}}{\Delta}$

где $\Delta$ — определитель матрицы системы, $\Delta_{i}$ — определитель матрицы системы, где вместо $i$ -го столбца стоит столбец правых частей.

Замечание

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Замечание

Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+2 x_{2}=7 \\ 2 x_{1}+x_{2}=9 \end{array}\right.$ при помощи метода Крамера.

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right|=5 \cdot 1-2 \cdot 2=1 \neq 0$$

Так как $\Delta \neq 0$ , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель $\Delta_{1}$ получим из определителя $\Delta$ заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ll} 7 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right|=7-18=-11$$

Аналогично, определитель $\Delta_{2}$ получается из определителя матрицы системы $\Delta$ заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

$$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 2 & 9 \end{array}\right|=45-14=31$$

Тогда получаем, что

$$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{-11}{1}=-11, x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{31}{1}=31$$

Ответ. $x_{1}=-11, x_{2}=31$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

$$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+(-2) \cdot(-1) \cdot 1+$$ $$+1 \cdot 0 \cdot 2-2 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-(-2) \cdot 1 \cdot 2=4$$ $$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-2) \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 1+2 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-2) \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 2 \cdot 2=-4$$ $$\Delta_{3}=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 2+$$ $$+1 \cdot(-2) \cdot 3-3 \cdot(-1) \cdot 2-(-1) \cdot(-2) \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-12$$

Таким образом,

$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{4}{-4}=-1 \quad x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-4}{-4}=1 \quad x_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-12}{-4}=3$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Читать дальше: метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных.

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.

Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной

Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой.

Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственный, систему уравнений называют неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами.

МЕТОД КРАМЕРА

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

— определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

—————————————————————

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Задача 2.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы

Данный пример можно решить математическим калькулятором YukhymCALC . Фрагмент программы и результаты вычислений наведены ниже.

——————————

МЕТОД К Р А М Е Р А

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5*4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9-40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52=10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4*2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2)= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1+24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1*(-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1*(5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+(-3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2-30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Посмотреть материалы:

• Матричный метод решения системы линейных уравнений
• Метод Гаусса
• Решение методом Крамера СЛАУ 3-4-го порядка
• Решение СЛАУ 3-4 порядка матричным методом
• Решение методом Гаусса СЛАУ 3-5-ого порядка

{jcomments on}

Правило Крамера с двумя переменными

Правило Крамера — это еще один метод, позволяющий решать системы линейных уравнений с помощью определителей.

С точки зрения обозначений, матрица представляет собой массив чисел, заключенный в квадратные скобки, а определитель представляет собой массив чисел, заключенный в две вертикальные черты.

Обозначения

Формула для нахождения определителя матрицы 2 x 2 очень проста.

Давайте кратко рассмотрим:

Определитель матрицы 2 x 2

Краткие примеры того, как найти определители матрицы 2 x 2

Пример 1 : Найдите определитель матрицы A ниже.

Пример 2 : Найдите определитель матрицы B ниже.

Пример 3 : Найдите определитель матрицы C ниже.

Узнав, как найти определитель матрицы 2 x 2, вы теперь готовы изучить процедуры или шаги по использованию правила Крамера. Вот так!

Правила Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными

• Дана линейная система

• Назовите каждую матрицу

матрица коэффициентов:

4   

03 X – матрица:     

Y – матрица:     

Чтобы найти переменную x:

Чтобы найти переменную y:

Несколько моментов, которые следует учитывать при рассмотрении формулы:

1) Столбцы \large{x}, \large{y} и постоянные члены \large{c} получаются следующим образом:

2) Оба знаменателя при решении \large{x} и \large {у} одинаковы. Они берутся из столбцов \large{x} и \large{y}.

3) Глядя на числитель при решении для \large{x}, коэффициенты столбца \large{x} заменяются постоянным столбцом (красным).

4) Таким же образом, чтобы найти \large{y}, коэффициенты \large{y}-столбца заменяются константным столбцом (красным).

Примеры решения системы линейных уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

Пример 1 : Решение системы с двумя переменными с помощью правила Крамера

Начните с извлечения трех соответствующих матриц: коэффициент, \large{x } и \large{y}. Затем решите каждый соответствующий определитель.

• Для матрица коэффициентов

• Для X – матрица

• Для Y – матрица

После того, как все три определителя вычислены, пришло время найти значения \large{x} и \large{y}  с помощью приведенной выше формулы.

Я могу записать окончательный ответ как \large{\left( {x,y} \right) = \left({2, — 1} \right)}.

Пример 2 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Настройте матрицы коэффициентов, \large{x} и \large{y} из заданной системы линейных уравнений. Затем вычислите их определители соответственно.

Помните, что мы всегда вычитаем произведений диагональных элементов.

• Для матрицы коэффициентов (используйте коэффициенты обеих переменных x и y)

• Для матрицы  X– (замените столбец x столбцом констант)
9003
• Для
  – матрица (замените столбец y на столбец констант)

  Надеюсь, вы освоились с вычислением определителя двумерной матрицы. Чтобы окончательно решить требуемые переменные, я получаю следующие результаты.

  Записав окончательный ответ в виде точек, я получил \large{\left( {x,y} \right) = \left( {6, — 5} \right)}.

  ---

  Пример 3 : Решить систему с двумя переменными по правилу Крамера

  На самом деле эту задачу довольно легко решить методом исключения. Это связано с тем, что коэффициенты переменной 90 155 x 90 156 «одинаковы», но только противоположны по знаку ( +1 и −1 ). Чтобы решить эту проблему с помощью метода исключения, вы добавляете соответствующие столбцы и x  – переменная исчезает – остается одношаговое уравнение в \large{y}. Я говорю об этом, потому что у каждой техники есть недостатки, и лучше выбрать самую эффективную. Всегда получайте разъяснения от своего учителя, можно ли использовать другой подход, если метод не указан для данной проблемы.

  В любом случае, поскольку мы учимся решать по правилу Крамера, давайте продолжим и поработаем с этим методом.

  Я построю три матрицы (коэффициент, \large{x} и \large{y}) и оценю их соответствующие определители.

  • Для матрица коэффициентов
  • Для X – матрица (записывается прописной буквой D с нижним индексом x)

  После получив значения трех необходимых определителей, я вычислю \large{x} и \large{y} следующим образом.

  Окончательный ответ в точечной форме: \large{\left( {x,y} \right) = \left( { — 1,2} \right)} .

  ---

  Пример 4 : Решение системы с двумя переменными по правилу Крамера

  Поскольку мы уже рассмотрели несколько примеров, я предлагаю вам решить эту задачу самостоятельно. Затем сравните свои ответы с решением ниже.

  Если вы сделаете это правильно с первого раза, это означает, что вы становитесь «профессионалом» в отношении правила Крамера. Если вы этого не сделали, попытайтесь выяснить, что пошло не так, и научитесь не совершать ту же ошибку в следующий раз. Так вы станете лучше в математике. Изучайте различные виды задач и, что более важно, выполняйте много самостоятельной практики.

  • Для матрица коэффициентов
  • Для X – матрица
  • Для Y – матрица
  0

  ---

  Пример 5 : Решите систему с две переменные по правилу Крамера

  В нашем последнем примере я включил ноль в столбец констант. Каждый раз, когда вы видите число ноль в столбце констант, я настоятельно рекомендую использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений. Почему? Потому что вычисление определителей для матриц \large{x} и \large{y} становится очень простым. Проверьте сами!

  • Для матрицы коэффициентов
  • Для X – матрица
  • Для Y – матрица

  8

  ---

  Вас также может заинтересовать:

  Правило Крамера 3×3

  определителей и правило Крамера | безграничная алгебра |

  Матрицы

  Определители квадратных матриц 2 на 2

  Определитель числа

  2×22\times 22×2

   квадратная матрица — математическая конструкция, используемая при решении задач, которая находится по специальной формуле.

  Цели обучения

  Потренируйтесь находить определитель матрицы

  2×22\times 22×2

  над матрицей умножение, полилинейное по строкам и столбцам и принимает значение 1 для единичной матрицы. Его аббревиатура «

  дет⁡\детдет

  «.

  Что такое определитель?

  Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, и определитель может использоваться для решения этих уравнений. Использование определителей в исчислении включает определитель Якоби в правиле замены переменных для интегралов функций многих переменных. Детерминанты также используются для определения характеристического многочлена матрицы, что важно для задач на собственные значения в линейной алгебре. В аналитической геометрии определители выражают знаковые

  ннн

  -мерные объемы

  ннн

  -мерные параллелепипеды. Иногда определители используются просто как компактная запись для выражений, которые в противном случае было бы громоздко записывать.

  Можно доказать, что любая матрица имеет единственную обратную, если ее определитель отличен от нуля. Также можно доказать различные другие теоремы, в том числе то, что определитель произведения матриц всегда равен произведению определителей; и определитель эрмитовой матрицы всегда действителен.

  Определитель матрицы

  [A][A][A]

  обозначается как

  det⁡(A)\det(A)det(A)

  ,

  det⁡ A\det\ Adet A

  или

  ∣A∣\left | А \право |∣А∣

  . В случае, когда элементы матрицы выписаны полностью, определитель обозначается путем окружения элементов матрицы вертикальными чертами вместо скобок или круглых скобок матрицы.

  Например, определитель матрицы

  [abde]\begin{bmatrix} a & b \\ d & e \end{bmatrix}[ad​be​]

  пишется

  ∣abde∣\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}∣

  ∣​ad​be​∣

  ∣​

  .

  Определитель матрицы 2 на 2

  В линейной алгебре определитель — это значение, связанное с квадратной матрицей. Его можно вычислить из элементов матрицы с помощью определенного арифметического выражения, показанного ниже:

  Для

  2×22 \times 22×2

  матрица,

  [abcd]\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}[ac​bd​]

  ,

  определитель

  ∣abcd∣\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}∣

  ∣​ac​bd​∣

  ∣​

   определяется как

  ad-bcad-bcad-bc

  .

  Пример 1. Найдите определитель следующей матрицы:

  [4−275]\displaystyle \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}[47​−25​]

  Определитель

  ∣4−275∣\begin{vmatrix} 4 & -2\\ 7 & 5 \end{vmatrix}∣

  ∣​47​−25​∣

  ∣​

  равен:

  (

  4⋅5)−(−2⋅7)=20−(−14)=34\displaystyle \начать{выравнивать} (4 \cdot 5) — (-2 \cdot 7)&= 20 — (-14)\\ &=34 \end{align}(4⋅5)−(−2⋅7)​=20−(−14)=34​​

  Кофакторы, миноры и дополнительные детерминанты

  Кофактор записи

  (i,j)(i,j)(i,j)

  матрицы

  AAA

  — знаковый минор этой матрицы.

  Цели обучения

  Объясните, как использовать минорные матрицы и матрицы кофакторов для вычисления определителей

  Ключевые выводы

  Ключевые точки

  Ключевые термины

  • кофактор : Знаковый минор записи матрицы.
  • младший : Определитель некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из матрицы

    AAA

    путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов.

  Кофактор и минор: определения

  Кофактор

  В линейной алгебре кофактор (иногда называемый дополнением) описывает конкретную конструкцию, которая полезна для вычисления как определителя, так и обратной квадратной матрицы. В частности, кофактор записи

  (i,j)(i,j)(i,j)

  матрицы, также известной как

  (i,j)(i,j)(i,j) Кофактор

  этой матрицы является минорным знаком этой записи.

  Кофактор 9{i+j}M_{ij}Cij​=(−1)i+jMij​

  Незначительный

  Чтобы узнать, что такое знаковый минор, нам нужно знать, что такое минор матрицы. В линейной алгебре минор матрицы

  AAA

  является определителем некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из

  AAA

  путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов. Миноры, полученные удалением всего одной строки и одного столбца из квадратных матриц (первые миноры), необходимы для вычисления матрицы кофакторов.

  Пусть

  AAA

   будет

  m×nm \times nm×n

   матрица, а

  kkk

   целое число, где 90≤0059 m0

  и

  k≤nk \leq nk≤n

  . A

  k×kk \times kk×k

   младшая из

  AAA

   является определителем матрицы

  k×kk \times kk×k

  , полученной из 9 0205 A

  5 90AA 90 удалив

  м-км-км-к

  строк и

  н-кн-кн-к

  столбцов.

  Вычисление определителя

  Определитель любой матрицы можно найти, используя ее знаковые миноры. Определитель — это сумма миноров со знаком любой строки или столбца матрицы, масштабированных по элементам в этой строке или столбце.

  Расчет миноров

  Следующие шаги используются, чтобы найти определитель данного минора матрицы A:

  1. Выберите запись

     aija_{ij}aij​

     из матрицы.
  2. Вычеркнуть записи, лежащие в соответствующей строке

     iii

     и столбце

     jjj

     .
  3. Переписать матрицу без отмеченных элементов.
  4. Получите определитель этой новой матрицы.

  MijM_{ij}Mij​

  называется второстепенным для записи

  aija_{ij}aij​

  .

  Примечание: если

  i+ji+ji+j

  четное число, то кофактор совпадает с его минором:

  Cij=MijC_{ij}=M_{ij}Cij​=Mij​

  . В противном случае он равен аддитивной величине, обратной своему минору: 

  Cij=-MijC_{ij}=-M_{ij}Cij​=-Mij​

  Вычисление определителя

  Мы найдем определитель следующей матрицы A, вычислив определители ее сомножителей для третьего, самого правого столбца, а затем умножив их на элементы этого столбца.

  [147305−1911]\displaystyle \begin{bmatrix} 1 и 4 и 7\\ 3 & 0 & 5\\ -1& 9&11\\ \end{bmatrix}⎣

  ⎡​13−1​409​7511​⎦

  ⎤​

  В качестве примера вычислим определитель минора

  M23M_{23}M23​

  5 , которая является определителем матрицы

  2×22 \times 22×2

  , образованной удалением

  222

  -й строки и

  333

  -го столбца. Черная точка представляет элемент, который мы удаляем.

  ∣14∙∙∙∙−19∙∣=∣14−19∣=(9−(−4))=13\displaystyle \начать{выравнивать} \begin{vmatrix} 1 & 4 & \bullet\\ \bullet& \bullet& \bullet\\ -1& 9&\bullet \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & 4\\ -1&9 \end{vmatrix}\\ &=(9-(-4))\\&=13 \end{align}∣

  ∣​1∙−1​4∙9​∙∙∙​∣

  ∣​​=∣

  ∣​1−1​49​∣

  ∣​=(9− (−4))=13​

  Поскольку

  i+j=5i+j=5 i+j=5

   является нечетным числом, кофактор является аддитивной величиной, обратной его минору: 

  −(13 )=−13-(13)=-13−(13)=−13

  Умножаем это число на

  a23=5a_{23}=5a23​=5

  , что дает

  −65-65−65

  .

  Тот же процесс выполняется для нахождения определителей чисел

  C13C_{13}C13​

   и

  C33C_{33}C33​

  , которые затем умножаются на

  0a 5 901_31 a3}

  и

  a33a_{33}a33​

  соответственно. Затем определитель находится путем суммирования всех этих значений:

  det⁡A=a_13det⁡C_13+a_23det⁡C_23+a_33det⁡C_33=7⋅27−5⋅13+11⋅−12=−8\begin {align} \ det{A} &= a\text{\textunderscore}{13}\det{C\text{\textunderscore}{13}}+a\text{\textunderscore}{23}\det{C\text{\textunderscore {23}}+a\text{\textunderscore}{33}\det{C\text{\textunderscore}{33}} \\ &= 7\cdot27-5\cdot13+11\cdot-12 \\& =-8 \end{align}detA​=a_13detC_13+a_23detC_23+a_33detC_33=7⋅27−5⋅13+11⋅−12=−8​​

  Правило Крамера

  Правило Крамера использует определители для решения уравнения

  Ax=bAx=bAx=b

  , когда

  AAA

  является квадратной матрицей.

  Цели обучения

  Используйте правило Крамера для решения одной переменной в системе линейных уравнений

  Ключевые выводы

  Ключевые моменты

  • Правило Крамера работает только с квадратными матрицами, которые имеют ненулевой определитель и единственное решение.
  • Рассмотрим линейную систему

    {ax+by=ecx+dy=f\left\{\begin{matrix} ax+by & ={\color{Red}e}\\ cx+dy & ={\color{Red }f} \end{matrix}\right.{ax+bycx+dy​=e=f​

    , что в матричном формате равно

    [abcd][xy]=[ef]\begin{bmatrix}a&b\\c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{Red}e}\\{\color{Red}f}\end{bmatrix}[ac ​bd​][xy​]=[ef​]

    . Предположим, что определитель отличен от нуля. Затем

    xxx

     и

    yyy

     и находятся по правилу Крамера:

    x = ∣ebfd∣∣abcd∣=ed-bfad-bcx=\frac{\begin{vmatrix}{\color{Red}e}&b\\{\color{Red}f}&d\end{vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} x = ∣

    ∣​ ac​bd​∣

    ∣​∣

    ∣​ef​bd​∣

    ∣​=ad-bced-bf​

      и

    y=∣aecf∣∣abcd∣=af-ecad-bcy= frac{\begin{vmatrix}a&{\color{Red}e}\\c&{\color{Red}f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}= \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} y = ∣

    ∣​ac​bd​∣

    ∣​∣

    ∣​ac​ef​∣

    ∣​=ad-bcaf-ec​

    .
  • Правило Крамера эффективно для решения небольших систем и может быть вычислено довольно быстро; однако по мере роста системы вычисление новых определителей может быть утомительным.

  Ключевые термины

  • определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, дистрибутивная при умножении матриц, полилинейная в строках и столбцах и принимающая значение

    111

    для единичной матрицы. Его аббревиатура «

    det⁡\detdet

    ».
  • квадратная матрица : Матрица, имеющая такое же количество строк, как и столбцов.

  «Правило Крамера» — это еще один способ решения системы линейных уравнений с матрицами. Он использует формулу для расчета решения системы с использованием определения определителей.

  Правило Крамера:  Определение

  Правило Крамера — это явная формула для решения системы линейных уравнений, в которой столько уравнений, сколько неизвестных, т. е. квадратная матрица, действительная, когда система имеет единственное решение. Он выражает решение через определители (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором правых частей уравнений.

  Правило Крамера:  Формула

  Правила для

  2×22\times 22×2

   Матрица

  Рассмотрим линейную систему:

  [abcd][xy]=[ef]\displaystyle \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{Red}e}\\{\color{Red} f}\end{bmatrix}[ac​bd​][xy​]=[ef​]

  Предположим, что определитель не равен нулю. Тогда

  xxx

  и

  yyy

  можно найти по правилу Крамера:

  x=∣ebfd∣∣abcd∣=ed-bfad-bc\displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix }}=\frac{{\color{Red}e}db{\color{Red}f}}{ad-bc}x=∣

  ∣ac​bd​∣

  ∣​∣

  ∣​ ef​bd​∣

  ∣​=ad-bced-bf​

  And:

  y=∣aecf∣∣abcd∣=af-ecad-bc\displaystyle y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix }} = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} y = ∣

  ∣​ac​bd​∣

  ∣​∣

  ∣​ac​ef​∣

  ∣​=ad-bcaf-ec​

  Правила для a

  3×33 \times 0 Матрица

  Дано:

  [abcdefghi][xyz]=[jkl]\displaystyle \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{Red}j}\\ {\color{Red}k}\\{\color{Red}l}\end{bmatrix}⎣

  ⎡​adg​beh​cfi​⎦

  ⎤​⎣

  ⎡​xyz​⎦

  ⎤ ​=⎣

  ⎡​jkl​⎦

  ⎤​

  Тогда значения

  xxx

  ,

  yyy

  и

  9 zzz

можно найти следующим образом: 05

х=∣jbckeflhi∣∣abcdefghi∣y =∣ajcdkfgli∣∣abcdefghi∣z=∣abjdekghl∣∣abcdefghi∣\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}{\color{Red}j}&b&c\\{\color{Red}k}&e&f\\{\color{Red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin {vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}} \четверка y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} j} & c \\ d & {\ color {Red} k} & f \\ g & {\ color {Red} l} & i \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \четверка z = \ frac {\ begin {vmatrix} a & b & {\ color {Red} j} \\ d & e & {\ color {Red} k} \\ g & h & {\ color {Red} l} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}x=∣

∣​adg​beh​cfi​∣

∣​∣

∣​jkl​beh​cfi​∣

∣​​y=∣

509 0adg​beh​cfi ∣​ ∣

∣​adg​jkl​cfi​∣

∣​​z=∣

∣​adg​beh​cfi​∣

∣​∣

∣​jadg​0 0259 ∣

Использование правила Крамера

Пример 1.

Решите систему с помощью правила Крамера:

{3x+2y=10−6x+4y=4\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y & = 10\\ -6x+4y & = 4 \end{matrix}\right.{3x+2y−6x+4y​=10=4​

В матричном формате:

[32−64][xy]=[104]\displaystyle \begin{bmatrix}3&2\\-6&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10\\4\end{bmatrix}[3−6​24 ​][xy​]=[104​]

x=∣ebfd∣∣abcd∣=ed-bfad-bc\displaystyle \начать{выравнивать} x&=\frac{\begin{vmatrix}{\color{Red}e}&b\\{\color{Red}f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix }}\\&=\frac{{\color{Red}e}db{\color{Red}f}}{ad-bc}\end{align}x​=∣

∣​ac​bd​∣

∣​∣

∣​ef​bd​∣

∣​=ad-bced-bf​​

x=∣10244∣∣32−64∣=10⋅4−2⋅4(3⋅ 4)−[2⋅(−6)]=3224=43\displaystyle \начать{выравнивать} x&=\frac{\begin{vmatrix}10&2\\4&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2\\-6&4\end{vmatrix}}\\&=\frac{10\cdot 4-2 \cdot 4}{(3 \cdot 4) -[2 \cdot (-6)]}\\&=\frac{32}{24}=\frac{4}{3}\end{align}x​ =∣

∣​3−6​24​∣

∣​∣

∣​104​24​∣

∣​​=(3⋅4)−[2⋅(−6)]10⋅4 −2⋅4​=2432​=34​​

y=∣aecf∣∣abcd∣=af-ecad-bc\displaystyle \начать{выравнивать} y&=\frac{\begin{vmatrix}a&{\color{Red}e}\\c&{\color{Red}f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix }}\\ & = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} \end{выравнивание}y​=∣

∣​ac​bd​∣

∣​∣

∣​ac​ef​∣

∣​=ad-bcaf-ec​​

y=∣310−63∣6∣ ∣=(3⋅4)−[10⋅(−6)](3⋅4)−[2⋅(−6)]=7224=3\displaystyle \начать{выравнивать} y&=\frac{\begin{vmatrix}3&10\\-6&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2\\-6&4\end{vmatrix}}\\ &=\frac{(3 \cdot 4)-[10 \cdot(-6)]}{(3 \cdot 4)-[2 \cdot (-6)]}\\ &=\фракция{72}{24}=3 \end{align}y​=∣

∣​3−6​24​∣

∣​∣

∣​3−6​104​∣

∣​=(3⋅4)−[2 ⋅(−6)](3⋅4)−[10⋅(−6)]​=2472​=3​

Решение системы:

(43,3)(\frac{4}{3}, 3)(34​,3)

.

Лицензии и атрибуции

Контент под лицензией CC, совместно используемый ранее

• Курирование и доработка. Автор : Boundless.com. Лицензия : Общественное достояние: Неизвестно Авторские права

Лицензионный контент CC, конкретное указание авторства

• Определяющее. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: определитель Attribution-ShareAlike
• . Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Незначительное (линейная алгебра). Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Кофактор (линейная алгебра). Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• несовершеннолетний. Предоставлено : Википедия.

Элементарная математика

Сканави М.И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. — 592с. Книга представляет собой повторительный курс элементарной математики и рассчитана на тех, кто хочет пополнить, укрепить и систематизировать свои знания. Как и в первом издании, содержание ориентировано на программы вступительных экзаменов в технические вузы и, в особенности, на программы подготовительных отделений при высших учебных заведениях, для учащихся которых, как мы надеемся, книга окажется полезной. (Книга включает в себя Ч1 — Арифметика, алгебра и элементарные функции и Ч2 — Геометрия. Каждый раздел включает в себя теоретическую часть и большое количество задач с решениями.) Оглавление ВВЕДЕНИЕ Часть первая. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 2. Простые и составные числа. Признаки делимости. 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. 4. Целые числа. Рациональные числа. 5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями. 6. Иррациональные числа. Действительные числа. 7. Действия с приближенными числами. 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости. § 2. Степени и корни 9. Степени с натуральными показателями. 10. Степени с целыми показателями. 11. Корни. 12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями. 13. Алгоритм извлечения квадратного корня. § 3. Комплексные числа 14. Основные понятия и определения. 15. Рациональные действия с комплексными числами. 16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. 17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра. 18. Извлечение корня из комплексного числа. Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены. 20. Формулы сокращенного умножения. 21. Бином Ньютона. 22. Разложение многочлена на множители. 23. Дробные алгебраические выражения. § 2. Иррациональные алгебраические выражения 24. Радикалы из алгебраических выражений. 25. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Глава III. ЛОГАРИФМЫ 26. Определение и свойства логарифмов. 27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода. § 2. Десятичные логарифмы 28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям. Глава IV. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 30. Величина. Числовые множества. 31. Определение функции. 32. График функции. Способы задания функций. 33. Элементарное исследование поведения функции. 34. Сложная функция. 35. Обратная функция. 36. n. 41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени. 42. Показательная функция. 43. Логарифмическая функция. § 3. Преобразование графиков 44. Параллельный сдвиг графика. 45. График квадратного трех члена. 46. График дробно-линейной функции. 47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика. 48. Построение графиков функций. 49. Сложение графиков. § 4. Некоторые сведения о рациональных функциях 50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов. 51. Схема Горнера. Теорема Безу. 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители. Глава V. УРАВНЕНИЯ 53. Уравнение. Корни уравнения. 54. Равносильные уравнения. 55. Системы уравнений. 56. Графическое решение уравнений. §. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной 57. Число и кратность корней. 58. Уравнения первой степени (линейные уравнения). 59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения). 60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители. 61. Исследование квадратного уравнения. 62. Уравнения высших степеней. Целые корни. 63. Двучленные уравнения. 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным. 65. Возвратные уравнения. § 3. Системы алгебраических уравнений 66. Линейные системы. 67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными. 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения. 69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней. § 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения 70. Иррациональные уравнения. 71. Показательные уравнения. 72. Логарифмические уравнения. 73. Разные уравнения. Системы уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА 74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами. 75. Алгебраические неравенства. § 2. Решение неравенств 76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства. 77. Графическое решение неравенств. 79. Квадратные неравенства. 80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х. 81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства. 82. Неравенства с двумя неизвестными. Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 83. Числовая последовательность. 84. Предел числовой последовательности. 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода. § 2. Арифметическая прогрессия 86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена. 87. Свойства арифметической прогрессии. 88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии. § 3. Геометрическая прогрессия 89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена. 90. Свойства геометрической прогрессии. 91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии. 92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ) 93. Вектор, проекция вектора. 94. Положительные углы и дуги, меньшие 360°. 95. Углы и дуги, большие 360°. 96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов. § 2. Тригонометрические функции произвольного угла 97. Определение основных тригонометрических функций. 98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi. § 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла 99. Основные тригонометрические тождества. 100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них. 101. Значения тригонометрических функций некоторых углов. § 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 102. Четность и нечетность. 103. Понятие периодической функции. 104. Периодичность тригонометрических функций. § 5. Формулы приведения 105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов. 106. Формулы приведения. Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ § 1. Тригонометрические функции числового аргумента 108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций. 109. Некоторые неравенства и их следствия. § 2. Графики тригонометрических функций 110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций. 111. Основные графики. 112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций. 113. Дальнейшие примеры построения графиков функций. Глава X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 114. Расстояние между двумя точками на плоскости. 115. Косинус суммы и разности двух аргументов. 116. Синус суммы и разности двух аргументов. 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов. 118. О формулах сложения для нескольких аргументов. § 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a 119. Тригонометрические функции двойного аргумента. 120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n. 121. Тригонометрические функции половинного аргумента. 122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg(a/2). § 3. Преобразование в сумму выражений вида sina•cosb, cosa•cosb и sinа•sinb § 4. Преобразование в произведение сумм вида § 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента 127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa. 128. Преобразование в произведение выражений a•sina+b и a•cosa+b 129. Преобразование в произведение выражения a•tga+b. Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 130. Функция у = arcsin x (арксинус). 131. Функция y = arccos x (арккосинус). 132. Функция y = arctg x (арктангенс). 133. Функция y = arcctg x (арккотангенс). 134. Пример. § 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями 135. Тригонометрические операции. 136. Операции сложения (вычитания). § 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями 137. Функция у = arcsin (sin x). 138. Функция y = arctg (tg x). Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 139. Уравнение sin х = а. 140. Уравнение cos х = a. 141. Уравнение tg x = a. 142. Уравнение ctg x = a. 143. Некоторые дополнения. § 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента 145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента. 146. Способ разложения на множители. 147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t. § 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем 148. Введение вспомогательного аргумента. 149. Преобразование произведения в сумму или разность. 150. Переход к функциям удвоенного аргумента. 151. Решение уравнения типа… 152. Применение подстановок sinx ± соsx = y. § 4. Решение тригонометрических неравенств 154. Простейшие тригонометрические неравенства. 155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим. Часть вторая. ГЕОМЕТРИЯ 156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок. 157. Плоскость. Фигуры и тела. 160. Равенство фигур. Движение. 161. Равенство тел. § 2. Измерение геометрических величин 162. Сложение отрезков. Длина отрезка. 163. Общая мера двух отрезков. 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных. 165. Измерение углов. 166. Радианная мера угла. 167. Измерение площадей. 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 169. Перпендикуляр и наклонные. 170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине. 171. Параллельные прямые. 172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей. 173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Геометрические места точек. Окружность 174. Геометрическое место точек. 175. Свойство биссектрисы угла. 176. Окружность. 177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая. 178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент. 179. Взаимное расположение двух окружностей. § 3. Основные задачи на построение 181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров. 182. Построение углов. 183. Другие задачи на построение. Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 184. Стороны и углы треугольника. 185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность. 186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность. 187. Медианы и выcоты треугольника. 188. Равенство треугольников. 189. Построение треугольников. 190. Равнобедренные треугольники. 191. Прямоугольные треугольники. § 2. Параллелограммы 192. Четырехугольники. 193. Параллелограмм и его свойства. 194. Прямоугольник. § 3. Трапеция 196. Трапеция. 197. Средняя линия треугольника. 198. Средняя линия трапеции. 199. Деление отрезка на равные части. § 4. Площади треугольников и четырехугольников 200. Площадь параллелограмма. 201. Площадь треугольника. 202. Площадь трапеции. Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 203. Пропорциональные отрезки. 204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника. § 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия) 205. Определение гомотетичных фигур. 206. Свойства преобразования подобия. § 3. Общее подобное соответствие фигур 207. Подобные фигуры. 208. Периметры и площади подобных треугольников. 209. Применение подобия к решению задач на построение. Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ 210. Углы с вершиной на окружности. 211. Углы с вершиной внутри и вне круга. 212. Угол, под которым виден данный отрезок. 213. Четырехугольники, вписанные в окружность. 214. Пропорциональные отрезки в круге. 215. Задачи на построение. § 2. Метрические соотношения в треугольнике 216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. 218. Теорема синусов. Формула Герона. 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов. 218. Теорема синусов. Формула Герона. 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей. § 3. Решение треугольников 220. Таблицы функций. 221. Решение треугольников. Сводка основных формул. 222. Решение прямоугольных треугольников. 223. Решение косоугольных треугольников. Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА 224. Выпуклые многоугольники. 225. Правильные многоугольники. 226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой. 227. Периметр и площадь правильного n-угольника. 228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника. § 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей 229. Длина окружности. 230. Площадь круга и его частей. Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. 232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости. 233. Взаимное расположение двух плоскостей. 234. Свойства параллельных прямых и плоскостей. 235. Построения в стереометрии. § 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей 236. Перпендикуляр к плоскости. 237. Перпендикуляр и наклонные. 238. Угол между прямой и плоскостью. 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей. 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. § 3. Двугранные и многогранные углы 241. Двугранный угол. 242. Взаимно перпендикулярные плоскости. 243. Трехгранные углы. 244. Многогранные углы. § 4. Многогранники 245. Многогранники. 246. Правильные многогранники. Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА 247. Цилиндры и призмы. 248. Параллелепипеды. 249. Объемы призм и цилиндров. 250. Площадь боковой поверхности призмы. 251. Площадь поверхности цилиндра. § 2. Пирамида. Конус 252. Свойства пирамиды и конуса. 253. Объем пирамиды и конуса. 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса. 255. Усеченный конус и усеченная пирамида. § 3. Шаровая поверхность. Шар 256. Шар и шаровая поверхность. 257. Объем шара и его частей. 258. Площадь поверхности шара и ее частей. 259. Понятие телесного угла. Ответы к упражнениям Приложения

Подобные треугольники — презентация онлайн

1. ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ

2. Пропорциональные отрезки

3. ПРИМЕР

4. Пропорциональность отрезков

5. Подобные фигуры

6. Подобные фигуры

7. Подобные треугольники

8.

9. Коэффициент подобия

10. Дополнительные свойства

11. Отношение периметров

12. Отношение периметров

13. Отношение площадей

14. Отношение площадей

15. Свойство биссектрисы треугольника

16. Свойство биссектрисы треугольника

17. Свойство биссектрисы треугольника

18. Свойство биссектрисы треугольника

19. Признаки подобия треугольников

20. Первый признак подобия треугольников.

21. Первый признак подобия треугольников.

22. Первый признак подобия треугольников.

23. Первый признак подобия треугольников.

24. Второй признак подобия треугольников.

25. Второй признак подобия треугольников.

26. Второй признак подобия треугольников.

27. Третий признак подобия треугольников.

28. Третий признак подобия треугольников.

29. Третий признак подобия треугольников.

30. Разминка

31. Разминка

32. Разминка

33. Разминка

34. Разминка

35. Решение задач

36. 1 задача

37.

38. 7 задача

39. 10 задача

40. 13 задача

41. 2 задача

42. 5 задача

43. 8 задача

44. 11 задача

45. 14 задача

46. 3 задача

47. 6 задача

48.

49. 12 задача

50. 15 задача

51. ЗАДАЧИ

52. Решение

53. Решение

54. ЗАДАЧИ

55. Решение

56. Решение

57. ЗАДАЧИ

58. Решение

59. ЗАДАЧИ

60. Решение

62. ЗАДАЧИ

63. Решение

64. Решение

Отношение периметров двух подобных треугольников равно 1:3.

Геометрия

Олдмани Н.

Коэффициент масштабирования треугольника ABC в треугольник DEF равен 3/5

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Джон С. ответил 13.04.20

Репетитор

5 (6)

Терпеливый и знающий репетитор по математике и английскому языку

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Если два треугольника подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения их периметров, поэтому, если отношение их периметров равно 1:3, отношение их площадей равно 1:9. .

Нам известно, что площадь большего треугольника равна 27 футов, и теперь мы можем использовать отношение их площадей, чтобы найти площадь меньшего треугольника.

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой задаче или любой другой геометрической задаче, пожалуйста, свяжитесь со мной.

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Артур Д. ответил 13.04.20

Репетитор

4.9 (164)

Сорокалетний педагог: классная комната, летняя школа, заместитель, репетитор

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Вот два способа решения проблемы.

В подобных треугольниках отношение их площадей равно квадрату отношения их сторон.

Отношение их периметров равно 1:3, поэтому отношение их сторон и их высот также будет равно 1:3. 92)

Следовательно, 1/9=A/27, где A=площадь меньшего треугольника =3 квадратных фута — это площадь меньшего треугольника

Предположим, что вы этого не знали.

Пусть один треугольник имеет стороны a, b и c.

Пусть другой треугольник будет 3a, 3b и 3c.

Пусть h=высота меньшего треугольника.

3h=высота большего треугольника

пусть b и 3b будут основаниями треугольников

A=(1/2)(b)(h) — площадь меньшего треугольника.

A=(1/2)(3b)(3h) — площадь большего треугольника.

27=(1/2)(9bh)

27=4,5bh

bh=27/4,5

bh=6

подставим это в первую формулу площади меньшего треугольника

A=(1/ 2)(6)

A=3 квадратных фута – площадь меньшего треугольника снова

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Площади двух подобных треугольников равны 50 дм2 и 32 дм2. Сумма их периметров равна 117 дм. Чему равен периметр каждого из этих треугольников?

Геометрия

Джессика К.

Подписаться І 1

Еще

Отчет

4 ответа от опытных наставников

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Марк М. ответил 17.03.19

Репетитор

5,0 (265)

Учитель математики — NCLB Высококвалифицированный

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Площади двух одинаковых фигур относятся как квадрат масштабного коэффициента.

√50 / √32

5√2 / 4√2

5 / 4

Периметры относятся как 5 : 4

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Марк М. ответил 16.03.19

Репетитор

5,0 (265)

Учитель математики — высококвалифицированный специалист NCLB

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Площади двух подобных фигур относятся как квадрат масштабного коэффициента. √

√50 / √32 = 5√2 / 4√2 = 5 / 4

Отношение периметров равно 5 : 4

5x + 4x = 117

Можете ли вы найти x и ответить?

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Виктория В. ответил 16.03.19

Репетитор

5,0 (402)

Учитель математики: 20 лет преподавания/репетиторства CALC 1, PRECALC, ALG 2, TRIG

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Если два объекта подобны, то отношения работают следующим образом:

ЛИНЕЙНОЕ отношение длина2 : длина3 или высота1 : высота2 или периметр1 : периметр2

Если вы знаете линейное отношение, отношение ПЛОЩАДЕЙ является линейным отношением КВАДРАТ.

Отношение ОБЪЕМОВ представляет собой линейное отношение КУБ.

Наши ОБЛАСТИ находятся в соотношении 50:32 или 50/32, что сокращается до 25/16.

Это отношение (поскольку это отношение ПЛОЩАДЕЙ) является КВАДРАТОМ линейного отношения.

Итак, если я хочу ЛИНЕЙНОЕ отношение, что я и делаю, потому что это будет отношение ПЕРИМЕТРОВ, мне нужно

взять квадратный корень из 25/16.

Таким образом, ЛИНЕЙНОЕ соотношение равно 5/4.

Итак, если периметр меньшего треугольника равен 4, периметр большего треугольника будет равен 5. Но только 4 + 5 = 9, а не 117, и задача утверждает, что сумма их периметров равна 117 дм.

Сохраняя то же соотношение, если меньший периметр равен 8, больший будет 10. Сумма равна 18, но нам нужно 117.

Продолжая, если меньший периметр равен 12, больший треугольник будет 15. Сумма равна 27 , но нам нужно 117.

Таким образом, мы могли бы делать это, пока не достигнем суммы 117, но с алгеброй было бы проще.

Большой периметр = (5/4) Малый периметр.

Большой периметр + Малый периметр необходимо = 117

Замените «Большой периметр» его эквивалентом «(5/4) Малый периметр»

(5/4) Малый периметр + (1) Малый периметр = 117

(5/4) Малый периметр + (4/4) Малый периметр = 117

(9/4) Малый периметр = 117

Умножить на величину, обратную (9/4), так что левая сторона становится (1) малым периметром, а правая сторона становится (4/9) 117.

(4/9)(9/4) малый периметр = (4/ 9) 117

(1) Малый периметр = 52 дм

Большой периметр = 117 — 52 = 65 дм

Голосовать за 0 Голосовать против

Подробнее

Отчет

Патрик Б. ответил 16.03.19

Репетитор

4.7 (31)

Репетитор/учитель математики и информатики

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Площадь большего треугольника 50 дм;

(1/2)(ч) = 50 92

4/5 = k

Таким образом, константа пропорциональности равна 4/5

Сумма сторон большего треугольника равна (B+x+y)

Сумма сторон меньшего треугольника равна (B +x+y)*4/5

Итого (9/5)(B+x+y) = 117

B+x+y = 117/9*5 = 13*5 = 65

периметр большего треугольника равен 65.

Чему равен объем

Статьи › Находится › Как находится объем

Формула объема.

1. Чему равен объем в физике
2. Как найти объем формула
3. Чему равен объем формула химия
4. Как находить объем в
5. Как найти V в физике
6. В чем измеряется объем V
7. Как вычислить V
8. Как рассчитать объем в м3
9. Чем измеряет объем
10. Как вычислить V в химии
11. Чему равна VM в химии
12. Как измеряется объем в химии
13. Как определить объем 7 класс
14. Как найти объем воды
15. Как найти объем по массе
16. Как найти V в физике 9 класс
17. Чему равен объем в физике 7 класс
18. Чему равна масса через объем
19. Как можно найти объем фигуры
20. Что такое W в химии
21. Как перевести объем в массу химия
22. В чем измеряется объем воды
23. Как записывается объем в физике

Чему равен объем в физике

Объем = масса / плотность. 3.

Как найти объем формула

Объем рассчитывается по формуле V=πr2h. То есть умножаем число π (3,14159) на радиус в квадрате и на высоту h цилиндра. Пример: есть вертикальный цилиндрический резервуар диаметром 3 метра и высотой 5 метров. Рассчитываем объем: Радиус — 1,5 метра, в квадрате будет 2,25.

Чему равен объем формула химия

Теория: Молярный объём V m — это отношение объёма данной порции вещества к его количеству. V m (X) = V (X) n (X). Численно молярный объём равен объёму \(1\) моль вещества.

Как находить объем в

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.V = a × b × h.

Как найти V в физике

Формула скорости равномерного прямолинейного движения:

V = S / t, где S — путь тела, t — время, за которое этот путь пройден.

В чем измеряется объем V

Единица объёма в СИ — кубический метр; от неё образуются производные единицы — кубический сантиметр, кубический дециметр (литр) и т. д. В разных странах для жидких и сыпучих веществ используются также различные внесистемные единицы объёма — галлон, баррель и др.

Как вычислить V

Формулы:

• V=a*b*h, где:
• a — длина основания (м),
• b — ширина основания (м),
• h — высота (м),
• V — объем (м3).

Как рассчитать объем в м3

Укажите = Длина х Ширина х Высота = М3

Это формула, используемая для измерения объема вашего груза в кубических метрах (м³).

Чем измеряет объем

Объем измеряют мензуркой. В нее наливают воду, и по пометкам определяют объем налитой в мензурку воды. Рулеткой измеряют размер чего либо(в см).

Как вычислить V в химии

V (X) = n (X) ⋅ V m — объём газа равен произведению его количества на молярный объём.

Чему равна VM в химии

Моля́рный объём Vm — отношение объёма вещества к его количеству, численно равен объёму одного моля вещества. Термин «молярный объём» может быть применён к простым веществам, химическим соединениям и смесям.

Как измеряется объем в химии

Теория:

Как определить объем 7 класс

Если длина равна l 1, ширина l 2, высота l 3, тогда объём будет V = l 1 ⋅ l 2 ⋅ l 3.

Как найти объем воды

V — обьем воды, S — скорость наполнения, t — время:

• Чтобы найти обьем воды V, перемножим скорость наполнения (л/ч) — d на время t. V = d * t.
• Для нахождения времени t, необходимо разделить обьем воды на скорость наполнения p.
• Чтобы вычислить скорость наполнения S, разделим обьем V на скорость наполнения t.

Как найти объем по массе

Если известна масса материала, то объем можно узнать по формуле: V = m/ p.

Как найти V в физике 9 класс

Скорость прямолинейного равноускоренного движения: v x = v 0 x + a x t, где v 0 x — проекция начальной скорости, a x — проекция ускорения, t — время. Если в начальный момент тело покоилось, то v 0 → = 0. Для этого случая формула принимает следующий вид: v x = a x t. Обрати внимание!

Чему равен объем в физике 7 класс

Чтобы вычислить объем тела, нужно массу тела разделить на его плотность: v = m: p.

Чему равна масса через объем

Плотность равна отношению массы тела к его объёму. В физике плотность обозначают греческой буквой \(ρ\) (ро). плотность = масса объём ρ = m V, где \(m\) — масса, \(V\) — объём.

Как можно найти объем фигуры

Чтобы вычислить объем, применяйте следующее правило — длину, ширину и высоту нужно перемножить между собой.

Что такое W в химии

W — символ химического элемента вольфрама. W — обозначение ватта (единицы измерения мощности).

Как перевести объем в массу химия

Чтобы определить массу воды, нужно ее объем умножить на плотность: m = V * ρ.

В чем измеряется объем воды

Литр (фр. litre, от лат. litra — мера ёмкости; русское обозначение — л; международное — L или l) — внесистемная метрическая единица измерения объёма и вместимости, равная 1 кубическому дециметру (дм³).

Как записывается объем в физике

Масса тела обозначается маленькой буквой m, и измеряется в килограммах. Объём тела обозначается большой буквой V, измеряется в кубических метрах.

Металлы и неметаллы, количество вещества и молярная масса

1. Металлы
2. Неметаллы
3. Количество вещества. Моль. Молярная масса.
4. Молярный объем газов

Металлы

Вспомним таблицу Менделеева. Металлические свойства элементов, то есть способность отдавать электроны, в периоде увеличивается справа налево, а в группе — сверху вниз. На внешнем энергетическом уровне у металлов от 1-го до 3-х электронов. Металлы образуют кристаллическую решётку, в которой присутствует металлическая связь.

Теперь поговорим об их физических свойствах. Все мы видели в природе металлы и сами сможем перечислить свойства металлов:

• Металлы в основном находятся в твердом агрегатном состоянии, за исключением ртути, которая при обычных условиях находится в жидком агрегатном состоянии.
• Металлы обладают металлическим блеском.
• Металлы издают звонкие звуки при соударении.
• Металлы имеют высокую температуру плавления и различную плотность.
• Металлам присуще явление аллотропии. Аллотропия — это способность элемента образовывать несколько разных веществ. Например, возьмём олово, которое может быть белым и серым. Белое олово имеет вид металла, оно твердое. А серое олово имеет вид порошка.
• Металлы в основном серого цвета, за исключением меди и золота.
• Металлы очень хорошие проводники тепла и электричества.

Неметаллы

Неметаллы являются более электроотрицательными, на внешнем энергетическом уровне у них находится от 4-х до 8-ми электронов. В таблице Менделеева они занимают правый верхний угол. Их несколько меньше, чем металлов.

Взаимодействуя друг с другом, они образуют ковалентные связи.

В отличие от металлов, неметаллы в свободном состоянии находятся во всех трех агрегатных состояниях. Например, кислород, азот и водород — это газы. Йод и фтор — это твердые вещества. Бром — это жидкое вещество.

Для неметаллов также характерно явление аллотропии. Возьмем атом кислорода. При соединении двух атомов образуется обычный кислород. При соединении же трех атомов кислорода может образовываться озон.

В свободном состоянии неметалла встречаются редко (кислород, азот, сера). В основном неметаллы находятся в соединениях с другими веществами, смесях или минералах, растворенных в воде.

Неметаллы различаются по распространённости. Наиболее распространенными неметаллами являются кислород, водород и кремний.

Количество вещества. Моль. Молярная масса.

Моль — это количество вещества, содержащее столько атомов или молекул вещества, сколько атомов содержится в 12 граммах углерода.

Ученые подсчитали, что в 12 г углерода содержится 6*10²³ атомов. Это значит, что один моль любого вещества содержит столько же атомов или молекул, в зависимости от того, какое соединение мы рассматриваем.

Количество вещества обозначается буквой Ню (ν).

Число 6*10²³ называется числом Авогадро.

Молярная масса (М) — это масса одного моля вещества. Единицей измерения этой величины является грамм на моль.

Формула для вычисления молярной массы:

М = m / ν

Давайте попробуем вычислить молярную массу воды:

М_в (Н₂О) = m_в / ν_в = 36г / 2 моль = 18 г/моль

Мы можем заметить, что молярная масса воды численно равна молекулярной массе воды. Отсюда можно сделать вывод, что количественные значения молярной массы, массы атомов или молекул и относительной атомной массы являются одинаковыми числами.

Например, молярная масса, масса молекулы и относительная молекулярная масса угарного газа будет равна 44. Но обозначение будет разным.

Перейдем к следующему термину.

Число молекул обозначается заглавной буквой N.

Число молекул говорит о том, сколько частиц, атомов или молекул содержится в нашем соединении. Как найти число молекул?

Мы должны количество вещества умножить на постоянную Авогадро. Постоянная Авогадро говорит о том, сколько частей в одном моле, и его мы можем умножить на общее количество молей вещества, чтобы получить количество частиц или молекул.

N = N_A * ν

Эти формулы непосредственно необходимы при решении задач по химии на нахождении молекулярной массы веществ.

Молярный объем газов

Итальянский учёный Авогадро сформулировал закон (закон Авогадро), который говорит о том, что в равных объемах при одинаковых условиях разные газы будут иметь одинаковое количество частиц.

Если V₁ = V₂, m₁ = m₂ и T₁ = T₂, то N₁ =N₂

Из этого вытекает следствие, что если объемы равны, условия одинаковы и количество частиц в этих объемах одинаково, то и массы газов будут равны.

Если мы возьмем один моль газа при нормальных условиях, то он будет содержать 6*10²³, а объем его будет равен 22,4 литра.

Что такое нормальные условия? Нормальные условия — это такое состояние среды при котором выполняются следующие условия:

• температура равна 0 градусов Цельсия
• давление равно одной атмосфере (760 мм ртутного столба)

Молярный объем газов будет численно равен объему газа, поделенному на число моль этого газа.

V_M = V / ν

Соответственно, из этой формулы будут вытекать и другие формулы:

V = V_M * m / M

Так как один моль газа при нормальных условиях будет занимать 22,4 л, то зная массу 1л, мы можем найти молярную массу газа.

Видео с вопросами: определение формулы, используемой для расчета объема вещества с учетом массы и плотности

Стенограмма видео

Плотность вещества можно рассчитать с помощью следующего уравнения: плотность равна массе, деленной на объем. По какой формуле вычисляют объем вещества, зная массу и плотность?

В этом уравнении для плотности плотность выделена в левой части, что делает плотность предметом этого уравнения. Субъектом в математической формуле является обособленный термин. Это переменная, для которой решается. Не имеет значения, находится ли субъект в левой или правой части уравнения. Субъект уравнения можно изменить, переставив формулу. Это то, что нам нужно сделать в этом вопросе. Нам нужно изменить формулу плотности так, чтобы предметом уравнения был объем. Таким образом, мы можем найти объем, если нам известны масса и плотность.

Прежде чем изменить нашу формулу, мы должны понять два правила. Во-первых, все, что делается с одной частью уравнения, должно быть сделано и с другой стороной. То есть, если мы что-то добавляем, нам нужно добавить то же самое в другую сторону. Если мы умножаем на что-то, нам нужно умножать и на другую сторону. Например, если мы хотим найти 𝑥, мы должны разделить левую часть на 10, поэтому 10 сокращаются, и мы можем изолировать 𝑥 в левой части уравнения. Но нам также нужно разделить правую часть уравнения на 10. Таким образом, мы можем найти 𝑥 и обнаружить, что 𝑥 равно пяти.

Второе правило состоит в том, что мы можем отменить или переместить величину или переменную, если выполним операцию, противоположную обеим частям уравнения. Сложение и вычитание отменяют друг друга, как и умножение и деление. Например, если у нас есть уравнение 𝑎 плюс 𝑏 равно 𝑐, если мы хотим, чтобы 𝑎 было предметом уравнения, нам нужно будет переместить 𝑏 на другую сторону уравнения. Поскольку 𝑏 добавляется к 𝑎, мы можем переместить 𝑏 в правую часть уравнения, если вычтем 𝑏 из обеих частей. Это отменит 𝑏 в левой части уравнения. У нас остается 𝑎 равно 𝑐 минус 𝑏, где 𝑎 — предмет уравнения.

Теперь давайте применим эти правила для определения объема. Самый простой способ выделить объем — разделить обе части уравнения на массу. Это приведет к сокращению массы, изолируя объем в правой части уравнения. Но предмет уравнения должен быть в числителе, а не в знаменателе, как здесь. Поэтому нам нужно использовать другую стратегию.

Поскольку масса делится на объем, мы можем умножить обе части уравнения на объем, чтобы переместить объем в другую сторону. Это отменит объем в правой части уравнения. Теперь нам нужно изолировать объем с левой стороны. Мы можем сделать это, если разделим обе части уравнения на плотность. Это отменит плотность в левой части уравнения, оставив объем изолированным в левой части.

Теперь предметом уравнения является объем, так что мы решили задачу. Формула для расчета объема вещества при заданной массе и плотности: объем равен массе, деленной на плотность.

Идентификация неизвестного тома — химия для старших классов

Все ресурсы по химии для старших классов

6 диагностических тестов 143 практических теста Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

Справка по химии в средней школе » Кислотно-основная химия » Титрования » Идентификация неизвестного объема

Какой объем 0,5М серной кислоты необходим для нейтрализации 50 мл 0,5М гидроксида калия?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Серная кислота является двухосновной кислотой и дает два иона водорода на каждую полностью диссоциированную молекулу серной кислоты. Гидроксид калия имеет только один ион гидроксида на молекулу.

Оба этих соединения являются сильными, то есть они полностью диссоциируют в растворе (гидроксид калия является сильным основанием, а серная кислота является сильной кислотой).

Сначала нам нужно найти количество молей гидроксида калия из заданного объема и молярности.

Используя стехиометрию, найдите объем серной кислоты, необходимый для реакции 0,1 моль гидроксида калия.

Наш конечный объем серной кислоты составляет 0,025 л или 25 мл.

Сообщить об ошибке

У химика есть бутылка с 2М водным раствором соляной кислоты. Ему нужно создать 50 мл раствора соляной кислоты с концентрацией 0,5 М. Какой объем 2М соляной кислоты он должен разбавить, чтобы получить желаемую концентрацию?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы разбавить концентрированную кислоту, нам нужно найти количество концентрированной кислоты, которое будет разбавлено до 50 мл всего раствора. Мы можем найти необходимый объем концентрированной кислоты, приравняв конечный объем и концентрацию к начальной концентрации и неизвестному объему.

Начальная концентрация 2М, конечная концентрация 0,5М, конечный объем 50мл

Это означает, что 12,5мл концентрированной кислоты необходимо развести до 50мл раствора. В результате получится раствор с концентрацией 0,5М.

Сообщить об ошибке

Начиная с 30 мл раствора .005M , сколько миллилитров раствора .010M потребуется для его титрования?

Возможные ответы:

Ничего из этого

Правильный ответ:

Объяснение:

Для этого вопроса используйте следующую формулу: 

 – количество кислотных атомов водорода в кислоте,       – молярность кислоты,       – объем кислоты,      основные гидроксиды по основанию,    — молярность основания,    – объем основания

Измените уравнение для объема основания:

Подставьте известные значения и решите.

Сообщить об ошибке

Начиная с 50 мл раствора .015M, сколько миллилитров раствора .010M потребуется для его титрования?

Возможные ответы:

Ни один из этих

Правильный ответ:

Объяснение:

Для этого вопроса используйте следующую формулу: 

 – число кислых атомов водорода в кислоте,        – молярность кислоты,       – объем кислоты,     _{основные гидроксиды по основанию,   — молярность основания,   — объем основания}

Переформулируйте уравнение для объема основания:

Подставьте известные значения и решите.

Сообщить об ошибке

Начиная с 25 мл раствора .001M, сколько миллилитров раствора .010M   потребуется для его титрования?

Возможные ответы:

Ни один из этих

Правильный ответ: 9005 2

5

5 Объяснение:

Для этого вопроса используйте следующую формулу: 

 – число кислотных атомов водорода в кислоте,      – молярность кислоты,      – объем кислоты, основание, объем основания

Измените уравнение для объема основания:

Подставьте известные значения и решите.

Сообщить об ошибке

Начиная с 75 мл раствора .030M, сколько миллилитров раствора .022M потребуется для его титрования?

Возможные ответы:

Ни один из этих

Объяснение:

Для этого вопроса используйте следующую формулу: 

 – количество кислотных атомов водорода в кислоте,       – молярность кислоты,       – объем кислоты,      основные гидроксиды на основе,   — молярность основания,   — объем основания

Измените уравнение для объема основания:

Подставьте известные значения и решите.

Сообщить об ошибке

Начиная с 12 мл раствора .015M, сколько миллилитров раствора .000M потребуется для его титрования?

Возможные ответы:

Ни один из этих

Правильный ответ:

Объяснение:

Для этого вопроса используйте следующую формулу: 

 – количество кислотных атомов водорода в кислоте,       – молярность кислоты,       – объем кислоты,      основные гидроксиды по основанию,   — молярность основания,   — объем основания

Переформулируйте уравнение для объема основания:

Подставьте известные значения и решите.

Mathway | Популярные задачи

Уравнения Бернулли онлайн

Дифференциальное уравнение y' +a0(x)y=b(x)yn называется уравнением Бернулли.
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 — с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на yⁿ. Тогда Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим , или, что то же самое, z’ + (1-n)a₀(x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Пример 1. Найти общее решение уравнения y’ + 2xy = 2xy³. Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y³ получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z’ + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной, получаем откуда или, что то же самое, .

Пример 2. y'+y+y2=0
y’+y = -y²

Разделим на y²
y’/y² + 1/y = -1

Делаем замену:
z=1/y^n-1, т. е. z = 1/y^2-1 = 1/y
z = 1/y
z’= -y’/y²

Получаем: -z’ + z = -1 или z’ — z = 1

Далее надо найти z и выразить через него y = 1/z.

Пример 3. xy’+2y+x5y3ex=0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x⁵y³e^x. Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y³ получаем: xy’/y³+2/y²=-x⁵ e^x. Делаем замену: z=1/y². Тогда z’=-2/y³ и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz'/2+2z=-x5ex. Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz’/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z’=4z/x

Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x⁴. Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x⁴, y'(x) = C(x)’x⁴ + C(x)(x⁴)’
-x/2(4C(x) x³+C(x)’ x⁴)+2y=-x⁵e^x
-C(x)’ x⁵/2 = -x⁵e^x или C(x)’ = 2e^x. Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e^xdx = 2e^x+C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x⁴ (C+2e^x) или y = Cx⁴+2x⁴e^x. Поскольку z=1/y², то получим: 1/y² = Cx⁴+2x⁴e^x

б) решение через замену переменных
y=uv
x(u’v + uv’)+2uv+x⁵u³v³e^x=0
v(x u’ + 2u) + xuv’+ x⁵u³v³e^x = 0
a) xu’+2u = 0
или ln(u)=ln(x^-2). Откуда u = x^-2
b) xuv’+ x⁵u³v³e^x = 0
x x^-2v’+ x⁵ x^-6v³e^x = 0
v’/x+ v³e^x/x = 0
v’+ v³e^x = 0

или 1/y² = Cx⁴+2x⁴e^x

Мэтуэй | Популярные задачи

92+5х+6=0 92-9=0 92+2x-8=0 92)

1	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 50
2	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 45
3	Оценить	5+5
4	Оценить	7*7
5	Найти простую факторизацию	24
6	Преобразование в смешанный номер	52/6
7	Преобразование в смешанный номер	93/8
8	Преобразование в смешанный номер	34/5
9	График	у=х+1
10	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 128
11	Найдите площадь поверхности	сфера (3)	
12	Оценить	54-6÷2+6
13	График	г=-2x
14	Оценить	8*8
15	Преобразование в десятичное число	5/9
16	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 180
17	График	у=2
18	Преобразование в смешанный номер	7/8
19	Оценить	9*9
20	Решите для C	С=5/9*(Ф-32)
21	Упростить	1/3+1 1/12
22	График	у=х+4
23	График	г=-3
24	График	х+у=3
25	График	х=5
26	Оценить	6*6
27	Оценить	2*2
28	Оценить	4*4
29	Оценить	1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30	Оценить	1/3+13/12
31	Оценка	5*5
32	Решить для d	2д=5в(о)-вр
33	Преобразование в смешанный номер	3/7
34	График	г=-2
35	Найдите склон	у=6
36	Преобразование в проценты	9
37	График	у=2х+2
38
41	Преобразование в смешанный номер	1/6
42	Преобразование в десятичное число	9%
43	Найти n	12н-24=14н+28
44	Оценить	16*4
45	Упростить	кубический корень из 125
46	Преобразование в упрощенную дробь	43%
47	График	х=1
48	График	у=6
49	График	г=-7
50	График	у=4х+2
51	Найдите склон	у=7
52	График	у=3х+4
53	График	у=х+5
54	График
58	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 192
59	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 25/36
60	Найти простую факторизацию	14
61	Преобразование в смешанный номер	7/10
62	Решите для	(-5а)/2=75
63	Упростить	х
64	Оценить	6*4
65	Оценить	6+6
66	Оценить	-3-5
67	Оценить	-2-2
68	Упростить	квадратный корень из 1
69	Упростить	квадратный корень из 4
70	Найди обратное	1/3
71	Преобразование в смешанный номер	20. 11.
72	Преобразование в смешанный номер	7/9
73	Найти LCM	11, 13, 5, 15, 14	, , , ,
76	График	3x+4y=12
77	График	3x-2y=6
78	График	у=-х-2
79	График	у=3х+7
80	Определить, является ли многочлен	2x+2
81	График	у=2х-6
82	График	у=2х-7
83	График	у=2х-2
84	График	у=-2х+1
85	График	у=-3х+4
86	График	у=-3х+2
87	График	у=х-4
88	Оценить	(4/3)÷(7/2)
89	График	2x-3y=6
90	График	х+2у=4
91	График	х=7
92	График	х-у=5
93	Решение с использованием свойства квадратного корня 92-2x-3=0
95	Найдите площадь поверхности	конус (12)(9)	
96	Преобразование в смешанный номер	3/10
97	Преобразование в смешанный номер	7/20

Точные уравнения и интегрирующие коэффициенты

Привет! Возможно, вам захочется сначала узнать о дифференциальных уравнениях и частных производных!

Точное уравнение

«Точное» уравнение — это дифференциальное уравнение первого порядка, подобное этому:

М(х, у)dx + N(х, у)dy = 0

имеет некоторую специальную функцию I(x, y), чьи частные производные можно поставить вместо M и N следующим образом:

∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0

, и наша задача — найти эту волшебную функцию I(x, y), если она существует.

С самого начала мы можем знать, точное это уравнение или нет!

Представьте, что мы делаем следующие частные производные:

∂M ∂y = ∂ ² I ∂y ∂x

10 ∂x = ∂ ² I ∂y ∂x

они заканчиваются теми же ! Итак, это будет верно:

∂M ∂y = ∂N ∂x

Когда это правда, у нас есть «точное уравнение», и мы можем продолжить.

И чтобы обнаружить I(x, y) , мы делаем ЛИБО :

• I(x, y) = ∫M(x, y) dx (с x в качестве независимой переменной), ИЛИ
• I(x, y) = ∫N(x, y) dy (с y в качестве независимой переменной)

И затем есть дополнительная работа (мы покажем вам), чтобы прийти к общему решению

I(x, y) = C

 

Посмотрим в действии.

Пример 1: Решить

(3x ² y ³ − 5x ⁴ ) dx + (y + 3x ³ y 0 ^{2 90dy = 9 0909 В данном случае имеем:}

• М(х, у) = 3х ² у ³ — 5x ⁴
• N(x, y) = y + 3x ³ y ²

Мы оцениваем частные производные для проверки точности.

• ∂M ∂y = 9x ² y ²
• ∂N ∂x = 9x ² y ²

Они одинаковые! Итак, наше уравнение является точным.

Мы можем продолжать.

Теперь мы хотим найти I(x, y)

Проведем интегрирование с x как независимая переменная:

I (x, y) = ∫m (x, y) dx

= ∫ (3x ² y ³ — 5x ⁴ ) DX

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ER — 5x ⁴ ). — 5x ⁴ ). 3 y ³ − x ⁵ + f(y)

Примечание: f(y) — это наша версия константы интегрирования «C», потому что (из-за частной производной) у нас было y в качестве фиксированного параметра, который, как мы знаем, на самом деле является переменной.

Теперь нам нужно найти f(y)

В самом начале этой страницы мы сказали, что N(x, y) можно заменить на ∂I ∂y , поэтому:

∂I ∂y = N(x, y)

Получаем:

3x ³ y ² + df dy = y + 3x ³ y ^{22 Отменяющие термины}

df dy = y

Интегрируя обе стороны:

f(y) = y ² 2 + C

У нас есть f(y). Теперь просто поставьте на место:

I(x, y) = x ³ y ³ − x ⁵ + y ² 9 6 + C 900 0 общее решение (как упоминалось перед этим примером):

I(x, y) = C

Упс! Это «C» может быть другим значением, чем «C» только что. Но они оба означают «любую константу», так что давайте назовем их C ₁ и C ₂ , а затем объединим их в новый C ниже, сказав C=C ₁ +C ₂

Получаем:

x ³ y ³ − x ⁵ + y 2 2 923 = C

Вот как работает этот метод!

Поскольку это был наш первый пример, давайте пойдем дальше и убедимся, что наше решение правильное.

Выведем I(x, y) относительно до х, то есть:

Оценка ∂I ∂x

Начать с:

I(х, у) = х ³ у ³ − х ⁵ + у ² 2

Использование неявного дифференцировав получаем

∂I ∂x = x ³ 3y ² y’ + 3x ² у ³ − 5x ⁴ + уу’

Упростить

∂I ∂x = 3x ² y ³ − 5x ⁴ + y'(y + 3x ³ y ^{2 1)}

Мы используем тот факт, что y’ = dy dx и ∂I ∂x = 0, затем умножьте все на dx, чтобы в итоге получить:

(у + 3x ³ у ² )dy + (3x ² y ³ — 5x ⁴ )dx = 0

, которое является нашим исходным дифференциальным уравнением.

Итак, мы знаем, что наше решение верное.

Пример 2: Решить

(3x ² − 2xy + 2)dx + (6y ² − x ² + 3)dy = 0

• М = 3x ² − 2xy + 2
• N = 6 лет ² − x ² + 3

Итак:

• ∂M ∂y = −2x
• ∂N ∂x = −2x

Уравнение точное!

Теперь найдем функцию I(x, y)

На этот раз попробуем I(x, y) = ∫N(x, y)dy

Итак, I(x, y) = ∫(6y ² − х ² + 3)dy

I(x, y) = 2y ³ − x ² y + 3y + g(x)    (уравнение 1)

Теперь продифференцируем I(x, y) по x и приравняем его к M:

∂I ∂x = M(x, y)

0 − 2xy + 0 + g'(x) = 3x ² − 2xy + 2

−2xy + g'(x) = 3x ² − 2xy + 2

g'(x) = 3x ² + 2

И интегрирование дает:

g(x) = x ³ + 2x + C     (уравнение 2)

Теперь мы можем заменить g(x) в уравнении 2 в уравнении 1:

I(x, y) = 2y ³ − x ² y + 3y + x ³ + 2x + C

И общее решение имеет вид

I(x, y) = C

и т. д. (не забывая, что две предыдущие «C» — это разные константы, которые можно свернуть в одну, используя C=C ₁ +C ₂ ) получаем:

2y ³ − x ² y + 3y + x ³ + 2x = C

Решено!

Пример 3: Решить

(xcos(y) − y)dx + (xsin(y) + x)dy = 0

Имеем:

M = (xcos(y) − y) DX

∂M ∂y = −xsin (y) — 1

n = (xsin (y) + x) dy

∂n ∂x = SIN +10920 +10920 +10920 +10920 (Y) +10920 (Y) +10920 ∂NN ∂x = SIN +10920 +10920 +10920 +10920 ∂10920 (Y).

Таким образом

∂M ∂y ≠ ∂N ∂x

Итак, это уравнение не точно!

Пример 4: Решить

[y ² − x ² sin(xy)]dy + [cos(xy) − xy sin(xy) + e ^2x ]dx = 0

M = cos(xy) − xy sin(xy) + e ^2x

∂M ∂3y 909 −x ² y cos(xy) − 2x sin(xy)

N = y ² − x ² sin(xy)

∂N ∂3x 90 942 г. cos(xy) − 2x sin(xy)

Они одинаковы! Итак, наше уравнение является точным.

На этот раз мы оценим I(x, y) = ∫M(x, y)dx

I(x, y) = ∫(cos(xy) − xy sin(xy) + e ^2x )dx

 Используя интегрирование по частям, получаем:

I(x, y) = 1 y sin(xy) + x cos(xy) − 1 y sin(xy) + 1 2 e ^2x + f(y)

I(x, y) = x cos(xy) + 1 2 e ^{2x 909 42 + f1090 we оценить производную по y}

∂I ∂y = −x ² sin(xy) + f'(y)

И что равно N, что равно M:

∂I ∂y = N(x, y)

−x ² sin(xy) + f'(y) = y ² − x ² sin(xy)

f'(y) = y ² − x ² sin(xy) + x ² sin(xy)

f'(y) = y ²  

f(y) = 1 3 y ³

Таким образом, наше общее решение I(x, y) = C принимает вид:

xcos(xy) + 1 2 e ^2x + 1 3 y ³

20 = Done ³

20 = Done ^{0 3}

20

Факторы интегрирования

Некоторые уравнения, которые не являются точными, могут быть умножены на некоторый коэффициент, a функция u(x, y) , чтобы сделать их точными.

Когда эта функция u(x, y) существует, она называется интегрирующим фактором . Это сделает допустимым следующее выражение:

∂(u·N(x, y)) ∂x = ∂(u·M(x, y)) ∂y

Есть несколько особых случаев:

• u(x, y) = x ^m y ⁿ
• u(x, y) = u(x) (то есть u является функцией только x)
• u(x, y) = u(y) (что то есть u является функцией только от y)

Давайте посмотрим на эти дела…

 

Интегрирование коэффициентов с использованием u(x, y) = x

^м г ^п

Пример 5: (y ² + 3xy ³ )dx + (1 − xy)dy = 0

M = y ² + 3xy ³

∂M ∂y = 2y + 9xy ^{2 2 = 1 − ху}

∂N ∂x = −y

Итак, ясно, что ∂M ∂y ≠ ∂N ∂x

Но мы можем попытаться сделать это

точным21 путем умножения каждой части уравнение на x ^m y ⁿ :

(x ^m y ⁿ y ² + x ^m 1 y 9094 41 3 ) дх + (х ^м у ⁿ − x ^m y ⁿ xy) dy = 0

Что «упрощает» до:

(x ^m y ⁿ⁺² + 1x 9094 1 н+3 )дх + (x ^м y ⁿ − x ^м+1 y ⁿ⁺¹ )ды = 0

Теперь имеем:

M = x ^m y ⁿ⁺² + 3x ^m+1 y ⁿ⁺³

∂929 ∂1M 90 0923 = (n + 2 )x ^m y ⁿ⁺¹ + 3(n + 3)x ^m+1 y ⁿ⁺²

N = x ^m y ⁿ — 1 m — 1 m 909 9 ⁿ⁺¹

∂N ∂x = mx ^м−1 y ⁿ − (m + 1)x ^м 9 10 9 n ⁿ

А мы хотим ∂M ∂y = ∂N ∂x

Итак, давайте выберем правильные значения n n , чтобы сделать уравнение точным.

Приравняем их:

(n + 2)x ^m y ⁿ⁺¹ + 3(n + 3)x ^m+1 y ⁿ⁺² = mx ^{m−1 y n} − (m + 1)x ^m y ⁿ⁺¹  

Изменить порядок и упростить:

[(m + 1) + (n + 2)]x 9Для равенства ноль, каждый коэффициент должен быть равен нулю, поэтому:

1. (m + 1) + (n + 2) = 0
2. 3(n + 3) = 0
3. м = 0

Последнее, m = 0 , очень помогает! При m=0 мы можем вычислить, что n = −3

И результат:

x ^м г ^н = y ⁻³

Теперь мы знаем, как умножить исходное дифференциальное уравнение на y ⁻³ :

(y ⁻³ y ² + y ^{3 901 x 909 909 942) дх + (y −3 − y −3 xy) dy}

Получается:

(y ⁻¹ + 3x)dx + (y ⁻³ − xy ⁻² )0dy = 090

И это новое уравнение должно быть точным , но давайте проверим еще раз:

M = y ⁻¹ + 3x

∂M ∂y = −y ⁻²

N = y −94 29 −3 x

∂N Они одинаковы! Теперь наше уравнение точно равно !

Итак, продолжим:

I(x, y) = ∫N(x, y)dy

I(x, y) = ∫(y ⁻³ − xy ⁻² )dy

I(x, y) = −1 2 y ⁻² + xy ⁻¹ + g(x)

Теперь, чтобы определить функцию g(x) мы вычисляем

∂I ∂x = y ⁻¹ + g'(x)

И это равно M = y ⁻¹ + 3x, поэтому:

− 2 g

4

y ‘(x) = y ⁻¹ + 3x

Итак:

g'(x) = 3x

g(x) = 3 2 x ²

Таким образом, наше общее решение I(x, y) = C:

-1 2 y ^-2 + xy ^-1 + 3 2 x

2 2 = 10 x 2

 

Интегрирование коэффициентов с использованием u(x, y) = u(x)

Для u(x, y) = u(x) мы должны проверить это важное условие:

Выражение:

Z(x) = 1 N [ ∂M ∂y − ∂N ∂x ] 10

должен , а не иметь член y , так что интегрирующий коэффициент является только функцией x

Если приведенное выше условие верно, то наш интегрирующий коэффициент равен:

u(x) = e ^∫Z(x)dx

Давайте попробуем пример:

Пример 6: (3xy − y ² )dx + x(x − y)dy = 0

M = 3xy − y ²

∂M ∂9322

− 2 года

Н = х(х — у) 9 1428 Итак, наше уравнение , а не точно.

Рассчитаем Z(x):

Z(x) = 1 N [ ∂M ∂y − ∂N ∂x ] 2 1 10

23 N [ 3x−2y − (2x−y ) ]

= x−y x(x−y)

= 1 x

Итак, Z(x) является функцией только от x, ура!

Итак, наш интегрирующий коэффициент равен

u(x) = e ^∫Z(x)dx

= e ^∫(1/x)dx

) 1 ln

42

= x

Теперь, когда мы нашли интегрирующий коэффициент, давайте умножим дифференциальное уравнение по нему.

х[(3xy − y ² )dx + x(x − y)dy = 0]

и мы получаем

(3x ² у — ху ² )дх + (x ³ − x ² y)dy = 0

Теперь должно быть точно. Проверим:

M = 3x ² y − xy ²

∂M ∂y = 3x ^{2 909 N =} −

0 − 9199 90 909 90 41 3 − х ² у

∂N ∂x = 3x ² − 2xy

∂M ∂y = ∂ ∂N

Итак, наше уравнение точное!

Теперь решаем так же, как и в предыдущих примерах.